close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Понятие стационарности временного ряда
Процессы «единичного корня»
�
При построении эконометрических моделей на основе временных рядов
принято различать в зависимости от наличия основной тенденции стационарные
и нестационарные временные ряды
� Построение эконометрической модели по временным рядам, относящимся
к разным типам стационарности, может привести к получению неадекватной
модели, для которой не будут выполняться предпосылки МНК, что приведет к
невыполнению условий несмещенности, состоятельности и эффективности
полученных оценок
150
100
50
0
160
-50
120
-100
80
40
0
70
72
74
76
78
80
DIVIDEND
82
84
86
RATE
88
90
� Использование в регрессионной модели нестационарных временных рядов
может привести к фиктивным результатам или к построению так называемой
«мнимой» или ложной регрессии (spurious regression). Это обуславливает
необходимость учитывать при моделировании, являются ли временные ряды
стационарными или нет
� «Мнимая» регрессия характеризуется тем, что, например
� линейная
регрессия
без
свободного
члена
дает
коэффициент
множественной детерминации R 2  0,44 независимо от размера выборки;
� если в модель включен коэффициент свободного члена, то R 2  0,44 и
R 2  1 при увеличении числа наблюдений;
� оценка дисперсии остатков составляет примерно 14% от истинной
дисперсии случайного возмущения, т.е. оценка дисперсии сильно занижена;
� остатки регрессии оказываются коррелированными с коэффициентом
корреляции, примерно равным   1 10 T , где T – длина временного ряда;
� Ряд
yt называется строго стационарным (strictly stationarity) или
стационарным в узком смысле, если совместное распределение m наблюдений
yt1, yt 2 ,... ytm не зависит от сдвига по времени, т.е. совпадает с распределением
yt1 l , yt 2  l ,... ytm  l для любых m, l , t1, t 2,...tm
� Ряд
yt
называется
слабо
стационарным
(weak
stationarity)
или
стационарным в широком смысле, если такие статистические характеристики
временного ряда как его математическое ожидание (среднее), дисперсия (ср. кв.
отклонение) и ковариация не зависят от момента времени
M yt   a  const
Dyt    2  const
Cov  yk ; yk 1   R(k )
Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то ряд называется нестационарным
�
Строгая стационарность подразумевает слабую стационарность
�
Стационарность может нарушаться по математическому ожиданию, по
дисперсии. В зависимости от выбранной характеристики чаще всего говорят о
стационарности временного ряда относительно среднего значения или
дисперсии
�
Временной
ряд
yt
называется
стационарным
относительно
детерминированного тренда f (t ) , если ряд  yt  f (t )  стационарный. Если ряд yt
стационарен относительно некоторого детерминированного тренда, то говорят,
что
этот
ряд
принадлежит
классу
рядов,
стационарных
относительно
детерминированного тренда, или что он является TS рядом (TS –trend stationary).
В класс TS рядов можно включить также стационарные ряды, не имеющие
детерминированного тренда
200
100
0
5000
-100
4500
-200
4000
3500
3000
2500
70
72
74
GDP
76
78
80
82
TREND
84
86
88
90
GDP-TREND
1500
1000
500
10000
0
-500
8000
-1000
6000
-1500
4000
2000
0
00
01
02
MONEY
03
04
TREND
05
06
07
08
MONEY-TREND
�
Временной ряд yt называется интегрированным порядка k , k  1, 2...,
если
�
ряд yt не является стационарным или стационарным относительно
детерминированного тренда, т.е. не является TS рядом;
�
ряд k y , полученный в результате k -кратного взятия разностей или
дифференцирования ряда yt , является стационарным рядом;
�
ряд
k 1 y ,
полученный
в
результате
k  1-кратного
дифференцирования ряда yt , не является TS рядом.
�
Для интегрированного ряда порядка k используют обозначение I (k ) .
Если ряд yt является интегрированным порядка k , то для краткости это
обозначается как y ~ I (k )
�
В принятой системе обозначений соотношение y ~ I (0) соответствует
ряду, который является стационарным и при этом не является результатом
дифференцирования TS ряда
40
20
0
240
-20
200
-40
160
120
80
40
70
72
74
76
78
80
PROFITS
82
84
86
88
D(PROFITS)
90
� Совокупность интегрированных рядов различных порядков k  1, 2... образует
класс
разностно
стационарных
временных
рядов,
т.е.
стационарных
относительно взятия разностей или DS рядов (DS – difference stationary)
�
При построении эконометрических моделей на основе реальных
статистических данных, как правило, в случае DS рядов исследователь работает с
рядами, интегрированными первого порядка
�
Интегрированность временных рядов экономических показателей с k  2
и более высокими порядками может возникать в случае использования
«коротких»
временных
рядов
или
ошибок
в
определении
порядка
интегрированности временного ряда. Существует понятие так называемого
чрезмерного взятия разностей
� В зависимости от принадлежности временных рядов к тому или иному
классу, возможны следующие варианты спефицикации одномерной модели
временных рядов (на примере двух рядов xt ,  yt ):
� Временные ряды
случае
корректно
xt ,  yt  – являются стационарными. В данном
применять
традиционные
методы
построения
регрессионных моделей, признаком адекватности модели будет являться
принадлежность ряда случайных отклонений классу «гауссов белый шум»;
� Временные ряды xt ,  yt  –имеют различный тип нестационарности.
Например, ряд
k, а
 yt  является нестационарным и интегрированным порядка
xt  является TS-рядом. В таких случаях может иметь место ложная
регрессионная зависимость, а операции исключения тренда или перехода к
разностям не гарантируют принадлежности случайных отклонений классу
«гауссов белый шум»;
� Временные
ряды
интегрирования, т.е.
xt ,  y t  –
имеют
различный
 xt  ~ I k ,  yt  ~ I (l ) ,  k , l  0, k  l,
порядок
при этом ряд
остатков модели содержит стохастический тренд. В таком случае при
рассмотрении модели по исходным временным рядам может иметь место
ложная регрессионная зависимость, целесообразно исследовать модель на
основе временных рядов разностей соответствующих порядков, т.е.
k xt , l yt ;
� Временные ряды
xt ,  yt  – интегрированные временные ряды
одного и того же порядка интегрирования d  1, при этом ряд остатков
модели для рядов в уровнях содержит стохастический тренд (т.е. является
нестационарным). В этом случае имеет место ложная регрессионная
зависимость и рекомендуется, например, перейти к построению модели на
основе временных рядов разностей порядка d ;
� Временные ряды
xt ,  yt  – интегрированные временные ряды
одного и того же порядка интегрирования d  1, а ряд остатков модели
является стационарным (как минимум). В этом случае временные ряды
являются коинтегрированными, из чего следует возможность применения
традиционных методов построения регрессионных моделей.
yt   0  1  xt  et , где yt  ~ I (1), xt  ~ I (1)
Тогда et  yt   0  1  xt  ~ I (0) и говорят, что некоторая линейная
комбинация
нестационарных
временных
рядов
дает
стационарный
временной ряд.
Подход, основанный на построении «стационарной модели нестационарных
временных рядов» с помощью классического МНК, называется подходом
Энгла-Грейнжера (EngleGranger), а сама модель – моделью коинтеграции
(cointegrating regression).
3600
3600
3200
3200
2800
2800
2400
2400
2000
2000
1600
1600
70
72
74
76
78
80
PCE
82
84
PDI
86
88
90
� Подход
Энгла-Грейнджера
предполагает
несколько
способов
тестирования временных рядов на коинтегрированность :
� Применение тестов DF (ADF) для проверки стохастических свойств
случайных отклонений модели
yt   0  1  xt  et , т.е. проверки
гипотезы о том, что et ~ I (0) ;
� Применение правила Дарбина-Уотсона или CRDW (Cointegrating
Regression Durbin–Watson Test) DF (ADF). Гипотеза проверяется на
основе значения статистики DW исходной модели:
H 0 : et нестационарны, исходные ряды не коинтегрированные  DW  0
Для
проверки
гипотезы
используются
d 0,01  0,322; d 0,05  0,386; d 0,10  0,511,
правосторонняя.
критические
критическая
значения
область
–
� С
экономической
точки
зрения,
два
временных
ряда
будут
коинтегрированными, если между соответствующими показателями имеют
место долгосрочные (long-term) взаимосвязи, или равновесие (equilibrium).
В краткосрочной перспективе возможно нарушение равновесия.
� Случайные отклонения модели коинтеграции могут быть рассмотрены
как «равновесная ошибка» (equilibrium error), которую можно использовать
для того чтобы связать краткосрочное поведение (short-run) эндогенного
показателя с его долгосрочным значением (long-term).
� Понятие механизма коррекции ошибок
(ECM
– error correction
mechanism), т.е. механизма корректирующего отсутствие равновесия
(disequilibrium),
популяризировали
Энгл
и
Грейнджер.
Было
сформулировано в виде теоремы, известной как теорема представления
Грейнджера (Granger representation theorem), и доказано, что если две
переменные
xt ,  yt  коинтегрированы, то связь между ними может быть
представлена в виде ECM:
Cointegration:
yt   0  1  xt  et , где yt  ~ I (1), xt  ~ I (1), et  ~ I (0)
yt   0  1  xt   2  et 1  ut 
ЕСМ:
  0  1  xt   2  [ yt 1   0  1  xt 1 ]  ut
yt   0  1  xt   2  et 1  ut 
  0  1  xt   2  [ yt 1   0  1  xt 1 ]  ut
� Если значения равновесной ошибки et 1  yt 1   0  1  xt 1 не являются
нулевыми – модель не находится в состоянии равновесия.
� Если значения равновесной ошибки положительны, то значения
эндогенной переменной «выше» равновесных значений и следует ожидать,
что  2 и yt будут принимать отрицательные значения (для восстановления
состояния равновесия). Аналогично рассуждаем в случае отрицательныз
значений равновесной ошибки.
� Значение  2 характеризует скорость возвращения в равновесное
состояние.
Понятие стационарности временного ряда
Процессы «единичного корня»
�
Простейший пример: процесс авторегрессии первого порядка определяется
как
yt      yt 1   t ,
где M  t   0, D t    2 , Cov t ,  t  s   0 t , s .
�
В модели все значения временного ряда yt определяются линейно по yt 1
�
 ,  ,  2 –– неизвестные параметры, постоянные (т.е. const )
�
 t процесс «белого шума» или Гауссов «белый шум»: гомоскедастичная
случайная компонента с нулевой автокорреляцией (которую т.о. невозможно
предсказать на основе ее предыдущих значений)
�
условие стационарности временного ряда yt :
 1
rho=0.9997
110
100
90
rho=0.4165
80
7
70
6
60
5
50
4
40
3
30
1960
1965
1970
1975
1980
1985
2
1
0
1960
1965
1970
1975
1980
1985
� Понятие «единичного корня» (Unit Root) используется в анализе временных
рядов как характеризующее свойство нестационарных временных рядов
� Название связано с тем, что так называемое характеристическое уравнение (или
характеристический полином) авторегрессионной модели временного ряда имеет
корни, равные по модулю единице
� Наличие единичных корней в авторегрегрессионной модели временного ряда
эквивалентно понятию интегрированности временного ряда
� Методика проверки временных рядов на стационарность включает в себя целый
ряд тестов, направленных на выявление «единичного корня» (Unit Root Tests),
базовым из которых является тест Дики-Фуллера (DF-test)
� Техническая идея DF-теста:
y t      y t 1   t
y t  y t 1      y t 1  y t 1   t
y t       1  y t 1   t
H 0 :   1 H1 :   1
� Поскольку   1 соответствует так называемому нестационарному процессу
взрывного типа, который не рассматривается в рамках теста, на самом деле в DFтесте используется односторонний тест:
yt      yt 1   t
H 0 :   0  DS
H 1 :   0  TS
� Спецификации DF-теста:
None yt    1  yt 1   t
Const yt      1  yt 1   t
Trend yt      1  yt 1   t   t
� При проверке гипотезы в случае   0 , ассоциируемая с DF-тестом tстатистика не распределена согласно вероятностному распределению Стьюдента
и ее распределение не стремится к стандартному нормальному распределению
при увеличении количества наблюдений / Точки Мак-Киннона / Процедура Доладо
T
C
N
t критическое
� DF-тест проверяет наличие одного «единичного корня». В случае, если
процесс имеет несколько «единичных корней», проверка может оказаться
некорректной
� На практике вопрос решается последовательной проверкой с помощью теста
временного ряда в уровнях, в первых разностях, во вторых разностях и т.д., что
позволяет также определить порядок интегрированности временного ряда
� Для проверки гипотезы об
отнесении временного
ряда к классу
стационарных (относительно линейного тренда) или нестационарных процессов
имеется ряд различных тестов. Однако все тесты обладают некоторыми
недостатками или ограничениями
�
Низкая мощность: часто не отвергается исходная (нулевая) гипотеза,
когда она в действительности не выполняется
�
Невыполнение
теоретических
предпосылок
для
вспомогательных
моделей в тестах: смещена статистика теста. Может даже отвергаться
нулевая гипотеза, когда в действительности она верна
� Рассмотренный тест ДикиФуллера (DF тест) рекомендовано использовать
при условии гомоскедастичности и некоррелированности случайных отклонений
тестируемой модели
� Для достоверности результатов при анализе рядов на принадлежность их к
классу стационарных или нестационарных принято использовать не один, а
несколько тестов и подкреплять полученные выводы графическими процедурами
� К графическим процедурам анализа временных рядов относят не только
анализ непосредственно их графиков, но и анализ графиков автокорреляционных
функций, т.е. коррелограмм
� Автокорреляционная функция (ACF или АКФ):
k 
 k covk  cov( yt ; yt  k )


; k  1
0
var
var( yt )
� Частная автокорреляционная функция (PACF или ЧАКФ) определяется, как
частная корреляция между значениями yt и yt  k , «очищенная» от влияния на
них промежуточных переменных yt 1, yt  2 ,... yt  k 1 (ACF(1)=PACF(1))
Стационарный ряд
Нестационарный ряд
Значения в первом лаге, т.е. ACF(1),
Независимо от значений в первом
близки к единице, а затем
лаге,
коррелограмма
быстро
ACF
коррелограмма медленно убывает
убывает после несколько первых
по
угасающей
экспоненте
значений
(синусоиде)
Значение
в
первом
лаге
ACF(1)=PACF(1) близко к единице,
однако
остальные
значения
корреляции
PACF Также быстро убывает после коэффициентов
несколько первых значений
статистически
незначимы,
т.е.
значения функций на коррелограмме
не
выходят
за
пределы
доверительного интервала
� Коррелограмма временного ряда, стационарного относительно тренда,
может быть схожа с коррелограммой нестационарного временного ряда, однако
значения функций ACF и PACF в первых лагах не будут близки к единице,
будучи при этом статистически значимыми
� На коррелограмме временного ряда с сезонностью можно отметить
значимые значения функций при лагах, соответствующих сезонам
� ADF-тест (Расширенный тест Дики-Фуллера):
Является модификацией теста Дики-Фуллера, необходимость введения связана с
тем, что рассматриваемый процесс может являться авторегрессией не первого, а
более высокого порядка
� В каждое уравнение теста вводятся авторегрессионные переменные (лаги)
переменной разности yt
для коррекции возможной коррелированности
случайных отклонений тестируемой модели
k
None yt    1  yt 1    i yt i  t
i 1
k
Const yt      1  yt 1    i yt i  t
i 1
k
Trend yt      1  yt 1   t    i yt i  t
i 1
� Добавление авторегрессионных переменных не изменяет распределения tстатистики коэффициента     1, что позволяет использовать точки МакКиннона
� В процедуру теста добавляется необходимость установления эмпирических
путем порядка k
для вводимых лагированных переменных и проверка
статистической значимости коэффициента  k переменной, соответствующей
максимальному порядку, т.е. yt  k (аналогично проверке статистической
значимости переменной спецификации)
� Подбор значения k
можно осуществлять с помощью эвристических
критериев, основанных на объеме выборки временного ряда:
для квартальных данных 4  4 T 100  и для помесячных данных
-
12 
4
T 100  [Schwert]
- для данных любой периодичности
 T  [Diebold, Nerlove] ,  T  [Said,
4
3
Dickey]
- самое простое правило гласит включать k  2 лага при объеме выборки
меньше 81 наблюдения, k  3 лага при объеме выборки от 81 до 256
наблюдений и т.д. [Канторович]
� Подбор порядка k можно осуществлять с помощью процедур, основанных
на информационных критериях
� Также подбор порядка k
можно осуществлять с помощью анализа
соответствующих коррелограмм:
�
при проверке гипотезы для
yt (в уровнях, level) анализируется
коррелограмма эндогенной переменной вспомогательной модели, т.е. yt
(первых разностях или приростах, 1st difference)
�
при проверке гипотезы для
yt
(1st difference) анализируется
коррелограмма эндогенной переменной вспомогательной модели, т.е. 2 yt
(вторых разностях, 2st difference) и т.д.
� PP-тест (тест Филлипса-Перрона):
Используется
при
нарушении
гипотезы
о
гомоскедастичности отклонений в тестируемой
некоррелированности
модели,
и
т.е. случайные
отклонения могут быть автокоррелированы, иметь различные дисперсии и не
быть распределены согласно нормальному закону, что позволяет использовать
тест для более широкого класса временных рядов. Так, PP-тест рекомендуется к
использованию в случаях наличия ярко выраженной сезонности и структурных
сдвигов (скачков).
� KPSS-тест (тест Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина):
Основное отличие от рассмотренных ранее тестов: в DF, ADF, PP тестах в
качестве нулевой гипотезы тестируется принадлежность временного ряда к DSрядам; критерий KPSS в качестве нулевой проверяет гипотезу о принадлежности
ряда к TS-рядам
детерминированный стохастиче ский  стационарная 
Ряд  



тренд
тренд
ошибка

 
 

� Спецификации KPSS-теста
Const yt     t  t   t
Trend yt    t   t
H 0 : t  const  yt является TS  рядом
H1 : t  const  yt не является TS  рядом
� Схема согласования результатов тестирования временного ряда с помощью
тестов на принадлежность к TS и DS рядам (на примере тестов ADF и KPSS)
KPSS
ADF
Нулевая гипотеза
Альтернативная
гипотеза
H0: TS не отвергается
H1: TS отвергается
H0: DS не отвергается
Исход 1
Исход 2
H1: DS отвергается
Исход 3
Исход 4
(1) если наблюдается исход 1, то это можно объяснить низкой мощностью обоих
критериев;
(2) если наблюдается исход 2, то это говорит в пользу DS-гипотезы;
(3) если наблюдается исход 3, то это говорит в пользу TS-гипотезы;
(4) если наблюдается исход 4, то это может говорить о том, что процесс
порождения данных не описывается DS или TS моделями, а может быть,
например, дробно-интегрированным процессом или процессом с нелинейным
трендом.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа