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XMP : Mathématiques
Programme de la olle de la semaine du 15.09 au 20.09
Strutures algébriques usuelles
L'étude des strutures algébriques permet d'approfondir plusieurs points abordés en première année : arithmétique
de
Z
et de
K[X],
ongruenes, algèbre linéaire, groupe symétrique, groupes issus de l'algèbre linéaire et de la
géométrie des espaes eulidiens. Ce hapitre gagne à être illustré par de nombreux exemples.
Contenus
Capaités & ommentaires
a) Groupes et sous-groupes
Groupe. Produit ni de groupes.
Sous-groupe. Caratérisation.
Intersetion de sous-groupes.
Sous-groupe engendré par une partie.
Sous-groupes du groupe (Z, +).
Exemples issus de l'algèbre et de la géométrie.
b) Morphismes de groupes
Morphisme de groupes.
Image et image réiproque d'un sous-groupe par un
morphisme. Image et noyau d'un morphisme. Condition d'injetivité d'un morphisme.
Isomorphisme de groupes. Réiproque d'un isomorphisme.
Exemples : signature, déterminant.
Exemple : groupe spéial orthogonal d'un espae eulidien.
) Groupes monogènes et yliques
Groupe (Z/nZ, +). Générateurs de Z/nZ.
Groupe monogène, groupe ylique.
Tout groupe monogène inni est isomorphe à (Z, +).
Tout groupe monogène ni de ardinal n est isomorphe à (Z/nZ, +).
Groupe des raines n-ièmes de l'unité.
d) Ordre d'un élément dans un groupe
Élément d'ordre ni d'un groupe, ordre d'un tel élément.
Si x est d'ordre ni d et si e désigne le neutre de G,
alors, pour n dans Z, on a xn = e ⇐⇒ d|n.
L'ordre d'un élément d'un groupe ni divise le ardinal du groupe.
Si x est d'ordre ni, l'ordre de x est le ardinal du
sous-groupe de G engendré par x.
La démonstration n'est exigible que pour G ommutatif.
e) Anneaux
Anneau. Produit ni d'anneaux.
Sous-anneaux. Morphisme d'anneaux. Image et noyau
d'un morphisme. Isomorphisme d'anneaux.
Anneau intègre. Corps. Sous-orps.
Les anneaux sont unitaires.
Les orps sont ommutatifs.
f ) Idéaux d'un anneau ommutatif
Idéal d'un anneau ommutatif. Le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal.
Relation de divisibilité dans un anneau ommutatif
intègre.
Idéaux de Z.
© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013
http://www.enseignementsup-reherhe.gouv.fr
Interprétation de la divisibilité en termes d'idéaux.
Mathématiques MP
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Contenus
g) L'anneau
Capaités & Commentaires
Z/nZ
Anneau Z/nZ.
Inversibles de Z/nZ.
Théorème hinois : si m et n sont deux entiers premiers entre eux, isomorphisme naturel de Z/mnZ sur
Z/mZ × Z/nZ.
Indiatrie d'Euler ϕ. Calul de ϕ(n) à l'aide de la
déomposition de n en fateurs premiers.
Théorème d'Euler.
L'anneau Z/nZ est un orps si et seulement si n est
premier.
Appliation aux systèmes de ongruenes.
⇆ I : alul de ϕ(n) à l'aide d'une méthode de rible.
Lien ave le petit théorème de Fermat étudié en première année.
⇆ I : odage RSA.
Pour ette olle :
Trois étudiants pendant une heure
© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013
http://www.enseignementsup-reherhe.gouv.fr
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