close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Об утверждении прогнозного плана приватизации;pdf

код для вставкиСкачать
РАЗДЕЛ
I
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ
Изучение математики (в колледже, вузе) связано с с усвоением
определенной системы понятий, предложений и доказательств. Чтобы
овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные
знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их
развития средствами математики, необходимо сначала понять, каковы
особенности математических понятий, как устроены их определения,
предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства. Эти
знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он
первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как
грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка
к математике в дальнейшем. Такая подготовка может быть получена
в процессе освоения материала раздела «Логические основы мате­
матики».
Слово «логика» происходит от греческого logos, что означает
«слово», «разум», «мысль», «закономерность». Этим словом названа
особая наука, которая изучает процесс мышления человека с точки
зрения структуры мыслей, правильности и неправильности рассуждений, отвлекаясь от конкретного содержания мыслей. Предметом
логики являются такие формы мышления, как понятия, суждения,
умозаключения, операции с ними и законы мышления.
Изучение элементов логики требует знания теоретико-множе­
ственного языка, который будет использоваться не только при рас­
смотрении логической структуры математических понятий, предло­
жений и доказательств, но и при построении всего курса.
Гл а в а 1
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
В конце XIX в. в математической науке возникла необходимость
уточнить смысл таких ведущих понятий, как функция, непрерыв­
ность и т.д. Для этого нужно было строго определить, что такое
натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы спо­
собствовали развитию новых математических идей, поэтому в конце
XIX — начале XX вв. происходил пересмотр старых представлений
буквально во всех областях математических знаний. В результате
в конце XIX в. возникла новая область математики — теория мно­
жеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг
10
кантор. За небольшой срок теория множеств стала фундаментом
иссй математики.
В предлагаемом курсе мы познакомимся с некоторыми основ­
ными понятиями теории множеств. Знания в этой области нужны
\ чителю начальных классов, во-первых, для понимания содержания
начального курса математики, независимо от того, явно или неявно
к нем используются теоретико-множественные понятия; во-вторых,
пня освоения таких важных с профессиональной точки зрения по­
нятий, как взаимно-однозначное соответствие, отношение, число,
юометрическая фигура.
1.1. Понятие множества и элемента множества
В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов
как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты и т.д.
Псе эти различные совокупности называют множествами.
Понятие множества является одним из основных понятий мате­
матики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояс­
нить на примерах. Так, можно говорить о множестве гласных букв
русского алфавита, о множестве натуральных чисел, о множестве
i реугольников.
Математический смысл слова «множество» отличается от того, как
оно используется в обыденной речи, где его связывают с большим
числом предметов. В математике этого не требуется. Здесь можно рас­
сматривать множество, состоящее из одного объекта, и множество,
не содержащее ни одного объекта.
Множества принято обозначать прописными буквами латинского
алфавита: А, В, С,
Z.
Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым
и обозначают символом 0 .
Объекты, из которых образовано множество, называют элемен­
тами.
Элементы множества принято обозначать строчными буквами
патинского алфавита: а, Ь, с, ..., zВ математике нередко приходится выяснять, принадлежит какойчибо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. На­
пример, мы говорим, что 5 — число натуральное, а 0,75 не является
натуральным числом. Другими словами, мы утверждаем, что число
5 принадлежит множеству натуральных чисел, а число 0,75 ему не
принадлежит.
Предложение «Объект а принадлежит множеству А» можно за­
писать, используя символы: а е А. Предложение «Объект а не при­
надлежит множеству А» можно записать так: а е А.
Например, если А — множество однозначных чисел, то утвержде­
ние «Число 3 — однозначное» можно записать в таком виде: 3 е А.
11
Запись 12 g А означает, что «Число 12 не является однозначным»,
или «Число 12 не принадлежит множеству А», или «Множество А не
содержит числа 12».
Заметим, что в геометрии, которая возникла значительно раньше
теории множеств, принято следующее: если точка является элемен­
том какого-либо множества, то ее обозначают прописной буквой.
Например, если X — множество точек отрезка АВ, то предложение
«Точка Р лежит на отрезке А В» можно записать: Р е X или Р е А В.
Множества бывают конечные и бесконечные. Так, конечными
являются множество дней недели, множество месяцев в году, а бес­
конечными — множество точек на прямой, множество натуральных
чисел.
Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные
обозначения:
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел.
Упражнения
1.
Назовите три элемента множества:
а) учебных предметов, изучаемых в начальной школе;
б) четных натуральных чисел;
в) четырехугольников.
2 . Запишите, используя символы:
а) число 14 — натуральное;
б) число -7 не является натуральным;
в) число 0 — рациональное;
г) V7 — число действительное.
3. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них вер­
ные:
а) 100 £ N; б) -8 е Z; в) -12 g N; г) 5,36 е Q; д) 102 g R;
4.
5.
12
е) V2 е Q; ж) -7,3 е R; з) — е N; и) 0 е N.
4
Пусть Р — множество натуральных чисел, больших 7 и меньших
14. Выясните, какие из чисел 13, 10, 5, 7, 14 ему принадлежат,
а какие не принадлежат. Ответ запишите, используя символы е
и й.
Даны числа: 0; 7; -3,8; -17; 325; у/5. Установите, какие из них:
а) натуральные;
б) целые;
в) рациональные;
г) действительные.
Рис. 1.1
6.
7.
8.
9.
Рис. 1.2
Пусть М — множество точек окружности, изображенной на
рис. 1.1. Прочитайте следующие предложения и укажите среди
них верные:
а) А е М; б) О е М\ в) В & М; г) С £ М.
Как изменить условие задачи 6, чтобы все утверждения а)—г)
были верными?
Запишите с помощью символов е и г, какие из отрезков А В, CD,
EF и PH проходят через точку М, а какие через нее не проходят
(рис. 1.2).
Пусть А — множество решений уравнения х 2 +1 = 0. Верно ли,
что А — пустое множество? Приведите пример уравнения, мно­
жество решений которого состоит из:
а) одного элемента; б) двух элементов; в) трех элементов.
1.2. Способы задания множеств
Понятие множества мы используем без определения. Но как
узнать, является та или иная совокупность множеством или не яв­
ляется?
Считают, что множество определяется своими элементами, т. е.
множество задано, если о любом объекте можно сказать, при­
надлежит он этому множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Напри­
мер, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6,
то мы зададим это множество, поскольку все его элементы окажутся
перечисленными. При этом возможна запись, в которой перечисляе­
мые элементы заключаются в фигурные скобки: А = {3, 4, 5, 6}.
Однако если множество бесконечно, то все его элементы пере­
числить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество
с большим числом элементов. В этих случаях применяют другой
способ задания множества — указывают его характеристическое
свойство.
Х аракт ерист ическое свойст во множ ества — это такое
свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий
13
множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не при­
надлежит.
Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел: свойство,
которым обладает каждый элемент данного множества, — «быть двуз­
начным числом». Это характеристическое свойство дает возможность
решать вопрос о том, принадлежит какой-либо объект множеству
А или не принадлежит. Так, число 45 содержится в множестве А, по­
скольку оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит,
так как оно не является двузначным.
Случается, что одно и то же множество можно задать, указав
различные характеристические свойства. Например, множество
квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными
смежными сторонами и как множество ромбов с прямым углом.
В тех случаях, когда характеристическое свойство множества
можно представить в символической форме, возможна соответствую­
щая запись множества. Например, множество А натуральных чисел,
меньших 7, можно задать так: /4 = {х | х € N и х < 7}.
При такой записи буквой х обозначается элемент множества А.
Для этих целей можно использовать и другие буквы латинского ал­
фавита.
Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно
либо перечислить все его элементы, либо указать его характеристи­
ческое свойство. Второй способ более общий: он позволяет задавать
и конечные, и бесконечные множества.
Очень важно умение переходить от одного способа задания множе­
ства к другому. Этому обучаются уже младшие школьники, выполняя,
например, такие упражнения.
Задача 1. Запишите натуральные числа, которые больше, чем 65
и меньше, чем 75.
Решение. Множество чисел задано с помощью характеристическо­
го свойства «быть больше 65 и меньше 75». Требуется перечислить
элементы этого множества: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74.
Задача 2. Каким свойством обладают все числа ряда: 12, 22, 32,
42, 52, 62, 72, 82, 92?
Решение. Перечислены все элементы некоторого множества, об­
ладающего характеристическим свойством: «состоять из двузначных
чисел, оканчивающихся цифрой 2».
Упражнения
1.
14
Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок пред­
ложения:
а) X — множество чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5;
б) Y — множество букв а, Ь, с.
9
д
-7
О
Рис. 1.3
Запишите, используя символы, множество Р, если оно состоит
из натуральных чисел:
а) больших 100, но меньших 200; б) меньших 150.
3. Перечислите элементы следующих множеств:
А — множество нечетных однозначных чисел;
В — множество натуральных чисел, меньших или равных 20;
С — множество двузначных чисел, делящихся на 10.
4 . Укажите характеристическое свойство множества:
а) {а, е, ё, и, о, у, э, ю, я, ы}; б) {78, 76, 74, 72, 70};
в) {111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999}.
5. Изобразите на координатной прямой множество решений не­
равенства, если х — действительное число:
а) х>5; б)х<-3,8; в ) - 4 , 5 < х < 4 ; г )2 ,7<х<9.
6. Задайте с помощью характеристического свойства множества,
выделенные штриховкой на координатной прямой (рис. 1.3).
7. D — множество двузначных чисел, запись которых оканчивается
цифрой 1. Принадлежат ли этому множеству числа 31; 321; 61; 12?
Ответ запишите, используя символы е и г .
8. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника. Принад­
лежат ли этому множеству диагональ квадрата и центр круга?
9 . Покажите, что, выполняя задание: «Увеличь каждое нечетное
однозначное число в 2 раза», учащиеся встречаются с двумя
способами задания множества.
10 . Покажите, что, выполняя задание: «Какое число лишнее в ряду:
470, 720, 330, 400, 510, 640?», учащиеся, по существу, пользуются
понятиями характеристического свойства множества и принад­
лежности элемента множеству.
11. Ученику надо найти правило, по которому составлен ряд чисел
456, 466, 476, 486, ..., и записать в нем еще три числа. О каких
теоретико-множественных понятиях идет речь в этом зада­
нии?
12 . Приведите примеры трех заданий из учебников математики для
начальных классов, при выполнении которых осуществляется
переход от одного способа задания множества к другому.
2.
15
1.3. Отношения между множествами
В математике изучают не только те или иные множества, но и от­
ношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все
натуральные числа являются целыми. Понятие множества позволяет
обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными сово­
купностями и посмотреть на них с единой точки зрения.
Если множества А и В имеют общие элементы, т. е. элементы,
принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества
пересекаются.
Например, если А = {а, Ь, с, d, е}; В = {b, d, к, /и}; С = {jc, у, г}, то
можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют
общие элементы b и d, а множества А и С, В и С не пересекаются,
поскольку не имеют общих элементов.
Рассмотрим теперь множества А = {а, Ь, с, d, е} и В = {с, d, е}.
Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В
является элементом множества А. В этом случае говорят, что мно­
жество В включено в множество А или что множество В является
подмножеством множества А и пишут В а А.
Множество В называют подмнож ест вом множества Л, если
каждый элемент множества В является также элементом множе­
ства А. Пустое множество считают подмножеством любого мно­
жества. Любое множество является подмножеством самого себя.
Из определения следует, что если В с А, то множество В может
быть пустым, и тогда 0 с А, и, кроме того, множество В может
совпадать с А, и тогда А а А. Поэтому среди всех подмножеств за­
данного множества А должно быть обязательно пустое множество
и само множество А.
Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}.
Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двух­
элементные: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4>, а также само множество А и пустое
множество 0 . Таким образом, данное трехэлементное множество А
имеет 8 подмножеств.
Вообще, если множество А содержит п элементов, то у него 2"
различных подмножеств. Доказательство этого утверждения здесь
не приводим.
Рис. 1.4
16
Рассмотрим множества А = {а, Ь, с, d, е}
и В = {с, a, d, b, е}. Они пересекаются,
и каждый элемент множества А является
элементом множества В, т. е. А с В, и на­
оборот, каждый элемент множества В яв­
ляется элементом множества А, т.е. В с А.
В этом случае говорят, что множества Aw В
равны и пишут А = В.
Множества A w В называют равны ми, если А а В и В с А.
Из определения следует, что равные множества состоят из
одних и тех же элементов и что порядок записи элементов мно­
жества не существен.
Отношения между множествами наглядно представляют с по­
мощью особых чертежей, называемых кругами Эйлера1. Для этого
множества представляют в виде кругов (овалов). В том случае, если
множества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не яв­
ляется подмножеством другого, их изображают так, как показано на
рис. 1.4, а. Если множество В является подмножеством А, то круг,
изображающий множество В, целиком находится в круге, изобра­
жающем множество А (рис. 1.4, б). Если А с В, то множества А и В
изображают так, как на рис. 1.4, в. Равные множества представляют
в виде одного круга (рис. 1.4, г).
Если множества А и В не пересекаются, то их изображают в виде
двух фигур, не имеющих общих точек (рис. 1.5).
С понятием подмножества младшие школьники встречаются, вы­
полняя, например, задания: «Назови среди данных чисел четные»,
«Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».
Упражнения
1.
2.
3.
Даны два множества: X = {2, 4, 6} и Y = {0, 2, 4, 6, 8}. Верно ли
что:
а) множества X и Y пересекаются;
б) множество X является подмножеством множества Y;
в) множество Р = {4, 0, 6, 8, 2} равно множеству У?
Известно, что элемент а содержится в множестве А и в множестве
В. Следует ли из этого, что:
а) А с В, б) В с А; в) А = В?
Из множества К = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите числа, ко­
торые:
1 Леонард Эйлер (1707—1783) — член Петербургской академии наук. JI. Эйлер
родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук
приехал в Россию, где стал крупнейшим математиком. Огромно научное насле­
дие Эйлера, в списке его трудов более 800 названий.
БИБЛИОТЕКА
ГБОУСПО
«Якутский педагогический коллег; :-.
17
ft 26 2 4
а) делятся на 3; б) делятся на 9;
в) не делятся на 4; г) не делятся на 5.
Есть ли среди полученных подмножеств такое,
которое равно множеству К?
4 . Изобразите с помощью кругов Эйлера отнорис /| £
шения между множествами С и D, если:
а) С — множество двузначных чисел, D =
= {3, 43, 34, 56, 103};
б) С — множество двузначных чисел, D — множество четных
натуральных чисел;
в) С — множество двузначных чисел, D — множество трех­
значных чисел;
г) С — множество двузначных чисел, D — множество натураль­
ных чисел, не меньших 10.
5 . Отношения между множествами выпуклых четырехугольников,
параллелограммов, прямоугольников, ромбов и квадратов изо­
бражены на рис. 1.6. Покажите каждое из множеств.
6. Дано множество Р = {3, 5, 7, 9}. Образуйте всевозможные его
подмножества. Сколько их должно быть?
7 . Какое из данных множеств является подмножеством другого:
а) А — множество натуральных чисел, кратных 2, В — множе­
ство натуральных чисел, кратных 6, С — множество нату­
ральных чисел, кратных 3;
б) А — множество треугольников, В — множество прямоуголь­
ных треугольников, С — множество остроугольных треуголь­
ников.
8. О каких теоретико-множественных понятиях идет речь в следу­
ющих заданиях, выполняемых учащимися начальных классов:
а) запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай
четные числа;
б) из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку числа, которые
делятся на 5;
в) запиши три числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4.
—
> »
) )
1.4. Пересечение множеств
Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые
множества. Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7,
8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы
множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Полученное множество С называют
пересечением множеств А и В.
Пересечением множ еств А и В называют множество, содержа­
щее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А
и множеству В.
18
Пересечение множеств А и В обозначают
А п В. Таким образом, по определению,
А
глВ
={
х
\ х & А у\. х & В) .
Если изобразить множества А и В с помо­
щью кругов Эйлера, то пересечением данных
множеств является заштрихованная область
(рис. 1.7). В том случае, когда множества А и
В не имеют общих элементов, говорят, что их
пересечение пусто, и пишут: А п В = 03.
Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных
случаях.
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти
А п В, достаточно перечислить элементы, которые одновременно
принадлежат множеству Л и множеству В, т.е. их общие элементы.
А как быть, если множества заданы характеристическими свой­
ствами?
Из определения пересечения следует, что характеристическое
свойство множества А п В составляется из характеристических
свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
Найдем, например, пересечение множества А — четных натураль­
ных чисел и множества В — двузначных чисел. Характеристическое
свойство множества А — «состоять из четных натуральных чисел»,
а характеристическое свойство множества В — «состоять из двузнач­
ных чисел». Тогда, согласно определению, пересечение данных мно­
жеств должно обладать свойством «состоять из четных натуральных
и двузначных чисел». Таким образом, множество А п В состоит из
четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить).
Полученное множество не пусто. Например, 24 е А п В, поскольку
число 24 четное и двузначное.
Рассмотрим теперь случай, когда находят пересечение множества
А и его подмножества В. Нетрудно видеть, что тогда А п В = В и,
следовательно, характеристическое свойство множества А гл В будет
таким, как и свойство множества В.
Упражнения
1.
2.
3.
4.
Сформулируйте условия, при которых истинны следующие
утверждения:
а) 5 е А п В\ б) 7 g А п В.
Известно, что jc е А. Следует ли из этого, что х <=А п В?
Известно, что х е А п В. Следует ли из этого, что х е А1
Найдите пересечение множеств А и В, если:
а) А = {а, Ь, с, d, e ,f} , В = {b, e , f к)\
б) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В = {17, 26, 58};
в) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В= {17, 26, 58, 5, 39, 81}.
19
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Из каких элементов состоит пересечение множества букв в слове
«математика» и множества букв в слове «геометрия»?
М — множество однозначных чисел, Р — множество нечетных
натуральных чисел. Из каких чисел состоит пересечение данных
множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?
А — множество точек окружности, В — множество точек пря­
мой /. Из скольких элементов может состоять пересечение дан­
ных множеств? Может ли оно быть пустым?
Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением:
а) был треугольник; б) был отрезок; в) была точка.
Используя координатную прямую, найдите пересечение множеств
решений неравенств, в которых х — действительное число:
а) х > -2 и х > 0; б) х > -3,7 и х < 4 ; в ) х > 5 и х < -7,5;
г) -2 < х < 4 и х > -1; д) -7 < х < 5 и -6 < х < 2.
Начертите две фигуры, принадлежащие пересечению множеств С
и D, если:
а) С — множество ромбов, D — множество прямоугольников;
б) С — множество равнобедренных треугольников, D — мно­
жество прямоугольных треугольников.
1.5. Объединение множеств
Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Об­
разуем множество D, в которое включим элементы, принадлежащие
хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множе­
ству В: D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Полученное множество D называют
объединением множеств А и В.
Объединением множ еств А и В называют множество, содержа­
щее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А
или множеству В.
Объединение множеств Л и В обозначают А и В. Таким образом,
по определению, A^ j В = { х \х <
е А или х е В}.
Если изобразить множества А и В с помощью кругов Эйлера, то
объединение данных множеств изобразится заштрихованной обла­
стью (рис. 1.8).
Выясним, как находить объединение множеств в конкретных
случаях.
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти
А и В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат
множеству Л или множеству В.
А как быть, если множества заданы характеристическими свой­
ствами? Из определения объединения следует, что характеристиче­
ское свойство множества А и В составляется из характеристических
свойств множеств А и В с помощью союза «или».
20
Найдем, например, объединение мно­
жества А — четных натуральных чисел и
множества В — двузначных чисел. Так как
свойство множества А — «состоять из четных
натуральных чисел», а свойство множества
В — «состоять из двузначных чисел», то в
объединение данных множеств войдут чет­
ные натуральные или двузначные числа.
Такие числа образуют бесконечное мно­
жество, но сформулированное характеристическое свойство по­
зволяет однозначно определять, содержится тот или иной элемент
в объединении множеств А и В или не содержится. Например,
в А и В есть число 8, поскольку оно четное; есть число 36 — оно
четное и двузначное.
Рассмотрим теперь случай, когда находят объединение множе­
ства А и его подмножества В. Нетрудно видеть, что тогда А и В = А и,
следовательно, характеристическое свойство множества А и В будет
таким, как и свойство множества А.
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Сформулируйте условия, при которых истинны следующие
утверждения: а) 5 е А и В\ б) 7 £ А и В.
Известно, что х е А. Следует ли из этого, что х е Л и В?
Известно, что х е А и В. Следует ли из этого, что х е А?
Найдите объединение множеств А и В, если:
а) А = {а, Ь, с, d, e,J), В = {b, e ,f, &};
б) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В = {17, 26, 58};
в) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В = {17, 26, 58, 5, 39, 81}.
Из каких элементов состоит объединение множества букв в слове
«математика» и множества букв в слове «геометрия»?
М — множество однозначных чисел, Р — множество нечетных
натуральных чисел. Из каких чисел состоит объединение данных
множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?
Используя координатную прямую, найдите объединение мно­
жеств решений неравенств, в которых х — действительное чис­
ло:
а) х > -2 и х > 0; б) х > -3,7 и х < 4 ; в ) х > 5 и х < -7,5;
г) -2 < х < 4 и х > -1; д ) - 7 < х < 5 и - 6 < х < 2 .
Начертите две фигуры, принадлежащие объединению множеств С
и D, если:
а) С — множество ромбов, D — множество прямоугольников;
б) С — множество равнобедренных треугольников, D — мно­
жество прямоугольных треугольников.
Назовите все множества, о которых идет речь в задаче.
21
а) У школы посадили 4 липы и 3 березы. Сколько всего дере­
вьев посадили у школы?
б) У Коли было 6 книг. В день рождения ему подарили еще 4
книги. Сколько книг стало у Коли?
1.6. Свойства пересечения и объединения
множеств
Из школьного курса математики известно, что операция, с по­
мощью которой находят сумму чисел, называется сложением. Над
числами выполняют и другие операции, например умножение, вы­
читание, деление; при этом результат умножения чисел называют
произведением, деления — частным, т. е. для операций над числами
и результатов этих операций существуют разные термины. Для рас­
смотренных операций над множествами ситуация иная: операции,
с помощью которых находят пересечение и объединение множеств,
называются соответственно пересечением и объединением.
Из школьного курса математики нам также известно, что опе­
рации над числами обладают рядом свойств. Например, сложение
действительных чисел обладает переместительным и сочетательным
свойствами: для любых действительных чисел а и b справедливо
равенство а + b = b + а, а для любых чисел а, Ь и с — равенство
(а + Ь) + с = а + (Ь + с).
Аналогичными свойствами обладает умножение действительных
чисел. Кроме того, для сложения и умножения выполняется рас­
пределительное свойство: для любых действительных чисел а, b и с
справедливо равенство: (а + Ь) с = а с + Ь с.
Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересечение
и объединение множеств.
Если обратиться к определениям пересечения и объединения
множеств, то можно увидеть, что в них не фиксируется порядок
оперирования множествами. Например, выполняя объединение,
можно к элементам одного множества присоединить элементы дру­
гого, а можно поступить наоборот: к элементам второго множества
присоединить элементы первого. (При этом надо только помнить,
что в новом множестве не должно быть повторяющихся элементов.)
Аналогичная ситуация и в случае, когда выполняется пересечение
множеств. Это означает, что пересечение и объединение множеств
обладают переместительным, или, как говорят в математике, ком ­
мут ат ивны м , свойством: для любых множеств^ и В выполняются
равенства: А п В = В г ^ А и А и В = В<иА.
Пересечение и объединение множеств обладают также сочета­
тельным, или ассоциативным, свойством: для любых множеств А,
В и С выполняются равенства:
22
а
б
Рис. 1.9
(А п В) п С = А гл (В п С) и ( ^ и й ) и С = Л и ( й и С ) .
Заметим, что назначение скобок в этих записях то же, что и в за­
писях операций над числами.
Эти свойства можно проиллюстрировать с помощью кругов Эй­
лера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения
множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пере­
секающихся кругов (рис. 1.9).
В выражении (Агл В) гл С скобки определяют следующий порядок
действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В (см.
рис. 1.9, а, вертикальная штриховка), а затем находят пересечение
полученного множества и множества С. Если выделить множество
С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды,
будет изображать множество (А гл В) гл С.
Представим теперь наглядно множество А гл (В гл С). В соот­
ветствии с указанным порядком действий сначала надо найти пере­
сечение множеств В и С (см. рис. 1.9, б, вертикальная штриховка),
а затем выполнить пересечение множества А с полученным множе­
ством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то
область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество
А гл (В гл С).
Видим, что области, представляющие на рис. 1.9 множества
(А п В) гл С н А гл (В п С), одинаковы, что и подтверждает справед­
ливость свойства ассоциативности для пересечения множеств.
Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности
и для объединения множеств.
В чем важность ассоциативного свойства пересечения и объеди­
нения множеств? Во-первых, можно находить пересечение и объеди­
нение трех множеств, зная, как это делать для двух. Во-вторых, на
основании этого свойства в выражениях А гл (В гл С), (А гл В)глС,
А и (■в и Q A A и й ) и С можно опускать скобки и писать А гл В гл С
или А и В и С, что облегчает запись.
23
Заметим, что с помощью кругов Эйлера свойства объединения и
пересечения множеств можно проиллюстрировать, но не доказать.
Рассмотрим доказательство свойства ассоциативности одной из
операций над множествами, например объединения, т.е. докажем,
что для любых множеств А, В и С справедливо равенство (А и В) и
и С = А и (В и С).
Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедиться в том,
что каждый элемент множества (А и В) и С содержится в множестве
А и (В и С), и наоборот.
1. Пусть х — любой элемент множества (А и В) и С. Тогда, по
определению объединения, х е А и В и л и х е С.
Если х е А и В, то, по определению объединения, х е А или х е В.
В том случае, когда х е А, то, также по определению объединения,
х е А и (В и С).
Если х е В, то имеем, что х е В и С, а значит, х е А и (В и С).
Случай, когда х е А и х е В, сводится к рассмотренным. Таким об­
разом, из того, что х е А 'и В, следует, что х е А и (В и С).
Если х е С, то, по определению объединения, х е В и С, и сле­
довательно, х е А и (В и С).
Случай, когда х е А 'и В и х е С, сводится к рассмотренным
выше.
И так, мы показали, что каждый элемент множества (А и
и В) и С содержится и в множестве А и (.В и С), т.е. (А и В) и
и С сА и (В и С ).
2. Пусть у — любой элемент множества А и (В и С). Тогда, по
определению объединения, у е А или у е В и С.
Если _у е /1, то, по определению объединения, у е ^ и В и, сле­
довательно, >> е (А и В) и С.
Если у е В и С, то у е В или у е С. В том случае, когда у е В,
у е А и В и, значит, у е (А и
и С. Когда же у е С, у е (А и В) и С.
Случай, когда у е В и у е С, сводится к уже рассмотренным.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества А и (■в и С) со­
держится в множестве (А и
и С, т. е. /4 и
и С ) с (А и Д) и С.
Согласно определению равных множеств заключаем, что (А и
и
и С =А и
и С), что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения
множеств.
Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается
в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих опе­
раций:
1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения мно­
жеств, т. е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство:
(А и В) п С = (А п С) и (В п С);
2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения мно­
жеств, т. е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство:
(А п В) и С = (А и С) п (В и С).
24
Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объеди­
нения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение,
гак как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем
объединение. В связи со сказанным запись дистрибутивного свойства
пересечения относительно объединения можно упростить, опустив
скобки в правой части равенства.
Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно
путем доказательства, которое аналогично доказательству свойства
ассоциативности объединения.
Проиллюстрировать свойства дистрибутивности можно, используя
круги Эйлера.
Если провести аналогию с действиями над числами, то можно
увидеть, что дистрибутивное свойство пересечения относительно
объединения «похоже» на распределительное свойство умножения
относительно сложения, при условии, что в качестве операции,
аналогичной пересечению, рассматривать умножение, а для объеди­
нения — сложение. Но для дистрибутивного свойства объединения
множеств относительно пересечения аналогичного свойства над
числами нет.
Действительно, наличие такого свойства означало бы, что для всех
чисел выполняется равенство a b + с = (а + с) (Ь + с), что невозможно.
Подмеченное отличие указывает на то, что наряду с тем, что пересе­
чение и объединение множеств обладают рядом свойств, аналогичных
свойствам сложения и умножения чисел, операции над множествами
обладают свойствами, которых нет у операций над числами.
Завершая рассмотрение свойств пересечения и объединения
множеств, отметим следующее. Понятие пересечения и объединения
множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:
А х n А2 п ... п Ап = {х | х е А х и х е Аг и ... и х е А„},
А\ и А 2 и ... и Ап = {х | х е А х или х е А 2 или ... или х е А„}.
Такое обобщение возможно, поскольку пересечение и объедине­
ние обладают свойством ассоциативности.
Упражнения
1.
2.
3.
Известно, что х е А п В. Следует ли из этого, что:
а) х е В п А; б) х е А и /?; в) х е В и А?
Определите порядок выполнения действий в следующих выра­
жениях:
а) А и В и С; б) А гл В и С п D;
в) А п В п С; г) А и В п С и D.
Постройте три круга, представляющие попарно пересекающиеся
множества Л, В и С, и отметьте штриховкой области, изображаю­
щие множества:
а) А п В п С; б) (А п В) и С; в) A kj В гл С\
25
г) А и В и С;
д) (А и В) п С; е ) ( Л и С ) п ( В и С ) .
Для каждого случая сделайте отдельный рисунок.
4 . Проиллюстрируйте, используя круги Эйлера, следующие свой­
ства:
а) ассоциативности объединения множеств;
б) дистрибутивности пересечения относительно объединения
множеств;
в) дистрибутивности объединения относительно пересечения
множеств.
5. Среди следующих выражений найдите такие, которые представ­
ляют собой равные множества:
а) Р гл М гл К\ 6) Р гл (М и К)\ в) Р гл М yj Р гл К\
г) (Р о М) п К\ д) Р u (М гл К); е) (Л/ u Р) гл (Р и К).
6. Даны множества: А — натуральных чисел, кратных 2; В — нату­
ральных чисел, кратных 3; С — натуральных чисел, кратных 5.
а) Изобразите с помощью кругов Эйлера данные множества
и отметьте штриховкой область, изображающую множество
А гл В и С.
б) Сформулируйте характеристическое свойство элементов
этого множества и назовите три элемента, которые ему при­
надлежат.
в) Верно ли, что А и В г л С = (А и В) гл (А и С)?
7. Даны множества: X — двузначных чисел, Y — четных натураль­
ных чисел, Р — натуральных чисел, кратных 4.
а) Укажите характеристическое свойство элементов каждого из
множеств А и В, если А = Xгл Y n Р, В = Xгл ( Y гл Р).
б) Изобразите множества X, Y и Р с помощью кругов Эйлера
и покажите области, представляющие множества Aw В (для
каждого случая выполните отдельный рисунок).
в) Верно ли, что 24 е А, а 23 е В1
8. А — множество треугольников, В — множество ромбов, С —
множество многоугольников, имеющих угол 60°. Укажите харак­
теристическое свойство элементов множества Х= А гл C kj В гл С
и начертите две фигуры, принадлежащие множеству X.
9. Докажите, что для любого множества А верны равенства:
а) А гл 0 = 0 ; б) А и 0 = А\ в) А гл А = А\ г) А и А = А.
10. Верно ли, что если А <= В, то
а) А гл В = А\
6) А<и В = В?
1.7. Разность множеств. Дополнение
подмножества
Если заданы два множества, то можно не только найти их пере­
сечение и объединение, но и разность.
26
Разностью множ еств А и В называют множество, содержащее
те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не
принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают А \ В. Тогда, по определе­
нию, имеем: А \ В = { х \ х & А м х <£ В}.
Если представить множества А и В с помощью кругов Эйлера, то
разность А \В изобразится заштрихованной областью (рис. 1.10).
Выясним, как находить разность множеств в конкретных случа­
ях.
Если элементы А и В перечислены, то, чтобы найти А \В , до­
статочно перечислить элементы, которые принадлежат множеству
А и не принадлежат множеству В. Например, если А = {с, d, e , f к),
И = {d, е, т, р}, то А \ В = {с,/, к).
Если множества А и В заданы характеристическими свойствами,
то характеристическое свойство множества А \ В будет таким: «со­
стоять из таких элементов, которые принадлежат множеству А и не
принадлежат множеству В». Например, если А — множество четных
натуральных чисел, а В — множество натуральных чисел, кратных 3,
то А \ В — множество четных натуральных чисел, не кратных 3.
В школьном курсе математики чаще всего приходится находить
разность множеств в случае, когда одно из них является подмноже­
ством другого, при этом разность множеств А \ В называют допол­
нением подмножества В до множества А и обозначают символом В'А
(рис. 1.11).
Пусть В а А. Дополнением подмножества В до множества А
называют множество, содержащее те и только те элементы мно­
жества А, которые не принадлежат множеству В.
Как уже было сказано, в случае когда В с А, А \ В = В ’А.
Из определения следует, что В'А = {х | х е А и х г В}.
Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных
примерах.
Если элементы множеств А и В перечислены и В с А, то, что­
бы найти дополнение множества В до множества А, достаточно
перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принад­
лежащие множеству В. Так, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В = {2, 4}, то
В'Л = { 1, 3, 5}.
Рис. 1.10
Рис. 1.11
27
В том случае, когда указаны характеристические свойства мно­
жеств А и В w известно, что В а А, то множество В'А задают также
с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х е А
и х £ В». Так, если А — множество четных чисел, а В — множество
чисел, кратных 4, то В'А — множество, содержащее такие четные
числа, которые не делятся на 4. Например, 22 е В'А, так как 22 е А
(т.е. оно четное) и 22 г В (т.е. оно не кратно 4).
Нахождение разности — это третья операция над множествами.
Нам известно, что пересечение множеств более сильная операция,
чем объединение. А как быть с разностью? Например, каков порядок
выполнения действий в выражении А \ В п С? Условились считать,
что пересечение — более «сильная» операция, чем нахождение раз­
ности. Поэтому порядок выполнения действий в выражении А \В п С
такой: сначала находят пересечение множеств В и С,а затем разность
множеств А и В п С.
Что касается объединения и нахождения разности множеств, то
их считают равноправными. Например, в выражении А \ В*и С надо
сначала найти разность множеств А и В, а затем полученное множе­
ство объединить с множеством С.
Разность множеств обладает рядом свойств. В частности, можно
доказать, что для любых множеств Л, В и С справедливы следующие
равенства:
1)(A \B)\C=(A \Q \B;
2) (А и В) \ С = (А \ Q и {В \ С);
3) (А \ В) п С = (А пС ) \ ( В п С);
4) А \ {В и С) = (А \ В) u (А \ Q ;
5) А \ (В о С) = (А \ В) п (А \ С).
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
28
Сформулируйте условия, при которых истинны следующие вы­
сказывания:
а) 5 е А \ В; б) 7 г А \ В.
Известно, что х е А \ В. Следует ли из этого, что:
а) х е А\ б) х е В?
Найдите разность множеств А и В, если:
а) Л = {1,2, 3,4, 5,6}, В = { 2, 4, 6, 8, 10};
б)Л = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,В = 0;
в)А = {\,2, 3,4, 5,6}, Д = {1, 3, 5};
г М = {1, 2, 3,4, 5,6}, В = { 6, 2, 3, 4, 5, 1}.
В каких случаях, выполняя упр. 3, вы находили дополнение под­
множества В до множества А1
Даны множества: А — натуральных чисел, кратных 3, В — на­
туральных чисел, кратных 9.
а) Сформулируйте характеристическое свойство множества В'А.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
б) Верно ли, что 123 е В'А, а 333 г В'А1
Покажите, выполнив чертеж, дополнение множества Y до мно­
жества X, если:
а) X — множество точек прямой АВ, Y — множество точек от­
резка АВ\
б) X — множество точек квадрата, Y — множество точек круга,
вписанного в этот квадрат.
Из каких чисел состоит дополнение:
а) множества натуральных чисел до множества целых;
б) множества целых чисел до множества рациональных;
в) множества рациональных чисел до множества действитель­
ных.
Постройте три круга, изображающие три попарно пересекающих­
ся множества А, В и С, и выделите каким-либо образом области,
представляющие множества:
а) А и В \ С,
б) А \ В о С;
в) А \ С и В \ С,
г) А \ В и С;
д) А \ (В и С); е) (А \ В) гл С.
Для каждого случая выполните отдельный рисунок.
Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера, что для любых
множеств А, В и С верны равенства:
а) А \ (В и О = (А \ В) u (А \ Q ;
б) А \ (В гл Q = (А \ В) гл (А \ Q ;
в) (А и В) \ С= (А \ С) и (В \ Q ;
г) (А \ В) п С = (A n Q \ (В п С).
А — множество натуральных чисел, кратных 7, В — множество
натуральных чисел, кратных 3, С — множество четных натураль­
ных чисел. Из каких чисел состоят множества:
а ) ( Л п £ ) \ С ; б) (Л и Я) \ С; в) А г л С \ В \ t) C kj B \ A 1
О какой операции и над какими множествами идет речь в сле­
дующих задачах.
а) У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товарищу. Сколько книг
осталось у Коли?
б) В зале было 100 стульев. После того как вынесли несколько
стульев, в зале осталось 86 стульев. Сколько стульев вынес­
ли из зала?
1.8. Понятие разбиения множества на классы
Понятия множества и операций над множествами позволяют
уточнить наше представление о классификации — действии рас­
пределения объектов по классам.
Классификацию мы выполняем часто. Так, натуральные числа
представляем как два класса — четные и нечетные. Углы на плоскости
разбиваем на три класса: прямые, острые и тупые.
29
Любая классификация связана с разбиением некоторого мно­
жества объектов на подмножества. При этом считают, что
множество Xразбито на классы Х ь Хъ ..., Х„,
если:
♦ подмножества Х ь Х2, ..., Х„, ... попарно не пересекаются;
♦ объединение подмножеств Х ь Х2, ..., Х„, ... совпадает с множе­
ством X.
Если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию счи­
тают неправильной. Например, если из множества X треугольников
выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разно­
сторонних треугольников, то разбиения мы не получим, поскольку
подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников
пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобе­
дренными). В данном случае не выполнено первое условие разбиения
множества на классы.
Так как разбиение множества на классы связано с выделением
его подмножеств, то классификацию можно выполнять с помощью
свойств множеств.
Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Оно об­
ладает различными свойствами. Положим, что нас интересуют числа,
обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет
выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее
из чисел, кратных3. Тогда про остальные натуральные числа можно
сказать, что они не кратны 3, т. е. получаем еще одно подмножество
множества натуральных чисел (рис. 1.12). Так как выделенные под­
множества не пересекаются, а их объединение совпадает с множе­
ством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на
два класса.
Вообще, если на множестве X задано одно свойство, то это мно­
жество разбивается на два класса. Первый — класс объектов, об­
ладающих этим свойством, второй — дополнение первого класса до
множества X. Во втором классе содержатся такие объекты множества
X, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию
называют дихотомической.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества за­
даны два свойства. Например, такие свойства натуральных чисел, как
«быть кратным 3» и «быть кратным 5». С помощью этих свойств из
множества N натуральных чисел можно выделить два
подмножества: А — подмножество чисел, кратных 3,
и В — подмножество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является
подмножеством другого (рис. 1.13). Проанализируем
получившийся рисунок. Конечно, разбиения множе­
ства натуральных чисел на подмножества А и В не
произошло. Но круг, изображающий множество N,
можно рассматривать как состоящий из четырех
Рис. 1.12
30
Рис. 1.13
Рис. 1.14
непересекающихся областей — на рисунке они пронумерованы.
Каждая область изображает некоторое подмножество множества
N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество
II — из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III — из
чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV — из чисел, не
кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств
есть множество N.
Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению
множества N натуральных чисел на четыре класса.
Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества
всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. На­
пример, с помощью таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть
кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса
(рис. 1.14): I — класс чисел, кратных 6; II — класс чисел, кратных 3,
но не кратных 6; III — класс чисел, не кратных3.
Упражнения
1.
2.
3.
Из множества X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделили
подмножества Х ь Х2 и Х 3. В каком из следующих случаев мно­
жество X оказалось разбитым на классы:
а) Х х = {1, 3, 5, 7, 11}, * 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, Х3 = {9};
б) Х х = {1, 3, 5, 7, 9, 11},
= {2, 4, 6, 8, 10, 12}, Х3 = {10, 11, 12};
в) Х х = {3, 6, 9, 12}, Х2 = {1, 5, 7, 11}, Х3 = {2, 10}?
Из множества Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделим под­
множества:
а) А — четных чисел, В — нечетных чисел;
б) А — чисел, кратных 2; В — чисел, кратных 3; С — чисел,
кратных 4;
в) А — нечетных однозначных чисел; В — четных двузначных
чисел.
В каком случае произошло разбиение множества X на классы?
Из множества треугольников выделили подмножества треуголь­
ников:
а) прямоугольные, равнобедренные, равносторонние;
б) остроугольные, тупоугольные, прямоугольные;
31
Рис. 1.15
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11 .
32
в) равносторонние, прямоугольные, тупоугольные.
В каком случае произошло разбиение множества треугольников
на классы?
На какие классы разбивается множество точек плоскости с по­
мощью: а) окружности; б) круга; в) прямой?
Перечертите фигуры, приведенные на рис. 1.15, и на каждой из
них выделите (различными видами штриховки) непересекающиеся области.
На множестве натуральных чисел рассматривается свойство
«быть кратным 7». Сколько классов разбиения множества N оно
определяет? Назовите по два элемента из каждого класса.
Из множества четырехугольников выделили подмножество фигур
с попарно параллельными сторонами. На какие классы разбива­
ется множество четырехугольников с помощью свойства «иметь
попарно параллельные стороны»? Начертите по два четырех­
угольника из каждого класса.
Изобразите с помощью кругов Эйлера множество N натураль­
ных чисел и его подмножества: четных чисел и чисел, кратных 7.
Можно ли утверждать, что множество N разбито:
а) на два класса: четных чисел и чисел, кратных 7;
б) на четыре класса: четных чисел, кратных 7; четных чисел,
не кратных 7; нечетных чисел, кратных 7; нечетных чисел,
не кратных 7?
На множестве четырехугольников рассматриваются два свойства:
«быть прямоугольником» и «быть квадратом». На какие клас­
сы разобьется множество четырехугольников с помощью этих
свойств? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.
Изменится ли ответ в упр. 9, если на множестве четырехуголь­
ников рассмотреть свойства:
а) «быть прямоугольником» и «быть ромбом»;
б) «быть прямоугольником» и «быть трапецией»?
На рис. 1.16 изображены множества: X — студентов группы, А —
спортсменов этой группы, В — отличников этой группы.
а) Укажите классы разбиения множества X, полученные с по­
мощью свойств «быть спортсменом» и «быть отличником»,
и охарактеризуйте каждый из них.
б) Сколько получилось бы классов разбие­
ния, если бы ни один отличник группы
не был спортсменом?
Выполните соответствующий рисунок и назовите
классы разбиения.
12 . Покажите, что решение нижеприведенных
задач связано с разбиением заданного мно- рис ^ 16
жества на классы.
а) 18 редисок связали в пучки по 6 редисок
в каждом. Сколько получилось пучков?
б) 18 карандашей раздали 6 ученикам поровну. Сколько каран­
дашей у каждого?
13 . О каких множествах и операциях над ними идет речь в ниже­
приведенных задачах.
а) С одной грядки сняли 25 кочанов капусты, а с другой — 15
кочанов. Всю эту капусту разложили в корзины, по 8 коча­
нов в каждую. Сколько потребовалось корзин?
б) Для школьного сада привезли 24 саженца яблонь. На одном
участке посадили 6 саженцев, а на другом — остальные, в
3 ряда поровну. Сколько саженцев посадили в каждом
ряду?
1.9. Декартово произведение множеств
Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре
двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53
записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные.
В том случае, когда важен порядок следования элементов, в матема­
тике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном
примере мы имели дело с упорядоченными парами.
Упорядоченную пару, образованную из элементов а и Ь, принято
записывать, используя круглые скобки: (а; Ь). Элемент а называют
первой координатой (компонентой) пары, а элемент b — второй
координатой (компонентой) пары.
Пары (а; Ь) и (с; d) равны в том и только в том случае, когда а - с
и b = d.
В упорядоченной паре (а; Ь) может быть, что а = Ь. Так, запись
чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3)
и (5; 5).
Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одно­
го множества, так и двух множеств. Пусть, например, А = {1, 2, 3},
В = {3, 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая ком­
понента принадлежала множеству А, а вторая — множеству В. Если
мы перечислим все такие пары, то получим множество: {(1; 3), (1; 5),
(2; 5), (2; 3), (3; 3), (3; 5)}.
33
Видим, что, имея два множества А и В, мы получили новое мно­
жество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел.
Это множество называют декартовым произведением множеств А
и В.
Д екарт овым произведением множеств А и В называют множе­
ство всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству
А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Ис­
пользуя это обозначение, определение декартова произведения можно
записать так:
А х В = {(х; у) | л: е А и у е В}.
Задача 1. Найдите декартово произведение множеств А и В,
если:
а) А = {т; р}, B ={ e , f , k}\
б)Л = Д = {3, 5}.
Решение, а) Действуем согласно определению — образуем все
пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая —
из В\
А х В = { ( т ; е), (m;f), (т; k), (р; е), ( p ; f ), (р; к)}.
б)
Декартово произведение равных множеств находят, образуя
всевозможные пары из элементов данного множества:
А х А = {(3; 3), (3; 5), (5; 3), (5; 5)}.
Выясним, какими свойствами обладает операция нахождения
декартова произведения. Так как декартовы произведения А х В
и В х А состоят из различных элементов, то декартово произведение
множеств А и В свойством коммутативности не обладает. Аналогич­
но рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполня­
ется и свойство ассоциативности. Но она дистрибутивна относи­
тельно объединения и вычитания множеств, т. е. для любых мно­
жеств А, В и С выполняются равенства:
(А и В ) х С = (Ах С) и (ВхС),
(А\В)хС=(АхС)\(ВхС).
Задача 2. Проверьте справедливость свойства дистрибутивности
декартова произведения относительно объединения, если:
А = {3; 4; 5}, В = { 5; 7}, С = { 7; 8}.
Решение. Найдем объединение множеств А и В: А и В ={3, 4, 5,
7}. Далее перечислим элементы множества (А и В)хС, используя
определение декартова произведения: (А и В ) х С = { ( 3; 7), (3; 8), (4;
7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.
34
Чтобы найти элементы множества (Ах С) и (В х С ), перечислим
сначала элементы множеств А х С и Их С:
А х С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)};
В х С = { ( 5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.
Найдем объединение полученных декартовых произведений:
(Ах С) и (ВхС) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7),
(7; 8)}.
Видим, что множества (A<j В ) х С и (Ах С) и (ВхС) состоят из
одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А,
В и С справедливо равенство (A*<j В ) х С = (АхС) и (ВхС).
Выясним теперь, как можно наглядно представлять декартово
произведение множеств.
Если множества А и В конечны и содержат небольшое число эле­
ментов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств
с помощью графа или таблицы. Например, декартово произведение
множеств А = {1, 2, 3} и В = {3, 5} можно представить так, как по­
казано на рис. 1.17, а, б.
Декартово произведение двух числовых множеств (конечных
и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так
как каждая пара чисел может быть единственным образом изобра­
жена точкой на этой плоскости. Например, декартово произведение
А х В множеств А = {1, 2, 3} и В = {3, 5} на координатной плоскости
будет выглядеть так, как показано на рис. 1.18.
Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох,
а элементы множества В — на оси Оу.
Такой способ наглядного представления декартова произведения
двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы
одно из них бесконечное.
Задача 3. Изобразить на координатной плоскости декартово
произведение А х В, если:
а) А = {1, 2, 3}, В = [3, 5];
б) А = [1, 3], В = [3, 5];
в) Л = R, Я = [3, 5];
r M = R, B = R .
А
1
2
3
В
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
5
(1,5)
(2,3)
(3,3)
У
5 Т f —Т
У
5
3— г
3
111
0
Рис. 1.18
12
3
*
Рис. 1.19
Решение, а) Так как множество А состоит из трех элементов,
а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая
и сами эти числа, то А х В будет состоять из бесконечного множества
пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, вторая —
любое действительное число из промежутка [3, 5]. Такое множество
пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится
тремя отрезками (рис. 1.19).
б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому пер­
вой координатой пары, принадлежащей множеству А х В, может быть
любое число из промежутка [1, 3], а второй — любое действительное
число из промежутка [3, 5], и, следовательно, точки, изображающие
элементы декартова произведения данных множеств A w В, образу­
ют квадрат (рис. 1.20). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова
произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата,
этот квадрат можно заштриховать.
в) Этот случай отличается от предыдущего тем, что множество
А состоит из всех действительных чисел, т. е. абсцисса точек, изобра­
жающих элементы множества А х В, принимает все действительные
значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3, 5].
Множество таких точек образует полосу (рис. 1.21).
г) Декартово произведение R x R состоит из всевозможных дей­
ствительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполня­
ют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение
R x R содержит столько же элементов, сколько точек находится на
координатной плоскости.
У
у
5
■
3
0
Рис. 1.20
36
3
*
0
Рис. 1.21
х
В математике и других науках рассматривают не только упорядо­
ченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и более
элементов. Например, запись числа 367 — это упорядоченный набор
из трех элементов, а запись слова «математика» — это упорядоченный
набор из десяти элементов.
Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают
по длине. Д лина кортежа — это число элементов, из которых он
состоит. Например, (3; 6; 7) — это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а,
т, и, к, а) — это кортеж длины 10.
Рассматривают в математике и декартово произведение трех, че­
тырех и вообще п множеств.
Д екарт овы м произведением множеств А ь Аг, ...,Ап называют
множество всех кортежей длины п, первая компонента которых
принадлежит множеству
вторая — множеству А ъ ..., п -я —
множеству Ап.
Декартово произведение множеств А ь А2, ..., А„ обозначают так:
А ххА2х ... хА п.
Задача 4. Даны множества: А, = {2, 3}, А г = {3, 4, 5}, А3 = {6, 7}.
Найти А ххА 2хА 3.
Решение. Элементами множества А {хА 2хА 3 будут кортежи длины
3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству A h вто­
рая — множеству А 2, третья — множеству А 3.
А, х А2х А 3 = {(2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 6), (2,5,7),
(3, 3, 6), (3, 3, 7), (3, 4, 6), (3, 4, 7), (3, 5, 6), (3, 5, 7)}.
Упражнения
1. Дано уравнение 2х - 3 = у. Запишите несколько решений
данного уравнения. Что представляет собой каждое решение?
Является ли пара (4, 5) решением данного уравнения? А пара
(5, 4)?
2 . Элементами множеств Аж В являются пары чисел:
А = {( 1, 12), (2, 9), (3,6), (4, 3), (5,0)},
В ={(1,9), (2, 7), (3,6), (4, 7), (5,0)}.
Найдите пересечение и объединение данных множеств.
3. Перечислите элементы декартова произведения А х В, если:
а) А = {а, Ь, с, d), В = {Ь, к, /}; б) А = В = {а, Ь, с};
в) А = {а, Ь, с}, В = 0 .
4 . Запишите различные двузначные числа, используя цифры 3,4 и 5.
Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры
3? Как связано решение данной задачи с понятием декартова
произведения множеств?
37
О
1 2 3 4 *
4х
а
Рис. 1.22
Даны два множества: А = {1, 3, 5} и В = {2, 4}. Перечислите эле­
менты множеств Лх.Я и ВхА. Верно ли, что:
а) множества А х В и В х А содержат одинаковое число элемен­
тов;
б) множества А х В и В х А равны?
6. Проверьте справедливость равенства
и В ) х С = (ЛхС) и
и (ВхС) для множеств А = {3, 5, 7}, В= {7, 9}, С= {0, 1}. Выпол­
няется ли для них равенство (А \ В) х С = (А х С) \ (Вх С)?
7. Сколько букв в слове «барабан»? Сколько различных букв в этом
слове?
Сформулируйте эту задачу, используя понятия множества и кор­
тежа.
8. Чем отличается множество цифр в записи числа 56576 от кортежа
цифр в его записи?
9 . Изобразите на координатной плоскости точки: (-1, 0), (-1, 4),
(3, 0), (3, 4) и последовательно их соедините. Какая фигура по­
лучилась?
10 . Какую фигуру образуют точки, если их абсциссы принадлежат
множеству [-2, 2], а ординаты — множеству [-3, 3]?
11. Изобразите в прямоугольной системе координат множество А х В,
если:
а) А = [-2, 2], В = {2, 3, 4}; б) А = [-2, 2], В = (2, 4);
в) Л = R, В =[2, 4].
12 . Определите, декартово произведение каких множеств Х и Y изо­
бражено на рис. 1.22, а...г.
5.
1.10. Число элементов в объединении
и разности конечных множеств
Нам известно, как находят объединение двух конечных непересекающихся множеств. Например, если А = {х, у, z}, а В = {к, I, т, р), то
А и В = {х, у, z, к, /, т, р). Чтобы ответить на вопрос: «Сколько эле­
ментов в полученном множестве?» — достаточно пересчитать их.
38
А как определять число элементов в объединении конечных мно­
жеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов?
Условимся предложение «Множество А содержит а элементов»
записывать в таком виде: п(А) = а. Например, если А = {х, у, z}, то
утверждение «Множество А содержит три элемента» можно записать
так: п(А) = 3.
Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов,
а в множестве В — b элементов и множества Aw В не пересекаются,
то в объединении множеств А и В содержится а + b элементов, т. е.
п(А и В) = п{А) + п(В) = а + b.
(1)
Это правило нахождения числа элементов в объединении двух
конечных непересекающихся множеств можно обобщить на случай t
попарно непересекающихся множеств, т.е. если множества А ЬА2, ...,
Л, попарно не пересекаются, то п(Ау и Аг и ... и А,) = n(At) + п(А2) +
+ ... + п(А,).
Пусть, например, А = {х, у, z}, В = {к, /, т, р }, С = {q, s}. Найдем
число элементов в объединении данных множеств.
Пересчитав элементы данных множеств, получаем, что п(А) =3,
п(В) = 4, п(С) = 2. Видим, что А п В = 0 , А п С - 0 , В гл С = 0 , т.е.
данные множества попарно не пересекаются. Тогда, согласно правилу
нахождения числа элементов в объединении конечных множеств,
получаем: п(А и й и С ) = п(А) + п(В) + п(С) = 3 + 4 + 2 = 9.
Таким образом, в объединении заданных трех множеств содер­
жится 9 элементов.
Нетрудно убедиться в том, что если В с А, то п(В'А) = п(А) - п(В),
i.e. число элементов дополнения подмножества В до данного конеч­
ного множества А равно разности численностей этих множеств.
Пусть, например, А = {х, у, z, Р, t}, а В = {х, р , t}. Найдем число
хмементов в дополнении подмножества В до множества А.
Пересчитав элементы множеств А и В, получаем, что п(А) = 5,
п(В) = 3. Тогда п{В'л) = п(А) - п(В) = 5 - 3 = 2. Таким образом, в до­
полнении множества В до множества Л содержится два элемента.
Формула (1) позволяет находить число элементов в объедине­
нии конечных непересекающихся множеств. А если множества
Л и В имеют общие элементы, то как найти число элементов в их
объединении?
Пусть, например, А = {х, у, z}, а В = {х, z, Р, s, к}. Тогда А и В=
{х, у, z, р, s, к}, т.е. если п(А) = 3, а п(В) = 5 и А г л В ф 0 , то
п(А и В) = 6. Нетрудно видеть, что в данном случае п(А п В) = 2 и,
шачит, общие элементы множеств А и В в объединении этих мно­
жеств записаны только один раз.
В общем виде правило подсчета числа элементов в объединении
двух конечных множеств может быть представлено в виде формулы:
п(А и В) = п(А) + п(В) - п{А гл В).
39
Рис. 1.23
г
V
л(С )=40
Полученные формулы для подсчета числа элементов в объеди­
нении и разности множеств можно использовать для обоснования
выбора действия при решении задач следующего вида.
Задача 1. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык,
21 — немецкий язык, а 15 — английский и немецкий языки. Сколь­
ко студентов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?
Решение. Пусть А — множество студентов курса, изучающих
английский язык, В — множество студентов курса, изучающих не­
мецкий язык, С — множество всех студентов курса. По условию
задачи: п(А) = 32, п(В) = 21, п(А п В) = 15, п(С) = 40. Требуется
найти число студентов курса, не изучающих ни английский, ни
немецкий язык.
1 способ.
1) Найдем число элементов в объединении данных множеств А
и В. Для этого воспользуемся формулой: п(А и В) = п(А) + п(В) - п(А п В) = 32 + 21 - 15 = 38.
2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни англий­
ский, ни немецкий языки: 40 - 38 = 2.
2 способ.
1) Изобразим данные множества с помощью кругов Эйлера
и определим число элементов в каждом из непересекающихся под­
множеств (рис. 1.23). Так как в пересечении множеств А и В содер­
жится 15 элементов, то студентов, изучающих только английский
язык, будет 17 (32 - 15 = 17), а студентов, изучающих только немец­
кий, — 6 (21 - 15 = 6). Тогда п{А и В) = 17 + 15 + 6 = 38, и, следова­
тельно, число студентов курса, которые не изучают ни английский,
ни немецкий языки, будет 40 - 38 = 2.
Упражнения
1.
40
Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 —
в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той, и в другой сек­
ции. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной,
ни в баскетбольной секции?
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9
10.
11.
В третьем классе дети коллекциони­
руют марки и монеты. Марки кол­
лекционируют 8 человек, монеты — 5
человек. Всего коллекционеров 11.
О бъясните, как это может быть.
Сколько человек коллекционируют
только марки? только монеты?
Из 38 учащихся класса 24 занимают­
ся в хоре и 15 — в лыжной секции.
Сколько учащихся занимается и в
хоре, и в лыжной секции, если в клас­ Рис. 1.24
се нет учащихся, не посещающих за­
нятий хора или лыжной секции?
В группе туристов, состоящей из 100 человек, 10 человек не знали
ни немецкий, ни французский языки, 75 знали немецкий, 83 —
французский. Сколько туристов знали два языка?
Катя положила в коробку 4 зеленых круга, 6 треугольников и 3
красных многоугольника. Всего в коробке оказалось 11 фигурок.
Сколько среди них красных треугольников?
В делегации 6 человек, знающих французский или немецкий
язык. Трое из них говорят только на французском, двое — только
на немецком. Сколько человек говорят на двух языках — фран­
цузском и немецком?
Правильно ли представлено на рисунке 1.24 условие следующей
задачи: «Из 100 человек английский язык изучают 28, немец­
кий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8,
английский и французский — 10, немецкий и французский — 5.
Все три языка изучают три студента. Сколько студентов изуча­
ет только один язык? Сколько студентов не изучает ни одного
языка?
Решите задачу из задания 7.
В школе 70 учеников. Из них 27 ходят в драмкружок, 32 поют
в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора,
в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, 3 спортсмена
посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре,
не увлекаются спортом и не ходят в драмкружок?
Даны 40 чисел. Из них 10 чисел кратны 3; 15 чисел кратны 2;
20 чисел не кратны ни 2, ни 3. Сколько среди данных 40 чисел,
кратных 6?
На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников
класса читал книги А, В и С. Результаты опроса оказались тако­
вы: книгу А читали 25 учащихся, книгу В — 22, книгу С — также
22. Книгу А или В читали 33 ученика, А или С — 32, В или С —
31; все три книги прочли 10 учащихся. Сколько учеников прочли
только по одной книге? Сколько учащихся не читали ни одной
из этих трех книг?
41
1.11. Число элементов в декартовом
произведении конечных множеств
Нам известно, как находят декартово произведение конечных
множеств. Например, если А = {х, у, z}, В = {т , р), то А х В = {(х, т),
(х , р ), (у, т), (у, р), (z , т), (z , p )}- Чтобы ответить на вопрос «Сколько
элементов в полученном множестве?», — достаточно пересчитать их.
А как определить число элементов в декартовом произведении мно­
жеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов?
Можно доказать, что если в множестве А содержится а элемен­
тов, а в множестве В — b элементов, то в декартовом произведении
множеств А и В содержится а -b элементов, т.е.
п{А х В) = п(А) ■п(В) = а ■Ь.
Правило распространяется на случай t множеств, т.е. п(Ахх А2х
х...хА,) = п(А,) ■п(А2) ■... •п(А,).
Например, если в множестве А содержится 3 элемента, в множестве
В — 4 элемента, в множестве С — 5 элементов, то в их декартовом
произведении будет содержаться 3-4-5 = 60 упорядоченных наборов
из трех элементов. Полученные формулы можно использовать при
решении задач следующего вида.
Задача 1. У Маши 3 различные юбки и 4 различные кофты.
Сколько различных комплектов, состоящих из юбки и кофты, она
может составить?
Решение. Пусть А — множество юбок у Маши, В — множество
кофт у нее. Тогда, по условию задачи, п(А) = 3, п(В) = 4. Требуется
найти число возможных пар, образованных из элементов множеств
А и В, т.е. п(АхВ). Но, согласно правилу, п( АхВ) = п(А) п(В) =
= 3 •4 = 12. Таким образом, из 3 юбок и 4 кофт Маша может составить
12 различных комплектов.
Задача 2. Сколько двузначных чисел можно записать, используя
цифры 5, 4 и 7?
Решение. Запись любого двузначного числа состоит из двух цифр
и представляет собой упорядоченную пару. В данном случае эти пары
образуются из элементов множества А = {5, 4, 7}. В задаче требуется
узнать число таких пар, т.е. число элементов в декартовом произве­
дении АхА. Согласно правилу, п(А хА) = п(А) ■п{А) = 3-3 = 9. Значит,
двузначных чисел, записанных с помощью цифр 5, 4 и 7, будет 9.
Часто при решении задач, аналогичных рассмотренным выше,
требуется не только ответить на вопрос о том, сколько существует
возможных вариантов ее решения, но и осуществить перебор этих
вариантов. Например, в задаче 2 можно предложить записать все
двузначные числа, используя цифры 5, 4 и 7.
42
Первая цифра
(цифра десятков)
Вторая цифра
(цифра единиц)
Полученное
число
55
54
5?
45
44
4?
?5
74
7у
Рис. 1.25
Для осуществления такого перебора строится схема, называемая
деревом возможных вариантов. Так, для задачи 2 она будет иметь
вид (рис. 1.25).
Эта схема действительно похожа на дерево, правда, растет оно
вниз и у него нет ствола. То, что дерево растет как бы «вверх нога­
ми», удобно при построении схем такого вида. Знак «*» изображает
корень дерева, ветвями которого являются различные варианты
решения задачи. Чтобы получить двузначное число, надо сначала
выбрать цифру десятков — для этого есть три варианта: 5, 4 или 7.
11оэтому из «*» проведены три отрезка и на их концах поставлены
цифры 5, 4 и 7. Затем надо выбрать цифру единиц, а для этого также
есть три варианта: 5, 4 или 7. Поэтому от цифр 5, 4 и 7 проведено по
три отрезка, на концах которых опять стоят цифры 5, 4 или 7. Чтобы
прочитать полученные варианты, надо пройти по всем ветвям по­
строенного дерева сверху вниз.
Упражнения
1.
2.
3.
Множество А содержит 7 элементов. Сколько элементов в мно­
жестве В, если декартово произведение А х В состоит из:
а) 42 элементов; б) 7 элементов; в) А х В = 0 .
Сколько различных наборов можно составить из книги и блокно­
та, если имеется 20 видов различных книг и 15 видов различных
блокнотов?
Решите нижеприведенные задачи методом перебора всех воз­
можных вариантов, а затем покажите, что решение этих задач
связано с определением числа элементов декартова произведения
множеств.
а) В костюмерной танцевального кружка имеются белые и ро­
зовые кофты, а также синие, черные и коричневые юбки.
Сколько можно из них составить различных костюмов?
б) Сколько трехзначных чисел можно составить, используя
цифры 4 и 7?
43
в) На вершину горы ведут две дороги. Сколькими способами
можно подняться и спуститься с нее?
Решите следующие задачи, построив дерево возможных вариан­
тов.
а) У продавца имеется три вида мороженого: клубничное, сли­
вочное и ореховое. Наташа и Катя решили купить по одной
порции. Сколько существует вариантов такой покупки?
б) В понедельник в первом классе должно быть три урока:
математика, чтение и физкультура. Сколько различных ва­
риантов расписания можно составить на этот день?
в) Туристическая фирма планирует посещение туристами
в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколь­
ко существует вариантов такого маршрута?
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа