close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

В инспекцию ФНС России № 5 по Московской области;pdf

код для вставкиСкачать
СБОРНИК. ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ
Ф И ЗИ К И
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
въол
т
С. П. СТРЕЛКОВ, И. А. ЭЛЬЦИН, И. А. ЯКОВЛЕВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ
ФИЗИКИ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
CD
СЯ
(О
МЕХАНИКА,
ЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
го
Министерством высшего образоССР в качестве учебного пособия
дарственных университетов и педа­
гогических институтов
П а в л о д а р с ч и ^ ^ д у ^ .^ н ^ А д
и н с т и т у т
13-5-2
Редакторы Б. А . Богорядский и Е. Б. Кузнецова. Техн. ред. Р. А . Н еграмовская.
Подписано к печати 10/X 1949 г.
19,25 печ. л.
37 488 тип. зн. в печ. л.
А-11802.
Тираж 50 ООО экз.
Переплёт 1 р. Заказ № 5182.
18,37 уч.-изд. л.
Цена книги 6 р. 40 к.
--------------------------------------------------!-------------------- к
4-я тип. им. Евг. Соколовой Главполнгрэфнздэта при Совете Министров СССР>
Ленинград, Измайловский пр., 29.
СОДЕРЖАНИЕ
О т и з д а т е л ь с т в а ........................................... ....
................
5
Г л а в а I. Механика ...........................................................................
7
§ 1. Кинематика...........................................................................
§ 2. Динамика прямолинейного движения материальной
точки и простейших си стем ...........................................
§ 3. Статика................................................... ...........................
§ 4. Работа, мощность, э н е р г и я ....................................... ...
§ 5'. Законы сохранения количества движения и энергии .
§ 6. Динамика движения материальной точки по окруж­
ности ......................................................................................
§ 7. Динамика вращения твёрдого тела. Динамика си­
стемы ...............................
§ 8. Тяготение ...........................................................................
§ 9. Упругие д еф орм ац и и .......................................................
§ 10. К о л е б а н и я ...........................................................................
§ 11. Гидростатика и аэростатика .......................................
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика...................................
§ 13. А к у сти к а.................................................................. ...
7
ЗАДАЧИ
Г л а в а II. Электричество и м а г н е т и з м ...................................
13
26
31
34
38
44
55
57
63
70
73
82
87
§ 14. Электростатика..................................................................
87
§ 15. Законы постоянного т о к а ...............................................102
§ 16. Постоянные магниты ................................116
§ 1 7 . Электромагнетизм.............................................................. 118
§ 18. Электромагнитная индукция...................................
.
131
§ 19. Переменный.т о к .................................................. . .
146
§ 20. Э лектроли з..........................................................................171
§ 21. Термоэлектричество . . . . . . .
. . . . . .. . . 173
§ 2?. Электроника . . .... . . . . ....................................... 173
§ 23. Электромагнитные волны . ........................................... 180
1*
4
СОДЕРЖАНИЕ
О ТВ ЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Г л а в а I. М ехани ка
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
............................................... ............................ 189
1. К ин ем ати ка...............................................................................189
2. Динамика прямолинейного движения материальной
точки и простейших систем ................................................194
3. С т а т и к а .......................................................................................202
4. Работа, мощность, э н е р г и я ..............................................203
5. Законы сохранения количества движения и энергии . 205
6. .Динамика движения материальной точки по о к р . жн о с т н .......................................................................................... 209
7. Динамика вращения твёрдого тела. Динамика си­
стемы ...........................................................................................214
8. Т яго те н и е.................................................................................. 223
9. Упругие д е ф о р м а ц и и ..........................................................226
10. Колебания .............................................................................. 228
11. Гидростатика и аэр о ста ти к а............................................. 233
12. Гидродинамика и аэродинамика ..................................... ..235
13. А к у с т и к а ................................. .................................................238
Г л а в а II. Э л ектр и ч еств о и м а г н е т и з м ..................................... 242
§ 14. Э л е к т р о ста ти к а...................................................................... 242
§ 15. Законы постоянного т о к а ..................................................255
§ 16. Постоянные магниты .......................................................... 261
§ 17. Э лектромагнетизм..................................................................264
§ 18. Электромагнитная и н д у к ц и и ............................................. 269
§ 19. Переменный т о к ..................................................................279
§ 20. Э л е к т р о л и з.............................................................................. 287
§ 21. Терм оэлектричество..................................... ... .................... 288
§ 22. Э л е к т р о н и к а ................................................. ........................ 288
§ 23. Электромагнитные в о л н ы .............................*...................291
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящий сборник содержит задачи, которое в течение
многих лет предлагались студентам физического факультета
Московского ордена Ленина Государственного университета
им. М. В. Ломоносова при изучении общего курса физики *).
Поэтому характер, уровень задач и порядок расположения
материала (механика, электричество, оптика, молекулярная
физика, атомная физика) в основном соответствуют ука­
занному курсу. В сборник включены также задачи, для
решения которых требуются знания, выходящие за рамки
курса общей физики, или знакомство с некоторыми спе­
циальными приёмами. Они снабжены указаниями или по­
дробными решениями. Эти задачи являются дополнением
к курсу и знакомят студентов с некоторыми важными техни­
ческими применениями.
В соответствии с разделением общего курса физики по
годам на физических факультетах университетов сборник
разбит на две части. Первая часть содержит задачи по
механике, электричеству, электромагнитным колебаниям и
волнам (I курс), вторая часть — задачи по оптике, молеку­
лярной и атомной физике (II курс).
Распределение материала между авторами в пределах
каждого из томов может быть указано лишь приблизительно:.
*) Работа по составлению сборника была начата давно по ини­
циативе академика С. И. Вавилова, который в то время руководил
кафедрой общей физики МГУ, однако закончить эту работу удалось
только сейчас.
6
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
раздел «Механика» составлен С. П. Стрелковым и И. А. Яко­
влевым, раздел «Электричество и магнетизм»— С. П. Стрел­
ковым и И. А. Эльциным, «Электромагнитные волны»
(§ 23) — С. Э. Хайкиным, «Оптика» — В. Л. Гинзбургом,
Л. М. Левиным, Д. В. Сивухиным и Е. С. Четвериковой^
«Молекулярная физика» — В. Л. Гинзбургом, Л. М. Левиным
и Д. В. Сивухиным, «Атомная физика» — М. С. Рабино­
вичем.
З А Д А Ч И
Г ЛАВ А I
МЕХАНИКА
§ 1. Кинематика
1. Лодка, идущая через реку на вёслах, движется отно­
сительно воды со скоростью 2 м/сек в направлении, перпен­
дикулярном течению. Течение реки имеет скорость 1 м/сек.
Найти полную скорость v лодки и направление этого вектора
относительно берегов реки.
2. На тележке, равномерно движущейся по горизонталь­
ной плоскости, установлена труба. Как должна быть ориен­
тирована на тележке эта труба, чтобы капли дождя, падаю­
щие вертикально, пролетали через трубу, не задевая её стенок?
Движение капель считать равномерным.
3. Два самолёта одновременно вылетают по двум взаимно
перпендикулярным направлениям. Один со скоростью ‘Р1 =
== 300 км/час, другой со скоростью
= 400 км/час. Как
возрастает со временем расстояние между самолётами? Как
велико это расстояние 5 в момент, когда первый самолёт
пролетел путь S t = 900 км?
4. Два корабля движутся параллельно друг другу в про­
тивоположные стороны со скоростями v 1 и v v С одного из
них стреляют в другой. Под каким углом о к курсу обстре­
ливаемого корабля надо направить орудие, чтобы попасть
в цель, если выстрел производится в момент, когда оба судна
находятся на прямой, перпендикулярной к направлению их
движения? Скорость снаряда v 0 считать постоянной.
5. Между двумя пунктами, расположенными на реке на
расстоянии / . = 100 км один от другого, курсирует катер.
Катер проходит это расстояние по течению за время Ц = 4 часа,
8
МЕХАНИКА
[ГЛ. I
а против течения за время /2= 10 часов. Определить скорость
течения реки v± и скорость катера относительно воды г>2.
6. Рыбак едет на лодке вверх по реке; проезжая под
мостом, он уронил в воду багор. Через полчаса он это обна­
ружил и, повернув назад, догнал багор в 5 км ниже моста.
Какова скорость течения реки, если рыбак, двигаясь вверх и
вниз по реке, грёб одинаково?
7. С одного из двух встречных поездов, имеющего ско­
рость
на платформу другого, имеющего скорость v2, бро­
сают некоторый предмет горизонтально и перпендикулярно
к направлению движения со скоростью z>0 (которую во всё
время движения предмета можно считать постоянной).
1) Какой угол Oj с направлением рельсов образует след
проекции движущегося предмета на полотно? 2) Какой угол сра
с краем платформы, параллельным движению поезда, будет
составлять след проекции движущегося предмета на плат­
форме? 3) Каковы величины скорости предмета относительно
полотна v ' и относительно платформы в"?
8. На листе бумаги начерчен прямой угол. Линейка, оста­
ваясь все время перпендикулярной к биссектрисе этого угла,
движется по бумаге со скоростью 10 см/сек. Концы линейки
пересекают стороны начерченного угла. С какой скоростью
движутся по сторонам угла точки их пересечения с линейкой?
9. Фотограф, находящийся на расстоянии / от железно­
дорожного полотна, хочет сфотографировать поезд, идущий
со скоростью V, в тот момент, когда луч зрения, проведён­
ный от фотографа к поезду, составляет угол а с полотном
дороги. Какую максимальную экспозицию tuaKC может дать
фотограф, если допустимое размытие изображения на фото­
пластинке не должно превышать d, а фокусное расстояние
объектива фотокамеры равно / ?
10. Тело проходит последовательно два одинаковых от­
резка пути S — 10 м, каждый с постоянным ускорением. Найти
ускорение тела а и скорость v0 в начале первого отрезка,
если первый отрезок пройден телом за время t1= 1,06 сек.,
а второй за /а = 2,2 сек.
11. Начертить графики пути и скорости в зависимости
от времени, если графики ускорения имеют вид, представлен­
ный на р».с. 1 (начальная скорость во всех случаях равна
нулю).
9
КИНЕМАТИКА
12. Начертить графики пути и ускорения, если скорость
представлена графиком, изображённым на рис. 2.
13. Какая допустима предельная ско­
I ------------рость v приземления
парашютиста, если че­
ловек может безопасно
О I
прыгать с высот до
м /с£ п '
А= 2 м?
14. Доказать, что
тело, брошенное вер­
тикально вверх с на­
-ОН
О 1
чальной скоростью v0,
ju/ten1
должно возвратиться
на землю с той же
скоростью vQ и что
время подъёма тела
равно времени спуска,
если пренебречь со­
противлением воздуха.
16. Тело, брошен­
ное вертикально вверх,
вернулось на землю
через промежуток вре­
мени f = 10 сек. С ка­
кой начальной ско­
ростью v0 оно было брошено вверх? (Сопротивления воз­
духа в этой и всех следующих задачах этого параграфа
не учитывать.)
тЧг
Л
Л -Л
a ir м/сен
—
Ife
Рие. 2.
16. С вышки одновременно брошены два тела с одина­
ковой начальной скоростью v0: одно вертикально вверх, дру-
10
МЕХАНИКА
[ГЛ. 1
гое вертикально вниз. Как с течением времени будет меняться
расстояние 5 между этими телами?
17. С какой начальной скоростью v0 следует выпустить
ракету под углом 45° к горизонту, чтобы она вспыхнула
в наивысшей точке своей траектории, если время горения
запала ракеты 6 сек.?
18. В какой точке траектории тела, брошенного под
углом к горизонту, его нормальное к траектории ускорение
будет максимальным?
19. Из артиллерийского орудия произведён выстрел под
углом о к горизонту. Величина начальной скорости снаряда v0.
Исследовать аналитически движение снаряда, пренебрегая со­
противлением воздуха и кривизной поверхности Земли. Най­
денные зависимости изобразить графически.
1) Найти вертикальную и горизонтальную компоненты
вектора скорости v и абсолютную величину скорости как
функцию времени;
2) найти время полёта Т снаряда от орудия до падения
на землю;
3) найти зависимость от времени угла а между вектором
скорости снаряда и горизонтом;
4) найти декартовы координаты (ось х — горизонтальное
направление, ось у — вертикальное направление) снаряда как
функции времени;
5) найти траекторию снаряда;
6) найти горизонтальную дальность L полёта снаряда как
функцию его начальной скорости и угла возвышения орудия.
При каком угле возвышения <р* дальность будет максималь­
ной при заданной начальной скорости снаряда?
20. Самолёт летит на высоте h горизонтально по прямой
со скоростью V . Лётчик должен сбросить бомбу в цель, лежа­
щую впереди самолёта. Под каким углом к вертикали он
должен видеть цель в момент выпуска бомбы? Каково в этот
момент расстояние от цели до точки, над которой находится
самолёт ?
21. Из трёх труб, расположенных на земле, с одинако­
вой скоростью бьют струи воды: под углом в 60°, в 45° и
в 30° к горизонту. Найти отношение наибольших высот h
подъёма струй воды, вытекающих из каждой трубы, и отно­
шение дальностей падения L воды на землю.
КИНЕМ А ТИ КА
11
22. Скорость пули можно найти по понижению её траек­
тории Дh на заданном расстоянии AL при горизонтальном
выстреле. Понижение траектории определяется по пробоинам,
сделанным пулей в двух вертикальных, последовательно рас­
положенных на траектории пули
щитах (Л и В на рис. 3). Найти л
скорость пули, считая ДА и ДL
известными.
23. Цель, расположенная на
холме, видна с места расположе­
ния орудия под углом а над гори­
зонтом. Дистанция (расстояние по
горизонтали от орудия до цели)
равна L. Стрельба по цели про­
изводится при угле возвышения р.
Определить скорость снаряда v 0,
попадающего в цель.
24. Из точки, лежащей на
верхнем
конце вертикального
диаметра некоторой окружности,
по желобам, установленным вдоль различных хорд этой окруж­
ности, одновременно начинают скользить без трения грузы.
Показать, что все грузы достигнут окружности также одно­
временно.
25. Материальная точка скользит без трения по произ­
вольной наклонной кривой. Показать, что после того, как
точка опустится на высоту А, скорость её будет такой же,
как и при свободном её падении с той же высоты h.
\Г 26. Тело бросают вертикально вверх со скоростью
v0— 4,9 м!сек. Одновременно с этим с предельной высоты,
которой может достигнуть первое тело, начинает падать вер­
тикально вниз другое тело, тоже с начальной скоростью v0.
Определить время t, по истечении которого тела встретятся,
расстояние Н от земли и скорости
и ©2 обоих тел в мо­
мент их встречи.
27.
С вышки одновременно с одинаковыми скоростями
выбрасываются по всевозможным направлениям шарики. По­
казать, что во всякий момент движения все шарики будут
расположены на сфере, центр которой опускается с ускоре­
нием свободно падающего тела, а радиус равен v^t; v0 — на­
12
МЕХАНИКА
{ГЛ. I
чальная скорость шариков, a t — время, прошедшее с момента
их выброса.
28. Вагонетка должна быть передвинута в кратчайший
срок с одного места на другое, находящееся на расстоянии L.
Она может разгоняться или замедлять своё движение только
с одинаковым постоянным ускорением а, переходя затем или
в равномерное движение или останавливаясь. Какой наиболь­
шей скорости v должна достичь вагонетка, чтобы было вы­
полнено указанное выше требование?
29. Лодка, опустив парус, продолжает двигаться. Во время
этого движения были произведены измерения скорости лодки,
которые показали гиперболическую зависимость скорости от
времени. Показать, что ускорение а лодки было пропорцио­
нально квадрату скорости.
30. Вычертить кривую, которую составят концы векторов
скорости снаряда, выпущенного из орудия, если все векторы,
соответствующие скорости снаряда в каждый момент времени,
построить из одного начала (кривая называется годографом
вектора скорости).
31. Снаряд выпущен горизонтально вперёд со скоростью
из орудия, находящегося на самолёте, летящем горизонтально
со скоростью г'сам- 1) Найти уравнение траектории снаряда
относительно земли; 2) найти аналогичное уравнение отно­
сительно самолёта; 3) какова
траектория самолёта относи­
тельно снаряда?32. Точка движется равно­
мерно по траектории, изобра­
жённой на рис. 4. Траектория
лежит в горизонтальной пло­
скости. В каком месте траек­
тории ускорение точки будет
максимальным?
33. Кинооператор, снимая
Рис. 4.
через телеобъектив поднимаю­
щийся самолёт, вращает свою
камеру вокруг вертикальной оси с угловой скоростью
и
вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью 0)а = ^ .
э
Вращению вокруг какой одной оси эквивалентны эти два дви­
Д ИНАМ ИКА П РЯ М О ЛИ Н ЕЙ Н О ГО
Д В И Ж ЕН И Я
ТО ЧКИ
13
жения камеры? Вращение с какой угловой скоростью вокруг
этой одной оси могло бы заменить указанные два вращения?
34. Луна обращается вокруг Земли с периодом Т — 27 су­
ток. Средний радиус орбиты Луны /? = 4* 10б км. Найти
линейную скорость v движения Луны вокруг Земли и её нор­
мальное ускорение а.
35. Каковы будут графики зависимости абсолютной вели­
чины скорости и ускорения от времени при равномерном
движении по кругу?
36. Горизонтальный диск равномерно вращается с угло­
вой скоростью ш. На расстоянии R от центра диска поста­
влена вертикальная палочка. Найти закон движения тени па­
лочки на экране, если весь прибор освещается горизонтальным
пучком параллельных лучей. По найденному закону движения
построить график зависимости пути, скорости и ускорения
тени от времени.
37. Вращение от мотора автомобиля передаётся ведущим
колёсам через дифференциал — устройство, благодаря кото­
рому каждое из ведущих колёс может вращаться с разной
скоростью. Зачем нужен дифференциал? Почему нельзя оба
ведущих колеса закрепить жёстко на одной оси, которой
передаётся вращение от мотора ?
§ 2 . Динамика ппямолинейного движения материальной
точки и простейших систем
38. В лифте установлены пружинные весы, на которых
подвешено тело массы 1 кг. Что будут показывать весы,
если лифт: 1) движется вверх с ускорением 4,9 м/сек%, на­
правленным вниз; 2) движется вниз с ускорением 4,9 м/сек2,
направленным вверх; 3) движется вниз, ускорение направлено
вниз и равно 1 м/сек2?
39. На гладком горизонтальном столе лежат 6 одинаковых
кубиков с массой m = 1 кг каждый. Постоянная сила F = 1 кг*
действует на первый кубик в направлении, указанном стрел­
кой (рис. 5). Найти результирующую силу / , действующую
на каждый кубик.* Укажите на рисунке стрелками силы,
действующие на соприкасающихся гранях каждых двух куби­
ков. С какой силой
четвёртый кубик'действует на пятый?
14
[гл. 1
МЕХАШ КА
40.
На гладкий горизонтальный стол положена однород­
ная палочка А С массы т и длины I (рис. 6 ). Постоянная
сила F толкает правый конец палочки. С какой силой Fl
Г
2
3
4
5
6
Рис. 5.
4
мысленно выделенный отрезок палочки АВ — -^1 действует
на отрезок ВС той же палочки?
а
в
с
Рис. 6.
41.
На гладкой горизонтальной плоскости находится тело
массы М (рис. 7). Другая масса т подвешена на нити, пере­
кинутой через блок и привязанной к массе М. Найти уско-
й
Рис. 7.
рение груза и натяжение нити. Трением груза о плоскость
и трением в блоке пренебречь. Блок и нить считать весьма
лёгкими.
§ 2]
ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
точки
15
42. Вернёмся к установке, описанной в предыдущей задаче
(рис. 7). 1) Рассечём мысленно горизонтальной плоскостью
на половине высоты тело массы М. С какой силой верхняя
половина тела действует на нижнюю? 2) Рассечём мысленно
тело М на половине длины вертикальной плоскостью (перпен­
дикулярной к плоскости рисунка). С какой силой левая поло­
вина тела действует на правую?
43. На установке, описанной в предыдущей задаче,
к массе m v лежащей на столе, прикреплены одна за другой
М
Рис. 8.
ещё массы т2 и тъ (рис. 8 ). 1) Найти ускорение а системы;
2) найти натяжения Т всех нитей при тех же предположе­
ниях, что и в предшествующей задаче.
44. По наклонной плоскости с углом наклона а скользит
тело. Трение между телом и плоскостью пропорционально
нормальному давлению на плоскость и не зависит от ско­
рости тела. Коэффициент трения k. Найти ускорение груза а.
45. Два одинаковых тела связаны нитью и лежат на
весьма гладком горизонтальном столе, так что нить предста­
вляет прямую линию. Нить может выдержать нагрузку не
более 2 кг*. Какую горизонтальную силу следует приложить
к одному из тел, чтобы нить оборвалась?
46. Изменится ли сила, необходимая для разрыва нити
(см. условия предыдущей задачи), если между телами и сто­
лом есть трение?
16
МЕХАНИКА
[Г Л . I
47. Две пластинки с массами т1 и /яа соединены пружи­
ной (рис. 9). С какой силой нужно надавить на верхнюю
пластинку, чтобы после прекращения действия силы верхняя
пластинка, подпрыгнув, приподняла и
нижнюю ? Массой пружинки пренебречь.
48. Доска лежит на двух опорах.
На доске покоится тело. Какие силы
действуют на доску? Где соответствую­
щие друг другу по третьему закону
Ньютона силы «действия» и «противоfflffi//////////s ’ действия»? Весом доски пренебречь.
рис 9_
49. На доске, описанной в преды­
дущей задаче, стоит человек. Внезапно
он приседает. Что произойдёт в первый момент: увеличится
или уменьшится прогиб доски? Что произойдёт, если человек
сидел на корточках и внезапно выпрямился?
50. Лошадь тащит сани равномерно. Рассмотреть взаимо­
действие трёх тел: лошади, саней и поверхности земли.
Начертить векторы сил, действующих на каждое из этих тел
в отдельности, и установить соотношения между ними.
51. Как изменятся соотношения между силами в примере,
разобранном в предыдущей задаче, если лошадь и сани дви­
жутся с ускорением а? Найти величину всех сил, если
а — 20 м/сек2. Масса саней с грузом М = 0,5 /га, лошади
т — 0,35 /га и коэффициент трения саней о снег 0,2.
52. Каков должен быть минимальный коэффициент тре­
ния между шинами ведущих колёс автомобиля и дорогой,
если автомобиль весом в 2т* с грузом в 4/га* получает
ускорение 0,2 м/сек2?
Рассмотреть задачу для двух случаев: 1) все колёса веду­
щие, 2) только задние ведущие; считать, что центр тяжести
автомобиля лежит посредине между осями, а центр тяжести
груза — над задней осью.
53. На горизонтальной доске лежит груз. Коэффициент
трения между доской и грузом 0,1. Какое ускорение в го­
ризонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы
груз мог с неё соскользнуть?
54. На столе лежит доска массы М = 1 дгг, а на доске—
груз весом 2 кг*. Какую силу F нужно приложить к доске,чтобы доска выскользнула из-под груза? Коэффициент тр«>
ДИНАМ ИКА
П РЯ М О Л И Н ЕЙ Н О ГО
ДВИЖ ЕНИЯ
ТОЧКИ
17
ния между грузом и доской 0,25, а между доской и сто­
лом 0,5.
55.
Маятник массы т подвешен к подставке, укреп­
лённой на тележке (рис. 10). Найти направление нити маят­
ника, т. е. угол а нити с вертикалью и её натяжение Т в сле­
дующих случаях: 1) тележка равномерно движется по гори­
зонтальной плоскости; 2) тележка движется горизонтально
с ускорением а; 3) тележка свободно скатывается с наклон­
ной плоскости, образующей угол ср с горизонтом; 4) тележка
с некоторым ускорением Ь, направленным вдоль наклонной
плоскости, вкатывается на неё; 5) тележка с тем же уско­
рением Ь скатывается с наклонной плоскости.
56. Камень брошен вертикально вверх. В каких точках
траектории камень будет иметь максимальное ускорение?
Рассмотреть два случая: 1) сопротивление воздуха отсут­
ствует; 2) сопротивление воздуха растёт с увеличением ско­
рости камня.
57. Как направлено ускорение артиллерийского снаряда
после вылета из ствола орудия, если сопротивление воздуха
отсутствует? Как изменится это направление при наличии
сопротивления воздуха?
58. В снаряде, выпущенном вертикально вверх, на пру­
жинах укреплён грузик А массы m (рис. 11). Чему будет рав­
няться сила, действующая на грузик со стороны пружинок, при
—и^а<Ушй^ь ^д ш ^£ _ ш д 1!ядд? Рассмотреть вопрос без учёта и
и
движению снаряда,
специя ль ног о обрааования Kas '<-кой ССР
П а й ю & ^ Й Г И Я Р . V :- k льны ,и
н С f
и Т у Т
'
O .Q JT 0 t
18
М ЕХАНИКА
(Г Л .
I
59.
Простейшую машину, служащую для проверки зако­
нов равноускоренного движения, можно схематически пред-
Рис. 11.
Рис. 12.
ставить так: на нити, перекинутой через блок А, подвешены
две неравные массы т 1 и /яа (рис. 12). Найти ускорение
масс, натяжение нити Т и силу / , действующую на ось блока
этой машины. Блок и
нить считать невесо­
мыми, трения в оси
блока не учитывать.
60.
краю весьма
глад­
кой наклонной пло­
скости укреплён блок,
через который переки­
нута нить (рис. 13).
р ИС- Щ
На одном её конце
привязан груз с мас­
сой ти лежащий на наклонной плоскости. На другом конце
висит груз с массой т2. С каким ускорением а движутся
ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
19
грузы и каково натяжение Т нити? Наклонная плоскость
образует с горизонтом угол а.
61.
Найти ускорения
и а 2 масс Мх и М9 и натяже­
ние нити Т в системе, изображённой на рис. 14. Массой
блоков и нитей пренебречь.
Рис. 14.
Рис. 15.
на рис. 15. Найти натяжения нитей Тх и Т2. Массой блоков
и нитей пренебречь, сил трения не учитывать.
63.
На машине, описанной в задаче 59, массы mt и /па
движутся. Через промежуток времени t после начала дви­
жения масса гп1 опустилась на — -ю часть того расстояния,
которое она прошла бы за то же время при свободном па­
дении. Каково отношение масс тх и т а?
64.
Каждый из двух равных грузов на машине, описан­
ной в задаче 59, висящих по обе стороны блока, имеет
массу т — 250 г. На один из грузов положена дополнительно
масса (перегрузок) Ат = 5 г. Определить время t от начала
движения, за которое каждый груз пройдёт путь 5 = 1 м
2*
20
М ЕХАНИКА
[ГЛ. I
и скорость v, которую будут иметь грузы, пройдя это рас­
стояние.
65. Определить по данным предыдущей задачи силу да­
вления перегрузка на основной груз во время движения.
66. Машина, описанная в задаче 59, уравновешена на ве­
сах при заторможенном блоке *') (рис. 16). 1) В какую сторону
нарушится равновесие, если освободить тормоз блока? 2) Как
уравновесить весы при движущихся грузах?
67.
На рис. 17 изображён прибор для демонстрации за­
конов динамики. На коромысле весов укреплены два очень
лёгких блока а и с, один на конце, другой в центре коро­
мысла; через блоки перекинута нить, на концах которой
прикреплены две одинаковые гирьки А и В по 250 г. Сред*
ний блок устроен так, что груз на нити находится под
точкой опоры коромысла. На другом конце коромысла под­
вешена чашка с разновесом.
Пусть весы уравновешены при одинаковых грузах А и В
на нити. Как следует изменить груз на чашке весов для
*) Вследствие этого грузы не движутся.
§ 2]
ДИНАМ ИКА П РЯ М О Л И Н ЕЙ Н О ГО Д В И Ж Е Н И Я
точки
21
того, чтобы восстановить равновесие весов при движущихся
грузах в двух следующих случаях: 1) на гирьку, висящую
на конце коромысла, положен перегрузок в 25 г; 2) на
гирьку под серединой коромысла положен перегрузок в 25 г?
68.
Система, изображённая на рис. 17 (см. предыдущую
задачу), уравновешена при наличии перегрузка в 50 г на
средней гирьке при заторможенном блоке. 1) Что следует
сделать для восстановления равновесия после того, как блок
будет освобождён и грузы начнут двигаться? 2) Ответить
на этот же вопрос, если вначале весы были уравновешены
при заторможённых блоках при наличии перегрузка в 50 г
на крайней гирьке.
69. Через неподвижный блок перекинута верёвка длины /.
На обоих концах верёвки на одной и той же высоте висят
две обезьяны. Обезьяны начинают одновременно подниматься
вверх, причём одна из них поднимается относительно верёв­
ки со скоростью V , а другая со скоростью 2v. Через сколько
времени каждая из обезьян достигнет блока? Массой блока
и верёвки пренебречь, массы обезьян одинаковы.
70. Обезьяна, движущаяся с большей скоростью (см. усло­
вие предыдущей задачи), обладает вдвое большей массой, чем
другая. Которая обезьяна достигнет блока раньше?
71. Определить силу, с которой винтовка действует на
плечо стрелка при выстреле, если считать, что со стороны
винтовки действует постоянная сила и смещает плечо стрелка
на 5 — 1,5 см, а пуля покидает ствол мгновенно. Вес вин­
товки 5 кг, вес пули 10 г и скорость ей при вылете равна
®= 50Q м/сек.
22
МЕХАНИКА
[Г Л .
I
72.
Два шарика падают в воздухе. Шарики (сплошные)
сделаны из одного материала, но диаметр одного из шари­
ков вдвое больше. В каком соотношении будут находиться
скорости шариков при установившемся (равномерном) дви­
жении? Считать, что сила сопротивления воздуха пропор­
циональна площади поперечного сечения движущегося тела
и квадратично зависит от скорости движения тела.
V 73. Стальной шарик радиусом 0,05 мм падает в широ­
ком сосуде, наполненном глицерином. Найти скорость v
установившегося (равномерного) движения шарика. Коэффи­
циент внутреннего трения в глицерине yj = 0,01 г/см -сек,
плотность глицерина йх — 1,26 г/см3, плотность стали da —
= 7,8 г/см8.
74. Как будет изменяться скорость тела, движущегося
вертикально вверх с начальной скоростью v 0, если можно
считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна
скорости тела?
75. Воздушный шар массы М опускается с постоянной
скоростью. Какое количество балласта А/и надо выбросить,
чтобы шар начал подниматься с той же скоростью? Подъ­
ёмную силу Р шара считать постоянной.
76. Из одного облака через т секунд одна за другой
начинают падать две дождевые капли. Как будет изменяться
со временем расстояние между ними?
Решить задачу в двух случаях: 1) полагая, что сопротивле­
ние воздуха отсутствует, 2) полагая, что сопротивление
воздуха пропорционально скорости капель.
77. Лодка под парусом развила скорость v0. 1) Как будет
убывать скорость движения лодки по спокойной воде после
спуска паруса, если сопротивление воды движению лодки
можно считать пропорциональным квадрату скорости? 2) Как
долго будет двигаться лодка? 3) Какой путь она пройдёт до
полной остановки?
78. Парашютист совершает затяжной прыжок. До раскры­
тия парашюта он падает со скоростью 60 м сек, после рас­
крытия приземляется со скоростью 4 м/сек. Подсчитать,
каково было бы максимальное натяжение Т строп парашюта,
если бы он раскрывался мгновенно. Вес парашютиста 80 кг*,
а силу сопротивления парашюта можно считать пропорцио­
нальной квадрату скорости (см. также следующую задачу).
§ 2]
ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
точки
23
79. При затяжном прыжке, рассмотренном в предыдущей
задаче, парашют раскрывается не мгновенно, а постепенно.
При этом натяжение строп Т всё время
вплоть до полного раскрытия парашюта
остаётся примерно постоянным и равным
720 кг. Найти скорость падения v'
к моменту полного раскрытия парашюта
и время 1 , в течение которого парашют
раскрывается.
80. Через лёгкий вращающийся без
трения блок перекинут шнурок.
На
одном конце шнурка привязан груз с
массой //Zj. По другому концу шнурка
КВ/1?
С постоянным относительно шнурка уско­
рением а% скользит кольцо массы /па
(рис. 18). Найти усйорение
массы т1
и силу трения R кольца о шнурок. Магсой шнурка можно пренебречь.
L
81. Обезьяны, о которых шла речь
в задаче 69, начинают подниматься вверх
Рис. 18.
с постоянным ускорением относительно
верёвки, причём одна из них поднимается
с ускорением а, а другая с ускорением 2а.
Через какой промежуток времени каждая
из обезьян достигнет блока?
82. Для иллюстрации различных слу­
чаев зависимости движения тяжёлого маят­
ника от ускорения его точки подвеса
могут служить известные опыты профес­
сора Н. А. Любимова с маятником, под­
вешенным на падающем щитке. Щи­
ток, в верхней части которого укрепле­
на ось вращения маятника, вертикаль­
но падает вниз. Щиток скользит без
трения по направляющим проволокам
(рис. 19).
1) Как будет двигаться относительно
щитка маятник, если отклонуть его от
вертикали, удерживая щиток неподвижным, а затем освободить одновременно и щиток и маятник?
г л
21
МЕХАНИКА
[Г Л . Г
2)
Как будет двигаться маятник относительно щитка, если
сначала заставить его колебаться на неподвижном щитке,
а затем освободить щиток в момент, когда скорость маятника
не равна нулю?
83. Каков будет период малых колебаний математиче­
ского маятника длины /, если маятник колеблется в вагоне,
движущемся в горизонтальном направлении с ускоре­
нием а м/сек*?
84. Каков будет период малых колебаний маятника в лифте,
опускающемся с постоянным ускорением а ? Что будет при
a — g и что будет при a > g t
85. Каков будет период малых колебаний Т простого
(математического) маятника длины /, подвешенного в вагоне,
свободно скатывающемся по наклонному пути с углом на­
клона а?
86. Тяжёлое тело подвешено на пружине к потолку кабины
лифта. Каково будет движение тяжёлого тела относительно
кабины, если внезапно кабина начинает свободно падать под
действием силы тяжести? Трения не учитывать.
87. Найти выражение ускорения и скорости тележки А
под действием постоянной горизонтальной силы f (рис. 20),
й
если на тележке лежит песок, который высыпается че­
рез отверстие в платформе тележки. За 1 сек. высыпается
Am г песка, и в момент времени t = 0 скорость тележ­
ки v была равна нулю, а масса песка и тележки вместе была
равна М.
88.
Верёвка, положенная на доску, пропущена одним кон­
цом в отверстие, просверленное в доске (рис. 21). Найти,
§ 2]
ДИНАМИКА ПРЯМ ОЛИНЕЙНОГО
ДВИЖЕНИЯ
ТОЧКИ
25
с какой скоростью v соскользнёт с доски конец верёвки,
если известна длина всей верёвки I и длина её конца /0,
свешивающегося в момент начала движения. Найти зависимость
от времени длины свисающего с доски отрезка верёвки.
Трения между верёвкой и столом
не учитывать.
89. Три одинаковых шарика / ,
2 и 3 подвешены на пружинах один
под другим так, что расстояния между
Рис. 22.
ними одинаковы (рис. 2 2 ). Следовательно, центр тяжести этой
системы совпадает с ц е н т р о м в т о р о г о ш а р и к а . Если
обрезать нить, удерживающую шарик / , то система начнёт
падать, причём ускорение центра тяжести системы должно
3mg
Сыть
•g (по известному закону: ускорение центра тя­
3т
жести системы тел равно сумме внешних сил, действующих
на систему, делённой на массу всей системы). Но пру­
жина / тянет шарик 2 вверх сильнее, чем пружина II тянет этот
шарик вниз (сила пружины I в начальный момент f l — 2mg,
а сила пружины II в начальный момент / а = m g), следова­
тельно, ш а р и к 2 н а ч и н а е т п а д а т ь с у с к о р е н и е м ,
м е н ь ш и м чем g.
Таким образом, мы пришли как будто к противоречию.
1) Объяснить кажущееся противоречие; 2) найти ускорения
всех шариков в начальный момент; 3) определить начальные
ускорения шариков, если мы перережем не нить, а пружину,
поддерживающую шарик 3.
26
МЕХАНИКА
[Г Л . I
90.
На горизонтальной плоскости лежит клин массы М
(рис. 23). На грань клина кладут тело массы т. Все поверх-
Рис. 23.
ности весьма гладкие. Найти ускорения обоих тел и силы N
и R, с которыми тело давит на клин и клин давит на плоскость.
§ 3. Статика
91.
На горизонтальной плоскости стоит человек веса Р,
который держит на весу с помощью неподвижного блока
груз веса Q (рис. 24). Определить,
с какой силой F человек давит на
плоскость.
92. Фонарь весом Р = = 1 0 кг*
подвешен на канатике над серединой
улицы шириною / = 10 м. Допусти­
мое натяжение канатика Р — 50 кг*.
Какова должна быть высота крепле­
ния концов канатика, если точка
прикрепления фонаря к канатику
должна находиться на высоте Н Щ
= 5 м?
93. Анализируя результат зада­
чи 92, можно прийти к следующему
неожиданному выводу: любой канат
можно разорвать сколь угодно малой
силой. Действительно, представьте
рис 2 4
канат натянутым и закреплённым на
концах; тогда достаточно приложить
к середине каната перпендикулярную к нему небольшую
силу, чтобы создать сколь угодно большое натяжение
27
СТАТИКА
каната. Почему же всё-таки канат нельзя разорвать сколь
угодно малой силой?
94.
Подвес фонаря устроен так, как показано на рис. 25.
Вес фонаря 5 кг. Определить силы, действующие на брусок АВ
и проволоку СВ (размеры ука­
заны на чертеже).
95.
Верёвка привязана к крюч­
ку А и перекинута через блок С
(рис. 26). К верёвке в точке^ D
Рис. 25.
Рис. 26.
прикреплён груз 20 кг*, причём точка D не может смещаться
по верёвке. Какой груз Q следует прикрепить к концу верёвки,
чтобы натяжение верёвки на участке AD было в два раза
больше, чем в остальной её части, и угол A D C = 90°? Опре­
делить силу F, вырывающую блок С.
96. Клин заколачивают в бревно. Каков должен быть
коэффициент трения, чтобы клин не выскакивал из бревна?
Клин имеет при вершине угол 30°.
97. С какой силой / должен человек тянуть верёвку,
чтобы удержать платформу, на которой он стоит (рис. 27),
если вес человека P t == 60 кг*, а вес платформы Р2 = 30 кг* ?
98. Конструкция и размеры крана указаны на рис. 28.
Определить силу натяжения F оттяжки АВ и силу Т, рас­
тягивающую поперечину ВС. когда кран поднимает груз
в 1 /я*. Узлы В, С и D считать шарнирами.
28
МЕХАНИКА
[Г Л . I
99.
Длина коромысла весов 2/ = 30 см, вес коромысл
р к= 300 г*, длина стрелки 0 = 30 см. Перегрузка в р = 0,01 г*
одной из чашек отклоняет конец стрелки от вертикального
положения на расстояние k ===0,3 см.
Определить расстояние d центра тяжеCTfj коромысла от ребра призмы.
Рис. 27.
Рис. 28.
100. Каков должен быть минимальный коэффициент тре­
ния k грани куба о горизонтальную плоскость, чтобы мож­
но было его свалить горизонтальной силой F, приложенной
к верхней грани. Чему должна быть равна приложенная
сила?
101. Определить расстояние d центра массы полуокруж­
ности радиуса R от стягивающего её диаметра.
102. Определить расстояние d центра массы пластины,
имеющей форму полукруга радиуса R, от ограничивающего
её диаметра.
103. Однородная пластина ограничена полуокружностью
радиуса R и равнобедренным треугольником с основанием
и высотой, равными 2R (рис. 29). Определить положение х 0
центра массы фигуры с.
104. Определить положение центра массы пластины,
вырезанной в виде кругового сегмента, дуга которого равна
2а, а радиус равен R.
СТАТИКА
29
105. Пластина вырезана в форме полукруга радиуса R.
Четверо поднимают её. Двое взялись за концы диаметра,
остальные за окружность. На каком расстоянии d от диа­
метра они должны взяться для того, чтобы
каждый поддерживал четверть веса пла­
стины?
106. В вершинах правильного, горизон­
тально расположенного шестиугольника со
стороной а (рис. 30) подвешены грузы,
веса которых равны: Р , 2Р, 3Р, 4Р, 5Р
и 6Р. Определить величину и точку при­
ложения равнодействующей. Координат­
ные оси расположить так, как показано
на чертеже.
107. Однородный сплошной шар веса р,
разрезанный вертикальной плоскостью
пополам и скреплённый нитью по боль­
шому горизонтальному кругу, лежит на
Рис. 29.
столе. Найти натяжение Т нити.
108. Кронштейн, перспективный чертёж которого дан на
рис. 31, состоит из трёх стержней АВ, АС и AD. Концы
стержней В, С и D укреплены с помощью шарниров в стене,
а другие концы сварены вместе в узел А. Стержни А В и АС
30
М ЕХАНИ КА
[Г Л .
[
лежат в горизонтальной плоскости и образуют между собой
угол 2^. Вертикальная плоскость, проходящая через стержень
AD, рассекает угол ВАС пополам. Стержень AD образует
со стеной угол |3. На узел А действует сила F в плоскости
параллельной стене, образующая с вертикалью угол а.
1) Найти силы, развиваемые в стержнях А В , АС и АО;
2) найти условие, при котором в стержне АС не развивается
никаких усилий.
Рис. 32.
Рис. 33.
109. Может ли держаться ящик, висящий на верёвке
у вертикальной стены, так, как указано на рис. 32, в отсут­
ствии сил трения?
110. Куб весом в 1 т* опирается ребром D на в ы с т у п
в вертикальной стене, а за ребро В подвешен канатом АВ
к стене (рис. 33). Канат составляет угол 45° со стеной.
Определить силу F, с которой куб действует на выступ D.
111. Два одинаковых бруска опираются концами на ост­
рые опоры, как указано на рис. 34. Между брусками зажат
цилиндр А, удерживаемый силами трения, а внизу они
связаны верёвкой В, привязанной к костылям, вбитым
в бруски. Определить силу натяжения Т верёвки и давле­
ния F цилиндра на бруски, если известно расстояние h между
РА БО ТА , М О Щ Н О СТЬ, ЭНЕРГИЯ
31
осью цилиндра А и верёвкой, равное 20 см. Длина каж­
дого бруска / = 1,5 м, а вес Р = 220 кг*, вес цилиндра
р — 2 0 кг*.
в
■4
Рис. 34.
112. Два куба спаяны гранями и образуют призму; вес
одного куба 1 кг*, вес другого — 3 кг*. Призма стоит на
шероховатой горизонтальной плоскости (рис. 35). Какую
горизонтальную силу / нужно приложить к верхнему основа­
нию призмы перпендику­
лярно к её ребру, чтобы сва­
лить призму, если: 1 ) призма
стоит так, что тяжёлый куб
находится внизу; 2 ) призма
стоит так, что тяжёлый куб
находится вверху. Ребро
куба равно 1 0 см.
§ 4. Работа, мощность,
энергия
113. Действуя постоян­
ной силой в 2 0 кг, под­
нимают груз весом в 1 0 кг
рис 3 5 ^
на высоту 10 м. Какая
при этом совершается работа? Какой потенциальной энер­
гией будет обладать поднятый груз?
114. Подсчитать работу, которую нужно затратить, чтобы
свалить призму, описанную в задаче 1 1 2 для обоих указан­
ных случаев.
115. Коэффициент трения между телом и наклонной
плоскостью 0,2. На какую высоту поднимается это тело,
скользя по плоскости, если ему будет сообщена скорость
10 м/сек, направленная вверх вдоль плоскости? Какова будет
32
МЕХАНИКА
[Г Л . I
скорость тела, когда оно вернётся в нижнюю точку? Уклон
плоскости 45°.
116.
Показать, что если построить кривую, выражающую
кинетическую энергию материальной точки, как функцию
пройденного пути, то сила, действующая в каждой точке
в направлении пути, будет измеряться наклоном кривой
энергии к оси абсцисс.
V I 17. Из залитого подвала, площадь пола которого равна
50 Ж8' ’требуется выкачать воду на мостовую. Глубина воды
в подвале 1,5 м, а расстояние от уровня воды в подвале
до мостовой 5 м. Найти работу, которую необходимо затра­
тить для откачки воды.
118. В цилиндр сегнерова колеса налито 2 л воды;
высота этого столба воды равна 60 см. Найти энергию U,
запасённую в приборе.
119. Оконная штора весом 1 кг и длиной 2 м свёрты­
вается на тонкий валик наверху окна. Какая при этом
совершается работа? Трением пренебречь.
120. Горный ручей с сечением русла 5 м2 образует водопад
высотой в к м . Скорость течения воды в ручье v м/сек. Найти
мощность ручья W, выразив её в лошадиных силах.
121. Определить среднюю полезную мощность при
выстреле из гладкоствольного ружья, если известно, что пули
массы т вылетает из ствола со скоростью v0, а длина канала
ствола / (давление пороховых газов считать постоянным
во всё время нахождения снаряда в канале ствола).
122. Отвес удерживают вертикально в вагоне, движу­
щемся по горизонтальному пути с постоянным ускорени­
ем, а затем сразу опускают. Найти: 1) выражение потенци­
альной энергии U отвеса, отклонённого от вертикали на
угол а; 2) выражение работы А силы, отклонившей отвес
на угол or; 3) значение максимального угла отклонения отвеса,
«нам в условиях опыта. Показать, что этот угол максималь­
ного отклонения отвеса от вертикали вдвое больше угла,
образуемого с вертикалью направлением установившегося от­
веса в ускоренно движущемся вагоне (см. также задачу 55).
Описать движение отвеса, после того как он был освобождён
из вертикального положения.
123 Отвес в железнодорожном вагоне остаётся в верти­
кальном положении, пока поезд идёт с постоянной скоростью.
.
РА БО Т А ,
М О Щ Н О СТЬ, ЭНЕРГИЯ
33
При торможении поезда отвес начинает качаться, причём его
максимальное отклонение от вертикали составляет 3°. Какой
путь S пройдёт поезд до полной остановки, если считать,
что ускорение всё время остаётся постоянным, а скорость
поезда в момент начала торможения была 47 к м /т с ?
124. На поверхность Земли с очень большого рас­
стояния падает метеорит. С какой скоростью метеорит упал
бы на Землю, если бы атмосфера не тормозила его дви­
жение?
|/* 4 g T > На Землю с очень большого расстояния падает
метеорит массой т = 1 т. Найти кинетическую энергию Т
метеорита на
расстоянии h = 2 0 0 км от поверхности
Земли.
126. Ледокол, ударяясь о льдину с массой М , отбрасы­
вает её, сообщив ей скорость v м/сек. Положим, что давле­
ние ледокола на льдину нарастает равномерно во времени при
сближении ледокола со льдиной и также равномерно убы­
вает, когда они расходятся. Найти при этих условиях макси­
мальную силу давления льдины на борт корабля, если удар
продолжался т сек.
127. Какую мощность W затрачивает лошадь на движение
саней, если она тянет их в гору равномерно со скоростью v?
Вес саней р к г*, трение между санями и поверхностью
горы постоянно, коэффициент трения k. Угол наклона
горы а.
128. Показать (по условиям задачи 77), что работа силы
трения лодки о воду будет равна начальной кинетической
энергии лодки.
129. Определить потенциальную энергию U сжатой пру­
жины как функцию её деформации, считая, что сила дефор­
мации пропорциональна третьей степени величины деформации
с коэффициентом пропорциональности р.
130. Маховик радиуса R делает п оборотов в минуту,
передавая ремнём приводу мощность Р лошадиных сил. Найти
натяжение Т ремня, идущего без скольжения.
131. Для определения мощности двигателя его вал Л сжи­
маю между двух колодок 1 и 2 (рис. 36). Этот зажим
снабжён рычагом, перпендикулярным к валу, на который
подвешивается такой груз, чтобы рычаг сохранял своё
горизонтальное положение, когда двигатель развивает пол3
Зак. 5182. Сборник задач, ч. 1.
34
М ЕХАНИКА
иую мощность, вращаясь в направлении стрелки. Какова
мощность двигателя, если при я оборотах вала в минуту
на расстоянии /? см от оси вала находится груз Р кг*?
132.
Два шкива, находящиеся на одном уровне, соединены
ремнём; первый шкив — ведущий (рис. 37). В каком случае
предельная мощность, которую можно передать ремнём при
Рис. 37.
определённом числе оборотов, будет больше: когда шкивы
вращаются по часовой стрелке или против её хода?
§ б. Законы сохранения количества движения и энергии
П З З \С какой скоростью v после горизонтального выстрела
из винтовки стал двигаться стрелок, стоящий на весьма
гладком льду? Вес стрелка с винтовкой и снаряжением со­
ставляет 70 кг*^ а вес пули 10 г* и её начальная скорость
700 м/сек.
§ 5]
ЗА К О Н Ы
СОХРАНЕНИЯ
КО ЛИЧЕСТВА
ДВИЖ ЕНИЯ
И Э Н Е Р ГИ И
35
134. Из пушки, свободно соскальзывающей по наклонной
плоскости и прошедшей уже путь /, производится выстрел
по горизонтальному направлению. Какова должна быть ско­
рость v снаряда для того, чтобы пушка остановилась после
выстрела (масса пушки М и снаряда от, а также угол наклон­
ной плоскости с горизонтом а известны)?
135. Снаряд разрывается в верхней точке траектории
на высоте А = 19,6 м на две одинаковые части. Через
секунду после взрыва одна часть падает на землю, под тем
местом, где произошёл взрыв. На каком расстоянии S2
от места выстрела упадёт вторая часть снаряда, если пер­
вая упала на расстоянии 5 t = 1 0 0 0 м от места выстрела.
Сил сопротивления воздуха при решении задачи не учи­
тывать.
136. Три лодки одинакового веса Р идут в кильватер
(друг за другом) с одинаковой скоростью v. Из средней
лодки, одновременно в переднюю и заднюю лодки, бросают
со скоростью и относительно средней лодки грузы
весом Р у Каковы скорости лодок после переброски грузов?
. 137. Две лодки идут навстречу параллельным курсом.
Когда лодки находятся друг против друга, с каждой лодки
во встречную перебрасывается мешок весом в 50 кг*,
в результате чего первая лодка останавливается, а вторая
идёт со скоростью 8,5 м/сек в прежнем направлении. Каковы
скорости лодок до обмена мешками, если вес лодок с грузом
равен 500 кг* и 1 от* соответственно?
138. В шар массы от1э движущийся со скоростью г^, уда­
ряется другой шар массы от2, догоняющий первый в том же
направлении со скоростью v v Считая удар вполне неупругим,
найти скорости шаров после удара и их кинетическую энергию.
139. Навстречу друг другу летят два шара с массами тх
и от2. Между шарами происходит неупругий удар. Известно,
что кинетическая энергия одного шара в 2 0 раз больше
кинетической энергии другого. При каких условиях шары
после удара будут двигаться в сторону движения шара, обла­
давшего меньшей энергией?
\140.'>С какой скоростью v должен лететь снаряд с массой
т — 1 0 0 кг, чтобы при ударе о судно с массой /И = 1 0 0 от
последнее получило скорость v y = 0,1 м/сек? (Удар считать
неупругим.)
3*
36
МЕХАНИКА
[ГЛ. I
141. В одном изобретении предлагается на ходу наполнять
платформы поезда углём из соответствующим образом устроен­
ного бункера. Какова должна быть приложенная к платформе
сила тяги, если на неё погружают 1 0 т угля за 2 сек. и
за это время она проходит равномерно 10 м? Трением при
движении платфоры можно пренебречь.
142. Подсчитать работу, совершённую паровозом за время
погрузки на платформу некоторой массы угля Дт (см. пре­
дыдущую задачу), и сравнить её с кинетической энергией,
которую получила погруженная масса утля.
143. Кусок однородной нити висит вертикально, причём
нижний конец нити как раз доходит до горизонтального
стола. Показать, что если верхний конец нити освободить, то
в любой момент падения нити сила её давления на стол будет
в три раза больше веса части нити, уже лежащей на столе.
144. На клин, составляющий угол в 45° с горизонтом,
вертикально падает шарик. Какова будет траектория шарика
после удара о клин? Поверхность клина гладкая, удар
вполне упругий.
145. Найти количество движения р, получаемое стенкой
при упругом ударе о неё тела, скорость v которого соста­
вляет угол а с нормалью к стенке.
146. Найти изменение кинетической энергии ДТ и им­
пульса Др тела, движущегося со скоростью z>, при упругом
ударе его о стенку, движущуюся в том же направлении
равномерно со скоростью и.
147. Тело массы т1 ударяется неупруго о тело массы т2.
Найти долю q потерянной при этом кинетической энергии,
если тело
было до удара в покое.
148. Лифт опускается с постоянной скоростью. Каково
будет натяжение каната, на котором висит кабина, в момент
внезапной полной задержки каната вверху? Как будет изме­
няться натяжение каната после происшедшей задержки?
149. Подсчитать максимальную силу Т натяжения каната
лифта и его удлинение (см. предыдущую задачу), если
коэффициент упругости каната для той его длины, при
которой произошла остановка машины, равен 1 т*\см. Вес
лифта 3 т*, его скорость 1 0 м/сек.
160. На нити длиной I подвешен груз массы т. Опре­
делить, на какую минимальную высоту надо поднять груз т,
§
5]
ЗА К О Н Ы
С О Х РА Н Е Н И Я
КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖ ЕНИЯ
И
Э Н Е Р ГИ И
37
чтобы он, падая, разорвал нить, если минимальный покоящийся
груз М , разрывающий нить, растягивает её перед разрывом
на 1°/0. Считать, что сила, с которой действует нить, про­
порциональна растяжению нити вплоть до её разрыва.
151. Баллистический маятник — это маятник, употребляю­
щийся для определения скорости снаряда. Принцип его
действия заключается в том, что снаряд, скорость которого
следует измерить, ударяется в тело маятника. Если известны
условия удара и массы снаряда и маятника, то по углу
отклонения маятника а можно вычислить скорость v снаряда
до удара. Показать, как это сделать для следующих различ­
ных случаев: 1 ) снаряд после удара застревает в маятнике;
2 ) снаряд
отскакивает после удара со скоростью v ' назад;
3) снаряд падает вниз, потеряв свою скорость. Масса маят­
ника М к г и масса снаряда т к г известны; маятник можно
рассматривать как математический длины /.
152. Два маятника в виде шариков разных масс m t и т2
свободно подвешены на нитях разной длины /, и 12 так, что
шарики соприкасаются. Первый маятник отводят в плоскости
нитей на угол а от первоначального положения и отпускают.
Происходит центральный удар шариков. На какие углы ctj
и а а относительно отвесной линии отклонятся маятники после
удара (углы считать малыми, удар считать упругим)?
153. С весьма гладкой наклонной плоскости, соста­
вляющей угол 45° с горизонтом, соскальзывает с высоты h
небольшое тело. 1) Как будет двигаться тело, если оно
в конце наклонной плоскости встречает вполне упругую
горизонтальную
плоскость? 2) Ответить на этот же
вопрос, считая горизонтальную плоскость неупругой, но
гладкой.
154. На наклонной плоскости стоит ящик с песком;
коэффициент трения ящика о плоскость равен тангенсу угла
наклона плоскости. В ящик падает тело и остаётся в нём.
Будет ли двигаться ящик после падения в него тела?
155. От поезда, идущего с постоянной скоростью, отры­
вается последний вагон, который проходит путь I и остана­
вливается. На каком расстоянии от вагона в момент его
остановки будет находиться поезд, если тяга паровоза
постоянна, а трение каждой части поезда не зависит от ско­
рости и пропорционально её весу?
38
МЕХАНИКА
1гл. I
156. Лодка с находящимся в ней человеком неподвижно
•стоит на спокойной воде. Человек переходит с одного конца
лодки на другой. Насколько сдвинется при этом лодка?
Масса человека т, масса лодки М , длина лодки /. Сопро­
тивлением воды пренебречь.
157. Вопрос о движении тела с переменной массой был
впервые исследован профессором И. В. Мещерским. Частную
форму уравнения Мещерского можно вывести из рассмотре­
ния одного простого случая движения ракеты. Пусть для
получения ускорения ракета выпускает непрерывную струю
газа, вылетающую из ракеты с неизменной относительно
ракеты скоростью и. Масса газа, вылетающая в единицу
времени р., масса ракеты в данный момент времени М . Найти
уравнение движения ракеты.
158. Теория ракет для межпланетных сообщений была
разработана известным учёным и изобретателем К. Э. Циол­
ковским. Им было найдено соотношение, связывающее ско­
рость ракеты v со скоростью выброшенного газа и, с началь­
ной массой ракеты М 0 и массой ракеты в данный момент М .
Пользуясь результатами предыдущей задачи, найти соотноше­
ние Циолковского.
159. Реактивный корабль массы М приводится в движе­
ние насосом, который забирает воду из реки и выбрасывает
её назад с кормы корабля. Скорость струи воды относи­
тельно корабля постоянна и равна «, а масса ежесекундно
выбрасываемой насосом воды также постоянна и равна Щ
1) Найти скорость корабля v как функцию времени, 2) найти
коэффициент полезного действия системы yj как функцию
величин и и V . Исследовать выражение коэффициента
полезного действия на максимум. Сил трения в насосе
и сопротивления воды движению корабля не учитывать.
§
6
. Динамика движения материальной точки
по окружности
160. Найти силу Р , с которой тележка массы т, дви­
жущаяся со скоростью v, давит на мост в одном из сле­
дующих случаев: 1) горизонтальный мост, 2) выпуклый
мост (рис. 38), 3) вогнутый мост.
§ 6]
ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ
39
161.
С какой начальной скоростью v Q должен вылететь
снаряд из орудия в горизонтальном направлении, чтобы
двигаться вокруг Земли, не падая на неё? Каким ускорением
будет обладать снаряд при этом?(Радиус Земли R t t 6 • 10З км .)
М 3
Рис. 38.
162.
Если начальная скорость движения снаряда будет
меньше той, которая найдена в предыдущей задаче, то по
какой кривой он будет двигаться и каково будет его ускоре­
ние?
р б ^ Г у Гележка массы т скатывается без трения по изо­
гнутым рельсам, имеющим форму, изображённую на рис. 39.
1) С какой минимальной высоты Н должна скатиться тележка
для того, чтобы она не покинула рельсов на всей их длине?
2) Какие силы действуют на тележку в наивысшей точке
В петли? 3) Каково будет движение тележки, если она
скатывается с высоты, немного меньшей Н ?
m i? } Каков должен быть минимальный коэффициент тре­
ния с!сольжения k между шинами автомобиля и асфальтом,
чтобы автомобиль мог пройти закругление с радиусом
R = 200 м при скорости и = 1 0 0 км/час?
165.
Велосипедист при повороте по кругу с радиусом R
наклоняется внутрь закругления так, что угол между плоскостью
велосипеда и землёй равен а. Найти скорость v велоси­
педиста.
40
М ЕХАНИКА
[Г Л . I
166.
К вертикальной оси центробежной машины прикре­
плена нить длины I с грузом т на конце (рис. 40). 1) На
какой угол а отклонится нить, если центробежная машина
вращается с угловой скоростью ш? 2) Определить натяже­
ние Т .нити. 3) Будет ли
у нити излом при вращении
машины, если к середине
нити прикрепить небольшую
массу?
167.
В вагоне поезда,
идущего по закруглению,
сделанному, как обычно, с
Э
укл
жинных весах подвешено
тело. Весы показывают уве­
личение веса тела на р°10
по сравнению с весом того
же тела, найденным в по­
езде, идущем прямолинейно
с постоянной скоростью.
Весы могут свободно пово­
рачиваться около точки подвеса и на закруглении остаются
висеть перпендикулярно к полу вагона. Найти радиус
кривизны пути /?, если поезд идёт со скоростью v.
§
6]
ДИНАМ ИКА Д В И Ж ЕН И Я
ТОЧКИ
ПО
О КРУ Ж Н О СТИ
41
168.
При выполнении самолётом «мёртвой петли», осуще­
ствлённой впервые русским лётчиком П. Н. Нестеровым,
сила, действующая на крылья самолёта, изменяется по сравне­
нию с их нагрузкой при горизонтальном полёте.
Пусть самолёт Нестерова весом в 3/4 т* делает «мёртвую
петлю» радиусом R = 125 м и движется по ней со скоростью
120 км/час. Найти максимальное значение нагрузки на крылья
самолёта. Указать в каком месте траектории эта нагрузка
будет^максимальной.
(T69J Самолёт делает «мёртвую петлю» с радиусом
R==mQ м и движется по ней со скоростью -о — 280 км/час.
С какой силой тело лётчика весом в 80 кг будет давить
на сиденье самолёта в верхней и нижней точках петли?
170. На самолёте, делающем «мёртвую петлю», подвешен
отвес. Указать направление отвеса в различных точках
«мёртвой петли» при различных значе­
ниях скорости самолёта v и радиуса
петли R.
171. Через маленькое гладкое кольцо,
прикреплённое к концу вращающейся без
трения оси (рис. 41), продёрнута нить,
нагружённая на концах неравными гру­
зами р х и р2- Груз /7а, получив толчок,
описывает круг в горизонтальной пло­
скости, а груз Pi висит вертикально.
Какова должна быть угловая скорость ш,
чтобы радиус круга составлял у / ?
172. Груз массы М может скользить
Рис. 41.
без трения по стержню а, укреплённому
перпендикулярно к оси вращающейся центробежной ма­
шины (рис. 42). Ось машины вертикальна и сквозь неё про­
ходит нить, на которой висит груз массы т; нить пе­
рекинута через блок с и другой её конец прикреплён
к грузу М. Найти положение массы М на стержне а,
когда центробежная машина вращается с угловой скоро­
стью «.
173. В предыдущей задаче ось вращения центробежной ма­
шины пересекает горизонтальный стержень а. Каков будет
ответ, если они не пересекаются ?
42
МЕХАНИКА
I ГЛ. 1
174.
В каком положении будет находиться масса М га
стержне, если всему прибору, описанному в задаче 172
(рис. 42), сообщить вращение с угловой скоростью ш, а
затем отсоединить прибор от привода центробежной маши­
ны? Будет ли у массы М устойчивое положение на стержне?
Рис. 42.
Моментом инерции прибора по сравнению с моментом инер­
ции массы М можно пренебречь. Трения в подшипниках
прибора не учитывать.
175. Каково может быть положение массы М в преды­
дущей задаче, если моментом инерции У0 самого прибора
нельзя пренебрегать?
176. В приборе, описанном в задаче 172, на стержень
насажены по одну сторону от оси вращения две массы т1
и т2, скреплённые нитью длины /?а. Ближайшая к оси
масса wij связана нитью длины
с осью вращения. Опреде­
лить натяжение нитей, если угловая скорость вращения
машины ш известна.
§ 61
ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ
48
177. На приборе, описанном в задаче 172, вместо массы т
к нити прикреплена пружина, другой конец которой закре­
плён неподвижно. Каковы должны быть свойства пружины,
чтобы масса М при вращении машины с угловой скоростью о>
могла находиться в равновесии на лю­
бом расстоянии от оси вращения?
Когда масса М находится у оси вра­
щения, пружина не натянута.
178. На приборе, описанном в за­
даче 172, масса М = 1 0 0 г, находящаяся
на стержне, соединена пружиной с осью.
Каков коэффициент упругости k пру­
жины, если известно, что при угловой
скорости вращения со = 1 2 0 об/мин.
она растянулась на 50% первоначальной
длины?
179. В приборе, изображённом на
рис. 43, треугольник CDE вращается
вокруг вертикальной оси А В с угловой
,
скоростью ш. По стержню CD, пред­ ( (_
}
ставляющему гипотенузу треугольника,
/
может скользить без трения муфточ­ 'l—
У1
ка К. В каком положении будет нахо­
диться муфточка?
180. Доска качелей с сидящими на
Рис. 43.
ней людьми весит Р кг*. Какое наи­
большее натяжение Т испытывают верёвки, если отвести
качели на 45° от положения равновесия и предоставить им
качаться ?
181. На закруглениях железнодорожного пути наружный
рельс делают немного приподнятым по сравнению с внутрен­
ним. Объяснить, для чего это делается и дать расчёт необ­
ходимого угла наклона полотна.
182. Иногда устраивают в качестве аттракциона ком­
нату, вращающуюся вокруг вертикальной оси. Пол такой
комнаты имеет вогнутую форму. Во время вращения все на­
ходящиеся там предметы и люди стоят на этом полу, как
на плоском, устойчиво и нормально к его поверхности. Опре­
делить форму пола, если угловая скорость вращения комна­
ты равна ш.
44
МЕХАНИКА
[ГЛ. Г
183. Суточное вращение Земли приводит к отклонению
артиллерийских снарядов от начального направления выстрела,
заданного в горизонтальной плоскости по земным ориенти­
рам. Рассчитать величину поперечного смещения х снаряда,
выпущенного в меридиональной плоскости по горизонтальному
направлению, за первую секунду полёта снаряда. Выстрел
произведён на широте Москвы (55° 45'), начальная скорость
снаряда 1000 м/сек. Указать, в какую сторону отклонится
снаряд, если в момент выстрела ствол орудия был направлен
на юг. Силы сопротивления воздуха полёту снаряда не учи­
тывать. Решить задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй.
184. Суточное вращение Земли вызывает отклонение
падающих тел к востоку. Рассчитать, на какое расстояние X
тело, свободно падающее с высоты h = 1 0 0 м на экваторе,
отклонится у поверхности Земли от земного радиуса, про­
долженного до начального положения тела. Провести реше­
ние задачи в системе отсчёта, связанной с Землёй.
185. Провести решение предыдущей задачи в системе
отсчёта, связанной не с вращающейся Землёй, а с Солн­
цем и звёздами.
186. В двух предыдущих задачах, посвящённых расчёту
отклонения свободно падающего тела к востоку, предпола­
галось,- что опыт производится на экваторе. Как изменится
результат решения, если опыт производится в пункте, нахо­
дящемся на географической широте о?
187. Определить промежуток времени Т, в течение кото­
рого плоскость качаний маятника Фуко, установленного на
тридцатой параллели, совершит полный оборот относительно
неподвижной опоры, на которой висит маятник.
188. Вращение Земли вызывает отклонение поверхности
воды в реках от горизонтального положения. Рассчитать
наклон поверхности воды в реке к горизонту на широте <р.
Река течёт с севера на юг.
§7. Динамика вращения твёрдого тела. Динамика системы
189. Найти ускорение грузов на машине, изображённой на
рис. 44, и натяжение нити, учитывая момент инерции J вра­
щающегося блока, при условии, что нить не скользит по блоку.
190. Однородный цилиндр массы М и радиуса R (рис. 45)
вращается без трения вокруг горизонтальной оси под дей­
§ 7]
ДИНАМ ИКА ВРАЩ ЕНИ Я Т В Ё Р Д О Г О Т Е Л А . ДИНАМ ИКА СИСТЕМЫ
45
ствием груза веса Р, прикреплённого к лёгкой нити, на­
мотанной на цилиндр. Найти угол ф поворота цилиндра в за­
висимости от времени.
Рис. 44.
.
Рис. 45.
Рис. 46.
191 На ступенчатый цилиндрический блок намотаны
в противоположных направлениях две лёгкие нити, нагру­
жённые массами т 1 и тъ (рис. 46). Найти угловое ускоре­
ние блока и натяжения Т1 и Т2 нитей, учитывая момент инер­
ции блока J.
192 Модель ворота укреплена на одной чашке весов
(рис. 47). На ворот с моментом инерции J намотана нить
с грузиком массы m граммов. Весы уравновешены, когда
ворот заторможён и нить не разматывается. Насколько сле­
дует изменить вес гирь на другой чашке весов для того,
чтобы восстановить равновесие, когда ворот вращается под
действием опускающегося вниз грузика?
193 Как восстановить равновесие весов в приборе, опи­
санном в предыдущей задаче, в том случае, если грузик на
.
.
46
М ЕХАНИКА
{ГЛ . I
модели ворота поднимается вверх благодаря инерции раскру­
тившегося маховичка?
Рис. 47.
194.
Схема демонстрационного прибора изображена на
рис. 48. На оси радиуса г туго насажен сплошной диск
радиуса R и весом Р. Ось и диск сделаны из одного мате­
риала, причём выступающие из диска части оси имеют вес р .
§ 7]
ДИНАМИКА ВРАЩЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
47
На оси закреплены нити одинаковой длины, при помощи ко­
торых' прибор подвешивается к штативу. Если закрутить нити
вокруг оси, подняв диск, а затем предоставить нитям раскру­
чиваться, то диск будет опускаться. Найти ускорение, с кото­
рым опускается диск. Длина нитей намного больше г.
195. Подсчитать ускорение а, с которым будет опу­
скаться диск, описанный в предыдущей задаче, если к оси
диска привешена масса т — 314 г (рис. 49). Размеры диска
указаны на рисунке, диск и валик сделаны из стали
(уд. вес 8 г*/см3). Весом нитей и оси пренебречь.
196. С каким ускорением а будет опускаться диск, описан­
ный в задаче 194, с массой М и моментом инерции J относи-
ш т т ш ш.
т
Рис. 50.
тельно оси, если к другой нити, намотанной на валик диска,
подвешен груз массы т (рис. 50). Определить также натяже­
ние нитей. Длина нитей намного больше г.
197.
Найти ускорения, с которыми будут опускаться два
одинаковых диска прибора, описанного в задаче 194, если
один подвешен к другому так, как указано на рис. 51. Мо­
мент инерции диска относительно оси диска J, масса диска /л,
радиус валика, на который намотана нить, г. Lx и L2^>r.
48
МЕХАНИКА
[ГЛ.
I
198.
По наклонной плоскости, образующ ей угол я с гори­
зонтом, скатывается без скольжения сплошной однородный
диск. Найти линейное ускорение а
центра диска.
199. Найти ускорение а центра
однородного шара, скаты ваю щ е­
гося без скольжения по наклон­
ной плоскости, образующей угол а
с горизонтом.
200. Найти кинетическую энер­
гию Т катящегося без скольжения
обруча массы /И, толщину кото­
рого можно считать очень малой
по сравнению с его радиусом.
^20Т) По наклонной плоскости,
составляющей с горизонтом угол
а = 30 , скатывается без сколь­
жения сплошной однородный ци­
линдр радиусом 10 м м и массы
300 г. Найти величину силы тре­
ния цилиндра о плоскость.
202. При каком коэффициенте
Рис. 51.
трения к однородный цилиндр мо­
жет скатываться без скольжения с
наклонней плоскости, образующей угол а с горизонтом?
203. По наклонной плоскости скатынаются сплошные ци­
линдр и шар одинаковых радиусов. 1) Какое тело будет иметь
ббльшую скорость в дан­
ном месте? 2) Во сколько
рзз?3 )В о сколько раз ско­
рость одного будет боль­
ше скорости другого в
данный момент времени?
204. Какая форма кон­
5% ^
ца вала выгоднее (при
at
прочих равных условиях)
о)
с точки зрения уменьше­
Рис. 52.
ния потерь на трение
при вращении вала в опорном подшипнике — см. рис. 52, а
и 52, б. (Трением о боковые стенки пренебречь.)
§ 7J
ДИНАМ ИКА
В РА Щ ЕН И Я Т В Ё Р Д О Г О Т Е Л А . ДИНАМ ИКА СИСТЕМ Ы
49
206. К тележке, стоящей на горизонтальной плоскости,
привязана нить, перекинутая через блок, укреплённый у края
стола; к концу нити прикреплён груз массы /иа = 500 г.
Определить ускорение тележки о, если известно, что масса
платформы тележки /я, = 1,4 кг, масса каждого колеса
тв2 s=t 400 г и колеса представляют собой сплошные диски
радиуса 2,5 см. Колёса катятся по поверхности стола без
скольжения, а трение качения отсутствует.
206.
На горизонтальном столе лежит катушка ниток.
С каким поступательным ускорением а будет двигаться ка­
тушка, если тянуть за нитку с силой F (рис. 53)? Каким
йу
dt
образом надо тянуть за нитку для того, чтобы катушка дви­
галась в сторону натянутой нитки? (Катушка движется но
поверхности стола без скольжения.)
207. Каток состоит из сплошного цилиндра радиуса R и
массы Ж] (рис. 54) и рамы массы Л42. К раме катка нитью
привязана масса Л1Я. Всю эту систему пускают с наклонной
плоскости, образующей угол а с горизонтом. Найти ускоре­
ние системы о , если известен коэффициент трения k тела М ь
о плоскость. (Каток скатывается без скольжения.) Как сле­
дует расположить всю систему — массу Л1Я впереди и каток
позади (как указано на рисунке) или наоборот, чтобы при
движении нить была натянута?
208. Однородный тонкий тяжёлый стержень длины / висит
на горизонтальной оси, проходящей через один из его концов.
Какую начальную угловую скорость ш надо сообщить стержню,
чтобы он повернулся на 9 0 J?
4
5ак. 5182. Сборник задач, ч. 1.
50
.
М ЕХАНИКА
[гл. I
C2O9I Найти момент количества движения N Земли отно­
сительно её полярной оси. Считать Землю правильным шаром
с радиусом R — 6000 км и с плотностью d = 5,5 г/см3.
210.
На краю свободно вращающегося горизонтального
диска, имеющего радиус R, момент инерции У, стоит человек
массы т. Диск совершает п об/мин. Как изменится угловая
Рис. 54.
скорость диска, если человек перейдёт от края диска к центру?
Как изменится энергия системы при этом?
211. На покоящемся однородном горизонтальном диске
массы М и радиуса R находится человек массы т. Диск
может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, про­
ходящей через его центр. С какой угловой скоростью ш
вращается диск, когда человек идёт по окружности ра­
диуса г, концентричной диску, со скоростью v относитель­
но диска?
212. Можно ли, принципиально, земными способами из­
менить скорость суточного обращения Земли вокруг оси?
213. На конце длинной проволоки укреплён перпендику­
лярно к ней за середину цилиндрический стержень длины 2/,
радиуса г и веса Р. На концы стержня надеты два одина­
ковых сплошных шара, так, что геометрическая ось стержня
проходит через их центры. Каждый шар имеет радиус R и
вес Р. Вращающий момент М закрученной проволоки про­
порционален углу а, на который она закручена, М = ka.
Выразить угловое ускорение ^
описанной системы в зави-
§ 7]
Д И Н А М И К А В ГА Щ Е Н И Я
твёрдого
Т Е Л А . Д И Н А М И К А СИ СТЕМ Ы
51
симости от данных величин и угла кручения а, если прово­
лока была закручена и предоставлена самой себе.
214.
Однородная тонкая квадратная пластинка массы т0
может свободно вращаться вокруг вертикальной оси
(рис. 55). В край А пластинки нормально к её плоскости
ударяется шар массы /и, летевший со скоростью v; найти,
как будут двигаться пластинка и шар после соударения, ко­
торое происходит по закону упругого удара.
В
Рис. 55.
Рис. £0.
215. Однородный сосновый брус массы М (плотность
0,5 г/смь) , размеры которого указаны на чертеже, может сво­
бодно вращаться около оси АВ (рис. 56). В точку О бруса
ударяет ядро массы т = 1 кг. Какова скорость ядра v, если
брус отклонился на угол ®= 28°, а ядро упало на месте
удара?
216. Каким участком сабли следует рубить лозу, чтобы
рука не чувствовала удара? Саблю считать однородной пла­
стинкой длины I.
217. На гладком стержне, вращающемся вокруг верти­
кальной оси с постоянной угловой скоростью со = 40тс сек."1
около оси находится закреплённая неподвижно муфта весом
4*
52
М ЕХАНИКА
[гл. I
р = . 100. В некоторый момент муфту отпускают, и она скользит
вдоль стержня. Найти расстояние х муфты от оси в любой момент
времени t. Какой момент сил М должен быть приложен
к стержню для того, чтобы он продолжал равномерное вра­
щение? В начальный момент центр тяжести муфты находится
на расстоянии а0 = 2 см от оси.
218. На двух параллельных горизонтальных брусьях ле­
жит сплошной цилиндр радиуса R и массы т , на который
намотана верёвка. К опущенному вниз Аонцу верёвки прило­
жена вертикальная сила F, равная половине веса цилиндра.
Найти горизонтальное ускорение цилиндра и минимальное
значение коэффициента трения между цилиндром и брусьями,
при котором будет происходить качение без скольжения.
219. Два катка, связанные штангой S, скатываются с на­
клонной плоскости, образующей угол в 30° с горизонтом
(рис. 57). Катки имчлот одинаковые массы т — 5 кг и одинако­
вые радиусы R — 5 см, момент инерции первого ,/j = 8 0 кг • сма,
второго J 2 = 40 кг - см2. Массами рам катков и штанги можно
пренебречь. Подсчитать угловое ускорение, с которым катки
скатываются без скольжения с наклонной плоскости. Вычи­
слить натяжение штанги, если каток с большим моментом
инерции движется впереди и наоборот.
220.
Известно, что для того, чтобы отличить сырое яйцо
от крутого, достаточно попытаться закрутить его на столе.
Крутое яйцо крутится долго. Сырое же раскрутить не удаётся.
Объяснить, на чём основан этот способ.
§ 7]
Д И НАМ ИКА В РА Щ ЕН И Я Т В Ё Р Д О Г О Т Е Л А . ДИНАМ ИКА
СИСТЕМЫ
53
221. Как было установлено профессором Н. П. Петровым,
величина трения между осью и смазанным подшипником
в основном определяется динамикой движения и внутренним
трением в смазывающем слое.
В гидродинамической теории смазки Н. П. Петрова даётся
следующее выражение для момента сил трения, действующего
на единицу длины вращающейся оси:
ж = = 2я|ха^
о
’
где jt— вязкость смазывающей жидкости, а — радиус оси,
ш— ей угловая скорость и 8,-— толщина слоя. Пользуясь
этим выражением, найти закон движения ротора, вращающе­
гося на оси, закреплённой в подшипнике; другие внешние
моменты сил на ротор не действуют.
222. Сплошному цилиндру радиуса R — 10 см и веса Р со­
общено вращение около оси с угловой скоростью св= 10 об!сек.
Вращающийся цилиндр кладут на горизонтальную плоскость
и предоставляют самому себе. Он начинает двигаться по
плоскости, причём коэффициент трения скольжения между
цилиндром и плоскостью равен 0,1. Определить, через какое
время Т движение цилиндра перейдёт в чистое качение без
скольжения (сила трения предполагается не зависящей от
скорости).
223» Сплошной цилиндр, ось которого горизонтальна,
движется без вращения по гладкой горизонтальной поверх­
ности в направлении, перпендикулярном к оси цилиндра.
В некоторый момент он достигает границы, где поверхность
становится шероховатой и возникает постоянная (не завися­
щая от скорости) сила трения скольжения. Каково будет
движение цилиндра после перехода границы? Как распре­
делится кинетическая энергия поступательного движения
цилиндра ?
224. А просит В разъяснить следующее недоразумение.
А.
— Как передаётся ускорение велосипеду, я понимаю, а как
око передаётся паровозу, — не понимаю. Возникновение силы,
действующей на раму велосипеда, мне представляется так:
действие ведущей цепи на заднее колесо можно изобразить
силой, направленной вперёд и приложенной к колесу в
64
М ЕХ А Н И КА
некоторой точке над осью (рис. 58). Эта сила вращает колесо
вокруг мгновенной оси, проходящей через точку С, т. е.
точку соприкосновения щины с дорогой, так что колесо
толкает оси вперёд и сообщает движение всей машине. Ведь
это правильно?»
В. — Верно. Но вы не всё учли.
A . — Так же можно рассматривать паровоз, но у паровоза
нет ведущей цепи, а есть водило, и это радикально меняет
дело. Действительно, когда точка приложения силы со сто­
роны водила к колесу находится над осью, сила поршня тя­
нет колесо вперёд, и здесь всё так же, как и у велосипеда,
колесо толкает паровоз вперёд. Но ведь через полоборота точка приложения силы к колесу будет под осью и
сила будет направлена назад. Рассуждая так же, как и рань­
ше, приходим к выводу: колесо толкает паровоз назад. Почему
же паровоз идёт вперёд.
B .— Все ваши рассуждения о силах, действующих на колесо,
правильны, но . . .
Выясните вопрос.
225.
Найти угловую скорость прецессии наклонённог
волчка, прецессирующего под действием силы тяжести. Вол­
чок имеет момент инерции У, угло____
вую скорость вращения ш, расS*
V
стояние от точки опоры до центра
/
»------- -V ■- >- массы волчка равно /. В каком на-
I
V
\
I
J
правлении
волчок?
будет
прецессировать
226. Подсчитайте момент М гироскопических сил, действующих на
вал со СТ0Р0НЫ пропеллера, если
самолёт при скорости и = 150 км/час
делает поворот с радиусом / ? = 100 м.
ис. оо.
Пропеллер с моментом инерции
7 = 7 кг • .и2 делает N = 2 0 0 0 об/мин.
227. Планета движется вокруг Солнца по эллипсу, в одном
из фокусов которого находится Солнце. Доказать, что мо­
мент количества движения планеты относительно Солнца есть
величина постоянная.
228. Пользуясь результатами предыдущей задачи, дока­
зать, что момент количества движения планеты относительно
\.
х --
У
ТЯГОТЕН ИЕ
55
Солнца может быть представлен в видеЛГ=гХ»*®=2/n»= const,
где т — масса планеты, а в — с е к т о р и а л ь н а я скорость
планеты. Секториальной скоростью планеты называется пло­
щадь, описываемая радиусом-вектором планеты в единицу
времени.
§ 8. Тяготение
229. Маятник, который делает в Ленинграде за час 3600,0
колебаний, за это же время и при той же температуре делает
в Москве 3601,4 колебаний. Каково отношение ускорений
свободного падения для этих двух городов?
230. Как изменился бы ход маятниковых часов на Луне
По сравнению с их ходом на Земле?
231. Определить ускорение g силы тяжести на высоте 20 км
над Землёй, принимая ускорение силы тяжести на поверх­
ности Земли £ ’= 981 смIсек2, а радиус Земли
6370 км.
232. Какое ускорение а сообщает Солнце телам, нахо­
дящимся на Земле?
233. Подсчитать ускорение а свободно падающих тел на
поверхности Солнца, если известны R
Г50 - 106 км — ра­
диус земной орбиты,
6 • 105 км — радиус Солнца и
Т — время обращения Земли вокруг Солнца.
234. Определить ускорение силы тяжести g на поверх­
ности Земли по следующим данным: средний радиус Земли
R
6000 км) средняя плотность Земли d = 5,4 г]см3, гравита­
ционная постоянная k = 6,7 • 10~8 см3/гсек.
235. Каково ускорение силы тяжести g/ на малой планете,
диаметр которой d = 30 км, если предположить, что сред­
няя плотность её равна средней плотности Земли? Диаметр
(средний) Земли D = 12 000 км.
236. Время обращения Юпитера в 12 раз больше вре­
мени обращения Земли вокруг Солнца. Сколько километ­
ров R от Юпитера до Солнца, если расстояние Земли
от Солнца равно 150 • 106 км. Считать орбиты планет кру­
говыми.
237. Найти ускорение силы тяжести g Q на поверхности
Солнца, если известны: продолжительность земного года Т,
расстояние от Земли до Солнца R Щ | 8,3 световых минуты)
и угол а, под которым виден диаметр Солнца ( ~ 30').
56
М ЕХ АН И КА
[Г Л . (
238. Найти расстояние D планеты от Солнца, если даны:
масса Солнца М и период обращения планеты вокруг
Солнца Т.
239. Луна делает полный оборот вокруг Земли за 27 суток
7 час. Радиус её орбиты равен 60 радиусам Земли. Найти
ускорение силы тяжести g на Земле. (Радиус Земли
« 6 0 0 0 км .)
240. Расстояние кометы Галлея от Солнца: наибольшее
h — 35,4, наименьшее / = 0,59 (за единицу принято расстоя­
ние Земли от Солнца). Линейная скорость движения кометы
v — 0,91 км/сек в точке наибольшего удаления её от Солнца
в афелии. Как велика линейная скорость v кометы, когда
она ближе всего подходит к Солнцу в перигелии?
241. Представьте себе снаряд такого размера (выпущен­
ный из фантастической пушки), что в нём могут находиться
люди вместе с приборами. Пусть этот снаряд летит в меж­
планетном пространстве с некоторым ускорением. Ч^о будут
показывать нагружённые ещё на земле пружинные весы,
взятые в полёт, в снаряде? Каким способом можно измерять
массу тел в снаряде во время полёта?
242. Что будут показывать пружинные весы предыдущей
задачи при взвешивании тела массы т, если снаряд попадает
в атмосферу планеты и получает, кроме ускорения в поле тя­
жести, ускорение а см/сек2 вследствие сопротивления атмо­
сферы движению снаряда?
243. В одной книге описывается, что в некоторый момент
времени обитатели снаряда, пущенного на Луну, перестали
ощущать наличие силы тяжести. Когда это должно было
произойти ?
244. Простые механические соображения позволяют выяс­
нить, являются ли кольца планеты Сатурн сплошным
образованием или скоплением мелких спутников. Для этого
нужно лишь знать, какой край кольца, внутренний или внеш­
ний, вращается быстрее. Как решается этот вопрос?
245. Четыре тела А, В, С и D (рис. 59), которые можно
считать материальными точками, вращаясь вокруг некото­
рого центра, остаются всё время на одной прямой и сохра­
няют неизменным расстояние друг от друга. Между всеми
телами действуют силы притяжения по закону всемирного
тяготения Ньютона. Массы С и D равны и ничтожно малы
УПРУГИЕ ДЕФОРМ АЦИИ
57
по сравнению с массами А и В, а расстояние г очень мало
по сравнению с R. Какие ещё силы должны действовать со
стороны тела В на С и D , чтобы расстояния между всеми
телами оставались неизменными?
в
Рис. 59.
246. Солнце притягивает тела, находящиеся на Земле,
с некоторой силой, которая ночью направлена в ту же сто­
рону, что и силы притяжения этих тел Землёй, а днём напра­
влена в обратную сторону. Вызывает ли это изменение на­
правления силы притяжения Солнца изменение веса тел в те­
чение суток?
247. Анализируя результат предыдущих задач, объясните
происхождение приливов, вызываемых притяжением Луны.
Вычислите приливообразующую силу.
§ 9. Упругие деформации
248. На гладкую горизонтальную плоскость положен бру­
сок АВ массы т, сечения 5 и длины L, упирающийся одним
концом в выступ (рис. 60). На другой конец бруска дей­
ствует постоянная сила F, равномерно распределённая по всему
Рис. 60.
сечению бруска. Тогда, как известно, длина бруска умень­
шится на величину AZ. =
F, где Е — модуль Юнга. Спра­
шивается, какова будет длина бруска и как в нём будет рас­
пределено сжатие, если он не будет упираться в выступ, а
все прочие условия останутся неизменными?
58
МЕХАНИКА
(ГЛ. I
249. Из предыдущей задачи вытекает, что в ускоренно
движущемся бруске существует напряжение. Будет ли су­
ществовать напряжение в свободно падающем бруске?
250. Однородный диск массы М и радиуса R вращается
вокруг своей оси с угловым ускорением |3 (рис. 61). Силы,
ускоряющие диск, равномерно распределены по ободу диска.
Найти силу F, действующую на единицу длины окружности,
ограничивающей мысленно
выделенную часть диска ра­
диуса г (заштрихованную
на рисунке).
251.
Однородный упру­
гий стержень, длина кото­
рого L, масса М и модуль
Юнга Е , равномерно вра­
щается с угловой скоростью ш
вокруг оси, перпендикуляр­
ной стержню и проходящей
через один из его концов.
Рис. (Я.
Найти распределение натя­
жений Т в стержне и полное его удлинение ДL. При подсчёте натяжений пренебречь
деформациями. При подсчёте линейной деформации считать по­
перечное сечение неизменным и удлинение малым.
252. Чему равен модуль Юнга Е для железа, если желез­
ная проволока, имея длину 1 м и диаметр 1 мм, под дей­
ствием груза в 1 кг* вытягивается на 5,9 мм?
253. Железный стержень длины / = 1 м с площадью по­
перечного сечения 5 = 2 см2 растягивается силой Р — 2 т*.
Определить напряжение материала р, а также абсолют­
ное и относительное удлинение стержня, если модуль
нормальной упругости (модуль Юнга) для железа Е =
= 20 ООО кг/мм*.
254. Коэффициент линейного расширения стали равен
12 . 10- 6 град.-1, модуль Юнга Е = 2 • 101а единиц CGS. Ка­
кое давление Р необходимо приложить к торцам стального
цилиндра, чтобы длина его оставалась неизменной при повы­
шении температуры на 100°С?
255. Можно ли использовать кабель из тонкой медной
проволоки в свинцовой броне для телефонной связи с при-
/
УПРУГИЕ ДЕФОРМ АЦИИ
59
вязным аэростатом, находящимся на высоте 300 м. Предел
прочности свинца 2 кг/мм2. Плотность свинца 11,4 г/сл3.
256. При укладке рельс трамвая их сваривают между
собой в стыках. Как велики напряжения Р, появляющиеся
в них при колебаниях температуры от f' = — 25° С зимой,
до
= —
j—60° С летом, если укладка произведена при t x =
= -{- 15ЭС? Для железа модуль нормальной упругости (модуль
Юнга) Е = 2 • 108 кг!см7, а коэффициент линейного расши­
рения а — 1,25 • 10~б.
257. Стальной канат, могущий выдержать вес неподвижной
кабины лифта, имеет диаметр 9 мм. Какой диаметр должен
иметь канат, если лифт при внезапной остановке барабана,
на котором намотан канат, может иметь ускорение до 8g?
258. Насколько изменится объём упругого круглого
стержня длины / под влиянием нагрузки Р ?
259. Какую равномерно распределённую нагрузку Q может
выдержать гранитная плита, представляющая собой правиль­
ный шестиугольник со стороной а = 10 см, если допускаемое
напряжение на сжатие гранита равно р = 45 кг/сл*а?
260. Для испытания прочности кусок мрамора в форме
параллелепипеда с рёбрами а, Ъ и с (с— высота), положили
на платформу гидравличе­
ского пресса. Отношение
диаметров поршней равно
D : d. Отношение плеч рыча­
га, которым надавливают на
малый поршень, равно L : I.
Предел прочности мрамора
F — г ’ ^ акУю СИЛУ Р нУжно
приложить к длинному плечу
рычага, чтобы пресс разда­
вил мрамор?
261. Насколько вытяги­
вается стержень из железа,
Рис. 62.
подвешенный за один ко­
нец, под влиянием собственного веса? Насколько при этом
меняется его объём?
262. Груз подвешен на трёх тросах, как указано на
рис. 62. Тросы сделаны из одного материала, причём два
60
МЕХАНИКА
[ГЛ. I
крайних троса одинаковы. Найти, в каком соотношении
должны находиться сечения тросов S lt S it S 3 для того, чтобы
напряжения в материале тросов были одинаковы, если на
второй трос приходится половина нагрузки.
263.
Для рычага выбран пятикратный запас проч­
ности. Рычаг представляет собой заделанный одним концом
в неподвижную станину стальной стержень с прямоугольным
сечением (рис. 63). Отношение высоты
к ширине стержня равно 5 :1 . Какая на­
грузка Р допустима на конце рычага,
если длина его 15 см, а ширина 5 мм?
(Разрушающее напряжение в материале
равно 100 кг/мм2.)
264. Коромысло весов имеет прямо­
угольное сечение со сторонами а = 8 мм
Рис. 63.
(горизонтальная) и £ = 1 0 мм (вертикаль­
ная). Длина коромысла / = 250 мм. Какова
наибольшая стрела прогиба коромысла X, если весы рас­
считаны на максимальную нагрузку р = 500 кг, а модуль
Юнга материала коромысла равен 15 000 кг{мма? Стрела
прогиба может быть в этом случае рассчитана по формуле:
рР
“ 2аРЕ *
265. Деревянная балка длиной 1 — 4 м квадратного сече­
ния со стороной а = 4 0 см покоится своими концами на
двух подпорках и несёт посредине груз Р = 2т*. Как велика
сгрела прогиба X, если модуль Юнга данного сорта дерева
равен 1000 кг/мм 2? При вычислениях в данном случае может
быть использована формула:
\ — Р‘3
4а*Е ’
266. Медная трубка, внешний и внутренний диаметры
которой D = 20 мм и d = 10 мм, концами опирается на
подставки, расстояние между которыми /. Посредине трубка
несёт груз Р = 90 кг*. Модуль Юнга Е для меди = 104кг*/мм2.
УПРУГИЕ Д ЕФОРМ АЦИИ
61
Найти стрелу прогиба трубки, если она может быть вычис­
лена для этого случая по формуле:
_
4РР
3n(D* — d*)E ’
267. Круглый металлический стержень радиуса R = 10 мм
закреплён одним концом в горизонтальном положении, а на
другом его конце висит груз Р = 1 кг. Длина стержня
/ = 1 м. Стержень под влиянием груза прогибается, стрела
прогиба X == 4 мм. Чему равен модуль Юнга Е материала
стержня, если он может быть вычислен по формуле:
Г—
~
*
268. Как изменилось бы выражение для расчёта модуля
Юнга E y в предыдущей задаче, если бы стержень был укре­
плён обоими концами, а груз помещён посредине?
269. Стрела прогиба стержня прямоугольного сечения,
закреплённого горизонтально одним концом и изогнувшегося
под действием собственного веса, может быть вычислена
по формуле:
где d — плотность материала стержня, I — длина стержня,
h — высота вертикального сечения стержня, Е — модуль Юнга
материала стержня. Пользуясь указанным выше выражением,
найти стрелу прогиба стального метра, удерживаемого гори­
зонтально за один конец. Метр сделан из стальной полосы
толщиной в 2,8 мм. Плотность стали 7,8 г/см3, модуль Юнга
принять равным 10 000 кг/мм2.
270.
Стержень круглого сечения расположен вертикально
и закреплён верхним концом. К нижнему концу прикреплён
горизонтально блок радиуса /? = 5 0 л л . Ось стержня прохо­
дит через центр блока. От концов диаметра блока идут по
касательной две нити, на которые действуют равные силы
Р — 5 кг*, закручивающие блок в одном направлении. На
какой угол «р закрутится стержень? Модуль сдвига материала
стержня N = 8 0 0 0 радиус стержня г — 5 мм, длина
62
МЕ ХАН ИК А
[ГЛ .
I
его / = 1 м. Угол закручивания стержня может быть вычис­
лен по формуле:
4
PRI
^
itrW *
271. На тонкий вертикальный вал насажен немного эксцен­
трично диск массы /и кг; расстояние между центром диска
и осью вала равно d мм. Известно, что горизонтальная
сила, приложенная к валу в месте закрепления диска, вызы­
вает деформацию, пропорциональную силе, с коэффициентом
пропорциональности k кг*/см. Найти прогиб вала Е при
угловой частоте вращения вала ш с е к .-1. Массой вала'по
сравнению с массой диска можно пренебречь.
272. Как показывает опыт, скорость v распространения
импульса поперечных деформаций вдоль натянутой однородной
струны зависит от её натяжения Г и от массы р, приходя­
щейся На единицу длины струны. Пользуясь методом раз­
мерностей, найти выражения зависимости скорости v от ука­
занных двух параметров струны.
273. Рамку чувствительного гальванометра, вращающуюся
между полюсами магнита, подвешивают на тонких платино­
вых нитях или бронзовых ленточках. Найти максимальный
допустимый вес рамки гальванометра, если предел прочности
Рис. 64.
платины « 3 0 кг*/мм2, а для подвеса использована нить
диаметром в 4ц.
274.
Как показывает опыт, скорость v распространения
продольных деформаций в сплошной среде зависит от модуля
упругости среды и от её плотности. Пользуясь методом раз­
мерностей, найти выражения для зависимости v ст указанных
параметров среды.
§ 101
КОЛЕБАНИЯ
63
275. Модуль упругости материала проволоки мозкно опре­
делить следующим образом. Натягивают между двумя зажи­
мами А и В отрезок проволоки длиною / (рис. 64). На сере­
дине проволоки подвеши­
вают груз весом Р , и из­
меряют прогиб X,; потом
подвешивают другой груз
Р 2 и также измеряют про­
гиб а2. Как по этим дан­
ным и диаметру прово­
локи определить модуль
упругости ?
276. Стальная прово­
лока диаметром в 1 м м
Рис. 65.
огибает барабан диамет­
ром 2 м (рис. 6 5 ). Опре­
делить дополнительные напряжения, возникающие в мате­
риале проволоки, если модуль упругости стали 2 • 106 к г / с м 2.
§ 10. Колебания
277. Построить графики зависимости от
времени сме­
шения, скорости и ускорения при простом гармоническом
колебании. Построить графики зависимости скорости и уско­
рения от смещения. Найти соотношения между амплитудами
смещения, скорости и ускорения.
278. Найти выражения для
потенциальной, кинетической и
полной энергии материальной
точки массы т, совершающей
гармоническое колебание с
амплитудой Л и с угловой
частотой т.
279. Ареометр с цилиндри­
ческой трубкой (рис. 66) диа­
метра D, плавающий в жидкости
плотности р, получает неболь­
шой вертикальный толчок. Най­
ти период колебаний ареометра,
если масса его т известна. Движения жидкости и трения
ареометра о жидкость не рассматривать.
64
МЕХАНИКА
[ГЛ. I
280. Жидкость плотности р налита в изогнутую трубку
(рис. 67), колена которой составляют с горизонтом углы а
и {3, длина столба жидкости I. Если жидкость немного выве­
дена из положения равновесия, то начинаются колебания уровня
в трубках. Найти период колебаний. Капиллярными силами
и силами трения в жидкости пренебречь.
281. Вертикальный цилиндр с сечением S закрывается
поршнем массы т — 1 кг. Объём цилиндра под поршнем
v 0 = 5 л. В начальный момент давление р 0 воздуха в цилиндре
равнялось атмосферному. Каково будет движение поршня,
если его сразу отпустить? Трение между поршнем и цилин­
дром отсутствует. Счи­
тать процесс сжатия
воздуха
адиабатным *
( ? = 1 > 4).
282. Что изменится
в предыдущей задаче,
если вместо воздуха
в цилиндре
будет:
1) водород, 2) гелий.
Остальные условия те
же.
283. Представьте себе шахту, пересекающую земной
шар через центр. Найти закон движения тела, упавшего
в эту шахту, учитывая переменное значение ускорения силы
тяжести внутри Земли. Трения тела о воздух не рассматривать.
284. На тележке укреплён горизонтальный стержень,
по которому может скользить без трения муфта массы
т = 1 кг (рис. 68).
а
К муфте прикреплены
т
две пружины, общий
коэффициент упруго­
сти
которых
k=
= 0,1 кг/см. Найти
закон движения груза
относительно системы
отсчёта, связанной с те­
лежкой, в следующих
Рис. 68.
случаях: 1) тележка
получает ускорение, медленно нарастающее от нуля до
§
КОЛЕБАНИЯ
101
значения а, 2) тележка внезапно получает ускорение
а = 0,98 м/сек3, остающееся затем неизменным.
285. Найти период свободных малых колебаний грузика
массы /я, укреплённого на середине тонкой струны длины L
(рис. 69). Массой струны можно пренебречь; натяжение
струны постоянно и равно Р.
286. К пружине, один конец которой закреплён, подве­
шен груз веса Р, лежащий на подставке так, что пружина
не растянута (рис. 70). Без толчка подставка убирается.
Найти движение груза и максимальное
натяжение пружины. Коэффициент упругости пружины k известен.
m
О
Рис. 69.
Рис. 70.
287.
На доске лежит груз весом Р = 1 кг*. Доска совер­
шает гармоническое колебание в вертикальном направлении
с периодом Т = Ш сек. и амплитудой а = 2 см. Определить
величину силы давления F груза на доску.
2 8 t. С какой амплитудой а должна колебаться доска
с грузом (см. предыдущую задачу), чтобы груз начал отска­
кивать от доски?
289. Доска совершает гармоническое колебание в гори­
зонтальном направлении с периодом Т — 5 сек. Лежащее на
ней тело начинает скользить, когда амплитуда колебания
достигает величины - 4 = 0 , 6 м. Каков коэффициент трения k
между грузом и доской?
290. На чашку весов, подвешенную на пружине с коэф­
фициентом упругости k падает с высоты h груз массы т. и
остаётся на чашке (рис. 71). Чашка начинает колебаться.
5
?ак. 5182. Сборник задач, ч. I.
65
[ГЛ. I
МЕХАНИКА
Определить амплитуду А колебаний (массой чашки и пру­
жины по сравнению с массой груза можно пренебречь).
291. К пружине прикреплена нить, к нити привязан
груз массы т (рис. 72). Оттягивая груз вниз и отпуская,
приводят его в колебания. На какое расстояние х можно
оттянуть вниз груз, чтобы при колебаниях нить всё время была
натянута? Коэффициент упругости пружины k = 0,05 кг/см,
вес тела /> = 0,1 кг*.
292. Масса подвешена на пружине и имеет собственный
период !/а сек* (Рис- 73). На массу действуют направленная
вертикально синусоидальная сила с амплитудой F = 1 0 0 дин
Рис. 71.
Рис. 72.
Рис. 73.
и некоторая сила трения. Определить амплитуду Frp силы
трения и коэффициент трения (силу трения можно считать
пропорциональной скорости движения), если амплитуда коле­
баний при резонансе Ар составляет 5 см.
293. Система совершает вынужденные колебания под
действием внешней силы, синусоидально зависящей от вре­
мени. Показать, что при резонансе, при прочих равных усло­
виях, работа внешней силы за период будет максимальной.
294. Однородная палочка подвешена за оба конца на
двух одинаковых нитях длины L. В состоянии равновесия
[гл , I f
I яру-
I
).
I
вязан I
щ !
)жно
шла j
1см, I
§ 10]
КОЛЕБАНИЯ
67
обе нити параллельны. Найти период Т малых колебаний,
возникающих после некоторого поворота палочки вокруг
вертикальной оси.
295. Однородная пластинка имеет форму равностороннего:
треугольника. Она может вращаться вокруг горизонтальной
оси, совпадающей с одной из сторон пластинки. Найти период
малых колебаний Т этого физического маятника как функ­
цию высоты треугольника.
Ш
Й I
a
Рис. 74.
296. Однородное кольцо из тонкой проволоки совершает
малые колебания, как маятник около горизонтальной оси
(рис. 74). В одном случае ось лежит в плоскости кольца
(рис. 74, а), й* другом перпендикулярна к ней (рис. 74, б).
Определить отношение периодов малых
колебаний Г, и Г2 при этих двух спосоЛ
бах подвешивания кольца.
297. Сплошной однородный диск с ра­
диусом г = 1 0 см колеблется около оси,
перпендикулярной к плоскости диска и про­
ходящей через край диска. Какой длины /
должен быть математический маятник, имеющий тот же период колебаний, что и диск ?
298. Диск состоит из двух половин
одинаковой толщины: одна половина алюминиевая (удельный вес 2,5 г*/см5), вторис 7 5
рая —свинцовая (удельный вес 1 0 г*/см3).
Каково будет отношение периодов колебаний этого диска около
осей, перпендикулярных к плоскости диска? В одном случае
ось проходит через точку А, в другом—через точку В (рис. 75).
5*
68
МЕХАНИКА
[Г Л . I
299. Физический маятник состоит из стержня квадратного
сечения, подвешенного за конец, и груза, прикреплён­
ного на другом конце (рис. 76). Груз имеет форму куба
с ребром а — 40 мм, а стержень длину / = 400 мм и сто­
рону сечения Ь — 4 мм; груз и стержень сделаны из одного
материала. Найти приближённое значение периода колеба­
ний Т такого маятника (при расчёте можно
полагать стержень достаточно тонким).
300. При колебаниях маятника, описанного
в предыдущей задаче, с амплитудой о0= 10°,
груз отрывается от стержня в тот момент,
когда маятник проходит положение равновесия.
Каковы будут амплитуда а ' и период колеба­
ний Т стержня после отрыва груза?
301. Ответить на вопросы, поставленные
в предыдущей задаче, если груз отрывается
при наибольшем отклонении маятника от поло­
жения равновесия.
302. Тонкий однородный стержень качается
около оси, проходящей через конец стержня
перпендикулярно к нему. Есть ли такое место
на стержне, прикрепив к которому неболь­
шое по размерам тело значительной массы, мы
не изменим периода колебаний стержня?
303. На тонкий стержень длины / надето с трением не­
большое кольцо массы ш. Какая сила действует со стороны
стержня на кольцо, когда стержень, подвешенный за конец,
колеблется, как маятник с малой амплитудой а0? Расстояние
кольца от оси маятника равно d. Массой кольца при
вычислении периода колебаний можно пренебречь..
304. Однородная пластинка, имеющая форму равносто­
роннего треугольника, подвешена за вершины тремя нитями,
имеющими одинаковую длину L. В состоянии равновесия
пластинка горизонтальна и нити'вертикальны. Найти период
крутильных колебаний пластинки вокруг вертикальной оси
(считать, что каждая нить отклоняется на малый угол от
вертикали).
305. На струне с постоянным натяжением в 4 кг* укре­
плены две массы по 10 г, как показано на рис. 77. Какие
следует задать начальные условия грузикам, чтобы они
|9
КОЛЕБАНИЯ
совершали гармоническое колебательное движение с одина­
ковым периодом? Вычислить частоту этих колебаний (их
называют нормальными).
306,
Проф. Н. Е. Жуковским было предложено устрой­
ство совершенного (без потерь) подвеса маятника, схематиf= ? 5 t* ---------------- 5 0 см ----- ------> *< -/ =25гл1~1
% ________ .__________
I________ I
«V/
Рис. 77.
[\Р=4«г*
чески показанное на рис. 78. Муфта А, насаженная на вал С,
составляет одно целое с маятником В. Вал расположен гори­
зонтально и равномерно вращается
с угловой скоростью ш, маятник
совершает колебания в плоскости,
перпендикулярной к валу.
Показать, что если угловая
скорость вала достаточно велика
и сила трения муфты о вал не
зависит от скорости скольжения,
то потери энергии колебаний в
подвесе не будет. Как велика
должна быть угловая скорость
вращения вала?
307. Каким образом будет
влиять на колебания маятника
Н. Е. Жуковского сила трения
муфты о вал (рис. 78): 1) если
сила трения будет возрастать
с увеличением скорости скольже- в
ния; 2) если сила трения умень­
шается с увеличением скорости
скольжения?
308. Определить положение
Рис. 78.
равновесия, около которого со­
вершает колебания маятник Н. Б. Жуковского (см.
70
М ЕХАНИКА
[Г Л .
1
предыдущую задачу). Известий, что сила трения вала о муфту
равна {iP, где ji — постоянная величина, Р — величина давле­
ния муфты на вал; расстояние от оси вращения до центра
массы маятника равно а и радиус вала — R.
§ 11. Гидростатика и аэростатика
309. Два сплошных тела из одного и того же вещества
подвешены к концам неравноплечего рычага и уравновеши­
вают друг друга в воздухе. Сохранится ли равновесие, если
погрузить эти тела в сосуд с водой?
310. Из какого материала надо сделать гири, чтобы можно
было ими взвешивать, не вводя поправку на потерю веса
в воздухе?
311. Полый металлический шар, внешний и внутренний
диаметры которого d x и d 2 , плавает на поверхности жидкости.
Плотность металла 81# плотность жидкости 82. Какой груз р
нужно добавить к шару, чтобы он плавал внутри жидкости?
312. Какова у Земли подъёмная сила F 1 м 3 гелия,
идущего на наполнение дирижаблей, если плотность гелия
относительно воздуха равна 0,137?
313. Баллон сферического аэростата имеет объём 700 м3.
Баллон наполнен водородом, 1 м3 которого при давлении
в 1 атм весит 90 г. Вес корзины, оболочки, всех принад­
лежностей и двух пассажиров 447 кг*. 1) Сколько надо
добавить балласта AjQ, чтобы аэростат уравновешивался
у Земли при нормальном давлении? 2) Сколько надо затем
сбросить балласта Д2<3, чтобы подняться на высоту 2 км,
если на этой высоте 1 м3 воздуха весит 1 кг? У поверх­
ности земли 1 м3 воздуха весит 1,3 кг.
314. На дне сосуда с жидкостью (или газом) лежит тело,
удельный вес которого немного .больше удельного веса
жидкости (или газа). Можно ли, повышая давление на
жидкость (или газ), заставить тело подняться вверх?
315. Какую силу F надо приложить, чтобы разорвать
магдебургские полушария радиуса R , предполагая, что они
хорошо откачаны?
316. Каково давление Р воздуха в кессоне, опущенном
для подводных работ на дно реки на глубину h м, если атмо­
сферное давление равно Н мм рт. ст.? Плотность ртути d.
ГИДРОСТАТИКА
И А Э РО С Т А Т И К А
71
317. На край сосуда с водой опирается своим концом
палочка, нижний конец которой погружён в воду. Палочка
может свободно вращаться вокруг края сосуда. Найти плот­
ность 8 материала, из которого сделана палочка, если при
1 её•• часть.
равновесии палочки в воду не погружена —
318. Найти силу давления F воды на квадратную стенку аква­
риума (сторона равна а). На какой высоте h от дна находится
точка приложения равнодействующей сил давления на стенку?
ji? 5
Рис. 79.
319. Жёлоб имеет сечение, указанное на рис. 79. Жёлоб
наполнен до краёв водой. Определить силу давления Р
на боковую стенку
^
длиной 1 м и момент
~*1_____
этой силы М отно­
сительно ребра дна А.
320. Сечение жё­
лоба дано на рис. 80.
Жёлоб наполнен во­
дой. Ответить на вопросы, поставленные
в предыдущей задаче.
321.
Найти резуль­
тирующую силу даРис. 80.
вления Р воды на
речную плотину, имеющую форму трапеции (рис. 81), если
Л = 5 м, d = 10 м, с — 15 м.
72
М ЕХАНИКА
322. Специальным щитом закрывают воду в канале,
подающем воду на мельничное колесо. Определить резуль­
тирующую силу F t действующую на щит, если ширина
канала 1 м и высота уровня запертой в канале воды 0 ,7 5 м.
Где находится точка приложения силы F?
323. Подсчитать усилие, разрывающее вертикальный шов
на высоте Н — 1 м в цилиндрическом баке, наполненном
водой до краёв. Размеры бака ука­
I-*------ 2 м
заны на рис. 82.
324. Баллоны из ткани, которая
выдерживает на разрыв 850 к г * на
погонный метр, наполнены газом 1).
Баллоны с газом представляют собой
шары радиусом 10 м. Какое пре­
вышение давления АР над атмосфер­
ным допустимо в баллонах?
с ----------------в
Рис. 81.
Рис. 82.
325. Известно, что воздух у поверхности Земли состоит
в основном из 80°/0 азота и 2 0 % кислорода. Найти процент
кислорода в воздухе на высоте \0 км (t = 0°С ) в предполо­
жении статической и изотермической атмосферы.
326. На какой высоте h плотность воздуха в земной
атмосфере уменьшается вдвое; предполагается, что темпе­
ратура атмосферы неизменна по всей её высоте?
х) Упругие напряжения, действующие во всякого рода оболочках,
плёнках и т. п., удобно характеризовать силой, отнесённой к единице
длины поперечного сечения оболочки. Приведённая в условиях
задачи прочность ткани на разрыв означает, что полоса этой ткани
шириной в 1 м, может, не разрываясь, выдержать силу натяжения
в 850 кг*.
ГИ ДРОДИ НА М ИКА
И
А ЭРОДИ НА М ИКА
73
327. На тележ ке стоит сосуд с водой. Тележка движется
с ускорением 0,29 g. Какой угол а с горизонтом составляет
поверхность воды?
328. Замкнутый сосуд, наполненный водой, закрыт сверху
пробкой (рис. 83). Какое ускорение а в горизонтальном
Рис. 83.
направлении вдоль сосуда нужно сообщить сосуду для того,
чтобы пробка вылетела, если она может выдержать давление
0,05 ат м, а длина сосуда 1 м.
329.
Поезд, в составе которого имеется закрытая цистерна
с нефтью, двигался со скоростью г/0, а затем в результате
торможения на отрезке пути 6' остановился. Найти силы
давления нефти на заднюю и переднюю стенки цистерны
во время торможения поезда. Цистерну считать прямоуголь­
ным параллелепипедом с длиной /, шириной а и высотой Н.
Действие тормозов всё время неизменно и не зависит от
скорости поезда.
§ 12. Г идродинам ика и аэродинам ика
330. Какова скорость v истечения жидкости из отверстия
в стенке сосуда, если высота h уровня жидкости над от­
верстием 4,9 M~i Вязкость жидкости не учитывать.
331. Цистерна наполнена водой и нефтью (плотность
0,9 г/см3). Какова будет вначале скорость v истечения воды
из отверстия в дне, если высота слоя воды ht = 1 м, а слоя
нефти Л2 = 4 м } (Вязкостью пренебречь.)
332. Подсчитать максимальное давление ветра, имеющего
скорость 20 м/сек, на стену здания. Полагать, что ветер
74
МЕХАНИКА
[1Л. I
дует перпендикулярно стене. Величину давления выразить
в миллиметрах водяного столба.
333. В цилиндрическом сосуде, стоящем на подставке,
расположены два отверстия на расстоянии 25 см одно над
другим. Струи, вытекающие из отверстий, пересекаются.
Найти точку пересечения струй, если известно, что уровень
воды выше верхнего отверстия на 25 см.
334. На рис. 84 представлена схема водомера: по го­
ризонтальной трубе переменного сечения протекает вода.
_т
Ah
±_
ЕШ
Рис. 84.
Определить расход воды Q по разности уровней воды ДА
в двух манометрических трубах, если сечения трубы из­
вестны.
335. Схема устройства, позволяющего паровозу на ходу
пополнять запас воды, изображена на рис. 85. Вдоль рельс
устроен канал, наполненный водой. К паровозу приделана
изогнутая труба, опускающаяся в канал так, что её отверстие
направлено вперёд. Подсчитайте, на какую высоту h подни­
мется вода, если скорость v поезда равна 36 км/час. Вяз­
костью воды пренебречь.
336. Один моряк рассказывал, что когда он пытался
в трюме судна закрыть куском доски небольшое отверстие,
через которое врывалась струя воды, то это ему не удава­
лось, струя отбрасывала доску. Когда же с помощью
товарища ему удалось прижать доску плотно к отверстию,
то он мог затем держать её один. Объяснить, почему давле­
ние на доску в обоих случаях различно?
ГИ Д РО Д И Н А М И К А
И АЭРОДИНАМ ИКА
75
337.
Аэродинамическая труба круглого сечения имеет
форму, показанную на рис. 86. Вентилятор находится при
Рис. 85.
выходе потока из трубы (или в цилиндрической части).
1) Рассчитать давление Ар на среднюю цилиндрическую часть
трубы при скорости потока v = 1 0 0 м/сек. 2) Как изменится
результат, если учесть вязкость воздуха?
Рис. 86.
Зав. Будет ли работать пульверизатор, схема устройства
которого изображена на рис. 87, в отсутствии сил вязкости?
339.
Подсчитайте, какая сила F вырывает из бака слив­
ную трубку, если поперечное сечение струи 5 = 4 см2,
76
М ЕХ А Н И КА
(Г Л .
I
а расход воды Q = 24 л/мин. Трубка имеет форму, показан­
ную на рис. 88.
340.
Найти зависимость от времени силы F, действующей
на дно цилиндрического стакана площадью S, в который
наливают воду из чайника, как указано на рис. 89. Известно,
что за секунду в стакан наливают постоянное количество Q см3
воды; р — плотность воды.
ГИДРОДИ НА М ИКА
И АЭРОДИНАМ ИКА
77
341. На тележке стоит цилиндрический сосуд, наполнен­
ный водой. Высота воды в сосуде 1 м. В сосуде с противо­
положных сторон сделано два крана с отверстиями пло­
щадью 10 см2 каждое, одно на высоте At = 25 см над дном
сосуда, а другое на высоте Ла = 50 см. Какую и как
направленную силу F нужно приложить к тележке, чтобы
она осталась в покое при открытых кранах?
342. На приборе для демонстрации давления жидкости
на дно
сосуда (рис. 90) установлен прямой цилиндр
-— ------- Л=25с.«
Рис. 90.
с водой. Высота столба воды в нём h = 25 см. Как изменится
нагрузка, уравновешивающая прибор на весах, если через
отверстие в дне прибора вытекает струя воды сечением
S = |/ 4 см2? Понижения уровня воды в цилиндре можно не
учитывать.
343. Как изменится сила давления воды на щит (см. условия
задачи 322), если поднять его над дном канала, так, что изпод щита будет вытекать струя воды высотой 5 см, а уровень
воды перед щитом останется прежним. Скорость по всей
высоте струи считать одинаковой, а воду перед щитом счи­
тать практически неподвижной.
344. Дать приближённый расчёт максимальной мощности
и определить скорость вращения нижнебойного колеса (схема
колеса приведена на рис. 91), если известны: высота напора
78
МЕХАНИКА
[Г Л .
I
воды h — Ъ м, поперечное сечение струи 5 = 0,06 л а, радиус
колеса / ? = 1 ,5 м. Струя непрерывно бьёт в лопасти.
345.
Вода, вытекающая из насадки пожарного насоса,
имеет скорость, достаточную для того, чтобы струя достигала
высоты 20 м (трением воздуха пренебречь). Насколько под­
нимется температура воды, если направить эту струю в закры­
тый неподвижный бак? Считать, что выделяющееся тепло
пойдёт только на нагревание воды.
346. Гидроледорез представляет собой машину для резания
льда; её работа основана на режущем действии струи воды,
выбрасываемой компрессором под давлением около 60 атм.
Однако высказывалось предположение, что резание льда про­
исходит за счёт того, что при ударе о лёд вода нагревается
и лёд под ней тает. Оцените количественно справедливость
такого предположения.
347. Определить форму свободной поверхности жидкости,
равномерно вращающейся с угловой скоростью ш в цилиндри­
ческом сосуде.
348. Цилиндрический сосуд с водой вращается с угловой
скоростью о>. Найти распределение давления р на дне сосуда
вдоль радиуса.
ГИ Д РО Д И Н А М И К А И АЭРОДИ НА М ИК А
79
349. Сосуд, описанный в предыдущей задаче, делает
4 оборота в секунду. Высота столба воды на оси цилиндра
равна 10 см. Радиус цилиндра равен также 10 см. Найти
давление у стенок сосуда вблизи его дна.
350. Цилиндр, наполненный водой, закрыт со всех сто­
рон, в нём находятся: пробка, кусочек свинца и некото­
рое тело А , плотность которого равна плотности воды,
цилиндр приводят в быстрое вращение вокруг его оси. Как
будут расположены тела в цилиндре, если ось вращения
вертикальна?
351. Цилиндр, наполненный водой, равномерно вращается
со скоростью 1 об/сек вокруг вертикальной оси, увлекая
за собой и воду. На гладком горизонтальном стержне, рас­
положенном по диаметру цилиндра и погруженном в воду,
надет кубик с ребром в 2 см, сде­
ланный из материала с плотностью
р = 2 г/см9. Кубик удерживается
пружинкой на расстоянии 50 см от
оси цилиндра. Найти натяжение пру­
жинки Т.
352. Во вращающемся сосуде да­
вление на дно у стенки сосуда (см.
задачу 349) больше, чем в центре.
Почему же вода не течёт при враще­
нии сосуда от стенки к его центру?
353. Можно ли измерить распре­
деление давления жидкости во вра­
щающемся сосуде таким образом,
как указано на рис. 92?
Манометрическая трубочка В вра­
щается вместе с сосудом и запол­
няется той же жидкостью, что и сосуд. Для измерений её можно
передвигать вдоль радиуса сосуда. Каков будет уровень
жидкости в трубочке В при вращении всей системы и какому
давлению он будет соответствовать?
354. В сосуде, изображённом на рис. 92, над водой
находится масло. Какую форму принимает теперь поверхность
воды при вращении сосуда около вертикальной оси?
355. Вращающаяся в сосуде вода приняла форму, изо­
бражённую на рис. 93. Высота воды у стенки сосуда h — 15 см.
80
МЕХАНИКА
[гл . I
Найти силу F, действующую на вертикальную полосу стенки
сосуда шириной в 1 см.
356.
Некто предложил следующий проект вечного двига­
теля. Сосуд Л (рис. 94) плотно окружён кольцевым жёлобом С
с трубкой В; стенки сосуда имеют отверстия Е, через которые
жидкость из сосуда проходит в жёлоб С и трубку В. Сосуд Л
может вращаться, а
жёлоб С остаётся при
этом в покое. Легко
видеть, что при враще­
нии возникает движе­
ние
жидкости
по
Рис. 93.
трубке Щ если она предварительно вся была заполнена
жидкостью. При равномерном вращении сосуда А жидкость
будет переливаться через трубку ZJ, и струю жидкости можно
использовать для приведения во вращение водяного колеса D.
Автор проекта предлагал часть работы водяного колеса,
через специальную передачу, использовать на преодоление
трения при равномерном вращении сосуда (передача не пока­
зана на рис. 94). Почему не будет работать такой двигатель?
357.
В боковой стенке сосуда с квадратным сечением
имеется отверстие, нижний край которого находится на высоте h
(рис. 95). При каком горизонтальном ускорении а сосуда
налитая в него жидкость не будет выливаться из отверстия,
если в покоящемся сосуде (при закрытом отверстии) жидкость
была налита до высоты Я ? Как расположится поверхность
жидкости ?
ГИДРОДИНАМ ИКА
И
АЭРОДИНАМ ИКА
81
358. На рис. 96 изображён известный опыт с течением
вязкой жидкости по трубе, показывающий падение дав­
ления вдоль трубы. Можно ли на основании данных,
указанных на чертеже, определить скорость вытекающей
жидкости, если плотность её равна 1 г/см3?
359. Формула для опре­
деления подъёмной
силы
крыла самолёта была впер­
вые выведена профессором
Н. Е. Жуковским.
Для
н
элементарного вывода этой
формулы (приведённой в сле­
дующей задаче) в случае до­
статочно длинной пластинки,
Рис. 95.
поставленной под очень не­
большим углом а к однородному потоку жидкости, следует
прежде всего доказать, что сила, действующая на элемент
поверхности d S пластинки, равна
пт
pv ( v B— v B) d S ,
где р— плотность жидкости, v — скорость потока вдали от
пластинки, v B— скорость потока непосредственно над элемен-
том поверхности пластинки,
— скорость под элементом
поверхности. На рис. 97 схематически представлено поло­
жение пластинки в потоке: а — ширина (хорда) пластинки,
а — угол атаки; длина пластинки / ^ > а перпендикулярна
к плоскости чертежа.
6
Зак. 5182. Сборник задач, i. I.
82
МЕХАНИКА
[Г Л . I
Доказать приведённую выше формулу, считая жидкость
несжимаемой и невязкой, т. е. считая применимым уравнение
v
Рис. 97.
Бернулли. Считать также, что скорость вблизи
мало отличается от скорости потока и что
пластинки
Последнее условие означает, что если скорость под пла­
стинкой немного уменьшится, то над пластинкой она воз­
растёт.
360. Формула Н. Е. Жуковского для величины подъём­
ной силы (см. условия предыдущей задачи), действующей
на отрезок к о н е ч н о й д л и н ы Ь пластинки /, находящейся
в потоке жидкости ( / ^ > Ь), может быть представлена в виде
а
F = pvb
[vB(лс) — v B(*)] dx,
о
J
где х — длина, измеренная вдоль хорды пластинки.
Вывести формулу Жуковского из результатов предыдущей
задачи.
§ 13. А кустика
361. Между вспышкой молнии и раскатом грома прошло
5 сек. Как далеко произошёл грозовой разряд?
362. Пуля пролетела со скоростью 660 м/сек на расстоя­
нии 5 м от человека. На каком расстоянии от человека была
пуля, когда он услышал её свист?
363. Два камертона дают 20 биений за 10 сек. Число
колебаний одного камертона 256; чему равна частота коле­
баний другого?
§ 13]
АКУСТИКА
83
364. При одном измерении скорости звука по методу
стоячей волны (рис. 98) длина полуволны звука в воздухе
оказалась равной 6 см. Чему равна скорость v звука в стержне,
Поршень «нят~ и
~т
зе
Ij | g
Труба
ь
п
ЗЕ
I
I
I
I -
Рис. 98.
если длина стержня равна 60 см и закреплён он в середине?
(Об этом методе измерений скорости звука см. любой учебник
физики.)
365. Длина закрытой с концов трубы равна 1,7 м. Под­
считать собственные частоты Nk этой трубы.
366. Найти частоты Л/*, на которые будет резонировать
труба длиною 1,7 м, закрытая с одного конца.
367. В цилиндрической, открытой с концов трубе воз­
буждаются колебания, соответствующие третьей гармонике.
Показать графически распределение амплитуды смещения
частиц вдоль трубы, распределение амплитуд скорости и
амплитуд давлений. Указать места, в которых потенциальная
и кинетическая энергии имеют наибольшее значение.
368. Какова длина L струны, если при укорочении её
на 10 см частота колебаний повышается в 1х/а раза? На­
тяжение струны остаётся неизменным.
369. Паровоз подходит к наблюдателю со скоростью
20 м/сек. Какую высоту основного тона гудка он услышит,
если машинист слышит тон в 300 герц? Насколько изменится
частота гармоник этого тона гудка?
370. Эхолот измеряет глубину моря по отражению звука
от морского дна. Какова должна быть минимальная точность
в определениях времени отправления и возврата сигнала,
если прибор рассчитывается на измерение глубин более 30 м
с точностью до 5 % (скорость звука в воде « 1 5 0 0 м/сек)?
371. Имеются два источника колебаний, дающих две
системы синусоидальных волн. Каково будет движение частицы,
находящейся на расстояниях dt и rfa от этих источников, если
источники колеблются в одинаковой фазе и с одинаковой
частотой и если направления колебаний в рассматриваемой
точке совпадают?
6*
МЕХАНИКА
[Г Л .
I
372. Определить сжимаемость воды, если скорость звука
в воде примерно равна 1500 м]сек. (Коэффициент сжимаемости
равен относительному уменьшению объёма при увеличении
давления на 1 атм.)
373. В жидком гелии, обладающем при 7 '= 4 ,1 ° К плот­
ностью 0,15 г/см2, скорость звука равна 220 м/сек. Найти
сжимаемость жидкого гелия р.
374. Стержень с закреплёнными концами имеет д л и н у /= 1 м.
При трении стержень издаёт звук частоты v0 = 700 герц.
Какова скорость с звука в стержне? Какие обертоны может
иметь звук, издаваемый стержнем?
375. Две струны имеют одинаковую длину и натяжение.
Как относятся периоды их собственных колебаний, если диа­
метр одной струны в два раза больше диаметра другой?
Струны сделаны из одного материала.
376. Как следует изменить натяжение струны, чтобы она
давала тон в три раза более низкий?
377. Объяснить, почему скорость звука в воздухе не за­
висит от барометрического давления?
378. Законы распространения ультразвуковых волн в воз­
духе впервые были исследованы профессором Н. П. Неклепаевым в лаборатории П. Н. Лебедева.
Подсчитать максимальное ускорение и максимальную ско­
рость частицы воздуха в ультразвуковой волне с частотой
50 000 герц и амплитудой смещения частицы в 0,1 р.
379. Струна звучит с частотой 400 герц. В каком месте
и как следует задержать движение струны, чтобы она давала
следующие звуки: 1) 800 герц, 2) 1200 герц? Можно ли,
зажимая струну, понизить частоту её звучания?
380. Показать, что для любой бегущей акустической
волны относительное изменение давления— в данной точке
Р
равно отношению скорости частицы к скорости звука, умнос __
женному на f —
— 1«4.
381. Некоторая плоская бегущая акустическая волна
может быть представлена следующим уравнением:
у = 0 ,0 5 sin ( 1 9 8 0 / — 6 jc) cm,
где у — смещение частицы в направлении распространения
волны, t — время в секундах, х — координата на оси, вдоль
АКУСТИКА
85
которой распространяется волна. Найти: 1) частоту колеба­
ний v в секунду, 2) скорость с распространения волны,
3) длину волны X, 4) амплитуду колебаний скорости и
каждой частицы и 5) амплитуду колебаний давленияЛ/7,
если давление р и объём v связаны законом адиабаты
p V i.i
__ const.
382. По одному направлению бегут две синусоидальные
плоские волны со скоростями распространения
и va и
длинами волн Xj и Х2 соответственно. Найти скорость и
перемещения в пространстве тех точек, где' колебания, со­
ответствующие каждой волне, находятся в одинаковой фазе.
Найти такие расстояния Л между двумя подобными точками,
которые, очевидно, будут расположены периодически вдоль
направления распространения волн.
383. Понятие групповой скорости можно весьма на­
глядно иллюстрировать, разобрав следующий пример. Пусть
идут рядом две команды физкультурников:мужская и женская.
В каждой команде люди идут цепочкой, один за другим
с интервалами в женской команде dv в мужской d.3. Женская
команда движется со скоростью г»,, мужская со скоростью г»2.
Через определённые промежутки времени мимо неподвижного
наблюдателя проходит пара идущих рядом физкультурников.
Если наблюдатель сам начнёт двигаться, то он может эти
промежутки времени уменьшить. С какой скоростью и дол­
жен двигаться наблюдатель, чтобы мимо него физкультурники
проходили только парами?
384. Амплитуда давления звуковой волны Ар = 100 дин/см3
(громкий звук).
Найти поток энергии /, попадающей за 1 сек. в ухо че­
ловека. Площадь уха S считать перпендикулярной к напра­
влению распространения волны и равной 4 сла. Плотность
воздуха р = 1,3 • 1 0 -3 г/см3, скорость звука 334 м/сек.
385. Человек с хорошим слухом может ещё слышать
звук с колебанием давления до 0,001 дин/см? при частоте
2000 герц. Подсчитать амплитуду А смещения частиц воздуха
в такой волне.
386. Акустический резонатор представляет собой обычно
шарообразную полость с нешироким горлом и трубочкой
на противоположном конце (рис. 99). Акустическая волна
приводит в колебание воздух в горле резонатора. Масса этого
86
МЕХАНИКА
(ГЛ. I
воздуха колеблется вдоль горла, а воздух в большой полости
по отношению к этой массе играет роль пружины, так как
скорость воздуха в уз­
ком горле велика по
сравнению со скоро­
стью воздуха в боль­
шой полости.
Найти период соб­
ственных
колебаний
воздуха в резонаторе,
считая известными пло­
щадь сечения горла,
его длину, объём ша­
ровой полости и ско­
Р и с. 99.
рость звука в воз­
духе. Воспользоваться
аналогией с задачей 281 о колебаниях поршня закрывающего
цилиндр с газом.
387.
Как изменится частота, на которую будет резони
ровать акустический резонатор, если его наполнить водоро­
дом вместо воздуха? (Плотность водорода относительно
воздуха 0,069.)
Г Л А В А II
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 14. Электростатика
388. Чтобы представить себе, как велик статический
заряд в 1 кулон, подсчитайте, с какой силой F отталкива­
лись бы два одноимённых заряда величиной каждый в 1 кулон,
находясь на расстоянии в 1 км.
389. С какой силой F притягивается электрон водород­
ного атома к ядру, если поперечник атома водорода по­
рядка 2 • 1 0 - 8 см}
Q 390. Два одинаковых шарика радиуса г = 1 сж и массы
/и = 9,81 г подвешены на шелковинках длиной 1 = 1 9 см
в одной точке. Шарикам сообщены одинаковые по вели­
чине и знаку заряды. Как велик заряд qx каждого шарика,
если они разошлись так, что шелковинки образуют угол
2а = 90°?
391. Будет ли устойчивым положение равновесия точеч­
ного заряда, находящегося посредине между двумя другими
одинаковыми точечными зарядами, знак которых тот же или
противоположен знаку первого заряда?
392. В вершинах квадрата со стороной а находятся оди­
наковые одноимённые заряды — е. Какой заряд ех противо­
положного знака необходимо поместить в центре квадрата,
чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд,
была равна нулю?
393. Три одинаковых заряда е расположены в верши­
нах равностороннего треугольника. Какой заряд х нужно
поместить в центре этого треугольника, чтобы результи­
рующая сила, действующая на каждый заряд, была равна
нулю?
88
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ Г Л . II
394. Доказать, что заряды каждого знака, индуцирован­
ные на проводнике А поднесённым к нему зарядом -\-е
(рис. 100), всегда меньше е.
395. Определить напряжённость поля Е внутри и вне
безграничного плоского слоя толщиной d, в котором равно­
мерно распределён положительный заряд плотностью р.
/*"
У к а з а н и е . Воспользоваться сим't- е (-*
метрией системы зарядов и применить
V ________X
теорему Гаусса-Остроградского.
9 396. Большая вертикальная пластина
Рис. 100.
заряжена равномерно с поверхностной
плотностью a = 1 0 C G S E . На прикре­
плённой к пластине нити длиной 1 = 5 см подвешен шарик
массы т = 1 г, несущий заряд того же знака, что и пла­
стина. Найти его заряд е, если нить образует с вертикалью
угол © = 30°.
397. Два длинных тонких провода, расположенных парал­
лельно на расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены
разноимёнными зарядами с линейной плотностью -f-o и — о.
Определить напряжённость поля Е в точке, лежащей в пло­
скости симметрии на расстоянии х от плоскости, в которой
лежат провода.
У к а з а н и е . Пользуясь теоремой Гаусса-Остроградского,
найти напряжённость поля, создаваемого каждым из прово­
дов, а затем геометрическую сумму этих полей.
398. Диск радиуса R заряжен равномерно с поверхно­
стной плоскостью о. Определить напряжённость поля Е
в точке, находящейся на пер­
пендикуляре к диску, прохо+ t__ Ь___ иА
дящем через его центр, и
!.
отстоящей от диска на рас­
стоянии h. '
399. На расстоянии h ж ш ш & ш ш т е ш ш ш ш ш ш .
от проводящей бесконечной
Рис. 101.
плоскости находится точеч­
ный заряд Ц-е. Определить напряжённость поля Е в точке А
(рис. 101), отстоящей от плоскости и от заряда на расстоянии А.
400. Бесконечная плоскость равномерно заряжена поло­
жительно. Поверхностная плотность заряда равна о. Найти
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
89
разность потенциалов V между точкой А, находящейся на
расстоянии d от плоскости, и самой плоскостью.
401. Начертить схему силовых линий и эквипотенциаль­
ных поверхностей для системы двух точечных зарядов - \ е
и -|-'4г.
У к а з а н и е . Найти точку, в которой напряжённость поля
равна нулю. Найти точки на прямой, соединяющей заряды,
в которых потенциал имеет то же значение, что и в точке,
в которой напряжённость поля равна нулю. На большом
расстоянии от зарядов картина распределения поля должна
иметь сферическую симметрию.
402. Два разноимённых точечных заряда, отношение
величин которых равно п, расположены на расстоянии d
друг от друга. Доказать, что поверхность нулевого потен­
циала есть сферическая поверхность, и определить радиус R
этой сферы и расстояние х центра её от меньшего за­
ряда.
403. Показать, что для проводов задачи 397, располо­
женных достаточно далеко друг от друга, т. е. d^$> г, где
г — радиус провода: 1) эквипотенциальные поверхности суть
цилиндры, оси которых параллельны проводам и лежат
с ними в одной плоскости; 2) в плоскости, перпендику­
лярной к проводам, силовые линии — окружности, центры
которых лежат на прямой, проходящей через середину
отрезка, соединяющего следы проводов перпендикулярно
к нему.
404. Начертить схему силовых линий и эквипотенциаль­
ных поверхностей для системы двух точечных зарядов -}-е
и — Ае.
У к а з а н и е . Найти точку, в которой напряжённость поля
равна нулю. Найти сферу нулевого потенциала, а также
точку на прямой, соединяющей заряды, в которой потенциал
тот же, что и в точке, где напряжённость поля равна нулю.
На большом расстоянии от зарядов поле должно иметь сфе­
рическую симметрию.
405. Металлический шар радиуса R соединён с землёй.
На расстоянии d — 2R от центра этого шара находится
электрический заряд -\-е. Чему равен отрицательный заряд
шара е'? Поверхность земли и все остальные предметы
можно считать достаточно удалёнными.
90
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[гл . П
406. Доказать, что сила взаимодействия между зарядом
4- е и проводящей бесконечной плоскостью, отстоящей
от заряда на расстоянии d, такая же, как между данным
зарядом и зарядом —е, расположенным симметрично отно­
сительно плоскости.
407. Найти потенциал поля, созданного зарядами, равно­
мерно распределёнными вдоль бесконечной прямой с плот­
ностью о.
408. Прямой длинный цилиндрический проводник радиуса г
несёт положительный заряд с равномерной поверхностной
плотностью о. Какова разность потенциалов V между поверх­
ностью цилиндра и точкой А, находящейся на расстоянии d
от оси цилиндра?
409. Дано, что потенциал поля в некоторой области
зависит только от координаты х и притом следующим обраCLX%
■
зом: = ---- 2 »
Какова будет напряжённость поля?
При каком распределении зарядов получится такое поле?
410. Принимая Землю за шар радиуса 6000 км, опре­
делить заряд е Земли, если напряжённость электрического
поля у поверхности Земли составляет 100 в/м. Определить
потенциал <р поверхности Земли.
411. Очень маленький шарик, несущий заряд -\-е, под­
несён к большому металлическому листу на расстояние h.
Чему равна напряжённость поля Е: 1) у основания перпен­
дикуляра, опущенного из шарика на плоскость листа; 2) на
расстоянии 2/г от плоскости на том же перпендикуляре?
412. Два одинаковых положительных заряда е находятся
на одинаковом расстоянии d от безграничной проводящей
плоскости по одну сторону от неё. Расстояние между заря­
дами равно 2d. Найти величину и направление вектора
напряжённости поля на середине расстояния между зарядами.
413. Заряженный проводник находится внутри замкнутой
металлической оболочки. 1) Изменится ли электрическое
поле внутри оболочки, если извне поднести к ней заряжен­
ный проводник? 2) Будет ли изменяться поле вне оболочки,
если внутренний проводник перемещать внутри оболочки?
414. Какова была бы напряжённость поля Е в центре
сферической поверхности радиуса R, если бы одна половина
этой поверхности была покрыта зарядами с постоянной
§ HI
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
91
плотностью а, а другая половина также равномерно покрыта
зарядами, но с вдвое большей плотностью?
416. Металлический шар несёт некоторый заряд. Если
шар заключить в концентрическую сферическую оболочку
из диэлектрика с диэлектрической постоянной е, то как
изменится напряжённость поля вне и
внутри оболочки?
416. Что можно ответить на вопрос
________j_________
предыдущей задачи, если оболочка будет иметь не сферическую, а произволь­
ную форму?
417.
Между двумя параллельными
проводящими пластинками, наэлектри­
Рис. 102.
зованными равными разноимёнными зарядами, вносят диэлектрическую пла­
стинку, как указано на рис. 102. Как изменится напряжён­
ность поля в точке А после внесения диэлектрической пла­
стинки (дать качественный ответ).
418. Какой наибольший заряд Q можно поместить на
металлическом шаре радиуса R = 15 см, если диэлектри­
ческую прочность воздуха Е принять равной 30000 в/см?
419. Как известно, сила поверхностного натяжения
жидкой плёнки обратно пропорциональна радиусу её кривизны.
Будет ли устойчивым мыльный пузырь, если сообщить ему
некоторый заряд ?
420. По сферической поверхности радиуса R равномерно
распределены заряды с плотностью о. Найти потенциал в и
напряжённость поля Е зарядов в зависимости от расстоя­
ния d от центра сферы. Построить графики этих ве­
личин.
421. Металлический шар радиуса R u несущий заряд Q,
окружён расположенным концентрически полым металли­
ческим шаром с внутренним радиусом /?2 и внешним Ra.
Заряд внешнего шара равен нулю. Построить график напря­
жённости поля, как функции R. Найти потенциалы шаров,
если в бесконечности потенциал равен нулю. Изменятся ли
потенциалы шаров, если внешний шар заземлить?
422. Вычертить графики зависимости напряжённости поля
и потенциала от расстояния для следующего случая: заря­
женный шар радиуса 10 см окружён диэлектриком с диэлек­
92
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ГЛ . II
трической проницаемостью, равной 2, причём диэлектрик
простирается до сферы радиуса 20 см.
423. Два проводника имеют заряды — е и —
j—2е соот­
ветственно. Эти проводники вносят внутрь замкнутой метал­
лической оболочки, потенциал которой равен V. Показать,
что потенциал проводника, несущего заряд -j- 2е, будет
больше V.
424. Мыльный пузырь радиуса R находится в равновесии.
Если ему сообщить некоторый заряд, он будет раздуваться
вследствие появления сил взаимодействия между зарядами,
стремясь перейти к новому устойчивому радиусу R l > R
(см. задачу 419). Какой заряд нужно поместить в центре
пузыря, чтобы уравновесить действие этих сил при его преж­
нем радиусе ?
425. Какое поле создавали бы две взаимно перпендику­
лярные плоскости, если бы на них были нанесены равно­
мерно электрические заряды одного знака с плотностью
заряда на одной о, а на другой 2а?
426. Определить эквипотенциальные поверхности и закон
изменения потенциала на несущих заряды плоскостях преды­
дущей задачи.
427. Заряд распределён равномерно (с одинаковой плот­
ностью) по поверхности двух концентрических сфер с радиу­
сами 10 см и 20 см. Найти плотность заряда а, если потен­
циал в центре равен 300 в, а в бесконечности равен нулю.
428. Два концентрических проводящих шара радиусами
R и 2R заряжены: внутренний одним микрокулоном, внеш­
ний— двумя микрокулонами электричества одного и того
же знака. На расстоянии 3R от центра шаров потенциал
ср= 30 CGSE. Найти R.
429. Каково было бы распределение поля в пространстве
между плоскостями задачи 425, если бы в дополнение
к зарядам на плоскостях заряды были равномерно нанесены
с плотностью — За по поверхности цилиндра радиуса R, ось
которого совпадает с прямой пересечения заряженных пло­
скостей ?
430. Какова была бы напряжённость поля в произвольной
точке пространства, если бы заряды были равномерно распре­
делены с плотностью о на бесконечной плоскости1 и на по­
верхности сферы радиуса R с центром на данной плоскости.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
93
431. Подсчитать среднюю плотность р электрических
зарядов в атмосфере при следующих условиях: известно,
что напряжённость электрического поля на поверхности
земли равна 100 в/м, а на высоте Л = 1 , 5 км эта напря­
жённость падает до 25 в/м.
432. Три хорошо изолированные параллельные пластинки
расположены на равном расстоянии друг от друга, как ука­
зано на рис. 103. Пластинка 1 со­
единена с землёй и, кроме того, пла­
стинки 1 и 3 присоединены к за­
жимам батареи в 80 в. Батарею от­
ключают и после этого пластинку 1
отключают от земли, а пластинку 2
присоединяют к земле. 1) Чему бу­
дет равна разность потенциалов
между пластинками 1 и 2; 2 и 3?
2) Какова будет разность потенциа­
лов между пластинками, если сна­
чала, после отключения батареи,
соединить с землёй пластинку 2,
Рис. 103.
а затем уже отключить от земли пла­
стинку 1 и, наконец, пластинку 2?
433. Даны потенциалы V{, V2, Vb и V4 в четырёх близко
расположенных точках, не лежащих в одной плоскости. Как
определить напряжённость поля в области этих точек?
434. Три пластинки расположены параллельно друг другу
на расстоянии 1 мм одна от другой. Каковы разности потен­
циалов между пластинками, если на первой находится равно­
мерно распределённый заряд плотностью -(- 0 ,2 CGSE, на
второй -}^0,4C G SE и на третьей-j-0 ,6 CGSE?
435. Как изменится разность потенциалов между пла­
стинками предыдущей задачи, если пространство между пла­
стинками заполнено диэлектриком с диэлектрической про­
ницаемостью е = 2 ? Чему равна напряжённость поля Е вне
пластинок?
436. Два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра
с радиусами /?, = 10 мм и /?а = 10,5 мм заряжены одно­
имёнными зарядами, причём плотность зарядов на внешнем
цилиндре 2 CGSE/см2, а па внутреннем 1 CGSE/с л 2. Найти
разность потенциалов V между цилиндрами.
94
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . Н
437. Определить величину напряженности Е электриче­
ского поля вне цилиндров при условиях предыдущей задачи.
438. В электрическом поле точечного заряда е на рас­
стоянии R находится свободно поворачивающийся элек­
трический диполь с электрическим моментом ft. Какую ра­
боту А надо совершить, чтобы удалить диполь в беско­
нечность ?
439. Может ли существовать электростатическое поле,
вектор напряжённости которого Е будет во всём объёме
поля одинаково направлен, но по величине
• ___________ I будет возрастать в нормальном к полю на­
правлении, например, по линейному закону
(рис. 104)?
—
440. Имеется заряженный до некоторого
_______ положительного потенциала изолированный
проводник. Что произойдёт с потенциалом
--------этого проводника, если приблизить к нему
_____;
на конечное расстояние проводящую пло­
скость, соединённую с землёй?
Рис. 104.
ф у | к ак изменится разность потенциа­
лов между двумя изолированными заряжен­
ными проводниками, если между ними ввести металлическую
пластину?
442. Две одинаковые металлические пластины площадью
S, находящиеся друг от друга на очень малом по сравне­
нию с размерами расстоянии d, заряжены: одна зарядом
-\-е , а другая -\-2е. Какова разность потенциалов V меж­
ду ними?
443. Каков будет характер электрического поля в про­
странстве между пластинами и вне их в условиях предыду­
щей задачи? Определить величину напряжённости поля
с внешней стороны пластин вблизи их середины.
$ 444. Две проводящие концентрические сферы имеют
радиусы А!, = 10 см и /?а = 20 см. На каждой из них рав­
номерно распределён заряд Q = —
j—50 CGSE. Чему равна
разность потенциалов V между ними и какова напряжён­
ность поля, создаваемая этими зарядами?
445.
Металлический шар диаметром в 20 м заряжен
одним кулоном. 1) Каков будет потенциал шара относительно
бесконечно удалённой концентрической с ним сферы ? 2) Удер-
|
§5
N
5 И]
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
65
жится ли заряд на шаре, если он будет окружён воздухом,
диэлектрическая прочность которого 3 кв/мм?
446. Два одинаковых круглых диска радиуса R, заря­
женные разноимёнными зарядами, распределёнными равно­
мерно с поверхностной плот­
ностью о, находятся на не­
•А
большом расстоянии d друг от
h\
друга. Найти напряжённость
поля в точке А, расположенной
на общей оси дисков на рас­
стоянии h от ближайшего диска
(рис. 105).
447. Два толстых цилин­
дрических металлических диска
Рис. 105.
образуют плоский конденса­
тор. Где напряжённость поля
будет больше: в точке А
(в середине конденсатора) или
в точке В (рис. 106) (у края
•В
>/7
пластины)?
448. Обкладки плоского
конденсатора сделаны из прямо­
угольных полосок фольги разРис. 106.
мером 5 X Ю смг, наклеенных
на парафинированную бумагу (е = 2) толщиной 0,1 мм.
К конденсатору приложена разность потенциалов 100 в.
Какой заряд. Q (в электростатических единицах) находится
на каждой из обкладок?
449. Как изменится напряжённость поля между обкладками
уединённого плоского конденсатора, если на одной из обкла­
док заряд будет увеличен в 2 раза?
450. Плоский конденсатор имеет ёмкость 600 мкмкф.
Насколько изменится его электроёмкость, если ввести между
обкладками параллельно им медный листок, толщина кото­
рого равна */4 зазора между обкладками? Будет ли влиять
на результат положение листка?
451. Металлический шар радиуса 5 см окружён шаровым
слоем диэлектрика (е = 7) толщиной \ см н вторым метал­
лическим шаром радиуса 7 см, расположенным концентрично
с первым. Чему равна электроёмкость С такого конденсатора?
96
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ г л л II
452.
В катодной лампе анод, сетка и катод образуют
конденсаторы малых ёмкостей, которые оказываются вклю­
чёнными, как показано на рис. 107. Если обозначить: Сад —
ёмкость анод— сетка, Cg f— ёмкость сет­
ка — катод, Ca f — ёмкость анод— катод, то
чему будет равна ёмкость С, включённая'
между точками А и В ?
'■’OS453.
Для измерения
электродами трёхэлектродной лампы по­
Cafступают так: соединяют накоротко сетку
и
анод и измеряют ёмкость Ct между
cgf~
катодом и остальными электродами; затем
соединяют накоротко катод и анод и изме­
ряют ёмкость С2 между сеткой и осталь­
Рис. 107.
ными электродами;наконец, соединяют на­
коротко сетку и катод и измеряют
ёмкость С3 между анодом и остальными электродами. Как,
измерив Cj, С2 и С3, определить междуэлектродные ёмкости
(рис. 107).
-af>
454. Батарея из четырёх одинаковых конденсаторов вклю­
чена один раз по схеме а, а другой раз по схеме б (рис. 1 0 б ) .
1) В каком случае ёмкость батареи будет больше? 2) Если
ёмкости конденсаторов различны,
то какому соотношению
они
должны удовлетворять, чтобы при
переключении со схемы а на схему б ёмкость батареи не меня­
лась?
455. Показать, что формулы
электроёмкости цилиндрического
и сферического конденсаторов пе- ___
1
реходят в формулу для электро­
ёмкости плоского конденсатора
при малых разностях между ра­
диусами внутренней н внешней
Рис. 108.
обкладок.
456. В трансформаторах высокого напряжения для про­
ведения провода через крышку употребляются так называе­
мые конденсаторные клеммы. Они представляют собой тонкие
коаксиальные цилиндрические изолирующие трубки, отделяю-
iHHHb]
IHHHb
ЭЛ Е К Т РО С Т А ТИ К А .
97
щиеся друг от друга тонкими листами станиоли, образуй
комбинацию последовательно соединённых цилиндрических
конденсаторов (рис. 109). Как должна
меняться длина изолирующих трубок,
чтобы все эти конденсаторы имели оди­
наковую ёмкость? В чём смысл при­
менения таких конденсаторных клемм?
457. Плоский конденсатор состоит
из двух пластин, находящихся друг от
друга на расстоянии 0 ,5 мм. Как изме­
нится электроёмкость конденсатора,
если его поместить в металлическую
коробку («экранировать»), стенки ко­
торой будут на расстоянии 0,25 мм от
пластин (рис. 110). Влиянием краёв
пренебречь.
458. Как изменится ёмкость поме­
щённого
в коробку
конденсатора
(см. предыдущую задачу), если коробку соединить с одной
из пластин?
459. Два конденсатора, ёмкости которых Ct и С2, соединены
последовательно и присоединены к источнику постоянного
напряжения -в V в. Как распре­
/I
делится это напряжение между
конденсаторами ?
JV
Рис. 110.
е-± .
Рис. 111.
460.
Четыре одинаковых конденсатора соединены, как
указано на рис. 111, и присоединены к батарее Е. Ключ У/
сначала разомкнут, а ключ / замкнут. Затем размыкают
ключ / и замыкают ключ //. Какова будет разность потен­
циалов на каждом конденсаторе, если эдс батареи Е = 9 в?
& 461. Решить предыдущую задачу при условии, что ключ /
замыкают и размыкают при замкнутом ключе //.
462.
Как известно, угол расхождения листочков электро­
скопа, соединённого с заряженным проводником, зависит
•
7
Зак. 5182. Сборник задач, ч. I.
98
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ г л . II
от потенциала этого проводника. Какому условию должна
удовлетворять электроёмкость этого электроскопа, чтобы
возможно точнее измерять потенциал проводника?
463. Две параллельные пластины заряжены одноимённо,
причём плотность заряда на одной пластине <^ = -{-1 CGSE,
а на другой oa = -f-2 CGSE.
( ________ Ш ________ i Расстояние между пластинами
d у////////////////////////////////////. D D = 1 см. Между пластинами
*
—7
вставлена парафиновая плоскор ис j j 2
параллельная пластинка толщиной
d = 5 мм (рис. 112). Диэлектри­
ческая проницаемость парафина е = 2. Определить разность
потенциалов V (в вольтах) между пластинами.
464. В условиях предыдущей задачи определить: 1) напря­
жённость поля Е1 между пластинами вне диэлектрика; 2) на­
пряжённость поля Е2 внутри диэлектрика; 3) силу F, дей­
ствующую на 1 см9 пластины.
465. Для измерения заряда наэлектризованного провод­
ника можно воспользоваться электрометром, который пока­
зывает разность потенциалов. Для этого прежде всего изме­
ряют разность потенциалов Vx между проводником и
землёй. Затем к проводнику присоединяют известную электро­
ёмкость С0, вторая обкладка которой соединена с землёй,
и измеряют новую разность потенциалов V2. Как из подоб­
ных измерений определить величину заряда? От чего зави­
сит точность определения заряда?
466. Цилиндрический конденсатор состоит из проволоки
диаметром 5 мм и коаксиального цилиндра диаметром 5 см.
До какой разности потенциалов V можно зарядить этот кон­
денсатор, если диэлектрическую прочность воздуха при задан­
ных условиях можно считать равной 30 т /см?
Ф 467. Расстояние между обкладками плоского конденсатора
равно d и заполнено двумя слоями диэлектриков. Толщина
слоя первого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью et
равна d v. Диэлектрическая проницаемость второго диэлек­
трика равна еа. Площадь каждой обкладки равна S. Найти
ёмкость С конденсатора.
468.
Пространство между пластинами плоского конденса­
тора, расстояние между которыми равно d, заполнено ди­
электриком. Найти ёмкость С конденсатора в двух случаях:
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
99
]) диэлектрик состоит из двух пластин одинаковой толщины,
но с различными диэлектрическими проницаемостями
и е2,
причём пластины расположены параллельно пластинам кон­
денсатора, и 2) половина конденсатора заполнена одним
диэлектриком, а вторая половина — другим так, что граница
раздела между диэлектриками расположена перпендикулярно
к пластинам конденсатора. Площадь пластины равна 5 .
'Показать, что в первом случае ёмкость конденсатора всегда
меньше, чем во втором случае.
469. Между пластинами плоского конденсатора, площадь
которых 5, помещён сложный диэлектрик, состоящий из п
слоёв вещества с диэлектрической проницаемостью г, и из п
слоёв вещества с диэлектрической проницаемостью е2, Слои
чередуются и каждый имеет толщину d. Найти ёмкость
конденсатора С.
470. Пространство между пластинами плоского конден­
сатора, площадь которых S, заполнено диэлектриком, ди­
электрическая проницаемость которого линейно меняется
от значения ех у одной пластины до значения еа < et у дру­
гой. Расстояние между пластинами d. Найти ёмкость кон­
денсатора С.
471. К плоскому конденсатору, расстояние между пла­
стинами которого d, присоединена батарея, поддерживающая
постоянной разность потенциалов V. В конденсатор вводят
диэлектрик, заполняющий всё пространство между пласти­
нами. Диэлектрическая проницаемость это­
го диэлектрика е. Насколько изменится
плотность электрического заряда на пла­
стинах конденсатора?
472. Какова напряжённость поля Е в
воздушном зазоре плоского конденсатора,
если разность потенциалов между пласти­
нами V — 200 в? Расстояние между пласти­
нами D = 0,2 см и между ними находится
Рис. 113.
лист стекла ( е = 7 ) толщиной d — 0,1 см.
9 473. Сферический конденсатор наполовину наполнен ди­
электриком с диэлектрической проницаемостью е = 7. Ра­
диусы поверхностей: внутренней г = 5 см, внешней R — 6 см
(рис. 113). Определить ёмкость С конденсатора, пренебре­
гая искривлением поля на границе между полусферами.
7*
100
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ГЛ. II
474. Найти поле между обкладками сферического кон­
денсатора, если радиус внутреннего шара 5 см, а внешнего
7 см; пространство между шарами заполнено диэлектриком
с диэлектрической проницаемостью 5; на внутреннем шаре
находится заряд в 5000 CGSE.
475. В диэлектрической среде с диэлектрической прони­
цаемостью е имеется однородное поле напряжённостью Е.
Внутри среды находится сферическая полость.
Найти напряжённость поля Е' в центре
сферы, созданного зарядами, индуцирован­
ными на поверхности сферы.
У к а з а н и е . Поверхностная плотность
индуцированных зарядов на площадке, по­
ставленной под углом 0 к перпендикуляру
Рис 114
к вектоРУ поляризации Р, равна вектору по­
ляризации диэлектрической среды, умножен­
ной на cos в (рис. 114). Выразить напряжённость поля в центре
сфе^ы, создаваемую индуцированным зарядом на элементе
поверхности сферы, и проинтегрировать затем по всей сфере.
476. Показать, что взаимная ёмкость двух концентриче­
ских сферических поверхностей, достаточно удалённых от
поверхности земли и других проводников, при заземлён­
ной внутреннней сфере может быть выражена формулой
/?2
С= ^
■, где /?2 и /?, — соответственно радиусы внеш­
ней и внутренней сфер.
477. Цилиндрический конденсатор, радиусы обкладок
которого один вдвое больше другого, заполнен диэлектри­
ком с диэлектрической проницаемостью е и заряжен до раз­
ности потенциалов V. Найти напряжённость электрического
поля Е в точке, находящейся на расстоянии d от оси цилиндра.
478. Конденсатор присоединён к источнику постоянного
напряжения (батарее). Изменится ли напряжённость электри­
ческого поля в конденсаторе, если его заполнить диэлектри­
ком?
479. Внутренняя обкладка цилиндрического конденсатора
радиуса /?2 имеет потенциал К0. Внешняя обкладка радиуса Rt
заземлена. Между обкладками конденсатора в направле­
нии, параллельном его оси, движется равномерно поток
электронов, который во всём пространстве создаёт объёмный
§
14]
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
101
заряд с постоянной плотностью р. Найти распределение потен­
циала V между обкладками конденсатора.
480. В пространстве между пластинами плоского кон­
денсатора пролетает поток электронов, который создаёт
объёмный заряд. Потенциал одной из пластин равен V0.
При каком значении плотности р объёмного заряда потен­
циал и напряжённость поля у другой пластины равны нулю?
Расстояние между пластинами равно d.
481. Действует ли какая-нибудь сила на пластинку ди­
электрика, находящуюся в пространстве между обкладками
заряженного плоского конденсатора и расположенную парал­
лельно пластинам конденсатора?
482. На обкладках плоского конденсатора находятся за­
ряды 4 -Q и — Q. Площадь обкладки 5. Какую работу А смо­
гут совершить обкладки, сблизившись с расстояния d0 до рас­
стояния d? За счёт какой энергии совершается эта работа.
483. К полюсам батареи присоединены обкладки плоского
конденсатора. Для раздвижения пластин конденсатора необ­
ходимо совершить работу. Как меняется с расстоянием по­
требная мощность, если разводить пластины равномерно? На
что затрачивается работа, совершаемая при раздвижении
пластин конденсатора? Что происходит с начальной элек­
тростатической энергией конденсатора?
484. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разно­
сти потенциалов V и отсоединён от источника эдс. Пло­
щадь пластины S, расстояние между пластинами d. Пластины
конденсатора расположены вертикально. Снизу подводят сосуд
с непроводящей жидкостью так, что она заполняет половину
конденсатора. 1) Чему равна ёмкость конденсатора С?
2) Чему равна напряжённость поля Е в воздушной части
промежутка между пластинами и в части, заполненной
жидкостью? 3) Как распределена плотность о электричества
в пластине? 4) Определить уменьшение энергии конденса­
тора AW и на что она была израсходована. Считать, что
граница жидкость—воздух плоская, и все величины изменяются
скаччом. Диэлектрическая проницаемость жидкости равна е.
485. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин
200 см9 и расстоянием между ними 0,1 см находится пла­
стинка из стекла (в = 5), целиком заполняющая пространство
между пластинками конденсатора. Как изменится энергия
102
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ГЛ. II
конденсатора, если удалить стеклянную пластинку? Решить
задачу при двух условиях: 1) конденсатор всё время при­
соединён к батарее с эдс, равной 300 в; 2) конденсатор был
первоначально присоединён к той же батарее, а затем отклю­
чён и только после этого пластинка удалена. Найти меха­
ническую работу, которая затрачивается на удаление пластинки
в том и другом случае.
486.
Подвижные пластины конденсатора переменной ёмко­
сти стоят в некотором среднем положении. Какой момент М
действует (вследствие взаимодействия за­
рядов) на систему подвижных пластин кон­
денсатора при разности потенциалов в 300 в,
если число пар пластин конденсатора
р
равно 20, каждая пластина имеет форму
полукруга радиуса 8 см и расстояние
Ж
между пластинами равно 0,5 мм?
487. Пластинка кварца толщиной
d = 0,5 мм растягивается силой Р = \ кГ.
й
На боковых поверхностях, перпендику­
лярных к оптической оси, имеются ме­
таллические обкладки А и В шириной
а = Ъ см (рис. 115). Обкладки соеди­
нены с электрометром, ёмкость которого
мала по сравнению с ёмкостью плоского
Рис. 115.
конденсатора, образованного обкладками
А и В. Электрометр показывает, что под влиянием нагрузки Р
на обкладках А тл В возникает разность потенциалов
V == 0,9 в. Диэлектрическая проницаемость кварца е = 4,5.
Определить пьезоэлектрическую постоянную а кварца.
I
Р
й
ш
j § 15. Законы постоянного тока
488. Каково сопротивление R двухмиллиметрового мед­
ного провода, если он весит 28 кГ?
489. В созданных А. Н. Лодыгиным первых электрических
лампах накаливания (1872 г.) накаливался угольный стерженёк.
Подсчитать мощность шестивольтовой лампочки Лодыгина,
если угольный стерженёк имеет длину 6 см и диаметр 2 мм.
Удельное сопротивление угля при комнатной температуре
р = 7 .1 0 ~ь ом • см и температурный коэффициент а = —2 . 10~4.
Нормальная температура накала стерженька 1600° С.
ЗА К О Н Ы
ПОСТОЯННОГО ТОКА
103
490. На цоколе лампочки накаливания с вольфрамовой
нитью накала написано 120 в, 60 вт. При измерении сопро­
тивления этой лампочки на мостике Уитстона оказалось, что
оно равно всего 20 ом. Какова нормальная температура накала
нити, если температурный коэффициент сопротивления воль­
фрама а = 5 • 1 0 - 3?
•
491. Сопротивление электролампочки 120 в, 100 вт
в накалённом состоянии больше, чем в холодном в 1 0 раз.
Найти её сопротивление R в холодном состоянии и темпе­
ратурный коэффициент, если температура накала нити
2 0 0 0 ° С.
492. Какой следует взять диаметр d медного провода.,
чтобы падение напряжения на нём на расстоянии 1,4 км рав­
нялось 1 в при токе в 1 а?
493. Ленц для своих опытов, в которых он впервые точно
установил закон, выражающий количество тепла, выделенное
током (закон Джоуля-Ленца), пользовался сосудом, наполнен­
ным спиртом, в который погружена платиновая спираль. Про­
пуская ток через спираль и измеряя время, за которое тем­
пература спирта поднимается на 1°, Ленц установил количество
тепла, выделенное током. Найти скорость повышения темпе­
ратуры в приборе Ленца, если платиновая спираль имела
длину / = 40 см, диаметр d = 1 мм\ к ней было приложено
напряжение V = 1,1 в, а сосуд содержал массу спирта М = 1 кг.
Удельное сопротивление платины при рабочей температуре
р = 0 , 1 2 ~ 4 ом • см, удельная теплоёмкость спирта с = 0 , 6
кал /г.град. Теплоёмкостью сосуда и потерями тепла пренебречь.
494. Электрическая цепь со­
Г
ставлена из трёх кусков провода
одинаковой длины и сделанных из
одинакового материала, соединён­
ных последовательно. Сечение всех
трёх кусков различно: 1 мм2,
2 мм2, 3 мм2. Разность потенциа­
лов на концах цепи равна 1 2 в.
Определить падение напряжения V
Рис. 116.
на каждом проводнике.
495. Цепь составлена из девяти проводников, образующих
шестиугольник с диагоналями, исходящими из одной и той
же вершины (рис. 116). Сопротивление каждого из проводов
104
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . II
равно г. Определить сопротивление R всей цепи между точ­
ками А и В.
496. Составлена цепь, показанная на рис. 117, где г — пе­
ременное сопротивление. Начертить график зависимости силы
тока от сопротивления г . Величины Е и R известны. Вну­
тренним сопротивлением батареи
пренебречь.
497. Батарея гальванических
элементов с эдс Е и внутренним
сопротивлением р замкнута на
внешнее сопротивление R. По­
строить график изменения напряр ис j j 7
жения V во внешней цепи в за­
висимости от R.
498. Батарея включена на сопротивление
= 10 ом и даёт
ток силой 1Х= 3 а. Если ту же батарею включить на сопро­
тивление /?а = 2 0 о л , то сила тока будет Уа = 1,6 а. Найти
эдс Е и внутреннее сопротивление батареи г.
499. Шкала вольтметра, схема которого приведена на
рис. 118, имеет 150 делений. Вольтметр имеет 4 клеммы, рас­
считанные на измерения напряжения до 3 в, до 15 в и до 150 в.
Стрелка прибора отклоняется на 50 делений при прохожде­
нии через него тока силой в 1 ма. Каково внутреннее сопрог
тивление прибора при включении его на различные диапазоны
измерений ?
Рампа
ооиОооа
J o
Рис. 118.
Рис. 119.
500.
Для калибровки величины некоторого переменного
сопротивления R была собрана цепь, состоящая из батареи
с эдс Е и внутренним сопротивлением р, переменного сопро­
тивления R и амперметра с внутренним сопротивлением R a„
(рис. 119). Оценить точность калибровки, которая та-
ЗА К О Н Ы
ПОСТОЯННОГО ТОКА
105
ким образом произведена, т. е. установить связь между
й к и <2 /.
501. Показать, что при измерениях сопротивления мости­
ком Уитстона принципиально можно источник тока и галь­
ванометр менять местами. Изме­
нится ли при этом чувстви­
тельность схемы?
502. Каково будет отноше­
ние плеч / , и / 9 в схеме мостика
Уитстона, изображённого на
рис. 1 2 0 , при равновесии мости­
ка, если в другие плечи его
включены показанные на ри­
сунке электрические лампы ?
При каких условиях можно для
ответа на этот вопрос пользо­
ваться данными, указанными на
цоколях ламп?
503. К схеме моста Уитстона приложено напряжение V.
Гальванометр в мосте имеет сопротивление R и показывает
ток /, когда в плечи моста включены сопротивления х , га,
г3, г 4. Найти неизвестное сопротивление х.
504. Найти сопротивление R между точками А и В для
цепи, показанной на рис. 121. Сопротивления отдельных вет­
вей указаны на р и с у н к е .
505.
Доказать, что точность измерения сопротивлений по
схеме мостика Уитстона наибольшая, когда сопротивления
соседних плеч равны, т. е. когда
(рис. 1 2 2 ).
У к а з а н и е . Найти относительную погрешность при изме­
рении R x-
106
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . II
506. В мосте Уитстона (рис. 120) положение на шкале
ползунка А , соединённого со струной (реохордом), позволяет
сразу определить искомое сопротивление в омах, если в пра­
вую ветвь моста включено постоянное сопротивление в 1 ом.
Каким сопротивлениям отвечают положения ползунка на рас­
стоянии: 1/з> 2/з> б/б ДДИНЬ1 струны от левого края, а также
где помещается ползунок, если искомое сопротивление равно:
1 ом, 10 ом. Построить соответствующий график.
507. Составлена цепь, показанная на рис. 123, где г — пе­
ременное сопротивление. Начертить график зависимости силы
тока, текущего через R u от
сопротивления г. Величины
Е, R t и /?а известны.
508. Какой шунт R нужно
присоединить к стрелочному
гальванометру со шкалой
в 100 делений, ценой деления
10- 6 а и внутренним со­
противлением гальванометра
150 ом, чтобы им можно
Рис. 123.
было пользоваться для изме­
рения сил токов до 1 ма?
50Э.
Вольтметр со шкалой на 100 в имеет внутреннее
сопротивление 100 ом на вольт. Если к нему присоединить
добавочное сопротивление в 90 000 ом, то какую наибольшую
разность потенциалов V можно будет измерять этим прибо­
ром?
* 510. Батарея аккумуляторов с электродвижущей силой
Е == 6 в замкнута на два последовательно соединённых рео­
стата, каждый сопротивлением в г = 5000 ом. Что покажет
вольтметр, присоединённый к клеммам одного реостата, если
сопротивление вольтметра: 1) У?= 100 000 ом, 2) /? » 1 0 000 ом
(внутреннее сопротивление батареи мало) ?
511. Вольтметр при включении его между двумя точками
цепи постоянного тока показывает разность потенциалов 50 в;
другой вольтметр между теми же точками показывает 51 в,
а электростатический вольтметр 52 в. Электростатический
вольтметр, включённый в разрыв этой цепи, показывал 65 в.
Определить сопротивление элементов цепи и сопротивление
второго вольтметра, если первый имеет сопротивление 6500 ом.
ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
107
* 512. По ошибке в цепь были включены параллельно два
гальванических элемента с разными эдс, £ j = l,9 в и Е2 = 1,1 в,
и с внутренними сопротивлениями rt = 0,l ом и г%= 0,8 ом.
Элементы замкнуты на внешнее сопро­
тивление Я = 1 0 ом (рис. 124). Чему
£,|
равны токи il и /2 через элементы, как
они идут и как велико напряжение V на
внешней цепи ?
513. Из электромагнитного прибора
с ценой деления /0 ампер и внутренним со­
противлением rt сделан вольтметр с до­
бавочным сопротивлением R. Какова будет
его чувствительность?
514. Имеется прибор с ценой деления M a/w w w w w v w w
в 10 мка. Шкала прибора имеет 100 деле­
Рис. 124.
ний, внутреннее сопротивление 100 ом. Как
из этого прибора сделать вольтметр для
измерения напряжений до 100 в или амперметр для измерения
сил токов до 1 а?
515. Батарея с эдс Е и внутренним сопротивлением г
замкнута на два сопротивления Rt и R2, включённые парал­
лельно друг другу. Найти: 1) ток 1 через батарею, 2) ток 1Х
через сопротивление R it 3) во сколько раз изменится
ток /j, если разорвать сопротивление R2
(рассмотреть частный случай,
когда
r< « i).
516. От сети с постоянным напря­
жением в 120 в нужно питать прибор,
рассчитанный на напряжение в 20 в,
и при этом требуется, чтобы при изме­
нении сопротивления прибора от 100
до 90 ом разность потенциалов на нём
менялась только на 1°/0. Можно ли
это сделать с помощью потенциоме­
тра?
517. В схему включены два одинаковых гальванических
элемента с эдс 1,5 в и внутренним сопротивлением 2 ом так,
как указано на рис. 125. Какой ток проходит через эле­
менты? Что покажет вольтметр V ? Сопротивлением соедини­
тельных проводов пренебрегаем.
108
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И
М А ГН Е ТИ ЗМ
[гл. П
518. Что покажет вольтметр в предыдущей задаче, если
сопротивление одного гальванического элемента равно 3 ом,
а другого 1 ом?
519. Что покажет прибор, если его включить между тремя
одинаковыми гальваническими элементами, как показано на
рис. 126. Сопротивлением со­
единительных проводов, как и
в предыдущих задачах, прене­
брегаем.
520. Найти условие, при ко­
тором ток, даваемый двумя
соединёнными последовательно
разными элементами,
будет
меньше тока, даваемого одним
из них, если они будут вклю­
чены на одно и то же внешнее сопротивление R. Электро­
движущие силы элементов Е и Е', их внутренние сопроти­
вления р и р'.
521.
При каких соотношениях между сопротивлениями
г, Rx и R в схеме, изображённой на рис. 127, прибор будет
показывать практически одну и ту же силу тока при изме­
нении сопротивления R x ? (Внутреннего сопротивления источ­
ника не учитывать.)
Рис. 127.
522.
Две цепи имеют общий участок АВ, сопротивление
которого /? = 100 ом. Каждая из цепей содержит батарею
и отдельное сопротивление, значение которых R x = 50 ом и
/?я = 80 ом. Батареи включены навстречу друг другу, и их
электродвижущие силы равны Et = 1,5 в и Е2 == 1 в (рис. 128).
1) Найти силу тока i в ветви АВ. 2) При каком условии
через вторую батарею не будет течь ток?
§15]
а
ЗА КО НЫ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
109
523. Сопротивления схемы, данные которой приведены
на рис. 129, подобраны так, что ток чеоез батаоею с эдс
не идёт. Чему равно напряже­
ние V2 на зажимах сопротивле­
— ЧЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ/я,
ния Ra и сила тока / 3 через
+
£,
=
26
й К Щ'5'l
сопротивление /?в? Внутренним
/?} а Z о и <
сопротивлением батарей можно
|Я г
пренебречь.
R>
?
524. Условия предыдущей
— i/V W W W W — * ----------задачи. Чему равны сопроти­
Рис. 129.
вления R2, Rt и # 4?
525. Батарея с эдс Е замкнута на реохорд длины L и
сопротивления R, снабжённый ползунком. К концу реохорда
и к ползунку приключён вольтметр с внутренним сопроти­
влением г. Как зависят показания вольтметра V от положе­
ния ползунка на реохорде?
526. За неимением одинаковых гальванических элементов
пришлось включить параллельно два гальванических элемента
с эдс Я, и Еа и с внутренни­
Я,
/?3
ми сопротивлениями г\ и га.
— vM/WWV1 ? A W A W —
Они дают ток во внешнюю
цепь, сопротивление которой R.
—Е
Найти эдс Е и внутреннее со­
противление г такого гальва­
нического элемента, который
даёт во внешнюю цепь такой
Рис. 130.
же ток, и показать, что Е
всегда меньше наименьшей из
Я,
\ ,
— М ЛЛЛЛЛ/V—?— «ЛЛЛЛЛЛЛ/V—
эдс Et и Еа.
527. В схеме, изображён­
ной на рис. 130, даны сопро­
тивления Rlt R%, R s и ток / 3
--------------?1—ЛЛЛЛ**/WWчерез сопротивление R3. Опре­
делить токи 4 и / 2 через со­
противления Rt и Ra и эдс
батареи Е.
528. В схеме, приведённой
Рис. 131.
на рис. 131, известны все со­
противления и сила тока / 4 через сопротивление Rt . Найти эдс
батареи Е. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
т
110
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . U
529.
Дана цепь постоянного тока (рис. 132). £ = 1 0 в,
R l = 5 ом, R z = R 2 = 1 ом, г = г' = 3 ом. Внутренним
сопротивлением батареи пре­
небречь. Найти силы токов
в каждой ветви.
530. Чему равна эдс Е ба­
тареи (см. схему рис. 121 и
условия предыдущей задачи),
если известно, что ток через
батарею равен 3 ,24 а ?
531. В схеме
электри ­
Рис. 132.
ческой цепи, приведённой на
рис. 133, даны: сопротивления R v R 2 и RSt сила тока /
через батарею и разность потенциалов Ка>1 между точками
2 и / . Найти величину сопро­
тивления R 4.
532. Д ля определения вну­
треннего сопротивления гальва■л/WWWV-
-Л/WWWWV-5?
<
Рис. 134.
нического элемента можно воспользоваться схемой рис. 134,
в которой гальванометр О с известным сопротивлением R
даёт одинаковые отклонения стрелки, будет ли подвижной
контакт находиться в В или в С, причём сопротивление А В
для этой цели специально подбирается и поэтому известно.
Пусть сопротивление А В = г. Чему равно в таком случае
внутреннее сопротивление р гальванического элемента?
533.
Гальванометр обладает двумя обмотками, независи­
мыми друг от друга и идентичными, так что при пропуска­
нии одного и того же тока по этим обмоткам в разных
направлениях гальванометр остаётся на нуле (рис. 135).
ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
111
Каждая из обмоток вместе с добавочным сопротивлением
к ней имеет сопротивление # = 1 5 0 ООО ом. Обмотка / вклю­
чена параллельно сопротивлению г, составляющему часть
реостата с сопротивлением р = 10 ООО ом
Г Я
и присоединённому к гальваническому
wl-l
1_ЛЛМ\
элементу, внутренним сопротивлением ко­
D
H
3
торого можно пренебречь. С помощью
г—
вращающегося коммутатора К заряжают
WWVW
от того же элемента п = 40 раз в се­
Р ----*
кунду конденсатор С и разряжают послед­
ний с той же частотой через обмотку II
гальванометра в направлении, противо­
положном току, идущему через обмот­
ку /. Сопротивление г регулируют так,
чтобы гальванометр оставался на нуле.
При этом г = 3000 ом. Чему равна ёмкость
Рис. 135.
конденсатора С?
534.
На телеграфной однопроводной линии имеется по­
вреждение с определённым сопротивлением заземления R
(рис. 136). Показать, что ток I на принимающем конце
линии будет наименьшим в том случае, когда повреждение
£ '
н в г я я т ш п т п п т и ш п ш п ш 'п У и п п т п п т я
Рис. 136.
произошло в середине линии. Сопротивление приёмного
аппарата мало по сравнению с сопротивлениями всей
линии.
535. Проводник имеет форму цилиндрической трубки.
Длина трубки /, радиусы поверхностей Rt и /?2, удельное
сопротивление вещества трубки р. К цилиндрическим поверх­
ностям трубки приложена разность потенциалов и через стенку
трубки течёт ток от одной цилиндрической поверхности
к другой. Найти сопротивление трубки г.
536. Пространство внутри шарового конденсатора запол­
нено веществом с удельным сопротивлением р. Чему равно
сопротивление R этого шарового слоя (радиусы
и /д)?
112
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ГЛ. П
537. Показать, что сопротивление однородной проводя­
щей среды, заполняющей всё пространство между двумя
проводящими оболочками произвольной формы, равно
,
где р — удельное сопротивление среды, а С — электроёмкость
этой системы электродов.
538. Два металлических шара одинакового радиуса г по­
гружены в однородную среду с удельным сопротивлением р.
Чему равно сопротивление R среды между шарами? Считать,
что расстояние между шарами очень велико по сравнению
с их радиусами.
539. Как собрать схему освещения одной лампочкой про­
ходного коридора, чтобы человек, входящий с любого конца
коридора, мог включить или выключить лампочку, вися­
щую посредине коридора, независимо от того, в каком
положении находится переключатель на другом конце кори­
дора.
540. Сравнить напряжения на клеммах, а также мощ­
ности
и
развиваемые во внешней цепи следующими
двумя генераторами тока: 1) батареей из п = 50 элементов,
соединённых последовательно и имеющих каждый эдс Е = 2 в,
причём внешняя цепь имеет сопротивление R t = 200 ом,
а внутреннее сопротивление элемента г = 0 , 2 ом; 2) электрофорной машиной с несколькими дисками, создающей на
шаровых кондукторах разность потенциалов в 100 000 в и
обладающей внутренним сопротивлением 108 ом, когда её
приключают к внешней цепи с сопротивлением /?2= 1 0 б ол.
Как изменятся силы токов и мощности во внешней цепи,
если сопротивления внешних цепей удвоятся?
541. Сравнить напряжения и мощности во внешней цепи,
создаваемые: 1) динамомашиной постоянного тока с весьма
малым внутренним сопротивлением, дающей во внешнюю
цепь с сопротивлением 20 ом ток силой 5,5 а, и 2) бата­
реей элементов предыдущей задачи, замкнутой на такое
же сопротивление в 20 ом. Как изменятся результаты
этого сравнения, если внешнее сопротивление упадёт
в 4 раза?
542. Батарея с эдс Е = 40 в и внутренним сопротивле­
нием R = 5 ом замыкается на внешнее сопротивление г,
изменяющееся от нуля до 35 ом. Построить на одном чер­
ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
113
теже следующие графики: а) зависимость мощности, развиваемой во внешней цепи, от внешнего сопротивления;
б) зависимость мощности, развиваемой во внутренней цепи,
от внешнего сопротивления; в) зависимость всей мощности
от внешнего сопротивления.
543. Электрическая лампочка рассчитана на напряжение
V вольт и потребляет мощность W ватт. Нить этой лампочки
Можно рассматривать как цилиндр длины / и радиуса г.
Какой длины и какого радиуса нужно взять нить, чтоб лам­
почка была рассчитана на V' вольт и потребляла W ватт?
В обоих случаях считать температуру нити при калении
одинаковой, а охлаждение нити пропорциональным её поверх­
ности.
544. Вследствие испарения нити при высокой температуре
накала диаметр нити с течением времени уменьшается. На
сколько надо изменить (повысить или уменьшить?) прило­
женное к нити накала напряжение при уменьшении диаметра
нити на р % , чтобы температура нити осталась прежней?
Охлаждение нити происходит пропорционально величине её
поверхности.
545. От источника с напряжением 110 в необходимо
передать мощность 5 кет на расстояние 5 км. Какого ми­
нимального диаметра d должен быть медный провод, чтобы
потери энергии в сети не превышали Ю°/0 от передаваемой
мощности? Удельное сопротивление меди 0,017 • 10~4 ом • см.
546. От источника с напряжением £ = 1 1 ООО в требуется
передать на расстояние 1 = 5 км мощность N = 5 0 0 кет.
Допустимая потеря напряжения в проводах п = 1°/0. Рас­
считать минимальное сечение s медного провода, пригодное
для этой цели. Удельное сопротивление р меди равно
0 ,0 1 7 -1 0 -* ом • см. Сравнить с результатом предыдущей
задачи.
547. Во сколько раз следует повысить напряжение источ­
ника, чтобы снизить потери мощности в линии в 100 раз
при передаче той же самой мощности?
548. Русский электротехник М. О. Доливо-Добровольский
предложил трёхпроводную систему канализации постоянного
тока, изображённую на рис. 137. Преимущество этой систе­
мы заключается в уменьшении количества меди, потребной
на провода, соединяющие источник с нагрузкой, при заданных
8
Зак. 5182. Сборник задач, ч. I.
114
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . И
напряжении, мощности и потерях в проводах *). Подсчитать
количество меди, которое должно быть затрачено на линию
длиной 1 км , соединяющую источник с нагрузкой, при на­
пряжениях и распределении на­
грузки, указанных на рис. 137,
чтобы потери в проводах со­
60а
220в
ставляли не более 5 % н а*
пряжения на каждом из п рово­
дов. Сравнить с количеством
меди, которое потребовалось бы
40а
l ||v
40
а
при тех же условиях в обычJy'
I ной двухпроводной системе ка------ ------------------------------нализации.
Рис. 137.
549. Имеются три электри­
ческие лампочки, рассчитанные
на напряжение в 110 в и имеющие мощности: 50, 50 и 100 вт.
По какой схеме можно включить эти лампочки в сеть с на­
пряжением в 220 в так, чтобы все они горели полным
накалом?
550. Подсчитать токи, текущ ие через каждую лампочку
предыдущей задачи, когда они включены так, что горят
полным накалом.
551. В коридор квартиры подведено напряжение V = 120 в.
В середине коридора и в противоположном от ввода конце
на расстоянии Ь — 2 0 м от него горят две 100-ваттны е лам­
почки. Н асколько изменится потребляемая лампочками мощ­
ность, если на равном расстоянии между ними включить
электроплитку, потребляющую ток J = 5 a ? Сечение шнура
5 = 2 мм2 (изменения сопротивлений лампочек можно не
учитывать).
552. Д ана электрическая цепь, в которую включено,
помимо других сопротивлений, некоторое сопротивление R 0,
в котором расходуется мощность W. Когда к клеммам этого
сопротивления приключают параллельно такое же точно со­
противление, то в них обеих такж е расходуется мощность W.
Д ать простейшую схему и расчёт такой цепи.
*) Для осуществления этой системы Доливо-Добровольский
специально сконструировал машины постоянного тока с делителем
напряжения, так что вместо двух машин, указанных на рис. 137,
применялась одна машина.
§ 15J
ЗАКОНЫ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
115
553. Найти закон повышения температуры Т мангани­
новой проволоки, по которой идёт постоянный ток. Принять
закон охлаждения Ньютона, т. е. считать, что количество тепла,
отдаваемое проволокой за единицу времени Q — k (T — Г0),
где Т0—температура окружающей среды. В начальный момент
температура проволоки равна температуре окружающей
среды Т0. Сопротивление проволоки R, сечение её s, длина /,
плотность d , удельная теплоёмкость с. Сила тока, идущего
по проволоке, постоянна и равна I. Сопротивление манганина
не зависит от Т.
554. Как зависит от времени мощность W, выделяемая
током в графитовом стержне, включённом на постоянное на­
пряжение V, если сопротивление R графита зависит от тем­
пературы по закону R = j
ду и если принять охлаждение
проводника по закону Ньютона, т. е. количество тепла Q,
отдаваемое наружу за время dt, можно выразить так: Q =
== (3 ( J — T0) d t , где 7*0— температура окружающей среды?
Масса графита /га, удельная теплоёмкость с, поверхность 5 ,
начальная температура графита и окружающей среды Ту.
М ощность, потребляемая в самом начале, 1F0.
555. К электродам электролитической ванны приложена
разность потенциалов V, которая поддерживается постоянной.
Сопротивление электролита меняется с температурой по за­
кону R t =
* Принимая, что охлаждение электролита
подчинено закону Ньютона (см. задачи 553, 554), найти уста­
новившуюся температуру электролита. Массу электролита
и его удельную теплоёмкость считать неизменными.
556. Плоский конденсатор с пластинами а X Ь, отстоящими
друг от друга на расстоянии d , присоединён к батарее акку­
муляторов с эдс Е и внутренним сопротивлением R. В цепь
включён гальванометр, сопротивлением которого можно пре­
небречь. В конденсатор вводят стеклянную пластину толщи­
ной d и диэлектрической постоянной е, вдвигая её равно­
мерно со скоростью v вдоль стороны Ь. Какую силу тока /
покажет гальванометр во время вдвигания стеклянной пла­
стины в конденсатор? Сделать подсчёт при следующих данных:
а = 20 см; v = 1 м/сек; £ = 1 0 0 в;
R = 5 ом;
d = 1 см’,
в =* 5.
S*
116
Э Л Е К Т РИ Ч Е С Т В О
И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . И
§ 16. Постоянные магниты
557. Цилиндрический магнит просверлен в середине пер­
пендикулярно к своей оси. Каков будет характер магнитного
поля в отверстии?
558. Намагниченный круглый стержень просверлен вдоль
оси. Каков характер магнитного поля в канале?
5 5 9 . Магнит имеет форму, изображённую на рис. 138;
зазор / = 0 , 1 мм, диаметр магнита d = 1 0 мм, напряжённость магнитного поля в зазоре
Н = 4 0 0 эрстед. Определить
напряжённость поля Н0 внутри
магнита, если магнитная про­
ницаемость материала магнита
560.
Три совершенно одина­
ковые магнитные стрелки рас­
положены в вершинах равносто­
роннего треугольника. Стрелки
могут вращаться вокруг осей,
перпендикулярных к плоскости
треугольника. Всеми остальны­
ми влияниями и магнитным по­
Рис. 138.
лем Земли можно пренебречь.
Длина стрелки много меньше
длины стороны треугольника. Каково положение равновесия
стрелок?
561. Магнитная стрелка обладает магнитным моментом М .
Найти потенциал V и напряжённость магнитного поля в точке А ,
отстоящей от центра стрелки на расстоянии d (много боль­
шее её длины) в направлении <р относительно оси стрелки.
Какой угол Ь образует напряжённость поля в рассматриваемой
точке А с радиусом-вектором d ? Магнитная проницаемость
среды ji.
562. Магнитная стрелка с моментом М расположена в о д ­
нородном магнитном поле, напряжённость которого Н, и обра­
зует с направлением поля угол 0. Чему в этом случае равна
потенциальная энергия Е„от стрелки в магнитном поле?
563. Два одинаковых достаточно тонких магнита нахо­
дятся на расстоянии, в п = 20 раз большем длины каждого
П О СТО ЯН Н Ы Е МАГНИТЫ
117
из них. С какой силой F притягивают они друг друга, если
магнитный момент каждого из них М, а длина I и они рас­
положены на одной прямой разноимёнными полюсами друг
к другу. Магнитная проницаемость среды равна 1 .
564.
Определить период колебаний Т магнитов предыду­
щей задачи, если их сблизить так, чтобы расстояние между
ними было в п — 2 0 раз
меньше длины каждого из
SN
------ ,
них, и отклонить их в одну
сторону на небольшой угол
Ф
ср, как указано на рис. 139,
рис 5 3 9
а затем отпустить. Магниты
укреплены на осях без трения и момент инерции каждого
магнита вокруг этой оси равен I.
565.
Как изменится период колебаний, если в начальный
момент магниты (см. условия предыдущей задачи) разведены
на одинаковые малые углы в разные стороны примерно так,
как указано на рис. 140,
л/_
Л/_
а затем отпущены.
5 6 6 . в однородном вер­
тикальном магнитном поле
Рис. 140.
висит подвешенный за один
конец намагниченный стер­
жень. Магнитный момент стержня Ж = 49 ед. CGSM, масса его
тп = 6 г, длина / = 1 0 0 мм. Чему равна напряжённость поля Н,
если период колебания Т этого магнита в два раза больше
периода его колебаний Т' в отсутствии магнитного поля?
567. Магнитный момент стрелки компаса /И, её вес р,
длина /. Горизонтальная слагающая земного поля Н. Рас­
сматривая магнитную стрелку как тонкий
стержень, определить период Т её колебания
в магнитном поле Земли.
568. Магнит в виде цилиндрического
стержня подвешен за свою середину на нити.
Как расположится магнит?
569. Вектор намагничения / прямоугольРй«. 141.
ного бруска одинаков во всех точках бруска
и направлен вдоль его оси (рис. 141). Найти поверхностную
плотность а магнитных зарядов на концах стер&ця и соотно­
шение между В и И внутри стержня.
118
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ГЛ . П
570. Магнитная стрелка представляет собой прямую тон­
кую стальную спицу длины 1 = 6 см и массы т = 1 г. Она
насажена в своём центре тяжести на вертикальное остриё и
совершает колебания в горизонтальной плоскости. Показать,
что эти колебания гармонические (при малых углах откло­
нения); зная период этих колебаний Т = Ъ сек., определить
магнитной момент М стрелки. Горизонтальная слагающая
земного поля Н = 0,2 эрстед.
571. Постоянный магнит в форме подковы с круглым се­
чением, диаметр которого D = 2 см, способен удержать якорь
с грузом Р = 10 кГ. 1) Чему равна напряжённость Н магнит­
ного поля вблизи полюсов? 2) Чему равна плотность о маг­
нетизма на полюсе?
572. Ряд одинаковых магнитных стрелок насажен на острия,
находящиеся на одцой прямой на равных расстояниях друг
от друга. Каковы возможные положения равновесия и какие
из этих положений устойчивы?
573. Определить горизонтальную слагающую земного
поля Н можно следующим образом: взяв сильный короткий
магнит в виде прямоугольного бруска, насаженный в центре
на вертикальное остриё, определяют период Т его малых ко­
лебаний около положения равновесия. Затем, расположив его
перпендикулярно к земному, полю, в горизонтальной пло­
скости помещают короткую магнитную стрелку на продолже­
нии оси бруска на расстоянии d, много большем длины
бруска, и определяют угол а, который образовала стрел­
ка с направлением бруска. Как, зная 7~, d и а, опреде­
лить Н ? Момент инерции бруска относительно вертикальной
оси, проходящей через его центр, считать известным и рав­
ным I.
574. Как из данных предыдущей задачи определить маг­
нитный момент М бруска?
§ 17*. Электромагнетизм
575. Из куска проволоки сделан круглый виток ради­
уса R и приключён к источнику с постоянной эдс. Как изме­
нится напряжённость магнитного поля в центре круга, если
из того же куска проволоки сделать два витка радиуса ^ ?
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
119
676. Дан плоский замкнутый контур произвольной формы,
по которому идёт ток (рис. 142). Определить направление
напряжённости магнитного поля в точке А,
лежащей внутри контура.
577. Вдоль по цилиндрической трубе
течёт постоянный ток силы /. Найти на­
пряжённость магнитного поля Н внутри и
вне трубы.
578. По однородному прямолинейному
Рис. 142.
цилиндрическому проводнику радиуса R
течёт т о к /. Найти .напряжённость магнитного поля Н внутри
и вне проводника на расстоянии г от оси.
579. Дан тонкий проводник произвольной формы, по
которому идёт ток силой /. Найти напряжённость магнит­
ного поля Н в точке.А (рис. 143), ле­
жащей на расстоянии г от оси провод­
ника, причём гЩ Л , где R — радиус
кривизны проводника в ближайшей
точке.
V 580. Источник эдс присоединён к
*р иг 1ДО
•
двум противоположным вершинам про­
волочной квадратной рамки. ' Какова
в центре рамки напряжённость магнитного поля Н, со­
здаваемого токами, текущими по сторонам рамки?
581. Найти напряжённость магнитного
поля Н в центре прямоугольной рамки со
сторонами а и Ь, обтекаемой током /.
582. Определить напряжённость маг­
нитного поля Н в центре равностороннего
треугольника со стороной а, обтекаемого
током /.
583. Какова напряжённость магнитного
поля И в центре равностороннего тре­
угольника из однородной проволоки, если
источник эдс подведён к двум вершинам
треугольника ?
584. К противоположным концам диа­
метра АВ проволочной окружности радиуРисса R (рис. 144) подведено напряжение. Какова напряжённость
магнитного поля Н в произвольной точке С диаметра?
120
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
(Г Л . II
585.
Деревянный шар радиуса R обмотан тонкой про
волокой так, что витки ложатся по большим кругам, пере­
секаясь в концах одного и того
же диаметра АВ (рис. 145). Число
витков 6, и плоскости каждой
пары соседних витков образуют
угол 30°. По проволоке течёт ток
силой /. Найти величину и на­
правление напряжённости поля Н
в центре шара.
586.
На деревя
ческий барабан намотаны четыре
витка проволоки под углом 45°
один к другому, каждый виток
представляет собой прямоугольную
®
рамку со сторонами h (высота
Рис. 145.
барабана) и D = AB (диаметр
основания). Обмотка начинается и
кончается в центре С одного из оснований барабана (рис. 146).
По проволоке течёт ток силой /. Найти величину и на­
правление напряжённости магнитного поля Н в середине оси
цилиндра.
Рис. 146.
Рис. 147.
587.
Внутри однородной проводящей сферы от точки А
к точке В (рис. 147) по диаметру большого круга проходит
проводник. Ток силой / идёт от В к А, л затем по сфере
к точке В. Определить напряжённость магнитного поля, созда­
ваемого внутри и вне сферы.
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
121
588.
Деревянный шар радиуса R обмотан тонкол про­
волокой так, что все вигки параллельны между собой.
Витки плотно уложены и покрывают половину поверхности
шара в один слой (рис. 148). По проволоке течёт ток
силой /. Найти напряжённость магнитного поля Н в центре
шара С. Общее число витков N.
589.
Из одинаковых кусков проволоки спаян куб (рис. 149).
К противоположным концам А и В диагонали приложена
эдс. Какова напряжённость Н магнитного поля в центре
куба?
590.
Найти напряжённость магнитного поля И в центре
плоского замкнутого контура, изображённого на рис. 150,
по которому течёт ток силой /. Контур состоит из двух дуг
122
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . И
радиуса R и двух прямых, отстоящих друг от друга на рас­
стояние 2 а.
591. Найти напряжённость магнитного поля Н в центре
плоской спирали, по которой течёт ток силой /. Спираль
заключена между окружностями радиусов R и г (рис. 151).
Общее число витков спирали N.
592. Найти напряжённость магнитного поля Н на оси
соленоида в точке А, из которой диаметры концов видны
под углами 2л и 2{t
1
(рис. 152). Соленоид
jj
состоит из N витков,
|
равномерно намотан1
ных на длине /, и по
нему идёт ток силой /.
593. Для предыду­
Рис. 152.
щей задачи построить
график зависимости на­
пряжённости магнитного поля Н на оси соленоида от рас­
стояния х точки А от середины соленоида, приняв следую­
щие числовые данные: 1 = 1 a; D = 2 см; 1 = 1 м; N = 1 0 0 0 ;
jc = 0; 25; 40; 45; 50; 60 см.
594.
Два круговых тока одинакового радиуса отстоят
друг от друга на расстоянии их диаметра. Токи одинаково
направлены и одинаковой силы. Построить график напря­
жённости поля Н вдоль прямой, проходящей через их центры
(рис. 153).
595.
Короткая диамагнитная стрелка с массой т = 0,1 г,
обладающая магнитной восприимчивостью k' = — 14,5 • 1 0 - 6,
свободно подвешена за центр тяжести на оси кругового тока
на расстоянии d от его плоскости (рис. 154). Радиус витка
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
123
/? = d = 1 0 см) сила тока / = 1 0 0 а. Как ориентируется
стрелка и какая результирующая сила F на неё действует?
Плотность вещества стрелки D = 9,8 г/см3.
596. Конденсатор ёмкостью С = 1 мкф механическим пере­
ключателем присоединяется N = 100 раз в секунду к полюсам
динамомашины, дающей V = 1 2 0 в, и столько же раз
в секунду разряжается через тангенс-буссоль, состоящую
из л = 1 0 0 витков радиуса а = 15,7 см. Горизонтальная
слагающая земного поля / / = 0 , 2 эрстеда. Найти угол откло­
нения а магнитной стрелки.
597. Как влияет на отклонение стрелки тангенс-буссоли
в предыдущей задаче сопротивление в цепи конденсатор —
тангенс-буссоль.
I / 598. Ток от батареи аккумуляторов с незначительным внут­
ренним сопротивлением проходит последовательно через рео­
стат с сопротивлением / ? = 1 0 ом и через тангенс-буссоль.
Наблюдается отклонение стрелки ocj = 60°. В цепь вводят
дополнительное сопротивление г = 1 0 ом, и отклонение
стрелки уменьшается до а2 = 45°. Определить сопротивле­
ние р тангенс-буссоли.
599. Тангенс-буссоль сначала не была установлена в пло­
скости магнитного меридиана, поэтому при пропускании тока
в одном направлении стрелка отклонилась на угол 6, а при
пропускании тока в другом направлении стрелка отклонилась
в противоположном направле­
нии на угол 0' Ф 0. Определить
силу тока г, если постоянная
прибора k.
600. Плоская прямоуголь­
ная проволочная рамка может
поворачиваться вокруг верти­
кальной оси, проходящей через
центр рамки. Угол поворота
можно определять по лимбу
с помощью указателя, жёстко
рис
связанного с рамкой (рис. 155).
В центре рамки на вертикальном острие помещена магнитная
стрелка; первоначально рамка и стрелка находятся в одной
плоскости. При пропускании тока силой в 1 а стрел­
ка отклонилась, и для того чтобы она снова оказалась в
124
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И МАГНЕТИЗМ
(Г Л . II
плоскости рамки, последнюю пришлось повернуть на угол
О = 30р. Какой наибольшей силы ток /„ ак0 можно измерить
таким образом этим прибором?
601. Два взаимно перпендикулярных круговых тока имеют
общий центр и расположены в вертикальных плоскостях.
В общем центре этих токов на острие находится короткая
магнитная стрелка с магнитным моментом М. Один из токов
ориентирован в плоскости магнитного меридиана и равен /.
При этом наблюдается отклонение магнитной стрелки на
угол 0. Если переменить направление этого тока^ то угол
отклонения стрелки будет 0'. 1) Чему равна сила другого
кругового тока /', если радиусы кругов R и R '? 2) Чему
равна горизонтальная слагающая земного магнитного поля Н ?
602. Два взаимно перпендикулярных круговых тока и
магнитная стрелка расположены, как и в предыдущей задаче.
Силы токов равны. Наблюдается отклонение стрелки 0.
Найти силу тока /, зная горизонтальную слагающую земного
магнитного поля Н.
603. Прямоугольная проволочная рамка, состоящая из п
витков, охватывающих (каждый) площадь £, подвешена на
бифиляре и ориентирована в плоскости магнитного мериди­
ана. По рамке пропускают постоянный ток, и она поворачи­
вается на угол 0. Определить силу тока, если момент силы,
закручивающей бифиляр на угол в 1 радиан, равен D.
604. Профессор физики в Казани Д. А. Гольдгаммер
установил, что сопротивление висмута под действием магнит­
ного поля изменяется по закону
—р = 3 • ю - 9/ Л
Р
где Н — напряжённость поля в эрстедах. Этим свойством
висмута пользуются для измерения напряжённости магнитного
поля. Найти точность, с которой может быть измерено
магнитное поле напряжённостью в 4000 эрстед, если сопро­
тивление висмутовой спирали порядка 1 0 ом и измерение
её сопротивления производится на равноплечем мосте,
в одну из диагоналей которого включена эдс в 1 в, а в дру­
гую гальванометр с чувствительностью 1 • 1 0 - 6 а на деление
и сопротивлением 2 0 0 ом (считать, что равновесие моста
может быть установлено с точностью до 1 деления прибора).
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
125
€05. Проволочный контур ABCD в форме квадрата
(рис. 156) находится в магнитном поле длинного тонкого
стержня с магнитным моментом единицы объёма / 0 и сече­
ния S, причём северный полюс N маг­
нита находится в центре квадрата, а сам
магнит перпендикулярен к плоскости
_В
проволочного контура. К противопо­
ложным концам диагонали АС поцкдючают источник эдс, вследствие чего по
сторонам контура течёт ток силой /.с
Найти момент пары М, вращающий
'л.
контур, и его направление.
606. В магнитном поле магнита пре­
дыдущей задачи помещён круговой про”ис- 156водник сопротивления R, обтекаемый
током силы / по часовой стрелке, если смотреть из северного
полюса магнита. Магнит расположен по оси кругового тока,
и его северный полюс отстоит на расстоянии d от центра
проводника. Определить силы, действующие на проводник
со стороны магнита.
607. Над северным полюсом сильного электромагнита
помещена цилиндрическая электролитическая ванна, содержа­
щая раствор медного купороса
между медными электродами в
форме цилиндров (рис. 157),
присоединённых к полюсам ба­
тареи. Что будет происходить
с электролитом в этих условиях?
608.
Магнит в в
стального цилиндра установлен
вертикально. Для простоты рас­
чёта считать, что на его полюсе N
сосредоточена магнитная масса т.
На полюс опирается проволочРис. 157.
ный контур ABOCDN (рис. 158),
имеющий форму буквы Т, концы
которого А и D погружены во ртуть, налитую в горизонталь­
ное кольцевое корыто. Точка О является серединой ВС = 21.
Части АВ = CD малы по сравнению с /. К магниту и ртути
в корыте подводится постоянное напряжение, вследствие
126
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . II
чего проволочный контур вращается вокруг ON. Расстоя­
ние ON проволоки ВС от полюса N равно /. Определить:
1 ) момент пары, вращающий контур; 2 ) точку приложения
силы, действующей на плечо ОС; 3) от чего зависит скорость
установившегося вращения.
Рис. 158.
Рис. 159.
609. К центру С и некоторой точке А кругового провод­
ника (рис. 159) приложено через сопротивление R напря­
жение батареи Е. Круговой проводник расположен в гори­
зонтальной плоскости. От центра к окружности идёт по­
движной радиус, могущий вращаться вокруг вертикальной оси,
проходящей через С. При вращении радиуса ВС между ним
и круговым проводником имеет место трение, сила которого
пропорциональна (коэффициент пропорциональности k) ско­
рости точки £ . 1 ) Пренебрегая электромагнитной индукцией,
найти закон нарастания угловой скорости ш вращения ра­
диуса ВС, длина которого /, а масса т.. Вертикальная
слагающая земного поля Ив. 2) Какую силу F надо прило­
жить в точке В к радиусу перпендикулярно к его длине,
чтобы не допустить его вращения?
610. Зеркальный гальванометр имеет проволочную пря­
моугольную рамку (4 л#л* X 3 мм) из 100 витков тонкой
проволоки, подвешенную на нити, коэффициент кручения
которой 0,01 Г ■см/град угла. Вертикальная (большая) сто­
рона рамки находится в зазоре между полюсами магнита,
создающего поле Н = 1000 эрстед, направленное радиально
§ 17]
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
127
к оси вращения рамки. 1) На какой угол а отклонится рамка,
если по рамке пустить ток в 0,1 ма? 2) Если миллиметро­
вую шкалу поместить от зеркала гальванометра на расстоя­
нии 1 м, то какому току i будет соответствовать отклонение
зайчика на 1 мм?
611. Прямоугольная рамка может вращаться вокруг вер­
тикальной оси, проходящей через середины противоположных
сторон рамки. Рамку помещают в однородное горизонтальное
магнитное поле Н и пропускают по ней ток. Определить
положения равновесия рамки и их устойчивость.
612. Рамка из п витков тонкой проволоки имеет форму
квадрата со стороной а. Она может вращаться вокруг вер­
тикальной оси, проходящей через середины противоположных
сторон рамки. По рамке идёт постоянный ток силой /.
Рамка находится в однородном горизонтальном магнитном
поле напряжённостью Н. 1) Указать направление тока в рамке
при устойчивом равновесии. 2) Определить период Т малых
колебаний рамки около этого . положения. Так как момент
инерции рамки / и период колебания Т велики, то электро­
магнитной индукцией можно пренебречь.
613. На железный тор квадратного сечения (сторона
а — 4 см) и диаметра D = 40 см намотана равномерно
в один слой проволока. Число витков Af = 500. По прово­
локе пускают ток силой / = 1 а. Магнитная проницаемость
железа ft = 400. Найти поток индукции в торе Ф.
614. Если железный тор предыдущей задачи разрезать
в одном месте так, чтобы образовался воздушный зазор
толщиной d = 1 мм, то чему будет равен поток индукции Ф,
если пренебречь рассеянием силовых линий?
615. Железный тор предыдущей задачи с воздушным
зазором rfj = 1 мм, при некоторой силе тока даёт в этом
зазоре поток индукции Ф} = 30 000 максвеллов. Когда воз­
душный зазор увеличили до d2 = 2 мм, то при той же
силе тока значение измеренного потока индукции оказалось
Ф2 = 25 000 максвеллов. Предполагая, что в обоих случаях
можно пренебречь рассеянием линий индукции, определить
магнитную проницаемость железа |х.
616. Аккумулятор питает катушки электромагнита,
показанного на рис. 160. При каком соединении катушек
(параллельном или последовательном) подъёмная сила
128
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ГЛ . И
электромагнита будет больше и во сколько раз? Указать, какие
концы надо соединять при том и другом включении катушек.
Обе катушки сОвешиенно одинаковы.
617. Электромагнит из квадратного железа в форме
подковы имеет размеры, указанные на рис. 161 в сантиметрах.
Число витков обмотки N = 200. Сила тока 1 = 2 а. Как велика
подъёмная сила F электромагнита, если jj. = 2 0 0 ?
618. Якорь электромагнита предыдущей задачи несёт
нагрузку в 20 кГ и отстоит от сердечника на расстоянии 1 мм.
Какой силы / ток нужно пустить в электромагнит, чтобы он
притянул якорь ?
619. Внутри длинной катушки (рис. 162), на каждый
сантиметр длины которой приходится п витков, находится
короткая катушка сечения S, состоящая из N витков; ось этой
катушки перпендикулярна к оси длинной катушки и направлена
вертикально. Внутренняя катушка укреплена на одном конце
коромысла весов, которое в отсутствии тока находится
в равновесии. Когда через обе катушки пропускают один
и тот же ток /, то для уравновешивания весов на длинное
4
ЭЛ ЕКТРОМ АГНЕТИ ЗМ
129
плечо коромысла нужно поместить груз Р . Длина плеча
коромысла, несущ его груз, равна L. Определить силу тока / .
6 2 0 . Как скажется укорочение длинной катушки прибора,
описанного в предыдущей задаче, на показаниях прибора.
6 2 1 . При каком условии можно с помощью прибора,
описанного в задаче 6 1 9 , измерять силу переменного тока?
Какую силу тока будет показывать прибор?
6 2 2 . М ож ет ли прибор, описанный в задаче 6 1 9 , сл у­
жить ваттметром?
6 2 3 . П о длинному соленоиду, имеющему п витков на 1 см,
течёт ток силы / . Найти давление Р , действующ ее на боковую
поверхность соленоида.
6 2 4 . Почему два параллельных проводника, по которым
текут токи в одном направлении, притягиваются, а два
параллельных катодных пучка отталкиваются?
6 2 5 . От полюсов источника эдс Е ток течёт по двум
параллельным длинным проводам, включённым на нагрузку R
£
d __________________
Рис. 163.
(рис. 163). Построить картину электрического и магнитного
полей в плоскости, перпендикулярной к плоскости параллель­
ных токов.
6 2 6 . От одного полюса источника эдс Е идут два парал­
лельных прямых провода, которые затем через сопротивление R
и обратный, достаточно уда­
лённый от первых двух, провод
присоединяются ко второму по­
люсу источника
(рис. 164).
Каково электрическое и магнит­
ное поле в плоскости, перпен­
дикулярной к плоскости парал­
лельных токов?
6 2 7 . По достаточно длинной
ис‘
шине, укреплённой горизон­
тально, идёт ток силой / ампер. На каком расстоянии d от
шины параллельно ей должен находиться голый медный провод,
9
Зак. 5182. Сборник задач, ч. I.
120
ЭЛЕК ТРИ ЧЕСТВО
И М АГНЕТИЗМ
[Г Л . 11
чтобы силы магнитного взаимодействия уравновесили вес про­
вода, если по нему идёт ток в туж е сторону силой / ампер?
Плотность материала провода р г(смь, его диаметр D см.
628. Под длинной горизонтальной шиной на двух одина­
ковых пружинах (коэффициент упругости каждой пружины
' равен k дин/см) подвешен
" прямой провод длиной I см
(рис. 165). Когда по шине и
проводнику токи не текут, рас----- I --------- стояние между ними равно
h см. Найти расстояние х меРис. 165.
жду ними, если по шине течёт
ток силой / ампер, а по про­
воду ток силой i ампер. Провод не может выйти из верти­
кальной плоскости.
629. Между полюсами сильного магнита находится узкая
кюветка, в которую вмазаны две параллельные вертикальные
трубки. Сверху и снизу в кюветку входят платиновые элек­
троды Л (-{-) и АТ( — ), присоединённые через ключ R
Рис. 166.
к источнику тока Е. Кюветка и трубки залиты проводящей
жидкостью так, что уровни жидкости в вертикальных трубках
стоят на одной высоте (рис. 166). Что произойдёт после
того, как ключ будет замкнут?
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
131
630. Прибор, описанный в предыдущей задаче, можно
использовать для измерения силы тока. Определить силу
тока г, идущего через жидкость кюветки, если индукция
магнитного поля равна В , толщина кюветки dt установившаяся
разность уровней h, плотность жидкости р. От чего зависит
чувствительность прибора?
631. Между полюсами сильного электромагнита помещают
U-образную трубку так, что одно колено (капиллярное)
находится в магнитном поле, а другое (широкое) — вне поля.
В трубку наливают жидкость, магнитная восприимчивость
которой х, а плотность d. Насколько изменится уровень
жидкости в капилляре при включении поля напряжённостью Н ?
Магнитную восприимчивость пара и воздуха над жидкостью
принять за 1 .
§ 1 8 . Электромагнитная индукция
632.
Два параллельных замкнутых на одном конце про­
вода расположены в однородном магнитном поле с индукцией В
так, что плоскость проводов перпендикулярна к полю
I
У
Рис. 167а.
Рис. 1676.
(рис. 167а). На провода положен металлический мостик,
который может (без трения) скользить по проводам. Если
привести мостик в движение с постоянной скоростью v,
то в контуре, который он образует вместе с проводами,
возникает эдс индукции Е„ и электрический ток /„. Поэтому
для поддержания скорости v приходится приложить к мостику
некоторую силу F. Исходя из принципа Ленца и пользуясь
законом взаимодействия между током и магнитным полем,
вывести закон индукции.
У к а з а н и е . Принцип, установленный петербургским ака­
демиком Ленцем, позволяет утверждать следующее. Если мы
закрепим мостик неподвижно и включим в контур батарею
(рис. 1676), которая создаёт ток /, равный току /п, возни­
9*
132
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . I1
кающему в случае движения мостика, то сила Fv действую­
щая на мостик, будет равна по величине и противоположна
по направлению той силе F, которую надо приложить в пер­
вом случае, чтобы поддерживать движение мостика.
633. Представим себе, что рельсы железнодорожного
пути, идущего по магнитному меридиану, изолированы друг
от друга и от земли. По этим рельсам идёт поезд со ско­
ростью 60 км/час. Вертикальная слагающая магнитного поля
земли //„ = 0 ,5 эрстеда. Что покажет милливольтметр, при­
соединённый в каком-нибудь месте к рельсам (расстсяние
между рельсами 1,2 м), 1 ) когда поезд приближается к при­
бору, 2 ) когда поезд проходит над прибором, т. е. при­
бор находится между первым скатом паровоза и последним
скатом последнего вагона, и 3) когда поезд удаляется от
прибора?
634. Будет ли в условиях предыдущей задачи влиять на
показания милливольтметра горизонтальная слагающая магнит­
ного поля земли, если путь непрямолинеен?
635. Прямоугольная рамка со сторонами а и b движется
равномерно со скоростью v в направлении, перпендикуляр­
ном к бесконечно длинному прямому проводнику, лежащему
в плоскости рамки параллельно стороне Ь. По проводнику
идёт ток силой /. Найти эдс Е, индуцируемую в рамке, и
указать направление индуцированного тока.
636. Прямоугольная рамка предыдущей задачи вращается
с постоянной угловой скоростью вокруг стороны Ь, отстоящей
на расстоянии с > а от проводника, по которому идёт ток.
Будет ли эдс, индуцируемая в рамке, синусоидальна?
637. Прямоугольная рамка (я X Ь) равномерно вращается
с частотой ш вокруг стороны а в однородном переменном
магнитном поле, изменяющемся синусоидально с частотой ю'
и перпендикулярном к оси вращения рамки. Определить вели­
чину индуцированной эдс Е. Рассмотреть частные случаи,
когда ш= ш' и 1) в начальный момент Н = Н0, а площадь
рамки перпендикулярна к Н; 2) в начальный момент / / = //0,
а площадь рамки параллельна Н.
638. Прямоугольная рамка (a X b ) вращается вокруг одной
из своих сторон в однородном магнитном поле напряжён­
ности Н, перпендикулярном к оси вращения, с переменной
угловой скоростью ю = 1»0 (1 — е~м). Определить величину
ЭЛЕК ТРО М А ГН И ТНА Я
И Н ДУ К Ц И Я
133
индуцированной эдс Е, если в начальный момент рамка
перпендикулярна к полю.
639. Петербургский профессор физики И. И. Боргмап
определял магнитную восприимчивость слабомагнитных жидко­
стей, погружая в эту жидкость две катушки, жёстко связан­
ные между собой. Сравнивая эдс индукции, которая возни­
кает в одной из катушек при изменении силы тока в другой,
один раз в жидкости, а другой раз в воздухе, можно опре­
делить магнитную восприимчивость жидкости. В одном из
опытов оказалось, что эдс индукции для катушек, погружён­
ных в раствор хлорного железа, равна Е х = 24,04 в, а для
катушек в воздухе она равна Е%= 24,00 в. Найти магнит­
ную восприимчивость раствора.
640. Якорь мотора имеет барабанную обмотку, состоящую
из последовательно соединённых 2 0 секций, каждая из кото­
рых состоит из 30 вит­
ков прямоугольной формы
(25 X 20 см2) нетолстой
проволоки. (Схема обмот­
ки для 1 2 секций пред­
ставлена на рис. 168).
Якорь находится в одно­
родном магнитном поле
с индукцией 3980 гаусс.
Якорь включён через кол­
лектор в сеть с постоян­
ным напряжением 1 2 0 в,
и мотор делает 600 обо­
ротов в минуту. 1 ) Какова
сила тока в якоре (сопро­
тивление якоря 0,5 ом)?
2) Что произошло бы
при внезапной остановке
якоря?
Рис. 168.
641. Медный диск ра­
диуса а = 10 см вращается
в однородном магнишом поле, делая N = 100 оборотов в се­
кунду. Магнитное поле направлено перпендикулярно к пло­
скости диска и имеет напряжённость Н = 104 эрстед. Две щётки,
одна на оси диска, другая на окружности, соединяют диск
134
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . II
с внешней цепью, в которую включены реостат с сопроти­
влением / ? = 1 0 ом и амперметр, сопротивлением которого
можно пренебречь. Что пока­
зывает амперметр?
642. Что будет показывать
амперметр в условиях преды­
дущей задачи, если диск заме­
нить колесом того же радиуса,
что и диск, с двумя спицами,
как показано на рис. 169?
Электрическим сопротивлением
материала колеса пренебречь.
643. Для измерения сопро­
тивления в абсолютных едини­
цах был предложен следующий способ. Длинная катушка (п вит­
ков на единицу длины,) включена в цепь с эдс Е и сопротивле­
нием R (рис. 170). Внутри катушки вращается с постоянной
yi ловой скоростью ш вокруг оси, перпендикулярной к оси
длинной катушки, маленькая катушка с числом витков N
и сечением 5. В моменты, когда индуцированная в малой
катушке эдс максимальна, концы катушки замыкаются через
гальванометр G на то же сопротивление R. Последнее под­
бирается так, что тока через гальванометр нет. Определить R.
644.
В однородном магнитном поле с индукцией В = 8400
гаусс вращается квадратная рамка со стороной а = 5 см,
состоящая из небольшого числа витков медной проволоки
сечения S = 0,5 мм?. Концы рамки соединены накоротко.
Максимальная сила тока, индуцируемого в рамке при враще­
нии, равна / = 1 , 9 а. 1) Определить число оборотов рамки
в секунду. 2) Как нужно изменить скорость вращения рамки,
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ и н д у к ц и я
135
чтобы при замене медной проволоки железной сила тока
в цепи осталась неизменной?
645. Внутри достаточно длинного круглого железного
стержня магнитный поток равномерно возрастает со временем.
Вне этого стержня магнитного поля нет. Найти
электрическое поле вне железного стержня.
646. В условиях предыдущей задачи стер­
жень окружён витком проволоки, замкнутым
на амперметр. Сопротивление витка и ампер­
метра R. 1) Что показывает амперметр? 2) Как
направлен ток в витке?
647. На некотором расстоянии от желез­
ного стержня (задача 6 4 5 ) находится электрон.
Начальная скорость его равна нулю. Как он
будет двигаться?
648. Однослойная достаточно длинная ка­
тушка разделена на две секции (рис. 171).
Рис. 171.
Измерения коэффициентов самоиндукции секций
дали следующие результаты: в 1 -й секции
Ly = 0,04 генри; во 2-й секции Z.2= 0 ,0 9 генри.
20.
1) Чему равен коэффициент самоиндукции L
всей катушки? 2 ) Сколько витков в катушке,
если в 1 -й секции 1 0 0 витков?
649. Как определить коэффициент само­
индукции достаточно длинной катушки, про­
пуская через неё постоянный ток?
650. Определить коэффициент самоиндук­
ции проводника, показанного на рис. 172.
Ток идёт по проволоке диаметром 1 мм,
расположенной по оси достаточно тонкой
металлической трубки, переходит на дно
трубки, к центру которого припаяна про­
волока, и возвращается обратно по поверхсечение л-й ности трубки. Размеры трубки даны на ри­
сунке.
651. Один и тот же ток течёт по двум
достаточно длинным параллельным проводам
Рис. 172.
в противоположные стороны. Оба провода
имеют одно и то же круглое сечение радиуса г== 2 мм
и отстоят друг от друга на расстоянии d = 2 см. Найти
О
136
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . II
коэффициент самоиндукции L единицы длины этой двух­
проводной системы.
652. На один сердечник намотаны две катушки. Коэф­
фициенты самоиндукций катушек в отдельности соответ­
ственно равны Lj = 0,5 генри и Z.2 = 0,7 генри. Чему равен
коэффициент взаимоиндукции М ? Рассеяния магнитного
поля нет.
653. На цилиндр намотаны вплотную две обмотки ( / , / ' )
и (2, 2 ') так, как указано на рис. 173. Коэффициент само­
индукции каждой обмотки равен
0,05 генри. Чему будет равен коэф­
фициент самоиндукции L всей цепи,
если: 1 ) концы 1' и 2' соединить,
а в цепь включать концы / и 2 ?
2 ) концы 1 и 2' соединить, а в цепь
включать концы / ' и 2 ? 3) концы
Рис. 173.
у ц 2' и / и 2 соединить и обе
пары концов включать в цепь?
654. Чему равна энергия магнитного поля соленоида,
состоящего из N витков проволоки, намотанной в один слой,
по которой идёт ток силой /? Длина соленоида I, сечение
его 5 (диаметр сечения соленоида мал по сравнению с его
длиной).
655. Два параллельных достаточно длинных провода нахо­
дятся на расстоянии 20 см друг от друга. В них поддержи­
вается ток силой в 2 0 а, направленный в противоположные
стороны. 1) Какую работу на единицу длины проводов совер­
шает магнитное поле при удалении проводов до расстоя­
ния 4 0 см? 2) Как изменится при этом магнитная энергия
единицы длины системы двух проводов?
656. В предыдущей задаче магнитное поле совершало
положительную работу при удалении проводов друг от друга,
а между тем магнитная энергия токов увеличилась. За счёт
каких источников энергии совершается работа и увеличи­
вается магнитная энергия?
657. Как будет в самом начале изменяться сила электри­
ческого тока/ в цепи, параметры которой показаны на рис. 174,
после того как ключ К будет замкнут? Омическим сопро­
тивлением всей цепи при рассмотрении начальной стадии про­
цесса установления тока можно пренебречь.
ЭЛЕКТРО М А ГН И ТНА Я
ИНДУКЦИЯ
137
658. Конденсатор ёмкостью С присоединён к верхним концам
двух параллельных медных шин, расположенных вертикально
на расстоянии I друг от друга. Одно­
родное магнитное поле напряжён________у *
ностью Н горизонтально и перпен'
дикулярно к плоскости шин. Вдоль
шин в магнитном поле падает без
начальной скорости медный прос =?в
L —I генри \
водник веса Р так, что всегда
имеется контакт между проводником
и#шинами. Сопротивлением и само­
индукцией проводников, а также тре­
нием проводника о шины пренебречь.
Найти ускорение проводника.
Рис. 174.
659. В условиях предыдущей за­
дачи вместо конденсатора шины
замкнуты вверху на соленоид, коэффициент самоиндукции
которого равен L, а сопротивление ничтожно мало. Найти
закон движения проводника, скользящего вдоль шин.
660. Две длинные параллельные медные шины, располо­
женные вертикально на расстоянии / друг от друга, замкнуты
вверху на сопротивление R и поме­
щены в однородное магнитное поле
напряжённостью И, перпендикуляр­
ное к плоскости шин. Вдоль шин
падает медный проводник веса Р.
Трение отсутствует. Чему равно уста­
новившееся значение скорости па­
дения?
661.
Маятник длины / и
который можно рассматривать как
математический, представляет собой
массивный шарик с остриём на кон­
це, подвешенный на тонкой про­
i - - - к волоке. Остриё погружено слегка
в чашку с ртутью (рис. 175). Точка
Рис. 175.
подвеса маятника А и ртуть в чашке
включены в цепь, состоящую из со­
противления R и соединительных проводов. Маятник со­
вершает малые колебания в однородном магнитном поле
138
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[ГЛ . H
напряжённостью Н, перпендикулярном к плоскости колебаний
маятника. Определить увеличение логарифмического декре­
мента затухания маятника, вызванное сопротивлением R.
Сопротивление среды пропорционально угловой скорости
маятника, и коэффициент пропорциональности равен К.
662. Условие предыдущей задачи, но во внешней цепи
вместо сопротивления R включена самоиндукция L. Как изме­
нятся логарифмический декремент и период колебаний?
663. Условие предыдущей задачи, но во внешней цепи
вместо самоиндукции включён конденсатор С. Вопросы те же.
664. На нити висит тонкое медное кольцо радиуса г,
массы т и сопротивления R. 1) Найти увеличение логариф­
мического декремента затухания малых крутильных колебаний
кольца, если кольцо помещено в однородное горизонтальное
магнитное поле напряжённостью Н, причём вектор Н совпа­
дает с плоскостью кольца в положении равновесия. 2) Изме­
нится ли ответ, если кольцо будет помещено в однородное
горизонтальное магнитное поле, перпендикулярное к пло­
скости кольца в положении равновесия, или однородное вер­
тикальное магнитное поле? Самоиндукцией кольца пренебречь.
665. Медное кольцо в предыдущей задаче совершает
малые крутильные колебания с периодом 7". Сопротивлением
кольца можно пренебречь. Как изменится период этих коле­
баний, если кольцо поместить в однородное горизонтальное
магнитное поле, направление которого перпендикулярно
к плоскости кольца в положении равновесия? Коэффициент
самоиндукции кольца L.
666. Как изменится логарифмический декремент затухания
кольца в условиях предыдущей задачи?
667. Прямоугольная рамка со сторонами а и Ь лежит
в одной плоскости с прямым проводником, по которому течёт
ток силой / и который расположен параллельно стороне b
на расстоянии d^> a от ближайшей стороны. Какое коли­
чество электричества Q пройдёт через любое сечение провода
рамки, если она повернётся вокруг ближайшей к проводнику
стороны b на 180° и останется в этом положении? Сечение
проволоки рамки S, удельное сопротивление её металла р.
668. В предыдущей задаче предполагалось, что самоин­
дукцией рамки можно пренебречь. Изменится ли ответ задачи,
если пренебречь самоиндукцией нельзя?
Э Л Е К Т РО М А ГН И Т Н А Я
ИНДУКЦИЯ
139
66 9 . Будет ли зависеть количество электричества, про­
текшего через рамку предыдущей задачи за время одного по­
луоборота, от скорости равномерного вращения рамки, если
сопротивлением рамки пренебречь, а её самоиндукцию учесть?
670. Баллистический гальванометр включён в цепь катушки,
надетой на замкнутый намагниченный сердечник. Железную
пластинку А , замыкающую сер­
дечник (рис. 176), быстро выни­
мают, и гальванометр показывает l
м к.__ — 0 Ц
отклонение в 20 делений. Сопро- ш
тивление катушки и гальванометра
'—
100 ом. Постоянная гальванометра
равна 10-8 кулон/деление. Как
велико изменение потока индук­
ции ДФ вследствие удаления плар
^
стинки А?
671. Как быстро нужно вытянуть пластинку А из намаг­
ниченного сердечника в предыдущей задаче, чтобы отклоне­
ния гальванометра были пропорциональны изменению потока?
672. Какие условия следует наложить на самоиндукцию
и сопротивление электрической цепи в задаче 670, чтобы
отброс гальванометра был пропорционален изменению потока
индукции ?
673. Рамка, охватывающая площадь 5 = 1400 см?, со­
стоит из N = 100 витков проволоки и имеет сопротивление
R = 4,7 ом. Рамка расположена в вертикальной плоскости
и соединена с баллистическим гальванометром чувствитель­
ностью 2 • 10-6 кулонов на деление шкалы. Рамку быстро
поворачивают вокруг её диаметра, образующего с направле­
нием магнитного поля Земли угол а = 30°, так что плоскость
рамки становится параллельной направлению магнитного поля
Земли. Каково будет отклонение f гальванометра? Сопро­
тивление гальванометра 9,4 ом. Напряжённость магнитного
поля Земли Н = 0 , 2 эрстеда.
674. В постоянном однородном магнитном поле находится
круглое, недеформируемое, достаточно малого сечения кольцо
из материала, сопротивление которого исчезающе мало
(сверхпроводник). В начальный момент плоскость кольца
параллельна направлению магнитного поля и ток в кольце
равен нулю. Определить силу тока / в кольце сразу после
140
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . И
того, как оно было перевёрнуто так, что плоскость кольца
стала перпендикулярна к линиям магнитного поля.
I 675. Условия предыдущей задачи. 1) Каков полный маг»
нитный поток через кольцо после того, как оно было пере­
вёрнуто ? 2) Определить величину напряжённости магнитного
поля в центре кольца. 3) Качественно построить график
распределения напряжённости поля по линии, совпадающей
с диаметром кольца.
676. Условия задачи 674. Какова напряжённость магнит­
ного поля Н и сила тока / в кольце, если после того, как
его повернули перпендикулярно к магнитному полю, «выклю­
чили» внешнее магнитное поле?
677. Определить, работу А, которую необходимо было
затратить на поворачивание кольца в задаче 674.
678. Для измерения коэффициента взаимной индукции двух
катушек собирают схему, приведённую на рис. 177. Сопро­
тивления
и /?2 и
ёмкость С конденсатора
подбирают так, чтобы
гальванометр О оставался
на нуле при замыкании и
размыкании ключа К ба­
тареи Е . Чему равен в та­
ком случае коэффициент
взаимной индукции ка­
тушек М ?
679. В предыдущей зам
даче ёмкость конденсатоЧ
К
ра можно изменять скач-Рис 177
ками через каждые с см.
При этом оказалось, что
при значении ёмкости конденсатора С гальванометр дал
отклонение 6 в одну сторону, а при значении ёмкости кон­
денсатора C-J-c гальванометр дал отклонение Ь' в другую
сторону, т. е. не удалось добиться нулевого положения галь­
ванометра. Как из этих измерений определить коэффициент
взаимной индукции катушек М ? Сопротивление гальванометра
Я
Ro.
680. Для удаления газов из металлических частей вакуум­
ных приборов их накаливают токами Фуко в поле катушки
ЭЛ Е К Т РО М А ГН И Т Н А Я
ИНДУКЦИЯ
111
высокой частоты (рис. 1 7 8 ). А нод катодной лампы, пред­
ставляющий собой никелевый цилиндр диаметром D — 8 м м ,
высотой h = 2 см, со стенкой толщ иной
а — 0,1 м м } располагается коаксиально
с катуш кой из А/ = 15 витков толстой
проволоки, по которой идёт ток высокой
частоты ( / = 10б герц) силой / = 5 0 а .
Какое количество тепла Q выделяется
еж есекундно в ц и л и н д ре? Высота ка­
туш ки высокой частоты Н = 10 см. М аг­
нитным полем токов Ф уко пренебречь.
У дельное
сопротивление никеля
р=
Рис. 178.
швв 7 • 1 0 ~ 6 ом • см.
6 8 1 . Катуш кой вы сокой частоты предыдущ ей задачи вос­
пользовались для накаливания токами Ф уко платинового диска
диаметром D — 2 см и толщ иной а = 0 ,5 мм. Ц ентр диска
находится на оси катуш ки. М агнитным полем токов Ф уко
пренебречь. Подсчитать количество тепла Q, выделяю щ егося
еж есекундно в диске. Удельное сопротивление платины
р = 0 • 107 - 1 0 “ 4 ом • см.
682* Д ля уменьшения потерь в железном сердечнике
трансф орм атора сердечник делаю т из тонких полос, изоли­
рованны х электрически друг от друга. Н айти, какое ко л и ­
чество тепла Q выделяется в такой пластинке еж есекундно
при следую щ их данных: 1) размеры пластинки (lab = 2 0 Х
Х 4 X 0,01 смг); 2 ) обмотка трансф орм атора имеет п
4 витка
на каждый санти­
метр длины, и по
ней идёт 50-периодный
то к
силой
/ = 5 а ; 3) магнит­
ная проницаемость
ж елеза
jjl = 1000;
4) магнитным полем
токов Ф уко прене­
бречь. У дельное со­
— -Ь-—
противление ж елеза
Рис. 179.
р = 9 • Ю~6 ом • см.
683* Сравнить потери на тепло W t в металлической к о ­
роб ке, разм еры которой приведены на р и с. 179, с потерями W*
142
ЭЛ ЕКТРИ ЧЕСТВО
И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . II
в пластинках, из которых сделана эта коробка, когда пла­
стинки изолированы друг от друга, а вся коробка поме­
шена внутрь катушки, по которой проходит ток высокой
частоты, как в задаче 680, причём ось катушки совпадает
с осью коробки и параллельна стороне с.
684. Катушка с омическим сопротивлением R = 1 ом и
числом витков iV = 100 вращается равномерно в магнитном
поле Земли вокруг вертикальной
оси, проходящей через одно из её
оснований перпендикулярно к её оси
(рис. 180). При вращении концы ка­
тушки остаются всё время присоеди­
нёнными к обкладкам плоского кон­
денсатора ёмкостью С. 1) Найти зна­
чения / и V для установившегося
состояния. 2) Найти условие, при
котором в катушке выделяется наи­
большее количество тепла в единицу
времени. 3) Подсчитать количество
тепла Q, выделяющееся в этом слуРис. 180.
чае в единицу времени. Горизон­
тальная слагающая земного поля
Н — 0,2 эрстеда, угловая скорость вращения а? = 100, пло­
щадь витка катушки 5 = 1 0 0 см2.
685. Условие предыдущей задачи. Катушка внезапно оста­
навливается в момент максимального заряда на обкладках
конденсатора. 1) Как дальше будет изменяться V, если,
кроме второго условия предыдущей задачи, будет ещё
•£- = -£ /?3? 2) Чему будет равно количество тепла Q, которое
выделится с момента остановки до установления электриче­
ского равновесия в цепи?
686. Магнитная стрелка, момент инерции которой /,
а магнитный момент М, совершает гармонические колебания
в горизонтальной плоскости. Под стрелку подводят центрированно круглый диск из красной меди и укрепляют на таком
расстоянии, что движение стрелки становится апериодиче­
ским. Тогда стрелку останавливают в её положении равно­
весия и вращают диск вокруг той же оси равномерно
с угловой скоростью u). 1) Какой момент Ме нужно
ЭЛЕКТРОМ АГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
143
приложить к стрелке, чтобы удержать её в положении
равновесия? 2) Какая мощность W будет при этом выделяться
в диске? 3) С каким угловым ускорением «о начнёт дви­
гаться стрелка, если её освободить? 4) Что произойдёт
дальше со стрелкой, если момент, действующий на стрелку
со стороны магнитного поля Земли, сравним по порядку
величины с моментом, с которым действует на неё вращаю­
щийся диск.
687.
К обмотке электромагнита приложено синусоидаль­
ное напряжение Е == Е0 cos <at. Определить графическим
способом форму тока, идущего через обмотку, если задана
кривая намагничивания материала сердечника, обладающего
гистерезисом (рис. 181). Омическим сопротивлением обмотки
можно пренебречь.
Рис. 181.
688. Почему в катушке Румкорфа, работающей с пре­
рывателем, при большом расстоянии между разрядными
электродами, соединёнными с концами вторичной обмотки,
искра проскакивает только в одном направлении даже при
одинаковой форме электродов?
689. Конденсатор ёмкостью С заряжен до разности потен­
циалов U0 и разряжается через сопротивление R. Найти,
как меняется со временем энергия конденсатора W. Выразить
эту зависимость аналитически и графически.
690. Конденсатор ёмкостью С — 1 мкф разряжается через
сопротивление /? = 1 0 0 0 ом. Через сколько времени от
начала разряда напряжение на пластинах конденсатора упа­
дёт вдвое?
691. Конденсатор ёмкостью С заряжается от батареи
с эдс, равной Е, через сопротивление R. Как меняется
144
ЭЛ Е К Т Р И Ч Е С Т В О
И М АГНЕТИЗМ
[ГЛ . II
со временем мощность W, подводимая к конденсатору?
Выразить аналитически и графически.
692. Конденсатор ёмкостью С заряжается через сопро­
тивление R до потенциала заряжающей батареи Е. 1) Опре­
делить энергию Q, переходящую в тепло при зарядке;
2) определить кпд tj установки, заряжающей конденсатор
(полезная энергия — энергия конденсатора).
693. В предыдущей задаче начальный ток /0, т. е. ток
£
в момент включения, был равен д -. Между тем до замыкаА
ния цепи ток был равен нулю. Следовательно, после замыка­
ния цепи ток должен был бы мгновенно достигнуть значеШ
ния
. Возможен ли такой скачок в реальных условиях?
694. Конденсатор заряжается от источника с постоянной
эдс Е через сопротивление R и самоиндукцию L, причём
R 2= 4 - ^ . 1) Как изменяется сила зарядного тока / со
временем (построить график)? 2) Через сколько времени Т
от начала зарядки сила тока достигает максимума? 3) Чему
равна максимальная сила /макс зарядного тока? 4) Чему равно
напряжение V на конденсаторе в этот момент? 5) Чему
равен кпд ц установки?
695. Конденсатор ёмкостью С заряжается от батареи
с эдс Е через сопротивление R. Параллельно конденсатору
присоединена неоновая лампа L (рис. 182а). Процесс
зарядки продолжается до тех пор, пока на пластинах кон­
денсатора разность потенциалов не достигнет значения Ua, при
ЭЛЕКТРО М А ГН И ТН АЯ
ИНДУКЦИЯ
145
котором вспыхивает неоновая лампа. Затем идёт процесс
разрядки конденсатора до тех пор, пока разность потенциа­
лов на пластинах конденсатора не упадёт до значения £/„,
при котором неоновая лампа гаснет. Затем снова начинается
процесс зарядки
конденсатора
и т. д. Построить график напряже­
ния на пластинах конденсатора
в зависимости от времени. Найти
продолжительность зарядки
и
разрядки U конденсатора, а также
период Т этого двойного про­
цесса. Характеристика (идеализи­
рованная) неоновой лампы приве­
дена на рис. 1826.
696. Рассмотреть
явления,
происходящие в схеме, указанной
на рис. 183, при включении и вы­
ключении рубильника К . Найти
напряжение V между точками
Рис. 183.
А и В.
697. Известно, что конденсатор, присоединённый парал­
лельно рубильнику, разрывающему цепь, препятствует обра­
зованию вольтовой дуги. Для выяснения роли конденсаг = 24 ом
-л/ w w w -
Шй
][
-£•= 24 5
С = 100 мкф
/. = 10 генри
оиш Ш иь
Рис. 184.
тора подсчитать напряжение V между точками А и В
после выключения рубильника К в схеме, показанной на
рис. 184.
10
Зак. 5182. Сборник задач, ч. I.
146
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И М АГНЕТИЗМ
[Г Л . II
§ 1 9 . Переменный ток
698.
Для зарядки аккумулятора постоянным током силы /
требуется 8 часов. За отсутствием источника постоянного
тока зарядка ведётся от сети переменного тока через двух*
полупериодный выпрямитель. При этом имеющийся в цепи ак­
кумулятора электродинамический
амперметр показывает ту же си­
лу тока /. Как долго придётся
заряжать в этих условиях акку­
мулятор ?
699. Характеристика выпрями­
теля изображена на рис. 185.
Сила тока указана в а, напряже­
Рис. 185.
ние в в. Выпрямитель работает
по двухтактной схеме на чисто омическую нагрузку в
100 ом. Определить величину среднего тока /ср, идущего
через цепь выпрямитель — нагрузка, если амплитуда эдс
равна 40 в.
700. Для нагрева электропечи до нужной температуры
требуется при питании постоянным током 5 а. Если через
обмотку печи пропускать переменный ток после однополупериодного выпрямления, то какие показания должны давать
включённые в цепь: 1) ам­
перметр постоянного тока,
2) амперметр переменного
тока, чтобы печь имела нуж­
ную температуру?
701. Вольтметр магни­
тоэлектрической
системы,
присоединённый к выпрями­
телю, показывает 100 в. Ка­
кое пиковое напряжение
даёт выпрямитель, если вы­
прямление 1) однополупериодное, 2) двухполупериоднор?
У к а з а н и е : Пиковым напряжением называется то наиболь­
шее мгновенное значение которого достигает данное пере­
менное напряжение.
702. В выпрямительном устройстве, собранном по так
называемой схеме Латура (рис. 186), к точкам CD подво­
П ЕРЕМ ЕН Н Ы Й
ТОК
147
дится переменное напряжение, а с нагрузочного сопротивле­
ния /?„ снимается пульсирующее напряжение (через это сопро­
тивление идёт ток в одном направлении). Как связано на­
пряжение между А и В с подводимым к CD напряжением,
если сопротивление нагрузки много больше, чем сопроти­
вление конденсатора на данной частоте?
703. В цепь 50-периодного тока включены реостат с со­
противлением /? = 103ол* и катушка самоиндукции, состоящая
из железного цилиндрического сердечника с обмоткой из
N = 400 витков медного провода. Катушка имеет длину
/ = 40 см и диаметр D = 4 см. В цепи наблюдается сдвиг фазы
между эдс и силой тока ф == 30°. Определить среднюю
магнитную проницаемость р. железа сердечника. Сопротивле­
нием обмотки пренебречь.
704. В цепи 50-периодного тока имеются: реостат с со­
противлением # = 1 0 0 ом, соленоид с коэффициентом само­
индукции L = 1 генри и конденсатор ёмкостью С = 1 мкф.
Чему равен сдвиг фазы в между током и напряжением на
концах всей цепи и что опережает по фазе?
705. В цепи 50-периодного тока находятся реостат и
катушка с коэффициентом самоиндукции /, = 0,1 генри.
Поэтому между эдс и силой тока наблюдается сдвиг фазы
©= 30°. Чему равно сопротивление реостата R и включение
какой ёмкости С могло бы устра­
нить сдвиг фазы?
706. Проволочный виток с коэф­
фициентом самоиндукции L и сопро­
тивлением Ц равномерно вращается
с угловой скоростью «о вокруг
оси, лежащей в его плоскости,
в однородном магнитном поле, пер­
пендикулярном к оси вращения. При
каком угле а меж^у направлением
ноля и плоскостью витка сила тока
в витке будет достигать максимума?
707. Квадратная рамка вращается
равномерно с угловой скоростью ш
рнс> |§ 7.
в однородном магнитном ноле, пер­
пендикулярном к оси вращения (рис. 187). Концы рамки всё
время остаются присоединёнными к катушке L. Омическим
10?
148
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
И М АГН ЕТИ ЗМ
[гл. II
сопротивлением цепи можно пренебречь. В каком положении
рамки сила тока в рамке будет максимальной?
708. В каком положении рамки предыдущей задачи сила
тока будет максимальной, если кроме самоиндукции в цепь
включены последовательно конденсатор С и омическое сопро­
тивление R?
709. Соленоид, имеющий коэффициент самоиндукции
L = 0,3 генри и сопротивление / ? = Ю 0 ом, включается
в цепь 50-периодного тока с эффективным напряжением
V — 120 в Определить амплитуду силы тока /, сдвиг фазы с?
между током и напряжением в цепи и выделяемую в цепи
мощность W.
710. Для определения мощности, выделяемой переменным
током в катушке (коэффициент самоиндукции L, сопротивле­
ние г), применяют иногда метод трёх вольтметров, заклю­
чающийся в следующем: включают известное сопротивле­
ние R и три вольтметра так, как указано на рис. 188.
Измерив с помощью этих вольтметров эффективные напряже­
Рис. 188.
Рис. 189.
ния: Vj — на катушке, V2 — на сопротивлении R и V — между
крайними клеммами катушки и сопротивления, определить
искомую мощность W.
711.
Для определения мощности, выделяемой переменным
током в катушке (коэффициент самоиндукции L, сопротивле­
ние г), применяют иногда метод трёх амперметров, состоящий
в следующем (рис. 189). Параллельно катушке включают
ПЕРЕМ ЕННЫЙ ТОК
149
известное сопротивление R. Измеряют эффективные значения
сил тока /j через катушку, / а через сопротивление R и пол­
ной силы тока I. Зная показания приборов, определить
искомую мощность W.
712. Катушка, ось которой находится в горизонтальной
плоскости, состоит из /V = 1000 витков тонкой медной прово­
локи сечением 5 = 0,1 мм2 и вращается в магнитном поле
Земли вокруг вертикальной оси, проходящей через середину
катушки, делая л = 103 оборотов в минуту. Концы катушки
присоединены постоянно к внешней цепи, состоящей из
реостата с сопротивлением R = 20 ом и микроамперметра
с сопротивлением р = 134 ом. Найти мощность W, выде­
ляемую в реостате. Диаметр катушки D = 40 см. Горизон­
тальная слагающая земного магнитного поля Н = 0,2 эрстеда.
Самоиндукцией катушки можно пренебречь.
713. Железный сердечник несёт на себе две обмотки.
Одна обмотка из большого числа N витков присоединена
к источнику синусоидаль­
ной эдс в Е в . Другая
обмотка состоит из одного
кольца, сопротивление ко­
торого R. Точки А , В и С
этого кольца (рис. 190)
отстоят друг от друга
на равных расстояниях.
1) Если к двум из этих
точек присоединить галь­
ванометр с сопротивле­
нием г, то что он покажет?
2) Как изменится его по­
казание, если перебросить
его в положение, указан­
ное пунктиром на рисунке? Железный сердечник не имеет
магнитного рассеяния. Самоиндукцией кольца и соединитель­
ных проводов можно пренебречь.
714. Чем определяется сила тока в кольце в предыдущей
задаче, если омическим сопротивлением кольца можно пре­
небречь?
715. Чему равно сопротивление г переменному току
(частоты ш) разветвления, состоящего из параллельно вклю-
150
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И
М А ГН ЕТИ ЗМ
[ГЛ. II
чённых конденсатора, ёмкость которого С, и омического
сопротивления /??
716.
Имеются две самостоятельные цепи. Первая состоит
из источника эдс некоторой частоты, катушки с коэффициен­
том самоиндукции L и сопротивления R. Вторая — из источ­
ника эдс той же частоты и параллельно включённых кон.£
*
денсатора ёмкостью С и
- | | — ••л/w ytfw w '—
сопротивления R. При
каком соотношении между
L, С и R сдвиг фазы
между током и напряже­
— vy v ^v \млллнием в цепи в обоих
случаях будет одинаков
Рис. 191.
по абсолютной величине?
717.
Дана схема, приведённая
на рис. 191. Будет ли
меняться сдвиг фаз между токами в ветвях с изменением
1) сопротивления /?2, 2) сопротивления /?х?
■штг- К «-ЛЛЛМЛЛЛЛ-’Рис. 192.
718.
В схеме, приведённой на рис. 192, даны L, С, R и
/ 2 = / 0 cos (ot. Найти Е, Д и сдвиг фазы с? между Е и напря­
жением V на конденсаторе.
L
R
ТППР— VW W W 4
Рис. 193.
719.
Определить полное сопротивление г цепи, показан­
ной на рис. 193. Круговая частота переменного тока, иду-
§
П ЕРЕМ ЕННЫ Й
1Э ]
151
ТОК
щего в цепи, равна ш. Определить условие, при котором со­
противление цепи будет максимальным, если
£<*>, и найти
это максимальное сопротивление гиаЕС.
1000 ол
1000 ом
----- \ W - ----- \ЛЛЛг10мкф
10МКф
■
10м к£
=
Л
---------
р
I
и
------ £
Рис. 194.
720.
Задано напряжение на входе фильтра
(рис.
194)
[7, = (120 sin 300/ —
f- 120 sin 600/) в. Определить напряжение
на выходе С/а в вольтах *).
Я =50 о*
£, = 0,01 генри
721. Дана схема, представленная на рис. 195. Сила тока
в катушке Lx колебательного контура / = 0,5 cos 600/ а. Найти
эдс Е.
722. Показать, что трансформатор без рассеяния, схема­
тически изображённый на рис. 196, а, работающий на чисто
омическое сопротивление /?, можно для простоты расчёта
*) В этой и многих следующих задачах встречается произведе­
ние какого-либо числа на t. Число, на которое умножается t,
имеет размерность, обратную времени (т. е. частоты), и выражается
в обратных секундах. Поэтому произведение из этого числа на t
есть величина безразмерная. Чтобы не загромождать формул, ни
единицы, в которых измеряются эти числа, ни единицы времени не
указываются.
152
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . II
нагрузки представить в виде эквивалентной схемы, показан­
ной на рис. 196, б (и — коэффициент трансформации).
Рис. 196.
723.
Цепь переменного тока показана на рис. 197. Опре­
делить: 1) сдвиг фаз между напряжением на конденсаторе и
током через сопротивление R) 2) сдвиг фаз между током
через конденсатор и током через сопротивление R) 3) сдвиг
фаз между напряжением на сопротивлении R и эдс всей цепи Е.
724.
Переменное напряжение имеет форму, изображённую
на рис. 198. Найти эффективное значение такого напряже­
ния £ 8фф.
726.
Ток, идущий через катушку самоиндукции, имеет
форму, аналогичную указанной на рис. 198. Наибольшее зна­
П ЕРЕМ ЕН Н Ы Й ТО К
153
чение силы тока равно /0. Какова будет величина падения
напряжения‘на самоиндукции? Представить графически изме­
нение этой величины за период.
Рис. 198.
726. Конденсатор ёмкостью С = 0,025 мкф заряжён до
разности потенциалов V = 2 0 в и разряжается через провод­
ник с коэффициентом самоиндукции L = 4 микрогенри. Со­
противление цепи г = 1 ом. Определить циклическую частоту
колебаний со, логарифмический декремент затуханий 0 и макси­
мальное значение силы тока L.
727. Электрическая цепь, состоящая из катушки (L =§ 0,2
генри, /? = 10 ом) и соединённого последовательно с ней
конденсатора С, приключена к сети переменного тока (/= »
= 50 с е к .-1, амплитуда напряжения £'0= 1 0 0 в ) . Подобрать
ёмкость так, чтобы напряжение V на зажимах катушки было
максимальным, и определить величину этого напряжения.
728. Какова должна быть
величина ёмкости С в пре­
дыдущей задаче, чтобы ам­
плитуда силы тока в цепи
была равна 1 а ?
jfflW W
729. Какова величина
ёмкости С в цепи (см. за­
дачу 727), если известно,
~ЛЛЛЛМЛМЛЛ~^0^что амплитуда падения на­
пряжения на сопротивлении
Рис. 199.
равна 0,1 в?
730. Дана схема, изображённая на рис. 199. Определить:
1) при какой частоте эдс Е в цепи А будет течь ток
а в цепи В он постоянно будет равен нулю; 2) при какой
*
154
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
И
М А ГН ЕТ И ЗМ
(ГЛ. II
частоте э д с Е в цепи В б у д е т течь ток , а в цепи А он б у ­
д ет постоянно равен нулю . К оэф ф ициент взаимной индукции
о б еи х цепей M z f z L .
731.
В преды дущ ей задаче L = L ' = 2 М = 0 ,0 1 генри,
С = \м к ф и
= 1 0 0 ом. О пределить амплитуды сил т о ­
ков / 0 и / ' в цепях А и В в случаях 1) и 2 ) преды дущ ей
задачи, если максимальное значение эд с Е равно 1 0 0 в; п о д ­
считать в тех ж е случаях м ощ ность
W , р асх о д у ем у ю источ­
-л А Л М Л
/7
ником э д с .
732.
Ё мк
COStvT
в цепи, показанной на р и с. 2 0 0 ,
м ож ет плавно изменяться в ш и­
р ок и х п р ед ел ах. Э д с источника
равна Е 0 c o s ш/.
О пределить
Рис. 200.
м ощ ность, отдаваем ую и сточ ­
ником, в зависим ости от вели­
чины ём кости. При каком значении ём кости м ощ ность источ­
ника б у д ет максимальной и чему равна максимальная м ощ ­
н ость ?
7 3 3 . Г енератор посы лает эн ергию п о линии к п отр еби ­
тел ю . Э ф ф ективное напряжение генератора равно Е . С о п р о ­
тивление и индуктивность линии и генератора соответственно
равны R 0 и L0. С опротивление и индуктивность на участке
потребителя равны R и L. О пределить: 1 ) мощ ность W , о т д а ­
ваемую источником; 2 ) пол езную мощ ность W ' и 3) к оэф ­
фициент п о л езн ого действия т) всей установки.
7 3 4 . О пределить мощ ность W , отдаваем ую источником,
п ол езн ую мощ ность W ' и коэф ф ициент п ол езн ого действия Т|
для цепи, показанной на рис. 2 0 1 . Э д с источника равна
E
q
c o s ф /.
7 3 5 . Схема электрической цепи показана на р и с. 2 0 2 , а.
Значения напряжения, силы тока и сдвига ф аз м еж ду напря­
ж ением и током в цепи потребителя показаны на р исун ке 2 0 2 , 6 .
О пределить э д с источника Е и коэффициент п ол езн ого д ей ­
ствия т) установки. Каково было бы значение кпд tj', если бы
при т е х ж е значениях напряжения и силы тока потребитель
обладал только омическим сопротивлением ?
7 3 6 . В цепи потребителя ваттная и безваттная составляю ­
щие силы тока равны. А мплитуда напряжения на вводных
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
155
зажимах цепи потребителя равна V — 100 в, а амплитуда силы
тока / = 10 а. Определить амплитуду эдс источника, если
сопротивление линии и источника R0 = 5 ом.
Г----------------Г
Потребитель
Рис. 201.
737.
Как с помощью амперметра и вольтметра перемен­
ного тока можно измерить ёмкость конденсатора С ? Дать
схему и расчётную формулу.
VB=eBe
0)
Рис, 262.
738.
В сеть 50-периодного переменного тока напряже­
нием в 120 в включили последовательно конденсатор и изме­
рительный, прибор, который показал силу тока в 240 лиг.
Чему равна ёмкость конденсатора С? Сопротивлением при­
бора и подводящих проводов можно пренебречь.
156
(гл.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
И
739. При каком условии можно пользоваться описанным
в предыдущей задаче методом для измерения ёмкости кон­
денсатора ?
740. Как можно просто определить ёмкость конденсатора,
обладающего утечкой, по методу, указанному в задаче 737?
741. Для измерения ёмкости конденсатора применяют
иногда метод моста, показанного на рис. 203. А В — реохорд,
Рис. 203.
Рис. 204.
S — зуммер (источник переменного тока),
Сх — измеряемый конденсатор, Щ — эталонный
Вывести условия баланса моста (т. е. условия,
в телефоне нет звука). Почему нельзя поменять
мер 5 и телефон Т?
Ф
Т — телефон,
конденсатор.
при которых
местами зум­
| генри\
^
100ол»
Д)— W W \M
Рис. 205.
742.
Схема моста дана на рис. 204 Можно ли при какихлибо соотношениях величин I. и С получить отсутствие тока
через прибор переменного тока G?
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
157
743.
В схеме, изображённой на рис. 205, дано Е =
= 150 cos 300^8, остальные параметры указаны на рисунке.
Подобрать величину ёмкости С так, чтобы сила тока через
прибор А была равна 5 ма.
ВПИН
: шмнф
юмкф“
Рис. 206.
744. Подобрать самоиндукцию дросселя L так, чтобы ам­
плитуда напряжения t/2 на выходе фильтра, показанного на
рис. 206, при частоте 100 герц была в 10 раз меньше, чем
амплитуда Ui на входе.
745. Для питания электрического звонка пользуются по­
нижающим трансформатором. Обычно первичная обмотка транс­
форматора остаётся постоянно
приключённой к сети (рис. 207).
За что же платит абонент: за всё
время присоединения первичной
обмотки к сети или за те корот­
кие моменты, когда приходящий
нажимает кнопку звонка? Почему
предпочитают включать кпопку
во вторичную цепь трансформа­
тора?
746. Амперметр включён по­
следовательно с первичной обмот­
кой трансформатора в сеть 50-периодного переменного тока с на­
пряжением 220 в и показывает 0,1а
на холостом ходу. Омическое сопротивление первичной
обмотки равно 200 ом. Определить самоиндукцию первич­
ной обмотки трансформатора.
158
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . II
747.
Трансформатор, повышающий напряжение со 100
до 3300 в, имеет замкнутый сердечник в виде кольца. Че­
рез кольцо проходит провод, концы которого присо­
единены к вольтметру (рис. 208).
Вольтметр показывает 0,5 в. Сколь­
ко витков имеют обмотки трансфор­
матора ?
748. Сердечник трансформатора
представляет собой тор квадратного
сечения со стороной а = 1 0 см. Ось
тора отстоит от середины попереч­
ного сечения на d = 25 см. Первич­
ная и вторичная обмотки имеют
соответственно
= 500 и Л/2 =
= 10 000 витков проволоки. Вто­
ричная обмотка изолирована. Концы первичной обмотки при­
соединяют к генератору, и по цепи идёт синусоидальный
ток круговой частоты ш= 314 сек.-1 и эффективной силы
/ = 1 , 4 а. Подсчитать: 1) коэффициент самоиндукции L пер­
вичной обмотки; 2) амплитуду напряжения V, создаваемого
между концами вторичной обмотки. Сопротивление первич­
ной обмотки г = 0,5 ом; магнитная восприимчивость металла
сердечника у. = 12.
749. В цепь батареи постоянного тока включён плоский
конденсатор. Расстояние между пластинами конденсатора
меняется по гармоническому закону: d = dQ(1 -J- a cojs (at),
где а < ^ 1 . Какой силы ток / будет течь в цепи, если эдс
батареи равна Е, а площадь пластины конденсатора S? Оми­
ческим сопротивлением цепи можно пренебречь, так как она
1
гораздо меньше
750. В усилительной лампе колебания напряжения на аноде
подаются в цепь сетки следующей лампы от сопротивления R
(рис. 209). Конденсатор С («разделительный») защищает
цепь сетки следующей лампы от попадания на неё по­
стоянного анодного напряжения. Подсчитать минимальную
ёмкость С разделительного конденсатора, если усилитель пред­
назначен для частот от 5 • 10б до 15 • 10б герц и потеря
напряжения на конденсаторе не должна превышать 0,1%
( /? = 1 мгом).
(гл. а
0 100в
1 Чещо208).
т'юр-
ПЕРЕМЕННЫЙ
§ т
15 9
ТОК
751- Для передачи то ль к о переменной составляющей нзпря жения У} в иепь, изображённую на рис. 210, поставлен кон­
денсатор С. Определить наименьшую величину ёмкости этого
конденсатора из условия,
что потери
напряжения
выгод
------к сетке
следующей
лампы
I
Вход
Рис.
209.
Рис. 210.
должны быть не более 5% в диапазоне частот от 5 0 д о
10000 герц. Сопротивление R = 0 ,5 мгом.
752. Напряжение с частотой 50 периодов в секунду под­
водится к отклоняющим электродам катодного осциллографа
через цепь, показанную на рис. 2 1 1 . Ёмкость конденсатора С
равна 0,5
Найти величину сопротивления У?, при к о т о ­
ром на экране осциллографа
будет: 1 ) круг, 2 ) эллипс,
у которого одна ось вдвое
больше другой.
753. Определить отно­
шение большой полуоси
эллипса (см. предыдущую за­
дачу) к радиусу круга.
Рис. 211.
754. Измерение сдвига
фаз между токами можно
произвести с помощью катодного осциллографа, по схем е
рис. 212. 1) Как это сделать? 2) Можно ли этим способом
определить, какой ток опережает?
755. В ответе предыдущей задачи указан способ оп р ед е­
ления сдвига фаз между двумя токами. Этот способ н ед о ­
статочно точен. Более точно можно определить сдвиг фаз
по положению главных осей эллипса. Найти выражение угла
сдвига фаз через длину и наклон полуосей эллипса.
--
Э Л ЕК Т РИ Ч Е С Т В О
И М АГНЕТИЗМ
(гл. и
756.
С помощью схемы с катодным осциллографом, изо­
бражённой на рис. 213, принципиально можно измерить
Рис. 212.
мощность, потребляемую в цепи (R, L, г). Какие данные
необходимы для такого измерения? Как это сделать?
757. В электрической цепи, показанной на рис. 214, а)
(соединение треугольником), даны напряжения между точ­
ками 1, 2, 3 и сопротивления г12,
г13. Найти сопро­
тивления в плечах «эквивалентной» цепи, рис. 214, б)
(соединение звездой). Условие «эквивалентности» состоит
в том, что при том же падении напряжения между каждой
парой точек 1 , 2 , 3 в обеих схемах через эти точки про­
текают одинаковые токи.
758. Упрощённая схема электродинамометра изобра­
жена на рис. 215. Прибор состоит из неподвижной ка­
тушки (выводы а, Ь), расположенной вертикально; коаксиально с этой катушкой подвешена на пружине вторая
катушка (выводы а 1, У ) с прикреплённой к ней тарелочкой
с разновесами. Если концы катушек b и Ь' соединяют и
пропускают постоянный ток в 1 а от а к а', то на чашку
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
161
весов нужно добавить 20 г, чтобы указатель А не сместился
из нулевого положения. Определить, какой груз р нужно
добавить на чашку, если через катушку аЬ проходит пере'/////////,.
Рис. 215.
менный 50-периодный ток, силой в 2 а, а через катушку а'Ь'
той же частоты переменный ток силой 0,5 а, но сдвинутый
по фазе относительно первого на 30°.
759.
Прибор состоит из двух взаимно перпендикулярных
катушек, одна из которых (внешняя) укреплена неподвижно,
а вторая подвешена на нити внутри первой (рис. 216).
Конец обмотки первой катушки b соединяют с а ' и через
обе катушки пропускают 50-периодный переменный ток
силой /j, вследствие чего внутренняя катушка поворачивается.
Поворотом головки А на at делений влево возвращают
катушку в первоначальное (нулевое) положение. Затем про­
пускают ток той же частоты, но силой /2, и поворотом
головки на а9 делений влево снова возвращают катушку
в начальное положение. Наконец, ток /д пропускают через
11
Зак. 5182. Сборник задач, ч. I.
162
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
И
М А ГН ЕТИ ЗМ
[Г Л .
П
первую катушку от а к Ь, а ток Л> через вторую от а ' к Ь'
и наблюдают, что головку нужно повернуть на а3 делений
4
вправо, чтобы катушка осталась на
месте.
Считая угол закручивания нити
пропорциональным моменту, опре­
делить сдвиг фаз между током 1Х
и /0, если а 1 = 14э5 / ; а 2 = 1 0 ° ;
«з = 6°.
7 6 0 . Как изменятся углы закру­
чивания нити в предыдущей задаче
во всех опытах, если: 1 ) концы
обеих катушек поменять местами,
2 ) концы переменить только у одной
из катушек? 3) возможно ли с по­
мощью данного прибора опреде­
лить, который из токов опережает
по фазе?
76 1 .
Как будет изменяться со временем ток / в цепи
схемы, представленной на рис. 217, после замыкания ключа Л?
✓и
I
*=н
[
= 60<
L - 0,2 генри « Э
R2=]0om
V
-лММ ЛЛ/V— ------------------- 1
Рис. 217.
76 2 . Определить закон изменения силы тока / через
батарею Е после замыкания ключа К в схеме, показанной
на рис. 2 1 8 . Вычертить кривую изменения силы тока при
замыкании ключа.
7 6 3 . Электрическая цепь состоит из батареи, конденсатора
и катушки самоиндукции (рис. 2 1 9 ). Определить силу тока
в цепи / как функцию времени, считая, что замыкание
ключа К произошло в момент / = 0 . Величина параметоов
цепи указана на рисунке. Омическим сопротивлением багареи и остальной цепи пренебречь.
§ 19]
ПЕРЕМ ЕН Н Ы Й
163
ТОК
764.
Определить закон изменения напряжения К . на кон­
денсаторе С после замыкания рубильника Л" в основной
цепи схемы, представленной на рис. 2 2 0 .
и /«■/Г
/0#
L - Q A 9 генри ;
С=0.?Ъ м к ф
41—
Рис. 219.
765.
Схема электрической цепи показана на рис. 221,
Определить напряжение К на конденсаторе С как функР ,- \0 о м
■--------(ЛАЛЛЛЛЛЛЛ
Яг=10о*
10/?
Рис. 220.
цию времени после того, как в момент / == 0 замкнут ру­
бильник К.
___ / 1 _
v
Я, =100 ом
^iM/WWWWV4^
£ =500
' *'■ 1 = 0,5 генр и «
/?г=500о*
-тДЛЛАЛЛЛЛЛЛЛг
1
I
(/ = 4 м иф
Т
Рис. 221.
766- Для схемы, представленной на рис. 222, определить
заряд q на конденсаторе С как функцию времени после
включения рубильника /С.
164
Э Л ЕК Т РИ Ч Е С Т В О
И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . П
767.
Для схемы, представленной на рис. 223, определить
как изменяется сила тока / через катушку с коэффициентом
самоиндукции L после замыкания ключа К. Параметры цепи
обозначены на рисунке.
К
—M/WWW-
I
_L
Рис. 222.
768.
Вместо батареи в электрическую цепь задачи 761
ставят источник синусоидальной эдс с частотой 10 периодов
в секунду и включают ключ К в тот момент, когда эдс
У *.
. Е - '0 в i = 0Д25 генри*
1
5 С = 0,5 м*Ф
\
R - ЬОол*
— (ЛЛЛЛЛДЛ—
Рис. 223.
Рис. 224.
достигла максимального значения. Амплитуда эдс равна 10 в.
Определить напряжение на конденсаторе V как функцию
времени.
У !
Г
( ^ ) f -£ oCOSd'f
!Я =200ом
С= 0,1ш ф
L = 1генри
лШЙмЫ
Рис. 225.
769.
Источник синусоидальной эдс (Я = 1 0 0 sin 100 n te )
включают в момент / = 0 на катушку, обладающую только
§ 19]
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
165
самоиндукцией L = 1 генри (рис. 224). Определить силу
тока / в цепи.
77 0 .
Схема цепи показана на рис. 225. В момент времени
f = U замыкают рубильник К . Определить силу тока, идущего
У * _____
Рис. 226.
через сопротивление, и напряжение на конденсаторе. Ампли­
туда эдс Е 0 — 100 в, частота ш — 200 и сек.-1 , остальные дан­
ные приведены на рисунке.
7 7 1 . Повлияет ли замы­
кание ключа К в схеме, пред­
ставленной на рис. 226, на силу
тока через сопротивление R ?
7 7 2 . В схеме, приведённой
на рис. 227, в момент / = 0
включают рубильник К. Опре­
Рис. 227.
делить зависимость от времени
падения напряжения V на сопротивлении. Дано: £ о = 1 0 0 в,
ю = 100т: сек .-1 ; параметры цепи указаны на рисунке.
1
й-г = 200 ом >
-лЛЛЛЛЛЛМ Л,— Ь .
Рис. 228.
773.
Электрическая цепь представлена на рис. 228. Опре­
делить силу тока i через сопротивление R 1 после того, как
в момент / = 0 замыкают рубильник К. Амплитуда эдс
166
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
И
М АГН ЕТИ ЗМ
[Г Л .
II
равна 100 в, частота ЮОтс сек.-1 . Параметры цепи указаны
на рисунке.
774.
Схема электрической цепи показана на рис. 229. Цеп
состоит из двух одинаковых конденсаторов, каждый ёмкостью С,
соединённых последовательно, и катушки самоиндукции
с коэффициентом L. При разом_ / * ______ кнутой цепи один из конден­
саторов заряжается до раз­
ности потенциалов V0. Затем
источник отключают. Опреде­
лить закон изменения во вре­
мени зарядов на конденсато­
рах после замыкания ключа К.
775. Какой должна быть
Рис. 229.
взята величина коэффициента
самоинд>кции L катушки, кото­
рую надо включить параллельно конденсатору ёмкости
С = 10 мкф, чтобы получившийся контур резонировал на
50-периодный ток?
776. Колебательный контур состоит из катушки длиной
/ = 40 см,диаметром d = 4 см, обмотанной виток к витку про­
волокой, толщина которой вместе с изоляцией а = 1 мм, и
батареи из 10 плоских конденсаторов, соединённых парал­
лельно, пластины которых имеют размеры т у^п = 2 0 Х 15 см2
и отделены друг от друга слоем диэлектрика с диэлектрической
проницаемостью е = 5 и толщиной D = 0,1 мм. Найти при­
ближённо собственный период контура Т.
777. Чему равна длина электромагнитной волны X, соот­
ветствующая собственной частоте колебаний контура, со­
стоящего из катушки с коэффициентом самоиндукции L = 0,4
генри и конденсатора ёмкостью С = 104 см?
778. Какова должна быть ёмкость конденсатора С, чтобы
с катушкой с коэффициентом самоиндукции L = 25 микро­
генри обеспечить настройку в резонанс на длину волны
Х = 100 м?
779. Найти связь между амплитудами тока / 0 и напряже­
ния V0 при свободных колебаниях в контуре, состоящем из
самоиндукции L и ёмкости С.
780. На колебательный контур, состоящий из последо­
вательно включённых ёмкости С = 0 , 1 м кф , самоиндук-
§ 191
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
107
ции L = 0,01 генри и сопротивления /?=10ол*, действуют
внешняя эдс с амплитудой в 10 в. Чему равна частота /
эдс, включённой последовательно в контур, если извест­
но, что амплитуда силы тока, протекающего в контуре,
равна 1а?
781. На колебательный контур с собственной частотой а>0
и логарифмическим декрементом затухания 9 = 0,02 действует
внешняя периодическая сила с постоянной амплитудой.
Частота ш внешней силы, вначале равная частоте собствен­
ных колебаний, изменяется настолько, что мощность, расхо­
дуемая в контуре, падает вдвое. Определить изменение
частоты в процентах к собственной (или резонансной) ча­
стоте Ш0.
782. В колебательном контуре имеется катушка с коэф­
фициентом самоиндукции L и сопротивлением R. Эту катушку
желают заменить двумя катушками с коэффициентами само­
индукции Ц и L2 и сопротивлениями /?х и Rv Каким усло­
виям должны удовлетворять эти параметры катушек, чтобы
период и затухание собственных колебаний в контуре не
изменились? Рассмотреть случаи последовательного и парал­
лельного включений катушек (взаимную индуктивность кату­
шек считать равной нулю).
783. Колебательный контур состоит из ёмкости С ==0,5 мкф
и самоиндукции L = 1 генри. Чему равно омическое сопро­
тивление контура, если известно, что амплитуда собствен­
ных колебаний в нём за 0,05 сек. уменьшается в е = 2,7 раза.
784. Определить по данным предыдущей задачи, через
какое число периодов колебаний величина их уменьшается
в г = 2,7 раза.
785. Что характеризует собой коэффициент затухания
D
контура 8 =
? Что характеризует собой логарифмический
декремент контура ft = itR
?
786. Колебательный контур имеет следующие параметры:
L = 40 микрогенри, С = 270 мкмкф и R = 8 ом. Опреде­
лить время, за которое амплитуда собственных колебаний
уменьшится в г2яа7,4 раза.
787. В радиотехнике в качЯТве переменной самоиндукции
применяют вариометр, схема которого приведена на рис. 230.
168
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л .
II
Внутри неподвижной катушки А находится катушка В,
могущая поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной к осям
обеих катушек. Коэффициент самоиндукции катушки А
равен 1000 микрогенри, а катушки В равен 400 микрогенри.
Максимальный коэффициент взаимоиндукции между катуш—«ками равен 500 микрогенри. Опреif делить максимальный и минимальа, ный коэффициенты
самоиндукции
- U'
» «
•'
^
вариометра (т. е. цепи ab — а 'Ь ).
Катушки вариометра соединены
последовательно.
Рис. 230.
788. Даны две катушки само­
индукции, расположенные неизменно одна относительно другой, и мостик для измерения
самоиндукции. Как можно, пользуясь этим прибором, опре­
делить коэффициент взаимоиндукции М между катушками?
789. В колебательный контур включён последовательно
источник синусоидальной эдс постоянной амплитуды. Оценить
приближённо напряжение на самоиндукции и ёмкости при
очень малых и очень больших
j
-------------- 1--------частотах (по сравнению с собственной частотой контура),
пренебрегая внутренним сопротивлением источника.
790. Внешняя эдс Е дей­
ствует на колебательный кон­
тур (рис. 231). Определить
силу тока / и сдвиг фаз о
между / и Е при резонансе.
791. В резонансный контур,
состоящий из последовательно
включённых сопротивления R,
самоиндукции L и ёмкости С,
Рис. 231.
включён последовательно источ­
ник синусоидальной эдс постоянной амплитуды и переменной
частоты. Изменяя частоту источника, настраиваются в резо­
нанс, затем уменьшают ёмкость контура в два раза и снова
настраиваются в резонанс. Изменится ли сила тока при резо­
нансе? Каково отношение резонансных частот, соответствую­
щих первому и второму случаям?
169
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
792. Как изменится мощность, расходуемая источником
эдс в задаче 790, если самоиндукция контура при резонансе
будет увеличена вдвое, причём La>^> R? Частота и амплитуда
эдс всё время остаются постоянными.'
793. Показать, что в контуре задачи 791 амплитуда силы
тока I, при небольшом отклонении частоты внешней эдс А/*)
от резонансной частоты / 0, будет связана с амплитудой силы
тока при резонансе /0 следующим соотношением:
/ = /,
контура.
794. В колебательном контуре, состоящем из вариометра
и конденсатора, увеличили ёмкость в два раза и, изменив
коэффициент самоиндукции вариометра, настроили снова кон­
тур на прежнюю частоту. Как изменятся при этом: 1) лога­
рифмический декремент контура, 2) коэффициент затухания,
3) сила тока при резонансе и 4) напряжение на конденсаторе
при резонансе, если в обоих случаях на контур действует
последовательно включённая эдс одинаковой амплитуды,
а потери на тепло в вариометре остаются неизменными?
795. Определить добротность Q контура по следующим
данным: резонансная частота / рез = 600 кгц, ёмкость С =
= 370 мкмкф, омическое сопротивление на высокой частоте
/? = 15 ом.
796. В колебательный контур включён источник эдс
с амплитудой Е0= 5 в. Напряжение на конденсаторе при
резонансе равно 150 в. Определить добротность Q контура.
797. В определённом пункте напряжённость электрического
поля, создаваемого радиостанцией Л, в 5 раз больше, чем
напряжённость электрического поля радиостанции В. Опре­
делить добротность контура, с помощью которого можно
принимать в данном пункте станцию В без помех со сто­
роны станции А, если для этого необходимо, чтобы амплитуда
*. А /
*)
/о
„
„
„
называется относительной «расстройкой»,
170
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
(Г Л . К
сигналов станции В в контуре была бы по крайней мере
в 10 раз более амплитуды сигналов станции А. Частота
станции А равна 210 кгц, частота станции В равна 200 кгц
(см. задачу 793).
798. Волномер состоит из контура, настраивающегося в
резонанс с внешней эдс. Резонанс устанавливается по току
в контуре с помощью прибора, точность которого 2°/0. Дан­
ные контура такие же, как в задаче 795. Подсчитать точность
определения волномером частоты колебаний в процентах.
799. Имеется двухпроводная линия из идеального про­
водника (без тепловых потерь). Одна пара концов линии
присоединена к генератору постоянного тока, другая к неко­
торому сопротивлению (нагрузка). Показать, что если падения
напряжения в проводах не учитывать, то вектор потока
энергии (вектор Умова-Пойнтинга^ 5 в пространстве между
проводами направлен вдоль проводов от генератора к на­
грузке. Как изменится картина, если учесть падение напря­
жения в проводах?
800. Двухпроводная линия предыдущей задачи присоеди­
нена с одного конца к генератору синусоидального тока.
Напряжение и сила тока в линии находятся в одной и той же
фазе. Показать, что вектор Умова-Пойнтинга в пространстве
между проводами в любой полупериод направлен от генера­
тора к нагрузке.
801. Условие предыдущей задачи, но ток отстаёт по
фазе от напряжения на 90°. Показать, что вектор УмоваПойнтинга каждые полпериода меняет своё направление на
обратное и, следовательно, поток энергии за период равен
нулю (стоячая волна).
802. По прямому проводу, обладающему сопротивлением,
идёт постоянный ток; 1) указать для произвольной точки
боковой поверхности провода направление составляющей
вектора Умова-Пойнтинга S, обусловленной тангенциальной
составляющей Е\ 2) показать, что произведение вектора
Умова-Пойнтинга на величину боковой поверхности провода
равно мощности, выделяемой током в проводе.
803. Найти ток смещения в плоском конденсаторе, пла­
стины которого раздвигаются со скоростью и, оставаясь
параллельными друг другу, если: 1) заряды р на пластинах
конденсатора остаются постоянными, 2) разность потенциалов'
ЭЛЕКТРОЛИЗ
171
между пластинами остаётся постоянной. Расстояние d между
пластинами конденсатора остаётся всё время малым по срав­
нению с линейными размерами пластин; 3) что изменится,
если пластины конденсатора будут сближаться, а не раз­
двигаться ?
§ 20. Э лектролиз
804. Ток силой в 1а проходит через электролит. Пред­
полагая для простоты, что подвижность ионов одинакова,
можно считать, что ежесекундно положительные ионы пере­
носят в одну сторону положительный заряд в */з кулона,
а отрицательные ионы — отрицательный заряд в *;з кулона
в другую сторону. Чему в таком случае соответствует коли­
чество отложившегося вещества на электродах: >/з кулона
на аноде и */а кулона на катоде или 1 кулону на аноде и
1 кулону на катоде?
806. Сколько нужно израсходовать ампер-часов, чтобы
отложить на электроде гальванического элемента граммэквивалент какого-нибудь вещества?
806. На основании законов электролиза определить отно­
шение заряда к массе водородного иона — .
тн
807. Пользуясь законами электролиза и числом Авогадро,
определить массу водородного иона /«ц и заряд электрона е.
Число Авогадро равно 6,0228 • 1023.
808. Батарея гальванических элементов (эдс Е — 0,9 «,
внутреннее сопротивление р == 0,6 ом) состоит из 30 эле­
ментов, соединённых в 3 одинаковых параллельных группы.
Какое количество меди Q выделится на катоде за 5 мин.
работы батарей? Сопротивление нагрузки 205 ом. Атомный
вес меди 63,57.
809. Ток, проходя через подкисленную воду, в течение
3 мин. дал 150 см3 гремучего газа, и в конце опыта уро­
вень воды в вольтаметре стал на 12 см ниже наружного
уровня. Атмосферное давление во время опыта было равно
750 мм рт. ст., а удельный вес подкисленной воды был 1,13.
Найти силу тока /.
810. Найти эдс Е элемента Даниеля, если известно, что
при соединении одного грамм-эквивалента цинка с серной
кислотой освобождается 124 000 к а л тепла, а при выделении
172
Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В О И М АГНЕТИЗМ
1гл. II
одного грамм-эквивалента меди из CuS04 потребляется при­
близительно 99 700 кал.
811. Подвижности ионов электролита равны и (для ка­
тиона) и v (для аниона). Какие количества ионов обоих
сортов прошли через электролит, если всего прошло N куло­
нов электричества?
812. Электролитическая ванна, содержащая раствор CuS04,
соединена последовательно с серебряным вольтметром, в кото­
ром при прохождении тока выделился 1 г серебра. За то
же время раствор CuS04, окружающий катод, потерял
в результате электролиза 0,21 меди. Во сколько раз анион S 0 4
движется быстрее катиона Си?
813. При электролизе раствора серной кислоты катион Н
движется в 5,4 раза быстрее аниона S 0 4. Найти числа пере­
носа.
814. В электролитической ванне находится 4-процентный
раствор азотно-серебряной соли (AgNOs) при 18,4° С. При
прохождении тока через электролит на катоде выделилось
0,3208 г серебра, а у катода из раствора исчезло только
0,1691 г серебра. Чему равно число переноса серебра k ?
815. Через электролитическую ванну, в которой находится
слабый раствор хлористого калия (КС!), в течение 10 мин.
пропускался ток силой 0,43 а, после чего оказалось, что из
раствора у анода ушло 0,09964 г КС1. Найти число переноса
калия. Молекулярный вес КС1 равен 74,6.
816. Для концентрированного раствора CdJ2 в воде были
п о л у ч е н ы следующие числа переноса: для аниона п = 1 ,2 5 8 ,
а дль катиона 1 — п = — 0,258, т. е. из катодной части
электролита исчезло больше кадмия, чем выделилось на
катоде. Чем это можно объяснить?
817. Концентрации электролита у электродов равны сх
и с2. Какая работа А совершается при сжатии катионов
вследствие перехода их от анода к катоду при постоянной
температуре Т электролита, если подвижности аниона и
катиона и и v, и через электролит прошло N единиц коли­
чества электричества?
818. Разность потенциалов на полюсах концентрацион­
ного элемента выражается формулой Гельмгольца Vv— Va =
v — и RT ,
ci
.
(v, и — подвижности ионов, n — валент= —
;------ ft In —
V -j- и n r
Сч 4 *
§
22]
ЭЛЕКТРОНИКА
173
ность, F — число Фарадея). Получить эту формулу, исходя
из закона сохранения энергии.
819. Найти соотношение между коэффициентом диффу­
зии k и подвижностью и соответствующего иона.
§ 21. Термоэлектричество
820. Термопара висмут-железо с постоянной С =
= 92 X Ю-6 в/град и сопротивлением г = 5 ом присоединена
к гальванометру с внутренним сопротивлением # = 1 1 0 ом.
Какой ток покажет гальванометр, если один спай термопары
погрузить в пар кипящей под нормальным давлением воды,
а другой — в тающий лёд ?
821. Какова постоянная С термопары висмут-теллур, если
при включении её на гальванометр с внутренним сопротивле­
нием # = 1 0 0 ом и чувствительностью на одно деление 10- 9 а
она позволяет измерить разность температур \ Т = 2 • 1 0 - 3° С?
Сопротивлением термопары пренебречь.
822. Для определения температуры печи в неё вставлена
термопара никель-нихром с постоянной С = 0,5 • 1 0 ~ 6 в/град,
присоединённая к гальванометру с внутренним сопротивлением
# = 2 0 0 0 ом и с чувствительностью на деление 10_8а. При
температуре второго спая 7^ = — 15° С гальванометр даёт
отклонение п = 25 делений. Чему равна температура Тх печи?
§ 22. Электроника
823. Какой скоростью v обладает электрон, прошедший
разность потенциалов V = 100 в?
824. Найти среднюю скорость v упорядоченного движения
электронов вдоль медного проводника, по которому течёт
постоянный ток плотностью 1 а/см2, если допустить, что на
каждый атом меди в металле есть один электрон проводи­
мости.
825. В однородное магнитное поле, индукция которого В,
помещена тонкая металлическая лента шириной d (рис. 2 3 2 )
и толщиной а так, что плоскость ленты перпендикулярна
к индукции В. По ленте пропускают ток силой /. Найти
разность потенциалов V, возникающую вдоль ширины d,
если концентрация свободных электронов в металле ленты а
(частный случай явления Холла).-
176
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И М А ГН ЕТИ ЗМ
[ГЛ. II
832. Показать, что какой бы скоростью т>0 ни обла­
дал электрон, влетающий в однородное магнитное ноле напря­
жённостью Н , и какой бы угол а ни образовывало напра­
вление v 0 с направлением Н, он опишет виток винтовой
линии за одно и то же время Т.
833. Электрон, обладающий скоростью г», попадает в одно­
родное магнитное поле, напряжённость которого Н напра­
влена перпендикулярно к скорости v . Окружность какого
радиуса будет описывать электрон?
834. Электрон влетает в однородное магнитное поле Н
(рис. 236) и в этот момент находится в точке А , обладая
скоростью v, образую­
щей с направлением поля
угол «. Описав один виток
винтовой линии, он ока­
зывается в точке В . Чему
равно А В ?
835. Нить накала маг­
нетрона имеет диаметр d>
а цилиндр анода — D.
Между нитыо накала и анодом приложена разность потен­
циалов V. На колбу магнетрона навита проволока, которая
образует соленоид так, что его ось совпадает с нитью накала.
Число витков на единицу длины соленоида п. Какой силы ток
нужно пустить по соленоиду, чтобы ни один электрон, вышед­
ший с нити без начальной скорости, не долетел до анода?
836. Между двумя параллельными пластинами, из которых
одна является катодом, а другая анодом, создано однородное
электрическое поле напряжённостью Е и однородное же
магнитное поле, параллельное пластинам, напряжённостью Н .
1) Найти движение электрона, освобождённого на поверхности
катода без начальной скорости; 2) при каком условии электрон
вернётся обратно на катод и в каком месте тогда он упадёт ?
837. Как должна быть направлена начальная скорость
электрона в предыдущей задаче и какова должна быть её
величина, чтобы электрон описывал окружность? Чему равен
радиус R этой окружности? Чему равен период Т обращения
электрона по окружности?
838. Электрон, обладающий скоростью v, движется в одно­
родном магнитном поле напряжённостью И, перпендикулярном
ЭЛЕКТРОНИКА
177
к его скорости. Найти магнитный момент,4f эквивалентного тока.
839. Электрон, обладающий скоростью v, движется в одно­
родном магнитном поле, перпендикулярном к его скорости.
Найти момент количества движения 9)1 электрона.
840. Если полагать, что масса медленно движущегося
электрона, рассматриваемого как шар радиуса R с заря­
дом е, электромагнитного происхождения, то она будет равна
2 е2
• Экспериментально найдено, что для электрона
— = 1,77 • 107CGSM. Определить по этим данным радиус R
электрона.
841. Электрон, обладающий скоростью v, попадает в одно­
родные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное
поля, напряжённости которых равны соответственно Е и Н.
Скорость v перпендиД
ц
о
кулярна к обоим по­
лям. Найти движение
электрона.
ft
842. При каком ус- ?
ловии электрон пре­
дыдущей задачи бу­
дет двигаться пряморис 237.
линейно и равномерно?
843. В вакуумной трубке электроны, эмиттированные
катодом К (рис. 237), ускоряются электрическим полем
анода А , находящегося при потенциале V относительно катода.
Пройдя через отверстие в аноде, электроны пролетают через
конденсатор Cj, через отверстие в диафрагме D u через вто­
рой конденсатор С2 и попадают на экран £)а. К конденсато­
рам Сг и С2 приложено одно и то же переменное напряжение
частоты ю. Эту частоту подбирают так, чтобы пятно, созда­
ваемое на экране электронным пучком, не размывалось. Опре-
И
Т
тг
е
делить —
для электрона, если расстояние между конденса­
торами С, и Са равно I.
844. Атом водорода можно представить упрощенно в виде
ядра с зарядом -\-е, вокруг которого по круговой орбите
радиуса а движется равномерно электрон — е. Если такой
атом поместить в электрическое поле напряжённостью Е, то
12
Зак. 5182. Сборник задач, ч. I.
378
ЭЛЕК Т РИ ЧЕ С Т В О
И МАГНЕТИЗМ
(Г Л .
П
орбита электрона сместится (рис. 238), и атом приобретёт
электрический дипольный момент. Найти этот электрический
момент р, пренебрегая изменением расстояния
между зарядами.
845. Определить частоту колебаний элек­
трического поля в циклотроне, предна­
значенном для разгона дейтеронов, если из­
вестно, что индукция магнитного поля в
зазоре магнитов циклотрона равна 14 000
гаусс.
Рис. 238.
846. Найти закон, по которому проис­
ходит увеличение радиуса кругов, описы­
ваемых дейтеронами в циклотроне, если известно, что дейтероны проходят зазор между дуантами циклотрона при ма­
ксимальном напряжении на них.
847. В газоразрядной трубке между плоскими электродами
( 5 = 1 0 см2), отстоящими друг от друга на расстоянии
d = 10 см, ток насыщения /„ = 1 0 -6 а. Ионы в трубке воз­
никают под действием постороннего ионизатора (несамостоя­
тельный разряд). Какое количество q элементарных зарядов
того и другого знака создаётся ежесекундно в 1 см3?
848. Между пластинами плоского конденсатора в вакууме
приложена разность потенциалов V. Катод освещается
ультрафиолетовыми лу­
чами, вследствие чего
между пластинами идёт
ток силой i. При рас­
ш
стоянии между пласти­
нами, равном d, ток до­
стигает своего значения
насыщения / н; при этом V
имеет значение V0. Найти
подвижность
электро­
нов и. Площадь пластины
конденсатора 5.
849.
В стеклянном
сосуде находится испы­
туемый газ. В этот же сосуд помещён плоский конденсатор С,
расстояние между пластинами которого равно d (рис. 239).
В центре одной пластины Л, которая отдельно изображена
ЭЛ ЕКТРО Н И КА
179
справа на рисунке, находится платиновая фольга, подогреваемая
током и порождающая ионы в газе. В середине другой пла­
стины В, также показанной на рисунке отдельно, имеется вы­
рез, закрытый алюминиевой пластинкой, укрепленной на тонкий
вертикальной нити, концы которой неподвижны. К пластинам
конденсатора приложена разность потенциалов, благодаря
которой через газ идёт измеряемый гальванометром тик
с и л о й /. Вследствие наличия сопротивления среды ионы газа
движутся равномерно. Алюминиевая пластинка на ниги откло­
няется на малый угол 0. Коэффициент кручения ниги с,
ширина пластинки /. Найти подвижность и ионов.
8 6 0 . В трубку с газом введены два плоских параллель*
ных между собой электрода, к которым приложена постоян­
ная разность потенциалов, Катод освещают мощным источни­
ком света, вследствие чего ежесекундно на поверхности
катода выделяется п0 электронов. Электроны, двигаясь в элек­
трическом поле, ионизируют молекулы газа, причём каждый
электрон на пути в 1 с л создаёт а новых электронов и
ионов. Пренебрегая ионизацией молекул газа образующимися
ионами, вычислить электронный ток /. Расстояние между
электродами d.
8 5 1 . Газ между плоскими и расположенными параллельно
на расстоянии d друг от друга электродами ионизируется
лучами Рентгена, причём ежесекундно в единице объёма
создаётся п0 электронов. Электроны, двигаясь в электриче­
ском поле между электродами, ионизируют молекулы газа,
причём коэффициент ионизации равен ос. Чему равна плотность
тока /? Ионизацией положительными ионами пренебрегаем.
8 5 2 . Потенциал ионизации атома ртути равен © = 10,4*.
Какой наименьшей скоростью v должен обладать электрон,
чтобы ионизировать атом ртути
при удар е?
8 6 3 . В газоразрядной трубке
н ------V vV v v C v C " л
наблюдается
тлеющий
разряд ________ ‘
между плоскими электродами. Как
Рис. 240.
будет изменяться картина разряда,
если сближать анод с катодом?
8 5 4 . Чем объясняется форма эквипотенциальных поверх­
ностей в положительном столбе газоразрядной трубки (см.
рис. 2 4 0 )?
|2 *
180
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И МАГНЕТИЗМ
[гл . и
855. Хотя в положительном столбе газоразрядной трубки
имеются заряды разных знаков, однако магнитное поле откло­
няет положительный столб, как целое. Почему?
856. Почему катодные лучи представляют собой прямо­
линейный пучок независимо от того, лежит ли анод ыа пути
пучка или смешён в сторону?
§ 23. Электромагнитные волны
857. Найти закон распределения вдоль линии амплигуд
токов 1Х и напряжений Ux для собственных колебаний
в двухпроводной линии длиной /, концы которой разомкнуты.
Найти частоты этих колебаний п. Потерями в линии можно
пренебречь.
858. Найти закон распределения вдоль линии амплитуд
токов 1Х и напряжений Ux для собственных колебаний
в двухпроводной линии длиной /, концы которой замкнуты
накоротко. Найти частоты этих колебаний п. Потерями
в линии можно пренебречь.
859. Найти закон распределения вдоль линии амплитуд
токов 1Х и напряжений 1ГХ для собственных колебаний
в двухпроводной линии длиной /, один конец которой ра­
зомкнут, а другой замкнут накоротко. Найти частоты этих
колебаний п. Потерями в линии можно пренебречь.
860. Найти волновое сопротивление р двухпроводной
линии без потерь, провода которой имеют диаметр 2г = 4 мм
и расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга.
У к а з а н и е : Волновым сопротивлением линии называется
отношение амплитуды напряжения волны, бегущей в линии,
к амплитуде тока этой волны.
861. Найти волновое сопротивление р воздушной кон­
центрической линии без потерь, внешний цилиндр которой
имеет внутренний диаметр 2/? = 4 0 мм, а внутренняя жила—
диаметр 2г = 8 мм.
У к а з а н и е : См. указание предыдущей задачи.
862. Найти скорость v распространения электромагнитных
волн в концентрическом кабеле, в котором пространство
между внешним и внутренним проводом заполнено диэлек­
триком с диэлектрической проницаемостью е == 4,5. Поте­
рями в кабеле можно пренебречь.
§ 23]
Э Л ЕКТРО М А ГН И ТН Ы Е
ВОЛНЫ
181
863. Найти периоды собственных колебаний Тк двухпро­
водной линии длиной /, разомкнутой 'на обоих концах ~и
погружённой в воду. Потерями в линии можно пренебречь.
864. Найти наименьшую частоту пи при которой наступит
резонанс в концентрическом кабеле длиной / = 1 2 км, описан­
ном в задаче 862, если к одному концу кабеля присоединён
источник переменной эдс, внутренним сопротивлением кото­
рого можно пренебречь, а другой конец кабеля разомкнут.
865. Найти волновое сопротивление р концентрического
кабеля, внешняя жила которого имеет внутренний диаметр
2 R = 12 мм, а внутренняя жила — диаметр 2г = 2 мм и всё
пространство между внешней и внутренней жилами заполнено
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 2,4.
Потерями в кабеле можно пренебречь.
866. Найти входное сопротивление двухпроводной линии
без потерь, включённой на генератор синусоидальной эдс
с частотой л = 5 —107 гц, если линия образована проводами
с диаметром 2 г = 2 мм, расположенными на расстоянии
d=\2M M
друг от друга, и конец линии разомкнут,
а длина линии равна:
1) /j = 2 м, 2) /2 = 3 м, 3) /З= 3 ,5 м , 4) /4 = 7,5 м.
Определить, каков характер входного сопротивления —
ёмкостный или индуктивный.
У к а з а н и е : Входным сопротивлением линии для данной
частоты называется отношение между амплитудами напряжения
и силы тока, устанавливающимися на входе линии, питаемой
переменной эдс данной частоты
867 На провода линии, описанной в предыдущей задаче,
положен металлический мостик, замыкающий линию накоротко.
Мостик может передвигаться вдоль линии. Найти входное
сопротивление линии как функцию расстояния х от начала
линии до мостика. Определить, как изменяется характер со­
противления при изменении положения мостика.
868.
Отрезок двухпроводной линии без потерь длиной 5 м
замкнут на конце на конденсатор ёмкостью 20 мкмкф. Рас­
стояние между проводами линии d = 4 см и диаметр прово­
дов 2 г = 4 мм. Найти входное сопротивление линии, если к
линии подведена переменная эдс с частотой п = 75 • 106 гц.
У к а з а н и е : В случае, когда к концу линии присоединена
реактивная нагрузка (ёмкость или индуктивность), для расчётов
182
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
И М АГНЕТИЗМ
[гл . II
можно заменить эту нагрузку отрезком линии, с теми же
параметрами, как и линия, и длиной, выбранной таким обра­
зом, чтобы входное сопротивление этого отрезка линии было
равно реактивному сопротивлению нагрузки и имело тот же
характер (соответственно ёмкостный или индуктивный), т. е.
задачу свести к эквивалентной линии без нагрузки на конце,
но имеющей другую длину.
869. Отрезок концентрического кабеля длиной 20 м
с внутренним диаметром внешней жилы 8 мм и диаметром
внутренней жилы 2 мм, заполненный диэлектриком с диэлек­
трической проницаемостью е = 3,2, замкнут на катушку
с индуктивностью Z. = 10 микрогенри. Найти входное сопро­
тивление этого отрезка кабеля, если к кабелю подведена
переменная эдс с частотой я = 15 • 106 гц.
У к а з а н и е : См. указание предыдущей задачи.
870. Двухпроводная линия длиной / = 5 м образована
проводами диаметром 2г = 3 мм, расположенными на рас­
стоянии d = 6 см друг от друга. Найти входное сопротивле­
ние этой линии для частоты а = 75 • 106 гц, если оба провода
линии вместе для этой частоты имеют погонное омическое
сопротивление R x = 0,2 ом/м и второй конец линии: 1) зам­
кнут накоротко, 2) разомкнут.
У к а з а н и е : Для случаев, когда на длине линии укла­
дывается целое число четвертей волны, линия ведёт себя по­
добно последовательному или параллельному резонансному
контуру (в зависимости от того, пучность или узел тока
лежит у входа линии). Этой аналогией и можно воспользо­
ваться для определения входного сопротивления линии. При
этом нужно учитывать, что сила тока в разных точках линии
различна. Поскольку омическое сопротивление линии мало,
распределение тока в ней можно считать синусоидальным.
871. Двухпроводная линия длиной 18 м замкнута на
активное сопротивление г = 80 ом. Волновое сопротивление
линии р = 400 ом. Потерями в линии можно пренебречь.
Найти входное сопротивление этой линии для волн 1) А = 8 м
•и 2) к — 9 м.
У к а з а н и е : Воспользоваться указанием предыдущей за­
дачи о том, что при целом числе четвертей волны, уклады­
вающихся в линии, она ведёт себя как последовательный или
параллельный резонансный контур.
ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫ Е ВОЛНЫ
183
872. Найти входное сопротивление линии, описанной в пре­
дыдущей задаче, если она включена на активное сопротивле­
ние г = 400 ом.
873. Пользуясь теоремой Умова-Пойнтинга, подсчитать
электромагнитную энергию, котор) ю несёт с собой бегущая
электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль воздуш­
ного концентрического фидера без потерь. Показать, что
энергия, протекающая за единицу времени через сечение фи­
дера, равна мощности, которую отдаёт источник, питающий
фидер.
У к а з а н и е : Электрическое и магнитное поля между внеш­
ней и внутренней жилой фидера нужно выразить через напря­
жение и силу тока в фидере.
874. Найти распределение токов, частоты и длины волн
собственных колебаний тонкого провода, длиной / = 6 м,
если этот провод: 1) расположен далеко от земли, 2) распо­
ложен вертикально над землёй и нижний конец его заземлён.
У к а з а н и е : Для тонкого про­
вода можно считать, что собствен­
ные колебания дают такое же
распределение токов и напряже­
ний, как и в двухпроводной
линии при тех же условиях.
875. Для получения очень
коротких электромагнитных волн
профессор физики Московского
университета П. Н. Лебедев поль­
зовался вибратором (рис. 241),
состоящим из двух тонких ила!
типовых проволочек П 1 и /72,
длиной 1,3 мм каждая, впаянных
в стеклянные трубки 7\ и Та и
разделённых малым искровым про­
межутком в 0,4 мм. Заряжался
вибратор от индукционной ка­
тушки через большие искровые промежутки между соедини­
тельными проводами и проводами вибратора. Таким образом
П. Н. Лебедев в своё время (1895 г.) получил наиболее ко­
роткие электромагнитные волны. Какую длину волны А давал
вибратор П. Н. Лебедева?
184
Э ЛЕКТРИ ЧЕСТВО
[ГЛ. П
И М А ГН ЕТИ ЗМ
876. Напряжённость электрического и магнитного полей
в электромагнитной волне, создаваемой малым по сравнению
с длиной волны элементом тока, меняющегося по синусоидаль­
ному закону («вибратор Герца»), даётся выражениями
Е = 3 0 ^1 г sin о sin а>
,
„
1 О )// ,
(,
Г \
Н = .------sin о sin ш / ------- ) ,
4к сг
•
ч
с)
„
..
вольт , ,
где Е — напряженность электрического поля в ------ -, Н —
ампер
напряжённость магнитного поля в ------ш — угловая частота
jr
метр
J
тока в диполе, / — амплитуда тока в амперах, / — длина диполя,
г — расстояние от вибратора до рассматриваемой точки в мет­
рах, ср— угол между осью вибратора и направлением на рас­
сматриваемую точку. Направления Е и Н в каждой точке
перпендикулярны друг другу и радиусу-вектору г. Найти пол­
ную мощность, излучаемую вибратором Герца.
877. Найти сопротивление излучения R H симметричного
полуволнового вибратора.
У к а з а н и я : Сопротивлением излучения вибратора назы­
вается отношение полной мощности, излучаемой вибратором,
к квадрату эффективного значения силы тока в пучности
вибратора. Для подсчёта полной мощности, излучаемой вибра­
тором, нужно воспользоваться тем же методом, что и в пре­
дыдущей задаче, учитывая однако, что сила тока в разных
участках вибратора различна. Поэтому нужно разбить вибра­
тор на отдельные малые элементы и подсчитать напряжён­
ности полей Е и Н, суммируя поля от отдельных элементов
тока. Приближённо можно считать, что поля, создаваемые
отдельными элементами тока, приходят в данную точку про­
странства в одинаковой фазе.
878. Найти сопротивление излучения R B четвертьволно­
вого заземлённого вибратора.
879. В двух одинаковых полуволновых вибраторах, рас­
положенных параллельно друг другу на расстоянии, малом
по сравнению с длиной волны, возбуждаются токи одной и
той же амплитуды и фазы. Каково сопротивление излучения
ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫ Е ВОЛНЫ
185
каждого из вибраторов /?н1. (Сопротивление излучения уеди­
нённого полуволнового вибратора R H= 72 ома.)
880. Сопротивление излучения волнового вибратора (т. е.
вибратора, на длине которого укладывается одна волна) со­
ставляет 200 ом. Объяснить, почему сопротивление излуче­
ния такого вибратора больше, чем сумма сопротивлений излу­
чения двух уединённых полуволновых вибраторов, и меньше,
чем сумма сопротивлений излучения двух расположенных рядом
полуволновых вибраторов, описанных в предыдущей задаче.
881. Найти напряжённость электрического поля, создавав*
мого полуволновым вибратором в точке, расположенной в эква­
ториальной плоскости вибратора на расстоянии / - = 1 0 км
от него, если известно, что полная мощность, излучаемая
вибратором, равна Р = 10 вт.
У к а з а н и е : Воспользоваться указаниями и результатами
задач 876 и 877.
882. Найти мощность, падающую на параболический ре­
флектор диаметром D = 2 м, если рефлектор направлен на
полуволновой диполь, излучающий мощность Р = 1 кет, и
расположен в экваториальной плоскости этого диполя на рас­
стоянии г = 2 км от него.
У к а з а н и е : Воспользоваться указаниями и результатами
задач 876 и 877.
883. Как) ю наибольшую мощность Ямаве . может отдать
приёмнику присоединённый к нему полуволновой вибратор
длиной / = 3 м, если этот вибратор расположен параллельно
направлению электрического вектора приходящей электро­
магнитной волны, и эффективное значение напряжённости
электрического поля этой волны Ее = 2 мкв'м.
У к а з а н и е : Нужно найти мощность, развиваемую элек­
трическим полем приходящей волны в каждом элементе вибра­
тора, подсчитать мощность, развиваемую во всём вибраторе,
и найти ту часть этой мощности, которая при оптимальных
условиях передачи мощности может быть передана приёмнику.
884. Построить полярную характеристику направленности
вибратора Герца- (см. задачу 876) в плоскости, проходя­
щей через ось вибратора, и в плоскости, перпендикулярной
к этой оси.
У к а з а н и е : Полярной характеристикой направленности
называется кривая, отсекающая на радиус-векторе, проведён­
186
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л . (I
ном от вибратора в некотором направлении, отрезок, изо­
бражающий в определённом масштабе напряжённость поля,
создаваемую вибратором в этом направлении на фиксированном
(одинаковом для всех направлений) расстоянии от вибратора.
886. Указать качественно, как будет изменяться характе­
ристика направленности вибратора по мере увеличения его
длины, при переходе от вибратора Герца к полуволновому
вибратору.
886. Какой примерно вид будет иметь полярная характе­
ристика направленности в экваториальной плоскости для
антенны, состоящей из двух полуволновых вибраторов, рас­
положенных параллельно друг другу на расстоянии половины
длины волны и питаемых токами одинаковой амплитуды и
частоты, причём токи в обоих вибраторах: 1) совпадают по
фазе, 2) противоположны по фазе?
887. Какой примерно вид будет иметь полярная характери­
стика направленности в экваториальной плоскости для антенны,
состоящей из двух полуволновых вибраторов, расположенных
параллельно друг другу на расстоянии длины волны и питае­
мых токами одинаковой амплитуды и частоты, причём токи
в обоих вибраторах противоположны по фазе?
888. Какой вид имеет полярная характеристика направлен­
ности в экваториальной плоскости для антенны, состоящей
из двух полуволновых вибраторов, расположенных парал­
лельно друг другу на расстоянии 1/4 длины волны и питае­
мых токами одинаковой амплитуды и частоты, сдвинутых по
фазе на -2 ?
889. Какой вид имеет полярная характеристика направлен­
ности в экваториальной плоскости для антенны, состоящей
из восьми параллельных друг другу полуволновых вибрато­
ров, расположенных на одной прямой на расстоянии 1/3 длины
волны друг от друга и питаемых токами одинаковой ампли­
туды, частоты и фазы? Найти угловой раствор главного
лепестка характеристики (т. е. лепестка, в котором напря­
жённость поля достигает наибольшей величины) и оценить
отношение напряжённостей поля в главном и первом побоч­
ном максимуме?
890. Какой вид будет иметь полярная характеристика
направленности расположенного над землёй горизонтального
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
187
полуволнового вибратора в экваториальной (т. е. вертикаль­
ной) плоскости, если землю можно считать идеально прово­
дящей, и высота вибратора над землёй h равна: 1) четверти
длины волны, 2) половине длины волны? Найти в экваториаль­
ной плоскости направления максимумов и минимумов (нулей)
излучения этого вибратора в общем случае, когда высота его
над землёй Л = лХ, где А — длина волны.
У к а з а н и е : Поскольку земля считается идеально прово­
дящей, можно, так же, как и в задачах электростатики, при­
менить метод зеркального изображения.
891. Какой вид имеет полярная характеристика направлен­
ности в вертикальцрй плоскости для вертикального четверть­
волнового вибратора, нижний конец которого заземлён, если
землю можно считать идеально проводящей?
892. Найти в вертикальной плоскости направления макси­
мумов и минимумов излучения для вертикального полуволно­
вого вибратора в случае, когда высота вибратора над землёй
(считая от середины вибратора) равна h = n \ где X— длина
волны.
Ук а з а н и е : См. указание задачи 890.
893. Плоская квадратная рамка со стороной d = 50 см
обмотана по периметру проводом, причём число витков
провода п = 1 0 . По обмотке рамки протекает перемен­
ный ток с амплитудой /0 = 5а и угловой частотой
ш = 5- 106 гц. Найти напряжённости электрического и маг­
нитного полей, создаваемых этим током в направлении,
перпендикулярном к стороне рамки и лежащем в плоско­
сти рамки на расстоянии г = 1 км от неё, и сравнить его
с напряжённостью поля в экваториальной плоскости вибра­
тора Герца, имеющего размер стороны рамки и питаемого
таким же током.
У к а з а н и е : Поскольку длина провода рамки мала по
сравнению с длиной волны, можно считать, что сила тока во
всех сечениях рамки одинакова, и для расчёта напряжённости
поля пользоваться выражением поля для вибратора Герца (см.
задачу 876).
894. Для плоской прямоугольной рамки, размеры которой
малы по сравнению с длиной волны, построить характери­
стику направленности в плоскости, перпендикулярной к пло­
скости рамки.
188
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
{ГЛ. If
895.
Плоская прямоугольная рамка, размеры которой даны
в задаче 893, находится в поле электромагнитной волны, причём
плоскость рамки совпадает с направлением распространения
волны. Напряжённость электрического поля приходящей волны
£ = 5 0 мкв/м и угловая частота се = 5 • 10® гц. Найти эдс,
создаваемую приходящей волной в рамке, и сравнить с той
эдс, которую создаёт эта
с________
\
волна в отрезке провода,
\
служащем одной из стод рон витка рамки.
./ J
896. В фокусе па- (
X / рабол^ческого
зеркала ■
~ 7 (рис. 242), имеющего
у
диаметр вчетверо боль­
ший фокусного расстояис‘
*
ния, находится излучаю­
щий участок массового
излучателя А. А. Глаголевой-Аркадьевой (с помощью кото­
рого ею были получены наиболее короткие электромаг­
нитные волны III 80 ft)* В этом излучателе в объёме
V = 1 • 0,5 • 0,5 см3 возбуждается «белое» электромаг­
нитное излучение мощностью W = 0 ,lem . Определить наи­
большую эдс, которую можно получить в ненастроенной
линейной антенне (термопаре) длиной / = 0 , 2 мм, расположен­
ной в фокусе второго такого же зеркала.
ОТВЕТЫ
И РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
МЕХАНИКА
§ 1. Кинематика
1. | v | = у 5 м/сек; вектор скорости составляет с берегом угол
а — 63°30'.
2. Труба должна быть наклонена от вертикали вперёд, по ходу
тележки, на угол
'и тележки
а — arc t g ------------ .
v дождя
3. Расстояние между самолётами возрастает каждый час на ве­
личину
_______
+ vt X 1 час = 500 км; S = 1500 км.
4. Орудие надо отклонить вперёд по отношению к движе­
нию цели так, чтобы направление выстрела составило угол
<
9 = arc cos —------- с курсом обстреливаемого судна.
V
«1
vo
L t2 — t.
__
.
5. t»i = — ——~ = 7,5 км/час,
1*
t»2= -7Г~,— г — 17,5 км/час.
1*2
6. 5 км/час.
Р е ш е н и е : Рыбак нагоняет багор с той же скоростью, с кото­
рой удалялся от него (это скорость движения лодки относительно
воды) и наговит багор через час после его падения в воду. За этот
час багор проплыл 5 км. Следовательно скорость течения рекн
равна 5 км/час.
7. 1) <?i= a r c t g ^ ;
V|
3) v ’ = V v\ + v%;
8. 14,1 см/сек.
2)
= arc tg
VJ -f-
v" = V ( v t +
\
+ 1'5.
190
М ЕХАНИКА
[Г Л .
I
9- ^мако fy gin3а *
У к а з а н и е: Поезд находится от фотографа на расстоянин ^ - . Поэтому скорость движения изображения поезда есть
КИНЕМ АТИКА
§ и
v f sin a
есть
191
, а проекция этой скорости на плоскость фотопластинки
v f sin2 а
с
Рис. 2436.
,0 -
л/с“ ‘
«о =
11.
рости).
12.
13.
15.
16.
17.
^
я=! 11,5 -и/сек.
См. рис. 243а (графики пути) и рис. 2436 (графики ско­
См. рис. 244.
v == 'Y 2 g h £ zi 6,2 м/сек.
4,90 м/сек.
S = 2vot.
v0 = 82 м/сек.
1»о =
192
МЕХАНИКА
(гл. I
18.
В наивысшей точке траектории нормальное ускорение буде
ыаксимальным и равным ускорению свободного падения g; во всех
остальных точках траектории оно равно проекции g на нормаль
к траектории в этой точке.
Ш
м/сек*
□
10
7
tceK
8
Рис. 244.
19. 1) va. = v0cosr, vy = ©о sin <р— gt,
v = V v ' l + g 2? — 2»0sin<p gt;
•p_2v0sin <p e
2) 1 =
g
l ;
9
3) t g a = tg <?
1
5
4) x = v0t cos <p; у = v0t sin <p— ^
5) J' = x tg 9
20.
tg
2i/« cos® <?
БиЕВ
6) 1 =
gt
t'o COS <P
;
% sin 2?
£
= 45c
§ 1]
КИНЕМАТИКА
193
21. Л1 :Л 2 :Л 3 = 3 : 2 : 1 ;
/i:/2 :/3 =
г/ = ДL
22 .
fW .
VT:2:
, где g ускорение свободного падения.
23 lf0 = cos а 1 / Д----- --------------- Ч•
и
У 2cos {*sm (Р — а)
24. Грузы, двигаясь с ускорением ^ s in a , должны пройти путь
2/ ?
7 = -j— , где a — угол жёлоба с горизонтом, а
R — радиус окру*
жности. Поэтому они достигают окружности через промежуток времени х = 1 /
— , не зависящии от угла наклона желоба.
V
S
_У
щ
Н = -тт-ц — = 53,6
V,
26. / = - 7 —= 0,125 сек.;
см;
3 -2 g
5
t/2 = — t/0 = 6,1 м/сек.
3
^1 = 4- t'o = 3,6 м/сек;
28. =* T/2 Lz. Р е ш е н ие: При движении с ускорением (в начале)
и с замедлением (в конце) средняя скорость движения вагонетки
будет равна
. Отсюда ясно, что чем
больше v, тем короче время движения.
Поэтому наименьшее время получится,
если вагонетка будет двигаться полпути
с ускорением, а полпути с замедле­
нием.
k
29. Если v = — ,
/
а
d t\t)~
30. См. рис. 245.
31.
1) _У=
начало
системы
то
v-
k
12
т
g
(*<
выстрела;
Системы
3) у =
——
2)
координат
у = —§.— х2,
точке
7
начало
2 vснар
координат
flrjfS
в
на
самолёте;
— , начало системы координат на снаряде. Ось х — всюду
2 v сиар
направлена горизонтально по курсу самолета, ось у — направлена
вертикально вниз.
32. Там, где кривизна траектории наибольшая, т. е. около точки А%
13
Зек. 5182. Сборник задач, ч. Г.
191
МЕХАНИКА
(ГЛ. 1
33. Искомая ось вращения должна была бы составить с верти­
калью угол <р = arc tg 0,2. Угловая скорость вращения вокруг этой
оси должна быть ю> У 1,04.
2-7:/?
4п2/?
34. v = - у - = 3 880 км/час ;
а=
= 38,1 км/час2.
35. П рям ы е паралл ел ьн ы е оси абсцисс.
36. Если jc — см ещ ение тени п алочки в горизонтальном н ап р а­
влении, то х = R cos (ш/ + ср).
37. П ри п овороте автом обиля вед ущ и е колёса описы ваю т разны е
окруж н ости , т. е. п р о х о д ят р азн ы е пути и у гл о в а я с к о р о с т ь ко л ёс,
если нет скольж ения, долж на бы ть различной.
§ 2. Динамика прямолинейного движения материальной
точки и простейших систем
38. 1) Т = 0,5 кг%\ 2) Г = 1 , 5 кг*; 3) Г ==0,9 кг*
У к а з а н и е : П ок азан и я в есо в мож но найти из у р а в н е н и я д ви ­
ж ения тела, п одвеш енного на весах,
т а = mg — Щ
где т — масса тела, g — ускорен и е силы тяж ести, Т — сила н атяж е­
ния пруж ины весов (ею определяю тся показания весов), а — у с к о ­
рение тел а массы m.
39. / = -jr кг*,
40. Fx = —
О
Д =
кг*.
Л
m
т -\- М ь
41. а -- -------— -rzg\
ф . . Mm
М -\-m
Т = — —----- .
Р е ш е н и е : Так как длина нити не меняется во время движе*
ния грузов, то оба тела движ утся с одинаковы м по величине у с к о ­
рением а . На тело М действует по направлению движ ения только
сила натяж ения нити Г, откуда Т = Ма (1). На тело массы m вдоль
направления движ ения (по верти кали ) действую т две силы: сила
притяж ения земли m g и сила натяж ения нити Т. С ледовательно,
m g — Т = та; принимая во внимание уравнение ( 1 ), находим иско­
мые величины.
42. 1) Верхняя половина тела действует на нижнюю с силой,
вертикальная
Ма
ная - j j - ;
составляю щ ая
которой
равна
Mg
а горизонта л ь-
_ч
) левая половина действует на правую с направленной
2
„ Ма
горизонтально силои
, где а — ускорение, с которым движ ется
тело.
§ 2]
ДИНА М И КА Д В И Ж Е Н И Я
М А ТЕРИ А Л ЬН О Й
М
М + тх + т2-\- т^1г.
Т2 = (тъ + т3) а.
44. а = g (sin а — k cos а).
45. 4 кг * и больше.
ТО Ч КИ
195
43. а =
т.а.
46. /5‘>(OTi + m2)g.
У к а з а н и е: Для того чтобы нижняя масса подпрыгнула, пру-
т-р
жнна должна растянуться на величину х >• - г?- относительно своего
недефориированного со4
стояния
(А— коэффи­
циент упругости пру­
жины).
47. Сила, разрываю­
щая нить, не зависит
от коэффициента трения
между телами и столом,
если он одинаков для
обоих тел.
48. 1, 2 н 3 — силы,
приложенные к доске.
Силы 1 и 2 действуют
со стороны опоры,«про­
тиводействующая» каж­
дой из них приложена
к опоре и направлена
вниз. Сила 3 действует
со стороны тела на доску, «противодействую­
Рис. 246.
щая» ей сила приложена
к телу. («Противодей­
ствующие» обозначены пунктирными стрелками, см. рис. 246.)
49. Прогиб доски уменьшится при приседании, увеличится при
выпрямлении человека.
50. Пусть А, В, С схематически изображают лошадь, сани и
землю, соответственно (рис. 247). Тогда силы F2 и / приложены
Лошадь
Г'
t
1
Г Г'
Сани
Й
т
м
т
Г
Рис. 247.
к лошади со стороны саней и земли, силы
и / j — к земле.
13*
и / ' — к саням, f L
196
[гл. I
М ЕХАНИКА
На основании третьего закона Ньютона:
!/i = l/il; l / ' l = l/il.
Так как движение равномерно, то на основании второго закона
Ньютона:
1/1 = 1 ^ 1 ;
l^ i 1= 1 / 1 ;
\ f x\ = \f[\.
51. При тех же обозначениях, что и в предыдущ ей задаче
получим следующие новые соотношения:
/ — F2Щта; Ft —/ ' == Ма\
f = 0,2 Mg, учитывая что попрежнему | / ^ | = I /ч Ь имеем
/ = (0,2g + я) М- + ат ~ И 7 кг*.
52 1) Если все колёса ведущие, то
— ^ 0 , 0 2 . В этом слу£
чае минимальныи коэффициент трения от веса автомобиля не зависит,
ибо сила трения пропорциональна давлению колёс.
2) Если только задние колёса ведущ ие, то k ;> — , где п — доля
общего веса, приходящаяся на задние колёса автомобиля; в рас02
сматриваемом случае п = D/ 6 и k >•
^ 0,024.
о
Ш
53. Ускорение доски должно быть больше, чем 0,98 м !свк 2.
54. Больше 2,25 кг*.
Р е ш е н и е : Уравнение движения доски F —0,5 (т -\-М) g—f= M a
и, соответственно, уравнение для груза f = ma , где / — сила трения
между грузом и доской, а — ускорение. Максимальное значение
/ = 0,25 mg; следовательно, максимальное ускорение груза 0,25g и
максимальная сила F, при которой ещё будет происходить движение
груза и доски как целого, должна сообщать доске и грузу ускоре­
ние 0,25g. А для этого должно быть
F = (М + т) 0,25g + 0,5g (М + т) = 2,25 кг*.
2)
а = 0,
а = arc tg—
3)
а = — (р;
5 5 .1 )
T= m g)
Г = т У а? + g2;
ё
Т — m g c o s <?;
Ь
4) tgtp -- ------------Ь tg а,
g
5
)
COS cp
T— m \
g2— 2bg sin a,
Г= У
£2
+ g 2 i - 2bg sin а;
b
tg у Щ ——— — tg a.
55. 1) Ускорение всюду одинаково и равно g.
2) Ускорение камня максимально в начале движения в ниж­
ней точке его траектории.
ДИ Н А М И К А Д В И Ж Е Н И Я
19?
М АТЕРИ А Л ЬН О Й ТО Ч КИ
157. В отсутствии сопротивления воздуха ускорение направлено
вертикально вниз. При наличии сопротивления ускорение отклонено,
от вертикали в направлении, противоположном движению снаряда.
58. В результате выстрела возникнут колебания грузика А; когда
они затухнут, результирующая сила со стороны пружинок будет
равна нулю, если сопротивление воздуха отсутствует. Если на сна­
ряд действует сила сопротивления воздуха, то результирующая сила
пружинок равна т (а — g), причём как ускорение снаряда а, так и
натяжение пружинок считается положительным, когда они напра­
влены вниз. При подъёме эта сила направлена вниз, при спуске —
вверх, т. е. навстречу движению.
59. a = mx~ m*g\
+ m-2
/=27=4
60. a =
Т= 2
m± -f- /w2
g;
”f“ ffl%
/721 s in я
1
OTj —
f” Ttl2
—
rp
ЩЩ
т
/Wj —
j—/7^
3AfiAf^
T= -
gi
11 r=
/4
.
.
.
V r,- ( l + sm a)g .
^ 1
2"
У к а з а н и е : Условие, связывающее ускорения
и % можно
получить, обозначив через jcj и х 2 расстояние масс Aft и /И2 от
горизонтальной плоскости; тогда x 1-\-2xi есть величина посто­
янная.
Дифференцируя это равенство два раза, получаем искомое усповие: аг = — 2аг.
ю
а — т г ( тъ + т 3) —
4тхт 3
тг (ш2+ « з ) + 4m1iB3s ’
1
_
8
________ I
у . ___________ ____________________
2
4от2ш 3 - | - т \ (тъ + щ ) ’
У к а з а н и е . Обозначив через х%, х г, х* расстояния масс ту
гг%, т3 от плоскости, к которой прикреплён блок, можно написать
следующее равенство: хг -J- х 3 4- 2х% — /г + 2/j -f- const, где Л и
U — длины нитей. Дифференцируя его два раза, получаем необхо­
димое для решении задачи соотношение между ускорениями всех
трёх масс
1
АтчУЩ - f - я»! ( ш , - { - т3) ’
а 2 ~\~ а з~\~ 2 Я | — 0.
198
МЕХАНИКА
[ГЛ . I
66. 1) Нет. 2) Снять с другой чашки весов груз
4{т
Я»! + ОТ2
67. В обоих случаях необходимо добавить на чашку одина­
ковый груз.
Ар = ------- д—- Дmg Psi 12 г*.
2 т—т
~*
68. 1) Добавить груз Др = ----- ^ — ss^22,7 г*.
2+ ^ -
т
i+ M
2) Снять
Д/7 = ------- Д/я^ = 27,3 г*.
груз
т
69. Обе обезьяны достигнут блока одновременно через проме­
жуток времени т = — .Действительно, натяжение верёвки по обе
стороны от блока одинаково. Значит одинаковы ускорения и ско­
рости обезьян относительно блока. Так как они приближаются друг
к другу со скоростью 3», то весь путь I они пройдут за время
-
70. Блока достигнет раньше более лёгкая обезьяна.
71. F == "tyQTi= 17 кг*, где М й т — массы винтовки и пули.
72. Скорость большего шарика будет в
рости меньшего.
_п
2 rfo--- _
а
с
2 раз больше ско­
.
73. v = — — — - gr2 — 3,5 см/сек.
У К а з а н и е: Для решения задачи надо воспользоваться извест­
ной формулой гидродинамики, выражающей силу сопротивления,
испытываемую шаром, движущимся в вязкой жидкости:
/ = Qnrvi\.
74. t ,ш -Л &
mg
где т — масса тела и г — коэффициент сопротивления воздуха.
dv
Р е ш е н и е : У равнение движения имеет вид т —-ц- = — mg — го.
г
Полученный выше результат найден интегрированием этого урав­
нения при начальном условии v = v0 при t = 0.
§ 2]
Д И Н А М И К А Д В И Ж Е Н И Я М А Т Е РИ А Л Ь Н О Й
точки
199
75. Д/и = 2 ( м — — ) .
Указание:
Mg — Р — /? = О
(1 )
(M — bM )g — P + R = 0
(2)
(1) — уравнение движения опускаю щегося шара, R — сила сопроти­
вления воздуха; (2) — уравнение движения поднимающегося шара.
76. 1)
=
2) № = v0 | т + Щ е
т
«
т )].
где t/о — скорость установившегося движения капель, г — коэффи­
циент сопротивления при падении капель в воздухе. Время / отсчиты­
вается от начала падения первой капли.
77. 1) Изменение скорости лодки v со временем будет проис­
ходить по закону:
v
v0
т
где т — масса лодки и г — коэффициент сопротивления воды.
2) При таком предположении о силе сопротивления лодка'
должна двигаться бесконечное время.
3) Однако при этом она пройдёт конечный путь, равный —
Решение:
имеет вид;
Уравнение
движения
лодки
в данном
случае
dv
И Г ~ ~ ~ rv\
интегрируя его и принимая начальные условия v = v0 при / =
получаем приведённое выше выражение.
9
78. TMXC = m g — ^
------- - 18 ООО кг*.
Vприземл
П р и м е ч а н и е : Такого натяжения не выдержали бы ни стропы
парашюта, ни парашютист, на которого стропы действовали бы
с такой силой. В действительности парашют раскрывается не мгно­
венно и натяжение строп оказывается гораздо меньше.
7Э*
% - е - л = 12 М>сек’
т К .д — *9
20С
(гл .
М ЕХАНИКА
80
а — ”, |g - “ OT» t e — g g)
Ш\
R
1
Щ Щ Щ — аг)
ТПч
m i - f - /7*2
81. Обе обезьяны достигнут блока одновременно, через промежуток
. , / " 2Г п
времени т = у
. В самом деле, сила натяжения верёвки
вдоль всей её длины одинакова, значит и ускорения обезьян отно­
сительно земли одинаковы. Движение они начинают одновременно,
приближаясь друг к другу с ускорением За; чтобы достичь блока,
они обе вместе должны пройти путь /.
82. 1) Маятник будет падать вместе со щитком, сохраняя на
нём неизменное положение.
2) С момента начала падения щитка скорость маятника отно­
сительно щитка перестанет изменяться и с этой скоростью он начнёт
вращаться вокруг точки подвеса.
83
84k Т = 2я у
^ — . При а = g период становится бесконеч­
ен
ным, т. е. маятник качаться не будет, При a^>g маятник перевер­
нётся и будет колебаться около своего наивысшего положения
с периодом Т = 2л
85. Т = 2тс 1 /
1
t
— -—
geos а
8 6 . Груз будет совершать колебания на пружине. Амплитуда
колебаний будет равна той длине, на которую груз растягивал
пружину в неподвижной кабине.
• Интегрируя это урав­
87. Ускорение тележки
нение и учитывая, что t/ =
при £ =
0
/
V =
88. и = | /
-7 ---
Am
j - (1! - ф ;
1п
0
, получаем
М
М — km t
x = l0 c h ( y ~ ^ - 1
Указание:
Решение получается интегрированием уравнения
„
тпх = — gx, где тп — масса всей веревки, а х — длина ее части,
тп
свешивающейся в данный момент.
Начальные условия: v =
при / =
0
Zq .
ДИНАМ ИКА Д ВИ Ж ЕН И Я
М А Т Е Р И А Л ЬН О Й Т О Ч К И
201
89. При свободном падении шарик 2 уже не является центром
тяжести системы, ускорение массы шарика 2 не является ускоре­
нием центра тяжести системы, ибо при движении расстояние между
шариками меняется под действием пружинок. Центр тяжести си­
стемы имеет постоянное ускорение g. b начальный момент движе­
ния отдельные шарики будут иметь следующие ускорения:
.1) а | = 3g\
а2 = аъ = 0;
2) a i = 0;
а2 = — g, аъ = g.
Решая уравнения, получаем ответ.
90. Р е ш е н и е : Начертим силы, действующие на каждое тело
(рис. 248). Только сила N может сообщить телу М ускорение в на%
yt
правлении оси х (горизонтальной оси). Обозначим ускорение клина М
через ах, горизонтальную составляющую ускорения тела т через а2
и вертикальную через аз. Тогда уравнения динамики дают
N sin а = Afalt m g— N cos а = та-$;
N{ sin а = таг, N = N'.
Между ускорениями ait а2, а3 существует ещё кинематическая
связь, вытекающая из условия скольжения тела т по грани клина.
Эту связь можно получить так: обозначим координаты какой-либо
точки тела т на поверхности, соприкасающейся с клином М,
через х н у , точка лежит на линии у — tg а (х —•- Ь). Принимая во
202
М ЕХАНИКА
[Г Л . I
внимание, что при движении х и Ь изменяются, а а остаётся постоян­
ным, продифференцируем это равенство два р а з а : у ' = tg а (х — Ь);
легко видеть, что у = — а3, х = — аг и Ь = — а^; тогда равенство
й3 = tg а (я2+ а*) и есть искомое соотношение.
§ 3. С татика
91. F = P — Q; при этом Q должно быть
I
Т Р
92. H = h + —— ........^ 5 . 5 м
У Ь р г — ръ
93. Если бы канат был нерастяжимым и опоры абсолютно
жёсткими, то тогда действительно канат можно было бы разорвать
сколь угодно малой силой; однако наличие даже небольших растя­
жений каната и деформаций опоры существенно ограничивает
величину вызываемых малой силой натяжений каната.
94. На брусок А В — сжатие 5 кг*\ на проволоку СВ — растя­
жение ^ 7,1 кг*.
95. <? = 4 У 5 кг *
F = 4 ( 1 / 5 + 2 у~5 + / 5 — 2 У 5 ) кг*и наклонена к вертикали
У 5— 1
под углом a = a rc tg — г-я------ в сторону крючка А.
96. k > tg 15° = 0,176.
97. / = 22,5 кг*.
У к а з а н и е : Обозначим ч е р е з / а натяжение участка а верёвки,
ч е р е з / 6 натяжение участка b и т. д. Тогда f a = f b — f и f„ = f d =
= 2/. Так как человек давит на платформу с силой P i — / , то для
равновесия должно быть: P L— f
Рг = 3/,
98. F =
99. d =
100. * =
Т = Ш*.
О
ВъП
у £>а — * 2 ^ 0 ,0 5 см.
1
Р
гДе Р — вес куба.
101. d = — R.
102. d = \ ~ .
о к
1пч
3it - f - 16 n
103. * с R2
R sin® a
104. jc„ = —---------------- 1— 1, где x~ — расстояние от центра.
0
3 a — cos a sin a
c
r
r
РАБОТА,
М О Щ НОСТЬ,
ЭН ЕРГИЯ
203
1 1У* 8 R
105. а = т — ,
3 тс
108. R = 21Р;
х = Щ -\
Ш . Г = |§ .
У к а з а н и е : М ожно считать, что на каждое из полушарий*
действуют две силы, по величине равные Т и приложенные в точках,
где нить переходит с одного полушария на другое; так как рас­
стояние центра тяжести полушария от центра равно 3/8 /?, то ура­
внение моментов даёт:
103.
1)
cos р
2)
tg а = tg р tg 7 , при этом сила F лежит в плоскости, обра­
зованной стержнями АБ и ДО.
109. Нет, так как нет силы, которая уравновесила бы момент
силы тяжести относительно ребра В .
110.
/ 7=
У 1о
— — т*,
причём
слагающая,
направленная
вниз,
равна 314 т9, а направленная к стене 1/4 /и*.
111. T = F = - J ^ ( P + p ) = 900 кг*.
У к а з а н и е : Так как опора идеально гладкая, то F*=T; эти
силы образуют пару, момент которой М = Т • h и уравновешивает
моменты сил тяжести относительно опоры.
112. / =
1 кг* в обоих случаях.
§ 4. Р а б о т а , м ощ ность, энергия
113. Работа А = 200 кгм. Потенциальная энергия { / = 1 0 0 кгм.
Половина работы идёт на увеличение кинетической энергии подни­
маемого тела.
114. 0,06 кгм и 0,038 кгм.
115. 4,25 м; « 8 , 1 6 м/сек .
204
{гл. I
М ЕХАНИКА
118. U = 0,6 кгм.
119. 1 кгм.
121. W =
mVn
41
щ
122.
1)
U = mgl ( 1 — cos а).
2
) >4 =
Г mat cos a da — m at sin a,
о
3) Приравнивая работу силы инерции потенциальной энергии отвеса,
отклонённого на угол а, находим g ( 1 — cos амакс/ = a sin амаве, откуда
легко получаем
или
2
амако =
2
a rc tg _ i.
g
g
4) Сравнивая найденный результат с результатами задачи 55, полу­
чаем, что действительно:
“ макс =
2V
ТЗК КЗК “ О =
ЗГС ‘8 Ц
5) После освобождения отвеса, он сначала отклонится на угол амаЕС>
а затем начнёт колебаться между направлением, определяемым этим
углом и вертикалью, т. е. около направления, определяемого зна­
чением угла ог0. Постепенно колебания затухнут и отвес остановится
в положении, задаваемом этим углом. В этом положении сумма
действующих на отвес сил будет равна т - а и отвес будет двигаться
вместе с вагоном, сохраняя в последнем неизменное направление.
123. 330 м.
Р е ш е н и е : При торможении с ускорением а возникнут коле­
бания (см. решение предыдущей задачи) и отвес отклонится на
наибольший угол — =
g
с
#*
а Й = т.— .
2
а
lou
= 0,052, следовательно, 2 а = 0,51 м/сек ,
____
124. v = ']f2gR == 11,2 км/сек , где R — радиус земного шара.
125. Т ^
^ 6,2 • 109 кгм, R — радиус Земли и g — ускоре1 4 --—
^ R
иие силы тяжести у поверхности Земли.
2M v
126. F = — .
т
127. W — p v ( k cos a -j- sin a).
128. Р е ш е н и е : Уравнение движения лодки будет иметь
dv
.
вид m — == — rv2. Умножая обе части уравнения на элемент пути dS,
§
5]
ЗА К О Н Ы
СО Х РА Н ЕН И Я КО ЛИ ЧЕСТВА Д В И Ж Е Н И Я И ЭН ЕРГИИ
205
получаем справа элемент работы dA силы сопротивления на отрезке
пути dS:
dv
v„<n2 dS
m — ■dS — — rv1 dS = — r —— ■— —75- = dA
dt
(m rvQty
или
2 2
«,
3 9 .,
/mv2 \
v0m
v dt
v0m
dt
mv dv = <*(—=—) = - / ■ - — j------ 7г~= — r~,---- :-------\ 2 /
(m+ /,w0f)2
(m -f- rmv^tf
Интегрируя последнее уравнение при условиях, что v = v0
при t — 0 и о = 0 при / -> со, находим, что правая часть равенства
■
также равна —g -. что и требовалось доказать.
129. U =
<ол т
Вх*
, где jc— деформация пружины.
2250Я
130. Т — — =— кг*.
■тМ
,
131. •™RP кгм/сек.
«0 4
132. По часовой стрелке, так как вследствие провеса при этом
работающий участок ремня будет охватывать большую часть окруж­
ности шкивов, чем при вращении против часовой стрелки, и сцепле­
ние ремня со шкивом будет больше.
§ 5. Законы сохранения количества движения и энергии
133.
0
= 10 см/сек.
134. y = M-&
т
sinJL.
COS а
135. S2 = 5000 м.
Р е ш е н и е : Падение одной половины снаряда под местом раз­
рыва показывает, что всё количество движения, которое имел снаряд
в верхней точке, передано второй половине снаряда. Падение
за 1 сек с высоты в 19,6 м говорит за то, что падающая часть по­
лучила при разрыве начальную скорость v0 вниз, следовательно, и
вторая половина получила такое же количество движения вверх.
Поэтому вторая часть снаряда после разрыва имеет начальную ско­
рость в горизонтальном направлении 2 г>гор, а в вертикальном — г>0; г»Гор
есть слагающая скорости снаряда при выстреле в горизонтальном на­
правлении. Скорость v0 определится из равенства Л = »0т
т — время
падения осколка.
Горизонтальная составляющая
Pfi
, где
ско-
рости vrop определится из равенства St — vropt и h — s— ; она будет
206
.. МЕХАНИКА
v rop ~
~2h '
[ГЛ. I
^ асстояние падения второго осколка от места
разры ва можно определить по формуле законов полёта снаряда
в безвоздушном пространстве:
Зам еняя # гор, получаем ответ:
„
P i(v + u) + P v .
= --------p T P i —
137. 9 м/сек и
1ЭД .. _
1
,
Р (V— и ) + Pv
.........
о2 = о;
®а = -------p q r p r —
•
м/сек.
т\У\ + т->Уг. Т _
т1 + щ
*
(ЩУ1 + ЩУг)г
2 (m i -j- тг) '
139. При условии, что — - > 2 0 , где
— масса шара, имевшего
меньшую энергию. Ответ легко найти из следующих соотношений:
о л ~ ..2 ______ 2
20/иЛ _ от2о 2,
___ — т&ъ ^ в%
v -------
где v — скорость ш аров после удара, V\ и v2— их скорости до удара.
140. г/ = 1 0 3 м/сек (из равенства mv = Mv{),
141. F = ^ ^ = 2500 кг*.
At
142. Работа FAS' =
Ат
vASr = Aw • v \ кинетическая ж е энергия
Ат • г/*
г,
угля р а в н а ----- -— , т. е. вдвое меньше. При соприкосновении
с платформой куски угля сначала скользят по полу платформы
(в сторону, противоположную движению платформы) и работа паро­
воза идёт также на преодоление возникающих при этом сил трения.
Эта работа (превращающаяся в тепло) равна ——g -
.
143. Дополнительное давление на стол (сверх веса части, леж а­
щей на столе) вызвано потерей импульса падающими элементами
нити при их ударе о стол. Пусть за элемент времени dt на стол падает
элемент нити с массой dm = ja dx, где [х — масса, приходящаяся на
единицу длины нити, a d x — элемент длины нити. Сила, действующая
dmv
со стороны этого элемента на стол, будет Аг =? -
—=
[x d x v
—=
§ 5]
ЗА К О Н Ы
СО Х РА Н ВН И Я
КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖ ЕНИЯ
И
ЭН ЕРГИИ
207
=
где v — скорость, с которой элемент dm достигает стола.
Но, как нетрудно заметить, v2 = 2gx, где jc — длина части нити,
лежащей на столе. Отсюда AF = 2 р gx. Таким образом, полная сила,
действующая на стол, будет равна З р ^ д :.
144. Ш арик отразится от клина в горизонтальном направлении
и полетит дальше по параболе (см. рис. 249).
145. р = — 2тv sin а.
146. ДГ = 2т ( v — и) и;
Д/7 = — 2т (v — и).
У к а з а н и е : Законы упругого удара о движущуюся стенку
легко получить, если в формулах для скоростей, имеющих место
после удара двух упругих тел*
перейти к пределу, полагая
\Q
массу одного тела (стенки) бесконечно большой.
148.
В момент остановки
каната, как и при движении
лифта, сила натяжения будет
равна весу лифта, а дальше
канат будет растягиваться и
сила натяжения будет постепенно возрастать, пока кабина
не остановится. В момент остар
249
новки кабины сила натяжения
будет
наибол ьш а я — бол ьше
веса кабины. (Отсюда видно, что в таком положении лифт не может
сставаться неподвижным; он начнёт подыматься кверху — возникнут
колебания кабины.)
Быстрота нарастания натяжения во времени и его величина
зависят от упругих свойств каната и массы кабины.
149. Удлинение т а 55 см, Т т а 55 т \
150. й = 0,005— /.
т
151. 1) v = l
2
) v
т
2М V 7 » g sin ---
3) v =
т
208
(ГЛ. I
МЕХАНИКА
153. 1) Опишет над плоскостью параболу, вершина которой
будет на высоте
; 2) будет равномерно скользить по плоскости
с о скоростью У^р й .
154. Н ет.
155. Н а расстоянии -гт— — /, где
М — масса поезда до
разрыва,
а т — масса вагона.
156. Дл: =
ml
dv
157. Л! - г - = [хм.
Р е ш е н и е : У равнение движ ения легко получить из условия
сохранения количества движ ения в си стем е ракета — газ. Приравни­
вая количество движения системы в момент времени t количеству
движения системы в момент времени t - ^ d t , получаем
M v = (М — dM) (v + dv) -f* dM (v — u).
Отбрасывая члены второго порядка малости
dM == [Adt, получаем искомое уравнение.
1 э 8.
и
учитывая,
что
а
\u i d t
dM и d t
dM
dv = ■ . . - =
—— = и — р ,
М
dt М
М
V
откуда v = и i n "
или е и = “тт— (соотнош ение Ц иолковского),
М0
так как v = ( при Л1 = М0ш
___£ ^
ч
159. г» = — ы (1 — I * ), >) = 2 П — — I
%aKO=J
при | » | = — | - | | .
Р е ш е н и е : Приравнивая количества движений системы в момент
Бремени t и t - \ - d t , получаем уравнение
= /И (t> 4 “ dv) — (и — v) [a dt.
(1)
Интегрируя его, находим зависимость скорости корабля от времени.
Для получения кпд системы н адо составить отнош ение величины
полезной работы ^в данном случае это будет приращение кинети­
ческой энергии корабля d
^ = Mv d v j
к величине
( p. dt • и? \
насоса ( - — ~----- за одинаковые промежутки времени:
2 Mv
dv
работы
§ 6]
Д И НАМ ИКА Д В И Ж Е Н И Я Т О Ч К И
ПО О К РУ Ж Н О СТИ
209
пользуясь уравнением (1), можно написать
2 (и — v ) v
Ч—
Отыскивая максимум этого выражения как функцию — , находим:
1
1ш о = 2
, .
ПрЧ 1 ,==
§ 6. Динамика движения материальной точки
по окружности
mtr
mv‘
160. 1) P = m g - 2) P = m g ----- 3 ) P = m g + - R
R — радиус
кривизны моста. Ответы
венно для вы сш ей и низш ей
точек мостов. .
161. v 0— Y g R ~ 7,7 км/сек;
ускорение снаряда равно g и
нормально к траектории.
162. Т раекторией снаряда
будет дуга эллипса. Эта кри­
вая изображ ена на рис. 250
сплошной линией. О стальная
часть эллипса изображ ена пунк­
тиром.
где
2) н 3) даны соответст­
163. 1) Н = Щ - \ 2) на тележку действуют сила п ри тя­
жения Зем ли mg и сила давле-
/итг2
ния рельсов —п ----- mg,
к
где
v — скорость тележ ки в этой
точке; 3) не доходя д о вер х ­
ней точки, тележ ка отделит­
ся от рельсов и будет дви­
гаться по параболе до встречи с рельсами в нижней части петли.
164. * =
^
0,4.
P g_____
165. v = У Rg ctg а.
165. 1) а == arccos —
; 2) Т = mw4; 3) излом будет, так как
в противном случае имели бы место равенства
ша/?1
<и2/?„
ё
g
tg а ==------ - = ------ -.
I
что невозмож но, ибо R t = g -sin в. а /?2 = I sin а.
14
Зак . 5182. Сборник задач, ч. 1,
2Т0
[г л . I
МЕХАНИКА
1 6 7 . / ? - — - - - fo*
'
g V p ( 2 + 0 ,0 lp )
168. Самолёт на петле будет иметь ускорение а =
==
8
м/cetc*
А
направленное к центру петли. В нижней точке петли на крылья
750
будет действовать давление воздуха т (а + £ ) =
( 8 + 9,8) кг* «
1,3 /и*, т. е. нагрузка на крылья была на 80% больше, чем при
горизонтальном полёте. Отсюда видна необходимость запаса проч­
ности в конструкции самолёта для выполнения им фигур высшего
пилотажа.
169. В нижней точке петли лётчика будет прижимать к сиденью
80
с силой -jj-g (60,5 + 9,8) кг*
563 кг*, соответственно в верхней
точке — с силой
403 кг*.
170. При
g в точке А «отвес» будет направлен вверх,
А
[^2 .
при
< g — вниз (рис. 251). На этом же рисунке указано распоА
ложение отвеса в других точках при
141.
т
у —~ лу/ ~ 2р^
V*
< g.
вх .
172. Груз М займёт либо ближайшее возможное положение
.
_
_
mg
к оси, либо наиболее удалённое. Положение на расстоянии R =
от оси возможно, но оно неустойчиво, так как даже при небольшом
§ 6]
ДИНАМ ИКА
ДВИЖ ЕНИЯ
ТО ЧКИ
ПО
О К РУ Ж Н О СТИ
211
увеличении радиуса R веса mg будет недостаточно, чтобы удер­
живать массу М на окружности, и она уйдёт в наиболее уда­
лённое положение от оси. Наоборот, при небольшом уменьшении
радиуса R вес mg будет больше силы, необходимой для того,
чтобы удерживать массу на расстоянии R, и она будет прибли­
жаться к оси.
173. Тот же, как и в задаче 172.
174. Р е ш е н и е : Масса М будет совершать устойчивое дви­
жение по кругу радиуса /?0=
Так как момент количества дви­
жения массы М должен оставаться постоянным, то Ma>Rt—N=coi st.
Отсюда следует, что центробежная
сила может быть представлена в
щ
т
виде / = MuPR == -щ :y .
Кривая
зависимости центробежной силы
от R изображена на рис. 252.
Постоянная сила натяжения нити
Я = mg, действующая на массу М
в
противоположную
сторону,
изобразится на этом же рисунке
в виде прямой, параллельной оси
абсцисс. Устойчивому положению
массы М на вращающемся стерж­
не соответствует точка пересече­
ния этой прямой с кривой центро­
бежной силы. Отклонение массы М от положения Rn, н е з а в и ­
с и м о о т н а п р а в л е н и я э т о г о о т к л о н е н и я , вызывает
силу, возвращающую массу М в положение R 0. Это и означает, что
положение массы М на расстоянии /?0 от оси вращения будет
устойчивым. Различие в полученных результатах по сравнению с ре­
зультатами предыдущей задачи объясняется постоянством момента
количества движения системы, заданным в условиях задачи. Всё это
рассмотрение имеет смысл, если выбраны условия, при которых /?0
не мало. Иначе нельзя было бы пренебречь моментом инерции
прибора по сравнению с моментом инерции массы М.
175. Возможны (при не слишком большой массе т) два
положения равновесия: устойчивое /?ог и неустойчивое R0l, если
не считать устойчивого положения равновесия R = О (рис. 253).
Так как в этом случае постоянный момент количества движения
есть (MR? -f- J0) и>= а, то центробежная сила равна
Ma*R
.
(/о + ЛМ? )Пользуясь графиком сил так же, как и в ответе предыдущей задачи,
можно решить вопрос об устойчивости равновесия.
Наличие д в у х положений равновесия тела на стержне в этом
случае непосредственно вытекает из того, что величина центро­
бежной силы должна обращаться в нуль не только при R-+ со, как
в условиях предыдущей задачи, но также и при /?-> 0. Действи­
тельно, существование у системы момента инерции / а приводит
14*
212
М ЕХ А Н И КА
[Г Л .
I
к тому, что при приближении массы М к оси вращения угловая
скорость вращения остаётся конечной величиной и выражение M<o2R
при R -> 0 обращается в нуль. Между двумя равными нулю зна­
чениями непрерывной функции должен иметь место максимум этой
функции и, следовательно, кривая функции должна дважды пересечь
всякую прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую ниже
максимальной ординаты функции. В данном случае кривая функции
дважды пересечёт прямую, соответствующую значению силы mg.
центробежная
\
сило
■Сипа беса тд
R
Рис. 253.
Разный наклон производной функции в местах её пересечения
с прямой f = mg и определяет устойчивость и неустойчивость поло­
жений равновесия массы М.
176. Нить, привязанная к оси, натянута силой ш2 {m^Ri 4 - да2/?2);
нить, связывающая массы, натянута силой uflm^Ro.
177. Сила натяжения пружины должна быть пропорциональна
её удлинению. Коэффициент упругости пружины должен быть
равен Afo>2.
178. й я й 48 г*/см.
179. Либо внизу, либо вверху, так как положение равновесия,
соответствующее расстоянию
s
СЕ
jЩщ
от оси R — — - — —, неустойчиво.
См. ответ задачи 171.
180.
кг*.
181. Наклон делается для того, чтобы давление поезда на
полотно железной дороги было нормально к плоскости полотна
и чтобы реборды колёс не срывали рельсов со шпал в сторону.
поезда и R — радиус закругления.
182. Пол комнаты представляет собой параболоид вращения
(1)2
— (-* +.У 2); ось г направлена по оси вращения, начало коор-
§
6]
ДИНАМ ИКА Д В И Ж Е Н И Я Т О ЧК И
ПО О КРУ Ж Н О С Т И
213
динат находится в нижней точке, а оси х н у лежат в горизонталь­
ной плоскости.
183. Считая в первом приближении вектор скорости снаряда
постоянным, получаем: х = vP о>sin <р, где <р— географическая ши­
рота места выстрела. В данном случае jc ==5,8 см. Снаряд от­
клонится от первоначального направления
выстрела к западу.
184.
2 V 2 h’ft
Шт
==<о = 2,2 см.
I
Yg
185. Р е ш е н и е : Отклонение падаю­
щего тела к востоку связано с тем, что оно
в начальный момент своего движения с вы­
соты z будет иметь линейную скорость,
направленную по касательной к экватору
v$ = (R -\- z ) ш, а соответствующая точка
поверхности Земли (на экваторе) будет
иметь линейную скорость /?ш. Выберем оси
координат, как показано на рис. 254. Сле­
дует иметь в виду, что
(1)
z< zR .
Пусть в момент времени t тело на­
ходится в точке В\ тогда его координаты
можно записать так:
* = Щ + г) Щ
I й ||
Рис. 254.
так как, в силу условия (1), ускорение вдоль направления г прак­
тически равно g, значение х в основном определяется ско­
ростью Од.
Теперь надо учесть, что движение тела в направлении х
не будет равномерным, так как в этом направлении тело будет
х
[ R - \- z ) .
. „
иметь ускорение х = — g
= — g — ^ — - < attt — gtof. После инд
д
тегрирования
/г> .
,
dx
(при начальных условиях: при / = 0 — = Оо ==
.
= ( к + г) ш) получим для о =
пае: о =
dx
dx следующее
„
уточненное выраже-
1
й , п
= — — gu>fi - f R<a.
Следующее интегрирование (выполненное при начальных усло­
виях: х = 0 при / = 0) даст, в свою очередь, уточнённое значение х\
х — — — gwfi + (/? + г) u>t.
За время падения тела точка на поверхности Земли у основания
214
МЕХАНИКА
(Г Л . I
перпендикуляра г сдвинется также к востоку, но на отрезок
Х\ = /?и>t\ тело сместится на разность х — х ц учитывая, что время
Щ 2*
падения / = у
, приходим, разумеется, к выражению
у
2
X = x - x 1= j z y
Г 2г
у
«о,
где z = А, полученному другим методом при решении предыду,щей задачи.
186. В выражении для смещения X появится множитель cos <р.
187. Т = 48 часов.
У к а з а н и е. Результат легко найти, если учесть, что поворот
плоскости качаний маятника относительно опор его подвеса опре­
деляется радиальной компонентой вектора угловой скорости Земли=
= wsintp в пункте с географической широтой q>, где установлен
маятник.
188. Поверхность воды образует с горизонтом угол а =
2оо> ,
= arctg— — sm<p, где v — скорость течения реки, о»— угловая ско­
рость вращения Земли, g — ускорение силы тяжести. Результат
находится из условия, что поверхность жидкости должна быть
нормальна к равнодействующей приложенных к ней сил.
§ 7. Д инам ика вращ ения твёрдого тела.
Д инам ика систем ы
189. а%= — а1=
mi ~ m' j g.
2mittiig +
2mxm^g + ^ f —
J
*
*
.
. J
Г2
Р е ш ё н и е : Натяжение нити будет различным для правого и
левого отрезков нити. Уравнения поступательного движения под­
вешенных грузов (см. задачу 59):
Щ ё — Тг — т^аг,
m \g— T i= — тхаь
(I)
(II)
Уравнение вращения блока вокруг его геометрической оси
( T3- T 1)r = J
(III)
§ 7 ] ДИ НА М ИКА В РА Щ ЕН И Я Т В Ё Р Д О Г О Т Е Л А . ДИНАМ ИКА СИСТЕМЫ
215
где
— угловое ускорение блока. Отсутствие скольжения нити
по блоку и неизменяемость длины нити позволяют написать:
du>
ai = - a 1 = r — .
(IV)
Четыре уравнения (I) — (IV) содержат четыре неизвестных, т. е.
решают задачу.
St
190. <? =
« (*+ ■ ») '
dm _
dt ~
mjR
m^r
+ OTj/-2 + J g’
Ti = m1 ( g — r - ^ y ,
7's = m2 ^ +
da \
R— \
It)'
ffipr
192. Снять груз —
t + mr1
J
193. Снять с чашки весов тот же груз, что и в предыдущей
задаче, потому что при подъёме и при спуске грузика ускорение
его одно и то же как по величине, так и по направлению.
194.
2 (Я + р) г*
' pr* + PR'- + 2 (P + p )r l g‘
Af 4* fti
195. a — ---------- ------- j 196 смIсек-, где J —момент инерции
M + m + 7s
всей системы.
196. Р е ш е н и е : Пусть f \ и / 2 — натяжение верхней и нижней
нитей. Тогда ускорение центра тяжести диска а —
——;
dm
( /j + / i) Г
угловое ускорение диска —— = —----- j------; ускорение груза at =
Ul
J
_
dw
fli
= —£^j— - . Из кинематических условии следует: а = г
.
Отсюда:
М 4 -2 /я
&
4т + М + —
f l = (2m + - j ^ a - m g ; f t = m { g — la).
МЕХАНИКА
216
[ГЛ .
2 -1 -
т г2
197. Ускорение нижнего диска ^ = 5 —
= = ----------- —
Ж
й^у
него диска
>в е Р х -
d2x
Р е ш е н и е : Обозначив через у координату центра нижнего
диска, через х — координату центра верхнего диска, через o>i и <i>2 —
угловые скорости нижнего и верхнего дисков, через Т%— натяже­
ние нижней пары нитей и через Т%— натяжение верхней пары нитей,
можно написать следующие уравнения движения и кинематические
соотношения (кинематические соотношения вытекают из нерастяжимости нитей):
mg 4* Т%— 7~2 = таъ
я 2 = w2ri
mg — 7 i = malt at — a2 = щг9
T tjf =
*/u)£,
Решая совместно эти уравнения, получаем значения ускорений.
Рис. 255.
Р е ш е н и е : Уравнение поступательного движения центра массы
диска параллельно наклонной плоскости напишется так:
mg sin а — / тр = та.
а)
I
§ 7 1 ДИНАМИКА В Р А Щ Е Н И Я Т ВЁРДО ГО ТЕЛ А . ДИНАМИКА СИСТЕМЫ 2 1 7
Уравнение вращ ательного движения диска вокруг геометри­
ческой оси диска, перемещающейся при качении диска только
поступательно, напишется:
I
'я - 'п *
•
#
_ .- _
п
где —гг — угловое ускорение диска, J — момент инерции и А — ра­
№й
диус диска. Вследствие отсутствия скольжения
Ш
• - * $ .
(3)
Из уравнений (1), (2) и (3) находим а, — и / тр. Так как диск
„
„
( тЮ _____ _________ _
.
сплошной и однородны й, то J = - у . П одставляя значение У в вы­
ражение для я, получаем р езу л ьтат, приведённый в ответе.
5
199. а = -a-fsin а.
200.
обруча.
201.
Г = yVft/\ где v — скорость
поступательного движения
/ = “ m g sin а = 50 г*.
и
202. * > y t g a .
203. 1) ш ар, 2) в У ^5/14 раз в данном месте, 3) в 15 14 раз.
204. Выгоднее ось, сточенная на конце. Сила трения остаётся
постоянной (сила трения на единицу площади пропорциональна нор­
мальному давлению), но момент силы трения относительно оси про­
порционален радиусу поверхности опоры.
205. а -- ---------- ----------------= 114 см/сек*.
т t Н 2~ 4т1 + тз
jp / D COS Я “р—- j D
205. а = ——г-:----- •s— — » где У н т — момент инерции и масса
J -f- mR*
катушки соответственно; а > 0, если c o s a > - ~ .
207. Обозначим натяжение нити через / и силу взаимодействия
между рамой и катком — через / ' . Если каток идёт сзади, то можно
написать уравнения движения так:
3
= M^g sin a + f
для катка,
Мга = AUg sin a — / ' + /
для рамы,
Af3a = Msg (sin a — k cos a) — /
для тела массы Af3.
2 “ Afja
218
МЕХАНИКА
[гл .
Из этих уравнений получим:
(Mi + Mz + Л^з) sin а — кМ-л cos а
а = ----------- о-------------------------------- g.
-х M l sin a — k
Ml -f- м Л COS a
f t = Mag— ------- 5 -------- — ------------ I ------- 1
± М ! + Мг +М а
Если tg а > k ^3 4“ 2 ^ - ^ , то / > 0 , т. e. чтобы нить была натянута
в этом случае, каток следует пускать сзади. Если tg л<Гк(3 4~2
\
M J'
то каток следует пускать вперёд.
208. со =
Щ
20Э. N 7^52 • 1040 г • см/сек*.
210. Если момент инерции диска J, радиус его R и масса чело{
т№\
века т, то скорость вращения возрастёт до f 1 Н— — j п обjмин.
Кинетическая энергия вращения возрастает на величину
Ai&rPmR} Л
mR2\
36- Ю2 • 2 V '
J )
за счёт работы, произведённой человеком при переходе егоподиску*
— mrv
211.
i - MR"- + mr*
212. Можно, например, выпустить из пушки вдоль экватора сна­
ряд с такой начальной скоростью, чтобы этот снаряд не упал
обратно на Землю.
213.
~ Ы
at
■
H
i
214. Пластинка будет вращаться с угловой скоростью
2т
т +I -т±о а
т0
3
т
а шар полетит назад со скоростью t>i = ---------- g.
тоi т
Т +т
§ 7J ДИНАМИКА ВРАЩ ЕНИЯ Т В Ё РД О ГО Т ЕЛ А . ДИНАМИКА СИСТЕМЫ 2 1 9
215. v = —JT——Tsin
610 см/сек.
m (l — а) V 3
2
'
216.
Следует рубить участком клинка, отстоящим на 2/3 длины
от конца сабли, удерживаемого рукой.
Р е ш е н и е : Пусть удар с силой F пришёлся на расстоянии г
от середины сабли (рис. 256). Под действием этой силы пластинка
начнёт двигаться и вращаться; если при этом точка О останется
в покое, то рука не будет чувствовать удара.
Напишем уравнение для движения центра тяже­
сти С сабли:
'
dv
„
т -гг = г,
dt
dv
где
It
ускорение центра тяжести. Для враще-
ния сабли относительно оси, проходящей через
центр тяжести С,
тР d<o
Щ в"
■'
1 | Щ
*
где
— угловое ускорение сабли,
т — масса
тР
,
пластинки, -j ~ — момент инерции сабли относи­
тельно центра тяжести С. Точка О будет в покое,
Рис. 256.
если скорость поступательного движения v и
линейная скорость точки О, обусловленная вра­
щением сабли вокруг точки С с угловой скоростью ш, будут равны
dv
по величине и противоположны по направлению, или если — =
=
I diО i
• Подставляя это условие в уравнения движения, получаем
1 .
О
Искомая точка на пластинке (сабле) есть так называемый центр
удара, совпадающий с центром качаний физического маятника той
же пластинки, подвешенной в точке О. Разгрузка оси вращения от
действия удара особенно необходима в случае баллистического маят­
ника (см. также задачу 151).
217.
Движение муфты вдоль стержня будет происходить по
закону
х = а0 ch u>t = 2 ch 40nt,
г = -=■ /, откуда уже легко наити ответ.
'=
9 tr E -
g
:64 • 105 sh 80 itt дин • см.
Р е ш е н и е : Движение муфты удобно рассматривать во вра*
гцающейся системе координат. Тогда уравнение движения вдоль
220
[гл. г
МЕХАНИКА
\
стержня под действием центробежной силы будет иметь вид:
Л*
о
m ~dfi==
Х'
Общее реш ение этого уравнения х « Ае + B e ~ wt9 после чего,
подставляя х (0 ) = ар, х (0 ) = 0 , получаем решение.
Момент количества движения муфты относительно оси вращ е­
ния стержня N = т(о*х) он растёт со временем. Для его увеличения
необходимо приложить внешний момент сил
dN
0
М = - .г = 2 тхахх.
at
218.
Р е ш е н и е : Уравнение моментов вращения цилиндра окол
оси, лежащей на плоскости качения, будет mR2( l +
= FR,
где R — радиус цилиндра. При качении без скольжения центр тяжести цилиндра получает горизонтальное
*
сообщ ает
которое
^
= ^
сила
— S------- где
^
т
■ н/•’
трения;
dV
ускорение
следовательно,
— =
.
.
dv
^dia
или
^ — искомый коэффициент трения.
or
Таким образом, k ^ - p - .
3
219. Обозначив силу, действующую на катки со стороны штанги,
через / , можно записать уравнения движения катков (линейные и
угловые ускорения обоих катков одинаковы): для первого
По условию задачи ^ Ш # .
m
2
dv
.
. т -^= m g sm a -f /,
г dm
„ -
для второго
dv
..
т — щ mg sin а — / ,
. doi
„ _
J2m щ F^R.
где F\ и F« — силы трения, возникающие между катками и
плоскостью. Кроме того, так как скольжение отсутствует, то
dv
r%day —
«
— = / ? — . Отсюда
dt
at
d<&
j.
dt
2Rg sin a
a
ЛЛ
9„
»• j r
~ 6 6 сек - 2
Jt + J t . o n ,
и
J\ —
/•- •'l
/ = —
2
/?
adi u _
4/
,
0, 27 /<г*.
m
Положительное значение / при выбранных нами знаках в урав­
нениях движения соответствует тому, что штанга ежа га и толкает
§
7]
ДИНАМ ИКА В РА Щ ЕН И Я Т В Ё Р Д О ГО Т Е Л А . ДИНАМ ИКА С И С Т Е М Ы
221
катки. Следовательно, если каток с большим моментом инерции
внизу, штанга сжимается; если он вверху, штанга растягивается.
220. Крутое яйцо вращается, как твёрдое тело. Сырое — как
сосуд, наполненный жидкостью; сообщая скорлупе вращение, мы
не сообщаем вращения всем частицам жидкости.
.dio
2ntxa3<o
,
221. У — = -------!—— , где J — момент инерции ротора.
at
о
_2к\ьаН
Отсюда о> =з <о0е
J .
222. Р е ш е н и е : На цилиндр, имеющий вначале момент коли­
чества движения У<1>0, действует сила F = ОДР. Эта сила сообщает
цилиндру угловое и линейное ускорения:
dw
FR
„ g
dv
F
T t ----- Т
“
'
Я
" ~di = g ~ P ~
g'
дг
таким образом, ш = ш0 — 0 , 2 - ^ / и v = 0,lgA Искомое время Т
Д
определится из условия v=-u>R или u>0R — 0,2gT = 0,1 g Т. Отсюда
Г
2,14 сек.
223. Движение после перехода границы будет сначала равно­
замедленное, а затем с постоянной скоростью; */з энергии превра­
тится в тепло; */9 — во вращательную энергию и 4/э останется в виде
энергии поступательного движения.
Р е ш е н и е : Пусть масса цилиндра т, момент инерции J, сила
1
„
dv
rdo>
трения / и начальная скорость v0. Тогда т ~г^ — —/>
~ dJ ’
f
/г /
откуда v = vo ---- — t и о> = —j - . Скорость скольжения будет
св
.
,,
1 . г1
3 /
= v — <ог=г»о — aft, где а — ----- — г = — так как
т ' J
т \
Через время Т —
тМ\
2 J
.
скорость скольжения обратится в нуль, и
дальше начнётся чистое качение без скольжения. Скорость посту­
пательного движения прн чистом качении будет
= v0 ( l -------- Й Угловая скорость качения
\
т а)
m vl (
довательно: (?пост = _
m vl
„
к
в
= vn —
Jaf
1 \2
m vl
; (?вращ =
й /а
г2
;
ma-f
=.
Сле-
остальное
m vl 1
• Рекомендуем ещё неза­
висимо подсчитать работу сил трения и доказать, что она равна
mvi 1
Утепл = ~ 2 ------- Упост — {?вращ = ~ 2 ~ ^
222
М ЕХАНИКА
224.
Рассмотрим силы, приложенные к колесу и паровозу, в о
дельности (рис. 257а). К паровозу приложены силы Q' со стороны
водила и F со стороны колеса. К колесу приложены / со стороны
рельсов, /■ со стороны оси паровоза и Q со стороны водила. Для
простоты рассуждений предположим равномерное движение паро­
воза. По второму закону динамики F = f
Q, по третьему Q = Q'
и F — F'? К паровозу приложена сила / == F' —
направленная
Рис. 2576.
вперёд. Для положения водила ниже оси (рис. 2576) распределение
сил следующее: силы, приложенные к колесу, f - \ - F = Q (по второму
закону динамики), а силы, приложенные к паровозу, F = F и
Q' = Q (по третьему закону), а потому к паровозу приложена равно­
действующая Q' — F '= f , т. е. сила, направленная вперёд.
Итак, во втором случае ось толкает паровоз'назад (сила F'),
но, кроме этого, большая сила (сила Q') толкает его вперёд.
,
_
mgl sin a mgl
225. Угловая скорость прецессии 2 =
° | д-=
, где
а — угол, образованный осью волчка с вертикалью. Направление
прецессии совпадает с направлением вращения волчка.
§
81
223
тяго тение
226. М = 7 - ^ “- = 62,3 кг*см.
oUa
227. Согласно второму закону динамики, применённому к криво'№
„
i
линеиному движению,
— М, где N — вектор момента количества
движения, а М — момент силы, действующей на тело. В рассматри­
ваемом случае момент силы, действующей на планету (рассчитанный
относительно Солнца), M = r X F , где г — радиус-вектор планеты,
a F — сила тяготения, действующая со стороны Солнца на планету.
Так как векторы г и F направлены по одной прямой, то М = 0 и,
следовательно, N = const. Это утверждение справедливо для всех
движений под действием ц е н т р а л ь н ы х сил.
228. Р е ш е н и е : Для доказательства можно воспользоваться
следующими соотношениями:
N — r X (mv) — mr X (« X г) = mr X
'doc
Xг
dx
..
где « = —77 — угловая скорость планеты, а « — угол поворота ее
mr1dm.
ds
..
/ dx ‘ \ rnr^dа
радиуса-вектора. Учитывая, что mr X (
X г) = —
=
Ш т
= 2то, получаем искомое равенство. В самом деле, по правилам
векторной алгебры, последнее векторное произведение может быть
представлено так: г X (•» X г) = а*• г2— г • г • о* = wг2, так как г_[_»>.
„
_
„ da
Но юг? = га— есть удвоенная площадь, описанная радиусом-векто­
ром г за элемент времени dt. Из ранее доказанного (см. предыду­
щую задачу) следует, что о = const. Последнее соотношение пред­
ставляет содержание второго закона Кеплера.
§ 8. Тяготение
229. #л = £ м ’ 1.0008.
230. Часы шли бы медленнее примерно в 2,5 раза, так как
— » 0 ,1 6 .
#з
231. g s » 975 см/сек*.
232. Такое же, как и самой Земле (если пренебречь размерами
Земли по сравнению с расстоянием до Солнца), т. е. ускорение
а=
~ 0,6 см/сек'1,
где R — радиус земной орбиты и Т — период обращения Земли
вокруг Солнца.
233* а =
~ 27g, где g — ускорение силы тяжести на
поверхности Земли.
224
МЕХАНИКА
234. g =
||i |
[ГЛ . I
= 980 см\сек\
235. g' = g3 -^- = 2,3 см/сек*.
236. J? яь; 775 • 10е км.
( ! • ) ’ « 275 Mice*.
237.
238. D — у
— ■ , где k — гравитационная постоянная.
239. g = 980 см/сек*.
240. v = 54,6 км/сек.
241. Все тела в снаряде, находясь в том же поле тяготения,
что и снаряд, испытывают такое же, как снаряд, ускорение; поэтому
тело, подвешенное к неподвижным относительно снаряда пружин­
ным весам, не вызовет их растяжения. С помощью пружинных
весов можно сообщить телу некоторое ускорение относительно
снаряда, и по отношению силы (отсчитываемой по растяжению
весов) к ускорению можно найти массу тела (предполагается, что
масса снаряда много больше измеряемой массы).
242. Весы покажут «вес» р = т а д и н = г* Свободно под­
вешенные в снаряде весы будут в этом случае растягиваться в на­
правлении, противоположном ускорению снаряда (вызванному со­
противлением атмосферы планеты), т. е. в направлении движения
снаряда.
243. Если бы не было сопротивления воздуха, то приборы
в снаряде перестали бы регистрировать наличие силы тяжести
при выходе снаряда из жерла орудия. Вследствие сопротивления
воздуха снаряд получает дополнительное отрицательное ускорение,
а приборы, находящиеся в снаряде, регистрируют силу «тяжести»,
направленную в сторону, противоположную ускорению снаряда,
т. е. в направлении движения снаряда.
244. Линейная скорость движения любого спутника по орбите
обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния спут­
ника от центрального тела. Линейная же скорость элементов
сплошного кольца, наоборот, прямо пропорциональна их расстоянию
от центрального тела.
R
ж----------------------------------------------------------------------- \В
-------v—
а
п
Рис. 258.
245. Р е ш е н и е . (См рис. 258.) Пусть центр масс тел А
и В находится в точке О. Неизменное расстояние между А и В
будет сохраняться только при вращении их с угловой скоростью
225
ТЯГО ТЕН И Е
(М* + М в )
- вокруг точки О. Условия равновесия тел С
R
и D во вращающейся (связанной с телами А и В) системе коор­
динат запишутся так:
тМл
(
TfMn 1
МС \ ---- [R — r)*
(
«в (
а ~~г) + - ~?г) + / 7С' = 0*
тМл
-
т
Т ^в )
я
+
т
?
-
—
9 Ш
9
где положительное направление выбрано от А к В, Fq и Fb —
искомые силы и y — постоянная тяготения. Исключая <о, принимая
ТМв
во внимание соотношение шо2 =
■и пренебрегая членами высших
А"
порядков
Г
, получаем окончательно:
К
( Щ
г
(
г
F 0 = lM 0 [ ------А + ж
^~ Т Л Ц
м п
)
(ЗЛ1а + Л1я ) } .
)
- 7 Г - - ^ - ( 3 A f A + AfB) } .
т. е. при M q = MD обе силы меньше силы притяжения этих масс
телом В на одинаковую величину.
246. Р е ш е н и е : В задаче 245 можно рассматривать А как
центр Солнца и МА как его массу, В как центр Земли и Мв
как её массу, С и D как два положения одного и того же тела
массы M q = M D на поверхности Земли (С — днём, D — ночью).
Из решения этой задачи следует, что все тела будут в полночь
и в полдень весить немного меньше, чем утром и вечером. Но эта
разница в весе, как легко видеть, гораздо меньше, чем сила притяжения Солнца, так как сила притяжения Солнца i
М0МА
—
умно­
жается на очень малую вел и ч и н у -^-. (Массой Земли Мв по сравд
нению с 3 МА, где МА — масса Солнца, при оценке изменений веса,
конечно, можно пренебречь.)
247.
Схему задачи 245 можно применить к объяснению про­
исхождения приливов, вызываемых Луной. Луна А и Земля В вращчются вокруг общего центра тяжести О. В точках С и D на
поверхности Земли, где вода «весит» меньше, чем во всех других
точк.т. образуются водяные «горбы». Для расчёта приливообразую­
щей силы подставим вместо М А и М в соответственно массы Луны
и Земли. Тогда из формул, полученных в задаче 245 (так как мас­
сой Луны по сравнению с массой Земли можно пренебречь), найдём
15
Зак.
5182. Сборник задач, ч. I.
226
[Г Л .
МЕХАНИКА
I
приближённо вес тела массы М в ближайшей к Луне и в наиболее
удалённой от неё точках земной поверхности
M g ttM g o
1
/ Л ) 3 Ма
(TFJ мв
где g0-—ускорение, сообщаемое Землёй, г — радиус Земли, R — рас­
стояние от центра Земли до центра Луны.
§ 9. Упругие деформации
248. Р е ш е н и е : В отсутствии упора брусок будет ускоренно
двигаться. Сила сжатия в сечении стержня на расстоянии х от А
будет T = f ( i ---- j -V так как предшествующие элементы бруска
должны сообщать ускорение последующим. Изменение длины эле­
мента стержня dx, удалённого на х от А, будет
=
Us dx = Is
0
т)ах'
Общее изменение длины, следовательно, будет
“ = / д =тёо
249. Никакого напряжения не будет, так как в этом случае
сила притяжения Земли действует на все элементы бруска, сообщая
им одинаковое ускорение, В предшествующей задаче сила была
приложена к одному концу бруска, и последующие элементы бруска
получили ускорение только под давлением предшествующих.
250\ f j f i P s
ч
251. J g f ( Р - И
ДL = Щ L \
где х — расстояние рассматриваемого сечения от оси вращения.
252. £ я» 21600 кг*\см\
р
Р1
д/
253. р = ~ = 10 кг*1мм2;
Д/ = - ^ = 0,5 мм; j = 0,0005.
254. Р = 2450 кг*!см\
255. Нет.
256. Р = Еа Щ — Щ
Pami« +1000 кг*1см2 (растяжение) и
— 1125 кг*1см2 (сжатие).
257. D = 27 мм.
УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ
1—
227
2ц
258. До = ---- g — IP, где Е — модуль Юнга и [а — коэффициент
Пуассона.
а*рЩ 1 j 677,5 кг*
259. Q =
260. Р >
кг*
dl*
261. Д/ = —— , где d — удельный вес вещества стержня, I — его
1 — 2^ 3 j
длина, £ — модуль упругости; До = —2SE~ V°
где °0 — пеРво'
начальный объём; (а— коэффициент Пуассона, S — поперечное се­
чение.
262. St = S3 = s - ^ — .
2 cos а
263. Я д а 40 кг*.
264. Xд а 0,03 мм.
265. Х да 1,25 мм.
266. Xд а 1,6 мм.
267. £ д а 10* кг*1мм\
1
1 РР
268. Е± — — Е =
» Р&зумеется* численное значение мо­
дуля Юнга, вычисленное в обоих случаях, получится одинаковое,
так как при другом способе закрепления стержня изменится и
стрела прогиба.
269. X = 50 мм.
270. в = 4’.
271. Центр массы диска описывает при вращении окружность
радиуса d -f- Е, где 5 — прогиб вала, зависящий от числа его обо­
ротов. Упругая сила —
сообщает центру массы центростреми­
тельное ускорение. Поэтому можно написать /n<os (d + S) = —
откуда прогиб
I =* —г —----- мм.
(!)
/П<й«
Угловую частоту <о = у
, при которой £-> оо, называют крити­
ческой частотой и, очевидно, стараются так подобрать условия
работы вала, чтобы он не работал при критических частотах. Вал
может работать и при частоте выше критической. Для этого надо,
ускоряя вращение вала, достаточно быстро пройти через крити­
ческое значение угловой частоты. Амплитуда колебаний вала не
мгновенно устанавливается в соответствии с формулой ( 1) при
достижении валом каждого нового значения угловой скорости.
15*
228
[Г Л . 1
М ЕХАНИКА
Поэтому и критическое значение угловой скорости не вызывает
разрушения вала, если оно существует непродолжительное время.
2. v — k Л/ —| где к — безразмерный коэффициент, значение
272.
r Р
которого не может быть найдено применённым методом решения
сэдачи.
У к а з а н и е . [ T \ — MLT~^, [p] = Af£,-1, [v\ = LT~l, где М —
масса, L — длина и Т — время.
Имеем: v —f( T , р) = Т^р», i Г - 1 = (MLТ~г)т • (ML - 1)Л, откуда
для степеней М, L и 7" в выражении для скорости получаем соот­
ветственно уравнения:
m — п = 1, — 1 = 2/л, тп-\-п = О,
из
которых
л—
I
2
находим:
, 1
И= + у » ,
.
273. 0,4 г*.
2 7 = У Ж .
Указание.
Для решения вос­
пользоваться указаниями, приведёнными
в решении задачи 272.
1 Pzlh—Pilh .
275. Е = —'
2 х2 \ \ ’
21
/
Л/
откуда
276. Из подобия треугольников
D + d'
Д/
1 . Напряжения, возникающие при удлинении верхнего во/ “ D+ d
1
: 2.10
= 10 кг*/мм2.
локна, равны а = Е—
Щ рэ
2000
§ 1 0 . Колебания
277. Г рафики зависимости от времени — синусоиды, смещённые
друг относительно друга по фазе. График зависимости скорости
от смещения — эллипс, ускорения от смещения — прямая. Если
амплитуда смещения х0, то амплитуда скорости v Щ Ф*0 и ампли­
туда ускорения у п = o>2jc0, где ш— угловая частота колебаний.
1
§
10]
229
КО Л ЕБА Н И Я
279. Т = ~ l / ~ — .
D V
ер
]
280. Т
I?
g (sin a -f- sin
281. x =
. Период колебаний
^1 — cos
T=
—^ \ / ~ ^
я
0,151 сек.
r 7^o
282. 1) He изменится ничего, 2) частота изменится, так как у
с
7
=: -Л = — .
cv
о
будет иной. Для двухатомных молекул N2, 0 2 и
д
Для одноатомного газа Не f =
О
.
283. Гармоническое колебание с периодом
Г = 2it l / ~ —0 =*
= 5000 сек, где /?0 — радиус земного шара, go— ускорение силы
тяжести на поверхности Земли.
Р е ш е н и е : Ускорение в точке, находящейся на расстоянии г
от центра земного шара, если r<CRj, есть gu-gr, т. е. ускорение
ло
пропорционально смещению. Значит, тело будет совершать гармо­
нические колебания около центра земного шара с амплитудой R q
и периодом тТ = о2 я- 1|// ~ — .
'
So
284. 1) Муфта будет постепенно (по мере роста ускорения)
смещаться; максимальное смещение
совершать
гармонические
= 1 см;
колебания
2)
муфта
будет
х = -г - ( I — cos а>t), где
х — координата муфты относительно тележки, отсчитываемая от
начального положения муфты, причём х считается положитель­
ным
в направлении,
10 сек-1 .
противоположном
ускорению
тележки;
285. 7 - = * } / ^ ! .
283. х — ^ ( \ — cos ж
Максимальное натяженне пру­
жины равно 2mg.
287. Если сила, действующая на груз со стороны доски F' — — F,
то уравнение движения груза
Р — F' = m
. Значение уско­
рения груза находим из закона его колебаний: х = a cos a>t и полу­
чаем — F ' = F = — Р -\- m e V cos a>t == (1 -j- 0,32 cos 4тс<) кг*. Полезно
начертить график изменения силы F со временем.
230
|Г Л .
М ЕХАНИКА
Р
2
98
288. а > — i B % a - х -r- ж
/710)3
(1)
10713
I
При предельной амплитуде сила
давления груза в верхней точке становится равной нулю.
289. к « 0 , 1 .
290.
291. х
= 2 0 см.
292.
При резонансе сила трения равна внешней силе и F ^ _
s= 100 дин. Амплитуда скорости v0 = Apw == 5я см/сек.
k=
—2
v0
= — дин • сек/см.
я
293.
Р е ш е н и е : При резонансе фаза скорости системы на пр
тяжении всего периода совпадает с фазой внешней силы, поэтому
работа внешней силы и оказывается максимальной.
298. -* = —
.
I
I = 15 см.
297.
Та
298.
« 0 , 9 . Р е ш е н и е : Пусть x — расстояние центра тя-
VB
жести полудиска от центра диска, у — расстояние центра тяжести
всего диска от центра диска. Тогда, по теореме Штейнера, мо­
мент инерции полудиска относительно оси, проходящей через
центр тяжести, JQ= т
— х 2^ , где т — масса полудиска и R
радиус диска. Момент инерции относительно оси, проходящей через
точку А, равен
J A = т сь I I + х ? +
+
т ал | |
-
т ов ( д
f* ) |
—
+
R [ т ов | |
т в л Ш — х )2 +
I + Щ
+ т ал ( д
Также момент относительно точки В:
[« е в ( § * _ * « ■ ) + * а л ( j R + 2 X )
R ~
2 jr) ] f
§ 10]
231
КОЛЕБАНИЯ
Периоды колебаний будут:
А ____________
2п
(/«ал + тся) ( R + y ) g '
в = 2” ]V / ; imw + mcu)(R— y ) g '
Учитывая, что
(«СВ — т ал)
У = ---------- ;-----------X
« о . + «ал
получаем у =
И
'"ов
Ш
------ Я^ггЁ = 4,
«ал
23
3
х.
4 R
I
Так как х = ъ-----, то -= -^ 0 ,9 .
3 я
Гн
|*
т+
] В-fj
[i+4?
+
1
2
i
1 о* 1
2 |jJ
где “ ™ j — °*1; Р = у = °л*
Р е ш е н и е : Г = 2тс
>где / — момент инерции коле­
блющейся системы, М — её масса, h — расстояние от точки подвеса
до центра массы. В данном случае
» > -
р
+ ( ' + - j ) » • ].
где р — плотность материала.
300. Т = 2«
^ « 1,04 сек; новая амплитуда
232
МЕХАНИКА
•
[г л . I
У к а з а н и е . В момент отрыва груза стержень обладает угло­
вой скоростью а = а0<о (где ш— круговая частота первоначального
Уот«2
маятника), кинетической энергией
= —=— . Приравнивая эту
энергию работе по подъёму центра массы стержня до его полной
остановки M g -п (1 — соз а'0), находим новую
амплитуду. / ст —
момент инерции стержня.
301. Период будет таким же, как и в предыдущей задаче. Ампли­
туда будет равна начальному отклонению маятника, т. е. 10°.
302. Да, это место — центр качаний.
£03. Р е ш е н и е : Движение маятника происходит по закону:
а = Qqcos /
^ t. Второй
закон
Ньютона
для
кольца даёт:
F — mg sin а = mg da, где F — нормальная составляющая искомой
силы — нормальное давление стержня. Так как sin « s a a , то, подста­
п о закона
оапила д
о п т ^ п п л vivj.
вляял DMCiiu
вместо u
а nи иа пд
их опапслпл
значения из
движения
стержня, нахо­
дим[F = т (da + go.) или F = a0mg А —
j cos у
t.
Касательную к стержню компоненту искомой силы (силу тре­
ния) Q определим из следующего уравнения:
Q — mg cos а = т (в)2 d.
Заменяя cos в через 1 — — , получим Q = ^ ^ 1 —
) + («)2^ | ' ге
или окончательно:
W
-Чcos*VIf
¥isin*VЫ=
= m g [ l - ^ ( c o s * ) / r3£ t — f
s in 2 / " 3£ t ) ] .
304. T — 2« Т/
V ig
305. 1) Если отвести оба груза в одну сторону на одинаковое
/
тиХ
щ ~ 0,05 сек.
2) Если отвести оба груза на одинаковые расстояния в разные
стороны, то период Г2 = 2п 1 / ^
^ 0,035 сек.
Г И Д РО С Т А Т И К А
И А Э РО С ТА ТИ К А
233
У к а з а н и е . В первом случае средняя часть струны (между
грузами) будет всегда параллельна первоначальному положению,
и ускорение массам будут сообщать только крайние отрезки струны.
Следовательно, массы будут двигаться так, как вдвое ббльшая
масса, находящаяся на середине укороченной в два раза струны
при том же натяжении. Во втором случае средняя точка струны
находится в покое; следовательно, каждый груз колеблется так,
как если бы он находился в середине струны, укороченной в два
раза.
скорость вращения больше максимального значения угловой скорости колебаний маятника, то мо­
мент силы трения, действующей на маятник, всегда направлен в
одну сторону. Так как этот момент постоянен, а маятник при коле­
баниях проходит по направлению вращения и против вращения
один и тот же путь, то работа момента сил трения за период рав­
на нулю.
307. 1) Если сила трения возрастает с увеличением скорости
скольжения, то трение в подвесе вносит дополнительное затухание
в колебания маятника; 2) если же сила трения падает с увеличением
скорости скольжения, то сила трения в подвесе у м е н ь ш а е т
затухание колебаний маятника.
308. Положение равновесия смещено в сторону вращения вала
Это положение равновесия маятника
определяется равенством нулю суммы моментов сил, действующих
на него (силы трения и силы тяжести).
§ 1 1 . Г идростатика и ,а эр о ст а ти к а
309. Да.
310.
Гири должны быть из того же вещества, что и взвеши­
ваемое тело.
811.
/ г - £ [ * | ( Ц - а 1) +
4 8
11 £.
312. F = 1,114 кг*.
313. 1) Д1<?ЯЬ400 кг*; 2) Д2(? = 204 кг*.
У к а з а н и е : Давление водорода в баллоне аэростата практи­
чески будет равно внешнему атмосферному давлению и на вы­
соте 2 км. Часть водорода уйдёт из баллона через клапан. Зная
вес 1 мэ воздуха на высоте 2 км, можно найти вес 1 м3 водорода
1
х
при вовом давлении из пропорции =-= = —— .
1,3 90 г
314. Если сжимаемость жидкости (или газа) больше сжимае­
мости тела, то можно. Ясно, что для газа это почти всегда воз­
можно.
234
М ЕХАНИКА
315. F = n R zP, где Р — давление атмосферы.
Л • 103
316. Р = Н А ------ j — мм рт. ст.
'
d»
317. 5 = 1 — 1 .
я2
318. F = - i
A = ie.
319. J3 = 8,64 кг*; Af — 41,6 кг*см.
320. Р = 34,56 кг*\ М = 33,28 кг*см.
321. Р = A2
6
~
146 т*
322. Р д а 0,28 т*\ на высоте 25 см — в середине щита.
323. Р е ш е н и е ; Выделим в стенке сосуда пояс шириной 1 сиг,
расположенный на высоте 1 м. Силы со стороны соседних к поясу
частей стенки не действуют на пояс в горизонтальном напра­
влении, и поэтому силы давления жидкости уравновешиваются только
упругими силами пояса.
Выделим элемент этого пояса дли­
ною Rd<p, где R — радиус цилиндра и d f — угол. К концам этого
элемента приложены со стороны соседних элементов ташенциальные
силы, уравновешивающие давление p R d y на элемент, т. е. 2 Р
=
= pR dt р. Отсюда получаем F, представляющее искомое усилие.
Подставляя р = 0,4 кг*/см^, R = 1 м , получаем Р = 40 кг*/см.
324. А Р = 17 • 10-3 кг*/см-.
У к а з а н и е . Для решения задачи можно воспользоваться
следующими соображениями. Рассечём мысленно баллон произволь­
ной диаметральной плоскостью. На каждую полусферу будет дей­
ствовать сила ДpnR?. Полусфера будет удерживаться в равновесии
силами натяжения ткани Т, приложенными на окружности большого
круга (в сечении баллона диаметральной плоскостью). Это значит,
2Г
что ApnR2 = T2nR, откуда Др — - д . Подставляя для Т его пре­
дельное значение 850 кг*/м, находим максимальноедопустимое превы­
шение давления газа в баллоне над внешним атмосферным давлением.
325. Процент кислорода понизился бы до д а 17%. В действитель­
ности воздушные потоки в атмосфере непрерывно перемешивают
её, и относительное содержание разных газов в ней остаётся не­
изменным до больших высот.
326. h д а 5,4 км.
327. a = arctg 0,29 = 16°10'. Поверхность воды будет нормальна
к равнодействующей сил, действующих на воду в этом случае.
328. а = 4,9 м/сек 2.
pah (
vfl)
329. Давление на заднюю стенку цистерны р \ =
1 g h -|— ;
На переднюю
рah (
©§ / |
= —g - I g h ----- I , где р — плотность нефти.
ГИДРО ДИН А М И КА
И
А Э РО Д И Н А М И К А
235
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика
330. v = У 2gh = 9,8 м/сек.
331. v = У 2g (ht — О.ЭЛа) йй 9,5 м/сек.
332. Д/7 = 2,6 см водяного столба.
333. Точка пересечения струй лежит ниже второго отверстия
на 25 см.
335. h = % - = 5,1 м.
336. Когда моряк подносил доску к отверстию, то врывающаяся
струя воды действовала на доску с силой pw2S = 2 рghS, где
А — высота столба воды под отверстием и S — площадь отвер­
стия. А когда доска закрывала отверстие, на нее действовала
сила рghS, т. е. в два раза меньшая.
337. 1) Д/7
ро*
0,06 атм (р — плотность воздуха). 2) Из-за
вязкости давление увеличится, ибо часть перепада давления пой­
дёт не на увеличение скорости.
338. Нет. В струе — атмосферное давление, и нет причины, по
которой вода стала бы подниматься по трубке В.
339. /=, = ^ - ~ 4 0 г * .
v=
340. Р е ш е ние : Скорость струи на уровне воды в стакане
У 2g (Н — Л). Так как за секунду уровень воды в стакане
поднимается на величину ДЛ = — ,
то сила давления на дно
от падающей воды будет рS\hv. Всё давление равно F = hgSp -f+ SAhvp, через t секунд после начала
h = b h t= Q - t,
F = p b h S [ (g t+ у Щ (Н — А) ].
Окончательно
Q? (g t + ] / ~ 2g ( H - |
/ )).
341. Нужно приложить силу / 7=aS2pg(A 1 — ftjj) = 0,5 кг* со
стороны высокого отверстия.
236
МЕХАНИКА
[ГЛ. I
342. Показания весов уменьшаются на 12,5 г*.
Р е ш е н и е : Вытекающая из отверстия вода приобретает еж е­
секундно количество движения pxAS = 2 pghS. Следовательно, с такой
силой вода в цилиндре действует на воду в струе. Значит, струя
действует вверх на воду в цилиндре с силой 2 pghS. Поэтому
со стороны сосуда, стоящ его на весах, к покоящ ейся воде в ци­
линдре должна быть приложена сила, меньшая веса воды на эту
величину.
Таким образом, уменьшение давления воды в цилиндре на
его дно будет в два раза больше прежнего давления pghS столбика
покоящейся жидкости на ту же площадку S.
343. Сила давления воды на щит уменьшится на 70 кг*.
У К а з а н и е . Вытекающая под щитом вода будет еж есекундно
получать количество движения pSvv ■= 2 pghS = 70 кг*, т. е. с такой
силой вода перед щитом будет действовать на вытекающую струю.
По третьему закону динамики струя с равной и обратной по на­
правлению силой будет действовать на воду в канале (реакция
струи). Следовательно, сила давления на щит воды, стоящей в канале,
уменьшится на 70 кг*.
344. Полагаем, что струя после удара о лопасть продолжает
движение со скоростью лопасти г*. Тогда ежесекундно масса воды
5 ( у 2gh — v/c)р теряет скорость ( У 2gh — v k). Поэтому на колесо
действует сила F = S (У 2gh — VjtYAр, работа которой за секунду
равна Sp(Y ^2gh — v k)* % . Максимум будет при
У 2gh .
2
4
яп
Следовательно, максимальная мощность будет ^ ( 2 gh) S р^Ъ ,75кгм
и оптимальная угловая скорость
1 V "2k h
вращения ^-----^ 2 ,2 с е к " 1.
345. На 0,047° С.
346. Если бы кинетическая энергия струи, составляющая около
6
джоулей на 1 см3 воды ( ^ 1,5 кал/см 3), полностью пре­
вращалась в тепло, то температура струи в результате удара о лёд
повышалась бы всего на 1,5°; этого явно недостаточно для объяс­
нения эффекта.
347. Параболоид вращения, образованный параболой z =
а>2
2g
вращающейся около оси г.
348. р = р 0-\- -ту— * где
— давление в центре дна, р — плот­
ность воды и R — расстояние от центра дна.
349. p t t 42,3 z*fсм1.
350. Пробка — у оси вверху, свинец — у стенки цилиндра внизу,
тело А — в любом положении (если его сжимаемость равна сжимае­
мости воды).
351. Г » 16 г*.
ГИ Д РО Д И Н А М И КА И АЭРОДИНАМ ИКА
237
352. Разность давлений сообщает каждой частице необходимое
центростремительное ускорение.
353. Жидкость в трубочке поднимается до того уровня, где про­
должение поверхности параболоида вращения, образованного поверх­
ностью вращающейся жидкости, пересечётся со стенками трубочки.
Следовательно, высота жидкости в трубочке не покажет давления
у измерительного отверстия трубочки.
354. Присутствие масла не изменяет формы поверхности воды.
15
355. F = g j hdh д а 112,5 г*/сж3.
о
F55. Потому, что для равномерного вращения сосуда к нему
необходимо приложить момент сил М, больший момента сил тре­
ния М . Работа момента М —
идёт на увеличение энергии
воды, переходящей при переливании от центра к периферии сосуда А,
и энергия падающей воды не может быть больше этой работы. Сле­
довательно, работа водяного колеса недостаточна для поддержания
равномерного вращения сосуда.
357. Сосуд должен иметь ускорение a — 2g — -— , направлен­
ное в сторону внешней нормали к стенке, имеющей отверстие
(см. также задачу 326).
358. Можно. Падение давления на трение на участке трубы
между сосудом и первой манометрической трубкой должно быть
тоже 5 см; следовательно, напор в 3 см сообщает кинетическую
энергию жидкости, текущей в трубке. Эта энергия равна
3000 эрг/см9, откуда скорость жидкости д а 78 см/сек.
359. Р е ш е н и е : Если обозначить через р давление вдали от
пизс >инки, рв — давление над элементом поверхности пластинки,
v
Рис. 260.
г , — давление под элементом поверхности пластинки (рис. 260),
9
2
2
V
Р°в
Pvn
ТО, по уравнению Бернулли р + р
— Рв + ~ 2 = Ра + - j f •
238
[гл. I
МЕХАНИКА
Сила, действующая на элемент поверхности пластинки dS, равна
dFr=2 (ря — р в) dS = ~ (v2B— v l ) dS =
= Р — 2—
— va ) d S ~ P v К
—
что и требовалось доказать.
360.
Р е ш е н и е : Согласно результатам предыдущ ей задачи dF =
= pv (vB — va ) d S для элемента поверхности dS. Пусть элемент
d S = b d x (рис. 260) находится на расстоянии х от переднего края
пластинки. Тогда, учитывая зависимость v B и v B от х, мы должны
написать:
dF = pv [vB (х) — v B (jr)j b dx.
Подъёмная сила, действующая на всю ширину а рассматривае­
мого отрезка пластинки Ь, запишется так:
а
F = pvb
j
\vB (х) — v B (*)] dx.
о
Как было показано Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным, значение
интеграла, стоящего в правой части, для случая пластинки равно r.ava.
Г1or да для подъёмной силы получаем окончательно:
F = npv-baa.
§ 13. А к у сти к а
361.
362.
863.
364.
На расстоянии я а 1660 м.
х я » 11 м.
254 или 258.
v = 3320 м/сек.
£
865. Nk = k
, где с — скорость звука в газе, заполняющем'
трубу, L — длина трубы, Л = 1, 2, 3 , . . . Основной тон, если труба
заполнена воздухом, соответствует
== 100 герц.
2ft 4 -1 с
366. Njc+ 1 = —
-j- ; обозначения те же, что и в предыдущей
задаче. Основной
А = 0, 1, 2, 3 , . . .
тон
соответствует
частоте
N \ = 50
герц.
239
АКУСТИКА
367.
См. рис. 261. Точки 2 и 4 — узлы смещений и скорости,
пучности давления, места наибольших значений потенциальной
(3
I
р
—1-------- !
/
Амплитуdo Т
смешемииL
Смешение при t ~О
Скорость при 1=0
Скорость n p u t= j
Atunлитуdo
скорости
■.Смешение при ? - -
ч
Давление nput-0
Амплитуда
давления
Давление nput
Рис. 261.
энергии (при / = 0, £ = -^ 0 . Точки 1 ,3 и 5 — узлы давлений, пуч­
ности скоростей и смещений, места наибольших значений кинети­
ческой энергии ^при / = — , /Ц= — Т ^.
368. L = 30 см.
У К а з а н и е.
Частота колебаний
v=
1
/~ Т
— , где Т — на­
тяжение струны, р — масса струны на единицу длины и L — длина
струны. Пользуясь этим соотношением, находим первоначальную
длину.
369. Высота тона повышается приблизительно на 18 герц. Высота
гармоник на л • 18, где л — номер гармоники.
370. 10 “3 сек.
371. Если
Ух — at sla 2п { — ----- Щ = at sin {Ы — <pt)
— колебание рассматриваемой частицы, вызываемое первой системой
волн, а
у , = д 2 sin 2я
------ — а2sin (a>t •
■ъ)
— колебание, вызываемое второй системой волн, то суммарное
колебание
У = У\ +Уг = A sin («о/ + ф),
240
МЕХАНИКА
[гл. I
где
Л = \а\ + а | + 2 ^ 3 cos ('-Ра “ ?i)J
II
2
,
. ал sin ер* + a* sin <р2
Ф = arc tg
—----■—
----------- —
.
° а\
Л.
ЛПС
Г
Л^ _I_
cos <fi
+ а2 ГЛС
cos Мср2
372. Скорость звука и связана со сжимаемостью р = -------— ,
среды, v — её объём
соотношением
и р — давление.
Для воды находим (3 ^ 4 ,5 * 10- 5 см2,{кг*.
373.
1,5* 10“ 2 см2/кг*. Отсюда видно, что жидкий гелий вы­
деляется, среди других жидкостей, в частности, своей большой
сжимаемостью.
374. с = vq2/ = 1400 м/сек. Обертоны
= Arv0, где k = 2 ,3 и т. д.
375. Период тонкой струны меньше в 2 раза.
376. Уменьшить в 9 раз.
377. Скорость звука в газе зависит от отношения давления
к плотности. Так как это отношение есть для данного газа вели­
чина постоянная, то скорость звука от давления не зависит.
378. Ускорение 3 = 0,1 (2я)^ 5 2 • 108 р/сек2^ 1000 g, скорость
v = 0,1 • 2п • 5 • 105 р/сек ^ 31,4 см/сек.
379. 1) Зажать на очень коротком участке в середине струны,
2) так ж е зажать на расстоянии 1/3 от конца. Понизить тон звучания
струны такими способами нельзя.
380. Р е ш е н и е : Как вытекает из у равнения адиабаты — = у — .
Р
Р
Если у есть смещение частицы в волне, то относительное сжатие
ду
.;
dp
ду
п
л
. dp
есть — -зг- и, следовательно, — = —
• Следовательно, — =
ох
ду
р
ох
Р
п
= — y ^ • С другой стороны, если
скорость частицы
^
и
с
Aw
с
Отсюда — -- ------ 1
dp
Р
= —-
ду
знаа зна
дх
и
о
чит, — = y — .
381. 1) n = 990/тея^315сек.-1 ; 2) с = 330м/сек; 3) X =
о
1,05 м;
§13]
241
АКУСТИКА
382.
u = V^Aj --- Aj
^ Щ
Л — Т~^“Т~
Aj — Л2 I
Р е ш е н и е : Ищем точки, в которых фаза обеих волн совпадает:
(ь)]/ — &\Х\) —
—
—О
или
(ш^— kiX2) — (to21— к2х2) = 2к,
где
и k 2— волновые числа ш Й ! Отсюда А — х 2— jq «
Точка, в которой фазы совпадают, в момент времени V будет иметь
координату х'у т. е.
(ш|^
^1^1) (ш2^
^2^l) =
откуда скорость перемещения этой точки
U=
Х^
2
0Jj
V —t
383. a = gj — d
384. J =
Xj
(Dt,
Р ^^ 2
k\ —
t?2^l
^2 " ^1
»o—
dv — d , '
— « 5 5 0 эрг/сек = 5* 10-5 ватт.
pс
385. Л = — = — ^
« 2 • 10-9 CjK.
U>
T P 10
(см. указание к задаче 380)
387. Частота колебаний увеличится в
16
Зак. 5182. Сборник задач,
ч.
I.
/0.069
раз.
Г Л А В А II
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 14. Электростатика
388. F « 9 1 8 кГ.
389. ^ « 2 3 - 1 0 - * дины._______
^ 390. q = 2 (/ -|- г) sin а У m g • tg а == 2786 CGSE.
391. Равновесие будет неустойчивым.
Р е ш е н и е : Рассмотрим случай, когда заряд, находящийся
посредине, противоположен по знаку двум другим зарядам. Если
этот заряд немного отклонился от положения равновесия в напра­
влении линии, на которой лежат все заряды, сила притяжения, дей­
ствующая со стороны более близкого заряда, увеличится, а со сто­
роны более далёкого — уменьшится, вследствие чего заряд будет
дальше уходить от положения равновесия. Значит, положение равно­
весия неустойчиво.
Если заряд, находящийся посредине, того же знака, что и два
других, то при отклонении его вдоль линии, соединяющей все
заряды, возникнут силы, которые будут возвращать средний заряд
в положение равновесия. Однако, если средний заряд отклонится
в направлении, перпендикулярном к линии, соединяющей заряды,
то равнодействующая сил отталкивания уже не будет равна нулю
и будет направлена в ту же сторону, куда отклонился заряд. Вслед­
ствие этого заряд будет ещё дальше уходить от положения равно­
весия. Значит, равновесие неустойчиво.
Вывод, полученный нами для простейшего случая, справедлив
всегда. Если в системе свободных электрических зарядов действуют
только кулоновы силы взаимодействия, то равновесие всегда оказы­
вается неустойчивым.
392.
е%=
393.
х =
1)
Рассуждениями, аналогичными тем, которые приведены в за­
даче 391, легко убедиться, что положение равновесия и в этом
случае будет неустойчивым.
Э Л Е К Т РО С Т А Т И К А
2 4 3
394. Так как сумма зарядов во всей системе не равна нулю и
проводник А не охватывает со всех сторон заряда е, то часть сило­
вых линий заряда в уйдёт в бесконечность (или окончится на дру­
гих проводниках), и только часть силовых линий, исходящих из
заряда е , оканчивается на индуцированном заряде. Значит, индуци­
рованный заряд меньше е.
395. Поле перпендикулярно к поверхности слоя и направлено,
как указано на рис. 262, а . Вне слоя Е = ± 2rcpd, внутри слоя
£ = z t 4прх. Ось х перпендикулярна к поверхности слоя, и Jt = Q
в середине слоя. Зависимость напряжённости поля Е от х изображена
на рис. 269, б.
398. е =
= 9 CGSE.
2iw
397. £ = - М _ .
а2
4х2
898. Е = 2 n o ( l ------ ------------- ^ = о2,
V
У ?* + я 2 /
где Q — телесный угол, под которым виден диск из данной точки.
?99- Е = з р У 2 6 — 2 / 5 400. V = 2ired.
401. См. рис. 263. Рисунок представляет собой распределение поля
в плоскости, проходящей через данные заряды. Сплошные линии — си­
ловые линии, пунктирные линии — эквипотенциальные линии. Сило­
вая линия, прохолящая через точку А , отделяет силовые линии
заряда + е от силовых линий заряда -\-4е. В точкахВ и D потенI С*
244
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
[ГЛ. Ц
И М АГНЕТИЗМ
дп а л поля равен потенциалу поля
9е
в точке А, а именно —^ , где
d — расстояние между зарядами.
402.
Щ„ 21_ 1 *
I
X
- = „2_1*
У к а з а н и е . Взяв за начало координат один из зарядов, выразить
потенциал в точке (х, у ) и затем приравнять его нулю.
403.
Рассмотрим картину поля в плоскости, перпендикулярнсй
к проводам. Для произвольной точки плоскости М потенциал поля
сложится из потенциалов поля каждого провода. Потенциал поля
левого провода, если t — расстояние точки от провода, равен:
Vj = J* ^ dr = 2s In ri -j- const.
Потенциал поля правого провода, аналогично, есть
V2 = — Г ^ p d r = —2о In r 2 + const,
Потенциал поля обоих проводов будет:
V = Vx + У2 = 2сг In — + const.
г»
Так как в бесконечности V = 0 и
= гъ то из (1) следует:
(1)
245
Э Л Е К Т РО С Т А Т И К А
Если — — к — величина постоянная, то и V — постоянно. Возьмём
ft
след левого провода на плоскости за начало координат, прямую,
проходящую через следы обоих проводов, за ось дс-ов. Тогда эквипо­
тенциальные поверхности определятся из соотношения (рис. 264);
Г\
.
\
— = к = —- = ..... — : -
га
1
, откуда
V x ' + y 1 Y id — xF +y*
(
I
+
d
\a , 2
****
+ У ~ (A« — 1)* ’
Это — уравнение окружности с центром в точке О, абсцисса кото­
рой равна
d
D
kd
а = — fc-ПГТ * и РаДнУса Я =
'
Так как в данном случае
ОА ■ОВ = ( - а) (— а + d) ==
= & = ОЛР,
то OAf можно рассматривать как длину касательной к окружности,
проходящей через точки А, М, В. Центр её лежит на прямой, про­
ходящей через середину АВ
перпендикулярно к АВ. Таким
образом обе окружности взаим­
но ортогональны в точке М,
поэтому
окружность
АМВ
будет силовой линией, прохо­
дящей через точку М.
404. См. рис. 265. Рисунок
представляет собой распреде­
ление поля в произвольной
плоскости, проходящей через
данные заряды. Сплошные ли­
нии — силовые линии. Пунктир­
Силовая линии
ные линии — эквипотенциаль­
<аЫипотциаяьная линия
ные линии.
Все силовые линии, распо­
Рис. 264.
ложенные внутри сплошной
линии, проходящей через точ­
ку А, в которой напряжённость поля равна нулю, идут от заряда -|- е
к заряду — Ас, а остальные приходят из бесконечности. Потенциал
точки В равен потенциалу точки А.
405. е ' ^ ~ .
Р е ш е н и е : Поверхность металлического шара имеет потенциал,
равный нулю (так как шар заземлён). Такую же поверхность нуле­
246
Э Л ЕКТРИ ЧЕС ТВ О И МАГНЕТИЗМ
[гл.
II
вого потенциала мы получим, если вместо шара (удалив его) помеI
стим заряд e'i=
е
'«
о
,
„
в точке, находящейся
на прямой, соединяющей
D
заряд с центром шара на расстоянии
от центра шара (см. за­
дачу 402).
408.
Плоскость симметрии между двумя точечными зарядами
+ е и — е есть плоскость нулевого потенциала. Поэтому, если
в эту плоскость поместить бесконечную проводящую плоскость,
то картина распределения поля не нарушится. Тогда заряд —е
можно будет удалить, не изменив силы, действующей на за­
ряд +е.
407.
Распределение потенциала во всех плоскостях, перпенди­
кулярных к заряжённой линии, одинаково. Эквипотенциальные по­
верхности— коаксиальные цилиндры, ось которых — заряжённая
линия. Разность потенциалов между цилиндрами радиусов Rt и /?<>
(Rz > Ri) равна 2с In
. Но в бесконечности потенциал н е и м е е т
к о н е ч н о г о з н а ч е н и я , так как работа сил поля по удалению
+ 1 заряда из данной точки (/?|) в бесконечность не имеет конеч­
ного значения. Конечное значение имеет только разность потенциа­
лов между двумя точками поля.
Результат этот обусловлен тем, что мы считаем проводник бес­
конечным, и, значит, нельзя говорить о точках, бесконечно удалён­
ных от проводника, так как «бесконечно удалённая точка» физически
§
14]
247
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
означает точку, удалённую на расстояние, большее по сравнению
с размерами проводника.
При рассмотрении реальных полей таких затруднений не воз­
никает, так как размеры проводников конечны. Всякий заряжённый
проводник на достаточно большом расстоянии от него можно рас­
сматривать как точку. Таким образом, пользуясь схематическим
изображением реальных проводников в виде бесконечных, можно
рассчитывать поле по схеме с бесконечным проводником только
вблизи конечного проводника.
408. V = 4rojr In - т , если точка находится вне цилиндра. Внутри
цилиндра V = 0.
У к а з а н и е . Напряжённость поля в точке, находящейся от
^
4nr<s
оси цилиндра на расстоянии х, большем г, равна----- .
409. Поле направлено по координате х, и напряжённость его
Е — Ъх. Такое поле будет существовать внутри слоя, ограниченного
бесконечными плоскостями х = —D и х = + D и заряжённого рав­
номерно с объёмной плотностью Р— 7^ (см- задачу 395).
410. е = 4 . 105 кулонов, <р= 2 • 106 CGSE.
411. 1) £ =
2е
2) Е = —
1
9ft2 У к а з а н и е . См. задачу 406.
4
в
412. Е = — — — ; поле направлено к плоскости, перпендику5 у 5 d2
i
лярно к ней.
413. 1) нет;
2) нет.
414. f = ти.
415. Вне оболочки не изменится, внутри уменьшится в е раз.
416. Поле, вообще говоря, изменится не только внутри, но и
вне оболочки, особенно заметно вблизи неровных границ диэлек­
трика,
417. Увеличится, так как поверхностная плотность заряда на
металлической пластинке против диэлектрика возрастёт.
,418. Q = ER1= 25 500 CGSE.
419.
На единицу поверхности незаряженного мыльного пузыря
действуют: 1) сила давления, обратно пропорциональная объёму
пузыря, т. е. пропорциональная
и действующая наружу; 2) сила
К
поверхностного натяжения, пропорциональная
Щ
и направленная
218
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
(гл. п
И М АГН ЕТИ ЗМ
внутрь пузыря. При определённом раднусе R эти силы уравнове­
шивают друг друга:
где постоянные д н е зависят от конкретных условий опыта. Сооб­
щив мыльному пузырю заряд, мы добавим к силе, действующей
наружу, ещё силу электростатического отталкивания зарядов. Плот­
ность зарядов обратно пропорциональна квадрату радиуса (площади
поверхности пузыря), следовательно, силы взаимодействия зарядов
пропорциональны
К
. Для равновесия будет необходимо:
Равновесие будет устойчивым, так как увеличение R\ вызовет более
быстрое уменьшение сил, действующих наружу, а потому резуль­
тирующая сила будет уменьшать радиус, т. е. возвращать к равно­
весному значению R. Наоборот, уменьшение радиуса вызовет более
быстрое увеличение тех же сил и равнодействующая сила будет
увеличивать радиус.
420. ю внутри сферы постоянно и равно ArRj, а вне сферы
равно — — (тонкая линия на рис. 265). Е — внутри сферы равно
нулю, а вне сферы
(толстая линия на рис. 266).
в
Рис. 266.
421. Поле будет иметь вид, показанный на рис. 267.
Потенциал
внешнего шара
Ri
а потенциал
внутреннего
внешним шар заземлить, то его потенциал
\Лд
«3/
Р —
р—Ri)
—.
будет нуль, а потенциал внутреннего шара будет (?(Я2
Д 1Д 2
422. См. рис. 268а и б.
ЭЛЕКТРО СТА ТИ КА
249
423.
Часть силовых линий, идущих от заряда + 2е, будет окан­
чиваться на внутренней стороне замкнутой оболочки, значит, потейдиал её будет ниже.
424.
Заряд противоположного знака, равный половине всего
заряда пузыря.
250
Э Л ЕК ТРИ ЧЕС ТВ О
[Г Л .
И МАГНЕТИЗМ
II
425. Е = 2 j / 5 • теи (рис. 269).
426. Эквипотенциальные поверхности поля — плоскости, накло­
нённые к заряжённой плоскости с плотностью заряда а под угломjp,
определяемым соотношением tg <р= 2. Потенциал линейно изменяется
с расстоянием от линии пересечения поверхностей. Для поверхности
„ ,,
2у5тол: ,
_
с плотностью заряда 2а: V = — ------------f- с. Для поверхности с плот­
ностью заряда о;
COSca
427. о = 0,00265 CGSE /см*.
428. R = 1 м.
429.
Внутри цилиндра поле такое же, как и в задаче 425.
Вне цилиндра, если ось его направить по оси Оу, первую заряжён­
ную плоскость совместить
с координатной плоскостью
уО г, а вторую — с коорди­
натной плоскостью хО у
(рис. 270), то компоненты
•iTta
1
I
jS
Рис. 269.
напряжённости поля в произвольной
по оси Oxi
точке А (х, у ,
2по £ l — (*2+ .
по оси Оу: 0,
г)
будут:
«
3Rz
по оси Oz: 2 ^ [ 2 ~ ~ (^ + % ] ‘
430.
Если начало координат взять в центре сферы и ось г на­
править перпендикулярно к плоскости (рис. 271), то напряжённость
поля в точке А (х, у , z) будет иметь проекции на оси координат;
n
4kR?ox
ось Ох:
(л:2 + у г +
'
4тсR*ay
ось Оу:
(х 2
г2)'
2Щ
ось Oz: 2 па 1
\ Х1 + уЧ + 2
§ 14]
251
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
431. рда 1,3-10-ь CGSE/лА
432. 1) по 40 в;
2)
между пластинками / и 2 нуль и 40 в между пластин*
ками 2 и 3.
433. Напряжённость поля в направлении из точки 1 в то^ку ^
у _у
равна Е1г = — --------2- t Где * 12— расстояние между указанными точ•*12
ками. Аналогично, £ 13 = — --------— и Ец = -------------. Векторная
' х 13
хи
сумма Е\ц, Е\з, Еи и определит полностью величину напряжённости
поля в точке 1.
434 . ^ д д а ^ ^ д а 0 , 5 CGSE;
Уз.з = 0;
1^3,1 « 0 , 5 CGSE.
435. V2,i д а 0,25 CGSE; Уз,з = 0;
Узд д а 0,25 CGSE; Е д а 7,5 CGSE.
436. V д а 0,6 CGSE.
437. На расстоянии R об общей оси цилин-
to
дров £ д а ^ CGSE.
г~
__________
?
—--------_
,
438. Л =
439. Нет, так как такое поле не будет потен­
циальным. Действительно, работа при передвижеРис. 272.
нии заряда по прямоугольному замкнутому кон­
туру, две стороны которого параллельны полю, а две перпендику­
лярны к нему (рис. 272), будет отлична от нуля.
440. Потенциал проводника упадёт вследствие влияния поля
наведённых на проводящей плоскости зарядов.
441. Уменьшится.
ed
252
[Г Л .
Э Л ЕК ТРИ ЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
443. См. рис. 273. Е = 6к
1J
S'
444 у _ < ?№ jgi l e , 75Q в.
Д1Д2
Напряжённость поля внутри первой сферы = нулю, между сфе­
2Q
, где Я — расстояние рассматрами
, вне второй сферы
Я2
Я*
риваемой точки от центра сфер.
445. 1) V = 9 ' 103 в, 2) заряд не
удержится, так как напряжённость
поля у поверхности шара будет
Е = 90 кв/мм.
яла
2noR2d — .
446.
447. В точке В напряжённость
поля будет больше, чем в точке А
вследствие большей кривизны поверх­
ности у края диска.
448.
265 CGSE.
449. Увеличится в полтора раза.
450. Увеличится на 200 мкмкф.
Положение листка на результат не
влияет в том случае, когда он остаётся параллельным обкладкам.
451. С = 35 см.
452. С =
C a g C a f “Ь C a g C g f
C g fC af
C g f + Сад
453. С,af- _ Cj — С г rf- c 3
2
' o f '■
c,<*g'
Ci -f- Cj — cs
454. 1) Ёмкость батареи по схеме а больше; 2) С4 =
цилиндрического конденсатора С = —
.
2 In Я2
455. Для
Я> = Щ + ДЯ, то
2nHtl
СС
C j -j-
S
Если
ДЯ\
дя
Тогда С :
2ДЯ
#1
’ ЯГ
где 5 — площадь цилиндра. Для сферического
Я2
4яДЯ ’
конденсатора доказательство аналогичное.
456. /г = const, где / — длина трубки, г — радиус её. Конденса­
торные клеммы применяются для более равномерного распределения
падения потенциала в изоляции.
457. Увеличится примерно вдвое.
4лДЯ
§
23 3
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
1*1
. 458. Увеличится примерно в три раза по сравнению с ёмкостью
конденсатора без коробки.
459. Если Vi— напряжение на конденсаторе Сх и V2 — на кон-
11
денсаторе С2, то Vt Щ ^
VC*
Щ
ЖЙ
и V2= ~
I
C»i -f460. У Ш З в ; Ка = 1,5 в; К3= Зв; 1/4= 1,5в.
i/ 461. Vi = 3,6 в; V2 = 1,8 в; V3 = 3,6 в; V* = 1,8 в.
462. Его электроёмкость должна быть значительно меньше
электроёмкости проводника.
463. V = 1413 в.
464. 1) £t = 6,28 CGSE; 2) £', = 3,14 CGSE; 3) £ = 1 2 ,6 дины.
465. Пользуясь значениями Vi,
V% и С0, определяем электро­
ёмкость относительно земли заря­
жённого тела (рис. 274). Эта
электроёмкость выражается так:
—С ( —
Зная электроёмкость заряжён­
ного проводника и разность по­
тенциалов Vy, можно определить
его заряд. Точность определения
заряда зависит от точности опре­
деления разности V2 — Vj. Чем
больше V2 — Щ тем точнее опре­
деление заряда.
466. V = 17,25 кв.
Рис. 274.
V '467* С = 4к[|*1(ч — «1) + *1Г
S(si -j- Е;)
2) С* =
468. 1) с х =
ш
2itd
ШШ
как (sj + ej)2 всегда больше А г ^
469.
С=
4icnd (ej -sj? ej)
471. Увеличится на
470.
Са > С 1, так
S (si —
And In —
V(e— 1)
And
eV
472. £ =
= 1750 alcM.
(Z3 — d) e -j- d
473. С =
(8+1 )Rr
2 (R — r)
120 cm.
VIA. В точке на расстоянии R от центра шара (5 <; /?
напряжённость £ =
CGSE.
254
£гл.
Э Л ЕК Т РИ Ч Е С Т В О И МАГНЕТИЗМ
1
(е - \ ) Е
. Если вектор поляризации диэлектрической
475. фЕ' =
3
среды Р, то (е— 1)£ = 4яР. Напряжённость поля в центре сфери4лР
ческой полости Е' = —«— . В самом деле (рис. 275):
к 2ic
Р cos 0 ■/?2 sin 0 db dtp
cos 0 = Чт.Р | sin 0 cos20 dO =
P.
Е'
=
//
Рис. 275.
476. У к а з а н и е . Образующуюся при заземлении внутренней
сферы систему можно рассматривать, как параллельно соединённые:
сферический конденсатор и внешняя сфера.
477' £ * 5 й '
478. Не изменится.
479. В точке на расстоянии г от оси цилиндров потенциал
I
У0+ * Р ( ^ - Я 1 2) ,
г
/2
^
V = ------------- 1----------In— - яр (г 2— Ri).
1п &
481. Не действует.
482. А = —g - (d — d0). За счёт энергии электростатического
поля конденсатора.
483. Потребная мощность меняется обратно пропорционально
квадрату расстояния.
ЗА К О Н Ы
П О СТО ЯН Н О ГО ТОКА
255
При раздвижении затрачивается механическая работа и умень­
шается электростатическая энергия конденсатора. Но при этом
заряды утекают от пластинок конденсатора, т. е. движутся против
эдс источника. На продвижение этих зарядов и идёт механическая
работа и освободившаяся энергия конденсатора. Таким образом как
та, так и другая идут на увеличение химической энергии или нагре­
вание батареи (в зависимости от её типа).
ла л
О Л
484.
1) NС = -—
®) ^
—
оля
;
m
..
2) Ес = . ..2 V-—г-; напряженность
поля
а (1 + е)
одинакова в воздухе и в жидкости;
3) в И
в
М Ш
Ж
а 1 2 ^ 1Г + ё)' 1 В ЖВД¥ °СТИ I = f t f t j f |
е— 1
За счет энергии ДW совершена работа по подъёму жидкости
между пластинами конденсатора. Уровень жидкости между пласти­
нами будет выше, чем в сосуде.
(1 _ е)СУ2
485. Изменение энергии конденсатора: 1)
= i
^ ----- рй
^ —3\8 эргов; 2) ДW%= &
+1590 эргов.
Работа по удалению пластин: А\ = +318 эргов) Л2 = +1590 эргов.
Р е ш е н и е : В обоих случаях не только изменяется энергия
конденсатора, но и затрачивается работа на удаление пластинки.
Эта работа во втором случае больше, так как по мере выдвигания
пластинки напряжённость поля в конденсаторе увеличивается, в то
время как в первом случае она остаётся неизменной. В первом слу­
чае при вытаскивании пластинки из конденсатора не только со­
вершается механическая работа, но и уменьшается энергия конден­
сатора. Зато увеличивается энергия источника эдс (см. задачу 483).
Работа, совершённая против эдс источника А = AQ ■V, где ДQ — из­
менение заряда конденсатора после удаления пластинки. Так как
д Q = (е — 1)CV, то А = (е— 1) СI/2 и работа по удалению пластинки
/ е ___J
At = А + ДWi = ------ ^ ------= —j—318 эргов. Во втором случае при
удалении пластинки совершается механическая работа, равная уве­
личению энергии конденсатора А%= ^W г = +1590 эргов.
486. М а з 500 дин • см.
487. в « 6,5 • 10-8 CGSE.
§ 15. Законы постоянного тока
488. R = 0,17 ом.
489. Wzn235 вт.
490. Т = 2200° С.
491. /? я з 14,4.0.*, « = 4,5.10-3.
492. d Яй 5,6 мм.
266
ЭЛ ЕКТРИ ЧЕС ТВ О
dT
V2
493. ~ = 0,24------—
ot
72
494. Vi = |y в;
495. /? =
„
И МАГНЕТИЗМ
= 0,0073
36
т/
[Г Л . II
град
сек
24
Уз~ й в-
i= T i‘
г.
496. См. рис. 276. I =
497. См. рис. 277.
498. £ = ^ 2 У 8 ~~ Ш
£
•
: 34,3 в;
/?3
tg а = -р
А — /*
il.43 ом.
Рис. 276.
499. # 3 в = 100 ом; /?15* = 5000 олг, Яицв = 50 ООО ом.
dR
(Яв_ + р + Я)г
500. — ==------- ^ — ---- -----т. е. точность калибровки тем
df
И
выше, чем больше R.
501.
Существующее
Рис. 277..
при равновесии
моста соотношение
х
— = -D- сохраняется, а потому менять местами гальванометр и
Г
« j
источник тока можно, но чувствительность схемы моста зависит
от соотношений между сопротивлением плеч и внутренним сопро­
тивлением гальванометра и источника. Поэтому чувствительность
моста может измениться.
502. -ji- = 4 (если нити сделаны из одного материала и темпе‘а
ратуры нитей в рабочих условиях одинаковы).
§
257
ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
15]
503. х
''з {Угг — 1 (Т?/~2 -f- R ri + / у 4)]
г4 + ^ 1 # г* + Я/4-{-/2Г4 + ГзГ5 -}-Гз Г4)
504. /? = -= г.
о
505. Относительная погрешность -3 ^- =
- A R t минимальна
А*
«1<<1
при /?1 = Я2.
506.
См. рис. 278. Из графика видно, что без существенного
понижения точности измерения нельзя измерять сопротивления.
значительно отличающегося от сопротивления
507. / =
постоянного плеча.
M S E i ± H ------ • c tg а = Й . См. рис. 279.
RlRi + (Rl + R J r
Щ
503. R = 16,7 ом.
500. V — 1000 в.
510. 1) У д а 2,93 в; 2) V = 2 ,4 в.
511. Сопротивление между точками 1300 ом, сопротивление
остального участка цепи ~ 325 ом, сопротивление второго прибора
13260 ом.
512. ix ~ 1,05 а (по направлению эдс); i%д а 0,87 а (против на­
правления эдс); У д а 1,8 в.
17
Зак. 5182. Сборник задай, ч. I,
25&
Э Л Е К Т РИ Ч Е С Т В О
(г л . п
И МАГНЕТИЗМ
513. Чувствительность прибора будет /0 (г< + R) в.
514. Для вольтметра необходимо дополнительное сопротивление
в 1 • 106 ом. Для амперметра необходимо включить шунт сопроти­
влением в ~ 0,1 ом.
£ (/? i + / ? 2)
.
____£/?2
515.1)
А/?! +i г/?2 +1 Зв Дв ' :’ 2) А1 = гRy + rtf2 + RxRt »
если г <&R, то -7- = л + 1, где л =
*1
Д2
516. Собрать схему, показанную на рис. 280, и взять сопроти­
вления, не превышающие: /?2?к14олг и / ? i « 7 0 ом.
517. I = 0,75 а. Вольтметр покажет нуль.
518. 0,75 в, считая что сопротивление вольтметра достаточно
велико.
■--------Г-------519. Нуль.
/?,>
F'
Е
А
^?2 (г -t- Pi)
I
1;
520- Щдаг
521. Либо при г<С чем R и Rx, либо при
^ ^ (внутреннее сопротивление источника
играет, очевидно, ту же роль, что и г).
----------- 1------- *—
522. 1) I = 10 ма; 2) £ 2 (R + R t) = E^R.
Рис. 280.
= 3 в; /3 = 1 я.
524. /?2 = 3 ом; Rt и
— любые.
,,
£*г/.
525. V = . . т . д ■
:---- д- s , где х — расстояние ползунка от
—I
3
0 Л
> 'l
L ( r L
—
ж\Х)
—
г \Х й
конца реохорда, к которому приключен вольтметр.
526. Е =
'a + ' l
г = - ^ г . ( е с л и ^ > £ 2, £ = £ t — Г*
rSl~rl
< E l ■)
\
Г2"ТГ1
/
Отсюда ясно, что включать параллельно элементы с разными эдс
нецелесообразно.
КП1 с
+ #1#3 + Я2/?з , . т Я2 + Р 3 ». ,
Ra ,
527‘ Е ---------------- ^ ------------ 1 ’ 1
Щ
/ а ~ ж 3'
528. £ =
[/?! (Р 2/?з - f Р зР б + #4*5 + #2#4 + /?з/?4) +
+ /?з (R%R± + РзРб "Ь XiR-o)].
529. /j = 1,64 а; / . = 2,54 а; /2 = 2,36 а; Уг, = 0,18 а; / ' = 1,82 а.
530. £ = 7,75 в.
§ 15]
533. С =
ЗА К О Н Ы
ПОСТОЯННОГО
259
ТОКА
r+ R
яа2,5 миф.
п 1(Л + г)(р — г) + г/?]
534.
Обозначая через / длину первого участка от источника эдс до
места заземления, L — длину всей линии, р — сопротивление единицы
длины линии, г — сопротивление заземления, i — ток через первый
участок линии, / — ток через приёмный прибор, ir — ток заземления,
Е — эдс в начале линии, по правилам Кирхгофа составляем уравнения:
Ег
i = ir + I;E = ilp + irr\ irr = (£. — /) p/. Отсюда / = rLp"+f»{L — l) ’
Чтобы / было минимально, вужно, чтобы / (L — /) было максимально,
а это будет, когда / = L — I, т. е. / =
.
535. г =
536. R
537. Представим себе электростатическое поле между проводник
ками А и В, находящимися под определённой разностью потен­
циалов V, причём пространство между ними ничем не заполнено.
Сравним это поле с полем электрических сил, когда пространство
между этими проводниками заполнено однородной проводящей сре­
дой (удельное сопротивление р) и к ним приложена та же разность
потенциалов. Так как среда однородна и поверхности проводников
являются эквипотенциальными поверхностями, то напряжённость
поля Е в обоих случаях одинакова.
В случае электростатического поля
где о — поверхностная плотность заряда на элементе поверхности dS,
и интеграл берётся по поверхности одного из проводников. Так
как Е = 4кз, то
(I)
В случае постоянного тока
J
где / — плотность тока, и интеграл берётся по поверхности того же
проводника. Для элементов пространства закон Ома даёт Е = jp.
Следовательно,
(2 )
17*
(ГЛ . И
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
260
Из (1) и (2) получаем (так как Е и V в обоих случаях одинаковы):
D __
-
Р
4 яС ‘
538. R = -r r -.
2я г
У к а з а н и е . Для решения нужно применить результат преды­
дущей задачи.
539. См. рис. 281. L — лампа, А — один конец коридора, В — дру­
гой конец коридора.
' со I -
ч
И
в
Рис. 281.
540. V iд а 95 в; V2 д а 1 0 0 в; Wx д а 45 вт; Щ д а 0 , 1 вт.
При увеличении внешнего сопротивления вдвое в случае 1)ток
и мощность упадут почти вдвое; в случае 2 ) сила тока почти не
изменится, а мощность возрастёт вдвое.
г
ом
Рис. 282.
541.
= 1 1 0 в; К>да67в; Щ = 605 вот; Щ ф 2 2 вт.
При уменьшении внешнего сопротивления в 2 раза V* не изменится,
V2 упадёт до 50 в, W \ возрастет в 4 раза, W2 увеличится до 250 вт.
542. См. рис. 282.
261
ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ
544. Понизить напряжение на
545. d = 3,3 см.
°/0.
■ ■ В
= 8,5 мм1?
Е?п
547.
~ в 10 раз, если потери в линии малы по сравнению с пе­
редаваемой мощностью.
гЛЛ/ЛЛЛЛЛЛМЛг
100 Biri
22 05
506т
50 вт
Рис. 284.
Рис. 283.
548. По системе Доливо-Добровольскогол :3 m, по обычной
дву хпроводной системе я з 5 т.
549. См. рис. 28 1.
550. ~ 0 ,9 я ; ~0,45 а.
551. Уменьшится на 1,4 вт и 2,1 вт.
552. См. рис. 284. R = -Q Я
У '2
пр
553. Г — Г„ = — (1— е
-
so
]Ш'
—и ^ и р и
554. W = W ae mcV
в « I + k S ( T — T0),
где к — коэффициент в законе Ньютона.
555. Т = 1« + В Д о
R jt +
'
£ ( е — 1) av
'7 - 10-8 а .
556. / =
4 T .d
+ R ( t — \)av
§ 16. Постоянные м агниты
557. В отверстии будет слабое магнитное поле. Примерный ход
силовых линий указан на рис. 285.
558. Силовые линии будут итти в канале, примерно, как указано
на рис. 286.
559. Нй = 0,8 эрстед.
262
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И
[гл. а
М А ГН ЕТИ ЗМ
560.
Стрелки располагаются параллельно противоположным сто­
ронам (рис. 287, а) — положение устойчивого равновесия. Стрелки
Рис. 286.
располагаются перпендикулярно к противоположным
(рис. 287, б) — положение неустойчивого равновесия.
S'
Рис. 287.
561. V =
; Н 1 1 | | | ^ 1 + 3 cos2 <р;
1
562. £ пот = — М Н cos 0.
arctg
сторонам
П О СТО ЯН Н Ы Е
МАГНИТЫ
263
565. Так как момент возвращающей силы вследствие увеличе­
ния плеча этой силы возрастёт, то период колебаний уменьшится.
566. Н §§ 459 эрстед.
В
568.
Стержень образует с плоскостью магнитного меридиана
угол а, определяемый соотношением Со = М Н sin а. С вертикалью
стержень образует угол р, определяемый соотношением
p R + НВМ
tg ^ ~
МН,
'
С — коэффициент кручения нити, М — магнитный момент стержня,
р — вес стержня, R — радиус его поперечного сечения, Н и Н , —
горизонтальная и вертикальная слагающие земного поля.
Рис. 288.
569. Поле Н создаётся поверхностными магнитными зарядами,
плотностью z — 1 (рис. 288,в). Поле В представлено на рис. 288,б.
Внешние поля В и Н совпадают. Внутреннее поле В = — Н-\- 4я/
и направлено по I.
570. М =
571. Н яй 6260 эрстед, о « 5 0 0 .
У к а з а н и е . Сила F — 2tw2S, а поле в зазоре Н = 4то,
572. Возможны два положения равновесия:
1)
t
t
f t
— неустойчивое
2)
—► —► —► —| — устойчивое.
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
573. и
И
|Г Л . II
М АГН ЕТИ ЗМ
*лГ Щ 1.
T d f d
TV
ige
§ 17. Электромагнетизм
575. Увеличится в 4 раза.
576. К наблюдателю, перпендикулярно к плоскости контура.
2/
577. Внутри трубы Н = 0, вне трубы Н — — , где г—расстояние
от оси.
578. Внутри проводника Н = -=5 , вне / / = — .
Д
/*
2!
_
579. Н = — . Так как при /■<./? проводник можно считать
прямолинейным и бесконечным.
580. Н — 0.
О/
_____
581. Н = - г Y а* + Л
582. Н = — .
а
583- # = 0 .
584. Я = 0 .
4я/
«г—
585. Н = —f r ( У cs
К
1), направлена за плоскость чертежа и
образует с плоскостью первого витка угол о = arctg (2 — V~3) = 15°
(отсчёт углов производится по часовой стрелке, если смотреть
сверху).
Of
586. Н
=з
__________
А------------ -----
---
-г-=г • У ft2 + D1* • V 2 + 1 ^ 2 - У1Г
и образует с пло-
пи
скостью витка АВ угол 22°30' (отсчёт углов производится против
часовой стрелки).
587. Внутри сферы поле соответствует полю прямого бесконечно
длинного проводника с током силой I, а вне сферы поле рав о
нулю.
588.
589. Н = 0.
I # ! К
а г с « ^ + Е
2kIN In —
59L
592. Н = - -- -- (cos “ — cos а).
) .
§
17]
265
Э Л ЕК ТРО М А ГН ЕТИ ЗМ
593. Н = 12.56; 12,56; 12,56; 12,44; 6,28; очень мала. См. рис. 289.
594. См. рис. 2 9 0 . a « / ? ( l ------- с = ^ - ^ .
\
25
R
R
»Ъ
Рис. 289.
595. Перпендикулярно к оси тока, ЖШз 1,0* 10~7 дин.
596. в = 13°30'.
597. Сопротивление в цепи конденсатор — тангенс-буссоль, пока
оно не велико, на отклонение стрелки не влияет, так как количество
-— а
Рис. 290.
электричества, которое протекает ежесекундно, от этого не меняется.
Однако, если сопротивление будет велико, то конденсатор может
не успевать разряжаться, и отклонения будут меньше.
598. Щ
Я И --------- К = 3,7 ом.
tg “i — tg aj
599. f e f t £ ! ± S E i S .
ctg 0 + ctg 0'
600. /ш с = 2 а, так как I = 2 sin 9 ампер.
TDr
бок 1 ) / ' = ^
(ctg 0 - ctg во;
602. I = , j ~ H R R '____ .
2* (/? ctg 0 — R')
2) И =
(ctg 0 + ctg 00-
266
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
603.
604.
€05.
606.
i=
[Г Л . П
.
Точность около 1%.
М = 4/05 / и направлен по диагонали АС.
1) Проводник притягивается к магниту с силой F =
__
IpSfR
(d2+ /?2)*/»’
2) проводник растягивается по радиусам с силой ) =
InS/d
==------------ л- на каждую единицу длины тока.
(d2 + Я2) / ’
607. Будет двигаться против часовой стрелки, если глядеть
сверху.
608. 1) М = тЦ 2 — У 2); 2) ж = 2 ( У Т — 1);
3) скорость вращения устанавливается тогда, когда момент
сил трения станет равным М.
сп о
..
—
I „
BFA
=
);
~2 R '
610. 1) а « 12°15'; i = 23,4 • 10-’ а.
611. Положение равновесия — плоскость рамки перпендику­
лярна к направлению внешнего поля. Когда направление магнитного
поля, создаваемого током, совпадает с направлением внешнего
поля — равновесие устойчиво, когда эти направления противопо­
ложны — неустойчиво.
612. 1) По часовой стрелке, смотря по полю.
613. Ф =
Sn
а2п 1 Н '
ж
— 32ООО максвеллов.
614. Ф = —Ул"
—3- ~ 2 4 300 максвеллов.
nD + (fj. — 1)d
И
(X=
(Ф1 ~ У + 1 = 315.
616. При параллельном соединении катушек (соединить концы
1—3 и 2—4) подъёмная сила в 4 раза больше.
617. F m 5 кг*.
618. / « 6 , 5 а.
619- ' = 1 / -4ш з 620. Укорочение длинной катушки приведёт к уменьшению
груза Р, так как напряжённость магнитного поля длинной катушки
при сокращении её длины будет уменьшаться.
621. Силу переменного тока можно измерять при условии, чтобы
период тока был много меньше периода колебаний весов. Прибор
будет показывать эффективную силу тока.
Э Л Е К Т РО М А ГН Е ТИ ЗМ
267
622. Прибор будет показывать мощность, так как момент сил при
равновесии пропорционален произведению сил токов, идущих через
катушки. Длинную катушку с большим числом витков надо вклю­
чать параллельно нагрузке, а короткую катушку с малым числом
витков — последовательно с нагрузкой.
623.
Р е ш е н и е : Сила, действующая на элемент dl тока силой /,
находящийся в магнитном поле, равна ld l • Н, где Н есть «действую-
Рис. 291.
щее магнитное поле» Под действующим полем разумеют в данном
случае напряжённость магнитного поля, создаваемую в данной точке
всеми элементами обтекаемого током соленоида, кроме самого рас­
сматриваемого элемента. Действующее поле может быть найдено
из следующих соображений. Вне длинного соленоида, в точке вблизи
его поверхности, поле элемента тока Н ' и поле всех остальных
элементов соленоида И дают, как известно, в сумме нуль Н ' -j- Н = 0.
Внутри соленоида, в точке вблизи поверхности соленоида, поле Н
268
Э ЛЕКТРИ ЧЕСТВО
И
М А ГН ЕТИ ЗМ
[Г Л . П
имеет такое же направление, как и вне поверхности, а поле Н'
меняет направление на обратное. Сумма же этих полей даёт внутри
соленоида, как известно, Н ' + И = 4яIn. Из написанных двух урав­
нений находим Н = 2тс/тг, откуда сила, действующая на элемент тока,
равна 2nftndl, а искомое давление Р = 2я/2л*.
624. В проводниках, обтекаемых током, объёмный электрический
заряд равен нулю, так как число электронов и число положительных
ионов одинаково. Электрические заряды могут быть только на по­
верхности проводников, но при не очень больших разностях потен*
циалов они невелики, и силы взаимодействия между ними ничтожны.
Поэтому преобладают магнитные силы, т. е. прй одинаковом напра­
влении токов — притяжение. В катодных же пучках объёмный элек­
трический заряд не равен нулю (так как присутствуют только
электроны), и силы взаимодействия — это силы отталкивания между
одноимёнными зарядами; маг­
нитные же поля катодных пуч­
ков слабы.
625. См. рис. 291. Электри­
ческие силовые линии — пунк­
тире ые линии. Магнитные си­
ловые линии—сплошные линии.
По левому проводу ток идёт
от наблюдателя к чертежу. По
правому проводу — от чертежа
к наблюдателю.
Для построения графика
учесть ответы к задаче 411.
626. Электрическое поле
Рис. 292.
отсутствует, так как между
проводами в соответствующих
точках нет разности потенциалов. Магнитное поле изображено
на рис. 292. В точке А магнитное поле равно нулю.
627. Положение равновесия будет на расстоянии d = —
„
да
д а 50 см, но оно неустойчиво, и провод либо упадёт, либо притя­
нется к шине.
628. Первый случай: токи I n i направлены в одну сторону.
Сила взаимного притяжения между шиной и проводом при рас-
I
0.02И ,
стоянии х см равна г — -------- I дин. Равнодействующая силы тя­
жести и сил упругости пружин направлена вниз и равна / = 2ft X
Х (Л — х) дин. В положении равновесия F = f . Поэтому x t = -5" +
+ у
/" Л 2 0,01///
Л
-/" А 2 Щ Й
------ £— (устойчивое равновесие), х 2 =
— у
----- —г—
„
Л2
lit
. ^.0,04lit
(Неустойчивое равновесие). Если — < 0,01
или
— » про­
вод притянется к шине.
электром агни тная
индукция
269
Второй случай: токи 1 и i направлены в противоположные сто­
роны. Провод отталкивается и будет в устойчивом равновесии на
h . " Г А2
0,01Mil
А2 . 0,0
расстоянии z — -7£ - \ - y — -|-----^
629. Установится разность уровней жидкости в вертикальных
трубках; в правой трубке (глядя от северного полюса) жидкость
будет стоять выше.
630. i — -
и
I Чувствительность пропорциональна В и обратно
пропорциональна d и р.
631. Опустится на А =
ffix
» если %< 0, и поднимется на А,
если * > f l l
§ 18. Электромагнитная индукция
632. При движении мостика возникает эдс Еи и ток / и , и в еди­
ницу времени эдс совершает работу Еа1и. Эта работа совершается
за счёт внешней силы F и, следовательно, £ и/и = Fv, где v — ско-.
рость движения мостика. С другой стороны, сила, действующая на
мостик вследствие наличия тока I в магнитном поле, индукция кото­
рого В, равна Fi — Bit, где / — длина мостика. Если /== /и, то, по
принципу Ленца, Fj = — F. Поэтому Ей = — Blv. Так как изменение
потока индукции Ф, пронизывающего контур, при перемещении
dx мостика есть dif} = B ldx, то B lv =
йФ
. Окончательно
полу­
чаем
_
<га>
Е и = ---- d f
А это и есть закон индукции.
633. Во всех случаях 1 милливольт.
€34. Будет, так как: 1) контур, сквозь который меняется поток
индукции, лежит частью в вертикальной плоскости (колёса и скат);
2 ) непрямолинейный путь должен быть одновременно и наклонным
к горизонту.
635. Е = 21аЬ —
— , где х — расстояние между рамкой и
проводвнком. Если провод вертикален
вверх, то в рамке возникает ток, идущий
636. Нет, так как поле вокруг рамки
637- Е = Huab [ш sin u>t cos (u>'i— 9 )
1) E = fJ0abu> sin 2ot при
= 0;
и ток в нём идёт снизу,
по часовой стрелке.
неоднородно.
о/ cos шt sin (<o't — cp)];
2 ) E = Hy/ibio cos 2uit при <f = — j •
f
Ы
е~№
633. E — llubu> sin ш0( / — --------
1\
270
[Г Л .. П
Э Л ЕК Т РИ Ч Е С Т В О И МАГНЕТИЗМ
639.
13-1 0 - б.
4
640. 1) /« 1 ,2 а;
2) Ток возрос бы до 240 а, и обмотка якоря перегорела бы.
641. / = 0,314 а.
642. Сила тока останется прежней, 0.314 а.
643. R — 4nnNS<o.
644. 1) N « 0 ,0 1 о б/сек;
2) нужно увеличить в рж/рм раз, т. е. в 5,6 раза.
645. Если ось стержня принять за ось z, то электрические силосые линии лежаг в плоскостях, перпендикулярных к оси г, и пред­
ставляют собой концентрические окруж­
ности с центром на оси г (рис. 293).
Величина вектора напряжённости поля Е
обратно пропорциональна расстоянию от
оси г.
646. 1) Постоянный ток силой
йФ
,
dt
I = — „— , где Ф — поток индукции в
К
стержне; 2) если поток в стержне напра­
влен сверху вниз, то ток в витке идёт
против часовой стрелки, если глядеть
сверху.
647. Будет описывать вокруг стержня
раскручивающуюся спираль со всё воз­
растающей скоростью.
648. 1) 1 = 0,25 генри; 2) N = 250.
649. Нужно измерить силу тока / и
напряжённость Щ магнитного поля вну­
три катушки, определить площадь попе­
речного сечения 5 и число витков N.
Тогда NHS = LI.
650. 0,24 • 10-в генри.
У к а з а н и е. Напряжённость маг­
нитного поля внутри трубки на рас­
стоянии г от оси равна Н = — (крае­
выми эффектами пренебрегаем). Вне трубки магнитного поля нет.
П
Поэтому поток через радиальную перегородку Ф = 211 \ — ■ где
/ — длина трубки, го — радиус провода, гх внутренний радиус
трубки. На единицу длины будем иметь L = 2 In Г\
d
Гч ’
Э Л ЕК Т РО М А ГН И Т Н А Я
271
ИНДУКЦИЯ
652. М = Y L % « 0,6 генри.
653. 1) L = 0; 2) L = 0,2 генри; 3) L = 0,05 генри.
№4. £ = ™ ™ \
655. 1) — 81^2 эргов; 2) увеличится на 81п2 эргов.
656. Так как провода отталкиваются друг от друга, то, по прин­
ципу Ленца, при удалении проводов в них должны возникать эдс
индукции, направленные навстречу текущим токам. Следовательно,
чтобы поддержать неизменными токи в проводниках, в них на
время движения должны быть включены добавочные эдс, направлен­
ные в ту же сторону, куда текут токи. Работа этих эдс и идёт на
совершение механической работы и увеличение магнитной энергии
системы.
Е
657. I= = -j-t, где t — время, прошедшее с момента включения.
Но когда сила тока заметно возрастёт, даже малое омическое со­
противление цепи будет играть уже принципиальную роль. Вслед­
ствие наличия сопротивления нарастание тока замедлится, а потом
и вовсе прекратится.
Р
658. а = -р------------- ,
— 4- О Т / 1
g
PL 1
|
653. x -------- (1 — cos a>0, где ®
H*P
HI
ymL
660. Скорость будет расти, пока сила взаимодействия между
индуцированным током и магнитным полем не достигнет величины,
If
Рд
равной весу проводника. Это наступит при значении ипред = ~fpjz •
661. Логарифмический декремент увеличится в
УI
I
НЧ3 . а
■
Ami
*+Т7?
662. Логарифмический декремент и период увеличатся в
f—1
\4 m l )
Д ------- раз,
ъГл+
т
1
f
A
T
^Ami I
V
1 + 4mL
1
2
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
2 7 2
[гл . н
66’ . Логарифмический декремент уменьшится в
/
I \ ^
4т )
I k
е
1
\ 4 m l)
у
1
\,4 m l )
а период увеличится в
V2
раз.
654. 1) Логарифмический декремент увеличится в
У 4!С - &
раз.
Здесь k — коэффициент момента сил трения, S — площадь кольца,
I — момент инерции кольца, С — коэффициент кручения нити.
2) Затухание будет таким же, как в отсутствии магнитного поля.
655. Период уменьшится на ДТ, причём —
I
сч тать ДТ малым по сравнению с Т.
у- - ,
оЖ-Ы,
если
665. Декремент затухания кольца уменьшится в
раз.
S № l n ( l - |l )
667. V
О = —R -- --------(а -----+ Ь)Р 1
65?. Не изменится, так как ток в рамке до и после поворота
равен нулю. В самом деле, по закону Кирхгофа, — ~ = /?/-(4 £
dl
t
. Отсюда ДФ = R J I d t + L (/к — / н), но /„ = / , = 0. Следо-
г
о
ва гельно, ДФ =
6S9. Будет. В самом деле, для этого случая имеем
27*
г/,
p 4 § iii
о
о
Интеграл в правой части зависит от скорости вращения.
§
ЭЛЕКТРО М А ГН И ТНА Я
181
ИНДУКЦИЯ
273
670. ДФ = 2000 максвелл.
671. Время, за которое пластинку вытаскивают, должно быть
очень мало по сравнению с периодом гальванометра.
I
672. Постоянная времени цепи х =
ше периода гальванометра.
Д
должна быть много мень-
ШШШшШшм
жделении.
673. г = ----------к
------------- = 10
R -q
674. / = —v — , где/? — радиус кольца, В — индукция магнитвого поля, L — коэффициент самоиндукции кольца.
675. 1) Нуль; 2) И = 2ж^ - ~ ; 3) см. рис. 294.
€76. Н = 0; / = 0.
Ш
|
тс2R*B*
Щ
т Ш
678. М = CR\
Р е ш е н и е : Применяя правило Кирхгофа к контуру, содержа*
щему гальванометр О, можем написать
M k — R *A = GI,
где !\ — ток, бывший до размыкания в цепи источника эдс Е,
/ 2— разрядный ток, проходящий через /?2, / — ток через гальвано­
метр. Отсюда
J M l\ d t — R 2f l 2 d t = * f Qldt.
Но J" ixdt = /jj J* /?2/2 dt = R2Q = RiRJ^C', J* G ldt = 0. Поэтому
M h — R.l R J 1C = 0 и, следовательно, М = R ^ f i .
«79. ^ ( c +
18
t(R L . ) e A
Зак. 5182. Сборник задач, ч. I.
274
Э Л ЕК Т РИ Ч Е С Т В О
680- Q = ° '24
(гл. н
И М АГНЕТИЗМ
;°фф ~ 24 *г" ал-
« W /L d V 2
681. С? = 0,24 — 2Qt8.2 я 'а— ^
2 2 2 г2
154 кгкал-
3 l3 2/
7u /I |х rfifa о (о /
ш - 0 “ 0'24
10«р ( £ + »*)
~ 8'5 - 10' 5 “
VP,
4а262 (аЧ2 - f a2d2 + 62d2 _ a £,rf2)
’ lFj ~
d 2(a2 + d2)(62 + d2)
683
„
Если d
an d
684. 1 ) / =
—
b,
IF,
4a2£3
^ —.
to
NSHio
“
sin(o>/ + <p),
где
ig<f =
Сю
L"
p
NSHvi cos (o>t + ?)
V--
/ ( 1— LCufi)* +
2) Z.CV* = 1;
RW C*
3) Q = 0,24
\ n сг Ш/лЗ
^
«
= 12 • 10-*° кгкал.
У к а з а н и е : Уравнения Кирхгофа для цепи катушки имеют
вид:
L ^ + R ~ + ~ = N S H ^ cos u>t,
dt1
dt
G
W2I/
rfl/
dt 2
Стационарные значения / и V находятся как частные решения
этих уравнений.
^
L C ^ ~ + R C ^ r + V = HSNto sin <ot.
685. 1) V =
NSHio
у - е
ва
;
№S*H*io
2) С? = 0,24 8 ^ " о5 - = 12• 10-ю кгкал.
686. 1) Afe = 2 У /М Я • со;
3) ш = 2
2) № = 2 У~ШН а»2;
о>; 4) стрелка будет колебаться вокруг нового поло­
жения равновесия, определяемого соотношением sin а = > У ш -
§ 18]
ЭЛЕКТРО М А ГН И ТНА Я
И Н ДУ К Ц И Я
275
687. См. рис. ^95.
638. Так как при замыкании первичной цепи ток нарастает
гораздо медленнее, чем спадает при размыкании цепи (см. за­
дачу 696).
2/
Щ -в о
683. W == -к - е
. (См. рис. 296^
Д
690. /д а 7*10-* сек.
__ *
я /
691. W =
— e в с \ е ва. Си. рис. 297.
СО
1
А
ГР2
/ f-R it = Y llR C =
1
2> TJ = -i-.
о
693.
Полученный при решении предыдущей задачи результат,
что ток мгновенно возрастает от нуля до /0, объясняется прене­
брежением самоиндукцией цепи. В каждой реальной цепи есть хотя
бы малая самоиндукция, вследствие чего возрастание тока до E/R
не будет мгновенным. Если самоиндукция достаточно мала, то
18*
276
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Г Л .
И
нарастание тока булет протекать так быстро, что во многих слу­
чаях его можно рассматривать как мгновенный скачок.
694. Уравнение цепи (по Кирхгофу) будет Е — L -гг- = /? /-{ - V
где
Q —заряд
на
конденсаторе.
При R 2 = 4 £ - характеристическое
уравнение имеет кратный корень,
а потому решение надо искать в
Рис. 296.
©
(. . " а П о э т о " , : , ) / = - 1
3) /маке
2Е
форме Q = EC + (a + bt)e 2L ,
где а и Ь — произвольные по­
стоянные, определяющиеся из на­
чальных
условий: Qt=o — О и
D
te
(см. рис. 298); 2) Т
^
R
(3Десь и в следующей формуле е — основание нату-
е—2
ральных логарифмов); 4) V = Е -------- ; 5) г, =
6
1
.
695.
Примем за начало отсчёта времени момент, когда лампа
погасла. Напряжение на конденсаторе в этот начальный момент
у (0) = V . До зажигания лампы процесс в цепи определяется
уравнением
E = v+ R C q l ,
о»
где V — напряжение на конденсаторе в момент времени t. Реше­
ние уравнения (1) будет
V(t) = E + (Va - E ) e ~ W
(2)
§
Э Л Е К Т РО М А ГН И Т Н А Я
18]
277
ИНДУКЦИЯ
В момент временЛ t = t\ неоновая лампа зажигается (рис. 299).
Следовательно, V*(4) == V3. Тогда из уравнения (2) получаем
Е— Ш
t± = R C In
(3)
После зажигания лампы ток через лампу, вследствие линейности сё
характеристики, можно обозначить так: /|. = — 5—- , где Vq— на-
Рис. 298.
пряжение, при котором продолжение характеристики пересекает
ось I/
V, a г>
—п ------------«эквивалентное сопротивление» лампы.
Тогда полный ток в цепи будет
/ _ /
|
rd v -
Ш Ш Ш Ш —
v - v0 i
r dV
(4)
ж ~ + с ~аг
Когда лампа горит и через неё идёт ток, уравнение цепи будет
£ = /? /-j- V. Подставляя сюда значение / из (4), получаем:
l * l |f + |) f t
Общим решением этого уравнения будет
*—
(5)
at
t(R + Ri)
= (1 + й )» ^ т +
НН
(6)
Теперь за начало счёта времени принимаем момент зажигания
лампы, тогда V (0) = У3. Определяем из этого условия постоянную/!
и подставляем в ( 6 ). Наконец, подставляем в полученное решение
V (/2) = Vn и находим вторую часть периода:
RRt
2
Весь период 7*=
R (V t - V 0) - R l ( E - V a)
n - V 0) - R i ( E - V a)
*R+( V/?х
С In
-|- tz.
278
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[гл . и
696. После замыкания ключа уравнение процесса в цепи будет:
E = L l i i + R Г Г 7*
<*>
Е
где / — ток через батарею, В начальный момент / о =
, а потому
решение уравнения ( 1 ) запишется в виде:
Рг
j _ E {R + r ) /
1
Rr
V
R __e—и я + п *Y
R+ r e
)'
Напряжение между точками А и В будет:
Rr
Vзамше
Оно не может быть больше эдс батареи. Подставляя числовые дан­
ные, получаем:
К8амык = 2 4 ( 1 — 0,99 е-^М ) вольт.
После размыкания ключа уравнение процесса в цепи:
E ^ L ^ + R r.
(2)
F ( О _ L /•)
Теперь в начальный момент
будет /= *
^1
+ -у- е
L
/0
= —
V
•
-----. Решением уравнения (2)
а напряжение между точками А и В
D
V размык = IRv = e \( \ +* —Г
)
может быть значительно больше эдс батареи, если R ^ > г. Под­
ставляя числовые данные, получаем:
Пазник = 2 4 (1 + 9 9 * - 240') вольт.
В начальный момент напряжение будет 2400 в.
Настоящая задача позволяет уяснить процессы, происходящие
при замыкании и размыкании цепи постоянного тока, обладающей
сопротивлением и самоиндукцией.
697. Уравнение процесса в цепи после размыкания будет:
E ^L ^+ V .
(1)
J t r
Но 1 = С —гг- • Начальные условия таковы: Vq = Е,
at
f?
/0
= — .
г
§
19]
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
279
Поэтому решение уравнения (1) будет:
Подставляя числовые данные, получим для максимального значения
напряжения V ^ r„ = У 10- 100 + 24 в. Увеличение ёмкости С ведёт
к снижению Vuaxo.
§ 19. Переменный ток
698. Для зарядки аккумулятора существенно среднее значение
силы тока 7сред, а электродинамический амперметр показывает её
2 У2
эффективное значение / эфф. Так как / сред = —— / эфф« 0,9 / эфф, то
О
продолжительность зарядки будет ^ = 8,8 часа.
699. / сррй 0,127 а.
700. 1) « 4 , 5 а,
2)
5 а.
701. 1) 314 в, 2) 157 в.
702. 1) Лампы пропускают ток попеременно через
периода.
При этом конденсаторы заряжаются так, что разности потенциалов
на них складываются. Если сопротивление нагрузки велико, то почти
весь ток за полпериода идёт на зарядку конденсатора. Поэтому
V^aEe ~ 2 VQ, где VQ— амплитуда напряжения на CD.
703. {а~ 2900.
704. Сила тока впереди по фазе на <р= 88°.
705. R = 54,4 ом; С
100 мкф.
706. а = arc tg
.
707. Когда плоскость рамки перпендикулярна к полю.
708. Когда плоскость рамки составляет с направлением поля
■ п
260
ЭЛ ЕК ТРИ ЧЕС ТВ О И МАГНЕТИЗМ
m »*§
Щ&тт'•
2)
[Г Л . II
? > ( » + 2Я) ; ™" "ротив°-
положного направления.
714. В этом случае нельзя п ренебрегать величиной L, и сила
тока определяется из соотнош ения — L/ d I = £р .
71*;
г =
R
--------------------- .
V i + / ? w
716.
L=
С/?*.
717. Сдвиг фаз меж ду токами <р = arc tg - ъ ~^у т. е. от
/? 2
не за-
висит. С изменением сопротивления R x от 0 д о о о сдвиг фазы и з­
меняется от
до
0
, причём ток ч ер ез R z отстаёт по ф азе от тока
ч ерез Зрр
г /1
+
.
718. Е —
---------sin
= /10
« —
-- ----------- ^
Ц я -------------SII (<ot - f tp),
h = — —
719.
N
K
+ й ;
tg? = * - с
V r ^ + ^ l1
______ __________ — ; максимальное
/ ( Г — «> Ч С ;2 +
значение при
0>2/?2С2
I
Ш I
о) = — -— г, величина его равна гилко
— .
УТС
RC
720.
[10 sin ( 3 0 0 / — 132°) -f- 3 sin ( 6 0 0 / - { - 207е)] в.
721. Е « 150 cos (600 / — 78°) в.
722. Уравнения для цепей трансформатора в комплексной форме;
Е = jm L ^ i 4" f a W z ,
0
= j&M Ii
\
,|ч
“h Rl?* |
Для трансформатора б е з рассеяния коэффициент взаимной индукции
М^ -= п 2. П оэтому из уравнений (1) полу­
М = У LVL^ и о т н о ш е н и е -г
й
чаем
Е= .
о - А = г /,.
jioLxn2 + R
1
Комплексное ж е сопротивление эквивалентной цепи (см. рис. 1966).
j w L iR
есть z = . >■ « •■.- ■’7 5 •
723. 1) Нуль; 2) ток ч ер ез сопротивление отстаёт по ф азе на 90°;
ю (L + C rR)
3 ) сдвиг фаз ? = arc tg ^ (1 _
» напряжение оп ер еж ает эдс..
§
ПЕРЕМ ЕННЫ Й
! i
281
ТОК
т_
4
4 Г № Я \2
7 2 4 .£ 28ФФ^
725.
726.
727.
728.
729.
730.
будут:
Т ] (-Г ° 0 ^ = Т
См. рис. 300.
«од а 3,16 • 106 сек.-1; » = 0,25; /0 д а 1,6 а.
С д а 50 мкф-,
VMaKC д а 628 в.
С д а2 0 мкф (рис. 301).
С да 0,32 мкф.
В комплексной форме уравнения Кирхгофа обеих цегкй
М-
В Е Я
1\
*с)’
Нн Ш
б
где I и I' — токи в ветвях А и В соответственно.
Из последнего уравнения следует: 1) если
ум е
то Г = 0; 2) если ю = —___ , то 1 = 0.
у LС
П р и м е ч а н и е . Такой случай оказался возможным
только потому, что мы пренебрегли сопротивлением в
цепи В.
731. 1) / 0 д а 0,8 а; IV д а 32 е/л; 2) К =
445
Т
ТI
f
.
Рис. 301.
Рис. 300.
732. 1) IV =
ЕоR
/? •
* + i r L- ^ c )
733.
W=
W'==
£ 2(/? + /?„)
a>2 (L 4" io)2
E"R
R
; ш ш /?
i -! /?o.
o>Hi + /-o)s + ( ^ + *o)2
282
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[гл . п
П р и м е ч а н и е . Как видим, г\ не зависит от самоиндукций цепи,
но мощность, которую может дать источник при заданном напряже­
нии £:. уменьшается с увеличением L и L0.
E l \ R - \ - (1 - f a ) г]
734.
=
\ ) , где a = a>/?C;
2 [(r + /?)* + «V»l
Е.гЯ
2 [ ( '' + /?)2 + a V 2]
/?
1
/? + ( ! + « * ) г •
П р и м е ч а н и е . В отличие от предыдущей задачи в данном
случае с увеличением а понижается и мощность W, даваемая
источником, и коэффициент полезного действия установки rj.
735. Амплитуда эдс источника Е0 = *|/"3 • 120 в; ц =
р
tfe -.
«
736. Амплитуда эдс источника Е0 ^ 1 4 0 в.
737. Если цепь (рис. 302) включена в сеть 50-периодного тока,
Щ
to C = --A i- туфарад, где / в амперах,
100гс V
а К — в вольтах.
738. С « 6 , 3 мкф.
739. Только в том случае, если
сопротивление утечки конденсатора
значительно больше, чем сопротивле­
ние ёмкости 5С-периодному току.
Рис' 302
740. Вначале определить сопро­
тивление утечки с помощью измере­
ния на постоянном токе, а затем
общее сопротивление на переменном токе.
С
741. у
Cj
AD
L /D
Потому, что токи через реохорд и через кон-
денсаторы различны по фазе.
742. Нельзя ни при каких значениях L и С, так как в мосте
не может быть баланса фаз.
743. С ^ 1 5 мкф.
744. L t t 2,8 генри; первый конденсатор не влияет на отноше­
ние амплитуд на выходе и на входе.
745. Энергия в основном расходуется только в те короткие
моменты, когда нажимают кнопку. Вообще же в первичной цепи
трансформатора имеется малый ток «холостого хода».
7ход. хода
£
где Е — подводимое напряжение, R — сопротивление первичной
обмотки, L — её коэффициент самоиндукции и ш — круговая частота
тока *). Кнопку включают во вторичную цепь, чтобы не подводить
к ней высокого напряжения.
*) Но при <oL > R трансформатор при токе «холостого хода»
по 1ти не потребляет энергии («безваттный ток»).
§ 1 9]
П Е РЕ М Е Н Н Ы Й
283
ТО К
746. 7 генри^
747. Первичная — 200 витков, вторичная — 6600 витков.
У К а з а н и е. Эдс, индуцируемая в одном витке, одинакова во
всех обмотках тра&гформатора.
748. X) i s 0,3 генри; 2) 1 ^^3 7 6 0 в.
749. /3 5
Е • Swa
sin wt.
4я d0
750. С = 320 мкмкф.
751. С = 0,1 мкф.
752. 1) R ш 6370 ом; 2) § ;3185 ом или R ^ 12740 ом.
753. 4/3 радиуса.
754. 1) Вначале вычерчивают координатные оси на экране
трубки: включают только i\ и отмечают величину и положение оси
а — а’, затем включают только / 2 и отмечают величину и положе­
ние оси Ь — Ь'. Вычерчивают прямо­
угольник и, включив оба тока /] и /?,
наносят эллипс, описываемый пятном
на экране (рис. 303). (Всё это можно
сфотографировать.) Т огда
Od
Ob'
Ос
= cos tp и
Оа!
sin <p, где tp (или 180° —
a’
— сдвиг
фаз. 2) Нельзя.
755. со»*
2.
(“ - ! ) ,
где а — угол наклона большой оси
Рис. 303.
эллипса, а и b — большая и малая полу­
оси эллипса.
756. Необходимо знать: 1) чувствительность катодного осцил­
лографа (отклонение луча, как функция напряжения); 2) величину
сопротивления R. Замыкая К\, измеряем подводимое напряжение.
Замыкая только Къ измеряем ток по известному R. Затем, включая
оба ключа, получим эллипс, по параметрам которого легко устано­
вить сдвиг фаз. Зная подводимое напряжение, силу тока в цепи и
сдвиг фаз между ними, находим мощность.
757. R i =
Г\11гл3
Ri
Л12 + г 13 + 'и
Il2 +
r l3 +
r\
г 1з 1Ша
/?з =
Г**
ГVi 4 • f 23 '
758. Добавить p д а 14 г.
759.
760.
сторону;
761.
120° или 240°.
1) He изменяются; 2) закручивание происходит в другую
3) нельзя.
1 = ( 6 — 5 е - ш )а.
762. / = (1 + 10е—
6.10 - 4
*) а. См. рис. 304.
284
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
763. / з з
у
sin ^ а, и» =
у
И
[Г Л .
М А ГН ЕТИ ЗМ
П
• 10* сек.-1.
764. К * 5(1 — е -* '10**) в.
sin 660/ в.
765.
765. q = ^
Г1 — ^cos и)г/ -[-
- /к
767. / = Г у —
16L 2 •
sin
Ь=
4Z, *
«-мою. sin (2000/ + 45°)J л
768. V =«201 cos 2 0 я/
100 д
3JT V
л*б.
7ь9. / = — (1 — cos ЮОтс/) д. Как
=тс
• гДе
видим
,
ток
в
цепи будет не
неременный, а пульсирующий.
Этот результат объясняется тем,
что пренебрегли сопротивле­
нием в цепи и специально вы­
брали начальную фазу вклю­
чения эдс. Постоянная соста­
вляющая тока, возникающая в
начальный момент, не затухает,
а будет циркулировать всё вре­
мя в цепи и сложится с пере­
менной составляющей. В реаль­
ной схеме, обладающей сопротивлением, постоянная составляющая
будет отсутствовать и установившийся ток будет переменным. Для
выяснения роли сопротивления полезно разобрать включение данной
в условии эдс на катушку с сопротивлением R и, получив ответ,
перейти к пределу R = 0 (ем. задачу 772).
770. / = 0,5 cos 200тг/ а;
У щ 104 (cos Y Ю • 1С00/— cos 200я/) в.
Таким образом, собственные колебания напряжения на конден­
саторе, возникающие после включения, не затухают, несмотря на
наличие сопротивления R, и не влияют никак на силу тока через R,
так как внутреннее сопротивление источника предположено равным
нулю. Следовательно, источник «замыкает накоротко» сопротивление,
на котором напряжение будет всегда равно эдс источника. В реаль­
ной схеме, в которой источник всегда обладает внутренним сопро­
тивлением, собственные колебания затухнут и останутся одни вы­
нужденные колебания.
771. Замыкание ключа К не влияет на силу тока через сопроти­
вление R, так как внутреннее сопротивление источника равно нулю.
§ 19]
ПЕРЕМ ЕННЫ Й
—^ — 50е-31«в.
4/
772. V = - ^ L cos (чоол/
у т
1\
773.
4 / 22
285
ТОК
sin ( IOOti/— —^ -}- — е~
\
4J
8
а.
774.0J ШСУр (1 -j—cos to/) на том конденсаторе, который был
заряжён. Qa =
2
(1
• cos ш/j на втором; ш =
775. £ д а 1 генри.
776. Г д а 5 8 • 10-6 сек.
T il. X= 2кс У LC = 40п Kjf
778. С д а 110 мкмкф.
779. /0 = — —-iz=- , величина
ш
Г 2
j-g .
126 км.
■р? носит название «волнового
сопротивления» контура.
780. / д а 5000 сек.~Ч
Лш
781.
Т °'< <*>0
782.
J L .J L + JL
R
Rl
/?2
при параллельном включении
1
)
ggggl +
Rz. I
при последовательном включении.
1 = 1! + ^
/
783. /? ^ 40 ojt.
784. Приблизительно через 12 периодов.
785. Коэффициент затухания характеризует время, за которое
амплитуда колебаний в контуре уменьшится в е раз. Логарифми­
ческий декремент контура характеризует число периодов, за кото­
рое амплитуда колебаний уменьшится в е раз.
4L
786.
■сек. = 2• 10~5 сек.
R
787. 2400 микрогенри; 400 микрогенри.
788. Соединить катушки последовательно и измерить их коэф­
фициент самоиндукции Lx, затем переменить концы у одной катушки
и снова измерить коэффициент самоиндукции L2. Тогда М ■
L<— U
789.
При малых частотах напряжение на самоиндукции близко
к нулю, на ёмкости почти равно эдс; при больших частотах наоборот.
286
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
790. / = ->
Y
ERCo
+ R*’
lW
tg ? =
И М А Г Н Е Т И ЗМ
[г л . II
—R
Lm
791. Сила тока останется без изменения. Резонансная частота
возрастёт в / 2 раза.
792. При резонансе мощность, расходуемая источником эдс,
равна W =
E-R
• Если Lu> > R, то с увеличением L вдвое
мощность упадёт в 4 раза.
793. У к а з а н и е . Преобразовать обычную формулу для силы тока
В
в контуре I — — г
/1о = дЕ .
— , подставив
* . - 2л . j/ , -
^ 1
и частоту внешней силы ш = 2к ( / 0-{- Д /). Пренебречь квадратами
и высшими степенями.
794.
Декремент и коэффициент затухания возрастут в два раза,
сила тока в контуре не изменится, а напряжение на конденсаторе
уменьшится вдвое.
798. Q = 30.
797. Добротность контура должна быть
100, т. е. логариф ­
мический декремент контура менее 3% .
798. ~ 0,2%.
799. См. рис. 305. При наличии падения напряжения вдоль про­
водов в пространстве между проводами сущ ествует тангенциальная
а ) Линия без потерь
Рис. 305.
составляющая вектора Е и вектор Умова-Пойнтинга отклонён
в сторону проводов. Часть энергии течёт к нагрузке, а часть втекает
в провода и превращается в тепло.
287
Э ЛЕКТРО ЛИ З
800. Так как £ и Н одновременно меняют свое направле­
ние, то вектор S сохраняет свое направление в течение всего
периода.
801. Так как каждые полпериода только один из векторов Е
и Н меняет свое направление на обратное, то и вектор 5 меняет
свое направление на обратное.
Действительно, в этом случае
т
J
о
т
dt ~ ) 4я
sin ! ® cos mt dt = °-
о
Энергия колеблется в отдельных участках провода, но не течёт
в одном направлении (стоячие волны).
н
w— L
Рис. 306.
802. 1) См. рис. 306;
1
1 V 21
2) КЙ2*г/ S i - E H • 2nrl = i - 4 - . — .2кг1= VI.
4ic I
4я
803. 1) ~ = 0;
г
2 ) ^ = ---- и; 3) изменится знак тока сме­
щения.
§ 20. Электролиз
804. Количество отложившихся веществ соответствует 1 кулону
на аноде и 1 кулону на катоде, так как за 1 сек. к катоду не толь*
ко подходят положительные ионы с зарядом в х/2 кулона, но от
него уходят отрицательные ионы с зарядом в */2 кулона, и сле­
довательно, у катода освобождается ещё J/2 кулона положитель­
ных ионов.
805.
26,8 амперчаса.
806. — ~ 2,9 ■10u CGSE.
тн
807. т н = 1,65 • 1 0 -24 г;
808. Q г» 4 мг.
809. / » 4,5 а.
810. £ ас 1,06 в.
е=
4,77 • IQ- м CGSE.
288
ЭЛЕКТРИ ЧЕСТВО
И
М А Г Н Е Т И ЗМ
[ГЛ. В
ц
у
811. Аниона N — г— кулонов: катиона N — з— кулонов.
и+ v
J
u+ v J
812. Приблизительно в 2,5 раза.
813. 0.844 и 0,156.
814. k ^ 0,473.
815. k g* 0,497.
816. Взаимодействием катиона с электролитом, в результате
чего образуется соединение, содерж ащ ее вещ ество катиона и являю ­
щееся в растворе анионом. В данном случае при электролизе C dJ?
ионами будут х/а Cd и % (Cdig + J2).
^D
£
817. A — N - — т— - — =■ In — , где F — число Ф арадея, п — ва-
(u ^v )n F
с2
лентность.
818. Путь реш ения вытекает из преды дущ ей задачи.
RT
nF
819. k = —=г и , где Т7— число Ф арадея, л —число грам м -эквивалентов иона в единице объём а или валентность иона.
§ 21. Термоэлектричество
820. 8 • 10~5я.
821. С = 5 • 10~6 в/град.
822. 7* = 1015° С.
§ 22. Электроника
823. я д а 5 9 ,5 * 1 0 7 см/сек.
824. v д а 0*7 • 10“ 4 см\сек.
11Ш
>
сап
825. V = -------. где с — скорость света.
600 й Т \
.
с
826. 'f = ( ------- ——----------- -— ) в, где k — константа Больтцмана,
е — заряд электрона.
827. 1) | § Щ
И р $ М Я
2)V 1- y , = t ( r ‘~ 7'i ) l . g i .
£
^
/V
*
Л
828. Со скоростью от 56 до 60 в, вследствие неэквипотенциальности нити лампы, вдоль которой есть падение напряж е­
ния в 4 в. Такое распределение скоростей будет иметь место,
если анодный ток мал по сравнению с током накала, что обычно
имеет место.
829. Конечная скорость электронов у анода лампы' останется
той же, так как электроны в обоих случаях пройдут одну и ту же
разность потенциалов. Однако распределение скоростей электро­
нов в промежуточных точках их пути между катодом и анодом
будет в обоих случаях различным, так как переключение сетки вы-
289
Э Л ЕК Т РО Н И К А
зовет изменение распределения потенциалов в электрическом поле
внутри лампы.
ООП Wo
sin Э
I /
Vn
odU. — = - — = 1/ г? , если полагать, что начальная скоv
sin а
V V
росгь Vo получена только за счёт разности потенциалов И0>
2d - V
831. Е=
'i l l f
832. Т =
пе
, т. е. не зависит ни от Vn, нн от <*.
833. г = ~ .
Не
834. АВ = 2таи° *C0S “
Не
/ 2V
DI
/=
лп (D2— с Р )Л / е_'
тп
f
m
835.
835.
1) Если взять начало координат в точке выхода электрона,
направить ось х перпендикулярно к пластинам против направления
электрического поля, а ось у параллельно пластинам и перпенди­
кулярно к магнитному полю, то траектория электрона будет опре­
деляться уравнениями:
Етс2/ ,
Не \
* = -щ —\ 1 — co s— 1 1;
Нге \
тс J
Етс2 (Не
, Не Л
У— Н2е (\тс
— ( — sin—
тс 1))•
_ 2Етсг ^
2icтгсЕ
2) ~№е
т г г^< *
V
у - №е ’
где d — расстояние между пластинами, е — заряд электрона, т —
масса электрона, с — скорость света.
Ш
УИ
R = m -'
щ
Здесь^
Цр0— компоненты начальной скорости вдоль пластины катода и
перпендикулярно к ней.
t
« * > ■ * ,= $ £ .
839.
=
еН
840. R t t 1,9* Ю- is СМ841.
19
x
= r ( \ — cos— /V
\
тс J
Зак. 5182. Сборник задач, ч. L
у =
Н
+ Rsin e— t,
тс
290
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
где R =
[гл . п
( v — тт*^; ось х параллельна электрическому волю,
еп\
п J
ось у перпендикулярна к обоим полям.
8 4 2 ,,- Ж
I
й .
О
<1)4*
8431 т “ " W V ( 2 n - W * где " 844. р = Еав.
целое число-
845. ш = - в = / i>
/к
\2) p cco sa.
846.
: r j = У Д где iV— число полукругов, сделанных дейгероном после вылета.
847. 9 = _ J L « 0 , 6 . 10W.
848. Между пластинами конденсатора имеется пространственный
заряд, плотность которого на расстоянии * от катода равна р (ж).
Поэтому
d*v
, ,
m
- 4 лп Р(х).
(1)
Если подвижность электрона и, то плотность тока
dV
j = — p (x )u E = — р (х}й Ш %
dx '
(2)
Из (1) и (2) получаем
dV cP V 4 n j
-т~
= —dx d x 2
u
d /d V \2
8я /
или —- I -V- ) = — .
d x \d x )
и
(о;
Когда ток достигает значения насыщения, то при х = 0 и j = j B
будем иметь
= 0. Поэтому, интегрируя (3), получаем
dx
’
и
Дальнейшее интегрирование даёт
I/ _ 2
0
3 »
а
откуда
32п
d 3/ H
'
§ 231
ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫ Е ВОЛНЫ
291
849.
850. I = n & z ad, где е — основание натуральных логарифмов,
а е — заряд электрона.
. . .
.
Япе(евй—1)
------- - , где е — основание натуральных логариф851. I =
СЕ
мов, а е — заряд электрона.
852. v Щ 1 / ^ = 1920 км/сек.
V т
'
853. Положительный столб укорачивается.
854. Кроме продольного градиента потенциала, имеется попе­
речный градиент вследствие диффузии зарядов к стенкам трубки.
855. Положительные ионы и электроны в положительном столбе
разряда движутся в противоположных направлениях.
856. Вследствие того, что электрическое поле у ’ поверхности
катода перпендикулярно к этой поверхности и значительно сильнее,
чем в остальном пространстве трубки (катодное падение).
§ 23. Электромагнитные волны
kicx
knx
857. Ux = U0 соз - p ; Ix = Iо sin —j- , где Uo — амплитуда на­
пряжения в пучности напряжения, /0 — амплитуда тока в пучности
тока, х — расстояние от начала линий, k — номер гармоник (й = 1,
foe
2, 3 ...). Hfc =
, где с — скорость распространения волн вдоль
линии (для воздушной линии с д а 300 ООО км/сек).
Распределение амплитуд для одного из собственных колебаний
(третьей гармоники) приведено на рис. 307.
19*
292
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
858. Ux =
те же, что и в
для одного из
ведено на рис.
[ГЛ . li
Пи = 2j • Обозначения
ответе предыдущей задачи. Распределение амплитуд
собственных колебаний (четвёртой гармоцики) при­
308.
U0 sin - j - , 1Х = / 0 cos - j - ,
Рис. 309.
есо гг
гг
2А-Н пх |
, 2ft+ l пх
у с
859.
Ux = U
qcos
— j - , Ix = /0sin
—| ---- j-, п к = 2k-\-\
где х — расстояние от разомкнутого конца линий, ft = 0, 1, 2, 3 . ...
(2ft-|- 1 — номер гармоники). Распределение амплитуд для одного
из собственных колебаний (пятой гармоники) приведено на рис. 309.
860. и = 120 In
г
г
468 ом.
ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫ Е
293
ВОЛНЫ
Р е ш е н и е : Выделив элемент линии длиной dx (рис. 310),
можем написать два уравнения Кирхгофа для этого элемента:
i(x + dx) — i(x) = C i d x ^ или ^ = Сх д~ ,
11
(х + dx) — u (дг) = L t d x ^ или f c = Lx j t >
(!)
(2 )
где Ci и L\ — ёмкость и индуктивность на единицу длины линии.
Дифференцируя одно из уравнений по х , а другое по / и нсклюt(x+dx)
'1
'щ
•
i№)
V и V
1
yL,dg
^
C,dx.—'--V i x+dxj
- - tz z ff (X)
/v * v >
•• 1; 11
Рис. 310.
чая одно из неизвестных, получаем уравнения для тока и напря­
жения:
Ш _ тг ш
д х * ~ 1 1 дР
dbi
дх* ....
г dbi
dt* '
(ЛЛ
^
1 1
Если напряжения и токи в каждой точке линии меняются со вре­
менем по гармоническому закону с угловой частотой <*>, то реше­
ния уравнений (3) и (4) имеют вид:
/ = / 0 sin to
1
— Jljj ;
и = £70sin
~ J,
где v=* —^ = = — скорость распространения волн вдоль линии.
У Ьфх
Подставляя эти решения в уравнение (1), получаем отношение
амплитуд напряжения и тока, т. е. волновое сопротивление линии:
г
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И
М А ГН ЕТ И ЗМ
[Г Л .
II
причем р получится в омах, если
и С* взять^в практических едини­
цах. Так как для воздушной линии всегда v = 3 • 1010 см/сек, то
~ , причём погонная ёмкость
VLf-t
должна быть взята на сантиметр длины, если скорость выражена
в см/сек. Если выражать ёмкость в CGSE, то
30
р = ----- -— — ом.
обычно пользуются формулой р =
*<д)
Подставляя значение взаимной ёмкости двух параллельных прово­
дов, приходящееся на сантиметр их длины,
' с _ _ J ___
1 ----------- Т '
4 In —
Г
получаем приведённое в ответе выражение.
861. р = 60 In — « 9 7 ом.
Г
Р е ш е н и е : Так как внутри коаксиальной линии находится
воздух, то для неё пригодно то же выражение для волнового
сопротивления, которое получено в предыдущей задаче. Подставляя
в это выражение ёмкость, приходящуюся на 1 см концентрической
линии,
„
Щ.
£
с =
1
1
Ж '
2 In —
Г
получаем выражение, приведённое в ответе.
862. v = —
1«
1,43 • IfflO см/сек.
У е
21
863. Тк = — ,
где
k — номер
b
гармоники
и
с
v = — —=
= 3,3 • 109 см/сек — скорость распространения электромагнитных
волн в воде (диэлектрическая постоянная воды е ^ 8 0 ) .
864. П\ = ^
~ 3000 гц.
865. р = -------— ь
Т ' т (п |
Решение:
«
68 ом.
Волновое сопротивление р =
,
и так
как
v в Y ® раз меньше, чем в пустоте, а С1 в е раз больше, то
волновое сопротивление в Y I раз меньше, чем для такого же кабеля
с воздухом в качестве диэлектрика (см. решение задач 860, 861;.
§
23]
ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫ Е
волны
295
866. 2 вх« | р с 1 8 ^ | .
£
Поэтому, если длина волны X= — = 6 м , то:
I
2 I
1) ZBX= 21о ctg к да 130 ом (индуктивное),
2) ZBX= 1216 ctg я I
= о о (параллельный резонанс),
3) ZBX= 1216 ctg — к Jда374 ома (ёмкостное).
4) ZBX= j2 1 6 ctg -^-itj = 0 (последовательный резонанс).
Р е ш е н и е : Если конец линии разомкнут, то амплитуды напряг.
2кх
жения и тока вдоль линии распределяются по закону: UX=U оcos
. 2пх
и / в = /0 sin ——, где х — расстояние от разомкнутого конца линии»
к
a Uo и Iq— амплитуды в соответствующих пучностях. Поэтому
в начале линии (х = I) Z х = I ^ c t g -т—I. Так как —- = р,
где
I /д
А
I
/д
I
2-it/1
р — волновое сопротивление линии, то Z BX= р ctg
. Характер
входного сопротивления можно определить по тому, как оно зави­
сит от частоты: если оно растёт с ростом частоты (уменьшением
длины волн), то сопротивление носит индуктивный характер, если
уменьшается сростом частоты — ёмкостный. В случае 1) с уве­
личением аргумента ctg растёт (второй квадрант), и сопротивление
носит индуктивный характер. В случае 3) с увеличением аргумента
ctg уменьшается (третий квадрант), и сопротивление носит ёмкост­
ный характер. В случае 2) на всей линии укладывается одна
полуволна, у входа линии и у её конца лежит узел тока, т. е. ампли­
туда тока у входа / = 0. Это — случай, аналогичный случаю
параллельного резонанса в контуре без потерь. В случае 4) на всей
5 .
линии укладывается -j к и у входа линии лежит пучность тока,
следовательно, при конечном значении амплитуды напряжения
у входа UBX оказывается /вх = со. Это — случай, аналогичный по­
следовательному резонансу в контуре без потерь.
Н
Н сопротивление
Н Т ) Мявляется
Н индуктивным, пока
Входное
расстоя­
ние до мостика меньше - j , т. е. дг<1,5 м. При х = 1,5 м ZBX= оо
(параллельный резонанс). При 1,5 м<^_х<^ 3 м входное сопротивле­
ние носит ёмкостный характер. При х = 3 м ZBX= 0 (последова-
296
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И
[ГЛ. II
М А ГН ЕТИ ЗМ
тельный резонанс). При 3 м<^х<^4,5 м входное сопротивление
снова приобретает индуктивный характер, и так далее.
Р е ш е н и е : Так как конец линии замкнут накоротко, то ампли­
туды напряжения и тока вдоль линии распределяются по закону:
г. , 2кх
Ux = U о sin — ;
где
U
q
и /0—
т
т
2пх
1Х = / 0 cos - у ,
амплитуды в соответствующих пучностях,
jc —
расстоя-.
2пх
= р, то Z BX = P*g
/п
Характер нагрузки определяется с помощью соображений, приве­
дённых в решении задачи 8 6 6 .
ние от конца линии (мостика). И так как
868.
Z BX = 3 60cl g 2 * (5 + ° ’82^
4 м
1220
ом.
причём сопротивление носит индуктивныи характер.
Р е ш е н и е : Ёмкость С, включённую в конце линии, можно
заменить отрезком разомкнутой линии, длина которого / экв опре..
|
деляется из условия, что емкостное сопротивление X G =
2
я
/ 8к в |
р ctg — -— .
А I
Так как отрезок линии должен заменить ёмкостную нагрузку, то
его длина /экв должна быть меньше ~ .
Подставляя
значения из
условий задачи, находим:
С
'эвв = 2Й агс с,2
4м
106
Г = й Г агсс'8збй
82 см.
Далее задача сводится к отысканию входного сопротивления разом­
кнутой линии длиной I + /экв = 5,82 м (см. задачу 8 6 6 ).
. 7 f 2п (20 + 2,44) м
47 ctg —
— -—
6
1 1 ,1
м
183 ома,
причём входное сопротивление носит ёмкостный характер.
Р е ш е н и е : Аналогично предыдущей задаче заменяем индук­
тивность отрезком разомкнутой линии, длина которого определяется
! я/,экв
из условия, что индуктивное сопротивление X L= р ctgИз условий задачи находим /экв = 2,44 м. Далее задача сводится к отыска
нию входного сопротивления разомкнутой линии.
R il
870. 1)
260 000 омУ 2) R nx =
= 0,5 ома.
т
Р е ш е н и е : 1) На длине линии укладывается -
X и в случае
замкнутой линии у входа линии будет узел тока (так как на зам­
кнутом конце пучность тока). Поэтому этот случай аналогичен па­
раллельному резонансу. Но при параллельном резонансе эквивалент-
§ 23]
ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫ Е
волны
297
* 13
ное сопротивление контура Z9KB= - ’-.где Х 12—реактивное сопро­
тивление любой из цепей (так как для обеих цепей при резонансе
оно одинаково). Далее, так как Х%== а>Ь, а о>==-— = , то Z3KB=
L
CR
R
где р
=v
X
_ — «волновое» сопротивление
парал­
лельного контура. Аналогично этому для параллельного резонанса
р2
в линии ZBI = ~ , где Rg — «действующее» активное сопротивлеЩм
У
#**
I
/
пI
/?1 [I (лс)]а d x =
•
о
(/0 — амплитуда тока в пучности, Ry— погонное сопротивление линии)
Иначе говоря, Rg это такое сопротивление, которое, будучи вклю­
чено в пучность тока, вызовет те же потери, что и активное
сопротивление, распределённое вдоль линии (так как распределение
тока синусоидально, то «действующее сопротивление» оказывается
равным половине активного). Поэтому в рассматриваемом случае
Z
—
Е±.
2
2) При разомкнутом конце у входа линии расположится пуч­
ность тока, что соответствует последовательному резонансу. При
последовательном резонансе входное сопротивление линии равно
«действующему» активному сопротивлению (аналогично случаю
.
_
R\l
последовательного резонанса в контуре), т. е. RBX=
871. 1) Z BX = — = 2СОО ом,
2) ZBI = г = 80 ом.
872. ZBX= 400 ом.
Р е ш е н и е : Если линия замкнута на активное сопротивление,
равное волновому, то отражения волн на конце линии не происходит.
Следовательно, в линии распространяется только бегущая волна и
отношение между амплитудами напряжения и тока во всех точках
линии и, в частности, у входа одинаково и равно р. Поэтому
.-^вх = Р-
873. Характер электрического и магнитного полей в концентри­
ческом фидере изображён на рис. 311. а. Электрическое поле напра­
влено по радиусам, магнитное по касательным к окружностям. При
_ 2д 2Сги
и 2i
„
_
этом Е = -р = —р— и И = — , где Q — ёмкость на единицу длины
фидера и г — расстояние от оси фидера (q — заряд на единицу
298
Э ЛЕК Т РИ ЧЕ С Т В О
Ггл. и
И М АГНЕТИЗМ
длины фидера). По теореме Умова-Пойнтинга поток энергии, про­
текающей в элемент времени dt через поверхность S, равен:
J (E X W d s'jd t.
dW S =
s'
В рассматриваемом случае через поперечное сечение фидера
за элемент времени dt протекает энергия (рис. 311, б):
(кП1 ЩВ В я
S
И так как
= (2Ciui J Щ dt = 2Схмг In ^ dt.
ri
Ci = --------, то dlF = ш dt.
2In —
r%
Но так же выражается и работа, совершаемая источником за эле­
мент времени d/. Так как в случае бегущей волны амплитуды
напряжения и тока в любом сечении кабеля такие же, как у за­
жимов источника эдс, то при интегрировании за единицу времени
энергия, протекающая через сечение кабеля, окажется равной мощ­
ности, отдаваемой источником.
874.
1) /# = /<) sin-у- , где /0 — амплитуда тока в середине про­
вода (в пучности тока) и х — расстояние от начала провода;
Пк “ 21 = k • 25 • 106 гц, Xfc =
^ м,
где k = 1, 2, 3 ,...
§ 23]
Э ЛЕКТРО М А ГН И ТНЫ Е
. .
.
2k 4" 1 iut
2) Ix — *о c°s — g------ f > где
ВОЛНЫ
299
.
'о — амплитуда тока у заземления
(в пучности тока) и х — расстояние от заземления;
пк =
2*+1 с
■— = (2k + 1) • 12,5 • 10е гц;
4/
А* 1 п к ~ (2k + 1)
6 мм.
«о2 /#3 ГАе
876. Р = 20
24
м,
(2ft+l)
где k = I, 2, 3 ,...
875. X
с3
/2
= 8 0 ^ Х2/|Г
Р е ш е н и е : Нужно составить выражение вектора Умова-Пойнтинга, найти его среднее значение за период колебаний и проинте­
грировать это значение по
какой-либо большой поверхно­
сти, окружающей диполь. Вели­
чина вектора Умова-Пойнтинга:
S = |£X «I =
Ж-
2к с2г2
Её среднее значение за период
колебаний
15 ш2/2/®
с ________ _ sinz tp,
ор
2тс
С2г2
где /е — эффективное значение
тока в диполе.
Полная мощность, излу­
чаемая диполем
V = / s 0[A
и интеграл может быть взят по сферической поверхности а, окру­
жающей диполь. Элемент сферической поверхности (рис. 312) равен
da = г* s i n <р d’jf d 0
“
f
•
275
15
Г
1C
Г
Ш З Й Ш Н J МJ Ш Р '
300
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
2к
И
[гл. и
М А ГН Е Т И ЗМ
тс
I db = 2п и
Так как
о
о
| § | j Ш Щ 0т
to
2«
.
м
и так как — = -у , где X— длина излучаемои волны, то
Яи = 8 0 * * - ^ £
877. Ru == 80
Р е ш е н и е : Поле, создаваемое каждым элементом тока, пропор­
ционально силе тока в этом элементе. Если считать, что поле от всех
элементов приходит в одинаковой фазе, то амплитуда общей напряI
жённости поля будет пропорциональна
Г I (х) d x ,
где / — длина
; о
вибратора. Так как ток в вибраторе распределён по закону /( * ) =
Z
Г
2/
= /о sin - у - , то I 1(х) d x == — /0. При равномерном распределении
7СХ
о
тока мы получили бы величину Iq. Иначе говоря, полуволновой
вибратор длиной / создаёт такую же напряжённость поля, какую созда­
вал бы вибратор с равномерным распределением тока и длиной
2
м
li = — / (/ называется «действующей длиной» или «действующей
1C
высотой» полуволнового вибратора). Поэтому для подсчёта мощ­
ности, излучаемой полуволновым диполем, достаточно в ответ пре-
2
дыдущей задачи вместо / подставить — /. Получим:
ТС
Л19
Р Щ 80 -у 2 ]\ = 80 / |.
i
так как / =
\
.
Следовательно, 7?w = 80 ом.
Мы произвели подсчёт, полагая, что поля, приходящие от всех
элементов тока, совпадают по фазе. Это, однако, не совсем верно:
расстояния от отдельных элементов вибратора до рассматривае­
мой точки несколько различны, и поэтому несколько различны и
фазы полей. Более точный подсчёт с учётом этого обстоятельства даёт
для сопротивления излучения полуволнового вибратора значение
R u = 72 ома.
878. R u = 40 ом.
Р е ш е н и е : Заземлённый четвертьволновой вибратор создаёт
над землёй такое же поле, какое создавал бы вдвое более длинный
Э ЛЕКТРО М А ГН И ТНЫ Е
В О ЛН Ы
30 1
полуволновой вибратор при том же токе в пучности, если бы земля
отсутствовала, иначе говоря, четвертьволновой вибратор создаёт
только верхнюю «половину» того поля, какое создавал бы соответ­
ствующий полуволновой вибратор, и значит, излучает только поло­
вину мощности. Следовательно, сопротивление излучения заземлён­
ного четвертьволнового вибратора вдвое меньше, чем полуволнового,
т. е. R,'t = 40 ом.
879.
140 ом.
Р е ш е н и е : Так как вибраторы расположены близко, то поля
их приходят в каждую точку в одинаковой фазе, и оба вибратора
создают поле вдвое большее, чем каждый в отдельности. Значит,
они излучают вместе вчетверо большую мощность, а каждый излу­
чает вдвое большую мощность, чем в отсутствии, другого. Следова­
тельно, каждый вибратор обладает вдвое большим сопротивлением
излучения, чем то, которое он имеет в отсутствии другого вибратора.
880. Волновой вибратор можно рассматривать как два полу­
волновых вибратора, расположенных на одной прямой. Но поля от
этих вибраторов приходят в каждую точку, вообще говоря, с неко­
торым сдвигом фаз. Следовательно, излучаемая ими мощность будет,
меньше, чем излучаемая двумя вибраторами, расположенными парал­
лельно и близко друг к другу (рассмотренными в предыдущей за­
даче). Поэтому и сопротивление излучения волнового вибратора
будет меньше, чем сумма сопротивлений излучения двух вибраторов
предыдущей задачи. С другой стороны, в случае двух уединённых,
т. е. находящихся далеко друг от друга вибраторов, можно счи­
тать, что они вообще излучают независимо, между тем как для вол­
нового вибратора поля в большей части пространства совпадают по
фазе и, значит, складываются. Поэтому излучаемая мощность, а сле­
довательно, и сопротивление излучения волнового вибратора больше,
чем сумма излучаемых мощностей, а значит, и сопротивлений излу­
чения двух уединённых полуволновых вибраторов.
Р е ш е н и е : Эффективная напряжённость электрического поля
полуволнового диполя в экваториальной плоскости:
Так как, с другой стороны, /е =
г
полуволнового диполя
7УРи
. Для
302
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И
М А Г Н Е Т И ЗМ
[ГЛ. I]
Р е ш е н и е : В экваториальной плоскости диполя эффективные
значения напряжённостей электрического и магнитного полей равны:
Ев= 60 — ;
г 9
=
2п г
60 | |
Вектор Умова-Пойнтинга
гинга S=<z
S = ----- ; мощность, падающая на
2к г *
площадь рефлектора
60 /! itD2
60
Р
8я2 л-а 4 ~ 8я2 Д мг2 4
9
£ 2/2
883. Р мако = ^ - « 5 . 1 0 - t * в/я.
Р е ш е н и е : Эдс, создаваемая приходящей волной в приёмном
вибраторе, в каждом элементе вибратора dx может развивать наи­
большую мощность dP = / е (jc) Ee dx, где / — эффективная сила
тока в данном элементе вибратора, а £ е — эффективная напряжён­
ность поля приходящей волны. Во всём полуволновом вибраторе
приходящая волна может развивать наибольшую мощность
а
j
/е0 sin
-г Ее d x — Ioe — Ее%
где /0е — эффективная сила тока в пучности. Следовательно, при­
ёмный вибратор можно рассматривать как источник
'
эдс $е = — Ее
15 ,
21
9
(поэтому — называют «действующей высотой» полуволнового при­
те
ёмного вибратора) с некоторым внутренним сопротивлением /?г*.
Это внутреннее сопротивление во всяком случае не может быть
меньше сопротивления излучения вибратора R u (которым он обла­
дает, помимо омического сопротивления). Наибольшую мощность
вибратор будет отдавать приёмнику, если входное сопротивление
приёмника R BX = R u. Тогда полное сопротивление цепи будет равне
82 .
2Ки
При равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений поло­
вина этой мощности будет выделяться в приёмнике, и следовательно
наибольшая мощность, которую может получить приёмник,
„
2 Ru, и полная мощность, выделяемая в цепи, Р
=
р _ «
Щ Ш
Мт)
4Щи
4Й„
884.
В плоскости, проходящей через ось вибратора — рис. 31
в экваториальной плоскости, перпендикулярной к оси — рис. 313, б
Щ
Э Л ЕК Т РО М А ГН И Т Н Ы Е
ВОЛНЫ
303
885.
По мере увеличения длины вибратора будет становиться
заметной разность фаз полей, пришедших в какую-либо точку от
разных элементов вибрато­
ра (рис. 314, а). Эта раз:
мость фаз будет тем боль""ч !
ше, чем больше угол ср. По- (
у
этому амплитуда поля вибра- Т
'1
тора при больших углах ср \
/>
----- ;
уже не будет равна сумме
^амплитуд от отдельных эле0
6
ментов вибратора, а будет
меньше этой величины. Это
Рис. 313.
приведёт к тому, что ха­
рактеристика направленности в плоскости, проходящей через ось
вибратора, будет сплющиваться (рис. 314, б). В плоскости, перпенди-
Рис. 314.
Рис. 315.
кулярной к оси вибратора, характеристика попрежнему останется
окружностью.
886. 1) Рис. 315, а\ 2) рис. 315, б.
304
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И
М А Г Н ЕТИ ЗМ
{Г Л .
II
887. Рис. 316, а. Так как между токами в диполях сдвиг фаз
равен я, поля обоих диполей окажутся в фазе в тех направлениях,
х
для которых разность хода d == . А так как d — Asin (рис. 316, б),
то этим направлениям соответствует угол <р = 30° с прямой, перпен­
дикулярной к линии, соединяющей диполи. Во всех четырёх направ­
лениях, удовлетворяющих этому условию, напряжённость поля будет
наибольшей. В направлении линии, соединяющей диполи, разность
хода будет равна "к, а сдвиг фаз между полями л, поэтому излучение
будет отсутствовать. В направлении, перпендикулярном к этой линии,
разность хода будет равна нулю, сдвиг фаз также будет п, и излу­
чение также будет отсутствовать.
888. Рис. 317. Как видно из рисунка, второй вибратор, отстояX
щин на расстояние ~т от первого и питаемыи током, сдвинутым по
4
Рис. 316.
фазе на
относительно первого, устраняет излучение в одном на­
правлении. Поэтому его называют рефлектором. Обычно второй
вибратор не питают непосредственно, и подбирают его настройку
(длину) так,чтобы ток первого вибратора создавал в нём ток, сдви­
нутый по фазе относительно первого на
Такие «пассивные»
рефлекторы широко применяются на практике.
859.
Рис. 318, а. Максимум главного лепестка соответству
яаправлению, в котором поля всех вибраторов совпадают по фаз!е.
Если изображать поля всех диполей в виде одинаковых векторов,
то направлению главного максимума соответствует расположение
векторов, указанное на рис. 318, б. По мере отклонения от напра­
вления главного максимума появляется сдвиг фаз между полями от­
дельных вибраторов, чему соответствует поворот векторов на
некоторый угол друг относительно друга. Когда векторы об-
§ 23]
ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫ Е
305
ВОЛН Ы
разуют замкнутую фигуру (рис. 318, в), результирующее поле будет
равно нулю. Это произойдёт в первый раз, когда векторы повёр­
нуты на угол -г друг относительно друга и образуют восьмиугольник.
4
При этом угол между соседними векторами (т. е. сдвиг фаз) должен
i ft
быть равен — . Это будет иметь место в направлении, для которого
•
•
б
6
Рис. 318.
разность хода d= ~ (рис. 318, г), т. е. при sin
о
-7
4
11ли
ПРИ
,{ = 14°30'. Под этим углом в обе стороны от главного максимума
20
Зак. 5182. Сборник задач, ч. Ь
306
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И
М А ГН ЕТ И ЗМ
[гл. П
будут лежать оба минимума, т. е. полный угол раствора главного
лепестка равен 2<р = 29°. Максимум первого бокового лепестка
получится, когда векторы сделают полтора оборота; тогда их замы­
кающая, т. е. результирующее поле, достигнет снова максимума.
Для оценки величины этого максимума заменим ломаную, образуе­
мую векторами, дугой окружности. Так как полтора оборота этой ду­
ги должны иметь длину, равную сумме длин всех векторов, то диаметр
окружности (рис. 318, д) должен быть в ~ раз меньше длины пря­
мой рис. 318, б. Следовательно, амплитуда максимума в первом по­
бочном лепестке в ~
5 раз меньше амплитуды в главном максиму­
ме, а энергия в 25 раз меньше. При большом числе диполей это
отношение не зависит от числа диполей.
890. 1) Верхняя часть рис. 315, б;
2) верхняя часть рис. 316, а.
Направления, в которых на характеристике лежат максимумы:
1
Я 81П *Рмаке
3
5
4>
^ *
g » *• •
направления, в которых лежат минимумы:
Л 1
ti sin 'Рмин
0,
1 3
2
2
* 1>
9 9* *
где
— угол над горизонтом.
Р е ш е н и е : Так как в методе зеркальных изображении
должны быть взяты «зеркальные заряды» противоположного знака,
то «зеркальный диполь» под по­
верхностью земли нужно считать
колеблющимся в фазе, противо­
положной фазе колебаний диполя
над землёй. Поэтому
рассмат­
риваемые случаи соответствуют
изображённым на рис. 315, б и
Рис. 319.
316, а.
891. Рис. 319.
892. Направления, для которых на характеристике лежат макси­
мумы:
.
_
1
п
п s i n ¥ м акс
, 3 .
9 2 *
2
минимумы:
Я s i n f МИН
-
1
4
9
II
4
*
5 .
4
>
<р— угол над горизонтом.
Р е ш е н и е : Для вертикального вибратора при противоположных
знаках «зеркальных зарядов» направление тока в «зеркальном ви­
браторе» совпадает с направлением тока в вибраторе над землёй.
Поэтому нужно считать, что оба вибратора колеблются в фазе, вслед-
§23]
э лектром агн итны е
волны
307
сгвие чего направления максимумов и минимумов меняются местами
Do сравнению со случаем горизонтального вибратора.
893. Для рамки:
30 ufind4e
,
®я » 1 . Ю -4
сгг
h - a ------- -—
е
BIM,
j,
1 <
o2ndVe
„ 1Г. ,
Не==-------- ;— - *= 3* 10"7 а м.
- 4тс cV
Для вибратора Герца длины d, питаемого током /,е*
с
30 <0dig
£ е = — ^-21,25 • 10“ ** в/м,
т. е. поле отдельного проводника больше, чем всей рамки’в целом
Решение: Каждый отдельный провод рамки создаёт поле
такое же, как вибратор Герца, во токи в противоположных сторо
Рис. 320.
пах рамки направлены навстречу, поэтому и создаваемые ими поля
направлены навстречу. Вследствие этого в плоскости рамки рис. 320
результирующее поле выразится так:
с 20<ondl , /
rt \
30со nclt .
(
гч \
£ = --------- sin m[ / — - ]-------------- sin ш [ г ------ - \
cr
\
сJ
cr
\
с J
30um dl 0 .
n — г» .
/ . /ч + г.Ч
------------ *2 sin a - . * sin to I / — ~ — - ) ,
cr
2c
\
2c J
Так как r1— r? = d, aw d < c ^или
то, заменяя 2 sin ~
md
через — , получим:
С
30
/
Г \
£ —-----i----- sin <*>u — —- J,
c*r
X
с J
так как для каждого диполя W**
£
то и для всей рамки на­
пряжённость магнитного поля получим, разделив Е на 120 п.
Таким образом, рамка создаёт такое же поле, какое создавал бы
вибратор Герца длиной I —
11
с
s=
к
, Поэтому эта величина
303
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО и МАГНЕТИЗМ
[ГЛ
IT
называется действующей высотой рамки. Поле рамки оказывается
меньше, чем поле, создаваемое всеми проводниками, образующими
2nd
(вследствие
К
одну из сторон рамки, в отношении -г -
компенсации
полей противоположных сторон рамки).
894. Рис. 321.
895. £ -
с
мкв.
Р е ш е н и е : Так как электрическое поле приходящей волны
в противоположных сторонах рамки создаёт эдс, направленную на­
встречу, то для поля приходящей волны получаются соотношения,
аналогичные полю, излучаемому рам­
кой в задаче 893. Поэтому для
«действующей высоты» приёмной
рамки получается та же величина, как
и для действующей высоты передаю-
<nnd?
щей рамки пд = —— (для рассмат­
Рис. 321.
риваемой рамки hg ^ 4 см). Эдс, на­
водимая в рамке, равна $ = Ehq.
Соотношение с эдс в вибраторе Герца
го же, что и в предыдущей задаче.
896. g ^ 0 , 1 7 в.
W
Р е ш е н и е : В изображение попадает мощность у . Плотность
W
излучения w = дправленным
Поляризованная компонента (с вектором с , на­
вдоль антенны) будет иметь
плотность
излучения
W
здвое меньше, т. е. wn =
п
4с V
Далее
/
8пюп
_ Г~Ш Г
---- 5 => у
jp§2,9 • 1 0 -2CQSE = 8,7 в/см.
Эдс в антенне (считая распределение тока вдоль антенны равно­
мерным)
£ = £ / = 0.17 в.
Опечатки
Стр. Строка
59
60
•
61
221
19
13
20
7
9
7
св.
св. I
св.
сн.
1
сн. )
св.
228
10 си.
255
11 св.
Зак. 5182.
Напечатано
кг) см"1
кг',ммг
По чьей
вине
Должно быть
кг*1см2
кг*[мм'г
Ред.
“
»
Л
Л
»
= 2 ' 10'2000 =
1
— 2 • 10* • — =
2000
Тип.
sv**-y
8nd е + 1
SV*— l
Ш е+ 1
Ред.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа