close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
§5. Геометрический смысл линейной зависимости векторов


Теорема 5.1. Для того чтобы два вектора e1 и e2 были линейно зависимы,
необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.


►Пусть векторы e1 и e2 линейно зависимы. В силу определения 4.3 имеем

 
1e1   2 e2  0, 21  22  0 .

 
Считая для определенности 1  0 , из последнего равенства получим e1   2 e2 .
1
Последнее соотношение согласно определению произведения вектора на число
(определение 3.1) означает, что данные векторы коллинеарны.


Пусть векторы e1 и e2 коллинеарны. Если один из них нулевой, то они линейно
зависимы по свойству 1 из §4. В случае, когда они оба ненулевые, то согласно
теореме 3.1 имеем равенство


e1  e2 , R ,
из которого следует линейная зависимость этих векторов (свойство 3 из §4).◄
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы два вектора были неколлинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы. Доказательство –
от противного.
 
 
Пример
5.1.
и
–
неколлинеарные
векторы.
Доказать,
что
векторы
а
 2b и
а
b
 
а  3b линейно независимы.
 
►Приравняем нуль-вектору линейную комбинацию данных векторов: λ1( а  2b ) +
 

  
λ2( а  3b ) = 0 . Перегруппируем члены в левой части этого равенства: (λ1+ λ2 ) а +(2λ1–3λ2) b = 0 .
 
Векторы а и b неколлинеарны и, следовательно, линейно независимы (следствие из теоремы
5.1), их линейная комбинация, равная нуль-вектору, может быть только тривиальной. Для λ1
     0,
2
и λ2 получаем следующую систему уравнений:  1
Так как главный определитель
21  32  0.
Δ этой системы отличен от нуля (Δ= –3–2 = –5 ≠ 0), то по теореме Крамера еѐ нулевое
решение λ1=λ2=0 единственно. Итак, показано, что линейная комбинация данных векторов,
равная нуль-вектору, может быть только тривиальной, поэтому эти векторы линейно
независимы по определению 4.3.◄


Теорема 5.2. Пусть даны два неколлинеарных вектора e1 и e2 . Любой

компланарный с ними вектор a можно представить в виде линейной комбинации
этих векторов:



a  1e1 +  2 e2 ,
(5.1)
причѐм числа 1 ,  2 в (5.1) определяются единственным образом. Равенство (5.1)



называется разложением вектора a по векторам e1 и e2 .


►Если вектор a коллинеарен одному из векторов e1

Q
и e2 , равенство (5.1) следует из свойства коллинеарных


векторов (теорема 3.1), причѐм одно из чисел 1, 2
e
a
  
2
равно нулю. Если все три вектора e1 , e2 , a попарно
неколлинеарны, отнесѐм их к общему началу O (рис.

5.1) и из конца вектора a проведѐм прямые,
O



P
e1
параллельные векторам e1 , e2 , до пересечения с
Рис. 5.1. Разложение
прямыми, на которых расположены эти векторы.

вектора по двум
Получим точки P и Q. Тогда a  OP  OQ . Векторы OP


неколлинеарным векторам
и OQ коллинеарны векторам e1 и e2 , поэтому найдутся




числа 1 и 2 такие, что OP  1 e1 и OQ  2 e2 и, следовательно, получим a  1e1


+  2 e2 . Итак, возможность представления вектора a в виде разложения (5.1)
доказана. Предположим теперь, что существует еще одно разложение:



(5.2)
a  1e1  2e2 .
Вычтем почленно равенства (5.1) и (5.2), получим:

 
(5.3)
(1  1) e1  (2  2) e2  0 .


Векторы e1 и e2 линейно независимы как неколлинеарные векторы, следовательно,
равенство (5.3) выполняется только при условии: 1  1  0 , 2  2  0 или 1  1 ,
2  2 .◄





Пример 5.2. Даны векторы e1  OA, e2  OB, a  OC, | e1 |  2 , | e2 |  3 ,


| a | 4 , угол AOB – прямой, а угол COB равен  3 (рис. 5.1). Разложить вектор a
 
по векторам e1 и e2 .
►Из точки С опустим перпендикуляры на прямые ОА,
C
A1
A1 , B1
ОВ,
получим
точки
(рис.
5.2).
Тогда



a
A
a  OC  OA1  OB1, при этом | OA1 |  a sin   4  3 
2
3

e1




 2 3, OB1  a cos   4  1  2. Так как OA1  e1 и
e2
3
3
2

O
B1 B
OB1  e2 , то в силу (3.1) имеем
Рис. 5.2. К примеру 5.2
|OA | 
|OB | 



OA1   1 e1  2 3 e1  3e1 , OB1   1 e2  2 e2 .
|e1|
2
|e2 |
3




Для вектора a получаем разложение a  3e1  2 e2 .◄
3
Теорема 5.3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо
и достаточно, чтобы они были компланарны.
  
►Пусть векторы e1, e2, e3 линейно зависимы. Тогда по свойству 3 из §4 хотя бы



один из них линейно выражается через другие, например, e3  1e1  2e2 , где
  
1, 2  R . Из этого равенства следует компланарность векторов e1, e2, e3 .
2
  
Напротив, предположим, что векторы e1, e2, e3 компланарны. Если какая-то пара
из них коллинеарна, то векторы, составляющие эту пару, линейно зависимы по
теореме 5.1, и тогда вся система из трѐх векторов линейно зависима (свойство 2, §4).
  
Если все три вектора e1, e2, e3 попарно неколлинеарны, любой из них, согласно
теореме 5.2, можно разложить по двум другим, после чего линейная зависимость
  
системы векторов e1, e2, e3 следует из свойства 3 §4.◄
Следствие из теоремы 5.3. Для того, чтобы три вектора были некомпланарны,
необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы. Доказательство –
от противного.

Теорема 5.4. Любой вектор a можно разложить по трѐм некомпланарным
  
векторам e1, e2, e3 , т.е. представить в виде




(5.4)
a  1e1  2e2  3e3 , где 1 ,  2 ,  3 R ,
причем разложение (5.2) единственно.
  
►Векторы e1 , e2 , e3 попарно неколлинеарны, иначе все эти векторы были бы

компланарны. Если вектор a компланарен с любыми двумя из этих векторов, то
равенство (5.4) следует из теоремы 5.2, при этом один из коэффициентов 1, 2, 3
   
равен нулю. Если любая тройка из векторов e1, e2, e3 , a некомпла-нарна, отнесѐм их к

общему началу O (рис. 5.3) и из конца вектора a проведѐм прямую, параллельную

 
вектору e3 до пересечения с плоскостью, определяемой векторами e1 и e2 , в точке P.


Очевидно, a = OP  PA . Поскольку вектор PA коллинеарен e3 , то существует число

 3  R : PA  3 e3 . По теореме 5.2 найдутся числа 1 , 2  R такие, что







OP  1 e1  2 e2 , поэтому a  1e1  2e2  3e3 . Возможность представления вектора a
в виде (5.4) доказана. Единственность разложения (5.4) доказывается так же, как в
теореме 5.2.◄

e3
A

a
С

e2
С2
О
D
O
А1D
P

e1
A
B1
C1
B
Рис. 5.3. Разложение вектора по трѐм
некомпланарным векторам
Рис. 5.4. К примеру 5.3
     
Пример 5.3. Векторы, e1  ОА , e2  ОВ , e3  ОС попарно перпендикулярны, на
 
них, как на рѐбрах построена треугольная призма (рис. 5.4). Вектор a  OD , где
точка D – середина отрезка С1С2 , при этом точки С1 , С2 делят соответствующие
  

рѐбра призмы в отношении 1:3. Разложить вектор a по векторам e1, e2, e3 .
3
     
► a  OС1  C1 D  OA1  OB1  C1 D ,
где
точки
основания
А1 , В1 –
перпендикуляров, опущенных из точки С1 на прямые ОА и ОВ (рис. 5.4). Поскольку





OA1  3 OA  3 e1 ,
4
4





OB1  1 OB  1 e2 ,
4
4





C1 D  1 C1C2  1 e3 ,
2
2





то для вектора a получаем разложение a  3 e1  1 e2  1 e3 .◄
4
4
2
Теорема 5.5. Любые четыре вектора линейно зависимы.
►Если среди данных векторов есть два или три линейно зависимых, то вся
система из четырѐх векторов линейно зависима (свойство 2 из §4). Иначе среди
данных четырѐх векторов есть тройка линейно независимых векторов, состоящая из
некомпланарных векторов (следствие из теоремы 5.3). Тогда четвѐртый вектор,
согласно теореме 5.4, можно представить в виде разложения по векторам этой
тройки. Следовательно, и в этом случае система из четырѐх векторов линейно
зависима по свойству 3 из §3.◄
4
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа