close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Положение;doc

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пензенский государственный университет» (ПГУ)
Средневолжское математическое общество
Математическое и компьютерное моделирование
естественно-научных и социальных проблем
Сборник статей
VIII Международной научно-технической конференции
молодых специалистов, аспирантов и студентов
Россия, г. Пенза, 26−30 мая 2014 г.
Под редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора И. В. Бойкова
Mathematical and Computer Modelling
of Natural Science and Social Problems (MCM−2014)
Proceedings of the Eighth International
Conference MCM−2014
Penza, Russian Federation, 26−30 May, 2014
Edited by
Ilya V. Boikov
Пенза
Издательство ПГУ
2014
1
УДК 51
ББК 22.1
М64
Математическое и компьютерное моделирование естеМ64 ственно-научных и социальных проблем : сб. ст. VIII Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов
и студентов (Россия, г. Пенза, 26−30 мая 2014 г.) / под ред.
д.ф.-м.н., проф. И. В. Бойкова. – Пенза: Изд-во ПГУ, 2014. –
248 с.
ISBN 978-5-94170-822-2
Отражены основные результаты работы VIII Международной
научно-технической конференции, охватывающие следующие
направления научных исследований: уравнения математической физики; теория приближения и кубатурные формулы; численные методы; математические модели экономики, экологии, биологии; математические модели в физике, нанотехнике и нанобиологии; нейроматематика и нейрокомпьютеры.
УДК 51
ББК 21.1
ISBN 978-5-94170-822-2
© Пензенский государственный
университет, 2014
2
1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА
Я. В. Зелина, М. А. Саянкина
Научный руководитель: к.ф.-м.н. Ю. С. Семерич
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected], [email protected], [email protected]
Известно, что множество физических явлений описывается с помощью уравнения переноса, при этом если в это уравнение добавить
диффузионное слагаемое, то получится уравнение Бюргерса. Данное
уравнение встречается в различных областях прикладной математики,
таких как моделирование динамики, теплопроводности и акустических
волн. Также это уравнение эффективно моделирует определенные проблемы природного потока жидкости, в которых любые возмущения или
вязкая диссипация является важным фактором. Это уравнение может
быть использовано в качестве модели для любой задачи нелинейного
распространения волны с учетом диссипации. В зависимости от проблемы моделируемого, это может привести к диссипации от вязкости, теплопроводности, массовой диффузии, теплового излучения, химической
реакции или другого источника [1].
Пусть задана скорость течения жидкости u и ее кинематическая
вязкость v :
∂u
∂u
∂ 2u
+u
= v 2 , x ∈ ( −∞, ∞ ) , t > 0 .
∂t
∂x
∂x
(1)
Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть v = 0 , уравнение приобретает вид
∂u
∂u
+u
=0.
∂t
∂x
(2)
В этом случае мы получаем уравнение Хопфа – квазилинейное
уравнение переноса – простейшее уравнение, описывающее разрывные
течения или течения с ударными волнами. Если v вещественно и не
равно 0, уравнение сводится к случаю v = 1 ; для v < 0 нужно сначала
сделать замену u → −u , x → − x, и для любого знака v :
u→
v u, x →
3
v x.
Благодаря широкому применению уравнения Бюргерса возникает
необходимость в изучении его решения с использованием различных
численных методов. Численные методы решения уравнения Бюргерса,
как правило, делятся на несколько классов: конечные разности, конечные элементы и спектральные методы. Однако в последнее время значительное внимание было уделено методу декомпозиции Адомяна [2].
В данной работе метод Адомяна применяется для решения
начальной задачи для уравнения Бюргерса. Математическую модель задачи представим в виде
∂u
∂u ∂ 2u
+ u − 2 = 0 , x ∈ ( −∞, ∞ ) , t > 0 ,
∂t
∂x ∂x
u ( x, t )
t =0
(3)
= f ( x ) , x ∈ ( −∞, ∞ ) .
Уравнение (3) запишем в операторном виде. Для этого введем
операторы
∂2
∂
∂
Lt = , K x = 2 , N ( u ) = u ,
∂x
∂t
∂x
(4)
в результате получим
Lt u + N ( u ) u − K xu = 0 .
(5)
Также введем в рассмотрение обратный оператор
L−t 1 =
t
 (  ) ds
(6)
0
и применим его к уравнению (5), получим
u ( x, t ) = f ( x ) + L−t 1 ( − N ( u ) u + K xu ) .
(7)
В соответствии с методом Адомяна искомую функцию u ( x, t )
представим в виде
u ( x, t ) =
∞
 u n ( x, t ) .
(8)
n =0
Кроме этого, нелинейный оператор N ( u ) представим в виде следующего разложения
N (u ) u =
∞
 An ,
n =0
где An ( u0 , u1, ..., un ) − полиномы Адомяна.
4
(9)
После подстановки (8) и (9) в (7), получим
∞
 u n ( x, t ) = f ( x ) +
n =0

 ∞

+
A
K
u
x
,
t
(
)

  .
 n x  n

 n =0

 n =0
L−t 1  −

∞
(10)
Здесь полиномы Адомяна задаются в виде
A0 = u0
A1 = u0
A2 = u0
A3 = u0
∂u0
,
∂x
∂u
∂u1
+ u1 0 ,
∂x
∂x
∂u
∂u2
∂u
+ u1 1 + u2 0 ,
∂x
∂x
∂x
∂u3
∂u
∂u
∂u
+ u1 2 + u2 1 + u3 0
∂x
∂x
∂x
∂x
и т.д.
Вычислительный эксперимент проводился с использованием пакета символьной математики Wolfram Mathematica 9.0. При этом задавались значения параметров, входящих в постановку задачи (3). Во время
вычислений использовалось различное число членов в разложениях (8) и
(9), что позволило оценить точность полученного решения.
Результаты расчетов представлены на рис.1. и рис.2. Они наглядно
демонстрируют нам особенности процессов переноса и диссипации на
основе уравнения Бюргерса и позволяют судить о зависимости решения
от различного числа слагаемых.
Например возьмем u0[x, t ]= Sech[0.7 * x] ; на рис.1. n = 3,
x ∈ [−10,10], t ∈ [−10,10] , на рис. 2. n = 5, x ∈ [−10,10], t ∈ [−10,10] , где n число слагаемых в разложениях (8) и (9).
Рис. 1
Рис. 2
5
Таким образом, уравнение (3) оказалось удачной моделью динамики нелинейно-диссипативных сред различной физической природы.
Список литературы
1. Кудряшов, Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Н. А. Кудряшов. – Москва ; Ижевск : Институт
компьютерных исследований, 2004. – 361 с.
2. Adomian, G. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method / G. Adomian. – Boston, MA : Kluwer, 1994.
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА
НА ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ
Е. С. Карпухина
Научный руководитель: к.ф.-м.н. Ю. С. Семерич
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected], [email protected]
Рассматривается начально-краевая задача для уравнения, описывающего одномерный нестационарный конвективный массоперенос с объемной химической реакцией первого порядка в движущейся с постоянной
скоростью сплошной среде с постоянным коэффициентом температуропроводности при наличии объемного тепловыделения на полуограниченной прямой [1]. Математическая модель данной задачи имеет вид
2
∂u
∂u
2∂ u
=a
+
+ cu + g ( x, t ) , 0 < x < ∞ , t > 0 ,
b
∂t
∂x
∂x 2
u ( x, t )
t =0
u ( x, t )
(1)
= ϕ( x) , 0 ≤ x < ∞ ,
(2)
= ψ (t ) , t ≥ 0 .
(3)
x =0
Здесь a, b, c − постоянные, g ( x, t ) , ϕ ( x ) , ψ (t ) − непрерывные и
ограниченные функции.
Заметим, что уравнение (1) может использоваться для анализа одномерных тепловых процессов в движущейся среде с объемным тепловыделением, пропорциональным температуре.
Для решения задачи (1) − (3) выполним замену
6
u ( x , t ) = e(
βt +μx )
u ( x, t ) ,
где u ( x, t ) − новая неизвестная функция, β = c −
(4)
b2
b
4a
2a 2
, μ=−
2
– посто-
янные.
С учетом замены (4) преобразуем уравнение (1) и условия (2), (3).
Для этого продифференцируем обе части выражения (4) по переменной t
∂u
βt +μx )
βt +μx ) ∂u
.
= β e(
u ( x, t ) + e(
∂t
∂t
Далее, дважды продифференцируем обе части выражения (4) по
переменной x
∂u
βt +μx )
βt +μx ) ∂u
,
= μe(
u ( x, t ) + e(
∂x
∂x
∂ 2u
∂x 2
2
βt +μx ) ∂u
β t +μx ) ∂ u
(
(
.
u ( x, t ) + 2μe
+e
∂x
∂x 2
2 ( βt +μx )
=μ e
Полученные соотношения подставим в уравнение (1), получим
β e(
βt +μx )
βt +μx )
u ( x, t ) + e(
∂u
=
∂t
2  2 ( β t +μx )
2
β t +μx ) ∂u
β t +μx ) ∂ u 
(
(
u ( x, t ) + 2μe
+e
+
∂x
∂x 2 
= a μ e


 βt +μx ) 
β t +μx ) ∂u 
(βt +μx )u x, t + g x, t .
+b  μe(
u ( x, t ) + e(
( ) ( )
 + ce
∂x 

βt +μx )
Разделим обе части полученного уравнения на e(
и введем
− βt +μx )
обозначение f x, t = e (
g x, t , получим
(
)
(
)
2
∂u
∂u
2 ∂ u
2
2
a
b
=a
+
μ
+
+
∂t
∂x
∂x 2
(
(
)
)
+ a 2μ 2 + bμ + c − β u ( x, t ) + f ( x, t ) .
В полученном выражении преобразуем коэффициенты с учетом
значений для β и μ
2
 ∂u
∂u
 −b 
2 ∂ u 
=a
+  2a 2  2  + b  +
2
∂t
∂x
 2a 

 ∂x
7
  −b 2

b2  
 −b 
2
+  a  2  + b  2  + c −  c − 2   u + f ( x, t )

  2a 
4a  
 2a 


В результате уравнение (1) принимает вид
2
∂u
2 ∂ u
=a
+ f ( x, t ) , 0 < x < ∞ , t > 0 ,
∂t
∂x 2
(5)
а условия (2) и (3) для функции u ( x, t ) имеют вид
u ( x, t )
t =0
u ( x, t )
= ϕ ( x ) e−μx = ϕ ( x ) , 0 ≤ x < ∞ ,
(6)
= ψ ( t ) e−βt = ψ ( t ) , t ≥ 0 .
(7)
x =0
Решение задачи (5) − (7) будем искать в виде суммы
u ( x, t ) = v ( x, t ) + w ( x, t ) .
При этом функция w ( x, t ) является неизвестной и может быть
найдена в результате решения задачи
2
∂w
2∂ w
=a
+ f ( x, t ) , 0 < x < ∞ , t > 0 ,
∂t
∂x 2
w ( x, t )
t =0
w ( x, t )
(8)
= 0, 0 ≤ x < ∞,
(9)
= 0, t ≥ 0.
(10)
x =0
Функция v ( x, t ) также является неизвестной и представима в виде
v ( x, t ) = v1 ( x, t ) + v2 ( x, t ) ,
где функцию v1( x, t ) найдём в результате решения задачи
∂v1
∂ 2v
= a 2 21 , 0 < x < ∞ , t > 0 ,
∂t
∂x
v1 ( x, t )
t =0
v1 ( x, t )
(11)
= ϕ ( x) , 0 ≤ x < ∞ ,
(12)
= 0, t ≥ 0,
(13)
x =0
а функцию v2 ( x, t ) найдём в результате решения задачи
∂v2
∂ 2v
= a 2 22 , 0 < x < ∞ , t > 0 ,
∂t
∂x
8
(14)
v2 ( x, t )
t =0
v2 ( x, t )
x =0
= 0, 0 ≤ x < ∞,
(15)
= ψ ( t ) , t ≥ 0 .
(16)
Решение каждой из вспомогательных задач задается формулой
Пуассона соответственно
t
w ( x, t ) =  d τ
+∞
 f ( ξ, τ ) G ( x, ξ, t − τ ) d ξ ,
0
(17)
0
v1 ( x, t ) =
+∞
 ϕ ( ξ ) G ( x, ξ, t ) d ξ ,
(18)
0
v2 ( x, t ) = a
2
t
 ψ ( τ )
0
∂G
( x, 0, t − τ ) d τ .
∂ξ
(19)
Здесь функция G ( x, ξ, t ) − функция Грина, определяющая фундаментальное решение
2
 ( x −ξ )2
x +ξ )
(
−
1  − 4 a 2t
4 a 2t
−
G ( x, ξ, t ) =
e
e

4πa 2t 



.


Физический смысл функции Грина заключается в том, что она
представляет собой температуру в точке x положительной полуоси и в
момент времени t , если в начальный момент t = 0 в точке x = ξ мгновенно выделяется количество вещества, а массоперенос вещества через
сечение x = 0 все время равен нулю, для чего в точку ξ нужно поместить мгновенный точечный положительный источник.
Численные расчёты производились для различных значений функций f ( x, t ) , ϕ ( x ) , ψ (t ) с использованием пакета символьной математики Mathematica.
Список литературы
1. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 576 с.
2. Свешников, А. Г. Лекции по математической физике : учеб. пособие / А. Г. Свешников, А. Н. Боголюбов, В. В. Кравцов. – М. : Изд-во
МГУ, 1993. – 352 с.
3. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные
функции / В. Я. Арсенин. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. – 284с.
9
НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
БУССИНЕСКА И МЕТОД ЕЕ РЕШЕНИЯ
Г. С. Митюхин, С. В. Симутин
Научный руководитель: к.ф.-м.н. Ю. С. Семерич
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected] [email protected] [email protected]
В последние годы для изучения уравнения Буссинеска было проведено множество научно-исследовательских работ, что помогло наиболее полно раскрыть идеи Буссинеска и Релея, которые нашли аналитическую формулу для возвышения свободной поверхности на воде в виде
квадрата гиперболического секанса, а также вычислили скорость распространения солитона на воде [1].
В данной работе рассматривается начальная задача для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных четвертого
порядка с двумя независимыми переменными, описывающая движения
длинных волн на мелководье под действием силы тяжести. Математическую модель задачи представим в виде
∂ 2u
∂t 2
−
u ( x, t )
∂ 2u
∂x 2
t =0
+
∂ 4u
∂x 4
−
= f ( x) ,
( ) = 0 , x∈ R , t > 0,
∂2 u2
∂x 2
∂u ( x, t )
= g ( x) , x ∈ R .
∂t t =0
(1)
(2)
Перепишем уравнение (1) в операторном виде
Lu − Ku − Nu = 0 ,
где L =
Nu =
∂2
, K=
2
∂t
∂2 u2
∂2
∂x 2
−
∂4
∂x 4
(3)
– линейные дифференциальные операторы, а
( ) – нелинейный дифференциальный оператор.
∂x 2
Рассмотрим обратный оператор следующего вида
−1
t t
L =  (  )ds .
(4)
00
Применив оператор (4) к уравнению (3) и с учетом начальных
условий (2), получим
u = f ( x ) + g ( x ) t + L−1 ( Nu + Ku ) .
10
(5)
Теперь воспользуемся методом разложения Адомяна [2] и представим неизвестную функцию u ( x, t ) в виде бесконечного ряда
u ( x, t ) =
∞
 u n ( x, t ) ,
(6)
n =0
а нелинейный оператор Nu в виде
Nu =
∞
 An ,
(7)
n =0
где An − полиномы Адомяна, которые учитывают нелинейный член
уравнения и задаются в виде
A0 =
( ),
∂ 2 u02
∂x 2
∂u0 ∂u1
∂ 2u0
+ 2u1 2 ,
A1 = 2u0 2 + 4
∂x ∂x
∂x
∂x
∂ 2u1
A2 = 2u0
A3 = 2u0
∂ 2u3
∂x 2
+4
∂ 2u2
∂x 2
2
∂u ∂u
∂ 2u
∂ 2u
 ∂u 
+ 4 0 2 + 2u2 20 + 2u1 21 + 2  1  ,
∂x ∂x
 ∂x 
∂x
∂x
∂u0 ∂u3
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u
∂ 2u
+ 2u3 20 + 2u1 22 + 4 1 2 + 2u2 21 и т.д.
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x
∂x
∂x
После подстановки (6) и (7) в уравнение (5), получим
 ∞
 ∞

−1
=
+
+
+
u
x
,
t
f
x
g
x
t
L
A
K
u
x
,
t

  n ( )   .
 n( ) ( ) ( )
 n

n =0
 n =0

 n =0
∞
(8)
В результате приходим к итерационному процессу, который может
быть записан в виде
un +1 ( x, t ) = L−1 ( An + Kun ) , n = 0,1, 2, ... ,
(9)
u0 ( x , t ) = f ( x ) + g ( x ) t .
Приведем пример полученного решения уравнения Буссинеска с
помощью полиномов Адомяна, которое представляет собой уединенную
волну.
Численная реализация процесса (9) и построение графика (рис. 1)
осуществлялась с использованием пакета Wolfram Mathematica, позволяющего проводить широкий спектр исследований, как в символьной
математике, так и с помощью численных алгоритмов. Была реализована
11
программа решения уравнения Буссинеска методом декомпозиции Адомяна. Проведены исследования точности полученного решения в зависимости от количества используемых членов ряда.
Рис.1 Приближенное решение в виде уединенной волны
Список литературы
1. Кудряшов, Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Н. А. Кудряшов. – Москва ; Ижевск : Институт
компьютерных исследований, 2004. – 361 с.
2. Adomian, G. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method / G. Adomian. – Boston, M A : Kluwer, 1994.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ОДНОРОДНОЙ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ
А. К. Руденко, Ю. С. Семерич, М. А. Фролкина
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected], [email protected]
В работе рассматривается задача нахождения собственных колебаний однородной, круглой мембраны радиуса R, закрепленной по краям, при условии, что в начальный момент она представляет поверхность
параболоида вращения, а начальные скорости равны нулю. Математическая модель данной задачи имеет вид
∂ 2u
1 ∂u 1 ∂ 2u
,
+
=
∂r 2 r ∂r a 2 ∂t 2
12
(1)
при краевых условиях
u ( 0, t ) = ϕ ( t ) ,
u ( R, t ) = 0 ,
(2)

r 2  ∂u ( r , 0 )
= 0,
u ( r , 0 ) = K 1 − 2  ,
 R 
∂
t


(3)
и при начальных условиях
где ϕ ( t ) − ограниченная функция, K − постоянная.
Воспользуемся методом разделения переменных и представим искомую функцию в виде
u ( r, t ) = T (t ) R ( r ) .
(4)
Продифференцируем функцию u ( r , t ) дважды по переменной r и
дважды по переменной t , получим
∂u
∂ 2u
= T ( t ) R′ ( r ) , 2 = T ( t ) R′′ ( r ) ,
∂r
∂r
∂u
∂ 2u
= T ′ ( t ) R ( r ) , 2 = T ′′ ( t ) R ( r ) .
∂t
∂t
В результате подстановки полученных соотношений в уравнение
(1), получим
1
1
T ( t ) R′′ ( r ) + T ( t ) R′ ( r ) = 2 T ′′ ( t ) R ( r ) .
r
a
Разделим переменные
R′′ ( r ) 1 R′ ( r ) 1 T ′′ ( t )
+
= 2
= −λ 2 .
R ( r ) r R ( r ) a T (t )
(5)
Отсюда находим два уравнения
T ′′ ( t ) + a 2λ 2T ( t ) = 0 .
(6)
1
R′′ ( r ) + R′ ( r ) + λ 2 R ( r ) = 0 .
r
(7)
Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно
общее решение уравнения (6)
T ( t ) = A cos λt + B sin λt ,
где A, B − постоянные, подлежащие определению.
13
Для решения уравнения (7) выполним замену переменной
λr = ρ,
(8)
′′ = Rρρ
′′ λ 2 .
при этом Rr′ = Rρ′ ρ′r = λRρ′ , Rrr
С учетом (8) уравнение (7) принимает вид
′′ + Rρ′ + ρR = 0 .
ρRρρ
(9)
Полученное уравнение (9) называется уравнением Бесселя. Общее
решения (9) имеет вид
R ( r ) = CJ 0 ( λr ) + DY0 ( λr ) ,
где C , D − постоянные, подлежащие определению, J 0 ( λr ) − функция
Бесселя первого рода нулевого порядка, Y0 ( λr ) − функция Бесселя первого рода первого порядка.
Таким образом, общее решение уравнения (1) имеет вид
u ( r , t ) = ( A cos aλt + B sin aλt ) ( CJ 0 ( λr ) + DY0 ( λr ) ) .
(10)
Воспользуемся условиями (2) для определения неизвестных постоянных. Так как при r = 0 функция u ( r , t ) должна быть ограниченной,
следовательно D = 0 . Функция Y0 ( λr ) при r = 0 имеет логарифмиче-
скую особенность, то есть lim Y0 ( λr ) = ∞ . При этом в центре мембраны
r →0
конечной должна оставаться и функция R ( r ) , в противном случае получили бы бесконечный прогиб мембраны, что невозможно. В результате
получаем
u ( r , t ) = ( A cos aλt + B sin aλt ) J 0 ( λr ) .
(11)
Далее, в силу второго граничного условия (2), находим
u ( R, t ) = ( A cos aλt + B sin aλt ) J 0 ( λR ) = 0 .
(12)
J 0 ( λR ) = 0 ,
(13)
Отсюда
и нули функции J 0 ( λr ) имеют вид
λ k R = μk , λ k =
μk
.
R
В результате получаем частные решения
aμ t
aμ t   μ r 

uk ( r , t ) =  Ak cos k + Bk sin k  J 0  k  .
R
R   R 

14
(14)
Возьмем сумму частных решений (14), получим
∞
aμ t
aμ t   μ r 

u ( r , t ) =   Ak cos k + Bk sin k  J 0  k  .
R
R   R 
k =1
(15)
Частоту основного тона круглой мембраны, получим при k = 1 , в
частности она равна μ1a R , где μ1 = 2,405 .
Каждый член ряда (15) удовлетворяет граничным условиям (3),
следовательно, и функция u ( r , t ) должна удовлетворять им. Имеем
∞
∂u ( r , t )
aμ
μ r
=  Bk k J 0  k  = 0 .
∂t t =0 k =1
R
 R 
Отсюда, получаем, что Bk = 0 для всех k .

r2 
 μk r 
Кроме того, u ( r , t )
A J
=
= K 1 − 2  .
t = 0  k 0  R 
 R 
k =1


Отсюда, получаем, что
∞
R

2K
r 2   μk r 
−
=
×
1
Ak = 2 2
r
J
dr


0



R J1 ( μ k ) 0  R 2   R 
R 2 J12 ( μ k )
2K
 R 2 R  μ r   μ r   μ r  R 2 R  μ r 3  μ r   μ r  
×  2   k  J 0  k  d  k  − 4   k  J0  k  d  k  =
 μ k 0  R   R   R  μ k 0  R   R   R  
=
2 KJ1 ( μ k )
2K
4K
8K
8K
− 2
μ
−
+
=
J
.
(
)
0
k
J1 ( μ k ) μ k J1 ( μ k ) μ 2k
J12 ( μ k ) μ k J1 ( μ k ) μ3k J1 ( μ k ) μ3k
Таким образом, решение принимает вид
∞
u ( r, t ) = 
8K
( )
3
k =1 J1 μ k μ k
cos
aμ k t  μ k r 
J0 
,
R
 R 
(16)
где μ1, μ 2 , ... – положительные корни уравнения J 0 ( μ ) = 0 .
Численные расчёты производились с помощью пакета символьной
математики Mathematica, которая является ведущим программным продуктом для обработки числовых, символьных и графических данных.
Список литературы
1. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М.Смирнов. – М. :
Высш. шк., 1970. – 712 с.
2. Ватсон, Г. Н. Теория Бесселевых функций / Г. Н. Ватсон. – М. :
Изд-во иностр. лит., 1949. – 800 с.
15
2. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ВЕСОВОЙ КОРРЕКЦИИ
СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НА ПРИМЕРЕ
ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Н. И. Вирц, А. В. Гущин
Самарский государственный университет путей сообщения,
г. Самара, Россия
[email protected], [email protected]
Известно, что если действительный или комплексный случайный
процесс x(t ) с конечным математическим ожиданием Μ x(t ) и непрерывной корреляционной функцией Rxx (t1, t2 ) задан на замкнутом интервале [a, b] , то существует полная ортонормированная система функций
{uk (t )} такая, что
∞
b
k =1
a
x(t ) =  ck uk (t ) , ck =  uk (t )x(t )dt (k = 1, 2,...) ,
где интегралы и ряд сходятся в среднем.
Таким образом, случайный процесс представляется множеством
случайных коэффициентов {ck } . Первые n коэффициентов могут дать
подходящее приближенное представление.
Стационарный периодический процесс в общем смысле определяется рядом Фурье
∞
x(t ) = c0 +  (ak cos k ω0t + bk sin k ω0t ) ,
(1)
k =1
в котором все действительные коэффициенты c0 , ak , bk случайны и ряд
сходится в среднем. В этом случае формула (1) дает разложение процесса x(t ) по ортогональной системе, причем
Μ x(t ) = Μ c0 ,
Rxx (τ) = Μ c02
1 ∞
+  Μ (ak2 + bk2 )cos k ω0τ ,
2 k =1
(2)
и в случае непрерывности корреляционной функции на заданном интервале будут определены достаточные условия для сходимости его веще16
ственных коэффициентов в среднем. Причем процесс будет стационарен
в широком смысле при выполнении следующих условий:
Μ ak = Μ bk = 0, Μ ak2 = Μ bk2 , 

Μ c0ai = Μ c0bk = Μ aibk = 0, 
Μ ai ak = Μ bibk = 0 (i ≠ k ) 

В этом случае дисперсионные характеристики (2) стационарного
процесса (1) определяют только условие сходимости его оценок. Для
получения оптимальных оценок параметров в смысле их эффективности,
состоятельности и несмещенности требуется обоснование разработки
квадратичного критерия для стохастических коэффициентов гармонического ряда, представляющего стационарный процесс.
В решении поставленной задачи будем использовать известный в
анализе изоморфизм фактор-пространств по отношению к базисным
элементам линейных пространств. Данный изоморфизм имеет значительный диапазон установления эквивалентности фактор-пространствам
свойств хорошо изученных объектов анализа – начиная с геометрического смысла линейного функционала в ненормированных пространствах и заканчивая компактными операторами в гильбертовых пространствах. В этом многообразии морфизмов естественно присутствуют
отличные друг от друга пространства, в которых осуществляются решения методов приближения с различными критериями сходимости. Следовательно, достаточность условий эквивалентности методов приближения различных пространств можно показать через их эквивалентность
фактор-пространствам.
Для решения поставленной задачи рассмотрим формирование
множества эквивалентных классов фактор-пространства относительно
выбранного подмножества базисных элементов приближения ряда
Фурье. Эквивалентность несложно установить через фактор-образующее
множество L ' классов смежности L / L ' и частичных сумм sn элементов
ϕ1, ϕ2…, ϕп,… ряда Фурье по их свойству счетности:
n
s1n =  c1k φ1k ∈ H1 , s1i ,
~ L / L' ,
i∈1..n
k =1
m
2
sm
=  ck2φk2 ∈ H 2 , si2,
~ L / L',
i∈1..m
k =1
s1i,
i∈1..n
L/ L '
~ si2,
i∈1..m
17
,
n
y1 ∈ H1 , y1 −  c1k φ1k ∈ L ' ,
k =1
m
y2 ∈ H 2 , y2 −  ck2φ2k ∈ L ' ,
k =1
L '∪ L / L ' = L ,
где L '∪ L / L ' есть исследуемое фактор-пространство L.
Несколько более сложным будет обоснование изоморфизма непрерывной периодической функции классам смежности пространства L.
В разделе теории гармонического анализа Фурье локализация базовых
гармоник на отрезке круга [π; −π] производится путем их представления
k-ми функциями комплексного переменного. Таким образом, устанавливается структурная эквивалентность:
t  eikt , t ± 2πq  eikt , где k = 0,1, , n q ∈ Ν ,
или изоморфизм как непрерывная биекция через дискретный ck
коэффициент. Локализация гармоник, как базисных функций, путем их
фиксирования по частоте с индексом k на комплексной плоскости, позволяет использовать классический функционал скалярного произведения в пространстве L2 для расчета проекции f на независимый элемент
g ∈ L2 следующим выражением:
ck = f , g k =
1
f (t ) g k (t )dt ,
T
(3)
где
T =  g k (t ) g k (t )dt , T = g k
2
,
а
независимый
элемент
представлен
базисной
функцией
g k (t ) = eikt = ek (t ) . Функции ek = eik ортонормированны, соответственно
для периода в R по t линейно независимы
eijt , e−ikt = δ jk (t ) , j , k = 0,1,..., n ,
и
ck = f , ek =
1
f (t )e −ikt dt , T =  eikt e−ikt dt .

T
(4)
Приведенные выражения (3)-(4) гармонического анализа позволят
рассмотреть коэффициенты как проекции на независимые элементы, а
совокупность проекций и элементов как счетные частичные суммы
18
классов смежности пространства L [1, п. 3.2.6]. На самом деле, в дискретном случае для xk = tk ( k = 0,1, , n ) , f k = f ( xk ) , с учетом ограничений f периодом в R и гармоник g по длине 2π круга комплексной
плоскости, имеем выражение частичной суммы
sm ( xk ) =
m
 c j e j ( xk ) , m < n .
(5)
j =0
Связь fk из R и подпространства, которому принадлежит sm , определяется ортогональной проекцией:
m
qm, k = f k −  c j eijxk .
(6)
j =0
Данное выражение вычисляет проективное расстояние, следовательно, определение sm ( xk ) на c• по (5) обращает (6) в минимум и сводит гармонический анализ Фурье к задаче интерполирования по методу


наименьших. При этом элементы  si, , qi,i +1  образуют непересекаю i∈1..n

щиеся классы, эквивалентные смежным классам фактор-пространства L,
где
0∈ R ~ {s0 , q0,0 +1} = ∅ ∈ L , si,
i∈1..n
∈ L / L ' , qi,i +1 ∈ L ' .
Система (ek | k ∈ Ν ) обладает полнотой и любая точка пространства R / 2π достижима рядом Фурье
k =∞

k =−∞
ck ek (t ) ,
при этом имеет место сходимость lim sm ( xk ) = f k . Подпространство баm →∞
зисных функций пространства R / 2π
U m ( xk ) = span(e0 ( xk ),..., em ( xk ))
(7)
является линейной оболочкой, которая ортогональна к fk из R и образованна всеми линейными комбинациями e j ( xk ) из R / 2π при j ≤ n . По
отношению к L выражение (7) есть k-е множество, или смежный m-ный
класс L / L ' эквивалентных частичных сумм фактор-пространства L, а
ортогональная проекция к fk есть независимое и единственное направление фактор-образующего подпространства L’. Учитывая, что минимальная проекция для всего множества комбинаций будет достигнута при
19
расчете коэффициентов по выражению (5), можно сделать вывод, что
методы метрического приближения к f k ∈ R в xk и приемы их оптимизации эквивалентны методам пространства R / 2π через свойства классов из L.
Итак, выявлены условия эквивалентности R и R / 2π в форме:
– биекции временной функции f k и комплекснозначной e j через
множество коэффициентов c j (4);
– метрических свойств методов приближения через элементы (7),
обобщенные на фактор-пространства L.
Это достаточные условия для использования в анализе независимых функций e j на отрезке 2π , например, совместно с мерой дискретных весов пространства R / 2π . Задача наилучшей аппроксимации частичными суммами с использованием коэффициентов Фурье
c0e0 + c1e1 + ... + c j e j + ... + cmem
(8)
рассматривается [2] в гильбертовых пространствах для вырожденного
случая меры в виде весов к различным точкам x0, x1, …, хn действительной прямой. Согласно представленным свойствам метрической эквивалентности R и R / 2π точкам отрезка 2π в R / 2π приписываются положительные числа p0, p1, …, pn, а мера μ определяется формулой
μ(E) =

xk ∈ E
pk .
Рассмотрим общий случай выбора весовой системы на примере
ДПФ с учетом рассмотренных свойств эквивалентности R и R / 2π .
Назначим каждой точке xk вещественной прямой R / 2π пространства R положительный вес, обратно пропорциональный шагу Δ
фиксированной частоты базисных функций ek при выборке n. Например, если шаг изменения частоты равномерный, то
p0 =
1
1
1
, p1 = ,..., pn = , Δ = 2π / n .
Δ
Δ
Δ
Тогда f в общем случае можно представить как комплекснозначную измеримую множественную функцию гильбертова пространства,
интеграл которой на отрезке действительной прямой равен

M
f ( x)d μ =
n
n
j =0
j =1
 p j f ( x j ) , M =   x j − x j −1  .
Соответственно скалярное произведение будет определяться формулой
20
ck = ( f , ek ) =
n
 p j f ( x j )ek ( x j ) ,
j =0
посредством которой рассчитываются коэффициенты (координаты
Фурье), обращающие при определении частичных сумм выражения (8) в
минимум выражение наилучшей аппроксимации
2
m


p
f
(
x
)
c
e
(
x
)
−
 k  k  j j k  , m<n,


k =0
j =0
n
где c j e j ( xk ) ∈ R / 2π элемент, эквивалентный элементу c j φ j ( xk ) ∈ R n через их принадлежность смежному j-му классу пространства L; m < n –
условие априорной неопределенности приближения, выраженное в метрическом расстоянии
m


−
f
(
x
)
c
e
(
x
)

 j j k
k


j =0
по j-му направлению фактор-образующего пространства; pk – значение
вырожденной меры в k -й точке приближения.
В стохастических системах pk эквивалентно функции дисперсии
ошибок
(функция
эффективности)
в
точках
измерений
λ ( xk ) = σ −2λ ( xk ) = σ −2 , где σ2 – константа, несмещенная оценка которой
зависит от условий проведения опыта измерений. Функция эффективности снижает дисперсию оценок параметров по сравнению со стандартным МНК. Эффективные оценки всегда состоятельны. Тогда для решения задачи несмещенных оценок требуется разработка алгоритмов с выбором дисперсионных отношений с обеспечением сходимости в среднеквадратичном. Проведенные расследования открывают большой раздел
теоретических и практических исследований данных алгоритмов по отношению к стационарным процессам.
Таким образом, определение полного пространства частичных
сумм Фурье как изоморфное фактор-пространству, позволяет показать
достаточность условий интерполяции по МНК приближения R / 2π периодических функций. Следовательно, в рамках поставленной задачи
возможен переход к квадратичному критерию для получения качественно новых характеристик оценивания параметров периодических стационарных процессов.
21
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КООРДИНАТНЫХ СБЛИЖЕНИЙ
НА ПРИМЕРЕ ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВ ЛОГИЧЕСКИХ
И КОМПЛЕКСНЫХ ТИПОВ
Б. Ж. Сайфулин, А. В. Гущин
Самарский государственный университет путей сообщения,
г. Самара, Россия
[email protected], [email protected]
Материал статьи относится к теории формирования множества эквивалентных классов относительно выбранного подмножества. Подобная организация линейных пространств способна к дополнению линейно
независимых элементов основного подпространства независимыми элементами множества эквивалентных классов. Это свойство имеет значительный диапазон своего изоморфизма на основные пространственные
конструкции – начиная с геометрического смысла линейного функционала и заканчивая компактными операторами в гильбертовых пространствах. Естественно, что можно найти в многообразии таких совпадений
также и пространства, в которых осуществляются принципы решения
методов приближения и адаптации.
Пусть L –линейное пространство, и L’ – некоторое его
подпространство. Скажем, что два элемента x и y из L эквивалентны,
если их разность x–y принадлежит L’. Это отношение рефлексивно,
симметрично и транзитивно, т. е. определяет все x ∈ L на классы. Класс
эквивалентных элементов называется классом смежности (по
подпространству L’). Совокупность всех таких классов назовем факторпространством L по L’ и обозначим L/L’.
В любом фактор-пространстве, естественно, вводится операции
сложения и умножения на числа. Именно, пусть ξ и η – два класса,
представляющих собой элементы из L/L’. Выберем в каждом из этих
классов по представителю, скажем, x и y соответственно, и назовем
суммой классов ξ и η тот класс ζ , который содержит элемент x+y, а
произведением класса ξ на число α тот класс, который содержит
элемент αx . Легко проверить, что результат не измениться от замены
представителей x и y какими-либо представителями x’ и y’ тех же
классов ξ и η. Таким образом были определены линейные операции над
элементами фактор-пространства L/L’. Непосредственная проверка
показывает, что эти операции удовлетворяют всем требованиям,
содержащимся в определении линейного пространства. Иначе говоря,
каждое фактор-пространства L/L’ (с теми операциями сложения и
умножения на числа, которые сейчас в нем были определены)
представляет собой линейное пространство.
22
Если L – пространство n измерений, а его подпространство L’
имеет размерность k, то фактор-пространство L/L’ имеет размерность n–
k. Пусть L – произвольное линейное пространство и L’ – некоторое его
подпространство. Размерность фактор-пространства L/L’ определяется
как коразмерность подпространства L’ в пространстве L.
Если подпространство L ' ⊂ L имеет конечную коразмерность n, то
в L можно выбрать элементы x1, x2 ,..., xn так, что всякий элемент x ∈ L
будет (однозначно) представим в виде
x = α1x1 + ... + α n xn + y ,
где α1,..., α n – числа и y ∈ L ' . Действительно, пусть фактор-пространство
L/L’ имеет размерность n. Выберем в этом фактор-пространстве базис
ξ1, ξ2 ,..., ξn и из каждого класса ξk выберем по представителю xk . Пусть
теперь x – любой элемент из L и ξ – тот класс в L/L’, который содержит
x. Тогда
ξ = α1ξ1 + ... + α nξn .
По определению это значит, что каждый элемент из ξ, в частности
x, отличается лишь на элемент из L’ от такой же линейной комбинации
элементов x1,..., xn , т. е.
x = α1x1 + ... + α n xn + y .
Учитывая важность этого раздела в определении методов приближения на базе фактор-пространства, необходимо привести примеры,
закрепляющие понятия аддитивных свойств классов смежности и
размерностей фактор-пространств.
Определение смежных классов на языке логики 1-го порядка.
Пусть L ' ⊂ L и
(∀x & ∃y ( x, y ) ∈ L ') & (∀y & ∃z ( y, z ) ∈ L ') &
&(∃x & ∃z ( x, z ) ∈ L ')  {x, y, z} ∈ ξ ,
тогда ξ – класс смежности, ξ ∈ L / L ' . Так как классы смежности ξ, η,
…∈L/L’ в более общем понятии это классы эквивалентности, и если
эквивалентность обеспечивает разбиение так, что ξ∩η∩…=∅ и
ξ∪η∪…=L, то сами классы выступают в роли элементов, образующих
линейное пространство L / L ' . Пусть L, L’ и L / L ' имеют N, k, n
независимых комбинаций и
∃y ∈ L '& ∀x ∈ L & ( x ∈ L '∨ x ∉ L ') & (∃ξ ∈ L / L '& x ∈ ξ) ,
а ξ = α1ξ1 + ... + α nξn – выбор независимой комбинации в силу
линейности L / L ' . Если x ∈ L & x ∈ ξ и x является представителем
единственного класса из L / L ' (свойству эквивалентности классов
23
смежности), то x будет однозначно выражен в n-размерности как
x = α1x1 + ... + α n xn на комбинации элементов из L, но только как
представитель класса ξ. Отсюда совпадение n элементов базиса класса ξ
и независимой подсистемы x1,..., xn ∈ L . Для однозначной записи x ∈ ξ
внутри L потребуется еще k = N − n дополнительных комбинаций на
элементах y1,..., yk ∈ L ' для обозначения отличия x как x ∈ ξ от x ∈ L . По
существу числа α1,..., α k и вектор y ∈ L ' y = α1 y1 + ... + α k yk способны
также однозначно выражать пространственные характеристики приближения классов смежности внутри L, а числа α1,..., α n и x1,..., xn ∈ L
пространственное положение x ∈ L внутри класса ξ. Геометрическая
интерпретация логической смежности изображена на рис. 1.
Рис. 1. Факторное пространство методов приближения; X – координатное
определение принадлежности x ∈ ξ ; Y – дополнение координат X класса ξ
независимыми комбинациями от Y до x ∈ L
Важная
деталь
новой
детерминанты
пространственных
организаций множеств – это связь независимых систем по типу
взаимного дополнения независимыми по ним измерений. Или можно
сказать, что это свойство дополнения направлений по отношению
эквивалентности смежных классов – элементов L/L′.
Фактор-пространство комплексной плоскости. Ответим на
вопрос, какие алгебраические объекты образуют классы смежности
координатного пространства комплексной плоскости. По определению
комплексной плоскости уже известно, что N = k + n = 1 + 1 = 2 , и если
L = C и N=2, а L ' = R1 и n=1, то размерность фактор-пространства C / R1
определена k = 1 . Элемент x ∈ C есть объект (a + ib) , его числовое
представление является бинарным отношением (a,b) вещественных
чисел a и b. Тогда подпространству R1 будут принадлежать все a,
24
которые a ~ b , где b = 0; ϕ – отношение эквивалентности, образующее
φ
фактор-пространство C / R1 , которое состоит из единственного элемента –
класса вещественных чисел. Это доказывается через способность пар
(a,b) образовывать транзитивное замыкание относительно нуля на все
пространство R1 . А класс-элемент R1 будет фиксирован относительно
нуля в независимом направлении мнимой оси (размерность k = 1 ).
Очевидно, что если в качестве подмножества L ' объявлять элементы
любого независимого направления пространства L размерности N > 1 , то
фактор-пространство будет содержать один элемент – совокупность
точек данной оси, фиксированную относительно начала других
независимых направлений, имеющих размерность фактор-пространства
N − 1.
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОГО
КЛАССА ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
М. А. Сёмов
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
Введение
Гиперсингулярные интегралы представляют собой естественное
продолжение сингулярных интегралов в смысле главного значения по
Коши. Помимо решения чисто математических задач, интегралы Адамара нашли многочисленные применения в таких областях, как механика,
электродинамика, аэродинамика, акустика и др.
В вышеупомянутых областях находят всё большее применение
следующие гиперсингулярные интегралы
h(ξ, η, x, y )dl
 [(ξ − x)2 + (η − y)2 ]3/2 ,
(1.1)
L
h( M , M ')ds
 [r (M , M ')]3 ,
σ
(1.2)
где L – гладкий контур, dl – элемент дуги, σ – гладкая область в E3 ,
ds – элемент поверхности; M и M' – некоторые точки на σ ; r ( M , M ') –
расстояние между точками M и M' .
25
При решении некоторых краевых задач механики композитных
конструкций возникает другой тип гиперсингулярных интегралов [1]:
h( τ , τ , τ ) d τ
(1.3)
 [γ(τ 1, τ 2, τ 3)] p +λ ,
1 2 3
E
3
где p=3, 4, …; 0 ≤ λ < 1, γ (τ1, τ2 , τ3 ) = 0 – уравнение поверхности в E3 .
Определение гиперсингулярных интегралов дано Ж. Адамаром в
[2] и развито в последующей работе [3].
b
Определение 1. Интеграл вида
A( x)dx
 ( b − x ) p +α
при целом p и 0 < α < 1
a
определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла
x
как предел при x → b суммы
A(t )dt
B ( x)
 (b − t ) p +α + ( b − x ) p +α−1 , если предполоa
жить, что A(x) имеет p производных в окрестности точки b.
Здесь B(x) – любая функция, на которую налагаются два условия:
а) рассматриваемый предел существует;
б) B(x) имеет, по крайней мере, p производных в окрестности точки x = b.
Произвольный выбор B(x) никак не влияет на значение получаемого предела: условие а) определяет значения p – 1 первых производных от
B(x) в точке b, так что произвольный добавочный член в числителе есть
p
бесконечно малая величина, по меньшей мере, порядка ( b − x ) .
Пусть в плоскости R2 задан непрерывный контур γ , определяемый функцией γ ( x1 ,x2 ) = 0 , причём функция γ ( x1 ,x2 ) может иметь нули
до r-го порядка включительно. Рассмотрим интеграл по плоскости R2 :
H ( φ, γ ) = 
R2
φ ( x1, x2 )
dx1dx2 .
γ ( x1, x2 )
(1.4)
Определение 2 [1]. Гиперсингулярный интеграл H ( φ, γ ) определя
Fγ , ε (ε) 
φ
x
,x
(
)
1
2
dx1dx2 − r −1  ,
ется как предел выражения H ( φ,γ ) = lim  

γ ( x1 ,x2 )
ε→0 
ε
 R2 \ Гε

где ε – положительное число, Γε – ε -окрестность контура γ , а Fγ , ε –
функция, удовлетворяющая следующим условиям:
а) в области Γε функция Fγ ,ε ( t ) имеет непрерывные производные
до r-1 порядка;
б) предел существует.
26
Отметим, что аналогичным образом может быть определён гиперсингулярный интеграл по пространству Rn , n = 3, 4, ….
Точное вычисление гиперсингулярных интегралов возможно лишь
в некоторых частных случаях. В общем виде гиперсингулярные интегралы вычисляются приближенно с необходимой точностью. Так, в работах [4–6] были построены кубатурные формулы вычисления интегралов вида (1.1), (1.2) с оценкой их погрешности, а в работах [7, 8] – кубатурные формулы вычисления интегралов вида (1.3), (1.4) с оценкой их
погрешности.
В статье представлены численные эксперименты вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов типа (1.4) по новым кубатурным формулам.
Кубатурные формулы вычисления гиперсингулярных интегралов
Для простоты обозначений, ограничимся рассмотрением двумерных интегралов Адамара. Пусть γ – гладкий контур, охватывающий область G, описывается уравнением γ (t1, t2 ) = 0 .
T ϕ = 
ϕ(t1, t2 )
p
G [ γ (t1, t2 )]
dt1dt2 ,
(1.5)
где p ( p ≥ 1) ∈ R и функции φ(t1, t2 ) и γ (t1, t2 ) ограничены в целом по
модулю постоянной M.
Пусть область G = [ a, b; c, d ] . Разобьем область G на более мелкие
области Δ k , построение которых учитывает характер особенностей
подынтегральных функций. Вычисления ведутся по кубатурным формулам вида:


Lm, p (ϕ(t1, t2 ), Δ k )

Tϕ =  
dt1dt2  + Rn (ϕ),
p


i =1  Δ k Lm, p ([ γ (t1, t2 )] , Δ k )

где n – количество областей, на которые разбиваем область G ,
Lm, p (ϕ(t1, t2 ), Δ k ) – полином Лагранжа – Эрмита от функции ϕ(t1, t2 ) по
n
области Δ k , использующий при своем построении p − 1 производную и
m узлов. Эффективность использования полинома Лагранжа – Эрмита
для вычисления гиперсингулярных интегралов вида (1.1) и (1.2) показана в работе [3].
Примеры решения практических задач
1) Вычислить интеграл:
2 3

−2 −2
xydxdy
( 2x
2
2
)
+ y −1
27
4
.
(1.6)
Рис. 1. Графическое представление функции знаменателя интеграла (1.6)
Точное значение интеграла равно 0.
В табл. 1 приведены результаты приближённого вычисления приведенного выше интеграла. Как видно из представленной таблицы, точность вычисления высокая.
Таблица 1
Результаты вычисления интеграла (1.6)
Число знаков после запятой
10
Абсолютная погрешность
6.75508 ∗ 10 −51
20
7.97392 ∗10 −51
50
50
8.39238 ∗10
−51
50
10
6.7068 ∗10 −101
100
50
8.3222 ∗10 −101
100
10
50
−501
500
500
Число узлов, n
3.6106 ∗10
4.4482 ∗10 −501
50
2) Вычислить интеграл:
( x3 + y 2 ) dxdy .
 
3
2
−2.5 −2.5 ( x − 2 y )
2.5 2.5
Рис. 2. Графическое представление функции знаменателя интеграла (1.7)
28
(1.7)
В табл. 2 приведены результаты приближенного вычисления приведённого выше интеграла.
Таблица 2
Результаты вычисления интеграла (1.7)
Число узлов, n
Абсолютная погрешность
100
200
500
1000
0 . 0129371
0 . 0072913
0 . 0023812
0 . 0000416
3) Вычислить интеграл:
2 2

−2 −2
( x + y ) dxdy .
0.25 x + y
3
(1.8)
Рис. 3. Графическое представление функции знаменателя интеграла (1.8)
В табл. 3 приведены результаты приближённого вычисления приведенного выше интеграла.
Таблица 3
Результаты вычисления интеграла (1.8)
Число узлов, n
Абсолютная погрешность
0.006448116125
0.000005377622
7.2918858 ∗10 −8
1.9672479 ∗10 −8
200
1000
10000
20000
Заключение
Предложен новый эффективный метод вычисления многомерных
гиперсингулярных интегралов типа (1.4), определённых на гладких кривых и поверхностях. Численная эффективность и точность метода проиллюстрированы на примерах.
29
Список литературы
1. Boykov, I. V. Fundamental solutions for thick sandwich plates / I. V.
Boykov, A. I. Boykova, and E. S. Ventsel // Engineering Analysis with
Boundary Elements. – 2004. – Vol. 28. – Р. 1437–1444.
2. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными
производными гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. –
351 с.
3. Бойков, И. В. Ненасыщаемые кубатурные формулы вычисления
гиперсингулярных интегралов / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова,
Г. И. Гринченков, М. А. Семов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 3. –
С. 5–24.
4. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных
и гиперсингулярных интегралов. Ч. 2. Гиперсингулярные интегралы /
И. В. Бойков Пенза : Изд-во Пензенского государственного
университета, 2009. – 252 с.
5. Boikov, I. V. Numerical methods of computation of singular and
hypersingular integrals / I. V. Boikov // International Journal of Mathematics
and Mathematical Sciences. – 2001. – Vol. 28 (3). – Р. 127–179.
6. Boykov, I. V. Accuracy optimal methods for evaluating
hypersingular integrals / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova //Applied
Numerical Mathematics. – 2009. – Vol. 59, № 6. – P. 1366–1385.
7. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления нового класса
гиперсингулярных интегралов и их приложения / И. В. Бойков,
М. А. Сёмов // Математическое и компьютерное моделирование
естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. VI Междунар. науч.техн. конф. (21–25 мая 2012 г.). – Пенза : Приволжский Дом знаний,
2012. – С. 4–12.
8. Boykov, I. V. An approximation methods for evaluating
hypersingular integrals / I. V. Boykov, A. I. Boykova, E. S. Ventsel //
Engineering analysis with Boundary elements. – 2006. – Vol. 30. – P. 799–
807.
30
3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ
ОБЛАСТИ МЕТОДОМ СЕТОК
П. В. Айкашев
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
Введение
Изначально, через задачу Пуассона с граничными условиями Дирихле (задача Дирихле) решали задачу распределения тепла в теле, в котором температура зависит только от расположения точки, и не зависит
от времени и задачу распределения электростатического поля исследуемого объекта. Сейчас, в век информационных технологий решение задачи Пуассона используется во многих отраслях IT. К примеру, для сложной обработки изображений необходимо решать уравнения Пуассона:
– бесшовное клонирование – позволяет вставить часть одного
изображения в другое так, чтобы не было заметно швов. Инструмент как
бы подстраивает вставляемую часть под остальное изображение. На
самом деле для получения результата используется только градиентное
поле вставляемой части и значения пикселей исходного изображения на
границе обрабатываемой области. Таким образом, получается уравнение
Пуассона с краевыми условиями Дирихле.
– Смешивание градиентов – при клонировании области одного
изображения в другое никак не учитывается часть изображения, которая
оказалась под вставляемым участком. В некоторых случаях это может
привести к заметным артефактам, таким как продолжение внутрь
обрабатываемой области резких перепадов яркости на границе
Эти методы обработки изображения осуществляются восстановлением изображения по векторному полю градиентов. Для этого необходимо решить задачу Пуассона с граничными условиями Дирихле в произвольной области [1].
Теоретическая часть
Пусть в некоторой области D на плоскости необходимо найти непрерывную функцию U = U(х, у), которая удовлетворяет уравнению
Лапласа
∂ 2U
∂x 2
+
∂ 2U
∂y 2
31
=0
(1)
и принимает на границе Г области заданные значения
U Г = ϕ( x, y ) .
(2)
Такая задача является классической и известна под названием задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Рассмотрим задачу, когда граница криволинейна. Она несколько
сложнее случая прямоугольной задачи. Нам известны крайние точки области x1, x2, y1, y2, поэтому сетку будем строить для прямоугольника,
внутри которого будет лежать криволинейная область задачи, причём
крайние точки области не будут касаться границ прямоугольника (т.е.
стороны прямоугольника равны a = a2 − a1 и b = b2 − b1 , a > x2 − x2 ,
x1, x2 ∈ [a1, a2 ] , b > y2 − y1 , y1, y2 ∈ [ y1, y2 ] ). Это необходимо для того
чтобы определить ближайшую точку к границе.
Разделим стороны прямоугольника на n и m равных отрезков соотa
b
ветственно: длина отрезка по оси ОХ равна h = , а по оси OY – k = .
n
m
Проведем через концы этих отрезков два семейства прямых линий,
параллельных осям координат х и у (см. рис. 1).
Рис. 1.
Таким образом, заданная область
D = {0 < x < a;
0 < y < b}
покрывается прямоугольной сеткой с (n+1)×(m+1) узлами:
xi = x0 + i ⋅ h,
i = 0, n ; yi = y0 + i ⋅ k ,
i = 0, m .
В связи с этим метод конечных разностей для плоских областей
иначе называется методом сеток. На рис. l координаты х0 и у0 равны
нулю.
Перейдем теперь к записи разностных соотношений для каждой
внутренней точки полученной сеточной области. Узлы сетки будем обо32
значать двумя индексами i, j, первый из которых соответствует нумерации точек разбиения отрезка а по оси ОХ, а второй - отрезка b по оси ОУ
(см. рис. 1). Узлы, расположенные внутри области D, называются внутренними, а узлы на границе Г области –- граничными. Значения функции в узлах сетки будем обозначать следующим образом
U ( xi , y j ) = U i, j ; ϕ( xi , y j ) = ϕi, j
Так как область определения функции U(х,у) имеет криволинейную границу Г, то неизвестные Ui,j в узлах сетки, расположенных вблизи
этой границы, можно определить интерполяцией значений U(x,y) во внутреннем узле(приграничном) и в точке пересечения Г с сеткой (рис. 2).
Рис. 2
Значение функции в приграничном узле будем определять, аппроксимируя функцию рядом Тейлора в граничном узле, до второй производной, т.к. нам неизвестно существуют ли 3-я и последующие производные.
Во всех узлах i,j сеточной области производные в уравнении (1)
можно аппроксимировать разностными отношениями второго порядка
точности по формулам
U i +1, j − U i −1, j
 ∂U 
+ 0(h) 2 ,

 =
2h
 ∂x i , j
U i , j +1 − U i, j −1
 ∂U 
=
+ 0(k ) 2 ,


2k
 ∂y i , j
 ∂ 2U
 2
 ∂x

U i +1, j − 2U i, j + U i −1, j
+ 0(h) 2 ,
 =
2
h
i , j
 ∂ 2U
 2
 ∂y

U i , j +! − 2U i, j + U i , j −1
+ 0(k ) 2 ,
 =
2
k
i , j
33
(5)
Подставляя (5) в уравнение Лапласа (1) и отбрасывая погрешности
аппроксимаций производных, получим конечно-разностные уравнения
U i +1, j − 2U i , j + U i −1, j
h2
−
U i, j +! − 2U i, j + U i, j −1
k2
Если ввести обозначение σ =
= 0, i = 1, n − 1;
j = 1, m − 1
k
, то эти уравнения примут вид
h
σ2U i +1, j + σ2U i −1, j + U i , j +1 + U i, j −1 − 2(1 + σ2 )U i , j = 0
При σ = 1, т. е. при одинаковых шагах разбиения вдоль осей ОХ и
ОУ (h = k), получим [2]
U i , j = (U i +1, j + U i −1, j + U i, j +1 + U i, j −1) / 4,
i = 1, n − 1,
j = 1, m − 1. (6)
Для нахождения значения функции U во внутренних узлах области
воспользуемся итерационным методом, пологая, что функция изначально равна нулю. Используя формулу (6) вычислим значения всех внутренних узлов сетки, начиная с узлов находящихся радом с приграничными и граничными узлами. Итерации будем выполнять до тех пор пока
максимальная разница между соответствующими элементами не будет
превышать указанное значение.
В результате получим таблицу значений искомой функции во
внутренних узлах.
Экспериментальная часть
Для решения задачи была написана программа на языке С++. Данная программа решает задачу Дирихле во внутренних узлах. В узлах, которые находятся рядом с границей, назовём их приграничными, значение функции вычисляется разложением функции в ряд Тейлора на граничном узле и затем, подставляя, координаты приграничного узла значение функции в этом узле, т.е. для каждого узла рядом с границей
строится свой ряд Тейлора. Ряд Тейлора строится до 2-й производной,
т.к. нам неизвестно существуют ли 3-я и последующие производные.
Получаемая при этом теоретическая погрешность в узлах рядом с границей порядка о(h3). Затем используя метод конечных разностей, решаем задачу. Итерации метода конечных разностей проводим до тех пор,
пока максимальная разность между значениями функции на соседних
итерациях не будет меньше заданного ε. В качестве результата программа
выдаёт максимальную по модулю погрешность во внутренних узлах и
таблицу значений функции во всех узлах (внутренних и приграничных).
Методика исследования
Основной проблемой при решении данной задачи методом конечных разностей является вычисление значения функции в приграничных
34
узлах. Сами приграничные узлы определяются проверкой пары узлов:
для того чтобы узел был приграничным необходимо чтобы текущий узел
лежал внутри области а следующий узел вне её. Затем рассчитывается
расстояние до границы от приграничного узла, после чего мы строим
ряд Тейлора в граничной точке и подставляя значения приграничного
узла получаем значение функции в этом узле. Такая проверка происходит по каждой переменной, т.е. сначала фиксируем х1 и проверяем все
пары узлов (х1, уi) и (х1, уi+1), затем фиксируем х2 и проверяем все пары
узлов (х2, уi) и (х2, уi+1) и так далее пока не проверим все пары узлов. После проверки по одной переменной проводим аналогичную проверку по
другой переменной, это необходимо для того чтобы не потерять приграничные узлы. Погрешность вычисляется в приграничных и внутренних
узлах.
Результаты работы
Для проверки работы программы использовалась такая модельная
задача:
U ( x , y ) = −3 x 2 y + y 3
На границе функция равна ϕ( x, y ) = −3 x 2 y + y 3 . Область вычислений круг x 2 + y 2 = 4 . Прямоугольник в котором строим сетку имеет координаты: (–3,–3), (3,–3), (3,3), (–3,3).
При разбиении по оси х и у на 100 узлов полученная погрешность:
в приграничных узлах – 0.000216, во внутренних – 0.000191434.
При разбиении по х и у на 200 узлов полученная погрешность: в
приграничных узлах – 0.000027, во внутренних – 0.0000252739.
Из полученных результатов видно, что погрешности во внутренних узлах удовлетворяют теоретической погрешности метода, но из-за
погрешностей в приграничных узлах невозможно использовать более
точный метод. Сейчас используется метод сеток на 5-ти точечном шаблоне с теоретической погрешностью o(h2), но при более точном вычислении значений на приграничных узлах можно будет воспользоваться
методом сеток с 9-ти точечным шаблоном, его теоретическая погрешность o(h4).
Список литературы
1. Кононов, В. Применение уравнения Пуассона в задачах
обработки изображений / В. Кононов // Компьютерная графика и
мультимедиа : сетевой журнал.
2. Демидович, Б. П. Численные методы анализа. Приближение
функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б. П.
Демидович // Решение задачи Дирихле методом сеток. – М. : Наука,
1967. – С. 261–264.
35
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА
Н. С. Ермолаева, Н. С. Незванова
Научный руководитель: к.ф.-м.н. Ю. С. Семерич
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
В настоящее время универсальным уравнением математической
физики при моделировании волновых процессов различной физической
природы с учетом дисперсии и слабой нелинейности является уравнение
Кортевега-де Фриза [1]. Впервые оно было получено в связи с описанием распространения длинных волн на воде в прямоугольном канале со
свободной поверхностью.
В данной работе рассматривается начальная задача для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных третьего
порядка с двумя независимыми переменными
∂u
∂u
∂ 3u
+ εu + μ 3 = 0 , x ∈ ( −∞, ∞ ) , t > 0 ,
∂t
∂x
∂x
u ( x, t )
t =0
(1)
= f 0 ( x ) , x ∈ ( −∞, ∞ ) ,
где ε, μ − некоторые константы, f0 ( x ) − некоторая функция.
Здесь под неизвестной функцией u ( x, t ) понимается смещение поверхности жидкости от равновесного уровня.
Введем обозначение
∂
∂
∂3
Lt = , Rx = 3 , N ( u ) = u .
∂t
∂x
∂x
(2)
Тогда уравнение (1) перепишем в операторном виде
Lt u = −εN ( u ) u − μRxu .
(3)
Зададим обратный оператор
L−t 1
t
=  ( ) ds .
0
Применим оператор (4) к обеим частям уравнения (3), получим
L−t 1Lt u = η0 ( x ) + L−t 1 ( −εN ( u ) u − μRxu )
или
36
(4)
u = η0 ( x ) − L−t 1 ( εN ( u ) u + μRxu ) .
(5)
Здесь η0 ( x ) − некоторая функция, выступающая в роли постоян∂u
ной интегрирования уравнения
= 0 и определяется из заданного
∂t
начального условия (1).
Воспользуемся методом разложения Адомяна [2] и решение
начальной задачи (1), (2) будем искать в виде
u ( x, t ) =
∞
 u n ( x, t ) .
(6)
n =0
Здесь u0 ( x, t ) определяется с использованием начального условия
(1) как u ( x, 0 ) . Для нелинейного оператора N ( u ) разложение зададим в
виде
N (u ) =
∞
 An ,
(7)
n =0
где An ( u0 , u1, ..., un ) − полиномы Адомяна, которые задаются в виде
1 d n   ∞ i 
An =
 N   λ ui  
n! d λ n   i =0
 
, n = 0,1, 2, ... .
(8)
λ= 0
Подставляя (6) и (7) в (5) получим следующий итерационный процесс
t
un +1 ( x, t ) = u0 ( x, t ) −  ( εAn + μRxun ) ds , n = 0,1, 2, ... ,
(9)
0
u0 ( x , t ) = f 0 ( x ) .
Заметим, что полиномы Адомяна можно представить как нелинейное слагаемое вида
n
An =  ui
i =0
∂un −i
.
∂x
В частности, первые несколько слагаемых будут иметь вид
A0 = u0
∂u
∂u
∂u0
∂u
∂u
∂u
, A1 = u0 1 + u1 0 , A2 = u0 2 + u1 1 + u2 0 ,
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
A3 = u0
∂u3
∂u
∂u
∂u
+ u1 2 + u2 1 + u3 0 .
∂x
∂x
∂x
∂x
37
Вычислительная работа проводилась с использованием пакета
символьной математики Wolfram Mathematica 9.0. Для получения приближенного решения задали число слагаемых в разложениях (6), (7) и
значения параметров ε = 6, μ = 4, f 0 ( x) = sech(0,6 x) . Полученные результаты представлены с помощью графика на рис. 1.
Рис. 1 График поверхности решения
Полученные результаты показали согласованность с аналитическим решением и позволили сделать вывод о закономерностях физического процесса, описываемого рассматриваемым уравнение.
Список литературы
1. Кудряшов, Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Н. А. Кудряшов. – Москва ; Ижевск : Институт
компьютерных исследований, 2004. – 361 с.
2. Adomian, G. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method / G. Adomian. – Boston, MA : Kluwer, 1994.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГАРДНЕРА
С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА АДОМЯНА
О. А. Карпенко, А. И. Королева, Е. Г. Сухова
Научный руководитель: к.ф.-м.н. Ю. С. Семерич
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
В теории нелинейных волн особый интерес вызывают нелинейные
интегрируемые среды, допускающие существование солитона предель38
ной амплитуды. Примером такой среды служит уравнение Гарднера,
частными случаями которого являются известное уравнение Кортевега-де
Фриза и его модификация. Особенность уравнения Гарднера заключается
в том, что оно учитывает физические эффекты, связанные с генерацией и
взаимодействием солитонов большой амплитуды при условии, что квадратическая и кубическая нелинейности оказываются одного порядка.
Математическая модель задачи:
3
∂u
2 ∂u ∂ u
+
= 0, x ∈ ( −∞, ∞ ) , t > 0 .
+ αu + β u
∂t
∂x ∂x3
с начальными условиями
(
)
u ( x, t )
t =0
= f ( x ) , x ∈ ( −∞, ∞ ) .
(1)
(2)
Здесь α, β − постоянные, учитывающие параметры среды, f ( x) −
некоторая функция.
Воспользуемся методом разложения Адомяна для решения задачи
(1) с начальными условиями (2). Для этого выполним обозначения
∂
∂t



∂3

Kx = 3

∂x

∂

N (u ) = u
∂x 

2
2 ∂ 
M u =u
∂x 
Подставляя (3) в исходное уравнение (1), получаем
Lt =
(3)
( )
( )
Lt u = −αN ( u ) u − βM u 2 u − K xu .
(4)
К обеим частям равенства (4) применим обратный оператор
L−t 1
t
=  (  ) ds .
(5)
0
В результате, получим соотношение
(
( )
)
u = f ( x ) − L−t 1 αN ( u ) u + βM u 2 u + K xu .
(6)
Согласно методу Адомяна неизвестная функция u ( x, t ) может быть
выражена в виде
u ( x, t ) =
∞
 u n ( x, t ) .
n =0
39
(7)
Нелинейный член u
многочленов Адомяна
∂u
можно представить в бесконечный ряд
∂x
N (u ) u =
Также и u 2
∞
 An .
(8)
n =0
∂u
можно представить в виде ряда
∂x
( )
2
M u u=
∞
 Bn .
(9)
n =0
Здесь An ( u0 , u1, ..., un ) , Bn ( u0 , u1, ..., un ) − полиномы Адомяна.
Подставляя (7), (8) и (9) в уравнение (6), получим
∞
 u n ( x, t ) = f ( x ) +
n =0

 ∞

A
+
β
B
+
K
u
x
,
t
(
)

 
 n  n x  n

n =0
 n =0

 n =0
L−t 1  α

∞
∞
(10)
Таким образом, мы получаем итерационный процесс
t
un +1 ( x, t ) = u0 ( x, t ) −  ( αAn + β Bn + K xun ) ds, n = 0,1, 2, ...
0
u0 ( x , t ) = f ( x ) .
Многочлены Адомяна строятся в виде
∂u0
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
, A1 = u0 1 + u1 0 , A2 = u0 2 + u1 1 + u2 0
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂u
∂u
∂u
∂u
A3 = u0 3 + u1 2 + u2 1 + u3 0
∂x
∂x
∂x
∂x
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
A4 = u0 4 + u1 3 + u2 2 + u3 1 + u4 0
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
A5 = u0 5 + u1 4 + u2 3 + u3 2 + u4 1 + u5 0
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
A0 = u0
∂u0
∂u
∂u
∂u
, B1 = u02 1 , B2 = u02 2 + u12 0
∂x
∂x
∂x
∂x
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
B3 = u02 3 + u12 1 , B4 = u02 4 + u12 2 + u22 0
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂u
∂u
∂u
B5 = u02 5 + u12 3 + u22 1 и т.д.
∂x
∂x
∂x
B0 = u02
40
(11)
Численные расчеты проводились с использованием пакета символьной математики Wolfram Mathematica 9.0 в предположении, что
α = 3 , β = 7 , а f ( x ) = sec(0.3* x) . Полученные результаты, представленные в графическом виде на рис. 1, позволили выявить особенность изучаемого процесса.
Рис. 1 График поверхности решения
Таким образом, в данной работе с помощью метода Адомяна
найдено решение начальной задачи для уравнения Гарднера. Полученное решение записано в виде ряда разложения по полиномам Адомяна,
вид которых зависит от нелинейных слагаемых исходного уравнения.
Список литературы
1. Кудряшов, Н. А. Аналитическая теория нелинейных
дифференциальных уравнений / Н. А. Кудряшов. – Москва ; Ижевск :
Институт компьютерных исследований, 2004. – 361 с.
2. Adomian, G. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method / G. Adomian. – Boston, MA : Kluwer, 1994.
МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ РЕШЕНИЯ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НА ЗАМКНУТЫХ КОНТУРАХ
Н. Ю. Кудряшова, Н. А. Романов
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
В данной работе рассмотрено решение сингулярных интегральных
уравнений на замкнутых контурах методом коллокации.
41
Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение:
a (t ) x (t ) +
b (t ) x ( τ)
d τ +  h ( t , τ ) x ( τ )d τ = f ( t ) , t ∈ γ ,
πi  τ − t
γ
(1)
γ
где γ – единичная окружность с центром в начале координат на комплексной плоскости, b ( t ) ≠ 0 .
Будем полагать, что a ( t ) , b ( t ) , x ( t ) ∈ H α .
К уравнению (1) применим преобразование Гильберта. Для простоты обозначений будем ниже рассматривать уравнение:
b(s)
a(s) x(s) +
2π
2π

x ( σ ) ctg
0
σ−s
dσ +
2
2π
+  h ( s, σ ) x ( σ )d σ = f ( s ) ,
(2)
0
Построим вычислительную схему для решения уравнения (2). Для
этого выберем две системы узлов:
sk =
πk
πk
π
, sk* =
+ h, 0 < h < , k = 0,,2n.
n
n
2n
Решение будем искать в виде сплайна:
xn ( s ) =
2 n −1
 ciϕi ( x ),
i =0
1, x ∈ [ xi −1, xi )
где ci = 
,
x
∉
x
x
0,
,
)
[

i −1 i
1
2 1
3
φi ( x ) = ai + bi ( x − xi −1 ) + ci ( x − xi −1 ) + di ( x − xi −1 ) –
2
6
кубический полином с периодическими условиями
( ) ( )
xn ' ( s0* ) = xn ' ( s2*n −1 ) ,
xn '' ( s0* ) = xn '' ( s2*n −1 ) ,
xn s0* = xn s2*n −1 ,
где коэффициенты ai , bi , ci , di подлежат определению.
42
Построим квадратурную формулу для вычисления сингулярного
интеграла:
2π
x ( σ ) ctg

I1x =
0
(
σ−s
d σ.
2
)
При s ∈ s j , s j +1 она будет иметь вид:
I1x =
2 n −1

x
k = 0, k ≠ j ±1
sk +1
( )  ctg σ 2− sd σ + Rn.
sk*
sk
Справедлива оценка погрешности квадратурной формулы [3]:
Rn ≤ An −α ln n.
К уравнению (2) применим метод коллокации, воспользовавшись
предыдущей квадратурной формулой для вычисления сингулярного интеграла и принимая за узлы коллокации sk* , k = 0,,2n − 1 . К регулярному интегралу применим квадратурную формулу трапеций. При этом получим систему линейных алгебраических уравнений следующего вида:
a
(
( ) x( ) +
s*j
s*j
( )
b s*j
)( ) (
2π
2 n −1

k = 0, k ≠ j ±1
)(
x
sk +1
( )  ctg
sk*
sk
)
σ − s*j
2
dσ +
* *
*
* *
*


π  h s j , s0 x s0 + h s j , s2 n −1 x s2 n −1 2 n − 2
* *
* 
+
+  h s j , sk x sk = f s*j ,

n 
2
k =1


(
)( )
j = 0,, 2n − 1
( )
(3)
Решим неоднородную систему линейных уравнений (3) какимлибо методом. Пользуясь теоремой Адамара [1], можно доказать, что система (3) имеет единственное решение.
Решение многочисленных модельных примеров доказало эффективность предложенного алгоритма. В табл. 1 приводятся результаты
решения сингулярного интегрального уравнения
1
x(s) +
2π
2π
 x ( σ ) ctg
0
σ−s
s π−s
d σ = ln 2sin +
,
2
2
2
по вычислительной схеме (3) при n = 500 . Здесь γ – единичная окружность с центром в начале координат. Точным решением этого уравнения
является функция
43
x ( s ) = ln 2sin
s
.
2
Таблица 1
Результаты решения сингулярного интегрального
уравнения по вычислительной схеме (3) при n = 500
Точка
0.05
0.67
1.29
1.91
2.53
3.15
3.77
4.39
5.01
5.63
6.25
Численное
значение
− 2.97248
− 0.417499
0.185341
0.490925
0.646198
0.693545
0.643211
0.484269
0.172838
− 0.44465
− 3.4172
Аналитическое
значение
− 2.99584
− 0.419252
0.184317
0.490191
0.645644
0.693133
0.642951
0.484189
0.173044
− 0.443735
− 3.40569
Погрешность
0.0233547
0.00175334
0.00102383
0.000734546
0.000553522
0.000406528
0.000259846
0.0000800578
0.000205312
0.000914485
0.0115064
Таблица 2
Зависимость максимальной погрешности от числа узлов
Максимальная
погрешность
0.0828497
0.018861
0.0151971
Количество узлов
50
200
400
Рис. 1. Точное и приближенное решение на различных промежутках
44
Рис. 1. Окончание
Список литературы
1. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Наука,
1967. – 576 с.
2. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов,
Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. – М. : Наука, 1980. – 355 с.
3. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных
интегральных уравнений в исключительных случаях / И. В. Бойков,
Н. Ю. Кудряшова // Дифференциальные уравнения. – 2000. – № 9.
45
О ПОСТРОЕНИИ ДВУСТОРОННИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
ДЛЯ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ
В. С. Луханин
Харьковский национальный университет радиоэлектроники,
г. Харьков, Украина
[email protected]
В данной работе мы рассмотрим вопросы построения двусторонних приближений к положительному решению краевой задачи вида
Δu = au + b в Ω ⊂ R 2 ,
(1)
u ∂Ω = 0 , b ≥ 0 ( a, b − const ).
(2)
Известно [1, с. 283], что задача (1), (2) на классе непрерывных
функций эквивалентна интегральному уравнению
u ( x ) =  G ( x, s )  au ( s ) + b  ds ,
Ω
где G ( x, s ) – функция Грина оператора Лапласа для первой краевой задачи в области Ω , x = ( x1, x2 ) , s = ( s1, s2 ) .
На конусе K неотрицательных в C ( Ω ) функций введем в рассмотрение линейное операторное уравнение
u = Tu ,
где
Tu =  G ( x, s )  au ( s ) + b  ds .
(3)
Ω
Известно, что конус неотрицательных в C ( Ω ) функций нормален,
кроме того, так как f ( u ) = au + b непрерывна по u , оператор T , отображая пространство C ( Ω ) в себя, вполне непрерывен [1, 2].
Рассмотрим некоторые свойства оператора T вида (3).
1) Для построения конусного отрезка v0 , w0 , инвариантного для
оператора T , в (3) полагаем u = v0 ≡ 0 и составляем элемент
v1 = Tv0 =  G ( x, s ) b ds ≥ v0 ≡ 0 ,
Ω
т. к. G ( x, s ) ≥ 0 , b ≥ 0 .
Затем строим элемент
v2 =  G ( x, s )  a v1 ( s ) + b  ds ≥ v1 и так далее.
Ω
46
Для элемента w0 = c − ε , 0 ≤ ε < 1 , c − ε > 0 (значение ε определится в дальнейшем), из (3) имеем
w1 =  G ( x, s ) [ a w0 + b ] ds =
Ω
=  G ( x, s )  a ( c − ε ) + b  ds =  a ( c − ε ) + b   G ( x, s ) ds .
Ω
Ω
Подбираем параметры a , b , c и 0 ≤ ε < 1 так, чтобы w1 ≤ w0 . Это
требование приводит нас к условию
max  G ( x, s ) ds ≤
x∈Ω
Ω
c−ε
.
a (c − ε) + b
(4)
В (4) правая часть при целых c принимает наименьшее значение
при c = 1 , поэтому в дальнейшем считаем c = 1 , w0 = 1 − ε , 0 ≤ ε < 1 .
Таким образом, имеем v0 ≤ v1 ≤ w1 ≤ w0 и, следовательно, конусный
отрезок v0 , w0 , v0 ≡ 0 , w0 = 1 − ε , является инвариантным для оператора
T вида (3).
2) Монотонность оператора T (т.е. что из u1 ≤ u2 следует, что
Tu1 ≤ Tu2 ) на v0 , w0 очевидна, если a > 0 .
3) Исследуем оператор T на вогнутость на v0 , w0 . Для этого
должно выполняться условие T ( tu ) ≥ tTu ∀t ∈ [ 0,1] , u ∈ v0 , w0 . Составляем
T ( tu ) − tTu =  G ( x, s ) b (1 − t ) ds , t ∈ [ 0,1] .
(5)
Ω
Чтобы (5) было неотрицательным, нужно потребовать выполнение
условия 1 − t ≥ 0 . При ∀t ∈ [ 0,1] это условие всегда выполнено.
4) Исследуем оператор T вида (3) на u0 -вогнутость, где
u0 =  G ( x, s ) ds .
Ω
Вогнутый оператор T называется u0 -вогнутым на v0 , w0 , если
для каждого t0 ∈ ( 0,1) можно указать такое η = η ( u , t0 ) > 0 , что
T ( t0u ) ≥ (1 + η) t0Tu на отрезке, соизмеримом с u0 [1] (любой элемент
вида const ⋅ u0 ∈ u0 , w0 соизмерим с u0 по определению).
Составляем
(
)
T ( t0u ) − (1 + η) t0T =  G ( x, s ) b − t0b − ηt0  au ( s ) + b  ds .
Ω
47
(6)
Чтобы (6) было неотрицательным, требуем выполнение условия
b − t0b − ηt0  au ( s ) + b  ≥ 0 ∀t0 ∈ ( 0,1) , η > 0 ,
откуда имеем
η≤
b (1 − t0 )
.
t0 ( au ( s ) + b )
Последнее выполняется, если числитель b (1 − t0 ) ≥ 0 , что, очевидно, имеет место.
Из выполнения свойств 1) – 4) следует существование и единственность положительного решения у задачи (1), (2).
Итерационный процесс для задачи (1), (2) строим по схеме
vn ( x ) =  G ( x, s )  a vn −1 ( s ) + b  ds , n = 1, 2, ,
Ω
wn ( x ) =  G ( x, s )  a wn −1 ( s ) + b  ds , n = 1, 2, ,
Ω
где v0 ≡ 0 , w0 = 1 − ε . При условии выполнения требования (4) имеем
равномерную сходимость к единственному неотрицательному решению
u ∗ ∈ v0 , w0 . При этом
0 = v0 ≤ v1 ≤  ≤ vn ≤  ≤ u* ≤  ≤ wn ≤  ≤ w1 ≤ w0 = 1 − ε .
Вычислительный эксперимент проведен в области
Ω=
{( x1, x2 ) | x12 + x22 < 1, x2 > 0}
при значениях a = 0,5 , b = 2 , c = 1 , ε = 0,1 . Результаты приведены
в табл. 1 для приближений v4 ( x ) (в знаменателе ячейки) и w4 ( x ) (в
числителе ячейки) в точках области Ω с полярными координатами
πj
ρi , φ j , где ρi = 0, 2i , φ j = , i = 1,4 , j = 1,9 .
10
(
)
Таблица 1
ρ
φ
0,2
0,4
0,6
0,8
1
π
10
π
5
2
0,047930
0,047930
0,086285
0,086284
3
0,083609
0,083608
0,138988
0,138987
4
0,094011
0,094010
0,144999
0,144998
5
0,069481
0,069481
0,098620
0,098620
48
Окончание табл. 1
1
3π
10
2π
5
π
2
3π
5
7π
10
4π
5
9π
10
2
0,113339
0,113338
0,129282
0,129280
0,134534
0,134533
0,129282
0,129280
0,113339
0,113338
0,086285
0,086284
0,047930
0,047930
3
0,173343
0,173341
0,191991
0,191989
0,197870
0,197868
0,191991
0,191989
0,173343
0,173341
0,138988
0,138987
0,083609
0,083608
4
0,172807
0,172805
0,186977
0,186976
0,191274
0,191272
0,186977
0,186976
0,172807
0,172805
0,144999
0,144998
0,094011
0,094010
5
0,112957
0,112957
0,120005
0,120004
0,122082
0,122081
0,120005
0,120004
0,112957
0,112957
0,098620
0,098620
0,069481
0,069481
Список литературы
1. Красносельский, М. А. Положительные решения операторных
уравнений / М. А. Красносельский. – М. : Физматгиз, 1962. – 394 с.
2. Опойцев, В. И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов / В. И. Опойцев // Труды Моск. матем. общества. – 1978. –
Т. 36. – С. 237–273.
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ АППРОКСИМАЦИИ УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА С ПОМОЩЬЮ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА
ГАЛЕРКИНА НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ
Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин
Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева,
г. Саранск, Россия
[email protected], [email protected], [email protected]
Введение
В настоящей статье предлагается новый численный алгоритм решения уравнений диффузионного типа на основе разрывного метода Галёркина [4], который хорошо зарекомендовал себя для решения уравнений Навье-Стокса [5,6,8]. Численный алгоритм рассматривается на при49
мере решения начально-краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности. Численный алгоритм сравнивался с хорошо зарекомендовавшим себя разрывным методом Галёркина со стабилизационными
добавками. На основе разработанного алгоритма находится решение
двумерных задач в том числе с разрывами и показывается хорошая точность предложенного метода.
Описание алгоритма на основе разрывного
метода Галёркина для уравнения теплопроводности
Построение и исследование алгоритма метода решения уравнений
диффузионного типа на основе разрывного метода Галёркина [4] проведем на примере двумерного уравнения теплопроводности:
ρСν
∂u
= div ( k ⋅ grad u ) + f ,
∂t
( x, y ) ∈ G ,
0 < t ≤ T,
(1)
с начальным условием
u ( x, y,0 ) = u0 ( x, y ) ,
и граничным условием
u ( x, y, t ) = g ( x, y, t ) при ( x, y ) ∈ γ , 0 ≤ t ≤ T ,
где Cν – коэффициент теплоемкости при постоянном объеме, ρ - плотность, k – коэффициент теплопроводности, u - температура в точке
( x, y ) в момент времени t , f - плотность тепловых источников, γ - граница области расчета, g ( x, y, t ) , u0 ( x, y ) - заданные функции. Область
G ∪ γ – произвольная односвязная. Для применения метода на основе
разрывного метода Галёркина в области G ∪ γ зададим множество точек
ω p = {Pi = ( xi , yi ), i = 1,2,..., N }, содержащее внутренние и граничные точ-
ки области G . На ω p построим триангуляцию Делоне:
T (ω p ) = {Tk = T (Tk1, Tk2 , Tk3 ), Tk1, Tk2 , Tk3 ∈ ω p , k = 1,2,..., M }.
( )
Пусть T ω p содержит все узлы ω p ; все треугольники Tk имеют ненулевую площадь и пересекаются не более чем по образующим их вершинам или ребрам. В каждом из треугольников определим центр и середины сторон. В треугольнике Tk с вершинами в точках Tk1 : { x1, y1} ,
x +x +x
Tk2 : { x2 , y2 } , Tk3 : { x3 , y3} центр ( xc , yc ) определим как: xc = 1 2 3 ,
3
y + y2 + y3
. Также примем в рассмотрение двойственную сетку,
yc = 1
3
составленную из барицентрических объемов вокруг каждой из точек
50
ω p , образованных отрезками, соединяющими центры треугольников с
серединами сторон (рис. 1). Точка из ω p будет являться центром соответствующей ей ячейки двойственной сетки.
В дальнейших рассуждениях предполагаем, что k - кусочнопостоянная функция. Для аппроксимации уравнения (1) с помощью разрывного метода Галёркина необходимо преобразовать его к системе
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
∂u
Для этого введем дополнительные переменные [5]: wx = k ⋅ ,
∂x
∂u
wy = k ⋅ .
∂y
Тогда уравнение (1) можно переписать в виде:
∂u ∂
∂

ρСν ∂t = ∂x wx + ∂y wy + f , ( x, y ) ∈ G, 0 < t ≤ T ,

∂u

 wx = k ⋅ , ( x, y ) ∈ G, 0 < t ≤ T ,
∂x

∂u

, ( x, y ) ∈ G , 0 < t ≤ T .
w
k
=
⋅
 y
∂y

Рис. 1. Барицентрический объем вокруг вершины I (серый цвет)
и часть барицентрического объема вокруг вершины J (заштрихован)
и две квадратурные точки Гаусса ( A и B ) на ребре треугольника.
51
(2)
( )
На каждом треугольнике Tk ∈ T ω p
приближенное решение (2)
будем искать в виде проекции u на пространство полиномов P1( x, y )
степени 1 в базисе {φi } ∈ P1, i = 0,1,2,
φ0 = 1, φ1 =
x − xc
y − yc
, φ2 =
,
Δx
Δy
где ( xc , yc ) - центр треугольника Tk , Δx, Δy – проекции треугольника на
соответствующие координатные оси.
На каждой ячейке двойственной сетки Dk приближенное решение
(2) будем искать в виде проекции wx , wy на пространство полиномов
P1( x, y ) степени 1 в базисе {ψi } ∈ P1, i = 0,1,2,
x − xcd
y − ycd
ψ 0 = 1, ψ1 =
, ψ2 =
,
Δxd
Δy d
(
где xcd , ycd
) - центр ячейки Dk , Δxd , Δyd - проекции ячейки двойствен-
ной сетки на соответствующие координатные оси.
В каждой ячейке основной и двойственной сетки линейная комбинация базисных функций определяет решение в ячейке:
uk = u0k + u1k
( x − xc ) + u ( y − yc ) , u
2k
Δx
wxk = wx 0 k + wx1k
Δy
ik
= uik ( t ) , ( x, y ) ∈ Tk , i = 0,2,
( x − xcd ) + w ( y − ycd ) ,
Δxd
x 2k
Δyd
wxik = wxik ( t ) , ( x, y ) ∈ Dk , i = 0, 2,
wyk = wy 0 k + wy1k
( x − xcd ) + w ( y − ycd ) ,
Δxd
y 2k
Δyd
wyik = wyik ( t ) , ( x, y ) ∈ Dk , i = 0,2.
Определим коэффициенты разложения uk из условия ортогональности невязки всем пробным функциям φi на каждом треугольнике Tk [6].
2
∂uik
i = 0 ∂t
( ρСν )k 
 φiφmds =  nx wxφmdl +  n y wyφmdl −
Tk
∂Tk
52
∂Tk
−  wxk
Tk
∂φm
ds −
∂x
 wyk
Tk
∂φm
ds +
∂y
 Φ k φmds , m = 0,2.
(3)
Tk
Отсюда получаем систему для определения uik ( t ) . Определим коэффициенты разложения q xk , q yk из условия ортогональности невязки
всем пробным функциям ψi на каждой ячейке двойственной сетки Dk .
2
 wxik  ψiψ mds = 
i =0
∂Dk
Dk
2
 wyik  ψiψ mds = 
i =0
nx kuψ m dl −
∂ψ m
ds , m = 0, 2 ,
∂x
(4)
 k ⋅ uk
∂ψ m
ds , m = 0,2 ,
∂y
(5)
Dk
n y kuψ m dl −
∂Dk
Dk
 k ⋅ uk
Dk
Отсюда получаем систему для определения wxik ( t ) , wyik ( t ) .
Для вычисления интегралов будем использовать квадратурные
формулы Гаусса необходимой точности.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода
по границе треугольника Tk и ячейки двойственной сетки Dk
В случае вычисления интеграла по некоторому отрезку [ a; b ] , т.е.
b

f ( x)dx , необходимо сделать замену вида: t =
a
b−a
a+b
⋅x+
.
2
2
В этом случае получаем:
b

a
b−a
f (t )dt =
⋅
2
1
a+b
b−a
f
⋅
x
+

 dx .
  2
2 
−1
В вычислениях мы использовали двухточечный шаблон.
При этом, в случае, если коэффициент теплопроводности k терпит
разрыв внутри расчетной области, то при вычислении криволинейных
интегралов по границе ячеек двойственной сетки Dk необходимо учитывать интегралы по линиям разрыва (ребрам треугольников внутри
ячейки Dk ) внутри ячейки двойственной сетки:

∂ЛР
nx kuψ m dl =
 nx ( k
)
+ +
u − k −u − ψ m dl =
ЛР
 nx ( k
ЛР
+
)
− k − uˆψ m dl ,
где nx – нормаль, внешняя по отношению к треугольнику с индексом
«+». Потоковое значение uˆ на границе треугольников бралось как полусумма значений в соседних ячейках.
53
Вычисление двойного интеграла по треугольнику Tk и ячейке Dk
Двойной интеграл по ячейке двойственной сетки считаем как сумму двойных интегралов по треугольникам, из которых она состоит.
Следуя работе [7] возьмем три точки на каноническом треугольнике:
2
1
1
1
2
1


t1 :  ξ1 = , η1 =  , ω1 = ; t2 :  ξ2 = , η2 =  , ω2 = ;
3
6
3
6
3
3


1
1
1

t3 :  ξ3 = , η3 =  , ω3 = .
6
6
3

Tk1 :
Значение интеграла по треугольнику с вершинами в точках
{ x1, y1} , Tk2 : { x2 , y2} , Tk3 : { x3 , y3} равно
1 1−ξ
 f ( x, y ) ds = J ⋅  
Tk
0 0
1 3 
f ( ξ, η) d ξd η ≈ J ⋅ ⋅  f ( ξi , ηi ) ωi ,
2 i =1
где J = ( x 1 − x3 )( y2 − y3 ) − ( x 2 − x3 )( y1 − y3 ) – якобиан перехода к каноническому треугольнику, f - значение подынтегральной функции в об-
{
}
разах точек t1 , t2 , и t3 в исходном треугольнике Tk1Tk2Tk3 .
Описание тестовых задач и результаты расчетов
В качестве первой модельной задачи рассматривалась модельная
задача:
∂u ∂ 2u ∂ 2u
, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < t ≤ T ,
=
+
∂t ∂x 2 ∂y 2
u ( x, y,0 ) = sin ( πx ) sin ( πy ) , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,
u ( 0, y, t ) = 0, u (1, y, t ) = 0, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T ,
u ( x,0, t ) = 0, u ( x,1, t ) = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T ,
2
точное решение которой uT = e −2π t sin ( πx ) sin ( πy ) . Расчет производился
до значения T = 0.0002 с одним и тем же числом Куранта.
Результаты работы предлагаемого метода сравнивались с классическим разрывным методом Галёркина со стабилизационными добавкаN
ми [8]. В табл. 1 указано значение погрешности метода
 ( ui − u
i =1
54
2
T
) Si ,
где Si - площадь i -го треугольника. В таблице представлены результаты
работы предлагаемого метода (DG) и классического разрывного метода
Галёркина со стабилизационными добавками (CDG).
Таблица 1
N
Значения погрешности
 ( ui − uT )
2
i =1
Si ,
полученные при решении задачи 1
CDG
N
DG
ошибка
2099
8453
33975
порядок
−7
ошибка
порядок
−6
8.27 ⋅ 10
3.58 ⋅ 10−8
1.50 ⋅ 10−9
4.53
4.58
4.19 ⋅ 10
4.94 ⋅ 10−7
3.58 ⋅ 10−8
2.85
4.02
В качестве второй модельной задачи рассматривалась задача:
∂u ∂  ∂u  ∂  ∂u 
= k  +
k
, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < t ≤ T ,
∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y 
u ( x, y,0 ) = 1 + x + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,
u ( 0, y, t ) = 1 + y, u (1, y, t ) = 2 + y, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T ,
u ( x,0, t ) = 1 + x, u ( x,1, t ) = 2 + x, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T ,
где k = 2 при x ∈ [ 0.25;0.75] , y ∈ [ 0.25;0.75] и k = 1 в противном случае.
Решение сравнивалось с решением u н , полученным по чисто неявной
разностной схеме с помощью метода расщепления [3] на подробной
структурированной сетке. Расчет производился до значения T = 0.0002 с
одним и тем же числом Куранта.
Таблица 2
N
Значения погрешности
 ( ui − u
i =1
N
) Si , полученные при решении задачи 2
CDG
ошибка
DG
порядок
−7
2085
3,46 ⋅ 10
8546
3.13 ⋅ 10−8
1,31 ⋅ 10−8
34049
2
н
ошибка
1,09 ⋅ 10
3.47
1.26
55
порядок
−6
2.17 ⋅ 10−7
9,21 ⋅ 10−8
2.39
1.24
Выводы
Итак, создан новый эффективный алгоритм для решения уравнений диффузионного типа на основе разрывного метода Галеркина. На
примере ряда модельных задач наблюдается хорошее поведение алгоритма в задачах с разрывами и показано, что предложенный алгоритм
обладает устойчивостью и хорошей точностью. Полученное решение
близко к решению по неявной схеме на подробной сетке и разрывному
методу Галёркина со стабилизационными добавками. При этом, в случае
разрывного коэффициента теплопроводности, мы наблюдаем большую
устойчивость предложенного алгоритма по сравнению с разрывным методом Галёркина со стабилизационными добавками.
Список литературы
1. Ладонкина, М. Е. Консервативные схемы для решения уравнений диффузионного типа на основе использования многосеточных методов / М. Е. Ладонкина, О. Ю. Милюкова, В. Ф. Тишкин // Труды Средневолжского математического общества. – 2008. – Т. 10, № 2. – С. 21–44.
2. Масягин, В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного
метода Галёркина для решения двумерных уравнений диффузионного
типа на неструктурированных сетках / В. Ф. Масягин, Р. В. Жалнин,
В. Ф. Тишкин // Журнал Средневолжского математического общества. –
2013. – Т. 15, № 2. – С. 59–65.
3. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. –
М. : Наука, 1989.
4. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина :
пер. с англ. / К. Флетчер. – М. : Мир, 1988. – 352 с.
5. Bassi, F. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element
Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier–Stokes Equations / F. Bassi, S. Rebay // J. Comput. Phys. – 1997. – Vol. 131. – P. 267–
279.
6. Cockburn, B. Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methods for
Convection-Dominated Problems / B. Cockburn, C. W. Shu // J. Sci. Comp. –
2001. – Vol. 3. – P. 173–261.
7. Li, В. Q. Discontinuous finite elements in fluid dynamics and heat
transfer / В. Q. Li. – Berlin : Springer, 2006. – 578 p.
8. Pany, A. K. An hp-Local Discontinuous Galerkin method for Parabolic Integro-Differential Equations / A. K. Pany, S. Yadav. – OCCAM, Report N 09/30.
56
ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
СЛАБО-РЕГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА
И. Р. Муфтахов1, А. Н. Тында2, Д. Н. Сидоров3
1
Иркутский государственный технический университет,
г. Иркутск, Россия
[email protected]
2
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
3
Иркутский государственный университет,
г. Иркутск, Россия
[email protected]
В статье рассматривается программная реализация численного
метода решения слабо-регулярных уравнений Вольтерра I рода
t
 K (t , s) x(s)ds = f (t ),0 ≤ s ≤ t ≤ T , f (0) = 0,
(1)
0
где ядро определено формулой
 K1 (t , s), t , s ∈ m1,

...


 K n (t , s ), t , s ∈ mn ,
mi = {t , s | αi −1(t ) < s < αi (t )}
α 0 (t ) = 0, α n (t ) = t , i = 1, n,
где 0 ≡ α 0 (t ) < α1 (t ) <  < α n −1 (t ) < α n (t ) = t. Функции Ki (t , s) , f (t ) ,
αi (t ) имеют непрерывные производные по t при 0 < t < T , K n (t , t ) ≠ 0.
Функции α1 (t ),, α n −1(t ) возрастают в малой окрестности 0 < t < τ,
αi (0) = 0.
Данные уравнения, у которых пределы интегрирования являются
функциями времени, находят широкое применение для построении
математических моделей, являющихся естественным обощением
моделей развивающихся систем типа В. М. Глушкова [3, 4].
Для построения численного решения уравнения (1) используется
сетка узлов на отрезке [ 0,T ]
0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn = T , h = max(ti − ti −1 ) = Ο( N −1 ).
i =1, n
(2)
Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде
кусочно-постоянной функции
1, t ∈ Δi = (ti −1, ti ]
xN (t ) =  xi δi (t ), t ∈ (0, T ], δi (t ) = 
 0, t ∉ Δi
57
(3)
с коэффициентами xi , i = 1, n.
Приведем полученное значение x0 = x(0)
x0 =
f '(0)
,
n
(4)
 Ki (0,0)[α 'i (0) − α 'i −1(0)]
i =1
а также значение x1
x1 =
f1
n
 (αi (t1) − αi −1(t1)) Ki (t1,
i =1
αi (t1 ) − αi −1(t1)
)
2
.
Уравнение (1) в точке t = tk может быть переписано следующим образом
v1,k −1 t j
 
j =1 t
j −1
K1(tk , s ) x( s )ds +
α1 (tk )
tv

1,k
K1(tk , s ) x( s )ds +
−1
...
tv
+
n −1,k

α n−1 (tk )
K n (tk , s ) x( s )ds +
k

tj

j = v n −1,k +1 t j −1
K n (tk , s ) x( s )ds
Каждый интеграл теперь аппроксимируется по формуле средних
прямоугольников.
На языке Java в среде программирования NetBeans разработана
программная система, реализующая математическую модель (1)
развивающихся динамических систем. Разработанная система позволяет
проводить детальный анализа развития динамических систем (например
ЭЭС) с учетом старения оборудования.
Ниже на рисунке (рис. 1) показано окно работы программы,
которое позволяет вводить различные параметры:
• размерность основной сетки узлов, а также размерность второй
сетки для случая использования алгоритма вычисления попотечной
разности (между двумя сетками с шагом h и шагом h / 2 );
• размерность интервалов;
• аналитическое выражение правой части, точного решения, а
также ядер уравнения (1);
• выбор тестовых примеров для демонстрации работы алгоритма.
Также программный продукт позволяет отображать значение
погрешностей для различных значений размерности сетки и графики
сеточного решения, показанного на рисунке (рис. 2), погрешности, кривых разрыва.
58
Рис. 1 Форма для ввода параметров
Рис. 2 График сеточного и точного решений
Для возможности выполнения анализа полученных результатов
расчетных таблиц и для использования реальных данных из внешних
источников добавлена функция экспорта/импорта расчетной таблицы во
внешние файлы различных форматов, что показано на рисунке (рис. 3).
59
Рис. 3 Форма для экспорта/импорта расчетной таблицы
Список литературы
1. Apartsyn, A. S. Nonclassical Linear Volterra Equations of the First
Kind / A. S. Apartsyn. – The Netherland: VSP, Utrecht-Boston. – 2003. – 168 p.
2. Boikov, I. V. Approximate Solution of Nonlinear Integral Equations
of the Theory of Developing Systems / I. V. Boikov, A. M. Tynda //
Differential Equations. – 2003. – Vol. 9. – P. 1277–1288.
3. Глушков, В. М. Об одном классе динамических
макроэкономических моделей / В. М. Глушков // Управляющие системы
и машины. – 1977. – № 2. – С. 3–6.
4. Глушков, В. М. Моделирование развивающихся систем /
В. М. Глушков, В. В. Иванов, В. М. Яненко. – М. : Наука, 1983.
5. Маркова, Е. В. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода
с
кусочно-непрерывными
ядрами
в
теории
моделирования
развивающихся систем / Е. В. Маркова, Д. Н. Сидоров // Известия
Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 31–45.
6. Sidorov, D. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and
Control / D. Sidorov // World Scientic Series on Nonlinear Science (Series A) /
еdt: Leon O. Chua. Singapore: World Scientic Publ. Pte Ltd. – 2014. –
Vol. 89. – 245 p. (в печати).
7. Sidorov, D. Volterra Equations of the First kind with Discontinuous
Kernels in the Theory of Evolving Systems Control / D. Sidorov // Stud.
Inform. Univ. – 2011. – Vol. 9(3). – P. 135–146.
8. Sidorov, D. N. Solvability of Systems of Integral Volterra Equations
of the First Kind with Piecewise Continuous Kernels / D. N. Sidorov //
Russian Math. – 2013. – № 1. – P. 62–72.
60
МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
АЛГОРИТМОМ ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА И ШАГА1
А. Е. Новиков
Сибирский федеральный университет,
г. Красноярск, Россия
[email protected]
При схемотехническом проектировании радиоэлектронных схем,
моделировании кинетики химических реакций, расчете динамики механических систем и других приложениях возникает проблема решения
задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
[1–2]. Учет большого числа факторов при построении математических
моделей приводит к расширению класса задач, описываемых жесткими
системами [3]. Основные тенденции при построении численных методов
связаны с решением систем большой размерности [4]. Здесь построен
алгоритм переменного порядка и шага на основе стадий метода РунгеКутта-Фельберга седьмого порядка [5]. Приведены результаты расчетов
орегонатора, подтверждающие десятикратное повышение эффективности за счет переменного порядка.
Для численного решения задачи Коши
y′ = f (t , y ) , y (t0 ) = y0 , t0 ≤ t ≤ tk ,
(1)
используются явные формулы типа Рунге-Кутты вида
(
i −1
)
yn +1 = yn +  i =1 pmi ki , ki = hf tn + αi h, yn +  j =1βij k j ,
13
(2)
где h – шаг интегрирования. Коэффициенты αi и βij не приводятся в силу громоздкости. При значениях коэффициентов
p71 = 41 / 840, p72 = p73 = p74 = p75 = 0, p76 = 34 / 105, p77 = p78 = 9 / 35,
p79 = p7,10 = 9 / 280, p7,11 = 41 / 840, p7,12 = p7,13 = 0
(3)
схема (2) имеет седьмой порядок точности. Численная формула (2) с коэффициентами
p81 = p82 = p83 = p84 = p85 = 0, p86 = 34 / 105, p87 = p88 = 9 / 35,
p89 = p8,10 = 9 / 280, p8,11 = 0, p8,12 = p8,13 = 41 / 840
(4)
имеет восьмой порядок. Локальная ошибка δn метода (2), (3) оценивается
по формуле
13
δn =  i =1 ( p8i − p7i )ki .
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14-01-00047).
61
В результате для контроля точности вычислений применяется неравенство |δn|| ≤ ε, где ||•|| – некоторая норма в RN, ε – требуемая точность расчетов. Учитывая, что δn = O(h8), шаг hac по точности выбирается по формуле hac = qh, где q находится из уравнения q8||δn|| = ε. Если q < 1, то происходит повторное вычисление решения (возврат) с шагом h, равным qh.
В противном случае вычисляется приближенное решение, а прогнозируемый шаг вычисляется по формуле hac = qh.
С помощью первых трех стадий метода (2) получена оценка максимального собственного числа матрицы Якоби системы (1), то есть [6]
(12k3 − 18k2 + 6k1 )i
1≤i ≤ N
( k2 − k1 )i
vn = max
.
(5)
Тогда для контроля устойчивости метода Фельберга можно применять
неравенство vn ≤ D, где постоянная D = 5 ограничивает интервал устойчивости. Области устойчивости методов седьмого и восьмого порядков
приведены на рис. 1 и 2.
Рис. 1. Область устойчивости метода седьмого порядка
Рис. 2. Область устойчивости метода восьмого порядка
62
Оценка (5) является грубой, потому что: 1) не обязательно максимальное собственное число сильно отделено от остальных, 2) в степенном методе применяется мало итераций, 3) дополнительные искажения
вносит нелинейность задачи (1). Поэтому здесь контроль устойчивости
используется как ограничитель на размер шага интегрирования. В результате прогнозируемый шаг hn+1 вычисляется по формуле
(
)
hn +1 = max  hn , min h ac , h st  ,


(6)
где hac – шаг по точности, hst – шаг по устойчивости, hn – последний
успешный шаг. Данная формула позволяет стабилизировать поведение
шага на участке установления решения, где определяющую роль играет
устойчивость.
На основе стадий численной схемы (2) построен метод первого
порядка точности с более широкой областью устойчивости, коэффициенты которого имеют вид
p1 = −0.38057403389775 , p2 = +0.96333718256431 ⋅ 10−1 ,
p3 = +0.89767190586740 , p4 = +0.38213980246925 ,
p5 = +0.42473101431975 ⋅ 10−2 , p6 = +0.18104880747501 ⋅ 10−3 ,
(7)
p7 = +0.24835399856329 ⋅ 10−6 .
Метод (2), (7) имеет почти максимальный интервал устойчивости,
равный приблизительно 90 . Область устойчивости приведена на рис. 3.
Область устойчивости построенного метода первого порядка точности
по вещественной оси примерно в 18 раз шире области устойчивости
численной схемы (2), (3). Кроме того, метод первого порядка по числу
вычислений правой части задачи (1) почти в два раза дешевле (2), (3).
Поэтому для задач, в которых шаг ограничен в основном по устойчивости, предполагаемое теоретическое повышение эффективности в 36 раз.
Рис. 3. Область устойчивости метода (2), (7)
63
Для контроля точности метода (2), (7) можно применять неравенство
d (1 − 2c2 ) ⋅ k2 − k1 ≤ ε ,
(8)
где d=27/4, ||•|| – некоторая норма в RN, ε – требуемая точность расчетов.
В построенном неравенстве стадия k1 вычисляется в точке tn, а стадия
k2 – в точке (tn+2h/27). Так как ни одна стадия не вычисляется в точке
tn+1, то при быстром изменении решения это может приводить к потере
точности вычислений. Поэтому в алгоритме интегрирование контроль
(8) используется как предварительный. Окончательное решение по точности принимается проверкой неравенства
1 − 2c2 ⋅ hf ( yn +1 ) − k1 ≤ ε .
Использование двух неравенств для контроля точности вычислений позволяет существенно сократить число повторных вычислений решения
вследствие нарушения точности расчетов. Дополнительное сокращение
возвратов достигается выбором d = 1 в формуле (8). Далее, так как интервал устойчивости численной схемы (2), (7) ограничен числом 90, то
для ее контроля устойчивости можно применять неравенство vn ≤ 90, где
vn определяется по формуле (5).
Существенного повышения эффективности можно достигнуть за
счет применения каждого метода на том участке, где он наиболее эффективен. В качестве критерия переключения с метода на метод можно
использовать неравенство для контроля устойчивости. При расчетах по
методу (2), (3) переход на численную схему (2), (7) осуществляется при
нарушении неравенства vn ≤ 5. При расчетах методом первого порядка
обратный переход происходит в случае выполнения vn ≤ 5. Вычисления
методом первого порядка сопровождаюся дополнительным (наряду с
точностью) контролем неравенства vn ≤ 90, а шаг выбирается по формуле
вида (6).
Ниже через Fel7 обозначен алгоритм интегрирования переменного
шага на основе методов Фельберга седьмого порядков, через Fel7st – метод Фельберга с дополнительным контролем устойчивости, а через
Fel7vo – алгоритм переменного порядка и шага. Алгоритм Fel7 взят из
библиотеки NetLib, он применительно к решению нежестких задач широко известен при высокоточных расчетах. Здесь данный метод применяется для решения жесткой задачи. В качестве тестового примера выбрана простейшая математическая модель описания реакции БелоусоваЖаботинского (орегонатор). Задача является слишком жесткой для явных методов, и поэтому для ее решения применяются L-устойчивые методы. Данный пример выбран для того, чтобы продемонстрировать возможность применения явных методов с дополнительным контролем
64
устойчивости, а также алгоритмов переменного порядка и шага для решения достаточно жестких задач.
Простейшая модель реакции Белоусова-Жаботинского имеет вид
y1′ = 77.27( y2 − y1 y2 + y1 − 8.375 ⋅ 10−6 y12 ) ,
y2′ = (− y2 − y1 y2 + y3 ) / 77.27 ,
y3′ = 0.161( y1 − y3 ) , t ∈ [0,300] , h0 = 10−3 ,
y1(0) = 4 , y2 (0) = 1.1 , y3 (0) = 4 .
В качестве критерия эффективности выбрано число вычислений правой
части исходной задачи на интервале интегрирования. Время счета пропорционально данному критерию. Вычислительные затраты приведены
в табл. 1, а поведение y1 от времени – на рис. 4.
Таблица 1
Точность расчетов
Fel7
Fel7st
Fel7vo
10–2
38 429 365
19 836 063
778 253
10–4
38 429 235
19 913 816
830 494
10–6
38 436 138
20 020 143
1 046 225
10–8
38 461 306
20 182 863
1 574 532
Рис. 4. Зависимость переменной y1 от времени (фрагмент)
Использование неравенства для контроля устойчивости фактически не приводит к увеличению вычислительных затрат, потому что
оценка максимального собственного числа матрицы Якоби исходной системы осуществляется через ранее вычисленные стадии и не приводит к
росту числа вычислений функции f. Как правило, для этих целей применяются три первые стадии. Такая оценка получается грубой. Однако
применение контроля устойчивости в качестве ограничителя на рост шага и в качестве критерия выбора численной схемы позволяет избежать
негативных последствий грубости оценки. Применение на участке уста65
новления методов низкого порядка точности с расширенными областями
устойчивости позволяет значительно увеличить размер шага интегрирования без увеличения вычислительных затрат. На переходных участках,
где определяющую роль играет точность вычислений, эффективными
являются методы более высокого порядка точности, но с небольшой областью устойчивости. Комбинирование методов низкого и высокого порядков с помощью неравенства для контроля устойчивости позволяет
значительно повысить эффективность расчетов.
Список литературы
1. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер,
Г. Ваннер. – М. : Мир, 1999. – 685 c.
2. Новиков, Е. А. Компьютерное моделирование жестких гибридных систем / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников. – Новосибирск : Изд-во
НГТУ, 2012. – 450 с.
3. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. – М. :
Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 744 с.
4. Свешников, А. Г. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов,
Ю. Д. Плетнер. – М. : Физматлит, 2007. – 734 с.
5. Fehlberg, E. Klassische Runge–Kutta–Formeln funfter und siebenter
Ordnung mit Schrittweitenkontrolle / E. Fehlberg // Computing. – 1969. –
№ 4. – S. 93–106.
6. Новиков, Е. А. Явные методы для жестких систем / Е. А. Новиков. – Новосибирск : Наука, 1997. – 197 с.
АДАПТИВНЫЙ РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД
ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
В. А. Рязанцев
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
e-mail: [email protected]
Уравнение Гельмгольца является одним из важнейших уравнений
в современной математической физике. Оно возникает при решении задач, связанных процессами массопереноса, а также с установившимися
(тепловыми, электромагнитными и т. д.) колебаниями. Уравнение Гельмгольца находит весьма широкое применение в акустике, оптике, теории
колебаний и др. Частными случаями уравнения Гельмгольца являются
66
такие фундаментальные уравнения, как уравнение Лапласа и уравнение
Пуассона. К уравнению Гельмгольца можно свести всякое эллиптическое уравнение с постоянными коэффициентами [1]. Поэтому представляет значительный практический интерес построение такого метода, который позволил бы находить решение уравнения Гельмгольца с достаточной точностью за приемлемое время. В настоящей работе на основе
принадлежности решений уравнения Гельмгольца, определенных в
ограниченной области, классам Qr , γ и Br , γ , на адаптивной сетке узлов
строится явная разностная схема, которая по сравнению с разностной
схемой на равномерной сетке является значительно более устойчивой, и
при этом позволяет за меньшее число арифметических операций получать приближенное решение уравнения с существенно более высокой
точностью. Настоящую работу можно рассматривать как развитие и
обобщение идей, ранее изложенных в работе [2].
Рассмотрим первую краевую задачу для двухмерного неоднородного
уравнения Гельмгольца в прямоугольной декартовой системе координат:
∂ 2u
∂x
2
+
∂ 2u
∂y
2
− σ2u = f ( x, y ),
(1)
u ( x,0) = u0 ( x).
(2)
в области Ω : {( x, y ), −∞ < x < ∞,0 ≤ y < ∞} . Известно [1], что решение задачи (1)-(2) в области Ω выглядит следующим образом:
+∞
∞ +∞
∂

u ( x, y ) =  u0 (ξ)  G ( x, y, ξ, η)  d ξ −   f (ξ, η)G ( x, y, ξ, η)d ξd η, (3)
 ∂η
 η=0
−∞
0 −∞
где функция Грина G ( x, y, ξ, η) определяется формулой

K0  σ

G ( x, y, ξ, η) =
( x − ξ )2 + ( y − η)2  − K0  σ ( x − ξ )2 + ( y + η)2 

2π

.
Здесь K 0 – функция Макдональда. Можно показать, что решение
(3) задачи (1)-(2) в ограниченной области принадлежит классу функций
Br , γ . В работах [3], [4] описано построение локальных сплайнов, представляющих собой оптимальные по порядку алгоритмы аппроксимации
функций из этого класса. В данной статье узлы упомянутых выше классов применяются для построения адаптивной сетки, лежащей в основе
предлагаемого разностного метода.
Предположим, что в области Ω A, B : {( x, y ), − A ≤ x ≤ A, 0 ≤ y ≤ B}
существует решение u ( x, y ) краевой задачи (1)-(2). Поставим задачу
67
приближенного нахождения значений функции u ( x, y ) в области Ω A, B
разностным методом.
Используемая в методе неравномерная сетка строится следующим
образом. Пусть hx ( j ) – шаг сетки по переменной x , а hy ( j ) – шаг сетки
по переменной y , и j = 1,..., M , где M > 0 – фиксированное целое число.
В работах [3], [4] при построении аппроксимаций область Ω разбивается на меньшие подобласти Δ j , которые определяются формулой
2 j − M ≤ ρ ( ( x, y ), ∂Ω ) ≤ 2 j − M +1 , j = 1,..., M , и Δ 0 , которая определяется
формулой 0 ≤ ρ ( ( x, y ), ∂Ω ) ≤ 2− M , где ρ ( ( x, y ), ∂Ω ) обозначает расстояние между точкой ( x, y ) и границей ∂Ω области Ω . В соответствии с
этим, определим переменные шаги hx ( j ) и hy ( j ) следующим образом.
hx ( j ) = 2 j − M −1,
hy ( j ) = 2 j − M −1.
(4)
В каждом из узлов ( xi , y j ) построенной таким образом неравномерной сетки запишем следующую разностную аппроксимацию:
1  ui +1, j − ui, j ui , j − ui −1, j 
−

+
hx ( j )  hx ( j )
hx ( j ) 
+
 ui, j +1 − ui, j ui , j − ui, j −1 
2
2
−

 − σ ui, j = fi , j ,


hy ( j + 1) + hy ( j )  hy ( j + 1)
hy ( j ) 
где ui, j = u ( xi , y j ) и
(5)
fi, j = f ( xi , y j ) . Из формулы (4) следует, что
hy ( j + 1) = 2hy ( j ). Учитывая это, упростим левую часть (5):
ui +1, j − 2ui, j + ui −1, j
hx2 ( j )
+
ui, j +1 − 3ui, j + 2ui , j −1
3hy2 ( j )
− σ2ui, j = fi , j ,
откуда выразим в явном виде значение ui, j +1 , в результате чего получим:
(
)
ui , j +1 = 3hy2 ( j ) fi , j + σ2ui , j + 3ui, j −
2
 hy 
−2ui, j −1 − 3   ui +1, j − 2ui, j + ui −1, j .
 hx 
(
)
(6)
Вычисления по расчетной формуле (6) начинаем со слоя j = 2 по
переменной y . Нетрудно заметить, что для начала счета необходимо знать
не только значения сеточной функции на слое j = 0 , которые находятся из
граничного условия (2), но и значения функции на слое j = 1 . Эти значения
68
в общем случае находятся приближенно посредством вычисления интегралов в правой части (3) по одной из квадратурных формул.
Замечание 1. Для вычисления упомянутых интегралов необходимо
продолжить функции u0 ( x) и f ( x, y ) с интервала − A ≤ x ≤ A на всю
числовую ось −∞ < x < ∞ . В частности, продолжить эти функции можно
нулем или средним значением по интервалу x ∈ [ − A, A] .
Замечание 2. Вычисление значений ui,1, i = 0,1,..., N существенно
упрощается, если вместо задачи (1)-(2) рассматривать ее обобщение, получаемое путем добавления к граничному условию (2) еще одного граничного условия
∂u ( x,0)
= u1( x).
∂y
(7)
В этом случае значения ui ,1 рассчитываются из значений
ui,0 = u0 ( xi ) по следующей формуле:
ui,1 = u0,i + hx (1)u1( xi ), i = 0,1,..., N .
(8)
Замечание 3. Вследствие значительной сложности в использовании описанного выше разностного алгоритма с удвоением шагов hx и
hy на каждом слое по y более целесообразным является реализация алгоритма с удвоением шагов hx и hy после каждых l слоев по переменной y .
Для иллюстрации работоспособности и эффективности предложенного разностного алгоритма был решен следующий модельный
пример.
Пример. Решается следующая краевая задача.
∂ 2u
∂x 2
+
∂ 2u
∂y 2
u ( x,0) =
−u =
1
1+ x
,
2
(
)
2e − y 3 x 2 − 1
1 + 3x 2 + 3x 4 + x6
,
1
∂u ( x,0)
.
=−
∂y
1 + x2
Точным решением рассматриваемой задачи является функция
u ( x, y ) =
e− y
1 + x2
.
Вектор S = [ p, q ] определяет структуру неравномерной сетки: через каждые p слоев по переменной y шаги по обеим переменным увеличиваются в q раз. Погрешности вычислений ε адапт. и ε равн. на адап-
69
тивной и равномерной сетках соответственно рассчитываются как максимум модуля разности точного и приближенного значений неизвестной
функции в узлах соответствующей сетки. Результаты расчетов приведены в табл. 1.
Таблица 1
A
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
B
0.2
0,4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
M
43
43
43
43
43
43
43
43
43
43
N
150000
150000
150000
150000
150000
150000
150000
150000
150000
150000
S
[3, 2]
[3, 2]
[3,2]
[3,2]
[3,2]
[3,2]
[3,2]
[3,2]
[3,2]
[3,2]
ε адапт.
ε равн.
0.00494
0.00984
0.0147
0.01954
0.02434
0.02911
0.03386
0.03858
0.04328
0.04795
921541897.989
4.3·1026
2.4·1039
1.2·1049
6.8·1056
1.8·1063
5.7·1068
3.5·1073
6.1·1077
3.9·1081
Список литературы
1. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 576 с.
2. Бойков, И. В. Об одном разностном методе продолжения потенциальных полей / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2014. – № 2. – С. 19–32.
3. Бойков, И. В. Дискретные модели продолжения потенциальных
полей / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, В. И. Крючко, А. В. Филиппов //
Геофизический журнал. – 2007. – Т. 29, № 4. – С. 67–82.
4. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2007. – 236 с.
АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ
СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Д. В. Тарасов, Е. С. Тарасова
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected], [email protected]
Сингулярные интегралы (интегралы типа Коши) охватывают
огромный круг задач механики разрушений, например, задачи расчета
70
полей напряжений, смещений, и коэффициента концентрации напряжений для разных типов трещин [1]. Сингулярные интегральные уравнения
является особым типом интегральных уравнений, и находят широкое
применение в решении краевых задач [2–4], и, конечно же, моделировании, например, в таких областях знаний как теория упругости, аэродинамика и др. [5–7]. И вопросы построения оптимальных квадратурных
формул для вычисления сингулярных интегралов [8], а также разработка
эффективных численных методов решения сингулярных интегральных
уравнений являются актуальными задачами. Значительные достижения в
этой области связаны со следующими именами Н. И. Мусхелишвили
[1, 4], И. В. Бойков [8–10], Ф. Д. Гахов [2], Н. П. Векуа [3]. И. К. Лифанов [11].
Основные определения и построение вычислительной схемы
Рассмотрим интеграл
b

a
g (τ)d τ
, t ∈ ( a, b ) ,
τ−t
который не может быть вычислен ни в смысле Римана, ни в смысле Лебега. Данный интеграл называют сингулярным (особым) интегралом и
для того, чтобы придать смысл этому расходящемуся интегралу, его
следует понимать в смысле главного значения по Коши, что и стало одним из первых методов его регуляризации.
Определение. Главным значением по Коши сингулярного интеграла называется предел
t −ε g (τ)d τ b g (τ)d τ 
g (τ)d τ
lim  
+ 
,
 τ − t = ε→
τ−t
τ−t 
0
a
t +ε
a

b
(1)
где t ∈ ( a, b ) .
Рассмотрим теперь сингулярное интегральное уравнение вида:
1

−1
g (τ)d τ
= f (t ), t ∈ ( −1,1) .
τ−t
(2)
в котором f (t ) принадлежит классу Гельдера H α ( M ) . В уравнении (2)
будем полагать, что функция g (τ) задана в виде
g ( τ) =
h(τ)
1− τ
2
.
Замечание. Значение функции g (τ) не могут быть вычислены в
граничных точках τ = ±1 , поэтому при решении уравнения (2) можно от-
71
ступить на достаточно малую величину ε > 0 внутрь отрезка, т.е. перейти к отрезку [ −1 + ε,1 − ε ] .
Подобные уравнения часто используются при моделировании и
для них, конечно же, существуют численные методы решения [9]. Но
вопросы поиска адаптивных и оптимальных алгоритмов являются актуальными.
Решение сингулярного уравнения (2) будем осуществлять методом
коллокации, согласно которому требуется построить сетки узлов квадратур и коллокации. Для нахождения адаптивной сетки узлов квадратур
построим сначала равномерную сетку w j , j = 0,1, ..., N ( N выбираем
произвольно): из значений функции w(τ) =
1
2
(по оси Oy ), где
1− τ
τ∈ [ −1 + ε,1 − ε ] . Минимальное значение функции w(τ) равно wdown = 1
1
при τ = 0 , максимальное – wup =
при τ = ±(1 − ε) . Далее каждо2
2ε − ε
му значению w j
w j = wup − j
( wup − wdown ) ,
N
j = 0,1, ..., N
сопоставим значение абсциссы t j :
t0 = − w−1( wup ) = − w−1( w0 ) = −(1 − ε) , t1 = − w−1( w1) , …, t N = − w−1 ( wN ) = 0 ,
t N +1 = w−1( wN −1) , …, t2 N −1 = w−1( w1 ) , t2 N = w−1( wup ) = w−1 ( w0 ) = 1 − ε .
τ2 − 1
где w (τ) =
.
τ
Каждый из сегментов segment k = [tk , tk +1 ] , k = 0,1, ..., 2 N − 1 разобьем дополнительно внутренней равномерной сеткой узлов:
– сегмент segment 0 = [t0 , t1 ] разбиваем на 20 ⋅ m частей;
−1
– сегмент segment1 = [t1, t2 ] разбиваем на 21 ⋅ m частей;
…
– сегмент segment N −1 = [t N −1, t N ] разбиваем на 2 N −1 ⋅ m частей;
– сегмент segment N = [t N , t N +1 ] разбиваем на 2 N −1 ⋅ m частей;
…
– сегмент segment 2 N − 2 = [t2 N − 2 , t2 N −1 ] разбиваем на 21 ⋅ m частей;
– сегмент segment 2 N −1 = [t2 N −1, t2 N ] разбиваем на 20 ⋅ m частей,
72
где m – произвольно выбираемый параметр (как показали практические
результаты, следует выбирать 0 < m < 4 ).
Все полученные таким образом точки point i и образуют систему
узлов квадратур. А общее число узлов можно вычислить (как сумму
геометрической прогрессии по каждому segment k = [tk , tk +1 ] со знаменателем два) и представить как функцию от N и m
s = S ( N , m) = 2 ⋅
(
b1 1 − q n
1− q
) = 2 ⋅  m ⋅ (1 − 2N )  = 2m 2N − 1 .
( )
 1− 2



Обозначим
отрезок
между
узлами
квадратур
как
Δ k = [point k , point k +1] , k = 0,1, 2, ..., s − 1 .
Приближенное решение g (τ) уравнения (2) будем искать в виде
кусочно-постоянной функции xs (t ) =
s −1
 α k ψ k (t ) ,
k =0
где функция ψ k (t )
равна единице при t ∈ Δ k и равна нулю при t ∈ [−1,1] \ Δ k . Кроме того,
введем еще одну систему узлов – узлов колокации tk* , k = 0,1, ..., s − 1 . Их
выбор описан ниже.
Коэффициенты {α k } , k = 0,1, ..., s − 1 определяются из системы
линейных алгебраических уравнений
s −1
 αk 
k =0
dτ
*
Δ k τ − tl
( )
= f tl* , l = 0,1, ..., s − 1.
(3)
Интегралы в уравнении (3) можно вычислить аналитически. Рассмотрим только случай сингулярного интеграла:

Δk
 tk* −ε
point k +1

dτ
d
d
τ
τ
=
= lim 
+ 
* ε→0  
*
*
τ − tk
τ − tk
τ − tk
tk* +ε
 point k


= lim ln τ − tk*
ε→0 

tk* −ε
point k
+ ln
point k +1 
τ − tk* *

tk +ε


= ln
point k +1 − tk*
point k − tk*
.
(4)
Узлы коллокации традиционно выбираются посередине между узлами квадратур, однако, это приводит к тому, что элементы главной
диагонали матрицы, в полученной СЛАУ, будут обращаться в ноль (см.
соотношение (4)). Обоснование данной схемы решения, да и само решение данной СЛАУ будет в этом случае затруднительным [9]. Поэтому
узлы можно сдвинуть относительно середины отрезка Δ k на некоторую
величину hk (например, hk = 0,1Δ k ). Величина сдвига позволяет полу-
73
чить преобладание диагональных элементов над остальными элементами строк в аппроксимирующей СЛАУ, и использовать для обоснования
метода критерий Адамара [9, 12].
Результаты вычислительного эксперимента
Разработка программы для численного алгоритма решения сингулярных интегральных уравнений осуществлялась в среде Mircosoft Visual 2010 на языке программирования С++. Анализ результатов проводился на следующем модельном примере [13]:
1

−1
Tn (τ)d τ
2
1 − τ (τ − t )
= πU n −1 (t ), t ∈ ( −1,1) ,
(5)
где Tn (t ) – многочлен Чебышева первого рода n -й степени; U n (t ) –
многочлен Чебышева второго рода n -й степени.
T (τ)
Согласно соотношению (2) искомая функция есть g (τ) = n
,
2
1− τ
правая часть f (t ) = πU n −1 (t ) . На рис. 1 приведен график относительной
T (τ)
погрешности для точного решения g (τ) = n
в случае n = 10 при
2
1− τ
параметрах ε = 0,01, N = 6 и m = 1 (общее число узлов коллокации
s = 126 ). На рис. 2 приведены результаты расчетов при использовании
равномерной сетки узлов для такого же точного решения (число узлов
коллокации составляет 98).
Рис. 1. График относительной погрешности в случае адаптивной сетки
74
Результаты работы показали, что метод коллокации может использоваться для нахождения решения сингулярных интегральных уравнений, содержащего особенность на концах отрезка. Однако, для получения «хорошего» приближения на всем этом отрезке необходимо корректно выбрать узлы квадратур и коллокации. Подход, продемонстрированный в данной работе, показал неплохую сходимость приближенного
решения к точному при различных входных параметрах разбиения. Кроме
того, в этом алгоритме имеется много параметров N , m , сдвиг hk , отступ
ε > 0 , изменения которых могут качественно сказаться на результатах
численного решения.
Рис. 2. График относительной погрешности в случае равномерной сетки
Список литературы
1. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. – М. : Наука, 1966. – 700 с.
2. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М. : Наука, 1963. –
640 c.
3. Векуа, Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и
некоторые граничные задачи / Н. П. Векуа – М. : Наука, 1970. – 380 c.
4. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения /
Н. И. Мусхелишвили. – М. : Наука, 1968. – 612 с.
5. Линьков, А. М. Комплексный метод граничных интегральных
уравнений теории упругости / А. М. Линьков – СПб. : Наука, 1999.
6. Лаврентьев, М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы / М. А. Лаврентьев // Труды ЦАГИ. – 1932. – Т. 118. –
С. 3–56.
75
7. Эшли, Х. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / Х. Эшли , М. Лэндал – М. : Машиностроение, 1969. – 129 с.
8. Бойков, И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов / И. В. Бойков. – Саратов :
Изд-во Саратов. гос. ун-та, 1983. – 210 с.
9. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных
интегральных уравнений / И. В. Бойков. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. унта, 2004. – 316 с.
10. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных
и гиперсингулярных интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во Пенз.
гос. ун-та, 2005. – 360 с.
11. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и
численный эксперимент / И. К. Лифанов – М. : Янус, 1995. – 520 с.
12. Тарасов, Д. В. Приближенные методы решения сингулярных
интегральных уравнений / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов // Труды Средневолжского математического общества. – Саранск, 2007. – Т. 9, № 2. –
С. 25–31.
13. Erdogan F. On the numerical solution of singular integral equations
/ F. Erdogan, G. D. Gupta // Quat. J. Appl. Math. – 1972. – Vol. 22, Jan. – P.
525–534.
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВОЛЬТЕРРА I РОДА С РАЗРЫВНЫМИ ЯДРАМИ
А. Н. Тында, П. А. Богинская
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
E-mail: [email protected]
1. Введение
Работа посвящена численному решению интегральных уравнений
I рода следующего вида
n αi ( t )
 
i =1α
Ki (t , s ) x( s )ds = f (t ), t ∈ [0, T ],
i −1 (t )
где
α 0 (t ) ≡ 0, α 0 (t ) < α1 (t ) <  < α n (t ) ≡ t , f (0) = 0.
76
(1)
Предполагается, что ядра Ki (t , s ) и правая часть f (t ) в уравнении
(1) являются непрерывными и достаточно гладкими функциями.
Функции αi (t ) ∈ C1[0, T ] и являются неубывающими. Кроме того
α '1 (0) ≤ α '2 (0) ≤  ≤ α 'n−1 (0) < 1.
Уравнение (1) может быть переписано в виде
t
K (t , s) x(s)ds = f (t ),
t ∈ [0, T ],
(2)
0
где ядро K (t , s ) терпит разрывы I рода на конечном числе линий
αi (t ), i = 1,2,, n − 1, и имеет вид
 K1(t , s ), при α0 (t ) ≤ s ≤ α1 (t );
 K (t , s ), при α (t ) < s ≤ α (t );

1
2
K (t , s ) =  2
...
 K n (t , s ), при α n −1 (t ) < s ≤ α n (t ).
(3)
Интегральные уравнения Вольтерра I рода имеют большое
количество естественнонаучных приложений (см., например, [1, 5]) и
имеют тесную связь с уравнениями, описывающими развивающие
системы [2, 4]. К классу интегральных уравнений с разрывными ядрами
приводят ряд физических и биологических моделей [3].
Вместе с тем известно, что решения интегральных уравнений первого рода могут быть неустойчивыми, и задача обращения таких уравнений относится к некорректным. Это связано с тем, что оператор, порожденный левой частью уравнения, отображает рассматриваемое пространство решений не на все это пространство, а на его узкую часть. Поэтому обратный оператор не ограничен. Поэтому необходимо оценивать
близость решений и близость правых частей в разных метриках (близость правых частей должна быть в более сильной метрике).
Более того, как показано в [3], решения уравнений вида (1) могут
содержать произвольные постоянные и быть неограниченными при
t → 0 . В [3] также исследованы вопросы существования, единственности
и асимптотического поведения решений уравнений такого типа.
При численном решении классических интегральных уравнений
Вольтерра I рода известны несколько подходов. Один из них состоит в
применении классических регуляризирующих алгоритмов, разработанных для интегральных уравнений Фредгольма I рода. Однако при
этом задача сводится к решению алгебраических систем уравнений с
полной матрицей, утрачивается важное преимущество уравнений
Вольтерра и происходит существенное увеличение арифметической
77
сложности алгоритмов. Второй подход основан на применении прямой
дискретизации исходных уравнений. Здесь возможно проявление
неустойчивости приближенного решения к погрешностям исходных
данных. Более оптимальным в этом смысле является использование
регуляризирующих свойств прямых методов дискретизации, где роль
параметра регуляризации играет шаг дискретизации, связанный с
ошибкой исходных данных. При этом для аппроксимации интегралов
подходят лишь квадратурные формулы невысокого порядка точности
(формулы прямоугольников и трапеций). Формулы Ньютона-Котеса,
Грегори и др. (порядка 2 и выше) порождают расходящиеся алгоритмы.
Детальное описание регуляризирующих прямых численных алгоритмов
приведено в книге [1].
Необходимо отметить, что применение этих алгоритмов к уравнению (1) в форме (2) весьма затруднительно из-за разрывов ядра (3). Здесь
для корректной аппроксимации интегралов адаптивная сетка при каждом
числе разбиений N должна зависеть от линий разрыва αi (t ) и, соответственно, не может быть привязана к погрешностям исходных данных.
В данной работе предлагается численный метод нахождения приближенного решения уравнения (1), основанный на предварительном
определении двух разгонных значений неизвестной функции и последующем применении специальной регуляризирующей итерационной
процедуры.
2. Описание численного метода
Для построения численного решения уравнения (1) на отрезке
[0, T ] (в условиях существования единственного непрерывного решения)
введем сетку узлов (необязательно равномерную)
0 = t0 < t1 < t2 <  < t N = T , h = max (ti − ti −1) = O( N −1 ).
(4)
i =1, N
Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде
кусочно-постоянной функции
N
xN (t ) = xi δi (t ),
t ∈ (0, T ],
i =1
1,
δi (t ) = 
0,
при t ∈ Δi = (ti −1, ti ];
при t ∉ Δi
(5)
с неопределенными пока коэффициентами xi , i = 1, N .
Для определения значения x0 = x(0) продифференцируем обе
части уравнения (1) по t :
 αi ( t )
∂Ki (t , s )
f ′(t ) =   
x( s )ds +

t
∂
i =1 α (t )
 i −1
n
78

+ α′i (t ) Ki (t , αi (t )) x(αi (t )) − α′i −1(t ) Ki (t , αi −1 (t )) x(αi −1 (t )) 


Из последнего соотношения получаем
x0 =
f ′(0)
n
(6)
.
Ki (0,0) [α′i (0) − α′i −1(0)]
i =1
Здесь предполагается, что компоненты уравнения (1) таковы, что
знаменатель в (6) не обращается в ноль.
Введем далее обозначение f k = f (tk ), k = 1,, N . Для определения коэффициента x1 запишем исходное уравнение в точке t = t1 :
n αi (t1 )
 
i =1α
(7)
Ki (t1, s ) x( s )ds = f1.
i −1 (t1 )
Так как на данном шаге длины всех отрезков интегрирования
αi (t1) − αi −1(t1) в (7) не превосходят h , а приближенное решение
принимает значение x1 , то, применяя квадратурную формулу средних
прямоугольников, имеем
x1 =
f1
n
 α (t ) + α (t ) 
(αi (t1) − αi −1(t1)) Ki  t1, i 1 2 i −1 1 
i =1
.
(8)
Перепишем теперь уравнение (2) в виде
t1
t
K (t , s) x(s)ds = f (t ) − K (t , s) xN (s)ds
t1
(9)
0
t1
и обозначим g (t ) = f (t ) −  K (t , s ) xN ( s )ds .
0
Пусть далее составляющие ядра Ki (t , s ) в рассматриваемых
областях определения являются симметрическими функциями, т.е.
Ki (t , s ) = Ki ( s, t ), i = 1,2,, n.
Для определения значений xk искомого приближенного решения
(5) используем следующий итерационный процесс:
79
x
( m +1)
(t ) = x
( m)


t
( m)

(t ) + γ g (t ) −  K (t , s ) x ( s )ds  ,


t
1


m = 0,1,,
(10)
где γ − положительный параметр регуляризации, m − номер итерации.
Начальное приближение x (0) (t ) определяется из априорных
данных о точном решении (при их наличии) или полагается
x (0) (t ) ≡ g (t ) .
Очевидно, что если полученная таким образом функциональная
последовательность x( m ) (t ) сходится к некоторой функции xγ (t ) , то эта
функция удовлетворяет уравнению (9) при любом γ ≠ 0 .
Значения xk , k = 2,3,, N , определяются затем последовательно
по схеме
xk( m +1)
tk


(m)
(m)

= xk + γ g (tk ) −  K (tk , s ) xN ( s )ds  ,


t1


m = 0,1,.
(11)
При этом для вычисления интегралов в (11) используются составные формулы средних прямоугольников или трапеций, построенные по
вспомогательной сетке узлов, привязанной при каждом конкретном
значении N к линиям αi (t ) разрывов ядра K (t , s ) . Оптимальное
значение параметра регуляризации γ выбирается практическим способом по условию минимальности невязки
ε(Nm) =
n αi ( t )
 
i =1α
(m)
Ki (t , s ) xN
( s )ds − f (t )
i −1 (t )
(12)
C[0,T ]
при достаточно большом m .
Аппробация предложенного метода на ряде модельных задач
показывает его эффективность.
Список литературы
1. Верлань, А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы,
программы / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. – Киев : Наукова Думка,
1986. – 544с.
2. Глушков, В. М. Моделирование развивающихся систем /
В. М. Глушков, В. В. Иванов, В. М. Яненко. – М. : Наука, 1983 – 352с.
3. Сидоров, Д. Н. Методы анализа интегральных динамических
моделей: теория и приложения / Д. Н. Сидоров. – Иркутск : Изд-во ИГУ,
2013. – 293 с.
80
4. Яценко, Ю. П. Интегральные модели систем с управляемой
памятью / Ю. П. Яценко. – Киев : Наукова думка, 1991. – 217 с.
5. Prem K. Kythe. Computational methods for linear integral equations /
Prem K. Kythe, Pratap Puri. – Birkhäuser, 2002. – 508 p.
К ВОПРОСУ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ
А. Н. Тында, Н. В. Козина, И. М. Мойко
Пензенский Государственный Университет
e-mail: [email protected]
1. Постановка задачи
В настоящей работе предлагается два численных алгоритма
решения первой краевой задачи для уравнения Лапласа в круге
∂ 2U ( x, y )
∂x
2
+
∂ 2U ( x, y )
∂y
2
= 0, x 2 + y 2 ≤ R 2 ,
U ( x, y ) Γ = g ( x, y ), Γ = {( x, y ) : x 2 + y 2 = R 2}.
(1)
(2)
Для решения задачи (1)-(2) в настоящее время разработано
достаточно большое количество методов (см., например, [2, 3]). Также
известно аналитическое представление решения в виде тригонометрического ряда и интеграла Пуассона.
Переходя к полярной системе координат x = r cos φ, y = r sin φ ,
перепишем (1)-(2) в виде
∂ 2U (r , φ)
∂r 2
+
1 ∂U (r , φ) 1 ∂ 2U (r , φ)
+ 2
= 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R.
r
∂r
r
∂φ2
U ( R, φ) = f (φ).
(3)
(4)
Тогда, как известно, решение можно представить в виде интеграла
Пуассона
1
U (r , φ) =
2π
2π

0
f (s)
R2 − r 2
R 2 + r 2 − 2rR cos(φ − s )
ds.
(5)
Ниже предлагается два подхода к решению задачи (3)-(4),
основанные на конечно-разностной аппроксимации решения в
81
сочетании с аппроксимацией интеграла Пуассона на границах области
D и на аппроксимации интеграла (5) во всей области.
2. Комбинированная аппроксимация решения
Введем на прямоугольнике D = {(r , φ) : 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R} сетку
узлов
(ri , φ j ), ri =
Ri
2πj
, i = 0, n, φ j =
, j = 0, m,
n
m
(6)
R
2π
, α= .
n
m
На границе r = R прямоугольника D значения U ( R, φ j ) = f (φ j ),
и обозначим h =
j = 0, m, известны из краевого условия (4).
Значение неизвестной функции на границе r = 0 области D
определяем с помощью интеграла
1
U (0, φ j ) =
2π
2π
 f (s)ds,
j = 0, m.
(7)
0
Для вычисления значения интеграла (7) используется составная
квадратурная формула Гаусса.
На левой и правой границах прямоугольника D имеет место
равенство
R 2 − ri2
U (ri ,0) = U (ri ,2π)
2π
2π
f ( s )ds
 R 2 + r 2 − 2r R cos(s) , i = 1, n − 1.
i
0
(8)
i
Подинтегральная функция в (8) неограниченно возрастает в точках
s = 0 и s = 2π при ri → R с уменьшением шага h . Для приближенного
вычисления этого интеграла используются составные формулы типа
Гаусса на сетках, сгущающихся к границам интервала интегрирования.
Введеем далее обозначение U i j = U (r j , φi ) . Аппроксимируя
производные в (3) внутри области D конечными разностями, приходим
к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений U i j , i = 1,2,, m − 1, j = 1,2,, n − 1 .
U i j +1 − 2U i j + U i j −1
h
2
j
j
j
U j +1 − U i j −1 U i +1 − 2U i + U i −1
+ i
+
= 0.
2 2
2r j h
rj α
(9)
Разностная схема (9) аппроксимирует уравнение (3) со вторым
порядком точности по каждой переменной, т.е. погрешность имеет вид
O(h 2 + α 2 ) .
82
Матрица системы (9), состоящей из (n − 1)(m − 1) уравнений, имеет
ленточную структуру (ширина ленты здесь k = 4 ). Это означает, что
расчет по методу Гаусса можно организовать так, чтобы не включать в
него нулевые элементы и сократить объем вычислений до
1 2
k (n − 1)(m − 1) действий [3].
2
Численные результаты
Приведем пример результатов вычислений по предложенной
схеме. Рассмотрим задачу
ΔU ( x, y ) = 0, x 2 + y 2 ≤ 1, U ( x, y ) x2 + y 2 =1 = y 2 .
(10)
Точным решением задачи (10) является функция
1 − x2 + y 2
U ( x, y ) =
.
2
*
Результаты решения модельной задачи (10) приведены в табл. 1,
где ε – максимальная абсолютная погрешность на сетке узлов (6).
Таблица 1
Погрешность решения уравнения (10)
n
m
h
α
ε
5
30
0.2
0.21
0.001436
8
50
0.125
0.126
0.000519
10
60
0.1
0.105
0.000364
15
90
0.067
0.07
0.000167
20
120
0.05
0.052
0.000091
Представленные в табл. 1 результаты подтверждают теоретическую оценку точности предложенной вычислительной схемы.
3. Аппроксимация интеграла Пуассона
В качестве альтернативного подхода к решению задачи (1)-(2)
предлагается строить квадратурные формулы, аппроксимирующие
интеграл (5) во всей области D на сетке узлов (6):
1
U (r j , φi ) =
2π
2π
R 2 − r j2
 f (s) R 2 + r 2 − 2r R cos(φ
j
0
j
i − s)
ds.
(11)
Интеграл (11) может иметь особенности при r j → R в точках s ,
таких, что cos(φi − s ) = 1 . Для его вычисления используем специальные
квадратуры на сетках, учитывающих положение особых точек
подинтегральной функции.
83
Результаты решения модельной задачи (10) в среде Maple
приведены в табл. 2, где ε – максимальная абсолютная погрешность на
сетке узлов (6), N – число отрезков разбиения при вычислении
интеграла, l – количество узлов квадратурной формулы.
Таблица 2
Погрешность аппроксимации интеграла (11)
N
l
ε
10
5
3.21e-9
20
5
1.17e-15
50
5
2.91e-26
10
7
2.12e-14
20
7
5.01e-22
50
7
7.19e-35
Заключение
Из проведенного анализа различных модельных задач и представленных результатов видно, что в случае если имеется интегральное
представление решения краевой задачи, то гораздо выгоднее (в плане
точности и быстродействия) строить подходящие квадратурные формулы для его аппроксимации нежели применять конечно-разностную аппроксимацию (где помимо большой арифметической сложности вычислительных схем могут также возникать вопросы устойчивости).
Список литературы
1. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. – М. :
Наука, 1975.
2. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов,
Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М. : Наука, 1987.
3. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. – М. :
Наука, 1978.
ПРЯМЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА
С РАЗРЫВНЫМИ ЯДРАМИ
А. Н. Тында, Е. Н. Малякина
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
e-mail: [email protected]
1. Введение
Объектом численного исследования в данной работе является
интегральное уравнение I рода следующего вида
84
t
K (t , s) x(s)ds = f (t ),
t ∈ [0, T ],
(1)
0
где ядро K (t , s ) терпит конечные разрывы на линиях
i = 1,2,, n − 1, и имеет вид
 K1(t , s ), при α0 (t ) ≤ s ≤ α1 (t );
 K (t , s ), при α (t ) < s ≤ α (t );

1
2
K (t , s ) =  2
...
 K n (t , s ), при α n −1 (t ) < s ≤ α n (t ).
αi (t ),
(2)
Здесь α 0 (t ) ≡ 0, α 0 (t ) < α1 (t ) <  < α n (t ) ≡ t , f (0) = 0.
Предположим, что ядра Ki (t , s ) и правая часть f (t ) в уравнении
(3) являются непрерывными и достаточно гладкими функциями.
Функции αi (t ) ∈ C1[0, T ] и являются неубывающими. Кроме того
α '1 (0) ≤ α '2 (0) ≤  ≤ α 'n−1(0) < 1.
Перепишем уравнение (1) в развернутом виде
α1 (t )
α 2 (t )
0
α1 (t )

K1(t , s ) x( s )ds +

K 2 (t , s ) x( s )ds + 
t
+

K n (t , s ) x( s )ds = f (t ), t ∈ [0, T ],
(3)
α n −1 (t )
Интегральные уравнения Вольтерра I рода имеют большое количество приложений [1, 5] и имеют тесную связь с уравнениями, описывающими развивающие системы [2, 4]. К классу интегральных уравнений с разрывными ядрами приводят ряд физических и биологических
моделей [3]. Вопросы существования, единственности и асимптотического поведения решений уравнений вида (3) исследованы в [3].
К настоящему времени разработано достаточно большое количество методов решения классических уравнений Вольтерра I рода. Эти
методы можно разделить на несколько классов: сведение к уравнениям
II рода, применение регуляризирующих алгоритмов, разработанных для
уравнений Фредгольма, прямая дискретизация и т.д.
Однако применение этих алгоритмов к уравнению (3) весьма
затруднительно из-за разрывов ядра K (t , s ) . Здесь для корректной
аппроксимации интегралов необходимо строить адаптивную сетку в
зависимости от значений функций αi (t ) – линий разрыва ядра уравнения.
85
В данной работе предлагаются прямые численные методы
решения уравнения (1) первого и второго порядка точности, основанные
на кусочно-постоянной и кусочно-линейной аппроксимации точного
решения.
2. Кусочно-постоянная аппроксимация
Для построения численного решения уравнения (3) на отрезке
[0, T ] (в условиях существования единственного непрерывного решения)
введем сетку узлов (необязательно равномерную)
h = max (ti − ti −1) = O( N −1 ).
0 = t0 < t1 < t2 <  < t N = T ,
(4)
i =1, N
Приближенное решение уравнения (3) будем искать в виде
кусочно-постоянной функции
N
xN (t ) = xi δi (t ), t ∈ (0, T ],
i =1
1,
δi (t ) = 
0,
при t ∈ Δi = (ti −1, ti ];
при t ∉ Δi
(5)
с неопределенными пока коэффициентами xi , i = 1, N .
Для определения значения x0 = x(0) продифференцируем обе
части уравнения (3) по t :
n
f ′(t ) = (
αi ( t )

i =1 α (t )
i −1
∂Ki (t , s )
x( s )ds + α′i (t ) Ki (t , αi (t )) x(αi (t )) −
∂t
−α′i −1(t ) Ki (t , αi −1 (t )) x(αi −1(t ))).
Из последнего соотношения получаем
f ′(0)
x0 = n
.
Ki (0,0)[α′i (0) − α′i −1(0)]
(6)
i =1
Здесь предполагается, что компоненты уравнения (3) таковы, что
знаменатель в (6) не обращается в ноль.
Введем далее обозначение f k = f (tk ), k = 1,, N . Для определения
коэффициента x1 запишем исходное уравнение в точке t = t1 :
n αi (t1 )
 
i =1α
Ki (t1, s ) x( s )ds = f1.
(7)
i −1 (t1 )
Так как на данном шаге длины всех отрезков интегрирования
αi (t1) − αi −1 (t1 ) в (7) не превосходят h , а приближенное решение
86
принимает значение x1 , то, применяя квадратурную формулу средних
прямоугольников, имеем
x1 =
f1
n
 α (t ) + α (t ) 
(αi (t1) − αi −1(t1)) Ki  t1, i 1 2 i −1 1 
i =1
.
(8)
Предположим теперь, что уже найдены значения x2 , x3 ,, xk −1 .
Перепишем уравнение (1) в виде
t

K (t , s ) x( s )ds = f (t ) −
tk −1

tk −1
K (t , s ) xN ( s )ds
(9)
0
и потребуем выполнения последнего равенства в точке t = tk :
tk

K (tk , s ) x( s )ds = f k −
tk −1
tk −1

K (tk , s ) xN ( s )ds .
(10)
0
С учетом (5) имеем
tk
xk

t
k −1 j
K (tk , s )ds = f k − 
j =1t
tk −1

K (tk , s )ds.
j −1
Отсюда
t
k −1 j
fk − 
xk =
j =1t

K (tk , s )ds
j −1
.
tk

(11)
K (tk , s )ds
tk −1
tj
При этом для вычисления интегралов вида

K (tk , s )ds в (11)
t j −1
используются составные формулы средних прямоугольников, построенные по вспомогательной сетке узлов, привязанной при каждом
конкретном значении N к линиям αi (t ) разрывов ядра K (t , s ) .
Нетрудно заметить, что погрешность метода имеет вид:
ε N = x(t ) − xN (t )
87
C[0,T ]
1
= O  .
N
(12)
3. Кусочно-линейная аппроксимация
Пусть теперь приближенное решение представляет кусочнолинейную функцию вида
N 

x −x
xN (t ) =   xi −1 + i i −1 (t − ti −1 )  δi (t ), t ∈ (0, T ],
ti − ti −1

i =1 
(13)
где, как и ранее,
1,
δi (t ) = 
0,
при t ∈ Δi = (ti −1, ti ];
при t ∉ Δi
Коэффициенты xi , i = 1, N , приближенного решения подлежат
определению. Определив по формуле (6) коэффициент x0 и учитывая
равенство (10), получим
tk

tk −1


xk − xk −1
( s − tk −1 )  K (tk , s )ds =
 xk −1 +
tk − tk −1


t
k −1 j


x j − x j −1
x
(
s
t
)
+
−
j −1  K (tk , s ) ds.
  j −1 t j − t j −1
j =1t

j −1 
= fk − 
Отсюда, исключая xk , имеем
xk = xk −1 +
tk

f −x
k −1  K (tk , s ) ds −
 k
tk −1
( s − tk −1 ) K (tk , s )ds 
1
1
tk − tk −1
tk

tk −1
tj
t

x j − x j −1 j


( s − t j −1) K (tk , s )ds   ,
−   x j −1  K (tk , s )ds +

t j − t j −1

j =1
t j −1
t j −1


k −1
(14)
где k = 1,2,, N .
Все интегралы, входящие в (14), аппроксимируются с помощью
квадратурных формул средних прямоугольников, построенных на
вспомогательной сетке узлов (так чтобы значения функций αi (t j )
являлись подмножеством множества точек этой сетки при каждом
конкретном значении N ).
Погрешность метода при такой аппроксимации имеет вид:
88
ε N = x(t ) − xN (t )
C[0,T ]
 1 
= O  2 .
N 
(15)
4. Экспериментальная часть
Проиллюстрируем работу предложенных методов на примере
следующего модельного уравнения
t
9
2t
9
4t
9
t
9
9
9
13t 4
547t 3
 (1 + t − s) x(s)ds −  x(s)ds − 2  x( s)ds +  x(s)ds = 26244 + 2187 , (16)
t
2t
4t
0
точным решением которого является функция x* (t ) = t 2 , t ∈ [0,1] .
Результаты решения модельной задачи (16) при использовании
равномерной сетки приведены в табл. 1, в которой приняты следующие
обозначения: N – число узлов сетки, h – шаг сетки,
εi = xN (t ) − x* (t )
C[0,1]
– норма погрешности при кусочно-постоянной
аппроксимации ( ε1 ) и кусочно-линейной аппроксимации ( ε 2 ).
Таблица 1
Погрешность решения уравнения (16)
N
h
ε1
ε2
10
0.1
0.11
20
0.05
0.07
50
0.02
0.027
100
0.01
0.012
500
0.002
0.0025
1000
0.001
0.0011
2000
0.0005
0.00045
10000
0.0001
1.49e-4
0.012
0.004
0.0011
0.00046
3.34e-5
1.73e-5
3.88e-6
3.37e-7
Представленные в табл. 1 результаты подтверждают эффективность предложенных алгоритмов.
Список литературы
1. Верлань, А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы,
программы / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. – Киев : Наукова Думка,
1986. – 544 с.
2. Глушков, В. М. Моделирование развивающихся систем /
В. М. Глушков, В. В. Иванов, В. М. Яненко. – М. : Наука, 1983. – 352 с.
3. Сидоров, Д. Н. Методы анализа интегральных динамических
моделей: теория и приложения / Д. Н. Сидоров. – Иркутск : Изд-во ИГУ,
2013. – 293 с.
4. Яценко, Ю. П. Интегральные модели систем с управляемой
памятью / Ю. П. Яценко. – Киев : Наукова думка, 1991. – 217 с.
5. Prem, K. Kythe, Pratap Puri, Computational methods for linear
integral equations / K. Prem. – Birkhäuser, 2002. – 508 p.
89
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НА ОБЪЕМНОМ ТЕЛЕ
И НЕПЕРЕСЕКАЮЩЕМСЯ С НИМ ЭКРАНЕ
А. А. Цупак, А. Н. Черенков
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
1. Постановка задачи дифракции
Пусть в свободном пространстве 3 , однородном с волновым
числом ke , расположено тело Q и непересекающийся с этим телом
экран Ω. Экран Ω представляет собой связную ориентируемую
незамкнутую ограниченную поверхность класса C ∞ , край которой
∂Ω = Ω \ Ω – гладкая кривая класса C ∞ без точек самопересечения;
∂Ωδ = {x ∈ 3 : dist ( x, ∂Ω) < δ} – трубчатые окрестности края экрана.
Тело Q – ограниченная акустически неоднородная область с кусочногладкой границей [1], характеризующаяся функцией k ( x) ∈ C ∞ (Q) ;
всюду в 3 выполняются условия Re k ( x) > 0 и Im k ( x)0.
ik ( αx +β x +γx )
Задача дифракции плоской волны u0 ( x) = e e 1 2 3 (x ∈ 3 )
на системе рассеивателей, состоящей из тела Q и акустически мягкого
экрана Ω заключается в определении полного поля u = u ( x)
(
u ∈ C 2 (∂Q ∪ Ω)c
)  C1 (Qc \ Ω )  C1(Q)δ>0 C ((∂Ωδ )c ),
(1)
удовлетворяющего уравнению Гельмгольца вне экрана и границы тела
(
Δu ( x) + k 2 ( x)u ( x) = 0,
)
c
x ∈ ∂Q ∪ Ω ,
(2)
условиям сопряжения
 ∂u 
[u ] ∂Q = 0,   = 0,
 ∂n  ∂Q
(3)
краевым условиям Дирихле на Ω
u
условиям конечности
пространства
энергии
Ω
= 0,
в
любом
1
u ∈ H loc
(3 )
90
(4)
ограниченном
объеме
(5)
и условиям излучения Зоммерфельда для рассеянного поля us = u − u0 на
бесконечности
∂us
1
= ikeus + o   , при Im ke = 0;
∂r
r
 1 
us (r ) = O  2  ,
r 
(6)
при Im ke > 0; r := x → ∞.
2. Система интегральный уравнений задачи дифракции
Сформулированная краевая задача сводится к системе слабосингулярных интегральных уравнений по объему тела Q и поверхности
экрана Ω .
В статье [2] вводится определение квазиклассического решения
задачи (2)-(6) и доказывается единственность такого решения; там же
исходная задача сведена к системе интегральных уравнений:
(
)
u ( x) −  k 2 ( y ) − ke2 G ( x, y )u ( y )dy −
Q
− G ( x, y )ϕ( y )ds y = u0 ( x),
(
)
x ∈ Q,
Ω
−  k 2 ( y ) − ke2 G ( x, y )u ( y )dy − G ( x, y )ϕ( y )ds y = u0 ( x),
Q
x ∈ Ω. .
(7)
Ω
Систему (7) удобно записать в операторном виде:
( I − A)u + K1ϕ = u0 |Q
,

 K 2u + S ϕ = u0 |Ω
определив интегральные операторы согласно уравнениям:
Au =
 (k
2
Q
(
)
( y ) − ke2 G ( x, y )u ( y )dy, K1ϕ = − G ( x, y )ϕ( y )ds y , x ∈ Q;
Ω
)
K 2u = −  k 2 ( y ) − ke2 G ( x, y )u ( y )dy, S ϕ = − G ( x, y )ϕ( y )ds y , x ∈ Ω.
Q
Ω
Операторы рассматриваются как отображения в пространствах
Соболева (определение пространств на многообразиях с краем дано,
например, в [3])
A:
L2 (Q) → L2 (Q),
K1: H −1/2 (Ω) → L2 (Q),
K 2: L2 (Q) → H 1/2 (Ω), S :
91
H −1/2 (Ω) → H 1/2 (Ω).
В [2] доказано, что система (7) имеет единственное решение,
причем ϕ∈ C ∞ (Ω), а для функции u выполнены условия (1). Из
эквивалентности системы (7) краевой задаче вытекает существование ее
единственного квазиклассического решения.
3. Метод Галеркина. Численные результаты
Приближенные решения f N = (un , ϕm ) рассматриваемой задачи
будем искать в виде:
n
un ( x) = cui vi ( x), x ∈ Q;
i =1
m
ϕm ( x) = cϕi ψi ( x), x ∈ Ω,
(8)
i =1
где cui , cϕi – неизвестные коэффициенты, vi ( x), ψi ( x) – базисные
функции.
Определим функции vi на объемном теле, считая, что Q –
параллелепипед: Q = { x : a1 < x1 < a2 , b1 < x2 < b2 , c1 < x3 < c2 }. Разобьем
Q на элементарные параллелепипеды
{
Π i1i2i3 = x : x1,i1 < x1 < x1,i1 +1, x2,i2 < x2 < x2,i2 + 2 , x3,i < x3 < x3,i
x1,i1 = a1 +
3
}
3 +1
a2 − a1
b −b
c −c
i1, x2,i2 = b1 + 2 1 i2 , x3,i3 = c1 + 2 1 i3 ,
n1
n2
n3
где ik = 0,..., nk − 1, n := n1n2n3 ; тогда
1, x ∈ Π i1i2i3
vi ( x) = vi1i2i3 ( x) = 
.
0,
x
∉
Π
i
i
i

123
Базисные функции
ψi = ψi
1 ,i2
(ik = 0,, mk − 1)
с носителями ωi на плоском экране определяются аналогично.
В [2] доказаны следующие утверждения.
Лемма 1. Кусочно-постоянные базисные функции
vi
удовлетворяют условию аппроксимации в пространстве L2 (Q) ;
функции на экране ψi удовлетворяют условию аппроксимации в
H −1/2 (Ω) .
Теорема 2. Метод Галеркина с выбором базисных функций
(vi , ψ j ) сходится для системы (7).
92
Неизвестные коэффициенты cui , cϕi в разложениях (8) будем
искать согласно методу Галеркина из системы линейных алгебраических
уравнений [ L]u = u0 ; расширенную матрицу системы запишем в
блочном виде
[ A]
 La  = 
  [K2 ]

[ K1]
[S ]
[u0,1] 
.
[u0,2 ]
Элементы матрицы вычисляются согласно методу Галеркина по
формулам:
  (k
[ A]ij = Av j , vi = vol (Π i )δij −
2
( y ) − k02 )G ( x, y )dydx,
Πi Π j
[ K1 ]ij = K1ψ j , vi = − 
 G( x, y)ds y dx,
Πi ω j
[ K 2 ]ij = K 2v j , ψ i = − 
 (k
2
( y ) − k02 )G ( x, y )dyds x ,
ωi Π j
[ S ]ij = S ψ j , ψi = − 
 G( x, y)ds y dsx ,
ωi ω j
[u0,1]i = u0 , vi =
 u0 ( x)dx,
Πi
[u0,2 ]i = u0 , ψi =  u0 ( x)ds x .
ωi
Описанный выше численный метод был программно реализован;
проведен ряд численных экспериментов. Метод Галеркина является
достаточно трудоемким, прежде всего – из-за необходимости
вычислений большого количества многомерных интегралов. В
реализации алгоритма, предложенной авторами, была учтена симметрия
задачи (в силу свойств ядра интегральных операторов основная матрица
СЛАУ является блочно-Теплицевой) – это позволило сократить объем
вычислений и провести эксперименты с достаточно большим числом
базисных функций. В представленной ниже таблице проведено
сравнение времени (в секундах), затрачиваемого на заполнение матрицы
 La  и составляющих ее блоков без учета и с учетом симметрии.
 
На рис. 1, 2 в графической форме представлены результаты приближенного решения системы (7) для следующей задачи: рассеивающая
структура состоит из куба Q = {x ∈ 3 : xi ∈ [0;1]} и расположенного над
ним прямоугольного экрана Ω ; в кубе k ( x) = 2.0 волновое число k0 = 1,
93
а падающее поле имеет вид u0 = eik0 x3 . В методе Галеркина
использованы описанные выше кусочно-постоянные базисные функции
при ni = mk = 10. Изображены значения модулей решения:| ϕ( x) | на
экране и | u ( x) | в пяти горизонтальных сечениях куба (при x3 = 0.16,
x3 = 0.33, x3 = 0.5, x3 = 0.67 и x3 = 0.84 ). Рассмотрено два случая
взаимного расположения экрана и тела.
Таблица 1
Время заполнения блоков
Время заполнения блоков
a
n=8
m=4
n=64
m=16
n=216
m=36
n=512
m=64
n=1000
m=100
[ A] , [ K1] , [ K 2 ] , [ S ] ,  L
 
[ A] , [ K1] , [ K 2 ] , [ S ] ,  La 
 
без учета симметрии, сек.
с учетом симметрии, сек.
0.140
0.000 0.016 0.015 0.171 0.016 0.000 0.000 0.000 0.016
17.72
0.780 0.827 0.062 19.39 0.296 0.062 0.078 0.000 0.436
163.1
6.552 7.971 0.312 177.9 1.778 0.328 0.374 0.000 2.496
479.2
17.56 20.64 0.548
518
8.409 1.295 1.372 0.032 11.12
1883.3 54.75 63.37 1.339
2003
63.21 7.831 8.377 0.109 79.63
Примечание. n – число базисных функций в Q ; m – число базисных
функций в Ω .
Рис.1 Ω = {x : x1, x2 ∈ [0;1], x3 = 1.5}
94
Рис.2 Ω = {x : x1, x2 ∈ [0.7;1.7], x3 = 1.5}
Список литературы
1. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики /
В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1981. – 512 с.
2. Медведик, М. Ю. Скалярная задача дифракции плоской волны
на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / М. Ю.
Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Журнал вычислительной
математики и математической физики. – 2014. – № 8 (в печати).
3. Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и
эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей /
М. С. Агранович. – М. : МЦНМО, 2013. – 379 с.
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТОМОГРАФИИ
Т. В. Черушева, Е. М. Жиганова
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected], [email protected]
Томография – одно из бурно развивающихся направлений в области получения и обработки информации. Томография позволяет заглянуть внутрь наблюдаемого объекта. Основная проблема томографии как по получаемым в томографическом эксперименте проекционным
95
данным (например, по рентгеновским снимкам) "увидеть" внутреннюю
структуру анализируемого объекта. Область математики, в которой разрабатываются методы решения подобных задач, известна как "интегральная геометрия".
Все виды томографии по свойствам изучаемых объектов можно
разделить на два больших класса: трансмиссионную вычислительную
томографию (ТВТ) и эмиссионную вычислительную томографию (ЭВТ).
В ТВТ внешнее излучение зондирует пассивный (неизлучающий) объект, частично поглощаясь им. В ЭВТ активный (излучающий) объект
представляет собой пространственное распределение источников излучения, при этом выходящее вдоль какого-либо направления излучение
является суперпозицией излучений всех источников, лежащих на линии
проецирования.
Решение поставленной задачи сводится к отысканию явной формулы обращения или к поиску преобразования, обратного преобразованию Радона. Впервые формула обращения была получена в статье
Иоганна Радона, опубликованной в 1917 году в Трудах Саксонской академии наук. Однако эта работа была незаслуженно забыта и формула
обращения была открыта заново в 1961 году.
Рассматривается основное уравнение томографии
∞ ∞
 
−∞−∞
f ( τ1, τ2 ) d τ1d τ2
2
(τ1 − x) + (τ2 − y )
2
= S ( x, y ) .
(1)
Построим вычислительную схему для решения уравнения (1).
Пусть функция S ( x, y ) известна в области GT , ограниченной кусочногладким контуром Г. В качестве области GT при рассмотрении задач
томографии естественно взять круг с центром в начале координат. Алгоритм может быть распространен на произвольные односвязные и многосвязные области.
Предположим, что GT – единичный круг с центром в начале координат. Решение (1) будем искать в виде сплайна.
Опишем способ построения сплайнов, определенных в областях
GT . Обозначим через GTk области, элементы которых удовлетворяют
k −1
≤ ρ ( x, 0 ) ≤ k / N , где k = 1, 2,…, N , ρ( x,0) - расстояние
N
от точки x( x = ( x1, x2 )) до начала координат, N - натуральное число.
неравенствам
Каждую из областей GTk , k = 1, 2,…, N , разделим на nk частей Δik .
Для этого на окружности радиуса ρk = k / N возьмем nk равноотстоя1
 2πρk 
+
h
=
1,
. Пусть это будут точки a1k ,…, ankk .
щих точек, где nk = 

N
 h 
96
Через эти точки и начало координат проведем прямые, пересекающие
окружности ρk −1 в точках a1k , … , ankk .
Через Δik обозначим область aik , aik+1, aik+1 , aik , состоящую из дуги
aik , aik+1 окружности ρk , дуги aik+1 , aik окружности ρk −1 и прямых aik , aik
и aik+1, aik+1 , i = 1,2,…, nk , k = 1, 2,…, N .
Функцию f ( t1, t2 ) в области GT аппроксимируем сплайном
f N (t1, t2 ) . Сплайн f N (t1, t2 ) состоит из интерполяционных полиномов
вида
(
)
f N t1, t2 , Δik , i = 1, 2,…, nk , k = 1, 2,…, N .
(2)
(
)
Для построения интерполяционного полинома f N t1, t2 , Δik в каждой области Δik перейдем к полярной системе координат. Пусть полярные координаты областей Δik имеют вид ρk −1 ≤ ρ ≤ ρk , ϕik−1 ≤ ϕ ≤ ϕik .
Пусть r – натуральные числа. Построим интерполяционный полином по
переменным ρ и ϕ и по узлам
ρkj
(
)
ϕik − ϕik−1 j
jh
k ,i
k
= ρk −1 + , j = 1,…, r − 1 и ϕ j = ϕi −1 +
, j = 1,…, r − 1.
r
r
Построенный таким образом интерполяционный полином обозна-
чим через
(
)
f N t1, t2 , Δik ,
а
через
(
)
νi , k , j = ρkj , ϕkj ,i ,
i = 1,2,…, nk ,
k = 1, 2,…, N , j = 1, 2,…, r − 1.
Приступим к построению вычислительной схемы. Педварительно
продифференцируем уравнении (1) по меременным t1, t2 . В результате
имеем
3 
f ( τ1, τ2 )( τ1 − t1 )( τ2 − t2 ) d τ1d τ2
GT
2
2 5
(( τ1 − t1 ) + ( τ2 − t2 ) )
1,1
= S N( ) ( t1, t2 ) .
(3)
Введем параметр η, величина которого будет определена ниже.
h
Отметим, что 0 < η < . Наряду с системой узлов ρkj , ϕkj ,i введем но2r
(
вую систему узлов
)
(ρ ,ϕ ) , определенную формулами ρ
k
j
k ,i
j
k
j
= ρkj + η,
ϕkj , j = ϕkj + η , i = 1, 2,…, nk , k = 1, 2,…, N , j = 1, 2,…, r − 1.
Заменим в уравнении (3) неизвестную функцию f ( t1, t2 ) сплайном
97
f N ( τ1, τ2 )( τ1 − t1 )( τ2 − t2 ) d τ1d τ2
3 
2
1,1
= S N( ) ( t1, t2 ) .
2 5
(( τ1 − t1 ) + ( τ2 − t2 ) )
GT
(4)
Несмотря на то, что функция f N (τ1, τ2 ) терпит разрывы на линиях
сопряжения областей Δik , i = 1, 2,…, nk , k = 1, 2,…, N , интегралы в левой
части уравнения (4) существуют, так как узлы коллокации
2
νikj = (ν1ijk , νijk
)
не лежат на линиях сопряжения областей
Δik ,
i = 1, 2,…, nk , k = 1, 2,…, N .
Каждой точке νikj
поставим в соответствие прямоугольник
2
2
Δikj = [ν1ikj − qh* , ν1ikj + qh*; νikj
− qh* , νikj
+ qh* ] , где q, h* – параметры, та-
h
кие что: 0 < h* < , 0 < q < 1.
2
Приближенное решение уравнения (3) будем искать в виде сплайна f N (t1, t2 ) с неопределенными пока значениями в узлах интерполяции.
Эти значения определяются из системы алгебраических уравнений
(
3 
+3 
 
fN
l =1 m =1 Δikj
)
( ) + (τ − ν ) )
( τ , τ ) ( τ − ν )( τ − ν ) d τ d τ
( τ − ν ) + (τ − ν )
( τ1 − ν1ikj
Δikj
N −1nl −1 '
)(
2
f N ( τ1, τ2 ) τ1 − ν1ikj τ2 − νikj
d τ1d τ2
1
2
1
ikj
2
2
ikj
2
2 2
ikj
2
+
2 2 5
ikj
2
1
ikj
1
1
2
1
2
(
1,1
2
= S ( ) ν1ikj , νikj
) (5)
i = 1, 2,…, nk , k = 1, 2,…, N , j = 1, 2,…, r − 1 ,
где знак
 '
означает суммирование по таким областям Δlm , что
Δikj ∉Δlm .
Интегралы, стоящие под знаком суммы, вычислим, применяя
квадратурную формулу. А для интегралов
J=

Δikj
(
)(
)
2
f N ( τ1, τ2 ) τ1 − ν1ikj τ2 − νikj
d τ1d τ2
(
(
τ1 − ν1ikj
) + (τ − ν
2
2
2 2 5
ikj ) )
Квадратурная формула будет следующей:
98
J = R1 +
r
1
2
hij (ρk , ϕkp , ν1ikj , νikj
)
r

(qh* ) 2 k =0 p = 0 ((ρ − ν1 ) 2 + (ϕk − ν 2 ) 2 )5
k
ikj
p
ikj
Таким образом, мы получаем систему линейных алгебраических
уравнений
1
r
2
hij (ρk , ϕkp , ν1ikj , νikj
)
r

(qh* )2 k =0 p =0 ((ρ − ν1 ) 2 + (ϕk − ν 2 ) 2 )5
k
ikj
p
ikj
+
N −1nk −1 
2
r r
h00 (ρk , ϕkp , ν1ikj , νikj
)
 lm 1 2π
+
a
   00 Nr nr  
k
1
2
2
2
5
l =1 m =1 
k = 0 p = 0 ((ρk − νikj ) + (ϕ p − ν ikj ) )

lm
+ a01
lm
+ a02
2
h01(ρk , ϕkp , ν1ikj , νikj
)
1 2π r r

Nr nr k = 0 p =0
1 2π r r

Nr nr k = 0 p =0
arlm− 2 r − 2
((ρk − ν1ikj )2
+ (ϕkp
2 2 5
− νikj
) )
2
h02 (ρk , ϕkp , ν1ikj , νikj
)
((ρk − ν1ikj ) 2
1 2π r r

Nr nr k =0 p =0
+ (ϕkp
2 2 5
− νikj
) )
+
+ ... +


=
1 2
2 2 5
k
((ρk − νikj ) + (ϕ p − νikj ) ) 

2
h r − 2 r − 2 (ρk , ϕkp , ν1ikj , νikj
)
2
S N(1,1) (ν1ikj , νikj
).
Выбором параметров q, h* можно добиться однозначной разрешимости системы уравнений (5).
Если выбрать такое значение q, h* , при котором для всех l , m, j
выполнялись бы неравенства
2π
r 2nN
2
h(ρl , ϕlm , ν1lmj , νlmj
)
1
(
)
* 5
2qh
>B
n4
Nr 2
(6)
где B – некоторая константа, зависящая от функций h ( τ1, τ2 , t1, t2 ) , то
система (5) по теореме Адамара будет иметь единственное решение.
Предлагаемый алгоритм имеет высокую точность и устойчивость
к возмущениям.
99
Список литературы
1. Гельфанд, И. М. Интегральная геометрия и связанные с ней
вопросы теории представлений : моногр. / И. М. Гельфанд, М. И. Граев,
Н. Я. Виленкин. – М. : Физматгиз, 1962. – 656 с.
2. Календер, В. Компьютерная томография. Основы, техника,
качество изображения и области клинического использования : моногр. /
В. Календер. – М. : Техносфера, 2006. – 344 с.
3. Терещенко С. А. Методы вычислительной томографии : моногр. /
С. А. Терещенко. – М. : Физматлит, 2004. – 319 с.
4. Троицкий, И. Н. Статистическая теория томографии : моногр. /
И. Н. Троицкий. – М. : Радио и связь, 1989. – 240 с.
5. Сизиков, В. С. Математические методы обработки результатов
измерений / В. С. Сизиков. – СПб. : Политехника, 2001. – 240 с.
6. Корнейчук, Н. П. Сплайны в теории приближения / Н. П.
Корнейчук. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984. – 325 с.
100
4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ,
ЭКОЛОГИИ, БИОЛОГИИ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИММУННОГО
ОТВЕТА НА ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
1. Введение
В этой статье исследуются численные методы моделирования иммунных процессов, протекающих в организме при различных внешних
воздействиях.
Рассматриваются следующие математические модели иммунологии с параметрами, зависящими от времени:
1) простейшая (базовая) модель Марчука;
2) простейшая (базовая) модель Марчука с логистическими слагаемыми;
3) модель противовирусного иммунного ответа;
4) модель противобактериального иммунного ответа.
Базовая модель иммунологии описывается системой уравнений
dV (t )
= (β(t ) − F (t ) γ (t ))V (t ) ,
dt
dC (t )
= ξ ( m ) α (t )V ( t − τ ) F ( t − τ ) − μ c (t ) C (t ) − С ∗ ,
dt
(
(
)
)
dF (t )
= ρ(t )C (t ) − μ f (t ) + η(t )V (t ) F (t ) ,
dt
dm(t )
= σ(t )V (t ) − μ m(t )m(t )
dt
(1)
где V(t) – концентрация патогенных размножающихся антигенов; С(t) –
концентрация плазматических клеток; F(t) – концентрация антител;
m(t) – относительная характеристика поражённого органа.
В случае, когда коэффициенты β(t), γ(t), α(t), μc(t), ρ(t), μf(t), η(t),
σ(t), μm(t) не зависят от времени, в книгах [1, 2], доказана однозначная
разрешимость, единственность и неотрицательность решения системы
уравнений (1).
101
В случае, когда коэффициенты системы уравнений (1) зависят от
времени, в работах [3, 4] доказана однозначная разрешимость, единственность и неотрицательность решения системы (1).
Базовая модель иммунологии с логистическими слагаемыми описывается системой уравнений
dV (t )
= (β(t ) − δ ( t )V ( t ) − F (t ) γ (t ))V (t ),
dt
dC (t )
= ξ ( m ) α (t )V ( t − τ ) F ( t − τ ) −
dt
(
)
(
)
2
−μ1c(t ) C (t ) − С ∗ − μ 2c(t ) C (t ) − С ∗ ,
(
)
dF (t )
= ρ(t )C (t ) − μ f 0 (t ) + μ f (t ) F (t ) + η(t ) γ (t )V (t ) F (t ) ,
dt
dm(t )
= σ(t )V (t ) − μ m(t )m(t ) .
dt
(2)
В работах [5, 6] доказана однозначная разрешимость, единственность и неотрицательность системы уравнений (2).
Исследование неотрицательности решений систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, моделирующих иммунный ответ на вирусные и бактериальные заболевания, до настоящего времени не проведено.
Отметим, что неотрицательность решений исходных математических моделей не гарантирует неотрицательности решений численных
моделей.
Так как решения базовой модели иммунологии, базовой модели
иммунологии с логистическими слагаемыми, моделей иммунных ответов на бактериальные и вирусные заболевания должны быть неотрицательны, то необходимо построить численные методы, имеющие только
неотрицательные решения.
2. Вычислительные схемы численного решения
базовой модели иммунологии
Обозначим через X i , i = 1, 2, 3, пространство векторов
x = ( x1, x2 , x3 , x4 ) с нормами
1/2
x 1 = max xi ,
1≤i ≤ 4
 4
2
x 2 =   xi 
 k =1

4
,
x 3 =  xi .
k =1
Обозначим через P[f] проектор, определённый на множестве вещественных функций формулой
102
 f (t ),если f(t) ≥ 0,
P[ f (t )] = 
0,если f (t ) < 0.
Нетрудно видеть, что в пространствах X i , P [ f (t ) ] = 1 , i =1, 2, 3.
i
2.1. Первая вычислительная схема
Для решения системы уравнений (1) воспользуемся модифицированным методом Эйлера.
Обозначим через h шаг по времени, который подбирается таким
образом, чтобы задержка по τ была кратной h: τ = qh.
Системе (1) поставим в соответствие разностную схему
V ((k + 1)h) = P[V (kh) + h(β(kh) − γ (kh) F (kh))V (kh)],
C ((k + 1)h) = P[C (kh) + h(ξ(m(kh))α(kh)V ((k − q)h) F ((k − q)h) −
−μc (kh)(C (kh) − C * ))],
F ((k + 1)h) = P[ F (kh) + h[ρ(kh)C (kh) − (μ f (kh) + η(kh)V (kh)) F (kh)]],
m((k + 1)h) = P[m(kh) + h(σ(kh)V (kh) − μ m (kh)m(kh)]], k = 0,1,...
(3)
Устойчивость решений системы уравнений проводится методами
изложенными в книге [7]. Можно показать, что критерии устойчивости
системы уравнений (3) аналогичны критериям устойчивости решений
системы (1).
Из системы (3) следует, что если в какой-нибудь момент времени
nh V(nh)=0, то V (vh) = 0 при v = n, n + 1,..., и m(kh)=0 при k ≥ n1 ≥ n .
Тогда при k ≥ max(n, n1, n + q) система (2) принимает вид
C ((k + 1)h) = P[C (kh) − h(μc (kh)(C (kh) − C * ))],
F ((k + 1)h) = P[ F (kh) + h(ρ(kh)C (kh) − μ f (kh) F (kh))].
Эта система имеет решение C (kh) = C * , F (kh) = ρ(kh)C * / μ f (kh).
Таким образом, система (3) имеет только неотрицательные решения. При отсутствии антигенов и при условии, что ρ(kh) = μ f (kh) она
имеет неподвижную точку. Если это условие не выполняется, то в системе
происходят динамические процессы, связанные со стабилизацией количества плазматических точек и стремлением к нулю количества антител.
2.2. Вторая вычислительная схема
Рассмотрим систему (1) при начальных условиях:
V (t ) = ϕV (t ), −τ ≤ t < 0, V (0) = V0 , V0 > lim ϕV (t );
t↑0
103
F (t ) = ϕ F (t ), −τ ≤ t < 0, F (0) = F0 , F0 = lim ϕ F (t );
t↑0
C (0) = C0 , m(0) = m0 .
В случае, когда рассматривается лёгкая форма заболевания,
ξ(m) ≡ 1; при тяжёлой форме заболевания ξ(m(t )) является функцией от
m(t).
Систему дифференциальных уравнений (1.1) представим в виде
системы интегральных уравнений Вольтерры.
Рассмотрим промежуток времени 0 ≤ t ≤ τ.
В этом промежутке систему уравнений (1) можно представить в
виде системы интегральных уравнений Вольтерры:
t
V (t ) = V0 +  (β(τ) − γ (τ) F (τ))V (τ)d τ,
0
t
t
C (t ) = C0 −  μc (τ)(C (τ) − C )d τ +  ξ(m(τ))α(τ)ϕV (t − τ)ϕ F (t − τ)d τ,
*
0
0
t
F (t ) = F0 +  (ρ(τ)C (τ) − (μ f (τ) + η(τ)V (τ)) F (τ)d τ,
0
t
m(t ) = m0 +  (σ(τ)V (τ) − μ m (τ)m(τ))d τ, 0 ≤ t ≤ τ.
(4)
0
Систему уравнений (4) будем решать по различным вычислительным схемам.
Пусть tk = k τ / N , k=0,1,…,N.
Функции V (t ), C (t ), F (t ), m(t ) будем искать в виде кусочнопостоянных функций VN (t ), C N (t ), FN (t ), mN (t ) .
Здесь VN (t ) = VN (tk ) при tk ≤ t ≤ tk +1 , k = 0, 1, …, N – 1.
Функции VN (t ), C N (t ), FN (t ), mN (t ) определяются аналогично.
Первая вычислительная схема имеет вид
tl +1
tl +1
k
VN (tk +1 ) = V0 +  V (tl )  β(τ)d τ −  F (tl )V (tl )  γ (τ)d τ,
l =0
l =0
tl
tl
k
tl +1
tk +1
*
C N (tk + 1) = C0 −  C (tl )  μc (τ)d τ +C  μc (τ)d τ +
l =0
tl
0
k
104
tk +1
+  ξ(m(τ))α(τ)ϕV (tk +1 − τ)ϕ F (tk +1 − τ)d τ,
0
tl +1
FN (tk +1 ) = F0 +  C N (tl )  ρ(τ)d τ −
l =0
tl
k
tl +1
tl +1
k
k
−  FN (tl )  μ f (τ)d τ −  VN (tl )FN (tl )  η(τ)d τ,
l =0
l =0
tl
tl
tl +1
tl +1
k
mN (tk +1) = m0 +  V (tl )  σ(τ)d τ −  m(tl )  μ m (τ)d τ.
l =0
l =0
tl
tl
k
(5)
В системе уравнений (5) интегралы вычисляются по квадратурным
формулам, конкретный вид которых зависит от гладкости функций.
Замечание. В случае если коэффициенты системы уравнений (1)
постоянные, то система уравнений совпадает с вычислительной схемой
(2).
После того, как вычислены значения VN (tk ), C N (tk ), FN (tk ),
mN (tk ) , k = 1,2,..., q, по этим значениям в сегменте [0, τ] строятся интерполяционные полиномы VN (t ), C N (t ), FN (t ), m N (t ) q – 1 порядков.
После построения интерполяционных полиномов заканчивается
первый этап.
Замечание. Если число q достаточно велико, то вместо интерполяционных полиномов можно построить сплайны.
Приступим ко второму этапу.
Рассмотрим систему уравнений (1) в промежутке [τ, 2τ]. В качестве начальных значений возьмём:
V (t ) = V (t ), 0 ≤ t ≤ τ, V (t ) = V (t ),
N
q
N
q
F (t ) = FN (t ), 0 ≤ t ≤ τ, F (tq ) = FN (tq ),
C (tq ) = C N (tq ), m(tq ) = m N (tq ).
(6)
Воспользовавшись этими значениями, по аналогии с построением
вычислительной схемы (5) строим вычислительную схему для вычислений на сегменте [τ, 2τ], .
Подобным образом продолжаем построение вычислительных схем
для вычислений на сегментах [kτ, (k+1)τ], k=2,3,…
Как уже отмечалось выше, решением базовой модели иммунологии должны быть неотрицательные функции.
105
В работе [1] доказано, что система уравнений (1) при неотрицательных начальных значениях имеет неотрицательные решения. Однако,
из-за погрешности вычисления интегралов в системе (5) и из-за аппроксимации неизвестных функций кусочно-постоянными функциями, система (5) может иметь отрицательные решения.
Поэтому её нужно модифицировать. Рассмотрим вычислительную
схему
tl +1
tl +1
k
VN (tk +1 ) = P[V0 +  V (tl )  β(τ)d τ −  F (tl )V (tl )  γ (τ)d τ];
l =0
l =0
tl
tl
k
tl +1
tk +1
*
C N (tk +1 ) = P[C0 −  C (tl )  μc (τ)d τ +C  μc (τ)d τ +
l =0
0
tl
k
tk +1
+  ξ(m(τ))α(τ)φV (tk +1 − τ)φ F (tk +1 − τ)d τ];
0
tl +1
FN (tk +1) = P[ F0 +  C N (tl )  ρ(τ)d τ −
l =0
tl
k
tl +1
tl +1
k
−  FN (tl )  μ f (τ)d τ −  VN (tl )  η(τ)d τ];
l =0
l =0
tl
tl
k
tl +1
tl +1
k
mN (tk +1) = P[m0 +  V (tl )  σ(τ)d τ −  m(tl )  μ m (τ)d τ],
l =0
l =0
tl
tl
k
(7)
предназначенную для решения системы уравнений (4) на сегменте [0,τ].
Дальнейшие вычисления проводятся аналогично. Определив
функции VN (t ), C N (t ), FN (t ), m N (t ) на сегменте [kτ, (k+1)τ] по аналогии с определением функций в (6), решаем систему (7) на сегменте
[(k + 1)τ, (k+2)τ].
Пусть коэффициенты системы уравнений (1) принадлежат классу
функций Гёльдера Нα(М), 0 < α ≤ 1.
Тогда точность решения системы уравнений (4) по вычислительным схемам (5) и (7) равна CT α / N α , где Т – промежуток времени, в течении которого исследуется система (1.1)
В случае если коэффициенты системы принадлежат классу Wr(M),
r = 1, 2, …, то погрешность равна СT/N.
Здесь и ниже через С обозначена константа, не зависящая от N.
106
2.3. Третья вычислительная схема
Описанные выше вычислительные схемы (5) и (7) достаточно просто реализуются, но имеют сравнительно невысокую точность. Поэтому
представляет интерес построение более сложной в реализации, но более
точной вычислительной схемы.
Для нахождения решения системы (1.1) в промежутке времени [0,
τ], рассмотрим систему (4).
Пусть tk = k τ / N , k = 1,2,..., N . Через VN (t ), C N (t ), FN (t ), mN (t )
обозначены интерполяционные полиномы N − 1 порядка:
VN (t ) =
C N (t ) =
FN (t ) =
mN (t ) =
N −1
 ul ψl (t ),
l =0
N −1
 cl ψl (t ),
l =0
N −1

l =0
N −1
fl ψl (t ),
 ml ψl (t ),
l =0
где ψl (t ) - фундаментальные полиномы по узлам tl , l = 0,1,…,N - 1; {vl},
{cl}, { fl}, {ml} – неизвестные векторы, подлежащие определению.
Значение {vi },{ci },{ fi },{mi }, i = 0,1,...N − 1 определим из системы
нелинейных алгебраических уравнений.
VN (tk +1 ) = P[V0 +
tk +1

PNτ  K (tk +1, τ) ( β(τ) − γ (τ) )VN (τ) d τ],
0
tk +1

C N (tk +1 ) = P C0 +  PNτ  K (tk +1, τ) μc (τ)(C N (τ) − C * +


0

(
)
 
+ ξ(m(τ))α(τ)ϕ N (tk +1 − τ)ϕ F (t − τ)  d τ  ,
 
t

FN (tk +1) = P  F0 +  PNτ [ K (tk +1, τ) ×

0

× ρ(τ)(C N (τ) − (μ f (τ) + η(τ)VN (τ)) FN (τ)   d τ,

(
)
107
t
mN (tk +1) = P[m0 +  PNτ  K (tk +1, τ) ( σ(τ)VN (τ) − μ m (τ)mN (τ) ) d τ ,
(8)
0
k = 0,1,..., N − 1.
Здесь K (t , τ) = 1 при τ ≤ t , K (t , τ) = 0 при τ > t ; PNτ – оператор проектирования по переменной τ функций, определённых на сегменте [0,τ],
на множество интерполяционных полиномов степени N-1 по узлам tl ,
l = 0,1,..., N − 1.
Система уравнений (8) решается методом Ньютона-Канторовича в
метрике пространства C [ 0, τ] или L2 [ 0, τ] .
В качестве начальных приближений берутся следующие наборы
функций, определённых на сегменте [ 0,τ] :
0
1)VN0 ≡ V0 ; C N0 ≡ C0 ; FN0 ≡ F0 ; mN
≡ m0 ;
0
2)VN0 (t ), C N0 (t ), FN0 (t ), mN
(t ) находятся в результате решения системы уравнений (5) ;
0
2)VN0 (t ), C N0 (t ), FN0 (t ), mN
(t ) находятся в результате решения системы уравнений (7).
Вычислительные схемы (5), (7), (8) были использованы при моделировании иммунного ответа на лёгкую форму заражения.
Аналогичные вычислительные схемы были построены для моделирования иммунных ответов на бактериальные и вирусные инфекции.
Список литературы
1. Марчук, Г. И. Математические модели в иммунологии /
Г. И. Марчук // Вычислительные методы и эксперименты. – М. : Наука,
1991. – 304 с.
2. Белых, Л. Н. Анализ математических моделей иммунологии /
Л. Н. Белых. – М. : Наука, 1988.
3. Бойков, И. В. Устойчивость простейшей математической
модели иммунологии / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2008. – № 4. – C. 32–46.
4. Бойков, И. В. Устойчивость моделей противовирусного и
противобактериального иммунного ответа / И. В. Бойков, Ю. Ф.
Захарова, А. А. Дмитриева // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико - математические науки. – 2008. – № 4. –
C. 47–57.
5. Бойков, И. В. Устойчивость математических моделей противобактериального иммунного ответа / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова,
А. А. Дмитриева, О. А. Будникова // Известия высших учебных
108
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. –
№ 2. – С. 80–89.
6. Бойков, И. В. Устойчивость математических моделей
иммунологии / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева,
О. А. Будникова // Надежность и качество : тр. Междунар. симпозиума. –
Пенза, 2012. – С. 256–259.
7. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных
уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. – 244 с.
УСТОЙЧИВОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ МОРСКОЙ ЭКОЛОГИИ
И. В. Бойков, И. М. Мойко
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
1. Введение
Применение математических методов в биологии и экологии восходит к раннему Возрождению. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в
1202 году дал анализ популяции кроликов, в результате которого в математику введены числа Фибоначчи. Интересно отметить, что числа
Фибоначчи используют во многих разделах математики, включая вычислительную математику.
Более общие математические модели были построены Дж.Борелли
в 1680 году. Среди известных математических моделей экологии необходимо упомянуть модель Т. Мальтуса (1802 г.) и модель Т. Ферхюльста
(1838 г.).
В 1802 году австрийский священник Т. Мальтус опубликовал модель динамики человеческой популяции, описываемую уравнением
dN (t )
= rN (t ) ,
dt
где N (t ) - численность популяции в момент времени t , r - биологический потенциал.
Эта модель была основана на статистическом материале СевероАмериканских штатов и достаточно точно отражала динамику развития
населения в Северо-Американских штатах в начале 19 века.
Однако, эта модель не отражала ограниченности пищевых ресурсов. В 1838 году бельгийский математик Т. Ферхюльст предложил модель, учитывающую ограниченность пищевых и других ресурсов:
109
dN (t )
= rN (t ) − mN 2 (t ) .
dt
Интересно отметить, что основываясь на своих расчетах Т.
Ферхюльст в 40-е году 19 столетия предсказал верхнюю границу численности населения Бельгии равную 9400000. При переписи населения в
1994 году население Бельгии составляло 10 118 000. Это очень хорошее
предсказание на 150 лет!
Несмотря на существование этих и ряда других моделей, становление математической экологии, как науки, обычно датируют 1925 годом, когда А. Лотка и В. Вольтерра представили [1, 2] модель взаимодействия хищника и жертвы.
Система уравнений, предложенная А. Лоткой и В. Вольтерра, имеет вид
 dx(t )
2
 dt = ax(t ) − bx (t ) − cx(t ) y (t )

 dy (t ) = −ey (t ) + c x(t ) y (t )
1

dt
(1)
где y (t ) - плотность хищных рыб, x(t ) - плотность жертв (нехищных
рыб), a, b, c, e, c1 - коэффициенты, не зависящие от времени.
Работы А. Лотки и В. Вольтерра положила начало многочисленным исследованиям. Подробное изложение математических моделей
экологии содержится в книгах [3-8]. В этих работах рассматриваются
модели с постоянными коэффициентами. В статьях [9, 10] исследована
устойчивость некоторых математических моделей экологии с параметрами зависящими от времени.
Приведем обозначения, используемые в статье. Пусть X −
банахово пространство, K − оператор, действующий из X в X . Тогда
B(a, r ) = {x, a ∈ X : x − a ≤ r}, S (a, r ) = {x, a ∈ X : x − a = r}, Λ ( K ) −
логарифмическая норма линейного оператора K , определяемая [11]
выражением
 I + hK  −1
,
h
h↓0
Λ( K ) = lim
где символ h ↓ 0 означает, что h стремится к нулю, убывая.
В монографии [11] показано, что Λ( A) всегда существует (но
может принимать отрицательные значения). Там же приведены
следующие свойства логарифмической нормы:
Λ(αA) = αΛ ( A) α ≥ 0, | Λ ( A) |≤ A ;
Λ( A + B) ≤ Λ ( A) + Λ ( B);| Λ ( A) − Λ( B) |≤ A − B ;
110
Λ( A) + Λ(− A) ≥ 0, e −Λ ( − A) ≤ e A ≤ eΛ ( A) .
Из последнего неравенства вытекает оценка −Λ(− A) ≤ Reλ ≤ Λ ( A)
для всех λ ∈ σ( A).
Для наиболее употребительных норм логарифмическая норма
известна.
Пусть дана вещественная матрица A = {aij }, i, j = 1,2,, n, в n −
мерном пространстве Rn векторов x = ( x1,, xn ) с нормой
1/2
 n

 x 1 =  | xk |, x 2 =   | xk |2 
 k =1

k =1
n
, x 3 = max | xk | .
1≤ k ≤1
Логарифмическая норма матрицы A равна [12]


 A + AT
Λ1( A) = max  a jj +  | aij |  , Λ 2 ( A) = λ max 
 2

j 
ij




 ,



Λ3 ( A) = max  aii +  | aij |  .

i 
ji


В данной работе используется третья норма.
2. Устойчивость математических моделей морской зкологии.
В последнее время модели Лотки - Вольтерра используются для
прогнозирования процессов в морской экологии. В работе [13] утверждается, что согласно экспериментальным данным морская экосистема
между дельфинами-касатками и треской описывается системой уравнений
 dx
3
 dt = αx − βxy − γx ,

 dy = kβxy − my,
 dt
(2)
где γ > 0, слагаемое γx3 описывает внутривидовую борьбу.
Система (2) имеет единственную нетривиальную неподвижную
точку
m * (αk 2β* − γm 2 )
x = , y =
,
kβ
k 2β3
*
у которой положительны x* и y* .
111
В упомянутой выше работе была исследована более модель хищник-жертва, описанная системой уравнений
 dx
αy 

=
x
g
(
x
)
−

,
 dt
1 + ωx 



 dy = y  −d + eαx  ,


 dt
1 + ωx 

(3)
где g ( x),( g ( x) > 0) – плотность жертв в отсутствии хищников, α d , e ω –
положительные коэффециенты.
При условиях eα > ωd , g ( x* ) > 0, система (3) имеет неподвижную
точку
1
d
x* =
, y* = g ( x* ) L + ωx* .
α
eα − ωd
В [13] для системы уравнений (3) была построена функция Ляпунова и доказана устойчивость в целом решения этой системы.
Описанная выше модель имеет четыре существенных недостатков:
1) Коэффициенты системы являются константами, хотя нерест
трески происходит сезонно и, следовательно, коэффициент α должен зависеть от времени. Аналогично и коэффициент k также должен зависеть
от времени;
2) Репродуктивность и жертв и хищников в момент t зависит от их
численности в момент t − τ x и t − τ y соответственно. Здесь τ y время раз-
(
)
вития плода у дельфинов-касаток, τ x – время между нерестом и появлением нового потомства у трески.
3) Помимо трески дельфины-касатки питаются и другой рыбой.
4) Необходимо учитывать мобильность жертв и хищников.
Наиболее существенными являются первые два недостатка.
Для того, чтобы их преодолеть нужно рассмотреть более общие
модели.
Одна из них имеет следующий вид. Для простоты обозначений будем считать, что задержки τ x и τ y связанные с воспроизводством
(
)
потомства одинаковы τ x = τ y = τ и рассмотрим следующую систему
дифференциальных уравнений, связывающую численность жертв и
хищников
 dx(t )
3
 dt = α(t ) x(t − τ) − β(t ) x(t ) y (t ) − c(t ) x(t ) − γ (t ) x (t ),

 dy (t ) = k (t )β(t ) x(t − τ) y (t − τ) − m(t ) y (t ).
 dt
112
(4)
Здесь коэффициент α(t ) характеризует скорость размножения
жертв. Фактически этот коэффициент должен зависеть не только от t ,
но и от состояния экосистемы в период между моментами времени
t − τ и t . Аналогичное замечание относится и к коэффициенту k (t ). Коэффициент β(t ) отражает вероятность встречи хищника и жертвы и существенно зависит от времени, особенно если учесть миграцию трески.
Коэффициенты c(t ) и m(t ) характеризуют естественную гибель жертв и
хищников, а коэффициент γ (t ) характеризует напряженность межвидовой конкуренции.
Исследуем устойчивость невозмущенного решения системы уравнений (4).
(
)
Пусть x* (t ), y* (t ) - невозмущенное решение системы уравнений
(4). Дадим системе в момент времени t0 возмущение, положив
 x(t0 ) = x* (t0 ) + x0 ,

*
 y (t0 ) = y (t0 ) + y0 ,
(5)
где ( x0 , y0 ) - возмущение системы.
Исследуем влияние этого возмущения на решение системы уравнений (4).
Пусть ( x(t ), y (t )) - возмущенное решение системы уравнений (4).
Введем функции u1(t ) и u2 (t ), определив их равенствами
x(t ) = x* (t ) + u1(t ),
y (t ) = y* (t ) + u2 (t ),
Решение системы (4) нужно исследовать отдельно в промежутках
времени t0 ≤ t < t0 + τ; t0 + τ ≤ t < ∞.
В начале рассмотрим промежуток времени t0 ≤ t < t0 + τ.
В этом промежутке система (4) имеет вид
 du1(t )
*
*2
 dt = −(β(t ) y (t ) + β(t )u2 (t ) + c(t ) + 3γ (t ) x (t ) +

+ 3γ (t ) x(t )u1(t ) + γ (t )u12 (t ))u1(t ) − β(t ) x* (t )u2 (t ),

 du (t )
 2 = −m(t )u2 (t ).
 dt
(6)
Возмущения (5) трансформируются в начальные данные
u1(t0 ) = x0 ,

u2 (t0 ) = y0.
113
(7)
Пусть при каждом t , t0 ≤ t < t0 + τ выполнены следующие условия:
−(β(t ) y* (t ) + c(t ) + 3γ (t ) x*2 (t )) ≤ −α(t ) ≤ α < 0,
−m(t ) ≤ α < 0.
Тогда если начальные значения ( x0 , y0 ) достаточно малы:
max( x0 , y0 ) = δ0 , то решение задачи Коши (6), (7) не покидает шара
B(0, δ0 ). Доказательство проведем от противного. Пусть в момент времени T0 траектория решения задачи Коши (6), (7) покидает шар
B(0, δ0 ), проходя через точку (u1(T0 ), u2 (T0 )).
В операторном виде система (6) имеет вид
du (t )
= Au (t ) + F (t ),
dt
(8)
где
u (t ) = (u1(t ), u2 (t )), F (t ) = ( f1(t ), f 2 (t )), A = {aij }, i, j = 1, 2,
a11 = −(β(T0 ) y* (T0 ) + β(T0 )u2 (T0 ) + c(T0 ) +
+3γ (T0 ) x*2 (T0 ) + 3γ (T0 ) x* (T0 )u1 (T0 ) + γ (T0 )u12 (T0 )),
a12 = −β(T0 ) x* (T0 ), a21 = −m(T0 ), a22 = 0,
f1 (t ) = ((β(t ) y* (t ) − β(T0 ) y* (T0 )) + (β(t )u2 (t ) − β(T0 )u2 (T0 )) +
+ (c(t ) − c(T0 )) + (3γ (t ) x*2 (t ) − 3γ (T0 ) x*2 (T0 )) +
+(3γ (t ) x* (t )u1(t ) − 3γ (T0 ) x* (T0 )u1 (T0 )) + ( γ (t )u12 (t ) − γ (T0 )u12 (T0 ))u1(t ) −
−(β(t ) x* (t ) − β(T0 ) x* (T0 ))u2 (t )),
f 2 (t ) = −(m(t ) − m(T0 ))u2 (t ).
Решение задачи Коши (8)-(7) в операторной форме при
T ≤ t ≤ t0 + τ имеет вид
u (t ) = e
A(t −T0 )
t
u0 +
e
A( t − s )
F ( s )ds,
(9)
T0
где u0 = (u1(t0 ), u2 (t0 )) = ( x0 , y0 ).
Нетрудно видеть, что для любого как угодно малого ε (ε > 0)
найдется такое ΔT0 , что при t ∈ [T0 , T0 + ΔT ] F (t ) ≤ ε u (t ) . Переходя в
уравнении (9) к нормам, имеем при t ∈ [T0 , T0 + ΔT ]
114
u (t ) ≤ e
Λ ( A)(t −T0 )
t
u0 + ε  eΛ ( A)(t − s ) u ( s) ds.
T0
Введем функцию ϕ(t ) = e−Λ ( A)t u (t ) . Тогда предыдущее неравенство можно представить в виде
t
ϕ(t ) ≤ ϕ(T0 ) + ε  ϕ( s )ds.
T0
Воспользовавшись неравенством Гронуолла – Беллмана, имеем
ϕ(t ) ≤ ϕ(T0 )eε(t −T0 ) . Возвращаясь к нормам, имеем
x(t ) ≤ e( Λ ( A) +ε)(t −T0 ) x(T0 ) .
(10)
Из определения логарифмической нормы следует, что если
(
)
− β(T0 ) y* (T0 ) + c(T0 ) + 3γ (T0 ) x*2 (T0 ) +
+ β(T0 )δ0 + 3 γ (T0 ) x* (T0 )δ0 + γ (T0 )u12 (T0 ) + β(T0 ) x* (T0 ) < −α < 0
−m(T0 ) < α < 0,
(11)
то Λ( A) < −α < 0 . Следовательно, существует такой промежуток времени [T0 , T0 + Δ1T0 ] при котором Λ( A) + ε < 0.
Из этого неравенства и неравенства (10) следует, что при
t ∈ [T0 , T0 + Δ1T0 ]
x(t ) ≤ x(T0 ) .
Таким образом, получено противоречие и в момент времени
T0 траектория решения задачи Коши (6), (7) не покидает шар B(0, δ0 ).
Так как решение задачи Коши (6), (7) непрерывно при
t0 ≤ t ≤ t0 + T , то оно не покидает шар при t0 ≤ t ≤ t0 + T .
Перейдем к исследованию промежутка времени t0 + τ ≤ t < ∞. В
этом промежутке сказывается эффект запаздывания и уравнения модели
в промежутке времени t0 + τ ≤ t < t0 + 2τ принимают вид
du1(t )
= −(β(t )( y* (t ) + u2 (t )) + γ (t )(3 x*2 (t ) +
dt
+3 x* (t )u1 (t ) + u12 (t )) + c(t ))u1(t ) + α(t )u1 (t − τ) − β(t ) x* (t )u2 (t ),
du2 (t )
= −m(t )u2 (t ) + k (t )β(t )( x* (t − τ) + u2 (t − τ) +
dt
115
+u1(t − τ))u2 (t − τ) + y* (t − τ)u1(t − τ)).
(12)
Будем исследовать решение системы (12) при начальных значениях
(u1(t1), u2 (t1)),
(13)
где t1 = t0 + τ.
Покажем, что при выполнении условий
( (
)
)
− β(t ) y* (t ) − δ0 + γ (t )(3 x*2 (t ) − 3 x* (t )δ0 + δ02 ) +
+c(t ) + α(t ) + β(t ) x* (t ) ≤ −α < 0,


−m(t ) + k (t )β(t )  max x* (t − τ) + δ0 + max y* (t − τ)  ≤ −α < 0,
t1 ≤t ≤t2
 t1 ≤t ≤t2

( (
− β(t ) ( y* (t ) − δ0
)) + γ(t )(3x*2 (t ) − 3x*(t )δ0 + δ02 ) + c(t )) + α(t ) ≤ −α < 0,


−m(t ) + k (t )β(t )  max x* (t − τ) + δ0 + max y* (t − τ)  ≤ −α < 0
t∈[t1 ,t2 ]
 t∈[t1 ,t2 ]

траектория решения задачи Коши (12), (13) не покидает шар B(0, δ0 ).
Предположим противное. Предположим, что траектория решения
задачи Коши (12), (13) в момент времени T1, t1 ≤ T < t2 , t2 = t0 + 2δ, покидает шар B(0, δ0 ).
Для определенности положим, что x1(T1) = δ0 .
Представим систему уравнений (12) при t ≥ T1 в следующем виде
du1(t )
= −(β(t )( y* (t ) + c(t ) + u2 (t )) + γ (t )(3x*2 (t ) + 3 x* (t )u1(t ) +
dt
+u12 (t )))u1 (t ) + α(t )
u1(t − τ)
u1(t ) − β(t ) x* (t )u2 (t ),
u1(t )
du2 (t )
= −m(t )u2 (t ) + k (t )β(t )( x* (t − τ) + u1(t − τ)) ×
dt
×
u2 (t − τ)
u (t − τ)
u1 (t ) + y* (t − τ) 1
u1 (t ).
u1 (t )
u1(t )
(14)
Для того чтобы использовать критерии устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, предложенных в [14, 15], выделим
линейную часть в системе (14). Очевидно, линеаризованная система
имеет вид
(
(
)
du1 (t )
= − β(T1) y* (T1) + u2 (T1) + c(T1) + γ (T1 ) ×
dt
116

u (T − τ)  
×  3x*2 (T1) + 3x* (T1)u1(T1) + u12 (T1) − α(T1) 1 1
  u1 (t ) −
(
)
u
T


1 1
(
)
−β(T1 ) x* (T1)u2 (t ) − (β(t ) y* (t ) + u2 (t ) +

u (t − τ)  
*
+γ (t )  3 x*2 (t ) + 3 x* (t )u1(t ) + u12 (t ) − α(t ) 1
 −  β(T1 )( y (T1 ) + u2 (T1)) +
u1(t )  

+γ (T1)(3 x*2 (T1 ) + 3 x* (T1)u1(T1 ) + u12 (T1) − α(T1 )
(
u1(T1 − τ) 
 u1(t ) −
u1 (T1) 
)
− β ( t ) x∗ ( t ) − β (T1 ) x∗ (T1 ) u2 ( t ) − (c(t ) − c(T1 )),
du2 ( t )

u (T − τ) ∗
u (T − τ) 
= k (T1 ) β (T1 )  x∗ (T1 − τ ) + u1 (T1 − τ ) 2 1
+ y (T1 − τ ) 1 1
×
dt
u1(T1 )
u1(T1 ) 


u (T − τ)
×u1 ( t ) − m (T1 ) u2 ( t ) + (k ( t ) β ( t )  x∗ ( t − τ ) + u1 ( t − τ ) 2 1
+
u1(T1 )

+ y∗ ( t − τ )
u1 (t − τ) 
u2 (T1 − τ)
∗
+
 − k (T1 ) β (T1 ) x (T1 − τ ) + u1 (T1 − τ )
u1 (t ) 
u1 (T1)
(
+ y∗ (T1 − τ )
)
u1(T1 − τ)
)u1 ( t ) .
u1 (T1)
(15)
Система (15) в операторной форме имеет вид
du (t )
= A(T1 )u (t ) + F1 (t ),
dt
(16)
где
A(T1) = {aij (T1)}, i, j = 1,2;

a11(T1) = −  β(T1)( y* (T1 ) + u2 (T1)) + c(T1) + γ (T1 ) ×

 *2
u1(T1 − τ)  
*
2
 3 x (T1 ) + 3 x (T1)u1 (T1) + u1 (T1 ) − α(T1 )
 ,
u
T
(
)


1 1
a12 (T1) = −β(T1) x* (T1),

u (T − τ)
u (T − τ) 
a21(T1) = k (T1 )β(T1 )  x* (T1 − τ) + u1 (T1 − τ) 2 1
+ y* (T1 − τ) 1 1
,
u
(
T
)
u
(
T
)


1 1
1 1
117
a22 (T1) = −m(T1); F1(t ) = ( f1(t ), f 2 (t ) ) .
Построение f1 (t ) и f 2 (t ) очевидно.
Повторяя рассуждения, приведенные при исследовании траектории задачи Коши (6), (7) в промежутке времени t0 ≤ t < t0 + τ, легко убедиться в том, что при выполнении условий
(
(
− β(t )( y* (t ) − δ0 ) + c(t ) + γ (t )( x) 3 x*2 (t ) − 3 x* (t )δ0 + δ02
)) +
+α(t ) + β(t ) x* (t ) ≤ −α < 0;


−m(t ) + k (t )β(t )  max x* (t − τ) + δ0 + max y* (t − τ)  ≤ −α < 0,
t1 ≤t <t2
 t1 ≤t <t2

при t ∈ [t1, t2 ] , логарифмическая норма матрицы A(T1) отрицательная
( Λ( A(T1)) ) ≤ −α) и, следовательно, траектория решения задачи Коши
(2.5),(2.6) не покидает шар B(0, δ0 ) в момент времени T1. Отсюда следует что траектория решения задачи Коши (2.5),(2.6) не покидает шар
B(0, δ0 ) в промежуток времени [t1, t2 ]. Рассматривая последовательно
промежутки времени [t2 , t3 ],[t3 , t4 ] и т.д. убеждаемся, что при выполнении приведенных выше условий траектория решения Коши (12), (13) не
покидает шар B(0, δ0 ) при t ≥ t0 .
Замечание. Выше предполагалось, что траектория решения задачи
Коши (6), (7) покидает шар B(0, δ0 ) в момент времени T1 и x1 (T1 ) = δ0 .
Положим теперь, что x2 (T1) = δ0 . Тогда систему уравнений (6), (7) в интервале времени [T1, T1 + Δ1T1] нужно представить в следующем виде

du1(t )
= −  β(t ) y* (t ) + u2 (t ) + c(t ) + γ (t )(3 x*2 (t ) +
dt

(
)
+3 x* (t )u1 (t ) + u22 (t ))u1 (t ) + α(t )

u1 (t − τ)
u2 (t )  ,
u2 (t )


du2
u (t − τ)
= −m(t )u2 (t ) + k (t )β(t )  x* (t − τ) 2
u2 (t ) +
dt
u
(
t
)
2

+u1(t − τ)

u2 (t − τ)
u (t − τ)
u2 (t ) + y* (t − τ) 1
u2 (t )  .
u2 (t )
u2 (t )

(17)
Повторяя рассуждения, приведенные выше нетрудно видеть, что
система уравнений (17) будет устойчива при выполнении следующих
условий
118
( (
)
)
− β(t ) y* (t ) − δ0 + c(t ) + γ (t )(3 x*2 (t ) − 3 x* (t )δ0 + δ02 ) + α(t ) ≤ −α < 0;
(
)
−m(t ) + k (t )β(t ) x* (t − τ) + δ0 + y* (t − τ) ≤ −α < 0.
Таким образом доказано следующее утверждение.
Теорема. Пусть выполняются следующие условия:
(
)
− β(t ) y* (t ) + c(t ) + 3γ (t ) x*2 (t ) + β(t )δ0 +
+3γ (t ) x* (t )δ0 + γ (t )δ02 + β(t ) x* (t ) ≤ −α < 0,
−m(t ) ≤ −α < 0
при t0 ≤ t ≤ t0 + τ;
( (
)
)
− β(t ) y* (t ) − δ0 + c(t ) + γ (t )(3 x*2 (t ) − 3 x* (t )δ0 + δ02 ) +
+α(t ) + β(t ) x* (t ) ≤ −α < 0,


−m(t ) + k (t )β(t )  max x* (t − τ) + δ0 + max y* (t − τ)  ≤ −α < 0,
tk ≤t ≤tk +1
 tk ≤t ≤tk +1

( (
− β(t ) y* (t ) − δ0
)) + c(t ) + γ(t )(3x*2 (t ) − 3x*(t )δ0 + δ02 ) + α(t ) ≤ −α < 0,


−m(t ) + k (t )β(t )  max x* (t − τ) + δ0 + max y* (t − τ)  ≤ −α < 0
t∈[tk ,tk +1 ]
 t∈[tk ,tk +1 ]

при t ∈ [tk , tk +1], k = 1,2,...
Тогда решение системы уравнений (12), (13) устойчиво и более того возмущенное решение уравнения (4) не покидает δ0 окрестность невозмущенного решения x* (t ), y* (t ).
Cписок литературы
1. Lotka A. J. Elements of Physical Biology. Wiliams and Wilkins,
Baltimore, 1925
2. Volterra V. Variazione e fluttuazini del numero d'individui in specie
animali convinenti// Mem. Accad. Nazionali Lincei ( ser. 6) 1926, 2, p. 31 113.
3. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.
М.: Наука. 1975.
4. Смит Дж. М. Модели в экологии. - М.: Мир. 1976.
5. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих\\
популяций.- М.: Наука. 1985.
119
6. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры
и катастрофы в экологии. М.: Наука. 1987. 368 с.
7. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических
сообществ. М.: Наука. 1978.
8. Мари Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о оделях. М.: Мир. 1983. 396 с.
9. Бойков И.В., Гринченков Г.И. Устойчивость математических
моделей экологии// V Международная научно-техническая конференция
" Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных
и социальных проблем". Сборник статей, Пенза: Приволжский Дом знаний. 2011. С. 9 -17.
10. Бойков И.В., Печникова Н.В. Устойчивость математической
модели Вольтерра с двумя жертвами и одним хищником// VI Международная научно-техническая конференция, 21-25 мая 2012 г. Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных
проблем, сборник статей, Пенза, Приволжский Дом знаний. С. 85 - 93.
11. Далецкий Ю.А., Крейн М.Г. Устойчивость решений
дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. М.: Наука,
1970, 534с.
12. Деккер К., Вербер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты
для жестких нелинейных дифференциальных уравненийю – М.: Мир.
1988. 334 с.
13. Yuejian Jie and YuanYuan Model Stability Analysis of Marine
Ecosystem//International Journal of Biology.2009.V.L,No2.pp22-27
14. Бойков И.В. Об устойчивости решений дифференциальных и
разностных уравнений // ДАН СССР,1990,т.314,N6. С.1298-1300.
15. Бойков И.В. Устойчивость решений дифференциальных
уравнений. Пенза. Изд-во ПГУ 2008. 244с.
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЕЙНСА
Н. Ф. Добрынина, А. А. Журавлёва
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Динамическими моделями экономики называют модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент. Одной из основ теоретических предпосылок динамических моделей экономического роста в зависимости от инвестиций составляет модель Дж. М. Кейнса.
120
1. Динамическая модель Кейнса
Рассмотрим простейшую балансовую модель [1, 2]. Пусть
Y ( t ) , E ( t ) , S ( t ) , I ( t ) – соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t . Тогда справедливы следующие
соотношения:
 Y ( t ) = S ( t ) + I ( t ) + E (t )

,
 S ( t ) = a ( t )Y ( t ) + b ( t )

'
 I ( t ) = k ( t ) Y ( t )
(1.1)
где a ( t ) – коэффициент склонности к потреблению ( 0 < a ( t ) < 1) , b ( t ) –
автономное (конечное) потребление, k ( t ) – норма акселерации. Все
функции, входящие в уравнения (1.1), положительны.
Поясним смысл уравнений (1.1). Сумма всех расходов должна
быть равной национальному доходу – этот баланс отражён в первом
уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве плюс конечное потребление – эти составляющие показаны во втором уравнении.
Размер инвестиций не может быть произвольным, он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется
уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.
Считаем, что функции k ( t ) , a ( t ) , b ( t ) и E ( t ) , являющиеся характеристиками функционирования и развития государства, заданы. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t .
Подставим выражения для S (t ) из второго уравнения и для I ( t ) из
третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных
получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого
порядка для функции Y ( t ) :
Y' =
b (t ) + E (t )
1 − a (t )
Y−
.
k (t )
k (t )
(1.2)
Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи k , a и b постоянными числами. Тогда уравнение (1.2)
упрощается до случая линейного дифференциального уравнения первого
порядка с постоянными коэффициентами:
Y' =
1− a
b+E
Y−
.
k
k
121
(1.3)
В качестве частного решения уравнения (1.3) возьмём так называемое равновесное (стационарное) решение, когда Y ' = 0 , т.е.:
Yp =
b+E
.
1− a
(1.4)
Эта величина положительна. Общее решение однородного уравне1− a 
ния задаётся формулой y = Cexp 
t  , так что общее решение уравk


нения (1.3) имеет вид:
b+E
Y (t ) =
+ Ce
1− a
1− a
t
k .
(1.5)
Интегральные кривые уравнения (1.3) показаны на рис. 1.1. Если в
начальный момент времени Y0 < Y p , то C = Y0 − Y p < 0 и кривые уходят
вниз от равновесного решения (1.4), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи k , a, E и b, так как показатель экспоненты в (1.5) положителен. Если же Y0 > Y p , то C > 0 и национальный доход растёт во времени ˗ интегральные кривые уходят вверх
от равновесной прямой Y = Y p .
Согласно классификации уравнение (1.3) является автономным. На
фазовой плоскости точка Y = Y p представляет собой точку неустойчивого равновесия.
Рис. 1.1. Интегральные кривые уравнения
2. Динамическое программирование. Оптимальное распределение
инвестиций как задача динамического программирования
В ряде реальных экономических и производственных задач необходимо учитывать изменение моделируемого процесса во времени и
122
влияние времени на критерий оптимальности. Для решения этих задач
используется метод динамического планирования (динамическое программирование) [3].
Инвестор выделяет средства в размере D условных единиц, которые должны быть распределены между -предприятиями. Каждое -е
предприятие при инвестировании в него средств x приносит прибыль
ϕi ( x) усл.ед., i = 1, m . Нужно выбрать оптимальное распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающие максимальную прибыль.
Выигрышем W в данной задаче является прибыль, приносимая mпредприятиями.
Построение математической модели.
1. Oпределение числа шагов. Число шагов m равно числу предприятий, в которые осуществляется инвестирование.
2. Определение состояний системы. Состояние системы на каждом
шаге характеризуется количеством средств s , имеющихся в наличии перед данным шагом, s ≤ D .
3. Выбор шаговых управлений. Управление на -м шаге xi , i = 1, m
является количество средств, инвестируемых в i -е предприятие.
4. Функция выигрыша на -м шаге
ϕ i ( xi )
(2.1)
– это прибыль, которую приносит i -е предприятие при инвестировании
m
в него средств xi : W = ϕi xi .
i =1
5. Определение функции перехода в новое состояние.
fi ( s, x ) = s − x.
(2.2)
Таким образом, если в наличие имеются средства в размере s усл.ед., и
в -е предприятие инвестируется x усл.ед., то для дальнейшего инвестирования остается s − x усл.ед.
6. Составление функционального уравнения для i = m .
Wm ( s ) = ϕm ( s ) ,
(2.3)
xm ( s ) = s.
(2.4)
На последнем шаге, т.е. перед инвестированием средств в последнее предприятие, условное оптимальное управление соответствует количеству средств, имеющихся в наличии. Условный оптимальный выигрыш равен доходу, приносимому предприятием.
7. Составление основного функционального уравнения. Подставив
в основное функциональное уравнение динамического программирова123
ния Wi ( S ) = max {ϕi ( s, xi ) + Wi +1 ( fi ( s, xi ) )} выражения (2.1) и (2.2), поxm ∈X
лучаем следующее функциональное уравнение
Wi ( s ) = max {ϕi ( x ) + Wi +1 ( s − x )} .
(2.5)
x≤ s
Оптимальным будет то условное управление x , при котором сумма ϕi ( x ) и Wi +1 ( s − x ) максимальна.
Пример. D = 5000, m = 3. Значение ϕi ( x ) , i = 1,3 заданы в табл. 1.
Для x1 > x2 ϕi ( x1 ) ≥ ϕi ( x1 ) , i = 1,5 .
Проведем условную оптимизацию.
Таблица 1
x , тыс. усл.ед.
ϕ1 ( x ) , тыс. усл.ед.
ϕ2 ( x ) , тыс. усл.ед.
ϕ3 ( x ) , тыс. усл.ед.
1
1,5
2
1,7
2
3
4
5
2
2,5
3
3,6
2,1
2,3
3,5
4
2,4
2,7
3,2
3,5
На каждом шаге оптимизации определяются условные оптимальные управления xi ( s ) и условные оптимальные выигрыши
Wi ( s ) , i = 1,3; s = 1,5 . Для проведения условной оптимизации нами заполнялся ряд вспомогательных таблиц, соответствующих различным значениям s , т.е. различным исходам окончания предыдущего шага
Оптимальная прибыль, приносимая тремя предприятиями при инвестировании в них 5 тыс. усл.ед., равна 6,4 тыс. усл.ед.
W * = W1(5) = 6,4.
Была также проведена безусловная оптимизация:
x* = ( 2;1;2 ) .
Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере
6400 усл.ед. следует по 2000 усл.ед. вложить в первое и третье предприятия и 1000 усл.ед. – во второе предприятие.
Следует понимать, что полученное решение есть лишь некоторое
приближение к оптимальному решению. Его можно улучшить, т.е. приблизить к оптимальному, взяв более мелкий шаг оптимизации, например, вкладывать в предприятия средства, кратные 500 усл.ед.
Хотелось бы отметить, что внешняя среда функционирования
предприятий характеризуется высокой степенью нестабильности и не124
определённости, поэтому необходимо своевременно реагировать на изменяющиеся условия функционирования, как можно более безболезненно к ним приспосабливаться. Для этого потребуется, среди прочих, применение адекватного экономико-математического инструментария.
Список литературы
1. Герасимов, Б. И. Динамические модели : учеб. пособие /
Б. И. Герасимов, Н. П. Пучков, Д. Н. Протасов. – Тамбов : Изд-во ГОУ
ВПО ТГТУ, 2010. – 78 с.
2. Красс, М. С. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании : учебник / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. –
4-е изд., испр. – М. : Дело, 2003. – 688 с.
3. Хазанова, Л. Э. Математическое моделирование в экономике :
учеб. пособие / Л. Э. Хазанова. – М. : БЕК, 1998. – 141 с.
ОБОБЩЕННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА
СТРАТЕГИЙ РАЗВИТИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
И КОМБИНИРОВАННЫХ СХЕМ ФИНАНСИРОВАНИЯ
Н. Ф. Добрынина, В. Ю. Сидоров
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
Основы дифференциального анализа деятельности предприятий
как хозрасчётных единиц заложены в работах, вышедших ещё в 1980 г.
Предложенные методы позволяли исследовать динамику развития предприятия (т.е. проследить достаточно долговременные последствия принятых решений) с помощью дифференциальных уравнений, содержащих
набор наиболее существенных переменных, которые отражают влияние
как внешних факторов (например, динамики инвестиций), так и внутренних характеристик предприятия (себестоимость, фондоотдача и т.д.).
Предприятие представлялось очень упрощённо, с использованием сильно агрегированных показателей, принимались гипотезы о монопродуктивности предприятия, неизменности и единственности применяемой
технологии, что требует в ряде случаев специального обоснования достоверности и применимости получаемых результатов. Наблюдаемые в
настоящее время условия формирующегося рынка, полная экономическая самостоятельность предприятий, новая система взаимосвязей переменных, принципиально иная налоговая система требуют нового этапа
125
исследований для соответствующей адаптации этих методов и, в частности, учёта кредита, налоговых льгот для предприятий и т.п. Предлагаемый инструментальный комплекс состоит из четырёх дифференциальных моделей, и представлен рис. 1. При построении моделей использовался принцип от простого к сложному.
В работе были рассмотрены первые 3 модели, где были показаны
целесообразность такого подхода, факторы, влияющие на динамику развития предприятия, а также составлены экономико-математические модели, которые подробно описывают « поведение» роста предприятия в
зависимости от различных факторов.
В данной же статье мы подробно рассмотрим четвёртую модель,
которая формируется в условиях, близких к первым трём моделям, однако отличающуюся от них по следующим направлениям.
Рис. 1. Характеристика моделей промышленных предприятий
В указанных моделях M1 – М3 предполагалось, что если доля
средств от чистой прибыли M(t) реинвестируемая в развитие промышленного предприятия, составляет величину x , то оставшаяся часть этой
прибыли в размере (1– x)M(t) идёт на потребление. Однако при реализации инвестиционных проектов, а также в условиях привлечения кредитных ресурсов и разных схем их погашения может возникнуть необходимость накопления средств для выполнения определённых обязательств
по погашению кредитной задолженности. В этом случае часть чистой
прибыли в размере (1 – c)(1 – x)M(t) идёт на потребление, а другая –
в размере c(1 – x)M(t), где 0 < c < 1 , идёт на «внешние» вложения с использованием, например, имеющихся в распоряжении промышленного
предприятия финансовых инструментов. Целесообразность подобной
126
процедуры возникает лишь в том случае, когда доходность от используемых финансовых инструментов выше внутренней инвестиционной доходности предприятия.
В данной модели считается, что промышленное предприятие может одновременно использовать четыре различных финансовоинвестиционных источника для своего развития:
а) собственные средства (часть реинвестируемой прибыли);
б) кредиты (предполагается, что кредиты выдаются ежегодно в виде кредитной линии);
в) государственная инвестиционная поддержка (предполагается в
виде государственного субсидирования кредитов – между величиной
кредитов и государственными инвестициями соблюдается известная
пропорциональность на всём рассматриваемом промежутке времени);
г) доход от внешних инвестиций промышленного предприятия (за
счёт части свободной прибыли). В моделях, рассмотренных ранее, учитывается либо один, либо два из перечисленных выше источников финансирования.
Отличительной особенностью данной модели являются также
условия предоставления и погашения кредита. Рассматриваются льготные условия кредитования, характерные именно для среднего и малого
бизнеса: погашение кредита осуществляется из двух источников: проценты включаются в себестоимость, основной долг компенсируется за
счёт внешнего инвестирования. Таким образом, внутренняя инвестиционная программа предприятия xM(t) сохраняется неизменной.
Кроме того, в отличие от моделей М1 – М3, в уравнении динамики
фондов учитывается процесс их выбытия, связанный с моральным и физическим износом. Данная проблема актуальна для всех современных
российских предприятий ввиду значительной изношенности их основных фондов.
С учётом сделанных предположений система соотношений промышленного предприятия для обобщённой адаптированной модели может быть записана следующим образом:
P (t ) = fA(t );
(1)

M об (t ) = (1 − c) P(t ) − s (t );
(2)
M (t ) = M об (t ) − N (t );
(3)
N (t ) = τ1P(t ) + τ2 K Λ (1 − ξ) M (t );
(4)
I (t ) = λK (t );

dA dt = ξ( M (t ) − S ) + (1 + λ) K (t ) − μA(t ) + αδ(t );
t ∈ [0, T ], t 0 ∈ [0,T), ξ ∈ [0,1], K Λ ∈ (0,1];
(5)
127
(6)
δ(t ) = θ '(t );
1, t − t 0 ≥ 0,
θ(t ) = 
0, t − t 0 < 0.


В данной модели используются величины S (t) и s (t) – процентные платежи и размер погашения основного долга соответственно, являются функциями времени и зависят от принятой схемы кредитования;
λ – коэффициент соотношения государственного финансирования I (t) и
объёмов кредитования K(t) , т.е. предполагаем, что государственная
поддержка (инвестирование) пропорциональна кредитам I (t) = λK(t) ,
μ > 0 – коэффициент выбытия основных фондов, где t – время, T – горизонт моделирования.

В соотношении (2) сумма процентов s (t) учитывается в себестоимости продукции таким образом, что общий размер затрат увеличивает

s (t ) 
ся и составляет величину  c +
P (t ) . Отсюда общая прибыль проP(t ) 

мышленного предприятия определяется из следующего соотношения:


s (t ) 

P (t ) −  c +
P(t ) = (1 − c) P(t ) − s (t ) .

P(t ) 

Запишем основное уравнение динамики рассматриваемого объекта, проведя необходимые преобразования. Из соотношений (3) и (4) получим явное выражение для показателя чистой прибыли предприятия
M(t) .

Так как [1 + τ2 K Λ (1 − ξ)]M(t) = (1 − c− τ1 ) P(t) − s(t) , то

(1 − c − τ1) P (t ) − s (t )
M (t ) =
.
(7)
1 + τ2 K Λ (1 − ξ)
Вводя обозначения
a=
(1 − c − τ1)f
1
и b=
1 + τ2 K Λ (1 − ξ)
1 + τ2 K Λ (1 − ξ)
получаем следующую линейную зависимость M(t) от переменных A(t) и
s(t):

M (t ) = aA(t ) − bs(t) .
(8)
Подставив (5) в (2) и обозначив γ = ξa − μ – параметр, определяющий эффективность предприятия и темп его роста, получаем:

dA

= γA(t ) + (1 + λ) K (t ) − ξ(bs (t ) + S (t )) + αδ(t ) .
(9)
dt
128
Решение линейного
дифференциального уравнения (9) зависит от


вида функций K(t) , S (t) и s (t) , определяемых условиями кредитования.
Рассмотрим три типовых схемы, различные комбинации которых
позволяют достаточно полно представить множество условий
предоставления кредитов предприятиям различной формы собственности в реальной экономической практике.
В целях удобства сопоставления схем будем считать общим для
них единый способ формирования кредитных ресурсов для рассматриваемого промышленного предприятия – инвестирование методом «кредитной линии». При этом общий объём выделяемых кредитных ресурсов
K распределён в периоде [0,T] по некоторому известному закону K(t),
отображаемому
соответствующим классом функций (линейная или нелинейная зависимость), а схемы кредитования различаются условиями (механизмами) погашения долга:
– «воздушный шар» (в этой схеме период погашения долга приходится на конец периода кредитования, причём в этот момент предполагается либо единовременное погашение всей задолженности по кредиту,
либо возврат только основного долга, но с процентными выплатами в
течение всего срока кредитования);
– равномерное погашение (функция выплаты долговых обязательств имеет линейный характер);
– «кредитные каникулы» (выплата долговых обязательств начинается с некоторым интервалом).
Особенности условий погашения долговых обязательств отображаются различными функциями D(t) , характеризующими суммы накопленных выплат долга.
Анализ адекватности полученных адаптированных дифференциальных динамических моделей показал, что величина основных фондов
для различных схем финансирования отличается от базовых на величину, равную αθ(t )e(t −t0 ) γ , что говорит о том, что в момент времени t0
происходит изменение значения основных фондов (скачок) на величину
±α (в зависимости от характера изменения). Это позволяет более точно
описать данные динамические модели.
Заметим, что выплата долга по кредиту предполагает наличие у
предприятия достаточных средств. Для оценки достаточности средств в
работе необходимо рассмотреть величину накопленной на конец периода в результате внешнего инвестирования прибыли.
Список литературы
1. Ашманов, С. А. Введение в математическую экономику /
С. А. Ашманов. – М. : Наука, 1984. – С. 296.
129
2. Афанасьев, М. Ю. Исследование операций в экономике /
М. Ю. Афанасьев, Б. П. Суворов. – М. : ИНФРА-М, 2003. – С. 444.
3. Егорова, Н. Е. Динамические модели развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционные ресурсы Н. Е. Егорова. –
С.Р. – С. 44.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮ ГЕНЕТИЧЕСКОГО КОДА
Н. Н. Козлов
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН,
г. Москва, Россия
[email protected]
Представлены результаты исследований по важнейшим преобразованиям, которые осуществляются в клетке живого организма между
главными типами последовательностей - между генами и белками. Как
известно, такое преобразование осуществляется на основе генетического
кода (табл. 1) Причем это преобразование изучается нами как для обычных, так и для особых способов записи генетической информации - центрального объекта первого этапа исследования – перекрывающихся генов; это случаи, когда один и тот же участок ДНК кодирует более одного белка (см. рис. ниже). В ходе проведенных исследований было сформировано новое направление современной биоматематики – математи ческая теория генетического кода.
Первые результаты, были полученных по математическому анализу перекрывающихся генов, принадлежащих одной и той же цепи ДНК.
Анализируется потенциальные позиции молчащих мутаций для парных
генетических перекрытий. Формулируется теорема для перекрывающихся генов. Рассмотрено множество молчащих мутаций (нуклеотидные
замены, не изменяющие оба белка), принадлежащих, прежде всего, двум
группам наборов вирусов: группе HBV и HIV; эти вирусы имеют достаточно протяженные участки генетических перекрытий и широко изучаются специалистами.
Один из центральных результатов проведенного исследования
устанавливает факт существования геномов, у которых для построения
перекрытий генов, требуется полный набор смысловых кодонов - 61 кодон. После этого результата стало ясно, что важнейшим пунктом исследования становится взаимосвязь перекрытий генов и структуры генетического кода. Для поиска потенциальных свойств этой структуры были
130
исследованы полные множества перекрытий генов, принадлежащих одной цепи ДНК.
Таблица 1
Стандартный генетический код
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
Met
Trp
Phe
Tyr
His
Asn
Asp
Cys
Gln
Lys
Glu
Ile
Val
Pro
Thr
Ala
Gly
Ser
Leu
Arg
ter (*)
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
4
4
4
4
6
6
6
3
3
ATG
TGG
TTY
TAY
CAY
AAY
GAY
TGY
CAX
AAX
GAX
ATМ
GTN
CCN
ACN
GCN
GGN
TCN, AGY
CTN, TTX
CGN, AGX
TAX, TGA
Примечание. Для каждой из аминокислот приводятся: 1 – стандартные
трехбуквенные сокращения для 20-и канонических аминокислот, 2 – число кодоновсинонимов, 3 – трехбуквенные нуклеотидные представления кодонов. Обозначение:
X: A, G; Y: T, C; M: Т, C, A; N: A, G ,T, C. В последней строке приводятся три терминаторных кодона - ter, каждый из которых обозначает останов синтеза белка.
Описывается основной инструментарий, который был использован
как при доказательстве основных утверждений для кода стандартного, так
и при анализе кодов, отклоненных от такого кода. Рассмотрение ведется
для пяти случаев парных генетических перекрытий, установленных экспериментально – это все возможные случаи парных перекрытий генов
(рис. 1). Для них было построено пять множеств элементарных перекрытий или перекрытий, соответствующих одиночным аминокислотам. Полный анализ таких множеств, обладающих рядом удивительных свойств,
до конца еще не завершен. Приводится лишь полный перечень всех перекрытий из этих множеств, а также самые общие свойства, использованные при доказательстве ряда утверждений. Формулируется теорема для
генетического кода, из которой следует удивительное свойство, содержащее в структуре кода в неявном виде. Оказывается, что структура
131
стандартного кода такова, что позволяет осуществлять парные перекрытия по каждому из пяти случаев (за небольшим исключением) для любых
аминокислотных последовательностей. Устанавливается также функциональная значимость переосмысленных кодонов: показывается, что структура девиантного кода способна уменьшать размер всего генома.
ПЕРЕКРЫТИЯ ГЕНОВ ИЗ ОДНОЙ ЦЕПИ ДНК
сдвиг - 1
сдвиг + 1
B11→ MetGlyAsn...
B12→AsnGlyGlnGln...
...AATGGGCAACAA...
B21→
MetAlaAla...
B22→...ProTrpLeuLey...
...CCATGGCTGCTC...
1
2
ПЕРЕКРЫТИЯ ГЕНОВ ИЗ РАЗНЫХ ЦЕПЕЙ ДНК
сдвиг - 1
B31→ ...HisGlyArg...
...CCACGGACGC...
...GGTGCCTGCGCA...
...TrpProArgThr...←B32
сдвиг 0
B41→
3
MetGluAsn
...ATGGAGAAT...
...TACCTCTTA...
...HisLeuIle...←B42
4
сдвиг + 1
B51→...AsnPheHisGlu...
...AATTTCCACGAG...
...TTAAAGGTGCTC...
...AsnGlyArg... ←B52
5
Рис. 1. Пять возможных случаев перекрывающихся генов, соответствующих
одной (1,2) либо двум цепям ДНК (3-5). Чтение текстов при этом
осуществляется в разных направлениях (указано стрелкой): слева направо
для В11, В12, В21, В22, В31, В41, В51 и справа налево для В32, В42, В52.
На основе установленной теоремы исследовались интегральные
характеристики ряда генетических кодов. Прежде всего, анализируются
гипотетические коды, которые были образованы как одиночными перестановками в структуре стандартного кода, так и множественными перестановками, приводящими к увеличению интегральной характеристики
почти на порядок, по сравнению со стандартным кодом. Отдельно рас132
сматриваются коды с нулевой интегральной характеристикой. Далее были исследованы все природные генетические коды, известные к настоящему времени и на основе такого исследования было сформулировано
свойство всех природных кодов.
Далее также рассматривались только структурные гены или гены,
кодирующие белки. Причем в отличие от предыдущих результатов анализировались гены, без каких бы то ни было перекрытий, а таких генов –
подавляющее большинство. В самом начале формулируется теорема,
устанавливающая потенциал кода, который может быть использован для
блокировки всех последовательностей, альтернативных гену. Насколько
автору известно это наблюдение генетиков ранее математиками не изучалось. На основе результатов, установленных теоремой, были решены
ряд принципиальных задач. Прежде всего, анализировались все гены из
одной клетки, которые, как известно, записаны различающимися генетическими кодами. В ходе такого анализа была показано, что переосмысленные кодоны могут участвовать в двух функциях: в генетических перекрытиях, которые недопустимы для стандартного кода и в блокировке генов. Результат получен для клетки человека и клетки медоносной пчелы. Это потребовало расчетов по большим геномам, которые
показали, что введенные блокировочные характеристики носят индивидуальных характер для каждого организма. Поэтому помимо указанных
организмов были проведены расчеты по большим геномам еще для 10-и
организмов, расшифрованным к 2007г. (в настоящее время расшифровано более 30 геномов, а более 1200 находятся в работе по всему миру);
дается предварительный анализ расчетов. Анализируются интегральные
характеристики кода, которые используются при блокировке и показывается взаимосвязь таких характеристик с интегральной характеристикой кода, которая соответствует генетическим перекрытиям. Далее формулируются два вывода, которые непосредственно вытекают из проведенных исследований и связанные с двумя вопросами: как же был выбран генетический код и какова роль переосмысленных кодонов в девиантных кодах.
Установлению возможной роли около половины пар аминокислот,
которые не могут участвовать в блокировке, было посвящено дальнейшее исследование. Речь идет об участии таких пар в построении вторичных структур матричных РНК (или копий участков ДНК, занимаемых
генами), на основе которых впоследствии вырабатывается белок в клетке живого организма. Исследование ведется в неизвестной ранее простановке. Показывается, что характерные участки таких вторичных
структур - т.н. стебли – являются математическими аналогами фрагментов генетических перекрытий, как будто бы взятых из различных цепей
ДНК. В связи с таким положением вся методология изучения подобных
генетических перекрытий, которая была разработана ранее, в полной
133
мере используется при изучении указанных стеблей. Анализ ведется для
одной из наиболее протяженных вторичных структур, известных к
настоящему времени – матричной РНК MS2. Причем исследуется целиком взятая структура. Одновременно проводится расчет позиций блокировки в указанной структуре.
Основные результаты проведенных исследований представлены в
авторской монографии «Математический анализ генетического кода. М.,
БИНОМ, 2010, 223 с. » Наши исследования после ее выхода были продолжены. Приведем постановку одной задачи, решенной в последние
годы (Козлов Н.Н. Расчет генетического кода. ДАН 2010. Т .433.№.2;
Математическое моделирование 2011 т.23, № 6).
Под термином элементарное перекрытие применительно к перекрытиям трех генов понимаем, перекрытие для трех кодонов одиночных
аминокислот по максимальному числу позиций. На рис. 2А для аминокислоты Ama, кодируемой триплетом n1n2n3 указаны альтернативные
аминокислоты Ama1 и Ama2, кодировки которых n0n1n2 и n2n3n4 соответственно, образованы сдвигами на -1 и +1 нуклеотид в той же цепи ДНК
(→). Предполагается при этом, что все значения n0 – n4 принадлежат каноническому набору из четырех нуклеотидов. На основе рис.2А можно
построить три вида сочетаний аминокислот, представленных на рис.2Б и
обозначенных соответственно u1, u2, u3: одно u1 для перекрытия по одной
позиции, два u2 для перекрытия по двум позициям, и одно u3 для перекрытия 3-х аминокислот. Элементы u1, u2, u3, будем рассматривать соответственно как элементы множеств U1, U2, U3
(A)
Ama2
Ama
Ama1
→ n0n1n2n3n4
(Б)
Ama
Ama1
Ama2
Ama1
u1
Ama2
Ama
Ama1
Ama2
Ama
u2
u3
Рис. 2.
Примечание. (А) Для аминокислоты Ama , кодируемой триплетом
n1n2n3, имеют место 2 альтернативных аминокислоты Ama1и Ama2. Кодировки их образованы сдвигами -1, +1 в той же цепи ДНК (→). Кодон
n0n1n2 для Ama1 перекрывается с кодоном n1n2n3 для Ama – перекрытие
134
содержит два нуклеотида n1n2; кодон n2n3n4 для Ama2 перекрывается с
кодоном n1n2n3 для Ama – перекрытие содержит два нуклеотида n2n3. В
итоге тройное перекрытие содержит всего одну общую позицию n2.
Каждая из приведенных трех аминокислот принадлежит тем наборам,
кодировки которых допускают такие перекрытия.
(Б) Элементы множеств сочетаний аминокислот, образованные на
основе элементарного перекрытия из рис2А. Слева – один элемент множества U1, в центре – два элемента множества U2 и справа – один элемент множества U3.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пусть имеем набор из 4 букв: N: a, b, c,
d, а также триплеты – любые тройки из этих букв, всего их 64. При этом
каждая из 20 канонических аминокислот может кодироваться произвольным сочетанием таких триплетов. Задача состоит в поиске всех
генетических кодов, отвечающих всем элементам, обозначенных
выше трех множеств U1, U2, U3, соответствующих генетическим экспериментам.
МОДЕЛИ ВОЛЬТЕРРА В ЭКОНОМИКЕ
Т. М. Потина
Пензенский государственный университет,
г. Пенза
e-mail: [email protected]
Модель Ло́тки - Вольтерра — это модель взаимодействия двух
видов типа "хищник - жертва", которую независимо предложили в 19251926 гг. Лотка и Вольтерра. Данная модель сыграла исключительную
роль в развитии математической экологии.
В математической форме классическая модель Лотки - Вольтерра
имеет следующий вид:
 dx
 dt = ax − bxy,

 dy = −cy + dxy,
 dt
(1)
где x – количество жертв, y – количество хищников, t – время, а – скорость размножения популяции жертвы в отсутствии хищника, b – удельная скорость потребления популяцией хищника популяцией жертвы при
единичной плотности обеих популяций, с – естественная смертность
135
хищника и d – коэффициент переработки потребленной хищником биомассы жертвы в собственную биомассу.
Любое изменение численности травоядных животных влияет на
количество плотоядных, и наоборот. Поэтому необходимо рассматривать две популяции совместно.
Далее рассмотрим модели «хишник-жертва» с логистической поправкой.
Рост численности двух популяций тормозит как межвидовая конкуренция, так и внутривидовая. Учитывая этот фактор измененная классическая модель «хищник-жертва» модель Лотки - Вольтерра будет выглядеть следующим образом:
 dx
2
 dt = ax − bxy − тx ,

 dy = −cy + dxy − ny 2 .
 dt
(2)
Здесь коэффициенты m и n характеризуют убывание численности
двух популяций, вследствие их внутривидовой борьбы.
Данная модификация модели Лотки – Вольтерра была рассмотрена
с постоянными коэффициентами; если же в системе (2) взять параметры
b и d, которые зависят от х:
b=
α
γ
,d=
,
1 + βx
1 + βx
(3)
где α, γ, β = const > 0 , то будем иметь модель «хищник-жертва» с переменными параметрами. Обратная зависимость коэффициентов b и d от
количества жертв х означает, что чем больше насыщенность хищника,
тем меньше скорость уничтожения жертв bxy и соответственно меньше
скорость размножения хищников dxy.
Что же касается экономики, то это открытая динамическая система, которая является непредсказуемой. Поэтому прогнозирование и моделирование экономических процессов является важной задачей для
экономистов всех стран, а подходами к решению данной задачи могут
послужить модели великих ученых-математиков, в частности, описанная
выше модель «хищник-жертва» Лотки - Вольтерра.
Эта модель простая и обоснованная, позволяет комплексно оценить динамику экономических процессов, выйти на равновесные уровни
исследуемых конкурирующих систем и теоретически прогнозировать и
управлять основными параметрами модели. Данная модель может описывать и имитировать динамику конкурирующих предприятий, численность воюющих армий, развитие науки и др.
Модель Лотки – Вольтерра за исключением случаев постоянных
коэффициентов является нелинейной, и ее аналитическое решение не
136
представляется возможным. Поэтому для решения поставленной задачи
приходят на помощь высокие технологии, а именно математические пакеты, написанные на современных ЭВМ.
Создавая математическую модель «хищник-жертва» в экономическом аспекте, в основу можно положить наблюдения, свидетельствующие о том, что получение доходов и осуществление расходов не совпадают во времени. Тогда нелинейная цикличность будет вызвана простейшими психологическими мотивами поведения людей, которые заключаются в принятии взвешенных управленческих решений.
Система динамического изменения капитала выглядит следующим
образом:
 dx
2
 dt = ax − bxy − ex ,

 dy = −cy + dxy,
 dt
(4)
где х – удельные доходы на единицу капитала, у – удельные расходы на
единицу капитала, ах – увеличение скорости роста удельные доходов,
зависящее от источников доходов, а – коэффициент «монопольности»,
чем выгоднее положение подсистемы, тем больше а; e – коэффициент
доступности ресурсов; ex 2 – снижение скорости роста удельных доходов, вязанное с «конкуренцией» за ресурсы (трудовые, информационные, природные); cy – снижение скорости роста удельных расходов, не
связанных с доходами (обеспечивается отрицательной обратной связью);
dxy – прирост удельных расходов в подсистемах, обеспеченных доходами; bxy – снижение скорости роста удельных доходов из-за связи с дополнительными расходами; b – скорость с которой расходы снижают
доходы. Обозначим через x(0) – начальные удельные доходы; y(0) –
начальные удельные расходы; t – время.
Для экономической модели уравнения (4) означают, что всевозможные технологические, социально-экономические и личностные факторы, влияющие на состояние дел, объединяются в два интегральных
управляющих параметра: коэффициент «рождаемости» a и коэффициент
«смертности» с.
Численным решением системы дифференциальных уравнений (4)
может быть как замкнутая фазовая траектория при отсутствии конкуренции за ресурсы, так и спираль в виде аттрактора. Важно заметить, что
как раз спираль «разрывает» замкнутый круг Парето, когда поток ресурсов будет распределен так, что любое последующее их перераспределение уже не может улучшить благосостояние одного человека, не ухудшив благосостояние другого человека. Таким образом, решение системы
даст возможность приблизиться к динамическому решению системы,
преодолевая принцип Парето.
137
Очевидно, что схема моделирования экономической системы по
уравнениям (4), аналогична схеме моделирования системы «хищникжертва». Аналогична и технология компьютерного моделирования. Использование предложенной модели позволяет описывать циклы, вызванные различными причинами.
В основу математической модели динамики конкуренции, также
как и в основу модели численности популяции в биологии («хищникжертва»), можно положить, соображения баланса суммарной численности популяции. Для экономической системы это может быть объем производства, прибыль, количество клиентов, цена акции и др.
Решая систему (4) в математическом пакете Maple, где исходные
данные равны следующим значениям: a = 0,09, b = 0,004, e = 0, c = 0,03,
d = 0,0001, y(0) = 50, x(0) = 500, получили решение виде графика изменения доходов и расходов во времени, где х(t) – доходы-пунктирная кривая, у(t) – расходы-сплошная кривая (рис. 1).
Рис.1. График изменения доходов и расходов во времени
Таким образом, модель характерна тем, что в рассматриваемой системе наблюдается циклическое увеличение и уменьшение количества
доходов, так и расходов, подобное увеличению и уменьшению численности жертвы и хищника, наблюдаемое в природе.
138
Использование модели «хищник-жертва» для описания развития
экономических систем позволяет определить в перспективе равновесные
уровни и переводить систему из одного состояния динамического равновесия в другое, манипулируя управляющими коэффициентами.
Предложенную модель можно применять в антикризисном управлении, при изучении популистских и спекулятивных экономик, а также
при инновационном моделировании.
Список литературы
1. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование /
В. Вольтерра. – М. : Наука, 1976. – 286 с.
2. Илюшко, В. М. Компьютерные технологии в задачах природы и
общества / В. М. Илюшко, Ю. Н. Соколов, А. Ю. Соколов // Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «ХАИ». –
2010. – 26 с.
3. Базыкин, А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих
популяций / А. Д. Базыкин. – М. : Наука, 1985.
139
5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФИЗИКЕ
ФРАКТАЛЬНЫЕ АНТЕННЫ
П. В. Айкашев
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
Сегодня совершенно очевидно, что применение в радиофизике,
радиотехнике, радиолокации, электронике и в современных информационных технологиях идей масштабной инвариантности – “скейлинга” и
разделов современного функционального анализа, которые связаны с
теорией множеств, теорией дробной размерности, общей топологией,
геометрической теорией меры и теорией динамических систем, открывают большие потенциальные возможности и новые перспективы в обработке многомерных сигналов и в родственных научных и технических
областях. В конце двадцатого века в связи с созданием Б. Мандельбротом общей концепции фракталов возникла мысль о применении их в области радиофизики и радиолокации.
Проблема перехода к сверхширокополосным сигналам особенно
актуальна в радиолокации, где использование сверхширокополосных
сигналов позволяет значительно увеличить количество информации о
цели и перейти к получению ее радиоизображения, что недоступно для
традиционных узкополосных сигналов. Не менее актуально использование сверхширокополосных сигналов в радиосвязи, например, для организации нескольких независимых каналов связи в общей полосе частот.
При этом сверхширокополосные сигналы позволяют легко устранить
недостатки коммуникационных систем, связанные с многолучевым распространением радиоволн.
Антенные устройства и частотно-избирательные поверхности
(ЧИП) являются неотъемлемой частью радиосистемы. Опыт анализа и
синтеза фрактальных антенн доказывает их широкополосность и многодиапазонность. Поэтому такие фрактальные антенны чрезвычайно эффективны при разработке сверхширокополосных радиолокационных и
телекоммуникационных систем. Ключевые особенности фрактальных
антенн – это компактность, многодиапазонность и широкополосность.
Они являются следствием основного свойства фракталов: скейлинга
(повторение фракталом самого себя на разных масштабных уровнях, т. е.
неизменность закона построения фрактала). Кроме того, фрактальные
антенны позволяют за счет изменения геометрии и положения точки
140
возбуждения варьировать такие характеристики, как положение частотных диапазонов, форма диаграммы направленности и ширина рабочей
полосы.
На основе алгоритмов численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений был проведен анализ электродинамических
свойств разнообразных фрактальных антенн (монополи и диполи с применением классической кривой Серпинского и дерева Кейли различного
порядка итераций) [1-6].
Работа фрактальных антенн в этих работах была основана на использовании топологии (информации о геометрии) проводников, а не
через накопление отдельных компонентов или элементов (как в классических антеннах), что, в последнем случае, увеличивает сложность и потенциальные точки отказа. Фрактальные антенны также позволяют создать многополосные варианты, уменьшенный размер, и оптимальную
или «шикарную» технологию антенн. Несомненным достоинством
фрактальных антенн (монополей и диполей) является тот факт, что они
могут иметь меньшие резонансные частоты по сравнению с классическими (или евклидовыми) антеннами тех же размеров. Врожденные широкополосные качества фрактальных антенн идеальны для интеллектуальных приложений и защиты информации.
В отличие от традиционных методов, когда синтезируются гладкие диаграммы направленности антенны, в основе теории фрактального
синтеза заложена идея реализации характеристик излучения с повторяющейся структурой на произвольных масштабах. Это дает возможность
создавать новые режимы во фрактальной электродинамике, а также получать принципиально новые свойства. В частности, размещение фрактальных элементов на корпусе объекта может существенно исказить
сигнатуру или радиолокационный портрет данного объекта.
Области применения фрактальных антенн: современные телекоммуникации, шумовая радиолокация, нелинейная радиолокация, системы
поиска, локализации и трассировки мобильных объектов, пеленгация в
сложных городских условиях, определение местоположения несанкционированных источников радиоизлучения при борьбе с террористами,
оперативная связь в войсках, маркеры на различных предметах, космическая связь, современный физический эксперимент и т.п.
Фрактальные радиосистемы структурно включают в себя (начиная
с входа) фрактальные антенны и цифровые фрактальные обнаружители,
основаны на фрактальных методах обработки информации, а в перспективе могут использовать фрактальные методы модуляции и демодуляции радиосигналов. При таком «фрактальном» подходе естественно сосредоточить внимание на описании, а также обработке радиофизических
сигналов (полей), исключительно в пространстве дробной меры с применением гипотезы скейлинга и распределений с «тяжелыми хвостами»
или устойчивых распределений.
141
В работе [7] была разработана методика построения воспроизводимых нерегулярных фрактальных кластерных структур.
Фрактальные антенны на основе данных структур исследованы с
помощью численного моделирования. Показано, что они являются широкополосными и многочастотными ввиду скейлинга входного сопротивления и коэффициента отражения в нескольких частотных диапазонах.
В работе [7] предложен алгоритм построения полностью воспроизводимых нерегулярных фрактальных структур – псевдослучайных
фрактальных кластеров.
Показано, что смещение точки возбуждения антенн позволяет
осуществить управление их пространственно-частотными характеристиками, что может быть использовано при решении задач синтезирования
антенной апертуры.
Кроме этого в работе [7] исследованы характеристики антенн при
смещении точки возбуждения. Показано, что при малом смещении точки возбуждения (на расстояние порядка сотой доли линейного размера
антенны) сохраняется расположения основных частотных диапазонов.
При этом форма диаграммы направленности в этих диапазонах претерпевает существенные изменения. Таким образом, появляется возможность управлять диаграммой направленности антенн в некоторых частотных диапазонах. Более значительные смещения точки возбуждения
(на расстояние порядка десятой доли линейного размера антенны) влияют на ширину и расположение основных частотных диапазонов антенн.
В этом случае появляется возможность целенаправленно изменять частотные характеристики антенн.
Также в работе [7] были исследованы частотные характеристики
антенн на основе фрактальных кластеров с фрактальными размерностями 1.5 и 1.9 в интервале частот от 0.1 до 20 ГГц.
От регулярных антенн исследованные в работе [7] фрактальные
антенны выгодно отличаются большим количеством частотных диапазонов и меньшими вариациями входного сопротивления, что облегчает
проблему согласования.
Результативность радиофизических исследований может быть
значительно повышена благодаря учету фрактальности волновых явлений, развивающихся на всех этапах излучения, рассеяния и распространения волн в различных средах. Кардинальные шаги, заключающиеся в
переводе принятых радиосистемой сигналов целочисленной меры в пространство дробной меры и привлечение затем скейлинговых соотношений, позволяют привнести в традиционные области классической науки
совершенно новые идеи и методы, и получать на их основе достаточно
неожиданные для практики, но физически обоснованные результаты.
Стремительному развитию фракталов и дробных операторов способствует и само существование чрезвычайно широкого круга физиче-
142
ских и технических проблем (и не только!), адекватно описываемых
этими теориями. Возможности здесь очень велики. Конкретное использование в радиофизике и радиоэлектронике понятия “фрактал” не только
оправдано, но и необходимо. При этом требуются принципиальные изменения общих устоявшихся представлений в работе ученых, инженеров
и обучении студентов и аспирантов. Только тогда дробные операторы,
фракталы и скейлинг прочно войдут в обиход физика, математика и инженера. Можно выразить надежду, что новая генерация специалистов
возьмет барьеры “фрактального” видения мира и тем самым обеспечит
нарастающие успехи российской науки и промышленности в технологической гонке различных стран.
Области применения фрактальной обработки сигналов, полей и
изображений постоянно расширяются, и трудно поверить, что еще около десяти лет назад было немало скептических высказываний относительно перспективности этого нового направления в науке.
Список литературы
1. Потапов, А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации / А. А.
Потапов. – М. : Логос, 2002. – 664 c.
2. Потапов, А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации:
Топология выборки / А. А. Потапов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. :
Университетская книга, 2005. – 848 c.
3. Потапов, А. А. Фракталы и хаос как основа новых прорывных
технологий в современных радиосистемах / А. А. Потапов // Дополнение
к книге Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах : пер. с
англ. – М. : Техносфера, 2006. – С. 374–479.
4. Потапов, А. А. Фрактальные модели и методы на основе
скейлинга в фундаментальных и прикладных проблемах современной
физики / А. А. Потапов // Необратимые процессы в природе и технике :
сб. науч. тр. / под ред. В. С. Горелика и А. Н. Морозова. – Вып. II. – М. :
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. – С. 5–107.
5. Потапов, А. А. Фрактальные методы исследования флуктуаций
сигналов и динамических систем в пространстве дробной размерности /
А. А. Потапов // Флуктуации и шумы в сложных системах живой и
неживой природы / под ред. Р. М. Юльметьева, А. В. Мокшина,
С. А. Демина, М. Х. Салахова. – Казань : Министерство образования и
науки Республики Татарстан, 2008. – С. 257–310.
6. Потапов А. А., Черных В. А. Дробное исчисление А. В. Летникова, теория фракталов и скейлинг / под ред. А. А. Потапова. – М. :
Физматлит, 2009. – 820 с.
7. Колесов, В. В. Численное моделирование широкополосных
антенн на основе нерегулярных фрактальных структур / В. В. Колесов,
С. В. Крупенин, Н. Г. Петрова, А. А. Потапов. – М. : Институт
радиотехники и электроники РАН, 2006. – 4 с.
143
ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА
КИРХГОФА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ВНУТРИ ПОМЕЩЕНИЙ
П. Г. Андреев, А. Н. Якимов
Пензенский государственный университет
г. Пенза, Россия
При организации работы радиотехнических систем внутри помещений для определения оптимального места установки и числа радиопередающих узлов, а также для решения других задач необходимо уметь
рассчитывать характеристики сигнала в любой точке пространства в
пределах всей зоны обслуживания. Среда распространения сигнала
внутри помещений создает специфические условия для распространения
радиоволн. Теневые зоны, многократные отражения и рассеяние волн
формируют многолучевые поля со сложной интерференционной структурой и резкими пространственными изменениями уровня сигнала.
Многолучевой характер распространения радиоволн, когда в точку приема приходят волны с разных направлений и с разными временными задержками, порождает явления межсимвольной интерференции при передаче кодовых последовательностей. Искажения сигнала, обусловленные межсимвольной интерференцией, могут вызывать серьезное ухудшение характеристик системы и качества высокоскоростной передачи
цифровой информации, если длительность задержки превышает длительность символа [1]. Необходимой предпосылкой для разработки эффективных радиотехнических систем, работающих внутри помещений,
является математическое моделирование подобных систем с целью возможной оптимизации их параметров и характеристик на этапе проектирования [4].
Модифицированный метод Кирхгофа учитывает затенение поверхностей предметов, расположенных на пути распространения электромагнитных волн. В соответствии с принятой моделью рассмотрим
рассеяние поля излучения передатчика на сложной поверхности в виде
набора объектов размеры, которых значительно превосходят длину волны излучения, их количество и месторасположение носит случайный характер. Примером этого может служить офисная мебель, технологическое оборудование или крупногабаритные объекты, линейные размеры
которых превышают 0,5 метра.
Рассмотрим интегральную форму волнового уравнения [1]. Используя известную теорему Гаусса:
∂u
 ∂xii dV = 
 undS ,
V
S
144
(1)
где n – внешняя нормаль к замкнутой поверхности S , ограничивающей
объем V . С учетом того, что компоненты поля монохроматического излучения в свободном пространстве удовлетворяют волновому уравнению Гельмгольца
( ∇ 2 + k 2 ) u = J (r ) ,
(2)
и все источники падающего поля в нашем случае находятся внутри замкнутой поверхности S можно использовать следующее выражение для
нахождения поля рассеяния:
ik r − r0

∂ e
1
u (r0 ) = u I (r0 ) +
 [u (r ) − uI (r )] ∂n r − r0 −
4π 
S 
ik r − r0
∂ [u (r ) − u I ( r ) ] 
e
 dS .
−
r − r0
∂n

(3)
На рисунке 1 замкнутая поверхность S включает в среднем плоскую случайную поверхность S0 объектов мешающих распространению
электромагнитной волны в помещении, дополненную частью плоскости
S ′ и полусферу RC ′ .
Рис. 1. Представление области интегрирования S
В приближении Кирхгофа поле u (r ) на поверхности S ′ можно
считать совпадающим с падающим невозмущенным полем u I (r ) . При
этом в (2) интеграл по поверхности S ′ равен нулю. Что же касается интеграла по полусфере, то при достаточно большом радиусе полусферы
этим интегралом можно пренебречь, если принять во внимание условие
излучения, которое обеспечивается хотя бы малым поглощением в среде. Таким образом, в (3) остается только интеграл по поверхности объектов мешающих распространению электромагнитной волны S0 .
В случае, когда излучатель передатчика можно рассматривать как
точечный источник, расположенный в точке r1( J (r ) = δ(r − r1)) , то
145
ik r − r
1
1 e
u I (r ) = −
.
4π r − r1
(4)
Случайная поверхность S0 состоит из плоской, параллельной Земной поверхности ( z = 0 ) хорошо проводящей поверхности S1 и поверхностей объектов S2 . Отражение падающей и рассеянных на объектах волн
от плоскости z = 0 может быть учтено введением вместо поля точечного
ik r − r
1
1 e
источника −
функции Грина для полупространства [1]:
4π r − r1
1
1
1  e
e
−
G (r , r ) = −

4π  r − r1
r − r1′

ik r − r
ik r − r ′

,

(5)
где r1′ – радиус-вектор точки, зеркальной с r1 относительно поверхности
z = 0 . Такое предположение соответствует полному отражению с изменением фазы волны на π (т.е. происходит потеря половины длины волны), что с имеет место при углах падения, близких к скользящим, для
любой поляризации поля в случае хорошей проводимости поверхности
объектов. В результате из (3) для любой точки пространства помещения
справедливо выражение:

∂u (r ) 
∂
u (r2 ) = G (r2 , r1 ) +  u R (rS )
G (r2 , rS ) − G (r2 , rS ) R S  dS ,
∂nS
∂nS 
S2 
(6)
где u R (rS ) = u (rS ) − u I (rS ) – отраженное поле; rS – точка на поверхности
одного из объектов.
В приближении Кирхгофа значение u R (rS ) можно задать как произведение коэффициента отражения R(φS , rS ) на граничное значение
падающего излучения u1(rS ) и на функцию затенения Z (r2 , rS , r1 ) , которая равна единице, если точка отражения rS видна из точек приема r2 и
излучения r1 одновременно, и нулю во всех остальных случаях [1]. При
этом имеется в виду, что коэффициент отражения имеет то же значение,
что при падении плоской волны на плоскость, касательную к случайной
поверхности в данном месте. Тогда справедливо:
uR = Z ⋅ R ⋅ uI ,
∂u R
∂u
= − ZR I .
∂nS
∂nS
(7)
Кроме того, необходимо учесть возможность затенения точки
наблюдения непосредственно от источника. После этого уточнения выражение (6) принимает вид
146
u (r2 ) = Z (r2 , r1) ⋅ G (r2 , r1 ) +
+  Z (r2 , rS , r1 ) R(φS , rS )
S2
∂
{G (r2 , rS ) uI (rS )} dS .
∂nS
(8)
В случае точечного источника в приближении однократного отражения
u I (rS ) = G (rS , r1) .
(9)
В случае случай, когда излучатель и приемник удалены от точки
отражения на много длин волн в (8) в процессе дифференцирования достаточно брать производные только от экспоненциальных функций.
Тогда с учетом того, что ∂ / ∂nS = (nS ∇ S ) и

r −r
∂
G (r2 , rS ) ≈ −ik  nS 2 S

r2 − rS
∂nS


 G (r2 , rS ) = − ik sin ( ψ S ) G (r2 , rS ) , (10)


r −r
∂
G (rS , r1) ≈ −ik  nS S 1

rS − r1
∂nS


 G (rS , r1) = − ik sin ( φS ) G (rS , r1) , (11)

для однократного отражения получим:
u (r2 ) = Z (r2 , r1) ⋅ G (r2 , r1) −
−ik  Z (r2 , rS , r1) R (φS , rS )(sin ψ S + sin φS )G (r2 , rS )G (rS , r1) dS .
(12)
S2
В соответствии с последним выражением поле в точке наблюдения
в приближении однократного отражения случайным образом зависит от
отражающих свойств объектов, их расположения и ориентации [2]. Для
оценки надежности работы радиоэлектронных средств внутри помещений важно найти усредненные по ансамблю вариантов объектов характеристики. Простейшей статистической характеристикой является среднее значение поля.
При усреднении (12) необходимо иметь в виду, что в принятой
модели случайный коэффициент отражения статистически не зависит от
расположения и ориентации объектов и является комплексной величиной, фаза которой с равной вероятностью может принимать любые значения на интервале (0,2 π ). Поэтому его среднее значение  R(φS , rS ) = 0 .
Поскольку однократно отраженное поле, определяемое поверхностным
интегралом в (12), линейно зависит от коэффициента отражения, и оно
при статистическом усреднении приравнивается нулю. Первое слагаемое
в этом выражении описывает прямую волну, распространяющуюся от передатчика к приемнику и случайным образом экранированную (затененную) объектом. Поскольку функция затенения Z (r2 , r1) принимает толь-
147
ко два значения 0 или 1, ее среднее значение совпадает с вероятностью
прямой видимости между излучателем и приемником. В итоге получаем:
u (r2 ) = Z (r2 , r1) ⋅ G (r2 , r1) = P21 G (r2 , r1) .
(13)
Таким образом, среднее значение поля в точке приема при распространении радиоволн в условиях влияния объектов внутри помещения
будет в основном определяться вероятностью приема сигнала непосредственно от источника излучения.
Полученное выражение с учетом вероятности прямой видимости
между двумя точками пространства внутри помещения позволяет найти
интенсивность когерентной составляющей принимаемого излучения
2

h − z1 
 sin(kz2 z1 / d ) 
exp
d
−γ
 I k (r2 ) = 
 0
,

2πd
z
z
−


2
1
(14)
где d = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 )2 – среднее горизонтальное расстояние
между приемником и передатчиком; h – максимальная высота набора
объектов в помещении. Здесь учтено, что антенны приемника и передатчика подняты на высоту, значительно меньшую горизонтального расстояния между ними.
Возможен случай, когда распространение электромагнитных волн
между передающей и приемной осуществляется при их низком размещении относительно местных объектов в помещении. При этом роль
экранирования волн объектами резко возрастает по сравнению со случаем, когда один передатчик или приемник понят достаточно высоко. Поэтому интенсивность когерентного и однократно отраженного поля затухает на гораздо меньших расстояниях между антеннами.
В приближении однократного рассеяния для когерентной составляющей с учетом вероятности прямой видимости можно воспользоваться выражением [1]:
 I k (d ) =
1
( 4π )
2
2
exp ( −2 γ 0d ) 
kz2 z1 
 2sin d  ,
d2
(15)
где высоты установки антенн передатчика и приемника z1, z2 << h ; d –
горизонтальное расстояние между антеннами передатчика и приемника.
При условии распространения электромагнитных волн в дальней
зоне излучения, средняя интенсивность в приближении однократного
рассеяния для не когерентной составляющей, может быть найдена по
выражению [1]:
 I (d ) =
1
( 2π )
2
Γ exp ( −γ 0d )
.
2
8
d
148
(16)
Вычисление средней интенсивности с учетом многократного рассеяния весьма сложно. Эта задача оказывается аналогична задаче о распространении радиоволн в неограниченных турбулентных средах и облаках дискретных рассеивателей. Развитым в указанных работах методом удается получить искомый результат [3] для средней интенсивности
некогерентной составляющей поля:
1
3
2
exp ( −γ 0d )  2


Γ
Γ
π



 I н (d ) ≈
+ 
 +   ,
2

γ
γ
d
d
8
2
d
8 
 0 
( 4π ) 4
 0

γ0 Γ
(17)
где Γ – усредненная величина модуля комплексного коэффициента отражения от объектов внутри помещения.
Суммируя выражения (15) и (16) можно получить среднее значение полной интенсивности:
 I п (d ) =  I k (d ) +  I н (d ) .
(18)
На рис. 2 приведены результаты моделирования рассеяния электромагнитных волн с частотой f = 2.4 ⋅ 109 Гц внутри помещения по выражениям (15), (17) и (18). Из приведенных зависимостей видно, что кривая 3, описывающая среднее значение полной интенсивности, достаточно
точно повторяет форму кривой 1, сглаживая при этом интерференционные провалы. Данное свойство может быть использовано при моделировании работы радиотехнических средств внутри помещений в тех случаях, когда ограничения, наложенные при получении выражения (18) не будут влиять на требования, предъявляемые разрабатываемой аппаратуре.
Рис. 2. Результаты моделирования рассеяния электромагнитных волн:
1 – когерентная составляющая; 2 – не когерентная составляющая;
3 – среднее значение полной интенсивности
149
На рисунке 3 приведены результаты моделирования рассеяния
электромагнитных волн с частотой f = 2.4 ⋅ 109 Гц внутри помещения по
выражениям (16) и (18). Сравнение приведенных кривых показывает,
что средняя интенсивность в приближении однократного рассеяния
(кривая 2) может быть использована в моделях на расстояниях между
антеннами не более 5-6 м, где различие между выражениями (16) и (18)
составляет не более 5 дБ. Дальнейшее увеличение расстояния приводит
к недопустимым погрешностям, что является неприемлемым.
Рис. 3. Сравнение результатов моделирования рассеяния электромагнитных волн:
1 – среднее значение полной интенсивности; 2 – средняя интенсивность
в приближении однократного рассеяния
Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших
исследованиях при моделировании распространения электромагнитных
волн внутри помещений при наличии местных объектов сложной формы.
Список литературы
1. Гавриленко, В. Б. Распространение радиоволн в современных
системах мобильной связи / В. Б. Гавриленко, В. А. Яшнов. – Нижний
Новгород : Нижегородский государственный университет, 2003. – 148 с.
2. Басс, Ф. Г. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности / Ф. Г. Басс, И. М. Фукс. – М. : Наука. 1972. – 424 с.
3. Пономарев, Г. А. Распространение УКВ в городе / Г. А. Пономарев, А. М. Куликов, Е. Д. Тельпуховский. – Томск : МП «Раско», 1991.
4. Андреев, П. Г. Математическая модель распространения электромагнитных волн в помещении / П. Г. Андреев, А. Н. Якимов // Радиопромышленность. – 2013. – № 2. – С. 74–82.
150
ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ЕМКОСТИ ПРОВОДЯЩЕГО ТЕЛА
И. В. Бойков, А. Н. Тында, О. В. Тында
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
e-mails: [email protected], [email protected]
Введение
Вычисление электрической емкости тела произвольной формы является классической задачей электростатики, которой посвящено более
800 работ. Численные методы для решения электростатических задач, в
частности, вычисления емкостей проводников произвольной формы,
представляют значительный интерес для практического применения. Построение эффективных кубатурных формул для вычисления интегралов с
особенностями, возникающих при вычислении емкостей проводников
произвольной формы итерационными методами, является важной составляющей во многих приложениях. К представленным ниже интегралам
сводятся многочисленные задачи теории упругости, гравиразведки, магниторазведки. Также, эти интегралы находят широкое применение в
аэродинамике, теории автоматического управления, теории оболочек,
электродинамике и квантовой механике.
1. Итерационный метод
В книге [2] предлагается формула для вычисления емкости
произвольного тела с любой наперед заданной точностью ε :
−1
C (n)


n
 (−1)

dsdt
ψ
ψ
= 4πε0 S 2 
...
(
t
,
t
)...
(
t
,
t
)
dt
...
dt
n −1 n 1
n ,
 rst   1
n
π
(2
)


Γ
Γ
Γ

n


(1)
где S − площадь поверхности Γ проводника, ε0 − электрическая
проницаемость,
rst :=| s − t | и ψ (t , s ) :=
∂ 1
,
∂Nt rst
4πε0 S 2
=
,
J
dsdt
.
rst
C
(0)
J ≡

Γ
Там же, в главе 3, доказано, что | C − C ( n) |≤ Aq n , 0 < q < 1, где A и
q − постоянные, зависящие от формы тела Γ .
151
Используем формулу (1) для построения численного алгоритма
вычисления емкости проводников.
В книге [2] показывается, что
−1
C ( n)


−1
 ,
= 4πε0 S 2  
r
(
t
)
dtds
δ
  st n

 Γ

(2)
где δn определяется последовательными приближениями
δn +1 = − Aδn , δ0 = 1,

 δn (t )dt = S ,
(3)
Γ
а оператор À определяется формулой Aδ = 
 δ(t )
Γ
∂
1
dt , где N s −
∂N s 2πrst
внешняя единичная нормаль к поверхности Γ в точке s .
2 Численная реализация
Метод, описанный в предыдущем параграфе, применим к телам
произвольной формы. Однако для его численной реализации требуется
разработать эффективные кубатурные формулы вычисления поверхностных интегралов вида
1
∂ 1
dt .
δ(t )


2π
∂N s rst
(4)
Γ
В книге [1] подробно изложен подход к вычислению интегралов
вида (4), основанный на введении сферической системы координат и
аппроксимации выпуклой поверхности Γ поверхностью Γ N , состоящей
из плоских треугольников.
В данной работе предлагается численный метод для случая
когда Γ является поверхностью прямоугольного параллелепипеда
V = {( x, y, z ) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c}.
Обозначим
1
∂
1
dt = U ( s ),
δ(t )


∂N s | s − t |
2π
(5)
Γ
где | s − t |= ( xs − xt ) 2 + ( ys − yt ) 2 + ( zs − zt ) 2 .
Пусть поверхность Γ задана неявным уравнением F ( x, y, z ) = 0 .
Тогда
Ns =
{
}
± Fx′ ( s ), Fy′ ( s ), Fz′ ( s )
Fx′2 ( s ) +
Fy′2 ( s ) +
152
Fz′2 ( s )
, | N s |= 1.
Направляющие косинусы вектора нормали имеют вид:
± Fx′ ( s )
cos α =
,
2
2
2
Fx′ ( s ) + Fy′ ( s ) + Fz′ ( s )
cos β =
cos γ =
± Fy′ ( s )
Fx′2 ( s ) +
Fy′2 ( s ) +
Fz′2 ( s )
± Fz′ ( s )
Fx′2 ( s ) +
Fy′2 ( s ) +
Fz′2 ( s )
,
.
(Знак плюс или минус выбирается так, чтобы нормаль к поверхности была внешней)
Подставляя полученные выражения в производную по направлению вектора нормали, получаем:
∂
1
[( x − xs )cos α + ( yt − ys )cos β + ( zt − zs )cos γ ] .
= t
3/2
∂N s | s − t |
( xs − xt )2 + ( ys − yt ) 2 + ( zs − zt ) 2
(
)
(6)
Учитывая (6) и (5), имеем:
U ( s) =
( x − xs )cos α + ( yt − ys )cos β + ( zt − zs )cos γ
1
dt , (7)
δ( xt , yt , zt ) t


3/2
2π
2
2
2
( xs − xt ) + ( ys − yt ) + ( zs − zt ) 
Γ


где dt − дифференциал поверхности Γ .
Пусть | N ( s ) |= Fx′2 ( s ) + Fy′2 ( s ) + Fz′2 ( s ) . Обозначим далее через
Γi , i = 1,2,,6, грани параллелепипеда Γ :
Γ1 : z = 0, Γ 2 : z = c, Γ3 : x = 0, Γ 4 : x = a, Γ5 : y = 0, Γ6 : y = b.
Интеграл (7) можно тогда представить в виде
6
6
1
1
U ( s) =
U i (s) = 2π | N (s) | (⋅)dt.
2π | N ( s ) | i =1
i =1Γ
(8)
i
Здесь
ab
U1( s ) = δ( x, y,0)
00
ab
U 2 ( s ) = δ( x, y, c)
00
( xt − xs ) Fx′ ( s ) + ( yt − ys ) Fy′ ( s ) − zs Fz′ ( s )
 ( x − xs ) + ( y − y s ) +

2
2
3/2
zs2 

dxdy,
( xt − xs ) Fx′ ( s ) + ( yt − ys ) Fy′ ( s ) + (c − zs ) Fz′ ( s )
2  3/2
( x − xs ) + ( y − ys ) + (c − zs )


2
2
153
(9)
dxdy, (10)
bc
U 3 ( s ) = δ(0, y, z )
− xs Fx′ ( s ) + ( yt − ys ) Fy′ ( s ) + ( zt − zs ) Fz′ ( s )
 xs2 + ( y − ys ) 2 + ( z − zs ) 2 


00
bc
U 4 ( s ) = δ(a, y, z )
2
( xt − xs ) Fx′ ( s ) − ys Fy′ ( s ) + ( zt − zs ) Fz′ ( s )
 ( x − xs ) +

2
00
U 6 ( s ) = δ( x, b, z )
2  3/2
 ( a − xs ) + ( y − y s ) + ( z − z s )


2
U 5 ( s ) = δ( x,0, z )
ac
dydz , (11)
(a − xs ) Fx′ ( s ) + ( yt − ys ) Fy′ ( s ) + ( zt − zs ) Fz′ ( s )
00
ac
3/2
ys2
+ ( z − zs )
2  3/2
dxdz ,
2  3/2
( x − xs ) + (b − ys ) + ( z − zs )


Заметим, что в нашем случае
00
{0,0, −1},
{0,0,1},

{−1,0,0},
Ns = 
{1,0,0},
{0, −1,0},

{0,1,0},
2
(13)

( xt − xs ) Fx′ ( s ) + (b − ys ) Fy′ ( s ) + ( zt − zs ) Fz′ ( s )
2
dydz , (12)
dxdz. (14)
при s ( xs , ys , zs ) ∈ Γ1;
при
при
при
при
при
s ( xs , y s , z s ) ∈ Γ 2 ;
s ( xs , y s , z s ) ∈ Γ 3 ;
, | N ( s ) |= 1.
s ( xs , y s , z s ) ∈ Γ 4 ;
s ( xs , y s , z s ) ∈ Γ 5 ;
s ( xs , y s , z s ) ∈ Γ 6 .
Для вычисления интегралов (9)-(14), которые могут содержать
особенности подинтегральной функции, применяются специальные
кубатурные формулы, построеные с использованием неравномерных
сеток, учитывающих положение особой точки.
Сходимость предложенного в работе метода вычисления электрической емкости параллелепипедообразного тела подтверждается результатами работы программ, реализованных в средах Microsoft Visual Studio
и Maple.
Список литературы
1. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных
и гиперсингулярных интегралов. Ч. 1. Сингулярные интегралы /
И. В. Бойков. – Пенза : ИИЦ ПГУ, 2005. – 372 с.
2. Ramm Alexander Wave Scattering by Small Bodies of Arbitrary
Shapes. – Singapore, 2005. – 293 p.
154
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЛОКАЛИЗАЦИИ
ДЕФЕКТОВ В СТЕРЖНЯХ
Ю. Ю. Вязовская
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших
класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные1 (известны следствия, нужно найти причины). К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства которых и конфигурация известны. Первые работы в этой области были написаны более 200
лет назад, и с тех пор накоплено немало результатов, позволяющих,
например, исследовать свойства решений, не решая самих уравнений,
исследовать вопросы существования и единственности решений, сходимости различных приближенных методов.
К обратным задачам относят задачи определения некоторых физических свойств объектов, таких, как плотность, коэффициент теплопроводности, упругие модули в зависимости от координат или в виде функций других параметров. Процедура решения таких задач, состоящих в
обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от
способа ее обработки.
Решение обратных задач проводится, как правило, в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта. Оно состоит в
определении либо коэффициентов дифференциальных уравнений, либо
области, в которой действует оператор, либо начальных условий, либо
сочетания приведенных выше причин.
Примеры обратных задач
Пример 1.
Движение материальной точки массы m в соответствии с законом
Ньютона описывается дифференциальным уравнением
m
d 2x
dt 2
= F (t )
1
В целом под обратными задачами понимаются задачи, решение которых
проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или
процесса и заключается в определении параметров данной модели по имеющимся
результатам наблюдений и другой экспериментальной информации.
155
Здесь x(t ) – положение точки в момент времени t , F (t ) - сила,
действующая на точку. Будем считать, что начальное положение точки и
ее скорость известны. Предположим, что известно положение точки x(t )
как функция времени. Обратная задача состоит в определении зависимости F = F (t ) по известному закону x(t ) , то есть в определении действующей на точку силы по измеряемой ее траектории.
Пример 2.
Простейшая линейная модель прибора, регистрирующего какиелибо физические поля (электромагнитные, тепловые), может быть описана следующим образом. На вход прибора поступает сигнал u (t ) , на
выходе регистрируется сигнал f (t ) , которые связаны зависимостью
t
K ( t , s ) u ( s ) ds = f ( t ) ,
(1)
0
где K (t , s ) – известная функция. Обратная задача состоит в определении
входного сигнала u (t ) по регистрируемой прибором функции f (t ) , то
есть в нахождении решения уравнения (1).
Рассмотренные выше примеры можно трактовать как обратные задачи идентификации, то есть определения свойств объекта. При решении обратных задач типа идентификации расширение класса возможных
решений приводит к увеличению погрешности определения причинных
характеристик. Учет же априорной информации, то есть дополнительных сведений о свойствах исследуемого объекта, приводит к сужению
класса возможных решений и, как правило, к снижению погрешности
определения нужных характеристик.
Обратные задачи обладают рядом неприятных с математической
точки зрения особенностей. Во-первых, они, как правило, нелинейные,
то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или функциональное уравнение нелинейным образом. Вовторых, решения обратных задач обычно неединственные, то есть по
единственному набору исходных данных получаем множество решений
задачи. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать
избыточности экспериментальной информации, например при определении формы полости в теле при помощи регистрации отраженных волн
необходимо знание отраженного поля в некотором диапазоне изменения
частоты ω0 ∈ [ω1, ω2 ] . На практике же мы можем измерить отраженное
поле в достаточно большом, но конечном наборе частот на отрезке
[ω1, ω2 ] , что может привести к неединственности восстановления формы
полости, появлению посторонних или, как называют их в ультразвуковой диагностике, "фантомных" решений.
156
В-третьих, обратные задачи не являются корректными. Понятие
корректной задачи, являющееся одним из важнейших понятий современной математики, было сформулировано французским математиком
Ж. Адамаром (1923 год). Оно означает, что решение задачи существует
и единственно на некотором множестве, а также непрерывно зависит от
входных данных. Смысл первого условия (существование решения) состоит в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу
условий, исключающих возможность решения задачи. Второе условие
(единственность) означает, что данных достаточно для однозначной
определенности решения задачи. Третье условие (непрерывная зависимость от исходных данных) означает, что малые изменения в данных
приводят к малым изменениям в решении. Задачи, не удовлетворяющие
хотя бы одному из условий корректности, называются некорректными. В
обратных задачах, как правило, отсутствует непрерывная зависимость от
исходных данных в отличие от прямых задач. Поскольку входной информацией в обратных задачах являются экспериментальные данные, определяемые с некоторой погрешностью, которую не всегда можно оценить,
то решение обратной задачи с неточно заданными входными данными
может сильно отличаться от точного решения. В этой ситуации на первый план выходят способы математической обработки входной информации. Большой вклад в развитие математической теории некорректных
задач внес отечественный математик академик А.Н. Тихонов, который
определил, как надо понимать решение некорректной задачи. Он предложил один из возможных способов регуляризации некорректной задачи,
состоящий в сведении исходной задачи решения некоторого операторного уравнения к проблеме отыскания минимума некоторого функционала.
Постановка задачи
Рассмотрим колебания сплошного цилиндрического стержня
круглого сечения и трубчатого цилиндрического стержня круглого сечения с полостью, проходящей по всей длине стержня. Сечения рассматриваемых стержней изображены на рис. 1.
Будем считать, для определенности, что модули упругости E и
плотности ρ сплошного и трубчатого стержней совпадают и являются
константами. Через J1 , F1 обозначим соответственно момент инерции и
площадь поперечного сечения сплошного стержня, а через J 2 , F2 —
момент инерции и площадь поперечного сечения трубчатого стержня.
Собственные частоты изгибных колебаний сплошного стержня будем
обозначать через ω*i (i = 1,…) , а собственные частоты трубчатого стержня — через ωia . Для данных стержней выберем следующий вид закрепления: левый конец жестко закреплен, правый конец свободен (консольный стержень).
157
h
a
.
H
H
Рис.1
Уравнение изгибных колебаний стержня с постоянной жесткостью
на изгиб имеет вид:
EJ
∂ 4u ( x, t )
∂x 4
+ ρF
∂ 2u ( x, t )
∂t 2
=0
где u ( x, t ) – прогиб текущей оси стержня, E[кг / м 2 ] – модуль упругости, J [ м 4 ] – момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, ρ [кг / м3 ] – плотность стержня, F [ м 2 ] – площадь поперечного сечения стержня.
Задача об изгибных колебаниях консольного стержня длины L заменой u ( x, t ) = y ( x ) cos ωt сводится к следующей спектральной задаче
[9]:
4
y( ) ( x ) = λ 4 y ( x ) ,
(1)
y ( 0 ) = 0, y ' ( 0 ) = 0, y '' ( L ) = 0, y ''' ( L ) = 0,
(2)
ρF ω2
, ω − частотный параметр.
где λ =
EJ
Как видно из рис. 1, параметр a определяет положение полости
трубчатого стержня. При a = 0 полость лежит на срединной оси стержня. При значениях параметра
4
(
H h
H h
− )≤a<( + )
2 2
2 2
рассматриваемый трубчатый стержень превращается в стержень с открытой трещиной (надрезом). Как было отмечено ранее, собственные частоты
стержня с полостью на срединной оси выше, а стержня с трещиной,
наоборот, как правило, ниже собственных частот сплошного стержня. Если при определенных значениях параметра a собственные частоты
158
трубчатого стержня ωia совпадают с собственными частотами сплошного стержня ω*i , то необходимо выяснить при каких значениях параметра
это происходит.
В терминах спектральной задачи (1)–(2) данная задача сводится к
исследованию того, при каких значениях параметра a выполняется со2
ωia
4 ρF ω
отношение
и того, что
= 1 . Ввиду формулы λ =
EJ
ω*i
E , ρ, J1, F1, J 2 , F2 не зависят от переменной x , последнее соотношение
J
J
равносильно следующему: 1 = 2 . Требуется найти значения a , при
F1 F2
которых это соотношение имеет место.
Нахождение параметра a
Площадь поперечного сечения и момент инерции рассматриваемого сплошного стержня имеют вид:
πH 4
4
Площадь поперечного сечения рассматриваемого трубчатого
стержня равна
F1 = πH 2 , J1 =
F2 = π( H 2 − h 2 )
Определим момент инерции сечения трубчатого стержня.
Выберем систему осей Z и Y (оси проходят через центр круга радиуса H ). Нейтральная ось Z1 проходит через центр тяжести сечения.
Для определения ее положения найдем центр тяжести сечения по отношению к оси Z .
Разобьем сечение на фигуры: 1 – круг с радиусом H , 2 – полость
радиуса h .
Площадь круга - f1 = πH 2 , площадь полости f 2 = −πh 2 , площадь
(
)
сечения F2 = π H 2 − h 2 .
Вычислим координаты yi центров тяжести фигур, составляющих
сечение, относительно оси Z. Результаты поместим в табл. 1.
Таблица 1
Части сечения
1
Площадь частей
2
−πh 2
πH
Координата их центров тяжести
0
2
a
159
Определим статический момент сечения относительно выбранной
оси Z:
S z = πH 2 ⋅ 0 − πh 2 ⋅ a = −πh 2a .
Координата центра тяжести yc сечения по отношению к оси Z
имеет вид:
yc =
Sz
−πh 2a
−h 2a
.
=
= 2
2
F2 π H 2 − h 2
H −h
(
)
Нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения
h 2a
d= 2
.
H − h2
Вычислим момент инерции сечения трубчатого стержня относительно нейтральной оси:
J Z1
4

πH 4
2 2  πh
=
+ πH d − 
+ πh 2 (a + d ) 2 
 4

4


После упрощения получим значение выражения для J Z1 .
J Z1
4
πH 4
2 2 πh
=
+ πH d −
− πh 2a 2 − 2πh 2ad − πh 2d 2 =
4
4
) − π H 2 − h2 d 2 − πh2 a2 + 2ad =
(
)
(
)
4
πh 2 ( a 2 ( H 2 − h 2 ) + 2a 2h 2 )
π ( H 4 − h4 )
πh 2a
=
−
−
=
=
(
π H 4 − h4
H 2 − h2
4
=
(
π H 4 − h4
4
=
(
)−
πh 2a
H 2 − h2
π H 4 − h4
−
(
H 2 − h2
πh 2 a 2 H 2 + a 2h 2
H 2 − h2
)=
) − πh2 ( a + a2 ( h2 + H 2 ))
H 2 − h2
Определим теперь, при каких значениях параметра a выполняется
J
J
соотношение 1 = 2 .
F1 F2
πH 4
4πH 2
=
4
π( H 4 − h 4 )( H 2 − h 2 ) − 4πh 2 (a + a 2 ( H 2 + h 2 ))
4( H 2 − h 2 ) 2 π
160
H 2 ( H 2 − h 2 ) 2 = ( H 4 − h 4 )( H 2 − h 2 ) − 4h 2 (a + a 2 ( H 2 + h 2 ))
H 2 ( H 2 − h 2 ) 2 − ( H 2 + h 2 )( H 2 − h 2 ) 2 = −4h 2 (a + a 2 ( H 2 + h 2 ))
( H 2 − h 2 ) 2 = −4(a + a 2 ( H 2 + h 2 ))
4a 2 ( H 2 + h 2 ) + 4a − ( H 2 − h 2 ) 2 = 0
Решая квадратное уравнение, получаем, что параметр a равен
a=
1 + ( H 2 − h2 )2
4( H 2 + h 2 )
−
1
2( H 2 + h 2 )
На примере колебаний сплошного круглого стержня и стержня таких же размеров, имеющего полость, проходящую по всей длине стержня (трубчатого стержня), можно сделать вывод, что при определенном
положении полости стержня, один из спектров собственных частот изгибных колебаний стержня с полостью совпадает с соответствующим
спектром собственных частот колебаний сплошного бездефектного
стержня.
Аналитически выявлено значение параметра, характеризующего
положение полости трубчатого стержня, при котором спектр частот его
изгибных колебаний (вокруг оси Z1 ) совпадает с соответствующим
спектром частот сплошного стержня.
Одного спектра частот изгибных колебаний еще недостаточно для
идентификации местоположения и размеров полости. Для идентификации полости необходимо использование собственных частот из двух
спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей).
Список литературы
1. Всегда ли наличие полости в стержне меняет собственные частоты? / А. М. Ахтямов, Е. В. Саляхова // Техническая акустика : электронный журнал.
2. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний / А. О. Ватульян, Н. О. Солуянов // Прикладная механика и техническая физика. – 2008. – Т. 49, № 6.
3. Математическое моделирование диагностирования полостей в
стержне по собственным частотам колебаний / Е. Саляхова. – Уфа, 2012. –
20 с.
4. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1986. – 287 с.
5. Денисов, А. М. Введение в теорию обратных задач / А. М. Денисов. – М. : Изд-во Московского университета, 1994.
161
ПРЕДСКАЗАНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ТОНАЛЬНЫХ
ЗВУКОВ РУССКОЯЗЫЧНОЙ РЕЧИ
Д. М. Калашников
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
В статье рассматривается проблема разделения на звуки слитной
речи, определение их параметров и формирование баз звуков характерных для голоса конкретного человека. Предложено строить распределение длин тональных звуков и по нему предсказывать наиболее вероятную длину одного звука слитной речи.
Механизм классификатора тон/шум, построенный на линейном
предсказании речи, на данный момент времени используется в большинстве современных вокодеров.
К сожалению, качество принятия решений линейным предсказателем тон/шум низкое. Причина низкого качества состоит в покадровой
обработке. В одном кадре может содержаться как тон, так и часть шума.
Существует большая вероятность того, что автокорреляционная функция на таком промежутке даст на выходе неверное значение.
Автомат должен более надежно классифицировать фрагменты
звука на тональные и шумовые. Для этого автомат должен обладать информацией об ожидаемой длине звука в конкретной речи конкретного
человека.
На рис. 1 приведен пример звукового файла с результатом классификации тон/шум.
Рис. 1. Распределение тон/шум на фразе «Мишка косолапый»
Из рис. 1 видно, что появляются тональные участки разной длины.
Алгоритм, осуществляющий данную классификацию, использует
покадровую обработку сигнала, что вызывает случаи, на которых кадр
может содержать одновременно тон и шум. На подобных участках кадра
162
автокорреляционная функция становится не устойчивой и велика ошибка в определении периода основного тона.
Чтобы свести эту ошибку к минимуму, необходимо четко определять границы тона, при этом каждый раз уточняя необходимые параметры.
Было произведено исследование по работе алгоритма линейного
предсказателя на классификацию тон/шум на нескольких фразах разных
людей. При десяти повторных произношений, представленной на рисунке 1 фразы, алгоритм выдал несколько отличных друг от друга участков
тон/шума.
В целом все аудиозаписи выявили общие тоновые и шумовые
участки, иногда подобные, иногда разделенные. В данном примере кадр
был взят длинной в 256 отсчетов. Постоянная потеря участков такой
длины искажает биометрию пользователя и сказывается в задачах аутентификации человека по голосу.
Так как алгоритм линейного предсказателя используется повсеместно и в большинстве случаев выдает верные значения, его можно использовать для наращивания и построения статистики.
а)
б)
Рис. 2. Автокорреляционная функция
на тоновом участке (а) и шумовом участке (б)
На рис. 2 приведен пример поведения автокорреляционной функции на чистом тоновом кадре и на плохо обусловленном.
Из рис. 2 очевидно вытекает потребность к переходу к непокадровой обработке сигнала, в которой будет присутствовать постоянное
уточнение тонового участка. При автоматическом вычислении, машина
ищет наибольшую вершину от точки отсчета, после чего считает количество отсчетов между этими точками. В случае как на рисунке 2б, произойдет ошибка – период основного тона вычистится неверно, так как
кадр является шумовым и тональная периодичность отсутствует. На по-
163
добном кадре могут содержаться и тоновые составляющие, которые при
обычной линейной обработке будут безвозвратно утеряны.
На данный момент эффективного фрагментатора слитной речи на
звуки не существует.
Одна из причин, затрудняющая решение этой задачи, заключается
в том, что не создано эффективных прогнозистов ожидаемой длины очередного звука слитной речи. Для того, чтобы создать прогнозиста времени звуков, необходимо знать статистику их распределения. Простейшим способом получения этой статистики является использование классического линейного предсказателя тон/шум [1].
На рис. 3 приведена блок-схема алгоритма классификатора
тон/шум. Сигнал проходит обработку на линейном предсказателе, выдает ошибку и значение периода основного тона.
Рис. 3. Алгоритм классификатора тон/шум
Впоследствии ошибка проходит на пороговый классификатор и
заносится в базу шумов, на которой учится нейросетевой корректор
тон/шума. Постоянное поступление сигнала способствует накоплению
базы, что дает постоянное уточнение порогов за счет непрерывного обучения нейронной сети.
Был проделан следующий эксперимент, состоящий в анализе 30
минутного, речевого аудиофайла, прочитанного одним диктором.
Далее звуковой файл был разбит на тональные звуковые фрагменты. Гистограмма распределений интервалов длительности тональных
фрагментов звука приведена на рис. 4.
На рис. 4 дана аппроксимация гистаграммы смесью из 6-и нормальных законов распределений значений длин интервалов. Аппроксимация осуществлена, опираясь на зрительное восприятие. Мы видим,
что наиболее вероятное значения длин одного, двух, трех, …, звуков
кратно друг другу. Это условие может быть записано следующей системой уравнений (1)
164
 E (T1 ) = CБио
 E (T ) = 2C

2
Био
(1)

...................

 E (Tn ) = nCБио
где E (Tn ) – математическое ожидание нормальных распределений.
Очевидно, что с увеличением статистики распределений точность
определения средней длины звука будет увеличиваться.
Рис. 4. Смесь нормальных законов распределения значений
длительности звуков тональной слитной мужской речи
Статистическая модель предсказателя длины звуков существенно
упрощается, если принять гипотезу одинаковых значений среднеквадратических отклонений распределений длин звуков:
σ1 = σ2 = ... = σn = σ Био .
(2)
Еще одним параметром статистической модели является отношение значений максимумов нормальных распределений. Из рис. 4 видно,
что наибольшим является 1-ое распределение, а последующее уменьшается. Значения P1 , P2 ,.., Pn монотонно убывают, однако:
P1 + P2 + ... + P6 ≈ 1 .
(3)
Последнее обусловлено тем, что каждое из нормальных распределений появляются со своей вероятностью. Сумма всех вероятностей событий
должна быть единичной. Оценить вероятность появления кажого из 6-и
нормальных законов можно путём выделения равных интервалов вокруг
математических ожиданий и подсчета попавших в эти интервалы значений:
2
Pi =
E (Ti ) +σ ( − ( E (Ti ) −t ) )
2σ 2
e
dt .
1
σ 2π E (T) −σ
(4)
i
В формуле 4 принят интервал размером в 2 среднеквадратических
отклонения от математического ожидания.
165
Вычисления (4) могут быть проведены однократно, т.к. отношения
рассматриваемых вероятностей не зависят от диктора, являясь
параметрами языка на котором говорит диктор:
Pi
= k1,i ;
P1
Pi
= k2,i ;
P2
Pi
= k3,i .
Pn
(5)
Суперпозиция нормальных законов распределения представлена в
формуле (6).
p1ϕ1 + p2ϕ2 + p3ϕ3 + ... + pnϕn ≈ 1 ,
(6)
− ( E (Ti ) −t ) 2
1
2
e 2σ
, n – количество распределений.
σ 2π
Таким образом, опираясь на описанную выше статистическую модель, можно создать достаточно эффективные предсказатели длин звуков слитной речи. Эта модель должна постоянно подстраиваться по своим параметрам при анализе речи. По мнению автора, человек способен
надежно предсказывать интервалы звуков, опираясь на 2-3 слова, произнесенные диктором. Искусственный автомат, предсказывающий длину
звука, должен работать, опираясь на статистику порядка 20-30 слов,
произнесенных диктором.
Вопрос определения шума как в отдельности и накапливании базы
образов шумов является не менее важным. Опираясь на его знание, с
увеличением статистики точность определения границ тона становится
выше. При произношении слов диктором могут возникнуть помехи со
стороны, что повлияет на участки звука и из-за этого автомат может посчитать это за тон, что скажется на точности вычисления математического ожидания периода основного тона.
Суть проводимых исследований заключается в построении автомата по вычислению средней длины звука и его привязке к классификатору тон/шума. Их взаимная работа будет способна уточнять параметры
и накапливать базу по мере поступления сигнала.
где ϕi =
Список литературы
1. Иванов, А. И. Идентификация человека по особенностям его голоса / А. И. Иванов. – Пенза : ПНИЭИ.
2. Иванов, А. И. Подсознание искусственного интеллекта: программирование автоматов нейросетевой биометрии языком их обучения /
А. И. Иванов. – Пенза : ПНИЭИ.
3. Rabiner, L. R. Fundamentals of speech recognition / L. R. Rabiner,
B. H. Jang. – New Jersey: Prentice Hall PTR,Englewood Cliffs, 1993. – 507 p.
4. Шелухин, О. И. Цифровая обработка и передача речи /
О. И. Шелухин, Н. Ф. Лукьянцев. – М. : Радио и связь, 2000.
166
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭРОЗИЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПРОЦЕССА
ВЛАГОПРОНИЦАЕМОСТИ НА СКЛОНОВЫХ ЗЕМЛЯХ
Н. В. Королева1, В. Д. Власенко2
1
Тихоокеанский государственный университет,
г. Хабаровск, Россия
2
Вычислительный центр ДВО РАН,
г. Хабаровск, Россия
[email protected], [email protected]
В статье исследуется моделирование почвенно-эрозионных процессов. Отрыв частиц почвы и их транспорт составляют суть процесса
водной эрозии почв. Они осуществляются за счет энергии дождевых капель и (или) мелководных потоков. Наиболее перспективно использование физически обоснованных уравнений, описывающих размывающую
и транспортирующую способности водных потоков, а также системы
уравнений гидромеханики для расчета баланса масс взвесенесущего потока.
Целью работы является разработка методов моделирования почвенно-эрозионных процессов, а именно: экспериментальное исследование инфильтрации воды, отрыва частиц связного грунта вследствие
дождевых осадков, транспорта наносов мелководными водными потоками и построение соответствующих уравнений, а также исследование
математической модели нелинейной задачи влагопроницаемости при
неполном водонасыщении грунтовой среды.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
• разработка и совершенствование методов физического и математического моделирования эрозионных процессов,
• разработка компьютерных моделей для расчёта потерь почвы
при различных вариантах осадков,
• исследование особенностей проявления эрозионных процессов
за многолетний период.
Основные характеристики
При диаметре капель 0,2-7,7 мм скорость их падения составляет
0,8-7,7 м/с, высота подъема частиц в воздух достигает в среднем 25-30
см, а дальность разбрызгивания 1-1,5 м. Дождь по сравнению с поверхностным стоком имеет в 256 раз большую кинетическую энергию.
Капли дождевой воды обладают большой энергией, до 30% которой при ударе о незащищенную поверхность почвы расходуется на разрушение, распыление агрегатов и их разбрызгивание. 2/3 энергии капли
тратится на образование углубления (ударного кратера) и уплотнения
верхнего пласта почвы толщиной до 2-3 см, 1/3 – на разбрызгивание.
167
Слой воды глубиной более 12 мм гасит удар капли. Водопроницаемость корочки может быть в 200 раз меньше, чем нижележащих слоев.
При уклоне местности в 45° и взлете брызг под углом 60° их полет вниз
по склону в 2,5 раза дальше, чем вверх.
Различие в дальности полета мелкозема и его количественное соотношение в переброски вниз и вверх по уклону строго зависит: от крутизны склона, количества капель дождя, их размеров. Вниз вместе с
брызгами улетает в 3 раза больше частиц почвы, чем вверх.
Достаточно простое выражение, учитывающее почти все факторы,
определяющие явление, получить невозможно. В связи с этим примем
несколько допущений: 1) все выпавшие капли имеют шарообразную
форму и размер, равный среднему диаметру; 2) почвы рассматриваемого
участка характеризуются одинаковыми свойствами как по глубине, так и
по простиранию; 3) разрушение начинается при достижении напряжения
вследствие удара дождевых капель предела прочности почвы (для ударного действия нагрузки), контакт воздействия капли–круговой; 4) действующий удар не полностью упругий; 5) для описания изучаемого явления приближенно принята закономерность удара неупругих тел; 6) не
принимается во внимание влияние трещин и пор грунта.
Рассмотрим действие отдельных дождевых капель. Характерным
размером этих капель будет средний диаметр.
Известно, что при полном упругом ударе капля должна вернуться
в исходное положение. При неупругом ударе капля не должна
отскакивать, здесь имеем частично упругий удар. Капля в зависимости
от размера и свойства разрушаемого материала отскакивает на
различное расстояние.
Если можно не учитывать коэффициенты условий работы и
перегрузки предварительные эксперименты позволяют приближенное
значение допускаемых (неразрушающих) скоростей дождевых капель
выразить следующей простой зависимостью [1]
vc.доп =
0,7CM
,
ρ
где ρ – плотность воды, С – сцепление грунта в состоянии полного водонасыщения, М – коэффициент, учитывающий уменьшение сцепления за
счет трения.
Скорость падения дождевых капель можно вычислить следующей
формулой
−1
 0,787 503 
vk = 106  2 +
 .
 d
d
k 
 k
Ниже дана зависимость, отражающая эрозию почвы по всей длине
склона шириной 1м. Для выражения этой величины в тоннах на гектар
168
необходимо полученное уравнение умножить на 10000 кг, где q –
объемный вес почвы в состоянии полного водонасыщения (т/м3)
2

0,13γIvk2  d k vk
' cos β
− 1 tgβ − tg α
qD =
t
,
2g
cos α'
 d d .k vc.доп

(
)
где γ – объемная масса почвогрунтов в состоянии полного водонасыщения (т/м3); I – средняя интенсивность дождя (м/с); g – ускорение свободного падения(м/с2); vk – скорость падения капель дождя (м/с); d k – средний диаметр капли (см); vc.доп – допустимая скорость падения дождевых
капель (м/с); d d .k – допустимый диаметр капель дождя (см); α ' – угол
наклона склона к горизонту; t – продолжительность поливов (с); β – угол
между горизонтом и осредненным направлением движения капли.
Для вычисления влажности решим нелинейную задачу влагопроницаемости.
Математическая постановка нелинейной задачи влагопроницаемости следующая: найти функцию влажности W ( x, y, t ) , определенную и
непрерывную в замкнутой области Ω вместе со своими производными,
удовлетворяющую внутри этой области нелинейному дифференциальному уравнению
∂W
= ∇ ( k ( W ) ∇W ) + Q ,
∂t
(1)
где k(W) – коэффициент влагопроницаемости или фильтрации, зависящий от влажности, ∇ − оператор Гамильтона.
Зададим начальные условия
W ( x, y , t )
t =t0
= W0 ( x, y ) ,
(2)
где W0 ( x, y ) – известная функция, минимальное значение влажности, а
на границе S – граничному условию
W ( x, y, t ) = ϕ ( Ps , t ) ,
s
(3)
где Ps – точки границы
Применительно к уравнению (1) введем интегральную подстановку типа подстановки Кирхгофа:
Ф (W ) =
W
 k ( ω) d ω,
(4)
W0
где W0 − минимально возможное значение функции влажности в исследуемом процессе. Тогда уравнение (1) преобразуется к виду
169
∂W
= ΔФ + Q.
∂t
(5)
Таким образом, введение функции Ф(W) позволяет заменить исходную нелинейную задачу более простой – квазилинейной.
Так как уравнение (5) содержит две функции − W и Ф , то необходимо дополнить условия (2) и (3) соответственно выражениями:
Ф ( x, y,0 ) = f1 ( x, y ) ,
(6)
Ф ( x, y, t ) = φ1 ( P, y ) ,
(7)
s
s
где функции f1(x,y) и ϕ1 (P,t) получаются преобразованием исходных выражений f(x,y) и φ(x,y) в зависимостях (2) и (3) с помощью подстановки (4).
В работе [2] указывается, что в некоторых случаях коэффициент
k (W ) может аппроксимироваться следующей функцией
k (W ) =
a1
(1 − b1W )
2
.
где a1, b2 – эмпирические коэффициенты.
Рассматривая передвижение жидкости при неполном водонасыщении как движение по частично заполненному капилляру, Аверьянов в
работе [3] получил выражение для коэффициента фильтрации в зависимости от влажности
 W − W0 
k (W ) = a2 

 n − W0 
3,56
.
где a2 − эмпирический коэффициент.
Эквивалентная вариационная постановка для квазилинейной задачи (5)-(7)заключается в отыскании системы функции W и Ф, определенных и непрерывных в области Ω , имеющих в начальный момент времени
заданные распределения (2) и (6), удовлетворяющих на границе S области
условию (3) и (7) и сообщающих минимальное значение функционалу:

 1  ∂Ф 2  ∂Ф 2 
∂W



 −  Q −
+
 J (W ) = Ω   


 2   ∂x   ∂y   
∂t


 

 
Ф
→ min. (9)
 d Ω ⎯⎯



В пределах одного элемента справедливы соотношения [5]:
n
W j ( x, y, t ) =  Wk j φk j ( x, y ) = N j ( x, y )W j ( t ),
k =1
170
где W j – вектор узловых значений соответствующей функции; N j ( x, y ) –
матрица функций формы конечного элемента. Для Ф j расчет аналогичен. Тогда
2
2
   ∂N
  ∂N j
  
1
j

J (W ) = 
Ф  +
Ф   dxdy −

 2   ∂x j   ∂y j   
Ω 

−  Q∂N j Ф j dxdy + 
Ω
(
∂ N jW j
Ω
) N Ф dxdy,
j
∂t
j
(10)
Минимальное значение функционала (10) достигается при условии
равенства нулю первой вариации:
∂J (W )
∂W
= 0.
Система дифференциальных уравнений первого порядка получается после приравнивания к нулю производных функционала и решается
методом Рунге-Кутта.
По прошествии времени образуется сток и отрыв частиц уже происходит за счет энергии потока, а не капель.
Длительность дождя до образования стока находится по формуле
t0 =
k1k2
( I − Iд ) e
F
,
где F − сила ударов капель дождя, Iд − максимальная интенсивность дождя не вызывающая стока.
Сила ударов капель дождя определяется по формуле
0,033Ivk2
F=
.
dk
Данные для расчета коэффициентов k1 и k2 ,а так же IД можно
найти в [6].
Выводы
Разработана расчетная методика решения модельной задачи определения влажностных полей в грунтовой насыпи с использованием метода конечных элементов, методом вычислительного эксперимента исследованы особенности движения влаги в грунтах, разработан подход к
обоснованию допустимых потерь почвы.
Практическая значимость полученных результатов исследований:
разработанные математические модели водной эрозии почв необходимы
171
для конструирования противоэрозионных комплексов для разных зон
России; предложенный подход к обоснованию допустимых потерь почвы позволяет разработать нормативы по допустимому смыву для различных зон России; может быть осуществлен прогноз процессов влагопроницаемости грунтов, что позволит более обоснованно выбирать параметры дренажа и режим его работы с учетом свойств грунта; программный продукт может использоваться проектными организациями
при разработке проектов землеустройства хозяйств, а также в учебном
процессе в системе среднего и высшего сельскохозяйственного образования.
Список литературы
1. Мирцхулава, Ц. Е. Инженерные методы расчета и прогноз водной эрозии / Ц. Е. Мирцхулава. – М. : Колос, 1970. – 240 с.
2. Лыков, А. В. Тепломассообмен / А. В. Лыков. – М. : Энергия,
1972. – 560 с.
3. Аверьянов, С. Ф. Зависимость водопроницаемости почвогрунтов от содержания в них воздуха / С. Ф. Аверьянов // Доклады АН
СССР. – 1949. –Т. 69, № 2. – С. 141–144.
4. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. –
М.: Мир, 1984. – 428 с.
5. Марчук, Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы /
Г. И. Марчук, В. И. Агошков. – М. : Наука, 1981. – 414 с.
6. Григорьев, В. Я. Прогноз дождевой эрозии почв тундровых
почв полуострова Ямал / В. Я. Григорьев, А. Ю. Сидорчук. – М. : Изд-во
МГУ,1995. – С. 351–357.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ,
ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Н. П. Кривулин
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
Одной из важных проблем при проектировании систем,
обеспечивающих моднлирование одного из физических процессов,
таких как колебания, вибрация, теплопроводность и т.д., является выбор
172
параметров этих систем. На практике, в ряде случаев, выбор параметров
систем осуществляется эмпирически, допуская некоторые ограничения и
допущения, которые не всегда учитывают особенностей физических
процессов.
В работе предложен метод определения параметров систем,
обеспечивающий управление физическим процессом, математические
модели которых описываются дифференциальными уравнениями в
частных производных. Изложение ведется на примере уравнения
теплопроводности с перменными коэффициентами
∂u
∂ 2u
a (x,t) − b( x, t ) 2 = f(x,t) , 0 ≤ x ≤ l , t ≥ 0,
∂t
∂x
(1)
с начальными условиями u(x,0) = 0 и граничными условиями
u(0,t) = u(l,t) = 0 .
Здесь u(x,t) - выходной сигнал системы, f ( x, t ) - входной сигнал.
В качестве параметров системы будем рассматривать коэффициенты уравнения (1), которые будут определять требуемый процесс.
Постановка задачи. Требуется определить такие параметры
системы, описываемой уравнением (1), чтобы при воздейтсвии f1 ( x, t )
имело место распределение температуры u1 (x,t) , при воздейтсвии
f 2 ( x, t ) - u 2 (x,t) и при воздейтсвии f3 ( x, t ) - u 3 (x,t) .
Решение. Поставленную задачу будем рассматривать, как задачу
параметрической идентификации систем с распределенными параметрами. Известно [3], что решение уравнения (1) можно выразить через
функцию Грина G ( x, ξ, t , τ) в виде
tx
u ( x, t ) =  G ( x, ξ, t , τ) f (ξ, τ)d ξd τ ,
(2)
00
где t ≥ 0 – переменная времени, 0 ≤ x ≤ l- пространственная переменная;
f (ξ, τ) – входной сигнал; u ( x, t ) – выходной сигнал; G ( x, ξ, t , τ) –
функция Грина, которая выступает как импульсная переходная функци
или функция влияния системы.
Поставленную задачу будем решать в два этапа: первый –
определение импульсной переходной функции G ( x, ξ, t , τ) системы,
описываемой уравнением (2) и второй – определение переменных
коэффициентов системы, описываемой уравнением (1).
Определение импульсной переходной функции
Определение импульсной переходной функции основано на
следующем утверждении.
173
Теорема. Пусть изображение Лапласа функции G (x, ξ, t , τ) по
переменным x, t удовлетворяет условию
∞ ∞
−( p x + p t )
Gˆ ( p1, ξ, p2 , τ) =   G ( x, ξ, t , τ)e 1 2 dxdt =
0 0
= G0 ( p1, p2 )e
(
− ξq1 ( p1 ) +τq2 ( p2 )
),
(3)
где G0 ( p1, p2 ), q1( p1), q2 ( p2 ) – некоторые аналитические функции в
области Re( pk ) > σ, k = 1,2 .
Тогда изображение Лапласа уравнения
u ( x, t ) = 
∞ ∞

0 0
G ( x, ξ, t , τ) f (ξ, τ)d ξd τ
(4)
будет иметь вид
U ( p1, p2 ) = G0 ( p1, p2 ) F (q1( p1 ), q2 ( p2 )),
(5)
где U ( p1, p2 ) изображение Лапласа u ( x, t ) и F ( p1, p2 ) изображение
f ( x, t ) .
Доказательство. Найдем изображение уравнения (4) по
переменным x , t .
∞ ∞
0 0
u( x, t )e
(
− p1x + p2t
)dxdt =
∞ ∞ ∞ ∞
G ( x, ξ, t , τ) f (ξ, τ)d ξd τ ))e

0 0  0 0
=
(
− p1x + p2t
)dxdt .
(6)
Меняя порядок интегрирования в интеграле справа равенства (6)
по совокупности переменных ( x, t ) и (ξ, τ) , получим
U ( p1, p2 ) = 
∞ ∞
0 0
−( p x + p t )
 ∞ ∞

f (ξ, τ)    G ( x, ξ, t , τ)e 1 2 dxdt  d ξd τ =
 0 0

=
∞ ∞

0 0
f (ξ, τ)Gˆ ( p1, ξ, p2 , τ)d ξd τ .
(7)
Учитывая условие (3), (7) примет вид
U ( p1, p2 ) = G0 ( p1, p2 ) 
∞ ∞
0 0
f (ξ, τ)e
(
− ξq1 ( p1 ) +τqn ( pn )
)d ξd τ .
Откуда следует справедливость равенства (5), т.е.
U ( p1, p2 ) = G0 ( p1, p2 ) F (q1 ( p1), q2 ( p2 )) .
Следствие. Пусть система, описывается уравнением
u ( x, t ) = 
t x
 G( x, ξ, t , τ) f (ξ, τ)d ξd τ ,
0 0
174
(8)
где f (ξ, τ) – входной сигнал; u ( x, t ) – выходной сигнал; G ( x, ξ, t , τ) –
импульсная переходная функция.
Импульсная переходная функция G ( x, ξ, t , τ) удовлетворяет
следующим условиям:
1. Условию физической реализуемости
G ( x, ξ, t , τ) = 0 , при ξ > x и τ > t .
(9)
2. Преобразование Лапласа импульсной переходной функции
G ( x, ξ, t , τ) по переменным x,t удовлетворяет условию
∞ ∞
−( p x + p t )
Gˆ ( p1, ξ, p2 , τ) =   G ( x, ξ, t , τ)e 1 2 dxdt =
0 0
= G0 ( p1, p2 )e
−( ξq1 ( p1 ) +τq2 ( p2 ) )
,
(10)
где G0 ( p1, p2 ), q1( p1), q2 ( p2 ) – некоторые аналитические функции в
области Re( pk ) > σ, k = 1,2 .
Тогда изображение Лапласа уравнения (8) будет иметь вид
U ( p1, p2 ) = G0 ( p1, p2 ) F (q1 ( p1), q2 ( p2 )),
(11)
где U ( p1, p2 ) изображение Лапласа u ( x, t ) и F( p1, p2 ) изображение
f ( x, t ) .
Замечание. Рассмотренная теорема в одномерном случае является
теоремой Бореля [4], применение которой к идентификации одномерных
систем рассмотрено в работе [1].
По заданным функциям u1(x,t) , u 2 (x,t) , u 3 (x,t) и f1 ( x, t ) , f 2 ( x, t ) ,
f3 ( x, t ) используя соотношение (2), составим систему интегральных
уравнений
tx

 u1 ( x, t ) =  G ( x, ξ, t , τ) f1 (ξ, t )d ξd τ,

00

tx

u2 ( x, t ) =  G ( x, ξ, t , τ) f 2 (ξ, t )d ξd τ,

00

tx

 u3 ( x, t ) =  G ( x, ξ, t , τ) f3 (ξ, t )d ξd τ
00

(12)
относительно искомой импульсной переходной функции G ( x, ξ, t , τ) .
Пусть функция G ( x, ξ, t , τ) удовлетворяет условиям (9), (10); тогда
изображением системы интегральных уравнений (12), полученной на
основании (11) будет система алгебраических уравнений
175
 U1( p1, p2 ) = G0 ( p1, p2 ) F1 (q1( p1), q2 ( p2 )),

U 2 ( p1, p2 ) = G0 ( p1, p2 ) F2 (q1 ( p1 ), q2 ( p2 )),
U ( p , p ) = G ( p , p ) F (q ( p ), q ( p )).
0 1 2 3 1 1
2 2
 3 1 2
(13)
Решая систему (13) относительно искомых функций G0 ( p1, p2 ),
q1( p1), q2 ( p2 ) , найдем изображение импульсной перходной функции в
виде
−( ξq ( p ) +τq2 ( p2 ) )
.
Gˆ ( p1, ξ, p2 , τ) = G0 ( p1, p2 )e 1 1
(14)
Импульсную переходную фукнкцию G ( x, ξ, t , τ) определим, как
обратное преобразование Лапласа по переменным p1 , p2
G (x, ξ, t , τ) = −
=−
1 σ+ i∞ σ+ i∞ ˆ
( p1x + p2t )dp dp =
G
p
ξ
p
τ
e
(
,
,
,
)
1
1
1 2
4π σ−i∞ σ−i∞
1 σ+ i∞ σ+ i∞
( p x + p t )−( ξq1 ( p1 ) +τq2 ( p2 ) )dp dp
G0 ( p1, p1 )e 1 2
1 2


4π σ−i∞ σ−i∞
Таким образом, определена импульсная переходная функция
G ( x, ξ, t , τ) системы описываемой уравнением (2).
Определение параметров системы
Следуя методу изложенному в работе [2], возьмем две линейно –
независимые функции u1 ( x, t ) и u2 ( x, t ) . Используя соотношение (2),
составим два интегральных уравнения для определения соответствующих входных сигналов f1 ( x, t ) и f 2 ( x, t ) :
u1 ( x, t ) = 
t x
 G( x, ξ, t , τ) f1(ξ, τ)d ξd τ
0 0
u 2 ( x, t ) = 
t x
 G( x, ξ, t , τ) f2 (ξ, τ)d ξd τ.
0 0
(15)
Из решения системы интегральных уравнений (15) найдем
виртуальные сигналы f1 ( x, t ) и f 2 ( x, t ) .
Подставляя u1( x, t ) , u2 ( x, t ) и f1 ( x, t ) , f 2 ( x, t ) в (1), получим
систему алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов a ( x, t ) и b( x, t )

∂u1( x, t )
∂ 2u1( x, t )
+ b ( x, t )
= f1( x, t ),
 a ( x, t )
∂t

∂x 2

∂u2 ( x, t )
∂ 2u2 ( x, t )

+
a
(
x
,
t
)
b
(
x
,
t
)
= f 2 ( x, t ).

2
∂t
∂x
176
(16)
Решение системы (16) имеет вид
f1( x, t )
f 2 ( x, t )
a ( x, t ) =
∂ 2u1 ( x, t )
∂x 2
∂ 2u2 ( x, t )
∂x 2
∂u1 ( x, t )
∂t
∂ 2u1 ( x, t )
∂u2 ( x, t )
∂t
∂ 2u2 ( x, t )
∂x 2
∂x 2
∂u1( x, t )
f1 ( x, t )
∂t
∂u2 ( x, t )
f 2 ( x, t )
t
∂
, b ( x, t ) =
.
∂u1 ( x, t ) ∂ 2u1( x, t )
∂t
∂x 2
∂u2 ( x, t )
∂t
(17)
∂ 2u2 ( x, t )
∂x 2
Решение (17) системы (16) принимает более простой вид если в
качестве виртуальных выходных сигналов взять u1 ( x, t ) = φ1 (t ) и
u2 ( x, t ) = φ2 ( x) . Тогда коэфффициенты уравнения (1) будут определяться
формулами
a ( x, t ) =
f1 ( x, t )
φ1' (t )
, b ( x, t ) =
f1 ( x, t )
φ'2′ ( x)
.
(18)
В частности, если φ1(t ) = t и φ2 = x 2 , то (18) примет вид
a ( x, t ) = f1 ( x, t ), b( x, t ) =
1
f 2 ( x, t ).
2
Выводы
Предложеные методы определения параметров систем, основанные на методах идентификации систем с распределенными параметрами, позволяют:
1) определить импульсную переходную функцию, которая позволяет оценить качество переходных процессов данной системы;
177
2) на этапе проектирование системы, реализующей физический
процесс, позволяют определить ее параметры достаточные для достижения требуемого результата.
Cписок литературы
1. Бойков, И. В. Определение временных характеристик линейных
систем с распределенными параметрами / И. В. Бойков, Н. П. Кривулин //
Метрология. – 2012. – № 8. – С. 3–14.
2. Бойков, И. В. Восстановление параметров линейных систем,
описываемых дифференциальными уравнениями с переменными
коэффициентами / И. В. Бойков, Н. П. Кривулин // Измерительная
техника. – 2013. – № 4. – С. 6–10.
3. Бутковский, А. Г. Характеристики систем с распределенными
параметрами : справ. пособие / А. Г. Бутковский. – М. : Наука, 1979. –
224 с.
4. Эфрос, А. М. Операционное исчисление и контурные интегралы /
А. М. Эфрос, А. М. Данилевский. – Харьков : Гос. науч.-техн. изд-во
Украины, 1937. – 384 с.
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ КУСОЧНО-ПОСТОЯННОГО
УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СХВАТА
МАНИПУЛЯТОРА ПО ЗАДАННОЙ ТРАЕКТОРИИ
Е. А. Лизина
Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева
г. Саранск, Россия
[email protected]
Использование цифровой вычислительной техники в системах
управления роботами-манипуляторами обусловливает формирование
управляющих воздействий в дискретные моменты времени, т.е. применение кусочно-постоянного управления.
Манипуляционные роботы состоят из механической части системы и приводов (подсистем), обеспечивающих работу отдельных степеней подвижности механизма. Следовательно, естественно представить
модель манипулятора в виде многосвязной непрерывно-дискретной системы.
Рассматривается процесс синтеза кусочно-постоянного управления в системе, описывающей перемещение конца схвата манипулятора
вместе с объектом манипулирования по заданной траектории в пространстве.
178
Допустим, что каждая из n степеней подвижности активного механизма снабжена отдельным приводом, каждый из которые можно считать линейной стационарной системой, т. е. представить в виде [1]
S i : x i = Ai xi + biu i ( ph ) + f i Pi , i = 1, n,
(1)
где xi ∈ R ni – вектор состояния модели i–го привода, ni – размерность
модели привода (обеспечивающего i–ю степень подвижности механизма), u i ( ph ) – управление i–го привода, Pi ∈ R n – вектор усиления (или
момента) привода, действующего в i–й степени подвижности механизма,
Ai ∈ R
ni ×n
i
– матрица подсистемы S i , bi ∈ R ni , f i ∈ R ni .
В рассматриваемой модели две координаты xi каждого вектора S i
совпадают с qi и qi , т.е. с советующим углом (перемещением) и уголовной (линейной) скоростью i–й степени подвижности механизма. Модель
всей системы получается путем объединения модели механической части системы S M и моделей приводов S i . Вектор состояния системы записывается x следующим образом
S M : P = ( I n − DTF ) −1[ DT ( Ax + Bu ( ph)) + d ],
(2)
где T ∈ R n× N – матрица поворота i-го привода,
T = diag (T i ), T i ∈ R1×ni , qi = T i x i A ∈ R N × N , A = diag ( Ai ),
B ∈ R N ×n , B = diag (bi ), F ∈ R N ×n , F = diag ( f i ) .
После подстановки (1) в (2) и объединения систем получается модель системы S в форме
ˆ ( ph) ,
S : x = Aˆ ( x ) + Bu
(3)
где
Aˆ : R N → R N , Aˆ ( x ) = Ax + F ( I n − DTF ) −1[ DTAx + d ],
Bˆ : R N → R N ×n , Bˆ = B + F ( I n − DTF ) −1 DTB.
В результате модель системы S (минимальная конфигурация и
приводы) получается в виде многосвязной непрерывно-дискретной системы вида
xs = As xs + bsus ( ph ) +
179
q
 Asj x j ,
j =1
j≠s
s = 1, q.
(4)
где вектор состояния имеет размерность N = 6 , x = ( x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )T =
= (q1, q1, q 2 , q 2 , q3 , q 3 )T . На основе работ [2,3] предложен алгоритм построения стабилизирующего управления для системы (4).
Алгоритм:
1. Задание многосвязной системы (4). На данном этапе выделяются линейные управляемые подсистемы xs = As x + Bsus ( ph) , а также происходит выбор вида управления. Также на данном этапе проверяется
условие многосвязной системы управляемости (4) и пар ( As , Bs ) s = 1, q.
2. Синтез непрерывного управления на уровне линейных подсистем.
2.1. Осуществляется переход к соответствующим непрерывным
линейным подсистемам
(
)
xs = As + Bs k sT xs ,
(5)
с непрерывным управлением us = ksT xs .
2.2. Для полученных непрерывных линейных систем (5) строятся
стабилизирующие коэффициенты усиления так, чтобы выполнялось
(
)
условие Re λ j As + Bs k sT < 0 для каждого s = 1, q .
2.3. Выбор функции Ляпунова для исходной многосвязной систе-
(
( ))
мы V ( x ) = V1 ( x1 ) , V2 ( x2 ) , ..., Vq xq
T
, где Vs ( xs ) − функции Ляпунова
для линейных подсистем (5).
3. Дискретизация управления. Находятся оценки неравенств
Н. Н. Красовского, которым должны удовлетворять функции Vs ( xs ) . На
основании найденных оценок для каждой подсистемы определяется
предельный шаг квантования [4]. Окончательным шагом выбирается
минимальный h0 = min {h0 s } .
s =1, q
4. Моделирование коэффициентов ks и предельного шага квантования h0 таким образом, чтобы кусочно-постоянные управления были
технически реализуемы. Отметим, что данный пункт содержит в себе
различные условия в зависимости от вида рассматриваемой многосвязной системы, а также выбора локального или двухуровневого управления и включает в себя проверку условий теорем, доказанных в работах
[2, 3].
Результаты компьютерного моделирования процесса перемещения
конца схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве при
кусочно-постоянном управлении при начальных данных q1 = 1.8,
180
q1 = 0.35, q 2 = 1, q 2 = 2.98, q3 = 2.46, q 3 = 3.7 представлены на рис. 1.
На рис. 1,а–в показаны результаты моделирования линейных подсистем,
а на рис. 1,г – исходной многосвязной системы (4).
а)
б)
Рис. 1. Процесс стабилизации многосвязной системы (4)
с использованием кусочно-постоянного управления: а) стабилизация
относительно переменных q1, q1 ; б) стабилизация относительно
переменных q 2 , q 2 ; в) стабилизация относительно переменных q3 , q 3 ;
г) стабилизация системы (4) относительно всех переменных
181
в)
г)
Рис. 1. Окончание
Список литературы
1. Вукабратович, М. Управление манипуляционными роботами:
теория и приложения / М. Вукабратович, Д. Стокич. − М. : Наука, Гл.
ред. физ.-мат. лит-ры, 1985. − 384 с.
2. Лизина, Е. А. Двухуровневая стабилизация многосвязной гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями / Е. А. Лизина, В. Н. Щенников // Системы управления и информационные технологии. − 2011. – № 2 (44). − С. 30−34.
182
3. Лизина, Е. А. Стабилизация многосвязной управляемой гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями /
Е. А. Лизина, В. Н. Щенников // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. − 2011. − № 4(20). −
С. 14−24.
4. Блинов, И. Н. Линейные дифференциальные системы с кусочнопостоянными периодическими коэффициентами / И. Н. Блинов // Автоматика и телемеханика. – 1965. – Т. XXVI, № 1. – С. 180–183.
АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ РИСКА МОДЕРНИЗАЦИИ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ТРАНСПОРТЕ
ПО ЛИНГВИСТИЧЕСКОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ДАННЫХ
А. В. Нижегородов, А. В. Гущин
Самарский государственный университет путей сообщения,
г. Самара, Россия
[email protected] , [email protected]
При определении основных факторов, влияющих на процесс модернизации ТС, выделяются группы обобщенных и более конкретных
факторов (табл. 1, 2, рис. 1).
Первая группа (табл. 1) отражает политические, экономические,
социальные и инновационные стороны развития ТС. Факторы первой
группы используются, когда необходимо дать первоначальную оценку
модернизационной способности ТС, исходя из общих представлений по
выделенным сторонам развития. Вторая группа факторов отражает технологические, производственные, эксплуатационные и инновационные
стороны развития и используется она уже при оценке готовности к модернизации ТС.
Факторы второй группы (табл. 2) представлены на рис. 1 в виде
древовидной структурной модели.
По результатам анализа технических систем на транспорте из
общности факторов предстоящей модернизации можно выделить подмножество «группы риска» – совокупность факторов, например, удаляющих систему от момента завершения модернизационных работ и начала эксплуатации.
Возникает задача оценки риска модернизации по данной группе
факторов и использования полученной оценки при принятии окончательного решения проведения модернизации. Из-за высокой сложности
факторов, влияющих на процесс модернизации, и наложения различных
183
типов неопределённости нет смысла использовать для оценки риска
точный математический аппарат.
Таблица 1
Обобщенные факторы, влияющие
на модернизационную способность ТС
Необходимость повышения в будущем прогрессивности разрабатываемой
системы после ее ввода в эксплуатацию (фактор усиливается при соответствующем изменении политических и экономических мотивов, если в будущем прогнозируется интенсивное развитие ТС аналогичного назначения, усиливается моральное старение)
Развитие творческого потенциала разработчика, привлекаются специалисты
разных областей науки и техники (фактор усиливается, если в будущем прогнозируется появление высококлассных специалистов, возможностей проведения широкого спектра научных исследований у разработчика)
Обеспечение финансирования заказчиком представленных перспективных
планов по модернизации системы разработчиком (фактор усиливается по мере поступления сведений о создании ТС равных или превышающих по своим данным
разрабатываемую систему и наличии возможности у заказчика по дополнительным затратам на совершенствование системы)
Отсрочка изменений в технологических процессах производства разрабатываемой системы (обусловлена перераспределением ресурсов на другие цели в
будущем)
Рекомендации ученых НИИ по системным исследованиям в области развития техники по выбору конкретной градации модернизационной способности разрабатываемой системы
Отсутствие или недостаток способностей правильно сориентироваться в
противоречивой информации
по перспективам развития ТС аналогичного назначения
Использование при разработке системы наиболее применяемой элементной
базы, которая гибко реагирует на изменения как в соседних подсистемах (элементах), так и в конструкции в целом
Использование при разработке ТС конструктивно-схемных решений, которые позволяют в дальнейшем производить перераспределение функций между
подсистемами (элементами) ТС в целях повышения ее технического уровня
Появление большого количества технических предложений по повышению
функциональной эффективности как отдельных составляющих системы, так и ее
конструкции в целом (фактор усиливается при активизации инновационных процессов в науке и технике)
Изменения в составе комплекса, в котором будет функционировать ТС
(фактор предусматривает совершенствование других систем, с которыми взаимодействует разрабатываемая система)
Трансформация условий применения комплекса ТС, что вызывает необходимость изменения в организации как комплекса, так и в конкретной системе
В реальной ситуации лицо, принимающее решение, рассматривает
факторы риска как лингвистические переменные по шкале универсума
184
j = 1, m «Ранг низкий..высокий» с треугольными функциями принадлежности. Каждый фактор риска xk имеет характеристики sk , jk , где
jk = 1, nk , nk – количество (размерность) характеристик риска и важности для k-то фактора, k = 1, N , N – число факторов риска.
Таблица 2
Единичные факторы, влияющие
на проведение работ по модернизации ТС
x1 - квалифицированный состав разработчиков для проведения работ по
модернизации существующей ТС
x2 - система сформированных требований к существующей системе
x3 - разработка целевой программы модернизации ТС в соответствии с выделенными ресурсами
x4 - степень подготовленности технологического производства
x5 - выполнение обязательств внешних организаций-поставщиков
x6 - характеристика эксплуатационных возможностей системы
x11 - нехватка квалифицированных специалистов для проведения работ по
модернизации
x21 - неопределенность требований к модернизируемой системе
x22 - разработка некорректной функционально-структурной организации ТС
x23 - некорректное распределение функций операторов и их взаимодействия
при непосредственном применении
x24 - непрерывный поток изменения требований
x31 - неточный план проведения работ по модернизации
x32 - нехватка выделенных ресурсов
x41 - отработанность технологических операций
x42 - недостаточный уровень мастерства при проведении технологических
операций
x43 - деформированное, изношенное оборудование
x44 - изменение в цепочке технологических операций
x51 - нехватка готовых комплектующих сборок, поставляемых внешними
организациями
x52 - невыполнение договорных обязательств сторонними организациями
x61 - проведенная модернизация не обеспечит улучшение временных характеристик, влияющих на эффективность применения ТС
Степень риска и важности jk -й характеристики k-го фактора нечетко определяются композицией отношения их функций принадлежности g (jk ) (r , i ) = μ(jk ), r (r ) ⊗ μ(jk ),i (i ) , где r , i = 1..m шкалы размерностей рисk
k
k
ка и важности факторов. Веса факторов x1..xN в проекте модернизации
обозначим вещественными функциями W 2( x1 ) .. W 2( xN ) , а вес jk -ой
характеристики риска sk , jk k-то фактора xk соответственно W 1k ( sk , jk ) .
Для вещественных функций должны выполняться условия нормировки
185
N
 W 2( xk ) = 1 , 0 ≤ W 2( xk ) ≤ 1 , k = 1, N
k =1
и
nk
 W 1k (sk , jk ) = 1 ,
jk =1
0 ≤ W 1k ( sk , jk ) ≤ 1 , k = 1, N , jk = 1, nk .
Рис. 1. Вариант иерархической структурной модели факторов с характеристиками
риска, которые влияют на процесс модернизации ТС
Алгоритм оценки риска R по совокупности факторов заключается
в расчете матриц степеней риска: X k - для каждого фактора xk ,
S ( k ) = g ( k ) (r , i ) – для каждой jk -й характеристики k-го фактора, M – для
jk
jk
совокупности факторов риска в целом и в отображении G : M → R центроидным методом G, где величина R представляет собой четкое число –
оценку риска модернизации технической системы в целом. Шаги алгоритма:
Шаг 1. Формирование N факторов риска модернизации технической системы и k-Х совокупностей их характеристик, имеющих nk размерность.
Шаг 2. Определение лингвистических переменных (размерность
m) для оценки степени истинности факторов риска (выход нечеткой модели риска) и их характеристик (вход нечеткой модели риска). Построение для sk ,• треугольных функций принадлежности μ(jk ), r (r ) и μ(jk ),i (i ) в
k
k
количестве (nk ⋅ m) для степеней риска и важности по каждому k-му
фактору.
Шаг. 3. Получение nk функций g ( k ) (r , i ) по k-му фактору риска с
jk
формированием матриц S ( k ) = g ( k ) (r , i ) степеней риска по каждой jk -й
jk
jk
характеристике k-го фактора отдельно, размерность матриц m × m .
186
Шаг 4. Формирование X k нечеткой матрицы степеней риска k-го
фактора размерности m × m :
X k =  R1( k ) (k ,1),..., R1( k ) (k , m)  ,


(k )
R1
nk
(k , j ) =  W 1k ( sk , jk ) ×  S ( k ) 
 jk 
j =1
j
, j = 1, m ,
k
где нормированная сумма степеней риска по отдельной j-ой переменной
степени риска и важности фактора xk будет представлена соответствующим j-м столбцом матрицы X k .
Шаг 5. Получение матрицы M степеней риска для всей совокупности выделенных факторов риска:
M = [ R 2(1),..., R 2( j ),..., R 2(m) ] ,
N
R 2( j ) =  W 2( xk ) × ( X k )
j
, k = 1, N ,
k =1
где вектор R 2( j ) хранит нормированные суммы степеней риска характеристик выделенных факторов и равен размерности m лингвистических
переменных.
Шаг 6. Получение четкой оценки общего риска по совокупности
выделенных факторов по нечеткой матрице M. При этом следует учесть,
что структура M аналогична S (jk ) и X k , то есть по каждой колонке (или
k
строке с учетом симметрии M) можно аддитивно получить степень риска совокупности выделенных факторов для каждой лингвистической
терм-переменной. Если предварительное взвешивание степеней характеристик риска функциями W 2 , W 1k при формировании M обеспечивает
условие

M
 j

j
( )
=  MT
j

 ≤ 1.


j
Обозначим функцию принадлежности степеней риска совокупности выделенных факторов как
μ R ( j) =  M
j
.
j
Устранение ее нечеткости производится центроидным методом
дефаззификации по шкале универсума j = 1..m значений оценок риска
187
m
 j ⋅ μ R ( j)
R=
j =1
m
,
 μR ( j)
j =1
где величина R представляет собой оценку (четкое число) общего
риска совокупности выделенных факторов «Группа риска» модернизируемой ТС.
Результат вычисления R по модели оценки риска Шаг 1. – Шаг 6.
передается в систему принятия решения модернизации ТС.
Список литературы
1. Ерофеев, А. А. Интеллектуальные системы управления /
А. А. Ерофеев, А. О. Поляков. – СПб. : Изд-во СПбГТУ, 1999.
2. Искусственный интеллект. Справочник : в 3-х т. – М. : Радио и
связь, 1990.
3. Корнеев, В. В. Базы данных. Интеллектуальная обработка информации / В. В. Корнеев, А. Ф. Гарев, С. В. Васютин, В. В. Райх. – М. :
Нолидж, 2000.
СИСТЕМА СТАТИСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ФГСЧ
А. А. Никитин
Пензенский государственный университет, ОАО ПНИЭИ,
г. Пенза, Россия
e-mail: [email protected]
1. Оперативный статистический контроль
Цель контроля – обеспечение соответствия статистических характеристик вырабатываемых ФГСЧ (физический генератор случайных чисел на базе шумового диода) блоков (двоичных последовательностей
длины 256) заданным теоретико-вероятностным требованиям.
Методика контроля. Для выработанного блока К= (k1,..., k256 ) вычисляются значения контролируемых статистик h1, h2 , h3 и h4 , где
h1 = k1 + ... + k256 – число единиц,
255
h2 =  (ki (1 − ki ) + (1 − ki )ki +1) –
i =1
188
число знакоперемен, h3 – максимальная длина серии нулей; h4 – максимальная длина серии единиц.
При попадании всех вычисленных значений в установленные интервалы, а именно, при h1 ∈ [102, 154], h2 ∈ [102, 153], h3 ∈ [0, 30] и
h4 ∈ [0, 30], блок К полагается соответствующим теоретиковероятностным требованиям и принимается, в противном случае – бракуется.
При отбраковке трех подряд выработанных блоков осуществляется переход к диагностическому статистическому контролю ФГСЧ.
Для вероятности ошибки первого рода (вероятности отбраковки
блока К при гипотезе H 0 ) α имеет место неравенство α ≤ P{ h1 ∉ [102,
154] / H 0 } + P{ h2 ∉ [102, 153] / H 0 } + P{ h3 ∉ [0, 30] / H 0 } + P{ h4 ∉ [0,
30] / H 0 }, откуда, принимая во внимание соотношения
P{ h1 ∉ [102, 154] / H 0 } ≤ P{ h1 ∉ [102, 154] / p=0,49} ≤ 0,001466 = α1 ,
P{ h2 ∉ [102, 153] / H 0 } ≤ max{P{ h2 ∉ [102, 153] / p}:
p∈ [0,49;0,51]} ≤ 0,001411 = α 2 ,
P{ h3 ∉ [0, 30] / H 0 } ≤ P{ h3 ∉ [0, 30] / p = 0,49} ≤ 6 ⋅10−8 = α3 ,
P{ h4 ∉ [0, 30] / H 0 } ≤ P{ h4 ∉ [0, 30] / p=0,51} = α3 ,
получаем, что α ≤ α1 + α 2 +2 α3 ≤ 3 ⋅ 10−3 .
Для вероятности ошибки второго рода (вероятности принятия
блока К при гипотезе H1 : p∉ [0,3; 0,7]) β имеют место соотношения
β ≤ P{ h1 ∉ [102, 154] / H1 } ≤ P{ h1 ∉ [102, 154] / p = 0,7} ≤ 5 ⋅ 10−4 .
Вероятность троекратного принятия гипотезы H1 при гипотезе
H 0 не превосходит величины α3 ≤ 2,7 ⋅ 10−8 .
Вероятность троекратного принятия гипотезы H 0 при гипотезе
H1 не превосходит величины 3 β ≤ 1,5 ⋅ 10−3 .
2. Диагностический статистический контроль
Цель контроля – проверка работоспособности ФГСЧ.
Методика
контроля.
Для
выработанных
блоков
K1 = (k1,1,..., k256,1 ),..., K80 = (k1,80 ,..., k256,80 ) вычисляются значения контролируемых статистик h1' , h2' и h3' , где
h1' = k1,1 + ... + k256,1 + ... + k1,80 + ... + k256,80 – число единиц,
189
h2' =
255 80
  (ki, j (1 − ki +1, j ) + (1 − ki, j )ki +1, j ) +
i =1 j =1
79
+  (k256, j (1 − k1, j +1 ) + (1 − k256, j )k1, j +1) – число знакоперемен,
j =1
h3'
80
=
 I {k1, j + ... + k256, j ∉ [118,138]} – сумма индикаторов.
j =1
При попадании всех вычисленных значений в установленные интервалы, а именно, при h1' ∈ [9818, 10662], h2' ∈ [10006, 10473] и h3' ∈ [4,
29], ФГСЧ полагается исправным и осуществляется переход к оперативному статистическому контролю, в противном случае проводится повторный аналогичный диагностический контроль.
При попадании всех вычисленных значений при повторном аналогичном диагностическом контроле в установленные интервалы ФГСЧ
полагается исправным и осуществляется переход к оперативному
статистическому контролю, в противном случае ФГСЧ полагается неисправным.
Вероятности ошибок контроля. Для вероятности ошибки первого
рода (вероятности перехода к повторному диагностическому статистическому контролю при гипотезе H 0 , вероятности ошибочного признания ФГСЧ неисправным при повторном диагностическом статистическом контроле) α ' имеет место неравенство
α ' ≤ P{ h1' ∉ [9818, 10662] / H 0 } +
+P{ h2' ∉ [10006, 10473] / H 0 } + P{ h3' ∉ [4, 29] / H 0 },
откуда, принимая во внимание соотношения
P{ h1' ∉ [9818, 10662] / H 0 } ≤ P{ h1' ∉ [9818, 10662] / p = 0,49} ≤ α1' ,
P{ h2' ∉ [10006, 10473] / H 0 } ≤ max {P{ h2' ∉ [10006, 10473] / p}:
p∈ [0,49; 0,51]} ≤ α '2 ,
P{ h3' ∉ [4, 29] / H 0 } ≤ P{ h3' ∉ [4, 29] / p = 0,49} ≤ α '3 ,
получаем, что α ' ≤ α1' + α '2 + α'3 ≤ 3 ⋅ 10−3 .
Для вероятности ошибки второго рода (вероятности перехода к
оперативному статистическому контролю при гипотезе H1 : p∈ [0;
0,462]  [ 0,538; 1), вероятности ошибочного признания ФГСЧ исправным) β' , имеют место соотношения
190
β' ≤ P{ h1' ∉ [9818, 10662] / H1 } ≤
≤ P{ h1' ∉ [9818, 10662] / p = 0,538} ≤ 2 ⋅ 10−7 .
Вероятность двукратного принятия гипотезы H1 при справедливости гипотезы H 0 не превосходит величины (α ' ) 2 ≤ 9 ⋅ 10−6 .
Вероятность двукратного принятия гипотезы H 0 при справедливости гипотезы H1 не превосходит величины 2 β' ≤ 4 ⋅ 10−7 .
3. Регламентный статистический контроль
Методика контроля. Регламентный статистический контроль
ФГСЧ (РСК) производится на 1500 последовательных непересекающихся отрезках последовательности ФГСЧ длины 4096 бит каждый.
Производится подсчет и сравнение с установленными границами
значений статистик ν1 для 500 первых отрезков, статистик ν зп для 500
следующих отрезков, статистик σ для 250 следующих отрезков и статистик μ1 для 250 оставшихся отрезков.
Доверительные интервалы статистик имеют вид:
ν1 ∈ [2005, 2090], ν зп ∈ [2005, 2089], σ ∈ [61, 67], μ1 ∈ [166 ⋅ 8, 189 ⋅ 8].
Подсчитывается суммарное число выбросов Z α (Σ) статистик ν1 ,
ν зп , σ и μ1 за соответствующие доверительные интервалы. Производится подсчет значений ν1 , ν зп , h на объеме n=6144000.
ФГСЧ прошел РСК, если выполняются соотношения
Z α (Σ) ∈ [246, 350], ν1 ∈ [3067599, 3076401], X 2 ≤ 2305029227,
659 | 375( ν1 - ν зп /2) - ν1 (7) 2 | ≤ (48000- ν1 (7)) ν1 (7), ν1 (7) = [ ν1 /128],
в противном случае ФГСЧ подвергается повторному РСК. Если и
при повторном РСК случайная последовательность не соответствует
требованиям, то ФГСЧ считается неисправным и подлежит замене.
Система РСК разделяет гипотезы H 0 и H1 (r ) : {xk } – последовательность испытаний Бернулли с p = P{xk = 1} , p ∈ (0;0.498]  [0.502;1) с
вероятностями ошибок 1-го рода α ≤ 10−3 и 2-го рода β ≤ 3 ⋅ 10−10 .
4. Схема выравнивания ФГСЧ
Схема выравнивания ФГСЧ (рис. 1) с целью выработки блока из 4
слов обрабатывает блок из 16 слов, снимаемых с ФГСЧ.
Выравнивающее преобразование содержит линейный регистр
сдвига R из 8 шестнадцатиразрядных ячеек R0,..., R 7 . Операция «<<1»
означает линейный сдвиг на один разряд 16-ти разрядного слова в сто-
191
рону старшего разряда, операция «>>15» означает линейный сдвиг на 15
разрядов 16-тиразрядного слова в сторону младшего разряда.
+
g
R0
<<1
+
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
>>15
Рис. 1. Схема регистра R
Работа линейного регистра сдвига R описывается следующими
преобразованиями
t1:= R5 ⊕ R7 , t 2 := ( R0 << 1) ⊕ ( R7 >> 15) ⊕ g ,
R 7 := R6 , R 6 := R5 , R5 := R 4 , R 4 := R3 ,
R3:= R 2 , R 2 := R1 , R1:= t 2 , R0 := t1 .
Начальное заполнение регистра R – нулевое.
Действия по выработке случайной последовательности выполняются при поступлении запроса на выработку последовательности от
управляющего процессора. В процессе выработки случайной последовательности проводится постоянный оперативный статистический контроль ФГСЧ.
От ФГСЧ набирается случайная последовательность длины 64
слова. Каждый блок длины 16 слов выработанной последовательности
ФГСЧ проверяется в соответствии с системой критериев оперативного
статистического контроля ФГСЧ. В случае возникновения ошибки при
наборе случайной последовательности от ФГСЧ или не прохождении
ОСК любого блока случайной последовательности допускаются еще две
попытки набора случайной последовательности. При исчерпании всех
попыток набора случайной последовательности запускается диагностический статистический контроль ФГСЧ. При успешной проверке всей
случайной последовательности осуществляется ее преобразование с использованием схемы выравнивания.
Регистр R отрабатывает 128 тактов, при этом в каждый восьмой такт
(начиная с первого такта) в ячейку R1 подсуммируется поразрядно по модулю два очередное шестнадцатиразрядное слово g , снимаемое с ФГСЧ.
После каждого 128 такта на основе содержимого ячеек линейного
регистра сдвига R вычисляются шестнадцатиразрядные слова
192
W1,W2 ,W3 ,W4 : W1 = R0 ⊕ R7 , W2 = R1 ⊕ R6 , W3 = R 2 ⊕ R5 , W4 = R3 ⊕ R 4 .
Слова W1,W2 ,W3 ,W4 являются выходным 64-разрядным блоком
выравнивающего преобразования.
После проработки регистром сдвига 128 тактов и выработки блока
гаммы из 64 бит, матрица LT размера 64 × 256 , соответствующая преобразованию последовательности 256 бит ФГСЧ в последовательность из
64 бит обладает рангом 64, таким образом, выравнивающее преобразование F является невырожденным.
Если на вход выравнивающего преобразования поступает неравновероятная
бернуллиевская
последовательность
{xi }
с
0.4 < P{xi = 1} < 0.6 , то в выходном блоке условное распределение любого бита yk , k ∈1,64 отличается от равновероятного не более чем на
7 ⋅ 10−6 , при условии что значения остальных бит ( y1,..., yk −1, yk +1,..., y64 )
известны.
Характеристический многочлен сопровождающей матрицы линейного регистра сдвига имеет вид
15
ϕ( x) = x ⋅ (  x 2⋅t + x127 ) ,
t =0
при этом многочлен
15
ϕ1( x) =  x 2⋅t + x127
t =0
является полноцикловым, то есть имеет порядок 2127 − 1 .
15
Так как многочлен ϕ1( x) =  x 2⋅t + x127 неприводим, то регистр R
t =0
не имеет гомоморфных образов с числом состояний меньшим чем 2127 .
Установлено, что если входная последовательность выродится в
детерминируемую периодическую последовательность с периодом τ , то
так как число (2127 − 1) является простым и поэтому НОД (2127 − 1, τ) = 1 ,
последовательность состояний регистра R тоже будет периодической с
наследуемым периодом (2127 − 1) ⋅ τ . В этом случае период 64 битных
векторов ( y1,..., y64 ) , вырабатываемых схемой выравнивания будет делиться на число (2127 − 1) , что гарантирует гамму от перекрытий.
193
РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ МОД ФРАКТАЛЬНОГО ВОЛНОВОДА
С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА R-ФУНКЦИЙ
Ю. С. Семерич, Н. А. Романов, Е. Г. Романова
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected], [email protected]
Рассматривается задача для уравнения Гельмгольца, описывающего распространение электромагнитных волн в проводящей структуре [1].
Математическая модель данной задачи имеет вид
−Δψ ( x, y ) − λ 2ψ ( x, y ) = 0, ∀ ( x, y ) ∈ Ω ⊂ R 2 ,
(1)
с краевым условием Дирихле для Е-волн
ψ ( x, y ) = 0
(2)
Γ
и краевым условием Неймана для Н-волн
∂ψ ( x, y )
= 0,
∂n Γ
(3)
где ψ ( x, y ) – искомая функция, Δ – оператор Лапласа, Ω – ограниченная односвязная область в R 2 с кусочно-гладкой границей Г, n – вектор
внутренней нормали к Г.
Для решения краевой задачи Дирихле о собственных значениях
(1), (2) и краевой задачи Неймана о собственных значениях (1), (З) воспользуемся вариационным методом Ритца в сочетании с методом Rфункций.
Введем в рассмотрение гильбертово пространство L2 ( Ω ) и выделим в нем линейное множество функций
{
}
M = ψ ( x, y ) | ψ ∈ C ( Ω ) , ψ ∈ C 2 ( Ω ) , ψ Γ = 0 , Ω = Ω ∪ Γ ,
которое примем за область определения оператора −Δ . Как известно [3],
на линеале М оператор −Δ является положительно определенным. Его
собственные числа λ являются положительными и образуют бесконечную возрастающую последовательность, а собственные функции
ψ ( x, y ) , отвечающие различным собственным числам, ортогональны по
энергии и образуют полную систему. Краевая задача (1), (2) для оператора −Δ может быть сведена к эквивалентной вариационной задаче о
нахождении точной нижней границы функционала
J ( ψ ) = ( −Δψ, ψ )
194
(4)
на множестве функций из М при дополнительном условии ( ψ, ψ ) = 1 .
Искомую функцию ψ ( x, y ) в соответствии с методом R-функций
представим в виде так называемой структуры Л. В. Канторовича [2]
ψ ( x, y ) = ω ( x , y ) Φ ( x , y ) .
(5)
Здесь функция ω ( x, y ) такая, что ω ( x, y ) = 0 на Г, ω ( x, y ) > 0
внутри Ω , ω ( x, y ) < 0 вне Ω , то есть является знакопостоянной в области Ω и равна нулю на границе Г, а ее построение осуществляется с помощью метода R-функций. Для аппроксимации неопределенной компоненты Φ ( x, y ) обычно используется представление в виде линейной
комбинации системы базисных функций
n
Φ ( x , y ) ≈ Φ n ( x, y ) =  α k γ k ( x , y ) ,
k =1
где α k – неопределенные коэффициенты, {γ k ( x, y )} – известная функциональная последовательность, например, полиномы, сплайны или
атомарные функции [2].
С учетом сказанного структура Л.В. Канторовича примет вид
n
ψ n = ω α k γ k .
k =1
Коэффициенты α k могут быть найдены с помощью метода Ритца
так, чтобы ψ n , удовлетворяло соотношению ( ψ n , ψ n ) = 1 и чтобы величина ( −Δψ n , ψ n ) была минимальной. Предварительно преобразуем
функционал J ( ψ ) с помощью второй формулы Грина
( −Δψ, ψ ) = −  ψΔψdxdy =  ( Δψ )2dxdy −  ψ
Ω
Ω
Γ
∂ψ
dS .
∂n
В силу краевого условия ψ ( x, y ) = 0 , второе слагаемое в правой
Γ
части будет равно нулю и, в результате получим ( −Δψ, ψ ) =
2
 ( Δψ ) dxdy .
Ω
Таким образом, приходим к задаче нахождения минимума функции n переменных
2
 n

( −Δψ n , ψ n ) =    α k ∇ ( ωγ k )  dxdy ,

Ω  k =1
связанных уравнением
195
(6)
n
n
( ψ n , ψ n ) =  ( ωγ k , ωγi ) α k αi =   ω2 γ k γ iα k αi dxdy = 1 .
k ,i =1
(7)
k ,i =1 Ω
Для решения этой задачи воспользуемся методом неопределенных
множителей Лагранжа. Составим функцию
F ( ψ n ) = ( −Δψ n , ψ n ) − λ 2 ( ψ n , ψ n ) ,
где λ 2 – неопределенный пока численный множитель, и приравняем нулю ее частные производные по коэффициентам αi , i = 1, n , то есть
∂F ( ψ n )
= 0 . Получим систему уравнений вида
∂αi


2
2
α
∇
ωγ
∇
ωγ
dxdy
−
λ
ω
γ
γ
dxdy

(
)
(
)
 i 
k
i
 k i  = 0, i = 1, n. (8)

k =1  Ω
Ω

Система (8) является линейной однородной относительно неизвестных, которые не могут одновременно обратиться в нуль – в противном случае было бы нарушено условие (7). Отсюда следует, что определитель системы должен обратиться в нуль.
n
 ∇ωγ1∇ωγ1dxdy − λ  ω γ1γ1dxdy





 ∇ωγ n∇ωγ ndxdy − λ  ω γ n γ ndxdy
2
Ω
2
Ω
2
2
 ∇ωγ1∇ωγ ndxdy − λ  ω γ1γ ndxdy
Ω
Ω
 ∇ωγ n∇ωγ1dxdy − λ  ω γ n γ1dxdy
2
Ω
2
Ω
2
Ω
= 0. (9)
2
Ω
Раскрыв определитель, получим уравнение n-ой степени относительно λ 2 , которое будет иметь, вообще говоря, n корней. При каждом
λ 2 = λ 2m система уравнений (8) будет иметь отличное от нулевого решеm
ние α( ) , k = 1, n, которое даст нам, соответствующую λ 2 , функцию
m
k
m
ψ( ) = ω
n
n
 α(nm )γ k . При этом одна из функций ψ(nm ) реализует минимум
k =1
(
)
m
m
величины (6) и, таким образом, λ12n = −Δψ(n ) , ψ (n ) ‚ то есть этот мини-
мум равен наименьшему из корней уравнения (9). С возрастанием n указанный минимум не возрастает, в то же время он не меньше величины
наименьшего собственного числа оператора −Δ . Отсюда следует, что
при n → ∞ величина λ12n , стремится к пределу, который больше (или равен) наименьшего собственного числа λ12 оператора задачи. Следующим
собственным числом является второй по величине корень уравнения (9).
196
Таким образом, собственные значения оператора −Δ можно располо2
и все они являютжить в порядке их возрастания 0 < λ12n ≤ λ 22 n ≤  ≤ λ nn
ся корнями уравнения (9).
Для краевой задачи Неймана о собственных значениях (1), (З) в
качестве области определения оператора −Δ введем линеал


∂ψ ( x, y )
M 0 = ψ ( x, y ) | ψ ∈ C ( Ω ) , ψ ∈ C 2 ( Ω ) ,
= 0  , Ω = Ω ∪ Γ . Кроме
∂n Γ


этого, для однозначной разрешимости задачи необходимо, чтобы соблюдалось условие  ψdxdy = 0. На множестве M 0 оператор −Δ являетΩ
ся положительно определенным, и краевое условие Неймана (3) является
естественным для оператора −Δ , то есть не все элементы соответствующего энергетического пространства H −Δ будут ему удовлетворять.
Значит, отыскивая минимум функционала энергии в соответствующем
энергетическом пространстве H −Δ , необязательно заботиться о выполнении условия Неймана при построении минимизирующей последовательности. Таким образом, приходим к задаче определения точной нижней границы функционала (4) на множестве функций из энергетического
пространства H −Δ при дополнительном условии ( ψ, ψ ) = 1 .
В этом случае искомую функцию ψ ( x, y ) представим в виде следующей структуры решения
ψ ( x, y ) = Φ ( x , y ) .
(10)
Проводя рассуждения, аналогичные предыдущему случаю, приходим к уравнению
 ∇γ1∇γ1dxdy − λ  γ1γ1dxdy





 ∇γ n∇γ n dxdy − λ  γ n γ ndxdy
2
Ω
Ω
 ∇γ1∇γ ndxdy − λ  γ1γ n dxdy
2
Ω
Ω
 ∇γ n∇γ1dxdy − λ  γ n γ1dxdy
2
Ω
Ω
= 0 . (11)
2
Ω
Ω
Корни уравнения (11) дают приближенные значения собственных
чисел оператора −Δ и при n → ∞ наименьший собственный корень
уравнения (11) стремится к наименьшему собственному числу.
Перейдем к рассмотрению вопроса о построении уравнения границы области Ω с помощью теории R-функций. Для этого будем считать, что область Ω является фракталом, например, как показано на рис.
1 для случая предфрактала третьего уровня [5].
197
Рис. 1. Область Ω – предфрактал 3 уровня
На первом этапе построения функции ω ( x, y ) выберем так называемые опорные области
Σ1 = σ1 ≡ R 2 − x 2 − y 2 ≥ 0  ,


2


R
Σ 2 = σ2 ≡   − x 2 − y 2 ≥ 0  ,
2


где σ1, σ2 – окружности радиусов R и R/2, соответственно, и центром в
начале координат.
Зададим трансляцию области Σ 2 (рис. 2), выполнив замену переменных:
y
x1 = r cos μ − h, y1 = r sin μ , r = x 2 + y 2 , θ = arctg ,
x
mθ 

sin ( 2i − 1)
8
2 
i +1

μ ( θ, n ) =
−
.
1
(
)

2
πm i =1
i
−
2
1
(
)
∞
Здесь ( ρ, θ ) – переменные полярной системы координат, а параметр m задает число тиражируемых элементов, h определяет радиус
окружности, по которой производится вращение. В нашем случае
3
h = R и m=4.
2
Теперь зададим область
 R  2

2
2
2
2
2


Σ = R − x − y ≥ 0 ∪   − x − y ≥ 0  ,

  2 


1
являющуюся предфракталом уровня 1 (рис. 3), в виде предиката над областями где Σ '2 – трансляция области Σ 2 .
198
Рис. 2. Трансляция области Σ 2
Рис. 3. Предфрактал уровня 1.
Затем выполним переход от предикатной формы задания области
Σ к аналитическому выражению для уравнения границы
1
ω1 ( x, y ) =  R 2 − x 2 − y 2  ∨ α


 R  2

  − x12 − y12  .
 2 

Здесь знаки R-операций можно исключить, используя систему вида:
x ∧α
x ∨α
x+ y−
(
y=
x+ y+
(
y=
x 2 + y 2 − 2αxy
1+ α
x 2 + y 2 − 2αxy
1+ α
),
) , x = −x
где α ( x, y ) – произвольная функция, удовлетворяющая неравенствам
−1 < α ( x, y ) ≤ 1. К этим неравенствам для придания системе Rα симметрии относительно аргументов обычно добавляют условия
( ) ( )
α ( x, y ) ≡ α ( y , x ) ≡ α x, y ≡ α x, y ,
x, y ∈ℜ ,
но они не обязательны. В частности, используют
(
α ( x, y ) = 1 + x 2 + y 2
)
−1
.
Для следующего шага получим
1
ω2 ( x, y ) = ω1 ( x, y ) ∨ ω1 ( 2 x1,2 y1 ) .
2
Здесь использовано свойство подобия фигур, описанных уравне1
ниями ω ( x, y ) = 0 и
ω ( Kx, Ky ) = 0 , где K – коэффициент подобия.
K
199
Следовательно, для произвольного шага k + 1 имеем следующую рекуррентную формулу:
1
ωk +1 ( x, y ) = ωk ( x, y ) ∨ ωk ( 2 x1,2 y1 ) .
2
Окончательно уравнение границы области Ω запишем виде:
1

ωk ( x, y ) ∨ 2 ωk ( 2 x1,2 y1 ) = 0

.
ωk +1 ( x, y ) = 
 R  2

2
2
2
2
2
ω1 ( x, y ) =  R − x − y  ∨ α   − x1 − y1  = 0



 2 


Необходимо отметить, что выражение для уравнения границы области содержит буквенные параметры и поэтому, изменяя значения этих
параметров, становится возможным в рамках одной логической формулы проводить серию вычислений. На рис. 4 представлен график функции линий уровня области Ω .
Вычислительный эксперимент задач (1), (2) и (1), (3) проводился в
системе POLYE. Результаты расчетов собственных чисел и собственных
функций при R=8 представлены на рис. 5–8.
Рис. 4 Линии уровня области Ω
Рис. 5 Последовательность собственных чисел задачи (1), (2)
Таким образом, в данной работе рассмотрена задача определения
собственных чисел и собственных функций для волновода фрактальной
200
формы. Использовался метод R-функций в сочетании с вариационным
методом Ритца.
а) Линии уровня волны E21
б) Линии уровня волны E22
Рис. 6 Распределение поля Е-волн
Рис. 7 Последовательность собственных чисел задачи (1), (3)
а) Линии уровня волны H10
б) Линии уровня волны H 22
Рис. 8 Распределение поля Н-волн
Список литературы
1. Заргано, Г. Ф. Волноводы сложных сечений / Г. Ф. Заргано,
В. П. Ляпин, В. С. Михалевский и др. – М. : Радио и связь, 1986. – 124 с.
2. Рвачев, В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения /
В. Л. Рвачев. – Киев : Наук. думка, 1982. – 552 с.
201
3. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике /
С. Г. Михлин. – М. : Наука, 1970. – 512 с.
4. Михлин, С. Г. Численная реализация вариационных методов /
С. Г. Михлин. – М. : Наука, 1966. – 432 с.
5. Семерич, Ю. С. Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций / Ю. С. Семерич, Е. Г. Романова,
Н. А. Романов // Надежность и качество : тр. Междунар. симпозиума. –
Пенза, 2013. – Т. 1. – С. 229–231.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА
ИСКАЖЕННЫХ ЦВЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Т. В. Черушева, А. И. Бакурская
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected] ,[email protected]
К началу двадцать первого века резко возросла потребность в
средствах обработки цифровых изображений. В настоящее время изображения находят применение во многих отраслях человеческой деятельности: в сельском хозяйстве, геологических и гидрологических исследованиях, лесоводстве, охране окружающей среды, планировке территорий, в образовательных, разведывательных и военных целях. При этом
одни виды съемки часто дополняются другими, позволяющими получить качественно новые изображения, имеющие свои особенности. Как
правило, цифровые изображения непосредственно после съемки оказываются непригодными для использования по назначению в соответствующей отрасли, поскольку во время их регистрации или передачи могут
возникать разнообразные искажения, существенно влияющие на качество снимков. В связи с этим остро стоит проблема обработки изображений, заключающаяся в необходимости приблизить необходимое изображение к исходному, неискаженному.
Особое место занимает работа по улучшению качества цветных
изображений. Наряду с широким применением датчиков черно-белого
изображения, сегодня широко применяются датчики цветного изображения. Изображения, полученные на выходе оптико-электронных преобразователей, искажены помехами. При анализе объектов на сложном
фоне, фон тоже является помехой. Ослабление действия помех достигается фильтрацией. В зависимости от приложения фильтрация производится в пространственной или частотной области.
202
Использование цвета в обработке изображений обусловлено двумя
основными причинами. Во-первых, цвет является тем важным признаком, который часто облегчает распознавание и выделение объекта на
изображении. Во-вторых, человек в состоянии различать тысячи оттенков разного цвета, и всего лишь порядка двух десятков оттенков серого.
Второе обстоятельство особенно важно при визуальном (то есть выполняемом непосредственно человеком) анализе изображений.
Рецепторами глаза, отвечающими за восприятие цветов, являются
колбочки. В результате всесторонних экспериментов было установлено,
что примерно 65% всех колбочек воспринимают красный свет, 33% колбочек воспринимают зеленый цвет и только 2 % воспринимают синий
цвет (однако именно эти колбочки являются наиболее чувствительными). Вследствие таких спектральных характеристик человеческий глаз
воспринимает цвета как различные сочетания так называемых первичных основных цветов: красного(R), зеленого(G), синего(B).
Обработка цветных изображений в настоящее время обычно осуществляется двумя способами: способ покомпонентной обработки и
способ векторной обработки. Рассмотрим первый способ.
Пусть дано цветное изображение с внесенными искажениями: шум
и размытие. Необходимо восстановить изображения. Решается прямая
задача: внесение искажений в каждую компоненту изображения и обратная задача: устранение искажений (реконструкция) каждой компоненты устойчивым методом (методом регуляризации Тихонова). После
выполнения этих задач все три компоненты соединяются в единое RGB
изображение. Улучшение качества цветного изображения достигается
путём повышения резкости.
Восстановление смазанного изображения
Решение обратной задачи – задачи восстановления смазанного
изображения – сводится к решению множества одномерных интегральных уравнений:
1
Δ
x +Δ

ω(ξ)d ξ = g ( x) ,
(1)
x
справедливых при каждом у.
Преобразуем уравнение (1) в одномерное интегральное уравнение
Фредгольма I рода типа свертки:
+∞
 k ( x − ξ)ω(ξ, y)d ξ = g ( x, y), − ∞ < x < +∞
−∞
где
203
(2)
1 / Δ, − Δ ≤ x − ξ ≤ 0 или x ≤ ξ ≤ x + Δ
k ( x − ξ) = 
0
(3)
1 / Δ, − Δ ≤ x ≤ 0
k ( x) = 
.
0, иначе
(4)
или
Уравнение (2) обычно решается с помощью преобразования
Фурье. Тогда решение имеет вид:
1
ω(ξ) =
2π
+∞
 W (ω)e
− jωξ
dω,
(5)
−∞
где спектр решения
W (ω) =
G (ω)
,
K (ω)
(6)
G (ω), K (ω) -спектры правой части g ( x, y ) и ядра k ( x) уравнения (2),
равные
G (ω) =
+∞
g ( x)e jωx dx

(7)
−∞
K (ω) =
+∞
 k ( x )e
j ωx
dx
(8)
−∞
Ядро k ( x) имеет аналитическое представление, поэтому K (ω)
может быть найдено аналитически.
K (ω) =
+∞
 k ( x )e
−∞
j ωx
1
dx =
Δ
0
e
j ωx
−Δ
dx =
sin(ωΔ) cos(ωΔ) − 1
j.
+
ωΔ
ωΔ
А функция G (ω) может быть найдена численно в виде быстрого
преобразования Фурье.
Проанализируем поведение спектров G (ω), K (ω), W (ω) . При
ω → ∞ спектр G (ω) правой части g ( x) с учетом её зашумленности
стремится к некоторой константе (уровню «белого шума»), а спектр
1
K (ω) ведет себя как
, т.е. K (ω) → 0 при ω → ∞ , следовательно,
ω
W (ω) → ∞ при ω → ∞ и интеграл (5) расходится. Поэтому будем использовать регуляризацию Тихонова для устойчивости метода.
204
Решение уравнения (2) методами преобразования Фурье и регуляризации Тихонова имеет вид:
1
ωα (ξ) =
2π
+∞
 Wα (ω)e
−iωξ
dω ,
(9)
−∞
где
Wα (ω) =
K (−ω)G (ω)
2
K (ω) + αω2
(10)
где α > 0 - параметр регуляризации.
Обнаружение контуров на цветных изображениях.
Рассмотрим еще одну обратную задачу оптики – задачу обнаружения контуров на цветных изображениях. Она является важным инструментом для сегментации изображений, которую мы рассмотрим в этой
работе. Считаем, что изображение восстановлено от искажения типа
«смаз». Нам необходимо с помощью вычисления градиента обнаружить
контуры соответствующего цветного изображения.
Введем вектор c, определяемый как:
 cR 
с = cG  =
 
 cB 
R
G  .
 
 B 
(11)
Эта запись означает, что компонентами вектора c являются RGB
координаты точки в цветовом пространстве. Выражение
 c R ( x, y ) 
c(x,y) = cG ( x, y )  =


 cB ( x, y ) 
 R ( x, y ) 
G ( x, y )  .


 B( x, y ) 
(12)
показывает, что компоненты вектора c зависят от пространственных координат (x,y).
Пусть г, g и b – единичные векторы, направленные вдоль осей R, G
и В цветового пространства RGB. Зададим векторы:
u=
∂R
∂G
∂B
r+
g+
b
∂x
∂x
∂x
(13)
v=
∂R
∂G
∂B
r+
g+
b
∂y
∂y
∂y
(14)
Пусть следующие величины gxx, gyy, и gxy задаются соответственно
с помощью скалярных произведений этих векторов
205
2
2
2
2
2
2
g xx
∂R
∂G
∂B
= u ⋅u = u u =
+
+
∂x
∂x
∂x
g yy
∂R
∂G
∂B
= v⋅v = v v =
+
+
∂y
∂y
∂y
T
T
g xy = u ⋅ v = uT v =
∂R ∂R ∂G ∂G ∂B ∂B
+
+
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y
Следует помнить, что величины R, G и В, а, следовательно, и все g
являются функциями от х и у. С помощью введенных обозначений можно показать, что угол направления максимального изменения (роста и
убывания) вектора с(х, у) как функции (х, у) удовлетворяет уравнению:
tg 2θ =
2 g xy
( g xx − g yy )
,
(15)
а величина скорости изменения (т.е. модуль градиента) в направлении
этого угла θ задаётся выражением:
1/2
1

Fθ ( x, y ) =  ( g xx + g yy ) + ( g xx − g yy )cos 2θ + 2g xy sin 2θ  
2

(16)
где θ(х, у) и Fθ(x, у) являются изображениями, размеры которых совпадают с размерами входного изображения. Элементами θ(х, у) являются
углы градиентов в каждой точке исходного изображения, a Fθ(x,y) – модуль этого градиента.
Заметим, что tg(α) = tg(α ±π), поэтому если θ0 является решением
уравнения с tg, то и величина θ0 + π/2 также является его решением.
Кроме того, Fθ(x,y) = Fθ+π(x,y), т.е. функцию Fθ, достаточно вычислять
лишь для тех величин в, которые расположены в полуоткрытом интервале [0, π). Тот факт, что уравнения для в имеет два решения, которые
различаются на 90°, означает, что с каждой точкой (х, у) изображения
связаны два направления, расположенные ортогонально друг к другу.
Вдоль одного из этих направлений скорость изменения функции F максимальна, а вдоль другого – минимальна, поэтому окончательный результат получается выбором максимума из этих двух чисел в каждой
точке изображения.
Сегментация цветных изображений
Пусть имеется восстановленное цветное изображение с вычисленным значением градиента (изображение с обнаруженными контурами).
Необходимо выделить определенный объект на RGB изображении, цвет
которого лежит в определенном диапазоне. Для некоторой выборки
векторов в цветовом пространстве мы получаем оценку «среднего»
цвета, подлежащего выделению.
206
Пусть вектор a RGB пространства определяет этот цвет. Задача
сегментации заключается в том, чтобы классифицировать каждый
пиксель данного изображения в соответствии с тем, попадает ли его цвет
в заданный диапазон или нет. Для того, чтобы проиводить такое
сопоставление, необходимо иметь в цветовом пространстве некоторую
меру сходства. Простейшей такой мерой является евклидово расстояние.
Пусть z- произвольная точка RGB пространства. Будем говорить,
что точка z сходна по цвету с точкой a, если расстояние между ними не
превышает некоторого заданного порогового значения D0. Евклидово
расстояние между точками a и z задается формулой
D ( z, a ) = z − a = ( z − a)

T
1
( z − a)  2

=
1
22
= ( z R − aR ) + ( zG − aG ) + ( z B − aB )
,


2
2
(17)
где нижние индексы R, G, B используются для обозначения RGB
компонент векторов a и z. Геометрическое место точек, таких что
D ( z , a ) ≤ D0 , представляет собой шар радиуса D0 , показанный на рис. 1.
Рис. 1.Три способа выделения областей данных для сегментации
с использованием: (а)шара, (б)эллипсоида, (в)параллелепипеда
Точки, лежащие внутри или на поверхности шара удовлетворяют
заданному цветовому критерию; точки вне шара – не удовлетворяют.
Если присвоить двум множествам точек на изображении два различных
значения, скажем (1) белое и (2) черное, то получится двоичное
изображение, представляющее собой результат сегментации.
Полезным обобщением (17) является расстояние, задаваемое
выражением вида
D ( z, a ) = ( z − a) С

T
207
−1
1
( z − a)  2 ,

(18)
где C- ковариационная матрица, посчитанная по выборке векторов цветового пространства, репрезентативной по отношению к подлежащему
выделению цвета. Это расстояние принято называть расстоянием
Махалонобиса. Геометрическое место точек, для которых D ( z , a ) ≤ D0
представляет собой трехмерный эллипсоид (см. рис. 1,б), который имеет
важное свойство: направления его главных осей совпадают с направлением наибольшего разброса выборки. Если ковариационная матрица
является единичной, то расстояние Махалонобиса совпадает с обычным
евклидовым расстоянием.
Таким образом, рассчитав градиент изображения и убрав
«лишние» пиксели из рассмотрения, где сила краев меньше D0, мы
получаем искомый результат.
Описанные в данной работе методы не являются исчерпывающими; они иллюстрируют разнообразие методов, применимых к обработке
цветных изображений, и их важное предназначение и применение в различных сферах жизни общества.
Список литературы
1. Благовещенский, А. С. О восстановлении функции по
известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий /
А. С. Благовещенский // Математические заметки. – 1986. – Т. 39, № 6. –
C. 841–849.
2. Визильтер, Ю. И. Обработка и анализ изображений /
Ю. И. Визильтер, С. Ю. Желтков, А. В. Бондаренко, М. В. Осоков,
А. В. Моржин. – М., 2010. – 96 с.
3. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес,
Р. Вудс. – М. : Техносфера, 2005. – С. 421–494.
4. Фисенко, Т. Ю. Компьютерная обработка и распознавание
изображений : учеб. пособие / Т. Ю. Фисенко, В. Т. Фисенко. – СПб. :
СПбГУ ИТМО, 2008. – 192 с.
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ
МОДЕЛИ ЗЕРКАЛЬНОЙ АНТЕННЫ
М. В. Ширшов
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
Для исследования характеристик излучения зеркальной параболической антенны методом математического моделирования необходимо
208
построить её дискретную модель, заменяющую излучающую поверхность антенны многогранником. Модель может быть построена по разным методикам триангуляции, но общее для большинства из них одно,
возникновение фазовых сдвигов полей.
Оценим точность построения геометрической модели в рамках
теории геометрической оптики по отклонению треугольных граней от
поверхности параболоида. Оценивать отклонение треугольных граней
элемента будем по ходу парциального луча излучения зеркальной антенны и по отдельности в двух основных плоскостях xOz и xOy.
Для начала требуется определить точку С соприкосновения парциального луча и гладкой поверхности зеркала.
Рис. 1. Оценка точности геометрической модели
Погрешность в плоскости xOz определяется разностью между поверхностью многогранника ограниченного в плоскости точками rn и
rn +1 поверхностью зеркала и составляет сумму отрезков AC и CB .
Центр излучения на поверхности параболы определяемые шагом
разбиения образующий уравнение прямой:
z − zn
x − xn
.
=
zn +1 − zn xn +1 − xn
Точки пересечения образованных прямых, определяют расстояние
между поверхностями.
Уравнение прямой FC от фокуса до центра излучения на поверхности зеркала:
z−F
x−0
z−F
x

=
.
=
zC − F xC − 0
zC − F xC
209
Полученные уравнения применяются в системе для определения
точки пересечения (точка A) рис.1:
( z − zn ) ⋅ ( xn +1 − xn ) + xn ⋅ ( zn +1 − zn )

x − xn
 z − zn
xA =
=

z − z
zn +1 − zn
 n +1 n xn +1 − xn 
=
.

z
F
x
x
z
x
F
x
F
−
⋅
−
⋅
+
⋅
(
)
C
C


=
zA =


zC − F xC
xC
Расстояние между поверхностью модели и поверхностью зеркала
по прямой AC определяется по уравнению:
Δρ AC = ( x A − xC ) 2 + ( z A − zc ) 2 .
Угол падения парциального луча на поверхность зеркала равен углу отражения и следовательно U = W 2 , в свою очередь угол W является
противолежащим к углу V, тем самым получаем треугольник.
Если провести параллель оси OX через точку C то получим треугольник FCK рис. 1.
FC = ( F − zC ) 2 + (0 − xC ) 2 = ( F − zC ) 2 + xC2 ;
KC = ( xZ − xZ ) 2 + (0 − xC ) 2 = xC2 = xC ;
 FC 
V = arcsin 
.
KC


Не достающая точка треугольника ABC, точка B определяется по
уравнению:
z − zn
x − xn
=
;
zn +1 − zn xn +1 − xn
x − xC
z−F
=
.
zC − F xC − xC
Точка пересечения определяется по уравнению:
x − xn
 z − zn
=
xB = xC

z − z
 n +1 n xn +1 − xn 
=
( z B − z A ) ⋅ ( xB − x A ) + z A ⋅ ( xB − x A ) .

=
z
−
x
x
−
z
F
B
C


=
xB − x A

 zC − F xC − xC
Следовательно сторона треугольника ВС составит:
Δρ BC =
( xB − xC )2 + ( zB − zC )2 .
210
Оставшаяся сторона вычисляется:
Δρ AB =
( xB − xA )2 +( zB − z A )2 .
Для определения вектора нормали необходимо определить углы
образованного треугольника ABC:
 Δρ2 +Δρ2AB +Δρ2AC
∠CAB = arс cos  BC
2⋅Δρ BC ⋅Δρ AB


 ;

∠ACB = U = W 2 ;
∠ABC = 180 − ∠CAB − ∠ACB .
Нормаль усекает треугольник ABC и образует новый треугольник
ACS, угол CAB равен CAS, угол ACS равен углу U, угол ASC следовательно будет вычислен по уравнению:
ASC = 180 − U − CAS .
Для вычисления вектора нормали равный стороне треугольника
SC используем теорему треугольников [4]:
Δρ AC
ΔρSC
.
=
sin( ASC ) sin(U )
Разложив уравнение, получим погрешность дискретного элемента
модели в плоскости xOz:
ΔρSC =
Δρ AC ⋅ sin(U )
.
sin( ASC )
Из теории антенн фазовая ошибка не должна превышать дополнительного расстояние которое проходит луч т.е. ΔρSC ≥ λ 32 , чтобы модель не нарушала синфазность поля [3].
Погрешность в дискретного элемента в плоскости xOy вычисляется пересечение прямых (прямой из фокуса в центр излучения дискретного элемента и прямой образующей край дискретного элемента), максимальное отклонение определяется биссектрисой угла V (биссектрису угла обозначим как U).
Для определения погрешности требуется определить точку пересечения прямой идущей по углу наклона пересекающей центр и пересекающей прямую образующую дискретный элемент и точку на поверхности антенны. Точки лежат на поверхности кольцевой зоны и определены
уравнением 3. Прямая пересекается в центре, следовательно, максимальное отклонение вычисляется по уравнению:
xS =
xk + xk +1
y + yk +1
, yS = k
.
2
2
211
Точка пересечения с поверхностью кольцевой зоны описываться
по углу, значению xk полученному для кольцевой зоны получаем точку
на поверхности t:
xt = xk ⋅ cos ( αb ) , yt = xk ⋅ sin ( αb ) .
В результате максимальная погрешность в плоскости xOz составит:
Δρ R = ( xt − xs )2 +( yt − ys )2 .
Из теории антенн фазовая ошибка не должна превышать
ΔρSC ≥ λ 32 , чтобы модель не нарушала синфазность поля [3].
Для оценки промежуточных значений погрешности или частных
(для конкретной точки) используется механизм вычисления как и в
плоскости xOz.
Список литературы
1. Драбкин, А. Л. Антенно-фидерные устройства / А. Л. Драбкин,
В. Л. Зузенко, А. Г. Кислов. – М. : Сов. радио, 1974. – 536 с.
2. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и ее применение /
А. В. Скворцов. – Томск : Изд-во Том. ун-та, 2002. – 128 с.
3. Якимов, А. Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий : моногр. / А. Н. Якимов. – Пенза : Изд-во
Пенз. гос. ун-та, 2004. – 260 с.
4. Мякишев, А. Г. Элементы геометрии треугольника / А. Г. Мякишев. – М. : МЦНМО, 2002. – 32 с. – (Математическое просвещение).
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
ДВУХСЛОЙНОЙ ДИАФРАГМЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ
ВОЛНОВОДЕ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ПРОХОЖДЕНИЯ
А. С. Шутков, Е. Д. Деревянчук
Научный руководитель: д.физ.-мат. наук, профессор Ю. Г. Смирнов
Пензенский государственный университет.
г. Пенза, Россия
e-mail: [email protected]
Введение
При исследовании свойств композитных материалов, возникает
задача определения геометрических параметров слоистой диафрагмы,
которая относится к классу обратных задач. Как правило, технологии со-
212
здания новых материалов не позволяют заранее знать о толщине слоя
наращиваемого материала. Поэтому возникает задача определения геометрических параметров образца. По данному направлению имеется целый ряд работ как в России, так и за рубежом.
Поэтому актуальна разработка численно-аналитических методов
решения обратных задач электродинамики.
Постановка задачи
Пусть в декартовой системе координат задан волновод
P = {x : 0 < x1 < a,0 < x2 < b, −∞ < x3 < ∞} с идеально проводящей поверхностью ∂P . В волноводе расположена двухсекционная диафрагма Q с
известными диэлектрической и магнитной проницаемостями каждого
слоя ( εi > 0 ) ( μi > 0 ) . Вне диафрагмы среда изотропна и однородна с постоянной магнитной проницаемостью во всем параллелепипеде
( ε0 , μ0 > 0 ) . В волноводе распространяется волна H10 с известной амплитудой A , амплитуда прошедшего поля F считается также известной.
Требуется по известному коэффициенту прохождения F / A электромагнитного поля определить длины секций многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.
Математическая постановка задачи
Поведение электромагнитного поля внутри и вне объекта, расположенного в волноводе, описывается уравнениями Максвелла:
rotH = −iωε j Ε

rotE = iωμ0H
j = 1,2,, n,
(1)
где E – вектор напряженности электрического поля, H – вектор напряженности магнитного поля, ω – круговая частота.
213
Предполагаем, что π a < k0 < π b , где k0 – волновое число вакуума, k02 = ω2ε0μ0 . В этом случае в волноводе распространяется только
одна волна (волновод «работает» в одномодовом режиме).
Используя уравнения Максвелла, рассчитаем поле внутри объекта Q . Будем предполагать, что внешнее электрическое поле имеет вид:
 πx 
E( 0 ) = A sin  1  e −iγ 0 x3 e 2 ,
 a 
(2)
с известной амплитудой A . Здесь
2
γ 0 = ω ε0μ0 −
π2
a2
.
Тогда полное поле в n областях объекта Q и вне объекта имеет
вид:
(
(
)
)

 πx1 
−i γ 0 x3
+ Beiγ 0 x3
 E( 0 ) = sin  a  Ae




 πx1 
−i γ1x3
+ D1eiγ1x3
 E(1) = sin  a  C1e



...

πx
 E( n ) = sin  1  Cne−i γ n x3 + Dnei γ n x3

 a 

 E n +1 = sin  πx1  Fe−i γ 0 x3
( )
 a 

(
(3)
)
На границе областей должны выполняться условия сопряжения:
∂

[ E y ]L = 0;  E y  = 0, L : {( x, y, z ) : z = 0, z = l1, z = l2 } .
 ∂z  L
Тогда получим следующую систему уравнений:
214
(4)
 A + B = C1 + D1

 γ 0 ( B − A ) = γ1 ( D1 − C1 )
 −i γ1l1
+ D1eiγ1l1 = C2e −iγ 2l1 + D2eiγ 2l1
C1e

iγ l
−i γ l
iγ l
−i γ l
 γ1 D1e 1 1 − C1e 1 1 = γ 2 D2e 2 1 − C2e 2 1



− i γ n ln
+ Dneiγ nln = Fe−iγ n+1ln
Cne

i γ n ln
− Cne−iγ nln ) = γ n +1 (− Fe−iγ nln−1 )
 γ n ( Dne
(
)
(
)
(5)
В зависимости от того, что принимать за неизвестные в данной системе, можно получить прямую или обратную задачу.
В случае прямой задачи из (5) получаем аналитические выражения
для коэффициентов C j , D j .
Рекуррентный метод решения обратной задачи.
В обратной задаче, по известной амплитуде падающего поля A и
известному коэффициенту прохождения F , а также известным диэлектрическим проницаемостям εi , i ∈ (1; n ) требуется определить длины li
каждой секции диафрагмы. Идея разработанного метода решения данной задачи состоит в том, чтобы найти рекуррентную зависимость известных амплитуд A и F от неизвестных длин li . Такая зависимость
была найдена:
A=
1
n
2∏ γ j
( γ n pn +1 + γ 0qn +1 ) Fe−iγ0ln ,
(6)
j =0
где
2
γ j = ω ε j μ0 −
π2
a2
,
p1 = 1; p j +1 = γ j −1 p j cos α j + γ j q j i sin α j ;
q1 = 1; q j +1 = γ j −1 p ji sin α j + γ j q j cos α j ;
(
)
α j = γ j l j − l j −1 ,
j = 1,..., n.
Уравнение (6) является комплексным нелинейным уравнением относительно n неизвестных li . Очевидно, что количество уравнений
меньше, чем количество неизвестных. Записывая данное уравнение при
различных значениях круговых частот, получим необходимое количе-
215
ство уравнений. Для случая n секций достаточно знать значения A и F
при n / 2 круговых частотах, чтобы составить систему из n уравнений.
Математическая модель для двухсекционной диафрагмы
Для обратной задачи, при n = 2 , на основании формулы (6), имеем:
A=
1
( γ 2 p3 + γ 0q3 ) Fe−iγ0l2 ,
2 γ 0 γ1γ 2
(7)
где
p1 = 1; q1 = 1;
p2 = γ 0 p1 cos α1 + γ1q1i sin α1; q2 = γ 0 p1i sin α1 + γ1q1 cos α1;
p3 = γ1 p2 cos α 2 + γ 2q2i sin α 2 ; q3 = γ1 p 2i sin α 2 + γ 2q2 cos α 2 ;
2
γ j = ω ε j μ0 −
π2
a2
,εj =
γ 2j + π2 a 2
ω2μ0
(
)
α j = γ j l j − l j −1 ,
j = 1,2
Данная модель была реализована и протестирована в системе компьютерной математики MathCad.
Численные результаты
Параметры волновода: a = 2 см, b = 1см, A = 1 , значение круговой
частоты ω = 2.5 ( f = 11.94 ГГц ) , μ0 = 1 . Значения параметров приведены
в системе СГС. Как видно из табл. 1 погрешность вычислений не превышает 3 %.
Заключение
1. Проведено исследование задачи определения геометрических
параметров слоистой диафрагмы по коэффициенту прохождения. Решена задача определения толщины каждого слоя двухслойной диафрагмы.
Представлены численные результаты.
2. Полученные результаты можно использовать при исследовании
нанокомпозитных материалов.
3. В настоящий момент разрабатывается подход по решению обратной задачи для случая многослойной диафрагмы.
216
Таблица 1
ε1 = 1.1, ε 2 = 1.5
Вычисленные
значения
коэффициентов
прохождения
F / A = 0.886-0.394i
ε1 = 1.1, ε 2 = 1.5
F / A = 0.621-0.781i
l1 = 0.5, l2 = 1.7
l1 = 0.524, l2 = 1.72
ε1 = 1.1, ε 2 = 1.5
F / A = 0.736-0.632i
l1 = 1.1, l2 = 1.9
l1 = 1.092, l2 = 1.894
ε1 = 1.1, ε 2 = 2.1
F / A = 0.084-0.995i
l1 = 1, l2 = 2
l1 = 1.019, l2 = 2.017
ε1 = 1.5, ε 2 = 3.7
F / A = -0.74+0.192i
l1 = 1, l2 = 2
l1 = 1.003, l2 = 2.002
ε1 = 2.1, ε 2 = 3.7
F / A = -0.509+0.519i
l1 = 1, l2 = 2
l1 = 1.006, l2 = 2.003
Исходные
данные
Точные значения
длин секций
Вычисленные
значения длин
секций
l1 = 0.5, l2 = 1
l1 = 0.494, l2 = 0.997
Список литературы
1. Shestopalov, Y. Determination of permittivity of an inhomogeneous
dielectric body in a waveguide / Y. Shestopalov, Y. Smirnov // Inverse Problems. – 2011. – Vol. 27, № 9. – P. 095010.
2. Beilina, L. Approximate Global Convergence and Adaptivity for
Coefficient Inverse Problems / L. Beilina, M. Klibanov. – Springer, New
York, 2012.
3. Деревянчук, Е. Д. Решение обратной задачи определения тензора магнитной проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе /
Е. Д Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1. – С. 34–44.
4. Smirnov, Yu. G. Permittivity reconstruction of layered dielectrics in
a rectangular waveguide from the transmission coefficient at different frequencies / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov and E. D. Derevyanchuk //
Inverse Problems and Large-Scale Computations, Series: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. – 2013. – Vol. 52, XII. – P. 169–181.
РЕАЛИЗАЦИЯ КИНЕТИКИ МОРОЗОВА – КАРПЕНКО
НА ОСНОВЕ МОНОТОННОГО МЕТОДА ЧАСТИЦ
Ю. В. Янилкин, Ю. Ф. Захарова, В. А. Генрих
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
Трудно назвать раздел механики и физики, который имел бы для
человека большее значение, чем газодинамика. Исходные законы газодинамики чрезвычайно просты. Это хорошо известные законы сохране-
217
ния массы, количества движения, энергии. Однако, следствия из этих законов, которые получаются при конкретном их применении в задачах с
заданными начальными и граничными условиями, чрезвычайно разнообразны и, порой, неожиданны. Часто они приобретают форму парадоксов. Основная причина заключается в том, что уравнения газодинамики
являются нелинейными. Сложным является взаимодействие различных
элементов течения (волн разряжения и сжатия, ударных волн), существенно влияние граничных и начальных условий. Этим обусловлены
трудности анализа и решения конкретных задач газодинамики.
Модель сплошной среды позволяет применять для описания явлений методы математического анализа. В рамках данной работы в качестве модели сплошной среды будем рассматривать газ. В газовой динамике состояние сплошной среды определяют следующие величины:
– плотность ρ - масса единицы объема газа;
– давление р - сила действующая на единицу поверхности;
– удельная внутренняя энергия е - внутренняя энергия единицы
массы;
– скорость среды u.
Для описания движения сплошной среды используются два подхода: подход Лагранжа и подход Эйлера.
Подход Лагранжа — наблюдение ведется за фиксированной частицей среды, прослеживается изменение во времени ее параметров(то
есть, изучаем историю движения индивидуальных точек сплошной среды). Как отличить, отметить частицу? Это метки переменных Лагранжа.
Если частиц конечное число, то такой меткой может быть номер частицы.
Подход Эйлера - наблюдение ведется за точкой физического пространства; переменные Эйлера – координаты точки наблюдения
r(x1,x2,x3). При эйлеровом подходе изучается то, что происходит в разные
моменты времени в данной геометрической точке пространства, связанной с системой наблюдения (изменение величин в данной фиксированной точке пространства). Через точку пространства проходят различные
частицы среды (точки материальные). Скорость в точке – это скорость
частицы, проходящей через эту точку в данный момент.
Образно говоря, существуют два способа изучения течения реки:
– плавая на лодке от истоков реки до устья по течению (подход
Лагранжа),
– наблюдая с берега в фиксированных точках (подход Эйлера).
Проблема корректного расчета движения многокомпонентной среды является самой серьезной проблемой для лагранжево-эйлеровых и
эйлеровых методик, особенно в смешанных ячейках в окрестности контактных границ. Имеются два основных подхода к решению уравнения
адвекции для многокомпонентной среды.
Первый из них основан на выделении контактных границ и определении их положения на каждом счетном шаге. При этом контактная
218
граница может выделяться явным образом или же восстанавливаться на
каждом счетном шаге по полю концентраций. На последнем алгоритме
основаны методы типа концентраций [1], получившие широкое распространение.
Второй подход основан на применении методов частиц или маркеров [2]. В этом случае потоки веществ из смешанных ячеек определяются частицами, которые несут с собой определенные массы веществ.
Оба подхода имеют свои достоинства и недостатки. Достоинства
метода частиц связаны с лагранжевым представлением частиц и возможностью хранения информации о среде в них, что позволяет минимизировать погрешности эйлеровых методов, связанные с решением уравнения адвекции. Основным недостатком метода частиц является сильная
немонотонность решения, связанная с немонотонным переносом массы
и величин, связанных с массой, из ячейки в ячейку.
В настоящей работе предлагается метод частиц, реализованный в
рамках кода ЭГАК и свободный от указанного недостатка.
В коде широко используется метод расщепления по физическим
процессам, позволяющий из отдельных счетных модулей создавать
наборы для моделирования конкретных задач. Для методик кода используется односеточный подход. Используемая счетная сетка — регулярная
(матричного типа) четырехугольная (в общем случае не обязательно
прямоугольная), узлы которой в процессе счета могут двигаться достаточно произвольно.
Для иллюстрации данного метода рассматривалась следующая
задача.
Пусть задан элемент пространства Ω, имеющий объем V и ограниченный поверхностью S ( r ) , которая движется со скоростью u* ( r ) . Интегро-дифференциальные уравнения, выражающие законы сохранения,
для элемента Ω в случае многокомпонентной среды имеют следующий
вид [1]:
(
)
(1)
+  ρ ξ ( u ξ − u * ) dS = 0 ,
(2)
+  ρξ eξ ( uξ − u *) dS = −  Pξ ( ∇ ⋅ uξ ) dV ,
(3)
dK
+  ρu (u − u * ) dS = −  PdS ,
dt S
S
dM ξ
dt
dE ξ
dt
Sξ
Sξ
Vξ
dVξ
dt
+  ( u ξ − u * ) dS =  u ξ dS .
Sξ
Sξ
219
(4)
K ( Kx , Ky )
где
– количество движения


 K x =  ρu x dV, K y =  ρu y dV  ,


V
V


M =  ρdV - масса; E =  ρedV - внутренняя энергия; P – давление. В этой
V
V
системе уравнение для объема (4) записано в таком виде для единообразия и удобства дальнейшего использования. Уравнения (1)-(4) в частных
случаях переходят в известные уравнения газодинамики, записанные в
разных системах координат. При u*=0 получаем классические уравнения в эйлеровой неподвижной системе координат, а при u*=u – в лагранжевых координатах.
Система (1)-(4) замыкается уравнениями состояния компонентов в
виде
Pξ = Pξ (ρξ , eξ ) .
(5)
Для системы уравнений (1)-(4) ставится краевая задача с начальными (при t=t0) условиями в некоторой, в общем случае непрямоугольной, области и граничными условиями на внешних границах области.
В начальный момент времени t0 для любой точки среды известны:
– компоненты вектора скорости u x (t0,x,y) = u 0x (x,y); u y (t0,x,y) =
u 0y (x,y);
для любой точки среды и для любого компонента также известны:
– удельная (на единицу массы) внутренняя энергия - eξ(t0,x,y) =
0
eξ ( x, y ) ;
– плотность - ρξ(t0,x,y) = ρ0ξ ( x, y ) ;
– объемная концентрация ( βξ = Vξ V ) - βξ(t0,x,y) = β0ξ ( x, y ) .
Кроме того, для некоторых компонентов, количество которых не
ограничено (в частном случае это могут быть и все компоненты), задаются частицы. В этом случае для частиц дублируется информация о
термодинамическом состоянии вещества, то есть задаются:
ρξp(t0,x,y)= ρ0ξ ( x, y ) ,
eξp(t0,x,y) = e0ξ ( x, y ) ,
mξp(t0,x,y) = Vpξ0 (x, y) ⋅ ρ 0pξ (x, y) ,
где Vpξ0 - объем, отнесенный к данной частице.
В рассматриваемой области может быть несколько веществ с различными уравнениями состояния, а также могут быть вакуумные слои и
абсолютно твердые тела (несжимаемые компоненты).
На внешних границах области возможно задание условия непротекания (жесткая стенка), а также может быть задано условие притока (оттока) любого компонента. Условие непротекания может быть задано и
220
внутри области интегрирования на границе несжимаемого компонента
по линиям счетной сетки..
Решение системы (1)-(4) производится с привлечением метода
расщепления в два этапа. На первом (лагранжевом) этапе решаются
уравнения (1)-(4) без конвективных членов, то есть уравнения газодинамики в лагранжевых переменных. На втором (эйлеровом) этапе производится построение новой счетной сетки по заданному закону движения
узлов сетки и осуществляется пересчет величин на новую сетку, то есть
аппроксимация отброшенных на первом этапе членов уравнений (1)-(4).
При этом в качестве начальных данных используются значения величин,
полученные на первом этапе вычислений. Данный этап в свою очередь
разбивается на два подэтапа, а именно, аппроксимация уравнений адвекции производится с использованием расщепления по направлениям.
Список литературы
1. Бахрах, С. М. Расчет газодинамических течений на основе
метода концентраций / С. М. Бахрах, Ю. П. Глаголева, М. С. Самигулин,
В. Д. Фролов, Н. Н. Яненко, Ю. В. Янилкин // ДАН СССР. – 1981. –
Т. 257, № 3. – С. 566–569.
2. Харлоу, Ф. Х. Численные методы частиц в ячейках для задач
гидродинамики / Ф. Х. Харлоу // Вычислительные методы в
гидродинамике. – М. : Мир, 1967. – С. 316–342.
3. Янилкин, Ю. В. Комплекс программ ЭГАК для расчетов
двумерных течений многокомпонентной среды / Ю. В. Янилкин,
А. А. Шанин, Н. П. Ковалев и др. // ВАНТ, сер. ММФП. – 1993. – № 4. –
Р. 69–75.
221
6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В НАНОТЕХНИКЕ И НАНОБИОЛОГИИ
ОСОБЕННОСТИ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПОДВИЖНОСТИ ЭЛЕКТРОНОВ В КВАНТОВОЙ ПРОВОЛОКЕ С
КРАЕВОЙ ДИСЛОКАЦИЕЙ ВО ВНЕШНЕМ ПРОДОЛЬНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В. Д. Кревчик, В. Н. Калинин, Е. Н. Калинин
Пензенский государственный университет
г. Пенза, Россия
e-mail: [email protected]
В настоящей работе теоретически исследуется влияние краевой
дислокации на подвижность электронов в квантовой проволоке (КП) во
внешнем продольном магнитном поле. Полученные температурные зависимости подвижности сравниваются с влиянием других механизмов
рассеяния, рассмотренных ранее в работах [1, 2].
Рассматривается полупроводниковая КП находящаяся в продольном по отношению к ее оси магнитном поле. Предполагается, что КП
имеет форму круглого цилиндра, радиус основания LX которого значительно меньше его длины LZ ( LX << LZ ). Дислокационная линия ориентирована вдоль оси y в плоскости поперечного сечения КП, при этом
рассеяние электронов происходит в плоскости xz (см. рис. 1).
Рис. 1. КП с краевой дислокацией во внешнем магнитном поле
222
 
Векторный потенциал магнитного поля A ( r ) выбирается в
 1  

симметричной калибровке A =  B, r  , так что A = ( − y B / 2, x B / 2,0 ) ,
2

B = ( 0,0, B ) .
Потенциал конфайнмента КП моделируется потенциалом
двумерного гармонического осциллятора: V (ρ) = m∗ω02 ρ2 / 2 , где
ρ = x 2 + y 2 ≤ LX ; ρ, φ, z – цилиндрические координаты; m∗ –
ω0
– характерная частота
эффективная масса электрона;
удерживающего потенциала.
Гамильтониан в выбранной модели в цилиндрической системе
координат имеет вид
∧
H =−
∧
 2  1 ∂  ∂  1 ∂ 2  i  ωB ∂ m∗  2 ω2B  2
H
ρ
+
−
+
ω
+
ρ
+


 0

Z , (1)


2 ∂ϕ 2 
4 
2m∗  ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ2 ∂ϕ2 
где ωB = e0 B / m∗ – циклотронная частота; e0 – абсолютное значение
∧
(
( ))
электрического заряда электрона; H Z = −  2 / 2m∗ ∂ 2 / ∂ z 2 .
Спектр гамильтониана (1) запишется как [3]
En, m, k
ω B m
ω2B
 2k 2
,
=
+ ω0 1 + 2 ( 2n + m + 1) +
2
4ω0
2m∗
1
2 
m
2

1
n!
ρ

  2 
2πLz a1  ( n + m )!   2a1 
Ψ n, m, k ( ρ, ϕ, z ) =
2
(2)
×
 ρ2  m  ρ2 
× exp  − 2  L n  2  exp ( imϕ ) exp ( i k z ) ,
 4a 
 2a 
1 

 1 
(3)
где n = 0,1,2,... – квантовое число, соответствующее уровням Ландау;
m = 0,1,2,... – магнитное квантовое число; k – проекция квазиволнового
(
(
вектора электрона в КП на ось Oz; a 12 = a 2 / 2 1 + a 4 / 4 a B4
(
)
(
a =  / m∗ ω0 ; a B =  / m∗ ω B
)
));
– магнитная длина; Lαβ ( x ) –
полиномы Лагерра.
Согласно модели Бонч-Бруевича и Когана, экранированный потенциал заряженной дислокации имеет вид [4]
223
ρ 
e02 f 0* K 0  1 
 λ0  ,
U ( ρ1 ) =
2πεε0a0*
(4)
где f 0* – вероятность заполнения акцепторного центра в дислокационной линии; a0* – расстояние между акцепторными центрами в дислокационной линии; ε – диэлектрическая проницаемость материала КП; ε0 –
K0 ( x )
– функция Макдональда;
электрическая постоянная;
( ) – длина экранирования Дебая, k0 –
ρ1 = x 2 + z 2 , λ 0 = εε0k0T / e02ne
постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, ne – концентрация электронов в КП.
Для случая, когда налетающий на дислокацию электрон находился
в основном состоянии ( n = 0, m = 0 ) КП, выражение для времени
релаксации τ примет вид
τ
N1/
×
N 2/

n ′ = 0 m′ = 0
−1
( 0,0, k )
*2 3
−1 f 0 a1
= τ0
(1 − cos θ ) ×
Lz a0*2
(
2−5m′ a1−1 k 2 − m′aB−2 − a1−2 ( 2n′ + m′)
)
−1/2
×

2 2


−
−
2
2
2
  exp k − k − m′a − a ( 2n′ + m′) a 
B
1
1  


× 
2
 *− 2 

−
−
2
2
2
 λ 0 +  k − k − m′aB − a1 ( 2n′ + m′) a1 

(
)
(
)
2 2 



 exp  k + k 2 − m′aB−2 − a1−2 ( 2n′ + m′) a1   

  

+
×
2


λ*0− 2 +  k + k 2 − m′aB−2 − a1−2 ( 2n′ + m′) a1  

(
)
(
)
2
 ∞ 2−3 p Γ( p + 1)

′
′
× 
+
+
+
−
+
F
(0,
m
p
1,
p
1;1,
p
n
1;1)
 ,
3 2
′
Γ
−
+
p
!
(
p
n
1)
 p = 0

N1/ = C1/  , N 2/ = C2/  – целые части чисел
− m′(a12 / aB2 + 1) / 2 , C2/ = ((ka1) 2 − 2n′) / (a12 / aB2 + 1) .
где
224
(5)
C1/ = (ka1 ) 2 / 2 −
При этом правила отбора для магнитного квантового числа
таковы, что m′ = 0,1,2,...
На рис. 2 приведены зависимости времени релаксации от
кинетической энергии Ez налетающего на краевую дислокацию
электрона для случая InSb КП.
Рис. 2. Зависимость времени релаксации τ от кинетической энергии Ez налетающего
на краевую дислокацию электрона для InSb КП при a0* = 0, 65 нм; ne = 5 ⋅1016 см–3;
U0 = 0,2 эВ; LX = 50 нм; LZ = 1 мкм; Т = 65 К: а – для различных значений
величины внешнего магнитного поля В: 1 – B = 0; 2 – В = 2 Тл ( f0* = 0,15 );
б – для различных значений вероятности заполнения акцепторных центров
в дислокационной линии f0* : 1 – 0.12; 2 – 0.15; 3 – 0.17
225
Как видно из рис. 2,а, в магнитном поле уменьшается период
осцилляций в зависимости τ( E z ) , при этом величина времени
релаксации возрастает вследствии гибридного квантования (сравн.
кривые 1 и 2 на рис. 2,а). Из рис. 2,б можно видеть, что с ростом
вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии
f 0* время релаксации уменьшается из-за увеличения заряда краевой
дислокации и соответствующего усиления её рассеивающего действия.
Ограничиваясь вкладом основной подзоны размерного квантования подвижность носителей тока в КП можно представить в виде
−1
16 e  2ad3 E1/2
d βω
1/2
 Ed −1 
sh
μ=
 k T β ω
3/2
2 *2
3 π Lx m ( k0T )
 0

2 a −1
×

0
×
 E0,0, k z 
k z2τ(0,0, k z )exp  −
 dk z .
 k0T 
(6)
На рис. 3 представлены температурные зависимости подвижности
электронов в GaAs КП при рассеянии на LA-фононах [1] (кривая 1), на
флуктуациях толщины КП [2] (кривая 2) и на краевой дислокации согласно (6) для параметров GaAs [2]: плотностьρ = 5.3·103 кг/м3, продольная скорость звука v = 5.2·103 м/с, константа деформационного потенциала С = 2.2·10–18 Дж, корреляционный радиус Λ =1·10–8 м [2].
Рис. 3. Температурная зависимость подвижности электронов в GaAs КП
при ne = 4.16 ⋅1017 см–3; 2LX = 7 нм; LZ = 1 мкм; a0* = 0, 65 нм; f0* = 0,15 ,
для различных механизмов рассеяния: 1 – рассеяние на LA-фононах [1];
2 – рассеяние на флуктуациях толщины КП [2]; 3-6 – рассеяние на краевой
дислокации (кривые 1-3, 5-6 построены при В = 0 Тл; кривая 4 при В = 2 Тл,
кривая 5 построена при f0* = 0, 06 , кривая 6 при f0* = 0, 08 ).
226
Рис. 4. Температурная зависимость подвижности электронов в GaAs КП
при ne = 4.16 ⋅1017 см–3; 2LX = 7 нм; LZ = 1 мкм: 1 – рассеяние на LA-фононах [1];
2-6 – рассеяние на краевой дислокации (кривые 1-3, 6 построены при В = 0 Тл;
кривая 5 при В = 2 Тл) для различных значений параметров дислокационной линии
a0* и f 0* : 2 – a0* = 0, 65 нм; f0* = 0,15 ; 3 – a0* = 0, 65 нм; f0* = 0,12 ; 4 – a0* = 0,5 нм;
f0* = 0,15 ; 5 – a0* = 0, 65 нм; f0* = 0,15 ; 6 – a0* = 0, 65 нм; f0* = 0,11
Из рис. 3 следует, что вклад механизма релаксации связанного с
рассеянием электронов на краевой дислокации зависит от величины параметра f 0* – вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии (сравн. кривые 5 и 3). При f 0* ≤ 0.08 данный механизм в
области температур от 5 до 30 К может быть существенным в сравнении
с рассеянием на акустических фононах и на случайных неровностях границ КП (сравн. кривые 1, 2 и 3). В области температур от 50 до 100 К
рассмотренный механизм становится эффективным по сравнению с рассеянием на LA-фононах при f 0* ≤ 0.15 (сравн. кривые 1 и 4 на рис. 4). В
магнитном поле подвижность электронов уменьшается за счёт сжатия
электронной волновой функции в радиальной плоскости КП (сравн. кривые 3 и 4 на рис. 3 и кривые 5 и 4 на рис. 3).
Cписок литературы
1. Поклонский, Н. А. О температурной зависимости статической
электропроводности полупроводниковой квантовой проволоки в изоляторе. / Н. А. Поклонский, Е. Ф. Кисляков, С. А. Вырко // ФТП. – 2003. –
Т. 37. – Вып. 6. – С. 735
2. Рувинский, М. А. О влиянии флуктуаций толщины на статическую электропроводность квантовой полупроводниковой проволоки. /
227
М. А. Рувинский, Б. М. Рувинский // ФТП. – 2005. – Т. 39. – Вып. 2. – С.
247.
3. Кревчик, В. Д. Эффект увлечения одномерных электронов при
фотоионизации D(–)-центров в продольном магнитном поле. / В.Д. Кревчик, А.Б. Грунин. // ФТТ. – 2003. – Т. 45. – Вып. 7. – С. 1272.
4. Бонч-Бруевич, В. Л. К теории электронной плазмы в полупроводниках. / В. Л. Бонч-Бруевич, С. М. Коган // ФТТ. – 1959. – Т.1 – Вып.
8. – С. 1221.
АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ
СЕНСИБИЛИЗИРОВАННЫХ КРАСИТЕЛЕМ
СОЛНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Р. М. Печерская, В. И. Кондрашин, В. А. Соловьев, С. В. Ракша
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
В последнее десятилетие во всем мире стремительно вырос интерес к разработке и созданию солнечных элементов нового типа на основе органических, а также гибридных материалов. Прежде всего, это связано с тем, что недостатки наиболее распространенных на сегодняшний
день кремниевых солнечных элементов ограничивают их широкое применение. Основными недостатками являются относительно дорогая технология производства и обработки неорганических полупроводников,
требующая высоких температур, глубокого вакуума, а также использование опасных химических веществ [1].
Новое поколение солнечных элементов на основе полупроводниковых металлооксидов (MeO − TiO2, ZnO) и красителей, получивших
название сенсибилизированные красителем солнечные элементы
(СКСЭ), не только удешевляет и упрощает производство, но также и
позволяет увеличить чувствительность к определенной части светового
спектра [2]. На рис. 1 схематически изображена типичная структура
СКСЭ, которая заключена между двумя прозрачными электродами (тонкие пленки In2O3:Sn, SnO2:F). На одном из таких электродов сформирован слой светочувствительного металлооксида, пропитанного красителем. Второй электрод покрыт каталитически активными частицами
(например платиной).
Функционирование СКСЭ принципиально отличается от работы
традиционных твердотельных солнечных элементов. Солнечная энергия
228
преобразуется в электрический ток с помощью фотоиндуцированного
введения электрона из возбужденного красителя в зону проводимости
полупроводника (ECB). Образовавшаяся в красителе дырка (S+) заполняется электроном вещества электролита, после чего он диффундирует к
аноду и восстанавливается за счет электронов вещества анода. В качестве электролита используется йод, растворенный в ацетонитриле, поэтому в ячейке образуется окислительно-восстановительная пара йодидтрийодид. На рис. 2 изображена энергетическая диаграмма СКСЭ, на которой показаны основные процессы, происходящие в его структуре при
облучении светом [3].
Рис. 1. Структура СКСЭ, включая семь функциональных слоев
Рис. 2. Энергетическая диаграмма СКСЭ
229
В последние годы удалось достичь значительного прогресса в разработке технологии получения СКСЭ. Например, подобраны стабильные
и не содержащие металла органические красители, а также новые электролиты с низкой вязкостью и высокой проводимостью, позволяющие
увеличить эффективность солнечных элементов до 9,8 %. Эти технологии могут сыграть ключевую роль в масштабировании производства дешевых и эффективных СКСЭ [4, 5]. При этом дальнейшее повышение
эффективности по-прежнему остается актуальной научной задачей. Использование моделирования в этом случае могло бы ускорить разработку новых решений и помочь лучше понять физику СКСЭ.
Численное моделирование зачастую используется в области фотовольтаики. Солнечные элементы на основе кристаллического кремния
обычно оптимизируют с помощью программы PC1D. Также существуют
программы, предназначенные для моделирования тонкопленочных [6] и
органических [7] солнечных элементов.
Численное моделирование СКСЭ осложнено некоторыми факторами. Светочувствительный слой таких элементов представляет собой
смешанную мезопористую среду, состоящую из трех поглощающих материалов: кристаллического слоя металлооксида (MeO), молекул красителя и ионов электролита. Молекулярные процессы возбуждения молекул красителя, внедрение электронов в систему MeO и рекомбинация
возбужденного состояния молекул красителя не могут быть смоделированы с использованием теории физики полупроводников. Для определения удельного показателя поглощения света в упрощенном виде используется модель экспоненциального поглощения по закону БугераЛамберта-Бера. Этот подход, однако, не учитывает многочисленные отражения на функциональных слоях устройства и когерентные эффекты в
тонких прозрачных проводящих пленках.
Перенос заряда в слое MeO может быть описан, как полностью
диффузионный, так как высокая концентрация подвижных ионов в электролите эффективно экранирует электрические поля мезопористого
MeO. Механизм рекомбинации, однако, до сих пор является предметом
споров. Эксперименты показывают, что рекомбинация носителей зарядов в реальных устройствах происходит не только через зону проводимости MeO [8]. Носители зарядов могут дополнительно рекомбинировать на поверхностных состояниях (поверхностная рекомбинация).
На рис. 3 представлены основные элементы модели СКСЭ, которая соответствует следующим факторам:
– плотность заряда в устройстве n(x, y, z; t) рассчитывается с использованием основных полупроводниковых уравнений (уравнение
Пуассона и уравнения непрерывности для электронов и дырок);
230
– рекомбинационные члены в уравнениях непрерывности включают минимальное число параметров, которые имеют определенный физический смысл;
– результаты моделирования имитируют различные характеристики устройства (квантовую эффективность, вольтамперные характеристики, электрохимическую импедансную спектроскопию и т.д.);
– можно количественно определить оптические и электрические
потери, а также параметры, которые трудно экспериментально оценить
(эффективность инжекции носителей зарядов, параметры диффузии и
электронных ловушек).
Интенсивность перпендикулярно падающего на устройство света
рассчитывается с помощью алгоритма трассировки лучей, который учитывает и когерентные, и некогерентные эффекты. В качестве исходных
данных должны быть заданы комплексный показатель преломления,
толщина каждого функционального слоя и интенсивность входящего
света. Рассчитанная доля падающего света, поглощенного красителем,
позволяет найти для него, прежде всего, удельный показатель поглощения Gdye(x).
Рис. 3. Блок-схема связанной оптической и электрической моделей СКСЭ
В электрической модели электронная плотность в полупроводниковом слое описывается уравнением непрерывности для электронов.
Показатель Gdye(x), найденный из оптической модели, в этом случае
представляет собой скорость генерации носителей зарядов. Параметры
рекомбинации и диффузии должны быть заданы изначально. Электрическая модель решается для плотности заряда n(x, t), как функция от толщины пленки и времени. Изменяя интенсивность падающего света или
231
значение приложенного электрического смещения, можно моделировать
различные характеристики СКСЭ, описанные выше. Данная модель может быть реализована с помощью программного пакета Mathematica от
компании Wolfram Research.
В электрической модели скорость рекомбинации принимается за
первостепенный процесс. Это приводит к линейному дифференциальному уравнению, которое может быть решено аналитически. Однако реальные устройства, как правило, ведут себя нелинейно [9]. Также квантовая эффективность для передней и задней части устройства зависит от
освещенности. Для адекватного описания СКСЭ необходим нелинейный
член, выражающий рекомбинацию, в уравнении непрерывности и его
численное решение.
Электрическая модель основана на одномерном уравнении непрерывности для электронов в зоне проводимости слоя MeO − ncb(x, t), на
уравнении непрерывности для электронов на рекомбинационных ловушках в запрещенной зоне − nt(x, t), и на уравнении диффузионного переноса носителей заряда для плотности тока − j:
∂ncb 1 ∂j
= ⋅ + Ge ( x, t ) − U cb ( x, t ) − rt + rd ,
∂t
e ∂x
∂nt
= rt + rd −U t( x, t ) ,
∂t
∂n
j = e ⋅ D0 ⋅ cb ,
∂x
(1)
(2)
(3)
где x − толщина слоя MeO, Ge(x, t) – скорость генерации электронов, Ucb
и Ut − скорости рекомбинации из зоны проводимости и ловушек захвата
электронов, D0 − коэффициент диффузии для электронов зоны проводимости, rt – скорость захвата электронов, а rd – скорость возврата электрона (см. рис. 2).
Ионный перенос в электролите, уменьшение его количества на
противоэлектроде и последовательное сопротивление элементов устройства можно не учитывать в данной модели. В этом упрощенном случае,
при стационарных условиях, когда ∂ncb/∂t=0, а за первоочередный процесс принята рекомбинация в зоне проводимости Ucb (линейная рекомбинация), эти уравнения могут быть решены аналитически. Если нелинейный член рекомбинации для ловушек захвата электронов Ut включается в уравнение, решение должно быть численным [10, 11].
Список литературы
1. Паращук, Д. Ю. Современные фотоэлектрические и фотохимические методы преобразования солнечной энергии / Д. Ю. Паращук,
А. И. Кокорин // Российский хим. журнал (Журнал Рос. хим. об-ва им.
Д. И. Менделеева). – 2008. – Т. LII, № 6. – С. 107–117.
232
2. Gratzel, M. Dye-sensitized solar cells / M. Gratzel // Journal of Photochemistry and Photobiology C: Photochemistry Reviews. – 2003. – № 4. –
P. 145–153.
3. Рыженков, А. В. От ячейки к модульной структуре оксидных
фотоэлектрохимических элементов, сенсибилизированных красителем /
А. В. Рыженков, Т. Н. Патрушева // Journal of Siberian Federal University.
Engineering & Technologies 3. – 2013. – № 6. – P. 344–361.
4. Bai, Y. Highperformance dye-sensitized solar cells based on solventfree electrolytes produced from eutectic melts / Y. Bai, Y. Cao, J. Zhang,
M. Wang, R. Li, P. Wang, S. M. Zakeeruddin, M. Gratzel // Nature Materials. –
2008. – № 7. – P. 626–630.
5. Shi, D. New efficiency records for stable dye-sensitized solar cells
with low-volatility and ionic liquid electrolytes / D. Shi, N. Pootrakulchote,
R. Li, J. Guo, Y. Wang, S. M. Zakeeruddin, M. Gratzel, P. Wang // The Journal of Physical Chemistry C. – 2008. – № 112. – P. 17046–17050.
6. Burgelman, M. Modeling thin film PV devices / M. Burgelman,
J. Verschraegen, S. Degrave, P. Nollet // Progress in Photovoltaic’s: Research
and Applications. – 2004. – № 12. – P. 143–153.
7. Hausermann, R. Coupled optoelectronic simulation of organic bulkheterojunction solar cells: Parameter extraction and sensitivity analysis /
R. Hausermann, E. Knapp, M. Moos, N. A. Reinke, T. Flatz, B. Ruhstaller //
Journal of Applied Physics. – 2009. – № 106.
8. Peter, L. M. Characterization and modeling of dye-sensitized solar
cells / L. M. Peter // Journal of Physical Chemistry C. – 2007. – № 111. –
P. 6601–6612.
9. Peter, L. "Sticky electrons" transport and interfacial transfer of electrons in the dye-sensitized solar cell / L. Peter // Accounts of Chemical Research. – 2009. – 42. – P. 1839–1847.
10. Wenger, S. Model-based optical and electrical characterization of
dye-sensitized solar cells / S. Wenger, M. Schmid, G. Rothenberger,
M. Gratzel, J. O. Schumacher // Preprint − 24th European Photovoltaic Solar
Energy Conference and Exhibition, Hamburg, Germany. – 21–25 Sept. 2009.
11. Ahmed, A. El Tayyan. Dye sensitized solar cell: parameters calculation and model integration / A. Ahmed // Journal of Electron Devices. –
2011. – Vol. 11. – P. 616–624.
233
7. НЕЙРОМАТЕМАТИКА И НЕЙРОКОМПЬЮТЕРЫ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ САМОКОРРЕКТИРУЮЩИХСЯ
КОДОВ БОУЗА – ЧОУДХУРИ – ХОККЕНГЕМА
В ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Ю. Ф. Захарова, С. Ю. Шейкин
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected]
Всем известно, что при передаче информации по каналам связи,
она может исказиться, то есть может произойти ошибка в передаваемом
сообщении. Искажение информации может происходить по разным причинам: из-за неполадки в передающем или принимающем оборудовании,
помехи в канале связи от внешних источников или из-за его повреждения. Для того, чтобы защитить информацию, используются различные
методы, однако, самым известным и удобным является применения помехоустойчивого кодирования информации, то есть кодирования, контролирующего и исправляющего ошибки.
Предположим, что все представляющие интерес данные могут
быть представлены в виде двоичной (закодированной двоично) информации, то есть в виде последовательности нулей и единиц. Эта двоичная
информация подлежит передаче по каналу, подверженному случайным
ошибкам. Задача кодирования состоит в таком добавлении к информационным символам дополнительных символов, что бы на приёмнике эти
искажения могли быть найдены и исправлены. Иначе говоря, последовательность символов данных представляется в виде некоторой более
длинной последовательности символов, избыточность которой достаточна для защиты данных.
Предположим, что передано кодовое слово и в канале связи
произошла одиночная ошибка. Тогда принятое слово находится на
равном 1 расстоянии по Хэммингу от переданного слова. В случае, когда
расстояние до каждого другого кодового слова больше чем 1, декодер
исправит ошибку, если положит, что действительно переданным словом
было ближайшее к принятому кодовое слово.
В более общем случае если произошло t ошибок и если расстояние
от принятого слова до каждого другого кодового слова больше t, то
декодер исправит эти ошибки, приняв ближайшее к принятому кодовое
слово в качестве действительно переданного.
Это всегда будет так, если d*≥2t+1. Иногда удаётся исправлять
конфигурацию из t ошибок даже тогда, когда это неравенство не
удовлетворяется. Однако если d*<2t+1, то исправление любых t ошибок
234
не может быть гарантировано, так как тогда оно зависит от того, какое
слово передавалось и какова была конфигурация из t ошибок внутри
блока.
На рис.1 приведена геометрическая иллюстрация. В пространстве
всех q-ичных n-последовательностей выбрано некоторое множество nпоследовательностей, объявленных кодовыми словами. Если d* –
минимальное расстояние этого кода, а t – наибольшее целое число,
удовлетворяющее условию d*≥2t+1, то вокруг каждого кодового слова
можно описать не пересекающиеся сферы радиуса t. Принятые слова,
лежащие внутри сфер, декодируются как кодовое слово, являющееся
центром соответствующей сферы. Если произошло не более t ошибок, то
принятое слово всегда лежит внутри соответствующей сферы и
декодируется правильно.
Рис. 1
Некоторые принятые слова, содержащие более t ошибок, попадут
внутрь сферы, описанной вокруг другого кодового слова, и будут
декодированы неправильно. Другие принятые слова, содержащие более t
ошибок, попадут в промежуточные между сферами декодирования
области. В зависимости от применения последний факт можно
интерпретировать одним из двух способов.
Неполный декодер декодирует только те принятые слова, которые
лежат внутри сфер декодирования, описанных вокруг кодовых слов.
Остальные принятые слова, содержащие более допустимого числа
ошибок, декодер объявляет нераспознаваемыми. Такие конфигурации
235
ошибок при неполном декодировании называются неисправляемыми.
Большинство используемых декодеров являются неполными декодерами.
Полный декодер декодирует каждое принятое слово в ближайшее
кодовое слово. Геометрически это представляется следующим образом:
Полный декодер разрезает промежуточные области на куски и присоединяет их к сферам так, что каждая точка попадает в ближайшую сферу.
Обычно некоторые точки находятся на равных расстояниях от нескольких сфер; тогда одна из этих сфер произвольно объявляется ближайшей.
Если происходит более t ошибок, то полный декодер часто декодирует
неправильно, но бывают и случаи попадания в правильное кодовое слово. Полный декодер используется в тех случаях, когда лучше угадывать
сообщение, чем вообще не иметь никакой его оценки.
Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ) представляют собой
обширный класс кодов, способных исправлять несколько ошибок и занимающих заметное место в теории и практике кодирования. Интерес к
кодам БЧХ определяется, по меньшей мере следующими четырьмя обстоятельствами: 1) среди кодов БЧХ при небольших длинах существуют
хорошие (но, как правило, не лучшие из известных) коды; 2) известны
относительно простые и конструктивные методы их кодирования и декодирования (хотя если единственным критерием является простота, то
предпочтение следует отдать другим кодам); 3) коды Рида-Соломона,
являющиеся широко известным подклассом недвоичных кодов, обладают определенными оптимальными свойствами и прозрачной весовой
структурой; 4) полное понимание кодов БЧХ, по всей видимости, является наилучшей отправной точкой для изучения многих других классов
кодов.
Изучение работы декодера Питерсона-Горенстейна-Цирлера, хорошо подходит для понимания процесса декодирования кодов БЧХ, но
при построении декодера приходится жертвовать концептуальной ясностью во имя вычислительной эффективности. Описанный в [1] декодер
Питерсона-Горенстейна-Цирлера предлагает обращение двух матриц
размера t×t. Хотя обращение матрицы в конечном поле не приводит к
ошибкам округления, вычислительная работа особенно для больших
значений t, может оказаться чрезмерно большой. В тоже время обращения обеих матриц можно избежать. Обращение первой матрицы, необходимое для вычисления многочлена локаторов ошибок, можно обойти,
используя алгоритм Берклемпа-Месси. Обращение второй матрицы, необходимое для вычисления значения ошибок, можно обойти, воспользовавшись алгоритмом Форни, который обладает существенным преимуществом перед обращением матриц, но использует деление.
Другим методом имеющим превосходство над обращением матриц, является метод Берлекэмпа. В его основе лежит тот факт, что матричное уравнение
236
 S1
S
 2
 S3


 Sv
S2
S3
S4
S3
S4
S5
Sv +1 Sv + 2
Sv   Λ v   − Sv +1 
Sv +1   Λ v −1   − Sv + 2 


 
Sv + 2   Λ v − 2  =  − Sv + 3 


 
     
 S2v −1   Λ1   − S2v 



не произвольно: матрица обладает специальной структурой. Здесь
Λ ( x) = Λ v x v + Λ v −1x v −1 + ... + Λ1x + 1
многочлен от x, известный под названием многочлена локаторов ошибок
и определяемый как многочлен, корнями которого являются обратные к
локаторам ошибок величины X i−1 для l = 1, …,v.
Предположим, что в основе конструкции кода БЧХ лежит элемент
α поля, возможно не примитивный. Многочлен ошибок равен
e( x) = en −1x n −1 + en − 2 x n − 2 + ... + e1x + e0
где не более t коэффициентов отличны от нуля. Предположим, что на
самом деле произошло v ошибок, 0≤v≤t, и что эти ошибкам соответствует неизвестные позиции i1, i2, …, iv. Тогда многочлен ошибок можно записать в виде
e( x) = ei1 xi1 + ei2 xi2 + ... + eiv xiv
где eil – величина l-ой ошибки (в двоичном случае eil = 1). Не известны
ни il, …, iv, ни eil , …, eiv ; в действительности даже не известны числа v.
Для исправления ошибок нужно вычислить все эти числа. Чтобы получить компоненту синдрома S1, надо найти значения полученного многочлена в точке α:
S1 = u (α) = c(α) + e(α) = e(α ) = ei1 αi1 + ei2 αi2 + ... + eiv αiv
Это позволяет существенно упростить связанные с нахождением
вектора Λ вычисления, хотя сама процедура вычислений становится более сложной для понимания, чем простое обращение матрицы.
В рамках данной работы была реализована программа, демонстрирующую работу кодов Боуза – Чоудхури – Окенгема, причем в качестве
декодера был использован алгоритм Берлекэмпа-Месси, поскольку по
числу операций в конечном поле он обладает высокой эффективностью
и хорошо подходит для программной реализации в отличие от алгоритма Евклида, который из-за высокой регулярности структуры широко
применяется для аппаратного воплощения декодирования кодов Боуза
— Чоудхури — Окенгема. В качестве входных данных программы было
237
взято множество слов различающихся по длине, которые были переведены в двоичный код и на которые воздействовали конфигурациями кодов Боуза – Чоудхури – Окенгема различающихся по длине кодового
слова и минимальным расстоянием между словами. Также было сэмулировано воздействие посторонних факторов, с целью внести ошибки в закодированное сообщение. Достигнутая цель - демонстрация широких
возможностей кодов Боуза — Чоудхури — Окенгема по нахождение и
исправлению ошибок.
Список литературы
1. Блейхут, Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки
/ Р. Блейхут. – М. : Мир, 1986. – 576 с.
2. Морелос-Сарагоса, Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение : пер. с англ. В. Б. Афанасьева / Р.
Морелос-Сарагоса. – Москва : Техносфера, 2006. – 320 с.
3. Питерсон, У. Коды исправляющие ошибки / У. Питерсон,
Э. Уэлдон. – М. : Мир, 1976. – 593 с.
4. Сагалович, Ю. Л. Введение в алгебраические коды : учеб. пособие / Ю. Л. Сагалович. – М. : МФТИ, 2007. – 262 с.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОИМПЕДАНСНОЙ ТОМОГРАФИИ
С ПОМОЩЬЮ СЕТИ РАДИАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ2
В. И. Горбаченко, М. В. Жуков
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
[email protected], [email protected]
Электроимпедансная томография (ЭИТ), наряду с электроемкостной, электрополевой и магнитоиндукционной томографиями, относятся
к классу вычислительной томографии, базирующейся на явлении электромагнетизма. ЭИТ позволяет визуализировать пространственное распределение электрического импеданса внутри объекта, в частности, внутри тела человека, по результатам измерений на границе объекта (неинвазивные измерения). Обычно, для реконструкции изображения распределения импеданса используются значения напряжения, измеренные на
границе объекта, при пропускании через него электрического тока.
2
Работа поддержана грантом РФФИ 14-01-00660 "Методы построения
нейросетевых и гибридных математических моделей процессов и явлений в сложных
технических системах".
238
Метод ЭИТ основан на том, что под воздействием внешнего электрического поля материалы проявляют различные электрические свойства, такие как активная (σ) и реактивная (τ) проводимости. Следовательно, зная их значения для различных материалов и определив их значения в различных точках исследуемого объекта можно восстановить
его внутреннюю структуру.
Рассмотрим замкнутое множество Ω ⊂ R d , d ≥ 2 с границей ∂Ω ,
частоту w и комплексную функцию γ (x) = σ(x) + iwτ(x) , где x ∈Ω , i –
мнимая единица, σ(x) – значение активной проводимости в точке x ,
τ(x) – реактивная проводимость в x , γ (x) – адмиттанс в x . Тогда задача
ЭИТ заключается в построении отображения Ε : (I, V ) → γ , где I, V –
измерения силы тока и напряжения соответственно на границе ∂Ω .
Задача ЭИТ некорректна по Адамару [1]. Прежде всего, нарушается третий критерий корректности: решение непрерывно зависит от данных. На практике это означает, что существуют произвольно большие
изменения в распределении адмиттанса γ , которые нельзя обнаружить
по результатам измерении I, V с заданной точностью. Чтобы решить эту
проблему необходимо использовать достаточное количество априорной
информации. Два оставшихся критерия: для всех допустимых значений
решение существует и оно единственно, также можно сформулировать в
более практичной форме. Конечно, о существовании решения здесь речи
не идет, поскольку априорно известно, что объект обладает проводимостью. Речь идет о достаточности данных для восстановления распределения проводимость. Известно, что обратная задача ЭИТ имеет единственное решение [1], но это имеет место быть, если есть измерения напряжения во всех точках множества ∂Ω для всех возможных способов приложения тока I . На практике же используется конечное число электродов,
что приводит к ограниченному числу измерений. Поэтому, для корректного решения данной обратной задачи необходимо, чтобы число степеней
свободы было согласовано с количеством и точностью измерений [1].
Пусть система ЭИТ имеет E электродов ξi , где i = 1...E , приложенных к границе объекта. Для определенности положим, что используется смежный шаблон измерений и электрический ток i (t ) = I cos wt
проходит через электроды ξ j и ξ j+1 . Прохождение электрического тока
через объект Ω описывается системой уравнения Максвелла [1]. Используя метод комплексных амплитуд, предположение о изотропности
проводимости (данное предположение не выполняется для мышечных
тканей и нервных волокон), а также учитывая то, что при ЭИТ частоту
колебаний тока выбирают в диапазоне от нескольких герц до мегагерца
и измерения происходят практически мгновенно система Максвелла
может быть преобразована к эллиптическому дифференциальному урав-
239
нению в частных производных со специальным образом заданными граничным условиям [1].
Ниже представлена математическая модель задачи ЭИТ для 4-х
электродной модели (импеданс контактов не учитывается) [1]:
−∇ ⋅ ( γ (x)∇u (x)) = 0 в Ω ,
ξ j (γ(x)∇u(x)) ⋅ n ds = − ξ j +1 (γ(x)∇u (x)) ⋅ n ds = I j , j +1 ,
 E

( γ (x)∇u (x)) ⋅ n = 0 на ∂Ω \   ξ k  ,


 k =1 
ξk (γ(x)∇u(x)) ⋅ n ds = 0 для k ∈{1,2,..., E} \ { j, j + 1} ,
u ξ = U k , k = 1,..., E , x ∈ξk ,
k
где n – внешняя нормаль к границе ∂Ω , ⋅ – скалярное произведение
векторов, I j , j +1 – комплексная амплитуда электрического тока пропущенного через электроды ξ j , ξ j+1 , u ( x) – комплексное значение потенциала в точке x ,
ξ ds – криволинейный интеграл вдоль электрода ξ , U k
– значение потенциала в любой точке x электрода ξk .
Задача ЭИТ является коэффициентной обратной задачей. Неизвестный коэффициент (распределение адмиттанса), будем искать с помощью сети радиальных базисных функций (сети РБФ) [2]. Значения результатов измерения напряжения на границе будем брать из решения
прямой задачи ЭИТ.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу: восстановить
распределение импеданса в объекте, представляющим из себя квадрат со
сторонами 20 см. Искомое распределение адмиттанса импеданса представлено на рис. 1 (как на данном рисунке, так и на остальных рисунках,
связанных с данной задачей приведены относительные размеры объекта). Здесь γ A = 1S/m , γ B = 0.2S/m , что при частоте 10kHz соответствует
проводимости жидких сред организма (кровь, лимфа, желчь, спинномозговая ткань) и проводимости некоторых мышечных тканей соответственно. На рис. 2 показано расположение электродов вдоль границы
объекта, а также схема подключения 4-х амперметров и 8-и вольтметров
к исследуемому объекту, которая будет использоваться при решении
данной задачи ЭИТ. Заметим, что в данном примере восстанавливается
только активная проводимость. Это, однако, не означает, что предложенный подход не может быть использован для определения величины
комплексной проводимости, но для этого необходимо использовать сети
комплексных РБФ и модифицированный метод обучения сети.
240
ξ1
γB
ξ2
ξ3
ξ8
γA
ξ4
ξ7
Рис. 1 Распределение импеданса
ξ6
ξ5
Рис. 2 Схема подключения
Решение прямой задачи будем аппроксимировать с помощью РБФ
сети [3]. Параметры сети уточняются в процессе минимизации функционала. Если одновременно используются все 4-е источника тока, то
функционал записывается следующим образом:
N
2
I ( w, c, a ) =  [∇ ⋅ ( γ (xi )∇udr (xi )) ] +
i =1
2
E /2
+λ1   
( γ (x)∇udr (x)) ⋅ n ds − I 2l −1,2l  +
ξ

l =1  2l −1
2
E /2
+λ1    ( γ (x)∇udr (x)) ⋅ n ds + I 2l −1,2l  +
ξ

l =1  2l
+λ 2
N +K
2
 [(γ(xi )∇udr (xi )) ⋅ n]
i = N +1
где udr – РБФ сеть, аппроксимирующая решение прямой задачи, w , c, a –
соответственно веса, центры и ширина радиальных базисных функций
(РБ функций) сети udr , N – количество внутренних контрольных точек,
K – количество контрольных точек, расположенных на участках границы объекта не соприкасающихся с электродами, λ1, λ 2 , λ3 – штрафные
множители.
Результаты решения прямой задачи представлены на рис. 3. При
проведении эксперимента значение силы тока равнялось 1mA, единица
измерения значений потенциала – mV.
241
Рис. 3 Решение прямой задачи
При решении обратной задачи функционал ошибки будет иметь
вид [4]:
N
2
I ( w c , cc , ac , w inv , cinv , ainv ) =  [∇ ⋅ ( γ c (xi )∇uinv (xi )) ] +
i =1
+λ 2
N +K
2
 [(γ c (xi )∇uinv (xi )) ⋅ n] +
i = N +1
2
E /2
+λ1   
( γ c (x)∇uinv (x)) ⋅ n ds − I 2l −1,2l  +
ξ

l =1  2l −1
2
E −1 
1


+λ1    ( γ c (x)∇uinv (x)) ⋅ n ds + I 2l −1,2l  + λ3  
ξ
ξ

0  l +1
l =1  2l
E /2
ξl +1 uinv (x)ds−
2
1
ξ(l +1mod E ) +1



ξ(l +1mod E )+1 uinv (x)ds  − Vl +1,(l +1mod E )+1  ,


где w inv , cinv , ainv – веса, центры и ширина РБ функций сети uinv , аппроксимирующей решение обратной задачи; w c , cc , ac – веса, центры и
ширина РБ функций сети γ c , аппроксимирующей распределение адмиттанса; λ3 – штрафной множитель; Vl +1,(l +1mod E ) +1 вычисляется по формуле
Vl +1,(l +1mod E ) +1 =
1
ξl +1
ξl +1
udr (x)ds −
242
1
ξ(l +1mod E ) +1
ξ(l +1mod E )+1 udr (x)ds .
Поскольку, как было указано выше, обратная задача является некорректной, то для регуляризации итерационного процесса минимизации функционала ошибки использовался критерий остановки Морозова
E −1 
 
0
1
 ξl +1
ξl +1 uinv (x)ds−
2
−
1
ξ(l +1mod E ) +1


2
ξ(l +1mod E )+1 uinv (x)ds  − Vl +1,(l +1mod E )+1  ≤ δ E,


где δ – погрешность при измерении напряжения. Решение обратной задачи для δ = 0.03 представлено на рис. 4. Сравнивая восстановленное
значение адмиттанса с исходным можно сделать вывод об эффективности предложенного подхода.
Рис. 4 Решение обратной задачи
Список литературы
1. David, S. Holder. Electrical impedance tomography: methods,
history and applications / S. David. – CRC Press, 2010. – 456 с.
2. Хайкин, С. Нейронные сети: полный курс / С. Хайкин. – М. :
Вильямс, 2006. – 1104 с.
3. Горбаченко, В. И. Обучение сетей радиальных базисных функций методом доверительных областей для решения уравнения Пуассона /
В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Информационные технологии. – 2013. –
№ 9. – С. 65–70.
4. Жуков, М. В. Решение коэффициентных обратных задач математической физики с помощью сетей радиальных базисных функций /
М. В. Жуков // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. – 2014. –
№ 2. – С. 32–39.
243
СОДЕРЖАНИЕ
1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Зелина Я. В., Саянкина М. А. Численно-аналитический метод
решения начальной задачи для уравнения Бюргерса ......................3
Карпухина Е. С. Решение начально-краевой задачи
для одномерного нестационарного уравнения
конвективного массопереноса на полубесконечной прямой ..........6
Митюхин Г. С., Симутин С. В. Начальная задача
для уравнения Буссинеска и метод ее решения ............................. 10
Руденко А. К., Семерич Ю. С., Фролкина М. А. Решение задачи
свободных колебаний однородной круглой мембраны ................. 12
2. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Вирц Н. И., Гущин А. В. Численный метод весовой
коррекции стационарных состояний на примере
фактор-пространств периодических функций ............................... 16
Сайфулин Б. Ж., Гущин А. В. Общие принципы координатных
сближений на примере фактор-пространств логических
и комплексных типов ........................................................................ 22
Сёмов М. А. Приближенное вычисление одного класса
гиперсингулярных интегралов. Численные эксперименты .......... 25
3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Айкашев П. В. Решение задачи Дирихле на произвольной
области методом сеток...................................................................... 31
Ермолаева Н. С., Незванова Н. С. Численное решение начальной
задачи для уравнения Кортевега – де Фриза ................................. 36
Карпенко О. А., Королева А. И., Сухова Е. Г. Численное
решение начальной задачи для уравнения Гарднера
с помощью метода Адомяна ............................................................ 38
Кудряшова Н. Ю., Романов Н. А. Метод сплайн-коллокации
решения сингулярных интегральных уравнений
на замкнутых контурах ..................................................................... 41
244
Луханин В. С. О построении двусторонних приближений
для одной линейной задачи .............................................................. 46
Жалнин Р. В., Масягин В. Ф., Тишкин В. Ф. Об одном способе
аппроксимации уравнений диффузионного типа
с помощью разрывного метода Галеркина
на неструктурированных сетках ...................................................... 49
Муфтахов И. Р., Тында А. Н., Сидоров Д. Н. Программная
реализация численного решения слабо-регулярных
уравнений Вольтерра I рода ............................................................. 57
Новиков А. Е. Моделирование кинетики химических реакций
алгоритмом переменного порядка и шага....................................... 61
Рязанцев В. А. Адаптивный разностный метод приближенного
решения уравнения Гельмгольца ..................................................... 66
Тарасов Д. В., Тарасова Е. С. Адаптивный алгоритм решения
сингулярного интегрального уравнения ......................................... 70
Тында А. Н., Богинская П. А. Численный анализ интегральных
уравнений Вольтерра I рода с разрывными ядрами ...................... 76
Тында А. Н., Козина Н. В., Мойко И. М. К вопросу
приближенного решения первой краевой задачи
для уравнения Лапласа в круге ........................................................ 81
Тында А. Н., Малякина Е. Н. Прямые численные методы
решения интегральных уравнений Вольтерра I рода
с разрывными ядрами ....................................................................... 84
Цупак А. А., Черенков А. Н. Численное решение задачи
дифракции акустической волны на объемном теле
и непересекающемся с ним экране .................................................. 90
Черушева Т. В., Жиганова Е. М. Методы
вычислительной томографии ........................................................... 95
4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ЭКОНОМИКИ, ЭКОЛОГИИ, БИОЛОГИИ
Бойков И. В., Захарова Ю. Ф., Дмитриева А. А. Численные
методы моделирования иммунного ответа
на внешнее воздействие ................................................................. 101
Бойков И. В., Мойко И. М. Устойчивость математических
моделей морской экологии ............................................................ 109
Добрынина Н. Ф., Журавлёва А. А. Динамическая
модель Кейнса ................................................................................. 120
245
Добрынина Н. Ф., Сидоров В. Ю. Обобщенная динамическая
модель анализа стратегий развития предприятия
с использованием финансовых инструментов
и комбинированных схем финансирования..................................125
Козлов Н. Н. Введение в математическую теорию
генетического кода ..........................................................................130
Потина Т. М. Модели Вольтерра в экономике ...................................135
5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФИЗИКЕ
Айкашев П. В. Фрактальные антенны .................................................. 140
Андреев П. Г., Якимов А. Н. Применение модифицированного
метода Кирхгофа при моделировании распространения
электромагнитных волн внутри помещений ................................ 144
Бойков И. В., Тында А. Н., Тында О. В. Численное
определение электрической емкости проводящего тела ............. 151
Вязовская Ю. Ю. Обратные задачи теории колебаний
и их применение к локализации дефектов в стержнях ............... 155
Калашников Д. М. Предсказание длительности тональных
звуков русскоязычной речи ............................................................ 162
Королева Н. В., Власенко В. Д. Математическое моделирование
эрозийных процессов и процесса влагопроницаемости
на склоновых землях ...................................................................... 167
Кривулин Н. П. Определение параметров физических процессов,
описываемых дифференциальными уравнениями в частных
производных с переменными коэффициентами .......................... 172
Лизина Е. А. Алгоритм построения кусочно-постоянного
управления в задаче перемещения схвата
манипулятора по заданной траектории......................................... 178
Нижегородов А. В., Гущин А. В. Алгоритм оценки риска
модернизации технических систем на транспорте
по лингвистическому представлению данных ............................. 183
Никитин А. А. Система статистического контроля ФГСЧ ................ 188
Семерич Ю. С., Романов Н. А., Романова Е. Г. Расчет
собственных мод фрактального волновода
с помощью метода R-функций ...................................................... 194
Черушева Т. В., Бакурская А. И. Восстановление и обработка
искаженных цветных изображений............................................... 202
246
Ширшов М. В. Анализ точности построения
дискретной модели зеркальной антенны ...................................... 208
Шутков А. С., Деревянчук Е. Д. Численный метод решения
обратной задачи определения геометрических параметров
двухслойной диафрагмы в прямоугольном волноводе
по коэффициенту прохождения ..................................................... 212
Янилкин Ю. В., Захарова Ю. Ф., Генрих В. А. Реализация
кинетики Морозова – Карпенко на основе монотонного
метода частиц................................................................................... 217
6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В НАНОТЕХНИКЕ И НАНОБИОЛОГИИ
Кревчик В. Д., Калинин В. Н., Калинин Е. Н. Особенности
температурной зависимости подвижности электронов
в квантовой проволоке с краевой дислокацией
во внешнем продольном магнитном поле..................................... 222
Печерская Р. М., Кондрашин В. И., Соловьев В. А., Ракша С. В.
Анализ возможностей моделирования
сенсибилизированных красителем солнечных элементов .......... 228
7. НЕЙРОМАТЕМАТИКА И НЕЙРОКОМПЬЮТЕРЫ
Захарова Ю. Ф., Шейкин С. Ю. Использование
самокорректирующихся кодов Боуза – Чоудхури –
Хоккенгема в теории передачи информации ................................ 234
Горбаченко В. И., Жуков М. В. Решение задачи
электроимпедансной томографии с помощью сети
радиальных базисных функций ..................................................... 238
247
Научное издание
Математическое и компьютерное моделирование
естественно-научных и социальных проблем
Сборник статей
VIII Международной научно-технической конференции
молодых специалистов, аспирантов и студентов
Россия, г. Пенза, 26−30 мая 2014 г.
Mathematical and Computer Modelling
of Natural Science and Social Problems (MCM−2014)
Proceedings of the Eighth International
Conference MCM−2014
Penza, Russian Federation, 26−30 May, 2014
Компьютерная верстка Д. В. Тарасова
Подписано в печать 24.05.2014. Формат 60×841/16.
Усл. печ. л. 14,42.
Заказ № 451. Тираж 100.
Пенза, Красная, 40, Издательство ПГУ
Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: [email protected]
248
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа