close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Примерная тематика самостоятельных работ
1)
2)
3)
4)
Арифметика
При каких целых положительных n 20n+16n-3n-1 число делится на 323?
Существует ли такое натуральное число n , что n2+n+1делится на 1995?
Какие остатки может давать сотая степень целого числа при делении на 125?
Доказать, что число, составленное из 3n одинаковых цифр, делится на 3n.
5) а) Найти последнюю цифру чисел:
11+22+33+…+19951995.
9
4
9 9 ; 2 3 ; 11989+21989+31989+…+19891989;
56
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
б) Найти две последние цифры чисел: 3999; 4 4 ; 413+423+433+…+593.
Какие остатки может давать сотая степень целого числа при делении на 125?
Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда можно выбрать два, сумма
или разность которых делится на 100.
Доказать, что если натуральное число n делится на 5, то и n-е число
Фибоначчи также делится на 5.
Числа 22007 и 52007 записаны в строчку одно за другим. Определите количество
цифр в написанном таким образом числе.
Все целые числа выписаны подряд, начиная с единицы. Определить, какая
цифра стоит на 198156 месте.
Число написано 99 девятками. Определите сумму цифр квадрата этого числа.
Найти сумму попарных произведений первых n натуральных чисел.
В последовательности 1975… каждая цифра, начиная с пятой, равна
последней цифре суммы предшествующих четырех цифр. Встретятся ли в
этой последовательности подряд цифры 1234; вторично четверка цифр 1975?
Является ли простым число 323+2?
х 1
15)
16)
17)
18)
19)
20)
2
Пусть x – последняя цифра простого числа p>3. Докажите, что р  2
–
число составное.
Доказать, что все числа вида 10001, 100010001, 1000100010001,… –
составные.
Доказать, что каждые два числа последовательности 2+1, 2 2+1, 24+1, 28+1,
216+1,… являются взаимно простыми.
Существует ли такое натуральное число n, что n2 + n + 1 делится на 1955?
Найти все целые числа равные: а) квадрату суммы цифр числа; б) сумме цифр
куба числа.
Найти все четырехзначные числа, являющиеся полными квадратами и
записываемые а) четырьмя четными числами; б) четырьмя нечетными
числами.
Алгебра
1.
Найти площадь треугольника, зная его периметр, сумму квадратов и сумму
кубов длин сторон этого треугольника.
2.
Решить неравенства:
2

 4 x 3x  x2 
2
x
а)
≤ 0;
б) (x² + 3x)(2x + 3) 3
2x 5
16( 2 x  3)
≥ 0;
2
x  3x


в)
( x2  81)( x2  10 x  25)
≤ 0;
(169  x2)( x2  12 x  11)
2
д)
3

x 1
2
x
2
3x  5 x  2  2  x ;
г)
;
3 x  1  3 x  14  3
 0;
7x  2
е)
5x  x2  x  2 ;
3.
Решить уравнения:
а) 6 81x2  54 x  45  6x + 9x² = 35;
б)
2
3x  3x  19 .
4.
Решить неравенства:
а) log xlog3(9x - 12) ≤ 1 ;
в) │ log x x  2 │≤ 3 ;
б) log xlog2(4x – 2x+1 + 2) ≥ 1;
г) 2  │ log x 4 x  2 │≥ 0
ж)
5 x  x2  x  2 .
з)
2
2
x  x7 +
2
x  x2 =
;
x
x+2
д) logxlog3(9 – 3
ж) 9

2
x
 23
2
 1
x
+ 9) ≤ 1 ;
е) 4
з) ( 3  2)
 1 ≥ 4;
1
1
x
х 2
1
x
2 2 ≤ 1;
 (2  3 )
х 2
х 3
.
5. а) При каждом значении а решить уравнение a  a  x  x ;
б) Найти все значения а, при которых имеет единственный корень уравнение
lg( ax)  2 lg( x  1) ;
в) Найти все значения а, при которых для всех значений х выполняется неравенство
2
2
2
4x  2(2a  1) 2x  4 a  3 > 0;
г) Графически (в плоскости «ха») найти все значения параметра а, при которых
имеет
ровно два различных корня уравнение x2 + 4x - 2│x - a│ + 2 – a = 0;
д) Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственный корень
уравнение
2 2 х 1
а ;
4 х  2 х 1  3
е) Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственный корень
уравнение
32 х
а ;
9 х  3х 1  2
ж) При каких значениях а имеет решения система х2 + (2 – 3а)х + 2а2 – 2а < 0, ах =
1 ?
6.
Решите систему уравнений:
а) xy(x + y) = 30 и x³ + y³ = 35;
б) x + y = a и x7 + y7 = a7.
7.
Решите уравнение:
а х + x
в) 2 x +7 x +15 x +14 x -16 x -22 x -22 x -16 x +14 x +15 x
а) x 3 35  x3 (x +
11
10
3
35  x3 ) = 30;
9
8
7
б)
6
5
7
4
7
3
2
a;
+7 x +2 = 0.
=
7
8. Докажите, что многочлен P(x) степени n (с отличным от нуля свободным членом)
является возвратным тогда и только тогда, когда верно равенство:
n
1
z f  z   f ( z ) .
9.
Разложите на множители:
4
3
2 2
а) 18 a - 21 a b - 94 a b - 21 a
б)
3
b
4
+ 18 b ;
x  y  z - x y  -  y z  - z x + x
4
4
4
4
4
+
y
4
+
z
4
.
10.
Упростите:






1
1 
6
1 
3
1 
 1
 1
 1
+
+



4
2
2
3
3
3
5
 ;





pq  p q  pq  p q  pq  p q 
11.
Выразите через  1 ,  2 ,  3 следующий многочлен: (x + y)(x + z)(y + z).






Геометрия
Расстояние между прямыми
1. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми AB
и CA1.
и DB1.
и CB1.
2. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми AB
3. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1
4. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1
и AC.
5. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1
и B1D1.
6. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1
и AD1.
7. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1
и AC1.
8. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1
и DB1.
9. В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние между прямыми AD и
BC.
10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и AC.
Расстояние от точки до плоскости
1. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки B до
плоскости ACB1.
2. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки B до
плоскости DA1C1.
3. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки B до
плоскости ACD1.
4. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки B до
плоскости AB1D1.
5. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки B до
плоскости CB1D1.
6. В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние от точки D до плоскости
ABC.
7. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1,
найдите расстояние от точки B до плоскости ACB1.
8. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1,
найдите расстояние от точки B до плоскости AB1C1.
9. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1,
найдите расстояние от точки B до плоскости CA1B1.
10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны
1, найдите расстояние от точки B до плоскости SAD.
Угол между прямыми
1.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между прямыми AB и CA1.
2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямыми AB и DB1.
3.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между прямыми BD1 и
DB1.
4.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между прямыми AC1 и CA1.
5.
В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AD. Найдите
косинус угла между прямыми AB и CE.
6.
В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра BC. Найдите
косинус угла между прямыми AB и DE.
7.
В правильном тетраэдре ABCD точки E, F – середины ребер
соответственно AB и BC. Найдите косинус угла EDF.
8.
В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AD. Найдите
косинус угла BEC.
9.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны
1, найдите косинус угла между прямыми AB и CB1.
10.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны
1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Угол между прямой и плоскостью
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой BD1 и плоскостью
ABC.
2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между прямой DB1 и
плоскостью ADD1.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AC1 и
плоскостью BCD1.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой DB1 и
плоскостью ABC1.
5. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой CA1 и
плоскостью BDD1.
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой BC и плоскостью
AB1D1.
7. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой CС1 и плоскостью
AB1D1.
8. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой CD и плоскостью
AB1D1.
9. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой AC и плоскостью
AB1D1.
10. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой BA1 и плоскостью
AB1D1.
Угол между двумя плоскостями
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между плоскостями A1B1C1 и
BDC1.
2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC и
CB1D1.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между плоскостями BCC1 и
CB1D1.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между плоскостями ADD1 и
BDC1.
5. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC1 и
AB1D1.
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями BDA1 и
BDC1.
7. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и
AB1D1.
8. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями ABC1 и BCD1.
9. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями ABC1 и BCD1.
10. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями ACB1 и BCD1.
Площадь сечения
1. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину A и середины ребер BB1, DD1. Найдите его площадь.
2. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину B и середины ребер AA1, CC1. Найдите его площадь.
3. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину C и середины ребер BB1, DD1. Найдите его площадь.
4. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину D и середины ребер AA1, CC1. Найдите его площадь.
5. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину A и середины ребер CD, A1B1. Найдите его площадь.
6. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину B и середины ребер A1B1, CD. Найдите его площадь.
7. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину B1 и середины ребер AB, C1D1. Найдите его площадь.
8. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину A1 и середины ребер AB, C1D1. Найдите его площадь.
9. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину A и середины ребер BC, A1D1. Найдите его площадь.
10. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через
вершину D и середины ребер BC, A1D1. Найдите его площадь.
Объемы многогранников
1. Каким многогранником является общая часть двух призм ABA1DCD1 и
ABB1DCC1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? Найдите его объём.
2. Каким многогранником является общая часть двух призм AA1B1DD1C1 и
BA1B1CD1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? Найдите его объём.
3. Каким многогранником является общая часть двух призм AA1B1DC1D1 и
ABA1DCD1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? Найдите его объём.
4. Каким многогранником является общая часть двух призм BA1B1CD1C1 и
BAB1CDC1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? Найдите его объём.
5. Каким многогранником является общая часть двух призм ADA1BCB1 и
ADD1BCC1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? Найдите его объём.
6. Каким многогранником является общая часть двух призм AA1D1BB1C1 и
DA1D1CB1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? Найдите его объём.
7. Каким многогранником является общая часть двух призм ADA1BCB1 и
AA1D1BB1C1? содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Найдите его объём.
8. Каким многогранником является общая часть двух призм ADD1BCC1 и
DA1D1CB1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? Найдите его объём.
9. Каким многогранником является общая часть двух призм ADCA1D1C1 и
ADBA1D1B1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? Найдите его объём.
10. Каким многогранником является общая часть двух призм ABCA1B1C1 и
BCDB1C1D1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? Найдите его объём.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа