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Liene de Mathématiques
Université de Nie Sophia Antipolis
Algèbre effetive
2014-2015
Cours 12 : Fatorisation dans
Z/pZ [x], p
premier
On souhaite déomposer un polynme F (x) en produit de fateurs irrédutibles dans Z/pZ [x].
Pour la simpliité de l'exposé on supposera F (x) sans fateur multiple, on peut toujours se ramener à e as, un ritère simple est donné par le lemme suivant :
soit k un orps et F (x) un polynme dans k [x],
si pgd(F (x), F ′ (x)) = 1 alors F (x) est sans fateur multiple.
Lemme :
Si pgd(F (x), F ′ (x)) 6= 1 et F ′ (x) 6= 0 on reommene ave pgd(F (x), F ′ (x)) et pgd(FF (x)
(x),F ′ (x))
(il existe des algorithmes plus eaes, voir le TP 5).
Si F ′ (x) = 0 et F (x) n'est pas une onstante 'est que F (x) = F˜ (xp ) = (F˜ (x))p
on reommene ave F˜ (x).
On peut démontrer que
p
Proposition : L'appliation B : G(x) → G (x) − G(x)
(mod F (x)) de Z/pZ [x] /(F (x)) dans
lui-même est une appliation linéaire.
et si la déomposition de F (x) en produit de fateurs irrédutibles est F1 (x) × · · · × Fk (x)
où les Fi (x) sont irrédutibles et premiers entre eux puisque F (x) est sans fateur multiple
Théorème
: les éléments du noyau de B sont les solutions des problèmes hinois :


 G(x) = a1
..
.
..
.

 G(x) = a
k
(mod F1 (x))
où les ai ∈ Z/pZ.
(mod Fk (x))
En partiulier la dimension du noyau est le nombre k de fateurs irrédutibles.
Un exemple dans
Z/2Z [x]
Soit F (x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 dans Z/2Z [x]
1. F (x) est-il sans fateur multiple ? On alule le pgd(F (x), F ′ (x)) :
F ′ (x) = x4 + x2 + 1 et F (x) = F ′ (x)(x2 + x) + 1 don pgd(F (x), F ′(x)) = 1.
F (x) est sans fateur multiple.
2. On alule la matrie de l'appliation B dans la base 1, x, x2 , x3 , x4 , x5 de Z/2Z [x] /(F (x)) :
l'image de 1 est 0, elle de x est x2 − x = x2 + x, elle de x2 est x4 − x2 = x4 + x2 ,
elle de x3 est x6 − x3 (mod F (x)) = x5 + x4 + x2 + x + 1,
elle de x4 est x8 − x4 (mod F (x)) = x4 + x,
elle de x5 est x10 − x5 (mod F (x)) = x5 + x3 .
Il est astuieux pour faire les deux derniers aluls de réutiliser le alul préédent.
On a don la matrie





B=



0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1







3. Il faut aluler une base du noyau de B. Les équations sont

a3




a1 + a3 + a4



a1 + a2 + a3
a5




a2 + a3 + a4



a3 + a5
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0

a3



a5
qui se réduisent au système libre
a1 + a2



a1 + a4
=
=
=
=
0
0
0
0
Attention la rédution doit être faite dans Z/2Z.
La dimension du noyau est don 2 (déni par 4 équations indépendantes dans un espae
de dimension 6), on sait don que F (x) est le produit de deux fateurs irrédutibles.
Une base possible du noyau est formée du veteur (1 0 0 0 0 0) qui orrespond aux
onstantes et qu'on retrouvera dans le noyau de B quelque soit le polynme F (x) et du
veteur (0 1 1 0 1 0) qui orrespond au polynme G(x) = x4 + x2 + x.
4. On sait que F (x) divise G2 (x)−G(x) = G(x)(G(x)−1). En alulant les pgd(F (x), G(x))
et pgd(F (x), G(x) − 1) on obtiendra les fateurs irrédutibles de F (x).
On alule le pgd(F (x), G(x)) :
x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x4 + x2 + x)(x2 + x) + x3 + x + 1
x4 + x2 + x = (x3 + x + 1)x + 0
Don pgd(F (x), G(x)) = x3 + x + 1 et on a le premier fateur de F (x).
Pour obtenir le seond fateur on peut aluler le pgd(F (x), G(x) − 1) mais il est plus
simple de diviser F (x) par le premier fateur trouvé :
x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x3 + x + 1)(x3 + x2 + 1) et on a la déomposition de
F (x) en fateurs irrédutibles.
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