close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

;docx

код для вставкиСкачать
2777
УДК 517.977; 519.6
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
В.Т. Борухов
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь, 220072, Минск, Сурганова ул., 11
E-mail: [email protected]
Г.М. Заяц
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь, 220072, Минск, Сурганова ул., 11
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: квазилинейное уравнение гиперболического типа, идентификация, динамическая система вход-состояние-выход, численное решение
Аннотация: Рассматривается задача идентификации внутренних источников процессов распространения тепла в нелинейных средах с учетом времени релаксации
теплового потока. Для решения задач идентификации применяется подход, основанный на теории обратных бесконечномерных динамических систем вход-состояниевыход (открытых динамических систем). Разработан численный алгоритм, основанный на классических разностных схемах и методе прогонки для численного решения
нелинейных начально-краевых задач гиперболического типа, представлены результаты численного решения задач идентификации внутренних источников.
1.
Введение
При диагностике и управлении процессами переноса возникает широкий спектр
задач идентификации распределенных динамических систем: восстановление коэффициентов, характеризующих свойства среды протекания процессов, определение
граничных режимов, оценка начальных и текущих состояний процессов. Для технических и научных приложений важны также задачи идентификации внутренних
источников процессов тепло-и массопереноса, описываемых начально-краевыми задачами для систем уравнений в частных производных гиперболического типа.
В настоящей работе рассматривается задача идентификации входного сигнала
(временных компонент источника) квазилинейной динамической системы (ДС) гиперболического типа по данным выходного сигнала. Для решения данной задачи
примененяется метод обратных динамических систем [1–6]. Построение ДС обратных исходным ДС основано на применении аддитивного сдвига (калибровки) состояния ДС относительно источника. Численная реализация подхода обратных ДС
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2778
приводит, как правило, к классу экономичных численных алгоритмов решения [6].
Вместе с тем, имеется ряд открытых вопросов, связанных с применением метода
обратных динамических систем для восстановления источников переноса, описываемых квазилинейными уравнениями гиперболического и параболического типов [3,4].
В частности, открыты вопросы единственности и непрерывной зависимости от параметров решения нестандартной начально-краевой задачи, определяемой обратной
ДС.
Во втором разделе данной работы приводится постановка задачи и ее физическая интерпретация. В третьем построены обратные ДС. Отметим, что задачи, отвечающие обратным ДС, относятся к классу обобщенных нагруженных (интегродифференциальных) квазилинейных начально-краевых задач гиперболического типа. В четвертом разделе представлены результаты численного эксперимента по решению задачи восстановления входных сигналов для квазилинейного уравнения теплопроводности гиперболического типа.
2.
Постановка задачи
Рассмотрим систему квазилинейных уравнений гиперболического типа
(1)
ρ(T )c(T )
∂q
DT
=−
+ g(x, t),
Dt
∂x
x ∈ [0, l], t ∈ [0, tf ],
Dq
∂T
= −λ(T )
− q,
Dt
∂x
D
∂
∂
где T = T (x, t), q = q(x, t) (x ∈ [0, l], t ∈ [0, tf )) – искомые функции, Dt
= ∂t
+ v(x) ∂x
– материальная производная, ρ(T ) > 0, c(T ) > 0, λ(T ) > 0, v(x), g(x, t) – гладкие
функции. Системы вида (1), (2) описывают, в частности, процессы распространения
тепла в нелинейной среде с учетом времени релаксации теплового потока τ и конвективной составляющей тепла [7]. При τ = 0 система уравнений (1), (2) приводится к
стандартному уравнению теплопроводности параболического типа. Применение маD
териальной производной Dt
обеспечивает инвариантность системы уравнений (1), (2)
относительно группы преобразований Галлилея [7].
Систему уравнений (1), (2) дополним начальными и краевыми условиями
(2)
τ
(3)
T (x, 0) = T0 (x), q(x, 0) = q0 (x), T (0, t) = g1 (t), T (l, t) = g2 (t)
и рассмотрим обратную задачу восстановления источника g(x, t), которую можно
интерпретировать как задачу восстановления входных сигналов для распределенных
динамических систем.
Задача восстановления состоит в идентификации временных компонент u(t) =
colon (u1 (t), ..., um (t)) функции источника
(4)
g(x, t) =
m
X
bi (x)ui (t) = b(x)u(t), b(x) = (b1 (x), ..., bm (x)) , t ∈ [0, tf ],
i=1
по данным измерений взвешенных температур y(t) = colon (y1 (t), ..., ym (t)) , определяемых равенством
Z l
(5)
y(t) =
T (s, t)dp(s), t ∈ [0, tf ],
0
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2779
где p(x) = colon (p1 (x), ..., pm (x)) , pi (x), i = 1, m, – кусочно-гладкие функции с конечным числом точек разрыва гладкости.
Система уравнений (1)–(5) определяет распределенную ДС вход-состояние-выход
(обозначим ее символом Στ ), где вектор u(·) является входным сигналом системы,
пара функций (T (·, t), q(·, t)) – состояние системы в момент времени t, вектор y(·) –
выходной сигнал системы.
В качестве примера возможных применений развиваемого метода отметим задачу идентификации интенсивности лазерного облучения движущейся среды по данным измерений температуры среды в некоторой точке x∗ . Функция источника в этом
случае имеет вид [8, 9]
g(x, t) = u(t)(1 − R)µ exp(−µx),
а весовая функция p(x) – вид p(x) = 0, если x ∈ (0, x∗ ); p(x) = 1, если x ∈ [x∗ , l).
Отметим, что сформулированная здесь задача идентификации относится к классу некорректных обратных задач математической физики [10].
3.
Применение метода обратных динамических
систем к задаче идентификации входных
сигналов
3.1.
Общий случай
Метод обратных динамических систем состоит в построении системы обратной
к динамической системе, заданной уравнениями (1)–(5).
Без ограничения общности можно положить ρ(T )c(T ) ≡ 1 [3,4]. Тогда, используя
замену переменных
Z t
(6)
T (x, t) = w(x, t) + b(x)f (t), f (t) =
u(s)ds,
0
получим так называемую калибровочную систему (обозначим ее символом Στ g )
(7)
∂q
db
Dw
=−
− v(x)
f (t),
Dt
∂x
dx
(8)
τ
Dq
∂w
db
= −λ(w(x, t) + b(x)f (t))
− q − λ(w(x, t) + b(x)f (t))
f (t),
Dt
∂x
dx
Z
(9)
y(t) =
l
Z
w(s, t)p(s)ds +
0
l
p(s)b(s)ds f (t)
0
с начально-краевыми условиями
(10)
w(x, 0) = T0 (x), q(x, 0) = q0 (x),
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2780
(11)
w(0, t) = −b(0)f (t) + g1 (t), w(l, t) = −b(l)f (t) + g2 (t).
Rl
Обозначим D = 0 p(s)b(s)ds и предположим, что m × m матрица D обратима.
Тогда из (9) следует, что
Z l
−1
w(s, t)dp(s) + y(t) .
−
(12)
f (t) = D
0
Подставляя (12) в уравнения (7), (8), (11), получим начально-краевую задачу
для описания динамики обратной ДС Σ−1
τ g . Поскольку в силу второго равенства (6)
следует, что
Z l
d −1
w(s, t)dp(s) + y(t) ,
−
(13)
u(t) = D
dt
0
то ДС Σ−1
τ обратная к ДС Στ задается системой уравнений (7), (8), (10)–(13) или, в
эквивалентной форме, системой уравнений (7), (8), (10), (11), (13), замкнутой обратопределяется нестанной связью (12). Таким образом динамика обратной ДС Σ−1
τ
дартной системой интегро-дифференциальных уравнений в частных производных и
неклассическими краевыми условиями.
Из (6) и обратимости матрицы D следует существование траекторий ДС Σ−1
τ , удовлетворяющих начальным условиям (10), в том случае, когда разрешима исходная
классическая начально-краевая задача (1) – (3). С другой стороны, единственность
не вытекает из единственности траекторий ДС Στ и, следоватраекторий ДС Σ−1
τ
тельно, в общем случае проблема единственности задачи восстановления входных
сигналов для ДС Στ является открытой. Для некоторых классов обратных ДС для
линейных ДС параболического типа эта проблема рассматривалась в работах [4,5,11].
Отметим еще, что для численного решения нестандартной начально-краевой задачи (7), (8), (10)–(12) можно использовать классические разностные схемы [12] решения нелинейных краевых задач. Примеры применения таких схем приводятся далее в разделе 3, а для параболического случая (τ = 0) – в работах [3, 4, 6, 11, 13–15].
Описание разностных схем и исследование их сходимости и устойчивости для различных классов нестандартных линейных начально-краевых задач параболического
типа приводится в работах [6, 11, 15].
3.2.
Случай отсутствия конвекции
В отсутствии конвективной составляющей тепла (v = 0) система уравнений (1),
(2) сводится к нелинейному уравнению теплопроводности гиперболического типа
∂
∂T
∂T
∂
∂T
du
(14)
τ
ρ(T )c(T )
+ ρ(T )c(T )
=
λ(T )
+ b(x)u(t) + τ b(x) ,
∂t
∂t
∂t
∂x
∂x
dt
с краевыми и начальными условиями
∂T (15)
T (x, 0) = T0 (x),
= T1 (x), T (0, t) = g1 (t), T (l, t) = g2 (t)
∂t t=0
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2781
и уравнением (5). Система уравнений (14), (15), (5) описывает ДС вход-состояниевыход, которую далее будем обозначать символом Σhτ .
Как и ранее без ограничения общности можно считать, что ρ(T )c(T ) = 1. Тогда
обратная ДС Σ−1
hτ задается уравнением
∂
∂
∂ 2 w ∂w
=
λ(w + b(x)f (t)) (w + b(x)f (t)) ,
(16)
τ 2 +
∂t
∂t
∂x
∂x
краевыми условиями (11), начальными условиями
∂w = T1 (x),
(17)
w(x, 0) = T0 (x),
∂t t=0
обратной связью (12) и уравнением (13), определяющим выходной сигнал ДС Σ−1
hτ
(входной сигнал ДС Σhτ ).
Наряду с обратной ДС, определяемой системой уравнений (16), (11), (17), (12),
(13), представляет интерес еще один вариант обратной ДС. Предположим существование первой и второй производной для правой части уравнения (5) и справедливость
равенств
Z
Z l
Z
Z l 2
d2 l
∂T
∂ T
d l
T (ξ, t)dp(ξ) =
(ξ, t)dp(ξ),
T (ξ, t)dp(ξ) =
(ξ, t)dp(ξ).
2
2
dt 0
dt 0
0 ∂t
0 ∂t
Тогда, учитывая (14) и равенство ρ(T )c(T ) = 1, получим
Z l
d2 y dy
∂
∂T
du
τ 2 +
=
+ u(t).
λ(T )
dp(x) + Dz(t), z(t) = τ
dt
dt
∂x
dt
0 ∂x
Отсюда, в случае обратимости матрицы D, следует, что ДС Σ−1
τ можно описать
системой уравнений
∂ 2T
∂T
∂
∂T
(18)
τ 2 +
=
λ(T )
+ b(x)z(t),
∂t
∂t
∂x
∂x
(19)
(20)
z(t) = D
−1
− τt
u(t) = e
d2 y dy
τ 2 +
−
dt
dt
1
u(0) +
τ
Z
t
Z
0
l
∂
∂x
∂T
λ(T )
dp(x) ,
∂x
t
e−( τ +s) z(s)ds.
0
с начально-краевыми условиями (15).
С формальной точки зрения система уравнений (7), (8), (10)–(13), задающая ДС
−1
Στ , сложнее системы (18)–(20), (15). Однако во втором варианте возникает дополнительное требование гладкости правой части уравнения (5) и, кроме того, решение
задачи восстановления интенсивности источника u(t) определяется с точностью до
t
экспоненциально убывающего слагаемого e− τ u(0).
Напомним [16], что уравнения с частными производными, содержащие в коэффициентах функционалы от решения, называются нагруженными. Таким образом, представленные выше нестандартные начально-краевые задачи можно отнести
к классу начально-краевых задач для нагруженных квазилинейных уравнений гиперболического типа.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2782
4.
Примеры
Далее на основании численного решения нестандартной начально-краевой задачи
(16), (11), (17), (12), (13) приводятся примеры восстановления источников тепла для
случая v = 0. При этом применяется классический метод разностных схем, прогонка
и итерации на временных слоях для вычисления обратной связи (12).
Пример 1. Пусть x ∈ [0, 1], t ∈ [0, 1], λ(T ) = T 2 + 1, g1 (t) = 2e−t , g2 (t) =
3e−t , T0 (x) = 2+xe1−x , T1 (x) = 0. Предположим, что m = 1, x∗ = 0.5, b(x) = e−x .
Выберем
(21)
umod (t) = −et .
Учитывая выбранное umod (t) и формулу (6), получим функцию fmod (t) :
(22)
fmod (t) = 1 − et .
Пусть параметр τ = 10−3 . Определим значения функции y(t) – входного сигнала
системы Σ−1
hτ , численно решив прямую задачу (14), (15).
На рис. 1 отражены функция y(t) = T (0.5, t) и граничные условия задачи (14),
(15).
y g 1, g 2
y(t)
g 1(t)
g 2(t)
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
t
Рис. 1. Входные данные для обратной ДС – функция y(t) и граничные условия
задачи (14), (15)( τ = 10−3 )
На рис. 2, 3 представлены результаты численного решения системы (16), (11),
(17), (12), (13). Рис. 2 иллюстрирует линии уровня функции w(x, t) для обратной ДС
(рис. 2,а) и линии уровня восстановленного согласно (6) температурного поля T (x, t)
(рис. 2,б). Результаты численного восстановления функции f (t) и временной компоненты функции источника u(t) в сравнении с модельными функциями, представлены
на рис. 3.
Пример 2. Пусть x ∈ [0, 1], t ∈ [0, 7], λ(T ) = T 2 sin T + 4, g1 (t) = 0.1 t sin t +
1, g2 (t) = 0.03 t sin 2t + 2, T0 (x) = 1 + xe1−x , T1 (x) = 0, b(x) = 10e−x , x∗ = 0.5.
(23)
umod (t) = sin t.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2783
1,0
1,0
2,0
2,2
0,84
1,1
1,9
0,8
1,3
0,8
T(x,t)
W(x,t)
0,6
0,6
1,6
t
t
2,0
0,4
0,4
1,9
1,8
2,2
0,2
0,2
2,4
2,3
2,6
2,7
0,0
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0
2,5
2,3
2,0
0,2
0,4
X
0,6
2,8
0,8
X
(a)
(b)
Рис. 2. а) Линии уровня функции w(x, t) для обратной ДС и b) линии уровня
функции T (x, t) при τ = 10−3
f
u
-0,8
f(t)_mod
f(t)
0,0
u(t)_mod
u(t)
-1,2
-0,4
-1,6
-0,8
-2,0
-1,2
-2,4
-1,6
-2,8
0,0
0,2
0,4
(a)
0,6
0,8
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
(b)
Рис. 3. Результаты решения обратной системы при τ = 10−3 : а) вид функции
f (t) и b) восстановленная функция u(t) в сравнении с модельными функциями
(22), (21)
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
t
1,0
2784
y(t)
g 1(t)
g 2(t)
y g 1, g 2
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
0
2
4
6
t
Рис. 4. Вид функции y(t) и граничные условия прямой задачи (τ = 10−7 )
7
7
6
6
0,80
-0,60
-5,2
5
2,0
1,7
w(x,t)
1,0
T(x,t)
5
1,8
-2,9
4
t
-17
-14
4
-12
3
2,0
t
-7,5
3
-9,8
2
2
-5,2
-2,9
1
1,4
1
1,6
-0,60
0
0,0
1,7
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0
0,0
1,2
0,2
X
(a)
0,4
0,6
X
(b)
Рис. 5. а) линии уровня функции w(x, t) и b) линии уровня функции T (x, t)
при τ = 10−7
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
0,8
1,0
2785
f
u
2,0
1,0
f_mod
f(t)
1,5
0,5
1,0
0,0
0,5
-0,5
0,0
-1,0
0
2
4
6
t
(a)
u_mod(t)
u(t)
0
2
4
6
(b)
Рис. 6. Результаты численного моделирования при τ = 10−7 : а) восстановленная
функция f (t) и b) восстановленная функция u(t) в сравнении с модельными
функциями (24), (23)
Выбранному umod (t) соответствует функция fmod (t) :
(24)
fmod (t) = 1 − cos t.
Результаты численного восстановления входного сигнала (23) при значении параметра релаксации τ = 10−7 отражены на рис. 4 – 6. На рис. 4 представлена функция
y(t) = T (0.5, t), а также граничные условия прямой задачи. Рис. 5 отражает результаты численного восстановления решения w(x, t) нестандартной начально-краевой
задачи (16), (11), (17), (12), (13) (рис. 5,a) и температурного поля T (x, t) (рис. 5,b).
Результаты численного моделирования функции f (t) и восстановленная функция
u(t) в сравнении с модельными функциями (24) и (23) представлены на рис. 6.
Таким образом, продемонстрирована возможность численного восстановления
временной компоненты источника.
5.
Заключение
Для решения задач идентификации временных компонент функции источника
в нелинейном уравнении теплопроводности и системах уравнений гиперболического типа предложен подход, основанный на построении обратных ДС. Установлено,
что при некоторых ограничениях на параметры обратная задача идентификации
источников тепла сводится к прямой начально-краевой задаче для нагруженного
квазилинейного уравнения теплопроводности гиперболического типа либо системы
уравнений гиперболического типа. Проведенные численные эксперименты позволяют
заключить, что указанную задачу идентификации можно решать, применяя разностные методы решения прямых задач математической физики.
Работа выполнена при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (грант Ф13К-004).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
t
2786
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Борухов В.Т. Обращение линейных инвариантных во времени динамических систем с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1982. № 5. С. 29-36.
Борухов В.Т., Гайшун И.В., Тимошпольский В.И. Структурные свойства динамических систем и обратные задачи математической физики. Минск: Беларус. навука, 2009. 174 с.
Борухов В.Т., Заяц Г.М. Обратимость квазилинейных параболического типа динамических
систем вход-состояние-выход // Труды 6-й Международной конференции «Аналитические
методы анализа и дифференциальных уравнений»: в двух томах. Т. 2. Дифференциальные
уравнения. Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2012. С. 19-24.
Борухов В.Т., Заяц Г.М. Идентификация источников процессов переноса, описываемых
уравнениями параболического типа // Труды IX Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ’12. Москва, 30 января-2 февраля 2012 г.
М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2012. С. 94-108.
Borukhov V.T., Kolesnikov P.M. Method of inverse dynamic systems and its application for
recovering internal heat sources // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1998. Vol. 31,
No. 8. P. 1549-1556.
Borukhov V.T., Vabishchevich P.N. Numerical solution of the inverse problem of reconstructing
distributed right-hand side of parabolic equation // Computer Physics Communication. 2000.
Vol. 126, No 1-2. P. 1033–1041.
Christov C.I., Jordan P.M. Heat Conduction Paradox Involving Second-Sound Propogation in
Moving Media // Physical Review Letters. 2005. Vol. 94, No. 15. Article ID 154301. 4 pages.
Al-Khairy R.T., Al-Ofey Z.M. Analytical solution of the hyperbolic heat conduction equation for
moving semi-infinite medium under the effect of time-dependent laser heat source // Journal of
Applied Mathematics. 2009. http://dx.doi.org/10.1155/2009/604695
Zubair S.M., Chaudhry M.A. Heat conduction in a semi-infinite solid due to time-dependent laser
source // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1996. Vol. 39, No. 14. P. 3067-3074.
Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010.
Erdogan A.S., Uygun H. A note on the inverse problem for a fractional parabolic equation //
Abstract and Applied Analysis. 2010. Article ID 276080. 26 pages.
Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.
Chein-Shan L. A two-stage LGSM to identify time-dependent heat source through an internal
measurement of temperature // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2009. Vol. 52,
Issues 7–8. P. 1635-1642.
Kalinina E.A. Numerical study of inverse problem of identification of source density for twodimensional non-stationary convection-diffusion equation // Far Eastern Mathematical Journal.
2004. Vol. 5, No. 1. P. 89-99.
Ashyralyev A., Erdogan A.S. Finite difference method for the estimation of a heat source
dependent on time variable // Malaysian Journal of Mathematical Sciences 6(S). 2012. P. 139-150.
Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 352 с.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа