close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
I − δm < ε .
Лекция 11. n -КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
m
Обозначается: I = lim ∑ f (ξ i ) ⋅ m(Gi ) .
1. Определение кратного интеграла Римана.
2. Классы интегрируемых функций.
3. Сведение n -кратных интегралов к повторным.
4. Формула замены переменной в кратном интеграле.
λ →0
1. Определение и свойства кратного интеграла Римана..
Пусть множество G измеримо по Жордану в n -мерном пространстве R n .
Пусть функция f (x ) , x = (x1 ; x2 ;...; xn ) определена на измеримом по Жордану множестве G , а τ есть разбиение множества G :
τ = {Gi } , i = 1,2,..., m . Возьмем в каждом из множеств Gi по точке
Ci (ξ1 ; ξ 2 ;...;ξ n ) , i = 1,2,..., m .
О п р е д е л е н и е 1. Выражение
n
σ m (τ , Ci ) = ∑ f (ξ i ) ⋅ m(Gi )
(1)
i =1
называется интегральной суммой Римана для функции f (x ) на
множестве G , соответствующей разбиению τ и выборке точек
Ci ∈ Gi , Ci (ξ1 ; ξ 2 ;...;ξ n ) , i = 1,2,..., m . Здесь m(Gi ) – мера множества Gi .
Если функция f (x ) , ограничена на G , то для любого разбиения τ = {Gi } , i = 1,2,..., n , определены числа
mi = inf f (x ) , M i = sup f (x ) .
x∈Gi
x∈Gi
m
m
i =1
i =1
Числа sτ = ∑ mi ⋅ m(Gi ) и Sτ = ∑ M i ⋅ m(Gi ) называются ниж-
ней и верхней суммами Дарбу, соответствующими разбиению τ .
О п р е д е л е н и е 2. Число I называется пределом интегральной суммы σ m при мелкости разбиения λ (τ ) → 0 , если для
любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для любого разбиения τ с
мелкостью λ (τ ) < δ и для любой выборки точек Ci (ξ1 ; ξ 2 ;...;ξ n ) ,
i = 1,2,..., m , выполняется неравенство:
183
i =1
Число I называется n -кратным интегралом Римана от
функции f (x ) по множеству G , функция f (x ) – интегрируемой
на множестве G .
Обозначается:
∫∫ ...∫ f (x1; x2 ;...; xn )dx1dx2 ...dxn .
G
В случае n = 2 получаем двойной интеграл, в случае n = 3 –
тройной.
О п р е д е л е н и е 3. Функция f (x ) называется существенно
неограниченной на измеримом по Жордану множестве G ∈ R n ,
если она неограничена на любом подмножестве G ' ⊂ G , таком,
что m G \ G ' = 0 .
Теорема 1 (критерий интегрируемости). Для того чтобы ограниченная функция f (x ) была интегрируема на измеримом по
(
)
Жордану множестве G ∈ R n , необходимо и достаточно, чтобы
для любого ε > 0 нашлось δ > 0 такое, что для любого разбиения
τ с мелкостью λ (τ ) < δ разность верхней и нижней сумм Дарбу
выполняется неравенство:
Sτ − sτ < ε .
Доказательство теоремы 1 аналогично соответствующему доказательству для определенного интеграла.
2. Классы интегрируемых функций.
Напоминание: Компакт в R n – это ограниченное и замкнутое
множество. Функция f (x ) , непрерывная на компакте, равномерно
непрерывной на этом компакте (теорема Кантора).
Теорема 2. Непрерывная на измеримом по Жордану компакте
функция f (x ) интегрируема на этом компакте.
184
Доказательство теоремы 2 ничем не отличается от соответствующего доказательства теоремы об интегрируемости функции
одной переменной, непрерывной на отрезке.
Теорема 3. Пусть функция f (x ) ограничена на измеримом
2. Если f (x ) ≥ 0 и f (x ) – интегрируемая на измеримом по
Жордану множестве G функция, то
∫∫ ...∫ f (x1; x2 ;...; xn )dx1dx2 ...dxn ≥ 0 .
n
компакте G ∈ R и множество ее точек разрыва имеет жорданову меру нуль. Тогда функция f (x ) интегрируема на G .
► Пусть E есть множество точек разрыва функции f (x ) и
m(E ) = 0 . По определению множества жордановой меры нуль для
любого ε > 0 найдется такое открытое клеточное множество A ,
что A ⊂ E и m( A) <
ε
, где M = sup f (x ) .
4M
x∈G
На замкнутом ограниченном множестве G \ A функция f (x )
непрерывна, а поэтому интегрируема (теорема 2).
Для любого ε > 0 найдется разбиение τ ' = {G2 ; G3 ;...; G N } множества G \ A такое, что
N
Sτ ' − sτ ' = ∑ (M k − mk )m(Gk ) <
ε
.
2
Пусть G1 = A I G . Тогда множества {G1 ; G2 ; G3 ;...; G N } образует разбиение τ множества G , причем
k =2
m(G1 ) ≤ m( A) <
ε
4M
.
Тогда
N
Sτ − sτ = (M 1 − m1 )m(G1 ) + ∑ (M k − mk )m(Gk ) < 2 M
ε
ε
=ε .
4M 2
Так как ε произвольное положительное число, то в силу теоремы 1 функция f (x ) интегрируема на множестве G . ◄
Все перечисленные свойства доказываются так же, как и соответствующие свойства определенного интеграла.
1. Если f (x ) ≡ 1 , x = (x1 ; x2 ;...; xn ) , то справедливо равенство
+
G
3 (линейность). Если α и β — произвольные постоянные
числа, функции f (x ) и g (x ) , x = (x1 ; x2 ;...; xn ) , интегрируемы на
измеримом по Жордану множестве
G , то функция
α ⋅ f (x; y; z ) + β ⋅ g (x; y; z ) тоже интегрируема в G и справедливо
равенство
∫∫...∫ (α ⋅ f + β ⋅ g )dx1dx2 ...dxn =
G
= α ∫∫ ...∫ f dx1dx2 ...dxn + β ∫∫ ...∫ g dx1dx2 ...dxn .
G
4 (монотонность). Если f (x ) и g (x ) , x = (x1 ; x2 ;...; xn ) , интегрируемые на множестве G и f (x ) ≤ g (x ) , то
∫∫...∫ f dx1dx2 ...dxn ≤ ∫∫...∫ g dx1dx2 ...dxn .
G
G
связном компакте G ∈ R n , то найдется точка ξ = (ξ1 ; ξ 2 ;...; ξ n ) ∈ G
такая, что
∫∫...∫ f dx1dx2 ...dxn = f (ξ )m(G ) .
G
6 (аддитивность). Если {Gk } , k = 1,2,..., m , есть разбиение
множества G , то функция f (x ) интегрируема на множестве G в
том и только в том случае, когда она интегрируема на каждом из
множеств Gk причем
m
∫∫...∫ f dx1dx2 ...dxn = ∑ ∫∫...∫ f dx1dx2 ...dxn .
G
185
G
5 (о среднем). Если функция f (x ) непрерывна на измеримом
k =2
∫∫ ...∫1dx1dx2 ...dxn = m(G ) .
G
k =1 Gk
186
7. Произведение интегрируемых на измеримом множестве G
функций есть интегрируемая на множестве G функция,
8. Если функция f (x ) интегрируема на измеримом множестве
G , то функция f (x ) также интегрируема и
∫∫ ...∫ f dx1dx2 ...dxn = ∫∫...∫
G
f dx1dx2 ...dxn .
G
3. Сведение n -кратных интегралов к повторным.
О п р е д е л е н и е 4. Область Ω ∈ R n +1 называется элементарной относительно оси xn +1 , если
xn = ϕ n (u1 ; u 2 ;...; u n ) .
Теорема 5. Пусть взаимно однозначное отображение
F : G → R n удовлетворяет условиям
∂ϕ i
а) производные
, i, j = 1,2,..., n , ограничены в области G ,
∂u j
б) производные
G,
в) якобиан отображения
∂ϕ1
∂u1
∂ϕ 2
D(ϕ1 ;ϕ 2 ;...;ϕ m )
= ∂u1
J=
D(u1 ; u 2 ;...; u m )
...
∂ϕ m
∂u1
Ω = {x = (x1 ; x2 ;...; xn )∈ G ϕ1 (x1 ; x2 ;...; xn ) ≤ xn +1 ≤ ϕ 2 ( x1 ; x2 ;...; xn )},
где G – замкнутая ограниченная область в R n и ϕ1 и ϕ 2 – непрерывные на G функции.
Теорема 4. Если Ω ∈ R n +1 – область, элементарная относительно оси xn +1 a f (x1 ; x2 ;...; xn +1 ) – непрерывная функция на Ω ,
то справедлива следующая формула:
∫∫...∫ f (x1; x2 ;...; xn+1 )dx1dx2 ...dxn+1 =
Ω
= ∫∫ dx1dx2 ...dxn
G
ϕ 2 ( x1 ; x2 ;...; xn )
∫ f (x1; x2 ;...; xn+1 )dxn+1 .
ϕ1 ( x1 ; x2 ;...; xn )
∂ϕ i
, i, j = 1,2,..., n , равномерно непрерывны в
∂u j
∂ϕ1
∂u 2
∂ϕ 2
∂u 2
...
∂ϕ m
∂u 2
∂ϕ1
∂u m
∂ϕ 2
...
∂u m > 0 .
... ...
∂ϕ m
...
∂u m
...
И пусть области G и G ' = F (G ) измеримы и функция f (x )
непрерывна в замкнутой области G ' . Тогда справедлива формула
замены переменной в кратном интеграле:
∫∫ ...∫ f (x1; x2 ;...; xn )dx1dx2 ...dxn =
G'
= ∫∫ ...∫ f (ϕ1 (u );ϕ 2 (u );...;ϕ n (u )) J du1du 2 ...du n ,
Без доказательства.
4. Формула замены переменной в кратном интеграле.
Пусть G – ограниченная область R n , отображение F : G → R n
есть взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение.
Аналитически отображение F : G → R n задается с помощью
непрерывно дифференцируемых функций:
x1 = ϕ1 (u1 ; u 2 ;...; u n ) ,
............................ ,
187
G
где u = (u1 ; u 2 ;...; u n ) .
Без доказательства.
188
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение интегральной суммы Римана.
2. Что называется n -кратным интегралом Римана?
3. Сформулируйте достаточное условие интегрируемости
функций.
4. Перечислите свойства кратного интеграла.
5. Сформулируйте теорему о сведение n -кратных интегралов к
повторным.
6. Сформулируйте теорему о формуле замены переменной в
кратном интеграле.
189
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа