close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
УДК 517.938
В. М. МИЛЛИОНЩИКОВ
О ТИПИЧНЫХ СВОЙСТВАХ УСЛОВНОЙ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ. XVI
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Пусть
( E , p, B ) —
векторное расслоение со слоем R n и базой B (B— полное
метрическое пространство, расстояние в котором обозначается через dB ( ×, × ) ). На
( E , p, B ) фиксируем некоторую риманову метрику.
1.2. Пусть G есть группа R или группа Z и пусть H Î Hom ( G , Aut ( E , p, B ) ) , где через
Hom(G, Aut (E , p, B )) обозначается множество гомоморфизмов группы G в группу
автоморфизмов векторного расслоения ( E , p, B ) обозначаемую через Aut (E , p, B ) .
Напомним, что образом Ht точки t Î G при гомоморфизме H является пара ( X t , c t ) , где
X t — гомеоморфизм E на E , c t — гомеоморфизм B на B , причем
а) pX t = c t p при всяком t Î G ;
б) при всяких b Î B , t Î G сужение X t [b ] на слой p -1 (b ) отображения X t есть
линейное отображение p -1 (b ) ® p -1 c t b ;
в) X t + s = X t X s , c t + s = c t c s , при всяких t Î G , s Î G .
Вместо X 1 будем писать X, вместо c 1 - c .
Потребуем от гомоморфизма H , чтобы для некоторой функции a(×) : B ® R + ,
удовлетворяющей при всяких b Î B , t Î G равенству
a ( c tb) = a (b ) ,
(В.1.1)
( )
при всяких b Î B , t Î G выполнялось неравенство
X t [ b ] „ exp t a ( b ) .
(
Так как
(X [b])
)
(В.1.2)
[ ]
= X -t c t b (b Î B, t Î G ),
то наложенное условие перейдет в эквивалентное, если вместо «при всяких b Î B , t Î G
выполнялось неравенство (В. 1.2)» написать: «при всяких*) b Î B , t Î G*+ выполнялось
неравенство
t
{
-1
max X t [ b ] , X t [b ]
-1
} „ exp (ta (b)) ».
(В.1.2′)
1.3. Для всякого**) q Î G* определяется гомоморфизм Hq Î Hom ( Z , Aut ( E , p, B ) )
формулой
Hq s = H ( sq ) = ( X sq , c sq ) ( s Î Z ) .
(В.1.3)
Так как по условию при всяком t Î G выполнено неравенство
G*+ = R*+ , если G = R ; G*+ = N , если G = Z ; R*+ ( N ) — множество всех вещественных (целых) чисел
+
> 0; G — множество всех неотрицательных элементов G .
**)
G* = G \ {0}
*)
(
)
X t [ b ] „ exp t a ( b ) ,
то при всяком s Î Z выполнено неравенство
(
)
X sq [ b] „ exp s × q a ( b ) ,
т.е. гомоморфизм Hq удовлетворяет условию п. 1.2 (см. фразу, содержащую формулы
(В.1.1), (В.1.2)) с функцией aq (×) : B ® R + (вместо a(×) : B ® R + ), определенной формулой
aq (b) = q a (b) ( b Î B ) .
def
1.4. Гомоморфизм
***)
H Î Hom ( G , Aut ( E , p, B ) ) называется насыщенным****), если для
всякой точки b Î B , такой, что c q b ¹ b при всяком q Î G* для всякой окрестности
W (b) точки b (в пространстве B ), для всякого базиса {x1 ,...,x n } векторного
пространства p -1 (b) и всяких окрестностей U (x i ) точек x i (i Î {1,..., n}) (в пространстве E )
найдется d Î R*+ такое, что для всякого t Î N и всяких невырожденных*****) линейных
операторов
Ym : p -1 c m-1b ® p -1c m b
(В.1.4)
(m Î {1,..., t }),
удовлетворяющих при всяком m Î {1,..., t} неравенству
(
)
Ym ( X ëé c m -1b ûù )-1 - I + X ëé c m-1b ûù Ym-1 - I < d ,
(В.1.5)
найдутся точка
b ' Î W (b )
и изоморфизмы слоев (как евклидовых пространств)
y k : p -1 ( c k b ' ) ® p -1 ( c k b)(k Î {0,..., t}),
такие, что
i)y 0-1x1 Î U (x i ) при всяком i Î {1,..., n} ;
ii) при всяком m Î {1,..., t} диаграмма
p -1 ( c m -1b ' )
¾¾¾¾
®
X é c m -1b' ù
ë
û
¯ y m-1
p -1 ( c m -1b )
(В.1.6)
(В.1.7)
p -1 ( c m b ' )
¯ ym
¾¾
®
Ym
(В.1.8)
p -1 ( c m b )
коммутативна.
***)
Вместо
«гомоморфизм
H Î Hom ( G , Aut ( E , p, B ) ) »
здесь
пишем
иногда
«автоморфизм ( X , c ) : (E , p, B ) ® (E , p, B ) (удовлетворяющий условию, сформулированному в
первой фразе п. 4. введения статьи [1])» или «семейство морфизмов
( X (m), c (m) ) : ( E , p, B ) ® ( E , p, B )( m Î N ) ,
удовлетворяющее требованиям а) — в) § 3 [2]».
****)
Это есть определение насыщенного семейства морфизмов
( X (m), c (m) ) : (E , p, B ) ® (E , p, B )(m Î N ) (см. § 3 [2]), понимаемое с уточнением,
сформулированным в п. 5 введения статьи [3].
*****)
То есть имеющих нулевые ядра.
П о я с н е н и е о б о з н а ч е н и й . Через {1,..., s} всюду в статье обозначается множество
натуральных чисел, не превосходящих числа s Î N . Через {0,..., s} всюду в статье
обозначается множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих целого
неотрицательного числа s . Тождественное отображение произвольного множества
M обозначается либо через 1м , либо через 1.
(
)
2.1. Пусть V n , d — полное связное n - мерное риманово многообразие ( V n —
дифференцируемое многообразие класса C 3 , d ( ×, ×) — риманова метрика класса C 2 а V n ).
(
Через r ( ×, ×) обозначается расстояние в этом римановом многообразии. Через TV n , p , V n
)
обозначается касательное расслоение дифференцируемого многообразия V n (p—
проекция, TV n — пространство этого расслоения).
2.2. Через S обозначаем множество всех диффеоморфизмов f класса С 1 , биективно
отображающих V n на V n и удовлетворяющих условию
{
max df , (df )
-1
}< +¥;
(В.2.1)
здесь
df = sup sup df x ,
(В.2.2)
def xÎV n
(df )-1
= sup (df x ) ,
-1
(В.2.3)
def xÎV n
df x — производная отображения f в точке x, × — норма линейного отображения
касательного пространства в касательное пространство, определяемая стандартным
образом через нормы в касательных пространствах, индуцированные фиксированной
выше римановой метрикой d ( ×, ×) .
2.3. Для всякого j Î S через S j обозначаем подмножество множества S , состоящее из
диффеоморфизмов, удовлетворяющих неравенству sup r ( fx, jx) < +¥. .
xÎV n
При всяком j Î S множество S j наделяется структурой метрического пространства
заданием расстояния d1 (×, ×) , определяемого для всяких f Î S j , g Î S j формулой (в [4]
формула (55))
d1 ( f , g ) = sup inf
def xÎV n uÎG ( fx , gx )
n
n
{s(u) + j dg - df
u
x
}
+ (ju dg x ) - (df x ) -1 .
-1
x
(В.2.4)
Здесь 1) для всяких y Î V , z Î V через G ( y, z) обозначается множество всех кусочногладких путей, идущих в многообразии V n из точки z в точку y ; при этом под кусочногладким путем, идущим в многообразии V n из точки z в точку y понимается непрерывное,
имеющее кусочно-непрерывную производную отображение u отрезка [0, 1] в
многообразие V n , причем значение u0 этого отображения в точке 0 равно z, а его значение
u1 в точке 1 равно y (через ut обозначаем значение отображения в точке t Î [0,1] );
1
é
ù2
2) s (u ) = ò êd (u&t , u&t ) ú dt — длина пути u;
def
ú
0ê
ë
û
-1
-1
3) ju : p ( z ) ® p ( y ) — параллельный перенос вдоль пути u Î G ( y, z ).
1
2.4. Для всякого j Î S множество наделяется S j также другой структурой метрического
~
пространства заданием расстояния d1 (×, ×) , определяемого для всяких f Î S j , g Î S j
формулой (в [4] формула (56)):
~
d1 ( f , g ) = sup inf
def xÎV n uÎG ( fx , gx )
{s(u) + j dg
u
x
- df x }.
(В.2.5)
~
При всяком j Î S расстояние d1 (×, ×) и расстояние d1 (×, ×) индуцируют на S j одну и ту
же топологию (см. [4], п. 5).
2.5. Через S u обозначаем множество всех тех диффеоморфизмов f Î S , 1-струйные
расширения которых равномерно непрерывны; напомним, что 1-струйным расширением
дифференцируемого отображения f : V n ® V n называется отображение jet1 f : V n ® J1V n ,
определяемое формулой
jet1 fx = ( x, fx, df x ) ( x Î V n ) ,
(В.2.6)
а расстояние в множестве J1V n 1-струй, т. е. в множестве всех троек вида (x, y, L), где*)
x Î V n , y Î V n , L Î Hom(p -1 ( x ), p -1 ( y )) , определяется формулой
r1 ( ( x1 , y1 , L1 ) , ( x2 , y2 , L2 ) ) =
=
inf
def uÎG ( x2, , x1 )
u ÎG ( y2, , y1 )
{s ( u ) + s (u ) + ju L j
def
2 u
- L1 }.
(В.2.7)
u
2.6. При всяком j Î S u через S j обозначаем множество всех тех диффеоморфизмов
f Î S j , 1-струйные расширения которых равномерно непрерывны; таким образом,
S j = S j I Su
u
(В.2.8)
def
при всяком j Î S u .
u
При всяком j Î S u множество S j замкнуто в метрическом пространстве ( S j , d1 ) и
u
метрическое пространство полно ( S j , d1 ) (см. [5], предложения 5, 6).
u
2.7. При всяком j Î S u рассмотрим метрическое пространство ( B j d Bu ) , где
j
B = S ´V ,
(В.2.9)
d Bu ( ( f , x ) , ( g , y ) ) = d1 ( f , g ) + r ( x, y )
(В.2.9′)
u
j
n
def
j
u
def
u
j
u
для всяких f Î S j , g Î S j , x Î V n , y Î V n .
Хорошо известно (и легко доказывается), что из полноты метрических пространств
u
( S j , d1 ) и (V n , r ) следует полнота метрического пространства B uj , d Bu .
j
При всяком j Î S множество B наделяется также другой структурой метрического
u
u
j
~
пространства заданием расстояния d Bu (×, ×) формулой
j
~
~
d Bu (( f , x ) , ( g , y )) = d1 ( f , g ) + r ( x, y )
j
*)
def
(В.2.10)
Через Hom(V1 ,V2 ) обозначается множество всех линейных отображений векторного пространства V1 в
векторное пространство V2 .
u
u
для всяких f Î S j , g Î S j , x Î V n , y Î V n . Так как при всяком j Î S расстояния d1 (×, ×)
~
и d 1 ( ×, ×) индуцируют на S j одну и ту же топологию, то при всяком j Î S u расстояния
~
d Bu (×, ×) и d Bu (×, ×) индуцируют на B uj одну и ту же топологию.
j
j
2.8. При всяком
пространств).
j Î S u положим E uj = S uj ´ TV n
(произведение топологических
def
p uj = 1S u ´ p : E uj ® B uj
Отображение
def
непрерывно
j
(это
вытекает
из
определения топологии на E uj , определения расстояния d Bu (×, ×) и непрерывности
j
отображения p : TV ® V ).
2.9. При всяком j Î S u так определенное расслоение естественным образом наделяется
n
n
структурой векторного расслоения со слоем R n , а именно векторное расслоение
( E uj , p uj , B uj ) определяется как векторное расслоение, индуцированное отображением
pr2 : S uj ´ V n ® V n ( pr2 — проекция произведения на второй сомножитель) и векторным
расслоением ( TV n , p , V n ) (библиографические указания см. в [6, п. 66) § 1]).
2.10. При всяком j Î S u на так определенном векторном расслоении E uj , p uj , B uj задается
риманова метрика Duj (×, ×) положим для всяких x Î E uj , h Î E uj , таких, что, p ujx = p ujh по
определению
Duj (x ,h ) = d ( pr2x , pr2h ) ,
(В.2.11)
def
Где pr2 — проекция произведения E uj = S uj ´ TV n на второй сомножитель.
2.11. При всяком j Î S u при всяком t Î Z положим
H(j )t =
u
def
(( X ( ) ) , ( c ( ) )) ,
u
t
u t
j
(В.2.12)
j
где отображения X (ju ) : E uj ® E uj , c (ju ) : B uj ® B uj определены формулами
( f , x ) def= ( f , df x ) ,
c 1(u ) ( f , x ) = ( f , fx ),
def
X (j
При всяком
(
j Î Su
u)
(В.2.13)
(В.2.14)
формулы (В.2.12) — (В.2.14) определяют гомоморфизм
)
u
H(j ) Î Hom Z , Aut ( E uj , p uj , B uj ) (это доказано в п. 6 г) § 1 [6]), который удовлетворяет
условиям п. 1.2 введения с функцией a(×) : B uj ® R + , определенной формулой
{
a (( f , x ) = ln sup max df y , (df y )
def
yÎV
n
-1
}
(В.2.15)
(последнее доказано в п. 6 д) § 1 [6]).
§1
Лемма.
Для
всякого
j Î Su
гомоморфизм
(
*)
определенный формулами (В.2.12) — (В.2.14), является насыщенным .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дано j Î S u .
*)
Определение насыщенного гомоморфизма см. в п. 1.4 введения.
)
u
H(j ) Î Hom Z , Aut ( E uj , p uj , B uj ) ,
1. Пусть дана точка b Î B uj , такая, что при всяком**) m Î N имеет место неравенство
c m b ¹ b ; так как B uj = S uj ´ V n , то
( B .2.8)
b = ( f , x),
где
*)
u
(1)
(u )
f Î S j , x Î V . Из определения отображения c j
n
что для всякого k Î Z
(см. формулу (В.2.14)) следует,
+
(c ( ) ) ( f , k ) = ( f , f x ).
k
u
j
k
(2)
Из того, что при всяком m Î N выполнено неравенство c m b ¹ b , вытекает в силу формулы
(2), что при всяком m Î N выполнено неравенство f m x ¹ x. Отсюда следует, что точки
x, fx,..., f m x,..., все различны (в самом деле, из равенства f m1 x = f m 2 x (где m1 … m2 —
( )
( )
m
m
некоторые натуральные числа) вытекает равенство f -1 2 f m1 x = f -1 2 f m 2 x , т. е.
f m1-m2 x = x ; так как при m1 - m2 Î N этого быть не может, а m1 - m2 Î Z + , то m1 = m2 ).
-
2. Пусть дана окрестность W (b) точки b в пространстве B uj . Возьмем e Î R*+ такое, что
{
}
( )
W - ( b ) = b Î B uj : d%Bu b, b < e Ì W ( b ) .
e
def
j
( ) (b) и даны окрестностиU (x )
Пусть дан базис {x1 ,...,x n } векторного пространства p uj
-1
i
точек (в x i (i Î {1,..., n}) пространстве E ). В силу определения векторного расслоения
(E
u
j
u
j
)
, p uj , B uj имеем
( p ) (b) = ( f ,p ( x )) ,
u -1
j
-1
(3)
xi ( f , x i ) ( i Î {1,..., n} ) ,
(4)
причем векторы x i Î p -1 ( x ) ( i Î {1,..., n}) образуют базис векторного пространства p -1 ( x ) .
Возьмем e 1 Î R*+ такое, что для всякого g Î S uj , удовлетворяющего неравенству
~
d 1 ( f , g ) < e 1 , для всякого i Î {1,..., n} имеет место включение
( g , xi ) Î U (xi ) =4 U ( ( f , xi ) ) ;
такое существует, e 1 так как E uj = S uj ´ TV n (произведение топологических пространств), а
~
топология на S uj индуцируется расстоянием d 1 ( ×, ×) .
Положим
-1
ì
-1
d = min í 321 df × ( df )
, 80 df
def
î
)
(
(
)
-1
ü
min {e , e1}ý .
þ
(5)
-
Так как f Î S uj Ì S u Ì S , то выполнено неравенство (В.2.1), следовательно, d Î R*+ .
( B .2.8 )
5
3. Пусть дано t Î N и даны невырожденные линейные операторы
Ym : ( p uj )
**)
-1
(( c
(u )
j
)
m -1
)
b ® ( puj )
-1
(( c
(u )
j
)
m
b
)
( m Î {1,..., t}) ,
Через N всюду в этом цикле статей обозначается множество всех натуральных чисел:
N = {1,2,...}; Z + = {0} U N ;.
*)
(6)
Подчеркнем, что, начиная с этого места до конца доказательства леммы, b = ( f , x ) — данная
фиксированная точка пространства B uj (следовательно, f Î S uj и x Î V n фиксированы).
{
Удовлетворяющие при всяком m Î 1,..., t
}
неравенству (В. 1.5) с X (ju ) вместо X и c (ju )
вместо c .
При всяком t Î Z + имеем
( p ) ((c ( ) ) b)(=)( p ) ((c ( ) ) )( f , x ) (=)( p ) ( f , f x ) = ( f , p ( f x ))
u -1
j
u
j
u -1
j
t
1
t
u
j
2
u -1
j
-1
t
t
(7)
{
}
( f x ) ) ( m Î {1,..., t}).
Подставив в (7) t = m - 1, t = m, перепишем при всяком m Î 1,..., t формулу (6) в виде
(
) (
Ym : f , p -1 ( f m-1 x ) ® f , p -1
m
Из формулы (8) следует, что определены отображения
Z m : p -1 ( f m -1 x ) ® p -1 ( f m x )
такие, что
{
}
(8)
( m Î{1,..., t}) ,
(9)
Ym ( f , x ) = ( f , Z m x )
при всяких x Î p -1 ( f m-1 x ) , m Î 1,..., t , т. е.
(10)
( m Î{1,..., t}).
Ym 1{ f } ´ Z m
(
(11)
)
В силу определения векторного расслоения E uj , p uj , B uj (см. пп. 2.8, 2.9 введения) из
линейности отображения (6) (или, что то же, (8)) следует, что отображения (9) линейны.
В силу формулы (В.2.13) имеем
X (ju ) ( f , x ) = ( f , df x )
(12)
для всяких x Î p -1 ( f m -1 x ) , m Î N . Используя формулу (7) при t = m - 1, , получаем из
формулы (12)
( )
{
}
u
u
X (j ) é c (j )
êë
m -1
b ù = 1{ f } ´ df fm-1x
úû
При всяком m Î 1,..., t имеем
( [(
Ym X (ju ) c uj
)
m -1
( )
b
])
-1
(11 )
=
(m Î N )
(13)
1{ f } ´ Z m (df fm-1x ) ,
(14)
-1
(13 )
(11)
m -1
X (ju ) é c (ju )
b ù Y -1m = 1{ f } ´ df fm -1x Z m -1.
êë
úû
(13)
Согласно построению римановой метрики векторного расслоения
формулу (В.2.11)), из формулы (14) следует равенство
-1
( )
(15)
(E
u
j
( { })
, p uj , B uj
m -1
-1
Ym çæ X (ju ) é c (ju )
b ù ÷ö - I = Z m ( df fm -1x ) - I m Î 1,...t ,
ëê
ûú ø
è
а из формулы (15) следует равенство
m -1
u
u
X (j ) é c (j )
b ù Ym-1 - I = ( df fm-1x ) Z m-1 - I
êë
úû
( )
( m Î{1,...t}).
)
(см.
(16)
(17)
В силу формул (16), (17) неравенство (В. 1.5) с X (ju ) , c (ju ) вместо X, c переписывается в
виде
-
Z m ( df fm-1x ) - I + ( df fm -1x ) Z m-1 - I < d
-1
(18)
-
4. Все условия § 1 [8] у нас выполнены: фиксированы j Î S u , f Î S u , d Î R*+ ,
удовлетворяющие равенству (5) (из которого следует неравенство (1) [8]), точка x Î V n ,
такая, что точки x, fx,..., f m x,... все различны, t Î N и невырожденные линейные
отображения (9), удовлетворяющие неравенству (18). Поэтому в силу леммы 6 [8]
существует w Î 0, s такое, что формула (52) [7] при r = w определяет отображение
( )
gw Î S uj , удовлетворяющее неравенству
{ }
-
d%1 ( f , gw ) < 80 d df „ min e , e1 .
( 5)
Из этого неравенства, положив
b ' = ( gw , x )
(19)
def
(тогда b ' Î S uj ´ V n = B uj ), получаем
( B .2.9 )
(1)
d Buj ( b, b' ) = d Buj ( ( f , x ) , ( gw , x ) ) =
~
~
( B.2.10)
(19 )
{ }
~
(20)
= d 1 ( f , gw ) < min e , e ;
( B.2.10)
следовательно,
b ' Î W -(b ) Ì W (b )
(21)
e
(см. п. 2).
В силу определения отображения c (ju ) : B uj ® B uj (см. формулу (В.2.14)) имеем
(c ( ) ) b (=)(c ( ) ) (g , x ) = (g
k
u
j
'
k
u
j
19
w
w
, gwk x
{
)
(22)
}
для всякого k Î Z + . В силу леммы 2 [9] для всякого k Î 0,..., t имеет место равенство
{
gwk x = f k x.
}
(23)
Для всякого k Î 0,..., t имеем
(c ( ) ) b (= )(g
u
j
k
'
22
w
) (
)
, gwk x = gw , f k x ,
( 23 )
(24)
(1)
( ) ()
Так как p = 1 ´ p , то при всяком k Î {0,..., t} имеют место равенства
( p ) (( c ( ) ) b ) = ( g , p ( f l )) ,
( p ) (( c ( ) ) b) = ( f ,p ( f x )) .
При всяких k Î {0,..., t} , y Î p ( f x ) положим
c (ju ) b = ( f , f k x ) .
k
(25)
2
u
j
S uj
u -1
j
u -1
j
-1
u
u
k
'
24
k
-1
j
-1
w
j
k
25
k
(26)
(27)
k
y k ( gw , y ) =
( def )
{ } имеют место
определяет при всяком k Î {0,..., t} отображение
так как при всяком k Î 0,..., t
y k : ( p uj )
-1
((c
(u )
j
( f , y) ;
(28)
равенства (26), (27), то формула (28)
) b ) ® ( p ) ((c ( ) ) b).
k
'
u -1
j
u
j
k
(29)
(
)
Из формул (26) — (28) следует в силу определения векторного расслоения E uj , p uj , B uj и
римановой метрики Duj на нем, приведенного в пп. 2.9, 2.10 введения, что при всяком
{
}
k Î 0,..., t отображение (29), определенное формулой (28), является изоморфизмом слоя
( p ) ((c ( ) ) b )
u -1
j
k
u
j
'
( p ) (( c ( ) )
u -1
j
(как евклидова пространства) на слой
пространство).
При всяком i Î {1,..., n} имеем
u
k
j
b
) (как евклидово
y 0-1xi = y 0-1 ( f , xi ) = ( gw , xi ) .
( 4)
(30)
( 28)
~
Так как d 1 ( f , g w ) < e 1 , то в силу определения числа e1 (см. п. 2) при всяком i Î {1,..., n}
(20 )
имеет место включение
(gw x )Î U (x ).
, i
(31)
i
При всяком i Î {1,..., n} имеет место включение
(30 )
y 0-1xi ÎU (x i ).
(32)
(31)
В силу определения отображения X (ju ) : E uj ® E uj (см. формулу (В.2.13)) при всяком
{
m Î 1,..., t
}
[(
X (ju ) c (ju )
для сужения на
)
m -1
b'
]
( p ) ((c ( ) )
u -1
j
слой
m -1
u
j
)
(
(
b ' = gw , p -1 f m-1 x
26
))
отображения X (ju ) имеет место формула
( )
u
u
X (j ) é c (j )
êë
b ' ù ( gw , x ) = X (j
úû
m -1
u)
( gw , x ) = ( gw , dgw x )
(33)
{
}
для всякого x Î p -1 ( f m-1 x ) . В силу леммы 2 [9] и формулы (9) при всяких m Î 1,..., t ,
x Î p -1 ( f m -1 x ) имеем
dgw x = Z m x Î p -1 ( f m x ) ,
( )
{
y m X (ju ) é c (ju )
êë
m -1
}
(34)
b ' ù ( gw , x ) = y m ( gw , dgw x ) = ( f , dgw x ) .
úû
( 33)
( 34)
(35)
При всяких m Î 1,..., t , x Î p -1 ( f m -1 x ) имеем
Ymy m -1 ( gw , x ) = Ym ( f , x ) = ( f , Z m x ) = ( f , dgw x ) .
{
Так как при всяком k Î 0,..., t
{ }
m Î {1,..., t} диаграмма
}
( 28)
(10)
( 34)
(36)
имеет место равенство (26), то из того, что при всяких
m Î 1,..., t , x Î p -1 ( f m -1 x ) имеют место равенства (35), (36), следует, что при всяком
( p ) ((c ( ) )
u -1
j
m -1
u
j
¯ y m-1
( p ) ((c )
u -1
j
коммутативна.
(u )
j
m -1
b'
)
b )
¾¾
¾ ¾¾
¾®
( u ) é ( u ) m -1 ' ù
( p ) ((c ( ) ) b )
¾¾®
Ym
( p ) ((c ( ) ) b )
Xj
(c )
êë
j
b
úû
u -1
j
u
j
¯ ym
u -1
j
u
j
m
m
'
(37)
Подведем итог. Указана точка b ' Î W (b ) (см. формулы (19), (21)). Для всякого
{
k Î 0,..., t
}
построен изоморфизм слоев (как евклидовых пространств) (29), причем
выполнены следующие требования:
i) y 0-1xi Î U (x i ) при всяком (см. i Î {1,..., n} фразу, содержащую формулу (32));
{
}
ii) при всяком m Î 1,..., t диаграмма (37) коммутативна.
Лемма доказана.
§2
Т е о р е м а *). Для всякого j Î S u в пространстве S uj ´ V n имеется всюду плотное
множество Duj типа Gd , обладающее свойствами:
( f , x ) Î Duj , k Î {1,..., n} функция W k (×) : S uj ´ V n ® R полунепрерывна
сверху в точке ( f , x ) ;
б)
при
всяких
k Î {1,..., n}
имеет
место
равенство
( f , x ) Î Duj ,
lk ( ( f , x=
) ) Wk ( ( f , x=
) ) W( k ) ( ( f , x ) ) ;
в) при всяких ( f , x ) Î Duj , k Î {0,..., n - 1} имеет место альтернатива: либо
ln-k (( f , x )) = ln-k +1 (( f , x )),
а) при всяких
либо подпространство
Ek ( f , x ) = x Î p -1 ( x ) : l ( f , x ) „ ln - k +1 ( ( f , x ) )
def
{
}
экспоненциально отделено от всякого своего алгебраического дополнения в пространстве
p -1 ( x ), т. е. для всякого алгебраического дополнения l n-k подпространства Ek ( f , x ) (в
векторном пространстве p -1 ( x ), ) существуют числа a Î R*+ , b Î R*+ , такие, что для
всяких x Î l n - k , y Î Ek ( f , x ) и всяких целых чисел t … s … 0 выполнено неравенство
df t x × df s y … a df t x × df t y exp ( b ( t - s ) ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дано j Î S u .
А. В силу теоремы [10] и леммы 2 [6] в пространстве B uj = S uj ´ V n найдется всюду
( B .2.9 )
( u ,1)
j
плотное множество D
функция W k (×) : S uj ´ V n ® R
( f ,.x ) Î D(ju ,1) ,
полунепрерывна сверху в точке ( f , x ) .
типа Gd , такое, что при всяких
(
k Î {0,..., n}
)
Б. В силу леммы § 1 гомоморфизм H(ju ) Î Hom Z , Aut ( E uj , p uj , B uj ) , определенный
формулами (В.2.12) — (В.2.14), является насыщенным. Поэтому в силу теоремы [11] в
пространстве B uj = S uj ´ V n найдется всюду плотное множество D(ju ,2) типа Gd ,
обладающее свойствами:
а) при всяких ( f , x ) Î D(ju ,2) , k Î {1,..., n} имеет место цепочка равенств
(
)
(
)
(
)
lk H(ju ) , ( f , x ) = W k H(ju ) , ( f , x ) = W k H(ju ) , ( f , x ) ,
которая в силу лемм 1 — 3 [6] эквивалентна цепочке равенств
lk (( f , x )) = W k (( f , x )) = W k (( f , x ));
б) при всяких
равенство
*)
( f , x) Î Dj
(u ,2 )
(2.1)
, k Î {0,..., n - 1} имеет место альтернатива: либо выполнено
Обозначения см. в [6, § 1, пп. 1 — 3].
(
)
(
)
ln-k H(ju ) , ( f , x ) = ln -k +1 H(ju ) , ( f , x ) ,
которое в силу леммы 1 [6] эквивалентно равенству
ln-k (( f , x )) = ln-k +1 (( f , x )),
(2.2)
либо гомоморфизм H(ju ) экспоненциально разделен с индексом k в точке
выполнена следующая совокупность условий:
i) имеет место строгое неравенство
ln-k H(ju ) , ( f , x ) > ln -k +1 H(ju ) , ( f , x ) ,
(
)
(
( f , x) ,
)
которое в силу леммы 1 [6] эквивалентно строгому неравенству
ln -k ( ( f , x ) ) > ln - k +1 ( ( f , x ) ) ;
ii) для всякого алгебраического дополнения
R n -k = ( puj )
-1
( ( f , x ) )q R
k
0
(
т. е.
(2.3)
( H( ) , ( f , x ))
u
(2.4)
i
( ) (( f , x )) существуют числа a Î R
)
векторного подпространства R0k H(ju ) , ( f , x ) слоя p uj
-1
+
*
(
,
)
b Î R*+ такие, что для всяких ненулевых векторов, x Î R n-k , h Î R0k H(ju ) , ( f , x ) для всяких
t Î Z , s Î Z таких, что t … s , имеет место неравенство
+
+
-1
(X ) x × (X ) x
t
(u )
(u )
j
s
j
(
…a X j
(u )
) h × (X ) h
t
(u )
s
-1
j
exp ( b ( t - s ) ) .
(
)
(2.5)
(
)
Напомним, что если выполнено строгое неравенство ln -k H(ju ) , b > ln -k +1 H(ju ) , b , то
(
)
через R0k H(ju ) , b обозначается векторное пространство
(
)
{
Ek H(ju ) , b = x Î ( p uj )
def
-1
},
( b ) : l ( H(ju ) , x ) „ ln- k +1 ( H(ju ) , b )
(2.6)
где
t
ì
1
(u )
X
lim
ln
x при x ¹ 0,
ï
j
t
l H(ju ) , x = íttή+¥
N
def
ï
-¥при x = 0
î
(
(
(
)
)
(2.7)
)
1
(напомним, что h = Duj (h ,h ) 2 для всякого h Î E ).
Так как отображение
pr2,( f , x )
( p ) ( ( f , x ) ) проекции
u -1
j
(сужение на слой
pr2
( f , x ) Î B есть изоморфизм
-1
векторного пространства ( p uj ) (( f , x )) на векторное пространство p -1 ( x ) , то формула (2.4)
произведения S uj ´ V n на второй сомножитель) при всяком
эквивалентна формуле
(
)
pr2,( f , x ) R n -k = p -1 ( x ) q pr2,( f , x) R0k h(ju ) , ( f , x ) .
(2.8)
При всяких f Î S uj , x Î V n , k Î {1,..., n} , для которых выполнена (2.3), имеем
(
)(
(
)
R0k H(ju ) , ( f , x ) = Ek H(ju ) , ( f , x ) =
{
= x Î( p
( 2.6)
2.3)
) (( f , x )) : l ( H
u -1
j
(u )
j
)
2.6
(
(2.9)
)}
, x „ ln - k +1 H j , ( f , x ) .
(u )
При всяких f Î S uj , x Î V n , k Î {1,..., n} в силу леммы 1 [6] имеет место равенство
ln-k +1 (h (ju ) , ( f , x ) = ln-k +1 (( f , x ))).
В силу формул (В.2.11), (В.2.13), (2.7) при всяком x Î E uj имеет место равенство
(2.10)
(
)
l H(ju ) , x = l ( f , pr2x ) ,
(2.11)
где l ( f , x ) при всяких f Î S uj , x Î TV n определено формулой
ì
1
ln df t x при x ¹ 0,
ïtlim
®+¥ t
l ( f , x ) = ítÎN
def
ï
î-¥при x = 0
(напомним, что y = (d ( y, y) )
12
(2.12)
для всякого y Î TV n ).
def
В силу равенств (2.10), (2.11) при всяких f Î S uj , x Î V n имеем
{x Î ( p )
( ( f , x ) ) : l ( H( ) , x ) „ l
u -1
j
(
u
j
) {x Î p
n - k -1
( H( ) , ( f , x ))} =
u
j
(2.13)
( x ) : l ( f , x ) „ ln- k +1 ( ( f , x ) )}.
Из формул (2.9), (2.13) следует, что при всяких f Î S uj , x Î V n , k Î {1,..., n - 1}, для которых
= pr2,( f , x )
-1
-1
выполнено строгое неравенство (2.3), имеем
pr2,( f , x ) R0 k H(ju ) , ( f , x ) = x Î p -1 ( x ) „ ln - k +1 ( ( f , x ) ) .
(
) {
}
В силу равенства (2.14) формула (2.8) переписывается в виде
{
(2.14)
}
pr2,( f , x ) R n -k = p -1 ( x ) q x Î p -1 ( x ) : l ( f , x ) „ ln - k +1 ( ( f , x ) ) .
Поэтому условие ii) можно переписать в виде: для всякого алгебраического дополнения
l n -k = p -1 ( x ) q Ek ( f , k ) векторного
подпространства
{
}
Ek ( f , x ) = x Î p -1 ( x ) : l ( f , x ) „ ln -+1 ( ( f , x ) )
def
(в
векторном
пространстве
p -1 (x ) )
существуют числа a Î R*+ , b Î R*+ , такие, что для всяких ненулевых векторов x Î l n - k ,
y Î Ek ( f , x ) для всяких, таких, t Î Z + что s Î Z + , t … s имеет место неравенство
(
X (ju )
) ( f , x ) × ( X (ju) ) ( f , x )
i
s
(
)
(напомним, что x = Duj (x , x )
def
12
-1
(
… a X (ju )
)
t
( f , y ) × ( X (ju ) ) ( f , y )
s
-1
exp ( b ( t - s ) )
для всякого x Î E uj ), которое с помощью формул (В.2.11),
(В.2.13) переписывается в виде
df t x × df s x
(напомним, что z = (d ( z, z) )
12
def
-1
… a df t y × df s y exp ( b ( t - s ) )
-1
для всякого z Î TV n ). Последнее неравенство при x ¹ 0 ,
y ¹ 0 эквивалентно неравенству
df t x × df s y … a df s x × df t y exp ( b ( t - s ) ) .
(2.15)
Если x = 0 или y = 0 , то левая и правая части нестрогого неравенства (2.15) равны нулю,
следовательно, неравенство (2.15) верно и в том случае, когда выполнено хоть одно из
равенств x = 0 , y = 0 .
Поэтому из условия и) следует: для всякого алгебраического дополнения l n-k
векторного
подпространства Ek ( f , x =
)
def
{x Î (p )
-1
( x ) : l ( f , x ) „ ln-k +1 ( f , x )}
(в
векторном пространстве p -1 ( x ) ) существуют числа a Î R*+ , b Î R*+ , такие, что для
всяких x Î l n - k , y Î Ek ( f , x ) для всяких целых чисел t … s … 0 выполнено неравенство
(2.15).
В. Положим Duj = D(ju ,1) I D(ju ,2) (множество D(ju ,1) введено в подпункте А, множество
D(ju ,2) — в начале подпункта Б). Так как и D(ju ,1) D(ju ,2) — всюду плотные множества типа
G d в полном (см. п. 2.7 введения) метрическом пространстве B uj , d Bu , то в силу теоремы
j
( u ,1)
Бэра множество D = D j
u
j
( u ,2 )
I Dj
есть всюду плотнее множество типа G d в метрическом
пространстве B uj , d Bu , а следовательно (см. п. 2.7 введения), и в метрическом пространстве
j
~
( B uj , d Buj ) .
( f , x ) Î Duj = D(ju ,1) I D(ju ,2) , k Î {1,..., n} функция W k (×) : S uj ´ V n ® R
полунепрерывна сверху в точке ( f , x ) (доказано в подпункте А);
б) при всяких ( f , x ) Î Duj = D(ju ,1) I D(ju ,2) , k Î {1,..., n} имеет место равенство
lk (( f , x ))= W k (( f , x ))= W (k ) ( f , x ) (см. равенство (2.1));
в) при всяких ( f , x ) Î Duj = D(ju ,1) I D(ju ,2) , k Î {1,..., n - 1} имеет место альтернатива: либо
Имеем: а) при всяких
выполнено равенство
ln-k (( f , x )) = ln-k +1 (( f , x ))
(см. равенство (2.2)), либо (см. последнюю фразу подпункта Б) подпространство
Ek ( ( f , x ) ) = {x Î p -1 ( x ) : l ( f , x ) „ ln - k +1 ( ( f , x ) )} ,
def
где
ì
1
ln df t x при x ¹ 0,
ïtlim
®+¥ t
l ( f , x ) = ítÎN
def
ï
î-¥при x = 0
пространства p -1 ( x ) обладает следующим свойством:
векторного
для всякого
n -k
алгебраического дополнения l
подпространства Ek (( f , x )) (в векторном пространстве
p -1 (x ) ) существуют числа a Î R*+ , b Î R*+ , такие, что для всяких x Î l n- k , y Î Ek ( f , x ) для
всяких целых чисел t … s … 0 выполнено неравенство
df t x × df s y … a df s x × df t y exp ( b ( t - s ) ) .
Теорема доказана.
П р и м е ч а н и е . В работе [2] на с. 433 (строка 15 снизу) вместо X (m, b ) должно быть
X (m, b )x , на с. 434 (строка 6 снизу) вместо» «неравенство» должно быть «равенство», на
с. 443 (строка 9 снизу) у второй буквы C плохо пропечатался нижний индекс e , на с. 454
(строка 14 сверху) вместо «фиксируем» должно быть «фиксируем указанное в
предыдущей фразе», на с. 461 в строке 8 снизу нужно убрать две запятые (перед
многоточием и сразу после него), на с. 464 (строка 1 снизу, не считая сноски) вместо
[p ( ) ]
k
-1
[ ]
\ V1 должно быть p (k )
-1
(b0 ) \ V1 .
В работе [3] на с. 1398 (строка 9 сверху) вместо fx должно быть f s x ; на с. 1399
формула (16) должна быть такой:
-1
Wm éë X ( m, m - 1) ùû - 1 + X ( m, m - 1)Wm-1 - I < d ;
на с. 1401 (строка 8 сверху) вместо последнего плюса должен быть минус.
В работе [7] на с. 1490 (строки 1 — 2 сверху) вместо в четырех местах должно быть
p ; на с. 1493 в сноске вместо Rn* должно быть R*n ; на с. 1494 в предпоследней строке
формулы (35) перед закрывающейся квадратной скобкой пропущено выражение
(d (h ) )
m
f mx
-1
; на с. 1495 в формуле (43) в фигурной скобке вместо 0 должно быть 1; на с.
1496 в формуле (44) вместо индекса 0 должен быть индекс 1, а в формуле (50) в левой
части первого неравенства вместо s должно быть z; на с. 1497 (строка 16 снизу)
)
)
вместо g m ,r должно быть g m ,r , y .
В работе [9] на с. 1906 в строке 9 сверху и в последних двух строках п. б) вместо
«принадлежит» должно быть «принадлежат», на с. 1908 в формуле (14) вместо d h -1m
должно быть d h -1m 0 ; на с. 1909 в формуле (30) над v (в строке, но не в индексе) должна
быть точка.
В работе [12] на с. 1516 в формуле (53) (в фигурной скобке) и в формуле (54) (в
индексе) вместо 0 должно быть 1; на с. 1517 в формуле (60) в левой части первого
неравенства вместо s должно быть z ; на с. 1519 (строка 9 сверху) вместо Î должно
бытьÎ ; на с. 1523 в формуле (104) левая часть первого равенства должна быть
такой:h n,h vt ut ; на с. 1535 строка 3 снизу, не считая сносок) вместо Vm должно быть Vm-1 ,
(
(
)
)
m
( )
на с. 1537 (строка 9 снизу) вместо g r должен быть такой текст: g r , fˆm
-1
u на y , f -1hm-1u
на hm-1-1 y ; на той же с. 1537 строку 5 снизу нужно заменить таким текстом: последнее
равенство в формуле, полученной из (173) указанными заменами, следует из (62).
Литература
1. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 2. С. 196 — 214.
2. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, № 3. С. 431 — 468.
3. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, № 8. С. 1394 —
1410.
4. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 5. С. 804 — 821.
5. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 5. С 771 — 776.
6. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 6. С. 946 — 955.
7. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 9. С. 1489 —
1498.
8. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 4. С. 607 — 618.
9. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 11. С. 1905 —
1915.
10. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1503 —
1510.
11. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 5. С. 753 — 77S.
12. М и л л и о н щ и к о в В. М. // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 9. С. 1507 —
1548.
Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова
Поступила в редакцию
7 апреля 1983 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа