close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Типовой расчет по математике
Интегрирование функции одной переменной
Санкт-Петербург
2014
3
Оглавление
Часть I. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ..................................................................................................... 4
Раздел 1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ............................................................................................. 4
Задание 1. Интегрирование методом внесения под знак дифференциала. ........................... 5
Задание 2. Нахождение интегралов вида
 sin x  cos  xdx , ........................................... 5
Задание 3. Нахождение интегралов вида
Mx  N
 ax2  bx  c dx ,
Mx  N
dx
ax2  bx  c

.......................................................... Ошибка! Закладка не определена.
Задание 4. Интегрирование дробно-рациональных функций .................................................. 8
Задание 5. Интегрирование иррациональных функций вида
R
...................................................................................... 13
Задание 6. Интегрирование иррациональных функций вида

R x, x2  a2
, R x,
a2  x2

R x, a2  x2
,
.............................. Ошибка! Закладка не определена.
Задание 7. Интегрирование тригонометрических функций
R (sin x, cos x)
методом
подстановки. ................................................................................................................................ 14
Раздел 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ .............................................................................................. 17
1.
Методы интегрирования ................................................ Ошибка! Закладка не определена.
Задание 8. Метод интегрирования по частям в определённом интегралеОшибка! Закладка
не определена.
Задание 9. Метод замены переменной в определённом интеграле. ... Ошибка! Закладка не
определена.
2.
Приложения определённого интеграла ................................................................................ 17
Задания 10, 11, 12. Нахождение площади области, ограниченной кривыми, и отыскание
длины кривой............................................................................................................................... 17
Раздел 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ........................................................................................... 23
Задание 13. Нахождение несобственных интегралов:............................................................. 24
а) по бесконечному промежутку интегрирования, .................................................................. 24
б) от неограниченной на отрезке функции. ........................................................................... 241
Часть 2. ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ .............................................................................................................. 28
3
Часть I. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Типовой расчёт содержит 30 вариантов заданий по трём разделам
интегрального исчисления: «Неопределённые интегралы», «Определённые
интегралы и их приложения» и «Несобственные интегралы». В каждом
варианте 15 задач.
Разберём решения типовых заданий по каждому из указанных
разделов.
Раздел 1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Для выполнения первых трёх заданий помимо знания таблицы
интегралов нам понадобится:
1) свойство линейности неопределённого интеграла
 (a  f (x)  b  g(x)) dx  a f (x) dx  b g(x) dx , где a, b R;
2) знание тригонометрических формул и основных свойств элементарных
функций;
3) метод интегрирования внесением под знак дифференциала.
По определению дифференциала функции  ' ( x) dx  d ( ( x)) .
Переход в этом равенстве слева направо называют «подведением
множителя  ' ( x) под знак дифференциала».
Пусть требуется найти интеграл вида
 f ((x))   '(x)dx.
В этом
интеграле подведём функцию  ' ( x) под знак дифференциала, а затем
выполним подстановку  ( x)  u (замену переменной интегрирования),
тогда мы получим формулу подстановки в неопределённом интеграле
 f ( (x))   '(x) dx   f ( (x)) d( (x))   f (u) du
(1)
С появлением некоторого навыка интегрирования подстановка  ( x)  u
обычно производится в уме.
Простой частный случай формулы (1) можно получить для линейной
функции  ( x)  ax  b , тогда d (ax  b)  a dx . Следовательно,
1
1
 f (ax  b)dx  a  f (ax  b) d (ax  b)  a F (ax  b) c
4
(2)
Задание 1. Интегрирование методом внесения под знак
дифференциала.
dx
4x 1
Решение: Воспользуемся формулой (2), поскольку внутренняя функция
композиции  ( x)  4x  1 линейна:

Пример 1. Найдите

dx
1
1
4x  1
  (4x  1)0,5 d (4x  1)   2(4x  1)0,5  С 
 С.
4
2
4x  1 4
(3arctg 4 x  1)dx
 1  x2
Решение: Воспользуемся свойством линейности, разобьём исходный
интеграл на сумму двух интегралов и вынесем константу за знак первого
интеграла
3arctg 4 x
1
dx
4
 1  x2  3 arctg x  1  x2 dx   1  x2 
Второй интеграл табличный, а в первом внесём производную под знак
Пример 2. Найдите
дифференциала
1
dx d (arctgx) , выполним подстановку arctgx t и
1  x2
воспользуемся табличной формулой для интеграла от степенной функции
t5
arctg5 x
4
 3 t dt  arctgx  3  arctgx  С  3
 arctgx С .
5
5

Задание 2. Нахождение интегралов вида  sin x  cos x dx ,
 cos x cos x dx,  sin xsin  x dx,  sin
Для нахождения интегралов вида
 sin x  sin  x dx
n
x cosm x dx ,
(3)
 sin x  cos x dx ,  cos x cos x dx,
следует преобразовать подынтегральную функцию,
воспользовавшись формулами тригонометрии
5
1
sin x  cos  x  (sin(   ) x  sin(   ) x)
2
1
cos x  cos x  (cos(   ) x  cos(   ) x)
2
1
(4) sin  x  sin  x  (cos(   ) x  cos(   ) x)
2
Пример 1. Найдите
.
Решение. Так как по формуле (4)
, то
Для нахождения интегралов вида
используют метод
замены переменной (или метод внесения под знак дифференциала) и
формулы понижения степени:
Рассмотрим случай, когда хотя бы один показатель степени
является нечётным числом. Пусть n = 2k + 1. Тогда
Так как
,а
, то, обозначив
, получим интеграл от рациональной функции:
.
Отметим, что этот метод интегрирования применим и в случае, когда
один из показателей степеней m или n нечётное число, а второй –
рациональное число.
Если оба показателя степени чётные, то степени необходимо
понизить, используя формулы понижения степени (5), известные из курса
тригонометрии.
Пусть n  2k , m  2l .Тогда
6
=
.
В полученном интеграле следует раскрыть скобки, воспользоваться
свойством линейности (т. е. представить как сумму интегралов) и
применять описанные методы до тех пор, пока интеграл не сведётся к
сумме табличных первообразных.
Рассмотрим оба случая на примерах.
Пример 2. Найдите
.
Решение. Так как показатель степени – чётное число (n = 4), используем
формулу (5) и раскроем скобки:
Полученный интеграл равен сумме трёх интегралов:
Первые два интеграла будут равны
1
1
x и  sin 2x соответственно. В
4
4
последнем интеграле опять применим формулу понижения степени:
В результате имеем
Пример 3. Найдите
.
Решение. Заметим, что степень функции sin x ,
рациональным числом, а показатель степени cos x
(m  1) . Значит, можно ввести замену:
Тогда
7
n  32,
является
– нечётное число
.
Задание 3. Интегрирование дробно-рациональных функций
Как известно,
дробно-рациональной функцией (рациональной
дробью) называют функцию вида
Pn ( x) a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an

,
Qm ( x)
b0 x m  b1 x m1  ...  bm
где m, n, i, j N  0, ai , b j R, a0  0, b0  0 .
При интегрировании рациональной дроби прежде всего нужно
выяснить, является ли она правильной или нет. Если рациональная дробь
неправильная, т.е. n  m , то необходимо выделить её целую часть, разделив
числитель на знаменатель:
Pn ( x)
F ( x) .
 Gnm ( x)  k
Qm ( x)
Qm ( x)
В результате мы получим многочлен
Gnm (x) степени n  m , называемый
неполным частным, и остаток от деления – правильную дробь Fk ( x) ,
Qm ( x)
степень числителя которой 0  k  m .
Найти интеграл от многочлена Gnm (x) труда не составляет. Если
остаток от деления Fk ( x) не удаётся проинтегрировать непосредственно
Qm ( x)
с помощью элементарных методов интегрирования, то эту рациональную
дробь следует разложить на простейшие дроби, то есть
дроби четырёх
типов:
Mx  N
A
A , Mx  N ,
,
, где A, M , N, a, p, q R,
x  a x  as x 2  px  q x 2  px  q r

s, r N, s, r  2 , а квадратный трёхчлен

x2  px  q
не имеет
действительных корней.
Воспользуемся теоремой о разложении правильной рациональной
дроби на сумму простейших дробей. Пусть знаменатель исходной дроби
представим в виде произведения
(8)
8
где a1, a2 , ..., ak – действительные корни этого многочлена кратности
s1, s2 , ..., sk соответственно, а каждый квадратный трёхчлен x2  pi x  qi
имеет пару сопряжённых комплексных корней кратности ri . Тогда
рациональная дробь представима в виде суммы простейших дробей,
причём их количество и вид этих дробей зависит от разложения Qm (x) , а
именно:
1) каждый множитель вида
, определяющий действительный
корень a j кратности s j , порождает сумму s j простейших дробей вида
Ajs
Aj1
Aj 2
,


...

x  a j x  a j 2
x  a j s
j
j
x

ri
 pi x  qi , определяющий пару
сопряжённых комплексных корней кратности ri , порождает сумму
ri простейших дробей вида
2)
каждый
множитель
вида
2
.
Складываем
разложение:
все
промежуточные
суммы
и
получаем
следующее
Aksk
A1s1
Ak1
A11
A12
Pn ( x)


...


...


...



2
x  ak
x  a1 s1
x  ak sk
Qm ( x) x  a1 x  a1 

M1r x  N1r
M11x  N11
M12 x  N12


...

 ... 
r
2
x 2  p1 x  q1 x 2  p1 x  q1 2
x  p1x  q1 
M lr x  Nlr
M x  N l1
M x  Nl 2
 2 l1
 2 l2

...

r .
2
x  pl x  ql x  pl x  ql 2
x  pl x  ql 
1
1
1
l
l
l
Простейшие дроби легко интегрируются. Для разложения
рациональной дроби на простейшие остаётся отыскать значения
постоянных Ai , Mi , Ni , стоящих в числителях простейших дробей. Для
простоты напомним методы их нахождения на конкретных примерах.
x2  x  2
dx
Пример 1. Найдите 
( x  1)( x  2)( x  3)
9
Решение.
Подынтегральная функция представляет собой правильную
рациональную дробь (степень числителя 2 меньше степени знаменателя 3).
Знаменатель имеет три действительных корня x  1, x  2, x  3 первой
кратности, значит, каждый из них порождает одну простейшую дробь
первого типа, и в итоге мы имеем следующее разложение:
x2  x  2
A
B
C



.
( x  1)( x  2)( x  3) x 1 x  2 x  3
(9)
Домножим обе части равенства (9) на знаменатель исходной дроби
x2  x  2  A(x  2)(x  3)  B(x 1)(x  3)  C(x 1)( x  2) .
(10)
Для нахождения неизвестных постоянных A, B, C используют два
метода.
Первый их них основывается на том, что равенства (9) и (10)
являются тождествами, то есть должны обращаться в верное равенство при
любых значениях x . Для того чтобы найти значения трёх неизвестных
постоянных A, B, C ,
достаточно подставить в равенство (10) три
различные значения x , получить систему из трёх линейных уравнений с
тремя неизвестными и решить её относительно A, B, C . Чтобы
существенно упростить задачу, выберем в качестве значений x корни
знаменателя x  1, x  2, x  3. Это позволяет обнулить несколько слагаемых
правой части равенства (10). Тогда
x  1  12 1  2  A(1  2)(1 3)  B(11)(1 3)  C(11)(1 2)  2A  2  A  1
x  2  4  B  B  4
x  3  8  2C  C  4
Все константы найдены.
Второй метод основан на том, что в левой и правой частях равенства
(10) находятся равные многочлены. В нашем случае, раскрыв скобки и
приведя подобные, получим
x2  x  2  ( A  B  C)x2  (5A  4B  3C)x  (6A  3B  2C) .
Как известно, два многочлена равны, если они одной степени и
имеют равные коэффициенты при x в одинаковых степенях. Значит, в
нашем случае
10
1
 A B C

5 A  4B  3C  1 .
6 A  3B  2C  2

Решая эту систему, мы получим те же значения постоянных.
Теперь можно перейти к нахождению интеграла
Очевидно, что в данном примере решение с использованием первого
метода оказывается более простым. Этот метод быстро приводит к
результату, когда знаменатель дроби имеет только действительные корни
первой кратности. Если же знаменатель имеет корни более высокой
кратности или комплексные корни, то, как правило, в решении удобно
комбинировать использование первого и второго методов. Рассмотрим
такой пример.
x 4  x3  17 x2  9
dx
Пример 2. Найдите  2 3
x ( x  x2  9x  9)
Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь.
Мы видим, что многочлен в скобках в знаменателе допускает дальнейшее
разложение на множители. Приведём знаменатель к виду (8):
x2 (x3  x2  9x  9)  x2 (x 1)(x2  9)
x 4  x3  17 x2  9
Приступим к разложению дроби 2
на простейшие.
x ( x  1)( x2  9)
Знаменатель дроби имеет следующие корни:
1) x  0 – действительный корень 2-й кратности, значит, в разложение
войдёт сумма двух простейших дробей вида
11
A B
 ,
x x2
2) x  1 – действительный корень первой кратности, значит, в разложении
C
,
x 1
3) многочлен x2  9 имеет пару комплексных корней первой кратности, он
Dx  E
порождает одну дробь вида 2
.
x 9
добавится дробь
x4  x3  17 x2  9 A B C Dx  E
  

В итоге имеем разложение:
.
x2 ( x  1)( x2  9) x x2 x  1 x2  9
Умножив левую и правую части данного равенства на знаменатель
исходной дроби, получим:
x4  x3  17x2  9 
 Ax(x 1)(x2  9)  B(x 1)(x2  9)  Cx2 (x2  9)  (Dx  E)x2 (x 1)
(11)
Воспользуемся первым методом отыскания постоянных. Зададим
следующие значения переменной
x  0   9  9B  B  1
x  1  10  10C  C  1
Остальные константы найдём с помощью второго метода.
Таким образом,
1
 AC  D
 A  B  D  E 1

9 A  B  9C  E  17 , тогда с учётом уже найденных
 9 A  9B
0

9B
9

коэффициентов получим из первого уравнения:
(12)
A  D  0,
из второго: E  0 ; из четвёртого: A  1; из уравнения (12): D  1 .
В итоге получаем
12
Задание 4. Интегрирование иррациональных функций вида
.
Интеграл вида
,
(13)
где m1, m2 , ..., ms целые, а k1, k2 , ..., ks – натуральные, преобразуется в
интеграл от рациональной функции с помощью подстановки
,
где p – наименьшее общее кратное чисел k1, k2 , ..., ks . Тогда
d t p  b
x
a  ct p
Интегралы
(ad  bc) p  t p1
и dx 
.
(a  c  t p ) 2
вида
и
являются частными случаями интеграла (13)
и приводятся к интегралам от рациональной функции с помощью
аналогичных подстановок: ax  b  t и
p
Пример 1. Найдите интеграл
I 
3
x tp
соответственно.
dx
.
(2x  1)2  2x  1
Решение.
6
Здесь k1  3, k2  2 , поэтому p  6 . Применим подстановку 2x  1  t .
t6 1
Тогда x 
, dx  3 t 5 dt и, следовательно,
2
Вернемся к старой переменной. Так как
Пример 2. Найдите интеграл
13
, то
Решение.
Сделаем замену
. Выражая отсюда x, получим
Тогда
Полученный интеграл вычислим с помощью метода интегрирования по
частям
Применив обратную подстановку, получим, что
Задание 5. Интегрирование тригонометрических функций
R (sin x, cos x) методом подстановки.
Рассмотрим подстановки, с помощью которых интеграл вида
 R(sin x, cosx) dx
приводится к интегралу от рациональной функции.
1. Универсальная подстановка
В результате этой подстановки имеем
14
Пример 1. Найдите интеграл
Решение. Подынтегральная функция рационально зависит от sinx и cosx,
применим универсальную подстановку.
Возвращаясь к старой переменной, получим
Универсальная подстановка
во многих случаях приводит к
сложным вычислениям, так как при её применении sin x и cos x
выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих t2.
В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида
 R(sin x, cosx) dxможет быть упрощено.
2. Если R (sin x, cos x) – нечётная функция относительно sinx, т.е.
R ( sin x, cos x)  R (sin x, cos x) , то подынтегральная функция становится
рациональной при осуществлении подстановки cosx  t .
3. Если R (sin x, cos x) – нечётная функция относительно cosx, т.е.
R (sin x, cos x)  R (sin x, cos x) , то, применяя подстановку sin x  t ,
перейдём к интегралу от рациональной функции.
4. Если R (sin x, cos x) – чётная функция относительно sinx и cosx, т.е.
R ( sin x, cos x)  R (sin x, cos x) , то к цели приводит подстановка
Пример 2. Найти интеграл

sin3 x dx
.
cos x  3
Решение.
15
Подынтегральная функция является нечётной по синусу, поэтому
здесь можно сделать замену t  cosx . Тогда sin x  1  cos2 x  1  t 2 ;
dt
x  arccost , dx  
.
1 t2
Пример 3. Найдите интеграл
Решение.
Подынтегральная функция чётна относительно синуса и косинуса.
Полагаем tg x  t , тогда
Отсюда
Далее,
и, следовательно,
16
Заметим, что вычисление интеграла можно упростить, если в исходном
интеграле разделить числитель и знаменатель на cos2x.
Раздел 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Приложения определённого интеграла
Задания 6, 7 . Нахождение площади области, ограниченной
кривыми, и отыскание длины кривой.
Напомним основные формулы, используемые при нахождении
площади области, ограниченной кривыми, и отыскании длины кривой,
необходимые для решения типовых заданий этого раздела.
Площадь в прямоугольных координатах
Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой,
уравнение которой в прямоугольных координатах имеет вид
,
осью
и двумя прямыми
Отрезок
функция
и
находится по формуле
следует разделить на части, в каждой из которых
сохраняет один и тот же знак. При этом необходимо
соблюдать такое правило знаков: площади, находящиеся над осью
берутся со знаком плюс, а площади, расположенные под осью
знаком минус.
17
,
со
Если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми, уравнения
которых в прямоугольных координатах
и
, причём
всюду на отрезке
, и двумя прямыми
и
, то площадь определяется по формуле
И в этом случае требуется соблюдать указанное выше правило знаков.
Вычисление площади, ограниченной кривой, заданной полярным
уравнением и двумя радиусами-векторами
Если кривая, ограничивающая площадь, определяется уравнением
то площадь, ограниченная ею, вычисляется по формуле
где
и
– пределы изменения полярного угла.
Вычисление длины дуги плоской кривой
1. Длина дуги плоской кривой, заданной в прямоугольных
координатах уравнением
, находится по формуле
где a и b – соответственно абсциссы начала и конца дуги.
2. Если кривая задана параметрическими уравнениями
Причем
, а функции
и
производные, то длина дуги
18
имеют непрерывные
3. Если кривая задана уравнением в полярных координатах
а полярный угол
на дуге изменяется от
вычисляется по формуле
и
, то длина дуги
Рассмотрим примеры различных типовых заданий на нахождение
площади области и длины кривой.
Задача 1.
Найдите площадь, ограниченную осью Ох и кривой
Решение. Найдём точки пересечения кривой с осью Ох. Для этого решим
уравнение
Полученные
корни:
Построив эскиз графика (рис.1), мы видим, что на
отрезке
функция отрицательна. Поэтому на этом отрезке для
вычисления площади берём значение интеграла с противоположным
знаком.
19
Рис. 1
Задача 2.
Найдите площадь фигуры, ограниченную линиями
и осью абсцисс.
Решение. Построим эскизы графиков данных функций (рис. 2). Подграфик
функции не ограничен. В этом случае, если несобственный интеграл с
бесконечным верхним пределом сходится, то его значение считают
площадью фигуры. Таким образом, получаем
20
Рис. 2
Задача 3.
Найдите площадь фигуры, лежащей в первой четверти внутри круга
и ограниченной параболами
и
(рис. 3).
Решение. Построим графики и найдём координаты точек пересечения
окружности с параболами. Для этого решим системы уравнений
и
.
Единственный положительный корень первой системы
системы
Тогда интересующая нас площадь равна
21
и второй
Рис. 3
Для преобразования разности арксинусов мы использовали формулу
Задача 4.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами
(рис. 4).
22
Решение. Найдём точки пересечения парабол. Для этого найдём решения
системы
Решениями системы являются точки
и
удобнее интегрировать вдоль оси Oy. На отрезке
неравенство
, поэтому
Рис. 4
Раздел 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
23
. В данном случае
выполняется
Задание 8. Нахождение несобственных интегралов:
а) по бесконечному промежутку интегрирования,
б) от неограниченной на отрезке функции.
А.
Напомним, что несобственные интегралы по бесконечному
промежутку
определяются
посредством
предельного
перехода.
Ограничимся рассмотрением непрерывных на промежутке функций.
Если функция
непрерывна на промежутке
, то
Если функция
непрерывна на промежутке
, то
Если функция непрерывна на всей числовой оси, то
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл
называют сходящимся, если же предел не существует или бесконечен, то
интеграл называют расходящимся.
Пример 1. Найдите значение несобственного интеграла или установите
его расходимость:
.
Решение. По определению несобственного интеграла имеем
Так как этот предел не существует, несобственный интеграл расходится.
Пример 2. Найдите значение несобственного интеграла
Решение: По определению несобственного интеграла имеем
24
Для нахождения значения исходного интеграла мы применили формулу
интегрирования
по
частям
,
а
также
 ln b  .
2 
b
 2b 
воспользовались правилом Лопиталя для отыскания предела lim 
Пример 3. Найдите значение несобственного интеграла
Решение:
Подынтегральная функция чётная, поэтому можно
воспользоваться свойством несобственных интегралов по симметричному
промежутку от чётных функций
Б. Значения несобственных интегралов от неограниченных в окрестности
некоторой точки функций также определяются посредством предельного
перехода.
Если функция
непрерывна на
и lim f ( x)  , то
x a0
25
Если функция
и lim f ( x)   , то
непрерывна на
x b0
Если функция
непрерывна на отрезке
всюду, за исключением
точки
, и хотя бы один из односторонних пределов функции
в этой точке бесконечен, то
Несобственный интеграл называют сходящимся, если его значение
существует и конечно, и расходящимся в противном случае.
Пример 1. Найдите значение несобственного интеграла или установите его
расходимость.
1
непрерывна при  1  x  0 и 0  x  2 и имеет
x
бесконечные односторонние пределы в точке x  0 . Тогда
Решение: Функция f ( x) 
2
0
2
0

2
dx dx dx
dx
dx
 lim 
 lim ln x
1 x  1 x  0 x lim

 0
 0
 0
x
x
1
0
 limln  limln 2  ln 
 0

1
 limln x 
2
 0

 0
0

dx
Несобственные интегралы
и
x
1
исходный интеграл.
2
x
dx
расходятся, значит, расходится и
0
Пример 2. Найдите значение несобственного интеграла.
1

0
dx
x(1  x)
26
Решение: Функция
непрерывна при
и имеет
бесконечные односторонние пределы
. Тогда,
чтобы упростить запись решения, заменим сумму двух пределов одним
пределом с двумя условиями
и
.
27
Часть 2. ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1. Проинтегрируйте методом внесения под знак дифференциала.
1.
sin x dx
 2  cos x
11.
(1  ctg 3 x) dx
 sin2 x
2.
2
3
 x 3  x dx
12.
(3x  3 x )dx
 3x  3 x
3.
arcsin3 x
 1  x2 dx
13.

4.
(lnln x)3 dx
 x ln x
14.
5.
xdx
 cos2 (2x2  1)
15.
6.
x
 2  x4 dx
16.

7.
e3x dx
 1  e6x
17.
etgx  2
 cos2 x dx
8.
(4x 1) dx
 x2  2
18.
e
9.
10.
3cos x
e
 sin xdx



e3 x  1 dx
19.
20.
x
28

(arccos x 1)dx
1  x2
5  3
2x
 3  dx
5x
2  arcctg 2 x
 1  x2 dx
dx
1  x2 arccos2 x
2sin x

cos xdx
e 2 x1dx
2x  1
2
 x 3 x 3 x4
dx
  x  2x  1 e
3
2
Задание 2. Найдите интеграл от тригонометрической функции,
используя тригонометрические формулы:
1.
 sin4
3x
dx
2
11.

2 x
sin
  4  3 dx
2.
sin3x  cosx dx
12.
 cos4x  cos5x dx
3.
 sin 2x  cos2x dx
13.
sin3 ( x  1)
 cos2 (x  1) dx
4.

14.
2
2
sin
3
x

cos
3x dx

5.
x
2x
sin

sin
 3 3 dx
15.
 sin x  sin6x dx
6.
x
4 x
sin

cos
 2 2 dx
16.

7.
 sin3
4x
dx
5
17.
 sin (2x  1)  cos (2x  1) dx
8.
 cosx  cos3x dx
18.
x
5x
sin

cos
 2 2 dx
9.
cos5x
 4 sin5x dx
19.
10.

2 x
 cos  2  1 dx
20.
5
3
cos2x  sin 2x dx
29
3
sin x  cos x dx
2
3 x
2 x
cos

sin
 6 6 dx

cos5 x  sin x dx
2
Задание 3. Найдите интеграл от дробно-рациональной функции:
1.
(2x3  3x 2  3) dx
 (x  1)2 ( x2  2x  5)
11.
x( x 1) dx
 ( x  2)2 ( x2  3x  5)
2.
( x 4  x  1) dx
 (x 1)3 (x2  2)
12.
( x3  7x 2  5x  10) dx
 x3 (x2  5)
3.
( x4  3x3  x2  5x  2) dx

( x 1)( x4 1)
13.
(4x4  5x2  21x 10) dx
 x2 (x  2)(x2  2x  5)
4.
( x 2  8x  22) dx
 (x  2)2 (x2  x  3)
14.
( x2 10x 1) dx
 (x 1)2 (x2  2x  5)
5.
2( x 2  2x  4) dx
 x3 (x2  4)
15.
( x3  4x2  6x  2) dx
 x2 (x 1)(x2  2x  2)
6.
x4  4 x2  2 x  1
 (x 1)(x4 1)
16.
( x4  23x2  32x 18) dx
 x(x  3)2 (x2  2x  2)
7.
( x 2  2x3  11) dx
 (x 1)2 (x 2  4x  5)
17.
 ( x  2) ( x
8.
( x3  4x2  x  2) dx
 x3 (x2  1)
18.
(3x3  9x2  8x 1) dx
 (x  2)2 (x2  2x  3)
9.
(5x3 10x2  8x 15) dx
 x2 (x  3)(x2  4x  5)
19.
(2x3  6x2 10x  9) dx
 (x 1)2 (x2  3x  5)
10.
( x 3  7 x  2) dx
 (x 1)2 (x 2  2x  5)
20.
( x2  6x 1) dx
 (x 1)2 (x2  2x  3)
30
x( x  4) dx
2
2
 3x  8)
Задание 4. Найдите интеграл от иррациональной функции:
x  3 1
dx
x  3 1 3 x  3
1.

2.
x 1
 x x 1dx
3.
  x 1
x
dx
2x  1
11.
 2
12.

13.
 (x  2)

2 x
dx
x 6
14.
x
5.

6 x  4 x
15.

6.
4 x
 x2 x 1dx
16.
x3 x  2
 x  3 x  2 dx
7.
x 2 x
 3 2  x 1dx
17.
2
8.

xdx
5x  6
18.
  x  3
9.
1 x 1
 1 3 x 1dx
19.

x
 (1 3 x )2 dx
20.
4.
10.
6


5 x 1
2
x
dx
dx
x3  7x  6 4 x3
31
x  3x  2 10
dx
3x  2  7
6 x2
dx
2
x 1
x 1
dx
x 1
x dx
x 1 x3
5
dx
x 5  3 x 5  4 x 5
15 x  3
dx
2
x
4
4
dx
x  3 1

x  3 1
dx
4
x 3
 2
x 3
Задание 5. Проинтегрируйте тригонометрические функции методом
подстановки:
1.
cos x  sin x
 1 sin x2 dx
2.
 1 cos x  sin x
cos xdx
11.
cos3 x
 sin x  5dx
12.
 sin
2
3.
dx
2
dx
x(1 cos x)
(1 sin x)dx
 1 sin x  cos x
13.
4.
1 sin x dx
 cos x 1 cos x
14.
cos2 xdx
 (1 sin x  cos x)2
5.
 1 sin x
15.

16.
6sin2 xdx
 3cos2x  4
17.
 1 cos x
2
sin xdx
2
6.
cos xdx
 (1 cos x)(1 sin x)
7.
 4  3cos
8.
dx
x  5sin2 x
2
2
(4  7tgx)dx
2  3tgx
cos xdx
3
2
dx
 1 sin
 (1 sin x)
sin xdx
18.
 5  3sin x
x
9.

3sin x  2cos x 1
dx
sin x  3sin2 x
19.
 1 cos x  sin xdx
10.

3sin x  2cos x 1
dx
sin x  sin 2x
20.
 2sin 2x  5 dx
32
1  sin x
5tgx  2
Задание 6. Найдите площадь области, ограниченной кривыми, заданными
в декартовых координатах
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
.
Задание 7. Найдите длину кривой, заданной в декартовых координатах
1.
2.
33
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задание 8. Найдите значение несобственного интеграла или установите
его расходимость.

1.
ln x
а)  3 4 dx ,
x
1
2
б)
2.
2
arcsin x 2
0

3x dx
,
а)  2 x
x
3

4

3

3
2

xdx
.
4  x2
б)

0
34
  dx.
4  x2

3.
а)
e
2 x
(4x  3) dx,
2
б)

0
5.
а)
 x e dx;
 ctgxdx .
 x
6
б)
0
e arctge x
dx ;
а) 
2x
1

e
0
б)
а)
 (5x  2)e
2
3
б)
dx
.
 7x  10
dx
 (x  1)
2
1
3x
dx;
x3 dx
.
б)  4
4
1

x
0

1
x dx
;
а) 
1

x
1
б)

0
e2 x dx
.
e4 x  1
3
arcsin

9.
1  2x
dx ;
а)  2
x
(
1

x
)
1
б)

0

10.
dx
;
а)  2
2
(
x

4
)
(
x

9
)

2
б)
dx
;
а) 
(
1

9
x
)
x
1
б)
12.
а)
 (3x  4) e
4x
dx ;
б)


13.
а)

2
4
dx
;
x ( x  1)
1

e2 x dx
.
e2 x  1
1
x dx
.
1  x4

0
2
б)
3

0
35
9  x2

0
0
4
x
3 dx .
x dx
.
16  x4
0

11.
.
0

8.
x
3
ln xdx
;
а) 
x
x
1
0
7.
4

2 3x

6.

0
0
4.
x 2 dx
.
3
8 x
x dx
.
4  9x 2

14.
ln(x 2  4)
dx ;
а) 
2
x
1

15.
а)

x  1 ln(x  1) dx ;
1
б)
б)
e2 x
dx;
а)  x
3
(
e

1
)
0
dx
;
а) 
3
(
1

x
)
x
1
x 2 dx
.
б)  3
3
0 1 x
1
б)
 (1  6x) e dx ;
2x
б)

19.
а)
x
1
5
dx
1 (x  3)3 .
4
dx ;
3
б)
dx
;
а) 
(
5

x
)
1

x
3
x
2, 5


20.
e x dx
.
e2 x  1
4

ln x

0
0
а)

1

18.
x 2 dx
.
1  x6
0

17.
1
0
0
16.

e x dx
.
x
e 1
б)
36
2
2
dx
.
 5x  6
 tgxdx .

4
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа