close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
3. Кратные и криволинейные интегралы
3.1. Повторный интеграл
По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких
переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с постоянными. Интегрируя поочередно по всем переменным в заданных пределах, получают повторный интеграл.
Пример.
1
2
dx x ydy
0
1
Интегрируем справа на лево
2
2
xydy
xy 2 2
2 1
x ydy
1
1
1
3
xdx
2
0
x 2 2
2 1
2
3 21
x
4 0
3
x,
2
3
.
4
Результат двукратного интегрирования является значением повторного
интеграла.
Пример.
1 y
1
Вычислить
dy
0
1 y
xydx
0
xydx .
0
x2 1 y
y
y 0
1
1
y 2 y2
2
0
3
y dy
1
y 1 y
2
1 y2
2 2
2
1
y 2 y2
2
y3
2
3
y4 1
4 0
y3 ,
1
.
24
Операция повторного интегрирования применяется при вычислении
двойных интегралов.
189
3.2. Двойной интеграл
Понятие двойного интеграла. Свойства. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторным. Вычисление двойного интеграла методом подстановки. Применение
двойного интеграла к решению некоторых физических задач.
Цель изучения – познакомиться с задачей вычисления объема геометрического тела,
усвоить правила построения сумм Дарбу второго порядка и понятие двойного интеграла,
освоить методы вычисления двойных интегралов в разных системах координат и рассмотреть области их применения.
Основные понятия: геометрическое тело, нижняя и верхняя суммы Дарбу, двойной
интеграл, повторные интегралы, момент инерции точки относительно оси.
Изучив тему , студент должен
знать: определение двойного интеграла, его свойства, формулы для перехода от двойного
интеграла к повторным, формулу перехода к полярным координатам в двойном интеграле,
формулы для нахождения статических моментов и моментов инерции относительно координатных осей плоской пластины;
уметь: вычислять двойной интеграл путем сведения его к повторным и методом подстановки, применять двойной интеграл к решению некоторых физических задач.
3.2.1. Определение и свойства
Двойной интеграл от функции Z
f x, y по области G (множество
значений, принимаемых аргументами x и y ) равен объему цилиндра, ограниченного сверху поверхностью Z
f x, y , снизу - областью G и сбоку – ци-
линдрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ (см. рис.7).
190
Рис. 7
Такое “геометрическое” определение дает наглядное понятие двойного
интеграла. Недостатком его является то, что оно ни чего не говорит о методе
его вычисления. Чтобы дополнить понятие двойного интеграла, дадим метод,
по которому можно найти объем фигуры, указанной в определении. С этой целью разобьем область G на n частей площадью
ным образом в каждой части берем точку Pi
i
Si i 1,2,..., n , произволь-
,
и вычисляем объем фигу-
i
ры, состоящей из “столбиков” с параллельными основаниями площадью
высотой f
i
,
i
Si и
. Точное значение объема получится в предельном случае,
когда максимальные размеры частей d i стремятся к нулю, а их число неограниченно возрастает. Таким образом получается аналитическое определение
двойного интеграла
n
f x, y ds
G
lim
n
di
0
f
i
,
Si .
i
i 1
Отметим, что по аналитическому определению двойной интеграл может
принимать отрицательное значение в случае когда f x, y
0 . Поэтому в геомет-
рическом определении следует допускать отрицательные значения объема. Равенство двойного интеграла нулю следует понимать как то, что цилиндр состоит из
частей равных объемов, расположенных по разные стороны от плоскости XOY .
В частном случае при f x, y
1 двойной интеграл равен площади об-
ласти G .
Из определения двойного интеграла следуют его основные свойства:
f x, y
1.
g x, y ds
G
G
kf x, y ds
2.
G
f x, y ds
k
g x, y ds .
G
f x, y ds .
G
3. Если область G разбита на две части G1 и G2 , то
191
f x, y ds
G
f x, y ds
G1
G2
4. Если всюду в области G f x, y
g x, y , то
f x, y ds
g x, y ds .
G
f x, y ds
5.
f
f x, y ds .
G
,
SG (теорема о среднем), где SG - площадь об-
G
ласти G , P
,
G.
Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла.
3.2.2. Вычисление двойного интеграла
Рассмотрим
G: a
x b, c
слоев толщиной
двойной
y
интеграл
по
прямоугольной
области
d (см. рис.8). Разбиваем фигуру на n параллельных
yi . Если эта толщина достаточно мала, то объем каждого
слоя приблизительно равен
b
Vi
yi
f x, yi dx .
a
192
Рис. 8
Суммируя объемы всех слоев и делая предельный переход при
n
yi
0,
, получим значение двойного интеграла
n
f x, y ds
lim
y 0
i
G
n
d
n
Vi
lim
y 0
i 1
b
i 1
d
b
f x, y dx dy
c
a
yi f x, yi dx
i
n
b
a
dy f x, y dx .
c
a
Таким образом, вычисление двойного интеграла сведено к повторному
интегрированию.
Так как аргументы x и y равноправны, то мы могли бы разбивать фигуру в направлении оси OY . Тогда вычисление двойного интеграла будет производиться повторным интегрированием в обратном порядке
b
f x, y ds
G
d
dx f x, y dy .
a
c
В других случаях области интегрирования вычисление двойного интеграла так же сводится к повторному интегрированию. Запись повторного интегра193
ла для различных вариантов области интегрирования осуществляется по следующим правилам:
1. Область интегрирования G ограничена слева и справа вертикальными
прямыми x
и y
2
a и x b , а снизу и сверху - непрерывными кривыми y
x
2
x
1
1
x
x , каждая из которых пересекается вертикальной
прямой только в одной точке (см. рис.9).
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
b
2
f x, y ds
G
x
dx
a
f x, y dy .
1
x
Рис. 9
Рис. 10
2. Область интегрирования G ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми y
x
1
y и x
c и y
2
( y)
d , а слева и справа непрерывными кривыми
1
y
2
y , каждая из которых пересекается
горизонтальной прямой только в одной точке (см.рис.10).
В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле
d
f x, y ds
G
2
y
dy
c
f x, y dx .
1( y)
3. Область интегрирования ограничена замкнутой кривой F x, y
(см.рис.11).
194
0
Вычисление двойного интеграла по этой области сводится либо к случаю
1, если границу области разбить на дуги
ACB
y
1
и BDA
x
y
2
x ; либо к случаю 2 при разбивке границы на дуги DAC
x
1
y , и CBD x
2
b
f x, y ds
G
y
2
x
dx
a
d
f x, y dy
1
x
2
y
dy
c
f x, y dx .
1( y)
Рис. 11
Рис. 12
Пример.
3 1 x y 2 ds , если область G ограничена окружно-
Вычислить J
G
стью x 1
2
y 2 1 (см. рис.12).
В первом способе вычисления разрешаем уравнение окружности относительно y , в результате чего находим уравнение дуги ADB y
и дуги BCA y
1
2
x 1 .
Тогда двойной интеграл запишем в виде повторного
195
1
x 1
2
1 x 1
2
J
2
3 1 x y 2 dy .
dx
0
1 x 1
2
Вычисляя внутренний интеграл, получим
1 x 1
2
3 1 x y 2 dy
1 x 1
21 x
1
2
x 1 .
2
Интегрируя данную функцию по переменной x , найдем значение двойного интеграла
2
J
21 x
2
1
3
2
1
x 1 dx
0
x 1
2
3
2
2
0.
0
Теперь изменим порядок интегрирования и запишем двойной интеграл в
виде следующего повторного
1
1
J
1 y2
3 y 2 1 x dx .
dy
1
1
1 y2
Внутренний интеграл равен нулю, поэтому можно заключить о равенстве
нулю двойного интеграла J
0.
Сравнение двух способов вычисления показывает преимущество второго,
так как здесь интегрирование производится только один раз.
4. Граница области интегрирования состоит из трех и более дуг.
Такая область вертикальными и горизонтальными прямыми разбивается
на части, подходящие под случаи 1 и 2. Пример такой разбивки показан на
рис.13. Двойной интеграл для данной области вычисляется по формуле
f x, y ds
G
f x, y ds
f x, y ds
G1
c
2
x
dx
a
G2
b
f x, y dy
1
x
x
dx
c
196
3
f x, y dy .
1
x
Рис. 13
Рис. 14
Пример.
x2
Вычислить J
y 2 ds по области, изображенной на рис.14.
G
Разбиваем область интегрирования на части G1 и G2 и вычисляем двойные интегралы по каждой из этих областей согласно случаю 1.
Находим
1
J1
x
2
2
y ds
G1
x
dx
0
J2
x
2
y ds
G2
J
J1
y dy
x
dx
1
J2
x
2
0
2
2
1
2
4 3
x dx
3
0
1
,
3
2
x
2
2
y dy
x 1
2x
2
x
1
3
( x 1)3
dx
3
7
,
6
3
.
2
Примененный метод вычислений для данной области не является рациональным, так как область непосредственно подходит под вид 2. Поэтому интегрирование лучше производить следующим образом
y 1
1
J
x2
dy
0
y
y 2 dx
3
.
2
Кроме прямоугольных координат x и y для вычисления двойного
интеграла могут быть использованы полярные координаты r и
197
. Пря-
моугольные и полярные координаты связаны между собой соотношениями:
r sin . Преобразование двойного интеграла от прямоуголь-
x r cos , y
ных координат к полярным осуществляется по формуле
f x, y dxdy
G
f r cos , r sin
r drd .
G
Если область интегрирования G ограничена лучами
выми r
r1
, r
и r1
r2
, где r1
и r2
и кри-
,
- однозначные функции при
r2 r1, то двойной интеграл вычисляется по формуле
r2
f r cos , r sin
rdrd
d
G
f r cos , r sin
rdr .
r1
Переход к полярным координатам применяют, если область интегрирования задана в полярных координатах или если это упрощает подынтегральную
функцию.
Рис. 15
Пример.
Вычислить
ds по области, показанной на рис.15.
G
Границы области интегрирования заданы кривыми в полярных координатах, поэтому двойной интеграл также считаем в полярных координатах
198
1 cos
/2
ds
d
G
1
4
/2
1
cos 2
2
rdr
/2
/2
/2
1
/2
1
cos 2
4
cos
cos
1
4
d
d
1
sin 2
8
/2
sin
/2
2
4
.
Пример.
1 x2
Вычислить J
y 2 ds , если область G ограничена окружно-
G
стью x
2
y2
1.
В этом примере удобно перейти к полярным координатам, так как это упрощает подынтегральную функцию и сверх того делает более простыми пределы интегрирования. После перехода к полярным координатам двойной интеграл запишется в виде
2
J
1
2
2
d
r 1 r cos
0
2
2
r sin
2
dr
0
1
r 1 r 2 dr .
d
0
0
Вычисляя внутренний интеграл, получим
1
1
1
1 r 2 d (1 r 2 )
20
2
r 1 r dr
0
После интегрирования по
1 2
1 r2
2 3
3
2
1
0
1
.
3
найдем значение двойного интеграла
2
J
0
1
d
3
2
3 0
2
.
3
В общем случае преобразование двойного интеграла от прямоугольных
координат x и y к криволинейным u и v , связанным друг с другом соотношениями x
u, v
y
u, v , осуществляется по формуле
f x, y dxdy
G
f
u, v ,
G*
где
199
u, v
J dudv ,
x
u
y
u
J
x
v
y
v
(якобиан).
Записанная формула справедлива, если функции
u, v
и
u, v
имеют непрерывные частные производные и устанавливают взаимно однознач*
ное соответствие между точками областей G и G и, кроме того, если якобиан
*
сохраняет постоянный знак в области G .
Пример.
Вычислить по области, ограниченной эллипсом x
теграл
1 x
2
y2
4
1 , двойной ин-
y2
ds .
4
2
G
С целью упрощения подынтегральной функции и области интегрирования перейдем к криволинейным координатам u и v , связанным с прямоугольными соотношениями: x
u cos v , y
2u sin v , u 0 , 0 v 2 . В новой
системе координат область интегрирования G преобразуется в прямоугольную
область: 0
u 1, 0 v 2 .
Якобиан преобразования координат равен
J
cos v u sin v
2sin v 2u cos v
2u .
Осуществив преобразование координат и интегрируя, придем к следующему результату
1 x
G
2
2
y2
ds
4
1 u 2 cos 2 v u 2 sin 2 v 2ududv
G*
1
dv 2u 1 u 2 du
0
0
4
.
3
200
3.3. Тройной интеграл
Понятие тройного интеграла. Свойства. Способы вычисления тройных интегралов.
Применение тройного интеграла к решению некоторых физических задач.
Цель изучения – усвоить методы построения интегральных сумм Дарбу третьего порядка и понятие тройного интеграла, освоить методы вычисления тройных интегралов в разных системах координат и рассмотреть области их применения.
Основные понятия: нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу, тройной интеграл,
статические моменты материального тела относительно координатных плоскостей, моменты
инерции тела относительно координатных осей.
Изучив тему, студент должен
знать: определение тройного интеграла, его свойства, формулы для перехода от тройного
интеграла к повторным, формулу перехода к сферическим и цилиндрическим координатам в
тройном интеграле, формулы для нахождения статических моментов материального тела относительно координатных плоскостей и моментов инерции тела относительно координатных
осей;
уметь: вычислять тройной интеграл в ПДСК, цилиндрических и сферических координатах,
вычислять статические моменты материального тела относительно координатных плоскостей и моменты инерции тела относительно координатных осей.
Для функций трех переменных можно построить конструкцию, аналогичную двойному интегралу
n
f x, y, z dV
T
lim
n
di
0
f
i
, i,
i
Vi ,
i 0
где T – пространственная область, по которой ведется интегрирование,
P
i
, i,
ласть T ,
i
– точка, лежащая внутри i -ой части, на которые разбивается об-
Vi – объем i -ой части, di – ее максимальный размер.
Данный предел называют тройным интегралом функции f x, y, z
области T . Если f x, y, z
по
1 , то тройной интеграл равен объему области T .
От других функций тройной интеграл геометрического смысла не имеет. Наглядное представление тройного интеграла получается, если понимать под
функцией u
f x, y, z – плотность материала твердого тела, занимающего в
пространстве область T . Тогда тройной интеграл равен массе твердого тела.
Свойства двойного и тройного интегралов аналогичны. Вычисление тройного интеграла сводится к повторному интегрированию по трем переменным.
Если уравнения границ области интегрирования T заданы в прямоугольных координатах (см.рис.16), то тройной интеграл вычисляется по формуле
201
b
f x, y, z dv
1
1
( x, y) и
x, y и
2
a
2
x
dx
T
где
2
2
x, y
dy
1
x
f x, y, z dz ,
1
x, y
( x, y) – уравнения нижней и верхней границ области T ,
x, y – уравнение нижней и верхней границ проекции области
T на плоскость XOY .
Рис. 16
Рис. 17
Пример.
dv
Вычислить
T
x
y z 1
3
ными плоскостями и плоскостью x
по области T , ограниченной координат-
y z 1 0 (см.рис.17).
Записываем тройной интеграл в виде повторного
1
dv
x
T
y
z 1
1 x
1 x y
dz
dx dy
3
0
0
0
x
y
z 1
3
.
Последовательно интегрируем, начиная с внутреннего интеграла
1 x y
0
1 x
0
dz
x
1
8
y z 1
3
2 x
1
2 x
1 x y
2
0
y z 1
1
y 1
2
dy
1
y
8
1 x
1
2 x y 1 0
202
1
8
1
2 x
3
8
y 1
x
8
2
,
1
,
2 x 1
1
0
3
8
x
8
3
x2
x
8
10
1
dx
2 x 1
1
1
ln x 1
0
2
5
6
ln 2
.
2
Рассмотренные понятия двойного и тройного интегралов можно обобщить на случай функций n переменных. Возникающую при этом конструкцию
называют n -кратным интегралом. Основные свойства всех кратных интегралов
идентичны и вычисление их производится по аналогичным формулам.
Кратные интегралы широко используются в физике и геометрии. Через
них выражаются объемы, массы тел, площади поверхности, статические моменты, координаты центров тяжести и другие величины. В качестве примера
рассмотрим следующую физическую задачу.
Пример.
Определить количество тепла Q , сосредоточенного в физическом теле,
занимающем в пространстве область S . Температура и плотность частей тела
изменения по законам T
T0 T x, y, z ,
x, y, z .
Из элементарной физики известно, что при нагревании тела массы M от
температуры T0 до температуры T количество тепла, перешедшего в него, равно Q
M C (T T0 ) , при условии, что различные участки тела имеют оди-
наковую температуру. По условию задачи требуется определить количество тепла при неравномерном нагреве тела. Проблему разности температур преодолевают следующим образом. Мысленно разбивают тело на дополнительные малые части, такие, что в пределах каждой части его температуру и плотность
можно считать постоянными и равными
Pi
i
, i,
i
i
, i,
и T
i
i
, i,
i
T0 , где
– точка выделенной части. Далее определяем количество тепла,
сосредоточенное в каждой части, по известной формуле
Qi
C
i
, i,
i
T
i
, i,
i
Vi
и суммируем результат. Таким образом можно приближенно определить количество тепла, сосредоточенное в теле. Такое значение получается при безгра-
203
ничном дроблении тела на части, то есть при осуществлении предельного перехода. В результате получаем следующий тройной интеграл
n
Q
lim
n
di
0
C
i
, i,
T
i
i
, i,
i
Vi
C
i 1
x, y, z T x, y, z dV
S
3.4. Криволинейный интеграл
Криволинейные интеграл первого рода. Криволинейный интеграл второго рода. Формула
Грина.
Цель изучения – познакомиться с понятием криволинейного интеграла, способами его
введения, научиться считать криволинейные интегралы первого и второго рода.
Основные понятия: криволинейный интеграл первого и второго рода, формула Грина.
Изучив тему, студент должен
знать: определение криволинейных интегралов первого и второго родов, их свойства, формулу Грина;
уметь: вычислять криволинейные интегралы для линий, заданных явно в ПДСК, и для линий, заданных параметрически, применять для вычисления криволинейных интегралов второго рода формулу Грина.
При решении некоторых задач механики и физики возникают интегральные суммы, отличные по своему виду от определенного и кратного интегралов.
Например, при вычислении работы, произведенной переменной силой
F x, y, z , кривую L , по которой движется материальная точка, разбивают
точками Ai на достаточно малые дуги Ai Ai
1
такие, что в пределах каждой из
них силу принимают постоянной и равной F Ai , а перемещение материальной точки приближенно считают прямолинейным. Тогда работу силы на каждом участке вычисляют по известной формуле
Wi
F Ai
Ai Ai 1 (скалярное
произведение векторов), точное значение работы по всей дуге кривой L равно
пределу суммы работ
Wi при неограниченном возрастании дробности деле-
ния дуги кривой L
Ai Ai
функции F x, y, z
получил название криволинейного интеграла (криволи-
1
0 . Предел указанной суммы для произвольной
нейного интеграла 2-го рода).
204
n
lim
Ai Ai
1
0
F Ai Ai Ai
F x, y, z ds .
1
i 1
L
Если использовать координатную форму записи скалярного произведения
векторов
ds
F x, y, z
P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k
и
d xi dy j dzk , то криволинейный интеграл можно записать в виде
F x, y, z ds
L
p x, y, z ds Q x, y, z dy R x, y, z dz .
L
Для плоской кривой L криволинейный интеграл записывается в виде
F x, y ds
L
p x, y dx Q x, y dy .
L
Определенный интеграл является частным случаем криволинейного, когда путь интегрирования L есть прямая y
const .
Свойства криволинейного интеграла:
1. При изменении направления обхода пути интегрирования знак интеграла меняется на противоположный
F ds
AB
F ds .
BA
2. Свойство суперпозиции (работа силы равна сумме работ составляющих)
p x, y dx Q x, y dy
L
p x, y dx Q x, y dy .
L
3. Если кривая интегрирования состоит из двух дуг AC и CB , то
F ds
AB
F ds
AC
F ds .
CB
Другие свойства совпадают со свойствами определенного интеграла.
Если Кривая L задана уравнением y
нейного интеграла производится по формуле
205
x , то вычисление криволи-
b
P x, y dx Q x, y dy
L
P x,
x
Q x,
x
' x dx ,
a
где a и b – пределы изменения координат точек кривой.
В случае кривой L , заданной параметрическими уравнениями: x
y
y t ,
x t ,
для вычисления криволинейного интеграла применяют
t
формулу
P x, y dx Q x, y dy
P x t ,y t
x' t
Q x t ,y t
y ' t dt .
L
При вычислении интеграла по замкнутой кривой ее разбивают на несколько дуг. Если путь интегрирования L есть замкнутая кривая без самопересечений, то интегрирование производится в направлении против часовой стрелки. При интегрировании по замкнутой кривой часто удобно использовать параметрические уравнения данной кривой.
Пример.
Вычислить
(x
y)dx
ydy по окружности радиуса 1 с центром в нача-
L
ле координат (см. рис.18)
Рис. 18
Способ 1.
206
Представляем заданный интеграл в виде суммы двух интегралов по дугам
ADC и CBA и производим вычисления
1
x
y dx
ydy
1 x2
x
L
ADC
CBA
1 x2
1 x 2 ' dx
1
1
1
x
1 x
2
1 x
2
2
1 x ' dx
1 x 2 dx
2
1
.
1
Способ 2.
Используя параметрические уравнения окружности: x
cos t , y sin t ,
находим
2
x
y dx
ydy
cos t sin t cos t ' sin t sin t ' dt
L
0
2
sin 2 tdt
.
0
Для вычисления интегралов по замкнутой кривой может быть полезна
формула Грина, устанавливающая связь между криволинейным и двойным интегралами
Pdx Qdy
L
G
Q
x
P
ds ,
y
где G – область, ограниченная кривой L ; обход кривой L производят таким
образом, что область G остается слева.
Формула Грина справедлива для функций P x, y и Q x, y , непрерывных вместе со своими частными производными
Q
P
и
в области G .
x
y
Доказательство.
Разобьем кривую L (см.рис.19) на дуги:
ACB y
1
x ; BDA y
2
x ; DAC x
207
1
y ; CBD x
2
y .
Имеем:
Pdx Qdy
Pdx
L
Qdy .
L
L
Рис. 19
Запишем значение каждого отдельного интеграла через определенный
интеграл, применяя различные способы разбивки замкнутой кривой
b
Pdx
a
P x,
L
1
x dx
P x,
a
x dx
2
b
b
b
P x,
2
x
P x,
1
x
dx
Qdy
a
L
d
Q
1
y , y dy
d
x
1
x
d
Q
2
P
dy
y
dx
a
c
2
y , y dy
c
2
y
1
y
dy
c
Q
dx
x
P
ds;
y
G
G
Q
ds .
x
Суммируя, получим формулу Грина
Pdx Qdy
L
G
Q
x
P
ds .
y
Пример.
Вычислить криволинейный интеграл
x
L
показанной на рис.18, пользуясь формулой Грина
208
y dx
ydy по кривой L ,
x
y dx
ydy
L
y
x
G
y
x
y
ds
ds
.
G
Двойной интеграл от единицы равен площади области G , то есть площади круга.
Пример.
При помощи криволинейного интеграла вычислить площадь фигуры ограниченной эллипсом: x
a cos t , y b sin t 0 t
2
.
Запишем площадь фигуры F через двойной интеграл и при помощи
формулы Грина выразим его через криволинейный интеграл по эллипсу
F
ds
G
При этом
Q
x
Pdx Qdy .
L
P
1. Примем P 0 , Q
y
x , тогда
2
F
ab cos 2 tdt
xdy
L
a b.
0
В физических приложениях часто встречается криволинейный интеграл,
подынтегральное выражение которого является полным дифференциалом некоторый функции
Pdx Qdy
du , то есть
P
u
, Q
x
u
.
y
Условием полного дифференциала является равенство частных производных
P
x
Q
.
y
Согласно формулы Грина отсюда следует равенство нулю криволинейного интеграла от полного дифференциала, взятого по любой замкнутой кривой.
Это значит, что значение такого интеграла не зависит от пути интегрирования,
соединяющего две заданные точки. Это свойство широко используется при вычислении интегралов.
209
Пример.
2 x 3 y 2 dx
Вычислить
6 xy
по
y 1 dy
дуге
кривой
AB
y
3
x 2 1 , соединяющей точки A 0,1 и B x, y .
Вследствие равенства частных производных
2x 3y2
y
x
6 xy
y 1
6y
заключаем, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Интеграл от полного дифференциала не зависит от пути интегрирования,
поэтому в качестве такового можно взять любую удобную для нас кривую. Выбираем ломаную линию, состоящую из горизонтального отрезка AC , соединяющего точки A 0,1 и C x,1 , и вертикального отрезка CB .
Имеем
y
x
2
2 x 3 y dx
6 xy
y 1 dy
0
AB
x
2 x 3 dx
2
3xy
2
y2
2
y
6 xy
y 1 dy
1
1
.
2
Принимая в качестве дуги интегрирования ломаную, соединяющую точки
A x0 , y0 , C x, y0 и B x, y , выводится формула Ньютона-Лейбница
du u x, y
u ( xo , y0 ) .
AB
Из формулы Ньютона-Лейбница следует способ нахождения функции по
ее полному дифференциалу через криволинейный интеграл
u x, y
u ( xo , y0 )
du .
AB
Например, из рассмотренного примера находим
210
u x, y
u 0,1
x
2
где u 0,1 – произвольная постоянная.
211
3xy
2
y2
2
y
1
,
2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа