close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ, МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МОДЕЛЮВАННЯ
УДК 681.5:62-83
ИНВАРИАНТНЫЙ К ВАРИАЦИЯМ АКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ РОТОРА
АЛГОРИТМ ПРЯМОГО ВЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ АСИНХРОННЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ
ПРИ ПИТАНИИ ОТ ИСТОЧНИКА ТОКА
С. М. Пересада, С. Н. Ковбаса, В. Н. Трандафилов
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»
просп. Победы, 37, г. Киев, 03056, Украина. E-mail: [email protected]
Представлено решение задачи инвариантного к вариациям активного сопротивления ротора векторного
управления асинхронными двигателями, полученное для токового управления при использовании информации
об угловой скорости и токах статора машины. Синтезированный алгоритм гарантирует локальную асимптотическую отработку заданных траекторий угловой скорости и потока при асимптотической прямой ориентации по
вектору потокосцепления ротора с асимптотической развязкой подсистем управления угловой скоростью и потоком. Подсистема управления потоком благодаря использованию инвариантного наблюдателя со скользящим
режимом впервые обладает свойством инвариантности к ограниченным вариациям активного сопротивления
роторной цепи. Работоспособность предложенного решения подтверждена экспериментальными исследованиями и математическим моделированием, в результате которых были продемонстрированы не зависящие от скорости вращения ротора сильные свойства робастности к рассматриваемому возмущению.
Ключевые слова: асинхронный двигатель, прямое полеориентирование, токовое управление, инвариантный наблюдатель, вариации активного сопротивления ротора.
ІНВАРІАНТНИЙ ДО ВАРІАЦІЙ АКТИВНОГО ОПОРУ РОТОРА АЛГОРИТМ
ПРЯМОГО ВЕКТОРНОГО КЕРУВАННЯ АСИНХРОННИМИ ДВИГУНАМИ
ПРИ ЖИВЛЕННІ ВІД ДЖЕРЕЛА СТРУМУ
С. М. Пересада, С. М. Ковбаса, В. М. Трандафілов
Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»
просп. Перемоги, 37, м. Київ, 03056, Україна. E-mail: [email protected]
Надано рішення задачі інваріантного до варіацій активного опору ротора векторного керування асинхронними
двигунами, яке отримано для струмового керування при використанні інформації про кутову швидкість та струми
статора машини. Синтезований алгоритм гарантує локальне асимптотичне відпрацьовування заданих траєкторій
кутової швидкості та потоку при асимптотичній прямій орієнтації за вектором потокозчеплення ротора з асимптотичною розв’язкою підсистем керування кутовою швидкістю та потоком. Підсистема керування потоком завдяки
використанню інваріантного спостерігача з ковзним режимом уперше має властивість інваріантності до обмежених варіацій активного опору роторного кола. Працездатність запропонованого рішення підтверджена експериментальними дослідженнями та математичним моделюванням, у результаті яких були продемонстровані не залежні
від швидкості обертання ротора сильні властивості робастності до розглянутого збурення.
Ключові слова: асинхронний двигун, пряме полеорієнтування, струмове керування, інваріантний спостерігач, варіації активного опору ротора.
АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Электромеханические системы на основе асинхронных двигателей
(АД) с полеориентированным векторным управлением обеспечивают высокие показатели качества
регулирования в статических и динамических режимах при точной информации о параметрах электрической машины. Наиболее критическим параметром является активное сопротивление ротора,
которое в АД с короткозамкнутым ротором недоступно для непосредственного измерения и в процессе работы машины под нагрузкой может изменяться в 1,5–2 раза. Вариации активного сопротивления ротора приводят к нарушению условий полеориентирования, что вызывает ухудшение качества
регулирования механических координат электропривода, а также снижение энергетической эффективности процесса электромеханического преобразования энергии [1].
При прямой ориентации по полю машины [2]
используется информация о векторе потокосцепления ротора, полученная с помощью наблюдателя
магнитного потока [3, 4]. При этом робастность подсистемы управления потоком определяется свой-
ствами робастности наблюдателя, поскольку он формирует обратные связи по модулю вектора потокосцепления ротора и его угловому положению.
Из существующих наблюдателей выделяют адаптивные и робастные решения. Адаптивные наблюдатели обеспечивают асимптотическое оценивание вектора потокосцепления ротора в условиях вариаций
активного сопротивления роторной цепи, однако
требуют точной информации об активном сопротивлении статора. В свою очередь, одновременная
идентификация активных сопротивлений является
сложной задачей: наблюдатель [5] имеет 11-й порядок, а [6] – 13-й. Известные робастные наблюдатели
являются относительно простыми, однако не сохраняют свойство робастности в диапазоне малых скоростей вращения АД, что вызвано ослаблением влияния зависящих от скорости корректирующих сигналов [7]. В [8] разработан и экспериментально исследован инвариантный к вариациям активного сопротивления ротора наблюдатель магнитного потока,
работающий в скользящем режиме. Однако асимптотичность оценивания наблюдателя [8] существенно
зависит от величины остаточного намагничивания
Електромеханічні і енергозберігаючі системи. Випуск 3/2014 (27)
10
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ, МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МОДЕЛЮВАННЯ
АД. В [9, 10] авторами предложен наблюдатель со
скользящим режимом, инвариантный к вариациям
активного сопротивления ротора. Структура наблюдателя гарантирует глобальную экспоненциальную
устойчивость оценивания вектора потокосцепления
при известном активном сопротивлении ротора, а при
ограниченных вариациях данного параметра – локальную экспоненциальную устойчивость и инвариантность к этим вариациям, что подтверждено теоретически и экспериментально в [9, 10].
Целью данной работы является разработка локально экспоненциально устойчивого алгоритма,
который решает задачу инвариантного к вариациям
активного сопротивления ротора векторного управления угловой скоростью и потоком асинхронных
двигателей, а также подтверждение робастности
синтезированного алгоритма результатами экспериментальных исследований и математическим моделированием.
МАТЕРИАЛ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ.
Формулировка проблемы управления. Стандартная
двухфазная математическая модель АД в системе
координат (d–q), которая вращается с произвольной
угловой скоростью ω0 , задана следующими уравнениями:
ωɺ = µ (ψ d iq −ψ q id ) − M c J ;
ψɺ d = −α nψ d + ω2ψ q + α n Lm id − ∆α (ψ d − Lm id );
ψɺ q = −α nψ q − ω2ψ d + α n Lm iq − ∆α (ψ q − Lm iq );
iɺd = −γ n id + ω0 iq + α n βψ d + βωψ q +
(1)
+ σ −1ud + ∆αβ (ψ d − Lm id );
iɺq = −γ n iq − ω0 id + α n βψ q − βωψ d +
+ σ −1uq + ∆αβ (ψ q − Lm iq );
x( d − q ) = e − J ε 0 x( a −b ) ;
x( a −b ) = e
Jε0
 cos ε 0
e− J ε0 = 
x( d − q ) ;
 − sin ε 0
ψɺ d = −α nψ d + ω2ψ q + α n Lm id − ∆α (ψ d − Lm id );
ψɺ q = −α nψ q − ω2ψ d + α n Lm iq − ∆α (ψ q − Lm iq );
где ( id , iq ) – вектор тока статора; ( ud , uq ) – вектор
управляющего
напряжения
статора;
(ψ d , ψ q )T – вектор потокосцепления ротора; M c –
момент нагрузки; ω – угловая скорость ротора;
ω2 = ω0 − ω – частота скольжения; ε 0 – угловое
положение системы координат (d–q) относительно
стационарной системы координат (a–b); Lm – индуктивность намагничивающего контура; J – момент инерции привода. Положительные константы в
(1), связанные с электрическими и механическими
параметрами АД, определены следующим образом:
R
∆R 
L
α =  2n + 2  ≜ α n + ∆α > 0; β = m ;
σ
L
L
L2
2 
 2
γ n = R1 σ + α n Lm β ; σ = L1 − L2m L2 ; µ = 3Lm ( 2L2 J ) ,
где R1 , L1 – активное сопротивление и индуктивность
статора соответственно; L2 – индуктивность ротора;
R2n , ∆ R2 – номинальное значение и отклонение активного сопротивления ротора. Без потери общности в
модели АД (1) принята одна пара полюсов.
(3)
εɺ0 = ω0 ; ε 0 ( 0 ) = 0,
где токи ( id , iq ) являются управляющими воздействиями. При управлении угловой скоростью и модулем вектора потокосцепления ротора выходные
переменные, которые должны отрабатываться,
определяются следующим образом:
ω

 ω 
 ≜  .
y=
(4)
2
2
 ψ d +ψ q   ψ 


Пусть ω* и ψ ∗ > 0 – заданные траектории
изменения угловой скорости и модуля вектора
потокосцепления ротора, которые формируют
вектор
(
T
sin ε 0 
 , (2)
cos ε 0 
0 −1
где J = 
 ; x( y − z ) – определяет двумерные
1 0 
векторы напряжений, токов и потокосцеплений.
Прямая
ориентация
по
полю
машины
предполагает, что угловое положение ε 0 системы
координат (d–q) в преобразовании (2) задается с
помощью наблюдателя вектора потокосцепления.
При токовом управлении машиной, которое достигается за счет «больших» коэффициентов усиления регуляторов тока, модель АД пониженного порядка имеет вид
ωɺ = µ (ψ d iq −ψ q id ) − M c J ;
y* = ω* ,ψ *
εɺ0 = ω0 ; ε 0 ( 0 ) = 0,
T
Преобразованные переменные в (1) заданы
T
)
,
(5)
тогда вектор ошибок отработки определяется следующим образом:
 ω − ω*   ωɶ 
≜
yɶ = y − y* = 
.
(6)
 ψ −ψ *  ψɶ 


Предположим, что для модели АД (3)
выполняются следующие допущения:
А.1. Заданные траектории изменения угловой
скорости
ω*
и потока ψ ∗ > 0
являются
ограниченными функциями с ограниченной первой
производной по времени.
А.2. Токи статора ( id , iq ) и угловая скорость ω
АД доступны для измерения.
А.3. Момент нагрузки M c постоянный и
ограниченный, но неизвестный.
А.4. Параметры модели АД известны и
постоянны, а отклонение ∆ R2 ограничено, но
неизвестно.
При выполнении допущений А.1–А.4 необходимо синтезировать алгоритм управления (закон изменения токов id , iq ), который гарантирует достижение следующих целей управления:
Електромеханічні і енергозберігаючі системи. Випуск 3/2014 (27)
11
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ, МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МОДЕЛЮВАННЯ
О.1. Асимптотическую отработку выходных
переменных, т.е.
lim ωɶ = 0;
(7)
Для доказательства устойчивости системы (12)
введем линейное преобразование координат
zd = ed + βψɶ d ; zq = βψɶ q ,
(13)
lim ψɶ = 0
тогда в новых координатах (13) система (12) запишется:
eɺd = −( α n + ked )ed + Г T ( t )z( d − q ) ;
(14)
zɺ( d − q ) = −γ1 Г( t )ed + S( t )z( d − q ) ,
t →∞
(8)
t →∞
при асимптотической ориентации по вектору
потокосцепления ротора, заданной условием
lim ψ q = 0,
(9)
t →∞
и ограниченности всех внутренних сигналов.
О.2. Асимптотическую развязку подсистемы
управления угловой скоростью и подсистемы
управления модулем вектора потокосцепления
ротора.
О.3.
Асимптотическую
линеаризацию
подсистемы управления угловой скоростью.
О.4. Асимптотическое оценивание вектора
потокосцепления ротора
lim ψɶ d = 0; lim ψɶ q = 0,
(10)
t →∞
t →∞
где ψɶ d = ψ d − ψˆ , ψɶ q = ψ q – ошибки оценивания;
– оценка модуля вектора потокосцепления
ротора.
О.5.
Инвариантность
по
отношению
к
ограниченным вариациям активного сопротивления
ротора ∆ R2 .
Синтез подсистемы управления потоком. Рассмотрим наблюдатель магнитного потока АД [9, 10],
заданный в следующем виде:
ˆiɺd = −γ nˆid + ω0 iq + α n β ψˆ + σ −1ud + ked 1ed ;
ψˆ
ˆiɺ = −γ ˆi − ω i − βω ψˆ + σ −1u + δ sign( e );
q
n q
0 d
q
q
ψˆɺ = −α n ψˆ + α n Lmˆid , ψˆ > 0;
(
εɺ0 = ω0 = ω + α n Lmˆiq − β −1δ sign( eq ) + vε
)
(11)
ψˆ ,
ния и ошибки оценивания токов статора ( id , iq ) ;
vε = ed ( ω0 + γ 1ω ) β ; γ 1 = ( R1 σ + ked 1 ) α n > 0 ;
ked 1 , δ > 0 – настроечные коэффициенты наблюдателя.
При δ > max | α n βψɶ q − βωψɶ d |
наблюдатель
}
(11) работает в скользящем режиме [11], т.е. с
eq ≡ deq dt ≡ 0 . Возникновение скользящего режима понижает порядок наблюдателя, а разрывная
компонента при этом будет иметь эквивалентное
значение δ sign( eq ) = α n βψɶ q − βωψɶ d . С учетом
eq
этого, при ∆ R2 = 0 уравнения динамики ошибок
оценивания из (1) и (11) запишутся следующим образом:
eɺd = − ked ed + α n βψɶ d + βωψɶ q ;
ψɺɶ d = −α nψɶ d + ( ω0 − ω )ψɶ q + α n Lm ed ;
где ked
ψɺɶ q = −ω0ψɶ d − ed ( ω0 + γ 1ω ) β ,
= γ n + ked 1 > 0 .
 0
S( t ) = − ST ( t ) = 
 −ω0
ω0 
;
0
Γ ( t ) = ( α n , ω )T ;
z( d − q ) = ( zd , zq )T .
С учетом (2) уравнения (14) в системе координат
(a–b) примут вид:
 eɺd   −( α n + ked ) wa ( t ) wb ( t )  ed 
  
 
0
0   za  , (15)
 zɺa  =  −γ 1 wa ( t )
 zɺ   −γ w ( t )
0
0   zb 
1 b
 b 
 αn cos ε0 − ω sin ε0 
 w ( t )
где W ( t ) =  a  = eJ ε0 Γ ( t ) ≜ 
.
 wb ( t ) 
 αn sin ε0 + ω cos ε0 
Пусть ω , ωɺ являются ограниченными, тогда
|| W ( t )|| и || Wɺ ( t )|| также будут равномерно ограничены, где || • || – Эвклидова норма ( • ) . Поскольку структура уравнений (15) является стандартной
для адаптивных систем [12], то положение равновесия ( ed , za , zb )T = 0 будет глобально экспоненциально устойчивым при ( α n + ked ) > 0 и выполнении
условий персистности возбуждения
t +T
где ˆid , ˆiq , ed = id − ˆid , eq = iq − ˆiq – оцененные значе-
{
где
(12)
∫
W ( τ )W T ( τ )dτ ≥ kI > 0 для ∀t > 0 ,
(16)
t
где T > 0 ; I = diag( 1, 1 ) . Следовательно, ошибки
оценивания компонент вектора потокосцепления
ротора будут экспоненциально затухать в ноль. Это
означает,
что
положение
равновесия
( ed ,ψɶ d ,ψɶ q )T = 0 системы (12) является глобально
экспоненциально устойчивым.
Примечание 1. В [10] показано, что при ограниченных вариациях активного сопротивления ротора
∆ R2 ≠ 0 наблюдатель потока (11) будет локально
экспоненциально устойчивым и инвариантным к
этим вариациям.
Примечание 2. В общем случае аналитическое
исследование условий (16) является затруднительным. Однако упрощенный анализ, базирующийся на
физических свойствах АД, свидетельствует о том,
что условия персистности возбуждения выполняются во всех режимах работы АД за исключением возбуждения постоянным током, т.е. при ω0 = 0 .
Определив ошибку отработки оцененного модуля вектора потокосцепления ротора в виде
ψɶɶ = ψˆ −ψ * ,
(17)
запишем третье уравнение (11) в форме ошибок отработки
ψɺɶɶ = −α ψɶɶ − α L e − α ψ * −ψɺ * + α L i . (18)
n
n m d
n
Електромеханічні і енергозберігаючі системи. Випуск 3/2014 (27)
12
n m d
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ, МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МОДЕЛЮВАННЯ
Для линейного объекта первого порядка (18)
пропорционально-интегральный регулятор потока
конструируется в таком виде:
1
id =
α ψ * +ψɺ * − kψ ψɶɶ − xψ ;
α n Lm n
(19)
ɶ
xɺ = k ψɶ ,
(
ψ
)
ψi
где kψ , kψ i > 0 – коэффициенты пропорциональной
и интегральной составляющих регулятора потока.
Подставив (19) в (18), получим следующие уравнения динамики ошибок отработки оцененного потока:
xɺψ = kψ iψɶɶ ;
(20)
ɺ
ψɶɶ = −( α n + kψ )ψɶɶ − α n Lm ed − xψ .
Глобально экспоненциально устойчивые подсистемы (20) и (12) включены последовательно, поэтому композитная система (20), (12) является глобально экспоненциально устойчивой при любых
kψ , kψ i > 0 , т.е. переменные ψɶɶ , xψ затухают в ноль.
Из условия устойчивости положения равновесия
( ed , eq ,ψɶ d ,ψɶ q ,ψɶɶ )T = 0 следует:
1) асимптотичность оценивания вектора потокосцепления ротора (цель О.4), поскольку
lim ψɶ d ,ψɶ q = 0;
t →∞
(
)
2) асимптотичность отработки заданной траектории изменения модуля вектора потокосцепления,
поскольку из условия lim ψɶɶ = 0 следует lim ψɶ = 0 ,
t →∞
t →∞
т.к. ψɶ = ψɶ d + ψɶɶ (условие (8) цели О.1);
3) асимптотическая ориентация по вектору потокосцепления ротора lim ψ q = 0 (условие (9) цели
t →∞
О.1).
Примечание 3. Невырожденность алгоритма
управления потоком (19) и (11) обеспечивается при
ψˆ ( t ) > 0 . Для достижения этого условия инициализацию наблюдателя необходимо выполнять при
ψˆ ( 0 ) = ψ * ( 0 ) > 0 , т.е. при ψɶɶ ( 0 ) = 0 . Из уравнений
(20) устанавливаем, что при ed ( 0 ) = 0 модуль
ψɶɶ ( t ) может быть сделан сколь угодно малым за
счет увеличения коэффициентов регулятора потока
kψ , kψ i . Таким образом, условие ψɶɶ ( t ) < ψ * ( 0 ) ,
необходимое для ψˆ ( t ) > 0 , всегда может быть
обеспечено.
Примечание 4. При ограниченных вариациях активного сопротивления ротора ∆ R2 ≠ 0 наблюдатель потока (11), а, следовательно, и подсистема
потока будут локально экспоненциально устойчивыми и инвариантными к этому возмущению. Причем, в отличие от существующих робастных алгоритмов, данное свойство сохраняется во всем рабочем диапазоне скоростей вращения АД, включая
малые скорости.
Синтез подсистемы управления скоростью. Ал-
горитм управления потоком (19) с наблюдателем
(11) гарантирует подсистеме регулирования вектора
потокосцепления ротора свойство глобальной
асимптотической экспоненциальной устойчивости
для всех ограниченных траекторий движения электромеханической подсистемы АД, которая задана
первым уравнением в (3). В то же время проблема
управления объектом, заданного первым уравнением в (3), представляет собой нелинейную задачу
управления с измеряемым выходом при действии
(согласно А.3) постоянного неизвестного возмущения M c J . Определив
ˆ ,
M J = Mɶ + M
(21)
c
c
c
ˆ , Mɶ – оцененное значение и ошибка оценигде M
c
c
вания моментной компоненты нагрузки, первое
уравнение (3) в форме ошибок запишется следующим образом:
ˆ − ωɺ * . (22)
ωɶɺ = µψ * iq + µ (ψɶ d + ψɶɶ )iq −ψɶ q id  − Mɶ c − M
c
Заметим, что ψɶ = ψɶ d + ψɶɶ , причем две последние
компоненты в соответствии с анализом предыдущего подраздела экспоненциально затухают в ноль вне
зависимости от поведения электромеханической
подсистемы (22). Рассматривая для объекта (22) в
качестве управляющего воздействия ток iq , сформируем пропорционально-интегральный регулятор
угловой скорости в следующем виде:
1
ˆ + ωɺ * ;
iq =
−kω ωɶ + M
c
µψ *
(23)
ɺˆ
ɺɶ
M = − M = −k ωɶ ,
(
c
c
)
ωi
где kω , kωi > 0 – коэффициенты пропорциональной
и интегральной составляющих регулятора скорости.
Подставив (23) в (22), получим следующие уравнения динамики ошибок отработки угловой скорости:
ɺ
Mɶ c = kωiωɶ ;
(24)
ωɺɶ = −kω ωɶ + µ (ψɶ d + ψɶɶ )iq −ψɶ q id  − Mɶ c .
Если (ψɶ d ,ψɶ q ,ψɶɶ )T = 0 , то система (24) является
глобально экспоненциально устойчивой при любых
kω , kωi > 0 , т.е. переменные ωɶ , Mɶ c затухают в ноль,
а значит условие (7) цели О.1 достигается.
Доказательство устойчивости композитной системы. Композитная система, состоящая из электромеханической подсистемы (24) и электромагнитной подсистемы (20), (12), имеет вид каскадного
соединения в контуре обратной связи двух подсистем, заданных в следующей форме:
xɺ1 = A11 x1 + A12 ( x2 , t) x1 + B1( t ) x2 + B2 ( x2 ) x2 ;
(25)
x2 = Cx' 2 ;
xɺ '2 = A2 ( x1 , t) x' 2 ,
где
x1 = ( Mɶ c , ωɶ )T ;
(26)
x2 = ( xψ ,ψɶɶ , ed ,ψɶ d ,ψɶ q )T ;
x' 2 = ( xψ ,ψɶɶ , ed , zd , zq )T ; матрицы A11 , A12 ( x2 , t),
B1 ( t ), B2 ( x2 ), C , A2 ( x1 , t) , непрерывные относи-
Електромеханічні і енергозберігаючі системи. Випуск 3/2014 (27)
13
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ, МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МОДЕЛЮВАННЯ
тельно t и x = ( x1T , xT2 )T , имеют соответствующие
размерности и даны в приложении.
Структура композитной системы (25), (26) соответствует стандартной форме теоремы, представленной в [13]. Если матрицы A11 , A12 ( x2 , t), B1 ( t ),
B2 ( x2 ),
A2 ( x1 , t) удовлетворяют следующим
условиям: матрица A11 является Гурвицевой;
A12 ( x2 , t ) ≤ a1 x2 ,
0 ≤ a1 < ∞
при
∀t ≥ t0 ;
B1 ( t ) + B2 ( x2 ) ≤ b1 + b2 x2 , 0 ≤ ( b1 ,b2 ) < ∞
при
∀t ≥ t0 ; подсистема (26) является глобально экспоненциально асимптотически устойчивой, т.е. матрица A2 ( x1 , t) удовлетворяет решению уравнения
A2T ( x1 , t)P + PA2 ( x1 , t) = −Q ,
Ляпунова
T
где
T
Q = Q > 0 , P = P > 0 – постоянные матрицы,
тогда положение равновесия x = 0 будет глобально
экспоненциально устойчивым при ∆ R2 = 0 и выполнении условий персистности возбуждения (16).
Свойство экспоненциальной устойчивости подсистемы потока (26) было доказано в предположении об ограниченности угловой скорости. Для
устранения этого ограничения представим подсистему (26) в следующем виде:
xɺ '2 = A21 ( ω* , t) x' 2 + A22 ( x1 , t) x' 2 ,
(27)
где A2 ( x1 , t) ≜ A21 ( ω* , t) + A22 ( x1 , t) . Подсистема
потока (27) при частичной линеаризации, т.е. при
A22 ( x1 , t) x' 2 = 0 , запишется в виде
xɺ '2 = A21 ( ω* , t) x' 2
(28)
*
с матрицей A21 ( ω , t) , которая в силу допущений
А.1 и А.4 будет ограниченной, поэтому при ограниченном ∆ R2 и выполнении условий персистности
возбуждения (16) подсистема (28) будет локально
экспоненциально устойчивой, откуда следует, что
положение равновесия x = 0 будет локально экспоненциально устойчивым. При этом достигаются
асимптотическая развязка подсистем регулирования
угловой скорости и потока (цель О.2), а также
асимптотическая линеаризация подсистемы регулирования скорости (цель О.3).
Алгоритм прямого векторного управления АД,
структурная схема которого представлена на рис. 1,
включает: наблюдатель магнитного потока АД (11),
регулятор потока (19), регулятор скорости (23). Токовое управление машиной реализовано за счет использования двух пропорционально-интегральных:
– регулятора тока по оси d
ud = σ −ω0 iq + γ n i*d − α n β ψˆ − ki iɶd − zd ;
(29)
zɺd = kii iɶd ,
– регулятора тока по оси q
uq = σ ω0 id + γ n i*q + βω ψˆ − ki iɶq − zq ;
(30)
zɺq = kii iɶq ,
(
)
(
)
где iɶd = id − i*d , iɶq = iq − i*q – ошибки отработки задан-
ных токов статора ( i*d , i*q ) , формируемых регуляторами потока (19) и скорости (23) соответственно;
ki , kii > 0 – коэффициенты пропорциональной и
интегральной составляющих регуляторов тока, которые должны быть достаточно «большими» для
реализации токового управления.
Результаты экспериментального тестирования.
Экспериментальные исследования выполнялись на
станции быстрого прототипного тестирования, функциональная схема которой изображена на рис. 2.
Экспериментальная установка включает: управляющий контроллер на основе 32-разрядного цифрового
сигнального процессора с плавающей точкой, в котором реализуются исследуемые алгоритмы; трехфазный инвертор 25А/380В с несущей частотой ШИМ 10
кГц;
персональный
компьютер,
который
предназначен для программирования, отладки и
визуализации переходных процессов необходимых
переменных; исследуемый АД типа 4АО80В2 мощностью 0,75 кВт. В качестве нагрузки использовался
токовый управляемый двигатель постоянного тока
(ДПТ). Для измерения скорости используется
фотоимпульсный датчик инкрементального типа с
разрешающей способностью 1000 имп/об. Измерение
токов производится с помощью двух гальванически
развязанных датчиков тока (ДТ1 и ДТ2), работающих
на эффекте Холла.
Параметры АД, который использовался в экспериментах, следующие: номинальная угловая скоωн = 300 рад/с; номинальный момент
рость
M н = 2,5 Н·м;
R1 = 11 Ом;
R2 = 5,51 Ом;
L1 = L2 = 0,95 Гн; Lm = 0,91 Гн; J=0,0036 кг·м2.
С целью сравнительного анализа тестирование
выполнялось для инвариантного алгоритма (19),
(29), (11), (23), (30) и стандартного прямого векторного управления [14], являющегося промышленным
стандартом. Алгоритмы были настроены следующим образом: коэффициенты пропорциональной и
интегральной составляющих регуляторов скорости –
kω = 150 , kωi = 11250 ; коэффициенты пропорциональной и интегральной составляющих регуляторов
потока – kψ = 100 , kψ i = 2500 ; коэффициенты пропорциональной и интегральной составляющих регуляторов тока ki = 750 , kii = 281250 ; параметры
наблюдателя (11) – ked 1 = 0 , δ = 330 . Начальные
условия для всех переменных устанавливались нулевыми, кроме ψˆ 2 ( 0 ) = 0,025 . Поскольку исследуемый АД имеет короткозамкнутый ротор, то вариация ∆ R2 вводилась в исследуемых алгоритмах: вместо α n использовался параметр αˆ = ρα n .
Для оценивания реального модуля вектора потокосцепления во время экспериментальных исследований использовался дополнительный разомкнутый
наблюдатель пониженного порядка [3] с корректными параметрами, что позволило косвенным путем
получить
ошибку
регулирования
потока
*
ψɶ = ψ ' −ψ , где ψ ' – оцененное значение
Електромеханічні і енергозберігаючі системи. Випуск 3/2014 (27)
14
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ, МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МОДЕЛЮВАННЯ
ψɺ *
ψ
(d-q)
αn
−ψɶɶ
*
−
kψ i
p
i*d
1
α n Lm
kψ
− xψ
Регулятор
тока id (29)
ω0
Регулятор потока
iq
ud
uq
(a-b)
eJ ε0
ua
ub
ψˆ
id
ε0
ε0
ψˆ
Наблюдатель
(11)
id
iq
ω0
ωɺ *
b
−ωɶ
*
ω
ω0
a
kω
−
kωi
p
a
b
i*q
1
µ
iq
id
e −J ε0
ia
ib
ψˆ
Регулятор
тока iq (30)
ˆ
M
c
ω
Регулятор скорости
ω
Рисунок 1 – Структурная схема алгоритма прямого векторного управления
C
+
ДТ2
ДПТ
АД
ДН
~380 В
~220 В
Rз
ДТ1
is1
is2
управление
нагрузкой
PC
ШИМ
энкодер
ω
Контроллер на основе DSP
Рисунок 2 – Функциональная схема экспериментальной установки
модуля вектора потокосцепления ротора.
При проведении исследований использовался
тест с однотипной последовательностью операций
управления, показанной на рис. 3:
– на интервале времени 0–0,25 с АД возбуждается, траектория заданного потока начинается с
0, 025 Вб и достигает значения 0,9 Вб с ограниченными первой и второй производными;
– начиная с t = 0,6 с, двигатель без нагрузки разгоняется по заданной траектории скорости, которая
имеет нулевое начальное значение и достигает
100 рад/с (33,3 % от номинального значения) с ограниченными производными первого и второго порядка;
– в момент времени t = 1 с к валу двигателя ступенчато прикладывается постоянный момент
нагрузки, равный 90 % от номинального значения;
– в момент времени t = 1,8 с начинается реверс
до скорости –100 рад/с с ограниченными первой и
второй производными;
– в момент времени t = 2,8 с момент нагрузки
снимается.
Заданная траектория ω∗, рад/с; Заданная траектория
магнитного потока, Вб
профиль Μc, 0.05·Нм
1
100
Μc
0
0.5
ω∗
-100
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 t, c 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t, c
Рисунок 3 – Заданные траектории угловой скорости
и потока, профиль момента нагрузки
На рис. 4,а,б показаны графики переходных процессов
исследуемых
алгоритмов
при
ρ = 1 ( ∆ R2 = 0 ) , из которых следует, что по сравнению со стандартным динамические характеристики
системы при использовании инвариантного алгоритма выше, т.к. ошибка отработки траектории изменения угловой скорости в момент разгона и при
реверсе не превышает 0,5 рад/с (рис. 4,б), в то время
как у стандартного алгоритма – 1,1 рад/с (рис. 4,а).
При отработке постоянного момента нагрузки поведение алгоритмов одинаково, максимальные значе-
Електромеханічні і енергозберігаючі системи. Випуск 3/2014 (27)
15
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ, МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МОДЕЛЮВАННЯ
ния ошибки регулирования скорости при набросе и
сбросе нагрузки составляет около 3,5 рад/с. Результаты математического моделирования инвариантного алгоритма, полученные в условиях того же теста,
показаны на рис. 4,в. Сравнивая графики на
рис. 4,б,в, устанавливаем, что динамические процессы инвариантного алгоритма, полученные экспериментально и методом математического моделирования, совпадают с достаточной степенью точности
для систем такого уровня сложности.
На рис. 5, 6 показаны переходные процессы при
ρ = 0 ,6 и ρ = 1,7 соответственно. Из рис. 5,а и 6,а
следует, что при стандартном алгоритме нарушается
асимптотичность регулирования потока, что приводит: при ρ = 0 ,6 – к некоторому замедлению переходного процесса тока по оси q и увеличению его
значения; при ρ = 1,7 – к значительному росту тока
по оси q и к существенной деградации динамических показателей, что является недопустимым для
высокодинамических применений. Из графиков на
рис. 5,б и 6,б следует, что в тех же условиях при
использовании инвариантного алгоритма не наблюдается существенных отличий по сравнению со случаем ρ = 1 , показанным на рис. 4,б. Исключение
составляет участок намагничивания, на котором
поток отрабатывается с небольшой ошибкой, которая затухает в ноль. Результаты моделирования работы инвариантного алгоритма при тех же условиях,
представленные на рис. 5,в и 6,в, с достаточной степенью точности совпадают с результатами экспериОшибка отработки скорости, рад/с
значению модуля вектора тока статора ( I = id2 + iq2 ),
рассчитанному при работе АД под нагрузкой на скоростях +100 и –100 рад/с. Результаты расчетов сведены в табл. 1, из которой видно, что при сохранении
значения модуля тока в инвариантном алгоритме, в
стандартном наблюдается явное увеличение модуля
тока при вариациях (особенно при ρ = 1,7 на скорости +100 рад/с), что свидетельствует о снижении
энергетической эффективности системы при использовании стандартного алгоритма.
Таблица 1 – Установившееся значение модуля
вектора тока статора под нагрузкой
Установившееся значение модуля вектора
тока статора под нагрузкой, А
ρ
при стандартном
при инвариантном
алгоритме
алгоритме
+100, рад/с –100, рад/с +100, рад/с –100, рад/с
1
2,15
1,43
2,15
1,43
2,24
1,6
2,14
1,42
0,6
(+4,2 %) (+11,9 %)
3,1
1,55
1,7
2,15
1,44
(+44,2 %) (+8,4 %)
Ошибка отработки скорости, рад/с
5
2.5
5
2.5
0
-2.5
0
-2.5
-5
ментальных исследований (рис. 5,б и 6,б).
Энергетическая эффективность процесса электромеханического преобразования энергии исследуемых алгоритмов оценивалась по установившемуся
0
-2.5
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Ток статора по оси q, A
t, c
3
2
1
Ошибка отработки скорости, рад/с
5
2.5
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Ток статора по оси q, A
t, c
3
2
1
0
0
0
0
-1
-1
0.5
1
1.5
2
2.5 t, c
Ошибка отработки потока, Вб
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t, c
Ошибка отработки потока, Вб
0
1
0.5
1
0.5
1
0.5
0
-0.5
0
-0.5
0
-0.5
-1
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Ток статора по оси d, А
t, c
0.5
1
1.5
2
2.5
Ток статора по оси d, А
t, c
2
1.5
1
2
1.5
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
а) при стандартном алгоритме
(эксперимент)
t, c
0.5
1
1.5
2
2.5 t, c
Ошибка отработки потока, Вб
-1
0
2
1.5
1
0
t, c
3
2
1
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Ток статора по оси q, A
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Ток статора по оси d, А
t, c
0
0.5
t, c
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
б) при инвариантном алгоритме
(эксперимент)
t, c
1
1.5
2
2.5
в) при инвариантном алгоритме
(моделирование)
Рисунок 4 – Переходные процессы без вариации ∆R2
Електромеханічні і енергозберігаючі системи. Випуск 3/2014 (27)
16
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ, МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МОДЕЛЮВАННЯ
Ошибка отработки скорости, рад/с
5
2.5
0
-2.5
-5
0
0.5 1
1.5 2
2.5
Ток статора по оси q, A
Ошибка отработки скорости, рад/с
5
2.5
0
-2.5
-5
0
t, c
0.5 1
1.5 2
2.5
Ток статора по оси q, A
t, c
3
2
1
0
3
2
1
0
-1
-1
0
-1
0
0.5 1
1.5 2
2.5 t, c
Ошибка отработки потока, Вб
0.5 1
1.5 2
2.5 t, c
Ошибка отработки потока, Вб
1
0.5
0
-0.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
0
0.5 1
1.5 2
2.5
Ток статора по оси d, А
t, c
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t, c
а) при стандартном алгоритме
(эксперимент)
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t, c
Ошибка отработки потока, Вб
1
0.5
0
-0.5
0
0.5 1
1.5 2
2.5
Ток статора по оси d, А
t, c
2.5
2
1.5
1
0.5
0
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Ошибка отработки скорости, рад/с
5
2.5
0
-2.5
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t, c
Ток статора по оси q, A
3
2
1
0
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Ток статора по оси d, А
t, c
0
0.5
t, c
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t, c
б) при инвариантном алгоритме
(эксперимент)
1
1.5
2
2.5
в) при инвариантном алгоритме
(моделирование)
Рисунок 5 – Переходные процессы при ρ = 0 ,6
Ошибка отработки скорости, рад/с
Ошибка отработки скорости, рад/с
Ошибка отработки скорости, рад/с
5
2.5
5
2.5
5
2.5
0
-2.5
0
-2.5
0
-2.5
-5
-5
0
0.5
1 1.5
2
2.5
Ток статора по оси q, A
t, c
-5
0
0.5
1 1.5
2
2.5
Ток статора по оси q, A
t, c
0
4
4
4
2
2
2
0
0
0
0
0.5
1 1.5
2
2.5 t, c
Ошибка отработки потока, Вб
0
0.5
1 1.5
2
2.5 t, c
Ошибка отработки потока, Вб
0
1
0.5
1
0.5
1
0.5
0
-0.5
0
-0.5
0
-0.5
-1
-1
0
0.5
1 1.5
2
2.5
Ток статора по оси d, А
t, c
0.5
1 1.5
2
2.5
Ток статора по оси q, A
t, c
0.5
1 1.5
2
2.5 t, c
Ошибка отработки потока, Вб
-1
0
0.5
1 1.5
2
2.5
Ток статора по оси d, А
t, c
0
0.5
1 1.5
2
2.5
Ток статора по оси d, А
t, c
2
1.5
1
2
1.5
1
2
1.5
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
0
0.5
1 1.5
2
2.5 t, c
б) при инвариантном алгоритме
(эксперимент)
0
0.5
1 1.5
2
2.5 t, c
в) при инвариантном алгоритме
(моделирование)
0
0.5
1 1.5
2
2.5 t, c
а) при стандартном алгоритме
(эксперимент)
Рисунок 6 – Переходные процессы при ρ = 1,7
Електромеханічні і енергозберігаючі системи. Випуск 3/2014 (27)
17
А
ВЫВ
,
Ы. В
-
.
,
.
,
(–40)–(+70) %.
и .
x2 ,
,
(24)
(25), (26),
x1
 0 ki 
A11  
;
 1 k 
A12 ( x2 , t) 
0 0

B1 (t)  
0 b22

:
(20), (12)
0 
 d   0

;
 * 1 k 
0
0

0 b24
 q 0 0
B2 ( x2 ) 

 n Lm  1 k

0
  n 
*
 n Lm
*
0 0 0
;
0 0 0



;


( M c J   * )
*
іі
і
-
і
.
.
і
і
«
// Ві
»: і .
».
В. .
–
2013.
-
//
і
і .
– 2014. – В . 6. – . 41–48.
11. UЭkТЧ V.I., GЮХНЧОr J., SСТ J. SХТНТЧР ЦoНО МoЧЭroХ ТЧ ОХОМЭroЦОМСКЧТМКХ sвsЭОЦs. – BoМК RКЭoЧ, LoЧНoЧ: CRC PrОss, TКвХor & FrКЧМТs, 2009. – 485 p.
12. ІКrОЧНrК K.S., AЧЧКsаКЦв A.M. SЭКЛХО КНКpЭТЯО sвsЭОЦs. – ІОа JОrsОв, EЧРХОаooН CХТППs: PrОЧЭТМО
HКХХ, 1989. – 496 p.
13. PОrОsКНК S., ToЧТОХХТ A. HТРС-pОrПorЦКЧМО roЛЮsЭ
spООН-ПХЮб ЭrКМkТЧР МoЧЭroХХОr Пor ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor
// IЧЭОrЧКЭТoЧКХ УoЮrЧКХ oП КНКpЭТЯО МoЧЭroХ КЧН sТРЧКХ
proМОssТЧР. – 2000. – Iss. 14. – PP. 177–200.
14. LОoЧСКrН W. CoЧЭroХ oП EХОМЭrТМКХ DrТЯОs, 3rН EН.
– BОrХТЧ, HОТНОХЛОrР: SprТЧРОr, 2001. – 421 p.
А
А
1. KrТsСЧКЧ R. EХОМЭrТМ MoЭor DrТЯОs. – ІОа JОrsОв, UppОr SКННХО RТЯОr: PrОЧЭТМО HКХХ, 2001.
– 626 p.
2. ІoЯoЭЧв D.W., LТpo T.A. VОМЭor CoЧЭroХ КЧН
DвЧКЦТМs oП AC DrТЯОs. – ЇбПorН: CХКrОЧНoЧ PrОss,
1996. – 456 p.
3. MКrТЧo R., ToЦОТ P., VОrrОХХТ C.M. IЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor МoЧЭroХ НОsТРЧ. – LoЧНoЧ: SprТЧРОr, 2010. – 351 p.
іі
і
і «
.
і і
– В . 36/2013 (1009). – . 59–63.
10.
. .,
.
і
,
//
і
.
k i
0
0
0
0
1 (   k )



L
0
0

n
n m


A2 ( x1 , t)   0
0
(  n  ked )  n   ,


 1 n
0
0 0 
0
0
0
 1
0 0 

b22  b24 
ВА
«
.
і і
». – 2012.
– В . 3/2012 (19). – . 40–44.
8. RОСЦКЧ H.U., GЮЯОЧ M.K., DОrНТвok A., XЮ L.
A ЧОа МЮrrОЧЭ ЦoНОХ ПХЮб oЛsОrЯОr ТЧsОЧsТЭТЯО Эo roЭor
ЭТЦО МoЧsЭКЧЭ КЧН roЭor spООН Пor DFЇ МoЧЭroХ oП ТЧНЮМЭТoЧ ЦКМСТЧО // ТЧ ProМ. oП ЭСО 32ЧН AЧ. CoЧП. oП ЭСО
IEEE PoаОr EХОМЭroЧТМs SpОМТКХТsЭs, PESC’01.
– VКЧМoЮЯОr, CКЧКНК. – JЮЧО 2001. – Iss. 2.
– PP. 1179–1184.
9.
. .,
В. .
-
-
:
А
4. VОrРСОsО G.C., SКЧНОrs S.R. ЇЛsОrЯОrs Пor ПХЮб
ОsЭТЦКЭТoЧ ТЧ ТЧНЮМЭТoЧ ЦКМСТЧОs // IEEE TrКЧsКМЭТoЧs
oЧ IЧНЮsЭrТКХ EХОМЭroЧТМs. – 1988. – Iss. 35/1988 (1).
– PP. 85–94.
5. MКrТЧo R., PОrОsКНК S., ToЦОТ P. ЇЧ-ХТЧО sЭКЭor
КЧН roЭor rОsТsЭКЧМО ТНОЧЭТПТМКЭТoЧ ТЧ ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor
// IEEE TrКЧsКМЭТoЧs oЧ CoЧЭroХ SвsЭОЦ TОМСЧoХoРв.
– 2000. – Iss. 8/2000 (3). – P . 570–578.
6. SОok Ho JОoЧ, KаКЧР Kвo ЇС, JТЧ YoЮЧР CСoТ.
FХЮб ЇЛsОrЯОr WТЭС ЇЧХТЧО TЮЧТЧР oП SЭКЭor КЧН RoЭor
RОsТsЭКЧМОs Пor IЧНЮМЭТoЧ MoЭors // IEEE TrКЧsКМЭТoЧ
oЧ IЧНЮsЭrТКХ EХОМЭroЧТМs. – 2002. – Iss. 49/2002 (3).
– P . 653–664.
7.
. .,
В. .
-
,
,
Прил
А
і
18
і
.В
3/2014 (27)
А
,
А
А
ВА
INVARIANT TO ROTOR RESISTANCE VARIATIONS ALGORITHM OF DIRECT FIELD-ORIENTED
CONTROL OF CURRENT-FED INDUCTION MOTORS POWERED BY CURRENT SOURCE
S. Peresada, S. Kovbasa, V. Trandafilov
ІКЭТoЧКХ TОМСЧТМКХ UЧТЯОrsТЭв oП UkrКТЧО "KвТЯ PoХвЭОМСЧТМ IЧsЭТЭЮЭО"
prosp. PoЛОНв, 37, KТОЯ, 03056, UkrКТЧО. E-ЦКТХ: [email protected]
ІoЯОХ soХЮЭТoЧ oП ЭСО ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor spООН-ПХЮб ЭrКМkТЧР МoЧЭroХ proЛХОЦ СКs ЛООЧ НОЯОХopОН КЧН ОбpОrТЦОЧЭКХХв
ЭОsЭОН. DТrОМЭ roЭor ПХЮб ПТОХН orТОЧЭОН МoЧЭroХХОr Тs НОsТРЧОН Пor МЮrrОЧЭ-ПОН ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor ЦoНОХ КЧН ЮsОs ПЮХХ orНОr
sХТНТЧР ЦoНО ПХЮб oЛsОrЯОr. CoЧЭroХХОr РЮКrКЧЭООs ХoМКХ КsвЦpЭoЭТМ spООН-ПХЮб ЭrКМkТЧР КЧН КsвЦpЭoЭТМ НТrОМЭ ПТОХНorТОЧЭКЭТoЧ ЮЧНОr МoЧНТЭТoЧ oП ЮЧkЧoаЧ МoЧsЭКЧЭ ХoКН ЭorqЮО. AsвЦpЭoЭТМ НОМoЮpХТЧР oП spООН КЧН ПХЮб sЮЛsвsЭОЦs Тs
КМСТОЯОН. FХЮб sЮЛsвsЭОЦ Тs ТЧЯКrТКЧЭ аТЭС rОspОМЭ Эo ХТЦТЭОН roЭor rОsТsЭКЧМО ЯКrТКЭТoЧs НЮО Эo spОМТКХ sЭrЮМЭЮrО oП ЭСО
sХТНТЧР ЦoНО oЛsОrЯОr. TСО ОППТМТОЧМв oП ЭСО proposОН soХЮЭТoЧ МoЧПТrЦОН Лв ЭСО rОsЮХЭs oП ОбpОrТЦОЧЭКХ sЭЮНТОs КЧН
sТЦЮХКЭТoЧ, аСТМС НОЦoЧsЭrКЭОН sЭroЧР roЛЮsЭЧОss propОrЭТОs аТЭС rОspОМЭ Эo roЭor rОsТsЭКЧМО ЯКrТКЭТoЧs ТЧ КХХ ЦoЭor opОrКЭТЧР МoЧНТЭТoЧs ТЧМХЮНТЧР ЧОКr Лв гОro spООНs.
Кey words: ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor, НТrОМЭ ПТОХН-orТОЧЭКЭТoЧ, МЮrrОЧЭ-ПОН, ТЧЯКrТКЧЭ oЛsОrЯОr, roЭor rОsТsЭКЧМО ЯКrТКЭТoЧs.
REFEREІCES
1. KrТsСЧКЧ, R. (2001), EХОМЭrТМ MoЭor DrТЯОs, UppОr SКННХО RТЯОr, PrОЧЭТМО HКХХ, ІОа JОrsОв, USA.
2. ІoЯoЭЧв, D.W. КЧН LТpo, T.A. (1996), VОМЭor
CoЧЭroХ КЧН DвЧКЦТМs oП AC DrТЯОs, ЇбПorН, CХКrОЧНoЧ PrОss, GrОКЭ BrТЭКТЧ.
3. MКrТЧo, R., ToЦОТ, P. КЧН VОrrОХХТ, C.M. (2010),
IЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor МoЧЭroХ НОsТРЧ, SprТЧРОr. LoЧНoЧ,
GrОКЭ BrТЭКТЧ.
4. VОrРСОsО, G.C. КЧН SКЧНОrs, S.R. (1988), “ЇЛsОrЯОrs Пor ПХЮб ОsЭТЦКЭТoЧ ТЧ ТЧНЮМЭТoЧ ЦКМСТЧОs”,
IEEE TrКЧsКМЭТoЧs oЧ IЧНЮsЭrТКХ EХОМЭroЧТМs, VoХ. 35,
Чo. 1, pp. 85–94.
5. MКrТЧo, R., PОrОsКНК, S. КЧН ToЦОТ, P. (2000),
“ЇЧ-ХТЧО sЭКЭor КЧН roЭor rОsТsЭКЧМО ТНОЧЭТПТМКЭТoЧ ТЧ
ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor”, IEEE TrКЧsКМЭТoЧs oЧ CoЧЭroХ SвsЭОЦ
TОМСЧoХoРв, VoХ. 8, Чo. 3, pp. 570–578.
6. SОok, Ho JОoЧ, KаКЧР, Kвo ЇС КЧН JТЧ, YoЮЧР
CСoТ (2002), “FХЮб ЇЛsОrЯОr WТЭС ЇЧХТЧО TЮЧТЧР oП
SЭКЭor КЧН RoЭor RОsТsЭКЧМОs Пor IЧНЮМЭТoЧ MoЭors”,
IEEE TrКЧsКМЭТoЧs oЧ IЧНЮsЭrТКХ EХОМЭroЧТМs, VoХ. 49,
Чo. 3, pp. 653–664.
7. PОrОsКНК, S.M. КЧН TrКЧНКПТХoЯ, V.І. (2012),
“SвЧЭСОsТs ЦОЭСoН КЧН roЛЮsЭЧОss oП sХТНТЧР ЦoНО oЛsОrЯОrs oП ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor’s ПХЮб”, Elektromekhanichni
i enerhozberihayuchi systemy: shchokvartalnyy
naukovo-vyrobnychyy zhurnal. Tematychnyy vypusk
“Problemy avtomatyzovanoho elektropryvodu. Teoriya i
praktyka”, VoХ. 3, Чo. 19, pp. 40–44. (ТЧ RЮssТКЧ)
8. RОСЦКЧ, H.U., GЮЯОЧ, M.K., DОrНТвok, A. КЧН
XЮ, L. (2001), “A ЧОа МЮrrОЧЭ ЦoНОХ ПХЮб oЛsОrЯОr ТЧsОЧsТЭТЯО Эo roЭor ЭТЦО МoЧsЭКЧЭ КЧН roЭor spООН Пor DFЇ
МoЧЭroХ oП ТЧНЮМЭТoЧ ЦКМСТЧО”, ТЧ ProМ. oП ЭСО 32ЧН AЧ.
CoЧП. oП ЭСО IEEE PoаОr EХОМЭroЧТМs SpОМТКХТsЭs,
PESC’01, VКЧМoЮЯОr, CКЧКНК, VoХ. 2, pp. 1179–1184.
і
іі
9. PОrОsКНК, S.M. КЧН TrКЧНКПТХoЯ, V.І. (2013),
“DОsТРЧ ЦОЭСoН oП НТrОМЭ ПТОХН-orТОЧЭОН МoЧЭroХ КХРorТЭСЦs oП ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor ТЧЯКrТКЧЭ Эo roЭor rОsТsЭКЧМО
ЯКrТКЭТoЧs”, VТsЧвk ЧКЭsТoЧКХЧoСo ЭОkСЧТМСЧoСo
ЮЧТЯОrsвЭОЭЮ “KСКrkТЯ PoХвЭОМСЧТМ IЧsЭТЭЮЭО”: гЛТrЧвk
ЧКЮkoЯвkС prКЭs. SОrТвК «ProЛХОЦв КЯЭoЦКЭвгoЯКЧoСo
ОХОkЭroprвЯoНЮ. TОorТвК Т prКkЭвkК», VoХ. 1009, Чo. 36,
pp. 59–63. (ТЧ RЮssТКЧ)
10. PОrОsКНК, S.M. КЧН TrКЧНКПТХoЯ, V.І. (2014),
“IЧЯКrТКЧМО oП roЭor ПХЮб oЛsОrЯОrs ТЧ НТrОМЭ ПТОХНorТОЧЭОН МoЧЭroХ oП ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭors”, Tekhnichna
elektrodynamika. VoХ. 6, . 41–48. (ТЧ RЮssТКЧ)
11. UЭkТЧ, V.I., GЮХНЧОr, J. КЧН SСТ, J. (2009), SХТНТЧР ЦoНО МoЧЭroХ ТЧ ОХОМЭroЦОМСКЧТМКХ sвsЭОЦs, BoМК
RКЭoЧ, CRC PrОss, TКвХor & FrКЧМТs, LoЧНoЧ, GrОКЭ
BrТЭКТЧ.
12. ІКrОЧНrК, K.S. КЧН AЧЧКsаКЦв, A.M. (1989),
SЭКЛХО КНКpЭТЯО sвsЭОЦs, EЧРХОаooН CХТППs, PrОЧЭТМО
HКХХ, ІОа JОrsОв, USA.
13. PОrОsКНК, S. КЧН ToЧТОХХТ, A. (2000), “HТРСpОrПorЦКЧМО roЛЮsЭ spООН-ПХЮб ЭrКМkТЧР МoЧЭroХХОr Пor
ТЧНЮМЭТoЧ ЦoЭor”, IЧЭОrЧКЭТoЧКХ УoЮrЧКХ oП КНКpЭТЯО МoЧЭroХ КЧН sТРЧКХ proМОssТЧР, VoХ. 14, pp. 177–200.
14. LОoЧСКrН, W. (2001), CoЧЭroХ oП EХОМЭrТМКХ
DrТЯОs, 3rН EН., HОТНОХЛОrР, SprТЧРОr, BОrХТЧ, GОrЦКЧв.
і
і
19
і
.В
3/2014 (27)
28.08.2014.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа