close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Adobe Acrobat and Reader: The Reading Experience;pdf

код для вставкиСкачать
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)
А.А. ЗЛЕНКО
ВВЕДЕНИЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(МАДИ)
ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
Утверждаю
Декан заочного факультета,
проф. Карагодин В.И.
______________
«____» ____________ 2014 г.
ЗЛЕНКО А.А.
ВВЕДЕНИЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
МОСКВА
МАДИ
2014
УДК 517
ББК 22.161
З 67
Зленко, А.А.
З 67
Введение в математический анализ: методические указания к
самостоятельной работе по математике / А.А. Зленко. – М.: МАДИ, 2014. – 36 с.
Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса, квалификации бакалавриата
и специалитета, начинающих изучать математический анализ. В краткой, сжатой форме они содержат основные теоретические сведения
по теории пределов, производной, исследованию функций и построению графиков. Теоретические положения иллюстрируются примерами, помогающими понять суть излагаемых вопросов. В конце каждого
раздела даны упражнения для лучшего понимания и усвоения материала.
УДК 517
ББК 22.61
© МАДИ, 2014
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы
студентов первого курса, квалификации бакалавриата и специалитета, изучающих
высшую математику, а именно начала математического анализа. Как правило, студенты-заочники обладают дефицитом времени и имеют недостаточную базовую
подготовку. Им трудно сразу читать учебники по высшей математике, которые
предполагают, что читатель уже подготовлен. И данные методические указания
служат первым приближением к изучению материала. Они содержит в сжатом, компактном виде, основные определения, теоремы и свойства по теории пределов,
производной, исследованию и построению графиков функций. Теоретические сведения снабжены многочисленными примерами, помогающими лучше понять суть
излагаемых вопросов и методическими указаниями по практическому применению
теории к решению задач. В конце каждого раздела даны упражнения для усвоения
и закрепления теоретического материала от самых простых задач до среднего
уровня сложности. Если рассматривать эти методические указания как некую образовательную услугу, то этого явно недостаточно. Мы хотим дать именно знания, а
это возможно только при самостоятельной интерактивной проработке материала.
Как обычно, студенты-заочники обладают уже неким жизненным опытом, который
подсказывает им, что до всего нужно «докапываться». И этот навык они стараются
применить и при изучении математики. Они часто задают вопросы, а почему это
определение формулируется именно так, а не иначе. А что получится, если немного
изменить формулировку. А откуда все это взялось? И так далее и тому подобное. И
это замечательное качество, которое нужно, несомненно, применять и развивать
при работе с данными методическими указаниями. Только на этом пути возможно
получение знаний и достижение истины. Возникающие вопросы нужно записывать,
а затем находить ответы у преподавателя, в Интернете и в учебниках. Проработав
темы данных методических указаний, можно приступать к углубленному изучению
теории, с разбором доказательств теорем в учебниках по математическому анализу. Методические указания могут быть использованы при выполнении контрольных
работ и для подготовки к экзаменам.
Изучение введения в математический анализ служит основой для дальнейшего успешного овладения математикой и является базой для овладения другими, инженерно-техническими, дисциплинами на пути становления грамотного,
высококвалифицированного, бакалавра и специалиста.
Историческая справка
До ХХVII века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач таких, например, как вычисление площадей
плоских фигур, объемов тел с кривыми границами, работа переменной силы и т.д.
Каждая задача или частная группа задач решалась своим, подчас довольно-таки
громоздким и сложным способом. В связи с возникновением понятия бесконечно
малой величины, возникло и понятие предела функции, на котором зиждется понятие производной. Оказалось, что все вышеназванные задачи, и многие другие можно решать одними и теми же методами. Нужно сказать, что представление о преде-
4
ле функции имели еще древнегреческие ученые (Архимед и др.), но окончательно
теория пределов была разработана О. Коши в начале XIX в. В 1673–1686 гг.
Г. Лейбниц заложил основы дифференциального и интегрального исчислений, ввел
термины функция, дифференциал, производная
dy
, абсцисса, ордината и др.
dx
И. Ньютон также стоял у истоков новой науки, разрабатывая математику непрерывных процессов. В 1748 г. Л. Эйлер опубликовал монографию «Введение в исчисление бесконечно малых». В 1797 г. Ж. Лагранж ввел современные обозначения производной: y ,f
x ,f
x ... В математическом анализе объектом изучения явля-
ется, прежде всего, функция, строгое определение которой дано Н. Лобачевским. В
природе и технике всюду встречаются процессы, описываемые функциями. Отсюда
вытекает объективная важность математического анализа как средства изучения
функций. Фундаментальное значение играют элементарные функции, с которыми
чаще всего оперируют на практике. Понятие функции существенно базируется на
понятии действительного числа, которое окончательно сформировалось в конце
XIX в. Благодаря этому удалось формально обосновать идеи Р. Декарта, который
ввел прямоугольную систему координат и представление в ней функций графиками.
Наряду с изучением функций действительной переменной возникла и теория функций комплексной переменной благодаря трудам Л. Эйлера, К. Гаусса и других ученых, которая нашла свое применение в гидродинамике, аэродинамике в решении
многих важных проблем (явление флаттера крыла самолета, М. Келдыш 1941 г.).
Глубокое осмысление исходных понятий математического анализа связывают с развитием в ХIX–XX вв. теории множеств, теории меры, теории функций
действительного переменного, которое привело к разнообразным обобщениям.
1. ПРЕДЕЛЫ
1.1. Определения и свойства пределов
Введем предварительные понятия, необходимые для понимания
определения предела функции.
0 ) точки a называется множество точек x
– окрестностью (
таких, что a
x
a
,x
a , или 0
x a
.
a
x a ‒ левосторонняя ‒ окрестность точки a .
0 x a
‒ правосторонняя ‒ окрестность точки a .
x
a ‒ означает, что x может быть в любой, сколь угодно малой, ‒ окрестности точки a .
x a 0 ‒ означает, что x может быть в любой, сколь угодно
малой, левосторонней ‒ окрестности точки a .
x a 0 ‒ означает, что x может быть в любой, сколь угодно
малой, правосторонней ‒ окрестности точки a .
5
x
‒ означает, что x может быть больше любого, сколь
угодно большого, наперед заданного положительного числа.
x
‒ означает, что x может быть больше любого, сколь
угодно большого, наперед заданного положительного числа.
x
‒ означает, что x может быть меньше любого, сколь
угодно малого, наперед заданного отрицательного числа.
Пусть числа a и A конечные величины.
Определение 1. Число A называется пределом функции
a , если для любого, сколь угодно малого,
0 суy f x при x
ществует такое
0 , что как только 0
Записывается это так: lim f x
x
, следует f x
x a
x
Возьмем любое, сколь угодно малое,
3
5.
0 . Тогда 2x 1 5
/ 2 . Итак, мы можем взять
x 3
.
A.
a
Пример. Докажем по определению, что lim 2 x 1
2x 6
A
равным
/ 2 и,
следовательно, наше утверждение доказано.
Определение 2. Число A называется левым (правым) пределом
функции y f x при x a 0 ( x a 0 ), если для любого, сколь
угодно малого,
a
x a (0 x
так: lim f x
x
a 0
0
a
существует такое
), следует f x A
A ( lim f x
x
a 0
0 , что как только
. Записывается это
A ).
Левый и правый пределы функции называются односторонними
пределами.
Определение 3. Число A называется пределом функции
, если для любого, сколь угодно малого,
0 суy f x при x
ществует такое
0 , что как только x
писывается это так: lim f x
x
, следует f x
A
. За-
A.
По аналогии можно самим сформулировать определение предела при x
и x
.
Пример. Найти lim 2x . Это также односторонний предел.
x
x
z
Решение. Сделаем замену: z
. Отсюда следует,
1
1
что lim 2x lim 2 z lim z . Мы видим, что выражение z при
x
z
z
2
2
6
z
уменьшается, оставаясь положительным, и может быть
меньше любого, наперед заданного, сколь угодно малого
0 , т.е.
1
1
. Тогда
2z и, логарифмируя это неравенство слева и справа
z
2
1
1
по основанию 2 , получим log2
z . Итак, за мы можем взять log2
и, следовательно, если z
или x
log2 1
1
0.
x
z
2z
Определение 4. Функция
x
или 2x
, т.е. lim 2x
1/ 2z
log2 1
lim
называется бесконечно малой
функцией в точке a , если ее предел равен нулю при x
Пример.
x
x
a.
n
a , где n – любое натуральное число.
Определение 5. Функция
x называется бесконечно большой
a.
функцией в точке a , если ее предел равен
при x
Это означает, что для любого, сколь угодно большого, B 0 суx
B.
0 , что как только 0 x a
ществует такое
, следует
При этом
x либо положительна, либо отрицательна в
ности точки a . Записывается это так: lim
x
a
x
– окрест-
.
1
.
0 x2
Пример. Вычислить lim
x
1
.
x2
Логично предположить, что предел равен бесконечности. Пусть
1
B , где B – любое, сколь угодно большое положительное число.
x2
Нам нужно найти ‒ окрестность нуля, где это неравенство выполня1
1
1
1
ется. Из него получаем, что
.
x2
x
x
B
B
B
B
1
1
Следовательно, за возьмем
и lim 2
.
x 0 x
B
Арифметические свойства пределов
Пусть существуют конечные пределы lim f x и lim g x , (здесь
Решение. Чем меньше аргумент x , тем больше выражение
x
под a мы подразумеваем конечное число или
1. lim cf x c lim f x , где c const,
x
a
x
a
a
x
) тогда:
a
7
2. lim f x
x
a
3. lim f x
x
a
f x
4. lim
x ag x
g x
lim f x
x
g x
x
x
a
, где g x
a
a
lim g x ,
a
lim g x
x
x
lim f x
lim f x
x
lim g x ,
a
0, lim g x
x
0.
a
a
1.2. Основные методы вычисления пределов
1.2.1. Если y
f x элементарная функция, то lim f x
x
f a в
a
области определения функции.
x 2 3 22 3 1
Пример. lim
.
x 2 x
2
2 2 4
1.2.2. Если предел числителя равен конечному числу, а предел
знаменателя равен нулю, то предел дроби равен .
cos x 1
1
Пример. lim
.
x
2 sin x
1
0
1.2.3. Проблемы при вычислении пределов возникают, если
встречаются неопределенности. Укажем основные из них и способы
их раскрытия.
0
1.2.3.1. Неопределенность типа
. Она возникает, если чис0
литель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми функцияa.
ми в точке a , т.е. их предел равен нулю при x
1.2.3.1.1. Если дробь представляет собой отношение двух многочленов, предел каждого из которых равен нулю, то можно разложить
на множители числитель и знаменатели и сократить на множители,
дающие ноль.
Пример.
x3 1
lim 2
x
1x
x 2
0
0
lim
x
x 1 x2
x 1 x
1
x 1
x2 x 1
lim
x
1
x 2
2
3
3
1.
1.2.3.1.2. Если дробь представляет собой алгебраическое выражение, содержащее корни, то можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, предел которого не равен нулю.
Пример.
x2
lim
x 3
x
9
3
0
0
x2
9
x
3
lim
x
3
x
3
x
3
8
x
3 x
3
x
3
lim
lim x 3
x
3 12 3 .
x 3
x 3
1.2.3.1.3. Применение первого замечательного предела:
x
3
lim
sin
0
0
0
1.
Он и называется первым замечательным, потому что часто используется и широко известен.
Пример.
sin x 2
2
x2 4
lim
x
sin x 2
2
x 2
lim
x
0
0
sin x 2
x 2 x 2
lim
x
1
4
2
x
2
,
sin x 2
2
x 2
lim
x
1
sin
lim
4 0
0
1.2.3.2. Неопределенность типа
lim
x
2
1
1
4
1
x
2
1
.
4
.
Если выражение представляет собой отношение двух многочленов или это отношение содержит иррациональное выражение со степенью переменной, то можно разделить числитель и знаменатель на
максимальную степень этой переменной.
x 2 3x 5
Пример. Найти предел lim
.
x
x 2x 2
Мы видим, что это неопределенность типа
. Максимальная
степень числителя и знаменателя равна x 2 . Разделим почленно числитель и знаменатель на x 2 . Получим:
1 3 / x 5 / x2
lim
x
1/ x 2
lim 1 3 / x
x
lim 1/ x
x
5 / x2
2
1 0 0
0 2
1
.
2
При делении на x 2 неопределенность исчезла и мы легко вычислили предел.
1.2.3.3. Неопределенность типа
.
Если выражение представляет собой разность корней, то для
раскрытия этой неопределенности можно умножить и разделить выражение на сопряженное.
9
Пример.
2x 2
lim
x
2x 2
3x
lim
x
lim
2x 2
3x
2x 2
3x
x
5x
2x 2
3x
2x 2
3x
2x 2
5x
5x
2x 2
2 3/x
2x 2
x
5x
2x 2
3x
2 3/x
x
8
5x
5x
8
lim
2 5/x
2x 2
8x
lim
8x
x
5x
2x 2
2x 2
lim
x
2x 2
3x
2 5/x
2 2.
2 2
1.2.3.4. Неопределенность типа 1 .
Эту неопределенность можно раскрывать с помощью второго
замечательного предела:
1
lim 1
0
x
1
lim 1
x
x
1
e
2.71828.
Этот предел замечателен тем, что дает нам число e , являющееся основанием натуральных логарифмов, и который широко применяется.
Пример.
lim
x 1
4 3x
8 x
1
x 1
1
lim 1
x 1
1
x 1
4 1 x
8 x
4 1 x
,
8 x
4 2
0, x
4
Замена :
x
1
4
lim 1
4
7
1
lim 1
0
0
7
1
4
7
e .
1.3. Упражнения
1. Найти пределы:
x2 4
1. lim
.
x 2 x
2
x 2
.
2
2 x
5x 6
4. lim
x
x 2 25
2. lim
.
x
5 3x
15
16 x 2
.
4 x2
6x 8
5. lim
x
2x 2 32
3. lim
.
x 4
x 4
6. lim
x
3
x3
x2 9
.
2x 2 3 x
10
x
7. lim
x
1 x
0
10. lim
x
4
1 x
x
2 sin x 1
.
cos2x
9. lim
x 6 3
.
3 x
1 cos x
.
0 sin2 x
12. lim
tg 2 x
.
tgx
15. lim
cos x
.
cosx cos3x
x
14. lim
x
6
x
sin x
17. lim
3x 2 1
19. lim 2
.
x
x 4x
x 5 7x 4
20. lim
.
x
9 x 3 2x 5
4x 2 x 3
22. lim
.
x
10x 1000
23. lim
x
2
4
2
6x 3
x 5x 3
18. lim
.
25. lim 2 .
x
28. lim
x
3
30. lim
x2
x
2x 1
2 .
29. lim
x
x2
6x
x2
3x 4
x
11x
2x
20
3
3
3
x 1
21. lim
.
x
x 5x 3
3
4
x6
1 x3
24. lim
.
x
x 1
.
1
26. lim
.
x
3 2x
3 x
x
0,5 x
x
2
6
x 3 7x 2
16. lim 2
.
x
x 10x
x
3
x
3
2 .
sin 2 x
sin x
.
0 sin2x
sin4x
x
x
11. lim
13. lim
x
x 1
.
12
5 x
8. lim
.
27. lim 4
7
1 5
x
4x
x2
x
.
x .
9 .
2. Найти пределы, используя первый замечательный предел:
sin3 x
2sin5 x
4x
1. lim
2. lim
3. lim
.
.
.
x 0
x 0
x 0 sin0.5 x
x
3x
sin x
tg10 x
sin2x
4. lim
5. lim
6. lim
.
.
.
x 0 tg 7 x
x 0 tg 8 x
x 0 sin6 x
sin2 x 2
.
2
6x 3
7. lim
x
10. lim
x
2
13. lim
x
2
cos x
x
.
3x 3
.
1 sin 4 x
4
8. lim
x
tg 2 x 10
.
5
x 5
9. lim
x
x
tgx
11. lim
.
x
x
12. lim
tg 2 x
.
tg 5 x
15. lim3
x
2
2.
ctgx
2
tgx
.
sin3 x
14. lim
x
x
2
tg 7 x
.
ctgx
.
11
arcsin x
.
0
x
2x
.
x
x 0 arctgx
1 cos2x
1 cos 4 x
19. lim
20. lim
.
.
2
x 0
x 0 1 cos2 x
x
sin x sin3 x
7x
22. lim
23. lim
.
.
x 0
x 0 cos2 x
x
cos 4 x
cos x cos3 x
sin 4 x sin x
25. lim
. 26. lim
.
x
x 0 sin13 x
sin2x sin5 x
sin7 x
16. lim
17. lim
x
2
.
29. lim
cos x
x
4x
.
0 arcsin9 x
18. lim
x
x sin x
.
x 0 1 cos x
sin x sin2x
24. lim
.
x 0
6x
cos x cos3 x
.
27. lim
sin x sin3 x
x
21. lim
2
3
sin2x
28. lim
.
x 01
1 x
2
30. lim
x 1
2
5 x
.
sin2 x
3. Найти пределы, используя второй замечательный предел:
1
x
1. lim 2 x
x
0
1
x
4. lim 1 x
x
0
x
0
13. lim 1
x
16. lim 1
x
0
19. lim 1
x
x
.
1
x
x
1 x
0
.
x
1 x
x
x
x
ctgx
.
.
20. lim 1
x
1 2x
1 x
.
1
28. lim ln 1 x .
x 0 x
1
x
1
x
0
2x
3 x
.
12. lim 1
x
x
.
2x 1
3
4
x
tgx
.
.
1
x
3x
8 x
.
3x
18. lim 1
x 0
4 x
21. lim 1
x
x
.
1 5x
2x
2
5 2x
3 x
1
x 2
ctg 2 x
0
1
29. lim ln 1 x .
x 0 x
.
27. lim
x
1
4
6
x
x
ex 1
30. lim
.
x 0
x
3
x 1
.
6 x
10
8
3 2x
24. lim 1 sin x
.
x
9
15. lim 1
x
3 7x
.
2 3x
x
0
.
x
6
9. lim 1
x
x
1
x
.
2
26. lim
x
0
x
.
7
x
6. lim 1 3 x
x
23. lim 1 ctgx
x
1
x
x
.
6x
17. lim 1
x 0
1 x
.
x 4
2
1
2 5x
0
3. lim 4
4
14. lim 1
x
1 2x
.
5
2
1
x
0
11. lim 1
x
2
x
.
1
8. lim 1
x
5x
0
25. lim
x
5. lim 1 4 x
.
22. lim 1 tgx
x
x
x
2
7. lim 1
x
x
10. lim 1
2. lim 3
.
x
2
x
.
.
.
12
2. ПРОИЗВОДНАЯ
2.1. Краткие теоретические сведения и примеры
Обозначения:
функции, y
y x
x ‒ приращение аргумента;
x
y ‒ приращение
y x .
Определение. Производной функции y
f x в фиксированной
точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (есy
ли этот предел существует): y
.
lim
x 0 x
Существуют и другие обозначения производной: y
f x
yx
dy
.
dx
Если производная конечная величина, то функция является
дифференцируемой в точке x .
Механический смысл производной – это скорость изменения
процесса, описываемого данной функцией.
Пример. Если S t – путь, проходимый автомобилем за время
t , то V t
S t
(производная пути по времени) – мгновенная ско-
рость движения автомобиля, т.е. та скорость, которую водитель видит
на спидометре.
Геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона
касательной к графику функции y f x в данной точке x (рис. 1).
Y
y = f(x)
y'(x) = tgφ
φ
O
x
Рис. 1
Пример.
Найти производную функции y
sin x по определению.
X
13
y
lim
x
sin x
0
sin x
lim
0
x
2
lim
x
x
2x
x
cos
2
2
x
2sin
x
x
x
x
2sin
lim
0
cos
x
x
2
x
x
0
sin
x
x
x
2
lim cos x
x 0
x
2
x
2
1cos x
cos x.
Свойства производной для дифференцируемых функций
cf x , где c
1. cf x
2. f x
g x
g x .
f x
3. f x g x
f x g x
f x
g x
4.
const .
f x g x
g x
5. Пусть f u
и u x
f x g x .
f x g x
, g x
2
0.
– дифференцируемые функции, тогда
f u x – сложная функция, а fx u x
fu u ux x – ее производная.
Таблица производных основных элементарных функций
1
2. sin x
1. x
x
.
4. tgx
1
.
cos2 x
5. ctgx
1
7. arccos x
1 x
2
. 8. arctgx
cos x.
3. cos x
sin x.
1
. 6. arc sin x
sin2 x
1
. 9. arcctgx
1 x2
1
2
.
1 x
1
.
1 x2
1
1
a x ln a, e x
ex.
11. a x
, ln x
.
x ln a
x
Примеры вычисления производных функций
с помощью свойств и таблицы
1
3
,y
x3
3x 4
.
1. y
3
x
x4
2. y cos3 x . Это сложная функция, сделаем замену u cos x ,
10. loga x
тогда y
u3
3. y
ln2x
x
3u 2u
x ln2 x, y
1
x
ln2x 1.
3cos2 x cos x
x ln2 x
x ln2 x
3cos2 x sin x .
x ln2x
1 ln2x
x
2x
2x
14
Дифференциал функции
Из определения производной следует, что приращение функции
можно приближенно представить в виде y y x x .
Определение. Главная, линейная относительно x , часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается так: dy y x x .
Из этого определения следует, что
y x
x
y x
dy
y x
y x
y
y x
x
dy и
y x
x . Эта формула используется
для приближенных вычислений без калькулятора.
Пример. Вычислить
8.98 .
Решение. Введем функцию y x
x
1
0.01
0.02 3
3 0.003
3
2 9
Производные высших порядков
x
8.98
3
Определение. Второй производной y
. В общем случае n -ой производной y
зывается производная от ее
y
n
x
y
n 1
x
e4 x
n
x
y
2
x
x функции y x на-
n 1 -ой производной y
n 1
, т.е.
.
Пример. Найти y , если y
y
2.997 .
x функции y x назы-
вается производная от ее первой производной, т.е. y
y x
9
0.02. Отсюда следует, что
8.98 9
y x
1
. Пусть x
2 x
x, y x
e4 x 4x
4e 4 x , y
e4x .
4e 4 x
16e 4 x , y
16e 4 x
64e 4 x .
Производные функций, заданных параметрически
Можно задать функцию в явном виде y
метрически: y
y t ,x
x t , t – параметр,
f x , а можно параt
. Как в этом слу-
чае найти производные y x , y x ? Приведем готовые формулы:
y x
y t
,
x t
y
x
y t x t
x t
y t x t
3
.
15
Пример. Известно уравнение окружности с центром в начале
координат x 2 y 2 R2 , где R – радиус окружности. Параметрическое
уравнение окружности зададим в виде: x R cos t, y R sin t, 0 t 2 .
Вычислим y x , y
y x
x .
R sin t
R cos t
R sin t
R cos t
R cos t
y
R sin t
R cos t
R sin t
ctgt ,
2
R sin t
R sin t
R cos t
3
R sin3 t
3
R 2 sin2 t
cos2 t
R 3 sin3 t
2
1
.
R sin3 t
2.2. Упражнения
1. Найти производные:
1. y
4. y
x2
7. y
5
x
x3
e
x
2
e
x
2
2x 3
.
x2
sin x 1
8. y
.
cos x
11. y cos3x.
14. y cos3 x.
17. y cos2 3x.
20. y
.
1
x
22. y
2 .
25. y
ln tg
23. y
x
.
2
3. y
x3
5. y
.
.
x2 1
10. y sin2x.
13. y sin2 x.
16. y sin3 2x.
19. y
1
.
x
2. y
x.
26. y
6. y
9. y
12. y
15. y
18 y
3
8 10 x 2 .
21. y
1 6cos7 x.
24. y
5
1 x arcsin x .
27. y
1
.
x
x 4 4x 2 6x
.
x
cos x 1
.
sin x
tg 4x.
ctg 4 x.
tg 5 6x.
x
sin
.
x 2
1
.
3
5 e3 x
ln x
1 x2 .
1 x
.
1 x
2. Вычислить приближенно выражения, используя дифференциал функции:
1. 4.02.
2. tg48 .
3. ln0.98.
4. cos95 . 5. 3 66.
28. y
6. e0.03.
x sin2x
x 2 cos2x.
7. sin32 .
29. y
1 x 4 arctgx 2 .
8. arctg 0.05. 9. 2.01
10
.
30. y
ln
10. arcsin0.03.
16
3. Найти производные высших порядков:
1. x 5
6
2. ln 2 x
.
3
6. arcsin0.5 x
3
3. cos2 3 x .
.
4
. 7. arctgx
n
10. Докажите, что sin x
.
3
8. ctg 3 x
sin x
1
x
4. tg
.
2
4. Найдите производные y x и y
.
5. 45 x
.
3
.
1 x2
9. ln x
.
n
x функций, заданных па-
раметрически:
3t 2 1.
1
3. x
, y cos2t.
t
cos2t, y ctg 2t. 6. x
2. x
t2
1
1. x
t, y
4. x
ln t 2, y
7. x
1 t 2 , y arc sin t. 8. x sin34t , y tg 34t. 9. x 1 4t 2, y arcctg 2t.
5. Написать уравнение касательной y k x и нормали y n x к
5. x
t.
4, y
1 t 2, y
.
2 t
arctgt.
кривой y x в точке с абсциссой x0 , если они имеют следующий вид:
yk x
y x0
y x0 x
x0 , y n x
x3
1. y
x 2 5x 6, x0
2. 2. y
4. y
x ln4x 1 , x0
0,25. 5. y
7. y
x
10. y
13. y
x
1 , x0
1. 8. y
3 sin 4 x 1, x0
8
1
tg 2x 2, x0
3
16. y
cos3 4 x, x0
19. y
arccos 4 x, x0
22. y
2x 3, x0
3
. 14. y
. 17. y
1
, x0
x
x3
3 cos
5. 3. y
x, x0
10 x3 , x0
. 11. y
6
4x 2
1
y x0
y x0
x x4
2. 6. y
3. 9. y
x
2
4, x0
sin3 2 x, x0
4arctg 2x, x0
12
3
x
x0 .
2 ,x0
1.
1
, x0 3.
1 x2
1
, x0 3.
6 x
ln x
, x0 e 1.
x
x
3
ctg 2 , x0
.
3
4
. 12. y
. 15. y
3
. 18. y
2
arcsin3 x, x0
1
x
. 20. y 2ln x 5, x0 e. 21. y
, x0 4.
8
x 3
4 x 2 , x0
1.
3. 23. y 5 3x 1, x0 0. 24. y
1
25. y
28. y
1
.
6
x
x 7 e , x0
sin x
, x0
cos6 x
6
0. 26. y
. 29. y
xe x , x0
ln x 1
, x0
ln x
1. 27. y
e. 30. y
e x , x0
1.
x 2 6x
, x0
x 6
3.
17
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
3.1. Основные свойства функций
3.1.1. Непрерывность функции
Определение 1. Функция y = f(x) называется непрерывной в
точке x a , если выполнены три условия: 1) функция существует в
этой точке и f a A ; 2) существует конечный предел lim f x ; 3) этот
x
предел равен значению функции в точке x
Определение 2. Функция y
f x
a
a , т.е. lim f x
x
a
A.
называется непрерывной на
интервале a, b , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение 3. Функция y
f x называется непрерывной на
отрезке a, b , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого
интервала и непрерывна в точке a справа, а в точке b ‒ слева (смотри
односторонние пределы).
Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области их
определения.
Если хотя бы одно из вышеперечисленных трех условий в первом определении не выполнено, то функция называется разрывной в
точке x a .
Классификация разрывов
1. Устранимый разрыв.
Определение. Точка x a является точкой устранимого разрыва, если существует конечный lim f x и этот предел не равен знаx
a
чению функции в точке x a (в самой точке функция может существовать, а может и не существовать).
sin x
Пример. Рассмотрим функцию: y
(рис. 2). В точке x 0
x
функция не определена, хотя существует конечный предел
sin x
lim
1. Разрыв можно устранить, определив функцию следуюx 0
x
sin x
, если x 0 и y 1, если x 0.
щим образом: y
x
2. Разрыв первого рода.
Определение. Точка x a является точкой разрыва первого
рода, если существуют конечные, не равные между собой, односто-
18
ронние пределы lim f x
x
a 0
x
lim f x (в самой точке функция может
a 0
существовать, а может и не существовать).
y
0.75
0.5
0.25
0
–5
–2.5
0
2.5
5
x
x
Рис. 2
x
Пример. Дана функция: y
. Это означает, что y
1, если
x
0 и y 1, если x 0 (рис. 3). В точке x 0 функция не существует,
но существуют конечные односторонние пределы:
lim y ( x )
x 0 0
1,
lim y ( x ) 1. Как мы видим, они не равны друг другу.
x
0 0
Y
1
0
X
–1
Рис. 3
3. Разрыв второго рода.
Определение. Точка x a является точкой разрыва второго
рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует
или равен .
Пример.
Рассмотрим функцию: y
пределы в точке x
2 : lim y x
x
2 0
3
1
x 2
,x
2 . Найдем односторонние
0, lim y x
x
2 0
этой точке разрыв второго рода (рис. 4).
. Следовательно, в
19
y
50
37.5
25
12.5
0
–5
–2.5
0
2
2.5
5
x
Рис. 4
3.1.2. Четность и нечетность функции
Определение. Функция называется четной, если y
x
y x .
Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно оси OY . Если y x
y x , то функция называется нечетной. У этой функции график центрально симметричен относительно начала координат. Если функция не является ни четной ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.
Пример. Функция y
x 2 четная, так как
x
2
x
2
. Ее график –
всем известная парабола (рис. 5).
x 3 ‒ нечетная, потому что
Функция y
x
3
x 3 . График этой
функции – кубическая парабола (рис. 6).
y
25
20
15
10
5
0
–5
–2.5
0
2.5
5
x
Рис. 5
20
y
100
50
0
–5
–2.5
0
2.5
5
–50
x
–100
Рис. 6
3.1.3. Периодичность функции
Функция, значения которой не изменяются при добавлении к
значениям ее аргумента или вычитании от значений ее аргумента некоторого, не равного нулю, числа T называется периодической функцией с периодом функции T , т.е. f x T
f x . При этом предполагается, что аргумент x T также принадлежит области определения
функции, как и x . Периодов у функции может быть много. Как правило, за T берут наименьший положительный из них. Для построения
графика функции с периодом T 0 достаточно построить ее график
на отрезке [0, T ] , тогда весь график получается сдвигом построенной
части вдоль оси абсцисс на T , 2T ,... .
Пример.
Функции sin x и cos x имеют период 2 , функции tgx и ctgx –
В общем случае, функции sin x,cos x имеют T
tg x , ctg x период равен
функции y
/
cos x на интервале
.
, а у функций
2 /
. На рисунке 7 изображен график
4, 7 (в радианах).
3.1.4. Асимптоты функции
Определение 1. Прямая x a называется вертикальной асимптотой функции y f x , если хотя бы один из ее односторонних
пределов равен
, т.е. lim f x
x
a 0
, или lim f x
x
a 0
.
Заметим, что при построении графика функции важен именно
знак этой бесконечности.
21
1
y
0.5
–2.5
0
2.5
5
2π
x
–0.5
–1
Рис. 7
Пример.
1
. Очевидно, x
x
Дана функция y x
1
1
, lim
x 0 0 x
x 0 0 x
асимптота (рис. 8).
lim
0 . Рассмотрим пределы:
. Отсюда следует, что x
y
0 – вертикальная
25
20
15
10
5
0
–2.5
1.25
–5
0
1.25
2.5
–10
x
–15
–20
–25
Рис. 8
Определение 2. Прямая y kx b называется наклонной асимптотой функции y
f x , если lim f x
x
kx
b
0 . Если k
асимптота называется горизонтальной.
Заметим, что под символом
мы подразумеваем
или
При этом коэффициенты k и b вычисляются по формулам:
f x
k lim
, b lim f x kx
x
x
x
и асимптота существует, если эти пределы конечны.
0 , то
.
22
Пример.
4x 2 1
Дана функция y x
. Очевидно, она имеет вертикальx 0.5
ную асимптоту x 0.5 . Найдем наклонные асимптоты.
1
4
2
2
4x 1
4x 2 1
x
k lim
lim
4, b lim
4x
x
x
x
0.5
x x 0.5
x
0.5
1
x
1
2
4 x 2 1 4 x 2 2x
1 2x
x
lim
lim
lim
2.
x
x
x
0.5
x 0.5
x 0.5
1
x
Отсюда следует, что y 4x 2 ‒ наклонная асимптота. Схематиче-
4x 2 1
с асимптотами изображен на рис. 9.
x 0.5
ский график функции y x
y
50
25
0
–5
2.5
0
2.5
5
x
–25
Рис. 9
3.1.5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума
Определение 1. Функция y f x называется возрастающей
(не убывающей) на интервале a, b , если для любых x1 и x2 , принадлежащих a, b и таких, что x1 x2 , следует f x1
Определение 2. Функция y
f x2
f x2 .
f x1
f x называется убывающей (не
возрастающей) на интервале a, b , если для любых x1 и x2 , принадлежащих a, b и таких, что x1
x2 , следует f x1
f x2
f x1
f x2 .
Определенные выше функции называются монотонными.
Сформулируем условия монотонности функции.
23
Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале
a, b функция не убывала (не возрастала) необходимо и достаточно,
чтобы производная этой функции y была неотрицательной (неположительной) везде на a, b .
Теорема 2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале
a, b функция y f x возрастала (убывала) на этом интервале,
достаточно, чтобы производная этой функции y была положительна
(отрицательна) везде на a, b .
Пример. Найти участки монотонности функции y x 2 5x 6 .
Решение. Вычислим производную этой функции: y 2x 5 . Мы видим, что производная больше нуля, если x 2.5 и отрицательна, если
x 2.5 . Из вышесказанного следует, что на интервале
, 2.5 функция убывает, а на интервале 2.5,
функция возрастает (рис. 10).
y
6.25
5
3.75
2.5
1.25
0
0
1.25
2.5
3.75
5
x
Рис. 10
Определение 3. Функция y f x имеет в точке x
c локаль-
ный максимум (локальный минимум), если существует такая
– окрестность точки c в пределах которой значение f c является наибольшим (наименьшим). Локальный максимум и минимум функции
называются экстремумами функции. На рисунке 11 точка M1 – точка
максимума, а точка M2 – точка минимума.
Определение 4. Точки, в которых производная y
y
функции
f x равна нулю, называются стационарными точками функции.
24
Первое достаточное условие экстремума
Теорема 3. Пусть функция y f x дифференцируема всюду в
некоторой окрестности стационарной точки c . Тогда, если при переходе через эту точку слева направо производная y меняет знак c «+»
на «-» , то в этой точке – максимум, если – с «-» на «+», то в этой точке
– минимум. Если же при переходе через эту точку производная знак
не меняет, то экстремума в точке c нет.
Y
M1
M2
O
x1 – δ
x1 + δ
x1
x2 – δ
x2
x2 + δ
X
Рис. 11
Пример.
1 3
x . Найдем стационарные точки.
3
0 . Отсюда получаем две стационарные
Рассмотрим функцию y
y
4x 3
x2
точки x1
x 2 4x 1
0 и x2
x4
0.25 . При переходе через точку x1 производная
знак не меняет, а при переходе через точку x2 слева направо производная меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в этой точке – минимум (рис. 12).
Второе достаточное условие экстремума
Теорема 4. Пусть функция y f x имеет в данной стационарной точке c конечную вторую производную. Тогда в этой точке локальный максимум, если y с 0 , и локальный минимум, если
y с
0.
25
y
0.0075
0.005
0.0025
0
–0.25
–0.125
0
0.125
0.25
0.375
x
Рис. 12
Пример.
Дана функция y
Стационарная точка c
e
x2
0 . Вычислим y : y
сюда следует, что y 0
максимум, ymax
y 0
. Найдем ее производную: y
x
2e
x2
4 x 2e
2xe
x2
x2
.
. От-
2 0 и в данной стационарной точке –
1 (рис. 13).
y
1
0.75
0.5
0.25
0
–2.5
–1.25
0
1.25
2.5
x
Рис. 13
3.1.6. Выпуклость графика функции, точки перегиба
Пусть функция y f x дифференцируема в любой точке интервала a, b . Тогда, как мы знаем, существует касательная к графику функции в любой точке данного интервала, причем эта касательная
не параллельна оси OY .
Определение 1. Функция y f x имеет на интервале a, b
выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции
26
лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на
этом интервале. Функцию, направленную выпуклостью вниз, также называют вогнутой, а направленную выпуклостью вверх, просто выпуклой. На рисунке 11 часть функции в окрестности точки x1 является
выпуклой, а в окрестности точки x2 – вогнутой.
Теорема 1. Если функция y
f x имеет на интервале a, b
конечную вторую производную y и она на нем неотрицательна (неположительна), то график функции является вогнутым (выпуклым) на
этом интервале.
Пример.
Рассмотрим функцию y x 3 на любом конечном интервале
a, a , где a
и равна y
0 . Ее вторая производная на этом интервале конечна
6x . Тогда на интервале
a, 0 вторая производная от-
рицательна и, следовательно, график функции является выпуклым, а
на интервале 0, a вторая производная положительна и, следовательно, график функции является вогнутым (рис. 6).
Определение 2. Точка C c,f c
графика функции y
f x на-
зывается точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки c , в пределах которой график функции слева и справа от точки c имеет разные направления выпуклости.
Теорема 2. (необходимое условие перегиба графика дважды
дифференцируемой функции). Если функция y f x имеет в точке
c вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке
C c,f c , то y c
0.
Теорема 3. (достаточное условие перегиба графика функции).
Пусть в некоторой окрестности точки c существует вторая производная функции y f x и y c 0 . Тогда, если в этой окрестности вторая производная y
x имеет разные знаки слева и справа от c , то
график этой функции имеет перегиб в точке C c,f c .
На рисунке 14 изображены графики функций, имеющие перегиб
в точках C1 и C2 . При переходе через эти точки слева направо у них
разные направления выпуклости и в этих точках существует касательная.
27
y''(x) < 0
y''(x) < 0
C2
C1
y''(x) > 0
y''(x) > 0
Рис. 14
Пример.
Дана функция y
sin x . Вторая производная y
x
sin x . Она
существует везде в области определения функции. Найдем точки, в
которых производная обращается в ноль: sin x 0 . Корни этого
уравнения x
. При перехоk, k Z . Рассмотрим точки x 0 и x
де через точку x 0 слева направо вторая производная функции меняет знак c «+» на «-». Это означает, что график функции слева от
точки x 0 является вогнутым, а справа – выпуклым и, следовательно, точка x 0 ‒ точка перегиба (рис. 15). При переходе через точку
x
слева направо вторая производная функции меняет знак c «-»
на «+». Это означает, что график функции слева от точки x
является выпуклым, а справа – вогнутым и, следовательно, точка x
–
точка перегиба (рис. 15). Функция y sin x является периодической с
периодом T 2 . Поэтому все остальные точки из множества
{x
k, k Z } также являются точками перегиба. Таким образом,
функция y
sin x имеет бесконечное число точек перегиба на интер-
вале
.
;
y
1
0.5
π
0
–4 –π
–2
2
–0.5
–1
Рис. 15
4
x
28
3.1.7. Общая схема исследования и построения графика
функции
1. Область определения функции D f .
Это множество значений аргумента, при которых функция существует, т.е. принимает конечные значения.
2. Область непрерывности функции. Точки разрыва и их тип.
3. Асимптоты функции. Поведение функции на бесконечности
(при x
).
4. Четность, нечетность функции.
5. Периодичность функции.
6.Точки пересечения графика функции с осями координат и области знакопостоянства функции.
У точек пересечения графика функции с осью OY абсцисса
x 0 , а у точек пересечения графика функции с осью OX ордината
y 0 . Области знакопостоянства функции – это те интервалы из
области определения функции, на которых она или положительна или
отрицательна.
7. Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.
8. Интервалы выпуклости и вогнутости функции. Точки перегиба.
9. Область значений функции E f .
Это множество тех значений функции, которые она принимает.
Замечание. Иногда бывает трудно сразу найти область значений функции и мы можем определить ее, только построив график
функции.
Для построения графика функции нужно сначала отметить точки
пересечения с осями, точки экстремума, провести асимптоты, а затем
использовать все остальные свойства.
Пример.
1
.
Исследовать и построить график функции y x
x
1. Область определения функции: x R, x 0.
2. Функция непрерывна при x
разрыв: lim x
x 0 0
1
x
{(
, 0)
(0,
)} . В точке x
0 –
. Отсюда следует, что это разрыв второго рода.
29
3. Найдем асимптоты. Точка x
k
lim
x
y x
x
lim 1
x
1
x2
1, b
0 – вертикальная асимптота.
lim y x
kx
x
lim
x
1
x
y
0
kx
b
x –
наклонная асимптота.
1
4. y x
x
y x . Следовательно – функция нечетная.
x
5. Определим, является ли функция периодической? Пусть
y x T
y x . Отсюда следует, что
x T
T
1
x T
T
x( x T )
1
x
x
0
T
1
1
x
x T
1
T 1
x( x T )
0
0.
Последнее равенство возможно для всех x только при T 0 ,
т.е. функция является непериодической.
6. График функции не имеет точек пересечения с осью OY , т.к.
x2 1
x 0 , и не имеет точек пересечения с осью OX , т.к. y
0 . Из
x
этой формулы мы видим, что y 0 , если x 0 , и y 0 , если x 0 .
7. Найдем производную функции и определим ее знак:
1 x2 1 x 1 x 1
)} ,
y 1 2
y 0 , если x {( , 1) (1,
x
x2
x2
1. Это
и y 0 , если x ( 1, 1) . Производная равна нулю, если x
1 ‒ абсцисса максимума функции, так как y
точки экстремума. x
меняет знак при переходе через эту точку слева направо c «+» на «-»,
ymax y 1
2 . x 1 ‒ абсцисса минимума функции, так как y ме-
няет знак при переходе через эту точку слева направо c «-» на «+»,
ymin y 1 2 .
8. Найдем вторую производную функции и определим ее знак:
y
1
1
x2
2
x3
y
0 , если x
0, и y
0 , если x
0 . Отсюда
получаем, что при x 0 функция вогнута, а при x 0 – выпукла.
Мы видим, что вторая производная в ноль не обращается и при
x 0 не существует, и сама функция в этой точке не определена.
Следовательно, точек перегиба нет. Схематический график функции
приведен на рисунке 16. Мы видим, что функция не принимает значе-
30
ний в интервале
2; 2 , следовательно, область значений функции
E f это объединение интервалов:
; 2
2;
.
Y
2
–1
X
1
O
–2
Рис. 16
3.1.8. Полярные координаты
В декартовой прямоугольной системе координат OXY координаты точки M ‒ это ее проекции на оси OX и OY , т.е. x и y , которые
однозначно определяют ее положение на плоскости. Но однозначно
положение точки на плоскости можно задать и другим способом с помощью чисел
и , связанных с координатами x и y следующими
соотношениями (рис. 17):
x
cos , y
sin .
Y
M
y
ρ(φ)
φ
O
x
Рис. 17
X
31
Здесь
‒ расстояние от точки M до начала координат O , полярный радиус,
0 , ‒ угол, который радиус-вектор OM образует с
положительным направлением оси OX , полярный угол. Если
0 , то
угол
не определен. Для получения однозначных координат точки,
обычно ограничивают значения угла интервалом 0, 2
(или
,
),
хотя каждой точке на плоскости может соответствовать бесконечное
значение углов с точностью до 2 n . Точка O называется полюсом,
ось OX ‒ полярной осью. Полярный радиус , тригонометрические
функции полярного угла
и угол
выражаются через x и y по следующим формулам:
x
y
y
x 2 y 2 , cos
, sin
, tg
,
x
x2 y 2
x2 y 2
arctg
y
, если x
x
0, y
arctg
0;
arctg
y
x
y
x
, если x
2 , если x > 0, y < 0;
0;
3
, если x 0, y 0.
2
2
Многие уравнения, которые в декартовой системе координат записываются сложным образом, в полярной системе записываются
значительно проще. На рисунке 17 через точку M проходит некоторая
кривая, заданная уравнением
, если x
0, y
0;
Пример 1.
Уравнение окружности радиуса R в декартовой и в полярной
системах координат имеет соответствующий вид:
x 2 y 2 R2 и
R, 0
2
Пример 2.
Дана функция
cos2 . Построить по точкам ее график в полярной системе координат. Записать уравнение полученной кривой в
декартовой системе координат.
Так как
0 , то
cos2
0
4
2 k
2
4
2
, если k
2
0;
2 k
3
4
4
k
5
, если k
4
4
1.
k
32
При остальных значениях k области допустимых значений угла
на плоскости повторяются. Ниже приведена таблица значений
функции в нескольких точках на интервалах
4
0
8
2/2
0
1
8
2/2
3 5
.
;
4 4
и
;
4 4
4
3
4
7
8
0
0
2/2
1
9
8
5
4
2/2
0
По этим нескольким точкам построим схематический график
функции (рис. 18).
Y
φ = π/4
φ = 3π/4
φ = π/8
φ = 7π/8
O
1
X
φ = 9π/8
φ = –π/8
φ = 5π/4
φ = –π/4
Рис. 18
Мы видим, что график состоит из двух одинаковых, симметричных относительно осей OX и OY , лепестков. В декартовой системе
координат уравнение данной кривой имеет вид: x
2
y
3
2 2
x2
y2.
3.2. Упражнения
1. Найти точки разрыва функции их тип (если они есть) и указать характер поведения функции (четная, нечетная, общего вида):
1
3
x 1
.
.
1. y
2. y
3. y
.
x
x 2
4x 5
sin x
cos x
.
.
4. y
5. y
6. y sin2x 1.
x
x
1
sin3 x
.
.
7. y
8. y 7x 2 0.5.
9. y
2
x
x
33
10. y
4cos5x.
13. y
x2 4
.
x 2
16. y
ctg 3x.
19. y
21 x.
22. y
x2
25. y
ctgx
.
4
4x.
sin x
.
x 1
x 3
14. y
.
x2 9
x
17. y
.
x
11. y
12. y
8x 3.
15. y
5x.
18. y
4
.
x
21. y
1 2
x
3
20. y
3x 2
23. y
1 2
sin x.
2
24. y
tgx 1.
26. y
3tg 2x.
27. y
arcsin x.
6x.
5x
2.
ln( x 1)
ex
28. y arctgx.
29. y
30. y
.
.
x
x
2. Найти асимптоты следующих функций:
1
1
2
1. y
2. y
3. y
.
.
.
x
x 2
x 3
5
4
3
4. y
5. y
6. y
.
.
.
2
2
2
x 4
x 9
4 x 25
1
2x 1
x
7. y x
8. y
9. y
.
.
.
x
x
x 1
3x
x
x2 5
10. y
11.
12.
y
.
.
y
.
x2 1
x 2 25
9 x 2 16
x2 1
x3 x2
x
13. y
14.
15.
.
y
.
y
.
x 2 5x 6
x 1
x2 2
16. y 3e x .
17. y 2e 3 x .
18. y ln x 1 .
19. y
ln 4 x .
20. y
tg 2x.
21. y
2ctgx 5.
22. y
arctgx.
23. y
arcctgx.
24. y
arctgx + 2x .
26. y
sin5x
27. y
cos2x
25. y
x 2 1.
x.
x.
29. y arctg 2x.
30. y xe x .
2x 2 3.
3. Найти интервалы возрастания и убывания функций, и точки экстремума (если они есть):
1. y x 2 1.
2. y x 2 4x.
3. y x 2 x 6.
28. y
4. y
x2
2x 8.
5. y
x3
3x.
6. y
x4
8x.
34
7. y
10. y
13. y
16. y
19. y
1
.
x
4x 2 1
.
x
e3 x .
sin2x.
2tgx + 0.5.
14. y
17. y
20. y
x 1
.
x
x
.
x2 1
e 2x .
3sin x 1.
ctgx 7.
8. y
11. y
15. y
18. y
21. y
1
.
x
x 2
.
x2 5
xe x .
4cos x + 5.
ln6 x.
9. y
x
12. y
22. y
x ln x.
23. y
arctg 3x.
24. y
arctg 2x 2 .
25. y
3arcsin x 2.
26. y
5arccos x 8.
27. y
arcsin x 2.
x
3
x. 30. y 2sin2 .
2
2
4. Провести полное исследование и построить графики следующих элементарных функций:
1. y 2x 2 1.
2. y
3. y x 2 2x 1.
3x 2 4.
1
4. y
5. y 2x 2 x 1.
6. y
.
x 2 5x 6.
x 1
x
3x 1
x 4
7. y
8. y
9. y
.
.
.
2 x
x
8 7x
1
3 5x 2
10. y x
11. y
12. y sin2x.
.
.
x
x
28. y
sin x 0.5x.
29. y
13. y
2cos x
16. y
tgx 1.
17. y
19. y
3 2x
20. y
22. y
ln2x.
25. y
2arcsin x
28. y
arctgx
.
15. y
cos2 x.
3.
18. y
e2 x .
xe x .
21. y
1 3 x.
23. y
log2 x 1 .
24. y
ln 3 x .
26. y
arccos x
14. y
3.
6.
.
cos x
sin x
4
3ctgx
2
. 27. y
2arcsin x
3
.
.
29. y 2arctg x 1 . 30. y
arcctgx 4.
2
5. Найти область определения и построить по точкам графики функций, заданных в полярной системе координат:
cos .
1.
2.
3.
sin .
cos
1.
4.
sin
7.
cos
0.5.
2
.
2
5.
2cos
8.
sin2 .
1.
6.
2sin
9.
cos3 .
3.
35
10.
sin .
3
13.
3
2
16.
.
.
11.
4cos .
2
12.
3sin5
14.
0.5 .
15.
e
17.
2
2
19.
.
20.
3
22.
cos .
23.
sin .
25.
ln
28.
arcsin
1.
3
2 .
3
2
4
18.
.
1.
1
2
2
.
.
27
.
21.
24.
2
1
.
cos2
26.
ln .
27.
ln
29.
3arccos .
30.
2arctg
sin2 .
1.
4
.
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................... 3
Историческая справка ................................................................................ 3
1. ПРЕДЕЛЫ ................................................................................................ 4
1.1. Определения и свойства пределов ............................................... 4
1.2. Основные методы вычисления пределов..................................... 7
1.3. Упражнения ...................................................................................... 9
2. ПРОИЗВОДНАЯ .................................................................................... 12
2.1. Краткие теоретические сведения и примеры ............................. 12
2.2. Упражнения .................................................................................... 15
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ........... 17
3.1. Основные свойства функций ........................................................ 17
3.1.1. Непрерывность функции .................................................... 17
3.1.2. Четность и нечетность функции ........................................ 19
3.1.3. Периодичность функции .................................................... 20
3.1.4. Асимптоты функции ............................................................ 20
3.1.5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума .... 22
3.1.6. Выпуклость графика функции, точки перегиба ................ 25
3.1.7. Общая схема исследования и построения
графика функции................................................................. 28
3.1.8. Полярные координаты ........................................................ 30
3.2. Упражнения .................................................................................... 32
ЗЛЕНКО Александр Афанасьевич
ВВЕДЕНИЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
Редактор Т.А. Феоктистова
Подписано в печать 20.01.2014 г. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 2,25. Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 500 экз. Заказ
. Цена 40 руб.
МАДИ, 125319, Москва, Ленинградский пр-т, 64.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа