close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- Центр свободного программного обеспечения

код для вставкиСкачать
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина
Центр свободного программного обеспечения ЕГУ им. И.А. Бунина
Тарова И.Н., Таров Д.А.
Компьютерное моделирование в
OpenOffice.org Calc
учебно-методическое пособие
Елец - 2014
Компьютерное моделирование в Calc
Введение
Пособие предназначено для учащихся старших классов физикоматематического и естественно-математического профилей.
Пособие состоит из введения, 4 разделов, заключения и
библиографии.
В пособии предлагается разработанный автором элективный курс по
решению математических, физических, экологических и экономических
задач с использованием компьютерного моделирования в приложении
Calc пакета свободного программного обеспечения OpenOffice.org.
Элективный курс состоит из четырех разделов, которые
структурированы по предметному признаку:
1 компьютерное моделирование решения математических задач;
2 компьютерное моделирование физических процессов;
3 компьютерное моделирование решения экономических задач;
4 компьютерное моделирование экологических систем.
Пособие содержит 15 лабораторных работ.
В каждой работе содержатся краткие теоретические сведения по
решению задачи, смоделированы математическая, информационная и
компьютерная модели решения, приведено подробное описание
решения задачи в приложении Calc, сформулированы вопросы для
проведения исследования модели.
При составлении заданий к лабораторным занятиям курса
использовались задачник по моделированию под редакцией Макаровой
Н.В. [2], а также пособие Каганова В.И. [3].
Пособие основано на элективном курсе, преподаваемом автором в 10А (физико-математическом) классе МОУ гимназии № 97 г.Ельца
Липецкой области в 2007-2008 учебном году.
Элективный курс может быть интересен учителям информатики и
математики, а также преподавателям колледжей. Материал курса может
быть адаптирован для студентов младших курсов колледжей и
институтов.
2
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
Компьютерное моделирование решения математических задач
1. Решение уравнений с одной переменной
Рассмотрим численное решение уравнения с одним или несколькими
неизвестными вида: f(x)= 0 (1)
Нахождение корней уравнения вида (1) даже в случае алгебраических
уравнений выше третьей степени представляет достаточно сложную
задачу. Трансцендентные же уравнения чаще всего вообще не имеют
аналитического решения. В этих случаях единственным путем является
получение приближенных решений, выбором неизвестных значений
параметров так, чтобы они давали минимум ошибки некоторой целевой
функции. Обычно используются итерационные методы, когда вначале
выбирают некоторое начальное приближение, затем вычисляют
последовательные приближения
Итерационные методы обеспечивают сходимость таких приближений
к искомому значению х.
В Calc для решения уравнений вида (1) используется удобный и
простой для понимания инструмент Подбор параметра. Он реализует
алгоритм численного решения уравнения, зависящего от одной
переменной.
Процесс решения с помощью процедуры Подбор параметра
распадается на два этапа:
1. Задание на рабочем листе ячейки, содержащей переменную
решаемого уравнения (влияющей ячейки), и ячейки содержащей
формулу уравнения (зависящей или целевой ячейки).
2. Ввод адресов влияющей и целевой ячеек в диалоговом окне Подбор
параметра и получение ответа (или сообщения о его отсутствии или
невозможности нахождения, поскольку уравнение может не иметь
решений или алгоритм решения (оптимизации) может оказаться
расходящимся в конкретных условиях).
К сожалению, с помощью процедуры Подбор параметра могут быть
решены только некоторые типы уравнений.
Пример 1. Найти решение уравнения ln x = 0.
Решение
Первый этап
1. Открываем новый рабочий лист (команда Вставка - Лист).
2. Заносим в ячейку А3 ориентировочное значение корня, например, 3.
3. Заносим в ячейку В3 левую часть уравнения, используя в качестве
Компьютерное моделирование в Calc
независимой переменной ссылку на ячейку А3. Для этого нажимаем на
панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции; в
появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле
Категория выбираем Математические, в рабочем поле Функция имя
функции LN. После щелкаем на кнопке ОК; появившееся диалоговое окно
LN мышью отодвигаем в сторону от ячейки А3 и в рабочее поле Число
щелчком мыши на ячейке А3 вводим ее адрес. После чего нажимаем на
кнопку ОК. В ячейке В3 появляется число 1,098612.
Второй этап
1. Вызываем процедуру Подбор параметра (команда Сервис - Подбор
параметра).
2. В поле Установить в ячейке мышью указываем В3, в поле Значение с
клавиатуры задаем 0 (правая часть уравнения), в поле Изменяя значение
ячейки мышью указываем А3 (рис. 1).
3. Щелкаем на кнопке ОК и получаем результат подбора,
отображаемый в диалоговом окне Результат подбора параметра.
Щелкаем на кнопке ОК, чтобы сохранить полученные значения ячеек,
участвовавших в операции. В ячейке А3 получаем приближенное
значение х=1 (рис. 1). При этом погрешность решения (значение правой
части уравнения) — вместо 0 в ячейке В1 получаем – 0.
Пример 2. Найти решение уравнения х2 - 3х +2 = 0.
Решение. Уравнение имеет 2 корня. Решение начинаем с нахождения
первого корня.
1. Заносим в ячейку А6 ориентировочное значение первого корня,
например, 3.
2. Заносим в ячейку В6 левую часть уравнения, используя в качестве
независимой переменной ссылку на ячейку А6. Соответствующая
формула будет иметь вид =А1^2-3*А1+2.
3. Вызываем процедуру Подбор параметра (команда Сервис - Подбор
параметра).
4. В поле Установить в ячейке указываем В6, в поле Значение задаем 0
(правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки указываем А6.
5. Щелкаем на кнопке ОК и получаем результат подбора,
отображаемый в диалоговом окне Результат подбора параметра.
Щелкаем на кнопке ОК, чтобы сохранить полученные значения ячеек,
участвовавших в операции. Таким образом, в ячейке А6 получаем
приближенное значение х1=2.
6. Повторяем расчет для второго корня х2, задавая в ячейке А6 другое
начальное значение, например -3. Получаем значение второго корня
уравнения х2 = 1.
4
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
Упражнения для самостоятельного решения
1. Решить уравнение cos x=0 в диапазоне [0; 2].
Ответ: х=1,570632
2. Решить уравнение 2х2 – 3x +1=0.
Ответ: х1=1,000051; х2=0,499928
3. Решить уравнение х3 - 3х2 + х = 0.
Ответ: х1=0,382176; х2=-0,00055; х3=2,618039
2. Построение графиков функций
Табличные процессоры позволяют легко и просто строить графики
различных функций. Рассмотрим, как это выполняется на примере
задачи: Вычислить значения функции y=sin(x)*cos(x) и построить ее
график.
Решение:
1 сначала оформим рабочий лист, согласно рисунку, причем в ячейку
D3 внесем формулу для вычисления значения числа пи:
2
D3: = 16*ATAN(1/5)-4* ATAN(1/239)
3 Заполним столбец аргументов, для этого в ячейку A6 введем
начальное значение аргумента (например, 0).
4 в ячейку A7 введем формулу для изменения значений аргумента с
Компьютерное моделирование в Calc
выбранным шагом (в нашем случае 15 градусов):
5 A7: = A6+15
6 в ячейки столбца В введем формулу для вычисления
промежуточных значений — функции y=sin (x):
7 B6: = sin(A6)
8
Ячейки B7:B30 заполним, используя авто заполнение.
9 В ячейки столбца С введем формулу для вычисления
промежуточных значений — функции y=cos (x):
10 C6: = cos(A6)
11 В ячейки столбца D введем формулу для вычисления значений —
функции y=sin(x)*cos (x):
12 D6: = B6*C6
13 По результатам заполнения столбца В построим график функции.
Для этого выделим значения столбца, в меню Вставка выберем
подменю Диаграмма, затем выберем вид диаграммы Диаграмма XY.
6
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
3. Пифагоровы числа
Совершим сначала небольшой экскурс в историю математики. Самым
первым её разделом, зародившимся ещё в древние века, является теория
чисел, изучающая в первую очередь свойства чисел натурального ряда.
Важный раздел этой теории связан с решением в целых числах
алгебраических уравнений с целыми коэффициентами при
неизвестных, число которых превосходит число уравнений. Эти
уравнения называются диофантовыми (по имени александрийского
математика Диофанта, жившего предположительно во II-III веке). Одно
из таких известных диофантовых уравнений имеет вид: x2 + y2 = z2. (1)
Решение (1) сводится к определению троек целых или рациональных
чисел х, у, z, удовлетворяющих уравнению (1) (например, х=3, у=4, z=5).
Первые примеры решения уравнения (1) обнаружены археологами в
клинописных математических текстах древнего Вавилона, относящихся
к XIX—XVIII вв. до н.э. Важный вклад в решение этого уравнения внёс
греческий философ и математик Пифагор (VI в. до н.э). Он и его
последователи полагали, что мировой порядок подчинён числам. Так,
философ Аристотель считал, что «элементы чисел являются
элементами всех вещей, и что весь мир в целом является гармонией и
числом». Мистическое осмысление числа из древнего мира плавно
перешло к следующим поколениям и свелось к короткому латинскому
изречению: «Все есть число». Выдающийся немецкий математик Якоби,
живший в XIX в., даже воплотил это изречение в возвышенные стихи:
То, что в космосе видишь,
есть только божественный отблеск,
А над богами царит сущее вечно Число.
Из философского взгляда, что в основе мироздания лежит число, и
проистекал повышенный интерес Пифагора к арифметике, в частности,
к решению уравнения (1). Им первым было получено в общем виде
решение, позволяющее определить всевозможные тройки целых чисел х,
у, z, которые потому и получили название пифагоровых. Интерес к ним
никогда не пропадал у исследователей разных поколений, считавших,
что число есть «…некоторый прототип, идеальная схема, первичная
категория мышления и бытия» и что арифметика с её системами
счисления самым тесным образом связана с историей человечества. Так,
уже в начале XX века русский богослов и математик П.А. Флоренский
посвятил им даже специальное исследование, издав трактат
«Пифагоровы числа». Следующим после Пифагора математиком,
исследовавшим уравнение (1), был Диофант, который придал
Компьютерное моделирование в Calc
окончательную форму решению данного уравнения:
x = m2 - n2, y = 2mn, z = m2 + n2, (2)
где m, n - целые числа (m > n> 0).
От пифагоровых чисел легко перейти к так называемым вавилонским
числам
u = | y - x| , v = х + у, w = z, (3)
являющимися решением уравнения:
u2 + v2 =2w2. (4)
Подставив (3) в (4), легко убедиться в справедливости приведённых
решений.
Геометрическая интерпретация уравнений (1) и (4) весьма проста:
уравнению (1) соответствует прямоугольный треугольник, а уравнению
(4) - трапеция, разделённая прямой, параллельной основанию на две
части с равными площадями. Причём, верхняя сторона трапеции равна
u, нижняя - v, прямая - w. Потребности практики по нарезанию земли
привели математиков древности к такому пристальному вниманию к
уравнениям (1) и (4).
А теперь на основании решений (2) и (3) составим модель в среде
Calc, позволяющую вычислить все возможные комбинации
пифагоровых и вавилонских чисел, в которые современный человек не
вкладывает тот глубинный мистический смысл, который был
свойствен древним философам.
Решение:
Дадим краткие пояснения по составлению модели.
Сначала в столбцы А и В вписываются все возможные сочетания
чисел m и n в пределах указанного максимума (ячейки А6:А33 и
В6:В33).
Выделяется столбец С (С6:С33), предназначенный для заполнения
вычисленными значениями х согласно (2). В формуле ставится знак =,
после чего активизируется столбец А (А6:А33), в ячейки которого
записаны значения m. Согласно формуле эти значения следует
возвести в квадрат (^2). После знака минус активизируется столбец В
(В6:В33), в ячейки которого записаны значения n, и снова
производится запись возведения в квадрат (^2). В результате
формула (3.2) х=m2–n2 по вычислению х в параметрах электронной
таблицы принимает вид: = А6:А33^2-В6:В33^2.
Поскольку вычисляется массив значений, то следует команда,
формируемая путём одновременного нажатия на три клавиши: Сtrl +
Shift + Enter, после чего столбец С автоматически заполняется
вычисленными значениями х.
8
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
3. По точно такой же схеме производится вычисление и всех
остальных параметров согласно формулам (2) и (3). При вычислении u
используется функция ABS. В результате получим таблицу,
заполненную пифагоровыми и вавилонскими цифрами, над скрытым
смыслом которых наши предки ломали голову ещё 26 веков назад.
4. Решение систем линейных уравнений методом обратной
матрицы
Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными, где аij,
bi (i=1,2,...,п; j=1,2,...,п) — произвольные числа, называемые,
соответственно, коэффициентами при переменных и свободными
членами уравнений.
Компьютерное моделирование в Calc
(1)
Такая запись (1) называется системой линейных уравнений в
нормальной форме.
Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x1=k1,
х2=k2, ..., xп=kn), при подстановке которых каждое уравнение системы
обращается в верное равенство.
Система уравнений совместна, если она имеет хотя бы одно решение
и несовместна, если она не имеет решений.
Если совместная система уравнений имеет единственное решение,
она называется определенной; напротив, система уравнений называется
неопределенной, если она имеет более одного решения.
Две
системы
уравнений
являются
равносильными
или
эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Система, равносильная данной может быть получена с помощью
элементарных преобразований системы (1).
Систему (1) можно также записать в виде матричного уравнения:
АхХ=В, (2)
где А — матрица коэффициентов при переменных, или матрица
системы:
X — матрица-столбец (вектор) неизвестных:
В — матрица-столбец (вектор) свободных членов:
В развернутом виде систему (2) можно представить следующим
10
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
образом:
Существует ряд методов решения системы (1), ориентированных на
вычисления вручную: методы Крамера, Гаусса и т.д. Предполагая
использование компьютера для проведения вычислений, наиболее
целесообразно рассмотреть решение системы (1) в общем виде (метод
обратной матрицы).
Будем считать, что квадратная матрица системы Аnn является
невырожденной, то есть ее определитель A  0 . В этом случае
существует обратная матрица А-1.
Умножая слева обе части матричного равенства (2) на обратную
матрицу А-1, получим:
отсюда решением системы методом обратной матрицы будет
матрица-столбец Х = A-1хВ. (3)
Таким образом, для решения системы (2) (нахождения вектора X)
необходимо найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее
справа на вектор свободных членов.
Задача. Пусть необходимо решить систему
Решение
1.
Введите матрицу А (в данном случае размера 2х2) в диапазон
А5:В6
Вектор В = (7 40) введите в диапазон С5:С6.
2. Найдите обратную матрицу A-1. Для этого:
• выделите блок ячеек под обратную матрицу. Например, выделите
блок А10:В11 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);
• нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка
функции;
• в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле
Категория выберите Массив, а в рабочем поле Функция — имя функции
Компьютерное моделирование в Calc
MINVERSE. После этого щелкните на кнопке ОК;
• появившееся диалоговое окно MINVERSE мышью сверните и
введите диапазон исходной матрицы А5:В6 в рабочее поле Массив
(указателем мыши при нажатой левой кнопке). Нажмите сочетание
клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;
• если обратная матрица не появилась в диапазоне А10:В11, то
следует щелкнуть указателем мыши в Строке формул и повторить
нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.
В результате в диапазоне А10:В11 появится обратная матрица:
3. Умножением обратной матрицы А-1 на вектор В найдите вектор X.
Для этого:
• выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор X).
Ее размерность будет mxp, в данном примере 2x1. Например, выделите
блок ячеек С10:С11 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);
• нажать на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка
функции;
• в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле
Категория выберите Массив, а в рабочем поле Функция имя функции —
MMULT. Щелкните на кнопке ОК;
• появившееся диалоговое окно MMULT мышью отодвиньте в
сторону от исходных матриц и введите диапазон обратной матрицы А-1
— А10:В11 в рабочее поле Массив1 (указателем мыши при нажатой
левой кнопке), а диапазон матрицы В — С5:С6 — в рабочее поле
Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;
• если вектор X не появился в диапазоне С10:С11, то следует
щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие
CTRL+SHIFT+ENTER.
В результате в диапазоне С10:С11 появится вектор X. Причем х=5
будет находиться в ячейке С10, а у=-4 — в ячейке С11.
Можно осуществить проверку найденного решения. Для этого
найденный вектор X необходимо подставить в исходное матричное
уравнение АхX = В.
Проверка производится следующим образом.
1. Выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор
В). Ее размерность будет тхр, в данном примере 2x1. Например,
выделите блок ячеек D5:D6 (указателем мыши при нажатой левой
кнопке).
12
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка
функции.
3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле
Категория выберите Массив, а в рабочем поле Функция — имя функции
MMULT. Щелкните на кнопке ОК.
4. Появившееся диалоговое окно MMULT мышью сверните и введите
диапазон исходной матрицы А — А5:В6 в рабочее поле Массив1
(указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы X
— С10:С11 — в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание
клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
5. Если вектор В не появился в диапазоне D5:D6, то следует
щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие
CTRL+SHIFT+ENTER.
В результате в диапазоне D5:D6 появится вектор В, и, если система
решена правильно, появившийся вектор будет равен исходному В = (7
40).
5. Решение систем уравнений методом Крамера
Задача: Пусть необходимо решить систему
Компьютерное моделирование в Calc
a1x1+b1x1+c1x1=e1
a2x1+b2x1+c2x1=e2
a3x1+b3x1+c3x1=e3
Решение
Корни уравнений найдем с помощью определителей по формулам
Камера, известным из курса математики:
x1=D(1)/DD, x2=D(2)/DD, x3=D(3)/DD
Определитель системы найдем по формуле:
DD=A(1)*B(2)*C(3)+B(1)*C(2)*A(3)+С(1)*A(2)*B(3)-C(1)*B(2)*A(3)A(1)*C(2)*B(3)-B(1)*A(2)*C(3).
Путем замены соответствующих столбцов аналогичным образом
рассчитываются определители D(1), D(2), D(3).
Заполним ячейки таблицы согласно указанных формул:
J9: =A9*B9*C9+D9*E9*F9+G9*H9*I9
A21: = J9-J15
F21: = B21/A21
G21: = C21/A21
H21: = D21/A21
Ячейки J10:J12, J15:J18 и B21:D21 заполним, используя автозаполнение
(см. рис).
14
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
Компьютерное моделирование в Calc
Компьютерное моделирование физических процессов
1. Задача о собаке и дачнике
Задача: От станции по направлению к дачному посёлку
движется пешеход с собакой. Поскольку собака бежит
быстрее, то она, добежав да дачи и известив о приближении
хозяина, разворачивается и бежит в обратном направлении
— к человеку, а от него снова к даче. Какой суммарный путь
пробежит собака за то время, пока человек идёт к даче?
Решение:
Система состоит из пешехода и собаки (подвижные объекты), а также
станции и дачи (неподвижные объекты). Входными параметрами для
человека будет скорость его движения, для собаки — скорость её бега,
для станции и дачи — расстояние между ними.
Составим математическую модель движения пешехода и собаки:
Движение собаки описывается формулами:
Sd1=S
td1=Sd1/Vc
Pd1=vp*td1
Движение человека описывается формулами:
tp1=(Sd1-Pd1)/(vc+vp)
Так как собака и пешеход движутся навстречу друг другу, то время
движения до встречи — одинаково, а так как скорости разные — то и
пройденные расстояния тоже будут разными. Модель пути,
пройденного собакой, построим как сумму отрезков, которые она
пробегает, двигаясь от пешехода к даче и обратно. Путь, пройденный
собакой от момента расставания с пешеходом у станции и до новой
встречи с ним: S1=Sd1+Sp1.
Построим компьютерную модель:
1 заполним таблицу исходными данными по образцу (см. рис)
2 в ячейки расчётных данных введём следующие формулы:
A10: =$C$7
B14: =A14/$C$6
C14: =$C$5*B14
D14: =(A14-C14)/($C$5+$C$6)
E14: =$C$5*D14
16
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
F14: =$C$6*D14
G14: =A14+F14+G13
A15: =F14
3. ячейки A16, B15, C15, F15, D15, G15, E15 заполнить вниз,
используя операцию автозаполнения.
Проведём исследование по разработанной модели. Заполните таблицу
до значения времени =0 и ответьте на вопросы:
1. как меняется построенная модель при изменении скорости
собаки?
2. как меняется построенная модель при изменении скорости
пешехода?
3. как меняется построенная модель при изменении расстояния
между станцией и дачным посёлком?
Проведём анализ построенной модели:
1 что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить её
для другого расстояния?
2 Что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить её
для других значений скорости пешехода и собаки?
Рис. Результат решения задачи о движении собаки и пешехода
Компьютерное моделирование в Calc
2. Свободное падение тела
При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной
среде трение накладывает огромный отпечаток на характер движения.
Каждый понимает, что предмет, сброшенный с большой высоты, вовсе
не движется равноускоренно, так как по мере набора скорости
возрастает сила сопротивления среды. Даже эту, относительно
несложную, задачу нельзя решить средствами «школьной» физики; и
таких задач, представляющих практический интерес, очень много.
Прежде чем приступать к обсуждению соответствующей модели,
вспомним, что известно о силе сопротивления.
Закономерности носят эмпирический характер и отнюдь не имеют
столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. О
силе сопротивления среды движущемуся телу известно, что она,
вообще говоря, растет с ростом скорости (хотя это утверждение не
является абсолютным). При относительно малых скоростях величина
силы сопротивления пропорциональна квадрату скорости и имеет
2
место соотношение F сопр = k 1 v , где k определяется свойствами среды и
формой тела.
В некоторых случаях для ускорения процесса работы над какой-либо
задачей
целесообразно
вместо
составления
программы
воспользоваться готовой прикладной программой (например,
табличным процессором). Покажем это на примере рассматриваемой
задачи.
Следует заметить, что для хранения результатов расчетов в данном
случае требуется очень много ячеек таблицы, и хотя современные
табличные процессоры позволяют хранить большой объем
информации, в случае нехватки памяти рекомендуется увеличить шаг, с
которым проводятся вычисления (при этом пожертвуем точностью
вычислений).
Табличный
процессор
позволяет
представлять
результаты расчетов и в графической форме. Можно при работе над
задачей получить результаты двумя способами: с помощью табличного
процессора и составлением собственной программы – для того, чтобы
затем сравнить эти результаты и временные затраты каждого из
способов.
Задача: Человек массой 80 кг падает свободно с высоты с
парашютом. Каково должно быть значение коэффициента k,
чтобы человек приземлился со скоростью не более 8 м/с (не
представляет опасности для здоровья)?
Решение:
18
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
Система состоит из человека и воздушной среды, в которой происходит
падение. Входными параметрами для человека являются масса тела,
начальная
скорость.
Входным
параметром
среды
является
коэффициент сопротивления. Смоделируем изменение скорости,
ускорения и расстояния до поверхности в условиях данной задачи.
Согласно второму закону Ньютона движение можно описать
равенством, проецируем это равенство на ось движения человека
(направлена вертикально вниз), получим: ma=mg-kV^2
Отсюда, ускорение можно вычислить по формуле: a=g-kV^2/m
Расстояние, пройденное человеком будем вычислять с интервалом
времени Δt по формуле: ti+1=ti+Δt.
Ускорение на каждом промежутке будем считать постоянным и равным
a. С учётом этого, формула для ускорения примет вид: ai=g-kVi^2/m, где
Vi — скорость в начале промежутка, V0 — начальная скорость.
Скорость в конце промежутка вычислим по формуле: Vi+1=Vi+ai*Δt.
Расстояние, которое пролетел парашютист, равно сумме расстояния,
пройденного к началу определенного промежутка времени, и
расстояния, пройденного на этом промежутке: Si+1=Si+Vi*Δt+ ai*Δt^2/2
Построим компьютерную модель:
1. заполним таблицу исходными данными по образцу (см. рис)
2. в ячейки расчётных данных введём следующие формулы:
A14:0
А15:=A14+$D$7
B14: =$D$9
B15:=B14+D14*$D$7
C14: =$C$9
C15:=C14+B14*$D$7+D14*$D$7^2/2
D14: =$D$8-$D$6*B14^2/$D$5
3. ячейки A16, B16, C16, D15 заполнить вниз, используя
операцию авто заполнения.
4. по результатам заполнения ячеек В14:В25, С14:С25, D14:D25
постоим графики.
5. подобрать значение коэффициента сопротивления для
безопасного приземления парашютиста.
Проведём исследование по разработанной модели.
Заполните таблицу до значения ускорения =0 и ответьте на вопросы:
1. как меняется построенная модель при изменении массы тела
Компьютерное моделирование в Calc
человека?
2. как меняется построенная модель при изменении начальной
скорости?
3. как меняется построенная модель при изменении
коэффициента сопротивления?
Проведём анализ построенной модели:
1 что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить её
для другого человека?
2 Что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить её
для других значений начальной скорости и коэффициента
сопротивления?
3. Падение с лестницы
Задача: Электрик приставил к стене лестницу и поднявшись
вверх, остановился на одной из ступеней. В это время концы
лестницы начали скользить вдоль стены и пола. Постройте
модель для расчёта траектории, по которой лестница с
20
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
электриком будет падать вниз.
Решение:
В моделируемую систему входят: электрик и лестница. Входными
параметрами для лестницы являются: длина, количество ступеней,
угол, образованный стеной и лестницей. Пусть ступени лестницы
расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Входными
параметрами для электрика будут: номер ступени, на которой он
остановился. Пусть ступени нумеруются снизу вверх.
Для построения траектории падения необходимо вычислить
координаты конца лестницы.
Математическая модель связывает между собой параметры лестницы и
электрика.
Пусть верхний конец лестницы А скользит вдоль стены, при этом у него
изменяется только координата у от L (длины лестницы) до 0, а
координата х всегда =0, для конца В, наоборот — у=0, а х изменяется от
0 до L. У промежуточных точек лестницы изменяются обе координаты.
Вычислим координаты k-той ступени, на которой стоял электрик:
BC=d*k
AC=L-BC
x=AC*sin(a)
y=BC*cos(a)
Для построения кривой падения, будем изменять угол а от 0 до 90.
Следующее значение угла получается: ai+1=ai+Δa.
Построим компьютерную модель:
1 заполним таблицу исходными данными по образцу (см. рис)
2 в ячейки расчётных данных введём следующие формулы:
С10: =$C$4/$C$5
C11: =$C$6*$C$10
C12: =$C$4-$C$10
A14: 0
A15: =A14+$C$7
B14: =A14/180*pi()
C14: =$B$10*sin(B14)
D14: =$B$10*cos(B14)
3. ячейки A16, B15, C15, D15 заполнить вниз, используя операцию
авто заполнения.
Компьютерное моделирование в Calc
4. по столбцам С и D постройте диаграмму кривой, по которой
движется ступенька с электриком.
Проведём исследование по разработанной модели.
Заполните таблицу до значения угла в 90 градусов и ответьте на
вопросы:
1. как меняется вид кривой падения в зависимости от номера
ступени?
2. как меняется вид кривой в зависимости от длины лестницы?
Проведём анализ построенной модели:
1 что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить её
для другой ступени?
2 Что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить её
для другой лестницы?
Рис. Результат решения задачи о падении
22
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
4. Поражение цели
Задача: Человек бросает мяч под углом к горизонту.
Подобрать начальные значения скорости и угла бросания
так, чтобы мяч попал в цель.
Решение:
Система состоит из цели и мяча. Входными параметрами цели являются
её координаты. Входными параметрами мяча являются: начальная
скорость, угол бросания. Для решения задачи необходимо учитывать
размеры цели. Точность попадания должна быть не более половины
наименьшего геометрического размера цели. Для упрощения
построения математической модели заменим векторную величину
скорости её горизонтальной и вертикальной составляющими.
Математическая модель задачи описывается следующими формулами:
v0x=v0*cos(a)
v0y=v0*sin(a)
x=vox*t
y=v0y*t-g*t*t/2
Sx=x=xc
Sy=y-yc
S=sqrt(Sx*Sx+Sy*Sy)
Построим компьютерную модель:
1. заполним таблицу исходными данными по образцу (см. рис)
2. в ячейки расчётных данных введём следующие формулы:
D15: =$D$6*cos($D$7*pi()/180)
D16: =$D$6*sin($D$7*pi()/180)
A19: 0
A20: =A19+$D$8
B19: =$D$13*A19
C19: = $D$14*A19-$D$5*A19*19/2
D19: =B19-$D$9
E19: = C19-$D$10
F19: = sqrt(D20*D20+E20*E20)
3. ячейки A21, B21, C21, D21, E21, F21 заполнить вниз,
используя операцию авто заполнения.
4. по столбцам С и B постройте диаграмму кривой, по которой
движется ступенька с электриком.
Компьютерное моделирование в Calc
Проведём исследование по разработанной модели.
заполните таблицу и ответьте на вопросы:
1. как меняется траектория движения тела при изменении
начальной скорости?
2. как меняется траектория движения при изменении угла
бросания?
Проведём анализ построенной модели:
1 изменяя начальную скорость и угол бросания, исследуйте
характер движения тела и его положение по отношению к цели.
2 изменяя начальную скорость и угол бросания, подберите их
значения так, чтобы брошенное тело попало в цель с заданной
точностью.
24
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
Компьютерное моделирование решения экономических задач
1. Задачи на суммирование и умножение
Задача: Школьники Петя, Борис, Саша, Жора и Миша —
убирали урожай в саду. Бригадир вел строгий учет
результатов сбора урожая и составил таблицу для
расчёта с каждым школьником. Требуется рассчитать,
сколько всего фруктов было собрано, и сколько денег
нужно выплатить каждому школьнику.
Решение:
В описанной ситуации, конечно же, можно обойтись и без компьютера.
Однако представим себе, что урожай собирали не пять школьников, а
гораздо большее количество людей (что будет ближе к
действительности). В этом случае уже использование таблиц облегчит
расчёты значительно.
Составим компьютерную модель для ответа на первый вопрос: сколько
фруктов было собрано.
Ячейки А3:D8 заполним исходными данными, согласно рисунка.
В ячейки расчётных данных введем формулы:
E4 : =SUM(B3:D3)
B9: =SUM(B3:B8)
Ячейки E5:E9 и B9:D9 заполним, используя опцию авто заполнения. По
результатам столбцов B4:D8 построим столбчатую диаграмму (см. рис)
Компьютерное моделирование в Calc
Теперь составим компьютерную модель, для ответа на второй вопрос:
какую сумму необходимо выплатить каждому школьнику?
1. Ячейки А19:G23 заполним исходными данными, согласно
рисунка.
2. В ячейки расчётных данных введем формулы:
H19: =E19*B19+F19*C19+G19*D19
B24: =SUM(B19:B23)
H24: =SUM(H19:H23)
Ячейки H20:H23 и C24:D24 заполним, используя опцию авто
заполнения. По результатам столбцов H19:H23 построим круговую
диаграмму (см. рис) Проведём исследование по разработанной модели.
Заполните таблицу и ответьте на вопросы:
1. сколько денег потребовалось выплатить?
2. сколько фруктов было собрано?
Проведём анализ построенной модели:
1 что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить ее
для другого количества сборщиков урожая?
2 Что нужно изменить в построенной модели, чтобы просчитать ее
для другой стоимости работы за сбор урожая?
26
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
2. Нерадивый ученик
Задача: Мальчик учит стихотворение из 40 строк. Для
запоминания первой строки ему необходимо 1 минуту. На
запоминание каждой последующей строки он тратит на
10% времени больше. Стихотворение продержится в
памяти мальчика только 3 часа, а путь до школы занимает
15 минут. Исследуйте ситуацию заучивания стихотворения
и ответьте на вопрос: сможет ли мальчик ответить
стихотворение на уроке?
Решение:
В задаче будем моделировать систему, состоящую из мальчика и
стихотворения. Время заучивания первой строки T0 и процент
снижения прилежания с каждой строкой t(%), а также время, в течение
которого стихотворение удерживается в памяти, мальчика нам
известны. Это входные данные, характеризующие мальчика. Входным
данным для стихотворения является его величина — 40 строк.
Математическая модель связывает между собой параметры мальчика и
стихотворения.
Пусть время за заучивание i-той строки: Ti=Ti-1*(1+t(%))
Тогда суммарное время на заучивание отрывка из i строк: Si=Si-1+Ti
Компьютерное моделирование в Calc
Построим компьютерную модель задачи:
1. заполним таблицу исходными данными по образцу (см. рис)
2. в ячейки расчётных данных введём следующие формулы:
A15: -A12+1
B14: =$B$6
B15: =B14*(1+$B$7)
C14: =B14
C15: =C14+B15
3. ячейки A16, B16, C16 заполнить вниз, используя операцию
автозаполнения.
Рис. Результат решения задачи о нерадивом ученике.
Проведём исследование по разработанной модели.
Заполните таблицу на 40 строк стихотворения и ответьте на
28
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
вопросы:
1. сколько времени потребовалось для заучивания всего
стихотворения?
2. из скольких строк должно состоять стихотворение, чтобы
мальчик мог его запомнить и ответить на уроке?
Изменяя ячейки B6 и B7, исследуйте их влияние на время заучивания
стихотворения и ответьте на вопросы:
1. как влияет время заучивания первой строки на общее время
заучивания?
2. как влияет концентрация внимания (t(%)) на общее время
заучивания?
Проведём анализ построенной модели:
1 что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить ее
для другого человека?
2 Что нужно изменить в построенной модели, чтобы просчитать ее
для другого стихотворения?
3. Движение товаров
В торговых фирмах результаты работы необходимо подводить
периодически: каждый день, неделю, месяц, квартал, год. Для
облегчения таких подсчетов надо учитывать движение товара в том же
режиме периодичности. Очень удобно реализовывать такой учет,
используя
возможности
табличного
процессора.
Рассмотрим
реализацию учета движения товаров на примере задачи: В магазине
бытовой техники производится ежедневный учет в течении недели.
Пусть в магазине имеется три наименования различных типов техники
по различной цене (см. таблицу), необходимо подсчитать количество
проданной техники и выручку магазина.
Решение:
Составим компьютерную модель магазина.
1 ячейки А2:М9 заполним согласно таблицы исходными данными
(см. рис).
2 ячейки N4:Q9 и B10:Q10 заполним формулами (используя для
остальных ячеек авто заполнение):
N4: =B4+F4-J4
B10: =SUM(B4:B9)
Компьютерное моделирование в Calc
3 для подсчета выручки заполним вторую таблицу (см. рис):
A14:I20 — область исходных данных
J15:M20: = B15:B20*F15:F20 (заполняем как массив)
D21: =SUM(B15:B20)
C21:N21 — автозаполнение
N15: =SUM(J15:M15)
4 по
результатам выручки и проданного количества строим
диаграммы (см. рис).
Проведём исследование по разработанной модели.
Заполните таблицу и ответьте на вопросы:
1. сколько каждого вида техники было продано в каждый из 6
дней?
Проведём анализ построенной модели:
1 что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить ее
для другого магазина?
30
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
4. Ипотечное кредитование
Еще одна возможность табличного процессора — проведение
финансовых расчётов. Рассмотрим на примере решения задачи: Пусть
требуется взять в банке ссуду в размере 50 000 рублей. Банк дает ссуду
под залог имущества, такой способ займа называется ипотекой. При
этом банк начисляет проценты по кредиту, который выдается на
определенный срок. Причем, возврат денег осуществляется помесячно с
начислением процентов на остающийся долг.
Ежемесячная выплата = основная часть платежа + платеж по % за
кредит
Основная часть платежа = сумма ссуды / число месяцев полного
возврата ссуды
и является постоянной.
Второе слагаемое вычислить сложнее, т.к. оно зависит от двух
факторов:
1 размер остающейся части ссуды (погашается каждый месяц, и
потому уменьшается в размере);
2 прошедшее время со дня взятия ссуды (увеличивается с каждым
Компьютерное моделирование в Calc
месяцем)
Таким образом, нам требуется начислять так называемые «сложные»
проценты, так как второе слагаемое изменяется каждый месяц.
Решение:
Составим компьютерную модель:
ячейки А3:В6 заполним согласно рисунка исходными данными (при
этом объем ссуды принято обозначать отрицательным числом, т.к.
это долг).
столбец А9:А32 заполним номерами месяцев, т.к. кредит выдан на
два года, то месяцев соответственно 24.
в столбец В внесем величину основной выплаты, она постоянная,
поэтому все ячейки столбца В содержат одно и тоже число,
вычисляемое по формуле:
B9: = B6/B5
столбец С заполним суммами платежей по %:
C9: =($B$6-B9*A9)*$B$4
в столбце D разместим сумму итогового платежа для каждого
месяца:
D9: =B9+C9
ячейки B10:B32, C10:C32 и D10:D32 заполним, используя авто
заполнение.
в ячейку С34 внесем слово «Итого», а в ячейку D34 формулу для
определения суммы, выплаченной по кредиту за полный срок:
D34: = SUM(D9:D32).
Проведем исследование модели и ответим на вопросы:
1. как изменится итоговая выплата при изменении срока ссуды,
размера ссуды и процентной ставки?
Проведём анализ построенной модели:
1 что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить ее
для другого размера ссуды, процентной ставки или срока?
32
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
Компьютерное моделирование в Calc
Компьютерное моделирование экологических систем
1. Модель сосуществования конкурирующих видов
Рассмотрим простейшую из моделей для вида с дискретными периодами размножения, в которой численность популяции в момент
времени t равна N, и изменяется во времени пропорционально
величине основной чистой скорости воспроизводства R. Такими видами
являются, например, большая часть растений, некоторые виды
насекомых, у которых разные поколения четко разнесены во времени.
Коэффициент R характеризует количество особей, которое воспроизводится в расчете на одну существующую, а также выживание уже
существующих. Данная модель может быть выражена уравнением
Nt+1=Nt*R (1) решение которого имеет вид Nt=N0*Rt (2), где N0 начальная численность популяции. Эта модель, однако, описывает
популяцию, в которой отсутствует конкуренция и в которой R является
константой; если R>1, то численность популяции будет бесконечно
увеличиваться. В реальности в какой-то момент начинают работать
механизмы сдерживания роста популяции. В литературе приводится
немало интересных примеров быстрого роста численности популяций,
если бы для их размножения существовали идеальные условия. Особенно это относится к насекомым, растениям и микроорганизмам, которые
могли бы покрыть земной шар толстым слоем, если им создать
благоприятные условия для размножения. Но в действительности
такого роста популяций, когда их численность увеличивается в
геометрической
прогрессии,
на
сколько-нибудь
длительных
промежутках времени не наблюдается.
Следовательно, в первую очередь необходимо изменить уравнение (1)
таким образом, чтобы чистая скорость воспроизводства зависела от
внутривидовой конкуренции.
Конкуренцию можно определить как использование некоего ресурса
(пищи, воды, света, пространства) каким-либо организмом, который
тем самым уменьшает доступность этого ресурса для других
организмов. Если конкурирующие организмы принадлежат к одному
виду, то взаимоотношения между ними называют внутривидовой
конкуренцией; если же они относятся к разным видам, то их взаимоотношения называют межвидовой конкуренцией. В ситуации, в которой
численность популяции близка к нулю, конкуренция практически
отсутствует, и фактическую скорость воспроизводства вполне можно
описывать параметром R в его первоначальном виде. Следовательно,
34
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
при низкой плотности популяции уравнение (1) вполне справедливо. В
преобразованном виде оно выглядит так: Nt/Nt+1=1/R
В ситуации, в которой численность популяции высока, в значительной
степени проявляется внутривидовая конкуренция. Фактическая
скорость воспроизводства в результате конкуренции настолько
снижена, что популяция в целом может не более чем восстанавливать в
каждом поколении свою численность, потому что количество
родившихся особей уравновешивается количеством погибших.
Гипотезе соответствует уравнение: Nt+1=(Nt*R)/(1+a*Nt), где a=(R-1)/
(K).
Это уравнение представляет собой модель роста популяции,
ограниченного внутривидовой конкуренцией. Суть этой модели в том,
что константа R в уравнении (4.1) заменена на фактическую скорость
воспроизводства, т е. R/(1+a*Nt), которая уменьшается по мере роста
численности популяции Nt.
В биологии при исследовании развития биосистем строятся
динамические модели изменения численности популяций различных
живых существ (бактерий, рыб, животных и т.д.) с учетом различных
факторов. Взаимовлияние популяций рассматривается в моделях типа
"хищник - жертва".
Формальная модель Изучение динамики популяций естественно
начать с простейшей модели неограниченного роста, в которой
численность популяции ежегодно увеличивается на определенный
процент. Математическую модель можно записать с помощью
рекуррентной формулы, связывающей численность популяции
следующего года с численностью популяции текущего года, с
использованием коэффициента роста а: xn+1=a·xn
В модели ограниченного роста учитывается эффект перенаселенности,
связанный с нехваткой питания, болезнями и т.д., который замедляет
рост популяции с увеличением ее численности. Введем коэффициент
перенаселенности b, значение которого обычно существенно меньше
a(b<<a). Тогда, коэффициент ежегодного увеличения численности
равен (a-b·xn) и формула принимает вид: xn+1=(а-b·xn)·xn
В модели ограниченного роста с отловом учитывается, что на
численность популяций промысловых животных и рыб оказывает
влияние величина ежегодного отлова. Если величина ежегодного
отлова равна с, то формула принимает вид: xn+1=(a-b·xn)·xn-с
Популяции обычно существуют не изолированно, а во взаимодействии
с другими популяциями. Наиболее важным типом является
Компьютерное моделирование в Calc
взаимодействие между жертвами и хищниками (например, карасищуки, зайцы-волки и т.д.). В модели жертва-хищник количество жертв
xn и количество хищников yn связаны между собой. Количество встреч
жертв с хищниками можно считать пропорциональной произведению
собственно количеств жертв и хищников, а коэффициент f
характеризует возможность гибели жертвы при встрече с хищниками. В
этом случае численность популяции жертв уменьшается на величину
f·xn·yn и формула для расчета численности жертв принимает вид:
xn+1=(a-b·xn)·xn-с-f·xn·yn
Численность популяции хищников в отсутствие жертв (в связи с
отсутствием пищи) уменьшается, что можно описать рекуррентной
формулой yn+1=d·yn где значение коэффициента d<1, характеризует
скорость уменьшения численности популяции хищников.
Увеличение популяции хищников можно считать пропорциональной
произведению собственно количеств жертв и хищников, а коэффициент
e характеризует величину роста численности хищников за счет жертв.
Тогда для численности хищников можно использовать формулу:
yn+1=d·yn +e·xn·yn
Рассмотрим экологическую систему в рамках следующей задачи: пусть
сосуществуют два соперничающих вида (например белки и бурундуки).
Соперничество не касается мест обитания, т.к. они проживают в разных
местах (белки в дуплах, а бурундуки в норах). Но оба вида питаются
одними и теми же плодами, т.е. пищевые ресурсы у них общие. В таких
условиях рождаемость и смертность каждого вида зависит от
численности, как своего, так и конкурирующего вида. Заметим, что
данные виды не едят друг друга.
Математическая модель изменения численности:
Ч1i+1=Ч1*(2-КВ1*Ч1i-КВ2*Ч2i)
Ч2i+1=Ч2*(2-КВ3*Ч3i-КВ4*Ч1i), где
Чi — количество особей через i промежутков времени, КВ —
коэффициент рождаемости вида.
Составим компьютерную модель:
ячейки A4:D5 заполним исходными данными (см. рис)
в расчётную часть введем формулы:
A10: =A9+1
B9: =$B$4
B10: =B8*(2-$C$4*B8-$D$4*C8)
C9: =$B$5
36
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
C10: =C8*(2-$C$5*C8-$D$5*B8)
По результатам столбцов B9:B31 и C9:C31 построим графики.
Проведем исследование модели и ответим на вопросы:
1. как влияет первоначальная разница в численности особей?
2. какой вид имел первоначально преимущество?
3. сохранилось ли это преимущество в дальнейшем?
4. как развиваются виды, если они имеют одинаковые
характеристики?
5. как влияет на развитие разница в коэффициентах
рождаемости?
Проведём анализ построенной модели:
1 что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить ее
для других популяций того же типа?
Компьютерное моделирование в Calc
2. Модель сосуществования враждующих видов
Рассмотрим теперь несколько иную систему видов. Пусть имеются два
враждующих вида (например, зайцы и лисы), один из которых является
хищником, а второй — жертвой. Выясним, каким образом будет
происходить развитие популяций в такой системе. Математическая
модель системы остается прежней, явным отличием будут значения
коэффициентов влияния. В условиях вражды коэффициенты влияния
со стороны соперников будут значительно превышать коэффициенты
влияния со стороны сородичей.
Составим компьютерную модель:
ячейки A40:D41 заполним исходными данными (см. рис).
ячейки расчетных данных заполним формулами, соответствующими
приведенным в предыдущей модели.
По результатам столбцов В45:B55 и C45:C55 построим графики.
Проведем исследование модели и ответим на вопросы:
1. как влияет первоначальная разница в численности особей?
2. какой вид имел первоначально преимущество?
3. сохранилось ли это преимущество в дальнейшем?
4. как влияет изменения количество жертв на численность
хищников?
5. как влияет на развитие разница в коэффициентах
рождаемости?
Проведём анализ построенной модели:
1 что нужно изменить в построенной модели, чтобы применить ее
для других популяций того же типа?
2 Как надо изменить модель, чтобы рассмотреть экологическую
систему с тремя соперничающими видами?
38
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
Компьютерное моделирование в Calc
Библиография
1 OpenOffice.org: Теория и практика. /И.Хахаев, В. Машков, Г. Губкина
и др. - М.: ALT Linux; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 318с.: ил.
2 Информатика и ИКТ. Задачник по моделированию. 9-11 класс.
Базовый уровень./ Под ред. Н.В. Макаровой. Спб: Питер, 2007. 192с.:ил.
3 Каганов В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и Mathcad.
- М.: Горячая линия — Телеком, 2003. - 328 с.:ил.
4 Рудикова Л.В. Microsoft Excel для студента. - Спб: БХВ-Петербург,
2005. - 368с.:ил.
40
Тарова Инна Николаевна, Таров Дмитрий Анатольевич
Оглавление
Введение..........................................................................................2
Компьютерное моделирование решения математических задач..............3
1. Решение уравнений с одной переменной.......................................3
2. Построение графиков функций.....................................................5
3. Пифагоровы числа......................................................................7
4. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы...9
5. Решение систем уравнений методом Крамера...............................13
Компьютерное моделирование физических процессов.........................16
1. Задача о собаке и дачнике.........................................................16
2. Свободное падение тела............................................................18
3. Падение с лестницы..................................................................20
4. Поражение цели........................................................................23
Компьютерное моделирование решения экономических задач..............25
1. Задачи на суммирование и умножение........................................25
2. Нерадивый ученик....................................................................27
3. Движение товаров.....................................................................29
4. Ипотечное кредитование............................................................31
Компьютерное моделирование экологических систем..........................34
1. Модель сосуществования конкурирующих видов..........................34
2. Модель сосуществования враждующих видов...............................38
Библиография..................................................................................40
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа