close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг

код для вставкиСкачать
1
Лекция 1.5. Действия над матрицами.
Обратная матрица. Ранг матрицы
Аннотация:
Вводятся
операции
алгебры
матриц.
Доказывается, что всякая невырожденная матрица имеет
обратную. Выводится формула решения СЛАУ с помощью
обратной матрицы системы. Приводится пример решения
системы матричным методом.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется
нулевой. Элементы
квадратной матрицы
a11 , a22 ,..., ann
составляют главную диагональ этой матрицы, а элементы
an1 , an −12 ,..., a1n - ее побочную диагональ. Если все элементы
квадратной матрицы вне главной диагонали равны нулю, то
такую матрицу называют диагональной. А если у диагональной
матрицы все диагональные элементы равны единице, то такая
матрица называется единичной и обозначается E = (δ ij ) , где
δ ij - символ Кронекера. Если все элементы квадратной
матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю,
то матрица называется треугольной.
Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые
размеры и все их соответствующие элементы совпадают, т.е.
Am× n = Bm× n , если aij = bij , i = 1,2,K, m , j = 1,2,K, n .
Рассмотрим некоторые операции над матрицами.
1.
Сложение.
Суммой
двух
матриц
A = ( aij )
и
B = (bij ) называют третью матрицу C = (cij ) , элементы которой
получаются по формуле
cij = aij + bij .
(1)
Пишут C = A + B . Очевидно, сложить можно только матрицы
одинакового размера.
2
2. Умножение на число. Произведением матрицы A = ( aij ) на
число λ
называется матрица B = (bij ) , элементы которой
получаются по формуле
bij = λaij .
(2)
Пишут B = λA.
Замечание. Под разностью матриц A и B понимают матрицу
C = A − B = A + ( −1) ⋅ B.
3. Умножение матриц. Произведением матрицы A = (aij ) m×n на
матрицу B = (bij ) n× p называется матрица C = (cij ) m× p , элементы
которой получаются по формуле
n
cij = ∑ aik bkj .
(3)
k =1
Пишут C = A ⋅ B .
Как видно из (3), перемножить две матрицы можно только в том
случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу
строк второго. Поэтому, если A ⋅ B имеет смысл, то B ⋅ A может
его не иметь. Если A и B -квадратные матрицы одинаковой
размерности, то имеют смысл и A ⋅ B и B ⋅ A .
Легко проверить, что введенные операции удовлетворяют
следующим свойствам:
1) A + B = B + A ,
2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ,
3) α ⋅ A = A ⋅ α ,
4) ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C ,
5) C ⋅ ( A + B ) = C ⋅ A + C ⋅ B ,
6) (α + β ) ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A ,
7) ( A + B) ⋅ α = α ⋅ A + α ⋅ B ,
8) A + 0 = A, A ⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0, A ⋅ E = E ⋅ A = A.
Здесь α , β – числа, 0 – нулевая матрица, E – единичная матрица.
3
Пример
1.
Найти произведение матриц
 −3 0 0 5 
1
0
2




A=
 , B =  1 2 −2 −1 .
 3 2 −1


 0 1 4 6
Решение.
Воспользуемся
формулой
 −3 2 8 17
C = A⋅ B = 
.
 − 7 3 −8 7 
Произведение B ⋅ A невозможно.
Пример 2. Найти произведение матриц
 0 0 0
 1 1 0




A =  0 0 0 , B =  0 0 0 .




 −1 0 0
 0 0 0
Aи B ,
(3),
A
если
получим
и
B,
если
 0 0 0


Решение. Согласно формуле (3) получим A ⋅ B =  0 0 0  = 0 ,
 0 0 0


 0 0 0


B ⋅ A =  0 0 0 .
 −1 −1 0


Из примера ясно, что, во-первых, произведение ненулевых
матриц может дать нулевую, во-вторых, A ⋅ B ≠ B ⋅ A в общем
случае. Если
A ⋅ B = B ⋅ A , то матрицы называются
перестановочными.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее
определитель отличен от нуля.
Определение 1. Квадратные матрицы A и B порядка n
называются взаимно обратными, если A ⋅ B = B ⋅ A = E , где E –
единичная матрица порядка n .
Обратную матрицу к A обозначают A−1 .
4
Теорема. Всякая невырожденная матрица A имеет обратную
A
B = A −1 , элементы которой определяются формулой bkj = jk ,
det A
где Ajk - алгебраическое дополнение элемента a jk матрицы A .
Доказательство. Чтобы доказать теорему, достаточно
убедиться, что выполняются условия A ⋅ B = B ⋅ A = E . Пусть
C = A ⋅ B . Согласно правилу умножения матриц, найдем
n
n
1
1  0, i ≠ j ,
=
cij = ∑ aik bkj =
⋅ ∑ aik A jk =
⋅
det A k =1
det A det A, i = j
k =1
0, i ≠ j ,
= 
= δ ij .
=
1
,
i
j

(Воспользовались свойством 5 определителя, см. Лекцию 1.1).
Т.к. матрица с элементами δ ij является единичной, (δ ij ) = E , то
первая часть теоремы доказана, т.е. A ⋅ B = E . Аналогично
можно убедиться, что B ⋅ A = E . Теорема доказана.
Теорема дает правило нахождения обратной матрицы. Для того,
чтобы найти обратную матрицу, надо:
1) составить матрицу из всех алгебраических дополнений
элементов aik матрицы A ;
2) транспонировать полученную матрицу;
3) умножить ее на (det A) −1 .
Пример 3. Найти A−1 , если
1 2 1 


A =  3 −5 3  .


 2 7 −1
Решение. Найдем определитель матрицы det A = 33 ≠ 0,
следовательно матрица A имеет обратную. Воспользуемся
сформулированным выше правилом.
5
A11 = −16,
A12 = 9,
A13 = 31,
A21 = 9,
A22 = −3,
A23 = −3,
A31 = 11,
A32 = 0,
A33 = −11.
 −16 9 11 


1
A−1 =  9 −3 0  .
33 

 31 −3 −11
Рассмотрим систему алгебраических уравнений (СЛАУ),
содержащую m уравнений с n неизвестными.
 a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = h1 ,
 a x + a x +L+ a x = h ,
 21 1
22 2
2n n
2
(4)

LLLLLLLLLLLL

am1 x1 + am2 x2 +L+ amn xn = hm .
 a11 a12 L a1n 


L
a
a
a
21
22
2
n
 , которая называется
Введем матрицу A = 
L L L L


 am1 am2 L amn 
матрицей
системы
(4),
матрицу-столбец
неизвестных
и
матрицу
свободных
членов
X = ( x1 , x 2 , K , x n ) T
H = (h1 , h2 ,K, hm ) T . С помощью этих матриц систему (4) можно
записать в матричном виде
(4’)
AX = H .
Пусть, в частности, m = n , тогда матрица системы (4)
квадратная. Если она невырожденная, т.е. det A ≠ 0, то имеет
обратную A−1. Умножим (1′ ) слева на A−1 , получим
(5)
A−1 AX = A−1H , EX = A−1H , X = A−1H .
Формула (5) дает решение системы. Этот метод называют
матричным.
Пример 4. Решить систему матричным способом.
6
 x1 + 2 x2 + x3 = 4,

3x1 − 5x2 + 3x3 = 1,
 2 x + 7 x − x = 8.
2
3
 1
Решение. Запишем систему в матричном виде AX = H. Здесь
матрица системы A совпадает с матрицей пр.3, матрица
неизвестных - X = ( x1x2 x3 ) T , а матрица свободных членов –
H = (4 1 8) T .
Поскольку обратная матрица найдена в пр.3, то воспользуемся
формулой (5).
 33  1
 −16 9 11   4
 x1 
   1   
  1
 x2  = 33  9 −3 0  ⋅  1 = 33  33 =  1 .
   
  

 
 33  1
 31 −3 −11  8
 x3 
Решением системы является вектор X = (1,1,1).
Матричный метод решения системы и метод Крамера,
рассмотренный ранее (см. Лекцию 1.1), применимы только в
частном случае, когда число уравнений m равно числу
неизвестных n , и определитель матрицы системы отличен от
нуля. Система в этом случае имеет единственное решение. В
общем случае система (4) может иметь бесконечное множество
решений или может не иметь ни одного решения. Если система
имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В
противном случае – несовместной.
Лекция 1.5. Вопросы для самоконтроля
1. Какая матрица называется нулевой,
единичной, треугольной?
2. Какие матрицы называются равными?
3. Что такое сумма матриц А и В?
4. Доказать свойства А+В=В+А.
диагональной,
7
5. С=АВ, D+BA. Найти элементы матриц C и D: а) c12; б) c21; в)
 2 − 1


3
0
−
 2 5 7 4


 B = 
d23; г) d41, если A = 
.

5
2
 −1 0 2 3


 1 − 3


6. Найти размеры матриц AB,BC,CB,CA,ABC, если А2х4, В4х7,
С7х2.
7. Доказать, что А*Е=А.
8. Что называется решением системы уравнений ?
9. Что такое свободные члены ?
10. Напишите формулы Крамера. В каком случае они
применимы ?
11. Всякую ли СЛАУ можно решить матричным методом ?
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа