close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Решение совета рождественского сельсовета;pdf

код для вставкиСкачать
Серия: ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Выпуск: XII - 1
МОСКВА - 2010
12-я Международная конференция
и выставка
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
DSPA -2010,
Москва, Россия
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12th International Conference
and exhibition on
DIGITAL SIGNAL PROCESSING
AND ITS APPLICATIONS
DSPA -2010,
Moscow, Russia
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ДОКЛАДЫ
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
PROCEEDINGS
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО
ПО НАУКЕ
И ИННОВАЦИЯМ
МНИТИ
AUTEX Ltd.
МОСКВА 2010
Теория сигналов и систем
_____________________________________________________________________________________________
Значения производных определяются формулой (6). Уравнение управления (1) может быть представлено
в виде:
'
''
(n)
u (t ) = kΔX = k ( X P − X U ) ≈ f (tT ) − X U + f (tT ) (tU − tT ) + f (tT ) (tU − tT ) 2 + ... + f (tT ) (tU − tT ) n + ... . (8)
1!
2!
n!
В уравнении (8) составляющая f (t T ) − X U = ΔX T является величиной рассогласования на момент времени последнего измерения, т.е. ошибкой рассогласования, отнесенной к текущему моменту времени. В (8)
значение коэффициента k приняли равным единице. Из уравнения (8) может быть получена связь между
рассогласованиями для текущей и целевой точек:
f ' (t T )
f '' (t T )
f ( n ) (t T )
(9)
ΔX − ΔX T =
(tU − t T ) +
(tU − t T ) 2 + ... +
(tU − t T ) n + ... .
1!
2!
n!
Литература
1. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. М.: Физматлит, 2007.
680 с.
2. Рождественский Д.Б., Дискретизация и теорема дискретизации. // Автоматика и Телемеханика, 2006, №
12, с. 145-153.
3. Рождественский Д.Б., Методы экстраполяции на основе алгоритма восстановления непрерывного процесса по конечному числу равноотстоящих отсчетов. // Автоматика и Телемеханика, 2008 . № 1. С. 183 –
187.
⎯⎯⎯⎯⎯♦⎯⎯⎯⎯⎯
ОЦЕНИВАНИЕ ЧАСТОТЫ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ
МНОГОМАСШТАБНОГО КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
Анциперов В.Е., Богачева Е.Ю.
Институт радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН (Москва)
По оценкам специалистов [1] на сегодняшний день в области цифровой обработки сигналов (ЦОС) происходят заметные изменения тенденций, характерных для ее классического периода. Во многом это обусловлено возрастанием "прагматической" составляющей в научных исследованиях и инженерных разработках, что, в свою очередь, обусловлено возросшим спросом на практические решения применительно к реальным задачам. В реальности же сигналы часто оказываются нелинейными, негауссовыми и нестационарными (проблема 3N), т.е. не обладающими теми фундаментальными свойствами, которые предполагались
классической ЦОС.
Недостаточность классических подходов, конечно же, не предполагает отказа от них. Скорее, наоборот,
ввиду хорошо разработанных процедур реализации и, что более важно, хорошо выясненной методологии
интерпретации результатов, классический спектральный анализ, линейные модели, корреляционная техника
по-прежнему составляют основу теории. В связи с этим многие современные тенденции в ЦОС можно охарактеризовать как поиск способов модификации или адаптации хорошо понятных подходов к конкретным
классам задач при корректном учете имеющихся ограничений [2].
В данном докладе приводятся результаты исследований по проблеме оценивания частоты случайных
квазистационарных узкополосных сигналов по сформированным на конечных временных интервалах выборочным автокорреляционным функциям (АКФ). Обсуждаются связанные с конечностью временного интервала особенности оценивания частоты. Предлагается процедура формирования АКФ в духе многомасштабного корреляционного анализа [3], проведено сравнение с классическими аналогами.
Рассмотрим сигнал y (t ) = A(t ) cos( 2πν t + ϕ ) , представляющий собой узкополосный случайный про-
ν
ϕ
A(t ) . Узкополосность
y (t ) предполагает, что A(t ) имеет на интервале квазистационарности длительностью ~ TS характерный
временной масштаб коррелированности ~ T C , при этом νTC >> 1 . В такой постановке задачи, очевидно,
предполагается T C < TS .
Предполагая независимость A(t ) и ϕ , и равномерное распределение ϕ , стандартными средствами получается известный вид (симметризованной) АКФ Rt (τ ) (для сдвигов τ < TS ) :
B (τ )
(1)
Rt (τ ) =< y (t − τ / 2) y (t + τ / 2) >=
cos( 2πντ )
цесс с неизвестной частотой
, случайной фазой
и случайной амплитудой
2
_____________________________________________________________________________________________
91
Цифровая обработка сигналов и ее применение
Digital signal processing and its applications
Теория сигналов и систем
_____________________________________________________________________________________________
где угловые скобки означают усреднение, B (τ ) =< A(t − τ / 2) A(t + τ / 2) > . С помощью
∞
∞
0
0
B(τ ) зафикси-
руем определение масштаба T C : TC = tB 2 (t )dt / B 2 (t )dt .
∫
∫
Возьмем начало отсчета времени внутри интервала квазистационарности и рассмотрим выборочную
___
АКФ R (τ ) , являющуюся несмещенной оценкой по данным из конечного интервала длительностью ~
___
T C < T < TS теоретической АКФ R0 (τ ) (1):
R (τ ) =
1
2P
T,
P
∫ y (t − τ / 2 ) y (t + τ / 2 ) dt
(2)
−P
В (2) пределы интегрирования ± P могут зависеть как от выбранного масштаба T , так и от сдвига τ .
Для формирования классической АКФ пределы выбираются в виде: P = Т / 2 − τ / 2 . При этом используемые данные y (t ) не выходят за пределы интервала ( −Т / 2 ; Т / 2) длительности T , но с ростом τ объем
усреднения 2 P = T − τ уменьшается от T до нуля. Последнее приводит к тому, что на практике надежны___
ми оказываются значения R (τ ) только при τ ≤ T / 5 . Детальное обсуждение этой и других, связанных с
классической АКФ проблем можно найти в работе [4], где также предлагается использовать модифицированные АКФ. Для модифицированных АКФ используются P = Т / 2 . Для формирования (2) в этом случае
уже необходимы данные из интервала (−Т / 2 −τ / 2 ;Т / 2 +τ / 2) , увеличивающегося с ростом τ , но объем усреднения 2 P = T при этом остается постоянным. В отличие от классического случая здесь нет ограничения τ < Т , связанного с выбранным параметром T , однако, имеет место ограничение вида τ < Т S − T ,
связанное с конечностью интервала квазистационарности. Развитием этой идеи является предложение формировать АКФ с увеличивающимся вместе с τ объемом усредняемых данных в духе идей многомасштабного корреляционного анализа [3]. В данном случае в (2) используются P =Т / 2 +τ / 2 , так, что объем усреднения будет 2 P = T + τ , а необходимый интервал используемых данных возрастает до
(−Т / 2 − τ ; Т / 2 + τ ) . Последнее означает, что максимальные сдвиги τ ограничены величиной ~ (Т S − T ) / 2 .
Существует несколько подходов к определению частоты ν по выборочной АКФ (2). Мотивация того
или иного способа обусловлена, как правило, видом теоретической АКФ (1). Поскольку Rt (τ ) представля-
ет собой модулированный по амплитуде косинус, т.е. последовательность равноотстоящих максимумов
(минимумов), напрашивается способ формирования оценки частоты, предложенный в [4,5] – определять ν
как величину обратную расстоянию от нуля до первого из боковых максимумов. Еще лучше определять ν
как величину обратную среднему расстоянию между максимумами, если по выборочной АКФ можно надежно определить несколько последних. Другой способ основывается на эксплуатации нулей косинуса,
также расположенных эквидистантно с периодом ( 2ν ) . Существуют и другие способы, основанные, например, на сингулярных разложениях матрицы АКФ и т.д..
С тем, чтобы определить наиболее предпочтительный способ оценивания частоты, рассмотрим дисперсию выборочной АКФ (2). Техника вычисления дисперсии подробно излагается, например, в [6]:
−1
___
σ 2 (τ ) =< [ R 0 (τ ) − R (τ )] 2 > =
1
2P
+2 P
∫ [R
−2 P
2
0
]
|t | ⎞
⎛
(t ) + R 0 (t + τ ) R 0 (t − τ ) ⎜ 1 −
⎟ dt .
2P ⎠
⎝
(3)
Подставив сюда выражение (1) для R0 (t ) и, пренебрегая ввиду узкополосности сигнала слагаемыми ~
(νTC ) −1 и ~ (νP) −1 , в предположении P >> ν −1 , выразим σ 2 (τ ) через B(t ) :
σ 2 (τ ) =
1
8P
При малых
му
с
∫ [B
2P
0
2
]
t ⎞ .
⎛
(t ) + cos( 4πντ ) B (t − τ ) B (t + τ ) ⎜1 −
⎟ dt
⎝ 2P ⎠
τ ( τ < TC ) выражение B(t − τ )B(t + τ )
точностью
σ 2 (τ ) =
до
квадратичных
cos 2 (2πντ )
t ⎞
⎛
2
∫0 B (t )⎜⎝1 − 2 P ⎟⎠dt .
4P
2P
(4)
с точностью до величин ~
по τ
членов
τ2
σ 2 (τ ) (4)
равно
B 2 (t ) , поэто-
принимает
вид:
(5).
Представляя 2 P в виде T +ατ , где α = −1 для классической АКФ, α = 0 для модифицированной и
α = 1 для АКФ на основе МКА, произведем разложение (5) до малых первого порядка по ατ :
_____________________________________________________________________________________________
Доклады 12-й Международной конференции
Proceedings of the 12-th International Conference
92
Теория сигналов и систем
_____________________________________________________________________________________________
⎛
σ 2 (τ ) = σ 2 (0) cos 2 ( 2πντ )⎜1 −
⎝
∞
∞
TC
T − 2TC τ ⎞ 2
1
4
2
B
(
t
)
dt
=
R02 (t ) dt .
−α
⎟, σ ( 0 ) =
T
T
T⎠
2T ∫0
T ∫0
где произведена замена конечных интегралов – бесконечными (с ошибкой ~ B
2
(6)
(T ) ) и использовано из-
вестное ассимптотическое ( T → ∞ ) значение дисперсии АКФ в нуле – σ (0) [7].
Из (6) следует, что все три метода имеют при нулевом сдвиге одинаковую дисперсию
2
σ 2 ( 0 )(1 − T / TC ) . При отличных от нуля сдвигах, засчет множителя cos 2 (2πντ ) , дисперсия имеет вид
чередующихся максимумов и минимумов (нулей). Очевидно, что для надежного оценивания частоты желательно использовать значения АКФ в тех точках, где ее дисперсия минимальна – в нулях (с точностью до
τ 2 ) σ 2 (τ ) , т.е. на сдвигах τ k = (2ν ) −1 ( k + 1 / 2) . Замечательно, что эти точки в точности совпадают с нулями Rt (τ ) (1). Поэтому в вопросе оценивания частоты по выборочной АКФ следует отдать предпочтение
методу оценивания по нулям. При этом, как следует из (6), все три метода при малых τ обладают приблизительно одинаковым качеством.
Для того чтобы выявить различия рассматриваемых методов, проанализируем поведение
σ 2 (τ )
в дру-
гом пределе - τ ~ T . В классическом случае 2 P = T − τ → 0 , поэтому для малых P (но не меньше ν
из (4) получаем:
⎞
1
T σ 2 (0) ⎛ B 2 (T )
(7)
⎜⎜1 + 2
cos(4πντ ) ⎟⎟ .
σ 2 (τ ) ≈ (B 2 (0) + cos(4πντ ) B 2 (τ )) ≈
8
2TC 2 ⎝ B (0)
⎠
В случае модифицированных АКФ 2 P
σ 2 (τ ) ≈
σ (0)
2
2
+
2
⎜⎜1 +
⎝
В случае АКФ на основе МКА 2 P = T + τ → 2T , поэтому:
σ 2 (τ ) ≈
σ 2 (0)
4
+
)
= T не зависит от τ и:
σ 2 (0) ⎛ B(2T − TC ) TC
B(2T − TC )
cos(4πντ )∫ tB(t )dt ≈
4T 2
0
T
−1
2B(0)
⎞
cos(4πντ ) ⎟⎟ . (8)
T
⎠
T
⎞
B(2T )
σ 2 (0) ⎛ 1 B(2T )
⎜⎜ +
cos(4πντ )∫ B(t )dt ≈
cos(4πντ ) ⎟⎟ .
8T
2 ⎝ 2 2B(0)
⎠
0
(9)
Из соотношений (7)-(9) следует, что при τ ~ T во всех трех случаях дисперсии стремятся к постоянному уровню (с убывающими амплитудами максимумов/минимумов). Поэтому, оценивая дисперсии в точках
минимумов, можно ориентироваться на предельные уровни как приближенные оценки последних. С этой
точки зрения оценивание частоты по нулям АКФ на основе МКА представляется наилучшим выбором – ее
предельные дисперсии в два раза ниже дисперсий модифицированных АКФ, которые, соответственно, в
T / TC раз меньше, чем в классическом случае.
Литература
1. S. Haykin "Signal Processing in a Nonlinear, NonGaussian and Nonstationary World" //Nonlinear Speech Modeling and
Applications, ISSN 0302-9743, Springer-Verlag, Berlin, 2005, р.43.
2. Nonliear Biomedical Physics, BioMed Central, London, http://www.nonlinearbiomedphys.com /info/about/
3. Анциперов В.Е. "Многомасштабный корреляционный анализ нестационарных, содержащих квазипериодические
участки сигналов" //“Радиотехника и электроника”, т. 53, № 1, 2008 г. с.73-85
4. Cheveigne, H.Kawahara "YIN, a fundamental frequency estimator for speech and music" //J. Acoust. Soc. Am. 111 (4),
2002, p.1917.
5. В.Е.Анциперов, В.А.Морозов "Динамика характеристик коротких автокорреляционных функций речевых сигналов" //Радиотехника и электроника, т. 49, №. 12, 2004 г., c.1427-1435.
6. Дженкинс Г., Ваттс Д. "Спектральный анализ и его приложения" В 2 т./ Пер. с англ. Ф. М. Писаренко - М.: Мир,
1971, с. 215.
7. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях - М.: Мир, 1983.
FREQUENCY ESTIMATION OF QUASI-STATIONARY NARROWBAND SIGNALS BASED ON
MULTISCALE CORRELATIVE ANALYSIS
Report devoted to the discussion of quasi-stationary narrowband signal frequency estimation results. Principal
attention is focused on the problem of frequency еestimation based on the finite time sampling autocorrelation functions. Finite estimation sampling interval features are in the center of discussion in contrast to traditional asymptotic
analysis, which takes place in the stationary case. To avoid some limitations of the classical approach, the new,
based on multiscale correlative analysis technique of autocorrelation functions building is proposed and compared
with known analogs.
_____________________________________________________________________________________________
93
Цифровая обработка сигналов и ее применение
Digital signal processing and its applications
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа