close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- Вестник КазНТУ

код для вставкиСкачать
● Техни ческ ие н аук и
Филько С.А.
Жылдамдықтар кеңістігінде сыртқы күш бар болған кезде бүртіксымақтыларды диффузия
ретінде релаксациялау.
Түйіндеме. Мақалада сыртқы орталық күштің әсерімен жылдамдықтар кеңістігінде және заттардың
араласуында квазибөлшектер қозғалысы арасындағы ұқсастық негізінде кинетикалық күш әдісіндегі газдың
релаксациясын үлгілеу мүмкіндігі зерделенген. Квазибөлшектерды жеделдетуге арналған есептеу формулалары
алынды, біртекті газды релаксациялаудың тестілік есептеулері орындалып, олар осы тәсілдің жұмыс істеу
қабілетін растады.
Түйін сөздер: Кинетикалық күш әдісі, квазибөлшектер, диффузия
Filko S.A.
Quasiparticle relaxation in the velocity space as the diffusion due to an external force.
Summary. In the article, the new possibility of simulation of the gas relaxation in the Kinetic Force Method is
investigated. It is based on the analogy between the motion of quasiparticles in the velocity space and the diffusion of
the substance under the action of an external central force. Calculation formulas for the acceleration of the
quasiparticles are obtained. Test calculations of the relaxation of homogeneous gas are performed; they have confirmed
the efficiency of this approach.
Key words: Kinetic Force Method, quasiparticles, diffusion.
УДК 533
С.А. Филько1, И.Н. Филько2, А.Е. Абденбаева2
( Жетысуский государственный университет им. И.Жансугурова, г. Талдыкорган
2
Международный университет информационных технологий,
Алматы, Республика Казахстан)
1
УСТОЙЧИВОСТЬ САМОДИФФУЗИИ ГЕЛИЯ
ПРИ НАЛИЧИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И РАЗНОСТИ ТЕМПЕРАТУР
Аннотация. В статье коэффициент самодиффузии в газе вычисляется двумя способами: через
соотношение Эйнштейна и по формулам кинетической теории. Совпадение коэффициентов рассматривается
как признак устойчивой диффузии. Методом DSMC вычислены коэффициенты самодиффузии гелия,
ограниченного горизонтальными пластинами с разными температурами в поле тяжести. Показано, что только
при достаточно большом значении числа Кнудсена тепловое движение частиц преобладает над конвективным.
Ключевые слова: коэффициент диффузии, устойчивость диффузии, соотношение Эйнштейна,
конвекция.
Введение. В основе явления диффузии в газах лежит механизм перемешивания молекул в
процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом. Процесс диффузии для
химически однородного газа подчиняется закону Фика:
согласно которому плотность потока вещества jm пропорциональна коэффициенту диффузии Dx и
градиенту концентрации ∂n/∂x. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении
убывания концентрации. Этот закон подразумевает, что нет никаких внешних воздействия на
жидкость или газ, способных привести к перемешиванию, и что выравнивание концентраций
происходит только благодаря тепловому движению молекул.
В экспериментальных измерениях коэффициентов диффузии необходимым условием
корректности является отсутствие конвекции, быстро выравнивающей концентрацию. На
интенсивность конвективного переноса влияют как термодинамические, так и геометрические
параметры системы [1, 2], которые приводят к систематическим погрешностям измерений и могут
непредсказуемо исказить результат измерений.
В данной работе в ходе численных экспериментов изучается влияние на устойчивость
самодиффузии газа геометрических факторов, описываемых числом Кнудсена Kn. Для примера
306
№5 2014 Вестник КазНТУ
● Техни ка лы қ ғ ылымда р
рассматривается тонкий слой гелия, заключенный между двумя бесконечными параллельными
горизонтальными диффузно отражающими пластинами, расположенными на расстоянии h друг от
друга. Соответствующее число Кнудсена равно Kn = λ/h, где λ – средняя длина свободного пробега.
Как в задаче Рэлея - Бенара, действует сила тяжести, и поддерживается постоянная разность
температур между пластинами. В начальный момент предполагается линейное распределение
температуры гелия, давление нормальное.
Цель работы: Изучить зависимость устойчивости самодиффузии гелия от числа Кнудсена при
наличии силы тяжести и разности температур. Указать значения Kn, для которых тепловое хаотичное
движение молекул преобладает над конвективным.
1. Признак устойчивости диффузии. Известны два подхода к расчету коэффициента
диффузии: соотношение Эйнштейна и кинетическая теория. Согласно соотношению Эйнштейна для
подвижности частиц в некотором направлении x коэффициент диффузии равен [3, 4]:
Dх=<∆x2>/2t,
(1)
когда t >> τ, где скобки <…> обозначают статистическое усреднение, ∆x – это смещение в течение
интервала времени t, и τ – среднее время между столкновениями.
С другой стороны, в кинетической теории получена формула для коэффициента диффузии [5]:
Dk = ⅓ λ=<υ>,
(2)
где
– средняя арифметическая скорость теплового движения молекул, m – масса одной молекулы,
k, T – постоянная Больцмана и термодинамическая температура,
– средняя длина свободного пробега, σ – эффективное сечение взаимодействия молекул.
Значения коэффициентов диффузии, найденные по формулам (1) и (2) не всегда совпадают,
следовательно, процесс переноса не всегда обуславливается только тепловым движенияем молекул.
Поэтому совпадение коэффициентов (1) и (2) может служить признаком устойчивости диффузии и
отсутствием конвекции.
Положим, что температуры верхней и нижней пластин равны 310 K и 300 K соответственно. В
начальный момент предполагается линейное распределение температуры гелия; его концентрация
2.42 × 1025 м-3, давление нормальное. Полагая σ ≈ 1.256 × 10-19 м2, <υ>= 1256 м/с, получим длину
свободного пробега атомов гелия в условиях рассматриваемой задачи λ ≈ 2.34 × 10-7 м. Тогда
коэффициент диффузии согласно кинетической теории равен: Dk ≈ 9.81 × 10-5 м2/с.
2. Моделирование диффузии и вычисление коэффициентов. Направим оси x и y вдоль
пластин, ось z – перпендикулярно им. Вычислим коэффициенты диффузии Dx, Dy соответствующие
различным значениям Kn. Движение i-го атома определяется двумя силами: силой ударов о
встречные атомы F1,i и внешней силой тяжести F2,i:
Здесь «штрих» обозначает скорость атома после столкновения. Столкновение пары атомов
удобно моделировать по методу DSMC с помощью величины их относительной скорости υr и
параметризации двумя случайными числами r и θ, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π [6, 7]. В условиях
рассматриваемой задачи получим:
ҚазҰТУ хабаршысы №5 2014
307
● Техни ческ ие н аук и
(3)
где υs – скорость одного из окружающих атомов, налетающего на данный атом, g – ускорение
свободного падения.
По формулам (3) моделировались смещения атомов, затем после усреднения по формуле (1)
вычислялись коэффициенты диффузии Dx и Dy для двух значений расстояния между пластинками h
=10λ и h =1000λ. Смещения молекул в направлениях x и y не ограничивались. Размеры
вычислительной ячейки и шага по времени были выбраны 0.2λ и 0.2τ соответственно. Полное число
атомов гелия, задействованных в моделировании, равнялось 20 000.
На рис. 1 представлены графики зависимости безразмерных коэффициентов диффузии dx=Dx/Dk
и dy=Dy/Dk от безразмерного времени t/τ в направлениях осей x и y. Если h =10λ и Kn = 0.1 оба
коэффициента близки к единице, и, следовательно, они хорошо согласуются с кинетической теорией.
Если расстояние между пластинками увеличить до h =1000λ, Kn = 0.001, то коэффициенты dx и dy
будут значительно отличаться от единицы; кроме того, они хаотично меняются с течением времени.
Рис. 1. Графики зависимости безразмерных коэффициентов диффузии
dx (слева) и dy (справа) для двух значений числа Кнудсена
Выводы. В результате столкновений молекул в ходе их теплового движения в газе
одновременно идут два процесса, приводящие к противоположным результатам: 1) затухание любых
возмущений и выравнивание концентрации; при этом в целом газ стремится к состоянию равновесия;
2) усиление возмущений и образование микро-струй конвективного течения. Характер динамики газа
зависит от того, какой из этих процессов доминирует.
Если расстояние между пластинами, ограничивающими гелий, сравнительно мало, то эффект
затухания достаточный, чтобы сглаживать возмущения, и в процессе переноса доминирует тепловое
движение молекул. При этом коэффициент диффузии (1) совпадает с коэффициентом (2) из
кинетической теории, как, например, в случае h=10λ, процесс диффузии является устойчивым,
влияние силы тяжести и разности температур пластин пренебрежимо малы.
Как показали численные эксперименты, вклад внешнего воздействия в процесс переноса,
выводящий систему из равновесия, значительно возрастает, если число Кнудсена Kn уменьшается,
что позволяет молекулам перемещаться во всех направлениях достаточно далеко, не наталкиваясь на
стенки. Например, в случае h=1000λ безразмерные коэффициенты диффузии флуктуируют с
течением времени и значительно отличаются от единицы для обоих направлений x и y. При этом
диффузионный процесс становится неустойчивым, диффузионная конвекция преобладает нах
тепловым движением; измерения коэффициента диффузии становятся недостоверным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Косов В.Н., Жаврин Ю.И., Поярков И.В. О проведении экспериментов по изучению диффузионного
процесса в многокомпонентных газовых смесях // Химия и компьютерное моделирование. Бутлеровские
сообщения. — 2002. — Приложение к спецвыпуску № 10.
308
№5 2014 Вестник КазНТУ
● Техни ка лы қ ғ ылымда р
2. Косов Н.Д., Бычков А.Г., Жаврин Ю.И., Косов В.Н. Применение теневого метода для визуализации
конвективных течений, образующихся при диффузии в многокомпонентных газовых смесях // Теплофизика и
аэромеханика. — 1994. — Т.1. — №1. — С. 87.
3. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат.
лит., 1973. — С. 230, 311.
4. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. —
М.: МГУ, 1965. — С. 360, 361.
5. Савельев И.В. Курс общей физики. — Т.1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1977. — С. 411.
6. Fei F., Fan J. A diffusive information preservation method for small Knudsen number flows // Comput. Phys.
— 2013. — V. 243. — p. 179-193.
7. Zhang J., Fan J. Information preservation modeling of Rayleigh-Benard Transition from Thermal Conduction
to Convection // AIP Conf. Proc. — 2009. — V.1084. — p. 359-364.
REFERENCES
1. Kosov V.N., Zavrin Y.I., Poiarkov I.V. About carrying out experiments on the study diffusion process in
multicomponent gas mixtures // Chemistry and Computational Simulation. Butler’s reports. — 2002. — Appendix to
the Special Issue № 10.
2. Kosov N.D., Bychkov А.G., Zavrin Y.I., Kosov V.N. Application the shadow method for the visualization of
flows formed by diffusion in multicomponent gas mixtures // Thermophysics and Aeromechanics. — 1994. — V.1. —
№1. — P. 87.
3. Zeldovich Y.B., Myshkis А.D. Elements of Mathematical Physics. — M.: Nauka, 1973. — P. 230, 311.
4. Landau L.D., Ahiezer А.I., Lifshitz E.M. General physics course. Mechanics and Molecular Physics. — М.:
MSU, 1965. — P. 360, 361.
5. Saveliev I.V. General physics course. — V.1. Mechanics. Molecular Physics. — М.: Nauka, 1977. — P. 411.
6. Fei F., Fan J. A diffusive information preservation method for small Knudsen number flows // Comput. Phys.
— 2013. — V. 243. — p. 179-193.
7. Zhang J., Fan J. Information preservation modeling of Rayleigh-Benard Transition from Thermal Conduction
to Convection // AIP Conf. Proc. — 2009. — V.1084. — p. 359-364.
Филько С.А., Филько И.Н., Абденбаева А.Е.
Ауыртпалық күші және температуралар айырмашылығы бар болғанда гелийдің өздігінен
кірігуінің тұрақтылығы.
Түйіндеме. Мақалада газдағы өздігінен диффузия коэффициенті екі әдіспен есептеп шығарылады, олар:
Эйнштейннің арақатынасы арқылы және кинетикалық теория формулалары бойынша. Коэффициенттердің
бірдей болуы тұрақты түрдегі араласудың белгісі деп есептеледі. DSMC әдісімен ауыртпалық жазықтығында
температурасы әртүрлі көлденең тілімшелермен шектелген гелийдің өздігінен кірігу коэффициенттері есептеп
шығарылды. Кнудсен санының мәні барынша көп болған жағдайда ғана бүртіктердің жылулық қозғалысы
конвективтіліктікінен артық болатыны көрсетілді.
Түйін сөздер: Диффузия коэффициенті, диффузия тұрақтылығы, Эйнштейннің арақатынасы, конвекция.
Filko S.A., Filko I.N., Abdenbayeva А.Е.
Stability of self-diffusion of helium in the presence of gravity and the temperature difference.
Summary. There are two approaches relating transport coefficients to molecular motion, i.e. Einstein’s relation
and kinetic theory. When they agree with each other diffusion can be regarded as stable. Self-diffusion coefficients of
helium gas between two infinite parallel plates with different temperatures in the presence of gravity are calculated
using the DSMC method. It is shown that the thermal motion of particles dominates above convection for large enough
Knudsen number only.
Key words: diffusion coefficient, the stability of diffusion, Einstein relation, convection.
ҚазҰТУ хабаршысы №5 2014
309
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа