close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Известия НАН Армении, Физика, т.49, №6, с.446-450 (2014)
УДК 548.732
РЕНТГЕНОВСКАЯ ЛАУЭ-ДИФРАКЦИЯ С УЧЕТОМ
ДВУМЕРНОЙ КРИВИЗНЫ ВОЛНОВОГО ФРОНТА:
КОНЦЕПЦИЯ ЛОКАЛЬНО-ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
М.К. БАЛЯН*
Ереванский государственный университет, Армения
*
e-mail: [email protected]
(Поступила в редакцию 19 марта 2014 г.)
Рассмотрена симметричная Лауэ-дифракция в идеальном кристалле с
плоской входной поверхностью. Учитывается двумерная кривизна волнового
фронта падающей на кристалл волны. С использованием соответствующей
функции Грина приведено общее выражение для амплитуды дифрагированной
волны в кристалле. На основе этого выражения проанализирована концепция
локально-плоской волны с учетом двумерной кривизны волнового фронта, с
помощью которой получены кривые качания в зависимости от углов отклонения от выбранного точного направления Брэгга как в плоскости дифракции, так
и в перпендикулярном к плоскости дифракции направлении. Результат сравнивается с результатом стандартной динамической теории дифракции.
1. Введение
Интенсивность динамически дифрагированной рентгеновской плоской
волны на выходной поверхности кристалла зависит от параметра отклонения от
условия Брэгга. Эту зависимость называют кривой качания [1,2]. Как было
показано в работе [3], кривую качания можно получить в результате дифракции
от удаленного точечного источника как распределение интенсивности на выходной поверхности кристалла. В указанной работе падающая волна считается
цилиндрической как в стандартной теории динамической дифракции. Однако, в
работах [4,5], в которых приведена также соответствующая литература, была
развита динамическая теория, учитывающая двумерную кривизну волнового
фронта падающей волны (учитываются вторые производные амплитуд в уравнениях динамической дифракции). Эта теория позволяет получить кривую
качания как функцию от углов отклонения от некоторого точного направления
Брэгга как в плоскости дифракции, так и в перпендикулярном к плоскости
дифракции направлении. Здесь также, как и в [3], вместо рассмотрения различных плоских волн можно рассматривать дифракцию от удаленного точечного
источника и использовать идею локально-плоской волны. В этом случае кристалл находится в зоне Фраунгофера источника.
В данной работе обсуждается получение кривой качания с использованием дифракции волны от удаленного точечного источника с учетом двумерной
кривизны волнового фронта падающего излучения. Рассматривается симметричный случай Лауэ.
446
2. Локально-плоская волна с учетом двумерной кривизны волнового фронта
Согласно работе [5], амплитуду дифрагированной волны в симметричном случае Лауэ с учетом двумерной кривизны волнового фронта падающей на
кристалл от точечного источника волны можно написать в виде
E 'h (r )  Ae
iΦ0 (r )
l
J
l
0
σ

l 2  x '2 eiΦ(x') dx ' ,
(1)
где
Φ0  kТ
χ0
k
ky 2 ky 2 
T  ky 4

cos 2 θx 2 
 2  x sin θ 
,

2cosθ 2 Ls
2 Ls 2 Ls 
cosθ  8L3s
Φ =βx ' kx '2 cos2θ / (2Ls ) ,
β=
Здесь   k h h
 2sin  ,
k cosθ 
tgθy 2 
 x cosθ 
.
Ls 
2 Ls 
(2)
(3)
(4)
T  толщина кристалла, координаты источника
взяты s = ys = 0, l = Ttg, отклонение центрального луча падающей волны от
точного условия Брэгга  = 0, Ls  расстояние источниккристалл. По поводу
остальных обозначений и принятых координатных осей см. работу [5]. В (1)
основным отличием от стандартной теории [3] является зависимость локального параметра отклонения от условия Брэгга  не только от x, но и от координаты
y. Переход к локально-плоской волне осуществляется игнорированием квадратичным относительно x' членом в (3). Соответствующая оценка, согласно (3),
позволяющая такой переход легко получить [3] –
(λLs )1/2 / sinθ .
T
(5)
Условия пространственной и временной когерентности, рассмотренные в [3,5],
считаются выполненными.
3. Кривая качания с учетом двумерной кривизны волнового фронта
После игнорирования квадратичным членом в (3) амплитуда (1) будет
пропорциональной Фурье-образу функции точечного источника, а квадрат ее
модуля, с одной стороны, есть интенсивность на выходной поверхности кристалла, а с другой стороны – кривая качания R() = R(1 + 2), зависящая от
суммы локального угла отклонения от условия Брэгга в плоскости дифракции
1 = xcos/Ls и локального угла отклонения в перпендикулярном к плоскости
дифракции направлении 2 = tgy2/(2Ls):
θ= θ1  θ2  x cosθ/Ls  tgθy 2 / (2L2s ) .
(6)
Используя табличный интеграл для амплитуды, из (1) в приближении локально
плоской волны получим
iΦ0 (r )
E 'h (r)  iχ h e
sin[kT  / (2cosθ)] /  ,
447
(7)
где
  (χ h χ h  θ2 sin 2 2θ)1/2 ,
(8)
причем амплитуда падающей волны нормирована к единице.
4. Пример
Рассмотрим отражение Si(220):  = 0.71 Å (17.46 кэВ), T = 1.5 
55 мкм, Ls = 2 м, -поляризация. Здесь  = 36.6 мкм  экстинкционная длина.
Оценка (5) дает верхнюю границу допустимой толщины, для которой еще
применимо приближение локально-плоской волны, T << 65 мкм. Игнорируя
зависимость от y в (6), мы получим результат стандартной динамической теории для падающей волны с цилиндрическим фронтом. Расчет по формуле (7)
квадрата модуля амплитуды в этом случае приводит к топограмме стандартной
теории дифракции, показанной на рис.1a [3] (более светлые участки соответствуют более сильной интенсивности). На рис.1b показано распределение интенсивности, т.е. кривая качания, соответствующее рис.1a (стандартная теория
дифракции, см. также [3]). Если теперь оставить в (6) зависимость от y, т.е.
учитывать двумерную кривизну волнового фронта падающей волны, то приходим к топограмме, показанной на рис.2a. Распределение интенсивности на
рис.2a есть кривая качания с учетом двух углов отклонения от выбранного
точного направления Брэгга. На рис.2b показана кривая качания, соответствующая рис.2a при x = 0. Топограмму рис.2a легко понять, учитывая, что согласно (6) и (7), линии постоянных значений интенсивности представляют
собой параболы xcos – y2tg/(2Ls) = const. Данные для кристалла взяты из
работы [1].
Рис.1. (a) Расчетная топограмма в приближении локально-плоской
волны согласно стандартной теории дифракции. (b) Кривая качания
в случае локально-плоской волны есть распределение интенсивности на топограмме вдоль оси x (стандартная теория).
448
Рис.2. (a) Расчетная топограмма в приближении локально-плоской
волны согласно теории дифракции, учитывающей двумерную кривизну волнового фронта. (b) Кривая качания на линии x = 0 в зависимости от y (углового отклонения в перпендикулярном к плоскости
дифракции направлении).
5. Заключение
В общем случае интенсивность отраженной волны зависит как от отклонения падающей плоской волны от некоторого точного направления Брэгга в
плоскости дифракции, так и от отклонения падающей плоской волны от этого
точного направления в перпендикулярном к плоскости дифракции направлении.
Это значит, что кривая качания зависит от двух углов отклонения. В работе [3],
используя концепцию локально плоской волны, кривая качания получается
вследствие дифракции волны от удаленного точечного источника. Считается,
что падающая волна имеет цилиндрический фронт, как это обычно предполагается в стандартной динамической теории. В данной работе, основываясь на
теории, учитывающей двумерную кривизну волнового фронта падающего
излучения [4,5] и используя концепцию локально плоской волны, получена
кривая качания в зависимости от двух углов отклонения как результат дифракции волны от удаленного точечного источника.
ЛИТ ЕР АТ УР А
1. З.Г. Пинскер. Рентгеновская кристаллооптика. М., Наука, 1982.
2. A. Authier. Dynamical theory of X-ray diffraction. Oxford, University Press, 2001.
3. V. Mocella, Y. Epelboin, P. Guigay. Acta Cryst., A56, 308 (2000).
4. M.К. Балян. Изв. НАН Армении, Физика, 49, 62 (2014).
5. M.К. Балян. Изв. НАН Армении, Физика, 49, 130 (2014).
449
ՌԵՆՏԳԵՆՅԱՆ ԼԱՈՒԵ ԴԻՖՐԱԿՑԻԱՆ ԱԼԻՔԱՅԻՆ ՃԱԿԱՏԻ ԵՐԿՉԱՓ
ԿՈՐՈՒԹՅԱՆ ՀԱՇՎԱՌՄԱՄԲ․ ԼՈԿԱԼ ՀԱՐԹ ԱԼԻՔԻ ԿՈՆՑԵՊՑԻԱՆ
Մ.Կ. ԲԱԼՅԱՆ
Դիտարկված է սիմետրիկ Լաուե դիֆրակցիան հարթ մուտքի մակերևույթով իդեալական
բյուրեղում: Հաշվի է առնված ընկնող ալիքի ճակատի երկչափ կորությունը։ Համապատասխան
Գրինի ֆունկցիայի օգտագործմամբ բերված է դիֆրակցված ալիքի ամպլիտուդի ընդհանուր
արտահայտությունը իդեալական բյուրեղում: Այդ արտահայտության հիման վրա վերլուծված է
լոկալ-հարթ ալիքի կոնցեպցիան ալիքի ճակատի երկչափ կորության հաշվառմամբ, որի միջոցով
ստացված է ճոճման կորը, կախված ոչ միայն ընտրված Բրեգի ուղղությունից ալիքի անկյունային
շեղումից դիֆրակցիայի հարթության մեջ, այլ նաև դիֆրակցիայի հարթությանն ուղղահայաց
ուղղությամբ։ Ստացված արդյունքը համեմատվում է դիֆրակցիայի ստանդարտ դինամիկ
տեսության արդյունքի հետ։
X-RAY LAUE DIFFRACTION WITH ALLOWANCE FOR TWO-DIMENSIONAL
CURVATURE OF THE WAVEFRONT:
THE CONCEPT A LOCALLY PLANE WAVE
M.K. BALYAN
Symmetrical Laue diffraction in a perfect crystal with a plane entrance surface is
considered. The two dimensional curvature of the wavefront of the incident beam is taken into
account. Using the corresponding Green function, a general expression for the amplitude of
diffracted wave in the crystal is presented. Based on this expression, the concept of a locally plane
wave, taking into account two-dimensional curvature of the wavefront, is analyzed, with use of
which the rocking curve, depending not only on the angular deviation from the Bragg exact
direction in the diffraction plane, but on the angular deviation in the direction perpendicular to the
diffraction plane also. The obtained result is compared with the result of the standard dynamical
diffraction theory.
450
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа