close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

;docx

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
т. 7, № 4 (1970), 503—513
УДК 517.9
К ТЕОРИИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА
В. М. Миллионщиков
Доказывается, что для почти всякой линейной системы дифференциальных уравнений
почти все близкие к ней системы имеют показатели, близкие к ее показателям. Библ. 19
наз.
Мы будем рассматривать системы
x& = A (t ) x
(1)
в n- мерном евклидовом пространстве E n ( A (t ) непрерывна, || A (t ) || „ a ( t … 0 )).
Как известно, всякая невырожденная квадратная матрица X порядка n представима в
виде U1 DU 2 , где U1 , U 2 — ортогональные матрицы, a D — диагональная матрица,
диагональные элементы которой d1 ( X ) … K d n ( X ) > 0 положительные квадратные корни
из собственных значений матрицы X * X . При этом em ( X ) = P im= 1di ( X ) удовлетворяют
неравенствам
em ( XY ) „ em ( X ) em (Y ) ( m = 1, K , n).
(2)
Пусть X (t , t) — матрица Коши системы (1).
О п р е д е л е н и е 1. Числа
1
s -1
n k = lim lim
(3)
å i=0 ln dk ( X ((i + 1) T , iT ))
T ®+¥ s ®+¥ sT
назовем вспомогательными показателями, а их совокупность — вспомогательным
спектром системы (1).
Существование lim в (3) вытекает из (2); n1 совпадает с центральным показателем W
T ®+¥
(см. [7]).
П р и м е р 1. Если система (1) статистически почти приводима (см. [10]), то ее
вспомогательные показатели совпадают, как легко видеть, с ее характеристическими
показателями [2], [5—7].
П р и м е р 2. Если A (t ) — почти периодическая, то вспомогательный спектр системы
(1) совпадает с ее вероятным спектром [10—11]. Докажем это. Динамическая система DA
[6, 10—11] в этом случае строго эргодическая (и это все, что нам нужно от A (t ) в этом
примере); функции d ( X% (T , O)) , где X% (t , t) — матрица Коши системы x& = A% (t ) x ,
k
непрерывны на пространстве RA системы DA ; поэтому вспомогательные показатели
всякой системы x& = A% (t ) x (в том числе и системы (1)) не зависят от A% (t ) Î RA (в силу (3)
и эргодической теоремы Биркгофа они равны
1
n k = lim ò ln d k ( X% (t , o) m (dA% )),
T ®+¥ T RA
где m — инвариантная нормированная мера на DA ); в [10—11] доказано, что для почти
всякой A% (t ) Î R система x& = A% (t ) x статистически почти приводима, а совокупность ее
A
характеристических показателей совпадает с вероятным спектром системы (1); в силу
сказанного в примере 1 доказательство закончено.
Мы будем рассматривать случайные возмущения системы (1), т. е. системы
y& = Bx (t , w) y ,
(4)
коэффициенты которых являются случайными процессами [4], [15—18]. Обозначим через
Yx (t , t; w) матрицу Коши системы (4).
О п р е д е л е н и е 2. Систему (4) назовем допустимым случайным возмущением
системы (1), если матричный случайный процесс Bx (t , w) (или некоторый его сдвиг
Bx (q + t , w) ) ( w — точка пространства W x с мерой mx ( mx (W x ) = 1 ), параметр x Î
множеству X , в котором задан фильтр F [19]) удовлетворяет условиям: найдутся X 0 Î F
и и q° > 0 такие, что для всякого Te > 0 и всякого x Î X 0 существует qx , e Î (Te , Te + q0 )
такое, что
1) случайные величины Yx ((i + 1) qx , e , iqx, e ; w) ( i = 1, 2, K ) независимы;
2a)
( i +1) q x , e
æ
ö
ex , i = Ex ç | exp De ò
|| Bx ( s, w) - A ( s ) || ds - 1| ÷ ® 0
iqx , e
è
ø x, F
равномерно
по
i = 0, 1, 2, K
(здесь
обозначено
{
}
ò
=
De exp (2a (Te + q0 )), =
Ex ( f (w))
Wx
f (x) ® y
f (w) d mx , а обозначение
x, F
равносильно
обозначению lim f (x) = y ;
x, F
inf ex , i > c × sup ex , i ,
2б)
i
i
где c > 0 не зависит от x ;
3) для всякого e > 0 найдется d e > 0 такое, что для всякого x Î X 0 , всяких R k и R n -k
( k - мерного и (n - k )- мерного линейных подпространств E n ) ( k = 1, 2, K , n - 1 ) и всякого
t = iqx, e ( i = 0, 1, 2, K ) множество тех wÎ W x , для которых
[Yx (t ± qx , e , t; w) R k ] I R n - k (d e × ex , i ) ¹ {0},
µ r (r) обозначает конус, состоящий из векторов, образующих угол
имеет mx - меру < e ; R
„ r с подпространством R r .
З а м е ч а н и е . Мы будем допускать случай, когда Bx (t , w) — обобщенный случайный
процесс (см. [14—17]), если
ò
t
0
Bx (t, w) d t — обычный случайный процесс, почти все
реализации которого непрерывны (при каждом x ). Тогда интегралы в известной формуле
Yx (t , t; w) = I + ò Bx (t1 , w) dt1 + K + ò ( Bx (tk +1 , w) ´
t
t
t
t
) )
(5)
ö
´ ò Bx (tk , w) K ò Bx (t1 , w) dt1 K dtk +1 ÷
t
t
ø
определяются, как известно, как стохастические интегралы (см. [15]).
П р и м е р 3 (возмущение, описываемое в этом примере, естественно возникает, когда
коэффициенты системы (1) находятся путем измерений и приближенных вычислений).
Пусть A (t ) равномерно непрерывна при t … 0 , либо же постоянна на каждом [i, i + 1)
( i = 0, 1, K ). Пусть cij( k ) (w) ( i, j = 1, K , n ; k = 0, 1, 2, K ) — независимые случайные
(
величины,
причем
tk +1
величина
) (
cij( k ) (w)
t2
распределена
по
нормальному
закону
с
математическим ожиданием eij( k ) (s) и дисперсией s2 × sij2 × h ( sij ¹ 0 — константы,
h = h (s) ). Положим
( E ( t / h ))
ij
элементами C
Bx (t , w) = A ( E (t / h)) + Dx (t , w) , где
Dx (t , w)
— матрица с
(w) ( E ( x) — целая часть x ), x = s Î [0, ¥) ; фильтр в [0, ¥) состоит
2
из полуинтервалов [0, e) ( e > 0 .) Пусть
sup sup || A (t ) - A (ih) || „ const × s, ü
i ih „ t < ( i +1) h
ï
(*)
ý
(k )
sup | eij (s) | „ const × s.ï
i, j , k
þ
Тогда система (4) является допустимым случайным возмущением системы (1). В самом
деле, условия 1) и 2) определения 2 легко проверяются. Проверим условие 3). Систему (4)
из примера 3 преобразованием y = X x (t , t) z , где X x (t , t) — матрица Коши системы
·
x = Ex ( Bx (t , w)) x , приводим к виду (обозначив Cx = Dx - Ex ( Dx ) ):
(матрица 1 / s Cx (t , w)
·
1
z = sX x-1 (t , t) Cx (t , w) X x (t , t) z
(6)
s
не зависит от s ). Пусть фиксировано T > 0 . Тогда при
t „ t „ t + T || X x-1 (t , t) || × || X x (t , t) || „ DT ( s < 1 ), и в силу (*) в условии 3) можно заменить
Yx (t + T , t; w) на Z x (t + T , t; w) (где Z x (t , t; w) — матрица Коши системы (6)), которую
в свою очередь в силу оценки (получаемой из формулы (5), написанной для Z x (t , t; w) )
(
Ex || Z x (t + t, t; w) - I - ò
{
t+T
t
)
X x-1 (q, t) Cx (q, w) X x (q, t) d q || „
}
„ Ex æç exp DT ò || Cx (q, w) || d q - 1 t
è
- DT ò
t+T
t
t+T
)
|| Cx (q, w) || d q „ const × s 2 ,
можно заменить на
I +ò
t+T
t
X x-1 (q, t) Cx (q, w) X x (q, t) d q,
после чего справедливость условия 3) делается очевидной.
П р и м е р 4 (возмущение белым шумом (см. [16—17] и, например, [18]); оно
возникает, как известно, в результате разумного перехода к пределу при h ® 0 в
предыдущем примере, причем, чтобы не загромождать изложение, ограничиваемся
случаем eij( k ) = 0 ). Пусть A (t ) равномерно непрерывна. Пусть cij (t , w) ( i, j = 1, K , n ),
независимые обобщенные случайные процессы, и пусть при каждых i , j , cij (t , w) —
производная винеровского процесса (см. [17], стр. 323), у которого коэффициент
диффузии равен s 2 × sij2 ( sij ¹ 0 — константы, не зависящие от s ). Положим
Bx (t , w) = A (t ) + Cx (t , w) ,
где
Cx (t , w)
—
матрица
с
элементами
cij (t , w) ;
x = s Î [0, + ¥) , а фильтр в [0, + ¥) состоит из полуинтервалов [0, e) ( e > 0 ). Тогда
система (4) является допустимым случайным возмущением системы (1).
О п р е д е л е н и е 3. Скажем, что характеристические показатели l1 … K … l n системы
(1) устойчивы почти наверное, если для всякого допустимого случайного возмущения (4)
системы (1) и всякого e > 0 найдется X (e) Î F такое, что при x Î X (e) для почти всех (в
смысле меры mx ) wÎ W x характеристические показатели лй l1 (x, w) … K … l n (x, w)
системы (4) удовлетворяют неравенствам
| l i (x, w) - l i | < e (i = 1, 2, K , n).
О п р е д е л е н и е 4. Скажем, что вероятный спектр [10—11] системы (1) с равномерно
2
непрерывной A (t ) устойчив почти наверное, если для почти всякой (в смысле любой
нормированной инвариантной меры на D [10—11]) A% (t ) Î R характеристические
A
A
показатели системы x = A% (t ) x устойчивы почти наверное.
Заметим, что если система (4) — допустимое случайное возмущение системы (1), то
система y& = B%x (t , w) y (где при почти всяком w
B% (t , w) = lim B (t + t , w)
·
x
k ®¥
k
— предел — равномерный на отрезках) — допустимое случайное возмущение системы
x& = A% (t ) x , где
A% (t ) = lim A (t + t ).
k ®¥
k
ТЕОРЕМА 1. Вероятный спектр всякой системы (1) с равномерно непрерывной A (t )
устойчив почти наверное.
Будем записывать системы в вариациях гладких динамических систем так, как это
делается в [12].
ТЕОРЕМА 2. Пусть динамическая система задана векторным полем класса C 2 на
n- мерном гладком замкнутом многообразии V n . Тогда для почти всякого v ÎV n (в
смысле любой нормированной инвариантной меры) характеристические показатели
системы в вариациях вдоль траектории v (t ) ( v (0) = v ) устойчивы почти наверное.
В силу теоремы 1 из [11], теоремы 3 из [10], изложенного в работе [12] и сказанного в
примере 1, теоремы 1 и 2 вытекают из следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 3. Для всякого допустимого случайного возмущения (4) системы (1) для
всякого e > 0 найдется X (e) Î F такое, что при x Î X (e) для почти всех (в смысле меры
mx ) wÎ W x характеристические показатели l1 (x, w) … K … l n (x, w) системы (4)
удовлетворяют неравенствам
| l i (x, w) - n i | < e (i = 1, K , n)
( n1 … K … n n — вспомогательные показатели системы (1)).
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) n k и l k — инварианты сдвига по t , поэтому будем считать
без ограничения общности, что Bx (t , w) , а не его сдвиг, удовлетворяет условиям 1) — 3)
определения 2. Пусть дано e > 0 . Возьмем Te > 8 / e такое, что при T … Te lim в (3)
s ®+¥
отличается от n k меньше чем на e (16n)
2
-1
( k = 1, K , n ). Возьмем hÎ (0, 1) такое, что из
неравенств sin S ( x, y ) < h , | t - t | „ Te + q вытекает
0
æe ö
|| X (t , t) y || × || x || „ exp ç Te ÷ × || X (t , t) x || × || y || .
è8 ø
Из формулы (5) следует, что для любых
ti , ti Î [iqx , e , (i + 1) qx, e ]
ex = sup Ex (|| I - X -1 (ti , ti ) Yx (ti , ti w) ||) „ sup ex, i .
i
(7)
i
Возьмем Te > 2 (Te + q0 ) такое, что
æe ö
cede h exp ç Te¢ ÷ > 2
è4 ø
и что из T … Te¢ следует T „ Te exp (eT / 8) . Возьмем X e Î X 0 такое, что при x Î X e
de (sup ex , i ) exp (eTe¢ ) < 2.
i
(8)
Фиксируем произвольное x Î X e . Берем S … Te¢ такое, что
de (inf ex , i ) exp (eS ) = 2.
(9)
i
Пусть T = N qx , e — наименьшее целое кратное qx, e , большее S . Из (7) — (9), выбора Te¢ и
условия 2б) определения 2 следует
ex
æe ö 1
æe ö
(10)
exp ç T ÷ „ (sup ex, i ) exp ç T ÷ < h,
e
è2 ø e i
è2 ø
de (inf ex , i ) exp (eT ) … 2.
(11)
i
2) Обозначим
X i , s +1, s = X i , s +1 X
-1
i, s
;
X i = X ((i + 1) T , iT ) ;
X i , s = X (iT + sqx , e , iT )
и
аналогично для Yx , например Yx , i (w) = Yx ((i + 1) T , iT ; w) . Из (2), выбора Te и соотношения
T = N qx , e < NTe следует, что объединение S тех полуинтервалов [iT , (i + 1) T ) , для
которых не выполнено хоть одно из неравенств ( k = 1, K , n )
1 N -1
1
e
ln ek ( X i , s +1, s ) - ln ek ( X i ) < ,
å
=s 0
T
T
8
имеет относительную меру
1
lim mes å I [0, t ] < e.
t ®+¥ t
Обозначим через Rik подпространство, натянутое на первые k (в порядке убывания
собственных значений) собственных векторов матрицы X i* X i . При каждом s фиксируем в
E n ортонормированный базис xi , s , 1 , K , xi , s , n такой, что xi , s , k Î X i , s Rik . Обозначим через
X i(,ks)+1, s матрицу, с помощью которой записывается в базисах xi , s , j ( j „ k ), xi , s +1, j ( j „ k )
сужение на X i , s Rik отображения, задаваемого в стандартном базисе в E n матрицей
X i , s +1, s . Очевидно, при m „ k
em ( X i(,ks)+1, s ) „ em ( X i , s +1, s ).
(12)
Фиксируем произвольное i , для которого iT Ï S . При m „ k
N -1
æ e ö N -1
Õ s =0 em ( X i(,ks)+1, s ) … em ( X i ) … exp çè - 8 T ÷ø Õ s=0 em ( X i , s+1, s ).
Из (13) при m = k и (12) при m = k - 1 имеем
N -1
æ e ö N -1
Õ s =0 dk ( X i(,ks)+1, s ) … exp çè - 8 T ÷ø Õ s=0 dk ( X i, s +1, s ).
Пусть M x, i — множество тех wÎ W x , для которых
å
Применив (7) при
N -1
s= 0
t i = i qx , e ,
(13)
(14)
|| I - X i , s +1, sYx-, 1i , s +1, s (w) || < e x e -1 N .
ti = (i + 1) qx , e , получаем
mx (M x, i ) > 1 - e . Фиксируем
произвольное wÎ M x , i и обозначим Às = || I - X i , s +1, sYx-, 1i , s +1, s (w) || . Из выбора Te , Te¢ , T и из
(10) следует
N -1
æ 3 ö
(15)
å s =0 Às < h exp çè - 8 eT ÷ø .
Пусть x Î Rik Обозначим через b s синус угла между вектором ys = Yx, i , s (w) x и
подпространством X i , s Rik ; b0 = 0 . Пусть b s < h при s < s .
Имеем b s +1 „ a s +1 + g s +1 , где
a s +=
sin S (Yx, i , s +1, s (w) ys , X i , s +1, s ys ) „ Às ,
1
g s +1 = sin S ( X i , s +1, s ys , X i , s +1 Risk ) „
Отсюда при s < s
b s +1 „ Às + l sb s , где
„ bs ek +1 ( X i , s +1, s ) || ys || × || X i , s +1, s ys ||-1 × [ek ( X i(,ks)+1, s )]-1.
в силу выбора h и неравенства ek +1 ( X ) „ ek ( X ) d k ( X ) имеем
ls =
ek ( X i , s +1, s ) d k ( X i , s +1, s ) ´
æe
ö
´ [ek ( X i(,ks)+1, s ) d k ( X i(,ks)+1, s )]-1 exp ç qx , e ÷ > 1.
è8
ø
Отсюда при s < s в силу (13) — (15)
b s +1 „
(å
s
j =0
Àj
)Õ
s
j =0
l j < h.
Следовательно, b s < h ( s = 0, 1, K , N ). Отсюда, используя свойства числа h и
неравенства (12) — (14), получаем: для всякого x Î Rik .
|| Yx , i (w) x || × || x ||-1 =
|| Yx, i , s +1, s (w) ys || × || ys ||-1 …
Õ s=
0
N -1
N -1
æ e
ö
-1
(k )
+À
d
X
(1
)
(
)
exp
… Õ s=
+
s
k
i
s
s
,
1,
ç - q x, e ÷ …
0
è 8
ø
(16)
N -1
N -1
2e ö
æ
-1
À
T
e
X
e
X
(
)
[
(
)]
… exp ç -å s =
…
÷ k i Õ s=
s
k -1
i , s +1, s
0
0
8 ø
è
æ e ö
… d k ( X i ) exp ç - T ÷ .
è 2 ø
3) Пусть Rxn,-ik, w — подпространство, натянутое на последние (в порядке убывания
собственных значений) n - k собственных векторов матрицы Yx*, i (w) Yx, i (w) . Из (11), (16)
следует, что для всяких
iT Ï å , wÎ M x , i ,
y Ï Rxn,-ik, w (de ex, i )
|| Yx, i (w) y || × || y ||-1… d k (Yx , i ( w)) exp ( -eT ) …
… d k ( X i ) exp ( -2eT ) .
Пусть теперь x и T фиксированы, как указано раньше, а w и i — любые. Фиксируем
любое k - мерное линейное подпространство R k Í E n . В силу условий определения 2 из
доказанного вытекает, что случайная величина
1
z i (w) = sup [ln || Yx , i +1 (w) Yx, i (w) K Yx, 0 (w) y || yÎR k T
- ln || Yx, i (w) K Yx, 0 (w) y || - ln d k ( X i )] + 2e
удовлетворяет неравенствам:
а) при iT Ï å :
z i (w) … -2a × ci (w) - gi (w),
1 N -1
ln || X i , s +1, sYx-, 1i , s +1, s (w) || , а ci (w) — индикатор некоторого множества,
å
s= 0
T
причем при каждом условии, состоящем в фиксации значений всех c s (w) ( s < i ), условная
где g i (w) =
mx - мера этого множества < 2e ;
б) при iT Ï S :
z i (w) … -2a - g i (w).
Тривиальным образом индукцией по i строятся независимые случайные величины
ci (w) … ci (w) такие, что при каждом i
mx (w : ci (w) = 1) = 2e; m x (w : ci (w) = 0) = 1 - 2e.
Поэтому вследствие усиленного закона больших чисел для всякого n > 0 найдется
M u Í W x , mx ( M u ) > 1 - u и найдется натуральное su такие, что при wÎ M u , s … su , y Î R k
1
1
s -1
ln || Yx , s (w) K Yx, 0 ( w) y || ln d k ( X i ) …
å
i =0
(17)
sT
sT
… -2e - 2ae - ex … -(2a + 3) e.
4) Зафиксируем произвольное натуральное m и повторим рассуждения пп. 2) и 3), но,
заменив k на n - k + 1 и идя не от нуля в сторону увеличения t , а от m в сторону
уменьшения t (иными словами, в рассуждениях пп. 2) и 3), положим
X i= X ((m - i - 1) T , (m - i ) T ) , X i , s = X ((m - i ) T - sqx , e , (m - i ) T ) и аналогично для Yx . Все
рассуждения пп. 2) и 3), а значит и (17), будут справедливы и для этого случая, причем su
не зависит от m .
5) При каждом wÎ M u из последовательности подпространств Yx (0, mT ; w) R n - k +1
( m = 1, 2, K ) выберем подпоследовательность, сходящуюся к некоторому R n -k +1 (w) . Из
(17) (в обозначениях п. 4)) вследствие тождества d n - k +1 ( X -1 ) = [d k ( X )]-1 получаем, что
показатель решения системы (4), начинающегося при t = 0 в R k I R n -k +1 (w) , отличается от
uk на величину „ 2 (2a + 3) e . Поскольку n > 0 — любое, теорема доказана.
Заменив в рассуждениях пп. 3) — 5) X на Yx (тогда x любое, g i (w) = 0 , а T может
быть взято сколь угодно большим), получаем, что при каждом x с mx - вероятностью 1
l i (x, w) = n i (x, w),
гда ni (x, w) — вспомогательные показатели системы (4), которые в силу колмогоровского
закона 0 или 1 не зависят от w с mx - вероятностью 1 (при каждом x Î X 0 ).
Московский государственный
университет им. М. В. Ломоносова
Поступило
27.VI.1969
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа