close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Задачи
по стереометрии
Ермак Елена Анатольевна,
доктор педагогических наук,
профессор кафедры математического
анализа и методики обучения математике
Псковского государственного университета
Задача № 1 Ребро куба имеет длину 1. Найти расстояние между диагональю куба и
скрещивающейся с ней диагональю грани этого куба.
D1
C1
B1
A1
D
A
C
B
Задача № 1 Ребро куба имеет длину 1. Найти расстояние между диагональю куба и
скрещивающейся с ней диагональю грани этого куба.
D1
D1
C1
C1
B1
A1
O
O
D
A
K
K
C
B
B
Задача № 2 Ребро куба имеет длину 1. Найти расстояние между скрещивающимися
диагоналями смежных (то есть, имеющих общее ребро) граней этого
куба.
D1
C1
B1
A1
D
A
C
B
Задача № 2 Ребро куба имеет длину 1. Найти расстояние между скрещивающимися
диагоналями смежных (то есть, имеющих общее ребро) граней этого
куба.
D1
C1’
C1
B1
A1
D1’(C ’)
D
A
B 1’
A1’(B’)
C
B
D’
A’
Задача № 3 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро AB равно 3,
ребро AD равно 4, ребро AA1 равно 2. Точка F – середина ребра DD1, точка
K принадлежит ребру AD и делит его в отношении 1:3, считая от точки A.
Найти расстояние между прямыми BF и A1K.
D1
C1
B1
A1
F
D
C
K
A
B
Задача № 3 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро AB равно 3,
ребро AD равно 4, ребро AA1 равно 2. Точка F – середина ребра DD1, точка
K принадлежит ребру AD и делит его в отношении 1:3, считая от точки A.
Найти расстояние между прямыми BF и A1K.
D1
C1
B1
A1
F
Q
D
K
A
C
B
Задача № 3 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро AB равно 3,
ребро AD равно 4, ребро AA1 равно 2. Точка F – середина ребра DD1, точка
K принадлежит ребру AD и делит его в отношении 1:3, считая от точки A.
Найти расстояние между прямыми BF и A1K.
z
D1
C1
x
B1
A1
F
Q
D
K
A
C
y
B
Задача № 3 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро AB равно 3,
ребро AD равно 4, ребро AA1 равно 2. Точка F – середина ребра DD1, точка
K принадлежит ребру AD и делит его в отношении 1:3, считая от точки A.
Найти расстояние между прямыми BF и A1K.
z
D1
C1
x
A1
A (0;0;0)
B (0;3;0)
C (4;3;0)
D (4;0;0)
K (1;0;0)
B1
F
D
Q
A1 (0;0;2)
B1 (0;3;2)
C1 (4;3;2)
D1 (4;0;2)
F (4;0;1)
KA1 {-1; 0; 2}
C
 2;
A
K
y
B
3
KA1 . KQ = −1 ∙ 1 + 0 ∙ + 2 ∙
2
KQ
1
2
3 1
;
2 2
3 1
1; ;
2 2
Задача № 4 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все рёбра которой равны 1,
точки D и E – середины рёбер соответственно A1 B1 и B1C1. Найти косинус
угла между прямыми AD и BE.
C1
A1
E
D
B1
C
A
B
Задача № 4 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все рёбра которой равны 1,
точки D и E – середины рёбер соответственно A1 B1 и B1C1. Найти косинус
угла между прямыми AD и BE.
C1
E
A1
E
D
α
B1
C
K
K
A
B
B
Задача № 5 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1D1E1F1 , все рёбра
которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
E1
F1
A1
D1
C1
B1
F
E
A
D
B
C
Задача № 5 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1D1E1F1 , все рёбра
которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
F1
E1
A1
D1
B
C1
B1
60⁰
M
F
2
E
A
2
D
C
B
K
M
1
C1
Задача № 6 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , у которого AB =4;
ВС=6; СС1=4, найти тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1
D1
C1
A1
B1
4
D
C
6
A
4
B
Задача № 6 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , у которого AB =4;
ВС=6; СС1=4, найти тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1
D1
C1
D
K
C1
O
B1
α
A1
B1
4
A
O
D
C
6
A
4
B
Задача № 7 Все ребра правильной четырёхугольной пирамиды имеют одинаковую
длину 4. Секущая плоскость проходит через середины двух
противоположных сторон основания – точки M и N, а также – через
середину бокового ребра SD - точку P. Найти площадь сечения данной
пирамиды данной плоскостью.
S
P
D
C
M
N
A
B
Задача № 7 Все ребра правильной четырёхугольной пирамиды имеют одинаковую
длину 4. Секущая плоскость проходит через середины двух
противоположных сторон основания – точки M и N, а также – через
середину бокового ребра SD - точку P. Найти площадь сечения данной
пирамиды данной плоскостью.
S
2
3
N
Q
1
P
D
C
N
A
2
P
M
B
Q
2
M
Задача № 8 Основанием четырёхугольной пирамиды является квадрат ABCD, высота
её равна 1. Боковое ребро пирамиды SD перпендикулярно плоскости её
основания. Угол между двумя смежными боковыми гранями пирамиды
равен 120 о. Найти объем пирамиды.
S
K
D
C
M
O
A
B
Задача № 9 В основании четырёхугольной пирамиды SABCD–равнобедренная
трапеция с основаниями AD=12 и BC=6, боковой стороной AB=5. Высота
пирамиды равна 8 и её основание O –точка пересечения продолжений
боковых сторон трапеции. Найти наименьший из всех углов наклона
S
боковых граней пирамиды к плоскости её основания.
8
C
O
5
D
B
12
5
A
Задача № 10 В правильной треугольной пирамиде SABC все рёбра одинаковой
длины, а высота SO равна 4. Найти площадь полной поверхности
пирамиды.
S
C
4
O
A
B
Задача № 10 В правильной треугольной пирамиде SABC все рёбра одинаковой
длины, а высота SO равна 4. Найти площадь полной поверхности
пирамиды.
S
C
K
N
O
A
M
B
Задача № 11 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2,
а диагональ боковой грани равна 5 . Найти угол между плоскостью
A1BC и плоскостью основания призмы.
C1
A1
B1
5
C
A
2
B
Задача № 11 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2,
а диагональ боковой грани равна 5 . Найти угол между плоскостью
A1BC и плоскостью основания призмы.
C1
A1
B1
5
C
A
D
2
B
Задача № 12 Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является
равнобедренный треугольник ABC , в котором AB=BC = 20; AC=32.
Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру BB1,
причём BP: PB1 = 1:3. Найти тангенс угла между плоскостями A1B1C1 и
ACP.
C1
B1
A1
P
B
C
A
Задача № 12 Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является
равнобедренный треугольник ABC , в котором AB=BC = 20; AC=32.
Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру BB1,
причём BP: PB1 = 1:3. Найти тангенс угла между плоскостями A1B1C1 и
ACP.
C1
B1
A1
P
B
C
D
A
Задача № 13 В основании прямой призмы MNKM1N1K1 лежит прямоугольный
треугольник MNK, у которого угол N равен 90о, угол M равен 60о, NK=18.
Диагональ боковой грани M1N составляет угол 30о с плоскостью MM1K1.
Найти высоту призмы.
N1
M1
K1
N
M
K
Задача № 14 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 4;
A1D1 = 6; С1D1 =6 найти тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF,
проходящей через середины рёбер AB и B1C1.
6
D1
C1
6
F
B1
A1
4
D
A
E
C
B
Задача № 14 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 4;
A1D1 = 6; С1D1 =6 найти тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF,
проходящей через середины рёбер AB и B1C1.
D1
M
F
A1
C1
B1
D
C
A
Q
E
B
Задача № 15 Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая
цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам
длины 24 и 10. Найти тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью
основания цилиндра.
O’
O
Задача № 15 Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая
цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам
длины 24 и 10. Найти тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью
основания цилиндра.
E1
K
B
O1
A
F1
Q
E
O
C
D
M
F
Задача № 16 Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая
цилиндра равна 28, плоскость пересекает его основания по хордам
длины 12 и 16. Найти тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью
основания цилиндра.
Задача № 17 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой
равны 1, найти косинус угла между плоскостями ABC и BCS.
S
D
A
C
B
Задача № 17 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой
равны 1, найти косинус угла между плоскостями ABC и BCS.
S
D
C
M
O
A
B
Задача № 18 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины
рёбер AA1 = 5; AB =12; AD = 8. Найти тангенс угла между плоскостью ABC
и плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AK,
если K –середина ребра C1D1.
C1
K
D1
B1
A1
5
D
C
8
A
12
B
Задача № 18 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины
рёбер AA1 = 5; AB =12; AD = 8. Найти тангенс угла между плоскостью ABC
и плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AK,
если K –середина ребра C1D1.
C1
K
D1
B1
A1
E
5
D
C
8
A
12
B
Задача № 19 В конусе высота равна 12, а образующая 13. Найти площадь сечения
конуса плоскостью, проходящей через его вершину и хорду основания,
пересекающую перпендикулярный ей радиус на расстоянии 4 от центра
основания.
S
O
С
A
B
Задача № 20 Ребро куба имеет длину 1. Найти площадь сечения куба плоскостью,
проходящей через середину его диагонали перпендикулярно ей.
D1
C1
B1
A1
D
A
C
B
Задачи
по стереометрии
Ермак Елена Анатольевна,
доктор педагогических наук,
профессор кафедры математического
анализа и методики обучения математике
Псковского государственного университета
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа