close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ВАРИАНТ 1
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ 4 = x 2 + xy − y 2 , z ∈ ¡ }, M 0 2;2;15 ;
1.b. S:{ xyz 2 + xy + xz + y 2 = 4 }, M 0 1;1;1 ;
{
}
1.c. S : x = sin u sh v, y = sin u ch v, z = cos u , M 0 0; 0;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
 yzds , где S:{ y = x
2
S
− 1, − 1 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 }.
3. Вычислите площадь части эллипсоида, 3x 2 + 3y 2 + z 2 = 1 заключенной внутри конической
поверхности x 2 + y 2 = z 2 .
4. Вычислите
∫∫ ydxdz , где Ф – внешняя сторона боковой поверхности тетраэдра , отсекаемого от
Φ
координатного угла плоскостью x+y+z=1.
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ dxdy , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ y . Совет:
тригонометрической подстановки tg ϕ = t .
dϕ
∫ 1 + sin
2
ϕ
берется при помощи
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = x − y + z ; x + y + z ; x − y − z . В
{
}
качестве контура интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение эллиптического
параболоида x 2 + y 2 = 2 − z и плоскости z = 2y .
r
7. Вычислите поток вектора F = {x 2 ; y + 4; −2xz } через правую половину поверхности сферы
x 2 + y 2 + z 2 = 4, y ≥ 0 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через
формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = 2e 2xy y sin ( z 2 ) i + x sin ( z 2 ) j + z cos (z 2 ) k является потенциальным,
(
)
найдите его потенциал, а также работу поля вдоль линии, заданной уравнениями
π
x = t, y = t 3 , z = t 2 от точки t = 0 до точки t = 4 .
2
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r r
9.a. grad a , b , a , b  const
r
r
9.b. div u rot b , u – дважды дифференцируемое скалярное поле, b – дважды дифференцируемое
(
( )
)
векторное поле.
r
r
r
r r 5r
r
9.c. div (r (a, r ) r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = {x ; z ; z } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и оператора Лапласа в криволинейных координатах
x = ρ sin ϕ, y = − ρ cos ϕ, z = z .
ВАРИАНТ 2
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ x = y 2 , z ∈ ¡ }, M 0 4;2;10 ;
1.b. S:{ xyz 2 − 2xy + y 2z = 0 }, M 0 1;1;1 ;
{
}
1.c. S : x = ch u ch v, y = ch u sh v, z = shu , M 0 1; 0; 0 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ ( z + x ) ds , где S: { z + y = 1 y ≥ 0, 1 ≤ x ≤ 4 , z ≥
S
0}.
3. Вычислите площадь части поверхности двуполостного гиперболоида x 2 + y 2 = z 2 − 8, z ≥ 2 2 ,
заключенной внутри сферы x 2 + y 2 + z 2 = 16 .
4. Вычислите
∫∫ z dxdy , где Ф – внешняя сторона части поверхности гиперболического
2
Φ
параболоида z = xy , вырезаемого цилиндром x2+y2=1.
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ xzdxdz , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1 , z ≥ y, x ≥ 0, y ≥ 0. .
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = {y; x ; −y } . В качестве контура
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение эллиптического параболоида
9x 2 + y 2 = 2 − z и плоскости z = 6x .
r
7. Вычислите поток вектора F = {x ; −y 2 ;2yz } через часть поверхности эллиптического параболоида
2
2
2
y 2 + z 2 = 4x , x ≤ 3 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через
формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = 2e 2xz z cos (y 2 ) i − y sin (y 2 ) j + x cos (y 2 ) k является потенциальным,
(
)
найдите его потенциал, а также работу поля вдоль линии, заданной уравнениями
π
x = t 3, y = t 2, z = t от точки t = 0 до точки t = 4 .
2
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r
r r r
9.a. div(b (r , c )) , b , c  const
r r
9.b. div r rot b ,b - дважды дифференцируемое векторное поле
r
r
r
r r 3
r
9.c. grad r 2 ⋅ (a , r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = {x ; x ; −y } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и оператора Лапласа в криволинейных координатах
x = r cos ϕ sin θ ; y = −r sin ϕ sin θ ; z = r cos θ .
(
(
)
)
ВАРИАНТ 3
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0
1.a. S:{ 25 = x 2 + y 2, z ∈ ¡ }, M 0 3; 4; 3 ;
1.b. S:{ x 2y + y 2z + xz 2 = 3 }, M 0 1;1;1 ;
{
}
1.c. S : x = u ch v, y = u sh v, z = u 2 , M 0 1; 0;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
1 + 4x 2 + 4y 2 ds , где S: z = x 2 − y 2 ; x 2 + y 2 ≤ 1
∫∫
S
3. Вычислите площадь части конической поверхности x 2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0 , заключенной внутри
цилиндра x 2 + y 2 = x .
4. Вычислите
x2+y2=z,
x

 dxdz , где Ф – внешняя сторона поверхности эллиптического параболоида

Φ
x ≥ 0, 1 ≤ z ≤ 2.
∫∫  y + e
z2
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ x dxdy , где S – часть внешней поверхности
2
S
единичной сферы x + y + z = 1 , вырезаемая конической поверхностью z = x 2 + y 2 .
−y
x
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a =
i +
j . В качестве
2
2
2
x +y
x + y2
2
2
2
контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1. аккуратнее с применимостью формулы!
r
7. Вычислите поток вектора F = {x 2 ; −2xy, z 2 } через часть поверхности двуполостного
гиперболоида x 2 + y 2 = z 2 − 1 , 1 ≤ z ≤ 5 . Решите задачу двумя способами: непосредственным
подсчетом и через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
− 3x
3y
3z
8. Покажите, что поле a =
является
5 2 i −
5 2 j −
5 2 k
(x
2
+ y2 + z2 )
(x
2
+ y2 + z2
)
(x
2
+ y2 + z2
)
потенциальным, найдите его потенциал, а также работу поля вдоль дуги спирали x = cosϕ, y =
sinϕ, z = ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π.
r
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r r
9.a. grad a , b , a , b ≠ const
r r
9.b. div(ua ) , a ≠ const u –дифференцируемое скалярное поле
r
r
r
r r 3r r
9.c. rot r 2 (a , r ) r , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор.
r
10. Представьте поле F = {x ; −2zy, z 2 } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и ротора в криволинейных координатах
x = r cos ϕ cos θ ; y = r sin ϕ cos θ ; z = r sin θ .
( )
(
)
ВАРИАНТ 4
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 .:
1.a. { 16 = x 2 − y 2 , z ∈ ¡ }, M 0 5; 3;10 ;
1.b. S:{ xyz 2 + xy + xz = 3 }, M 0 1;1;1 ;
{
}
1.c. S : x = u sin v, y = u cos v, z = u 2 , M 0 0;1;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ zds , где S: {z = xy; x
S
3. Вычислите массу части поверхности цилиндра x 2 + y 2 =
x 2 + y 2 + z 2 = x . Поверхностная плотность ρ = z
4. Вычислите
∫∫ (x
Φ
2
2
}
+ y 2 ≤ 1, x ≥ 0
1
, заключенной внутри сферы
4
+ y 2 ) dydz , где Ф – внешняя сторона поверхности эллиптического параболоида
x +y =1– z, x ≥ 0, y ≥ 0 , z ≥ 0 .
2
2
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ x dydz , где S – часть внешней поверхности сферы
3
S
x + y + z = 4 , z ≥ 0 вырезаемая поверхностью цилиндра x 2 + y 2 = 3 .
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = −y exp ( −x 2 − y 2 ) i + x exp ( −x 2 − y 2 ) j . В
2
2
2
качестве контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1.
r
7. Вычислите поток вектора F = {z − x ; y + x , z } через часть конической поверхности x 2 + y 2 = z 2 ,
0 ≤ z ≤ 3 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через формулу
Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
2
2
2
8. Покажите, что поле a = sin x + y + z ( xi + yj + zk ) является потенциальным, найдите его
2
2
2
x +y +z
потенциал, а также работу поля вдоль дуги спирали x = cosϕ, y = sinϕ, z = ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π
r
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
9.a. div(u ⋅ grad v ) u , v – дважды дифференцируемые скалярные поля
r r r r
9.b. rot  a , b  , a , b ≠ const
r
r
r
r r
r
9.c. grad (r 7 (a , r ) ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор.
r
10. Представьте поле F = {z − x ; y + x , z } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и дивергенции в криволинейных координатах
x = ρ sin ϕ, y = ρ cos ϕ, z = z .
ВАРИАНТ 5
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ 2 − z 2 = xy }, M 0 1;1;1 ;
1.b. S:{ xyz 2 + xy − 2xz + y 2 = 4 }, M 0 1; 0;2 ;
{
}
1.c. S : x = ch u sh v, y = ch u ch v, z = sh u , M 0 0;1; 0 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ xds , где S: 1 − 2z = x
S
2
− y 2 ; x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 .
3. Вычислите площадь части поверхности сферы x 2 + y 2 + z 2 = 16 , заключенной внутри
двуполостного гиперболоида x 2 + y 2 = z 2 − 8, z ≥ 2 2 .
4. Вычислите
∫∫ xdydz , где Ф – внешняя сторона части поверхности однополостного гиперболоида
Φ
z + 1 = x + y2 , x ≥ 0 , 1 ≤ y ≤ 2 .
2
2
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ zdydz , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1 , y ≥ 0 вырезаемая цилиндрической поверхностью x 2 + y 2 = x .
внимание: x ≥ 0 !!
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = {x ; x ; −y } . В качестве контура
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение конической поверхности
25x 2 + y 2 = z 2 и плоскости z = 4x + 3 .
r
7. Вычислите поток вектора F = {x ; −2zy; z 2 } через часть поверхности двуполостного гиперболоида
2
2
2
y 2 + z 2 = x 2 − 9 , 3 ≤ x ≤ 5 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и
через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = 2z sh (y 2 ) sh ( 2xz ) i + 2y ch (y 2 ) ch (2xz ) j + 2x sh (y 2 ) sh ( 2xz ) k
(
)
(
)
(
)
является потенциальным, найдите его потенциал, а также работу поля вдоль линии, заданной
уравнениями x = t, y = t 2 , z = t 3 от точки t = 0 до точки t = 4 ln 2 .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r
r r r
9.a. div(r (b , c )) , b , c  const
r
r r
r
9.b. rot a div b , a , b  const
r
r
r
r r 2r
r
9.c. div r 2 (a, r ) r , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = {y; x ; −y } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и оператора Лапласа в криволинейных координатах
x = r cos ϕ cos θ ; y = −r sin ϕ cos θ ; z = r sin θ .
(
(
)
)
ВАРИАНТ 6
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ z 2 = x 2 − y 2 + 4y, z ≥ 0 }, M 0 1;1;2 ;
1.b. S:{ x 2 + y 2 − z 2 = 4z }, M 0 1;2;1 ;
{
}
1.c. S : x = ch u sin v, y = ch u cos v, z = sh u , M 0 0;1; 0 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ xyds , где S: 2z = x
S
2
+ y 2 ; x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 .
3. Вычислите площадь части поверхности сферы x 2 + y 2 + z 2 = 2 , заключенной внутри
эллиптического параболоида x 2 + y 2 = z .
4. Вычислите
∫∫ z dxdy , где Ф – внешняя сторона части поверхности однополостного гиперболоида
2
Φ
z + 1 = x + y 2 , z ≥ 0 , вырезаемого цилиндром x 2 + y 2 = 4 .
2
2
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ zdxdz , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1 , x ≥ 0 , z  0 , вырезаемая цилиндрической поверхностью
x 2 + y 2 = y . внимание: y ≥ 0 !!
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = {x ; z ; z } . В качестве контура
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение конической поверхности
x 2 + 25y 2 = z 2 и плоскости z = 3y + 4 .
r
7. Вычислите поток вектора F = {x − y; y + z ; x − z } через часть конической поверхности
y 2 + z 2 = x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через
формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = ( cos ( x + z ) − sin ( x − y ) ) i + ( sin ( x − y ) ) j + cos ( x + z ) k является
потенциальным, найдите его потенциал, а также работу поля вдоль дуги окружности
x 2 + y 2 = π 2 , z = π , x ≥ 0, y ≥ 0 .
2
2
2
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r r
9.a. grad a , b , a , b  const
r r
9.b. div u rot b b  const u – дважды дифференцируемое скалярное поле.
r
r
r
r r 2r
r
9.c. div r 3 (a, r ) r , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = y; x + y + z ; x как сумму потенциального и соленоидального полей.
(
(
( )
)
)
{
}
11. Получите выражения для градиента и ротора в криволинейных координатах
x = r sin ϕ cos θ ; y = r cos ϕ cos θ ; z = r sin θ .
ВАРИАНТ 7
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ z 2 = x 2 + y 2 + 2y, z ≥ 0 }, M 0 1;1;2 ;
1.b. S:{ x 2 + y 2 + z 2 = 5z }, M 0 0;2;1 ;
{
}
1.c. S : x = ch u cos v, y = ch u sin v, z = sh u , M 0 1; 0; 0 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
S
1 − z = xy; x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 .
2
∫∫ (x + y ) ds , где S:
2
3. Вычислите площадь части поверхности сферы x 2 + y 2 + z 2 =
4
, заключенной внутри
9
2
−z.
3
4. Вычислите ∫∫ zdxdy , где Ф – внешняя сторона части поверхности двуполостного гиперболоида
эллиптического параболоида x 2 + y 2 =
Φ
z 2 − 1 = x 2 + y2 , 2 ≤ z ≤ 3 .
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ dxdy , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1, z ≥ 0 , вырезаемая цилиндрической поверхностью x 2 + y 2 = x .
2
2
2
внимание: x ≥ 0 !!
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = {y; y; x } . В качестве контура
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение двуполостного гиперболоида
x 2 + 25y 2 = z 2 − 24 и плоскости z = 4y + 3 .
r
7. Вычислите поток вектора F = {x ; z ; z } через часть цилиндрической поверхности y 2 + z 2 = 9 ,
0 ≤ x ≤ 2 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через формулу
Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = ( sh ( x − z ) ) i + ( ch ( y + z ) ) j + ( ch (y + z ) − sh (x − z ) ) k является
потенциальным, найдите его потенциал, а также работу поля вдоль дуги окружности
2
x 2 + y 2 = ( ln 6 ) , z = ln 2 , x ≥ 0, y ≥ 0 .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r
9.a. rot [ a , r ] , a  const
9.b. div [ grad u , grad v ] u , v – дважды дифференцируемые скалярные поля
r
r
r
r r 3r
r
9.c. div r 2 (a, r ) r , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = x − y + z ; x ; − z как сумму потенциального и соленоидального полей.
(
)
{
}
11. Получите выражения для градиента и дивергенции в криволинейных координатах
x = r sin ϕ cos θ ; y = r cos ϕ cos θ ; z = r sin θ .
ВАРИАНТ 8
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ 2y = x 2 + y 2 , z ∈ ¡ }, M 0 1;1;10 ;
1.b. S:{ x 2 − y 2 − z 2 = 4z }, M 0 3;2;1 ;
{
}
1.c. S : x = sh u ch v, y = sh u sh v, z = chu , M 0 0; 0;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ (z + x + y ) ds , где S: { z + 2y = 1 y ≥ 0,
S
z ≥ 0}.
−1 ≤ x ≤ 1 ,
3. Вычислите массу части сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0, x ≥ 0 , заключенной внутри цилиндра
x 2 + y 2 = y . Поверхностная плотность сферы ρ = x .
4. Вычислите
∫∫ x dydz , где Ф – внешняя сторона части поверхности двуполостного гиперболоида
2
Φ
z 2 − 1 = x 2 + y2 , x ≥ 0 , 1 ≤ z ≤ 3 .
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ ydxdy , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1 , вырезаемая цилиндрической поверхностью x 2 + y 2 = y .
внимание: y ≥ 0 !!
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = {x − y; y + z ; x − z } . В качестве контура
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение двуполостного гиперболоида
25x 2 + y 2 = z 2 − 9 и плоскости z = 3x + 4 .
r
7. Вычислите поток вектора F = {x ; x ; −y } через часть поверхности эллиптического параболоида
y 2 + z 2 = 4 − x , x ≥ 2 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через
формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = (e x +y + e x −z ) i + (e x +y − e z −y ) j + (e z −y − e x −z ) k является потенциальным,
2
2
2
2
найдите его потенциал, а также работу поля вдоль дуги окружности x 2 + z 2 = ( ln10 ) , y = ln 5 ,
x ≥ 0, z ≥ 0 .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r
9.a. grad a , b , a  const
( )
9.b. rot ( u grad v ) u , v – дважды дифференцируемые скалярные поля.
r
r
r
r r 4r
r
9.c. div r 2 (a, r ) r , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = z ; x ; x − y − z как сумму потенциального и соленоидального полей.
(
)
{
}
11. Получите выражения для градиента и оператора Лапласа в криволинейных координатах
x = r sin ϕ cos θ ; y = r cos ϕ cos θ ; z = r sin θ .
ВАРИАНТ 9
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0
1.a. S:{ 2 − z = x 2 + y 2 }, M 0 1;1; 0 ;
1.b. S:{ x 2y + 2zy 2 − xz 2 = 4 }, M 0 1;1;1 ;
{
}
1.c. S : x = u sh v, y = u ch v, z = u , M 0 0;1;1 .
∫∫
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
S
1 + 4x 2 + 4y 2 ds , где S: z = x 2 + y 2 ; z ≤ 1
3. Вычислите площадь части поверхности конуса x 2 + y 2 = z 2 , заключенной внутри сферы
x 2 + y2 + z 2 = x .
4. Вычислите
∫∫ zdxdy , где Ф – внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, в основании
Φ
которой лежит квадрат 0≤x ≤1, 0≤y≤1, а вершина находится в точке (0,0,1).
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ (y + z ) dxdz , где S – часть внешней поверхности
S
сферы x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 , вырезаемая поверхностью цилиндра x 2 + y 2 = 3 .
(
)
(
)
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = −y exp − x 2 + y 2 i + x exp − x 2 + y 2 j .
В качестве контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1. аккуратнее с
применимостью формулы!
r
7. Вычислите поток вектора F = {2zx ; y + x , −z 2 } через часть цилиндрической поверхности
x 2 + y 2 = 4 , 0 ≤ z ≤ 3 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через
формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
1
8. Покажите, что поле a =
(xi + yj + zk ) является
cos2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2
(
)
потенциальным, найдите его потенциал, а также работу поля вдоль ломаной линии, проходящей
по ребрам куба через точки (1,0,0) , (1,1,0) , (1,1,1) , (0,1,1).
r
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r
r r
9.a. div(b (r , c )) , c , b ≠ const
r r
9.b. rot(rot a ) , a ≠ const
r
r
r
r r 4 r
9.c. grad r ⋅ (a , r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор.
r
10. Представьте поле F = {2zx ; y + x , −z 2 } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и дивергенции в криволинейных координатах
x = r cos ϕ sin θ ; y = r sin ϕ sin θ ; z = r cos θ
(
)
ВАРИАНТ 10
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ 3y = x 2 − y 2, z ∈ ¡ }, M 0 2;1;10 ;
1.b. S:{ x 2 − y 2 + z 2 = 6z }, M 0 3;2;1 ;
{
}
1.c. S : x = sh u sh v, y = sh u ch v, z = chu , M 0 0; 0;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ zxds , где S: { 2z + 3x = 1 x ≥ 0,
S
3. Вычислите площадь части сферы x 2 + y 2 + z 2 =
−1 ≤ y ≤ 1 , z ≥ 0}.
1
, z ≥ 0 , заключенной внутри сферы
4
x2 + y 2 + z 2 = z .
4. Вычислите
∫∫ y dxdz , где Ф – внешняя сторона части поверхности двуполостного гиперболоида
2
Φ
z − 1 = x + y 2 , y ≥ 0; 1 ≤ z ≤ 3 .
2
2
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ xdydz , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1 , вырезаемая конической поверхностью 3z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0 .
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = {2x − z ; y + x ; z − x } . В качестве контура
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение однополостного гиперболоида
x 2 + 25y 2 = z 2 + 24 и плоскости z = 3y + 4 .
r
7. Вычислите поток вектора F = x − y + z ; x ; − z через часть конической поверхности
2
2
2
{
}
y 2 + z 2 = (x − 4 ) , 1 ≤ x ≤ 4 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и
2
через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = e − xyz (yz − xy 2z 2 ) i + ( xz − x 2z 2y ) j + ( xy − x 2y 2z ) k является
(
)
потенциальным, найдите его потенциал, а также работу поля вдоль линии, заданной уравнениями
x = t, y = t 2 , z = t 3 от точки t = 0 до точки t = 1 .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r
9.a. rot  a , b  , a  const
9.b. rot ( u grad r )
r
r
r
r r 2r
r
9.c. div r 4 (a, r ) r , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = x − y + z ; x + y + z ; x − y − z как сумму потенциального и
(
)
{
}
соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и ротора в криволинейных координатах
x = r sin ϕ sin θ ; y = r cos ϕ sin θ ; z = r cos θ .
ВАРИАНТ 11.
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0
1.a. S:{ z 2 = x 2 − y 2 , z ≥ 0 }, M 0 5; 4; 3 ;
1.b. S:{ xyz + 1 = 2xz 2 + 2yx 2 + zy 2 }, M 0 0;1;1 ;
{
}
1.c. S : x = u ch v, y = u sh v, z = u , M 0 1; 0;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ zxds , где S: { x+y+z=1, x ≥ 0, y ≥ 0 , z ≥ 0}.
S
3. Вычислите массу части поверхности эллиптического параболоида x 2 + y 2 = 2z , заключенной
1
внутри цилиндра x 2 + y 2 = x . Поверхностная плотность ρ =
2
x + y2 + 1
4. Вычислите
1 ≤ z ≤ 2.
x
∫∫  y + y
Φ
2

2
2
2
 dxdz , где Ф – внешняя сторона поверхности конуса x +y =z ,

5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
x ≥ 0,
∫∫ xdydz , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1 , вырезаемая конической поверхностью z = x 2 + y 2 .
2
2
2
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = y x 2 + y 2 i − x x 2 + y 2 j . В качестве
контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1. аккуратнее с применимостью
формулы!
r
7. Вычислите поток вектора F = {x 2 ; −2xy, z 2 } через часть поверхности эллиптического
параболоида x 2 + y 2 = 4z , z ≤ 4 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом
и через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
x
y
8. Покажите, что поле a = 2
i + 2
j , является потенциальным, найдите его потенциал, а
2
x +y
x + y2
также работу поля вдоль дуги окружности x = sinϕ, y = cosϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π/2.
r
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r r
9.a. div[a , b ] , a , b ≠ const
r r r
9.b. rot [ a , r ] , a ≠ const
r
r
r
r r 7 r
9.c. grad r ⋅ (a , r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор.
r
10. Представьте поле F = {x 2 ; −2xy, z } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и ротора в криволинейных координатах
x = ρ sin ϕ, y = ρ cos ϕ, z = z .
(
)
ВАРИАНТ 12
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0
1.a. S:{ z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0 }, M 0 3; 4;5 ; .
1.b. S:{ x 2yz + xyz 2 = 2 }, M 0 1;1;1 ;
{
}
1.c. S : x = u sin v, y = u cos v, z = u , M 0 0;1;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ (x + y ) ds , где S: {x +y +z =1, x ≥ 0, y ≥ 0 , z ≥ 0}.
2
2
2
S
3. Вычислите x – координату центра масс части гиперболического параболоида x2−y2=2z,
вырезанной цилиндром x2+y2=x относительно плоскости OXY. Поверхностная плотность
1
ρ =
.
2
x + y2 + 1
4. Вычислите
∫∫ x dydz , где Ф – внешняя сторона поверхности эллиптического параболоида
2
Φ
x +y =z, x ≥ 0, y ≥ 0 , z ≤1.
2
2
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ (y + z ) dxdz , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1 , вырезаемая конической поверхностью z = x 2 + y 2 .
2
2
2
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = y ln (x 2 + y 2 ) i − x ln (x 2 + y 2 ) j .В качестве
контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1. аккуратнее с применимостью
формулы!
r
7. Вычислите поток вектора F = yz ; xy; z 2 через часть поверхности однополостного гиперболоида
{
}
x 2 + y 2 = z 2 + 1 , 0 ≤ z ≤ 3 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и
через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
8. Покажите, что поле a = 2x exp ( x 2 + y 2 ) i + 2y exp (x 2 + y 2 ) j является потенциальным, найдите
его потенциал, а также работу поля вдоль дуги циклоиды x = sin3ϕ, y = cos3ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π/2.
r
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r
9.a. rot(ua ) , a ≠ const
r r r
9.b. grad ( a , r ) , a ≠ const
9.c. div grad (r 4 )
r
10. Представьте поле F = {x ; xy; −zx } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и ротора в криволинейных координатах
x = r cos ϕ sin θ ; y = r sin ϕ sin θ ; z = r cos θ .
ВАРИАНТ 13
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ z 2 = x 2 + xy + y 2 , z ≥ 0 }, M 0 1; 1;1 ;
1.b. S: 3xz 2 − 5x 2y + 3y 2 = z , M 0 1;1;1 ;
{
}
{
}
1.c. S : x = u sh v, y = u ch v, z = u 2 , M 0 0;1;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ ds , где S: {x +y =z +1, x ≥ 0, y ≥ 0 ,
2
2
2
S
0 ≤ z ≤ 2 }.
3. Вычислите y – координату центра масс части гиперболического параболоида x 2 − y 2 = 1 − z
вырезанной цилиндром x 2 + y 2 = y относительно плоскости OXY. Поверхностная плотность
1
ρ =
.
4x 2 + 4y 2 + 1
4. Вычислите
∫∫ ydxdz , где Ф – внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, в основании
Φ
которой лежит квадрат 0≤x ≤1, 0≤y≤1, а вершина находится в точке (0,0,1).
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ yzdxdz , где S – часть внешней поверхности
S
1
единичной сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ .
2
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = x x 2 + y 2 i − y x 2 + y 2 j . В качестве
контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1. аккуратнее с применимостью
формулы!
r
7. Вычислите поток вектора F = {z − x ; y + x ; z − 1} через верхнюю половину поверхности сферы
x 2 + y 2 + z 2 = 9, z ≥ 0 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через
формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = ( 2x + y + yz ) i + ( x + xz ) j + xyk является потенциальным, найдите его
потенциал, а также работу поля вдоль дуги параболы z = x 2, y = 1 от точки (1;1;1) до точки
( 3;1; 9 ) .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r uuuuur
9.a. rot [ a , r ] , a  const
9.b. div ( u grad v ) u , v – дважды дифференцируемые скалярные поля
r
r
r
r r
r
9.c. grad (r 2 ⋅ (a , r ) ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор.
r
10. Представьте поле F = {x ; xy; −zx } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и оператора Лапласа криволинейных координатах
x = r cos ϕ sin θ ; y = r sin ϕ sin θ ; z = r cos θ .
ВАРИАНТ 14
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ x = x 2 + y 2 , z ∈ ¡ }, M 0 1; 0;10 ;
1.b. S: xyz + 1 = 2xz 2 − yx + zy 2 , M 0 1;1;1 ;
{
}
{
}
1.c. S : x = u sh v, y = u ch v, z = uv , M 0 0;1; 0 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
S:{ z + 2x = 1 , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 2, z ≥ 0 }.
∫∫ ( z + x ) ds , где
S
(
)
2
3. Вычислите площадь части конической поверхности x 2 + y 2 = z − 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , заключенной
внутри цилиндра x 2 + y 2 = y .
4. Вычислите
∫∫ ( x + z ) dydz , где Ф – внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, в
Φ
основании которой лежит квадрат 0≤x ≤1, 0≤y≤1, а вершина находится в точке (0,0,1).
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ (x + y + z ) dydz , где S – часть внешней
S
1
.
2
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = x ln ( x 2 + y 2 ) i − y ln (x 2 + y 2 ) j . В качестве
поверхности единичной сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥
контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1. аккуратнее с применимостью
формулы!
r
7. Вычислите поток вектора F = {x − y; y + x ; z − y } через боковую поверхность куба, вершины
которого находятся в точках (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0), (1,1,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1). Решите
задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через формулу Остроградского –
Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = yzi + (1 + xz + 2yz ) j + ( xy + y 2 ) k является потенциальным, найдите его
потенциал, а также работу поля вдоль дуги параболы y = z 2 , x = 1 от точки (1;1;1) до точки
(1; −2; 4 ) .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r uuuuur
9.a. grad ( a , r ) , a  const
9.b. div ( grad f ( r ) )
r
r
r
r r 3r
r
9.c. rot r (a , r ) r , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор.
r
10. Представьте поле F = {xy; y; −zy } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и оператора Лапласа в криволинейных координатах
x = r cos ϕ cos θ ; y = r sin ϕ cos θ ; z = r sin θ .
(
)
ВАРИАНТ 15
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 .
a. S:{z = xy }, M 0 1;2; 2 ;
b. S: xz 2 − 5x 2y + y 2 = z − 4 , M 0 1;1;1 ;
{
}
{
}
c. S : x = u sh v, y = u ch v, z = u 2 , M 0 0;1;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ zds , где S: { z + x = 1 x ≥ 0,
S
0 ≤ y ≤ 2 , z ≥ 0}.
1
,
4
заключенной внутри части цилиндра x 2 + y 2 = x , y  0 . Поверхностная плотность
y
.
ρ =
3. Вычислите массу части поверхности однополостного гиперболоида x 2 + y 2 = z 2 +
2x 2 + 2y 2 −
4. Вычислите
≥ 0 , 0≤z ≤2
1
4
∫∫ (y
Φ
2
+ z 2 ) dydz , где Ф – внешняя сторона поверхности конуса x2+y2=z2,
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
x ≥ 0, y
∫∫ z dxdy , где S – часть внешней поверхности
2
S
сферы x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 , вырезаемая поверхностью цилиндра x 2 + y 2 = 3 .
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = −x exp ( −x 2 − y 2 ) i + y exp ( −x 2 − y 2 ) j .
В качестве контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1.
r
7. Вычислите поток вектора F = {xy; y; y − z } через часть поверхности эллиптического
параболоида x 2 + y 2 = 4 − z , z ≥ 1 . Решите задачу двумя способами: непосредственным
подсчетом и через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
 1 
exp  2
2 
 x + y  −2xi − 2yj является потенциальным, найдите его
8. Покажите, что поле a =
(
)
2
(x 2 + y 2 )
потенциал, а также работу поля вдоль дуги спирали x = ϕcosϕ,
2π.
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте выражение
r
r r r
a. div(r (r , c )) , c  const
y = ϕsinϕ, π ≤ ϕ ≤
b. div ( u grad v )
r
r
r
r r r
r
c. rot (r (a , r ) r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор.
r
10. Представьте поле F = {2xy; −y 2 ; z } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и дивергенции в криволинейных координатах
x = r cos ϕ cos θ ; y = r sin ϕ cos θ ; z = r sin θ
ВАРИАНТ 16
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ x = x 2 − y 2 , z ∈ ¡ }, M 0 1; 0;10 ;
1.b. S: {xyz + 1 = xz 2 + y 2x − zy } , M 0 0;1; 1 ;
{
}
1.c. S : x = u cos v, y = u sin v, z = u 2 , M 0 1; 0;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ (x + y + z ) ds , где S: {1 − z = xy; x
S
3. Вычислите массу части поверхности цилиндра x 2 + y 2 =
x 2 + y 2 + z 2 = y . Поверхностная плотность ρ = z .
4. Вычислите
2
}
+ y2 ≤ 1 .
1
, z  0 , заключенной внутри сферы
9
∫∫ xdzdy , где Ф – внешняя сторона куба, вершины которого находятся в точках
Φ
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0), (1,1,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1).
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
единичной сферы x + y + z = 1 , x ≥ y .
2
2
2
∫∫ xzdydz , где S – часть внешней поверхности
S
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a =
−x
x +y
2
2
i +
y
x + y2
2
j . В качестве
контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1. аккуратнее с применимостью
формулы!
r
7. Вычислите поток вектора F = {2zx ; y + x ; −z 2 } через часть поверхности эллиптического
параболоида x 2 + z 2 = 2y , y ≤ 2 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом
и через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = (yz + z ) i + xzj + ( xy + x + 2z ) k является потенциальным, найдите его
потенциал, а также работу поля вдоль линии, заданной уравнениями x = t cos t, y = sin t, z = t от
π
точки t =
до точки t = π .
2
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r r uuuuur
9.a. grad a , b , a , b  const
r r r uuuuur
9.b. div[a , r ] a  const
r
r
r
r r 2r
r
9.c. rot r 2 (a , r ) r , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор.
r
10. Представьте поле F = {−zx ; zy; z } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и ротора в криволинейных координатах
x = ρ sin ϕ, y = − ρ cos ϕ, z = z .
( )
(
)
ВАРИАНТ 17.
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 .
1.a. S:{ z 2 = x 2 + xy − y 2, z ≥ 0 }, M 0 1;1;1 ;
1.b. xz 2 − xy + y 2 = z , M 0 1;1; 0 ;
{
}
1.c. S : x = u sh v, y = u ch v, z = u , M 0 0;1;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
S:{ x + 2y = 1 , x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1 }.
∫∫ (x + y ) ds , где
S
3. Вычислите массу части поверхности эллиптического параболоида x 2 + y 2 = 1 − z , заключенной
1
внутри цилиндра x 2 + y 2 = y . Поверхностная плотность ρ =
.
4x 2 + 4y 2 + 1
4. Вычислите
∫∫ y dxdz , где Ф – внешняя сторона поверхности конуса x +y =z , x ≥ 0,
2
2
2
2
Φ
1 ≤ z ≤ 2.
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
1
единичной сферы x + y + z = 1 , z ≥ .
2
2
2
y ≥ 0,
∫∫ y dxdy , где S – часть внешней поверхности
2
S
2
(
)
(
)
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = −x exp − x 2 + y 2 i + y exp − x 2 + y 2 j .
В качестве контура интегрирования возьмите окружность x2+y2=1. аккуратнее с
применимостью формулы!
r
7. Вычислите поток вектора F = {−zx ; zy; z + 3} через часть конической поверхности
(
)
2
x 2 + y 2 = 1 − z , 0 ≤ z ≤ 1 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и
через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = 2xyzi + ( x 2z + z ) j + ( x 2y + y + 2z ) k является потенциальным, найдите
его потенциал, а также работу поля вдоль дуги параболы y = x 2 , z = 1 от точки (1;1;1) до точки
( 2; 4;1) .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r r uuuuur
9.a. rot  a , b  , a , b  const
9.b. rot ( u grad v )
r
r
r
r r r
r
9.c. div (r 2 (a , r ) ⋅ r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор.
r
10. Представьте поле F = {2zx ; y + x ; −z 2 } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и оператора Лапласа в криволинейных координатах
x = ρ sin ϕ, y = ρ cos ϕ, z = z
ВАРИАНТ 18
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ 2 − z = x 2 + xy + y 2 }, M 0 1;1; 1 ;
1.b. S:{ x 2y + y 2z + xz 2 = 4 }, M 0 0;2;1 ;
{
}
1.c. S : x = u cos v, y = u sin v, z = uv , M 0 1; 0; 0 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ xds , где S:{ 1 − z = x
S
2
+ y 2 ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }.
3. Вычислите площадь части поверхности конуса x 2 + y 2 = 2z 2 , заключенной внутри сферы
x 2 + y2 + z 2 = y .
4. Вычислите
∫∫ ( x + z ) dxdy , где Ф – внешняя сторона куба, вершины которого находятся в точках
Φ
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0), (1,1,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1).
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ xydxdz , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1 , x ≥ y .
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = {x + z, x + y, x + y} . В качестве контура
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 и плоскости
x = y.
r
7. Вычислите поток вектора F = {2xy; −y 2 ; z } через часть поверхности двуполостного гиперболоида
2
2
2
x 2 + z 2 = y 2 − 1 , 1 ≤ y ≤ 3 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и
через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = ( 2xy + z 2 ) i + ( x 2 + 2yz ) j + (y 2 + 2xz ) k является потенциальным,
найдите его потенциал, а также работу поля вдоль дуги спирали x = cos ϕ, y = sin ϕ, z = ϕ от
(
)
точки (1; 0; 0 ) до точки 0;1; π 2 .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
9.a. div ( u grad r ) ,
r r r r r uuuuur
9.b. div(b (r , c )) b , c  const
r
r
r
r r r
r
9.c. rot (r 2 (a , r ) r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = {z − x ; y + x ; z } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и ротора в криволинейных координатах
x = r cos ϕ cos θ ; y = −r sin ϕ cos θ ; z = r sin θ .
ВАРИАНТ 19
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ z 2 = xy, z ≥ 0 }, M 0 2;2;2 ;
1.b. S:{ x 2y − y 2z + 2xz 2 = 8 }, M 0 2;2; 0 ;
{
}
1.c. S : x = cos u sh v, y = cos u ch v, z = sin u , M 0 0;1; 0
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода
∫∫ ds , где
S
S:{ z = 2x − y ; 16x + 4y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 }.
2
2
2
2
3. Вычислите массу части поверхности однополостного гиперболоида x 2 + y 2 = z 2 +
заключенной внутри цилиндра x 2 + y 2 = y . Поверхностная плотность ρ =
4. Вычислите
y
1
,
9
1
2x 2 + 2y 2 −
9
.
∫∫ y dxdz , где Ф – внешняя сторона боковой поверхности цилиндра x +y =1,
2
2
2
Φ
x ≥ 0,
y ≥ 0 , 0≤z ≤1.
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ ydxdy , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x + y + z = 1 , z ≥ 0 , x ≥ y .
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля a = {x + 2z, x + y, x + z } . В качестве контура
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 и плоскости
x =z.
r
7. Вычислите поток вектора F = {x 2 ; y; −2xz } через часть конической поверхности x 2 + z 2 = y 2 ,
2
2
2
0 ≤ y ≤ 5 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через формулу
Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = ( 2xy + z ) i + ( x 2 + z ) j + ( x + y ) k является потенциальным, найдите его
потенциал, а также работу поля вдоль линии, заданной уравнениями x = ch t, y = sh t, z = t от
точки t = 0 до точки t = ln 2 .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
9.a. div ( r grad u ) ,
r r r r r uuuuur
9.b. div(r (b , c )) b , c  const
r
r
r
r r r
r
9.c. rot (r 3 (a , r ) r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = {x − y; y + x ; z − y } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и ротора в криволинейных координатах
x = r cos ϕ sin θ ; y = −r sin ϕ sin θ ; z = r cos θ .
ВАРИАНТ 20
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ 3 − z 2 = 2x 2 − y 2 , z ≥ 0 }, M 0 1; 0;1 ;
1.b. S:{ x 2y + 2y 2z − xz 2 = 4 }, M 0 2;1; 0 ;
{
}
1.c. S : x = cos u ch v, y = cos u sh v, z = sin u , M 0 1; 0; 0 .
2. Вычислите x - компоненту силы притяжения материальной точки массы m0, помещённой в
начало координат, частью сферы x2+y2+z2=1, x ≥ 0, y ≥ 0 , z ≥ 0. Поверхностная плотность
сферы ρ = 1.
3. Вычислите площадь части поверхности эллиптического параболоида x 2 + y 2 = z , заключенной
внутри сферы x 2 + y 2 + z 2 = 2 .
4. Вычислите
∫∫ (x
Φ
2
+ y 2 + z 2 ) dydz , где Ф – внешняя сторона боковой поверхности цилиндра
x +y =1, x ≥ 0, y ≥ 0 , 0≤z ≤1.
2
2
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
∫∫ dxdy , где S – часть внешней поверхности
S
единичной сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ x . Совет:
тригонометрической подстановки tg ϕ = t .
dϕ
∫ 1 + cos
2
ϕ
берется при помощи
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = y; x + y + z ; x . В качестве контура
{
}
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение сферы x + y 2 + z 2 = 1 и плоскости
y =z.
r
7. Вычислите поток вектора F = {2x − z ; y + x ; z − x } через часть цилиндрической поверхности
x 2 + z 2 = 1 , 0 ≤ y ≤ 2 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и через
формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = (y + z ) i + ( x + z ) j + ( x + y ) k является потенциальным, найдите его
2
потенциал, а также работу поля вдоль линии, заданной уравнениями x = t, y = t 2 , z = t 3 от точки
t = 1 до точки t = 2 .
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r
9.a. rot ( u rot a ) , a  const
r r r uuuuur
9.b. div [ c , r ] c  const
r
r
r
r r 2
r
9.c. grad r 2 ⋅ (a , r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = {2x − z ; y + x ; z − x } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и дивергенции в криволинейных координатах
x = ρ sin ϕ, y = − ρ cos ϕ, z = z
(
)
ВАРИАНТ 21
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ 5 − z 2 = x 2 + 3y 2 , z ≥ 0 }, M 0 1;1;1 ;
1.b. S:{ x 2y 2z + xyz 2 = 6 }, M 0 1;1;2 ;
{
}
1.c. S : x = cos u sin v, y = cos u cos v, z = sin u , M 0 0;1; 0 .
2. Вычислите z-компоненту силу притяжения материальной точки массы m0, помещённой в начало
координат, частью цилиндра x2+y2 =1, x ≥ 0, y ≥ 0 , 0 ≤ z ≤ 1. Поверхностная плотность
цилиндра ρ = 1.
3. Вычислите площадь части поверхности эллиптического параболоида x 2 + y 2 = 1 − z ,
заключенной внутри сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
4. Вычислите
∫∫ (y
Φ
2
+ z 2 ) dxdy , где Ф – внешняя сторона боковой поверхности цилиндра
x + z = 1, z ≥ 0, − 1 ≤ y ≤ 1 .
2
2
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
единичной сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ x .
∫∫ zdxdz , где S – часть внешней поверхности
S
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = x − y + z ; x ; − z . В качестве контура
{
}
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение эллиптического параболоида
x 2 + 4y 2 = z и плоскости z = 4y .
r
7. Вычислите поток вектора F = {x − y; y + z ; x − z } через часть поверхности эллиптического
параболоида x 2 + z 2 = 4 − y , y ≥ 1 . Решите задачу двумя способами: непосредственным
подсчетом и через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
8. Покажите, что поле a = (y cos ( xy ) cos z ) i + (x cos ( xy ) cos z ) j − ( sin ( xy ) sin z ) k является
потенциальным, найдите его потенциал, а также работу поля вдоль линии, заданной уравнениями
π
x = t, y = t 2 , z = t 3 от точки t = 0 до точки t = 3 .
2
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r r
9.a. rot  a , b  , a , b  const
r uuuuur
9.b. div ( u grad r ) c  const
r
r
r
r r 2
r
9.c. grad r ⋅ (a , r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = {x − y; y + z ; x − z } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и дивергенции в криволинейных координатах
x = r cos ϕ cos θ ; y = −r sin ϕ cos θ ; z = r sin θ .
(
)
ВАРИАНТ 22
1. Определите декартовы координаты вектора нормали и составьте уравнение касательной
плоскости к поверхности S в точке M 0 :
1.a. S:{ 12 = x 2 + xy + y 2, z ∈ ¡ }, M 0 2;2;2 ;
1.b. S:{ xy 2z − x 2yz 2 = 6 }, M 0 1; 1;2 ;
{
}
1.c. S : x = sin u ch v, y = sin u sh v, z = cos u , M 0 0; 0;1 .
2. Вычислите поверхностный интеграл I рода

S
1
x 2  y2
ds , где
S:{ x - y = 1 x ≥ 0, - 1 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 }. Совет: воспользуйтесь гиперболическими
координатами x = ch ϕ, y = sh ϕ, z = z .
2
2
3. Вычислите площадь части конической поверхности x 2 + y 2 = z 2 , заключенной внутри эллипсоида
x 2 + 3y 2 + 2z 2 = 1 .
4. Вычислите
∫∫ zdxdy , где Ф – внешняя сторона боковой поверхности тетраэдра , отсекаемого от
Φ
координатного угла плоскостью x+y+z=1.
5. Вычислите поверхностный интеграл II рода
единичной сферы x + y + z = 1 , z ≥ x .
2
2
2
∫∫ zdydz , где S – часть внешней поверхности
S
r
6. Проверьте выполнение формулы Стокса для поля F = z ; x ; x − y − z . В качестве контура
{
}
интегрирования возьмите контур, заданный как пересечение эллиптического параболоида
x 2 + y 2 = z и плоскости z = 2x .
r
7. Вычислите поток вектора F = {x 2 ; y − 2x ; z } через часть конической поверхности
(
)
2
x 2 + z 2 = 4 − y , 2 ≤ y ≤ 4 . Решите задачу двумя способами: непосредственным подсчетом и
через формулу Остроградского – Гаусса. Сравните результаты.
r
r
r
2
8. Покажите, что поле a = 2e x x sin ( 2zy ) i + z cos ( 2zy ) j + y cos ( 2zy ) k является потенциальным,
(
)
найдите его потенциал, а также работу поля вдоль линии, заданной уравнениями
π
x = t 2, y = t, z = t 3 от точки t = 0 до точки t = 4 .
2
9. Используя оператор ∇ , преобразуйте
r r r
9.a. rot [ a , r ] , a  const
r uuuuur
9.b. div ( r grad u ) c  const
r
r
r
r r 2
r
9.c. grad r 3 ⋅ (a , r ) , a = a1i + a2 j + a 3k - постоянный вектор
r
10. Представьте поле F = {y; y; x } как сумму потенциального и соленоидального полей.
11. Получите выражения для градиента и дивергенции в криволинейных координатах
x = r cos ϕ sin θ ; y = −r sin ϕ sin θ ; z = r cos θ .
(
)
Вариант семинаров в помощь преподавателям – 1часть: Поверхностные интегралы и ряды.
(Содержит задачи общего зачета).
(МАВЗ- «Математический анализ в вопросах и задачах»; Д – задачник под ред. Б.П. Демидовича,
ВОС – задачник под редакцией В.А Садовничего)
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
СЕМИНАР 1. Вычисление двойных и криволинейных интегралов.
Формула Грина.
Вычисление двойных интегралов.
Напомнить метод сведения двойного интеграла к повторному и формулу замены переменных в
двойном интеграле.
1. МАВЗ ГЛ.12 Зб: Вычислить двойной интеграл: ∫∫ xdxdy , где G - область, ограниченная
G
кривыми y = 3x , y = 6 − 3x .
2
2. Вычислить
∫∫ sin(x
G
2
+ y 2 )dxdy , где G - круг x 2 + y 2 ≤ 1 . Ответ: π (1 − cos1) .
3. МАВЗ ГЛ.12 12а: Введя полярные координаты, найти площадь фигуры, ограниченной
кривыми (x 2 + y 2 )2 = −2a 2 (x 2 − y 2 ), x 2 + y 2 = a 2 , x 2 + y 2 ≥ a 2 .
Вычисление криволинейных интегралов.
Напомнить формулу для вычисления криволинейного интеграла 1-ого рода с помощью определенного
интеграла.
1. МАВЗ ГЛ.8 28а: Найти длину кривой, заданной уравнением y = x 3 / 2 , (0 ≤ x ≤ 4).
2. МАВЗ ГЛ.13 2б: Найти массу материальной кривой L с постоянной линейной плотностью
ρ 0 : L : x = 3t, y = 3t 2, z = 2t 3 от точки O(0, 0, 0) до точки A(3, 3,2) .
3. МАВЗ ГЛ.13 2в: Найти массу материальной кривой L с линейной плотностью ρ = −y : L −
x 2 y2
половина дуги эллипса
+
= 1, для которой y < 0.
9
4
Напомнить формулу для вычисления криволинейного интеграла 2-ого рода с помощью определенного
интеграла.
1. МАВЗ ГЛ.13 10: Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
2
2
2
∫ (x − 2xy ) dx + (y − 2xy ) dy , где L – дуга параболы: y = x , −1 ≤ x ≤ 1
L
2. МАВЗ ГЛ.13 13: Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ∫ ( 2 − y ) dx + xdy , где L
L
– арка циклоиды: x = t − sin t , y = 1 − cos t , 0 ≤ t ≤ 2π
3. Используя вторую формулу Грина вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
x 2 y2
x
+
y
dx
−
x
−
y
dy
,
где
L
–
эллипс
+
= 1.
(
)
(
)
Ñ∫L
a 2 b2
Понятие поверхности. Касательная плоскость.
Способы задания поверхности. Понятие касательной плоскости.
Найдите вектор нормали и запишите уравнение касательной плоскости к поверхности S в
заданной точке М: (предлагается разобрать 2 из трех по выбору преподавателя)
1.
2.
S : z  x 2  y 2 ; M (3, 4,25) ;
S : x 2  y 2  z 2  xyz  2 , M (1,1, 0) ;
1
3. S : x  2uv , y  u  v , z  u 2  v 2 , M (x (u 0, v 0 ), y(u 0, v 0 ), z (u 0, v 0 )), где u 0  1, v 0  1.
v
rudu
rvdv
r
u
O
Понятие площади поверхности.
Если поверхность параметризуется с помощью двух параметров u и v, то площадь элементарного
r
r
r r
параллелограмма вычисляется как ds  rudu, rvdv   ru , rv  dudv . При этом вектор нормали




r
r
r
N  ru , rv 
Поверхность, заданная в декартовых координатах уравнением F ( x , y, z ) = 0 .
r
r
r r
Пусть задан вектор r = {x , y, z ( x , y )} . Вектор N = rx , ry  есть вектор нормали к поверхности в
r
r
каждой точке, где rx = {1, 0, z x } , ry = {0,1, z y } . Запишем векторное произведение в виде
r r r
i j k
определителя 1 0 z x = {−z x ; −z y ;1} . Элемент площади поверхности ds равен абсолютной
0 1 zy
величине вектора нормали: ds = 1 + z x2 + z y2 dxdy .
r 

x
y
Коническая поверхность z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0 , N = − 2
;
−
;1
 ds = 2dxdy .
2
x 2 + y 2 
 x + y
Поверхность, заданная параметрически: x = ϕ (u, v ) , y = ψ (u, v ) , z = χ (u, v )
r
r
r r
Вектор r = {ϕ ( u, v ) ,ψ (u, v ) , χ (u, v )} . Вектор N = [ru , rv ] есть вектор нормали к поверхности в
{
}
{
}
∂ϕ ∂ψ ∂χ r
∂ϕ ∂ψ ∂χ
r
каждой точке, где ru =
,
,
, rv =
,
,
.
∂u ∂u ∂u
∂v ∂v ∂v
Пример: Сферическая поверхность x 2 + y 2 + z 2 = R 2 x = R cos ϕ sin θ , y = R sin ϕ sin θ ,
r
z = R cos θ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π . rϕ = {−R sin ϕ sin θ , R cos ϕ sin θ , 0} ,
r
rθ = {R cos ϕ cos θ , R sin ϕ cos θ , −R sin θ }
Вычисляя векторное произведение с помощью определителя, получаем:
r
N = {−R2 cos ϕ sin2 θ , −R2 sin ϕ sin2 θ , −R2 sin θ cos θ } . Элемент площади поверхности
ds = R 2 sin θ dθ dϕ .
Домашнее задание:
Тема следующего семинара: «Вычисление поверхностных интегралов 1 и 2 рода». Подготовиться
к семинару можно, прочтя Ильин-Позняк часть II гл.? §?пп.? и МАВЗ гл. 14 §1-3.
Выписать в тетради определения поверхностных интегралов 1 и 2 рода.
МАВЗ гл. 12 №№ 10г; 12б; гл. 13 №№ 1б; 11; 21а; 23а. МАВЗ гл 14 №1a,б; 2а;
Выписать вектор нормали и ds для конической поверхности z 2 = x 2 + y 2 заданной в
цилиндрических координатах.
2
Выписать вектор нормали и ds для плоскости x + y + z = 1 .
Выписать вектор нормали и ds для поверхности эллиптического параболоида 2z = 2 − x 2 − y 2 .
Составить уравнение касательной плоскости в точке M (1, 3, −4 ) .
Задача 12б. Введя полярные координаты, найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми
(x
2
(
+ y 2 ) = 8a 2xy , x 2 + y 2 = a 2 a > 0, x 2 + y 2 ≤ a 2
2
)
Решение:
S1
ϕ1
Фигура, площадь которой нужно найти, представляет собой внутреннюю часть «восьмерки»,
заключенную внутри круга. В силу симметрии рисунка, S = 4S1 . В свою очередь S1 состоит из
π
площади сектора круга ϕ ∈ ϕ1 ;  ( Sc ), и площади криволинейного треугольника ( ST ). Угол ϕ1
 4 
можно найти, как ϕ - координату точки пересечения «восьмерки» и круга. Уравнение
«восьмерки» в полярных координатах имеет вид: ρ 2 = 4a 2 sin 2ϕ . Угол ϕ1 определяется из
1
1
уравнения a 2 = 4a 2 sin 2ϕ1 . Получаем: ϕ1 = arcsin . Площадь сектора
2
4
2
a π 1
1
Sc =
 − arcsin  . Вычислим площадь ST криволинейного треугольника в полярных
2 4 2
4
координатах. Интересующая нас ( с точки зрения пределов интегрирования) граница
треугольника есть граница «восьмерки», которая задается уравнением ρ = 2a sin 2ϕ .
2a sin 2ϕ
ϕ
Таким образом, пределы интегрирования ϕ 01 , ρ 0
ϕ1
2a sin 2ϕ
0
0
ST = ∫ dϕ
∫
ρd ρ =
ϕ1
1
∫ 2 ⋅ 4a
0
2
,и
sin 2ϕdϕ = a 2 cos 2ϕ 01 =
ϕ
 15

1
= a 2 cos  arcsin  − a 2 = a 2 
− 1 .
4

 4

Окончательно,

π
1
π
15 
S = 4S1 = 4 (Sc + ST ) = a 2  4 − 15 + − arcsin  = a 2  4 − 15 + − arccos

2
4
2
4 


СЕМИНАР 2. Вычисление поверхностных интегралов 1 и 2 рода.
Поверхностный интеграл 1 рода.
Напомнить определение поверхностного интеграла 1 рода и формулы для вычисления.
3
Вычислите поверхностные интегралы 1 рода.
1.  dS , где поверхность S : x  y  z  1 , x  [1;1] , y  [1;1] ;
2.
3.


S
S
S
(x  y  z )dS , где поверхность S : x  y  z  1 , x  [1;1] , y  [1;1] ;
(x  y  z )dS , где поверхность S : x 2  y 2  z 2  1 I z  0 .
Решение: Для сферы единичного радиуса элемент площади поверхности есть ds = sin θ dϕdθ .
Подынтегральная функция в сферических координатах имеет вид cos ϕ sin θ + sin ϕ sin θ + cos θ .
2π
Интеграл берется в пределах ϕ 0 , θ
π 2
0
. Заметим, что интегралы по ϕ от первых двух
слагаемых подынтегральной функции обращаются в нуль (от cos ϕ, sin ϕ по периоду). Искомый
интеграл I =
2π
π 2
1
∫ dϕ ∫ cos θ sin θdθ = 2π 2 ( sin θ )
0
2
0
π 2
=π.
0
МАВЗ гл. 14 № 6. На сколько отличаются друг от друга поверхностные интегралы
I 1 = ∫∫ (x 2 + y 2 + z 2 ) ds и I 2 = ∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ds , где Φ1 - сфера x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , Φ2 Φ1
Φ2
поверхность октаэдра x + y + z = a , вписанного в эту сферу?
4. МАВЗ гл. 14 № 3а. Найти площадь части поверхности гиперболического параболоида
az = xy , заключенной внутри цилиндра x 2 + y 2 = a 2 .
5. Найдите момент инерции относительно оси Oz части сферы x 2  y 2  z 2  1 , z  0 , y  0 ,
вырезанной цилиндром x 2  y 2  x . Поверхностная плотность  x , y, z   zy
Решение: Момент инерции части поверхности Ω относительно оси OZ вычисляется по формуле:
Iz =
∫ (x
Ω
2
+ y 2 ) ρ (x , y, z ) ds . Для сферы единичного радиуса элемент площади поверхности есть
ds = sin θ dϕdθ . Интеграл берется по части сферы, вырезанной цилиндром. Интересующая нас
часть поверхности лежит в первом октанте ( x  0 , y  0 , z  0 ) Уравнение границы этой
поверхности есть уравнение поверхности цилиндра x 2  y 2  x . В сферических координатах это
уравнение имеет вид: sin θ = cos ϕ . Это уравнение задает функцию θ (ϕ ) . Сведем поверхностный
интеграл 1-го рода к повторному: I z =
определяется уравнением sin θ = cos ϕ .
π 2 θ (ϕ )
∫ ∫
0
0
sin2 θ ⋅ ( sin ϕ sin θ ⋅ cos θ ) ⋅ sin θdθd ϕ , где θ (ϕ )
Вычисляя внутренний интеграл (по θ ) получим I z =
π 2
∫
0
sin5 θ
sin ϕ
5
θ (ϕ )
0
1
dϕ =
5
π 2
∫ sin ϕ cos
0
5
ϕd ϕ =
1
.
30
Поверхностный интеграл 2 рода.
Напомнить определение поверхностного интеграла 2 рода.
Вычисление поверхностного интеграла 2 рода.
Поверхностный интеграл 2 рода ∫∫ P ( x , y, z ) dydz + Q (x , y, z ) dxdz + R ( x , y, z ) dxdy нужно вычислять
Φ
как сумму трех интегралов: I 1 =
∫∫ P (x, y, z ) dydz , I
Φ
2
=
∫∫Q (x , y, z ) dxdz , I
Φ
3
=
∫∫ R (x, y, z ) dxdy ,
Φ
которые тоже называются поверхностными интегралами 2 рода (см. определение).
А) .Вычисление интеграла «в лоб», т.е. с учетом того, что интеграла I 1 в соответствии с
определением есть I 1 =
∫∫ P (x (y, z ), y, z ) dydz , где
Φ1
область Φ1 - проекция поверхности Φ на
плоскость OYZ . Тогда dydz = ds cos α , где α - угол внешней нормали с осью OX . При этом в
4
подынтегральной функции P ( x (y, z ) , y, z ) переменная x выражается из уравнения поверхности Φ
как функция y и z. Аналогично для интегралов I 2 и I 3 .
Вычислить интегралы I 1 =
∫∫ dxdy
Φ
и I2 =
поверхности z = x + y , z ≥ 0 .
2
1.

S
2
2
∫∫ dydz , где Φ - внешняя сторона части конической
Φ
xdydz  ydzdx  zdxdy , гдеS – верхняя сторона плоскости x  y  z  1 , x  [1;1] ,
y  [1;1] , то есть нормаль к плоскости составляет острый угол с осью Oz
Б) Вычисление поверхностного интеграла 2 рода путем перехода к поверхностному интегралу 1
рода.
1. МАВЗ гл.14 №16а.
2. Вычислите поверхностный интеграл 2 рода  (x 2  y 2  z 2 )dxdy , где S - часть внешней
S
стороны конической поверхности z  x  y 2 , 0  z  c (внешняя нормаль образует тупой
2
угол с осью Oz )
r
Если останется время. Найдите поток векторного поля F  0, y 3 , z  через часть параболоида
z  x 2  y 2 , 0  z  2 в направлении внешней нормали к поверхности.
Домашнее задание: Тема следующего семинара: «Формулы Стокса и Остроградского».
Подготовиться к семинару можно, прочтя Ильин-Позняк часть II гл.? §?пп.? и МАВЗ гл. 14 §4-5.
Выписать в тетради формулы Стокса и Гаусса-Остроградского. Разобрать теорему о независимости
криволинейного интеграла 2 рода в пространстве от пути интегрирования.
МАВЗ гл. 14 №№ 4а, 4е, 8б, 8в, 8ж, 16в, 17в,17е,ж
Контроль домашнего задания. МАВЗ гл. 14 №4е.
Пользуясь параметрическим заданием поверхности найти площадь части геликоида
x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ; z = hϕ, 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , h ∈ ¡
Решение:
i
j
k
N = cos ϕ
sin ϕ 0 = h sin ϕ; − h cos ϕ; r ; N = h 2 + r 2 ;
−r sin ϕ r cos ϕ h
{
2π
a
}
r
h2
S = ∫ dϕ ∫ h + r dr = 2π 
h2 + r2 +
ln r + h 2 + r 2
2
0
0
2
2
a

h
1
= 2π 
h2 + a2 +
ln a + h 2 + a 2  .
2
h
2

2
2
№ 16в
Вычислите поверхностый интеграл 2 рода
a

 =
0
∫∫ (y − z ) dydz + (z − x ) dzdx + (x − y ) dxdy; Φ-нижняя
Φ
сторона части кнической поверхности z = x 2 + y 2 ,
Решение:
5
0≤z ≤h.
Первые два интеграла равны нулю, поскольку берутся с разными знаками вектора нормали для
каждго пол- коунуса. Записывая третий интеграл в полярных координатах, получим
2π h
∫ ∫ ρ ( cos ϕ − sin ϕ ) d ρdϕ = 0 .
2
0 0
СЕМИНАР 3. Понятие дифференциальных операций в скалярных и
векторных полях (градиент, ротор, дивергенция). Формулы Стокса и
Остроградского.
Понятие скалярного и векторного поля. Напомнить понятие градиента. Понятие ротора и
дивергенции.
Потенциальное поле.
r
1. Проверьте, что векторное поле a является потенциальным и найдите его скалярный
r
x
y
потенциал a  2
i 2
j ( x 2  y 2  0 ).
2
2
x y
x y
r
Решение. Проверяем, что rot a  0.
i
j
k
 x
 y
 z  0; 0; 0 .
x
y
0
2
2
2
x y
x  y2
Это означает, что поле является потенциальным. Для того, чтобы найти скалярный потенциал,
 u u 
r  x
y 
;

grad
u

исходим из следующих соображений: a   2

 ; .
 x  y 2 x 2  y 2 
 x y 
Выражение du 
x ,y 
Интеграл

x 0 ;y0 
x
y
dx  2
dy представляет собой дифференциал от потенциала.
2
x y
x  y2
2
du 
x ,y 
x
y
dx  2
dy не зависит от пути интегрирования. Поэтому
2
2
x

y
x

y
x 0 ;y0 

2
не важно, как мы придем в точку x ; y  из точки x 0 ; y 0  , результат не будет зависеть от пути
интегрирования. Выберем следующий путь:
x ; y 
y
x ; y 
0
0
x
Сначала идем по оси OX. При этом dy  0 . Потом – по оси OY, при этом dx  0 .
x ,y 
x ,y0 
x ;y 
x
y
u x , y   u x 0 ; y 0   u x , y   Const   du   2
dx

dy 

2
2
2
x

y
x

y
x ,y0
0;0
x 0 ;y0 
1
1
1
1
 ln x 2  y 02  ln x 02  y 02  ln x 2  y 2  ln x 2  y 02 
2
2
2
2
1
 ln x 2  y 2  Const
2
1
Итак, u  ln x 2  y 2 .
2










6


2. МАВЗ гл.14 № 19 б Докажите, что подынтегральное выражение является полным
дифференциалом и вычислите криволинейный интеграл ∫ yzdx + xzdy + xydz , где A (1,2, 3 ) ,
AB
B ( 6,1,1) (Пояснить, физический смысл интеграла как работы потенциального поля. Найти
потенциал этого поля).
r
2
x
x
3. Убедитесь, что векторное поле a 
i
j
k является
1
3
3
2
2
2
y  z 
y  z 
y  z 


потенциальным и найдите работу этого поля вдоль пути, соединяющего точки M 1, 1, 3 и


N 2, 4, 5 и расположенного в октанте x  0,y  0, z  0 (найти потенциал поля).
Соленоидальное поле.
2
2
r
1. Проверьте, что векторное поле a  ye x i  2yzj  2xyze x  z 2 k является соленоидальным.
r
y
z
2. Вычислите ротор векторного поля a  xi  2
j 2
k в точках, где y 2  z 2  0 , и
2
y z
y  z2
циркуляцию этого поля вдоль окружности L : y 2  z 2  1 , x  x 0  .


Записать формулу Стокса в векторной форме.
1. ∮ xdx  xdy  zdz , где L – окружность, образованная при пересечении сферы
L
x 2  y 2  z 2  8 и плоскости x  z . Обход окружности совершается против часовой
стрелки, если смотреть из точки 0, 0, 5 .
i
r
r
Решение. a  x ; x ; z ; rot a   x
x
j
k
 y  z  0; 0;1 .
x
z
Согласно формуле Стокса
∮ xdx  xdy  zdz 
L
Ñ 1  dxdy ,

где Ф-проекция окружности, полученной пересечением сферы и плоскости, на плоскость
x 2 y2
2
2
OXY. Эта проекция – эллипс 2x  y  8 

 1 . Интеграл равен площади эллипса
4
8
ab    2  8 .
II Способ:
∮ xdx  xdy  zdz 
( 0; 0;5 )
L
r r
 rot a , n ds.
кругу
С учетом направления обхода положительное
r  1
1 
направление нормали n  
; 0;  .

2
2 
r
n
r r
rot a , n  
r r
 rot a , n ds 
кругу
7
1
2
 S кругa 
1
2
8
2
;
.
r
2. Найдите работу силового поля F  x  3y  2z,2x  z, x  y  вдоль замкнутого контура
MNPM, где MNP — треугольник с вершинами в точках M 1, 0, 0 , N 0,1, 0 , P 0, 0,1 . Обход
контура совершается против часовой стрелки, если смотреть из точки 5, 5, 5 .
Решение.
( )
2
3
r
r r
1
3
r
rot F = −2;1; −1 , n =
1;1;1 , S V =
=
; A = rot F, n ⋅ SV = −1 .
4
2
3
Записать формулу Остроградского-Гаусса в векторной форме.
1. Используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите интеграл
y
z
x
 x  e dydz  y  e dxdz  z  e dxdy , где S – внешняя сторона сферы
{
}
{
}
2
(
)
S
x 2  y2  z 2  1.
2. Используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите интеграл
2
2
2
 x dydz  y dzdx  z dxdy , где S - внешняя сторона параболоида
S
x
2
 y 2  z; 0  z  H

3. Используя формулу Остроградского-Гаусса, сведите к тройному интеграл
 R Q 

 Q P 
 P R 
  y  z  cos    z  x  cos    x  y  cos  ds , где S –гладкая поверхность,
S
ограничивающая область D, cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы внешней нормали к
поверхности S, P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) имеют в D непрерывные частные производные
второго порядка
4. Докажите, что объём V тела, ограниченного гладкой поверхностью S, выражается формулой
1
V   x cos   y cos   z cos  ds , где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы
3 S
внешней нормали к поверхности S
Если останется время:
Задачи повышенной трудности.
r
1. Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая некоторое тело, l –
r
r
r
постоянный вектор, n - вектор нормали к поверхности S,  – угол между векторами l и n ,
то
 cos dS  0 .
S
Решение:
r
∫∫ cos ϕdS = ∫∫
S
S
(nr, l ) dS =
l
r
r
l 
div
dv
=
0
,
поскольку
l
- постоянный вектор.


∫∫∫
l 
V
d d d 
1
  cos ds , где S –поверхность, ограничивающая тело
r
2 S
V
r
2
2
2
V, r    x     y     z  , r — радиус-вектор, идущий от точки (x,y,z), лежащей
r
r
внутри V, к точке (ξ,η,ζ), α — угол между вектором r и внешней нормалью n к поверхности
2. Докажите формулу

S.
8
r r
 rr 
r , n 
1
1
1
Решение:  cos ds  
ds   div   d d d  . Через div  обозначена
2 S
2 S
2 V
r
 r 
(
)
дивергенция в координтах ξ, η, ζ; точка с координатами x , y, z считается фиксированной.
 rr 
Преобразуем выражение div    согласно правилам действия с оператором ":
 r 
 rr   1 r  1
 rr r  3 2


div      , r   , r    3 , r    . Подставляя в подынтегральное
r
 r   r  r
 r
 r
выражение, получаем нужный результат.
3. Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая тело V, и u(x,y,z) имеет в D
u
u
непрерывные частные производные второго порядка, то 
ds   udxdydz , где
n
n
S
V
2
2
2
–
- производная по направлению внешней нормали к поверхности S,  


x 2 y 2 z 2
оператор Лапласа.
∂u
r
Решение:
= n, ∇u . Применим формулу Остроградского-Гаусса :
∂n
r
u
 n ds   n, u ds   div grad u dv   udxdydz .
S
S
V
V
(
)
4. Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая тело V и u(x,y,z) имеет в D
непрерывные частные производные второго порядка, .то
 u 2  u 2  u 2 
u
u

 u n ds    x    y    z  dxdydz   uudxdydz , где n - производная
S
V
V
по направлению внешней нормали к поверхности S,  − оператор Лапласа.
Домашнее задание: Тема следующего семинара: «Дифференциальные операции. Действия с
оператором ∇ . Повторные дифференциальные операции». Подготовиться к семинару можно, прочтя
Ильин-Позняк часть II гл.? §?пп.? и МАВЗ гл. 15.
Выписать в тетради инвариантные определения ротора и дивергенции.
МАВЗ гл. 14 №№ 18а,в,г 19в, 23а, 24б,д,ж,е МАВЗ гл. 15 №№ 49, 56, 57.
Домашняя задача на формулу Стокса:
Применяя формулу Стокса, вычислите циркуляцию векторного поля
a = ( y + sin x) i + ( z + sin y) j + ( x + sin z) k вдоль окружности, получающейся при пересечении сферы
x 2 + y 2 + z 2 = 1 плоскостью 5 x + 3 y − z = 0 . Контур пробегается против часовой стрелки, если
смотреть из точки (2,0,0) .
r
Решение. rot a = −1; −1; −1 . Согласно формуле Стокса
{
}
r ur
adl =
)
Ñ∫ (
L
r r
∫∫ ( rot a, n ) ds
S
. Здесь S – круг,
образованный при пересечении сферы плоскостью. Плоскость проходит через начало координат,
3
1 
7
r  5
r r
;
;−
;
поэтому, площадь круга равна π. n = 
 ; rot a , n = −
35 
35
 35 35
7π
r r
∫∫S rot a, n ds = − 35 .
(
(
)
9
)
СЕМИНАР 4. Дифференциальные операции. Вычисления с помощью
оператора ∇ . Повторные дифференциальные операции.
Повторить инвариантные определения ротора и дивергенции.
1. МАВЗ гл.15 №№ 68, 71
r
r
2. Вычислить grad r , rotr , div r .
1
grad f (r ) , grad  
r 
Ввести понятие оператора Гамильтона ∇ . Выписать формулы для ротора, градиента и
дивергенции через ∇ .
Вычислить с помощью оператора ∇ : (см. красную тетрадку)
r
 r 
2r
1 r

3. div(r r ) , div(r r ) , rot  
 r 
r r r
r r
r
4. grad(c , r ) , div(rc ) , div(b (r , c ))
r r r
r
r
r r
r r
div(b (r , c ))  (r , c ) , b  b ,  r , c  
r
r r
r r
r
r
r
r
r r
 (r , c ) div b  b , r , c    c , r    c ,  r  r , c   ,




r
r r
r r
r r r
r r
r
 (r , c ) div b  b , r , rot c   b , c  b , r , c  .
r
Оператор a ,  может действовать как на скаляр, так и на вектор. В случае вектора


 


   







Xb  Ya
Xb  Za
Xb 
Xa
y
z 
 x

r

r
r
r r



a , b  Xa x Yb  Ya y Yb  Za z Yb  , например, a , r  a .







Zb  Ya
Zb  Za
Zb 
Xa

y
z
 x
r r
r r
5. div c  r  , rot c  r  ,
r r 7
r r r
r r r
6. grad(uv ) , grad r  a , r  , rot r 5 a , r  r  , div r 5 a , r  r  .
Решение.
r r r
div (r (a , r ) r ) .


5
1. Сначала вспоминаем, что ∇ как-никак оператор дифференцирования, значит имеют место
формулы для дифференцирования произведения. div- это скалярное произведение ∇ на
вектор, от которого берётся div. В итоге, изначальное выражение распадается на 3 слагаемых,
в каждом из которых стрелочкой указано, на что действует ∇.
r
 r  ↓ r r r   r 
r r r
r r r
r ↓r r    r
r r ↓r 
div (r 5 (a , r ) r ) = ∇, ( r 5 (a, r ) r ) =  ∇,  r 5 (a, r ) r   +  ∇,  r 5  a, r  r   +  ∇,  r 5 (a, r ) r  
   

   
 
(
)
2. Теперь будем разбираться с каждой скобочкой. В первой выражение r5 представляет собой скаляр.
r r
r r
Воспользуемся известным свойством скалярного произведения: a , λb = a λ, b и переставим r5 к ∇.
r 5 r r r
 r  ↓5 r r r  
 ∇,  r (a , r ) r   = ∇r , ( (a , r ) r ) .

 
r
r 5
5
4 r
3. Считаем ∇r = grad r = 5r
. Тогда
r
r
r 5 r r r
r r r
r r r r
r r

4 r
∇r , ( (a , r ) r ) =  5r , ( (a , r ) r )  = 5r 3 (a, r ) ( r , r ) = 5r 5 (a, r ) .
r


(
(
)
)
10
(
) (
)
r r
4. Во второй скобочке перетаскиваем к ∇ скалярную величину (a , r ) и считаем
r r r
r r r
r 
r r↓ r  
r
r r
r
∇ (a , r ) = grad (ax x + ay y + az z ) = {ax ; ay ; az } = a . Далее,  ∇,  r 5  a , r  r   = ∇ (a , r ) , r 5r = r 5 (a, r ) .
 
  
5. В третьей скобочке все скалярные величины выносим за знак скалярного произведения. Остаётся
только скалярное произведение ∇ на r. То есть divr , как известно, это 3.
r r
 r  5 r r ↓r  
5 r r
5 r r
 ∇,  r (a , r ) r   = r (a, r ) ∇, r = 3r (a, r ) .

 
r r
6. Окончательный ответ: 9r 5 (a , r ) .
(
(
)
)
r
 r  ↓ r r r   r 
r r r
r r r
r r↓ r    r
r r ↓r 
rot (r 5 (a , r ) r ) = ∇, (r 5 (a, r ) r )  = ∇,  r 5 (a, r ) r   + ∇,  r 5  a, r  r   + ∇,  r 5 (a, r ) r   =
   

   
 
r 5 r r r
r r r 5r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
= ∇r , (a , r ) r  + ∇ (a, r ) , r r  + r 5 (a, r ) ∇, r  = 5r 3 (a, r ) [r , r ]+ r 5 [a, r ] = r 5 [a, r ]
0
0
Ввести понятие повторных операций, преобразовать с помощью оператора ∇ :
r
r
r
7. div grad u , grad diva , rot grad u , rot rota , div rota
(
) (
)
div grad u = ∇, ∇u = ∇, ∇ u = ∇2u = ∆u ;
r
grad diva - так и оставим;
rot grad u = 0 ;
r
r
r
r
r
r
rot rot a = ∇, ∇, a   = ∇ ∇, a − ∇, ∇ a = grad div a − ∆a
Оператор Δ может действовать как на скаляр, так и на вектор.
r
r r
r r
Вычислить  , r  f r  ;   , r  f r  , ω - постоянный вектор.
r
r r r
 r r
r
r r
r
r r
 ,r  f r   div grad , r  f r   div , r  f    f r  div   (см div(b (r , c )))...
r 

r
r
r
r r
  ,r  f r  . Исходим из формулы rot rot a  grad div a  a . Отсюда
r r
r r
r r
  , r  f r   grad div , r  f r   rot rot  , r  f r   ...
r

r  r r  
r r
r r
r r




1) div  , r  f r   f r  ,  , r   f r ,  , r    f  r  ,  , r    0 ;






 
r 
144424443

(




2)








0

 


  r r  
r r
r r
rot  , r  f r   f r ,  , r    f r  ,  , r   





 
 
r


r
r
r
r
r
r
r
  f  r  ,  , r    f r   , r   f r ,  r 


r


f  r  r
r r r
r
r
r f  r  r r r
r
r  r , r   3 f r    f r   f  r   
r , r   2 f r 

r
r



3)
)
 



) (

11
()

rot  f ′ r


 f ′′ r
=
 r


r f′ r r r r
r
r
r
ω−
r ω, r + 2ω f r  = ∇f ′ r , ω  + 2 ∇f r , ω  =



 
r

f ′ r r r 1
r r
r r
r,ω  + 2 
r,ω  =
f ′′ + 2 f ′ r , ω  .

 r
 r



r r
1
r r
Окончательно, ∆ ω, r  f r =
f ′′ + 2 f ′ r , ω  .
r
r
8. МАВЗ гл.15 №42а. Разложите векторное поле a  (x  y )i  (x  y ) j  z  1 k на сумму
потенциального и соленоидального полей.
r
r
r r r
r
Решение. Пусть a  b  e , где b  rot A - соленоидальное поле, а e  grad u потенциальное. Тогда
r
r
r
r
r
div a  div b  div e  div
rot
A
144424443  div
14444grad
24444u3  u  div a  1 
()
()
(
)
()
()
(
( ))
()
(
)
(
)
()
0
u u u


 1.
x 2 y 2 z 2
Разложение произвольного поля на потенциальное и соленоидальное определяется
x2
неоднозначно. Можно, например, выбрать u 
(нетрудно убедиться, что u  1 ).
2
r
r
Тогда e  grad u  x ; 0; 0 и a  x ; 0; 0  y; x  y; z  1
1442443
144444442444444
43
r
r
2

2
2

e
r
Если останется время: Проверьте, что векторное поле a 

b
x
y
i 2
j является
2
x y
x  y2
2
соленоидальным, и найдите его векторный потенциал.
Решение. Пусть A  x A ; yA; z A  - искомый векторный потенциал.
i
r
r
a  rot A   x
xA
i
r
r
a  rot A   x
xA
Итак,
x A
z
yA
x
yA


z

j
k
j
k
 y  z . Положим z A  0 . Тогда
yA
zA
 y x y
x   x

y
 y  z   A ; A ; A  A    2
;
;
0
.
 z z x
  x  y 2 x 2  y 2 

y


0
yA
x
zx
 yA   2
 f1 x , y ;
2
x y
x  y2
2
y
zy
 xA  2
 f2 x , y ;
2
x y
x  y2
2
x A
y

z
2zx 2

x 2  y2
x 2  y2


2

f1
x
f1
z
2zy 2

x 2  y2
x 2  y2
f2


2

f2
y
.
. Можно взять, например, f1  f2  const или
x
y
r  yz

xz
y
x
f1  x , f2  y . В последнем случае A   2

;


;
0
 .
x  y 2

x 2  y2
Из последнего равенства следует, что


Домашнее задание:
12
На следующем семинаре предполагается контрольная работа по задачам из домашнего задания
на действия с оператором ∇ .
Разобранные примеры 4-15 из МАВЗ гл. 15, §1. с. 398-399
МАВЗ гл. 15 №№ 12 в,г; 19, 22, 27, 28, 66-74.
Тема следующего семинара «Действия с комплексными числами. Элементарные функции
комплексной переменной.» Выписать в тетради формы записи комплексных чисел.
13
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа