close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...форма предоставления ПМУ. Порядок оплаты;docx

код для вставкиСкачать
Usean Muuttujan Funktiot II
Demonstraatiotehtävät VI, 09.12.2014
Pi = (xi , yi ), i = 1, . . . , n, määräämä murtoviiva γ = P1 P2 · · · Pn−1 Pn P1 ran-kulmion G. Käyrä γ siis alkaa ja päättyy pisteestä P1 , mutta ei muutoin leikkaa itseään.
~i+1 kun i = 1, 2, . . . , n − 1 ja vn = Pn~P1 . MuodosMerkitään G:n sivuina olevia vektoreita v i = Pi P
tetaan näille normaalit ni , i = 1, 2, . . . , n siten, että kaikille i on ni saatu kääntämällä vektoria vi
2
90 astetta vastapäivään. Siis ||ni || = ||vi ||. Olkoon u = (u1 , u2 ) ∈ R
mielivaltainen vakiovektori, ja
f = (f1 (x, y), f2 (x, y)) = u vakiokenttä. Osoita, että kentän f vuo V (γ) läpi polun γ on toisaalta nolla
1. Oletetaan että pisteiden
jaa jonkin
ja toisaalta
V (γ) =
n
X
ni · u.
i=1
Päättele tästä, että summavektori
Pm
i=1
ni = ~0.
Lisätehtävä: Miten lopputulokseen päästään pelkällä
lineaarialgebralla?
f = (−x + 2y, 3x2 + y) divergenssi häviää koko tasossa, joten kenttä on lähteetön. Luenγ pitäisi tällöin olla nolla. Tarkista, että
näin todella on silloin kun γ on suorakaiteen [−1, 1] × [0, 1] reunakäyrä. Kuva kentästä alla vasemmalla
2. Vektorikentän
toesimerkin perusteella kentän vuo läpi sulkeutuvan käyrän
1.0
0.5
0.0
PSfrag replaements
-0.5
-1.0
-1.0
0.0
-0.5
3. Laske sen alueen
V
0.5
1.0
PSfrag replaements
pinta-ala, joka muodostuu tason
napakoordinaattikäyrien
r = cos φ
ja
r = 2 cos φ
z = (x + y)/2
välissä. Kuva alueesta
niistä pisteistä, joilla
V
(x, y)
on
yllä oikealla.
a ja b toteuttavat epäyhtälöt a > b > 0. Tällöin xz -tason ympyrä, (x, z) =
(a + b cos u, b sin u), u ∈ [0, 2π], on b-säteinen ympyrä, jonka keskipiste on (a, 0). Kun tämä ympyrä
pyörähtää z -akselin ympäri, muodostuu aikaisemmasta tuttu toruspinta. Osoita, että kyseisen torus2
pinnan pinta-ala on 4π ab.
4. Oletetaan, että vakiot
x = R(t−sin t), y = R(1−cos t).
t ∈ [0, π]. Laske sen pyörähdyspinnan ala, joka
y = 2R ympäri (siis käyrän piste (x0 , y0 ) pyörähtää
5. Sykloidikäyrällä (vrt. Luentoesimerkki 5.D, 28.11.) on parametrisointi
Otetaan sykloidin kaaresta se puoli, joka vastaa väliä
muodostuu, kun kyseinen käyrä pyörähtää suoran
tasossa
x = x0
pisteen
(x0 , 2R, z = 0)
ympäri).
6. Selitä (kuvan avulla), miksi oheisella Möbiuksen nauhalla on parametrisointi
u
u
u
φ(u, t) = ((3 + t sin ) cos u, (3 + t sin ) sin u, t cos )
2
2
2
Vinkki: Kallista luentoesimerkin 6.C nauhan pisteen
suoraa janaa
γ(t) = (3 cos v0 , 3 sin v0 , t), t ∈ [−1, 1],
p = (3 cos v0 , 3 sin v0 , 0) kautta
v/2 verran `säteittäisesti'.
kulkevaa pysty-
kulman
F = (18z, −12, 3y) pinta-integraali yli suorakaiteen S = ABCD, jonka kärkinä
A = (1, 0, 0), B = (1, 1, 0), C = (0, 1, 1) ja D = (0, 0, 1). Huomaa pisteiden järjestys, eli
suljettu murtoviiva ABCDA on pinnan S reuna. Suorakaiteen suunnastus määräytyy siitä, että sen
normaalin z -komponentti on positiivinen.
7. Laske vektorikentän
ovat pisteet
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа