close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
§4. Геометрический и механический смысл дифференциала
1º. Пусть функция y  f (x) имеет конечную производную y( x0 ) , а точка
M1 ( x0  x, f ( x0  x)) принадлежит еѐ графику Г (рис. 4.1). В точке
M0(x0, y0) , y0  f (x0) , проведѐм к Г касательную Т, B(xB, yB) – точка
пересечения прямых L : x  x0  x и Т. Подставим координаты x B = x0  x
и y B точки В в уравнение касательной (2.2),
y
L
в силу (3.3) получим:
M1
yB  y0  y( x0 )Δx или yB  y0  df ( x0 ) .
f (x 0   x )
T
Г
На рис. 4.1 длина отрезка AM1 есть
В
приращение
функции
Δу
M0
Δy  f ( x0  x)  f ( x0 ) , а длина отрезка АВ
f (x0 )
A
– дифференциал dy данной функции в точке
dу
x
x  x0 . Замена y на dy приводит к замене
х0
x0  x
O
части графика функции (рис. 4.1, дуга
Рис. 4.1. К геометрической
M 0 M 1  Г ) на отрезок касательной, т.е. на
интерпретации понятия
отрезок прямой (рис. 4.1, отрезок M 0 B  T ).
дифференциала
Дифференциал функции y  f (x) в точке x0 геометрически трактуется
как приращение y B  y0 ординаты касательной Т к графику этой функции,
проведѐнной в точке M 0 ( x0 , y0 ) , при перемещении из точки M 0 в точку В
или при изменении аргумента х от x0 до x0  Δx .
2º. Пусть s  s(t ) – путь, пройденный материальный точкой за время t
при движении по прямой, тогда s(t0  Δt )  s(t0 )  Δs – путь, пройденный
материальный точкой за время Δt . По формуле (3.2) имеем ds  s(t0 )t .
Дифференциал функции s  s(t ) механически можно трактовать как
путь, который прошла бы материальная точка за время Δt , если бы она
двигалась всѐ это время с постоянной скоростью v  s(t0 ) . При замене
приращения этой функции Δs дифференциалом ds реальное движение за
время Δt заменяется равномерным со скоростью s(t0 ) .
Так, при свободном падении материальной точки s(t )  gt 2 / 2 (g –
ускорение земного тяготения). За промежуток времени Δt она пройдѐт путь
s   g (t  t ) 2 / 2  gt 2 / 2  gtt  g (t ) 2 / 2 , при этом ds  gtt . Замена Δs
на ds означает замену реального движения равномерным со скоростью v  gt .
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа