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Herbrand Universum
Herbrand Strukturen
Das Herbrand- Universum D(F ) einer geshlossenen Formel F in
Skolemform ist die Menge aller variablenfreie Terme, die aus den
Bestandteilen von F gebildet werden konnen. Im speziellen Fall, da
in F keine Konstante vorkommt, wahlen wir zunahst eine beliebige
Konstante, zum Beispiel a, und bilden dann die variablenfreien
Terme. Formaler ausgedrukt, D(F ) wird wie folgt induktiv deniert:
(1) Alle in F vorkommenden Konstanten sind in
keine Konstante enthalt, so ist a in D(F ).
. Falls
D (F )
Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heit jede zu f passende
Struktur = (UA ; IA ) eine Herbrand-Struktur fur F , falls folgendes
gilt:
A
(1)
F
=
,
D (F )
(2) fur jedes in
2
F
t1 ; t 2 ; : : : ; t n
(2) Fur jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und
Terme t1 ; t2 ; : : : ; t in D(F ) ist der Term f (t1 ; t2 ; : : : ; t ) in
D (F ).
n
UA
??
1/
2/
Herbrand-Expansion
Sei
F
E (F )
wenn
F
F
eine Aussage in Skolemform.
F
ist genau dann erfullbar,
ein Herbrand-Modell besitzt.
8 8
8
eine Aussage in Skolemform. Dann ist
die Herbrand-Expansion von F , deniert als
=
E (F )
y1
=
y2 : : :
f
F
yn F
[y1 =t1 ℄[y2 =t2 ℄ : : : [yn =tn ℄
j
t 1 ; t2 ; : : : ; t n
2
g
D (F )
Die Formeln in E (F ) entstehen also, indem die Terme in D(F ) in jede
moglihen Weise fur die Variablen in
.
n
.
Der fundamentale Satz der Pr
adikatenlogik
Sei
n
n
.
Satz:
vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und
A
D (F ) ist f (t1 ; t2 ; : : : ; t ) = f (t1 ; t2 ; : : : ; t ).
??
3/
.
F
substituiert werden.
4/
odel-Herbrand-Skolem
Satz von G
A ist ein Herbrand-Modell fur
fur alle
2
A
fur alle
2
A
fur alle 2
gilt A
A ist ein Modell fur
F
gdw.
Fur jede Aussage F in Skolemform gilt: F ist erfullbar genau
dann, wenn die Formelmenge E (F ) (im aussagenlogishen Sinn)
erfullbar ist.
Beweis: Es gen
ugt zu zeigen, da F ein Herbrand-Modell besitzt
genau dann, wenn E (F ) erfullbar ist.
Die Formel F habe die Form y1 y2 : : : y F . Nun gilt:
Satz:
8 8
8
gdw.
D (F )
t 1 ; t2 ; : : : ; t n
gilt:
(F [y1 =t1 ℄[y2 =t2 ℄ : : : [yn =tn ℄) = 1
gdw.
E (F )
G
??
5/
(G) = 1
E (F )
gdw.
.
6/
Algorithmus von Gilmore
Satz von Herbrand
Sei
eine pradikatenlogishe Aussage in Skolemform und sei
eine Aufzahlung von E (F ).
F 1 ; F2 ; F3 ; : : : ;
f
Eine Aussage F in Skolemform ist unerfullbar genau dann,
wenn es eine endlihe Teilmenge von E (F ) gibt, die (im
aussagenlogishen Sinn) unerfullbar ist.
Beweis: Ummittelbare Folge des Satzes von G
odel-Herbrand-Skolem
und des Endlihkeitssatzes.
Satz:
.
gilt:
[y1 =t1 ℄[y2 =t2 ℄:::[yn =tn ℄ (F ) = 1
n
.
D (F )
t 1 ; t2 ; : : : ; t n
g
F
:
Eingabe F
n
:= 0;
repeat n
:=
+ 1;
^ ^ ^
n
ist unerfullbar;
Gib \unerfullbar" aus und stoppe.
until
??
7/
.
(F1
F2
:::
Fn )
8/
owenheim-Skolem
Satz von L
Jede erfullbare Formel der Pradikatenlogik besitzt bereits ein
abzahlbares Modell (also eines mit abzahlbarer Grundmenge).
Beweis: Aus F gewinnen wir G in Skolemform mit:
Satz:
hat ein Modell mit Grundmenge X genau dann, wenn
ein Modell mit Grundmenge X hat.
F
!
!
G
erfullbar
G erf
ullbar
G besitzt ein Herbrand-Modell (X; I1 )
F besitzt ein Modell (X; I2 )
F besitzt ein abz
ahlbares Modell
(da X aufzahlbar)
!
F
.
!
9/
??
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