close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
В МОДЕЛИ ГОСУДАРСТВА
В.К. Захаров
Московский государственный
университет имени М.В. Ломоносова
О.А. Кузенков
Нижегородский государственный
университет имени Н.И. Лобачевского
1
ВВЕДЕНИЕ
Доклад состоит из трёх частей. В первой части, принадлежащей
первому автору, излагается общая агрегированная модель
государства в широком смысле (близком к слову «страна»).
Во второй части, также принадлежащей первому автору, на
основе общей модели государства, нового понятия реальной
стоимости достояний и новой теории денег как средства
государственного управления создаётся соответствующая
математическая модель в виде системы из семи дифференциальных
уравнений с восемью управляющими параметрами. Эта система
называется далее системой экономических уравнений государства.
Для неё ставится оптимизационная задача нахождения оптимального
управления для обеспечения максимума совокупного конечного
достояния государства.
В третьей части, принадлежащей второму автору, на основе
принципа максимума Понтрягина приводится явное аналитическое
решение указанной выше оптимизационной задачи. Оно позволяет
дать эффективный численный алгоритм поиска оптимального
управления.
В заключение находится численное решение задачи при одном
наборе значений исходных и начальных данных, и приводятся
соответствующие графики.
2
ЧАСТЬ 1
ОБЩАЯ АГРЕГИРОВАННАЯ
МОДЕЛЬ ГОСУДАРСТВА
3
ГРАФИЧЕСКАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ГОСУДАРСТВА
4
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫГОСУДАРСТВА
P
Hk
Fi
G
Gj j
Ek
Ci
Dj
A1 A2 A3
а
C  (Ci | i  I )
– система содержательных укладов
D  ( D j | j  J )
E  ( Ek | k  K )
F G  H
– система учётных укладов
– система обеспечительных укладов
- системы распорядительных ведомств
P
– властная система
A1
A3
– природная среда,
A2 – внешняя
– внутренняя теневая среда
организованная среда,
5
ВЛАСТНАЯ СИСТЕМА
Президент РФ с его Администрацией; Федеральное Собрание (Государственная Дума
и Совет Федерации); Правительство РФ (Председатель Правительства с его Аппаратом, его
заместители и федеральные министры);
Председатель Думы
<
Гос.
Дума
Президент
Председатель СФ
<
<
Совет
Федерации
Председатель
Правительства
<
Администрация
Президента
<
<
<
Аппарат
Правительства
Заместители
<
<
Федеральные министры
в ведении Председателя
Правительства
Федеральные министры
в ведении Президента
6
РАСПОРЯДИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Совокупную распорядительную систему РФ
составляют следующие ведомства: министерства,
федеральные службы, федеральные агентства,
государственные фонды, Конституционный и
Верховный суды, Генеральная прокуратура, ЦИК,
Счётная палата, органы федерального надзора,
высшие церковные органы, центральные органы
партий и профсоюзов, …
В ведении Президента РФ находятся МО, МВД,
МЧС, МИД, МЮ, Служба внешней разведки, ФСБ,
Федеральная служба охраны, Генеральная
прокуратура, ЦИК, …
В ведении Председателя Правительства
находятся остальные распорядительные системы.
7
УКЛАДЫ СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
- Министерство экономического развития и
торговли ведает таможнями, торговыми
инспекциями и т.п.;
- Министерство промышленности и
энергетики ведает предприятиями
промышленности и энергетики;
- Министерство образования и науки ведает
школами, вузами, НИИ и т.п.;
- Министерство здравоохранения ведает
больницами, поликлиниками, санаториями и т.п.;
- Министерство культуры ведает театрами,
музеями, концертными залами и т.п.;
- и т.д.
8
УКЛАДЫ УЧЁТНОЙ СИСТЕМЫ
- Министерство финансов ведает монетными
дворами, казначействами, налоговыми органами, банками
(в том числе Центробанком), биржами и т.п.;
- Пенсионный фонд ведает местными отделениями
Пенсионного фонда;
- Федеральный фонд обязательного медицинского
страхования ведает страховыми компаниями;
- Фонд социального страхования при
Правительстве РФ ведает своими местными
отделениями;
- Федеральная служба государственной статистики
ведает своими местными отделениями;
- Федеральная служба по финансовым рынкам
ведает своими местными отделениями;
- Федеральная служба по тарифам ведает своими
местными отделениями;
9
- и т.д.
УКЛАДЫ ОБЕСПЕЧИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
- Министерство обороны ведает воинскими частями,
военкоматами, предприятиями военно-промышленного
комплекса и т.п.;
- Министерство чрезвычайных ситуаций ведает своими
частями, НИИ специального назначения и т.п.;
- Министерство внутренних дел ведает полицейскими
подразделениями, частями внутренних войск и т.п.;
- Конституционный и Верховный Суды ведают
региональными и местными судами;
- Генеральная прокуратура ведает местными отделениями
Генеральной прокуратуры;
- Центральная избирательная комиссия ведает местными
и региональными избирательными комиссиями:
- Московский патриархат ведает храмами, монастырями,
приютами и т.п.;
- Центральные органы партий и профсоюзов ведают
своими партийными и профсоюзными организациями;
- и т.д.
10
ДОСТОЯНИЯ ГОСУДАРСТВА
Используемые государством и производимые им
достояния располагаются в основных системах и во внешних
средах. Все эти достояния подразделяются на следующие
виды:
содержательное (код 1),
распорядительное (код 2),
властное (код 3),
обеспечительное (код 4),
учётное (код 5).
Каждая основная система производит достояние своего
вида. При производстве соответствующего достояния каждая
система использует некоторые из имеющихся в ней
достояний.
Наличие имеющихся в основных системах достояний
показано на следующем слайде. На нем производимые
достояния выделены квадратиком с жирным контуром.
11
СИСТЕМЫ И
ДОСТОЯНИЯ
1 2 3 4 5
1 3 4 5
P
1 2 3 4
H
1 2 4 5
5
3 4 5
G
F
1 2 4 5
E
1 2
1 2 4 5
C
1 4 5
A1 A2 A3
D
12
ПОТОКИ ДОСТОЯНИЙ
Все основные системы связаны между собой
потоками достояний. Содержательная, учётная и
обеспечительная системы также получают из
внешних
сред
и
отдают
в
эти
среды
соответствующие достояния.
Наличие имеющихся в государстве потоков
достояний показано на следующих слайдах. На
них дугами указаны преобразовательные
потоки. Передаточные потоки показаны
стрелками с указанием кодов на концах стрелок.
Произведённые потоки обозначены прямыми
входящими стрелочками, а изведённые –
выходящими.
13
ПЕРЕДАЧА
СОДЕРЖАТЕЛЬНОГО
ДОСТОЯНИЯ
1 3 4 5
P
1
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2
5
H
3 4 5
G
F
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2 4 5
1
1 2 4 5
2 4 5
E
C
D
1
1
1
4 5
A1 A2 A3
14
ПЕРЕДАЧА
ОБЕСПЕЧИТЕЛЬНОГО
ДОСТОЯНИЯ
1 3 4 5
P
4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
H
5
1 2
3 4 5
G
F
4
4
4
4
4
4
4
1 2 4 5
1 2 4 5
E
1 2 4 5
C
4
1
A1
4 5
A2 A3
D
15
ПЕРЕДАЧА
УЧЁТНОГО
ДОСТОЯНИЯ
1 3 4 5
P
5
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2
5
H
G
F
5
5
5
5
5
5
5
1 2 4 5
E
3 4 5
1 2 4 5
1 2 4 5
5
C
D
5
1 4 5
A1 A2 A3
16
ПЕРЕДАЧА
РАСПОРЯДИТЕЛЬНОГО
ДОСТОЯНИЯ
1 3 4 5
P
2
2
2
1 2 3 4 5
2
1 2 3 4
H
5
G
2
2
2
1 2 4 5
3 4 5
F
2
2
1 2
2
1
2 4 5
E
2
1 2 4 5
C
1
A1
4 5
A2 A3
D
17
ПЕРЕДАЧА
ВЛАСТНОГО
ДОСТОЯНИЯ
3
1 3 4 5
3
P
3
1 2 3 4 5
1 2 3 4
H
1 2 4 5
3
3
3
5
1 2
3 4 5
G
F
1 2 4 5
E
1 2 4 5
C
1
A1
4 5
A2 A3
D
18
ПОЛНАЯ СХЕМА
ДОСТОЯНИЙ
И ПОТОКОВ
3
1 3 4 5
P
4
3 1
2
3
5
2
2
1 2 3 4 5
2
1 2 3 4
H
2
1
4
5
1
4
5
1 2
5
3 4 55
2
G
F
2
2
4
1 2 4 5
3
2
3
3
1
5
1
1
4
5
1
4
5 1
2
4
1
2
1
5
2
5
5
4
4
2
1 2 4 5
5
E
C
D
1
1
4
5
1 4 5
A1 A2 A3
19
ЧАСТЬ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ГОСУДАРСТВА И
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
В НЕЙ
20
СИСТЕМА ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
ГОСУДАРСТВА
Математическая модель государства создаётся на
основе общей агрегированной модели. Достояние вида m в
системе M в момент времени t будем обозначать через
WmM(t).
Система эволюционных уравнений государства
составляется по следующему принципу сохранения:
скорость изменения реальной стоимости достояния какоголибо вида в какой-либо основной системе равна сумме
реальных стоимостей всех входящих потоков этого
достояния в эту систему минус сумма реальных стоимостей
всех выходящих потоков этого достояния из этой системы.
Система эволюционных уравнений упрощается путём
наложения допущений для потоков достояний. Часть
допущений основана на предположении о сохранении
реальной стоимости достояний, другая часть
допущений основана на новой теории денег как
средства государственного управления.
21
ССУДНЫЙ И БЮДЖЕТНЫЕ ПОТОКИ
Все преобразования и упрощения были проделаны в
статье авторов за 2011 год. Там было положено, что
ссудный поток имеет вид
1
1
L55

aW
(
K

W
DC
C
C ) /( c  dr 
55
( BDC

55
BDD

55
BDE

55
BDF

55
BDG

55
BDH

55
BDP )),
где
55
BDM
обозначают бюджетные потоки из системы D в системы
M=C,D,E,F,G,H,P, число K>0 обозначает наибольшую предельно
возможную
величину
содержательного
достояния
содержательной системы, а числа a, c, d>0 представляют собой
размерностные коэффициенты.
22
СИСТЕМА ЭКОНОМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ГОСУДАРСТВА
(первое-второе уравнения)
55
W D5  BDD
 e1WD5
23
СИСТЕМА ЭКОНОМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ГОСУДАРСТВА
(третье-седьмое уравнения)
55
W E4  BDE
 e2WE4
2
55
2

WF  BDF  e3WF
55
WG2  BDG
 e4WG2
55
W H2  BDH
 e5WH2
55
W P3  BDP
 e6WP3
24
ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ
СИСТЕМЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Властная система государства должна решать
оптимизационную задачу на выбор оптимизирующих
управлений
55
55
55
55
55
55
55
r , BDC
, BDD
, BDE
, BDF
, BDG
, BDH
, BDP
в системе экономических уравнений в соответствии с
поставленными целями на временном промежутке [0,T].
Возможной целью может быть обеспечение
максимума совокупного конечного достояния
государства
(WC1  WD5  WE4  WF2  WG2  WH2  WP3 )(T )  max .
25
ОГРАНИЧЕНИЯ НА УПРАВЛЕНИЯ
Оптимизирующие управления должны
быть ограничены как снизу, так и сверху
следующими числовыми неравенствами:
r0  r  r1
55
( BDM )0
55
 BDM
55
 ( BDM )1
для M=C,D,E,F,G,H,P.
26
ПЕРЕОБОЗНАЧЕНИЯ
Далее для удобства полагается
WC1  x
m
WM
 yi
r u
55
BDC
v
55
BDM
 wi
для M=D,E,F,G,H,P, соответственно
27
ЧИСЛЕННЫЕ ДАННЫЕ
Интерес представляет нахождение
оптимального решения системы
экономических уравнений государства
при следующих числовых данных:
T=100, K=300, q=20, a=0,0005, c=1,
p1=0,3, p2=0,6, p3=p4=p5=0,2, p6=0,7,
e0=0,015, e1=0,005, e2=0,02,
e3=e4=e5=0,005, e6=0,01, x(0)=100,
y1(0)=20, y2(0)=20, y3(0)=10, y4(0)=10,
y5(0)=10, y6(0)=30, u0=0.001, u1=1, v0=0,
v1=0.5, wi0=0.1, wi1=0.2, i=1,…6.
28
БАЗИСНО-НАДСТРОЕЧНАЯ МОДЕЛЬ
ГОСУДАРСТВА
Рассмотрим упрощённый вариант предыдущей системы.
Данное упрощение означает, что p1=p2=p3=p4=p5=p6=p и
e1=e2=e3=e4=e5=e6=e. Тогда государство в широком смысле
можно считать состоящим всего из двух систем: из базисной
содержательной системы C и из совокупной надстроечной
системы ∆. Получающуюся при этом модель можно назвать
базисно-надстроечной моделью государства.
Рассмотрим совокупное надстроечное достояние
5
W  WD
4
 WE
2
 WF
2
 WG
2
 WH
3
 WP
и совокупный надстроечный бюджетный поток
55
55
55
55
55
55
55
BD

B

B

B

B

B

B

DD
DE
DF
DG
DH
DP .
.
29
БАЗИСНО-НАДСТРОЕЧНАЯ СИСТЕМА
УРАВНЕНИЙ
Складывая шесть последних уравнений из
предыдущей системы, мы получаем систему из двух
уравнений
55

W  BD  eW
с тремя управлениями
55
r , BDC
, BD55 .
30
Часть 3
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
В МОДЕЛИ ГОСУДАРСТВА
1. УПРОЩЕННАЯ (ДВУМЕРНАЯ)
ЗАДАЧА
• Управляемая система
dx
a ( K  x) x
dy

 pw  e0 x,
 w  ey
dt c  qu  w  v
dt
• Начальные условия x(0)  x0 , y(0)  y0
• a, K, c, q, p, e, e0 - положительные константы
• u,v,w – управляющие функции
u0  u  u1 , v0  v  v1 , w0  w  w1 ,
• Целевой функционал
x(T )  y(T )  max
Принцип максимума
• Сопряженная система
d 1
a( K  2 x*)
 (
dt
c  qu * v *  w *
d 2
 e 2
dt
 e0 ) 1
 (T )   (T )  1
• Условия трансверсальности
• Функция Гамильтона
1
2
a( K  x*) x *
H (u, v, w)   1(
 pw  e0 x*)   2 ( w  ey*)
c  qu  v  w
Определение минимума функции
Гамильтона
• Решение сопряженной системы
a( K  2 x*)
 1   exp(  (
 e0 )dt ),
t c  qu *  v *  w *
 2   exp( e(t  T ))
T
• Минимум будет достигаться только при u*=u0,
v*=v0.
• Оптимальное управление w* кусочнопостоянно: w*=w1 или w*=w0 , причем в
окрестности точки T будет иметь место w*=w1
Фазовый портрет системы
при постоянном управлении
y
y
y
y*
y=w/e
y*
x
w=w0
x*=251,987
y*=50
x*+y*=301,987
x
w=w1
x*
x*=232,448
y*=100
x*+y*=322,448
x*
Численное решение задачи
• Исследование оптимизационной задачи на
основе принципа максимума не дает
окончательного решения, поскольку найти
аналитически значение точки
переключения не представляется
возможным. Поэтому дальнейший поиск
решения проводится численно.
• При численном решении были приняты
следующие значения параметров задачи
x0=100, y0=100, p=0.4, e0=0.015, e=0.01,
K=300, a=0.0005, q=20, c=1, u0=0.001, u1=1,
v0=0, v1=1000, w0=0.5, w1=1, T=100.
• Проведенные численные расчеты
показывают, что наилучшим будет
постоянное управление w*=w1. При этом
x*(100)=231, y*(100)=100,
x*(100)+y*(100)=331
Оптимальное поведение
системы
Зависимость
величины x(t) от
времени
Зависимость
величины y(t) от
времени
Зависимость суммы x(t)+y(t)
от времени
Поведение системы в случае
управления с переключением
в точке t=50
Зависимость
величины x(t) от
времени
Зависимость
величины y(t) от
времени
Зависимость суммы x(t)+y(t)
от времени
Оптимальное поведение
системы при e0=0.15, e=0.1
120
120
100
100
80
250
200
80
150
60
60
Ряд1
Ряд1
Ряд1
100
40
40
20
50
20
0
1
785 1569 2353 3137 3921 4705 5489 6273 7057 7841 8625 9409
0
0
1
-20
Зависимость
величины x(t) от
времени
785 1569 2353 3137 3921 4705 5489 6273 7057 7841 8625 9409
Зависимость
величины y(t) от
времени
1
785 1569 2353 3137 3921 4705 5489 6273 7057 7841 8625 9409
Зависимость суммы x(t)+y(t)
от времени
2. СЕМИМЕРНАЯ ЗАДАЧА
• Управляемая система
6
dx
a( K  x) x
dyi

  p j w j  e0 x,
 wi  ei yi , i  1,6
6
dt c  qu  v   w j 1
dt
j 1
j
x(0)  x0 , yi (0) 
• Начальные условия
• a, K, c, q, pi, ei, e0 - положительные константы
• u,v,wi – управляющие функции
u0  u  u1 , v0  v  v1 , w0i  wi  w1i ,
• Целевой функционал
6
x(T )   yi (T )  max
i 1
yi 0
Принцип максимума
• Сопряженная система
d 1
a( K  2 x*)
dt
 (
6
c  qu * v *   wi *
 e0 ) 1
i 1
d i
 e i , i  2,6
dt
• Условия трансверсальности  (T )  1
• Функция Гамильтона
6
6
i
H   1(
a( K  x*) x *
6
c  qu  v   wi
i 1
  pi wi  e0 x*)   i 1 ( wi  ei yi *)
i 1
i 2
Определение минимума функции
Гамильтона
• Решение сопряженной системы
T
a( K  2 x*)
 1   exp(  (
 e0 )dt ),
6
t
c  qu * v *   wi *
i 1
 i   exp( ei (t  T )), i  2,7
• Минимум будет достигаться только при
u*=u0, v*=v0.
• Каждое оптимальное управление wi*
кусочно-постоянно: wi* =w1i или wi* =w0i
Численное решение задачи
• T=100, K=300, q=20, a=0,0005, c=1, p1=0,3,
p2=0,6, p3=p4=p5=0,2, p6=0,7, e0=0,015,
e1=0,005, e2=0,02, e3=e4=e5=0,005, e6=0,01,
x(0)=100, y1(0)=20, y2(0)=20, y3(0)=10,
y4(0)=10, y5(0)=10, y6(0)=30, u0=0.001, u1=1,
v0=0, v1=0.5, w0i=0.1, w1i=0.2, i=1,…6.
• Проведенные численные расчеты
показывают, что наилучшим будет
постоянное управление w*=w1
Зависимость целевого
функционала от точки
переключения управления
Время переключения
Динамика x(t) при оптимальном
управлении
•
Динамика у(t) при оптимальном
управлении
y1
Y3-y5
y2
y6
Динамика x(t) в режиме
с переключением
Возможность переключения
• T=100, K=500, q=10, a=0,0001, c=1,
p1=0,01, p2=0,02, p3=p4=p5=0,03, p6=0,05,
e0=0,0001, e1=0,005, e2=0,01,
e3=e4=e5=0,002, e6=0,01, x(0)=100, y1(0)=20,
y2(0)=20, y3(0)=10, y4(0)=10, y5(0)=10,
y6(0)=30, u0=0.001, u1=1, v0=0, v1=0.5,
w0i=0.1, w1i=0.2, i=1,…6.
• Точки переключения c w0i на w1i
w1 : t=50; w2 : t=20 w3 : t=30 w4 : t=30 w5 : t=50
w6 : t=10
БЛАГОДАРЮ
ЗА ВНИМАНИЕ
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа