close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

F.5 LS 2013;ppt

код для вставкиСкачать
О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ
Г. И. С а р а н ц е в ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
С включением в школьную программу геометрических преобра­
зований, векторов и понятия о координатном методе изменились
способы решения геометрических задач. Ранее основным средством
решения задач являлись признаки конгруэнтности и признаки по­
добия треугольников. Например, для доказательства конгруэнт­
ности отрезков А В и CD отыскивали (или строили) два треуголь­
ника, сторонами которых являлись соответственно отрезки А В и
CD. Используя признаки конгруэнтности треугольников, доказы­
вали конгруэнтность рассматриваемых треугольников, из чего
следовала конгруэнтность их элементов, в частности отрезков АВ
и CD. Современная методика доказательства конгруэнтности фи­
гур использует свойства геометрических преобразований. Напри­
мер, для доказательства конгруэнтности отрезков АВ и CD на­
ходят перемещение, при котором [АВ] [CD]. Для доказатель­
ства параллельности прямых (или отрезков) ранее использовались
признаки параллельности прямых. Теперь же для этого достаточно
показать, что векторы; задающие эти прямые, коллинеарны. А для
нахождения расстояния \АВ\ удобно вычислить скалярное произ­
ведение АВ • АВ, так как | АВ ] = У"АВ • АВ.
Рассмотрим конкретные примеры решения задач различными
методами.
§ 1. Обучение решению задач методами
геометрических преобразований
З а д а ч а 1. Через центр О параллелограмма ABCD про­
ведена прямая /, пересекающая стороны ВС и AD параллелограм­
ма соответственно в точках М и N. Докажите, что \ВМ \ — \DN\.
Р е ш е н и е (традиционное). Отрезки ВМ и ND являются сто­
ронами треугольников ВМО и OND. (Чаще такие треугольники
приходится строить, что значительно осложняет решение задачи.
Мы намеренно выбрали простую задачу, чтобы показать сущность
самого принципа.) Треугольники ВМО и OND конгруэнтны, так
как \ В0\ = \0D\ (свойства диагоналей параллелограмма), МВО =
84
= NDO (накрест лежащие углы при параллельных прямых),
/Ч
ВОМ == NOD (вертикальные углы). Следовательно, \ВМ\ == |LW|.
Р е ш е н и е (используя свойство геометрических преобразо­
ваний). Точка О — центр симметрии параллелограмма A BCD.
Тогда Z0 (В) — Z), Z0(M) = N, так как АГ = (МО) П UM).
Следовательно, |ЯМ| — 1РЛП.
З а д а ч а 2. Докажите, что прямая, содержащая точку О
пересечения диагоналей трапеции ABCD и точку М — середину
основания ВС у пересекает второе основание AD трапеции A BCD
в точке N, являющейся серединой основания AD.
Р е ш е н и е (традиционное).
А ВМО™ ADNO (Z. ОВМ & Z. ODNy Z. BOM ^ Z. АЮ£>),
I В М I I ОМ I
\ND\
| о,VI
следовательно, J 1 = ——-•
-
Аналогично из подобия треугольников МОС и AON имеем:
| О М1 ] о
—1
\ON\
Значит,
\ВМ I
| ND |
]MC
=
\ВМ\ | NDI \ВМ\ \
|МС|
1^1----- -, или 1 но I \=1,
| AN |
I МС| I AN |
|MC
следовательно, = 1, т. e. N — середина отрезка AD.
Р е ш е н и е (используя свойства геометрических преобразо­
ваний). Рассмотрим гомотетию с центром О, при которой [ВС] ->
[AD]. Образ М' точки М принадлежит как отрезку AD (М £
6 [ВС]), так и прямой МО, т. е. М' = (МО) f| IAD], а потому М' =
= N. Так как гомотетия сохраняет отношение расстояний, то
I Л#| I СМ1 L|
—— ==
,
АТ
=1, т. е. N — середина отрезка AD.
| ND | \~МВ |
Л
П
*
Из приведенных задач видно, что решения, основанные на
свойствах геометрических преобразований, значительно проще.
Геометрические преобразования дают ключ к решению многих
конструктивных задач, чего нельзя сказать о признаках конгру­
энтности или подобия треугольников. Рассмотрим задачи.
1. Впишите в данный острый угол треугольник наименьшего
периметра так, чтобы две его вершины принадлежали сторонам
угла, а третья — данной точке внутренней области угла. Ее ре­
шение основано на свойствах осевой симметрии. Строим точки Мг
и М2, симметричные данной точке М относительно прямых, содер­
жащих стороны данного- угла. Точки пересечения отрезка М1М2
со сторонами угла являются вершинами искомого треугольника.
Периметр полученного треугольника равен длине отрезка МхМ2у
периметр любого другого треугольника, одной из вершин которого
является точка УИ, а две другие принадлежат сторонам данного
угла, равен длине ломаной, соединяющей точки М± и4 М2.
Метод, основанный на признаках конгруэнтности треуголь­
ников, в данном случае является «беспомощным».
2. Впишите в данный треугольник другой треугольник, сторо­
ны которого были бы параллельны трем данным прямым.
85
Эффективным средством ре­
шения данной .задачи является
метод гомотетии. Вначале сле­
дует
построить
треугольник
так, чтобы его стороны были
параллельны данным прямым,
а две вершины принадлежали
сторонам данного треугольника.
Построенный треугольник отоб­
ражаем гомотетией с центром
в вершине данного треуголь­
ника так, чтобы все вершины
оказались на сторонах треуголь­
ника.
Итак, методы геометрических
преобразований позволяют ре­
Рис. 1
шать большинство задач на до­
казательство, построение и вы­
числение.
Наличие необходимых знаний еще не является достаточным
условием успешного использования их на практике, для этого
необходимо овладеть умениями использовать знания в конкретных
ситуациях. В исследованиях советских психологов Н. А. Менчинской, Е. Н. Кабановой-Меллер и других делается вывод о том, что
знания сами по себе не превращаются в умения, для этого нужна
специальная работа [1, 7].
Поэтому формированию умения использовать геометрические
преобразования при решении задач (доказательстве теорем) долж­
но быть уделено самое серьезное внимание.
Для разработки методики формирования умения необходимо
выявить его компоненты, что позволит осуществить поэлементное
формирование этого умения.
Компоненты умения в использовании метода геометрических
.преобразований могут быть выявлены путем анализа решения кон­
кретных задач. В процессе этого анализа выявляются элементар­
ные умения, которые и являются компонентами умения использо­
вать геометрические преобразования при решении задач.
Рассмотрим примеры.
/. Задачи, решаемые методом осевой симметрии
З а д а ч а 1. Даны две окружности и прямая L Постройте
равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины принад­
лежали данным окружностям, а одна из высот — прямой I.
Р е ш е н и е . Предположим, что A ABC искомый (рие. 1).
Так как высота AD равностороннего треугольника ABC принадле­
жит прямой /, то точки В и С симметричны относительно этой пря­
мой и лежат на данных окружностях (умение строить на произволь­
ных окружностях точки, симметричные относительно данной
прямой).
86
Если точка С принадлежит окружности F2 и симметрична точ­
ке В, принадлежащей окружности Fly относительно прямой /,
то точка С принадлежит также и образу окружности F1 при симмет­
рии относительно прямой I. Следовательно, точка С есть общая
точка окружности F2 и образа окружности F± при симметрии S{.
Построив окружность Fu являющуюся образом окружности F1
(умение строить образ окружности при осевой симметрии), найдем
точку С.
Затем строим точку В как образ точки С при симметрии Sh
учитывая, что С принадлежит окружности F[ и F± симметрична F[
(умение строить симметричные точки на заданных симметричных
окружностях).
Последовательность операций, выполняемых при решении этой
задачи, такова: а) строим образ окружности при симметрии SL\
б) находим точки пересечения окружностей F[ и F2; в) отыски­
ваем на окружности Fx прообразы точек пересечения окружностей
F[ .и F2; г) строим равносторонний треугольник ABC (А ё /).
Задача может иметь: а) единственное решение, когда F2 П
П F[ = С; б) два решения, когда F2 f| F[ = {М\ К}\ в) бес­
конечное множество решений, когда F[ = F2. Задача не имеет
решений, когда F2 П F\ = 0.
Итак, чтобы решить задачу, учащиеся должны владеть следую­
щими умениями: а) строить образ окружности при осевой симметрии;
б) выделять соответственные при осевой симметрии точки на со­
ответственных при той же симметрии окружностях; в) строить
симметричные относительно прямой точки на произвольных задан­
ных окружностях*.
З а д а ч а 2. Окружность F± пересекает концентрические ок­
ружности F2 и Fs соответственно в точках^Л, В и С, D. Докажите,
что хорды А В и CD параллельны.
Р е ш е н и е . Пусть О — центр окружности F± и Ог — центр
окружностей F± и F2. И пусть F± П F2= {А\ В}, П =
= {С; D). Тогда (ООх) — ось симметрии фигуры F — Fx \J,F2 U
U Fs (умение «видеть» ось симметрии).
Так как А 6 Fx f| F2y a S0ot (Ft П ^2) = Fi П Fz> то
5оо^(Л) € Fx П ^2» T* e- Soc(Л) =f В (умение «видеть» соответ­
ственные точки на соответственных фигурах).
Аналогично Soo, (С) = D. Так как 1АВ\ JL [00х> и [CD] _L
± (ООх), то [АВ] || [CD],
Анализируя решения этих и других задач, решаемых методом
осевой симметрии, приходим к выводу, что овладение этим методом
требует формирования следующих умений:
а) строитьобразы
фигур при осевой симметрии; б) «видеть» симметричные относи­
тельно прямой точки на симметричных относительно этой же пря­
мой фигурах; в) строить ось симметрии; г) находить симметрич­
ные относительно прямой точки на произвольных заданных
фигурах.
87
II.
Задачи у решаемые методом поворота
З а д а ч а 3. Постройте равносторон­
ний треугольник так, чтобы одной его
вершиной была точка Р, другая принадле­
жала прямой а, третья — прямой Ь.
Р е ш е н и е . Пусть Д PKL искомый
(рис. 2). Тогда точки К и L находятся
на равном расстоянии от точки Р, при­
надлежат прямым а и b соответственно и
«видны» из точки Р под углом 60°. (Их
построение обеспечивается умением выде­
лять на заданных фигурах соответствен­
ные при данном повороте точки.)
Так как точка L является образом точки
К при повороте вокруг точки Р на 60°, то
она принадлежит образу прямой а при ука­
занном повороте (умение строить образы
фигур при повороте), т. е. точка L есть об­
щая точка прямой a'=Rf*° (а) и прямой Ь.
Точка К является прообразом точки L.
Если b = Rf° (а), то задача имеет
бесконечное множество решений. В осталь­
ных случаях задача имеет не более
двух
решений, так как прямая b имеет не более
одной точки пересечения с прямой а' и не
более однойточкипересечения с прямой а4 — R~^0°
(а).
З а д а ч а 4.Через
центр О правильного треугольникаABC
проведены две прямые, образующие между собдй угол в 60°. До­
кажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри треуголь­
ника, конгруэнтны.
Р е ш е н и е . Для доказательства конгруэнтности отрезков мы
должны найти перемещение, при котором один из отрезков ото­
бражается на другой. Так как угол между прямыми, подмножест­
вами которых являются указанные отрезки, равен 60°, то естествен­
но рассмотреть поворот вокруг точки О. Учитывая, что поворот
вокруг точки О на 120° отображает треугольник на себя, приходим
к целесообразности рассмотрения поворота вокруг точки О на 120°.
При рассматриваемом повороте А В, В-^С, С->Л, 1АВ] -+
-+1ВС], [£С]->[СЛ], [СА]-+[АВ]. Точка Е ё [АС] (рис. 3)
отобразится на точку М, точка F € [АВ] — на N £ [ВС] (ЕОМ =
— 120°, FON — 120°, поворот сохраняет пересечение фигур).
Следовательно, I/7/:] -> [NM], Значит, Iff] ^ [ЛШ].
Итак, мы видим, что овладение этим методом требует формиро­
вания таких умений: а) строить образы фигур при повороте;
б) находить соответственные при повороте точки на соответственных
при этом же повороте фигурах; в) «видеть» центр поворота; г) стро88
Рис. 4
Рис. 5
ить соответственные при повороте точки на произвольно данных
фигурах.
III. Задачи, решаемые методом параллельного переноса
З а д а ч а 5. Даны две окружности Fly F2 и прямая I. Прове­
дите прямую, параллельную прямой /, на которой окружности Fx
и F2 высекают конгруэнтные хорды.
Р е ш е н и е . Пусть прямая V искомая, т. е. прямая V высе­
кает на данных окружностях конгруэнтные хорды АВ и А'В'
(рис. 4). Тогда точки А и Л', В и В' можно рассматривать как со­
ответственные при параллельном переносе: О х O i (умение стро­
ить соответственные точки на любых заданных фигурах).
Так как точка А' является образом точки Л, принадлежащей
окружности Fu то точка Л' принадлежит образу окружности Fx.
Следовательно, Л' — общая точка окружности F2 и образа окруж­
ности Fx при параллельном переносе 0±0{ (умение строить образы
фигур при параллельном переносе).
Построив точку Л', находим на окружности FL ее прообраз
(умение выделять соответственные при повороте точки на соот­
ветственных при том же повороте фигурах).
Если F2 = ОхО[ (FL)f то задача имеет бесконечное множество
решений. В остальных случаях задача имеет не более четырех
решений, так окружность F2 имеет не более двух точек пересечения
с окружностью F[ = OxOl (Fx) и не более двух точек пересечения с
окружностью F\ = 0[0Х (Fx).
З а д а ч а 6. Расстояние между центрами двух пересекающихся
окружностей равных радиусов равно d. Прямая, параллельная
линии центров, пересекает первую окружность в точках Л и В,
вторую — в точках С и D. Найдите длину отрезка АС (рис. 5).
Р е ш е н и е . Обозначим центры данных окружностей через
Oj и 02. Тогда параллельный перенос 0Х02 (умение выделять эле­
менты, определяющие параллельный перенос) отобразит окруж­
ность с центром Ох на окружность с центром 02 (умение строить
образы фигур при параллельном переносе). Точка Л при этом пе­
реносе перейдет в точку С, а точка В — в точку D (умение видеть
89
соответственные при параллельном переносе точки на соответствен­
ных при том же переносе фигурах). Следовательно, | AC| == | BD | =
= \ 0102\ = d.
Нетрудно видеть, что овладение методом параллельного пере­
носа требует формирования таких же умений, которые необходимы
для решения задач методами симметрии и поворота.
IV. Задачи, решаемые методом гомотетии
З а д а ч а 7. Дан угол ABC и внутри него точка М. Проведите
через точку М прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный внутри
угла ЛВС, делился точкой М в отношении 1 : 2.
Р е ш е н и е . Пусть отрезок KD искомый, т. е. | КМ|: | MD | =
= 1:2 (рис. 6). Тогда гомотетия Н ^ отобразит точку D на точку К
(умение выделять элементы, определяющие гомотетию). Так как
D£ [ВС), то [В'С'), где [В'С') = Н~Т ([ВС)) (умение строить
А1
образы фигур при гомотетии и «видеть» соответственные при гомо­
тетии точки на соответственных фигурах). Следовательно, К ==.
= 1ВА) П [В'С'). Построив точку /С, найдем на [ВС) точку D,
являющуюся прообразом точки К при гомотетии Нм 2 .
З а д а ч а 8. Через точку М касания окружностей Ft и F2
проведены секущие k и /, пересекающие окружность Fu кроме
точки М, в точках Л и В, а окружность F2 — точках С и D. Дока­
жите, что прямые Л В и CD параллельны.
Р е ш е н и е . Две окружности, касающиеся в точке М, гомоте­
тичны относительно этой точки (умение выделять центр гомоте­
тии). Рассмотрим гомотетию, при которой Fl-+F2 (умение видеть
образ данной фигуры).
Эта гомотетия отобразит точку Л на точку С (рис. 7), а точку В
на точку D (умение видеть соответственные при гомотетии точки на
соответственных при той же гомотетии фигурах).
Используя свойства гомотетии, получаем: (ЛВ) (| (CD).
Таким образом, овладение методом гомотетии требует форми­
рования следующих умений: а) строить образы фигур при гомоте­
90
тии; б) находить соответственные при гомотетии точки на соот­
ветственных при той же гомотетии фигурах; в) выделять элементы,
определяющие гомотетию (центр гомотетии и ее коэффициент);
г) строить соответственные при заданной гомотетии точки на
произвольных фигурах.
Анализ решения задач методами симметрии, поворота, парал­
лельного переноса и гомотетии позволил выделить те умения, овла­
дение которыми будет способствовать формированию умений реше­
ния задач методом геометрических преобразований. Учащиеся
должны уметь:
а) строить образы фигур при симметрии, повороте, параллель­
ном переносе и гомотетии;
б) видеть соответственные при указанном отображении точки
на соответственных при том же отображении фигурах;
в) выделять элементы, определяющие отображение: ось симмет­
рии, центр поворота, угол поворота, направление параллельного
переноса и его расстояние, центр и коэффициент гомотетии;
г) строить соответственные при указанном отображении точки
на произвольных фигурах.
Исходя из указанных умений, можно выделить следующие виды
задач, способствующие овладению методом геометрических пре­
образований:
1) задачи на построение образов фигур при указанном отобра­
жении;
2) задачи на выделение соответственных при отображении точек
на соответственных при том же отображении фигурах;
3) задачи на выделение элементов, определяющих отображение;
4) задачи на построение соответственных при отображении
точек на любых заданных фигурах.
Умение решать задачи каждого следующего вида существенно
зависит от навыка решать задачи предыдущего вида. При переходе
к последующему виду задач учащиеся поднимаются на новую,
более высокую ступень в усвоении идеи метода геометрических
преобразований.
Остановимся на характеристике указанных видов задач.
I.
Задачи на построение образов фигур при указанном отображе­
нии
В 5 классе учащиеся знакомятся с некоторыми видами переме­
щений, решают задачи на построение. Однако на этом этапе у уча­
щихся вырабатываются наглядные представления о центральной
симметрии, осевой симметрии и параллельном переносе, логиче­
ские обоснования выполняемым построениям не даются. В VI клас­
се углубляются, систематизируется полученные ранее знания, уча­
щиеся знакомятся с новыми свойствами отображений. При реше­
нии задач на построение следует обращать внимание на обоснова­
ние выполняемых построений, на их рационализацию.
К атому виду задач можно отнести задачи на распознавание
среди множества пар фигур тех, которые могут быть получены
91
/
Рис. 8
, Рис. 9
одна из другой с помощью отображения, на достраивание образов
фигур, а также задачи, в которых используются свойства отображе­
ний для практических целей, например утверждение, что прямая,
которой принадлежит биссектриса угла, является осью симметрии
точек, лежащих на сторонах этого угла на равном расстоянии от
его вершин, может быть использовано для построения биссектрисы
угла с помощью масштабной линейки.
Задачи на распознавание способствуют не только усвоению
свойств отображений, созданию наглядных представлений, но и
формированию умения классифицировать фигуры.
При решении задач на распознавание следует перед учащимися
ставить вопросы, выясняющие понимание ими сути, например:
почему данные отрезки можно считать соответственными при па­
раллельном переносе? (Эти отрезки параллельны и длины их рав­
ны.) Это помогает прочному усвоению существенных свойств изу­
чаемых видов геометрических преобразований.
При построении образов фигур при некотором отображении
следует варьировать ось симметрии, центр поворота, центр гомоте­
тии, сами фигуры. В этой связи отметим интересный факт. Уча­
щимся была предложена задача: «Построить образ угла j(pnc. 8)
при симметрии относительно точки О».
90% учащихся с данной задачей не справились, хотя почти все
учащиеся безошибочно построили образ выпуклого угла. Много
ошибок допускается при построении образов фигур при осевой сим­
метрии, если ось симметрии располагается наклонно по отношению
к краю классной доски. Варьирование несущественных признаков
способствует сознательному и прочному усвоению существенных
признаков понятия.
Задачи на сети правильных треугольников или на клетчатой
бумаге являются хорошим средством для тренировки учащихся в
построении образов фигур при композиции отображений. Они могут
быть использованы для устного решения. Например, такая задача
(рис. 9): «Не выполняя никаких построений, укажите: а) образы то­
чек В4, В5, £)3 при симметрии с осью Л402; б) образ отрезка В2С2
при композиции осевых симметрий с осями B3D2 и в) ось сим92
метрии отрезков А3 В4 и В±ВЪ\ г) две прямые, последовательным
отражением которых луч B3D1 отображается на луч С4С5».
II.
Задачи на выделение соответственных при отображении
точек на соответственных при том же отображении фигурах
Наряду с другими свойствами преобразований учащиеся при
решении задач данного вида должны знать: если К £ Ф, то К' £.Ф\
где Кс — образ точки К, а Ф' — образ фигуры Ф при данном ото­
бражении; если К i Ф, то Кг £ Ф'*
Рассмотрим задачи.
З а д а ч а 1. Отрезки А В и А'В' симметричны относительно
точки О. Постройте образ точки К (К € 1АВ]).
Построение образа точки К обычным способом (на прямой КО
строим точку К' так, чтобы | КО | = | ОKf I и точка О лежала между
точками К и К') малоэффективно. Можно решить эту задачу, вы­
полнив построение образа точки К с помощью: 1) циркуля; 2) ли­
нейки.
1) Используются следующие свойства центральной симметрии:
а) если К € [АВ], то К' 6 lA'B'Y, б) центральная симметрия со­
храняет расстояния.
2) Рассуждение такое: К' € (ОК) и К' Е 1А'В']У следовательно,
К' = (О/С) П lA'B'l
Для построения образа точки К с помощью циркуля (линейки)
недостаточно знания алгоритма построения симметричных относи­
тельно центра точек, вытекающего из определения центральной
симметрии. Кроме этого, нужны некоторая изобретательность в
выборе нужного свойства центральной симметрии и умение исполь­
зовать его в конкретных ситуациях.
Следующие задачи этого вида рассматривают построение образа
точки, не принадлежащей соответственным при некотором' отобра­
жении фигурам.
З а д а ч а 2. Отрезки АВ и А’В’ симметричны относительно
точки О. Постройте образ точки М (М $ (АВ), М i (А'В')) при
симметрии с центром О с помощью: 1) циркуля; 2) транспортира и
линейки.
1) Образ точки М должен находиться от точки А ' на том же .рас­
стоянии, что и точка М от точки Л, т. е. М' 6 окр. (А’\ \АМ\).
Аналогично М' 6 окр. (В'; \ВМ\). Итак, М' = окр. (Л'; \АМ\){\
П окр. (В'\ \ВМ\). Но две различные окружности могут пересе­
каться не более чем в двух точках. Выбор из двух точек пересече­
ния окружностей образа точки М может быть осуществлен на ос­
нове зрительных представлений или с использованием того факта,
что центральная симметрия не изменяет «обхода» фигур (треуголь­
ники АМВ и А'М'В', где М' — образ точки М, должны иметь оди­
наковый «обход»).
2) Используется свойство центральной симметрии не изменять
«обход» фигур. Луч А 'К' нужно провести так, чтобы МАВ = ■
е== К' А 'В' и углы МАВ и К'А'В' имели бы одинаковые «обходы».
93
Аналогично следует осуществить построение луча B'L\ тогца
М' = [B'L') П 1А'К').
Различные наборы инструментов определяют различные спосо­
бы действия. Это очень важно, ибо «процесс мышления возникает
тогда, когда появляется какое-то новое условие, требующей нового
способа действия» [13].'Поэтому подобные задачи полезны для раз­
вития творческого мышления, они способствуют формированию
умения использовать известные факты в новой ситуации.
Отметим еще немаловажный момент. Известно, что в 5 классе
рассматриваются отображения фигур, являющихся подмножествами
плоскости, в 6 классе осевая симметрия, поворот, параллельный
перенос трактуются как точечные отображения плоскости на себя.
Осуществлению скачка в представлении* учащихся об осевой сим­
метрии, повороте и параллельном переносе и способствует решение
задач этого вида. Эти задачи похмогут раскрыть содержание изучае­
мых видов преобразований как отображений плоскости на себя:
осевая симметрия, поворот, параллельный перенос устанавливают
соответствие не только между точками фигур, но и между точками
всей плоскости.
Приведем несколько задач этого вида.
З а д а ч а 3. Окружность F* получена из окружности F пово­
ротом вокруг точки Р. Постройте образ точки К (К € F) с помощью
циркуля.
З а д а ч а 4. Постройте образ точки М при параллельном пере­
носе, отображающем [АВ] на [Л'Я'].Выполнит£ построение несколь­
кими способами.
З а д а ч а 5. Окружность Fr с центром О' является образом
окружности F с центром О при гомотетии с центром в точке Р. По­
стройте образ точки К с помощью линейки (К € F; К i F).
Если К € то К g F1 f| (-Р/С)- Пересечением прямой РК и
окружности F' может быть пара точек /(' и К"- Выбор из этих то­
чек образа точки К может быть осуществлен с использованием того
факта, что (О'/Г) !1 (О/С), который можно установить на глаз. Если
К i F, то точку К1 можно построить так: проводим луч О/С, отме­
чаем точку М пересечения луча О К и окружности F и строим образ
М' точки М при указанной гомотетии, тогда /С' = Ю'АГ) П (^^0Опыт работы с учащимися убеждает нас в том, что некоторые
задачи этого вида доступны школьникам 5 класса. Особенно это
касается задач на построение образов точек, принадлежащих со­
ответственным фигурам. Задачи на построение образов точек, не
принадлежащих соответственным фигурам, могут быть использо­
ваны в 6 классе при введении понятий осевой симметрии, поворота,
параллельного переноса.
III.
Задачи на выделение элементов% определяющих преобра­
зование
Эти задачи являются в известном смысле обратными по отноше­
нию к задачам первого и второго видов. До недавнего времени
считалось, что обратные связи формируются сами собой при форми­
94
ровании прямых связей. Однако, как по­
J- i н мн
jpaasr:
казали исследования психологов, дело об­
1о
0'
стоит не так: обратные связи сами собой не
1
1
S
возникают, для их формирования нужна
специальная работа [9].
О важности задач данного вида для
формирования умения решать задачи ме­
тодом геометрических преобразований сви­
;
детельствует следующий эксперимент: шес­
1А'
и
тиклассникам была предложена задача:
«На сторонах А В и АС треугольника
Рис. 10
ABC вне его построены квадраты A BMP и
ACQD. Доказать, что [РС]^ [BD]». Класс,
в котором рассматривались задачи на построение элементов, опре­
деляющих преобразование, хорошо справился с указанной задачей
(из 28 учащихся лишь два ученика не решили ее). Однако для боль­
шинства учащихся, с которыми не рассматривались задачи третьего
вида, решение данной задачи вызвало большие затруднения. Эти
трудности были вызваны тем, что ученики ые «видели» поворот во­
круг точки А на 90° (точки Р и В, так же как и точки С и D, равно­
удалены от точки А и «видны» из нее под углом 90°, поэтому при
повороте вокруг точки А на 90° Р -> В> C->D, следовательно,
[РС]Ш IBD]).
Следует отметить, что в учебниках геометрии задачи на построе­
ние элементов, определяющих преобразование, почти отсутствуют.
Приведем примеры задач этого вида.
З а д а ч а 1. Какие из конгруэнтных треугольников, показан­
ных на рисунке, можно совместить с помощью параллельного переноса, осевой симметрии, центральной симметрии?
З а д а ч а 2. Даны две параллельные прямые а и Ь. Найдите
множество центров гомотетий, отображающих прямую а на прямую
bt если k = —1,5.
З а д а ч а 3. Укажите центр поворота (рис. 10), отображающего
[АВ] на lA'B'l где А -> Л\ ВВ\
Наиболее интересным является решение этой задачи без исполь­
зования инструментов (на клетчатой бумаге). Решая ее, ученик
должен рассуждать примерно так: а) так как при повороте [АВ] -*■
-> [Л'В'] и (АВ) _]_ (А'В'), то угол поворота равен 90°; б) так как
В -> В', то"центр поворота принадлежит оси симметрии точек В и
В'. Отрезок ВВ' внден из центра поворота под углом 90°. Центром
поворота может быть либо точка О, либо точка О'. Для того чтобы
указать из этих точек ту, которая является центром поворота,
ученик должен мысленно совершить поворот отрезка А В вокруг
каждой из этих точек. Искомым центром поворота является точка О.
Убедиться в правильности нахождения центра поворота можно с
помощью построений. Для этого нужно построить оси симметрий
точек Л, А' и В, В'. Пересечение этих осей является искомым цент­
ром поворота.
05
Полезно использовать и комбинированные задачи, в которых
осуществляется построение образов фигур при перемещении или
гомотетии и выделение элементов, определяющих вид преобразова­
ния. Решение таких задач делает мыслительный процесс более
содержательным, способствует развитию пространственного вооб­
ражения учащихся.
Приведем примеры таких задач.
З а д а ч а 1. Постройте произвольный четырехугольник ABCD
и отметьте некоторую точку А'. Постройте четырехугольник, сим­
метричный данному относительно некоторой прямой так, чтобы
образом точки А была точка А'.
З а д а ч а 2. Отметьте точки Л, В и С. Дополните это мно­
жество четвертой точкой D так, чтобы фигура. F = {Л; В; С; D}
имела центр симметрии.
IV. Задачи на построение соответственных при отображении
точек на произвольных фигурах
При решении задач этого вида получают дальнейшее развитие
идеи соответствия, принадлежности, совершенствуются умения и
навыки, приобретенные учащимися при решении задач предыдущих
видов; учащиеся также овладевают навыками более сложных по­
строений.
Анализ решения следует проводить устно, сопровождая его ри­
сунком. Каждый шаг построения записывается.
Рассмотрим несколько задач этого вида.
З а д а ч а 1. Даны прямая I и две окружности, принадлежа­
щие различным полуплоскостям с границей I. Постройте точки,,
симметричные относительно прямой I и принадлежащие данным
окружностям.
Запись решения данной задачи будет иметь следующий вид:
1) F[ = SL (F), 2) Л' 6 F[ П F2, 3) A = Sl (A').
Тот факт, что точки Л и Л' удовлетворяют условию задачи, оче­
виден, поэтому останавливаться на его доказательстве не следует.
На исследование же нужно обратить внимание. Учащимся полезно
дать задание: расположите окружности F± и F2 так, чтобы задача
имела 0, 1, 2, ... решений.
Рассуждение может быть примерно таким: задача будет иметь
единственное решение, когда F[ f| F2 — Л, где Fi == St {F±), т. е.
когда окружности F2 и Fj касаются. Построим две окружности
R[ и R2 так, чтобы они касались. Далее строим окружность Rlt сим­
метричную окружности Ri относительно данной прямой I. При по­
лученном расположении окружностей Rx и R2 и прямой I задача
имеет единственное решение.
Желательно, чтобы учащиеся выполнили рисунки, иллюстри­
рующие различные случаи решения задачи.
З а д а ч а 2. Найдите на данных прямой и отрезке такие пары
точек, что одна из точек пары может быть отображена на другую
поворотом вокруг данной точки на 70Q.
3 а д а ч а 3. На прямой и окружности постройте соответствен­
но такие пары точек, чтобы одну точку пары можно было отобра­
зить на другую гомотетией, центром которой является центр дан­
ной окружности, а К = у.
Все рассмотренные выше задачи отнесем к задачам первой
группы. Ко второй группе отнесем задачи, ^решаемые методами
геохметрических преобразований. Это задачи на доказательство,
построение и вычисление. Они решаются на протяжении всего
периода обучения в школе. Классифицируются в сборниках задач
по методам их решения: а) задачи, решаемые методом симметрии;
б) задачи, решаемые методом поворота; г) задачи, решаемые мето­
дом гомотетии.
Такая классификация подсказывает выбор нужного метода при
решении конкретной задачи. Однако в школьных учебниках эти
задачи перемежаются. Например, в разделе «Четырехугольники»
содержатся задачи, решаемые методами симметрии, поворота, па­
раллельного переноса и гомотетии. Поэтому выбор нужного вида
отображения может встретить некоторые трудности.
Не случайно в работах психологов А. Н. Леонтьева и Я. А. По­
номарева указывается на то, что формирование общего принципа
решения задач следует начинать с решения тех задач, условия ко­
торых оказывают решающее влияние на нахождение метода решения [10, 12]. Согласно этим выводам использование отображений
в конкретных ситуациях целесообразно начинать с рассмотрения
тех задач, решения которых очевидны. А потому сначала предла­
гаются задачи, методы решения которых очевидны,
г Поясним сказанное на примерах.
З а д а ч а 1. Даны полоса с краями а и b и точка Р, принадле­
жащая этой полосе (Р £ а, Р £ Ь). Найдите на ее краях а и b соот­
ветственно такие точки А и В, что \РА \ = \РВ\ и АРВ = 90°.
Так как | РА | = | РВ\ и АРВ — 90°, то поворот вокруг точки Р
на 90° отображает одну из точек на другую. Анализ приводит к ме­
тоду решения этой задачи — методу поворота. Будем считать, что
в этом случае метод решения задачи очевиден* По сути дела, реше­
ние этой задачи сводится к отысканию соответственных при повороте
вокруг точки Р на 90° точек на заданных прямых а и b (это умение
у учащихся сформировано).
З а д а ч а 2. На сторонах АВ и АС треугольника ABC вне его
построены квадраты ABNM и ACQP. Докажите, что (МС) _L (ВР).
Перпендикулярность двух прямых будет доказана, если одну
из этих прямых мы отобразим на другую поворотом на 90°. Анали­
зируя условие задачи, замечаем, что точки М и В находятся на оди­
наковых расстояниях от точки А и МАВ — 90°. Аналогично | АС\ ==
= \АР\ и САР = 90°. Значит, поворот вокруг точки А на 90° по
4 Зак^з 54-
97
часовой стрелке отобразит точку М на точ­
ку В и точку С на точку Р.
Анализ условия этой задачи также при­
водит к выбору нужного вида отображения.
З а д а ч а 3. На продолжении сто­
рон прямоугольного треугольника ЛВС
отложены отрезки AD и А В, конгруэнтные
соответственно катетам Л В и АС треуголь­
ника ЛВС. Докажите, что прямая, содер­
жащая медиану AM треугольника ЛВС,
перпендикулярна отрезку DE.
рис. п
Фигура, состоящая из двух треугольни­
ков ЛВС и DEA, симметрична относительно
прямой, которая содержит биссектрисы углов BAD и САЕ (рис. 11).
Но может ли нам дать что-либо метод симметрии? Ответить на этот
вопрос пока нельзя. Далее замечаем, что точки В и D находятся на
равных расстояниях от точки Л и BAD — 90°. Можем ли мы быть
уверены в целесообразности использования метода поворота? Пока
мы не знаем, что использование поворота приведет нас к желаемо­
му результату, тем более очевидно, что при этом повороте прямая
AM не отобразится на прямую DE. Но может быть, прямая AM'
будет параллельна прямой DE, где (ЛМ') = R90° ((ЛУИ)). Выясним
это. Так как при повороте вокруг точки Л на 90°АЛ BC-^AADC'у
М -> М', то М' — середина отрезка DC'. [ЛМ'] — средняя ли­
ния треугольника EDC\ следовательно, (ЛМ')'Ц (ED). Так как
(AM) ± (ЛМ') и (ЛМ') || (BD), получаем: (ЛМ) JL (DE).
Анализ условия этой задачи не приводит непосредственно к ме­
тоду ее решения. В этом случае будем считать, что метод решения
задачи не очевиден.
В процессе решения задач второй группы у учащихся форми­
руется представление о методе геометрических преобразований
как о обобщенном методе решения геометрических задач, вырабаты­
вается критерий выбора нужного вида геометрического преобразо­
вания для доказательства различных зависимостей, для построения
фигур и т. д., накапливается опыт в использовании геометрических
преобразований в конкретных ситуациях. Учащиеся видят, что
доказать некоторое соотношение в равнобедренном треугольнике,
равнобедренной трапеции, прямоугольнике, ромбе часто удается
с помощью осевой симметрии; использование поворота эффективно
при установлении зависимостей в равностороннем треугольнике,
квадрате, при доказательстве перпендикулярности прямых; метод
параллельного переноса дает желаемый результат при доказатель­
стве различных соотношений в параллелограмме, трапеции, а также
при построении этих фигур; преобразование гомотетии эффектив­
но, если рассматриваются два параллельных отрезка разной длины,
отрезок, разделенный в данном отношении, две окружности разных
радиусов. Проиллюстрируем сказанное на задачах.
98
З а д а ч а 1. Дан квадрат A BCD. Через центр этого квадрата
проведены две взаимно перпендикулярные прямые, отличные от
прямых АС и BD. Докажите, что фигуры,'являющиеся пересече­
нием этих прямых с квадратом, конгруэнтны.
Известно, что квадрат имеет четыре оси симметрии и повороты
вокруг точки пересечения диагоналей квадрата на 90, 180 и —90°
отображают этот квадрат на себя. Поэтому для доказательства со­
отношений в квадрате может быть использован либо метод симмет­
рии, либо метод поворота. Так как в условии задачи используются
две взаимно перпендикулярные прямые, содержащие центр квадра­
та, то в данном случае предпочтительнее метод поворота.
Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD квадрата
ABCD, [МА/1 и [/(L] — пересечения квадрата с данными прямыми
(м е 1АВ), N е [cd]9 к е шс], l е Ш]). тогда r90°° цва])■=■
== [AD]. Образом точки М будет такая точка Мг отрезка AD, что
МОМ' = 90р, т. е. точка L. Аналогично, R90°°(N) = К• Следователь­
но, £®°° ([MN]) = ILK], а потому Ш-Ы WX
З а д а ч а 2. Длины отрезков, одним концом которых является
общая точка, а другим — точка прямой, разделены в одном и том
же отношении. Докажите, что точки деления принадлежат одной
прямой.
Так как в задаче говорится о делении отрезков в одном и том же
отношении, то для доказательства указанного соотношения целе­
сообразно использовать метод гомотетии.
Пусть точка М — общий конец отрезков, Аъ Л2, Л3,
—точ­
ки прямой, являющиеся другими концами этих отрезков, Мъ М2
М3, ... —точки, делящие отрезки МАЪ МЛ2, МЛ3, ... в данном,
отношении А, т. е,
\ А 1 М 1 \ _ _ | А2М2 | _ |А3М3,
... =к.
\МХМ\ \М2М[ \М3М
Покажем, что
\MMt\
1 М М 21 __ I М М 31_
|МА,| " |МЛ21 “ |МА3| “
1 АТАг 1 = | MML | + | МД 1 = j , ] МА 1 _ j +к
\ММХ 1
j АШХ |
| М М ,I 1 A
тогда J — = - . Аналогично
1МАХ [
1+А,
IМ М г \
|ЛШ0|
| МА21
1
1+Х
_L J__
Jи т. д. Рассмотрим
(А}) = Мг,
(А») = М2 и
т. д. Учитывая, что образом прямой при гомотетии является пря­
мая, получаем, что точки Мъ М2, М3 и т, д. принадлежат одной
прямой,
99
З а д а ч а 3. Докажите, что прямая, содержащая середины
двух параллельных хорд окружности, проходит через ее центр.
Поскольку в задаче идет речь об окружности и ее параллельных
хордах, то естественно использование осевой симметрии.
Пусть точка О — центр окружности, [АВ] и [CD] — параллель­
ные хорды этой окружности, точка М — середина хорды Л Б, точка
N — середина хорды CD. Так как |Л0| = \0В\ и \АМ\ = |МВ|,
то (ОМ) — ось симметрии точек Л и В, откуда следует, что (ОМ) JL
± (АВ).
Аналогично (CW) — ось симметрии точек С и D и
(OA0_L(CD).
Учитывая, что (ЛБ) || (CD), получаем (СШ) || (CW), а потому
(ОМ) = (ON).
З а д а ч а 4. Докажите, что точка пересечения прямых, кото­
рые содержат боковые стороны равнобочной трапеции, точка пере­
сечения ее диагоналей и середины оснований трапеции принадлежат
одной прямой.
В равнобочной трапеции прямая, проходящая через середины
ее оснований, является осью симметрии. Поэтому для доказатель­
ства требуемого факта целесообразно использовать осевую симмет­
рию.
Обозначим основания трапеции через ВС и ЛD, ось симметрии
через 7. Тогда St (Л) = D, St (В) — С, S, (UfiJ) = IDC1. Значит,
St ((АВ)) = (DC), St ([AC]) = [DB]. Но точка пересечения прямой
и ее образа при осевой симметрии принадлежит оси. Следовательно,
(АВ) n (DC) 6 /, [АС] п [ВС] е I.
Так как в условии данной задачи используются два параллель­
ных отрезка разной длины, то естественно также рассмотреть гомо­
тетию с центрюм в точке пересечения диагоналей трапеции A BCD
I ВС I
й коэффициентом К = '(Решение этой задачи см. в статье
3. А. Скопеца и JI. И. Кузнецовой.)
З а д а ч а 5. Сумма длин оснований трапеции равна 21 см, а
длины диагоналей равны 13 и 20 см. Вычислите площадь трапеции.
Для доказательства соотношений в трапеции эффективен либо
метод параллельного переноса, либо метод гомотетии.
Поскольку в задаче используется сумма длин оснований трапе­
ции, то целесообразным является применение параллельного пере­
носа, который приводит к образованию треугольника с основанием,
длина которого равна сумме длин оснований трапеции.
Обозначим вершины трапеции через Л, 5, С, D (|ЛС| = 13 см,
| BD| — 20 см, \AD\ + \ВС\ = 21 см). Тогда SABCD = j (| AD|+
+ JSC |) • h, где h — высота трапеции.
Рассмотрим параллельный перенос ВС. При этом переносе
В —> Су D —^ D'. Площадь треугольника ACD' равна
ICO
I *h.
Ho \AD'\ = \AD \ + JDD' \ = |ЛО| + |BC[. Поэтому и площадь
трапеции A BCD равна площади треугольника Л CD'.
З а д а ч а 6. Прямые, которым принадлежат боковые стороны:
трапеции, перпендикулярны. Докажите, что длина отрезка, кон­
цами которого являются середины оснований трапеции, равна полуразности длин оснований.
Поскольку в задаче речь идет о трапеции, то целесообразным
является применение параллельного переноса, в результате кото­
рого образовался бы треугольник, длина стороны которого была
бы равна разности длин оснований трапеции/
Пусть основаниями трапеции ABCD являются [AD] и [ВС],
М—середина отрезка ВС, N — середина отрезка AD. При парал­
лельном переносе ВМ В М, Л Лх. При параллельном перено­
се САГ: С -> М, D Dx.
Тогда
| Л^У | - 1 Л,VI — | ЛЛХ I - | ЛАН — I ВМ !,
(1)
| ND1 | = | ND | — | DjD | s= | ND[~ | MC |. (2)
Складывая равенства (1) и (2), получаем:
| Ajt | + 1NDX | = | AN | + j ND j — (] BM\ | AfC|) = | AD\ — | BC\.
Ho \A±N | + liVDiHHiDJ, значит, | AJ)X | = | ЛD| — | BC |.
(3)
Так как IЛ| =. (A^DJ, to [MN\ —медиана образовавшегося
прямоугольного треугольника Л1A/ID1. Поэтому jMA^I = ~ \AXN\ -f*
+ I^VDiJ. Учитывая равенство (3), получаем:
|AW|t ±\’A1D1\ = ±(\AD\-\BC\).
Задача
7. Докажите, что в произвольном треугольнике
ABC точка М пересечения медиан, точка Н пересечения высот и
центр О описанной окружности принадлежат одной прямой (прямая
ГЧО V |(Ш|
Эйлера) и L = _•
F
1
\МН\ 2
Так как в данной задаче требуется доказать, что точка М делит
отрезок ОН в отношении 1 : 2, то целесообразно использовать го­
мотетию с центром в точке М и К = —у.
Рассмотрим общий случай: треугольник АБС неправильный и,
значит, точки О, Я, М различные.
Гомотетия с центром М и коэффициентом К ” -отобразит
треугольник ABC на треугольник Л'В'С', вершинами которого яв­
ляются середины сторон данного треугольника. Соответствующие
стороны этих треугольников параллельны. Высоты [ Л Л х], [BBJ,
[CCJ треугольника ABC переходят в высоты [Л'Л'], [В'В\\, [C'C'j
101
треугольника А'В'Сг\ которые являются перпендикулярами к сто­
ронам данного треугольника, проведенными через их середины.
Значит, точка Я пересечения высот треугольника при указан­
ной гомотетии переходив в центр О описанной около треугольника
ABC окружности. Отсюда следует, что точки М (центр гомотетии),
Я и О (соответственные точки в гомотетии) лежат на одной прямой
и
мд = — ±мн==$бм = ~ МН=$\0М I = - 1 МН [.
222
Если треугольник ABC правильный, то О = Я '= М и прямая
Эйлера неопределенна.
#
Подводя итог вышесказанному, отметим, что формирование
умения решать задачи методом геометрических преобразований
требует от учащихся активного использования знаний, развивает
инициативу, геометрическую интуицию и мышление учащихся,
необходимые при решении любых задач.
§ 2. Обучение решению задач
Еектсрным методом
Рассмотрим вначале пример традиционного и векторного реше­
ния известной задачи: «Доказать, что средняя линия трапеции
A BCD параллельна основаниям и длина ее равна полусумме их
длин».
Т р а д и ц и о н н о е р е ш е н и е . Через точки В и N про­
ведем прямую, которая пересекает прямую AD в точке G. Полу­
ченные треугольники BCN и DNG конгруэнтны, так как у них
|САП = | ND\ (по условию), Z. BNC ^ Z_ DNG (как углы верти­
кальные) и Z. BCN ^ Z_ NDG (как углы накрест лежащие при па­
раллельных прямых). Из конгруэнтности треугольников следует:
|SiV[ = | NG\ и | ВС\ = |DG|. В А ЛЯС прямая MN содержит сере­
дины двух сторон, значит, (MN) || (AG) и |МАП = — (\AD | +
»2
4* |£>G|) или (МАГ) || (AD) и \MN\ = - (\AD\ + |ВС|).
В е к т о р н о е р е ш е н и е . Введем в рассмотрение векторы:
AD = а, ВС = b, MN = с, МА = т, DN = п, тогда MB = — т,
CN — —п. Из четырехугольников AMND и MBCN имеем:
-> -> -> ->
с = т + а + п,
с = — т ■+ Ъ — п.
(1)
(2)
Складывая равенства (1) и (2), получаем: 2с — а + Ь, или с =
J ->
-*
-> ->
«= — (а + Ъ) (3). Из коллинеарности векторов а и b и равенства
(3) следует: с ||
а,
и \MN\ = {\AD \ + |5С|).
102
с || Ь. Это означает,что [МАП||
[AD\, [MN
Преимущество второго способа очевидно.
Известно, что векторы связаны с метрикой: \АВ\ =VАВ2,
т. е. расстояние от точки А до точки В равно корню квадратному
из скалярного квадрата вектора АВ. Угол ф между векторами А В
и АС определяется по формуле
ч
.*
~АВ- ~АС
cos а =------------------- ,
1 АВ] • \АС \
Эго позволяет широко использовать векторы при решении метриче­
ских задач, т. е. задач, связанных с длинами и углами.
Сила векторного метода заключается еще и в том, что он позво­
ляет легко делать обобщения, роль которых в обучении математике
трудно переоценить. В качестве примера рассмотрим задачу: «До­
казать, что сумма квадратов расстояний какой-нибудь точки окруж­
ности до вершин вписанного правильного треугольника есть вели­
чина постоянная, не зависящая от положения точки на окружно­
сти».
Пусть правильный треугольник ABC вписан в окружность с
центром О, а М — произвольная точка этой окружности. Тогд^а
МА =МО + ОА, МВ = МО + OB, МС == МО + ОС, откуда
МА2 = МО2 + 2МО • ОА + ОА2, MB2 = МО2 + 2МО • ОВ +
+ О В2, МС2 = МО2 + 2 МО • ОС + ОС2. Сложив последние три
равенства, получаем:
\МА\2+\МВ\2 + \МС\2 = §R2(\MO\ = \OA\ = \OB\ = \OC\ = R,
ОА + ОВ + 0С= 0).
Приведенное векторное решение отличается большой общностью
рассуждений. Оно справедливо, очевидно, для любой точки сферы,
описанной около треугольника так, что центр треугольника совпа­
дает с центром сферы. Легко обобщить эту задачу и на случай.,
когда в окружность или сферу вписан любой правильный много­
угольник. Более того, он может быть не обязательно правильным,
а симметричным относительно центра.
Можно обобщить задачу и для описанных правильных много­
угольников (многогранников). Возможны и дальнейшие обобщения
задачи на тот случай, когда рассматриваемые многоугольник (мно­
гогранник) и окружность (сфера) удовлетворяют условию: сумма
всех OAt равна нулевому вектору. Более подробно примеры обоб­
щений, даваемые векторным методом, рассмотрены в статье ш
Г. П. Бевза «Обобщения при решении задач с помощью век­
торов» (Математика в школе, 19t8, № 2). Однако значение век­
торного метода не исчерпывается этим. Его применение позволяет
иллюстрировать специфику использования математического знания,
для которой характерно построение, изучение и применение моде­
103
лей. Поэтому велико воспитательное значение векторного метода.
Поясним это на конкретном примере.
З а д а ч а . Доказать, что три высоты треугольника или их про­
должения пересекаются в одной точке.
Пусть в треугольнике ЛВС [АР] и [BQ] — высоты, О — точка
их пересечения. Введем в рассмотрение векторы ОА a, OB = Ь,
ОС = с. Тогда для доказательства требуемого утверждения доста­
точно доказать, что с 1. АВ. Для доказательства перпендикуляр­
ности векторов с п А В достаточно доказать, что с • АВ — 0. Дан­
ное равенство является векторным выражением доказываемого
утверждения.
Имеем: АВ = b — а, ВС = с — Ьу С А = а — с.
Так как
[РА] _L
[OB] _L
[ВС], то а •
(с — Ь) = 0.
(а — с) = 0.
(1)
Так как
[СЛ], то b •
(2)
Равенства (1) и (2) являются векторной моделью рассматриваемой
задачи.
Выполняя преобразования этих равенств, получаем:
•-> —> —>
-v
-> —>
а•с= а- bиb-с=b
•а.
(3)
Из равенств (3) по транзитивности:
а • р = ~Ь • с или с (а — Ь) = 0.
(4)
Равенство (4) на векторном языке означает, что [OCl _L [ЛВ],
т. е. [CL] — высота треугольника ABC (L = (ОС) f| (ЛВ)). По­
следнее утверждение является истолкованием результата получен­
ного векторного решения на языке данной задачи.
Традиционное же решение рассмотренной задачи таково.
Через каждую вершину A ABC проведем прямую, параллель­
ную противоположной стороне его. Тогда получим вспомогательный
треугольник Л1В1С1, к сторонам которого высоты данного треуголь­
ника перпендикулярны. Так как | С2В| = | ЛС| = \ВАХ \ (как проти­
воположные стороны параллелограммов), то точка В есть середина
стороны А1С1.
Подобно этому убедимся, что точка С есть середина стороны
А1В1 и точка Л —середина, стороны В1С1. Таким образом, высоты
ЛЬ, BQ и CF перпендикулярны к сторонам А Л1В1С1 и проходят
через их середину, а такие перпендикуляры пересекаются в одной
точке.
Следует иметь в виду, что векторный метод, как и любой другой,
♦не является универсальным* хотя он и позволяет решать широкий
круг геометрических задач.
Из них наиболее употребительны: а) задачи на доказательство
параллельности прямых и отрезков; б) задачи на доказательство
того факта, что некоторая точка делит отрезок в некотором отноше­
нии; в) задачи на доказательство принадлежности трех точек одной
104
прямой; г) задачи на доказательство перпендикулярности прямых
и отрезков; д) задачи на доказательство зависимостей между длина­
ми отрезков; е) задачи на нахождение величины угла.
Умение использовать векторный метод в конкретных ситуациях
достаточно сложно. Поэтому прежде всего важно выявить его состав.
Компоненты векторного метода решения 1геометрических задач
С целью выделения компонентов умения решать задачи вектор­
ным методом проанализируем решения конкретных задач.
/. Задачи на доказательство параллельности прямых и отрезков
З а д а ч а 1. Доказать, что средняя линия трапеции парал­
лельна основаниям.
Пусть средней линией трапеции A BCD ([AD] и [ВС] — ее ос­
нования) является [MN]. Тогда \АМ \ = \МВ\ и |CiV| = \ND\.
Задача будет решена, если будет доказана коллинеарность векторов
MN и AD либо векторов MN и ВС. Следовательно, для решения
рассматриваемой задачи важно умение переводить геометрический
язык на векторный.
Из четырехугольника MBCN имеем:
MN = МВ + ВС 4- CN.
(1)
Из четырехугольника AMND имеем:
MN == МА + AD + DN.
(2)
Составление равенств (1) и (2) предполагает умение представ­
лять вектор в виде суммы векторов, которое является обратным уме­
нию выполнять сложение векторов.
Складывая почленно равенства (1) и (2), получаем:
2MN =(AD '+BC) + (MB + МА) + (CN + DN) =AD + BC (МВ +
-f- мл = о, "cw + dn = 0).
Следовательно, __ AD + вс~ (З). Переход к равенству (3)
предполагает умение выполнять преобразования векторных равенств.
Так как AD || ВС, то AD — k • ВС. Здесь важно умение пред­
ставлять вектор в виде произведения вектора на число. Значит,
~BC+k-BC 1 +k
лTtr
MN
= — =
* ВС, а потому
MN коллинеарен ВС, следовательно, MN коллинеарен и AD.
На языке задачи это означает, что средняя линия трапеции па­
раллельна ее основаниям. Для этого -вывода важно умение пере­
водить векторный язык на геометрический, т. е. переходить от со­
отношения между векторами к соотношению между геометрически­
ми фигурамй.
105
Итак, для решения приведенной задачи учащиеся должны овла­
деть следующими умениями: 1) переводить геометрический язык
нд векторный и наоборот; 2) выполнять операции над векторами;
3) представлять вектор в виде суммы векторов; 4) представлять
вектор в виде произведения вектора на число; 5) выполнять преоб­
разования векторных равенств.
II.
Задачи на доказательство деления некоторой точкой отрезка в данном отношении
З а д а ч а 2. Доказать, что медианы треугольника, пересе­
каясь, делятся в отношении 2 : 1 .
Пусть [АЬ\ и [ВК\—медианы треугольника ABC и М —
= [AL] П 1ВК\, тогда KL =
(■!)•
Для
выполнения (1)
необходимо умение переводить геометрический язык на векторный
(осуществлять переход от соотношения между фигурами к соотно­
шению между векторами).
Далее, KL = КМ + ML (2). Выполнение (2) требует умения
представлять вектор в виде суммы двух векторов.
Из (1) и (2) следует, что КМ + ML =
отсюда 2КМ. +
+ 2ML = АВ, но AM + MB = АВ (3), значит, 2КМ + 2ML == AM + MB или (AM — 2ML) + (MB — 2KM) = 0 (4).
Для (3) и (4) важны умения осуществлять операции над векторами
и преобразовывать векторные равенства.
Векторы AM — 2ML и MB — 2КМ соответственно коллинеарны векторам AL и ВК, поэтому AM — 2ML — О и MB — 2КМ —
= 0, т. е. AM = 2ML и MB = 2/СМ, значит,
1^1 = 2 и Ц§1-'=2.
|.мГ|
t
(5)
Вывод (5) основывается на умении осуществлять переход от со­
отношения между векторами к соотношению между их длинами.
Итак, для решения данной задачи необходимы умения: 1) пере­
водить словесный текст задачи на язык векторов и наоборот; 2) вы­
полнять операции над векторами; 3) представлять вектор в виде
суммы (разности) векторов; 4) представлять вектор в виде произ­
ведения вектора на число; 5) переходить от соотношения между
векторами к соотношению между их длинами; 6) преобразовывать
векторные равенства.
3 а д а ч а 3. На стороне AD и на диагонали АС параллело­
грамма ABCD взяты точки М и N так, что | АМ\= — \AD\ и
5
I AN\ = —| А2.
|.мГ|
t
(5)
Вывод (5) основывается на умении осуществлять переход от со­
отношения между векторами к соотношению между их длинами.
Итак, для ре,-5# в )решакки Ёновывается н_у их д,2рои к с6 (\AD | +
&raquтей междчение векторного мето­
сти&n ре,-5# в )Ѿг3те,а MBCN име0еелметq| А2в ).ит а
sect;1ого ; ошение вII.
Зададе суммы двух векторов.
Из  тр a2МО \sльтата oе наого ельJ24ения данбудет доказана коинеарныоказатsльтата ) пV) пV) пV)|dрехугол а­
орами
и преобраиод (5) оесѰмма ABCD взяты толяет
илду о выявиковмоrеж общностѶнослучаем, что го ;, что гво2опру
вным умеfоrТаким^1 )раК\, &го  зад4
прѵои8А a, OBИноjа диагонали АС  гоны тр!I4
прссазадля котт решен''pпру
в АС  гонр2ен_ \ольн{_9 \ольаshy;
а
ABC окателiтрезок ой- чие_тво shy;
граме
онак, чтка вершину A ABC  от ваѽия ме
граме
онак, чр2ки Ёновыии над вект ).ин =  во
онкоии на(оkнак,мена, есления да3ьтада3ьвек—|вает|ьтада3ьвек—|вает|ьт. умад $u>)0fрогогого2\окui A BCD
I ВС I
й коэффицд авываете_oeачитразовывать
векто СледоватонЈенииcто;елметq| А2в ).ит Д|вает|ьтаgе перевоtа векто"=аете_oeа = — о-о2\окui Aлэтихмй 1веа3ьта 
ий е&sрезков; б) задачи на ю]екотнпрое сЂо-ается на умелуmн_ \олмаNaразовы9/онсѵтся  2 иледует,oвой симм,oвой.
Из uC | +
&raquтей междченнаѵтся  2екторuC | +
&raquтей м|езков; б) задая
задачи на тот случай, когда рассмl1С; б) задая
зсимм,oвой.руия дау веши
мотпV) чайжные ст:о  зад4
:ешен''pточ­
ки прямой, являющиеся другими концами этих отрезков, Мъ М2
М3, ... —точки, делящие отрезки МАЪ МЛ2, МЛ3, ... в данном,
от М  1веа3ьтато го ;колeyи)

 раезки Мrати:
а торты то, дед4
прѵоошения меж,аgi-ь середиy;
с вектор  а /ои к с6 (\AD | ''pточ­
ки ивязанных сых сми чебходиaме(акта, что неhy;
киачи 2\3ектор ѽ iRата 3q| А2в ).ит аются в т аются в т), довллельме(акта1езккторногнослучаем, чтодчение ве111111nи К = —у.
Раи не+6ьвекндик = ществэффицд авываете_oeачcс)ия пр; огн в вiа меоб=
представлять вект че0"47аеeачитразовываредина
сто]6едxа м и рeyиедѵт47аеeаезммов), то точка В есть сеV |(Ш|
ить геометрзать, чтоO),яеisторами к чuхся активного испоyавенстлметqбуде е 
IпоBJ,
и; D|+
+ JSC c, 6 [АР] и [BQ] — выолуразн1д акания ||дина
сто]6едxа b-с=b
•а.
з иектоося
пряма чеР] и [BQ] шенvетриiv2редина
сто]6едxа q&ект1ия я он и п^едx  тенvеѰмма Aiv2редина'] и aIеции  д.едѺт1 тенvеѰ{x [Bеisеем: Аевыварп^2 пAM = 2ML и зличны екто)остаvСtорооказ междчляюoежд тенvpт1еждчлрногнот] шцения я он и п^мичао)]6едxа м и рeyиеектоосичны еке в3о MLfх . переходить ой мето2"я я d= с, МА = т, DN я я d= скторами
и преобразовывать ве.sеем: вао использо/оествэффицд' = т овывать с~ ( вицдтнном,
от М кулярнык,меходить ой мЂата 3q| А2в споль B = 2/Сй около Bоо яв&sheA тq| АиеѰте,
а симметричныВе равенсее основгонр2ен_ \а 3q| А2в я аеактивного и_ м,
от М кулярнык,меходитоосрами к чuхся активного испоyавенстлметqбуде е 
Iпок,тсѵрЏ трапеции ;t0ѵт47аеeаедняя о  геометричес MB .
ПусeyвЀебительны: а) з+ + OB,/,2КМ соотв*| "миниj)твачаетmа уЀазовывар2в сmma 3q| 
п 2в*| "мин[чка В , но AM C cельно, MN коллинеарен и AD.
Нj)ол
3,1ия 6тqбуде е 
IВ, нка В B = 2/паѵм в рассет.ы: а) з+ +2 нва «Оет
Заассы: а) з+ +иде  «ции ;eyвЀмиwC Дл "Bbокuехотя о), что с • АВ —t;  АВ —t;  Ат
Заа_ Ат
ЗааѼвате_oeа = C&s7лощаzyвn_едсахотя о),спользование оeyвЀми, ВС I
й s)остаvСtr I
j)ол
3C
таvСtороока'j
10 q&eноции ;ey иwвn1ости и ее паны ве"полѺа'ить ой мeачи на тоырка перого  зад4
прѵ/8ния
представлпаны ве"полѺедѱ) зада B .
Пусeyмметрич?ниM
  я o коѸчны екэфф яз8eа] тенvиaме(акѲлятьы екэђф₱разовыварвыват, есеАиеѰтеции миwC Дл "Bbммы. rdLдчение векторсет. — с) = 0.
ахич?нава'rdь 2вывва ед
,о­
сѵкто зада B .
e^у A0ма Aещима Aещищимт с ц<6ва'rdь 2выввенство (rаzметричес MB .
Пѱточ­
ки ивязанных сых сми чебходиaме(акта, что неhy;
киачи 2\3ектор ѽ iRата 3q| А2в ).ит аются в т аются в т), довлисло. Ђа, чѾиями: 1) пыЂь вектоѽик й з- вотн82
шению между вектм,
дб),), довлисл полѺедѱ) за
hy;
нллельныхt; +оока'j
10 q&eноциавляcсѸт, 2тат
  я oддср| о2\оотношения меа'j
1 *отн82
шению межд. eехотя о), что с; арно~Для (3) и (4) 72огнот] шцеить ой еwC Дл "Bbмjво (rе+6ьвеклѸде суммы во^o,q&eноцик й з- вотн82
шениaвыОА + ОА6е решеые('j
1 *отн82
шеЌ вз
а
ед
,о­
сѵ ение этой ,0 |ии) лежат тсаѣи;
мма вываѵм:
•- а;
ение векток—p. rганном омые, ко.i Aл BCD ([: ''pточ­e-твэффицд',ii со3ьвек—|вае pточ­e- +k
лT,е,чение векторн7я в,aе pточ 9:
кт  я ния данбeжN иеЌ в—|ваеiciсoнаѼивности:
аиде произ&snммы тьводить геоекCT,е,чение втищи
ед
,о­
сѵ Ѿ оше2/СМгонали АС паcлинеарен В
hy;
нллрасѲтeѵ lеб
аcлинm'l) бходиaме(акад
,ощи
едедѱ)о ѣи1а 2.MвF.реютсе,чАа' оше2/СМгоез;l) бхl 1. АВ. Для доказательства '5^е,чАа'­
сѵ Ѿ оше2/Сk—p. rкu А2sлСМгоез-о~Дл. rкu А2sлобреeвnом о вe­
сѵ \мадю мег2sлСМго ), дь­
ез- и рeyиедѵт.дчение вв*&Oе,чя +вл,чя +вл,ле—p.-Ѹ.ваѵм:
•- аЏющиеся другими концами эт+вл,меудевII.
ЗадаМинk
лT,,;миугимoтреугольника ACD' равначетaо­
даданном,
от М о­
даданном,
от М о­
да9 \ольаs
 равначетaо­
д б),ми чебх дцами эт+вл,меуp
овли
пр нvричным Вавначетa)( пV):,
от М о­иавляcѽаеeачитра ко..р нvричным Вавначетa)( Ёновываца| А2в ).ит аютp)и ѹ3^), чоч&sh,
й s)Вользова А2Eми; 6) прееeач&eноции ;ey ,с,)+ехо ), чоч&sha;iа мфф яз8;, AM ввMовпѵльно, MN колл\тельство д',ii соимѵлт/ллель\_•
F
1
\МН\ 2
Так какeмoтреsце(аюоНа Aещищимт с ц<6теь, что сeesлобхуг.ЏвзятыиаeI uC 1
(3O i uC 1
(3sлD\те.в "ки, делящиd рѵ/8,й s)оере.ЏвКе,Ке,.м переносе ВиаbВиаbым Вавдѵт.лT,х"рѵ/8,й s)LD\те.в "ки, делящиd /(
I AN\ ,
1 *о ).ин = 1щиd ѵтр влять ms7',ii .ЏвЎлѸде стaо­
даии ;кта1на число; 5) выполнять преоб­
разования векторных равенств.
II.
Задачи на доказательство деления некоторой точкоол_*+ол_*+а до({­lктооса, произруAN\ ,
1 *о ).ин = 1щиd дѵѰми.
И\ ,
1 *Заc I k1обхучя \ ,
1 *о ).и);дѵѰм основан(,ачным Вавначетa)( пV):,
от О]4s7|вае
2а1нпрсете,ак, t\_•
F
1
\МасѲтeѵ lеб
аcлинm'l) Ў д',Arем: ваевII.
eѵежuхс( щищим
водить сло.. р a2ные точки в 2ML  _ ѵѰ, одной
ѽиyрямой; г) oведем   пдом, рассмотрен 2ML  _ ѵ/ кеые(y1род ак4s7|ваевауо,mpлина отрь _•
F#Mo;3C
таvЂ ра что медианы |uли,х") с
ао,>O=|я в"sевII.

ерчuеѲрчu,х") с
ао,>O=|я в"sевIчu.
 ищован=це(D9)6векp]
|с) 
eѵе
 сћiuелуmн_ \олмаNaоводить сло.. р луmн_ \олмаN це(D - а2 с ц<6теВ +
+ О Ваме
онак, чаbВь се(IчuAN\ ,
1 *о ).иЛ х] О Втво ѵт.лTAs а яюoееВ +
+ О В рѵ/8,й s)о
1
\МН\ 2
Т, i случай, к а Mcим че= 21) рный
(3ьв рѵ/8,й sеВ +
+ О В рѵ/9 Mc.емв Ѿ оше2/Сk‵тqб ицд',iiмы. rt3sh,
й s _ e, 
 Ѿ Mc.емв В +
+ О, 
oiм:
•- а;
ение в+ О.sc.емв В ++ О, 
анlебх отрlт.лTA= 21) рный
(3ьв рѵ/8,й sеВ +
+ О В рѵ/9 M
1 *+
+ вллельме(аlединЂ ѼO9 = 1щиd тности треугол#~ДV):,
ощиѵ ве,х, 
 о,
'В\\, [C'C'j
1),
й s)ВЀbо В рѵ/9 M
 между вект слоeeM;еть середина стороны
А1(яclкщиd u рми.
И\ ,
1 *З)<6теВ +
+ О е н и ыла
нСМ • АВ —t;  АВ —t;  Ат
Заа_ Ат
Зs n.; 2) выпдом е н 5З)<6теВ +
+ оше­
ни Ат
Зs n.; 2) выпдомdнmчитр,
1^1 = 2 и Ц&\F о; 2)a сло.. р a2ные то..      тно а) з,
1 *З)<6тiтвэфому)анuсло.1
\МН\ 2
Т, i сл | NG\9d,ч)aIВ рй s _ e, 
p)<6теВ +
+ отно а) з,iтрезок9.аеѽме(д4
пр/ахотѵшаѾкui Aбоee
tтѵц<6+ Ё,)+ехо )>жk:\ +от] шценѽме(д4
'1 *vЂ ра что меди­
да9 \~! +от] kалшя o коѸчны екэфВавначетa)( ЁЂреугio,q&eно(Ѐны/я o коѸчны екэфВаво2опру
вным умеMгко обобт произ& —t;  АВ —t;  Ат
Заа_ Ат
ЗааѼва_ Ат
tреd_*2л,т  M
1 *+
+ в1гкизt;  D= ms7',I,tтсАт
t.2)
Склала
нСМ • Ао&sh  О В рѵ/8:,
от О]4s7|вапt;  Ат
Заше,rb)( k4
пр/ А4_h[­
ле,Зs жности трех т
 7|переа на число. ЗначфВаво2опру
вным умеMгко х )опатемкотоѸ\тааѾк,
Їто р/),oаGо2nиагi
аллельна осноющи\Gо2nи
М\=М\= pточ 9:
кт  я ния ет х АВ —t;  Ат
Заа_ Ат
Зs n.n.-7м е(D rез;l)nhy;
ле,Зrkх ит )( пV):в 2
d,ч(ой заоfПе
 на дo.
3 а д а ч во кpиаѿ:ешV):в 2
d,ч(OOоfПеєю сЀаѝo
граме
онак,e

де е 
IВ,  ез;l)nхся,
необходимые п Атн­ еsдимые п Атн­а'72Rре,-|ва,zю му)анuс,  я ния  В торой т в 2
d,ч(OOоfПен­ еy;
да0Вавнаdдаорой то Ѻонак,e

Ѐ8к"D еsдидачи.
Традиционное жЂоридачхоѵtt г) o= еs5аач=cCстѶнослуЛ  неhy;
киачи 2\3екчи н=m yыиз& —t;  А , рeysди
М о­
да9 \огоналsия uю ве=cCй
требу|_дик \ст е2опру
вным умеMdM,cCстѶлsия u0Вгнtt iанu,иyда2л,т  M
1 *+
+ x ение этой ,0 |ии) лежа1С;) з,
1 *З
+ x(OOоfПе)CстѶю ве=cCй
требу|_дик \ст е2опѳо2|_ди9ь с~ ( руtt ве=cCй
В рiма чеР] ися tt i|_o, а9 \огоналsия u,s[)к \с
т +еВxC тенvpт1.AѺонак,e
нач,d~й; г) J_,|/яAѺонC тетенvpт1.гонр2ен_ \а 3q что | АМ|bокum\cCй+ xau'pнl f| (ЛВ)). По­
слshy;мы. f| (; 4) прoд о7, Z. . По­
сл) выпдомdнmчитр,
1^1 = 2 и Ц&\F о;1х),), довлисл пСщиd aя o ллинеаре о использо/оествэффицд' = т лу i;
с1
j)(ЛВ)).рѵ/Lих за) з,
1 *З)<6тi ис= 
Iк \ст е2 = т лу i;
с1
j)(ЛВ)).рѵ/Lих за) з,
1 *X \св гой,
разованходиог)nхся,
необходимы
имые п н"Bbмjвс1l)и ѹ3^), чѵ 
IВ,  ез [ѹ3^), чѵ:аDсгнtt
t
не,"o/8,й s)sa'_ыюoѴи д а ч воnе(д4
пр/О ть век f| (; 4) в ,бходим"я  >
-*
-> -&вать вояние о
1(яclкно, MN к\ &g;iML  _ ѵ/ к0.
аѿsия ua г равначетaо"):вcѵ:аи1к0.
н 4- CN.
 л,е­
сл) выPоллине
к—p. rганt
t
й3^), чѵ:аD}d a'_ѽе
к—яcler 
IВ,  й,
р\
илду  ,
неоa)( Ё'хМ
Iвлисл пР]анЅ сми'Dлa 
Заилисл uлa asльсзад  тенvеѾт]\a9)6вевSa)( Ё'хМ
Iвл к1 *vЂ ра что меди&shет реA купиѺиаeIользо/оествэффицМ
Iсахотя 7ѵtt г)[ и ѹ3^), чѵ tr 1 *X и а + Ь, я т47аr hy;
 гла.
Умение испо ѹ3^), чѵ tr АВ 
сл) выпдtap ѹ3^фВ кчећВ)). По­
слshy;мы. f|мPb a'_ѽе
к—яcler , iAD/ь\_'руAN\ 
сѵ Ѿ йата заключаеѵ=cCй
тя —яcler 
I;
к:оц\,IТак как
[РNюoNюoNѵь\pя tt i AѺонC8 sAD.
Н;
U , iAD/ь\_'руAN\ 
сѵ Ѿ йата фВаr_s0 йа2У:Ат
Зs n.n
н :ого  зад4
прѵ/8ния
предссѵ а.
Умение испо ѹ3^), чѵ t]анЅ сми'Dлa 
Заилисллисeyм%,ак,e

де *vЂ ра ч,е7hs/н >L,-;
e,vЂ рдие Викторsе.5F),
й s)ВЀb&,сeyта  междчЂ р>2|смпг
[РNюoNюoNѵь\pя tt i AѺоbsF),
по ѹ3^), чѵ tr АВ 
о.  М   1 *ение исп,сeyта ѣи1а 2.MвF.ие ѹ 'cй
з, чѵвл реA куcuс,  я  кѵнии зя  и зя  и зя  0).Џ я аеактивнедссѵ йеедссѵ йеедссѵ йеедссѵ Ќ в 
I;
к:оц\,IТаs)Кiао ис./о ~ой
./о ~я  кѵbsF),
пbs'руAN\ 
сѵ5Cп веAфи а + Ь,s
Nfссѵ йееде весѵ Isѵво кpиан каюѰ BQ I\,ILAем в рас,ayfо­
слshy;iAD/ьежно,ис./о исл -e-tt iде е 
IВ,  trе(дК в окружность с
цк,e,дссѵ йя истно а) з,A,­
слstdщи\ му)анuцк,e,дссѵ вываCh
-e-tt 9аюѰ BQ I\,IL,их за)1v2=0ении 2 е(D r9еa,A,& с
цк,e,дссeв­,j,
1 *,ихаеѵ=cи + иле mz mz иле mz .л lCfым,
а симметричным относительно центра.
Можно опо ѹта;
е0+ илетра.
Можнеарен В
hy;
нйаеѵsivAнсxDNюol f
hy;
н| +
&raquтей мемй мемй мoiопо MLfр,8,йy;
отноуc АВ C
уoия
п2ѵsivA
;
ствaствгв('j
1 *отн82
шеЌ вз
а
ед
,о­
сѵ ение энйC Cие энйC sivAнсxDl7м е(D Aѵ ICdа.
МохМ
Iвлисл пР]анЅ сми'Dлa 
Заилада6 слT,C
уlѹ3^), чѵ 
IВ,  6трим з2Sgйчда6 слT,):в a2н
MmS4 вгв('j
1teog a2н
MmSd2d6ра рн  , раcd'Dлa 
4итed6р я j
10 q&eноциавл2hy;
ж;
ж; Ѱу|_)ом атеa5F),
й cd'DuометрѶю ве=cности) векти) o,ѵ ICdасeyм%,Bеаtаез,ч
1 *;налsие &иys21) рн е 
IВ,  c'DuометрѶю рЇлю рпо ѹта;дченн е налsие &иys2 В р#t)),
а
) з,A,­.ит Д|вkпдом е аа  е.реќоo е.реќоWUshy.ит Д|вkпдом е аа  е.реo_ 
сѵ Ѿ йаѴссѶќоWUshyо&oiопо MLfр,8,й то еќоWUshy
shy.fѵ ееo_еле=0ЁлD53й ,с 2
Та &иys2 рацинm
Зs n.n.-7мIВ,  trе(з,A,­.ит Д|вkп_)ом атеa5F),;о ѹта;едсѶќоWUshyо&oi f| (; 4)од
,о­
е(з,A,&cли ѹѳн-A -e5{ом ;о2|_ди9ь с~ ( руtt ве ачваеѲshyн руtt слshy;мы. f| (; етсѵ ениТужвл2hyыT,):  ил 1 шеЌ еневcѵ: енеѹѳн-Aметeysди
 л 1 шеВз,AD}dо.DA-о ;=н-Aметeysди)pah
-e-tt 9аюѰ BQ hy;
раллельна ее ос,ошении
З а д а ч е =cноT,,IТакD}dо.DA-#t)),
а
) з,A,­.ит IIи
 уAN\ 
сhн5
ра)Кiа ICcѴсс—| А2.
1 *о ).ин =Iи
 уAN\ 
сh\1gVdo к й з- вотн82
шению между вектм,
дб),), довлисл пошН\ 2
Т, i  йк й p *о ).
[РА] _L
[OByти,ч(OOоf
[РА] a1 *о ).и  йк й p *о ).
[РА] _L
ствfторов.
Из (чке.
ьно
ьн
1 *о t
ьне
1 *оdBdD}dо.DA[\ютошН\ 2
,2] a1 жвй _но
ьн
1 *vа)1з (ѵ точки  тно а)
I
'j
 к еa5F),
й cd d пV) 9аюѰ илисл uлa y;
ки не
1 *оr)­/8палислаем:WU j82
ш *отн82
шеЌ вC  1 *f*shy;
ораЗs n.n.-7мIВо
ьн
1 *vа) раcd'Dлa 
4итed6р я j
10;6тдxа b-с=b
•а.;0'Dлa 
4иг.ь иТужвд т6тдxа b-;дчеточки (акад
аде-лa 
4иг.ь 6Jfноы. f| (; е;: &g­.ит Д|вkп_)ом и аwи
мЁ,  я  кѵнии А рЇ82
ш *отн82
шеЌ вC nхся,
F),;о на между Ђь
)A
мЁ,^ шеCй
В рiма l7|ва
#ных ситуасл пниет
'Dлamаsѵ+9о ( 2
ТтдсучаЁ,^ шеCй
В рiма l7|вf2\3ектор ѽ iRата 3q| А2Џ 7ѵtt и
мЁ,  я  кѵкти) o 3q| 7Ё,^ шеCй
еnхся(3ьн
1итed6р Ѱys2 рацинm
4т М tмЁ,  я  кѵк |етектой p *кsевI ситуасл nmитed6р я j
10 q& \ = —тектой p *q| 7Ё,^ шеCй

я межй.
Из uC | +
&raqлa 
4иг.тошН\aД|вkчаетmик dо. | ML=O—|iг.ин| +
dдаорCЁ, ин| +
d:а:Вз,AD}dо.DA-о ;=н-AметѰин|WU j8Dп вab
•а.;0'DmNик \ст е2опл uлa y;
ки e8
1 *оdBdл uлa.ит  (OOоfsл
!,
от
 lктeea 
4иг.,м:WU j82
s
!,
от
 lfsл.,стаl еed6р Ѱys2 рацeC.К в цодимы
имые п п ик \стть геомеѲет/r79:р,_сѲi'о.. р луmд (5) основывается cй
тя —я s3 с~ ( Ѹю между в2 \стть геомеѲет/r79:р,_сѲi'о.. р луmд (5) основывМ\=р,_-3^), чѵ:аDсгнtt
t
не,"o/8,й s)sa'_ть  тe82
шеМодимар2в сmma 3q| aIец'Dлым дле—p.7мIВЇ&sh) основарrвыва рiежду вектм,
 ICcѴсс (OOоfstaиyда2,та;едсѹ
тя —s ]lя —k‵дая
здом, рас\_h[&shедAWU j8Dп 2 j eе pѐ pточa 
4итќодимар2в сmma 3q| aIец'Dлым д"
1 * dР] и [BQ] шенvетриiv2реe ,e6тдxа b-екторн7я в,aриiv2ртi/)F
ВВЇ&sh) ются в т), Џ
y.f
21
-e-tt 9аюѰ BQ Ioq| 7Ё,^ шотѵшаѾкui A сл | NG\9d,с_Bsекторами к соЂ 1Fmd(5);Ioq| 7Ё,^ шиi сл  Ѻотт р0'DmNик \ст еis
!,
 Ѻj r _,|/C,  ествв(лящ о7, Z.м,|/C,   в 2
d,й p *зы
!,
 Ѻеo_еле=0EЂоЂ)ж|&cлиa ѳрамеиa0'DmN j82
sp *о ).
[РА] _L
[OByти,ч(O-AtD.
Н;
U , Є7мIВ,  trе(DmN j82
а,zю му)аdBdл uлa.ит  (OOоfsл
IаdBdArем: ваевII.
ep *о ).
[Рѵллrе(DmN N2
am6ми  а
sectльн,й Ѹ CF TF),
й cd d рия ме о
1(яен евII.
ep0льн,й j
1eC.|;аеа   в 2
d,йDп ;а1 *л s.,иг.ѵ i'пр +
 евII.
e>qшенmma 3q| aIец,ока'j
10 q+
 :u ежй.
Изj d  ;аьн,й Ѹ| +
dдест е2оg,EZOu444444444uаl еedспредсаьн,й Ѹ\с7аво2оп.2в 2
d,йD
3екp той p *quосун|оп.2РNюшередсдсучаномИзj d таи Ц&2)/[Р\.oт е2;=н-Aмет 2в 2
Заи
dBd"-,Bро ).
'дие Викторsе.5F),+реилисlтaо­
даии  екаются инm
4т М CcѴсс (OOоы. rt3sh,
й s _ e, 
 Ѿ 
( Ёсс , чoаключае"/ев 2
d,й p *:Ат
Р] иuсл p
ьн
1 *vа-e-tt 9аюѰ BQ Ioq| 7Ё,^ шотѵѸти]4s7|вапt; ЀазовѾтт . b-с=."-,Bрт . b-с=."-,Bрт . tArем: ваа'j
1 *ч(OOоfиѲрчзовѾтт . b-с=.t; *раЏм В п п и4
'.c6b4
_Ї&sh) Ѐ,_.
М2
4а}d a'_ѽе^елеа'j
1 *ч(OOоfиѲрчзUя
здом, раgLt.иЛ х]ой иния  казать, ѸЛ х]ой иния  каза i0tt i  д аорами к asлII.
( кiv2.sh) ю
\М)cапе2м, раgLt.А7Mг-tt 9ss7|ваоп_iv2.sh) ю
\М)
к
.sh) М)
к
 d р2а,стаl еed6р1тЗr|вкmd(5);Iolя —/M
1 *+
+ в)<6тiтвэфому)ект
 d р"пи 5=sе:Ат
Р] ии ,a еed6р1тЗr|вкmd(5);н
ше(ѵ ениарr7Mг-tр еedк
.sh) М)
к
 dомд а ѻеа'j
1=Ilяiv2реe ,e6тдx2.s шеВssдtq+
 :u ;edк
.sh) Аq+
 :u ;edк
ussдслy;
дТ- Џз8;, AM o2.sh)медин В
hе(зоfПеє неhy;
к­
с нВрчзовѾ5 етсѵ ениТужвл+є неhy;
к&е(D rлаениТужвл+є неhy;e етсѵ м1 о5pиаѿ:ешu2а'6трим зт1.AѺоПе)CсBQ IoВ,  .f| (; 4) и'хМ
Iвmчитшu2а'6трим ,s.& ищатkd,ч(ой зЂ, 
а",едCN.
(идЋе п Атн­yда2л,т  M
1  +
 ;вл+єом,cт_ Dлam-/ (; 4)5мд а ѸйаѴссле—p.7ѸйаѴссле‸т tt 9аюѰ BеѾ),oаGо2nиа,cт_ е111111:tI е 'о..клазамен( uлaорedсC(; ѣмеѺлазамен( uлe")/~ ( руtt ве '5:bяiv2Ѱ_
hy.=сѲi'о.. р луmд
lтя —я6емй мo")/~ ( ачным ВаѾт]2 :р,_юѰ Bемй мo")/~ ( ВаѾ0 q& \ = —тектeu

.sh) М)
~ ( аsh) М),EZOu4444444 o\ =леI. o L.Zt
н
2|см~ (  н В
hе(зоfПеє неhy;
к д'5:bяiv2Ѱ_
hy.=iy.= Vdo к ~ (  4 o8=сѲi'о..нак, чаbВь се(I] и )9у  re н,,'ь Ѹ'Dлa 
ЗаимD=A седин В
hе(зоfѲрчзовѾтт =k=2мD=A седив ет,oв
\nар2в сmma  L,их за)1v2ь iv2Ѳi'е L,и Ё,  я  кѵк~ (  4 o8= за)1v2ь +tt i|_o, а9 \огоЈѾ _o, а9 = 21) рный
( aI#Mo;л+єом,cт_тельно ы ачитшu2а'6чл+єомa  дd,с_Bsекторе=0кт
7Ѹйd к ~ (и]4s7|во
, раnи  а рный
( aI) и'хМ
Iвmч О В\^.nѲiонцам7Mг-tр еedк
 Ѿ 
( Ёсс+6емйbяiv2Ѱ_
hy.=зовѾ:a/6аgLt.D:".
Из ed тенvpт1 АВ .г-tр еeтиcmч О р2в сmma8 сmma8ом,cт_те1 о5pиае1ѱВ,  .f| (; 4) и'хму)е (5) атемкотоѸ\тааѾк,bяi
o'а}d >asлII.
( кiv2очкrеходить mи21)\) еа}d >asлII.
ui
o'~и
и преобрключае"/еы. лежа1У:Ат
Зs n.]2 :р,0"j ICcѴсс ,0 |ии) ч О р2и\ му)A"
Iк \ст е
Из3 1У:
[43vma8 сmma8ом,cт)Ftrt3sh,
й s _ e, 
 Ѿ
аьн,й Ѹ\с7ам)o огоовѾ5 етсѵ 0 йным ВаѾ а9 = 21) р2в ]ua5mти] еed62ѵ.реoѺ1 *v,'ь Ѹ'Dлa0 йнmma чаbВv2очк,) м,
от М кулярнык,е
к—я.a2н
. л;0 ЇЂ р>2|со М кулярнык,е.ит Д|). ѻеB+
dt Д|итe2|_ди9) ѽ>asлII.
( кiv2 Dлa _ Dлam BC еедееедссѳоЈ,lлa 
ЗxeтиcmI^Ѿ
 йнmma чJя.a2н
. л;0  = ‰—адT
,ma чJя.a2н
. . ВаѾ а9 = 21) р2в 
ныЗ а D1юѰ BQ lx м на д о7, Z. . а",", ,shy;
)анu\с
т +еВxC т. ВаѾ а9 = 1iy.=  е2e|а.)),
а
) з,~ ( ру в 2
d
! +,9 = итр,
 

кчиадTнtt
t
не,"o/9 = итр,
 

.  М  и4
'на ее ос,ошении
 .г-tр В 1;oiо*о 1e ма_теа)1v2ь сѵ сѵ с;O
7F7ам)o оЁо М кулярныами к соотнрЂой .и) ч'во2оЂой .и) ѣ:вѾ5 етсѵ'­
с нВрч)mS4 h ѣ:вѾ5 ет:9mma 2 3 fьаsЗа\тааѾк,bя2.vетриi 62етриi 62ик \ст е2и
пр ежно,ис./ой ()Ftrt3sh,
йрrвыва т тedа.)),
а
)но,ис.( кiv2о'ь ;три-й ()Fсления даЂ:9mma 2 3 fьаsЗа\тааѾтся нЧ7, Z.".
ени| (oо, еѹR ѾсноюBC еедееедссѳоЈ,lлa 
ЗxeМ\=Ѱ BQ ,rfа2У:ееде| 7Ё,^ шиi сл 
 (3) и (4) x\
илду  ,
неаслD
)ан~ ( руiv2 Dлa _ 
a и (е=0кт
7Ѹйd:вѾ5 ет:9дин В
вkп_)ом 2+єом,cт_н~ (,с2_;теи4
'на ее ос,овѾ:\Q lx м на д о7, Z. . а",то
Зs n.; 2) выпдом руСа",Ѹ\ :Ђриi 
LBmЍфому)
0I uCо С MB — 2а.))9 = 1)Q lx  неhy;
 ѽ iа_теа)1v2ь сѵ :е,х, tAо Ѻонак,e

Ѐ8кi|еаtcт_н~.)))A
маs{}d >aуСа",ѸZOu4В —о С
0I,^ /не,"o/:алsие о­вѾѾе Ѐ,_.
М2
4а}d ,еи р \") \олмаNaовLеиa0'DmN j82xеѾнеhy;
киачи 2\3 
,\.oт е2;=неhy;") \i2в ).ит аются лЎтт
Заа_. р  ).ит ,behy;
к д'5:b 6Ѵ2) Ѻо|rт е2tр В я.a(hy;
к Ђ е|вѾѾеeк Ђ е|вѾr, cd d е, т тedа.)),
еи4.f| (; 1J
Из3 1У:
[43vma8 сmma8ом,cт)FN j82xpa./нйаsм,cт)FN j ,
еи4Џ0 ЇЂаорCЁ9р \") \А2в сmma 3q| & е|в "uC 2) выL)вLеиa0'DmN j82xеѾнеh2Jтриi 62 тeshycb-сЁо М кулярныа ,rfа2c#ярныа,Ё2xpa./нйа в 2ML C cельн:\Q lx м на д и) ѣ:вѾ57, Z.ti;а в 2i 
LB
с нитр,
 

.  М  и4
'нриiv2р8_ ,М кулярныа ,rfа2c#ярныа,Ёаьн,й &нu\с
x
(идЋе п 6Ou4В —о С
',й а)1v2ь .  М  н В
вkп_Boе(D2S22c ,rfа2c#ярныа,Ё2xpa./нйа8ом,|rт вЈ,lт е2;=неhy;") \i2в ).ит аю п 6Ou4_()23о С
't+ниек2ючае"/еы. л~ (З а D1юѰ BQ lx м 2rN(рен ( име0F ,
Ћ+tr sCЁ:."b2.
J+tr
еияclкно, MN к\ &g;iML  _ ѵ/ Ће п BQ lx  (З а D1юѰМ)
yрямC/гнc#яn2
Ё4d а)1v2ь .  М, MN oѾ5 ет:9дЇѾ p *о ).
[РА] _L
сиi дЋе п  аbВѲe 1J
 а3/')'.c5o,  й,
р\
илTA= аbВь се(вает
 а3/')'.c5o,  й,
р\
илTA= реошен=зой ftоЁетяты х#t)),
\Q lx мk 2ты х#t)),
вѾ: д'5:b,пр еить a7, Z. . а",es j ,
еи4lнt
не,"oJя.a2н
. н
еqlнt
не,"oЂ еи4,.и) ч'во2оЂой p *qо М'о.. р л^,Ё2xpa./нйа8ом,|rт вЈ)е=зт е2tama 3qвнач2qо М'т; 2)  2
d
! +,,
й tнач2p0иc ,rfа2ед, 3q|а Ѿеtна хаa ,eн но,ив  рацинm rfа2ед)1, чi.и4,.и) ч'во2о 
ссѲsh) Мавн
. I\etуl + Ь,о 
ссе=з а д  ,A,­.eтт =k=2мD
суl + Ь,о 
сѴ)1, чi.и4 раcd'D.уеи4
'на б)рного мето|н))9 = о С
',й  h2Jтѵ|в "   
суl  ,
неатко
ив  ра|2
Ё4d ааtv/9 M
уl на б)рного мето|н))9 = о С
',й  h2J  куоWU \sivA
й з- вотн82едиуl  ,
не) ч'во2оq 2ты х.и4,.и) ч'во2о 
ссѲsh) Мавн
. I\etуl + Ь,:а:Вз,AD2ко
хспопопоe_ekп_)о2=омеяclкно, Mавн
ADтеектbВ1 сѵ с2 Qm fь9р \") 
IГ з- н В
hy \")+дCNа'6тр'l  я oд(ктeu

.sh) М)
~ ( аrм,|rт вЈ,lт е2;=ноe   д неhьно центра.
бх очки (ав2о"q&eноциавл2hy;
ж;
ж; 
\a чu\с
аѾ0 q& 1лиaВ)).рѵ/Lих заие ѹ 'cbD | ''pточ&сC(; ѣмеѺлаdл uлa.ит \.ии ;ey ,с,).(ав2о"q&eноциаЋ9-,BрDлa _ 
a и (0 йи7ан''pпрЗs n.n.-7мссѳоЈ,lлциЋy2Sgйчда6 слT,uCо С MB — 2а'6тть се(ваlае asл\+1:
[4 р2В а 1оЁt;  АВ —t; рный
(3ьМ х]о',й  h2J 7, Z.ti;а в 2i 
u4444 лаdл uлa.ит \.е,"x ение этой ,0 |ии) леже.Ѻлмуl,й9ив ет,oв
лa.ит|М)
к
.LFуoмаs{}d >aуСhy \")+дьлЎтi;
ссѲsh) tIВо
ьвна,AD)
 н ест[Ѿ5, Z.".
ениfспоЂasл\Ѹ)  ых ситуас"и)[ 2hy;
ж;
ж; 
\a чu\=[оЂas1во2опZOе.5F),+ревѡ}d тко
ивпее.5F),+очу на,AD)
 )bВ1 Ѳ\Ѹsh) Мавн
.нЅk;мoд(ктeu
1 *ч(OOоfиѲрчзовѾѲ tk
x
1
j)(ЛВ)).рѵ/'u
1 *т1
j)(ЛВетоt;м.v2Ѳk
с./зовѾѲ tk
x
  'u2оuшu2а'6тEsh) Мавн
.*а;дченн +Ѵ2)п.f,х, tAmт_ ока'j
10 q+
 4Imтвэфоавн
.6тEsh) Мавн
.*а;дчеаќ,й9дЇѾ p *о ).
[РА] _Lтвэфоавн
.
[РА] л s.,иGнrѵedсC(; ѣмеиг. влаd п_)1-
0'DmѸти]4s7|вІеa и (Н=йа)анu\uинеаруl еи 1J
 а3/')'.c5o,  й,;|=уl еи 1J
OOоf0зj d таи Ц&2s_t тих отрезков, Мъ М2
 2а.))9 BрчзовѾтт =k=2мD=Aезкой,,  й,;|=уl )
4ле‸т D=Aезкой,,  й,AD/ьѸ)  ;е a ,bлаdл uлa.ит \.етеa5F),
й c'\.еM_юѰ BетааѾк,
2V a :неаков, Мъ М2
 2а4лDаdys2 р.ит \.етеa5F),ааSa)(!gѡ}d т 3,с
Л х]ой ин\etуl +1
ой, MN к/ys2 й .aз-  М  иys2 й= oн 3 р a2ные то..      тно а) з,
1 *З)2] иys2 й= oн 3 р)2El-
"рный
( aIеции  д.едѺ*4,.и)т-ошН\vлаdвляciuеѲрчux
  'u2оuшu2a ч2
( aI,ч
 Ѿ c j
10 оuВ +ep
; р a2ные то..   т
'Dлamа[аSa)(!gѡ}dA   М  u Ѳsh) tIВо
 2.amаѼаимD=A сеsh) еsасMy
My
My
My
My
My
; ак4s7|в и (0 FM,Ё2xpa./ +ep
; р a2ные то.о а) з,
1 *З)2]оWUshy
о
ьвна,AD)
лamаsѵ+9о (rеhy;") ,,
й кой,,  й,AD/ьѸ)  ;е aаG ет,oАт
Р],-cQcй,
"-,Ѐ,_.
дn.ини1,
йeѽе^елеа'j
s^едx  тенк
 
Р], центра.
бх оча1sа1sа1sа1hьн  оf0bD | ''3зкой,,  й,Amции ; ВG еѽадици9ч\Ѳi'о.. ѝоf;)
 н еl)и ѹ3^), ] в2\ Ћy2 ,behyG ;J9ѾѾе Ѐ,_.
МD
ока'j
10 q+
.
Р], цен'
4т М tмЁ,  яrx
  бeжN иfѾ0 qrDрно~Для ( ч|/C,   в 2
d,й p *зыoяiv2
Mm9ѾѾх7 ет,' u,s[)к \с
т +еВxC тенvpт1.Aт,' u01.Aт,' u0ткiѹтй й,AD/орedсC(; ѣмеѺлазамен#  иys2 й= oн 3 р,
д а3/')'.c5o,  й,M qrDрs2 й= oн q| 7Ё,^ шиi сл  Ѻотт р0'DmNик \ст еi, 3 ьМ(зj d т споон нѹтй й,AD/й,Am .едѺ 
сения не \
ки e8
1 *оЂa мен( uлe")/~ ( руtt вЎтч
емй меn
=A сев  'u2оuh авеhy;") ,,аѿ:ешu( Ўтpзj d т 
u
:даданном,
 н ест[Ѿ5, Z.".
ениfспоЂasл\Ѹ)  ых ситуас"и)[ 2тkd,ч(ойAD/ч
емe Ёлуmн_ \олм
1
(w'ый
( A2в 2
d,~Для ( /ьѸ)  ;е,rfасо2ет,еции  жВG\Ѹ) ѵн _L
|a мен( uнеы х.и4,.иOоfиѲу
в->8qrD5rр й,AD/ьѸ) ,заиi>asлII.
l f вI kTa _ 
a и (0 йи7n
=A сxtj d ѻ uлa.ит \.е9:x\2е(
 а,AD)
аьн,йыва т тedа.AD)3зкой ѝоfWmE н ест[Ѿ5, Z."Јx
,ѿ:еш т е(ы1 ~ (  Z. аѰ Dр тќо) с 
F r13За\таавI5F),
й c'\.еM_юѰ BетааѾк,
2V a :неаков, Мъ М2
 2а4лDаdys2 р.ит \.етеa5F),ааSa)(!gѡ}d т 3,с
Л х]ой ин\etуl +1
ой, MN к/ys2 й .aз-ков, ^O,йSa)(J  й,"\t.ит "gh| aа\таt0 qrDр>ѡ}d твеhy;") ,:ешu(е('ьvpт1.Aт,'"gно'j
1вѾ
)F
 р.ит \.етеa5F),ааSa)(!gѡ}d т 3,_тел\.еM_юѰ Bево т 3,с
Л х]Ѐ2уtt ный
( aIa ч/:ешu(е('ьvpт}d нm
4т М CcѴсс (OOоы. rt3sh
Iк \ст е
Из\.еM_-hy;
киач2а.))9 BрчзовѾтт \ст е (0ен (0ен (0еЊ М CcC,  b4,.и)т 3,с

,1,
йe]Ѐ)с C,8 тоbз2аe9 е
hy.=зовѾ:
c2 :н
1 *vа-e-tt 93y*vт е
Из)  +еlя  :неакоен( uлe")/~ ( руtJ =:н
1 *vчзовѾтт \ст е (0еsh MN AD/иЋy2S д'5:bъ М2' u0K [| \.ии ;ey ,с,).(ав;&\F о; 2)a сло..oа\ 'во2+еl(е=0й, MN к/ys2 зоетеH
 я.a(hy)FNа1Ѿт2' u0K [|  NaовLеиa0'pys(!gѡ}dа/mma чаbВv2очк,) м,
от М еш368 >, l368 3xsм,cyо&вs[)к  :pe
та;
е0 2 |н))9 = о С
',й Ck>aуСа о&sh сооавл2hy;
ж;
ж; 
\a чu\еl( . ,b{
Из1 сп'shy;
даии ;кта1на число; 5) выполb ецолb ецолb ецолb ецолb ецолb ецЅ7 ет,' ued6р-~Д 3,_Nенvетрав оциавл2hт +Рлиѽv Nенvетрет,' ued6( aIa ч/:ешu(е('ьvpт}d b ецxC тенvprx(ктev b \еl( . ,b{
И\
сп'vpr3,а.чл+ѵnхсЛ х]6aул\+1:
[4 р2В а 1оЁt;  Ѐ,_. выPоbycb-сКн8Зs n.; 2) выпдом'C иfMN кp *зз
М2чАа ( /ьѸ) ;c/ьѸ) nнб
И\
сп_юѰ Bетат 2е(0K [| \.М еш368 >,a, MN к/ys2 й .aз-ков, ^O,йSa)лa.aFе0o)2u(е('ьvpтс.( кiР]анЅ сpp . Sa)(!gМот
2аa ,eн но,;
да qrD3xения не \
ки e8
1 * >>2|смпOOоfПе
2аa Sa)лys(!gѡ}dа/mma чаоотнов, ^O,йS'j
s^ к\,IL,J9ѾѾе Ѐ,_.
Моbза,cт
2аa ,eн н
.a+i
 

.  в.
II.
Зад5M
пa с: &g­.ит >O=|я в"sевIчuIТаевст е2опѳо2|_дЂ е2и/h2J )
 _.
Моbзаai. 9дин В
вkп_)лa.aFе0o)2u(е('ьvpтс.( &е0o)2um2
Та & i M
 ммаNaово
там е ии) лежлм
1ости:
6eт,' u/'е L,и о а9 = 21 ,rfас 'j
10 q+
 4sн
1 *vчзовѾтны(  u/'е ,
неасaВ)).р h) (/bВv2всѲнс: и2S 2
d,й p аi  в .
ен5едједјН+
-то Ѻонак,e

.)к  4
' ный
( \2е(..)к  4
' н
= ера.
Можно опо ѹD.))9 = 1)Q lx  .( &е0o)2um2a.итm 4
' ный
(к,e

.)к  4
' i  )o1111 аѰeелеа'j
s^еД ечиадTX: Можно опв
~ ( аrм,|rѺ  4
' cеар1:
[4 р2В  !gМот
2аa ,eн но.(ав;&}dр2в= аbВь се(вает
 BQ e х]о',й4
' cеар1 D1 *в 2
d,й p *зы
!,
 Ѻеo_е
:ю си (еа;
Ѕk
етят "gеде тнarDa ,тн.k

Ѕkр \[2оо',й4
' cеар е (rа\]yед|лsия uю ве=cCй
требу|_диvpар е (rа\],Мъ М2авл2hт +РЃ
вным уме uю ве=cF4р луD
т \8+
-ѹ
И\
 O( М )
| чC5х]о',й4кРЃ
внымWm'tc , м уме uю веж; 
\a чu\еl( . dBdD}dо.еж
-то Ѻонге4
' cеар1:
[2'
'л2hi-dл umN jп_юѰ ,eн н
.a+i
 

.  в.
II.
Зад5M
пa A:
[4 
[4 р2В  !м т тedа.))Ѱ_
hy.= мен( лу ьvpт,eе(0K [bВv2sа)D&..*а]о ис./о ~  \.umN jп"1 ;mN jп"1 9р \") 
IГ з- н В
hy \")+дCNа'6тр'l  я oд(ко2=оме'
hy \")"т 3,с
Л х]'Л х]g,
вkп_)л[l й,M qrDрs2 :x
  'u23sh
 uю &}тно а) з,
1 *о{
Изй,M qrDрs2 m|ѶнослуЛ    \.um) еа}ѾѾе oд(.=1Nимар2в сmma 3wЛ х]но.(аo ( &е0o)2um..   )),
вѾ: ного 
aа[ ;mNиfспоЂasл\Ѹ)  ых ситуас"м куоWU  'u2оuшnСhyавл2  >O\eн
1 *vа-e-tc.  4
 /ьѸ) ;c/ьс2 Qm s[)к  :pe
та;
е0 2 |м,cp,Л х]'Л х]g,
в ]  4
 /ьѸ) ;c/ь
 uю &} уа0е  .- o)D&..' qrDрs2 m|Ѷнослу чu\ее(в"в"в"о',й4
.ит >O=|я в"sлазамен#  иys2 й= еѵ]dа.))Ѱ_
hy.= мен( лу ьvpт,eе(0K [bВv2й4
.ит Ђ)'о.. ѝоы
!,
 Ѻеo_еле=0EЂрн 3,с

.ит sевIчuIТаеo5х]oт)/ьс2 Qms)ВCr3yеа}ѾѾе oеВo/о  c j
10 оuвgрео]'во2оq 2ты х.и4,.и) ч2икы х.и4,t  в.
I 2 3 fьаsЗа\тааѾтся v2й4
. з- н aѳо2|_дЂ е2и/h2cler 
Iо2оq 2очI
о  c j
10 оuаи Ц&2s_t2оо )j
1A евII.
2/h2cler 
IвgѰео Ѱео Ѱео Ѱ|
IРА] _LтвэфоадаfIвgѰ 
Iвg
't+ниек2ючаи9ч\ b ецxrDi  )o111еоло; 5ает
 а3/')'.cс Bетаoa+i
 

.  в.
II.

u *З) ч2ик ued6р-~Д 3,_Nенvетрав оциа (,та;едс [bВv24,.и) ч'во2^еД ечиадTX: Моо Ѱ|fMN кp *з5 .
 чееде в.и9Ѿе nc/ьѸ) & Q'.cс Bетат ,в, ^4 роскеhy;"
2/h2\.е9:x\2е. 0K [bВv2 :c/ьѸ) & D/p"
' &II.

u *З) d6ол
2]"в"в"ож1) & Q'\ ).дом, рл;j
1е2;cс Bй
( 21:р,0"j ICcђавuшnСhyа' uѻе2 m|ѶнослуЛ ;оWU ;j
shy;
сл)  s5  ыхAu;й
В р. 0K#)1v2d,йaа' ud6ол
2]"в"в"ож1) & Q'\ ).дом, рл;j
1е3mом/ьѸ) ;cN.и4-с=b
•а.;0'ду ,Л х]r-, lfиѲ4оWU Dлa _ 
a и (е=0кт
7Ѹйd:а2 iанuцинm rfа2еда}ѾѾе).(ав2о"q&eнo, ^O,йS
1ег в.,b.;0омdBd  ;mN jе 11ео)sa'_ыюoѴи )анu ве=cFDWU jеoeedBdc,,,  й,AD/вk7i 62 тeshyOоiML  т . tArем))9киМbВv2й4
.Ѐ1 62 тes"tоюBC ееде  c j
1
[2v/
вѾѾе ;mN jаи9ч&чѵкьaIa ч/:еш ве=чиа ве=чиа СЗ) d6ол
2]"в"в"ож1) & Q'\ецо Ѿтся )Rsh) Мавн
.*а;дч+a9кrji>as  .ии
З а д а 
) & Q'  ~вѾѲ tkеедеК0ее.aI,)ив' cеар1IвgѰ)се/ным уЁя )Rsh) Мавн)се/ным Ѿтт р0'DmNик \"j ICcђав/ным уЁя 86sр
9о (/ным уЁя 86sе(0K [bВv2й4
.ит Ђ)'о.. ѝоы
;mN jy;
4
.иue т тedа.))U jеoee6 e v2оaме0o)2u(е('ьvpтс.))((ко2с.))(Вv24,.и) ч'во2^ее('ьvpтс.2 ,Av1:t  .ии
З аeмй.D 9аѾ (е ;mN j;в.и9Ѿе -Ci
е nc/ьѸ) & Q'.cсuю 
р,0"оy 2^.и)sa'_ын,й, 11ео)sa'_ые чu\ее(в"4 o8=сѲ луD
т  edBdh6м3е (0ен (0ынA911AD/вkЁm2a.итm 4
;mN
hе(зоfПеє не.и9Ѿе -Ci
е nc/ьѸ) & Q'.cсuю Ѱи)[ 2тkd,ч(;cN.и^Ѹ) .DA-о k5С3, iA"A) & Q'.cсuю 
р,0"оди
 "j ICcђавuшnh,t -Ci
е nc/ью 
р,0"од
.hе(зоfПеє :ест[Ѿег в.,b.;0g,
вkп_)л[l sа)D&..*а]о ис./d ткоаg1v2d,йaйi
еко](зоfюBетааѾк,
2V a :Для (авн
вн
вн
вн
ивн|:а зт
7Ѹйd:DmN j[3x2A"
Iк \сиѲу
в->ным т)сu  .луЀ0K [bовѾ А2.
1 *о ).ина*З)2],Oоы.в.ии
З а д ) & Q'\mцѰ 
Iвg
't+ѵ еmю мy.2.sе/оеdh6
го мето|н))9io, и (Н=йаaIa ч/ 4
 /ьо т 3,с
Ѿкме ~.)C
навuш2fПефоад
'ди(е \
н
ивн|
 e edа.AD)3зкой ѝоfWmE1мели х]g,
вkп_)л:d
! +,,
й tнаѵе
й 2nюoыoѿеде  c j
tй
 edа.w
ит 3,с
esh) Мавн)се/c jCb=1N
2]"в"в
obВv2а\ 'во2+еl(е=0й, MN к/ys2 зоетеH
 я.a(hy)FNа1Ѿт2'
p *зѱvтеH
 еB2ючи
г.иd;чи
г|ѶноќaI#Mo;лѾт2'
p pв"в"о',й4, jy; Ѱ_
h)"в
obВv2а\ 'во2+еl(е=0) а.AD)уbВv2ох'i
p *зѱa=еЂ аются лЎт_(=
ж;
ж; 
\a ч
Іеди)[ q 2.0K "о-4Imтвc,,/\иtльн,)D&..*а]о ис./d ;
ж; 
\-4Imтв5Imтв5sh) _0)'уа0e_(=
ж;/ь___dAD/|)Rs nc/ьѸ) & Q'.с.2 ,Av1.jlю 
р,0"о\.еM_нA9 уЁя2)),
u1тЗr|вкmd(5);Iolя —/M
1 *+
+ в)<6тiтвѠ\p3^), чѵ:ан.Aт5);Iolя ѾA;
ж;,
'+ Ь,н .и4,.и) ч'во2+(,
'AD/вkИенvетр2J )
 
m ,A,&s,Ѐ,i
е '+  
\-4Imтв\;е a ,bла
ТтдѸным у
ивн|
 e edа.и Цyо&вs[)к  :pe
та;
е0 2 |н))9 = о С
',й л umd,йaй,0"j ICcђавuuBQ Iю мy.2.Иенvетg
't+
ж;
ж; 
w^
't+ж; 
w^;72 |lт5);Io iЋ9-,BѸнымFьѸ)(!gѡ}}}Ўзоео2+еl(е=0 м
 |н))9 = о диуl =1N0 2 |мь гu-Ci
е o)sa'_ые'Lо)}}^O,йSa)(J  й,"\t.ит "gh| aа\таt0 qrDр>ѡ}d твеhy;") ,:ешu(е('ьvpт1.Aт,'"gно'j
1вѾ
)F
 р.ит \.етеa5F),ааSa)(!gѡ}d т 3,_тел\.еhy;
 ѽ i•а.;0'ду ,Л х]r-, lfиѲ4оWU Dлa.Aт,'"gМ'о.. р F к сhy)FNа1еnc/ью=jа :3x2A"
Iк vpт(D.оад.miым уЁях]оРS"j ICcђолb ецй аrм-Ѳ4оWU DиаЋ9-,меѶм е ии) лежлм
1ости:
6eт,' u еo,ны 
btj d ѻ uлa.В9-,2тBsaIс9-,2тBsays2 рацeC.К в  JOOt ICcеedа.))[|  NaовLе "A.))U jеoee6 e  JOOt ICcеedArем: л) М \ст еоWU ;j
ra- o  h2J  куо0o)2oee6 eoee6!g & Q'\е oк \сиѲу
в->ным a)
= ер 2 е(D r9еa,A,& с:iU:aeoee6!g & QьѸ)|rѺ  4
еh)),
u1v24~ ( е(D r9'
hy \6!g &i,w0;еедеК0ее.aI,)S"j ICcђолb.е
й 2nюoе(еЂой p /ьѸ)?cо ѵюaмК\.ете4
.иue т тed./dl  =f5M
  "вѠ\p0ткiѹтй й,ADO
аѵе
й \.етЊ МѰ BQ cеedаьѸ)?cо ѵ |Њ МѰ BQ cеed\}|Ѷебу|_Іеы х.и4в/:ете4
.иue т тed.циавл2hy;
ж;=1N0 2 ed./dиed./dlD
 *о ).
[РАyьus) nc/ьѸ) pus)aИенvетр2 c/ь2Cu5е=cFDWU jеoeedBѰ д efссзое
.hе(зоfет  ,AD  аа'6тр'l  я o>sые6eт,' uо,;
да qrD3x3e т x+
dдаорCЁ, ин| +
Iвg
Qfrн,
оѾ
)F
 р.ит \.етеa5'|н))еeР], цент,AD  ipus)a  'u23sh
 uю &}тно а) O iР]атой p 5Iк \сиѲA9-,2т>ным a,) мh
; 
\a чs (0лIoѰ BQ cеedаьѸ) е (0еl( am6й4
.ит0лIoѰ BQ cеЇ am6мh
­
д*vа)1оe   д Nвд т6тдлbетЊ МѰ,0"j;cИ- н В
hy \C
Imуоoнеае
e.c1оe   (еа;
j
ra- o  h2J  Qm s[)к am6й4
.ит0лIo9ary2ючlдxа b-с.t
',й Ck>a",едCN.&}тно а) з,
1 *о:3x2A"IoѰ BQ c
 рiма l7|в'ь Ѹ'Dлa p
дCN.&}тoCЁ, ин'"gЂp
eления даЂ:9mma 2 3 fьa",н#  иys2 й= oнg & QьѸ):rt3stArем))9кNc& Q'.с.2 ,Av1.jlю 
рtаt0 qrky2юч ве '5:b2 3 fеЇ am6мh
&shk>a",едCN.&}тнмy.2.,'"gМ'(и,еаtcтLо)}}iма l7|в'5);Iolя D)2.o2
;   (ел 
 (3) и (4) x\
илду seелеа'j
s^еД ечиfазаят "g 1hfда2,та;as1\IoѰ BQ c
 рiма l7|в'ь Ѹ'Dлa p
дCN.&}тo.н'"теH
 iN.&}
 a 
За|И- нy[о9еapт,eai-7,
неае/c jCb= и4eв5Imт>, Z.ti;е .d
' cещатkd,ч(ой зи9кNc& Q'.с е(D r9еа2,та;as1\IoѰ BQ c
 рiма l7|вin4_ з- вотн82едиуlf еe}ти] еed6i,атkd,ч(ой зи9кNc& Q'.с с D3И-  оа,+c^
't+л uедс.:о2+е'т;еeеeепов;&}dр2ля5';cИ- н В
h'т;:d
! +,,
)DдCN.&}тнfет  ,)оeirт тedоU jеoee Q', т,,
)Dеов, ^O,й=9o=2мDв'5);м Q', т,,
)D 2е(0K [| \.М еш368 >,Peirт тedасaс.:нv1; 2е(ѵ('ьvpт1.~)t'oи,еаtca0'DmNgvp тedН2вb  c j
1
[2 p
дCN.&}тo.ньѸ) ;c/,едт,,
)Dоревѡ}d ;м Q',IoѰ BQ ciдин В
am6й4ciCapт,eai,eaiеSa)(2 енv5);Iolя D)2bВv2|& Q'xb,rfаIotнађ, тk4лDаdys2 Ѳѡ}d ;м QѲ t1еnc/ имася )Rsh) ( 
e B8  4
 /ьѸ) , иys2 x\J Wm 
hеSи) , Ў.(ав2о"q&] x*ля даЂ:oи,еаtca0'DmNgvp тedН2вb  c jL_]srvt .d
' cеl.Ђ:oь гu-Ci
—/ и )IotЖ. лежа1У:IoѰ B  'u2 \
м )Sи)иCЃ9дин В
 В
 В
 В
 В
)9кNc& Q'.с.2 ,Av +,&i,w/\е(DmN j82
&i,w/\е(DmN j82
&i,w/\е(DmN j82
&i,ин В
am6й4c
 рiма l7|вin4_ з,cи\.епоc^
'tнo, 
с нy[о9еap\е(DmN j8 Rs nc/4 Axѡ}d ;миiv2ртi/)F
ВВЇ&sh) ютс r e-Ci
е nc/ью 
ѽе2ючае"/е|а'lssчиадTX: Мои
выр>ѡ}d т.DmN j B8   !gМот
2аем: d
! +,,
)DдCN.xѡ}аA>ѡеaѺдCN
заai. 9a,"o/:а_тел\; 2е0о центра.
 ,e5p нy[о9еap\е(DmN j;")0 е(с [b4,.иp o  h2J  1оs nc/4 Aс 
F =2нeЂра.
mCЃ9дин В
 В
 В;.ии.ии.ии.ии.ииj;")/ьѸ) ,4,.и)в 2
d,й x2A"cNeЂрca;щар,0"ии.ии.ииj;"ар1IвgѰ)се3
43vma8 сmmaуlf еe}ЋymN jy;;j
1е3m
 к еa5F),
Ї&sh) ютс r6yCi
, иys2 Р\) ,eirт тedо(s)aИеит0лIo,
rirт тedо(s)н82j na у2
.Ѐ10а;е.
=5'чѵкьaIa ч/:/вkИенvк/ys2
)+sнvетр2 cенvк/ysa5F),
Џ.a(hy)F+sнvетi,,Avqтрi,,=m=bkИентьaIa Q cеed\}|t +sнvетр2 cенvк/yи; *раolCатkd,ч(/ью 
еSнтьaI0u)сеоетеH gѸ) & Q'.cсuю m=bkfПефоад
'ди(е \
; *ICcеedа3 aIкьaIa a
фоѰинl(/ь;=н-Aм
; *ѽys2ос  r69a=еЂ аются 2p0,
)ин В
 dm
4т М tм1"gbj B8   ;;
тс U jеoee
—//ьѸ) ,82
, cd d е, е (0еl( am6kтНtеSa)(2 енv5eЂрca}
 рiма l7|в
1о  c j
10 оuамe10а;е.
=5'чѵкѵ+чѵЊ еl( am6й ѵ+i
 'y.pенAт,'su)сеоетеH g4.,=m3амe10а;ея в"_а8/т,
1  елv2й42е a
ивн'"gео'u2чиm=bkИме U jеoee
asD,s10а;е.
=5'ч1еhy;e 
 d"gа.
 ,e5p H giу
вc\6!g &i,w0;ed68ap *о ѰFеk=2мD=Aезкой,,  й,;|=еhC
h ,eh ,eh ,eh mN j82
&\.М еш,82 Їатkd,2 !edаьѸ)?}
 a 
4|mma чаоотн_s,rfа2У:еедoтеH gсdаьѸ)?}Cим~ (еas,m6й-?}Cим~ (еаa ,   о С
14nя vCим~ (еas,m6й-?я  rf s nc2вb  c jL_]srvt .d
' c,TX: Ме -Ci
  еspт}d edа2втѾ­Na\=Aезкой,,  й,;;;;;;,0"j;cаци t(D \6 e v2оaме,еш368 >,Peirтed -Ci
  еbcd}ася )Rs1d,с
eеhya8  4
ся )Rs1d,с
eеhya8  /];
  4Vо..s7
1,е
к—я,.аѾ0 qkd,

:
6eт,ed68ap D/орeeеH
 iN.&}
 4,,;|=еhC
h ,eh ,ehос Wm 
hеПеeis1 am6kis1 am6kis1|&,.|s=0-Ioi2В9-,С}d ся'tнo(a
ѵHІедно2, 
hеал uiv2шu(‵нa ч   о С,6kisедно2, 
hеал оѰинl)FtrymNa,6kisмк/yи; *рxи(е \
н
иЀ,0"оcьaIa jy|тьvpK [bовѾ А2.
1 *с./оii
в->ным тs1d,с
'su,.|s=0-Io  h2J|;
ж; 
\-4Imтв5Imcc/4 A ,Л a 
4|mma |;
ж; 
\-4Imтв/.и1i В
 В
)9).иv2 вѾ А2.
1 *с,2 ,AhyG ;J9)B
ж; 
\-4Imтi
4  Ѻонге4
' cеаo  Ѻонге4
.Ѵсс,3екe=0-[с,3е /yи; *iм^еД ечи~ (еas,m6в 2Єlя D).c0=оже еh)),
те{e=kd,2 !)Rs1d,с
eеhyaете4
.иue т тacr3v2й42е a
ивн'""_3681т +еВxC тет,u(‵u,й x2A"cN|ва\таt0 qrDр>ѡ}d твеhy;") ,:ешu(е('ьvpт1.Aт,'"gнb444444 Axа)1v2ь c/dиed./dlD
 *о ).
[РАyьus) nc/ьѸ) 6Ѱ Bет,u(FAт,'s1d,с
'su,.|
 Axа)1v2 ) а\т
mma |;
ж; 
\-4Imѕеa")/~ ( aуlf еe}ЋymN jy;;j
1еuм )Sи)иCЃ9дин В
 В
 ВO,9).иv2 в5=mS4s)/~ (o
am6й4c
 рм~ (=фоадаfIвgѰ 
Iвg
't+fI|мь гuэиДDrwpa",a'_ыюoѴiм[Кc/ь2Cu:"в"в"ож1) & Q'\kп  )А2.
1 *t
't+fI|мь гuм~ (
•("вь гu Naо]|x=|=е,ьa Iвg
 еbcd}едн2) ) ѣ:вѾ5 еl)FtrymNkп е=0в
1о  c j
10 МbВv2sh) )Ftrтwьafюc
, ѸЛ х]ой иния  каза 3 A,'"3sh
 uю &}т,с
eеAезко,.а|в,дi Axа)1v2 ) а\т
mma |;
ж; 
\-4Imл\o(3) и (4) x\
илду  ['(и,еаtcтL~ (еas,m6
 соо  .е=cFDWU jis1 am6kC1 еahведно2олb.ео2, ](зМоир>Ћпдом'C 
йЂp
iѾ&shк/етр2J )
 
m a& Q'\е oofю
aм3 -ьE2р.и1iе еh))jе4
.Ѵсс,о
 ѸЛ х]ой иния  каM=  asлdатk+еl(е=0 м2,иясmSи)иCЃ9дин В4  й,;|=b.ео2, ] qM=  :aи:
6eт,' u еov2 в5=m
1вѾ
)F
 р.ит )и,2/етр20EЂрн 3,с

.ит sевIчuIТаеo5х]oт)/ьѽоќaI#Mo;лѾfo.луЀ0K [bо-tBdh6м3е (0енияг|ѶноќaI#Mo;лѾт2'
туЀDлN.лу. 

gео'u2чиm=bksев=0 м2,иѰ:DmN j[3x2A"
Iu\os82 Їю 
2E Ft'Ft'ка&ќ,й9D)2bВт2'
туЀDлNиес
оРS"t[о е
Sо  вѾ А2.
1 *с./оii
_2= vоii
_2= vоii [b  вѾ А2.
1 *с./оii
_2= vЈu(^еД ечиM_нA9   е
аеo5х]oт)/т;")0 е(с [b5х]ohy \"
aнг
 (I]даolя 
' cо0K#)/eза 3 mаеo5х]oт1^еД ечy.2=фz ечy.2=ј- вaI, Ѹ
4|mma 36: 3 A,'"I)/~ (o
C ,&\.М е'
 ечиM_1^dys2 р.,
! +,м тs1d,с
'su,.оо t< Л х],(с4|т)/ьѽоќaIшu(t.Dv24аv/е a
Ч ечyO=|я в"sѸ
4|н#е аys2 р.95.11d=  :a.=0-I:\Q1d=  Ѱ,M7
1иa5.11d=  :a.iя в"sѸ
4|н#еi1;\Ѱ:IoѰ.
( ,fz w.2=ыиa5н(:ь сѵ сѵ 2c оGi4
.11d=  ют#еi1;\Ѱ:Ioе atf6kv/е 2й42в
1 *с./оii ,c
1 д.2=фz w.2=ыва 5[b>ь сѵ т е2вм3е (0е3qвнач2q.11dч2aнеюoе( ое/c jCb= иisѸ
4|н#е а.)),Џв
1 *"I5);Iolя D)2bВ'5);Iol Axа)1v2 ) а\т
mc#ярныа,Ё2xpa./нйюѽeеeеп й,;|=b..|ѻ*l  я o>s,я (аюѽ.ojCb=l13t]38.лNи,йaй c1оe  A2\C
I6 e ,o(еas,m6й-?я  rf Ѵить ta")/ым a)Ѱt0  A2\C
I6a  ca1}ѾѾmma 2 3 fьa",н#  _ые чu\ее(в"4 o8=с Ѹl\ее(в"4 o8=сѹl1[/< Q cuм
1c/ В
am6й4ciCapт,eai,e|ѹ \.етЊ МѰ BQ 2ся oOт Їю 
2E Ft'Ft' сѵs,m.) & Dl;вkп_)л2т>m a: d
IOAнy[Ё13t]ее(в"4 o8 В
aик \"j  (0
cевeеA
id ЃруtJdч2aнеюoе( оЁ2xpa./нp нy0K#)29ечy.2=ј- вaI, Ѹ
4|mma 36: 3 A,'"I(t.D!
 т_8=с K#)29е_ 
a иA"4 o8 4 o,'"I.)еюoе(jеoeeaI, Ѹ
4|z,'"I(t.D!
сfеѠ d
IOAч2q.11dч2as[)aI, Ѹ
4
o(a
4)29е_ 
a иA"4еюoе( о_,Ѱ,M7.
( ,Ѳ iссзое
.hеNи,йaйли="A p.Nn&вй4cinѲA9-,2,aѲ iсс,v/е aе,m2 ,Av  ,Avвuш2fПе Л '"gМ'о.z,'"I(t.D!
 \е о^u+]4pmrNOp+^nMMm[4lOmfr+Lpu^43o="A p.Nn/c jCb= исѹl1[/< 63]fSmgJLOplI6a  \е v[SmgJLOpJ[hLmrd=  :a.=0-I:\Q1d= "..rrm[u3|
1о  1о -I -I ^3I  1о -I  .2 ,Av1:t  .ии
З а(зоfет ,a
ив. rtemти] еed62ѵ.реoѺ1 *v,'ь Ѹ'Dлam3)икьad+s"eачи 2\3 
,\.oтшН\vлаdр.и1i]kC1 еahma 2 3 fьa"$3 еahfLhgmй4cinѲA9-,2,aeачи 2\3 
,\.oтшН\vлаdvOOкьа 3 ения ^3I  1о -Iлания ^3Omru5 w jеoeeе4
.иueIлшН\vTниv,'ь Ѹ'Dла2\3 
,\.oт;е.
= Ѹ'Dла2\+),ааov2  ют#еi1;\rrNOp+^nMMm[4lOmfr+Lpu^43o="AќaI;е3
43vma8 сmое .d
' cещатkd'сfеs) м,
от М еi 
,\.o
i: 2е(0K [| \.М еш368 >,P 1hfда2,та;as1\IoѰ BQ c
 р- 95.11d=  :a.=0-I:;еi аа.ит ) Вj:f,\.o
i:wrn]uX Ѵить ta")/ым a)Ѱt0  A2\C
I6a  ca1}ѾѾmmGcеoѺ1 Ffnu5Nh[lunp[5s1;\rrNOp+^nMMm[-,2,aѲ iсс,v/е ( )Ѕ Вj:f,\!еi 
,Ѐiма l7|
 рiма lаѿsn]uX Ѵра&o
C2nн Z
,чyеѶм Ѐiма l7|
 .2ос  rfеаtбоii ,spumrx
  'uyеѶм %:a.=0-I:\Q'(В
am0Jlfca1}рSumrx
  'uy0dy[Np3,9е ( ).11d=a.=0-Iоe  A2\C
IлшН\vT1Рy[g,kйаsм,cт)FNn,й p *зыo}
_2= vоyеѶм- o  h2J е 10.e10аol( ,tRo}
_2= vоyе
C9рo 10
 т_8=с K#)29е_ 
a иA"#)2ngж; авam6kis1K#)29е_ 
a иA"#)2ngж; д5M
пa A:
[4 
[4 р2В  !мeng2В  !а,uO|я в"f,\!oN
пa A:ЂO[4lOmfr+Lpu^4:fr+т#еiе(Ђ,сfеngжОj A:ЂO:ЂO:ЂO:ЂO:ЂO:v[MmBmurnfcевeеA
id ЃруtJdhс K#)еiе(Ђ,сfеngll];
  4Vо..s7
ђе\м- o CЁ, и
u:{ff CO:ЂOй-?Iotнађ, тk.e]ese]ese]ese]e  \
н
ивн|
 e edа.AD)3зкой ѝоfWmE1мели х]g,
вkп_)л:l>
j
ra- o  h2J  Qm |жОj A:ЂO:ЂOaй c1,uO|я вis1K#)29е'u9'9.ѱfch2J I5);Iovт е
ь2Cov[mЂOaй
от5 yM+x
  'u"M+x
)еi Ej:f,C 'u"lя D)2
Іеди)[ a
выр>ѡ}t-ar*vа-e-tc.  4
 /s1dеѶ:f,C ICm CO:Ђ)2
Іеди)[ a
выр>ди)' c.
 ,eC IC" >)o_eC но2, 
hвЈ) j8 R CO:а;еia  
ѽе2ю-ar*vа-e]fро2олb.й1cтk.eIOAmNprm5g.и1i    е
аеo5х]oт) ( ).11d=a.=0-Ig]oт Oc#ярныIDlhс K#)9'=0-IныIDlhс K#gr=05Mj
ra-ѲA9-,2,aeаEe"sѸ
4*O,eh3^uu]g+3
Іеди)[ q 2.Ѹ[mЂел\; 2е0о центра.
 ,e5p нy[о9еa..rrm[u3ел::l Oc]e Oc]UыIDlj
10 Мb*ош) jнvетр2J 2bВAIDlhс Kys2
)Њ М  иl( am6kl Oc]e,mluю 
р,0"о\.еM_ноо J ICcђавьvpK [bовѾ А2.
1 *:J 2bВA_ые чвwьafе чвwьafе 8IBc 
,wpfMmM3.u,0"j ICcђав.1ме
3.u5\аo 
lh,mM3.ut1ме
Mp) jнv88IBcOc]UыIDlj
10caeачCOLfl %:a.=.2ѵ.реoѺK#)29е',cp,Л)к*t0caeачCOLfl %:a.=.2ѵ.реoѺK#)29C0cOc]Uы еo, u9s_оyеOьѸ)  ;е a ,bл.е
й 2nюoе(;gpOhuUыIDljреoѺK# (пеции  д.ед' Вj: ;е avе
nюѰ ICлa.Aт,''u"lя D)2.е
й I( ѰFеkд5M
пa A:
[4 
[4 р2В  ! ви)иT ол,''u"lя D)2.е
й I( ѰFеkд5M
пa A:
[4 
[4 р2В  ! ви)иT ол,''u"lяѸ"1