close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

ЛЕГКОВI;pdf

код для вставкиСкачать
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный
университет путей сообщения»
Кафедра «Строительная механика»
В.А. Бобрин, Ф.И. Кособлик, Л.П. Миронов
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ
В 3 частях
ЧАСТЬ 2
Под редакцией Л.П. Миронова
Рекомендовано
Дальневосточным региональным учебно-методическим центром (ДВ РУМЦ)
в качестве учебного пособия для студентов направления 270100 «Строительство»
специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство», направления
270200 «Транспортное строительство» специальностей 270204 «Строительство
железных дорог, путь и путевое хозяйство», 270201 «Мосты и транспортные тоннели»,
направления 190200 «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы»
специальности 190205 «Подъемно-транспортные, строительные,
дорожные машины и оборудование» вузов региона»
Хабаровск
Издательство ДВГУПС
2007
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
УДК 624.04 (075.8)
ББК Н112я73
Б 724
Рецензенты:
Кафедра «Механика деформируемого твердого тела»
Тихоокеанского государственного университета
(заведующий кафедрой кандидат технических наук,
доцент А.А. Вайсфельд)
Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой
«Механика деформируемого твердого тела»
Дальневосточного государственного технического университета
К.П. Горбачев
Бобрин, В.А.
Б 724 Руководство к решению задач по строительной механике : учеб. пособие.
В 3 ч. Ч. 2 / В.А. Бобрин, Ф.И. Кособлик, Л.П. Миронов; под ред. Л.П. Миронова. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2007. – 112 с. : ил.
Учебное пособие соответствует ГОС ВПО направлений подготовки дипломированных
специалистов 270100 «Строительство», 270200 «Транспортное строительство», 190200
«Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы» специальностей
270102 «Промышленное и гражданское строительство»; 270201 «Мосты и транспортные тоннели», 270204 «Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство»;
190205 «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование»
по дисциплине «Строительная механика».
Пособие состоит их трех частей. В части 2 рассмотрены методы нахождения внутренних усилий в статически определимых арках, рамах и фермах, приемы вычисления
перемещений от различных воздействий. Подробно разобраны примеры решения типовых задач, приведены 400 вариантов задач для самостоятельного решения и ответы к ним.
Предназначено для студентов всех форм обучения.
УДК 624.04 (075.8)
ББК Н112я73
 ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный
университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2007
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие посвящено методам нахождения внутренних
усилий в плоских статически определимых фермах, арках и рамах от неподвижных нагрузок и приемам вычисления перемещений в статически
определимых системах от внешних нагрузок, перемещения опор, изменения температурного поля.
Пособие является продолжением «Руководства к решению задач по
строительной механике» часть 1 [1], поэтому в нём использована сквозная нумерация разделов.
В каждом разделе рассматриваются примеры решения задач с подробными пояснениями. В отдельном разделе приведены условия более
550 задач для самостоятельного решения. Тематика и набор задач отражают многолетний опыт кафедры по преподаванию строительной механики студентам дневной и заочной форм обучения. Ко всем задачам
приведены ответы в числовой или графической форме.
В современной доступной учебной литературе отсутствуют примеры
и наборы задач для использования в аудитории с целью организации
самостоятельной индивидуальной работы студентов или тестирования
студентов по разделам курса строительной механики. Настоящее пособие восполняет этот пробел.
Наличие ответов стимулирует самостоятельный поиск студентом правильных решений, которые представляются им в письменном виде. Совпадение полученного решения с ответом благотворно влияет на возникновение у студента чувства уверенности в овладении учебным материалом.
Особое значение пособие имеет для студентов заочной формы обучения, основная масса которых живет и работает в отдаленных районах,
где доступ к подобной учебной литературе затруднен.
Материал пособия распределен между авторами следующим образом:
разделы 6, 7, подразделы 9.1, 9.2, 10.1, 10.2 написаны В.А. Бобриным;
подразделы 8.3, 8.4, 9.4, 9.5, 10.4, 10.5 написаны Ф.И. Кособликом, подразделы 8.1, 8.2, 9.3, 10.3 и общая редакция выполнены Л.П. Мироновым.
Авторы приносят искреннюю благодарность сотрудникам кафедры
П.В. Аверьянову, С.А. Бобушеву, Р.В. Киселевичу, Ю.Г. Плотникову за
оперативную помощь в решении многочисленных задач и техническом
оформлении пособия.
Замечания и рекомендации по улучшению данного пособия авторами
будут приняты с благодарностью.
3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ
6.1. Теорема о вириале внешних сил и некоторые
ее приложения при статическом расчете стержневых систем
Теорема о вириале внешних сил весьма эффективна для проверки
правильности найденных усилий стержневых систем с прямолинейными
элементами на действие постоянных нагрузок.
Пусть дана пространственная стержневая система (рис. 6.1), нагруженная в узлах произвольно ориентированными силами Fi (на рис. 6.1, а
показана одна такая сила F1 в узле 1). Никаких ограничений на степень
статической неопределимости системы не накладывается. Обозначим
длины стержней через lik, где i и k – номера узлов, соединяемых данным
стержнем (например, l12 есть длина стержня между узлами 1 и 2). Усилия
во всех без исключения стержнях системы обозначим через N ik. Вырежем все узлы, сохраняя их заданное расположение в произвольной системе прямоугольных координат
а Z
F1
XYZ (рис. 6.1, б). Здесь ради
1
удобства оси OX и OY направлены параллельно стержням 2–4 и
0 2
3
Y
2–3 соответственно.
90°
Вырезанные узлы нагрузим уси4
лиями Nik и внешними силами (в том
x
б
числе и опорными реакциями!).
Z
Внешние силы разложим на
F1x F1z
составляющие Fix, Fiy, F iz по осям
F1y
1
системы координат.
N13
Пусть mik, nik, sik – направляюN12
N14
щие косинусы стержня lik, а xi,yi, zi –
координаты i-го узла.
Принимая координаты xi, yi, zi за
возможные перемещения, найдем
N12
N13
F2x
возможную работу всех сил систеN23
2 N23
мы. Условимся при этом считать
3
F2у N
N24 N14
работу силы положительной (отри24
N34 N34 F3z
цательной), если под ее действием
F2z
4 F4y
рассматриваемый узел i стремится
F4z
Y приблизиться (удалиться) к началу
0
(от начала) O координат.
90°
Составив сумму работ по
рис. 6.1, б и приравняв ее нулю,
X
Рис. 6.1. Пространственная стержневая на основании принципа возможсистема
ных перемещений получим:
4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
N 12 [(x1–x2) m12 + (y1–y2) n12 + (z1–z2) s12] + N13 [(x3–x1) m 13 + (y3–y1) n13 +
+ (z3–z1) s13] + … + N23 (y3–y2) + N 24(x4–x2) + … + N 34 [(x4–x3) m 34 +
+ (y4–y3) n 34 + (z4–z3) s34] = F1x x1 + F1y y1 + F1z z1 + F2x x2 + F2y y2 +
+ F2z z2 + F3x x3 – F4y y4 + F4z z4.
В левой части этого уравнения оставлены члены, содержащие усилия
Nik, а в правой – произведения составляющих внешних сил (в том числе и
реакций опор!) на соответствующие координаты узлов, к которым они приложены. Нетрудно заметить, что выражения в квадратных скобках левой
части уравнения есть длины lik соответствующих стержней (например, при
усилии N23 скобка (y3–y2) есть длина l23 стержня 2–3 и т.п.). Таким образом,
всю левую часть уравнения можно кратко записать как сумму Σ Nik lik произведения усилий в стержнях на их геометрические длины; правая же часть
уравнения есть так называемый вириал VF внешних сил:
VF = Σ Fix xi + Σ Fiy y i + Σ Fiz zi,
равный сумме произведений составляющих внешних сил на соответствующие координаты x,y,z их точек приложения.
Теперь уравнению возможных работ можно придать компактную
форму:
Σ Nik lik = VF.
Как видим, между усилиями Nik, длинами стержней lik и внешними силами Fi существует строгое соотношение, которое и составляет сущность теоремы о вириале внешних сил. При использовании теоремы для
контроля правильности определяемых усилий принимают следующие
правила знаков: нормальные усилия Nik считают положительными (отрицательными), если они растягивают (сжимают) стержень; составляющие
внешних сил Fix, F iy, F iz положительны (отрицательны), если их направления совпадают (не совпадают) с положительными направлениями координатных осей. Знаки же координат xi, yi, z i учитываются как обычно.
Если стержневая система плоская, то вириал VF внешних сил
VF = Σ Fix xi + Σ Fiy yi.
Выбор системы координат XYZ произволен, но в целях некоторого упрощения вычислений VF удобно для пространственных систем одну из
координатных плоскостей совмещать с опорной плоскостью, если такая
имеется (например, рис. 6.1, а); для плоских систем удобно одну из координатных осей совмещать с линией, соединяющей опорные узлы.
Если система нагружена самоуравновешенными силами (обычно
внутренними усилиями в перерезанных стержнях), то в этом случае
VF = 0, и уравнение возможных работ принимает вид
Σ N ik lik= 0.
5
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Теорему о вириале внешних сил можно с успехом применять не только
для контроля расчета ферм, но и для контроля линейных усилий в любых
рамах с прямыми стержнями. Существуют и другие формы использования
рассмотренной теоремы, однако здесь они не обсуждаются.
Приведем примеры использования этой теоремы.
Пример 6.1. Пусть рассчитана рама, построены эпюры усилий и требуется проверить результаты расчета с использованием рассмотренной
теоремы (рис. 6.2).
а
б
F=30 кН
11
q = 10 кН/м
2EI
в
20
EI
3м
13
6м
2EI
33,3
55,8
35,5
33,3
Эп.М (кНм)
3м 3м
г
19
44,2
26,7
Эп.Q (кН)
д
Y
33,3
11
19
Эп.N (кН)
F=30 кН
Rq=60 кН
О A
VА = 11 кН
B
HB=33,3 кН 3 м
HA=26,7 VB=19 кН
Z
6м
3м
Рис. 6.2. Заданная рама (а); расчетные эпюры усилий (б, в, г); схема к вычислению вириала VF внешних сил со всеми линейными активными и реактивными силами (д)
По эпюре нормальных сил имеем: ΣNik lik = –11 ⋅ 6 – 33,3 ⋅ 6 – 19 ⋅ 3 =
= –322,8 кНм; вириал VF = Σ Fiz zi + Σ Fiy yi в произвольных осях ZOY:
VF = – HA O + VA O + Rq O – F ⋅ 6 – HB ⋅ 6 + VB ⋅ 3 =
= –30 ⋅ 6 – 33,3 ⋅ 6 + 19 ⋅ 3 = –322,8 кНм.
Как видим, условие Σ Nik lik= VF выполняется.
Пример 6.2. Пусть рассчитана ферма (рис. 6.3), определены длины
стержней lik и нормальные усилия Nik (табл. 6.1).
6
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
F3 = 20 кН F5 = 50 кН
V1 = 40 кН
5
3
7
01
V8 = 30 кН
Z
8
3м
3м
6
4
2
3м
3м
3м
Рис. 6.3. Плоская ферма
Таблица 6.1
Усилия в стержнях фермы
Номер стержня
1–3
3–5
5–7
7–8
1–2
2–4
4–6
6–8
2–3
4–5
6–7
2–5
5–6
li-k, м
3
3
3
3
4,24
3
3
4,24
3
3
3
4,24
4,24
Ni-k, кН
–40
–40
–30
–30
56,58
60
60
42,43
–20
0
0
–28,29
–42,43
Ni-k li-k
–120
–120
–90
–90
239,90
180
180
179,90
–60
0
0
–119,95
–179,90
Σ Nik lik
Выбрав произвольную систему координат ZOY, где ось OZ совмещена с верхним поясом, имеем:
Σ Nik lik= –779,85 + 779,8 ≈ 0; VF = V1·0 – F3·0 – F5·0 + V8·0 = 0.
Таким образом, Σ N ik lik = VF. Расчет усилий верен.
В заключение отметим, что рассмотренная здесь теорема особенно
полезна при промежуточном контроле усилий в основной системе при
расчетах статически неопределимых ферм.
7
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6.2. Расчет ферм простого образования
на неподвижную нагрузку
Фермой называется геометрически неизменяемая стержневая конструкция, в расчетной схеме которой полагают, что оси ее прямолинейных
стержней пересекаются в центре её узлов, принимаемых в виде идеальных шарниров (без трения). Нагрузка на ферму передается только в ее
узлах в виде сосредоточенных
Fi
сил Fi и вызывает в стержнях
фермы лишь продольные усилия
i
Nik. Определение этих усилий и
является целью статического
к
расчета ферм на неподвижную
Рис. 6.4. Расчетная схема
нагрузку (рис. 6.4).
фермы с узловой нагрузкой
Ферма должна быть геометрически неизменяемой и неподвижной относительно «земли», что устанавливается подсчетом числа степеней свободы Wф и анализом структуры ее образования. При этом, если W ф = 2У – С – СО = 0, система при
правильной расстановке всех элементов (узлов У, стержней С, опорных
связей СО) статически определима.
Статический расчет ферм обычно состоит в определении опорных
реакций и усилий в стержнях на основе метода сечений. Основными
способами аналитического расчета ферм являются способ вырезания
узлов и способ сквозных сечений. Для расчета статически определимых
ферм сложного образования используют способы совместных сечений,
замкнутых сечений, а также замены связей. Последние способы используются при расчетах редко встречающихся конструкций, поэтому здесь
не обсуждаются.
Стержни фермы, в которых отсутствуют усилия, называют нулевыми
стержнями. Способ вырезания узлов позволяет установить два признака нулевых стержней (рис. 6.5). Если в узле соединяются два стержня,
не лежащие на одной прямой, и узел не нагружен внешней силой, то оба
стержня – нулевые. Если в узле соединяются три стержня, два из которых лежат на одной прямой, и узел не нагружен внешней силой, то усилия в этих двух стержнях одинаковы, а третий стержень – нулевой.
Использование упомянутых выше аналитических способов определения усилий далее показывается на примерах расчета ферм.
Как уже указывалось, нагрузка на ферму передается в ее узлах. Ввиду
этого рассмотрим приведение сплошной равномерно распределенной по
длине (погонной) нагрузки к узловому виду (рис. 6.6). На каждый узел, кроме
крайних узлов, собирается нагрузка с участка длиной d/2 с каждой стороны от узла, т.е. узловая нагрузка составляет F = 2 (d/2) q = qd. Нагрузка на
крайние узлы вдвое меньше.
8
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
d/2 d/2 d/2 d/2 d/2 d/2 d/2 d/2
q=const
N1 = 0
А
N2 = 0
F1=qd/2
1
N1 = 0
F2=qd F3=qd F4=qd F5=qd/2
3
4
5
2
А
N2
N2 = N3
d
N3
Рис. 6.5. Признаки
нулевых стержней
d
d
λ = 4d
d
Рис. 6.6. Приведение погонной
нагрузки к узловому виду
Далее рассмотрим примеры расчета ферм на действие узловых нагрузок с использованием способов вырезания узлов и сквозных сечений.
Пример 6.3. Для фермы (рис. 6.7) выполнить полный расчет усилий в
ее стержнях от постоянной нагрузки F2 = 16 кН, F5 = 20 кН и равномерно
распределенной нагрузки интенсивностью q = 4 кН/м по нижнему поясу.
Выполнить проверку расчета по теореме о вириале внешних сил.
7
3
1
α
α
2
R1=70кН
F8=12кН
ββ
F2=16кН
8
4
6
F4=24кН
F2=24кН
F6=24кН
R8=62кН
q=4кН/м
с=6
d=6
d=6
H=4
β
m3-4
h=2
r3-5=5,692
F1=12кН
r4-7=9,985
F5=20кН
5
r5-7=5,692
6
r3-4=9,985
d=6
ℓ=4d =24
m4-7
Приведение
погонной нагрузки
к узлам нижнего
пояса
d=6
с=6
Рис. 6.7. Расчетная схема фермы с узловой нагрузкой по нижнему
и верхнему поясам (все линейные размеры указаны в метрах)
1. Анализ геометрической неизменяемости фермы.
Так как ферма треугольного образования и прикреплена к земле
тремя не пересекающимися в одной точке опорными стержнями, она неизменяема, неподвижна и имеет необходимый минимум связей:
W Ф = 2У – С – СО = 2 · 8 – 13 – 3 = 0 (ферма статически определима).
9
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2. Проверка приведения распределенной нагрузки к узловой:
∑ Fi = q l или F1 + F2 + F4 + F6 + F8 = q l .
В данном случае имеем: 12 + 24 + 24 + 24 + 12 = 4 · 24; 96 ≡ 96.
3. Определение опорных реакций и их контроль.
∑ M8 = 0 или R1 ⋅ 4d − F1 ⋅ 4d − (F2 + F2 ) 3d − (F5 + F4 ) 2d − F6 ⋅ d = 0 ,
R1 =
откуда
1
[ F1 ⋅ 4d + (F2 + F2 ) 3d + (F5 + F4 ) 2d + F6 ⋅ d] =
4d
1
= [12 ⋅ 4 + 40 ⋅ 3 + 44 ⋅ 2 + 24] = 70 кН ↑ ;
4
∑ M1 = 0 или R 8 ⋅ 4d − (F2 + F2 ) d − (F5 + F4 ) 2d − F6 ⋅ 3d − F8 ⋅ 4d = 0 ,
1
[(F2 + F2 ) d + (F5 + F4 ) 2d + F6 ⋅ 3d + F8 ⋅ 4d] =
4d
1
= [ 40 + 44 ⋅ 2 + 24 ⋅ 3 + 12 ⋅ 4] = 62 кН ↑ .
4
Контроль: ∑У = 0 или R1 + R 8 − F1 − (F2 + F2 ) − (F5 + F4 ) − F6 − F8 = 0 ;
откуда R 8 =
70 + 62 – 12 – 40 – 44 – 24 – 12 = 0; 132 – 132 ≡ 0 (реакции верны).
Для некоторого упрощения расчета фермы при появлении узловых нагрузок, приложенных непосредственно к опорным узлам (силы F1 = 12 кН и
F8 = 12 кН), в расчет можно ввести опорные реакции R10 = R1 − F1 = 70 – 12 =
= 58 кН и R 08 = R 8 − F8 = 62 – 12 = 50 кН, т. е. их равнодействующие ( R10 и
R08 ). В иных случаях этого делать нельзя.
4. Вычисление геометрических характеристик расчетной схемы
фермы, необходимых для расчета и контроля усилий (рис. 6.7).
H
4
d
6
sin α =
=
= 0,5547; cos α =
=
= 0,832 ;
2
2
2
2
2
2
2
2
H +d
4 +6
H +d
4 +6
2
2
2
2
sin α + cos α = 0,5547 + 0,832 ≅ 1.
h
2
d
6
sin β =
=
= 0,3162 ; cos β =
=
= 0,9487 ;
h2 + d2
22 + 6 2
h 2 + d2
22 + 6 2
sin2β + cos2β = 0,31622 + 0,94872 ≅ 1.
Длины стержней:
l1− 3 = l3 − 4 = l4 − 7 = l7 −8 = d2 + H2 = 62 + 4 2 = 7,211 м;
d
6
=
= 6,324 м.
cos β 0,9487
Положение моментных точек m3-4 и m4-7 для усилий N 3-4 и N4-7 получим из подобия треугольников m 3-4–2-3 и m 3-4–4-5 (m4-7–4-5 и m 4-7–6-7):
l3 − 5 = l5 − 7 = d2 + h2 = 6 2 + 22 =
10
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
H+h
H
(H − h) ⋅ d ( 4 − 2) ⋅ 6
=
, откуда C =
=
= 6 м.
C + 2d C + d
h
2
Плечи для усилий N3-4 и N 4-7, N 3-5 и N5-7 относительно моментных точек m 3-4 (m4-7) и 4 соответственно равны:
r3-4 = r4-7 = (C + 2d) sinα = (6 + 2·6) 0,5547 = 9,985 м;
r3-5 = r5-7 = (H + h) cosβ = (4 + 2) 0,9487 = 5,692 м.
5. Расчет усилий.
По рис. 6.8, проводя указанные сечения, последовательно определяем
усилия Ni-k (табл. 6.2), заносим усилия в табл. 6.3. Во всех случаях искомые усилия Ni-k полагаем растягивающими, т. е. направленными от узлов.
При этом, если знак найденного усилия окажется положительным (отрицательным), то оно в действительности растягивающее (сжимающее).
У
F5=20 кН
5
r3-5=5,692
VII
r4-7=9,985
r5-7=5,692
IV
3
β
I
m3-4
0
II 2
R 10 =58кН
III
F2=16 кН
F2=24 кН
d=6
d=6
c=6
7
VI
ββ
α
α
1
h=2
III VII
α
4
IV
V
V
VI
H=4
6
r3-4=9,985
α
6
m4-7 Х
8
F4=24 кН
F6=24 кН
R 08 =50 кН
d=6
d=6
c=6
Рис. 6.8. К определению усилий в стержнях
Таблица 6.2
Определение усилий в стержнях
II–II (узел 2)
I–I (узел 1)
Сечение
Отсеченная часть фермы, расчет усилий
∑У = 0 или N1−3 ⋅ sin α + R10 = 0 , откуда
У I
N1-3=?
α N1-2=?
1
Х
R =58 кН I
0
1
R10
58
=−
= −104,561 кН (стержень 1–3 сжат).
sin α
0,5547
∑Х = 0 или N1− 2 + N1− 3 ⋅ cos α = 0 , откуда N1–2 = – N1–3 ⋅ cosα =
N1− 3 = −
= –(–104,561) 0,832 = 86,995 кН (стержень 1–2 растянут)
У
N2-3=?
N1-2=86,995 N2-4=? Х
2
II
II
F2+F2=40кН
∑У = 0 или N2–3 – (F2 + F2 ) = 0, откуда
N2-3 = 40 кН (стержень 2–3 растянут).
∑Х = 0 или – N1–2 + N2–4 = 0, откуда N2–4 = N1–2 =
= 86,995 кН (стержень 2–4 растянут)
11
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Продолжение табл. 6.2
Сечение
III
r3-4=9,985
N3-5=?
3
N3-4=?
III–III
1
m3-4
R 10 =58кН
c=6
N2-4=86,995кН
2
r3-5=5,692
Отсеченная часть фермы, расчет усилий
4
III
Этим сечением перерезаны
три стержня, из которых направления стержней 3–5 и 2–4 пересекаются в точке m3-4, которая для
раскоса 3–4 является моментной.
Рассматривая левую отсеченную
часть фермы, имеем:
∑ Mm 3 − 4 = 0 или N3–4 – R3–4 –
0
– R 1 ⋅c + (F2 + F2 )(c + d) = 0, откуда
N3 − 4 =
F2+F2=40кН
d=6
d=6
=
1
r3 − 4
[R10 ⋅ c − (F2 + F2 ) (c + d)] =
1
[58 ⋅ 6 − 40 ⋅ 12 ] = −13,22 кН
9,985
Н=4
r5-7=5,692
(стержень 3–4 сжат).
Для усилия N3-5 моментной точкой является узел 4, так что ∑М4 = 0
или N3−5 r3−5 + R10 2d − (F2 + F2 ) d = 0 , откуда N3 − 5 = 1 [ −R10 2d + (F2 + F2 ) d] =
r3 − 5
= 1 [ −58 ⋅ 12 + 40 ⋅ 6] = – 80,112 кН (стержень 3–5 сжат)
5,692
Этим сечением перерезаны
три
стержня, из которых направr4-7=9,985
IV
ления стержней 5–7 и 4–6 переN5-7=?
секаются в точке m4-7 и которая
для стержня 4–7 является
7
N4-7=?
моментной.
Рассматривая правую часть
рассеченной фермы, имеем:
N4-6=?
8
∑ Mm4 −7 = 0 или N4−7 ⋅ r4−7 +
m4-7
6
4
+ F6 (d + c ) − R 08 ⋅ c = 0 , откуда
IV
R 80 =50кН
F6=24кН
IV–IV
d=6
d=6
c=6
N4 − 7 =
=
1
r4 − 7
[− F6 (d + c ) + R08 c ] =
1
[ −24 ⋅ 12 + 50 ⋅ 6] = 1,202 кН
9,985
(стержень 4–7 растянут). Для стержня 5–7 моментной точкой является
узел 4, где пересекаются направления стержней 4–7 и 4–6, так что имеем:
∑M
=
4
= 0 или N5 −7 r5−7 − F6 d +R 08 2d = 0 , откуда N5−7 = 1 [F6 d − R 08 2d] =
r5−7
1
[24 ⋅ 6 − 50 ⋅ 12] = −80,112 кН. Стержень 5–7 сжат.
5,692
Заметим, что усилие N5-7 можно было бы установить и из рассмотрения
равновесия узла 5, взяв для него ∑Х = 0. Далее, для стержня 4–6 моментной
точкой является узел 7, где пересекаются направления стержней 4–7 и 5–7.
d
6
Тогда ∑ M7 = 0 или N4 − 6 ⋅ H − R08 ⋅ d = 0 , откуда N 4 − 6 = R 08
= 50 = 75 кН
H
4
(стержень 4–6 растянут)
12
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Окончание табл. 6.2
Сечение
Отсеченная часть фермы, расчет усилий
V–V
У
N4-6=75кН
N6-7=?
N6-8=?
6
V
V
F6=24кН
N7-8=?
VI–VI
N6-8=75кН α
VII–VII
Х
VI
Рассмотрим равновесие узла 6.
∑У = 0 или N6−7 − F6 = 0 , откуда
N6−7 = F6 = 24 кН (стержень 6–7 растянут).
∑Х = 0 или N6−8 − N4−6 = 0 , откуда
N6−8 = N4−6 = 75 кН (стержень 6–8 растянут)
Рассмотрим равновесие узла 8.
∑У = 0 или N7−8 ⋅ sin α + R 08 = 0 , откуда
У
R 08
50
N7 −8 = −
=−
= −90,139 кН
sin α
0,5547
VI R 08 =50кН
(стержень 7–8 сжат).
Здесь можно было взять и уравнение: ∑Х = 0 или − N 6 −8 − N 7−8 cos α = 0 ,
N
75
= −90,144 кН.
откуда N7 −8 = − 6−8 = −
cos α
0,832
Некоторое различие с предыдущим значением (δ = 0,006 %) понятно,
ибо значения тригонометрических функций приближенные
sinβ = 0,3162
F5=20кН
Рассмотрим равновесие узла 5.
Х
В силу симметрии объекта равновесия видно,
VII
5
N3-5
N
что из условия ∑Х = 0
5-7
β
β
VII
N3-5 = N5-7 = – 80,112 кН (см. замечание
N4-5=?
выше).
8
Х
∑У = 0 или N4−5 + F5 + 2N3 −5 sin β = 0 ,
У
откуда N4−5 = −F5 − 2 N3−5 sin β = −20 − 2 ( −80,112) 0,3162 = 30,663 кН
(стержень 4–5 растянут).
Заметим, что усилие N4-5 можно было бы получить и из рассмотрения
равновесия узла 4. Проделайте это и сравните с полученным выше
результатом
6. Контроль полного статического расчета фермы.
Используя теорему о вириале внешних сил (см. подразд. 6.1), заполняем графу 4 табл. 6.3 и подсчитываем алгебраическую сумму:
13
∑ Ni− k li −k = 2512,566 + 2392,586 = –119,98 кНм.
1
Вириал VF подсчитываем, приняв координатные оси ХОУ, где ось Х
совместим с опорной линией 1–8 фермы (см. рис. 6.8). Тогда
VF = –F5 У5,
где У5 = H + h > 0, так что VF = –20 · 6 = –120 кНм.
13
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Таблица 6.3
Усилия в стержнаях фермы
Элемент
фермы
Верхний
пояс
Нижний
пояс
Стойки
Раскосы
Номер
стержня
1
1–3
3–5
5–7
7–8
1–2
2–4
4–6
6–8
2–3
4–5
6–7
3–4
4–7
li-k, м
Ni-k, кН
Ni-k li-k, кНм
2
7,211
6,324
6,324
7,211
6
6
6
6
4
6
4
7,211
7,211
3
–104,561
–80,112
–80,112
–90,139
86,995
86,995
75
75
40
30,663
24
–13,22
1,202
4
–753,989
–506,628
–506,628
–649,992
521,97
521,97
450
450
160
183,978
96
–95,329
8,668
13
∑ Ni −k li −k = VF
1
Сравнивая результаты (δ = 0,017 %), убеждаемся, что длины стержней и усилия во всех стержнях фермы определены верно. Если эта проверка не выполняется, то расчеты следует перепроверить! Как показывает опыт тяжелых последствий крушений сооружений, опасно и пагубно
экономить на контрольно-проверочных расчетах при проектировании
несущих конструкций.
6.3. Расчет шпренгельных ферм на неподвижную нагрузку
Н
Неподвижной нагрузкой для ферм являются собственный вес пролетного строения и вес стационарного оборудования. Теоретические исследования и практика конструирования балочных мостовых ферм показали, что
рациональными схемами ферм (в смысле их наименьшего веса) оказываются те, высота Н которых
составляет примерно 1/4÷1/5 их
пролета, а угол α наклона раскоα=45°
α
α
α
сов близок к 40÷45° (рис. 6.9).
Однако при этом длина d панеd
d
лей примерно равна высоте Н, а
ℓ
это много, так как приводит к
существенному увеличению веса
Рис. 6.9. Теоретически
рациональная схема фермы
поперечных и продольных балок
14
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
проезжей части. Чтобы снизить общий вес пролетного строения в целом,
помимо иных решений, которые здесь не обсуждаются, ферму обустраивают так называемыми шпренгелями. Шпренгели – это встроенные в
основную ферму дополнительные фермочки, которые работают на
местную нагрузку и позволяют резко уменьшить пролеты продольных
балок проезжей части и снизить их собственный вес. На рис. 6.10 показаны
одноярусные и двухъярусные шпренгели, которые выделены штриховыми
линиями для наглядности, чего обычно на схемах ферм не делается.
Элементы ферм, в состав которых входят только одноярусные шпренгели,
разделяют на три категории:
o
• I категория – элементы основной фермы с усилиями Ni−k , которые определяют расчетом фермы на общую нагрузку, и они не зависят от наличия
шпренгелей;
3
7
5
• II категория – элементы соб- а
ственно шпренгелей с усилиями
а1
а7
а3
Nш
а5
i−k , которые определяют расче1
8
том шпренгелей как отдельных
а2 2
а4 4
а6 6
фермочек на воздействие только
а8
местной нагрузки;
F
F
F
F
б
4
а
2
а
1
1
3
• III категория – элементы оса5 6
а7 8
новной фермы, с которыми сливаются элементы шпренгелей и усиа4
а6
а2
а8
лия в которых определяются как
7 F
алгебраическая сумма Noi−k + Nш
3
i−k .
а1
6
а7 8
В фермах с двухъярусными
F/2
F/2
5
F
шпренгелями различают четыре
2
F/2
F/2
категории, из которых первые три
а
а5
а8
1 2
F/2
F/2
(I, II, III) те же, что и в фермах с одF
а6
ноярусными шпренгелями, а эле3
5
7
ментами IV категории являются те
а3
5
F/2
элементы I категории, усилия в коа4
F/2 F
торых различны при нижнем (верхF F/2
F/2
а5
нем) грузовом поясе, когда двухъярусные шпренгели передают мест5
3
ную нагрузку в узлы верхнего (нижнего) пояса (рис. 6.11).
7
При определении усилий в
а4
F/2
элементах шпренгельных ферм от
5
F
F/2
неподвижной нагрузки могут быть
использованы следующие приемы: Рис. 6.10. Основные типы шпренгельных
1) с помощью линий влияния ферм: а – при нижнем грузовом поясе; б –
при верхнем грузовом поясе
усилий;
15
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2) раздельный расчет услий Noi−k в элементах основной фермы на
воздействие общей нагрузки и расчет усилий Nш
i−k во всех элементах
шпренгелей на воздействие местной нагрузки с последующим алгебраическим суммированием усилий Noi−k и Nш
i−k в элементах III категории. В
элементах IV категории усилия могут быть определены, например, способом вырезания узлов или способом сквозных сечений;
3) способ вырезания узлов, способ сквозных сечений (способ проекций, способ моментной точки) без разделения расчетной схемы ферм на
основную и шпренгели;
4) расчет фермы на ЭВМ.
5
III
IV
IV
III
I
а1
II
III
II
а3
1
а2
IV
7
3
а4
2
II
4
I
II
а5
I
I
а7
8
а6
6 III
а8
Рис. 6.11. Категории стержней (элементов) фермы с одноярусными
и двухъярусными шпренгелями при нижнем грузовом поясе
Ниже рассмотрены примеры использования приемов по пунктам 2 и 3,
которыми иллюстрируются определения усилий в некоторых элементах
шпренгельной фермы (рис. 6.12).
F5=20
а
2
Fа2=12
б
R1=64
а4
4
Fа4=12
F4=12
а2
а7
а5
α
F2=12
α
γ
а3
4
а1
1
7
β
8
а6
6
Fа6=12
F6=12
3
2
5
F2=16
а8
Fа8=12
q=4кН/м
R8=56
F1=6 Fа2=12 F2=12 Fа4=12 F4=12 Fа6=12 F6=12 Fа8=12 F8=6
3
3
3
3
3
ℓ=24
3
3
3
Рис. 6.12. Расчетная схема шпренгельной фермы (линейные размеры в метрах, нагрузка в килоньютонах): а – ферма с узловой нагрузкой; б – приведение погонной нагрузки qп к узловому виду
16
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Ранее (см. подразд. 6.2) была рассчитана основная ферма, усилия
в ее элементах содержатся в табл. 6.3. Далее покажем, как приводится постоянная нагрузка интенсивностью qп = 4 кН/м к узловому виду
при наличии шпренгелей и как можно определить усилия Nш
i−k в элементах шпренгелей (рис. 6.12).
Опорные реакции в форме равнодействующих в узлах 1, 8:
R1 = R10 − F1 = = 70 – 6 = 64 кН; R8 = R 08 − F8 = 62 – 6 = 56 кН.
Из предыдущего расчета основной фермы имеем: sinα = 0,5547;
cosα = 0,832; sinβ = 0,3162; cosβ = 0,9487; sinγ = 0,8000; cosγ = 0,6000.
Выделим одноярусный шпренгель левой
а1
I
панели (рис. 6.13), который опирается на основные узлы 1,2 фермы, и загрузим его ме1 α
2
стной нагрузкой Fa2 = 12 кН.
а
2 II
Опорные реакции шпренгеля очевидны:
I II
ш
ш
ш
ш
R 1 = R 2 = 6 кН.
R1 =6 Fа2=12 R2 =6
3
3
Вырезая узел 1 (сечение I–I), имеем ΣУ = 0
Nш1-а1
У
или N1ш− a1 ⋅ sin α + R1ш = 0 , откуда
2
Noi−k
α
ш
Х
N 1-а2
1
R1ш
6
=−
=−
= −10,817 кН;
У
sin α
0,5547
R1ш=6
Nша1-а2
ш
ш
Х
ΣХ = 0 или N1− a1 ⋅ cos α + N1− a2 = 0 ,
Nша2-2
Nш1-а2
а2
откуда
Fа2=12
N1ш− a2 = −N1ш− a1 ⋅ cos α = −( −10,817) 0,832 = 9 кН.
Далее, вырезая узел a2 (сечение II–II), Рис. 6.13. К расчету одноярусного шпренгеля
имеем:
ш
ΣУ = 0 или Nш
a1− a2 − Fa2 = 0 , откуда Na1− a2 = Fa 2 = 12 кН;
ш
ш
ΣХ = 0 или − N1ш− a2 + Nш
a 2 − 2 = 0 , откуда N1− a 2 = Na 2 − 2 = 9 кН.
ш
В силу симметрии шпренгеля очевидно, что Nш
a1− 2 = N1− a1 = −10,817 кН.
Все элементы шпренгеля рассчитаны.
Теперь, возвращаясь к ферме, определим усилия в элементах III категории (см. табл. 6.3): N1− a1 = N1o− 3 + N1ш− a1 = −104,561 − 10,817 = −115,378 кН
(на участке 1-а1); N1− a 2 = Na 2 − 2 = N1o− 2 + N1ш− a2 = 86,995 + 9 = 95,995 кН ≅ 96 кН
(на участках 1-а2 и а2-2 соответственно).
Легко понять, что усилия в элементах одноярусного шпренгеля крайней
правой панели 6–8 идентичны только что рассчитанным усилиям левого
шпренгеля 1-а1-2-1. Расчет выделяемых шпренгелей сводится к расчету
простейших фермочек на воздействие только местной нагрузки. Теперь
рассмотрим двухъярусный шпренгель второй панели 2–4 (рис. 6.12). Этот
шпренгель передает местную узловую нагрузку Fa 4 =12 кН из узла а4
нижнего (грузового) пояса в основные узлы 3 и 5 верхнего пояса.
N1ш− a1
17
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Это обстоятельство изменяет усилия No2 − 3 и No4 − 5 основных элементов
фермы, поэтому стойки 2–3 и 4–5 относятся к элементам IV категории.
Итак, выделяем шпренгель а4 – а3 – 3 – 5 (рис. 6.14). Усилия в элементах шпренгеля определяем обычным способом. Вырезая узел а4 сечением I–I и проецируя на ось У, получаем (рис. 6.14, б): ΣУ = 0
или Naш3−a 4 − Fa 4 = 0 , откуда Nш
a3 − a 4 = 12 кН.
Проводя разрез II–II и рассматривая равновесие узла 3 (рис. 6.14, в),
R3 d
ш
=
записываем: ΣМ4 = 0 или Nш
3 −5 r3 −5 + R3 d = 0 , откуда N3−5 = −
r3−5
6⋅6
= −
= – 6,325 кН (стержень 3–5 сжат).
5,692
cos β
ш
ш
ш
=
ΣХ = 0 или Nш
3−5 cos β + N3−a3 cos α = 0 , откуда N3 − a 3 = −N3 − 5
cos α
0,9487
= –(6,325)
= 7,212 кН.
0,832
Вырезая узел а3 и рассматривая его равновесие (рис. 6.14, г), имеем:
cos α
ш
ш
ш
∑Х = 0 или − Nш
=
3 −a 3 cos α + Na 3 −5 cos γ = 0 , откуда Na 3 −5 = N3−a 3
cos γ
0,832
= 7,212
= 10 кН.
0,6
R5=6кН
плечо r3-5=5,692м
R3=6кН
II
β
6
3
γ
4
II
а3
2
I
3
а4
α
I
Fа4=12кН
4
У
б
5
моментная точка для Nш3-5
а
N
ш
а4-а3
а4
Nш3-5
в R3
Х
3
Fа4=12
α
β
Х
Nш3-а3
г
Nш3-а3=7,212кН
У
Nша3-5
γ
α
Х
а3
ш
N а4-а3=12кН
3
Рис. 6.14. К расчету усилий в элементах двухъярусного шпренгеля
Элементы 3–5 и 3–а3 сливаются с элементами I категории основной
фермы, так что окончательные усилия в указанных элементах (уже III категории!) будут равны:
18
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
N3−5 = No3−5 + Nш
3−5 = −80,112 − 6,325 = −86,437 кН;
o
N3−a3 = N3−4 + Nш3−a3 = −13,22 + 7,212 = −6,008 кН.
Таким образом, по принципу сложения действия сил (принцип суперпозиции) могут быть рассчитаны все элементы шпренгельных ферм.
В некоторых случаях для расчета шпренгельных ферм можно использовать способ сквозных сечений и без расщепления последних на основную и шпренгели (рис. 6.15).
IV
rа1-2=6,656
III
R1=64
а1
а3
7
γ
α
а2 2
а4 4
II II
VI VI
Fа2=12
Fа4=12
III
I
F2=16 IV V VII
3
3
3
3
c=6
d=6
d=6
а7
а5
8
а6
6
Fа6=12
F6=12
1
β
3
F4=12
β
C
F5=20
VII VIII
5 VIII
F2=12
I
V
3
3
3
d=6
h=4
H=6
r3-а3=9,985
а8
Fа8=12
R8=56
3
d=6
ℓ=4d=24
Рис. 6.15. К расчету усилий в шпренгельной ферме без расщепления на основную и шпренгели (линейные размеры в метрах, нагрузка в килоньютонах)
Таблица 6.4
Определение усилий в стержнях
Сечение
Отсеченная часть фермы, расчет усилий
I–I
У
N1-a1=?
Х
α
1
N1-a2=?
R
1=64
У
N1-a1=?
Х
α
1
N1-a2=?
R1=64
ΣУ = 0 или N1−a1 ⋅ sin α + R1 = 0 , откуда
R1
64
=−
= −115,378 кН.
sin α
0,5547
ΣХ = 0 или N1−a1 cos α + N1−a2 = 0 , откуда
N1−a2 = −N1−a1 cos α = −( −115,378 ) 0832 = +95,995 кН
N1−a1 = −
19
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Продолжение табл. 6.4
Сечение
Отсеченная часть фермы, расчет усилий
ΣХ = 0 или − N1− a2 + Na2 − 2 = 0 , откуда
Na2 − 2 = N1− a 2 = 95,995 кН.
III–III
II–II
У
N1-a1=?
Х
α
1
N1-a2=?
R1=64
ΣУ = 0 или Na1− a 2 − Fa2 = 0 , откуда
Na1− a 2 = Fa 2 = 12 кН
rа1-2=3,328
rа1-3=3,328
Nа1-3=?
а1
Nа1-2=?
α
α
1
2
а2
Nа2-2=
Fа2=12 =95,995
R =64
1
d/2=3 d/2=3
IV–IV
1
h=4
3
ΣМ2 = 0 или Na1−3 ra1−3 + R1 d − Fa 2 d / 2 = 0 ,
откуда
Na1−3 =
1
ra1−3
N2-3=?
( −R1 d + Fa 2 d / 2) = =
ΣМ1 = 0 или N2−3 d − Fa2
N2-a4=?
а2 2
d
6
= −12
= −10,817 кН.
2 ra1−2
2 ⋅ 3,328
1
( −64 ⋅ 6 + 12 ⋅ 6 / 2) = −104,561
3,328
F2=12
N2−3 =
d
− (F2 + F2 ) d = 0 , откуда
2
1
d
[ Fa2 + ( F2 + F2 ) d] =
d
2
Fа2=12
1
R1=64
F2=16
= [12 ⋅ 3 + 28 ⋅ 6] = 34 кН. ΣМ3 = 0 или
6
3
3
d
d
N2−a4d=6
h − R1 d + Fa2 = 0 или N2−a 4 h − R1 d + Fa2 = 0 , откуда
N2−a 4
2
2
1
d
1
= [ R1 d + Fa 2 ] = [64 ⋅ 6 + 12 ⋅ 3] = 87 кН
h
2
4
У
VI–VI
Na1−2 = −Fa 2
кН
Рассечем стержень 2–3, на который в узле 3 передается давление
двухъярусного шпренгеля. Это элемент IV категории.
d=6
Nа1-3
а1
Плечо ra1-2 = d· sinα = 6· 0,5547 = 3,328 м.
ra1-3 = ra1-2.
ΣМ1 = 0 или Na1−2 ra1−2 + Fa2 d / 2 = 0 , откуда
N2-а4= Nа3-а4=?
Nа4-4=?
=87
а4
Х
Fа4=12
ΣХ = 0 или − N2 − a 4 + Na 4 − 4 = 0 , откуда
Na 4 − 4 = N2 − a 4 = 87 кН.
ΣУ = 0 или Na3 − a 4 − Fa 4 = 0 , откуда
Na 3 − a 4 = Fa 4 = 12 кН
Продолжение табл. 6.4
20
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Сечение
Отсеченная часть фермы, расчет усилий
ΣМ4 = 0 или N3−5 r3−5 + R1 2d −
− Fa 2 1,5d − ( F2 + F2 ) d = 0 , откуда
1
N3 − 5 =
[ − R1 2d + Fa 2 1,5d +
r3−5
1
+ ( F2 + F2 ) d] =
[−64 ⋅ 2 ⋅ 6 +
5,692
r3-5=5,692
r3-а3=9,985
3
N3-5=?
N3-а3=?
а1
V–V
1
N2-а4
а2
C
R1=64
2
Fа2=12
d/2=3 d/2=3
c=6
+ 12 ⋅ 1,5 ⋅ 6 + (12 + 16) 6] = −86,437кН.
ΣМС = 0 или N3−a3 r3−a3 −
4
F2=12
− R1 C + Fa2 (C + d / 2) +
+ ( F2 + F2 ) (C + d) − 0,
F2=16
d=6
откуда
N3−a3 =
r3−a3
[R1 C − Fa2 (C + d / 2) − ( F2 + F2 ) (C + d)] =
1
[ 64 ⋅ 6 − 12 ( 6 + 6 / 2 ) − (12 + 16 ) ( 6 + 6 )] = − 6,009 кН
9,985
F5=20
N3-5
5
γ
3
7
Nа3-5
α
d=6
8
а6
6
а8
Fа6=12
F6=12
VII–VII
Nа4-4 4
F4=12
Nа3-4
а7
а5
H=6
h=4 S=2
=
1
d=6
RF'=3·12=36
d=6
4/7d=10,5
3d=18
Равнодействующие узловых сил RF′ =
Fа8=12
R8=56
RF''=4·12=48
3
∑ Fi = Fa 6 + F6 + Fa8 = 36 кН ;
1
4
RF′′ = ∑ Fi = F4 + Fa 6 + F6 + Fa8 = 48 кН
1
Окончание табл. 6.4
21
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
VIII–VIII
VII–VII
Сечение
Отсеченная часть фермы, расчет усилий
Здесь сечение пересекает четыре стержня, из которых усилия в стержнях а4-4 и 3-5 уже известны (Na4-4 = 87 кН, N3-5 = – 86,437 кН). Следовательно, рассматривая равновесие либо левой, либо правой части рассеченной фермы, можем определить усилия Nа3-5 и Nа3-4. Рассмотрим,
например, правую часть.
ΣМ5 = 0. Здесь удобно искомое усилие Nа3-4 разложить на составляющие Nа3-4· sinα (ее направление пересекает моментную точку 5 и в уравнение статики не войдет) и Nа3-4· cosα с очевидным плечом rа3-4 = Н = 6 м
относительно узла 5. Итак, имеем:
Na3 − 4 cos α H + Na4 − 4 H + RF′ d − R8 2d = 0 , откуда
1
1
( −87 ⋅ 6 −
( −Na 4 − 4 H − RF′ d + R8 2d) =
6 ⋅ 0,832
H ⋅ cos α
− 36 ⋅ 6 + 56 ⋅ 12) = 13,221 кН.
ΣМ3 = 0. Здесь удобно искомое усилие Nа3-5 разложить на составляющие Nа3-5 cosγ (горизонтальная) и Nа3-5 sinγ (вертикальная). Тогда имеем:
7
Na3 − 5cos γ s − Na3 − 5 sin γ d − F5 d − RF′′ d − Na 4 − 4 h + R8 3d = 0 ,
4
1
7
откуда Na3 − 5 =
(F5 d + RF′′ d + Na 4 − 4 h − R8 3d) =
cos γ s − sin γ d
4
1
( −36 )
=
( 20 ⋅ 6 + 48 ⋅ 10,5 + 87 ⋅ 7 − 56 ⋅ 18 ) =
= 10 кН
0,6 ⋅ 2 − 0,8 ⋅ 6
− 3,6
Здесь предстоит найти усилие в стойке
F5=20
4–5 (IV категория), что можно выполнить,
5 N =? Х
рассмотрев равновесие узла 5. Предвари5-7
N3-5
тельно заметим, что усилие в стержне 5-а5
β
β
как зеркальное отображение стержня а3-5
γ
γ
составляет:
ш
Nш
N4-5=?
5 − a 5 = Nа 3 − 5 = 10 кН. Итак, объект равш
ш
N а3-5=10 У N 5-а5=10
новесия – узел 5.
Na 3 − 4 =
ш
ш
ΣХ = 0 или − N3 − 5 cos β − Nш
a 3 − 5 cos γ + N 5 − a 5 cos γ + N 5 − 7 cos β = 0 ,
где ввиду равенства N5ш− a5 = Nш
а 3 − 5 следует: N5-7 = N3-5 = –86,337кН.
ΣУ = 0 или N 4 − 5 + 2 N3 − 5 sin β + 2 Nш
a 3 − 5 sin γ + F5 = 0 , откуда
N 4 − 5 = −2 ( −86,437 ) 0,3162 − 2 ⋅ 10 ⋅ 0,8 − 20 = 18,663 кН.
Разумеется, что определить усилие N4-5 можно и из условий равновесия узла 4
Дальнейший расчет фермы здесь не приводится ввиду его аналогии
с уже выполненным для левой части, где показаны все приемы вычислений. Данные полного расчета приведены в табл. 6.5 с контролем всех
результатов и на рис. 6.16.
Таблица 6.5
22
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Контроль усилий в стержнях фермы
Раскосы
Стойки
Верхний пояс
Нижний
пояс
Элемент
фермы
Стержни
ℓik, м
Noik , кН
Nш
ik , кН
1–а2
а2–2
2–а4
а4–4
4–а6
а6–6
6–а8
а8–8
1– a1
а1–3
3–5
5–7
7–а7
а7–8
а1–а2
2–3
а3–а4
4–5
а5–а6
6–7
а7–а8
а1–2
3–а3
а3–4
а3–5
4–а5
5–а5
а5–7
6–а7
3
3
3
3
3
3
3
3
3,606
3,606
6,324
6,324
3,606
3,606
2
4
2
6
2
4
2
3,606
3,606
3,606
5
3,606
5
3,606
3,606
86,995
86,995
86,995
86,995
75
75
75
75
–104,561
–104,561
–80,112
–80,112
–90,139
–90,139
0
40
0
30,663
0
24
0
0
–13,220
–13,220
0
1,202
0
1,202
0
9
9
0
0
0
0
9
9
–10,817
0
–6,325
–6,325
0
–10,817
12
IV кат.
12
IV кат.
12
IV кат.
12
–10,817
7,212
0
10
0
10
7,212
–10,817
o
ш
Nik = Nik + Nik ,
кН
95,995
95,995
86,995
86,995
75
75
84
84
–115,378
–104,561
–86,437
–86,437
–90,139
–100,956
12
34
12
18,659
12
18
12
–10,817
–6,008
–13,220
10
1,202
10
8,414
–10,817
Контроль
Nikℓik , кНм
287,985
287,985
261
261
225
225
252
252
–416,053
–377,047
–546,628
–546,628
–325,041
–364,047
24
136
24
11,954
24
72
24
–39,006
–21,665
–47,671
50
4,334
50
30,341
39,006
29
∑ Nik lik = –2722,792 + 2602,599 = –120,193 кНм
1
Используя теорему о вириале внешних сил, имеем:
29
∑ Nik lik = VF ; VF = F5 H = −20 ⋅ 6 = −120 кНм;
1
 120,193 
δ=
− 1 100 % = 0,16 % .
 120

Проверка усилий успешно выполнена.
Окончательные (расчетные) усилия показаны на рис. 6.16 с округле23
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
нием до второго знака после запятой.
96
-86,44
8,41
7
10
96 2 87 87 4 75
-10,82
-13,22 1,20
-90,14
-100,96
12
18
12
12
1
34
-115,38
5
18,66
-104,56
12
-86,44
-6,01
3
10
8
75 6 84
84
-10,82
Рис. 6.16. Усилия в элементах шпренгельной фермы, кН
7. ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАМЫ
7.1. Общие положения
Структурным прообразом трехшарнирной плоской системы является
система, состоящая из трех дисков Д1, Д2 и Д3, которые соединены между
собой тремя простыми шарнирами A, B и C, не лежащими на одной прямой
(рис. 7.1, а). Такой способ образования системы есть способ треугольника,
что, как известно, обеспечивает ее геометрическую неизменяемость. Если в
качестве диска Д3 принять землю, то система будет и неизменяема и неподвижна. Учитывая, что каждый простой шарнир эквивалентен двум кинематическим связям, получаем степень свободы системы W:
W = 3D–2Ш–С оп = 3∙2 – 2∙1 – 4 = 0.
Последнее означает, что неизменяемая и неподвижная относительно
земли трехшарнирная стержневая система статически определима, т. е.
ее опорные реакции и внутренние усилия могут быть найдены из уравнений статического равновесия.
Если в качестве дисков Д1 и Д2 использовать стержни криволинейного
очертания, получим трехшарнирную арку (рис. 7.1, б); если же использовать ломаные стержни или фермы, получим соответственно трехшарнирную раму или ферму (рис. 7.1, в, г).
В способах определения опорных реакций и усилий в трехшарнирных
арках и рамах принципиального различия нет. Трехшарнирные фермы,
после определения их опорных реакций также как и для арок, рассчитывают далее как обычные фермы.
C
а
Д1
24
А
в
C
Д2
Д3
B
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
г
А
B
C
Рис. 7.1. Трехшарнирные системы: а – геометрически неизменяемый треугольник; б – арка; в – рама; г – ферма
Если относительно вертикали, проведенной через шарнир С, трехшарнирная система обладает упругой симметрией, она называется
симметричной. В частности, на рис. 7.2 показана симметричная трехшарнирная арка с принятым наименованием ее элементов.
ось упругой симметрии арки
надарочное строение
нагрузка
C
левая полуарка
HA А
RA
f – стрела
ключ
(замок)
ось арки
правая полуарка
пята
пята
левый полупролет
правый полупролет
B HB
RB
ℓ – пролет
Рис. 7.2. Элементы симметричной трехшарнирной арки
В качестве оси арки используют различные кривые – окружность, параболу, так называемые коробовые кривые и др.
Главной особенностью трехшарнирных систем, в отличие от балоч25
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ных, является то, что при вертикальной нагрузке в них помимо вертикальных составляющих опорных реакций (RA, RB) возникают и горизонтальные составляющие (HA, HB), которые называются распором, а сами
трехшарнирные системы – распорными.
7.2. Определение реакций опор и усилий в поперечных сечениях
симметричной арки от неподвижной нагрузки
Для расчета симметричной трехшарнирной арки на неподвижную нагрузку должны быть назначены пролет l , стрела подъема f, положение
пятовых A, B и ключевого (замкового) C шарниров, уравнение оси y = f(z)
в какой-либо прямоугольной системе координат, а также расположение и
величина неподвижной нагрузки (рис. 7.3). Расчет начинают с построения оси арки по ее уравнению y = f(z), которая должна проходить через
шарниры A, B, С. Для этого ось арки разбивают на четное число дуг
(обычно от 8 до 24), абсциссы zi которых назначают по чертежу, а ординаты yi вычисляют по ее уравнению. При определении реакций опор и
усилий в расчетных сечениях i удобно пользоваться располагаемой
строго под аркой простой шарнирно опертой балкой AB без шарнира C в
ее пролете (рис. 7.3, б) с той же нагрузкой, что и для арки.
Тогда реакции опор определяют из следующих уравнений статики:

∑ MB = 0, или R A = ∑ M(BF) ,
1
l

(F) 
=
=
,
или
,
M
0
R
M
∑ A
∑ A 
B
l


∑ z = 0, или HA − HB = 0,

1
(7.1)
где ∑ M(AF) , ∑ M(BF ) – суммы моментов нагрузок относительно шарниров A
и B соответственно, H A = HB ≡ H – распор арки. Составляющие RA, RB называют балочными реакциями. Контроль их вычисления состоит в проверке равновесия балки (∑y = 0). Величину распора H определяют из
дополнительного условия – равенства нулю изгибающего момента в
ключевом шарнире C, что приводит к выражению
H=
Mбал
С
f
,
(7.2)
где Mбал
– балочный изгибающий момент в сечении C балки от сил, взяC
тых слева или справа от этого сечения; f – стрела арки (рис. 7.3, а).
а
26
y
q
F
C
y = f(z)
ела
i trial version www.pdffactory.com
PDF created with pdfFactory Pro
Усилия в расчетных сечениях i арки определяют из уравнений равновесия для отсеченной части арки, используя метод сечений, что приводит к следующим формулам (рис. 7.3, в):

− H ⋅ yi;
∑ mi = 0, или Mi = Mбал
i

∑ Fi (ni ) = 0, или Ni = −(Qiбал sin ϕi + H cos ϕi );

∑ Fi ( t i ) = 0, или Qi = Qiбал cos ϕi − H sin ϕi ,

(7.3)
где Mi, Ni, Qi – изгибающий момент, продольная и поперечная силы в
27
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
расчетном сечении i арки; Miбал , Q бал
– изгибающий момент и поперечi
ная сила в том же сечении вспомогательной балки; ϕi – угол наклона
нормали ni поперечного арки к оси z; ti – касательная к сечению.
Особо отмечаем, что для сечений левой полуарки угол
ϕi > 0 (sin ϕi > 0, cos ϕi > 0), а для сечений правой полуарки ϕi < 0
(sin ϕi < 0, cos ϕi > 0).
В формулах (7.3) для усилий принято обычное правило знаков (рис. 7.4).
M>0
M
M<0
N>0
N<0
Q
Q
M
N
N
Q>0
Q<0
Рис. 7.4. Правило знаков для внутренних усилий в арках
7.3. Расчет симметричных трехшарнирных арок
на неподвижную нагрузку
Расчет на неподвижную нагрузку состоит в построении эпюр усилий –
изгибающих моментов, продольных (нормальных) и поперечных (перерезывающих) сил, ординаты которых вычисляют в намеченных расчетных сечениях.
Пример 7.1. Расчет круговой арки. Исходные данные: радиус окружности R = 80 м, центральный угол 2α = 2∙60° = 120°, сосредоточенная
сила F = 600 кН, интенсивность равномерно распределенной нагрузки
q = 50 кН/м (рис. 7.5).
Если в качестве исходных данных для круговой арки заданы пролет l
и стрела подъема f, геометрические характеристики её оси в прямоугольной системе координат zOy, где начало координат совмещено с
центром левого пятового шарнира, вычисляют по формулам:
f l2
• радиус R = +
;
2 8f
2
l

• ординаты точек оси y = y( z ) = R −  − z  − R + f ;

2
• тригонометрические функции угла наклона касательной к оси арки
l − 2z
y +R − f
sin ϕ =
; cos ϕ =
(0 ≤ z ≤ l ) , с проверкой sin 2 ϕ + cos2 ϕ = 1.
2R
R
2
q=50 кН/м
F=600 кН
28
С
3
y
4
5
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6
f = 40 м
Рис. 7.5. Круговая арка
Решение.
а) Геометрия оси арки.
С помощью циркуля и транспортира в выбранном масштабе строим
согласно заданным R и α ось арки с пятовыми неподвижными шарнирами A, B и шарниром C в ключе (рис. 7.5). Ось арки разобьем на восемь
равных дуг с номерами расчетных сечений i = 0, 1, 2, …, 8.
По чертежу арки определим пролет l и стрелу f :
l = 2 R sinα = 2∙80∙sin60° = 2∙80∙0,866 = 138,56 м;
f = R (1 – cosα) = 80 (1 – cos60°) = 80 (1 – 0,5) = 40 м.
Совместив начало 0 осей координат z0y с центром левого пятового
шарнира A, составим формулы подсчета абсцисс zi и ординат yi центров
расчетных сечений i:
zi = R(sin α − sin ϕi ),
yi = R(cos ϕi − cos α),
(7.4)
где sinα = sin60° = 0,866, cosα = cos60° = 0,5, ϕi – угол, определяющий
положение расчетного сечения i (углы ϕi указаны на чертеже).
Вновь отметим, что для левой полуарки углы ϕi положительны, а для
правой полуарки углы ϕi отрицательны. Вследствие этого для левой половины полуарки sin ϕi > 0, cos ϕi > 0, а для правой sin ϕi < 0, cos ϕi > 0.
Подсчитаем координаты расчетных сечений i. Например, для сечения
29
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
i = 3 (левая полуарка) имеем:
z 3 = R(sin α − sin ϕ3 ) = R(sin 60° − sin15°) = 80(0,866 − 0,259) = 48,56 м ;
y 3 = R(cos ϕ3 − cos α ) = R(cos15° − cos 60°) = 80(0,966 − 0,5) = 37,28 м ;
для сечения i = 5 (правая полуарка) получим:
z 5 = R (sinα − sinϕ5 ) = R [sin60° − sin(−15°)] = 80 (0,866 + 0,259) = 90 м ;
y 5 = R(cos ϕ5 − cos α ) = R[cos( −15°) − cos 60°) = 80(0,966 − 0,5 ) = 37,28 м .
В силу симметрии арки ордината y5 равна ординате y3. Следовательно, ординаты достаточно подсчитать для сечений левой полуарки и зеркально отразить их для соответствующих сечений правой.
Результаты подсчетов заносим в табл. 7.1 геометрических характеристик оси арки.
Таблица 7.1
Геометрические характеристики оси арки
Номер
сечения
0
ϕi, °
sin ϕi
cos ϕi
zi, м
yi, м
60
0,866
0,5
0
0
1
45
0,707
0,707
12,72
16,56
2
30
0,5
0,866
29,28
29,28
3
15
0,259
0,966
48,56
37,28
4
0
0
1
69,28
40,00
5
–15
–0,259
0,966
90,00
37,28
6
–30
–0,5
0,866
109,28
29,28
7
–45
–0,707
0,707
125,84
16,56
8
–60
–0,866
0,5
138,56
0
Длины участков, м
∆i = zi – zi-1
∆1 = z1 – 0 = 12,72
∆2 = z2 – z1 = 16,56
∆3 = z3 – z2 = 19,28
∆4 = z4 – z3 = 20,72
∆5 = z5 – z4 = 20,72
∆6 = z6 – z5 = 19,28
∆7 = z7 – z6 = 16,56
∆8 = z8 – z7 = 12,72
б) Определение балочных составляющих опорных реакций и балочных усилий в расчетных сечениях.
Равнодействующая распределенной нагрузки, приложенная посередине загруженного участка (рис. 7.6),
R q = q( ∆ 5 + ∆ 6 + ∆ 7 ) = 50 ( 20,72 + 19,28 + 16,56) = 2828 кН.
Реакции опор:
1
1
(600 ⋅ 90 + 2828 ⋅ 41) = 1226,5 кН ;
R A = ∑ М(BF) =
l
138,56
30
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1
RB = ∑ М(AF ) =
l
1
( 600 ⋅ 48,56 + 2828 ⋅ 97,56) = 2201,5 кН .
138,56
Контроль реакций:
∑ Fy = 0 ; или R A + RB − F − R q = 1226,5 + 2201,5 − 600 − 2828 = 0 .
F=600 кН
RA=1226,5 кН
А
0
1
2
3
Rq=2828 кН
q=50 кН/м
4
RB=2201,5 кН
5
6
7
8
C
12,72
Δ1
16,56
Δ2
19,28
Δ3
20,72
Δ4
20,72
Δ5
48,56
19,28
Δ6
90,00
97,56
I участок
ℓ = 138,56
II участок
16,56
Δ7
B
12,72
Δ8
41,00
III участок
IV участок
Рис. 7.6. Вспомогательная балка
.
в) Вычисление внутренних усилий Miбал и Qiбал в расчетных сечениях.
Рассматриваем нагрузки слева от сечений.
I участок (0–3):
M0 = 0 ;
M1 = R A z1 = 1226,5 ⋅ 12,72 = 15601 кНм;
RA
i
M2 = R A z 2 = 1226,5 ⋅ 29,28 = 35912 кНм;
0
M3 = R A z 3 = 1226,5 ⋅ 48,56 = 59559 кНм;
zi
Q0 = Q1 = Q 2 = Q3лев = R A = 1226,5 кН.
II участок (3–4):
F
.
RA
3
4
∆4
.
0
Mбал
C = M4 = R A z 4 − F∆ 4 =
= 1226,5 ⋅ 69,28 − 600 ⋅ 20,72 = 72542 кНм;
Qправ
= Q 4 = R A − F = 1226,5 − 600 = 626,5 кН.
3
z4
III участок (4–7):
Q4
q
.
М4
∆5
5
.
4
∆ 5 = 20,72 м;
∆25
M5 = M4 + Q 4 ∆ 5 − q
= 72542 +
2
20,72 2
+ 626,5 ⋅ 20,72 − 50
= 74791 кНм;
2
Q5 = Q 4 − q∆ 5 = 626,5 − 50 ⋅ 20,72 = −409,5 кН.
31
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Q5
∆26
M6 = M5 + Q5 ∆ 6 − q
= 74791 −
2
19,28 2
− 409,5 ⋅ 19,28 − 50
= 56703 кНм;
2
Q 6 = Q 5 − q∆ 6 = −409,5 − 50 ⋅ 19,28 = −1373,5 кН.
q
.
М5
∆6
6
.
5
∆ 6 = 19,28 м;
Q6
∆27
M7 = M6 + Q 6 ∆ 7 − q
=
2
q
.
М6
∆7
16,56 2
= 56703 − 1373,5 ⋅ 16,56 − 50
= 28003 кНм;
2
Q7 = Q6 − q∆ 7 = −1373,5 − 50 ⋅ 16,56 = −2201,5 кН.
7
.
6
∆ 7 = 16,56 м;
IV участок (7–8):
.
М7
Q7
∆8
8
.
7
M8 = M7 + Q7 ∆ 8 = 28003 − 2201,5 ⋅ 12,72 = 0 ;
Q 8 = Q 7 = −2201,5 кН.
∆ 8 = 12,72 м.
Вычисленные балочные усилия заносим в табл. 7.2.
Mбал
M
72542
Распор H = C = 4 =
= 1813,55 кН.
f
f
40
Усилия в расчетных сечениях арки вычисляем в табл. 7.2, используя
формулы (7.3).
Эпюры балочных и арочных усилий приведены на рис. 7.7.
Таблица 7.2
№ сечения
Расчетные усилия в круговой арке
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Miбал , Hyi ,
кНм
кНм
Mар
i ,
Qiбал ,
кНм
кН
Qбал
× H×
i
Qiар ,
× cos ϕi , × sin ϕi ,
кН
кН
кН
Qiбал × H ×
× sin ϕi , × cos ϕi ,
кН
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
1226,5
613,3
1570,5 –957,2 1062,2
15601 30032 –14431 1226,5
867,1
1282,1 –415
867,1
35912 53101 –17189 1226,5 1062,2
906,8 155,4
613,3
1226,5 1184,8
715,1
317,7
59559 67609 –8050
469,7
626,5
605,2
135,5
162,3
72542 72542
0
626,5
626,5
0
626,5
0
74791 67609 7182 –409,5 –395,6 –469,7 74,1
106,1
57603 53101 4502 –1373,5 –1189,5 –906,8 –282,7 686,8
28003 30032 –2029 –2201,5 –1556,5 –1282,1 –274,4 1556,5
0
0
0
–2201,5 –1100,8 –1570,5 469,7 1906,5
операции
(2)–(3)
(6)–(7)
32
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
кН
10
906,8
1282,2
1570,5
1751,9
1813,6
1751,9
1570,5
1282,2
906,8
Niар ,
кН
11
–1969
–2149,3
–2183,8
–2069,6
–1914,2
–1813,6
–1858
–2257,3
–2838,7
–2813,3
–(9)–(10)
q=50 кН/м
F=600 кН
а
С
3
y
и
5
4
2
6
f = 40 м
1
7
H=1813,6 кН
0
H
8
А
z
B
.Эп
ℓ = 138,56 м
RA
RB
б
RA=1226,5 кН
А
0
F=600 кН
1
2
C
3
8
4
в
RB=2201,5 кН
q=50 кН/м
5
6
B
бал
15601
28003
35912
1226,5
7
1226,5
59559
72542
1226,5 1226,5
626,5
626,5
57603
74791
Эп. Mi
(кНм)
Эп. Q бал
i
(кН)
409,5
17189
14431
1373,5
2201,5
8050
г
2029
715,1
626,5
155,4
469,7
Эп. Qi
(кН)
74,1
135,5
282,7
274,4
957,2
2149,3
Эп. Mi
(кНм)
4502
7182
415
1969
2201,5
Эп. Ni
(кН)
2183,8
2069,6 1914,2
1813,6
1858
2257,3
2838,6
2813,3
3
Рис. 7.7. Круговая арка: а – расчетная схема арки; б – вспомогательная балка;
в – балочные эпюры; г – эпюры внутренних усилий в арке
33
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Пример 7.2. Расчет симметричной параболической арки. Здесь
рассматривается расчет трехшарнирной арки, очертание оси которой в
прямоугольной системе координат Y0Z (рис. 7.8) задается уравнением:
y( z) =
4f
l2
(l − z)z ,
(7.5)
где у(z) – ординаты оси; l – пролет; f – стрела; z – текущая абсцисса точек оси арки (0 ≤ z ≤ l ).
Тригонометрические функции sin ϕi и cos ϕi определим так: учитывая,
что первая производная от у(z) по z есть тангенс угла ϕ z наклона касательной к оси арки (или нормали к поперечному сечению), после дифференцирования получим
tgϕ z =
dy 4f
= (l − 2z) .
dz l 2
(7.6)
Имея в своем распоряжении значения tgϕ z , вычислим сначала косинус угла ϕ z , а потом синус того же угла по известным формулам:
cos ϕ z =
1
1 + tg ϕ z
2
, sin ϕ z = tgϕ z cos ϕ z .
(7.7)
При расчетах параболических арок их разбивают на участки, но в отличие от круговых арок, это деление производят не на равные дуги, а на
четное число равных долей пролета (здесь дуги будут различными, а их
проекции на ось z будут одинаковыми). В этом примере расчета разделяем пролет на восемь равных долей длиной ∆z = l 8 , так что пролет l
можно выразить как l = 8∆z , а текущие абсциссы zi расчетных сечений
арки как z i = i∆z , где i = 0, 1, 2, … , 8 – номера сечений.
Теперь формулы (7.5) и (7.6) можно представить в виде, более удобном для вычислений:
4f
f
yi =
(8∆z − i∆z) i∆z =
(8 − i)i,
2
16
(8∆z)
(7.8)
4f
4f
f
tgϕi =
(8∆z − 2i∆z) =
2∆z( 4 − i) =
( 4 − i).
8∆z
(8∆z) 2
(8∆z) 2
Пусть исходные данные рассматриваемой здесь арки такие же, что и
в примере 7.1 для арки круговой, а именно: пролет l = 138,56 м, стрела
f = 40 м, сосредоточенная сила F = 600 кН и интенсивность равномерно
распределенной погонной нагрузки q = 50 кН/м (рис. 7.8).
34
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
q=50 кН/м
F=600 кН
С
3
2
Y
6
f=40м
1
0
А
5
4
y2=30
y1=17,5
H=1795,9мкН
Δz=17,32 м
м
y3=37,5
м
7
y5=37,5
м
y6=30м
y7=17,5
8
м
Δz
Δz
Δz
Δz
Δz
Δz
Δz
l = 8Δz = 138,56 м
RA
z
B
RB
Рис. 7.8. Параболическая арка
а) Геометрические характеристики оси.
l
138,56
Назначая ∆ = , получаем ∆z =
= 17,32 м, и формулы (7.5) и
8
8
(7.6) принимают окончательный вид:
40
(8 − i) i = 2,5(8 − i) i,
16
40
tgϕi =
( 4 − i) = 0,2887 ( 4 − i) .
8 ⋅ 17,32
yi =
Результаты вычисления геометрических характеристик оси с учетом
симметрии арки оформляем в виде табл. 7.3.
Таблица 7.3
Геометрические характеристики оси арки
Номер
сечения i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
zi, м
yi, м
tg ϕi
1 + tg 2 ϕi
cos ϕi
sin ϕi
Контроль
0
17,32
34,64
51,96
69,28
86,60
103,92
121,24
138,56
0
17,50
30,00
37,50
40,00
37,50
30,00
17,50
0
1,1547
0,8661
0,5774
0,2887
0
–0,2887
–0,5774
–0,8661
–1,1547
1,5275
1,3229
1,1547
1,0408
1
1,0408
1,1547
1,3229
1,5275
0,6547
0,7559
0,8660
0,9608
1
0,9608
0,8660
0,7559
0,6547
0,7560
0,6547
0,5000
0,2774
0
–0,2774
–0,5000
–0,6547
–0,7560
1
0,9999
0,9999
1
1
1
0,9999
0,9999
1
35
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Например, для сечения i = 3 получим:
zi = z3 = i∆z = 3 ⋅ 17,32 = 51,96 м,
y i = y 3 = 2,5 (8 − 3) 3 = 37,5 м,
tgϕi = tgϕ 3 = 0,2887 ( 4 − 3) = 0,2887 и т.д.
Заметим, что вычисления функций sin ϕi и cos ϕi должны проверяться с использованием известного тождества sin 2 ϕi + cos2 ϕi = 1.
б) Определение опорных реакций и балочных усилий.
Рассматриваем вспомогательную балку (рис. 7.9) аналогично примеру 7.1.
y
F=600 кН
RA=1186,9 кН
zi
0
1
А
17,32
Δz
17,32
Δz
2
3
17,32
4
C
17,32
Δz
3Δz
Rq = q 3Δz = 2598
кН
RB=2011,1 кН
q=50 кН/м
17,32
Δz
5
6
17,32
Δz
17,32
Δz
8
B
z
17,32
Δz
5Δz
5,5Δz
I участок
7
ℓ = 8Δz = 138,56
II участок
III участок
2,5Δz
IV участок
Рис. 7.9. Вспомогательная балка
Вычисляем балочные реакции:
1
1
1
R A = ∑ МB(F) =
(F 5∆z + R q 2,5∆z) = (600 ⋅ 5 + 2598 ⋅ 2,5) = 1186,9 кН;
l
8∆z
8
1
1
1
RB = ∑ M(AF ) =
(F 3∆z + R q 5,5∆z) = ( 600 ⋅ 3 + 2598 ⋅ 5,5) = 2011,1 кН /
l
∆z
8
Контроль реакций:
∑ Fy = 0 или R A + RB − F − R q = 1186,9 + 2011,1 – 600 – 2598 =
= 3198 – 3198 = 0.
Вычисляем балочные моменты Mбал
и поперечные силы Q бал
.
i
i
Рассматриваем нагрузки слева от сечений.
36
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
I участок (0–3):
RA
.
i
0
.
zi
II участок (3–4):
F
.
RA
3
4
∆z
.
0
z4
III участок (4–7):
Q4
q
.
M4
∆z
6
0 ≤ zi ≤ ∆z
Q6
q
.
M6
∆z
7
.
6
0 ≤ zi ≤ 3 ∆z (i = 5, 6, 7).
∆z 2
=
M5 = M4 + Q 4 ∆z − q
2
M6 = M5 + Q5 ∆z − q
.
5
Qправ
= Q 4 = R A − F = 1186,9 − 600 = 586,9 кН.
3
q
.
Q5
Mбал
= M4 = R A 4∆z − F ∆z =
C
= (1186,9 ⋅ 4 − 600) 17,32 = 71836,4 кНм;
17,322
= 74502 кНм;
2
Q 5 = Q 4 − q∆z = 586,9 − 50 ⋅ 17,32 = −279,1 кН.
0 ≤ zi ≤ ∆z
M5
Qi = Q0 = Q1 = Q2 = Q3лев = R A = 1186,9 кН.
3 ∆z ≤ z i ≤ 4 ∆z (i = 3, 4).
5
∆z
.
4
0 ≤ z i ≤ 3 ∆z (i = 0, 1, 2, 3).
Mi = R A z i = R A ∆z i = 1186,9 ⋅ 17,32 ⋅ i = 20556,8 ⋅ i ;
M0 = 0 ; M1 = 20556,8 кНм;
M2 = 20556,8 ⋅ 2 = 41113,5 кНм;
M3 = 20556,8 ⋅ 3 = 61670,3 кНм;
0 ≤ zi ≤ ∆z
= 71836,4 + 586,9 ⋅ 17,32 − 50
∆z 2
=
2
17,32 2
= 62168,4 кНм;
2
Q 6 = Q5 − q∆z = −279,1 − 50 ⋅ 17,32 = −1145,1 кН.
= 74502 − 279,1⋅ 17,32 − 50
M7 = M6 + Q 6 ∆z − q
∆z 2
=
2
17,322
= 34835,7 кНм;
2
Q7 = Q 6 − q∆z = −1145,1 − 50 ⋅ 17,32 = −2011,1 кН.
= 62168,4 − 1145,1⋅ 17,32 − 50
IV участок (7–8): 0 ≤ zi ≤ ∆z (i = 7, 8).
Q7
.
M7
∆z
8
.
7
M8 = M7 + Q7 ∆z = 34835,7 − 2011,1⋅ 17,32 =
= 34835,7 − 34832,2 = 3,45 кНм.
37
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Но в сечении i = 8 – шарнир, в котором изгибающий момент всегда
 34835,7 
равен нулю. Оценим погрешность ∆ = 
− 1 100 % = 0,01 % . Явная
 34832,2 
и незначительная погрешность округлений. Принимаем, конечно, M8 = 0 .
Q8 = Q7 = −2011,1 кН.
Mбал
M
71836,4
C
= 4 =
= 1795,9 кН. Вычисленные значения
f
f
40
балочных усилий Mбал
и Qiбал заносим в табл. 7.4. Там же выполняем
i
вычисление расчетных усилий Mi , Qi и Ni в сечениях арки.
Таблица 7.4
Расчетные усилия в параболической арке
Номер
сечения
Распор H =
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Miбал ,
кНм
Hyi ,
Miар ,
кНм
кНм
Qiбал × H ×
Qбал
× H×
ар
i
,
Q
Qiбал ,
i
× sin ϕi , × cos ϕi ,
× cos ϕi , × sin ϕi ,
кН
кН
кН
кН
кН
кН
2
3
4
5
6
0
0
0
1186,9 770,0
20557 31428 –10871 1186,9 897,2
41114 53877 –12763 1186,9 1027,8
1186,9 1148,9
61670 67346 –5676
586.9
568,9
71836 71836
0
586,9
568,9
74502 67346 7156 –279,1 –268,2
62168 53877 8291 –1145,1 –991,6
34836 31428 3408 –2011,1 –1520,2
0
0
0
–2011,1 –1316,7
операции
(2)–(3)
7
8
9
1357,7 –587,7 897,3
1175,8 –278,6 770,0
897,9 129,9 593,4
650,7 329,2
498,2
69,9
162,8
0
586,9
0
–498,2 230,0
77,4
–897,9 –93,7 572,6
–1175,8 –344,4 1316,7
–1357,7 41,0 1520,4
(6)–(7)
Niар ,
кН
10
11
1175,8 –2073,1
1375,5 –2145,5
1555,2 –2148,6
–2054,8
1725,6
–1888,4
1795,9 –1795,9
1725,6 –1803,0
1555,2 –2127,8
1375,5 –2692,2
1175,8 –2696,2
–(9)–(10)
Очертания оси арки, нагрузки и эпюры балочных и арочных усилий в
расчетных сечениях приводятся на рис. 7.10.
Различия в опорных реакциях и ординатах эпюр для круговой и параболической арок при одинаковых пролете l , стреле f и характере нагрузок объясняются различием в разбивке расчетных сечений: ось круговой арки делилась на равные дуги (но разные их проекции на ось z), а
ось параболической арки, наоборот, делилась на равные проекции (но
разные дуги). Это и привело к изменению как положения нагрузки на
балке, так и длины полосы распределенной нагрузки (для круговой
l q = 56,56 м, для параболической l q = 51,96 м).
38
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
q=50 кН/м
F=600 кН
3
С
5
4
2
y
6
1
H=1795,9 кН
0
А
7
Δz=17,32 м
Δz
8
Δz
Δz
Δz
Δz
RA=1186,9 кН
F=600 кН
RB
q=50 кН/м
А
RB=2011,1 кН
B
Rq = q⋅3Δz = 2598
5ΔzкН
C
3Δz
5,5Δz
I участок
z
B
Δz
ℓ = 8Δz = 138,56 м
RA
б
Δz
II участок
2,5Δz
IV участок
III участок
в
20556,8
34835,7
41113,5
61670,3
1186,9
1186,9
71836,4
586,9
62168,4
74501,9
1186,9 1186,9
Miбал
(кНм)
Эп.
Q бал
i
Эп.
586,9
(кН)
279,1
12763
10871
1145,1
5676
2011,1
2011,1
Эп. Mi
7156
(кНм)
3408
г
650,7
230
129,9
587,7
278,6
8291
586,9
69,9
41
93,7
344,4
Эп.
Qi
(кН)
Эп.
Ni
(кН)
2073,1
2145,5
1888,4
2148,6 2054,8
1795,9 1803,0
2127,8
2692,2
2696,2
Рис. 7.10. Параболическая арка: а – схема арки и нагрузка; б – вспомогательная балка; в – балочные эпюры; г – эпюры внутренних усилий в арке
39
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
7.4. Расчет трехшарнирной рамы на неподвижную нагрузку
Расчет трехшарнирной рамы на неподвижную нагрузку состоит в построении эпюр изгибающих моментов M, поперечных сил Q и продольных сил N для рамы, изображенной на рис. 7.11.
а
Y
q1=10кН/м
1
2
V
l2-B=7,211
q1=4кН/м VI
h=4
f=6
C
IV
III
F1=20кН II
F2=16кН
I
α
A
a2=2 a3=2
a1=4
Z
B
a4=4
l=12
б
Y
Rq1=40
1
C
3,606
Rq2=28,88
h=4
r2=5,82
α
A
HA=8,889
VA=43,334
3,606
α
F1=20
f=6
F2=16
2
B
HB=4,883
Z
α
r1=3,051
l0=6,500
VB=28,664
l–l0=5,50
a1=4
a2=2 a3=2
a4=4
Рис. 7.11. К расчету трехшарнирной рамы: а – рама;
б – расчетная схема к определению опорных реакций и
их контроля (нагрузки указаны в килоньютонах, линейные размеры – в метрах)
а) Анализ геометрической неизменяемости рамы.
Степень свободы W = 3Д–2Ш–Соп = 3·2 – 2·1 – 4 = 0. Система образована из двух полурам А1С и С2В (Д = 2), соединенных простым замковым шарниром С (Ш = 1) и прикрепленных к земле двумя шарнирно неподвижными опорами А, В (Соп = 4). Рама имеет необходимый минимум
40
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
правильно расставленных связей (шарниры А,С,В не лежат на одной
прямой) и потому статически определима и геометрически неизменяема.
б) Определение опорных реакций (рис. 7.11, б).
Система распорная, содержит четыре составляющих опорных реакций: две вертикальных VA,VB и две горизонтальных H A, HB.
Как известно, для плоской системы сил можно использовать лишь
три уравнения статики и, казалось бы, решить задачу с четырьмя искомыми реакциями невозможно. Однако система содержит шарнир С, в котором изгибающий момент равен нулю, т. е. Mизг
с = 0 . Это обстоятельство и используется как дополнительное уравнение статики и поэтому все составляющие реакций могут быть определены. Схема к определению реакций опор представлена на рис. 7.11, б. Здесь удобно
распределенные нагрузки заменить их равнодействующими R q1 и Rq2;
R q1 = q1 · a1 = 10 · 4 = 40 кН; Rq2 = q l2-B = 4 · 7,211 = 28,844 кН, где длина
наклонной стойки l2-B= f 2 + a 24 = 6 2 + 4 2 = 7,211 м.
Необходимые для расчета плечи сил относительно центров опор А,В
и замка С определяем по схеме рамы (рис. 7.11, б), вычерченной в масштабе, что позволяет легко контролировать получаемые размеры. Итак,
tgα =
f
6
1
1
= = 1,50 ; cos α =
=
= 0,5547 ;
a4 4
1 + tg2 α
1 + 1,50 2
sin α = tgα cos α = 0,8320 . Поверка: sin2α + cos2α = 0,83202 + 0,55472 ≅ 1.
l
7,211
l0 = 2 − B =
= 6,50 м;
2 cos α 2 ⋅ 0,5547
плечо r1 = (l − l0 )cos α = (12 − 6,50 ) 0,5547 = 3,051 м;
l
7,211
плечо r2 = 2 − B + (a 2 +a 3 ) cos α =
+ (2 + 2) 0,5547 = 5,824 м.
2
2
Далее, составляя уравнение статики, определяем реакции опор
a 
l

ΣМВ = 0 или VA l + F1 h − R q1  l − 1  − F2 (a 3 + a 4 ) − R q2 2 − B = 0 ,
2
2

1
a 
l


откуда
VA = − F1h + R q1 l − 1  + F2 (a 3 + a 4 ) + R q2 2 − B  =
l
2
2 

= (–20 ∙ 4 + 40 ∙ 10 + 16 ∙ 6 + 28,844 ∙ 3,606)/12 = 43,334 кН (вверх).
a
ΣМА = 0 или − VB l + F1 h + R q1 1 + F2 (a1 + a 2 ) + R q2 r1 = 0 ;
2
1
a1

откуда
VB = F1h + R q1 + F2 (a1 + a 2 ) + R q2 r1  =
l 
2

= (20∙ 4 + 40 ∙ 2 + 16 ∙ 6 + 28,844∙ 3,051)/12 = 28,664 кН (вверх).
41
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Следует напомнить, что если искомая реакция получена со знаком
плюс (минус), то ее первоначально выбранное направление сохраняется
(изменяется на обратное с отбрасыванием знака минус).
Контроль реакций VA, VB: ΣН = 0 или VA + VB – Rq1 – F2 – Rq2 сosα =
= 43,334 + 28,664 – 40 – 16 – 28,884 ∙ 0,5547 = 71,998 – 71,999 ≈ 0. Реакции верны.
Для определения составляющих HA, HB используем уравнение Мизг
С = 0.
Рассматривая левую полураму, имеем:
Mизг
= −HA f + VA a1 − F1 (f − h) − R q1
с
a1
= 0,
2
откуда
1
a 
HA =  VA a1 − F1 (f − h) − R q1 1  =
f
2
1
= (43,334 ⋅ 4 − 20 ⋅ 2 − 40 ⋅ 2) = 8,889 кН (вправо).
6
Далее, рассматривая правую полураму, имеем
Mизг
с = −HB f + VB (l − a1 ) − F2 a 2 − R q2 r2 = 0 ,
откуда
HB =
=
1
[VB (l − a1 ) − F2a 2 − R q2 r2 ] =
f
1
(28,664 ⋅ 8 − 16 ⋅ 2 − 28,844 ⋅ 5,824) = 4,883 кН (влево).
6
Контроль горизонтальных реакций:
ΣZ = 0 или HA + F1 – Rq2 sinα – HB = 8,889 + 20 – 28,884∙ 0,8320 – 4,883 =
= 28,889 – 28,881 ≈ 0, и эти реакции верны.
Все опорные реакции рамы можно проверить и другим способом.
Выбираем произвольную моментную точку К так, чтобы ни одна из
внешних сил (включая реакции опор) ее не пересекала, и используем
уравнение статики в виде ΣMК = 0. Например, в рассмотренном случае
за моментную точку К принимаем узел 2 рамы (см. рис. 7.11, б) и получаем: ΣM2 = 0, или 43,334 ∙ 8 – 8,889 ∙ 6 – 20 ∙ 2 – 40 ∙ 6 – 16 ∙ 2 +
+ 28,844 ∙ 3,606 + 4,883 ∙ 6 – 8,664 ∙ 4= 479,981 – 479,990 ≈ 0 (δ = 0,02 %).
в) Построение эпюр усилий.
Как обычно, разбиваем схему рамы на участки (см. рис. 7.11, а) и, используя метод сечений, последовательно вычисляем ординаты эпюр. При
этом на прямолинейных участках, где отсутствует распределенная нагрузка и эпюра M прямолинейна, достаточно вычислять лишь концевые орди42
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
наты моментов. На участках, где присутствует распределенная нагрузка и
эпюра M криволинейна, следует, как минимум, вычислять три ординаты
изгибающих моментов: в начале, в середине и в конце участка.
Если на участке эпюра Q пересекает ось стержня, т. е. Q = 0 в некотором сечении, то в этом сечении стержня следует вычислить экстремальное значение изгибающего момента.
При построении эпюр М и Q используем правила знаков те же, что
приняты при расчете прямых балок, откладывая ординаты М со стороны
растянутых волокон.
Итак, строим эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил (рис. 7.12). Все силы указаны в килоньютонах, линейные размеры в метрах.
Z
I участок; 0 ≤ Z1 ≤ 4 м.
MZ1 = –HA ∙ Z1 = –8,889∙Z1(прямая).
M(0) = 0 (шарнир А!).
M(4) = –8,889 ∙ 4 = –35,556 кНм;
растянуты левые волокна стержня.
QZ1 = –HA = –8,889 кН = сonst;
А
NZ1 = –VA = –43,334 кН = сonst.
VA= 43,334 Стержень сжат
HA= 8,889
Z2
F1=20кН
HA
А
II участок; 0 ≤ Z2 ≤ 2 м.
MZ2 = –HA (4 + Z2) – F1 ∙ Z2 = –8,889 (4 + Z2) – 20 Z2 (прямая).
M(0) = –35,556 кНм; M(2) = –8,889 ∙ 6 – 20 ∙ 2 = –93,334 кНм;
растянуты левые волокна стержня
QZ2 = –HA–F1 = –8,889 – 20 = –28,889 кН = const;
NZ2 = –VA = –43,334 кН = const.
Стержень сжат
VA
q1=10кН/м
2
1
Z3
6
F1=20
HA
А
III участок; 0 ≤ Z3 ≤ 4 м.
MZ3 = VA ∙ Z3 – HA ∙ 6 – F1 ∙ 2 – q1 Z 23 /2 = 43,334 Z3 –
–8,889 ∙ 6 – 20 ∙ 2 – 5 q1 Z 23 /2 (парабола);
M(0) = –93,334 кНм; M(2) = –26,667 кНм;
M(4) = 0 (шарнир С!)
растянуты верхние волокна стержня.
QZ3 = VA – q1Z3 = 43,334 –10 Z3 (прямая).
Q(0) = 43,334 кН; Q(4) = 3,334 кН.
NZ3 = –HA – F1 = – 8,889 – 20 = –28,889 кН = сonst.
Стержень сжат
VA
43
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2
Rq1=40
F1=20
C
1
2
4
4
HA=8,889 А
VA=43,334
Z4
IV участок; 0 ≤ Z4 ≤ 2 м.
MZ4 = VA(4+Z4) – HA ∙ 6 – F1 ∙ 2 –
– Rq1(2+Z4) = 43,334 (4+Z4) – 20 ∙ 6 –
– 20 ∙ 2 – 40 (2+Z4) (прямая).
M(0) = 0 (шарнир С!).
M(2) = 6,668 кНм;
растянуты нижние волокна стержня
QZ4 = VA – Rq1 = 43,334 – 40 =
= 3,334 кН = сonst.
NZ4 = –HA – F1 = –28,889 кН = сonst.
Стержень сжат
V участок; 0 ≤ Z5 ≤ 2 м.
MZ5 = VB (4 + Z5) – HB ∙ 6 – Rq2 ∙ rZ5,
α
l2 − B
где переменное плечо,
= 3,606
rZ5 = 3,606 + Z5 ∙ сosα = 3,606 +
2
2
+ 0,5547 Z5;
rZ5
α
MZ5 = 28,664 (4 + Z5) – 4,883 ∙ 6 –
– 8,844 (3,606 + 0,5547 Z5)
Rq2=28,844
(прямая).
M(0)
= –18,653 кНм; растянуты
α
верхние
волокна стержня.
HB=4,883
M(2) = 6,675 кНм; растянуты
B
4
нижние волокна стержня.
VB=28,66
Расхождение с предыдущей ординатой (6,668 кНм) составляет всего δ = 0,1 %
(за счет неизбежных ошибок округления промежуточных вычислений). Оставляем
ординату 6,668 кНм.
QZ5 = –VВ – Rq2 ∙ сosα = –28,664 – 28,884 ∙ 0,5547 = –12,666 кН = сonst.
NZ5 = –HВ – Rq2 ∙ sinα = –4,883 – 28,844 ∙ 0,8320 = –28,889 кН = const.
Стержень сжат
VI участок; 0 ≤ Z6 ≤ 7,211 м.
MZ6 = VB ∙ Z6 ∙ cosα – HB ∙ Z6 sinα – q2 Z 26 /2=
q2=4кН/м
= 28,664 ∙ 0,5547 Z6 – 4,883 ∙ 0,8320 ∙ Z6 – 4 Z 26 /2;
6
Z5
(парабола) М(0)=0 (шарнир В!); M(3,606) = 16,660 кНм;
растянуты нижние волокна стержня. M(7,211) =
= –18,676 кНм; растянуты верхние волокна
стержня. (Расхождение с предыдущим значением
α
Z6
HB=4,883 δ = 0,12 %)
QZ6 = –VВ сosα + HВ sinα + q2 ∙ Z6 = –28,664 ∙ 0,5547 +
+ 4,883 ∙ 0,8320 + 4 Z6 (прямая).
VB=28,664
α
Q(0) = –11,735 кН; Q(7,211) = 17,109 кН;
NZ6 = –VВ sinα – HВ cosα = –28,664 ∙ 0,8320 – 4,883 ∙ 0,5547 = –26,562 кН = const.
Стержень сжат. На VI участке эпюра Q содержит нулевую ординату, поэтому из
условия QZ6 = –VB сosα + HВ sinα + q2 ∙ Z0 = 0, получаем Z0 = (VВ cosα – HВ sinα)/q2 =
= (28,664 ∙ 0,5547 – 4,883 ∙ 0,8320)/4 = 2,959 м.
Тогда maxM(Z0) = 17,515 кНм
44
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
26,667
C
93,334
1
18,653
6,668
2
16,660
35,556
Z0=2,959 м
maxM=17,515
А
б 43,334
F2
+
1
F1
А
В
Эп.M (кНм)
17,109
3,334
C
_
1
2
+
_
C
28,889 12,666
8,889
_
_
_ В
Z0=2,959 м
Эп.Q (кН)
28,889
2
26,562
43,334
_
А
В
Эп.N (кН)
11,735
Рис. 7.12. Эпюры внутренних усилий
Заключительную проверку расчета рамы выполняем с использованием теоремы о вириале внешних сил (рис. 7.13).
Прямоугольная систеY
ма координата ZOY приRq1=40кН
F2=16 кН
нята здесь с началом в
Rq2Y=Rq2сosα
центре опоры А. Для пло1
2
α R =28,844
ских стержневых систем с
q2
F1
Y2=6 м
прямыми стержнями, как
кН
Yq1=+6м
указано выше, теорема
Rq2Z=Rq2sinα
Y
=+3м
q2
выражается формулой
α
∑Nik lik = ∑Fizi Z i + ∑F iyi Yi ,
HА
HВ=4,883 кН Z
О
VА
8
Zq2=+10 м
ZВ=+12 м
VB
где N ik – значения нормальных сил с учетом из
знака; lik – длина участка с
Рис. 7.13. К проверке результатов с использованием теоремы о вириале внешних сил
постоянным
значением
N ik; Fizi, F iyi – проекции
внешних сил на принятые оси координат (с их знаком!); Zi, Yi – координаты точек приложения внешних сил (в том числе и опорных реакций!), которые берутся со своими знаками как обычно.
45
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
В данном примере имеем:
∑Niklik = –43,334 ∙ 6 – 28,889 ∙ 8 – 26,562 ∙ 7,211 = –682,654 кНм.
Вириал внешних сил V F = ∑Fizi Zi + ∑Fiyi Yi = VA YA + H A Z A + F1 Z1 +
+ Rq1 Yq1 + F2 Y2 + Rq2Y Yq2 + Rq2Z Zq2 + HB ZB, где координаты точек приложения сил VA, HA, F1 равны нулю.
Поэтому V F = –40 ∙ 6 – 16 ∙ 6 – 28,844 ∙ 0,5547 ∙ 3 – 28,844 ∙ 0,8320 ∙ 10 –
– 4,883 ∙ 12 = –682,577кНм.
 682,654 
Расхождение составляет δ = 
−1 100 % = 0,01 %.
 682,577 
Итак, проверка выполняется, расчет верен.
Укажем иной прием построения эпюр Q и N в рамах с прямолинейными стержнями. Как известно из курса сопротивления материалов, между изгибающими моментами и поперечными силами при поперечном
изгибе прямых стержней справедлива следующая дифференциальная
зависимость:
dMZ
,
QZ =
dz
которая для любого участка при его загружении равномерно распределенной (погонной) нагрузкой q = const и концевыми моментами может
быть представлена в виде:
q l уч Mправ − Mлев
Q лев = ±
+
,
2
l
уч
прав
где q – интенсивность погонной нагрузки; l уч – длина участка; Mправ , Mлев –
значения (с учетом знака!) изгибающих моментов на правом (левом) концах
данного участка, а Q лев , Qправ – значения поперечных сил в концевых его
сечениях. Для правильного использования последней формулы рекомендуется рассматривать участок так, чтобы погонная нагрузка была направлена к Вам (рис. 7.14). Тогда ордината Qлев (Qправ) вычисляется с удержанием перед первым слагаемым знака плюс
q
(минус). Если распределенная нагрузка
будет направлена от Вас, то знаки "±" пеlyr
ред первым слагаемым в формуле следуMправ<0
ет изменить на обратные.
Если концевые ординаты эпюры
Mлев>0
изгибающих моментов отложены к Вам
(от Вас), то им приписываем знак плюс
(минус).
Если на рассматриваемом участке
Рис. 7.14. К расчету концевых
q = 0, то последняя формула приобретаординат эпюры Q
ет вид
46
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Q лев =
Mправ − Mлев
l уч
прав
= const.
Например, на участке II (см. рис. 7.12, а) имеем q = 0, lуч = 2 м, Мправ =
= –93,334 кНм, Млев = –35,556 кНм, так что
Q лев = Q прав =
− 93,334 − ( −35,556)
= –28,889 кН.
2
На участке III, где q = 10 кН/м, lуч = 4м, Мправ = 0, Млев = –93,334 кНм:
Q лев = ±
прав
10 ⋅ 4 0 − ( −93,334)
+
= ±20 + 23,334 .
2
4
Отсюда Qлев = 20 + 23,334 = 43,334 кН, Qправ = –20 + 23,334 = 3,334 кН.
После построения эпюры поперечных сил Q открывается возможность построения эпюры нормальных сил N способом вырезания узлов
рамы и рассмотрения их равновесия под действием известных поперечных сил в проведенных сечениях, искомых продольных сил в тех же сечениях и с обязательным учетом внешних сосредоточенных сил F, приложенных непосредственно к вырезанному узлу, если таковые имеются.
Вся система внутренних и внешних сил (т. е. Q, N, F), действующих на
узел, рассматривается как плоская система сил, сходящихся в одной
точке (в центре узла). Условия равновесия данного узла в таком случае
выражаются двумя уравнениями статики:
∑X = 0 и ∑Y = 0,
так что если в узле сходится более двух стержней, то неизвестных (искомых) продольных сил должно быть не более двух. Поэтому расчет
продольных сил N в раме следует начинать с вырезания узлов, которые
объединяют два стержня.
Для примера рассмотрим узел 2 рамы (рис. 7.15).
ось x
ось y
N1-2
2
(90-α)
sinα =0,8320
Q=12,666 кН
Q=17,109 кН
N2-B
α
cosα =0,5547
Рис. 7.15. К определению продольных сил в узле 2
47
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Составим уравнения равновесия:
∑Y = 0 или –N2-В sin α – 17,109 cos α – 12,666 = 0,
откуда
откуда
N2В =
1
(17,109 · 0,5547 + 12,666) = –26,630 кН.
0,8320
∑X = 0 или N1-2 sin α – 12,666 cos α – 17,109 = 0,
1
N1-2 = –
(12,666 · 0,5547 + 17,109) = –29,008 кН.
0,8320
Расхождение полученных здесь результатов с предыдущими не превосходит 0,4 %, что вполне приемлемо.
8. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
8.1. Формула Мора и приёмы её использования
Перемещения упругих систем определяют в основном по трем причинам: для проверки условий жесткости конструкции, сопоставления
теоретических и фактических перемещений и для расчета статически
неопределимых систем (рис. 8.1).
Среди многих методов нахождения
∆iP (∆i0)
перемещений стержневых систем наибоi
i
лее часто используют метод, предложенный О. Мором1. В этом методе исследуемую систему рассматривают в двух состояниях (рис. 8.2).
Одно из них называется грузовым или
действительным. В этом состоянии к
системе приложены заданные воздействия (внешняя нагрузка, перемещения
опор, изменение температурного режиРис. 8.1. Деформированная
ма). Внутренние усилия, возникающие в
схема рамы и перемещение
по i-му направлению
стержнях системы от внешней нагрузки,
помечаются индексом «Р» или «0»: изгибающие моменты MP , продольные силы NP , поперечные силы QP (или
соответственно M0 , N0 , Q0 ).
1
Отто Мор (Otto Mohr, 1835–1918) – немецкий инженер, ученый-механик, педагог. Опубликовал в 1874 г. формулу для определения перемещений в стержневых
системах, предложил в 1882 г. удобное графическое изображение напряженного состояния и на его основе разработал в 1900 г. критерий пластичности и разрушения.
48
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
б
а
в
г
Р=1
В
С
Р=1
В
MP ,NP,QP
С
M1, N1, Q1
М=1
В
M2, N2 , Q2
M3 , N3 , Q3
Рис. 8.2. Состояния рамы: а – грузовое состояние; б – 1-е вспомогательное
состояние для нахождения горизонтального перемещения узла В; в – 2-е
вспомогательное состояние для нахождения вертикального перемещения сечения С; г – 3-е вспомогательное состояние для нахождения угла поворота
узла В
Другое состояние системы называется вспомогательным, или фиктивным или единичным. В этом состоянии к системе прикладывают единичное воздействие по направлению искомого перемещения. Для нахождения горизонтального перемещения точки к этой точке прикладывают горизонтальную силу, равную единице; для нахождения вертикального перемещения точки к этой точке прикладывают вертикальную силу, равную
единице; для нахождения угла поворота узла или поперечного сечения к
узлу (сечению) прикладывают момент, равный единице (рис. 8.2, г).
Внутренние усилия, возникающие в стержнях системы от единичной
нагрузки Pi = 1, приложенной по i-му направлению, помечают индексом i
и чертой сверху: изгибающие моменты Мi , продольные силы Ni , поперечные силы Qi .
Искомое перемещение определяют по формуле
n
∆ iP = ∑ ∫
k =1 l
MiMP dz n NiNP dz n µQi QP dz
+∑∫
+∑∫
,
EIk
GA k
k =1 l EA k
k =1 l
(8.1)
где Е – модуль упругости материала при растяжении (сжатии); G – модуль
упругости материала при сдвиге; Ik – осевой момент инерции площади поперечного сечения; A k – площадь поперечного сечения; µ – коэффициент
формы поперечного сечения; k = 1 ... n – номер стержня; l – длина стержня.
Интегралы формулы (8.1) вычисляют по длине каждого стержня, а
затем их значения суммируют по всем стержням системы. В некоторых
случаях интеграл по длине стержня получают как сумму интегралов на
участках этого стержня.
Если найденное перемещение оказывается положительным, то его
направление совпадает с направлением единичного воздействия во
вспомогательном состоянии, если перемещение будет отрицательным,
49
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
то его направление противоположно направлению единичного воздействия во вспомогательном состоянии.
Интегралы формулы (8.1) называют интегралами Мора и записывают в виде
SiSP dz
∫ B ,
l
где B (B = EI; EA ; GA / µ ) – жесткость поперечного сечения стержня;
Вариант 3
Вариант 2
Вариант 1
Si ( Si = Мi; Ni ; Qi ) – усилие вспомогательного состояния;
SP (SP = MP ; NP ; QP ) – усилие грузового состояния.
Пусть в пределах участка
В = const
стержня длиной l жесткость В постоянна (рис. 8.3). На этом участке
I
построены грузовая эпюра SP и
C
Эп.SP вспомогательная эпюра Si . Тогда
для практического вычисления интеграла Мора используют следуюyc
Эп.Si
щие три способа.
1. Пусть грузовая эпюра одного
знака имеет произвольное очертаa
ние. Площадь этой эпюры – Ω.
b Эп.S
P Вспомогательная эпюра
изображается прямой линией в пределах
d Эп.S всего участка. Ординату вспомогаi тельной эпюры, которая может
c
быть и двухзначной, расположенf
ную под точкой С – центром тяжеb
сти грузовой эпюры, обозначим y C
a
Эп.SP (вариант 1 на рис. 8.3). Тогда
e
d
c
Эп.Si
l/2
l/2
∫
l
SiSP dz Ω y C
=
.
B
B
(8.2)
Если точка С и ордината y C
расположены по одну сторону от
оси стержня, то интеграл принимает положительное значение, иначе – отрицательное значение. Этот прием
вычисления интеграла Мора называется способом Верещагина2.
Рис. 8.3. Эпюры грузового и вспомогательного состояний на участке стержня
2
Верещагин Андрей Константинович (1896–1959) родился в семье врача. В гражданскую войну был политработником. В 1924–25 гг., будучи студентом Московского
института инженеров железнодорожного транспорта (МИИТа), опубликовал первые
научные работы, в которых предложил прием вычисления интеграла Мора. Из МИИТа
50
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2. Обе эпюры изображаются прямыми линиями (вариант 2 на рис. 8.3).
Известны ординаты эпюр по концам участка. Применяя способ Верещагина, после преобразований получим следующее выражение, называемое формулой трапеций
∫
l
SiSP dz
l
=
(2ac + 2bd + ad + bc ) .
B
6B
(8.3)
Если две перемножаемые ординаты эпюр отложены по одну и ту же
сторону от оси стержня, то их произведение считается положительным,
если по разные стороны, то отрицательным. В частных случаях эпюры
могут иметь вид прямоугольников или треугольников.
3. Грузовая эпюра изображается кривой, а вспомогательная эпюра –
прямолинейная (вариант 3 на рис. 8.3). Используя формулу Симпсона
для приближенного вычисления интеграла при разделении длины участка на две части, получим следующее выражение, называемое универсальной формулой
l
SiSP dz
(8.4)
∫ B = 6B (ac + 4fe + bd) .
l
Как в формуле трапеций, если две перемножаемые ординаты эпюр отложены по одну и ту же сторону от оси стержня, то их произведение считается положительным, если по разные стороны, то – отрицательным. Универсальную формулу можно использовать и для случая прямолинейной
грузовой эпюры. Если подынтегральное выражение представлено уравнением не выше третьей степени, то решение интеграла получается точным.
Вычисление интеграла Мора указанными способами называют перемножением эпюр и записывают так
∫
l
SiSP dz
=" Si × SP "
B
или
( Si ) × (SP ) .
(8.5)
Пример 8.1. Определить угол поворота φК и вертикальное перемещение Δ Квер узла К рамы (рис. 8.4).
Эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки показана на
рис. 8.4, б. Для определения угла поворота узла К назначаем первое
вспомогательное состояние, нагружая раму в узле К моментом m = 1.
Эпюра изгибающих моментов для этого состояния показана на рис. 8.4, в.
Для определения вертикального перемещения узла К назначаем второе
вспомогательное состояние, нагружая раму в узле К вертикальной силой
перешел на физико-математический факультет МГУ, который окончил в 1930 г.
В дальнейшем стал крупным специалистом в минной электротехнике. Во время Великой Отечественной войны активно участвовал в обороне Одессы и Севастополя.
51
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
F = 1. Эпюра изгибающих моментов для этого состояния показана на
рис. 8.4, г. Для перемножения эпюр разделяем раму на три участка.
б
а
210
20кН/м
2EI
3м
3м
EI
30кН
Участок 1
Участок 3
4EI
2м
с•
30
60
37,5
Эп.МР (кНм)
K
Участок 2
1
1
в
3
г
6
Эп.М1 (-)
K
m=1
1,5
Эп.М2 (м)
K
F=1
Рис. 8.4. Заданная рама и эпюры изгибающих моментов
Вычисляя φК перемножением эпюр M1 и MP , на первом и третьем
участках применим способ Верещагина, так как ординаты эпюры M1 во
всех сечениях рамы равны единице, а площади эпюры MP легко подсчитать. На втором участке ввиду криволинейности эпюры MP используем
универсальную формулу
M1MP dz
0,5 ( 210 + 30) 3 ⋅ 1
= ( M1 ) × (MP ) =
+
EIk
4EI
k =1 l
3
0,5 ⋅ 60 ⋅ 2 ⋅ 1
15
+
(1 ⋅ 30 − 4 ⋅ 1 ⋅ 37,5 − 1 ⋅ 60) −
=−
(рад).
6 ⋅ 2EI
EI
EI
3
ϕK = ∑ ∫
Поскольку ответ отрицательный, узел К поворачивается в направлении, противоположном направлению момента m = 1 (рис. 8.4, в), т.е.
против хода часовой стрелки.
Вычисляя Δ Квер перемножением эпюр M2 и MP , на первом участке
применим формулу трапеций, на втором – универсальную формулу
(ввиду отсутствия эпюры M2 на третьем участке, этот участок не рассматриваем)
2
M M dz
3
вер
∆K
== ∑ ∫ 2 P
= ( M2 ) × (MP ) =
( −2 ⋅ 6 ⋅ 210 −
EIk
6 ⋅ 4EI
k =1 l
3
405
− 2 ⋅ 3 ⋅ 30 − 6 ⋅ 30 − 3 ⋅ 210) +
( −3 ⋅ 30 + 4 ⋅ 1,5 ⋅ 37,5 + 0) = −
.
6 ⋅ 2EI
EI
52
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Отрицательный ответ указывает, что узел К перемещается в сторону,
противоположную направлению силы F = 1 (рис. 8.4, г), т. е. вниз.
Пример 8.2. Определить вертикальное перемещение узла 5 фермы.
Жесткости стержней 2-4, 4-5, 1-4, 3-4 имеют величину EA, а стержней
1-2, 1-3 и 3-5 – величину 2ЕА.
Поскольку в стержнях фермы возниy
а
2
кают только продольные силы, постоянные вдоль стержней, то формула Мора
40 кН
(8.1) получает вид:
3м
n
Ni NP li
,
i =1 EA i
40 кН
1
∆ iP = ∑
4
3
5
x
40 кН
20 кН
20 кН
где суммирование выполняется по всем
2м
2м
n = 7 стержням фермы.
Вычисления удобно проводить в таб- б
y
личной форме. Усилия в стержнях фермы
1,333
от заданных внешних нагрузок определены
2
4
способами, изложенными в подразд. 6.2, и
1
записаны в столбец 4 табл. 8.1. Во вспомогательном состоянии к узлу 5 фермы
5 x
1
3
приложена вертикальная сила F = 1
1,333
F=1
(рис. 8.5, б). Усилия от этого нагружения
помещены в столбец 6 табл. 8.1. Для контроля усилий использована теорема о ви- Рис. 8.5. Ферма в грузовом (а) и
вспомогательном (б) состояниях
риале внешних сил (см. подразд. 6.1).
Таблица 8.1
Усилия в стержнях фермы
Стержни
1
1–3
3–5
2–4
4–5
1–2
1–4
3–4
l, м
2
2
2
2,5
2,5
3
2,5
1,5
Жесткости NP, кН
3
4
2ЕА
–26,67
2ЕА
–26,67
ЕА
50
ЕА
33,33
2ЕА
–30
ЕА
–16,67
ЕА
20
NPl
5
–53,33
–53,33
125
83,33
–90
–41,68
30
∑1=0
N1
6
–1,333
–1,333
1,667
1,667
–1
0
0
N1l
N1 NPl/EA
7
8
–2,667
35,56/ЕА
–2,667
35,56/ЕА
4,168
208,4/ЕА
4,168
138,9/ЕА
–3
45/ЕА
0
0
0
0
∑2=0 Δ5=463,42/ЕА
С этой целью вычислены произведения NPl и N1l для всех стержней
фермы, которые записаны в столбцы 5 и 7 табл. 8.1 соответственно.
Сумма чисел пятого столбца равна нулю, что совпадает с вириалом
внешних сил грузового состояния, так как все горизонтальные силы прило53
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
жены в точках с координатами Х = 0, а вертикальные силы приложены в
точках с координатами Y = 0. Сумма чисел седьмого столбца равна нулю,
что совпадает с вириалом внешних сил вспомогательного состояния, так
как все горизонтальные силы приложены в точках с координатами Х = 0, а
вертикальные силы приложены в точках с координатами Y = 0.
Сумма чисел восьмого столбца таблицы равна искомому перемещению пятого узла фермы. Поскольку ∆5 > 0, направление перемещения
совпадает с направлением силы F = 1 (рис. 8.5, б).
8.2. Матричная форма определения перемещений
В = const
l
a
b
Эп.SP
d Эп.S
i
c
f
b
a
Эп.SP
e
d
c
Эп.Si
l/2
l/2
Рис. 8.6. Эпюры грузового и вспомогательного состояний на участке стержня
Вычисление интеграла Мора на
участке стержня (рис. 8.6) по формуле трапеций
SiSP dz
l
∫ B = 6B (2ac + 2bd + ad + bc ) и
l
универсальной формуле
l
SiSP dz
=
(ac + 4ef + bd) можно
∫
B
6B
l
представить как результат перемноS S dz
жения трёх матриц: ∫ i P
=
B
l
= S TGSP .
В случае прямолинейной Эп. S P :
c 
a
S =  ; SP =  ;
d
b
l 2 1
(8.6)
G=
.
6El  1 2
Если Эп. SP криволинейная, то
с 
a


S = e ; SP =  f ;
 
 
d
b
 1 0 0
l 
G=
0 4 0.


6EI
0 0 1
(8.7)
Матрицы G называются матрицами податливости участка стержня,
их вид зависит от числа ординат эпюр на участке (рис. 8.6). В матрицу
S записывают ординаты Эп. Si , в матрицу SP – ординаты Эп. S P .
Для определения перемещения ∆ iP стержневой системы в матричной
форме необходимо выполнить следующие действия.
54
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1. Построить эпюру внутренних усилий в грузовом состоянии (от
внешних нагрузок) Эп. S P .
2. Построить эпюру внутренних усилий во вспомогательном состоянии (от единичного воздействия) Эп. Si .
3. Разделить систему на участки. Границами участков являются узлы
системы, точки приложения сосредоточенных сил и моментов, начало и
конец распределенной нагрузки, поперечные сечения, в которых скачком
меняется жесткость сечения.
4. На каждом участке указать расчетные сечения: если на участке
эпюры Эп. Si и Эп. S P прямолинейные, то указывают два сечения – по
концам участка; если на участке Эп. SP криволинейная, то указывают
три сечения – по концам и в середине участка. Общее число расчетных
сечений – µ.
5. Число расчетных сечений можно сократить двумя способами:
• если в расчетном сечении на Эп. Si и Эп. S P усилие равно нулю, то
это сечение можно вычеркнуть;
• если в двух соседних расчетных сечениях смежных участков ординаты на каждой эпюре одинаковые, то эти сечения можно объединить в
одно.
6. Указать знаки для ординат Эп. Si и Эп. SP .
7. Составить матрицу-столбец S размером µ×1 из ординат Эп. Si .
8. Составить матрицу-столбец SP размером µ×1 из ординат Эп. S P .
9. Составить для каждого i-го участка стандартный блок матрицы податливости Gi вида (8.6) или (8.7). Если на участке было вычеркнуто
расчетное сечение, то из блока Gi этого участка нужно вычеркнуть соответствующие этому сечению строку и столбец.
10. Составить матрицу податливости G всей системы размером µ×µ
по схеме:
G1

β1G1





G2
β 2 G2
l0 


,
G=
=
(8.8)

 6B0 

O
O




Gn 
βnGn 


где l0 – некоторый произвольный размер длины; B0 – некоторая произB l
вольная жесткость; β i = 0 i .
B i l0
Если объединялись два сечения соседних участков, то блоки матриц
податливости этих участков накладываются друг на друга угловыми
элементами, а числа, попадающие в одну позицию (клетку, ячейку),
55
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
суммируются (рис. 8.7).
Объединенное
сечение
Участок i
2βi
βi
βi
2 βi +2 βi+1
βi+1
βi+1
2βi+1
Участок i+1
Рис. 8.7. Сложение матриц податливости двух
участков при объединении соседних сечений
11. Вычислить искомое перемещение ∆ iP = S T GSP .
Если необходимо вычислить m перемещений от f нагружений, то
матрица S получается прямоугольной, размером µ×m и заполняется по
столбцам (рис. 8.8). В i-й столбец (i = 1…m) записывают ординаты Эп. Si ,
вычисленные в расчетных сечениях. Матрица SP так же получается
прямоугольной размером µ×f и заполняется по столбцам. В i-й столбец
(i = 1…f) записывают ординаты Эп. SPi , вычисленные в расчетных сечениях. Матрица податливости системы G размером μ×μ не зависит от
значений m и f и составляется по формуле (8.8).
m столбцов
f столбцов
f столбцов
S=
Эп.S1
Эп.S2 Эп.Sm
µ строк
µ строк
SP=
Δ=
m строк
Эп.SP1
Эп.SP2 Эп.SPf
Рис. 8.8. Структура матриц в формуле (8.9)
Матрицу искомых перемещений Δ следует находить так
Δ = S T GSP .
(8.9)
Каждая строка матрицы Δ соответствует одному перемещению, вызванному различными загружениями (в порядке записи столбцов матрицы
SP). Каждый столбец матрицы Δ содержит значения всех искомых перемещений (в порядке записи столбцов матрицы S ) от одного загружения.
Пример 8.3. Определить горизонтальное перемещение узла В и угол
поворота узла А рамы (рис. 8.9) отдельно от распределенной нагрузки q
56
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
и от момента М. Изгибная жесткость ригеля вдвое больше изгибной жесткости стойки.
Строим эпюры изгибающих моментов от каждой внешней нагрузки
(рис. 8.9, б и 8.9, в). Для нахождения горизонтального перемещения
узла В прикладываем к этому узлу горизонтальную силу F = 1 и строим
эпюру изгибающих моментов Эп. М1 (рис. 8.9, г). Для нахождения углового перемещения узла А нагружаем раму единичным моментом, приложенным к основанию стойки (чуть выше опорного шарнира А) и строим эпюру изгибающих моментов Эп. М2 (рис. 8.9, д).
Разделяем раму на три участка, номера которых показаны на рис. 8.9, е
в скобках. На участке 1 намечаем три сечения, на остальных участках по
два сечения. Сечения на границе первого и второго участков объединяем, так как на каждой из четырех эпюр изгибающих моментов ординаты
в этих сечениях совпадают. На границе второго и третьего участков сечения объединить нельзя, так как на Эп. МР 2 ординаты разные. Сечение
на правом конце третьего участка отбрасываем, поскольку на всех эпюрах изгибающих моментов ординаты в этом сечении равны нулю. Все
сечения пронумеровываем от 1 до 5 (рис. 8.9, е).
а
б
М=24 кНм
q=12 кН/м
B
2EI
4м
в
16 кН
96
М=24 кНм
32
72
EI
A
2м
4м
д
г
F=1
16
Эп. МР1(кНм)
q=12 кН/м
48 кН
16 кН
е
1.333 B
4
Эп. М1(м)
1
(2)
3
4/6
Эп. М2(1)
1
(1)
2
(3)
4 5
µ=5
1
m=1
4/6
Эп. МР2 (кНм)
4 кН
1/6
1
8 4 кН
1/6
Рис. 8.9. Заданная рама (а); грузовые эпюры изгибающих моментов (б, в); вспомогательные эпюры изгибающих моментов (г, д); номера участков, сечений,
принятые знаки изгибающих моментов (е)
Принимаем ординаты эпюр, отложенные внутрь контура рамы, положительными, а ординаты, отложенные снаружи контура рамы – отрицательными.
57
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Ординаты грузовых эпюр Эп. МР1 и Эп. МР 2 записываем в первый и
второй столбцы матрицы SP, а ординаты вспомогательных эпюр Эп. М1
и Эп. М2 в первый и второй столбцы матрицы S
1
0 0 
72 0  2


SP = 96 0  3 ;
32 16  4
32 − 8
5
0
2

S = 4
1,333
1,333
1

− 1  2
− 1  3.
− 0,333 4
− 0,333 5
−1
Справа от матриц указаны номера строк, совпадающие с номерами
расчетных сечений на рис. 8.9, e.
Матрицы податливости участков:
1

4 
4 2 1
4  1 0,5
G1 =
4 ; G2 =
;
=

6EI 
6 ⋅ 2EI  1 2 6EI 0,5 1 

1
G3 =
2 2 1
4  0,5 0,25
4
=
⇒
[0,5].




6 ⋅ 2EI 1 2 6EI 0,25 0,5 
6EI
Так как последнее сечение на третьем участке отброшено, из матрицы податливости G3 вычеркиваем вторую строку и второй столбец.
Составляем матрицу податливости рамы:
1
1
G=
4
6EI
4
=
1+1 0,5
0,5 1
4
6EI
4
2
0,5
0,5 1
0,5
0,5
Вычисление матрицы перемещений Δ выполняем по формуле (8.9)
Δ = S T GSP =
4  1536 48  1  1024 32  ∆гор
= 
= q



6EI − 528 − 12 EI − 352 − 8  ϕq
58
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∆гор
M
.
ϕM 
Горизонтальные перемещения узла В от обоих нагружений направлены вправо, углы поворотов узла А от обоих нагружений происходят по
ходу часовой стрелки.
8.3. Перемещения, вызванные перемещениями опор системы
Опоры конструкции по разным причинам могут получить линейные и
угловые смещения. Статически определимая система при этом перемещается как жесткое тело, без деформаций отдельных элементов.
Пусть некоторая опорная связь сместилась на величину ∆. Необходимо определить перемещение ∆ k∆ некоторой точки k системы по заданному направлению. Для решения задачи назначаем вспомогательное состояние, нагружая заданную систему единичной силой, приложенной к точке k по направлению искомого перемещения (если определяем
угол поворота узла, то в точке k прикладываем единичный момент). Определяем опорную реакцию Rk , возникающую в той связи, которая получила смещение. Искомое перемещение вычисляем по формуле
∆ k∆ = −Rk ⋅ ∆ .
(8.10)
Реакция Rk считается положительной, если её направление совпадает с направлением смещения опоры.
Положительный результат, полученный по формуле (8.10), указывает
на то, что направление ∆ k∆ совпадает с направлением единичной силы
(момента) во вспомогательном состоянии.
Если заданы одновременно m смещений опорных связей, то перемещение точки k можно найти по формуле
m
∆k∆ = −∑ Rik ⋅ ∆i ,
(8.11)
i =1
где Rik – реакция в i-й смещающейся связи от единичной силы (момента),
приложенной в точке k по заданному направлению во вспомогательном состоянии; ∆ i – заданная величина перемещения i-й смещающейся опоры.
Пример 8.4. Записать выражение для определения вертикального
перемещения точки К от смещений опоры А (рис. 8.10, а).
K
YK∆
а
б
F=1
K1
L
A
ya
Ma=1 L
Ha=0
xa
ϕa
Va=1
A1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
59
Рис. 8.10. Действительное (а) и вспомогательное (б) состояния рамы
Назначаем вспомогательное состояние рамы (рис. 8.10, б) и применяем формулу (8.11):
YK∆= –(Va ya + H a xa + Ma ϕa) = –ya – L ϕa.
Точка К перемещается вниз, противоположно направлению силы F = 1.
Пример 8.5. Для рамы (рис. 8.11) определить вертикальное перемещение Δ2 узла 2 и угол поворота оси рамы φ4 в узле 4 от осадки опоры в
узле 1 на величину ∆1 = 0,01 м.
Определяем вначале вертикальное перемещение узла 2. Для этого
рассматриваем два состояния рамы: действительное (рис. 8.11, а) и
первое вспомогательное – для определения Δ2 (рис. 8.11, б).
Вертикальное перемещение узла 2 находим по формуле (8.10)
∆ 2 = −R11 ⋅ ∆1 = −( −1⋅ 0,01 м) = 0,01 м (вниз).
Знак минус внутри круглых скобок поставлен потому, что направления реакции R11 и осадки опоры ∆1 противоположны.
Для нахождения угла поворота φ4 рассматриваем два состояния рамы:
действительное (рис. 8.11, а) и 2-е вспомогательное (рис. 8.11, в).
а
б
3
2
F=1
в
2
6м
∆2
ϕ4
1
∆1=0,01м
4
M=1
R11=1
4
R12=1/4
м
4м
мм
Рис. 8.11. Действительное (а); 1-е вспомогательное (б); 2-е вспомогательное
(в) состояния рамы
Угол поворота оси рамы в узле 4 вычисляем по формуле (8.10)
 1

ϕ4 = −R12 ∆1 = −
0,01м = −0,0025 рад (против хода часовой стрелки).
4м

60
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Реакция R12 положительна, так как она и смещение опоры ∆1 направлены в одну сторону.
8.4. Перемещения, вызванные изменением температуры
Во время строительства и эксплуатации стержневой конструкции
температура окружающей среды может изменяться в широких пределах.
При этом элементы конструкции изменяют свою длину, искривляются, а
отдельные точки сооружения перемещаются. Нахождение температурных перемещений в статически определимой системе, образованной
прямолинейными стержнями постоянных размеров поперечных сечений,
основано на следующих предпосылках:
• известны приращения температур наружных волокон стержней,
причем эти приращения постоянны по длине каждого стержня;
• изменение температуры по толщине стержня (по высоте поперечного сечения) принимается прямолинейным;
• поперечное сечение стержня симметрично относительно главных
центральных осей.
Пусть по отношению к некоторому моменту времени температура наружных волокон стержней рамы изменилась на t1 и t2 °С (рис. 8.12, а).
Для определения температурных перемещений ∆kt и φК назначаем
вспомогательные состояния, нагружая раму единичной сосредоточенной
силой F = 1 или единичным моментом m = 1, приложенными по направлению искомых перемещений (рис. 8.12, б, в).
Для вспомогательного состояния необходимо построить эпюры продольных сил и изгибающих моментов.
а
t1
k φt
t2
k
Fk=1
Δkt
t2
t1
б
в
m=1
h2
h1
k
k
Рис. 8.12. Действительное состояние (а); вспомогательные состояния для определения температурных перемещений по k-му направлению ∆kt (б) и угла поворота φt (в)
Формула Мора для вычисления температурного перемещения получает вид:
∆t
∆t
∆ kt = ∑ αt ср ∫ Nk ds + ∑ α ∫ Mk ds = ∑ αt ср ΩNk + ∑ α Ω Mk ,
(8.12)
h
h
61
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
где α – температурный коэффициент линейного расширения материала;
t +t
t ср = 1 2 – среднее приращение температуры (на оси стержня);
2
∆t = t1 − t 2 – разность приращений температур в крайних волокнах
стержня (перепад температур); ΩNk – площадь эпюры продольных сил во
вспомогательном состоянии; ΩMk – площадь эпюры изгибающих моментов
во вспомогательном состоянии; h – высота поперечного сечения стержня.
Суммирование проводится по всем стержням или участкам системы.
Знак первого произведения αt срΩNk определяется знаками t ср и эпю-
∆t
Ω считается положительным (отриh Mk
цательным), если эпюра Mk , отложенная со стороны растянутого волокна стержня, оказывается на более теплом (холодном) волокне в действительном состоянии.
Пример 8.6. Для рамы (рис. 8.13, а) определить горизонтальное перемещение узла 2 и угол поворота поперечного сечения стойки в узле 4 от
указанного изменения температуры, если α = 125 ⋅ 10–7 град-1 и h = 0,1 м.
Определим величины tср и ∆t для стержней рамы. Для участка 1–2
имеем: tср = (–10 + 15)/2 = 2,5°, ∆t = Ι – 10 – 15 • = 25°. Аналогично находим температурные параметры для других стержней (рис. 8.13, б).
ры Nk . Второе произведение α
в
б
tср = -7,5°
tср = 2,5°
20°
15°
6м
-10°
2
3
1
4
1,5
3
Δt = 45°
1
Δt = 5°
2
4
Эпюра N1
1,5
4м
г
1
F=1
tср = 17,5°
-30°
Δt = 25°
а
1
1,5
6
д
0,25
1,5
е
1
F=1
Эпюра N2
Эпюра M1
Эпюра M2
m=1
m =1
1
1
0,25
1,5
1,5
0,25
0,25
62
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
0,25
0,25
Рис. 8.13. Действительное состояние рамы (а); температурные параметры
стержней (б), эпюры в 1-м вспомогательном состоянии (в, г); эпюры во 2-м вспомогательном состоянии (д, е)
Вычисляем горизонтальное перемещение ∆гор
2t узла 2. Для этого назначаем первое вспомогательное состояние рамы, нагружая её сосредоточенной силой F = 1, приложенной в узле 2, и строим эпюры продольных сил и изгибающих моментов (рис. 8.13, в, г).
По формуле (8.12) вычисляем перемещение
∆гор
Kt = α (1,5 ⋅ 6 ⋅ 2,5 + (− 1) 4 (− 7,5 ) + (− 1,5 ) 6 ⋅ 17,5 ) +
α 6⋅4
6⋅6 
450α
α
+ −
45 +
5  = −105α − 450 = −105α −
= −4605α =
h
2
2 
h
0,1
= −4605 ⋅ 125 ⋅ 10 −7 = −0,0576 м .
Узел 2 перемещается влево.
Определяем угол поворота поперечного сечения ϕ 4 t стойки в узле 4.
Для этого назначаем второе вспомогательное состояние, прикладывая в
узле 4 момент m = 1, и строим эпюры продольных сил и изгибающих
моментов (рис. 8.13, д, е).
По формуле (8.12) находим:
ϕ 4 t = α (0,25 ⋅ 6 ⋅ 2,5 + ( −0,25) 6 ⋅ 17,5) +
= −22,5α − 60
α 1⋅ 4
(
( −45) + 1⋅ 6 ⋅ 5) =
h 2
α
60α
= −22,5α −
= −622,5 α = −622,5 ⋅ 125 ⋅ 10 − 7 =
h
0,1
= −0,00777 рад = −0,445°.
Поперечное сечение стойки в четвертом узле поворачивается против
хода часовой стрелки.
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
9.1. Плоские фермы
Для указанных ниже простых и шпренгельных ферм требуется:
1) исследовать расчетную схему на геометрическую неизменяемость;
2) привести погонную нагрузку интенсивностью q = const к узлам грузового пояса, обозначенного штриховой линией;
3) в соответствии с заданием определить усилия в перечисленных
стержнях от всей совокупности постоянных нагрузок.
63
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Исходные данные для задач принять по табл. 9.1 и рис. 9.1.
64
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа