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ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 01 - 1/6).
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 01 - 2/6).
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ
ɑɚɫɬɶ 1
ɂɧɫɬɪɭɤɰɢɹ ɩɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɸ ɪɚɛɨɬɵ
Ɇɨɞɭɥɶ «Ⱥɥɝɟɛɪɚ»
Ɉɛɳɟɟ ɜɪɟɦɹ ɪɚɛɨɬɵ — 235 ɦɢɧɭɬ.
ȼɫɟɝɨ ɜ ɪɚɛɨɬɟ 26 ɡɚɞɚɧɢɣ, ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ 20 ɡɚɞɚɧɢɣ ɛɚɡɨɜɨɝɨ ɭɪɨɜɧɹ (ɱɚɫɬɶ I) ɢ 6 ɡɚɞɚɧɢɣ
ɩɨɜɵɲɟɧɧɨɝɨ ɭɪɨɜɧɹ (ɱɚɫɬɶ II).
Ɋɚɛɨɬɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɬɪɟɯ ɦɨɞɭɥɟɣ: «Ⱥɥɝɟɛɪɚ», «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ», «Ɋɟɚɥɶɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ».
Ɇɨɞɭɥɶ «Ⱥɥɝɟɛɪɚ» ɫɨɞɟɪɠɢɬ 11 ɡɚɞɚɧɢɣ: ɜ ɱɚɫɬɢ I — 8 ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɤɪɚɬɤɢɦ ɨɬɜɟɬɨɦ Ⱥ1–Ⱥ3, ȼ1–
ȼ5, ɜ ɱɚɫɬɢ II — 3 ɡɚɞɚɧɢɹ ɫ ɩɨɥɧɵɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɋ1–ɋ3.
Ɇɨɞɭɥɶ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ» ɫɨɞɟɪɠɢɬ 8 ɡɚɞɚɧɢɣ: ɜ ɱɚɫɬɢ I — 5 ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɤɪɚɬɤɢɦ ɨɬɜɟɬɨɦ ȼ6–ȼ10, ɜ
ɱɚɫɬɢ II — 3 ɡɚɞɚɧɢɹ ɫ ɩɨɥɧɵɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɋ4–ɋ6.
Ɇɨɞɭɥɶ «Ɋɟɚɥɶɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ» ɫɨɞɟɪɠɢɬ 7 ɡɚɞɚɧɢɣ: ɜɫɟ ɡɚɞɚɧɢɹ ɜ ɱɚɫɬɢ I ɫ ɤɪɚɬɤɢɦ ɨɬɜɟɬɨɦ
Ⱥ4, ȼ11–ȼ16.
ɋɧɚɱɚɥɚ ɜɵɩɨɥɧɹɣɬɟ ɡɚɞɚɧɢɹ ɱɚɫɬɢ I. ɋɨɜɟɬɭɟɦ ɧɚɱɚɬɶ ɫ ɬɨɝɨ ɦɨɞɭɥɹ, ɡɚɞɚɧɢɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ
ɜɵɡɵɜɚɸɬ ɦɟɧɶɲɟ ɡɚɬɪɭɞɧɟɧɢɣ, ɡɚɬɟɦ ɩɟɪɟɯɨɞɢɬɟ ɤ ɞɪɭɝɢɦ ɦɨɞɭɥɹɦ. Ⱦɥɹ ɷɤɨɧɨɦɢɢ ɜɪɟɦɟɧɢ
ɩɪɨɩɭɫɤɚɣɬɟ ɡɚɞɚɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɟ ɭɞɚɟɬɫɹ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ɫɪɚɡɭ, ɢ ɩɟɪɟɯɨɞɢɬɟ ɤ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦɭ. ȿɫɥɢ
ɨɫɬɚɧɟɬɫɹ ɜɪɟɦɹ, ɜɵ ɫɦɨɠɟɬɟ ɜɟɪɧɭɬɶɫɹ ɤ ɩɪɨɩɭɳɟɧɧɵɦ ɡɚɞɚɧɢɹɦ.
ȼɫɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɢ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɜɵɩɨɥɧɹɣɬɟ ɜ ɱɟɪɧɨɜɢɤɟ. ȿɫɥɢ ɡɚɞɚɧɢɟ
ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɪɢɫɭɧɨɤ, ɬɨ ɧɚ ɧɟɦ ɦɨɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɜɚɦ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ. Ɉɛɪɚɳɚɟɦ ɜɧɢɦɚɧɢɟ
ɧɚ ɬɨ, ɱɬɨ ɡɚɩɢɫɢ ɜ ɱɟɪɧɨɜɢɤɟ ɧɟ ɛɭɞɭɬ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶɫɹ ɩɪɢ ɨɰɟɧɢɜɚɧɢɢ ɪɚɛɨɬɵ. Ɋɟɤɨɦɟɧɞɭɟɦ
ɜɧɢɦɚɬɟɥɶɧɨ ɱɢɬɚɬɶ ɭɫɥɨɜɢɟ ɢ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶ ɩɪɨɜɟɪɤɭ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɨɬɜɟɬɚ.
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ ɱɚɫɬɢ I ɧɭɠɧɨ ɭɤɚɡɵɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬɜɟɬɵ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ:
– ɩɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ Ⱥ1–Ⱥ4 ɨɬɜɟɬɵ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɧɟɫɬɢ ɜ ɛɥɚɧɤ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɩɨɞ ɧɨɦɟɪɨɦ
ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɡɚɞɚɧɢɹ. Ʉ ɤɚɠɞɨɦɭ ɡɚɞɚɧɢɸ Ⱥ1–Ⱥ4 ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ 4 ɜɚɪɢɚɧɬɚ ɨɬɜɟɬɚ, ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ
ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɜɟɪɧɵɣ.
– ɨɬɜɟɬɨɦ ɧɚ ɡɚɞɚɧɢɹ ȼ1–ȼ4, ȼ6–ȼ9, ȼ11 –ȼ16 ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢɥɢ ɤɨɧɟɱɧɚɹ
ɞɟɫɹɬɢɱɧɚɹ ɞɪɨɛɶ. Ɉɬɜɟɬ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ
ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ.
– ɜ ɡɚɞɚɧɢɢ ȼ5 ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɧɟɤɨɬɨɪɵɦɢ ɨɛɴɟɤɬɚɦɢ. Ⱦɥɹ ɨɛɴɟɤɬɨɜ
Ⱥ, Ȼ ɢ ȼ, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɯ ɜ ɚɥɮɚɜɢɬɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ, ɭɤɚɠɢɬɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɧɨɦɟɪɚ ɨɛɴɟɤɬɨɜ 1, 2, 3
ɢɥɢ 4. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɨɬɜɟɬɨɦ ɤ ɡɚɞɚɧɢɸ ȼ3 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɰɢɮɪ, ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜ
ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ ɛɟɡ ɩɪɨɛɟɥɨɜ ɢ ɞɪɭɝɢɯ ɫɢɦɜɨɥɨɜ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ: 214.
– ɨɬɜɟɬɨɦ ɧɚ ɡɚɞɚɧɢɟ ȼ10 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɰɢɮɪ, ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜ ɥɸɛɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ ɛɟɡ
ɩɪɨɛɟɥɨɜ ɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɹ ɞɪɭɝɢɯ ɫɢɦɜɨɥɨɜ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ: 124. Ɉɬɜɟɬ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤ
ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ.
– ɩɪɢ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɧɟɜɟɪɧɨɝɨ ɨɬɜɟɬɚ ɜ ɡɚɞɚɧɢɹɯ ȼ1–ȼ16 ɡɚɱɟɪɤɧɢɬɟ ɫɬɚɪɵɣ ɨɬɜɟɬ ɢ ɫɩɪɚɜɚ ɛɟɡ
ɩɪɨɛɟɥɨɜ ɡɚɩɢɲɢɬɟ ɧɨɜɵɣ.
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ ɱɚɫɬɢ II (C1–C6) ɜ ɛɥɚɧɤ ɨɬɜɟɬɨɜ ɋ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ
ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɢ ɨɬɜɟɬ. Ɍɟɤɫɬ ɡɚɞɚɧɢɹ ɧɟ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɟɪɟɩɢɫɵɜɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɥɢɲɶ
ɭɤɚɡɚɬɶ ɟɝɨ ɧɨɦɟɪ.
Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɨ-ɢɡɦɟɪɢɬɟɥɶɧɵɟ ɦɚɬɟɪɢɚɥɵ, ɜɵɞɚɧɧɵɟ ɭɱɚɫɬɧɢɤɚɦ ɷɤɡɚɦɟɧɚ, ɦɨɝɭɬ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ
ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɱɟɪɧɨɜɢɤɨɜ.
ɉɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪɨɦ ɧɟ ɪɚɡɪɟɲɚɟɬɫɹ.
Ȼɚɥɥɵ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɡɚ ɜɟɪɧɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɧɵɟ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɫɭɦɦɢɪɭɸɬɫɹ. Ⱦɥɹ ɭɫɩɟɲɧɨɝɨ ɩɪɨɯɨɠɞɟɧɢɹ
ɢɬɨɝɨɜɨɣ ɚɬɬɟɫɬɚɰɢɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɛɪɚɬɶ ɜ ɫɭɦɦɟ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 8 ɛɚɥɥɨɜ, ɧɨ ɢɡ ɧɢɯ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 3 ɛɚɥɥɨɜ
ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ «Ⱥɥɝɟɛɪɚ», ɧɟ ɦɟɧɟɟ 2 ɛɚɥɥɨɜ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ», ɢ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 2 ɛɚɥɥɨɜ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ
«Ɋɟɚɥɶɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ» ɢ 1 ɛɚɥɥ ɢɡ ɥɸɛɨɝɨ ɦɨɞɭɥɹ.
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
Ɉɬɜɟɬɨɦ ɧɚ ɡɚɞɚɧɢɹ ȼ1–ȼ4 ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢɥɢ ɤɨɧɟɱɧɚɹ ɞɟɫɹɬɢɱɧɚɹ ɞɪɨɛɶ. Ɉɬɜɟɬ
ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤɟ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ
ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ. Ʉɚɠɞɭɸ ɰɢɮɪɭ, ɡɧɚɤ ɦɢɧɭɫ ɢ ɡɚɩɹɬɭɸ ɩɢɲɢɬɟ ɜ ɨɬɞɟɥɶɧɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɟ.
5 2
: .
6 3
ȼ1
ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ 1 −
ȼ2
Ɋɟɲɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ − 4 (− 7 + 6 ɯ ) = − 9 ɯ − 2 .
ȼ3
ɇɚɣɞɢɬɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɫ( 3ɫ + 8 ) - ( ɫ + 4 )
2
ɩɪɢ ɫ = 7 .
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ Ⱥ1–Ⱥ3 ɜ ɛɥɚɧɤɟ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɩɨɞ ɤɨɞɨɦ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ
ɩɨɫɬɚɜɶɬɟ ɡɧɚɤ «×» ɜ ɤɥɟɬɨɱɤɭ, ɧɨɦɟɪ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɨɦɟɪɭ ɜɵɛɪɚɧɧɨɝɨ ɜɚɦɢ ɨɬɜɟɬɚ.
­− 5 ɯ < 30,
?
ɋɤɨɥɶɤɨ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɪɟɲɟɧɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ ®
¯ 3 x ≤ 5.
Ⱥ1
1) 8
2) 7
3) 6
4) 5
Ʉɚɤɢɟ ɢɡ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɧɢɠɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɜɟɪɧɵɦɢ?
Ⱥ2
1. 25 = 5 ;
1) 1 ɢ 4
2. 9 = −3 ;
3. − 25 = −5 ;
4. − 16 = −4 .
2) 1 ɢ 2
3) 1 ɢ 3
4) 1,2 ɢ 3.
ȼ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɩɪɨɝɪɟɫɫɢɢ (bn ) b3 = −40; b6 = −5 . ɇɚɣɞɢɬɟ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɩɪɨɝɪɟɫɫɢɢ.
ȼ4
Ⱥ3
Ʉɚɤɨɣ ɢɡ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɯ ɬɪɟɯɱɥɟɧɨɜ ɧɟɥɶɡɹ ɪɚɡɥɨɠɢɬɶ ɧɚ ɥɢɧɟɣɧɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ?
2
1) x - 8x - 15
2) x2 - 1
3) x2 - 8x + 20
4) x2 - 10x + 23
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 01 - 3/6).
Ɉɬɜɟɬɨɦ ɤ ɡɚɞɚɧɢɸ ȼ5 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɰɢɮɪ, ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɨɦ
ɩɨɪɹɞɤɟ ɛɟɡ ɩɪɨɛɟɥɨɜ ɢ ɞɪɭɝɢɯ ɫɢɦɜɨɥɨɜ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ 214. Ɉɬɜɟɬ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤɟ
ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ. Ʉɚɠɞɭɸ
ɰɢɮɪɭ ɩɢɲɢɬɟ ɜ ɨɬɞɟɥɶɧɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɟ.
B5
ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɵ ɝɪɚɮɢɤɢ ɮɭɧɤɰɢɣ y = kx + b. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 01 - 4/6).
ȼ7
ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɭɝɨɥ ȺɈȼ ɧɚ 36° ɛɨɥɶɲɟ
ɜɩɢɫɚɧɧɨɝɨ ɭɝɥɚ Ⱥɋȼ. ɇɚɣɞɢɬɟ ɜɟɥɢɱɢɧɭ
ɭɝɥɚ Ⱥɋȼ. Ɉɬɜɟɬ ɞɚɣɬɟ ɜ ɝɪɚɞɭɫɚɯ.
ɝɪɚɮɢɤɚɦɢ ɢ ɡɧɚɤɚɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ k ɢ b.
Ƚɪɚɮɢɤɢ
ȼ8
ȼ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ ABCD ɞɢɚɝɨɧɚɥɶ
AC ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɚ ɫɬɨɪɨɧɟ CD.
BC = 9, AC = 15, AD = 25. ɇɚɣɞɢɬɟ ɩɥɨɳɚɞɶ ɬɪɚɩɟɰɢɢ.
ȼ9
ɉɥɨɳɚɞɶ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ Ⱥȼɋ ɪɚɜɧɚ 168.
DE - ɫɪɟɞɧɹɹ ɥɢɧɢɹ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ.
ɇɚɣɞɢɬɟ ɩɥɨɳɚɞɶ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ DEC.
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ 1) k<0, b<0
2) k>0, b>0
3) k<0, b>0
4) k>0, b<0
ȼ10 ɍɤɚɠɢɬɟ ɧɨɦɟɪɚ ɧɟɜɟɪɧɵɯ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɣ.
1. ȿɫɥɢ ɜ ɜɵɩɭɤɥɨɦ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɞɜɟ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɟ ɫɬɨɪɨɧɵ
ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ, ɚ
ɞɜɟ ɞɪɭɝɢɟ ɪɚɜɧɵ, ɬɨ ɷɬɨɬ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤ - ɩɚɪɚɥɥɟɥɨɝɪɚɦɦ.
2. ȿɫɥɢ ɜ ɜɵɩɭɤɥɨɦ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɞɢɚɝɨɧɚɥɢ ɪɚɜɧɵ ɢ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵ, ɬɨ
ɷɬɨɬ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤ - ɪɨɦɛ.
3. ɉɪɢ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɢ ɞɜɭɯ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵɯ ɩɪɹɦɵɯ ɫɟɤɭɳɟɣ ɛɢɫɫɟɤɬɪɢɫɵ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɯ ɧɚɤɪɟɫɬ
ɥɟɠɚɳɢɯ ɭɝɥɨɜ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ.
4. ȿɫɥɢ ɜ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɫɭɦɦɚ ɭɝɥɨɜ, ɩɪɢɥɟɠɚɳɢɯ ɤ ɨɞɧɨɣ ɫɬɨɪɨɧɟ, ɪɚɜɧɚ 180° , ɬɨ ɷɬɨɬ
Ɇɨɞɭɥɶ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ»
Ɉɬɜɟɬɨɦ ɧɚ ɡɚɞɚɧɢɹ ȼ6–ȼ10 ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢɥɢ ɤɨɧɟɱɧɚɹ ɞɟɫɹɬɢɱɧɚɹ ɞɪɨɛɶ.
Ɉɬɜɟɬ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤɟ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ,
ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ. Ʉɚɠɞɭɸ ɰɢɮɪɭ, ɡɧɚɤ ɦɢɧɭɫ ɢ ɡɚɩɹɬɭɸ ɩɢɲɢɬɟ ɜ ɨɬɞɟɥɶɧɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɟ.
ȼ6
ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ
Ⱥȼ=Ⱥɋ, ∠ ACD = 125 ° .
ɇɚɣɞɢɬɟ ∠CAB . Ɉɬɜɟɬ ɞɚɣɬɟ ɜ ɝɪɚɞɭɫɚɯ.
ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤ - ɩɚɪɚɥɥɟɥɨɝɪɚɦɦ.
Ɇɨɞɭɥɶ «Ɋɟɚɥɶɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ»
ȼ ɬɚɛɥɢɰɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɡɚɛɟɝɚ ɧɚ 30 ɦ ɱɟɬɵɪɟɯ ɩɹɬɢɤɥɚɫɫɧɢɰ, Ɂɧɚɹ, ɱɬɨ ɞɥɹ
ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɨɬɦɟɬɤɢ «5», ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɪɨɛɟɠɚɬɶ 30 ɦ ɧɟ ɛɨɥɟɟ ɱɟɦ ɡɚ 5,7 ɫ, ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ
ɮɚɦɢɥɢɢ ɜɫɟɯ ɞɟɜɨɱɟɤ, ɩɨɥɭɱɢɜɲɢɯ «5».
Ⱥ4
Ɏɚɦɢɥɢɹ ɭɱɟɧɢɰɵ
ȼɪɟɦɹ, ɫ
ȼɢɧɨɝɪɚɞɨɜɚ
5,4
ɉɟɬɪɨɜɚ
5,8
Ⱥɧɞɪɟɟɜɚ
5,7
1) ȼɢɧɨɝɪɚɞɨɜɚ, ɉɟɬɪɨɜɚ, ɑɭɥɚɤɨɜɚ
2) Ⱥɧɞɪɟɟɜɚ, ɑɭɥɚɤɨɜɚ
3) ȼɢɧɨɝɪɚɞɨɜɚ
4) ȼɢɧɨɝɪɚɞɨɜɚ, Ⱥɧɞɪɟɟɜɚ
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
ɑɭɥɚɤɨɜɚ
6,0
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 01 - 5/6).
Ɇɨɳɧɨɫɬɶ ɨɬɨɩɢɬɟɥɹ ɜ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɟ ɪɟɝɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɦ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟɦ, ɤɨɬɨɪɨɟ
ɦɨɠɧɨ ɦɟɧɹɬɶ, ɩɨɜɨɪɚɱɢɜɚɹ ɪɭɤɨɹɬɤɭ ɜ ɫɚɥɨɧɟ ɦɚɲɢɧɵ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɢɥɚ ɬɨɤɚ ɜ
ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɰɟɩɢ ɷɥɟɤɬɪɨɞɜɢɝɚɬɟɥɹ – ɱɟɦ ɦɟɧɶɲɟ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ, ɬɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɫɢɥɚ ɬɨɤɚ ɢ ɬɟɦ
ɛɵɫɬɪɟɟ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɦɨɬɨɪ ɨɬɨɩɢɬɟɥɹ. ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɩɨɤɚɡɚɧɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɫɢɥɵ ɬɨɤɚ ɨɬ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ. ɇɚ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫ ɨɬɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ (ɜ Ɉɦɚɯ), ɧɚ ɨɫɢ ɨɪɞɢɧɚɬ – ɫɢɥɚ ɬɨɤɚ
ɜ Ⱥɦɩɟɪɚɯ. Ɍɨɤ ɜ ɰɟɩɢ ɷɥɟɤɬɪɨɞɜɢɝɚɬɟɥɹ ɭɦɟɧɶɲɢɥɫɹ ɫ 12 ɞɨ 4 Ⱥɦɩɟɪ. ɇɚ ɫɤɨɥɶɤɨ Ɉɦɨɜ ɩɪɢ ɷɬɨɦ
ɭɜɟɥɢɱɢɥɨɫɶ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɰɟɩɢ?
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 01 - 6/6).
ɑɚɫɬɶ 2
ȼ11
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ ɷɬɨɣ ɱɚɫɬɢ ɜ ɛɥɚɧɤ ɨɬɜɟɬɨɜ ɋ ɩɨɞ ɤɨɞɨɦ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ
(ɋ1–ɋ6) ɡɚɧɟɫɢɬɟ ɩɨɥɧɨɟ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɢ ɨɬɜɟɬ.
Ɇɨɞɭɥɶ «Ⱥɥɝɟɛɪɚ»
C1
ɍɩɪɨɫɬɢɬɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ
x −1 x + 1 9x 2 −1
−
⋅
.
x − 2 3x + 1 x 2 − x − 2
ȼɱɟɪɚ ɱɢɫɥɨ ɭɱɟɧɢɤɨɜ, ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɨɜɚɜɲɢɯ ɧɚ ɭɪɨɤɚɯ ɜ ɤɥɚɫɫɟ, ɛɵɥɨ ɜ 8 ɪɚɡ ɛɨɥɶɲɟ ɱɢɫɥɚ
ɨɬɫɭɬɫɬɜɨɜɚɜɲɢɯ. ɋɟɝɨɞɧɹ ɧɟ ɩɪɢɲɥɢ ɟɳɟ 2 ɱɟɥɨɜɟɤɚ, ɢ ɨɤɚɡɚɥɨɫɶ, ɱɬɨ ɱɢɫɥɨ
ɨɬɫɭɬɫɬɜɨɜɭɸɳɢɯ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ 20% ɨɬ ɱɢɫɥɚ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ. ɋɤɨɥɶɤɨ ɜɫɟɝɨ ɭɱɟɧɢɤɨɜ ɜ ɤɥɚɫɫɟ?
C2
C3
ɉɪɢ ɤɚɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ m ɜɟɪɲɢɧɵ ɩɚɪɚɛɨɥ
y=x2 - 2mx + m ɢ y = x2 + 4mx - 8m
ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɩɨ ɪɚɡɧɵɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɨɬ ɨɫɢ Ɉɯ?
Ɇɨɞɭɥɶ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ»
C4
ɇɚɣɞɢɬɟ ɛɨɥɶɲɢɣ ɭɝɨɥ ɨɫɬɪɨɭɝɨɥɶɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ, ɟɫɥɢ ɞɜɟ ɟɝɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɜɢɞɧɵ ɢɡ
ɰɟɧɬɪɚ ɨɩɢɫɚɧɧɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɩɨɞ ɭɝɥɚɦɢ 100° ɢ 120° .
ȼ ɩɟɪɢɨɞ ɪɚɫɩɪɨɞɚɠ ɦɚɝɚɡɢɧ ɫɧɢɠɚɥ ɰɟɧɵ ɞɜɚɠɞɵ: ɜ ɩɟɪɜɵɣ ɪɚɡ ɧɚ 30%, ɜɨ ɜɬɨɪɨɣ ɧɚ 20%.
ɋɤɨɥɶɤɨ ɪɭɛɥɟɣ ɫɬɚɥ ɫɬɨɢɬɶ ɱɚɣɧɢɤ ɩɨɫɥɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɫɧɢɠɟɧɢɹ ɰɟɧ, ɟɫɥɢ ɞɨ ɧɚɱɚɥɚ ɪɚɫɩɪɨɞɚɠɢ
ɨɧ ɫɬɨɢɥ 2400 ɪɭɛɥɟɣ?
C5
ȼ12
Ⱦɨɤɚɠɢɬɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ: ɟɫɥɢ ɜ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɟ Ⱥȼɋ
ɦɟɞɢɚɧɚ ɢ ɜɵɫɨɬɚ, ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɟ ɢɡ ɜɟɪɲɢɧɵ Ⱥ, ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ, ɬɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ Ⱥȼɋ - ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɣ
ȼ13 ɑɟɥɨɜɟɤ ɪɨɫɬɨɦ 1,8 ɦ ɫɬɨɢɬ ɧɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢ 10 ɲɚɝɨɜ ɨɬ ɫɬɨɥɛɚ, ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜɢɫɢɬ ɮɨɧɚɪɶ. Ɍɟɧɶ
C6
ɱɟɥɨɜɟɤɚ ɪɚɜɧɚ ɲɟɫɬɢ ɲɚɝɚɦ. ɇɚ ɤɚɤɨɣ ɜɵɫɨɬɟ (ɜ ɦɟɬɪɚɯ) ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧ ɮɨɧɚɪɶ?
ȼ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ ȺȼɋD ɞɥɢɧɚ ɛɨɤɨɜɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ Ⱥȼ ɪɚɜɧɚ 12 6. Ɉ - ɬɨɱɤɚ
ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɞɢɚɝɨɧɚɥɟɣ,
ɬɪɚɩɟɰɢɢ.
∠ȼȺD = 45° , ∠ȼɈȺ = 60° . ɇɚɣɞɢɬɟ ɞɥɢɧɭ ɫɪɟɞɧɟɣ ɥɢɧɢɢ
ȼ14 ɉɨ ɞɢɚɝɪɚɦɦɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ, ɫɤɨɥɶɤɨ ɩɪɨɰɟɧɬɨɜ
ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɩɥɨɳɚɞɶ ɫɟɤɬɨɪɚ 1 ɨɬ ɩɥɨɳɚɞɢ ɜɫɟɝɨ ɤɪɭɝɚ.
ȼ15 ȼ ɮɢɪɦɟ ɬɚɤɫɢ ɜ ɞɚɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɫɜɨɛɨɞɧɨ 5 ɱɺɪɧɵɯ, 1 ɠɺɥɬɚɹ ɢ 4 ɡɟɥɺɧɵɯ ɦɚɲɢɧɵ ɉɨ
ɜɵɡɨɜɭ ɜɵɟɯɚɥɚ ɨɞɧɚ ɢɡ ɦɚɲɢɧ, ɨɤɚɡɚɜɲɚɹɫɹ ɛɥɢɠɟ ɜɫɟɝɨ ɤ ɡɚɤɚɡɱɢɤɭ. ɇɚɣɞɢɬɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ
ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɤ ɧɟɦɭ ɩɪɢɟɞɟɬ ɠɺɥɬɨɟ ɬɚɤɫɢ.
2
ȼ16 Ɂɚɤɨɧ Ⱦɠɨɭɥɹ – Ʌɟɧɰɚ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ Q = I Rt , Q – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɨɬɵ (ɞɠɨɭɥɹɯ), I
– ɫɢɥɚ ɬɨɤɚ (ɜ ɚɦɩɟɪɚɯ), R – ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɰɟɩɢ (ɜ ɨɦɚɯ), ɚ t – ɜɪɟɦɹ (ɜ ɫɟɤɭɧɞɚɯ). ɉɨɥɶɡɭɹɫɶ
ɷɬɨɣ ɮɨɪɦɭɥɨɣ, ɧɚɣɞɢɬɟ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ R (ɜ ɨɦɚɯ), ɟɫɥɢ Q = 100 Ⱦɠ, I = 2A, t = 5c.
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 02 - 1/6).
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 02 - 2/6).
ɑɚɫɬɶ 1
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ
ɂɧɫɬɪɭɤɰɢɹ ɩɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɸ ɪɚɛɨɬɵ
Ɉɛɳɟɟ ɜɪɟɦɹ ɪɚɛɨɬɵ — 235 ɦɢɧɭɬ.
ȼɫɟɝɨ ɜ ɪɚɛɨɬɟ 26 ɡɚɞɚɧɢɣ, ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ 20 ɡɚɞɚɧɢɣ ɛɚɡɨɜɨɝɨ ɭɪɨɜɧɹ (ɱɚɫɬɶ I) ɢ 6 ɡɚɞɚɧɢɣ
ɩɨɜɵɲɟɧɧɨɝɨ ɭɪɨɜɧɹ (ɱɚɫɬɶ II).
Ɋɚɛɨɬɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɬɪɟɯ ɦɨɞɭɥɟɣ: «Ⱥɥɝɟɛɪɚ», «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ», «Ɋɟɚɥɶɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ».
Ɇɨɞɭɥɶ «Ⱥɥɝɟɛɪɚ» ɫɨɞɟɪɠɢɬ 11 ɡɚɞɚɧɢɣ: ɜ ɱɚɫɬɢ I — 8 ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɤɪɚɬɤɢɦ ɨɬɜɟɬɨɦ Ⱥ1–
Ⱥ3, ȼ1–ȼ5, ɜ ɱɚɫɬɢ II — 3 ɡɚɞɚɧɢɹ ɫ ɩɨɥɧɵɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɋ1–ɋ3.
Ɇɨɞɭɥɶ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ» ɫɨɞɟɪɠɢɬ 8 ɡɚɞɚɧɢɣ: ɜ ɱɚɫɬɢ I — 5 ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɤɪɚɬɤɢɦ ɨɬɜɟɬɨɦ
ȼ6–ȼ10, ɜ ɱɚɫɬɢ II — 3 ɡɚɞɚɧɢɹ ɫ ɩɨɥɧɵɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɋ4–ɋ6.
Ɇɨɞɭɥɶ «Ɋɟɚɥɶɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ» ɫɨɞɟɪɠɢɬ 7 ɡɚɞɚɧɢɣ: ɜɫɟ ɡɚɞɚɧɢɹ ɜ ɱɚɫɬɢ I ɫ ɤɪɚɬɤɢɦ
ɨɬɜɟɬɨɦ Ⱥ4, ȼ11–ȼ16.
ɋɧɚɱɚɥɚ ɜɵɩɨɥɧɹɣɬɟ ɡɚɞɚɧɢɹ ɱɚɫɬɢ I. ɋɨɜɟɬɭɟɦ ɧɚɱɚɬɶ ɫ ɬɨɝɨ ɦɨɞɭɥɹ, ɡɚɞɚɧɢɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ
ɜɵɡɵɜɚɸɬ ɦɟɧɶɲɟ ɡɚɬɪɭɞɧɟɧɢɣ, ɡɚɬɟɦ ɩɟɪɟɯɨɞɢɬɟ ɤ ɞɪɭɝɢɦ ɦɨɞɭɥɹɦ. Ⱦɥɹ ɷɤɨɧɨɦɢɢ
ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɪɨɩɭɫɤɚɣɬɟ ɡɚɞɚɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɟ ɭɞɚɟɬɫɹ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ɫɪɚɡɭ, ɢ ɩɟɪɟɯɨɞɢɬɟ ɤ
ɫɥɟɞɭɸɳɟɦɭ. ȿɫɥɢ ɨɫɬɚɧɟɬɫɹ ɜɪɟɦɹ, ɜɵ ɫɦɨɠɟɬɟ ɜɟɪɧɭɬɶɫɹ ɤ ɩɪɨɩɭɳɟɧɧɵɦ ɡɚɞɚɧɢɹɦ.
ȼɫɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɢ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɜɵɩɨɥɧɹɣɬɟ ɜ ɱɟɪɧɨɜɢɤɟ. ȿɫɥɢ ɡɚɞɚɧɢɟ
ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɪɢɫɭɧɨɤ, ɬɨ ɧɚ ɧɟɦ ɦɨɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɜɚɦ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ. Ɉɛɪɚɳɚɟɦ
ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɧɚ ɬɨ, ɱɬɨ ɡɚɩɢɫɢ ɜ ɱɟɪɧɨɜɢɤɟ ɧɟ ɛɭɞɭɬ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶɫɹ ɩɪɢ ɨɰɟɧɢɜɚɧɢɢ ɪɚɛɨɬɵ.
Ɋɟɤɨɦɟɧɞɭɟɦ ɜɧɢɦɚɬɟɥɶɧɨ ɱɢɬɚɬɶ ɭɫɥɨɜɢɟ ɢ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶ ɩɪɨɜɟɪɤɭ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɨɬɜɟɬɚ.
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ ɱɚɫɬɢ I ɧɭɠɧɨ ɭɤɚɡɵɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬɜɟɬɵ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ:
– ɩɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ Ⱥ1–Ⱥ4 ɨɬɜɟɬɵ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɧɟɫɬɢ ɜ ɛɥɚɧɤ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɩɨɞ
ɧɨɦɟɪɨɦ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɡɚɞɚɧɢɹ. Ʉ ɤɚɠɞɨɦɭ ɡɚɞɚɧɢɸ Ⱥ1–Ⱥ4 ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ 4 ɜɚɪɢɚɧɬɚ ɨɬɜɟɬɚ,
ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɜɟɪɧɵɣ.
– ɨɬɜɟɬɨɦ ɧɚ ɡɚɞɚɧɢɹ ȼ1–ȼ4, ȼ6–ȼ9, ȼ11 –ȼ16 ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢɥɢ ɤɨɧɟɱɧɚɹ
ɞɟɫɹɬɢɱɧɚɹ ɞɪɨɛɶ. Ɉɬɜɟɬ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ.
– ɜ ɡɚɞɚɧɢɢ ȼ5 ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɧɟɤɨɬɨɪɵɦɢ ɨɛɴɟɤɬɚɦɢ. Ⱦɥɹ
ɨɛɴɟɤɬɨɜ Ⱥ, Ȼ ɢ ȼ, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɯ ɜ ɚɥɮɚɜɢɬɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ, ɭɤɚɠɢɬɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ
ɧɨɦɟɪɚ ɨɛɴɟɤɬɨɜ 1, 2, 3 ɢɥɢ 4. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɨɬɜɟɬɨɦ ɤ ɡɚɞɚɧɢɸ ȼ3 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɰɢɮɪ, ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ ɛɟɡ ɩɪɨɛɟɥɨɜ ɢ ɞɪɭɝɢɯ
ɫɢɦɜɨɥɨɜ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ: 214.
– ɨɬɜɟɬɨɦ ɧɚ ɡɚɞɚɧɢɟ ȼ10 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɰɢɮɪ, ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜ ɥɸɛɨɦ
ɩɨɪɹɞɤɟ ɛɟɡ ɩɪɨɛɟɥɨɜ ɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɹ ɞɪɭɝɢɯ ɫɢɦɜɨɥɨɜ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ: 124. Ɉɬɜɟɬ ɫɥɟɞɭɟɬ
ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ
ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ.
– ɩɪɢ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɧɟɜɟɪɧɨɝɨ ɨɬɜɟɬɚ ɜ ɡɚɞɚɧɢɹɯ ȼ1–ȼ16 ɡɚɱɟɪɤɧɢɬɟ ɫɬɚɪɵɣ ɨɬɜɟɬ ɢ
ɫɩɪɚɜɚ ɛɟɡ ɩɪɨɛɟɥɨɜ ɡɚɩɢɲɢɬɟ ɧɨɜɵɣ.
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ ɱɚɫɬɢ II (C1–C6) ɜ ɛɥɚɧɤ ɨɬɜɟɬɨɜ ɋ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ
ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɢ ɨɬɜɟɬ. Ɍɟɤɫɬ ɡɚɞɚɧɢɹ ɧɟ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɟɪɟɩɢɫɵɜɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɥɢɲɶ ɭɤɚɡɚɬɶ ɟɝɨ ɧɨɦɟɪ.
Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɨ-ɢɡɦɟɪɢɬɟɥɶɧɵɟ ɦɚɬɟɪɢɚɥɵ, ɜɵɞɚɧɧɵɟ ɭɱɚɫɬɧɢɤɚɦ ɷɤɡɚɦɟɧɚ, ɦɨɝɭɬ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɱɟɪɧɨɜɢɤɨɜ.
ɉɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪɨɦ ɧɟ ɪɚɡɪɟɲɚɟɬɫɹ.
Ȼɚɥɥɵ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɡɚ ɜɟɪɧɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɧɵɟ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɫɭɦɦɢɪɭɸɬɫɹ. Ⱦɥɹ ɭɫɩɟɲɧɨɝɨ
ɩɪɨɯɨɠɞɟɧɢɹ ɢɬɨɝɨɜɨɣ ɚɬɬɟɫɬɚɰɢɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɛɪɚɬɶ ɜ ɫɭɦɦɟ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 8 ɛɚɥɥɨɜ, ɧɨ ɢɡ
ɧɢɯ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 3 ɛɚɥɥɨɜ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ «Ⱥɥɝɟɛɪɚ», ɧɟ ɦɟɧɟɟ 2 ɛɚɥɥɨɜ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ», ɢ
ɧɟ ɦɟɧɟɟ 2 ɛɚɥɥɨɜ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ «Ɋɟɚɥɶɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ» ɢ 1 ɛɚɥɥ ɢɡ ɥɸɛɨɝɨ ɦɨɞɭɥɹ.
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
Ɇɨɞɭɥɶ «Ⱥɥɝɟɛɪɚ»
Ɉɬɜɟɬɨɦ ɧɚ ɡɚɞɚɧɢɹ ȼ1–ȼ4 ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢɥɢ ɤɨɧɟɱɧɚɹ ɞɟɫɹɬɢɱɧɚɹ ɞɪɨɛɶ.
Ɉɬɜɟɬ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤɟ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ
ɡɚɞɚɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ. Ʉɚɠɞɭɸ ɰɢɮɪɭ, ɡɧɚɤ ɦɢɧɭɫ ɢ ɡɚɩɹɬɭɸ ɩɢɲɢɬɟ ɜ
ɨɬɞɟɥɶɧɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɟ.
3 6
: −1.
2 7
ȼ1
ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ
ȼ2
Ɋɟɲɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ -3(1+4x)=-6x-21.
ȼ3
ɇɚɣɞɢɬɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɫ(5ɫ-4)-(ɫ-2) ɩɪɢ ɫ= 13 .
2
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ Ⱥ1–Ⱥ3 ɜ ɛɥɚɧɤɟ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɩɨɞ ɤɨɞɨɦ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ
ɡɚɞɚɧɢɹ ɩɨɫɬɚɜɶɬɟ ɡɧɚɤ «×» ɜ ɤɥɟɬɨɱɤɭ, ɧɨɦɟɪ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɨɦɟɪɭ
ɜɵɛɪɚɧɧɨɝɨ ɜɚɦɢ ɨɬɜɟɬɚ.
Ⱥ1
­− 4 ɯ > −16,
ɋɤɨɥɶɤɨ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɪɟɲɟɧɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ ®
?
¯6 x ≥ −7.
1) 6
Ⱥ2
2) 5
3) 4
4) 3
Ʉɚɤɢɟ ɢɡ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɧɢɠɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɜɟɪɧɵɦɢ?
1. 36 = −6; 2. 9 = 3 ; 3. − 49 = −7 ; 4. − 16 = −4.
1)1 ɢ 2
2) 2,3 ɢ 4
3)2 ɢ 3
4)2 ɢ 4
ȼ4
ȼ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɩɪɨɝɪɟɫɫɢɢ (bn )
Ⱥ3
Ʉɚɤɨɣ ɢɡ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɯ ɬɪɟɯɱɥɟɧɨɜ ɧɟɥɶɡɹ ɪɚɡɥɨɠɢɬɶ ɧɚ ɥɢɧɟɣɧɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ?
b3 = −3; b6 = 24 . ɇɚɣɞɢɬɟ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɩɪɨɝɪɟɫɫɢɢ.
1) x2-2x-15
2) x2-25
3) x2+7x+11
4) x2-10x+26
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 02 - 3/6).
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 02 - 4/6).
ȼ7
Ɉɬɜɟɬɨɦ ɤ ɡɚɞɚɧɢɸ ȼ5 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɰɢɮɪ, ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜ
ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ ɛɟɡ ɩɪɨɛɟɥɨɜ ɢ ɞɪɭɝɢɯ ɫɢɦɜɨɥɨɜ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ 214. Ɉɬɜɟɬ ɫɥɟɞɭɟɬ
ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤɟ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ
ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ. Ʉɚɠɞɭɸ ɰɢɮɪɭ ɩɢɲɢɬɟ ɜ ɨɬɞɟɥɶɧɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɟ.
ȼɩɢɫɚɧɧɵɣ ɭɝɨɥ PKM ɧɚ 280 ɦɟɧɶɲɟ
ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɝɨ ɭɝɥɚ POM.
ɇɚɣɞɢɬɟ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɭɝɥɚ POM.
Ɉɬɜɟɬ ɞɚɣɬɟ ɜ ɝɪɚɞɭɫɚɯ.
ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɵ ɝɪɚɮɢɤɢ ɮɭɧɤɰɢɣ y=kx+b. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ
B5
ɝɪɚɮɢɤɚɦɢ ɢ ɡɧɚɤɚɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ k ɢ b.
ȼ8
ȼ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ PMNK диагональ PN
ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɚ ɫɬɨɪɨɧɟ NK.
PM = 12, PN = 15, PK = 25. ɇɚɣɞɢɬɟ ɩɥɨɳɚɞɶ ɬɪɚɩɟɰɢɢ.
Ƚɪɚɮɢɤɢ
ȼ9
ȼ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɟ Ⱥȼɋ DE-ɫɪɟɞɧɹɹ ɥɢɧɢɹ.
ɉɥɨɳɚɞɶ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ADE ɪɚɜɧɚ 39.
ɇɚɣɞɢɬɟ ɩɥɨɳɚɞɶ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ Ⱥȼɋ.
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ 1) k>0, b<0
2) k>0, b>0
ȼ10 ɍɤɚɠɢɬɟ ɧɨɦɟɪɚ ɧɟɜɟɪɧɵɯ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɣ.
1. ȿɫɥɢ ɜ ɜɵɩɭɤɥɨɦ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɞɜɟ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɪɚɜɧɵ, ɚ ɞɜɟ ɞɪɭɝɢɟ
3) k<0, b>0
ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ, ɬɨ ɷɬɨɬ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤ - ɩɚɪɚɥɥɟɥɨɝɪɚɦɦ.
4) k<0, b<0
2. ɉɪɢ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɢ ɞɜɭɯ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵɯ ɩɪɹɦɵɯ ɫɟɤɭɳɟɣ ɛɢɫɫɟɤɬɪɢɫɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɵɯ
ɭɝɥɨɜ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ.
3. ȿɫɥɢ ɜ ɜɵɩɭɤɥɨɦ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɞɢɚɝɨɧɚɥɢ ɪɚɜɧɵ ɢ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵ, ɬɨ
ɷɬɨɬ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤ - ɪɨɦɛ.
4. ȿɫɥɢ ɜ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤɟ ɫɭɦɦɚ ɭɝɥɨɜ, ɩɪɢɥɟɠɚɳɢɯ ɤ ɨɞɧɨɣ ɫɬɨɪɨɧɟ, ɪɚɜɧɚ 180° , ɬɨ ɷɬɨɬ
Ɇɨɞɭɥɶ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ»
Ɉɬɜɟɬɨɦ ɧɚ ɡɚɞɚɧɢɹ ȼ6–ȼ10 ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢɥɢ ɤɨɧɟɱɧɚɹ ɞɟɫɹɬɢɱɧɚɹ
ɞɪɨɛɶ. Ɉɬɜɟɬ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɛɥɚɧɤɟ ɨɬɜɟɬɨɜ Ⱥȼ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɨɦɟɪɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ
ɜɚɦɢ ɡɚɞɚɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɟɪɜɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɢ. Ʉɚɠɞɭɸ ɰɢɮɪɭ, ɡɧɚɤ ɦɢɧɭɫ ɢ ɡɚɩɹɬɭɸ ɩɢɲɢɬɟ ɜ
ɨɬɞɟɥɶɧɨɣ ɤɥɟɬɨɱɤɟ.
ȼ6
ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ MP=MN, ∠PMN = 80° .
ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɝɨɥ ∠MNK . Ɉɬɜɟɬ ɞɚɣɬɟ ɜ ɝɪɚɞɭɫɚɯ.
ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤ - ɬɪɚɩɟɰɢɹ.
Ɇɨɞɭɥɶ «Ɋɟɚɥɶɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ»
Ⱥ4
ȼ ɬɚɛɥɢɰɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɡɚɛɟɝɚ ɧɚ 60 ɦ ɱɟɬɵɪɟɯ ɞɟɜɹɬɢɤɥɚɫɫɧɢɤɨɜ, Ɂɧɚɹ, ɱɬɨ
ɞɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɨɬɦɟɬɤɢ «5», ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɪɨɛɟɠɚɬɶ 60 ɦ ɧɟ ɛɨɥɟɟ ɱɟɦ ɡɚ 9,4 ɫ, ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ
ɮɚɦɢɥɢɢ ɜɫɟɯ ɦɚɥɶɱɢɤɨɜ, ɧɟ ɩɨɥɭɱɢɜɲɢɯ «5»:
Ɏɚɦɢɥɢɹ ɭɱɟɧɢɤɚ
ȼɪɟɦɹ, ɫ
Ɋɨɞɢɧ
10,1
1) Ɋɨɞɢɧ, ɉɚɜɥɨɜ, Ʉɚɥɚɲɧɢɤɨɜ
3) Ɋɨɞɢɧ
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
ɉɚɜɥɨɜ
9,4
ɉɚɧɮɺɪɨɜ
8,6
2) ɉɚɜɥɨɜ, ɉɚɧɮɺɪɨɜ
4) Ɋɨɞɢɧ, Ʉɚɥɚɲɧɢɤɨɜ
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
Ʉɚɥɚɲɧɢɤɨɜ
9,5
ȽɂȺ-9, 2014
ȼ11
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 02 - 5/6).
ȽɂȺ-9, 2014
ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ (ȼɚɪɢɚɧɬ 02 - 6/6).
ɑɚɫɬɶ 2
Ɇɨɳɧɨɫɬɶ ɨɬɨɩɢɬɟɥɹ ɜ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɟ ɪɟɝɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɦ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟɦ,
ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɨɠɧɨ ɦɟɧɹɬɶ, ɩɨɜɨɪɚɱɢɜɚɹ ɪɭɤɨɹɬɤɭ ɜ ɫɚɥɨɧɟ ɦɚɲɢɧɵ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɢɥɚ
ɬɨɤɚ ɜ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɰɟɩɢ ɷɥɟɤɬɪɨɞɜɢɝɚɬɟɥɹ – ɱɟɦ ɦɟɧɶɲɟ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ, ɬɟɦ ɛɨɥɶɲɟ
ɫɢɥɚ ɬɨɤɚ ɢ ɬɟɦ ɛɵɫɬɪɟɟ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɦɨɬɨɪ ɨɬɨɩɢɬɟɥɹ. ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɩɨɤɚɡɚɧɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ
ɫɢɥɵ ɬɨɤɚ ɨɬ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ. ɇɚ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫ ɨɬɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ (ɜ
Ɉɦɚɯ), ɧɚ ɨɫɢ ɨɪɞɢɧɚɬ – ɫɢɥɚ ɬɨɤɚ ɜ Ⱥɦɩɟɪɚɯ. Ɍɨɤ ɜ ɰɟɩɢ ɷɥɟɤɬɪɨɞɜɢɝɚɬɟɥɹ ɭɦɟɧɶɲɢɥɫɹ ɫ
8 ɞɨ 4 Ⱥɦɩɟɪ. ɇɚ ɫɤɨɥɶɤɨ Ɉɦɨɜ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɭɜɟɥɢɱɢɥɨɫɶ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɰɟɩɢ?
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɡɚɞɚɧɢɣ ɷɬɨɣ ɱɚɫɬɢ ɜ ɛɥɚɧɤ ɨɬɜɟɬɨɜ ɋ ɩɨɞ ɤɨɞɨɦ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɨɝɨ ɜɚɦɢ
ɡɚɞɚɧɢɹ (ɋ1–ɋ6) ɡɚɧɟɫɢɬɟ ɩɨɥɧɨɟ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɢ ɨɬɜɟɬ.
Ɇɨɞɭɥɶ «Ⱥɥɝɟɛɪɚ»
4x 2 - 1
x − 2 1+ x
⋅
−
.
2
x − 5x + 6 2x + 1 x − 3
C1
ɍɩɪɨɫɬɢɬɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ
C2
ȼɱɟɪɚ ɱɢɫɥɨ ɭɱɟɧɢɤɨɜ, ɨɬɫɭɬɫɬɜɨɜɚɜɲɢɯ ɧɚ ɭɪɨɤɚɯ ɜ ɤɥɚɫɫɟ, ɛɵɥɨ ɜ 4 ɪɚɡɚ ɦɟɧɶɲɟ ɱɢɫɥɚ
ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɨɜɚɜɲɢɯ. ɋɟɝɨɞɧɹ ɩɪɢɲɥɢ ɟɳɟ 3 ɱɟɥɨɜɟɤɚ, ɢ ɬɟɩɟɪɶ ɱɢɫɥɨ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɜ 9
ɪɚɡ ɦɟɧɶɲɟ ɱɢɫɥɚ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɭɪɨɤɟ. ɋɤɨɥɶɤɨ ɜɫɟɝɨ ɭɱɟɧɢɤɨɜ ɜ ɤɥɚɫɫɟ?
C3
ɉɪɢ ɤɚɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ n ɜɟɪɲɢɧɵ ɩɚɪɚɛɨɥ
y=x2-6nx+18n ɢ y=x2+2nx-n
ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɩɨ ɨɞɧɭ ɫɬɨɪɨɧɭ ɨɬ ɨɫɢ Ɉɯ?
Ɇɨɞɭɥɶ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ»
ȼ12
ȼ13
ȼ ɩɟɪɢɨɞ ɪɚɫɩɪɨɞɚɠ ɦɚɝɚɡɢɧ ɫɧɢɠɚɥ ɰɟɧɵ ɞɜɚɠɞɵ: ɜ ɩɟɪɜɵɣ ɪɚɡ ɧɚ 40%, ɜɨ ɜɬɨɪɨɣ ɧɚ
10%. ɋɤɨɥɶɤɨ ɪɭɛɥɟɣ ɫɬɚɥ ɫɬɨɢɬɶ ɱɚɣɧɢɤ ɩɨɫɥɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɫɧɢɠɟɧɢɹ ɰɟɧ, ɟɫɥɢ ɞɨ ɧɚɱɚɥɚ
ɪɚɫɩɪɨɞɚɠɢ ɨɧ ɫɬɨɢɥ 1800 ɪɭɛɥɟɣ?
ɉɨ ɞɢɚɝɪɚɦɦɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ, ɫɤɨɥɶɤɨ ɩɪɨɰɟɧɬɨɜ
ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɩɥɨɳɚɞɶ ɫɟɤɬɨɪɚ 2 ɨɬ ɩɥɨɳɚɞɢ ɜɫɟɝɨ ɤɪɭɝɚ.
ȼ15
ȼ ɮɢɪɦɟ ɬɚɤɫɢ ɜ ɞɚɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɫɜɨɛɨɞɧɨ 7 ɱɺɪɧɵɯ, 6 ɠɺɥɬɵɯ ɢ 17 ɡɟɥɺɧɵɯ ɦɚɲɢɧɵ. ɉɨ
ɜɵɡɨɜɭ ɜɵɟɯɚɥɚ ɨɞɧɚ ɢɡ ɦɚɲɢɧ, ɨɤɚɡɚɜɲɚɹɫɹ ɛɥɢɠɟ ɜɫɟɝɨ ɤ ɡɚɤɚɡɱɢɤɭ. ɇɚɣɞɢɬɟ
ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɤ ɧɟɦɭ ɩɪɢɟɞɟɬ ɠɺɥɬɨɟ ɬɚɤɫɢ.
ɇɚɣɞɢɬɟ ɦɟɧɶɲɢɣ ɭɝɨɥ ɨɫɬɪɨɭɝɨɥɶɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ, ɟɫɥɢ ɞɜɟ ɟɝɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɜɢɞɧɵ ɢɡ
ɰɟɧɬɪɚ ɨɩɢɫɚɧɧɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɩɨɞ ɭɝɥɚɦɢ 140° ɢ
120° .
C5
Ⱦɨɤɚɠɢɬɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ: ɟɫɥɢ ɜ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɟ Ⱥȼɋ
ɛɢɫɫɟɤɬɪɢɫɚ ɢ ɜɵɫɨɬɚ, ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɟ ɢɡ ɜɟɪɲɢɧɵ ȼ, ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ, ɬɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ Ⱥȼɋ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɣ.
C6
ȼ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ PMNK (MN//PK) ɞɥɢɧɚ ɫɪɟɞɧɟɣ ɥɢɧɢɢ ɪɚɜɧɚ
ɑɟɥɨɜɟɤ ɪɨɫɬɨɦ 1,5 ɦ ɫɬɨɢɬ ɧɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢ 12 ɦ ɨɬ ɫɬɨɥɛɚ, ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜɢɫɢɬ ɮɨɧɚɪɶ ɧɚ
ɜɵɫɨɬɟ 19,5 ɦ. ɇɚɣɞɢɬɟ ɞɥɢɧɭ ɬɟɧɢ ɱɟɥɨɜɟɤɚ ɜ ɦɟɬɪɚɯ.
ȼ14
ȼ16
C4
ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɞɢɚɝɨɧɚɥɟɣ, ∠ MPK = 45 ° , ∠ MOP = 60 ° . ɇɚɣɞɢɬɟ ɞɥɢɧɭ ɛɨɤɨɜɨɣ
ɫɬɨɪɨɧɵ PM.
U2
, ɝɞɟ U –
R
ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɟ (ɜ ɜɨɥɶɬɚɯ), ɚ R – ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ (ɜ ɨɦɚɯ). ɉɨɥɶɡɭɹɫɶ ɷɬɨɣ ɮɨɪɦɭɥɨɣ, ɧɚɣɞɢɬɟ
ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ R (ɜ ɨɦɚɯ), ɟɫɥɢ U = 12 ȼ, ɚ Ɋ = 60 ȼɬ.
Ɇɨɳɧɨɫɬɶ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɝɨ ɬɨɤɚ (ɜ ɜɚɬɬɚɯ) ɦɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ P =
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
8 6. Ɉ - ɬɨɱɤɚ
© 2014 Ɋɟɝɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚɹ ɤɨɦɢɫɫɢɹ
ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ
I ɜɚɪɢɚɧɬ
ɑɚɫɬɶ 2
Ɇɨɞɭɥɶ “Ⱥɥɝɟɛɪɚ”
Ɋɟɲɟɧɢɟ
ɋ1. Ɍɚɤ ɤɚɤ x2-x-2=(x+1)(x-2), ɬɨ
1
1
2x
x −1 x + 1 9x 2 −1
x − 1 ( x + 1)(3x − 1)(3x + 1) x − 1 3x − 1 x − 1 − 3x + 1 − 2 x
=
−
−
⋅
=
−
=
=
=
1
x − 2 3x + 1 x 2 − x − 2 x − 2 (3x + 1)( x + 1)( x − 2) x − 2 x − 2
x−2
x−2 2− x
1
1
2x
Ɉɬɜɟɬ :
2− x
ɋ3. Ɉɪɞɢɧɚɬɚ ɜɟɪɲɢɧɵ ɩɚɪɚɛɨɥɵ y=ax2+bx+c ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ
ɭb = −
D
4a
ȿɫɥɢ ɭ=x2 - 2mx + m, ɬɨ
yb = −
4m 2 − 4m
= −m 2 + m
4
ȿɫɥɢ ɭ=x2 + 4mx - 8m, ɬɨ
yb = −
ɋ2. I ɫɩɨɫɨɛ
ɉɭɫɬɶ ɜɱɟɪɚ ɨɬɫɭɬɫɬɜɨɜɚɥɨ x ɭɱɟɧɢɤɨɜ ( ɯ ∈ N ). Ɂɧɚɱɢɬ, ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɨɜɚɥɨ ɧɚ ɭɪɨɤɚɯ 8ɯ
ɭɱɟɧɢɤɨɜ, ɚ ɜɫɟɝɨ ɜ ɤɥɚɫɫɟ 9ɯ ɭɱɟɧɢɤɨɜ. ȿɫɥɢ ɫɟɝɨɞɧɹ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɟɬ ɟɳɟ 2 ɭɱɟɧɢɤɚ, ɬɨ
ɱɢɫɥɨ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɪɚɜɧɨ (ɯ+2) ɭɱɟɧɢɤɚ, ɚ ɱɢɫɥɨ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ - (8x-2) ɭɱɟɧɢɤɚ.
ɉɨ ɭɫɥɨɜɢɸ ɡɚɞɚɱɢ x+2=0,2(8x-2).
Ɋɟɲɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ x+2=0,2(8x-2), ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ
ɯ∈N
x + 2 = 1, 6x - 0,4; 0,6x = 2,4; 6x = 24; x = 4.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɜ ɤɥɚɫɫɟ ɛɵɥɨ
9 ⋅ 4 = 36
ɭɱɟɧɢɤɨɜ.
16m 2 + 32m
= − 4m 2 − 8m
4
ȼɟɪɲɢɧɵ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɩɨ ɪɚɡɧɵɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɨɬ ɨɫɢ Ɉɏ, ɟɫɥɢ ɢɯ ɨɪɞɢɧɚɬɵ ɢɦɟɸɬ ɪɚɡɧɵɟ
ɡɧɚɤɢ, ɬ.ɟ. ɟɫɥɢ (-m2+m)(-4m2-8m) < 0, ɬ.ɟ. (m2-m)(4m2+8m) < 0;
4m2(m-1)(m+2) < 0;
Ɉɬɜɟɬ : (− 2;0) ∪ (0;1)
Ɉɬɜɟɬ: 36 ɭɱɟɧɢɤɨɜ
II ɫɩɨɫɨɛ
1
ɉɨ ɭɫɥɨɜɢɸ ɡɚɞɚɱɢ, ɜɱɟɪɚ ɱɢɫɥɨ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɭɱɟɧɢɤɨɜ ɫɨɫɬɚɜɥɹɥɨ 9 ɱɚɫɬɶ ɤɥɚɫɫɚ, ɚ
ɫɟɝɨɞɧɹ, ɩɨɫɥɟ ɬɨɝɨ, ɤɚɤ ɧɟ ɹɜɢɥɨɫɶ 2 ɭɱɟɧɢɤɚ, ɱɢɫɥɨ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɫɬɚɥɨ ɫɨɫɬɚɜɥɹɬɶ
1
6 ɱɚɫɬɶ ɤɥɚɫɫɚ, (ɬ.ɤ. ɱɢɫɥɨ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɜ 5 ɪɚɡ ɦɟɧɶɲɟ ɱɢɫɥɚ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ).
1 1 3
1
− =
=
6
9
54
18
ɱɚɫɬɶ ɤɥɚɫɫɚ. Ɂɧɚɱɢɬ, ɜɫɟɝɨ ɜ ɤɥɚɫɫɟ 36
Ɂɧɚɱɢɬ, ɷɬɢ 2 ɭɱɟɧɢɤɚ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ
ɭɱɟɧɢɤɨɜ.
Ɉɬɜɟɬ: 36 ɭɱɟɧɢɤɨɜ.
Ɇɨɞɭɥɶ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ»
ɋ4 Ɍɚɤ ɤɚɤ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ ɨɫɬɪɨɭɝɨɥɶɧɵɣ, ɬɨ ɰɟɧɬɪ ɨɩɢɫɚɧɧɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ
ɥɟɠɢɬ ɜɧɭɬɪɢ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ.
ɉɭɫɬɶ ∠ ȺɈȼ = 100 °. , ∠ȼɈɋ = 120 °,
ɬɨɝɞɚ ∠ȺɈɋ = 140°.
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɢ ȺɈȼ, ȼɈɋ ɢ ȺɈɋ – ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɟ. Ɍ.ɤ.
∠ȺɈȼ = 100°, ɬɨ ∠ɈȺȼ = ∠ɈȼȺ = (180° − 100°) : 2 = 40°.
Ɍ .ɤ. ∠ȼɈɋ = 120°, ɬɨ ∠Ɉȼɋ = ∠Ɉɋȼ = 30° Ɍ .ɤ.∠ȺɈɋ = 140°,
ɬɨ ∠ɈɋȺ = ∠ɈȺɋ = 20°.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɛɨɥɶɲɢɦ ɭɝɥɨɦ ɜ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɟ Ⱥȼɋ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɭɝɨɥ ȼ, ɪɚɜɧɵɣ
40° + 30° = 70° .
Ɉɬɜɟɬ: Ȼɨɥɶɲɢɣ ɭɝɨɥ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ Ⱥȼɋ ɪɚɜɟɧ 70 ° .
II ɜɚɪɢɚɧɬ
ɑɚɫɬɶ 2.
Ɇɨɞɭɥɶ “Ⱥɥɝɟɛɪɚ”
ɋ5 . Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ΔȺDɋ ɢ ΔADB .Ɍ.ɤ.AD- ɦɟɞɢɚɧɚ ɜ ΔȺȼɋ , ɬɨ CD=BD.
Ɋɟɲɟɧɢɹ
Ɍ.ɤ. AD- ɜɵɫɨɬɚ ɜ ΔȺȼɋ , ɬɨ ∠ȺDɋ = ∠ADB = 90° .
ɋɬɨɪɨɧɚ AD – ɨɛɳɚɹ ɜ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚɯ ȺDɋ
ɋ1. Ɍɚɤ ɤɚɤ x2-5x+6=(x-2)(x-3), ɬɨ
ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ΔȺDɋ = ΔADB - ɩɨ I ɩɪɢɡɧɚɤɭ.
1
Ɂɧɚɱɢɬ Ⱥȼ=Ⱥɋ – ɤɚɤ ɫɬɨɪɨɧɵ ɜ ɪɚɜɧɵɯ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚɯ,
(2 x − 1)(2 x + 1)( x − 2) 1 + x 2 x − 1 1 + x 2 x − 1 − 1 − x x − 2
−
=
−
=
=
=
( x − 2)( x − 3)(2 x + 1) x − 3 x − 3 x − 3
x−3
x−3
ɥɟɠɚɳɢɟ ɩɪɨɬɢɜ ɪɚɜɧɵɯ ɭɝɥɨɜ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,
ΔȺȼɋ -ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɣ ɱ.ɬ.ɞ.
1
Ɉɬɜɟɬ:
ɋ6 . ɉɪɨɜɟɞɟɦ ɜɵɫɨɬɭ ȼɄ. Ɍ.ɤ. ɬɪɚɩɟɰɢɹ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɚɹ, ɬɨ ɟɺ
ɥɢɧɢɹ ɪɚɜɧɚ DK( ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ). Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ
ɫɪɟɞɧɹɹ
ΔȺȼɄ , ɨɧ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɣ ɢ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɣ. Ɍ.ɤ. Ⱥȼ = 12 6 , ɬɨ ȼɄ = 12 6 : 2 = 12 3.
Ɍ.ɤ. ɬɪɚɩɟɰɢɹ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɚɹ, ɬɨ ΔȺɈD - ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɣ ( ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɨɣ
ɬɪɚɩɟɰɢɢ). ∠ȼɈȺ ɜɧɟɲɧɢɣ ɭɝɨɥ ΔȺɈD , ɡɧɚɱɢɬ ∠BDK = 30°. ΔBDK - ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɣ, ɡɧɚɱɢɬ
KD = 12 3 ⋅ 3 = 36 . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɞɥɢɧɚ ɫɪɟɞɧɟɣ ɥɢɧɢɢ ɬɪɚɩɟɰɢɢ ɪɚɜɧɚ 36.
Ɉɬɜɟɬ: 36
1
4x 2 −1
x − 2 1+ x
⋅
−
=
2
x − 5x + 6 x + 1 x − 3
2
x−2
x −3
1
ɋ2. I ɫɩɨɫɨɛ
ɉɭɫɬɶ ɫɟɝɨɞɧɹ ɨɬɫɭɬɫɬɜɨɜɚɥɨ x ɭɱɟɧɢɤɨɜ ( ɯ ∈ N ). Ɂɧɚɱɢɬ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɨɜɚɥɨ ɧɚ ɭɪɨɤɚɯ 9 x
ɭɱɟɧɢɤɨɜ, ɚ ɜɫɟɝɨ ɜ ɤɥɚɫɫɟ 10 x ɭɱɟɧɢɤɨɜ. ȿɫɥɢ ɜɱɟɪɚ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɨɜɚɥɨ ɧɚ 3 ɭɱɟɧɢɤɚ
ɦɟɧɶɲɟ, ɬɨ ɱɢɫɥɨ ɨɬɫɭɬɫɬɜɨɜɚɜɲɢɯ ɭɱɟɧɢɤɨɜ ɛɵɥɨ (x+3), ɚ ɱɢɫɥɨ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɨɜɚɜɲɢɯ (9 x
– 3). ɉɨ ɭɫɥɨɜɢɸ ɡɚɞɚɱɢ (x+3)=0,25(9x-3).
Ɋɟɲɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ x+3=0,25(9x-3), ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɯ ∈ N .
ɯ + 3 = 0,25(9x - 3); 4( x + 3) = 9x - 3; 4x + 12 = 9x - 3; 15 = 5x; x = 3.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɜ ɤɥɚɫɫɟ ɛɵɥɨ 10 ⋅ 3 = 30 ɭɱɟɧɢɤɨɜ.
Ɉɬɜɟɬ: 30 ɭɱɟɧɢɤɨɜ.
II ɫɩɨɫɨɛ
Ɇɨɞɭɥɶ «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ»
1
ɱɚɫɬɶ ɤɥɚɫɫɚ,
10
1
ɚ ɜɱɟɪɚ, ɤɨɝɞɚ ɛɵɥɨ ɧɚ 3 ɱɟɥɨɜɟɤɚ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɢɫɥɨ ɨɬɫɭɬɫɬɜɨɜɚɜɲɢɯ ɫɨɫɬɚɜɥɹɥɨ ɱɚɫɬɶ
5
ɉɨ ɭɫɥɨɜɢɸ ɡɚɞɚɱɢ ɫɟɝɨɞɧɹ ɱɢɫɥɨ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɭɱɟɧɢɤɨɜ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ
ɤɥɚɫɫɚ (ɬ.ɤ. ɱɢɫɥɨ ɨɬɫɭɬɫɬɜɨɜɚɜɲɢɯ ɜ 4 ɪɚɡɚ ɦɟɧɶɲɟ ɱɢɫɥɚ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɨɜɚɜɲɢɯ), ɡɧɚɱɢɬ,
ɷɬɢ 3 ɭɱɟɧɢɤɚ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ
1 1
1
ɱɚɫɬɶ ɤɥɚɫɫɚ, ɡɧɚɱɢɬ ɜɫɟɝɨ ɜ ɤɥɚɫɫɟ 30 ɭɱɟɧɢɤɨɜ.
− =
5 10 10
Ɉɬɜɟɬ: 30 ɭɱɟɧɢɤɨɜ.
ɋ4 Ɍɚɤ ɤɚɤ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ ɨɫɬɪɨɭɝɨɥɶɧɵɣ, ɬɨ ɰɟɧɬɪ ɨɩɢɫɚɧɧɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɥɟɠɢɬ ɜɧɭɬɪɢ
ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ.
∠ ȺɈȼ =. 140 °, ∠ ȼɈɋ = 120 °,
ɉɭɫɬɶ
ɬɨɝɞɚ ∠ȺɈɋ = 100°
.
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɢ ȺɈȼ, ȼɈɋ ɢ
ȺɈɋ – ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɟ. Ɍ.ɤ.
∠ȺɈȼ = 140 °, ɬɨ ∠ ɈȺȼ = ∠ɈȼȺ = (180 ° − 140 ° ) : 2 = 20 °.
Ɍ .ɤ. ∠ ȼɈɋ = 120 °, ɬɨ ∠Ɉȼɋ = ∠ Ɉɋȼ = 30 ° Ɍ .ɤ.∠ ȺɈɋ = 100 °, ɬɨ ∠ɈɋȺ = ∠ɈȺɋ = 40 °.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɦɟɧɶɲɢɦ ɭɝɥɨɦ ɜ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɟ Ⱥȼɋ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɭɝɨɥ ȼ, ɪɚɜɧɵɣ
20° + 30° = 50° .
Ɉɬɜɟɬ: Ɇɟɧɶɲɢɣ ɭɝɨɥ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ Ⱥȼɋ ɪɚɜɟɧ
ɋ3. Ɉɪɞɢɧɚɬɚ ɜɟɪɲɢɧɵ ɩɚɪɚɛɨɥɵ y=ax2+bx+c ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɭ b = −
ȿɫɥɢ y=x2-6nɯ+18n, ɬɨ y b = −
ȿɫɥɢ y=x2+2nx-n, ɬɨ y b = −
50° .
D
4a
36n 2 − 72n
= −9n 2 + 18n
4
4n 2 + 4 n
= −n 2 − n
4
ȼɟɪɲɢɧɵ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɩɨ ɨɞɧɭ ɫɬɨɪɨɧɭ ɨɬ ɨɫɢ Ɉɏ, ɟɫɥɢ ɢɯ ɨɪɞɢɧɚɬɵ ɢɦɟɸɬ
ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɡɧɚɤɢ, ɬ.ɟ. ɟɫɥɢ (-9n2+18)(-n2-n) > 0; ɬ.ɟ. (9n2-18n)(n2+n) > 0;
ɋ5.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ΔȺȼD ɢ ΔɋDB .Ɍ.ɤ. ȼD- ɛɢɫɫɟɤɬɪɢɫɚ ɜ ΔȺȼɋ , ɬɨ
∠ȺȼD = ∠ɋȼD .
9n2(n-2)(n+1) > 0
Ɍ.ɤ. ȼD- ɜɵɫɨɬɚ ɜ ΔȺȼɋ , ɬɨ ∠ȼDɋ = ∠ADB = 90° .
Ɉɬɜɟɬ: (− ∞;−1) ∪ (2;+∞)
ɋɬɨɪɨɧɚ ȼD – ɨɛɳɚɹ ɜ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚɯ ȺȼD ɢ CDB
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,
ΔȺȼD = ΔCDB - ɩɨ I I ɩɪɢɡɧɚɤɭ.
Ɂɧɚɱɢɬ Ⱥȼ=ȼɋ – ɤɚɤ ɫɬɨɪɨɧɵ ɜ ɪɚɜɧɵɯ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚɯ,
ɥɟɠɚɳɢɟ ɩɪɨɬɢɜ ɪɚɜɧɵɯ ɭɝɥɨɜ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,
ΔȺȼɋ -ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɣ ɱ.ɬ.ɞ.
ɑɚɫɬɶ 1
I ɜɚɪɢɚɧɬ
ɋ6. ɉɪɨɜɟɞɟɦ ɜɵɫɨɬɭ MD.
Ɍ.ɤ. ɬɪɚɩɟɰɢɹ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɚɹ,
ɬɨ ɟɺ ɫɪɟɞɧɹɹ ɥɢɧɢɹ ɪɚɜɧɚ DK,
ɚ ΔPOK ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɣ
ȼ1
ȼ2
ȼ3
Ⱥ1
Ⱥ2
ȼ4
Ⱥ3
ȼ5
ȼ6
ȼ7
-0,25
2
-2
2
3
0,5
3
312
70
36
(ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ).
∠MOP ɜɧɟɲɧɢɣ ɭɝɨɥ ΔPOK , ɡɧɚɱɢɬ ∠OKD = 60° : 2 = 30°.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ΔMDK - ɨɧ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɣ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, MD = 8 6 : 3 = 8 2.
ΔPMD - ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɣ ɢ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧɧɵɣ ( ∠MPK = 45° ), ɡɧɚɱɢɬ PM = 8 2 ⋅ 2 = 16.
Ɉɬɜɟɬ: PM=16.
ȼ8
ȼ9
ȼ10
Ⱥ4
ȼ11
ȼ12
ȼ13
ȼ14
ȼ15
ȼ16
204
42
124
4
2
1344
4,8
25
0,1
5
II ɜɚɪɢɚɧɬ
ȼ1
ȼ2
ȼ3
Ⱥ1
Ⱥ2
ȼ4
Ⱥ3
ȼ5
ȼ6
ȼ7
0,75
3
48
2
4
-2
4
231
130
56
ȼ8
ȼ9
ȼ10
Ⱥ4
ȼ11
ȼ12
ȼ13
ȼ14
ȼ15
ȼ16
204
156
134
4
1,5
972
1
50
0,2
2,4
1/--страниц
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