close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- Союз работодателей Самарской области;doc

код для вставкиСкачать
щъ
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО
И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
РСФСР
Н У Й Б Ы Ш Е В С К И Й ОР ДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО З НАМЕНИ
А Е И Д Ц И О Н Н Ы Й И Н С ТИТУ Т и м е н и а к а д е м и к а С. П. КОРОЛЕВА
АЛГОРИТМ В Ы Б О Р А М Е ТО Д А И СС ЛЕДОВАНИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ В С Т Е РЖ Н Я Х Ф Е Р М
У тв е р ж д е н о
р е да к ци он но -и здат ел ьс ки м
советом института
в качестве методических указаний
но к у р с у « С т р о и т е л ь н о й м е х а н и к и
л e r a т е л ьны х а п п а р а т о в
и т е о ри и у п р у г о с т и »
д л я студентов
КУЙБЫШГИ
HJ.s-l
УДК 539.4
Излагаются основные сведения, необходимые для решения
задач по исследованию геометрической неизменяемости и опре­
делению усилий в стержнях ферм. Дается алгоритм, позволяющий
выбрать рациональный подход к решению конкретных задач.
Рассмотрены примеры, иллюстрирующие применение алгоритма.
Методические указания предназначены для студентов,
изучающих курс строительной механики летательных аппаратов.
Иллюстраций 42,
Автор-составитель Х.С.Хазанов
Рецензенты: к . т . н . , доцент Ю.Э.Сеницкий
fk
■
ВО ЗВРАТИ ТЕ КНИГУ НЕ П О ЗЖ Е
обозначенного здесь срока!
Гг с :е
I.
основные о п ред ещ ш :
Ферма - это расчетная схема стержневой системы, Иод фермой
понимается стержневая система, геометрическая
неизменяемость
которой обеспечивается в предположении о шарнирном соединении
стержне!: в узлах.
Геометрическая неизменяемость -■ это отсутствие кинематичес­
ких перемещений одних элементов относительно других или
способ­
ность системы не допускать относительного перемещения своих час­
тей без деформаций.
При составлении расчетной схемы фермы каждый стержень заме­
няется прямой линией, представляющей его
геометрическую ось:
концы стержней, образующие узел, считаются сходящимися строго в
одной точке; взаимное соединение стержней предполагается идеально
шарнирным. Внешние силы считаются прилаженными в узлах.
Под действием внешней нагрузки в стержнях
ферм возникают
только осевые усилия.
Если оси всех стержней лемат в одной плоскости, то ферма
называется плоской. Б противном случае ш имеем дело с простран­
ственной фермой. Плоские фермы могут воспринимать только нагрузки,
лежащие в их плоскости.
Ферма статически определима, если .при' любой внешней нагруз­
ке усилия в стержнях могут быть определены
непосредственно из
условий равновесия системы и ее отдельных частей.
3 настоящем
пособии рассматриваются только статически определимые фермы!
^
'
2. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ФЕТЫ
'
2 ,1 . Способ последовательного присоединения узлов
К исходному геометрически неизменяемому элементу
каядьч
последующ,! узел присоединяется с помощью двух стержней, не лежа- '
щкх на одной прямой, при образовании плоской ферш и с
помощью
трех стержней, не лежащих в одной плоскости, при
образовании
пространственной ферш.
Проследим процесс образования плоской ферш на примере, .
-
г
-
- ■
приведенном на р и с.1 . К заведомо неизменяемому элементу 1-2-3
(заштрихован) последовательно присоединяются узлы 4 , 5 , 6 и,
наконец, узел 7 с помощью двух стержней, не лежащих на одной
v прямой. Относительная неподвижность всех элементов здесь обеспе­
чена.
S
2 .2 .
3
-
Способ последовательного соединения ферм
Две или несколько простых ферм соединяются между собой т ак ,
чтобы была обеспечена их взаимная неподвижность.
г
i
Рис,
Рис. 2
Узел 8 присоединяется с помощью стержней 5-8 и 7 -8 , лежащих
на одной прямой. Узел может получить бесконечно малое перемещение
в направлении, перпендикулярном этим стержням. Подобные
системы
называются мгновенно геометрически изменяемыми. Узел 8 присоеди- .
нен нецравильно. Его неподвижность относительно остальных элемен­
тов не обеспечена.
На р и с.2 показан процесс образования пространственной ферш .
К заведомо неизменяемому элементу 1-2-3 присоединяются.с помощью
трех стержней, не лежащих в одной плоскости, последовательно
узлы 4 ,5 ,б ,7 и 8 . Взаимная неподвижность всех элементов
здесь
обеспечена. А вот узел 9 присоединяется с помощью стержней 2 -9 ,
5-9, 8 -9 , лежащих в одной плоскости. Он может получить бесконечно
малое перемещение в направлении, перпендикулярном этой плоскости.
Узел 9 присоединен неправильно.
Ферш, которые могут быть образованы последовательным при­
соединением узлов, называются простыми.
Рассмотрим две простые плоские ферш , показанные на р и с.3.
Каждая из них, как геометрически неизменяемая система, имеет в
плоскости 3 степени свободы. Образуем сложную ферму, соединив их
- между собой таким образом, чтобы обеспечить их взаимную неподвиж­
ность. Полученная система должна иметь 3 степени свободы. ’Следо1вательно, при соединении ферм между собой следует наложить
на
систему 3 связи. Это можно реализовать, соединив ферш
между
собой' с помощью плоского шарнира, накладывающего 2 связи,
и
стержня (рис.4а) шш с помощью трех стержней (р и с.4 6 ), каждый из
которых накладывает по одной связи. При этом направления
этих
стержней не должны пересекаться в одной точке, которая стала бы
мгновенным центром вращения одной части относительно другой.
i
Рис. 4
2
- 4
- 5-
-
Направления стержней не должны быть параллельны, так как в этом
случае одна часть получила бы возможность смещаться относительно'
другой в перпендикулярном к этим стержням направлении.
Чтобы обеспечить взаимную
неподвижность двух пространствен­
ных ферм, нужно наложить на сис­
тему 6 связей, ферш можно соеди­
нить с помощью пространственного
шарнира, накладывающего 3 связи,
и трех стержней, направления ко­
торых не пересекаются в одной
точке и не параллельны; можно их
. соединить с помощью шести стерж­
ней, направления которых не пере­
секаются на одной прямой.
Это
показано на р и с .5, где исходные
простые фермы изображены в виде
параллелепипедов. 2сли направления стержней пересекаются на одной
прямой, то эта прямая будет мгновенной осью вращения одной
ферш
относительно другой. В частности, оси стержней не должны лежать
в двух параллельных плоскостях.
2 .3 . Способ замены стерш ей
Пусть у нас имеется простая ферма. Устраним из нее
один
стержень и заменим его другим, расположенным иначе. При этом заме­
няющий стержень должен лишить систему той степени свободы, кото­
рую она получила после устранения стержня.
Проиллюстрируем сказанное на примере пространственной ферш ,
приведенной на р и с.6 . Зто простая ферма, она может быть образова­
на последовательным присоединением узлов. Устраним из фермы стер­
жень 3-5 (р и с .6 6 ), Система превращается в механизм. Узлы 3 и 5,
в частности, получают возможность смещаться друг относительно
друга. Если узлы сближаются, то расстояние между узлами 4 и 6
увеличивается, и наоборот. Вместо устраненного стержня поставим
стержень ч-6 (р и с .7 ) , Тем сампы да обеспечим взаимную неподвиж­
ность узлов 4 и 6, а следовательно, и узлов 3 и 5 . Полученная
система геометрически неизменяема. Нетрудно убедиться в том, что
ена но 'может быть образована последовательным присоедини п:ог.,
узлов. Такие ферма относятся'к категории сложных ферм.
б
а ,.
, Рис..?!
' 6
Рис. 1
Подобным же образе:,: можно заменить .два или несколько стеж ней.
3 . ШПтРЛШШЕ ФНШ Н фЮЁАМ
Ллоская ферма как геометрически неизменяемая система имеет
в плоскости три степени свободы, и для ооескечения неподвижности
на нее следует наложить 3 связи. Для обеспечения неподвижности
пространственной ферш требуется 0 связей, бти связи проще всего
представить у с л о в н о
в виде опорных стержней,
каждый из которых накла­
дывает одну связь.
1Таким образом, для
Обеспечения неподвижности
плоской ферш
ее нужно
связать с опораш1 сс. по­
мощью трех стержне.:
(рис.8). Оси. этих стерж­
ней не должны пересекаться в одной точке ( мгновенный' центр враще­
ния) и не должны быть параллельны.
Простракстве1шая ферма будет неподвижной, если связать ее с
опорами дестью стержнями, направления которых не пересекаются на
_ 6 одной прямой (р и с .9 ). Один из возможных вариантов неправильного
прикрепления пространственной фермы к опорам показан на рис. 10.
Прямая АВ, проходящая через точку пересечения трех стержней I и
параллельная остальным стержням, является мгновенной осью враще­
ния.
ная опора ( р и с .И в ), обеспечивающая полную неподвижность узла и
эквивалентная трем опорным стержням (опоры Ш кл асса).
Но своему отношению к опорам фермы подразделяются на сво­
бодные и прикрепленные.
С в о б о д - н о й фермой называется такая, которая, будучи
снята с опор, остается геометрически неизменяемой, т . е . как ферма
она может существовать как на опорах, так и без них. Пример подоб­
ной ферш приведен на р и с.8 .
■ '
П р и к р е п л е н н о й
фермой называется такая систе­
ма, которая может быть в целом неизменяемой лишь в том случае,
когда она на опорах. При снятии с ' опор она перестает быть фермой
и превращается в механизм.
6
5
8
Б
Рис. 9
Рис. 10
Помимо прикрепления ферм к опорам с
ют следующие схеш опорных устройств:
Опоры
I класса
Опоры
П класса
Опоры
Ш класса
рис. II
помощью стержней отлича­
шарнирно-катковая бпора
(р и с .I I а ) , препятствую­
щая перемещению узла в
направлении, перпендику­
лярном плоскости катания;
накладывает одну связь и
эквивалентна одному опор­
ному стержню (опоры I
кл асса);
- плоская шарнирная опора
(рис .1 1 6 ), препятствую­
щая смещению узла в двух
направлениях и эквивален­
тная по числу накладывае­
мых связей двум рпорным
стержням ( опоры П классе);
- пространственная шарнир­
1
а
Рис. 12
Рассмотрим стержневую систему, приведенную н а рис. 12а.
Здесь обеспечена неподвижность всех узлов. Действительно, к опор­
ным узлам I и 2 с помощью двух стержней, не лежащих на одной пря­
мой, присоединяется узел 3 , затем аналогично присоединяются по­
следовательно узлы 4, 5, 6 , 7 и 8. Если снять систему с опор, то,
как видно из р и с.126, она превращается в механизм. Таким образом,
Представленная на рис.12а стержневая система относится к катего­
рии прикрепленных ферм.
В связи с тем, что прикрепленная ферш , будучи снятой с опор
превращается в механизм, для обеспечения ее неподвижности требу­
ется больше опорных связей, чем для свободной ферш .
■
I
b 4 . НШ Х О ДЖ ЛЕ УСЛОВИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ
И СТАТИЧЕСКОЙ' ОПРЕДЕЛИМОСТИ ФЕРР,!
Обозначим через У число узлов фермы, через С - количество
стержне! и через С„ - число опорных связей.
Герму можно рассматривать как совокупность узлов, на кото­
рые наложены связи в виде стержней. Узел плоской фермы имеет Две
степени свободы, а пространственной - три". Каждый стержень, свя­
зывающий между собой два узла, накладывает на систему одну связь.
Исли ферма неизменяема и неподвижна, то количество наложенных
связей с учетом ойорных должно быть равно числу степеней свободы,
которым обладали бы не связанные между собой узлы:
- для плоской формы
'
С + С,0 = 2 У,
- для пространственной фермы С * С„ = ЗУ. ■
(I)
Г-
Если плоская ферма не прикреплена к опорам, то как неизме­
няемая система она должна обладать в плоскости тремя степенями'
свободы, .а пространственная неизменяемая система имеет в .этом-.,
случае шесть степеней свободы, Тогда число стержней, обеспечиваю­
щее взаимную неподвижность узлов, будет равно:
- д л я п лоской фермы
С= 2 У - 3 ,
- д л я пространственной-фермы С - З У - 6 .
(2)
Зависимости’ (I) и (2) определякт минимально необходимое
Nis
число стержней, которые могут
■N:
обеспечить взаимную неподвиж­
•■У
ность узлов, и выражают необхо­
димые условия геометрической
неизменяемости ферм.
Вырежем мысленно из - плос­
кой фермы узел, как показано
Лг
на.рис.13, Через Л^( , /У;г
X И т.д. здесь обозначены усилия
Р и с . 13
в стержнях, сходящихся в узле.
Для узла можно составить 2
уравнения равновесия, спроектировав все силы на оси л и ^ :
>
£х - 0 ,
ГУ=-0
Уравнение моментов Х М= 0 удовлетворяется тождественно,'
-.9
-
так как оси всех стержней и направление внешней нагрузки проходят
через одну точку - ось шарнира. Для узла пространственной ферш
можно аналогично составить 3 уравнения равновесия. Для
плоской
фермы,' имеющей У узлов, общее число уравнений равновесия будет
равно 24 , а для пространственной - ЗУ .
В случае неподвижной системы число стержней с учетом опор­
ных, в которых можно из уравнений статики определить усилия,
равно:
- для плоской ферш
С +■Са = 2 4 г
- для пространственной
фермы t * t 0 ~'34.
(3)
Если ферш не прикреплена к операм, то для плоской нужно
затратить о уравнения равновесия, а для пространственной 6 уравне­
ний на уравновешивание внешней нагрузки. Число стержней, в кото­
рых уравнения статики позволяют найти усилия, будет теперь равно:
- для плоской фермы
С = 2 У- 3 ,
- для пространственной
ферш С = 3 У - 6 .
(4)
Равенства!,® (3) и (4) устанавливаются необходимые условия
статической определимости ферм. Нетрудно заметить, что они совпа­
дают с необходимыми условиями геометрической неизменяемости (I )
и ( 2 ) . Правда, здесь тлеется'одно принципиальное различие.. Чтобы
ферма могла быть статически определимой, условия (3) и (4) должны
строго выполняться. А геометрически неизменяемыми стержневые сис­
темы могут быть и в том случае, когда число стержней
превышает
минимально необходимое, определяемое условиями (I ) и ( 2 ) .
Можно доказать следующую теорему. Всякая геометрически неиз­
меняемая ферма, имеющая минимально необходимое число стержней, ,
статически
определима. Обратно, статически определимая стержне­
вая система геометрически неизменяема. Отсюда следует, что если
при минимально необходимом числе стержней система
оказывается
статически неопределимой, то она геометрически и зм е н я е т , , т . е .
некоторые стержни ориентированы неправильно.
Таким образом, чтобы доказать геометрическую неизменяемость
стержневой системы, достаточно показать, что она статически опре­
делима.
3 -7 6 4
- 10 5. МЕТОДЫ ИССЛЕЩОВАНЙЯ ГШЖГРИЧЕСЕОЙ НЕИЗШНаЮСТИ ФЕРМ
Полагаем, что стержневая система удовлетворяет необходимому
условию геометрической неизменяемости, и рассмотрим несколько
методов, дозволяющих установить, является ли она в действительнос­
ти неизменяемой.
точке,так что ее можно снять с опор. Снимем теперь правильно
присоединенные узлы 8 и 3 и обнаружим, что узел 5 прикреплен к
остальной части с помощью стержней 2-5 и 7 -5 , лежащих- на одной
прямой. Вывод - система геометрически изменяема.
3
5 .1 . Метод построения
Заключается в том, что заново воспроизводится процесс обра­
зования и прикреплений к опорам стержневой системы. Если при этом
не окажется неправильно присоединенных узлов, или отдельных частей,
то система геометрически неизменяема. Все это детально рассмотре­
но в разделах 2 и 3. ■
5 .2 . Метод разрушения
Заключается в последовательном отбрасывании отдельных узлов
или заведомо неизменяемых частей ферш , относительная неподвж ность которых обеспечена минимально необходимым числом связей.
Систему можно предварительно снять с опор, если она прщсреплеяа
минимально необходимым числом правильно ориентированных связей.
Если оказывается возможным таким образом „разрушить"
всю
систему, то она геометрически неизменяема. В случае изменяемости
стержневой системы всегда обнаружится узел или часть системы,
прикрепленная, неправильно.
Рассмотрим стержневую систему1, представленную на ри с. 14.
Для нее
У = 10,
С = 17.' Необходимое условие геометрической'
неизменяемости (ГН) и статической определимости (СО) С = 2У -3
удовлетворяется. Следуя методу разрушения, снимем узел I , при­
крепленный с помощью двух стержней, не лежащих на одной прямой.
Аналогично снимаются последовательно узлы 2 ,8 ,1 0 ,9 ,5 ,7 'и 6 . Сис­
тему удалось „разрушить” . Следовательно, на рис.14 изображена
геометрически неизменяемая стержневая система, т . е , ферма.,
У стержневой системы на рис .15
У = 8,
С = 1 3 , Сс = 3
и необходимое условие ГН и СО удовлетворяется. Система прикрепле­
на к опорам с помощью трех стержней, не пересекающихся в одной
Рис. 15
Рис. 14
Стержневая система на рис.16а удовлетворяет необходимому
условию ГН и СО, так как здесь У = 8 , С = 13 и Сс = 3 . В ней
можно выделить простые фермы А и Б, заштрихованные на р и с .166.
7
а
б
Рис. 16
Прикрепление к опорам осуществлено минимально необходимым числом
правильно ориентированных связей, так что можно систему снять с
опор. Теперь можно разъединить неизменяемые части А и Б, потому
что они связаны между собой 'тремя стержнями, не пересекающимися
в одной точке. Стержневая система „разрушена". Она геометрически
неизменяема.
-13 -
-12 S .3 . Метод нулевых
Иногда при использовании метода нулевых нагрузок удается
сначала из равновесия всей системы показать, что усилия в отдель­
ных опорных связях равны нулю, а затем уже исследовать усилия в
стержнях самой ферш.
нагрузок
В стержнях статически определимой фермы усилия определяются .
из уравнений равновесия цри произвольной внешней нагрузке. В част­
ности, когда нет внешней нагрузки, то усилия во всех
стержнях
должны быть равны нулю. Если мы можем доказать,■ что при отсутст­
вии внешней нагрузки усилия во всех стержнях равны нулю, то сис­
тема статически определима, а следовательно, и
геометрически
неизменяема. В этом и заключается суть метода нулевых нагрузок.
В некоторых случаях равенство нулю усилий в стержнях фермы
при отсутствии внешней нагрузки может быть установлено очень про­
сто, если воспользоваться двумя леммами.
■I . Если к плоскому узлу ферш , содержащему 2 стержня,
не
лежащих на одной прямой (р и с.1 7 а), или пространственному
узлу,
содержащему 3 стержня, не лежащих в одной плоскости (р и с .176), не
приложено внешней нагрузки, то усилия в стержнях равны нулю.
стержней
х
б
Рис. 18
В качестве примера рассмотрим расчетную схему, приведенную
на рис.19. Здесь
У = 7, С - 10, Се= 4, и необходимое условие
ГН и GO (I) удовлетворяется. Для узла 2 стержень 2-5
отдельно
стоящий. Согласно лемме 2 усилие в нем равно нулю. Далее можно
рассмотреть узлы в последовательности 5 , 1 , 2 , 6 , 7 , 3 , 4
и
убедиться, что в соответствии с леммой I усилия во всех стержнях,
включая опорные, равны нулю. Система геометрически неизменяема.
2
и
L
£
Рис. 17
2.
Если к плоскому узлу фермы, содержащему 3 стержня,
которых 2 лежат на одной прямой (р и с.1 8 а), или пространственному
узлу, содержащему М стержней, из которых 1Ъ- / лежат в одной
плоскости (р и с .186), не приложена внешняя нагрузка, то в отдельно
стоящих стержнях усилия равны нулю (на рис .18 Л/* = 0 ) .
Забегая вперед, отметим, что если к узлу рассматриваемого
типа приложена внешняя нагрузка, то в отдельно стоящем стержне
можно из уравнений равновесия сразу определить усилия.
из
Рис. 19
4-7G4
Рис. 20
-1 4 У = 6 , С - 12.
Условие
С = ЗУ - 6 удовлетворяется. Для узла I стержень 1-2
отдельно стоящий, усилие в нем равно нулю. Рассматривая теперь
узлы в последовательности 2, 3 , I , 4 и используя лемму I , прихо­
дим к выводу, что усилия во всех стержнях равны нулю и заданная
стержневая система геометрически неизменяема.
Итак, если удается доказать, что при отсутствии
внешней
нагрузки усилия во всех стержнях равны нулю, то стержневая сис­
тема геометрически неизменяема. Ну, а если простейшие
приемы,
изложенные в настоящем параграфе, не позволяют это показать ?
В этом случае следует прибегнуть к более универсальному методу
исследования геометрической неизменяемости - к методу замены свя­
зей, который будет рассмотрен несколько позже.
7 пространственной ферш на ри с.20
- 15
нагрузок. Подобная ферма приведена на рис.21 Из равновесия
узла 5 сразу определяется
усилие в отдельно
стоящем
. стержне 2 -5 , после чего уси­
лия в остальных
-стержнях
могут быть определены мето­
дом вырезания узлов.
При
этом узлы обходятся в таком
же порядке, как и при иссле­
довании неизменяемости ферш
Р и с ..21
методом нулевых нагрузок Ссм
пояснения к рис. 1 9 ).
6 ,2 . Метод сквозных сечений или моментных точек
6 . МЕТОДУ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ В СТЕРШИ ФЕРМ
6 .1 . Метод вырезания узлов
Мысленно вырезаются отдельные узлы ф ерш . Действие на узел
отброшенной части фермы заменяется неизвестными усилиями в стерж­
нях. Для всех ублов составляются уравнения равновесия. Если ферма
статически определима, то из решения полученной системы уравнений
можно всегда определить усилия в стержнях. Однако при
расчете
сложных ферм система уравнений может оказаться весьма
высокого
порядка.
Методом вырезания узлов целесообразно пользоваться при опре­
делении -усилий в стержнях простых ферм, которые могут быть обра­
зованы последовательным присоединением узлов. Исследование гео­
метрической неизменяемости подобщгх ферм удобно проводить методом
разрушения, снимая последовательно узлы, прикрепленные минимально
необходимым числом правильно ориентированных стержней. В таком же
порядке следует обходить узлы и при определении усшшй в стержнях.
Тогда для каждого узда количество неизвестных усилий будет равно
числу уравнений равновесия.
Если при этом ферма свободная и находится на опорах,
то
целесообразно предварительно определить опорные реакции. ’
Вырезанием узлов следует решать и фермы, исследование гео­
метрической неизменяемости которых осуществляется методом нулевых
Плоская ферма разрезается на две части таким образом, чтобы
в сечение попали 3 стержня (рис.2 2 ). Действие одной части
на
другую заменяется неизвестными усилиями в стержнях.
Уравнения
равновесия представляются в виде равенства нулю моментов , всех
сил относительно точек пересечения направлений каждой пары стерж­
ней, лопавших в сечение. Из уравнений моментов относительно узла
2 определяется усилие W3_s , относительно узла 5 - усилие
,
относительно точки К (пересечение направлений стержней 2-4 и
3-5) - усилие Нг - 5 .
Р
Рис. 22
Если 2 из попавших в сечение стержней параллельны, то одно
из уравнений моментов заменяется суммой проекций всех
сил на
ось, перпендикулярную направлению этих стержней. В представленной
- 16
17 -
-
на р и с.23 ферме таким образом находится усилие в стержне 2 -5 .
Р
в этих стержнях найдутся из уравнений моментов относительно узлов
I , 7 и точки К . В остальных стержнях можно уже теперь опреде­
лить усилия методом вырезания узлов.
1
6 .3 . Метод замены связей
Рис. 23
Это наиболее общий метод, решения сложных ферм. Рассмотрим
его на примере известной уже нам пространственной ферш , пред­
ставленной на р и с.2 5 а. Методом вырезания узлов усилия в стержнях
здесь нецелесообразно определять, так как в каждом узле сходится
более трех стержней.
Преимущество метода моментных- точек заключается в том, что
каждое уравнение равновесия содержит только одно
неизвестное
усилие. Но рассмотренные нами ферш относятся к категории простых
и , в общем-то, могут быть решены методом вырезания узлов.
Рис. 25
Рио. 24
Метод моментных точек следует использовать при решении слож­
ных ферм, образованных
соединением простых. Подобная
ферма
приведена на р и с.24. Она уже у нас встречалась при исследовании
геометрической неизменяемости методом разрушения. Для определения
усилий в стержнях здесь нужно сначала найти опорные реакции,
а
затем разрезать ферму на 2 части таким образом, чтобы в сечение
подали 3 стержня, соединяющие между собой простые фермы. Усилия
Удалим из ферш один стержень, например, стержень а 8 .
Заменим его другим стержнем, расположенным так, чтобы прообразо­
ванная система была неизменяемой и решалась простейшим способом.
Этим требованиям удовлетворяет стержень пгп (р и с.256). Получен­
ная ферма, как мы*убедились в разделе 2 .1 , может быть образована
последовательным присоединением узлов. Приложим теперь к узлам о,
и 8 неизвестные пока силы Nai > с которыми устраненный стер­
жень действует н а оставшуюся часть.
' Рассмотрим 2 состояниг преобразованной ферш . В одном
из
них (рис.26а) к ферме приложена только внешняя нагрузка. Усилия
в стержнях ф ерш , соответствующие этому-состоянию, будем отмечать
сверху индексом „о". Во втором состоянии приложим к узлам а и б
в направлении устраненного стержня силы, равные единице, а будем
- 18 - 19 Отмечать соответствующие усилия в стержнях черточкой сверху.
Кроме того, услозимся буквой N обозначать только усилия
в
стержнях заданной ферш, а усилия в заменяющем стержне обозначим
буквой Г .
а
б
Рис. 26
Пользуясь принципом независимости действия
усилия в заменяющем стержне
сше,
запишем для
Ттн= Т т п + T mn Nai, ~ 0
-г °
Здесь I тп - усилие в заменяющем стержне только от внеш­
ней нагрузки, Jmn - усилие в заменяющем стержне в единичной
системе, a Nag следует понимать как число, доказывающее,
во
сколько раз усилие в стержне а в больше единицы. Так как в ис­
ходной ферме Срис. 25 а) стержня тп нет, то полное усилие Ттм=0.
Последнее равенство можно рассматривать как уравнение отно­
сительно Nag . Тогда получим
.,
Ттп
/Vag = - = r -
(5)
' тп
Зная N a g , можно определить усилие в произвольном стержне
по формуле
N t s “ ^ z s + ^ t s N аё
(6)
Как же выбрать расположение заменяющего стержня, чтобы пре­
образованная система была безусловно геометрически неизменяемой
и решалась простейшим способам ? Практически это осуществляется
методом разрушения. После того, как стержень устранен, снимаются
последовательно узлы, прикрепленный минимально необходим™ чис­
лом правильно ориентированных стержней. В процессе празрушения"
мы обНЕуэужим, где следует поставить заменяющий стержень, чтобы
полученная система была неизменяемой. Усилия в стержнях
такой
ферш будут определяться методом вырезания узлов, причем обхо­
дить узлы нужно при этом в таком же порядке, в каком производи­
лось разрушение исходной системы.
Метод замены связей может быть использован и для исследова­
ния геометрической неизменяемости системы. Обратимся к формуле
( 5) . Если знаменатель правой части отличен от нуля, т .е .Т тп Ф О,
то для усилия в стержне а $ получается конечное, вполне опреде­
ленное значение. З н ач и ти сх о д н ая стержневая система статически
определима.Следовательно, она геометрически неизменяема.
Если
= 0, то N a$ обращается либо в бесконечность,
либо в неопределенность. Система при минимально необходимом числе
стержней оказывается- статически неопределимой. Значит она геомет­
рически изменяема.
Таким образом, признаком геометрической неизменяемости
является отличие от нуля усилия в заменяющем стержне, если в
направлении устраненного стержня к узлам ферш приложены силы,
равные единице^.
На р и с .27 представлена стержневая система,' удовлетворяющая
необходимому условию ( I ) . Ни одним из рассмотренных ранее методов
не представляется возможным исследо­
вать ее неизменяемость и определить
усилия в стержнях. Устраним стержень
6 -7 . Пользуясь методом
разрушения,
снимем узел 6 , присоединенный с по­
мощью двух стержней, не лежащих на
одной прямой. Далее могут быть ана­
логично сняты узлы 4 , 5 , I . Обнаружим,
что теперь стержень 2-3 может вращать­
ся относительно шарнира 3 , Чтобы о б ес-'
печить неподвижность узла 2 , поставим
заменяющий стержень 2 - т ( в нашем
случае это опорный стержень).
Рассмотрим 2 состояния преобра­
7f>77
W 7
зованной фермы.
На ри с;28а к узлам
Рис. 27
6 и 7 в направлении устраненного
\?
- 2D -
- 21 *
стержня приложены единичные силы, а на ри с.286 - внешняя нагруз­
ка. На схемах показаны значения усилий в стержнях, вызванные.при­
ложенными силами. Для растянутых стержней стрелочки направлены от
узла, для сжатых - к узлу.
Поскольку к узлам не приложены внешние силы, усилия в стержнях
4-2 и 5-2 равна нулю. Равно нулю и усилие в заменяющем стержне
( f = о) . Система на рис,29а статически неопределима и геомет­
рически изменяема.
т
а
Рис. 28
Рис. 29
Из р и с,286 видно, что усилие в заменяющем стержне в единич­
ной системе отлично от нуля ( Ттп = - I ) . Следовательно, стержне­
вая система, представленная на рис .27, геометрически неизменяема.
от внешней
нагрузки
Усилие в заменяющем стержне 2 - т
(рис.28а) равно Т°т = - Р . Для усилия в устраненном стержне
получим
О
'
_
Иногда замены одного стержня оказывается недостаточно, чтобы
получить заведомо неизменяемую преобразованную систему. В этих
случаях можно осуществить замену двух или нескольких стержней.
I гт
Можно теперь оцределить усилия в остальных стержнях ферш .
Например, для стержня 2-4 имеем
> а ,.,
(-# ) <-«■- p f .
В примере на рис.29а замена осуществляется, в принципе,
так же, как и в предыдущем случае. При определении усилия в заме­
няющем стержне 2 - m от единичных нагрузок следует учесть, что
для узлов 4 и 5 стержни 4-2 и 5-2 отдельно стоящие (р и с .290).
Рис.
30
-
Стержневая система на рис.30а может быть преобразована к простой
неизменяемой заменой стержней а 6и c d , например, на стержни
т п и к£ , в чем убеждаемся, используя метод разрушения. К
узлам а
и ё , с и а прикладываем в направлении устранен­
ных стержней неизвестные, усилия УУаg и Nccj (р и с.306). Систему
уравнений для определения этих усилий запишем из условия равенст­
ва нулю полных усилий Tmtt и T ki в заменяющих стержнях:
т ; „ - Т™
,
M'J - О
\
_о
,,
Z-cd
Т К£ +■ Тне N ag + Т Hc.d - 0
(7)
Здесь Tmn и Тк°е - усилия в заменяющих стержнях1*только
от внешней нагрузки (р и с.3 1 а); Т^® и Т"/- - усилия в зашняадих
стержнях от единичных сил, приложенных к узлам а в 8 ;
и Т^ - усилия в заменяющих стержнях от единичных сил, приложен­
ных к уздам с и d (ри с.ЗГ в).
а
б
в
Рис. 31
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных ttag
и Ncj системы уравнений (7)1:
= а£
=r
аз -
Если определитель А ^ 0 , то система уравнений (6) имеет
решение. Исходная стержневая система статически, определима
и
геометрически неизменяема.
Если определитель Д = 0 , то исходная система статически
неопределима и геометрически изменяема.
7. АЛГОРИТМ ВЫБОРА МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
(ИЗМЕНЯЕМОСТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ФЕРМ
Обобщая материал предыдущих разделов, можно заключить, что
между методами исследования геометрической неизменяемости кон­
кретных стержневых систем и рациональными методами определения
усилий в их стержнях имеется определенная взаимосвязь.Более того,
метод исследования геометрической неизменяемости предопределяет*
рациональный подход к решению ферм. Поэтому всегда следует снача­
л а посмотреть, каким методом может быть исследована геометричес­
кая неизменяемость, а затем уже приступить к определению усилий
в стержнях. При этом нужно сначала попытаться применить простей­
шие способы и лишь в случае невозможности дх использования пере­
ходить к более сложным, т . е . поиск оптимальных путей
решения
задач должен быть приведен в определенную систему. Все это реа­
лизуется алгоритмом, блок-схема которого приведена на с т р .26-27.
Всегда нужно сначала проверить, удовлетворяется ли необхо­
димое условие геометрической неизменяемости и статической опреде­
лимости ( блок I ) . В дальнейшем рассмотрены только стержневые
системы, удовлетворяющие этому условию, и мы на подсчете
числа
стержней и узлов останавливаться не будем. Проиллюстрируем даль­
нейшие рассуждения с использованием алгоритма на нескольких при­
мерах.
Рассмотрим стержневую систему, представленную на р и с.32.
Можно ли исследовать ее геометрическую неизменяемость
методом
разрушения, снимая отдельные узлы (блок 2 ) , полагая при * этом,
конечно, что внешних сил Р нет? Только узел 6 можно снять как
присоединенный двумя стержнями, не лежащими на одной црямой. Но
система прикреплена к опорам с помощью трех стержней, не пересе­
кающихся в одной точке. Следуя указаниям блока 3 , ее'можно предва­
рительно снять с опор. Теперь уже снимаются узлы 1 ,3 ,2 , и система
•..разрушена". Она геометрически неизменяема, так кая все узлы при-
-
Ik
- 25 АЛГОРИТМ
-
ЕПОК-СХМа
Выполняется необходимое условие геометрической
неизменяемости (ГН) и статической определимости
нет
Система геометрически изменяема
(Гй) или статически неопределима
да
г—
,_ 3
_________
Можно предварит,
снять с опор при
правильном црикреплении минима­
льно необходимым
числом
связей
Г - . Ц ------------------------------
Иногда предварит
доказывается
равенство нули
спорных реакций
юш части из них
МЕТОД РАЗРУШВШЯ
Хнтш1аются"
отдель кйе узлы
да
Все узлы
присоединены
правильно
да
система ГН
нет
нет
система ГИ
t
г-8_
МЕТОД РАЗРУШЕНИЯ
Неизмен. части
Выделяются заведомо да
соединены между
неизменяемые части
собой правильно
нет
нет
г-12-
МЕТОД ЗА)ЛЕНЫ СВЯЗЗК
Возмояина замена
одного стержня
нет
Да
—17.
Усилие в заменяют,
стержне от еди­
ничной нагрузки
Тгпп /
нет
О
система ГИ.
г-21
Определитель из
-20усилий в заменяют
МЕТОД (ЗАМЕНЫ СВЯЙЕЙ
да
стержнях от едиЗамена двух или
' яичных нагрузок
нескольких стержней
& t О
нет
да
система ГН
Усилия в стержнях одреде-1
ляются методом вырезания
узлов
9
Усилия в стержнях, соеди­
няющих неизменяющие части,
-методом сквозных сечений,
далее - вырезанием узлов
система ГИ
Усилия во всех
МЕТОД НУЛЕВЫХ
стержнях равны
НАГРУЗОК
да
нулю
; Имеются отдельно
стоящ е стержци
/нет
нет
—16------------------Мсяшо предварит.
снять с опор цри
правильном прик­
реплении минима­
льно необходимым
числом, связей
4 -
система" Гй
да
система ГН
{Сначала усилия в отдельно
стоящих стержнях, далее
вырезанием узлов
да
■Усилия в стержнях опреде­
система Щ
ляются методом заданы
да
связей
система ГН
6 ------ -----------Иногда предварит,
определяются
опорные реакции
-14----------------Иногда предводит,
определяются
опорные реакции
или часть из них
-19Иногда предварит.
определяются
опорные реакции
- 26 -
- 27 -
соединены правильно. Б соответствии с указаниями блока 5 усилия
в стержнях определяются методом вырезания узлов, но предваритель­
но нужно найти опорные реакции ( блок 6 ).
обхода узлов такая же, как и при исследовании геометрической неиз­
меняемости.
В схеме на рис.34а нет узлов, с которых моасно было бы начать
разрушение, но можно выделить, как показано на рис.346, неизменяе­
мые части А и Б ( блок 7 ). Система может быть снят®, о опор (блок 3),
и мы обнаружим, что взаимная неподвижность частей А и Б не обеспе­
чена, так как они связаны между собой с помощью трех стержней,
направления которых пересекаются в одной точке. Система геометри­
чески изменяема, внешней нагрузки она воспринимать не может.
Рис. 33
Рис. 32
В схеме на р и с.33 нет узлов, с которых можно было бы начать
разрушение (блок 2 ) , ее нельзя предварительно снять с опор (блок
6 ), так как прикреплена она четырьмя: опорными стержнями.Переходим
к блоку 7 . В системе нельзя выделить заведомо неизменяемых частей.
Л 1
2
4 \
2
Рис, 35
Стержневая система на рис.35а отличается от схемы на рис.33
лишь направлением оперного стержня в узде 4 , Но именно это делает
невозможным исследование геометрической неизменяемости методом
нулевых нагрузок. Переходим к методу замены связей (блок 1 5 ).
Рис. 34
Значит,, метод разрушения нам не подходит. Идем дальше, к методу
нулевых нагрузок ( блок 10) . Для узла 4 стержень 4-3 отдельно стоя­
щий. При отсутствии внешней нагрузки усилие в нем равно нулю. Рас­
смотрим теперь узел 3, Он содержит 2 стержня, не лежащих на одной
прямой. Согласно лемме I усилие в стержнях равны нулю. Аналогично
можно рассмотреть последовательно узлы 2 , 6 , 5 , 4 , 1 и убедиться, что
яри отсутствии внешней нагрузки усилия во всех стержнях равны
нулю. Система геометрически неизменяема. При определении усилий в
стержнях ф ерш , пользуясь указаниями блока 13, находим сначала из
равновесия узла 4 усилие в отдельно стоящем стержне 4-3 , а
в
остальных стер;княх - методом вырезания узлов. Последовательность
Рис. 36
Устраним, к примеру, опорный стержень 4 -а . Снимая далее правильно
присоединенные узлы в порядке 4 ,3 ,2 ,6 , приходим к выводу, что для
обеспечения неизменяемости преобразованной системы нужно поста­
вить стержень 1-5 (рис.3 5 6 ). Если последним снимается не узел 6 ,
- 28 а узел 5, то неизменяемость будет обеспечена заменяющим опорным
стержнем 6- m (рис.36), Расчеты показывают, ч то'усилие в заменяю­
щем стержне от единичных сшс будет Te_m = I . Значит, исходная
система геометрически неизменяема, и можно при желании приступить
к определению усилий в стержнях ферш. Для этого нужно сначала
найти усилие в заменяющем стержне от внешней нагрузки. Оно равно
Т 6-т =" ■%- Воспользовавшись формулой (5), имеем Л^-л, = Р / 2 .
Ери горизонтальном расположении опорного стержня 4 -а
(рис.37а) усилие от единичной нагрузки (рис.376) в заменяющем
стержне Т6.т = 0, и система .оказывается геометрически изменяемой.
- 29 усилий в стержнях проведем сечение,
давящие между собой простые фермы.
тельно узла I определяется усилие в
проекций .га оси х и у. находятся
т и л ферш в уздр.
проходящее через связи, сое­
Из уравнения моментов относи­
стержне 2 -3 , а из уравнений
силн взаимодействия между час­
Рис. 39
Рис. 37
В стержневой системе на рис.38 опорный стержень в узле 5
направлен в отличие от рис.33 вдоль стержня 4-5. Начав с отдельно
стоящего стержня 4-3, можно пока­
зать, что во всех стержнях, кро-ме стержня 4-5 и опорных связей
4-а и 5-6, усилия равны нулю.
же, что усилия равны
нулю во всех абсолютно стержнях,
мы не можем. Поэтому,
следуя
алгоритму, мы должны перейти к
методу замены связей (блок 15).
Правда, в данном конкретном случае в указанных трех стержнях, ле­
жащих на одной прямой,'усилия из уравнений равновесия мы никогда
не сможем определить, так как система статически неопределима и
геометрически изменяема. В этом можно убедиться и решая задачу
методом замены евнзей.
Схема на рис .39 удовлетворяет условиям .блока 7. Здесь выде­
ляются неизменяемые части, которые соединены между собой правиль­
но ( блок 8 ), и система геометрически неизменяема. Для определения
Обратим внимание на задачу, приведенную на рис.16 и 24. Она
также удовлетворяет условиям блока 7 . Мы уже ранеепоказали, что
неизменяемые части соединены между собой правильно(р и с.16) и что
усилия в соединяющих их стержнях находятся методом сквозных сече­
ний, но предварительно нужно определить опорные реакции (рис .2 4 ).
Задача на рис.40 - на внима­
тельность. Казалось бы, ни одним
из простых методов она не
может
быть решена и нужно прибегнуть
к,
методу замены связей. Но все же
неизменяемость системы может быть
исследована методом нулевых нагру­
зок. Четыре из пяти опорных стерж­
ней здесь параллельны, и при
от­
сутствии -внешней нагрузки усилие в
опорном стержне 6 -а будет
равно
нулю ( блок I I ) . Тогда стержень 6-5
становился отдельно стоящий. Рассматривая далее последовательно
узлы 5 , 4 , 3 , 2 , I , 7 , 6 , убеждаемся, что усилия вс всех стержнях
равны нулю. При определении усилий в стержнях нужно сначала найти
реакцию в оперном стержне 6 -а ( блок 1 4 ), затем усилие в отдельно
стоящем стержне 6-5 и методом вырезания узлов - во всех остальных
стержнях.
&
- 30 -
- 31 -
Рассмотрим теперь схему на рис.41а. Если решать задачу
»в лоб", то придется прибегнуть к замене двух стержней (р и с.416).
С о д е р ж а н и е
Стр.
Рис. 41
Воспользуемся указаниями блока 16 и снимем систему с опор как при­
крепленную тремя стержнями, направления которых но пересекаются в
одной точке. Методом разрушения убеждаемся, что цри этом достаточ­
но одной замены. Вместо стержня 6-7 поставим стержень 2 -7 .
При
исследовании геометрической неизменяемости нужно найти усилия р
заменяющем стержне от единичных нагрузок, показанных на рис.42а.
Расчеты показывают, что для этой системы Тz-y » т.в.- исследуемая
стержневая система геометрически неизменяема.
а
Рис.
Поскольку при исследовании геометрической неизменяемости ш
сняли систему с опор, то при определении усшшй в стержнях нужно
предварительно найти опорные реакции (рис.426), затем подсчитать
Т г . ? и воспользоваться формулами ( 5 ) , ( 6 ) .
I . ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ...............................................
3
, 2. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ФЕРМ
................................
3
2 .1 . Способ последовательного присоединения узлов . . . .
3
2 .2 . Способ последовательного соединения ферм ..................... 5
2 .3 . Способ замены стержней . . . . . . . . . . . . . . .
6
............................... 7
3. ПРИКРЕПЛЕНИЕ ФЕРМ К ОПОРАМ
4. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ И СТАТИ­
ЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛИМОСТИ ФЕРМ.................................................................. 10
5. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ ФЕРМ . .12
12
5 .1 . Метод построения.............................
5. 2. Метод разрушения.....................................
12
5 . 3 . Метод нулевых нагрузок . . . . . . . ....................
14
6. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ФЕРМ . . . . . . . . 16
6 . 1 . Метод вырезания узлов . . . . . . . . . . . . . . . .
Гб
6 . 2 . Метод сквозных сечений или моментных точек . . . . . 17
6 . 3 . Метод замены связей
. 19
АЛГОРИТМ ВЫБОРА МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗ­
МЕНЯЕМОСТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ФЕРМ . . . . . 25
Автор-состазитель Казанов ?(ацкель Соломонович
.
,ч '
-■
'
1
:
1
i;i .
г
АЛГОРИТМ ШБОРА МЕТОДА ЖСЛЩОВАРЙЯ ЖМЕЯТИЧЕСКОЙ
НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ И ОЛРЙЩЕЖЯ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ®РМ
Методические указания к практическим занятиям
'
Редактор
Л. И. К а р п о в а
Подписано в печать 26. 12.34 г.
Формат сОх84 Х/16.
. Бумага оберточная белая.
Оперативная печать. Уел. п.л. 1,86.
Уч.-изд.Я1>1*а.Тирак 1000 экз. Заказ 764
Куйбышевский ордена Трудового Красного Знамени
авиационный институт имени академика С. П. Королева
г.Куйбышев, ул.Молодогвардейская, 151
Областная типография им. В. П. Мяги, г.Куйбышев, ул.Бенцека,60.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа