close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Участник №2;pdf

код для вставкиСкачать
7656
УДК 681.5.09
О ВЫЧИСЛЕНИЯХ ПАРАМЕТРА
ПОТОКА ПЕРЕХОДОВ В ЛОГИКОВЕРОЯТНОСТНЫХ НАДЕЖНОСТНЫХ
МОДЕЛЯХ
А.С. Степанянц
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН
Россия, 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: логико-вероятностные модели, надежность, параметр потока отказов,
методы вычисления, коэффициент готовности
Аннотация: Рассматривается класс логико-вероятностных моделей вычисления показателей надежности, технической эффективности, безопасности. Проводится анализ методов вычисления показателей. В работе говорится о недостатках единственного известного метода вычисления параметра потока отказов и отсутствии методов вычисления параметра потока переходов в многоуровневых моделях. Предлагаются разработки по методам вычисления указанных показателей.
1. Введение
В логико-вероятностных надежностных моделях принципиально подлежат вычислению лишь так называемые дифференциальные показатели [1], т.е. показатели некоторого состояния или перехода в заданный момент времени T или их стационарное значение. Такими показателями в моделях надежности являются:
 коэффициент готовности (вероятность пребывания системы в работоспособном состоянии в момент времени Т);
 параметр потока отказов (производная в момент времени T от среднего числа отказов).
В современных системах (технологических комплексах, системах управления) достижение высоких показателей эффективности функционирования, надежности, безопасности обеспечивается не только выбором более надежных элементов системы, резервированием, но и реализацией многоуровневого функционирования системы. В
классических двухуровневых моделях надежности систем все множество состояний
системы разбивается на два класса – класс работоспособных состояний (уровень эффективности Еmax, в частности 100%) и класс неработоспособных состояний (уровень
эффективности Е00, в частности 0%). «Надежностное поведение» многоуровневых
систем характеризуется тем, что при возникновении отказов уровень эффективности
функционирования Ei может снижаться и принимать промежуточные между Еmax и Е0
дискретные значения Е0 < Е1< ··· < Еmax. Формализация таких систем осуществляется
немонотонными логическими функциями алгебры логики (ФАЛ) относительно каждого уровня эффективности функционирования [2, 3]. Показателями для многоуровневых
логико-вероятностных моделей систем (пространство состояний системы представляXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7657
ется классами, соответствующими уровням эффективности функционирования, критичности по опасности неработоспособных состояний) являются:
 распределение вероятностей пребывания в момент времени T по классам состояний;
 параметры потока переходов в выделенные классы состояний;
 средняя эффективность в момент времени Т (коэффициент сохранения эффективности в момент времени Т).
Большинство работ по методам оценки показателей надежности, безопасности,
технической эффективности систем в классе логико-вероятностного моделирования
посвящены вычислениям вероятности выполнения (истинности) некоторой логической
функции, определенной на булевских переменных (элементах системы). То есть – вычислениям вероятности застать систему в определенном логической функцией классе
состояний (в частности – коэффициента готовности). Относительно параметра потока
отказов можно сказать, что до недавнего времени был широко известным только один
метод вычисления, основанный на теореме вероятности суммы событий [4,5]. В 2007,
2009 г.г. вышли работы [6,2], в которых предлагается другой метод вычисления параметра потока отказов. В настоящей работе изложим основные результаты работы [6] и
метод вычисления параметра потока переходов в интересующие аналитика классы состояний многоуровневых моделей надежности, технической эффективности, безопасности.
2. Вычисление параметра потока отказов методом
рекурсивного наращивания переменных
Пусть элементы системы xi , i=1,n и система S(x), x={xi} могут находиться в двух
состояниях – работоспособном и неработоспособном
1, когда элемент i работоспос обен
xi  { 0 , когда элемент i отказал
(1)
,
1, когда система работоспос обна
S ( x )  { 0 , когда система отказала
.
(2)
Пусть состояние системы полностью определяется состоянием в момент t ее элементов. Обозначим: A={Aj} – множество всех минимальных путей работоспособности
системы, C={Cj} – множество всех минимальных сечений неработоспособности системы.
Тогда работоспособность системы в момент t записывается как

r
(3)
S ( x,t ) = A j   1 ,
 j 1 
а неработоспособность

l
(4)
S ( x,t ) = C j   1 .
 j 1 
Каждый минимальный путь (сечение) представляет собой конъюнкцию некоторого
набора из работоспособных (отказавших) элементов x={xi}.
Коэффициенты готовности и простоя системы определяются по следующим выражениям:


(5)
r
l
j 1
j 1
P{ S ( x,t ) = 1} = P{ S ( x,t ) = 0 } = P{  A j  1}  1 - P{  C j  1} ,
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7658
(6)
P{ S ( x,t )=0 } = P{ S ( x,t ) = 1 } = P{
l

j 1
r
C j  1 }  1 - P{  A j  1} ,
j 1
где P{} – вероятность наступления в момент t заключенного в скобки события.
Для вычисления коэффициента готовности (простоя) системы предложено большое
число методов и алгоритмов. Основной направленностью этих разработок является
стремление повысить эффективность преобразований логических выражений (3) и /или
(4) для получения вероятностей (5) и /или (6). Проблема заключается в экспоненциальном росте вычислительной сложности при росте размерности системы (числа элементов, числа минимальных путей, сечений). Так, при вычислении коэффициента простоя
по (6) с применением метода, использующего формулу вероятности объединения совместных событий, получим следующее выражение
l
(7)
l 1
C
l
Q( t )   P{ Ci1 }    P { Ci1
i1 1
 (  1 )l 1 P{ C1
i1 1 i2 i1
 C    C }.
2
l  2 l 1
i2
l
}    P{ Ci1
C C
i1 1 i2 i1 i3 i2
i2
i3
} 
l
Число слагаемых в правой части (7) будет 2l  1 . Сложной задачей является также
алгоритмизация нахождения пересечений символьных подмножеств путей, сечений.
Например, тестовый пример корабельной электроэнергетической системы, известный
под названием «задача № 35 И.А.Рябинина» [7], имеет 15 элементов, 31 минимальное
сечение и 92 минимальных пути (231 > 2·109). В программных продуктах, реализующих этот метод вычисления показателей надежности (например, Risk Spectrum), вынуждены отказываться от получения точных значений показателей и ограничиваться приближенными, которые при невысоких надежностях элементов дают слишком грубую
оценку. Отметим весьма эффективные (в постановке (5), (6)) методы вычисления коэффициента готовности (простоя) систем, предложенные в [8-14].
Параметр потока отказов системы есть ожидаемое появления отказа системы в момент времени t (т.е. на (t, t+∆t) при ∆t→0), что означает возникновение по крайней мере
одного сечения в момент времени t+∆t. Пусть ei – событие появления i-го сечения в (t,
t+Δt), где ei(t+Δt) – конъюнкция ni переменных (элементов), образующих сечение Сi.
Появление ei на Δt означает (при ординарном потоке отказов), что в момент t неработоспособными были (ni – 1) элементов сечения Сi (это событие обозначим через ei' ) и
произошел отказ на Δt одного (работоспособного в момент t) элемента. Вероятность
появления на Δt сечения ei определится по формуле полной вероятности так:
(8)
ni
ni
ji 1
gi  ji
P{ ei }  ωi* ( t )t   [ ω ji ( t ) Qgi ( t ) ] t ,
где ω ji ( t ), Qgi ( t ) – параметр потока отказов и коэффициент простоя (неготовность)
элементов ji, gi в момент времени t; ωi* (t) – параметр потока отказов, обусловленный
появлением сечения Ci.
Известный [4, 5] метод вычисления параметра потока отказов ωS также основывается на формуле (7):
(9)
ωS t  P{ ( S ( x ,t ) = 1)
 (  e )}  P{  e }  P{ ( S( x ,t ) = 0)  (  e )}  .
l
l
i
i 1
l
i
i 1
i
i 1
( ωS 1  ωS 2 )t
Вычисление по (9) еще более трудоемкая задача (более чем в 3 раза), чем вычисление коэффициента готовности по (7).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7659
Эффективным способом решения проблем размерности в задачах анализа надежности является декомпозиция структуры системы или логического описания. При декомпозиции структуры системы можно выделить:
1) Односвязную декомпозицию, когда выделяемые подсистемы (звенья, модули, …)
связываются друг с другом только через две свои вершины, причем одна вершина
является входом (ребра связей в нее только входят), а другая – выходом (ребра связей из нее только выходят), т.е. имеем последовательное соединение подсистем.
Каждая из подсистем может представлять собой резервированную структуру с некоторой логической функцией (в общем случае k из m) в выходной вершине (или
элементе). В данном способе нет сложностей с вычислением и агрегированием показателей надежности, безопасности, технической эффективности.
2) Многосвязную декомпозицию, когда выделяемые подсистемы могут иметь любое
число входов и выходов. Сохраняются лишь следующие ограничения (ацикличность связей):
 все входные вершины подсистемы Lk являются либо головными, либо связаны с
другими (не входящими в Lk ) элементами посредством входящих в Lk ребер;
 все выходные вершины являются либо конечными, либо связаны с другими элементами посредством исходящих из Lk ребер.
Сложностей в этом способе много как в выделении таких подсистем, так и в агрегировании некоторых показателей (например, параметра потока отказов). Но эффективность его может оказаться очень высокой при решении проблем размерности, и
при учете особенностей «надежностного поведения».
3) Декомпозицию, связанную с разложением по полной группе событий относительно
выделенных элементов, блоков, …, событий.
4) Логическую декомпозицию. В этом способе, не предусматриваются какие-либо
преобразования исходной структуры системы. На более простые части разбивается
сама задача надежностного моделирования. Это достигается разделением общего
логического критерия работоспособности, отказа на несколько частных и установлением связи (лучше арифметической) их с системной функцией. Одним из способов агрегирования показателей может быть применение теоремы суммирования вероятностей совместных событий, что позволит получать двухсторонние оценки показателей.
Способы декомпозиции, особенно приведенные в п.п. 1 и 3, известны [4,7,9] и широко применяются, но преимущественно для вычисления коэффициента готовности
(простоя). Предлагаемый в статье метод вычисления параметра потока отказов основывается на декомпозиции по п.3. Для снижения трудоемкости расчетов целесообразно
также применять декомпозицию по п. 1. Выражения для вычисления параметра потока
отказов при декомпозиции по п.1 с выделением параллельных и последовательных
групп элементов и «свертка» их в один элемент с эквивалентным параметром потока
отказов имеют следующий вид:
 m параллельно соединенных элементов, когда для работоспособности требуется
один (1 из m)
(10)

m
m
j 1
g j
ω1 из m { t }   [ ω j ( t ) Qg ( t ) ] ;
m последовательно соединенных элементов, когда для работоспособности требуются все m (m из m)
(11)
m
m
j 1
g j
ωm из m { t }   [ ω j ( t ) Rg ( t ) ] ;
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7660

m параллельно соединенных элементов, когда для работоспособности требуются k
элементов (k из m)
(12)
ωk из m { t } 
m
 Qi1 Qi2 Qimk
i1 i2 im  k
[
 R ( t ) ]] .
m
m

j 1 , j i1 ,i2 ,im  k
[ ωj( t )
g
g 1 ,g  j ,i1 ,i2 ,im  k
где Ri ( t ), Qi ( t )  1  Ri ( t ), ωi ( t ) - коэффициент готовности, коэффициент простоя,
параметр потока отказов элемента i.
Выражения (10–12) могут быть получены из (9), либо непосредственно из
(13)
ωS  P{ ( S ( x ,t) = 1)
 (  e )} .
l
'
i
i 1
Схемы резервирования k из m часто осуществляются из m одинаковых элементов, тогда
выражение (12) примет вид
ωk из m { t }  Cmmk Q mk ( t )k ω( t )R k 1 ( t ) ,
(14)
где Cmmk – число сочетаний из m элементов по (m – k).
В [6] предложен метод рекурсивного наращивания переменных для вычисления коэффициента готовности (простоя). Суть его в следующем. Пусть
p (k)  P{ S ( x1 ,...,xk ;t )=1 /xk 1  1,xk  2  1,...,xn  1 }
(15)
.
r (k)  P{ S ( x1 ,...,xk ;t )=1 /xk 1  0 ,xk  2  1,...,xn  1 }
Вычисления проводятся по формуле
p ( k 1 )  Rk 1 ( t ) p ( k )  Qk 1 ( t )r ( k ) ,
(16)
где Rk 1 ( t )  1  Qk 1 ( t )  P{ xk 1 ( t )  1 },
p( 0 )  1 .
Последовательно вычисляя p ( 1 ) , ... , p ( n ) , на последнем n-м шаге рекурсии получим коэффициент готовности системы.
Подход рекурсивного наращивания переменных (15,16) применим и для вычисления параметра потока отказов. Пусть
ω ( t )t  P{( S ( x ,t ) = 1)
(k )
( e ) / x
l
'
i
k 1
i 1
(17)
v
(k )
( t )t  P{( S ( x ,t ) = 1)
( e ) / x
l
i 1
'
i
k 1
 xk  2    x n  1 }
 0 , xk  2    xn  1 }
.
Параметр потока отказов системы рекурсивно вычисляется следующим образом:
xk 1
ω( k 1 ) ( t )  Rk 1 ( t )ω( k ) ( t )  Qk 1 ( t )v( k ) ( t )  Pпредотк
( t )ωk 1 ( t ),
(18)
,
ω( 0 ) ( t )  0 , ωсист ( t )  ω( n ) ( t )
где
(19)
xi
Pпредотк
(t )  Rсист (t ) /{xi  1}  Rсист (t ) /{xi  0}
x k 1
и на (k+1) шаге рекурсии Pпредотк
(t )  p ( k )  r ( k ) , k =(0,1, …, n–1).
3. Вычисление параметра потока переходов в немонотонных
логико-вероятностных моделях
Методы вычисления вероятности застать систему в момент времени t в подмножестве состояний Ei, соответствующем немонотонной ФАЛ (коэффициент готовности относительно состояний Еi), известны и не представляют принципиальных трудностей, а
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7661
методы вычисления параметра переходов между классами состояний Еi, Еj – неизвестны. Так, в наиболее развитых программных комплексах надежностного моделирования
и анализа (Relex (новое название Windchill Quality Solutions), Isograph, RAM
Commander) не вычисляются параметры потока переходов для немонотонных моделей.
В многоуровневых моделях функционирования, отказов систем среднее (по уровням) значение интегральной эффективности на интервале (0,t) Е(0,t) может быть представлено так:
(20)
t
t
0
i,j 0
E(0,t)    Pri ( t )  hi dt    i , j ( t )  hi , j dt ,
i
где Pri(t) – вероятность застать систему в момент t в i-ом состоянии; i,j – параметр потока переходов из i-го состояния в j-ое; hi – доход (потери) в единицу времени от пребывания системы в состоянии i; hi,j – единовременные доходы (потери) за переход.
Первый интеграл определяет среднее время пребывания системы на интервале (0,t)
в каждом из состояний, умноженное на доход в единицу времени пребывания в каждом
из состояний. А второй интеграл – среднее число переходов между выделенными состояниями, взвешенное доходами (потерями) от каждого перехода.
Известная традиционная оценка средней эффективности E(t), а в последнее время и
риска, в момент времени t по выражению
E(t)   Pri ( t )  Ei ( t) ,
(21)
i
где Ei(t) – эффективность (а для риска – потери) в состоянии i (в частности, Ei(t) может
быть равно hi), в таком случае даст слишком оптимистический результат.
Немонотонные логико-вероятностные модели систем не могут быть представлены
логическим выражением, содержащим только работоспособные наборы элементов (например, как при задании множества минимальных путей работоспособности системы)
или содержащим только неработоспособные наборы элементов (например, как при задании множества минимальных сечений отказа системы). Немонотонные модели формализуют некоторые, можно сказать «промежуточные», состояния системы, в которых
обязательно присутствуют как отказавшие наборы элементов, так и работоспособные.
На рис. 1 приведен вид некоторой надежностной модели в виде графа состояний и переходов системы. Стрелки от состояний с меньшими номерами к состояниям с большими – это потоки отказов элементов, а стрелки от состояний с большими номерами к
состояниям с меньшими – это потоки восстановления элементов.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7662
1
3
2
4
5
Ej
6
···
n-1
n
Рис. 1. Надежностная модель в виде графа состояний и переходов.
Пусть обведенные состояния 4, 5, n–1 определяют класс (подмножество) состояний
системы, в которых эффективность функционирования составляет уровень Еj. Тогда
переходы в это подможество состояний определяются как потоком отказов по стрелкам
из состояний с меньшими номерами в соответствующие состояния данного подмножества, так и параметром восстановления – по стрелкам из состояний с большими номерами в соответствующие состояния с меньшими номерами данного класса состояний.
Логическая функция Y ( E j ) , выделяющая класс состояний, эквивалентных промежуточному уровню Еj, может быть разделена на две составляющие A и B , объединенных конъюнкцией
Y( E j )  A  B ,
(22)
где А – логическое выражение работоспособности части структуры системы, необходимой для обеспечения уровня не ниже Еj;
B - логическое выражение неработоспособности части структуры системы, что не позволяет системе работать на уровне выше Еj.
Вычисление параметра потока переходов из подмножества состояний Y ( E j ) в
подмножество Y ( E j ) проводится следующим образом:
1) Выражение (22) необходимо представить в дизъюнктивной нормальной форме
(ДНФ), где каждая конъюнкция будет содержать как работоспособные в момент
времени t элементы (из составляющей А выражения (22); обычно в виде минимальных путей), так и неработоспособные элементы (из составляющей B выражения
(22); обычно в виде минимальных сечений). Элементы составляющих помечаются,
чтобы для одних записывать параметр потока восстановлений (для элементов составляющей А), а для других (для элементов составляющей B ) – параметр потока
отказов.
2) Пусть ei – событие появления i-й конъюнкции (содержащей пересечение одного сечения из B и одного пути из А) в (t, t+Δt), т.е. i-я конъюнкция имеет вид Кi=Сi  Пi,
причем в Сi и Пi нет общих элементов. Появление ei на Δt означает (при ординарном
потоке отказов, восстановления):
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7663


в момент t неработоспособными были (ni – 1) элементов сечения Сi (ni число элементов сечения Сi) и произошел отказ на Δt одного (работоспособного в момент t)
элемента; при этом все элементы пути Пi – работоспособны; либо
в момент t работоспособными были (hi – 1) элементов пути Пi и произошло восстановление одного (неработоспособного в момент t) элемента; при этом все элементы
сечения Сi – неработоспособны.
Вероятность появления на Δt конъюнкции ei определится по формуле полной вероятности так
hi
ni
ni
r 1
ji 1
gi  ji
P{ ei }  w*i ( t )t   Rr ( t ) [ w ji ( t ) Qgi ( t ) ] t 
ni
hi
hi
 Q ( t ) [
r
r 1
ji 1
ji
,
( t ) Rgi ( t ) ] t
gi  ji
где w ji ( t ), ji ( t ),Qr ( t ), Rr – параметр потока отказов и восстановления элементов ji,
а также коэффициент простоя и коэффициент готовности элементов r, gi в момент t;
w*i (t) – параметр потока переходов, обусловленный появлением конъюнкции Кi.
3) Далее вычисления можно проводить с использованием (7) либо применить рекурсивную процедуру в соответствие с (17-19), причем для параметра потока восстановления выражения (17, 18) примут вид:
 k ( t )  t  P{( S(x,t) = 0)  ( i ) / xk 1  0 , xk 2    xn  1 }
r
i 1
 k ( t )  t  P{( S(x,t) = 0)  ( i ) / xk 1  xk 2    xn  1 }
r
i 1

k 1
( t )  Qk 1 ( t )  ( t )  Rk 1 ( t )   k ( t )  ( p k  r k )  k 1 ( t ),
k
 0( t )  0
где  k , k – условные параметры потока восстановления системы на k-ом шаге рекурсии;  k1 – параметр потока восстановления элемента k+1;  – множество минимальных путей попадания в состояния, определяемые логической функцией Y ( E j ) .
Практическое применение методологии анализа надежности многоуровневых систем с оценкой вероятностей пребывания на каждом уровне эффективности функционирования, параметров переходов между уровням и средних времен пребывания на уровне осуществлялось при техническом проектировании вариантов развития Кольцевого
Газопровода Московской области (КГМО) [3]. По вычисленным показателям оценивался основной показатель – коэффициент сохранения эффективности газоснабжения.
«Укрупненная» структура системы такова. Три компрессорные станции КГМО (КС
Воскресенск, КС Яхрома, КС Серпухов) расположены вокруг Москвы. Все компрессорные станции соединяются между собой двумя нитками линейной части магистрального газопровода. К образованному таким образом кольцу в местах расположения каждой компрессорной станции КГМО подводится снаружи газ с трех разных направлений, причем с каждого одного направления газ подводится только к одной КС КГМО.
Газ может подводиться как к компрессорной станции КГМО (которая закачивает его в
газопровод), так и непосредственно в газопровод, минуя компрессорную станцию. Каждая, подводящая газ к КГМО, подсистема состоит из своих компрессорных станций и
магистральных трубопроводов, соединяющих их между собой и с КС КГМО. Элементами надежностной модели КГМО являются компрессорные станции, межкрановые
участки кольцевого магистрального трубопровода, соединяющего компрессорные
станции КГМО, магистральные трубопроводы и компрессорные станции подвода газа к
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7664
КГМО. В компрессорные станции входят газоперекачивающие агрегаты пылеуловители, фильтры-сепараторы, аппараты воздушного охлаждения, трубопроводы подачи/отвода газа. Модель КГМО в целом многоуровневая, т.е. при отказах элементов
КГМО и/или подводящего оборудования эффективность газоснабжения снижается от
100%-го уровня до некоторых дискретных уровней, меньших 100%.
4. Заключение
1) Разработаны методы вычисления параметра потока отказов в монотонных и немонотонных логико-вероятностных моделях, что позволяет адекватно исследовать надежность многоуровневых систем сложной структуры, вычислять показатели риска,
технической эффективности.
2) Методология анализа надежности и эффективности многоуровневых систем применялась при проектировании развития Кольцевого Газопровода Московской области.
3) В настоящее время проводятся исследования направленные на вычисления параметра потока переходов в монотонных и немонотонных логико-вероятностных моделях методом подстановки специально сконструированных выражений в ортогональные формы логического выражения, полученного для вероятностей пребывания
в выделенных подмножествах состояний.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Викторова В.С. , Степанянц А.С. Использование модулей Relex при анализе надежности и безопасности систем
// Надежность. 2004. № 2 (9). С. 64-71.
Stepanyants A., Victorova V. Failure frequency calculation technique in logical-probabilictic models // Reliability &
Risk Analysis: Theory & Applications // Electronic Journal of International Group on Reliability. 2009. Vol. 2, No 4. P.
8-23.
Викторова В.С., Свердлик Ю.М., Степанянц А.С. Анализ надежности газоснабжения потребителей природного
газа на объектах ОАО «ГИПРОГАЗЦЕНТР» // Труды VI Международной конференции «Математические методы в теории надежности» MMR '2009. М.: Московский Институт Нефти и Газа, 2009. С. 538-542.
Хенли Э. Дж., Кумамото Х. Надежность технических систем и оценка риска. М.: Машиностроение, 1984. 528 с.
Швыряев Ю.В. Вероятностный анализ безопасности атомных станций. Методика выполнения. М.: ИАЭ им.
И.В.Курчатова, 1992.
Степанянц А.С. Вычисление параметра потока отказов в логико-вероятностных моделях методом рекурсивного
наращивания переменных // Автоматика и телемеханика. 2007. № 9. С. 161-175.
Рябинин И.А. Основы теории и расчета судовых электроэнергетических систем. Л.: Судостроение, 1971. 456 с.
Акулова Л.Г. О стохастической сложности вычисления надежности булевских систем. Ярославль: Изд.-во ЯГУ,
1983.
Можаев А.С. Общий логико-вероятностный метод анализа надежности сложных систем. Уч. пособие. Л.: ВМА,
1988. 68 с.
Можаев А.С., Алексеев А.О. Автоматизированное структурно-логическое моделирование и вероятностный анализ сложных систем // Теория и информационная технология моделирования безопасности сложных систем.
Вып. 2. Под ред. И.А. Рябинина. СПб.: ИМАШ, 1994. С. 17-42.
Филин Б.П. Методы анализа структурной надежности сетей связи. М.: Радио и связь, 1989. 203 с.
Филин Б.П. О принципе дуальности в задачах анализа структурной надежности сложных систем // Автоматика и
телемеханика. 1989. № 6. С. 158-172.
Черняк А.А. Комбинаторно-графовый метод анализа надежности сложных систем с монотонными булевыми
функциями // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. С. 165-174.
Черняк А.А., Черняк Ж.А. Логико-вероятностный метод анализа надежности многозначных систем большой
размерности // Автоматика и телемеханика. 1998. № 1. С. 171-180.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа