close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ОРГАНІЗАЦІЯ ТА УПРАВЛІННЯ ПРОЦЕСОМ ПЕРЕВЕЗЕНЬ
УДК 656.2.519.21
БОРОВИЦКАЯ А.О., к.ф.-м.н., доцент (ДонИЖТ)
Оценка интенсивности потока опасных событий по сети железных дорог
BOROVITSKAYA A.O., Cand.Sci.in Physics and Math, Associated Professor (DRTI)
The estimate of the intensity of hazardous events on the rail network
учета вероятности возникновения опасного
события и частоты опасных событий (интенсивности).
Традиционный подход в оценках рисков от воздействия природных (сейсмологические, штормы и смерчи, лавины и сели)
и техногенных факторов опасности на возникновение крушений по сети железных
дорог, основан на учёте полной информации о законах распределения случайных
величин, участвующих в процессе оценки
(интенсивность неблагоприятных событий,
величина ущерба) и их параметров [1].
Рассмотрим систему статистических
данных о крушениях и авариях, маркированную по времени, в формате итоговых
просуммированных данных по годам, как
одну реализацию некоего абстрактного пуассоновского процесса.
Основанием для применения такого
подхода является то, что поток опасных событий при перевозках железнодорожным
транспортом укладывается в рамки понятий
теории случайных процессов. Кроме того, в
пользу возможностей использования такой
модели говорит то, что базовые показатели
аварийности: количество крушений, количество сходов, столкновений, случаев брака
являются характеристиками потоков с применением к ним процедуры случайного
прореживания (как отражение процедуры
контроля и исключения браков в процессе
перевозок).
Следует отметить также, что общий
поток опасных событий на железнодорожном транспорте складывается из частных
потоков случайных событий по ряду причинных факторов по ряду дорог в составе
«УкрЗализныци» в связи с чем возможно
Постановка проблемы
Многочисленными исследованиями
показано, что в реальных условиях транспортный процесс стохастичен, то есть носит вероятностный характер. Это проявляется в неравномерности и неоднородности
транспортных потоков, разной продолжительности обслуживания единицы транспортного потока, случайном характере
опасности возникновения крушений по
сети железных дорог, продолжительности
отказов технических устройств и других
факторов. Поэтому в ряде случаев при определении пропускной способности ЕТС,
объемов перевалки, для оценки рисков железнодорожных перевозок и т.д. применяют
вероятностно-статистический подход или
метод имитационного моделирования,
основанный на закономерностях распределения случайной величины.
Научная база определения основных
количественных показателей риска строится на основе статистической модели
безопасности перевозок железнодорожным
транспортом и статистического обоснования типа потока случайных событий. Это
позволяет выбрать конкретную модель,
описывающую состояние безопасности
движения посредством получения количественных оценок показателей риска. Одним
из общих определений, наиболее близко
соответствующим требованиям гармонизации понятийного аппарата для оценки
рисков железнодорожных перевозок является определение риска принятое в теории
управления в социально-экономических
системах. Последнее учитывает временной
интервал и подтверждает необходимость
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2014 № 38
63
ОРГАНІЗАЦІЯ ТА УПРАВЛІННЯ ПРОЦЕСОМ ПЕРЕВЕЗЕНЬ
использование того фундаментального
факта теории потоков, что сумма независимых пуассоновских потоков является также
пуассоновским потоком.
l%0 ( t1 + n1t 1 , t2 + n2t 2 , t2 + n2t 3 ) =
= l% ( t , t , t ) ,
0
1
2
3
" t1 , t2 , t3 Î R " n1 , n2 , n3 Î Z .
Цель статьи
Это условие является аналогом периодичности функции интенсивности пуассоновского процесса. Обозначим
Целью данной работы является исследование свойств оценки интенсивности
потока опасных событий, как статистической модели безопасности перевозок железнодорожным транспортом.
3
D 0 := Õ [0,t i ] .
i =1
(III) Функция l%0 во внутренних точ-
ках бруса D 0 совпадает с функцией
l0 : D 0 ® R , причем l0 принадлежит K –
заданному компактному в пространстве
( C (D 0 ), × ¥ ) множеству, состоящему из
Изложение основного материала
Пусть мы наблюдаем точки (аварийные и опасные ситуации), занимающие
случайное положение в пространстве независимо друг от друга; число точек, попадающих в любую пространственную область (или случайная точечная мера), распределяются по закону Пуассона. Тогда
можно сказать, что мы наблюдаем на расширяющейся последовательности областей
события пуассоновского поля [2], заданного на R 3 . Если речь идет о значительном
промежутке времени, то следует рассматривать поток опасных событий как пуассоновский поток случайных событий с переменной интенсивностью (частотой опасных
событий). Предположим, что интенсивность неизвестна, однако является периодической функцией. Построим оценку
функции интенсивности методом максимального правдоподобия и исследуем ее на
состоятельность.
Введем следующие условия.
Пусть ( W, Á, P ) - полное вероятностное пространство. В дальнейшем все случайные процессы и поля считаются заданными на этом пространстве.
(I) N = N(B, w ), B Î ℬ( R 3 ), w ÎW пуассоновское поле на R 3 с неизвестной
функцией
интенсивности
3
=
l%0 l%0 (t ), t Î R . Здесь ℬ - борелевская
неотрицательных функций.
Здесь и далее f ¥ := max f (t ) – равtÎD0
номерная норма в пространстве непрерывных функций на D 0 . Положим
l* (t ) := min {l (t ) l Î K } для t Î D 0 ,
и
M k := max {l (t ) t Î D 0 , l Î K } .
(IV) Выполняется неравенство
dt
òD l* (t ) < +¥
0
(здесь и далее используется интеграл Лебега).
(V) В R 3 задана возрастающая последовательность ограниченных борелевских
множеств { Gk , k³1}, причем G1 имеет положительную меру Лебега.
Пусть N% - другое пуассоновское поле
на R 3 с функцией интенсивности l% = l%(t ) ,
которая удовлетворяет условию периодичности (II); пусть также l% совпадает во
внутренних точках D 0 с непрерывной
функцией l Î K .
В работе [3] показано, что для построения оценки максимального правдоподобия (ОМП) по наблюдениям событий
s - алгебра.
(II) Для фиксированных положительных чисел
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2014 № 38
64
ОРГАНІЗАЦІЯ ТА УПРАВЛІННЯ ПРОЦЕСОМ ПЕРЕВЕЗЕНЬ
поля N на множестве Gk достаточно рассмотреть функционал
Qk (l ) := +
Пуассоновские поля {N i , i Î Z 3 } независимы и вследствие условия (ii) порождают одинаковое распределение в пространстве точечных мер на D 0 .
Ниже используется аддитивность интеграла Лебега. При этом то обстоятельство, что множества Di могут иметь общие
точки, не является препятствием, поскольку
" i Î Z 3 : P { N (¶Di ) = 0} = 1 , поэтому нижеследующие рассуждения корректны. Функционал (1) запишется в виде
1
ò l% (t )dt +
mesGk G
k
1
(1)
ò ln l% (t )dN (t ), l Î K .
mesGk G
k
Тут и далее mesGk обозначает меру
Лебега множества Gk .
Оценкой максимального правдоподобия (ОМП) функции интенсивности пуассоновского поля {N ( B, w ) B Î ℬ (Gk )}
Qk (l ) = -
0
является распределенный в K случайный
элемент
lˆk = lˆk (w ) Î K , где k ³ 1
W1 Ì W 0 , P(W1 ) = 1 ,
n(k ) × mesD 0
1
+
×
´
mesGk
n(k ) × mesD 0
и
w Î W1 ,
удовлетворяющий соотношению:
Qk (lˆk ) = max Qk (l ) .
lÎK
n(k ) × mesD 0
1
×
× l (t )dt +
mesGk
mesD 0 Dò
´
å ò ln l (t )dN (t ) + R (l ),
i
i:Di ÌG D
k 0
(3)
k
где
(2)
1
×
mesGk
ò
l% (t )dt +
Строгая состоятельность оценки
Rk (l ) := -
Чтобы записать функционал (1) в более удобной форме, рассмотрим покрытие
множеств Gk «элементарными клетками»:
1
+
×
ln l% (t ) dN (t ).
å
mesGk i:D ÌG1 \G0 D ÇòG
k
i k k i
Di :
3
Õ [i t
k= 1
k k
, =(ik + 1)t k ], где
Gk0 :=
t := (t 1 , t 2 ,t 3 ) Î R3 , i : (i=1 , i2 , i3 ) Î Z 3 ,
it := (i1t1 , i2t 2 , i3t 3 ).
U
G \G 0
k k
i:Di ÌG
k
Di , Gk1 :
=
U
i:Di ÇG ¹0/
k
(4)
Di .
Введем ограничения на область наблюдений.
(VI)
mesGk ® ¥
и
Введем дополнительные обозначения.
Пусть
- n( k ) := #{i Î Z 3 : Di Ì Gk }
количество
«элементарных
клеток»,
которые полностью лежат в области Gk ;
mesGk1 / mesGk0 ® 1, k ® ¥.
Это в точности означает, что
{Gk } стремятся к бесконечности по Ван
Хову [4], с.8.
Теорема. Пусть выполнены условия
(I) – (VI). Тогда с вероятностью 1
- n1 ( k ) := #{i Î Z 3 : D i Ç Gk ¹ 0}
/ количество
«элементарных
клеток»,
которые имеют с областью Gk непустое
пересечение;
- N i ( B) := N ( B + it ), B Î ( D 0 ), i Î Z 3 .
max lˆk (t ) - l0 (t ) ® 0, k ® ¥.
tÎD
0
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2014 № 38
65
ОРГАНІЗАЦІЯ ТА УПРАВЛІННЯ ПРОЦЕСОМ ПЕРЕВЕЗЕНЬ
Доказательство. Из вида Rk (l ) в (4),
1
Qk (l ) ® l (t )dt +
условий (VI), (IV) и усиленного закона
mesD 0 Dò
0
больших чисел (УЗБЧ) можно доказать, что
1
п.н.
=
+
l0 (t ) ln l (t )dt : F(l , l0 ).
mesD 0 Dò
0
(5)
sup Rk (l ) ® 0, k ® ¥.
lÎK
Последняя функция и является предельным функционалом для Qk (l ) .
Далее проверяются общие условия
состоятельности оценок [5], с.76. Приведем
эти условия и проверим их выполнение.
Пусть s0 - это истинное значение
функции интенсивности, s0 Î K . Для строгой состоятельности ОМП, определяемой
соотношением (2), достаточно проверить
следующее:
1)
Для некоторого фиксированного элемента s0 Î K при каждом s Î K
справедливо
соотношение
{
}
P lim Qn=
=
(s , w ) F ( s, s0 ) 1
n®¥
Функционал F (×, l0 ) принимает вещественные значения и непрерывен на K .
Также можно показать, что при l ¹ l0 выполняется условие F(l ×, l0 ) < F (l0 , l0 ).
Рассмотрим разность
Qk (l1 ) - Qk (l2 ) £
£
n(k ) × mesD 0
1
×
× l1 - l2 dt +
mesGk
mesD 0 Dò
0
с некоторой
+
действительной функцией F (s, s0 ), s Î K ,
непрерывной на K и такой, что
´
1
n(k ) × mesD 0
×
´
mesGk
n(k ) × mesD 0
å ò
i:Di ÌGk D
0
F( s; s0 ) < F (s0 ; s0 ), s ¹ s0
ln l1 - ln l2 dN i (t ) +
+ Rk (l1 ) - Rk (l2 ) .
(т.е. точка максимума предельного функционала F( s, s0 ) существует и единственная).
2)
Для любого d > 0 существует
g0 > 0
и
функция
c(g ), g > 0;
c(g ) ® 0, g ® 0, такие, что для любого
элемента s / Î K при любом 0 < g < g 0 выполняется соотношение
Применим теорему Лагранжа для разности ln l1 - ln l2 , тогда для каждого g > 0
имеем
sup
( l1 ,l2 ÎK , l1 - l2 <g )
¥
Qk (l1 ) - Qk (l2 ) £
æ
n(k ) × mes D 0 ç 1
£
× g dt +
mesGk ç mesD 0 Dò
è
0
ì
ü
ï
ï
/
P í lim
Qn ( s) - Qn ( s ) £ c(g ) ý = 1.
sup
n®¥
( s - s / <g ; s - s0 ³d )
ïî
ïþ
ö
1
g
dN i (t ) ÷ +
× å ò
÷
n(k ) × mesD 0 i:D ÌG D l (t )
i k 0 *
ø
Rk (l1 ) - Rk (l2 ) .
+
sup
+
В силу УЗБЧ и из соотношений (3),
(5) для фиксированного l Î K с вероятностью единица при k ® ¥ получаем
( l1 ,l2 ÎK , l1 - l2 <g )
¥
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2014 № 38
66
ОРГАНІЗАЦІЯ ТА УПРАВЛІННЯ ПРОЦЕСОМ ПЕРЕВЕЗЕНЬ
sup
( l1 ,l2 ÎK , l1 - l2 < g )
¥
£
Qk (l1 ) - Qk (l2 ) £
асимптотические свойства ОМП функции
интенсивности (асимптотическая нормальность, скорость сходимости), повышение
качества построенной оценки.
n(k ) × mes D 0
×g ´
mesGk
æ
ö
1
1
dN i (t ) ÷ +
´ ç1 +
× å ò
ç n(k ) × mesD 0 i:D ÌG D l (t )
÷
i k 0 *
è
ø
Rk (l1 ) - Rk (l2 ) .
+
sup
Список литературы:
1. Мартынюк И.В., Попов О.Н.,
Флегонтов Н.С. О разработке принципов и
методов оценки рисков возникновения
чрезвычайных
ситуаций
на
железнодорожном транспорте // Труды
Третьей науч.-практ. конф. «Безопасность
движения поездов». – М., 2002. – С. II-21.
2. Reiss R. D. A Course on Point
Processes. - Springer, New Yourk, 1993. – 255
p.
3. Кукуш О. Г., Степанищева А. О.,
Асимптотичні властивості непараметричної
оцінки
інтенсивності
неоднорідного
пуассонового поля // Теорія ймовірностей
та математична статистика. – 2001. - Вип.
65. - C. 97-109.
4. Леоненко Н. Н., Иванов А. В.,
Статистический анализ случайных полей. –
К.: Выща школа, 1986. - 216 с.
5. Дороговцев А. Я., Теория оценок
параметров случайных процессов. – К.:
Выща школа, 1982. – 203 c.
( l1 ,l2 ÎK , l1 - l2 <g )
¥
Из соотношения (5) получаем, что
sup Rk (l1 ) - Rk ( l2 ) ® 0 при k ® ¥ . То-
l1 ,l2ÎK
гда, из УЗБЧ при условии (VI) для каждого
g > 0 имеем
ìï
P í lim
sup
Qk (l1 ) - Qk (l2 ) £
ïîk ®¥ ( l1 ,l2 ÎK , l1 -l2 ¥ <g )
æ
öü
1
l0 ÷ ï
ç
£ g 1+
dt ý = 1.
ç mesD 0 Dò l
÷
0 * øï
è
þ
В качестве функции выбираем
æ
ö
1
l0 ÷
ç
с(g ) = g 1 +
dt .
ç mesD 0 Dò l
÷
0 * ø
è
Spisok literatury:
1. Martynjuk
I.V.,
Popov
O.N.,
Flegontov N.S. O razrabotke printsypov i
metodov otsenki riskov vozniknovenija
chrezvychajnykh
situatsyj
na
zheleznodorozhnom transporte // Trudy Tret`ej
nauch.-pract.konf. “Bezopasnost’ dvizhenija
poezdov”. – M., 2002. – C.11-21.
2. Reiss R. D. A Course on Point
Processes. - Springer, New Yourk, 1993. – 255
p.
3. Kukush O.G., Stepanishcheva A.O.
Asimptotychni vlastyvosti neparametrichnoji
otsinky
intensyvnosti
neodnoridnoho
puassonivs`kogo polja // Teorija imovirnostej
ta matematychna statystyka. – 2001. – Vyp.65.
– C.97-109.
Оба условия состоятельности оценки
выполнены. Теорема доказана.
Выводы
Для определения количественных показателей риска железнодорожных перевозок предложена статистическая модель для
обоснования типа потока опасных событий,
который рассматривается как пуассоновский поток случайных событий с переменной интенсивностью (частотой опасных событий). Для неизвестной периодической
функции интенсивности рассмотренного
пуассоновского поля получены достаточные условия строгой состоятельности ее
оценки максимального правдоподобия.
Следующим этапом исследования являются
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2014 № 38
67
ОРГАНІЗАЦІЯ ТА УПРАВЛІННЯ ПРОЦЕСОМ ПЕРЕВЕЗЕНЬ
Проведено дослідження властивостей оцінки
максимальної вірогідності функції інтенсивності
(частоти
небезпечних
подій)
неоднорідного
пуассонівського поля, як статистичної моделі
безпеки перевезень залізничним транспортом.
Зроблено
висновок
про
строгу
конзистентність даної оцінки.
Ключові слова: пуассонівське поле, функція
інтенсивності, оцінка максимальної вірогідності,
конзистентність оцінки.
4. Leonenko N.N., Ivanov
A.V.
Statisticheskij analiz sluchajnykh polej. – K.:
Vyshcha shkola, 1986. – 216 c.
5. Dorogovtsev A.Ya. Teorija otsenok
parametrov sluchajnykh protsessov. – K.:
Vyshcha shkola, 1982. – 203 c.
Аннотации:
Проведено исследование свойств оценки
максимального
правдоподобия
функции
интенсивности
(частоты
опасных
событий)
неоднородного
пуассоновского
поля,
как
статистической модели безопасности перевозок
железнодорожным транспортом.
Сделан вывод о строгой состоятельности
рассматриваемой оценки.
Ключевые слова: пуассоновское поле,
функция интенсивности, оценка максимального
правдоподобия, состоятельность оценки.
A study of
properties of the maximum
likelihood estimate of the intensity function (frequency
of dangerous events) of a nonhomogeneous Poisson
field as a statistical model railway transportation safety.
The consistency of this estimate are investigated.
Keywords: Poisson field, the intensity function,
the maximum likelihood estimate, the consistency of the
estimate.
УДК 656.071
БОСОВ А.А., д.т.н., профессор (ДНУЗТ)
ЛОЗА П.А., к.т.н., доцент (ДНУЗТ)
Построение индекса произвольного процесса
Bosov A., Dr. Eng., Professor (DNURT)
Loza P., PhD in Eng., Associated Professor (DNURT)
Creation of an index of arbitrary process
двух методов: метода главных компонент и
метода анализа иерархий, что позволяет избавиться от субъективизма экспертов в методе анализа иерархий.
Введение
Многие процессы или явления, протекающие во времени, характеризуются несколькими показателями, и тогда возникает
задача, с помощью линейных преобразований, определить такие показатели, которые
между собой не коррелировали, но незначительное их число с достаточной степенью точности описывало бы исходный
процесс.
Данная задача решается с помощью
метода главных компонент. В предлагаемой работе осуществляется объединения
Основной материал
Пусть в любой момент времени некоторый процесс характеризуется набором
показателей xi , i = 1, n .
Тогда возникает задача введения некоторого индекса, который бы с опреде-
Збірник наукових праць ДонІЗТ. 2014 № 38
68
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа