close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Н.Р. Хуснутдинов Расчетные задания и методические указания

код для вставкиСкачать
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ
Н.Р. Хуснутдинов
Расчетные задания
и методические указания по курсу
Векторный и тензорный анализ
Учебно-методическое пособие
КАЗАНЬ 2014
УДК 517
Печатается по решению Редакционно-издательского совета
ФГАОУВПО
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
методической комиссии института физики
Протокол № 6 от 25 июня 2014 г.
заседания кафедры теории относительности и гравитации
Протокол № 5 от 20 июня 2014 г.
Автор-составитель
доктор физ.-мат. наук, доц. Н.Р. Хуснутдинов
Рецензент
доктор физ.-мат. наук, доцент А.А. Попов
Расчетные задания и методические указания по курсу Векторный и тензорный анализ: Учебно-методическое пособие / Н.Р.
Хуснутдинов. – Казань: Казанский университет, 2014. – 37 с.
Цель настоящего учебно-методического пособия состоит в оказании помощи студентам
II-го курса физического факультета в освоении курса "Векторный и тензорный анализ". В нем
содержится необходимый теоретический материал и типовые задачи с решениями.
c Казанский университет, 2014
Оглавление
1 Поверхности и линии уровня скалярных полей . . .
1.1 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Градиент и производная по направлению скалярного
2.1 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Векторные линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Поток и дивергенция векторного поля . . . . . . . .
4.1 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Циркуляция и ротор векторного поля . . . . . . . . .
5.1 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Оператор Гамильтона r. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Криволинейные координаты . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Потенциальные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Соленоидальные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . . .
. . . .
поля
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
5
7
8
9
10
13
14
16
17
19
20
22
23
25
26
28
28
33
1
Поверхности и линии уровня скалярных полей
Определение 1.1 Геометрическое место точек, в которых скалярное поле v принимает постоянное значение равное C , называется
поверхностью уровня или эквипотенциальной поверхностью.
Второе название пришло из физики. Рассмотрим ситуацию, когда скалярное поле v описывает потенциальную энергию частицы во внешнем
силовом поле. В этом случае поверхность уровня v = C описывает такую
поверхность, на которой потенциальная энергия частицы v равна постоянной C . Задавая различные значения постоянной C , можно наглядно
представить себе распределение потенциала в пространстве.
Задача 1.1 Найти поверхности уровня потенциальной энергии взаимодействия двух единичных зарядов.
Решение. В этом случае энергия взаимодействия имеет следующий вид:
v = 1=r, где r – расстояние между зарядами. Выберем p
декартову систему координат с центром в первом заряде. Тогда r = x2 + y 2 + z 2 ,
где (x; y; z ) суть координаты второго заряда. Очевидно, что скалярное
поле определено во всем пространстве кроме начала координат. Для нахождения эквипотенциальной поверхности приравняем потенциальную
энергию (скалярное поле) u постоянной C = p
v0. Тогда уравнение эквипотенциальной поверхности принимает вид 1= x2 + y 2 + z 2 = v0 . Отсюда,
возводя в квадрат, получим x2 + y 2 + z 2 = 1=v02 . Это уравнение описывает
сферу радиусом R = j1=v0 j. Эквипотенциальная поверхность с б´ольшим
значение потенциальной энергии v0 находится ближе к началу координат
(первому заряду). Таким образом, поверхностями уровня будут концентрические сферы, и скалярное поле является сферическим.
1.1
Задачи
Найти поверхности уровня скалярного поля
щую через точку M .
1.1 U = 10x+y 3z ; M (1; 2; 3)
1.2 U = 4x2 + 9y 2 ; M (2; 0; 1)
1.3 U = x2 +9y2 2 4z ; M (2; 1; 0)
1.4 U = x2 y 2 + 9z; M (1; 0; 1)
1.5 U = x + yz; M ( 1; 0; 1)
z
1.6 U = e x2 +y2 ; M ( 3; 0; 1)
1.7 U = arctg p z2 2 ; M (1; 0; 1)
x
+y
4
U
и поверхность, проходя-
1.8 U = yz ; M ( 1; 1; 1)
2
2
z2
; M (1; 1; 1)
1.9 U = x4 + y9
16
2
2
1.10 U = 4xp+ 9y
z; M ( 1; 1; 1)
y
1.11 U = ln 2x ; M (1; 1; 0)
1.12 U = ln r 2 ; M ( 1; 1; 1)
2 +y2
U = e ; M ( 3; 0; 1)
U = arcsin pzx2+y2 ; M (1; 0; 1)
1.15 U = ea r ; M (3; 1; 1). a – постоянный вектор
2 2
1.16 U = z 4+xy ; M ( 3; 0; 1)
2
2
z2
; M (1; 1; 1)
1.17 U = x4 + y9
16
y
1.18 U = x ; M ( 1; 1; 2)
1.19 U = 2y + xz; M (1; 0; 1)
1.20 U = x2 +9y2 2 +4z ; M (1; 1; 0)
1.21 U = sin a r ; M (3; 1; 1). a – постоянный вектор
1.22 U = ln 2yz 2 ; M (1; 1; 1)
1.23 U = 2z 2y+x2 ; M ( 1; 1; 1)
x
1.24 U = z 2 +2
y 2 ; M ( 1; 2; 1)
2
2
1.25 U = y x2z ; M ( 1; 1; 2)
1.13
1.14
2
z
x
Градиент и производная по направлению скалярного
поля
Определение 2.1 Градиентом скалярного поля v называется вектор, составленный из частных производных поля
grad v =
@v @v @v
i + j + k:
@x @y @z
Определение 2.2 Производной по направлению l скалярного поля
называется проекция градиента поля на это направление:
@v
= Прl grad v = grad v l :
@l
v
(1)
Вектор градиента имеет несколько полезных свойств, проясняющих
его смысл:
1. Вектор grad v в точке M ортогонален эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку.
2. Производная скалярного поля в точке M имеет наибольшее значение
в направлении grad v .
5
3. Максимальная скорость изменения скалярного поля в заданной точке численно равна длине вектора градиента в этой точке.
Задача 2.1 Вычислить производную скалярного поля
ке M0 (1; 2; 2) по направлению точки M1 (1; 1; 0).
v = 1=r в точ-
Решение. Для вычисления производной по направлению необходимо вычислить вектор градиента в точке M0 и координаты
p вектора l , задающего направление. Градиент поля v = 1=r = 1= x2 + y 2 + z 3 равен
grad v = r =r3, где r = (x; y; z ) – радиус-вектор произвольной точ!
ки. Далее находим координаты вектора M0 M1 = ( 2; 3; 2). Единичным
!
!
вектором l в направлении вектора
M
0 M1 является орт вектора M0 M1 :
p
!
!
l = M0M1=jM0M1j = ( 2; 3; 2)= 17. По определению (1) имеем:
@v
(1; 2; 2) ( 2; 3; 2)
12
p
= grad v l =
= p :
@l
27
17
27 17
Производная по направлению одинакова вдоль любой кривой, касательной к этому направлению. Поэтому для вычисления производной
по направлению достаточно задать точку, в которой вычисляется производная и кривую, проходящую через эту точку, касательная к которой
совпадает с заданным направлением.
Задача 2.2 Вычислить производную двумерного скалярного поля
w = arctan(xy) в точке M0(2; 4) по направлению параболы y = x2,
проходящей через эту точку, в сторону увеличения абсциссы x.
Решение. Для вычисления производной необходимо задать направление
в точке M0 , т.е. касательный вектор в этой точке. Для нахождения вектора, касательного к параболе, представим ее в параметрическом виде.
Простейший способ – принять переменную x за параметр t :
x = t; y = t2:
Если считать переменную t "временем", то эти уравнения описывают координаты точки, движущейся по параболе. Вектор скорости движения
точки касателен к траектории. Дифференцируя радиус-вектор r = (t; t2 )
по "времени" t получаем, что вектор, касательный к траектории, имеет
вид v = (1; 2t). Поскольку координата vx = 1 > 0, то полученный вектор скорости направлен в сторону увеличения абсциссы. Точке M0 (2; 4)
соответствует значение параметра t = 2. Подставляя это значение в вектор скорости, получаем вектор, касательный к параболе в точке M0 (2; 4):
6
v = (1; 4). Далее действуем
p обычным способом. Находим орт вектора скорости l = v =jv j = (1; 4)= 17. Затем вычисляем градиент в точке M0 (2; 4):
grad wjM0 = (4; 2)=65 и находим производную скалярного поля w в направлении вектора l :
@w
12
= grad w l = p :
@l
65 17
2.1
Задачи
При решении задач используйте скалярное поле U и точку M из предыдущего пункта.
2.1 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
прямой x 2 1 = y 1 4 = z +1
2
2.2 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
перпендикулярным плоскости 2x 3y 5z = 8
2.3 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению к
точке M1 (2; 4; 5)
2.4 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
радиуса-вектора этой точки
2.5 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
вектора a = ( 1; 2; 3)
2.6 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
градиента поля в этой точке
2.7 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
прямой x = 2 3t; y = 1 4t; z = 2 + 6t
2.8 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении перпендикулярным плоскости, проходящей через три точки
M1(1; 1; 1); M2(2; 3; 4); M3( 1; 3; 2)
2.9 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению к
точке M1 ( 2; 0; 7)
2.10 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
радиуса-вектора этой точки
2.11 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
вектора a = (1; 2; 0)
2.12 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
градиента поля в этой точке
2.13 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
прямой
2x 3y + 5z = 7;
x + y 3z = 1:
7
2.14 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
перпендикулярным плоскости, отсекающей от координатного угла отрезки 3; 4; 2
2.15 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
к точке M1 ( 1; 4; 0)
2.16 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
радиуса-вектора этой точки
2.17 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
вектора a = (6; 2; 1)
2.18 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
градиента поля в этой точке
2.19 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
прямой x+1
= y3 = z+4
2
5
2.20 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
перпендикулярным плоскости x + 3y + 2z = 7
2.21 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
прямой x3 1 = y1 = z +3
4
2.22 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
перпендикулярным плоскости 2(x 1) 3(y 2) 5(z 4) = 0
2.23 Найти производную скалярного поля U в точке M по направлению
к точке M1 ( 2; 4; 5)
2.24 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
радиуса-вектора этой точки
2.25 Найти производную скалярного поля U в точке M в направлении
вектора a = (1; 2; 3)
3
Векторные линии
Определение 3.1 Векторной линией векторного поля F называется кривая, направление касательной к которой в каждой ее точке
совпадает с направлением вектора F в этой точке.
Вектором, касательным к линии r (t), является вектор скорости
r_ (t) = drr (t)=dt. По этой причине дифференциальное уравнение векторной линии имеет следующий вид:
r_ (t) = FF (r (t)):
Векторное поле в декартовой системе координат имеет три компоненты
F = F x i + F y j + F z k . Уравнение векторной линии записывается в следу8
ющем виде:
y_
z_
x_
=
=
= :
Fx Fy Fz
(2)
Задача 3.1 Найти все векторные линии векторного поля F = yii +
xjj + bkk (b - const) и линию, проходящую через точку M0(1; 1; 1).
Решение. В данном примере векторное поле имеет компоненты F x =
y; F y = x; F z = b. Подставляя их в уравнения векторных линий (2),
получаем
dx dy dz
= = :
y x
b
(3)
Будем искать решение уравнений в виде y = y (x); z = z (x). Рассмотрим вначале первую часть уравнений (3). Интегрируя это соотношение, получаем x2 + y 2 = C12 . Таким образом, векторная линия лежит на
цилиндре
p радиусом C1 , направленным вдоль оси z . Выразим y через x:
y = C12 x2 и используем
это соотношение во втором равенстве. Поp
лучаем уравнение dx= C12 x2 = dz=b, которое легко интегрируется:
z = b arcsin(x=C1)+ C2. Таким образом, получаем решение в следующем
виде:
x
x2 + y2 = C12 ; z = b arcsin( ) + C2 :
C1
Для выяснения вида кривой перейдем к цилиндрическим координатам
x = sin '; y = cos '; z = z , т.е. параметризуем векторную линию полярным углом '. Получим
= C1 ; z = b' + C2 :
Теперь уже достаточно легко нарисовать полученную векторную
линию. Выберем для определенности знак " + ". Углу ' = 0 соответствует точка M0 (0; C1 ; C2 ). После совершения полного оборота ' = 2 мы
попадаем в точку M1 (0; C1 ; 2b + C2 ), которая находится на расстоянии
2b над (вдоль z ) первоначальной M0. Очевидно, это спираль с шагом
2b. Выбор другого знака " " меняет направление движения на противоположное.
3.1
Задачи
Найти семейство векторных линий поля
точку M .
k ; M (1; 1; 1)
3.1 F = yii xjj + zk
k ; M (1; 1; 0)
3.2 F = xyii + (x z )j + yzk
9
F
и линию, проходящую через
3.3 F = x2 i + y 2 j z 2 k ; M ( 1; 1; 1)
3.4 F = (x y )i + yjj + (z x)k ; M (1; 0; 1)
3.5 F = (x y )i + (y x)j + (z x)k ; M (1; 0; 1)
3.6 F = (x z )i + (y x)j + (z x)k ; M (1; 1; 1)
3.7 F = (x + 3y )i + 3yjj ; M (1; 2; 1)
3.8 F = x2 i + y1 j z2 k ; M (1; 1; 1)
k ; M (1; 0; 0)
3.9 F = xzii + yzjj xyk
k ; M (1; 0; 0)
3.10 F = 2xzii + zjj + xk
k ; M (1; 1; 1)
3.11 F = zii + xzjj + yk
k ; M (1; 1; 0)
3.12 F = yii + xzjj + yk
k ; M (1; 0; 0)
3.13 F = yii + xzjj + zyk
2
k ; M ( 2; 0; 0)
3.14 F = yii + z j + zyk
k ; M ( 2; 1; 1)
3.15 F = xii + yjj zk
k ; M (2; 1; 1)
3.16 F = xii yjj + zk
k ; M (2; 1; 1)
3.17 F = xii yjj + zk
k ; M (3; 1; 1)
3.18 F = 2xii + 2yjj + zk
k ; M ( 1; 1; 1)
3.19 F = (x z )i + 2yjj zk
k ; M ( 1; 1; 1)
3.20 F = (x z )i + (y z )j zk
k ; M (1; 2; 1)
3.21 F = yii 2xjj + zk
k ; M (1; 3; 0)
3.22 F = 2xyii + 3(x z )j + yzk
2
2
2
3.23 F = 2x i + y j z k ; M ( 1; 1; 1)
3.24 F = (x y )i + yjj + 2(z x)k ; M (1; 2; 1)
3.25 F = (x y )i + 2(y x)j + (z x)k ; M (1; 2; 1)
4
Поток и дивергенция векторного поля
Определение 4.1 Потоком векторного поля F через ориентированную поверхность S называется поверхностный интеграл
=
где
ZZ
S
(F n)dS;
n – единичный вектор нормали к поверхности S .
Направление вектора нормали обычно оговаривается в условии задачи. В случае замкнутой поверхности направление вектора нормали выбирается "изнутри наружу".
Если векторное поле F представляет собой поле скоростей жидкости, F = v , то потоком векторного поля через поверхность является
количество жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени. Если поток через замкнутую поверхность оказывается ненулевым,
10
то это означает, что внутри поверхности есть источники ( > 0) или
стоки ( < 0) жидкости. Для количественного описания этих стоков и
источников используется понятие дивергенции векторного поля.
Определение 4.2 Дивергенцией векторного поля F в точке M называется предел отношения потока через замкнутую поверхность,
окружающую точку M , к объему области, ограниченной этой поверхностью:
RR
div F = lim
S
(F n )dS
V
при стягивании поверхности к точке M .
V !M
;
Рассмотрим некоторые примеры вычисления потока.
Задача 4.1 Вычислить поток векторного поля
через часть плоскости x + 3y + z = 3 ; x 2
отрицательном направлении оси z .
F = x2i + xyjj + yzkk
[ 1; 0] ; y 2 [0; 1] в
Решение. Во первых, необходимо найти координаты вектора нормали. Из аналитической геометрии известно, что общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где коэффициенты (A; B; C )
суть координаты вектора нормали. Очевидно, что вектор ( A; B; C )
также является вектором нормали. По условию необходимо вычислить
поток в отрицательном направлении оси z . Поэтому третья компонента должна быть отрицательна. Таким образом, вектор нормали имеет
вид N = i 3j
k . Для вычисления потока необходимо иметь единичный вектор нормали. p
В качестве него берем орт вектора нормали
n = N =jN j = (1; 3; 1)= 11.pДалее вычисляем скалярное произведеp
ние (F n ) = (x2 3p
xy yz )= 11 = (x2 3xy y(3 + x 3y))= 11 =
(x2 4xy + 3y 2 3y )= 11. Подставляем полученное выражение в определение потока:
=
ZZ
(F n )dS =
Z
0
1
Z
1
0
(x2
4xy + 3y 2
3y )dxdy = 5=6:
Здесь мы использовали известную формулу из теории поверхностных интегралов
p
q
dS = zx0 2 + zy0 2 + 1dxdy = 11dxdy:
Рассмотрим более сложный пример, в котором вектор нормали имеет в различных точках поверхности различные направления.
11
k
Задача 4.2 Вычислить поток векторного поля F = x2 i + xyjj + yzk
через боковую поверхность цилиндра x2 + z 2 = 9; y 2 [1; 3] в направлении внешней нормали.
Решение. Для нахождения вектора нормали поступим следующим образом. Любую поверхность можно рассматривать как поверхность уровня некоторого скалярного поля. В нашем случае это поле имеет вид
U = x2 + z 2 9. Градиент скалярного поля, как известно, перпендикулярен поверхности уровня и коллинеарен с единичным вектором нормали.
Вычисляем градиент: rU = (2x; 0; 2z ). Нормированный
градиента
p 2 вектор
2
принимаем за нормаль n = rU=jrU j = (x; 0; z )= x + z .
Осталось правильно выбрать знак нормали. По условию необходимо вычислить поток в направлении внешней нормали. Наша поверхность является цилиндром, расположенным вдоль оси y . Очевидно, что
при положительном z вектор внешней (т.е. изнутри цилиндра наружу)
нормали имеет положительную третью компоненту. Полученный нами
вектор нормали удовлетворяет этому требованию.
p 2 2Далее вычисляем ска3
2
лярное произведение (F n) = (x + yz )= x + z и подставляем его в
определение потока. Для удобства вычислений перейдем в цилиндрическую систему координат x = cos '; z = sin '; y = y . В этом случае
наша поверхность описывается уравнением = 3. Элемент поверхности
dS = d'dy = 3d'dy. В итоге вычисляем поток
=
Z
3
Z
1
2
0
9(3 cos3 ' + y sin2 ')d'dy = 36:
Рассмотрим другой пример с замкнутой поверхностью.
Задача 4.3 Вычислить поток векторного поля
через поверхность сферы x2 + z 2 + y 2 = 9.
F = x2i + xyjj + yzkk
Решение. Поскольку в данном случае как векторное поле, так и все его
производные непрерывны внутри и на границе замкнутой поверхности,
вычисления можно производить и более простым способом – используя
теорему Остроградского - Гаусса. Согласно этой теореме
=
ZZ
S
(F n )dS =
ZZZ
V
div F dV;
(4)
при условии непрерывности поля и всех первых производных как в объеме V , так и на его границе S . Вначале вычислим дивергенцию поля :
@F x @F x @F z @x2 @xy @yz
div F =
+
+
=
+
+
= 3x + y:
@x
@y
@z
@x @y
@z
12
Подставим эту функцию в правую часть (4). Для удобства вычислений
перейдем в сферическую систему координат
x = r sin cos '; y = r sin sin '; z = r cos ; dV = r2dr sin dd':
Таким образом,
=
Z 3Z Z
0
0
2
0
(3r sin cos ' + r sin sin ')r2dr sin dd' = 0:
Этот результат вполне понятен. Вспомним гидродинамический
смысл дивергенции. Если считать векторное поле F полем скоростей
жидкости, то div F представляет собой плотность источников (div F > 0)
или стоков (div F < 0) в этом объеме. В нашем случае div F = 3x + y . Если
div F > 0 в какой-либо точке M (x; y; z ), то в центрально-симметричной
к ней точке M 0 ( x; y; z ) div F < 0. Поверхность, через которую мы
вычисляем поток, тоже центрально-симметричная (сфера с центром в
начале координат). Таким образом, внутри сферы плотность источников
жидкости равняется плотности стоков, и поэтому поток через сферу будет равен нулю.
4.1
Задачи
Вычислить дивергенцию векторного поля F и его поток через поверхность S .
n
o
y2
x2
z2
4.1 F = r , S : a2 + b2 + c2 = 1; x > 0; y > 0; z > 0
F = xii + ykk , S : x2 + y2 + z = 9; x < 0; y < 0; z > 0
F = xyii + yzjj + xzkk , S : Треугольник с вершинами в точках
A(0; 0; 4); B ( 2; 1; 0); C (2; 1; 0)
4.4 F = xzii + yzjj + n
xykk , S : x2 + y2 = (z 1)2; y < 0; 1o> z > 1
2
k , S : xa22 + yb2 + zc22 = 1; x < 0; y < 0; z > 0
4.5 F = xii + yk
4.6 F = r , S : x2 + y 2 + z = 9; x > 0; 0; y > 0; z > 0
k , S : x2 + y2 + z = 9; x > 0; z > 0
4.7 F = xyii + yzjj + xzk
4.8 F = (x + y )i + (y + z )j + (x + z )k , S : Треугольник с вершинами в
точках A(0; 0; 5); B ( 2; 3; 0)
n; C ( 22 ; 1; 0)
o
2
2
y
x
z
k , S : a2 + b2 + c2 = 1; x > 0; z > 0
4.9 F = xyii + yzjj + xzk
k , S : x2 + y2 + z =n 9; y > 0; z > 0
4.10 F = xzii + yzjj + xyk
o
y2
x2
z2
F
i
j
k
4.11 = (x + y ) + (y + z ) + (x + z ) , S : a2 + b2 + c2 = 1; z < 0
4.12 F = r , S : x2 + y 2 = (z n1)2 ; x > 0; y > 0; 1 > z > 0 o
2
k , S : xa22 + yb2 + zc22 = 1; y > 0; z > 0
4.13 F = xzii + yzjj + xyk
4.2
4.3
13
F = (x + y)i + (y + z )j + (x + z )k , S : x2 + y2 + z = 9; 1 < z < 0
F = r , S : Треугольник с вершинами в точках A(0; 0; 1);
B (1; 1; 0); C (1; 1; 0) k , S : x2 + z 2 = (y 1)2; x > 0; z > 0; 1 > y > 1
4.16 F = xii + yk
k , S : Треугольник с вершинами в точках
4.17 F = xii + yk
A(0; 0; 1); B ( 1 ; 1; 0); C (1; 1; 0)
k , S : Треугольник с вершинами в точках
4.18 F = xzii + yzjj + xyk
A(0; 0; 3); B (2; 1; 0); C ( 2; 1;0)
k , S : y2 + z 2 =(x + 2)2; x > 0; 0 > x > 2
4.19 F = xyii + yzjj + xzk
4.20 F = (x + y )in
+(y + z )j +(x + z )k , S : x2 + y 2 = (o z + 1)2; 1 > z > 2
2
2
z2
4.21 F = 2r , S : x4 + y9 + 16
= 1; x > 0; y > 0; z > 0
2
k , S : x + y2 + 3z = 9; x < 0; y < 0; z > 0
4.22 F = 2xii + yk
k , S : Треугольник с вершинами в точках
4.23 F = 2xyii + 2yzjj + 2xzk
A(0; 0; 2); B ( 2; 1; 0); C (2; 1; 0) k , S : 2x2 + 2y2 = (z 1)2; y <o0; 1 > z > 1
4.24 F = 2xzii + 2yzjj +nxyk
y2
k , S : x42 + 16
+ c92 = 1; x < 0; y < 0; z > 0
4.25 F = 3xii + yk
4.14
4.15
5
Циркуляция и ротор векторного поля
Определение 5.1 Циркуляцией векторного поля
зывается криволинейный интеграл
Циркуляция =
Z
F
вдоль пути
на-
F dll;
вычисленный вдоль этого пути.
Важной локальной характеристикой векторного поля является
плотность циркуляции.
Определение 5.2 Плотностью циркуляции векторного поля F в
точке M в направлении вектора n называется плотность циркуляции в этой точке по любой поверхности S , имеющей в качестве
нормали (в точке M ) вектор n :
H
F dll
:
Плотность циркуляции в точке M в направлении нормали n зависит как от точки M , так и от направления n , но не зависит от поверхноlim
!0
l
сти, проходящей через эту точку. Поэтому плотность циркуляции можно
14
представить в виде скалярного произведения двух векторов: вектора ротора rot F , который зависит от точки, и вектора нормали n . Таким образом, плотность циркуляции в т. M в направлении n равна (rot F n ). В
декартовой системе координат F = F x i + F y j + F z k и
@F z
rot F =
@y
@F y
@F x
i+
@z
@z
@F z
@F y
j+
@x
@x
@F x
k:
@y
Чтобы легче запомнить эту формулу, ее удобно записать в виде формального определителя
rot F =
i
@
@x
x
j
@
@y
y
k
:
@
@z
z
F F F
Определение 5.3 Ротором векторного поля F является вектор
rot F , компоненты которого представляют собой плотности циркуляции поля в направлении координатных осей.
Рассмотрим некоторые типовые задачи.
Задача 5.1 Вычислить циркуляцию векторного поля F = x2 i + xyjj +
yzkk вдоль отрезка прямой x 2 1 = y+1
= z+4
от точки M0 (1; 1; 4) до
0
4
точки M1 (3; 1; 0).
Решение. Для вычисления циркуляции необходимо вначале задать кривую в параметрическом виде. В данном случае кривой является прямая
с направляющим вектором a = (2; 0; 4). Общее уравнение прямой легко
переписать в параметрическом виде: x = 1 + 2t; y = 1; z = 4 + 4t. Точке M0 (1; 1; 4) соответствует t = 0, поскольку в точке M0 координата
x = 1 = 1 + 2t, а точке M1(3; 1; 0) соответствует t = 1. Подставим эту
прямую в определение циркуляции
Z
M1
M0
F dll =
Z
M1
M0
(x dx + xydy + yzdz ) =
Z
1
2
0
(18 8t + 8t2)dt =
50
:
3
Задача 5.2 Вычислить циркуляцию векторного поля F = yzii + xyjj +
x2k вдоль замкнутой кривой r = 49; = =4; ' 2 [0; 2], где (r; ; ') –
сферические координаты.
Решим задачу двумя способами: используя теорему Стокса и прямым
вычислением. Теорема Стокса утверждает, что
Циркуляция =
I
F dll =
15
ZZ
S
(rot F n )dS;
(5)
при условии непрерывности поля и его ротора в области
нице. Вначале вычислим ротор
rot F = (y
2x)j + (y
S
и на его гра-
z )k :
Поверхность интегрирования в формуле Стокса (5) выбирается так,
чтобы контур интегрирования лежал на ней. В нашем случае
p контур
представляет собой окружность радиуса R = 7 sin =4 = 7= 2, расположенную
параллельно плоскости xOy и на расстоянии dp= 7 cos =4 =
p
7= 2 от нее. Удобно провести через нее плоскость z = 7= 2, поскольку
вектор нормали к ней будет постоянным вектором, что упрощает вычисления. Очевидно, что вектор нормали коллинеарен вектору k . Для
правильного выбора направления вектора нормали ( +k или k ) необходимо использовать правило согласования направления нормали с обходом контура. Необходимо выбирать такое направление нормали, чтобы
направление обхода контура было против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора нормали. Поскольку ' 2 [0; 2 ] то, очевидно, что
правильно выбрать n = +k . Таким образом,
Циркуляция
=
=
ZZ
(rot F n )dS =
p Z
2
Z
2
7=
0
0
ZZ
(y
z )dS =
p
( sin ' 7= 2)dd' =
343
p :
2 2
При вычислении
мы перешли к полярной системе координат на плоскоp
сти z = 7= 2.
Получим циркуляцию прямым вычислением. Для этого необходимо параметризовать
кривую. Очевидно, что окружность лежит в плосp
кости
в этой плоскости полярные координаты x =
p z = 7= 2. Введем
p
7= 2 cos ' ; y = 7= 2 sin ', т.е., мы параметризовали окружность полярным углом '. Теперь вычисляем циркуляцию
Циркуляция
=
=
5.1
Z
Z
F dll = (yzdx + xydy + x2dz ) =
p7
2
3 Z
2
0
( sin2 ' + sin ' cos2 ')d' =
343
p :
2 2
Задачи
Вычислить ротор
поля F и его циркуляцию
вдоль пути .
векторного
2
2
2
5.1 F = r , : x + y + z = 9; x + y + z = 0
5.2 F = (x + z )i + (x + y )j + (y + z )k ,
: контур треугольника с
вершинами в точках A(0; 0; 0); B (1; 1; 2); C ( 1; 0; 4)
16
n
2
o
k , : x42 + y9 = 1; z = 4
5.3 F = xzii + xyjj + yzk
5.4 F = y 2 i + z 2 j + x2 k , : 4x2 + 9y 2 + z = 4; z = 3
5.5 F = (x + 2y )i + (z 2y )j + (2x z )k , : 9x2 + 4y 2 z 2 = 0; z = 3
5.6 F = r2 r , : x2 + y 2 + z 2 = 4; x + y + z = 0
5.7 F = (x 2z )i + (x 3y )j + (y z )k , : контур треугольника с
вершинами в точках A(0; 0; 1)
n; B (12; 1; 2); 2C (1; 0; 4) o
k , : (x 42) + (y+3)
= 1; z = 3
5.8 F = 2xyii xzjj + 3xzk
9
5.9 F = x2 i + z 2 j + y 2 k , : 9x2 + 4y 2 + z = 10; z = 3
5.10 F = (2x + 3y )i + (2z 5y )j + (x z )k , : f9(x 1)2 + 4(y + 2)2 z 2 =
0; z = 2g
k , : x2 + y2 + z 2 = 16; x + y + z = 0
5.11 F = xii + yjj + zk
5.12 F = (2x z )i + 3(x y )j + 2(y z )k , : контур треугольника с
вершинами в точках A(1; 0; 1)n
; B (1; 1; 2); C ( 1; 0; 4)
o
(x+1)2
(y 3)2
k , : 4 + 9 = 1; z = 10
5.13 F = 2zyii 3xzjj xyk
5.14 F = z 2 i + y 2 j + x2 k , : 9x2 + 4y 2 + 3z = 30; z = 2
2
2
2
5.15 F = (x 3y )i +(2z +7y )j +3(
2x z )2k , 2: f9(x+1) +4y z =0; z = 4g
k , : x + y + z = 16; 2x + y + z = 0
5.16 F = zii + 2xjj + yk
5.17 F = xzii + 3(x + y )j + (2y z )k , : контур треугольника с вершинами в точках A(1; 1; 1); B ( n
1; 0; 2); C (1; 0; 4)
o
(y +2)2
(x 1)2
F
i
j
k
+ 9 = 1; z = 11
5.18 = 3zyi + xzj 5xzk , :
16
5.19 F = 2z 2 i + 3x2 j + 4y 2 k , : 16x2 + 4y 2 + 2z = 40; z = 1
5.20 F = (3x y)i +(x +7y )j +(3x z )k , : f9x2 +4(
y 1)2 z 2 = 0; z = 2g
5.21 F = r , : x2 + y 2 + z 2 = 9; 2x + 3y + z = 0
5.22 F = (x + z )i + (x + y )j + 2(y + z )k , : контур треугольника с
вершинами в точках A(0; 0; 0)
0; 4)
n; B (2; 12 ; 2); C ( 1; o
2
k , : x4 + y9 = 1; z = 5
5.23 F = 2xzii xyjj + yzk
5.24 F = 2y 2 i + z 2 j x2 k , : 4x2 + 9y 2 + z =6; z = 2
5.25 F = 2(x + 2y )i + 3(z 2y )j + (2x z )k , : 9x2 + y 2 z 2 = 0; z = 3
6
Оператор Гамильтона
r.
Определение 6.1 Оператором Гамильтона является вектор, компонентами которого являются операторы взятия частных производных
@
@
@
r = i @x
+j +k :
@y
@z
17
За этим оператором закрепилось название "набла"1 .
Используя это определение, легко переписать градиент скалярного
поля, дивергенцию и ротор векторного поля, а также Лапласиан в следующем виде:
grad u = ru; div F = r F ; rot F = r F ;
4u = r ru = r u:
2
Другими словами, градиент скалярного поля представляет собой произведение вектора набла на это поле. Дивергенция и ротор векторного поля
– соответственно, скалярное и векторное произведение вектора набла и
векторного поля. Оператор Лапласа представляет собой квадрат оператора Гамильтона.
Вектор набла является оператором, поэтому в выражениях, содержащих оператор Гамильтона, необходимо следить за порядком следования символов. Оператор набла всегда действует слева направо. В физической литературе используют оператор, действующий справа налево, а
также разницу действия слева направо и справа налево, помечая символ
набла соответствующим значком
$
ru = ru; u r v = urv vru:
Поскольку оператор Гамильтона имеет дифференциальные и векторные свойства, то при раскрытии выражений, содержащих этот оператор, вначале необходимо учитывать его дифференциальные свойства
(правило Лейбница), а затем уже его векторные свойства.
Задача 6.1 Доказать равенство
rot(uFF ) = u rot F
F grad u:
Решение. В терминах оператора Гамильтона левая часть имеет следуюF ). Учтем вначале дифференциальные свойства операщий вид: r (uF
_
_
F ) + r (uF ). Здесь значком _ помечается ветора Гамильтона r (uF
личина, на которую действует оператор r дифференциальным образом.
Затем мы переносим действие оператора на соответствующую величину
с учетом его векторных свойств. Первая величина является скаляром, и
поэтому набла действует на него давая градиент, но векторное произведе_
F ) = (ru) F =
ние остается действующим на следующий вектор: r (uF
F grad u. Второе слагаемое раскрывается вполне очевидным образом
1
Набла - древнеассирийская арфа, имеющая внешнее сходство с символом оператора Гамильтона. Название было предложено Р. Смитом, другом Максвелла, в личной переписке и постепенно стало традиционным
18
_
r (uF ) = ur F
= v rot F . Складывая оба члена получаем правую
часть выражения.
Задача 6.2 Доказать равенство
rot rot F = grad div F
4F :
Решение. Левая часть имеет вид двойного векторного произведения
rot rot F = r (r F ). Применим к двойному векторному произведению
известную формулу "бац – цаб" из аналитической геометрии a (b c ) =
b (a c ) c (a b ). Получаем r(rF ) = r(rF ) (rr)F = grad div F 4F .
Поскольку оператор Гамильтона действует направо, то необходимо располагать вектор F справа. Оператор Лапласа действует на каждую компоненту вектора F как на скаляр.
6.1
Задачи
6.1 Доказать: rot(E H ) = E div H H div E + (H r)E (E r)H
6.2 Вычислить: rot(a r ), где a – постоянный вектор
a), где a – постоянный
6.3 Вычислить rot(rot ua
вектор, u – скалярное поле
2
u
u
6.4 Доказать: 4e = e 4u + (grad u)
6.5 Доказать: 4u(v ) = u0v 4v + u00vv (grad v )2
6.6 Вычислить: div(r (r a )), где a – постоянный вектор
6.7 Вычислить: div(a (r b )), где a ; b – постоянные векторы
6.8 Доказать: 4(uv ) = u4v + v 4u + 2(grad u grad v )
6.9 Доказать: 4 ln u = 4uu
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
grad u
2
u
Вычислить: div(u grad v )
Вычислить: rot(E rot H )
Доказать: rot(u(r)a ) = ur (r a ), где a – постоянный вектор
Доказать: div(grad u grad v ) = 0
Доказать: div((r a ) r ) = 2(r a ), где a – постоянный вектор
Доказать: rot(b(a r )) = a b, где a; b – постоянные векторы
Доказать: rot((a r ) r ) = 3(a r ), где a – постоянный вектор
Вычислить: rot(a r ), где a – постоянный вектор
a), где a – постоянный вектор
Вычислить: rot(ua
a), где a – постоянный вектор
Вычислить: div(ua
Доказать: grad(a r ) = a , где a – постоянный вектор
Доказать: rot(a (e r )) = a e , где a ; e – постоянные векторы
Вычислить: div(r (r a )), где a – постоянный вектор
Вычислить: div(a (r a )), где a – постоянный вектор
0
19
6.24 Вычислить:
6.25 Вычислить:
7
grad(r r )
4(u2)
Криволинейные координаты
Определение 7.1 Говорят, что в области V пространства заданы криволинейные координаты, если каждой точке пространства
M взаимно-однозначно поставлена в соответствие тройка чисел
(q 1; q 2; q 3).
Другими словами, координаты представляют собой способ нумерации точек пространства.
Через каждую точку пространства проходят три координатные линии, на каждой из которых одна координата меняется, а пара других
постоянна. Тройка единичных векторов, касательных к координатным
линиям, называется координатным базисом. Координаты разделяются на
ортогональные и косоугольные в зависимости от того, ортогонален или
нет координатный базис в каждой точке. Координатами (F 1 ; F 2 ; F 3 ) векторного поля являются коэффициенты разложения по координатному
базису:
F = F 1e1 + F 2e2 + F 3e3:
Ортогональная система координат характеризуется тройкой функций (H1 ; H2 ; H3 ), называемых коэффициентами Ламэ. При смещении
вдоль k-ой координатной линии qk на расстояние dlk соответствующая
координата изменяется на dqk .
Определение 7.2 Коэффициентом Ламэ Hk называется коэффициент пропорциональности между приращением координаты dq k и
приращением соответствующей длины dlk :
dlk = Hk dqk :
Дифференциальные операции над скалярным и векторным полями в ортогональной системе координат полностью определяются коэффициентами Ламэ. Приведем соответствующие формулы для градиента,
лапласиана, дивергенции и ротора:
1 @u
1 @u
e
+
e
+
e;
1
2
1
2
3 3
H
H
H
1 @q
2 @q
3 @q
1
@ H2H3 @u
@ H3H1 @u
@ H1H2 @u
4u = H H H @q1 H @q1 + @q2 H @q2 + @q3 H @q3 ;
1
2
3
1
2
3
grad u =
1 @u
20
@ (F 1H2H3) @ (F 2H3H1) @ (F 3H1H3)
div F =
+
+
;
3
H1H2H3
@q1
@q2
@q
1
@
(F 3H3) @ (F 2H2)
e1 +
rot F =
2
3
H2H
@q
@q
3
1
@ (F 1H1) @ (F 3H3)
e+
+
H3H1 @q3
@q1 2
1
@ (F 2H2) @ (F 1H1)
+
e3:
H1H2
@q1
@q2
1
В физике наиболее часто используются три системы координат –
декартова, цилиндрическая и сферическая. Приведем сводку формул для
этих систем координат.
I Декартовы координаты (q 1 ; q 2 ; q 3 ) = (x; y; z ). В этой системе координат все коэффициенты Ламэ равны единице: Hx = Hy = Hz = 1.
Квадрат длины между бесконечно близкими точками
dl2 = dx2 + dy2 + dz 2:
II Цилиндрические координаты (q 1 ; q 2 ; q 3 ) = (; '; z ). Координата имеет смысл расстояния от точки до оси z . Область изменения координат:
2 R+; ' 2 [0; 2); z 2 R. Связь с декартовыми координатами
8
<
8
<
x = cos '
y = sin '
:
z = z
p
= x2 + y2
y
'
=
arctg
x
:
z = z
Коэффициенты Ламэ H = H1 = 1; H' = H2
длины между бесконечно близкими точками
= ; Hz = H3 = 1. Квадрат
dl2 = d2 + 2d'2 + dz 2:
Дифференциальные операции:
@u
1 @u
@u
e +
e' + ez ;
@
@'
@z
2
[email protected]
@u
1 @ u @ 2u
4u = @ @ + 2 @'2 + @z 2 ;
1 @ (F ) 1 @F ' @F z
div F =
+
+
;
@
@'
@z
@F '
@F @F z
1 @ (F ')
e +
e +
@z @z
@ ' @
grad u =
rot F =
1 @F z
@'
21
@F e:
@' z
III Сферические координаты (q 1 ; q 2 ; q 3 ) = (r; ; '). Координата r
имеет смысл расстояния от точки до начала координат. Область изменения координат: r 2 R+ ; 2 [0; ]; ' 2 [0; 2 ). Связь с декартовыми
координатами
8
>
<
8
<
p
r = x2 +py2 + z 2
x2 +y 2
=
arctg
z
>
:
' = arctg xy
x = r sin cos '
y = r sin sin '
:
z = r cos Коэффициенты Ламэ Hr = H1 = 1; H = H2 = r; H'
Квадрат длины между бесконечно близкими точками
= H3 = r sin .
dl2 = dr2 + r2d2 + r2 sin2 d'2:
Дифференциальные операции:
@u
1 @u
1 @u
er +
e +
e';
@r
r
@
r
sin
@'
1 @
@u
1 @ 2u
1 @ 2 @u
4u = r2 @r r @r + r2 sin @ sin @ + r2 sin2 @'2 ;
1 @ (r2F r )
1 @ (sin F )
1 @F '
div F = 2
+
+
;
r
@r
r
sin
@
r
sin
@'
1 1 @F r @ (rF ')
1
@ (sin F ') @F e +
e+
rot F =
r sin @ @' r r sin @'
@r
1 @ (rF ) @F r
e :
(6)
+
r
@r
@ '
grad u =
7.1
Задачи
Вычислить градиент и лапласиан скалярного поля u; дивергенцию и ротор векторного поля F в соответствующей системе координат.
7.1 u = xyz , F = r2 e r + r2 sin ee' , сферические координаты
7.2 u = ex + ey + ez , F = sin 'ee + ee' + aeez , цилиндрические координаты,
a – постоянная
7.3 u = x + y + z , F = cosr ' e r + sinr ' e + 1r e ' , сферические координаты
7.4 u = x2 + y 2 z 2 , F = cos ' e + sin ' e ' + 1 e z , цилиндрические координаты
'
1
7.5 u = ex + ey+z , F = cos
r2 e r + r2 e ' , сферические координаты
'
1
7.6 u = x + y 2z , F = cos
2 e + 2 e ' , цилиндрические координаты
7.7 u = x2 y 2 z 2 , F = r sin 'eer + r sin ee + ree' , сферические координаты
7.8 u = ln(x2 + z 2 ), F = sin 'ee + eez + ee' , цилиндрические координаты
22
7.9 u = x2 y + z 2 x, F = r cos eer + r sin 2ee + a sin 'ee' , сферические координаты, a – постоянная
7.10 u = arctg xz , F = cos 'eer + sin 2'eez + a sin 'ee' , цилиндрические
координаты, a – постоянная
7.11 u = ln(y 2 + z 2 ), F = a2 sin 2'eer + r2 sin 2ee + r2 tg ee' , сферические
координаты, a – постоянная
7.12 u = z 2 y + y 2 x, F = a2 sin 2'ee + 2 sin 2'eez + 2 tg 'ee' , цилиндрические
координаты, a – постоянная
7.13 u = arctg yz , F = r sin ' sin eer + a sin 2ee + ree' , сферические координаты, a – постоянная
7.14 u = x2 + y 2 z 2 , F = sin 'ee + a sin 2'eez + ee' , цилиндрические
координаты, a – постоянная
7.15 u = ln(x2 + y 2 ), F = areer + r2 sin ee + r2 e ' , сферические координаты,
a – постоянная
7.16 u = x3 +z 2 x, F = aee +2 sin 'eez +2 e ' , цилиндрические координаты,
a – постоянная
7.17 u = arctg xy , F = r sin ' cos eer + r sin sin 'ee + r cos ee' , сферические
координаты
7.18 u = ln(y 2 + z 2 +1), F = sin 'ee + sin 'eez + cos 'ee' , цилиндрические
координаты
7.19 u = z 3 + y 2 x, F = cosr ' e r + sinr ' e , сферические координаты
7.20 u = arctg 2zy , F = cos ' e + sin ' e ' , цилиндрические координаты
7.21 u = xyz 2 , F = 3r2 e r + r2 sin ee , сферические координаты
7.22 u = ex + 2ey + 3ez , F = 3 sin 'ee + ee' + aeez , цилиндрические
координаты, a – постоянная
7.23 u = 2x +3y + z , F = 2 cosr ' e r +2 sinr ' e + 1r e ' , сферические координаты
7.24 u = 2x2 + 3y 2 z 2 , F = cos ' e 4 sin ' e ' + 1 e z , цилиндрические координаты
'
5
7.25 u = 3ex ey+z , F = 4 cos
r2 e r + r2 e ' , сферические координаты
8
Потенциальные поля
Определение 8.1 Векторное поле F называется потенциальным,
если оно представимо в виде градиента скалярного поля u: F =
grad u.
Скалярное поле в этом случае называется потенциалом поля. Потенциал поля определен с точностью до константы. Для физики такие поля
представляют большой интерес. Если поле сил является потенциальным,
23
то можно легко определить потенциальную энергию тела в поле таких
сил. Например, гравитационное поле является потенциальным. Хорошо
известно, что сила тяготения F = grad U . Здесь U = GMm=r является потенциалом поля сил тяготения. Для выяснения потенциальности
поля используется следующая теорема.
Теорема 8.1 Для того, чтобы дифференцируемое векторное поле F
было потенциальным в односвязной области необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. rot F = 0.
Потенциальные поля обладают следующим свойством:
Теорема 8.2 Циркуляция потенциального поля вдоль пути от точки M1 до точки M2 не зависит от пути и представляет собой разность потенциала в точках M2 и M1 :
A=
Z
M2
M1
F dll = u(M2) u(M1):
Другая формулировка этой теоремы:
Теорема 8.3 Циркуляция потенциального поля вдоль замкнутого
пути равна нулю.
Потенциал поля легко вычислить, используя следующей теоремы
Теорема 8.4 Потенциал
муле
u векторного поля F
u(M ) =
Z
M
M0
вычисляется по фор-
F dll;
(7)
где контур, соединяющий точки M0 и M , выбирается произвольным
образом.
Если контур выбрать в виде ломаной вдоль координатных осей, то получаем следующее выражение для вычисления потенциала в декартовой
системе координат:
u(x; y; z ) =
Z
x
x0
F (x; y0; z0)dx +
x
Z
y
y0
F (x; y; z0)dy +
y
Z
z
z0
Задача 8.1 Доказать, что поле F = 2xyzii + x2 zjj
потенциальным и найти его потенциал
24
F z (x; y; z )dz:
(8)
+ x2ykk является
Решение. Непосредственным вычислением получаем, что rot F = 0, и
поэтому поле является потенциальным. В формуле (8) начальная точка выбирается произвольным образом. Пусть начальная точка M0 имеет
координаты (x0 ; y0 ; z0 ). Интегрируя, получаем
u = x2yz x20y0z0:
Опуская константу, получаем потенциал поля u = x2 yz .
Решим задачу по другому. Выпишем в явном виде систему уравнений F = grad u:
@u
@u
@u
= 2xyz;
= x2z;
= x2y:
@x
@y
@z
Интеграл первого уравнения имеет вид u = x2 yz + v (y; z ), где v – произвольная функция своих аргументов. Подставляя это решение во второе
уравнение, получаем, что vy0 = 0, откуда следует, что v (y; z ) = w(z ). Подставляя решение u = x2 yz + w(z ) в последнее уравнение, получаем, что
w0 = 0, откуда следует, что w = const. Таким образом, получаем тот же
результат u = x2 yz .
Рассмотрим другой пример, где использование криволинейных координат позволяет сильно упростить вычисления.
F = f (r)r
Задача 8.2 Доказать, что поле
ным и найти его потенциал.
является потенциаль-
Решение. В сферической системе координат e r = r =r и F = f (r)reer .
Таким образом, F = (F r (r); 0; 0), и с помощью (6) сразу получаем, что
rot F = 0, что означает потенциальность нашего поля. Расположим для
простоты начальную точку в начале координат, тогда из формулы (7)
получаем потенциал
Z
u=
8.1
r
0
f (r)rdr:
Задачи
Доказать, что поле F является потенциальным и найти его потенциал.
k
8.1 F = yzii + xzjj + xyk
k
8.2 F = 2xii + zjj + yk
k
8.3 F = zii + 2yjj + xk
k
8.4 F = yii + xjj + 2zk
k
8.5 F = (y + z )i + xjj + xk
k
8.6 F = yii + (x + z )j + yk
8.7 F = zii + zjj + (x + y )k
25
8.8 F = sin zii + z cos yjj + (x cos z + sin y )k
8.9 F = x1 i + y1 j + z1 k
8.10 F = i + ez j + yez k
8.11 F = yez i + xez j + xyez k
k
8.12 F = i + eyz zjj + eyz yk
8.13 F = ex i + ey j + ez k
k
8.14 F = ez i + ey j + ez xk
k
8.15 F = sin zii + x cos zk
8.16 F = y cos xii + sin xjj
k
8.17 F = z cos xii + sin xk
k
8.18 F = yii + xjj + 4zk
k
8.19 F = yii + (x + 2y )j + 2zk
8.20 F = zii + 2yjj + (x + 2z )k
2
2
2
k
8.21 F = 2e x xyzii + e x zjj + e x yk
y
y
y
8.22 F = ze i xze j + xe k
8.23 F = 1+(ix++j y++kz )2
z (i +j )
F = 1+(
x+y )2 + arctg(x + y )k
8.25 F = cosz (2i(+x+j )y) + tg(x + y )k
8.24
9
Соленоидальные поля
Определение 9.1 Векторное поле F называется соленоидальным,
если оно представимо в виде ротора другого поля A : F = rot A .
A называется векторным потенциалом поля F . Поскольку
rot grad W = 0, то векторный потенциал определен неоднозначно, с точностью до градиента скалярного поля. Если поле A является потенциалом
поля F , то поле A + grad W тоже является потенциалом этого поля.
Поле
Справедлива следующая теорема, позволяющая определить соленоидальность поля.
Теорема 9.1 Для того, чтобы векторное поле F было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы div F = 0.
Для нахождения векторного потенциала поля необходимо решить
систему трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
rot A = F
относительно трех компонент вектора A . Задача существенно упрощается, если учесть неоднозначность векторного потенциала. Поскольку он
26
определен с точностью до градиента скалярного поля, то любую из компонент векторного потенциала A можно положить равной нулю. Действительно, пусть в декартовой системе координат потенциал имеет вид
(Ax; Ay ; Az ). Добавим к этому векторному потенциалу grad W , где
W=
Получившийся потенциал
нулю.
Z
A + grad W
x
Axdx:
имеет первую компоненту, равную
k является солеЗадача 9.1 Доказать, что поле F = 6y 2 i + 6zjj + 6xk
ноидальным и найти его векторный потенциал.
Решение. Дивергенция этого поля равна нулю, значит это поле соленоидальное. Рассмотрим систему уравнений для нахождения векторного
потенциала
@Az
@y
@Ax
@z
@Ay
@x
@Ay
= 6y 2 ;
@z
@Az
= 6z;
@xx
@A
= 6x:
@y
Положим, например, Ax = 0. Тогда из третьего уравнения получаем, что
Ay = 3x2 + u(y; z ), а из второго уравнения получаем Az = 6xz + v(y; z ).
Из первого уравнения имеем соотношение vy0 u0z = 6y 2 . Поскольку достаточно найти частный вид векторного потенциала, то можно положить,
например, u = 0. Тогда получаем v (y; z ) = 2y 3 + w(z ). Положим w = 0.
Таким образом, получаем векторный потенциал
A = 3x2j + (2y3 6xz )k :
Поучим решение по другому. Назовем потенциал B . Положим B y = 0.
Тогда из первого уравнения получаем B z = 2y 3 + (x; z ), а из третьего
B x = 6xy + (x; z ). Подставляя во второе уравнение, получаем z0 0x =
6z . Положим, например, = 0. Тогда (x; z ) = 3z 2 + (x). Положим
(x) = 0, тогда получаем потенциал
B = (3z 2 6xy)i + 2y3k :
Легко видеть, что разность двух решений
A B = (6xy 3z 2)i + 3x2j 6xzkk = grad W;
W = 3xz 2 + 3yx2. Таким образом, как и утверждалось
(9)
где
выше, векторный потенциал определен с точностью до градиента скалярного поля.
27
9.1
Задачи
Доказать, что поле F является соленоидальным и найти его векторный
потенциал.
k
9.1 F = xyii + yzk
k
9.2 F = xyii + 2(z x)j + yzk
k
9.3 F = 2(z x)j + 2xyk
k
9.4 F = 2zjj + 2xyk
k
9.5 F = 2xzjj + 2xyk
9.6 F = (cos z cos x)j
k
9.7 F = cos yii + cos zjj + cos xk
k
9.8 F = xy cos zjj x cos zk
k
9.9 F = xy cos zii + y sin zk
9.10 F = x sin zii y sin zjj
9.11 F = (ez ex )j
9.12 F = e z i + e x j + e y k
9.13 F = e x j + e y k
k
9.14 F = e y j + e y zk
y
9.15 F = e i
9.16 F = e y zii
9.17 F = (e z x e y z ) i + e z k
9.18 F = (e z x e y z ) i + (e z e x ) k
9.19 F = (z x)(i + k )
k
9.20 F = zii + xjj + yk
9.21 F = i j k
k
9.22 F = i zjj xk
9.23 F = yii zjj k
9.24 F = 3yii zjj 2k
k
9.25 F = 3yii j 4xk
10
Тензоры
Пусть в аффинном пространстве An задан базис (O; e 1 ; e 2 ; : : : ; e n ), состоящий из точки O и совокупности n линейно независимых векторов
(e 1; e 2; : : : ; e n). Будем называть его "старым" базисом. Допустим, что имеется другой базис (O; e 1 ; e 2 ; : : : ; e n ), который мы назовем "новым", в котором базисные векторы выражаются линейно через старые базисные
векторы с помощью невырожденной матрицы L: e k = Lik e i 2 . У нового
0
0
0
0
2
0
По повторяющимся индексам производится суммирование (правило Эйнштейна), в данном случае в
развернутом виде имеем e k = L1k e 1 + L2k e 2 + : : : + Ln
en.
k
0
0
0
0
28
базиса индекс будем помечать штрихом; в этом случае сам индекс несёт
сведения о том, в каком базисе задан объект. В целях удобства будем
различать положение индексов – верхнее и нижнее.
Вектор x в базисе (O; e 1 ; e 2 ; : : : ; e n ) описывается набором n чисел,
k
x (k = 1; 2; : : : ; n), называемых его координатами x = xk e k . При преобразовании базиса этот набор чисел преобразуется с помощью обратной
матрицы: xk = Lik xi . Здесь матрица Lik является обратной к Lik , т.е.
выполняется соотношение Lik Ljk = ji .
Тензор валентности m в базисе (O; e 1 ; e 2 ; : : : ; e n ) описывается набором nm чисел, называемых его компонентами. Определим тензор через
форму преобразования его компонент при смене базиса. Есть две возможности преобразования объекта – с помощью матрицы Lik или с помощью
обратной матрицы Lki . Поэтому различают два вида тензоров – контравариантные (индекс вверху) и ковариантные (индекс внизу). Положение
индексов определяется только удобством записи формул. Чтобы не выписывать громоздкие формулы для тензоров произвольной валентности
выпишем определения только для тензоров второй валентности.
0
0
0
0
0
0
0
0
Определение 10.1 Контравариантным (ковариантным) тензором
второй валентности называется набор n2 чисел tij (tij ), где i; j =
1; 2; : : : ; n, которые при преобразовании базиса e k = Lik e i преобразуются следующим образом:
0
0
ti j = Lii Ljj tij (ti j = Lii Ljj tij ):
0
0
0
0
0
0
0
0
Аналогично определяется смешанный тензор (один раз контравариантный и один раз ковариантный).
Определение 10.2 Смешанным тензором второй валентности называется набор n2 чисел tij , где i; j = 1; 2; : : : ; n, которые при преобразовании базиса e k = Lik e i преобразуются следующим образом:
0
0
tij = Lii Ljj tij :
0
0
0
0
Определение 10.3 Тензор называется симметричным (антисимметричным), если tij = tji (tij = tji ).
Любой тензор можно представить в виде суммы симметричной и
(s)
(a)
антисимметричной частей tij = tij + tij , где
1
2
1
2
t(ijs) = (tij + tji); t(ija) = (tij tji):
29
(10)
Типичным примером контравариантного тензора первой валентности являются дифференциалы координат dxi , а ковариантного тензора
@u
первой валентности – вектор градиента поля @x
i . Приведем также примеры тензоров второй валентности.
В электродинамике используются несколько тензоров второй валентности – тензоры диэлектрической (магнитной) проницаемости и тензор проводимости. Обозначим электрическое (магнитное) поле в вакууме
через E (H ), а соответствующие поля в среде через D (B ). Связь между
ними выражается линейными соотношениями
Di = "ik E k ; B i = ik H k ;
называемыми обычно материальными уравнениями. Коэффициенты пропорциональности являются тензорами второй валентности – тензор диэлектрической и магнитной проницаемости. Введение этих тензоров связано с потребностью описания анизотропных свойств вещества. Если поместить такой материал в электрическое поле, направленное, например,
вдоль оси x, E = (E x ; 0; 0), то поле D внутри вещества имеет компоненты
вдоль всех других осей
Dx = "xxE x; Dy = "yxE x; Dz = "zxE x:
Если тело является изотропным, то тензор диэлектрической проницаемости имеет вид символа Кронекера, "ij = "ji . Аналогично определяется
тензор проводимости
J i = ik E k ;
где вектор J является плотностью электрического тока.
По отношению к поворотам и сдвигам пространства вектора электрического и магнитного полей являются контравариантными векторами. По отношению к преобразованиям Лоренца они таковыми не являются, а образуют антисимметричный тензор второй валентности в четырехмерном пространстве-времени Минковского, который называется тензором Максвелла. Выпишем его компоненты в декартовой системе координат в явном виде
0
0
Hz
Hy
Hx
1
Ex
EyC
C
Ez A :
z
H
0
F = Hy H
x
0
x
y
E
E
Ez 0
Здесь первый индекс i = 1; 2; 3; 4 нумерует строки, а второй столбцы. Четыре координаты пространства Минковского (q 1 ; q 2 ; q 3 ; q 4 ) = (x; y; z; ct),
где c – скорость света.
ij
B
B
@
30
В классической теории сплошной среды основным объектом является ковариантный тензор второй валентности – тензор деформаций. Если
до деформации тела расстояние между точками было dl, а после деформации стало dl0 , то изменение квадрата длины характеризуется тензором
деформаций ij по формуле
dl02 dl2 = 2ij dxidxj ;
где
dxi – величина деформации в направлении координаты xi.
Другим примером является тензор напряжений сплошной среды.
Определяется он следующим образом. Рассмотрим в декартовой системе
координат бесконечно малый элемент объема сплошной среды в форме
параллелепипеда с гранями в виде координатных плоскостей перпендикулярных координатным осям. На параллелепипед действуют силы, приводящие к деформации этого параллелепипеда. Определим контравариS = dS ie i, компоненты которого в направлении e i равны
антный вектор dS
элементу площади, перпендикулярной этому направлению. В частности,
dS 3 = dS z = dxdy. На элемент dS i действует сила dFF i. Индекс i = 1; 2; 3
нумерует грани параллелепипеда. Сила, действующая на i-ю грань, явF i = dF ij e j . Второй индекс j нумерует компоненты
ляется вектором: dF
вектора. Тензор напряжений определяется следующим образом:
dF ij
= i:
dS
Другими словами, компонента ij тензора напряжений представляет собой j -ю компоненту поверхностной плотности силы, действующей на
грань, перпендикулярную вектору e i . Имеются три грани, на каждую
ij
из которых действует сила, имеющая три компоненты. Получается 9 величин, составляющих тензор второго ранга.
Приведем пример тензора четвертой валентности. Обобщенный закон Гука представляет собой линейную связь тензора напряжений с тензором деформаций
ij = C ijklkl:
пропорциональности C ijkl составляют
Коэффициенты
тензор четвертой
4
валентности, имеющий в общем случае 3 = 81 компоненту. Число независимых компонент этого тензора равно 21. Они связаны с такими величинами как модуль Юнга, коэффициент Пуассона и модули упругости.
Для изотропного материала имеется всего две независимые компоненты.
Умножать тензоры можно двумя способами – внешним и внутренним. Пусть заданы два тензора первой валентности, контравариант31
ный ti и ковариантный pk . Внешним произведением называется покомпонентное произведение qik = ti pk . Получившийся объект является смешанным тензором второго ранга. Если в получившемся тензоре произвести суммирование по контравариантному и ковариантному индексам
tipi = t1p1 + t2p2 + : : : + tnpn, то получившийся объект называется внутренним произведением тензоров. Если в тензоре произвести суммирование
по контравариантному и ковариантному индексам, то такая процедура
называется упрощением или сверткой. Валентность тензора уменьшается при этом на две единицы.
Задача 10.1 Пусть заданы три тензора, компоненты которых в
некотором базисе имеют следующий вид:
0
1
2 0 3
@
tij = 5 1 2A ; xi = (2; 1; 4); yi = (3; 7; 1):
2 5 7
Вычислить 1) xi y j , 2) tij xj , 3) tij xi y j , 4)
i – номер строки, j – номер столбца.
tij xj yi, 5) t(ijs)
и 5)
t(ija). Здесь
Решение. Мы имеем ковариантный тензор второй валентности t и два
контравариантных тензора первой валентности (вектора) x и y .
1) Произведение xi y j представляет собой внешнее произведение тензоров x и y и является контравариантным тензором второй валентности.
Непосредственно перемножая компоненты получаем тензор
0
6 14
i j
xy [email protected] 7
12 28
1
2
1A :
4
2) Внутреннее произведение (свертка) tij xj представляет собой ковариантный тензор первой валентности. Придавая последовательно первому индексу значения i = 1; 2; 3 и вычисляя суммы, получаем tij xj =
(16; 19; 37).
3) В выражении tij xi y j имеется двойная свертка. Получившийся объект является тензором нулевой валентности, т.е., скаляром. При
свертке необходимо следить за порядком индексов – первый индекс сворачивается с вектором x, а второй с вектором y . Вычисление приводит
к следующему выражению tij xi y j = 162. Полученное выражение будет
иметь одинаковое значение в любом базисе.
4) Выражение tij xj y i отличается от предыдущего только порядком
свертки – первый индекс сворачивается с вектором y , а второй с вектором
x. Вычисление приводит к следующему выражению tij xj yi = 144.
32
5) Для выделения симметричной части тензора используем формулу (10). Вычисление приводит к следующему выражению:
0
1
1 @4 5 5 A
(s)
5 2 7 :
tij =
2 5 7 14
Получившаяся матрица является симметричной.
6) Аналогичное вычисление приводит к следующему выражению:
0
t(ija) =
[email protected]
2
1
0 5
1
5 0 3 A:
1
3 0
Получившаяся матрица является антисимметричной.
10.1
Задачи
Для данных тензоров провести соответствующие вычисления.
10.1
0
tij = @
1
1
0
2 9
5
2 6 0
ij
@
A
4 7A ; xi = ( 2; 5; 2); yi = ( 7; 8; 8):
6 5 7 ; = 7
5 8 0
9
1 6
Вычислить:
10.2
0
tij = @
tij kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; t(ijs); t(ija).
1
0
1
4 4 9
9 3 1
ij
3 9 4A ; = @ 5 6 2A ; xi = ( 1; 2; 7); yi = (1; 7; 3):
8 3 1
1 4 9
Вычислить:
10.3
0
tij ki; tij xj ; ij yj ; xiyj ; t(ijs); t(ija).
1
0
1
1 8
7
5 8 2
ij
tij = @6 3 3 A ; = @ 6 2 8A ; xi = ( 9; 3; 4); yi = ( 4; 9; 8):
3 1 1
6 7 4
Вычислить:
10.4
0
tij = @
tik kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
1
0
1
7 8 0
4
5 8
ij
2
1 8A ; = @ 0 6 3 A ; xi = (2; 9; 4); yi = ( 6; 5; 7):
8 1 2
5 0
5
33
Вычислить:
10.5
0
tij = @
tik ki; tij xj ; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
0
1
1
4 7 9
2 9 9
ij
5 5 1 A ; = @ 2 0 3A ; xi = (0; 1; 9); yi = ( 5; 7; 4):
5 6 3
1 2
9
Вычислить:
10.6
0
tik jk ; tij xi; ij yi; xiyj ; t(ijs); (ija).
1
0
1
1 5 2
7 6
9
ij
tij = @1 1 6A ; = @2 3 6A ; xi = ( 1; 2; 7); yi = ( 3; 2; 6):
7 8 0
3 8 5
Вычислить:
10.7
0
6
tij = @1
6
tij = @
tij = @
0
1
tjk kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
1
0
9 4
9
7 3
ij
1 1 4 A; = @ 7 2
4 3
5 3 2
Вычислить:
10.9
0
1
9 5
2 5
7
ij
5 5 A; = @ 0
6 8 A ; xi = (4; 9; 3); yi = (9; 9; 4):
3 5
6 6 7
Вычислить:
10.8
0
tik nk ; tij xi; jiyj ; xiyj ; (ijs); t(ija).
1
9
7A ; xi = ( 8; 0; 0); yi = (8; 1; 5):
3
tik ik ; tij xj ; ij yj ; xiyj ; t(ijs); (ija).
1
0
1
2 3 3
2 3 3
ij
4 1
4A ; = @ 4 5 0 A ; xi = ( 3; 3; 2); yi = (0; 3; 5):
5 5 4
4 3 2
Вычислить:
10.10
0
tij = @
tik nk ; tij xj ; ij yj ; xiyj ; t(ijs); t(ija).
1
0
1
2
4 3
3
3 5
ij
A
@
4 2 5 ; = 4 4
5A ; xi = (0; 0; 4); yi = (3; 2; 1):
4 0 4
3 5 3
Вычислить:
tik kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
34
10.11
0
1
0
1
2 4
3
3 2 5
ij
4 1 2 A ; = @ 3 4 2A ; xi = ( 4; 5; 4); yi = ( 5; 5; 4):
3 1 2
2
5 0
tij = @
Вычислить:
10.12
0
tij = @
tik kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; (ijs); t(ija).
1
0
3
2 5
0
ij
5 5 3 A ; = @4
1 1
1
1
Вычислить:
10.13
0
1
5 0
5 5A ; xi = ( 1; 3; 1); yi = (0; 0; 3):
2 4
tij kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
1
0
1
5 0 5
4
5 4
ij
tij = @4 5 5A ; = @ 4 5 5A ; xi = ( 5; 2; 1); yi = ( 2; 3; 5):
0 4 2
1 4
5
Вычислить:
10.14
0
tij = @
tij = @
4
4
3
Вычислить:
10.16
0
tij = @
tij = @
0
1
tik kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
1
0
1 5
3
ij
A
@
4 5 ; =
1
4 4
1
1
3 0
4 2A ; xi = (4; 3; 3); yi = ( 4; 4; 0):
1 1
tik kj ; tij xj ; ij yj ; xiyk ; t(ijs); (ija).
1
0
1 5
4
1
ij
4 1 2 A; = @ 2
1
4 4
3
Вычислить:
10.17
0
1
2 0 4
3 5 5
ij
2 3 3A ; = @ 3 2
5A ; xi = ( 5; 4; 5); yi = (4; 5; 3):
5 3
2
2 3 4
Вычислить:
10.15
0
tik kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; t(ijs); t(ija).
1
4 2
3 4A ; xi = (4; 3; 5); yi = ( 2; 2; 3):
2 2
tik kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
1
0
1
5 1 1
2 4
3
ij
4 1
4A ; = @ 4
5 3 A ; xi = ( 2; 1; 1); yi = (5; 2; 3):
1 4 1
5 3 1
35
Вычислить:
10.18
0
tij = @
tik kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
1
0
1
5 1 3
0 1 0
ij
2A ; xi = (1; 5; 1); yi = ( 2; 3; 3):
5 5
3A ; = @ 4 0
4
3 4
3 2 5
Вычислить:
10.19
0
tij = @
tki ik ; tij xj ; ij yj ; xiyj ; t(ijs); t(ija).
1
0
1
2
4 0
5 0 4
ij
3 0 4A ; = @ 4 4 5 A ; xi = ( 1; 4; 5); yi = ( 1; 3; 2):
2
4 0
2 3 1
Вычислить:
10.20
tik ki; tij xj ; ij yj ; xiyj ; t(ijs); (ija).
0
1
0
1
0 5 0
1 5 2
ij
tij = @2 0 1A ; = @0 2 2A ; xi = ( 2; 1; 4); yi = (5; 3; 3):
2 1 5
3 4 3
Вычислить:
10.21
0
tij = @
2 0
1 3
0
2
Вычислить:
10.22
0
tij = @
tij = @
1
0
tij kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; t(ijs); t(ija).
1
0
1
3
2A ; xi = (3; 2; 1); yi = (2; 4; 4):
3
tij ki; tij xj ; ij yj ; xiyj ; t(ijs); t(ija).
1
2
1 1
2 3
Вычислить:
1
3 0 1
3
ij
3A ; = @1 3 0A ; xi = ( 1; 2; 2); yi = (0; 2; 4):
1 4 2
3
0 0 3
4 4
ij
2
1 1A ; = @1 2
3 3 3
1 1
Вычислить:
10.23
0
tik jk ; tij xj ; ij yi; xiyj ; (ijs); (ija).
1
0
1
1
1 0 4
ij
A
@
2 ; = 0
4 4A ; xi = ( 1; 0; 2); yi = ( 2; 2; 3):
1
1 1
4
tik kj ; tij xi; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
36
10.24
0
1
0
1
1 2 2
1
4 3
ij
tij = @2 0 2A ; = @ 2 4 4 A ; xi = ( 3; 3; 2); yi = ( 4; 3; 2):
3 2 3
0 0
1
Вычислить:
10.25
0
tij = @
tik ki; tij xj ; ij yj ; xiyj ; (ijs); (ija).
1
0
1
1 0 3
0
3 1
ij
A
@
2 3 2 ; =
3 2 4 A ; xi = (0; 1; 3); yi = ( 1; 3; 4):
1 1 0
3 4 2
Вычислить:
tik jk ; tij xi; ij yi; xiyj ; t(ijs); (ija).
37
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа