close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
Очная форма обучения. Бакалавры.
I курс, 1 семестр.
Направление 220400
«Управление в технических системах»
Дисциплина - «Математика».
Содержание
Содержание .................................................................................................................... 1
Балльно - рейтинговая система .................................................................................... 1
Контрольная работа №1. «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» .......... 3
Пример контрольной работы. .................................................................................. 3
Теоретические вопросы. ........................................................................................... 3
Образцы задач для подготовки к контрольной работе.......................................... 4
Контрольная работа №2. «Производная и еѐ приложения» ..................................... 6
Пример контрольной работы. .................................................................................. 6
Теоретические вопросы. ........................................................................................... 7
Образцы задач для подготовки к контрольной работе. ......................................... 8
Самостоятельная работа. «Вычисление пределов и точки разрыва функции» .... 11
Пример самостоятельной работы. ......................................................................... 11
Образцы задач для подготовки к самостоятельной работе................................. 12
Балльно - рейтинговая система
Семестр I состоит из двух модулей.
Работа в семестре оценивается 75 баллов ( максимум) без экзамена.
Контрольными мероприятиями в семестре являются две контрольные
работы.
Максимальный балл за КР - 25 при написании согласно дате календарного
плана. При повторных переписываниях максимальный балл за КР - 19.
Минимальный балл за КР – 15.
Модуль 1. Элементы линейной алгебры, векторная алгебра, аналитическая
геометрия.
КР №1 «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» .
Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
КР №2 « Производная и ее приложения» .
График мероприятий по балльно - рейтинговой оценке знаний
студентов в 1 семестре.
№ Название
1
2
Учебная неделя
Выдача Прием
3
4
~1~
Рейтинговая оценка
min
max
5
220400 «Управление в технических системах»
1
2
3
4
5
6
Контрольная работа №1
«Векторная алгебра и
аналитическая геометрия»
Контрольная работа №2
«Производная и ее
приложения »
РГР №1 «Линейная
алгебра, векторная
алгебра и аналитическая
геометрия»
РГР №2 «Производная и
ее приложения»
Самостоятельная работа
студентов, тестирование
Посещение занятий
1 семестр
8
15
25
13
15
25
1
7
0
5
11
15
0
5
весь
семестр
0
10
весь семестр
0
5
Итого за семестр
18
75
Правила применения БРС оценки знаний студентов в зимнем семестре
!!! Для получения оценки «3» автоматически без сдачи экзамена
необходимо набрать не менее 50 баллов.
За высокий балл (70-75) студент может быть освобожден от практической
части экзаменационного билета и студенту можно разрешить сдачу экзамена
досрочно.
------------------------------------------------------------------------------------------А) Если за КР согласно дате календарного плана студент набрал менее 15
баллов, то КР переписывается:
первый раз – через две недели после даты календарного плана написания,
второй раз – в конце семестра.
При любом переписывании теоретические вопросы и задачи оцениваются
на 1 балл ниже и студент может набрать за КР не более 19 баллов. При этом
студент должен набрать по-прежнему не менее 15 баллов за КР.
-----------------------------------------------------------------------------------------В) Если студент набрал не менее 50 баллов и претендует на оценки «4»,
или «5» , то студент сдает экзамен в установленном порядке. Если на экзамене
студент не проявляет знания на «4» или «5», то получает в день экзамена
заработанную в семестре «3».
------------------------------------------------------------------------------------------С) Балл за посещение занятий ставится лектором с согласия
преподавателя, ведущего практические занятия.
-----------------------------------------------------------------------------------------~2~
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
Д) Если студент набрал менее 50 баллов, то сдает экзамен в
установленном порядке.
Контрольная работа №1. «Векторная алгебра и
аналитическая геометрия»
Пример контрольной работы.
1. Скалярное произведение векторов (определение, вычисление в
координатной форме). Условие ортогональности векторов.
2. Прямая на плоскости. Уравнение прямой по заданной точке и угловому
коэффициенту. Условие параллельности и перпендикулярности двух
прямых.

1. Даны a  1 , b  4 , (a b )  60 0 . Найти p , где p  3a  2b .
2. Найти площадь треугольника с вершинами в точках A(-2, 1, 3), B (1,-1, 2),
C (5,7,-1).
3. В треугольнике известны координаты вершин A(-6,0), B (-5,5), C (2,9).
Составить уравнение высоты BK на сторону AC.
4. Найти проекцию точки A (3, 0, -2) на плоскость 2x - y - 3z + 2 = 0.
Теоретические вопросы.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Сумма и разность векторов. Умножение вектора на число (определения).
Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Орт вектора.
Признак коллинеарности векторов (с доказательством*).
Разложение вектора по базису векторов. Теорема о разложении вектора по
базису 2х векторов на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису трех
векторов по базису в пространстве (формулировка).
Прямоугольные координаты вектора и точки. Операции над векторами
в прямоугольной системе координат.
Скалярное произведение векторов: определение, условие равенства нулю,
вычисление в прямоугольной системе координат, свойства, физический смысл.
Векторное произведение: определение, геометрический смысл, условие
равенства нулю, нахождение векторного произведения в прямоугольной системе
координат, свойства.
Смешанное произведение: определение, геометрический смысл,
условие равенства нулю, вычисление в прямоугольной системе координат,
~3~
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
свойства.
9) Прямая на плоскости: виды задания прямой на плоскости, угловой
коэффициент, вывод уравнения прямой по точке и угловому коэффициенту.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых, угол между прямыми
(чертеж, обоснование).
10) Общее уравнение прямой, его исследование.
11) Вывод уравнения плоскости по точке и нормальному вектору. Общее
уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей.
12) Вывод канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.
13) Взаимное расположение двух прямых (параллельность, перпендикулярность,
угол между прямыми (с чертежом)).
14) Взаимное
расположение
прямой
и
плоскости
(параллельность, перпендикулярность с чертежами).
Образцы задач для подготовки к контрольной работе.
1. Даны векторы a  (4,3 ,1) , b  (8,2,4) . Найти  , при котором вектора a и
b ортогональны.
Ответ:   6 .

2. Даны a  1 , b  4 , (a b )  60 0 . Найти p , где p  3a  2b .
Ответ: p  97 .

3. Найти угол между векторами a и p , где p  a  b , a  2 , b  1 , (a b )  60 0 .
Ответ:   arccos
3 
 .
2
6
4. Найти угол между векторами a  (7,5,3) , b  (2,1,4) .
3
.
83  21
5. Найти проекцию вектора p на вектор a , где p  2a  2b , a  (3,1,5) ,
Ответ:   arccos
b  (2,3,1) .
Ответ: прa p 
42
.
35
6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q , где

p  b  2 a , q 2 a  b , a  1 , b  3 , (a b )  30 0 .
Ответ: S  6 ед. площади.
7. Найти площадь треугольника с вершинами в точках A(-2, 1, 3), B (1,-1, 2), C
(5,7,-1).
~4~
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
1245
ед.площади.
2
8. Найти орт вектора, перпендикулярного векторам a и b , где a  (2,3,5) ,
Ответ: S  
b  (1,2,1) .
3 1 
 7
Ответ: e  
,
,
.
 59 59 59 
9. Найти проекцию вектора p  a, b на вектор c , где a  (3,0,2) , b  (4,2,5) ,
 
c  (0,3,4) .
Ответ: прс p  9 .
10. Найти  из условия, что площадь параллелограмма построенного на
векторах a  (1, ,1) и b  (2,1,0) равна
6.
Ответ:   0 ,   1 .
11. Лежат ли точки A,B,C,D в одной плоскости, где A(-1, -1, -1), B (1,-2, -2),
C (0,-2,-1), D (2,-3,-2).
Ответ: да, лежат в одной плоскости.
12. Можно ли вектора a  (1,1,0) , b  (1,1,1) , c  (0,2,1) взять за базисные в
трехмерном пространстве.
Ответ: можно взять за базисные.
13. Найти объем пирамиды с вершинами в точках A(2,-1,1), B (5,5,4), C (3,2,-1),
D (4,1,3).
Ответ: V = 3 ед. объѐма.
14. Дана прямая L : 3x  5 y  7  0 . Составить уравнения прямой, параллельной
прямой L и прямой перпендикулярной прямой L и проходящей через точку
M 0 3,1 .
Ответ: 3 x  5 y  14  0 ; 5 x  3 y  12  0 .
15. Найти точки пересечения прямой 5 x  2 y  6  0 с координатными осями.
 6 
Ответ: M 1   ;0  , M 2 0;3 .
 5 
16. В треугольнике ABC известны координаты вершин A(-6,0), B (-5,5), C (2,9).
Составить уравнения высоты BK и медианы BM.
Ответ: BK : 8 x  9 y  5  0 , BM : x  6 y  25  0 .
17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(0,3,2), B (1,0,-1),
C (1,5,-1).
Ответ: 3x  z  2  0 .
~5~
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(3,-5,2) и ось Oy.
Ответ: 2 x  3z  0 .
19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(0,-1,-2)
параллельно плоскости 5 x  7 y  4 z  2  0 .
Ответ: 5 x  7 y  4 z  15  0 .
20. Составить канонические уравнения прямой, заданной как пересечение двух
плоскостей: x  2 z  5  0 , 2 x  3 y  z  4  0 .
Ответ:
x5 y2 z

 .
2
1
1
21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(-2,1,3)
x 1 y  5
z


перпендикулярно прямой
.
4
3
1
Ответ: 4 x  3 y  z  14  0 .
22. Найти точку пересечения прямой
x  2 y  3 z 1


с плоскостью yOz.
1
2
5
Ответ: M 0 0;1;11 .
23. Найти проекцию точки A(3,0,-2) на плоскость 2 x  y  3z  2  0 .
Ответ: A1;1;1 .
24. При каких l и m плоскости  1 и  2 параллельны  1 : 3 x  y  lz  9  0 ;
 2 : 2 x  my  2 z  3  0 .
2
Ответ: l  3 , m   .
3
25. При каком l плоскости  1 и  2 перпендикулярны  1 : 3 x  5 y  lz  3  0 ;
 2 : x  3y  2z  5  0 .
Ответ: l  6 .
Контрольная работа №2. «Производная и её приложения»
Пример контрольной работы.
1. Определение производной функции в точке и ее геометрический смысл.
2. Сложная функция (определение). Производная сложной функции.
1. Найти производные:
ex  x
1) y 
 2e 3 ;
2 x  cos x
~6~
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
2) y  x 3  5 9 x  4 x 2 ;
3) y  1  x  arcsin x  2cos x ;
2
4) y  2 x 2  1
ln tg x
;
 x  t sin t
2. Кривая задана параметрически: 
. Найти координаты точки М,
 y  cos 2t
соответствующей t   . Вычислить угловой коэффициент касательной к
кривой в точке М.
3. Найти значение производной неявной функции arctgxy  2 ln x 2  y 2  в
точке М (1, 0).
1
4. Написать уравнение касательной к кривой y 
, если известно, что
x  22
касательная параллельна прямой y  2 x  1 .
или
4а. Составить уравнения касательной и нормали к кривой y 
M 0  x0 ; y 0  , x 0  3 .
1
в точке
x  22
Теоретические вопросы.
1. Определения непрерывной функции в точке.
2. Определение производной функции в точке и еѐ геометрический смысл.
3. Теорема о связи между непрерывностью функции в точке и существованием
производной функции в этой точке (формулировка). Рассмотреть функцию
y x.
4. Теоремы о производной суммы, произведения и частного функций
(формулировки).
5. Вывод производной y  sin x , y  tg x .
6. Вывод производной y  ln x , y  e x .
7. Сложная функция (определение). Теорема о производной сложной функции
(формулировка).
8. Параметрически заданная функция и еѐ производная.
9. Определение дифференцируемой функции в точке.
10. Дифференциал функции (определение, геометрический смысл).
11. Определение касательной и нормали к кривой в точке M 0  x0 ; y 0  .Уравнения
касательной и нормали к кривой в данной точке.
~7~
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
Образцы задач для подготовки к контрольной работе.
I.
Найти производные:
1. y 
2 ln x
x2
 ln 3
2 4 ln x
Ответ: y   3  3
x
x
2. y  ( x2  1)2  arctgex


e x ( x 2  1) 2
Ответ: y  2 x
 4 x  x 2  1  arctge x
1
e
3. y  e x  (3x 2  6x  7)
Ответ: y  e x  (3x 2  1)
4. y 
5  3x

 sin 2
arcctg x
7
Ответ: y 
5. y 
5  3x
3

2
x  1  arcctg x arcctg x


2
cos 3x

 ctg2
1  tg 3x
15
2
Ответ: y 
6 cos 3 x( sin 3 x)
3

1  tg 3 x
1  tg 3x 2
6. y  3 x  arccos x
1
Ответ: y 

3
3 x2
7. y  1  x  arcsin x  3sin
2
1
1

1 x 2 x
x
Ответ: y 
2
 arcsin x
1

 3sin x  ln 3  2 sin x cos x
2 1 x
2 x
2
x
8. y  e  1
x  cos3x
Ответ:
 e x 2  11  3 sin 3 x 


2 xe

y 

x  cos 3x 
x  cos 3x 2
x2
9. y  ctg3x  24x  arcsin6x
Ответ: y  
10. y 
3
2
sin 3x

6  24 x
1  36 x
2
 4  24 x  ln 2  arcsin6 x
2
tg x
cos x  1
Ответ: y 
~8~
2 tg x
cos2 xcos x  1

tg2 x   sin x 
cos x  12
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
11. y  ln  x  x 2  1 


1
Ответ: y 
12. y 
1
2 ln 3 x
x2  1
 cos 2 x  sin x
Ответ: y  2 sin 2 x  sin x 
3
cos2 x  cos x

4
2 x
2 x ln x
13. y  cos7 x  3  ln   1
4
x

4 cos7 x  3
x4  x 

Ответ: y  7 sin 7 x  3  ln   1 
4
x
14. y  sin xcos x
 cos2 x

 sin x ln sin x 

 sin x

Ответ: y  sin x cos x  


15. y  x2  1
sin x
Ответ: y  x 2  1
sin x
16. y  ln xx


 2 x sin x

 2
 cos x ln x 2  1 
 x 1

Ответ: y  ln x x  
1

 ln ln x 
 ln x

II.
Кривая задана параметрически. Найти координаты точки M ,
соответствующей параметру t . Вычислить угловой коэффициент k  tg 
касательной к кривой в точке M .
№
1
2
4
6
Условие
Кривая
 x  3 cos t

 y  4 sin t
 x  tg t

 y  ln 1  ctg t 
 x  e 43t


1
y

4t  2

 x  arcsin 2 t

 y  1  t 2
Ответ
t
M

4
3 2


;2 2 
 2

1; ln 2

4
1;0,3
4
3
 2 3 
 ;

36
2


1
2
~9~
tg 
4

3

1
2
3
25

3
2
220400 «Управление в технических системах»
III.
Найти производную неявно заданной функции.
№
1
2
3
4
5
IV.
1 семестр
Функция
sin x  y   2 y
x  y 2  x3  cos y
e 2 y  x 2 y 3  e3 x
2
e xy  x  y 3
x  y  2x y  2
2
Уравнения касательной и нормали.
1. Написать уравнение касательной к кривой y  1  x  3 , если известно,
1
что касательная параллельна прямой y   x  10 .
4
1
3
Ответ: y   x  .
4
4
1. а). Написать уравнение касательной и нормали к кривой y  1  x  3 в
заданной точке M 0 (4, 0) .
1
Ответ: y   x  2 ; y  2 x  8 .
2
2
2. Написать уравнение касательной к кривой y  x  x  1, если известно,
что касательная параллельна прямой y  5 x  7 .
Ответ: y  5 x  3 .
2. а). Написать уравнение касательной и нормали к кривой y  x 2  x  1 в
точке x0  2 .
1
11
Ответ: y  3 x  3 ; y  x  .
3
3
2
3. Написать уравнение касательной к кривой y 
, если известно, что
4 x
касательная параллельна прямой y  2 x  1 .
Ответ: y  2 x  12 , y  2 x  4 .
2
3. а). Составить уравнения касательной и нормали к кривой y 
в точке
4 x
 1
M 0  0,  .
 2
1
1
1
Ответ: y  x  ; y  8 x  .
8
2
2
~ 10 ~
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
4. Написать уравнение касательной к кривой y  3 1  x , если известно, что
1
3
касательная параллельна прямой y  x  2 .
1
3
Ответ: y  x  1 .
4. а). Составить уравнения касательной и нормали к кривой y  3 1  x в точке
с абсциссой x0  7 .
1
17
Ответ: y  x  ; y  12 x  86 .
12
12
5. Написать уравнение касательной к кривой y  x  ln x , если известно, что
касательная параллельна прямой y  x  5 .
Ответ: y  x  1 .
5. а). Составить уравнения касательной и нормали к кривой y  x  ln x в точке
M 0 (e, e) .
1
3e
Ответ: y  2 x  e ; y   x  .
2
2
Самостоятельная работа. «Вычисление пределов и точки
разрыва функции»
Пример самостоятельной работы.
Вычислить предел.
6x  2  4
1. lim
;
x 3
9  x2
5x 2  x  1
2. lim
;
x 
2 x 2  3x  1
e sin 2 x  1
3. lim
;
x 0
ln 1  3 tg x 
4. lim 9  2 x 4  x ;
x
x 4
 3x 2  x  1

 3x  ;
5. lim

x 
 x2

6. Вычислить односторонние пределы lim 0,7 

x
x2
x  2  0
7. Исследовать поведение функции вблизи точек разрыва y 
~ 11 ~
x2
2 x  12
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
Образцы задач для подготовки к самостоятельной работе.
1. Вычислить предел.
№ Условие
lim
x  5x  4
2x  1  3
2
lim
6x  2  4
9  x2
3
lim 
4
lim
Ответ № Условие
1
x 4
x3
x 

 x2  x  1 x 
 
2
 2x  3
2
5
6
lim ln( 1  2 x)
1  cos 3x
x0
x
x 1
7
lim(4  3x)
8
 x 1 


lim
x  x  2 
9
 x  22


 x 
lim
x
 x 1

x1

10 lim
1
8
13
x3  2x
x0
4  2x  2
2
x  2x3  x  4
lim
x
4x3  x 2  3
4
1
2
5
8
2

3
4

3

14
5 x 3  2 x 2  3x  1
lim
x 
2 x  33

15
arct g( x 2  2 x)
lim
x 0
ln( 1  sin 3x)
0
16 lim
e 3
17 lim(7  3x)
x0
ln( 1  sin 4 x)
1  e3 x
5
x 2
e 15
x2
3x
1
20

12 lim

3x 2  2
ln 1  4 x 
lim
x 0
tg 2 3x
x 5
1
4
3  x 4x  1
x
11 lim
9
Ответ
x 1  2
5x  x 2
2
2
18
lim(16  5x) x3
e 10
5
19
 x5  8x 4 x 
 

lim
x  
4x4
4
2
0


20 lim
  1  sin 2 x 
e
x 2  3x  2  x 2  3x  2
x

9
x3
 ctg x 
x
2. Вычислить односторонние предела.
№ Условие
Ответ № Условие
1
1 x 2
1
lim e
2
lim 16  x  x 5
x 1 0
1
x 5  0

4
0
5

4
lim (0,5)
Ответ
1 x
3 x
0
x 3  0
lim 16  x  x 5
x 5  0
1
1

1
sin x
sin x
0
3 lim  2 x  4 
6 lim  2 x  4 
x 0  0
x 0  0
 3x  5 
 3x  5 
3. Исследовать поведение функции вблизи точек разрыва

Y
1. f ( x) 
2 x
( x  3) 2
3
X
~ 12 ~
x  3 - точка разрыва 2-го
рода
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
Y
2. f ( x) 
2
x3
x2
X
x  2 - точка разрыва 2-го
рода
Y
x 2 1
3. f ( x) 
x 1
2
X
2
4. f ( x) 
Y
x 1
5 x
2
5
X
Y
4
4  x2
5. f ( x) 
x2
6. f ( x)  3
x  5 - точка разрыва 2-го
рода
x  2 - точка разрыва 1-го
рода
2
4
2x
1 x
x  1 - точка разрыва 1-го
рода
1
X
Y
x  1 - точка разрыва 2-го
рода
X
1
Y
7. f ( x) 
3
1 x
x
x  0 - точка разрыва 2-го
рода
X
~ 13 ~
220400 «Управление в технических системах»
1 семестр
Y
3  x3
8. f ( x) 
3  2x
3
- точка разрыва 2-го
2
рода
x
3
2
X
~ 14 ~
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа