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Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Департамент научно-технологической политики и образования
ФГБОУ ВПО «Челябинская государственная агроинженерная академия»
L. Gorélik, D. Grimberg
Л.Б. Горелик, Д.А. Гримберг
Vocabulaire de mathématiques français-russe
Учебный французско-русский
математический словарь активного типа
Учебно-методическое пособие
Tchéliabinsk
Челябинск
2013
УДК 811.133.1(038)
ББК 81.2 Фр-4
Г 687
Г 687
Горелик Л. Б., Гримберг Д. А.
Учебный французско-русский математический словарь активного типа: учеб.-метод. пособие / Л. Б. Горелик, Д. А. Гримберг. – Челябинск : ЧГАА, 2013. – 336 С.
ISBN 978-5-88156-646-3
Словарь содержит более 800 терминов, терминологических сочетаний и сочетаний, не являющихся терминологическими; более 100 математических и около
50 речевых фразеологизмов, использующихся в математике; около 500 математических терминов в одноязычном толковом словаре; 26 аутентичных математических текстов на французском языке, совпадающих по тематике с российскими
программами для технических вузов, на базе которых построен словарь.
Словарь предназначен для студентов, желающих овладеть активными видами математической иноязычной речи для дальнейшего использования сформированной инокультурной компетенции в межкультурной коммуникации.
УДК 811.133.1(038)
ББК 81.2 Фр-4
Рецензенты:
Е. А. Суховиенко – доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой
алгебры, геометрии и методики преподавания математики (ЧГПУ)
С. А. Чичиланова – кандидат педагогических наук, доцент кафедры иностранных языков (ЧГАА)
Печатается по решению редакционно-издательского совета ЧГАА.
ISBN 978-5-88156-646-3
© ФГБОУ ВПО «Челябинская государственная
агроинженерная академия, 2013.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий учебный французско-русский математический
словарь предназначен для студентов, изучивших иностранный
язык в объеме средней школы и желающих освоить программу
технического вуза по математике на этом языке с целью
использования полученных знаний в ситуациях межкультурной
учебной коммуникации.
Словарь составлен на базе неадаптированных текстов на
французском языке, отобранных из учебников для высшей
школы и по содержанию близких к программам по математике
технических вузов России. В этом смысле словарь представляет
собой лексический минимум по высшей математике.
Конечная цель словаря – формирование активных видов
речевой деятельности. Его структура, а также принципы отбора и
организация лексического материала подчинены этой цели.
Структура словаря. Учебный математический словарь
является словарем комплексного вида, то есть содержит сразу
несколько словарей, каждый из которых выполняет свою
функцию.
Первый тип словаря является переводным французскорусским и играет роль справочника при чтении математической
литературы на французском языке и при составлении
пользователем собственных математических текстов, как
письменных, так и устных. Кроме того, он выполняет
3
межкультурную функцию, предлагая варианты перевода
безэквивалентной лексики.
Следующий за ним фразеологический переводной словарь
состоит из двух частей: математической фразеологии и
фразеологии дискурса, без которой было бы невозможно
структурирование и толкование математического текста.
Функция фразеологического словаря состоит в обеспечении
связности собственной математической речи пользователя. В
отличие от терминологического, этот словарь показывает
использование слова в более широком контексте, а также
правильное и порой единственное устойчивое сочетание термина
с другими словами. В некотором отношении фразеологический
словарь формирует стиль научной речи, хотя в данном случае ни
один из математических текстов, представленных в словаре, не
является чисто научным, сохраняя черты дидактизированного
учебного текста.
Третий тип словаря является толковым одноязычным
словарем и предназначен для студентов, хорошо владеющих
французским языком. Он позволяет изучать математику на
французском языке в иммерсионном режиме, то есть без
обращения к родному языку. Одноязычное изучение математики
позволяет быстрее сформировать активные виды речи, так как
заставляет студента рассуждать сразу на иностранном языке,
приближая его к состоянию билингва, то есть индивидуума,
пользующегося попеременно то одним, то другим языком в
зависимости от ситуации и не смешивающего эти языки в своей
речи. В толковом словаре определения математических терминов
даются обобщенно. Более подробное их толкование можно найти
в иллюстративных текстах.
Лексика трех указанных словарей относится к высшей
математике. Для обеспечения возможности обучать всех
студентов математике на иностранном языке в режиме мягкой
иммерсии, то есть почти без обращения к родному языку,
предусмотрена в качестве материала для предватительной работы
над текстами по высшей математике система упражнений на
известном студентам материале школьного курса, позволяющая,
4
во-первых, сформировать стратегии чтения и понимания
иноязычной математической речи, а, во-вторых, усвоить
фоновую лексику по математике и сформировать навыки устной
и письменной разговорной речи на базе текстов этих
упражнений. Лексика упражнений является четвертым, неявно
выраженным математическим словарем.
В заключение в целях формирования навыка чтения
математических формул в приложении дается справочный
материал, содержащий нужные для этого сведения. Это
приложение играет весьма важную роль и в формировании
межкультурной компетенции, так как содержит достаточный
список символов, отличающихся от тех, что встречаются в
математической литературе на русском языке. Приложение
содержит также грамматический справочник, в котором
французскими дидактами учтены часто встречающиеся в
ученических и студенческих работах грамматические ошибки.
Кроме того, даны сведения о новых правилах французской
орфографии, касающиеся записи чисел на французском языке.
Организация лексического материала. Французско-русский
переводной словарь составлен по принципу терминологических
гнезд с соблюдением однородности заголовочных терминов:
более 90% из них являются существительными. Исключения
составляют прилагательные, способные формировать несколько
различных сочетаний с существительными, где прилагательные
играют смыслообразующую роль, а также глаголы, употребление
которых в математических текстах отличается от употребления в
обычном языке, что позволяет рассматривать каждый такой
глагол в качестве математического термина.
Терминологическое гнездо состоит из простого термина вне
контекста; терминологических сочетаний с этим термином, то
есть составных терминов на базе заголовочного; сочетания
заголовочного термина с другими словами в узком контексте,
причем эти словосочетания не являются терминологическими.
Кроме того, каждый простой термин снабжен ссылкой на
широкий контекст, где отражается его связь с другими
терминами соответствующей темы, что способствует его более
5
глубокому пониманию и позволяет адекватно использовать этот
термин в иноязычной речи.
Термин набран полужирным начертанием без отступа. Ниже
следуют терминологические сочетания, в которых заголовочный
термин заменен знаком «~». За ними расположены сочетания, не
являющиеся терминологическими. В каждом из них термин,
формирующий гнездо, обозначен символом «≈». Знаком «∗»
начинаются нетерминологические устойчивые словосочетания,
где, как правило, отражаются особенности употребления термина
со служебными словами, глаголами, прилагательными, которые в
математических текстах нельзя заменять синонимами. Знак «∗»
не является замещением заголовочного термина. Наконец,
пунктиром подчеркнуты термины и словосочетания, не имеющие
точного соответствия в русском языке. Дословный перевод в этих
случаях невозможен.
Слева и справа от терминологических гнезд расположены
цифровые указатели, обеспечивающие быструю и легкую
навигацию от слова к тексту и обратно. В направлении от слова к
тексту работают указатели, помещенные слева от термина или
его сочетания с другими словами. Они содержат номер текста,
номер страницы и номер строки, в которой находится данное
слово или словосочетание. Эти номера разделены дефисом.
Например, указатель 22-244-24 слева от слова «aplatissement»
означает, что оно встречается в тексте № 22 на странице 244 в
строке № 24, начиная сверху. При этом пользователю словарем
нет необходимости отсчитывать строки, так как в тексте уже
предусмотрена их нумерация. При переходе от текста к слову
достаточно обратить внимание на подчеркнутое слово или
словосочетание в тексте и число в скобках, следующее за ним.
Оно означает его порядковый номер в переводном словаре. Этот
номер расположен в правом столбце словаря.
Словарь составляет неотъемлемую часть дидактического
комплекса для обучения математике на французском языке.
6
TABLE DES MATIÈRES
TERMINOLOGIE MATHÉMATIQUE : vocabulaire françaisrusse par ordre alphabétique .........................................................
A – B ..........................................................................................
C – D ..........................................................................................
E – F ..........................................................................................
G – J ..........................................................................................
L – O ..........................................................................................
P – Q ..........................................................................................
R – S ..........................................................................................
T – V ..........................................................................................
PHRASÉOLOGIE MATHÉMATIQUE ......................................
1 Introduction d’un objet ........................................................
2 Valeurs d’une variable .........................................................
3 Égalité, identité ....................................................................
4 Définitions, notations ...........................................................
5 Façon d’agir .........................................................................
6 Méthodes, raisonnements .....................................................
7 Hypothèse, cause ..................................................................
8 Conséquence, conclusion .....................................................
9 Généralisation ......................................................................
10 Références ............................................................................
PHRASÉOLOGIE DU DISCOURS dans les textes
mathématiques ..............................................................................
7
10
10
13
21
28
30
33
38
42
45
45
46
49
51
52
55
58
60
63
65
67
1 Commentaires ......................................................................
2 Explication de ce qu’on va faire ..........................................
3 Avertissements .....................................................................
67
72
73
VOCABULAIRE THÉMATIQUE RAISONNÉ .........................
1 Logique. Raisonnement .......................................................
2 Ensembles et applications ....................................................
3 Fonctions numériques ..........................................................
4 Limites et continuité. Dérivation .........................................
5 Étude d’une fonction ............................................................
6 Algèbre linéaire ....................................................................
7 Vecteurs ...............................................................................
8 Droites et plans .....................................................................
9 Intégration ............................................................................
10 Équations différentielles .......................................................
11 Fonctions de plusieurs variables ..........................................
12 Dénombrement .....................................................................
13 Probabilité ............................................................................
14 Statistique .............................................................................
TEXTES MATHÉMATIQUES ...................................................
1 Logique ................................................................................
2 Raisonnements .....................................................................
3 Ensembles et applications ....................................................
4 Fonctions numériques ..........................................................
5 Limites et continuité .............................................................
6 Dérivation .............................................................................
7 Étude d’une fonction ............................................................
8 Systèmes d’équations linéaires ............................................
9 Déterminants ........................................................................
10 Vecteurs ...............................................................................
11 Droites du plan .....................................................................
12 Droites et plans de l’espace ..................................................
13 Primitives et intégrales .........................................................
14 Intégrales généralisées .........................................................
15 Application du calcul intégral ..............................................
16 Équations différentielles .......................................................
17 Fonctions de plusieurs variables ..........................................
8
75
75
76
79
81
84
88
91
93
97
99
101
104
107
113
117
117
123
127
134
146
153
159
163
169
174
181
189
195
199
202
206
214
Optimisation d’une fonction de deux variables ...................
Intégrales multiples ..............................................................
Dénombrement .....................................................................
Probabilités discrètes ............................................................
Lois de probabilité discrètes .................................................
Probabilités continues ..........................................................
Lois de probabilité continues ...............................................
Statistique. Vocabulaire .......................................................
Statistique. Paramètres caractéristiques ...............................
222
226
233
238
243
252
255
261
265
EXERCICES ................................................................................
1 Nombres cardinaux et ordinaux ...........................................
2 Nombres fractionnaires ........................................................
3 Opérations sur les nombres ..................................................
4 Intervalles .............................................................................
5 Calcul littéral ........................................................................
6 Équation du second degré à une inconnue ...........................
7 Fonctions linéaires et affines ...............................................
8 Probabilité ............................................................................
9 Gestion de données ..............................................................
10 Jeux du vocabulaire ..............................................................
277
277
277
279
282
283
288
291
294
298
302
APPENDICES ..............................................................................
1 Signes et symboles ...............................................................
2 Lecture de symboles .............................................................
3 Abréviations .........................................................................
4 Grammaire ...........................................................................
5 Simplification de l’orthographe des nombres ......................
306
306
317
320
321
325
18
19
20
21
22
23
24
25
26
SOURCES .................................................................................... 329
BIBLIOGRAPHIE ........................................................................ 332
9
TERMINOLOGIE MATHÉMATIQUE
VOCABULAIRE FRANÇAIS-RUSSE
A
11-182-28 abscisse (n.f.) абсцисса
11-184-22 ~ à l’origine абсцисса точки пересечения графика
функции с осью абсцисс
24-256-6 ∗ des points d’abscisse μ ± 2σ = ±2 точки с
абсциссами μ ± 2σ = ±2
24-255-30 ∗ Elle est en forme de cloche, symétrique par rapport
à la droite verticale d’abscisse  = 0. Она имеет
форму колокола, симметричного вертикальной
прямой, проходящей через точку с абсциссой  =
0.
1
2
3
4
11-186-10 ∗ On sait qu’un point dans le plan peut être localisé à
l’aide d’une paire de coordonnées, une en abscisse et
une en ordonnée (horizontale et verticale). Известно,
что точка на плоскости может быть определена
(локализована) с помощью двух координат, одной
на оси абсцисс, другой на оси ординат.
15-203-5 aire (n.f.) площадь
15-203-5 ≈ d’une surface plane площадь поверхности
плоской фигуры
22-243-21 aléatoire (adj.) случайный (-ая)
22-243-27 ∗ la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire
donnée закон распределения вероятностей,
10
5
6
7
8
9
24-259-10
22-259-18
8-163-6
8-163-6
15-203-1
20-233-9
25-262-30
10-179-25
10-180-1
12-194-14
12-194-14
3-130-19
3-133-6
22-244-24
26-275-5
26-275-7
3-128-14
3-133-2
3-131-3
3-131-6
3-133-24
15-203-4
15-202-22
20-233-20
15-202-28
20-234-11
20-234-20
20-234-20
1-118-10
соответствующий данной случайной величине
∗ tirage (n.m.) d’un nombre aléatoire выбор
случайного числа
∗ variable (n.f.) aléatoire случайная величина
algorithme (n.m.) алгоритм, метод
~ du pivot de Gauss метод Гаусса
analyse (n.f.) анализ
~ combinatoire комбинаторика
~ statistique статистический анализ
~ vectorielle векторный анализ
angle (n.m.) угол
~ aigu острый угол
~ obtus тупой угол
antécédent (n.m.) прообраз
~ par une fonction  прообраз по функции 
aplatissement (n.m.) эксцесс (крутизна)
∗ coefficient (n.m.) d’applatissement de Pearson
коэффициент крутизны распределения Пирсона
∗ coefficient (n.m.) d’applatissement de Yule
коэффициент крутизны распределения Юла
application (n.f.) (1) отображение
~ bijective биективное отображение
~ injective инъективное отображение
~ surjective cюръективное отображение
∗ construire une application построить отображение
application (n.f.) (2) применение; приложение
≈ du calcul intégral приложение интегрального
исчисления
arbre (n.m.) дерево (минимальный связный граф)
arc (n.m.) de courbe дуга кривой
arrangement (n.m.) размещение
≈ à  éléments parmi  размещение из  элементов
по 
≈ est une liste ordonnée размещение это
упорядоченное множество
assertion (n.f.) высказывание
11
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
~ fausse ложное высказывание
~ vraie истинное высказывание
asymétrie (n.f.) асимметрия
axe (n.m.) ось
~ des abscisses ось абсцисс
~ des ordonnées ось ординат
~ de symétrie ось симметрии
~  ось 
~  ось 
∗ Elle a pour axe de symétrie la droite . Она имеет
осью симметрии прямую .
4-137-13 ∗ une parabole d’axe  парабола с осью 
1-118-10
1-118-10
22-244-23
3-128-23
3-128-23
3-128-23
4-137-8
10-176-21
10-176-22
4-137-7
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
B
10-176-25
10-176-25
10-176-25
4-143-13
4-143-13
4-143-13
15-204-8
4-144-11
4-144-17
21-241-16
21-241-18
7-162-26
7-162-26
10-174-29
10-174-29
base (n.f.) (1) базис
~ canonique
~ orthonormée
base (n.f.) (2) основание
~ des logarithmes основание логарифмов
~ des logarithmes Néperiens основание
натуральных логарифмов
~ du cône основание конуса
∗ la fonction logarithme en base  логарифмическая
функция по основанию 
bijection (n.f.) биекция
boule (n.f.) шар
∗ tirer une boule au hasard вынуть шар наудачу
branche (n.f.) (1) ветвь
~ parabolique de direction asymptotique
параболическая ветвь асимптотического
направления
branche (n.f.) (2) область
≈ des mathématiques область математики
12
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
C
8-167-9 cadrage (n.m.) масштабирование
20-236-27 cardinal (n.m.) кардиднальное число (число
элементов множества); мощность множества
25-264-34 ≈ de l’image réciproque число элементов образа
обратного отношения
21-241-9 ∗ On peut prendre Ω, dont le cardinal est |Ω| = 36.
Можно взять множество Ω, число элементов
которого равно |Ω| = 36.
20-236-27 ∗ sous-ensemble de cardinal  подмножество с
числом элементов, равным 
15-205-12 caroïde (n.f.) кривая в форме сердца
1-118-25 carte (n.f.) карта
20-234-6 ~ bleue кредитная карта
1-118-25 ∗ Cette carte est un as. Эта карта – туз.
13-196-7 changement (n.m.) замена
13-196-7 ~ de variable замена переменной
20-233-24 chemin (n.m.) ребро графа (дерева)
20-233-23 ∗ Les différents tirages sont alors représentés par
chacun des huit chemins de l’arbre. Различные
варианты выбора представлены каждым из
восьми ребер дерева.
8-168-8 choix (n.m.) выбор
8-168-8
≈ du pivot выбор опорного неизвестного
20-235-5 ≈ possible возможный выбор
21-242-21 ∗  évènements sont indépendants… pour tout choix
d’indices. События независимы … для любого
выбора индексов.
16-212-10 coefficient (n.m.) коэффициент
16-212-10 ~ constant постоянный коэффициент
26-275-3 ~ d’aplatissement коэффициент крутизны
26-273-6 ~ d’asymétrie коэффициент асимметрии
26-273-14 ~ d’asymétrie de Fisher коэффициент асимметрии
Фишера
26-273-11 ~ d’asymétrie de Pearson коэффициент асимметрии
13
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
26-273-11
4-145-8
26-273-23
8-167-18
4-138-4
4-141-30
13-197-26
9-171-25
9-171-25
20-237-24
20-236-26
20-236-26
20-233-9
10-177-1
10-177-2
10-177-3
21-238-24
4-137-115
4-137-15
4-137-13
Пирсона
~ d’asymétrie de Yule коэффициент асимметрии
Юла
~ directeur угловой коэффициент
~ d’oblicité (d’obliquité) = ~ d’asymétrie
коэффициент асимметрии
~ pivot опорный коэффициент
∗ méthode (n.f.) des coefficients indéterminés метод
неопределенных коэффициентов
∗ les coefficients de plus haut et plus bas degré de 
коэффициенты самой высокой и самой низкой
степени многочлена .
∗ On retombe sur l’intégrale de départ affectée d’un
autre coefficient. Вновь получают исходный
интеграл, умноженный на другой коэффициент.
combinaison (n.f.) (1) комбинация
~ linéaire линейная комбинация
≈ de 5 cartes комбинация из 5 карт; рука
combinaison (n.f.) (2) сочетание
~ de  éléments parmi  сочетание из  элементов
по 
combinatoire (n.f.) комбинаторика
composante (n.f.) (1) координата вектора
(коэффициент разложения вектора по
координатам базиса)
~ dans la direction ⃗ абсцисса вектора (досл.:
коэффициент вектора в направлении ⃗ )
~ dans la direction ⃗ ордината вектора
(коэффициент вектора в направлении ⃗ )
composante (n.f.) (2) составляющая
concavité (n.f.) (1) вогнутость; выпуклость вниз;
выпуклость в положительном направлении оси
ординат
concavité (n.f.) (2) выпуклость-вогнутость;
кривизна; направление ветвей кривой
∗ La représentation graphique de  est une parabole
14
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
18-125-2
2-125-30
18-222-28
21-241-24
16-211-17
25-264-5
16-211-20
15-204-3
15-204-7
15-204-9
4-143-4
13-195-20
16-207-28
16-207-28
13-196-17
16-211-11
16-210-23
1-117-26
1-117-26
5-147-12
dont la concavité est tournée vers les  > 0 si  > 0
et vers les  < 0 si  < 0. График функции  –
парабола, ветви которой направлены в
направлении  > 0, если  > 0 и в направлении
107
 < 0 , если  < 0.
conclusion (n.f.) заключение; вывод
108
∗ Conclusion : si ⁄(1 + ) = ⁄(1 + ) alors  =
. Вывод: если ⁄(1 + ) = ⁄(1 + ), то  = . 109
∗ Si  = 0, aucune conclusion n’est possible. Если
110
 = 0, никакое заключение невозможно.
condition (n.f.) условие
111
112
~ initiale начальное условие
∗ … à condition que chacune de ces variables soit
discrète) … при условии, что каждая из этих
переменных является дискретной.
113
∗ Une solution satisfaisant à cette condition initiale
est une solution  telle que (0 ) = 0 . Решение,
удовлетворяющее этому начальному условию
114
таково, что (0 ) = 0 .
cône (n.m.) конус
115
116
~ droit прямой конус
∗ section (n.f.) du cône avec un plan horizontal
сечение конуса горизонтальной плоскостью
117
constante (n.f.) константа, постоянная величина
118
119
~ additive постоянное слагаемое
120
~ arbitraire произвольная постоянная
121
~ d'intégration постоянная интегрирования
∗ mettre en facteur une constante devant l’intégrale
вынести постоянный множитель за знак интеграла 122
∗ faire varier (v.) la constante варьировать
постояную
123
∗ méthode (n.f.) de variation de la constante метод
вариации постоянной
124
continuité (n.f.) непрерывность
125
126
~ d’une fonction непрерывность функции
127
~ d’une fonction en un point непрерывность
15
18-222-4
18-222-4
18-222-5
18-223-9
4-137-15
11-182-28
11-183-1
15-204-19
15-204-20
12-191-21
12-191-21
15-205-2
26-270-7
24-255-28
17-220-24
26-275-16
26-270-19
15-202-27
15-204-1
15-205-2
7-159-32
15-206-6
19-227-9
19-229-11
функции в точке
contrainte (n.f.) условие; ограничение
128
∗ optimisation sans contrainte безусловная
оптимизация
129
∗ optimisation avec contrainte условная
оптимизация
130
131
∗ sous la contrainte при условии
convexité (n.f.) = concavité выпуклость; выпуклость
вверх; выпуклость в отрицательном направлении
оси ординат
132
coordonnée (n.f.) координата
133
cote (n.f.) аппликата
134
coupe (n.f.) сечение, разрез
135
136
~ verticale вертикальное сечение
couper (v.) пересекать
137
∗ Une droite coupe un plan en un point. Прямая
пересекает плоскость в точке.
138
courbe (n.f.) кривая линия, график
139
~ cumulative de fréquence кривая (график)
накопленной частоты
140
~ d’une densité кривая плотности (распределения
случайной величины)
141
142
~ de niveau линия уровня
143
~ en cloche Гауссова кривая
144
~ en escalier график ступенчатой функции
145
~ fermée замкнутая кривая
~ formant le contour кривая, образующая контур 146
147
~ fermée plane плоская замкнутая кривая
148
~ représentative график (функции)
≈ d’équation  = () график функции  = () 149
≈ délimitant un domaine  линия, ограничивающая
область 
150
≈ vérifiant la propriété удовлетворяющ. условию 151
D
16
21-239-22
4-135-19
21-239-22
15-203-15
15-203-15
1-117-28
5-148-1
9-169-20
5-147-3
10-180-20
1-117-29
1-117-28
4-135-7
4-135-35
14-200-5
14-200-14
1-118-2
1-118-2
1-118-3
20-233-3
20-237-10
23-252-3
23-252-24
dé (n.m.) игральная кость; кубик
152
~ équilibré симметричный кубик
153
~ non pipé симметричный кубик
154
découper (v.) разрезать, рассекать, делить
155
∗ Découpons ce solide en tranches horizontales.
Разрежем это тело на горизонтальные слои.
156
définition (n.f.) определение
157
~ équivalente равносильное определение
158
≈ d’un déterminant определение определителя
159
≈ de voisinage d’un point определение окрестности
точки
160
≈ du produit vectoriel определение векторного
произведения
161
162
≈ mathématique математическое определение
≈ peu satisfaisante неудовлетворительное
определение
163
∗ domaine (n.m.) de définition область определения 164
∗ ensemble (n.m.) de définition область
определения
165
∗ On peut généraliser facilement la définition à des
fonctions qui sont continues seulement sur ]a, b[.
Можно легко обобщить определение на функции,
166
непрерывные только на ]a, b[.
∗ point (n.m.) de non définition точка, в которой
функция не определена (выражение не
опредлелено)
167
démarche (n.f.) действие, прием, рассуждение
168
169
≈ logique логический прием
170
≈ convaincante убедительное рассуждение
dénombrement (n.m.) перечисление, подсчет,
комбинаторика (combinatoire подсчет комбинаций) 171
dénombrer (v.) подсчитывать
172
densité (n.f.) плотность
173
≈ de la loi normale (uniforme …) плотность
нормального (равномерного …) закона
распределения
174
17
23-252-71 ∗ variable (n.f.) aléatoire à densité непрерывная
случайная величина
23-252-17 ∗ Cette variable aléatoire admet la densité . Эта
случайная величина имеет плотность .
4-142-16 dérivée (n.f.) производная
6-153-16 ~ d’une fonction производная функции
6-155-2
~ -ième производная порядка 
17-216-22 ~ partielle частная производная
16-208-26 ~ première производная первого порядка
6-154-22 ~ seconde вторая производная
9-170-10 déterminant (n.m.) определитель
9-170-17 ~ de la matrice определитель матрицы
9-173-5
~ associé à un système определитель системы
9-172-20 ∗ affecter le déterminant изменить значение
определителя
9-171-130 ∗ développement n.m. du déterminant en cofacteurs
suivant la colonne (la ligne) разложение
определителя по столбцу (строке)
9-172-1
∗ Le déterminant d’une matrice possédant une
colonne de 0 est 0. Определитель матрицы,
имеющий столбец нулей, равен 0.
9-172-5
∗ On ne change pas la valeur d’un déterminant en
mettant en facteur, un facteur commun aux éléments
d’une colonne (d’une ligne). Мы не изменим
значение определителя, вынеся за его знак общий
множитель элементов столбца (строки).
17-214-6 différentielle (n.f.) дифференциал
17-214-6 ~ totale полный дифференциал
23-252-9 direction (n.f.) направление
23-252-9 ∗ la probabilité qu’elle pointe dans une direction α …
вероятность того, что она указывает направление
α...
10-175-1 ∗ Un vecteur est une grandeur qui a une intensité,
une direction et un sens. Вектор есть величина,
которая характеризуется длиной, направлением
содержащей его прямой и направлением на этой
18
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
1-119-1
26-269-12
26-269-12
11-181-18
21-239-16
22-249-4
22-244-3
21-241-17
22-245-2
25-264-20
21-239-24
26-274-4
26-273-18
22-249-3
22-244-26
22-244-3
4-134-30
4-135-7
7-159-10
19-228-16
19-227-9
прямой.
194
disjonction (n.f.) дизъюнкция
195
dispersion (n.f.) рассеяние
196
∗ paramètres (n.m.pl.) de dispersion параметры
рассеяния
197
distance (n.f.) расстояние
198
distribution (n.f.) распределение
199
200
~ binomiale биномиальное распределение
~ de probabilité распределение вероятностей;
закон распределения вероятностей
201
~ équiprobable равномерное (дискретное)
распределение
202
203
~ gaussienne гауссово распределение
204
~ statistique статистическое распределение
205
~ uniforme равномерное распределение
≈ à densité de fréquence symétrique симметричная
плотность распределения частот
206
≈ étalée à droite (à gauche) распределение,
смещенное вправо (влево)
207
≈ s’approche d’une distribution normale
распределение приближается к нормальному
208
≈ symétrique autour de son espérance
распределение симметричное относительно
математического ожидания
209
∗ une distribution de probabilité suit une loi uniforme
discrète… распределение вероятностей следует
(подчиняется) равномерному дискретному закону
распределения…
210
domaine (n.m.) область
211
212
~ de définition область определения
213
~ d’étude область изучения
≈ segmentable verticalement et horizontalement
область, разделенная на вертикальные и
горизонтальные полосы
214
∗ courbe délimitant le domaine кривая,
ограничивающая область
215
19
17-214-27 ∗ préciser (v.) le domaine de définition уточнить
(найти) область определения
216
7-160-11 ∗ restreindre (v.) l’étude à un domaine aussi petit que
possible ограничивать изучение (функции) до
сколь угодно малой области
217
19-227-11 ∗ subdiviser (v.) le domaine  en sous-domaines
élémentaires. Разделить область  на
элементарные подобласти.
218
8-163-32 double indice (n.m.) двойной индекс
219
6-154-1 droite (n.f.) прямая
220
12-190-t
221
~ coplanaires компланарные прямые
12-190-t
~ gauches скрещивающиеся прямые
222
12-192-5 ~ orthogonales ортогональные прямые
223
11-185-24 ~ parallèles параллельные прямые
224
11-185-27 ~ perpendiculaires перпендикулярные прямые
225
12-192-24 ~ normale нормаль
226
11-184-1 ~ sécantes пересекающиеся прямые
227
12-190-17 ~ сonfondues cовпадающие прямые
228
11-181-17 ∗ état (n.m.) des droites взаимное положение
прямых
229
11-184-10 ∗ forme (n.f.) cartésienne d’une droite декартова
форма (уравнения) прямой (то есть связанная с
прямоугольной декартовой системой координат 230
11-184-20 ∗ forme (n.f.) fonctionnelle d’une droite
функциональная форма (уравнения) прямой
231
11-185-8 ∗ forme (n.f.) générale d’une droite общая форма
(уравнения) прямой
232
11-184-28 ∗ forme (n.f.) symétrique d’une droite форма
(уравнения) прямой в отрезках
233
11-183-11 ∗ taux n.m.de variation d’une droite угловой
коэффициент прямой (отношение разности
ординат к разности абсцисс двух точек прямой) 234
E
26-271-1 écart-type (n.m.) стандартное отклонение
20
235
8-167-8
9-172-23
8-167-8
8-167-8
8-166-2
16-207-7
22-251-13
2-124-16
10-175-17
8-167-19
8-167-19
11-184-12
3-127-13
4-135-1
4-135-35
4-134-35
21-239-31
4-135-23
21-240-4
9-174-9
11-183-3
3-130-15
20-234-19
3-130-20
3-128-8
25-265-5
21-239-11
25-262-11
25-263-35
12-193-16
13-195-17
2-124-12
21-239-3
échange (n.m.) обмен
~ des lignes обмен строчек одна на другую
échanger (v.) менять местами
~ deux équations менять местами уравнения
échelonné (-e) (adj.) трапецеидальный (-ая)
égalité (n.f.) равенство
~ entre l’espérance et la variance равенство между
математическим ожиданием и дисперсией
élément (n.m.) элемент
~ neutre нейтральный элемент
éliminer (v.) удалять; освобождаться от
~ des inconnues удалять неизвестные
~ le paramètre освободиться от параметра
ensemble (n.m.) множество
~ d’arrivée область прибытия
~ de définition область определения
~ de départ область отправления
~ dénombrable счетное множество
~ des nombes числовое множество
~ des parties множество подмножеств
~ des solutions множество решений
~ infini, fini бесконечное, конечное множество
~ vide пустое множество
≈ à  éléments множество  элементов
≈ des antécédents множество прообразов
≈ des couples множество пар
≈ des doublets множество пар
≈ des évènements множество событий
≈ des méthodes множество методов
≈ des modalités (d’un caractère) множество
модальностей (некоторого признака)
≈ des points множество точек
≈ des primitives множество первообразных
≈ des réels множество действительных чисел
≈ des résultats possibles de l’expérience множество
возможных результатов эксперимента
21
236
237
238
239
240
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260
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264
265
266
267
268
25-265-3
17-220-26
3-127-16
3-127-3
21-240-12
22-243-23
11-184-11
11-184-11
11-185-7
16-207-1
11-184-19
8-163-13
8-167-24
16-209-25
10-178-24
8-163-25
1-120-9
1-121-20
10-174-26
10-174-26
10-176-13
12-190-10
13-196-15
21-238-18
21-238-18
21-240-2
23-252-5
26-269-21
4-135-20
21-240-10
21-239-20
21-240-8
≈ des triplets множество троек
≈ des valeurs множество значений
≈ particulier особое множество
∗ définir des ensembles определить множествa
∗ la théorie des ensembles теория множеств
épreuve (n.f.) испытание
équation (n.f.) уравнение
~ cartésienne декартово уравнение
~ d’une variation directe уравнение прямой
пропорциональности
~ différentielle дифференциальное уравнение
~ fonctionnelle уравнение, разрешенное
относительно зависимой переменной
~ linéaire линейное уравнение
~ pivot опорное уравнение
~ sans second membre однородное уравнение
∗ premier membre (n.m.) de l’équation левая часть
уравнения
∗ solution (n.f.) de l’équation решение уравнения
équivalence (n.f.) эквиваленция
équivalent (-e) (adj.) эквивалентный (-ая)
espace (n.m.) пространство
~ euclidien эвклидово пространство
~ affine аффинное пространство
~ à trois dimentions трехмерное пространство
~ vectoriel векторное пространство
~ probabilisé вероятностное пространство
~ probabilisé discrète дискретное вероятностное
пространство
~ des évènements пространство событий
espérance (n.f.) математическое ожидание
étendue (n.f.) размах (выборки)
évènement (n.m.) событие
~ certain достоверное событие
~ élémentaire элементарное событие
~ impossible невозможное событие
22
269
270
271
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293
294
295
296
297
298
299
300
21-239-25 ~ сomposé составное событие
4-138-4 extremum (n.m.) экстремум
6-153-19 ~ local локальный экстремум
301
302
303
F
20-238-1 fabriquer (v.t.) составлять
304
20-238-1 ~ une main составлять стартовую руку (набор из
пяти карт в покере)
305
21-239-28 face (n.f.) (1) реверс (сторона монеты, на которой
указан номинал)
306
21-239-27 ∗ Pour un jet de deux pièces de monnaie, pouvant
indiquer soit Pile () soit Face (), on peut prendre
Ω = {, , , }. Для игры с
выбрасыванием двух монет, каждая из которых
может показать либо реверс, либо аверс (либо
решку, либо орла), можно взять Ω =
{, , , }.
307
21-238-28 face (n.f.) (2) сторона игральной кости
308
21-238-27 ∗ … d’en déduire sur quelle face il [un dé] va tomber
…из этого вывести заключение, какой стороной
вверх он [кубик] упадет
309
4-142-13 factorisation (n.f.) разложение на множители
310
5-151-tab. ∗ factorisation par division de polynome, par Horner,
ou par identité remarquable разложение на
множители с помощью деления многочлена (на
многочлен), схемы Горнера или формулы
сокращенного умножения.
311
1-117-34 faux (n.m.) ложь
312
1-118-24 figure (n.f.) рисунок
313
13-196-2 fonction (n.f.) функция
314
4-143-23 ~ composée композиция функций
315
3-130-14 ~ constante постоянная функция
316
6-157-13 ~ continue непрерывная функция
317
16-209-28 ~ continûment dérivable непрерывно
дифференцируемая функция
318
23
13-196-2
23-253-13
17-214-8
6-158-6
5-146-26
5-147-21
6-158-7
22-246-32
6-153-33
4-144-21
20-234-15
4-138-6
16-208-24
19-231-11
13-196-26
5-152-22
23-252-19
4-144-5
4-144-8
4-144-11
4-144-10
5-147-28
7-160-19
7-160-32
4-141-2
4-139-20
4-140-6
~ continue par morceaux кусочно-непрерывная
функция
~ de densité (de probabilité) функция плотности
(вероятности)
~ de plusieurs variables функция нескольких
переменных
~ croissante возрастающая функция
~ d’une variable réelle функция действительной
переменной
~ de Heaviside функция Хевисайда
~ décroissante убывающая функция
~ de répartition функция распределения
~ dérivée производная функция
~ exponentielle экспоненциальная функция
~ factorielle функция факториал
~ homographique дробно-линейная функция
~ inconnue неизвестная функция
~ inverse обратная функция
~ identiquement nulle нулевая функция
~ identité тождественная функция
~ intégrable интегрируемая функция
~ logarithme de base  функция логарифмическая
по основанию 
~ logarithme décimal функция десятичного
логарифма
~ logarithme en base  функция логарифмическая
по основанию 
~ logarithme Népérien неперова логарифмическая
функция
~ numérique числовая функция
~ paire, impaire четная, нечетная функция
~ périodique de période  периодическая функция
с периодом 
~ polynôme полиномиальная функция
~ puissance степенная функция
~ racine иррациональная функция
24
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
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337
338
339
340
341
342
343
344
345
13-198-23 ~ rationnelle рациональная функция
4-144-21 ~ réciproque обратная функция
6-158-9
~ strictement croissante строго возрастающая
функция
6-158-10 ~ strictement décroissante строго убывающая
функция
4-136-25 ~ trinôme квадратичная функция
7-161-20 ≈ à dériver функция, которую нужно
продифференцировать
18-226-12 ≈ à maximiser функция, наибольшее значение
которой нужно найти
16-213-14 ≈ à valeurs complexes комплексная функция
13-195-26 ≈ admettant une primitive интегрируемая функция
4-142-15 ≈ définie et dérivable sur (, ) функция,
определенная и дифференцируемая на (, )
19-231-10 ≈ différentiable дифференцируемая функция
13-202-11 ≈ positive sur l’intervalle d’intégration функция,
положительная на промежутке интегрирования
5-147-13 ∗ comportement (n.m.) de la fonction dans un
voisinage d’un point  поведение функции в
окрестности точки 
5-147-12 ∗ continuité (n.f.) d’une fonction en un point 
непрерывность функции в точке 
16-209-31 ∗ définir une fonction определить функцию
7-159-11 ∗ dérivabilité (n.f.) d’une fonction
дифференцируемость функции
13-198-2 ∗ dérivation (n.f.) d’une fonction composée
дифференцирование сложной функции
6-153-16 ∗dérivée (n.f.) d’une fonction производная функции
5-146-26 ∗ domaine (n.m.) de définition d’une fonction
область определения функции
4-141-19 ∗ étudier une fonction изучить функцию
4-136-2
∗ expression (n.f.) d’une fonction выражение,
задающее функцию
5-152-4
∗ La fonction admet une limite en  égale à ().
Функция имеет предел, равный (), в точке .
25
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
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360
361
362
363
364
365
366
367
17-214-28 ∗ fonction (n.f.) bien définie всюду определенная
функция
5-151-7
∗ La fonction est continue à droite en . Функция
непрерывна справа в точке .
5-151-9
∗ La fonction est continue à gauche en . Функция
непрерывна слева в точке .
5-151-5
∗ La fonction est continue au point . Функция
непрерывна в точке .
5-151-11 ∗ La fonction est continue en tout point de Ω.
Функция непрерывна в каждой точке Ω.
5-152-3
∗ La fonction est continue en . Функция
непрерывна в .
5-151-11 ∗ La fonction est continue sur l’intervalle Ω.
Функция непрерывна на промежутке Ω.
4-139-9
∗ graphe (n.m.) d’une fonction график функции
5-147-18 ∗ limite (n.f.) d’une fonction en  предел функции в
точке 
5-152-10 ∗ opérations (n.f.) sur les fonctions continues
операции над непрерывными функциями
18-222-1 ∗ optimisation (n.f.) d’une fonction оптимизация
функции
7-160-15 ∗ parité (n.f.) d’une fonction четность функции
7-160-30 ∗ périodicité (n.f.) d’une fonction периодичность
функции
13-195-11 ∗ primitive (n.f.) d’une fonction первообразная
функции
4-136-21 ∗ prolongement (n.m.) d’une fonction à (, )
расширение обл. определения функции до (, )
4-145-13 ∗ propriétés (n.f.) de la fonction свойства функции
4-137-13 ∗ représentation (n.f.) graphique d’une fonction
график функции
4-136-17 ∗ restriction (n.f.) d’une fonction à l’intervalle (, )
сужение области определения функции к
интервалу (, )
13-197-5 ∗ valeur (n.f.) moyenne de la fonction sur l’intervalle
среднее значение функции на промежутке
26
368
369
370
371
372
373
374
375
376
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380
381
382
383
384
385
386
6-156-17
7-159-20
11-184-22
11-184-24
11-184-10
22-251-26
11-184-20
11-185-8
15-205-3
11-184-29
4-137-3
14-200-3
11-184-24
4-138-13
22-251-25
4-138-7
13-199-11
11-185-6
16-212-32
∗ valeurs (n.f.) d’une fonction значения функции
387
∗ variation (n.f.) d’une fonction чередование
промежутков монотонности функции
388
389
∗ zéro (n.m.) de la fonction ноль функции
forme (n.f.) форма
390
~ cartésienne d’une droite декартова форма
уравнения прямой
391
~ d’une distribution normale форма нормального
распределения
392
~ fonctionnelle d’une droite функциональная форма
уравнения прямой
393
~ générale d’une droite общая форма уравнения
прямой
394
395
~ paramétrique параметрическая форма
~ symétrique d’une droite форма уравнения прямой
в отрезках
396
397
≈ canonique каноническая форма
398
≈ de passage правило перехода
≈ la plus courante наиболее употребляемая форма 399
∗ écrire l’équation sous la forme ... записать
уравнение в форме …
400
∗ La forme de la distribution de  s’approche de la
forme d’une distribution normale. Форма графика
распределения случайной величины 
приближается к форме графика нормального
распределения.
401
∗ Les fonctions homographiques sont de la forme ...
Дробно-линейные функции имеют форму …
402
∗ mettre le trinôme sous forme canonique записать
квадратный трехчлен в канонической форме
403
∗ On ne peut pas écrire l’équation d’une variation
directe en forme symétrique. Нельзя записать
уравнение прямой пропорциональности в форме
уравнения в отрезках.
404
∗ On recherche une solution de la forme ... . Ищут
решение в форме … .
405
27
5-151-tab. ∗ ramener à la forme ... привести к форме …
9-172-16 ∗ réduire à une forme échelonnée упростить до
трапецеидальной формы
26-270-9 fréquence (n.f.) частота
26-270-21 ~ cumulée накопленная частота
26-274-4 ∗ densité (n.f.) de fréquence плотность частоты
26-266-10 ∗ la plus grande fréquence наибольшая частота
406
407
408
409
410
411
G
10-176-9
11-181-22
1-117-27
17-215-15
4-139-16
6-155-24
géométrie (n.f.) геометрия
~ analytique аналитическая геометрия
graphe (n.m.) график
~ de l’équation график уравнения
∗ un point du graphe точка графика
∗ une tangente au graphe касательная к графику
412
413
414
415
416
417
H
4-136-8
4-136-8
4-136-8
1-118-7
hyperbole (n.f.) гипербола
~ d’équation 2/ гипербола, соответствующая
функции  = 2/
∗ branche (n.f.) de l’hyperbole ветвь гиперболы
hypothèse (n.f.) гипотеза
418
419
420
421
I
3-127-7 image (n.f.) образ
3-127-7
~ directe прямой образ
3-127-7
~ réciproque обратный образ
3-130-15 ≈ par la fonction образ по функции
4-135-30 ∗ une unique image единственный образ
1-119-18 implication (n.f.) импликация
5-148-16 ∗ vérifier l’implication убедиться в истинности
импликации, проверить ее
3-127-24 inclusion (n.f.) включение
8-164-18 incompatible (adj.) несовместный (-ая)
28
422
423
424
425
426
427
428
429
430
8-164-18
16-208-24
16-208-24
8-165-14
8-167-23
8-167-21
8-165-14
8-168-17
13-195-22
14-200-7
19-227-18
14-199-25
14-200-7
19-229-17
19-230-2
13-197-27
19-118-18
14-200-3
14-202-9
13-196-29
13-199-5
13-199-5
19-227-7
13-198-8
16-207-25
10-175-20
∗ un système incompatible несовместная система 431
inconnu (-e) (adj.) неизвестный (-ая)
432
∗ fonction (n.f.) inconnue
433
inconnue (n.f.) неизвесная величина
434
~ pivot опорная неизвестная величина
435
≈ la plus gauche неизвестная величина,
находящаяся в крайнем левом положении
436
≈ figure effectivement неизвестная величина
присутствует неформально (явно)
437
∗ Cette inconnue est présentée dans les trois équations
du systme. Это неизвестное представлено во всех
трех уравнениях системы.
438
intégrale (n.f.) интеграл (определенный)
439
~ convergente сходящийся интеграл
440
~ double двойной интеграл
441
~ généralisée несобственный интеграл
442
443
~ impropre несобственный интеграл
444
~ simple обычный интеграл
445
~ triple тройной интеграл
≈ de départ affectée d’un autre coefficient исходный
интеграл, умноженный на некоторое число
446
≈ double de  sur le domaine  двойной интеграл
447
функции , определенный на области 
∗ extention (n.f.) de l’intégrale usuelle расширение
понятия обычного интеграла
448
∗ L’intégrale converge absolument. Интеграл
сходится абсолютно.
449
450
∗ valeur (n.f.) de l'intégrale значение интеграла
intégrer (v.) интегрировать
451
452
~ le terme интегрировать слагаемое
~ par rapport aux variables  et  интегрировать по
453
переменным  и 
∗ fonction (n.f.) à intégrer функция, которую нужно
проинтегрировать
454
s'intégrer быть проинтегрированным
455
intensité (n.f.) длина, норма
456
29
11-184-1 intersection (n.f.) пересечение
11-184-9 ∗ point (n.m.) d’intersection des droites точка
пересечения прямых
12-192-3 ∗ Deux plans sont sécants (leur intersection est une
droite). Две плоскости пересекаются (их
пресечение – прямая).
4-139-14 intersection (n.f.) точка пересечения
4-139-14 ~ des asymptotes точка пересечения асимптот
11-184-1 ~ de droites sécantes точка пересечения прямых
457
458
459
460
461
462
J
19-232-15 Jacobien (n.m.) якобиан (определитель)
1-117-21 jeu (n.m.) игра
1-117-21 ~ de carte карточная игра
463
464
465
L
21-239-7 lancer (n.m.) подбрасывание
22-245-4 ~ de dé подбрасывание игрального кубика
22-244-14 ~ d’un dé подбрасывание одного игрального
кубика
21-239-7 ~ d’un grand nombre de dés подбрасывание
большого числа кубиков
26-275-20 leptokurtique (adj.) вытянутый (-ая); форма кривой
распределения с положительным эксцессом
5-146-20 limite (n.f.) предел; предельный случай
5-146-20 ~ à droite правосторонний предел
5-146-20 ~ à gauche левосторонний предел
5-146-20 ~ à l’infini на бесконечности
6-153-28 ~ finie конечный предел
5-146-21 ~ généralisée бесконечный предел
24-255-25 ∗ théorème (n.m.) de la limite centrale центральная
предельная теорема
22-251-1 ∗ La loi de Poisson apparaît comme limite de la loi
binomiale. Закон Пуассона является предельным
30
466
467
468
469
470
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475
476
477
8-163-25
20-233-16
20-234-3
20-234-20
4-142-14
4-142-14
4-144-5
4-144-11
4-144-8
4-144-16
21-242-7
22-243-22
21-242-7
22-243-16
22-243-17
22-243-18
22-243-19
24-252-24
23-253-4
случаем биномиального.
liste (n.f.) список (без повторений) элементов,
записанных обычно в столбец
~ des tirages список выборок
~ exhaustive исчерпывающий список
~ ordonnée упорядоченный список
logarithme (n.m.) логарифм
~ Népérien натуральный логарифм
~ de base  логарифм по основанию 
~ en base  логарифм по основанию 
~ décimal десятичный логарифм
∗ fonction (n.m.) logarithme логарифмическая
функция
loi (n.f.) закон
~ de probabilité вероятностный закон
~ de la probabilité totale формула полной
вероятности
~ uniforme равномерный закон распределения
~ de Bernoulli закон распределения Бернулли
~ binomiale биномиальный закон распределения
~ de Poisson закон Пуассона
~ normale нормальный закон распределения
~ exponentielle экспоненциальный закон
распределения
478
479
480
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491
492
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495
496
497
M
main (n.f.) случайный выбор 5 карт из 32 карт
matrice (n.f.) матрица
~ augmentée расширенная матрица
~ сarrée d’ordre  квадратная матрица -го
порядка
9-172-10 ~ triangulaire треугольная матрица
13-196-30 maximum (n.m.) максимум
6-155-7
~ local en 0 локальный максимум в 0
6-155-25 ~ global en 0 глобальный максимум в 0
20-237-18
8-164-8
8-168-15
9-170-15
31
498
499
500
501
502
503
504
505
26-267-14 médiane (n.f.) медиана (вариационного ряда)
26-267-28 ~ d’une variable discrète медиана дискретной
величины
26-268-6 ~ d’une variable continue медиана непрерывной
величины
26-275-17 mésokurtique форма кривой, соответствующей
нормальному закону распределения
2-124-8 méthode (n.f.) метод
2-124-23 ~ de disjonction (cas par cas) метод разделения
случаев
4-139-4
~ des coefficients indéterminés метод
неопределенных коэффициентов
9-170-2
~ de Сramer метод Крамера
11-182-5 ~ de la géométrie analytique метод аналитической
геометрии
16-210-23 ~ de variation de la constante метод вариации
постоянной
18-223-18 ~ de Lagrange метод Лагранжа
25-262-8 ~ statistique статистический метод
13-196-30 minimum (n.m.) минимум
6-155-8
~ local локальный минимум
25-264-4 modalité (n.f.) значения (признака)
25-264-25 ~ du caractère  значения признака 
25-264-29 ∗ l’effectif de la modalité число значений
26-266-8 mode (n.m.) мода (вариационного ряда)
26-268-11 moyenne (n.f.) среднее арифметическое
506
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522
523
524
N
1-119-13
1-122-10
12-192-13
12-192-24
23-252-27
23-252-24
négation (n.f.) отрицание
~ de l’assertion отрицание высказывания
normale (n.f.) нормаль
normale (-e) (adj.) (1) перпендикулярный (-ая)
normale (-e) (adj.) (2) нормальный (-ая)
∗ loi normale standart стандартный нормальный
закон распределения
32
525
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528
529
530
10-174-20 norme (n.f.) норма, длина, модуль
3-130-8 notation (n.f.) обозначение
531
532
O
26-273-18
26-273-21
26-273-24
1-118-20
18-222-1
18-222-4
18-222-5
26-270-6
11-188-25
20-234-20
20-234-20
9-170-12
9-170-12
9-170-19
oblicité (n.f.) наклон
~ à gauche левосторонняя асиметрия
~ à droite правосторонняя асиметрия
opérateur (n.m.) оператор
optimisation (n.f.) оптимизация
~ sans contrainte безусловная оптимизация
~ avec contrainte условная оптимизация
ordonnée (n.f.) ордината
~ à l’origine ордината точки, находящейся на оси
ординат; ордината точки пересечения прямой с
осью ординат
ordonné (-e) (adj.) упорядоченный (-ая)
∗ liste (n.f.) ordonnée упорядоченное множество
origine (n.f.) начало, исток, связь, исторические
корни
~ historique источник возникновения
~ matricielle связь с матрицей
533
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546
P
4-137-6 parabole (n.f.) парабола
4-137-9
~ simple парабола  =  2
4-137-6
≈ d’équation  = 3 2 парабола  = 3 2
4-137-13 ≈ d’axe  парабола с осю симметрии 
4-138-1
∗ sommet (n.m.) de la parabole вершина параболы
4-138-3
∗ Si  > 0, la parabole est tournée vers les  > 0.
Если  > 0, парабола обращена вервями в
направлении  > 0.
11-121-24 paramètre (n.m.) параметр
7-159-18 parité (n.f.) четность
7-160-15 ~ d’une fonction четность функции
33
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553
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555
22-244-21
25-264-26
11-183-13
11-184-21
17-219-4
17-221-16
11-183-13
7-160-30
8-168-20
8-168-20
20-235-27
20-236-15
8-168-12
8-167-28
20-234-16
20-233-16
21-239-27
~ d’un nombre четность числа
partition (n.f.) разбиение множества
pente (n.f.) угловой коэффициент
~ de la droite угловой коэффициент прямой
~ de la tangente угол наклона касательной
~ de la courbe de niveau en un point угловой
коэффициент линии уровня в точке
∗ La pente  d’un segment est synonyme
d’inclinaison, ou de taux de variation. Угловой
коэффициент  – синоним наклона или скорости
изменения (функции в точке).
périodicité (n.f.) периодичность
permutation (n.f.) перестановка
~ des lignes перестановка сторок (матрицы)
∗ Une permutation de  est une façon de ranger les
différents éléments de . Перестановка (элементов)
множества  это один из вариантов
упорядочивания элементов .
∗ Une permutation est en fait une liste sans répétition
de  éléments de . Перестановка это по сути
список  элементов  без повторений.
permuter (v.) менять местами
∗ Il faut commencer par permuter les équations, de
sorte que l’équation pivot devienne la première.
Нужно начать менять местами уравнения таким
образом, чтобы опорное уравнение стало первым.
pile (n.f.) орел, аверс (сторона монеты с
изображением герба, портрета и т.д.)
∗ On effectue trois tirages successifs de pile ou face.
Производят три последовательные выборки
различных сторон монеты (орла или решки).
∗ Pour un jet de deux pièces de monnaie, pouvant
indiquer soit Pile () soit Face (), on peut prendre
Ω = {, , , }. Для случая
(одновременного) подбрасывания двух монет,
которые могут лечь либо орлом, либо решкой,
34
556
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8-167-25
8-167-18
8-167-23
8-167-24
8-167-24
10-176-16
11-186-8
12-193-17
10-177-26
12-192-30
12-193-19
22-244-27
26-275-23
1-117-30
11-183-8
18-222-27
5-152-24
можно взять Ω = {, , , }.
pivot (n.m.) опорный элемент
∗ L’algorithme du pivot de Gauss метод Гаусса
∗ inconnue (n.f.) pivot опорное неизвестное
∗ équation (n.f.) pivot опорное уравнение
∗ On appelle pivot le coefficient de l’inconnue pivot
dans l’équation pivot. Опорным элементом
называется коэффициент при опорном
неизвестном в опорном уравнении.
plan (n.m.) плоскость
~ cartésien плоскость, определенная некоторой
прямоугольной системой координат
~ médiateur плоскость, перпендикулярная к
отрезку в его середине
≈ muni d’un systme orthonormé плоскость, на
которой задана декартова система координат
≈ d’équation  +  +  +  = 0 плоскость,
определенная уравнением  +  +  +  = 0
∗ vecteur (n.m.) normal du plan  вектор,
перпендикулярный плоскости 
platykurtique (adj.) (1) сплюснутый (-ая); форма
кривой распределения с отрицательным
эксцессом
∗ La loi uniforme a une distribution symétrique
autour de son espérance mais sa forme est
platykurtique. Равномерный закон распределения
симметричен относительно своего
математического ожидания, но его форма
сплюснута.
platykurtique (adj.) (2) характеристика случайной
величины с отрицательным эксцессом
point (n.m.) (1) точка
~ d’ancrage (d’une droite) точка, которая вместе с
вектором задает прямую
~ selle седловая точка
≈ annulant le dénominateur точка, в которой
35
572
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589
знаменатель равен нулю
11-182-32 ≈ arbitraire fixe произвольно взятая точка
11-182-11 ≈ arbitraire fixe произвольно выбранная точка
12-190≈ commun общая точка
tableau
18-222-19 ≈ critique критическая точка
7-159-29 ≈ d’inflexion точка перегиба
11-184-9 ≈ d’intersection des droites точка пересечения
прямых
4-138-1
≈ de coordonnées (, ()) точка с координатами
(, ())
11-186-22 ≈ de partage точка деления
11-188-30 ≈ de rencontre (des droites) точка пересечения
(прямых)
4-138-16 ≈ du graphe точка графика
10-175-11 ≈ initial d’un vecteur начало вектора
11-186-26 ≈ milieu d’un segment середина отрезка
10-175-10 ≈ terminal d’un vecteur конец вектора
17-215-3 ≈ test пробная точка
5-147-3
∗ voisinage (n.m.) d’un point окрестность точки
1-121-10 point (n.m.) (2) пункт
4-139-24 points (n.m.pl.) (3) точки
11-183-3 ≈ alignés точки, лежащие на одной прямой
6-153-1
≈ distincts различные точки
12-193-20 ≈ équidistants равноудаленные точки
6-155-14 ≈ proches de 0 точки окрестности 0
7-159-31 ≈ remarquables опорные точки графика
12-193-20 ∗ le lieu géométrique (des points) геометрическое
место (точек)
4-139-2 polynôme (n.m.) многочлен
16-213-2 ≈ caractéristique характеристический многочлен
4-141-9
≈ de degré  многочлен степени 
4-141-2
∗ une fonction polynôme полиномиальная функция
4-141-15 ∗ factoriser un polynôme разложить многочлен на
множители
4-141-20 ∗ zéro simple d’un polynôme простой корень
36
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
4-139-16
12-190-1
26-266-4
8-163-24
13-195-11
13-195-18
13-195-20
4-135-17
21-239-19
21-242-7
21-241-22
24-255-15
24-255-1
22-243-14
22-244-3
9-170-12
16-212-7
16-212-5
3-127-5
многочлена
position (n.f.) положение, расположение
620
≈ relative de deux droites взаимное положение
двух прямых
621
∗ paramètres (n.m.pl.) de position параметры
положения (центральной тенденции)
622
premier membre (n.m.) de l’équation левая часть
уравнения
623
primitive (n.f.) первообразная
624
625
~ particulière одна из первообразных
~ modulo une constante additive первообразная с
точностью до постоянного слагаемого
626
probabilité (n.f.) вероятность
627
≈ de l’évènement élémentaire вероятность
элементарного события
628
629
≈ totale полная вероятность
630
≈ сonditionnelle условная вероятность
∗ densité (n.f.) de probabilité плотность
распределения непрерывной случайной величины 631
∗ loi (n.f.) de probabilité continue закон
распределения непрерывной случайной величины 632
∗ loi (n.f.) de probabilité discrète закон
распределения дискретной случайной величины 633
∗ Une distribution de probabilité suit une loi uniforme
discrète lorsque toutes les valeurs prises par la
variable aléatoire sont équiprobables. Распределение
вероятностей (случайной величины) подчиняется
равномерному дискретному закону, если все
значения, принимаемые этой величиной,
равновероятны.
634
problème (n.m.) задача; проблема
635
∗ problème (n.m.) de Cauchy задача Коши
636
∗ problème (n.m.) d’existence et d’unicité de solution
проблема существования и единственности
решения
637
produit (n.m.) произведение
638
37
3-127-5
~ cartésien декартово произведение
10-178-3 ~ scalaire скалярное произведение
10-179-21 ~ vectoriel векторное произведение
~ mixte смешанное произведение
10-179-21 prolongement (n.m.) расширение
≈ d’une fonction расширение функции
4-143-26 propriété (n.f.) свойство
639
640
641
642
643
644
645
Q
1-121-22 quantificateur (n.m.) квантор
1-121-23 ~ universel квантор всеобщности
1-121-31 ~ d’existence квантор существования
26-270-1 quartile (n.m.) квартиль
646
647
648
649
R
26-271-7
26-271-7
16-213-12
4-141-8
16-213-5
4-139-12
4-141-26
4-135-13
5-151-tab
1-118-6
2-124-6
2-125-4
2-125-16
20-235-27
20-235-27
11-183-14
racine (n.f.) корень
~ carrée квадратный корень
~ complexe комплексный корень
~ d’un polynôme корень многочлена
~ réelle действительный корень
≈ du dénomonateur корень знаменателя
≈ évidente очевидный корень
∗ fonction (n.f.) racine иррациональная функция
∗ Mettre le terme du plus haut degré en facteur et le
sortir de la racine. Вынести за скобки множитель
самой высокой степени и извлечь из него корень
raisonnement (n.m.) рассуждение
~ direct прямое рассуждение
~ par contraposition доказательство от противного
~ par l’absurde доказательство от противного
ranger (v.) упорядочивать
≈ les éléments d’un ensemble упорядочивать
элементы множества
rapport (n.m.) отношение
38
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
11-188-5
11-187-2
24-255-30
11-183-14
11-186-24
13-198-6
5-151-tab
7-162-5
9-170-29
10-176-6
10-176-7
13-197-23
17-217-10
8-167-6
11-182-10
11-182-14
15-203-13
17-214-4
17-214-4
11-183-23
11-184-8
8-163-9
4-136-14
4-135-17
7-159-10
19-228-3
~ en taux процентное отношение
666
667
~ partie à partie отношение частей отрезка
668
∗ par rapport à … по отношению к …
∗ rapport (n.m.) de la différence des ordonnées et de
la différence des abscisses des extrémités du segment
отношение разности ординат к разности абсцисс 669
∗ selon un rapport donné исходя из данного
отношения
670
règle (n.f.) правило
671
672
~ de l’Hopital правило Лопиталя
≈ pour la composée правило для композиции
функций
673
674
∗ suivant la règle … по правилу …
relation (n.f.) отношение
675
676
~ de Chasles теорема Шаля
677
~ de récurrence отношение индукции
678
~ fonctionnelle функуиональное отношение
remplacement (n.m.) замена
679
repère (n.m.) репер
680
681
~ orthonormé ортонормированный базис
~ orthonormé direct правый ортонормированный
базис; правая ортонормированная система
координат
682
représentation (n.f.) представление
683
684
~ graphique графическое представление
685
~ paramétrique параметрическое представление
résolution (n.f.) решение
686
∗ méthode générale de résolution общий метод
решения
687
restriction (n.f.) сужение
688
~ de la fonction à l’intervalle … сужение функции к
интервалу …
689
~ du domaine d’étude сужение области
определения
690
réunion (n.f.) объединение
691
39
S
3-130-11
4-135-29
8-163-19
16-209-25
8-163-25
9-174-3
9-174-7
9-174-8
9-174-9
16-209-2
16-209-25
16-210-19
16-211-17
16-211-20
21-241-24
8-163-4
22-250-14
10-176-19
8-167-12
9-173-22
8-163-28
10-177-26
11-183-23
8-165-7
9-173-15
10-174-28
8-164-24
8-164-18
8-167-12
9-173-10
singleton (n.m.) одноэлементное множество
sous-ensemble (n.m.) пожмножество
second membre (n.m.) правая часть уравнения
∗ équation sans second membre однородное
уравнение
solution (n.f.) (1) ответ; результат решения
~ unique единственное решенин
~ banale тривиальное решение
~ triviale тривиальное решение
~ nulle нулевое решение
~ particulière частное решение
~ générale общее решение
≈ évidente очевидное решение
≈ vérifiant une condition initiale решение,
удовлетворяющее начальному условию
≈ satisfaisant à une condition initiale решение,
удовлетворяющее начальному условию
≈ sous la condition (s.c.) ... при условии
solution (n.f.) (2) процесс решения
système (n.m.) система
~ de coordonnées система координат
~ en escalier трапецеидальная система
~ homogène однородная система
~ linéaire система линейных уравнений
~ orthonormé ортонормированная система
~ paramétrique параметрическая система
~ triangulaire треугольная система
≈ compatible совместная система
≈ d’axiomes система аксиом
≈ équivalent равносильная система
≈ incompatible несовместная система
≈ initial исходная система
∗ déterminant (n.m.) du système определитель
40
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
8-168-13
8-163-18
10-174-33
10-175-20
5-146-31
5-146-31
26-267-19
24-259-15
19-230-5
19-230-5
15-203-18
15-203-18
15-203-23
15-204-9
9-172-27
9-172-27
15-202-24
15-202-25
15-203-23
15-204-9
15-203-23
15-204-19
15-203-31
15-203-5
системы
721
∗ matrice (n.f.) du système матрица системы
722
scalaire (n.m.) скалярная величина, число
723
sens (n.m.) (1) направление
724
725
~ opposé противоположное направление
sens (n.m.) (2) смысл
726
727
~ précis точный смысл
∗ Cette définition n’a de sens que si les modalités sont
toutes ordonnées.
728
∗ On considère l’angle entre le nord et la direction
prise par l’oiseau (selon le sens des aiguilles d’une
montre).
729
sens (n.m.) (3) порядок выполнения действий
730
∗ On priviligiera bien-sûr le sens de calcul le plus
simple. Естественно, выбирают самый простой
порядок вычислений.
731
section (n.f.) (1) сечение
732
733
≈ du solide  сечение тела 
734
≈ de la sphère сечение сферы
≈ du cône (avec un plan horizontal) горизонтальное
сечение конуса
735
section (n.f.) (2) часть текста (параграф, пункт)
736
∗ Dans cette section on présente une méthode
alternative à celle du pivot de Gauss. В этом пункте
представлен метод, альтернативный методу
Гаусса.
737
solide (n.m.) тело; пространственная фигура
738
739
~ de révolution тело вращения
sphère (n.f.) сфера
740
741
≈ de rayon  сфера радиуса 
∗ section (n.f.) de la sphère avec un plan horizontal
горизонтальное сечение сферы
742
∗ coupe (n.f.) verticale de la sphère вертикальный
разрез сферы
743
surface (n.f.) поверхность
744
745
~ plane плоская поверхность
41
15-203-5 ~ fermé замкнутая поверхность
15-203-19 ≈ de mesure () поверхность площади ()
15-205-6 ∗ aire (n.f.) de la surface enfermée площадь
замкнутой поверхности
15-204-14 ∗ faire tourner une surface autour de l’axe вращать
поверхность вокруг оси
24-255-10 statistique (n.f.) статистика
746
747
748
749
750
T
1-118-22 table (n.f.) таблица
4-145-8 tangente (n.f.) касательная
6-153-27 taux (n.m.) отношение
6-153-27 ~ d’accroissement отношение приращения
функции к приращению аргумента
11-183-14 ~ de variation отношение приращения функции к
приращению аргумента
11-186-18 théorème (n.m.) теорема
6-156-19 ~ de Rolle теорема Ролля
6-157-12 ~ des accroissements finis формула конечных
приращений
10-178-19 ~ du cosinus теорема косинусов
11-186-18 ~ de Pythagore теорема Пифагора
15-204-10 ~ de Thalès теорема Фалеса
17-218-27 ~ de Young теорема Юнга
19-229-2 ~ de Fubini теорема Фубини
24-255-25 ~ de la limite centrale центральная предельная
теорема
20-235-13 tirage (n.m.) выборка
4-135-19 ~ au sort случайная выборка
20-235-15 ~ sans remise выборка без возвращений
22-246-1 ~ «au hasard» случайная выборка
25-262-27 ~ non exhaustif выборка с возвращением
21-242-18 tirer (v.) выбирать
15-203-18 tranche (n.f.) одна из частей деления плоской
фигуры вертикальными или горизонтальнымии
42
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
линиями
4-137-7 translation (n.f.) перемещение
4-142-4 trinôme (n.m.) трехчлен
4-142-4
~ du second degré трехчлен второй степени
5-151-tab ~ conjugué сопряженный трехчлен
13-199-11 ~ sous forme canonique каноническая форма
тринома
771
772
773
774
775
776
U
21-239-11 univers (n.m.) генеральная совокупность
21-241-15 urne (n.f.) урна (в комбинаторике)
777
778
V
4-135-10
4-134-31
22-243-21
24-256-16
24-259-2
26-267-25
26-266-12
26-266-13
26-275-13
17-214-19
17-214-20
25-264-30
26-272-4
13-196-7
16-206-24
17-214-3
17-219-2
variable (n.f.) переменная величина
~ réelle действительная переменная
~ aléatoire случайная величина
~ standartisée стандартизованная величина
~ continue непрерывная величина
~ discrète дискретная величина
~ qualitative качественная переменная
~ quantitative количественная переменная
~ de Gauss переменная, подчиняющаяся закону
Гаусса
≈ dépendante зависимая переменная
≈ indépendante независимая переменная
≈ statistique статистическая переменная
≈ répartie uniformément равномерно
распределенная вероятность переменной
∗ changement de variable замена переменной
∗ équations différentielles à variables séparées
дифференциальное уравнение с разделенными
переменными
∗ fonctions (n.f.pl.) de plusieurs variables
∗ fonction (n.f.) d’une seule variable
43
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
22-246-28
17-219-6
17-219-7
4-141-19
7-159-23
11-183-26
11-185-7
16-210-23
4-137-7
8-164-11
10-175-2
10-177-25
11-183-9
12-193-19
17-217-22
5-147-16
15-202-24
15-202-25
variance (n.f.) дисперсия
variation (n.f.) изменение
~ effective абсолютное изменение
∗ tableau (n.m.) de variation d’une fonction таблица
изменения функции
∗ tableau (n.m.) de variation complet d’une fonction
подробная таблица изменения функции
∗ taux (n.m.) de variation d’une droite угловой
коэффиниент прямой
∗ équation (n.f.) d’une variation directe уравнение
прямой пропорциональности
∗ méthode (n.f.) de variation de la constante метод
вариации постоянной величины
vecteur (n.m.) вектор
~ colonne вектор-столбец
~ nul нулевой вектор
~ unité единичный вектор
~ directeur направляющий вектор
~ normal (du plan π) вектор, перпендикулярный
(плоскости π)
voisinage (n.m.) окрестность
~ d’un point окрестность точки
volume (n.m.) объем
~ d’un solide de révolution объем тела вращения
44
796
797
798
799
800
801
802
803
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806
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808
809
810
811
812
813
PHRASÉOLOGIE MATHÉMATIQUE
1 INTRODUCTION D’UN OBJET
сonsidérer рассматривать
Considérons une population Ω. Dans cette population, considérons un
caractère  et soit  l’ensemble des modalités du caractère .
Рассмотрим генеральную совокупность Ω. В этой совокупности
рассмотрим признак , и пусть  – можество значений этого
признака  (25-264-21).
donner задавать
Dans l’évantualité où on donnerait un rapport dans la question, il faut
transformer ce rapport en taux. В случае, когда задано
вышеназванное отношение (частей отрезка), нужно это
отношение преобразовать в отношение части к целому (11-188-4).
fixer фиксировать
Fixons  ∈  ∖ {0 } avec par exemple  < 0 . Зафиксируем  ∈  ∖
{0 }, выбрав, например,  < 0 (6-158-20).
soit… пусть дан …
Soit {( ,  )}1≤≤ une variable statistique réelle. Пусть дана
действительная статистическая переменная {( ,  )}1≤≤ (26271-3).
45
2 VALEURS D’UNE VARIABLE
aussi petit que possible наименьший из возможных
C’est elle qui va permettre de restreindre l’étude à un domaine aussi
petit que possible et d’obtenir des propriétés de symétrie de la courbe
représentative de la fonction. Именно она позволит ограничить
изучение функции на промежутке, наименьшем из всех
возможных, и выяснить свойства симметрии графика функции
(7-160-10).
contenir des valeurs содержать значения
L’intervalle [1 , 3 ] contient 50% des valeurs de . Интервал
[1 , 3 ] содержит 50% значений  (26-270-16).
déterminer la valeur, найти, вычислить значение
substituer la valeur подставить значение
trouver la valeur найти значение
Il suffit pour cela d’égaler les équations des deux droites pour
déterminer la valeur de , puis on substitue cette valeur dans l’une
des équations pour trouver la valeur de  (comme pour résoudre un
système d’équations). Для этого достаточно приравнять (правые
части) уравнений обеих прямых, чтобы вычислить значение ,
затем подставить это значение в одно из уравнений и найти
значение  (как при решении системы уравнений) (11-188-30).
prendre la valeur принимать значение
La variable  prend ici la valeur 3 alors que la variable  prend la
valeur 7. Здесь переменная  принимает значение, равное 3, а
переменная  – значение, равное 7. (11-73-15).
valeur approchée приближенное значение
Nous pouvons déduire une valeur approchée de ∆ =  (1.02) −
 (1) en utilsant la différentielle totale où 0 = 1 et d = 0,02. Мы
можем вычислить приближенное значение приращения ∆ =
(1.02) − (1), используя полный дифференциал при 0 = 1 и
d = 0,02 (17-219-17).
46
valeurs discrètes дискретные величины
Dans ces deux situations, nous dirons que le caractère quantitatif est
défini par ses modalités (valeurs discrètes ou classes). В обоих этих
случаях мы будем говорить, что количественный признк
определен его модальностями (дискретными значениями или
классами) (25-263-31).
valeur donnée данное значение
En dimension 2, la courbe qui décrit l’ensemble de ces points pour un
niveau  donné est appelée courbe de niveau pour la valeur donnée .
В двумерном пространстве кривая, которую описывает
множество точек данного уровня , называется линией уровня
для данного значения  (17-220-23).
valeurs entières целые значения
Par définition, les variables aléatoires discrètes prennent des
valeurs entières discontinues sur un intervalle donné. По
определению, случайные дискретные величины принимают
отдельные целые значения на данном интервале (22-243-30).
valeurs équiprobables равновероятные значения
Une distribution de probabilité suit une loi uniforme discrète de
paramètre  ∈ ℕ∗ lorsque toutes les valeurs prises par la variable
aléatoire sont équiprobables. Распределение вероятностей
подчиняющется дискретному равномерному закону с параметром
 ∈ ℕ∗ ,
когда
все
значения
случайной
величины
равновероятны (22-244-4).
valeurs extrêmes предельные значения
valeurs aberrantes отклоняющиеся значения
Ce paramètre est souvent utilisé dans les contrôles de fabrication,
pour lesquels ont donne, à priori, des marges de construction. Son
intérêt est limité par le fait qu’il dépend uniquement des valeurs
extrêmes, qui peuvent être des valeurs aberrantes. Этот параметр
часто используется для контроля качества продукции, габариты
которой заведомо известны. Роль этого параметра состоит только
в том, что он зависит только от предельных значений, которые
47
могут быть отклоняющимися (26-269-24).
valeurs complexes комплексные значения
Alors eλ et eλ sont des fonctions à valeurs complexes de , qui sont
solutions de l’équation différentielle sans second membre. Тогда eλ
и eλ – функции, принимающие комплексные значения  и
являющиеся решениями однородного дифференциального
уравнения (16-213-15).
valeur moyenne среднее значение
1

Il faut comprendre − ∫ ( )d comme la valeur moyenne de
1

la fonction sur l'intervalle. Интеграл − ∫ ( )d нужно понимать
как среднее значение функции на промежутке (13-197-5).
valeurs possibles возможные значения
Il suffit de comparer deux assertions : «non ( et Q)» et «(non ) ou
(non )» pour toutes les valeurs possibles de  et . Достаточно
сравнить два высказывания: «не ( и Q)» и «(не ) или (не )»
для всех возможных значений  и  (1-121-10).
valeur trouvée вычисленное значение
vraie valeur истинное значение
Si nous utilisons une calculatrice, nous remarquons que la valeur
trouvée 0,02 est assez proche de la vraie valeur (à 10−4 près). Если
мы воспользуемся калькулятором, мы заметим, что вычисленное
значение достаточно близко к истинному (с точностью до 10−4
(17-219-25).
unique valeur единственное значение, единственная точка
Afin de préciser que  s’annule en une unique valeur on rajoute un
point d’exclamation : ∃!  ∈ ℝ (( ) = 0). Чтобы уточнить, что 
принимает значение, равное 0, в единственной точке, добавляют
восклицательный знак (1-123-8).
valeurs paires, impaires четные, нечетные значения
Ce sont des fonctions paires pour les valeurs paires de  et impaires
pour les valeurs impaires de . Это четные функции для четных
48
значений  и нечетные для нечетных значений  (4-139-21).
valeurs réelles действительные значения
Nous définissons les paramètres de forme pour une variable statistique
quantitative, discrète ou continue, à valeurs réelles. Мы определяем
параметры формы для количественной статистической
переменной, дискретной или непрерывной, с действительными
значениями (26-272-2).
valeurs suggérées par le contexte значения, подсказанные
контекстом
Pour cela on essaiera toujours les racines évidentes comme 0, 1, −1,
éventuellement 2 ou −2, voire d'autres valeurs suggérées par le
contexte. Для этого всегда подставляют очевидные корни, такие,
как 0, 1, −1, возможно, еще 2 или −2 и даже другие значения,
подсказанные контекстом (4-141-16).
valeur d’un déterminant значение определителя
On ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une
colonne (une ligne) de la matrice, une combinaison linéaire des autres
colonnes (des autres lignes). Значение определителя не
изменится, если к столбцу (строке) определителя прибавить
линейную комбинацию других столбцов (строк) (9-171-24)
3 ÉGALITÉ, IDENTITÉ
équivalent (nom) эквивалент
C’est en fait l’équivalent de la relation de Chasles pour l’intégrale
simple. На самом деле это эквивалент отношения Шаля для
простых интегралов (19-229-16).
équivalent (adj) равносильный
Pour résoudre un système linéaire, le principe consiste à remplacer le
système donné par un système équivalent plus simple. Принцип
решения системы линейных уравнений состоит в том, чтобы
заменить данную более простой, эквивалентной ей (8-164-23).
être équivalent быть равносильным
49
Par contraposition ceci est équivalent à : si 2 est pair alors  est pair.
По закону контрапозиции это равносильно следующему
высказыванию: если 2 четно, то и  четно (2-125-14).
équivaloir быть равноценным, тождественным
Cela équivaut à : pour tout    il existe un unique    tel que
 = (). Это равносильно следующему: для любого   
существует единственный элемент    такой, что  = () (3133-3).
valoir равняться, быть равным
Cette convention est cohérente avec le fait que l'intégrale sur un
intervalle de longueur nulle vaut nécessairement 0. Это соглашение
не противоречит тому факту, что интеграл на промежутке
нулевой длины необходимо равен 0 (13-196-8).
être égal быть равным
La médiane 0 est telle que l’effectif des observations dont les
modalités sont inférieures à 0 est égal à l’effectif des observations
dont les modalités sont supérieures à 0 . Медиана 0 такова, что
число наблюдений, имеющих модальности, меньшие 0 , равно
числу наблюдений, модальности которых больше 0 (26-267-15).
être le même que ... быть тем же, что и…
Si λ > 0, alors le produit λ⃗ est le vecteur dont l'intensité a λ fois
l'intensité de ⃗ et dont le sens est le même que ⃗. Если λ > 0, то
произведение λ⃗ есть вектор, длина которого равна λ раз длины
вектора ⃗, а направление на прямой то же, что и у вектора ⃗ (10175-30).
signifier означать
… l’expression «au hasard» signifie dans ce contexte que le tirage est
tel que chaque unité possède les mêmes chances d’être tirée.
…выражение «случайный» в этом контексте означает такую
выборку, в которой каждый предмет обладает одинаковыми
шансами быть выбранным (22-246-21).
50
4 DÉFINITIONS, NOTATIONS
appeler называть
On appelle population l’ensemble des unités ou individus sur
lequel on effectue une analyse statistique. Генеральной
совокупностью
называется
множество
объектов
или
индивидуумов, которое подвергается статистическому анализу
(25-262-29).
dire говорить
Cette statistique nécessite la recherche d’échantillons qui représentent
le mieux possible la diversité de la population entière ; il est
nécessaire qu’ils soient constitués au hasard ; on dit qu’ils résultent
d’un tirage non exhaustif. В этой статистике необходим поиск
таких выборочных совокупностей, которые как можно лучше
представляли бы разнообразие всей генеральной совокупности;
необходимо, чтобы подбор был случайным. Говорят, что они
являются результатом выборок с возвращением (25-262-24).
être быть
La statistique descriptive с’est l’ensemble des méthodes à partir
desquelles on recueille, ordonne, réduit et condense les données.
Описательная статистика – это совокупность методов, с
помощью которых собирают, упорядочивают, отбирают и
группируют данные (25-262-10).
être appelé быть названным
Cette formule (la variance est égale à la moyenne du carré moins le
carré de la moyenne) est appelée formule de la variance. (26-271-15).
être nommé называться
être noté быть обозначенным, обозначаться
La seule fonction définie et dérivable sur ]0, +∞[ dont la dérivée est
 ∈ ]0, +∞[ ↦ 1⁄ et dont la valeur en 1 est 0 est nommée
logarithme Népérien et est notée ln. Единственная функци,
определенная и дифференцируемая на ]0, +∞[ , производная
которой – функция  ∈ ]0, +∞[ ↦ 1⁄ и для которой значение в
51
точке 1 равно 0, называется натуральным логарифмом и
обозначается ln (4-142-18).
n'être que … быть только…
Ce n’est qu’une limite à droite puisque cette fonction n’est définie
que sur [0, +∞[. Это только предел справа, так как функция
определена только на [0, +∞[ (5-148-31).
noter обозначать, отмечать
Notons  la cote du point le plus bas de  et  la côte du point le plus
haut. Обозначим буквой  аппликату самой низкой точки тела 
и буквой  аппликату самой высокой точки (15-203-16).
Nous la notons ℒ() = ℬ(; ). Мы обозначаем это ℒ() =
ℬ(; ) (22-247-16).
On notera ( + 0) ou simplement (+) la limite à droite. Будем
обозначать предел справа ( + 0) или проще (+) (5-148-27).
5 FAÇON D’AGIR
сomposer à gauche (à droite) выполнять композицию слева
(справа)
On compose par  (à gauche), alors  ∘ ( ) =  ∘ ( ′ ) donc
 ( ) =  ( ′ ), donc  = ′; f est bien injective. Выполняют
композицию с функцией  (слева), тогда  ∘ ( ) =  ∘ ( ′ ),
следовательно,  ( ) =  ( ′ ), что дает  = ′; то есть 
является биекцией (3-134-12).
de façon (manière) analogue аналогично, так же, как …
On définit de façon analogue la limite à gauche de  en .
Аналогично определяют левосторонний предел функции  в
точке  (5-148-28).
Pour des variables aléatoires admettant une densité, l’espérance et la
variance se définissent de manière analogue au cas discret, en
remplaçant les sommes par les intégrales. Для случайных величин,
характеризующихся плотностью распределения, математическое
ожидание и дисперсия определяются так же, как и для
дискретных величин с заменой сумм интегралами (23-254-12).
52
de la même façon точно так же, таким же образом
De la même façon, le plus grand sous-ensemble de ℝ2 sur lequel on
puisse définir la fonction (, ) ↦ √2 −  est l’ensemble des
couples (, ) tels que  ≤ 2. Точно так же самое большое
подмножество ℝ2 , на котором можно определить функцию
(, ) ↦ √2 − , – это множество пар (, ) таких, что  ≤ 2
(4-136-5).
de la même manière таким же образом, так же
En raisonnant de la même manière que dans le théorème précédent,
nous concluons que, pour obtenir un système équivalent à un système
donné, on peut faire les opérations suivantes sur les équations (dites
élémentaires) … Рассуждая так же, как и в предыдущей теореме,
мы заключаем: чтобы получить систему, равносильную данной,
можно выполнять над уравнениями следующие операции
(называемые элементарными) … (8-166-2).
de manière à ... так, чтобы
Il faut alors faire attention au domaine de définition de , et choisir de
telle sorte que  soit bijective, de manière à pouvoir écrire  =
 −1 (), ce qui permettra de revenir en  à la fin du calcul. Тогда
нужно уделить внимание области определения функции  и
выбрать (ее) так, чтобы записать  =  −1 (); это позволит в
конце вычислений вновь вернуться к переменной  (13-198-15).
de telle sorte que ... таким образом, чтобы
Il faut alors faire attention au domaine de définition de , et choisir de
telle sorte que  soit bijective, de manière à pouvoir écrire  =
 −1 (), ce qui permettra de revenir en  à la fin du calcul. Тогда
нужно уделить внимание области определения функции  и
выбрать (ее) так, чтобы записать  =  −1 (); это позволит в
конце вычислений вновь вернуться к переменной  (13-198-15).
développer записывать в развернутом виде
2
En développant le carré ( − ) , la formule de définition de la
variance
peut être
écrite :
2(
2
 ) =  2 −  .
53
Записывая
в
2
развернутом виде квадрат ( − ) , мы можем представить
формулу, являющаяся определением дисперсии, в виде  2 () =
2
 2 −  (26-271-11).
factoriser разлагать на множители
Enfin on factorise ( 2 2 + 7 − 15) par la méthode habituelle pour
un trinôme du second degré, en cherchant les racines. Наконец,
разлагают на множители ( 2 2 + 7 − 15) обычным способом
для квадратных трех членов, чтобы найти корни (4-142-3).
identifier les coefficients сравнивать коэффициенты
Pour déterminer , on développe ( − 1)( 2 2 +  − 15) et on
identifie les coefficients avec ceux de (). Чтобы найти ,
умножают многочлены и сравнивают коэффициенты с
коэффициентами () (4-141-33).
impérativement vérifier обязательно проверить
Lorsque vous souhaitez établir qu’une fonction est périodique de
période , vous devez impérativement vérifier que le domaine de
définition est invariant par la translation de vecteur ⃗. Если вы
хотите установить периодичность функции с периодом , вы
должны обязательно проверить, что ее область определения
инвариантна относительно параллельного переноса на вектор ⃗
(7-160-31).
le procédé est algorithmique процедура алгоритмична
Le procédé est algorithmique: on change le «pour tout» en «il
existe» et inversement, puis on prend la négation de l’assertion . (1123-13).
mener l’étude dans un ordre bien précis проводить
исследование строго по порядку (по плану)
Lorsqu’on étudie une fonction de la variable réelle à valeurs dans ℝ,
on doit mener l’étude dans un ordre bien précis. Когда изучают
функцию действительной переменной со значениями в ℝ,
проводят исследование, строго по плану (7-159-14).
54
mettre en facteurs вынести общий множитель
On ne change pas la valeur d’un déterminant en mettant en facteur, un
facteur commun aux éléments d’une colonne (d’une ligne). Значение
определителя не изменится, если вынести из него общий
множитель элементов какого-нибудь столбца (какой-нибудь
строки (9-171-5).
poser une soustraction à gauche менять знаки (произведений
делителя на неполные частные при делении многочлена на
многочлен)
Ici par commodité et pour éviter les erreurs on pose aussi les
soustractions à gauche. Здесь для удобства и во избежание
ошибок меняют знаки произведений делителя на неполные
частные (4-142-10).
une autre façon de … другой способ…
Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection
d’éléments qui vérifient une propriété. (3-127-20).
Une autre façon de formuler l’injectivité et la surjectivité est
d’utiliser les antécédents (3-131-15).
utiliser le tableau de variation использовать таблицу
поведения функции
S'il n’y a pas de racine évidente, on pourra étudier la fonction  ∈
ℝ ↦ ( ) et utiliser le tableau de variation et la continuité de 
pour déterminer un zéro simple de . Если нет очевидных корней,
можно будет изучить функцию  ∈ ℝ ↦ ( ) и использовать
таблицу поведения функции и ее непрерывность, чтобы найти
простой корень (4-141-18).
6 MÉTHODES, RAISONNEMENTS
méthode des coefficients indéterminés метод
неопределенных коэффициентов
Pour obtenir cette forme, on peut soit faire la division du polynôme
55
 +  par le polynôme  +  soit utiliser la méthode des
coefficients indéterminés. Чтобы получить эту форму, можно
либо разделить многочлен  +  на многочлен  + , либо
применить метод неопределенных коэффициентов (4-138-2).
méthode de Cramer метод Крамера
La méthode de Cramer. Dans cette section on présente une méthode
alternative à celle du pivot de Gauss pour résoudre les systèmes
linéaires de  équations à  inconnues. Метод Крамера. В этом
разделе предсавлен альтернативный метод решения систем 
линейных уравнений с  неизвестными (9-172-27).
méthode de disjonction des cas метод разделения случаев
Si l’on souhaite vérifier une assertion () pour tous les  d’un
ensemble  on montre l’assertion pour tous les  dans une partie  de
, puis pour les  n’appartenant pas à . C’est la méthode de
disjonction ou du cas par cas. Если хотят проверить истинность
высказывания () для всех значений  множества ,
доказывают предложение для всех значений  из множества ,
потом для всех , не принадлежащих . Это метод разделения
случаев (2-124-21).
méthode de la géométrie analytique метод аналитической
геометрии
Peu de temps auparavant, Fermat avait également développé la
méthode de la géométrie analytique. Чуть раньше Ферма тоже
разработал метод аналитической геометрии (11-182-3).
méthode générale общий метод
Nous allons étudier une méthode générale de résolution pour les
systèmes linéaires. Начнем изучение общего метода решения
систем линейных уравнений (8-163-9).
raisonnement direct прямое рассуждение
Raisonnement direct. On veut montrer que l’assertion « ⇒ » est
vraie. On suppose que  est vraie et on montre qu’alors  est vraie.
Метод прямого рассуждения. Хотят доказать, что высказывание
« ⇒ » истинно. Предполагают, что  истинно и доказывают
56
тогда, что  истинно (2-7-124).
raisonnement par contraposition рассуждение методом
контрапозиции
Le raisonnement par contraposition est basé sur l’équivalence:
l’assertion « ⇒ » est équivalente à «non () ⇒ non ()». Donc si
l’on souhaite montrer l’assertion « ⇒ », on montre en fait que si
«non() ⇒ non ()» est vraie. Рассуждение методом
контрапозиции основан на равносильности: высказывание « ⇒
» эквивалентно высказыванию «не () ⇒ не ()». (2-125-6).
raisonnement par l’absurde рассуждение методом от
противного
Le raisonnement par l’absurde pour montrer « ⇒ » repose sur le
principe suivant : on suppose à la fois que  est vraie et  est fausse et
on cherche une contradiction.
Рассуждение методом от
противного для доказательства истинности высказывания « ⇒
» основано на следующем принципе: предполагают
одновременно, что  истинно, а  ложно и ищут противоречие
(2-125-17).
raisonnement par сontre-exemple рассуждение методом
контр-примера
Si on veut montrer qu’une assertion du type «∀ ∈  ()» est vraie
il faut montrer que () est vraie pour chaque  de . Par contre pour
montrer que cette assertion est fausse alors il suffit de trouver  ∈ 
tel que () soit fausse. Trouver un tel  c’est trouver un contreexemple à l’assertion ∀ ∈  (). Если хотят доказать, что
рассуждение «∀ ∈  ()» верно, нужно доказать его
истинность для любого  ∈ . Напротив, чтобы доказать, что это
высказывание ложно, достаточно найти (одно значение)  ∈ 
такое, что () ложно. Найти такое значение , это значит найти
контр-пример (2-9-32).
raisonnements inductifs индуктивное рассуждение
Nous utilisons des raisonnements inductifs c’est-à-dire des
raisonnements de passage du particulier au général. Мы используем
индуктивное рассуждение, то есть такое
рассуждение, при
57
котором переходят от частного к общему (2-126-4).
7 HYPOTHÈSE, CAUSE
сar потому что, так как
Les droites  = 2 + 7 et  = 2 − 5 sont parallèles car la pente est
la même. Прямые  = 2 + 7 и  = 2 − 5 параллельны, так как
их угловые коэффициенты одинаковы (11-185-1).
C’est une équation différentielle du second ordre car elle fait
intervenir la dérivée seconde de . Это дифференциальное
уравнение второго порядка, потому что содержит в себе вторую
производную функции  (16-212-15).
comme так как
Mais comme  doit être positif, nous ne devons considérer que la
portion de la sphère telle que  ≥ 0, qui est une demie-sphère. Но так
как  должно быть положительным, мы должны рассмотреть
только часть сферы, для которой  ≥ 0, то есть полусферу (17216-10).
étant donné если дано
Nous allons maintenant décrire un algorithme qui permet, étant
donné un système linéaire quelconque () d’obtenir un système
linéaire en escalier équivalent à (). Сейчас мы опишем алгоритм,
который позволит получить, если дана некоторая система ()
линейных
уравнений,
решение
ступенчатой
системы,
равносильной () (8-167-15).
parce que потому что
On peut se demander : pourquoi −3 ? C’est parce que, en
probabilités, on peut démontrer que le coefficient d’aplatissement de
Pearson pour une variable aléatoire réelle qui suit une loi de Gauss, est
égal à 3. Можно спросить, почему −3 ? Потому что в теории
вероятностей можно доказать, что коэффициент эксцесса
Пирсона случайной величины, подчиненной закону Гаусса, равен
3 (26-275-10).
58
puisque так как, потому что
Il existe une infinité de manières de définir la même droite, puisque la
droite est composée d'une infinité de points (qui peuvent tous servir de
point d'ancrage) et qu'il existe une infinité de multiples du vecteur
directeur. Существует бесконечное множество способов
определить прямую, потому что она состоит из бесконечного
множества точек (каждая из которых может служить точкой,
определяющей прямую) и потому что существует бесконечное
множество числовых коэффициентов направляющего вектора
(11-183-28).
Puisque le vecteur nul n’a pas de direction, on utilise comme
convention que le vecteur nul est orthogonal à tous les autres vecteurs.
Так как нулевой вектор не имеет направления, условились, что
он перпендикулярен всем другим векторам (10-179-14).
si если
Si une droite Δ est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan, alors
Δ est orthogonale à ce plan. Если прямая Δ перпендикулярна двум
пересекающимся прямым плоскости, то Δ перпендикулярна
этой плоскости (12-192-15).
Par exemple si une fonction est positive sur l'intervalle d'intégration,
son intégrale doit être positive. Например, если функция
положительна на промежутке интегрирования, то ее интеграл
должен быть положительным (13-196-23).
si et seulement si если и только если, тогда и только тогда
Une fonction  est continue en  si et seulement si elle est continue à
droite et continue à gauche en . Функция  непрерывна если и
только если она непрерывна справа и слева от  (5-36-14).
Les droites  et с sont orthogonales si et seulement si le produit
scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul. Прямые  и с
перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное
произведение направляющих векторов равно этих прямых равно
нулю (12-192-5).
La variance est nulle si, et seulement si,  possède une seule valeur.
Дисперсия равна 0 тогда и только тогда, когда  имеет
59
единственное значение (26-158-20).
il faut et il suffit необходимо и достаточно
Donc, pour que le système soit compatible, il faut et il suffit que Δ ≠
0. Таким образом, для того, чтобы система была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0 (9-173-15).
à condition que ... при условии, что …
L’âge, la taille et le poids d’un groupe d’individus représentent
globalement une modalité définie dans ℝ3 (à condition que chacune
de ces variables soit discrète). Возраст, рост и вес группы
индивидуумов представляют в совокупности модальность,
определенную в ℝ3 (при условии, что каждая из переменных
дискретна) (25-264-3).
il est nécessaire необходимо
Cette statistique nécessite la recherche d’échantillons qui représentent
le mieux possible la diversité de la population entière ; il est
nécessaire qu’ils soient constitués au hasard. Эта статистика
вынуждает создавать выборочные совокупности, которые
наилучшим способом представляют генеральную совокупность;
но необходимо, чтобы они были выбраны случайным образом
(25-262-24).
8 CONSÉQUENCE, CONCLUSION
ainsi так, следовательно, таким образом
On est ainsi conduit à considérer l’équation sans second membre, ou
équation homogène () = 0. Таким образом, приходится
рассматривать уравнение без правой части, то есть однородное
уравнение (16-208-31).
alors то, тогда, в этом случае; и поэтому
Alors  est solution de l’équation complète si et seulement si on a  =
1 + . И поэтому функция  является решением уравнения с
ненулевой правой частью тогда и только тогда, когда  = 1 + 
(16-209-3).
60
Si  est maintenu constant, disons  = 0 , alors (, 0 ) définit une
fonction de la seule variable. Если зафиксировать , взяв,
например,  = 0 , то (, 0 ) становится функцией одной
переменной (17-216-18).
Nous appellerons alors les fonctions / et / les dérivées
partielles du premier ordre. В этом случае функции / и /
называют частными производными первого порядка (17-217-7).
c’est pourquoi вот почему; поэтому
C’est pourquoi on choisit, si c’est possible, une équation avec le
pivot égal à l’unité. Вот почему выбирают, если это возможно,
уравнение с опорным коэффициентом, равным единице (8-168-2).
C’est pourquoi choisissons comme équation pivot la troisième
équation et faisons la permutation des lignes. Поэтому выбираем в
качестве опорного уравнения третье и меняем местами строки (8168-19).
conclure заключать, делать вывод
En raisonnant de la même manière que dans le théorème précédent,
nous concluons que, pour obtenir un système équivalent à un système
donné, on peut faire les opérations suivantes sur les équations (dites
élémentaires)… Рассуждая таким же образом, как и в предыдущей
теореме, мы заключаем, что для получения системы,
равносильной данной, можно производить над уравнениями
следующие операции (называемые элементарными)… (8-167-2).
d’où откуда; из чего следует
On utilise ensuite la troisième équation, d’où  = ±√2/2. Затем
используют 3-е уравнение, откуда  = ±√2/2 (18-225-12).
L’aire d’un triangle  vaut la moitié de l’aire du parallélogramme
. D’où, d’après le point 3 de la définition du produit vectoriel:
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 = 2 ‖
 ‖. Площадь треугольника  равна половине
площади параллелограмма . Из этого следует, по пункту 3
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
определения векторного произведения:  = 2 ‖
 ‖ (10-18018).
61
dans la conclusion в заключение
Enfin dans la conclusion, on rappelle que par le principe de
récurrence () est vraie pour tout  ∈ ℕ. Наконец, в заключение
напоминают, что, по принципу математической индукции, ()
истинно для любого  ∈ ℕ (2-10-16).
donc следовательно, итак, таким обрзом, поэтому
Donc si l’on souhaite montrer l’assertion « ⇒ », on montre en fait
que si «non() ⇒ non ()» est vraie. Таким образом, если хотят
доказать истинность высказывания « ⇒ », то вместо этого
можно выяснить, истинно ли высказывание «не() ⇒ не()» (2126-21).
La courbe  est donc une parabole qui se déduit de la parabole
d’équation  = 3 2 par la translation de vecteur 
⃗⃗. Итак, кривая 
является параболой, которая получается из параболы  = 3 2
параллельным переносом на вектор 
⃗⃗ (4-137-5).
On cherchera donc toujours à déterminer, si possible, la plus petite
période d’une fonction périodique. Поэтому стараются определить,
если это возможно, наименьший период функции (7-161-10).
Le vecteur nul n’a évidemment pas de direction, donc pas de sens.
Нулевой вектор не имеет направления, следовательно, не
ориентирован на прямой (10-175-5).
il en résulte отсюда следует
Il en résulte qu’on sait résoudre complètement les systèmes linéaires.
Отсюда следует, что мы умеем решать любую линейную систему
(8-167-13).
mener à la conclusion приводить к выводу
Vous pouvez penser «oui» ou «non», mais pour en être sûr il faut
suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Вы можете
думать «да» или «нет», но чтобы быть уверенным в этом, нужно
следовать логическому рассуждению, которое приводит к
(верному) выводу (1-117-35).
conduire приводить
Ceci nous conduit à introduire la notion de voisinage de  que nous
62
définissons. Это приводит к необходимости ввести понятие
окрестности точки , что мы и сделаем. (5-146-32).
déduire делать вывод, делать заключение, заключать
On en déduit que les polynômes sont des fonctions continues, les
fractions rationnelles sont continues partout sauf aux points annulant
le dénominateur. Из этого делают вывод, что многочлены
являются непрерывными функциями, а рациональные дроби
непрерывны везде, кроме корней знаменателя (5-152-22).
se déduire
вытекать
de
manière
immédiate
непосредственно
Les résultats de ce paragraphe se déduisent de manière immédiate
des propriétés sur les limites du paragraphe référencé. Результаты
этого параграфи непосредственно вытекают из свойств пределов,
изложенных в первом параграфе (5-152-11).
9 GÉNÉRALISATION
de plus кроме того, помимо этого, более того
Si  est une densité, la fonction  est une fonction de répartition, qui
de plus est continue. Если  – плотность распределения, то 
является функцией распределениия, которая, кроме того,
непрерывна (23-253-16).
Si, de plus  ne s’annule pas sur , alors ⁄ est dérivable sur cet
intervalle. Более того, если функция  не равна нулю на
интервале , то она дифференцируема на этом интервале (7-1621).
en plus кроме того, к тому же, еще …
Les équations paramétriques des droites dans l’espace sont les mêmes
que dans le plan, sauf qu’il y a une coordonnée en plus : .
Параметрические уравнения прямой в пространстве те же, что и
на плоскости, за исключением того, что есть еще одна
координата:  (11-189-23).
Si en plus les deux droites ont la même ordonnée à l’origine, on dit
qu’elles sont parallèles et confondues. Если к тому же обе прямые
63
проходят через одну и ту же точку, лежащую на оси ординат, то
они совпадают (11-185-25).
de manière générale обобщая сказанное
De manière générale, on dit qu’une propriété est locale si elle est
vraie dans un voisinage d’un point contrairement à une propriété
globale qui est valable pour tout réel. Обобщая сказанное,
подразумевают, что свойство локально, если оно выполняется в
окрестности некоторой точки, в отличие от глобального свойства,
которое справедливо для всех действительных чисел (5-147-15).
on prend généralement … обычно берут…
On prend généralement pour équation pivot la première équation.
Обычно в качестве опорного берут первое уравнение (8-167-27).
ce sont généralement… это, главным образом,…
Ce sont généralement le résultat de dénombrement. Это, главным
образом, результат применения комбинаторного метода (22-24331).
en général в общем случае
Cette densité de probabilité permet en général de modéliser des
durées de vie d’êtres non soumis au vieillissement (par exemple, la
durée de vie d’une bactérie). Эта плотность вероятностей позволяет
в общем случае моделировать время жизни существ, не
подчиняющихся законам старения (например, время жизни
бактерии) (24-260-2).
de façon générale в общем случае
De façon générale, la fonction logarithme en base  est la seule
fonction  définie, croissante et dérivable sur ℝ∗+ telle que () =
( ) + () et () = 1. В общем случае логарифмическая
функция по основанию  – единственная функция, определенная,
возрастающая и дифференцируемая на ℝ∗+ и такая, что () =
( ) + () и () = 1 (4-144-11).
64
10 RÉFÉRENCES
d’après la discution исходя из исследования
On sait, d’après la discussion ci-dessus, qu’il suffit de connaître une
solution particulière de l’équation complète. Известно, исходя из
приведенного выше исследования, что достаточно знать частное
рещение полного уравнения (16-210-17).
d’après la propriété по свойству
Donc, d’après la propriété 4, il existe une constante  telle que pour
tout  de ]0, +∞[, () =  + ln . Таким образом, по свойству
4, существует постоянное число  такое, что для любого  из
]0, +∞[ () =  + ln  (4-143-26).
d’après le point ... по пункту …, согласно пункту
D’où, d’après le point 3 de la définition du produit vectoriel:  =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖. Откуда, согласно пункту 3 определения
0,5‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
векторного проиозведения,  = 0,5‖
 ‖ (10-180-19).
d’après le théorème по теореме
D’après le théorème de Rolle, il y a une seule fonction définie et
dérivable sur ]0, +∞[ dont la dérivée est  ∈ ]0, +∞[ ↦ 1⁄ et dont
la valeur en 1 est 0. По теореме Ролля, существует единственная
функция, определенная и дефференцируемая на ]0, +∞[ ,
производная которой на этом интервале равна 1⁄ и значение
которой в точке 1 равно 0 (4-142-15).
en vertu de ... исходя из …, вытекая из …
C’est donc une solution de ( ) toujours en vertu de la remarque
précédente, c.q.f.d. Следовательно, это решение ( ), также
вытекающее из предыдущего замечания, ч.т.д. (8-166-31).
grâce à la propriété благодаря свойству
Grâce à la propriété (3), le premier membre de (1) peut réécrire
ainsi:. Благодаря свойству (3), левая часть (1) может быть
переписана следующим образом: (
⃗⃗ − ⃗ ) ∙ (
⃗⃗ − ⃗) = 
⃗⃗ ∙ 
⃗⃗ + ⃗ ∙
⃗ − 2
⃗⃗ ∙ ⃗ (8-163-23).
65
par définition по определению
Par définition, les variables aléatoires discrètes prennent des valeurs
entières discontinues sur un intervalle donné. По определению,
дискретные случайные величины принимают целые значения из
данного промежутка (22-243-31).
par le théorème по теореме
Mais par le théorème de Rolle il existe  ∈ ], 0 [ tel que
ℎ′ ( ) = 0. Но, по теореме Ролля, существует  ∈ ], 0 [ такое,
что ℎ′ ( ) = 0 (6-42-26).
selon la parité в зависимости от четности
L’intervalle, défini par ces deux nombres est de longueur 1, il contient
soit un seul entier, soit deux selon la parité de , qui correspondent
alors aux bornes de celui-ci. Интервал длины 1, определенный
этими двумя числами, содержит либо единственное целое число,
либо два, в зависимости от четности числа ; в этом случае они
совпадают с границами данного промежутка (6-158-25).
selon la valeur de … в зависимости от значения …
Une assertion  peut dépendre d’un paramètre . Par exemple
l’assertion « 2 ≥ 1» est vraie ou fausse selon la valeur de .
Высказывание  может зависеть от параметра . Например,
высказывание « 2 ≥ 1» истинно или ложно в зависимости от
значения  (1-121-24).
selon le cas (les cas) в зависимости от случая (случаев)
On doit faire bien attention à ce que les opérations : ∞/∞, 0/0, 0 ∙ ∞
et ∞ − ∞ ne sont pas licites, car peuvent donner lieu à des résultats
très différents selon les cas. Нужно уделить особое внимание тому,
что операции ∞/∞, 0/0, 0 ∙ ∞ и ∞ − ∞ не подчиняются обычным
законам и могут принять различные значения в зависимости от
случаев (5-150-23).
66
PHRASÉOLOGIE DU DISCOURS
DANS LES TEXTES MATHÉMATIQUES
1 COMMENTAIRES
afin de préciser для того, чтобы уточнить
Afin de préciser que  s’annule en une unique valeur on rajoute un
point d’exclamation : ∃!  ∈ ℝ (( ) = 0). Для того, чтобы
уточнить, что функция  равна нулю в единственной точке,
добавляют восклицательный знак: ∃!  ∈ ℝ (( ) = 0) (1-123-8).
ainsi так, таким образом
Ainsi, il n’existe que 10000 codes à 4 chiffes différents. Таким
образом, существует всего 10000 четырехзначных кодов,
составленных из различных цифр (20-234-10).
Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi: «Il existe au
moins un réel  tel que ( )=0». Сначала вы можете прочесть эту
фразу так: «Существует, по крайней мере, одно действительное
число  такое, что ( )=0» (1-123-7).
aussi так; так, например
Aussi dans la pratique écrira-t-on « ⇔ » ou « ⇔ »
uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Так, например, на
практике пишут « ⇔ » или « ⇔ » только тогда, когда это
истинные высказывания (1-120-21).
67
c'est le but de ... это цель …
С’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! Цель
этой главы – сделать такую запись более понятной (2-126-32).
cependant однако, между тем
Attention cependant de bien écrire quel type de raisonnement vous
choisissez et surtout de ne pas changer en cours de rédaction.
Однако укажите точно, какой тип рассуждения вы выбираете, и
не меняйте его во время доказательства (2-125-32).
La forme actuelle fut cependant établie longtemps après Descartes,
en particulier par le Suisse Euler. Между прочим, современная
форма была принята, например, швейцарским математиком
Эйлером много лет спустя после Декарта (11-182-7).
en d’autres termes другими словами
En d’autres termes, un maximum local (ou un minimum local) 0
est toujours un point critique. Другими словами, локальный
максимум (или локальный минимум) всегда является
критической точкой (6-155-22).
en effet действительно, в самом деле
⃗⃗ = ⃗.
L'addition a un élément neutre : le vecteur nul. En effet : ⃗ + 0
Cуществует нейтральный элемент по сложению: нулевой
вектор. Действительно, ⃗ + ⃗0⃗ = ⃗ (10-175-17).
Un tirage correspond à un arrangement de deux éléments parmi trois.
En effet, l’ordre de tirage est important mais on effectue le tirage
sans remise donc il ne peut y avoir de répétitions. Выборка
соответствует размещению из трех элементов по два. В самом
деле, порядок выбора существен, и выбирают (элементы) без
возвращения (20-235-14).
enfin наконец, в заключение
Enfin on dit qu’une fonction est continue sur Ω si elle est continue
en tout point de Ω. Наконец, говорят, что функция непрерывна
на Ω, если она непрерывна в каждой точке Ω (5-151-11).
en particulier в частности
68
En particulier, pour  = 1 (1) = . Or. В частности, для  = 1
(1) = . Но (1) = ln( · 1) = ln  (4-143-27).
ensuite затем, потом, далее, в дальнейшем
On intègre séparément chacun des morceaux et on ajoute ensuite les
intégrales obtenues. Интегрируют отдельно каждую часть, а
затем складывают полученные интегралы (13-196-3).
La stratégie consiste à réduire  à une forme échelonnée de manière
à employer ensuite le fait que le déterminant d’une matrice
triangulaire est tout simplement le produit des éléments de la
diagonale principale. Стратегия состоит в том, чтобы привести
матрицу  к ступенчатой форме и в дальнейшем использовать
тот факт, что определитель треугольной матрицы равен
произведению элементов главной диагонали (9-172-16).
il est clair que … ясно, что …
Il est clair que c’est une définition peu satisfaisante. Ясно, что это
определение неудовлетворительно (1-117-27).
il est commode удобно
Il est commode de le représenter par une flèche. Удобно
представить это в виде стрелки (10-175-1).
il est possible возможно, можно
Il est possible de calculer la distance entre deux points placés dans le
plan cartésien. Можно рассчитать расстояние между двумя
точками, взятыми в декартовой системе координат (11-186-7).
Il s’agit de ... речь идет о …
Il s’agit du plus grand ensemble sur lequel, étant donnée
l’expression d’une fonction, on peut définir cette fonction. Речь идет
о самом широком множестве, на котором по данному
выражению можно определить эту функцию (4-136-1).
il suffit de … достаточно …
On sait, d’après la discussion ci-dessus, qu’il suffit de connaître une
solution particulière de l’équation complète. После сказанного
выше понятно, что достаточно знать частное рещение
69
неоднородного уравнения (16-210-17).
lorsque когда; тогда как; как только
Lorsque l’on parle de limite ou de continuité d’une fonction en un
point , c’est le comportement de la fonction dans un voisinage de .
Когда говорят о пределе или непрерывности функции в точке ,
имеют в виду поведение функции в окрестности точки  (5-14712).
L’année 1637 est l'année de naissance de la géométrie analytique,
lorsque René Descartes publia son Discours de la méthode. Год
1637 стал годом рождения аналитической геометрии, как
только Рене Декарт опубликовал свой трактат «Рассуждение о
методе» (11-181-26).
nous dirons que ... будем говорить, что …
Dans ces deux situations, nous dirons que le caractère quantitatif est
défini par ses modalités (valeurs discrètes ou classes). В этих двух
случаях будем говорить, что количественный признак
определен его значениями (дискретными числами или
классами) (25-263-31).
on convient de ... принято …
On convient de changer le signe de l'intégrale quand on échange les
bornes. Принято менять знак интеграла, когда меняют местами
пределы интегрирования (13-196-7).
on est conduit à considérer приходится рассматривать
Bien que les systèmes triangulaires soient de résolution simple, ils ne
suffisent pas en pratique. On est conduit à considérer une classe
plus large, celle des systèmes en escalier. Хотя треугольные
системы и решаются просто, на практике этого недостаточно.
Приходится рассматривать более широкий класс, класс
трапецеидальных систем (8-165-25).
on s’intéresse davantage …чаще интересуются…
On s’intéresse davantage aux assertions vraies qu’aux fausses.
Чаще интересуются высказываниями истинными, чем
ложными (1-120-20).
70
or однако, но
Or chaque combinaison de  éléments permet de constituer ! listes
ordonnées. Но каждое сочетание  элементов позволяет
составить ! упорядоченных списков (20-237-13).
Or dans votre mécanisme de calcul de la dérivée, vous «désossez» la
fonction à dériver à l’aide d’opérations sur les fonctions. Однако в
вашем алгоритме вычисления производной вы рассматриваете
каждую функцию, которую нужно продифференцировать, с
точки зрения операций над функциями (7-161-19).
par contre зато, напротив, с другой стороны, но
Prenons l’exemple de la disjonction «ou»; au restaurant «fromage ou
dessert» signifie l’un ou l’autre, mais pas les deux. Par contre, si
dans un jeu de carte on cherche «les as ou les cœurs» alors il ne faut
pas exclure l’as de cœur. Возьмем, к примеру, дизъюнкцию
«или»; в ресторане «сыр или десерт» означает либо одно, либо
другое, но не то и другое вместе. Напротив, если в карточной
игре ищут туза или червовую карту, то не надо исключать туза
червей (1-117-19).
pourtant однако, тем не менее
La réciproque est fausse. Par exemple la fonction  ⟼  3 est
strictement croissante et pourtant sa dérivée s’annule en 0.
Обратная теорема неверна. Например, функция  ⟼  3 строго
положительна, однако ее производная равна нулю в точке 0 (6158-11).
sans peine легко, без труда, нетрудно
Or, on vérifie sans peine l’implication (0 < | | < ε2 ) ⇒
(0 < √| | < ε). Однако, нетрудно убедиться в истинности
импликации (0 < | | < ε2 ) ⇒ (0 < √| | < ε) (5-148-16).
toutefois однако, тем не менее
Toutefois, cet abus d’écriture est toléré quand il n’y a pas de risque
d’ambiguïté dans le contexte où l’on se trouve. Однако, эта
вольность в записи допустима, если нет риска ее
двусмысленного прочтения в контексте (5-150-7).
71
2 EXPLICATION DE CE QU’ON VA FAIRE
chercher à ... пытаться, стараться
En théorie des probabilités, on suppose donnés un ensemble des
résultats possibles de l’“expérience” considérée, et leurs probabilités
respectives. On cherche alors à en déduire les probabilités
d’évènements plus compliqués. В теории вероятностей
предполагают, что даны возможные исходы рассматриваемого
испытания и соответствующие им вероятности. Попытаемся из
этого вывести вероятности более сложных событий (21-238-3).
construire строить, составлять, брать, придумывать
Nous allons construire une application :  → . Сейчас мы
построим (построим) функцию :  → . (3-133-24).
définir определять
Nous allons définir de nouvelles assertions construites à partir de
 et . Определим новые высказывания из данных  и  (1118-19).
On va définir informellement ce qu’est un ensemble : un ensemble
est une collection d’éléments. Определим неформально понятие
множества (3-127-14).
démontrer доказывать
Nous allons démontrer par récurrence que () est vraie pour tout
  0. Докажем методом математической индукции, что ()
справедливо для любого   0 (2-126-25).
étudier изучать
Nous allons étudier une méthode générale de résolution pour les
systèmes linéaires. Изучим общий метод решения систем
линейных уравнений (8-163-9).
montrer показывать, доказывать
Nous allons montrer que ( + 1) est vraie. Покажем, что ( +
1) истинно (2-126-28).
s’intéresser интересоваться
72
Nous allons nous intéresser au comportement de la fonction ,
lorsque le point  de  se rapproche d’un point  de ℝ. Нас будет
интересовать поведение функции , когда точка 
приближается к точке , принадлежащей ℝ (5-146-28).
voir видеть, убеждаться
Nous allons voir que cela n’empêche absolument pas l’étude du
comportement de  au voisinage de 0. Убедимся, что это совсем
не мешает изучать поведение  в окрестности 0 (5-147-24).
3 AVERTISSEMENTS
attention de … будьте внимательны
Attention cependant de bien écrire quel type de raisonnement vous
choisissez et surtout de ne pas changer en cours de rédaction.
Однако будьте внимательны, указывая, какой вид
рассуждения вы выбираете, и не меняйте его во время
редактирования текста (2-125-32).
attention внимание!
Attention : rien ne dit que  et  soient vraies. Внимание: нельзя
полагать, что  и  истинны (1-120-24).
encore une fois и снова; и опять же
Encore une fois ce sont des notions difficiles à appréhender. Опять
же: это понятия, трудные для усвоения (3-131-14).
être précis быть точным
Pour la négation d’une proposition, il faut être précis : la négation
de l’inégalité stricte «<» est l’inégalité large «≥», et inversement.
Формулируя отрицание предложения, нужно быть точным:
отрицание строгого неравенства «<» есть неравенство
нестрогое «≥», и наоборот (1-123-15).
être très important быть очень важным
L’ordre des quantificateurs est très important. Порядок
следования кванторов очень важен (1-122-20).
73
faire attention обращать внимание
Pour le cas d’un intervalle fermé, il faut faire attention aux
extrémités. Для случая закрытого интервала нужно обращать
внимание на его концы (6-156-5).
il est important важно
Il est important d’avoir un langage rigoureux. Важно иметь (в
распоряжении) строгий язык (1-117-18).
mise en garde предупреждение; осторожно!
Mise en garde. Ne confondez pas parité d’une fonction et symétrie
de sa courbe représentative, même si la parité se traduit par la
symétrie de la courbe représentative. Осторожно: не смешивайте
четность функции и симметрию ее графика, несмотря на то, что
четность действительно выражается симметрией графика. (7160-26).
préférer plutôt делать выбор в пользу…
Enfin, pour passer d’une ligne à l’autre d’un raisonnement, préférez
plutôt «donc» à «⇒». Наконец, чтобы перейти с одной строки на
другую, делайте выбор в пользу слова «то», а не знака «⇒» (1123-25).
74
VOCABULAIRE THÉMATIQUE RAISONNÉ
1 LOGIQUE. RAISONNEMENTS
assertion n.f. Une proposition, de forme affirmative ou
négative, qui énonce un jugement et que l’on soutient comme vraie
absolument.
conclusion n.f. Une proposition tirée des données de
l’observation ou d’un raisonnement.
сonjonction n.f. La proposition  ∧  qui est vraie si et
seulement si les propositions  et  sont vraies toutes les deux.
définition n.f. Une convention logique a priori.
démarche n.f. Une manière d'avancer dans un raisonnement,
manière de penser.
disjonction n.f. La proposition  ∨  qui est fausse si et
seulement si les propositions  et  sont fausses toutes les deux.
équivalence n.f. La proposition  ⇔  qui est vraie si et
seulement si les propositions  et  ont la même valeur de vérité.
faux n.m. Qui est contraire à la vérité.
hypothèse n.f. La proposition fournie comme donnée d'un
problème, ou qui, sans avoir besoin d'être démontrée, sert de base à
la démonstration d'un théorème par voie logique.
implication n.f. La proposition  ⇒  qui est fausse si et
75
seulement si  est vraie alors que  est fausse.
négation n.f. L’opération par laquelle une proposition devient
fausse si elle était vraie, ou vraie si elle était fausse.
opérateur n.m. Le symbole indiquant une opération à
effectuer.
quantificateur n.m. Un opérateur reliant une ou plusieurs
variables à une quantité; symbole représentant un tel opérateur.
raisonnement n.m. La faculté de raisonner; exercice de cette
faculté; manière de l'exercer.
raisonner v. Exercer sa raison; user de la raison pour connaître,
juger.
table n.f. Un recueil de données disposées de manière à en
faciliter la lecture, l’usage.
table n.f. de vérité : une manière de représenter le calcul
propositionnel classique.
vrai n.m. Ce qui satisfait aux lois de l'esprit.
2 ENSEMBLES ET APPLICATIONS
antécédent n.m. Un élément  est un antécédent de  par la
fonction  lorsque  = (). Cela revient à dire que  est l'image de
 par . Chercher les antécédents de , c'est résoudre l'équation
() = .
application n.f. Une fonction pour laquelle chaque élément de
l'ensemble de départ possède une image et une seule dans l'ensemble
d'arrivée.
axe n.m. Une droite munie d’une origine et d’une unité. Pour
repérer les points dans le plan, on a besoin de deux axes gradués :
l’un, horizontal, est appelé «axe des abscisses», l’autre, vertical, est
appelé «axe des ordonnées».
bijection n.f. Une application telle que tout élément de
l'ensemble d'arrivée possède un antécédent et un seul dans
l’ensemble de départ.
76
complémentaire n.m. Le complémentaire d'une partie  d'un
ensemble  est l'ensemble des éléments de  qui n'appartiennent pas
à . Notation:  ou .
composition n.f. (syn.: composée n.f.) La composée de  par 
est la fonction  ↦ (()). Notation :  ∘ .
couple n.m. La liste ordonnée de deux éléments pris dans des
ensembles distincts ou non.
égalité n.f. de deux ensembles : deux ensembles sont égaux si
et seulement si tout élément de l’un est élément de l’autre (et
réciproquement).
ensemble n.m. Une notion primitive des mathématiques, ainsi
que celle d’élément et d’appartenance. Intuitivement, un ensemble
est une collection d’objets appelés éléments.
ensemble n.m. vide : l’ensemble qui ne possède aucun élément.
ensemble n.m. des parties d’un ensemble : l’ensemble de
tous ses sous-ensembles, y compris l’ensemble vide et le même
ensemble . Il est noté ().
fonction n.f. Une fonction est définie par la donnée
d’un ensemble de départ, d’un ensemble d’arrivée, et d’un procédé
mettant en relation chaque élément de l’ensemble de départ avec au
plus un élément de l’ensemble d’arrivée.
graphe n.m. d’une fonction : un synonyme de représentation
graphique. Un repère étant donné, le graphe d’une fonction  est
l’ensemble des points  dont les coordonnées  et  sont telles que
 = ().
image n.f. d’un élément : l’élément  est l'image de  par  si
et seulement si () = . Cela revient à dire que  est un antécédent
de  par .
image n.f. d’un ensemble : l’image d’un ensemble E par une
fonction , notée (), est le sous-ensemble formé des images des
éléments de  : () = {()| ∈ }.
image n.f. directe. Soit  ⊂  et  :   , l’image directe de
77
 par  est l’ensemble () = { () |   }.
image n.f. réciproque. Soit    et  :   . L’image
réciproque de  par  est  −1 () = { ∈  | ( ) ∈ }.
inclusion n.f. On dit que  est inclu dans  si tout élément de
 est un élément de . On dit alors que  est un sous-ensemble de 
ou une partie de . On note l’inclusion par :  ⊂ .
injection n.f. Soit :  →  une application. On dit que  est
injective si pour tout , ′ ∈  (( ) = ( ′ )) entraîne ( =  ′ ) .
intersection n.f. L'intersection des ensembles  et  est
l'ensemble des éléments qui appartiennent à  et à . Notation :  ∩
.
notation n.f. Une notation c’est une représentation de nombres
ou d'autres entités par des symboles; c’est un système de symboles
employé à cette fin.
partition n.f. d’un ensemble. Soit un ensemble . Des sousensembles 1 , 2 , . . . ,  de  forment une partition de 
lorsqu’aucun d’eux n’est vide, qu'ils sont disjoints deux à deux, et
que leur réunion est .
produit n.m. cartésien. Le produit cartésien de deux ensembles
 et  est l'ensemble des couples dont le premier élément appartient
à  et le deuxième à . Notation :  × .
réunion n.f. La réunion des ensembles  et  est l'ensemble
des éléments qui appartiennent à  ou à . Notation :  ∪ .
singleton n.m. On appelle singleton un ensemble à un seul
élément.
sous-ensemble n.m. Un ensemble  est une partie d'un
ensemble  (ou est un sous-ensemble de  ou est inclus dans  ou
est contenu dans  )si et seulement si tout élément de  est élément
de . Notation :  ⊂ .
surjection n.f. On dit qu’une fonction  est surjective ou une
surjection si pour tout  , il existe   tel que  = ( ).
78
3 FONCTIONS NUMÉRIQUES
antécédent n.m. Un élément  est un antécédent de l’élément
 par une fonction  lorsque  = (). Cela revient à dire que  est
l'image de  par . Chercher les antécédents de , c'est résoudre
l'équation () = .
axe n.m. de symétrie. Soit  une fonction et  sa courbe
représentative dans un repère orthogonal. La courbe  admet la
droite d’équation  =  comme axe de symétrie si et seulement s’il
existe un nombre ℎ tel que  + ℎ et  − ℎ appartiennent à  et tel
que ( + ℎ) = ( − ℎ).
bissectrice n.f. (première bissectrice). La première bissectrice
est la droite  =  qui coupe l’angle  en deux angles de 45
degrés.
conceptuel (-elle) adj. Qui constitue un concept, une idée
générale.
développer vt. un polynôme. Transformer un polynôme sous la
forme d’un produit en somme. Le contraire s’appelle factoriser.
ensemble n.m. de définition. L’ensemble  des éléments de
l’ensemble de départ qui possèdent une image par la fonction  dans
l’ensemble d’arrivée. Il est noté  .
factorisation n.f. La factorisation consiste à écrire une
expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une
matrice sous la forme d’un produit.
fonction n.f. exponentielle. La fonction réciproque de ln est
appelée fonction exponentielle. Elle est notée : exp.
fonction n.f. réciproque. Soit  et  deux ensembles, et  une
bijection de  vers . La fonction réciproque de , notée  −1 , est
l’application de  vers  qui, à tout élément  de  fait correspondre
son unique antécédent  par .
fonction n.f. Une association entre des éléments d’un
ensemble de départ et des éléments d’un ensemble d’arrivée. Une
fonction associe à chaque élément de l’ensemble de départ un ou
79
aucun (mais pas plus d’un) élément de l’ensemble d’arrivée.
fonction n.f. homographique. Une fonction qui peut être
représentée sous la forme d’un quotient de deux fonctions
polynômes du premier degré.
fonction n.f. polynôme. Une fonction de la forme  ∈ ℝ ↦
( ) =    + −1  −1 + ⋯ + 1  + 0 , où  , −1 , … , 0 sont
des réels donnés et  un entier naturel appelé le degré du polynôme
lorsque  ≠ 0.
fonction n.f. puissance. Une fonction  ∈ ℝ ↦   , où  est un
entier positif.
fonction n.f. racine. Une fonction réciproque à une fonction
puissance.
hyperbole n.f. Une courbe admettant une équation de la forme

 = dans un repère quelconque,  étant un réel donné non nul.

image n.f. L’élément  est l'image d’un élément  par une
fonction  si et seulement si () = . Cela revient à dire que  est
un antécédent de  par .
logarithme n.m. décimal. Une fonction logarithme de base 10.
logarithme n.m. Népérien. La fonction définie et dérivable sur
]0, +∞[ dont la dérivée est  ∈ ]0, +∞[ ↦ 1⁄ et dont la valeur en
1 est 0.
parabole n.f. Une courbe admettant une équation de la forme
 =  2 dans un repère orthonormé,  étant un réel donné non nul.
L'origine du repère s'appelle le sommet de la parabole.
probabilité n.f. Une fonction qui associe à chaque évènement
d’une tribu un nombre réel compris entre 0 et 1.
prolongement n.m. On dit qu’une fonction numérique 
définie sur ′ prolonge une fonction définie sur  si  ⊆ ′.
racine n.f. multiple. Une racine α du polynôme  est dite
multiple, d'ordre de multiplicité , où  est un entier strictement
supérieur à 1, s'il existe un polynôme , tel que  soit égal à
( − ) , et que  ne s'annule pas en α.
80
racine n.f. On appelle zéro ou racine d’un polynôme , toute
valeur du réel  telle que () = 0.
racine n.f. simple. Une racine α du polynôme  est dite simple
si elle n'est pas multiple. On dit que son ordre de multiplicité est
égal à 1.
repère n.m. orthonormé. Un repère (; ⃗, ⃗) est orthonormé
lorsque les vecteurs ⃗ et ⃗ sont orthogonaux et de même norme.
représentation n.f. graphique. Un repère étant donné, la
représentation graphique (ou courbe représentative) d’une fonction
 est l’ensemble des points  dont les coordonnées  et  sont
telles que  = (). On la note  .
restriction n.f. Soit  une fonction définie sur un ensemble ,
et  une partie de . La restriction de  à , notée  est la fonction
définie par  ( ) = (), pour tout  de .
translation n.f. Le glissement d’une figure sans pivotement.
La translation d’une figure s’opère en appliquant un même vecteur à
tous ses points. On obtient une figure identique (mêmes longueurs,
mêmes aires) mais située ailleurs dans le plan. C’est un simple
copier-coller.
trinôme n.m. Une fonction de la forme  ↦  2 +  + , où
,  et  sont trois réels donnés tels que  ≠ 0. Par abus de langage,
l'expression  2 +  +  s’appelle aussi un trinôme.
4 LIMITES ET CONTINUITÉ. DÉRIVATION
constante n.f. de Néper ou le nombre exponentiele est le réel
égal à la limite suivante :
1 
lim (1 + ) =  ≈ 2,718 ...
→∞
continuité n.f. Soient Ω un intervalle de ℝ et  une fonction
définie sur Ω. On dit que  est continue au point  ∈ Ω si :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {(| − | < δ) ⇒ (|( ) − ()| < ε)}.
continuité n.f. à droite. Soient Ω un intervalle de ℝ et  une
81
fonction définie sur Ω. On dit que  est continue à droite en  si
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {( ≤  <  + δ) ⇒ (| ( ) − ()| < ε)}
continuité n.f. à gauche. Soient Ω un intervalle de ℝ et  une
fonction définie sur Ω. On dit que  est continue à droite en  si
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {( − δ <  ≤ ) ⇒ (|( ) − ()| < ε)}.
continuité n.f. sur un intervalle. On dit qu’une fonction est
continue sur Ω si elle est continue en tout point de Ω.
dérivée n.f. seconde : la dérivée de la dérivée d'une fonction,
lorsqu'elle est définie.
dérivabilité n.f. d’une fonction. Une fonction  définie sur un
intervalle  de ℝ est dérivable en un point  de  si et seulement si 
admet un nombre dérivé en , autrement dit si et seulement si ′()
existe. Une fonction  est dérivable sur un intervalle  si et
seulement si elle est dérivable en tout  de .
dérivée n.f. d’une fonction. Une fonction f est dérivable en 0
si le taux d’accroissement (( ) − (0 ))⁄( − 0 ) a une limite
finie lorsque x tend vers 0 . La limite s’appelle alors le nombre
dérivée de f en 0 et est noté ′(0).
dérivées n.f. successives. Soit :  → ℝ une fonction dérivable
et soit ′ sa dérivée. Si la fonction  ′ :  → ℝ est aussi dérivable on
note  ′′ = ( ′ )′ la dérivée seconde de f . Plus généralement on
note :  (0) = ,  (1) = ′,  (2) = ′′ et  (+1) = ( () )′.
Si la dérivée -ième  () existe on dit que f est  fois
dérivable.
factorisation n.f. d’un polynome. La factorisation d'un
polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes
irréductible.
fonction n.f. Une relation qui, à chaque élément de son
ensemble de départ, associe au plus une image.
formes n.f. indéterminées : Les opérations ∞⁄∞ , 0⁄0 , ∞ −
∞, 0 ∙ ∞ s’appellent formes indéterminées. Il existe des techniques
pour lever des indéterminations.
82
limite n.f. à droite. Soient Ω un intervalle de ℝ,  un point de
Ω et  une fonction numérique définie sur Ω sauf éventuellement en
. On dit que la fonction  admet une limite à droite en  s’il existe
un nombre  tel que
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {( <  <  + δ) ⇒ (|( ) −  | < ε)}.
On notera la limite à droite : ( + 0) ou simplement (+).
limite n.f. à gauche. Soient Ω un intervalle de ℝ,  un point de
Ω et  une fonction numérique définie sur Ω sauf éventuellement en
. On dit que la fonction  admet une limite à gauche en  s’il
existe un nombre  tel que
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {( + δ <  < ) ⇒ (|( ) −  | < ε)}.
On notera ( − 0) ou simplement (−) la limite à gauche.
limite n.f. à l’infini. Soit  définie sur ]ω, +∞[, on dit que
 () tend vers  quand  tend vers +∞ si
∀ε > 0, ∃ ≥ ω, {( > ) ⇒ (|( ) −  | < ε)}.
On dit aussi que  est la limite de  à l’infini et on note
lim ( ) = .
→+∞
De même, si  est définie sur ]−∞, ω[, on dit que () tend
vers  quand  tend vers −∞ si
∀ε > 0, ∃ ≤ ω, {( < ) ⇒ (|( ) −  | < ε)}.
limite n.f. d’une fonction en un point a. Soient Ω un intervalle
ouvert de ℝ,  un point de Ω et  une fonction numérique définie
sur Ω sauf éventuellement en . On dit que  () tend vers  quand
 tend vers  si :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {(0 < | − | < δ) ⇒ (|( ) −  | < ε)}
On dit aussi que  est la limite de  en  et on note :
lim ( ) = .
→
limite n.f. généralisée. On dit que la limite d’une fonction  en
 est généralisé si () tend vers ±∞ quand x tend vers . On la
note ( ) → +∞ quand  →  et ( ) → +∞ quand  → .
83
règle n.f. de l’Hospital. Déterminer la limite en  du quotient
/, où le numérateur et le dénominateur tendent soit les deux vers
zéro, soit les deux vers l'infini, revient à déterminer la limite du
quotient des dérivées. Si elle existe, la règle de l’Hospital affirme
que cette limite sera égale à la limite cherchée.
théorème n.m. de Rolle. Soit : [, ] → ℝ telle que  est
continue sur [, ], dérivable sur ], [ et () = (). Alors il
existe  ∈ ], [ tel que  ′ ( ) = 0.
voisinage (m) d’un point . On appelle voisinage d’un point
 ∈ ℝ toute partie de ℝ qui contient un intervalle de la forme
] − α;  + α[ avec α > 0. On appelle voisinage de  dans un
domaine  toute intersection de  avec un voisinage de a dans ℝ.
5 ÉTUDE D’UNE FONCTION
аsymptote n.f. oblique. Une courbe  admet comme
asymptote oblique la droite d’équation  =  + ,  ≠ 0 en
+∞, si et seulement si
()
lim
=  et lim (( ) −  ) = .
x→∞ 
x→∞
asymptote n.f. verticale. Une courbe  admet comme
asymptote verticale la droite d’équation  =  si et seulement si 
admet une limite infinie quand  tend vers  à droite ou à gauche.
asymptote n.f. Une ligne droite qui s'approche indéfiniment
d'une courbe sans jamais la couper, même si on les suppose l'une
et l'autre prolongées à l'infini, avec une distance plus petite que
toute quantité finie assignable.
Si lim ()⁄ = 
branche n.f. parabolique.
x→+∞
et
lim (( ) −  ) = ±∞, on dira alors que  admet en +∞ une
x→+∞
branche parabolique de direction asymptotique  = .
concavité n.f. d’une fonction. On dit qu’une fonction  est
concave sur un intervalle  si et seulement si − est convexe.
84
continuité n.f. d’une fonction. Une fonction  est continue
en un point  si et seulement si  est continue à droite et à gauche
en . Une fonction  est continue sur un intervalle  si et
seulement si  est continue en tout point de .
convexité n.f. d’une fonction.On dit que  est convexe si la
droite qui relie (1 ) à (2 ) est au-dessus de la courbe
représentative de  sur [1 ; 2 ], donc que  est au-dessus de ses
tangentes (si elles existent).
courbe n.f. représentative. Un repère étant donné, la
représentation graphique (ou courbe représentative) d'une fonction
 est l'ensemble des points  dont les coordonnées  et  sont
telles que  = ().
domaine n.m. de définition. L’ensemble des réels possédant
une image par une fonction est appelé domaine ou ensemble de
définition de la fonction. On le note  .
extremum n.m. local. On dit que  admet un extremum local
en 0 si  admet un maximum local ou un minimum local en ce
point.
fonction n.f. constante. Soit : [, ] → ℝ telle que f est
continue sur [, ] et dérivable sur ], [. Alors f est constante si
est seulement si ∀ ∈ ], [  ′ () = 0.
fonction n.f. strictement croissante. Soit : [, ] → ℝ telle
que f est continue sur [, ] et dérivable sur ], [. Alors f est
strictement croissante si est seulement si ∀ ∈ ], [  ′ () > 0.
fonction n.f. croissante. Soit : [, ] → ℝ telle que f est
continue sur [, ] et dérivable sur ], [. Alors f est croissante si
est seulement si ∀ ∈ ], [ ′() ≥ 0.
fonction n.f. d’une variable réelle. Soit  un intervalle ou
une réunion d'intervalles de ℝ. Une fonction  de  dans ℝ est
une correspondance qui à tout nombre  ∈  fait associer un
nombre réel et un seul noté ƒ(x). On note :
:  → ℝ
 ↦  = ()
85
Le nombre  s’appelle l’image de , et  s’appelle un
antécédent de  par la fonction  dans .
fonction n.f. décroissante. Soit : [, ] → ℝ telle que f est
continue sur [, ] et dérivable sur ], [. Alors f est
décroissante si est seulement si ∀ ∈ ], [ ′() ≤ 0.
fonction n.f. explicite. Relation qui, à chaque élément de son
ensemble de départ, associe au plus une image.
fonction n.f. strictement décroissante. Soit : [, ] → ℝ
telle que f est continue sur [, ] et dérivable sur ], [. Alors f est
strictement décroissante ssi ∀ ∈ ], [  ′ () > 0.
fonction n.f. implicite. Relation constante entre deux ou
plusieurs variables, telle qu’à toute modification de valeur de l’une
correspond régulièrement un changement de valeur des autres.
maximum n.m. d’une fonction. Soit :  → ℝ une fonction
définie sur un intervalle I. On dit que 0 est un point critique de
 si  ′ (0 ) = 0. On dit que  admet un maximum local en 0 s’il
existe un intervalle ouvert J contenant 0 tel que pour tout  ∈  ∩
 () ≤ (0 ).
minimum n.m. d’une fonction. Soit :  → ℝ une fonction
définie sur un intervalle I. On dit que 0 est un point critique de
 si  ′ (0 ) = 0. On dit que  admet un minimum local en 0 s’il
existe un intervalle ouvert J contenant 0 tel que pour tout  ∈  ∩
 () ≥ (0 ).
maximum n.m. local. On dit que  admet un maximum local
en 0 s’il existe un intervalle ouvert J contenant 0 tel que pour
tout  ∈  ∩  () ≤ (0 ).
minimum n.m. local. On dit que  admet en 0 un minimum
local en 0 s’il existe un intervalle ouvert J contenant 0 tel que
pour tout  ∈  ∩  ( ) ≥ (0 )).
parité n.f. d’une fonction : une propriété qui requiert d'abord
la symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine, puis
s'exprime par des relations suivantes : fonction paire : pour tout 
du domaine de définition,  (−) =  () ; fonction impaire :
86
pour tout x du domaine de définition,  (−) = − ().
périodicité n.f. d’une fonction. Une fonction  est dite
périodique de période  > 0 si :
1) Le domaine de définition  de  est invariant par
translation de vecteur ⃗. On doit donc vérifier que
∀ ∈ ℝ  ∈  ⟹ ( + ) ∈ 
2) On vérifie de plus que ∀ ∈  ( + ) = ().
point n.m. critique. On dit que 0 est un point critique de  si
 0 ) = 0.
′(
point n.m. d’inflexion : Si ′′ s’annule en changeant de
signe, la concavité change de sens : le point correspondant est un
point d’inflexion.
points n.m. remarquables : les points où la dérivée première
ou/et la dérivée seconde d’une fonction s’annulent. Ce sont les
points de maximum, de minimum et d’inflexion.
propriété n.f. globale d’une fonction : une propriété qui est
valable pour tout réel.
propriété n.f. locale d’une fonction. On dit qu’une propriété
est locale si elle est vraie dans un voisinage d’un point.
restriction n.f. du domaine à un ensemble . Soit une
fonction définie sur un ensemble , et  une partie de . La
restriction de  à A, notée  ou | est la fonction définie par
 ( ) = (), pour tout  de .
Si la dérivée d’une fonction  s’annule en un point  et ne
change pas de signe, on a un point d’inflexion à tangente
horizontale.
tangente n.f. Etant donnée une courbe  et un point  de .
La tangente à cette courbe en  est la droite limite, lorsqu’elle
existe, des sécantes () quand  tend vers .
Dans le cas où  est la courbe représentative d’une fonction
 dérivable en , la tangente à  au point  d'abscisse  est la
droite passant par , et de coefficient directeur ′(), nombre
87
dérivé de  en .
variation n.f. d’une fonction. Une croissance (au sens strict
ou large) ou décroissance de cette fonction sur différents
intervalles de son ensemble de définition.
6 ALGÈBRE LINÉAIRE
algorithme n.m. Ensemble de symboles et de procédés propres
à un calcul : algorithme du calcul intégral, algorithme du calcul des
sinus, algorithme de résolution des systèmes ...
algorithme n.m. du pivot de Gauss. Cet algorithme permet
d’éliminer successivement des inconnues pour avoir un système en
escalier équivalent.
cadrage n.m. Multiplication de tous les éléments d’une
équation par une constante non nulle.
coefficient n.m. Le scalaire  est appelé le coefficient de 
dans l’équation 1 1 + ⋯ +   = .
déterminant n.m. Soit  une matrice carrée d’ordre  ≥ 1. On
souhaite lui associer un nombre Δ, appelé déterminant de la matrice,
qui sera noté det(), ou encore, pour en rappeler l’origine
matricielle :
11 ⋯ 1
⋱
⋮ |.
Δ = det() = | ⋮
1 ⋯ 
Les lignes et les colonnes de la matrice  serons aussi appelées
les lignes et les colonnes du déterminant de .
double indice n.m. Un double indice pour les coefficients  ,
est une paire de nombres (indices) le premier indice repérant
l’équation et le second l’inconnue en facteur du coefficient.
échange n.m. L’action d’échanger deux équations pour mettre
une équation pivot à sa place.
échelonné (-e) adj. Une matrice est dite échelonnée (ou encore
en escalier) en lignes si le nombre de zéros précédant la première
88
valeur non nulle d'une ligne augmente ligne par ligne jusqu'à ce qu'il
ne reste plus que des zéros.
éliminer v. Faire disparaître une ou plusieurs inconnues d'un
groupe d'équations de façon à obtenir une équation résultante à une
seule inconnue.
équation n.f. linéaire. On appelle équation linéaire à 
inconnues à coefficients dans ℝ, une expression de la forme :
1 1 + ⋯ +   = , ,
où 1 , … ,  et  sont des nombres réels, et 1 , … ,  des symboles
appelés inconnues.
équation n.f. pivot est l’équation ayant l’inconnue pivot.
équivalent (-e) adj. Deux systèmes linéaires () et (′), ayant
le même nombre d’inconnues, sont dits équivalents lorsqi’ils ont le
même ensemble de solutions.
figurer v. effectivement. On dit qu’une inconnue figure dans
un système effectivement si son coefficient n’est pas nul.
incompatible adj. Un système est dit incompatible lorsqu’il
n’a aucune solution.
inconnue n.f. auxiliaire. Une inconnue qui peut être exprimer
à l’aide d’inconnues principales.
inconnue n.f. pivot est l’inconnue la plus gauche du système
donné.
inconnue n.f. principale. Une inconnue  telle que  figure
dans  , mais pas dans les équations suivantes.
matrice n.f. augmentée. Matrice d’un système d’équations
linéaires avec leurs seconds membres.
matrice n.f. d’un système. On appelle matrice d’un système de
 équations à  inconnues le tableau à  lignes et  colonnes
composées des coefficients de ce système :
11 ⋯ 1
⋱
⋮ ).
=( ⋮
1 ⋯ 
matrice n.f. Une arrangement de nombres sous forme d'un
89
tableau rectangulaire ou carré comportant un certain nombre de
lignes et de colonnes.
permuter v. les équations. Changer de place deux équations
de sorte que l’équation pivot devienne la première.
pivot n.m. : le coefficient de l’inconnue pivot dans l’équation
pivot.
premier membre n.m. d’une équation. L’écriture à gauche du
signe d’égalité de l’équation est appelée son premier membre.
réduit (-e) adj. Une matrice échelonnée est appelée réduite ou
matrice canonique en lignes si les pivots valent 1 et les autres
coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls.
remplacement n.m. Une méthode d’exclure une unconnue.
Elle consiste à ajouter à une équation un multiple d’une autre
équation.
résolution n.f. d’un système c’est une méthode d’obtenir sa
solution.
résoudre v. un système c’est décrire l’ensemble de ses
solutions.
second membre n.m. d’une équation. Le scalaire  est appelé
le second membre de l’équation 1 1 + ⋯ +   = .
solution n.f. d’une équation. On appelle solution de l’équation
1 1 + ⋯ +   =  une liste (1 , … ,  ) de  éléments de ℝ telle
que 1 1 + ⋯ +   = .
solution n.f. d’un système. Une solution de ce système est une
solution commune de toutes ses équations.
système n.m. en escalier. Un système (), de  équations
(1 ), . . . , ( ) à  inconnues 1 , … ,  , est dit en escalier ( ou
échelonné) lorsqu’il existe un entier  compris entre 0 et  tel que
l’on puisse associer à chaque équation  (avec 1 ≤  ≤ ) une
inconnue  telle que  figure dans  , mais pas dans les équations
suivantes (+1 ), … , ( ), et de plus lorsque aucune inconnue ne
figure dans les équations (+1 ), … , ( ).
90
système n.m. triangulaire. On dit qu’un système linéaire ()
de  équations à  inconnues : (): ∀ = 1, … ,  ∑=1   =
 est triangulaire lorsque :
1)  =  (il y a autant d’équations que d’inconnues) ;
2) si  < , alors  = 0;
3) ∀ ∈ {1, … , }, on a  ≠ 0.
système n.m. linéaire. On appelle système linéaire de 
équations à  inconnues, la donnée simultanée de  équations
linéaires à  inconnues.
vecteur n.m. colonne. La matrice composée des seconds
membres  d’un système est dite vecteur colonne.
7 VECTEURS
base n.f. orthonormée. Chaque vecteur de la base possède une
norme égale à un et deux vecteurs distincts de la base sont
orthogonaux, c'est-à-dire que leur produit scalaire est égal à zéro.
base n.f. canonique est la base orthonormée formée par un
vecteur ⃗ de longueur 1 dont la direction est celle de l’axe  et un
vecteur ⃗ de longueur 1 dont la direction est celle de l'axe .
bipoint n.m. Un couple de points.
composantes n.f. d’un vecteur. Les scalaires  et  sont dits
composantes du vecteur ⃗ = ⃗ + ⃗, a étant la composante dans la
direction ⃗ et  la composante dans la direction ⃗.
direction n.f. Celle de la droite qui porte le vecteur.
équipollent (-e) adj. Le bipoint (, ) est équipollent au
bipoint (, ) si et seulement si [] et [] ont le même milieu.
Dans le cas de points non alignés, cela revient à dire que  est
un parallélogramme. Notation : (, )~(, ).
espace n.m. euclidien. En mathématiques, un espace euclidien est
un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la
géométrie traditionnelle développée par Euclide. Une géométrie de cette
nature modélise, en physique classique, le plan ainsi que l'espace qui
91
nous entoure.
intensité n.f. d’un vecteur. Un synonyme de norme, longueur,
module.
longueur n.f. d’un vecteur. Un synonyme de norme, intensité,
module.
norme n.f. euclidienne associée à un espace vectoriel du même
type est la fonction de  dans l'ensemble des réels positifs, qui à un
vecteur ⃗ associe la racine carrée du produit scalaire de ⃗ avec luimême. La norme euclidienne du vecteur x est souvent notée ‖⃗ ‖.
origine n.f. d’un repère du plan, souvent notée , est le point
d'intersection de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées.
point n.m. initial. Le point initial du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 ou du bipoint
() est le premier élément du couple, c’est-à-dire, le point .
point n.m. terminal. Le point teminal du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 ou du
bipoint () est le deuxième élément du couple, c’est-à-dire, le
point .
produit n.m. mixte. On appelle produit mixte de trois vecteurs
de dimention trois ⃗, ⃗⃗ et ⃗, pris dans cet ordre, le nombre réel noté
[⃗, ⃗⃗, ⃗] défini par: [⃗, ⃗⃗, ⃗] = ⃗ ⋅ (⃗⃗ ∧ ⃗).

produit n.m. scalaire de deux vecteurs. Si ⃗ = ( ) et 
⃗⃗⃗ =


( ) sont deux vecteurs du plan, alors le produit scalaire ⃗ ∙ 
⃗⃗⃗ est

défini ainsi : ⃗ ∙ 
⃗⃗⃗ =  + .
produit n.m. vectoriel. Le vecteur noté ⃗ ∧ ⃗⃗ (lire ⃗ « cross »
⃗⃗) tel que : 1) la direction de ⃗ ∧ ⃗⃗ est orthogonale à chacun des
deux vecteurs ⃗ et ⃗⃗; 2) le sens de ⃗ ∧ ⃗⃗ donne au triplet (⃗; ⃗⃗⃗⃗
; ⃗ ∧
⃗⃗) une orientation directe; 3) la norme de ⃗ ∧ ⃗⃗ est égale à l’aire du
parallélogramme construit sur ⃗ et ⃗⃗:
relation n.f. de Chasles. Initialement associée à la géométrie,
pour décrire une relation entre vecteurs dans un espace affine, la
relation de Chasles s'écrit de la manière suivante : pour des points ,
92
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
 et  d'un espace affine 
scalaire n.m. nombre réel qui multiplie les vecteurs dans un
espace vectoriel.
sens n.m. d’un vecteur. Le sens oriente le vecteur sur la droite
(par la flèche), par exemple : le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 a le sens de A vers B.
système n.m. de coordonnées rectangulaire est constitué
d’axes perpendiculaires, l’axe des  (horizontal) et l’axe des 
(vertical).
vecteur n.m. nul. Le vecteur qui a une longueur de 0. Le
vecteur nul n’a pas de direction, donc pas de sens.
vecteur n.m. unité. Un vecteur ⃗ pour lequel ‖⃗‖ = 1 est
qualifié de vecteur unité (ou unitaire). Dans le plan muni d’un

système orthonormé, on a: ‖( )‖ = √2 +  2 .

vecteur n.m. L’ensemble de bipoints équipollents entre eux.
vecteurs n.m. égaux. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la
même intensité (longueur), la même direction et le même sens.
vecteurs n.m. orthogonaux. Si l’angle entre deux vecteurs non

nuls ⃗ et 
⃗⃗⃗ vaut , on dit que les vecteurs sont orthogonaux.
2
vecteurs n.m. parallèles. Deux vecteurs ⃗ et 
⃗⃗⃗ sont parallèles
(ou on dit aussi collinéaires) s’il existe un scalaire non nul λ tel que
⃗ = λ
⃗⃗⃗.
8 DROITES ET PLANS
abscisse n.f. La première coordonnée d’un point.
abscisse n.f. à l’origine. Les zéros d’une fonction (où la
fonction croise l’axe des ).
angle n.m. de deux droites. On appelle angle (aigu ou obtus)
de deux droites l’angle que forment les vecteurs directeurs de ces
deux droites.
angle n.m. de deux plans. On appelle angle (aigu ou obtus) de
deux plans l’angle des vecteurs normaux à ces deux plans.
93
angle n.m. d’une droite et d’un plan. On appelle angle (aigu ou
obtus) d’une droite  et d’un plan π l’angle que forme  avec sa
projection ′ sur π.
coordonnée n.f. d’un point. On appelle coordonnée d’un point
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ avec
 dans un repère {, (⃗, ⃗)} une des composantes du vecteur 
le repère {, (⃗, ⃗)}.
cote n.f. Dans l'espace, la troisième coordonnée d’un point.
distance n.f. d’un point à une droite. La distance d’un point à
une droite est donnée par la longueur qui sépare un point d’une
droite donnée suivant le segment joignant perpendiculairement le
point et la droite (la plus petite distance entre un point et une droite
est justement celle qui les relie perpendiculairement).
distance n.f. On appelle distance du point  au point  la
norme du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
. On la note δ(, ).
distance n.f. d’un point à un plan. La distance d’un point  à
un plan π est la distance du point  à sa projection orthogonale ′
sur π.
distance n.f. d’un point à une droite. Dans l’espace, la distance
d’un point  à une droite  est la distance du point  à sa projection
orthogonale ′ sur la droite .
distance n.f. entre deux droites de l’espace. La distance entre
deux droites (, ⃗) et (, ⃗) est : δ(, ) = [ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 , ⃗, ⃗]⁄‖⃗⋀⃗‖ .
droite n.f. orthogonale à un plan. Une droite  est orthogonale
à un plan π si et seulement si  est orthogonale à toute droite de π.
droites n.f. parallèles. Deux droites sont parallèles lorsqu’elles
ont la même pente. Si en plus les deux droites ont la même ordonnée
à l’origine, on dit qu’elles sont parallèles et confondues.
droites n.f. gauches. Dans l’espace, deux droites sont gauches
lorsqu’elles ne sont pas sécantes et ne sont pas coplanaires.
droites n.f. sécantes. Deux droites d'un plan sont sécantes si et
seulement si leur intersection est un singleton. Deux droites sécantes
sont coplanaires.
94
droites n.f. orthogonales. Les droites  et  sont orthogonales
si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est
nul: ⃗ ∙ ⃗ = 0. Elles ne sont pas nécessairement séquantes.
droites n.f. perpendiculaires. Deux droites orthogonales et
sécantes sont appelées perpendiculaires.
droites n.f. perpendiculaires. Deux droites sécantes sont
perpendiculaires lorsque la pente de l’une est l’inverse de l’opposée
de l’autre.
équation n.f. cartésienne de la droite. La relation du type
 +  +  = 0 est appelée équation cartésienne de la droite.
équation n.f. fonctionnelle de la droite. L’équation cartésienne
de la forme  = () s’appelle équation cartésienne réduite ou
équation fonctionnelle de la droite.
équation n.f. cartésienne d’un plan. Soit (, , ) un point
du plan Π = (, ⃗, 
⃗⃗⃗), alors les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗ et ⃗ sont
coplanaires, donc, det(, ⃗, 
⃗⃗⃗) = 0 :
 − 0
| − 0
 − 0




 | = 0.

En effectuant ce déterminant et en regroupant les termes, on
obtient une équation cartésienne du type: Π:  +  +  = 0.
forme n.f. générale d’une droite. La forme générale d’une
droite est :  +  +  = 0. L’équation doit être égale à 0 et
 doit être positif. ,  et  doivent être entiers.
forme n.f. symétrique d’une droite. La forme symétrique d’une
x y
  1 où  est l’abscisse à l’origine et  est
droite est :
a b
l’ordonnée à l’origine.
géométrie n.f. analytique. Une approche de la géométrie dans
laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations.
normale n.f. Une droite orthogonale à un plan est aussi
95
appelée normale de ce plan.
ordonnée n.f. à l’origine. En géométrie cartésienne, l'ordonnée
à l'origine du graphe d'une fonction désigne la valeur de l'ordonnée
 lorsque l'abscisse  vaut 0. En d'autres termes, c'est la valeur de
l'ordonnée du point d'intersection entre la courbe de la fonction et la
droite d'équation  = 0, aussi appelée axe des ordonnées.
ordonnée n.f. La deuxième coordonnée d’un point.
plan n.m. Un objet fondamental à deux dimensions. Dans un
espace à trois dimensions et avec un système de coordonnées
(, , ), on peut définir le plan comme l'ensemble des solutions de
l'équation :  +  +  +  = 0, où , ,  et  sont des
nombres réels et où ,  et  ne sont pas simultanément nuls.
plan n.m. médiateur. L’ensemble des points de l’espace
équidistants de deux points  et  est un plan appelé plan médiateur
de .
plans n.m. perpendiculaires. Les plans  et  sont
perpendiculaires si et seulement si les vecteurs normaux de ⃗ et ⃗
sont orthogonaux.
point n.m. d’ancrage. Un point  déterminant la droite avec
un vecteur directeur ⃗ est appelé point d’ancrage de cette droite.
pente n.f. d’un segment est synonyme d’inclinaison, ou de taux
de variation. Elle correspond au rapport de la différence des
ordonnées et de la différence des abscisses des extrémités du
segment.
point n.m. de partage. Le point de partage d’un segment est un
point qui sépare ce segment en deux plus petits segments selon un
rapport donné.
point n.m. de rencontre de deux droites. Le point commun à
ces droites.
position n.f. relative d’une droite et d’un plan. Il y a trois
possibilités : 1) une droite coupe un plan en un point ; 2) une droite
est parallèle à un plan ; 3) une droite appartient à un plan.
position n.f. relative de deux droites. Dans le plan, il n’y a que
96
deux éventualités: deux droites sont sécantes ou parallèles. Dans
l’espace, deux droites peuvent aussi être gauches.
position n.f. relative de deux plans. Il y a trois possibilités :
1) deux plans sont parallèles ; 2) deux plans sont identiques; 3) deux
plans sont sécantes (leur intersection est une droite).
rapport n.m. partie à partie. Le rapport partie à partie (parfois
appelé tout simplement rapport) est exprimé sous la forme /, où
 est la distance du point de partage à la premère extrémité du
segment, et  est la distance du point de partage à la deuxième
extrémité du segment.
repère n.m. du plan. On appelle repère du plan tout ensemble
constitué d'un point arbitraire fixe (origine) et de deux vecteurs ⃗ et ⃗
non parallèles.
repère n.m. orthonormé. Si les vecteurs ⃗ et ⃗ ont une norme de
1 et qu'ils sont orthogonaux, on dit que le repère est orthonormé. On
note ce repère {, (⃗, ⃗)}.
taux n.m. Le taux (souvent appelé fraction) est exprimé sous la
forme a/(a + b), où a est la distance du point de partage à la premère
extrémité du segment, et b est la distance du point de partage à la
deuxième extrémité du segment.
9 INTÉGRATION
arc n.m. de courbe. Une courbe d’équation  = () comprise
entre deux points d’abscisses  et .
caroïde n.f. Une courbe ayant la forme d’un cœur. C’est
également la figure qui apparaît au fond d’une tasse de café lorsque
celle-ci est éclairée par le soleil. L’équation d’une caroïde en
coordonnées polaires est ρ = (1 + cos θ).
cône n.m. droit. Le cône de révolution est la surface engendrée
par la révolution d'une droite sécante à un axe, autour de cet axe;
c'est un cas particulier de cône elliptique.
cote n.f. La troisième coordonnée d’un point de l’espace.
97
coupe n.f. verticale. L’intersection d’un solide avec un plan
parallèle à l’axe vertical.
courbe n.f. fermée. Une courbe est fermée quand elle se replie
sur elle-même. Plus précisément, c'est un arc paramétré défini par
une fonction périodique.
découper v. Diviser en plusieurs parties ce qui a une continuité
dans l'espace ou le temps, ce qui constitue un ensemble concret ou
abstrait.
fonction n.f. continue par morceaux. On dit que la fonction 
est continue par morceaux sur  si  est continue sur  sauf en un
nombre fini de points de .
intégrale n.f. convergente. On dit que l’intégrale généralisée
est convergente sur [, ] si sa limite en un point de non définition
existe et est finie.
intégrale n.f. généralisée. Une extention de l’intégrale usuelle,
définie par une forme de passage à la limite des intégrales.
intégrale n.f. Soit :  → ℝ une fonction admettant une
primitive. Etant donnés ,  ∈ , on définit l’intégrale de  de  à 

par : ∫ ( ) = | =  () − () où  est une primitive de 
(cela ne dépend pas de la primitive utilisée).
primitive n.f. particulière. Soit :  → ℝ une fonction
admettant une primitive. Alors l’ensemble des primitives de cette
fonction  est { + ,  ∈ ℝ} où  est primitive particulière. On
note souvent ∫ ( )d une primitive de  (modulo une constante
additive).
primitive n.f. Soient  un intervalle de ℝ et une fonction
:  → ℝ. On dit qu’une fonction :  → ℝ est une primitive (ou
intégrale indéfinie) de  . de  si : 1)  est dérivable ; 2) pour tout
 ∈ ,  ′ () = ().
relation n.f. de Chasles. Une des propriétés de l’intégrale définie.
Soit :  → ℝ une fonction admettant une primitive. Alors :



∀, ,  ∈ , ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ).
98
section n.f. La figure déterminée par l'intersection d'un volume
par un plan, de deux volumes, ou de deux plans.
solide n.m. Une figure à trois dimensions, limitée par une
surface fermée et qui contient un volume mesurable.
solide n.m. de révolution. Un solide de révolution est engendré
par une surface plane fermée tournant autour d'un axe situé dans la
même plan qu'elle et ne possédant en commun avec elle aucun point
ou seulement des points de sa frontière.
sphère n.f. Une surface de révolution, engendrée par un cercle
tournant autour d'une droite passant par son centre.
surface n.f. Un être géométrique à deux dimensions qui peut
être considéré, soit comme l'ensemble des points limitant une
portion finie ou infinie de l'espace et jouissant d'une même propriété
définie, soit comme engendré par le déplacement d'une courbe dont
le mouvement satisfait à une loi déterminée.
surface n.f. spaciale. La surface d’un solide qui n’est pas
plane.
tranche n.f. Une section de certains objets, de certaines
choses. Une partie, une portion d’une chose qui est plus large que
haute.
volume n.m. d’un solide. Le volume est envisagé comme un
rapport physique caractérisant un corps, et que l'on peut déterminer
en divisant son poids par sa densité.
10 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
condition n.f. initiale. L'équation différentielle peut avoir une
condition initiale du type (0 ) = 0 avec 0 , 0 dans ℝ qui
déterminera une solution particulière de l'équation différentielle.
constante n.f. d’intégration. L’intégrale indéfinie est notée
comme suite : ∫ ()d = () + , avec  ′ () = (). La
constante  est appelée constante d’intégration, () est appelée
intégrande et  est la variable d’intégration.
99
équation n.f. complète. Une équation différentielle avec
second membre non nul.
équation n.f. différentielle à variables séparées. Une équation
différentielle d'ordre un à variables séparées est une équation
différentielle qui peut s'écrire sous la forme suivante :  ′ =
 ( ) ( ).
équation n.f. différentielle du premier ordre. Une équation qui
ne fait intervenir que la fonction  et sa dérivée première ′.
équation n.f. différentielle homogène du premier ordre est une
équation sans second membre:  ′ + ( ) = 0. Cet équation est à
variables séparables.
équation n.f. différentielle linéaire du premier ordre. Une
équation différentielle linéaire d’ordre 1 est de la forme :  ′ +
( ) = (). La fonction () est appelée le second membre de
l’équation.
équation n.f. différentielle. Une équation faisant intervenir une
fonction y ainsi que ses dérivées.
intégrer v. une équation différentielle. Dans ce cas le verbe
«intégrer» est le synonyme de «résoudre».
méthode n.f. de variation des constantes. Une méthode de
résolution des équations différentielles. Elle permet en particulier de
déterminer les solutions d’une équation différentielle avec second
membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (c'est-àdire sans second membre) associée.
polynôme n.m. caractéristique de l’équation différentielle
linéaires du second ordre à coefficients constants sans second
membre ′′ + ′ +  = 0 est le trinôme () =  2 +  + ,
où  est un réel.
problème n.m. de Cauchy. Le problème d’existence et
d’unicité de solution d’une équation différentielle vérifiant une
condition initiale.
solution n.f. générale. On appelle solution (ou intégrale)
générale d’une équation différentielle l’ensemble de toutes ses
100
solutions particulières.
solution n.f. particulière. On appelle solution particulière de
l’équation différentielle toute fonction  vérifiant cette équation.
solution n.f. singulière d’une équation à variables séparées.
Une solution telle que () est toujours nul.
11 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
aire n.f. Mesure de grandeur de certaines figures du plan ou de
surfaces en géométrie dans l'espace.
candidat n.m. Point critique d’une fonction, c’est-à-dire un
point qui vérifie les conditions nécessaires (conditions du premier
ordre) de l’existence d’un extrémum en ce point.
changement n.m. de variables. Méthode de simplication de
calculs des intégrales multiples.
contrainte n.f. Règles, conventions, conditions, sous lesquelles
on procède. Les contraintes peuvent prendre plusieurs formes
distinctes : celles d’équations ou d’inéquations etc.
contribution n.f. Part apportée à une œuvre commune. Intégrer
selon les contributions des bandes horizontales puis combiner les
contributions des bandes verticales est une méthode de calcul du
volume limité par une partie  du plan , le cylindre engendré
par une droite parallèle à  s’appuyant sur le contour de  et par la
surface  = (, ).
courbe n.f. de niveaux. La courbe de niveau  d’une fonction
 de deux variables (, ) → (, ), est l’ensemble des points du
plan (, ) qui vérifient l’équation (, ) = .
dérivée n.f. partielle. Soit une fonction (, ) de deux
variables réelles définie dans un voisinage de  = [, ] ; si la
fonction (, ) fonction de  seulement a une dérivée pour la
valeur  de , on la note ′ (, ) et on l’appelle dérivée partielle de
(, ) par rapport à  au point (, ). Si en tout point d’un
voisinage de , ′ (, ) existe, on définit ainsi une nouvelle
101
fonction, la dérivée partielle de (, ) par rapport à . On définit
de même la dérivée partielle par rapport à .
dérivées n.f. partielles croisées sont les dérivées mixtes
d’ordre égal ou supérieur à deux .
dérivées n.f. partielles d’ordre supérieur. Lorsque les deux
dérivées partielles d’une fonction  de deux variables existent en
tout point de son domaine de définition , et si les dérivées
partielles de ces fonctions existent, nous obtenons ce qu'on appelle
les dérivées partielles d’ordre deux. On peut définir de la même
façon les dérivées partielles d’ordre supérieur à deux.
différentielle n.f. partielle. Analogie avec la différentielle
d’une fonction d’une seul variable : d =  ′ ( )d. On peut définir
deux différentielles partielles associées à chacune des variables :


d =
d et d =
d.


différentielle n.f. totale. On appelle différentielle totale d’une
fonction de deux variables la somme des différentielles partielles.
domaine n.m. de définition d’une fonction de deux variables
est l’ensemble des couples de ℝ2 où la fonction  est définie.
domaine n.m. élémentaire (régulier). Une partie du domaine
de définition de l’intégrale double telle que chaque horizontale, ou
verticale, coupe la courbe () délimitat cette partie en deux points
au plus.
fonction n.f. de deux variables. Une fonction de deux variables
, qui associe à un couple de réels (, ) un réel, est définie de la
: ℝ2 → ℝ
façon suivante :
.
(, ) ↦ (, )
fonction n.f. de plusieurs variables. Une fonction dont
l’ensemble de départ  est une partie de ℝ .
intégrale n.f. multiple est une forme d’intégrale qui s’applique
aux fonctions de plusieurs variables réelles.
intégrale n.f. double est une forme d’intégrale qui s’applique
102
aux fonctions de deux variables.
intégrale n.f. triple est une forme d’intégrale qui s’applique
aux fonctions de trois variables.
intégrales n.f. successives. Succession de deux intégrales
simples pour calculer l’intégrale double : si  varie de  à  dans le
domaine d’intégration , on fixe  et on intègre (, ) de 1 () à
2 () ; le résultat ainsi obtenu est fonction de  et on peut intégrer
de  à .
intervertir v. l’ordre d’intégration. Renverser l’ordre des
intégrales simples dans une formule de calcul d’intégrales multiples.
itération n.f. d’intégrales. Succession de plusieurs intégrales
simples pour calculer l’intégrale multiple. Dans la plupart des cas
l’ordre d’intégration n’a pas d’influence sur le résultat.
Jacobien n.m. Relatif à la théorie mathématique de Jacobi.
Matrice jacobienne. Le symbole  = (, )⁄(, ) désignant le
déterminant jacobien des anciennes variables par rapport aux
nouvelles.
méthode n.f. de Lagrange. Méthode d’optimisation avec
contrainte d’une fonction de deux ou plusieurs variables.
optimisation n.f. avec contrainte. Optimisation (maximisation
ou minimisation) sous une ou plusieurs conditions qui prennent la
forme d’équation ou d’inéquation.
optimisation n.f. sans contrainte est l’action de maximisation
ou minimisation d’une fonction sans aucune condition.
optimisation n.f. d’une fonction de deux variables consiste à
trouver des optimum de cette fonction.
optimum n.m. ou extremum est soit un maximum soit un
minimum, la valeur la plus grande ou la plus petite que prend la
fonction sur son ensemble de définition ou tout sous-ensemble de
son ensemble de définition.
point n.m. selle. Point critique qui n’est ni point de maximum,
ni point de minimum d’une fonction.
repère n.m. cartésien. On appelle repère cartésien, un couple
103
de deux droites graduées. Le premier axe est appelé axe des
abscisses. Le deuxième axe est appelé axes des ordonnées. Ils se
coupent en l’origine du repère (i.e. le point origine de chaque axe).
représentation n.f. graphique. Dans un repère cartésien
(, ⃗, ⃗), on appelle représentation graphique de la fonction ,
l’ensemble des points de coordonnées (, ()). Dans le cas d’une
fonction de deux variables on a l’ensemble des points
((, ) ; (, )) dans le repère cartésien (, ⃗, ⃗, ⃗⃗).
théorème n.m. de Fubini. Théorème qui permet de définir de
façon cohérente l’intégrale double à partir des intégrales simples
successives. D’après ce théorème, on peut intervertir l’ordre
d’intégration en commençant par fixer n’importe quelle variable.
tridimentionnel (-elle) adj. Relatif à trois dimentions.
12 DÉNOMBREMENT
analyse n.m. combinatoire. Synonyme de la combinatoire.
arbre n.m. Graphe orienté, sans cycle et convexe.
arrangement n.m. Un arrangement de  éléments de  est un
-uple d’éléments distincts de . Deux arrangements diffèrent donc
soit par la nature de leurs éléments, soit par la manière dont ils sont
ordonnés.
boule n.f. 1. Objet sphérique. 2. Volume intérieurd’une sphère.
boules n.f. numérotées. Boules d’une série ordonnée
distinguées par un numéro.
cardinal n.m. Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre
d’éléments de cet ensemble.
carte n.f. bleue. Nom déposé d’une carte de crédit.
chemins n.m. de l’arbre. Les éléments d’un graphe appelés
arcs ou arêtes qui présentent les couples de ce graphe.
choix n.m. possible. Choix qu’on peut effectuer d’une manière
ou d’une autre.
104
combinaison n.f. En mathématiques, lorsque nous choisissons
 objets parmi  objets discernables (numérotés de 1 à ) et que
l’ordre dans lequel les objets sont placés (ou énumérés) n’a pas
d’importance, nous pouvons les représenter par un ensemble à 
éléments. Par exemple, quand nous tirons simultanément plusieurs
cartes dans un jeu de cartes, nous obtenons une main et la place des
cartes dans la main n’importe pas.
combinatoire n.f. Branche des mathématiques tendant à
dénombrer et à ordonner toutes les combinaisons possibles des
éléments constitutifs d’un ensemble.
couple n.m. Liste orientée de deux éléments (, ) (ne pas
confondre avec une paire {, }, liste non orientée), appartenant à
deux ensembles différents.
dénombrement n.m. Action de dénombrer; le résultat de cette
action.
dénombrer v. Déterminer le nombre des éléments d’un
ensemble en les comptant, en les énonçant un à un.
élément n.m. Être mathématique qui appartient à un ensemble.
éléments n.m. distincts. Éléments obtenus au cours d’un tirage
sans remise.
fabriquer v.t. une main. Tirer une main (au hasard).
face n.f. Le côté de pièce de monnaie opposée à la face portant,
en générale, la valeur de cette pièce.
fonction n.f. factorielle. 1. Le nombre  étant un entier naturel
non nul, factorielle , noté !, est le produit de tous les entiers
compris entre 1 et . Par convention, 0!=1. 2. Le nombre de
manières d'ordonner  éléments distincts.
jeu n.m. de hasard. Jeu où l’intelligence, le calcul n’ont
aucune part.
jouer v. à pile ou face. 1. Essayer de deviner quel côté
présentera une pièce en tombant après avoir été lancée en l’air.
2. Décider au hasard.
105
liste n.f. sans répétition. Liste dans laquelle il n’y a pas
d’éléments égaux ; tous les éléments de cette liste sont distincts.
liste n.f. des tirages. L’ensemble ordonné ou non de tous les
résultats d’un choix au hasard.
liste n.f. ordonnée. Liste dont les éléments sont classés,
disposés selon leur rang, hiérarchisés ; ensemble ordonné, muni
d’une relation d’ordre.
liste n.f. Suite continue, hiérarchisée ou non, de noms (de
personnes ou d'objets) ou de signes généralement présentés en
colonne.
liste n.f. exhaustive. Ensemble donné en extension. Liste qui
épuise tous les cas possibles.
main n.f. Tirage de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes.
permutation n.f. En mathématiques, la notion de permutation
exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une
permutation de  objets distincts rangés dans un certain ordre,
correspond à un changement de l'ordre de succession de ces 
objets.
pile n.f. Le côté de pièce de monnaie qui porte la figure.
possibilité n.f. Ressource, moyen dont on dispose.
probabilité n.f. Rapport du nombre des cas favorables au
nombre des cas possibles.
ranger v. les éléments. Remettre en ordre les termes d'un
ensemble, d’une liste.
tirage n.m. sans remise. Effectuer un tirage successif sans
remise de  jetons dans une urne qui en contient , c'est prendre un
1-er jeton, relever sa valeur, ne pas le reposer dans l'urne, prendre
un 2-e jeton, relever sa valeur, ne pas le reposer dans l'urne, etc.
jusqu'au -ième jeton. Cela revient à choisir  objets parmi  sans
répétition (on ne peut pas choisir plusieurs fois le même objet) et
avec ordre (l’ordre dans lequel on choisit les objets a de
l’importance).
106
tirage n.m. 1. Action de tirer, de prendre au hasard. 2. Action
de tirer un échantillon d’une population statistique.
tirage n.m. au hasard. Tirage au cours duquel chaque unité
possède les mêmes chances d’être tirée.
tirage n.m. avec remise. Un tirage successif de  jetons dans
une urne qui en contient , qui consiste à prendre un premier jeton,
relever sa valeur, le reposer dans l’urne, prendre un deuxième jeton,
relever sa valeur, le reposer dans l'urne, etc. jusqu’au -ième jeton.
Cela revient à choisir  objets parmi  avec répétition (on peut
choisir plusieurs fois le même objet) et avec ordre (l’ordre dans
lequel on choisit les objets a de l’importance).
tirage n.m. successif. Tirage des éléments l’un après l’autre. Il
y a deux types de tirages successifs, les tirages successifs avec
remise et les tirages successifs sans remise.
tirer v. à pile ou face. Tirer au sort un côté de pièce de
monnaie en la lançant en l’air.
tirer v.i. au sort. 1.Faire désigner par le hasard. 2. Prendre une
décision, effectuer un choix, en s’en remettant au sort (en lançant
une pièce en l’air)
tirer v.i. Prendre au hasard : tirer une carte ; tirer les numéros
d’une loterie.
urne n.f. (le modèle d’urnes). Le modéle considéré est
simplement une urne contenant des boules de couleurs différentes,
ainsi qu’une règle d’évolution : à chaque instant, on tire au hasard
une boule dans l’urne, et suivant sa couleur, on ajoute ou retire une
ou plusieurs boules de l’urne, pas nécessairement de la même
couleur.
13 PROBABILITÉ
aléa n.m. Chance, hasard favorable ou défavorable, dont
dépend la réussite ou l’échec de quelque chose ou de quelqu’un.
aléatoire adj. Ce qui est soumis à un aléa.
107
cardinal n.m. Un nombre cardinal est un objet mathématique
qui caractérise une classe d’ensembles équipotents. Pour un
ensemble fini il désigne le nombre de ses éléments.
dé n.m. parfaitement symétrique. Dé équilibré, dé non pipé.
dé n.m. non pipé. Dé équilibré, c’est-à-dire un dé dont les faces
ont la même chance d’apparalaître lors du jeu de dé. Piper signifie
falsifier, truquer.
dé n.m. Objet le plus souvent cubique dont les 6 faces sont
habituellement numérotées de 1 à 6 (et dont la somme des valeurs
des faces opposées est constante et égale à 7).
densité n.f. Soit  un intervalle de ℝ et  une fonction définie
sur . On dit que  est une densité de probabilité sur  si :
1.  est continue et positive sur  ; 2. ∫ ( )d = 1.
Remarque : Dans le cas où I n’est pas borné, Dans le cas où I
n’est pas borné, on admettra que cette intégrale existe et qu’elle
représente l’aire « sous la courbe » .
distribution n.f. de probabilité ou loi n.f. de probabilité.
Association à une variable aléatoire une probabilité. Les
distributions précisent comment se répartissent les probabilités
associées aux différentes valeurs que peut prendre une variable
aléatoire.
distribution n.f. uniforme continue. Lois de probabilité à
densité caractérisées par la propriété suivante : tous les intervalles
de même longueur inclus dans le support de la loi ont même
probabilité. Cela se traduit par le fait que la densité de probabilités
de ces lois est constante sur leur support.
distribution n.f. uniforme discrète. Une variable aléatoire qui
peut prendre  valeurs possibles 1 , 2 , … ,  , équiprobables, suit
une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur 
est égale à 1/.
épreuve n.f. (ou expérience) aléatoire est une expérience dont
le résultat relève du hasard.
épreuve n.f. de Bernoulli. Une expérience aléatoire qui ne
108
comporte que deux issues (par exemple "succès" et "échec").
espace n.m. probabilisé discret. Tout triplet (Ω,  (Ω), ) où Ω
est un ensemble fondamental dénombrable. On dit alors que  est
une mesure de probabilité discrète définie par une application  :
Ω → [0, 1] telle que ∑ω∈Ω (ω ) = 1.
espérance n.f. d’une loi continue. Soit  une variable aléatoire
continue associée à la densité , l’espérance mathématique de  est
le réel noté: (), défini par :  () = ∫ ()d.
espérance n.f. d’une loi discrète. Soit Ω l'univers associé à une
expérience aléatoire. On suppose Ω fini ; on note  le nombre
d’éléments de Ω ( entier naturel non nul). On suppose de plus que
les  issues 1 , 2 , … ,  sont des nombres réels et qu’une loi de
probabilité est définie sur Ω ; pour tout entier naturel  compris entre
1 et , on note  la probabilité de l'événement élémentaire { }.
L’espérance de la loi de probabilité est le nombre μ défini par :  =
∑=1   .
évènement n.m. composé. Un sous-ensemble de l’univers. Un
évènement composé des évènements élémentaires.
évènement n.m. élémentaire. Un évènement composé d’une
seule issue (ou d’un seul résultat). En théorie des probabilités, on
appelle événement élémentaire ou éventualité un sous-ensemble de
l’univers constitué d’un seul élément (autrement dit, un singleton).
évènement n.m. certain. Évènement qui correspond à la partie
pleine Ω de Ω. C’est celui qui est toujours réalisé.
évènement n.m. impossible. qui correspond à la partie vide ∅
de Ω. C’est celui qui n’est jamais réalisé.
évènements n.m. indépendants. Deux évènements sont appelés
indépendants si la réalisation de l’un de ces évènements n’influe pas
sur la probabilité de l’autre.
éventualité n.f. (issue n.f.). Un résultat d’une épreuve aléatoire
s’appelle une éventualité ou une issue.
fonction n.f. de répartition. Soit  une variable aléatoire
109
définie sur un univers Ω muni d’une loi de probabilité . On appelle
fonction de répartition de  la fonction  définie pour tout  ∈
ℝ par () = ( ≤ ).
fréquence n.f. En statistique, on appelle fréquence d’une
valeur le quotient obtenu en divisant l’effectif de cette valeur par
l’effectif total. Ce quotient est inférieur ou égal à 1 et est souvent
exprimé en pourcentage.
jeu n.m. de dés. Jeu qui se pratique avec les dés.
lancer n.m. d’un dé. Résultat du lancement d’un dé.
loi n.f. binomiale. Soit  ∈ ℕ et  un nombre réel tel que  ∈
[0; 1]. Soit  une épreuve de Bernoulli à deux issues  et (non )
de probabilités respectives p et  = 1 − . Pour tout entier naturel 
tel que 0 ≤  ≤ , la probabilité  que l’évènement  soit réalisé
exactement  fois à l’issue de  épreuves indépendantes  est

donnée par  = ( )  − pour tout entier  tel que 0 ≤  ≤ .

loi n.f. de Bernoulli. Soit  un nombre réel appartenant à [0;1].
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre  toute expérience
aléatoire n’admettant que deux issues  et (non) de probabilités
respectives  et  = 1 − . Soit Ω = {0; 1} l’univers associé à une
expérience aléatoire, et soit  un nombre réel appartenant à [0;1].
On appelle loi de Bernoulli de paramètre  la loi de probabilité
({1}) = 
définie sur Ω par : {
.
({0}) = 1 − 
loi n.f. de Poisson. On dit qu’une variable aléatoire
dénombrable , à valeurs dans ℕ suit une loi de Poisson de
paramètre  ( > 0), si et seulement si, pour tout entier naturel ,
 ( =  ) =

− 
e ! .
loi n.f. de probabilité. Soit Ω l’univers associé à une
expérience aléatoire. On suppose Ω fini ; on note n le nombre
d’éléments de Ω . Définir une loi de probabilité sur l’univers Ω, c’est
associer à chaque évènement élémentaire { } ( entier naturel
compris entre 1 et ) un nombre réel  positif ou nul de façon que :
110
∑=1  = 1. Le nombre  est appelé probabilité de l'évènement
élémentaire { }.
loi n.f. normale est l’une des lois de probabilité les plus
adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs
évènements aléatoires. Elle est également appelée loi gaussienne, loi
de Gauss ou loi de Laplace-Gauss. La courbe de la densité de cette
loi est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche. C'est la
représentation la plus connue de cette loi.
loi n.f. normale standard. La loi normale de moyenne nulle et
d'écart type unitaire est appelée loi normale centrée réduite ou loi
normale standard.
loi n.f. uniforme discrète. Si toute valeur de  est équiprobable
dans l’intervalle [, ], alors  suit une loi uniforme.
loi n.f. uniforme continue (ou rectangulaire). Une loi est
uniforme entre une valeur  et une valeur  lorsque la densité de
probabilité est toujours égale sur cet intervalle et nulle en-dehors.
L’histogramme ressemble donc à un unique rectangle. La fonction
de répartition montre un accroissement linéaire entre  et .
probabilité n.f. totale. La probabilité totale d’un évènement se
calcule en tenant compte que toutes les hypothèses incompatibles
deux à deux et conditionnant cette probabilité soient réalisées.
probabilités n.f. conditionnelles. Les probabilités qui prennent
en compte les informations concernant l’issue d'une expérience qui
modifient la probabilité des événements liés à cette expérience.
Deux évènements quelconques de probabilités non nulles,  et 
soient données, la probabilité conditionnelle de  se calcule comme
la probabilité de cet événement, sachant que l’évènement  est
réalisé.
théorème n.m. de Bayes. Pour tout  ⊂ ⋃  ,
ℙ(| )ℙ( )
.
ℙ()
Chaque terme du théorème de Bayes a une dénomination usuelle. Le
terme ℙ() est la probabilité a priori de . Elle est «antérieure» au
ℙ( |) =
111
sens qu’elle précède toute information sur . ℙ() est aussi appelée
la probabilité marginale de . Le terme ℙ(| ) est appelée la
probabilité a posteriori de  sachant  (ou encore de  sous
condition  ) . Elle est «postérieure», au sens qu’elle dépend
directement de  . Le terme ℙ( |), pour un  connus, est appelé
la fonction de vraisemblance de . De même, le terme ℙ( ) est
appelé la probabilité marginale ou a priori de  .
univers n.m. dénombrable. Un univers Ω est dit dénombrable
quand il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels ℕ, c'est-àdire qu'il existe une bijection de ℕ sur Ω. Cette définition est parfois
élargie aux univers finis.
univers n.m. L’ensemble de tout ce qui existe, régi par un
certain nombre de lois. En théorie des probabilités, c’est l’ensemble
des événements élémentaires de l’expérience.
univers n.m. discret. Un ensemble dont le cardinal est le même
que celui de l’ensemble des entiers naturels ou d’une partie de cet
ensemble. En d’autres mots, le nombre de ses éléments résultent
d’un dénombrement ou d’une numération.
variable n.f. aléatoire réelle à densité. Si la probabilité qu’une
variable aléatoire  appartienne à un intervalle peut s’écrire comme
l’intégrale d’une fonction  sur cet intervalle, on dira que cette
variable aléatoire admet la densité .
variable n.f. aléatoire. Une grandeur susceptible de prendre un
certain nombre de valeurs à chacune desquelles est attachée une
probabilité.
variance n.f. d’une loi discrète. Soit Ω l'univers associé à une
expérience aléatoire. On suppose Ω fini ; on note  le nombre
d’éléments de Ω ( entier naturel non nul). On suppose de plus que
les  issues 1 , 2 , … ,  sont des nombres réels et qu’une loi de
probabilité est définie sur Ω ; pour tout entier naturel  compris entre
1 et , on note  la probabilité de l'événement élémentaire { } et μ
l'espérance de la loi de probabilité. La variance de la loi de
probabilité est le nombre V défini par :  = ∑=1  ( − μ)2.
14 STATISTIQUE
112
aplatissement n.m. Action d'aplatir; état de ce qui est aplati.
Aplatir signifie se faire plat contre quelque chose. Une distribution
est plus ou moins aplatie selon que les fréquences des valeurs
voisines des valeurs centrales diffèrent peu ou beaucoup les une par
rapport aux autres.
centiles n.m. Les centiles sont obtenus lorsqu'on a cumulé 1; 2;
... ; 99 pourcent de la population. notion de déciles et de centiles n’a
de sens que s’il y a beaucoup d’observations et donc essentiellement
pour une variable classée.
coeffcient n.m. de variation. C'est un coeffcient qui permet de
relativiser l'écart-type en fonction de la taille des valeurs. Il permet
ainsi de comparer la dispersion de séries de mesures exprimées dans
des unités différentes.
coefficient n.m. d’aplatissement (kurtosis) permet de mesurer
le relief ou la platitude d’une courbe issue d’une distribution de
fréquences. En d’autres termes, le coefficient d’aplatissement
permet de mesurer le degré de concentration des observations dans
les queues de la courbe.
coefficient n.m. d’asymétrie sert à mesurer l’asymétrie d’une
distribution. Il est basé sur la notion de moment de la distribution.
Ce coefficient appartient aux mesures d’asymétrie.
déciles n.m. Les déciles sont obtenus lorsqu'on a cumulé 10;
20; ... ; 90 pourcent de la population.
dispersion n.f. statistique. On appelle dispersion statistique, la
tendance qu’ont les valeurs de la distribution d’un caractère à
s’étaler, à se disperser les unes par rapport aux autres ou de part et
d’autre d’une valeur centrale. On distingue la dispersion absolue
(mesurée dans l’unité de mesure du carctère) et la dispersion relative
(mesurée par un nombre sans dimension).
distribution n.f. étalée à droite (à gauche) signifie que la
courbe de distribution est étirée à droite (à gauche).
distribution n.f. symétrique. Une série a une distribution
symétrique si ses valeurs sont également dispersées de part et d'autre
113
de la valeur centrale, c'est-à-dire si le graphe de la distribution histogramme ou diagramme en bâton en fréquences - admet une axe
de symétrie.
écart n.m. interquartile. La différence entre le troisième et le
premier quartile.
écart n.m. type. Racine carrée de la variance d’une variable
aléatoire ou d’une distribution statistique. (Synonyme : écart
quadratique moyen). Il rend compte de la dispersion des
distributions dites normales, représentées par une courbe de Gauss,
qui sont les plus fréquentes. Il joue un rôle important dans la théorie
des erreurs.
étendue n.f. La différence entre la plus grande et la plus petite
observation.
kurtosis n.m. est le synonyme de coefficient d’aplatissement.
leptokurtique adj. Un coefficient de Fisher positif traduit une
distribution leptokurtique (distribution qui s’élève assez haut puis
retombe assez brutalement). La concentration des valeurs de la série
autour de la moyenne est forte : la distribution n’est pas aplatie.
médiane n.f. Les valeurs étant rangées par ordre croissant,
c’est la valeur de la variable qui sépare les observations en deux
groupes d’effectifs égaux.
mésokurtique adj. Un coefficient de Fisher égal à 0 traduit
une distribution mésokurtique (distribution normale).
mode n.m. ou valeur n.f. dominante désigne la valeur la plus
représentée d’une variable quelconque dans une population d’objets,
de personnes, de choses.
moyenne n.f. Une mesure statistique caractérisant les éléments
d’un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu’aurait
chacun des membres de l’ensemble s’ils étaient tous identiques sans
changer la dimension globale de l’ensemble.
oblicité n.f. Relation de position entre deux droites ou deux
plans, ou une droite, ou un plan qui ne sont ni perpendiculaires, ni
parallèles.
114
paramètres n.m. de position (mode, médiane, moyenne). Les
paramètres de position (ou valeurs centrales) sont des valeurs
numériques qui « résument » une série statistique en caractérisant
l’ordre de grandeur des observations. Les paramètres de position
permettent de situer la position de plusieurs séries comparables.
Lorsque la distribution est parfaitement symétrique, mode, moyenne
et médiane sont confondues.
paramètres n.m. de dispersion absolue indiquent de combien
les valeurs d’une distribution s’écartent en général de la valeur
centrale de référence. Un paramètre de dispersion absolue s’exprime
toujours dans l’unité de mesure de la variable considérée. Les quatre
paramètres de dispersion absolue les plus courants sont l’étendue,
l’intervalle interquantiles, l’'écart absolu moyen et l’écart type.
paramètres n.m. de forme. Un paramètre d’une loi de
probabilité qui n’est ni un paramètre de position ni un paramètre
d’échelle. Un tel paramètre régit uniquement la forme de la
distribution.
paramètres n.m. d'échelle est un paramètre qui régit
l’aplatissement d’une famille paramétrique de lois de probabilités. Il
s’agit principalement d’un facteur multiplicatif.
platykurtique adj. Un coefficient de Fisher négatif traduit une
distribution platikurtique (distribution à «queues épaisses» ). La
concentration des valeurs autour de la moyenne est faible : la
distribution est aplatie.
quantiles n.m. (quartiles, déciles, centiles). Ce sont des
caractéristiques de position.
quartiles n.m. La détermination de ces caractéristiques est
identique à celle de la médiane. Les quartiles sont obtenus lorsqu’on
a cumulé 25; 50; 75 pourcent de la population.
statistique n.f. 1. Branche des mathématiques ayant pour objet
l’analyse (généralement non exhaustive) et l’interprétation de
données quantifiables. 2. Recueil de données numériques concernant
des faits économiques et sociaux. 3. Étude méthodique des faits
économiques et sociaux par des classements, des inventaires
115
chiffrés, des recensements, etc.
statistique n.f. descriptive. Ensemble des méthodes utilisables
pour mettre en valeur les caractéristiques extérieures d’une série de
chiffres.
statistique n.f. mathématique. Ensemble des raisonnements,
théorèmes et méthodes utilisables pour le traitement et l’analyse de
données chiffrées.
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TEXTES MATHÉMATIQUES
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1 LOGIQUE
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1. Assertions
2. Quantificateurs
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Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue
française est souvent ambiguë. Prenons l’exemple de la disjonction
«ou» ; au restaurant «fromage ou dessert» signifie l’un ou l’autre,
mais pas les deux. Par contre, si dans un jeu de carte (465) on cherche
«les as ou les cœurs» alors il ne faut pas exclure l’as de cœur. Autre
exemple : que répondre à la question «As-tu 10 euros en poche?» si
l’on dispose de 15 euros ?
Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par
exemple la continuité d’une fonction (125, 126) est souvent expliquée
par «on trace le graphe (414) sans lever le crayon». Il est clair que
c’est une définition (157) peu satisfaisante (163). Voici la définition
mathématique (162) de la continuité d’une fonction  :    en un
point (587) 0 ∈ :
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀ ∈  (| − 0 | < δ ⟹ |( ) − (0 )| < ε).
C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C’est
la logique. Enfin les mathématiques tentent de distinguer le vrai du
faux (312). Par exemple «Est-ce qu’une augmentation de 20%, puis de
30% est plus intéressante qu’une augmentation de 50% ?». Vous
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pouvez penser «oui» ou «non», mais pour en être sûr il faut suivre une
démarche logique (169) qui mène à la conclusion. Cette démarche
(168) doit être convaincante (170) pour vous mais aussi pour les
autres. On parle du raisonnement. Les mathématiques sont un
language pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes
complexes, qui rend les calculs exacts et véritables. Le raisonnement
(659) est le moyen de valider – ou d’infirmer – une hypothèse (421)
de l’expliquer à autrui.
1. Assertions
Une assertion (38) est une phrase soit vraie (40), soit fausse (39),
pas les deux en même temps. Exemples :






«Il pleut».
«Je suis plus grand que toi».
«2 + 2 = 4».
«2  3 = 7».
«Pour tout  ∈ ℤ on a 2 ≥ 0».
«Pour tout  ∈ ℂ, on a | | = 1».
Si  est une assertion et  est une autre assertion, nous allons
définir de nouvelles assertions construites à partir de  et .
1.1) L’opérateur (536) logique «et» (conjonction)
L’assertion « et » est vraie si  est vraie et  est vraie.
L’assertion « et » est fausse sinon. On résume ceci dans la table
(751) de vérité :
∖  

 

 
Figure (313) 1.1 – Table de vérité de « et »
Par exemple si  est l’assertion «Cette carte (71) est un as» (73)
et  l’assertion «Cette carte est un cœur» alors l’assertion « et » est
vraie si la carte est l’as de cœur et est fausse pour toute autre carte.
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1.2) L’opérateur logique «ou» (disjonction) (195)
L’assertion « ou » et vraie si l’une des deux assertions  ou 
est vraie. L’assertion « ou » est fausse si les deux assertions  et 
sont fausses.
On reprend ceci dans la table de vérité :
∖


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Figure 1.2 – Table de vérité de « ou »
Si  est l’assertion «Cette carte est un as» et  l’assertion «Cette
carte est un cœur» alors l’assertion « ou » est vraie si la carte est un
as ou bien un cœur (en particulier elle est vraie pour l’as de cœur).
Remarque. Pour définir les opérateurs «ou», «et» on fait appel à
une phrase en français utilisant les mots «ou» et «et». Les tables de
vérité permettent d’éviter ce problème.
1.3) La négation «non» (525)
L’assertion «non » est vraie si  est fausse, et fausse si  est
vraie.

 
non   
Figure 1.3 – Table de vérité de «non »
20
1.4) L’implication « ⇒»
La définition mathématique de l’implication (427) est l’assertion
«(non ) ou ». Elle est notée par « ⇒ ». Sa table de vérité est
donc suivante:
∖  

 

 
21
Figure 1.4 – Table de vérité de « ⇒ »
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L’assertion « ⇒ » se lit en français « implique ». Elle se lit
souvent aussi «Si  est vraie alors  est vraie» ou «Si  alors ». Par
exemple :
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 «0 ≤  ≤ 25 ⇒ √» est vraie (c’est la racine carrée).
 « ∈ ]1; +∞[ ⇒  2 + 3 − 4 > 0» est vraie (étudier le signe
du trinôme).
 «(sin(θ) = 0) ⇒ (θ = 0)» est fausse (regarder pour   2 ,
par exemple).
 «2 + 2 = 5 ⇒ √2 = 2» est vraie ! Eh oui, si  est fausse,
alors l’assertion « ⇒ » est toujours vraie.
1.5) L’équivalence «⇔»
L’équivalence (285) est définie par :
« ⇔ » est l’assertion « ⇒ » et « ⇒ »
On dira « est équivalent à » ou « équivaut à » ou «P si et
seulement si ». Cette assertion est vraie lorsque  et  sont vraies ou
lorsque  et  sont fausses. La table de vérité est :
∖


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Figure 1.5 – Table de vérité de « ⇔ »
Exemples
 Pour ,  ′ ∈ ℝ, l’équivalence «  ⋅  ′ = 0 ⇔ ( = 0 ou  ′ =
0)» est vraie.
 Voici une équivalence toujours fausse (quelle que soit
l’assertion ) : « ⇔ non ()».
On s’intéresse davantage aux assertions vraies qu’aux fausses.
Aussi dans la pratique écrira-t-on « ⇔ » ou « ⇔ » uniquement
lorsque ce sont des assertions vraies. Par exemple, si l’on écrit « ⇔
» cela sous-entend « ⇔  est vraie».
Attention : rien ne dit que  et  soient vraies. Cela signifie que
 et  sont vraies en même temps ou fausses en même temps.
Proposition
Soient , ,  trois assertions. Nous avons les équivalences
(vraies) suivantes :
1.  ⇔ non (non ()) ;
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2. ( et ) ⇔ ( et ) ;
3. ( ou ) ⇔ ( ou ) ;
4. non ( et ) ⇔ (non ) ou (non ) ;
5. non ( ou ) ⇔ (non ) et (non ) ;
6. ( ou ( et ) ⇔ ( ou ) et ( ou ) ;
7. ( et ( ou ) ⇔ ( et ) ou ( et ) ;
8. ( ⇒ ) ⇔ (non () ⇒ non ()).
Démonstration
Voici des exemples de démonstration.
Point 4 (606). Il suffit de comparer deux assertions : «non
( et Q)» et «(non ) ou (non )» pour toutes les valeurs possibles de
 et . Par exemple si  est vraie et  est vraie alors « et » est
vraie, donc «non ( et )» est faux ; d’autre part, si (non ) est faux,
(non ) est faux, donc «(non ) ou (non )» est faux. Ainsi, dans ce
premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse les
deux tables de vérité, et comme elles sont égales, les deux assertions
sont équivalentes.
Point 8. Par définition, l’implication « ⇒ » est l’assertion
«(non ) ou ». Donc, l’implication «non () ⇒ non ()» est
équivalente (286) à «non (non ()) ou non ()» qui équivaut encore à
« ou non ()» qui signifie à son tour «P ⇒ Q».
2. Quantificateurs (646)
2.1) Le quantificateur universel  (647): «pour tout»
Une assertion  peut dépendre d’un paramètre  (553). Par
exemple l’assertion « 2 ≥ 1» est vraie ou fausse selon la valeur de .
L’assertion «∀ ∈  ()» est une assertion vraie lorsque pour tous
les éléments de  de  les assertions () sont vraies :
 «∀ ∈ [1, +∞[ ( 2 ≥ 1)» est une assertion vraie ;
 «∀ ∈ ℝ ( 2 ≥ 1)» est une assertion fausse ;
 «∀ ∈ ℕ (( + 1) est divisible par 2» est vraie.
2.2) Le quantificateur d’existence  (648): «il existe»
L’assertion ∃ ∈  () est une assertion vraie lorsque l’on
peut trouver au moins un  de E pour lequel () est vraie. On lit : «il
existe  appartenant à  tel que () soit vraie». Par exemple :
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 «∃ ∈ ℝ (( − 1) < 0)» est vraie (par exemple  = 0,5
vérifie bien la propriété) ;
 «∃ ∈ ℕ (2 −  > )» est vraie (il y a plein de choix, par
exemple  = 3 convient, mais aussi  = 10 ou même  = 100, un
seul suffit pour dire que l’assertion est vraie) ;
 «∃ ∈ ℝ ( 2 = −1)» est fausse (aucun réel au carré ne
donnera un nombre négatif).
2.3) La négation des quantificateurs
La négation de «∀ ∈  ()» est «∃ ∈  non ()». Par
exemple la négation de l’assertion (526) «∀ ∈ [1, +∞[ ( 2 ≥ 1)» est
l’assertion «∃ ∈ [1, +∞[ ( 2 < 1)». En effet, la négation de ( 2 ≥
1) est (non ( 2 ≥ 1)), mais s’écrit simplement  2 < 1.
La négation de «∃ ∈  ( )» est «∀ ∈  non ( )».
Exemples
 La négation de «∃ ∈ ℂ ( 2 +  + 1) = 0» est l’assertion
«∀ ∈ ℂ ( 2 +  + 1) ≠ 0».
 La négation de l’assertion «∀ ∈ ℝ ( + 1) ∈ ℤ» est
l’assertion «∃ ∈ ℝ ( + 1) ∉ ℤ».
Remarques
1) L’ordre des quantificateurs est très important. Par exemple,
deux phrases logiques :
∀∈ ℝ ∃ ∈ ℝ ( +  > 0)
et
∃ ∈ ℝ ∀ ∈ ℝ ( +  > 0)
sont différentes. La première est vraie, la seconde est fausse. En effet,
une phrase logique se lit de gauche à droite ; ainsi la première phrase
affirme «Pour tout réel , il existe un réel  (qui peut donc dépendre
de ) tel que  +  > 0» (par exemple, on peut prendre  =  + 1).
C’est donc une phrase vraie. Par contre, la deuxième se lit : «Il existe
un réel , tel que pour tout réel ,  +  > 0». Cette phrase est
fausse, cela ne peut pas être le même  qui convient pour tous les  !
2) On retrouve la même différence dans les phrases suivantes.
Voici une phrase vraie : «Pour toute personne, il existe un numéro de
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téléphone». Bien sûr, le numéro dépend d’une personne. Par contre,
cette phrase est fausse : «Il existe un numéro pour toutes les
personnes». Ce serait le même numéro pour tout le monde!
Terminons avec d’autres remarques.
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 Quand on écrit «∃ ∈ ℝ (( ) = 0)» cela signifie qu’il
existe un réel pour lequel  s’annule. Rien ne dit que ce  est unique.
Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi : «Il existe au
moins un réel  tel que ( ) = 0». Afin de préciser que  s’annule en
une unique valeur on rajoute un point d’exclamation : ∃!  ∈
ℝ (( ) = 0).
 Pour la négation d’une phrase logique, il n’est pas nécessaire
de savoir si la phrase est fausse ou vraie. Le procédé est
algorithmique: on change le «pour tout» en «il existe» et inversement,
puis on prend la négation de l’assertion .
 Pour la négation d’une proposition, il faut être précis : la
négation de l’inégalité stricte «<» est l’inégalité large «≥», et
inversement.
 Les quantificateurs ne sont pas des abréviations. Soit vous
écrivez une phrase en français :
«Pour tout réel , si () = 1 alors  ≥ 0»,
soit vous écrivez la phrase logique :
∀ ∈ ℝ (( ) = 1) ⇒  ≥ 0
Mais surtout n’écrivez pas : «∀ réel, si ( ) = 1 ⇒  positif ou
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nul».
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 Enfin, pour passer d’une ligne à l’autre d’un raisonnement,
préférez plutôt «donc» à «⇒».
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(Source :
Arnaud Bodin, Benjamin Boutin, Pascal Romon. Logique et raisonnement. –pp.1-6. –
URL : http://exo7.emath.fr/prof.html)
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2 RAISONNEMENTS
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1. Raisonnement direct
2. Cas par cas
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Contraposée
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Contre-exemple
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1. Raisonnement direct (660)
On veut montrer que l’assertion « ⇒ » est vraie. On suppose
que  est vraie et on montre qu’alors  est vraie. C’est la méthode
(510) à laquelle vous êtes le plus habitué.
Exemple 1. Montrer que si ,  ∈ ℚ alors  +  ∈ ℚ.
Démonstration. Prenons  ∈ ℚ et  ∈ ℚ. Rappelons que les
nombres rationnels sont l’ensemble ℚ des réels (267) s’écrivant /
avec  ∈ ℤ et  ∈ ℕ∗ . Alors  = ⁄ pour un certain  ∈ ℤ et  ∈
ℕ∗ . De même  = ′⁄′ avec ′ ∈ ℤ et ′ ∈ ℕ∗ .
Maintenant :  +  = / + ′/′ = (′ + ′ )⁄′.
Or le numérateur ′ + ′ est bien un élément (243) de ℤ ; le
dénominateur ′ est un élément de ℕ∗ . Donc a  b s’écrit bien de la
forme  +  = ′′⁄′′ avec ′′ ∈ ℤ et ′′ ∈ ℕ∗ .
Ainsi  +  ∈ ℚ.
2. Cas par cas (511)
Si l’on souhaite vérifier une assertion  () pour tous les  d’un
ensemble  on montre l’assertion pour tous les  dans une partie  de
, puis pour les  n’appartenant pas à . C’est la méthode de
disjonction ou du cas par cas (511).
Exemple 2. Montrer que ∀ ∈ ℝ | − 1| ≤  2 −  + 1.
Démonstration. Soit  ∈ ℝ. Nous distinguons deux cas.
Premier cas :  ≥ 1 Alors | x  1|  x  1.
Calculons  2 −  + 1 − | − 1|:
 2 −  + 1 − | − 1| =  2 −  + 1 − ( − 1) =  2 − 2 + 2 =
( − 1)2 + 1 ≥ 0.
Ainsi  2 −  + 1 − | − 1| ≥ 0 et donc  2 −  + 1 ≥ | − 1|.
Deuxième cas : x  1. Alors | x  1|   ( x  1) .
Nous obtenons :  2 −  + 1 − | − 1| =  2 −  + 1 + ( − 1) ≥ 0
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et donc  2 −  + 1 ≥ | − 1|.
Conclusion (108) : dans tous les cas  2 −  + 1 ≥ | − 1|.
3. Contraposée
Le raisonnement par contraposition (661) est basé sur
l’équivalence: l’assertion « ⇒ » est équivalente à «non() ⇒ non
()». Donc si l’on souhaite montrer l’assertion « ⇒ », on montre
en fait que si «non() ⇒ non ()» est vraie.
Exemple 3. Soit  ∈ ℕ. Montrer que si 2 est pair alors  est
aussi pair.
Démonstration. Nous supposons que  n’est pas pair. Nous
voulons montrer qu’alors 2 n’est pas pair. Comme  n’est pas pair,
il est impair et donc il existe  ∈ ℕ tel que  = 2 + 1. Or 2 =
(2 + 1)2 = 4 2 + 4 + 1 =  + 1 avec  2 + 2 donc 2 est impair.
Par contraposition ceci est équivalent à : si 2 est pair alors  est pair.
4. Absurde
Le raisonnement par l’absurde (662) pour montrer « ⇒ »
repose sur le principe suivant : on suppose à la fois que  est vraie et
 est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi si  est vraie alors
 doit être vraie et donc « ⇒ » est vraie.
Exemple 4.
Soient
Montrer
que
si
a, b  0 .
⁄(1 + ) = ⁄(1 + ) alors  = .
Démonstration. Nous raisonnons par l’absurde en supposant que
⁄(1 + ) = ⁄(1 + ) et   .
Comme ⁄(1 + ) = ⁄(1 + ) alors a (1  a)  b (1  b) donc
 + 2 =  +  2 d’où 2 −  2 =  − . Cela conduit à
(a  b) (a  b)   (a  b) . Comme    alors a  b  0 et donc en
divisant par  −  on obtient  =  = −1. La somme de deux
nombres positifs ne peut pas être négative. Nous obtenons une
contradiction.
Conclusion : si ⁄(1 + ) = ⁄(1 + ) alors  =  (109).
Dans la pratique, on peut choisir indifféremment entre un
raisonnement par contraposition ou par l’absurde. Attention cependant
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de bien écrire quel type de raisonnement vous choisissez et surtout de
ne pas changer en cours de rédaction.
5. Contre-exemple
Si on veut montrer qu’une assertion du type «∀ ∈  ()» est
vraie il faut montrer que () est vraie pour chaque  de . Par contre
pour montrer que cette assertion est fausse alors il suffit de trouver
 ∈  tel que P (x) soit fausse.
Trouver un tel  c’est trouver un contre-exemple à l’assertion
∀ ∈  ().
Exemple 5. Montrer que l’assertion suivante est fausse : «Tout
entier positif est une somme de trois carrés». (Les carrés sont
02 , 12 , 22 , 32 , . .. ).
Démonstration. Un contre-exemple est 7 : les carrés inférieurs à
7 sont 0, 1 et 4 mais avec ces trois nombres on ne peut pas faire 7.
32
6. Récurrence
Le principe de récurrence permet de montrer qu’une assertion
(), dépendant de , est vraie pour tout  ∈ ℕ. La démonstration
par récurrence se déroule en trois étapes : lors de l’initialisation on
prouve (0). Pour l’étape d’hérédité, on suppose   0 donné avec
P(n) vraie, et on démontre alors que l’assertion ( + 1) au rang
suivant est vraie. Enfin dans la conclusion, on rappelle que par le
principe de récurrence () est vraie pour tout  ∈ ℕ.
Exemple 6. Montrer que pour tout  ∈ ℕ, 2 > .
Démonstration. Pour   0, notons () l’assertion suivante :

2 > . Nous allons démontrer par récurrence que () est vraie pour
tout   0. Initialisation. Pour  = 0 nous avons 20 = 1 > 0. Donc
(0) est vraie. Hérédité. Fixons  ≥ 0. Supposons que () soit
vraie. Nous allons montrer que ( + 1) est vraie :
2 +1 = 2 + 2 >  + 2 (car par P(n) nous savons 2 >
) ; mais  + 2 > n + 1, car 2 ≥ 1. Donc ( + 1) est vraie.
Conclusion. Par le principe de récurrence () est vraie pour
tout  ≥ 0, c’est-à-dire 2 >  pour tout  ≥ 0.
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(Source :
Arnaud Bodin, Benjamin Boutin, Pascal Romon. Logique et raisonnement. –
pp.6-8. – URL : http://exo7.emath.fr/prof.html)
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3 ENSEMBLES ET APPLICATIONS
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8.
Définir des ensembles (272)
Inclusion, union, intersection, complémentaire
Produit cartésien (638)
Applications
Image directe, image réciproque (422, 423, 424)
Antécédents
Injection, surgection
Bijection
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1. Définir des ensembles
On va définir informellement ce qu’est un ensemble (248) : un
ensemble est une collection d’éléments.
Exemples :{0, 1}, {rouge, noir}, {0, 1, 2, 3, . . . } = ℕ.
Un ensemble particulier (271) est l’ensemble vide, noté  qui
est l’ensemble ne contenant aucun élément.
On note  ∈  si  est un élément de  et  ∉  dans le cas
contraire.
Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection
d’éléments qui vérifient une propriété.
Exemples : { ℂ |  5 = 1} ; { ∈ ℝ | | − 2| < 1};
{ ∈ ℝ | 0 ≤  ≤ 1}.
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2. Inclusion (429), réunion, intersection, complémentaire
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L’inclusion.  ⊂  si tout élément de  est un élément de . On
dit alors que  est un sous-ensemble de  ou une partie de .
L’égalité.  =  si et seulement si  ⊂  et  ⊂ .
L’ensemble des parties de E. On note () l’ensemble des
parties de . Par exemple si  = {1, 2, 3} :
 ({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Le complémentaire. Si  ⊂ , ∁  = { ∈  |  ∉ }.
On le note aussi  \  et juste ∁ s’il n’y a pas d’ambiguïté (et
parfois aussi  ou ̅ ).
L’union (la réunion). Pour A,B  E,
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   = {  |  ou  }
Le «ou» n’est pas exclusif: x peut appartenir à A et à B même
temps.
L’intersection. Pour A,B  E,
   = {  |  et  }
3. Produit cartésien
Soient E et F deux ensembles. Le produit cartésien, noté   
est l’ensemble des couples (260) (, ) où   et   .
Exemples.
1. Vous connaissez ℝ2 = ℝ  ℝ = {(, ) | ,   ℝ}.
2. Un autre exemple : [0, 1]  ℝ = {(, ) | 0    1,   ℝ}.
3. [0, 1]  [0, 1]  [0, 1] = {(, , ) | 0  , ,   1}.
4. Applications
Une application (26) (ou une fonction) f : E  F, c’est la donnée
pour chaque élément x  E d’un unique élément de F noté f (x).
Nous représentons les applications par deux types
d’illustrations : les ensembles «patates», l’ensemble de départ (et celui
d’arrivée) est schématisé par un ovale, ses éléments par des points.
L’association x  f (x) est représentée par une flèche.
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L’autre représentation est celle des fonctions continues de ℝ
dans ℝ (ou des sous-ensembles de ℝ). L’ensemble de départ ℝ est
représenté par l’axe (42) des abscisses (43) celui d’arrivée par l’axe
des ordonnées (44).
L’association x  f (x) est représentée par le point (x, f (x)).
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L’égalité. Deux applications f, g : E  F sont égales si et
seulement si pour tout x  E, f (x) = g (x). On la note alors f = g.
Le graphe de f : E  F est :
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Г = {(, ( )) ∈  × | ∈ }
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La composition. Soient  :    et  :   .
Alors  ∘ :  →  est l’application définie par :
 ∘ ( ) = (( ))
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5. Image directe, image réciproque
Définition 1. Soit  ⊂  et  :   , l’image directe de  par
 est l’ensemble () = { () |   }.
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Définition 2. Soit    et  :   . L’image réciproque de 
par  est l’ensemble  −1 () = { ∈  | ( ) ∈ }.
Remarque. Ces notions sont plus difficiles à maîtriser qu’il n’y
paraît !
 () est un sous-ensemble de ,  −1 () est un sousensemble de .
 La notation (532) « −1 ()» est un tout, rien ne dit que  est
une fonction bijective (voir plus loin). L’image réciproque existe
quelle que soit la fonction.
 L’image directe d’un singleton (692) ({ }) = {()} est un
singleton. Par contre, l’image réciproque d’un singleton  −1 ({})
dépend de f. Cela peut être un singleton, un ensemble à plusieurs
éléments ; mais cela peut être E tout entier (si f est une fonction
constante) (316) ou même l’ensemble vide (257) (si aucune image par
 (425) n’est pas égale à ).
6. Antécédents
Fixons  ∈ . Tout élément  ∈  tel que ( ) =  est un
antécédent (21) de . En termes d’image réciproque l’ensemble des
antécédents (259) de  est  −1 ({}).
Sur les dessins suivants, l’élément  admet trois antécédents par
. Ce sont 1 , 2 et 3 .
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7. Injection, surjection
Soit E, F deux ensembles et :  →  une application.
Définition 3.  est injective (28) si pour tout , ′ ∈  si ( ) =
( ′ ) alors  = ′ :
∀ ,  ′ ∈  (( ) = ( ′ ) ⇒  =  ′ ).
Définition 4. f est surjective (29) si pour tout  , il existe  
tel que  = () :
       ( = ( )).
Une autre formulation : f est surjective ssi ( ) = .
Les applications f représentées sont injectives :
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Les applications f représentées sont surjectives :
Remarque. Encore une fois ce sont des notions difficiles à
appréhender. Une autre façon de formuler l’injectivité et la surjectivité
est d’utiliser les antécédents :
-  est injective si et seulement si tout élément  de  a au plus
un antécédent (et éventuellement aucun).
-  est surjective si et seulement si tout élément y de  a au
moins un antécédent.
Remarque. Voici deux fonctions non injectives :
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Ainsi que deux fonctions non surjectives :
Exemples
1. Soit 1 : ℕ  ℚ définie par 1 ( ) = 1⁄(1 + ). Montrons
que 1 est injective. Soit , 1  ℕ tels que 1 () = 1 ( ′ ). Alors
1⁄(1 +  ) = 1⁄(1 + ′) , donc 1 +  = 1 + ′ et  = ′. Ainsi 1 est
injective. Par contre, 1 n’est pas surjective. Il s’agit de trouver un
élément  qui n’a pas d’antécédent par 1 . Ici il est facile de voir que
l’on a toujours 1 () ≤ 1 et donc par exemple  = 2 n’a pas
d’antécédent. Ainsi 1 n’est pas surjective.
2. Soit 2 : ℤ ℕ définie par 2 ( ) =  2 . Alors 2 n’est pas
injective. En effet, on peut trouver deux éléments ,  ′  ℤ différents
tels que 2 () = 2 ( ′ ). Il suffit de prendre par exemple  = 2,  ′ =
−2. De plus, 2 n’est pas non plus surjective. En effet, il existe des
éléments   ℕ qui n’ont aucun antécédent. Par exemple,  = 3 : si
 = 3 avait un antécédent  par 2 , nous aurions 2 ( ) = , c’est-àdire  2 = 3, ou  = ±√3. Mais alors  n’est pas un entier de ℤ. Donc
 = 3 n’a pas d’antécédent et 2 n’est pas surjective.
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8. Bijection
Définition 5.  est bijective (27) si elle est injective et surjective.
Cela équivaut à : pour tout    il existe un unique    tel que  =
(). Autrement dit : ∀ ∈  ∃!   ( = ( )).
L’existence de  vient de la surjectivité et l’unicité de
l’injectivité. Autrement dit, tout élément de  a un unique antécédent
par f (22).
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Propositions
Soit E, F deux ensembles et :  →  une application.
1. L’application f est bijective si et seulement si il existe une
application  :   telle que  ∘  =  et  ∘  =  .
2. Si  est bijective alors l’application  est unique et elle aussi
est bijective. L’application  s’appelle bijection réciproque de  et
notée  −1 . De plus, ( −1 )−1 = .
Remarques
  ∘  =  se reformule ainsi : ∀  ∈  (()) = .
  ∘  =  s’écrit : ∀  ∈  (( )) = .
Par exemple : ℝ → ]0, +∞[ définie par ( ) = exp() est
bijective, sa bijection réciproque est g : ]0, +∞[ → ℝ définie par
() = ln(). Nous avons bien exp(ln()) =  pour tout ]0, +∞[
et ln(exp( )) =  pour tout   ℝ.
Démonstration de la proposition 1.
– Sens ⇒. Supposons  bijective. Nous allons construire une
application (30) :  → . Comme  est surjective, alors pour chaque
  , il existe un    tel que  = () et on pose () = . On a
(() = ( ) = , ceci pour tout    et donc  ∘  =  . On
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compose cette égalité à droite avec  , donc  ∘  ∘  =  ∘ .
Alors pour tout    on a ( ∘ ( )) = (), or  est injective et
donc  ∘ ( ) = . Ainsi  ∘  =  .
Bilan :  ∘  =  et  ∘  =  .
– Sens ⇐. Supposons que  existe et montrons que  est
bijective.
a)  est surjective. En effet, soit   , alors on note  =
()   ; on a: ( ) = (() =  ∘ () =  () = , donc 
est bien surjective.
b)  est injective. Soit ,  ′   tels que ( ) = ( ′ ). On
compose par  (à gauche), alors  ∘ ( ) =  ∘ ( ′ ) donc  ( ) =
 ( ′ ), donc  = ′ ;  est bien injective.
Démonstration de la proposition 2
Si  est bijective, alors  est aussi bijective, car  ∘  =  et
 ∘  =  et on applique ce que l’on vient de démontrer avec  à la
place de . Ainsi −1 = .
Si  est bijective,  est unique : en effet, soit ℎ:  →  une autre
application telle que ℎ ∘  =  et  ∘ ℎ =  ; donc pour tout  ∈
, (ℎ()) = (()). Or  est injective, alors ℎ() = (), ceci
pour tout  ∈  ; d’où ℎ = .
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(Source :
Arnaud Bodin, Benjamin Boutin, Pascal Romon. Ensembles
et applications. – pp.2-17. – URL:
http://exo7.emath.fr/cours/ch_ensembles.pdf)
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4 FONCTIONS NUMÉRIQUES
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1. Notion de fonction
2. Domaine (211) (ensemble) de définition
3. Fonctions usuelles d’une variable réelle (780)
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1. Notion de fonction
Une fonction est un objet conceptuel, une association, entre des
éléments d’un ensemble de départ (251) et des éléments d’un
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ensemble d’arrivée (249). Une fonction associe à chaque élément de
l’ensemble de départ un ou aucun (mais pas plus d’un) élément de
l’ensemble d’arrivée.
Dans cette association, l’élément considéré de l’ensemble de
départ est appelé l’antécédent, l’élément de l’ensemble d'arrivée est
appelé l’image.
Le domaine de définition (164, 212) est l’ensemble de tous les
éléments de l’ensemble de départ qui ont une image par la fonction.
Citons des exemples.
1) Vous connaissez les fonctions numériques d'une variable
réelle (780) qui associent à certains nombres réels (l'ensemble de
départ est ℝ ) d'autres nombres réels (l'ensemble d’arrivée est ℝ).
2) La fonction racine (657) associe à chaque nombre réel positif
un autre nombre réel positif. On peut considérer que l'ensemble de
départ est ℝ, l'ensemble d'arrivée est ℝ aussi. Le domaine de
définition est ℝ+ .
3) Une probabilité (627) est une fonction. Elle associe à chaque
événement d’une tribu un nombre réel compris entre 0 et 1. Par
exemple en observant un tirage au sort (766) par un dé équilibré (153),
on associe à l'évènement  (297): « le résultat est pair » la probabilité
() est égale à 1⁄2, et on associe à l’évènement B : « le résultat est
supérieur ou égal à 5 » la probabilité () = 1/3. Ici l’ensemble de
départ de la fonction est un ensemble des évènements, et non un
ensemble des nombres (253).
Ainsi l’ensemble de départ d’une fonction peut être différent de
ℝ. Mais l’objet de notre étude sont des fonctions numériques d’une
variable réelle.
Définition. On dit que  est une fonction numérique d’une
variable réelle s’il existe un sous-ensemble (693)  de ℝ tel que
chaque nombre  ∈  possède une unique image () (426) qui est un
nombre réel. Dès que l’on considère  sur , on peut dire également
que  est une application de  dans ℝ.
2. Domaine (ensemble) de définition
L’ensemble  des nombres réels qui possèdent une image par ,
est appelé ensemble de définition (165, 250) de . Il est noté  .
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Il s’agit du plus grand ensemble sur lequel, étant donnée
l’expression d’une fonction (366), on peut définir cette fonction.
Ainsi on peut définir la fonction numérique d’une variable réelle
 ∶  ↦ √2 −  sur l'ensemble ] − ∞; 2[.
De la même façon, le plus grand sous-ensemble de ℝ2 sur lequel
on puisse définir la fonction (, ) ↦ √2 −  est l’ensemble des
couples (, ) tels que  ≤ 2. C’est une portion de plan délimité par
les deux branches de l’hyperbole d’équation  = 2⁄ (418, 419, 420)
pour tout  ≠ 0.
Le plus grand sous-ensemble de ℝ2 sur lequel on puisse définir
1
la fonction (, ) ↦
est l’ensemble des couples (, ) de ℝ2
+−1
tels que  +  ≠ 1, c’est-à-dire tout le plan privé de la droite de
l’équation  = 1 − .
Restriction (688) et prolongement
Soit les fonctions
: [0,1] → ℝ
: ℝ → ℝ
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et
 ↦ 3
 ↦ 3
Ces deux fonctions ont la même action mais ne sont pas définies
sur le même ensemble : comme [0,1] ∈ ℝ, on dit que  est la
restriction de la fonction  à l’intervalle [0, 1] (385, 689).
Si on définit maintenant la fonction ℎ sur [−1, 1] par
− si  ∈ [−1, 0[
ℎ ( ) = { 3

si  ∈ [0, 1]
alors la fonction ℎ est un prolongement de la fonction  à [−1, 1]
(382, 644).
3. Fonctions usuelles d’une variable réelle
3.1) Trinômes du second degré
Une fonction trinôme (350) du second degré est définie ainsi :
 ∶  ∈ ℝ ↦  2 +  + 
où , ,  sont des nombres fixés et  ≠ 0.
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Exemple.  ∶  ∈ ℝ ↦ 3 2 + 6 + 1.
( ) = 3( 2 + 2 ) − 2 = 3( + 1)2 − 2.
C’est la forme canonique (397) du trinôme 3 2 + 6 + 1.
La représentation graphique de ,  a pour équation  = 3 2 +
6 + 1, c’est-à-dire  + 2 = 3( + 1)2 . La courbe  est donc une
parabole (547) qui se déduit de la parabole d’équation  = 3 2 (549)
par la translation (772) de vecteur 
⃗ = (−1; −2) (804). Elle a pour
sommet (−1; −2) et pour axe de symétrie (45) la droite  (48)
d’équation  = −1 (figure 4.1). C’est la parabole simple  =  2 (548)
dont les ordonnées sont 3 fois plus grandes.
De façon générale, la forme canonique de () est :
13
 2  2 − 4
( ) =  ( + ) −
2
4
La représentation graphique  de  (384) est une parabole d’axe
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 (49, 550), parallèle à (), passant par le sommet  ( =
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− ; ()) et dont la concavité (105, 106, 132) est tournée vers les
2
 > 0 si  > 0 et vers les  < 0 si  < 0 (107).
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Figure 4.2 – La courbe d’équation  = 3 2 + 6 + 1
Méthode pratique
La forme canonique peut être très utile pour certains calculs.
Mais pour obtenir rapidement l’allure de  on procède plus
simplement ainsi :
1) On détermine l’axe de symétrie  = , en résolvant l’équation
′() = 0 (  en est l’unique solution).
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2) Le sommet de la parabole (551) est le point de coordonnées
(, ()) (597).
3) Si  > 0, la parabole est tournée vers les  > 0 (552) et
l’extremum (302) est un minimum. Si  < 0, la parabole est tournée
vers les  < 0 (552) et l’extremum est un maximum.
3.2) Fonctions homographiques (330)
Les fonctions homographiques sont de la forme (402):

 + 
:  ∈ ℝ ∖ {− } ↦

 + 
où , ,  et  sont des nombres fixes, avec  −  ≠ 0 et  ≠ 0.
Exemple
− + 5 (− + 3) + 2 −( − 3) + 2
2
 ( ) =
=
=
= −1 +
.
−3
−3
−3
−3
Cette dernière forme est la forme canonique de (). Elle permrt
d’écrire l’équation de la courbe  de  sous la forme (400):
2
−3
En notant  =  + 1 et  =  − 3, on s’aperçoit que la courbe
 est donc une hyperbole qui se déduit de l’hyperbole d’équation  =
2
,  ≠ 0, par la translation de vecteur 
⃗ = (3; −1) (figure 4.2).
+1=

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Figure 4.2 – La courbe d’équation  = (− + 5)⁄( − 3)
De façon générale,
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 ( ) =
+

( ≠ 0 )


+
Pour obtenir cette forme, on peut soit faire la division du
polynôme  +  (614) par le polynôme  +  soit utiliser la
méthode des coefficients indéterminés (92, 512).
 
La courbe  est une hyperbole de centre Ω (− ; ) et dont les




asymptotes ont pour équation  = −  et  =  . Est croissante si
 < 0 et décroissante si  > 0.
Méthode pratique
On obtient rapidement le graphe d’une fonction (375)

 + 
:  ∈ ℝ ∖ {− } ↦

 + 
en procédant ainsi :

1) On trace les deux asymptotes d’équations  = − (racine du
dénominateur (655)) et  =




( = lim ()), puis le centre de

 
→±∞
symétrie Ω (−  ;  ) (intersection (460) des asymptotes(461)).
2) Les deux asymptotes partagent le plan en 4 quadrants. On
calcule la position (620) d’un point du graphe (416, 600) pour
déterminer un des deux cadrants occupés par la courbe.
18
3) On complète  par symétrie par rapport au point Ω.
19
3.3) Fonctions puissances
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26
Les fonctions puissances (344) sont les fonctions  ∈ ℝ ↦   ,
où  est un entier positif. Ce sont des fonctions paires pour les valeurs
paires de  et impaires pour les valeurs impaires de . Elles sont
strictement croissantes sur ℝ+ .
On remarque que les points (607) (0; 0) et (1; 1) appartiennent à
toutes les courbes et que la position relative de deux fonctions
puissances sur ℝ+ dépend de celle de  par papport à 1 :
si 0 <  < 1 : 0 < ⋯ <  3 <  2 <  < 1,
139
si  > 1 :
1 <  <  2 <  3 < ⋯.
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Figure 4.3 – Courbes  =  2 ,  =  3 ,  =  4 et  =  5
3.4) Fonctions racines
Les fonctions puissances sont continues et strictement croissantes
dans ℝ+ . Ce sont donc des bijections : elles admettent des fonctions
réciproques définies sur ℝ+ et croissantes, ce sont les fonctions

racines (345) notées √ .

Donc, sur ℝ+ :  = √ ⇔  =   .

La représentation graphique de la fonction  ∈ ℝ+ ↦ √
s’obtient en repère orthonormé à partir de celle de la fonction  ∈
ℝ ↦   par la symétrie par rapport à la première bissectrice.
Positions relatives sur ℝ+ (figure 4.4) :
3
si 0 <  < 1 : 0 < ⋯ <  2 <  < √ < √ < ⋯ < 1,
3
1 < ⋯ < √ < √ <  <  2 <  3 < ⋯.
si  > 1 :
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Figure 4.3 – Courbes  = √,  = √,  = √
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3.5) Fonctions polynômes d’une variable réelle
Une fonction polynôme  de drgré  (343, 617) est une fonction
de ℝ dans ℝ définie par :
 ∈ ℝ ↦ ( ) =    + −1  −1 + ⋯ + 1  + 0
avec  ≠ 0. Les nombres  , −1 , … , 0 sont des réels, les
coefficients du polynôme.
Factorisation
On appelle zéro ou racine d’un polynôme  (653), toute valeur
du réel  telle que ( ) = 0. Sur ℝ, un polynôme de degré  (616) a
au plus  racines.
Théorème fondamentale
Si 0 est un zéro du polynôme , alors  est divisible par ( −
0 ). C’est-à dire, il existe un polynôme  tel que
( ) = ( − 0 )( ).
Ainsi pour factoriser un polynôme (618), on commencera par en
déterminer un zéro. Pour cela on essaiera toujours les racines
évidentes comme 0, 1, −1, éventuellement 2 ou −2, voire d'autres
valeurs suggérées par le contexte. S'il n’y a pas de racine évidente, on
pourra étudier la fonction  ∈ ℝ ↦ ( ) (365) et utiliser le tableau de
variation (799) et la continuité de  pour déterminer un zéro simple
(619) du polynôme .
Pour effectuer la factorisation, il y a plusieurs méthodes, en voici
deux.
1) Méthode des coefficients indéterminés
Exposons-là sur un exemple.
Soit ( ) = 2 3 + 5 2 − 22 + 15. Le nombre 1 est la racine
évidente (656). D’après le théorème fondamental, on peut écrire
( ) = ( − 1)( ), () étant un polynôme de degré 2 à
déterminer : ( ) =  2 +  + .
Les coefficients de plus haut et plus bas degré de  (93) se
déduisent facilement de ceux de  : 1 ⋅  = 2, −1 ⋅  = 15, d’où
( ) = 2 2 +  − 15.
Pour déterminer , on développe ( − 1)( 2 2 +  − 15) et on
identifie les coefficients avec ceux de ().
2 3 + 5 2 − 22 + 15 = ( − 1)( 2 2 +  − 15) =
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2 3 + ( − 2) 2 + (−15 − ) + 15, d’où  = 7,
donc, ( ) = ( − 1)( 2 2 + 7 − 15).
Enfin on factorise ( 2 2 + 7 − 15) par la méthode habituelle
pour un trinôme (773) du second degré (774), en cherchant les racines
(ici 3⁄2 et −5). On obtient :
( ) = ( − 1)(2 − 3)( − 5)
2) Division des polynômes
Reprenons le même exemple. On fait une division et on pose
2 3 +5 2
−2 3 +2 2
0
+7 2
−7 2
0
−22
+15
−22
+7
−15
+15
0
+15
−1
2 + 7 − 15
2
+15
−15
0
12
Ici par commodité et pour éviter les erreurs on pose aussi les
soustractions à gauche. On en déduit alors que
( ) = ( − 1)( 2 2 + 7 − 15)
13
et on continue la factorisation (310) comme précédemment.
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3.6) Fonction logarithme (483) Népérien (484)
D’après le théorème de Rolle, il y a une seule fonction définie et
dérivable sur ]0, +∞[ (355) dont la dérivée (177) est:
 ∈ ]0, +∞[ ↦ 1⁄ et dont la valeur en 1 est 0
Définition. La seule fonction définie et dérivable sur ]0, +∞[
dont la dérivée est  ∈ ]0, +∞[ ↦ 1⁄ et dont la valeur en 1 est 0 est
nommée logarithme Népérien et est notée ln. C’est-à-dire : pour tout 
de ]0, +∞[

1
ln  = ∫ d
1 
Premières propriétés
1) ln est définie, continue est dérivable sur ]0, +∞[ ;
142
1
2) ln 1 = 0 ;
2
3) pour tout  de ]0, +∞[, ln′  = 1⁄ ;
3
4
5
4) si une fonction  définie et dérivable sur ]0, +∞[, vérifie
ln′  = 1⁄ pour tout  de ]0, +∞[, alors ( ) = ln  + constante
(118) pour tout  de ]0, +∞[ ;
6
5) pour tous  et  de ]0, +∞[ , ln() = ln  + ln  ;
7
6) pour tout  de ]0, +∞[ , ln(1⁄) = − ln  ;
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7) pour tous  et  de ]0, +∞[ , ln(⁄) = ln  − ln  ;
8) pour tout  de ]0, +∞[ et tous entiers ,  avec  non nul,


ln  = ln 

9) pour tout  de ]0, +∞[ et tout  ∈ ℝ, ln  =  ln  ;
10) il existe un seul nombre réel positif dont le logarithme
Népérien est 1. Ce nombre est appelé base (53) des logarithmes (54)
Népériens (55) et est noté e ;
11) ln(e) = 1 ; e ≈ 2,72 , arrondi à 0,01 près ;
12) pour tout  de ]0, +∞[ ,  = eln  ;
13) pour tous ,  de ]0, +∞[  =  ⇔ ln  = ln .
Les trois premières propriétés viennent directement de la
définition, pour la 4-ième voir le chapitre sur les primitives.
Démontrons la 5-ième propriété.
Fixons  dans ]0, +∞[ et considérons la fonction  :
 ∈ ]0, +∞[ ↦ ln .
D’après le théorème sur la dérivation des fonctions composées
(315), g est dérivable sur ]0, +∞[, de dérivée :

1
 ∈ ]0, +∞[ ↦ ′ ( ) =  ln′( ) =
= .
 
Donc, d’après la propriété 4 (645), il existe une constante  telle
que pour tout  de ]0, +∞[, () =  + ln . En particulier, pour
 = 1 (1) = . Or (1) = ln(  · 1) = ln .
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Figure 4.5 – Représentation graphique de ln  avec sa tengente
3.7) Autres fonctions logarithmes
Pour tout nombre  > 1 on peut définir la fonction logarithme de
base  (336, 485) par :
ln 
]
[
 ∈ 0, +∞ ↦ log   =
ln 
On a alors  = log  .
En particulier, on utilise parfois le logarithme décimal (337,
487), log10 , noté souvent simplement log (à ne pas confondre avec
le logarithme Népérien (339), noté ln, parfois Log).
De façon générale, la fonction logarithme en base  (57, 338,
486) est la seule fonction  définie, croissante et dérivable sur ℝ∗+ telle
que :
() = ( ) + () et () = 1
3.8) Fonction exponentielle
La fonction logarithme (488) étant continue et strictement
croissante de ]0, +∞[ sur ℝ, est une bijection (58) de ]0, +∞[ sur ℝ.
Elle admet donc une fonction réciproque, définie de ℝ sur ]0, +∞[,
elle est continue et strictement croissante.
Définition
La fonction réciproque (347) de ln est appelée fonction
exponentielle (328) et notée exp :
 ∈ ℝ → exp  = ln−1 .
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La représentation graphique de la fonction  →  = exp 
s’obtient en repère orthonormé à partir de celle de  →  = ln  par
une symétrie par rapport à la première bissectrice.
5
6
Figure 4.6 – Représentations graphiques de ln  et de exp 
7
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10
Puisque le coefficient directeur (89) de la tangente (752) en 1 du
1
logarithme Népérien est égal à 1 ( |
= 1), celui de la tengente de
 =1
l’exponentielle en 0 est aussi 1 (figure 4.7) :
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Figure 4.7 – Représentation graphique de exp  avec sa tengente
Les propriétés de la fonction (383) exponentielle sont
déterminées par le fait qu’elle est réciproque à la fonction logarithme
Népérienne :
1) pour tout  de ℝ , ln(exp  ) =  ;
145
8
2) pour tout  > 0, exp(ln ) =  ;
3) pour tous ,  ∈ ℝ, exp( + ) = (exp  )(exp ) et
exp( − ) = exp  ⁄exp  ;
4) exp 1 = e, base des logarithmes Néperiens, ln( e) = 1 ;
5) exp 0 = 1 ;
6) pour tous entiers ,  avec  ≠ 0, exp(⁄) = e⁄ .
Définition
Pour tout nombre réel , on définie e par
9
e = exp 
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et de la façon générale tout nombre  > 0 on définie  par
11
 = exp( ln ) = e ln 
Cette définition est cohérente avec la propriété 6.
(Source :
Fonctions numériques d'une et deux variables réelles. p. 1-11
http://www.math.u-psud.fr/~landelle/MATHS_L1.pdf)
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5 LIMITES ET CONTINUITÉ
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1.
2.
3.
4.
5.
Définitions
Limite à gauche, à droite, à l’infini (471-474)
Limites généralisés (476)
Techniques pour lever des indéterminations
Continuité d’une fonction
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1. Définitions
Soit  le domaine de définition d’une fonction  (364) d’une
variable réelle (323). En pratique, ce domaine est très souvent
constitué de la réunion d’un nombre fini d’intervalles. Nous allons
nous intéresser au comportement de la fonction , lorsque le point 
de  se rapproche d’un point  de ℝ.
Pour faire cette étude, il faut donner un sens (726) précis (727) à
cette notion intuitive exprimée par l’expression «se rapproche». Ceci
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nous conduit à introduire la notion de voisinage de  que nous
définissons.
1.1) Définition de voisinage (160) d’un point (605)
On appelle voisinage de  ∈ ℝ toute partie de ℝ qui contient un
intervalle de la forme ] − α;  + α[ avec α > 0.
On appelle voisinage de  dans  toute intersection de  avec un
voisinage de a dans ℝ.
Par exemple un voisinage de 0 est ] − 1; 0[ ou [−1; 0,5] ou
[−100; 0,01[ mais par contre [−1; 0] n’est pas un voisinage de 0 car
il n’existe aucun réel α strictement positif tel que l’intervalle ] −α; α [
soit contenu dans [−1; 0].
Lorsque l’on parle de limite ou de continuité d’une fonction en
un point  (127, 359), c’est le comportement de la fonction dans un
voisinage de  (358) qui est important et non pas dans son domaine de
définition tout entier. De manière générale, on dit qu’une propriété est
locale si elle est vraie dans un voisinage d’un point (811)
contrairement à une propriété globale qui est valable pour tout réel.
Pour étudier la limite d’une fonction en  (376) il n’est pas
nécessaire que la fonction  soit définie au point  considéré.
Par exemple, il est tout à fait légitime, de s’intéresser au
comportement au voisinage de 0, de la fonction de Heaviside (324),
encore appelée échelon unité définie par
0 pour  < 0,
 ( ) = {
1 pour  > 0
La valeur de  en 0 n’est pas donnée, mais nous allons voir que
cela n’empêche absolument pas l’étude du comportement de  au
voisinage de 0.
1.2) Définition de la limite
Soient Ω un intervalle ouvert de ℝ,  un point de Ω et  une
fonction numérique (340) définie sur Ω sauf éventuellement en . On
dit que  () tend vers  quand  tend vers  si :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {(0 < | − | < δ) ⇒ (|( ) −  | < ε)}
On dit aussi que  est la limite de  en  et on note
lim ( ) = 
→
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On obtient une définition équivalente (158) en remplaçant les
inégalités strictes par des inégalités larges. Plus précisément, on peut
montrer que la définition ci-dessous :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {(0 < | − | ≤ δ) ⇒ (|( ) −  | ≤ ε)}
est équivalente à la précédente.
L’exemple de la fonction de Heaviside définie plus haut, montre
pourquoi nous avons maintenu une inégalité stricte 0 < | − | . C’est
nécessaire, si l’on ne veut pas imposer à une fonction d’être définie en
.
À titre d’exemple, étudions la fonction numérique définie sur ℝ
par :  ( ) = √| |. Montrons qu’elle admet en 0 une limite qui est 0.
Comme pour les suites, c’est l’écriture de la conclusion qui permet de
remonter le raisonnement : on choisit un ε strictement positif
quelconque et l’on veut trouver un δ strictement positif tel que
(0 < | | < δ) ⇒ (0 < √| | < ε)
Or, on vérifie sans peine l’implication (428)
(0 < | | < ε2 ) ⇒ (0 < √| | < ε)
Nous voyons qu’il suffit de prendre δ ≤ ε2 pour obtenir le
résultat.
2. Limite à gauche, à droite, à l’infini
2.1) Définition de la limite à gauche et à droite
Soient Ω un intervalle de ℝ,  un point de Ω et  une fonction
numérique définie sur Ω sauf éventuellement en . On dit que la
fonction  admet une limite à droite en  s’il existe un nombre  tel
que
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {( <  <  + δ) ⇒ (|( ) −  | < ε)}
On notera ( + 0) ou simplement (+) la limite à droite.
On définit de façon analogue la limite à gauche de  en  et on
notera ( − 0) ou simplement (−) la limite à gauche. Par
exemple la fonction √ admet en 0 une limite à droite égale à 0. Ce
n’est qu’une limite à droite puisque cette fonction n’est définie que sur
[0, +∞[.
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De même, la fonction de Heaviside définie au paragraphe
précédent, admet en 0 une limite à droite, égale à +1 et une limite à
gauche égale à 0.
2.2) Définition de la limite à l’infini
Soit  définie sur ]ω, +∞[, on dit que  () tend vers  quand 
tend vers +∞ si
∀ε > 0, ∃ ≥ ω, {( > ) ⇒ (|( ) −  | < ε)}
On dit aussi que  est la limite de  à l’infini et on note
lim ( ) = 
→+∞
De même, si  est définie sur ]−∞, ω[, on dit que () tend vers
 quand  tend vers −∞ si
∀ε > 0, ∃ ≤ ω, {( < ) ⇒ (|( ) −  | < ε)}
À titre d’exemple, montrons que, quel que soit l’entier  positif,
1⁄  tend vers 0 quand  tend vers l’infini. Nous voyons en effet que

si nous posons, pour ε strictement positif donné,  = √1⁄ε alors
1
( > ) ⇒ ((  ) < ε)

Proposition. Une fonction numérique , définie dans un
voisinage de  ∈ ℝ, admet une limite en  si et seulement si  admet
une limite à droite et une limite à gauche en  qui sont égales.
3. Limites généralisées
Le nom abusif de «limites généralisées» concerne les fonctions
qui tendent vers ±∞.
a) Définition
Soient Ω un intervalle ouvert de ℝ,  un point de Ω et  une
fonction numérique définie sur Ω sauf éventuellement en . On dit que
() tend vers ±∞ quand x tend vers  si
∀ ∈ ℝ, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {(0 < | − | < δ) ⇒ (( ) > )}
Soit  définie sur ]ω, +∞[, on dit que () tend vers +∞ quand
 tend vers +∞ si
∀ ∈ ℝ, ∃δ > 0, ∀ ≥ ω, {( > ) ⇒ (( ) > )}
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Il est incorrect (et dangéreux) d’écrire
lim ( ) = ±∞
→
car il ne s’agit pas d’une limite dans ℝ et que les propriétés sur les
combinaisons de limites ne serons pas toujours valables. Aussi vaut-il
mieux écrire :
( ) → +∞ quand  → , ( ) → +∞ quand  → +∞
Toutefois, cet abus d’écriture est toléré quand il n’y a pas de
risque d’ambiguïté dans le contexte où l’on se trouve. Ces définitions
s’étendent sans problème à −∞ puisque si ( ) → −∞ alors
−( ) → +∞.
b) Opérations sur les limites généralisées
Soient deux fonctions  et  définies au voisinage de  et telles
que ( ) → +∞ quand  → .
1) Si  est bornée au voisinage de , alors
()
lim
=0
→ ()
2) Si  est minorée au voisinage de , alors
( ) + ( ) → +∞ quand  → ;
3) Si  est minorée au voisinage de , par un réel strictement
positif, alors
( ) ∙ ( ) → +∞ quand  → ;
4) Si lim  ( ) = 0 et ( ) > 0 dans un voisinage de , alors
→
1
→ +∞ quand  → .
()
On doit faire bien attention à ce que les opérations :
∞
0
,
,
∞ − ∞,
0∙∞
∞
0
ne sont pas licites, car peuvent donner lieu à des résultats très
différents selon les cas.
On dit que ce sont des formes indéterminées. Pour calculer les
limites dans un cas d’indétermination, on procède en utilisant les
techniques spéciales.
150
4. Techniques pour lever des indéterminations
1
( ) =(g(x))/(h(x))
 est contenu dans une
racine
0
0
- Factoriser
(Factorisation par division
de polynome, par horner, ou
par identité
remarquable) (311);
- Règle de l'Hospital (672)
- Multiplier numérateur et
dénominateur
par
le
binôme
ou
trinôme
conjugué (775);
- Règle de l'Hôpital
∞
∞
- Mettre le terme du plus
haut degré en facteur,
- Règle de l'Hospital
- Mettre le terme du plus
haut degré en facteur et le
sortir de la racine (658),
- Règle de l'Hospital
- Mettre le terme du plus
haut degré en facteur,
∞−∞
- Ramener au même
dénominateur
Multiplier numérateur et
dénominateur
par
le
binôme
ou
trinôme
conjugué
1
∞
Ramener à la forme (406)
1 
lim (1 + )
→∞
2
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9
10
11
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13
5. Continuité d’une fonction
5.1) Définition
Soient Ω un intervalle de ℝ et  une fonction définie sur Ω.
On dit que  est continue au point  ∈ Ω (371) si
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {(| − | < δ) ⇒ (|( ) − ()| < ε)}
On dit que  est continue à droite en  (369) si
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {( ≤  <  + δ) ⇒ (| ( ) − ()| < ε)}
On dit que  est continue à gauche en  (370) si
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ ∈ Ω, {( − δ <  ≤ ) ⇒ (| ( ) − ()| < ε)}
Enfin on dit qu’une fonction est continue sur Ω (374) si elle est
continue en tout point de Ω (372).
Dans cette définition, le nombre δ dépend de ε et en général de a.
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5.2) Continuité et limite
Proposition 1
Une fonction  est continue en  ∈ Ω (373) si et seulement si 
admet une limite en  égale à () (367). Une fonction  est continue
à gauche (resp. à droite) en  si et seulement si  admet une limite à
gauche (resp. à droite) en  égale à ().
Proposition 2
Une fonction  est continue en  si et seulement si elle est
continue à droite et continue à gauche en .
5.3) Opérations sur les fonctions continues (377)
Les résultats de ce paragraphe se déduisent de manière
immédiate des propriétés sur les limites du paragraphe référencé.
Théorème. Soient  et  deux fonctions définies dans un
voisinage de  et continues au point . Alors :
1) la fonction  +  est continue au point ,
2) pour λ ∈ ℝ, la fonction λ est continue au point ,
3) la fonction  est continue au point ,
4) si () ≠ 0, la fonction 1⁄ est continue au point .
Corollaire. Si  et  sont continues sur Ω, alors  + , λ, 
sont des fonctions continues sur Ω et 1⁄ est continue en tout point où
 ne s’annule pas.
La fonction identité ( → ) (334) est évidemment continue. On
en déduit que les polynômes sont des fonctions continues, les fractions
rationnelles sont continues partout sauf aux points annulant le
dénominateur (590).
Théorème. Soit  une fonction définie dans un voisinage de  et
continue en . Soit  une fonction définie dans un voisinage du point
 = () et continue en . Alors  ±  définie dans un voisinage de
 et est continue au point .
32
Proposition. Soit  une fonction définie et continue sur un
intervalle  de ℝ. Soient  et  deux points de  tels que  <  et
()() < 0. Alors il existe au moins un  ∈ ], [ tel que
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() = 0
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7
Corollaires
1) Soit  une fonction définie et continue sur un intervalle  de
ℝ. Soient  et  deux points de  tels que  < . Alors, quel que soit
le réel  strictement compris entre () et (), il existe un  ∈ ], [
tel que () = .
2) Soit  une fonction définie et continue sur un intervalle  de
ℝ. Alors, l’image de  par  est un intervalle de ℝ.
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(Source :
Fonctions d'une variable réelle.
Chapitre 4 - Limite et continuité. Cours et exercices – URL :
http://moodle.utc.fr/file.php/1127/Cours/MT21-ch4.pdf)
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6 DÉRIVATION
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1.
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4.
5.
6.
7.
Dérivée d’une fonction (178, 363)
Calcul des dérivées
Dérivées successives
Extremum local (303)
Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Règle de l’Hopital
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1. Dérivée d’une fonction
Soit I un intervalle ouvert de ℝ et :  → ℝ une fonction. Soit
0 ∈ .
Définition 1. Une fonction f est dérivable en 0 si le taux
d’accroissement (753) (( ) − (0 ))⁄( − 0 ) a une limite finie
(475) lorsque x tend vers 0 . La limite s’appelle alors le nombre
dérivée de f en 0 et est noté ′(0). Ainsi
f ( x0 )  lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0
Définition 2. Une fonction f est dérivable sur I si elle est
dérivable en tout point 0 ∈ . La fonction  ⟼ ′() est la fonction
dérivée de f (327), elle est notée ′.
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La droite (220) qui passe par les points distincts (609)
f ( x)  f ( x0 )
(0 , (0 )) et (, ()) a pour coefficient directeur
.À
x  x0
la limite on trouve que le coefficient directeur de la tangente est
′(0 ) . Une équation de la tangente au point (0 , (0 )) est donc :
 = ( − 0 ) ′ (0 ) + (0 ).
2. Calcul des dérivées
Soient , :  → ℝ deux fonctions dérivables sur I. Alors pour
tout  ∈  :
1. ( + )′ ( ) = ′() + ′(),
2. ()′ () =  ′ (), où λ est un réel fixé,
3. ( × )′ () =  ′ ()( ) + ( )′(),

1
f ( x)
(
x
)




4.
(si () ≠ 0),
2
f
 f ( x) 
 

f
f ( x) g ( x)  f ( x) g  ( x)
5.   ( x) 
, (si ′() ≠ 0).
2
g
 f ( x) 
 
Composition. Si f est dérivable en x et  est dérivable en ()
alors  ∘  est dérivable en  de dérivée :
( ∘ )′ ( ) = ′(( )) ⋅ ′()
Corollaire. Soit I un intervale ouvert. Soit :  →  dérivable et
bijective dont on note  −1 :  →  la bijection réciproque. Si ′ ne
s’annule pas sur I alors  −1 est dérivable et on a pour tout  ∈  :
( −1 )′ () =

f f
1
1
( x)

.
3. Dérivées successives
Soit :  → ℝ une fonction dérivable et soit ′ sa dérivée.
Si la fonction  ′ :  → ℝ est aussi dérivable on note  ′′ = ( ′ )′ la
dérivée seconde de f (182). Plus généralement on note :
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 (0) = ,  (1) = ′,  (2) = ′′ et  (+1) = ( () )′
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Si la dérivée -ième  () (179) existe on dit que f est  fois
dérivable.
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4. Extremum local
Soit :  → ℝ une fonction définie sur un intervalle I .
On dit que 0 est un point critique de  si  ′ (0 ) = 0.
On dit que  admet un maximum local en 0 (504)
(respectivement un minimum local en 0 (519)) s’il existe un
intervalle ouvert J contenant 0 tel que pour tout  ∈  ∩  () ≤
(0 ) (respectivement ( ) ≥ (0 )).
On dit que  admet un extremum local en 0 si  admet un
maximum local ou un minimum local en ce point.
Dire que  a un maximum local en 0 signifie que (0 ) est la
plus grande des valeurs () pour les points proches de 0 (611). On
dit que :  → ℝ admet un maximum global en 0 (505) si pour toutes
les autres valeurs ( ),  ∈  on a ( ) ≥ (0 ) (on ne regarde donc
pas seulement les ( ) pour x proche de 0 ). Bien sûr un maximum
global est aussi un maximum local, mais la réciproque est fausse.
Théorème. Soit I un intervalle ouvert et :  → ℝ une fonction
dérivable. Si  admet un maximum local (ou un minimum local) en 0
alors  ′ (0 ) = 0.
En d’autres termes, un maximum local (ou un minimum local) 0
est toujours un point critique. Géométriquement, au point (0 , (0 ))
la tangente au graphe (417) est horizontale.
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Remarques.
1. La réciproque du théorème est fausse. Par exemple la fonction
: ℝ → ℝ définie par ( ) =  3 vérifie  ′ (0) = 0 mais 0 = 0 n’est
ni maximum local, ni minimum local.
2. L’intervalle du théorème est ouvert. Pour le cas d’un
intervalle fermé, il faut faire attention aux extrémités. Par exemple si
: [, ] → ℝ est une fonction dérivable qui admet un extremum en
0 , alors on est dans l’une des situations suivantes :
 0 =  ;
 0 = ;
 0 = ], [ et dans ce cas on a bien  ′ (0) = 0 par le théorème
précédent.
Aux extrémités on ne peut rien dire pour ′() et ′(), comme
le montrent de différents maximum sur les dessins suivants.
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3. Pour déterminer max  et min  (où : [, ] → ℝ est une
[,]
[,]
fonction dérivable) il faut comparer les valeurs de  (387) aux
difféfents points critiques et en  et en .
5. Théorème de Rolle (757)
21
Soit : [, ] → ℝ telle que  est continue sur [, ], dérivable
sur ], [ et () = (). Alors il existe  ∈ ], [ tel que:
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 ′ ( ) = 0
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Interprétation géométrique : il existe au moins un point du
graphe de  où la tangente est horizontale.
Démonstration. Tout d’abord, si f est constante sur [, ] alors
n’importe quel  ∈ ], [ convient.
Sinon il existe 0 ∈ [, ] tel que (0 ) ≠ (). Supposons par
exemple (0 ) >  (). Alors  est continue sur l’intervalle fermé et
borné [, ], donc elle admet un maximum en un point  ∈ [, ].
Mais () ≥ (0 ) > () donc  ≠ . De même comme () =
() alors  ≠ . Ainsi  ∈ ], [. En c,  est donc dérivable et admet
un maximum local. Donc  ′ ( ) = 0.
6. Théorème des accroissements finis (758)
Soit  : [, ] → ℝ une fonction continue (317) sur [, ] et
dérivable sur ], [. Alors il existe  ∈ ], [ tel que
() − () = ′()( − )
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Interprétation géométrique : il existe au moins un point du
graphe de  où la tangente est parallèle à la droite () où  =
(, ()) et  = (, ()).
Corollaire. Soit : [, ] → ℝ telle que f est continue sur [, ],
dérivable sur ], [. Alors :
7
1. ∀ ∈], [ ′() ≥ 0 ⟺ f est croissante (322) ;
2. ∀ ∈], [  ′ ( ) ≤ 0 ⟺ f est décroissante (325) ;
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3. ∀ ∈], [  ′ ( ) = 0 ⟺ f est constante ;
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4. ∀ ∈], [ ′() > 0 ⟺ f est strictement croissante (348);
6
5. ∀ ∈], [ ′() < 0 ⟺ f est strictement décroissante (349).
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Remarque. La réciproque au point (4) et aussi au point (5) est
fausse. Par exemple la fonction  ⟼  3 est strictement croissante et
pourtant sa dérivée s’annule en 0.
7. Règle de l’Hospital
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Théorème. Soient , :  → ℝ deux foncttions dérivables et 0 ∈
. On suppose que :

(0 ) = (0 ) = 0

∀ ∈  ∖ {0 } ′ () ≠ 0.
Si lim f ( x)  , ( ∈ ℝ) alors lim f ( x)  .
x  x0
g ( x)
x  x0
g ( x)
Démonstration. Fixons  ∈  ∖ {0 } avec par exemple  < 0 .
Soit ℎ:  → ℝ définie par ℎ( ) = ()( ) − ()( ). Alors :

h est continue sur [, 0 ] ⊂ ,

h est dérivable sur ], 0 [,

ℎ(0 ) = ℎ() = 0.
Mais par le théorème de Rolle il existe  ∈ ], 0 [ tel que
ℎ  ) = 0. Or ℎ′ ( ) = () ′ () − ()′(), donc on obtient
() ′ ( ) − ()′ ( ) = 0.
Comme ′ ne s’annule pas sur  ∖ {0 } cela conduit à
()⁄() = ′( )⁄′( ). Comme  <  < 0 lorsque l’on fait
tendre a vers 0 on obtient  → 0 . Cela implique :
′(
158
()
′( )
′( )
= lim
= lim
= .
→0 ()
→0 ′( )
 →0 ′( )
lim
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(Source:
Arnaud Bodin, Niels Borne, Laura Desideri. Dérivée
d’une fonction. – pp. 67-78. – URL : http://exo7.emath.fr/un.html)
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7
7 ÉTUDE D’UNE FONCTION
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1. Etapes dans l’étude d’une fonction
2. Restriction du domaine d’étude (213, 690)
3. Dérivabilité d’une fonction (361)
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1. Etapes dans l’étude d’une fonction
Lorsqu’on étudie une fonction de la variable réelle à valeurs
dans ℝ, on doit mener l’étude dans un ordre bien précis.
1. Détermination du domaine de définition si celui-ci n’est pas
indiqué.
2. Restriction du domaine d’étude : parité (554) (voire symétrie
par rapport à une droite ou un point précis) ; périodicité.
3. Variation de la fonction (388). Pour cela on doit : justifier la
dérivabilité de la fonction là où on l’étudie ; calculer la dérivée ;
étudier le signe de la dérivée.
On peut alors dresser le tableau de variation complet (800). Cela
signifie que doit y être mentionné :
 les valeurs ou les limites de la fonction aux bornes du
domaine d’étude (selon que la fonction  est définie ou pas) ;
 les valeurs de la fonction là où la dérivée s’annule ;
 les valeurs de cette fonction là ou la dérivée seconde s’annule
pour chercher d’éventuels points d’inflexion (595).
4. Justification des limites figurant dans le tableau de variation.
5. Etude des points remarquables (612) : à titre d’exemple, les
points de la courbe représentative (148) sur les axes. L’étude d’un
point remarquable devra faire apparaître la tangente ainsi que la
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position relative de la courbe représentative de la fonction et de la
tangente.
6. Détermination l’éventuelles asymptotes (verticales et / ou
obliques) ; dans le cas d’une asymptote oblique, on devra indiquer sa
position par rapport à la courbe représentative de la fonction.
7. Tracé complet : on fait apparaître les points remarquables
avec leur tangente ; les asymptotes.
2. Restriction du domaine d’étude
La mise en évidence de propriétés d’«invariance» de la fonction
à étudier est une étape importante de l’étude. C’est elle qui va
permettre de restreindre l’étude à un domaine aussi petit que possible
(217) et d’obtenir des propriétés de symétrie de la courbe
représentative de la fonction.
2.1) Parité
Lorsque vous étudiez la parité d’une fonction (379, 555) et
symétrie de sa courbe représentative (étudier la parité c’est dire si la
fonction est paire ou impaire), vous devez impérativement vérifier que
le domaine de définition  de  est symétrique par rapport à 0.
Définition. Une fonction  est dite paire (341) (respectivement
impaire) (341) si :
 le domaine de définition  de  est symétrique par rapport à
0. On doit donc vérifier que :
∀ ∈ ℝ  ∈  ⇒ − ∈  ;
 ∀ ∈  , (− ) = () pour une fonction paire ou bien
∀ ∈  , (− ) = −() pour une fonction impaire.
Mise en garde. Ne confondez pas parité d’une fonction et
symétrie de sa courbe représentative, même si la parité se traduit par
la symétrie de la courbe représentative. Ce ne sont pas les mêmes
concepts !
2.2) Périodicité (380, 563)
Lorsque vous souhaitez établir qu’une fonction est périodique de
période  (342), vous devez impérativement vérifier que le domaine
de définition est invariant par la translation de vecteur .
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Définition. Une fonction  est dite périodique de période  > 0
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si :
 le domaine de définition  de  est invariant par translation
de vecteur . On doit donc vérifier que :
∀ ∈ ℝ  ∈  ⟹ ( + ) ∈  ;
 on vérifie de plus que :
∀ ∈  ( + ) = ().
Remarque. On pourra remarquer qu’une fonction périodique de
période T est aussi périodique de période  pour tout entier  ∈ ℕ∗ .
On cherchera donc toujours à déterminer, si possible, la plus petite
période d’une fonction périodique.
3. Dérivabilité d’une fonction
La justification de la dérivabilité est une question que l’on vous
posera chaque fois que vous serez conduit à étudier une fonction et à
en calculer la dérivée. Cette question est en effet un préalable au
calcul de la dérivée : qu’est-ce qui garantit que la fonction étudiée est
dérivable?
La justification est simple mais très souvent vous bloquez dessus,
ne comprenant pas comment procéder. Or dans votre mécanisme de
calcul de la dérivée, vous «désossez» la fonction à dériver (351) à
l’aide d’opérations sur les fonctions : somme ; produit ; quotient ;
composée.
3.1) Règles pour la somme, le produit et le quotient
Soient :  → ℝ et :  → ℝ définies sur un intervalle  non vide.
Si  et  sont dérivables sur , alors :

la fonction  +  est dérivable sur  ; de plus la dérivée de
 +  sur  est donnée par la formule
( +  )′ =  ′ +  ′
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
la fonction  ⋅  est dérivable sur  ; de plus la dérivée de
 ⋅  sur I est donnée par la formule
()′ =  ′  + ′
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
si, de plus  ne s’annule pas sur , alors ⁄ est dérivable
sur cet intervalle ; de plus la dérivée de ⁄ sur  est donnée par la
formule :
 ′  ′  − ′
( ) =

2
3.2) Règle pour la composée (673)
Soit :  → ℝ et :  → ℝ définies sur des intervalles  et  non
vides de sorte que () ∈ . Si  est dérivable sur  et  est dérivable
sur , alors  ∘  est dérivable sur  ; de plus, la dérivée de  ∘  est
donnée par la formule :
14
( ∘  )′ = ( ′ ∘  ) ×  ′
Remarque. La version en un point pour chacune des règles cidessus est bien entendue valable.
Pour la fonction composée, il faudra écrire : si  est dérivable en
0 ∈  et  est dérivable en (0 ), alors  ∘  est dérivable en 0 et
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( ∘ )′ (0 ) =  ′ ( (0 )) ′(0 )
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3.3) Détermination des asymptotes obliques
Pour illustrer la façon de déterminer d’éventuelles asymptotes
obliques de la courbe représentative d’une fonction, considérons une
fonction : [0 ; +∞[→ ℝ avec 0 ∈ ℝ. Il s’agit de dire si la courbe
représentative  de  admet une asymptote oblique en +∞. Bien
entendu la question ne se pose que si lim ( ) = ±∞.
→+∞
23
On dit que  admet en +∞ la droite d’équation  =  + 
comme asymptote si lim ( ( ) − ( + )) = 0,
24
où  = lim ()⁄, et  = lim (( ) − ) avec ,  ∈ ℝ .
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→+∞
→+∞
Remarque. Si poutant
→+∞
lim ()⁄ =  avec  ∈ ℝ et
→+∞
lim (( ) −  ) = ±∞, on dira alors que  admet en +∞ une
→+∞
branche (61) parabolique de direction asymptotique  =  (62).
(Source :
Méthodologie pour l'étude complète d'une fonction. PCSI B Mathématiques Lycée
Brizeux – année 2012-2013. – URL : http://www.cpgebrizeux.fr/casiers/mej/2012_2013/Cours/methodologie_fonctions.pdf)
162
1
8 SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
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1.
2.
3.
4.
Définitions
Solution (707) d’un système linéaire
Obtention de systèmes équivalents
L’algorithme du pivot de Gauss (12,13)
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1. Définitions
Nous allons étudier une méthode générale de résolution (687)
pour les systèmes linéaires. Elle permettera de résoudre
systématiquement ces systèmes.
1.1) Équation linéaire
On appelle équation linéaire (280) à  inconnues à coefficients
dans ℝ, une expression de la forme :
1 1 + ⋯ +   = ,
()
22
où 1 , … ,  et  sont des nombres réels, et 1 , … ,  des symboles
appelés inconnues.
Le scalaire  (723) est appelé le coefficient de  dans (). Le
scalaire  est appelé le second membre (694) de ().
On dit que l’inconnue  figure dans () si  ≠ 0. Lorsque
l’inconnue ne figure pas dans () , on écrit le plus souvent l’équation
() en omettant le terme   dans l’écriture
23
1 1 + ⋯ +  
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qu’on appelle le premier membre de l’équation () (623). On appelle
solution (696) de l’équation () (284), une liste (479) (1 , … ,  ) de 
éléments de ℝ telle que
1 1 + ⋯ +   = 
1.2) Système linéaire (712)
On appelle système linéaire de  équations à  inconnues, la
donnée simultanée de  équations linéaires (1 , … ,  ). Une solution
de ce système est une solution commune de toutes les équations.
En pratique, le système linéaire s’écrira en introduisant un
double indice (219) pour les coefficients  (le premier indice
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repérant l’équation et le second l’inconnue en facteur du coefficient),
et un indice repérant l’équation pour les seconds membres :
11 1 + ⋯ + 1  = 1 (1 )
( ) : (
⋮
) ⋮
1 1 + ⋯   =  ( )
Cette écriture s’abrège sous la forme :

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(): ∀ = 1, … ,  ∑
=1
  = 
Une autre façon d’écrire les systèmes repose sur l’observation
que, les symboles  représentant des inconnues, il est inutile de les
écrire explicitement. On introduit donc la matrice (499) du système
(S) comme étant le tableau à  lignes et  colonnes du système, soit :
11 ⋯ 1
⋱
⋮ )
=( ⋮
1 ⋯ 
1
ainsi que le vecteur colonne (805) des seconds membres ( ⋮ ), et on

écrit le système sous la forme (combien plus simple!) :  = .
2. Solution d’un système linéaire
Résoudre un système, c’est décrire l’ensemble de ses solutions.
Parfois cet ensemble est vide, parfois il y a une solution unique,
parfois il y a plusieurs solutions (on verra qu’il y en a alors une
infinité).
Un système () est dit incompatible (430, 431, 719) lorsqu’il n’a
aucune solution.
Deux systèmes linéaires () et (′), ayant le même nombre
d’inconnues, sont dits équivalents lorsqi’ils ont le même ensemble des
solutions.
Pour résoudre un système linéaire, le principe consiste à
remplacer le système donné par un système équivalent (718) plus
simple, c’est-à-dire plus facile à résoudre. Dans ce but, nous allons
décrire des systèmes particuliers, dits en escalier, et d’abord les
systèmes triangulaires.
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2.1) Systèmes triangulaires
On dit qu’un système linéaire () de  équations à  inconnues :
(): ∀ = 1, … ,  ∑=1   =  est triangulaire lorsque :
1)  =  (il y a autant d’équations que d’inconnues) ;
2) si  < , alors  = 0;
3) ∀ ∈ {1, … , }, on a  ≠ 0.
Remarque. Le terme de système triangulaire (715) vient de ce
que, dans la matrice du système, les coefficients non nuls figurent tous
dans le « triangle » :
 a11   a1n 



j

i



.
 ji 
 



an n 

17
2.2) Méthode de résolution
La résolution d’un système triangulaire est particulièrement
simple. En effet, dans la dernière équation   =  , ne figure que
l’inconnue  (434), et elle figure effectivement (437), car  ≠ 0 ;
donc  =  ⁄ est la seule valeur possible pour la résolution du
système.
On remonte alors à l’avant-dernière équation :
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−1,−1 −1 + −1,  = −1
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qui, puisque  est maintenant connu, permet le calcul de −1 ; et on
remonte ainsi de suite jusqu’à trouver les valeurs de toutes les
inconnues.
Remarque. On peut démontrer le théorème suivant : un système
triangulaire a toujours une unique solution.
2.3) Systèmes en escalier
Bien que les systèmes triangulaires soient de résolution simple,
ils ne suffisent pas en pratique. On est conduit à considérer une classe
plus large, celle des systèmes en escalier.
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Un système (), de  équations (1 ), . . . , ( ) à  inconnues
1 , … ,  , est dit en escalier ( ou échelonné) (240) lorsqu’il existe un
entier  compris entre 0 et  tel que l’on puisse associer à chaque
équation  (avec 1 ≤  ≤ ) une inconnue  telle que  figure dans
 , mais pas dans les équations suivantes (+1 ), … , ( ), et de plus
lorsque aucune inconnue ne figure dans les équations (+1 ), … , ( ).
Les inconnues  , … ,  sont appelées inconnues principales et
les autres inconnues inconnues auxiliaires.
Les équations (1 ), . . . , ( ) sont appelées équations principales.
25
3. Obtention de systèmes équivalents
Théorème.
Tout système linéaire () est équivalent au système obtenu en
remplaçant l’une des équations ( ) de () par une combinaison ( ) +
λ( ), ( ≠ ) de ( ) avec une autre équation ( ) du système ().
Démonstration.
Soit (′) le système obtenu à partir de () en remplaçant ( ) par
( ) + ( ), ( ≠ ). Il s’agit de montrer que toute solution de ()
est solution de (′), et que toute solution de (′) est solution de ().
Soit donc (1 , … ,  ) une solution de (). C’est une solution des
équations (1 ), … , ( ), donc de toutes les équations de (′) autres
que ( ) + λ( ). Il nous suffit donc de vérifier que c’est aussi une
solution de cette dernière équation.
En effet,
( ) + ( ) =  + λ( )
D’autre part, vu que (1 , … ,  ) est solution de (1 ) et de ( ), on a :
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(1 1 + ⋯ +   ) + λ(1 1 + ⋯ +   ) =  + 
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Réciproquement, une solution de (′) est solution des équations
(1 ), … , (−1 ), (1 ), … , λ( ), (+1 ), … , ( )
donc de toutes les les équations de (), sauf peut-être (1 ), mais y
compris ( ). C’est donc une solution de ( ) = [( ) + λ( )] −
λ( ), toujours en vertu de la remarque précédente, c.q.f.d.
Remarque
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En raisonnant de la même manière que dans le théorème
précédent, nous concluons que, pour obtenir un système équivalent à
un système donné, on peut faire les opérations suivantes sur les
équations (dites élémentaires):
1) remplacement (679): ajouter à une équation un multiple
d’une autre équation;
2) échange (236) : échanger (238) deux équations (239) ;
3) cadrage (65): multiplier tous les éléments d’une équation par
une constante non nulle.
Les opérations élémentaires permettent le passage de n’importe
quel système à un système en escalier (710) équivalent au système
initial (720). Il en résulte qu’on sait résoudre complètement les
systèmes linéaires.
Nous allons maintenant décrire un algorithme qui permet, étant
donné un système linéaire quelconque () d’obtenir un système
linéaire en escalier équivalent à ().
4. L’algorithme du pivot (91) de Gauss (574)
Cet algorithme permet d’éliminer (245) successivement des
inconnues (246) pour avoir un système en escalier équivalent.
1) Choisissons une équation ayant l’inconnue la plus gauche
(436) du système donné et plaçons cette équation à la première ligne
(en tête du système). Cette inconnue s’appelle inconnue pivot (435,
575) ; l’équation choisie est appelée équation pivot (281, 576); on
appelle pivot (573) le coefficient de l’inconnue pivot dans l’équation
pivot (577).
On prend généralement pour équation pivot la première équation.
Mais si l’inconnue la plus gauche du système n’y se trouve pas, il faut
commencer par permuter (568) les équations, de sorte que l’équation
pivot devienne la première (569).
2) Éliminons l’inconnue pivot dans toutes les équations autres
que l’équation pivot, soit (ε). Pour ce faire, remplaçons chaque
équation (), autre que l’équation pivot, par () + λ (ε) où λ est
l’opposé du quotient du coefficient pivot de l’inconnue pivot dans ()
par le pivot.
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Il vaut mieux que le pivot soit égal à 1, alors λ sera un entier.
C’est pourquoi on choisit, si c’est possible, une équation avec le pivot
égal à l’unité.
Le résultat de ces deux étapes est d’obtenir, en sus de l’équation
pivot, un système linéaire où l’inconnue pivot ne figure plus, avec un
nombre d’équations diminué de 1 par rapport à celui du système
donné.
On recommence donc la procédure (choix (78) du pivot (79),
élimination de l’inconnue pivot) dans ce nouveau système ; et ainsi de
suite jusqu’à l’obtention d’un système en escalier.
11
Exemple. Considérons le sysème linéaire:
12
 2 x1  x2  x3  4

( S ) :  x1  3x2
5
 x  5x  7 x  8
 1
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(1)
(2)
(3)
Pour simplifier les calculs, écrivons la matrice du système (),
(722) en prenant en considération les seconds membres. Une telle
matrice est nommée matrice augmentée (500) :
 2

 1
 1

1
1
3
0
5
7
4 

5 
8 
Soit l’inconnue pivot 1 . Cette inconnue est présentée dans les
trois équations du système (438), mais ce n’est que dans la troisième
le pivot est égal à 1. C’est pourquoi choisissons comme équation pivot
la troisième équation et faisons la permutation (564) des lignes (565) :
 1

 1
 2

7
0
1





Éliminons 1 des équations (2) et (3). Additionnons l’équation
pivot à l’équation (2) :
5
3
1
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5 7 8 
 1


0
8

7
13


 2
1  1 4 

Ajoutons à l’équation (3) l’équation pivot multipliée par (−2) :
5
7
8 
 1


0
8

7
13


 0
 9 13  12 

Mettons à part la première équation et considérons le système à
deux équations dont la matrice augmentée est :
8
 8 7


  9 13  12 
Pour avoir le pivot égal à 1 divisons l’équation pivot par 8 :
7


1
 1 
8



9
13

12


Éliminons 2 de la deuxième équation. Faisons la somme de la
deuxième équation et neuf fois l’équation pivot :
7


1
1 
8


41
 0
 3 


8
On obtient l’unique solution: (50⁄41 , 85⁄41 , 21⁄41).
(Source :
Chatard-Moulin, M.-C. Algèbre linéaire. – Paris,1996. – pp.9-26)
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9 DÉTERMINANTS
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1. Définition d’un déterminant (159)
2. Cofacteur
169
1
2
3
3. Propriétés des déterminants
4. La méthode de Cramer (513)
5. Système homogène
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Il existe un cas de calcul numérique très fréquent pour les
ingénieurs, les physiciens ou les économistes. Il s'agit de la résolution
d'un système d'équations linéaires. Si le système possède autant
d'équations que de variables, on peut espérer avoir l'existence et
l'unicité d'une solution. Plus précisément, à un système de  équations
et  inconnues peut être associé un déterminant (183).
L'existence et l'unicité de la solution est obtenue si et seulement
si le déterminant est différent de 0. Ce problème (635) est l'origine
historique (544, 545) de l'introduction des déterminants.
1. Définition d’un déterminant
11 ⋯ 1
⋱
⋮ ) une matrice carrée d’ordre  (501)
Soit  = ( ⋮
1 ⋯ 
supérieur ou égal à 1.
On souhaite lui associer un nombre Δ, appelé déterminant de la
matrice (184), qui sera noté det (A), ou encore, pour en rappeler
l’origine matricielle (546):
11 ⋯ 1
⋱
⋮ |
Δ = det() = | ⋮
1 ⋯ 
Les lignes et les colonnes de la matrice  serons aussi appelées
les lignes et les colonnes du déterminant de A. Le déterminant va être
défini et calculé par récurrence sur .
1) Si  = 1, la matrice comporte un seul élément 11 et le
déterminant est égal à cet élément.
11 12
2) Si  = 2, on pose |
| = 11 22 − 21 12 .
21 22
3) Si  = 3, l’hypothèse de recurrence assure que l’on connaît le
déterminant de toute matrice carrée d’ordre inférieur à . On le
calcule suivant la règle (674) :
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25
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11
| ⋮
1
⋯ 1
⋱
⋮ | = ∑=1(−1)+  det( ) ,  = 1, … , 
⋯ 
(1)
où ( ) est la matrice d’ordre ( – 1) obtenue en supprimant dans 
la ligne  et la colonne . Cette somme est :

11 ⋯ 1
⋱
⋮ | = ∑(−1)+  det( ) ,  =, … , 
| ⋮
(2)
1 ⋯ 
=1
2. Cofacteur
On appelle cofacteur associé à l’élément  de A, le terme
 = (−1)+ det( ).
Avec cette notation, on pourra écrire les formules (1) et (2) :
11 ⋯ 1


⋱
⋮ | = ∑   = ∑  
| ⋮
=1
=1
1 ⋯ 
Commentaires
1. La formule (1) s’appelle le développement du déterminant en
cofacteurs suivant la ligne  et la formule (2) le développement du
déterminant en cofacteurs suivant la colonne  (187).
2. Le signe du cofacteur de  dépend de la position de  dans
la matrice. Le facteur (−1)+ dans la formule (1) donne lieu au
schéma des signes que voici :
+ − ⋯
|− + ⋯|
⋮ ⋮ ⋱
3. Propriétés des déterminants
Savoir comment réagit le déterminant d’une matrice après les
opérations sur les lignes et sur les colonnes, tel est le secret des
déterminants.
Théorème
1. On ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une
colonne (une ligne) de la matrice, une combinaison linéaire (95, 96)
des autres colonnes (des autres lignes).
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2. Le déterminant d’une matrice possédant une colonne (une
ligne) de 0 est 0 (188).
3. Le déterminant d’une matrice possédant deux colonnes (deux
lignes) égales est 0.
4. On ne change pas la valeur d’un déterminant en mettant en
facteur, un facteur commun aux éléments d’une colonne (d’une ligne)
(189).
5. Une permutation de deux lignes quelconques change le signe
d’un déterminant.
6. Le déterminant d’une matrice triangulaire (502) est égal au
produit des éléments de la diagonale principale.
7. La somme des produits des éléments d’une colonne (d’une
ligne) par les cofacteurs d’une autre colonne (d’une autre ligne) est
égale à 0.
1 −4 2
Exemple. Calculer det = |−2 8 −9|.
−1 7
0
La stratégie consiste à réduire  à une forme échelonnée (407) de
manière à employer ensuite le fait que le déterminant d’une matrice
triangulaire est tout simplement le produit des éléments de la
diagonale principale. Les deux opérations de remplacement qui
mènent aux zéros les éléments de la première colonne n’affectent pas
la valeur du déterminant (186):
1 −4 2
1 −4 2
det = |−2 8 −9| = | 0
0 −5|
−1 7
0
−1 7
0
L’échange des lignes (237) 2 et 3 change le signe du
déterminants :
1 −4 2
det = − |0 3
2 | = −1 ∙ 3 ∙ (−5) = 15
0 0 −5
4. La méthode de Cramer
Dans cette section (736) on présente une méthode alternative à
celle du pivot de Gauss (737) pour résoudre les systèmes linéaires de
 équations à  inconnues.
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On dit qu’un système linéaire () de  équations à  inconnues
est de Cramer s’il admet une unique solution.
Soit un système de  équations à  inconnues :
11 1 + ⋯ + 1  = 1
⋮
{
(3)
1 1 + ⋯ +   = 
Le déterminant associé à ce système (185) est suivants :
11 ⋯ 1
⋯
⋮ |
Δ=| ⋮
1 ⋯ 
Désignons par Δ1 , Δ2 , … , Δ les déterminants en remplaçant dans
Δ les colonnes première, deuxième, ... , -ème par la colonne  ,  =
1, … , . En d’autres termes, pour calculer Δ , il faut remplacer dans le
déterminant du système (721) donné la colonne  par la colonne des
seconds membres  du système initial.
On peut démontrer que le système (3) est équivalent au système
suivant :
Δ ∙ 1 = Δ1
⋮
{
(4)
Δ ∙  = Δ
Donc, pour que le système (3) soit compatible (716), il faut et il
suffit que Δ ≠ 0. Dans ce cas il sera de Cramer :
1 = Δ1 ⁄Δ
⋮
{
 = Δ ⁄Δ
Remarque
Si le déterminant du système est nul et au moins un des
déterminants Δ , Δ et Δ est différent de zéro, le système n’a pas de
solution.
5. Système homogène (711)
Le système
11 1 + ⋯ + 1  = 0
⋮
{
1 1 + ⋯ +   = 0
173
1
est dit homogène. Il admet une solution évidente :
1 = 0, 2 = 0, … ,  = 0
2
10
Donc, si Δ ≠ 0, le système a une solution unique (697): 1 = 0,
2 = 0, … ,  = 0. Si Δ = 0, le système, n’étant pas impossible, est
indéterminé.
Remarque
La solution 1 = 0, 2 = 0, … ,  = 0 est appelée banale (698)
ou triviale (699). Elle s’obtient dans le cas où Δ ≠ 0. Si Δ = 0,
l’ensemble des solutions (255) comprend outre la solution nulle (700)
une infinité d’autres solutions.
11
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(Source :
Chatard-Moulin, M.-C. Algèbre linéaire. – Paris,1996. – pp.93-116)
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10 VECTEURS
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
Définitions
Opérations sur les vecteurs
Représentation des vecteurs dans le plan
Norme (531) d’un vecteur
Produit scalaire
Produit vectoriel et produit mixte
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1. Définitions
La notion de vecteur peut être définie en dimension deux (le
plan) ou trois (l'espace euclidien ( 288) usuel). Elle se généralise à des
espaces de dimension quelconque. Cette notion, devenue abstraite et
introduite par un système d'axiomes (717), est le fondement de la
branche (63) des mathématiques (64) appelée algèbre linéaire.
Le vecteur permet, en physique, de modéliser des grandeurs qui
ne peuvent pas être complètement définies par un nombre ou une
fonction numérique seuls. Par exemple, pour préciser un déplacement,
une vitesse, une force ou un champ électrique, la direction et le sens
(724) sont indispensables. Les vecteurs s'opposent aux grandeurs
scalaires décrites par un simple nombre, comme la masse, la
température, etc.
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En termes simples, un vecteur est une grandeur qui a une
intensité, une direction et un sens (194). Il est commode de le
représenter par une flèche.
Le vecteur qui a une longueur de 0 est appelé vecteur nul (806) et
est noté ⃗0. Le vecteur nul n’a évidemment pas de direction, donc pas
de sens.
7
2. Opérations sur les vecteurs
8
2.1) Addition des vecteurs
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La somme  + 
⃗⃗ de deux vecteurs est définie comme suit : on
met les deux vecteurs bout à bout de sorte que le point terminal (603)
de  coïncide avec le point initial (601) de 
⃗⃗ . Le vecteur 
⃗ =+
⃗⃗
relie le point initial de  au point terminal de 
⃗⃗ .
L'addition de vecteurs est commutative. Cela signifie que, si  et

⃗⃗ sont des vecteurs, alors  + 
⃗⃗ = 
⃗⃗ + .
L'addition de vecteurs est assotiative. Cela veut dire que, si 
⃗,
et 
⃗⃗ sont des vecteurs, alors (
⃗ + ) + 
⃗⃗ = 
⃗ + ( + 
⃗⃗ ).
L'addition a un élément neutre (244): le vecteur nul. En effet :
 + ⃗0 = .
Enfin, si  est un vecteur, alors (−) est le vecteur ayant la
même direction et la même intensité (456) que , mais de sens opposé
(725). Donc  + (−) = ⃗0.
La différence  − 
⃗⃗ de deux vecteurs est définie comme  −

⃗⃗ =  + (−
⃗⃗ ).
b) Multiplication d'un vecteur par un scalaire
Quand on manipule des vecteurs, on utilise le mot «scalaire» à la
place de «nombre réel». Les scalaires sont souvent désignés par une
lettre grecque.
Si λ est un scalaire et  un vecteur, alors le produit λ est défini
comme suit :
1) Si λ > 0, alors le produit λ est le vecteur dont l'intensité a λ
fois l'intensité de  et dont le sens est le même que .
2) Si λ < 0, alors le produit λ est le vecteur dont l'intensité a λ
fois l'intensité de  et dont le sens est l'opposé de celui de .
3) Si λ = 0 ou si  = 0 , alors le produit λ est le vecteur nul.
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Propriétés du produit :
1. λ( + 
⃗⃗ ) = λ + λ
⃗⃗ ,
2. (λ + μ) = λ + μ,
3. 1 = ,
4. 0 = ⃗0.
La relation (675) de Chasles
La relation de Chasles (676) porte le nom de Michel Chasles,
mathématicien français du 19e siècle. Elle était connue depuis déjà
quelque temps mais les travaux de Michel Chasles en géométrie (412)
justifient qu'on lui en attribue en quelque sorte la paternité.
Initialement associée à la géométrie, pour décrire une relation
entre vecteurs dans un espace affine, la relation de Chasles s'écrit de la
manière suivante: pour des points ,  et  d'un espace affine (289):
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
 + 

Les deux relations suivantes se déduisent de la relation de
Chasles. Quels que soient les points A et B du plan (578) et l'origine
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
O, on a: −
, ⃗⃗⃗⃗⃗
 = ⃗⃗⃗⃗⃗
 − 
3. Représentation des vecteurs dans le plan
On utilise un système de coordonnées (709) rectangulaire pour
représenter les vecteurs dans le plan. Appelons  un vecteur de
longueur 1 dont la direction est celle de l'axe Ox (46) et  un vecteur
de longueur 1 dont la direction est celle de l'axe Oy (47) :
1
0
 = ( ),  = ( )
0
1
En deux dimensions, les deux vecteurs  et  forment ce que l'on
appelle la base (50) canonique (51). Elle est orthonormée (52) : les
deux vecteurs sont orthogonaux et ont une longueur de 1.
Si  est un vecteur ayant son point initial à l'origine  et son
point terminal en (, ), alors on peut représenter  comme
combinaison des vecteurs  et  :

1
0
 =  +  =  ( ) +  ( ) = ( )

0
1
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Les scalaires  et  sont appelés les composantes (101) du
vecteur  =  + , a étant la composante dans la direction  (102) et
 la composante dans la direction  (103).
En  dimensions, les vecteurs ont  composantes.
Théorème 1. Supposons qu’un vecteur  a pour point initial
1 (1 , 1 ) et comme point terminal 2 (2 , 2 ). On a alors:
2 − 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
=

=

−


+

−


=
(
1 2
2
1
2
1
2 − 1 ).
Téorème 2. Deux vecteurs 
⃗ et  sont égaux si et seulement si
leurs composantes correspondantes sont égales.
Nous pouvons à présent définir l’addition, la soustraction et le
produit en utilisant les composantes des vecteurs.


Soit  = ( ) et 
⃗⃗ = ( ) deux vecteurs et λ un scalaire. Alors :





±
λ
±
⃗⃗ = ( ) ± ( ) = (
) ; λ = λ ( ) = ( ).



±
λ
4. Norme d’un vecteur
Les quatre termes suivants sont synonymes: norme, intencité,
longueur, module.
Si  est un vecteur, on utilise le symbole ‖‖ pour représenter la
norme de . Puisque ‖‖ sera la longueur du vecteur, la norme doit
avoir les cinq propriétés suivantes :
1) ‖‖ ≥ 0;
2) ‖‖ = 0 si et seulement si  = 0;
3) ‖−‖ = ‖ ‖;
4) ‖λ‖ = |λ|‖‖;
5) ‖ + 
⃗⃗ ‖ ≤ ‖‖ + ‖
⃗⃗ ‖ (inégalité du triangle).
Un vecteur  pour lequel ‖‖ = 1 est qualifié de vecteur unité
(807) (ou unitaire). Dans le plan muni d’un système orthonormé (581,

713), on a: ‖( )‖ = √2 +  2 .

Théorème 3. Pour tout vecteur non nul, le vecteur 
⃗ = ⁄‖‖ est
un vecteur unité qui a la même direction et le même sens que .
Donc, on peut rendre unitaire n’importe quel vecteur (non nul) en
le multipliant par l’inverse de sa norme.
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5. Produit scalaire


Si  = ( ) et 
⃗⃗ = ( ) sont deux vecteurs du plan, alors le


produit scalaire  ∙ 
⃗⃗ (640) est défini ainsi :
∙
⃗⃗ =  + 
Propriétés du produit scalaire
Si 
⃗ ,  et 
⃗⃗ sont des vecteurs, alors
1) 
⃗ ∙ =∙
⃗ ;
2) 
⃗ ∙ ( ∙ 
⃗⃗ ) = (
⃗ ∙ ) ∙ 
⃗⃗ ;
3) 
⃗ ∙ ( + 
⃗⃗ ) = 
⃗ ∙+
⃗ ∙
⃗⃗ ;
4)  ∙  = ‖‖2 ;
5) ⃗0 ∙  = 0 ;
6) ( ) ∙ 
⃗⃗ = ( ∙ 
⃗⃗ ) .
Le produit scalaire permet de mesurer l’angle compris entre deux
vecteurs.
Soient 
⃗ et  deux vecteurs ayant le même point initial . Les
vecteurs 
⃗ ,  et (
⃗ − ) forment un triangle. C’est l’angle  au point
 que l’on appelle l’angle compris entre deux vecteurs 
⃗ et . Les
trois côtés du triangle ont pour longueur ‖
⃗ ‖, ‖‖ et ‖
⃗ − ‖. Le
théorème du cosinus (759) nous dit:
‖
⃗ − ‖2 = ‖
⃗ ‖2 + ‖‖2 − 2‖
⃗ ‖ ∙ ‖‖ ∙ cos()
Nous pouvons utiliser la propriété (4) pour réécrire cette formule
en termes de produit scalaire:
(
⃗ −  ) ∙ (
⃗ − ) = 
⃗ ∙
⃗ +  ∙  − 2‖
⃗ ‖ ∙ ‖‖ ∙ cos() (1)
Grâce à la propriété (3), le premier membre (283) de (1) peut
réécrire ainsi:
(
⃗ −  ) ∙ (
⃗ − ) = 
⃗ ∙ (
⃗ −  ) −  ∙ (
⃗ − ) =
=
⃗ ∙
⃗ −
⃗ ∙−∙
⃗ +∙ =
=
⃗ ∙
⃗ +  ∙  − 2
⃗ ∙
(2)
En combinant les équations (7) et (8), nous obtenons:

⃗ ∙
⃗ +  ∙  − 2
⃗ ∙ =
⃗ ∙
⃗ +  ∙  − 2‖
⃗ ‖ ∙ ‖‖cos()
ce qui donne, après simplification :
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⃗ ∙  = ‖‖ ∙ ‖‖ ∙ cos()
Théorème 5 (angle entre deux vecteurs). Si 
⃗ et  sont deux
vecteurs non nuls, alors l’angle α, 0 ≤ α ≤ π, compris entre les
vecteurs 
⃗ et  est donné par la formule :

⃗ ∙
cos(α) =
‖‖ ∙ ‖‖
|
⃗ ∙ |
et cos(α) =
pour l′ angle aigu .
‖‖ ∙ ‖‖
Vecteurs parallèles
Deux vecteurs  et 
⃗⃗ sont parallèles (ou on dit aussi
collinéaires) s’il existe un scalaire non nul λ tel que  = λ
⃗⃗ .
Vecteurs orthogonaux

Si l’angle entre deux vecteurs non nuls  et 
⃗⃗ vaut 2 , on dit que
les vecteurs sont orthogonaux.
Puisque le vecteur nul n’a pas de direction, on utilise comme
convention que le vecteur nul est orthogonal à tous les autres vecteurs.
Il suit de la formule (3) que si  et 
⃗⃗ sont orthogonaux, alors  ∙


⃗⃗ = 0 puisque cos ( ) = 0.
2
A l’inverse, si  ∙ 
⃗⃗ = 0, cela signifie que soit  = 0 soit 
⃗⃗ = 0,

soit enfin cos(α) = 0. Dans le dernier cas, α = 2 et donc  et 
⃗⃗ sont
orthogonaux.
6. Produit vectoriel (641) et produit mixte (642)
Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans
les espaces euclidiens orientés de dimension 3 (le produit vectoriel
n'existe pas en 2 dimensions). Le formalisme utilisé actuellement est
apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle (17) écrit par
Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique. Les travaux de
Hermann Gunter Grassmann et William Rowan Hamilton sont à
l'origine du produit vectoriel défini par Gibbs.
179
9
Soient deux vecteurs  et ⃗ formant un angle α (18). Par
definition, le produit vectoriel de  et ⃗ est le vecteur noté  ∧ ⃗ (lire
 « cross » ⃗) tel que :
1) la direction de  ∧ ⃗ est orthogonale à chacun des deux
vecteurs  et ⃗;
2) le sens de  ∧ ⃗ donne au triplet (; ⃗⃗⃗
;  ∧ ⃗) une orientation
directe;
3) la norme de  ∧ ⃗ est égale à l’aire du parallélogramme
construit sur  et ⃗:
10
‖ ∧ ⃗‖ = ‖‖‖⃗‖|sin(α)|.
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Composantes du vecteur  ∧ ⃗ dans une base orthonormée
1
1
Le produit vectiriel de  = (2 ) et ⃗ = (2 ) est le vecteur
3
3
2 3 − 3 2
 ∧ ⃗ = (3 1 − 1 3 )
1 2 − 2 1
Truc mnémotechnique pour calculer  ∧ ⃗: effectuez le
 1 1
1
0
0
«déterminant» |  2 2 |, avec  = (0),  = (1) et ⃗ = (0).
0
0
1
⃗ 3 3
La première colonne est composée de trois vecteurs, c’est pour
cette raison que le mot « déterminant » a été mis entre guillemets.
Aire d’un triangle. L’aire  d’un triangle  vaut la moitié de
l’aire du parallélogramme . D’où, d’après le point 3 de la
1
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗
définition du produit vectoriel (161):  = ‖
 ‖.
2
Produit mixte. On appelle produit mixte de trois vecteurs de
dimention 3 , ⃗ et  , pris dans cet ordre, le nombre réel noté [, ⃗,  ]
défini par:
[, ⃗,  ] =  ∙ (⃗ ∧  )
180
1
2
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1
1
Soient les vecteurs  = (2 ), ⃗ = (2 ),  = (2 ).
3
3
3
Alors
[, ⃗,  ] = det(, ⃗,  ).
3
4
En effet,
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2 3 − 3 2
[, ⃗,  ] = (2 ) ∙ (3 1 − 1 3 ) =
3
1 2 − 2 1
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= 1 | 2
3
2

| − 2 | 1
3
3
1

| + 3 | 1
3
2
1
1
| = |2
2
3
1
2
3
1
2 |.
3
(Source:
Didier Müller. Calcul vectoriel. – pp. 19-32. – URL :
http://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/GEOME/GEOME3.PDF)
11
12
11 DROITES DU PLAN
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2.
3.
4.
5.
6.
Coordonnées d’un point dans un repère
Equations d’une droite du plan
Etat des droites (229)
Distance (198) entre deux points d’un plan
Point de partage d’un segment
Distance d’un point à une droite
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28
La géométrie analytique (413) est une approche de la géométrie
dans laquelle on représente les objets par des équations ou
inéquations. » Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un
repère.
L’année 1637 est l'année de naissance de la géométrie
analytique, lorsque René Descartes publia, anonymement pour éviter
une dispute avec l'Eglise, son Discours de la méthode. Dans cet
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29
ouvrage, qui est également important pour l'histoire de la philosophie,
la troisième partie, intitulée La Géométrie, expose avec méthode les
principes fondamentaux de la géométrie analytique. Peu de temps
auparavant, Fermat (1601-1665) avait également développé la
méthode de la géométrie analytique (514), mais son traité Ad locos et
solidos isogogne ne fut pas publié avant 1670.
La forme actuelle fut cependant établie longtemps après
Descartes, en particulier par le Suisse Euler (1707-1783).
1. Coordonnées d’un point dans un repère
On appelle repère (680) du plan tout ensemble constitué d'un
point arbitraire fixe (591) (origine) et de deux vecteurs  et  non
parallèles.
Si les vecteurs  et  ont une norme de 1 et qu'ils sont
orthogonaux, on dit que le repère est orthonormé (681) . On note ce
repère {, (, )}. Sauf indication contraire, nous travaillerons toujours
1
0
dans un repère orthonormé, avec  = ( ) et  = ( ).
0
1
On appelle coordonnées d’un point  dans un repère {, (, )}
⃗⃗⃗⃗⃗ avec le repère {, (, )}.
les composantes du vecteur 
Dans le plan, les coordonnées du point  dans le repère {, (, )}
⃗⃗⃗⃗⃗ =  ∙  +  ∙ , la plupart du
sont les nombres réels  et  tels que 
1
0
temps avec  = ( ) et  = ( ). On écrit (, ) (on écrira les points
0
1
horizontalement et les vecteurs verticalement).
Dans l’espace, les coordonnées du point  dans le repère
{, (, , ⃗)} sont les nombres réels ,  et  tels que
1
0
⃗⃗⃗⃗⃗ =  ∙  +  ∙  + ⃗ , très souvent avec  = (0),  = (1) et ⃗ =

0
0
0
(0). On écrit: (, , ).
1
Terminologie
La première coordonnée  (133) est appelée abscisse (1) du point .
La deuxième coordonnée  est appelée ordonnée du point .
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Dans l'espace, la troisième coordonnée  est appelée cote (134) de .
2. Equations d’une droite du plan
Une droite  est un ensemble infini (256) de points alignés (608).
Il existe deux façons équivalentes de définir une droite:
1) en donnant deux points  et  quelconques de la droite;
2) en donnant un point  de la droite et un vecteur  indiquant sa
direction.
Notation. La droite passant par le point d’ancrage (588)

(0 , 0 ) et de vecteur directeur  = ( ) (808) est noté  (, ).

2.1) Taux de variation d’une droite (234, 801) passant par deux
points
La pente  (558) d’un segment est synonyme d’inclinaison, ou
de taux de variation (562, 755). Elle correspond au rapport (665) de
la différence des ordonnées et de la différence des abscisses des
extrémités du segment (669) :
2 − 1
=
.
2 − 1
2.2) Forme paramétrique d’une droite
Tous les points de coordonnées (, ) de la droite (, ) sont

0

définis par la relation: () = ( ) + λ ( ), λ ∈ ℝ que l’on peut
0

aussi écrire:
 = 0 + λ
{
, λ∈ℝ
 = 0 + λ
Ce système est appelé représentation paramétrique (685, 714) de
la droite (, ).
Le paramètre λ ∈ ℝ sert à modifier la longueur et éventuellement
le sens du vecteur pour que l’extrémité du vecteur puisse «toucher»
tous les points de la droite.
Il existe une infinité de manières de définir la même droite,
puisque la droite est composée d'une infinité de points (qui peuvent
tous servir de point d'ancrage) et qu'il existe une infinité de multiples
du vecteur directeur.
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2.3) Intersection (457) de droites sécantes (227, 462)
Pour déterminer  (, ) ∩  (, 
⃗⃗ ), procédez comme suit:
1) Ecrivez une représentation paramétrique de chaque droite en
désignant les paramètres par des lettres différentes (λ et μ par
exemple).
2) Imposez l’égalité des abscisses  et des ordonnées . On
obtient un système de deux équations avec les inconnues λ et μ. La
résolution (686) de ce système fournit les valeurs des paramètres
correspondant au point d’intersection des droites (458, 596).
2.4) Forme cartésienne d’une droite (230, 391)
On obtient l'équation (275) cartésienne (276) en partant des
équations paramétriques. Il suffit d'éliminer le paramètre λ (247) en
combinant les deux équations du système paramétrique. On obtiendra
alors une seule équation où n'apparaîtront plus que  et .
2.5) Cas général
28
La relation du type  +  +  = 0 est appelée équation
cartésienne de (, ).
L’équation cartésienne de la forme  = () s’appelle équation
cartésienne réduite ou équation fonctionnelle (279) de la droite.
Donc, la forme fonctionnelle d’une droite (231,393) est  =
 +  où le paramètre «» est la pente de la droite (559) et «» est
l’ordonnée à l’origine. Pour trouver l’abscisse à l’origine (2) (zéro de
la fonction) (389), il suffit de faire (−⁄).
L’équation  =  +  est la forme (390) la plus courante (399)
pour une droite.
La droite :  +  +  = 0 a comme vecteur directeur  =
(−⁄).
2.6) Forme symétrique d’une droite (233)
29
La forme symétrique d’une droite (396) est : x  y  1 où «»
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a
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b
est l’abscisse à l’origine et «» est l’ordonnée à l’origine. La pente est
donc −/.
184
1
Le «» et le «» doivent avoir un coefficient égal à 1, ce qui
2
signifie qu'on ne peut pas écrire des trucs comme 4 x  2 y  1 . Dans
3
3
ce cas, on écrira plutôt x  y  1.
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5
5/ 2
Il est aussi important que  ≠ 0 et que  ≠ 0 puisqu’une
division par 0 est indéterminée. La droite ne doit donc pas passer par
l’origine du plan. Cela signifie qu'on ne peut pas écrire l'équation
d'une variation directe (277, 802)  =  en forme symétrique (404).
2.7) Forme générale d’une droite (232, 394)
La forme générale d’une droite est :  +  +  = 0.
L’équation doit être égale à 0 et «» doit être positif. «», «»
et «» doivent être entiers.
La pente est (−⁄), l'ordonnée à l'origine est (− ⁄) et
l'abscisse à l'origine est (− ⁄).
Exemple. Les droites 2 − 3 + 7 = 0 et  + 6 − 9 = 0 sont
de la forme générale. La droite ci-dessous
−
+ 3 − 7 = 0
2
n’est pas exprimée sous la forme générale: le «» est négatif et
fractionnaire. Il est possible d'exprimer cette droite sous la forme
générale. On doit d'abord changer le signe de chacun des membres de
l'équation afin que «» soit positif. Il faut également multiplier chaque
membre de l'équation par 2 pour que tous les coefficients soient
entiers. On obtient l'équation suivante:  − 6 + 14 = 0.
3. État des droites
On sait que deux droites sont parallèles (224) lorsqu’elles ont la
même pente. Si en plus les deux droites ont la même ordonnée à
l’origine, on dit qu’elles sont parallèles et confondues.
On sait que deux droites sont perpendiculaires (225) lorsque la
pente de l’une est l’inverse de l’opposée de l’autre. Par exemple, 2/3
est l’inverse de l’opposé de (−3⁄2) et 7 est l’inverse de l’opposé de
(−1⁄7).
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Exemple.  = 2 + 7 et  = 2 − 5 sont parallèles car la pente
est la même. Elle est égale à 2.
4 −  + 7 = 0 et  + 4 + 12 = 0 sont perpendiculaires, car la
pente de la première est 4 est l’inverse de l’opposé de la pente de la
deuxième (−1/4).
4. Distance entre deux points d’un plan
Il est possible de calculer la distance entre deux points placés
dans le plan cartésien (579). On sait qu’un point dans le plan peut être
localisé à l’aide d’une paire de coordonnées, une en abscisse et une en
ordonnée (horizontale et verticale) (5).
Calculons la distance entre les points (−1, −2) et (5,3).
Commençons par les placer dans le plan cartésien. On trace la
distance entre ces points par une ligne droite.
La différence des coordonnées horizontales et verticales donne la
mesure des côtés d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse correspond
à la distance entre les deux points :
Donc  = 2 − 1 et  = 2 − 1 .
En appliquant le théorème (756) de Pythagore (760) on découvre
que la distance entre  et  est 6 2  52  36  25  61  7,81.
Le théorème de Pythagore nous permet de généraliser cette
formule :  = √(2 − 1 )2 + (2 − 1 )2 .
5. Point de partage (598) d’un segment
Le point de partage d’un segment est un point qui sépare ce
segment en deux plus petits segments selon un rapport donné (670).
Le calcul des coordonnées du point de partage d’un segment est une
généralisation du calcul du point milieu d’un segment (602). En effet,
il existe une infinité d’autres points de partage, comme le point qui se
trouve au tiers d’un segment; celui qui se trouve au quart, ou aux trois
quarts, ou aux cinq sixièmes du segment...
L’équation qui permet de déterminer les coordonnées de
n’importe quel point de partage doit tenir compte de la distance entre
les extrémités du segment et du rapport de la position du point de
partage avec ces extrémités.
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Deux notions primordiales sont à comprendre pour le calcul des
points de partage: le rapport partie à partie (667) et le taux.
5.1) Rapport partie à partie
Le rapport partie à partie (parfois appelé tout simplement
rapport) est exprimé sous la forme /, où «» est la distance du
point de partage à la premère extrémité du segment, et «» est la
distance du point de partage à la deuxième extrémité du segment. On
utilise habituellement une fraction irréductible pour exprimer le
rapport de la forme /. On écrit aussi souvent ce rapport de la
façon 3 ∶ 5 qui se lit: «trois pour cinq». Lorsque cette formulation est
utilisée, on sais sans aucun doute que c’est un rapport partie à partie.
Exemple. Le point P partage le segment AB dans un rapport trois
pour cinq à partir de A.
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Si on divise le segment en huit parties, le point de partage  se
trouve à trois parties de la première extrémité et à 5 parties de la
deuxième. Voilà pourquoi on exprimera ce rapport ainsi: 3/5.
5.2) Taux
Le taux (souvent appelé fraction) est exprimé sous la forme
/( + ), où «» et «» signifient la même chose qu’au point a).
On utilise habituellement une fraction irréductible pour exprimer le
rapport de la forme /( + ). En observant l’exemple précédent, on
remarque que le segment mesure 8 unités. Cela correspond à la forme
indiquée, car si on remplace  par 3 et b par 5, on obtient:

3
3
=
= .
+ 3+5 8
Afin de déterminer les coordonnées du point de partage, on
ajoute aux coordonnées de la première extrémité le taux du point de
partage multiplié par la différence des abscisses (si on veut la
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coordonnée en «» du point de partage) et des ordonnées (si on veut la
coordonnée en «» du point de partage) des extrémités du segment.
Il faut donc toujours se servir du taux pour déterminer un point
de partage. Dans l’évantualité où on donnerait un rapport dans la
question, il faut transformer ce rapport en taux (666).
Donc, les coordonnées du point de partage P sont :
 (1 +


(2 − 1 ); 1 +
( − 1 ))
+
+ 2
Exemple. Déterminer les coordonnées du point P séparant le
segment  dans un rapport 3 : 7 où le point  (départ) a les
coordonnées (−4, −2) et le point  les coordonnées (3,4).
Ceci est un rapport partie à partie. La variable  prend ici la
valeur 3 alors que la variable  prend la valeur 7.
3
  4 
3  ( 4 )  4  3  7  4  21  1,9 ;
37
10
10
3
  2 
4  ( 2 )  2  3  6  0,2 .
3 7
10
6. Distance d’un point à une droite
La distance d’un point à une droite est donnée par la longueur
qui sépare un point d’une droite donnée suivant le segment joignant
perpendiculairement le point et la droite (la plus petite distance entre
un point et une droite est justement celle qui les relie
perpendiculairement).
A partir de l’équation de la droite et des coordonnées du point,
on trouve la distance qui les sépare de la façon suivante :
Etape 1. On détermine l’équation de la droite qui est
perpendiculaire à la droite , c’est-à-dire qui aura pour pente (−1/)
( étant la pente de la droite ). L’ordonnée à l’origine (541) se
calcule à partir des coordonnées du point  et de la pente (−1/)
comme si on voulait trouver l’équation d’une droite à l’aide de la
pente et d’un point.
Etape 2. On cherche ensuite les coordonnées (2 , 2 ) du point
de rencontre (599) de la droite D et la droite perpendiculaire. Il suffit
pour cela d’égaler les équations des deux droites pour déterminer la
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valeur de , puis on substitue cette valeur dans l’une des équations
pour trouver la valeur de  (comme pour résoudre un système
d’équations).
Etape 3. On applique la formule de la distance entre le point  et
la droite :
 = √(2 − 1 )2 − (2 − 1 )2
(Source :
Didier Müller. Géométrie analytique. – pp. 33-35. – URL :
http://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/GEOME/GEOME4.PDF)
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12 DROITES ET PLANS DE L’ESPACE
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
Equations paramétriques
Position relative de deux droites
Plans dans l’espace
Position relative de droites et de plans
Distances
Angles
1. Equations paramétriques d’une droite
Soit la droite  passant par le point (0 , 0 , 0 ) et de vecteur

directeur  = ( ). Les équations paramétriques des droites dans

l’espace sont les mêmes que dans le plan, sauf qu’il y a une
coordonnée en plus : .
0


() = (0 ) + λ ( ), λ ∈ ℝ
0


que l’on peut aussi écrire:
 = 0 + λ
{ = 0 + λ
 = 0 + λ
29
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2
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4
2. Position relative de deux droites (621)
Dans le plan, il n’y a que deux éventualités: deux droites sont
sécantes ou parallèles. Dans l’espace, deux droites peuvent aussi être
gauches (222).
Droites
parallèles
sécantes
Deux droites sécantes
ont un point commun
(593). Deux droites
sécantes sont
coplanaires (221).
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Les vecteurs directeurs
de deux droites
parallèles sont
colinéaires. Elles
peuvent aussi être
confondues.
gauches (222)
Les deux droites
gauches n’ont aucun
point en commun.
Elles ne sont jamais
coplanaires.
3. Plans dans l’espace
Un plan (que l'on désigne souvent par les lettres ,  ou π) est un
objet fondamental à deux dimensions. Intuitivement il peut être
visualisé comme une «planche sans épaisseur» qui s'étend à l'infini et
que l'on peut orienter comme on veut dans l'espace.
Dans un espace à trois dimensions (290) et avec un système de
coordonnées (, , ), on peut définir le plan comme l'ensemble des
solutions de l'équation :  +  +  +  = 0, où , ,  et 
sont des nombres réels et où ,  et  ne sont pas simultanément nuls.
Un plan  peut être déterminé par:
1) trois points non alignés ;
2) deux droites sécantes ;
3) deux droites parallèles distinctes (non confondues) (228);
4) une droite et un point n’appartenant pas à cette droite;
5) un point du plan et une droite orthogonale au plan.
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3.1) Equations paramétriques d’un plan
Un plan π peut être défini par un de ses points, appelé point
d'ancrage, et par deux vecteurs directeurs non colinéaires donnant
l'orientation du plan dans l'espace (on désigne souvent un plan par la
lettre π, qui n'a rien à voir avec le nombre pi!).

Soit le point (0 , 0 , 0 ) et les vecteurs  = ( ) et 
⃗⃗ =


( ). Soit le plan Π = (, , 
⃗⃗ ) passant par A et de vecteurs

directeurs  et 
⃗⃗ . Les trois équations ci-dessous forment une
représentation paramétrique du plan:
0



() = (0 ) + λ ( ) + μ ( ), avec λ, μ ∈ ℝ
0



3.2) Equation cartésienne d’un plan
Soit (, , ) un point du plan Π = (, , 
⃗⃗ ), alors les vecteurs
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
,  et  sont coplanaires, donc, det(, , 
⃗⃗ ) = 0 :
 − 0  
| − 0   | = 0
 − 0  
En effectuant ce déterminant et en regroupant les termes, on
obtient une équation cartésienne du type:
Π:  +  +  = 0
4. Positions relatives de droites et de plans
4.1) Position relative d’une droite et d’un plan
Trois possibilités :
 une droite coupe (137) un plan en un point (138) ;
 une droite est parallèle à un plan ;
 une droite appartient à un plan.
4.2) Positions relatives de deux plans
Trois possibilités :
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


deux plans sont parallèles ;
deux plans sont identiques ;
deux plans sont sécants (leur intersection est une droite) (459).
4.3) Droites orthogonales
Les droites  et  sont orthogonales (223) si et seulement si le
produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul:  ∙  = 0.
Remarques: 1) Deux droites orthogonales ne sont pas
nécessairement séquantes. 2) Deux droites orthogonales et sécantes
sont appelées perpendiculaires.
4.4) Droite orthogonale à un plan
Une droite  est orthogonale à un plan π si et seulement si  est
orthogonale à toute droite de π.
Une droite orthogonale à un plan est aussi appelée normale (527)
de ce plan.
Théorème. Si une droite Δ est orthogonale à deux droites
sécantes d’un plan , alors Δ est orthogonale au plan .
Remarque.
Si une droite Δ est orthogonale à une droite  d’un plan , on ne
peut pas en déduire que Δ est orthogonale à P.
4.5) Propriétés de l’orthogonalité des droites et des plans
 Etant donnés une droite d et un point A, il existe un seul plan
passant par A et orthogonal à P.
 Etant donnés un plan π et un point A, il existe une seule droite
passant par A et normale à π (226, 528).
 Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
 Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas
nécessairement parallèles.
Conséquences.
1) Un plan peut être déterminé par un point et un vecteur normal.
2) Le plan d’équation cartésienne  +  +  +  = 0 (582)

admet le vecteur ( ) comme vecteur normal.

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3) Si deux plans :  +  +  +  = 0 et ′: ′ + ′ +
′ + ′ = 0 sont parallèles, alors les vecteurs normaux sont
collinéaires. Donc  = ′,  = ′,  = ′.
4.6) Plans perpendiculaires
1) Les plans  et  sont perpendiculaires si et seulement si les
vecteurs normaux de  et  sont orthogonaux.
2) Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l’un des
plans contient une droite orthogonale à l’autre plan.
3) Il existe une infinité de plans passant par un point A et
orthogonaux à un plan donné.
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5. Distances
12
5.1) Distance entre deux points
13
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On appelle distance du point  au point  la norme du vecteur
⃗⃗⃗⃗⃗
. On la note δ(, ):
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
δ(, ) = ‖
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5.2) Plan médiateur
L’ensemble des points (265) de l’espace équidistants de deux
points  et  est un plan appelé plan médiateur (580) de .
 est le milieu du segment ,
⃗⃗⃗⃗⃗ est un vecteur normal du plan π (583, 809),

 est un point arbitraire de π (lieu géométrique (613) des points
équidistants (610) des extrémités du segment ).
5.3) Distance d’un point à un plan
La distance d’un point  à un plan π est la distance du point  à
sa projection orthogonale ′ sur π.
Soit π le plan passant par un point  et de vecteur normal ⃗. La
distance δ du point  au plan π est :
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗|
|
=
‖ ‖
(formule vectorielle).
Soit π le plan d’équation  +  +  +  = 0. La distance du
point (0 , 0 , 0 ) au plan π est:
193
δ=
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|0 + 0 + 0 +  |
√2 +  2 +  2
(formule analytique).
5.4) Distance d’un point à une droite
Dans l’espace, la distance d’un point  à une droite  est la
distance du point  à sa projection orthogonale ′ sur la droite .
Si la droite est déterminée par un point  et un vecteur directeur
 , alors on calcule la distance d’un point  à une droite (,  )
suivant la formule:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ ‖
‖
δ(,  ) =
‖ ‖
5.5) Distance entre deux droites de l’espace
La distance entre deux droites (,  ) et (, ) est :
[ ⃗⃗⃗⃗⃗
 ,  , ]
δ(, ) =
‖ ⋀‖
6. Angles
Angles de deux droites. On appelle angle (aigu ou obtus) (19,20)
de deux droites l’angle que forment les vecteurs directeurs de ces deux
droites.
∙
⃗⃗
α = arccos (
)
‖‖ ∙ ‖
⃗⃗ ‖
Angle de deux plans. On appelle angle (aigu ou obtus) de deux
plans l’angle des vecteurs normaux à ces deux plans.
25
Angle d’une droite et d’un plan. On appelle angle (aigu ou obtus)
d’une droite d et d’un plan π l’angle que forme  avec sa projection ′
sur π.
Méthode : 1) Calculer l’angle aigu β formé par le vecteur
directeur de la droite  avec le vecteur normal du plan π. 2) L’angle
formé par  et π vaut  = 90° − β.
26
27
28
(Source :
Didier Müller. Géométrie analytique. – pp. 35-46. – URL :
http://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/GEOME/GEOME4.PDF)
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13 PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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2.
3.
4.
5.
Définitions
Propriétés de l’intégrale
Intégration par parties
Cangement de variables
Intégration des fractions rationnelles
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1. Définitions
Soient  un intervalle de ℝ et une fonction :  → ℝ. On dit
qu’une fonction :  → ℝ est une primitive de  (381, 624) si :
1)  est dérivable ;
2) pour tout  ∈ ,  ′ () = ().
Théorème (admis). Toute fonction continue :  → ℝ admet une
primitive.
Théorème. Soit :  → ℝ une fonction admettant une primitive.
Alors l’ensemble des primitives (266) de cette fonction  est { + ,
 ∈ ℝ } où  est une primitive particulière (625).
Notation pratique. On note souvent ∫ ( )d une primitive de 
(modulo une constante additive) (119, 626).
Définition. Soit :  → ℝ une fonction admettant une primitive.
Etant donnés ,  ∈ , on définit l’intégrale de  de  à  (439) par :

∫ ( )d = | =  () − () où  est une primitive de  (cela ne
dépend pas de la primitive utilisée).
Théorème. Soient :  → ℝ une fonction admettant une primitive

(354) et  ∈ . Alors  ( ) = ∫ ()d est la primitive de  qui est
nulle en .
2. Propriétés de l’intégrale
Soient , :  → ℝ des fonctions admettant une primitive. Alors
elles possèdent des propriétés suivantes :
1) Relation de Chasles :

32
∀, ,  ∈ ,


∫ ( )d = ∫ ( )d + ∫ ( )d


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La relation de Chasles permet d'étendre la définition de
l'intégrale au cas où la fonction (314) n'est continue que par morceaux
(319) sur l'intervalle d'intégration. On intègre séparément chacun des
morceaux et on ajoute ensuite les intégrales obtenues.
La relation de Chasles reste vraie même si les bornes des
intervalles d'intégration ne sont pas dans le bon ordre, ce qui peut
arriver après un changement de variable (75, 792). On convient de
changer le signe de l'intégrale quand on échange les bornes. Cette
convention est cohérente avec le fait que l'intégrale sur un intervalle
de longueur nulle vaut nécessairement 0.
2) Linéarité :
Soient λ, μ ∈ ℝ. Alors λ + μ admet une primitive sur  et

13

∫ λ( ) + μ( )d = λ ∫ ( )d + μ ∫ ( )d

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La propriété 2 (linéarité de l’intégrale) dit que l’intégrale est une
application linéaire de l’espace vectoriel (291) des fonctions
intégrables dans ℝ. On l’utilisera souvent, soit pour mettre en facteur
une constante devant l’intégrale (122), soit pour séparer le calcul en
deux intégrales plus simples.
3) Positivité :

Si  ≤  et  ≥ 0 sur , alors ∫ ( )d ≥ 0
4) Monotonie


Si () ≤ ( ) sur , alors ∫ ( )d ≤ ∫ ( )d
On peut utiliser la monotonie pour vérifier certains calculs. Par
exemple si une fonction  est positive sur l'intervalle d'intégration, son
intégrale ∫  doit être positive. L'intégrale d'une fonction positive et
non identiquement nulle (333) est même strictement positive: on
utilise souvent ce résultat sous la forme suivante :

28
∀ ∈ [, ] ∫ |()| = 0 ⇒ ( ) = 0

29
30
31
Toujours en utilisant la monotonie, la valeur de l'intégrale (450)
peut être encadrée à l'aide du minimum (518) et du maximum (503)
sur l'intervalle :
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( − ) min () ≤ ∫ ( )d ≤ ( − ) max ( )
∈[,]
∈[,]

Si on divise ces inégalités par la longueur de l'intervalle, on
obtient :

1
∫ ( )d ≤ max ()
min () ≤
∈[,]
∈[,]
− 
1

Il faut comprendre
∫ ( )d comme la valeur moyenne de
− 
la fonction sur l'intervalle (386). Le théorème de la moyenne dit que
cette valeur moyenne est atteinte sur l'intervalle : si  est continue sur
[, ], il existe  ∈ [, ] tel que

1
∫ ( )d = ( ).
− 
3. Intégration par parties
Cette méthode est basée sur la formule de dérivation d’un
produit :( ∙ )′ = ′  + ′.
Théorème. Soient  et  deux fonctions dérivables sur
l’intervalle . Si ′ admet une primitive, alors ′ admet une
primitive et on a :
1) ∫ ( ) ′ ( )d = ( )( ) − ∫ ( )′ ()d ;


2) ∫ ( ) ′ ( )d = ( )( )| − ∫ ( )′ ( )d.
On retient cette règle (671) sous la forme :
∫  =  − ∫ 
Cette méthode peut être utilisée pou un calcul directe de

l’intégrale ∫ ( ) ′ ()d, en employant au besoin plusieurs fois de
suite. Exemple : ∫ ()  d où  est un polynôme. Elle peut fournir
une relation de récurrence (677) permettant de calculer de proche en
proche des intégrales dépendant d’un paramètre. Exemple :
∫ cos 2 d. Il se peut aussi qu’après plusieurs intégrations par parties
on retombe sur l’intégrale de départ affectée d’un autre coefficient
(94, 446), ce qui permet de la calculer. Exemple : ∫   cosd.
28
197
3
4. Changement de variables
Cette méthode est basée sur la formule de dérivation des
fonctions composées (362):
4
( ∘ ℎ )′ =  ′ ∘ ℎ ∙ ℎ ′
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Donc,
∫( ′ ∘ ℎ)( ) ∙ ℎ′ ( )d = ( ∘ ℎ)()
Deux cas peuvent se produire :
1. La fonction  à intégrer (454) s’écrit sous la forme  ∘ ℎ ∙ ℎ′.
Dans ce cas on effectue le changement de variable  = ℎ(), on
calcule une primitive  de la fonction , alors, la fonction  ∘ ℎ est
une primitive de .
2. On veut faire un changement de variable du type  = ()
pour ramener le calcul des primitives de  à celui des primitives de  ∘
 ∙ ′.
Il faut alors faire attention au domaine de définition de , et
choisir de telle sorte que  soit bijective, de manière à pouvoir écrire
 =  −1 (), ce qui permettra de revenir en  à la fin du calcul. Si 
est une primitive de  ∘  ∙ ′, on aura alors
 =  ∘  −1
Remarque. Dans tous les cas, il faut retenir la ruivante : pour le
changement de variavle  = φ(),  = φ′ ( )d et si  varie de  à
, alors u varie de φ() à φ().
5. Intégration des fonctions rationnelles (346)
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples sur ℝ.
a) La partie polynomiale s’intègre directement.
b) Les termes de la forme 1⁄( − ) , où  est réel et  entier,
s’intègrent en :
ln| − |
si  = 1
d
1
∫
={
si  > 1
( − )
(1 − )( − )−1
c) Pour les éléments de deuxième espèce :
198
 + 
( 2 +  + )
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14
on fait appararître au numérateur la dérivée de  2 +  +  :
 + 
=
( 2 +  + )

2 + 

1
=
+ ( − ) 2
2 ( 2 +  + )
2 ( +  + )
La première partie s’intègre immédiatement. Pour intégrer le
terme (451, 452) de la deuxième partie, on utilisera la formule

2
2 + 
∫ 2
=
arctan
 +  +  √−Δ
√−Δ
où Δ désigne le discriminant 2 − 4 du trinôme.
Pour les termes de degrés plus élevés, on commence par mettre
le trinôme sous forme canonique (403, 776) :
 2
2
 +  +  = ( + ) +  −
2
4
Et on effectue le changement de variable
2 + 
=
√−Δ
Ce sont des méthodes essentielles d’intégration.
2
15
(Source :
16
17
18
19
Bernard Ycart. Calcul des intégrales // Cours :
Mathématiques et Calcul 2. – URL :
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/MC2/node11.html
20
21
14 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
22
23
24
25
1. Approche de la notion d’intégrale généralisée
2. Définition d’intégrale généralisée (442) (impropre)
3. Propriétés des intégrales généralisées
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1. Approche de la notion d’intégrale généralisée
En mathématiques, l’intégrale généralisée (ou impropre)
désigne une extention de l’intégrale usuelle (448), définie par une
forme de passage (398) à la limite dans des intégrales. On note en
générale les intégrales impropres sans les distinguer des véritables
+∞ sin 
intégrales ou intégrales définies ». Ainsi, ∫0
 est un exemple

très classique d’intégrale impropre (443) convergente (440), mais qui
n’est pas définie au sens de l’intégration usuelle.
Dans la pratique, on est amené à faire une étude de convergence
d’intégrale impropre
 lorsqu’on intègre jusqu’à une borne infinie,
 lorsqu’on intègre jusqu’à une borne en laquelle la fonction
n’admet pas de limite finie,
 lorsqu’on englobe un point de non définition (167) dans
l’intervalle d’intégration.
Dans chaque cas, on évaluera l’intégrale définie comme une
fonction d’une des deux bornes et on prendra la limite de la fonction
obtenue lorsque l’argument tend vers la valeur de la borne.
2. Définition d’intégrale généralisée (impropre)
a) Soit : [, [ → ℝ une fonction continue. Si la limite

lim ∫ ()
→ − 
existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de  sur
[, [.
b) De la même manière, soit : ], ] → ℝ une fonction continue.
Si la limite

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30
lim ∫ ()
→ − 
existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de  sur
], ].
Dans les deux cas on peut noter cette limite de la manière
suivante :
200

∫ ()
1

2
3
4
5
6

Si la limite existe et est finie on dit que ∫ () converge,
sinon on dit qu’elle diverge.
Remarques
 On peut généraliser facilement la définition à des fonctions qui
sont continues seulement sur ], [ (166). On dit alors que

∫ ()
7

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25
26
converge lorsque pour tout  ∈ ], [ arbitraire, les intégrales


∫ () et ∫ () convergent.
 Il existe une autre notation qui permet d’expliciter le caractère

→
impropre de l’intégrale : lim− ∫  () peut s’écrire ∫ ().
→
 Si  est en fait continue sur le segment [, ], on obtient par
ces définitions la même valeur que si on calculait l’intégrale définie de
la fonction .
3. Propriétés des intégrales généralisées
Les propriétés de l’intégrale se généralisent aux intégrales
impropres. On les donnera sur ]∞; ], [; +∞[, ]−∞; +∞[ selon le
cas. Chaque propriété est bien sûr valable dans tous les cas.
1. Relatopn de Chasles
Soit  une fonction continue (ou continue par morceaux) telle
+∞
que ∫  converge. Alors :
+∞
∀ ∈ [; +∞[, ∫
+∞
 converge et ∫

+∞
 = ∫  + ∫
.
2. Linéarité
Soient  et  deux fonctions continues (ou continues par


morceaux) telles que ∫−∞  et ∫−∞  convergent. Alors :

∫−∞(λ + μ) converge et
201
3
4


−∞
−∞
−∞
∫ (λ + μ) = λ ∫  + μ ∫ .
1
2

3. Positivité
Soit  une fonction continue (ou continue par morceaux) telle
+∞
que ∫−∞  converge, et () ≥ 0 sur ]−∞; +∞[. Alors :
+∞
∫
5
 ≥ 0.
−∞
6
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8
4. Convergence absolue
Soit  une fonction continue (ou continue par morceaux) telle
+∞
que ∫ || converge. Alors :
+∞
∫
9
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12
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17
 converge.
On dit alors que l’intégrale converge absolument (449).
5. Critère de convergence
Soit  une fonction positive sur [; +∞[ (357). Alors la fonction

 ( ) = ∫ () est dérivable et  ′ ( ) = () ≥ 0 donc  est
croissante. On obtient donc que  admet une limite en +∞ si et
seulement si elle est majorée, ce qui donne :
+∞
∫

 converge si et seulement si ∫ ()d est majorée.
Dans le cas contraire l’intégrale diverge vers +∞.
(Source :
Intégrale (mathématiques) // Techno-Science.net. – URL :
http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=6041
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22
23
15 APPLICATION DU CALCUL INTÉGRAL (32)
24
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28
29
1.
2.
3.
4.
5.
Volume (812) d’un solide (738)
Volume d’un solide de révolution (739, 813)
Surface d’un solide de révolution
Surface d’une courbe fermée (145)
Longueur d’un arc de courbe (34)
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202
1
2
3
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19
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21
22
Les applications du calcul intégral sont multiples et variées, en
voici quelques exemples en analyse, géométrie et physique.
Applications en analyse (14) : recherche de primitive, études de
suites, études de fonctions définies par une intégrale, résolution
d’équations différentielles.
Applications (31) géométriques : calcul de grandeurs telles que
aire d’une surface plane (6, 7, 745), volume limité par une surface
fermée (746), volume des solides de révolution, longueur d’un arc de
courbe.
Applications physiques : calcul de la valeur moyenne d’une
fonction en électricité, calcul de la valeur efficace d’une fonction
périodique sur un intervalle, détermination des coordonnées du centre
d’inertie d’un solide, calcul du moment d’inertie d’un solide.
1. Volume d’un solide
On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct
(682) (, , , ⃗) et l’on considère un solide  dont on souhaite calculer
la mesure du volume . Découpons (155) ce solide en tranches
horizontales (156) infiniment fines. Notons  la cote du point le plus
bas et  la cote du point le plus haut. A la hauteur , la tranche (771)
correspond à la section (732) du solide (733)  par un plan horizontal.
Cette tranche est une surface de mesure () (747) et les propriétés
des intégrales montrent que :

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 = ∫ ()

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30
31
Exemple. Calcul du volume d’une sphère. On considère une
sphère (740) de rayon  (741). A la hauteur , la section de la sphère
(734) avec un plan horizontal (742) est un disque de rayon √2 −  2 ;
il suffit d’appliquer le théorème de Pythagore à un plan vertical
passant par le centre de la sphère. Ainsi, d’après la formule
précédente,

 3 
4
2
2
3
 = ∫ ( −  ) d = 2 − (
)|
= 3 .
3
− 3
−
2. Volume d’un solide de révolution
203
1
2
3
4
5
Dans le cas particulier où le solide est obtenue en faisant tourner
une surface (744) autour de l’axe , chaque tranche est un cercle
dont le rayon est  = () où () est l’équation de la courbe formant
le contour (146) de la surface. Le disque a donc une surface égale à
π()2 et l’on en déduit que :

6
 = ∫ π()2 d

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Figure 1. Volumes de révolution
Exemple. Calcul du volume d’un cône. On considère un cône
droit (116), de hauteur ℎ dont la base (56) a un rayon . A la hauteur
, la section du cône (115, 735) avec un plan horizontal (117) est,
d’après le théorème de Thalès (761), un disque de rayon ⁄ℎ. Ainsi,
2 ℎ 2
1
 = π 2 ∫   = π2 ℎ.
ℎ 0
3
3. Surface d’un volume de révolution
On considère toujours un solide obtenu en faisant tourner une
surface autour de l’axe  (749). A la hauteur , l’équation de la
courbe obtenue en interceptant la surface extérieur avec un plan
horizontal est (). On souhaite calculer la surface spacial enfermant
ce volume. Nous admettons que :

20
 = ∫ 2π()√ 1 +  ′ ()2 

21
22
23
24
Exemple. Surface d’une sphère de rayon . Une coupe (135)
verticale (136) de la sphère (743) passant par  a pour équation  2 +
 2 = 2 et  = () = √2 −  2 . Alors  ′ () = − ⁄√2 −  2 et
l’on a :
204

1
 = ∫ 2π√2 −  2

 = 4π2
√2 −  2
4. Surface d’une courbe fermée
Considérons une courbe (139) fermée plane (147) enfermant une
surface . L’équation de cette courbe doit être donnée sous forme
paramétrique (395)  = () et  = (). Lorsque le paramètre 
décrit un intervalle donné [, ], l’ensemble des points ( (), ())
décrit la courbe. Dans ce cas, l’aire de la surface enfermée (748) est
donnée par :
−
2
3
4
5
6
7
8

 = ∫ () ′ ()
9

10
11
Lorsque la courbe est donnée en coordonnées polaires sous la
forme ρ = (),  ∈ [1 , 2 ], la formule devient :
2
 = ∫ ()2 d
12
1
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Exemple. « Surface d’une caroïde. Une caroïde (70) est une
courbe ayant la forme d’un cœur (elle ressemble d’ailleurs plus à la
tranche d’une pomme) ». C’est également la figure qui apparaît au
fond d’une tasse de café lorsque celle-ci est éclairée par le soleil (ce
type de courbes s’appellent des caustiques).
L’équation d’une caroïde en coordonnées polaires est ρ =
(1 + cos θ). L’aire de la caroïde est :
20
 = ∫ 2 (1 + cos θ)2 θ =
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0
21
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24
θ 1
π 3π2
=  [θ + ( + sin(2θ) + 2 sin θ)] | =
0
2 4
2
On pourrait, en utilisant une des formules précédentes, calculer le
volume de révolution associé à la cardioïde. Le solide obtenu a la
forme d’une pomme :
2
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1
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14
Figure 2. Solide associé à la cardioïde
Cette surface de révolution est utilisée en radio et par les
preneurs de son ; elle correspond au lobe de sensibilité d’un
microphone caroïde : ce type de micro est celui qui capte le mieux les
sons provenant de l’avant en atténuant les autres.
5. Longueur d’un arc de courbe
Considérons une courbe d’équation  = () (149) comprise
entre deux points d’abscisses  et . Considérons, sur cette courbe,
deux points très proches d’abscisses  et . Soit  la longueur de
l’arc de courbe correspondant ; la corde δ (longueur du segment) entre
ces deux points vérifie, d’après le théorème de Pythagore,  2 = d 2 +
d 2 , donc
2
d 2
=1+( )
d 2
d
et lorsque d → 0, la corde tend vers la longueur de l’arc :
d
= √1 + ′()2 ,
d

15
 = ∫ √1 + ′()2 d.

16
17
18
(Source :
Applications des intégrales définies. – URL :
http://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/ANALY/ANALY8.PDF)
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21
16 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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23
1. Équations différentielles du 1er ordre
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4
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6
2. Équations différentielles à variables séparées (793)
3. Équations différentielles linéaires
4. Équations différentielles linéaires du 1er ordre
5. Équations différentielles linéaires du second ordre à
coefficients constants
6. L’équation sans second membre
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Une équation différentielle (ED) (278) d’ordre  est une équation
faisant intervenir une fonction  ainsi que ses dérivées  () jusqu’à
l’ordre . Par exemple, une telle équation pourrait être
1
 ′ () = 2 ⋅ () ou  =  2  ′′ − 5.
2
e
Dans le 2 exemple, il est sous-entendu que y est fonction de ,
ou plutôt que  signifie l’application  = ( ⟼ ) : c’est en effet
une égalité (241) entre fonctions.
Définition 1
L’équation différentielle d’ordre n la plus générale peut
toujours s’écrire sous la forme (, , ′, … ,  () ) = 0 où  est une
fonction de ( + 2) variables. Nous ne considérons que le cas ou  et
 sont à valeurs dans ℝ. Une solution à une telle équation
différentielle sur  ⊂ ℝ une fonction y ∈ ∁n (I; ℝ) (une fonction y ∶
I ⟼ ℝ qui est n fois continûment dérivable) telle que pour tout x ∈ I,
on ait
(, (),  ′ (), … ,  () ()) = 0
1. Équations différentielles du 1er ordre
Définition 2
Une équation différentielle est du 1er ordre si avec  elle ne fait
intervenir que la première dérivée ′.
2. Équations différentielles à variables séparées
Définition 3
Une équation différentielle de 1er ordre est dite à variables
séparées si elle peut s’écrire sous la forme  () ⋅  ′ = ( ).
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Une telle équation différentielle peut s’intégrer (455) facilement.
d
En effet, on écrit  ′ = d , puis, symboliquement,
() ⋅ d = ( ) ⋅ d ⇔ ∫ ()d = ∫ ( )d + 
On écrit ici explicitement la constante d’intégration arbitraire
(120, 121)  ∈ ℝ (qui est déjà implicitement présente dans les
l’intégrales indéfinies) pour ne pas l’oublier.
Il s’agit donc d’abord de trouver des primitives    de  et de
, et ensuite d’exprimer y en terme de x (et de C) :
 () =  ( ) +  ⇔  =  −1 ( ( ) +  )
C’est pour cette raison que l’on dit aussi
«résoudre » une équation différentielle.
«intégrer»
pour
3. Équations différentielles linéaires
Définition 4
Une équation différentielle d’ordre  est linéaire si elle est de la
forme () = ( ) avec
() = 0 ( ) + 1 () ′ + 2 ( ) ′′ + ⋯ +  ( )  (*) .
L’application  ∶   →  0 qui à la fonction  associe la
nouvelle fonction (), est une application linéaire.
Définition 5
L’équation différentielle () = 0 (E.H.) s’appelle équation
homogène associée à (*).
4. Équations différentielles linéaires du 1er ordre
Nous nous intéressons à la résolution des équations de la forme
 ′ + ( ) = ()
Dans cette équation,  et  sont des fonctions de x, définies et
continues sur un intervalle ouvert  de ℝ. Par exemple  ′ +  sin  =
2 sin  sur ℝ. On cherche une fonction y de x, définie et continûment
dérivable sur , qui vérifie l’égalité ci-dessus (où ′ est bien sûr la
dérivée de ). C’est une équation différentielle (c’est-à-dire une
équation faisant intervenir une fonction inconnue  (331, 433) et ses
dérivées). Dire qu’elle est du premier ordre veut dire que cette
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équation ne fait intervenir que la fonction  et sa dérivée première ′
(181).
La linéarité est une propriété importante. On dispose d’une
méthode générale pour les équations linéaires : on remarque que si 1
et 2 sont deux solutions de l’équation linéaire () = , alors leur
différence 1 − 2 vérifie (1 − 2 ) = 0. On est ainsi conduit à
considérer l’équation sans second membre, ou équation homogène
() = 0. Supposons que l’on a déterminé l’ensemble  des solutions
de l’équation sans second membre, et que l’on connaisse une solution
particulière 1 (701) de l’équation complète. Alors  est solution de
l’équation complète si et seulement si on a  = 1 +  où  ∈  est
solution de l’équation sans second membre. Ceci s’énonce de la
manière suivante.
La solution générale de l’équation linéaire complète est somme
d’une solution particulière de l’équation complète et de la solution
générale de l’équation sans second membre.
Ceci va guider notre démarche pour l’équation différentielle
linéaire du premier ordre. On commence par chercher la solution
générale de l’équation sans second membre, puis on voit comment
trouver une solution de l’équation complète.
4.1) La solution générale de l’équation sans second membre
Nous cherchons la solution générale de l’équation  ′ + ( ) =
0, où a est une fonction réelle continue sur l’intervalle ouvert I de ℝ.
Si y ne s’annule pas sur i, on peut écrire
′

= −(), et on reconnait
à gauche la dérivée de ln(||). On en déduit donc, si  = ∫ ()
est une primitive de  sur , que ln(||) = −() +  où  est une
constante réelle, d’où  = e−() = e− ∫ () , où  est une
constante réelle. Ce calcul est délicat à justifier complètement (en
particulier l’hypothèse  ′ = 0), mais il nous donne tout de même la
solution.
Théorème 1
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34
La solution générale (702) de l’équation sans second membre
(282, 695) ′ + () = 0 est  = e−() , où () est une
primitive de () et  une constante réelle.
Démonstration : Soit  une fonction continûment dérivable sur I
(318). Puisque e−() ne s’annule jamais sur I, on peut bien poser
( ) = ()e−() c’est à dire ( ) = e−() () .
Ceci définit une fonction u (360) continûment dérivable sur I.
On a :
 ′ + () = ′ e−() + (−()e−() ) + ()e−() = ′ −()
et donc y est solution de l’équation  ′ + ( ) = 0 si et seulement si
′ e−() = 0, c’est à dire si et seulement si  est une constante
puisque e−() ne s’annule pas sur I. Ceci montre le théorème.
Ceci nous donne la réponse, dans la mesure où l’on sait calculer
une primitive de . Considérons par exemple l’équation sans second
membre  ′ +  sin  = 0 sur ℝ. Une primitive de −sin x est cos x , et
donc la solution générale de cette équation est  = ecos  , où K est
une constante réelle.
Remarquons qu’une solution ou bien est constamment nulle sur
l’intervalle I, ou bien ne s’annule jamais sur I. Ceci justifie a posteriori
le calcul qui consistait à exclure le cas  = 0 et à diviser par .
4.2) Solution de l’équation complète
On cherche la solution générale de l’équation  ′ + ( ) =
(), connaissant la solution générale de l’équation sans second
membre  ′ + ( ) = 0, sous la forme ( ) = () où K est une
constante réelle et () =  −() , avec A une primitive de a.
On sait, d’après la discussion ci-dessus, qu’il suffit de connaître
une solution particulière de l’équation complète. On a parfois la
chance d’en voir une sans calcul. Par exemple, y = 2 est une solution
évidente (703) de  ′ +  sin  = 2 sin , et donc la solution générale
de cette équation est
 = 2 + ecos 
Si ce n’est pas le cas, on dispose de la méthode de variation de la
constante (124, 515, 803). Elle consiste à poser () = ()(), et à
trouver  pour que  soit solution de l’équation complète. On a  ′ +
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1
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( ) = ′  +  ′ + ( ) = ′ puisque z est solution de
l’équation sans second membre. Donc  est solution de l’équation
complète si et seulement si ′ = ()/ (on peut bien diviser puisque
()
 ne s’annule jamais sur ). Si () est une primitive de () =
( )e () , alors e−() () est une solution particulière de l’équation
complète. Récapitulons.
7
8
12
Théorème 2
Soit  et  deux fonctions réelles continues sur l’intervalle ouvert
. Soient  une primitive de , et  une primitive de e . Alors la
solution générale de l’équation différentielle ′ + () = () est
13
( ) = e−() (( ) + ),
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où  est une constante réelle.
On a donc ramené le problème de résolution de l’équation
différentielle au calcul de deux primitives. Par exemple, résolvons
 ′ − ⁄ = /√1 −  2 sur l’intervalle ]0,1[. Une primitive de 1/
est ln| |, donc la solution générale de l’équation sans second membre
est  = . On fait varier la constante (123) en posant  = (), ce
qui donne en portant dans l’équation complète ′ = 1/√1 −  2 d’où
une solution particulière  =  Arcsin (). La solution générale de
l’équation sur ]0, 1[ est donc
 = (Arcsin () + ),
où K est une constante réelle.
4.3) Solution vérifiant une condition initiale (112, 704)
La donnée d’une condition initiale pour l’équation  ′ + ( ) =
() sur l’intervalle ouvert I est la donnée d’un point 0 de  et d’un
réel 0 . Une solution satisfaisant à cette condition initiale (114, 705)
est une solution  telle que (0 ) = 0 .
Théorème 3
211
4
Il existe une et une seule solution de l’équation  ′ + ( ) =
() sur  satisfaisant à la condition initiale (0 ) = 0 .
Démonstration
On a vu que la solution générale s’écrit
5
 = e−() (( ) + )
1
2
3
11
où () est une primitive de (), () une primitive de e() (),
et  une constante réelle.
La condition initiale permet de déterminer cette constante :
0 =  −() ((0 ) + ), soit  =  (0) 0 − (0 ), ce qui montre
l’existence et l’unicité de la solution vérifiant la condition initiale.
Par exemple, la solution de  ′ +  sin  = 2 sin  vérifiant
12
y(0) = 0 est 2 + ecos 
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33
avec 0 = 2+Ke, d’où
 = −2/e et  = 2 (1 − ecos −1 )
Le problème d’existence et d’unicité de solution (637) d’une
équation différentielle vérifiant une condition initiale (appelé
problème de Cauchy (636)) est un problème important de la théorie
des équations différentielles.
5. Equations différentielles linéaires du second ordre à
coefficients constants (82, 83)
On cherche ici à résoudre l’équation  ′′ +  ′ +  = (), où
, ,  sont des constantes réelles, avec ′ = 0, et  une fonction
définie et continue sur un intervalle  de ℝ. On veut trouver les
fonctions , deux fois continûment dérivables de  dans ℝ, qui
vérifient cette équation. C’est une équation différentielle du second
ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde de .
C’est une équation linéaire, c’est-à-dire que, si 1 et 2 sont
solutions de l’équation () = (), alors (1 − 2 ) = 0. On est
ainsi amené à résoudre l’équation sans second membre () = 0.
Supposons que l’on ait déterminé l’ensemble  des solutions de
l’équation sans second membre, et que l’on connaisse une solution
particulière 1 de l’équation complète. Alors  est solution de
l’équation complète si et seulement si on a  = 1 +  où  ∈  est
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1
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4
5
6
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solution de l’équation sans second membre. Ceci s’énonce de la
manière suivante.
La solution générale de l’équation complète est la somme de la
solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution
particulière de l’équation complète.
6. L’équation sans second membre
On s’intéresse ici à l’équation sans second membre
8
 ′′ +  ′ +  = 0
9
10
On recherche une solution de la forme  = e (405), où  est
une constante. En substituant dans l’équation, on trouve
11
e ( 2 +  + ) = 0
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16
Le polynôme () =  2 +  +  s’appelle polynôme
caractéristique (615) de l’équation différentielle.
Trois cas sont à distinguer.
1. Le polynôme caractéristique a deux racines réelles (654)
distinctes 1 et 2 ( 2 − 4 > 0). Alors
19
1 = e1  et 2 = e2 
sont solutions de l’équation sans second membre. La solution générale
de l’équation sans second membre sur ℝ est
20
 = 1 e1 + 2 e2 
17
18
26
où 1 et 2 sont deux constantes réelles.
2. Le polynôme caractéristique a deux racines complexes (652)
conjuguées distinctes λ = α + iβ et λ = α − iβ ( 2 − 4 < 0).
Alors eλ et eλ sont des fonctions à valeurs complexes de  (353),
qui sont solutions de l’équation différentielle sans second membre.
On a :
27
e = e (cos( ) + i sin()),
21
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23
24
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30
e = e (cos( ) − i sin())
Nous sommes intéressés par les solutions réelles. La partie réelle
1 = eα cos(β) ainsi que la partie imaginaire 2 = eα sin(β ) de
213
2
eλ sont des solutions réelles de l’équation, et la solution générale de
l’équation sans second membre est :
3
 = e (1 cos() + 2 sin())
1
4
5
6
7
8
9
où 1 et 2 sont des constantes réelles.
(Source :
1) Maximilian F. Hasler. Cours de Mathématiques 2.
Première partie : Analyse 2. – URL : http://les.mathematiques.free.fr/pdf/ch3.pdf)
2) Équations différentielles. – pp. 57-64. – URL: http://perso.univrennes1.fr/maximilian.bauer/AN1/09_equa-diff.pdf
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17 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
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1. Fonctions réelles de plusieurs variables (794)
2. Représentation graphique (683, 684)
3. Dérivées partielles de fonctions de deux variables
4. Différentielle (190) totale (191)
5. Courbes de nivaux
1. Fonctions réelles de plusieurs variables (321)
Dans les chapitres précédents, nous avons étudié les fonctions
réelles d’une seule variable,  = (), où  ∈ ℝ. Dans de nombreux
problèmes, nous devons décrire le comportement d’une variable en
fonction de plusieurs variables. Par exemple, l’aire d’un rectangle
dépend de sa longueur et de sa largeur. En économie, nous décrivons
souvent la relation entre la quantité produite par une firme comme une
fonction de plusieurs facteurs de production (travail, capital).
La terminologie et les notations pour les fonctions de deux ou
plusieurs variables est similaire à celle introduite pour les fonctions
d’une seule variabe. Par exemple, l’expression  = (, ), signifie
que  (la variable dépendante (788)) est une fonction de  et de  (les
variables indépendantes (789)). De même, la notation  = (, , ),
signifie que  est une fonction de , , et . Plus généralement,  =
(1 , 2 , . . . ,  ), signifie que  dépend de 1 , 2 , . . . ,  , où  désigne
le nombre de variables indépendantes. Dans les exemples qui vont
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suivre, nous nous contenterons souvent du cas où  = 2, c’est-à-dire
du cas où (. ) est une fonction de deux variables, sauf dans de rares
expressions.
Il convient de préciser le domaine de définition (216) de la
fonction qui est l’ensemble des points où la fonction est bien définie
(368).
Exemple
Trouver le domaine de définition de la fonction définie par
(, ) = ln( 2 − ).
Nous devons avoir  2 –  > 0 ou encore  2 > . Pour dessiner
cette région dans le plan, nous tenons comte du fait que la courbe  =
 2 sépare les deux régions :  2 >  et  2 < .
Afin de déterminer la région qui convient, nous choisissons un
“point test” (604) arbitraire en dehors de la zone frontière  =  2 afin
de déterminer si ce point appartient ou non au domaine. Par exemple,
choisissons le point (, ) = (0, 1). Nous avons :
2 = 0 <  = 1
Donc la région recherchée est celle qui ne contient pas le point
(0,1).
2. Représentation graphique
Il est possible de représenter graphiquement une fonction de
deux variables décrivant une relation du type  =  (, ) en utilisant
une représentation dans espace à 3 dimensions. Par exemple, la
représentation graphique de la fonction
 (, ) = 1 −  − 0,5
215
1
2
est le graphe de l’équation  (, ) = 1 −  − 0,5 (415), qui est
l’équation d’un plan dont nous pouvons visualiser une portion.
3
5
Considérons un autre exemple  (, ) = √1 −  2 −  2 . Le
domaine de définition est donné par
6
 = {(, ) =  2 +  2 ≤ 1}
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Il s’agit de l’intérieur du cercle de centre (0, 0) et de rayon 1, soit
le disque de centre (0, 0) et de rayon 1.
Nous obtenons la représentation graphique suivante :
qui a la forme d’une demie-sphère. En effet, la relation
 = √1 −  2 −  2
peut se réecrire  2 = 1 −  2 −  2 ou
 2 +  2 +  2 = 1. Cette
équation décrit les coordonnées d’une sphère de centre (0, 0, 0) et de
rayon 1. Mais comme z doit être positif, nous ne devons considérer
que la portion de la sphère telle que  ≥ 0, qui est une demie-sphère.
Dans la suite, nous utiliserons souvent des représentations graphiques
réalisées à l’aide de logiciels mathématiques afin de visualiser les
concepts introduits dans ce cours.
3. Dérivées partielles de fonctions de deux variables
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3.1) Dérivées du premier ordre
Supposons que (. ) soit une fonction de deux variables,  et .
Si  est maintenu constant, disons  = 0 , alors (, 0 ) définit une
fonction de la seule variable . Nous pouvons (nous supposons que les
hypothèses de régularité classiques sont vérifiées) alors calculer la
dérivée de cette nouvelle fonction en un point  = 0 , dérivée que
nous notons  (0 , 0 ), et qui est appelée dérivée partielle de  (180)
par rapport à  au point (0 , 0 ). Nous pouvons aussi utiliser cette
autre notation :
∂(0 , 0 )
≡  (0 , 0 )

De même, si  est maintenu constant avec  = 0 , (0 , )
définit une fonction de la seule variable  dont nous calculons la
dérivée au point  = 0 , que nous noterons  (0 , 0 ), ou encore
(0 , 0 )
≡  (0 , 0 )

Cette dernière expression est la dérivée partielle de  par rapport
à  au point (0 , 0 ). Souvent, nous utilisons les notations:


et


lorsque nous donnerons l’expression fonctionnelle des dérivées
partielles en un point quelconque (, ) en omettant les arguments de
la fonction. Si la relation fonctionnelle (678) est exprimée sous la
forme  = (, ), nous utiliserons aussi les notations
 
 
≡
et
≡ .
 
 
Exemple
Trouver  (1,2) et  (1,2) pour la fonction donnée par  (, ) =
2 3  2 + 2 + 4.
Réponse
En traitant  comme une constante, nous avons  (, ) =
2 2
6  + 4. De même, en traitant  comme une constante, nous
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obtenons  (, ) = 4 3  + 2. Ainsi, nous obtenons  (1, 2) = 6 ∙
12 ∙ 22 + 4 = 28 et  (1, 2) = 4 ∙ 13 ∙ 2 + 2 = 10.
Le signe des dérivées partielles indique que la fonction croît dans
les deux directions  et  au voisinage (810) du point de coordonnées
(1,2) comme le montre la figure qui suit :
3.2) Dérivées partielles d’ordre supérieur
Dans la mesure où les dérivées partielles ∂f/∂x et ∂f/∂y sont
elles-mêmes des fonctions des variables x et y, nous pouvons dériver
de nouveau ces fonctions pour obtenir les dérivées partielles du
second ordre définie comme
2
 2

2

≡  (),
2


2


≡  (),  ≡  (),
2


≡  ().

Nous appellerons alors les fonctions ∂f/∂x et ∂f/∂y les dérivées
partielles du premier ordre. Nous utiliserons souvent cette autre
notation
2
2
2
2
 ≡  2 ,  ≡ 2 ,  ≡  ,  ≡  .
Vous remarquerez que dans les notations yx, nous avons tenu
compte de l’ordre dans lequel nous dérivons, d’abord par rapport à y
puis par rapport à x.
Exemple.
Calculer les dérivées partielles du second ordre pour la fonction
donnée par (, ) =  2  3 +  4 .
Réponse.


Nous avons
= 2 3 + 4 3 ,
= 3 2  2 +  4 .


Ainsi, nous avons
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 2
2
2
2

2

=  (2 3 + 4 3 ) = 2 3 + 12 2 ;

=  (3 2  2 +  4 ) = 6 2 ;

=  (3 2  2 +  4 ) = 6 2 + 4 3 ;

3
3
2
3
=
(2
+
4
)
=
6
+
4
.


Les dérivées partielles
2

et
2

sont appelées dérivées
partielles croisées. Dans la majorité des cas que l’on rencontrera dans
ce cours, à l’instar de l’exemple précédent, ces dérivées partielles
seront identiques (cf. le théorème de Young (762)).
4. Différentielle totale
Dans le chapitre sur les fonctions d’une seule variable (795)
réelle, nous avons vu que pour une fonction du type  = (), la
dérivée était la pente de la tangente (560) à la courbe représentative de
(. ). Si nous supposons une valeur initiale de  valant 0 , et que nous
faisons une petite variation (797) de  valant ∆ = d, la variation
effective (798) de  notée ∆y peut être approchée par d ≡ ′(0 ) d.
Ainsi
∆ ≃ d ≡  ′ (0 )d
29
Nous appellerons d la différentielle totale de (. ) au point 0 .
Vous remarquerez que la différentielle totale est une fonction de 0 et
de dx.
Exemple. Calculer la différentielle totale de la fonction  = ln .
Utiliser ce résultat pour trouver une valeur approchée de ln 1.02).
Solution. Notons  () = ln(), la différentielle totale au point
0 est donnée par d = ′(0 )d = (1/0 )d. Si nous calculons
une valeur approchée de 1.02, posons 0 = 1. Nous pouvons déduire
une valeur approchée de ∆ =  (1.02) −  (1) en utilsant la
différentielle totale où 0 = 1 et d = 0.02.
Donc, ∆ ≃  = (1/0 )  = 0.02.
Comme ∆ = (1.02) − (1), nous en déduisons :
30
(1.02) − (1) ≃ 0.02,
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219
1
et donc que
9
(1.02) = ln(1.02) ≃ (1) + 0.02 = ln(1) + 0.02 = 0.02
Si nous utilisons une calculatrice, nous remarquons que la valeur
trouvée 0.02 est assez proche de la vraie valeur (à 10−4 près)
ln(1.02) = 0.0198.
Nous pouvons étendre cette notion au cas des fonctions de deux
variables. Notons  = (, ) une fonction de deux variables  et .
La différentielle totale dz (que l’on note aussi df) de la fonction  =
 (, ) au point (0 , 0 ) est définie comme
10
d =  (0 , 0 )d +  (0 , 0 )d
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Vous remarquerez que c’est une fonction de (0 , 0 ), dx et dy.
Nous pouvons aussi utiliser la différentielle totale afin de calculer une
valeur approchée de la variation effective de , notée ∆, pour de
petites variation de  et de .
Exemple. Calculer la différentielle totale de la fonction (, ) =
√ 2 +  2 . Utiliser ce résultat pour trouver une valeur approchée de
(3.04, 3.98).
Réponse. Nous calculons d’abord les dérivées partielles
 (, ) =

√ 2 + 2
et
 (, ) =

√ 2 + 2
.
Ainsi, la différentielle totale vaut


(
)
d ,  =
d +
d.
√ 2 +  2
√ 2 +  2
Pour calculer une valeur approchée de (3.04, 3.98), nous
posons (0 , 0 ) = (3,4) et d = 3.04 − 3 = 0.04 et d = 3.98 −
4 = −0.02. On obtient donc
3 ⋅ 0.04
4 ⋅ (−0.02) 3
4
 =
+
= (0.04) + (−0.02) = 0.008.
5
5
√32 + 42
√32 + 42
Nous en déduisons la valeur approchée suivante :
(3.04, 3.98) ≃ (3, 4) + 0.008 = 5.008.
En utilisant une calculatrice, nous trouvons (à 10−4 près)
(3.04, 3.98) = 5.0082.
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5. Courbes de niveaux
Pour une fonction du type  =  (, ), nous pouvons rechercher
l’ensemble des points (, ) qui engendrent un niveau de  fixé égal à
. En dimension 2, la courbe qui décrit l’ensemble de ces points pour
un niveau  donné est appelée courbe de niveau (142) pour la valeur
donnée .
Pour l’ensemble des valeurs (, ) (270) qui vérifient (, ) =
 nous pouvons définir la fonction (, ) =  (, ) −  qui sera
toujours identiquement nulle. Donc, en utilsiant la différentielle de ,
nous obtenons d = 0, lorsque (, ) = , que l’on note aussi
d |= = 0.
Ainsi, nous avons  |= =  |= − 0 = 0.
En un point (0 , 0 ) donné où (0 , 0 ) = , nous avons
d(, ) =  d +  d
d’où nous déduisons
 (0 , 0 )d +  (0 , 0 )d = 0 lorsque  =  soit encore

 (0 , 0 )
|
=−
 =
 (0 , 0 )
Nous pouvons interpréter ( /) |= comme la pente de la
tangente à la courbe de niveau où  = .
Exemple. Considérons la fonction (, ) = √.
Déterminer la pente de la tangente à la courbe de niveau donnée
par (, ) = 2 au point (4,1).
Solution. Vérifions que le point (4,1) appartienne effectivement à
la courbe de niveau  (, ) = 2. En effet, (4, 1) = √4 ⋅ 1 = 2.
Calculons à présent la pente de la courbe de niveau en ce point (561).
Nous avons
 (, ) =  2 √ et  (, ) = √
d’où
1
1
 (4,1) =
= et  (4,1) = √4 = 2.
2√4 4
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1
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3
4
5
6
Donc la pente de la tangente à la courbe de niveau est donnée par
1

 (4, 1)
1
4
|
=−
=− = − .
 =2
 (4, 1)
2
8
(Source :
Fonctions réelles de plusieurs variables. – URL :
http://econometrie.cnam.fr/servlet/com.univ.collaboratif.utils.LectureFichiergw
?ID_FICHIER=1295877015448)
7
8
9
10
18 OPTIMISATION D’UNE FONCTION (378,537)
DE DEUX VARIABLES
11
12
13
1. Optimisation sans contrainte (128, 129, 538)
2. Optimisation avec contrainte (130, 539)
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32
1. Optimisation sans contrainte
Nous nous intéressons à présent à la recherche des optima d’une
fonction de deux variables (. ). Les conditions nécessaires sont
énoncées ci-dessous.
Théorème
Si une fonction de deux variables (. ) admet un extremum
(minimum ou maximum) local en ( ∗ ,  ∗ ), alors les conditions
 ( ∗ ,  ∗ ) = 0 et  ( ∗ ,  ∗ ) = 0 doivent être simultanément
vérifiées.
Les points qui vérifient les conditions du premier ordre sont les
points critiques. Les conditions suffisantes pour identifier les extrema
sont un peu plus compliquées qu’en dimension 1 :
Théorème : Si une fonction de deux variables (. ) admet un
point critique (594) en ( ∗ ,  ∗ ), définissons
∗
 ≡  ( , 
∗)
∗
⋅  ( , 
∗)
∗
∗)
− ( ( ,  )
2
On a :
1. Si  > 0, et  ( ∗ ,  ∗ ) > 0,  (. ) admet un minimum local
en ( ∗ ,  ∗ ).
222
1
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4
5
2. Si  > 0, et  ( ∗ ,  ∗ ) < 0) ,  (. ) admet un maximum local
en ( ∗ ,  ∗ ).
3. Si  < 0,  (. ) admet un point selle (589) en ( ∗ ,  ∗ ).
4. Si  = 0, aucune conclusion n’est possible (110).
Nous allons appliquer ces théorèmes à quelques exemples.
13
Exemple. Trouver les extrema et les points selles de la fonction
(, ) = 3 2 − 2 +  2 − 8.
Réponse. Nous avons  (, ) = 6 − 2 et  (, ) = −2 +
2 − 8. Nous devons résoudre le système
6 − 2 = 0,
{
−2 + 2 − 8 = 0
dont l’unique solution est ( ∗ ,  ∗ ) = (2,6).
Nous calculons les derivées partielles du second ordre :
 (, ) = 6,  (, ) = 2 et  (, ) = −2. Donc
14
 = 6 ⋅ 2 − (−2)2 = 8 > 0
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Comme  (2, 6) = 6, il s’agit d’un minimum local :
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23
Exemple. Trouver les extrema et les points selles de la fonction
(, ) = 4 −  4 −  4 .
Réponse : Nous avons  (, ) = 4 − 4 3 et  (, ) = 4 −
4 3 . Nous devons résoudre le système
4 − 4 3 = 0
 = 4 3
{
⇔{
4 − 4 3 = 0
 = 4 3
Par substitution, nous obtenons :
 = ( 3 )3 =  9 ou encore  9 −  =  ( 8 − 1) = 0
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Les solutions sont  = 0,  = −1 et  = 1. En remplaçant dans
le système nous trouvons les solutions suiantes : (0,0), (1,1) et
(−1,−1). Calculons les derivées partielles du second ordre :
 (, ) = −12 2 ,  (, ) = −12 2 et  (, ) = 4
Donc  = (−12 2 ) ⋅ (−12 2 ) − 4 = 144 2  2 − 4
Pour (0,0), on a  = −4 donc il s’agit d’un point selle. Pour
(1,1) et (−1, −1), on a  = 140 et  (1,1) = −12 < 0. Il y a un
maximum local en ces points.
On peut voir ces poins remarquables d’une fonction étudiée sur
la figure ci-dessous :
11
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25
2 Optimisation avec contrainte
Certains problèmes consistent à maximiser (ou minimiser) une
fonction de deux (ou plus) variables (, ) sous une (ou plusieurs)
containte(s) qui s’écrit (s’écrivent) sous la forme (, ) = 0. On
utilisera les abréviations suivantes max (, ) s.c.  (, ) = 0 pour
dire que l’on cherche à maximiser (, ) sous la contrainte (131)
(, ) = 0.
La méthode pour résoudre ce type de problèmes est dite méthode
de Lagrange.
Méthode de Lagrange (516)
Pour trouver une solution ( ∗ ,  ∗ ) du problème max (, ) s.c.
 (, ) = 0, il suffit de résoudre les conditions du premier ordre du
problème de maximisation sans contrainte pour la fonction
(, , ) = (, ) + (, )
224
1
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4
5
6
7
Ces conditions sont données par (conditions nécessaires du
premier ordre) :

=  ( ∗ ,  ∗ ) +  ( ∗ ,  ∗ ) = 0,


=  ( ∗ ,  ∗ ) +  ( ∗ ,  ∗ ) = 0,


= ( ∗ ,  ∗ ) = 0.

En réalité, qu’il s’agisse d’un minimum ou d’un maximum, la
méthode à appliquer est identique pour trouver les candidats.
9
Exemple. Trouver une solution de max xy s.c.  2 +  2 = 1.
Réponse. La contrainte peut s’écrire sous la forme
10
1 − 2 − 2 = 0
8
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19
On pose ℒ(, , ) =  + (1 −  2 −  2 ). On a :

=  − 2 = 0,


=  − 2 = 0,


= 1 −  2 −  2 = 0.

Des deux premières équations, on tire  =  /2 =  /2 , ce
qui implique  2 =  2 soit encore  ± .
On utilise ensuite la troisième équation :
1 −  2 −  2 = 1 − 2 2 = 0
d’où  = ±√2/2. Ainsi, il y a quatre candidats possibles :
20
√2 √2
√2 √2
( , ) ; (−
,− );
2 2
2
2
21
(−
22
√2 √2
√2 √2
, ); ( ,− ).
2 2
2
2
Les deux premiers candidats génèrent une solution égale à
225
1
2
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4
5
6
7
8
−√2 −√2 1
√2 √2
⋅
=
⋅
= .
2 2
2
2
2
Les deux derniers candidats génèrent une solution
 =
 = −1/2,
qui ne peut pas être un maximum (il s’agit ici d’un minimum). Ainsi,
les solutions pour un maximum sont
√2 √2
√2 √2
( , ) et (−
, − ).
2 2
2
2
Exemple. Trouver une solution de :
max ( 2 – ) s.c.  2 +  2 = 25.
19
Réponse
On pose ℒ(, , ) = ( 2 − ) + (25 −  2 −  2 ). On obtient

= 2 − 2 = 0,


= −1 − 2 = 0,


= 25 −  2 −  2 = 0.
λ
De la première équation, on tire  = 0. De la seconde équation,
on tire  = ±5.
On a deux candidtas possibles : (0,5) et (0,−5).
La première engendre une valeur de la fonction à maximiser
(352) égale à 0 − (−5) = 5 (maximum) et la seconde donne 0 − 5 = −5
(minimum).
20
21
22
23
(Source :
Fonctions réelles de plusieurs variables. – URL :
http://econometrie.cnam.fr/servlet/com.univ.collaboratif.utils.LectureFichiergw
?ID_FICHIER=1295877015448)
9
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26
19 INTÉGRALES MULTIPLES
27
226
1
2
3
4
5
1.
2.
3.
4.
5.
Intégrale double
Calcul de l’intégrale double
Applications de l’intégrale double
Intégrale triple
Changement de variables
6
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19
20
21
22
23
1. Intégrale double
On peut généraliser la notion d’intégrale d’une fonction d’une
seule variable à une fonction de deux variables et plus. On traite les
cas de fonctions à deux et trois variables. On considère le changement
de variables. Puis on présente quelque exemples d’application.
Définition de l’intégrale double.
Soit une fonction (, ) que l’on veut intégrer par rapport aux
variables  et  (453) comprises entre certaines limites. Ces limites
peuvent présenter une courbe fermée () délimitant un domaine 
(150, 215) du plan (, , ). En procédant de la même manière que
pour une fonction à une seule variable, on subdivise le domaine  en
sous-domaines élémentaires Δ (218) d’aires Δ ,  = 1,2, … , , et
soit ( ,  ) un point quelconque de Δ . Considérons maitenant la
somme :

=∑
=1
( ,  ) Δ
26
de sorte que lorsque  → ∞, alors Δ → 0. Si  admet une limite
unique , alors cette limite est appelée intégrale double (441) de la
fonction (, ) sur le domaine , et on la note :
27
 = ∬ (, )d
24
25

30
où d représente un élément d’aire dans le plan (, , ). Si on choisit
cet élément d’aire sous forme rectangulaire, on peut écrire Δ = Δ ∙
Δ et on fait tendre simultanément Δ et Δ vers 0, on peut écrire :
31
 = ∬ (, )
28
29

227
1
2
3
2. Calcul d’intégral double
Cette dernière expression nous permet de calculer l’intégrale  en
se référant à la figure 19.1 :
4
5
6
7
8
9
10
Figure 19.1. Domaine élémentaire de D
Si nous considérons la courbe () comme réunion (691) des
corbes () et () d’équation respectives 1 () et 2 (), alors
si on intègre selon les contributions des bandes horizontales puis on
combine les contributions des bandes verticales, on a :
=2 ()
=
= ∫ (
=
11
12
13
14
15
= ∫ (
=
17
18
(, ) d) d
(1)
=1 ()
Inversement, on peut considérer la courbe () comme réunion
des courbes () et () d’équations respectives 1 () et 2 (),
alors si on intègre selon les contributions des bandes verticales puis on
combine les contributions des bandes horizontales, on a :
=
16
∫
=2 ()
∫
(, ) d) d
(2)
=1 ()
Nous remarquons que les deux intégrations successives donnent
le même résultat. Ceci n’est pas le fait du hasard mais est dû au
théorème suivant que nous admettrons :
228
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Théorème. Si  est un domaine segmentable verticalement et
horizontalement (214), nous admettrons que les quantités (1) et (2)
sont égales. L’intégrale double de  sur le domaine  (447) est alors
définie, de façon cohérente, par l’une ou l’autre de ces quantités
(théorème de Fubini (763)).
En pratique, la calcul peut donc se faire en intégrant d’abord par
rapport à  puis par rapport à  ou en intégrant d’abord par rapport à 
puis par rapport à . On priviligiera bien-sûr le sens (730) de calcul le
plus simple (731).
Dans la discussion ci-dessus, on a considéré que la courbe (),
délimitant le domaine , est telle que chaque horizontale, ou verticale,
coupe la courbe () en deux points au plus. Si ce n’est pas le cas, on
peut subdiviser le domaine  en plusieurs domaines 1 , 2 , …,  tels
que chacun d’eux est délimité par une courbe vérifiant la propriété
(151) ci-dessus. Puis on utilise la propriété suivante, que l’on peut
aisément établir à partir de la définition :
Si  = 1 ∪ 2 et 1 ∩ 2 = ∅, alors
∬ (, )dd = ∬ (, )dxdy + ∬ (, )dd

1
2
21
C’est en fait l’équivalent de la relation de Chasles pour
l’intégrale simple (444). On peut aussi établir la propriété de linéarité
de l’intégrale double :
22
∬ ( + λ) = ∬  + λ ∬ 
19
20

23


3. Applications de l’intégrale double
25
Calcul d’aires. L’intégrale double de la fonction (, ) = 1 sur
le domaine  exprime en fait l’aire de ce domaine, on écrit :
26
∬ (, ) = ∬  = Aire de 
24

27
28

Calcul de volumes. On peut voir que le volune élémentaire est
égale à :  = dd = (, )dd. Ainsi, le volune du corps
229
2
délimité par un domaine , la surface  = (, ) et les génératrices
latérales parallèles à , a pour valeur :
3
 = ∬ (, )dd
1

4
4. Intégrale triple (445)
11
La définition de l’intégrale double peut aisément s’étendre à
l’intégrale triple.
Codsidérons une fonction réelle à trois variables (, , ),
définie sur un domaine  tridimentionnel. En procédant comme on l’a
fait pour l’intégrale double, subdivisons  en  sous-domaines
Δ  = 1,2, … ,  ; de volumes Δ . Soit ( ,  ,  ) un point
quelconque de Δ et formons la somme :
12
 = ∑ ( ,  ,  ) Δ
5
6
7
8
9
10

=1
15
de sorte que lorsque  → ∞, alors → 0. Si  admet une limite unique
, alors cette limite est appelée intégrale triple de la fonction (, , )
sur le domaine , et on la note :
16
 = ∭ ( ,  ,  )d
13
14

20
où d représente un élément de volume dans l’espace (, , , ). Si
on choisit cet élément de volume sous forme cubique, on peut écrire
Δ = ΔΔΔ et on fait tendre simultanément Δ, Δ et Δ vers 0,
on peut ainsi écrire :
21
 = ∭ (, , )ddd
17
18
19

22
23
24
25
26
Comme pour le cas d’une intégrale double, on peut écrire une
intégrale triple comme une itération d’intégrales simples, par
exemple :
2
 = ∫ d ∫
1
2 ()
d ∫
1 ()
2 (,)
1 (,)
27
230
(, , )d
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
où les bornes de chacune des intégrales simples décrivent les valeurs
prises par les variables ,  et  sur le contour délimitant le domaine
. Dans la plupart des cas l’ordre d’intégration n’a pas d’influence sur
le résultat.
On peut étendre ces idées pour définir les intégrales multiples
d’ordre supérieurs.
5. Changement de variables
Il arrive souvent, pour simplifier les calculs, qu’on fasse recours
à un changement de variables. Considérons l’intégrale
 = ∬ (, )dd
(3)

11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
que l’on veut calculer en effectuant le changement de variables  =
(, ) et  = (, ),  et  étant deux fonctions différentiables
(356) ayant pour les fonctions inverses  =  (, ) et  = (, )
(332). Le domaine  dans le plan (, ) et la courbe  le délimitant se
transforment en domaine ′ et courbe ′ dans le plan (, ), et (, )
devient (, ) et enfin l’aire élémentaire d devient l’aire d du
parallélogramme .
Le terme de l’intégrale qui va retenir notre attention est l’élément
d’aire. Dans le plan (, ) c’est l’aire rectangulaire d = dd
générée par la construction d’une grille de lignes parallèles aux axes
des  et des  respectivement. Notre objective est de déterminer
l’élément de l’aire correspondant d dans le plan (, ). En général,
ce dernier aura la forme d’un parallélogramme (voir la figure 19.2) :
24
231
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Figure 19.2. Changement de variables
Pour établir la relation entre d et d , on considère la grille
formée par les courbes  = constante et  = constante.
Du fait que  = constante le long du segment , les
composantes de ce dernier dans les directions des axes des  et des 
sont respectivement


d 
d


De manière similaire, du fait que  = constante le long du
segment KN, les composantes de ce dernier dans les directions des
axes des  et des  sont respectivement
∂
∂
d et
d
∂
∂
Or l’aire du parallélogramme KLMN est :
⁄
⁄
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ KN
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = ‖(∂x ∂u)du (∂y ∂u)du‖ =
dSuv = ‖KL
(∂x⁄∂v)dv (∂y⁄∂v)dv
|(⁄)(⁄) − (⁄)(⁄)|dd
(∂x⁄∂u) (∂y⁄∂u)
d = ||dd = ‖
‖ dd
(∂x⁄∂v) (∂y⁄∂v)
 est appelé le Jacobien (463) de  et  par rapport à  et . On le note
(, )
=
(, )
On a ainsi en résumé :
 
(, )
|
|
dd =  dd = |
| dd = ‖ ‖ dd
 
(, )
 
et (3) devient :
(, )
 = ∬ (, )dd = ∬ ( (, ), (, )) |
| dd
(,
)


(Source :
22
232
A. El Caidi. Intégrales multiples. – URL :
http://iavhassan2mathstat.voila.net/CoursIntegMullt.pdf)
1
2
20 DÉNOMBREMENT
3
4
5
6
7
8
1.
2.
3.
4.
Dénombrement (171) et combinatoire (171)
Arrangements
Permutations
Combinaisons
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1. Dénombrement ou combinatoire
La combinatoire (100) ou analyse combinatoire (15) étudie
comment compter des objets. Elle fournit des méthodes de
dénombrement particulièrement utiles en probabilité. Un des
principaux exemples que nous verrons est la formule du binôme de
Newton. Commençons par nous intéresser à deux exemples très
simples.
Exemple 1.1
On effectue trois tirages successifs de pile (570) ou face (571).
Les différents tirages possibles sont PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF,
FFP, FFF, soit 23 = 8 tirages possibles. Si on s’intéresse, par exemple,
aux tirages avec au moins une fois pile, on s’aperçoit qu’il y en a 7 sur
8. On peut également présenter la liste des tirages (480) sous forme
d’un arbre (33) :
24
233
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Les différents tirages sont alors représentés par chacun des huit
chemins (76) de l’arbre (77).
Remarque. Ici, l’ordre d’apparition de  ou  est important et il
peut y avoir des répétitions.
Malheureusement, les situations où on peut faire la liste
exhaustive (481) de toutes les possibilités sont assez rares.
Si on cherche à compter le nombre de codes secrets (par
exemple, de carte bleue) (72) à 4 chiffres, il est hors de question de
faire la liste de tous les codes possibles. En revanche, chaque chiffre
du code est entre 0 et 9, soit 10 possibilités. Comme on a 4 chiffres
dans le code, on a au total 104 = 10000 possibilités.
Ainsi, il n’existe que 10000 codes à 4 chiffes différents.
2. Arrangements (35)
Commençons tout d’abord par rappeler la définition de la
fonction factorielle.
Définition. Soit  un entier naturel. On définit le nombre !,
appelé factorielle  (329), par
! =  ⋅ ( − 1) ⋅ ( − 2) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Par convention, 0! = 1.
Définition. Soit  et  deux entiers tels que  ≤ . On considère
 un ensemble à  éléments (258):  = {1 , …  }. Un arrangement à
 éléments parmi  (36) est une liste ordonnée (37, 482, 542 543) de 
éléments distincts parmi les  éléments de . On parle aussi de liste
sans répétition à  éléments parmi .
Remarque. Ici, l’ordre est important mais il n’y a pas de
répétitions.
Propriété. Si  un ensemble à  éléments alors le nombre de
listes sans répétition de  éléments de  est donné par :
!
 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) ⋅ … ⋅ ( −  + 1 ) =
( −  )!
Démonstration. On utilise un raisonnement par cases (tableau
20.1) :
32
234
1
2
3
4
Tableau 20.1
Nombre d’arrangements de  éléments parmi 
Éléments
1-er
2-ième
...
-ième
Possibilités

−1
...
−+1
Nombre total de possibilités
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
 ⋅ ( − 1 ) ⋅ … ⋅ ( −  + 1 )
On a  possibilités pour choisir le premier élément de la liste,
puis comme on n’a pas droit aux répétitions, on n’a plus que ( − 1)
choix possibles (80) pour le deuxième élément, et ainsi de suite
jusqu’au -ième élément pour lequel, on a ( −  + 1) possibilités.
Ainsi le nombre total de telles listes est bien
 ⋅ ( − 1 ) ⋅ … ⋅ ( −  + 1 ) =
 ⋅ ( − 1 ) ⋅ … ⋅ ( −  + 1 ) ⋅ ( −  ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
!
=
( −  ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
( −  )!
Exercice. On dispose d’une urne contenant trois boules
différentes, numérotées 1, 2 et 3 et on en tire deux (sans remise) parmi
les trois. Combien de tirages différents peut-on effectuer ?
Solution. Un tirage (765) correspond à un arrangement de deux
éléments parmi trois. En effet, l’ordre de tirage est important mais on
effectue le tirage sans remise (767) donc il ne peut y avoir de
3!
répétitions. On a donc (3−2)! = 6 tirages possibles. Dans ce cas, on
peut encore faire la liste exhaustive de ces différens tirages, par
exemple sous forme d’abre.
Remarque. Un raisonnement du même type permet de voir
facilement que si on considère des listes de  éléments avec
répétitions, alors le nombre de ces listes est de  .
2. Permutations
À présent, nous allons nous intéresser plus particulièrement au
cas où  = .
Définition. Soit  un entier naturel et  un ensemble de 
éléments. Une permutation de  est une liste des  éléments de .
235
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Autrement dit, une permutation de  est une façon de ranger (663) les
différents éléments de  (566, 664).
Exemple. Si  = {, , , }, alors (, , , ) et (, , , ) sont
deux permutations de .
Remarque. Ici aussi, l’ordre est important mais il n’y a pas de
répétitions.
Propriété. Soit  un ensemble de  éléments. Le nombre de
permutations de  est donné par !.
Démonstration. Là encore, on peut faire un raisonnement par
cases (tlableau 20.2) :
Tableau 20.2
Nombre de permutations d’un ensemble à  éléments
Éléments
1-er
2-ième
...
-ième
Possibilités

−1
...
−+1=1
 ⋅ ( − 1) ⋅ … ⋅ 1 = !
Nombre total de possibilités
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
On a  possiblités pour choisir le premier élément de la liste,
puis ( − 1) choix possibles pour le deuxième élément, et ainsi de
suite jusqu’au dernier élément pour lequel, on n’a plus qu’une seule
possibilité. Ainsi le nombre total de permutations est n!.
Remarque. Une permutation est en fait une liste sans répétition
de  éléments de  (567), et donc en utilisant les résultats de la partie
!
!
précédente pour  = , on obtient bien qu’il y a (−)! = 0! = ! telles
listes.
Exercice. Combien y a-t-il de façons de placer huit personnes
autour d’une table ?
Solution. On cherche les nombre de permutations d’un ensemble
à 8 éléments. Il y a donc 8! =40320 façons de placer 8 personnes
autour d’une table.
2. Combinaisons
Définition. Soit  et  deux entiers naturels tels que  ≤ . On
considère  un ensemble à  éléments. Une combinaison (98) de 
236
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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18
19
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22
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25
26
27
28
29
éléments parmi  (99) est un sous-ensemble de cardinal  de  (66,
69).
Exemple. Si  = {, , }, alors les combinaisons de deux
éléments de  sont {, }, {, } et {, }.
Remarque. Dans ce cas, on ne tient pas compte de l’ordre et il
n’y a pas de répétitions.
Propriété. Le nombre de combinaisons de  éléments d’un
ensemble à  éléments est
!

( ) =
.
! ( − )!

On note parfois ce nombre ∁ et on dit «  parmi  ».
Démonstration. On considère  un ensemble à  éléments : on
souhaite dénombrer (172) les parties de  à  éléments.
On sait déjà qu’il y a
!
! ( − )!
listes ordonnées sans répétitions à  éléments. Or chaque combinaison
de  éléments permet de constituer ! listes ordonnées : c’est le
nombre de permutations d’un ensemble à  éléments. On peut donc en
déduire que le nombre de combinaisons à  éléments est
nombres de listes ordonnées à  éléments
!

( ) =
=
nombres depermutations à  éléments
! ( − )!
Exercice. On tire 5 cartes d’un jeu de 32 et on appelle une main
(498) l’ensemble de ces 5 cartes.
1) Combien y a-t-il de mains de 5 cartes ?
2) Combien y a-t-il de mains contenant exactement deux cœurs ?
3) Combien y a-t-il demains contenant au moins un roi ?
Solution
1) Une main de 5 cartes représente en fait une combinaison de 5
cartes (97). En effet, on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel on
reçoit les cartes et on ne peut pas avoir deux fois la même carte. Donc
le nombre total de mains de 5 cartes vaut
237
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
32
( ) = 201376.
5
2) Pour fabriquer (304) une main (305) avec exactement 2 cœurs,
8
il faut choisir 2 cœurs parmi 8, soit ( ) puis il reste 3 cartes à choisir
2
24
parmi les 24 qui ne sont pas des cœurs, soit ( ). Au final, on a donc
3
8
24
( ) ∙ ( ) = 56672 mains avec exactement 2 cœurs.
2
3
3) Pour déterminer le nombre de mains avec au moins un roi, on
peut compter celles avec exactement un roi, puis celles avec
exactement deux rois, et ainsi de suite puis tout ajouter. En fait, il est
plus simple de compter le nombre de mains avec aucun roi, puis de le
soustraire du nombre total de mains. Le nombre de mains sans roi est
28
de ( ) et donc le nombre de mains avec au moins un roi vaut
5
32
28
( ) − ( ) = 103096.
5
5
(Source :
Dénombrement – Combinatoire. Cours. – URL :
http://julien.chenal.free.fr/IMG/pdf/coursDenombrement.pdf
16
17
21 PROBABILITÉS DISCRÈTES
18
19
20
21
1. Espace probabilisé (292) discret (293)
2. Probabilités conditionnelles, indépendance
3. Lois de distribution
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
La théorie des probabilités sert à modéliser des situations dont
notre connaissance est imparfaite. Le manque d’informations est alors
remplacé par une composante (104) aléatoire.
Par exemple, lors du jet d’un dé, les lois de Newton devraient en
principe nous permettre de calculer la trajectoire exacte du dé,
connaissant sa position et sa vitesse initiales, et d’en déduire sur quelle
face (308) il va tomber (309). En pratique, non seulement ce calcul est
extrêmement difficile, mais le résultat dépend aussi de manière très
sensible des conditions initiales. Il est alors plus simple d’admettre
238
19
que le dé peut tomber sur chacune de ses six faces avec la même
probabilité de 1/6 (si le dé est parfaitement symétrique – sinon, il peut
être préférable d’associer des probabilités différentes aux différentes
faces).
En théorie des probabilités, on suppose donnés un ensemble des
résultats possibles de l’expérience (268) considérée, et leurs
probabilités respectives. On cherche alors à en déduire les probabilités
d’évènements plus compliqués, ou les résultats d’expériences plus
complexes, comme par exemple le lancer (466) d’un grand nombre de
dés (469).
1. Espace probabilisé discret
Un espace probabilisé discret est caractérisé par trois ingrédients:
1. Un univers Ω (777): c’est l’ensemble des évènements (262)
élémentaires de l’expérience, supposé ici discret (fini ou
dénombrable).
2. Un ensemble des événements (ou événements composés) ℱ:
tout événement  ∈ ℱ est un sous-ensemble de Ω ( ⊂ Ω).
3. Une distribution (199) de probabilité p : Ω → [0, 1],
satisfaisant la condition :
20
∑ () = 1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
∈Ω
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Pour tout ω ∈ Ω, le nombre (ω) est appelée la probabilité de
l’évènement élémentaire ω (299, 628).
Exemple 1
Pour un jet de dé (152) (non pipé) (154), on pourra prendre
l’univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, et comme distribution (ω) = 1/6
pour tout ω ∈ Ω (distribution uniforme) (205). Un exemple
d’évènement composé (301) est A = {ω: ω est pair} = {2, 4, 6}.
Exemple 2
Pour un jet de deux pièces de monnaie, pouvant indiquer soit
Pile () soit Face () (306), on peut prendre Ω = {, , , }
(307, 572), avec (ω) = 1/4 pour tout ω ∈ Ω.
Définition 1 (Espace probabilisé discret). Un espace probabilisé
discret (Ω, ) est donné par un ensemble dénombrable Ω (252) et une
application  : Ω → [0, 1] telle que
239
∑  (ω ) = 1
1
ω∈Ω
6
Définition 2 (Évènements). L’espace des évènements (294) (ou
évènements composés) d’un espace probabilisé discret (Ω, ) est
l’ensemble des parties de Ω (254):
ℱ = (Ω) = {:  ⊂ Ω}
La probabilité de l’évènement A est
7
() = ∑ (ω)
2
3
4
5
ω∈
8
9
10
11
12
13
L’ensemble vide est l’évènement impossible (300), ℙ(∅) =
0 par définition.
L’univers entier Ω est l’évènement certain (298).
Les opérations logiques élémentaires sur les évènements
correspondent à des opérations de la théorie des ensembles (273),
selon le tableau suivant:
Opération logique
Equivalent ensembliste
 et 
∩
 ou 
∪
non 
∁ω  = Ω \ 
,  incompatibles
∩ = ∅
 implique 
14
Proposition
15
1.
2.
3.
4.
5.
16
17
18
19
⊂
Pour tout  ∈ ℱ, 0 ≤ ℙ() ≤ 1.
ℙ(Ω) = 1 et ℙ(∅) = 0.
Si  ⊂ , alors ℙ() = ℙ () + ℙ ( \ ).
Si  ⊂ , alors ℙ () ≤ ℙ ().
On a ℙ( ∪ ) = ℙ() + ℙ() − ℙ( ∩ ).
20
240
6
Remarque
(Ω, ) est un espace probabilisé discret si et seulement si
l’application ℙ ∶ ℱ → [0,1] satisfait à deux axiomes de Kolmogorov:
(K1) P(Ω) = 1.
(K2) Si  est un ensemble dénombrable et { }∈ℕ est une
famille d’évènements deux à deux incompatibles, alors
7
ℙ (⋃  ) = ∑ ℙ( )
1
2
3
4
5
∈
∈
12
Exemple 3 :
Pour le lancer de deux dés équilibrés, on peut prendre Ω =
{(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}, dont le cardinal est |Ω| = 36 (68) et
(ω) = 1/36 pour tout ω ∈ Ω.
L’évènement «la somme des points vaut 8» est :
13
 = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
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30
et sa probabilité est ℙ() = 5/36.
Exemple 4. Une urne (778) contient  boules rouges et  boules
noires. On tire une boule (59) au hasard (60).
On peut choisir Ω = {1, . . . ,  + } avec la distribution
équiprobable (202). La probabilité de tirer (770) une boule rouge est
alors

ℙ({1, . . . , }) =
+ 
2. Probabilités conditionnelles, indépendance
La notion de probabilité conditionnelle (630) est une notion
fondamentale. En effet, on a souvent accès à la probabilité qu’un
certain évènement  soit réalisé, sous la condition (s.c.) (111, 706)
qu’un événement  ait eu lieu, ce qui revient à restreindre l’univers Ω
à l’ensemble .
Définition 3 (Probabilité conditionnelle). Soit  ∈ Ω un
événement tel que ℙ() > 0. Pour tout  ⊂ Ω, on appelle probabilité
conditionnelle de  sachant  la quantité
ℙ(  ∩  )
ℙ(|) =
ℙ()
241
1
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5
6
7
Exemple 5. On lance deux dés. La probabilité qu’au moins l’un
des dés indique 2, sachant que la somme des points vaut 6 est donnée
par
ℙ({(2, 4), (4, 2)})
2
=
ℙ({(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}) 5
Théorème 1. Soient 1 , … ,  des évènements incompatibles
deux à deux, tels que ℙ( ) > 0 pour tout .
1) (loi de la probabilité totale (489, 491, 629)). Pour tout  ⊂ ⋃  ,

8
ℙ() = ∑ ℙ(| )ℙ( )
=1
9
10
2) (formule de Bayes). Pour tout  ⊂ ⋃  ,
ℙ( |) =
ℙ(| )ℙ( )
∑=1 ℙ(| )ℙ( )
18
Il est inutile d’apprendre la formule de Bayes par coeur, mieux
vaut savoir la redériver! Cette formule permet d’inverser une
probabilité conditionnelle, un procédé qui est souvent source de
confusion dans les applications.
La notion de probabilité conditionnelle est intimement liée à la
notion d’indépendance.
Définition 4.
1. Deux événements  et  sont indépendants si
19
ℙ( ∩ ) = ℙ()ℙ().
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Dans ce cas, on a ℙ(|) = ℙ() (pourvu que ℙ() > 0).
2.  évènements 1 , … ,  sont indépendants si
ℙ(1 ∩ … ∩  ) = ℙ(1 ) … ℙ( )
pour tout choix d’indices (81) {1 , … ,  } ⊂ {1, … , }.
Remarque. L’indépendance par paires n’implique pas
l’indépendance. Un exemple (artificiel) est de prendre, pour Ω =
{1,2,3,4} et la distribution uniforme (ω) = 1⁄4 pour tout ω ∈ Ω, les
évènements  = {1,2},  = {2,3} et  = {1,3}. Alors on a ℙ( ∩
) = 1⁄4 = ℙ()ℙ(), donc  et  sont indépendants. De même, 
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11
et  sont indépendants, et  et  également. Néanmoins, ℙ( ∩  ∩
 ) = 0 ≠ ℙ()ℙ()ℙ(), et donc ,  et  ne sont pas
indépendants.
Un exemple important d’évènements indépendants apparaît
lorsque l'on effectue plusieurs expériences, différentes ou non, qui ne
s'infuencent pas mutuellement. On peut alors construire un espace
probabilisé unique pour l’ensemble des expériences, dont les liés à des
expériences différentes seront naturellement indépendants.
(Source :
Probabilités discrètes. – URL : http://www.univorleans.fr/mapmo/membres/berglund/probamass_html/node2.html)
12
13
14
22 LOIS DE PROBABILITÉ DISCRÈTES (633)
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1.
2.
3.
4.
Loi uniforme (492)
Loi de Bernoulli (493)
Loi binomiale (494)
Loi de Poisson (495)
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33
34
Il est toujours possible d’associer à une variable aléatoire (8,
781) une probabilité et définir ainsi une loi de probabilité (490).
Lorsque le nombre d’épreuves (274) augmente indéfiniment, les
fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les
probabilités et les distributions observées vers les distributions de
probabilité ou loi de probabilité.
Identifier la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire (9)
donnée est essentiel car cela conditionne le choix des méthodes à
étudier cette variable.
Par définition, les variables aléatoires discrètes prennent des
valeurs entières discontinues sur un intervalle donné. Ce sont
généralement le résultat de dénombrement.
Nous présentons les lois uniformes discrètes d’une utilisation
pratique plutôt restreinte mais avec des aspects formels intéressants.
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14
1. Loi uniforme
1.1) Définition
Une distribution de probabilité (201) suit une loi uniforme
discrète (210) de paramètre  ∈ ℕ∗ lorsque toutes les valeurs prises
par la variable aléatoire sont équiprobables (634). Si  est le nombre
de valeurs différentes prises par la variable aléatoire, alors
1
∀  ∈ ℕ∗ ,  (  =  ) = ,
∀ ∈ {1, … , }

On la note ℒ() = ().
1.2) Modélisation
Cette loi décrit l’expérience qui consiste à extraire une unité au
hasard dans un ensemble contenant N unités. L’expression «au
hasard» veut dire que le dispositif d’extraction est tel que chaque unité
a les mêmes chances d’être choisie. L’exemple le plus classique est
celui du lancer d’un dé (468) équilibré à N faces.
15
1.3) Propriétés
16
1) Si ℒ() = (), nous avons les résultats suivants :
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23
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+1
2 − 1
2
() =
=  () et σ () =
2
12
2) Si ℒ() = (), le mode  () est compris entre les deux
+1
+1
nombres Ent 2 et Ent ( 2 + 1), où Ent() désigne la partie
entière de . L’intervalle, défini par ces deux nombres est de
longueur 1, il contient soit un seul entier, soit deux selon la parité
de  (556), qui correspondent alors aux bornes de celui-ci. Ainsi nous
avons soit un seul mode soit deux. Les coefficients d’asymétrie (41) et
d’aplatissement (23) sont respectivement :
μ3 ()
μ4 ()
3( 2 − 3 + 2)
γ1 () = 3
= 0 et γ2 () = 4
−3=
σ ()
σ ()
5 ( 2 − 1 )
Remarque. La loi uniforme a une distribution symétrique autour
de son espérance (209) mais sa forme est platykurtique (585) ou sous-
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gaussienne ou encore sous-normale, c’est-à-dire que la distribution est
plus aplatie que la distribution gaussienne (203).
1.4) Exemple
La distribution des chiffres obtenus au lancer de dé (467) (si ce
dernier est non pipé) suit une loi uniforme dont la loi de probabilité est
la suivante :

1
2
3
4
5
6
( = )
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
avec pour espérence  () = 3,5 et pour variance 2,92. En effet, dans
le cas particulier d’une loi discrète uniforme où les valeurs de la
variable aléatoire  correspondent au rang  = ,  ∈ [1, ]
+1 7
 2 − 1 35
2
 ( ) =
= = 3,5 et σ () =
=
= 2,91(6)
2
2
12
12
2. Loi de Bernoulli
Nous considérons les variables aléatoires discrètes les plus
élémentaires. L’étude de celles-ci et de leurs propriétés limites sont
dues à Bernoulli.
2.1) Définition
Nous disons que la variable aléatoire discrète  est une
indicatrice ou suit une loi de Bernoulli de paramètre  [0, 1] si elle
ne prend que les deux valeurs 0 et 1 avec :
( = 0) = 1 −  et ( = 1) = 
Ceci est noté ℒ() = ℬ(1; ). Le paramètre  est appelé en
général proportion.
2.2) Modélisation
Cette loi est adaptée à l’étude des proportions. Nous proposons
deux modélisations, tout à fait analogues, mais qui posent clairement
les situtions où ces lois peuvent apparaître.
1) Considérons une urne contenant des boules qui diffèrent
uniquement par la couleur: une proportion  de boules sont blanches
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32
et une proportion (1 − ) sont noires. Nous tirons «au hasard» (768)
une boule dans cette urne. Nous codons 1 l’obtention d’une boule
blanche et nous disons que nous avons un «succès»; l’obtention d’une
boule noire est codée par 0 et nous avons alors un «échec». Cette
expérience correspond à la réalisation d’une variable de loi ℬ(1; ).
2) Soit un ensemble dans lequel une proportion  d’unités
possèdent une caractéristique , par exemple personnes atteintes
d’une maladie dans une population donnée, pièces défectueuses dans
une fabrication, etc, alors le tirage d’une unité «au hasard» dans cette
population correspond à la réalisation d’une variable de loi ℬ (1; );
pour cela il suffit de coder la présence ou l’absence de  par 1 ou 0
respectivement. Nous disons également que  est l’indicatrice de la
présence de la caractéristique . Si  = 1, cela veut dire que toutes les
unités possèdent la caractéristique . Si par contre  = 0, cela veut
dire qu’aucune unité ne possède la caractéristique .
3) Soit un événement  de probabilité () = . Nous
considérons la variable aléatoire  , définie par  (ω) = 1 si ω ∈  et
0 sinon. La variable  est de loi ℬ (1; ); c’est l’indicatrice de
l’événement A.
L'importance du codage «événement 1» et «événement 0»
apparaîtra dans le cadre des lois Binomiales. Nous insistons sur le fait
que l’expression «au hasard» signifie dans ce contexte que le tirage est
tel que chaque unité possède les mêmes chances d’être tirée.
Nous donnons les propriétés essentielles de ce type de variables.
2.3) Propriétés
1) Si ℒ() = ℬ(1; ), nous avons les résultats suivants :
() =  et σ2 () = (1 − )
Remarquons que la plus grande variance (796) correspond à  =
0 5 ; c’est la valeur pour laquelle nous avons la plus grande incertitude
sur le fait de savoir si une unité possède ou pas la caractéristique .
2) La fonction de répartition (326) est:
0
si
 < 0,
 ( ) = ( ≤  ) = {1 −  si 0 ≤  < 1,
1
si
1 ≤ .
246
7
3. Loi binomiale
Nous présentons la loi fondamentale dans l’étude d’une
proportion. Elle trouve son application la plus concrète dans le
contrôle industriel de fabrication.
Considérons  variables aléatoires indicatrices 1 , … , 
indépendantes et de même loi de Bernoulli ℬ (1; ), avec  ∈ [0,1].
Alors la loi de la variable aléatoire
8
 = ∑ 
1
2
3
4
5
6

=1
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12
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26
est donnée par :
 ( =  ) =
!
 (1 − )−
! ( − )!
3.1) Définition
La loi d’une variable aléatoire  satisfaisant à la propriété
précédente est appelée loi binomiale de paramètres 
et  ∈
[0,1].
Nous la notons ℒ() = ℬ (; ).
3.2) Modélisation
Supposons que, dans un ensemble, une proportion  d’unités
possèdent une caractéristique . Nous tirons au hasard  unités avec
remise, c’est-à-dire qu’après avoir observé une unité, celle-ci est
remise dans l’ensemble des unités avant le tirage de l’unité suivante;
ainsi au moment du tirage de chaque unité, la proportion de celles qui
possèdent la caractéristique  est toujours égale à . Le tirage ainsi
défini nous permet la réalisation des indicatrices 1 , … ,  ,
indépendantes et de même loi ℬ (1; ) . Le codage 0 ou 1 pour chaque
indicatrice implique que la variable  est le nombre d'unités extraites
possédant la caractéristique .
27
28
29
30
31
Remarques
1) Si  = 0 aucune unité parmi les n unités extraites ne possède
. Si  =  toutes les unités extraites possèdent .
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10
2) En pratique, nous effectuons souvent des tirages sans remise.
Dans ce cas il faut utiliser pour ℒ() la loi hypergéométrique.
Cependant, si nous extrayons moins d’un dixième de l’ensemble et si
celui-ci est assez grand, les tirages sans remise peuvent être assimilés
à des tirages avec remise; dans ce cas nous pouvons utiliser la loi
binomiale.
3) Le coefficient
!

 = ( ) =

! ( − )!
est le nombre de manières différentes de tirer  unités parmi . Ces
coefficients apparaissent dans la formule du binôme, dite de Newton

11
( + ) = ∑    −
=1
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27
En posant  =  et  = 1 −  cette identité permet de montrer
que la somme des probabilités vaut bien 1.
3.3) Propriétés
1) ) Si ℒ () = ℬ(; ), nous avons les résultats suivants :
() =  et σ2 () = (1 − )
2) Si ℒ() = ℬ(; ), le mode  () est compris entre les
deux nombres  − (1 − ) et  + . L’intervalle défini par ces
deux nombres est de longueur 1, il contient soit un seul entier, soit
deux, qui correspondent alors aux bornes de celui-ci. Ainsi nous avons
soit un seul mode soit deux. Les coefficients d’asymétrie et
d’aplatissement sont respectivement :
μ 3 ( )
1 − 2
γ1 () = 3
=
,
σ () √(1 − )
γ2 (  ) =
μ4 ()
1 − 6(1 − )
−
3
=
σ4 ()
(1 − )
Remarque. Lorsque  = 0,5, la distribution de  est symétrique
autour de l’espérance 0,5 . Lorsque  → ∞, la distribution de 
s’approche d’une distribution normale (208). Nous verrons également
248
1
2
3
qu’une distribution binomiale (200) peut être approchée, sous
certaines conditions, par d’autres distributions.
3) Si ℒ() = ℬ(; ), la fonction de répartition est :
0
si  < 0,
−1
4
 ( ) = ( ≤  ) = ∑   (1 − )−
{
5
pour  = 1, … , .
6
4. Loi de Poisson
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=0
si  − 1 ≤  < ,
1
si  ≤ 
4.1) Définition
Une variable aléatoire  suit une loi de Poisson de paramètre λ ∈
ℝ∗+ si :
λ −λ
 ( =  ) =  ,
!
Nous notons ℒ() = (λ).
∀ ∈ ℕ
4.2) Modélisation
Une des premières utilisations d’une loi de Poisson pour un
phénomème concret a été l’étude de Bortkewicz du nombre annuel de
décès par coup de pied de cheval dans un Corps d'Armée, durant les
années 1875 à 1880, dans l'armée prussienne. Dans le même ordre
d’idée, le nombre d’absents par jour dans une entreprise, le nombre de
clients dans une file d’attente durant des laps de temps de même durée
ou encore le nombre annuel de sinistres par police dans un portefeuille
d’assurance à risques homogènes, peuvent être décrits, sous certaines
conditions, par une loi de Poisson. De manière précise nous avons la
propriété suivante.
4.3) Propriétés
1) Considérons la famille de variables aléatoires
{([; ]), ,  ∈ ℝ+ ,  ≤ }
où ([; ]) est le nombre de fois où un événement donné est observé
durant l’intervalle de temps [; ]. Nous posons
249
1
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5
6
(({0}) = 0) = 1
Soit les trois conditions suivantes.
 (Homogénéité). Il existe une constante λ ∈ ℝ+ telle que dans
tout intervalle de temps d’une longeur infinitésimale [;  + Δ], nous
ayons :
(([;  + Δ]) = 1) = λΔ = 1 − (([;  + Δ]) = 0)
14
C’est-à-dire qu’à chaque instant nous n’observons qu’une seule
ou aucune réalisation de l’événement. (Les clients arrivent un par un
dans la file d’attente.)
 (Indépendance dans le temps). Si [, ] ∩ [,  ] = ∅ alors les
variables ([, ]) et ([,  ]) sont indépendantes. C’est-à-dire que le
système (708) n’a pas de mémoire; ce qui se passe à un instant donné
est indépendant du passé et de l’avenir.
 (Stationnarité). Pour tout intervalle de temps [, ], nous avons
15
ℒ(([; ])) = ℒ ((0;  − ))
7
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11
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13
19
C’est-à-dire que le nombre de réalisations de l’événement ne
dépend pas de l’instant du début de l’observation mais de la durée de
celle-ci.
Si les trois conditions précédentes sont satisfaites, alors :
20
ℒ(([0; ])) =  (λ), ∀ ∈ ℝ+
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Remarques
a) Très souvent l’homogénéité n’est pas satisfaite ; pour l'avoir il
suffit, en première approximation, de réduire l’intervalle de temps.
Ainsi, par exemple, pour le nombre de clients à un guichet, nous
utiliserons un λ différent pour le lundi matin entre 9h et 10h et pour le
vendredi entre 18h et 19h.
b) Une variable qui est distribuée selon une loi de Poisson peut
en principe prendre toutes les valeurs entières, jusqu’à l’infini. Mais
rapidement les probabilités deviennent négligeables.
2) La loi de Poisson apparaît également comme limite de la loi
binomiale (478). Nous avons :
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lim ℬ (; ) =  (λ)
→+∞
→λ
Comme  devient de plus en plus petit, c’est à partir de cette
propriété que la loi de Poisson a été appelée loi des événements rares.
En pratique nous utilisons l’approximation dès que  ≥ 50 et
que  < 10 ou (1 − ) < 10, c’est-à-dire que  ou 1 −  doit
être assez petit.
3) Si ℒ () = (λ), nous avons les résultats suivants :
() =  et σ2 () = λ
Remarque
Cette égalité entre l’espérance et la variance (242) nous donne
une indication pour tenter de décrire un phénomène observé avec une
loi de Poisson. Lorsque la moyenne et la variance observées sont à
peu près égales, une telle loi pourrait être une bonne approche.
4) Si ℒ () = (λ), le mode  () est compris entre les deux
nombres λ − 1 et . L’intervalle défini par ces deux nombres est de
longueur 1, il contient soit un seul entier, soit deux, qui correspondent
alors aux bornes de celui-ci. Ainsi nous avons soit un seul mode soit
deux. Les coefficients d’asymétrie et d’aplatissement sont
respectivement :
μ 3 ( )
1
μ4 ()
1
γ1 () = 3
=
et γ2 () = 4
−3=
σ () √λ
σ ()
λ
Remarque.
Lorsque λ → +∞, la forme de la distribution de  s’approche de
la forme d’une distribution normale (392, 401).
(Source :
Mouchiroud D. Lois de Probabilité. – URL : http://www.univorleans.fr/MAPMO/membres/khaoula/enseignement2011et2012/Chapitre4proba.pdf)
29
30
31
23 PROBABILITÉS CONTINUES
32
251
1
2
3
1. Variables aléatoires réelles à densité (173)
2. Fonction de répartition
3. Espérance (295) et variance
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1. Variables aléatoires réelles à densité (175)
Exemple. On laisse tomber une aiguille à tricoter. La probabilité
qu’elle pointe exactement le nord est nul. Par contre, la probabilité
qu’elle pointe dans une direction α (192,193), comprise entre le nord
et l’est, est de 1⁄4. En générale, si φ1 < φ2 < φ1 + 2π, on aura :
φ2
φ2 − φ1
1
ℙ{φ1 ≤ α ≤ φ2 } =
=∫
φ
2π
2π
φ1
On dit que α suit la loi uniforme sur [0,2π].
D’une manière générale, si la probabilité qu’une variable
aléatoire  appartienne à un intervalle reut s’écrire comme l’intégrale
d’une fonction  sur cet intervalle, on dira que cette variable aléatoire
admet la densité  (176).
Définition d’une densité. Une fonction ℝ → [0, ∞[, intégrable
(335) selon Lebesgue, s’appelle une densité si :
+∞
18
∫
( ) = 1
−∞
19
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21
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24
25
Exemples
1. Densité de la loi uniforme sur [, ] :
1
( ) = { −  si  ∈ [, ],
0
sinon
2. Densité de la loi normale (174, 496) standard (530) (ou loi de
Gauss) :
 ( ) =
 −
2 ⁄2
√2π
3. Densité de la loi normale (529) de moyenne μ, variance σ2 :
252
φ(; μ, σ2 ) =
1
 −(−μ)
√2πσ
Le changement de variable  = ( − μ)⁄σ donne :
2
+∞
∫
3
φ(; μ, σ2 ) = ∫
−∞
+∞
−∞
 −
2 ⁄2
√2π
 = 1
4. Densité de la loi exponentielle (497) de paramètre λ > 0 :
4
−λ
 ( ) = {λ
0
5
si  ≥ 0,
si  < 0
2. Fonction de répartition
Une fonction : ℝ → [0,1] est une fonction de répartition (326)
6
7
8
2 ⁄2σ2
si :
10
  est croissante :  ≤  ⇒  ( ) ≤  ().
  est continue à droite : lim  () = ().
11

9
→+
lim  ( ) = 0 et lim  ( ) = 1.
→−∞
→+∞
13
Une fonction de répartition  est dite absolument continue de
densité  (320) si :
14
 ( ) = ∫ ()
12

−∞
15
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18
19
20
21
22
23
24
25
Propriétés
1. Si  est une densité, la fonction  est une fonction de
répartition, qui de plus est continue.
2. Si  est une fonction de répartition continue, elle n’admet pas
nécessairement une densité (on peut construire des contre-exemples,
faisant intervenir, par exemple, des objets fractales).
Le lien entre la notion de fonction de répartition et les variables
aléatoires vient du fait que pour toute variable aléatoire réelle,
ℙ{ ≤ } est une fonction de répartition. En effet,
 si  ≤ , alors { ≤ } ⊂ { ≤ }, et donc ℙ{ ≤ } ≤
ℙ{ ≤ } ;
253
1
 lim ℙ{ ≤ } − ℙ{ ≤ } = lim ℙ{ ≤  ≤ } = 0;
2
 lim ℙ{ ≤ } = 0 et lim ℙ{ ≤ } = 1.
3
4
5
6
7
→+
→−∞
→+
→+∞
Ceci motive la définition suivante.
Définition
Si  est une variable aléatoire,  () = ℙ{ ≤ } est appelée
fonction de répartition de . Si  est absolument continue de densité
, on dit que  admet la densité  et on a les relations :

8
ℙ{ ≤ } = ∫ (),
−∞

9
ℙ{ <  ≤ } = ℙ{ ≤ } − ℙ{ ≤ } = ∫ ()

10
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15
16
17
18
Dans ce cas, on peut remplacer < par ≤ et inversement.
3. Espérance et variance
Pour des variables aléatoires admettant une densité, l’espérance
et la variance se définissent de manière analogue au cas discret, en
remplaçant les sommes par les intégrales.
Définition
Soit  une variable aléatoire admettant la densité .
1. Si  ↦ | |() est intégrable selon Lebesgue, on appelle
espérance de  la grandeur
∞
19
() = ∫ ( )
−∞
20
21
2. Si de plus  ↦ ( − ()2 () est intégrable selon Lebesgue,
on appelle variance de  la grandeur
∞
22
() = ∫ ( − ()2 ( )
−∞
23
24
25
(Source :
Berglund N. Probabilités continues. – URL : http://www.univorleans.fr/mapmo/membres/berglund/probamass_html/node10.html
26
254
1
24 LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES (632)
2
3
4
5
1. Loi normale
2. Loi uniforme continue
3. Loi exponentielle
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31
32
1. Loi normale
Les lois introduites indépendamment par Laplace et par Gauss
sont les plus fréquemment rencontrées dans la nature. De ce fait leur
importance en Statistique (750) est primordiale. Nous pouvons
affirmer que sans elles la Statistique n’existerait pas.
1.1) Définition
Une variable aléatoire continue  suit une loi de Gauss, ou de
Laplace-Gauss ou encore une loi Normale, de paramètres μ ∈ ℝ et
σ ∈ ℝ∗+ si elle admet pour densité de probabilité (631) la fonction :
1
1
 ( ) =
exp (− 2 ( − μ)2 ),  ∈ ℝ
2σ
σ√2π
Ceci est noté ℒ() = (μ, σ2 ).
Si μ = 0 et σ = 1, nous dirons que  suit la loi Normale centrée
et réduite, ou encore la loi Normale standard, (0, 1).
1.2) Modélisation
Lorsqu’une mesure ou observation est le cumul d’un très grand
nombre d’autres variables, indépendantes entres elles et
individuellement négligeables, alors cette mesure peut être la
réalisation d’une variable X qui suit une loi . Cette propriété,
connue sous le nom de Théorème de la Limite Centrale (477, 764), est
celle qui donne son importance à la loi Normale.
Remarque. Le graphique ci-dessous (figure 1) représente la
courbe d’une densité (141) de loi Normale gaussienne ℒ() =
(μ, σ2 ), avec μ = 0 et σ = 1. Elle est en forme de cloche,
symétrique par rapport à (668) la droite verticale d’abscisse  = 0 (4),
où elle atteint son maximum qui vaut 1⁄σ√2π avec, dans notre
exemple σ = 1. Elle admet des points d’inflexion aux abscisses μ ± σ,
255
7
qui valent dans notre exemple ±1 respectivement; nous avons tracé
des droites verticales bleues pour matérialiser ces points d’inflexion
de la courbe. Cette dernière s’écrase très rapidement sur l’axe des
abscisses, à partir de μ ± 4σ = ±4 ici. Nous avons tracé des droites
verticales rouges, respectivement vertes, à la verticale des points
d’abscisse μ ± 2σ = ±2 (3), respectivement μ ± 3σ = ±3. Nous
reviendrons sur ces points remarquables.
8
9
Figure 1. Densité normale standard
1
2
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22
1.3) Propriétés
1) Si ℒ () = (μ, σ2 ) alors
supérieur
() = μ =  () =  () et σ2 () = σ2 ;
γ1 () = 0 et γ2 () = 0
De plus la variable
−μ
σ
est dite variable standardisée (782); nous avons alors
=
ℒ() =  (0, 1)
Remarque. Ainsi le paramètre μ, premier paramètre défini
précédemment, correspond à l’espérance de la loi. À titre d’exemple,
le graphique ci-dessous (figure 2) donne les courbes des densités de
trois lois normales de moyennes théoriques différentes mais de même
écart-type. Nous avons matérialisé les différentes espérances par des
256
2
droites verticales, aux couleurs des densités, pour montrer les
décalages.
3
4
Figure 2. Densités normales avec σ = 1
1
5
6
7
8
Le paramètre σ, deuxième paramètre défini précédemment,
correspond à l’écart-type de la loi. À titre d’exemple, le graphique cidessous (figure 3) donne les courbes des densités de trois lois
normales de même moyenne théorique mais d’écart-type différent.
9
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15
Figure 3. Densités normales avec μ = 0
Nous avons matérialisé les différents écarts types par des droites
verticales, aux couleurs des densités, correspondant chaque fois aux
abscisses μ ± σ, pour montrer les différences d’étalement.
Remarque. Dans le graphique ci-dessus, les aires comprises entre
l’axe des abscisses, la densité et les droites verticales de même
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28
couleur, correspondant chaque fois aux abscisses μ ± σ, sont toutes
égales à 0,6826895.
1.4) Interprétation
«Théoriquement», pour une variable de loi normale,
– 68,3 % des observations sont dans l’intervale [μ − σ, μ + σ];
– 95,5 % des observations sont dans l’intervale [μ − 2σ, μ + 2σ];
– 99,7 % des observations sont dans l’intervale [μ − 3σ, μ + 3σ].
Au-delà de μ ± 3σ, il ne devrait plus y avoir d’observations. Si
c’est le cas, cela veut dire que la loi Normale considérée n’est pas
adéquate ou qu’elle n’a pas le bon écart-type ou encore que
l’observation qui se trouve au-delà est suspecte.
2. Loi uniforme continue
Les lois uniformes continues sont très utiles de par la facilité des
calculs qu’elles permettent et pour leur utilisation dans les
simulations.
2.1) Définition
Une variable aléatoire continue  suit une loi uniforme de
paramètres ,  ∈ ℝ, avec  < , si elle admet pour densité de
probabilité la fonction :
0
si  <  et  > ,
 ( ) = { 1
si  ≤  ≤ 
−
Ceci est noté ℒ() = (, ).
2.2) Modélisation
La loi uniforme, comme son nom l’indique, peut représenter la
distribution des réalisations d’une telle variable aléatoire sur toute la
longueur d’un intervalle, de temps par exemple, lorsque celles-ci sont
uniformément réparties.
2.3) Propriétés
1) Si ℒ () = (, ), sa fonction de répartition est donnée par :
258
1
2
3
0
si
 ≤ ,
−
 ( ) = {
si  <  ≤ ,
−
1
si
>
La figure 4 représente la fonction de répartition de la variable
continue (783) ℒ() = (1,5; 3,5) :
4
5
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Figure 4. Répartition (1,5; 3,5)
2) Si ℒ () = (, ) alors
2
+
(
−
)
() =  () =
et σ2 () =
2
12
Cette loi est l’analogue continu de l’équiprobabilité dans le cas
discrète. Elle permet de modéliser le tirage d’un nombre aléatoire
(10) dans l’intervalle [, ].
2.4) Exemple
Lors d’une étude du comportement animal, on a relaché des
oiseaux dont l’orientation a été rendue très difficile. On s’attend alors
à ce que les oiseaux choisissent au hasard leur direction. On peut
modéliser la direction prise par un oiseau de la façon suivante. On
considère  l’angle entre le nord et la direction prise par l’oiseau
(selon le sens des aiguilles d’une montre (729)).
La variable  suit une loi uniforme entre 0 et 360 degrés.
19
259
1
2
3
4
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6
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8
9
10
3. Loi exponentielle
Cette densité de probabilité permet en général de modéliser des
durées de vie d’êtres non soumis au vieillissement (par exemple, la
durée de vie d’une bactérie) ou des temps d’attente (par exemple, le
temps d’attente entre deux signaux synaptiques).
3.1) Définition
Une variable aléatoire continue  suit une loi exponentielle de
paramètres λ ∈ ℝ, avec si elle admet pour densité (figure 5) de
probabilité la fonction :
0
si  < 0,
( ) = { −λ
λ
si  ≥ 0.
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22
23
Figure 5. Densité d’une loi exponentielle
Ceci est noté ℒ() = ℰ (λ).
3.2) Modélisation
Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène
sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure : la probabilité
que le phénomène dure au moins  +  heures sachant qu'il a déjà duré
 heures sera la même que la probabilité de durer  heures à partir de
sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, le fait que le
phénomène ait duré pendant  heures ne change rien à son espérance
de vie à partir du temps .
Cette loi permet entre autres de modéliser la durée de vie de la
radioactivité ou d'un composant électronique. Elle peut aussi être
260
1
2
3
4
5
6
7
utilisée pour décrire par exemple le temps écoulé entre deux coups de
téléphone reçus au bureau, ou le temps écoulé entre deux accidents de
voiture dans lequel un individu donné est impliqué.
3.3) Propriétés
1) Si ℒ () = ℰ (λ), sa fonction de répartition (figure 6) est
donnée par :
0
si  < 0,
 ( ) = {
1 −  −λ si  ≥ 0
8
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16
Figure 6. Répartition ℰ (λ)
2) Si ℒ () = ℰ (λ) alors :
1
1
et σ2 () = 2
λ
λ
Exemple. Dans une substance radioactive, la désintegration des
noyaux se fait de façon spontanée. Le nombre de désintegration sur un
intervalle de temps fixé suit une loi de Poisson. Par contre le temps
d’attente entre deux désintégrations est modélisé par une loi
exponentielle.
() =
(Source :
17
18
Nobelis Photis. Lois théoriques usuelles. – URL :
19
http://nobelis.eu/photis/Lois/normale.html
20
21
22
25 STATISTIQUE. VOCABULAIRE
23
24
25
1. Objet de la statistique
2. Vocabulaire statistique
261
1
3. Notion de distribution statistique
2
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32
33
34
1. Objet de la statistique
Le but de la statistique est de dégager les significations de
données, numériques ou non, obtenues au cours de l’étude d’un
phénomène. Il faut distinguer les données statistiques qui sont les
résultats d’observations recueillies lors de l’étude d’un phénomène, et
la méthode statistique (517) qui a pour objet l’étude rationnelle des
données. La méthode statistique comporte plusieurs étapes.
1.1) La statistique descriptive ou déductive
C’est l’ensemble des méthodes (263) à partir desquelles on
recueille, ordonne, réduit et condense les données. A cette fin, la
statistique descriptive utilise des paramètres, ou synthétiseurs, des
graphiques et des méthodes dites analise des données (l’ordinateur a
facilité le développement de ces méthodes.
1.2) La statistique mathématique ou inductive
C’est l’ensemble des métodes qui permettent de faire des
prévisions, des interpolation sur une population à partir des résultats
recueillis sur un échantillon. Nous utilisons des raisonnements
inductifs c’est-à-dire des raisonnements de passage du particulier au
général.
Cette statistique utilise des repères de référence qui sont les
modèles théoriques (lois de probabilité).
Cette statistique nécessite la recherche d’échantillons qui
représentent le mieux possible la diversité de la population entière ; il
est nécessaire qu’ils soient constitués au hasard ; on dit qu’ils résultent
d’un tirage non exhaustif (769).
2. Vocabulaire statistique
Population. On appelle population l’ensemble des unités ou
individus sur lequel on effectue une analyse statistique (16).
Exemples de populations : les véhicules immatriculés en
France ; les salariés d’une entreprise ; les habitants d’un quartier.
Echantillon. C’est l’ensemble des individus prélevés dans une
population déterminée.
262
1
2
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33
34
35
Exemple d’échantillon : des véhicules automobiles immatriculés
dans un département.
Caractère. C’est un trait déterminé  présent chez tous les
individus d’une population sur laquelle on effectue une étude
statistique.
Un caractère est dit quantitatif s’il est mesurable.
Exemples de caractères quantitatifs : la puissance fiscale d’un
véhicule automobile ; l’âge, le salaire d’une entreprise.
Un caractère est dit qualitatif s’il est repérable sans être
mesurable.
Exemples de caractères qualitatifs : la couleur de la carrosserie
d’un véhicule automobile ; le lieu de travail des habitants d’un cartier ;
le sexe et la situation matrimoniale des salariés d’une entreprise.
Modalités. Ce sont les différentes situations  possibles du
caractère.
Les modalités d’un caractère doivent être incompatibles et
exhaustives ; tout individu doit présenter une et une seule modalité.
Les modalités d’un caractère qualitatif sont les différente
rubriques d’une nomenclature ; celles d’un caractère quantitatif sont
les mesures de ce caractère.
L’ensemble des modalités est noté .
Exemple de caractère quantitatif discret : le nombre d’enfents
d’une famille (fratrie).
Dans certains cas la mesure du caractère peut être un nombre
décimal pris parmi un ensemble de valeurs possibles très important
(plusieurs dizaines ou plusieurs centaines).
Pour permettre une étude et notamment une représentation
graphique plus simple, nous sommes conduits à effectuer un
regroupement en classes (5 à 20 classes) ; nous dirons alors que le
caractère est continu.
Dans ces deux situations, nous dirons que le caractère quantitatif
est défini par ses modalités (valeurs discrètes ou classes).
Les modalités d’un caractère quantitatif peuvent être prises dans
ℝ ou ℝ .
Exemples d’ensembles de modalités (264).
263
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2
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5
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20
1) Nombre d’enfants dans une fratrie : { } = { } =
{0,1,2,3, … },  ∈ ℕ.
2) l’âge, la taille et le poids d’un groupe d’individus représentent
globalement une modalité (520) définie dans ℝ3 (à condition que
chacune de ces variables soit discrète) (113).
L’ensemble des modalités d’un caractère peut être établi à priori
avant l’enquête (une liste, une nomenclature, un code) ou après
l’enquête.
Les caractères étudiés sur une population peuvent être mixtes.
Exemple de caractère mixte.
L’ensemble des salariés d’une entreprise peut être représenté par
un caractère mixte que nous pourrons exploiter globalement ou plus
éfficacement en extrayant une partie des données.
Le sexe, de modalités :  ou  (codé par 1 ou 2).
L’âge, de modalités : 18, 19, 20, ... ou [16, 20], [21, 25], …
Le salaire mensuel, de modalité : 6000, 6500, 7000, ... ou
[6000, 6500[ , [6500, 7500[ , … .
La situation matrimoniale, de modalités : marié, célibataire, veuf,
divorcé, vivant maritalement.
3. Notion de distribution statistique (204)
26
Considérons une population Ω. Dans cette population,
considérons un caractère  et soit  l’ensemble des modalités du
caractère , card ( ) = .
On note  l’ensemble des individus de Ω présentant la modalité
 du caractère ,  = 1, … ,  (521) Les  forment une partition
(557) de Ω :
27
 ∩  = ∅ pour  ≠ , et ⋃=1  = Ω
21
22
23
24
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30
31
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33
34
=
Nous définissons  = card ( ),  est l’effectif de la modalité
 (522).
On appelle variable statistique (790) toute application  de Ω
dans  qui, à chaque individu de la population, associe une modalité
 du caractère .
L’effectif  d’une modalité  est le cardinal de l’image
réciproque (67)  de  par  :
264
1
2
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20
 = card( ) = card( −1 ( ))
Une variable statistique s’identifie à l’ensemble des triplets
(269) {( ,  ,  )},  ∈ [1, ].
En pratique, le statisticien se contente souvent de l’ensemble des
doublets (261) {( ,  )},  ∈ [1, ], sans se préoccuper de savoir qui
sont les  individus de la population présentant la modalité  du
caractère  et constituant l’ensemble  .
On appelle aussi distribution statistique l’ensemble des doublets
{( ,  )},  ∈ [1, ].
Exemples de variables statistique.
1) Le nombre d’enfants d’une fratrie :

0
1
2

50
70
20
2) la taille d’une population : 1 = [150, 160[ , 1 = 50 ; 2 =
[160, 175[ , 2 = 100.
3) Les marques de véhicules automobiles : 1 = «Renault»,
1 = 15000 ; 2 = «Citroën», 2 = 10000.
(Source :
. Immédiato Henri. Généralités: Cours de Statistique. –
pp. 1-4. – URL : http://nte-serveur.univ-
lyon1.fr/nte/immediato/Math/Enseignement/07%20Statistiques/00.%20Cours/C
ours%20(1e%20partie).pdf
21
22
26 STATISTIQUE. PARAMETRES CARACTERISTIQUES
23
24
25
26
1. Paramètres de position
2. Paramètres de dispersion
3. Paramètres de forme
27
28
29
30
Le but de l’étude statistique est aussi de résumer des données par
par des paramètres ou synthétiseurs. Il existe 3 types de paramètres :

paramètres de position (ou tendence centrale),
265
1
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19
20

paramètres de dispersion,

paramètres
de
forme
(asymétrie,
aplatissement,
consentration).
1. Paramètres de position (622)
Les paramètres de position (mode, médiane, moyenne)
permettent de savoir autour de quelles valeurs se situent les valeurs
d’une variable statistique.
1.1) Mode (523)
Le mode, noté  , est la modalité qui admet la plus grande
fréquence (411) :
(0 ) = Max ( );  = [1, ]
Il est parfaitement défini pour une variable qualitative (785) ou
une variable quantitative (786) discrète.
Pour une variable quantitative continue nous parlons de classe
modale : c’est la classe dont la densité de fréquence est maximum.
Si les classes ont même amplitude la densité est remplacée par
l’effectif ou la fréquence et nous retrouvons la définition précédente.
Nous définissons le mode, pour une variable quantitative
continue, en tenant compte des densités de fréquence des deux classes
adjacentes par la méthode suivante (figure 1) :
21
22
23
24
25
Figure 1. Calcul graphique du mode
La classe modale [ , +1 [ étant déterminée, le mode 0 vérifie
l’égalité :
0 −  +1 − 0
=
Δ1
Δ2
266
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2
3
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23
24
25
Dans une proposition, on ne change pas la valeur du rapport en
additionnant les numérateurs et en additionnant les dénominateurs :
0 −  +1 − 0 +1 − 
=
=
;
Δ1
Δ2
Δ1 + Δ2
Δ1
( −  )
0 =  +
Δ1 + Δ2 +1
Remarques
 Lorsque les classes adjacentes à la classe modale ont des
densités de fréquence égales, le mode coïncide avec le centre de la
classe modale.
 Le mode dépend beaucoup de la répartition en classes.
 Une variable statistique peut présenter plusieurs modes
locaux : on dit alors qu’elle est plurimodale. Cette situation est
intéressante : elle met en évidence l’existence de plusieurs souspopulations, donc l’hétérogénéité de la population étudiée.
1.2) Médiane (506)
La médiane 0 est telle que l’effectif des observations dont les
modalités sont inférieures à 0 est égal à l’effectif des observations
dont les modalités sont supérieures à 0 .
Cette définition n’a de sens que si les modalités sont toutes
ordonnées (728). Dans le cas d’une variable qualitative il est parfois
possible de choisir un ordre.
Exemple : niveau d’études scolaires : école primaire < 1er cycle <
CAP < BEP < Bac < BTS < DEUG < ...
Une variable quantitative  doit être définie dans ℝ.
Détermination pratique de la médiane.
1) Cas d’une variable discrète (784) (figure 2) :
26
27
28
Figure 2. Médiane d’une variable discrète (507)
267
1
2
3
4
L’intervalle [2, 3[ est appelé intervalle médian.
Dans l’intervalle médian, la médiane est calculée par
interpolation linéaire.
2) Cas d’une variable continue (figure 3) :
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Figure 3. Médiane d’une variable continue (508)
La médiane ne dépend que de l’ordre des modalités, elle n’est
donc pas influencées par les observations aberrantes.
La médiane partage l’histogramme des fréquences en deux
parties d’aires égale.
1.3) Moyenne (524)
La moyenne  ne se définit que pour une variable statistique
quantitative. Pour une variable statistique discrète {(( ,  ))}1≤≤ à
valeurs dans ℝ, la moyenne  est la moyenne arithmétique des
modalités pondérées par les effectifs :
=
16
=1
17
18
19
=
1
1
 = ∑   = ∑ (ω) , avec  = ∑ 


ω∈Ω
Exemple. L’étude de 21 familles a conduit à la distribution
suivante le nombre d’enfants dans la famille :
Nombre d’enfants 
0
1
2
3
4
5
Nombre de familles 
5
3
6
1
3
3
Le nombre moyen d’enfants par famille est :
=
20
=1
1
 = ∑   =

=1
268
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
45 15
(0 ∙ 5 + 1 ∙ 3 + 2 ∙ 6 + 3 ∙ 1 + 4 ∙ 3 + 5 ∙ 3 ) =
= .
21
21
7
Propriétés de la moyenne
1) La somme  +  de deux variables statistiques  et  est
définie par :
( + )(ω) = (ω) + (ω), pour tout ω ∈ Ω
=
2) Le produit λ d’une variable statistique  par un nombre réel
λ est défini par :
(λ)(ω) = λ(ω), pour tout ω ∈ Ω
3) Ecart moyen à la moyen :
1
 −  = ∑ ( − )(ω) =

∈Ω
1
1
= ∑ ((ω) − ) = ∑ (ω) −  = 0


∈Ω
12
13
14
15
16
17
18
19
∈Ω
2. Paramètres de dispertion (196, 197)
Les paramètres de dispertion (étendue, variance, écart-type) sont
calculés pour les variables statistiques quantitatives. Les paramètres
de position ne donnent pas une information complète sur une variable
statistique. En effet, deux variables qui ont la même moyenne peuvent
se présenter avec des dispersions très différentes. C’est ici
qu’interviennent les paramètres de dispersion.
2.1) Etendue
22
Soit  une variable statistique réele discrète.
L’étendue ω de  (296) est la différence entre la plus grande et
la plus petite valeur de  :
23
ω =  − 
20
21
24
25
26
27
Ce paramètre est souvent utilisé dans les contrôles de fabrication,
pour lesquels ont donne, à priori, des marges de construction. Son
intérêt est limité par le fait qu’il dépend uniquement des valeurs
extrêmes, qui peuvent être des valeurs aberrantes.
28
269
1
2
3
4
5
6
7
8
2.2) Quartiles (649) et déciles
1) Variable statistique continue
Pour une variable statistique quantitative réelle continue , on
appelle quartiles les nombres réels 1 , 2 , 3 , pour lesquels les
fréquences cumulées de  sont respectivement 0,25 ; 0,50 ; 0,75. Ce
sont les valeurs pour lesquelles l’ordonnée (540) de la courbe
cumulative des fréquences (140) est respectivement égale à 0,25 ;
0,50 ; 0,75 (figure 4) :
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Figure 4. Quartiles d’une variable continue
Les quartiles partagent l’étendue en quatre intervales qui ont le
même effectif.
Le deuxième quartile est égale à la médiane.
L’intervalle interquartile est la différence entre les valeurs du
troisième et du premier quartiles : 3 − 1 . L’intervalle [1 , 3 ]
contient 50% des valeurs de .
2) Variable statistique discrète
Pour une variable statistique réelle discrète , la courbe des
fréquences (408) cumulées est une courbe en escalier (144).
S’il existe une valeur de  pour laquelle la fréquence cumulée
(409) est 0,25 (resp. 0,50 et 0,75), le quartile correspondant est cette
valeur de . Sinon, les quartiles serons déterminées par interpolation
linéaire entre deux valeurs (figure 5) :
24
25
Figure 5. Quartiles d’une variable discrète
270
1
2
3
4
5
2.3) Variance et écart-type (235)
1) Définition
Soit {( ,  )}1≤≤ une variable statistique réelle.
On appelle variance de , la moyenne arithmétique des carrés
des équarts de  à sa moyenne :
=
6
1
1
2
2
 2 () = ∑ ((ω) − ) = ∑  ( − ) .


ω∈Ω
=1
8
On appelle écart-type de  la racine carrée (650, 651) de la
variance  2 () de . On le note () :
9
() = √ 2 ().
7
10
11
12
2) Formule de la variance
2
En développant le carré ( − ) , la formule de définition de la
variance peut être écrite :
=
13
 2 ( ) =
1
2
2
∑   2 −  =  2 −  ;

=1
2
 2 ( ) =  2 −  .
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Cette formule (la variance est égale à la moyenne du carré moins
le carré de la moyenne) est appelée formule de la variance, ou formule
de König.
Elle peut s’écrire sous la forme :
 2 ( ) =
=
=
=1
=1
2
1
1
(∑   2 − (∑   ) )


3) Propriétés de la variance
 La variance est toujours un nombre réel positif. En effet, c’est
une somme de carrés.
271
1
2
3
4
5
6
7
8
 La variance est nulle si, et seulement si,  possède une seule
valeur.
  2 ( + ) =  2  2 ().
 La variance d’une variable statistique répartie uniformément
(791) sur un intervalle de longueur  est 2 ⁄12.
2.4) Moments
Soit  une variable statistique quantitative réelle.
On appelle moment d’ordre r de  la quantité :
=
9
 =
1
1
∑ ((ω)) = ∑   


ω∈Ω
10
11
12
13
=1
Pour  = 0: 0 = 1.
Pour  = 1: 1 = . Le moment d’ordre 1 est la moyenne.
Pour  = 2: 2 =  2 .
On appelle moment centré d’ordre r de  la quantité :
=
14
1
1


(
)
μ = ∑ ( ω − ) = ∑  ( − )


ω∈Ω
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
=1
Pour  = 0: μ0 = 1.
Pour  = 1: μ1 = 0.
Pour  = 2: μ2 =  2 () = 2 − 1 2 .
Le moment centré d’ordre 2 est la variance.
Conclusion.
Centrer et réduire une variable statistique quantitative  consiste
à la remplacer par :
−
′ =
()
  −  pour la centrer (moyenne 0),
 diviser par () pour la réduire (écart-type 1).
25
26
272
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3. Paramètres de forme
Nous définissons les paramètres de forme pour une variable
statistique quantitative, discrète ou continue, à valeurs réelles.
3.1) Coefficients d’asymétrie
1) Définition
Il existe plusieurs coefficients d’asymétrie (85). Les principaux
sont les suivants.
Le coefficient d’asymétrie de Pearson (87) fait intervenir le
mode 0 : quand il existe, il est défini par :
=
 − 0
.
()
Le coefficient d’asymétrie de Yule (88) fait intervenir la médiane
et les quartiles, il est défini par :
1 + 3 − 2
=
.
2(3 − 1 )
Le coefficient d’asymétrie de Fisher (86) fait intervenir les
moments centrés, il est défini par :
μ3
μ3
 = 3⁄2 = 3
.
 ()
μ2
Lorsque le coefficient d’asymétrie est positif, la distribution est
plus étalée à droite (207): on dit qu’il y a oblicité (533) à
gauche (534) (figure 6):
20
21
22
23
24
Figure 6. Oblicité à gauche
Lorsque coefficient d’oblicité (90) est négatif, la distribution est
plus étalée à gauche : on dit qu’il y a oblicité à droite (535) (figure 7) :
273
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Figure 7. Oblicité à droite
Il est nul pour une distribution à densité de fréquence symétrique
(206, 410), tel est la loi de Gauss.
2) Exemples
 Considérons la variable statistique  de distribution :
 −1
4

1
4
1
0 = −1; μ3 = (4 ∙ (−1)3 + 1 ∙ 43 ) = 12;
5
1
μ2 = (4 ∙ (−1)2 + 1 ∙ 42 ) = 4.
5
 − 0 1
=
= > 0: oblicité à gauche.
()
2
μ3
12 3
 = 3⁄2 =
= > 0: oblicité à gauche.
8
2
μ2
 Considérons la variable statistique  de distribution :
0 = 1;
μ3 =
 −4
1

4
1
1
(1 ∙ (−4)3 + 4 ∙ 13 ) = −12;
5
1
μ2 = (1 ∙ (−4)2 + 4 ∙ 12 ) = 4.
5
274
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
 − 0
1
=
= − < 0: oblicité à droite.
()
2
μ3
−12
3
 = 3⁄2 =
= − < 0: oblicité à droite.
8
2
μ2
3.2) Coefficient d’aplatissement (84)
Là encore plusieurs définitions sont possibles.
Le coefficient d’aplatissement de Pearson (24) est :
μ4
μ2 2
Le coefficient d’aplatissement de Yule (25) est :
β2 =
2 =
μ4
−3
μ2 2
On peut se demander : pourquoi −3 ?
C’est parce que, en Probabilités, on peut démontrer que le
coefficient d’aplatissement de Pearson pour une variable aléatoire
réelle qui suit une loi de Gauss, est égal à 3. Il est alors naturel, pour
comparer à l’aplatissement d’une variable de Gauss (787),
d’introduire le coefficient 2 = β2 − 3.
Si 2 est égal à 0, le polygone statistique de la variable réduite a
le même aplatissement qu’une courbe en cloche (143), on dit que la
variable est mésokurtique (509).
Si 2 est supérieur à 0, le polygone statistique de la variable
réduite est moins aplati qu’une courbe en cloche, on dit que la variable
est leptokurtique (470).
Si 2 est inférieur à 0, le polygone statistique de la variable
réduite est plus aplati qu’une courbe en cloche, on dit que la variable
est platykurtique (586) (figure 8) :
275
Variable mésokurtique
1
2
3
4
5
6
Variable leptokurtique
Variable platykurtique
Figure 8. Aplatissement des variables
(Source :
Immédiato Henri. Paramètres caractéristiques : Cours de Statistique. –
pp. 12-31. – URL : http://nte-serveur.univ-
lyon1.fr/nte/immediato/Math/Enseignement/07%20Statistiques/00.%20Cours/C
ours%20(1e%20partie).pdf
276
EXERCICES
1 NOMBRES CARDINAUX ET ORDINAUX
1.1 Écrire en lettres les numéraux cardinaux suivants :
1248 ; 3405 ; 2008 ; 3412 ; 10000 ; 200000 ; 905200 ; 2000 ;
905200 ; 96000 ; 53000000 ; 6000000.
1.2 Écrire les nombres suivants sous la forme ordinale :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 13 ; 50 ; 1289 ; 6593 ; 555 ;
quarante-six ; cent-soixante-cinq ; vingt-neuf ; quatre-vingt-treize.
1.3 Abréger les ordinaux :
Le premier ministre ; la Première Guerre mondiale ; la première
classe ; la première journée de congé ; un ennième ; le huitième mois
de l’année ; le second membre de l’équation.
2 NOMBRES FRACTIONNAIRES
2.1 Compléter le tableau suivant. Donner des variantes, si
possible :
Fraction en chiffres
Fraction en lettres
un demi ; la moitié
1⁄3
277
1⁄4
un cinquième
un sur  ; un ennième
195⁄239
 sur 
4
3
5
sept (et) vingt-deux deux-cent-cinquème
quarante-trois pour cent
39%
0,4
zéro (virgule) deux-cent-trente-cinq ; zéro
(virgule) deux trois cinq
2.2 Lire les nombres ci-dessous :
3
3,492 ; 51 4 ; 0,2 ;
124
71
; 36,6 ; 27,5.
2.3 Choisir les expressions qui conviennent pour les intercaler
dans le texte.
Un réel  est une valeur approchée d’un .....  à  près ( > 0) si
la distance entre  et  est ..... à  ; autrement dit, si | − | ≤  ; ou
encore si  −  ≤  ≤  + . Exemple. Le nombre 3 ..... une ..... de π
à 1 près, puisque |π − 3| ≤ 1. En revanche, 3 ..... une valeur
approchée de π à 0,1 près, parce que |π − 3| > 0,1.
Lorsque  est une valeur approchée de  à  près,  est une
valeur approchée de ..... à  près.
Un réel  est une valeur approchée de  par défaut à  près si la
distance entre  et  est inférieur à  et si  ≤ , ou encore si  −  ≤
 ≤ . Exemple. 3,14 est une valeur approchée ..... de π à 0,01 près.
278
Un réel  est une valeur approchée de  ..... à  près si la
distance entre  et  est inférieur à  et si  ≥ , ou encore si  ≤  ≤
 + . Exemple. 3,15 est une valeur approchée par excès de π ..... .
Tronquer un nombre décimal consiste à supprimer toutes les
décimales à partir d’un certain rang. Exemple. Tronquer 4,123 à la
deuxième décimale donne ..... .
Arrondir un nombre au dixième (au centième, etc.) consiste à le
mettre sous forme décimale, avec un chiffre après la virgule (ou deux,
etc.) ; on procède ainsi : le dernière chiffre est maintenu si le suivant
est 0, 1, 2, 3 et 4, il est augmenté de 1 sinon. Exemple. Arrondir au
dixième 3,42 donne ..... et arrondir au dixième 3,47 ..... 3,5. Arrondir
..... 0,101 donne 0,10 et arrondir au centième ..... donne 0,11.
Mots à intercaler : à 0,01 près ; au centième ; est ; n’est
pas ; 4,12 ;  ; par défaut ; par excès ; réel; valeur approchée ;
3,4 ; donne ; inférieure; 0,105.
3 OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES
3.1 Lire et copier le texte ci-dessous en intercalant les lettres
qui manquent. Expliquer le choix en français :
Selon un ce.tain usage, .es opérati.ns arithmé.iques sont
.’addition, .a soustract.on, la multi.lication e. la divisio. . Les
démarc.es rappelée. ci-après so.t les algor.thmes clas.iques de ce.
opération. . Ils s’appli.uent aux en.iers et au. décimaux n.turels.
3.2 Lire et retenir l’algorithme de l’addition :
Pour ADDITIONNER, placer les unités sous les unités, les
dizaines sous les dizaines, etc. Additionner verticalement, en
commençant par la colonne la plus à droite. Si le résultat dépasse 10,
poser à l’aplomb le chiffre des unités et «retenir» celui des dizaines ;
c’est-à-dire : le placer dans la colonne immédiatement à gauche.
Recommencer alors avec cette colonne-ci, y compris la retenue, et
ainsi de suite.
S’il y a des virgules, en mettre une dans le résultat, sous celles
des nombres à additionner. Par exemple:
279
1
3 8 2
0, 1 2
+
4 5 2
3, 5
8 3 4
3, 6 2
Contrairement aux autres opérations, l’algorithme de l’addition
peut s’appliquer, en une seule fois, à une somme de plus de deux
termes.
+
3.3 Additionner les nombres donnés. Commenter chaque pas
du raisonnement :
30946 + 2895 ; 345 + 9875 ; 7,322 +4,599.
3.4 Lire et retenir l’algorithme de la soustraction :
Pour SOUSTRAIRE, on dispose de même les nombres en
colonnes. On soustrait, dans la colonne la plus à droite, le nombre du
bas de celui du haut. Si ce dernier est plus petit que celui du bas, on
l’augmente de dix afin de pouvoir soustraire, mais on augmentera
d’une unité le chiffre du bas de la colonne voisine avant de tenter de le
soustraire à son tour de selui qui le surplombe. Par exemple :
−
6 3
2 5
1
3 8
3.5 Soustraire les nombres donnés. Commenter chaque pas du
raisonnement :
7,00501−6,999 ; 654321−12345 ; 0,001−0,0001.
3.6 Lire et retenir l’algorithme de la multiplicationtion :
Pour MULTIPLIER, écrire les deux facteurs (0,16 et 2,3) l’un
sous l’autre, en alignant leurs chiffres les plus à droite.
Ne pas s’occuper des éventuelles virgules. Prendre le dernier
chiffre (3) du multiplicateur ; le multiplier par le dernier du
multiplicande (6) ; poser le résultat dessous ; si le résultat dépasse 10,
ne poser que le chiffre des unités (8) et retenir en mémoire celui des
dizaines (1). Puis multiplier par le dernier chiffre du multiplicateur (3)
le chiffre suivant du multiplicande (1) ; ajouter au résultat (3) la
280
précédente retenue, s’il y a lieu. On recommence ensuite, en
multipliant cette fois par l’avant-dernier chiffre du multiplicateur (2) ;
le premier résultat (2, avec retenue de 1) doit être décalé d’une
colonne vers la gauche. On continue ainsi avec tous les chiffres du
multiplicateur. Une fois effectuées ces multiplications partielles, on
additionne les résultats. Enfin on place la virgule de la manière
suivante : on compte dans les deux facteurs le nombre total de chiffres
situés après les virgules (deux plus un) ; dans le résultat, le nombre de
chiffres placés après la virgule doit être ce que l’on vient de trouver
(trois) :
0, 1 6 multiplicande
×
2, 3 multiplicateur
4 8 multiplication de 16 par 3 (retenue de 1)
multiplication de 16 par 2 (avec décalage)
3 2
0, 3 6 8 trois chiffres après la virgule (d’où le 0)
3.7 Multiplier les nombres donnés. Commenter chaque pas du
raisonnement :
2,493 ∙ 1,39 ; 1,09 ∙ 0,562 ; 0,00054 ∙ 280.
3.8 Lire et retenir l’algorithme de la division :
Pour DIVISER, placer le dividende (4,96) à gauche et le diviseur
(2,1) à droite. S’ils comportent des virgules, décaler celles-ci vers la
droite, d’autant de rangs pour l’une que pour l’autre, jusqu’à expulsion
de celle du diviseur. Prendre un minimum de chiffres (ici deux) dans
le nouveau dividende (49,6), en partant de la gauche, de manière à
former un nombre (49) supérieur au nouveau diviseur (21). Diviser ce
nombre (49) par le diviseur (21) ; placer le quotient (2) dans la zone
inférieur droite. Multiplier le diviseur (21) par ce quotient (2) et
soustraire le résultat (42) du nombre en question (49) ; écrire le reste
(7) sous ce nombre (49) à droite (7 sous 9). Abaisser alors le chiffre
suivant du dividende (6) ; le reste et ce chiffre forment un nouveau
nombre (76) avec lequelle on recommence. On peut continuer aussi
longtemps que le reste n’est pas nul. Au moment où l’on abaisse le
premier chiffre après la virgule (6), on met une virgule dans le
quotient (à droite du 2) :
281
4 9, 6 2 1
7 6 2, 3
1 3
après le décalage des virgules
après l’abaissement du 6
76 = 3 ∙ 21 + 13
3.9 Diviser les nombres donnés. Commenter chaque pas du
raisonnement :
40,376 : 5,6 ; 10,38 : 86,5 ; 47,937 : 33,06.
6.4 INTERVALLES
4.1 Lire le texte, retenir les termes mathématiques, leurs
définitions et en donner des exemples numériques :
Un intervalle est un ensemble des nombres réels compris entre
deux bornes, ou supérieurs à une borne, ou inférieurs à une borne.
Plus prcisément,  étant inférieur à  :
[, ] est l’ensemble des réels  tels que  ≤  ≤  ; c’est un
intervalle fermé borné ;
[, [ est l’ensemble des réels  tels que  ≤  <  ; c’est un
intervalle semi-ouvert à droite (en ) , borné;
], ] est l’ensemble des réels  tels que  <  ≤  ; c’est un
intervalle semi-ouvert à gauche (en ), borné ;
], [ est l’ensemble des réels  tels que  <  <  ; c’est un
intervalle ouvert (toutes les deux bornes sont exclues) ;
[, +∞[ est l’ensemble des réels  tels que  ≤  (la borne  est
incluse) ; c’est un intervalle fermé infini ;
]−∞, [ est l’ensemble des réels  tels que  <  (la borne  est
exclue) ; c’est un intervalle ouvert infini.
4.2 Combiner les crochets toutnés à gauche et à droite, des
nombres réels, les signes +∞ et −∞ pour obtenir des intervalles.
4.3 Écrire en lettres les intervalles en question:
3
]9; 10,1[, [17,2; 100], [ ; 0,9[, ]−2; 5], ]ln 5; π[, ]−∞; +∞[.
4
Une réunion d’intervalles n’est pas toujours un intervalle. Ainsi,
[6; 8] ∪ [7; 9] = [6; 9], mais [6; 8] ∪ [9; 10], ne contenant pas tous
282
les réels compris entre 6 et 10 (8,5 par exemple), ne peut pas se
réudire en intervalles.
4.4 Écrire, si possible, à l’aide d’un intervalle :
1 = [−3; 2] ∪ [1; 5] ;
2 = [−5; +∞[ ∪ [−6; −3] ;
3 = [1; 3[ ∪ ]3; 7] ;
4 = { ∈ ℝ; | | ≤ 2}.
4.5 Exclure les écritures qui n’ont pas de sens.
[sin 5; ln 5], ]tan 45°; cos 45°[, ]log 2 15; π], ]e0 ; cos 0[, [7; 7],
[7; 7[.
Veiller à ce que la borne gauche soit inférieure à la borne droite :
[5; 2] ne veut rien dire.
6.5 CALCUL LITTÉRAL
Une expression littérale comprend une ou plusieurs lettres. Cette
ou ces lettres représentent des nombres qui ne sont pas fixés: des
variables.
On peut calculer la valeur numérique d’une expression littérale
en donnant aux variables des valeurs numériques. Il est alors souvent
avantageux de commencer par réduire cette expression.
5.1 Souligner les mots qui désignent des opérations sur les
expressions littérales et retenir leur sens :
Réduire une expression littérale, c'est regrouper les termes
semblables de façon à éviter leur répétition. Par exemple, réduire une
somme écrite en fonction de  2 et de , c’est l’écrire sous la forme
 2 +  + . Ainsi, si l’on veut réduire l’expression  =
3 – 5 2 + 4 + 7 2 – 12 – 4 : on regroupe les termes «en  2 »,
ceux en «» et les termes «sans » ; on effectue les calculs et on
obtient :  = 2 2 – 9. L’expression  est réduite car les termes en  2
sont regroupés, ainsi que les termes en , et les nombres.
Développer un produit, c’est transformer un produit en une
somme. L’expression obtenue est dit «expression développée». Pour
cela, on applique la propriété de distributivité de la multiplication :
283
 +  = ( + ). Par exemple, les expressions  =  2 + 3 et
 = 3 + ( + 1) sont développées. En effet,  est la somme des
termes :  2 et 3; de même,  est la somme des termes : 3 et  + 1.
Factoriser, c’est transformer une expression en un produit.
L’expression obtenue est appelée «expression factorisée». Pour cela,
on repère un facteur commun puis on applique la propriété de
distributivité de la multiplication :  +  = ( + ). Par
exemple, 52 – 10 = 5 ∙  – 5 ∙ 2. Les deux termes ont pour
facteur commun 5. On peut donc factoriser l’expression :
52 – 10 = 5( − 2). L’expression 5( − 2) est factorisée : elle
représente le produit de 3 facteurs : 5,  et  − 2.
5.2 Relier les expressions qui ont le même sens :
Factoriser une expression
Changer les signes des termes de
l’expression écrite entre parenthèses
Supprimer les parenthèses dans Transformer un produit en une
une expression factorisée
somme
Développer une expression
Regrouper et puis additionner les
termes semblables
Supprimer les parenthèses
précédées du signe «–»
Les identitées remarquables
Réduire une expression
Les règles de priorité
Les formules permettant de
Effectuer la suite d’opérations
simplifier les opérations sur les indiquée en respectant les règles de
expressions
priorité
L’algorithme qui permet
Transformer une somme en un
d’établir l’ordre des opérations produit
Ordonner une expression
Ordonner une expression par
rapport aux puissances d’une
Écrire les termes d’une expression de
façon que les degrés d’une variable
aillent soit en augmentant soit en
diminuant
Polinômes qui se composent, après
réduction, des mêmes termes
284
variable
Polinômes identiques
Classer les termes d’une expression
dans un certain ordre
5.3 Commenter chaque pas de simplification des expressions
données. Outre le vocabulaire du tableau ci-dessus, ajouter des
expressions
convenables
du
vocabulaire
«Phraséologie
mathématique» et «Phraséologie du discours» :
Réduire et ordonner les polynômes suivantes :
3

7
9
1) 4  2 − 2 + 4 3 + 2  + 5 − 3 3 + 4  2 − 4 ;
2
3
8
2) 23 + 5  − 4 3 + 4 + 32 + 5  − 2 −
5
10
3
;
11
3) 22  − 3 − 2  2 − 2 3 + 23 − 52  + 2  2 +  3 (d’abord
par rapport à la variable , puis par rapport à ).
5.4 Produire les expressions suivantes (c’est-à-dire les écrire
sous la forme d’expressions littérales) :
1) le carré de la somme de deux termes ;
2) le carré de la différence de deux termes;
3) la différence des carrés de deux termes;
4) le cube de la somme de deux termes;
5) le cube de la différence de deux termes;
6) la différence des cubes de deux termes;
7) la somme des cubes de deux termes.
5.5. Relier les expressions données ci-dessous avec celles de
l’exercice précédent (mettre entre parenthèses leurs numéros au
bout de chaque phrase) :
1) ... est égal(-e) à la somme des carrés de ces termes moins leur
double produit ( ) ;
2) ... est égal(-e) au cube du premier terme plus le triple produit de son
carré par le second terme, plus le triple produit du carré du second
terme par le premier et plus le cube du second terme ( ) ;
3) ... est égal(-e) à la somme des carrés de ces termes et leur double
produit ( ) ;
285
4) ... est égal(-e) au produit de la différence des termes par le carré
incomplet de leur somme ( ) ;
5) ... est égal(-e) au produit de la somme de ses termes par leur
différence ( ) ;
6) ... est égal(-e) au produit de la somme de ses termes par le carré
incomplet de leur différence ( ) ;
7) ... est égal(-e) au cube du premier terme moins le triple produit de
son carré par le second terme, plus le triple produit du carré du second
terme par le premier, moins le cube du second terme ( ) ;
5.6 Lire les identités remarquables :
1)
2)
3)
4)
5)
( ± )2 = 2 ± 2 +  2 ;
2 −  2 = ( + )( − ) ;
( ± )3 = 3 ± 32  + 3 2 ±  3 ;
3 −  3 = ( − )(2 +  +  2 ;
3 +  3 = ( + )(2 −  +  2 ).
5.7 Écrire le texte intégral de la leçon-vidéo :
URL :
http://www.dailymotion.com/video/x3ws6q_identitesremarquables_school
Avant de travailler avec les vidéos lire la méthode d’agir :
Les vidéos ne remplacent pas les vrais cours. Cependant elles vous
aident pour préparer, approfondir ou réviser vos connaissences. Voici
quelques conseils pour optimiser le visionnage.
- Les deux outils de base : papier et crayon. Notez les points qui
vous échappent pour pouvoir y revenir plus tard, faites de petits
croquis, résolvez les mini-exercices,... . Soyez actifs devant votre
écran !
- Profitez des fonctions pause et retour en arrière pour prendre le
temps de bien comprendre les notions, repasser la séquence deux ou
trois fois et même plus si vous en avez besoin.
5.8 Imiter le plus proche possible le texte du cours-vidéo : la
prononciation des sons, des mots et des phrases, l’intonation du
speaker.
286
5.9 Lire et comprendre le texte, puis remplir les phrases
lacunaires par les mots ou expressions convenables :
On appelle équation une égalité qui n’est vérifiée que par
certaines valeurs attribuées aux lettres qu’elle contient. Ces lettres sont
les inconnues de l’.......... . Une expression qui se trouve à gauche du
signe d’égalité, s’appelle premier membre de l’équation ou membre de
gauche et celui qui se trouve à droite est dite .......... ou .......... .
On appelle racine d’une équation à une inconnue toute valeur de
cette .......... pour laquelle l’équation devient une égalité numérique.
On appelle solution d’une équation à plusieurs .......... tout
système de valeurs attribuées à ces inconnues, pour lequel l’équation
devient une .......... numérique.
Résoudre une équation, c’est en trouver les .......... ou les ..........
On utilise à cet effet les théorèmes sur les égalités.
Théorème 1. On peut ajouter ou retrancher une même ..........
expression aux .......... membres d’une équation.
Application. Dans une équation on peut faire passer un terme
d’un membre dans l’autre, à condition de .......... le signe qui le
précède.
Théorème 2. On peut multiplier ou .......... les deux membres
d’une équation par un .......... nombre différent de zéro.
Une équation produit est une .......... dont un membre est un
.......... , et l’autre membre est égal à 0. Par exemple, l’équation ( +
3)(2 – 5) = 0 est une équation ........... . Par contre, l’équation ( +
3)(2 – 5) = 3 n’est pas une équation produit (aucun membre n’est
égal à 0). Enfin, ( + 3) + (2 – 5) = 0 .......... une équation
produit (le membre de .......... n’est pas un produit).
Propriété (admise) : si un produit de deux facteurs est nul, alors
au moins l’un des deux facteurs est .......... .
5.10 Apprendre à résoudre une équation produit. Lire, puis
reproduire le texte par écrit le livre fermé :
Résoudre l’équation  2 = 25.
 2 − 25 = 0.
Je rassemble les données dans le
287
membre de gauche :
Je factorise le membre de gauche.
J’obtiens une équation produit.
( − 5)( + 5) = 0.
Je résous séparément chaque équation :
1)  − 5 = 0,  = 5 ;
2)  + 5 = 0,  = −5.
52 = 25, (−5)2 = 25.
Je vérifie :
Je conclus : les deux racines de l’équation  2 = 25 sont −5 et 5.
5.11 Résoudre les équations suivantes en expliquant la
résolution comme dans l’exercice précédent :
1) ( − 2)2 = 9 ; 2) (2 + 1)(3 – 2) = 0 ; 3)  2 = (2 − 1)2 .
6 ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ À UNE INCONNUE
Toute équation d’inconnue  de la forme ² +  +  = 0 ( ≠
0) est une équation du second degré à une inconnue.
Pour résoudre l’équation du second degré ² +  +  = 0
( ≠ 0), on calcule l’expression Δ =  2 − 4 qui est appelée
discriminant de l’équation.
Si Δ < 0, alors il n’y a pas de solution.

Si Δ = 0 , alors il y a une racine double : −
2
−+√Δ
Si Δ > 0, alors il y a deux racines distinctes :
2
et
−−√Δ
2
.
6.1 Résoudre les équations en faisant des commentaires :
4)  2 − 6 + 9 = 0
1)  2 + 5 − 24 = 0
2)  2 + 5 + 7 = 0
5) 5 2 − 2 − 3 = 0
3) 3 2 − 6 − 24 = 0
6) 4 2 +  − 5 = 0
6.2 Retenir un exemple de solution et discution d’une équation
du second degré :
Discuter suivant les valeurs réelles du paramètre  l’existance et
le nombre des solutions de l’équation
288
( − 1) 2 − 2( − 2) +  + 1 = 0.
Solution. Discuter suivant les valeurs de  signifie que l’on va
donner, selon les valeurs prises par  dans ℝ , le nombre de solutions
de l’équation en question.
Premier cas. Si  = 1 l’équation proposée s’écrit :
2 + 2 = 0.
Elle admet pour racine unique −1.
Deuxième cas. Si  ≠ 1 l’équation est du second degré. Le
1
discriminant est : Δ′ = 4 Δ = ( − 2)2 − ( − 1)( + 1).
Δ′ = 5 − 4.
5
2.1) Si 5 − 4 < 0, soit  > 4 , l’équation n’a pas de racines
réelles.
5
2.2) Si 5 − 4 = 0 ou  = 4 , l’équation admet une racine
double égale à −3.
5
2.3) Si 5 − 4 > 0 ou  < , l’équation a deux racines
4
distinctes.
On dit que l’on a résolu et discuté l’équation proposée. Il est
souvent commode de présenter le résultat final sous la forme cidessous :
1
5⁄4

Deux
racines
réelles
distinctes
Équation
du premier
degre ; une
racine −1
Deux
racines
réelles
distinctes
Racine
double,
égale à −3
L’équation
n’a pas de
racines
réelles
6.3 Suiver le raisonnement dans la solution du problème :
Pour  ∈ ℝ, on considère l’équation ( ) :
13
 2 + ( − 2 ) +  +
=0
4
Discuter, suivant les valeurs de  l’existence et le nombre des
solutions de cette équation.
289
Solution. ( ) étant une équation du second degré, déterminons
d’abord son discriminant :
13
Δ = ( − 2)2 − 4 ( + )
4
2
=  − 4 + 4 − 4 − 13
= 2 − 8 − 9
Le signe du discriminant Δ dépend du paramètre . C’est une
expression du second degré d’inconnue  pour laquelle on doit
déterminer son signe.
Calculons le discriminant de ce discriminant :
Δ > 0 donc Δ = 2 − 8 − 9 a deux racines :
−(−8) − √100
−(−8) + √100
= −1, 2 =
=9
2∙1
2∙1
Le trinôme du second degré 2 − 8 − 9 possède donc deux
racines, et puisque le coefficient devant 2 est positif, ce trinôme est
positif pour tout réel  situé à l’extérieur des racines.
1 =

Δ = 2 − 8 − 9
−∞
−1
+
0
+∞
9
−
0
+
Par conséquent :
Si  ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]9; +∞[ Δ > 0 et donc l’équation ( )
admet deux solutions.
Si  ∈ ]−1; 9[ Δ > 0 et donc l’équation ( ) n’admet pas de
solutions.
Si  ∈ {−1; 9} Δ > 0 et donc l’équation ( ) admet une
unique solution.
6.4 Discuter, suivant les valeurs du nombre réel  le nombre
des racines réelles des équations en x suivantes :
1) ( − 3) 2 + (2 − 1) +  + 2 = 0
2) ( + 1) 2 + (2 + 1) + 2 −  = 0
3) ( − 2) 2 + (2 + 3) +  + 2 = 0
4) (2 − 1) 2 + 4 + 2 + 1 = 0
5) ( − 4) 2 − 2( − 2) +  − 1 = 0
290
7 FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de la
deuxième s’obtiennent en multipliant les valeurs de la première
toujours par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de
proportionnalité.
Une fonction est linéaire lorsque l’image de la variable  est le
produit de  par un nombre constant.
Dire que  est une fonction linéaire  peut donc toujours
s’exprimer par :
 () =  avec  nombre fixé. On lit « de  est égal à 
fois ».
 ou bien :  :  ↦  On lit : «la fonction  qui à  associe
».
Le nombre  est le coefficient de la fonction linéaire .
Exemple : la fonction  définie par : () = 5 est une fonction
linéaire de coefficient 5.
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite
passant par l’origine.
7.1 Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui sont
linéaires ? Indiquer les coefficients des fonctions qui sont linéaires.
a) la fonction f définie par : () = 7
b) la fonction g définie par : () = 2 + 3
c) la fonction h définie par : ℎ() = –3x
d) la fonction i définie par : () = 3 2
4
e) la fonction j définie par : () = 3 
f) la fonction k définie par : () = 5(2 – 3) + 15
7.2 Calculer l’image de 2 par la fonction  définie par :
() = 6.
Modèle
Je remplace  par 2 dans l’égalité () = 6 : (2) = 6 ∙ 2. Je
fais le calcul : (2) = 12. Je conclus. L’image de 2 par la fonction 
est 12.
291
7.3 Calculer l’antécédent de 2 par la fonction linéaire f définie
par : () = 6.
Conseil
Commencer par : je cherche le nombre  tel que () = 2. Pour
ce but, je produit une équation en remplaçant ....... par ....... .
Continuer à commenter la solution.
7.4 Lire le texte, souligner de nouveaux mots et de nouvelles
expressions, comprendre leur sens :
Une fonction  est affine lorsqu’il existe deux nombres fixes  et
 tels que l’image d’un nombre par cette fonction s’obtient en
multipliant ce nombre par  puis en ajoutant  au résultat.
Par cette fonction , à chaque nombre  on associe le nombre
 + . On écrit : :  ↦  +  : ou  est définie par :
() =  + .
Exemples
Les fonctions  et  définies par : () = 5 + 3 et () =
2– 3 sont des fonctions affines. Par contre, les fonctions ℎ( ) =
−0,3 et ( ) = 2 sont affines, voire linéaires.
Remarques
1) Toute fonction linéaire est une fonction affine (le nombre 
dans ce cas est égal à 0).
2) Soient :  ↦  +  et :  ↦ .
On dit que la fonction  est la fonction linéaire associée à la
fonction affine .
7.5 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont affines ?
 est définie par : ( ) = 6 − 7 ;
 est définie par : ( ) = 5 2 + 3 ;
ℎ est définie par : ℎ( ) = −3 − 4 ;
 est définie par : ( ) = 5 ;
 est définie par : ( ) = 5 ;
2
−3

 est définie par :
 ( ) =  (
) − ( − 3) .
4
2
292
Pour répondre à cette question, remplir les lacunes par les mots
et expressions convenables :
L’image d’un nombre  par une fonction .......... est égale à  +
 où  et  sont deux .......... qui ne dépendent pas de .
La fonction f est définie .......... la relation : () =  +  avec
 = 6 et  =– 7. La fonction  est donc .......... .
5 2 + 3 ne peut pas s’exprimer sous la forme  + . La
fonction  .......... affine.
Si 5 2 + 3 était égal à  + , alors la représentation graphique
de  serait une droite, or si on fait représenter la fonction  à l’aide de
GeoGebra, on obtient la courbe ci-dessous.
La fonction ℎ est définie par la relation : ℎ() =  +  avec
.......... =– 4 et .......... – 3. La fonction ℎ .......... donc affine.
La fonction  est définie par la relation : () =  +  avec  =
.......... et  = .......... . La fonction  est donc .......... .
La fonction j est définie par la relation : () =  avec  = 5.
La fonction  est .......... , c’est donc une fonction .......... .
−3

2
 ( ) =  ( 4 ) − (2 − 3) . On a bien envie de dire que la
fonction  n’est pas affine, car l’expression de () .......... des « 2 ».
Cependant, pour en être sûr, il faut .......... et .......... l’expression de
() afin de voir si les termes en  2 ne s’annulent pas.
2
−3

 ( ) =  (
) − ( − 3)
4
2
293

3
2

=  ∙ −  ∙ − ( − 2 ∙ ∙ 3 + 9)
4
4
4
2
1
3
1
9
=  2 −  −  2 − 9 + 3 =  − 9
4
4
4
4
Les termes en  2 s’annulent. Donc, la fonction  est définie par
la relation : () =  +  avec  = 9⁄4 et  =– 9. La fonction  est
donc .......... .
8 PROBABILITÉ
8.1 Résoudre le problème:
Un jeu de 52 cartes est constitué du 1 (as), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, valet, dame, roi ceci dans les quatre couleurs : coeur, carreau,
pique, trèfle. On tire au hasard une carte de ce jeu. En probabilité,
l’action de «tirer une carte de coeur» (par exemple) est appelée
évènement.
1) Quelle est la probabilité de l’évènement : «tirer le trois de
coeur» ?
2) Quelle est la probabilité de l’évènement «tirer un trèfle» ?
3) Quelle est la probabilité de l’événement «tirer un roi» ?
8.2 Lire le texte et trouver les défimitions des mots inconnus
dans le «Vocabulaire raisonné». Exposer ce texte :
Lorsqu’on a autant de chances d’obtenir chacune des issues, on
peut calculer une probabilité en divisant le nombre d’issues
correspondant à l’événement par le nombre total d’issues.
Une probabilité est un nombre. Раr exemple, la probabilité
d’obtenir «pile» en lançant une pièce (non truquée) est 1/2. La
probabilité d’obtenir «face» est aussi 1/2. Lorsqu’on a autant de
chances d’obtenir chacune des issues, on peut calculer une probabilité
en divisant le nombre d’issues correspondant à l’événement par le
nombre total d’issues.
Une probabilité est un nombre positif.
Le nombre d’issues correspondant à un évènement est inférieur
ou égal au nombre total d’issues : une probabilité est donc un nombre
plus petit ou égal à 1.
294
Une probabilité est donc un nombre compris entre 0 et 1.
8.3 Retenir les modèles de solution du problème (questions 1 et
3), puis, en utilisant ces modèles, répondre à la questions 2:
On tire à nouveau une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.
1) Quelle est la probabilité de tirer un coeur ou un trèfle ?
2) Quelle est la probabilité de tirer un valet ou une dame ?
3) Quelle est la probabilité de tirer un valet ? de tirer un coeur ?
de tirer un valet ou un coeur ?
On répond à la question 1 :
Première méthode. Dans un jeu de 52 cartes, il y a 13 coeurs et
13 trèfles. Il y a donc 26 chances sur 52 de tirer un coeur ou un trèfle.
La probabilité de tirer un coeur ou un trèfle est donc 26/52 soit 1/2.
Deuxième méthode. On peut aussi procéder de la façon
suivante: Comme il y a autant de coeurs, de trèfles, de piques et de
carreaux, l’évènement «tirer un coeur ou un trèfle» revient à tirer deux
couleurs parmi 4. Il y a donc deux chances sur quatre d’obtenir un
coeur ou un trèfle, soit une probabilité de 2/4 ou 1/2 de tirer un coeur
ou un trèfle.
Remarque 1. On sait que la probabilité de tirer un coeur est 1/4.
On sait que la probabilité de tirer un trèfle est aussi 1/4.
1
⏟
2
Probabilité
d’obtenir un cœur
ou un trèfle
=
1
⏟
4
Probabilité
d’obtenir un cœur
+
1
⏟
4
Probabilité
d’obtenir un trèfle
Remarque 2. Deux évènements sont dits incompatibles
lorsqu’ils ne peuvent se produire en même temps. Par exemple, si on
lance une fois un dé à six faces, les évènements «obtenir un deux» et
«obtenir un trois» sont incompatibles.
Conclusion 1 : si deux évènements sont incompatibles, la
probabilité d’obtenir l’un ou l’autre de ces événements est égale à la
somme des probabilités de chacun des événements.
295
On répond à la question 3 :
La probabilité de tirer un valet est 4⁄52 soit 1⁄13.
La probabilité de tirer un coeur est 13⁄52 soit 1⁄4.
On cherche à calculer la probabilité de tirer un valet ou un coeur:
Il y a 4 valets dans le jeu de cartes.
Il y a 13 coeurs dans le jeu de cartes.
Les cartes qui sont soit un valet, soit un coeur sont au nombre de
16 (attention : il ne faut pas compter deux fois le valet de coeur). La
probabilité de tirer un valet ou un coeur est donc 16⁄52 soit 4⁄13.
Remarque 3. On sait que la probabilité de tirer un valet est 4/52.
On sait que la probabilité de tirer un trèfle est 13/52. Mais la
probabilité de tirer un valet ou un trèfle est donc 16⁄52 ce qui n’est
pas égal à 4⁄52 + 13⁄52 (voir l’écriture encadrée).
16
⏟52
Probabilité de tirer
un valet ou un trèfle
≠
4
⏟52
Probabilité de tirer
un valet
+
13
⏟52
Probabilité de tirer
un trèfle
Remarque 4. Il n’y a donc pas égalité car les évènements «tirer
un valet» et «tirer un coeur» peuvent se produire en même temps :
c’est le cas si on tire le valet de coeur.
Conclusion 2 : la probabilité d’obtenir un évènement A ou B
n’est pas toujours égale à la probabilité d’obtenir A plus celle
d’obtenir B. Il y a égalité lorsque les évènements «obtenir A» ou
«obtenir B» ne peuvent pas se produire en même temps (on dit alors
qu’ils sont incompatibles).
8.4 Résoudre un problème et indiquer un évènement impossible
et un évènement certain :
On place au hasard une boule dans une des cinq boîtes. Le jeu
consiste à choisir une boîte : si elle contient la boule, on a gagné.
1) Quelle est la probabilité que la boule se trouve dans la boîte 1 ?
296
2) Quelle est la probabilité de l’événement : « la boule se trouve dans
la boîte 1, ou dans la boîte 2, ou dans la boîte 3, ou dans la boîte 4, ou
dans la boîte 5 » ?
3) Quelle est la probabilité pour que la boule ne soit dans aucune des
cinq boîtes ?
Conclusion : La probabilité d’un événement impossible est 0. La
probabilité d’un événement certain est 1.
8.5 En résolevant ce problème faire attention à ce que :
dans certaines situations, on ne peut pas calculer le nombre total
d’issues. Dans ce type de cas, il faut faire autrement !
Le jeu du franc carreau consiste à lancer une pièce sur une
surface carrelée. On veut savoir quelle est la probabilité de gagner à ce
jeu, sachant qu’un carreau est un carré de 10 cm de côté et que la
pièce lancée est un disque de 2 cm de diamètre.
La pièce est
La pièce n’est pas
entièrement sur un
entièrement sur un
carreau, le jeu est
carreau, le jeu est
gagné
perdu
Solution. Dire que le disque ne touche pas le bord du carré
revient à dire que le centre du disque se trouve dans .......... de même
centre que le grand carré, mais de .......... cm de côté.
Comme la pièce est lancée au hasard, la probabilité pour que la
pièce ne touche pas le bord est donc le quotient de l’aire de ce carré
par celle du grand carré soit :
82
64
=
= 0,64
102 100
297
On voit dans cette question que l’on peut prouver le résultat à
l’aide d’un raisonnement sur les .......... .
9 GESTION DE DONNÉES
9.1 Cocher la (les) bonne(s) réponse(s) :
1) On lance un dé à 6 faces 8 fois de suite. On obtient : 1, 3, 3, 6,
4, 5, 1, 2. Quelle est la fréquence d’apparition du 3 ?
1⁄6
2⁄8
0,25
1⁄4
2) Clément a obtenu ses résultats de SVT (sciences de la vie et de
la terre) du trimestre. Il a eu (sur 20) :
12 (coefficient 3)
14,5 (coefficient 3)
13 (coefficient 3)
11 (coefficient 1)
Quelle est sa moyenne de SVT ce trimestre ?
11
12
12,5
12,95
3) Deux équipes de basketball comptabilisent la moyenne des
paniers marqués sur l’ensemble des matchs de la saison.
Équipe A : 32 paniers
Équipe B : 31 paniers
Quelle équipe a mis le plus de paniers lors d’un match cette
saison ?
L’équipe 
L’équipe 
On ne peut pas savoir.
9.2 Lire la définition du terme «étendue» et en donner d’autres
exemples :
L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus
grande valeur de la série et la plus petite.
Exemple
Voici une série de notes : 12,5 ; 14 ; 15 ; 11 ; 11,5.
298
L’étendue de cette série statistique est 15 – 11 soit 4.
9.3 Remplir des lacunes :
Dans une usine, deux chaînes de production fabriquent des clous
de masse 10 g.
Masse en g d’un
clou de la chaine A
Masse en g d’un
clou de la chaine B
9,5
9,1
9,7
9,8
10
10,1
9,8
10,3
9,9
10
10,4 10,3 10,1 10,2
10,1
10
9,4
9,8
9,7
10
10,1
10
10,8
9,8
10
10,1
10
10,2
1) Comparer les clous fabriqués par les deux chaînes de montage.
Comparer pour cela les moyennes et les étendues des deux séries
statistiques.
2) Une chaîne de montage est jugée satisfaisante quand plus de la
moitié des clous qu’elle produit a une masse supérieure ou égale à 9,8
g et inférieure ou égale à 10,2 g. Les chaînes de montage A et B sontelles satisfaisantes ?
Solution
1) On calcule la .......... de la masse des clous de la chaîne A :
9,5 + 9,1 + ⋯ + 10,1 + 10,2 139,2
=
soit environ ,  .
14
14
On calcule la .......... de la masse des clous de .......... :
10,1 + 10 + ⋯ + 10 + 10,2 140
=
soit  .
14
14
Les clous fabriqués par la chaîne B sont en moyenne plus
proches de leur masse espérée, c’est-à-dire .......... g.
On calcule l’étendue des masses des clous :
de la chaîne A : 10,4 − 9,1 = 1,3 soit 1,3 g ;
de la chaîne B : 10,8 − 9,4 = 1,4 soit 1,4 g.
Les clous fabriqués par la chaîne B sont en revanche un peu
moins « uniformes » (c’est-à-dire toujours les mêmes).
299
2)
9,5
9,1
9,7
9,8
10
10,1
9,8
10,3
9,9
10
10,4 10,3 10,1 10,2
10,1
10
9,4
9,8
9,7
10
10,1
10
10,8
9,8
10
10,1
10
10,2
Chaine A
Chaine B
8 clous de la chaîne A sur 14 ont la masse requise, soit plus de la
moitié. 11 clous de la chaîne B sur 14 ont la masse requise, soit ..........
de la moitié. Donc, Les deux chaînes de production sont donc jugées
.......... .
9.4 Résoudre le problème suivant :
Une entreprise comprend 8 employés et un directeur. Voici les
salaires mensuels des 8 employés :
1 185 €
1 326 €
1 508 €
1 256 €
2 430 €
1 423 €
1 876 €
2 105 €
Voici le salaire du directeur : 5 000 €.
1) Calculer le salaire moyen des 9 membres de l’entreprise.
2) Le directeur décide de doubler son salaire. Calculer le
nouveau salaire moyen des 9 membres de l’entreprise. Que peut-on
constater ? Le calcul de la moyenne permet-il de bien se représenter
les salaires des 9 membres de l’entreprise ?
3) On considère la situation qui précède l’augmentation de
salaire du directeur. Quel est le salaire pour lequel il y a autant de
salaires «au-dessus» que de salaires «au-dessous» ?
4) On considère la situation une fois que le salaire du directeur a
été doublé. Quel est le salaire pour lequel il y a autant de salaires «audessus» que de salaires «au-dessous» ? Oue peut-on remarquer ?
9.5 Comparer sa solution avec la solution corrigée qui suit :
1) On calcule le salaire moyen :
1185 + ⋯ + 5000
9
300
On trouve 18109⁄9 soit environ 2012,1 € .
2) Le directeur double son salaire qui devient 2 × 5 000 € soit 10
000 €. On calcule le salaire moyen :
1185 + ⋯ + 5000
9
On trouve 23109⁄9 soit environ 2 567,7 €.
La moyenne ne permet pas de bien représenter les salaires des
membres de l’entreprise, car on a envie de dire en voyant les deux
salaires moyens que dans le dernier cas, les salaires sont vraiment
supérieurs, alors que ce n’est pas vrai : seul le salaire du directeur a
augmenté.
On considère la situation qui précède l’augmentation de salaire
du directeur. On classe les salaires par ordre croissant :
1185, 1256, 1326, 1423, 1508, 1876, 2105, 2430, 5000
Il y a quatre salaires au-dessous de 1 508 € et quatre salaires audessus de 1 508 €. Le salaire cherché est donc 1508 €.
On considère la situation une fois que le salaire du directeur a été
doublé. On classe les salaires par ordre croissant :
1185, 1256, 1326, 1423, 1508, 1876, 2105, 2430, 10000
Il y a quatre salaires au-dessous de 1 508 € et quatre salaires audessus de 1 508 €. Le salaire cherché est donc encore 1508 €. Le
salaire «du milieu» n’a pas changé.
Conclusion. La valeur d’une série qui la partage en deux série de
même effectif est appelée «la médiane» de cette série. Ici, la valeur
médiane (appelée salaire médian) est 1508 € : cela veut dire
concrètement qu’il y a dans cette entreprise autant de personnes qui
gagnent plus de 1 508 € que de personnes qui gagnent moins de 1 508
€. La valeur «médiane» n’est pas sensible aux valeurs extrêmes ce qui
veut dire que si des valeurs de la série sont beaucoup plus grandes ou
beaucoup plus petites que les autres, la médiane ne changera pas (ou
très peu).
Ce n’est pas le cas de la moyenne. Si l’on augmente beaucoup
par exemple la plus grande valeur de la série, la moyenne change
sensiblement et du coup elle ne «représente» pas très bien la série
statistique.
301
10 JEUX DE VOCABULAIRE
10.1 Remplir des cases de la grille :
5
12
7
16
20
23
8
18
1
19
9
10
22
2
11
15
17
3
13
6
21
4
14
Horizontal
1. Nom du diagramme représenté ci-dessous (10 lettres).
2. Dans une division, je suis toujours inférieur au diviseur (5 lettres).
3. Je suis le résultat d’une division (8 lettres).
4. La somme de mes angles esr égale à 180° (8 lettres).
6. Je suis une figure dont le volume est égal à arête × arête × arête (4
lettres).
7. Nom du diagramme représenté ci-dessous (5 lettres).
302
10. Dans le nombre 56,143 je suis le chiffre des centièmes (6 lettres).
13. Dans le nombre 265,078 je suis le chiffre des dixièmes (4 lettres).
14. Nom du graphique représenté ci-dessous (9 lettres).
15. Opérer la transformation en produit de factreurs (10 lettres).
16. Je vaut plus de 90° mais moins de 180° (5 lettres).
18. Dans le nombre 5,78 je suis le chiffre des dixièmes (4 lettres).
Vertical
5. C’est une division faisant intervenir uniquement des nombres
entiers (11 lettres).
8. Je suis un angle supérieur à 0° et inférieur à 90° (4 lettres).
9. Je suis la droite perpendiculaire du segment [] passant par son
milieu (10 lettres).
11. Nom des droites particulières dont le point de rencontre est le
centre du cercle circonscrit au triangle (10 lettres).
12. Nom des droites particulières dont le point de rencontre est le
centre du cercle inscrit dans un triangle (12 lettres).
16. Je suis le nom donné au point de rencontre des trois hauteurs dans
un triangle (11 lettres).
303
17. Je représente la mesure de la surface d’une figure dans une unité
choisie (4 lettres).
19. Nom donné à deux angles s’ils ont le même sommet et un côté
commun et s’ils sont situés de part et d’autre du côté commun (8
lettres).
20. Nom donné à deux angles si la somme de leurs mesures est égale à
180° (14 lettres).
21. Dans le nombre 879,654 je suis le chiffre des centaines (4 lettres).
22. Nom donné aux angles représentés ci-dessous (13 lettres).
23. Nom donné à deux angles si la somme de leurs mesures est égale à
90° (14 lettres).
10.2 Soudoku
Le soudoku est un jeu en forme de grille défini en 1979 par
l’Américain Howard Garns, mais inspiré du carré latin, ainsi que du
problème des 36 officiers du mathématicien suisse Leonhard Euler.
Le but du jeu est de remplir la grille avec une série de chiffres
tous différents, qui ne se trouvent jamais plus d’une fois sur une même
ligne, dans une même colonne ou dans une même sous-grille. La
plupart du temps, les symboles sont des chiffres allant de 1 à 9, les
sous-grilles étant alors des carrés de 3 × 3. Quelques symboles sont
déjà disposés dans la grille, ce qui autorise une résolution progressive
du problème complet.
Remplir la partie proposée de la grille du soudoku par les
chiffres de 1 à 9 définis ci- dessous :
A2. Solution positive de l’équation  2 − 2 − 8 = 0.
304
A3. Racine carrée de 49.
A5. Solution de l’équation 7 + 1 = 3 + 13.
A7. PGCD (78 ; 202).
A9. Médiane de la série 8, 3, 7, 3, 5.
1
A
6
B
2
C
2
3
4
5
9
7
1
3
9
6
4
7
8
9
8
9
6
7
1
B2. Antécédent de 12 par la fonction définie par : ( ) = 5 + 7.
B4. Étendue de la série 91, 89, 90, 86, 87.
B5. Moyenne de la série 7, 4, 23, 1, 5.
B8. Abscisse du point d’ordonnée 60 de la droite  = 10.
C1. Ordonnée du point d’abscisse 4 de la droite  = 3 − 4.
C3. Image de 2 par la fonction  définie par :  ( ) =
4−3
5−9
.
C5. PPCM (1, 2).
C7. Longueur de  dans le triangle  rectangle en  tel que  =
5,  = 3.
C9. Coefficient directeur de la droite  = 3 − 4.
305
APPENDICES
1 SIGNES ET SYMBOLES
Les notations doivent être conformes aux normes en vigueur. La
France a adopté en août 1994 les normes européennes, qui sont ellesmêmes conformes aux normes ISO (Organisation internationale de
normalisation). La norme s’appelle “NF ISO 31-11”. Voici un tableau
regroupant les principales modifications.
1.1 SYMBOLES
Nom
Symbole
Usage
déterminant
valeur absolue
barre verticale
|
Exemple
 
|
|
 
| |
module d'un
nombre complexe
|| = √2 +  2
définition
d'ensemble par
compréhension
{ ∈ ℝ |  > 1 }
barre de
divisibilité
|
divisibilité
(2)2 |4
barres
||
norme d'un vecteur
‖⃗‖ = 1
306
verticales
doubles
()||()


=
parallèle
||
parallélisme
filet horizontal
−
barre de fraction
égal
=
égalité, définition
rond
∘
composition de
fonctions
symbole
radical
√
racine carrée
chevron
<
>
comparaison pour
un ordre strict
<
≤
≥
comparaison pour
un ordre large
≤
≥
ET logique
∧
conjonction logique
∧
OU logique
∨
disjonction logique
∨
=
égalité
=
≡
identité
≝
Egalité par
définition
√  2 ≡ | |
1 0 0
 ≝ |0 1 0|
0 0 1
∀
quantificateur
universel
∀ ∈ ℕ ( ≥ 0)
il existe
∃
quantificateur
d’existence
(existentiel)
∃ ∈ ℕ (|2)
flèche à droite
→
limite
flèche à
béquille
↦
application
pour tout
307
∘
√
() → ∞ quand
→
 ⟼ ()
flèche double
⇒
implication
⇒
flèche double à
gauche et à
droite
⇔
équivalence logique
⇔
↗
Flèche oblique
↘
variation d’une
fonction
fonction croissante
fonction
décroissante
(et)
parenthésage, argument de fonction,
droite et demi-droite, coefficient
binomial, produit scalaire, matrices
crochets
[et]
segment et demi-droite, partie entière,
produit mixte, matrices, espace de
polynômes, point projectif
accolades
{et}
ensembles, systèmes, partie fractionnaire
crochets
doubles
⟦et⟧
⟦3; 7⟧
crochets bas
⌊et⌋
⌊−7,35⌋ = −8
partie entière
crochets hauts
⌈et⌉
⌈−7,35⌉ = −7
entier supérieur
incrément
∆
∆
symbole
somme
Σ
v∑ 
somme
symbole
produit
Π
a∏ 
produit
complément
∁
∁ 
intersection
∩
∩
intersection
union
∪
∪
réunion
tilde
~
presque égal
≈
parenthèses
intervalle d'entiers
différence
symétrique
complémentaire
approximation, équivalence, négation
logique
approximation
3,57 ≈ 3,6
308
sin  ≃ 
quand x → a
≃
égalité
asymptotique
d rond

⁄
dérivée partielle
symbole infini
∞
 → +∞
infini

5!
( )=

3! 2!

Coefficient
( ) 
binomial . 

1.2 SYMBOLES LITTÉRAUX
Lettre ou nom
B
C
Symbole
Usages
algèbre de Boole

ensemble des nombres complexes
ℂ
ensemble des décimaux

D
domaine de définition ; ensemble des

fonctions dérivables
E
espérance d'une variable aléatoire

N
ensemble des entiers naturels
ℕ
P
ensemble des parties d'un ensemble

Q
ensemble des rationnels
ℚ
R
ensemble des réels
ℝ
Z
ensemble des entiers relatifs
ℤ
proportionnel à
proportionnalité
∝
pi
constante d'Archimède
π
sigma
écart type
σ
1.3 SIGNES DIACRITIQUES
Signe
ℕ
ℕ∗
Signification
ensemble des entiers naturels
ensemble des entiers naturels privé de zéro
309
ℤ
ℤ∗

+
∗
∗+
−
∗−
ℚ
ℚ+
ℚ∗
ℚ∗+
ℚ−
ℚ∗−
ℝ
ℝ+
ℝ∗
ℝ∗+
ℝ−
ℝ∗−
ℂ
ensemble des entiers relatifs
ensemble des entiers relatifs privé de zéro
ensemble des nombres décimaux
ensemble des nombres décimaux positifs ou nuls
ensemble des nombres décimaux privé de zéro
ensemble des nombres décimaux positifs
ensemble des nombres décimaux négatifs ou nuls
ensemble des nombres décimaux négatifs
ensemble des nombres rationnels
ensemble des nombres rationnels positifs ou nuls
ensemble des nombres rationnels privé de zéro
ensemble des nombres rationnels positifs
ensemble des nombres rationnels négatifs ou nuls
ensemble des nombres rationnels négatifs
ensemble des nombres réels
ensemble des nombres réels positifs ou nuls
ensemble des nombres réels privé de zéro
ensemble des nombres réels positifs
ensemble des nombres réels négatifs ou nuls
ensemble des nombres réels négatifs
ensemble des nombres complexes
1.4 FONCTIONS
Les variables, telles que , , etc., et les indices tels que , dans
∑  , sont imprimés en caractères italiques (penchés). II en est de
même pour les paramètres, tels que , , etc., qui peuvent être
considérés comme constants dans un contexte particulier. La même
règle s’applique aussi aux fonctions en général, par exemple : , .
Cependant, on écrit une fonction explicitement définie en
caractères romains (droits), par exemple sin, exp, ln. Les constantes
310
mathématiques dont la valeur ne change jamais sont imprimées en
caractères romains, par exemple: e = 2,718...; = 3,141592654...; i2 =
−1. Les opérateurs bien définis sont aussi imprimés en droit, par
exemple: div, dans x et chaque d dans d  / d .
Les nombres exprimés par des chiffres sont toujours écrits en
droit, par exemple: 351 204 ; 1,32 ; 7/8.
L’argument d’une fonction est écrit entre parenthèses après le
symbole de la fonction, sans espace entre le symbole de la fonction et
la première parenthèse, par exemple: (), cos(ω + φ). Si le
symbole de la fonction comporte deux lettres ou plus et si l’argument
ne contient pas de signe d’opération tel que + ; – ; ×; ⋅; ou /, les
parenthèses autour de l’argument peuvent être omises. Dans ce cas, il
convient de laisser un léger espace entre le symbole de la fonction et
l’argument, par exemple: ent 2,4.
S’il existe un risque de confusion, il est recommandé de toujours
insérer des parenthèses.
S’il faut écrire une expression ou une équation sur deux ou
plusieurs lignes, il convient d’effectuer la coupure immédiatement
après l’un des signes =; +; –; ; ou ∓; ou, si nécessaire,
immédiatement après l’un des signes ×; ⋅; ou /. Dans ce cas, le signe
joue le rôle d’un trait d’union à la fin de la première ligne, pour
informer le lecteur que le reste suivra ligne suivante ou
éventuellement à la page suivante. Le signe ne doit pas être répété au
début de la ligne suivante, deux signes moins pourraient, par exemple,
entraîner des erreurs de signe.
Symbole

()
[()]
Sens, énoncé
fonction 
valeur de la fonction 
() − ()
∘
 rond 
→
 tend vers 
≃
Remarques
 ∘ ( ) = (( ))
... est asymptotiquement
311
sin  ≃  quand x → a
égal à ...
∆
∆
∆
d
′
d
d
( )
′()
d =
d 
 ()

d

 

d
accroissement de 
∫ ( )d
une primitive de la
fonction 
taux de variation de 
dérivée de la fonction 
d’une variable 
nombre dérivée en 
dérivée de  d’ordre 
dérivée partielle de 
différentielle de 
1.5 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
Symbole
Sens, énoncé

exponentielle de base 
de 
e
base des logarithmes
népériens
e exp 
log  
Remarques
exponentielle de 
log  est utilisé
logarithme de base  de  lorsqu’on ne veut pas
prescrire la base
ln 
logarithme népérien de 
lg 
logarithme décimal de 
312
log  ne doit pas être
utilisé à la place de
ln  et lg 
1.6 FONCTIONS ALGÉBRIQUES
Les fonctions dont la variable et la valeur sont reliées par une
équation polynomiale à deux inconnues sont appelées fonctions
algébriques.
À partir des fonctions constantes (dont la valeur est indépendante
de la variable) et de la fonction identité (dont la valeur est égale à la
variable), combinées par addition et multiplication, il est possible de
définir toutes les fonctions polynomiales, parmi lesquelles se trouvent
les fonctions puissance à exposant entier positif. L'utilisation
supplémentaire de l'opération de division permet d'obtenir toutes les
fonctions rationnelles, dont les fonctions puissance à exposant négatif.
Les réciproques de ces fonctions ont donc une valeur qui est
solution d'une équation polynomialeen la variable, comme dans le cas
des fonctions racines.
Les fonctions polynômes sont souvent utilisées parce que ce sont
les fonctions les plus simples : leur définition implique seulement
l'addition et la multiplication (puisque les puissances ne sont que des
sténographies pour les multiplications répétées).
Un aspect important en calcul numérique est la possibilité
d'étudier les fonctions compliquées au moyen d'approximations par
des polynômes.
Les polynômes de
degré −∞ est le polynôme nul,
degré 0 sont appelés fonctions constantes non nulles,
degré 1 (ou ≤ 1) sont appelés fonctions affines,
degré 2 sont appelés fonctions quadratiques et
degré 3 sont appelés fonctions cubiques.
Nom de fonctions
Notation de fonctions
Nulle
↦0
Constantes
↦
Identité
↦
Linéaires
 ↦ 
313
 ↦  + 
Affines
 ↦ 2
Carré
 ↦  2 +  + 
Second degré
Cube
 ↦ 3
Puissances
 ↦ 
 ↦ ()
Polynomiales
 ↦ 1⁄
 + 
↦
 + 
()
↦
()
Inverse
Homographiques
Rationnelles
Racine carrée
√
3
√
Racine cubique
1.7 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
(CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES)
Les fonctions usuelles font l’objet d’une norme cohérente : les
fonctions trigonométriques se notent toutes avec trois lettres. Les
fonctions hyperboliques directes se notent avec quatre lettres, formées
par les trois lettres de la fonction trigonométrique correspondante, et
un “h” final. Les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques
et hyperboliques se notent toutes avec six lettres, sans majuscules ni
espace. Les trois premières lettres sont “arc” pour les fonctions
trigonométriques, “ar” pour les fonctions hyperboliques. Les trois ou
quatre dernières lettres sont celles de la fonction directe associée.
Symboles
Sens, énoncé
sin 
sinus de 
cos 
cosinus de 
tan 
tangente de 
314
Remarques
cot 
sec 
csc 
arcsin 
arccosin 
arctan 
arccot 
sinh 
cosh 
tanh 
coth 
sech 
csch 
arsinh 
arcosh 
artanh 
arcoth 
arsech 
arcsch 
cotangente de 
sécante de 
cosécante de 
arc sinus de 
arc cosinus de 
arc tangente de 
arc cotangente de 
sinus hyperbolique de 
cosinus hyperbolique de 
tangente hyperbolique de 
cotengnte hyperbolique de 
sécante hyperbolique de 
cosécante hyperbolique de 
arc sinus hyperbolique de 
arc cosinus hyperbolique de 
arc tangente hyperbolique de 
arc cotengnte hyperbolique de 
arc sécante hyperbolique de 
arc cosécante hyperbolique de 
cot  = 1/ tan 
sec  = 1/cos 
csc  = 1/sin 
sech x = 1/cosh x
csch x = 1/sinh x
1.8 VECTEURS
Les scalaires, les vecteurs et les tenseurs sont utilisés pour
exprimer certaines grandeurs physiques. En tant que tels, ils sont
indépendants du choix particulier d’un système de coordonnées, alors
que chaque coordonnée d’un vecteur ou d’un tenseur dépend de ce
choix.
II est important de distinguer entre les coordonnées d’un vecteur
, c’est-à-dire  ,  et  , et les composantes, c’est-à-dire   ,
  et   , qui sont des vecteurs.
Les coordonnées cartésiennes d’un rayon vecteur sont égales aux
coordonnées cartésiennes du point donné par le rayon vecteur.
315
Sens, énoncé
Symboles
 ou ⃗
 ou ||

vecteur 
norme
unitaire ayant la même direction et le même
sens que 
 ,  , 
  
vecteurs d’une base orthonormée
 ,  , 
coordonnées cartésiennes du vecteur a
⋅
produit scalaire
×
produit vectoriel
1.9 MATRICES
Sens, énoncé
Symboles
matrice 




produit
unité
−
inverse

transposée
∗
matrice complexe conjuguée

adjointe
det 
déterminant
tr 
trace
‖‖
norme
316
2 LECTURE DE SYMBOLES
Nom du symbole
Symbole
Lecture
¬
non 
Disjonction
logique
∨
 ou 
Conjonction
logique
∧
 et 
Symbole
d’implication
⇒
 implique ;
si  alors ;
 est nécessaire à ;
 est suffisant pour 
Symbole
d’équivalence
⟺
 ssi 
 équivaut à ;
 si et seulement si 
Quantificateur
universel
∀ ()
quel que soit  ;
pour tout ...
Quantificateur
existentiel
∃ ()
il existe  tel que...
Symbole
d’appartenance
∈
 appartient à  ;
 est élément de  ;
 contient 
Symbole de nonappartenance
∉
 n’appartient pas à 
Symbole
d’inclusion
⊂
 est inclus dans  ;
 est un sous-ensemble de  ;
 est une partie de  ;
 contient 
Symbole de noninclusion
⊄
 n’est pas inclus dans 
Négation logique
317
Ensemble vide
∅ ; {}
ensemble vide
Singleton ; paire ;
ensemble fini
{ } ; {, } ; singleton  ; paire   ; ensemble
{1 , 2 …  } 1 , 2 … 
Couple ;
triplet ;
n-uplet
couple   ;
(, ) ;
(, , ) ; triplet , ,  ;
(1 , 2 …  ) n-uplet 1 , 2 … 
Ensemble des
parties
()
ensemble des parties de 
Réunion
∪
 union  ;
réunion de  et 
Intersection
∩
 inter  ;
intersection de  et 
Différence
ensembliste
∖
 privé de 
Complémentaire
∁  ; ∁
complémentaire de A (dans )
Produit cartésien
×
produit cartésien de  par  ;
 fois 
Ensemble des
applications
Image
Flèche ;
flèche à talon
(, )
()
:  → 
 ↦ ()
 de  dans 
 de 
 est une fonction de  dans 
qui à tout  associe ()
Addition
+
 plus 
Opposé
−
moins 
Soustraction
−
 moins 
Produit

 fois 
Inverse
 −1
inverse de  ;
 (puissance) moins un
318

Division

;  ⁄ ;
÷
Factorielle
!
Puissance
2 ; 3 ;  
Valeur absolue ;
module
Conjugaison
factorielle 
 au carré ;  au cube ;
 puissance 
√ ; √ ;

√
racine carré de  ;
racine cubique de  ;
racine n-ième de 
| | ; | |
valeur absolue de  ;
module de 
3
Radical
 divisé par 

conjugué de  ;
 barre
Égalité
=
 égal 
Non-égalité
≠
 n’est pas égal à  ;
 est différent de 
Environ égal
1
≈ 0,333
3
 est environ égal à 
Inférieur à
≤
 inférieur à  ;
 plus petit que  ;
 inférieur ou égal à  ;
 plus petit ou égal à 
Strictement
inférieur à
<
 strictement inférieur à  ;
 strictement plus petit que 
≥
 supérieur à  ;
 plus grand que  ;
 supérieur ou égal à  ;
 plus grand ou égal à 
Supérieur à
319
Strictement
supérieur à
Symbole de
congruence
 strictement supérieur à  ;
 strictement plus grand que 
>
 ≡  mod  est congru à  modulo 
Intégrale
∫  ( )d
intégrale (pour  allant de borne
inférieure à borne supérieure) de
 de  d x
Infini
]−∞; +∞[
l’intérvalle moins l’infini plus
l’infini
Flèche
 → 0
 tend vers  zéro
3 ABRÉVIATIONS
Abréviation
BON
Sens
base orthonormale
CN
condition nécessaire
CNS
condition nécessaire et suffisante
CQFD
csq
cst, cste
ce qu’il fallait démontrer
conséquence
constant, constante
CV
convergence
DV
divergence
EDO
FI
resp.
équation différentielle ordinaire
forme indéterminée
respectivement
ssi
si et seulement si
VA
valeur absolue
VA
variable aléatoire
th, thm
théorème
320
4 GRAMMAIRE1
Les règles de grammaire utilisées en mathématiques sont un petit
peu particulières. Si le métalangage utilisé est le français, il est adapté
à l’usage mathématique. Voici quelques règles :
On ne doit jamais commencer une phrase par un symbole
mathématique. Cela permet d’éviter des confusions avec la fin de la
phrase précédente, qui doit se terminer par un point ; le point luimême pourrait être confondu avec un symbole de produit.
Plus généralement, il faut éviter que deux formules se suivent
sans être séparées par au moins un mot de français. Par exemple, au
lieu de «Montrer que, pour tout  ∈ , () > 0» écrire «Montrer
que, pour tout  ∈ , on a l’inégalité () > 0».
Les mathématiciens sont en désaccord sur l’accord du “Soit”
placé en début de phrase. En mathématiques, depuis Bourbaki, il est
d’usage de l’accorder, mais le Pr Kahane recommande, lui, de le
laisser invariable. Il en est de même de «étant donné». Bourbaki
l’accorde dans tous les cas, alors que l’usage commun est le suivant :
“Etant donné” placé en début de phrase est invariable, mais il
s’accorde en genre et en nombre lorsqu’il est placé après, comme dans
«Les ensembles E et F étant donnés, ...»
L’Académie des sciences a établi une liste de symboles
mathématiques pouvant servir de verbe dans une phrase
mathématique. En voici un extrait : ∈, =, ⊂, ≤, ≥.
Exemples : «Si  ∈ , alors...», «... tel que  ≤ 2».
Un moyen simple pour savoir si l’usage du symbole
mathématique est légitime consiste à vérifier si la phrase ainsi écrite
peut se lire facilement.
Relisons les deux exemples ci-dessus : «Si x appartient à E,
alors...», «... tel que x soit inférieur à 2». Ces deux propositions ont un
sens. On ne peut en revanche pas écrire “Si  ∪ , alors...”, car à la
lecture on obtiendrait «Si  union , alors...», ce qui n’a pas de sens !
Autre exemple : on pourra écrire «Montrer que  ⊂ » (lire «montrer
que F est inclus dans E»), ou «Montrer l’inclusion  ⊂ ».
1
http://www.math.u-psud.fr/~guenard/General/Vade%20mecum%20du%20poseur%20de%20sujet.pdf
321
L’enrichissement du français par des formules exprimant des
relations est tout aussi légitime. Les formules de ce discours adressé à
des hommes ne doivent en aucun cas être confondues avec celles de la
logique formelle.
Ponctuation
La faute de ponctuation la plus fréquente dans les sujets
d’examen est l’utilisation abusive du deux-points, «:». Le deux-points
ne peuvent servir qu’à introduire une énumération, ou une explication
de ce qui précède. On ne doit généralement pas faire précéder les
formules mathématiques d’un deux-points. On écrira par exemple
«Résoudre l’équation différentielle  ′ +  = 0», mais pas «Résoudre
l’équation différentielle :  ′ +  = 0»
Le passage à la ligne avant une formule dans une phrase n’est
légitime que lorsque cette formule est trop importante pour tenir sur la
ligne, lorsque sa hauteur est telle que la ligne se trouverait trop séparée
du reste du texte, ou lorsqu’on veut la mettre en évidence, par exemple
pour la numéroter.
La virgule sert à séparer au sein d’une phrase des membres de
phrase de même nature. Elle est parfois utilisée abusivement, à la
place du point final, pour relier ce qui devrait constituer deux phrases
différentes.
Lorsqu’une phrase se termine par un symbole mathématique, la
ponctuation finale est souvent omise. C’est particulièrement visible
lorsqu’il s’agit d’une phrase interrogative, l’absence du point
d’interrogation passant rarement inaperçue.
Style
Une nouvelle tendance est apparue ces dernières années, et elle
semble devenir très répandue dans l’enseignement secondaire. Elle
consiste à renoncer à l’utilisation du subjonctif, et à rédiger les sujets à
l’indicatif. Par exemple, au lieu de «Soit  un ensemble...», on écrit
« est un ensemble...» Ce passage du subjonctif à l’indicatif marque
une évolution de la manière dont les mathématiques sont perçues : en
français, le subjonctif est le mode de l’hypothèse, tandis que l’indicatif
indique ce qui est. Ainsi, en rédigeant un énoncé à l’indicatif, on
indique que l’exercice a pour but de vérifier des propriétés d’objets
322
qui existent, que l’on observe, que l’on décrit. Au contraire, en
rédigeant un énoncé au subjonctif, on marque que l’on exprime des
hypothèses, et que le but de l’exercice est d’établir une implication
logique entre ces hypothèses et une conclusion que l’on demande
d’établir. C’est la vision commune traditionnelle du mathématicien :
pour lui, ce qui fait la substance des mathématiques, c’est
l’implication, la démonstration. Quand on démontre  ⇒ , ce qui est
important, c’est la flèche ; on ne s’intéresse pas à la vérité ontologique
de , ni à celle de . En rédigeant à l’indicatif, on affirme la vérité de
. La flèche devient secondaire.
Ceux qui prétendent faire des mathématiques, avec des
démonstrations reliant des hypothèses et des conclusions, ne peuvent
en aucun cas rédiger à l’indicatif.
Il y a d’autre exemples. En voici un. Certains ne croient pas à
l’existence réelle de l’infini. Il demandent donc de “calculer la limite
de f à l’infini”. Au contraire, ceux qui considèrent que ce point existe
demandent de “calculer la limite de f en l’infini”.
Les fautes les plus fréquentes
Il faut retenir que :
1) C’est-à-dire prend deux traits d’union.
2) Tout à fait ne prend pas de trait d’union.
3) Évènement prend un accents aigu et un accent grave.
4) Dans l’expression “quel que soit”, quel que s’écrit en deux
mots et s’accorde en genre et en nombre. Exemple: «Montrer que,
quels que soient les réels  et , on a la relation...».
5) Polynôme perd son accent circonflexe dans polynomial, et
binôme fait de même dans binomial. On écrit cône mais dans le mot
conique il n'y a pas d'accent.
6) En mathématiques, le verbe «satisfaire» n’est pas transitif. On
dit : «satisfaire à une équation», mais pas «satisfaire une équation».
7) On écrit -ième, et non è ou  .
8) Il n’y a pas unicité des équations ; on demandera donc de
donner une équation d’une droite, et non d’en donner l’équation.
9) Standard est invariable (pas de s au pluriel).
323
10) Les quatre quarts de plan délimités par deux droites sécantes
sont des quadrants, et non des cadrans. Dans un espace de dimension
3, on parle d’octants, et plus généralement dans un espace de
dimension finie, d’orthants. Par exemple, l’octant positif de ℝ3 est
{(, , ) ∈ ℝ3 ,  ≥ 0,  ≥ 0,  ≥ 0}.
11) Le verbe résoudre se termine par un t à la troisième
personne du présent de l’indicatif : il résout. Le participe passé du
verbe résoudre est résolu. Voici un extrait de la table de conjugaison
de ce verbe.
Indicatif présent
je résous
tu résous
il résout
nous résolvons
vous résolvez
il résolvent
Subjonctif présent
que je résolve
que tu résolves
qu’il résolve
que nous résolvions
que vous résolviez
qu’ils résolvent
12) Inclus devient incluse au féminin, et se termine donc par un
s, tandis que exclu dont le féminin est exclue n’en prend pas.
13) Ne pas confondre l’air que l’on respire avec l’aire d’un
triangle.
14) Sur un compact, une fonction continue n’atteind pas ses
bornes ; elle les atteint.
15) Les mots latins doivent être composés en italique, s’ils ne
sont pas francisés. Voici un tableau regroupant les formes latines et les
formes francisées des mots latins d’usage courant en mathématiques.
Forme française
Forme latine
Singulier
Pluriel
Singulier
Pluriel
extremum
extrema
extrémum
extrémums
maximum
maxima
maximum
maximums
minimum
minima
minimum
minimums
à fortiori
a fortiori
324
a posteriori
à postériori
a priori
à priori
16) L’Académie des sciences a fixé dans une note du 23 février
1959 la règle suivante : les mots maximum, minimum, optimum et
extrémum sont à employer comme noms masculins. Ils ne seront pas
utilisés comme adjectifs ; on emploiera dans ce cas maximal,
minimal, optimal et extrémal.
5 SIMPLIFICATION DE L’ORTHOGRAPHE DES NOMBRES2
L'écriture des nombres a été simplifiée par l'Académie Française
en 1990 (Conseil supérieur de la langue française et publication au
Journal officiel de la République française). Les numéraux composés
sont systématiquement reliés par des traits d’union. On distingue
désormais sans ambiguïté soixante et un tiers (60 + 1/3) et soixante-etun tiers (61/3).
Exemples
vingt-et-un ; deux-cents ; trois-millièmes ; quatre-vingt-dixneuf ; deux-cent-soixante-et-onze ; trois-cent-vingt-quatre ; vingtquatre ans ; cent-deux ans ; deux-cents ans ; sept-cent-mille-trois-centvingt-et-un euros.
Pour l’accord de cent et vingt3
La règle traditionnelle n’a pas été modifiée en 1990 (il existe
cependant un arrêté de 1976 qui indique des tolérances
orthographiques pour les examens et concours organisés par
l'Education Nationale : «on admettra que vingt et cent, précédés d'un
adjectif numéral à valeur de multiplicateur, prennent la marque du
pluriel même lorsqu'ils sont suivis d'un autre adjectif numéral»; a
priori cet arrêté n’a pas été abrogé puisque les programmes actuels du
collège y font référence).
2
http://villemin.gerard.free.fr/TABLES/NbLettre.htm#simple
3
http://dpernoux.free.fr/ecriture.htm
325
 Le mot cent est invariable sauf quand il est précédé d'un
nombre qui le multiplie et n'est pas suivi par un autre
nombre cardinal.
Pour mettre cent au pluriel, il faut donc (première condition) qu'il
soit précédé d'un nombre et (deuxième condition) qu'il ne soit pas
suivi par un autre nombre cardinal :
- pour 200 (deux fois cent) on écrit deux-cents mais pour 1100
(mille plus cent) on écrit mille-cent ;
- pour 203 on écrit deux-cent-trois.
 Le mot vingt dans quatre-vingts (80) suit exactement la
même règle que le mot cent. On écrira donc quatre-vingts
(80) mais quatre-vingt-un (81) et quatre-vingt-mille (80
000).
Remarque
Certains adjectifs numéraux cardinaux peuvent avoir une valeur
ordinale. Ils restent alors invariables. Exemple : la page quatre-vingt
(80-ième).
En ce qui concerne mille
Millier, million et milliard ne sont pas des adjectifs mais des
noms et donc ne sont pas invariables.
Mille par contre est invariable (ce qui s'explique historiquement
par le fait que mille était le pluriel de mil).
Grands nombres
M. Romain Muller avait eu l'amabilité de m'écrire pour me dire
que, d'après lui, la règle s'appliquait aussi bien aux noms qu'aux
adjectifs numéraux. Je le cite : «Il est vrai que, dans un premier temps,
le grand grammairien belge André Goosse avait fait une autre
interprétation, excluant «million» et «milliard» de la règle. Mais le
texte officiel ne fait pas cette distinction, qui ne fait qu'induire une
complication supplémentaire ; dans l'exposé des nouvelles règles que
donne le Réseau pour la nouvelle orthographe sur son site, on trouve
l'exemple "un-million-cent» (http://www.renouvo.org/regles.php).
Ce point de vue me semblait confirmé par cet extrait d'un article
du site de l'Académie Française : «Cependant, il est également
326
possible, en accord avec les Rectifications de l’orthographe proposées
par le Conseil supérieur de la langue française et parues au Journal
officiel du 6 décembre 1990 (partie II), de lier par un trait d’union tous
les éléments qui composent le nombre, sans exception». De plus, sur
le site http://www.orthographe-recommandee.info parmi les exemples
illustrant la nouvelle règle figure l'exemple suivant : «un-millioncent».
Cependant, quelqu’un a eu l’amabilité de me signaler un autre
article du site de l’Académie Française dans lequel il est écrit: «tous
les numéraux formant un nombre complexe sont reliés par des traits
d’union, y compris ceux qui sont supérieurs à cent. On écrira donc :
vingt-et-un ; mille-six-cent-trente-cinq. Milliard, million et millier,
étant des noms, ne sont pas concernés par cette rectification».
Fractions
Voici les règles à suivre pour écrire correctement les fractions
en lettres.
1) Il ne faut pas mettre de trait d'union entre le numérateur (1er
chiffre) et le dénominateur (2e chiffre) :
42/100 = quarante-deux centièmes ;
12/24 = douze vingt-quatrièmes.
2) En nouvelle orthographe, les nombres comportant plus d'un
élément sont toujours reliés par des traits d'union. Par contre, il n'y a
jamais de trait d'union entre le numérateur et le dénominateur :
32/47 = trente-deux quarante-septièmes
153/1000 = cent-cinquante-trois millièmes
24/40 = vingt-quatre quarantièmes
71/200 = soixante-et-onze deux-centièmes
Cette règle de la nouvelle orthographe permet de distinguer
1000/125 (mille cent-vingt-cinquièmes) et 1100/25 (mille-cent vingtcinquièmes), qui s'écrivent de la même façon en orthographe
traditionnelle : mille cent vingt-cinquièmes.
3) Les dénominateurs doivent s'écrire avec un «s» quand le
numérateur est supérieur à un. Cette règle s'applique aussi bien à
l'orthographe traditionnelle qu'à la nouvelle orthographe :
327
1/100 = un centième ;
42/100 = quarante-deux centièmes ;
1/4 = un quart ;
2/4 = deux quarts.
Abrègement des ordinaux
1) Il existe une seule façon d’abréger correctement les adjectifs
ordinaux, c’est d’ajouter un e placé en exposant juste après le chiffre,
sans espace.
Seul le rang premier fait exception en s’abrégeant ainsi au
masculin 1er tandis que l’abréviation de première est 1re .
Exemples : 6e, 44e, 2456e , François 1er, 1re place.
2) En algèbre, lorsqu’une quantité est exprimée à l’aide d’une
lettre, on arège un ordinal de manière suivante : -ième, et non è
ou  .
328
SOURCES
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raisonnements. – URL : http://exo7.emath.fr/prof.html
2. Arnaud Bodin, Benjamin Boutin, Pascal Romon. Logique et
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1-11. – URL : http://www.math.u-psud.fr/~landelle/MATHS_L1.pdf
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continuité. Cours et exercices. – URL :
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10. Didier Müller. Calcul vectoriel. – pp. 19-32. – URL :
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11. Didier Müller. Géométrie analytique. – pp. 33-35. – URL :
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