close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными
подстановками
Всего существует пять групп 12-го порядка. В книге О. Ю. Шмидта подробно
рассмотрены все эти группы и поэлементно сведены в таблицу.
a12
a6
a4
a3
a2
G1
4
2
2
2
1
G2
0
6
0
2
3
G3
0
2
0
2
7
G4
0
2
6
2
1
G5
0
0
0
8
3
Рис. 1
Здесь через ai – обозначено количество элементов группы i-го порядка.
Группа G1 – циклическая, поэтому еѐ легко представить своим образующим
элементом, порядок которого равен 12-ти.
Все остальные элементы будут являться степенями образующего элемента.
Очевидно, что минимальное число элементов в подстановке, имеющей порядок 12,
равно семи.
 1 2 34 5 67
  1 2 6 4  3 5 7  ,
Пример: a  
2
6
5
1
7
4
3


т. к. порядок подстановки равен наименьшему общему кратному порядков
независимых циклов подстановки.
Группа G5 может быть представлена подстановками из 4-х элементов (пример
можно найти в книге О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп»).
a1  1234 ,
a 4  31 4 2 ,
a 7  41 2 3 ,
a 10  1 3 4 2 
a 2  12 3 4 ,
a 5  41 3 2 ,
a 3  12 4 3 ,
a11  1 23 4
a12  1 42 3
a 8  31 2 4 ,
a 6  21 4 3 ,
a 9  21 3 4 ,
Очевидно, что группы G2, G3, G4, невозможно представить подстановками из 4-х
элементов, т. к. в каждой из этих групп присутствуют элементы 6-го порядка, которые
невозможно представить такими подстановками.
Рассмотрим, ожно ли представить группы G2, G3, G4 подстановками из 5-ти
элементов.
1
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
Начнѐм с группы G2. Она состоит из 6-ти элементов шестого порядка, двух
элементов третьего порядка и трѐх элементов второго порядка.
Среди подстановок из 5-ти элементов существуют подстановки 6-го порядка,
которые имеют вид: a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5  , где a i  1 ,2 ,3 ,4 ,5 . Квадрат такой
подстановки будет иметь вид:
a 2  a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 
Обозначим элементы шестого порядка через e i и d i :
e1
e2
e3
d1
d2
d3.
Т. к. элементов третьего порядка всего два, то должны выполняться равенства:
f 1  e12  e 22  e 32 ;
f 2  d 12  d 22  d 32
А т. к. элементов второго порядка три, получим такие формулы:
h2  e 23  d 23
h1  e13  d 13 ;
h3  e 33  d 33
Рассмотрим подстановки a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5  и b  b1 b2 b3 b4 b5  .
a 1  b1 , a 2  b2 . Пусть a 2  b 2 , т. е. a 2  a1 a 2 a 3 a 4 a 5  , b 2  b1 b2 b3 b4 b5  .
Цикл третьего порядка при возведении в квадрат подстановки переходит в цикл
третьего порядка, поэтому из равенства a 2  b 2 следует, что a  b .
Если бы a 1  b1 или a1  b2 , то и a 2  b 2 в силу того, что элементарные циклы
(первого порядка a i  ) сохраняются при возведении в квадрат, в разложении a 2
имелось бы по крайней мере три элементарных цикла (из того, что a 2  b 2 ), но этого
быть не может. Следовательно, среди подстановок из 5-ти элементов не существует
даже хотя бы двух подстановок 6-го порядка, квадраты которых были бы равны между
собой. Из этого следует, что группу G 2 невозможно представить подстановками из 5-ти
элементов.
Группа G 3 может быть представлена подстановками из 5-ти элементов.
e1  2 14 3 5 ,
f 1  123 5 4 ,
h1  1235 4 ,
h5  1 2345 ,
e1  2 14 5 3 - элементы 6 – го порядка.
f 2  123 4 5 - элементы 3 – го порядка.
h3  123 54 ,
h2  124 35 ,
h6  1 2 3 5 4 ,
h4  1 243 5 ,
h7  1 2 4 35 - элементы 2-го порядка.
Теперь снова вернѐмся к группе G 2 и рассмотрим подстановки шестого порядка
из 6-ти элементов.
Подстановки шестого порядка из 6-ти элементов могут быть двух видов:
1. a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 
2. a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6  .
2
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
Рассмотрение подстановок вида 1 сводится к предыдущему рассмотрению, как в
случае подстановок из 5-ти элементов.
Остаѐтся рассмотреть подстановки вида 2.
Рассмотрим две такие подстановки:
 a1
e1  
 a6
a2
a3
a4
a5
a1
a2
a3
a4
a6 
 a a2 a3
 и d 1   1
a5 
 a 2 a 3 a4
a4
a5
a5
a6
a6 

a1 
Найдѐм квадрат подстановки e 1 .
 a1
e12  
 a5
a2
a3
a4
a5
a6
a1
a2
a3
a6 

a 4 
Зная e 1 и e 12 попробуем найти подстановку шестого порядка e 2 , для которой
e 22  e12 и e1  e 2 .
Предположим, что в подстановке e 2 элемент a 1 переходит в элемент a 2 , тогда
элемент a 2 будет переходить в элемент a 5 , т. к. в подстановке e 12 элемент a 1
переходит в элемент a 5
 a1
e 2  
 a2
a2
a3
a4
a5
  a6
a5
a6 


Если элемент a 2 переходит в элемент a 5 , тогда элемент a 5 переходит в элемент
a 6 , т. к. в подстановке e 12 элемент a 2 переходит в элемент a 6 .
Получаем:
 a1 a 2
e 2  
 a 2 a5
a3
a4
a5
a4
a1
a6
a6 

a 3 
Аналогично будем строить и подстановку e 3 , для которой также e 32  e 22  e12 ,
e 3  e1 , e 3  e 2 .
 a1
e 3  
 a4
a2
a3
a4
a5
a3
a6
a5
a2
a6 

a1 
Это тоже подстановка шестого порядка.
Возможно ли ещѐ построить подстановку 6-го порядка, квадрат которой равен
был бы e 12
 a1
e 4  
 a3
a2
a3
a5
a4
a5
a1
a6 
  a1 a 3 a 5 a 2 a 4 a 6 

Это подстановка третьего порядка.
Теперь найдѐм квадрат подстановки d 1
3
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
 a1
d 12  
 a3
a2
a3
a4
a5
a4
a5
a6
a1
a6 

a 2 
Построим подстановку d 2 , такую, что d 2  d 1 и d 22  d 12 .
 a1
d 2  
 a4
a2
a3
a4
a5
a1
a6
a3
a2
a6 

a 5 
Аналогично предыдущему находится и подстановка d 3 , при условии, что
d 3  d 2  d 1 и d 32  d 12 .
 a1
d 3  
 a6
a2
a3
a4
a5
a5
a2
a1
a4
a6 
.
a 3 
Не трудно убедиться, что e13  d 13 , e 23  d 23 , e 33  d 33 . Действительно:
 a1
e13  
 a4
a2
a3
a4
a5
a5
a6
a1
a2
 a1
e 23  
 a6
a2
a3
a4
a5
a3
a2
a5
a4
 a1 a 2
e 33  
 a 2 a1
a3
a4
a5
a4
a3
a6
a6 

a 3 
 a1
d 13  
 a4
a2
a3
a4
a5
a5
a6
a1
a2
a6 

a1 
 a1
d 23  
 a6
a2
a3
a4
a5
a3
a2
a5
a4
a6 

a 5 
 a1
d 33  
 a2
a2
a3
a4
a5
a1
a4
a3
a6
a6 

a 3 
a6 

a1 
a6 
.
a 5 
Таким образом, мы нашли представление группы G 2 подстановками из 6-ти
элементов.
Осталось рассмотреть группу G 4 .
Группа G 4 среди своих элементов имеет 6 элементов 4-го порядка и всего лишь
один элемент второго порядка. Т. е. среди искомых подстановок должно быть 6
подстановок 4-го порядка, квадрат которых равен между собой.
Начнѐм рассмотрение с подстановок из 5-ти элементов. Подстановка из 5
элементов 4-го порядка может иметь только такой вид:
a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 
Следовательно, еѐ квадрат будет иметь вид:
a 2  a 1 a 2 a 4 a 3 a 5  .
(1)
Рассмотрим две подстановки 4-го порядка.
a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 
b  b1 b2 b3 b4 b5  ,
4
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
Где a 1  b1 . Из этого условия можем заключить, что a 2  b 2 , т. к. a 2 и b 2 это
подстановки второго порядка, которые должны иметь вид (1), но в случае a 2  b 2 эта
подстановка должна была бы иметь циклы a1 b1  , но тогда нарушается вид (1).
Следовательно, из условия a 2  b 2 должно вытекать условие a 1  b1 для подстановок a
и b.
Рассмотрим возможные комбинации элементов в подстановке a. Всего
возможных сочетаний будет C 42  6 , а т. к. в подстановке вида (1) два цикла второго
порядка, то всего будет три возожных варианта квадратов:
a 2  a 1 a 2 a 4 a 3 a 5 
a 2  a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 
a 2  a 1 a 2 a 5 a 3 a 4 
Каждая из данных подстановок может быть общим квадратом только для двух
подстановок. Действительно, пусть
 a1
a  
 a1
a2 a3
a4
a3 a4
a5
a
a 2   1
 a1
a2 a3
a4 a5
a4
a2
a5 
  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 
a 2 
a5 
  a1 a 2 a 4 a 3 a 5 
a 3 
Найдѐм b такую, что a 2  b 2 .
Элемент a 2 не может отображаться на элемент a 3 , т. к. элемент a 2
отображается на элемент a 3 в подстановке a, а a  b . Элемент a 2 не может
отображаться на элемент a 4 , т. к. элемент a 2 отображается на элемент a 4 в
подстановке a 2 . И элемент a 2 не может отображаться на элемент a 2 , т. к. цикл первого
порядка должен быть один в подстановке a 2 . Поэтому элемент a 2 отображается на
элемент a 5 В подстановке a 2 элемент a 2 отображается на элемент a 4 , следовательно в
подстановке b элемент a 5 будет отображаться на элемент a 4 . В подстановке a 2
элемент a 5 отображается на элемент a 3 , следовательно в подстановке в подстановке b
элемент a 4 будет отображаться на элемент a 3 . И, аналогично рассуждая, находим, что
элемент a 3 отображается на элемент a 2 . Получаем такую подстановку b:
 a1
b  
 a1
a2 a3
a4
a5 a2
a3
a5 
  a1 a 2 a 5 a 4 a 3  .
a 4 
Т. о. среди всех подстановок 4-го порядка из 5-ти элементов может быть только
две подстановки, квадраты которых равны между собой. Т. е. подстановки из 5-ти
элементов не подходят для нашего исследования
Перейдѐм к рассмотрению подстановок из 6-ти элементов.
5
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
Подстановки 4-го порядка из 6-ти элементов могут быть двух видов:
1. a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 
2. a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 
Квадрат же обеих подстановок может иметь только такой вид:
a 2  a1 a2 a3 a5 a4 a6  .
Сразу можем сказать, что для подстановок a  b , где a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6  и
b  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6  будем иметь a 2  b 2 .
Ранее было показано, что подстановки a1 a 2 a 3 a4 a5  и a1 a 2 a5 a4 a 3  имеют
одинаковый квадрат. Следовательно и подстановки a 6 a1 a 2 a 3 a 4 a 5  и
a6 a1 a 2 a5 a4 a 3  будут иметь одинаковый квадрат подстановки. Такой же квадрат,
по аналогии с предыдущим, будут иметь подстановки a 6 a1 a 2 a 3 a 4 a 5  и
a6 a1 a2 a5 a4 a3  .
Т. о. для подстановок из 6-ти элементов будем иметь уже 4 различных
подстановки, квадраты которых равны между собой.
Если в подстановках a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6  и b  b1 b2 b3 b4 b5 b6  хотя бы
один из элементов a 1 или a 2 не равен ни одному из элементов b1 или b2 , то a 2  b 2 ,
как было показано ранее.
Аналогично и для подстановок a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6  и b  b1 b2 b3 b4 b5 b6  ,
где хотя бы a1  b1 , не могут иметь одинаковых квадратов.
Окончательно, т. о. получаем, что среди всех подстановок 4-го порядка из 6-ти
элементов существует не более чем 4-х подстановок, квадрат которых одинаков.
Напомним, что нам требуется 6 подстановок 4-го порядка, квадрат которых одинаков,
чтобы построить представление группы G 4 .
Рассмотрим подстановки 4-го порядка из из 7-ми элементов. Они могут быть
двух видов:
1. a  a1 a 2 a 3 a4 a5 a6 a7 
2. a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 
Квадрат обеих видов подстановок даѐт подстановку одного вида:
a 2  a1 a2 a3 a4 a6 a5 a7 
И поэтому все рассуждения сводятся фактически к случаю подстановок из 6-ти
элементов. Т. е. такие подстановки нам тоже не подходят.
Рассмотрим подстановки 4-го порядка из 8-ми элементов. Они могут быть трѐх
видов:
1. a  a1 a 2 a 3 a4 a5 a6 a7 a8 
6
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
2. a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 
3. a  a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8  .
Квадраты таких подстановок имеют одинаковый вид:
a 2  a1 a2 a3 a4 a5 a7 a6 a8 
Рассуждая аналогично предыдущему, получаем вывод, что среди всех
подстановок 4-го порядка из 8-ми элементов обязательно найдѐтся 6 подстановок,
квадраты которых равны между собой.
Т. е., чтобы построить группу G 4 необходимо взять подстановки из 8-ми и более
элементов.
Сведѐм полученные результаты в таблицу, где каждой группе 12-го порядка
поставлено в соответствие минимальное число элементов в подстановке, при помощи
которых можно представить данную группу.
G1
G2
G3
G4
G5
7
6
5
8
4
На этом наше исследование можно считать законченным.
7
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
Приложение 1
Разложение группы G 3 12-го порядка
в прямое произведение своих подгрупп.
Дело в том, что по известной автору литературе (см. Приложение 2) эта группа
допускает единственное разложение в прямое произведение своих подгрупп. На самом
деле это не так.
Это мы и хотим здесь показать.
Известно, группа G 3 12-порядка неабелева и распадается в прямое произведение
своих подгрупп (см. например, О. Ю. Шмидт, «Абстрактная теория групп»)
G3  S  D1 ,
(1)
Где D1  D1  - группа второго порядка, а S неабелева группа шестого порядка,
определяемая равенством:
DTD  T 2 .
(2)
Здесь D – элемент второго порядка, Т – элемент третьего порядка.
Определим все элементы S, используя равенство (2):
a0  1 ,
a1  D ,
a 2  TD
a4  T
a 3  DT ,
a5  T 2 .
Построим таблицу Кэли для S.
1
D
TD
DT
T
T²
1
D
TD
DT
T
T²
Группа G 3 определяется равенствами:
DTD  T 2 ,
DD1  D1 D , TD1  D1T .
(3)
Найдѐм элементы группы G 3 , как прямое произведение S  D1 .
8
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
a0  1 ,
a1  D ,
a 2  TD
a 6  D1 ,
a 7  TD1 ,
a 8  T 2 D1
a 3  DT ,
a9  DD1 ,
a4  T
a5  T 2 ,
a10  TDD1
a11  DTD1 .
С другой стороны равенство TD1  D1T среди равенств (3), является
определяющим для группы 6-го порядка, но абелевой, где определяющий элемент
группы будет TD1 .
Обозначим полученную абелеву группу шестого порядка через S1  TD1  , тогда
G 3 разложима в прямое произведение групп S 1 и D, где D  D .
G 3  S1  D
Найдѐм все элементы группы S 1 , как степени элемента TD1 , помня что
TD1  D1T .
TD1 1  TD1 ,
TD1 4  D1  TD1  T ,
TD1 2  TD1 TD1   T 2 , TD1 3  T 2  TD1  D1 ,
TD1 5  T  TD1  T 2 D1 , TD1 6  T 2 D1  TD1  1 .
Теперь снова найдѐм элементы группы G 3 , как прямое произведение групп S 1 и
D.
a2  T
a 3  D1 ,
a0  1 ,
a1  T 2 D ,
a6  D ,
a7  T 2 D1  D  T 2 DD1  DTD 1 ,
a10  T D  DT ,
2
a4  T 2
a 8  TD ,
a 5  TD1 ,
a9  D1 D ,
a11  TD1 D .
Здесь использовались равенства (3), определяющие группу G 3 . Т. е., действительно
получаем: S  D1  S1  D  G3
Построим таблицу Кэли для G 3 .
9
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
D
TD
DT
1
T
T²
D1
TD1
T²D1
DD1
TDD1 DTD1
D
TD
DT
1
T
T²
D1
TD1
T²D1
DD1
TDD1
DTD1
Кстати заметим, что группа G 3 имеет ещѐ одну подгруппу шестого порядка,
тоже неабелеву, состоящую из элементов: 1, T, T², DD1, TDD1, DTD1.
Здесь DTD 1  T 2  DD1 . Элемент DD1 имеет порядок 2. Обозначим его
D2  DD 1 . Тогда вторая группа, неабелева группа шестого порядка будет иметь
определяющее равенство:
D2TD2  T 2 .
Если в группе G 3 для элементов второго порядка ввести обозначение D1 и D2 то
определяющие уравнения группы G 3 можно записать в виде:
D1 D2  D2 D1 ,
Di TD i  T 2 .
10
©Франц Герман
Представление групп 12-го порядка минимальными подстановками
Приложение 2
Литература
О. Ю. Шмидт, «Абстрактная теория групп»
П. С. Александров, «Введение в теорию групп»
А. Г. Курош, «Теория групп»
А. Г. Курош, «Курс высшей алгебры»
М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, «Основы теории групп»
Б. Л. Ван дер Варден. «Алгебра»
Е. Вигнер, «Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных
спектров».
Г. Вейль, «Теория групп и квантовая механика»
11
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа