close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
©Франц Герман
Минимальный периметр
Франц Герман
Минимальный периметр
(www.franz-hermann.com)
Геометрическими построениями в задачах такого
рода следует пользоваться осторожно…
(Мартин Гарднер)
Нашу заметку можно было бы назвать «Изопериметрические задачи». Но тогда,
возможно, возникла бы путаница. Изопериметрическими, как правило, называют
задачи, где задан постоянный периметр, а ищут минимальную площадь. Мы будем
искать минимальный периметр при постоянной площади. И хотя выдающийся
матемаитик Д. Пойа и утверждал, «что эти два утверждения равносильны», мы
подчеркнули в названии статьи, что будем работать именно с минимальным
периметром.
Рассмотрим такую задачу.
Задача 1. Имеется прямоугольник, площадь которого S – является величиной
постоянной. Чему равен минимальный периметр такого прямоугольника?
Введѐм обозначения: a1 , a 2 - стороны искомого прямоугольника. Можем
записать такую систему уравнений
 a1  a 2  S

P,

a1  a 2  2
(1)
где Р – периметр искомого прямоугольника. Системе (1) соответствует квадратное
уравнение:
a2 
P
a  S  0.
2
(2)
Преобразуем данное уравнение к виду:
P  2
a2  S
.
a
(3)
Известно, что для того чтобы найти экстремум функции необходимо вычислить
еѐ производную и, полученное выражение приравнять к нулю. Так и поступим.
'
a
P

2a  a   a 2  S 
a2  S
 2
 2
a2
a2
 0.
(4)
4S
. Величина а всегда положительна,
a3
следовательно, вторая производная тоже будет положительна при любом а.
Вычислим вторую производную: Pa'' 
1
©Франц Герман
Минимальный периметр
Следовательно, в точке, где первая производная равна нулю, будем иметь минимум
функции. Из уравнения (4) находим: a1  a 2  S .
Подставляя, полученное значение в (3), находим:
Pmin  4 S .
Из этого результата можно сделать заключение, что минимальный периметр,
при заданной площади S, будет иметь квадрат со стороной S .
Задача 2 (О минимальном периметре выпуклого четырѐхугольника).
Дано: выпуклый четырѐхугольник ABCD (Рис. 1).
B
C
A
D
Рис. 1
Предварительно решим такую задачу.
Пусть имеем некоторый треугольник, одна из сторон которого, равна а, а
площадь равна S. Выясним чему равен наименьший периметр такого треугольника?
Используя формулу Герона запишем выражение для площади нашего
треугольника:
S 2  p p  a  p  b p  c  ,
(5)
где р – полупериметр данного треугольника: 2 p  a  b  c . Последнее выражение
перепишем следующим образом: a   p  b   p  c  . И введѐм обозначения:
 p  b  t1 ,  p  c   t 2 , т. е. t1  t 2  a . Тогда формула (5) будет иметь выражение:
t1  t 2 
S2
. Т. е. имеем такую систему уравнений:
p p  a 
 t1  t 2  a

S2
.
t  t 
1
2

p p  a 
2
(6)
©Франц Герман
Минимальный периметр
Известно, что системе (6) соответствует квадратное уравнение:
S2
 0.
p p  a 
t2  at 
(7)
Перепишим последнее уравнение таким образом:
p2  a  p 
S2
 0.
t t  a 
(8)
Решая уравнение (8), получаем.
a  a2 
p
4S 2
t t  a 
2
.
(9)
Знак минус «-» перед корнем в числителе выражения (9) отсутствует из тех
4S 2
abc
, т. е.
a2 
 bc.
2
t t  a 
производную функции (9) и приравняем еѐ нулю:
соображений,
что
p
Теперь
  4 S 2 2t  a  


2
2


t  ta
1 1
  0.
p'a    
2
2 2
4S
a2  2
t  ta


найдѐм
(10)
Можно показать, что вторая производная всегда положительна, т. е. при
условии, что p'a  0 будем иметь минимум функции или 2t  a  0 . Откуда получаем
t
a
. Подставим это значение в (9), получим:
2
pmin 
a
1
 a 4  16 S 2
a
.
2
(11)
Вычислим выражение p p  a  при p  pmin .
1

 a   a 4  16 S 2
a
p p  a   

2


1
 

  a   a 4  16 S 2

4S 2
a

 a  2 .
 
2

a
 

 

Подставим полученное выражение в (7): t 2  a  t 
получаем:
3
a2
 0 . Решая это уравнение,
4
©Франц Герман
Минимальный периметр
a  a2  a2 a
a
или t 1  t 2  . Откуда: p  b  p  c , т. е. b = c.

2
2
2
Следовательно, минимальный периметр будет у равнобедренного треугольника.
Сделаем дополнительные построения (Рис. 2)
t 1 ,2 
B*
B
C
A
D*
D
Рис. 2
Здесь треугольники АВ*С и AD*C – равнобедренные и треугольник АВС и треугольник
АВ*С имеют одинаковые высоты, опущенные на общую сторону АС (те же построения
сделаны и относительно треугольников ADC и AD*C).
Операясь на только что полученный результат можно сделать вывод, что
периметр четырѐхугольника AB*CD* меньше периметра четырѐхугольника ABCD.
Пусть площадь этих четырѐхугольников равна S. Обозначим диагонали
четырѐхугольника AB*CD* через d 1 и d 2 .
Заметим, что ромб с диагоналями d 1 и d 2 имеет ту же площадь - S. Обозначим
сторону такого ромба через а. Справедливы следующие соотношения: d 1  d 2  2 S ,
2
2
 d1   d 2 
      a 2 . Введѐм промежуточные параметры: Di  d i2 . Теперь можем
 2  2 
записать такую систему уравнений:
 D1  D2  4 S 2

2
 D1  D2  4a
(12)
Этой системе уравнений соответствует квадратное уравнение:
D 2  4a 2 D  4 S 2  0 .
(13)
Отсюда получаем такое выражение для а:
a
4
D 2  4S 2
.
4D
(14)
©Франц Герман
Минимальный периметр
Очевидно, что пероиметр ромба равен 4а. Или в наших обозначениях:
P2
D 2  4S 2
.
D
(15)
Производная от этого выражения будет иметь вид:
PD' 
D 2  4S 2
D 2  4S 2
D2 
D
.
(16)
Минимум периметра получаем при PD'  0 , т. е. D  2 S . Подставляя это выражение в
(15), получаем:
Pmin  4 S .
Следовательно сторона ромба равна S , т. е. – это квадрат.
Таким образом, наименьший периметр среди равновеликих выпуклых
четырѐхугольников имеет квадрат.
Замечание: слово «выпуклый» можно выбросить, т. к. все вышеизложенные
рассуждения справедливы и для любого четырѐхугольника.
Задача 3 (О минимальном периметре равновеликих треугольников).
Чисто интуитивно мы понимаем, что наименьший периметр среди всех
равновеликих треугольников имеет треугольник равносторонний. И, тем не менее, мы
покажем здесь аналитическое доказательство этого факта.
В Задаче 2, «о минимальном периметре выпуклого четырѐхугольника», было
показано, что среди всех равновеликих треугольников площади S наименьший
периметр имеет равнобедренный треугольник.
Среди
множества
треугольников
можно
выделить
подмножество
равнобедренных равновеликих треугольников. Следовательно, чтобы найти
наименьший периметр среди всех равновеликих треугольников, необходимо найти
наименьший периметр среди равнобедренных равновеликих треугольников.
Рассмотрим равнобедренный треугольник площади S, сторона основания
которого обозначена через а (Рис. 3).
B
h
А
a
Рис. 3
5
C
©Франц Герман
Минимальный периметр
Тогда P  2 AB  a , где Р – периметр треугольника, а высота h 
2S
. АВ находим из
a
прямоугольного треугольника и можем записать:
P  a  2
a 2 4S 2
 2 .
4
a
(17)
a
S2
8 3
a
Вычислим производную Pa' . Pa'  a  2
. Минимальный периметр
2
a
4S 2
 2
4
a
'
находим при условии Pa  0 . Откуда, после упрощения выражения, получаем:
S
a2 3
. Подставив полученное выражение в (17) находим значение минимального
4
a 2 3a 2

 a  2a  3a .
4 a2 4
А это значит, что минимальный периметр имеет равносторонний треугольник со
стороной а.
периметра: Pmin  a  2 
6
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа