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Géométrie & groupes
Série 4
10 otobre 2014
Exerie 1 (Lemme d'Alexandrov )
Soient A, B, B ′ , C ∈ R2 . Considérons les deux triangles △ := △(A, B, C) et △′ := △(A, B ′ , C)
et supposons que B, B ′ soient de part et d'autre de la droite passant par A, C . Notons α, β, γ
(resp. α′ , β ′ , γ ′ ) les angles du triangle △ (resp. △′ ) aux sommets A, B, C (resp. A, B ′ , C ) et
supposons que γ + γ ′ ≥ π.
′
Considérons aussi le triangle △ := △(A, B, B ) tel que
′
′
d(A, B ) = d(A, B ′ ),
d(A, B) = d(A, B),
d(B, B ) = d(B, C) + d(C, B ′ )
ainsi que le point C du segment B, B tel que d(B, C) = d(B, C). Notons les angles de e triangle
omme sur la gure.
′
A
b
A
b
α′
α
B
α
γ
β
b
γ′
B
C
b
β
b
b
C
β
′
b
B
′
β′
b
B′
Montrer que α ≥ α + α′ , β ≥ β , β ≥ β ′ et que d(A, C) ≥ d(A, C). (Ave inégalités strites à
moins que γ + γ ′ = π.)
′
Exerie 2
Soient X1 , X2 deux espaes métriques et xi ∈ Xi . Nous avons déni une métrique sur
.
X := X1 ⊔ X2 x1 ∼
= x2 .
Si X1 , X2 sont des espaes CAT(0), alors X est aussi CAT(0). Nous avons fait l'un des deux
as de la preuve en ours ; faire l'autre.
Exerie 3
Soit k k une norme sur R2 ; alors d(x, y) = kx − yk dénit une distane.
(i) Vérier que (R2 , d) est géodésique. Trouver un exemple où il n'y a pas uniité de la
géodésique entre deux points.
(ii) Montrer que (R2 , d) est un espae CAT(0) si et seulement si il est isométrique à R2
muni de la norme usuelle.
Indiation : vous pouvez p.ex. montrer qu'une norme provient d'un produit salaire si et seulement si pour tous
x, y
on a l'identité dite du parallélogramme :
kx − yk2 + kx + yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 .
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