close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Информация;docx

код для вставкиСкачать
УДК 536.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ОГНЕВЫХ
СТЕНКАХ КОРПУСОВ КАМЕР СГОРАНИЯ
В. Б. Веселовский,1 В. В. Никульникова,1 Н. И. Белый,2 В. И. Ляшенко3
1
Украина, Днепропетровский национальный университет
2
ОАО «Днепроблэнерго»
3
Институт транспортных систем и технологий Национальной АН Украины
Получено решение граничной обратной задачи теплопроводности методами
регуляризации и полиномов Чебышева с использованием операционного метода и метода
степенных рядов. По экспериментальным замерам температуры на внешней поверхности
составной стенки восстановлены граничные условия огневой стенки камеры сгорания
(температура поверхности, тепловой поток и коэффициент теплоотдачи).
Ключевые слова
Теплопроводность, теплообмен, камера сгорания, граничная обратная задача
теплопроводности, метод регуляризации, метод степенных рядов.
Условные обозначения
T - температура, K ; R1,2 - коэффициент термического сопротивления, м 2 К Вт ;
q - тепловой поток, Вт м 2 ; a - коэффициент теплоотдачи, Вт м 2 К , w 1,2 - источник
(сток) тепла на стыке слоев, Вт м 2 .
Введение
Организация охлаждения камер сгорания (КС) жидкостных ракетных двигателей
является одним из важнейших вопросов проектирования и по сравнению с другими типами
тепловых машин усложняется тем, что тепловые процессы протекают при высоких
температурах и давлениях. Так как высокотемпературные продукты сгорания движутся по
камере с очень большой скоростью, то резко возрастают коэффициент конвективной
теплоотдачи от горячих продуктов сгорания к стенкам камеры и конвективные тепловые
потоки q k . Кроме того, теплообмен в конструкции характеризуется высоким уровнем
радиации в камере, что приводит к большим лучистым тепловым потокам q л [1,3,4].
Коэффициент теплоотдачи от продуктов сгорания определяется с учетом совместного
воздействия конвективного и лучистого тепловых потоков в соответствующем сечении
конструкции узла по значениям параметров (давление, состав и температура продуктов
сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое) на установившемся режиме
эксплуатации определяются по критериальным выражениям [3,4].
Для определения коэффициента теплоотдачи при нестационарном теплообмене
можно воспользоваться формулой
y )
где
f
(t, )w
,()
,t
q y,t
)
л
,
( , )
– температура в камере сгорани
(1)
w
,t ,
w
,t
– температура и тепловой
я;
поток на внутренней стенке. Непосредственно замерить эти величины в большинстве
случаев невозможно, и поэтому необходимо воспользоваться косвенными методами их
определения. Значения w ,t
можно определить по измеряемым при
w ,t
и
эксперименте температурам внутри или на поверхности стенки КС, решая обратные задачи
теплопроводности (ОЗТ).
1. Постановка задачи
При стендовой обработке неохлаждаемых двигателей производится измерение
температуры поверхности в сечении I – I корпусов КС (рис.1). На поверхности в сечении
располагается по две точки замера, расположенных в диаметрально противоположных
точках периметра корпуса.
В сечении I – I (рис.1в) корпус сопла можно представить в виде однослойной
неограниченной пластины, двухслойной неограниченной пластины – сечение II – II
(рис.1г) и трехслойной неограниченной пластины – сечения I – I, II – II (рис.1б, 1д,1е).
а)
в)
б)
f wэ t
f wэ t
qГ t
qГ t
г)
f wэ t
f wэ t
qГ t
qГ t
д)
е)
Рис. 1. Расчетные схемы корпуса КС: а) корпус сопла; б) корпус КС; в) расчетная
схема сечения I – I корпуса сопла; г) сечение II – II корпуса сопла; д) расчетная схема
сечения I – I корпуса КС; е) сечение II – II корпуса КС
ОЗТ для пластины формулируется следующим образом. Требуется по замерам
температуры f w t и теплового потока g w t к пластине (рис.1в) при x 0 найти
изменения температуры и теплового потока на поверхности x 1 . Решение обратной
тепловой задачи в такой постановке целесообразно построить с использованием решения
задачи Коши [3,7].
Пусть в пространстве переменных x, t задана некоторая гладкая поверхность Г . С
каждой точкой x,t Г связывается некоторое направление l , некасательное Г .
В окрестности точки поверхности Г требуется найти решение уравнения
2
,
t
x
,
0 t
,
(2)
x
2
удовлетворяющее условиям Коши
x 0
l T
R x
(f ),
где t
a
R
,t х
2
x 0
(gt ),
(3)
Х
– безразмерные время и координата.
R
Из анализа теплофизических и геометрических параметров конструкции КС следует
возможность представления системы пластин (рис.1а,1г) в виде пластины из
теплозащитного покрытия и оболочки, которую можно рассматривать как тепловую
емкость. В системе координат, представленной на рис.1а,1г, поверхность при x 0 будем
считать теплоизолированной, т. е.
T
x
x 0
0.
(4)
При сделанных выше предположениях условия Коши (3) для этой задачи имеют вид
lП
f t)
x
f
lП
K
,
RП
t
g (t )
x
П
g
g
где K
, t а П t, х
2
M
Х
RП
RП
П
(5)
.
ОЗТ для трехслойной пластины формулируется следующим образом. Требуется по
замерам температур на стыке второй и третьей пластины (рис.1б,1д,1е) найти изменение
температуры и теплового потока на внешней поверхности третьей пластины (х = 1).
2
t
n
t
2, э
(,1 )
x
f
x 0)
n
n
b
,n
t
n ,12,
t
(6)
x2
0(,1t )
( ),
,0
(7)
(8)
0.
У словия на стыке пластин:
l
T ,1t
1
R
1(, )
(0, ) ,
1,
a2
В (7) – (9) t
1(, t )
R1
x
l
)
R2
2
(0, t
w,12 .
(9)
x
xn
– безразмерные время и координата; bn
Rn
,t x
R2
где,aR
l1
an R22
,
a 2 Rn2
– коэффициент температуропроводности и толщина n - ой пластины.
2. Решение обратной задачи теплопроводности
Нетрудно убедиться, что решение задачи (2), (3), записанное в виде
()x2n
(Tx, )
(
)n
)
)!
n 0
ln
0
x )2n
g(
1 )!
)n(
(10)
t ),
и является искомым [3,6,7].
Тогда решение задачи Коши (2), (4), (5) имеет вид
x(, )
Wn( x )f
n
(11)
(t ),
n 0
где
o
1,
1( )
x
2!
K
x
L
1!
n ( x)
x
2(n)!
K
x2 1
.
(2n 1)!
Следовательно, искомые величины w t ) g w t определяются из решения (11).
Функцию g 2 t в решении задачи (6) – (9) с учетом (10) определим из выражения
l
g t
.2
R
x
2
1
(,t2)
(12)
2
Решение задачи (6) – (8) операционным методом имеет следующий вид:
,()
,n
э
( ) f ,2э n ( )
n 0
k 1
где комплексы
)
,
(13)
exp( p k t ),
n
y pk
( x),y ( p ) определяются по соотношениям, приведенным в
[6,7].
Решение (10) при заданных f t и g t позволяет найти искомые изменения
температуры w и теплового потока q w t ) Однако в такой интерпретации решения (10),
где функции f t , g t известны из эксперимента с некоторой погрешностью, необходимо
учитывать и тот факт, что вычисление операторов дифференцировани
я
n()
t ),
n()
t)
неустойчиво к возмущениям в исходных данных [1,2,5]. Таким образом, имеем типичную
некорректную задачу, для построения устойчивого решения которой необходимо
построение регуляризирующих алгоритмов.
Сохраним в решении (10) конечное число слагаемых N . Введем обозначения
1
2
)(
n
( ),
(t )
(t ),K,
f
(t )
N
(t ) .
(14)
Интегрируя (14), получим систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода
t
k 1
)(
)(
1
( )
d , f(t )
n 0
0
где
f
( )
tn
(0)
n!
t
0
k 1
k
)!
k
d ,
(15)
21,..., N .
Соотношения для теплового потока в (10) записывается аналогично. В дальнейшем
будем считать, что на поверхности0xтеплосъем отсутствует, т. е. стенка
теплоизолирована. Тогда решение (10) с учетом обозначений (14) записывается в виде
2
,()
( )
2!
4
1
t
4!
2
t
K
x 2N
2 N!
N
t)
(16)
Таким образом, граничные условия при X 1 восстанавливаются соотношением (16),
в котором функции Z k t находятся из решения интегральных уравнений (15)
t
AZ k
0
k 1
k
)!
U (t ),
k
(17)
где правая часть задается приближенно, т. е.
k 1
d
f
f
n 0
n
( )
tn
.
n!
Здесь d – числовой параметр, характеризующий погрешность правой части
уравнения (17).
Задача (17) является в общем случае некорректно поставленной [1,6,7]. Наиболее
распространенным в настоящее время эффективным регуляризующим алгоритмом для ее
решения является алгоритм, основанный на минимизации функционала [1,2,5]
a
d
2
U
AZ
k
U
Zk
(18)
с последующим выбором параметра регуляризации da по так называемому принципу
невязки.
Например, если Z,ka d – какая-либо экстремаль функционала (18), реализующая его
глобальный минимум при заданном a и фиксированном d , то числовой параметр
определяется из условия
AZ ka,d
Ud
v
d , a .0
(19)
Температура, измеренная в процессе эксперимента, как правило, задана дискретно,
поэтому необходимо аппроксимировать ее некоторой функцией, например, по методу
T 3 (1,t ), w
наименьших квадратов. Следовательно, искомые величины w
3 (1, )
определяются из решения задачи с использованием регуляризирующего алгоритма.
Решения большинства ОЗТ связаны с необходимостью решения нелинейных
интегральных уравнений типа Вольтерра I-го рода [1]
tn
t h dh
h
fэ t
(20)
t0
где
t ) – температура, известная из эксперимента; q h – искомая функция
(температура поверхности, тепловой поток и др.); K , – ядро интегрального уравнения,
которое имеет для каждой конкретной задачи свой вид.
Для решения уравнения (20) предложено использовать ортогональные полиномы
Чебышева. Полиномы Чебышева значительно упрощают вычисления, а главное дают
высокую точность определения аппроксисмирующего полинома. Полиномы Чебышева не
только не вносят погрешности аппроксимации, но и, при соответствующем выборе степени
полинома r , выравнивают погрешности аппроксимируемой функции.
Пусть дискретные значения искомой граничной функции и измеренной температуры
аппроксимируются соответственно функциями
э
r
, 1, 2, ..., n , U x 0 ,
S
fS ,
S
0, 1, 2, ..., n .
Тогда уравнение (20) сводится к системе:
n
(21)
f ,
,
S 0
где
tr h,S t
h
r
S
tn t0
r,
n
tr
S
0
h n h0
S
n 1
2).
(22)
По критерию Гаусса определяем оптимальную степень аппроксимирующего
экспериментальную температуру полинома f S Чебышева. Потом производим уточнение
степени аппроксимирующего неизвестную функцию q r полиномом Чебышева (24)
n
r
r
n
S 0
min
r
2
t
.
(23)
степени ортогонального многочлена, что
Оптимальное значениеr
0
аппроксимирует решение интегрального уравнения (20) выбираем из условия минимума
функционала
n
r
2
t
r 0
r
n
.
r
(24)
Работоспособность алгоритма рассмотрим на тестовом примере:
1
K
t)
h
ph
t
2
0
1
, h
t
1.
(25)
3. Численный эксперимент
(1
) . По заданному
Предположим, что тепловой поток имеет вид: q
тепловому потоку вычисляем функцию f t . Потом решаем обратную задачу, вычисляя
функцию q h . Функции f t и q h аппроксимируем полиномами Чебышева 2-10-го
порядка. Оптимальное значение степени полинома, который аппроксимирует решения
обратной задачи, выбираем из условия минимума функционала (24). Значения
функционала, вычисленные при разных значениях r , приведены на рис.2а. Видно, что
оптимальное значение r 4 . На рис.2б (кривые 1, 2) представлен пример решения
уравнения (20) (кривая 1 – точное значение q t ; кривая 2 – решения по предлагаемому
методу). Точность, с которой предложенным методом из интегрального уравнения (20)
определяется неизвестная функция, приближенно равняется точности задания правой
части.
Предположим, что тепловые потоки заданы функциями (кривые 1) на рис.3 (а, б).
Тепловые потоки значительно отличаются один от другого: половина седла (рис.3а);
кривая с бугром (рис.3б). Потом решаем обратную задачу, считая известной функцию f t ,
определяем функцию q h . Восстановленные из решения интегрального уравнения (20)
вариационным методом тепловые потоки приведены на рис.3 (кривые 2). Из рис.3 видно,
что точность восстановления неизвестной функции зависит от характера теплового потока.
Для исследования влияния погрешности измерения температуры на точность
восстановления теплового потока рассмотрим следующие примеры. Вносим возмущения в
функцию f t , прибавляя гауссовы ошибки j t
j ,1 2, 3 со средними квадратичными
значениями: 1) s 1 ,0005;
2) s 2 ,0025;
3) s 1 ,0005
и для возмущенных функций
~ j
tj t
решаем интегральные уравнения.
Результаты решения приведены на рис.4. Анализ показывает, что точность
восстановления теплового потока в значительной мере зависит от точности задания правой
части интегрального уравнения (20), а также от характера неизвестной функции.
6
1
5
4
0,8
0,6
3
1
0,4
2
1
0
2
0,2
0
2
4
6
8
10
0
0,2
0,4
0,6
а)
0,8
1
б)
Рис. 2. Тестовый пример: а) изменение функционала (25); б) решение уравнения (20)
(1 – точное значение; 2 – решение вариационным методом)
0,8
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
1
0,6
2
2
0,4
0,2
0
0
0,2
а)
0,4
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
б)
Рис. 3. Изменеие тепловых потоков: 1 - заданный (а, б); 2 – восстановленный
вариационным методом (а, б)
0,6
2
3
0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,4
0,3
0,2
0
0
2
0,6
0,5
1
0,4
1
3
0,1
0
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
а)
0,8
1
б)
Рис. 4. Восстановленные тепловые потоки
(1 – при s 1 = ,0005 , 2 – при s 1 = ,0025 , 3 – при s 1 = ,005 )
3. Анализ результатов
При стендовой обработке КС производится измерение температуры поверхности в
сечениях соответствующих корпусов узлов (рис.1а,1б). На поверхности в сечении
располагается по две точки замера, расположенных в диаметрально противоположных
точках периметра корпуса. Экспериментальные данные и результаты решения обратной
тепловой задачи для однослойной, двухслойной и трехслойной пластин приведены на
рис.5.
В реальных условиях измеряемые температуры (т. е. исходные данные для обратной
задачи теплопроводности) являются случайными величинами из-за дефектов производства,
технологии изготовления, загрязнения поверхности, погрешности измерения и обработки
экспериментальной информации. Влияние погрешностей исходной информации на
решение ОЗТ оценивалось с помощью метода статистических испытаний Монте-Карло
[6,7]. Анализ результатов статистического моделирования решения обратной задачи
позволяет установить коридор ошибок искомых граничных условий.
1250
1250
1000
3
1
3
1000
750
750
500
500
2
1
2
250
250
0
0
0
50
а)
100
150
200
250
0
50
100
150
200
б)
250
2500
1000
1
750
1
2000
3
1500
3
500
1000
2
250
2
500
0
0
0
50
в)
10 0
15 0
2 00
250
0
50
100
150
200
г)
Рис.5. Экспериментальные данные и результаты решения обратной тепловой задачи
для однослойной пластины: а) экспериментальная температура; б) температура
поверхности; в) тепловой поток; г) коэффициент теплоотдачи. На рисунках: 1 –
однослойная, 2 – двухслойная, 3 – трехслойная пластины
Выводы
Расчеты для однослойной и двухслойной пластин показали, что погрешность в
задании экспериментальной температуры до 5% вызывает максимальные отклонения
температуры поверхности до 10% на временном интервале 0 – 55с, а для двухслойной 0 –
55с; на остальном временном участке до 5 %. Максимальные отклонения теплового потока
на тех же временных интервалах - соотственно 20% и 10%. Расчеты для трехслойной
пластины показали, что погрешность в задании экспериментальной температуры до 5%
вызывает максимальные отклонения темпера-туры поверхности до 10% на временном
интервале 0 – 75с, 0 – 35с, 0 – 55с, а на остальном временном участке до 5%, теплового
потока - 20% и 10% соответственно.
Литература
1. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М: Машиностроение, 1988. 280 с.
2. Алифанов О. М. Обратные задачи как методологическая основа идентификации
тепловых математических моделей // Тепломассобмен – ММФ Минск: ИТМО АНБ,
2000. Т.3. С.3 – 13.
3. Коваленко Н. Д., Шмукин А. А., Гужва М. И., Махин В. В. Нестационарные
тепловые процессы в энергетических установках летательных аппаратов. К.: Наук.
думка, 1988. 224 с.
4. Основы теплопередачи в авиационной и ракетной технике. М.: Машиностроение, 1975.
624 с.
5. Мацевитый Ю. М., Лушпенко С. Ф. Параметрическая идентификация
теплофизических процессов. // Тепломассобмен – ММФ Минск: ИТМО АНБ, 2000. Т.3.
С.21 – 27.
6. Веселовский В. Б. Тепловые режимы составных элементов конструкции летательных
аппаратов // Тепломассообмен – ММФ Минск: ИТМО АНБ, 1996, Т.9. С. 37 – 41.
7. Веселовский В. В., Даценко И. Н., Никульникова В. В., Ляшенко В. И. Определение
нестационарных граничных условий на огневых стенках корпусов по
экспериментальным замерам температур. // Вісник Дніпропетровського університету.
Механіка. 2002. Вип.6, т.1. С.102 – 110.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа