close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

/ Посмотреть

код для вставкиСкачать
Основы математической теории поля.
Скалярное поле. Градиент скалярного поля.
В мат. физике понятие поля используется для описания распределения в
пространстве значений той или иной физической величины. Как известно, физические
величины подразделяют на скалярные и векторные. Если в области V пространства в
каждой точке М поставлено в соответствие значение некоторой скалярной величины
U(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле U(M). В фиксированной
декартовой системе координат задание скалярного поля равносильно заданию скалярной
функции U(M)=U(x,y,z). Распределение температуры в пространстве, задает скалярное
поле температур. Изменение атмосферного давления
задается полем давления.
Заряженное тело или точечный заряд определяют в окружающем пространстве поле
электростатического потенциала. Кроме координат x,y,z скалярные поля могут зависеть
еще и
от других величин. Например, если поле зависит еще и от времени
U(M)=U(x,y,z,t)/ такое поле называют нестационарным. Поле U(M)=U(x,y,z) называют
стационарным. Далее будем рассматривать стационарные поля.
Для
геометрического
представления
о
скалярных
полях
вводят
понятие
поверхности уровня или эквипотенциальной поверхности. Под такими поверхностями
понимают геометрическое место точек в области V, в которой поле принимает одинаковое
значение. Поэтому уравнение поверхности уровня: U(x,y,z)=С
Для различных значений С будет будут получаться различные значения
поверхности уровня. Если поле плоское U(M)=U(x,y,), то тогда говорят о линиях уровня
U(x,y,)=С.
Например,
поверхностями
равного
электростатического
потенциала
(эквипотнциальные поверхности) точечного заряда и заряженного шара являются
концентрические сферы, а для тонкой заряженной нити и бесконечного цилиндра такими
поверхностями являются коаксиальные цилиндры.
Рассмотрим на поверхности уровня
направления.
=U(x,y,z), точку
и
произвольного
S
U
M
U0
M
0
Возьмем на этом векторе точку М, в которой поле принимает значение U и
составим разность
тогда
. Будем уменьшать расстояние между точкой М и
и
- производная по направлению S
Эта величина скалярная, но существенно зависящая от направления S и
характеризующая скорость изменения скалярного поля вдоль этого направления , которая
будет равна
.
Рассмотрим поверхности уровня u-∆U, и U+∆U. На рисунке будут показаны
сечение этих поверхностей плоскостью рисунка.
M
S
n
U  U
M
S
n
U
U U

M
0

n
Выберем на поверхности U точку
и восстановим перпендикуляр к этой
поверхности в данной точке. Отложим на этом перпендикуляре
нормали
, направленный в сторону возрастания поля. Проведем так же вектор
произвольного направления с точки
U+∆U
вектор единичной
. Обозначим
и обозначим точку пересечения с поверхностью
единичный вектор направления S
2
U(
)=U(
)
∆U= U(
)-U(
)
∆U= U(
)-U(
)
Запишем производные по направлению нормали и по направлению S
=
=
Из ∆
:
=
=
С учетом последней формулы получим
=
Введем новый вектор,
,
равный производной по нормали в данной точке на вектор единичной нормали,
перпендикулярный поверхности уровня в этой точке и направленный в сторону
возрастания скалярного поля, называется градиентом скалярного поля в данной точке.
.
Из последней формулы => производная по направлению равна проекции градиента
на это направление . Как видно, производная по направлению будет наибольшей если
направление S совпадает с направлением градиента => физический смысл этого вектора:
градиент скалярного поля –это вектор, в направлении которого скалярное поле возрастает
с наибольшей скоростью, величина которой равна
? В направлении-
поле
убывает с наибольшей скоростью; в направлении вектора , касательного к поверхности
уровня,
, т.е. поле не изменяется.
В декартовой системе координат (x,y,z) с единичными векторами
,
,
. И с учетом соотношения
3
,
формула для вычисления скалярного поля в декартовой системе координат.
Наибольшая скорость изменения скалярного поля.
Геометрическая иллюстрация градиент. Возьмем на поверхности уровня точку
и отложим от этой точки вектор
и на этом отрезке, как на диаметре
построим сферу и зададим вектор
произвольного направления
S
N
M

U
M
0
0
Точка М точка пересечения,
, как вписанный угол, опирающийся на
диаметр.
Видно, что если точка М стремится к точке
, а вектор
стремится к
касательному вектору, тогда производная по направлению стремится к 0.
Векторное поле. Векторные линии и трубки. Поток векторного
поля
через
поверхность.
Дивергенция
векторного
поля.
Теорема
Остроградского-Гаусса.
4
Для
характеристики
векторных
физических
величин,
распределенных
в
пространстве (напряженность электростатического поля, магнитного поля и т.д.), вводят
понятие векторного поля.
Определение. Если каждой точке М в области V поставлен в соответствие
говорят, что в области V задано векторное поле
системе координат задание векторного поля
функций
,
,
,
, то
. В фиксированной декартовой
равносильно заданию трех скалярных
. И векторное поле
,
, считаются непрерывными функциями вместе со своими производными
до второго порядка включительно.
Для наглядного представления о векторных полях вводят понятие векторных
линий.
Определение. Векторной линией называют кривую, в каждой точке которой вектор
направлен вдоль касательной к этой линии.
aM 1
M
1
dr
r
и
2
a ( M 2)
1
r
Если точки
M
2
векторная линия
достаточно близко расположены друг к другу, тогда хорда
будет стремиться к касательной в точке
. Т.к. хорда
на касательной, то это означает, что бесконечно малой длине вектора
,а
вектор
лежит
и
будут коллиниарны =>
5
Для того, чтобы получить уравнение векторной линии вычислим векторное поле
с помощью определителя третьего порядка
Т.к. точка М выбирается на кривой произвольно, то условие равенства 0
векторного произведения будет выполняться тогда, когда каждая скобка будет равна 0
- уравнение векторной линии
Таким образом, если заданы компоненты векторного поля
,
,
, то решив
полученное диферинциальное уравнение можно задать векторные линии данного поля.
Выберем в области V, в которой задано векторное поле, маленькую площадку dS
настолько малую, чтобы ее можно было считать плоской, а значение векторного поля на
ней - постоянным по направлению и величине.
dS
n
a
dS
6
Зададим вектор единичной нормали
к площадке dS и будем считать его
положительным(внешним, если он образует с выбранным направлением обхода площадки
правовинтовую систему). Тогда потоком dN векторного поля
через площадку dS будет
называться величина
Заметим, что поток векторного поля есть скалярная величина. Иногда вместо
вектора
рассматривается вектор
, модуль которого выражается в единицах
площади и равняется dS и совпадает с вектором внешней нормали к площадке по
направлению. Тогда поток можно записать в виде
Для того, чтобы найти поток через произвольную поверхность S векторного поля
нужно разбить эту поверхность S на площадки dS, отвечающие выше указанному
условию, восстановить вектор внешней нормали к каждой площадке и просуммировать
потоки через эти площадки. В пределе, когда dS 0, полученная сумма сводится к
интегралу по поверхности S.
В декартовой системе координат
,
,
Понятие потока векторного поля наглядно иллюстрируется примерами из
гидродинамики.
Если под векторным полем
то тогда поток
поле скоростей точек. Движущихся в жидкости,
будет обозначать объем жидкости, протекающей через
данную поверхность в единицу времени.
В
электростатике
этот
поток
связывают
с
количеством
линий
вектора
напряженности, пронизывающих эту поверхность.
Большое значение в физике имеет понятии потока векторного поля через
замкнутую поверхность.
7
Возвращаясь к гидродинамической аналогии можно сказать, что при N>0 из
объема вытекает жидкости больше, чем втекает. При N<0 – втекает больше, чем вытекает.
Рассмотрим поток ∆N некоторого векторного поля
через замкнутую поверхность
σ элементарного куба со сторонами ∆x, ∆y, ∆z, параллельными координатным осям.
U M 
II
z
I
n
n
2
z
1
M x, y, z 
x
y
y
x
Как видно интеграл по замкнутой поверхности элементарного куба можно
представить в виде суммы шести интегралов, означающих потоки векторного поля через
его грани.
Рассмотрим подробно вычисление интегралов через поверхности 1 и 2
Последнему интегралу применим известную из интегрального исчисления теорему
о среднем, согласно которой интеграл будет равен произведению проекций
в некоторой
средней точке грани 1 на площадь этой грани.
,
- координата средней точки на грани 1. Тогда через грань 2
8
Кроме того с точность до бесконечности малых второго порядка
Аналогично находим потоки через пары граней, перпендикулярных оси ox и oz.
Выражение в скобках в декартовой системе координат обозначается
Таким образом
Рассмотрим теперь поток векторного поля через произвольную замкнутую
поверхность S. Разобьем объем, заключенный внутри этой поверхности, множеством
взаимноперпендикулрных плоскостей на элементарные объемы
, которые будем
считать элементарными кубами, рассмотренными выше. Если для элементарных объемов.
Лежащих у поверхности, одну из граничных поверхностей нельзя считать гранью
куба(часть поверхности S), то разбиение можно продолжить пока каждый из полученных
элементарных объемов можно будет считать кубическими.
Просуммируем потоки
через все грани полученных элементарных кубов
Заметим при этом, что грани элементарных кубов можно разделить на 2 вида:
1)
Смежные, которые принадлежат одновременно двум соседним
объемам.
2)
Те, которые являются элементами поверхности S.
При суммировании потоков через смежные грани получается 0. Т.к. поток
векторного поля через каждую смежную грань будет входить в алгебраическую сумму
9
дважды, но с разными знаками, т.к. внешние нормали к одной и той же грани для
соседних объемов будут противоположно направлены.
Останутся потоки только через грани, являющиеся участками поверхности S.
Суммирование потоков через эти грани при стремление их площадок к 0 приводит
к интегралу по замкнутой поверхности S.
Теорема О. – Г. В векторной форме
Теорема. Поток векторного поля
через замкнутую поверхность
,
взятому по объему V, заключенному внутри этой поверхности.
Теорема Остроградского-Гауса позволяет переходить от поверхностного интеграла
к объемному и наоборот.
Рассмотрим замкнутую поверхность ∆S настолько малую, чтобы
в объеме ∆V
можно было считать постоянным. Тогда из теоремы Остроградского-Гауса
Разделим это равенство на
и перейдем к приделу при
Инвариантное определение дивергенции.
Определение.
Дивергенцией векторного поля
в точке М называют предел
отношения потока через произвольную замкнутую поверхность, окружающую точку М к
величине объема, заключенного внутри этой поверхности, при условии, что последний
→0.
Из определения дивергенции => что она является объемной плотностью потока.
Возвращаясь к гидродинамической аналогии (
), дивергенция означает
отношение количества жидкости, выходящей из объема, к величине этого объема,
окружающую данную точку М. поэтому, слово «дивергенция» означает расходимость или
расхождение.
10
Если дивергенция
, то в точке М имеется источник, если <0, то в точке М
имеется сток.
Дивергенцию
называют мощностью или производительностью векторного поля в
данной точке.
Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема
Стокса. Потенциал векторного поля.
Рассмотрим произвольный замкнутый контур l в объеме, где задано векторное поле
.
z
aM 
M
dr
r
M
1
l
2
r
1
y
x
Зададим положительного направления обхода контура, под которым обычно
понимают такое, когда область, ограничена контуром, находящимся слева при обходе.
Разобьем ее на элементарные дуги d , направление которого совпадает с направлением
обхода. Если поле
- силовое
, то произведение
-
означает элементарную работу при перемещении точки приложения силы на расстояние
dl.
Если отрезок dl бесконечно малый, то можно считать, что d
Этот интеграл называют линейным интегралом векторного поля
вдоль кривой l .
11
Если кривая l замкнутая, то циркуляция векторного поля
вдоль замкнутого
контура l называют интеграл
Рассмотрим циркуляцию векторного поля
вдоль замкнутого контура λ,
достаточно малого для того, чтобы векторное поле вдоль него можно было представить в
виде сумм постоянной величины и бесконечно малой первого порядка. Для вычисления
циркуляции ∆С вдоль замкнутого контура λ, спроецируем последний на одну из
координатных плоскостей, например, xoy и будем считать. Что он спроецируется в
квадрат со сторонами ∆x, ∆y, параллельными координатным осям. Вершины квадрата
обозначим 1,2,3,4.
Зададим положительное направление обхода.
y
4
3
y
x
y
2
1
x
x
1-2:
; 2-3
Вычислять каждый интеграл будем по теореме о среднем
12
,
Если спроецировать замкнутый контур λ на другие координатные плоскости
поверхности, то для циркуляции ∆С можно получить выражение с помощью циклической
перестановки координат: x→y→z z→y→x
Все 3 случая можно записать в виде одной формулы, если ввести вихрь векторного
поля
- rot
Формула для вычисления
в декартовой системе координат.
С учетом этого введенного вектора циркуляцию можно представить в виде потока
ротора через эту поверхность:
Возьмем произвольный замкнутый контур l. Выберем положительное направление
обхода, вычислим циркуляцию С векторного поля
вдоль этого контура
Пусть S – произвольная поверхность, опирающаяся на замкнутый контур l.
Разобьем ее системой взаимно перпендикулярных линий на малые элементы
,
, настолько малые, чтобы их можно было считать плоскими. Просуммируем
циркуляцию
по всем этим поверхностям с учетом полученного ранее результата это
можно представить:
l
13
С другой стороны, найдем сумму циркуляций по этим элементарным контурам,
используя определение циркуляции.
Границы полученных контуров можно разделить на два типа:
1)
Они являются элементарной кривой l.
2)
Отделяют друг от друга смежные элементы поверхности.
При суммировании линейных интегралов вдоль смежных границ, получается 0,
т.к. вдоль каждой такой границы направление обхода в смежных контурах будут
противоположны друг другу. Тогда при суммирование останутся лишь линейные
интегралы вдоль кривой l и придел такой суммы, при условии, что
циркуляцию векторного поя
, дает
вдоль замкнутой кривой l.
С другой стороны, если взять придел суммы при условии, что
, то
получится:
Объединяя оба полученных результата, находим:
Циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура l равна потоку ротора
через произвольную поверхность S, опирающуюся на этот контур.
Она служит для перехода от криволинейного интеграла к поверхностному и
наоборот.
В частности, из теоремы Стокса можно получить, что поток ротора векторного
поля через замкнутую поверхность будет равна нулю. Это происходит из за того, что
замкнутая поверхность опирается на которую, который практически сливается в точку. И
значит циркуляция по такому по такому контуру обращается в ноль. И по теореме Стокса
поток ротора тоже будет равен нулю.
Рассмотрим циркуляцию ∆С вдоль замкнутого контура l,настолько малую, чт
лббую поверхность, опирающуюся на него можно считать плоской, а ротор на ней
постоянным. Тогда по теореме Стокса:
14
Это выражение дает инвариантное определение ротора.
Ротором векторного поля
(М) называется вектор, проекция которого на
направление нормали к элементу плоской поверхности ∆S, опирающуюся на замкнутый
контур l, охватывающий точку М равен приделу отношению циркуляции векторного поля
по контуру l к элементу поверхности ∆S при условии, что последние →0. Т.о. как видно из
инвариантного определения ротора, он определяется через поверхностную плотность
циркуляцию векторного поля в данной точке.
Рассмотрим пример, поясняющий физический смысл вихря векторного поля.
Пусть твердое тело вращается вокруг оси, совпадающей с осью z с постоянной
угловой скоростью ω.
z

V
R
M
r
O
y
x
Сначала определим компоненты
Ротор поля скоростей точек тела вращающегося с постоянной угловой скоростью
равен удвоенной угловой скорости для всех точек одинаков и совпадает по направлению с
вектором угловой скорости, т.е. чем больше угловая скорость, тем больше модуль ротора.
Если направление нормали
совпадает с вектором угловой скорости, то проекция ротора
15
на это направление будет наибольшей и равна самому ротору. Это означает, что с
наибольшей угловой скоростью будут вращаться все точки, лежащие в плоскости,
перпендикулярно оси вращения.
Ротор характеризует вращательную способность векторного поля. Если привести
пример из гидродинамики для поля скоростей точек, движущихся в жидкости, и
использовать для этого маленькую турбину, то вращаться она будет с наибольшей
скоростью тогда, если ее ось будет совпадать с вихрем (ротором) этого поля.
Оператор
Гамильтона.
Дифференциальные
операции
первого
порядка. Действия оператора Гамильтона на произведения скалярных и
векторных полей.
Рассмотренные
выше
операции
вычисления
градиента
скалярного
поля,
дивергенции и ротора векторного поля, сводились к нахождению производных первого
порядка.
Для упрощения записи эти дифференциальные операции математик Гамельтон в 19
веке предложил использовать оператор
- набла.
Рассмотрим действие этого оператора на скалярные и векторные поля.
Рассмотрим действие оператора набла на произведение скалярного и векторного
поля, а так же на произведение скалярных и векторных полей.
1) Пусть U и V скалярные поля
2) U
– вектор
16
3)
Сложение вычисляется умножением наблы на произведение двух векторных или
скалярных полей
Если
так же векторное поле, то возможны следующие произведения
Для вычисления таких произведений используется следующие правило: оператор
набла поочередно действует на каждое векторное поле, что обозначается , получается два
слагаемых, которые суммируются, а затем преобразуются по правилам векторных алгебры
до тех пор, пока оператор набла не окажется не посредственно перед вектором,
обозначенным . После этого убирается и преобразование считается законченным. Такой
метод нахождения произведений называется символическим
1)
Для преобразования этой суммы воспользуемся свойством смешанного скалярновекторного произведения векторов
2)
3)
Заменим
на
17
- новый оператор,
Символический
не коммутативно.
метод
позволяет
значительно
упростить
количество
математических действий(и записей) при выполнении дифференциальных операций в
математической физике.
Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа.
Как видно из предыдущей темы применение наблы к скалярным и векторным
полям в свою очередь порождает или скалярные или векторные поля.
скалярное поле
Векторные поля
Повторное применение наблы к скалярным или векторным полям приводит к
дифференциальным операциям второго порядка.
Эти операции можно свести в таблицу
gradU
grad
div
-
rot
-
div
-
rot
-
оператор Лапласа
18
Где
применяется к векторному полю по правилу:
Поле называется безвихривым или потенциальным, если
и только тогда, когда
( или
. Это будет тогда
). При этом U называется скалярным
потенциалом векторного поля .
Поле называется вихревым или соленоидальным, если в любой точке поля
. Это будет тогда и только тогда, когда
, где
- векторный потенциал
векторного поля .
Элементы теории поля в криволинейных координатах.
Криволинейные
ортогональные
системы
координат.
Коэффициенты Ламе.
Рассмотренные выше дифференциальные операции над скалярными, векторными
полями
,
,
,
имеют конкретный физический смысл, что отражено в их
инвариантных определениях. Хотя эти операции рассматривались в декартовой системе
координат, при решении ряда задач лучше использовать криволинейную систему
координат, в которой постановка и решение задачи выглядит более естественным
образом. Например, при решении задач с осевой симметрией, предпочтительнее
цилиндрические координаты, при рассмотрении задач со сферической симметрией
сферические координаты. Поставим в соответствие каждой точке в области V, в которой
задается скалярное или векторное поле, тройку чисел:
,
,
, которую будем называть
криволинейными координатами данной точки. Обратное так же должно выполняться. С
другой стороны, каждой точке М этой области можно поставить в соответствие радиусвектор, заданный в декартовой системе координат. А это означает, что можно
рассматривать
зависимость
М:
,
,
.
Или
наоборот:
19
x( ,
,
), y( ,
,
), z( ,
,
). Возьмем три константы и приравняем их к
криволинейным координатам:
,
,
Мы как бы задаем уравнения поверхностей уровня
функций
,
,
,
для скалярных
. Поэтому по-другому их можно назвать
,
уравнениями координатных поверхностей, на которой постоянной остается первая
координата если
, вторая - если
, третья – если
.
При пересечении координатных поверхностей получаются координатные линии.
Например, при пересечении
поверхностей получается
,
и т.д.
3
q
ли
н
ия
которой будет изменяться только координата
координатная линия, на
q
1
e
 const
3
e
q
2
2
M
 const
q
2
e
q
1
3
 линия
 const
q  линия
1
Направление этих линий в каждой точке задаются единичными ортами или
базисными векторами данной системы координат, которые в каждой точке направлены по
касательной к координатной линии в сторону увеличения координат. В декартовой
системе координат ориентация векторов
,
,
в каждой точке области V
постоянна, а в криволинейных координатах она может изменяться от точки к точке.
Система векторов
,
,
называется ортонормированной, если для нее выполняются
следующие условия:
1) скалярное произведение
2)
,
,
20
3)
Рассмотрим произвольную точку М в области V, положение которой задается в
декартовой системе координат
e
3
dr
e
d l3
2
M
e
1
dl1
d l2
В декартовой системе координат
(1)
В криволинейной системе координат
,
,
(2)
,
,
– элементы дуг координатных линий.
Из формулы (2) => любой вектор из криволинейной системы координат будет
определяться как:
, m=1,2,3 (3)
Если учесть, что
можно задать и по формуле (1), то выражение (3) будет
определять единичные векторы криволинейной системы координат через векторы , ,
в
декартовой системе координат. Для элементарной дуги dl всегда выполняется условие:
dl=
(4). Используем условие (4) для получения длины дуг координатных линий, т.е.
для получения d , d
точка
,d
. Найдем длину дуги
должна лежать на координатной линии
( ). Очевидно, в этом случае
. Тогда dx, dy, dz будут зависеть от
координат
21
(5)
(6)
– коэфициент Ламе для координат
Тогда
, m=1,2,3 (7)
Для элементов площадей координатных поверхностей получим на поверхности:
(8)
Элемент объема криволинейного параллелепипеда:
(9)
Основные
дифференциальные
операции
в
криволинейных
ортогональных координатах.
grad U
U=U( ,
,
)
Используя инвариантное определение grad, а именно, что его проекция на данное
направление есть производная по направлению, для направления
получим:
(10)
div
(11)
22
Q
L
C
dr
3
D
dl 
3
H3 d q
3
e
e
2
a(M )
e
1
d
1
1
1
l
Hd
q
M
d l2 
H
2
dq
2
A
B
Найдем поток векторного поля
через замкнутую поверхность криволинейного
параллелепипеда.
Представим его как сумму трех потоков через попарно противоположные
поверхности параллелепипеда:
(12)
В формуле (12) учитывается тот факт, что коэффициенты Ламе берутся при тех же
значениях координат, что и проекция
вектора . Рассуждая по аналогии, получим:
По инвариантному определению дивергенции:
(13)
23
Для получения формулы ротора в криволинейной системе координат рассмотрим
циркуляцию dC векторного поля вдоль замкнутого контура MQKLM, лежащего на
координатной поверхности
. Выберем положительное направление.
L
K
a(M )
e
3
e
2
M (q , q , q )
1
2
q
3
Q
e
2
1
q
1
С другой стороны по инвариантному определению ротора:
Это проекция ротора на направление
.
24
С помощью циклической перестановки индексов, можно получить проекции на
направление
Получим оператор Лапласа в криволинейной системе координат, с учетом того, что
является дифференциальной операцией второго порядка(смотри таблицу)
;
;
Формулу для
векторного поля получим из формулы для ротора от ротора
а(смотри таблицу)
Переставленные в правой части операции выполнены по выше указанным
правилам для grad, div, rot.
Основные
дифференциальные
операции
в
цилиндрических
и
сферических координатах.
Рассмотрим
две
часто
встречающихся
в
задачах
теорфизики
системы
криволинейных координат: цилиндрическую и сферическую.
1) Цилиндрическая система координат.
25
z-линия
z
e
e
z
r-линия
M
3
M
 -линия
e
r
M
2
y

M
1
M
0
x
В этой системе координат положение точки М характеризуется тремя числами:
расстояние точки М до прямой oz; углом между плоскость xoz и полуплоскостью,
ограниченной прямой oz и проходящей через точку М –
; и расстоянием от М до
плоскости, перпендикулярной прямой oz и проходящей через точку О. При пересечении
этих координатных поверхностей получаются соответствующие координатные линии
,
,
.
Поверхность
Поверхность
– круговой цилиндр с осью oz.
– полуплоскость, ограниченная прямой oz и примой
проходящей через точку М.
Поверхность z=const – плоскость, перпендикулярная прямой oz и проходящая через
точку М.
1) r – линия, получается при пересечении
и z поверхностей, луч с начала на оси
oz, переходящий перпендикулярно ей через точку М.
2)
- линия, должен меняться только угол
, получается при пересечении r и z
поверхностей –окружность.
3)
– линия, образующая цилиндра, проходящая через точку М.
Построим направленные векторы в точке М, которые по определению должны
касаться этих точка координатных линий и быть направлены в сторону возрастания
соответствующей координаты.
26
Выразим коэффициент Ламе.
,
,
Предварительно выразим криволинейные координаты r, z,
через декартовые x, y,
z.
Найдем коэффициенты Ламе
Найдем элементы дуг координатных линий
Найдем элементы площадей координатных поверхностей
Для оси симметричного поля U=U(r)
27
2) Сферическая система координат.
В сферической системе координат положение точки М пространства определяется
тремя величинами: расстоянием
от точки М до фиксированного центра О; углом θ
между радиус-вектором точки М и фиксированной полу прямой oz; углом φ,
образованным плоскостью oxz и полуплоскостью, проходящей через точку М и
ограниченную прямой oz.
,
,
– поверхность – это сфера радиусом
с центром в точке О.
- поверхность – это поверхность с вершиной в точке О
- поверхность – полуплоскость, ограниченная прямойoz и проходящей через
заданную точку.
  линия
z
e
 
лини
я
M
e
M
3
 -линия
e

M
2
y

M
1
M
0
x
- линия – изменяется координата , получается при пересечении полуплоскости и
конической поверхности.
- линия – при пересечении
поверхности и
поверхности.
28
- линия – это пересечение конической и сферической поверхностей – это
окружность.
,
направление меняется от точки к точке.
,
Выразим декартовые координаты точки М через сферические ее координаты.
=
Найдем коэффициенты Ламе:
,
,
,
,
Рассмотрим дифференциальные операции grad, div, rot и
в сферической системе
координат.
Для центрально симметричного поля или поля, обладающего сферической
симметрией
29
Для центрально симметричных полей когда U=U( )
30
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа