close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

ПРОТОКОЛ №;doc

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО
«ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Физико-технический институт
Кафедра квантовой физики и нанотехнологий
ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
(рабочая учебная программа дисциплины)
Случайные процессы
Направление подготовки
090900 «Информационная безопасность»
Профиль подготовки
Комплексная защита объектов
информатизации_
Квалификация (степень)
бакалавр
Форма обучения
очная
Иркутск 2013г.
1.Информация из ФГОС, относящаяся к дисциплине
1.1. Вид деятельности выпускника
Дисциплина охватывает круг вопросов относящихся к виду
деятельности выпускника:
- организационно-управленческая.
1.2. Задачи профессиональной деятельности выпускника
В дисциплине рассматриваются указанные в ФГОС задачи
профессиональной деятельности выпускника:
• изучение и обобщение опыта работы других учреждений,
организаций и предприятий в области повышения эффективности защиты
информации и сохранения государственной и других видов тайны;
1.3.
Перечень компетенций, установленных ФГОС
Освоение программы настоящей дисциплины позволит сформировать у
обучающегося следующие компетенции:
• владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей еѐ достижения
(ОК-8);
• способность к саморазвитию, самореализации, приобретению новых
знаний, повышению своей квалификации и мастерства (ОК - 11);
• способность критически оценивать свои достоинства и недостатки,
определять пути и выбрать средства развития достоинств и устранения
недостатков (ОК - 12);
• способность использовать основные естественнонаучные законы,
применять математический аппарат в профессиональной деятельности,
выявлять сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной
деятельности
(ПК-1);
• способность понимать сущность и значение информации в развитии
современного общества, применять достижения информатики и
вычислительной техники, перерабатывать большие объемы информации
проводить целенаправленный поиск в различных источниках информации по
профилю деятельности, в том числе в глобальных компьютерных системах
(ПК-2);
1.4.
Перечень умений и знаний, установленных ФГОС
После освоения программы настоящей дисциплины студент должен:
уметь:
• использовать математические методы и модели для решения
прикладных задач;
владеть:
• методами количественного анализа процессов обработки, поиска и
передачи информации;
2. Цели и задачи освоения программы дисциплины
Основная цель курса – познакомить бакалавров с различными классами
случайных процессов, находящих применение в физике, вопросах защиты
информации, биологии, теории страхования и т.д., научить их исследовать
эти процессы, применяя как традиционный математический аппарат, так и
специфические методы, учитывающие стохастическую природу исследуемых
объектов.
Задачи курса
Бакалавр должен усвоить основные понятия и методы исследования,
применяемые в теории случайных функций, научиться решать как
теоретические, так и прикладные задачи.
3. Место дисциплины в структуре ООП
Характерным для современного этапа развития не только естественных
и технических, но и экономических, гуманитарных наук является весьма
широкое использование функций, являющихся случайными, поэтому
преподавание теории случайных процессов является исключительно важным
звеном подготовки бакалавра по защите информации.
Успешное овладение этим курсом невозможно без знания понятий и
владения методами других математических дисциплин, в первую очередь,
теории вероятностей и математического анализа. Курс предполагает
владение понятиями высшей алгебры, теории функций комплексного
переменного и других дисциплин.
4. Основная структура дисциплины
Вид учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия, в том числе:
лекции
лабораторные работы
практические/семинарские занятия
Самостоятельная работа (в том числе
курсовое проектирование)
Вид промежуточной аттестации
(итогового контроля по дисциплине), в
том числе курсовое проектирование
Трудоемкость в часах
Всего
Семестр
№6
108
108
54
54
18
18
36
36
54
54
зачѐт
5. Содержание дисциплины
5.1. Перечень основных разделов и тем дисциплины
Тема 1. Введение. Основные понятия
Тема 2. Функциональные характеристики
Тема 3. Процессы с независимыми приращениями
Тема 4. Элементы «случайного анализа»
Тема 5. Канонические разложения
Тема 6. Стационарные процессы
Тема 7. Марковские процессы
зачѐт
Тема 8. Ветвящиеся процессы
Тема 9. Элементы теории массового обслуживания
5.2 Краткое описание содержания теоретической части разделов и
тем дисциплины
Лекция 1Введение. Основные понятия
Что такое случайный процесс? Краткие исторические сведения.
Определения. Примеры. Конечномерные распределения. Теорема
Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством
конечномерных распределений (без доказательства). Стохастически
эквивалентные процессы. Классы случайных процессов.
Основы теории вероятностей были заложены в XVII веке ( трудами
Паскаля, Ферма и Гюйгенса), а к началу XVIII века, после установления
Я.Бернулли первой предельной теоремы, теория вероятностей получила
известное логическое завершение. Первое время такое содержание теории
вероятностей удовлетворяло потребности науки и практики. С середины XIX
века наука и техника поставили перед теорией вероятностей ряд новых задач,
которые уже не могли быть решены на основе исчисления случайных
событий. Возник новый объект исследования – случайные величины, что
явилось в некотором смысле обобщением случайных событий. Долгое время
все практически интересные задачи, возникающие при исследовании
случайных явлений полностью укладывались в схему случайных величин.
Исключение составляло только одно явление, открытое в 1827 году
Р.Броуном и заключавшееся в том, что легкие частицы, взвешенные в
жидкости, совершают хаотические движения. Случайные траектории
взвешенных частиц заставляет хаотическое движение молекул жидкости.
Теория случайных процессов (случайных функций) возникла к началу
XX века и в настоящее время интенсивно развивается.
Случайной функцией называется функция одного или нескольких
неслучайных аргументов, которая в результате опыта может принять тот или
иной конкретный вид, заранее неизвестно, какой именно.
Конкретный вид случайной функции, полученный в результате опыта,
называется реализацией (траекторией) случайного процесса. Если над
случайной функцией провести серию опытов, то можно получить множество
ее реализаций. Если случайная функция зависит от одного аргумента(чаще
всего это время), то такую функцию называют случайным процессом, а сели
зависит от нескольких аргументов, то называют случайным полем.
Случайный процесс – это семейство случайных величин, зависящих от
параметра t, где 0 t Т. Такие процессы называют процессами с
непрерывным временем. Если t = 0,1,2,…, то процесс называют дискретным
временем. Процесс с дискретным временем называют случайной
последовательностью. Обозначают процесс обычно символом ξ(t) или ξt,
а t ϵ Т.
Реализации процесса обозначают обычно так: x1(t), x2(t),…, xn(t),
и t ϵ Т.
При каждом фиксированном t можно задать закон распределения
Ωслучайной величины в виде функции распределения или плотности
распределения. Рассматривая n сечений случайного процесса можно задать
одномерные, двумерные и n-мерные законы случайного процесса.
Теорема Колмогорова. Пусть задано некоторое семейство
конечномерных функций распределения, удовлетворяющих определенным
условиям, Тогда существуют вероятностное пространство {Ω,F,P} и
случайный процесс {ξ(t), t ϵ Т }, такие, что семейство конечномерных
распределений Fξ случайного процесса ξ(t) совпадает с F = {F(x1,…,xn;
t1,…,tn), xi ϵ R1 , ti ϵ T, i = 1, 2,…, n, n 1}.
В настоящее время интенсивно изучают такие классы процессов как
нормальные, марковские, стационарные, диффузионные.
Лекция 2 Функциональные характеристики
Математическое ожидание. Дисперсия, среднее квадратическое
отклонение. Корреляционная функция. Свойства корреляционной функции.
Взаимная корреляционная функция. Функциональные характеристики и
скалярные произведения.
Математическим ожиданием случайного процесса ξ(t) называют
неслучайную функцию mξ(t), которая при каждом значении параметра t
равна математическому ожиданию случайной величины, лежащей в сечении
t.
mξ(t) = M{ξ(t)} = ∫
ξ(x;t).
Иногда математическое ожидание называют средним значением
случайного процесса. Процесс называется центрированным, если при всех
значениях t математическое ожидание равно нулю.
Дисперсией Dξ (t) случайного процесса ξ(t) называют неслучайную
функцию, которая при каждом значении параметра t равна дисперсии
случайной величины, лежащей в сечении t.
Dξ (t) = D{ ξ(t)} = M{(ξ(t) - mξ(t))2} = M{(ξ(t)2 – (mξ(t))2 } =
2
2
=∫
ξ(x;t) - (mξ(t)) .
Корреляционной (ковариационной) функцией Rξ(t;τ) случайного
процесса ξ(t) называют неслучайную функцию двух аргументов , которая
при каждом значении параметров t и τ равна корреляционному моменту
между случайными величинами, лежащими в сечениях t и τ.
Rξ(t;τ) = M{(ξ(t) - mξ(t))(ξ(τ) - mξ(τ))} = M{ξ(t) ξ(τ)} – mξ(t)mξ(τ) =
=∫ ∫
1x2dFξ(x1,x2;t,τ) – mξ(t)mξ(τ) .
Дисперсия и корреляционная функция связаны соотношением при всех t ϵ Т
Dξ (t) = Rξ(t;t).Для существования математического ожидания, дисперсии и
корреляционного момента достаточно выполнения условия
M{|ξ(t)|2}
при всех t ϵ Т. Такие процессы называются процессами с
конечными моментами второго порядка или гильбертовыми случайными
процессами. Пусть ξ(t) = X(t) +iY(t) – комплексный случайный процесс, а
X(t) и Y(t) – действительные случайные процессы и i =√ .
Если M{|ξ(t)|2} = M{ξ(t)̅̅̅̅̅̅}
, при всех t ϵ Т, то такой процесс
называется комплексным гильбертовым процессом.
Rξ(t;τ) = M{(ξ(t) - mξ(t))̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ξ̅̅̅̅}.
Средним квадратическим отклонением случайного процесса называют
функцию σξ(t) = √
.
Корреляционная функция удовлетворяет условиям. Пусть ξ(t) – случайный
процесс, а υ(t) – неслучайная функция. Тогда случайный процесс
η(t) = ξ(t)+ υ(t) , будет иметь корреляционную функцию Rη(t;τ) = Rξ(t;τ).
Если η(t) = υ(t) ξ(t), то Rη(t;τ) = υ(t) υ(τ) Rξ(t;τ). Также |Rξ(t;τ )| σξ(t)σξ(τ) и
Rξ(t;τ ) = Rξ(τ;t).
Скалярное произведение в пространстве L2{Ω,F,P} определяется
равенством (ξ,η) = Мξ ̅ , а если случайные процессы действительные, то
(ξ,η) = Мξη.
Лекция 3 Процессы с независимыми приращениями
Пуассоновский процесс.
Винеровский процесс.
Процесс Коши.
Последовательности и процессы с независимыми приращениями.
Процесс ξ(t) называется процессом с независимыми приращениями ,
если его приращения на непересекающихся отрезках не зависят друг от
друга: для t0 t1 … tn , ti ϵ Т , случайные величины
ξ(t1) - ξ(t0), ξ(t2) - ξ(t1), …, ξ(tn) - ξ(tn-1)
независимы.
Если процесс имеет конечные моменты второго порядка, то он может иметь
некоррелированные приращения.
Процесс
ξ(t)
называется
процессом
с
некоррелированными
приращениями, если его приращения на непересекающихся отрезках не
некоррелированы, то есть для t0 t1 t2 t3 имеем
R(ξ(t1) - ξ(t0), ξ(t3) - ξ(t2) = 0.
Если случайный процесс имеет некоррелированные приращения и
mξ(t)
то он называется процессом с ортогональными приращениями.
Случайный процесс ξ(t), t 0 называется пуассоновским процессом с
параметром λ, (λ 0), случайные величины если он обладает свойствами6
1) ξ(0) = 0.
2) Для любых 0 t0 t1 … tn случайные величины ξ(t1) - ξ(t0),
ξ(t2) - ξ(t1), …, ξ(tn) - ξ(tn-1) независимы.
3) Случайная величина ξ(t) - ξ(s), где 0
t, имеет распределение
2
i -λ(t-s)
P(ξ(t) - ξ(s) = i) = (λ (t – s) е
/i!, I = 0,1,2,….
Случайный процесс ω(t), t 0 называется винеровским процессом,
выходящим из нуля, если он обладает свойствами:
1) ω(0) = 0.
2) Для любых 0 t0 t1 … tn случайные величины ω(t1) - ω(t0),
ω(t2) - ω(t1), …, ω(tn) - ω(tn-1) независимы.ξ
3)Случайная величина ω(t) - ω(s), 0
t имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием равным нулю и
дисперсией
t – s.
Винеровский процесс - один из самых важных в теории
случайных процессов.
Процессом Коши (выходящим из 0) называется процесс ξ(t), t 0
, удовлетворяющий условиям:
1) ξ(0) = 0.
2) Для любых 0 t0 t1 … tn случайные величины ξ(t1) - ξ(t0),
ξ(t2) - ξ(t1), …, ξ(tn) - ξ(tn-1) независимы.
3) Случайная величина ξ(t+h) - ξ(h), при h 0 имеет
распределение с плотностью
Pξ(t+h)-ξ(t)(x ) = ⁄
x2+h2)), (распределение Коши).
Лекция 4 Элементы «случайного анализа»
Виды сходимости и непрерывности. Производная. Интеграл. Линейные
преобразования случайных процессов. Понятие о стохастическом интеграле.
Под пределом последовательности случайных функций (и случайных
величин) понимают такую случайную функцию (величину), второй
начальный момент разности
между которой и элементами
последовательности при определенных условиях стремится к нулю. Предел
в указанном смысле слова называется пределом в среднем квадратическом
Для его обозначения используется символ l.i.m..
Случайный процесс X(t) дифференцируем в точке t, если если для любой
сходящейся к нулю последовательности чисел ε1, ε2, ε3,…последовательность
случайных величин (X(t+εj) – X(t))/ εj сходится к одной и той же случайной
величине, которую называют производной процесса X(t) в точке t и
обозначается
. Чтобы случайная функция была дифференцируема
необходимо, чтобы она была непрерывной и имела предел для
вышеуказанной последовательности. Для того, чтобы случайная функция
имела производную , достаточно существования второй смешанной
производной от корреляционной функции при равных значениях ее
аргументов.
Если ξ(t), t ϵ Т, - непрерывный в смысле выбранного вида сходимости
случайный процесс, то интеграл∫
определяется как
предел
интегральных сумм ∑
i)(ti+1 – ti) при измельчении разбиения
a = t0 t1 …
tn = b в смысле соответствующей сходимости , где
n-1
i – произвольная (неслучайная) точка между ti и ti+1.
Оператор L = L0 называется линейным однородным, если
L0{c1ξ(t) + c2η(t)} = c1L0{ξ(t)} + c2 c1L0{η(t)}.
Операторы интегрирования и дифференцирования являются линейными
операторами. Оператор L называется линейным неоднородным. если
он
состоит из линейного однородного оператора, к которому прибавляется
неслучайная функция υ(t), то есть L{ξ(t)} = L0{ξ(t)} + υ(t). Где - случайная
величина, а
Лекция 5 Канонические разложения
Идея метода канонических разложений, Каноническое разложение
действительного случайного процесса. Комплексные случайные величины и
процессы. Каноническое разложение комплексного случайного процесса.
Линейные преобразования процессов, заданных каноническими
разложениями.
Идея метода канонических разложений состоит в том, что случайный
процесс, над которым нужно произвести те или иные преобразования,
предварительно представляется в виде суммы так называемых элементарных
случайных процессов.
Элементарным называется процесс вида ξ(t) = V υ(t), где V –
случайная величина, а υ(t) – неслучайная функция. Элементарный процесс
является наиболее простым типом случайного процесса, так как случайным
является множитель V . Сама же зависимость от времени не случайной не
является.
Если элементарный процесс преобразуется линейным оператором L ,
то при этом случайный множитель V , как не зависящий от времени,
выносится за знак оператора, а неслучайная функция υ(t) преобразуется тем
же оператором L , а именно : L{ξ(t)} = VLυ(t). .
Пусть ξ(t) – случайный процесс, который точно или приближенно
удалось представить в виде суммы
ξ(t) = mξ(t) + ∑
jυj(t), где Vо – действительные случайные величины с
математическими ожиданиями равными нулю, а jυj(t) действительные
неслучайные функции, mξ(t) – математическое ожидание процесса ξ(t).
Определение. Каноническим называется разложение случайного
процесса, если коэффициенты этого разложения являются взаимно
некоррелированными случайными величинами с математическими
ожиданиями равными нулю.
При каноническом разложении комплексного случайного процесса V комплексная случайная величина, а неслучайная функция является
комплексной функцией.
Лекция 6 Стационарные процессы
Процессы, стационарные в узком (строго стационарные) и широком
(слабо стационарные) смысле. Функциональные характеристики. Линейные
преобразования стационарных процессов. Спектральное разложение
стационарного процесса на конечном отрезке. Спектральное разложение в
бесконечном интервале. Спектральная плотность. Спектральное разложение
в комплексной форме. Преобразование стационарного процесса линейной
стационарной системой.
Случайный процесс ξ(t), t ϵ Т ϵ R1 называется строго стационарным
или стационарным в узком смысле, если для любого действительного h его
конечномерные распределения не меняются при сдвиге на h:
F(ξ(t1),…, ξ(tn),x1,…xn) = F(ξ(t1+h),…, ξ(tn+h),x1,…xn).
Понятие стационарного случайного процесса отражает идею
неизменности условий, в которых протекает процесс. Начало отсчета можно
смещать на любую действительную величину h ( не выходя за пределы
множества T). Если в качестве множества Т взято множество Z, то
рассматривают стационарную последовательность.
В случае стационарности одномерный закон не зависит от t, а
ξдвумерный закон зависит от разности τ = t – s, то есть от расстояния между
сечениями процесса.
Случайный процесс называется стационарным в широком смысле,
если его первый и второй момент не зависят от сдвига независимо от
поведения законов порядка выше второго.
Математическое ожидание и дисперсия стационарного процесса
постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности t – s.
При линейном преобразовании стационарного процесса вида
η(t) =
получаем, что mη(t,s) = mξ = 0. Процесс также получается
стационарным в широком смысле.
Если η(t) = ∫
, то mη(t) = ∫ ξdu = mξt, то есть не является
стационарным процессом.
Стационарный процесс обладает внутренней периодичностью.
Поэтому стационарные процессы часто представляют в виде суммы
гармонических колебаний с различными частотами и случайными
амплитудами. Спектром колебательного процесса называют функцию,
описывающую распределение амплитуд по разным частотам. Спектр
показывает какого рода колебания преобладают в данном процессе. Спектр
стационарного случайного процесса описывает распределение дисперсий по
различным частотам. Разложение корреляционной функции в ряд Фурье
имеет вид
Kξ(τ) = ∑
kcosωkτ.
Спектральной плотностью случайного процесса называют функцию
Sξ(ω) = ∫
ξ(τ) kcosωkτdτ.
Лекция 7 Марковские процессы
Цепи Маркова. Однородные цепи Маркова. Матрица вероятностей
перехода. Классификация состояний. Эргодическая теорема.
Марковские процессы с непрерывным временем. Уравнение
Колмогорова-Чепмена. Диффузионные процессы. Уравнения Колмогорова
Последовательность случайных величин X 1, X 2 ,..., X n ,... образует дискретную
цепь Маркова, если для всех n и всех возможных случайных величин выполняется
равенство:
P[ X n  j | X 1  i1, X 2  i2 ,..., X n 1  in 1 ]  P[ X n  j | X n 1  in 1 ]
Если X n  j , то говорят, что на n - ом шаге система находится в состоянии E j .
Выражение в правой части равенства (1) называют вероятностью перехода; оно задает
условную вероятность перехода из состояния Ei на n -1- ом шаге в Ei на n - ом шаге.
n 1
n
Обычно цепь Маркова описывается матрицей вероятностей перехода: T  pij и
вектором q  ( q1 , q2 ,...,qL ) , где qi  P[ X 0  i ] – это вектор начальных вероятностей,
показывающий в каком состоянии была система на нулевом шаге, L – количество
состояний цепи Маркова. pij и qi удовлетворяют условию:
L
L
i 1
j 1
 qi   pij  1
0  pij  1, 0  qi  1,
Матрицы, удовлетворяющие этому условию называют стохастическими.
Пример стохастической матрицы:
0.1 0.4 0.5
P  0.3 0.4 0.3 .
0.2 0.5 0.3
Если вероятности перехода не зависят от n (стационарны во времени), то цепь
Маркова называется однородной и строгое ее определение задается равенством:
pij  P[ X n  j | X n 1  i ]
Для однородной цепи Маркова матрица вероятностей перехода за m шагов
выглядит следующим образом: T
 T .Цепь Маркова называется неприводимой,
если каждое ее состояние может быть достигнуто из любого другого. Для любой пары Ei
( m)
(k )
и E j существует такое k, что pij
Обозначим через  j
(n )
E j :  (jn )  P[ X n  j ] .
m
 0.
вероятность пребывания системы на n-ом шаге в состоянии
Распределение вероятностей Pj называется стационарным, если при его выборе
в качестве начального распределения вероятностей
равенство  j
(n)
 (j0)  Pj , для всех n выполняется
 Pj .
Для эргодической цепи Маркова всегда существует стационарное распределение
вероятностей состояний системы, не зависящее от начального распределения
вероятностей.
Лекция 8 Ветвящиеся процессы
Условие ветвления. Производящие функции. Уравнения для
производящих
функций.
Моменты.
Докритические,
критические,
надкритические процессы.
Понятие ветвящегося процесса введено в работе Колмогорова А.Н. и
Дмитриева Н.А. в 1947 году. В 1948 г. в США также появилось несколько
работ, посвященных ветвящимся процессам. Таким образом,
возникновение теории ветвящихся процессов надо отнести к концу
сороковых годов, хотя отдельные задачи, которые мы теперь относим к этой
теории, рассматривались в литературе и раньше( например, в последней
четверти XIX века английские статистики Гальтон и Ватсон рассматривали
задачу о вырождении фамилии). Интенсивное развитие, которое получила
теория ветвящихся процессов в последние годы, объясняется, с одной
стороны, прикладным и наглядным характером решаемых ею задач и
изучаемых моделей, и с другой стороны возможностью применять мощный
математический аппарат производящих функций, который позволяет глубоко
изучать ветвящиеся процессы, выделить свои специфические постановки
задач и методы их решения. Многие прикладные задачи можно решить с
помощью той или иной модели ветвящихся процессов. Однако остается
большой круг интересных прикладных задач, которые выходят за рамки
моделей ветвящихся процессов. Теория ветвящихся случайных процессов
моделирует количественные закономерности широкого круга явлений,
связанных с размножением и превращением частиц различной природы.
Основным математическим приложением, выделяющим ветвящиеся
случайные процессы из общего понятия марковских случайных процессов,
является предположение независимости размножения частиц друг от друга.
Даже такой подход, с существенным ограничением, отражает некоторые
стадии развития многих реальных физических, химических и биологических
процессов.
Пусть имеется ветвящийся процесс с однотипными частицами. Обозначим
µ(t) число частиц на момент времени t. Полагаем µ(0) = 1, то есть процесс
начинается в момент t = 0 с одной частицы. Это марковский процесс со
счетным множеством состояний N0={0,1,2…}, удовлетворяющий
условиюветвления:
k
P kn   P1ni (t ), t  T ,
n ,k i 1
где Pkn(t) – вероятность перехода от k частиц к n частицам за время t, T
– область значений времени, при которых рассматривается процесс, а
k
суммирование осуществляется по всем композициям
n
i 1
i
 n натурального n
при целых неотрицательных ni , i  1, k . Под областью T предполагаем либо
{0,1,2…}, либо *0,∞). В первом случае будем говорить о ветвящимся процессе
с дискретным временем, во втором случае с непрерывным временем.
Производящая функция F (t; s) ветвящегося процесса удовлетворяет при
любых t ,τ ≥0 основному функциональному уравнению
F (t   ; s)  F (t; F ( ; s)
и начальному условию F(0;s) = s.Производящая функция F (t; s)
ветвящегося процесса с непрерывным временем удовлетворяет при |s| ≤ 1
обыкновенному дифференциальному уравнению
F (t; s)
 f ( F (t; s))
t
с начальным условием F(0;s) = s и линейному уравнению в частных
производных
F (t; s)
F (t; s)
 f (s)
t
s
с тем же начальным
условием. Математическое ожидание равно :
М(n) = Аn для дискретного ветвящегося процесса и М(t) = eat для процесса с
непрерывным временем, где А = F(1)(1) и a = f(1)(1). Если А 1 (а 0), то
процесс называют докритическим. Если А = 1 (а=0), то процесс называют
критическим. Если А 1 (а 0), то процесс называют надкритическим.
Лекция 9 Элементы теории массового обслуживания
Процессы рождения и гибели. Связь с теорией массового обслуживания.
Применение к расчету пропускной способности технических систем.
В современной жизни мы все ежедневно сталкиваемся с системами, в
которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на
выполнение каких-либо видов услуг, а, с другой стороны, происходит
удовлетворение этих запросов. Такие системы называются системами
массового обслуживания: будь то телефонные разговоры, магазины,
супермаркеты, маршрутные автобусы, парикмахерские, автозаправочные
станции и многое другое, - все это является объектами изучения теории
массового обслуживания (ТМО). ТМО сравнительно молодая теория,
зародившаяся в начале прошлого века. На ее первичное развитие особое
влияние оказали работы датского ученого А.К. Эрланга (1878 – 1929).
В подавляющем большинстве работ по теории массового обслуживания,
как тех из них, которые послужили базой построения теории, так и
современных, рассматривается простейший случай потоков, когда
вероятность поступления в промежуток времени t ровно k требований
задается формулой
(  t ) k  t
Pk (t ) 
e
k!
(1).
Такой поток называется простейшим потоком или потоком Пуассона.
Существует три условия, при выполнении которых поток является
простейшим. Это:
стационарность потока, означающая, что для любой группы из конечного
числа непересекающихся отрезков времени вероятность появления в них
соответственно k1 , k 2 ,..., k n требований зависит только от числа этих
требований и длинны выбранных промежутков времени, но не от их
расположения на временной оси. Так, например, появление k требований в
промежутке времени (T , T  t ) не зависит от T и является функцией только
двух переменных k и t;
отсутствие последействия, которое состоит в том, что вероятность
поступления k требований в течении промежутка времени (T , T  t ) не
зависит от того, сколько требований и как поступило до этого промежутка
времени. Таким образом это предположение означает, что условная
вероятность поступления k требований за промежуток (T , T  t ) ,
вычисленная при произвольном предположении о поступлениях требований
до этого промежутка времени, совпадает с безусловной вероятностью того
же события. В частности, отсутствие последействия означает взаимную
независимость появления того или иного числа требований на обслуживание
в неперекрывающихся отрезках времени;
ординарность
потока
требований,
означающая
практическую
невозможность появления более одного требования в один и тот же момент
времени. Это условие точнее формулируется следующим образом:
обозначим через P1 (h) вероятность появления в промежутке длины h двух
или более требований. Условие ординарности потока состоит в том, что при
P1 (h)
 0.
h0
h
Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени,
«классических» задач теории массового обслуживания; эта
задача возникла из практических нужд телефонии и была
решена в 1909 г. датским инженером математиком А.К.
Эрлангом. Задача ставится так: имеется n каналов (линий
связи), на которые поступает поток заявок с
интенсивностью λ . Поток обслуживаний каждого канала
имеет интенсивность μ . Найти предельные вероятности
состояний системы и показатели ее эффективности.
. Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину
очереди. На практике довольно часто встречаются
одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий
пациентов; кассир, выдающий зарплату; телефон-автомат
на улице и т.д.). В теории массового обслуживания
одноканальные СМО с очередью также занимают особое
место: именно к таким СМО относится большинство
полученных до сих пор аналитических формул для
немарковских систем.
5.2. Лабораторные работы учебным планом не предусмотрены
5.3
Краткое описание практических занятий
5.3.1 Перечень практических занятий
1. Понятие случайного процесса. Конечномерные распределения.(Тема
1).
2. Стохастически эквивалентные процессы. (Тема 1)
3. Функциональные характеристики. (Тема 2)
4. Свойства корреляционной функции. (Тема 2)
5. Процессы с независимыми приращениями. (Тема 3)
6. Свойства винеровского процесса. (Тема 3)
7. Случайный анализ. (Тема 4)
8. Линейные однородные и неоднородные операторы. (Тема 4)
9. Канонические разложения. (Тема 5)
10. Стационарные в узком и широком смысле процессы. (Тема 6)
11. Преобразование стационарного процесса линейной системой. (Тема
6)
12. Промежуточный контроль знаний.
13. Задачи о выбросах. (Тема 6)
14. Цепи Маркова. (Тема 7)
15. Марковские процессы с непрерывным временем. (Тема 7)
16. Диффузионные процессы. (Тема 8)
17. Ветвящиеся процессы. (Тема 8)
18. Потоки событий. (Тема 9)
5.3.2 Методические указания по выполнению заданий на
практических занятиях
- цель занятия – усвоить теоретический материал путем решения задач
по теме семинара:
- задание – исследовать случайную функцию «Телеграфный сигнал».
Телеграфным сигналом называется случайная функция Х(t), которая
может принимать одно из двух значений: +а или –а; причем вероятность
перемены знака в интервале (t;t + τ) не зависит от того, что происходит вне
этого интервала. Распределение числа перемен знака Х(t) подчиняется
закону Пуассона.
- ход занятия – записать закон Пуассона для вышеуказанного интервала
и найти математическое ожидание и корреляционную функцию для
телеграфного сигнала.
- основные рекомендации по выполнению заданий;
При выполнении задания учесть, что на интервале τ = |t1 – t2|
можетбыть четная или нечетная перемена знака.
- требования к отчѐтным материалам.
Бакалавр должен дать ответ в устной форме на теоретические вопросы и
обосновать ход решения задачи и получить правильный ответ.(ОК-8)
5.4 Краткое описание видов самостоятельной работы
5.4.1 Общий перечень видов самостоятельной работы
1.Подготовка к практическим занятиям.
2.Подготовка к промежуточному контролю знаний.
3. Подготовка к итоговой аттестации.
5.5.2 Методические рекомендации по выполнению каждого вида
самостоятельной работы
Тематика заданий для самостоятельной работы при подготовке к
практическим занятиям:
1. Доказательство стохастической эквивалентности процессов.
2. Доказательство свойств винеровского процесса.
3. Вывод конечномерных распределений процесса Коши.
4. Вычисление корреляционных функций.
5. Нахождение линейных преобразований процессов.
6. Вычисление спектральных плотностей.
7. Нахождение характеристик процессов с помощью метода
спектральных преобразований.
8. Решение задач о выбросах.
9. Решение задач о цепях Маркова.
10. Доказательство теорем о диффузионных процессах.
5.5.3 Описание курсового проекта (курсовой работы)
(не предусмотрено)
6 Применяемые образовательные технологии
При реализации данной программы применяются инновационные
технологии обучения, активные и интерактивные формы проведения занятий,
указанные в таблице 2.
Таблица 2 - Применяемые образовательные технологии
Технологии
Виды занятий
Лекци Лаб. Практ./
СРС
Курсовой
и
раб. Сем.зан.
проект
Семинар в диалоговом режиме
Групповая дискуссия
Ролевая игра
Работа в команде
10
И другие *
* Интерактивные лекции, анализ деловых ситуаций на основе кейсметода и имитационных моделей, тренинг, телеконференция, виртуальное
моделирование, работа в команде, проблемное обучение, проектный метод,
исследовательский метод.
Разбор конкретных ситуаций предусмотрен на лекции по теме «Цепи
Маркова (лекция 7) и «Ветвящиеся процессы (лекция 8).
Работа в команде предусмотрена на семинарских занятиях 9,11,14,15,
и 17. Группа делится на две подгруппы и каждая решает предложенным
методом задачи. Затем проводится обсуждение и сравнение различного
подхода к решению и делается вывод о достоинстве и недостатке каждого
метода.
7 Методы и технологии контроля уровня подготовки по
дисциплине
7.3 Виды контрольных мероприятий, применяемых контрольноизмерительных технологий и средств.
1. Промежуточный контроль знаний.
2. Итоговая аттестация на зачѐте.
7.4 Критерии оценки уровня освоения учебной программы
(рейтинг).
Оценка уровня усвоения учебного материала проводится по
пятибалльной системе на каждом занятии.
7.5 Контрольно-измерительные материалы и другие оценочные
средства для итоговой аттестации по дисциплине.
Примерный перечень контрольных вопросов для промежуточной и
итоговой аттестации.
1. Понятие случайного процесса. Примеры.
2. Конечномерные распределения.
3. Стохастически эквивалентные процессы.
4. Классификация случайных процессов.
5. Математическое ожидание.
6. Корреляционная функция и ее свойства.
7. Взаимная корреляционная функция.
8. Дисперсия случайного процесса. Среднее квадратическое отклонение.
9. Процессы с независимыми приращениями.
10. Пуассоновский процесс. Теорема о траекториях пуассоновского
процесса.
11. Винеровский процесс.
12. Процесс Коши.
13. Последовательности с независимыми приращениями.
14. Корреляционная функция как скалярное приращение.
15. Комплексный случайный процесс. Корреляционная функция
комплексного процесса.
16. Линейные и нелинейные операторы, действующие на случайный
процесс.
17. Непрерывность случайного процесса.
18 Производная случайного процесса.
19. Интеграл.
20. Стохастический интеграл.
21. Процессы, стационарные в узком и широком смысле.
22. Функциональные характеристики стационарных процессов.
23. Взаимная корреляционная функция процесса и его производной.
24. Задачи о выбросах.
25. Задачи о выбросах для стационарных процессов.
26. Задачи о выбросах для нормальных стационарных процессов.
27. Спектральное разложение стационарного процесса на конечном
отрезке.
28. Спектральное разложение стационарного процесса в бесконечном
интервале.
29. Спектральное разложение комплексного процесса.
30. Преобразование стационарного процесса линейной стационарной
системой.
31. Цепи Маркова с конечным числом состояний.
32. Однородные цепи Маркова. Матрица вероятностей перехода.
33. Классификация состояний цепи Маркова.
34. Эргодическая теорема.
35. Марковские процессы с непрерывным временем. Уравнение
Колмогорова-Чепмена.
36. Диффузионные процессы.
37. Уравнения Колмогорова.
38. Условное математичеcкое ожидание.
39. Процессы рождения и гибели.
40. Понятие ветвящегося процесса.
41. Производящие функции.
42. Уравнения для производящих функций.
43. Моменты. Критичность.
44. Потоки событий.
45. Поток Пальма.
46. Поток Эрланга.
47. Предельные теоремы теории потоков.
8 Рекомендуемое информационное обеспечение дисциплины
8.3
Основная учебная литература
1.Колокольчиков А. В.Цепи Маркова. Системы массового
обслуживания: учеб.пособие [для техн. ун-тов всех форм обучения] / А. В.
Колокольчиков; Иркут. гос. техн. ун-т. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2008. - 68 с.
2. Свешников А.А.Прикладные методы теории случайных функций:
учебное пособие / А. А. Свешников. - Изд. 3-е, стер. - Санкт-Петербург;
Москва; Краснодар: Лань, 2011. - 463 с.
8.4 Дополнительная учебная и справочная литература.
1.Кремер Н. Ш.Теория вероятностей и математическая статистика:
учеб.для вузов по экон. специальностям / Н. Ш. Кремер. - 3-е изд., перераб. и
доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 550с.
2. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных функций: учеб.пособие / Б. Г. Володин [и др.]; под общ.
ред. А. А. Свешникова. - Изд. 4-е, стер. - СПб.: Лань, 2008. - 445с.
8.5 Электронные образовательные ресурсы:
8.5.1 Ресурсы ИрГТУ, доступные в библиотеке университета или в
локальной сети университета.
8.5.2 Ресурсы сети Интернет
9 Рекомендуемые специализированные программные средства
10Материально-техническое обеспечение дисциплины
Программа составлена в соответствии с ФГОС
Программу составил:
Жуков В.Д., к.ф.-м.н., доцент кафедры квантовой физики и нанотехнологий
_________________________ “____”_________ 20__ г.
(подпись)
Программа одобрена на заседании кафедры КФ и НТ
Протокол № ___ от “___” _________________ 20__ г.
Зав. кафедрой _____________ /Афанасьев А.Д./ “____”_________ 20__ г.
(подпись)
Программа одобрена на заседании Методической комиссии ФТИ
Протокол № _____ от “___” _________________ 20__г.
Директор ФТИ _____________ /Иванов Н.А../ “____”_________ 20__ г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа