close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Занятие2. Невосстанавливаемые системы с резервом

код для вставкиСкачать
Иткин В.Ю. Задачи по теории надежности
Занятие 2. Невосстанавливаемые системы с резервом
2.1. Система без резерва
Определение 2.1. Система – это объект, состоящий из нескольких изделий, которые называются
элементами.
Рассмотрим систему без резерва из двух элементов, которые отказывают независимо друг
от друга. Пусть известны функции распределения времен безотказной работы элементов,
F1 (t) = P{ξ1 ≤ t} и F2 (t) = P{ξ2 ≤ t}. Т.к. система работает только при одновременной
работе элементов, то время работы системы – это время работы того элемента, который откажет
первым, ξΣ = min(ξ1 , ξ2 ). А поскольку отказы элементов независимы, то вероятность безотказной
работы системы равна
RΣ (t) = P{ξ1 > t, ξ2 > t} = P{ξ1 > t}P{ξ2 > t} = R1 (t)R2 (t) = (1 − F1 (t))(1 − F2 (t)).
Если время работы элементов имеет экспоненциальное распределение, то
RΣ (t) = e−λ1 t e−λ2 t = e−(λ1 +λ2 )t ,
Т.е. распределение времени работы системы тоже экспоненциальное с параметром λΣ = λ1 + λ2 .
2.2. Нагруженный резерв
Определение 2.2. Нагруженным называют резервирование, при котором резервные элементы
участвуют в функционировании системы наравне с основными.
Рассмотрим систему из двух элементов, из которых первый – основной, а второй – резервный.
При этом оба они работают и, соответственно, могут отказать. Система работает, если работает хотя бы один из элементов – или основной, или резервный, а отказывает, если отказали оба
элемента. Тогда время работы системы – это время работы элемента, который откажет вторым,
ξΣ = max(ξ1 , ξ2 ), а функция распределения системы равна
FΣ (t) = P{ξ1 ≤ t, ξ2 ≤ t} = P{ξ1 ≤ t}P{ξ2 ≤ t} = F1 (t)F2 (t),
RΣ (t) = 1 − F1 (t)F2 (t).
Если резервный элемент столь же надежен, как основной, то система называется дублированной.
Если время работы элементов дублированной системы имеет экспоненциальное распределение,
то
FΣ (t) = (1 − e−λt )2 ,
fΣ (t) = 2λe−λt (1 − e−λt ),
1 − e−λt
,
λΣ (t) = 2λ
2 − e−λt
3
µΣ = MTΣ =
,
2λ
5
σΣ2 = DTΣ = 2 .
4λ
Со временем интенсивность отказов дублированной системы становится такой же, как интенсивность отказов элемента без резерва (рис. 2.1), т.к. один из работающих элементов обязательно
когда-нибудь откажет. Это можно получить и формально,
lim λΣ (t) = lim 2λ
t→∞
t→∞
1−0
1 − e−λt
= 2λ
= λ.
−λt
2−e
2−0
Специального названия этот закон распределения не имеет.
1
Занятие 2. Невосстанавливаемые системы с резервом
1
λ=
0.9
0.8
FΣ (t)
λΣ (t)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
fΣ (t)
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
t
Рис. 2.1. Распределение вероятностей времени работы системы с нагруженным резервом
2.3. Ненагруженный резерв
Определение 2.3. При ненагруженном резервировании резервный элемент включается в работу
(и может отказать) только после отказа основного.
Рассмотрим систему из двух элементов, один из которых основной, а второй – резервный,
причем резерв ненагруженный. Отказы элементов независимы. Время работы системы – это сумма времен работы элементов, ξΣ = ξ1 + ξ2 . Вероятность безотказной работы системы найдем по
формуле полной вероятности. Для этого нужно разделить событие “система работала до времени t” на непересекающиеся части, вероятности которых найти легче, а затем эти вероятности
сложить. Возможны два варианта: во-первых, основной мог работать до t и, во-вторых, основной
мог отказать в момент u ≤ t, после чего резервный элемент вступил в работу и до времени t
не отказал. Вероятность первого события – это вероятность безотказной работы основного элемента, P{ξ1 > t} = R1 (t). Второе событие нужно вновь разделить на непересекающиеся части.
Пусть основной элемент отказал на интервале [u, u + du], где u ∈ [0, t]. Вероятность этого события
f1 (u) du = dF1 (u). Тогда резервный включился в работу в момент u и до t не отказал, т.е. работал
в течение времени t − u. Вероятность этого события – это вероятность безотказной работы второго
элемента, R2 (t − u). Поскольку отказы независимы, то вероятность того, что и основной отказал
на интервале [u, u + du], и резервный проработал без отказа до момента t, – это произведение
соответствующих вероятностей, R2 (t − u) dF1 (u). Суммирование этих вероятностей при изменении параметра u от 0 до t даст нам интеграл. Таким образом, мы получаем итоговую формулу
вероятности безотказной работы системы,
Zt
RΣ (t) = P{ξΣ > t} = R1 (t) +
R2 (t − u) dF1 (u).
0
Для вычисления средних характеристик совершенно не нужно вычислять сложные интегралы,
2
Иткин В.Ю. Задачи по теории надежности
их можно найти непосредственно, учитывая независимость отказов,
µΣ = MξΣ = M(ξ1 + ξ2 ) = Mξ1 + Mξ2 = µ1 + µ2 ,
σΣ2 = DξΣ = D(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 = σ12 + σ22 .
Если время работы элементов дублированной системы имеет экспоненциальное распределение,
то
Zt
−λt
RΣ (t) = e
Zt
−λ(t−u)
+
e
λe
−λu
−λt
du = e
+ λe
0
−λt
du = (1 + λt) e−λt ,
0
FΣ (t) = 1 − (1 + λt) e−λt ,
fΣ (t) = λ2 t e−λt ,
λ2 t
λΣ (t) =
.
1 + λt
Со временем интенсивность отказов дублированной системы тоже становится такой же, как
интенсивность отказов элемента без резерва (рис. 2.2), но гораздо позже, чем для нагруженного
резерва. Получим это формально,
λ2 t
λ2
=
= λ.
t→∞ 1 + λt
λ
lim λΣ (t) = lim
t→∞
1
λ=
0.9
0.8
FΣ (t)
0.7
0.6
0.5
λΣ (t)
0.4
0.3
0.2
fΣ (t)
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Рис. 2.2. Распределение вероятностей времени работы дублированной системы с ненагруженным резервом
Это распределение носит название распределения Эрланга с 2-мя степенями свободы (по числу
элементов в системе).
3
Занятие 2. Невосстанавливаемые системы с резервом
2.4. Скользящий и облегченный резерв
Определение 2.4. Скользящим называется ненагруженное резервирование, при котором функции группы основных элементов могут выполняться одним или несколькими резервными элементами, каждый из которых может заменять любой отказавший основной элемент в данной группе.
Определение 2.5. Облегченным называется нагруженное резервирование, при котором резервный элемент работает наравне с основным, но его интенсивность отказов ниже. При отказе основного элемента резервный переходит в рабочее состояние и его интенсивность отказов повышается.
2.5. Определение нормативного срока службы
При проектировании промышленных объектов необходимо рассчитать срок службы объекта,
после которого он считается изношенным и подлежит замене или профилактическому ремонту.
Определение 2.6. Нормативный (назначенный) срок службы – продолжительность работы, при
достижении которой эксплуатация объекта должна быть прекращена независимо от его технического состояния.
Существуют различные подходы к вычислению нормативного срока службы невосстанавливаемого объекта. Можно задавать предельно допустимую интенсивность отказов. Можно определять
момент изменения характера зависимости интенсивности отказов от времени – с постоянного на
возрастающий (помните “корыто”?).
Однако, чаще всего задают наибольшую допустимую вероятность отказа α или наименьшую
допустимую вероятность безотказной работы 1 − α, обычно α = 0.01 или α = 0.05. Затем решают
одно из двух уравнений,
F (t) = α, или
R(t) = 1 − α.
Решение первого из этих уравнений называется α-квантилем (это слово мужского рода!), а
второго – (1 − α)-процентной точкой. Несмотря на разные названия, это одно и то же число, т.к.
это, собственно говоря, одно и то же уравнение. Решение этого уравнения всегда существует и
единственно для любых распределений. Но найти его аналитически (“выразить из формулы”) удается не всегда. Тогда ищут численное решение, обычно с помощью программ, поддерживающих
статистические расчеты, например MS Excel, Statistica, Maple, MatLab, MatCad и др. Таблицы процентных точек для часто используемых распределений и значений α приводят в виде приложений
авторы большинства книг по математической статистике и теории надежности.
Пример 2.1. Вычислим срок службы изделия, если известно, что средняя наработка до отказа 200 лет, а интенсивность отказов постоянна, т.е. распределение времени работы до отказа –
1
экспоненциальное. Пусть α = 1%, тогда λ = = 0.005 г−1 и
µ
R(t) = e−λt = 1 − α,
1
t = − ln(1 − α) = −200 ln(0.99) ≈ 2 года.
λ
4
Иткин В.Ю. Задачи по теории надежности
2.6. Задачи
1. Система состоит из двух элементов, основного и резервного. Резерв ненагруженный. При включении резервный элемент может отказать с вероятностью p = 0.025. Вычислить вероятность безотказной работы системы к моменту времени t, если интенсивности отказов элементов постоянны
и равны 0.003 ч−1 .
2. Система состоит из двух элементов, основного и резервного. Резерв нагруженный. Определить
нормативный срок службы системы (в годах), считая время работы элементов экспоненциальным
с параметром λ = 0.000001346 ч−1 .
3. Найти нормативный срок службы изделия с нормально распределенным временем работы до
отказа, если µ = 300 лет, а σ = 50 лет.
4. (*) Система состоит из трех элементов, основного и двух резервных. Один резерв нагруженный,
а другой – нет. Построить графики вероятности безотказной работы и интенсивности отказов
системы, если интенсивности отказов элементов постоянны и равны 0.002 ч−1 .
5. (*) Для системы, состоящей из двух стареющих основных элементов, предлагаются два варианта резервирования: ненагруженное (два запасных элемента заменяют основные при отказе одного
из них) и скользящее (один запасной элемент заменяет отказавший основной). Какой из вариантов
надежнее? Какой вид резервирования предложили бы вы, если бы в вашем распоряжении были
два запасных элемента?
6. (**) Дублированная система без восстановления состоит из одного рабочего и одного резервного
элемента, который находится в облегченном резерве. F (t|t0 ) – условная функция распределения
времени жизни рабочего элемента при условии, что он работал в резерве время t0 и не отказал, а
затем был переведен в рабочее состояние, G(t) – функция распределения времени работы в резерве.
Найти вероятность безотказной работы системы.
7. (**) Предложить модель закона распределения F (t|t0 ) (конкретную формулу) для стареющего
элемента.
8. (**) Вывести формулы для вероятностных характеристик (интенсивности отказов, математического ожидания и дисперсии наработки до отказа) дублированной системы с ненагруженным
резервом и экспоненциальным временем работы элементов.
5
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа