close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ
РОССИЙСКОЙ
АКАДЕМИИ
ЕСТЕСТВЕННЫХ
НАУК
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
16  2011
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ С.А.
ЕСЕНИНА»
ИЗВЕСТИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Научный журнал
16  2011
Издается с 1998 года
Рязань 2011
1
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
М.Т. Терёхин
Главный редактор
Заместители главного редактора
В.В. Абрамов
Е.Ю. Лискина
С.С. Мамонов
Ю.В. Усачёв
Ответственный секретарь
З.С. Свирина
А.Ф. Андреев
В.Н. Белых
А.И. Булгаков
И.М. Буркин
А.П. Дмитриев
В.И. Жуковский
А.Ф. Зубова
В.В. Лебедев
Ю.В. Малышев
В.Д. Ногин
Л.Ф. Рахматуллина
Н.Х. Розов
Е.Л. Тонков
Члены редколлегии
Адрес редакции:
390000, г. Рязань, ул. Свободы, 46
Рязанский государственный университет
имени С.А. Есенина
Телефоны:
(4 912) 45-20-36
(4 912) 28-05-74
 Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанский государственный университет
имени С.А. Есенина», 2011
2
Известия
Российской
академии
естественных
наук
Дифференциальные
уравнения
2011  № 16
СОДЕРЖАНИЕ
Абрамов В.В. Об условной устойчивости нулевого решения
Авдеева М.Б., Зубов И.В., Зубов Н.В., Зубова А.Ф. Определение устойчивых
матриц
Авдеева М.Б., Зубов Н.И., Зубов С.В., Стрекопытова А.С., Учватова Н.Н.
Об устойчивости нулевого решения
Балахнин П.А., Зубов А.В., Мутлу О.В., Стрекопытова М.В. Исследование
однородной системы дифференциальных уравнений
Вансович М.О. Периодические решения сингулярно возмущенных систем
Дикусар В.В., Зубов А.В., Стрекопытова М.В. Задача структурной
минимизации
Дружинина О.В., Шестаков А.А. Об устойчивости и прочности траекторий
систем автономных дифференциальных уравнений
Дутов С.А., Зубов Н.В., Стрекопытов С.А. Исследование минимального
многочлена
Зубов Н.В., Зубов С.В. Критерии полной управляемости
Курашин В.Н., Троицкий Е.И. Об устойчивости системы линейных
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
Малышев Ю.В., Атаманов П.С. Факторизованные операторы и системы
дифференциальных уравнений
Наумкина А.Н., Явкина Т.Н. Построение функций Ляпунова для
периодического и почти периодического дифференциальных уравнений
Огурцов А.И. О критериях устойчивости нулевого решения одного
нелинейного дифференциального уравнения
Слугин С.Н., Кротов Н.В. Необходимые условия оптимальности для
квазилинейного эллиптического уравнения с управляемым положением границы
Терёхин М.Т. О существовании периодических решений ограниченной
задачи трех тел
Терёхин М.Т., Дюба Е.С. Разрешимость управляемой нелинейной системы
дифференциальных уравнений с интегральным критерием качества
Терёхин М.Т., Турусикова Н.М. Нелокальное исследование одной
математической модели управления инвестиционным портфелем
Владимир Семёнович Пугачёв (1911 – 1998)
К сведению авторов
4
9
12
20
25
31
36
44
47
51
54
62
68
71
78
97
102
119
122
3
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Дифференциальные уравнения
2011
№ 16
УДК 517.925
В.В. Абрамов
ОБ УСЛОВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ
Для периодической системы дифференциальных уравнений с гладкой правой частью,
зависящей от малого параметра, в терминах свойств оператора монодромии установлены
достаточные признаки условной устойчивости.
неавтономная периодическая система, условная устойчивость, оператор монодромии.
It is received sufficient criterions of conditional stability for periodic system of differential equations
with small parameter in the smooth right-handed.
on-line periodic system, conditional stability, operator of monodromy.
Распространим результаты работы [1] на случай условной устойчивости.
Рассмотрим в R n систему возмущенных движений  -периодическую по t с
локально гладкой правой частью, зависящей от малого параметра   R m :
(1)
x  f (t, x,  ) , f (t, 0n ,  )  0n ,
для которой матрица монодромии X  ( xij ) соответствующей системы в вариациях
x  f x (t, 0n , 0m ) x обладает свойствами
 ( X )  1 , X  0nn ,
(2)
где  () – спектральный радиус матрицы. Будем предполагать, что для оператора
монодромии системы (1) возможно одно из представлений:
(а)
x(, a,  )  Q(a,  )a  X  F (a,  )  G(a,  )a ,
в котором матрица F (a,  )  [ f ij (a,  )] однородна: F (a, )   k F (a,  ) , k  1 ,
матрица
G ( a,  )
равномерной
удовлетворяет

сходимости),
a : a   , a  K   a  R n: a  0n
условию
lim  k G(a, )  0
 0
Q(a,  )  0nn

при
(в
смысле
любых
и  :   ,   M , где   0 – достаточно малое число, M – некоторое множество;
в котором матрица
(б)
x(, a,  )  X  P(a,  )  D(a,  )a ,
P(a,  )  [ pij (a,  )] непрерывна и однородна: P(a,  ) 
  k P(a,  ) , k  1 , P(a, 0m )  0nn на K  , при этом pij (a, 0m )  0 , если xij  0
и a  int K  , матрица D(a,  ) удовлетворяет условию lim  k D(a,  )  0 . Здесь и
 0
далее:  – произвольно выбранная матричная норма и согласованная с ней векторная
норма, неравенства для векторов и для матриц имеют покомпонентный смысл.
Задача. Для системы (1) найти признаки устойчивости нулевого решения при
условии, что для возмущенных решений выбираются начальные значения a  K .
4
В силу лемм 1–4 [1] характер равномерной устойчивости (по Ляпунову, по параметру,
по  -норме) решения x  0n периодической системы (1) можно определить в терминах
степеней x( s, a,  ) , s  N , оператора монодромии. Добавив в эти определения
ограничения a  Y , 0n  Y , на начальные значения возмущенных решений, получим
определения для характера равномерной условной устойчивости относительно Y .
Теорема 1. Пусть X  diag [ x11, , xnn ] и имеет место представление (а). Если
существует значение   0  M , для которого при всех   K1  K   { :   1}
справедлива оценка X  F ( , 0 )  1  b , b  0 – некоторое число,   0 – малый
параметр, то решение x  0n системы (1)–(а) условно  -устойчиво относительно K  .
Доказательство. Допустим, a   ,   K1 ,   0 ,   0 – малый параметр.
Так как lim  k G(, 0 )  0 , то существует такое число  : 0     , что
 0
G(, 0 )   k b / 2 при всех    . Следовательно, по условию данной теоремы
и в силу представления (а) справедлива оценка
x(, a,  )  ( X  F (a,  )  G(a,  ) ) a  (1   k b / 2) a  a .
В силу представления (а) и оценки (3) оказывается, что
(3)
x(, a,  )  K 
 K   {a : a   } при всех a  K и   M  {0} :    , то есть множество K 
локально инвариантно для отображения оператором монодромии.
Рассматривая x(, a,  )  K в качестве начального значения решения, по индукции
в силу оценки (3) получим, что для любого достаточно малого   0 (    ) существует
   , при котором для всех a  K ,   M :    и для всех s  N справедлива
оценка x(, a,  )   . А это и означает, что решение x  0n системы (1)–(а) условно
 -устойчиво относительно K  . Теорема 1 доказана.
Обозначим F (a,  )  X 1F (a,  ) .
Теорема 2. Пусть имеет место представление (а). Если существует такое значение
  0  M , что при всех   K1 выполняются условия: 1) E  F ( , 0 )  1  b ,
b  0 – некоторое число,   0 – малый параметр; 2) XF ( ,  0 )  F ( ,  0 ) X  0nn , то
решение x  0n системы (1)–(а) условно  -устойчиво относительно K  .
Доказательство, как и в предыдущем случае, сводится к констатации локальной
инвариантности K  , а также установлению оценки типа (3) по схеме доказательства
теоремы из работы [2].
Обозначим B(a )  [bij (a )]  UF (a, 0 )U 1 , где U – какая-либо матрица, det U  0 ,
для которой получено разложение вида: X  U 1LU , L  (lij ) : lij  0 , i  j .
Теорема 3. Пусть имеет место представление (а). Если существует такое значение
  0  M , что при всех   K1 выполняются условия: 1) lii  bii ( )  1  b ,
b  0 – некоторое число,   0 – малый параметр, i  1, n ; 2) bij ( )  0 , i  j . Тогда
решение x  0n системы (1)–(а) условно  -устойчиво по  -норме относительно K  .
5
В частности, если lij  0 при i  j , то решение x  0n системы (1)–(а) условно  устойчиво относительно K  .
Доказательство теоремы 3 основано на локальной инвариантности K  , следующей
из представления (а), и на применении в K  теорем 1 и 2 из работы [1].
Теорема 4. Пусть X  diag [ x11, , xnn ] и имеет место представление (б). Если
при всех   K1 справедлива оценка X  P( , 0m )  1  b , b  0 – некоторое число,
  0 – малый параметр, то решение x  0n системы (1)–(б) условно устойчиво
по Ляпунову относительно K  .
Доказательство. Допустим, a   ,   K1 ,   0 – малый параметр.
Согласно представлению (б) и по теореме Вейерштрасса на компакте K1 для
произвольной
пары
индексов
(i, j ) : i  j
существует
такое
vij  0 ,
что
pij ( , 0m )  4vij .
Тогда можно подобрать  1  0 , при котором pij ( ,  )  2vij для тех же индексов и для
всех  :    1 . Обозначим v  min{vij } .
Поскольку det X  0 и X  diag [ x11, , xnn ]  0nn , то без ограничения общности
рассуждений при    1 предполагаем: xii  pii ( ,  )  2r  0 , i  1, n .
По условию данной теоремы найдется такое число  2 : 0   2   1 , что из
неравенства    2 следует оценка X  P( ,  )  1  b / 2 .
Так как lim  k D(,  )  0 , то для матрицы D(a,  )  (dij (a,  )) существует
 0
 : 0    1 , при котором G(,  )   k b / 4 и dij (,  )   k  min{v, r} , i  j ,
для всех  : 0    1 ,  :    2 . Следовательно, по условию данной теоремы
и в силу представления (б) справедливы неравенства:
x(, a,  )  ( X  P(a,  )  D(a,  ) ) a  (1   k b / 4) a  a ;
xii  pii (,  )  d ii (,  )  r  0, i  1, n,
pij (,  )  d ij (,  )   k v  0, i  j.
В силу оценок (4) и (5) оказывается, что x(, a,  )  K
и  :    2 , то есть множество K 
(4)
(5)
при всех a  K
локально инвариантно для отображения
оператором монодромии.
Рассматривая x(, a,  )  K в качестве начального значения решения, по индукции
в силу оценок (4) и (5) получим, что для любого  (    2 ) и любого достаточно
малого   0 (    ) существует    , при котором для всех a  K и для всех s  N
справедлива оценка x(, a,  )   . А это и означает, что решение x  0n системы
(1)–(б) условно устойчиво по Ляпунову относительно K  . Теорема 1 доказана.
Обозначим P (a,  )  X 1P(a,  ) .
6
Теорема 5. Пусть имеет место представление (б). Если существует такое значение
  0  M , что при всех   K1 выполняются условия: 1) E  P ( , 0m )  1  b ,
b  0 – некоторое число,   0 – малый параметр; 2) XP ( , 0m )  P ( , 0m ) X  0nn ,
то решение x  0n системы (1)–(б) условно устойчиво по Ляпунову относительно K  .
Доказательство. Прежде всего, как и в доказательстве предыдущей теоремы,
заметим, что представление (б) обеспечивает локальную инвариантность K 
относительно отображений оператором монодромии.
Далее следуя схеме доказательства теоремы из работы [2], оценим спектральный
радиус матрицы X E  P (a, 0m ) при a  K  . По условию 2) данной теоремы получим


r
X E  P (a, 0m )r
 r Xr
E  P ( a , 0m ) .
(6)
По свойству (2) и по формуле Гельфанда для спектрального радиуса матрицы имеем
 ( X )  lim
r  
r
X r  1 . Значит, переходя к пределу при r   в неравенстве (6),
при всех a   ,   K1 ,   0 , по условию 1) данной теоремы получим оценку
 X E  P (a, 0m )  E   k P ( , 0m )  1   k b . Тогда существует такое число
 1  0 , что при всех  :    1 справедливо неравенство
 X E  P (a,  )  1   k b / 2 .
(7)
Так как  ()  inf{  } , {  } – множество способов нормировки данной матрицы [3],
то в силу неравенства (7) существует матричная норма
 0 (этим же символом
обозначим и согласованную с ней векторную норму), для которой
X E  P (a,  )
0
 1 a k b / 4
0
(8)
при всех a  K  и  :    1 .
Так как lim  k D(,  )  0 , то в силу аналитической эквивалентности норм
 0
найдется число   0 , для которого при любых a  K  , a   , и  :    1
0
справедливо неравенство
k
D( a ,  ) 0  a 0 b / 8 .
(9)
В силу неравенств (8), (9) из представления (б) в итоге получим оценку
x(, a,  ) 0  ( X [ E  P (a,  )]  D(a,  ) 0 ) a 0  (1  a 0k b / 8) a 0  a 0 . (10)
0
Кроме того, x(, a,  )  K  .
Рассматривая x(, a,  ) в качестве начального значения решения, по индукции
в силу оценки (10) получим, что для любого  (    1 ) и любого достаточно малого
  0 (    ) существует    , при котором для всех a  K  , a 0   , и для всех
s  N справедлива оценка x(, a,  )   . А это и означает, что решение x  0n
системы (1)–(б) условно устойчиво по Ляпунову относительно K  . Теорема 1 доказана.
7
Обозначим H (a )  [hij (a )]  UP(a, 0m )U 1 , где U – какая-либо матрица, det U  0 ,
для которой получено разложение вида X  U 1LU , L  (lij ) : lij  0 , i  j .
Теорема 6. Пусть имеет место представление (б). Если при всех   K1 выполняются
условия: 1) lii  hii ( )  1  b , b  0 – некоторое число,   0 – малый параметр,
i  1, n ; 2) hij ( )  0 , i  j . Тогда решение x  0n системы (1)–(б) условно устойчиво
по  -норме относительно K  . В частности, если lij  0 при i  j , то решение x  0n
системы (1)–(б) условно устойчиво по Ляпунову относительно K  .
Доказательство теоремы 6 вновь основано на локальной инвариантности K  ,
обусловленной представлением (б), и на применении в K  теорем 3 и 4 из работы [1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамов, В.В. Оценка нормы оператора монодромии при решении задачи
об устойчивости по параметру [Текст] / В.В. Абрамов // Известия РАЕН.
Дифференциальные уравнения. – 2010. – № 15. – С. 14 – 22.
2. Абрамов, В.В. Об устойчивости нулевого решения нелинейной системы [Текст] /
В.В. Абрамов // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. – 2004. – № 8. –
С. 5 – 9.
3. Хорн, Р.А. Матричный анализ [Текст] / Р.А. Хорн, Ч.Р. Джонсон. – М. : Мир, 1989.
Абрамов В.В., доцент кафедры математики
и методики преподавания математических дисциплин
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46
Е-mail: [email protected]
Abramov V.V., Associate Professor, Chair of Mathematics
and Method of Teaching of mathematical Disciplines
Ryazan State University after the name of S.A. Yesenin
46, Svobody str., Ryazan, 390000, Russia
Е-mail: [email protected]
8
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Дифференциальные уравнения
2011
№ 16
УДК 517.925
М.Б. Авдеева, И.В. Зубов, Н.В. Зубов, А.Ф. Зубова
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВЫХ МАТРИЦ
Рассмотрен достаточно широкий класс матриц, устойчивых по Важевскому, то есть
устойчивых матриц P , для которых симметрическая матрица P  P
также устойчива.
Для этого семейства матриц показано, что их вещественным радиусом устойчивости является
T


наименьшее собственное число матрицы P  PT 2 . Этот результат позволяет определить
вещественный радиус устойчивости «сверхустойчивых» матриц, так как они являются матрицами,
устойчивыми по Важевскому.
матрица, устойчивость, дифференциальное уравнение, радиус устойчивости, собственное
число, нестационарная система.
In this article is looking off sufficiently wide class of matrix stability on Vagevskiy, i. e. stability
matrix
P for that symmetric matrix P  PT also stability. For this family of matrix is show, that they


material radius of stability is appears smaller own number of matrix P  PT 2 . This result is allows
to define material radius stability «over stability» matrixes, since they is appears matrixes stability
on Vagevskiy.
matrix, stability, differential equations, radius of stability, own number, in stationary system.
Определение 1. Будем называть матрицу P устойчивой по Важевскому, если матрица


H  P  PT 2 является устойчивой.
Введение подобного определения связано с тем, что Важевский, используя свойства
дифференциальных уравнений, показал, что нестационарная система первого
приближения X  Pt X будет устойчива, если все собственные числа i t 
симметрической


матрицы H t   Pt   PT t  2 удовлетворяют условию t i t     0 .
Очевидно, что если матрица P устойчива по Важевскому, то она устойчива [1].
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Определение 2. Будем называть вещественным радиусом устойчивости по
Важевскому матрицы P наибольшее из чисел  , при котором матрица P   устойчива
по Важевскому, где матрица 
удовлетворяет условию
   . Здесь

–
спектральная норма.
Задача определения вещественного радиуса устойчивости является весьма сложной
и совсем недавно решена только для стационарных матриц, причем полученные оценки
являются весьма трудно проверяемыми [2]. Вопрос заключается в исследовании
устойчивости матрицы P   , где матрица P – устойчива, а вещественная матрица 
удовлетворяет условию    . Наибольшее из чисел  , при котором матрица P  
устойчива и называется вещественным радиусом устойчивости.
9
Теорема. Если матрица P устойчива по Важевскому, то вещественный радиус
устойчивости по Важевскому можно определить по формуле   min i , где i , i  1, n

T

i 1, n
– собственные числа симметрической матрицы H  P  P 2 .
Доказательство. Пусть матрица P устойчива по Важевскому. Для того чтобы
матрица P   была также устойчива по Важевскому, необходимо и достаточно
выполнение следующего неравенства:
 

 
X  0 X T P  PT 2  T   2 X  0 .
Заметим, что имеют место два очевидных неравенства

 
X T T   2 X    X



2
, X
2

(1)
2
min i  X T HX  max i X ,
i 1, n
i 1, n
где H  P  PT 2 , а i i  1, n – ее собственные числа. Из этих неравенств вытекает,
что при выполнении неравенства max i    0 выполняется и неравенство (1).
i 1, n
Так как справедливо равенство – max i  min i , то одна из нижних оценок величины
i 1, n
 получена.
i 1, n
Для того чтобы убедиться в том, что найденное число  является наибольшим,
достаточно подобрать матрицу  так, что   min i , но при этом матрица P  
i 1, n
была неустойчива по Важевскому. Известно, что матрицу H можно привести к
диагональному виду с помощью ортогонального преобразования Q так, что
H  Q1Q1T . Для простоты будем считать, что диагональные элементы матрицы 
  Q11Q1T , где 1 –
диагональная матрица с диагональными элементами, равными min i . Тогда, с одной
расположены в порядке убывания. Возьмем матрицу
i 1,n
  min i ,
стороны
так
i 1, n
как
  1 ,
а с другой если в качестве вектора X выбрать первый столбец матрицы Q1 , то получим

 
 
равенство X T P  PT 2  T   2 X  0 .
Это показывает, что величина   min i
i 1, n
является вещественным радиусом
устойчивости по Важевскому для матрицы P . Теорема доказана.
Замечание. Нетрудно видеть, что вещественный радиус устойчивости   min i


i 1, n
совпадает с минимальным собственным числом матрицы P  PT 2 .
Работа выполнена при поддержке РФФИ грант № 07-07-00104 и грант № 06-01-00244.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Fan, Ky. On a Theorem of Weyl Concerning the Eigenvalues of Linear Transformation
[Text] / Кy Fan. – Proc. Nat. Acad. Sci. – U.S.A. – 1949. – Vol. 35. – No 1. – Р. 652−655.
2. Поляк, Б.Т. Робастная устойчивость и управление [Текст] / Б.Т. Поляк, П.С.
Щербаков. – М. : Наука, 2002.
3. Дикусар, В.В. Методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости [Текст] /
В.В. Дикусар, Г.А. Зеленков, Н.В. Зубов. – М. : Изд-во ВЦ РАН, 2007.
10
4. Блистанова, Л.Д. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение
к задачам численного анализа [Текст] / Л.Д. Блистанова [и др.]. – СПб. : Изд-во НИИ
химии СПбГУ, 2002.
5. Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений [Текст] /
Р. Беллман. – М. : Иностр. лит., 1954.
6. Гюнтер, Н.М. Курс вариационного исчисления [Текст] / Н.М. Гюнтер. – М. :
Гостехиздат, 1941.
7. Демьянов, В.Ф. Условия экстремума и вариационные задачи [Текст] / В.Ф.
Демьянов. – СПб : Изд-во НИИ xимии СПбГУ, 2000.
8. Зубов, В.И. Математические методы исследования систем автоматического
регулирования [Текст] / В.И. Зубов. – Л. : Судпромгиз, 1959.
9. Красовский, Н.Н. Теория управления движением [Текст] / Н.Н. Красовский. – М. :
Наука, 1968.
10. Лагранж, Ж. Аналитическая динамика [Текст] / Ж. Лангранж. – М. : Гостехиздат,
1950.
11. Fan Лурье, А.И. Аналитическая механика [Текст] / А.И. Лурье. – М. : Физматгиз,
1961.
12. Малкин, И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний [Текст] /
И.Г. Малкин. – М. : Гостехиздат, 1949.
Авдеева М.Б., аспирант факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
E-mail: [email protected]
Зубов И.В., профессор факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
E-mail: [email protected]
Зубов Н.В., профессор
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
142103, Московская обл., г. Подольск, ул. Ждановская, д. 47
E-mail: [email protected]
Зубова А.Ф., профессор факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
E-mail: [email protected]
Avdeeva M.B., Post graduate Student, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
E-mail: [email protected]
Zubov I.V., Professor , Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
E-mail: [email protected]
Zubov N.V., Professor,
Computing center after the name of A.A. Dorodnichin of RAN
142103, Moscow region, t. Podolsk, str. Gdanovskay, h. 47
E-mail: [email protected]
Zubova A.F., Professor, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
E-mail: [email protected]
11
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
УДК 517.925
М.Б. Авдеева, Н.И. Зубов, С.В. Зубов, А.С. Стрекопытова, Н.Н. Учватова
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ
Представлены основные теоретические положения проведенной работы. Осуществляется
формализованная постановка решаемых задач и приводятся доказательства основных
утверждений. В центре внимания находятся вопросы вывода новых достаточных условий
устойчивости линейных нестационарных систем, решения задачи синтеза абсолютно устойчивых
систем
управления, развития методов выбора оптимальных разрывных управлений.
управление, задача, синтез, устойчивость, непрерывность, условие.
In giving article is introducing bases theoretical conditions implementing work. Is carry out
formalization production solved tasks, and is bring proofs bases contenders. In centre of attention is finds
the questions conclusion a new enough conditions of stabilities of linear no stationary systems,
the solutions of task synthesis absolute stability systems of control, development the methods of choice
optimal tearing controls.
control, task, synthesis, stability, no breaking off, condition.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
(1)
x  A(t ) x, t [0, ), x(0)  x0 , x  R n
с гладкой n  n матричной функцией A(t )  C1 .
Под матрицантом X (t ) будем понимать решение матричного дифференциального
уравнения
X  A(t ) X , X (0)  I .
(2)
Как известно, асимптотическая устойчивость системы (1), асимптотическая
устойчивость в целом ее решения x  0 , а также асимптотическая устойчивость
матрицанта X (t ) (в силу тождества x(t )  X (t ) x0 ) представляют собой эквивалентные
понятия.
Основной вопрос, решаемый в данной работе, состоит в том, чтобы найти такие
достаточные условия, налагаемые на матрицу A(t ) , при выполнении которых система (1)
будет асимптотически устойчивой.
Сначала рассмотрим некоторые вспомогательные утверждения.
Теорема 1. Пусть в пространстве R n1 задана непрерывная положительно
определенная функция [1] V ( x, t ) : V ( x, t )  0 при x  0, t [0, ) . Если на движениях
2
x  x(t , x0 ) системы (1) выполняется неравенство V ( x, t )  x  (t ) , где функция  (t )

интегрируема на любом конечном отрезке временной оси и
  (t )dt   , то система (1)
0
является асимптотически устойчивой.
Замечание. Обратим внимание на то, что на задание функции V ( x, t ) в пространстве
R n1
не накладывается никаких условий за исключением непрерывности и
положительной определенности. В частности, V ( x, t ) не обязана принимать бесконечно
12
большую величину при || x ||  и иметь бесконечно малый предел при || x || 0 .
Функция
V
не обязана быть знакоотрицательной и непрерывной.
Доказательство. Пусть K
k1   – произвольно большое положительное число,
T   – произвольно большой положительный момент времени. Рассмотрим решение
x(t , x0 ) системы (1) с начальным условием x0  I k1  {x :|| x || k1} . В силу линейности
системы и гладкости матрицы A(t ) , решение x(t , x0 ) при t [0, T ] будет компактом
в метрике C2 . Поэтому нам следует проверить лишь выполнение условия || x(t , x0 ) || 0
при t   . Предположим, lim || x(t , x0 ) || 0 . В связи с вышесказанным это означает,
t 
что существует число 1  0 такое, что при t [0, ) траектория x(t , x0 ) никогда не
попадает в шар I  {x :|| x || 1} , то есть при t  0 выполнено условие x(t , x0 )  I .
1
1
Следовательно, вдоль траектории x(t , x0 ) выполнено неравенство V ( x, t )  12 (t ) .
Проинтегрируем последнее неравенство вдоль траектории x(t , x0 ) по t от 0 до t1 и
устремим t1   . В результате получим V ( x, t )  V ( x0 )  
2
t1
  (t )dt   при t1  
0
[2]. Но тогда существует момент
t2   , для которого выполнены условия
V ( x(t2 , x0 ))  0, || x(t2 , x0 ) || 1, t2   . Однако это противоречит условию леммы
V ( x, t )  0 при любых x  0, t  0 . Следовательно, числа 1  0 с указанными
свойствами не существует, что и доказывает лемму.
Далее потребуются два вспомогательных алгебраических утверждения, которые
идейно не связаны со вторым методом Ляпунова.
Теорема 2 (о полярном представлении гурвицевой матрицы). Пусть матричная
B( x, t ) непрерывна и гурвицева при ( x, t )  G( x)  J (t ), G( x)  n ,
J (t )  {t :| t | } . Тогда матрица B( x, t ) с точностью до постоянного множителя
единственным образом представима в виде B( x, t )  S ( x, t )T ( x, t ) , где S ( x, t ) 
положительно определенная, а T ( x, t ) ортогональная, если B( x, t )  вещественная
функция
матрица.
Если B( x, t ) комплексная матрица, то S ( x, t ) положительно определенная эрмитова,
а T ( x, t ) 
унитарная. Кроме того, матрица T ( x, t ) гурвицева при ( x, t )  G  J .
Доказательство. Вначале докажем первое утверждение леммы. Прежде всего,
отметим, что оно представляет собой обобщение известного результата Дэ Брэна и
Шекера [3] на случай матричных функций. Приводимое ниже доказательство
значительно проще, чем в указанной работе.
Введем
в
рассмотрение
матричную
функцию
S0 ( x, t )  ( B( x, t ) B ( x, t ))1/ 2 .
При i  s, n, ( x, t )  G  J выполнены неравенства Re i ( B( x, t ))  0 , поэтому матрица
S0 ( x, t ) положительно определена. Соответственно выполнено и условие S ( x, t )  S01( x, t )  0
S ( x, t )  S01( x, t )  0 при ( x, t )  G  J . Далее рассмотрим матрицу T ( x, t )  S0 ( x, t ) B( x, t ) .
Имеем
T ( x, t )T  ( x, t )  ( B( x, t ) B ( x, t ))1/ 2 ( B( x, t ) B ( x, t ))( B( x, t ) B ( x, t )) 1/ 2  I .
13
S ( x, t )  0, T ( x, t )T  ( x, t )  I
( x, t )  G  J . Поскольку B( x, t ) 
гурвицева непрерывная матрица, то матрицы S ( x, t ), S0 ( x, t ) определяются по матрице
Итак,
при
B( x, t ) единственным образом. Но тогда и T ( x, t )  S0 ( x, t ) B( x, t ) при ( x, t )  G  J
определяется по матрице B( x, t ) единственным образом. Первое утверждение леммы
доказано.
Перейдем к доказательству второго утверждения.
Зафиксируем x  G( x), t  J и докажем сначала утверждение леммы для
числовой матрицы B( x , t ) . Чтобы не усложнять обозначений, будем опускать
зафиксированные аргументы и писать просто B вместо B( x , t ) .
В силу первого утверждения леммы имеем B  ( BB )1/ 2 T . Умножив последнее
равенство слева на ( BB )1/ 4  0 и справа на ( BB )1/ 4  0 , получим
B  ( BB )1/ 4 B( BB )1/ 4  ( BB )1/ 4 T ( BB )1/ 4 .
(3)
Поскольку матрицы B и B подобны, то выполнено равенство i ( B)  i ( B)  i  1, n
i ( B)  i ( B)  i  1, n . В силу теоремы Шура [3] существует такая унитарная матрица U1 , что
матрица L  U1 BU1 имеет верхнюю треугольную форму с собственными числами i ( B)
на диагонали. В силу условия T T  I существует такая унитарная матрица U 2 , что
матрица
U 2TU 2  diag{cos k  i sin k }kn1 .
Обозначим:
U  U 2U1 
унитарная
матрица, C  U 2 ( BB )1/ 4U 2  положительно определенная эрмитова матрица. После
умножения (2) слева на U1 и справа на U1 в новых обозначениях получаем
L  U Cdiag{cos k  i sin k }CU .
Далее умножим (3) справа на орт ei  (0,
yi  CUei  ( yi1,
,1,
(4)
,0) и слева на ei и обозначим
, yin ) . В результате получим систему алгебраических уравнений
n
i ( B)   | yik |2 (cos k  i sin k ), i  1, n .
(5)
k 1
Проведем в системе (5) дальнейшие преобразования, а именно, для каждого i
n
разделим соответствующее уравнение из (5) на
|| yi || 2   yik yik , обозначим
k 1
bbii 
Re
Reii((BB))
22
|||| yyii ||||
 0,
0,, VVikik 
22
|| yyikik ||
22
|||| yyii ||||
 0,
0, zz  (cos
(cos11,, ,,cos
cos
nn)) и приравняем вещественные
части справа и слева. Получаем систему
n
bi  Vik Z k , Vik  0,
k 1
14
n
Vik  1,
k 1
i, k 1, n .
(6)
 0 V12

V21 0
Наконец, рассмотрим матрицу V  


 Vn1 Vn 2
элементами Vik  0 , удовлетворяющими условию
Vii  1  Vik система (6) переписывается в виде
V1n 

V2n 
с неотрицательными


0 
Vik  1 . С учетом равенства
ik
ik
(7)
z  Vz  b .
Согласно первому утверждению леммы, если B – гурвицева матрица, матрицы S
и T определяются единственным образом. Это означает, что система (7) всегда имеет
решение z  ( I  V )1b , то есть матрица I  V невырождена. Из условия det( I  V )  0
с необходимостью следует, что, по крайней мере, для одного i из конечного множества
Vik  1 .
1, n выполнено неравенство
Покажем, что тогда все собственные числа
ik
матрицы V лежат в круге радиуса единица.
Обозначим через  максимальное по модулю собственное число матрицы V (а
значит и V  ) и через a соответствующий собственный вектор матрицы V  . Из
равенства
 a  V a
 ai Vik ai |  | | ai | Vik | ai | ,
получаем
k i
i  1, n .
k i
Просуммировав полученные неравенства по всем i , будем иметь
nn
nn
 a
| 
 | | aViVik| ik
V
a
| ak k| 
|
|V
|ik| a| ai i|
|
| a| a
| VVkiki| a
| al l| 
| VVlili

i i|ik||
i
ia
i i1k1i
Поскольку
1 1 k k
ii
k i
k k
ll
i i 
kk
i i 
ll
Vli  1, Vik  1, то отсюда следует неравенство
i l
i k
n
n
i 1
i 1
 |  || ai |  | ai | .
n
После сокращения на величину
 | ai | 0 получим |  | 1 , что и требовалось показать.
i 1
Итак, все собственные числа матрицы V лежат в едином круге. Но при этом условии
матрица ( I  V )1 представима рядом ( I  V )1  I 

V k .
Таким образом, из (4)
k 1
получаем z  b  (

V k )b .
k 1
У нас Sign bi  1 , матрица V (а значит и матрицы V 2 ,
только
неотрицательные
компоненты.
Следовательно,
,V k ,

,  V k ) содержит
k 1
Sign zi  1 ,
то
есть
Re i (T )  cos i  0 .
Итак, при x  x  G, t  t  J матрица T ( x , t ) гурвицева. Для завершения
доказательства теоремы 2 заметим, что из непрерывности матрицы B( x, t ) следует
непрерывность функции  ( x, t ) . Кроме того |  ( x, t ) | 1 при ( x, t )  G J . При этих
15
условиях функциональный матричный ряд ( I  V ( x, t ))1  I 

 V k ( x, t )
сходится
k 1
равномерно, что и завершает доказательство теоремы 2.
Как будет видно в дальнейшем, теорема 2 позволит нам получить решение уравнения
Ляпунова A (t ) H (t )  H (t ) A(t )  C (t ), C (t )  0 для одного частного случая задания
матрицы C (t ) в явном виде и оценить поведение функции H (t ) и H (t ) .
Сформулируем, наконец, еще одно алгебраическое утверждение, которое поможет
установить требуемые свойства матрицы функции H (t ) и обеспечить форме x H (t ) x
свойства, близкие к свойствам обычной квадратичной формы.
Теорема 3. Пусть матричная функция B( x, t ) удовлетворяет условию
( B( x, t ) B ( x, t ))
}  M   . Тогда все сингулярные числа матрицы
det1/ n ( B( x, t ) B ( x, t ))
B( x, t ) при || x ||  и t   стремятся к постоянным величинам.
Замечание. Для матриц, зависящих только от вектора x , это утверждение было
M   : sup {Sp
T 0, xR
получено в работе [1], однако там оно не выделялось в самостоятельное утверждение.
Поскольку именно это условие позволяет обеспечить форме x H (t ) x некоторые
требуемые свойства, то представляется целесообразным модифицировать это условие.
Доказательство. Обозначим v1 ( x, t )  min i ( x, t ), vn ( x, t )  max i ( x, t ) , где i ( x, t )
i
i
суть сингулярные числа матричной функции
B( x, t ) , то есть корни уравнения

det( I  ( x, t )  B( x, t ) B ( x, t ))  0 .
При

этом
vn ( x, t )
v ( x, t )
 i ( x, t )
 1/ n n


v1 ( x, t ) det ( B( x, t ) B ( x, t )) det1/ n ( B( x, t ) B ( x, t ))
имеем:
Sp( B( x, t ) B ( x, t ))
det1/ n ( B( x, t ) B ( x, t ))
M .
n
Отсюда следует, что

Sp( B( x, t ) B ( x, t ))
n
 i ( x, t )
vn ( x, t )
vn ( x, t )
i 1



v1 ( x, t ) det1/ n ( B( x, t ) B ( x, t )) det1/ n ( B( x, t ) B ( x, t ))
vn ( x, t )
 M n   . Теорема 3 доказана.
v1 ( x, t )
det ( B( x, t ) B ( x, t ))
Далее рассматривается вещественная матрица A(t ) . Ответ на сформулированный
1/ n

 M   . Итак,
вопрос дает следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть матричная функция A(t ) системы (1) удовлетворяет следующим
условиям:
а) A(t ) гурвицева при t  0 , причем inf min | Re i (t ) |   0 ;
(8)
t 0
б) A(t )  C1 при t  0 ;
в)  M   : sup{
t 0
Sp( A( x) A ( x))
det n ( A( x) A ( x))
1
i
(9)
} M ;
16
(10)
г)
A(t )
A(t )
2
 0 при t   .
(11)
Тогда система (1) асимптотически устойчива.
Доказательство. Доказательство теоремы 4 проводится прямым методом Ляпунова.
Введем в рассмотрение функцию Ляпунова
V ( x, t )  xH (t ) x, H (t )  A(t ) ( A(t ) A (t ))
0.
(12)
A(t )  Sp 2 ( A(t ) A (t )), A(t )  A (t ) , поэтому
1
Изучим свойства V ( x, t ) . Имеем:
получаем
 12
H (t )  A(t ) A1 (t ) . В силу (10) теорема 3 гарантирует, что все
сингулярные числа матрицы A(t ) (а значит и матрицы A1 (t ) ) асимптотически
пропорциональны при t   . Поэтому существуют числа 0  q  Q   , для которых
при t  0 выполнено неравенство q I  H (t )  Q I . Таким образом, функция V ( x, t )
удовлетворяет условию q x
2
 x H (t ) x  Q x , то есть V ( x, t ) – бесконечно большая
2
x 
при
и имеет сильный бесконечно малый высший предел при
производную
в
V ( x, t )
силу
x  0 . Вычислим
системы
(1).
Имеем

V ( x, t )  xVH((xt,)tx)  xxH
H((tt))xx  xxH
H((tt))xx  
xxH
((tA) (xt ) Z
 x(t)(AH(t()t ))Zx(t )  H (t )) x ,
Z (t )  A (t )( A(t ) A (t ))
положительно
1
2
 ( A(t ) A (t ))
1
2
определена.
где
A(t ) . Покажем, что матричная функция Z (t )
В
силу
условия
(8)
 12

и утверждения теоремы 2 матричная функция T (t )  ( A(t ) A (t )) A(t ) будет
ортогональной и гурвицевой при t  0 . Следовательно, существует такая унитарная
матрица U (t ) , что выполнено равенство U  (t )T (t )U (t )  diag{cos k  i sin k }kn1 ,
и cos
cos
kk  0,
0, kk 1,
1,nn . Поэтому получаем U * t Z t U t  diag cos k  i sin k k 1
n
 diag cos k  i sin k nk 1 2diag cos k nk 1 0. Следовательно, верна оценка Z (t ) 
Z (t )  2U (t )diag{cos k }kn1U  (t )  0 . Отметим, что в силу условия (8) выполнено
2
соотношение xZ (t ) x  x 1xZ (t ) x , где 1  0 – некоторое число, t  0 .
Оценим теперь производную H (t ) и норму H (t ) в силу системы (1). Для этого
рассмотрим матрицы H1 (t )  H
1
(t ) и
H12 (t ) 
A(t ) A (t )
Sp( A(t ) A (t ))
. Правая часть последнего
равенства дифференцируема при любом t , а значит дифференцируема и левая часть.
Взяв производные, получаем




*
A t A*t  At A *t Sp At A*t   At A*t Sp At A*t 

H1 t H1 t  H1 t H t  
. (13)
Sp 2 At A* t 
Обозначим матрицу в правой части (6) через C (t ) . Обозначим далее Rt   H1 t   I 
 I  H t ,Y t   h t ,..., h t ,..., h t  ,
bt   c t ,..., c t ,..., c t  .
Здесь
1
 11
1n
nn


11
17

1n
nn
R(t ) – это матрица размером n2  n2 , а Y (t ) и b(t ) суть векторы соответствующих
размерностей. В новых обозначениях (6) переписывается в виде
R(t )Y (t )  b(t ) .
(14)
Из условия H1 (t )  0 следует [3], что det R(t )  0 . Таким образом, система (14) имеет
решение при любом b(t ) и из непрерывности вектора b(t ) и матрицы R(t ) следует
непрерывность вектора Y (t ) , а значит и матрицы H1 (t ) . Имеем далее Y (t )  R 1 (t )b(t ) ,
то есть H1 (t )  R 1 (t ) C (t ) . У нас матрица H (t ) ограниченная и невырожденная
при t  0 , поэтому аналогичным свойством обладает и матрица H1 t   H 1 t  ; Rt  
 H1 t  I  I  H1 t  . Следовательно, существует число k1   , для которого при t  0
выполнено неравенство R 1 (t )  k1 . Теперь нам остается оценить C (t ) :
C (t ) 
A(t ) A (t )  A(t ) A (t )

Sp( A(t ) A (t ))
2
A(t ) A(t )
A(t )
2
A(t ) A (t )  | (Sp( A(t ) A (t )) |
Sp 2 ( A(t ) A (t ))
| ( A(t ) ) |
2

A(t )
2
4
Итак, норма матрицы производной H (t ) оценена:
H (t ) H1(t )  I , то выполнено равенство
H (t ) H1(t ) H (t )  H (t )  H (t )
2

A(t )
.
A(t )
H1 (t )  4k1
A(t )
A(t )
. Поскольку
H (t )   H (t ) H1(t ) H (t ) .Следовательно,
H (t )  H (t )
H1(t ) .
Поскольку матрица H (t ) ограничена при t  0 , то отсюда получаем, что k1   , для
которого при t  0 выполнено неравенство H (t )  k1
A(t )
A(t )
. Последнее неравенство
означает, что для производной V ( x, t ) выполнено условие
V x, t    x
2

A t  
,
At   1  k
2



A
t


(15)
где 1  inf min i Z t   0 – минимальное значение формы xZ (t ) x на круге
t 0
i
x  1, t  0; k   .
Теперь из условия (11) получаем. Существует момент t1   , для которого при
t [t1, ) выполнено неравенство V ( x, t )  0 при x  0 .
Поскольку на интервале t [0, t1 ] решение остается ограниченным, то теперь из
теоремы Барбашина – Красовского [2] следует вывод о том, что решение x  0 системы
(1) устойчиво в целом. Теорема 4 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ляпунов, А.М. Общая задача об устойчивости движения [Текст] / А.М. Ляпунов. –
М. ; Л. : Гостехиздат, 1950. – 471 с.
18
2
H1(t )
2. Зубов, Н.И. Математические методы анализа и синтеза линейных нестационарных
систем управления [Текст] / Н.И. Зубов. – СПб. : СПбГУ, 2008. – 85 с.
3. Зубов, А.В. Динамика управляемых систем [Текст] / А.В. Зубов., Н.В. Зубов,
В.Н. Лаптинский. – СПб. : Изд-во ВВМ, 2008. – 336 с.
Авдеева М.Б., аспирант факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Зубов Н.И., преподаватель факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Зубов С.В., доцент факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Стрекопытова А.С., преподаватель факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Учватова Н.Н., доцент факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Avdeeva M.B., Post graduate Student, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
Zubov N.I., Teacher, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
Zubov C.V., Associate Professor , Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
Strecopitova A.S., Teacher, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
Ychvatova N.N., Associate Professor , Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
19
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Дифференциальные уравнения
2011
№ 16
УДК 517.925
П.А. Балахнин, А.В. Зубов, О.В. Мутлу, М.В. Стрекопытова
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Проводится обзор проблем существования электромагнитных полей и построения
электромагнитных полей для заданных равновесных многообразий. Дается качественное описание
поведения траектории линейной системы второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассматриваются нелинейные системы дифференциальных уравнений в том случае, когда система
имеет
однородные правые части. В качестве примера рассмотрена механическая система с одной
степенью свободы.
поле, магнит, траектория, система, коэффициент, степень свободы.
Is giving article are devoting survey of problem existing electric magnetic fields and problem of
building electric magnetic fields for giving equal weight varieties. Is giving qualitative description of
behavior trajectories linear systems second order with permanent coefficients. Is considering no linear
systems
of differential equations in this case, when system is homogeneous right parts. In quality example is
looking for mechanical system with one degree freedom.
field, magnet, trajectory, system, coefficient, degree of freedom.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
 x  a11x  a12 y,
 y  a x  a y.

21
22
(1)
f x, y  , заданная
при x   ; , y   ; , называется однородной функцией порядка m , если
для любой вещественной постоянной c выполняется тождество
(2)
f cx, cy   c m f x, y  .
Если функция f x, y  имеет частные производные по переменным x, y , то
f x, y 
f x, y 
из соотношения (2) вытекает уравнение Эйлера x
y
 mf x, y  .
x
y
Допустим, в системе (1) величины aij являются функциями величин x, y ,
однородными, порядка m  0 и выполнены условия существования и единственности.
Перейдем в системе (1) к полярным координатам x  r cos  , y  r sin  . Получим
Определение 1 [1]. Вещественная непрерывная функция


2
2

r  r a11 cos   a22 sin   r cos  sin  a21  a12 ,
систему 
2
2

  a21 cos   a12 sin   sin  cos  a22  a11 .
В результате имеем новую систему
r   ( )r,
  ( ),

(3)
2
2
где  ( )  a11 cos2   a22 sin 2   cos  sin  (a21  a12 ) ,  ( )  a21 cos   a12 sin   sin  cos  (a22  a
20
cos2   a12 sin 2   sin  cos  (a22  a11) , aij  aij (cos  ,sin  ) .
Предположим, что  ( )  0 , тогда, исключая время t , получим

Интегрируя в квадратурах, будем иметь r  r0 exp{
dr  ( )

r.
d  ( )
 ( )
  ( ) d } .
0
Разложим периодическую функцию
 ( )
в ряд Фурье. Будем иметь
 ( )
 ( )
 a  a cos  
 ( ) 0 1
1
где a0 
2
2
 ak cos k  bk sin k 
,
(4)
  
    d .
0



  ak
sin k  sin k 0   bk cos k  cos k 0  r0 .

k


k 1 k

Тогда r  exp a0    0 exp 

Определение 2 [2]. Нулевое решение x  0, y  0 называется асимптотически
устойчивым по Ляпунову, если для любого   0 можно указать    ( ),   0 , такое,
что при x02  y02   2 будет x 2  y 2   2 при t  0 и, кроме того, x 2  y 2  0 при
t   .
Здесь x  x(t , x0 , y0 ), y  y(t , x0 , y0 ) есть решение системы (1), проходящее через
начальную точку ( x0 , y0 ) при t  0 .
Определение 3 [3]. Нулевое решение x  0, y  0 называется особой точкой типа
центр, если существует некоторая окрестность этой точки x02  y02   2 такая, что
любое решение системы (1) x  x(t , x0 , y0 ), y  y(t , x0 , y0 ) , проходящее через точку
( x0 , y0 ) этой окрестности при t  0 будет периодическим. Причем, если ( x0 , y0 )
не совпадает с особой точкой (0, 0) , то указанные выше периодические решения
на фазовой плоскости описывают замкнутые кривые, охватывающие начало координат.
Теорема 1. Для того, чтобы в системе (1) положение равновесия x  0, y  0 было
особой точкой типа центр, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие
1
условия: 1) ( )  0,  [0, 2 ] , 2) a0 
2
2
  
    d  0 .
0
Доказательство. Необходимость. Пусть особая точка x  0, y  0 системы (1)
является центром. Покажем тогда, что выполнены условия теоремы 1. Действительно,
если условие 1) не выполняется, то существует  такое, что  ( )  0 ; тогда система (3)
имеет решение    , x  (exp  t )  r0 ,    ( ) . Это решение расположено на луче
 
и стремится к особой точке при t     0 , t   при   0 .
Ввиду того, что предположено наличие центра, то есть плоскость заполнена
периодическими решениями, охватывающими положение равновесия, то такого луча
существовать не может, ибо он будет пересекаться с такими замкнутыми решениями, в
результате чего нарушается условие единственности.
21
Если a0  0 , то из вида решения (5) вытекает, что все решения являются
спиралевидными, что противоречит условию единственности и наличию центра. Этим
необходимость доказана.
Достаточность. Если выполнены условия 1) и 2) теоремы, то особая точка x  0, y  0
является центром. Действительно, при выполнении условий 1), 2) формула (5) имеет вид

ak
b
(sin k  sin k0 )  k (cos k0  cos k )}]  r0
k
k 1 k
r  [exp{
(5)
и представляет замкнутые кривые, охватывающие начало координат на плоскости xy .
Замечание 1. Если m  0 , то система (3) примет вид
r   ( )r m 1,

m
   ( )r .
(6)
Следовательно, формула (5) будет представлять решение системы (1) для любого m .
Поэтому теорема 1 оказывается справедливой для системы (1) в случае любого m .
Теорема 2. Если выполнены условия 1)  ( )  0 ; 2) a0  0 ; 3) a0  ( )  0 , то
положение равновесия системы (1) x  0, y  0 асимптотически устойчиво.
Доказательство. Из формулы (5) вытекает, что r  0 при a0  
t
a0  a00   a0 ( ( ))dr ,
(7)
0
где 0   при t  0 . Это вытекает из интегрирования системы (3).
Функция a0 ( ) непрерывна и не обращается в нуль. Следовательно, существует
постоянная  ,   0 , такая, что a0   . Имеем
(8)
a0  a00   t .
Подставляя (8) в (5), будем иметь r  0 при t   .
Замечание 2. Предположим, что m  0 . Тогда система (1) преобразуется к системе
(6). Введем в этой системе новую независимую переменную по формуле
t
   r m dt .
(9)
0
Тогда будем иметь d  r dt . Разделив обе части системы (6) на r m , будем иметь
m
dr
  ( )r ,
d
d
  ( ) .
d
(10)
Из вида системы (10) вытекает, что теорема 2 остается в силе для системы (1) при
m  0 . Однако в этом случае интегральные кривые могут входить в положение
равновесия (примыкать) за конечное время t в случае нарушения единственности в точке
(0,0) .
Теорема 3. Если функция  ( ) обращается в нуль, то положение равновесия системы
(1) будет асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда  ( )  0 для всех
значений  , удовлетворяющих уравнению  ( )  0 .
Доказательство. Необходимость. Пусть  ( )  0 и имеет место асимптотическая
устойчивость. Покажем, что  ( )  0 для всех  , удовлетворяющих условию  ( )  0 .
Пусть  – некоторый корень уравнения  ( )  0 . Тогда система (3) имеет решение
   , r  r0 exp{ t} ,
22
(11)
где    ( ) .
Из асимптотической устойчивости вытекает, что r  0 при t   . Значит,   0 .
Достаточность. Пусть функция  ( )  0 и  ( )  0 для всех  , удовлетворяющих
уравнению  ( )  0 . Покажем, что имеет место асимптотическая устойчивость.
Из равенства (11) вытекает, что на любом луче    , для которого  ( )  0 ,
располагается решение, входящее в положение равновесия при t   . Покажем
теперь, что таким свойством обладает и любое другое решение. Пусть 0 , r0 – начальные
данные для какого-либо решения,  (0 )  0 . Тогда из системы (3) вытекает, что
полярный
угол
будет возрастать с возрастанием времени, причем возрастать будет строго монотонно,
приближаясь к лучу    , на котором  ( )  0 . Так как функция  ( ) непрерывна
и  ( )  0 , то существует  -окрестность точки  , где также будет выполнено
 ( )    0 при |    |  . Ввиду монотонного возрастания полярного угла 
траектория входит в эту окрестность и остается там. Тогда из системы (3) будем иметь
t
T
0
0
r  [exp{  ( )dt}]r0  [exp   ( )dt ]r0 exp{ (t  T )} ,
(12)
где T – фиксированный момент входа траектории в  -окрестность луча    .
t
Последнее неравенство получено следующим образом:
   dt
заменяется на сумму
0
двух интегралов
T
t
0
T
   dt и    dt . Последний интеграл можно оценить
t
  ( )dt   (t  T ),
 ( )   .
(13)
T
t
Следовательно,
 dt  
при
t   . Отсюда вытекает доказательство
T
достаточности условий теоремы 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ляпунов, А.М. Общая задача об устойчивости движения [Текст] / А.М. Ляпунов. –
М. ; Л. : Гостехиздат, 1950. – 471 с.
2. Зубов, И.В. Методы анализа динамики управляемых систем [Текст] / И.В. Зубов. –
М. : Физматлит, 2003. – 223 с.
3. Стрекопытова, М.В. Принципы управления движением заряженных частиц [Текст]
/ М.В. Стрекопытова. – СПб. : СПбГУ, 2003. – 87 с.
Балахнин П. А., преподаватель факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Зубов А. В., доцент факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
23
Е-mail: [email protected]
Мутлу О. В., доцент факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Стрекопытова М. В., доцент факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Balachnin P. A., Teacher, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
Zubov A.V., Associate Professor, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
Mutlu O. V., Associate Professor, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
Strecopitova M. V., Associate Professor, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
24
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Дифференциальные уравнения
2011
№ 16
УДК 517.925
М.О. Вансович
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ
Проводится обзор достаточных условий существования периодических решений сингулярно
возмущенных систем в критических случаях.
малый параметр, система быстрых движений, система медленных движений.
There is a review of sufficient conditions of existence of periodic solutions for singularly perturbed
system, received by the author in critical cases.
small parameter, quick movements system, slow movements system.
Сингулярно возмущенные системы, или системы с малым параметром при
производных, встречаются на практике достаточно часто. Есть несколько подходов к
изучению
таких систем.
Фундаментальным вкладом в исследование сингулярно возмущенных систем явились
результаты А.Н. Тихонова. Асимптотическому представлению решений задачи Коши
и краевой задачи посвящены работы В.Ф. Бутузова, В. Вазова, А.Б. Васильевой,
С.А. Ломова и др.
Автономные системы с малым параметром при производных и возникающие в этих
системах периодические решения, близкие к разрывным (релаксационные колебания),
изучались Д.В. Аносовым, Е.Ф. Мищенко, Л.С. Понтрягиным, Н.Х. Розовым и др.
Кроме того, существует много примеров физических систем, моделью которых
являются сингулярно возмущенные системы и для которых необходимо получить
условия существования периодических решений при малых значениях параметра.
Именно вопросу о достаточных условиях существования периодических решений
при малых значениях параметра посвящена настоящая статья.
1. Периодические решения систем быстрых движений
Рассмотрим систему вида
(I)
 x  At ,  x  f t , x,   ,
где   0 – малый параметр, x, f – n -мерные вектор-функции, At ,   – матрица
( n n ), матрица At ,   и вектор-функция f
по t ,   на 0;  0;  0  .
Обозначения: x  max xi , A  max
1 i  n
n
 aik
1 i  n k 1
 -периодичны по t и непрерывны


,   max  , DR  x : x  R .
0  t 
Условие 1. Существует интегрируемая по t на 0;   функция h : t ,    ht ,  
такая, что x  DR f t , x,    ht ,   , причем lim ht ,    0 .
 0
Традиционно
считается
некритическим
случай,
когда
действительные
части
собственных значений матрицы At ,0 отличны от нуля ( Re i t   0 t  0; ).
Основываясь на результатах В.И. Рожкова, полученных для линейных систем [1], легко
решается вопрос о существовании при малых значениях   - периодических решений
системы (I), близких к нулю, при выполнении условия 1.
A
25
Естественный интерес представляет случай критичности матрицы At ,0 .
Утвердительно решен вопрос о существовании периодических решений системы (I)
при малых значениях параметра  в следующих критических случаях.
Случай 1.1. Обозначим pt   max Re Ai t  . Предположим, что p0  p   0 ,
1 i  n
при 0  t  
t

0
t
 ps ds  0 , а при 0  t    ps ds  0 .
1 t

X t , s,    K exp    p    d  , где   0


 s

произвольно, K – постоянная, зависящая от  , но не зависящая от  , X t , s,   –
фундаментальная матрица системы  x  At ,0x такая, что X s, s,    E – единичная
Опираясь на неравенство [1]:
матрица и, учитывая, что система (I) равносильна системе
xt ,    X t ,0,   E X  , 0,  1

1

1


 X , s,   f s, xs,  ,  ds 
0
t
 X t , s,   f s, xs,  ,  ds,
0
доказано, что найдется R  0 , при котором в области DR существует  - периодическое
решение системы (I) x t ,   , если вместо последнего равенства в условии 1 потребовать,

например, что

0
ht ,  

dt ограничен [2].

 0 
Если же вместо этого требования предположить, что lim
lim x t ,    0
ht ,  

0
dt  0 , то
(*)
 0


t


s


при t  M  t : 0  t   , pt   0, p y dy  0 при 0  s  t   0 .



Приведен пример, показывающий, что предельный переход (*) принципиально
невозможен при всех t  0;  в указанном критическом случае.
Случай 1.2.
Предположим, что существует некритическая матрица
Qt  
 diag Q1 t , Q2 t  , где i Re Q1 i t     0 ; Re Q2 i t     0 .
Опираясь на неравенства [3]:
  t  s  
  t  s  
X 1 t , s,    K exp  
 при s  t , X 2 t , s,    K exp 
 при s  t ,
2 

 2 
где X i t , s,   соответственно фундаментальные матрицы систем  x i  Qi t x i такие,


1
что X i s, s,    E , i  1,2 , x  colon x1 , x 2 , получим оценки E  X 1  ,0,    C1 ,
E  X 2 ,0,  1  C2 , обозначим C  maxC1, C2 .
26
Если
At ,0  Qt  

2 K KC  1
,
(**)
то при выполнении условия 1 система (I) имеет при малых  в области DR  периодическое решение [4].
Заметим, что в правой части неравенства (**) находится число, которое не зависит
от матрицы At ,0 и  , а зависит только от выбора матрицы Qt  , кроме того, для
подбора матрицы Qt  , близкой к критической матрице At ,0 , можно использовать
более удобное неравенство At ,0    Qt  

2 K KC  1
,   R  0 .
Случай 1.3. Предположим, что система (I) имеет вид
 x i  Ai t x i  f i t , x,  ,
i  1,2,
(I.0)
 x 3  A3 x 3   f 3 t , x,  ,
где Re A1  j t     0 , Re A2  j t     0 t  0; , матрица A3  diag B1 ,..., Bk  ,


 0  b j   0  b j  
B j  diag 
,..., 
, b j  0, j  1, k ,


b j 0  b j 0  





то
есть
матрица
At  
sj
 diag  A1 t , A2 t , A3  имеет чисто мнимые собственные значения. Кроме того,


обозначим f  colon f 1 , f 2 , f 3 .
Используя
утверждение
[5]:
  0 , то a : 0  a 
b j
положительных решений системы sin
 a,
2
«Если
0  b1  ...  bk ,
 b b 
 sin  2 1  множество M a
2b2 

j  1, k , открыто и его замыкание содержит ноль», можно доказать, что при выполнении
условия 1 при малых   M a система (I.0) имеет в DR  -периодическое решение [6].
2. Периодические решения систем быстрых и медленных движений
Рассмотрим систему
 x  At x  f t , x, y,  ,
y  B  y  g t , x, y,  ,
где y , g – m -мерные вектор-функции, B  – матрица ( m m ).
(II)
Некритическим (для системы медленных движений) считается случай, когда система
y  B0 y имеет только тривиальное ( y  0 )  -периодическое решение.
В дальнейшем об этом случае будем говорить, что матрица B0 некритическая.
Условие 1*. Существует интегрируемая по t на 0;   функция h : t ,    ht ,  
такая, что x  DRn y  Drm f t , x, y,    ht ,   , причем lim ht ,    0 .
 0
27
Условие 2. Вектор-функция g непрерывна по
t, x, y,  
   0 , 0  ,  -периодична по t , g t , x,0,0 0 , матрица
на 0;    Drm при всех x,    DRn    0 ,  0  , причем
g
y
на
0; DRn Drm 
непрерывна по t
g
t , x,0,0 0 .
y
Если матрица B0 некритическая, то при выполнении условий 1* и 2 доказано
существование  -периодического решения системы (II) при малых значениях 
в критических для матрицы At  случаях 1.2 и 1.3.
Идея доказательства состоит в следующем: при условиях, наложенных на матрицу
B0 и вектор-функцию g , удается построить оператор  : x  DRn   x 
 yx t ,  Drm , где yx – единственное  -периодическое решение системы y  B y 
 g t , x, y,   , x  DRn , причем lim  x  0 . Затем, аналогично тому, как это сделано
 0
в случаях 1.2 и 1.3 доказывается, что система  x  At x  f t , x,  x,   имеет в DRn при
малых значениях   -периодическое решение.
Очевидный интерес представляет случай критичности матрицы B0 .
Случай 2.1. Предполагаем, что выполнены следующие условия:


а) матрица At   diag A1 t , A2 t ,..., Ap t  , где каждый блок Ai t  , i  1, p , имеет
собственные значения со
действительными частями;
знакопостоянными (ненулевыми)
при всех
б) h0  0 такое, что x, y,   DRn Drm   0 ,  0  f t , x, y,     2 h0 x ;

t  0; 

в) матрица B  непрерывно дифференцируема на   0 ,  0 , B   diag B ,    ,
m  1 m  1 -матрица B0 не имеет собственных значений с
действительной частью, а  0  0,  0  0 и     0 при   0 ;
г) вектор-функция g  g t , x, y,    y  -периодична по t и такова, что
где
медленных движений удовлетворяет
x  DRn
нулевой
система
условиям теорем существования и
единственности решений с начальными данными y0   ,    0 , непрерывной
зависимости решений от правой части системы и непрерывной дифференцируемости
решений
по начальным данным и параметру, кроме того, g t ,0,0,    0 ;
д) x  DRn система y  B0y  g t , x, y,0y имеет в Drm лишь тривиальное  периодическое решение.
В этом критическом (для матрицы B0 ) случае доказано, что в любой достаточно
малой окрестности нуля пространства DRn  Drm существует нетривиальное  -периодическое решение системы (II), в которой значение параметра  достаточно мало [7].
Рассмотрим систему
 x  At x  f t , x, y,  ,
y  Bt ,   y  g t , x, y,   y.
28
(III)
Случай 2.2. Если выполнены условия а), б), г) д) из случая 2.1. и m m -матрица


0
0
Bt ,   , например, нижняя треугольная, причем  b jj t ,  dt 0, j  1, m  1,  bmmt ,  dt 0
и


 
  0 , то в любой достаточно малой окрестности нуля доказано


b
t
,

dt
mm



  0

существование нетривиального  -периодического решения [8].
Метод доказательства существенно опирается на предположение о некритичности
матрицы At  , поэтому не применим в случае критической системы быстрых движений.
Были предприняты попытки сформулировать условия существования периодических
решений системы (III), используя оценки самих элементов матрицы Bt ,   , чтобы
допустить возможность критического случая для матрицы At  , а, может быть, и для
матрицы Bt ,0 .
Случай 2.3. Предполагаем, что:

i2, j 1  -периодична по t , непрерывна по t,   на 0; 
а) матрица Bt ,    bij t ,  
   0 ,  0  ; t ,   b11t ,    b22 t ,     0  0 , b21t ,   


R
1
, b12 t ,    
K
KRn0
1

1 
1
, i  1, 2 ;
 1   , где n0  N , K   1  e  0  1   ; bii t ,0 
Kn0


 n0 
б) матрица g t , x, y,    -периодична по t , непрерывна по t , x, y,   на 0; 
 DRn  DR2    0 ,  0  и g t , x,0,0  0 .
Эти предположения позволяют доказать, что x  DR система
y  Bt ,  y 
 g t , x, y,  y имеет при малых значениях  единственное  -периодическое решение
yx t ,   такое, что lim yx t ,    0 .
 0
Тогда при выполнении условий 1* доказано существование  -периодического
решения системы (III) при малых значениях  в критических для матрицы At  случаях
1.2
и 1.3 [9].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рожков, В.И. Асимптотика решений некоторых систем с малым параметром при
производных [Текст] / В.И. Рожков // Дифференциальные уравнения. – 1974. –
Т. 10. – № 6. – С. 1037–1049.
2. Вансович, М.О. Периодические решения некоторых сингулярно возмущенных
систем дифференциальных уравнений [Текст] / М.О. Вансович // Дифференциальные
уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. – Рязань, 1980. – № 15. – С. 3–10.
3. Флэтто, Л. Периодические решения сингулярно возмущенных систем [Текст] /
Л. Флэтто, Н. Левинсон // Математика : сб. пер. – 1958. – Т. 2. – № 2. – С. 61–68.
4. Вансович, М.О. Периодические решения некоторых систем с малым параметром
при производной [Текст] / М.О. Вансович // Дифференциальные уравнения (теория
устойчивости) : межвуз. сб. науч. тр. – Рязань. – 1984. – С. 28–32.
29
5. Айзенгендлер, П.Г. Ветвление периодических решений, сингулярно возмущенных
дифференциальных уравнений [Текст] / П.Г. Айзенгендлер, А.Ф. Алексеев //
Дифференциальные уравнения (качественная теория) : сб. науч. тр. – Рязань. – 1984. – С.
8–23.
6. Вансович, М.О. Периодические решения сингулярно возмущенных систем в одном
критическом случае [Текст] / М.О. Вансович // Ряз. гос. пед. ин–т. – Рязань. – 1987. – 9 с.
– Деп. в ВИНИТИ 4.05.1987, № 3323 – В. 87.
7. Терёхин, М.Т. Существование ненулевого периодического решения сингулярно
возмущенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] /
М.Т. Терёхин, М.О. Вансович // Укр. мат. журн. – 1989. – Т. 41. – № 10. – С. 1318–1322.
8. Вансович, М.О. Критерий существования периодических решений сингулярно
возмущенных систем [Текст] / М.О. Вансович // Дифференциальные уравнения
(качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. – Рязань. – 1996. – С. 30–36.
9. Вансович, М.О. Исследование свойств решений сингулярно возмущенных систем
[Текст] / М.О. Вансович // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения (качественная
теория). – Рязань, 1998. – № 1. – С. 22 – 25.
Вансович М.О., доцент кафедры математики
и методики преподавания математических дисциплин
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46
Е-mail: [email protected]
Vansovich M.O., Associate Professor
Chair of Mathematics and Method of Teacher of mathematical Disciplines
Ryazan Stat University after the name of S.A. Yesenin
46, Svobody str., Ryazan, 390000, Russia
Е-mail: [email protected]
30
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Дифференциальные уравнения
2011
№ 16
УДК 517.925
В.В. Дикусар, А.В. Зубов, М.В. Стрекопытова
ЗАДАЧА СТРУКТУРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
Для линейных стационарных управляемых систем решена задача определения минимального
числа управляющих воздействий, при которых открытую систему можно сделать полностью
управляемой. Этот результат позволяет найти всю совокупность систем управления, при которых
имеет место полная управляемость и обладающих при этом минимальной размерностью.
В отличие от критерия Калмана предлагаемый подход позволяет рассматривать проблему полной
управляемости еще на этапе создания управляемой системы. Кроме того, предлагаемый подход
позволяет оценить избыточность систем управления.
управляемая система, ранг матрицы, собственный вектор, комплексное пространство,
коэффициент.
For linear stationary systems is solved the task of definition minimum number controlling actions, by
which open system may be make fully controlling. This result is allows to find all total combination of
systems control, by that is take place fully controlling and is possesses by that minimum dimensions.
Unlike criteria Kalman's supposed approach is allows to look the problem fully controlling yet on stage of
foundation controlling system. Moreover, supposed approach is allows to estimate excess of systems
controlling.
controlling system, rank of matrix, own vector, complex space, coefficient.
Рассмотрим замкнутую линейную стационарную управляемую систему
X  AX  BU  F t  ,
где A и B  B1 ,..., Bm  – постоянные матрицы размера
(1)
n  n и n  m ; U 
 u1 ,..., u m T – вектор управлений ui  L2 0, T  , i  1, m ; F t   KC0, T  – кусочнонепрерывная вектор-функция, определенная на интервале 0, T  .
Известно (критерий Калмана), что для того, чтобы на интервале 0, T  система (1)
была полностью управляемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
B, AB, A B,..., A B
был равен n , то есть совокупность векторов
B , AB , A B ,..., A B , i  1, m,
n1
2
n1
2
i
i
i
i
содержала n линейно независимых.
Поставим задачу поиска минимального числа
при которых открытая система
p
(2)
(3)
управляющих воздействий,
X  AX  F t 
(4)
может быть сделана полностью управляемой, путем выбора соответствующей матрицы
B  B1 ,..., B p размера n  p  , то есть задачу минимизации структуры системы


управления, при которой замкнутая система (1) будет полностью управляемой.
Определение. Назовем характеристикой полной управляемости системы (4) (системы
(1)) величину p  max pi , где pi – число линейно независимых собственных векторов,
i 1,k
31


соответствующих собственному числу i i  1, k матрицы A . Иногда, для краткости,
будем говорить о характеристике полной управляемости матрицы A .
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1 (алгоритм минимизации). Если характеристика полной управляемости
матрицы A равна p , то всегда можно выбрать p линейно независимых векторов
B1,..., B p , являющихся столбцами матрицы B , так, что система (1) будет полностью
управляемой.
Доказательство. Пусть характеристика полной управляемости матрицы A равна p .
Покажем, что можно построить p линейно независимых векторов B1,..., B p так, чтобы
совокупность векторов
Bi , ABi , A2 Bi ,..., An1Bi , i  1, p
(5)
содержала n линейно независимых. Так как между матрицами и операторами существует
взаимно однозначное соответствие, то перенесем рассмотрение поставленной выше
задачи, в комплексное пространство C n , считая, что матрица A является матрицей
оператора A , действующего в этом комплексном пространстве.


Будем полагать, что оператор A имеет собственные значения i i  1, k , имеющие
k
кратность
k i ,  k i  n . Обозначим через
T i , i  1, k , корневые инвариантные
i 1
подпространства оператора
A , соответствующие этим собственным значениям и
k
имеющими размерности k i ,
 ki  n ,
дающими в прямой сумме все пространство
i 1
C n : T 1  ...  T k  C n . Каждое из этих подпространств T i содержит pi корневых
векторов
X ij ,
pi
j  1, pi , имеющих высоты r ji  ,  r ji   ki , а сами подпространства T i
j 1
представляют собой прямые суммы инвариантных подпространств
( T i  T1i  ...  Tki , i  1, k ), порождаемых корневыми векторами
имеющими циклические базисы
i  1
X ij ,  A  i E X ij ,...,  A  i E rj
Cn
Таким образом, все пространство
T ji , j  1, pi
X ij , j  1, pi
X ij , j  1, pi , i  1, k.
и
(6)
представимо в виде прямой суммы
непересекающихся инвариантных подпространств T ji , j  1, pi , i  1, k , имеющих базисы
(6).
Заметим, что каждое инвариантное корневое подпространство T i содержит pi линейно
r ji  1
независимых собственных векторов  A  i E 
X ij , j  1, pi .
Покажем, что можно выбрать p  max pi линейно независимых векторов B1,..., B p
i 1,k
так, чтобы совокупность из n векторов
2
n1
Bi , ABi , A Bi ,..., A
Bi , i  1, p ,
32
p
 mi  n ,
i 1
(7)
была линейно независимой.
Возьмем вектор Bi , как линейную комбинацию векторов, принадлежащих корневым
инвариантным подпространствам T1i , i  1, k , причем все коэффициенты в этой линейной
комбинации, стоящие при корневых векторах X1i , i  1, k , отличны от нуля.
Тогда легко показать, что совокупность из m1 векторов
m1 1
B1, AB1,..., A
k
B1 ,
 r1i   m1 ,
(8)
i 1
линейно независима и составляет базис в инвариантном подпространстве T1  T11  ... 
 T1k .
Действительно, любая линейная комбинация векторов из совокупности векторов (8)
может быть записана в виде m1 1  AB1 , где m1 1  A – операторный многочлен
степени m1  1 . Если предположить линейную зависимость этой совокупности, то это
будет означать, что для некоторого операторного многочлена  m 1  A степени m1  1
1
справедливо равенство m1 1  AB1  0 . Так как в разложении вектора B1 присутствуют
все корневые векторы X1i , i  1, k , каждый из которых имеет высоту r1i  , i  1, k , то
многочлен,  m 1  A для того чтобы обнулить все компоненты вектора B1 , должен
1
иметь
r ji 
сомножители  A  i E 
, то есть иметь степень больше чем m1  1 , ибо
k
 r1i   m1 .
i 1
С другой стороны, любой вектор из совокупности (8) принадлежит инвариантному
подпространству T1 , имеющему размерность m1 . Это и означает, что совокупность из m1
векторов (8) линейно независима и составляет базис в инвариантном подпространстве T1 .
Исключим из дальнейшего рассмотрения подпространства T1i , i  1, k .
Возьмем вектор B2 , как линейную комбинацию векторов, принадлежащих корневым
инвариантным подпространствам T2i , i  1, k , причем все коэффициенты в этой линейной
комбинации, стоящие при корневых векторах X 2i , i  1, k , отличны от нуля. Заметим, что
в этой линейной комбинации может быть меньше корневых векторов, чем k , если какое–
либо корневое подпространство T i содержало всего один корневой вектор X 1i .
По аналогии с предыдущим можно показать, что совокупность из m2 векторов
B2 , AB2 ,..., Am2 1B2 ,
k
 r2i   m2
(9)
i 1
линейно независима и составляет базис в инвариантном подпространстве T2  T21  ... 
 T2k .
Действуя таким же образом и далее, пока все корневые подпространства T i не будут
исчерпаны, мы построим p векторов B1,..., B p таких, что совокупности векторов (7)
образуют базис в C n . Это вытекает из того, что каждая совокупность векторов
33
B1, AB1,..., Am1 1B1 ,
k
 r1i   m1
представляет
собой
базис
инвариантного
i 1
подпространства Ti , i  1, p , прямая сумма которых представляет собой все пространство
Cn .
Заметим, что построенная совокупность B1,..., B p из p векторов является, вообще
говоря, комплексной. Для того чтобы сделать ее вещественной так, чтобы совокупность
из n вещественных векторов
Bi , ABi ,..., Am1 1Bi , i  1, p ,
p
 mi  n
(10)
i 1
была линейно независимой, достаточно при построении каждого из векторов B j
потребовать, чтобы его компоненты выбирались не только из подпространства T ji ,
порожденных комплексно сопряженными корневыми векторами X ij , но еще и были
комплексно сопряжены. Это означает, что если одна из компонент Y j вектора B j
выбирается
из инвариантного подпространства T ji ( Y j  T ji ), порожденного корневым вектором X ij ,
отвечающим комплексному числу i , то другая компонента Z j обязательно выбирается
из инвариантного подпространства T ji 1 ( Z j  T ji 1 ), порожденного комплексноi
сопряженным корневым вектором X j , отвечающим комплексно-сопряженному числу
 i . Причем эти компоненты выбираются так, чтобы комплексно-сопряженными
величинами Y j  Z j . При таком построении каждый вектор B j получается
вещественным,
совокупности векторов (10) линейно независимы и принадлежат различным
инвариантным подпространствам, прямая сумма которых и представляет все
пространство C n .
Работа выполнена при поддержке РФФИ грант № 07-07-00104 и грант № 06-01-00244.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк, Б.Т. Робастная устойчивость и управление [Текст] / Б.Т. Поляк, П.С.
Щербаков. – М. : Наука, 2002.
2. Гантмахер, Ф.Д. Теория матриц [Текст] / Ф.Д. Гантмахер. – М. : Наука, 1967. –
576 с.
3. Дикусар, В.В. Методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости [Текст] /
В.В. Дикусар, Г.А. Зеленков, Н.В. Зубов. – М. : Изд-во ВЦ РАН, 2007. – 234 с.
4. Зубов, Н.В. Лекции по математическим методам стабилизации динамических
систем [Текст] / Н.В. Зубов, С.В. Зубов. – СПб. : Изд-во СПбГУ, 2007. – 352 с.
5. Зубов, А.В. Расчет устойчивости решений дифференциальных уравнений второго
порядка с приложениями [Текст] / А.В. Зубов, Н.В. Зубов, А.Ф. Зубова, О.В. Мутлу,
М.В. Стрекопытова. – СПб. : СПбГУ, 1999. – 184 с.
Дикусар В.В., профессор
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
142103, Московская обл., г. Подольск, ул. Ждановская, д. 47
34
Е-mail: [email protected]
Зубов А.В., доцент факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Стрекопытова М.В., доцент факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
Е-mail: [email protected]
Dicusar V.V., Professor
Computing center after the name of A.A. Dorodnichin of RAN
142103, Moscow region, t. Podolsk, str. Gdanovskay, h. 47.
Е-mail: [email protected]
Zubov A.V., Associate Professor, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
Strecopitova M.V., Associate Professor, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
Е-mail: [email protected]
35
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
УДК 517.9
О.В. Дружинина, А.А. Шестаков
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И ПРОЧНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМ
АВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Получены условия устойчивости и прочности траекторий систем автономных
дифференциальных уравнений. Изучены свойства предельных движений прочных траекторий
этих систем.
устойчивость, прочность, предельные множества, автономная дифференциальная система.
The conditions of stability and rigidity of the trajectories of systems of autonomous differential
equations, are obtained. The properties of the limit motions of rigid trajectories of these systems
are studied.
stability, rigidity, limit sets, autonomous differential system.
Вопросам устойчивости движения и прочности траекторий дифференциальных
уравнений, начиная с [1] и [2], посвящены многочисленные работы отечественных
и иностранных ученых. В частности, вопросы прочности траекторий дифференциальных
уравнений рассматривались в работах [3–8], а вопросы устойчивости рекуррентных
и почти периодических траекторий и свойства предельных движений этих траекторий
изучались в работах [9–14].
В зависимости от свойств точек самой траектории и свойств окрестности траектории
в настоящей статье дан сравнительный анализ понятий прочности траекторий обыкновенного многомерного автономного дифференциального уравнения dx dt  g ( x), x  R n ,
и также изучены свойства предельных движений асимптотически прочной траектории
дифференциального уравнения на основе свойств точек прочной траектории.
1. Предварительные сведения. Пусть задан динамический процесс со многими
степенями свободы, моделируемый обыкновенным векторным автономным
дифференциальным уравнением вида
(1)
dx dt  g ( x), x  R n , n  2 ,
n
где n-мерная вектор-функция g(x) непрерывна на открытом множестве G  R .
n
Дифференциальное уравнение (1) в пространстве R определяет динамическую систему
(t, p)
+
в смысле Биркгофа [9]. Рассмотрим положительную полутраекторию C =
+
= {(t, p) : tR } уравнения (1) и неограниченно возрастающую последовательность:
0  t1 < t2 < ... < tn < ..., tn  + при n  +. Предельная точка p* последовательности
точек (t1, p), ..., (tn, p), ... называется -предельной точкой движения (t, p).
–
Аналогично всякая предельная точка p* отрицательной полутраектории C
–
= {(t, p) : tR } называется -предельной точкой движения (t, p). Движение (t, p*),
*
проходящее через предельную точку p , называется предельным движением уравнения
(1).
Обозначим через  и A соответственно множество всех -предельных и всех
–
–
+
+
-предельных точек движения (t, p). Множества H = C  , H = C  
36
называются соответственно положительной и отрицательной полуоболочкой движения
(t, p),
–
+
а множество H ::= H  H – оболочкой движения (t, p).
–
+
Движение (t, p) называется L -устойчивым (или L -устойчивым), если множество
–
+
+
H (или H ) является компактным. L -устойчивость называют также устойчивостью по
+
Лагранжу [10, 13]. Из этого определения вытекает, что для L -устойчивого движения
–
(t, p) – -предельное множество  не пусто, а для L -устойчивого движения
-предельное множество A не пусто.
n
Множество M  R называется минимальным, если оно непусто, замкнуто,
инвариантно и не имеет истинного подмножества с этими тремя свойствами.
Движение (t, p) уравнения (1) называется рекуррентным, если для каждого  > 0
+
–
найдется число T = T() > 0 такое, что любая дуга траектории C = C  C этого
движения временнóй длины T аппроксимирует траекторию C с точностью до .
Движение (t, p) уравнения (1) называется почти периодическим, если для каждого
 > 0 имеется число L = L(), определяющее относительно плотное множество {n} такое,
что ((t, p), (t +n, p)) <  tR. Отсюда следует, что всякое почти периодическое
движение рекуррентно.
Предложение 1 [10]. Справедливы следующие утверждения:
1. Предельные множества  и A являются замкнутыми инвариантными множествами.
+
2. Если движение (t, p) уравнения (1) L -устойчиво, то множество  связно
и d((t, p), ) = 0 при t  +, где d(, ) – расстояние между точкой и множеством.
3. Инвариантное компактное замкнутое множество всегда содержит минимальное
множество.
4. Каждая траектория минимального компактного множества рекуррентна.
–
+
5. Для того чтобы L – и L –устойчивое движение уравнения (1) было рекуррентным,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого  > 0 множество значений t, для которых
выполнено неравенство ((t, p), p) < , было относительно плотным.
2. Определения. Обозначим через B(x, r) и B[x, r] соответственно открытый и
n
замкнутый шар с центром в точке xR и радиусом r > 0.
Определение 1. Пусть t0R есть произвольное, но фиксированное число. Траектория
C движения (t), (t0) = p, дифференциального уравнения (1) называется положительно
n
(или отрицательно) прочной относительно множества Q  R , если существует число
T > 0 такое, что для любого  > 0 имеется  = (), обладающее свойством: если
(t) = (t, q), qQ, есть непродолжаемое решение уравнения (1) и если имеются числа
1, 2, |1 – 2|  T такие, что как только
((1), (2)) < ,
(2)
–
+
то для всех tR (или всех tR ) справедливо неравенство
((t+1), (t+2)) < ,
(3)
где (, ) – расстояние между двумя точками.
Если кроме неравенства (3) выполняется свойство
3 lim ((t ), (3+t)) = 0,
(4)
t  
то траектория называется положительно (или отрицательно) асимптотически прочной
n
относительно множества Q  R .
Определение 2. Траектория C движения (t), (t0) = p, называется
n
1) положительно (или отрицательно) прочной относительно множества Q  R по мере
37
множества M, если для любого  > 0 существуют число T и измеримое множество
–
+
M  B(p, ) меры больше нуля такие, что для qQ  M и всех tR (или всех tR )
можно найти число 1 такое, что как только |t – 1|  T, выполнено неравенство
((t), (1)) < , (t) ::= (t, q);
(5)
2) положительно (или отрицательно) прочной относительно себя, если имеются числа
1, 2, T, такие, что как только ((1), (2)) < , |1 – 2|  T, то для всех tR (или всех
–
tR ) будем иметь ((t +1), (t +2)) < ;
+
3) двусторонне прочной относительно Q (или относительно себя) траекторией, если
она прочна в обоих направлениях.
Аналогично определяются двусторонняя прочность и двусторонняя асимптотическая
прочность.
Определение 3. Пусть t0R есть произвольное, но фиксированное число. Траектория
C (или движение (t) = (t, p), (t0) = p) уравнения (1) называется
1) положительно (или отрицательно) устойчивой в смысле Ляпунова относительно
n
множества Q  R , если для каждого шара B(p, ) существует содержащийся в нем шар
B(p, ),  < , такой, что как только qB(p, ), qQ, то для всех t  0 (или для всех t  0)
справедливо неравенство
((t), (t)) < ,
(6)
где (t) = (t, p), (t0, q)  p – решение уравнения (1);
2) положительно (или отрицательно) устойчивым в смысле Ляпунова по мере
n
множества M относительно множества Q  R , если для всякого шара B(p, ) существует
содержащееся в нем измеримое множество M ненулевой меры такое, что как только
qM, qQ, то для всех t  0 (или для всех t  0) будет выполнено неравенство (4).
Определение 4 [8]. Обозначим через  множество всех взаимно однозначных и
взаимно непрерывных отображений (гомеоморфизмов)  числового множества
R :: [, ) на себя таких, что () = . Полутраектория решения (t, p),
t  Rt0 ,
(t0, p) = p, системы (1) называется: 1) положительно прочной в смысле Жуковского,
если существует репараметризация (t ) t , обладающая свойством: для каждого
0
числа  > 0 существует число  = () > 0 такое, что для любой точки qB(p) имеет
место r,(t, p, q) <  t  t0, где r,(t, p, q) ::= |((t), q) – (t, p)|; 2) положительно
асимптотически прочной в смысле Жуковского, если она положительно прочна в смысле
Жуковского и, кроме того, существует такое число 1 > 0, что для всех точек qB1(p)
существует репараметризация (t ) t
такая, что r,(t, p, q)  0,
t  ;
0
3) непрочной в смысле Жуковского, если существует число  > 0, что для каждого числа
 > 0 имеется точка qB(p) такая, что для любой репараметризации (t ) t при
0
некотором значении времени
t1  Rt0
выполнено неравенство r,(t, p, q) > .
Аналогично определяются отрицательно прочные траектории и двусторонне прочные
траектории в смысле Жуковского.
Приведем следующие замечания к определениям 1–4.
Замечание 1. Очевидно, что определения 1 и 2 прочности траектории уравнения (1)
являются внутренними свойствами траектории C, причем определение 2 есть частный
случай определения 1. В самом деле, чтобы убедиться в этом, достаточно положить
M = B(p, ) и T = 0.
38
Замечание 2. Определение 3 устойчивости траектории является аналогом
определения устойчивости движения в смысле Ляпунова [1]. Оно является внешним
(окрестностным) свойством траектории.
Замечание 3. Определение 4 прочности траектории уравнения (1) является внешним
свойством траектории C.
Замечание 4. Для состояний равновесия соответствующие определения 1 и 3
эквивалентны, но для периодических решений они неэквивалентны. Требование в
определениях 3, что число t0 есть произвольное фиксированное число, можно заменить
требованием, чтобы неравенство ((t0, p), (t0, p)) <  выполнялось лишь для
некоторого значения t0. Но тогда будем иметь определение устойчивости, отличное от
определения
в
смысле
Ляпунова.
Замечание 5. Из определения 4 и определения орбитальной устойчивости [15]
вытекает, что понятие прочности в смысле Жуковского является промежуточным
понятием между понятием орбитальной устойчивости и понятием устойчивости в смысле
Ляпунова, причем эти понятия являются независимыми. Из устойчивости в смысле
Ляпунова вытекает прочность в смысле Жуковского, а из прочности в смысле
Жуковского вытекает орбитальная устойчивость, то есть класс всех устойчивых в смысле
Ляпунова движений является подклассом всех прочных в смысле Жуковского движений,
а класс всех прочных в смысле Жуковского движений является подклассом всех
орбитально устойчивых движений, причем эти подклассы являются собственными
подклассами.
Теорема 1. Траектория C каждого почти периодического движения (t) = (t, p)
прочна относительно себя: для любого  > 0 найдется  > 0 такое, что как только
((1), (2)) < , будем иметь ((1+t), (2+t, p)) <  tR. Если траектория C
движения (t) прочна относительно себя, то она почти периодична.
Теорема 1 является следствием определений почти периодичности, рекуррентности
и прочности в себе, а также теоремы 1 работы [11]. В самом деле, в [11] установлено,
что для того чтобы L-устойчивое движение уравнения (1) было почти периодическим,
необходимо и достаточно, чтобы оно являлось рекуррентным и обладало для всех
значений tR свойством (3) при условии выполнения (2). В упомянутой теореме
Франклина требование рекуррентности движения является излишним, так как всякое Lустойчивое движение при выполнении свойств (2) и (3) является рекуррентным.
3. Свойства предельных движений прочных траекторий. Рассмотрим вопрос
о характере -предельных движений прочных и асимптотически прочных в смысле
определения 1 траекторий уравнения (1). Аналогичный вопрос для устойчивых в смысле
Ляпунова траекторий изучался в [12, 13].
+
Теорема 2. Если траектория C L -устойчивого движения (t) уравнения (1) прочна,
то каждая -предельная траектория C в  является прочной, то есть если
C  ,
(7)
то C прочна.
+
Доказательство. Так как C L -устойчива, то
0, r > 0 (t)B(0, r) t  0,
(8)
и тогда (t) определено для всех значений t. Пусть 0  T. Из (7) следует, что справедливо
неравенство
  T ((), (0)) < /2 {min (/2, /2)}.
(9)
Предположим, что (t) есть решение уравнения (1) и существуют числа 1, 2  T и
((1), (2)) < /2 (/2).
(10)
Так как траектория C прочна, то из (9) при t  0 имеем
39
((t + ), (t + 0)) < min { (/2), /2}.
Предположим, что 0 = 2. Тогда из (9) и (10) вытекает, что
((1), ()) <  (/2).
Следовательно,
((t + 1), (t + )) < /2 tR .
+
Из (11) и (13) получим
((t + 1), (t + 0)) <  tR .
+
(11)
(12)
(13)
(14)
Так как 0 = 2, то из неравенства (14) следует прочность траектории C. Теорема 2
доказана.
+
Теорема 3. Пусть C есть L -устойчивая траектория уравнения (1). Тогда существует
рекуррентная траектория C, которая погружена в предельное множество  .
Доказательство теоремы 3 базируется на том факте, что множество предельных
решений представляет динамический поток в смысле Биркгофа.
Теорема 4. Пусть C – рекуррентная прочная траектория, погруженная для всех tR
в шар B(0, r). Тогда траектория C является почти периодической.
Доказательство. Репараметризуем (t), если необходимо, так, чтобы T = 0.
Так как траектория C прочна, то для заданного  > 0 существует  = (/2). Так как (t)
рекуррентно, то по утверждениям 1 и 5 предложения 1 существует относительно плотная
последовательность чисел {} такая, что
((0), ()) < /2.
(15)
Если  задано, то в силу непрерывности решения от начальных данных существует
число  > 0 такое, что если u(t) – решение уравнения (1) и
((0), u(0)) < ,
(16)
то имеет место
((), u()) < /2.
(17)
Если t – заданное вещественное число и T1 > 0, то в силу рекуррентности (t)
существует число 1 такое, что
1 < –T1, 1 < t, |(0) – (1)| < min {, }.
(18)
Поэтому по определению числа 
((), ( + 1)) < /2.
(19)
Из (15) и (19) получаем
((0), ( + 1)) < .
(20)
Так как траектория C прочна при T = 0, то из (18) вытекает, что
((t), (t + 1)) < /2 t  0.
(21)
Из (20) и (21) получаем
((t + 1), (t + 1 + )) <  t  0.
(22)
Так как число 1 может быть выбрано так, чтобы 1 < –T1, где T1 > 0 – заданное число,
то теорема 4 доказана.
Теорема 5. Пусть: 1) C есть L-устойчивая прочная траектория движения (t)
уравнения (1), 2) не существует состояний равновесия уравнения (1) в замкнутом шаре
B[0, r]. Тогда существует нетривиальное почти периодическое решение уравнения (t)
такое, что
C  .
(23)
В самом деле, из условий теоремы 5 следует, что   B[0, r] и, значит, C   .
Теорема 6. Пусть траектория C
L-устойчивого движения (t) уравнения (1)
асимптотически прочна, и пусть траектория Cv решения v = v(t) уравнения (1) такова, что
40
Cv  .
(24)
Тогда траектория Cv асимптотически прочна.
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы. В силу теоремы 2 достаточно
доказать, что условие (4) определения 1 справедливо при (t) = v(t). Для заданного  > 0
пусть число  отвечает числу (), ассоциированному с движением (t). Предположим,
что существуют числа 1 и 2 такие, что
((1), v(2)) < ()/2.
(25)
Из (24) вытекает, что существует число 3  T такое, что
((3), v(2)) < ()/2,
(26)
а из (25) и (26) имеем, что ((1), (3)) < (). Так как траектория C асимптотически
прочна, то существуют 4 и 4 такие, для которых
lim ((t), (4 + t)) = 0,
(27)1
lim (v(t), v( 4 + t)) = 0.
(27)2
t
t
Положим  = t – 4 + 4 . Тогда имеем
lim (v( + (4 – 4 )), ( + 4 + (4 – 4 )) = 0,
(28)
lim (v( + (4 – 4 )), ( + 4)) = 0.
(29)

или

Из (27)2 и (29) получаем
lim ((t), v(t + (4 – 4 )) = 0.
t
(30)
Таким образом, теорема 6 доказана.
Теорема 7. Пусть C
есть L-устойчивая траектория движения (t) = (t, p)
n
уравнения (1). Если траектория C прочна относительно Q  R , то существует почти
периодическая траектория C движения (t) = (t, q), qQ, целиком погруженная в
множество , то есть C  .
Теорема 8. Пусть C
есть L-устойчивая траектория движения (t) = (t, p)
n
уравнения (1). Если траектория C асимптотически прочна относительно Q  R , то
существует периодическая траектория Cv движения v(t) = (t, q), qQ, совпадающая с
множеством , то есть Cv = .
Теорема 7 является следствием теорем 2, 3 и 4. Теорема 8 является следствием
теоремы 7 и теорем 5 и 6. В самом деле, из утверждения теоремы 7 вытекает, что
существует почти периодическая прочная траектория C такая, что C  . По теореме
5 траектория C
является асимптотически прочной. В силу свойства почти
периодичности имеем C  . Предположим, что (t) – рекуррентное движение такое,
что
C  C = 
и, кроме того, C  .
По теореме 4 движение (t) почти периодично, а по теореме 5 траектория C является
асимптотически прочной. В силу C   существует число 1 такое, что
((t + 1), (t))  0 при t  +.
(31)
Так как (t) и (t) почти периодичны, то и (t + 1) и (t) почти периодичны и тогда
для всех значений t будет справедливо равенство
(t) = (t + 1).
(32)
41
Следовательно, единственным рекуррентным движением (t), для которого
выполнено C  , является или движение (t), или движение (t + c), где c –
постоянная. Множество  замкнуто, инвариантно, компактно и содержит минимальное
множество
M,
являющееся замкнутым и, следовательно, компактным. По утверждениям 3 и 4
предложения 1 каждая траектория минимального компактного множества рекуррентна.
Так как доказано, что (t) является единственным рекуррентным движением в , то
M = C
и, значит,   C. Следовательно, (t) будет особым движением (состоянием
равновесия или периодическим). В силу асимптотической прочности траектории C
справедливо равенство  = C , и теорема 8 доказана.
Из теорем 7, 8 вытекают следствия.
+
Следствие 1. Пусть C есть L -устойчивая асимптотическая прочная траектория
уравнения (1). Если не существует асимптотически устойчивых состояний равновесия
в шаре B[0, r], то существует нетривиальное периодическое решение (t) уравнения (1)
такое, что C = .
Следствие 2. Пусть 1) x(t, p) – решение уравнения (1) такое, что x(t, p) = p;
2) существует ограниченное открытое множество K  G такое, что если pK, то для
всех t  t0, для которых решение x(t, p) определено, имеем x(t, p) K , где K – граница
множества K, а K – его замыкание; 3) траектория C решения (t) уравнения (1) является
прочной (соответственно асимптотически прочной). Тогда уравнение (1) имеет прочную
почти периодическую траекторию (соответственно асимптотически прочную
периодическую траекторию).
В заключение отметим, что актуальной задачей теории прочности траекторий является
исследование неавтономных дифференциальных уравнений dx dt  g (t , x), t  R,
x  R n , в частности уравнений, правые части которых являются периодическими или
почти периодическими функциями времени. В этом направлении работы [16, 17]
посвящены исследованию прочности в смысле Жуковского, а работы по внутренней
прочности траекторий неавтономных уравнений нам неизвестны.
Работа выполнена при поддержке Фонда содействия отечественной науке и РФФИ
(проект № 10-08-00826).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ляпунов, А.М. Общая задача об устойчивости движения [Текст] / А.М. Ляпунов. –
Харьков : Изд-во Харьков. мат. о-ва, 1892.
2. Жуковский, Н.Е. О прочности движения [Текст] / Н.Е. Жуковский // Ученые зап.
Моск. ун-та. Отд-ние. физ.-мат. – 1882. – Вып. 4. – С. 1–104.
3. Cronin, J. Periodic solutions of n-dimension systems and Volterra equations [Text] /
J. Cronin // J. of Differential Equations. – 1975. – V. 19. – P. 21–35.
4. Дружинина, О.В. О прочности в смысле Жуковского почти периодических
траекторий и свойствах предельных движений динамических систем [Текст] /
О.В. Дружинина, А.А. Шестаков // ДАН. – 2004. – Т. 398. – № 5. – С. 615–619.
5. Синдж, Дж. Тензорные методы в динамике [Текст] / Дж. Синдж. – М. : Изд-во
иностр. лит., 1947.
6. Аминов, М.Ш. Об устойчивости некоторых механических систем [Текст] /
М.Ш. Аминов // Тр. Казан. авиац. ин-та. – 1949. – Т. 24. – С. 3–69.
7. Леонов, Г.А. Критерии орбитальной устойчивости траекторий динамических систем
[Текст] / Г.А. Леонов, Д.В. Пономаренко // Изв. вузов. Сер. мат. – 1993. – № 4 (371). –
С. 88–94.
42
8. Дружинина, О.В. О прочности движения динамической системы [Текст] / О.В. Дружинина // ДАН. – 1997. – Т. 355. – № 1. – С. 51–53.
9. Биркгоф, Дж. Динамические системы [Текст] / Дж. Биркгоф. – М. : Гостехиздат,
1941.
10. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений [Текст] /
В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. – Изд. 2–е. – М. : ГИТТЛ, 1949. – Гл. V. – С. 345–348.
11. Franklin, P. Almost periodic recurrent motion [Text] / P. Franklin // Math. Zeitschrift. –
1929. – Bd. 30. – P. 325–331.
12. Markoff, A.A. Stabilität im Liapounoffschen Sinne und Fastperiodizität [Text] /
A.A. Markoff // Math. Zeitschrift. – 1933. – Bd. 36. – P. 708–738.
13. Сибирский, К.С. Равномерная аппроксимация точек и свойства движений в
динамически предельных множествах [Текст] / К.С. Сибирский // Изв. АН Молд. ССР. –
1963. – № 1. – С. 38–48.
14. Hartman, P. On global asymptotic stability of solutions of differential equations [Text] /
P. Hartman, C. Olech // Trans. Amer. Math. Soc. – V. 104. – 1962. – P. 154–178.
15. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [Текст] / Б.П. Демидович. – М. : Наука, 1967.
16. Giesl, P. On the Basin of Attraction of Limit Cycles in Periodic Differential Equations
[Text] / P. Giesl // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen Journal for Analysis and its
Applications. – 2004. – V. 23. – No 3. – P. 547–576.
17. Giesl, P. Borg’s criterion for almost periodic differential equations [Text] / P. Giesl,
M. Rasmussen // Nonlinear Anal. – 2008. – V. 69. – No 11. – P. 3722–3733.
Дружинина О.В., доктор физико-математических наук, профессор,
ведущий научный сотрудник
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40
E-mail: [email protected]
Шестаков А.А., доктор физико-математических наук, профессор
Московский государственный университет путей сообщения
127994, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9
E-mail: [email protected]
Druzhinina O.V., Doctor of sciences (phys.-math.), Professor,
Leading researcher
Dorodnicyn Computer Centre of Russian Academy of Sciences
40, Vavilova str., Moscow, 119333
E-mail: [email protected]
Shestakov A.A., Doctor of sciences (phys.-math.), Professor
Moscow State University of Transport Means
9, build. 9, Obraztsova str., Moscow, 127994, Russia
E-mail: [email protected]
43
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
УДК 517.925
С.А. Дутов, Н.В. Зубов, С.А. Стрекопытов
ИССЛЕДОВАНИЕ МИНИМАЛЬНОГО МНОГОЧЛЕНА
Приводится модифицированный метод построения минимального многочлена с помощью
решения систем линейных алгебраических уравнений. Предлагаемый подход, не изменяя
основной идеи метода, дает возможность в высшей степени сократить число вычислений. Если
ранее для построения коэффициентов минимального многочлена матрицы n -го порядка при
использовании метода необходимо было искать решение систем линейных алгебраических
уравнений порядка n 2  m, n  m , то в модифицированном методе для этого достаточно искать
решение систем линейных алгебраических уравнений порядка n  m, n  m .
многочлен, коэффициент, матрица, собственное число, система линейных алгебраических
уравнений, задача поиска, матричное тождество.
In this article is lead to modification method of building minimum polynomial with help solution
of systems linear algebraic equations. The supposed approach isn't changes base idea of method, is gives
chance in higher degree cut down the number calculations. If early for building coefficients of minimum
polynomial of matrix n -order by utilization the method sufficiently was researched solution of systems
linear algebraic equations in order to n 2  m, n  m , that in modification method for this sufficiently
is researches the solution of systems linear algebraic equations in order to n  m, n  m .
polynomial, coefficient, matrix, own number, system of linear algebraic equations, the task
of research, matrix identity.
Для вычисления коэффициентов минимального многочлена матрицы A известно
всего несколько подходов, которые условно можно разделить на аналитические и
вычислительные методы [1, 2]. К первой группе можно отнести приведение матрицы к
форме Жордана и к форме Смита. Во вторую группу входит метод Данилевского
приведения матрицы к форме Фробениуса. Однако оба подхода первой группы
фактически вычисляют собственные числа этой матрицы, что является отдельной и
непростой
задачей.
Предпочтительнее использовать методы, не требующие вычисления спектра. Метод
Данилевского дает коэффициенты характеристического многочлена, если он совпадает
с минимальным, иначе матрица Фробениуса будет блочной, и один из блоков дает
коэффициенты минимального полинома.
Для краткости напомним суть метода построения минимального многочлена путем
решения системы линейных алгебраических уравнений, изложенного в работе [3].
Пусть A – вещественная, постоянная матрица размера n n . Поставим задачу поиска
минимального многочлена этой матрицы, то есть многочлена наименьшей степени,
анулирующего матрицу A с коэффициентом при старшей степени, равным единице.
Итак, минимальный многочлен имеет вид
f    k  ck 1k 1  ...  c1  c0  0 ,
причем выполняется матричное тождество Ak  ck 1 Ak 1  ...  c1 A  c0 E  0 .
Заметим, что вещественные матрицы размера n  n образуют вещественное линейное
пространство размерности n 2 , где можно использовать все результаты, полученные
в линейной алгебре [1]. Исходя из этого, можно сформулировать очевидное утверждение.
Теорема 1. Степень минимального многочлена равна k  1, если матрицы
Ak , Ak 1 ,..., A, A0 ; A0  E ,
линейно независимы, но линейно зависимы матрицы
44
(1)
Ak 1, Ak , Ak 1,..., A, E .
(2)
Доказательство. Действительно, если матрицы (2) линейно зависимы, то существуют
вещественные числа c0 , c1,..., ck 1 , не все равные нулю такие, что выполняется
k 1
матричное тождество
 ci Ai ,
i 0
A0  E . Из этого тождества следует, что ck 1  0 , ибо, в
противном случае, это будет означать, что матрицы (1) линейно зависимы. Отсюда
вытекает,
что
справедливо
матричное
равенство
Ak 1 
ck k
c
c
A  ...  1 A  0 E  0 .
ck 1
ck 1
ck 1
Таким
образом,
коэффициенты
этого
матричного тождества являются коэффициентами минимального многочлена. Заметим,
что
в
силу
теоремы
Кэли
–
Гамильтона
матрицы
(2)
линейно зависимы при k  n  1. Теорема доказана.
Введем понятие развернутой матрицы Bk для матричной совокупности (1).
Эта матрица размера n 2  k  1 , столбцы которой составлены из столбцов Aim , i  1, n ,
матриц Am , m  k ,0 , записанных один под другим подряд, начиная с первого столбца
этой матрицы ( A1m ), кончая последним ( Anm ):
 A1k

A
Bk   2k


A
 nk
A1k 1  E1 
 A1m 



A2k 1  E2 
 A2m 
  Ak ,..., A0 , Am  
, m  k ,0.

  
 



A 
Ank 1  En 
 nm 
Линейная независимость матриц (1) эквивалентна линейной независимости столбцов
матрицы Bk , так как Bk C  0 
k
 ci Ai  0, C  ck , ck 1,..., c0 T . Это означает, что
i 0
линейная независимость матриц (1) эквивалентна тому, что матрица Bk размера
n 2  k  1 является матрицей полного ранга, то есть ее ранг равен k  1 .
Отсюда вытекает, что теорему 1 можно переформулировать следующим образом.
Теорема 2. Пусть k – наименьшее из чисел ( k  0, n  1 ), при котором система
линейных алгебраических уравнений
Bk C  Ak 1, C  ck , ck 1,..., c0 T ,
имеет решение. Тогда минимальный многочлен матрицы A имеет вид
f    k 1  ck k  ck 1k 1  ...  c1  c0  0 .
(3)
(4)
Справедливо и обратное утверждение о том, что коэффициенты минимального
многочлена (4) C  ck , ck 1,..., c0 
являются решениями системы линейных
алгебраических уравнений (3).
Доказательство. Разрешимость уравнения (3) означает разрешимость тождества
T
Ak 1  ck Ak  ck 1 Ak 1  ...  c1 A  c0 E .
(5)
Так как k – минимальное из чисел 0, n  1 , то многочлен (4) является минимальным.
С другой стороны, если многочлен (4) является минимальным многочленом,
то справедливо матричное тождество (5), которое эквивалентно разрешимости системы
линейных алгебраических уравнений (3). Теорема доказана.
45
Замечание. Итак, методика построения минимального многочлена заключается
в поиске решения C  ck , ck 1,..., c0  системы линейных алгебраических уравнений (3)
T
для наименьшего целого числа k , k  1, n . При этом величины  ck ,ck 1,...,c0 будут
коэффициентами минимального многочлена (4). Заметим, что в силу теоремы
Кели – Гамильтона матричное уравнение (5) всегда имеет решение.
Работа выполнена при поддержке РФФИ грант № 07-07-00104 и грант № 06-01-00244.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления [Текст] / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. –
М. : Наука, 1984.
2.
Зеленков,
Г.А.
Аналитические
и
численные
методы
построения
характеристического многочлена [Текст] : моногр. / Г.А. Зеленков. – Новороссийск :
МГА
имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, 2007. – 128 с.
3. Дикусар, В.В. Построение минимального многочлена с помощью решения
системы линейных алгебраических уравнений систем [Текст] / В.В. Дикусар, Г.А.
Зеленков, Н.В. Зубов. – М. : КомКнига, 2007. – Т. 29(1). – С. 109−115.
4. Зубов, Н.В. Автоматизация проектирования устойчивости и надежности
колебательных систем [Текст] / Н.В. Зубов, А.Ф. Зубова. – СПб. : Мобильность-Плюс,
2009. – 355 с.
5. Стрекопытова, М.В. Принципы управления движением заряженных частиц [Текст] /
М.В. Стрекопытова. – СПб. : СПбГУ, 2003. – 86 с.
Дутов C.А., преподаватель факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
E-mail: [email protected]
Зубов Н.В., профессор
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
142103, Московская обл., г. Подольск, ул. Ждановская, д. 47
E-mail: [email protected]
Стрекопытова М.В., доцент факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
E-mail: [email protected]
Dutov S.A., Teacher, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
E-mail: [email protected]
Zubov N. V., Professor
Computing center after the name of A.A. Dorodnichin of RAN
142103, Moscow region, t. Podolsk, str. Gdanovskay, h. 47
E-mail: [email protected]
Strecopitova M.V., Associate Professor, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
E-mail: [email protected]
46
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
УДК 517.925
Н.В. Зубов, С.В. Зубов
КРИТЕРИИ ПОЛНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ
Для открытых систем получены необходимые и достаточные условия на матрицу открытой
системы, при которых замкнутая система может быть сделана полностью управляемой с помощью
скалярного управления.
скалярное управление, совокупность векторов, интервал, структура, матрица, минимальный
многочлен.
For open systems is gives sufficiently and necessary conditions on matrix of open system, by which
closed system may be to make fully controlling with help scalar control.
scalar control, total combination of vectors, interval, structure, matrix, minimum polynomial.
Рассмотрим замкнутую систему со скалярным управлением
X  AX  Bu  F t  ,
где A – постоянная матрица размера
n  n ,
(1)
B – постоянный вектор B E n ,
u  L2 0,T , F t  KC0,T  – кусочно-непрерывный вектор-функция, определенная
на интервале 0, T  .
Известно [1], что для того, чтобы система (1) была полностью управляема на
интервале 0, T  , необходимо и достаточно, чтобы выполнялся критерий Калмана, то есть
совокупность векторов
B, AB, A2 B,..., An 1B
(2)
была линейно независима.
Поставим вначале задачу поиска необходимых и достаточных условий, которым
должна удовлетворять матрица A , при выполнении которых существует множество
векторов B таких, что при любом векторе B из этого множества совокупность
векторов (2) была линейно независима, то есть система (1) была полностью управляема.
После
решения этой задачи будем выяснять структуру данного множества векторов.
В линейной алгебре установлена эквивалентность следующих трех характеристик
матрицы A [2]:
1) минимальный многочлен матрицы A совпадает с характеристическим
многочленом этой матрицы;
2) число различных собственных чисел матрицы равно числу ее линейно независимых
собственных векторов;
3) для любого собственного числа i , i  1, k , матрицы A , имеющего кратность
k
ki ,
 ki  n ,
существует корневой вектор, отвечающий этому собственному числу
i 1
и имеющий высоту k i .
Эти характеристики мы будем использовать в дальнейшем, чтобы сократить
доказательства различных теорем.
47
Теорема 1. Для того чтобы система (1) могла быть полностью управляемой,
необходимо и достаточно, чтобы минимальный многочлен матрицы A совпадал с
характеристическим многочленом этой матрицы.
Доказательство. Необходимость. Пусть система (1) полностью управляема, то есть
существует вектор B такой, что совокупность векторов (2) линейно независима.
Допустим, что минимальный многочлен    матрицы A не совпадает с
характеристическим многочленом f   этой матрицы, то есть имеет меньший порядок
m  n . Тогда операторный многочлен   A является аннулирующим многочленом и
можно написать


  A  Am   m 1 Am 1  ...   0 E B  Am B   m 1 Am 1B  ...   0 B  0 .
(3)
Выражение, стоящее в этом равенстве справа, является линейной комбинацией
векторов B, AB, A2 B,..., An 1B , причем не все коэффициенты этой линейной
комбинации равны нулю. Полученное противоречие с линейной независимостью
совокупности векторов (2) и показывает, что минимальный многочлен матрицы A
совпадает с ее характеристическим многочленом.
Достаточность. Пусть минимальный многочлен матрицы A совпадает с
характеристическим многочленом этой матрицы, но для любого вектора B  0
совокупность векторов (2) линейно зависима, то есть систему (1) нельзя сделать
полностью управляемой.
Рассмотрим представление пространства E n в виде прямой суммы T1  T2  ...  Tk
корневых подпространств соответствующих собственным значениям оператора A .
Известно [4], что в данном случае корневые подпространства Ti , соответствующие
собственным значениям i , i  1, k , оператора A и имеющие кратность k i ,
k
 ki  n ,
i 1
образованы векторами
(4)
X i ,  A  i E X i ,...,  A  i E ki 1 X i , i  1, k ,
где X i – корневой вектор, имеющий высоту k i . Возьмем вектор B в виде разложения
по базису (4), причем все коэффициенты, стоящие при корневых векторах X i высоты k i
отличны
от
2
нуля.
B, AB, A B,..., A
n 1
Покажем,
что
в
этом
случае
совокупность
векторов
B линейно независима.
Допустим противное. Тогда существует некоторый операторный многочлен   A
порядка n  1 , аннулирующий вектор B , то есть   AB  0 . Заметим, что любое
корневое
подпространство
Ti инвариантно относительно любого операторного
многочлена   A , то есть если Bi  Ti , то   ABi  Ti . Отсюда следует, что если вектор
представим
B
в виде B 
k
 Bi , где
i 1
соотношения
Bi  Ti , то из равенства   AB  0 следует, что справедливы
  ABi  0, i  1, k.
(5)
Это вытекает из того, что пространство E n представляет собой прямую сумму
T1  T2  ...  Tk корневых подпространств, соответствующих собственным числам
матрицы A , и любой вектор из E n однозначно выражается в виде суммы векторов из
48
этих подпространств, взятых по одному из каждого. Таким образом, нулевой вектор
может являться суммой только нулевых векторов, взятых их этих
подпространств.
  AB
Нетрудно видеть, что равенства   ABi  0, i  1, k , выполняются только в том
случае, когда i является собственным значением операторного многочлена   A
кратности mi mi  ki  . Отсюда вытекает, что для выполнения равенств (5) требуется,
чтобы операторный многочлен   A имел собственные значения i с кратностями mi ,
то есть имел сомножители
многочлена   A
 A  i E mi .
больше чем
Это означает, что степень операторного
n  1 , так как
противоречие доказывает, что при векторе
k
k
i 1
i 1
 mi   ki  n . Полученное
B , выбранном как указано выше,
n 1
2
совокупность векторов B, AB, A B,..., A B линейно независима и, следовательно,
система (1) полностью управляема. Теорема доказана.
Теорема 2. Если выполняются условия теоремы 1, то множество векторов B, для
которых система (1) полностью управляема, представляет собой произвольную линейную
комбинацию
базисных
векторов
(4)
корневых
подпространств
Ti ,
i  1, k ,
соответствующих собственным числам i , i  1, k , матрицы A , имеющим кратность k i ,
k
 ki  n , причем, все коэффициенты, стоящие при корневых векторах
i 1
X i  T высоты
k i , отличны от нуля.
Доказательство. Факт, который необходимо доказать в этой теореме, уже фактически
установлен при доказательстве теоремы 1. Покажем, что если взять вектор B  B,
то система (1) не будет полностью управляемой.
Допустим, что в линейной комбинации базисных векторов корневых пространств,
представляющей вектор B , один из коэффициентов, стоящий при векторе X i  Ti
высоты k i , равен нулю. Тогда вектор Bi  Ti , являющийся компонентой вектора B при
его разложении по подпространствам Ti , аннулируется операторным многочленом
 A  i E mi ,
mi  ki , а остальные вектора B j  T j – операторными многочленами
A   j E k . Отсюда вытекает, что вектор B аннулируется операторным многочленом
k
 A   j E k  A  i E k  m степени n  ki  mi   n 1 . Это означает, что
j
j
i
i
j 1
совокупность векторов B, AB , A2 B,..., An 1B линейно зависима и система (1) не
является полностью управляемой. Теорема доказана.
Замечание 1. Теоремы 1 и 2 дают не только конструктивные критерии полной
управляемости системы, но и дают возможность выбирать параметры системы
управления (компоненты вектора B , то есть коэффициенты усиления) оптимальными, в
том или ином смысле.
49
Замечание 2. Чтобы проверить, может ли скалярная система быть полностью
управляемой, достаточно найти все собственные числа i , i  1, k , матрицы A и, если
ранги матриц A  i E равны n  1 , то условие теоремы 1 выполнено.
Работа выполнена при поддержке РФФИ грант № 07-07-00104 и грант № 06-01-00244.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк, Б.Т. Робастная устойчивость и управление [Текст] / Б.Т. Поляк, П.С.
Щербаков. – М. : Наука, 2002.
2. Дикусар, В.В. Методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости [Текст]
/ В.В. Дикусар, Г.А. Зеленков, Н.В. Зубов. – М. : Изд-во ВЦ РАН, 2007. – 234 с.
3. Зубова, А.Ф. Математические методы исследования колебательных систем
[Текст] / А.Ф. Зубова. – Саранск : Изд-во Саратов. ун-та., Саран. филиал, 1989. – 324 с.
4. Гантмахер, Ф.Д. Теория матриц [Текст] / Ф.Д. Гантмахер. – М. : Наука, 1967. –
576 с.
5. Зубов, Н.В. Лекции по математическим методам стабилизации динамических
систем [Текст] / Н.В. Зубов, С.В. Зубов. – СПб. : Изд-во СПбГУ, 2007. – 352 с.
Зубов Н.В., профессор
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
142103, Московская обл., г. Подольск, ул. Ждановская, д. 47
E-mail: [email protected]
Зубов С.В., доцент факультета ПМ-ПУ
Санкт-Петербургский государственный университет
191024, г. Санкт-Петербург, ул. Конная, д. 22, кв. 31
E-mail: [email protected]
Zubov N.V., Professor
Computing center after the name of A.A. Dorodnichin of RAN
142103, Moscow region, t. Podolsk, str. Gdanovskay, h. 47
E-mail: [email protected]
Zubov S.V., Assistant Professor, Faculty of AM-PC
Saint-Petersburg State University
191024, t. Saint-Petersburg, str. Connay, h. 22, f. 31
E-mail: [email protected]
50
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
УДК 517.925.51
В.Н. Курашин, Е.И. Троицкий
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Изучена ограниченность решений линейной системы дифференциальных
с периодическими коэффициентами. Получены достаточные условия устойчивости.
система линейных дифференциальных уравнений, устойчивость,
ограниченность решений.
уравнений
матрица монодромии,
The linear differential system with periodic coefficient solutions limitation has been considered.
They received sufficient conditions of stability.
the system of linear differential equations, stability, matrix of monodromy, solutions limitation.
Задача об устойчивости системы двух линейных дифференциальных уравнений
первого порядка с Т-периодическими коэффициентами
(1)
x  ( A  p(t ) B) x
и некоторых её частных случаев изучалась в работах [1–3]. При этом о кусочнонепрерывной, T -периодической функции p(t ) предполагалось известным:
верхняя M и нижняя m грани на периоде; значение 00 интеграла от p(t ) на
отрезке [0, T ] . Кроме того, произведение Ли [ AB]  AB  BA отлично от нуля,
T
q   Sp[ A  p(t ) B]dt  0 .
0
Известно [4], что тривиальное решение системы (1) устойчиво при выполнении
q
q
неравенства | AT | exp    ch , где AT – константа Ляпунова, равная половине
2
2
следа матрицы монодромии X (T ) .
Вопрос об устойчивости системы (1) сводился к решению задачи оптимального
управления, решаемой с помощью принципа максимума. Выделялось множество
кусочно-постоянных, T -периодических функций, принимающих значение M
k
при
0  t 
и – m при   t  T1 , T1  T , k  N , T     , необходимо доставляющих
k
экстремум константе Ляпунова AT [1  3] .
Обозначим через D , d дискриминанты характеристических уравнений матриц
различные знаковые случаи
A  MB , A  mB . Рассматривались [2, 3]
дискриминантов D , d , в которых константа Ляпунова AT для T k
51
периодического
процесса
имела
 q 
одинаковую структуру AT  exp  r (k ), k  N .
 2k 
Получены [1–3] достаточные условия устойчивости системы (1) при сделанных
выше предположениях относительно коэффициентов системы для случая
kN .
| r (k ) | 1 ,
В статье [5] найдены достаточные условия устойчивости уравнения
x  ax  p(t ) x  0 . При этом a  0 ; D  0 ; d  0 ; r (k )  1 , k  N .
Целью настоящей работы является получение достаточных условий
устойчивости
системы (1) в знаковом случае D  0 , d  0 при r (k )  1 , k  N .
Записываем выражение для r (k )
r (k )  ch


   sh

 sh

,
2k
2k
2k
2k
mT  0
MT  0
Dd h
где D  2  0 ; d   2  0 ;  
; 
;  
; h
M m
M m
2
 (M  m) 2 [b12b21  (b11  b22 ) 2 ] .
Будем предполагать, что   0 . Тогда r (k )  1 , k  N . Аналогично [5] введем
1
1
в рассмотрение функцию R( x )  ln[r( x )  r 2 ( x )  1], x  , x  0; 1 .
x
k
Убедимся, что R(x) является монотонно убывающей функцией. Представим
R(x)
1 
 1


в виде R( x) 
, C2 
. Следуя
ch(C1  C2 ) x 
ch(C1  C2 ) x , где C1 
2
2
2
2
dr d 2r
d 3r
 2 r 3 .
[5], находим функцию ( x) 
dx dx
dx
ch
Опуская выкладки, имеем ( x)  C1C2 ( 2  1)C1sh2C2 x  C2sh2C1x  .
dR
При   1 получаем, что
 0 [5]. Далее lim R( x)  C12  C22  2C1C2 .
x 0
dx
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть для системы (1) при сделанных предположениях относительно
функции p(t )
q
(2)
D  0 , d  0 ,   1 , C12  C22  2C1C2   .
2
Тогда система (1) устойчива.
Пример. Для уравнения x  ax  (b  a  p(t )) x  0 , a  0 , b  0 , M  m , 0  0
условия устойчивости (2) принимают следующий вид:
T
D  a 2  4aM  4b; d  a 2  4aM  4b; d  D  8aM ;     ; h  0;
2
Dd
T
T
T

 1; C1 
; C2 
; q  aT ; C12  C12  2C1C2 
a 2  4b ;
2
4
4
2
a 2  4aM  4b  0; a 2  4b  a
52
.
Поскольку b  0 , то остается одно условие a 2  4aM  4b  0 .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сабуров, М.С., Об ограниченности решений дифференциального уравнения
второго порядка с периодическими коэффициентами [Текст] / М.С. Сабуров //
Дифференциальные уравнения. – 1971. – Т. 7. – № 11. – С. 2019–2029.
2. Троицкий, Е.И. Об ограниченности решений уравнения x  ax  p(t ) x  0
[Текст] / Е.И. Троицкий // Дифференциальные уравнения : тр. Ряз. радиотехн. инта / Ряз. гос. радиотехн. ин-т. – Рязань, 1975. – Вып. 62. – С. 96–106.
3. Курашин, В.Н. К устойчивости систем линейных дифференциальных
уравнений
с периодическими коэффициентами [Текст] / В.Н. Курашин, Е.И. Троицкий //
Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. /
РГПИ.
–
Рязань, 1981. – С. 59–63.
4. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [Текст] /
Б.П. Демидович. – М. : Наука, 1967. – 472 с.
5. Курашин, В.Н. Исследование устойчивости одного линейного
дифференциального уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом
[Текст] / В.Н. Курашин, Е.И. Троицкий // Известия РАЕН. Дифференциальные
уравнения.
–
2009.
–
№ 14. – С. 68–70.
Курашин В.Н., доцент кафедры математических и естественно-научных дисциплин
Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище (институт)
имени генерала армии В.Ф. Маргелова
390031, г. Рязань, площадь им. генерала армии В.Ф. Маргелова, д. 1
Троицкий Е.И., заведующий кафедрой высшей математики
Рязанский государственный агротехнологический университет им. профессора П.А. Костычева
390044, г. Рязань, ул. Костычева, д. 1
KurashinV.N., Associate Professor of Mathematical and Natural Science Faculty
Ryazan Airbone Military Institute after the name of General V.F. Margelov
1, General V.F. Margelov Square, Ryazan, 390031, Russia
Troickiy E.I., Head of Higher Mathematics Faculty
Ryazan State Agrotechnological University after the name Professor P.A. Kostychev
1, Kostychev str., Ryazan, 390044, Russia
53
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
УДК 517.925
Ю.В. Малышев, П.С. Атаманов
ФАКТОРИЗОВАННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
И СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Операторный метод применяется для решения однородных, неоднородных систем линейных
дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами. Приведены
примеры.
алгебраическое дополнение, общее решение, оператор дифференцирования, операторное
уравнение, операторный определитель.
It is applied operational method in order to find the solution of the homogeneons, non – homogeneons
systems of linear differential equations with constant and variable coefficients. There are the examples.
algebraical adjuct, general solution, operator of differentiation, operational equation, operational
determinant.
1. Нормальные линейные системы
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1.1. Нормальная линейная однородная система третьего порядка
Рассматривается система
 x1  a11x1 t   a12 x2 t   a13 x3 t ,

 x2  a21x1 t   a22 x2 t   a23 x3 t ,
 x  a x t   a x t   a x t ,
31 1
32 2
33 3
 3
(1)
в ней x1 t  , x2 t  , x3 t  – неизвестные функции, aij – постоянные коэффициенты.
Если D  d dt – оператор дифференцирования, то система приводится к системе
операторных уравнений
D  a11 x1  a12 x2  a13 x3  0,

 a21x1  D  a22 x2  a23 x3  0,
 a x  a x  D  a x  0.
33 3
 31 1 32 2
D  a11
Для (2) составляем операторный определитель    a21
 a31
(2)
 a12
D  a22
 a32
 a13
 a23 .
D  a33
Система операторных уравнений x1  0, x2  0, x3  0 соответствует системе (1).
Разложим определитель  , например, по элементам первой строки
  D  a33 D  a22 D  a11   a23a32 D  a11   a12a21D  a33  
 a12a23a31  a13a21a32  a13a31D  a22 .
С учетом этого первое операторное уравнение x1  0 примет следующий вид:
x1 a11 a22  a33 x1  a11a22  a22a33  a11a33  a23a32  a12a21  a13a31 x1  x1 0.
54
где   aij – определитель, составленный из коэффициентов правых частей системы (1).
Линейным оператором его является
(3)
L3 D    D3  a11  a22  a33 D 2   A11  A22  A33 D   ,
в нем A11, A22 , A33 – алгебраические дополнения элементов a11, a22 , a33 определителя  .
Он факторизуется, то есть L3 D  D  b1 D  b2 D  b3  , где b1 , b2 , b3 –
постоянные.
Операторным методом [1] решаем уравнение x1  0 :
D  b1 D  b2 D  b3 x1  0 ;
eb1t Deb2  b1 t Deb3  b2 t De b3t  0 .
С помощью обратного оператора D 1 вычисляется его общее решение
x1  C1eb1t  C2 eb2t  C3eb3t .
Общими решениями уравнений x2  0, x3  0 будут соответственно функции
x2  C4 eb1t  C5eb2t  C6 eb3t , x3  C7 eb1t  C8eb2t  C9eb3t .
Общее решение системы (1) будет найдено, если устанавливаются связи между
постоянными в функциях x1 , x2 , x3 постановкой их в систему (2). В итоге получим





x1  1 t , C1 , C 2 , C 3 , x2   2 t , C1 , C 2 , C 3 , x3  3 t , C1 , C 2 , C 3 .
 x   4 y  2 z  3 x,

Пример 1. Операторным методом найти общее решение системы  y   x  z ,
 z   6 x  6 y  5 z.

D  3x  4 y  2 z  0,

Решение. Запишем систему в виде (2):  x  Dy  z  0,
 6 x  6 y  D  5z  0.

Находим   2 . Составляем операторный определитель   D3  2D 2  D  2 .
Он факторизуется:   D  1D  2D  1 .
Решаем уравнение   D  1D  2D  1x  0 . Его общее решение имеет вид
x  C1et  C2 e 2t  C3e t .
Тогда функции y и z имеют вид [4] y  C4 et  C5e 2t  C6 e t , z  C7 et  C8e 2t 
 C9 e t . Подставив x , y , z в систему, получаем систему равенств для нахождения
связей между постоянными Ci , i  1, 9 :
4C1  4C4  2C7 e t  5C1  4C5  2C8 e 2t  2C3  4C6  2C9 e t  0,


t
2t
t
 C1  C4  2C7 e   C2  2C5  C8 e   C3  C6  C9 e  0,

 6C1  6C4  4C7 et   6C2  6C5  3C8 e 2t   6C3  6C6  6C9 e  t  0.


Равенства системы выполняются, если постоянные связаны следующими тремя
системами условий:
2C1  2C4  C7  0,

 C1  C4  2C7  0,
 3C  3C  2C  0;
1
4
7

5C2  4C5  2C8  0,

 C2  2C5  C8  0,
 2C  2C  C  0;
2
5
8

55
C3  2C6  C9  0,

C3  C6  C9  0,
 C  C  C  0.
6
9
 3
Из первой системы C4  C1 , C7  0 , из второй C2  0, C8  2C5 , из третьей
C6  0, C9  C3 . Пользуясь этими выводами, запишем общее решение:
x  C1et  C3e t , y  C1et  C5e 2t , z  2C5e 2t  C3e t .
В нем 3 произвольные постоянные: C1 , C3 , C5 . Окончательный ответ в общем случае
x  C1et  C3e t , y  C1et  C2 e 2t , z  2C2 e 2t  C3e t .
1.2. Нормальная линейная неоднородная система второго порядка
Рассматривается система
 x1 t   a11x1 t   a12 x2 t   f1 t ,

 x2 t   a21x1 t   a22 x2 t   f 2 t ,
(4)
где x1 t , x2 t  – неизвестные функции; aij – постоянные коэффициенты. Если D  d dt
– оператор дифференцирования, то система приводится к следующему виду:
D  a11 x1  a12 x2  f1 ,

 a21x1  D  a22 x2  f 2 .
Составляем операторные определители:  
 a12a21,
1 
f1
 a12
f 2 D  a22
(5)
D  a11  a12
 a21 D  a22
 D  a22  f1  a12 f 2 ,
2 
 D  a22 D  a11  
D  a11 f1
 a21
f2
 D  a11  f 2 
 a21 f1. Получаем систему операторных уравнений с неизвестными x1 и x2 :
x1  1 , x2   2 ;
(6)
  D 2  a11  a22 D  a11a22  a12a21,
1  f1  a22 f1  a12 f 2 ,  2  f 2  a11 f 2  a21 f1.
Пусть оператор  факторизуется, то есть   D  m1 D  m2  , где m1 , m2 –
постоянные. Тогда система (6) примет вид
D  m1 D  m2 x1  f1  a22 f1  a12 f 2 ,

D  m1 D  m2 x2  f 2  a11 f 2  a21 f1;
m  m t  m t
mt

e 1 De 2 1 De 2 x1  f1  a22 f1  a12 f 2 ,
 m t m  m t  m t
1
2
1 De
2 x  f  a

2
2
11 f 2  a21 f1.
e De
С помощью оператора D 1 [4] вычисляются функции x1 и x 2 :
(7)
(8)
m t 1 m  m t 1  m t
m t 1 m  m t
mt

 x1  e 2 D e 1 2 D e 1 a12 f 2  a22 f1  f1  C1e 2 D e 1 2  C2 e 2 ,
(9)

m2t 1 m1  m2 t 1  m1t
m2t 1 m1  m2 t
m2t




x

e
D
e
D
e
a
f

a
f

f

C
e
D
e

C
e
.
21 2
11 1
2
3
4
 2
Установив связи между постоянными C1 , C2 , C3 , C4 , получим общее решение


системы x1  1 t , C1 , C 2 ,


x2   2 t , C1 , C 2 .
1.3. Нормальная линейная неоднородная система третьего порядка
Рассматривается система
56
 x1 t   a11x1 t   a12 x2 t   a13 x3 t   f1 t ,

 x2 t   a21x1 t   a22 x2 t   a23 x3 t   f 2 t ,
 x t   a x t   a x t   a x t   f t ,
31 1
32 2
33 3
3
 3
(10)
в которой x1 t , x2 t , x3 t  – искомые функции; aij – постоянные коэффициенты; f1 t ,
f 2 t , f 3 t  – непрерывные дифференцируемые функции.
Пусть D  d dt – оператор дифференцирования, тогда из системы (10) получим
D  a11 x1  a12 x2  a13 x3  f1 ,

 a21x1  D  a22 x2  a23 x3  f 2 ,
 a x  a x  D  a x  f .
33 3
3
 31 1 32 2
(11)
D  a11  a12
Для (11) составляем операторные определители:    a21
 a31
f1
 a12
 a13
D  a11 f1
1  f 2 D  a22  a23 ,  2   a21
f3
 a32
D  a33
f2
 a31
 a13
 a13
D  a22  a23 ,
 a32
D  a33
D  a11  a12
f1
 a23 ,  3   a21 D  a22 f 2 .
f 3 D  a33
 a31
 a32
f3
Составляем систему операторных уравнений [4]:
x1  1 , x2   2 , x3   3 .
(12)
Пусть  – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных функциях
правых частей системы (10). Тогда (см. (3))
  D3  a11  a22  a33 D 2   A11  A22  A33 D   .
Пусть  факторизуется:   D  b1 D  b2 D  b3  , где b1 , b2 , b3 – некоторые
постоянные. Если (12) расшифровать, то получим
D  b1 D  b2 D  b3 x1  D  a33 D  a22  f1  a23a32 f1 


 D  a33 a12 f 2  a13a32 f 2  a12a23 f 3  D  a22 a13 f 3 ,

D  b1 D  b2 D  b3 x2  D  a33 a21 f1  a31a23 f1  D  a33 D  a11  f 2 
(13)




a
a
f

D

a
a
f

a
a
f
,
13 31 2
11 23 3
13 21 3

 D  b1 D  b2 D  b3 x3  a21a32 f1  D  a22 a31 f1  D  a11 a32 f 2 


 a12a31 f 2  D  a22 D  a11  f 3  a12a21 f 3 .
Из первого уравнения системы (13) получим x1  1 t , C1 , C2 , C3  , из второго:
x2   2 t , C4 , C5 ,C6  , из третьего: x3  3 t , C7 , C8 , C9  . Подставив их в (11),
устанавливаем связи между Ci , i  1, 9 . Будет найдено общее решение системы (10):






x1  1 t , C1 , C 2 , C 3 , x2   2 t , C1 , C 2 , C 3 , x3  3 t , C1 , C 2 , C 3 .
 x1  2 x1  3x2  4 x3  3t ,

Пример 2. Найти общее решение системы  x2  6 x1  7 x2  6 x3  1  7t ,
 x   x  x  x  t.
1
2
3
 3
57
2
3
Решение. Вычисляем    6
7
1
4
6  6 . Тогда   L3 D  D3  6D 2  11D  6 .
1 1
Он факторизуется:   D  1D  2D  3 .
D  1D  2D  3x1  0,

Система (13) для примера имеет вид D  1D  2D  3x2  6t  11, Из первого
D  1D  2D  3x  0.
3

уравнения
x1  C1et  C2 e 2t  C3e3t , из второго x2  t  C4 et  C5e 2t 
 C6 e 3t ,
из третьего x3  C7 et  C8e 2t  C9 e3t . После подстановки их в (11) получаем
следующие системы равенств:
 3C1  3C4  4C7  0,  4C2  3C5  4C8  0,  5C3  3C6  4C9  0,



6C1  6C4  6C7  0,
 6C2  5C5  6C8  0,  6C3  4C6  6C9  0,
C  C  0;
C  C  C  0;
C  C  2C  0.
4
5
8
6
9
 1
 2
 3
Из первой системы C4  C1 , C7  0 , из второй C5  0, C8  C2 , из третьей C6  3C3 ,
C9  C3 . С учётом этих условий общее решение системы
x1  C1et  C2 e 2t  C3e3t , x2  t  C1et  3C3e3t , x3  C2 e 2t  C3e3t .
2. Нормальные линейные системы
обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
2.1. Нормальная линейная однородная система второго порядка
с переменными коэффициентами
Рассматривается система
 x1 t   a11t x1 t   a12 t x2 t ,

 x2 t   a21t x1 t   a22 t x2 t ,
где x1 t , x2 t  – неизвестные функции, aij – переменные коэффициенты.
(14)
Пусть D  d dt – оператор дифференцирования. Система (14) примет вид
D  a11t x1 t   a12 t x2 t   0,

 a21t x1 t   D  a22 t x2 t   0.
Из первого уравнения
x2 t  
1
a12 t 
D  a11t x1 t  .
(15)
После подстановки
x2 t 
во второе уравнение получим уравнение
 a21t x1 t   D  a22 t 
1
a12 t 
D  a11t x1 t   0 .
Оно после применения операторов примет вид


a 
a a 
  11 12  x1  0 .
x1   a11  a22  12  x1   a11a22  a12a21  a11
a12 
a12 


Пусть
его
линейный
оператор
факторизуется.
Получим
(16)
уравнение
D  b1 D  b2 x1  0 , где b1 , b2 – функции t [4]. Его общее решение x1 
58
 C1eb2  eb1  b2 dt  C2 eb2 . Вычисляем x2 
1
D  a11 x1 . Найденные функции x1 , x2
a12
составляют общее решение системы (14).
 x1  x1 tg t  x2 ,

Пример 3. Найти общее решение системы 
x1
 2 x2 tg t.
 x2 
cos 2 t

Решение. В системе a11  tg t , a22  1, a12  1 cos 2 t , a22  2tg t . Составляем
уравнение типа (16): x1  3tg t x1  2 x1  0 . Для него линейный оператор будет L2 D  
 D 2  3tgt D  2 . Он факторизуется: D 2  3tgt D  2  D  tgt D  2tgt  , т.е. b1 tg t ,
C sin t  C2
C  C2 sin t
, x2  1
.
b2  2 tg t . По формулам общего решения x1  1
cos 3 t
cos 2 t
2.2. Нормальная линейная неоднородная система второго порядка
с переменными коэффициентами
Рассматривается система
x1 t   a11t x1 t   a12 t x2 t   f1 t ,
x2 t   a21t x1 t   a22 t x2 t   f 2 t ,
(17)
где x1 t  , x2 t  – неизвестные функции; aij – переменные коэффициенты; f1 t  , f 2 t  –
непрерывные дифференцируемые функции.
Пусть D  d dt – оператор дифференцирования. Тогда (17) имеет следующий вид:
D  a11 x1  a12 x2  f1 ,

 a21x1  D  a22 x2  f 2 .
(18)
Из первого уравнения системы (18)
x2 
1
D  a11 x1  f1  .
a12
(19)
После подстановки x 2 во второе уравнение получим
 x a x
f 
 a21x1  D  a22  1  11 1  1   f 2 .
a12
a12 
 a12
После преобразований оно примет вид уравнения



a 
a a
  x1 
x1   a11  a22  12  x1   a11a22  a12a21  11 12  a11
a12 
a12



f a
 a12 f 2  a22 f1 1 12  f1.
a12
(20)
Его линейный оператор



a 
a a
  .
L2 D   D 2   a11  a22  12  D   a11a22  a12a21  11 12  a11
a12 
a12



Пусть L2 D  факторизуется, то есть L2 D  D  b1 D  b2  , где b1 ,b2 – функции t .
f a
Решаем уравнение D  b1 D  b2 x1  a12 f 2  a22 f1  1 12  f1 .
a12
Пусть его общее решение x1  1 t , C1 , C2  . По формуле (19) x2   2 t , C1 , C2  .
59
 x1  x1 tg t  x2  cos t ,

Пример 4. Найти общее решение системы 
x1
 2 x2 tg t  sin t.
 x2 
cos 2 t

Решение. Составляем уравнение (20) x1  3 tg t x1  2 x1  2 sin t . Для него L2 D  
 D 2  3tgt D  2 . Он факторизуется: L2 D  D  tg t D  2tg t  (см. пример 3),
то есть b1  tg t , b2  2tg t и b1   ln cos t , b2  2 ln cos t . Решаем уравнения
D  tg t D  2tg t x1  2 sin t ; e  ln cos t De ln cos t De2 ln cos t x1  2 sin t ;
1
D cos 2 t x1   sin 2t .
cos t
Дважды применяя обратный оператор D 1 , получаем общее решение первого уравнения
1
1


x1 
C
sin
t

C

sin t . Функцию x2 вычисляем по формуле (19): x2 
1
2
3
cos 2 t
D
1
 1

 D  tg t x1  cos t  D  tg t  2 C1 sin t  C2   sin t   cos t . После упрощений
3
 cos t

1
1
1
она примет вид x2 
. Итак, общее решение
C1  C2 sin t   cos t 
3
3 cos t
cos 3 t
1
системы x1 
C1 sin t  C2   1 sin t , x2  13 C1  C2 sin t   1 cos t  1 .
2
3
3 cos t
3
cos t
cos t
Операторный метод можно применять при решении однородных и неоднородных
систем с переменными коэффициентами высших порядков.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Малышев, Ю.В. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений
операторным методом [Текст] / Ю.В. Малышев, П.С. Атаманов // Математические
модели и их приложения : сб. науч. тр. – 2010. – Вып. 12. – Чебоксары : Изд-во Чуваш.
ун-та, 2010. – С. 40–52.
5. Малышев, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения [Текст] / Ю.В. Малышев
// Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. – 1999. – № 2. – С. 59–66.
6. Малышев, Ю.В. Обобщение метода Хевисайда [Текст] / Ю.В. Малышев // Известия
РАЕН. Дифференциальные уравнения. – 2005. – № 9. – С. 59–61.
7. Малышев, Ю.В. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным
методом [Текст] / Ю.В. Малышев, П.С. Атаманов. – Чебоксары : Изд-во Чуваш. гос. ун-та
им. И.Н. Ульянова, 2011. – 176 с.
Малышев Ю.В., профессор кафедры высшей математики
Казанский государственный технологический университет
420015, г. Казань, ул. К. Маркса, 68
Е-mail: [email protected]
Атаманов П.С., доцент кафедры высшей математики
Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова
428015, г. Чебоксары, Московский пр-т, 15
Е-mail: [email protected]
Malishev Yu.V., Professor, Chair of higher mathematics
Kazan Technological University
60
68, K. Marks str., Kazan, 420015, Russia
Е-mail: [email protected]
Atamanov P.S., Associate Professor, Chair of higher mathematics
Chuvash State University after the name of I.N. Ulyanov
15, Moskovskiy pr., Cheboksary, 428015, Russia
Е-mail: [email protected]
61
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Дифференциальные уравнения
2011
№ 16
УДК 517.9
А.Н. Наумкина, Т.Н. Явкина
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО
И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для периодического и почти периодического дифференциальных уравнений предложен метод
построения функций Ляпунова в случае асимптотической орбитальной устойчивости решений.
обыкновенное дифференциальное уравнение, периодические и почти периодические решения,
область притяжения, функция Ляпунова, орбитальная устойчивость.
It was suggested the method of constructing of Lyapunov functions for periodic and almost periodic
differential equations.
ordinary differential equation, periodic and almost periodic solutions, basin of attraction, Lyapunov
function, orbital stability.
Вопросы существования функций Ляпунова для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений изучались в [1–12] и других работах. Важно отметить, что
в настоящее время достаточно детально изучены вопросы существования и построения
функций
Ляпунова для случая, когда решение рассматриваемой дифференциальной системы
является устойчивым или асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова, но
недостаточно изучены в случае, когда это решение орбитально устойчиво или
асимптотически орбитально устойчиво. В настоящей работе предложены теоремы о
существовании
функций Ляпунова в случае асимптотической орбитальной устойчивости решений
для периодического и почти периодического дифференциальных уравнений и дан
сравнительный анализ этих теорем. Кроме того, на основе функций Ляпунова проведено
качественное исследование решений автономного дифференциального уравнения.
Пусть R – множество действительных чисел, R nn – множество действительных
матриц размерности n  n . Предположим, что евклидово пространство R n снабжено
 , которая определяется скалярным произведением  ,  , где
нормой
n
 x, y ::  xi yi , где символ « :: » означает «равно по определению». Норма матрицы
i 1
A R определяется через A :: sup Ax . Обозначим U  ( x0 )  {x  R n : x  x0   } .
x 1
Пусть функция g : R  R n  R n непрерывно дифференцируема. Рассмотрим почти
периодическое неавтономное многомерное дифференциальное уравнение
(1)
x  g (t , x)
множеств K  R n и   0 множество
{  R : g (t , x)  g (  t , x)   t  R, x  K} является относительно плотным в R .
такое,
что
для
всех
компактных
Множество L  R называется относительно плотным, если существует   0 такое, что
62
[t , t  ]  L  , где  – пустое множество. Производную от функции g по x  R n
обозначим через Dx g : R  R n  R nn .
Дифференцируемая функция  : I  R n , где I – интервал, называется решением
уравнения (1), если имеет место равенство  (t )  g (t ,  (t )) t  I . Обозначим через 
такую функцию, что  (, ,  ) – единственное непродолжаемое решение уравнения (1),
удовлетворяющее начальному условию  ( , ,  )   .
Решение  : R  R n уравнения (1) называется
экспоненциально асимптотически
устойчивым, если существуют постоянные C1  1 и C2 , C3  0 такие, что выполняется
неравенство  (t , , x)   (t )  C1e C2 (t  ) t    0, x  U C3 ( ( )) .
Определим область притяжения A( ) экспоненциально асимптотически устойчивого
решения уравнения (1): A( ) :: {( , x)  R  R n : lim  (t , , x)   (t )  0} .
t 
Отметим, что множество A( ) является открытым в R n1 .
Подмножество Q расширенного фазового пространства R  R n называется
положительно инвариантным, если  (t , , x)  Q для любых ( , x)  Q и t   .
Для заданного открытого и положительно инвариантного множества Q  R  R n
и непрерывно дифференцируемой функции  : Q  R орбитальной производной
от функции 
в силу уравнения (1) называется  (t , x) ::
(t , )  Q. Очевидно, что  ( , x) 
d
 (t , (t , , x)
dt
t 


 ( , x) 
 ( , x), g ( , x) ( , x)  Q.

x
Теорема 1. Рассмотрим почти периодическое уравнение (1) такое, что производная
Dx g : R  R n  R nn
является
почти
периодической.
Пусть
 : R  Rn –
экспоненциально асимптотически устойчивое почти периодическое решение уравнения
(1). Тогда существует непрерывно дифференцируемая функция V : A( )  R такая, что
V (t , x)    (t )  x
2
(t , x)  A( ) , где V  – орбитальная производная от функции V.
Доказательство. Предположим,   0 , так что дифференциальное уравнение
возмущенного движения также является почти периодическим. Для некоторого числа
C2  0
выполняется равенство
lim  (t , , x)e C2t  0
t 
Рассмотрим функцию Ляпунова V ( , x ) ::
  ( s,  , x )
2
(t , x)  A( ) .
ds ( , x)  A( ) . Тогда имеем

V ( , x) 
d
 V (t , (t ,  , x))
dt

для любых
t 
d

dt

  (s, t (t, , x)
2

ds
t 
t

Поскольку производная
d
2

lim   ( s,  , x) ds
dt   t
d
2
 ( s, , x ) ds    (t, , x )

dt 
равномерно сходится при    для любого t
63
2
t 
.
не зависит от  , она
в некоторой окрестности  .

Так как интеграл
  ( s,  , x )
2
ds сходится при    , то получим V ( , x) 


d
2
2
 ( s, , x) ds
x .

  dt
t 
t
 lim
Остается показать, что V является непрерывно дифференцируемой функцией. Для
этого достаточно рассмотреть такой интеграл V ( , x) 

  (t   , , x)
2
dt , что функция
0
2
f (t , , x) ::  (t   , , x) является равномерно дифференцируемой по ( , x) и для
каждой пары ( ,  )  A( ) существуют открытая окрестность O переменных ( ,  ) и


интегрируемые функции h , h : [0, )  R, i  {1,, n},
i
Очевидно, что
и
h

(t )dt   и
0
такие, что для любых ( ,  )  O и i  {1,, n}
f
(t , ,  )  h (t ),


 h (t )dt  
i
0
f
(t , ,  )  h i (t ) ( t  0 ).
xi
(2)
f

(t , ,  )  2  (t   , ,  ), g (t   , , (t   , ,  )) 
(t   , ,  )


f

(t , ,  )  2  (t   , ,  ),
(t   , ,  ) .
xi
xi
Зафиксируем ( ,  )  A( ) . Так как множество A( ) открыто в R n1 , то существует
такая открытая окрестность
~
O
переменных
( ,  )
~
и
C1  1,   0 , что для
любых ( ,  )  O справедлива оценка  (t   , ,   C1e  (t  ) ( t  0 ). В силу
неравенства Коши – Шварца это означает, что неравенства (2) имеют место, если
~
существует окрестность O  O переменных ( ,  ) такая, что выражения


(t   , ,  ) равномерно ограничены
(t   , ,  ) и
xi

постоянной для любых t  0 и ( ,  )  O . Теперь достаточно рассмотреть множества O
вида { }  U  ( ) . Рассмотрим для   R n при ( ,  )  A( ) следующее уравнение
g (t   , , (t   , ,  )) 
в вариациях
x  Dx g (t   , (t   , ,  )) x .

0

0
Используя оператор перехода  ( , ) : R  R  R
nn
(3)
, соответствующий решению ~
уравнения (3), получим ~(t , k , x)   ( , ) (t , k ) x . Для   0 это уравнение допускает
экспоненциальную дихотомию на [0, ) с единичной матрицей в качестве постоянной
проекции, то есть оператор перехода  ( ,0) этой системы удовлетворяет неравенству
 ( ,0) (t , s)  Lec2 (t s )
t  s  0 для некоторого С2  0 . В силу грубости
~
экспоненциальных дихотомий [6] существуют постоянные   0 , L  1 и   0 такие,
что
64
оператор перехода

возмущение B : [0, )  R nn непрерывно и
неравенству
x  ( Dx g (t   ,0)  B(t ) x) , где
возмущенного уравнения
~
(t , s)  L e   (t s )
B(t )   для t  0 , удовлетворяет
t  s  0 . Так как производная
Dx g
почти
периодическая,
то она равномерно непрерывна на множествах вида R  K , где множество K  R n
компактно [7]. Это означает, что существует число 1  0 такое, что
Dx g (t   , x)  Dx g (t   ,0)   t  0 , x  U 1 (0) .
Теперь зафиксируем   R n так, чтобы ( ,  )  A( ) . Так как нулевое решение
является экспоненциально асимптотически устойчивым, то существуют такие  2  0
и t    , что  (t , ,  )  
~
t  t  ,   U  2 ( ) . Следовательно, существует L  L
такое, что для любого   U  2 ( ) имеет место  ( , ) (t , s)  L e  (t s )
t  s  0 .


(t   , ,  ) и
(t   , ,  ) являются решениями

x
уравнения в вариациях (3) [8], и так как функция g ограничена на множествах вида
Отсюда получим, что функции
R  K , где множество K  R n – компактное множество, то из этого факта вытекает
утверждение теоремы. Теорема доказана.
Рассмотрим случай периодического дифференциального уравнения
x  g (t , x) ,
(4)
где x  R , g (t  , x)  g (t , x) для всех (t , x)  R  R .
Приведем определения для периодического случая.
Поток системы (4) определяется как F (t 0 , x0 ) :: (t 0   , x( ))    F 1  R n для
n
n
  0 , где x( ) является решением задачи (4) с начальными данными x(t 0 )  x0 . Также


Fx (t 0 , x0 ) :: x( ) . Пусть G    F 1  R n . Определим Gt : x  R n | (t , x)  G для
t    F 1 . В частности, справедливо следующее утверждение [9]: если G    F 1  R n
– положительно инвариантно и компактно, тогда    ( t 0 , x0 )  G для любых
(t 0 , x0 )  G , то периодическая траектория  уравнения (4) задается множеством
  F (0, x0 ) :   [0, ]    F 1  R n , где Fx (0, x0 )  x0 .
Периодическая траектория  называется экспоненциально асимптотически
устойчивой, если для всех   0 существует   0 такое, что для всех точек
p   F1  Rn
из того, что  ( p,  )   , следует, что  ( F p,  )   для всех   0 , и существуют
 
константы  ,  0 такие, что из  ( p,  )   следует, что  ( F p,  )e   0 .
Здесь
и далее  обозначает расстояние, которое определяется евклидовой метрикой в R n1 .
Областью притяжения A( ) экспоненциально
периодической траектории  является множество

асимптотически


A( ) : (t , x)    F 1  R n :  ( F (t , x),  ) 
 0 .
65
устойчивой
Матричная функция M  C 1 ( R  R n , R nn ) определяет риманову метрику, если
M (t , x) является симметрической и положительно определенной матрицей для всех
(t , x)  G и равенство M (t  , x)  M (t , x) выполняется для всех (t , x)  R n  R n .
Если M – риманова метрика, то v T M (t , x) w определяет скалярное произведение
в (v, w)  R n  R n для каждых (t , x)    F 1  R n .
Теорема 2. Пусть  – орбитально экспоненциально устойчивое периодическое
решение системы (4). Существует функция Ляпунова V : K  R0 , обладающая
следующими свойствами:
V  C1 ( K , R) , V (t , x)  0 для (t , x)  K \  ;
V (t , x)  0 для (t , x)   ;
V (t , x)  0 для (t , x)  K \  ;
V
  xV , g .
V (t , x)  0 для (t , x)   , где V  
t
Доказательство теоремы 2 вытекает из доказательства теоремы 1, поскольку теорема
2 является частным случаем теоремы 1. Отметим также, что существование такой
функции Ляпунова можно показать аналогично случаю состояния равновесия [9].
Рассмотрим автономное обыкновенное дифференциальное уравнение
(5)
x  g (x) ,
где g  C 1 ( R n , R n ) . Обозначим через Ft x0 поток, который начальную точку x0
в момент времени t  0 отображает в решение в момент времени t . В [10] даны
достаточные
условия
существования,
единственности
и
экспоненциально
асимптотической устойчивости периодического решения для множества K ,
принадлежащего области притяжения этого решения.
Теорема 3. Пусть g  C 1 ( R n , R n ) , где n  2 . Пусть  есть экспоненциально
асимптотически устойчивое периодическое решение и A( ) – его область притяжения.
Пусть K  A( ) – компактное множество. Тогда существует функция Ляпунова
класса C 1 V : K  R0 такая, что V (q)  0  q   , и для орбитальной производной
функции Ляпунова V (q) :: V (q), g (q) имеют место условия
V (q)  0 ( q  K ), V (q)  0  q   .
Доказательство теоремы 3 подобно доказательству теоремы 8 в работе [11],
где аналогичное утверждение доказано для нулевого решения. В теореме А.1
из работы [12] этот результат распространен на периодические решения.
Исследование и построение функции Ляпунова для обыкновенных неавтономных
дифференциальных уравнений в случае экспоненциально орбитально устойчивого
решения являются актуальной задачей теории орбитальной устойчивости, и в настоящее
время это направление является мало изученным.
Авторы благодарят докторов физико-математических наук Ю.И. Голечкова и
В.Н. Щенникова за помощь, оказанную при подготовке статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи об устойчивости движения [Текст] /
Н.Н. Красовский. – М. : Физматгиз, 1959.
2. Giesl, P. Borg’s criterion for almost periodic differential equations [Text] / P. Giesl.,
M. Rasmussen // Nonlinear Anal. – 2008. – V. 69. – No 11. – P. 3722–3733.
66
3. Giesl, P. On the Basin of Attraction of Limit Cycles in Periodic Differential Equations
[Text] / P. Giesl // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen Journal for Analysis
and its Applications. – 2004. – V. 23. – No 3. – P. 547–576.
4. Stromberg, K.R. An Introduction to Classical Real Analysis [Text] / K.R. Stromberg . –
Wadsworth International Mathematics Series. Wadsworth International Group. – Belmont,
California, 1981.
5. Lang, S. Real and Functional Analysis [Text] / S. Lang. – New York : Springer, 1993.
6. Coppel, W. A. Dichotomies in Stability Theory [Text] / W.A. Coppel // Springer Lecture
Notes in Mathematics. – Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer, 1978.
7. Sell, G.R. Nonautonomous Differential Equations and Dynamical Systems. I.
The Basic Theory [Text] / G.R. Sell // Transactions of the American Mathematical Society. –
1967. – V. 127. – P. 241–262.
8. Lakshmikantham, V. Differential and Integral Inequalities. Theory and Applications
[Text] / V. Lakshmikantham, S. Leela. – Vol. 1 : Ordinary Differential Equations, Vol. 55 : of
Mathematics in Science and Engineering. – New York ; London : Academic Press, 1969.
9. Massera, J.L. On Lyapunoff’s Conditions of Stability [Text] / J.L. Massera // Ann. Of
Math. – 1949. – V. 50. – No 2. – P. 705–721.
10. Giesl, P. Unbounded Basin of Atrraction of Limit Cycles [Text] / P. Giesl // Acta Math.
Univ. Comemanae. – 2003. – V. 72. – No 1. – P. 81–110.
11. Urabe, M. Moving Orthonormal System Along a Closed Patn of an Autonomous System
[Text] / M. Urabe // J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. – 1958. – V. 21. – P. 177–192.
12. Giesl, P. Eine Charakterisierung der Einzugsbereiche von Gleichgewichtspunkten und
periodischen Orbits dynamischer Systeme [Text] / P. Giesl // Ph.D. Thesis Technical University
of Munich. – München, 2000 (in German).
Наумкина А.Н., магистрант кафедры дифференциальных уравнений
Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарёва
430000, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68
E-mail: [email protected]
Явкина Т.Н., магистрант кафедры дифференциальных уравнений
Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарёва
430000, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68
E-mail: [email protected]
Naumkina A.N., Magistrant, Chair of Differential Equations
Mordovian State University after the name of N.P. Ogarёv
68, Bolshevistskaya str., Saransk, 430000, Russia
E-mail: [email protected]
Yavkina T.N., Magistrant, Chair of Differential Equations
Mordovian State University after the name of N.P. Ogarёv
68, Bolshevistskaya str., Saransk, 430000, Russia
E-mail: [email protected]
67
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Дифференциальные уравнения
2011
№ 16
УДК 531.391.5
А.И. Огурцов
О КРИТЕРИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ
ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Устанавливаются условия устойчивости нулевого решения нелинейного уравнения четвертого
порядка. Формулируется модифицированная проблема Айзермана.
cостояние равновесия, проблема Айзермана, асимптотическая устойчивость.
It is finding the conditions of stability of the zero solution of nonlinear equation of fourth order.
It is formulating the modified problem of Aizerman.
state of equilibrium, problem of Aizerman, asymptotic stability.
Рассматривается уравнение
d 4x
d 3x
d 2x
dx
+ f ( x)  0 , x  D  R ,
(1)
dt
dt
dt
dt
где b , c , d – положительные постоянные, f (x) удовлетворяет условиям
существования и единственности решений в области D . Предполагается, что f 0  0 ,
f ( x) x  0 при x  0 .
4
+d
3
+c
2
+b
Это
уравнение
встречается,
например,
при
исследованиях
динамики
железнодорожного ската, процесса регулирования температуры двигателей внутреннего
сгорания
и в других практических задачах.
Вопросом устойчивости нулевого решения уравнения (1) ранее занимались многие
авторы, в том числе и автор данного сообщения, однако, насколько известно автору,
до сих пор оставался открытым вопрос о возможности решения известной проблемы
Айзермана для этого уравнения. В случае, когда функция f (x) является непрерывно
дифференцируемой и выполняется неравенство bcd b 2 d 2 f ( x) 0 , асимптотическая
устойчивость нулевого решения уравнения (1) была доказана в работе [1].
В настоящем сообщении проблема Айзермана для этого уравнения практически
решена при условии выполнения некоторых слабых дополнительных требований по
сравнению с ее первоначальной постановкой.
Заменим уравнение (1) эквивалентной системой
dx
dy
dz
du
 y,
 z,  u,
 du  cz  by  f ( x)
dt
dt
dt
dt
(2)
и будем предполагать, что её нулевое решение является единственным состоянием
равновесия.
Введем в рассмотрение функцию
2V  a11x 2  2a12 xy  2a13 xz  2a14 xu  a 22 y 2  2a 23 yz 
1
 2a 24 yu  a33 z  2a34 zu  a 44u  2b1  f ( x) .
2
2
0
68
(3)
Постоянные коэффициенты квадратичной формы определяются следующим образом:
b
, a14  b ( ), a33  c  d 2  a24 2d 2 ,
d
2 3
a 23  cd  d , a22  ca 24 bd bd    2bd , a13  a14d , a12  a14c,
a11  a14b , b1  c  b / d   ck 2 ,   0 и   0 – свободные параметры,
a44  1,
 1 ,
a34  d ,
a 24  c ( )  
 ( )    k 2 ,
k
d3
,
cd  b
 
 4k (1  k ) .
1
1
1


(
1


)
 ,
n
n
n2
n
О выборе  и  будет сказано в дальнейшем.
Производная по времени функции V в силу системы (2) может быть представлена
следующим образом:




2
d2
1
V   ( ) bf ( x) x 
f 2 ( x) 
f ( x)  2by  2d 2 z  2du 
cd  b

 4d
(4)
2
1

(1   ) f ( x)  2  d 2 z ,
4bd
2
где      .


Будем предполагать, что выполняются неравенства
0    1,   0 , 1  k  0,
bcd  b 2  d 2
(5)
f ( x)
 0 при x  0 .
x
(6)
Тогда функция (4) является знакоотрицательной и обращается в ноль на множестве,
не содержащем положительных полутраекторий системы (2).
Положим далее,  

m
, 1  n 

m
, m  1 . Тогда   

m
.
Кроме того, потребуем, чтобы было b1  0 , то есть чтобы выполнялось неравенство
c(1  k ) 
b
 0.
d
(7)
После этого можно доказать, что при достаточно малом  параметр m можно
подобрать так, что функция V будет определенно положительной.
Последнее из неравенств (5) запишем следующим образом:
d3
1
m

 2
.
cd  b   (1   )
(8)
Теперь можно сформулировать следующее.
Утверждение. Если имеет место неравенство (6) и параметр  выбран настолько
малым, что выполняются неравенства (7) и (8), то нулевое решение уравнения (1)
асимптотически устойчиво в большом.
В заключение можно сделать следующие замечания.
Замечание 1. В работе [2] было доказано, что с помощью частотного метода
В.М.Попова устойчивость нулевого решения уравнения (1) может быть гарантирована
при выполнении неравенства (6) и дополнительного условия
d 3  2(cd  b) .
(9)
Замечание 2. В работе [3] был предложен иной подход к реализации названного
метода. Следуя этому подходу, можно выделить более широкую чем (9) область в
пространстве параметров системы, налагающую дополнительные ограничения по
69
сравнению с обобщенным неравенством Гурвица. Одновременно можно доказать, что
существует такая часть пространства параметров, в которой реализация теоремы Попова
невозможна.
Таким образом, функция (3) при условии соответствующего выбора коэффициентов
позволяет значительно приблизиться к границам необходимых и достаточных условий
устойчивости в рассматриваемой задаче. А именно, при каждом конкретном наборе
значений параметров b , c , d параметр  можно выбрать настолько малым, что будут
выполняться неравенства (7) и (8).
На геометрическом языке это означает, что для системы (2) может быть построен
спектр поверхностей уровня функции V , стягивающих траектории возмущенных
движений к началу координат.
В связи со сказанным представляется целесообразным сформулировать следующую
модифицированную проблему Айзермана: выделить класс систем Айзермана [4],
для которых асимптотическая устойчивость нулевых решений гарантируется
выполнением обобщенных условий Гурвица и некоторых дополнительных, максимально
слабых, ограничений на постоянные параметры этих систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chin, P.S.M. Stability results for the solutions of certain fourth-order autonomous
differential equations [Теxt] / P.S.M. Chin // Int. J. Control. – Vol. 49. – No 4. – 1989. –
P. 1163–1173.
2. Brockett, R.W. Frequency domain stability criteria – Part 1 [Теxt] / R.W Brockett,
J.L. Willems // IEEE Trans. on Automatic Control. – Vol. AC-10. – July, 1965. – P. 255–261.
3. Огурцов, А.И. О выборе параметров в критерии В.М. Попова устойчивости
регулируемых систем [Текст] / А.И. Огурцов // Автоматика и телемеханика. – 1968. – №
3.
–
C. 165–166.
4. Айзерман, М.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом»
динамических систем [Текст] / М.А. Айзерман // Успехи мат. наук. – 1949. – Т. IV. –
Вып. 4. – С. 186–188.
Огурцов А.И., доцент кафедры теоретической механики
Московский государственный технологический университет «Станкин»
127994, г. Москва, Вадковский переулок, д. 3а
Е-mail: dao.@kp.ru
Ogurcov A.I., Associate Professor, Chair of Theoretic Mechanics
Moscow State Technology University “Stankin”
3a, Vadkovskii lane, Moscow, 127999, Russia
Е-mail: dao.@kp.ru
70
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Дифференциальные уравнения
2011
№ 16
УДК 517.938
С.Н. Слугин, Н.В. Кротов
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
С УПРАВЛЯЕМЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ ГРАНИЦЫ
Установлены необходимые условия оптимального управления системой, описываемой задачей
Дирихле для уравнения эллиптического типа. Управлением производится выбор векторной
распределенной компоненты и положения границы переменной области. Критерий качества
и ограничения на состояния и управления – интегральные.
эллиптическое уравнение,
оптимального управления.
управляемое
положение
границы,
необходимые
условия
The necessary conditions in the optimal boundary-value Dirichlet control problem for the system
described by an elliptic type equation are derived. The control in this problem is realized by choosing
a vectorial distributed component and a location of the boundary of the variable domain. The objective
criterion and the constraints imposed on state and control are integrable.
elliptic type equation, controlled location of the boundary, the necessary conditions of the optimal
control.
Проблемы оптимизации области возникают в теории упругости, в газо- и
гидродинамике, в теории плазмы.
По сравнению со статьей [1] здесь рассматривается более общий случай в случае
задачи Дирихле, когда область содержится в n-мерном пространстве, управление
содержит также вектор-функцию, приводится обоснование утверждения.
1. Метод множителей Лагранжа в B-пространствах. В п. 1 излагается известный
результат (см., например, [2]) в форме, удобной для его применения в п. 2.
Имеются B-пространства U ,W1 , Y и открытое множество W  W1 . Операция
F : (U W )
Y . Зависимость состояний u U системы от управлений w W
определена уравнением связи F (u, w)  0 . Критерий качества и ограничения на
состояния
и управления выражены посредством функционалов J i , определенных на том же
декартовом произведении. Задача оптимизации
(1)
J 0 (u, w)  min, F (u, w)  0, J 1 (u, w)  0, w W .
{u*, w*} (U W ) операции F , J i имеют
непрерывные сильные частные производные по u и w: Fu и т.п. Введем обозначения вида
Пусть
вблизи
некоторой
точки
Fu*  Fu (u*, w*) . Пусть образ Fu* (U )  Y , Fu* u  m  u
( u U , m  0) . Для этого
необходимо и достаточно существование линейного ограниченного обратного оператора
( Fu* )1 : Y  U . Пусть F *  0 . По теореме функционального анализа о неявной
операции (см., например, [3]) уравнение связи однозначно определяет зависимость
u  u(w) вблизи w * , причем это отображение имеет непрерывную сильную
производную
uw ,
71
выполняется равенство Fu uw  Fw  0 , состояние u*  u(w*) . Следовательно, для любых
линейных функционалов Li над B-пространством Y функционалы
Li ( Fu*uw*  Fw* )  0 .
(2)
Введем композиции i (w)  J i (u(w), w) . Задача (1) эквивалентна задаче
0 (w)  min, 1 (w)  0, w W .
Если w * – оптимальное управление, то существует такое число  [2], что линейная
1*
комбинация линейных непрерывных функционалов 0*
Сильные
w   w  0 .
производные iw  J ui uw  J wi . Отсюда и из равенств (2) следует, что для любых
линейных
функционалов Li над B-пространством Y комбинация
1
  [( J
i 0
i
i*
u
 Li Fu* )uw*  ( J wi*  Li Fw* )]  0
Вводятся
линейные непрерывные функционалы
функционалы, что образы
( J ui*  Li Fu* ) u  0
( 0  1, 1   ).
Li   J ui* ( Fu* )1 , т. е. такие
( u U , i  0,1) .
(3)
Тогда комбинация образов
1
  (J
i 0
i
i*
w
 Li Fw* ) w  0
( w  (W  W ), 0  1, 1   ) .
(4)
Итак, необходимые условия первого порядка оптимальности в гладкой задаче (1)
с ограничением типа равенства на открытом множестве здесь означают следующее.
Лемма. Если w * – оптимальное управление, u * – соответствующее ему состояние
системы, то F *  0, J 1*  0 , существуют линейные непрерывные функционалы Li
над B-пространством Y, удовлетворяющие тождествам (3), и имеется такое число  , что
выполняется тождество (4).
2. Задача оптимизации для уравнения эллиптического типа. Ограниченная область
E  Rn (n  2) . Задано семейство областей  с границами  C 2 [4]. Эти области
содержатся в области E вместе с некоторыми своими окрестностями. Задача оптимизации
(5)
u  f ( x, u, v) ( x ), u   ( x ) ,
 g ( x, u, v)dx  c  0 ,
(6)
g
(7)
1

0
( x, u, v)dx  min .

Состояния системы – решения u  H 2 () (см. [4] ) задачи (5). Управлением
производится выбор вектор-функции
v  vk   L ( E )
и области
 . Функция
  H ( E ) . Функции f , g имеют первые частные производные по переменным u, vk ,
2
i
производная
fu  0 .
(8)
f [u, v]  f (., u(.), v(.)) . Пусть функции f , g i
удовлетворяют следующим условиям. Если функция u  L2 ( E ) , вектор-функция
Обозначим
композицию
вида
v  L ( E ) ,
то образы
f [u, v], g i [u, v]  L2 ( E ) . Отображение f u непрерывно в соответствующих
72
метриках, то есть если u  u0 среднеквадратично, v  v0 почти всюду равномерно, то
fu [u, v]  fu [u0 , v0 ] среднеквадратично. Требование непрерывности в этом же смысле
относится также к отображениям f / vk , gui , g i / vk
Обозначения: v*, Q – оптимальная пара (вектор-функция)-область, u * – решение
задачи (5), удовлетворяющее равенству (6) при v  v * ,   Q . Далее употребляется
f *  f [u*, v*] , аналогично для функций g i и первых частных
производных функций f , g i по переменным u, vk .
обозначение вида
Уточним состав семейства областей  вблизи области Q. Граница Q  C 2
имеет
Q 
достаточно малую открытую окрестность в пространстве R n :
{x : x  z   } , что все нормали к этой границе не пересекаются в окрестности
такую
zQ
и заполняют ее [4]. В качестве допустимых областей  вблизи области Q примем такие,
что каждой точке z Q соответствует единственная точка  ( z )   Q , которая
находится на проходящей через точку z нормали к границе Q .
Символ вида un – производная по внешнему направлению нормали к границе Q .
Необходимые условия оптимальности управления заключаются в следующем
утверждении.
Теорема. Если пара v*, Q оптимальная, u * – соответствующее ей состояние
системы, то выполняются равенства (5), (6) при u  u*, v  v*,   Q и существует
такое число  , что при всех номерах k
   g
1
i 0
i
i*
/ vk   i f * / vk   0
h0   h1  0 ,
( x  Q, 0  1, 1   ),
hi  g i*  ni (u *  )n
( z Q) ,
(9)
(10)
где функции   H (Q) – решения линейных задач
i
2
 i  fu* i  gui* ( x  Q),  i  0 ( z Q) .
(11)
Доказательство. Покажем, что при введении некоторых множеств и операций
выполняются все условия п. 1, и теорема следует из леммы.
Из неравенства (8) следует однозначная разрешимость задачи
(12)
 u  fu* u  y 0 ( x  Q),  u  0 ( z Q)
для любой функции y 0  L2 (Q) .
В качестве области E примем достаточно малую открытую окрестность области Q
в пространстве R n : E  Q Q .
Введем B-пространство U  H 2 ( E ) . Оно содержится в B-пространстве L2 ( E ) ,
из сходимости последовательности функций в B-пространстве U следует ее сходимость
к тому же пределу в L2 ( E ) .
Здесь предполагается, что линейная задача (12) имеет продолженное на область E
решение  u U :
 u  fu* u  y 0 ( x  E ),  u  0 ( z Q)
(13)
для любой функции y 0  L2 ( E ) .
Определим B-пространство W1
управлений и открытое множество W  W1 .
Из данного выше определения точек  ( z )  , соответствующих точкам z Q ,
73
следует, что зависимость  ( z ) можно выразить через скалярную функцию  ( z )
векторным равенством  ( z )n( z )   ( z )  z , имея в виду внешнее направление
единичной нормали n( z ) к границе Q . Из соотношений Q,  C 2 следует
  C1 (Q) .
(14)
В качестве управлений вблизи оптимального примем пары w  {v, } . Они содержатся
в B-пространстве W1  L ( E )  C1 (Q) .
В B-пространстве L ( E ) вектор-функций v введем достаточно малую открытую
окрестность V компоненты v * оптимального управления.
Из определения функции  следует: если управление оптимально, то его компонента
 *  0 . Введем такую достаточно малую открытую окрестность  нуля в B-пространстве C1 (Q) , что границы   Q и, следовательно, области   E .
В B-пространстве W1 введем открытую окрестность оптимального управления:
W  V  .
След [4] функции   (u   )  H ( E ) на границе  :
(15)
2
 ( )    ( z   ( z)n( z)) Q  L2 (Q)
(16)
(при этом учитывается принадлежность (14) ).
В дальнейшем рассматривается краевая задача
u  f ( x, u, v) ( x  E), u   ( ) .
(17)
Установим существование и единственность решения этой задачи, являющегося
продолженным решением задачи (5).
Здесь операция F является парой компонент F i , отвечающих в задаче (17)
дифференциальному уравнению и краевому условию
(18)
F 0  u  f [u, v] ( x  E ), F 1  u   ( ) .
Отображение F 0 : (U V )
L2 ( E ) . Из определения окрестности  и соотношений
(16) находим, что F 1 : (U )
L2 (Q) .
Введем B-пространство
Y  L2 ( E )  L2 (Q) .
(19)
Из определения (15) следует, что операция F  {F , F }: (U W )
Y.
Частные приращения и дифференциалы по u для компонент (18)
u F 0   u   u f , Fu0 u  (  fu ) u ( x  E ) , ( Fu1 u)( z)   u( ( z)) ( z Q) .
0
1
Из непрерывности производной f u в указанном ранее смысле следует непрерывность
сильной частной производной
Fu0 . Из непрерывности функции (14) следует
непрерывность вектор-функции  ( z ) , что влечет непрерывность производной Fu1 .
Поэтому
непрерывна производная Fu  {Fu0 , Fu1} . В частности, дифференциалы
Fu0* u  (  fu* ) u ( x  E ),
Fu1* u   u ( z Q) .
(20)
Из однозначной разрешимости задачи (13) и неравенства (8) следует существование
линейного ограниченного обратного оператора ( Fu* )1 . По теореме функционального
анализа о неявной операции отсюда следует однозначная разрешимость задачи (17)
при управлениях, достаточно близких к w * .
74
Образы J i (u, w) – левые части соотношений (6), (7). Задача (5)–(7) является частным
случаем задачи (1).
Установим существование непрерывных сильных частных производных J ui , частное
приращение
 u J i    u g i dx ,
функционала
сильный
частный
дифференциал

J ui  u   gui  udx . Сильная частная производная J ui непрерывна.

В
J ui* u   gui* udx .
частности,
Заменим
gui*
функции
на
левые
части
Q
дифференциальных
уравнений
   udx     udx  
i
i
Q
в краевой задаче (11). По формуле
  udz , с учетом краевого условия в (11). Поэтому
Грина,
i
n
Q
Q
J ui* u    i (  fu* ) udx   ni  udz .
(21)
Q
Q
Построим линейные непрерывные функционалы Li , для которых выполняются
тождества (3). Образу Li y элемента y  { y 0 , y1} H-пространства Y (19) соответствует
скалярное произведение пар {li0 , li1}, y  Y :
Li y   li0 y 0 dx   li1 y1dz .
(22)
Q
E
В качестве функций li0 будем подбирать функции из класса L2 (Q) , продолженные
нулем вне области Q. Следовательно, li0  L2 ( E ) . Из равенств li0 ( x)  0 ( x  Q)

и (20), (22) следует Li Fu* u  li0 (  fu* ) udx 
 (l
0
i
следует,
что
левые
  )(  f ) udx 
i
*
u
 (l
1
i
Отсюда и из равенства
(3)
принимают
1
i
Q
Q
(21)
 l  udz .
части
тождеств
здесь
вид
  ) udz .
i
n
Q
Q
Для обнуления этих сумм примем li0   i на области Q и li1  ni на границе Q ,
где  i – решения задач (11). Итак, образы (22) принимают вид
Li y     i y 0 dx   ni y1dz ,
(23)
Q
Q
и при таком выборе функционалов Li выполняются тождества (3).
Установим выражения для производных J wi . Сильные частные дифференциалы
J wi  w  J vi v  Ji  , J vi v   (J i / vk ) vk , (J i / vk ) vk   (g i / vk ) vk dx .

k
Для областей  ,  , близких к оптимальной области, границы которых соответствуют

 

функциям  ,   , частное приращение  J i   

Этот
кратный
интеграл
выражается
  g d  o( ) . Частное приращение функции
i

75

через

 i
 i
 g dx       g dx .

 \   \  
интеграл
по
гиперповерхности:
g в точке  ( z )  по внешнему
i
направлению
нормали
n( z ) ,
проходящей
через
z Q :
точку
( g i )( z)  g i ( ( z)) ( z)  o( ) . Сильный частный дифференциал Ji  
( g i )( z)  g i ( ( z)) ( z)  o
 g ( ( z)) ( z)dz .
i
Q
Сильная частная производная J  {J , J } непрерывна. Дифференциал
i
w
i
v
i
J wi* w    (g i* / vk ) vk dx   g i* dz .
(24)
Q
k Q
Частные приращения по w и дифференциалы компонент (18):  w F 0   v F 0 , Fw0 w  
 (f / v ) v
k
k
k
Fw0 w   (f / vk ) vk ( x  E ) ;
 w F 1   F 1  



( Fw1 w)( z)  ( n )( ( z)) ( z Q)
,
k
)  ( n )( ( z)) ( z Q) , где   u   .
Сильная частная производная Fw  {Fw0 , Fw1} непрерывна.
Выполнены все условия п. 1. Согласно лемме, существует такое число  , что
выполняется тождество (4). Покажем, что из него следуют равенства (9) и h0   h1  0
(см. определения функций hi ,  i в (10), (11)). Дифференциалы Fw0* w  
Fw0* w   (f * / vk ) vk
k
k
( x  E ) , Fw1* w  (u *  )n ( z Q) .
k
Отсюда и из (23) следует
Li Fw* w    i  (f * / vk ) vk dx   ni (u *  )n  dz .
Q
(25)
Q
k
Обозначим ski  g i* / vk   i f */ vk ( x  Q) . Из равенств (24), (25) следует, что
тождество (4) здесь принимает вид






 i    ski  vk dx   hi dz   0
i
 (f * / v ) v
Q
k Q
(0  1, 1   ) .
(26)
Положим,   0 , зафиксируем произвольный номер k и выберем вариации  v с
   s  v dx  0
компонентами – функциями  v j  0 ( j  k ) . Тогда
i
i k
Q
k
для всех
i
достаточно малых функций  vk – элементов пространства L (Q) , плотного в B1
пространстве L2 (Q) . Следовательно,
  s ( x)  0
i
i k
i 0
почти всюду на области Q при
любом номере k. Равенства (9) установлены.
Положим, в равенствах (26) все  vk  0 . Тогда
 (h
0
  h1 ) dz  0 для всех
Q
достаточно малых функций  – элементов пространства (14), плотного в B-пространстве
L2 (Q) . Следовательно, (h0   h1 )( z )  0 почти вюду на границе Q (см. (10), (11)).
Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Слугин, С.Н. Необходимые условия оптимальности для квазилинейных
эллиптических и параболических уравнений с управляемым положением границы [Текст]
/
76
k
С.Н. Слугин, В.С. Кротова, Н.В. Кротов // Вестн. Тамбов. ун-та. – 2000. – Том 5. –
Вып. 4. – С. 490–492.
2. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач [Текст] / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. –
М. : Наука, 1974.
3. Колмогоров, А.Н., Элементы теории функций и функционального анализа. [Текст] /
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин – М. : Наука, 1976. – 542 с.
4. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. [Текст] /
В.П. Михайлов. – М. : Наука, 1976. – 391 с.
Слугин С.Н., профессор кафедры численного и функционального анализа
Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского
603000, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 (корпус 2)
Кротов Н.В., доцент кафедры численного и функционального анализа
Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского
603000, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 (корпус 2)
E-mail: [email protected]
Slughin S.N., Professor, Chair of numerical and functional Analysis
Nizhniy Novgorod State University
23, Gagarin pr., Nizhniy Novgorod, 603000, Russia
Krotov N.V., Chair of numerical and functional Analysis
Nizhniy Novgorod State University
23, Gagarin pr., Nizhniy Novgorod, 603000, Russia
E-mail: [email protected]
77
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
УДК 517.925
М.Т. Терёхин
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
Исследуется система дифференциальных уравнений движения пассивного тела в силовом поле,
созданном двумя другими телами. Вводится понятие L-точки системы. Исследуется проблема
существования периодического решения в окрестности L-точки.
пассивное тело, силовое поле, преобразование Нехвила, L-точка, система дифференциальных
уравнений, периодические решения.
It is investigated the system of differential equations of the motion of the passive body in the field
of force of two another bodies. It is introduced the notion of L-point of the system. It is proved
the theorem about of existence of L-point. It is investigated the problem of existence of the periodic
solution in the neighbourhood of L-point.
passive body, field of force, Nechvil’s transformation, L-point, system of the differential equations,
periodic solution.
Предположим, что в евклидовом пространстве находятся в движении три
материальные точки M 0 , M 1 , M 2 с массами соответственно m0 , m1 , m2 . Будем
предполагать, что масса m2 точки M 2 настолько мала (точка M 2 пассивная), что точка
M 2 не оказывает никакого влияния на движение точек M 0 , M 1 , точка M 0 находится
под воздействием силы, исходящей от точки M 1 , точка M 1 – под воздействием силы,
исходящей
от точки M 0 , точка M 2 находится под воздействием сил, исходящих от точек M 0 , M 1 .
Ограниченная задача трех тел ставится так: определить движение точки M 2 в
силовом поле, созданном точками M 0 , M 1 в предположении, что движения точек M 0 ,
M 1 известны.
Ограниченная задача трех тел рассматривалась во многих работах. Наиболее полные
исследования ее приведены в книгах [1–3] (см. библиографию в этих книгах).
В настоящей статье ставится задача: найти условия, при которых ограниченная задача
трех тел имеет периодические решения.
Пусть O    – произвольная, но фиксированная прямоугольная система координат
и пусть  0 ,0 , 0  , 1 ,1 ,1  ,  2 , 2 , 2  – координаты соответственно точек M 0 ,
M 1 , M 2 в этой системе. Тогда [1] уравнения движения точки M 0 в силовом поле,
созданном точкой M 1 , определяются равенствами
m00  f 01m0 m1F01 1   0   01 ,
(1)
m00  f 01m0 m1F01 1  0   01 ,
m00  f 01m0 m1F01 1   0   01 ,
уравнения движения точки M 1 в силовом поле, созданном точкой M 0 , определяются
равенствами
78
 
m11  f10m0 m1F10 0 1 ,
10
  1
(2)
m11  f10m0 m1F10 0
,
10
  1
m11  f10m0 m1 F10 0
,
10
уравнения движения точки M 2 в силовом поле, созданном точками M 0 , M 1 ,
определяются равенствами
m22  f 02m2 m0 F20
0  2
 f 21m2 m1F21
1   2
,
 20
 21
  2
  2
m22  f 02m2 m0 F20 0
 f 21m2 m1F21 1
,
 20
 21
  2
 
m22  f 02m2 m0 F20 0
 f 21m2 m1F21 1 2 ,
 20
 21
(3)
f 01, f10 , f 02 , f 21 – коэффициенты пропорциональности, которые могут быть
положительными, отрицательными или даже некоторыми вещественными функциями
времени,
 0110
1 0 2  1 0 2   1 0 2 ,  2 j 
 j  2 2  j 2 2  j  2 2 , Fij
 , 
 ( i  0, 1, 2 ,
– произвольная, но фиксированная функция переменных t ,  ij , 
ij
ij
j  0,1 , i  j ).
Одновременно с системой координат O    рассмотрим систему координат
M 0 x y z ( M 0 – начало системы координат), координатные оси M 0 x , M 0 y , M 0 z
по направлению совпадают соответственно с осями O , O , O .
Пусть x1 , y1 , z1 – координаты точки M 1 , x2 , y 2 , z 2 – координаты точки M 2
в системе координат M 0 x y z .
Тогда очевидно, что x1 1   0 , y1 1  0 , z1 1   0 , x2   2   0 , y2   2  0 ,
z2   2   0 .
В новых координатах системы (2) и (3) (после сокращения соответственно на m1
и m2 ) запишутся в виде [1]
m0 F10  m1F01
x1 ,
r1
m F  m1F01
y1   0 10
y1 ,
r1
m F  m1F01
z1   0 10
z1
r1
x1  
и
79
(4)
m0 F20 x2 m1F01x1 m1F21x1  x2 


,
r2
r1

m F y
mF y
m F  y  y2 
y2   0 20 2  1 01 1  1 21 1
,
r2
r1

m F z
mF z
m F z  z 
z2   0 20 2  1 01 1  1 21 1 2 ,
r2
r1

x2  
где r1   01 10
x12  y12  z12 , r2   20  x22  y22  z 22 ,    21 
(5)
x2  x1 2 
 y 2 y1 2  z 2  z1 2 , символом Fij обозначено f ij Fij (для сокращения записей), функции F01 , F10 в общем случае могут зависеть от t , r1 , r1 , r1 , функция F20 – от t , r2 , r2 , r2 ,
, 
 .
функция F21 – от t , , 
Положим [1] F  m0 F10  m1F01 . Тогда система (4) примет вид
x1   F
x1
y
z
, y1   F 1 , z1   F 1 .
r1
r1
r1
(6)
Можно убедиться [1], что согласно системе (6) точка M 1 движется относительно
точки M 0 по плоской траектории. Поэтому, выбирая в качестве координатной плоскости
x M 0 y плоскость, в которой происходит движение точки M 1 , приходим к выводу, что
система (4) сводится к системе
x1
y
(7)
, y1   F 1 .
r1
r1
Заменой переменных x1  r1 cos v , y1  r1 sin v систему уравнений (7) [1] можно
x1   F
свести к системе
r1 
c2
r13
  F , r12 v  c,
(8)
где c  0 – произвольная постоянная. Тогда, учитывая, что в плоскости x M 0 y
выполняется равенство z1  0 , систему (5) можно представить так:
m0 F20
mF
x2  m1F01 cos v  1 21 r1 cos v  x2 ,
r2

m0 F20
m1F21
y2  
r1 sin v  y2 ,
y2  m1F01 sin v 
r2

m F
mF
z2   0 20 z2  1 21 z2 ,
r2

x2  
(9)
  r12  r22  2r1 x2 cos v  y2 sin v .
Для более детального исследования ограниченной задачи трех тел от системы
координат с неизменным направлением осей перейдем к вращающейся системе
координат,
то есть к системе координат, плоскость x M 0 y которой совпадает с плоскостью орбиты
точки M 1 , ось абсцисс проходит через точку M 1 и направлена от точки M 0 к точке M 1 .
Следовательно, система (9) заменой переменных
x2  x cos v  y sin v, y2  x sin v  y cos v, z2  z
x  x2 cos v  y2 sin v, y   x2 sin v  y2 cos v 
80
(10)
может быть сведена к системе
x  2vy  v 2 x  vy  X ,
y  2vx  v 2 y  vy  Y ,
(11)
z  Z ,
xr
x
y
y
z
z
где X   m0 F20  m1F21 1  m1F01, Y  m0 F20  m1F21 , Z  m0 F20  m1F21 ,
r

r

r

r  x 2  y 2  z 2 ,   r 2  2r1 x  r12 , x, y, z – координаты точки M 2 в новой системе
координат.
Действительно, x  x 2 cos v x2 sin v v  y 2 sin v  y2 cos v , x  x2 cos v  2 x 2sin v v 
 x2cos v v 2 x2sin v v y2sin v 2 y 2cos v v y2 sin v v 2  y2cos v v, y   x 2sin v x2cos v v 
 y 2cos v y2sin v v, y  x2sin v  2 x 2cos v v x2sin v v 2  x2cos v v y2 cos v 2 y 2sin v v 
 y2 cos v v 2 y2 sin v v .
Кроме того,
x 2  x cos v  x sin v v  y sin v  y cos v v,
(12)
y 2  x sin v  x cos v v  y cos v  y sin v v.
Тогда, учитывая равенства (10) и (12), получим x  x2 cos v y2sin v  2 x cos v 
 x sinv v y sinv y cosv vsin v v x2cos v  y2sin v v 2 x2sinv  y2cosv v 2 x sinv  x 
 cos v v  y cos v  y sin v v cos v v  x2 cos v  y2 sin v  xv 2  2 xv 2  2 yv  yv .
Отсюда
x  xv 2  2 yv  yv  x2 cos v  y2 sin v . Следовательно, согласно равенству (9) x  xv 2 
 m F
 m F
mF

2 yv yv   0 20 x2  m1 F01cos v  1 21r1 cos v  x2  cos v   0 20 y 2 m1 F01
r2

r2



m F
mF
mF

 sin v  1 21r1 sin v  y2  sinv   0 20 x2 cos v  y2sin v   m1F01  1 21  r1 x2

r2


m F
mF
 cos v  y 2 sin v    0 20 x  m1 F 01 1 21 x  r1  .
r2

Аналогично y   x2 sin vy2 cos v  2 x cos v x sin v v y sin v y cos v v cos v v x 
sinvx cosv vy cosvy sinv vsinvv x2sinv y2cos v v 2 x2cos v y2sinv v x2 sinv 
y2 cos v  2 xv 2 yv 2  yv 2  xv . Следовательно, y 2 xv yv 2 xv  x2sin v y2 cos v .
 m0 F20
x2 m1F01 cos v 
r2

С учетом системы (9) получим, что y 2 xv  yv 2  xv   

m1 F21
r1 cos v  x2  sin v   m0 F20 y2  m1 F01 sin v  m1 F21 r1sin v  y2  cos v 

r2




m F
m F
mF
 0 20 ( x2sin v  y2cos v   1 21 r1cos v  x2  sin v  r1sin v  y2  cos v    0 20 y 
r2

r2
m F
mF
mF
 1 21 y , то есть y  2 xv  yv 2  xv   0 20 y  1 21 y .

r2


81
Кроме того, 
m0 F20
m F
mF
mF
z 2  1 21 z 2   0 20 z  1 21 z . Так как r2  x22  y22 z22 
r2

r2

 x 2  y 2 z 2  r ,
  r 2  r12 2r1 x2cos v  y2sin v   r 2  r12 2r1 x ,
то
справедливость равенств (11) окончательно установлена.
В ряде случаев для исследования системы (11) используется преобразование
Нехвила [1], определяемое равенствами
(13)
x  r1 , y  r1 , z  r1 ,
r1 – радиус-вектор точки M 1 – известная функция t ,  , при этом переменная t
заменяется переменной v (полярный угол) согласно равенству c dt  r12 dv ,  –
векторный
параметр внешних воздействий.
Убедимся, что система (11) преобразуется в систему [1]
d 2
d r13
F  Y ,
2

dv 2
dv c 2
d 2
d r13
(14)
F  H ,
2

dv 2
dv c 2
r3
d 2
   1 F  R ,
dv 2
c2

 1



где Y  m0 F20  m1 F21
 m1 F01 , H  m0 F20  m1 F21 , R  m0 F20 





 m1 F21


,    2   2   2 ,     1   2   2 , при этом r  r1  ,   r1  .
2
2
2
Сначала заметим, что согласно одному из равенств (8)
2cr1
2vr1
d
2cr  c
2c 2 r1
2r 
 
 v  v v   1   


,
v
v
  1 v 2, r1  r1 v,
3
3
2
4
(15)
r1
dv
r1 r1
r1 r1
r1
r1
r1  r1v 2  r1 v v.
(производная по v отмечена штрихом).
Тогда, учитывая равенства (13), получим x  r1  r1  v, x  r1 2 r1 r1  v 2 
 r1  r1 v v , y  r1  r1  v , y  r1  2 r1  r1   v 2  r1  r1   v v , z 
v  
 r1 r 1 v , z  r1 2 r1  r1 v 2  r1 r1 v v .
Следовательно, согласно равенству (15)
x  2 vy  v 2 x vy r1 2 r1  r1 v 2 



r1 r1 v v 2vr1 r1  v v 2 r1 vr1r1 v 2  2r1v 2 r1v v  r1v 2 r1v vv 2 r1  

2r1v 2
2cr1   2
c 2 
c2
2 
2
2v r1 2v r1 
r1 r1 v  2r1v r1 3 v   r1v r1vv  3   2 3  

r1
r1  
r 
r1

2

2
c2
c2
c2
c2
 2r1v 2  2r1v 2  r1v 2  r1v v r1 F   2      2   F , так как

r13
r13
r13
r13
согласно одному из равенств (8)
c2
r13
 r1  F .
Но
82
x2vy v 2 x vy  X m0 F20
Полагая Y m0 F20
r1
r  1
 1 m F .

m1 F21 1
m1F01m0 F20 m1 F21
1 01
r



 1 m F , получим c 2  2 c 2   F Y или d 2 

m1F21
1 01


r13
r13
dv 2
d r13
2
 F  Y  .
dv c 2
 2r1 r1 v 2 r1 r1 vv2vr1 r1 v v 2
Аналогично y 2 vx v 2 y vxr1

 



r1 vr1  r1 v 2  r1v v 2r1v 2   r1v 2  r1v vr1v 2   2v 2 r1  vr1  2v 2 r1   r1 


c2
r14



 2r 

c2 
c2
c2
 2v 2 r  1  2v 2 r1   r1v 2  r1v v r1 4  2 4 r1    1 v 2 r12v 2 r1    3  r1v 2 

r1 
r1
r1
 r1


c2
c2
c2
c2
2

















r1v v r1F   2 3   3   2 3  F . Следовательно, y  2vx  v y  vx  3   
r1
r1
r1
r1
2
c2
r13
   F .
r
r


С другой стороны, y 2vx  v 2 y vx  Y  m0 F20 1 m1F21 1  m0 F20 m1F21 .
r
Тогда, полагая H  m0 F20
Наконец, из того, что
следует
на




d 2
d r13
 m1F21 , получим

2

 F  H  .
dv c 2


dv 2
 
z  r1  r1 v , z  r1  2r1   r1 v 2  r1  r1 v v ,
основании
равенств
z  r1 v 2  2r1v 2  r1vv   r1v 2  r1vv  



c
2
r13
(15),
что
 



c2 
c2
c2
c2
c2
 2r1v 2  2r1v 2   r1v 2 r1vv  3   3   3   r1v 2  r1vv r1  F   3   3  

r1 
r1
r1
r1
r1

c2
 3   F .
r1
r
r


Но z Z  m0 F20 1  m1 1   m0 F20 m1 F21 . Следовательно, полагая R 






 m0 F20  m1F21


, получим, что
d 2
dv 2
 
r13
c2
F  R.
Справедливость равенств (14) установлена.
Предположим, что расстояние до точки M 1 определяется равенством r1r1 t,   r10 
  t ,  , r10 – постоянное число,  t ,  – T0 -периодическая по t функция и такая,
что  t ,    r10 ,
lim  t ,    0 , lim  t ,    0 , lim t ,    0 равномерно по t
 0
 0
 0
на множестве  ,  (достаточные условия существования функции  t ,   имеются
83


в [1], [4]),   R 0    :   Es ,    0 , E s – s -мерное векторное пространство,
s  1 ,  0  0 – число, при любом фиксированном   R 0  функции
 t, ,  t, , t,  непрерывны на множестве 0, T0 R 0  , y  max  yi .
i
Согласно одному из равенств (8) получим, что при любом фиксированном   R 0 
t
cd
v  vt   v0  
2
0 r1
 ,  
, c  0 , v0 – постоянное число (для простоты записей положим
v0  0 ). Следовательно, функция vt  строго монотонна на множестве  ,  .
Поэтому на множестве значений  ,  она определяет обратную функцию t v  ,
r 2 t v ,  
производная которой t v   1
, в частности функция t v  определена на
c
сегменте 0, v1  , v1 
T0
cd
 r 2  ,   со значением, принадлежащим множеству 0,T0  . Тогда
0
справедливы
равенства
r1  r1t v ,    r1 t v ,  t v    t v ,  t v   O  , r1  r1t v ,   
 r1 t v ,  t v 2   t v ,  t v   t v ,  t v 2  t v ,  t v   t v ,  t v 2 
2
  t v ,  r1 t v ,  t v   O    равномерно относительно v (а, следовательно, и t )
c
на множестве  ,  .
Предположим, что в системе (14) силы F01, F10 , F20 , F21 действуют по законам типа
закона Вебера [1] и определяются согласно следующих равенств:








f 01
1  01  *01t ,   r12  001  *01* t ,   r1r1 ,
2
r1
f
* t ,   r 2  0  ** t ,   r r ,
F10  10
1  10  10
10
11
1
10
r12
(16)
f 20
F20 
1  20  *20 t ,   r 2  020  *20* t ,   rr ,
r2
f
 ,
F21  21 1  21  *21t ,    2  021  *21* t ,   
2
в которых при любых i, j   0,1, 2, ij , 0ij – постоянные числа, *ij t ,   , *ij* t ,   –
F01 
функции, определенные и непрерывные на множестве
ческие по t и
 ,  R 0  ,
T0 -периоди-
lim *ij t ,    lim **
ij t ,    0 равномерно относительно t  0, T0  ,
 0
 0
коэффициенты пропорциональности f ij определяются равенством f ij  f ij0  f ij
(1)
t ,   ,
f ij0 – постоянное число, отличное от нуля, f ij(1) t ,   – функция, определенная и
непрерывная на множестве  ,  R 0  , T0 -периодическая по t и lim f ij
(1)
 0
равномерно относительно t  0, T0  .
Учитывая, что r  r1  ,   r1  , получим согласно одному из равенств (8),
84
t ,    0


r  c  c
r  r1v   r1  v  1

,
r12
r1



r

c

c
1
(17)
  r1v   r1  v  2 
,
r1
r1




r  r1 v 2   r1v  r1v 2   r1v 2   r1  v 2  r1  v,
  r  v 2   r v  r v 2    r v 2    r  v 2  r  v,

1
1
1
1
1
1



        
  1     .
при этом  
, 


Введем следующие обозначения:   u1 ,    u1 u2 , u1 u2 , u3 ,  u3  u4 , u3 u 4 ,
  u5 ,
  u5  u6 ,
u5 u6 ,
u  u1 , u2 ,..., u6  ,
0  k0 k1, k 0 , k1 – некоторые числа.
Lk 0 , k1   u E6 :k0  u  k1 ,
 
u  1u 2  u3u 4  u5u6


u u u u u u
Тогда    u   1 2 3 4 5 6 ,   u   1
,   u  


 u12  u32  u52 ,   u  
u1  1  u32  u52 , систему (14) в векторной форме можно
записать так:
(18)
u  Au  f t ,u,   ,
A  colon 0, 0, 0, 0, 0, 0, colon 1, 0, 0, 2, 0, 0, colon 0, 0, 0, 0, 0, 0, colon 0, 2, 1, 0, 0, 0,
r3
colon 0, 0, 0, 0,  1, 0, colon 0, 0, 0, 0, 0, 1 , f t, u,    1 colon 0, m0 F10 m1F01 u1
c
u  1  m F ,0, m F m F u  m F u3  m F u3 ,0, m F 
u
 m0 F20 1  m1F21 1
1 01
0 10
1 01 3
0 20
1 21
0 10




 m1F01 u5 m0 F20
u5

 m1F21
u5 
.

Рассмотрим случай, когда r1  r10 . Тогда на основании формул (17) получим




c   c
c 2   c 2 
r  r10  ,   r10 , r  r10  v 
,
, r  3 ,   3 .
r10
r10
r10
r10

(19)
Система (18) с учетом равенств (16), (19) примет вид
u   Au  f u   f t v , u,   ,
*
(20)


2
3
0
2  u 
r10
m
f
c
 1
0

20
0  m f 0 u 
в которой
f u  
colon 0, 2 m0 f10
1  20

1 01 1
2
c2
r
r10
2  3 u  
r10
 10




2

0
0
2  u  u 
2  u 
2  u  u 
m1 f 01
m
f
c
c
c
1

21
0
0
u1



 20
1




u

1

, 0,
21
1
21
3
2
2
2
2

r10
r
r
r
2


10
10
10
r10  u  



85

2

0
0
2  u 
m
f
m1 f 21
1
c
c 2  u  u 
0
20 
0
0
0


1 
m
f

m
f
u

1




u

0 10
1 01 3
20
3
20
2
2
2
r10
r10
r10
2  3u  
2  3u 

r10
r
10



2

2
0 m f 0
0
2  u 
m0 f10
m
f
c 2  u  0 c 2 u  u 
c
1 01
 21
 21
u3 ,0,
u5 0 320 1 20

2
2
2
2

r10
r10
r10
r
2

10
r10 u  




2
  
0
2  u  u 
2  u 
2  u  u 
m
f
c
c
c
u ,
1

21
0
0
 u5 
 20
1 21
21
3
2
2
2
 5

r10
r10
r10
2  u 

r
10
 



f t v , u,  
*
– известная вектор-функция и такая, что lim f t v , u,    0 равномерно относительно
*
 0
v, u  0, v1   Lk0 , k1  .
Для сокращения записей вектор-функцию f u  запишем в виде
f u 
3
r10
c2
colon0, 1 u ,0,  3 u ,0,  5 u  .
Определим условия существования постоянного вектора u0  u10 ,..., u60   Lk0 , k1  ,
u20 u40 u60 0 , удовлетворяющего равенствам 1 u0    3 u0   0 . Заметим, что



 u0   u0   u0   u0   0 .
Справедлива следующая
Теорема 1. Для того, чтобы вектор u0  u10 ,0, u30 ,0, u50 ,0  Lk0 , k1  , u30  0 (или
u50  0 ) удовлетворял равенствам 1 u0    3 u0   0 (или равенствам 1 u0 
 5 u0  0 ), необходимо и достаточно, чтобы вектор u 0 удовлетворял равенствам
0
f10

0
f 20
0
f 21
.
(21)
 u 0 
Доказательство. Необходимость. Пусть вектор u 0 такой, что 1 u0    3 u0   0 ,
u30  0 (случай, когда вектор u 0 такой, что1 u0   5 u0   0 , u50  0 ,
рассматривается аналогично). Тогда из того, что  3 u0  u30 0 , следует, что
0
m1 f 21
2 3
r10

u0 

0
m1 f 01
2
r10
или все равно, что
0
m0 f 20
2 3
r10

u0 
3
3
0
0
f 01

С другой стороны,

 u 0 
0

, f 01
0
f 21
 u 0 
3
.
0
0
0
0
0
m1 f 01
m0 f 20
m0 f10
m1 f 21
 3u0  m0 f10






2
2
2
u30
r10
r10
r10
2  3 u  r 2  3 u 
r10
0
0
10
0
 0 . Откуда f10

0
f 20
 u 0 
3
.
Достаточность очевидна. Теорема доказана.
86


Точку u0  u10 ,0, u30 ,0, u50 ,0 , u 0  0 , удовлетворяющую равенствам 1 u0  
  3 u0  0 , далее будем называть L -точкой системы (20). В общем случае L -точка
системы (20) не является точкой либрации [1] этой системы, так как в силу внешних
воздействий и зависимости некоторых коэффициентов системы (20) от времени может
оказаться, что f t v , u0 ,    0 на множестве 0, v1  Lk 0 , k1   R 0  . Следовательно,
*


точка u0  u10 ,0, u30 ,0, u50 ,0  Lk0 , k1  , u 0  0 , определяемая равенствами (21),
является L -точкой системы (20).
Разрешая систему (21) относительно u10 ,u30 , получим числа
u10
1  f 0 

  20
0 
2  f10


 f0 

u30   20
0 
f
 10 
23
23
 f0 

  21
0 
f
 01 
23

 1,


2
23
23

0 
0 
 f 21
1  f 20
2 ,




  0    0   1  u50
4  f10 
f

 01 




 f0 
определяющие L -точки u10 ,0, u30 ,0, u50 ,0 системы (20) при условии, что  20 
 f0 
 10 
(*)
23

2
 0 2 3  0 2 3 
1  f 20
2
   f 21   1  u50
.

0
 f0 

4  f10 
01 



0
0
0
0
2
В частности, если f 20
 f10
, f 21
 f 01
, u50
 0 , то равенства (*) определяют L -точки
1/ 2, 0, 

3 / 2, 0, 0, 0 .


Отметим, что L -точкой системы (20) является любая точка u0  u10 ,0,0,0,0,0 ,
u10  0 , удовлетворяющая равенству 1 u0  0 . L -точка системы (20) – решение
системы u   Au  f u  .
*
t,    *21* t,    0 на множестве
Далее будем предполагать, что 020  021  0 , *20
0,T0  R 0  .
Пусть u 0 – L -точка системы (20), u  u0  ,   D1     E6 :   1 ,0  1 

2
2
2
.
 min  0 ,  0 ,  0 ,  02  u10
 u30
, 20  u10  12  u30
Непосредственным
вычислением можно установить, что
 ,
3
 1 
1
1


       3  a1 , 13   P2    o 
0
 0

3
 1 
1
1


      3  b1 , 13   Q2    o 
0
 0


2
 0    a2 , 24   P22     o  ,

2
 0    b2 , 24   Q22     o  ,
2
 ,
 
 
87
2
(22)
a2  a22 , a42  , b1  b11,b31  , b2  b22 ,b42  – известные
постоянные векторы,  13   1 , 3  ,  24   2 , 4  , a1 , 13  , b1 , 13  , a2 , 24  ,
b2 , 24  – скалярные произведения, P2 j    , Q2 j    , j  1,2 – формы второго
где
a1  a11,a31  ,
порядка
 
относительно координат вектора  , lim o 
 0
2
2
 0 ,  0     u0    ,  0   




 u0    ,  0     u0    ,  0     u0    .
Система (20) с учетом равенств (22) преобразуется в систему
(23)
   Y c   f 2    f 3     t v , ,   ,
в которой Y c  – постоянная матрица, f 2   – известная вектор-форма второго порядка
относительно координат вектора  ,
 ,
f 3   o 
2
 t v , ,  1 t v , ,   
  2 t v , ,    3 t v ,   , 1 t v , ,   – вектор-форма второго порядка относительно
 
координат векторов  и  ,  2 t v , ,    o z равномерно относительно v  0, v1  ,
z   ,    D1   R 0  , lim 3 t v ,    0 равномерно относительно v  0, v1  .
2
 0
Далее будем предполагать, что правая часть системы (23) определена, непрерывна
и удовлетворяет условиям существования, единственности и непрерывной зависимости
решения от начальных условий и параметра,  3 t,    l  на множестве 0, v1 
 D1   R 0  , l  0 – некоторое число.
Пусть
W  0     E6:   0 ,    ,  ,   max  ,  . Символом  v, ,  
обозначим решение системы (23), удовлетворяющее равенству  0, ,    .
Заметим, что при   0 система (23) имеет решение   0 . Следовательно, число
 
 * 0, 1  можно выбрать так, что при любых  (    * ),   R  * система (23)
имеет решение  v, ,   , определенное на сегменте 0, v1  , непрерывное на множестве
0, v1  W  *  R * 
 v, ,    1 .
и
удовлетворяющее
на
этом
множестве
неравенству
Ставится задача: определить условия существования решения  v, ,   системы
(23), удовлетворяющего краевым условиям
(24)
 v1 , ,     .
Такую задачу будем называть задачей (23), (24).
Число l
были
0, v1  W  *  R * 
f 3    l  , 1 t v , ,    l  ,
выберем таким образом, чтобы на множестве
выполнены
неравенства
f 2    l  ,
2 t v , ,    l  .
Решение  v, ,   системы (23) можно представить так:
v
 v,  ,   Y v, c   Y v, c  Y 1 , c  f 2   ,  ,   
0
 f 3  ,  ,     t  ,  ,  , , d ,
88
(25)
Y v, c  – фундаментальная матрица системы   Y c  , Y 0, c  E , E – единичная
матрица.
   
Теорема 2. На множестве 0, v1  W  *  R  * решение  v, ,   системы (23)
определяется равенством  v, ,    Y v, c   O    l  v1  O  .
 

 
Доказательство. Из того, что  v,  ,   – решение системы (23), следует, что
v
 v, ,    Y  , c   , ,    f 2   , ,    f 3   , ,    t v ,  , ,  , d .
0



По лемме Гронуолла – Беллмана [5]  v, ,      l  v1 exp 5l *v1 , l * max Y , c  ,l.
 v, ,  
ограничено на множестве 0, v1  W  *  R  *
  l  v1
и lim  v, ,    0 равномерно относительно v  0, v1  ,    ,   .
Следовательно, значение
   
 0
Из определения функций f 2   , f 3   следует, что f 2  v, ,    f 3  v, ,   


 o   l *  v1 .
  o  l  v1   O  .
Кроме того,  t v , ,    o  ,


  l  v1
 

Следовательно, o   l  v1  O    l  v1 .
v
 
Поэтому Y v, c  Y 1  , c  f 2   ,  ,    f 3  ,  ,    t v ,  ,  ,  ,    O  



0
   l  v1 O   . Отсюда и из равенства (25) следует, что на множестве 0, v1 
*
   
 W  *  R  * решение  v, ,   системы (23) можно записать в виде  v,  ,   
 Y v, c   O   l  v1   O   . Теорема доказана.
На основании теоремы 2 и равенства (25) на множестве
0, v1 W  *  R * 
 v,  ,    Y v, c   p2* v,    O    O   , lim O     0 равномерно на множе2
 0
 
v
стве 0, v1  W  * , p2* v,   Y v, c  Y 1  , c  f 2 Y  , c  d .

0
Таким образом, для того чтобы задача (23), (24) была разрешима, необходимо и
достаточно, чтобы существовали векторы  ,  и число c , удовлетворяющее равенству
в которой
Y v1, c  E   p2    O  2  O    0 ,
(26)
p2    p2* v1 ,  , lim O     0 равномерно по  W  * . Для краткости
 0
записей положим Y v1 , c  E  M c  .
Теорема 3. Если число c  0 таково, что det M c   0 , то существует число   0
такое, что при любом   R  задача (23), (24) разрешима.
Доказательство. Пусть число c  0 таково, что det M c   0 . Оператор  определим

 
 
равенством   M 1 c  p2    O   O  .
2
89
Из того, что lim 
1
p    O     0 равномерно относительно
 
2
2
 0
 
 R  * ,
 
следует существование числа  2 0,  * такого, что при любых R  * ,  W  2 

M 1 c  p2    O   
2
 
2
2.
Кроме
lim O    0
того,
 0
равномерно
 
относительно   W  2  . Следовательно, существует число   0,  * , при котором
 
для любого   R  справедливо неравенство M 1 c O 
  2 2 . Это означает, что
при любом фиксированном  R  и любом  W  2     2 . Из определения
оператора

следует
его
непрерывность
на
множестве
 
W 2
при
любом
фиксированном   R  . Таким образом, при любом фиксированном   R 
существует
 
 W  2
вектор
такой, что    .
Пусть  * R  – некоторый фиксированный вектор. Тогда существует вектор  *


W  2  , удовлетворяющий равенству  *  * . Отсюда следует, что точка  * ,  * –


решение системы (25),  v,  * ,  * – решение задачи (23), (24). Теорема доказана.
Предположим, что существует число c 0 , удовлетворяющее равенству det M c   0 .
 .
Убедимся, что  2 t v , v, ,  ,    o 
2
Действительно, учитывая, что lim  2 t v , ,   z  0 равномерно относительно
2
0, v1 ,
z 0
z  max  ,  , получим
lim
 0
1
2

 2 t v , v,  ,  ,  
2
2

max  t v ,  ,   ,     l  v1 
 lim

0
2
  0max  t v ,  ,   ,  2
  l  v1 2

 2 t v , v,  ,  ,  
равномерно
относительно
max  t v ,  ,   , 
  l  v1 
2
 
в
v 0,v1
силу
 max   l  v1 exp 5l *v1 ,  
   
  l  v1
того,
и
что
величины
  l  v1
ограничены на

множестве 0, v1  W  *  R  * .
А так как f 2    f 3 t v , ,   – форма второго порядка относительно координат
   
векторов  ,  , то на множестве 0, v1  W  *  R  * решение  v, ,   системы (23)
можно представить равенством  v,  ,    Y v, c   q2* v,    q3 v,    o  , в
котором
 
 
v
q2* v,    Y v, c  Y 1  , с  f 2 Y  , с  1 t  ,Y  , с  ,  d , q3 v,    o 
0
равномерно относительно v  0, v1  . Система (26) примет вид
  o    0 ,
M c   q2    o 
90
2
2
где q2    q2* v1 ,   .
Методика нахождения достаточных условий разрешимости задачи (23), (24) в этом
случае предложена в работе [4].
c
Так как r1  r10 , то согласно одному из равенств (8) v 
t . Следовательно,
r2
10
c
учитывая, что v1 
T0 , получим, что T0 -периодическая ( v1 -периодическая) функция
r2
10
r2
c
заменой переменных t  10 v ( v 
t ) преобразуется в v1 -периодическую ( T0 -пери2
r10
c
одическую) функцию. Это значит, что условия разрешимости задачи (23), (24) являются
условиями существования как T -периодического, так и v -периодического решения
0
1
системы (23).
Замечание 1. Непосредственным вычислением можно убедиться, что если r1  r10
  t ,   , в равенствах (16) ij0  0, *ij* t,    0 на множестве 0, T0 R  0 ,
   
i, j  0,1,2,
то система (18) преобразуется в систему, по форме совпадающую с
системой (23), которая может быть исследована теми же методами, что и система (23).
Отметим следующее. Пусть система (18) при r1 r10  t ,   преобразуется в систему
 A  f t v , ,   .
(*)
t
c d
Убедимся, что если  v,  ,   – решение системы (*), то  t , ,     
,
  r 2  ,  
0
 ,   – решение системы
  A  f t , ,  
c
r12
t ,  
.
1
(**)
Действительно, из того, что  v,  ,   – решение системы (*), следует, что t,  ,   
 t c d

 t c d
   t c d   c



,  


  2
,  ,  v  A  2
,  ,    f  t ,   2
 A t ,  ,
 r1  ,  

 r1  ,  
   r1  ,     r12 t ,  
0

0
  0
 
c
, то есть  t , ,   – решение системы (**). Аналогично
   f t,  t,  ,  ,   2
r1 t ,  
устанавливается, что если  t ,  ,   – решение системы (**), то  v, ,     t v , ,  
– решение системы (*).
Следовательно, если решение  v, ,   системы (*) удовлетворяет краевым условиям
 v1 , ,     , то решение  t , ,   системы (**) удовлетворяет краевым условиям
 T0 c d

 T0 , ,       2
,  ,     v1 ,  ,     . Учитывая, что вектор-функция
 r  ,  

0 1

f t , ,   – T0 -периодическая по t , приходим к выводу о том, что условия
существования
решения
 v, ,   системы (*), удовлетворяющего равенству
91


 v1 , ,    ,
является условием существования T -периодического решения системы (**).
0
Пример. Рассмотрим случай, когда
L -точкой системы (20) является точка
3 / 2, 0, 0, 0 . В этом случае  u0  1 ,  u0  1 , согласно равенствам

u0  1/ 2, 0,
 
 
0
0
0
0
(21) f10
, f 01
. Предположим ij 0ij  0 , *ij t,   *ij* t,    0 на множестве
 f 20
 f 21
0, T0  R 0  . В системе (20) выполним замену переменных u  u0  .
Пусть D 2     E6 :    2 ,0   2  min 0 ,1.


1
2
Непосредственным вычислением устанавливаем, что  u0    1   1
  
3
 3
2

13
3
1
1
3
13
2
   12 
 1 3   32   52   o  ,  u0    1   1  3   12 
24
2
4
2
2
24

  

3
1

 1 3  32   52   o 
2
4

2

1
, 
  u0  
  

1
, 
  u0  

3
2
 1
  52 o  ,  u0      2 
2
 2
33
3
  32   52  o 
8
2
2
  

1
  o ,  u     
2
    o 
0
2
5 6
2
3


3
3 3
3
15 3
  1   1
 3  12 
 1 3

2
2
8
4

3

2
5 6


3
3 3
3
15 3
33
  1   1
 3  12 
 1 4   32 

2
2
8
4
8

3
3
3
1
3
 4   1 2   1 4   3 4   2 3
2
4
4
4
4

3
3
3
1
3
 4   1 2 
 1 4   3 4   2 3 
2
4
4
4
4
.
1
Учитывая, что f ij  f ij0  f ij t ,   , получим


0  f 1 t ,   1
m0 f 20


20
  1  
3
2

r 2  u0 
10



0
0 1
m0 f 20
1 m0 f 20
3 3
21 2 3 3
36 2 3 2 
  1








   
3
1
3
1

2
2
2 r10
r10
4
16
8
16 3 4 5 
4

m0
2
r10
a   t ,   14
1
20

1

 ,
3 3 
1 t , ,     1 t ,    o 
 3    20
20
4

0  f t ,  
m1 f 21
1

21
 1  
3
2
2  u 

r10
0


2

0
01
m1 f 21
1 m1 f 21
3 3
21
3 3
33
3 
  1

 3   12 
 1 3  32   52 

2
2
2 r10
r10  4
4
16
8
16
4



m 1
1 t , ,     1 t ,   o  2 ,
t ,   1  1 3 3  3    21
 21 a21
21
r10
4
4

 

92


0  f 1 t ,    3

m0 f 20
20

 3  
3

2  u 
r10
 2

0



0
0 3 3
m0 f 20
3 m0 f 20
5
3 3 2 33
33 3 2 3 3 2 


 1  3 
 1   1 3 
 
 
2
2
2 r10
r10 
4
4
16
8
16 3
4 5 
 

 3 3
m0 3
5 
3t , ,     3t ,   o  2 ,

   20



a
t
,




1
3
20
20

2
r10
4
4 

0  f 1 t ,    3

m1 f 21
21




3
 2

2  3 u 
r10


0
0
0 3 3
m1 f 21
3 m1 f 21
13
3 3 2 33
33 3 2 3 3 2 



1   3 
 1   1 3
3 
 

2
2
2 r10
r10  4
4
16
8
8
4 5 





 

3 3
m1  3
13 
3 t , ,     3 t ,    o  2 ,
a21 t ,  
 1  3    21
21
2
r10 
4
 4

0  f 1t ,  
m0 f 20
20
5 
3
2
r10  u0 
 m 5
m f0 
3
3 3
5 t ,    o 
t ,   5   20
 0 2 20  5   1 5 
 3 5   20 a20
5

r10 
2
2
 r10






 ,

2
0  f 0 t ,  
m1 f 21
21
3

2  u 
r10
0



 5
 ,

0

m1 f 21
5 t ,     5 t , ,    o 
 5 3 1 5 3 3 3 5   m1 a21
5
5
21

2
2

r10 
2
2
 r10


 
 
2
 
где aijk t ,  – скалярное произведение векторов aijk t  и  , ijk t , ,   , ijk t ,  
k 
и вектор aij t  определены, непрерывны, T0 -периодические по t на множестве
0, T0  D 2  R *  ,
lim ijk  t , ,    0 ,
z 0
k 
lim  ij t ,    0
 0
равномерно
относительно t  0, T0  , при любых i, j, k   0,1, 3, 5 .
0
0
Тогда, полагая f 01
 f10
 f и выбирая c 2  f r10 , приходим к тому, что система (18)
может быть записана так:
93

  colon  2 , 1  2 4  m0  m1


21
 14  1 3 43 m0 m1  3 16
m0m1  12 




3 3
33
3
m0  m1  1 3
m0 m1  32  m0 m1  52 
8
16
4
1


1
1
  1 a20 t , m0  a21 t ,  m1 
4
3 3
1 t ,  m  a 1 t ,  m   * t , ,   

 3 a20
0
1
1
21
4
3 3
2
 1 t ,  o  , 4 ,2 2   3
m0  m1  1
4
5
3 3
33
 m0  m1  3
m0  m1  12  m0  m1  1 3
4
16
8
33 3
3 3
3 t , m  a 3 t ,  m 

m0  m1  32 
 1 a20
0
1
21
8
4
3
2
  3* t , ,     3 t ,   o  , 6 , 5 m0  m1  m0  m1  1 5
2
3 3
5t , m  a 5 t ,  m 

m0  m1  3 5 5 a20
0
1
21
2
2
  5 t , ,    o   5 ,


 
 



 






где





i t, ,    O  
m0  m0 m0  m1  ,


 



 
 

 

 
равномерно
относительно
 0, T0  D 2  , 1 t ,   O   равномерно относительно t  0, T0  .
(27)
t ,  
Предположим, что m0  81, 3 m1 (это равенство имеет место в среднем, если m0 –
масса Земли, m1 – масса Луны). Тогда, полагая m0  m0 m0 m1  , m1  m1 m0 m1  ,
получим, что m0  m1  1 , m0  0,98 , m1  0,02 , m0 m1  24 25 .
Система (27) примет вид


3
4
18 3
63 3 2 3 3
 3 2 4 
 
 1 3
25
50 1
8
99
18
1
1 t ,  0,98  a 1 t ,  0,02 
  32   52   1 a20
21
50
25
4
3 3
1 t ,  0,98 a 1t ,  0,02   t , ,   

 3 a20
1
21
4
3 3
9
3 3 2 99
2
 1t ,   o  , 4 ,
 1  2 2   3
   1 3
4
4
16 1 25
33 3 2 3 3
3 t , 0,98  a 3 t ,  0,02 

3
 1 a20
21
8
4
36
3 3
2
  3*t , ,     3t ,    o  , 6 ,   5   1 5 
 3 5 
25
2
5 t ,  0,98 a 5 t ,  0,02   t , ,   o  2  .
  5 a20
5
5
21
  colon  2 ,  1




 

 


Определим
условия

 

 
существования
решения
удовлетворяющего краевым условиям  v1 , ,     .
94
(28)
 
  
 t , ,  
системы
(27),
Решение  v, ,   будем искать в предположении, что  5v,  ,     6v,  ,    0
на множестве 0, v1  W  2   R *  . Для удобства записей введём обозначение,
положив   q, 5 , 6  , q  q1 , q2 , q3 , q4  ,  i  qi
векторной форме систему (27) можно записать так:
при i  1, 2, 3, 4. Тогда в
 ,
q  Sq  2 q    v, q,     v, q,     v,    o q


2
(29)

где S – матрица, определенная равенством S  colon 0, 3 / 4, 0, 3 3 4 , colon 1, 0,0,2,



colon 0, 18 3 25 , 0, 9 / 4 , colon 0,2,1,0 , 2 q  – известная вектор-форма второго
порядка относительно координат вектора q ,  v, q,   – известная вектор-форма второго
порядка относительно координат векторов q и  , lim  v, q,    lim v, q,    0
 0
q 0
равномерно относительно соответственно v,   0, v1   R *  , v, q  0, v1   Q 2  ,
Q  2   q E4 , q   2 ,
 v, q,    o z1  равномерно относительно
v  0, v1  ,
z1  q,   , z1  max q ,  ,  v,    O   равномерно относительно v  0, v1  .
Пусть
X t  ( X 0  E ) – фундаментальная
характеристическое уравнение которой имеет вид
4  2 
матрица
системы
3 3
  27 400  0 .
50
q  Sq ,
(30)
Из равенства (30) следует, что собственными числами матрицы S не могут быть
числа 0,  i  .
Убедимся, что уравнение (30) не имеет кратных корней. С этой целью одновременно
с уравнением (30) рассмотрим уравнение
(31)
43  2  3 3 50  0 .
Пусть вопреки утверждению существует число 1 , удовлетворяющее равенствам (30)
и (31). Это значит, что число 1 должно быть корнем уравнения
34  2  27 400  0 .
(32)
Непосредственным вычислением устанавливаем, что корень уравнения (30) не
является общим корнем уравнения (31) и (32). Это значит, что все собственные числа
матрицы S различные и имеют ненулевые действительные части.
Следовательно, det  X v1   E   0 , и на основании теоремы 3 утверждаем, что
существует число   0 такое, что при любом  (    ) система (29) имеет решение
qv,  ,   , q0,  ,     , удовлетворяющее равенству qv1 ,  ,     , а система (18),
построенная согласно рассматриваемому примеру, имеет T0 -периодическое решение
в окрестности точки u0 .
Замечание 2. Аналогично
может
быть
исследована
окрестность
L -точки
u 0  1 / 2,0, 3 / 2,0,0,0 , если снять ограничение ij  0 и предположить, что ij –
малый параметр. При исследовании L -точек u 0 ограничения ij  0 можно снять и
предположить, что ij – малый параметр.
95
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дубошин, Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы [Текст] /
Г.Н. Дубошин. – М. : Наука, 1978. – 454 с.
2. Дубошин, Г.Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел [Текст] / Г.Н. Дубошин. – М. : Наука, 1983. – 350 с.
3. Дубошин, Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы [Текст] / Г.Н.
Дубошин. – М. : Наука, 1975. – 799 с.
4. Терёхин, М.Т. Об условиях разрешимости ограниченной задачи двух тел [Текст] //
Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. – 2010. – № 15. – C. 104–118.
5. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [Текст] /
Б.П. Демидович. – М. : Наука, 1967. – 472 с.
Терёхин М.Т., профессор кафедры математики
и методики преподавания математических дисциплин
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46
Е-mail: [email protected]
Teryokhin M.T., Professor, Chair of Mathematics
and Method of Teaching of mathematical Disciplines
Ryazan State University after the name of S.A. Yesenin
46 Svobody str., Ryazan, 390000, Russia
Е-mail: [email protected]
96
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Дифференциальные уравнения
2011
№ 16
УДК 517.938
М.Т. Терёхин, Е.С. Дюба
РАЗРЕШИМОСТЬ УПРАВЛЯЕМОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИНТЕГРАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Для нелинейной системы дифференциальных уравнений с интегральным критерием качества,
у которой известно решение и зафиксировано начальное значение, получены необходимые
и достаточные условия существования управления, доставляющего максимум функционалу.
генеральная компания, совместное предприятие, управляемость, функционал, экстремум,
краевые условия.
For a system of nonlinear differential equations with an integral quality criterion, whose solution
is known and fixed initial value, it is found the necessary and sufficient conditions for the existence
of controls, provide the maximum functionality.
general company, joint venture, controllability, functional, extremum, the boundary conditions.
В настоящей статье рассматривается математическая модель развития
экономической системы: генеральная компания – совместное предприятие.
Совместным предприятием является компания, работающая под маркой
генеральной компании. Данная модель развития является выгодной формой
ведения бизнеса. Ею пользуются во многих странах с развитой рыночной
экономикой. Не так давно подобные предприятия появились и в России, и их
количество растет с каждым годом. Эта система ведения бизнеса позволяет
генеральной фирме расти быстрее и с меньшими капитальными затратами, чем
при традиционном способе организации предприятий. В то же время
предприниматель, присоединяющийся к такой системе, снижает свой риск, так
как покупает уже готовый бизнес, завоевавший определенную нишу, технологии
которого были всесторонне опробованы на практике.
Подобную систему рассматривали В.Д. Рудашевский и М.А. Фурщик [1].
Для изучения процессов, происходящих в этой системе, используется система
дифференциальных уравнений вида
(1)
x  A(t ) x  B(t )u  f (t , x, u) ,
в которой x1 (t ), x2 (t ), …, xn (t ) определяют доли рынка, занятые генеральной
компанией и совместными предприятиями, ликвидные средства и задолженности
этих компаний в момент времени t , xi (t ) задают темп изменения каждой из этих
величин при t  0, T , T  0  некоторое положительно число, A(t )  n  n матрица, коэффициенты которой находятся вне модели, учитывают оптимальный
вступительный взнос для каждого совместного предприятия, определяют
проценты по кредитам или ликвидности, в зависимости от того, к какому из xi (t )
u  (u1,u2 ,,um )
они
относятся.
–
вектор-управление,
а слагаемое B(t )u определяет расходы на рекламу и исследования рынка для
97
каждой территориальной единицы, B(t )  n  m -матрица, m  n . Вектор-функция
f (t , x, u ) имеет порядок больше первого по x и u одновременно, учитывает
влияние на темп изменения величин x1 (t ), x2 (t ), …, xn (t ) нелинейных членов.
Генеральная компания старается максимизировать свою прибыль, которая
T
определяется функционалом I   Φ(t , x, u )dt , Φ(t , x, u) – некоторая функция,
0
определенная
и непрерывная на множестве 0, T  En  Em .
Задача. Найти управление u , при котором решение системы (1), определенное
на сегменте 0, T , приносит генеральной компании максимальную прибыль, то
есть
доставляет максимум функционалу I .
Предположим, что x  x(t ,  , u0 ) , x(t ,  , u0 )   – известное решение системы
(1), при фиксированном  определенное на сегменте 0, T ,   En , u0  Em .
Обозначим его x  x(t , u0 ) . Заменой переменных y  x  x(t , u0 ) , v  u  u0 система
(1)
сведется
к системе
(2)
y  A(t ) y  B(t )v  f (t , y, v) ,
где f (t , y, v)  f (t , y  x(t , u0 ), v  u0 )  f (t , y, u) .
Функционал I в новых переменных определится равенством
T
I   (t , y  x(t , u0 ), v  u0 )dt .
0
Введем
следующие
обозначения:
D( 0 )  t , y, v  : t  0, T , y  En , y   0 ,
v  Em , v   0 , C ( 0 )  c : c  En , c   0 , V ( 0 )  v : v  Em , v   0 ,  0  0 –
некоторое число, z  ( y, v), z  max  y , v ,   (c, v),   max c , v .
Будем предполагать, что на множестве D( 0 ) матрицы A(t ) , B(t ) и векторфункция
f (t , y, v) определены, непрерывны,
f (t , y1 , v)  f (t , y2 , v)  L y1  y2 ,
L  0 – некоторое число, lim f (t , y, v) / z  0 равномерно относительно t  0, T  .
z 0
Непосредственно подстановкой убеждаемся, что y  0 является решением
системы (2) при v  0 . Тогда существует   (0,  0 ] такое, что при любых
c  C ( ) и v V ( ) система (2) имеет решение y  y (t , c, v) , y (0, c,0)  c ,
определенное на сегменте 0, T , непрерывное на множестве 0,T  C ( ) V ( ) и
удовлетворяющее на этом множестве неравенству y (t , c, v)   0 .
Одновременно с системой (2) рассмотрим систему
(3)
y  A(t ) y  B(t )v  f (t , y (t , c, v), v) .
Теорема 1. Решение y  y (t , c, v) системы (2) является решением системы (3), а
решение y(t )  X (t )c  R(t )v  P(t , y (t , c, v), v) , где X (t )  фундаментальная
98
t
матрица
y  A(t ) y ,
системы
X (0)  E ,
R(t )  X (t )  X 1 ( ) B( )d ,
0
t
  X 1 ( ) f ( , y (t , c, v), v)d
P(t , y (t , c, v), v)  X (t ) 
системы
(3)
является
0
решением системы (2) и справедливо равенство y(t )  y (t , c, v) при любом
t  0, T  .
Доказательство. Тот факт, что решение y(t )  y (t , c, v) системы (2) является
решением системы (3) проверяется непосредственной подстановкой y (t , c, v) в
равенство (3).
Решением системы (3) является и вектор-функция y(t )  X (t )c  R(t )v 
 P(t , y (t , c, v), v) , принимающая значение c при t  0 и v  0 .
Таким образом, система (3) имеет два решения с одинаковыми начальными
данными. По теореме существования и единственности решений линейных
систем дифференциальных уравнений получим, что при любом t  0, T 
y (t , c, v)  X (t )c  R(t )v   P(t , y (t , c, v), v) . Теорема доказана.
Теорема
2.
Решение
системы
(2)
представимо
в
виде
y (t , c, v)  X (t )c  R(t )v  o(  ) .
t
Доказательство.
Из
того,
что
y (t , c, v)  c   ( A( ) y (t , c, v)  B( )v 
0
 f ( , y (t , c, v), v))dt , следует, что y (t , c, v)  c  B() v T  ( A()  L) y (t , c, v) ,
A() ,
B()
– нормы соответственно матриц A(t ) и B(t ) . Тогда по лемме
Гронуолла-Беллмана
[2]
y (t , c, v)  ( c  B() v T ) exp( A()  L)T .
Поэтому
lim y (t , c, v)  0 равномерно по t  0, T  , а, следовательно, учитывая, что
γ 0
z(t , c, v)  ( y (t , c, v), v) , и lim z (t , c, v)  0 равномерно относительно t  0, T  .
γ 0
Так как
z (t , c, v)  y (t , c, v)  c ,
y (t , c, v)   (1  B() T ) exp( A()  L)T
на
множестве 0,T  C ( ) V ( ) , то на этом множестве величина z (t , c, v) 
ограничена.
По предположению lim f (t , y, v) z  0 равномерно по t  0, T  . Поэтому
z 0
lim f (t , y (t , c, v), v)   lim  f (t , y (t , c, v), v) z (t , c, v)  z (t , c, v)    0 равномерно
 0
z 0
относительно t  0, T  . Отсюда в силу ограниченности матриц X (t ) , X 1 (t ) на
сегменте 0, T  получим P(t , y (t , c, v), v)  o(  ) , а y (t , c, v)  X (t )c  R(t )v  o(  ) на
множестве 0,T  C ( ) V ( ) . Теорема доказана.
Предположим, что в окрестности точки (c, v)  (0,0) функционал имеет
вид
l
I  Φ(u0 )  D1 (u0 )c  D2 (u0 )(u0 )v  Ql (u0 ,  )  o(  ) ,
99
где
Φ(u0 ) 
T
  Φ(t , x(t , u0 ), u0 )dt , D1 (u0 ) и D2 (u0 ) – известные матрицы, Ql (u0 ,  ) – вектор0
форма порядка l , l  2 , относительно координат вектора  .
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 3. Необходимым условием существования точки экстремума
функционала I является выполнение равенств D1 (u0 )  0 и D2 (u0 )  0 .
Теорема 4. Пусть вектор u 0 таков, что D1 (u0 )  0 и D2 (u0 )  0 . Тогда:
1) если форма Ql (u0 ,  ) – знакоопределенная, то на решении x  x(t , u0 )
системы (1) функционал I
имеет экстремум, минимум при Ql (u0 ,  )  0 ,
максимум при Ql (u0 ,  )  0 ;
2) если форма Ql (u0 ,  ) – знакопеременная, то функционал I на решении
x  x(t , u0 ) системы (1) экстремума не имеет.
Таким образом, теоремы 3 и 4 определяют условия существования вектора u 0 ,
при котором функционал I имеет максимум на решении x  x(t , u0 ) и,
следовательно, определяют существование стартового состояния системы
«генеральная
компания
–
совместное предприятие» и ее управление, при которых генеральная компания
получает наибольшую прибыль.
 2 x 4  x22u 2 
1
 0 2
,
Пример. Пусть в системе (1) A  
 , B    , f ( x, u )   31
4 
x
x

3
u
  2 0
 2
 1 2


t [0,  ] , функционал I   (16  8 x12 x2u  4 x12 x22  x12u 2 )dt определен на множестве
0
решений системы (1).

Фундаментальная матрица системы x  Ax имеет вид X (t )  
sin 2t 
 .
  sin 2t cos 2t 
cos 2t
Поскольку точка x, u   (0,0) является решением системы (1) для данных
матриц, то замена переменных не проводится и исследуется начальная система.
Непосредственным вычислением устанавливаем, что матрица R(t ) 
t
1


 .
 X (t )  X 1 ( )Bd определяется равенством R(t )  
  1 / 2  sin 4t 
0
В окрестности точки ( x, u)  (0,0) справедливо следующее представление

I   [(t )  D1 (t ) x  D2 (t )u  Q4 (t , z )  o( z )]dt ,
функционала:
4
где
(t )  16 ,
0
D1 (t )  0 , D2 (t )  0 , Q4 (t , z )  (16 x12 x2u  16 x12 x22  4 x12u 2 ) / 24 и в данном случае
z  ( x, u) .
Учитывая, что выполняются условия теоремы 3, исследуем форму Q4 (t , z ) 

  Q4 (t , z )dt 
0

24
x12 (16 x2u  16 x22  4u 2 )  
100

24
x12 (4 x2  2u ) 2 .
Таким
образом,
форма Q4 (t , z ) является определенно-отрицательной, и на решении x, u   (0,0)
функционал принимает максимальное значение I  16 .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
6. Рудашевский, В.Д. Проблемы предприятий. Оптимальная стратегия
развития франчайзинговой системы [Текст] / В.Д. Рудашевский, М.А. Фурщик //
Экономика и математические методы. – 1998. – Т. 34. – Вып. 2. – С. 89–104.
7. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [Текст] /
Б.П. Демидович. – М. : Наука, 1967. – 472 с.
Терёхин М.Т., профессор кафедры математики
и методики преподавания математических дисциплин
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46
E-mail: [email protected]
Дюба Е.С., аспирант кафедры математики
и методики преподавания математических дисциплин
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46
E-mail: [email protected]
Teryokhin M.T., Professor, Chair of Mathematics
and Method of Teaching of mathematical Disciplines
Ryazan State University after the name of S.A. Yesenin
46, Svobody str., Ryazan, 390000, Russia
E-mail: [email protected]
Dyuba E.S., a post graduate student, Chair of Mathematics
and Method of Teaching of mathematical Disciplines
Ryazan State University after the name of S.A. Yesenin
46, Svobody str., Ryazan, 390000, Russia
E-mail: [email protected]
101
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
УДК 517. 938
М.Т. Терёхин, Н.М. Турусикова
НЕЛОКАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ
Рассматривается построение и исследование нелинейной математической модели управления
инвестиционным портфелем. Модель имеет вид системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Задача управления портфелем формулируется как задача достижения желаемой
доходности за некоторый промежуток времени.
управление, принцип неподвижной точки, доходность портфеля, замена переменной, краевая
задача, оператор.
It is considered construction and investigation nonlinear mathematical model of control of investment
portfolio. The model has the form of a system of ordinary differential equations. The task of control
of portfolio is formulated as a problem of achievement of desired profitability for some period.
control, fixed-point principle, profitability of the portfolio, the change of variable, boundary value
problem, operator.
Вопросам финансового менеджмента, а также управления инвестиционным портфелем
(ИП) посвятили свои работы многие отечественные и зарубежные ученые. Начальный
этап развития теории инвестиций относится к 20−30-м годам XX века и является
периодом зарождения теории портфельных финансов как науки в целом. Этот этап
представлен, прежде всего, основополагающими работами Дж. Хиксa [1], И. Фишера [2]
по теории процентной ставки и приведенной стоимости. Начало современной теории
инвестиций определяется выходом в 1952 году статьи Г. Марковица под названием
«Выбор портфеля» в «Журнале финансов» (“The Journal of Finance”). В этой статье
впервые
была
предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных
бумаг, приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях.
В более расширенном варианте он изложил свою теорию в монографии [3]. Далее теория
управления портфелем развивалась У. Шарпом [4, 5], Д. Тобином [6]. В работе
А.С. Шведова [7] содержится изложение теории эффективных портфелей – одной
из математических теорий, используемых для выработки решений на фондовых рынках.
У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бейли занимались развитием теории оценки финансовых
активов, рассматривали методы управления инвестициями, изучали проблемы
глобализации инвестирования. П.М. Симоновым [8] рассмотрены нелинейные
экономические модели с запаздыванием ввода инвестиций.
Сегодня вопрос управления инвестиционным портфелем – одна из основных задач
финансового менеджмента. В работах [9, 10, 11] предложена многомерная динамическая
модель управления инвестиционным портфелем. Задача управления портфелем
формулируется как динамическая задача слежения по квадратичному критерию за
некоторым, задаваемым инвестором, портфелем, имеющим желаемую доходность
(гипотетическим эталонным портфелем). В работе В.В. Домбровского, В.А. Гальперина
[12] динамика ИП описывается в агрегированном виде, то есть используются уравнения
для капитала портфеля в целом. Состояние портфеля определяется суммарным капиталом
всех вкладов в активы, а управлениями являются объемы этих вкладов.
Под инвестиционным портфелем будем понимать определенный набор из ценных
бумаг с минимальным риском потерь (некоторые виды акций, облигаций, бумаг
102
с фиксированным доходом, гарантированным государством и прочее). Задача управления
портфелем заключается в определении стратегии управления портфелем для достижения
инвестором желаемой доходности за некоторый промежуток времени. Доходность
портфеля за промежуток времени 0, Т  определяется равенством  T  
n
V T   V 0


[4],
где
V
t


100 %
 xk t  – общий капитал портфеля.
V 0
k 1
Рассмотрим инвестиционный портфель, состоящий из n-1 видов вложений и
банковского счета. Управление портфелем осуществляется путем перераспределения
капитала между различными видами инвестиций посредством банковского счета.
Предположим, что деньги извне на банковский счет не поступают, а со счета снимаются
только с целью вложений, формирующих инвестиционный портфель, то есть
рассматривается постоянный портфель, в котором первоначально вложенный объем
денежных средств сохраняется на протяжении всего периода существования портфеля.
Пополнение средств такого портфеля происходит за счет доходов от первоначально
вложенных денежных средств, а не за счет внешних источников.
Пусть xt   colon x1 t , x2 t ,..., xn t  – вектор, при любом i 1,2,..., n  1
компонента xi t  равна объему инвестиций в i-й актив, а компонента xn t  описывает
состояние банковского счета; координаты вектора ut   colon u1 t ,..., um t  есть
суммы перераспределяемого капитала. Положим, что неравенство ui t   0 означает
перевод капитала в сумме ui t  с банковского счета в i-й вид вложений, если ui t   0 ,
то происходит перераспределение капитала с i-го вложения на банковский счет. Таким
образом, в результате выбора управляющих воздействий ui t  происходит
перераспределение капитала между активами и банковским счетом и посредством
банковского счета – между различными видами инвестиций. Будем обозначать символом
xi t  темп изменения (рост или убыль) объема капитала в i-м активе.
Построим модель управления ИП, полагая, что в начальный момент времени
промежутка управления капитал не распределен по активам. В этом случае
не учитывается влияние наличного объема капитала в активах на темп роста объемов
денежных средств в этих активах.
Исследуем темп изменения объема капитала в первом активе.
Пусть выражения вида b1k uk t  характеризуют зависимость темпа изменения
благосостояния первого актива от того капитала, который в него добавляется или
наоборот изымается, от перемещений капиталов между другими активами. Заметим, что
коэффициенты b1k могут меняться с течением времени и, вообще говоря, определяются
эмпирически, на основе наблюдений, проведенных за некоторое время, законов
экономического развития.
Стратегию инвестирования можно постараться определить так, чтобы в результате
внешних воздействий на портфель не понести существенных потерь. Примерами могут
служить вложение в инвестиционный инструмент, доход от которого имеет льготное
налогообложение, приобретение акций после выплаты дивидендов, покупка пая какоголибо фонда после распределения прибыли и прочее. Определить такую стратегию
управления инвестиционным портфелем помогают также перемещения наличного
капитала из одного актива в другой. Влияние взаимодействия первого и второго активов,
предполагающее перемещение части капитала второго актива в первый,
на темп изменения объема капитала в первом активе обозначим так: с12 x1 t x2 t  ,
где коэффициент с12 x1 t  показывает, какая часть наличных средств во втором активе
берется для пополнения капитала данного инвестиционного инструмента. В общем,
103
материальную взаимопомощь двух активов будем выражать слагаемыми вида
с jk x j t xk t  , j, k  1,2,..., n. Влияние таких слагаемых, где j  i , на изменение
объема капитала в первом активе можно интерпретировать следующим образом.
Во-первых, возможно сначала инвестор перебрасывает капитал из одного актива в любой
другой посредством банковского счета, а из него в свою очередь деньги перемещает
в первый актив. Так, например, можем иметь с32 x3 t x2 t   с13x1 t x3 t  . Слагаемое
с11x12 t  означает, что часть с11x1 t  капитала первого актива вкладывается в этот же
инвестиционный инструмент (продажа части инструмента и вложение денежных средств
в первый актив портфеля). Во-вторых, перемещение капитала задерживает работу банка
(оформление документов, оплата комиссионных и прочее), занимает время инвестора.
Это отражает коэффициент с jk , который может меняться с течением времени. Заметим,
что на сумму капитала, перемещаемую из одного актива в другой, влияет состояние
взаимодействующих активов, поэтому следует использовать коэффициенты с jk t , x  .
Если же инвестор в процессе управления портфелем регулирует ту часть капитала,
которая перемещается из одного инструмента в другой, то имеем слагаемые
c jk t, x, и x j t xk t  . Заметим, что коэффициенты c jk t, x, u  могут давать порядок
по управлению выше первого.
Иногда взаимосвязь инвестиционных инструментов в случае непредвиденных
обстоятельств (например, увеличение с течением времени доли портфеля, отведенной
на какой-либо вид ценных бумаг, в связи с более высокой доходностью этого сегмента),
взаимопомощь активов в экстренных ситуациях не удается осуществить управляющими
воздействиями вида b1k t uk t  , k  1,2,..., m . Возможно, требуется кратная помощь.
Темп изменения объема капитала первого актива зависит от перемещаемых в экстренных
случаях сумм между активами, которые будем обозначать так: p jk u j t uk t  .
Коэффициенты p jk могут изменяться с течением времени и выражают часть капитала jго актива, а величина p jk u j t  показывает, какая часть объема капитала k-го актива
расходуется на инвестирование j-го. Величина p22 t u22 t  означает, что темп изменения
капитала первого инструмента пропорционален с коэффициентом p22 t  кратной сумме
капитала перемещаемой во второй актив (из второго актива).
Если перемещение капитала в первый инструмент в экстренных случаях начинается
не из какого-либо актива, а только с банковского счета, то имеем слагаемое
вида p11u12 t  . Если капитал передается из некоторого актива и с банковского счета
(имеется в виду наличный капитал счета, без перемещаемого из актива), то появляются
величины p1 j u1 t u j t  . Влияние перевода сумм для экстренной помощи первому
активу от банковского счета и каких-либо двух других активов будем обозначать
qt u1 t uk t u j t  . Вообще говоря, коэффициенты p jk , qt  могут зависеть
от управляющих воздействий инвестора, что приводит к слагаемым, имеющим порядок
по u выше третьего.
Итак, уравнение, описывающее динамику развития первого актива, принимает вид
m
n
n
x1 t    b1k t uk t     с jk t , x, u x j t xk t  
k 1
m m
j 1k 1
m m
   p jk t , и u j t uk t     qt , u u1 t uk t u j t .
j 1k 1
j 1k 1
104
(1)
Аналогично составленному уравнению (1) можно описать темп изменения объема
капитала в других активах. Таким образом, математическую модель управления
самофинансируемого инвестиционного портфеля можно описать следующей системой
дифференциальных уравнений:
(2)
x  B(t )u  f (t , x, u) .
В системе (2) матрица Bt  размерности n m определяет влияние управляющих
воздействий на инвестиции. Вектор-функция f t , x, u  характеризует взаимодействие
активов и издержки, связанные с формированием и управлением ИП.
Поставим задачу – найти момент времени T и определить стратегию управления ИП
путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы
начальный капитал V 0  V0 достиг значения V T   V1 , что позволяет добиться
желаемой доходности инвестиционного портфеля.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида (2), в которой x  En , u  Em
– вектор управляющих воздействий, m  n , Ek – k-мерное векторное пространство,
B(t ) – n m -матрица, f (t , x, u) – n-мерная вектор-функция, t  0, T , 0  T   .
Будем использовать обозначения: s  max  si ,
i
y   sup y t  , B(t )  sup B(t ) s ,
t0,T 
s 1
B(.)  sup B(t ) , s  Ek , yt  – вектор-функция, определенная на 0, T  , B(t ) –
t0,T 
матрица, V1  0     Eq :    0 , D 0   t, x, u  : t  0, T , x  En , u  Em , x   0 , ,
u   0 ,


Y  0   l  En : l   0 ,

sup
 t,   , W  w  En  q :
t , 0,T V1  0 
  w  , S  e  En  q : e  1 , U  ,     :    , U  ,     :    ,   0 ,

 , 

 0  0 , 0     ,   1 ,  ,  0 ,  ,  – некоторые числа.
В качестве допустимых управлений будем рассматривать кусочно-непрерывные на
промежутке 0, T  m-мерные вектор-функции u t  , удовлетворяющие условию
 
u    0 . Множество всех допустимых управлений обозначим U  0 .
Будем предполагать, что выполняются следующие условия:
1) B(t ) – непрерывная на промежутке 0, T  матрица;
 
2) вектор-функция f (t , x, u) непрерывна на множестве D  0 ;
3)  t ,   – некоторая произвольная непрерывная, ограниченная на множестве
0,T V1  0  m-мерная вектор-функция;
4) f t , x, u   f k t , u   f * t , x, u  , где
 

относительно u  U  0 ,
t  0, T  и x x   0 ;

f * t , x, u  u  0 при u  0 равномерно относительно
t  0, T .
k
 , где k  2 ,  t,   –
 V  , o     0 при   0
5)  t ,     k t ,    o 
относительно
k  2 , f k t , u  – вектор-форма порядка k
k
k
k
1
k
0
105
вектор-форма порядка k
равномерно относительно
Пусть
 V1  0 .
U0  uU  0  : ut   BT t l   t,  , t  0, T , 0  T  , l Y  0 ,
Теперь задачу сформулируем так: найти число T  0 и управление u   U 0 ,
0, T  ,
определенное на сегменте
удовлетворяющее равенствам
при
x0   ,
которых
модель
(2)
имеет
решение,
xT    ,
(3)
  En ,   En .
Поставленную задачу будем называть далее задачей (2), (3).
Определение. Систему (2) назовем управляемой на сегменте 0, T  , если для любых
векторов  ,   En существует управление u , решающее задачу (2), (3).
Заменой переменных y  x    t     / T систему (2) сведем к системе
y  Bt u  f t , y    t     / T , u       / T .
Краевые условия (3) преобразуются в условия y0  0, yT   0 .
(4)
Под решением системы (4) будем понимать непрерывную, кусочно-дифференцируемую на сегменте 0, T  вектор-функцию y t  , удовлетворяющую всюду в точках
дифференцируемости на этом сегменте системе (2).
Выберем произвольное, но фиксированное число 0  T   . Разделим сегмент 0, T 


на равные по длине части ti 1 , ti .
Обозначим G  – множество определенных и непрерывных на отрезке ti 1 , ti
i 1
n-мерных вектор-функций g t  , удовлетворяющих условиям g ti 1  0 , g t  0 ,
 
 
i
 
g   1 .
Пусть число  0 таково, что выполняется неравенство   2      .
1
0
Рассмотрим произвольный промежуток ti 1 , ti . Пусть l  Y  0 ,  V1  0 , вектор-

 

 
 
функция g   Gi 1 , управление ut   BT t l   t ,   .
Решение системы y  Bt u  f t , g    t     / T , u       / T , определенное


на сегменте ti 1 , ti , запишем в виде
g~t  
t
ti 1

    

  
f  , g     
, u   
t  ti 1 .
T
T



t
 B u d 

ti 1

~ t  0 справедливо, если выполняется равенство
Соотношение g
i
ti
ti
 B   l    ,  d   
BT
ti 1
ti 1
    
 


ti  ti 1 .
f  , g     
, u d 
T
T


Откуда получим систему уравнений
i l 
ti
ti
 B   ,  d   
ti 1
ti 1
    
 


f  , g     
, u  d 
ti  ti 1 ,
T
T



106

(5)
в которой матрица  
i
ti
T
 B B  d .
t i 1
Пусть матрица  i является неособенной. Тогда систему (5) можно записать так:

ti

 i 1
ti
    
 


f  , g     
, u  d 
ti  ti 1
T
T



 B   ,  d  
t
t i 1
 i1
На множестве z  g , l   Gi 1  Y  0
l


    определим

венству Fi z   F1i g , F2i l , где
F1i g t  
t
 B BT  ld 
ti 1
t


ti 1


.



оператор F согласно раi
t
 B   ,  d 
ti 1
(6)
     T
 


t  ti 1 ,
f  , g     
, B  l    ,  d 
T
T


F2i l 

 i 1 

ti
 B   ,  d 
 ti 1
ti


ti 1
(7)
     T

  
ti  ti 1  .
f  , g     
, B  l    ,  
T
T



Теорема 1. Пусть выполняются условия 1)–5) и существует число d  0 такое, что
для любого i det i  d . Тогда задача (2), (3) имеет решение.
Доказательство. Из условия теоремы и ограниченности на промежутке
0, T 
 M для любого
матрицы B(t ) следует существование числа M  0 такого, что 1
i
i.
Так как g    t     / T   0 , для любого фиксированного числа T  0
ti
lim
 0

t i 1
t
i
 


f  t , g t    
t , u t  dt   0 ,   l ,   , и lim  B BT  l d  0 ,
l 0
T


t

i 1

то существует такое число   0,  0 , что для любого 
ti
неравенства

t i 1
  1 
 


f  t , g t    
t , u t  dt  min 
, ,
T
3
M
4




ti

   выполняются
Bt BT t l dt 
t i 1
ti
Поскольку lim
 0
4
.
 Bt  t ,   dt  0 , то число    0,   можно подобрать таким, что
t i 1
ti
справедливо
1
  1 




B
t

t
,

dt

min
,  , как только  V   .


3
M
4

t i 1
107
 
Из того, что lim
T 
что
 
T
ti  ti 1   0 , следует существование такого числа T0  0 ,
ti  ti 1   min 3M , 41  .


Тогда для любого l  Y  , при любом фиксированном
T0
 
 V1   , любой
 
фиксированной g   G  имеем F l   , то есть F l  Y  .
2i
i 1
2i
Для любой вектор-функции g   G  , при любых фиксированных l  Y  ,
i 1
 
 
 V1   и T  T0 выполняется неравенство
ti
F1i g  
ti
 B B  l d   B   ,   d 
T
t i 1

ti

t i 1
t i 1
    , BT  l    ,   d     t  t   .

f  , g     

i
i 1
1
T
T



 

 
Это значит, что для любой g   Gi 1 справедливо F1i g   Gi 1 , то есть оператор
F1i отображает множество Gi 1 в себя.
 
Следовательно, вполне непрерывный на замкнутом, ограниченном и выпуклом
множестве Gi 1  Y 
оператор Fi  colon F1i , F2i  отображает
множество
 
  
Gi 1  Y   в себя и поэтому согласно теореме Ю. Шаудера [13] имеет на этом
множестве


неподвижную точку g i* t , li* .
Таким образом, существует число T , а, следовательно, число s такое, что для
0
  
непрерывное управление u * t  , заданное на отрезке 0, T0 , определяется равенствами:
ui* t   BT t li*   t , *i  при t  ti 1 , ti , i  1, s  1 , и u *s t   BT t l s*   t , *s  при
t  t s1,T0 .

   
любого i  1, s  1 выполняется ti 1, ti  0, T0 , а t s 1, t s  t s 1 , T0 . Искомое кусочно-
Соответствующее управлению u * t  решение системы (2) находится согласно
равенству
xi* t   gi* t     t     / T0 при t  ti 1, ti , i  1, s , и удовлетворяет
условиям (3). Задача (2), (3) разрешима. Теорема доказана.
Далее рассмотрим случай, когда матрица  i является особенной.
Непосредственным вычислением можно установить, что
ti

ti 1
 
 


f *  t , g t    
t , ut dt  o 
T


 
k
равномерно относительно g   Gi 1 , T  0, , где   l ,   .
108
 B   ,  d   k    o 
ti
Положим
ti 1
k
, где     вектор-форма порядка k
k
 
относительно  V  . Согласно условию 4) получим
1 0
k
T
 f  , g          / T , B  l    ,  d  f k l ,    o ,
ti
t i 1
   
где f k l ,    вектор-форма порядка k относительно l ,    Y   V  .
0
1 0
Система (5) будет иметь вид
  pT   0 ,
i l  f k l ,     k    o 
k
(8)
  o   o  , pT     T  t  t .
где o 
k
k
k
i
i 1
Пусть rangi  ri , 0  ri  n . С помощью элементарных преобразований систему (8)
сведем к системе
 
 
 l  f 1 l ,     1    o  k  p T   0,
 i
k
k
1
1

k
 f k2 l ,     k2    o2   p2 T   0,
(9)
 −
в которой  i  ri  n -матрица, rang  i  ri , f k1 l ,   ,  k1  , o1 
вектор-функции,


f k2 l ,   ,
 
 k2  , o2 
k
−
(n- ri )-мерные
k
ri -мерные
вектор-функции,
colon p1 T , p2 T   вектор, полученный из вектора pT  путем преобразований.


Заменой переменных   e ,   0 ,   E1 , e W , e  el , e , l  el ,   e
систему (9) сведем к системе
Положим,
i el   k 1 f k1 e   O1  , e    k 1 k1 e   p1 T  /   0,
 2
2
k
 f k e   O2  , e    k e   p2 T  /   0.
O , e  colon  k 1 f k1 e  O1  , e    k 1k1 e , O2  , e ,
(10)
ψi e 
 colon i el , f k2 e  k2 e  , mT ,    colon  p1 T  /  , p2 T  /  k  . Тогда система
(10) запишется так:
ψi e  O , e  mT ,    0 .
(11)
Теорема 2. Если при любом e  S выполняется неравенство ψi e   0 , то найдутся
T0 и окрестность точки   0 , в которой при любом фиксированном T  T и любой
0
 
вектор-функции g   Gi 1 нет решений системы (8), а задача (2), (3) неразрешима
на множестве U   ut   BT t l   t,  , t  T0 , ,   l ,  ,    ,   0.
Доказательство. По теореме Вейерштрасса для функции e  ψi e  , определенной
и непрерывной на замкнутом ограниченном множестве S , найдется такое число a  0 ,
что для любого e  S будет выполняться ψi e   a .
109

Поскольку lim O , e  0 равномерно относительно e  S , то существует   0, 
0
 0

такое, что для любого e  S справедливо неравенство O , e  a / 3 .
Величина 1 /  k ограничена. Так как
lim mT ,    0 , то существует такое число
T  
T0  0 , что mT ,    a / 3 при любом Т  T0 .
Таким образом, для любого e  S , для любой вектор-функции
 
g   Gi 1 ,
при любом T  T0 и    имеем ψi e  O , e  mT ,    ψi e  O , e 
 mT ,    a 3 , то есть система (11) не имеет решений на множестве S. Следовательно,
 
при любой фиксированной g   G  , при любом T  T ,    , во множестве
i 1
0
 :    система (8) не имеет решений, а значит задача (2), (3) не разрешима на


множестве U   U . Теорема доказана.
0
Теорема 3. Если существует вектор e  S такой, что выполняется неравенство
ψi e  0 , то найдутся число T0 и окрестность точки   0 , в которой при любом
 
фиксированном T  T0 и любой вектор-функции g   Gi 1 , система (8) не имеет
решений, а задача (2), (3) на множестве U  неразрешима.
Доказательство. Пусть существует вектор e  S такой, что ψi e   0 . В силу
непрерывности вектор-функции ψi e  на множестве S найдется число   0 , что для
любого e U e,   выполняется ψi e   0 . Тогда для любого вектора e U e,    S
будет ψi e   0 . Остальные рассуждения аналогичны доказательству теоремы 2.
Таким образом, для определения условий разрешимости системы (11)
следовательно, задачи
удовлетворяющего
(2),
(3)
предположим
 
равенству ψi e*  0 .

существование

вектора
и,
e S ,
*
 
Пусть вектор e*  S такой, что e*  el* , e* , el*  0 , ψi e*  0 .
Вектор-функцию
представим
равенством
ψi e  Di e* e  e*  
ψi e 

 Rij e* , e  e* , где Di e*  – значение матрицы Якоби вектор-функции  i e в точке
k
j 2


e , R ij e* , e  e* – вектор-форма j-го порядка относительно разности e  e* .
*
Обозначим z  e  e* . Тогда система (11) преобразуется в систему
Di e*  z 
Пусть rang Di 
e*
 n.
k
 Rij e* , z   O , e  mT ,    0 .
(12)
j 2
Предположим, что минор порядка n, отличный от нуля,
 
 
образован первыми n столбцами матрицы Di e* . Представим матрицу Di e*
  

в
следующем виде: Di e*  D0 , D1 , где D0 – n  n -матрица такая, что det D0  0 ,
110
матрица
D1
имеет размер n  q . Тогда систему (12) можно записать так:
D0 z0  D1 z1 
 Rij e* , z   O , e  mT ,    0 , z  z0 , z1 .
k
j 2


Рассмотрим оператор Fi  F1i , F2i такой, что F1i определяется согласно равенству
(6), оператор F2i  согласно равенству
k


F2i z0   D0 1  D1 z1   R ij e* , z  O , e   mT ,   .


j 2


Пусть f  sup f t,  , u  на множестве 0, T    En :    0  U 0 , T  0 .
 


Теорема 4. Пусть выполнены условия 1)5) и rang Di e*   n . Тогда задача (2), (3)
разрешима.
 R ij e* , z   Q1 z0  Q2 z0 , z1 .
k
Доказательство. Заметим, что
В этом равенстве
j 2


lim Q1 z0  z0  0 , lim Q2 z0 , z1  0 равномерно относительно z0  En таких, что
z1  0
z0  0


z0   . Так как lim  D01Q1 z0  z0  0 , то существует такое число   0,1 , что
z0  0
для любого z0  En , z 0   , справедливо неравенство  D01Q1 z 0  z 0  1 5 . Откуда
 
D01Q1 z0   / 5 .





Пусть Z    z0  En : z0   . Из того, что lim  D01Q2 z 0 , z1  0 равномерно
z1  0


относительно z0  Z   и lim  D01 D1 z1  0 , следует существование такого числа
z1  0
   0 , что для любого z0  Z   и любого z1  Eq , z1    , выполняются неравенства
D01Q2 z0 , z1    / 5 , D01D1 z1   / 5 .


Поскольку lim  D01O , e   0 равномерно относительно e W , то существует
 0
 *  0 , что для любого e W , для любого    * D01O , e   / 5 .
При   0 и z  0 будем иметь l  0 и   0 , поэтому для любого
1  0 числа   0 ,  *  0 и    0 можно выбрать так, что для любого z0  Z   ,
любого
z1 ,
z1    , выполняется
ti  ti 1  B  ,  1 / 4 .
ti  ti 1  f

 1 / 4 ,

ti  ti 1  B 2 l  1 / 4 ,
Зафиксируем 0     * . Так как lim  D01mT ,    0 и lim
T 
T 
111
 
T
ti  ti 1   0,
то найдется такое число T0  0 , что D01mT ,     / 5 и
 
T0
ti  ti 1   41 .
 
Тогда для любого z0  Z   , для любых фиксированных z1 , z1    , g   Gi 1 ,
при T  T
0
и    справедливо неравенство F2i z 0i   , то есть F2i z0  Z   .
 
Это значит, что оператор F при любых фиксированных z1 , z1    , g   G  ,
2i
i 1
T  T и    отображает множество Z   в себя.
0
Для любых фиксированных z0  Z   , z1 , z1    , при T  T0 и    для любой
ti
ti
ti 1
ti 1
 
вектор-функции g   Gi 1 выполняется F1i g  

    , BT  l    ,  d


T0
 f 

 
T0
 B BT  ld   f  , g    

ti  ti 1   ti  ti 1  B 2 l
 B  ,  
  
T0
 
  1 . Следовательно, оператор F отображает множество G  в себя.
1i
i 1


Таким образом, для любого фиксированного z1 , z1    , при T  T0 и    для
любого wt   g t , z0  Gi 1  Z   справедливо Fi wt   F1i g t , F2i z0   Gi 1 


 
 
 Z   , то есть оператор Fi множество Gi 1  Z   отображает в себя.
 
Оператор F вполне непрерывный, множество Gi 1  Z   является замкнутым,
i
ограниченным и выпуклым. По теореме Шаудера на этом множестве существует


неподвижная точка оператора Fi , которую обозначим g i* t , z 0i * .


Решением системы (12) является вектор zi*  z 0i * , z1i * . Система (11) имеет решение
*
ei  zi*  e* . Так как el*  0 , то числа  и   можно выбрать так, чтобы zi*  ei .
Следовательно, вектор ei  0 . Согласно введенным ранее обозначениям получим, что


 i*  ei , ei  eli , ei является решением системы (8).
Таким образом, существует число T0 , а, следовательно, и число s такое, что для
любого i  1, s  1 выполняется включение
ti 1, ti   0, T0  ,
а
 
T
*
*

B t li   t , i , t  ti 1 , ti , i  1, s  1,
*
ui t   
BT t l s*   t , *s , t  t s 1 , T0 ,


ts 1, ts   ts 1, T0 .
Управление u * t  , заданное на отрезке 0, T0 , определяется равенствами
где li* , *i находятся так: li*   eli , *i   ei , li*  0, i  1, s .
112
Соответствующее управлению u * t  решение системы (2) есть вектор-функция
xi* t   g i* t     t
 
при t  ti 1, ti , i  1, s , удовлетворяющая условиям (3).
T0
Задача (2), (3) разрешима. Теорема доказана.
Предположим,
 
rangDi e*  pi , 0  pi  n .
что
С
помощью
элементарных
преобразований систему (12) можно свести к системе
 
k

i1 *
 D z   R j e , z  O1  , e   m1 T ,    0,
j 2

 k

i2 *
  R j e , z  O2  , e   m2 T ,    0,
 j 2
 
 R ij1 e* , z  ,
k
в которой D – p  n -матрица, rangD  pi ,
i
 Rij2 e* , z ,
k
вектор-функции,
j 2
j 2
O2  , e
colon m1 T ,  , m2 T ,  
– вектор,
элементарных преобразований.

O1  , e  pi -мерные
(n- pi )-мерные
полученный
из
вектора
вектор-функции,
mT ,  
путем
 
Пусть Ri e* , z  не тождественно равная нулю вектор-форма наименьшего порядка
 относительно z . Тогда
 Rij2 e* , z   Ri e*, z   o z
k
j 2

. Получим систему
 
k

D
z


 R ij1 e* , z  O1  , e  m1 T ,    0,

j 2

 i *

R e , z  o z  O2  , e   m2 T ,    0.


Пусть z  1v, 1  0 , 1  E1 , v W . Система (13) примет вид
(13)
   

 

1
1

*
 D v  O 1v   O1  , e  1v   m1 T ,    0,

1
1

 R i e* , v  O  v  1 O  , e*   v  1 m T ,    0.
1
1
 
1 2
1 2

обозначения,
положив
O1, v   colon O1v , O1v  ,
   
Введем


 bT , 1 ,    colon m1T ,   1 , m2 T ,   1 ,
 colon D v, Ri e* , v 



(14)
i v  
Q , 1 , v   .
 colon O1  , e*  1v  1 , O2  , e*  1v  1 .
Система (14) преобразуется в систему

 
 

i v   O 1, v  Q  , 1, v  b T , 1,   0 .
Теорема 5. Если для любого v  S
(15)
выполняется неравенство i v   0 , то
существуют T0 и в окрестности точки   0 множество, в котором при любом
113
 
фиксированном T  T и любой вектор-функции g   G  нет решений системы (15),
0
i 1
а
задача
(2),
(3)
неразрешима
на
множестве
U   ut   BT t l   t,  , t  T0 , ,   l ,  ,

   * e*  1*v , e* , v  S ,  *  0, 1*  0 .
Доказательство в основном аналогично доказательству теоремы 2. Отличие состоит
в том, что фиксируем число 1 после получения необходимой оценки.
 
Установлено, что для любой вектор-функции g   Gi 1
при любом Т  T0
на множестве   l ,   :    * e*  1*v , e* , v  S, где 1* ,  *  фиксированные
числа, система (8) не имеет решений, следовательно, множество U  не содержит
решений задачи (2), (3).
Теорема 6. Если существует вектор v  S такой, что выполняется неравенство
i v   0 , то найдутся T и в окрестности точки   0 множество, в котором при любом
 
0
фиксированном T  T0 и любой вектор-функции g   Gi 1 нет решений системы (8),
а задача (3), (4) неразрешима на множестве U  .
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.


Пусть существует вектор v*  S , v*  vl* , v* , такой, что i v   0 , vl*  0 .
Вектор-функцию i v  представим следующим равенством: i v   i v* v  v*  

 Pji v* , v  v* , где
k
j 2

 
 i v* – значение матрицы Якоби вектор-формы i v  в точке

v * , Pji v* , v  v* – вектор-форма порядка j относительно разности v  v* . Тогда система
(15) сведется к системе
 
 i v*  
 Pji v* ,    O1, v   Q , 1, v   bT , 1,    0 ,
k
(16)
j 2
где   v  v .
Пусть rang i v*   n . Предположим, что минор порядка n, отличный от нуля,
*
 
образован первыми n столбцами матрицы  i v* . Тогда система (16) запишется в виде
N11  N 22 

 Pji v* ,    O1, v   Q , 1, v   bT , 1,    0 ,
k
j 2

где det N1  0 ,   1, 2 .

Откуда 1   N11  N 22 




k

j 2

 Pji v* ,    O1, v   Q , 1, v   bT , 1,   .
Пусть Fi  F1i , F2i , где оператор F1i определен равенством (6), оператор F2i 
равенством F2i1 

 N11  N 22



k

j 2

 Pji v* ,    O1, v   Q , 1, v   bT , 1,   .
114
Теорема 7. Пусть выполнены условия 1)5) и rang i v*   n . Тогда задача (2), (3)
разрешима.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.
Если rang i v*   n , то процесс продолжается далее. В результате либо будет
получена система, для которой справедливы теоремы, аналогичные теоремам 5, 6 или 7,
в этом случае процедура закончена, либо процесс преобразования продолжается
неограниченно и задача (2), (3) предложенным методом неразрешима в классе кусочнонепрерывных управлений.
В случае, когда rang i  0 , исследование проблемы разрешимости задачи (2), (3)
сводится к проблеме разрешимости системы
  pT   0
f k l ,     k    o 
k
способом, описанным выше. Следовательно, относительно разрешимости поставленной
задачи можно сделать выводы, аналогичные приведенным ранее.
Пример. Рассмотрим процесс управления инвестиционным портфелем, включающим
два вида ценных бумаг и банковский счет.
Предположим, что темп изменения объема капитала первого актива пропорционален
с коэффициентом 0.2 cos t перемещаемой в этот актив сумме капитала, с коэффициентом
2 перемещаемой суммой между вторым активом и банковским счетом. Изменение объема
капитала первого инструмента портфеля с коэффициентом –1 зависит от кратных
денежных переводов с банковского счета.
Темп изменения объема капитала второго актива пропорционален с коэффициентом 1
перемещаемой в этот актив сумме капитала.
Предусмотрено, что второй инструмент портфеля пополняется инвестициями
с банковского счета, изменение объема третьего инструмента портфеля с коэффициентом
1 t  2 зависит от кратных денежных переводов второго актива. Темп изменения
объема капитала второго актива пропорционален перемещаемой в него сумме, равной
2u1u32 от денежных средств второго актива и 2u1u32 x2 от наличного капитала на
банковском счете.
Темп изменения объема капитала банковского счета с коэффициентом
пропорциональности 1 зависит от перемещаемой в первый актив суммы капитала и с тем
же
коэффициентом от перемещаемой во второй актив суммы.
Математическую модель управления инвестиционным портфелем в данном случае
можно представить системой
 x1  0,2u1сos t  2u2  u12 ,

1 2

u2  2u1u32 x2 x3 ,
 x 2  u2 
t

2

x  u1  u2 .

 3
(17)
Исследуем вопрос наличия таких момента времени T и стратегии управления
портфелем путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций,
что начальный капитал V 0  400 у.е. портфеля достигает значения V T   450 у.е.,
что позволяет добиться доходности портфеля  T   12,5 % .
Для решения поставленной задачи рассмотрим двухточечную краевую задачу для
системы (17), с краевыми условиями х0   , хТ    ,  ,   E3 − известные из
условия задачи постоянные векторы.
115
В модели (17) матрица Bt   colon 0.2 cos t, 0, 1, colon 2, 1, 1 непрерывна и
ограничена на промежутке 0, T  , 0  T   .
1 2


непрерывна
f (t , x, u)  colon   u12 ,
u2  2 u1 u32 x2 x3 , 0 
t2


D 0   t, x, u  : t  0, T , x  E3 , u  E3 , x   0 , u   0 , 0  T   ,
Вектор-функция
на
множестве
 0  0  некоторое число.
Управление будем искать в виде
ut   BT t l   t,   
 colon 0.2 cos t,2, colon 0,1, colon 1,1 colon l1, l2 , l3   colon 312 ,12  321 .
Заметим,
что
f (t , x, u)  f 2 t , u   f * (t , x, u) ,
вектор-функция
f 2 t, u  
где
 
1 2 

 colon   u12 ,
u ,0  есть вектор-форма 2-го порядка относительно u  U  0 ,
t2 2 

f * t, x, u   colon 0, 2u1u32 x2 x3 , 0, причем f * t , x, u  u  0 при u  0 равномерно
2


относительно x x   0 .
Вектор-функция  t ,   непрерывна и ограничена на множестве
0,T V1  0  ,
2
V1  0     E2 :    0 , кроме того  t,     2 t,    o  , где  2 t ,   
 colon 312 ,12  – вектор-форма второго порядка относительно  V1  0  ,
  colon 0,   , причем o   
o
2
2
3
2 1
2
 0 при   0 .
Пусть T  1 − некоторое число, разобьем сегмент 0, T  на части отрезками так, что
ti  ti 1  1 .
Непосредственным вычислением устанавливаем, что при любом
i 
ti
T
 Bt B t dt
i
матрица
удовлетворяет неравенству det i  3,8 .
t i 1
Итак, выполнены условия теоремы 1. Следовательно, найдется число Т 0 и управление
ut   U 0 , определенное на отрезке 0, Т 0 , разрешающее задачу получения желаемой
 
доходности  T   12,5 % портфеля, описываемого математической моделью (17).
Итак, в настоящей статье предложены способ построения нелинейной математической
модели управления ИП, достаточные условия, позволяющие судить о наличии
промежутка времени 0, T0 и управляющих воздействий для получения необходимого
 
объема капитала и достижения желаемой доходности портфеля. В случае модели
с нулевой матрицей системы линейного приближения системы (2) разрешимость задачи
о достижении доходности портфеля обусловлена справедливостью условий теорем 1, 4, 6.
Отсутствие управления, определяющего стратегию и тактику инвестирования,
обеспечивается теоремами 2, 3, 5.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
8. Хикс, Дж.Р. Стоимость и капитал [Текст] / Дж. Р. Хикс. – М. : Изд-во БЕК, 1997. –
332 с.
116
9. Фишер, И. Покупательная сила денег [Текст] / И. Фишер. – М. : Дело, 2001. – 198 c.
10. Markowitz, H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments [Text] /
H.M. Markowitz. – Yale Univ. Press, 1959.
11. Шарп, У. Инвестиции [Текст] / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бейли ; пер. А.Н.
Буренина, А.А. Васина. – М. : ИНФРА-М, 1999. – XII. – 1028 с.
12. Sharpe, W.F. Portfolio Theory and Capital Markets [Text] / W.F. Sharpe. – N.Y. :
McGraw-Hill, 1970.
13. Тobin, J. National economic policy [Text] / J. Tobin. – New Haven, 1966.
14. Шведов, А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг [Текст] / А.С.
Шведов. – М. : Изд-во ГУ ВШЭ, 1999. – 142 с.
15. Симонов, П.М. Динамические математические модели с последействием в
экономике и биологии / П.М. Симонов // Обозрение прикладной и промышленной
математики. – 2002. – Т. 9. – Вып. 3. – С. 654–655.
16. Герасимов, Е.С. Динамическая сетевая модель управления инвестициями при
квадратичной функции риска [Текст] / Е.С. Герасимов, В.В. Домбровский // Автоматика
и телемеханика. − 2002. – № 2. – С. 119–128.
17. Герасимов, Е.С. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным
портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых
активов [Текст] / Е.С. Герасимов, В.В. Домбровский // Автоматика и телемеханика. –
2003. – № 7. – С. 77–86.
11. Домбровский, В.В. Динамическая сетевая модель управления портфелем ценных
бумаг в непрерывном времени при квадратичной функции риска [Текст] / В.В.
Домбровский, Е.С. Герасимов // Вестн. Том. гос. ун-та. – 2000. – № 269. – С. 70–72.
12. Домбровский, В.В. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем
при квадратичной функции риска [Текст] / В.В. Домбровский, В.А. Гальперин // Вестн.
Том. гос. ун-та. – 2000. – № 269. – С. 73–75.
13. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа [Текст] / Л.А. Люстерник,
В.И. Соболев. – М. : Наука, 1965. – 510 с.
Терёхин М.Т., профессор кафедры математики
и методики преподавания математических дисциплин
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46
E-mail: [email protected]
Турусикова Н.М., ассистент кафедры математики
и методики преподавания математических дисциплин
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46
E-mail: [email protected]
Teryokhin M.T., Professor, Chair of Mathematics
and Method of Teaching of mathematical Disciplines
Ryazan State University after the name of S.A. Yesenin
46, Svobody str., Ryazan, 390000, Russia
E-mail: [email protected]
Turusikova N.M., Аssistant, Chair of Mathematics
and Method of Teaching of mathematical Disciplines
Ryazan State University after the name of S.A. Yesenin
46, Svobody str., Ryazan, 390000, Russia
E-mail: [email protected]
117
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
ВЛАДИМИР СЕМЁНОВИЧ ПУГАЧЁВ
(1911 – 1998)
25 марта 2011 года исполнилось 100 лет нашему
земляку,
выдающемуся
ученому,
академику,
заслуженному деятелю науки и техники, лауреату
двух
Государственных
премий
Владимиру
Семёновичу Пугачёву.
Научный
мир
знает
известного
ученого,
основоположника статистической теории управляемых
систем, автора фундаментальных работ в области
авиационной баллистики и динамики полета, теории
управления
и информатики, теории дифференциальных уравнений
и теории вероятностей В.С. Пугачёва.
Родился Владимир Семёнович 25 марта 1911 года
в городе Рязани. Отец его, Семён Андреевич Пугачёв,
выпускник академии Генерального штаба (что
свидетельствует о его дворянском сословии), был одним
из активных строителей Красной армии, участником Гражданской войны, заместителем
начальника штаба РККА (с 1925 по 1932 годы), соратником М.Н. Тухачевского, Г.К.
Орджоникидзе и М.В. Фрунзе. Как и многие одаренные советские полководцы, был
незаконно репрессирован и умер в заключении в 1943 году.
Еще в детстве В.С. Пугачёва интересовали автомобили и летательные аппараты,
мальчик увлекался астрономией и математикой. Уже в 15-летнем возрасте он
самостоятельно изучил основы аналитической геометрии и математического анализа,
читал книги на английском и французском языках, занимался музыкой и живописью. Все
это,
безусловно, сказалось на формировании личности крупнейшего в нашей стране ученого
и педагога.
В 1928 году, решив стать инженером-путейцем, В.С. Пугачёв поступил в Московский
институт инженеров транспорта, из которого, проучившись год, был по спецнабору
переведен на второй курс инженерного факультета Военно-воздушной инженерной
академии им. Н.Е. Жуковского (теперь Военно-воздушная академия имени профессора
Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина). В.С. Пугачёв окончил академию в 1931 году и был
оставлен в ней адъюнктом, а через полгода был назначен начальником вычислительного
бюро.
Он хорошо понимал, что для создания авиационной науки нужны глубокие знания
в области математики. Полгода потребовалось В.С. Пугачёву, чтобы экстерном сдать
экзамены за механико-математический факультет МГУ в начале 1933 года.
С 1932 по 1972 годы Пугачёв В.С. – преподаватель (доцент), старший преподаватель
(профессор), с 1935 года – начальник кафедры ВВИА имени Н.Е. Жуковского.
В 1934 году в работе «О применении метода Пуанкаре к интегрированию уравнений
движения бомбы, сброшенной с самолета» В.С. Пугачёв разработал новый метод расчета
траекторий авиабомб. Им впервые применен метод малого параметра для решения
основной задачи баллистики. Метод В.С. Пугачёва позволил значительно сократить
время, необходимое для составления баллистических таблиц. Указанная работа была
118
высоко оценена ведущими специалистами в области внешней баллистики. А В.С.
Пугачёв в этом же году защитил кандидатскую диссертацию.
В 1938 – 1939 годах Владимир Семёнович выполнил ряд работ по теории воздушной
стрельбы.
Следует отметить, что еще в 1935 году он провел исследования по комплексной
оценке эффективности стрельбы в воздушном бою, впервые применив методы
исследований операций и системного анализа для научного обоснования направлений
развития авиационной техники.
В 1939 году В.С. Пугачёву присуждена ученая степень доктора технических наук
за диссертацию на тему «Общая задача о движении вращающегося артиллерийского
снаряда в воздухе». В этом же году ему присвоено ученое звание профессора. К
сожалению, в этом же году арестовали его отца, начальника Военно-транспортной
академии.
Итоги исследований В.С. Пугачёва по теории воздушной стрельбы были подведены
в монографии «Теория воздушной стрельбы» в 1940 году. Им было открыто и описано
неизвестное ранее явление больших отклонений траектории центра массы снаряда,
проявляющееся при стрельбе с борта скоростного самолета. Это явление получило
название «бортовой эффект Пугачёва».
В.С. Пугачёв глубоко изучал не только процессы, связанные с боевым применением
стрелково-пушечного авиационного оружия. Большое внимание он уделял также самому
оружию, итоги работы в этой области опубликованы в монографии «Основы динамики
автоматического оружия» (1946). Основным направлением научной деятельности
в годы Великой Отечественной войны было решение многочисленных задач в интересах
фронта, куда В.С. Пугачёв прибыл летом 1942 года. Стажировка в должности помощника
командующего воздушной армией по воздушно-стрелковой подготовке потребовала
знаний и оружия и способов его боевого применения. Для решения ряда важных задач,
связанных с повышением эффективности стрельбы и бомбометания, требовалось
изучение процессов управления в условиях случайных возмущений. В то время в
мировой науке для подобных задач не существовало методов решения. В.С. Пугачёвым
впервые изучались стохастические дифференциальные уравнения с любыми процессами
с независимыми приращениями.
В 1947 году В.С. Пугачёв избран членом-корреспондентом Академии артиллерийских
наук, в 1948 – за теоретические исследования в области баллистики В.С. Пугачёву была
присуждена Государственная премия СССР, в 1949 – присвоено воинское звание генералмайора инженерно-авиационной службы.
В цикле работ, выполненных в 1950-е годы, В.С. Пугачёвым были созданы методы
статистической теории оптимальных систем. Эти работы занимают ведущее место
в мировой науке и получили широкое распространение. Всего в области статистической
динамики управляемых систем В.С. Пугачёвым опубликовано свыше 70 работ.
В 1958 году ему присвоено звание заслуженного деятеля науки и техники РСФСР.
В начале 1960-х годов Владимир Семёнович создал новый курс теории
автоматического управления, который читался им в ВВИА имени Н.Е. Жуковского.
Главным направлением научной работы в 1965–1970 годах была разработка
статистической
теории
обучающихся автоматических систем.
В 1966 году В.С. Пугачёв был избран членом-корреспондентом АН СССР по
специальности «автоматическое управление». С целью оказания помощи и проведения
консультаций был командирован в ряд институтов союзных республик.
Методы теории обучающихся систем, разработанные нашим земляком, были
использованы в создании и промышленном освоении адаптивной системы управления
сложным технологическим процессом (горячая прокатка труб) и были отмечены – в 1976
году
В.С. Пугачёв удостоен Государственной премии СССР во второй раз.
119
Научная деятельность ученого тесно переплетается с педагогической деятельностью
в ВВИА имени Н.Е. Жуковского с 1932 по 1972 годы, где им были созданы четыре
кафедры, разработаны специальные курсы, написаны учебники и учебные пособия,
организованы соответствующие лаборатории, подготовлены научно-педагогические
кадры.
С 1973 года педагогическая работа В.С. Пугачёва связана одновременно еще и с
Московским авиационным институтом имени С. Орджоникидзе, где он организовал
кафедру теории вероятностей и математической статистики на факультете прикладной
математики, создал новые специальные курсы. По материалам лекций В.С. Пугачёв
написал учебник, который был позже переведен на английский и французский языки.
В 1981 году Владимир Семёнович был избран действительным членом АН СССР
по специальности «теория управления, вычислительная техника».
Организаторская и общественно-научная работа Пугачёва В.С. выходила далеко
за пределы авиационных вузов. С 1956 года по 1984 год он работал заведующим
лабораторией статистических методов Института проблем управления (автоматики и
телемеханики), а с 1984 года трудился во вновь созданном Институте проблем
управления информатики АН СССР, возглавлял отдел статистических проблем
информатики.
В.С. Пугачёв был активным участником и организатором ряда всесоюзных совещаний
по проблемам управления, международных конгрессов и симпозиумов Международной
федерации по автоматическому управлению (ИФАК).
В интересах развития творческих связей АН СССР с известными зарубежными
учеными и научными коллективами неоднократно командировался в Чехословакию,
Швейцарию, Польшу, Венгрию, ГДР, Финляндию, США.
Огромная эрудиция, сочетание высочайшего математического уровня исследований
с практической направленностью, яркий педагогический талант, чуткость, обаяние
привлекали к В.С. Пугачёву научную молодежь, ищущую новые идеи, методы,
нестандартные решения. Им была создана научная школа. Последователи ученого
развивают его научные идеи, создают новые методы и успешно применяют их для
решения практических задач.
Научная, научно-организационная, педагогическая и общественная деятельность
В.С. Пугачёва по достоинству были оценены нашей Родиной. Он действительный член
Российской академии наук, заслуженный деятель науки и техники РСФСР, профессор,
доктор технических наук, генерал-майор авиации, лауреат двух Государственных
премий, награжден многими орденами и медалями.
Имя нашего земляка внесено в юбилейную Рязанскую энциклопедию.
В.С. Пугачёв скончался в день своего 87-летия, 25 марта 1998 года, в военном
госпитале им. Мандрыки (Москва, Сокольники). Прах его захоронен в колумбарии
Новодевичьего монастыря, рядом с женой.
Но дело нашего знатного земляка Владимира Семеновича Пугачёва продолжает жить,
а светлая память навсегда останется не только в истории Военно-воздушной академии
имени профессора Николая Егоровича Жуковского и Юрия Алексеевича Гагарина, но и
сохранится в сердцах благодарных рязанцев.
(Статья в сокращении опубликована в газете «Рязанские ведомости» 25 марта 2011
года).
З.С. Свирина
120
ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2011
Дифференциальные уравнения
№ 16
К СВЕДЕНИЮ АВТОРОВ
Редакция журнала «Известия Российской академии естественных наук.
Дифференциальные уравнения» принимает для опубликования статьи по актуальным
проблемам теории дифференциальных уравнений и ее приложениям, оформленные
в текстовом редакторе Microsoft Word 95, 97, XP, 2003 с использованием редактора
формул Microsoft Equations 3.0, и настоятельно просит авторов использовать при наборе
статей следующие настройки:
1. Параметры страницы. Поля: верхнее – 30 мм, левое – 30 мм, правое – 30 мм,
нижнее – 42 мм. Размер бумаги: А4 (210 мм  297 мм). Источник бумаги: от края
до нижнего колонтитула – 32 мм.
2. Вставка. Номера страниц: внизу от центра, начиная с первой страницы.
3. Формат/абзац. Выравнивание: по ширине. Отступ первой строки основного текста:
0,5 см. Интервал: перед – 0 пт, после – 0 пт, междустрочный – одинарный.
4. Формат/шрифт. Шрифт: Times New Roman. Размер: 11 пт – для основного текста
статьи, 10 пт – для аннотации, ключевых слов, подписей под рисунками, сведений о
грантах, сведений об авторах. Начертание: полужирным – УДК, ФИО автора(ов),
название работы, слова «определение», «задача», «теорема», «лемма», «доказательство»,
«аксиома», «пример», «список литературы», названия разделов статьи, сведения
о грантах. Прописными: заголовок статьи, фраза «список литературы».
5. Сервис/язык. Расстановка переносов: автоматическая, без переносов в словах
из прописных букв.
6. Объект Microsoft Equations. Формат/интервал: междустрочный интервал и
расстояние между строками – 150 %, расстояние между столбцами – 50–100 %, высота
верхнего индекса – 45 %, глубина нижнего индекса и высота верхнего предела – 25 %.
Стиль/определить: переменная – наклонный; матрица-вектор – полужирный; прописные
греческие и символ – шрифт Symbol; строчные греческие – шрифт Symbol, наклонный;
остальные стили – шрифт Times New Roman, стиль «текст» – английский (США).
Размер/определить: обычный – 12 пт, крупный индекс – 9 пт, мелкий индекс – 7 пт,
крупный символ – 18 пт, мелкий символ – 12 пт.
Рисунки, схемы и чертежи допустимо выполнять в любом графическом редакторе,
кроме встроенного в Microsoft Word, сохранять с расширением wmf, tif, gif, jpg, bmp, pcx
и затем вставлять в текст статьи с помощью меню Вставка/рисунок/из файл. Допустимо
использовать отсканированные чертежи, графики и фотографии, а также импортировать
объекты MathCAD, Microsoft Excel, Maple. Если на графике несколько линий, то для их
изображения необходимо использовать черный цвет и различное начертание (сплошная
линия, пунктирная линия и т.д.). Все импортированные объекты (рисунки, чертежи,
графики и т.д.) должны быть высланы в адрес редакции дополнительно вместе с
электронной копией статьи, каждый объект – в отдельном файле.
При наборе текста следует оставить 4 пустых строки перед индексом УДК на первой
странице, по одной пустой строке после: ФИО автора, названия, аннотации, ключевых
слов, текста, сведений о грантах и списка литературы.
Нумеровать рекомендуется только формулы, цитируемые в тексте статьи. При этом
формулы выравнивают по центру строки, а их номера – по правому краю. Кроме того,
в отдельную строку рекомендуется выносить лишь формулы большого размера.
121
Аннотация и ключевые слова должны быть приведены на русском и английском
языках.
Сведения о грантах указываются после основного текста перед списком литературы.
Список литературы оформляется по приведенному ниже образцу. Источники
нумеруются в порядке их упоминания в тексте.
Статьи представляются в редакцию по Е-mail: [email protected] и на бумаге
формата А4 по адресу: 390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46, Рязанский государственный
университет имени С.А. Есенина, кафедра математики и методики преподавания
математических дисциплин (статья должна быть подписана всеми авторами).
К статьям должны быть приложены сведения о каждом авторе:
фамилия, имя, отчество;
ученая степень, звание;
место работы, занимаемая должность;
адрес для переписки (с указанием почтового индекса);
телефон;
Е-mail (обязательно).
Публикация статей платная. Сумма оплаты сообщается автору после приема статьи
к опубликованию.
Образец оформления текста статьи приведен ниже.
122
УДК 517.91
[1 пустая строка]
А.В. Петров
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
[1 пустая строка]
Для автономной системы дифференциальных уравнений с гладкой правой
частью методом функции Ляпунова получены достаточные условия устойчивости
нулевого решения.
[1 пустая строка]
автономная система, устойчивость, функция Ляпунова, нулевое решение.
[1 пустая строка]
Аннотация на английском языке
[1 пустая строка]
ключевые слова на английском языке
[1 пустая строка]
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
(1)
x  f (x) .
В основе исследований лежит теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости [1].
Теорема. Пусть выполнены условия………………………..
Доказательство. Действительно, ………………………….
Пример. Допустим…………………………………..
[1 пустая строка]
Работа выполнена при поддержке……………………….
[1 пустая строка]
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1 пустая строка]
1. Малкин, И.Г. Теория устойчивости [Текст] / И.Г. Малкин. – М. : Наука, 1966.
530 с.
2. Коддингтон, Э.Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] /
Э.Н. Коддингтон, Н. Левинсон. – М. : Иностранная литература, 1958. 474 с.
3. Айзенгендлер, П.Г. Об устойчивых особых периодических решениях неавтономных уравнений [Текст] / П.Г. Айзенгендлер, Л.П. Оборин // Дифференциальные
уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. / РГПИ. – Рязань, 1978. –
№ 11. – С. 3 15.
4. Усачёв, Ю.В. Рождение инвариантного тора из положения равновесия в случае
выполнения условий соизмеримости [Текст] / Ю.В. Усачёв // Дифференциальные
уравнения. – 2003. – Т. 39. – № 10. – С. 1434 1436.
5. Захаров, А.В. Устойчивость периодических решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием [Электронный ресурс] / А.В. Захаров //
Дифференциальные уравнения и процессы управления. – 2005. – № 1. – С. 54 88. –
Режим доступа : http : www. neva. ru / journal
[2 пустые строки]
Петров А.В., доцент кафедры математики
и методики преподавания математических дисциплин
Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46
E-mail:……………………
[1 пустая строка]
Petrov A.V., Associate Professor, Chair of Chair of Mathematics
and Method of Teaching of mathematical Disciplines
Ryazan State University after the name of S.A. Yesenin
46, Svobody str., Ryazan, 390000, Russia
E-mail:……………………
123
Редактор Н.В. Смурова
Технический редактор В.В. Абрамов
Подписано в печать 30.05.11
Бумага офсетная
Формат 60×84/8
Гарнитура Times
Печать трафаретная
Усл. п. л. 14,64
Уч.-изд. л. 6,0
Поз. № 018
Тираж 130 экз.
Заказ №
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина»
Редакция журнала
«Известия Российской академии естественных наук.
Дифференциальные уравнения»
390000, г. Рязань, ул. Свободы, 46
Отпечатано в редакционно-издательском центре
Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина
390023, г. Рязань, ул. Урицкого, 22
124
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа