close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Применение вейвлетанализа для поиска
особенностей в
экспериментальных
спектрах
(разбор работы Dolde&Korzeczek)
Алексей Лохов
(ЛИРП ОЭФ ИЯИ РАН)
Аномальный вклад от тяжёлых
нейтрино
Dolde&Korzeczek
Аномальный вклад от тяжёлых
нейтрино
Dolde&Korzeczek
Как искать?
Надо сделать вывод о наличии, либо отсутствии особенности
Построение статистического критерия для кинка:
•прямое фитирование с дополнительными параметрами (масса
тяжёлого нейтрино и синус угла смешивания)
•сканирование с помощью «окна» - поиск излома (S.Mertens)
•вейвлет-анализ спектра (предложено Kai Dolde и Marc Korzeczek)
•выделение степенных зависимостей (Г.Н. Вялов)
•построение стат. критерия для вклада тяжёлого нейтрино с
учётом неопределённостей других параметров спектра (например,
на основе метода квазиоптимальных весов)
Как искать?
Надо сделать вывод о наличии, либо отсутствии особенности
Построение статистического критерия для кинка:
•прямое фитирование с дополнительными параметрами (масса
тяжёлого нейтрино и синус угла смешивания)
•сканирование с помощью «окна» - поиск излома
•вейвлет-анализ спектра (предложено Kai Dolde и Marc Korzeczek)
•выделение степенных зависимостей (Г.Н. Вялов)
•построение стат. критерия для вклада тяжёлого нейтрино с
учётом неопределённостей других параметров спектра (например,
на основе метода квазиоптимальных весов)
Преобразование Фурье и
вейвлет-преобразование
Непрерывное преобразование Фурье
1
F (ω ) =
2π
∫
f (t ) e
− iωt
dt
Непрерывное вейвлет-преобразование
1
W ( s ,τ ) =
s
∫
 t −τ
f (t ) Ψ 
 s
*

 dt

Преобразование Фурье и
вейвлет-преобразование
Дискретное преобразование Фурье
{xi } → { X k }
N −1
X k = ∑ xn ⋅ e
− i 2 k ⋅n / N
n =0
N −1
nk
ω =e
− i 2 k ⋅n / N
X k = ∑ xn ⋅ ω
n =0
nk
Преобразование Фурье и
вейвлет-преобразование
Дискретное вейвлет-преобразование
( x0
... x2 N +1 ) −
 s0 
d 
x
 0 
 0
 ...  × T =  ... 


 
x

 2 N +1 
 sN 
d 
 N
сигнал (в случае тритиевого спектра –
число (count) электронов)
( s0
... sN ) −
(d0
... d N ) −
сглаженный сигнал
детали спектра, мощность
отфильтрованных высоких
частот
Вейвлеты Хаара
Wavelet function
1,

ψ ( t ) =  −1,
 0,

0≤t<
1
2
1
2
≤ t <1
t ∉ [ 0,1)
Scaling function
1,
φ (t ) = 
 0,
0 ≤ t <1
t ∉ [ 0,1)
Вейвлеты Хаара
Ортогональные вейвлеты
N −1
φ ( t ) = ∑ hkφ ( 2t − k )
( h0
... hN −1 ) −
scaling function coefficients
k =0
N −1
ψ ( t ) = ∑ gkφ ( 2t − k )
k =0
( g0
... g N −1 ) −
wavelet function coefficients
Вейвлеты Хаара
N=2
h0 = 1, h1 = 1;
g0 = 1, g1 = −1;
Матрица преобразования Хаара
 h0
H 2 = norm 
 g0
h1  1  1 1 
=
;



g1 
2  1 −1 
T
2
H2H = I , H
−1
2
=H
T
2
Вейвлеты Хаара
Схема преобразования сигнала {xi}
H 2 ⋅ {( x0 , x1 ) ...
T
( x2 N , x2 N +1 )}
→ {( s0 , d 0 ) ...
T
( sN , d N )}
Пример:
1
(1, 2,3, 4 ) → ( (1, 2 ) , ( 3, 4 ) ) → H 2 → ( ( 3, −1) , ( 7, −1) ) →
2
1
→
( 3,7 ) , [ −1, −1]) → H 2 → ( 5, −2 ) ,  −1 2 , −1 2  →
(
2
(
 s (2) d ( 2)
→
 5 −2

d1(1)
−1
2
d1(1) 

−1
2 
)
Спектр мощности
 s ( 2) d ( 2)

 5 −2
Power d
1
d1
(1) 
(1)
d1
−1
2
Translation
d2
Представление деталей сигнала для каждого масштаба
d1
−1
2
2


Вейвлеты Добеши
Dolde&Korzeczek использовали семейство вейвлетов
Добеши 18
Спектр мощности
 count0 


 ... 
 count 

N i
TDaubechies18
Dolde&Korzeczek
Х8
({ d ( ) , d ( ) ) , ( d ( ) , d ( ) , d ( ) , d ( ) ) , ( d ( ) , d ( ) , d ( ) , d ( ) , d ( ) , d ( ) , d ( ) , d ( ) ) ,...}
8
1
8
2
7
1
7
2
7
3
7
4
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
7
6
8
Выбор критерия
DV – статистический критерий
для kinkа
Dolde&Korzeczek
Распределение критерия
Монте-Карло моделирование распределения для критерия DV
Dolde&Korzeczek
Чувствительность к аномальному
вкладу
Для разных масс тяжёлого нейтрино строим распределения
критериев DV -> исключаем (на уровне доверия 90%) значения угла
смешивания правее exclusion curve
Dolde&Korzeczek
Чувствительность в зависимости
от типа спектра
Dolde&Korzeczek
Чувствительность в зависимости
от формы спектра
Пусть форма спектра известна с некоторой точностью. Поправка:
2
 E − E0 
 E − E0 
E − E0
p (E) = 1+ a
+ b
+
c



E0
 E0 
 E0 
3
a, b, c – распределены
по Гауссу с дисперсией
10-1, 10-2
Dolde&Korzeczek
Выводы
• Дискретные вейвлет-преобразования
позволяют строить статистические критерии
для поиска аномальных вкладов в
экспериментальных спектрах
• Чувствительность таких критериев к форме
спектра может оказаться достаточно слабой
• Нет систематического подхода к построению
критерия – выбор конкретного типа
вейвлетов обоснован лишь в рамках
конкретной задачи и конкретного МонтеКарло моделирования
Выводы
• Построенный критерий (DV) выглядит
искусственным, его эффективность можно
доказать лишь сравнением соответствующих
функций мощности
• Слабую зависимость критерия от формы
спектра можно также продемонстрировать на
основе функций мощности
• Напрашивается поиск оптимального критерия
в рамках, например, метода
квазиоптимальных весов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа