close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Коммерческое предложение от 17.03.2015;pdf

код для вставкиСкачать
Г л а в а 10
ТЕКСТОВАЯ ЗАДАЧА И ПРОЦЕСС ЕЕ РЕШЕНИЯ
Кроме различных понятий, предложений и доказательств в любом
математическом курсе есть задачи. В обучении математике младших
ш кольников преобладают такие, которые называют текстовыми,
сюжетными.
В данном курсе мы будем применять термин «текстовые задачи»,
поскольку он чаще других используется в методике обучения мате­
матике младших школьников.
Решению текстовых задач при начальном обучении уделяется
огромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи являются
средством формирования умений строить математические модели
реальных явлений, а также средством развития мышления детей.
Существуют различные методические подходы к обучению детей
решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни вы­
брал учитель, ему надо знать, как построены такие задачи, и уметь
их решать прежде всего арифметическими способами.
10.1. Понятие положительной скалярной
величины и ее измерения
Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово
«длина»:
1) многие окружающие нас предметы имеют длину;
2 ) стол имеет длину.
В первом предложении утверждается, что длиной обладают объ­
екты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что длиной об­
ладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать,
что термин «длина» употребляется для обозначения свойства либо
класса объектов (предметы имеют длину), либо конкретного объекта
из этого класса (стол имеет длину).
Но чем данное свойство отличается от других свойств объектов
этого класса? Например, стол может иметь не только длину, но и быть
изготовленным из дерева или металла; столы могут быть разной
формы. О длине можно сказать, что разные столы обладают этим
свойством в разной степени (один стол может быть длиннее или ко­
роче другого), чего не скажешь о форме — один стол не может быть
«прямоугольнее» другого.
176
Таким образом, свойство «иметь длину» — особое свойство объ­
ектов, оно проявляется в том случае, когда объекты сравнивают по
их протяженности (подлине). В процессе сравнения устанавливают,
что либо два объекта имеют одну и ту же длину, либо длина одного
меньше длины другого.
Аналогично можно рассматривать и другие известные величи­
ны: площадь, массу, время и т.д. Они представляют собой особые
свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при
сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая
величина связана с определенным способом сравнения.
Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов,
называются величинами одного рода или однородными величинами.
Например, длина стола и длина комнаты — это величины одного
рода.
Напомним основные положения, связанные с однородными ве­
личинами.
1. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны,
либо одна меньше другой. Иначе, для величин одного рода имеют
место отношения «равно», «меньше» и «больше», и для любых ве­
личин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А < В,
А = В, А > В.
Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного
треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника,
масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных сто­
рон прямоугольника равны.
2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно:
если А < В и В < С, то А < С.
Так, если площадь треугольника Ft меньше площади треугольника
F2, и площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то
площадь треугольника Fx меньше площади треугольника F3.
3. Величины одного рода можно складывать, в результате сложе­
ния получается величина того же рода. Иными словами, для любых
двух величин А к В однозначно определяется величина С = А + В,
которую называют суммой величин А и В.
Сложение величин коммутативно и ассоциативно.
Например, если А — масса арбуза, а В — масса дыни, то С =
= А + В — это масса арбуза и дыни. Очевидно, что А + В = В + А.
Нетрудно показать, что (А + В) + С = А + {В + С).
4. Величины одного рода можно вычитать, получая в результате
величину того же рода. Определяют вычитание через сложение.
Разностью величин А и В называется такая величина С = А - В,
что А = В + С.
Разность величин А к В существует тогда и только тогда, когда
А > В.
Например, если А — длина отрезка я, В — длина отреза Ь, то
С=А - В — это длина отрезка с (рис. 10.1).
177
а
а
Рис. 10.1
Рис. 10.2
5. Величину можно умножать на положительное действительное
число, в результате получают величину того же рода. Более точно,
для любой величины А и любого положительного действительного
числа х существует единственная величина В = х-А , которую назы­
вают произведением величины А на число х.
Например, если А — время, отводимое на один урок, то умножив
А на число х = 3, получим величину В = 2>-А — время, за которое
пройдет 3 урока.
6 . Величины одного рода можно делить, получая в результате
число. Определяют деление через умножение величины на число.
Частным величин А ж В называется такое положительное дей­
ствительное число х = А:В, что А = х В.
Так, если А — длина отрезка а, В — длина отрезка b (рис. 10.2)
и отрезок А состоит из четырех отрезков, равных Ь, то А. В = 4, по­
скольку А = 4 •В.
Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенно­
стью — их можно оценивать количественно. Для этого величину надо
измерить. Чтобы осуществить измерение из данного рода величин
выбирают величину, которую называют единицей измерения. Будем
обозначать ее буквой Е.
Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же
рода), то измерить величину А — это значит найти такое поло­
жительное действительное число х, что А = х-Е .
Число х называется численным значением величины А при еди­
нице величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А боль­
ше (или меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.
Если А = х ■Е, то число х называют также мерой величины А при
единице Е и пишут х = т Е(А).
Например, если А — длина отрезка а, Е — длина отрезка b (см.
рис. 10.2), то А = 4-Е. Число 4 — это численное значение длины А
при единице длины Е, или, другими словами, число 4 — это мера
длины А при единице длины Е.
В практической деятельности при изм ерении величин люди
пользуются стандартными единицами величин: так, длину измеряют
в метрах, сантиметрах и т.д. Результат измерения записывают в таком
виде: 2,7 кг; 13 см; 16 с. Исходя из понятия измерения, данного выше,
эти записи можно рассматривать как произведение числа и единицы
величины. Например, 2,7 кг = 2 ,7 -кг; 13 см = 13 •см; 16 с = 16• с.
Используя это представление, можно обосновать процесс пере­
хода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требу-
178
ется выразить — ч в минутах. Так как — ч = — ч и 1 ч = бОмин, то
12
12
12
— ч = — 60- мин = | — -60 I мин = 25 мин.
12
12
U2
)
Величина, которая определяется одним численным значением,
называется скалярной величиной.
Если при выбранной единице измерения скалярная величина при­
нимает только положительные численные значения, то ее называют
положительной скалярной величиной.
Положительными скалярными величинами являются следующие:
длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара
и др.
Понятие положительной скалярной величины можно определить
аксиоматически.
Пусть V — множество, на котором заданы отношение «меньше»
(<) и операция сложения (+). Тогда V есть система однородных по­
ложительных скалярных величин, если выполняются следующие
аксиомы:
1. Каковы бы ни были величины А и В, имеет место одно и только
одно из трех соотношений: или А = В, или А < В, или В <А.
2. Для любых величин А, В и С из V выполняется утверждение: если
А < В и В < С, то А < С (транзитивность отношения «меньше»),
3. Для любых двух величин А и В существует однозначно опреде­
ленная величина С = А + В.
4. Для любых двух величин А и В выполняется равенство: А + В =
= В + А (коммутативность сложения).
5. Для любых трех величин А, В и С выполняется равенство:
(А+В)+ С = А + (В + Q (ассоциативность сложения).
6 . Для любых двух величин А и В выполняется утверждение:
А<А +В (монотонность сложения).
7. Если В < А, то существует одна и только одна величина С, для
которой В + С = А (возможность вычитания).
8 . Каковы бы ни были величина А и натуральное число п, суще­
ствует такая величина В, что п- В = А (возможность деления).
9. Каковы бы ни были величины А и В, существует такое нату­
ральное число п, что А < п В (аксиома Архимеда или Евдокса).
10. Если последовательности величин А { < А 2 < ... < А„ < ... < В„<
< ... < В2 < В\ обладают тем свойством, что Вп - Ап < С для любой
величины С при достаточно больш ом номере п, то существует
единственная величина X, которая больше всех А и меньше всех В
(аксиома непрерывности).
Если в так определенной системе ( V, <, +) принять какую-либо ве­
личину Е за единицу измерения, то все остальные величины системы
однозначно представляются в виде А = х Е, где х — положительное
действительное число.
179
Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин
к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим
действиям над числами, и наоборот.
1. Если величины А п В измерены с помощью единицы величи­
ны Е, то отношения между величинами А и В будут такими же, как
и отношения между их численными значениями, и наоборот:
А = В о т{А) = т(В)\ А < В <=> т(А) < т(В ); А > В <=> т(А) > т(В).
Например, если массы двух тел таковы, что А = 5 кг, В = 3 кг, то
можно утверждать, что А > В, поскольку 5 > 3.
2. Если величины А и В измерены с помощью единицы величи­
ны Е, то чтобы найти численное значение суммы А + В, достаточно
сложить численные значения величин А и В:
А + В о т{А + В) = т(А) + т(В).
Например, если Л = 5 кг, 5 = 3 кг, т о Л + 5 = 5 к г + З к г = (5 +
+ 3) кг = 8 кг.
3. Если величины А и В таковы, что В = х-А , где л: — положи­
тельное действительное число, и величина А измерена с помощью
единицы величины Е, то, чтобы найти численное значение величины
В при единице Е, достаточно число л: умножить на число т(А ):
В = х-А <=> т{В) = х-т(А).
Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А = 2 кг, то
В = 3 А = 3 • (2 •кг) = (3 • 2) •кг = 6 кг.
В математике при записи произведения величины А и числа х
принято число писать перед величиной, т.е. х-А . Но разрешается
писать и так: А-х. Тогда численное значение величины А умножают
на х, если находят значение величины А -х.
Рассмотренные понятия — объект (предмет, явление, процесс),
его величина, численное значение величины, единица величины —
надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математиче­
ское содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно
описать следующим образом: в предложении рассматривается такой
объект, как яблоки, и его свойство — масса; для измерения массы
использовали единицу массы — килограмм; в результате измерения
получили число 3 — численное значение массы яблок при единице
массы килограмм.
Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами,
которые являются величинами. Например, для человека — это рост,
масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризу­
ется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между
которыми существует зависимость, выражаемая формулой s = vt.
Если величины выражают разные свойства объекта, то их называ­
ют величинами ра зного рода , или разнородными величинами. Так,
например, длина и масса — это разнородные величины.
180
Упражнения
5.
О каких величинах идет речь в следующих предложениях:
а) груши дороже яблок;
б) книга тяжелее тетради;
в) Таня выше Светы.
Какие величины могут характеризовать следующие объекты:
а) карандаш; б) человек; в) озеро?
Имеются два куска проволоки. Каким образом можно сравнить
их длины, не прибегая к измерению? Какими могут быть резуль­
таты сравнения?
Как можно сравнить массы двух предметов, не определяя массу
каждого из них? Какими могут быть результаты сравнения?
На рис. 10.3 изображены два прямоугольника, имеющие площади
А и В. Постройте прямоугольник, площадь которого равна:
а) А + В; б) 3 -А; в) ±-В; г) В - А .
6.
Разбейте на классы тремя способами следующие величины;
в каждом случае укажите основание классификации:
А — высота дерева; М — площадь доски;
В - 16 кг; Н — 13 с;
С — масса доски; К — 26 м;
D — 25 см; L — длина веревки;
Е — возраст дерева; Р — толщина доски.
7. Назовите стандартные единицы, с помощью которых можно
измерить следующие величины: длину, массу, ширину, объем,
время, высоту, количество.
8 . О каких величинах идет речь в следующих предложениях:
а) в одной коробке 25 яблок, а в другой 30 яблок;
б) 15 яблок дороже, чем 8 груш;
в) в одном ящике 2 0 кг овощей, а в другом — 12 кг овощей.
9. Какие из данных величин можно сравнить между собой:
1500 м; 2,5 км; 18 штук; 8 десятков;
3 ц; 1 км 500 м; 299 кг; 18 пар.
10. Сравните величины:
7 ч;
... б)
„ _3_ м и
а) 56 мин и —
дм;
10
50
5
в) 1,5 см и — дм; г) — кг и 1250 г.
20
4
11. Назовите объект, его величину, численное
значение и единицу величины в каждом из
следующих предложений:
а) в коробке 8 кг яблок;
б) глубина оврага 2 м;
Рис. 10.3
181
в) площадь садового участка 6 соток;
г) в сервизе 6 тарелок;
д) рост девочки 1 м 2 0 см.
12. Назовите величины и объекты, о которых говорится в задаче.
а) За тетради заплатили х р., а за карандаши на t р. меньше.
Сколько стоили карандаши?
б) Мешок картофеля тяжелее ящика с луком на 2 кг. Какова
масса мешка картофеля, если масса ящика с луком z кг?
в) На первой полке стояло х книг, на второй — на у книг боль­
ше, а на третьей — на z книг меньше, чем на первой полке.
Сколько книг стояло на трех полках?
13. Назовите величины, о которых говорится в задаче, и действия
с ними, которые будут выполнены в процессе решения.
а) В ящике было 24 кг апельсинов. Сначала из него взяли 5 кг,
а потом в 3 раза больше, чем в первый раз. Сколько апель­
синов осталось в ящике?
б) Для вышивания первого узора нужно 24 м ниток, для вто­
рого — в 6 раз меньше, а для третьего — на 16 м больше,
чем для первого. Хватит ли 7 катушек для вышивания всех
узоров, если в каждой катушке по 10 м ниток?
10.2. Структура текстовой задачи
Как было сказано выше, любая текстовая задача представляет
собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой
точки зрения текстовая задача есть словесная модель явления (си­
туации, процесса). И, как во всякой модели, в текстовой задаче
описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны,
главным образом, его количественные характеристики. Рассмотрим,
например, такую задачу: «Автомобиль выехал из пункта А со скоро­
стью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со
скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А второй автомобиль
догонит первый?»
В задаче описывается движение двух автомобилей. Как известно,
любое движение характеризуется тремя величинами: пройденным
расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче
известны скорости первого и второго автомобилей (60 и 90 км/ч),
известно, что они прошли одно и то же расстояние от пункта А до
места встречи, количественную характеристику которого и надо
найти. Кроме того, известно, что первый автомобиль был в пути на
2 ч больше, чем второй.
Обобщая, можно сказать, что текстовая задача есть описание
на естественном языке некоторого явления (ситуации , процесса)
с требованием дать количественную характеристику какого-либо
компонента этого явления, установить наличие или отсутствие
182
некоторого отношения между компонентами или определить вид
этого отношения.
Приведем пример текстовой задачи из начального курса матема­
тики:
«Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф по­
требовалась на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше,
чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»
В задаче речь идет о свитере, шапке и шарфе. Это объекты за ­
дачи. Относительно этих объектов имеются определенные ут верж ­
дения и требования.
Утверждения
1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1 200 г шерсти.
2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.
3. На шарф израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.
Требования
1. Сколько шерсти израсходовали на свитер?
2. Сколько шерсти израсходовали на шапку?
3. Сколько шерсти израсходовали на шарф?
Утверждения задачи называют условиям и (или условием, как
в начальной школе). В задаче обычно не одно условие, а несколько
элементарных условий. Они представляют собой количественные или
качественные характеристики объектов задачи и отношений между
ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть
сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме.
Условия и требования взаимосвязаны.
Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.
Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо
выявить ее объекты, условия и требования, отбросив все лишнее,
второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо
построить высказывательную модель задачи.
Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать
это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило,
дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефрази­
ровать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо
обозначения и т.д.
Кроме того, вы членение условий задачи можно производить
с разной глубиной. Глубина анализа условий и требований задачи
зависит, главным образом, от того, знакомы ли мы с видом задач,
к которому принадлежит заданная, и знаем ли мы способ решения
таких задач.
Пример 1. Сформулируйте условия и требования задачи:
«Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по
спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились,
183
первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью
бежала каждая девочка, если они встретились через 30 с?»
В задаче речь идет о движении двух девочек навстречу друг другу.
Как известно, движение характеризуется тремя величинами: расстоя­
нием, скоростью и временем.
Условия задачи
1. Две девочки бегут навстречу друг другу по дорожке.
2. Расстояние, которое они пробежали, — 420 м.
3. Одна девочка пробежала на 60 м больше, чем другая.
4. Девочки встретились через 30 с.
5. Скорость движения одной девочки больше скорости движения
другой.
6 . Девочки выбежали одновременно.
Требования задачи
1. С какой скоростью бежала первая девочка?
2. С какой скоростью бежала вторая девочка?
По отношению между условиями и требованиями различают:
♦ определенные задачи — в них заданных условий столько, сколько
необходимо и достаточно для выполнения требований;
♦ недоопределенные задачи — в них условий недостаточно для по­
лучения ответа;
♦ переопределенные задачи — в них имеются лишние условия.
В начальной школе недоопределенные задачи считают задачами
с недостающими данными, а переопределенные — задачами с из­
быточными данными.
Н априм ер, задача «Возле дома росло 5 яблонь, 2 виш ни и 3
березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?» является
переопределенной, так как содержит лишнее условие.
Задача «Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько
стульев осталось в зале?» является недоопределенной — в ней условий
недостаточно, чтобы ответить на поставленный вопрос.
Упражнения
1.
184
В следующих задачах выделите условия и требования.
а) Два автобуса отправились одновременно из города в село,
расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл
в село на 15 мин раньше второго. С какой скоростью шел
каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км /ч
больше скорости другого?
б) Сумма двух чисел равна 199. Найдите эти числа, если одно
из них больше другого на 61.
2.
4.
Задачи из упр. I сформулируйте таким образом, чтобы предло­
жение, содержащее требование, не содержало условий.
В задачах из упр. 1 повелительную форму требований замените
вопросительной, вопросительную — повелительной.
Решите задачи из упр. 1.
5.
Даны условия задачи: «Собрали 42 кг огурцов и у всех огурцов
3.
засолили».
Из нижеследуемого списка выберите требования к данному усло­
вию и решите полученную задачу.
а) Сколько килограммов огурцов осталось незасоленными?
б) Сколько килограммов помидор осталось незасоленными?
в) Что больше — масса огурцов, которые посолили, или масса
огурцов, которые остались незасоленными?
6 . Сформулируйте возможные требования к условию задачи:
а) Купили 12 м ткани и третью часть ткани израсходовали на
платье.
б) Из деревни вышел пешеход, а через 2 ч вслед за ним выехал
велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а скорость
пешехода 5 км/ч.
7. Можете ли вы дать ответ на требование следующей задачи?
а) В 8 одинаковых ящиках 70 кг яблок. Сколько килограммов
яблок в 16 таких же ящиках?
б) Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одно­
го из них 62 км/ч, а скорость другого 54 км/ч. Через сколь­
ко часов мотоциклисты встретятся?
В случае, если нельзя ответить на требование задачи, дополните
ее условие и решите задачу.
8.
Есть ли среди нижеприведенных переопределенные задачи.
а) Объем комнаты равен 72 м3. Высота комнаты 3 м. Найдите
площадь пола комнаты, если ее длина 6 м.
б) Для посадки леса выделили участок, площадь которого
7
3
300 га. Дубы посадили на — участка, а сосны на — участка.
Сколько гектаров занято дубами и соснами?
В случае, если в задаче есть лиш ние данные, то исключите их
и решите задачу.
10.3. Моделирование в процессе решения
текстовых задач
Ранее мы установили, что текстовая задача — это словесная мо­
дель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую
185
задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т. е. по­
строить ее математическую модель.
Напомним, что, математическая модель — это описание какоголибо реального процесса на математическом языке.
Математической моделью текстовой задачи является выраж ение
(либо запись по действиям), если задача решается арифметическим
методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача реша­
ется алгебраическим методом.
В процессе решения задачи четко выделяются три этапа матема­
тического моделирования:
I этап — перевод задачи на математический язык; при этом вы­
деляются необходимые для решения данные и искомые и математи­
ческими способами описываются связи между ними;
II этап — внутримодельное решение (т.е. нахождение значения
выражения, выполнение действий, решение уравнения);
III этап — интерпретация, т.е. перевод полученного решения на
тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.
Проиллюстрируем изложенное на примере решения алгебраи­
ческим методом следующей задачи: «В одном вагоне электропоезда
пассажиров было в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого
вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то
в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров
было в каждом вагоне первоначально?»
Обозначим через х первоначальное число пассажиров во втором
вагоне. Тогда число пассажиров в первом вагоне — 2х. Когда из
первого вагона вышли 3 человека, в нем осталось 2х - 3 пассажира. Во
второй вагон вошли 7 человек, значит, в нем стало х +7 пассажиров.
Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то можно запи­
сать, что 2х - 3 = х + 7. Получили уравнение — это математическая
модель данной задачи.
Следующий этап — реш ение полученного уравнения вне за ­
висимости от того, что в нем обозначает переменная х: переносим
в левую часть члены уравнения, содержащие х, а в правую — не
содержащие х , причем у переносим ы х членов знаки меняем на
противоположные: 2х - х = 7 + 3. Приводим подобные члены и по­
лучаем, что х = 10 .
Последний, третий этап — используем полученное решение, что­
бы ответить на вопрос задачи: во втором вагоне было первоначально
10 (чел.), а в первом — 2 0 (чел.) ( 1 0 - 2 = 2 0 ).
Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи
представляет перевод текста с естественного языка на математиче­
ский, т.е. I этап математического моделирования. Чтобы облегчить
эту процедуру, строят вспомогательные модели — схемы, таблицы
и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как пере­
ход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуа­
ции, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы,
186
рисунки и т.д.); от нее — к математической, на которой и происходит
решение задачи.
Такой подход к процессу решения задачи разделяют и психологи.
Они считают, что процесс решения задачи есть сложный процесс
поиска системы моделей и определенной последовательности
перехода от одного уровня моделирования к другому, более обоб­
щенному, что решение задачи человеком есть процесс ее перефор­
мулирования. При этом основная форма мышления, осуществляющая
это переформулирование, есть анализ через синтез, когда объект
в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого
выступает во все новых качествах. Главным средством переформу­
лирования является моделирование.
Прием моделирования заключается в том, что для исследования
какого-либо объекта (в нашем случае текстовой задачи) выбирают
(или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому,
который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помо­
щью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят
на первоначальный объект.
Модели бывают разные, и поскольку в методической литературе
нет единообразия в их названиях, уточним терминологию, которую
будем использовать в дальнейшем.
Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые
по видам средств, используемых для их построения.
Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на веще­
ственные и графические в зависимости от того, какое действие они
обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых
задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут
строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных
полосок и т.д.), они могут быть представлены разного рода инсце­
нировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мыс­
ленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде
представлений.
Графические модели используются, как правило, для обобщен­
ного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим
следует отнести следующие виды моделей: 1 ) рисунок; 2 ) условный
рисунок; 3) чертеж; 4) схематичный чертеж (или просто схема).
Разъясним суть этих моделей на примере задачи: «Лида нарисовала
4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал
Вова?»
Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид
(рис. 10.4).
Условный рисунок может быть таким, как на рисунке 10.5.
Чертеж как графическая модель выполняется с помощью чертеж­
ных инструментов с соблюдением заданных отношений (рис. 10 .6 ).
Схематический чертеж (схема) может выполняться от руки, на нем
указываются все данные и искомые (рис. 10.7).
187
л.
S
0
В
S
Рис. 10.4
Л.
Рис. 10.5
1 д.
Л. I_____ I—
в.
-----
—
1----------------------- 1----------------------- 1
Рис. 10.6
4 д.
Л.1
! 3 д.
Рис. 10.7
Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном,
так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполнен­
ным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи,
таблицы. Например, краткая запись задачи о домиках Лиды и Вовы
может быть такой:
Л . - 4 д.
В ,- ?, на 3 д. больше, чем
188
3 чел.
Таблица как вид знаковой модели ис­
пользуется главным образом в случае,
когда в задаче имеется несколько взаи ­
мосвязанных величин, каждая из которых
задана одним или нескольким и зн аче­ Рис. 10.8
ниями. Такие таблицы используются при
реш ении текстовых задач на движение
и другие процессы.
Я К Т П П Г Т Н Р .Н Н К Ш М
н я м__
я_____
Знаковыми моделями текстовых задач, _____________
тематическом язы ке, являются: выражение, уравнение, система
уравнений, запись реш ения задачи по действиям. Поскольку на
этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими
моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые,
вы полненны е на естественном язы ке, — это вспомогательные
модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к матема­
тической модели.
Не следует думать, что всякая краткая запись или чертеж, выпол­
ненные для данной задачи, являются ее моделями. Так как модель —
это своеобразная копия задачи, на ней должны быть представлены
все ее объекты, все отношения между ними, указаны данные
и требования.
Для большинства текстовых задач приходится строить различные
вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представля­
ют собой результат анализа задачи, но с другой — построение таких
моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ за­
дачи.
Рассмотрим процесс решения арифметическим методом текстовой
задачи о пассажирах в двух вагонах.
Предварительный анализ задачи позволяет выделить ее объекты —
это пассажиры в двух вагонах поезда. О них известно, что:
♦
♦
♦
♦
в первом вагоне в 2 раза больше пассажиров, чем во втором;
из первого вагона вышли 3 пассажира;
во второй вагон вошли 7 пассажиров;
в первом и втором вагонах пассажиров стало поровну.
В задаче два требования.
1) Сколько пассажиров было первоначально в первом вагоне?
2) Сколько пассажиров было первоначально во втором вагоне?
Построим графическую модель данной задачи в виде схематиче­
ского чертежа (рис. 1 0 .8 ).
По схеме сразу видно, что математическая модель данной задачи
имеет вид:
7 + 3 — это число пассажиров во II вагоне, а (7 + 3) •2 — это число
пассажиров в 1 вагоне.
Произведя вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: во II
вагоне было 10 пассажиров, в I — 2 0 пассажиров.
189
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6
.
190
О каких моделях идет речь в следующих заданиях для младших
школьников:
а) запиш и решение задачи в виде числового выражения;
б) нарисуй схему, она поможет решить задачу;
в) запиш и условие задачи в виде таблицы. Это поможет тебе
решить задачу.
Назовите отношения (зависимости), которые рассматриваются
в следующих задачах, и для каждой постройте вспомогательную
модель.
а) На одной полке 30 книг, на другой — на 7 книг меньше.
Сколько книг на двух полках?
б) В одной коробке было 10 кг конфет, во второй — в 2 раза
меньше, а в третьей —на 3 кг меньше, чем во второй. Сколь­
ко килограммов конфет было в трех коробках?
в) Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Най­
дите площадь прямоугольника, если его ширина на 12 см
меньше длины.
г) М ама засолила 27 кг огурцов, по 3 кг в каждой банке, и
столько же банок помидоров по 5 кг в каждой. Сколько
килограммов помидоров засолила мама?
д) За 4 ч мастер может выложить плиткой стену площадью
16 м2, а его ученик —в два раза меньше. Какую площадь они
могут выложить плиткой за 7 ч, работая одновременно?
Запишите математическую модель каждой задачи из упражне­
ния 2 в виде числового выражения и найдите его значение.
Какое числовое выражение является математической моделью
задачи: «У Коли было 5 орехов, у Миши — на 3 больше, чем у
Коли, а у Саши — в 2 раза меньше, чем у Миши. Сколько всего
орехов было у ребят?»
а) (5 + 3):2 + 5; б) 5 + (5 + 3) + (5 + 3):2;
в) 5 + 3 + (5 + 3):2; г) 5 + (5 + 3) + (3 - 2)?
Докажите, что все нижеприведенные уравнения являются ма­
тематическими моделями задачи «Из двух городов, расстояние
между которыми 420 км, навстречу друг другу выехали одновре­
менно два автомобиля и встретились через 3 ч. Один автомобиль
двигался со скоростью 60 км/ч. Какова скорость другого авто­
мобиля?»
a)jc-3 + 3-60 = 420; б) (60 + х) • 3 = 420;
в) 420 - 3 • 60 = х ■3?
Верно ли, что все нижеприведенные записи являются матема­
тическими моделями задачи «Из 96 м ткани сшили 18 платьев
и костюмы. На каждое платье израсходовали 3 м, а на каждый
костюм — 6 м. Сколько сшили костюмов?»
а) 96 - 6 х = 3 • 18; б) (96 - 3 - 18) : 6 ; в) 6х + 3 • 18 = 96?
f
10.4. Методы и способы решения текстовых
задач
Основными методами решения текстовых задач являются ариф­
метический и алгебраический.
Решить задачу арифметическим м ет одом — это значит найти
ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических
действий над числами.
Одну и ту же задачу можно решить различными ариф м ет иче­
скими способами. Они отличаются друг от друга математическими
моделями.
Решим, например, различными арифметическими способами
такую задачу: «Сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 м ткани.
Сколько кофт можно было сшить из этой ткани, если расходовать
на одну кофту 2 м?»
1 способ. 1) 4 - 3 = 12 (м) — столько было ткани;
2 ) 1 2 : 2 = 6 (кофт) — столько кофт можно сшить из 12 м ткани.
2 способ. 1 ) 4 : 2 = 2 (раза) — во столько раз больше идет ткани на
платье, чем на кофту;
2 ) 3 •2 = 6 (кофт) — столько кофт можно сшить.
Решить задачу алгебраическим м ет одом — это значит найти от­
вет на требование задачи, составив и решив уравнение или систему
уравнений.
Если для одной и той же задачи можно составить различные
уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу
можно решить различными алгебраическими способами.
Например, задачу о массе шерсти, израсходованной на свитер,
шапку и шарф (см. с. 184), можно решить тремя различными спо­
собами.
1 способ. Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной
на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (х + 100) г, а на свитер
((х + 100) + 400) г. Так как на все три вещи израсходовано 1 200 г, то
можно составить уравнение
X + (х + 100) + ((х + 100) + 400) = 1 200.
Решив его, получим , что х = 200. Таким образом, на шапку было
израсходовано 200 г, на шарф — 300 г, так как 200 + 100 = 300, на
свитер — 700 г, так как (200 + 100) + 400 = 700.
2 способ. Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной
на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х - 100) г, а на сви­
тер — (х + 400) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г,
то можно составить уравнение:
х + (х - 100) + (х + 400) = 1 200.
191
Решив его, получим, что х = 300. Таким образом, если на шарф
израсходовали 300 г, то на шапку 200 г (300 - 100 = 200), а на свитер
700 г (300 + 400 = 700).
3
способ. Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной
на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х - 400) г, а на шапку
(х - 400 - 100) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1 200 г,
то можно составить уравнение
х + (х - 400) + (х - 500) = 1 200.
Решив его, получим, что х = 700. Таким образом, если на свитер
израсходовано 700 г, то на шарф пошло 300 г (700 - 400 = 300), а на
шапку - 200 г (700 - 400 - 100 = 200).
Упражнения
1.
Решите различными алгебраическими способами задачу о де­
вочках, которые бегут навстречу друг другу (см. с. 184).
Ниже приведены два арифметических способа решений этой же
задачи. Дайте пояснения к каждому действию.
/ способ'.
2 способ:
1) 420 + 60 = 480 (м)
1) 420 - 60 = 360 (м)
2) 480:2 = 240 (м)
2) 360:2 = 180 (м)
3) 240:30 = 8 (м/с)
3) 180:30 = 6 (м/с)
4) 240 - 60 = 180 (м)
4) 180 + 60 = 240 (м)
5) 180:30 = 6 (м/с)
5) 240:30 = 8 (м/с)
Каждую задачу решите арифметическим и алгебраическим ме­
тодами; арифметическое решение запишите в виде числового
выражения и найдите его значение.
а) У Тани было 110 марок. Она подарила сестре половину всех
марок и еще 5 марок. Сколько марок осталось у Тани?
б) Туристы проехали 320 км на теплоходе и автобусе. Они были
в пути 7 ч. С какой скоростью туристы ехали на автобусе,
если на теплоходе они плыли 4 ч со скоростью 35 км/ч ?
2.
3.
10.5. Этапы решения задачи арифметическим
методом и приемы их выполнения
Решение любой задачи — процесс сложной умственной деятель­
ности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения за­
дачи и некоторые приемы их выполнения.
Деятельность по решению задачи арифметическим методом вклю­
чает следующие основные этапы: I) анализ задачи; 2 ) поиск и со­
ставление плана решения задачи; 3) осуществление плана решения
задачи; 4) проверка решения задачи.
192
В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют
четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Все зави­
сит от уровня знаний и умений решающего. Например, если после
прочтения задачи вы обнаружили, что она известного вам вида и вы
знаете, как ее решать, то, конечно, поиск плана не вычленяется в от­
дельный этап.
Однако полное, логически завершенное решение обязательно со­
держит все указанные этапы, а знание приемов их выполнения делает
процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным,
а значит, и более успешным.
1.
Анализ задачи. Основное назначение этого этапа — понять
в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требова­
ния; назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения
(зависимости) между ними.
Производя анализ задачи, вычленяя ее условия, необходимо соот­
носить этот анализ с требованиями задачи. Другими словами, анализ
задачи всегда направлен на ее требования.
Известно несколько приемов, которые можно использовать при
анализе задачи.
Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требо­
вания можно, если задать специальные вопросы и ответить на
них :
1) О чем задача?
2) Что требуется найти в задаче?
3) Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?
4) Что в задаче неизвестно?
5) Что является искомым?
Рассмотрим, например, задачу: «Велосипедист и всадник выехали
из деревни А в деревню В разными дорогами. Всадник ехал по дороге,
которая была короче на 9 км, но со скоростью на 3 км/ч меньше, чем
велосипедист. Велосипедист ехал 3 ч со скоростью 18 км/ч. Сколько
времени затратил всадник на путь из А в В?»
Воспользуемся указанным приемом.
1 ) 0 чем эта задача? Задача о движении велосипедиста и всадника.
Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью,
временем и пройденным расстоянием.
2) Что требуется найти в задаче? В задаче требуется найти время,
которое нужно всаднику на путь из деревни А в деревню В.
3) Что в задаче известно о движении каждого из его участников?
В задаче известно, что: а) велосипедист ехал со скоростью 18км/ч;
б) скорость всадника на 3 км /ч меньше скорости велосипедиста;
в) расстояние, которое проехал всадник, на 9 км короче, чем рас­
стояние, которое проехал велосипедист.
4) Что в задаче неизвестно? В задаче неизвестно расстояние, ко­
торое проехали велосипедист и всадник, а также скорость и время
движения всадника — последнее требуется узнать в задаче.
193
5)
Что является искомым: число, значение величины, вид н е­
которого отношения? Искомым является время движения всадника
из А в В.
Большую помощь в осмыслении задачи оказывает другой при­
ем — перефразировка текста задачи. Он заключается в замене
данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняю­
щим все отношения, связи, качественные характеристики, но более
явно их выражающим. Это достигается в результате отбрасывания
несущественной, излишней информации, замены описания неко­
торых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замены
некоторых терминов описанием содержания соответствующих по­
нятий; преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска
плана решения.
Особенно эффективно использование данного приема в сочета­
нии с разбиением текста на смысловые части. Результатом перефра­
зировки должно быть выделение основных ситуаций.
Так, задачу о движении велосипедиста и всадника, рассмотренную
выше, можно перефразировать следующим образом: «Велосипедист
и всадник выехали из А в В разными дорогами. Велосипедист проехал
дорогу за 3 ч со скоростью 18 км/ч (это первая часть). Скорость всад­
ника меньше скорости велосипедиста на Зкм /ч (это вторая часть),
а путь короче на 9 км пути, пройденного велосипедистом (это третья
часть). Требуется определить время движения всадника из А в В».
Перефразированный текст часто бывает полезно записать в виде
таблицы или другой вспомогательной модели. Например, для рас­
сматриваемой задачи можно построить таблицу:
Участники
движения
Скорость
Время
Пройденный путь
В елосипедист
18 км/ч
3 ч
?
В садник
? на 3 км /ч меньше,
чем у велосипедиста
9
? на 9 км короче,
чем у велосипедиста
Построением схематического чертежа может быть завершен анализ
задачи о массе шерсти, израсходованной на шапку, шарф и свитер
(см. с. 184). Для этого массу шерсти, израсходованной на шапку,
изобразим в виде отрезка произвольной длины. Тогда массу шерсти,
израсходованной на шарф и свитер, можно изобразить так, как по­
казано на рис. 10.9.
И таблица, и схематический чертеж являются вспомогательными
моделями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой
задачи и являются основным средством поиска плана ее решения.
Вообще, назначение вспомогательной модели текстовой задачи —
представить задачу в знаково-символической форме так, чтобы она
оказалась для решающего максимально понятной.
194
100 г
У 1200
Шарф»,'
г
?
400 г
Свитер
Рис. 10.9
После построения вспомогательной модели необходимо про­
верить:
♦
♦
♦
♦
все ли объекты задачи показаны на модели;
все ли отношения между объектами отражены;
все ли числовые данные приведены;
есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?
2.
П оиск и составление плана решения задачи. Назначение
этого этапа — установить связь между данными и искомыми объ­
ектами, наметить последовательность действий.
План решения задачи — это лишь идея решения, его замысел.
Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь
возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.
Как искать план решения текстовой задачи? Односложного ответа
на этот вопрос нет. Поиск плана решения задачи является трудным
процессом, который точно не определен. Можно только указать не­
которые приемы, которые позволят осуществлять этот этап. Одним
из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи ариф­
метическим способом является разбор задачи по тексту или по ее
вспомогательной модели.
Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая
может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.
При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет
в тексте задачи пару данных и на основе знания связи между ними
(такие знания должны быть получены при анализе задачи) опреде­
ляет, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с
помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неиз­
вестное данным, решающий вновь выделяет пару взаимосвязанных
данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по
ним и с помощью какого действия, и так до тех пор, пока не будет
выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче
объекта.
Проведем такой разбор по тексту задачи:
195
«На поезде, который шел со скоростью 56 км/ч, турист проехал
ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он
проехал. Каков весь путь туриста?»
Рассуждения ведем от данных к вопросу: известно, что 6 ч турист
проехал на поезде, который шел со скоростью 56 км/ч; по этим дан­
ным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6 ч, — для
этого достаточно скорость умножить на время. Зная пройденную
часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше,
можно найти, чему оно равно. Для этого пройденное расстояние
нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза). Зная, сколько километров
турист проехал и сколько ему осталось ехать, можем найти весь путь,
выполнив сложение найденных отрезков пути. Итак, первое дей­
ствие — определение расстояния, которое турист проехал на поезде;
второе — определение расстояния, которое ему осталось проехать;
третье — определение всего пути.
При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить вни­
мание на вопрос задачи и установить (на основе информации, по­
лученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на
этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть
ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть
только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти не­
достающие данные и т.д. Потом составляется план решения задачи.
Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.
Проведем такой разбор той же задачи о движении туриста, строя
цепочку рассуждений от вопроса к данным: «В задаче требуется
узнать весь путь туриста. Мы установили, что путь состоит из двух
частей. Значит, для выполнения требования задачи достаточно знать,
сколько километров турист проехал и сколько километров ему оста­
лось проехать. И то и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный
путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист.
Это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем путь,
который турист проехал. Оставшийся путь можно найти, увеличив
пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно
узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением
найти весь путь».
Поиск плана решения задачи может проводиться по вспомога­
тельной модели, выполненной при анализе задачи. При этом вспо­
могательная модель заметно облегчает этот процесс. Например, по
таблице для задачи о движении велосипедиста и всадника легко
определить последовательность действий, ведущих к ответу.
Покажем, как можно осуществить поиск плана решения задачи
о массе шерсти, израсходованной на шарф, шапку и свитер, по схе­
матическому чертежу (см. рис. 10.9).
По чертежу видно, на сколько больше израсходовали на свитер,
чем, например, на шарф; если из всей массы шерсти вычесть 400 г,
то мы узнаем, сколько бы всего израсходовали шерсти, если бы на
6
196
свитер израсходовали столько же, сколько на шарф. Далее, если
к этой массе шерсти прибавить 100 г, то мы узнаем, сколько бы всего
израсходовали шерсти, если бы на шапку израсходовали столько же,
сколько на шарф. Разделив полученное число на 3, найдем массу
шерсти, израсходованную на шарф. Вычтя из полученного результата
100 г, а затем прибавив к нему 400 г, найдем массу шерсти, исполь­
зованную на шапку и на свитер.
Заметим, что поиск плана решения данной задачи по схемати­
ческому чертежу может быть проведен иначе (сделайте это само­
стоятельно), — в результате мы получим различные арифметические
способы ее решения.
3.
Осуществление плана решения задачи. Назначение данного
этапа — найти ответ на требование задачи, выполнив все действия
в соответствии с планом.
Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, ис­
пользуются следующие приемы:
♦ запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопроса­
ми);
♦ запись в виде выражения.
Приведем примеры различных записей плана решения задачи:
«На поезде, скорость которого 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После
этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он проехал. Каков
весь путь туриста?»
• Запись решения по действиям с пояснением к каждому выпол­
ненному действию:
1) 56-6 = 336 (км) — турист проехал за 6 ч;
2) 336 - 4 =1 344 (км) — осталось проехать туристу;
3) 336 + 1344 = 1 680 (км) — должен был проехать турист.
Если пояснения даются в устной форме (или совсем не даются),
то запись будет следующей:
1) 56-6 = 336 (км);
2) 336-4 = 1344 (км);
3) 336 + 1344 = 1 680 (км).
• Запись решения по действиям с вопросами:
1) сколько ки л о м етр о в проехал тури ст на поезде? 5 6-6 =
= 336 (км);
2) сколько килом етров осталось проехать туристу? 336 -4 =
- 1344 (км);
3) сколько километров турист должен был проехать? 336 + 1 344 =
= 1 680 (км).
• Запись решения в виде выражения.
Запись решения в этой форме осуществляется поэтапно. Сначала
записывают отдельные шаги в соответствии с планом, затем составля­
ют выражение и находят его значение. Так как обычно это значение
записывают, поставив после числового выражения знак равенства,
197
то запись становится числовым равенством, в левой части которо­
го — выражение, составленное по условию задачи, в правой — его
значение, оно-то и позволяет сделать вывод о выполнении требова­
ний задачи.
Так, для рассматриваемой задачи эта форма записи имеет вид:
56 - 6 (км) — расстояние, которое проехал турист на поезде з а 6 ч;
56-6-4 (км) — расстояние, которое осталось проехать туристу;
56-6 + 56-6 -4 (км) — путь, который должен проехать турист:
56 •6 + 56• 6 •4 = 1 680 (км).
Пояснения к действиям можно не записывать, а давать их в уст­
ной форме.
4.
Проверка решения задачи. Назначение данного этапа — уста­
новить правильность или ошибочность выполненного решения.
Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли
решена задача. Рассмотрим основные.
♦ Установление соответствия между результатом и условиями
задачи. Для этого найденный результат вводится в текст задачи
и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при
этом противоречия.
Проверим, используя данный прием, правильность решения за­
дачи о движении туриста.
Мы установили, что турист должен был проехать 1 680 км. Пусть
теперь этот результат будет одним из данных задачи. Далее, как из­
вестно, за 6 ч турист проедет 336 км (56 •6 = 336) и ему останется
проехать 1680 - 336 = 1344 (км). Согласно условию задачи, это рас­
стояние должно быть в 4 раза больше того, которое турист проехал
на поезде за 6 ч. Проверим это, разделив 1 344 на 336. Действительно,
1344:336 = 4. Следовательно, если найденный результат подставить
в условие задачи, то противоречий с другими данными, а именно
отношением «быть больше в 4 раза», не возникает. Значит, задача
решена верно.
Заметим, что при использовании данного приема проверяются
все отношения, имеющиеся в задаче, и если устанавливается, что
противоречия не возникает, то делают вывод о том, что задача ре­
шена верно.
♦ Решение задачи другим способом. Пусть при реш ении задачи
каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение
другим способом приводит к тому же результату, то можно сделать
вывод о том, что задача была решена верно.
Заметим, что если задача решена первоначально арифметическим
методом, то правильность ее решения можно проверить, решив за­
дачу алгебраическим методом.
Не следует также думать, что без проверки нет решения тексто­
вой задачи. Правильность решения обеспечивается прежде всего
четкими и логичными рассуждениями на всех других этапах работы
над задачей.
198
Упражнения
1.
Используя материал данной главы, заполните следующую табли­
цу при условии, что решение задачи (РЗ) выполняется арифме­
тическим методом.
Название этапа РЗ
Цель этапа
Приемы выполнения этапа
А нализ задачи
П ои ск плана реш ения
О сущ ествление плана
реш ения
Проверка
2.
3.
4.
5.
6
.
7.
Выполните анализ нижеприведенных задач, используя различные
приемы.
а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем в ли­
нейку, причем их было на 18 больше, чем тетрадей в линей­
ку. Сколько всего тетрадей купил ученик?
б) В трех классах всего 83 учащихся. В первом классе на 4 уче­
ника больше, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем.
Сколько учеников в каждом классе?
в) Мальчики полили 8 яблонь и 4 сливы, принеся 140 ведер
воды. Сколько ведер воды вылили под яблони, а сколько —
под сливы, если на полив одной яблони уходит воды в 3 раза
больше, чем на полив одной сливы?
Выполните поиск плана решения арифметическим методом за­
дачи а) из упр. 2 по модели, а поиск плана решения задачи в) по
тексту.
Запишите решение каждой задачи из упр. 2 по действиям с по­
яснением.
Какие из задач упр. 2 вы можете решить различными арифме­
тическими способами?
Каким образом можно проверить правильность найденного ре­
зультата для задачи а) из упр. 2 ?
Решите арифметическим методом задачи, выделяя этапы реше­
ния и приемы их выполнения.
а) Ручка в два раза дороже карандаша, а ластик в три раза де­
шевле карандаша. Стоимость ручки, карандаша и ластика
составляет вместе 40 р. Сколько стоит ластик?
б) Сын на 24 года младше мамы, а папа на 3 года старше мамы.
Сколько лет папе, если сыну 10 лет?
в) Один кусок проволоки на 54 м длиннее другого. После того
как от каждого из кусков отрезали по 12 м, второй кусок
199
оказался в 4 раза короче первого. Найдите первоначальную
длину каждого куска проволоки.
8 . Дана задача: «Два велосипедиста выехали навстречу друг другу
из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч
они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если
известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости
другого?»
Сравните разные способы ее решения.
1 способ:
2 способ'.
1) 3-2 = 6 (км);
1) 76:2 = 38 (км/ч);
2) 76 - 6 = 70 (км);
2) 38 - 3 = 35 (км/ч);
3) 70:2 = 35 (км);
3) 3 5 :2 = 17,5 (км/ч);
4) 3 5 :2 = 17,5 (км/ч);
4) 17,5 + 3 = 20,5 (км/ч).
5) 17,5 + 3 = 20,5 (км/ч).
При каком способе рассуждения проще?
10.6. Решение задач «на части»
Название вида задач указывает на то, что рассматриваемые в них
величины состоят из частей. В одних задачах части представлены
явно, в других — части необходимо выделить, приняв подходящую
величину за 1 часть и определив, из скольких таких частей состоят
другие величины, о которых идет речь в задаче.
При решении задач «на части» арифметическим методом чаще
всего используют вспомогательные модели, выполненные с помощью
отрезков или прямоугольников.
Задача 1. Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут
3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10 кг ягод?
Решение. В задаче речь идет о массе ягод и массе сахара, необ­
ходимых для варки варенья. Известно, что всего ягод 10 кг и что на
2 части ягод надо брать 3 части сахара. Требуется найти массу сахара,
чтобы сварить варенье из 10 кг ягод.
Изобразим с помощью отрезков данную массу ягод и необходимую
массу сахара (рис. 10.10). Тогда половина первого отрезка представ­
ляет собой массу ягод, которая приходится на 1 часть. Сахара, по
условию задачи, надо 3 таких части. Запишем решение по действиям
с пояснением:
1) 10:2 = 5 (кг) — столько килограммов ягод приходится на каж­
дую часть;
2) 5 •3 = 15 (кг) — столько надо взять сахара.
Вспомогательную модель к данной задаче можно было выполнить
с помощью прямоугольников (рис. 1 0 .11 ).
К задачам «на части» относят и задачи, в которых речь о частях
в явном виде не идет, но можно подходящую часть принимать за
200
Рис. 10.10
Рис. 10.11
1 часть и определять, сколько таких частей приходится на другие
величины, рассматриваемые в задаче.
Задача 2. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во
второй. Всего было 70 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой
пачке?
Решение. В задаче рассматриваются две пачки тетрадей. Всего
тетрадей 70. В одной пачке тетрадей на 10 больше, чем во второй.
Требуется узнать, сколько тетрадей было в каждой пачке.
Изобразим с помощью отрезка количество тетрадей во второй
пачке. Тогда тетради в первой пачке можно представить в виде от­
резка, который больше второго (рис. 10.12). По чертежу видно, что
если тетради во второй пачке составляют 1 часть всех тетрадей, то
тетради в первой составляют также 1 часть и еще 10 тетрадей.
Если эти 10 тетрадей убрать из первой пачки, то в пачках тетрадей
станет поровну.
Запишем решение задачи по действиям с пояснением:
1) 70 - 10 = 60 (тетр.) — столько тетрадей приходится на 2 равные
части, или столько было бы тетрадей в двух пачках, если бы их было
поровну — столько, сколько во второй пачке;
2) 60:2 = 30 (тетр.) — столько тетрадей приходится на 1 часть, или
столько тетрадей было во второй пачке;
3) 30 + 10 = 40 (тетр.) — столько тетрадей было в первой пачке.
Вспомогательная модель подсказывает и второй способ решения
данной задачи. Если за 1 часть принять тетради в первой пачке, то
чтобы во второй стало столько же, надо к ней добавить 1 0 тетрадей.
И тогда решение будет таким:
1) 70 + 10 = 80 (тетр.);
2) 80:2 = 40 (тетр.);
3 ) 40 - 10 = 30 (тетр.).
10 тетр.
9
Рис. 10.12
201
18 м
Существует и третий арифметический
способ решения данной задачи. Разделим
10 тетрадей пополам и одну половину оста­
вим в первой пачке, а другую добавим во
~~
7
~
вторую. Тогда тетрадей в пачках станет по­
ровну и можно, разделив 70 на две равные
Рис. lu.lo
части, узнать, сколько тетрадей в каждой
такой пачке, а затем их первоначальное
количество в каждой пачке:
1) 10:2 = 5 (тетр.) — столько тетрадей надо переложить из первой
пачки во вторую, чтобы в них тетрадей стало поровну;
2) 70:2 = 35 (тетр.) — столько тетрадей в каждой пачке, если из
первой переложить во вторую 5 тетрадей;
3) 35 + 5 = 40 (тетр.) — столько тетрадей в первой пачке;
4) 35 - 5 = 30 (тетр.) — столько тетрадей во второй пачке.
Задача 3. Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа.
Решение. В этой задаче требуется найти два числа по их сумме
и разности. Так как разность искомых чисел равна 18, то одно число
больше другого на 18. Получаем задачу, аналогичную задаче 2: «Одно
число больше другого на 18. Сумма чисел равна 96. Найти эти числа».
Решить ее можно тремя арифметическими способами.
Задача 4. В двух кусках ткани одинаковое количество материи.
После того как от одного куска отрезали 18 м, а от другого 25 м,
в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколь­
ко метров ткани было в каждом куске первоначально?
Решение. Объекты задачи — два куска ткани одинаковой длины.
От первого отрезали 18 м, от второго — 25 м. После этого в первом
осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Требование задачи —
найти первоначальное количество метров ткани в каждом куске.
Изобразим куски ткани с помощью отрезков одинаковой длины,
а затем покажем на них то количество ткани, которое отрезали и ко­
торое осталось. Если количество ткани, которое осталось во втором
куске, — это 1 часть, то количество оставш ейся ткани в первом
куске — это 2 таких части. По чертежу (рис. 10.13) видно, что на
1 часть приходится количество ткани, которое легко найти. Запишем
найденное решение по действиям:
1) 25 - 18 = 7 (м) — на столько больше ткани отрезали от второго
куска, или количество ткани, которое осталось во втором куске;
2) 7 + 25 = 32 (м) — столько ткани было первоначально во втором
куске (и, следовательно, в первом куске).
Упражнения
1.
202
Изобразите с помощью отрезков ситуации:
2.
3.
4.
а) купили р кг яблок, а груш на t кг больше;
б) купили р кг яблок, а груш в 2 раза больше;
в) купили р кг яблок, а груш в 3 раза меньше;
г) купили р кг яблок, а груш на q кг меньше.
Требуется смешать 3 части песка и 2 части цемента. Сколько
цемента и песка в отдельности надо взять, чтобы получить 30 кг
смеси при условии, что части имеют одинаковую массу?
Установите соответствие между вспомогательными моделями
(рис. 10.14) и следующими задачами; используя модели, решите
задачи.
а) В двух пакетах было 15 яблок. Когда из одного пакета взяли
3 яблока, в нем осталось в 2 раза меньше яблок, чем в дру­
гом. Сколько яблок было в каждом пакете (рис. 10.14, а)?
б) В трех пакетах лежит 20 яблок, причем в одном пакете их
в 2 раза меньше, чем в каждом из двух других. Сколько яблок
в каждом пакете (рис. 10.14, 6)1
в) У двух мальчиков было 8 яблок. Когда один съел одно ябло­
ко, а другой — 3 яблока, у них осталось яблок поровну.
Сколько яблок было у каждого (рис. 10.14, в)?
Решите следующие задачи, построив на этапе анализа вспомо­
гательные модели; решение запишите по действиям с пояснени­
ем.
3 ябл.
?
в
Рис. 10.14
203
5.
6
.
204
а) Мама дала трем девочкам 12 конфет и предложила разделить
их так, чтобы младшая получила в 3 раза, а средняя в 2 раза
больше старшей. Сколько конфет достанется каждой?
б) На двух тарелках лежало 9 яблок. Когда с одной тарелки
взяли одно яблоко, то на этой тарелке осталось яблок в 3
раза больше, чем на другой. Сколько яблок было на каждой
тарелке?
в) У моего брата было в 6 раз больше орехов, чем у меня. После
того как он отдал мне 10 орехов, у нас орехов стало поровну.
Сколько орехов было у меня и у брата первоначально?
г) Полсотни яблок разложили в корзину и два пакета. В кор­
зину положили на 14 яблок больше, чем в каждый пакет.
Сколько яблок в корзине и пакетах?
д) Ш кольник прочитал 18 страниц за три дня. Если бы он
в первый день прочитал на одну страницу больше, а во вто­
рой день на 4 страницы меньше, то каждый день он читал
бы поровну. По сколько страниц читал школьник каждый
день?
Постройте вспомогательные модели и с их помощью найдите
решения следующих задач.
а) На одной полке на 6 книг больше, чем на другой. Сколько
книг нужно переложить с одной полки на другую, чтобы
книг стало поровну?
б) Если с одной полки переложить на другую 6 книг, то на
обеих полках книг будет поровну. На сколько книг на одной
полке больше, чем на другой?
в) На одной полке на 6 книг больше, чем на другой. На сколь­
ко книг будет больше на одной полке, чем на другой, если
с первой полки переложили на другую 10 книг?
г) На первой полке на 6 книг больше, чем на второй. На сколь­
ко книг больше будет на первой полке, если со второй пол­
ки переложить на первую 10 книг?
Поиск плана решения следующих задач проведите по вспомо­
гательной модели; решение запишите по действиям; выполните
проверку найденного решения.
а) В двух бидонах 28 л краски. Если из одного взять 3 л, а в
другой добавить 2 л, то в первом станет на 7 л краски боль­
ше, чем во втором. Сколько краски было в каждом бидоне
первоначально?
б) На складе в три раза больше муки, чем в магазине. Если со
склада взять 850 т муки, а магазином будет продано 50 т
муки, то и на складе, и в магазине муки останется поровну.
Сколько муки было на складе и сколько в магазине перво­
начально?
в) У Наташи на 15 открыток больше, чем у Сережи. Детям по­
дарили еще по 6 открыток. У Наташи стало в 2 раза больше
7.
открыток, чем у Сережи. Сколько открыток было у каждого
первоначально?
Решите следующие задачи различными арифметическими спо­
собами.
а) В двух книжных шкафах было 1 536 книг. Когда из одного
взяли 156 книг, а из другого в три раза больше, то книг
в шкафу стало поровну. Сколько книг было в каждом шка­
фу первоначально?
б) Площадь земли, засеянная пшеницей, в шесть раз больше
площади, засеянной ячменем, а площадь, засеянная рожью,
в три раза меньше площади, засеянной пшеницей. Сколько
гектаров земли засеяно каждой культурой, если пшеницей
засеяно на 480 га больше, чем рожью?
10.7. Решение задач на движение и другие
процессы
Движение является является объектом рассмотрения в самых
разнообразных задачах, в том числе и в задачах на части. Но наряду
с этим существует и самостоятельный тип задач на движение. Он
объединяет такие задачи, которые решаются на основании зави­
симости s = v t , где s — пройденный путь; v — скорость движения;
t — время движения, причем движение рассматривается равномерное
прямолинейное.
Рассмотрим особенности решения основных видов задач на дви­
жение.
Задачи на встречное движение двух объектов. Пусть движение
первого объекта характеризуется величинами л',, иъ движение вто­
рого — s2, и2, t2. Такое движение можно представить на схематическом
чертеже (рис. 10.15).
Если два объекта начинают движение одновременно навстречу
друг другу, то:
♦ каждый из них с момента выхода и до встречи затрачивает одина­
ковое время, т. е. tx = t2 = tBстр;
♦ скорость, с какой сближаются движущиеся объекты за единицу
времени, называется скоростью сближения, т.е. ис6л = vx + v\
205
♦ путье, пройденный движущимися телами при встречном движе­
нии, может быть подсчитан по формуле: s = исбл■/Сбл-
Задача 1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг
другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость
одного из них 5 км/ч, а другого — 4 км/ч. Через сколько часов они
встретились?
Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг
другу двух пешеходов. Один идет со скоростью 5 км/ч, а другой —
4 км/ч. Путь, который они должны пройти, 18 км. Требуется найти
время, через которое они встретятся, начав движение одновременно.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными —
схематический чертеж (рис. 10.16) или таблица.
Поиск плана решения в данном случае удобно вести, рассуждая
от данных к вопросу. Так как скорости пешеходов известны, можно
найти их скорость сближения. Зная скорость сближения пешеходов
и все расстояние, которое им надо пройти, можно найти время,
через которое пешеходы встретятся. Запишем решение задачи по
действиям:
1) 5 + 4 = 9 (км/ч);
2) 18:9 = 2 (ч).
Таким образом, пешеходы встретятся через 2 ч от начала движе­
ния.
Задача 2. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг
другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через
5 ч встретились. Один из них проезжал в час на 16 км больше.
Определите скорости автомобилей.
Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг
другу двух автомобилей. Известно, что движение они начали одно­
временно и встретились через 5 ч. Скорости автомобилей различ­
ны — один ехал быстрее другого на 16 км/ч. Путь, который проехали
автомобили — 600 км. Требуется определить скорости движения этих
автомобилей.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть различны­
ми: схематический чертеж (рис. 10.17) или таблица.
Поиск плана решения задачи будем вести, рассуждая от данных
к вопросу. Так как известно все расстояние и время встречи, можно
найти скорость сближения автомобилей. Затем, зная, что скорость
одного на 16 км/ч больше скорости другого, можно найти скорости
|2>
5 км/ч
г„,,тр-?
5 , КМ
4 км/ч
I
11
206
? 1
?J
18
V,
км/ч
/,
5
?1
4
?J
ч
\ одинаковое
S,
I
II
км
? 1
1600
? 1
V,
км/ч
t,
600 км
ч
9
5
? на 16 км /ч больше
5
Рис. 10.17
автомобилей. При этом можно воспользоваться вспомогательной
моделью, приведенной на рис. 10.18.
Запишем решение задачи по действиям с пояснением:
1 ) 600:5 = 120 (км/ч) — скорость сближения автомобилей;
2) 120 - 16 = 104 (км/ч) — скорость сближения, если бы скорости
автомобилей были одинаковыми и равными скорости первого;
3) 104:2 = 52 (км/ч) — скорость первого автомобиля;
4) 52 + 16 = 6 8 (км/ч) — скорость второго автомобиля.
Есть и другие арифметические способы решения данной задачи,
вот два из них.
3 способ:
2 способ:
1) 16-5 = 80 (км);
1 ) 600:5 = 120 (км/ч);
2) 600 - 80 = 520 (км);
2) 120 + 16 = 136 (км/ч);
3) 520:2 = 260 (км);
3) 136:2 = 6 8 (км/ч);
4) 260:5 = 52 (км/ч);
4) 6 8 - 16 = 52 (км/ч).
5) 52 + 16 = 6 8 (км/ч).
Дайте устные пояснения к выполненным действиям и попытай­
тесь найти другие способы решения данной задачи.
Задачи на движение двух объектов в одном направлении.
Среди них следует различать задачи, в которых:
♦ движение начинается одновременно из разных пунктов;
♦ движение начинается в разное время из одного пункта.
Рассмотрим случай, когда движение двух объектов начинается
одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на
одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется вели­
чинами su U\, tb а движение второго — s2, v2, t2.
Такое движение можно представить на схематическом чертеже
(рис. 10.19).
Если при движении в одном направлении первый объект дого­
няет второго, то и] > и2. Кроме того, первый объект приближается
к другому со скоростью и! - и2. Ее называют скоростью сближения:
^сбл = Щ - V2-
16 км/ч
►600:5=120 (км/ч)
Рис. 10.18
207
*1
Рис. 10.19
Расстояние s, представляющее длину отрезка АВ, находят по фор­
мулам: 5 = S', —S2 И 5 = ис6л •tBCTр.
Задача 3. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км,
выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста.
Скорость одного — 40 км/ч, другого — 50 км/ч. Через сколько часов
второй мотоциклист догонит первого?
Решение. В задаче рассматривается движение двух мотоцикли­
стов. Выехали они одновременно из разных пунктов, находящихся
на расстоянии 30 км. Скорость одного 40 км/ч, другого — 50 км/ч.
Требуется узнать, через сколько часов второй мотоциклист догонит
первого.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными:
схематический чертеж (рис. 1 0 .2 0 ) или таблица.
Сравнение скоростей мотоциклистов показывает, что в течение
часа первый мотоциклист приближается ко второму на 10 км. Рас­
стояние, которое ему надо пройти до встречи со вторым, на 30 км
больше, чем расстояние, которое за такое же время проедет вто­
рой мотоциклист. Поэтому первому потребуется столько времени,
сколько раз 10 км укладываются в 30 км. Запишем решение задачи
по действиям:
1) 50 - 40 = 10 (км/ч) — скорость сближения мотоциклистов;
2) 30: 10 = 3 (ч) — за это время первый мотоциклист догонит
второго.
Наглядно этот процесс представлен на рис. 10.21, где единичный
отрезок изображает расстояние, равное 10 км.
Задача 4. Всадник выезжает из пункта А и едет со скоростью
12 км/ч; в это же время из пункта В, отстоящего от А на 24 км, вышел
пешеход со скоростью 4 км/ч. Оба движутся в одном направлении.
На каком расстоянии от В всадник догонит пешехода?
S,
50 км/ч
I
30 км
Р и с. 10.20
208
км
v,
км/ч
Лч
40 км/ч
II
? на 30 км
больш е
50
?
40
?1
1 одинаковое
?
50 км /ч
1ч
2ч
Зч
Рис. 10.21
Решение. В задаче рассматривается движение в одном направ­
лении всадника и пешехода. Движение началось одновременно из
разных пунктов, расстояние между которыми 24 км, и с разной
скоростью: у всадника — 12 км/ч, у пешехода — 4 км/ч. Требуется
узнать расстояние от пункта, из которого вышел пешеход, до момента
встречи всадника и пешехода.
Вспомогательные модели: схематический чертеж (рис. 10.22) или
таблица.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти время, которое бу­
дет находиться в пути пешеход или всадник, — время их движения
до встречи одинаковое. Как найти это время, подробно рассказано
в предыдущей задаче. Поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи,
необходимо выполнить следующие действия:
1) 12 - 4 = 8 (км/ч) — скорость сближения всадника и пешехода;
2) 24:8 = 3 (ч) — время, через которое всадник догонит пешехо­
да;
3) 4-3 = 12 (км) — расстояние от пункта В, на котором всадник
догонит пешехода.
Задача 5. В 7 ч из Москвы со скоростью 60 км/ч вышел поезд.
В 13 ч следующего дня в том же направлении вылетел самолет со
скоростью 780 км/ч. Через какое время самолет догонит поезд?
Решение. В данной задаче рассматривается движение поезда
и самолета в одном направлении из одного пункта, но начинается
оно в разное время. Известны скорости поезда и самолета, а также
время начала их движения. Требуется найти время, через которое
самолет догонит поезд.
Из условия задачи следует, что к моменту вылета самолета поезд
прошел определенное расстояние. И если его найти, то данная задача
становится аналогичной задаче 3, рассмотренной выше.
Чтобы найти расстояние, которое прошел поезд до момента вы­
лета самолета, надо подсчитать, сколько времени находился в пути
S,
в
п
км
v,
км/ч
ч
12 км /ч
? н а 24 км
бол ьш е
?
12
?ч
1 одинаковое
4
?
А
24 км
4 км/ч
... „
?
Рис. 10.22
209
поезд. Умножив время на скорость поезда, получим расстояние,
пройденное поездом до момента вылета самолета. А далее анало­
гично задаче 3.
1) 24 - 7 = 17 (ч) — столько времени был в пути поезд в тот день,
когда он вышел из Москвы;
2) 17 + 13 = 30 (ч) — столько времени был в пути поезд до момента
вылета самолета;
3) 60 -30 = 1 800 (км) — путь, пройденный поездом до момента
вылета самолета;
4) 780 - 60 = 720 (км/ч) — скорость сближения самолета и по­
езда;
5) 1 800:720 = 2,5 (ч) — время, через которое самолет догонит
поезд.
Задачи на движение двух объектов в противоположных на­
правлениях. В таких задачах два объекта могут начинать движение
в противоположных направлениях из одной точки: а) одновременно;
б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных
точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.
Общим теоретическим положением для них будет следующее:
[7уДал —V[ + и2, где V\ и v2 соответственно скорости первого и второго
объектов; уудал — скорость удаления, т.е. скорость, с какой удаляются
друг от друга движущиеся объекты.
Задача 6. Два поезда отошли одновременно от одной станции
в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч.
На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа по­
сле выхода?
Решение. В задаче рассматривается движение двух поездов. Они
выходят одновременно от одной станции и идут в противоположных
направлениях. Известны скорости поездов (60 км/ч и 70 км/ч) и вре­
мя их движения (3 ч). Требуется найти расстояние, на котором они
будут находиться друг от друга через указанное время.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть такими:
схематический чертеж (рис. 10.23) или таблица.
Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояния,
пройденные первым и вторым поездом за 3 ч, и полученные резуль­
таты сложить:
1 ) 60-3 = 180 (км);
2) 70-3 = 210 (км);
3) 180 + 210 = 390 (км).
Зч
60 км/ч 70 км/ч
’
?
Рис. 10.23
210
S,
Зч
км
I
?ь
11
? J
и, км/ч
t, Ч
60
3
70
3
9
Рис. 10.24
Можно решить эту задачу другим способом, воспользовавшись
понятием скорости удаления:
1) 60 + 70 = 130 (км/ч) — скорость удаления поездов;
2) 130 • 3 = 390 (км) — расстояние между поездами через 3 ч.
Задача 7. От станции А отправился поезд со скоростью 60 км/ч.
Через 2 ч с этой же станции в противоположном направлении вышел
другой поезд со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между
поездами через 3 ч после выхода второго поезда?
Решение. Эта задача отличается от задачи 6 тем, что движение
поездов начинается в разное время. Вспомогательная модель задачи
представлена на рис. 10.24. Решить ее можно двумя арифметическими
способами.
1 способ:
1)2 + 3 = 5(ч ) — столько времени в пути был первый поезд;
2) 60-5 = 300 (км) — расстояние, которое за 5 ч прошел этот поезд;
3) 70-3 = 210 (км) — расстояние, которое прошел второй поезд;
4) 300 + 210 = 510 (км) — расстояние между поездами.
2 способ'.
1) 60 + 70 = 130 (км/ч) — скорость удаления поездов;
2) 130 • 3 = 390 (км) — расстояние, на которое удалились поезда
за 3 ч;
3) 60 • 2 = 120 (км) — расстояние, пройденное первым поездом за
2 ч;
4) 390 + 120 = 510 (км) — расстояние между поездами.
Задачи на движение по реке. При решении таких задач разли­
чают: собственную скорость движущегося объекта, скорость течения
реки, скорость движения объекта по течению и против течения. За­
висимость между ними выражается формулами:
^ п о теч
—^соб
^теч.р 9
^пр.теч
—^соб
~ ^теч.р 9
^ п о теч
^соб
—
^пр.теч
2
Задача 8. Расстояние 360 км катер проходит за 15 ч, если двига­
ется против течения реки, и за 12 ч, если двигается по течению.
211
Сколько времени потребуется катеру, чтобы проплыть 135 км по
озеру?
Решение. В данном случае удобно все данные, неизвестные и ис­
комое, записать в таблицу:
5, км
и, км/ч
/, Ч
по течению
360
?
12
против течения
360
?
15
по озеру
135
?
?
Условия движения
Таблица подсказывает последовательность действий: найти сна­
чала скорость движения катера по течению и против течения, затем,
используя формулы, — собственную скорость катера и, наконец,
время, за которое он проплывет 135 км по озеру:
1) 360:12 = 30 (км/ч) — скорость катера по течению реки;
2) 360:15 = 24 (км/ч) — скорость катера против течения реки;
3) 24 + 30 = 54 (км/ч) — удвоенная собственная скорость катера;
4) 54:2 = 27 (км/ч) — собственная скорость катера;
5) 135:27 = 5 (ч) — время, за которое катер проплывет 135 км.
Задачи «на работу», «куплю-продажу» и другие процессы.
В окружающей действительности человек имеет дело с различными
процессами: движением, работой, покупкой товара и другими. Как
правило, они характеризуются тремя величинами. Так, для работы —
это производительность труда, время работы и объем выполненной
работы; для процесса «купли-продажи» — цена, количество товара
и его стоимость. Но все эти тройки величин связаны зависимостью,
аналогичной зависимости между скоростью, временем и расстоянием
при прямолинейном равномерном движении. Поэтому и процесс их
решения аналогичен процессу решения задач на движение.
Задача 9. Двум рабочим дано задание изготовить 120 деталей.
Один рабочий изготовляет 7 деталей в час, а другой — 5 деталей в час.
За сколько часов рабочие выполнят задание, работая вместе?
Решение. В задаче рассматривается процесс выполнения двумя
рабочими задания по изготовлению 120 деталей. Известно, что один
рабочий делает в час 7 деталей, а другой — 5. Требуется узнать время,
за которое рабочие изготовят 120 деталей, работая вместе. Чтобы
найти ответ на это требование, надо знать, что процесс, о котором
идет речь в задаче, характеризуется тремя величинами:
1 ) количеством всех произведенных деталей — это результат про­
цесса; обозначим его буквой К;
2 ) скоростью изготовления деталей за единицу времени — это ско­
рость процесса, или производительность; обозначим ее буквой А;;
212
3)
временем выполнения задания — это время протекания про­
цесса; обозначим его буквой t.
Зависимость между названными величинами выражается форму­
лой: К = kt.
Чтобы найти ответ на вопрос задачи, т.е. время t, надо найти
количество деталей, изготовляемых рабочими за 1 ч при совместной
работе, а затем разделить 120 деталей на полученную производитель­
ность.
Задача 10. В одном резервуаре 380 м3 воды, а в другом — 1 500 м3.
В первый резервуар каждый час поступает 80 м 3 воды, а из второго
каждый час выкачивают по 60 м 3 воды. Через сколько часов в резер­
вуарах воды станет поровну?
Решение. В данной задаче рассматривается процесс заполнения
водой одного резервуара и выкачивания воды из другого. Этот про­
цесс характеризуется следующими величинами:
♦ объемом воды в резервуаре; обозначим его буквой V;
♦ скоростью поступления (выкачивания) воды; обозначим ее бук­
вой у;
♦ временем протекания процесса; обозначим его буквой t.
Зависимость между названными величинами выражается форму­
лой V = vt.
Процесс, описанный в данной задаче, аналогичен движению двух
объектов навстречу друг другу. Это можно наглядно представить, по­
строив вспомогательную модель (рис. 10.25).
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти скорость «сближе­
ния» уровней воды в резервуарах и объем воды, при котором проис­
ходит выравнивание этих уровней, а затем, разделив этот объем на
скорость «сближения», можно найти время, через которое в резер­
вуарах воды станет поровну.
Запишем решение задачи по действиям:
1) 80 + 60 = 140 (м3);
2) 1 500 - 380 = 1 120 (м3);
3) 1 120:140 = 8 (ч).
60 м3 I
t-7
I
> 1 500
80 м3
м3
^380 м3
Рис. 10.25
213
Чтобы убедиться в правильности полученного ответа, выполним
проверку.
За 8 ч в первый резервуар поступит 640 м 3 (80 • 8 = 640) воды, а из
второго выкачают 480 м 3 (60 • 8 = 480) воды. Тогда в первом резер­
вуаре воды будет 1 020 м 3 (380 + 640 = 1 020) и во втором резервуа­
ре — столько же (1 500 - 480 = 1 020), что удовлетворяет условию
задачи.
Видим, что основа для решения задач, связанных с «работой»,
наполнением бассейнов и другими процессами, такая же, как и для
решения задач на движение. Поэтому рассмотренные ранее подходы
к решению различных видов задач на движение можно применять
и при решении задач на другие процессы.
Упражнения
Скорость пешехода а км/ч, а скорость велосипедиста — b км/ч.
Запишите в виде выражения:
а) скорость сближения пешехода и велосипедиста при движе­
нии навстречу;
б) скорость удаления при движении в противоположных на­
правлениях;
в) скорость сближения при условии, что велосипедист догоня­
ет пешехода;
г) скорость удаления при условии, что велосипедист обогнал
пешехода.
2.
Два мотоциклиста выехали одновременно из двух пунктов, рас­
стояние между которыми 450 км. Скорость одного из них 80 км/ч,
скорость другого 70 км/ч. На каком расстоянии будут они друг от
друга через 2 ч, если они движутся:
а) навстречу друг другу;
б) в противоположных направлениях;
в) в одном направлении и при этом один удаляется от друго­
го;
г) в одном направлении и при этом один догоняет другого?
3. С противоположных концов катка длиной 180 м бегут навстречу
друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся,
если начнут бег одновременно и если один пробегает 9 м в се­
кунду, а другой 6 м в секунду?
Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих
выражений:
а) 9 + 6 ; б) 180:9; в) 180:6; г) 180:(9+ 6 ).
Какое из этих выражений является математической моделью
данной задачи?
4. Постройте различные вспомогательные модели задачи и устано­
вите, какая из них, на ваш взгляд, наиболее целесообразна для
ее решения. Решение задачи запишите, составив выражение.
1.
214
а) Из пункта М вышел пешеход со скоростью 4 км/ч, а через
2ч выехал велосипедист со скоростью 12 км /ч. На каком
расстоянии от М велосипедист догонит пешехода?
б) Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск,
а другой подъем на эскалаторах метро, поравнялись через
30 с. Вычислите длину эскалатора, если скорость его дви­
жения 1 м/с.
5. Расстояние между городами А и В 520 км. В 8 ч из А в В выехал
автобус со скоростью 56 км/ч, а в 11 ч того же дня из В в А выехал
грузовой автомобиль со скоростью 32 км/ч. На каком расстоянии
от А встретятся машины?
Решение задачи запишите по действиям и в виде выражения.
6 . Из двух городов, расстояние между которыми 960 км, вышли
одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились
через 8 ч после выхода. Найдите скорость каждого поезда, если
один проходил в час на 16 км больше другого.
Дайте пояснения к каждому действию такого решения данной
задачи:
1) 960:8 = 120 (км/ч);
2) 120 - 16 = 104 (км/ч);
3) 104:2 = 52 (км/ч);
4) 52 + 16 = 6 8 (км/ч).
7. Решите нижеприведенные задачи арифметическим методом;
решение запишите по действиям с пояснениями.
а) Из А в В выехал мотоциклист, проезжавший в час 48 км.
Через 45 мин из В в А выехал другой мотоциклист, скорость
которого была 50 км /ч. Зная, что расстояние АВ равно
330 км, найдите, на каком расстоянии от В мотоциклисты
встретятся.
б) Из двух городов, расстояние между которыми 484 км, выеха­
ли одновременно навстречу друг другу велосипедист и мо­
тоциклист. Через 4 ч расстояние между ними оказалось
292 км. Определите скорость велосипедиста и мотоциклиста,
если скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости ве­
лосипедиста.
8 . Установите, достаточно ли данных для ответа на требование за­
дачи.
а) Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, вышли
одновременно навстречу друг другу два пешехода и встре­
тились. Скорость одного пешехода 4 км/ч. С какой скоро­
стью шел другой пешеход?
б) Расстояние между станциями 780 км. Одновременно на­
встречу друг другу с этих станций вышли два поезда и че­
рез 6 ч встретились. Найдите скорость каждого поезда, если
скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости дру­
гого.
215
В случае, если нельзя ответить на требование задачи, дополните
ее условие и решите задачу.
9. Есть ли среди нижеприведенных задачи с лишними данными?
а) Расстояние между плотом и катером, которые движутся по
реке навстречу друг другу, 52 км. Скорость плота 4 км /ч,
а скорость катера 9 км/ч. Каким будет расстояние между
ними через 1 ч?
б) Почтальон живет на расстоянии 24 км от почтового отделе­
ния. Путь от дома до почты он проехал за 3 ч на велосипеде
со скоростью 8 км/ч, а обратный путь по той же дороге он
проехал со скоростью 6 км/ч. На какой путь почтальон по­
тратил меньше времени и на сколько часов?
Если в задаче есть лишние данные, то исключите их и решите
получившуюся задачу.
10. Решите следующие задачи арифметическим методом; решение
запишите по действиям и выполните проверку.
а) Из двух городов, расстояние между которыми 260 км, одно­
временно выехали два поезда в одном направлении. Ско­
рость шедшего впереди поезда 50 км/ч, а второго — 70 км/ч.
Через какое время один поезд догонит другой?
б) Из пункта А выехал автобус со скоростью 40 км/ч и через
12 мин нагнал пешехода, который вышел из пункта В одно­
временно с началом движения автобуса из пункта А. Ско­
рость пешехода 5 км/ч. Каково расстояние между пункта­
ми А и В?
в) Скорость одного конькобежца на 2 м /с больше скорости
другого. Если второй начнет движ ение на 20 с раньш е
первого, то первый, стартуя с того же места, что и второй,
догонит его через 80 с. Определите скорости спортсменов.
11. Решите задачи арифметическим методом, установив предвари­
тельно, какие величины рассматриваются в них и в каких за­
висимостях они находятся.
а) Длина прямоугольного поля 1 536 м, ширина 625 м. Один
тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за
12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая
вместе в течение 5 дней?
б) Сумма площадей двух участков равна 140 га. Урожайность
пш еницы на первом участке была 35 ц/га, а на втором
30 ц/га. Найдите площадь каждого участка, если известно,
что со второго собрали на 30 ц больше, чем с первого.
в) Один экскаватор вынимает на 60 м 3 в час больше земли, чем
другой. Оба экскаватора вынули вместе 10 320 м 3 земли,
причем первый работал 20 ч, а второй — 18 ч. С какой про­
изводительностью работал каждый экскаватор?
г) Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту
2 картофелины, а второй — 3 картофелины. Вместе они
216
очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если
второй проработал на 25 мин больше первого?
д) Бассейн вмещает 2 700 м3 воды и наполняется тремя трубами.
Первая и вторая трубы вместе могут наполнить бассейн за
12 ч, а первая и третья наполняют его вместе за 15 ч. За
сколько часов каждая труба в отдельности наполняет бассейн,
если третья труба действует в два раза медленнее второй?
12. От двух пристаней, расстояние между которыми по реке 640 км,
вышли одновременно навстречу друг другу два теплохода. Соб­
ственная скорость теплоходов одинакова. Скорость течения реки
2 км/ч. Теплоход, идущий по течению, за 9 ч проходит 198 км.
Через сколько часов теплоходы встретятся?
Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих
выражений:
а) 198:9; 6 ) 1 9 8 :9 - 2 ; в) 1 9 8 : 9 - 2 - 2 ;
г) 198:9 + (198:9 - 4); д) 640:(198:9 + (198:9 - 4)).
Есть ли среди этих выражений математическая модель данной
задачи?
Запишите решение данной задачи по действиям с пояснениями
и выполните проверку.
13. Решите следующие задачи арифметическим методом; решение
запишите по действиям с пояснением.
а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а
на обратный путь — 10 ч. Скорость лодки в стоячей воде
16 км/ч. Какова скорость течения реки?
б) Собственная скорость моторной лодки в 8 раз больше ско­
рости течения реки. Найдите собственную скорость лодки
и скорость течения реки, если, двигаясь по течению, лодка
за 4 ч проплыла 108 км.
в) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик про­
плыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же
расстояние против течения за 40 с. Определите собственную
скорость пловца, считая ее постоянной от начала и до кон­
ца заплыва, если скорость течения реки равна 25 см/с.
14. Решите задачи, предлагаемые младшим школьникам, и объяс­
ните, какие приемы можно использовать на каждом из этапов
процесса их решения.
а) Два мастера переплели 180 книг. Первый из них переплетал
по 5 книг в день и переплел 75 книг. Сколько книг в день
переплетал второй мастер, если он работал столько же дней,
что и первый?
б) Из двух городов, расстояние между которыми 777 км, выш­
ли навстречу друг другу два поезда. Первый поезд вышел на
3 ч раньше и шел со скоростью 75 км/ч. Поезда встретились
через 4 ч после выхода второго поезда. С какой скоростью
шел второй поезд?
РАЗДЕЛ
III
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Для школьного курса математики натуральное число является
тем понятием, с которого, как правило, начинается обучение. И уже
в начальных классах учащиеся знакомятся с различными функциями
натурального числа. Отвечая на вопрос: «Сколько машин изображе­
но на рисунке?», — они имеют дело с числом как количественной
характеристикой множества предметов. Производя счет предметов,
используют натуральное число как характеристику порядка. В за­
дачах, связанных с измерением величин, число выступает как зна­
чение величины при выбранной единице, т. е. как мера величины.
Большое внимание уделяется в начальном курсе математики и еще
одной роли числа — как компоненту вычислений. Таким образом,
натуральное число имеет много функций, и многие из них должны
быть поняты и усвоены уже младшими школьниками. Поэтому важ­
ной задачей учителя является овладение теми теориями, в которых
обосновываются различные подходы к определению натурального
числа и действий над числами.
В данном курсе рассмотрим аксиоматическое определение си­
стемы натуральных чисел, отвечающее на вопрос, что представляет
собой число как элемент натурального ряда; затем построим ее
теоретико-множественную модель и выясним, что представляет собой
натуральное число как мера величины, и, наконец, изучим способы
записи чисел и алгоритмы действий над ними.
Г л а в а 13
ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ понятия
НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА
Числа возникли из потребности счета и измерения и прошли
длительный путь исторического развития.
Было время, когда люди не умели считать. Чтобы сравнить конеч­
ные множества, устанавливали взаимно-однозначное соответствие
между данными множествами или между одним из множеств и под­
множеством другого множества, т.е. на этом этапе человек воспри­
248
нимал численность предметов без их пересчета. Например, о чис­
ленности группы из двух предметов он мог говорить: «Столько же,
сколько рук у человека», о множестве из пяти предметов — «столько
же, сколько пальцев на руке». При таком способе сравниваемые
множества должны были быть одновременно обозримы.
В результате очень долгого периода развития человек пришел
к следующему этапу создания натуральных чисел — для сравнения
множеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки,
раковины, пальцы. Эти множества-посредники уже представляли
собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе
число не отделялось от сосчитываемых предметов: речь шла, напри­
мер, о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще.
Названия множеств-посредников стали использовать для опреде­
ления численности множеств, которые с ними сравнивались. Так,
у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти
элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества
из 2 0 предметов — словами «весь человек».
Только после того как человек научился оперировать множествамипосредниками, установил то общее, что существует, например, между
пятью пальцами и пятью яблоками, т.е. когда произошло отвлечение
от природы элементов множеств-посредников, возникло представ­
ление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например,
яблок, не перечислялись уже «одно яблоко», «два яблока» и т.д.,
а произносили слова «один», «два» и т.д. Это был важнейший этап
в развитии понятия числа. Историки считают, что произошло это
в каменном веке, в эпоху первобытнообщинного строя, примерно
в 10—5 тысячелетии до н.э.
Со временем люди научились не только назы вать числа, но
и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Вообще,
натуральный ряд чисел возник не сразу, история его формирования
длительная. Запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивал­
ся постепенно. Постепенно сложилось и представление о бесконеч­
ности множества натуральных чисел. Так, в работе «Псаммит» —
исчисление песчинок — древнегреческий математик Архимед (III в.
до н. э.) показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно,
и описал способ образования и словесного обозначения сколь угодно
больших чисел.
Возникновение понятия натурального числа было важнейшим мо­
ментом в развитии математики. Появилась возможность изучать эти
числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они
возникли. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и дей­
ствия над ними, получила название «арифметика» (от греч. arithmos—
«число»). Следовательно, арифметика — это наука о числе.
Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне,
Китае, Индии и Египте. Накопленные в этих странах математиче­
ские знания были развиты учеными Древней Греции. В средние века
249
большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии,
стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с XIII в, — евро­
пейские ученые.
Термин «натуральное число» впервые употребил в V в. римский
ученый А. Боэций, который известен как переводчик работ извест­
ных математиков прошлого на латинский язык и как автор книги
«О введении в арифметику», которая до XVI в. была образцом для
всей европейской математики.
Во второй половине XIX в. натуральные числа оказались фунда­
ментом всей математической науки, от состояния которого зависела
прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необ­
ходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального
числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика
XIX в. перешла к аксиоматическому построению своих теорий, была
разработана аксиоматическая теория натурального числа. Боль­
шое влияние на исследование природы натуральных чисел оказала
и созданная в XIX в. теория множеств. В созданных теориях были
обобщены и систематизированы известные к этому времени знания
о натуральных числах, в частности:
♦ совокупность натуральных чисел, расположенных в порядке воз­
растания, есть натуральный ряд: 1, 2 , 3, ...;
♦ для любых натуральных чисел а и b имеет место только одно из
отношений: либо а = Ь, либо а > Ь, либо а < Ь;
♦ над натуральными числами можно выполнять операции (действия)
сложения, умножения, вычитания и деления. При этом для любых
натуральных чисел а и b всегда существует и однозначно опреде­
ляется сумма а + b и произведение а ■Ь\ сложение и умножение
натуральных чисел обладают свойствами коммутативности и ас­
социативности, а умножение дистрибутивно относительно сложе­
ния;
♦ вычитание и деление натуральных чисел определяются как опера­
ции, обратные соответственно сложению и умножению; но для
заданных натуральных чисел а и b разность а - b и частное а : b
существуют не всегда, а при определенных условиях, но если су­
ществуют, то их значения единственны.
Г л а в а 17
ЗАПИСЬ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
И АЛГОРИТМЫ ДЕЙСТВИЙ НАД НИМИ
Человеку постоянно приходится иметь дело с числами, поэтому
нужно уметь правильно называть и записывать любое число, произ­
водить действия над числами. Как правило, все успешно справляются
с этим. Помогает здесь способ записи чисел, который в настоящее
время используется повсеместно и носит название десятичной си­
стемы счисления.
Изучение этой системы начинается в начальных классах, и, ко­
нечно, учителю нужны определенные знания в этой области. Он
должен знать различные способы записи чисел, алгоритмы арифме­
тических действий и их обоснование. Предлагаемый материал дает
тот минимум, без которого невозможно разобраться с различными
методическими подходами к обучению младших школьников спосо­
бам записи чисел и выполнению над ними действий.
17.1. Позиционные и непозиционные системы
счисления
Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же появи­
лась необходимость в названии и записи чисел.
Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий
над ними называют системой счисления.
Называть числа и вести счет люди научились еще до появления
письменности. В этом им помогали, прежде всего, пальцы рук и ног.
Издревле употреблялся еще такой вид инструментального счета,
как деревянные палочки с зарубками, шнуры и веревки с узлами.
Веревочные счеты с узелками применялись в России и во многих
странах Европы.
Способ «записи» чисел с помощью зарубок или узлов был не
слишком удобным, так как для записи больших чисел приходилось
делать много зарубок или узлов, что затрудняло не только запись,
но и сравнение чисел друг с другом, трудно было выполнять и дей­
ствия над ними. Поэтому возникли иные, более экономичные за­
писи чисел: счет стали вести группами, состоящими из одинакового
числа элементов. Наряду с группами по 10 элементов встречались
группы по 5, 12, 20 элементов. Так, счет двадцатками использовали
308
люди племени майя. «Следы» такого счета сохранились в датском
и некоторых других европейских языках. Иногда применялся счет
пятками, а также группами в 12 элементов. В Древнем Вавилоне
считали группами по 60 единиц. Например, число 185 представля­
лось как 3 раза по 60 и еше 5. Записывалось такое число с помощью
всего двух знаков, один из которых обозначал, сколько раз взято по
60, а другой — сколько взято единиц. Древневавилонская система
используется до настоящего времени при измерении промежутков
времени и величин углов в минутах и секундах.
Наибольшее распространение получила десятичная система за­
писи чисел. Эта система, принятая сейчас почти всюду, основана на
группировании десятками и берет свое начало от счета на пальцах.
Десятичная система счисления возникла в Индии в VI в. Однако вид
индийских цифр значительно отличается от современной их записи.
В течение многих столетий, переходя от народа к народу, старинные
индийские цифры много раз изменялись, пока не приняли совре­
менную форму.
Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятичную систе­
му счисления арабы. Распространению этого способа записи чисел
и правил выполнения арифметических действий над числами способ­
ствовала книга среднеазиатского ученого аль-Хорезми «Об индийском
счете», созданная им в начале IX в.
Европейцы познаком ились с достиж ениям и индо-арабской
математики в XI в. Расширение торговли повлекло за собой значи­
тельное усложнение счета, появилась потребность в совершенство­
вании методов счета. Поэтому европейские математики обратились
к трудам греческих и арабских ученых, перевели их на латинский
язык. С десятичной системой счисления европейцы познакомились
через перевод книги аль-Хорезми. В 1202 г. вышла «Книга абака»
Л. Фибоначчи, где были введены индийские цифры и нуль. С XIII в.
начинается внедрение десятичной системы, и к XVI в. она стала по­
всеместно использоваться в странах Западной Европы.
Распространению десятичной системы в России способствовала
книга первого русского выдающегося педагога-математика JI. Ф. Маг­
ницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», вышедшая
в 1703 г. на славянском языке. Она являлась энциклопедией мате­
матических знаний того времени. Все вычисления в ней проводятся
с помощью цифр индийской нумерации. В «Арифметике» выделено
особое действие «нумерация, или счисление»: «Нумерация есть счис­
ление (называние) словами всех чисел, которые изображаемы быть
могут десятью такими знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9, 0. Из них девять
значащих; последняя же 0 (которая цифрой или ничем именуется),
если стоит одна, то сама по себе значения не имеет. Когда же она
присоединяется к какой-нибудь значащей, то увеличивает в десять
раз, как будет показано в дальнейшем*. Однозначные числа в книге
J1. Ф. Магницкого называются «перстами»; числа, составленные из
309
единиц и нулей, — «суставами»; все остальные числа — «сочине­
ниями». Таблица с названиями круглых чисел доведена Магницким
до числа с 24 нулями. В «Арифметике» в стихотворной форме под­
черкнуто: «Число есть бесконечно...»
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
В позиционных системах один и тот же знак может обозначать раз­
личные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим
знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и деся­
тичная системы счисления являются позиционными.
Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак
(из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначе­
ния чисел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места
(позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером та­
кой системы может служить римская система, возникшая в Средние
века. В этой системе счисления имеются знаки для узловых чисел:
единица обозначается — I, пять — V, десять — X, пятьдесят — L,
сто — С, пятьсот — D, тысяча — М. Все остальные числа получаются
с помощью двух арифметических операций: сложения и вычитания.
Вычитание производится в том случае, когда знак, соответствующий
меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового
числа. Например, IV — четыре, ХС — девяносто. Запишем несколько
чисел в римской нумерации:
♦ 193 — это сто (С) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (ХС), плюс
три (III); следовательно, число 193 записывается как CXCIII.
♦ 564 — это пятьсот (D) плюс пятьдесят (L) плюс десять (X) плюс
четыре, т.е. пять без одного (IV). Следовательно, 564 записывает­
ся как DLXIV.
♦ 2 708 — это две тысячи (ММ) плюс пятьсот (D) плюс сто (С) плюс
сто (С) плюс пять (V) плюс три (III). Следовательно, число 2 708
записывается так: MMDCCVIII.
Если число содержит несколько (немного) тысяч, то для его
записи в римской нумерации пользуются повторением знака М.
Вообще же числа четырех-, пяти- и шестизначные записывались
с помощью буквы m (от лат. mille — тысяча), слева от которой за­
писывали тысячи, а справа — сотни, десятки, единицы. Так, запись
CXXXIIImDCCCXLII является записью числа 133 842.
В России до XVII в. в основном употреблялась славянская нуме­
рация, более стройная и удобная, чем римская, но тоже непозицион­
ная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над
которыми для отличия ставили особый знак — титло.
Естественно, что такие системы записи чисел, как римская или
славянская, были удобнее, чем зарубки на бирках, поскольку по­
зволяли записывать большие числа. Однако выполнение действий
над ними в таких системах было весьма сложным делом. Поэтому
на смену им пришла десятичная система счисления.
310
Упражнения
1.
2.
Запишите в десятичной системе счисления: XXVII, XXI, XLIV,
L X I I , L X X V I I I , XCV, C D X X I I I , M C D V I I , M C D X I X ,
MDCCCLXX1.
Запишите в римской системе счисления: 24, 117, 468, 1 941, 1 997,
2 000.
17.2. Запись числа в десятичной системе
счисления
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел
используется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9. Из них об­
разуются конечные последовательности, которые являются краткими
записями чисел. Например, последовательность 3 745 является крат­
кой записью числа 3 • 103 + 7 • 102 + 4 • 10 + 5.
Десятичной записью натурального числа л; называют его пред­
ставление в виде: х = ап- 10 я + а„_,- 10я-1 + ... + а г 10 + а0, где ко­
эффициенты а„, а„_ь ..., а ь а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6 , 7, 8 , 9 и ап Ф 0.
Сумму ап- 10" + ап_х- 10я-1 + ... + а х- 10 + а0 в краткой форме при­
мято записывать так:
а п а п-\ ■■■а \ а о
.
Так как понятие числа и его записи нетождественны, то суще­
ствование и единственность десятичной записи натурального числа
надо доказывать.
Теорема 17.1. Любое натуральное число л; можно представить
ввиде:
х = а„■10 я + ап_у
10я-1
+ ... + я, - 10 + а0 ,
где а„, ап_ь ..., а ь а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5,
и такая запись единственна.
( 1)
6,
7,
8,
9,
Доказательство существования записи числа х в виде (1). Сре­
ди последовательных чисел 1 , 10 , 10 2, 10 3, ..., 10 я,... найдем наиболь­
шую степень, содержащуюся в х , т. е. такую, что 10 я < х < 10 я+| (это
всегда можно сделать).
Разделим (с остатком) число х на 10я. Если частное этих чисел
обозначить через ап, а остаток — через х„, то получим: х = ап- 10 я +
+ х„, где а„ < 10 и х„ < 10 я.
311
Далее, разделив х п на 10"_|, получим: х„ = ап_у 10"_| + х„_ь откуда
х = а„- 10" + a„_i- 10"-1 + х п_и где ап_х < 10 и x n_i < 10я-1. Продолжая
деление, дойдем до равенства х 2 = ау 10 + Х\. Положив х, = а0, будем
иметь х = а„ - 10 " + ап_у 1 0 " -1 + ... + а г 10 + а0, т.е. ч и слох будет пред­
ставлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, мень­
шими 1 0 , что и означает возможность записи числа х в десятичной
системе счисления.
Д ока зат ельст во единст венност и представления числа х в
виде (1). Ч исло п в равенстве (1) однозначно определяется условием
10"<х<10"+|. После того к а к п определено, коэффициент ап находят
из условия: ап ■10" < х < (а„ + 1)-10". Далее аналогичным образом
определяются коэф ф ициенты
..., а().
•
Д есятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том,
какое из них меньше.
Теорема 1 7 .2 . Пусть х и у — натуральные числа, запись которых
дана в десятичной системе счисления:
х = ап■1 0 " + ап_1 • 1 0 " 1 + ... + <2 | • 10 + а§,
у = Ьт- 10" + Ът_у 10"'-' + ... + bv 10 + Ь0.
Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:
а) п < т\
б) п - т , но ап < Ъп\
в) п = т , ап = Ьп, ..., ак = Ьк, но ак_\ < Ьк_х.
Доказат ельст во. В случае а) имеем: так как п < т, то 10"+| < 10'”,
а поскольку х < 1 0 "+1 и 10 " < у, то л; < 10"+1 < 10 т < у, т.е. х < у.
В сл учае б): если п = т , но ап < Ь„, то ап + 1 < Ьп и потому
(а„ + 1 ) • 10 " < Ьп- 10 ". А т а к к а к х < (а„ + 1 ) • 10 " и Ь„- 10 " < 3;, т о х < (а„ +
+ 1 ) - 1 0 " < Ь„■10 " < у, т.е. х < у.
А налогично доказы вается теорема и в случае в).
•
Н априм ер, если х = 3 456, a y = 3 467, т о х < у, так как число тысяч
и сотен в за п и с и оди н аковое, но десятков в числе х меньше, чем
десятков в числе у.
Е сл и н а т у р а л ь н о е ч и с л о х представлено в виде х = а„ - 10" +
+ а„_г 1 0 ""‘ + ... + а х- 10 + а 0, то числа 1, 1 0 , 10 2, ..., 10 " называют р а з ­
р я д н ы м и еди н и ц ам и соответственно первого, второго, . . . , « + 1
разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу
следую щ его вы сш его р а зр я д а , т.е. отнош ение соседних разрядов
равно 10 — основанию систем ы счисления.
Три п е р в ы х разряда в зап и си числа соединяю т в одну группу
и назы ваю т первым классом, или классом единиц. В первый класс
входят ед и н и ц ы , десятки и сотни.
Ч етверты й , пятый и ш естой разряды в записи числа образуют
второй класс — класс т ы сяч . В него входят единицы тысяч, десятки
тысяч и сотни тысяч.
312
Затем следует третий класс — класс м и л ли о н о в , состоящ ий
тоже из трех разрядом: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц
миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.
Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Вы­
деление классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства
для записи и прочтения чисел.
В десятичной системе всем числам можно дать название (имя).
Это достигается следующим образом: имеются названия первых де­
сяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной
записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия
последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются
в виде 1 • 10 + а 0) образуются из соединения первых десяти названий
и несколько измененного слова десять («дцать»):
♦ одиннадцать — один на десять,
♦ двенадцать — два на десять и т.д.
Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но
наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось
в речи.
Слово «двадцать» обозначает два десятка.
Числа третьего десятка (это числа вида 2 • 10 + а0) получают путем
прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка:
двадцать один, двадцать два и т.д.
Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, п я­
того, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков.
Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего
десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для
обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти
десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел
второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого
и последующих десятков. Таким путем образуются наименования:
сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню,
будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести».
Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся н а­
званиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их
к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста,
пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые
носят название тысяча.
Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по
единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три
тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит
особое наименование — миллион. Далее считаем миллионами до тех
пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое чис­
ло — тысяча миллионов — носит особое название м иллиард. Мил­
лион миллионов называется биллионом. В вычислениях миллион
принято записывать в виде Ю6, миллиард — 109, биллион — 1012. По
313
аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион —
1 0 15, квадриллион — 1 0 18 и т.д.
Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа
в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один,
два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок,
девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия
чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.
Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в на­
чальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом де­
сятичной записью натурального числа считают его представление
в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3 ООО + 700 + 40 + 5
есть сумма разрядных слагаемых числа 3 745. Представление числа
в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот
сорок пять.
Упражнения
1.
Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:
а) 4 725; 6 ) 3 370; в) 10 255.
Какие числа представлены следующими суммами:
а) 6 • 103 + 5 • 10 + 8 ; б) 7 • 103 + 110;
в) 8 - 1 0 4 + 103 + 3 • 10 + 1 ; г) Ю5 + 10 2?
Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в ко­
торых все цифры различны.
Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков
вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.
Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше предыду­
щей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?
Младшим школьникам предложена задача: «Запиши пять четы­
рехзначных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же циф­
ра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще
всевозможных четырехзначных чисел можно записать, используя
цифры 2, 5, 0 и 6 так, чтобы одна и та же цифра не повторялась
в записи числа?
2.
3.
4.
5.
6
.
17.3. Алгоритм сложения
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь
на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться
к определению, все суммы, которые получаются при сложении одно­
значных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей
сложения однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных
чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым
314
I
правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя
сложение столбиком. Например,
+
341
7 238
7 579
Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоре­
тические положения лежат в его основе.
Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти
с коэффициентами:
341 + 7 238 = (3 • 102 + 4-10 + 1) + (7 • 103 + 2 • 102 + 3 • 10 + 8 ).
Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами
и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с еди­
ницами, десятки — с десятками и т.д. Все преобразования можно вы­
полнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство
ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:
3 - 102 + 4 -10
+
1 + 7 • 103 + 2 • 102 + 3 • 10
+
8.
На основании свойства коммутативности поменяем местами сла­
гаемые: 7 • 103 + 3 • 102 + 2 • 102 + 4 • 10 + 3 • 10 + 1 + 8 . Согласно свойству
ассоциативности, произведем группировку: 7 • 103 + (3 • 102+ + 2 • 102) +
+ (4 -10 + 3 • 10) + (1 + 8 ). Вынесем за скобки в первой выделенной
группе число 102, во второй — 10. Это можно сделать в соответствии
со свойством дистрибутивности умножения относительно сложе­
ния:
7 • 103 + (3 + 2) • 102 + (4 + 3) ■10 + (1 + 8 ).
Итак, сложение данных чисел 341 и 7 238 свелось к сложению одно­
значных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов.
Эти суммы находим по таблице сложения: 7 • 103 + 5 • 102 + + 7 • 10 + 9.
Полученное выражение есть десятичная запись числа 7 579.
Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел
лежат следующие теоретические факты:
♦
♦
♦
♦
способ записи чисел в десятичной системе счисления;
свойства коммутативности и ассоциативности сложения;
дистрибутивность умножения относительно сложения;
таблица сложения однозначных чисел.
Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с перехо­
дом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут
теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.
Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответ­
ствующими коэффициентами: (7 К)2 + 4-10 + 8 ) + (4 -102 + + 3• 10 + 6 ).
Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умноже­
315
ния относительно сложения и преобразуем полученное выражение
к такому виду: (7 + 4) • 102 + (4 + 3) • 10 + (8 + 6). Видим, что в этом
случае сложение данных чисел также свелось к сложению однознач­
ных чисел, но суммы 7 + 4, 8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее
выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сде­
лать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше
10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6
представим в виде 1-10 + 4:
(7 + 4) • 102 + (4 + 3) • 10 + (1 • 10 + 4).
Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и при­
ведем полученное выражение к виду: (7 + 4) ■Ю2 + (4 + 3 + 1) • 10 +4.
Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился
при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И нако­
нец, записав сумму 7 + 4 в виде 1-10+1, получаем: (1 • 10+ + 1) • 102 +
+ 8-10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184.
Следовательно, 748 + 436 = 1 184.
Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде.
Пусть даны числа: х = а„-10” + ап_у 10"~' + ... + а0 и у = Ьп- 10" +
+ Ьп_л ■10"-' + ... + Ь(], т. е. рассмотрим случай, когда количество цифр
в записи чисел х и у одинаково. Найдем сумму х + у = (а„- 10й +
+ ап_\ ■10"-1 + ... + а0) + (Ь„• 10" + b„_i ■10"-1 + ... + Ь0) = (ап + £>„)• 10" +
+ (а„_| +
Ю"-' + ... + (а0 + Ь0) — преобразования выполнены
на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения,
а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму
(а„ + Ьп) -10" + (ап_х+ Ьп_х) • 10"-1 + ... + (<з0 + Ь0), вообще говоря, нельзя
рассматривать как десятичную запись числа х + у, так как коэффи­
циенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае,
когда все суммы ак + Ьк не превосходят 9, операцию сложения можно
считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее к,
для которого ак + Ьк > 10. Если ак + Ьк > 10, то из того, что 0 < ак < 9
и 0 < Ьк < 9, следует неравенство 0 < ак + Ьк < 18 и поэтому ак + Ьк
можно представить в виде ак + Ьк = 10 + ск, где 0 < ск < 9. Но тогда
(ак + Ьк) ■10л = (10 + ск) ■10* = 10*+1+ ск- 10*. В силу свойств сложе­
ния и умножения в (ап + Ь„)-10" + ...+ (а0 + Ь0) слагаемые (ак+1 +
+ bk+1) - 10*+1 + (ак + Ьк) - 10* могут быть заменены на (ak+l + Ьк+1 +
+ 1) • 10*+1 + ск• 10*. После этого рассматриваем коэффициенты а„+Ьп,
ап-\ + Ьп_у, ..., ак+2 + Ьк+2, ак+, + bk+] + 1, выбираем наименьшее s, при
котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру.
Через п шагов придем к выражению вида: х + у = (с„ + 10) • 10"+ ... +
+ с0, где с„ ф 0, или х + у = 10"+1 + с„■10" + ... + с0, и где для всех п вы­
полняется равенство 0 < с„ < 10. Тем самым получена десятичная
запись числа х + у.
В случае, когда десятичные записи слагаемых имеют разное
количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее ко­
личество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр
316
в обоих слагаемых. 11осле этого применяется описанный выше про­
цесс сложения.
В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записан­
ных в десятичной системе счисления, формулируют так:
♦ шаг 1: записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соот­
ветствующие разряды находились друг под другом;
♦ шаг 2\ складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше
десяти ее записывают в разряд единиц ответа и переходят к сле­
дующему разряду (десятков);
♦ шаг 3: если сумма единиц больше или равна десяти, то ее пред­
ставляют в виде а0 + b0 = 1 • 10 + с0, где с0 — однозначное число;
записывают с0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам
первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков;
♦ шаг 4\ повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями
и т. д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными
цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или
равна десяти, то впереди обоих слагаемых приписывают нули,
увеличивают нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняют
сложение 1 + 0 = 1 .
Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для
краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число,
изображаемое цифрой».
Упражнения
1.
2.
3.
4.
На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие теорети­
ческие факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных
чисел.
При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в н а ­
чальной школе последовательно рассматриваются такие случаи
сложения: 231 + 342; 425 + 135; 237 + 526; 529 + 299. Каковы осо­
бенности каждого из этих случаев?
Вычислите устно значения выражений; использованный прием
обоснуйте:
а) 2 746 + 7 254 + 9 876; б) 7 238 + 8 978 + 2 768;
в) (4 729 + 8 473) + 5 271; г) 4 232 + 7 419 + 5 768 + 2 591;
д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211 + 643).
Какие рассуждения школьников вы будете считать правильными
при выполнении задания:
а) можно ли утверждать, что значения сумм в каждом столби­
ке одинаковы:
5 3075 + 2 306
2 459 + 121
2 458 + 122
5 3076 + 2 305
2 457 + 123
5 3006 + 2 375
2 456 + 124
5 3306 + 2 075;
317
б) можно ли записать значения этих сумм в порядке возрас­
тания:
4 583 + 321
4 593 + 311
4 573 + 331.
17.4. Алгоритм вычитания
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначно­
го числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с,
что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных
чисел.
Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия
вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но
техника нахождения разности становится иной: разность многознач­
ных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по
определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот
алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.
Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом
записи чисел в десятичной системе счисления и представим дан­
ную разность в таком виде: 485 - 231 = (4 - Ю2 + 8 -10 + 5) - (2 - 102 +
+ 3 ■10 + 1). Чтобы вычесть из числа 4 - 102 + 8 -10 + 5 сумму 2 - 102 +
+ 3 ■10 + 1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы
одно за другим, и тогда:
(4 • 102 + 8 • 10 + 5) - (2 • 102 + 3 • 10 + 1) =
= (4 ■102 + 8 • 10 + 5) - 2 • 102 - 3 • 10 - 1.
Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какоголибо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому
число 2 • 102 вычтем из слагаемого 4 • 102, число 3 • 10 — из слагаемого
8 ■10, а число 1 — из слагаемого 5, тогда:
(4 -102 + 8 • 10 + 5) —2 ■102 —3 -10 —1 =
= (4 -102 - 2 - 102) + (8 10 - 3• 10) + (5 - 1).
Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вы­
читания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь
вид: ( 4 - 2 ) - 102 + (8 - 3) • 10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трех­
значного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию
однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих раз­
рядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4 - 2, 8 - 3
и 5 - 1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2 • 102 +
+ 5-10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе
счисления. Таким образом, 485 - 231 = 254. Выражение (4 - 2) • 102 +
+ (8 —3) -10 + (5 —1) задает правило вычитания, которое обычно вы­
полняется столбиком:
318
485
231
254
Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного
основывается:
♦ на способе записи числа в десятичной системе счисления;
♦ правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;
♦ свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;
♦ таблице сложения однозначных чисел.
Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде
уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же раз­
ряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические
факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например,
разность чисел 760 - 326 по правилу записи чисел в десятичной си­
стеме счисления:
760 - 326 = (7 -102 + 6-10 + 0) - (3 -102 + 2-10 + 6).
Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание
аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно.
Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде
10 единиц — десятичная система счисления позволяет это сделать —
тогда будем иметь выражение: (7 • 102 + 5 • 10 + 10) - (3 • 102 + 2 • 10 + 6).
Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа
и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относи­
тельно вычитания, то получим выражение ( 7 - 3 ) - 102 + (5 - 2)-10 +
+ (10 - 6) или 4 • 102+ 3 • 10 + 4. Последняя сумма есть запись числа 434
в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.
Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из много­
значного в общем виде.
Пусть даны два числа х = ап- 10" + ап_х• 10"'1 + ... + ай и у =
= Ьп■10" + bn_v 10"-1 + ... + Ь0. Известно также, что у < х. Используя
правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутив­
ность умножения относительно вычитания, можно записать, что
х - у = (ап - Ьп) - 10" + (a„_i - £>„_,)■ Ю"'1 + ... + (a0- b 0).
(1)
Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для
всех к выполняется условие ак > Ьк. Если же это условие не выполня­
ется, то берем наименьшее к, для которого ак < Ьк. Пусть т — наи­
меньший индекс, такой, что т > к и а,„ ф 0, а ат_х= ... = ак+х = 0. Имеет
место равенство ат■Ю” = (ат- 1) • 10"' + 9 ■10"'-1 + ... + 9 • 10А+1 + 10 • 10*
(например, если т =4, к = 1, а,„ = 6, то 6 - 104 = 5 - Ю4 + 9 - 103 + 9 - 102 +
+ 10-10). Поэтому в равенстве (1) выражение (ат — bm)- 10m + ... +
+ (ак - Ьк) • 10* можно заменить на (</,„ bm- 1) • 10"* + (9 - Ьт_х) ■Ю"1-1 +
+ ... + (9 - bk+1) • 10А+| + (ак + 10 hk) • 10*. Из того, что ак < Ьк < 10,
319
вытекает неравенство 0 < 10 + ак - Ьк < 10, а из того, что 0 < bs < 9,
вытекает неравенство 0 й 9 - bs < 10, где к + 1 < s < т - 1. Поэтому
в записи л:-> '= (ап - Ь„)-10” + ... + (ат- bm- 1)- 10т + (9 - Ьт_х) • 10m_1 +
+ ... + (9 - bk+1) • 10*+| + (ак + 10 - Ьк) ■10* + ... + (а0 - Ь0) все коэффици­
енты с индексом, меньшим т, неотрицательны и не превосходят 9.
Применяя далее те же преобразования к коэффициентам а „ - Ь„, ...,
am~bm- 1, через п шагов придем к записи разности х - у в виде х - у =
= сп-10" + с„_! • 10"_| + ... +с0, где для всех к выполняется неравенство
0 < ск < 10. Если при этом окажется, что сп = 0, то надо отбросить
первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от
нуля.
В общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе
счисления формулируют так:
♦ шаг Г. записывают вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы со­
ответствующие разряды находились друг под другом;
♦ шаг 2: если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит
соответствующей цифры уменьшаемого, вычитают ее из цифры
уменьшаемого, записывают разность в разряд единиц искомого
числа, после чего переходят к следующему разряду;
♦ шаг 3: если же цифра единиц вычитаемого больше единиц умень­
шаемого, т.е. Ь0 > а0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от
нуля, то уменьшают цифру десятков уменьшаемого на 1, одновре­
менно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего
вычитают из числа 10 + а0 число Ь0 и записывают разность в раз­
ряде единиц искомого числа, далее переходят к следующему раз­
ряду;
♦ шаг 4\ если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц
уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. умень­
шаемого, равны нулю, то берут первую отличную от нуля цифру
в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшают ее на 1, все
цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно
увеличивают на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитают Ь0 из
10+ а0, записывают разность в разряде единиц искомого числа
и переходят к следующему разряду;
♦ шаг 5: в следующем разряде повторяют описанный процесс;
♦ шаг 6: вычитание заканчивается, когда производится вычитание
из старшего разряда уменьшаемого.
Упражнения
1.
2.
320
На примере нахождения разности чисел 469 и 246, 757 и 208
проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания
чисел столбиком.
Выполните вычитание, используя запись и объясняя каждый шаг
алгоритма:
3.
4.
5.
6.
а) 84 072 - 63 894; б) 940 235 - 32 849;
в) 935 204 - 326 435; г) 653 481 - 233 694.
Сколько пятизначных чисел можно записать, используя цифры
1 и 0? Чему равна разность между наибольшим и наименьшим
из этих пятизначных чисел?
Назовите способы проверки правильности вычитания много­
значных чисел и дайте им обоснование.
Вычислите (устно) значения выражений, использованные при­
емы обоснуйте:
а) 2 362 - (839 + 1 362); б) (1 241 + 576) - 841;
в) (7 929 + 5 027 + 4 843) - (2 027 + 3 843).
Докажите, что
Г(а + Ь) - с, если b > с;
а + (Ь -с) = \
[(а - с ) + Ь, если а > с.
7.
Используя это правило, вычислите значение выражения:
а) 6 420 + (3 580 - 1 736); б) 5 480 + (6 290 - 3 480).
Докажите, что
\(о -Ь ) + с, если b > с, а>Ь\
[(с + с) - Ь, если b > с, Ь<а + с.
а -{Ь -с) = {
8.
Используя это правило, вычислите значения выражений:
а) 3 720 - (1 742 - 2 678); б) 2 354 - (965 - 1 246).
Докажите, что
\ (а - с) - Ь, если а> Ь ,а> с;
са - Ь ) - с = \
[.а -(Ь + с), еслиа>Ь + с.
Используя это правило, вычислите значения выражений:
а) (4 317 - 1 928) - 317;
б) (5 243 - 1 354) - 1 646.
9. Не выполняя вычислений, найдите пары выражений, значения
которых равны:
а) 6 387 - 1 486 - 821; г) 6 387 - 1 486 + 821;
б) 6 387 - (1 486 - 821); д) 6 387 + 1 486 - 821;
в) 6 387 - (1 486 + 821); е) 6 387 + (1 486 - 821).
10. Как изменится разность, если:
а) уменьшаемое уменьшить на 277, а вычитаемое увеличить
на 135;
б) к уменьшаемому и вычитаемому прибавить 198;
в) к уменьшаемому прибавить, а из вычитаемого вычесть 198?
11. Решите следующие задачи арифметическим методом, решение
запишите в виде числового выражения; выбор действий обо­
снуйте, используя соответствующую математическую теорию.
321
а) Первый овощной магазин получил с базы на 500 кг овощей
больше, чем второй магазин. Первый магазин продал задень
1 т 300 кг овощей, второй — 1 т 100 кг. На сколько меньше
овощей осталось к концу дня во втором магазине?
б) В двух мешках лежат яблоки; в первом мешке на 70 яблок
больше, чем во втором. В каком мешке яблок будет меньше
и на сколько, если переложить из первого мешка во второй
45 яблок?
в) В первой библиотеке 6 844 книги, что на 959 книг меньше,
чем во второй, а в третьей на 2 348 книг меньше, чем в пер­
вой и второй библиотеках вместе. Сколько книг в третьей
библиотеке?
17.5. Алгоритм умножения
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь
на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться
к определению, все произведения однозначных чисел записывают
в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных
чисел, и запоминают.
Естественно, что смысл умножения сохраняется и для много­
значных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение
многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение
столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом
возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его
основе.
Умножим, например, столбиком 428 на 263.
428
1284
+ 2568
856
112564
Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на
3, 6 и 2, т. е. умножить многозначное число на однозначное; но, умно­
жив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа
2 568 под десятками числа 1 284, так как умножали на 60 и получили
число 25 680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 — это
результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85 600. Кроме того, нам
пришлось найти сумму многозначных чисел.
Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на
многозначное, необходимо уметь:
322
♦ умножать многозначное число на однозначное и на степень деся­
ти;
♦ складывать многозначные числа.
Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на одно­
значное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи
чисел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде
4 - 102 + 2-10 + 8 и тогда 428-3 = (4 - 102 + 2 -10 + 8)-3. На основании
дистрибутивности умножения относительно сложения получим:
(4•3)•102 + (2 ■3) ■10 + 8 -3, а на основании свойства ассоциативно­
сти умножения: (4 -102)-3 + (2 ■10) •3 + 8 •3. Произведения в скобках
могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел:
12 - 102 + 6 -10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на
однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы
получить окончательный результат, надо преобразовать выражение
12 ■102+ 6 • 10 + 24 — коэффициенты перед степенями 10 должны быть
меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 • 10 + 2, а число
24 в виде 2-10 + 4. Затем в выражении (1 • 10 + 2) - 102 + 6 -10 + (2-10 +
+ 4) раскроем скобки: 1 • 103 + 2 • 102 + 6 • 10 + 2 • 10 + 4. На основании
ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения отно­
сительно сложения сгруппируем слагаемые 6-10 и 2 -10 и вынесем
10 за скобки: 1 - 103 + 2 - 102 + (6+ 2)-10 + 4. Сумма 6 + 2 есть сумма
однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения:
1 -103+ 2 -102+ 8-10 + 4. Полученное выражение есть десятичная запись
числа 1 284, т.е. 428-3 = 1 284.
Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное
основывается:
♦ на записи чисел в десятичной системе счисления;
♦ свойствах сложения и умножения;
♦ таблицах сложения и умножения однозначных чисел.
Выведем правило умножения многозначного числа на одно­
значное в общем виде. Пусть требуется умножить х = а „ -10" +
+ а„_j- 10я-1 + ... + а0 на однозначное число у. х у = (а„■10” +
+ an_v 10я-' + ... + а0) у = (а„ у ) - 10" + + (an_v y)- 10"“J + ... + а0-у,
причем преобразования выполнены на основании свойств умно­
жения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все
произведения ак-у, где 0 < к < п, соответствующими значения­
ми ак у = Ьк- 10 + с и получаем: х у = (Ьп• 10 + с„) • 10" + (Ь„_} ■10 +
+ с„_х) ■10"-1 + ... + (Ьг 10 + С]) • 10 + (Ь0■10 + с0) = bn- 10”+1 + (с„ +
+ Ьп_х) ■10я + ... + (с{ + Ь0) • 10 + с0. По таблице сложения заменяем
суммы ск + Ьк_ъ где 0 < k < n w k = Q, 1, 2, ..., п, их значениями.
Если, например, с0 однозначно, то последняя цифра произведения
равна с0 Если же с0 =10 + т 0, то последняя цифра равна т0, а к
скобке (с, + Ь0) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим
десятичную запись числа х у.
323
Сформулируем в общем виде алгоритм умножения многознач­
ного числа х = апап_х...а1а0 на однозначное число у:
♦ шаг Г. записывают второе число под первым;
♦ шаг 2\ умножают цифры разряда единиц числа х на число у. Если
произведение меньше 10, то записывают его в разряд единиц от­
вета и переходят к следующему разряду (десятков);
♦ шаг 3: если произведение цифр единиц числа х на число у больше
или равно 10, то представляют его в виде \0qx+ с0, где с0 — одно­
значное число; записывают с0 в разряд единиц ответа и запоми­
нают q, — перенос в следующий разряд;
♦ шаг 4\ умножают цифры разряда десятков на число у, прибавляют
к полученному произведению число q xи повторяют процесс, опи­
санный в пп. 2 и 3;
♦ шаг 5: процесс умножения заканчивается, когда окажется умно­
женной цифра старшего разряда.
Как известно, умножение числа х на число вида 10* сводится
к приписыванию к десятичной записи данного числа к нулей. По­
кажем это. Умножим числох = ап- 10" + ап_]• 10лЧ + ... + ап на 10*, т.е.
(а„-10" + a„.i • 10"-' + ... + о0) ■10* = а„-10"+* + а„_, • 10"+*-' + ... + а0- 10*.
Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых чис­
ла апап_х...а,я 0 0...0 , так как равно ап■10л+* + а„_, • 10"4*-1 + ... + а0- 10*+
кнулей
+ 0• Ю*-1 + 0• 10*-2 + ... + 0• 10 + 0. Например, 347 • 103 = (3 • 102 + 4 • 10 +
+ 7) - 103 = 3 ■105+ 4 Ю4 + 7 • 103 = 3 • 105+ 4 ■104+ 7 - 103+ 0 • 102+ 0 • 10 +
+ 0 = 347 000.
Заметим еще, что умножение на число у - 10*, где у — однозначное
число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10*.
Например, 52 •300 = 52 •(3 • 102) = (52 •3) • 102 = 156 • 102 = 15 600.
Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на
многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали,
т.е. к произведению 428-263. Представим число 263 в виде суммы
2 • 102 + 6 • 10 + 3 и запишем произведение 428 •(2 • 102 + 6 • 10 + 3). Оно,
согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, рав­
но 428 •(2 ■102) + 428 •(6 • 10) + 428 •3. Отсюда, применив ассоциативное
свойство умножения, получим: (428 •2) • 102 + (428 •6) • 10 + 428 •3. Ви­
дим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число
263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные
числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.
Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное
в общем виде. Пусть х и у — многозначные числа, причем у =
= Ьт- 10ш + bm_x- 10'"'1+ ... + Ь0. В силу дистрибутивности умножения
относительно сложения, а также ассоциативности умножения мож­
но записать:
= x (bm- 10т + Ьт.Л■10m_l + ... + b0) = (x bm) - 10"' +
+(х-Ьт_[)• 10т_1 + ... +х-Ьп. Последовательно умножая число х н а одно-
324
значные числа Ьт , Ьт_ъ ..., Ь0, а затем на 10т , 10"_|,
1, получаем
слагаемые, сумма которых равна х у.
Приходим к алгоритму умножения числа х = а„а„_1...а [а() на
число у = ЬтЬт_х...Ь\Ь0:
♦ шаг /: записывают множитель jc и под ним второй множитель у;
♦ шаг 2: умножают число х на младший разряд Ь0 числа у и запи­
сывают произведение х-Ь0 под числом у;
♦ шаг 3: умножают число х на следующий разряд 6, числа у и за­
писывают произведение х- Ьь но со сдвигом на один разряд влево,
что соответствует умножению х -6, на 10;
♦ шаг 4\ продолжают вычисление произведений до вычисления
х-Ък\
♦ шаг 5: полученные к + 1 произведения складывают.
Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в началь­
ном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с
выделенными этапами. Различия имеются только в записи. На­
пример, при обосновании случая умножения многозначного числа
на однозначное пишут: 428-3 = (400 + 20 + 8) 3 = 400-3 + 20-3 +
+ 8-3= 1 200 + 60 + 24 = 1 284. Основой выполненных преобразо­
ваний являются:
♦ представление первого множителя в виде суммы разрядных сла­
гаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);
♦ правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умно­
жения относительно сложения);
♦ умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на
однозначное число — оно сводится к умножению однозначных
чисел.
Упражнения
1.
2.
3.
На примере умножения числа 357 на 4 проиллюстрируйте тео­
ретические основы алгоритма умножения многозначного числа
на однозначное.
На примере умножения 452 на 186 проиллюстрируйте теорети­
ческие основы алгоритма умножения многозначного числа на
многозначное.
Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются с по­
мощью умножения чисел и решите их.
а) Земля при обращении вокруг Солнца за сутки проходит
примерно 2 505 624 км. Какой путь проходит Земля за 365
дней?
б) В школу привезли 56 пачек книг, по 24 книги в каждой
пачке. Сколько всего книг привезли в школу?
325
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем
найдите его значение.
а) На элеватор отвезли 472 т овса, ржи на 236 т больше, чем
овса, а пшеницы в 4 раза больше, чем овса и ржи вместе.
Сколько тонн пшеницы отвезли на элеватор?
б) Столяр делает в день 18 рам, а его помощник на 4 рамы
меньше. Сколько рам они сделают за 24 дня, если каждый
день будут работать вместе?
Как могут рассуждать учащиеся, выполняя следующее задание:
«Ширина земельного участка прямоугольной формы равна 24 м.
Это в 6 раз меньше его длины. Объясни, что обозначают выра­
жения, записанные по условию задачи, и вычисли их значения:
24-6; 24 (24-6); (24 + 24-6) 6; 24-2; 24-2 + 24-6-2».
Выполните умножение чисел, используя запись столбиком,
и объясняя каждый шаг алгоритма:
а) 984-27; б) 8 27 6-73; в) 7 040-234; г) 4 569-357.
Используя свойства умножения, найдите наиболее рациональным
способом значения выражений:
а) 8 -13 -4 ■125 ■25; б) 24 ■(27 ■125); в) (88 + 48) • 125;
г) 124-4 + 116-4; д) (3 750 - 125)-8; е) 1 779-1 243 - 779-1 243.
Зная, что 650 •34 = 22 100, найдите произведение чисел, не вы­
полняя умножения столбиком:
а) 650 -36; 6) 650 -32; в) 649 -34.
Найдите и обоснуйте приемы умножения 24 на 35 и, пользуясь
ими, умножьте на 35 числа: 12, 18, 24, 32, 48, 64.
Вычислите рациональным способом значения выражений:
а) (420 - 394) •405 - 25 -405; б) 105 •209 + (964 - 859) •209 •400.
Найдите значения выражений 13-11, 27-11, 35-11, 43-11, 54-11.
Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа
на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа меньше 10,
достаточно между цифрами данного числа написать число, рав­
ное сумме его цифр?
Найдите значения выражений 29-11, 37-11, 47-11, 85-11, 97-11.
Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа
на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа больше или
равна 10, достаточно между цифрой десятков, увеличенной на 1,
и цифрой единиц написать число, равное разности между суммой
его цифр и числом 10?
На множестве выражений, приведенных ниже, задано отношение
«содержать в произведении цифру 0». Определяет ли оно раз­
биение этого множества на классы? Если да, то выполните его,
не вычисляя произведений:
2 602-3
2 602-7
26 002-8
326
1 803-6
1 803-2
18 003-7
17 009-4
17 019-4
17 019-7.
17.6. Алгоритм деления
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассма­
тривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрица­
тельное число а на натуральное число b — значит найти такие целые
неотрицательные числа q и г, что а = bq + г, причем 0 < г < Ь.
Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное
число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное
(не превышающее 99), то используется таблица умножения одно­
значных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так
как 9 •6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее
к нему меньшее число, которое делится на 9 — это число 45, и, сле­
довательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5.
Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45, т.е. 51 - 45 = 6. Таким
образом 51 = 9-5 + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное
частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, с помощью
деления уголком:
511 9
45 5
6
Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, напри­
мер, 378 на 4. Разделить 378 на 4 — значит найти такое неполное
частное q и остаток г, что 378 = 4q + г, причем остаток г должен
удовлетворять условию 0 < г < 4, а неполное частное q — условию
4<7 < 378 < 4(<7 + 1).
Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q.
Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение
Aq может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выпол­
няться условия, сформулированные выше для г и q. Если число q
двузначное, т. е. если 10 < q < 100, то 40 < 4q < 400 и, следовательно,
40 < 378 < 400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 — число
двузначное.
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно
делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4-90 = 360, а 4-100 = 400,
и 360 < 378 < 400, то неполное частное заключено между числами
90 и 100, т. е. q = 90 + q0. Но тогда должны выполняться неравен­
ства: 4 (90 + q0) < 378 < 4 (90 + qa + 1), откуда 360+ 4q() < 378 < 360 +
+ 4(<7о + 1) и 4q0 < 18 < 4(q0 + 1). Число q0 (цифра единиц частного),
удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором,
воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q0 = 4 и,
следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94. Остаток находится
вычитанием: 378 - 4 -94 = 2.
Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное
94 и остаток 2, т.е. 378 = 4-94 + 2.
Описанный процесс является основой деления уголком:
327
37814
36 у4
_18
16
2
Аналогично выполняется деление многозначного числа на много­
значное. Разделим, например, 4 316 на 52. Выполнить это деление —
значит найти такие целые неотрицательные числа q и г, что 4 316 =
= 52q + г, 0 < г < 52, а неполное частное должно удовлетворять не­
равенству 52q < 4 316 < 52(q + 1).
Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заклю­
чено между числами 10 и 100 (т.е. q — двузначное число), так как
520 < 4 316 < 5 200. Чтобы найти цифру десятков частного, умно­
жим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку
52 ■80 = 4 160, а 52 '90 = 4 680 и 4 160 < 4 316 < 4 680, то неполное
частное заключено между числами 80 и 90, т. е. q = 80 + q0. Но тогда
должны выполняться неравенства:
52 •(80 + <70) < 4 316 < 52 •(80 + <?0 + 1);
4 160 + 52q0 < 4 316 < 4 160 + 52 •(q0 + 1);
52<7о ^ 156 < 52 •(<70 + 1).
Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему
неравенству, можно найти подбором: 156 = 52-3, т.е. имеем случай,
когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4 316 на 52 по­
лучается частное 83.
Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:
43161 52
416 ^83
_156
156
0
Обобщением различных случаев деления целого неотрицатель­
ного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм
деления уголком'.
1) если а = Ь, то частное q = 1, остаток г = 0;
2) если а > Ь и число разрядов в числах a w b одинаково, то част­
ное q находят перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, так как а < 10Ь. Этот перебор можно ускорить, выполнив
деление с остатком цифр старших разрядов чисел а и Ь;
3) если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе Ь,
то записывают делимое а и справа от него делитель Ь, который от­
деляют от а уголком и ведут поиск частного и остатка в такой по­
следовательности :
♦ выделяют в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов
в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так,
328
♦
♦
♦
♦
♦
чтобы они образовывали число d u больше или равное Ь. Пере­
бором находят частное qxчисел d x и Ь, последовательно умножая
Ь на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записывают q x под уголком (ниже Ь)\
умножают b на q x и записывают произведение под числом а так,
чтобы младший разряд числа bqx был написан под младшим раз­
рядом выделенного числа d x\
проводят черту под bqx и находят разность rx= d x- bq{;
записывают разность г, под числом bqx, приписывают справа к г,
старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и срав­
нивают полученное число d2 с числом Ь\
если полученное число d2 больше или равно Ь, то относительно
него поступают согласно п. 1 или п. 2. Частное q2 записывают по­
сле qx,
если полученное число d2 меньше Ь, то приписывают еще столько
следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое
число d3, большее или равное Ь. В этом случае записывают после
qxтакое же число нулей. Затем относительно d3 поступают соглас­
но пп. 1, 2. Частное q2 записывают после нулей. Если при исполь­
зовании младшего разряда числа а окажется, что d} < b, то тогда
частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывают послед­
ним разрядом к частному, а остаток г = dy
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Не выполняя деления, определите число цифр частного чисел:
а) 486 и 7; б) 7 243 и 238; в) 5 792 и 27; г) 43 126 и 543.
На примере деления числа 867 на 3 проиллюстрируйте теорети­
ческие основы алгоритма деления трехзначного числа на одно­
значное.
Обоснуйте процесс деления уголком а на Ь, если:
а) а = 4 066, Л = 38; б) а = 4 816, Ь = 112.
Как, не вычисляя, можно установить, что деление выполнено
неправильно,если:
а) 51 054:127 = 42; б) 405 945:135 = 307?
Не вычисляя значений выражений, поставьте знаки > или <,
чтобы получились верные неравенства:
а) 1 834:7.„783:9; б) 8 554:91 ...7 488:72;
в) 137 532:146 ... 253 242: 198; г) 7 248:6 ... 758 547:801.
Объясните, почему при делении р на к в частном получаются
нули,если:
а) р = 753, к = 5; б) р = 1 560, к = 6; в) р = 84 800, к = 4;
г) р = 613, к - 3; д) р = 4 086, к = 2; е) р = 4 012, к = 4.
Не производя деления, разбейте данное выражение на классы
с помощью отношения «иметь в частном одно и то же число
цифр»:
329
а) 20 700:300; 6) 5 460:60; в) 30 720:40;
г) 20 300:700; д) 14 640:80; е) 1 500:300.
8. Объясните, почему следующие задачи решаются с помощью
деления чисел, и решите их.
а) В 125 коробок разложили поровну 3 000 карандашей. Сколь­
ко карандашей в каждой коробке?
б) Расфасовали 12 кг 600 г конфет в коробки по 300 г в каждой.
Сколько коробок конфет получилось?
9. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем
найдите его значение.
а) Туристы совершили экскурсию по реке на катере, проплыв
всего 66 км. Сначала 2 ч они плыли со скоростью 18 км/ч,
а остальной путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько всего
часов находились в пути туристы?
б) Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик
в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов по 6 пачек в каждом.
Определите массу сложенного в ящик печенья.
10. Найдите значение первого выражения, а затем используйте его
при вычислении значения второго:
а) 45 120:(376 12); б) 241-(1 264:8),
45 120: (376-3);
241 -(1 264:4).
11. Найдите двумя способами значения выражений:
а) (297 + 405 + 567): 27; б) (240 •23): 48;
в) 56 (378:14); г) 15 120:(14-5-18).
12. Найдите значения выражений:
а) 8 919:9 + 114 240:21;
б) 1 190 - 35 360:34 + 271;
в) 8 631 - (99 + 44 352:63);
г) 48 60 0 ■(5 045 - 2 040): 243 - (86 043:43 + 504) •200;
д) 4 88 0 ■(546 + 534): 122 - 6 39 0 •(8 004 - 6 924) -213.
17.7. Позиционные системы счисления,
отличные от десятичной
Основанием позиционной системы счисления может быть не толь­
ко число 10, но и вообще любое натуральное число р > 2. Систему
счисления с основанием р называют/ьичной: еслир = 2, то двоичной,
если р = 8, то восьмеричной, если р = 10, то десятичной.
Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р сим­
волов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления:
0, 1, 2, ..., р - 1. Например, числа в троичной системе счисления
записывают с помощью символов 0, 1, 2, а в пятеричной — 0, 1, 2,
3,4.
330
Записью натурального числах в системе счисления с основани­
ем р называют его представление в виде: х = апр п + а„_, р п~х +
+ ... + citf) + а0 (1), где коэффициенты ап, ап_ь ..., а ъ а0 принимают
значения 0 1, 2, ..., р - 1 и ап ф 0
,
.
Теорема 17.3. Пусть р > 2 — заданное натуральное число. Тогда
любое натуральное число х представимо, и притом единственным
образом в виде (1).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре­
мы о существовании и единственности записи числа в десятичной
системе счисления.
Вместо представления в виде (1) число х записывают кратко:
х = а„ап_1...а1а0 . Например, если р = 3, то число х = 2-33+ 0-32 +
+ 1-3 + 2 можно записать в виде 2 0123, причем читать его следует
так: «Два, ноль, один, два в троичной системе счисления».
Задача. Сосчитать число клеток в фигуре, изображенной на рис.
17.1, в троичной и пятеричной системах счисления.
Решение. В троичной системе счисления для записи чисел исполь­
зуются цифры 0, 1 и 2, а любое число представляется в виде а„•3" +
+ a„_i-3"~1 + ... + а\ Ъ+ а0 , где а„, ап_ь.„, а ъ а0 принимают значения
0, 1, 2 и а„Ф 0. Однозначные числа в этой системе — 0, 1, 2, а число
3 — основание системы счисления — записывается как 10.
При счете клеток в данной фигуре получим числа, запись и назва­
ние которых в троичной системе счисления таковы: 1 (один); 2 (два);
10 (один, ноль); 11 (один, один); 12 (один, два); 20 (два, ноль); 21 (два,
один); 22 (два, два); 100 (один, ноль, ноль).
Таким образом, число клеток в фигуре на рис. 17.1 в троичной
системе счисления запишется как 1003.
В пятеричной системе счисления для записи чисел используют­
ся цифры 0, 1, 2, 3, 4, а любое число представляется в виде ап-5”+
+ а„_[-5"-1 + ... + а , -5 + а 0, где а„, ап_ь ..., а и а0 принимают значения
0, 1, 2, 3, 4 и ап Ф0.
Однозначные числа в этой системе — 0, 1, 2, 3, 4, а число 5 —
основание системы счисления — записывается как 10.
При счете в пятеричной системе клеток фигуры (см. рис. 17.1) мы
получим числа: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14. Таким образом,
число этих клеток в пятеричной системе счисления за- __ __ —
пишется как 145.
Сравнение чисел в системе счисления с основанием
р (р ф 10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Например, 2 1013 < 2 102,, поскольку при одинаковом
———
Рис. 17.1
331
числе разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов число
единиц в первом числе меньше числа единиц во втором.
Арифметические действия над числами в позиционных систе­
мах счисления с основанием р (р Ф 10) выполняются по тем же
правилам, что и в десятичной системе счисления. Надо лишь
иметь для системы с основанием р соответствующие таблицы
сложения и умножения однозначных чисел.
Составим, например, таблицу сложения однозначных чисел в
троичной системе счисления. Однозначные числа в ней — 0, 1, 2.
Число 3 записывается как 10. Число 4 имеет вид 11-,, так как 4 =
= 1-3 + 1 = 113.
Полностью таблицу сложения однозначных чисел в троичной
системе счисления можно представить в таком виде:
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
10
2
2
10
11
Используя эту таблицу, можно складывать любые числа в троичной
системе счисления, причем многозначные числа складывают столби­
ком по правилам, аналогичным правилам сложения чисел в десятич­
ной системе счисления. Например, 1 2213 + 1223 = 2 1203, так как
+
1 221
2120
Таблицей сложения однозначных чисел в троичной системе
счисления можно пользоваться, выполняя вычитание: 2 1103 - 2123 =
= 1 1213.
Таблица умножения однозначных чисел в троичной системе счис­
ления имеет вид:
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
11
На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умно­
жение многозначных чисел по правилам, аналогичным правилам
332
умножения чисел в десятичной системе счисления. Найдем, напри­
мер, произведение 122 3-223:
х 122
22
1021
1021
12001
Таким образом, 1223-223 = 12 0013.
Таблицей умножения можно пользоваться, выполняя деление
чисел в троичной системе счисления, в частности, деление чисел
уголком. Разделим, например, число 10 0113 на 123:
100111 12
12
422
_Ш
101
_101
101
о
Значит, 10 0113:123 = 1223.
Одно и то же натуральное число может быть записано в любой
системе счисления с основанием р > 2. Так, число клеток в фигуре
на рис. 17.1 в десятичной системе счисления записывается знаком 9,
в троичной — 100, в пятеричной — 14.
Чтобы из одной записи получить другую, достаточно научиться
переходить от записи в заданной системе к записи в десятичной,
и наоборот.
Пусть дана запись числа х в системе счисления с основанием
р , т.е. х = а„-р" + а„_1 рп~>+ ... + а х р + а0. Так как в записи числа
х числа а„, ап_х,
а ь а0 и р представлены в десятичной системе
счисления, то выполнив над ними действия по правилам, приня­
тым в ней, получим десятичную запись числа х. Найдем, например,
десятичную запись числа 4578. Для этого представим данное число
в виде суммы вида: 4 •82 + 5 •8 + 7. Значение этого выражения в деся­
тичной системе счисления равно 303. Следовательно, 4578 = 303ш.
Пусть теперь число х записано в десятичной системе. Найдем его
запись в системе счисления с основанием р.
Число х = ап■рп + а„_\ -р" 1 + ... + а х р + а0 можно записать в виде
х = р (ап рп~х + а„_х р п~2 + ... + а ,) + а0. Так как 0 < а < р, то из по­
следней записи числа х видно, что а0 — остаток, получаемый при
делении числах н а р, а ап р" 1+ ап_г рп~2 + ... + а { — неполное част­
ное. Точно так же можно найти, что а, — остаток, получаемый при
делении этого неполного частного на р.
333
Таким образом, запись числа х в р-ичной системе находят так:
число х делят (в десятичной системе) на р; остаток, полученный
при делении, даст последнюю цифру ап в р-ичной записи числа х;
неполное частное снова делим на р, новый остаток даст предпо­
следнюю цифру р-ичной записи числа х; продолжая деление, найдем
все цифры р-ичной записи числа х.
Запишем число 2 436 в восьмеричной системе счисления. Раз­
делим 2 436 на 8: 2 436 = 304-8 + 4. При делении числа 304 на 8
получим: 304 = 38 •8 + 0 и тогда 2 436 = (38 •8 + 0) •8 + 4 или 2 436 =
= 38 •82 + 0 ■8 + 4. Делим на 8 число 38: 38 = 4 - 8 + 6 и тогда 2 436 =
= (4-8 + 6)• 82 + 0-8 + 4 или 2436 = 4-83 + 6-82 + 0-8 + 4, т.е. 2 436 =
= 4 6048. Описанный процесс можно представить и в таком виде:
24361 8
24 '3041 8
36 24 Ц38[_8_
32 64 32 Ш
@ 64 1 )
Щ)
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Запишите число в виде суммы степеней основания с соответ­
ствующими коэффициентами:
а) 3 0245; б) 7 6108; в ) 11 1012.
Сосчитайте число треугольников на рис. 17.2 в пятеричной
и восьмеричной системе счисления.
Назовите наибольшее и наименьшее двузначные числа в системе
счисления с основанием: 10, 8, 7, 5, 2.
Верно ли записаны числа в восьмеричной системе счисления:
347; 8 025; 37 952; 1 110; 223?
Для числа х назовите предшествующее и непосредственно сле­
дующее за ним число, если:
а) х = 345; б) х = 507; в) х = 123.
Выполните действия над числами, записанными в восьмеричной
системе счисления.
а) 4 312 + 2 767; 6) 6 714- 3 505; в) 72-27; г) 5 250:76.
7. Запишите в десятичной системе числа:
12, 144, 201, 1 011.
8. Запишите в порядке возрастания числа:
а) V ii 11 , 119; б) 3 278, 1 1012, 5136,
9.
Рис. 17.2
Запишите в двоичной системе числа,
запись которых дана в десятичной си­
стеме: 27, 125, 306.
10. Что меньше: 26 5438 - 3257 или 26 5437 - 3258?
Г л а в а 18
ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Как известно, вычитание и деление на множестве натуральных
чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности на­
туральных чисел а и b решается просто — достаточно установить (по
записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого при­
знака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались
найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узна­
вать, делится оно на число Ь или нет, не выполняя непосредственного
деления а на Ь. В результате этих поисков были открыты не только
признаки делимости, но и другие важные свойства чисел.
В начальных курсах математики делимость натуральных чисел, как
правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики
неявно используются. Например, признак делимости суммы, раз­
ности и произведения на число тесно связаны с правилами деления
суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных
классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости на 2, 3, 5
и другие числа.
Вообще, знания о делимости натуральных чисел расширяют пред­
ставления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усво­
ить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять
полученные ранее знания о способах доказательства, о свойствах
отношений и др.
18.1. Отношение делимости и его свойства
Пусть даны натуральные числа а и Ь. Говорят, что число а делит­
ся на число Ь, если существует такое натуральное число q, что
а = bq.
В этом случае число b называют делителем числа а, а число
а — кратным числа Ь.
Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что
24 = 8 •3. Можно сказать иначе: 8 — это делитель числа 24, а 24 есть
кратное числа 8.
В том случае, когда а делится на Ь, пишут: а : Ь. Эту запись часто
читают и так: «а кратно Ь».
335
РАЗДЕЛ
IV
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
И ВЕЛИЧИНЫ
В последние годы наметилась тенденция к включению значи­
тельного по объему геометрического материала в начальный курс
математики. Но для того, чтобы учитель мог познакомить учащихся
с различными геометрическими фигурами (как плоскости, так и про­
странства), мог научить их правильно изображать геометрические
фигуры, ему нужна соответствующая математическая подготовка.
Безусловно, учителю необходимы знания об истории возникновения
и развития геометрии, он должен быть знаком с ведущими идеями
геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь
их построить.
В этом ему поможет материал данного раздела, в котором с учетом
подготовки, полученной при изучении школьного курса математики,
представлен геометрический материал, необходимый для обучения
младших школьников элементам геометрии.
Гд а в а 20
ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
И РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ
20.1. Возникновение геометрии
Геометрия зародилась в Древнем Египте и Вавилоне как набор
правил решения практических задач, возникавших в строительстве,
при распределении земельных участков, измерении площадей, объ­
емов и других величин. Свидетельством этому являются египетские
пирамиды, сооруженные около 4 800 лет назад, их строительство
требовало достаточно сложных и точных геометрических расчетов
Но особенно важной была задача распределения земельных наделов,
Этим занимались специальные люди — землемеры, которых греки
называли гарпедонаптами, т.е. натягивателями веревок, так как при
распределении земли использовались веревки. Но чтобы знать, где
и как их натягивать, надо было иметь план полей. Так практическаи
374
задача распределения участков земли привела к возникновению
науки геометрии.
Обширные сведения о свойствах фигур, накопленные египтя­
нами и вавилонянами, были заимствованы греками. Произошло
это в VII—V вв. до н. э. А так как особенно важной задачей было
землемерие, то греки назвали науку о фигурах геометрией (от греч.
«геос» — земля и «метрио» — измеряю).
Многие геометрические понятия возникли в результате много­
кратных наблюдений реальных предметов той или иной формы,
т. е. в процессе познания окружающего мира люди знакомились и с
простейшими геометрическими формами. Овладению этим знанием
способствовали следующие факторы: производство орудий труда,
имеющих сравнительно правильную геометрическую форму; строи­
тельство жилья; шитье одежды; изготовление посуды, украшений.
Огромное влияние на развитие геометрических представлений
оказали систематические астрономические наблюдения, что привело
к возникновению понятий шара, окружности, угла, угловой меры.
Развитие земледелия, обобщение накопленного опыта наблюде­
ний привело к созданию практических правил измерения земель­
ных участков, нахождения площадей и объемов простейших фигур,
строительных норм, и др. Так, формулы для вычисления площадей
земельных участков, имеющих форму треугольника, трапеции,
встречаются у древних египтян, вавилонян. К XVII—XVI вв. до н.э.
были установлены такие ее факты, как теорема Пифагора, найдено
выражение для подсчета объема шара и многие другие. Но высту­
пали они не как логически доказанные утверждения, а как выводы
из опыта.
Таким образом, геометрия возникла как прикладная наука, как
собрание правил, необходимых для решения практических задач,
таких как сравнение фигур, нахождение геометрических величин,
а также для простейших геометрических построений.
Практические правила постепенно приводились в систему. Кроме
того, одни правила стали выводиться из других и обосновываться
посредством рассуждений. Возникло доказательство, правила стали
превращаться в теоремы, которые доказывались без прямых ссылок
на опыт. Вообще совершенствование геометрических знаний шло по
пути их отделения от опыта — в результате предметом геометрии стали
не реальные, а идеальные фигуры, т.е. фигуры, являющиеся образами
предметов, в которых абстрагируются от всего, кроме формы. Более
того, эти фигуры стали дополняться свойствами, которыми реальные
предметы не обладают. Например, понятие прямой, возникшее как
отражение такого свойства реальных предметов, как протяженность,
было дополнено представлением о ее бесконечности.
Получение новых геометрических утверждений с помощью рассуждений относится к VI в. до н.э. и связано с именем древнегре­
ческого математика Фалеса. Считают, что им доказаны свойства
375
равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и ряд
других фактов.
К III в. до н. э. геометрия становится дедуктивной наукой, одно­
временно решая многие практические задачи: дает точно обосно­
ванные правила для построения фигур с заданными свойствами,
позволяет различными способами сравнивать фигуры, по одним
свойствам фигуры делать выводы о других ее свойствах и т. д.
Основные достижения в области математики были систематизиро­
ваны около 300 лет до н. э. греческим ученым Евклидом и изложены
в его знаменитом труде «Начала», состоящем из тринадцати книг. Это
сочинение является первым дошедшим до нас строгим логическим
построением геометрии.
Каждая книга «Начал» начинается с определений основных поня­
тий. Так, в книге по геометрии 35 определений. Приведем некоторые
из них: «Точка есть то, что не имеет частей»; «Линия есть длина без
ширины»; «Прямая линия есть та, которая одинаково лежит отно­
сительно всех своих точек»; «Поверхность есть то, что имеет длину
и ширину».
Кроме перечисленных даются определения плоского, прямого,
тупого и острого углов, перпендикуляра, круга, окружности, треуголь­
ника и его видов, четырехугольника и его видов и др. Завершает этот
список определение параллельных прямых: «Параллельные прямые
суть те, которые лежат в одной плоскости и, будучи продолженными
в обе стороны, нигде не встречаются».
После определений следуют пять постулатов следующего содер­
жания. Требуется, чтобы:
1) от каждой одной точки до другой можно было провести пря­
мую;
2) ограниченную прямую можно было продолжить неопределен­
но;
3) из любого центра можно было описать окружность любым
радиусом;
4) все прямые углы были равны;
5) если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной
стороны внутренние односторонние углы, сумма которых меньше
двух прямых, то эти прямые пересекаются при достаточном про­
должении с этой стороны.
Затем сформулированы аксиомы:
1) равные одному и тому же третьему также равны и между собой;
2) если к равным прибавить равные, то целые будут равны;
3) если от равных отнять равные, то полученные остатки будут
равны;
4) совмещающиеся друг с другом равны;
5) целое больше своей части.
Видим, что начальные определения евклидовой геометрии — это
описания ее основных объектов: точки, прямой, плоскости, угла
376
и т.д. Постулаты выражают возможность основных построений. При
этом прямая мыслится как непрерывная, неограниченно делимая,
что соответствует наглядному представлению — прямую проводят по
линейке, а не строят по точкам. Аксиомы, сформулированные Евкли­
дом, относятся к величинам: длине отрезка, величине угла, площади
фигуры. У Евклида «равные» понимались как «равновеликие».
За постулатами и аксиомами, которые рассматривались как
утверждения, принимаемые без доказательств, формулировались тео­
ремы и задачи на построение. Они располагались в строгой последо­
вательности так, что каждое последующее опирается на предыдущее,
а также на постулаты и аксиомы.
Определения, постулаты, аксиомы и дальнейшие выводы в геоме­
трии Евклида имели наглядный, практический смысл, хотя выражали
его в идеализированном, абстрактном виде.
Таким образом, геометрия сложилась как наука о простран­
ственных формах и отношениях, рассматриваемых отвлеченно от
их математического содержания. В Древней Греции она сформиро­
валась в абстрактную логическую систему, в основе которой лежат
первоначальные понятия и аксиомы, новые факты формулируются
в виде теорем и выводятся дедуктивным способом, а каждое новое
понятие вводится с помощью определения на основе ранее введен­
ных понятий.
«Начала» Евклида оставили глубокий след в истории и в течение
многих веков служили образцом научного изложения математики.
Упражнения
1.
Площадь круга египтяне считали равной площади квадрата,
сторона которого составляет ^ диаметра. Чему при таких под­
2.
3.
4.
счетах оказывается равным число л?
Древнегреческий математик Фалес доказал, что если в пря­
моугольном треугольнике ЛВС гипотенузу АС разделить точкой
О пополам, то АО = ВО. Можете ли вы доказать это утвержде­
ние?
Узнав, что стороны треугольника равны 3, 4 и 5, ученик, со­
славшись на теорему Пифагора, сделал заключение, что данный
треугольник прямоугольный. Обоснованно ли его заключе­
ние?
В каждой нижеприведенной теореме выделите условие и заклю­
чение:
а) хорда, не проходящая через центр окружности, меньше
диаметра этой окружности;
б) углы с соответственно перпендикулярными сторонами рав­
ны между собой, если они оба острые или оба тупые;
377
в) для того чтобы два угла в сумме составляли 180°, достаточно,
чтобы они были смежными.
Опровергните следующие утверждения:
а) если диагонали четырехугольника перпендикулярны между
собой, то данный четырехугольник — ромб;
б) если две стороны и угол одного треугольника соответствен­
но равны двум сторонам и углу другого, то такие треуголь­
ники равны между собой.
Для каждой из приведенных ниже теорем сформулируйте об­
ратное утверждение и установите, истинно ли оно:
а) сумма смежных углов равна 180°;
б) соответственные углы, получающиеся при пересечении двух
параллельных прямых третьей, равны;
в) если в треугольнике один угол тупой или прямой, то два
других — острые.
5.
6.
20.2. О геометрии Лобачевского
и аксиоматике евклидовой геометрии
После III в. до н.э. геометрия развивалась медленно — требова­
лись новые идеи и методы, необходимо было развитие понятия числа
и алгебры. Первые шаги в этом направлении были сделаны в Гре­
ции (работы Диофанта, III в.), а затем в Индии, где были открыты
десятичная система счисления, отрицательные и иррациональные
числа.
В IX в. благодаря работам Мухаммеда аль-Хорезми дальнейшее
развитие получила алгебра. Позже таджикский поэт и ученый Омар
Хайям (конец XI — начало XII вв.) дал определение числа как отно­
шения величин. Через 600 лет это же определение было дано Ньюто­
ном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы
появились в XVII в. Они были обусловлены развитием алгебры
и созданием математического анализа. Принадлежали эти идеи фран­
цузскому философу и математику Рене Декарту. В своем сочинении
«Геометрия» он впервые представил метод координат на плоскости,
установив тем самым взаимосвязь геометрии с алгеброй.
Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически
безупречного построения геометрии. Дело в том, что аксиоматически
построенная теория должна удовлетворять определенным требовани­
ям математической строгости. Они не абсолютны и в разные периоды
истории были различными. Эти требования заставили обратить осо­
бое внимание на пятый постулат геометрии Евклида — его трудно
было принять очевидным, как остальные аксиомы и постулаты.
Поэтому возникло стремление вывести его из остальных постулатов
и аксиом. Однако попытки, которые длились более двух тысяч лет.
378
были безуспешными, хотя и сыграли положительную роль в развитии
геометрии, так как были сформулированы и доказаны теоремы, рас­
крывающие новые свойства геометрических фигур.
Переворот в геометрии произошел в начале XIX в., когда несколь­
ко ученых пришли к мысли о существовании геометрии, отличной
от евклидовой. Первым, кто построил эту геометрию, был Н. И. Ло­
бачевский, профессор Казанского университета. Его рассуждения
сводились к следующему: если заменить пятый постулат его отри­
цанием (т. е. принять, что через точку вне прямой можно провести
более одной прямой, ей параллельной) и сохранить все остальные
аксиомы евклидовой геометрии, то получим новую геометрию, ко­
торую он назвал «воображаемой», а позднее она была названа его
именем — геометрией Лобачевского.
Все теоремы, доказываемые в евклидовой геометрии без исполь­
зования пятого постулата, сохраняются и в геометрии Лобачевского.
Например, вертикальные углы равны; углы при основании равно­
бедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить
на данную прямую только один перпендикуляр. Теоремы же, при
доказательстве которых применяется пятый постулат, в геометрии
Лобачевского видоизменяются, например сумма величин внутренних
углов любого треугольника меньше 180°, в ней не существует подоб­
ных треугольников: если углы двух треугольников соответственно
равны, то эти треугольники равны. Так как в геометрии Лобачевского
сумма внутренних углов четырехугольника меньше 360°, то в ней нет
прямоугольников. Позже было доказано, что аксиоматика, предло­
женная им, независима и непротиворечива.
Открытие, сделанное Н. И. Лобачевским, сыграло огромную роль
в развитии математики и физики. В его работах была не только
полностью решена проблема независимости аксиомы параллельности
от других аксиом евклидовой геометрии, но и показано, что аксиомы
могут подвергаться изменению, что привлекло внимание ученых к во­
просам аксиоматики геометрии. После открытия Н. И. Лобачевского
стало ясно, что пятый постулат (аксиома параллельности) не может
быть исключен из списка аксиом и постулатов, сформулированных
Евклидом. Общая тенденция к повышению строгости построения
математических теорий во второй половине XIX в. сказалась и в
геометрии. Она выразилась в стремлении дополнить систему аксиом
евклидовой геометрии, включив в нее все предложения, которые не­
явно использовались при доказательстве теорем.
Итог всем исследованиям в этой области в конце XIX в. подвел
крупнейший немецкий математик Д. Гильберт, который в книге
«Основания геометрии» приводит полный список аксиом евклидо­
вой геометрии и доказывает непротиворечивость этой аксиоматики.
Сформулированные им аксиомы относятся к точкам, прямым, пло­
скостям и отношениям между ними, которые выражаются словами
«принадлежит», «лежать между», «конгруэнтен». Что такое точка, пря­
379
мая и плоскость и каков конкретный смысл указанных отношений,
Д. Гильберт не уточняет. Все, что предполагается известным о них,
выражено в аксиомах. Они разбиты на пять групп.
П ервая группа (аксиомы принадлежности). В них устанавлива­
ются отношения между точками, прямыми и плоскостями.
1. Через две точки проходит одна и только одна прямая.
2. На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки.
3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
В связи с данными тремя аксиомами сделаем одно замечание. Из­
вестно, что на прямой бесконечное множество точек, но в аксиоме
2 отмечается, что их по меньшей мере две. Поэтому бесконечность
множества точек на прямой надо будет доказывать, исходя из аксиом
первой и последующих групп.
Для построения планиметрии ограничиваются указанными ак­
сиомами принадлежности. Для построения стереометрии к ним
присоединяются следующие.
4. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
одна и только одна плоскость.
5. Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то
и все точки этой прямой принадлежат указанной плоскости.
6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по
крайней мере еще одну общую точку.
7. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной
плоскости.
В торая группа (аксиомы порядка). Они определяют понятие
«лежать между» и выражают свойства взаимного расположения точек
на прямой и плоскости.
1. Если точка В лежит между точками А и С, то она лежит между
точками С и А.
2. Для любых двух точек прямой А и В существует на этой прямой
точка С, такая, что точка В лежит между точками А и С.
3. Из трех точек на прямой не более чем одна лежит между двумя
другими.
4. Пусть точки А, В и С не лежат на одной прямой, и прямая не
проходит ни через одну из этих точек. Если при этом прямая а пере­
секает отрезок АВ, т. е. проходит через точку, лежащую между точками
А и В, то она пересекает один из отрезков ВС или АС.
Аксиомы первых двух групп позволяют определить понятие от­
резка, луча, угла. Отрезок — это система двух точек A w В, принад­
лежащих прямой а. Точки, расположенные между А и В, называются
точками, лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В концами отрезка
АВ.
Луч с началом О — это совокупность всех точек прямой, лежащих
с одной стороны от О.
Угол — это совокупность двух лучей с общим началом, лежащих
на разных прямых.
380
Третья группа (аксиомы равенства (конгруэнтности)). Они
определяют равенство отрезков и углов.
1. На данной прямой по данную сторону от данной на ней точки
можно отложить отрезок, равный данному, и притом единственным
образом.
2. Два отрезка, порознь равные третьему, равны между собой.
3. Пусть на некоторой прямой точка В лежит между точками А и
С и на некоторой другой или той же прямой точка В хлежит между
двумя точками ^ и С,. Если при этом отрезок АВ равен отрезку А\ВХ
и отрезок ВС равен В\ С,, то А С = А , С,.
4. По данную сторону от данного луча можно отложить данный
угол и притом единственным образом.
5. Два угла, порознь равные третьему, равны между собой.
6. Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, А,,
Вь С\ — тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при
этом АВ = АхBh ZBAC = ZB,A,Ch то ZЛВС = ZAXB{CX.
Четвертая группа (аксиома непрерывности).
Если все точки прямой произвольным образом разбить на два
класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой
точки второго класса, тогда непременно либо в первом классе есть
самая правая точка (и во втором нет самой левой), либо во втором
классе есть самая левая точка (и в первом нет самой правой).
Образно говоря, в этой аксиоме утверждается, что прямая не
имеет проколов, что она непрерывна. Действительно, если на
числовой прямой выколоть только одну точку — нуль, то числа,
соответствующие оставшимся точкам, разделятся на два класса:
отрицательные и положительные. И в первом классе (среди от­
рицательных чисел) нет самого правого (самого большого), а во
втором — самого левого.
П ятая группа (аксиома параллельности).
В плоскости через точку вне данной прямой нельзя провести более
одной прямой, не пересекающей данную прямую.
Совокупность всех теорем, выводимых из пяти групп аксиом, со­
ставляет евклидову геометрию.
Вообще в основу этой геометрии могут быть положены разные
аксиоматики (система основных понятий и аксиом), но несмотря на
их различия в евклидовой геометрии изучают одни и те же фигуры
и получают одни и те же их свойства. Аксиоматическое построение
геометрии осуществляется по одним и тем же правилам:
1) выделяются основные понятия геометрии, которые принима­
ются без определений;
2) формулируются аксиомы, в которых раскрываются свойства
основных понятий, нужные для построения геометрии, т.е. аксиомы
по существу являются неявными определениями основных понятий
(в остальном природа основных понятий безразлична). Система
аксиом должна удовлетворять ряду условий;
381
3)
дальнейшее построение геометрии ведется в соответствии со
следующими требованиями;
♦ всякое геометрическое понятие (термин), если оно не основное,
определяется через основные или ранее определенные понятия;
♦ всякое геометрическое утверждение (теорема, признак, следствие)
доказывается на основе аксиом или ранее доказанных теорем.
Чертежи при таком построении геометрии играют вспомогатель­
ную роль.
В евклидовой геометрии изучают свойства фигур, связанные с по­
нятиями длины, величины угла, площади и объема. Такие свойства
фигур называются метрическими. В современной геометрии изуча­
ют и другие свойства фигур. Так, в XX в. началось систематическое
изучение топологических свойств, т.е. таких свойств, которые
сохраняются при любых деформациях (сжатии, расширении, ис­
кажении размеров и формы фигуры), производимых без разрывов
и склеиваний.
Упражнения
1.
Проанализируйте аксиоматики, положенные в основу школьных
учебников геометрии, ответив на следующие вопросы.
а) Какие понятия и отношения выбраны в качестве основ­
ных?
б) Какие группы аксиом выделены?
в) В чем сходство и различие школьной аксиоматики и аксио­
матики Гильберта?
Верно ли, что:
а) каждое понятие геометрии можно определить с помощью
других, более простых понятий?
б) в геометрии существуют понятия, которые принимаются без
определения?
в) аксиома — это предложение, которое не требует доказатель­
ства?
2.
20.3. Основные геометрические формы.
Понятие геометрической фигуры
Краткий экскурс в историю возникновения и развития геометрии
показал, что геометрия — это раздел математики, изучающий про­
странственные формы и их отношения.
Важнейшей пространственной формой является геометрическое
тело, а одним из видов пространственных отношений — взаимное
расположение геометрических тел.
382
В окружающем нас мире встречаются различные тела: дома,
деревья, мосты и т.д. Когда говорят о геометрическом теле, то тем
самым подчеркивают, что нас не интересуют физические свойства
окружающих тел (масса, цвет, материал и др.), в геометрии рассма­
тривают лишь их форму и размеры. Другими словами, в геометрии
рассматривают ту часть пространства, которую соответ­
ствующее тело занимает.
Геометрическое тело имеет три измерения. Условно их называ­
ют длина, ширина и высота (или толщина). Кстати, пространство,
в котором мы живем, тоже имеет три измерения, и его называют
трехмерным.
Всякое геометрическое тело имеет поверхность. Она представ­
ляет собой границу (оболочку) этого тела, и тогда о геометрическом
теле можно сказать, что это часть пространства, ограниченная по­
верхностью.
Поверхность геометрического тела делит все пространство на две
части: внутреннюю и внешнюю по отношению к этому телу. Чтобы
попасть из любой точки, находящейся внутри тела, во внешнюю об­
ласть, необходимо пересечь поверхность тела.
Поверхность, ограничивающая шар, называется сферой. У всех
других известных из школьного курса геометрических тел поверх­
ности специальных названий не имеют: говорят о поверхности куба,
боковой и полной поверхности пирамиды, цилиндра и т.д.
Поверхность имеет только два измерения: длину и ширину.
И поэтому понятие поверхности является математической абстрак­
цией, поскольку в реальности нет предметов, не имеющих толщины.
И говоря, что лист бумаги или мыльная пленка являются поверхно­
стями, имеют в виду, что их толщина ничтожно мала по сравнению
с другими размерами предмета.
Поверхности, которые изучают в геометрии, многообразны:
цилиндрические, конические, сферические и др. Но особое вни­
мание уделяют поверхности, которую называют плоскост ью
и свойства которой изучают. В геометрии плоскость представляют
бесконечной во всех направлениях. Плоскость является идеализа­
цией ровной поверхности воды, поверхности стола, пола, оконно­
го стекла.
При пересечении двух поверхностей получается линия. Она не
имеет толщины и ширины, у нее лишь одно измерение — длина.
Таким образом, линия — понятие абстрактное.
Различают кривые и прямые линии. Прямые линии образуются
при пересечении двух плоскостей (рис. 20.1, а). Кривая линия может
получиться при пересечении плоскости и цилиндрической поверх­
ности (рис. 20.1, б).
Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края сто­
ла прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света.
Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки.
383
а
б
Рис. 20.1
Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе
неограниченно продолженными в обе стороны.
При пересечении двух линий образуется точка. Она может быть
и не одна (рис. 20.2).
Точка является идеализацией таких объектов, размерами которых
в определенной ситуации можно пренебречь. Геометрическая точка
размеров не имеет.
Точка может лежать на данной прямой, в этом случае говорят
также, что точка принадлежит прямой или что прямая проходит через
точку; а может и не лежать на ней, в этом случае говорят, что точка
не принадлежит прямой или что прямая не проходит через точку.
Если точка А лежит на прямой а, то это можно записать так:
As a . Если точка В не лежит на прямой а, то это можно записать
так: В g а.
Если две прямые имеют одну общую точку, то говорят, что прямые
пересекаются в этой точке.
Итак, дано описание основных форм, которые изучаются в гео­
метрии — геометрическое тело, поверхность, линия и точка. Смысл
этих понятий можно раскрыть иначе, если изменить порядок их
рассмотрения и начать с точки.
Можно считать, что точка — это некое место в пространстве,
нечто, не имеющее размеров. При движении точка будет описывать
линию — траекторию движения точки. Например, окружность по­
лучается в результате движения точки — кончика карандаша, если
при ее построении используется циркуль.
Если линию целиком перемещ ать
в пространстве, то область, образуемая
при этом, будет поверхностью.
Все точки геом ет рического тела
можно получить, перемещая в простран­
стве поверхность.
Таким образом, при таком порядке
рассмотрения основных геометрических
Рис. 20.2
форм получаем, что:
384
Рис. 20.3
♦ точка — это то, что не имеет частей и размеров;
♦ линия получается при движении точки и имеет одно измерение —
длину;
♦ поверхность образуется при движении линии и имеет два изме­
рения — длину и ширину;
♦ геомет рическое тело заполняется поверхностями и имеет три
измерения: длину, ширину и высоту.
Наряду с основными геометрическими формами в геометрии ис­
пользуется понятие геометрической фигуры.
I
Геометрическая фигура — это часть поверхности, ограниченная
линией.
Как часть поверхности геометрическая фигура имеет два измере­
ния. Она может быть плоской, а может и не быть плоской. Примером
геометрической фигуры, которая не является плоской, может служить
часть поверхности на сфере. Плоскими фигурами являются прямая,
отрезок, луч, треугольник, прямоугольник и др.
В геометрии считают, что любое геометрическое тело, поверх­
ность, линия, любая геометрическая фигура состоит из точек, или
представляет собой множество точек.
Так как любая геометрическая фигура есть множество точек, то
можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или со­
держится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение
и разность фигур.
Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется
выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит
также соединяющий их отрезок.
Фигура Fx, изображенная на рис. 20.3, выпуклая, а фигура Р2 —
невыпуклая.
Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок
и др.
Упражнения
1.
Проведите прямую и отметьте точки A w В, принадлежащие этой
прямой. Отметьте точку, не принадлежащую данной прямой.
Сделайте записи, используя символ е.
385
2.
3.
4.
5.
Могут ли две прямые иметь две общие точки?
Сколько точек попарных пересечений могут иметь три прямые?
Четыре прямые?
Сколько прямых определяется четырьмя точками?
Какие фигуры могут образоваться при пересечении:
а) двух треугольников;
б) двух квадратов?
Г л а в а 21
СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Материал данной главы известен из школьного курса геометрии,
где он представлен в системе, позволяющей дать определения гео­
метрических фигур и доказать их основные свойства.
В нашем курсе математики ставится задача — повторить изученное
в школьном курсе, опуская, как правило, доказательства и выделяя
материал, наиболее важный для учителя начальных классов в про­
фессиональном отношении. При этом предполагается, что развитию
умения доказывать математические утверждения, необходимого учи­
телю, будет способствовать решение геометрических задач.
21.1. Луч и отрезок
Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полу­
прямые. Каждая из этих полупрямых называется также лучом. Дадим
определение этого понятия.
Лучом, или полупрямой, называют часть прямой, состоящую из
данной точки и всех точек, лежащих от нее по одну сторону. Дан­
ную точку называют началом луча.
Таким образом, каждая точка прямой делит ее на два луча, имею­
щие общее начало и противоположные направления. Такие лучи
называют дополнительными.
Для обозначения лучей используется пара букв, например, луч
ОА, причем первая буква обозначает начало луча, а вторая — какуюнибудь точку, принадлежащую лучу (рис. 21.1). Если нет необходи­
мости в указании начала луча и другой точки луча, то луч можно
обозначать строчной буквой латинского алфавита: а, Ь, с и т.д.
Если на прямой взять любые три точки, то одна из них располо­
жена между двумя другими. На рисунке 21.2 точка С лежит между
точками А и В.
А
Рис. 21.1
с
В
Рис. 21.2
387
Рис. 21.3
Рис. 21.4
Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.
I
Отрезком прямой называют часть прямой, состоящую из двух
данных точек и всех точек, лежащих между ними.
При этом данные точки называют концами от резка , а точки,
которые расположены между двумя концами, — внутренними.
Чтобы задать отрезок, достаточно на прямой указать две точки.
Например, на рис. 21.3 изображен отрезок А В, концы которого —
точки А и В, а точки, расположенные между ними, — это внутренние
точки отрезка АВ.
Если нет необходимости в указании концов отрезка, то его можно
обозначать строчной буквой латинского алфавита: а, Ь, с и т.д.
Если относительно концов отрезка указано, какой из них следует
считать началом, а какой — концом отрезка, то такой отрезок на­
зывают направленным от резком , или вектором.
Одной из основных операций, которые можно выполнять с от­
резками, является операция от клады вания данного от резка на
данной прямой по данную сторону от данной на ней точки (рис. 21.4).
Получающийся при этом отрезок называется равны м исходному, со­
гласно аксиоме 1 из третьей группы аксиом, называемой аксиомой
равенства. Если отрезки АВ и А,В, равны, то пишут: АВ = А ХВ У
Равенство отрезков можно определить иначе, если воспользовать­
ся понятием длины отрезка: два отрезка называют равны м и, если
они имеют равны е длины. Другими словами, два отрезка равны,
если при одной и той же единице длины их длины выражаются одним
и тем же числом.
Условимся длину отрезка АВ обозначать так же, как и сам отрезок.
Тогда, например, если длина каждого из отрезков АВ и CD равна
3 см, то АВ = CD.
Упражнения
1. Изобразите на прямой точки А, В, С и D так, чтобы точка С ле­
жала между точками А и В, а точка D — между точками В и С.
Сколько всего отрезков образовалось на данной прямой? Сколько
лучей?
2. Точка С лежит на прямой между точками А и В. Среди лучей
А В , АС, СА, СВ назовите пары совпадающих лучей.
388
3.
4.
5.
6.
Точки В к С лежат между точками А А
В
C D
и D так, как показано на рис. 21.5, и *
■
•
•
АВ = CD. Докажите, что АС = BD.
рИс. 21.5
На прямой отмечены точки А, В и С
так, что АВ= 5 см, ВС = 2см. Можно
ли утверждать, что длина отрезка АС равна 3 см?
Истинны ли следующие высказывания:
а) любые две точки можно соединить только одним отрез­
ком;
б) через любую точку можно провести не более трех прямых.
На сколько частей делится плоскость:
а) одной прямой;
б) двумя прямыми, не имеющими общих точек;
в) двумя прямыми, имеющими общую точку?
21.2. У глы
В аксиоматике Гильберта угол определен как совокупность двух
лучей с общим началом, лежащих на разных прямых.
Такая фигура разбивает плоскость на две части, причем меньшая
из этих частей является общей частью двух полуплоскостей1, опреде­
ляемых данными лучами. В связи с этим угол можно определить
как фигуру, образованную двумя лучами с общим началом и частью
плоскости, ограниченной этими лучами (рис. 2116). Лучи называют
сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.
Точки угла, не лежащие на его сторонах, называют внут рен­
ними.
В определении угла не указывается, какую из двух частей пло­
скости, образовавшихся при проведении на плоскости двух лучей
с общим началом, следует отнести к самому углу, а какую — нет.
1 Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две части. Часть
плоскости, состоящая из точек данной прямой и точек, лежащих по одну сторону
от этой прямой, называется полуплоскостью.
389
А
'В
С
В
Рис. 21.8
А
О
Рис. 21.9
С
D
Рис. 21.10
В геометрии, как правило, к углу относят «меньшую» из двух об­
разовавшихся частей.
Угол обозначается или одной буквой, указывающей его вершину,
или тремя буквами, средняя из которых обозначает вершину угла,
а крайние — какие-нибудь точки на сторонах угла. Например, угол
на рис. 21.7 можно обозначить: / О или /ЛО В.
Иногда угол обозначается цифрой. Например, Z 1, Z2 и т.д.
называют
если его стороны лежат на одной
| Угол
прямой и являются дополнительными лучами этой прямой.
развернут ы м ,
Угол, составляющий половину развернутого угла, называют пря­
м ы м . Угол, меньший прямого, называют острым. Угол, больший
прямого, но меньший развернутого, называют тупым.
Биссектрисой угла называют луч с началом в вершине данного
угла, лежащий внутри этого угла и делящий его на два равных угла.
На рис. 21.8 луч ОМ — биссектриса /А О В .
Так же, как у отрезков есть свойство, называемое длиной, углы
обладают свойством иметь величину (в математике это свойство осо­
бого названия не имеет).
Величину угла измеряют, используя различные единицы этой
величины. Чаще всего в качестве такой единицы берется градус,
а простейшим инструментом измерения величины угла является
транспортир.
Градусная мера развернутого угла равна 180°, прямого — 90°.
Два угла называют смежными, если одна сторона у них общая,
а две другие являются дополнительными лучами. Углы АО В и ВОС,
изображенные на рис. 21.9, смежные. Сумма величин смежных углов
равна 180°.
Два угла называются верт икальны м и, если стороны одного
угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы AOD
и СОВ, а также углы АОС и DOB — вертикальные (рис. 21.10). Вер­
тикальные углы равны.
Упражнения
1.
390
Назовите свойства угла, которые включены в его определение.
Можете ли вы назвать другие свойства понятия «угол»?
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Чем отличается развернутый угол от прямой линии? Как про­
верить: является ли данный угол развернутым?
Вспомните определение биссектрисы угла. Как, не используя
чертежных инструментов, найти биссектрису угла, вырезанного
из бумаги?
Какой угол образуют биссектрисы вертикальных углов? Ответ
обоснуйте.
Могут ли вертикальные углы быть: а) прямыми; б) тупыми;
в) один острый, другой тупой?
Дан угол. Сколько можно построить смежных с ним углов?
Найдите величину каждого из двух смежных углов, если: а) один
из них в 4 раза больше другого; б) один из них на 20° меньше
другого.
На какой угол повернется минутная стрелка часов в течение:
а) часа; б) минуты; в) секунды?
21.3. Параллельные и перпендикулярные
прямые
прямые на плоскости называют параллельными, если они не
| Две
пересекаются.
Если прямая а параллельна прямой Ь, то пишут а || Ь.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, и прежде
всего признаки параллельности.
Признаками называют теоремы, в которых устанавливается на­
личие какого-либо свойства объекта, находящегося в определенной
ситуации. В частности, необходимость рассмотрения признаков
параллельности прямых вызвана тем, что нередко в практике тре­
буется решить вопрос о взаимном расположении двух прямых, но
в то же время нельзя непосредственно воспользоваться определе­
нием.
Рассмотрим признаки параллельности
прямых.
1. Две прямые, параллельные третьей,
параллельны друг другу.
2. Если при пересечении двух прямых
третьей (секущей) внутренние накрест
лежащие углы равны или сумма внутрен­
них односторонних углов равна 180°, то
Углы внутренние накрест
лежащие: 4 и 6, 3 и 5
прямые параллельны (рис. 21.11).
Углы внутренние
Справедливо утверждение, обратное
односторонние: 4 и 5, 3 и 6
второму признаку параллельности пря­
мых: если две параллельные прямые Рис. 21.11
391
Рис. 21.12
пересечены третьей, то внутренние
накрест лежащие углы равны, а сумма
односторонних углов равна 180°.
Важное свойство параллельных пря­
мых раскрывается в теореме, носящей
имя древнегреческого математика Фалеса:
если параллельные прямые, пересекаю­
щие стороны угла отсекают на одной
его стороне равные отрезки, то они
отсекают равные отрезки и на другой
его стороне.
прямые называют
| Две
ются под прямым углом.
перпендикулярными, если они пересека­
Если прямая а перпендикулярна прямой Ь, то пишут a L b .
Основные свойства перпендикулярных прямых нашли отражение
в следующих двух теоремах.
1. Через каждую точку прямой можно провести перпендикуляр­
ную к ней прямую, и притом только одну.
2. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опу­
стить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.
Из теоремы 2 следует, что две прямые, перпендикулярные одной
и той же прямой, не могут пересечься (так как в противном случае
через точку их пересечения проходили бы две прямые, перпенди­
кулярные одной и той же прямой), а, значит, являются параллель­
ными (рис. 21.12). Это означает, что параллельные прямые суще­
ствуют.
Перпендикуляром к данной прямой называют отрезок прямой,
перпендикулярной данной, имеющий концом их точку пересечения.
Конец этого отрезка называется основанием перпендикуляра.
Длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую,
называют расст оянием от точки до прямой.
Расстоянием меж ду параллельными прямыми называют рас­
стояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой.
Упражнения
1.
2.
3.
392
Какие свойства параллельных прямых включены в их определе­
ние и в аксиому параллельных?
Как построить параллельные прямые с помощью линейки
и чертежного треугольника? На каком признаке параллельности
основано это построение?
Верны ли следующие утверждения:
4.
5.
6.
7.
8.
а) если две прямые пересечены третьей, то соответственные
углы равны;
б) если при пересечении двух параллельных прямых третьей
накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллель­
ны.
Внесите изменения в утверждения, данные в упр. 3, чтобы они
стали верными.
Как практически проверить, параллельны ли две данные прямые,
начерченные на бумаге?
Укажите не менее трех свойств перпендикулярных прямых. Какое
из них включено в определение? Какие свойства должны быть
доказаны?
Докажите, что две прямые, лежащие в одной плоскости и пер­
пендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны
между собой.
3
Углы ABC и CBD — смежные, угол CBD равен - d . Определите
8
угол между перпендикуляром, проведенным из точки В к прямой
AD, и биссектрисой угла ABC.
21.4. Многоугольники
Понятие многоугольника определяется через понятие ломаной.
Ломаной А,А2А3... А„ называют фигуру, которая состоит из точек
А и А2, Аъ, ... , Ап и соединяющих их отрезков А ХА 2, Л И з , ... , А„_ХА„.
Точки А |, А 2, А3, ... , А„ называют вершинами ломаной, а отрезки
А ХАЪ А2А3, ... , А„_ХА„ — ее звеньями. Соседние звенья ломаной не
должны лежать на одной прямой.
Если ломаная не имеет самопересечений, то ее называют простой.
Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных,
изображенных на рис. 21.13, можно сказать, что: А lA2A3A4A5A6 — про­
стая; А ХА2А3 — простая замкнутая; А хА 2АуА4 — замкнутая ломаная
(она не является простой, так как имеет самопересечение).
Длиной ломаной называют сумму длин ее звеньев.
Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соеди­
няющего ее концы.
Рис. 21.13
393
Многоугольником называют простую замкнутую ломаную.
Любая ломаная, не пересекающаяся сама с собой, ограничивает
плоскую фигуру и делит плоскость на две части — внутреннюю
и внешнюю по отношению к этой фигуре. Фигуру, состоящую из
многоугольника и его внутренней области, также называют
многоугольником.
Вершины ломаной называют вершинами многоугольника, а ее
звенья — его сторонами.
Если число сторон многоугольника известно, то вместо слова
«много» ставится имя соответствующего числа. Так получаем: тре­
угольник, пятиугольник, стоугольник и т.д.
Отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника,
называют диагоналями многоугольника. Например, диагоналями
пятиугольника ABCDE (рис. 21.14) являются отрезки AC, AD, BD,
BE, СЕ.
Сумма длин всех сторон данного многоугольника называется
периметром многоугольника.
Многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.
Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сто­
рону от каждой прямой, содержащей его сторону. Доказано, что это
определение выпуклого многоугольника равносильно определению
выпуклой геометрической фигуры, данному ранее.
Многоугольник ABCD, изображенный на рис. 21.15, — выпуклый,
а многоугольник M NPK выпуклым не является, taK как не лежит по
одну сторону от прямой МК.
Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называют
угол, образуемый его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Известно, что сумма углов любого выпуклого п-угольника равна
180°(я - 2).
Выпуклый многоугольник называют правильным, если у него все
стороны и все углы равны.
Правильным треугольником является равносторонний треуголь­
ник, правильным четырехугольником — квадрат.
В
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Сформулируйте определение простой замкнутой ломаной и по­
стройте такую фигуру.
Расстояние от пункта А до пункта В равно 3 км, а от пункта В
до пункта С вдвое больше. Каково наибольшее и наименьшее
расстояние от пункта А до пункта С ?
Могут ли все углы выпуклого четырехугольника быть: а) тупыми;
б) острыми; в) прямыми?
Сколько прямых углов может иметь: а) параллелограмм; б) тра­
пеция?
Дан квадрат, разрезанный по диагонали на два треугольника.
Сколько выпуклых многоугольников, отличных от квадрата,
можно составить из этих треугольников?
Квадрат разрезан по своим диагоналям. Сколько выпуклых
многоугольников, отличных от квадрата, можно составить из
четырех образовавшихся треугольников?
Разрежьте по диагонали произвольный прямоугольник и из
полученных треугольников составьте всевозможные выпуклые
многоугольники.
Назовите свойства правильного многоугольника. Можете ли вы
привести пример многоугольника, не являющегося правильным,
но имеющего: а) все равные между собой углы; б) все равные
стороны?
Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних
углов равна 40dl
21.5. Треугольники
Многоугольник с тремя углами называют треугольником.
Первые упоминания о треугольнике и его свойствах содержатся
в египетских папирусах. Многие свойства треугольников были от­
крыты и доказаны математиками Древней Греции. Среди них — зна­
менитая теорема Пифагора.
Рассмотрим основные понятия, связанные с треугольником.
Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, на­
зывают отрезок перпендикуляра между этой вершиной и прямой,
содержащей противолежащую сторону.
Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла
треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей
стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, на­
зывают отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противо­
лежащей стороны.
395
Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий
середины двух его сторон.
Отметим несколько важных свойств треугольников:
♦ сумма углов треугольника равна 180° (из этого свойства следует,
что в любом треугольнике хотя бы два угла острые);
♦ средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон,
параллельна третьей стороне и равна ее половине;
♦ в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других
сторон.
Треугольники называют равн ы м и , если у них соответствующие
стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие
углы должны лежать против соответствующих сторон.
Признаки равенства треугольников (обеспечивают более бы­
строе решение вопроса об отношениях между ними и часто исполь­
зуются на практике и в теоретических построениях):
♦ если две стороны и угол между ними одного треугольника равны
соответственно двум сторонам и углу между ними другого тре­
угольника, то такие треугольники равны;
♦ если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника рав­
ны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны;
♦ если три стороны одного треугольника равны соответственно трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Треугольник называют равнобедренным , если у него две стороны
равны.
Эти равные стороны называют боковыми, а третью сторону —
основанием треугольника.
Равнобедренные треугольники обладают следующими свой­
ствами:
♦ в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основа­
нию, является биссектрисой и высотой;
♦ для прямоугольного треугольника с углом 30° справедливо следую­
щее свойство: катет, противолежащий этому углу, равен половине
гипотенузы;
♦ для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: ква­
драт длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Упражнения
1.
2.
3.
396
Можно ли из палочек длиной 10, 6 и 4 см сложить треуголь­
ник?
Как установить равенство двух треугольников?
Назовите свойства равнобедренного треугольника. Какие из них
содержатся в определении, а какие надо доказывать?
4.
Отвечают ли требованиям, предъявляемым к определениям по­
нятий, следующие формулировки:
а) треугольник, у которого две стороны и два угла равны, на­
зывается равнобедренным;
б) средней линией треугольника называется прямая, проходя­
щая через середины двух его сторон;
в) средней линией треугольника называется отрезок, соеди­
няющий середины двух его сторон и параллельный основа­
нию.
5. Могут ли равносторонние треугольники быть: а) прямоугольны­
ми; б) тупоугольными? Ответ обоснуйте.
6. Установите вид треугольника (по углам), если один из его вну­
тренних углов: а) равен сумме двух других; б) больше суммы двух
других; в) меньше суммы двух других.
7. Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на два остро­
угольных?
8. Прямая р пересекает отрезок А В в точке О, являющейся его се­
рединой. Докажите, что точки А и В находятся на одинаковом
расстоянии от прямой р.
9. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся середи­
ной каждого. Докажите, что АС и BD параллельны.
10. Столяру необходимо заделать отверстие треугольной формы.
Какие он должен снять размеры, чтобы изготовить латку?
Что он должен измерить, если отверстие имеет форму: а) пря­
моугольного треугольника; б) равностороннего треугольника?
21.6. Четырехугольники
Многоугольник, у которого четыре угла, называется четырех­
угольником.
Четырехугольник можно определить иначе, выбрав в качестве
родового понятие геометрической фигуры.
Четырехугольником называют фигуру, которая состоит из че­
тырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрез­
ков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на
одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересе­
каться.
Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней об­
ласти, также называют четырехугольником (или плоским четырех­
угольником).
Вершины четырехугольника называют соседними, если они яв­
ляются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся
соседними, называются противолежащими.
397
К
А
Рис. 21.17
Рис. 21.16
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, на­
зывают соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называют
противолежащими.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, че­
тырехугольник ABCD (рис. 21.16) — выпуклый, а четырехугольник
КРМТ (рис. 21.17) невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников
выделяют параллелограммы и трапеции.
П араллелограм м ом называют четырехугольник, у которого
противолежащие стороны попарно параллельны.
Пусть ABCD — параллелограмм (рис. 21.18). Из вершины В на
прямую AD опустим перпендикуляр BE. Тогда отрезок BE называют
высотой параллелограмма, соответствующей сторонам ВС и AD.
Отрезок СМ — высота параллелограмма ABCD, соответствующая
сторонам CD и АВ.
Ряд свойств параллелограмма, которые не содержатся в его опреде­
лении, формулируют в виде теорем и доказывают. Среди них:
♦ диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам;
♦ у параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие
углы равны.
Чтобы упростить распознавание параллелограммов, рассма­
тривают следующий признак: если диагонали четырехугольника
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный
четырехугольник — параллелограмм.
Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и
ромбы.
I
П рямоугольником называют параллело­
грамм, у которого все углы прямые.
Исходя из этого определения, можно дока­
зать, что диагонали прямоугольника равны.
Рис. 21.18
398
I
Ромбом называют параллелограмм, у кото­
рого все стороны равны.
Пользуясь этим определением, можно доказать, что диагонали
ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами
его углов.
Из множества прямоугольников выделяют квадраты.
Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны
равны.
Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Сле­
довательно, квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Рассмотрим теперь определение трапеции и ее основное свой­
ство.
Трапецией называют четырехугольник, у которого только две
противолежащие стороны параллельны.
Эти параллельные стороны называют основаниями трапеции.
Две другие стороны называют боковыми.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называют
средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции обладает следующим свойством: она
параллельна основаниям и равна их полусумме.
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Назовите пять свойств параллелограмма. Какие из них содер­
жатся в его определении, а какие надо доказывать?
Может ли диагональ параллелограмма равняться его стороне?
Постройте параллелограмм ABCD и его высоты, выходящие из
вершины С.
Обоснуйте следующий способ построения параллелограмма,
предложенный младшим школьникам: «Проведи две пересекаю­
щиеся прямые. С помощью циркуля отложи на одной прямой от
точки пересечения равные отрезки. Затем на другой прямой та­
ким же образом отложи равные отрезки (не обязательно такой же
длины, что и на первой прямой). Получится параллелограмм».
Назовите пять свойств прямоугольника. Какие из них содержатся
в его определении, а какие надо доказывать? Докажите, что диа­
гонали в прямоугольнике равны.
Докажите, что всякий параллелограмм, у которого диагонали
равны, является прямоугольником.
Мастерская изготовила пластины четырехугольной формы. Как
проверить, будет ли пластина иметь форму прямоугольника,
располагая лишь линейкой с делениями.
Мастеру надо изготовить щит, который должен полностью за­
крыть нишу прямоугольной формы. Какие он должен снять
размеры, чтобы изготовить этот щит?
399
С 9
.
Докажите, что параллелограмм, диагонали
которого перпендикулярны, является ром­
бом.
10. Докажите, что почтовый конверт склеи­
вается из листа бумаги, имеющего форму
ромба (припуски на склеивание при этом
D
не учитывать).
11. Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленРис. 21.19
ный четырехугольник форму квадрата,
измеряет длину диагоналей и убеждается,
что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Доста­
точна ли такая проверка?
12. Столяру нужно изготовить подставку в форме четырехугольни­
ка. Что должен измерить столяр, если подставка имеет форму:
а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба; г) квадрата?
13. Из приведенных ниже восьми свойств фигуры (рис. 21.19) вы­
делите минимальное число таких, из которых следовали бы все
остальные. Выделив исходные, докажите все остальные:
1) A BCD — прямоугольник;
2) АВ= ВА;
3) АС 1 BD;
4) АЛОВ = ДВОС = ACOD = ADOА;
5) A C = B D ;
6) О — центр симметрии;
7) АВ = CD;
8 ) ААВС= AADC.
14. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям
и равна их полусумме.
15. Докажите, что отрезки прямых, соединяющих середины смежных
сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.
16. Земельный участок, имеющий форму трапеции, отдан под спор­
тивный городок. Какие размеры должен снять землемер, чтобы
начертить план этого участка?
21.7. Окружность и круг
I
Окружностью называют фигуру, которая состоит из всех точек
плоскости, равноудаленных от данной точки {центра).
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром,
называется радиусом окружности, иначе: радиус — расстояние
от любой точки окружности до ее центра. Отрезок, соединяющий
две точки окружности, называется хордой; хорда, проходящая через
центр, — диаметром.
400
Кругом называют фигуру, которая состоит из всех точек плоско­
сти, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем
заданного. Эта точка называется центром круга, а данное рас­
стояние — радиусом круга.
Границей круга является окружность с тем же центром и радиу­
сом.
Напомним некоторые свойства окружности и круга.
Говорят, что прямая и окружность касаются, если они имеют
единственную общую точку. Такую прямую называют касательной,
а общую точку прямой и окружности — точкой касания. Доказано,
что если прямая касается окружности, то она перпендикулярна
радиусу, проведенному в точку касания (рис. 21.20). Справедливо
и обратное утверждение.
Центральным углом в окружности называют плоский угол
с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри
плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому
центральному углу. На рис. 21.21, а штриховкой отмечен центральный
угол, которому соответствует дуга АВ. Часть круга, лежащая внутри
этого угла образует круговой сектор.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пере­
секают ее, называют вписанным в эту окружность. Угол ВАС на
рисунке 21.21, б вписан в окружность. Говорят также, что угол А опи­
рается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги.
Угол, соответствующий той дуге, которая не содержит точку А, назы­
вают центральным, соответствующим данному вписанному углу.
Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством:
он равен половине соответствующего центрального угла.
Из этого утверждения следует, что вписанные углы, стороны кото­
рых проходят через точки Аш В, принадлежащие окружности, а вер­
шины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 21.22).
В частности, углы, опирающиеся На диаметр, — прямые.
Окружность называют описанной около треугольника, если она
проходит через все его вершины.
А
/
\
б
401
А
Рис. 21.22
Рис. 21.23
А
с
Рис. 21.24
Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее
центр. Правило его нахождения обосновывается следующей т ео­
ремой:
Центр окружности, описанной около треугольника, является
точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных
через середины этих сторон (рис. 21.23).
Окружность называют вписанной в треугольник, если она каса­
ется всех его сторон.
Правило нахождения центра такой окружности обосновывается
в следующей теореме:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой
пересечения его биссектрис (рис. 21.24).
Из последних двух теорем следует, что биссектрисы треугольни­
ка пересекаются в центре вписанной окружности, а срединные
перпендикуляры — в центре описанной.
Можно доказать, что медианы треугольника, так же как и его
высоты, пересекаются в одной точке. Точку пересечения медиан
называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения
высот — ортоцентром.
Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре точки,
их называют замечательными: центр тяжести, центры вписанной
и описанной окружностей и ортоцентр, — в которых пересекаются
соответствующие элементы этого треугольника — медианы, биссек­
трисы, срединные перпендикуляры и высоты.
В связи с тем что во всякий треугольник можно вписать окруж­
ность и около всякого треугольника можно описать окружность,
возникает вопрос: обладают ли аналогичным свойством четырех­
угольники? Оказывается, для того чтобы в четырехугольник можно
было вписать и около него описать окружность, необходимо чтобы
он был правильным, т. е. квадратом.
Около всякого правильного многоугольника можно описать
окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать
окружность, причем центры вписанной и описанной окружностей
совпадают.
402
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Сколько окружностей можно провести через: а) одну точку; б) две
точки; в) три точки, не лежащие на одной прямой?
Как расположены центры окружностей одного и того же радиуса,
проходящих через данную точку?
Как расположены центры окружностей, проходящих через две
данные точки?
Окружность разделена в отношении 1:2:3, и точки деления
соединены между собой отрезками. Определите углы полученного
треугольника.
Докажите, что все углы, опирающиеся на диаметр окружности,
прямые.
Угол между двумя радиусами равен 150°. Определите угол между
касательными, проведенными через концы этих радиусов.
Как найти центр окружности, если он неизвестен?
В данной окружности проведены два диаметра и концы их по­
парно соединены хордами. Докажите, что получившийся четы­
рехугольник — прямоугольник.
В каком месте открытого участка треугольной формы нужно
поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково осве­
щены?
В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, чтобы
оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого
отверстия?
Стекольщику надо вырезать стекло для окна круглой формы.
Как и что он должен измерить, чтобы вырезать нужное стекло,
располагая только рулеткой.
Острый угол между диагоналями прямоугольника равен 60°,
меньшая его сторона — 1,5 дм. Вычислите радиус окружности,
описанной около этого прямоугольника.
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°,
боковая его сторона**— 4 дм. Вычислите диаметр окружности,
описанной около треугольника.
Вычислите радиус вписанной в прямоугольную трапецию окруж­
ности, если ее периметр равен 72 дм, а бблыиая сторона —
19 дм.
Г л а в а 22
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ФИГУР
Одной из важных задач геометрии является построение фигур
с заданными свойствами с помощью чертежных инструментов. При
этом будем рассматривать только такие построения, которые можно
выполнить циркулем и линейкой. Задачи на построение — самые
древние математические задачи, они помогают лучше понять свой­
ства геометрических фигур, способствуют развитию графических уме­
ний. Учителю начальных классов эти знания и умения необходимы,
так как при изучении геометрического материала можно приобщать
детей к построению фигур с помощью циркуля и линейки, но делать
это надо грамотно, с учетом правил решения задач на построение
в геометрии.
Существуют условия, которые надо соблюдать при построении
фигур с помощью циркуля и линейки.
Циркуль — это инструмент, позволяющий построить:
♦ окружность, если построены ее центр и отрезок, равный радиусу
(или его концы);
♦ любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены
ее центр и концы этих дуг.
Линейка используется как инструмент, позволяющий построить:
♦ отрезок, соединяющий две построенные точки;
♦ прямую, проходящую через две построенные точки;
♦ луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую
построенную точку.
С помощью циркуля и линейки можно также изобразить:
♦ любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если
такие точки существуют;
♦ точку, заведомо не принадлежащую какой-либо построенной фи­
гуре;
♦ точку, принадлежащую какой-либо построенной фигуре.
22.1. Элементарные задачи на построение
С помощью основных построений решаются некоторые задачи,
достаточно простые и часто встречающиеся при решении других, бо­
лее сложных, задач. Такие задачи считаются элементарными и описа-
404
а
б
Рис. 22.1
ние их решения, если они встречаются при решении более сложных,
не дается. Выбор элементарных задач является условным.
Задача на построение считается решенной, если указан способ
построения фигуры и доказано, что в результате выполнения постро­
ений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
Рассмотрим некоторые элементарные задачи на построение.
1. Построить на данной прямой отрезок CD, равный данному
отрезку АВ. Возможность такого построения вытекает из аксиомы
откладывания отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осущест­
вляется следующим образом. Пусть даны прямая а и отрезок АВ.
Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окруж­
ность радиусом, равным отрезку АВ. Точку пересечения окружности
с прямой а обозначаем D. Получаем отрезок CD, равный АВ.
2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость
угол, равный данному углу. Пусть даны угол А и полупрямая с на­
чальной точкой О. Проведем окружность произвольного радиуса
с центром в вершине А данного угла (рис. 22.1, а). Точки пересе­
чения окружности со сторонами угла обозначим В и С. Радиусом
АВ проведем окружность с центром в точке О (рис. 22.1, б). Точку
пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В'.
Опишем окружность с центром В’ и радиусом ВС. Точка С' пересе­
чения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит
на стороне искомого угла.
Доказательство. Построенный угол В'ОС' равен углу ВАС,
так как это соответствующие углы равных треугольников ABC
и В'ОС'.
3. Найти середину отрезка. Пусть АВ —
данный отрезок. Построим две окружности
одного радиуса с центрами А и В (рис. 22.2).
Они пересекаются в точках С и С', лежащих
в разных полуплоскостях относительно пря­
мой АВ. Проведем прямую СС'. Она пере­
сечет прямую АВ в точке О. Эта точка и есть
середина отрезка АВ.
Доказательст во. Треугольники САС'
и СВС' равны по трем сторонам. Отсюда
следует равенство углов А СО и ОСВ. Значит,
отрезок СО — биссектриса равнобедренного Рис. 22.2
405
А
а
В
А
Рис. 22.4
Рис. 22.3
треугольника АСВ и, следовательно, его медиана, т.е. точка О —
середина отрезка АВ.
4. Построить биссектрису данного угла. Из вершины А данного
угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса
(рис. 22.3). Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из
точек В и С описываем окружности одного радиуса. Пусть D — точка
их пересечения, отличная от А. Тогда полупрямая AD и есть биссек­
триса угла А. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Они равны по
трем сторонам. Отсюда следует равенство соответствующих углов
DAB и DAC, т. е. луч AD делит угол ВАС пополам и, следовательно,
является биссектрисой.
5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную
данной прямой. Пусть даны точка О и прямая а. Возможны два
случая:
1) точка О лежит на прямой а;
2) точка О не лежит на прямой а.
В первом случае построение выполняется так же, как и в п. 4,
потому что перпендикуляр из точки О, лежащей на прямой, — это
биссектриса развернутого угла (рис. 22.4).
Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность,
пересекающую прямую а (рис. 22.5), а затем из точек А и В тем же
радиусом проводим еще две окружности. Пусть О' — точка их пере­
сечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит
точка О. Прямая ОО' и есть перпендикуляр к данной прямой а.
О
А
А
В а
с
А
В
О'
Рис. 22.5
406
Рис. 22.6
Доказательство. Обозначим через С точку пересечения пря­
мых АВ и ОО'. Треугольники АОВ и АО 'В равны по трем сторонам.
Поэтому угол ОАС равен углу О'АС и, значит, треугольники ОАС
и О'АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда их углы
АСО и А СО' равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким
образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.
6.
Ч ерез данную точку провести прямую, параллельную дан­
ной. Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой (рис. 22.6).
Возьмем на прямой а какую-нибудь точку В и соединим ее с точ­
кой А. Через точку А проведем прямую с, образующую с А В такой же
угол, какой А В образует с данной прямой а, но на противоположной
стороне от АВ.
Доказательство. Построенная прямая будет параллельна пря­
мой а, что следует из равенства накрест лежащих углов, образованных
при пересечении прямых а и с секущей АВ.
Упражнения
1.
2.
3.
4.
Постройте с помощью циркуля и линейки сумму и разность двух
данных: а) отрезков; б) углов.
Разделите данный угол на четыре равные части.
Дан треугольник ABC. Постройте другой, равный ему, треуголь­
ник ABD.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две
данные точки.
22.2. Этапы решения задачи на построение
Решение задачи на построение обычно включает четыре этапа:
анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим
каждый из них в отдельности.
1. Анализ. На этом этапе осуществляется поиск решения задачи.
Его конечная цель — установление последовательности, алгоритма,
состоящего из основных или элементарных построений, приводящих
к построению искомой фигуры. Как и решение геометрической за­
дачи на вычисление и доказательство, поиск такого алгоритма сопро­
вождается чертежом-иллюстрацией, помогающими установить связи
и зависимости между данными и искомыми фигурами.
2. Построение. Этот этап решения представляет собой непосред­
ственную реализацию на чертеже найденного алгоритма с помощью
выбранных инструментов для построения.
3. Д оказательство. Его цель — доказательство того, что по­
строенная на предыдущем этапе фигура действительно искомая, т.е.
удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.
407
Рис. 22.7
Рис. 22.8
4.
Исследование. Этот этап решения состоит в выяснении того,
всегда ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких кон­
кретных данных и сколько именно решений она имеет. При этом
разными считаются решения, дающие неравные фигуры (или если
и равные, то различно расположенные относительно фигуры, с ко­
торой связывалось построение).
Проиллюстрируем эти этапы на конкретном примере.
Задача. Построить параллелограмм по основанию а, высоте ha
и одной из диагоналей d.
Согласно условию данными являются отрезки, представляющие
основание, высоту и диагональ параллелограмма (рис. 22.7). Все
эти фигуры считаются уже построенными, и поэтому объяснение
не требуется.
1. Анализ. Выполним чертеж-иллюстрацию, считая, что искомый
параллелограмм ABCD уже построен (рис. 22.8). Отмечаем на чертеже
данные элементы: ВС = а , ВН = ha, BD = d.
Устанавливаем связи и зависимости между элементами паралле­
лограмма. Отмечаем, что противоположные стороны AD и ВС лежат
на параллельных прямых, расстояние между которыми равно высоте
ha. Поэтому можно построить треугольник ABD и затем достроить
его до параллелограмма ABCD. Получим следующий алгоритм по­
строения искомой фигуры:
1) строим параллельные прямые М К и PQ на расстоянии ha друг
от друга;
2) на прямой М К откладываем отрезок AD = а;
3) из точки D, как из центра, радиусом d проводим окружность
и находим точку В ее пересечения с прямой PQ\
4) на луче BQ откладываем отрезок ВС = а\
5) строим отрезки АВ и CD.
2. П остроение. Все этапы алгоритма построения выполняем
циркулем и линейкой непосредственно на чертеже с использованием
заданных элементов (рис. 22.9).
3. Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Его
противоположные стороны A D и В С параллельны, так как лежат
на параллельных прямых М К и PQ. Эти же стороны равны по по­
строению: AD = ВС = а. Значит ABCD — параллелограмм, у которого
AD = а , BD = d, а высота равна ha, так как расстояние между парал-
408
M
A
D
К
Рис. 22.9
дельными прямыми М К и PQ равно ha (по построению). Следова­
тельно, ABCD — искомый параллелограмм.
4.
Исследование. Проверим возможность построения параллело­
грамма ABCD непосредственно по шагам алгоритма построения.
1) Параллельные прямые М К и PQ на расстоянии ha всегда можно
построить, и притом единственным образом.
2) Построить отрезок AD = а на прямой М К также всегда можно,
и притом единственным образом.
3) Окружность, проведенная из центра D радиусом d, будет иметь
общие точки с прямой PQ только тогда, когда d > ha. Если d = ha, то
получится одна общая точка В , если же d > ha, то две общие точки В
и В'.
4), 5) Эти построения всегда однозначно выполнимы.
Таким образом, решение возможно, если d > ha. Если d = ha, то за­
дача имеет единственное решение, если же d > ha, то два решения.
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по извест­
ным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?
Даны отрезок р, два угла а и р . Всегда ли можно построить тре­
угольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы
равны а и р .
Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у ко­
торого известны его стороны а и Ь.
Пользуясь только циркулем и линейкой постройте:
а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;
б) квадрат со стороной р\
в) квадрат, диагональ которого задана.
Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех
данных точках, не лежащих на одной прямой?
Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол
между ними.
Сколько параллелограммов можно построить, если известны две
его соседние стороны? Ответ обоснуйте.
Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
Г л а в а 23
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
Понятие геометрического преобразования является отражением
преобразований физических тел, которые можно наблюдать в реаль­
ной жизни: при определенных условиях мы видим тени предметов
(т. е. предмет преобразуется в изображение, которое называют тенью),
отражения в зеркале, воде; разглядываем фотографии, по картам
изучаем местность и т.д. Но если в физике (или в быту) под преоб­
разованием понимают процесс перемещения тела в пространстве или
предмета по поверхности, то в геометрии, изучая преобразования,
интересуются только начальным и конечным положением тела (фи­
гуры), а также правилом, по которому каждой точке тела (фигуры)
сопоставляется ее образ.
Среди преобразований плоскости особое место занимают такие,
которые не изменяют расстояний между любыми двумя точками. Их
называют движениями. Свойства фигур, которые остаются неизмен­
ными (инвариантными) при движениях, называют их метрическими
свойствами, они изучаются в евклидовой геометрии.
Важно также, что понятие движения позволяет определить от­
ношение равенства для любых фигур.
23.1. Понятие преобразования плоскости
Говорят, что задано преобразование плоскости, если указан
способ, с помощью которого каждой точке X плоскости ставится
в соответствие точка X ' этой же плоскости. При этом различным
точкам X w Y соответствуют различные точки X ' и Y'.
Из этого определения следует, что преобразование плоскости есть
взаимно-однозначное отображение плоскости на себя.
Преобразование, при котором каждой точке X плоскости ставится
в соответствие эта же точка, называют тождественным преобра­
зованием. Условимся обозначать его буквой е.
На плоскости может быть задано более чем одно преобразование.
Тогда на множестве преобразований плоскости можно определить
операцию, которую называют композицией преобразований. Усло­
вимся обозначать ее знаком о (кружок).
410
Композицией преобразований / и g называют преобразование,
при котором для каждой точки плоскости выполняется преобразо­
вание / , а затем для каждой точки полученного образа выполняется
преобразование g, т. е. если X — точка плоскости, то ее образом при
композиции преобразований / и g является такая Y точка что Y =
= g°f(X)Очевидно, что композиция любых двух преобразований плоскости
также является преобразованием плоскости, и значит, композиция
преобразований есть алгебраическая операция на совокупности пре­
образований плоскости.
Последовательное выполнение преобразования / и тождествен­
ного преобразования не меняет положения образа любой точки пло­
скости, поэтому для композиции преобразования/ и тождественного
преобразования е выполняется равенство: f ° e - e ° f = f
Е сл и / — взаимно-однозначное преобразование плоскости то
можно задать преобразование/ “', обратное преобразованию/ . Оно
представляется так: если при данном преобразовании/точке ^ с о ­
поставляется точка X ', то при обратном преобразовании / _1 точке
X ' сопоставляется точка X.
Последовательное выполнение п р е о б р а зо в а н и й /и / 1 точку X
оставляет неподвижной, т .е ./~ ‘°/(Х ) = X, а / _1° / = / о f - i = е
Пусть на плоскости заданы три преобразования:/, g и г, причем
в результате преобразования / точка X переходит в точку X ', пре­
образование g переводит точку X ' в точку X ", а преобразование г
точку X" переводит в точку X'". Тогда g ° f(X ) =g(X') = X", а г(Х") =
= X "’ и, значит, r ° (g o f(X )) = X '". С другой с т о р о н ы , / т = X',
rog(X') = fix " ) = X'" и, значит, (r°g) °f(X ) = X'". Следовательно, для
любой точки X имеем r°(gof(X )) = (rog)of(X), т.е. преобразования
r ° ( g ° f) u { r ° g ) ° f переводят каждую точку плоскости в одну и ту же
точку (рис. 23.1). Это означает, что композиция преобразований на
плоскости обладает свойством ассоциативности.
Итак, композиция преобразований плоскости обладает свой­
ствами:
1)
существует тождественное преобразование е такое, что для
любого преобразования/ выполняются равенства: / о е = е °/ = / ;
х'
Рис. 23.1
411
2) для каждого преобразования/ существует обратное преобразо­
вание f ~ \ такое, ч т о / _1° / = / ° / -1 = е\
3) композиция преобразований ассоциативна, т.е. для любых пре­
образований f gw г выполняется равенство:
(g°f) = (r°g) °f.
Видим, что для совокупности преобразований относительно
композиции преобразований выполняются все требования группы.
Называется она группой преобразований плоскости.
Необходимость рассмотрения различных групп преобразований
возникает в математике часто и не случайно: для математики важ ­
но установление сходства и единства в различных ее областях. Н а­
пример, группа преобразований плоскости относительно компози­
ции преобразований «похожа» на группу положительных рацио­
нальных чисел относительно умножения: для любого числа суще­
ствует нейтральный элемент 1 (а - 1 = 1 а = а), и обратный элемент
/ 1— =
1 — а = 1);
! ч умножение чисел ассоциативно.
(а
а а
Заметим, что групповые свойства рассмотренных операций по­
хожи, аналогичны, но не тождественны: в общем случае для компо­
зиции преобразований не выполняется свойство коммутативности,
а умножение чисел коммутативно.
Упражнения
1.
Могут ли при преобразовании плоскости разные точки пере­
ходить в одну точку?
Поставим каждой точке плоскости в соответствие ее проекцию
на заданную прямую плоскости. Является ли это соответствие
преобразованием плоскости?
2.
23.2. Движения плоскости и равенство фигур
Из различных преобразований плоскости в евклидовой геометрии
выделяют движения.
Движ ением называют такое преобразование плоскости, которое
не меняет расстояние между парами точек, т. е. если точки X и Y
в результате движения соответственно переходят в точки X ' и Y',
t o X Y = X 'Y '.
Нетрудно доказать, что движение переводит прямые в прямые,
лучи в лучи, отрезки в отрезки. При движении сохраняется величи­
на углов. Например, если точка В лежит на отрезке АС и движение
переводит точки А, В, С в точки А ', В', С' (рис. 23.2), то АВ + ВС
= АС. Поэтому, если при движении расстояния между точками не
412
изменяются, то для точек А ', В', С' будет
выполняться равенство А 'В ' + В 'С ' = А 'С ',
которое означает, что точка В ' лежит на от­
резке А 'С '. Из этого следует, что движение
переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи,
прямые в прямые.
На множестве движений можно опреде- Рис. 23.2
лить операцию последовательного выполне­
ния движений: если точки X и Y некоторым
движением переведены в точки X ' и Y', то можно к точкам X ' и Y'
также применить некоторое другое движение, которое переводит их
в точки X" и У”. Тогда преобразование, которое переводит X и Y в X"
и У" также является движением, поскольку из равенств X Y = X ' Y'
и X 'Y ’ = X" V" следует равенство X Y = X" У". Это движение называют
композицией двух первых движений.
Кроме того, среди всех движений имеется такое, которое все точки
плоскости оставляет на месте, т. е. тождественное преобразование.
Очевидно, что композиция любого движения и тождественного пре­
образования является тем же самым движением. И, наконец, для
каждого движения существует такое, композиция которого с данным
представляет собой тождественное преобразование. Движение, об­
ладающее таким свойством, возвращает все точки в первоначальное
положение. Из приведенных рассуждений следует, что движ ения
плоскости образуют группу.
Движения играют важную роль в геометрии. Изменяя располо­
жение фигур на плоскости, они не меняют ни размеры, ни формы
фигур. Поэтому фигуры, отличающиеся лишь своим положением
на плоскости, в геометрии называются равными. Фигура F равна
фигуре F', если фигуру F' можно получить некоторым движением
фигуры F.
Данное определение можно использовать, устанавливая равенство
любых фигур. Однако на практике, чтобы установить равенство от­
резков, углов, треугольников и некоторых других фигур нет необходи­
мости преобразовывать одну фигуру в другую. Достаточно сравнить
те размеры фигур, которые их однозначно определяют. Например,
у треугольников сравнить длины сторон, у кругов — радиусы. При
рассмотрении произвольных фигур неизвестно, расстояния между
какими точками можно считать определяющими эти фигуры, поэтому
в определении их равенства необходимо исходить из связи равенства
фигур с движениями.
Упражнения
1.
Могут ли при движении:
а) разные точки переходить в одну точку;
413
б) разные прямые переходить в одну прямую?
Докажите, что движение переводит:
а) окружность в окружность того же радиуса;
б) треугольник в равный ему треугольник;
в) параллелограмм в равный ему параллелограмм.
Движение переводит треугольник AB C в треугольник А 'В 'С '.
Докажите, что при этом высоты, медианы и биссектрисы тре­
угольника А ВС перейдут в высоты, медианы и биссектрисы тре­
угольника А 'В 'С ' соответственно.
2.
3.
23.3. Осевая симметрия
Точки Х и Х ' называют симметричными относительно прямой
р, если прямая X X перпендикулярна прямой р и ОХ' = ОХ, где О —
точка пересечения прямых АХ' и р (рис. 23.3).
Если точка X лежит на прямой р, то симметричная ей точка есть
сама точка X.
Осевой симметрией с осью р называют такое преобразование
плоскости, при котором каждой точке плоскости сопоставляется
точка, симметричная ей относительно прямой р.
Осевую симметрию с осью р называю т также отражением от
оси.
Теорема 23.1. Осевая симметрия с осью р есть движение.
Доказательство. Пусть Х и Y — две любые точки плоскости, а X ’
и У — их образы при осевой симметрии с осью р. Докажем, что
ХУ=Х' Г.
Это равенство очевидно, если точки Х и У лежат на оси р.
Если точки X и Y не лежат на оси р, то возможны три случая:
а) прямая X Y параллельна оси р (рис. 23.4, а)\
б) прямая X Y перпендикулярна оси р (рис. 23.4, б);
в) прям ая X Y ни п аралл ел ьн а, ни п ерп ен ди к улярн а оси р
(рис. 23.4, в).
Рис. 23.3
414
Рис. 23.4
в
в
А
с
А
С
а
D
б
Рис. 23.5
В случае а) по определению осевой симм етрии X X ' = YY' и
XX'\\ YY', следовательно, четырехугольник XX' Y' Y — параллелограмм.
А в любом параллелограмме противоположные стороны равны, зна­
чит, ХУ= X Г .
В случае б) точки X ' и Y' лежат на прямой XY. Если О — точка
пересечения X Y с осью р, то X Y = ХО - YO, а X ' Y' = X 'О - Y' О. Так
как ХО = Х'О , YO = Y'O, то XY= X ' Y'.
В случае в) проведем из точек X и X ' перпендикуляры X Z и X 'Z '
к прямой YY'. Нетрудно убедиться в том, что точки Z и Z ' симме­
тричны относительно оси р. Тогда X Z = X 'Z ' (случай а) и YZ = Y 'Z ’
(случай б), т.е. прямоугольные треугольники X Y Z и X' Y Z ' равны по
двум катетам. Отсюда, X Y = X ' Y'.
•
Если осевая симметрия с осью р переводит фигуру F в себя, то
фигура называется симметричной относительно прямой р, а прямая
р — осью симметрии фигуры F.
На рис. 23.5 изображены фигуры, симметричные относительно
оси: равнобедренный треугольник AB C — его осью симметрии яв­
ляется прямая, содержащая высоту треугольника, проведенную из
вершины В на основание АС (рис. 23.5, а); прямоугольник AB C D —
у него две оси симметрии — это прямые, проходящие через середины
его противоположных сторон (рис. 23.5, б).
Упражнения
1.
Осевая симметрия переводит точку X в точку X'. Что является
осью симметрии?
Р
А
а
б
в
Рис. 23.6
415
Точка X симметрична точке X ' относительно оси р. Верно ли,
что точка X симметрична точке X ' относительно этой оси?
Постройте фигуры, симметричные изображенным на рис. 23.6
относительно оси р.
Имеет ли параллелограмм оси симметрии?
Докаж ите, что диагонали ромба являю тся его осями симметрии.
2.
3.
4.
5.
23.4. Поворот вокруг данной точки
Поворотом плоскости вокруг точки О на данный угол а на­
зывают такое преобразование плоскости, при котором точка
О переходит в себя, а каждой точке X, отличной от О, сопостав­
ляется точка X, такая, что выполняются условия:
1) ОХ' = ОХ\ 2) Z ХОХ' = а; 3) все точки плоскости, отличные от
О, поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении —
либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки (рис. 23.7).
Точка О в данном преобразовании называется центром поворота,
а угол а — углом поворота.
Теорема 23.2. Поворот плоскости вокруг точки на данный угол
есть движение.
Доказательство. Пусть точка О — центр поворота, а — угол по­
ворота по часовой стрелке, Х и Y — произвольные точки плоскости.
Возможны два случая расположения точек О, X и Y:
1) точки О, X и F лежат на одной прямой;
2) точки О, X и Y не лежат на одной прямой.
а
X'
Рис. 23.7
416
Рис. 23.8
б
0
X'
X'
а
х
б
Рис. 23.9
В первом случае (рис. 23.8, a) X Y = O Y - OX, X 'Y ' = OY' - ОХ'.
Так как О Х = OX', O Y = O Y (по определению поворота вокруг точ­
ки), то XY = X 'Y '.
Во втором случае (рис. 23.8, б) треугольники O XY и O 'X 'Y ' равны
по двум сторонам и углу между ними. И з равенства данных треуголь­
ников следует, что X Y = X 'Y '.
•
Особый случай представляет поворот на 180°. Если точка О —
центр такого поворота, то, чтобы построить точку X ', соответству­
ющую точке X, достаточно продолжить отрезок ХО за точку О на
отрезок ОХ', такой, что О Х = ОХ'. Точки X и X ' в этом случае на­
зывают симметричными относительно точки О, а само преоб­
разование — центральной сим м ет рией с цент ром в точке О.
Если центральная симметрия с центром в точке О переводит ф и­
гуру F в себя, то фигура / ’называется симметричной относительно
точки О, а точка О является центром симметрии фигуры F.
На рис. 23.9 изображены фигуры, симметричные относительно
точки: круг — центром его симметрии является центр круга (рис.
23.9, а); параллелограмм — центром его симметрии является точка
пересечения диагоналей (рис. 23.9, б).
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Центральная симметрия переводит точку X в точку X'. Где на­
ходится центр симметрии?
Постройте отрезок, симметричный отрезку X Y относительно
центра О, если: а) точка О принадлежит прямой XY, б) точка
О не принадлежит прямой АВ.
Постройте квадрат, симметричный квадрату ABCD относительно
центра О, если: а) точка О совпадает с точкой А; б) точка О не
принадлежит квадрату.
Докажите, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то
этот четырехугольник — параллелограмм.
При каком расположении трех различных прямых образованная
ими фигура имеет бесконечно много центров симметрии?
Существуют ли фигуры, имеющие ось симметрии и не имеющие
центра симметрии?
417
23.5. Параллельный перенос
Напомним, что вектором называется отрезок, у которого указаны
начало и конец. Если у отрезка АВ начало в точке А, а конец— в точ­
ке В, то вектор, определяемый таким отрезком, обозначается АВ.
Вектор характеризуется длиной — она равна длине соответствую­
щего отрезка, и направлением.
Каждую точку принято рассматривать тоже как вектор, длина ко­
торого равна нулю, а направление — любое. Такой вектор называется
нулевым и обозначается символом б.
Пусть даны два ненулевых вектора. Если они лежат на прямых,
которые не являются параллельными, то говорят, что данные век­
торы имеют разные направления. Такими являются векторы, изо­
браженные на рис. 23.10.
Если векторы лежат на параллельных прямых и их концы рас­
положены по одну сторону от прямой, проходящей через их начала,
то говорят, что данные векторы направлены одинаково (рис. 23.11).
В противном случае говорят, что данные векторы направлены про­
тивоположно (рис. 23.12).
Векторы называются равными, если равны их длины и они оди­
наково направлены.
Параллельным переносом на вектор АВ называется такое пре­
образование плоскости, при котором любая точка X плоскости
переходит в точку X ', такую, что вектор X X ' равен вектору АВ.
Теорема 23.3. Параллельный перенос является движением.
Доказательство. Сначала докажем, что два вектора равны тогда
и только тогда, когда середины отрезков, соединяющих начало одно­
го с концом другого, совпадают (рис. 23.13). Действительно, если
A B = CD, то отрезки АВ и CD равны и параллельны и, следователь­
но, четырехугольник ABCD — параллелограмм, диагонали которо­
го — отрезки AD и ВС, в точке пересечения делятся пополам. Если
Рис. 23.13
Рис. 23.14
же отрезки AD и ВС, пересекаясь, делятся пополам, то векторы
А В и CD лежат по одну сторону от прямой АС, а четырехугольник
ABCD — параллелограмм. Откуда следует, что AB = CD .
Докажем теперь, что параллельный перенос есть движение. Пусть
X и У — произвольные точки плоскости, а точки X ' и Y' их образы
при параллельном переносе на вектор АВ (рис. 23.14). По определе­
нию параллельного переноса имеем: X X ' = АВ, Y Y ' = А В . Из этих
равенств получаем, что X X ’ = Y Y ' и что отрезки X Y ' и YX' пере­
секаются и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно,
XX' Y 'Y — параллелограмм, a X Y и X 'Y ' — равны как его противопо­
ложные стороны. Таким образом, параллельный перенос сохраняет
расстояния, т.е. является движением.
•
Итак, нами рассмотрены такие движения, как осевая симметрия,
поворот вокруг точки, параллельный перенос. Возникает вопрос:
существуют ли другие движения плоскости, с помощью которых
любые две равные фигуры можно перевести друг в друга? Ответ на
этот вопрос дал в XIX в. французский математик М. Шаль. Он до­
казал, что любые две равные фигуры можно преобразовать друг
в друга одним из трех движений: либо параллельным переносом,
либо поворотом, либо композицией осевой симметрии и переноса
на вектор, параллельный оси симметрии.
Композицию осевой симметрии и параллельного переноса, за­
даваемого вектором, параллельным оси
симметрии, называют скользящей сим ­
В
метрией. На рис. 23.15 точка X" является
X"
образом точки X при скользящей симме­
трии.
С учетом последнего понятия теорему
о классификации движений формулируют
короче: каждое движение на плоскости х
X'
является либо поворотом, либо перено- *
сом, либо скользящей симметрией.
Движения на плоскости подразделяют
на два класса. Те движения, которые могут Рис. 23.15
419
быть осуществлены непрерывными перемещениями, называются
движениями первого рода. К ним относятся перенос и поворот.
Получить же скользящую симметрию как результат перемещений на
плоскости нельзя. Например, если равные разносторонние треуголь­
ники симметричны относительно прямой р, то непрерывным пере­
мещением перевести один треугольник в другой можно, лишь выйдя
из плоскости. Перемещая треугольники в плоскости, совместить их
нельзя. Скользящую симметрию (и в частности, осевую симметрию)
называют движением второго рода.
Упражнения
Даны точки X, У, Z. Постройте точку Z ', которая получается из
точки Z параллельным переносом на вектор X Y .
Докажите, что прямая при параллельном переносе переходит или
сама в себя, или в прямую, параллельную исходной.
Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона
треугольника переходит в другую его сторону?
Докажите, что параллельный перенос может быть получен как
результат двух осевых симметрий с параллельными осями.
1.
2.
3.
4.
23.6. Симметрия геометрических фигур
В переводе с греческого «симметрия» означает соразмерность, про­
порциональность в расположении частей чего-нибудь по обе стороны
от середины, центра1. Окружающий нас мир симметричен. В нем
мы видим симметрию кристаллов, растений, животных. Впечатляет
симметрия снежинок. Издавна человек использовал симметрию в ар­
хитектуре. Древним храмам, средневековым замкам, современным
зданиям она придает гармоничность, законченность.
Один из крупнейших математиков XX в. Герман Вейль в книге
«Симметрия» пишет: «Симметрия... является той идеей, посредством
которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать
порядок, красоту и совершенство»2.
Математики вкладывают в понятие симметрии точный матема­
тический смысл — в этом частично можно убедиться, вспомнив
понятия осевой и центральной симметрии, рассмотренные ранее.
Понятие движения позволяет дать более общую трактовку симметрии
геометрической фигуры.
Пусть F — некоторая фигура на плоскости. Движение, которое
каждую точку фигуры /"переводит в точку этой же фигуры, называют
1 О ж егов С. И. Словарь русского языка / под ред. Н. Ю. Шведовой. — М.:
Русский язык, 1984. — С. 623.
2 Вейль Г. Симметрия. — М.: Наука, 1968. — С. 37.
420
I
преобразованием симметрии данной
фигуры. Другими словами, фигура
F обладает симметрией, если суще­
ствует движение (не тождествен­
ное), переводящее ее в себя.
Так как преобразование симметрии
является движ ением, то его можно
осуществить с помощью осевой сим­
метрии, поворота и параллельного
переноса. Поэтому в геометрии рас­
см атриваю т осевую , поворот ную
и переносную симметрию.
Понятие осевой симметрии фигуры
определено в п. 23.3. Фигура обладает поворотной симметрией, если
она переводится в себя некоторым поворотом. Например, фигуру, изо­
браженную на рис. 23.16, можно перевести в себя поворотом на 120°
вокруг точки О. Следовательно, она обладает поворотной симметрией.
Нетрудно видеть, что эта фигура обладает и осевой симметрией.
Когда говорят о симметрии фигур, их разделяют на два класса:
ограниченные и неограниченные фигуры. Ограниченность фигуры
понимается в том смысле, что вся фигура расположена в ограничен­
ной части плоскости, например, в некотором круге. Ограниченными
фигурами являются, например, отрезок, круг, треугольник, много­
угольник. Неограниченные фигуры — это прямая, полоса, угол и др.
Неограниченными являются также фигуры, состоящие из правильно
повторяющихся ограниченных фигур. Это, например, изображенные
на рис. 23.17 квадратная сетка (рис. 23.17, а), сетка из прямоуголь­
ников (рис. 23.17, б), треугольников (рис. 23.17, в), шестиугольников
(рис. 23.17, г) и других фигур.
Ж
б
Рис. 23.17
421
Доказано, что если фигура переходит в себя в результате какоголибо параллельного переноса (на ненулевой вектор), то она неогра­
ниченна. О фигуре, которая совмещается сама с собой при некото­
ром параллельном переносе, говорят, что она обладает переносной
симметрией. Например, такую симметрию имеет прямая, так как
допускает перенос вдоль себя.
Наглядное представление о симметрии фигур дают орнаменты,
среди которых различают бордюры и паркеты.
Бордюр — это полоса между параллельными прямыми, запол­
ненная повторяющимися равными ограниченными фигурами. При
этом повторение фигур происходит посредством движений: парал­
лельного переноса, осевой симметрии, поворота и композиции этих
преобразований. На рис. 23.18 показано, как получается бордюр из
заданной фигуры при параллельном переносе (на рис. 23.18, а), при
осевой симметрии относительно вертикальной оси (рис. 23.18, б),
при повороте вокруг точки О на 180° (рис. 23.18, в).
Основываясь на теореме Шаля, в геометрии установили, что су­
ществует всего семь типов симметрии бордюров.
В том случае, когда повторяющиеся равные ограниченные ф и ­
гуры заполняют всю плоскость, говорят, что получен плоский ор­
намент.
Плоские орнаменты использовали в древних сооружениях, они
часто встречаются в окружающей нас обстановке — на линолеуме, на
обоях. Тетрадный лист в клеточку — пример орнамента с квадратной
а
в
Рис. 23.18
422
Рис. 23.19
ячейкой, его называют еще паркетом. На клетчатой бумаге можно
составить и другие паркеты, например, такие, как на рис. 23.19.
Большой интерес и восхищение талантом вызывают орнаменты,
созданные голландским художником М. Эшером (рис. 23.20).
Если внимательно рассматривать орнаменты, то можно увидеть,
что они получаются из заданного изображения в результате таких
движений, как параллельный перенос, поворот, скользящая симме­
трия и их композиций.
Как и бордюры, в геометрии плоские орнаменты классифициро­
вали, выделив 17 типов их симметрии.
Для того чтобы понять, как «устроена» симметрия той или иной
геометрической фигуры, надо перечислить все элементы симме­
трии — центры и оси, а также описать все ее преобразования сим­
метрии, т.е. движения, которые переводят данную фигуру в себя. Но
Рис. 23.20
423
для этого надо знать, что совокупность преобразований симметрии
фигуры образует группу относительно композиции движений.
Действительно, если два движения плоскости являю тся пре­
образованиям и симметрии некоторой фигуры F, то, очевидно,
их композиция также является преобразованием симметрии этой
фигуры, так как каждое движение переводит любую точку фигуры
F в точку, принадлежащую этой же фигуре, то и последовательное
выполнение двух таких движений переводит каждую точку фигу­
ры F b точку, принадлежащую ей, т. е. является преобразованием
симметрии.
Во-вторых, преобразование, обратное некоторому преобразова­
нию симметрии фигуры, также является преобразованием симметрии
этой фигуры, так как возвращает каждую точку в первоначальное
положение, т.е. в точку данной фигуры.
Рассмотрим, например, симметрию треугольника. Нетрудно ви­
деть, что разносторонний треугольник не имеет никакой симметрии.
У равнобедренного треугольника одна ось симметрии — срединный
перпендикуляр, проведенный к его основанию. У равностороннего
треугольника три оси симметрии, и он имеет поворотную симме­
трию с центром в точке пересечения осей и углом поворота 120°
(рис. 23.21).
Симметрия правильного шестиугольника более «богатая». Он имеет
шесть осей симметрии (все они проходят через его центр) и поворот­
ную симметрию вокруг центра с углом поворота на угол 60° (рис. 23.22).
Центр шестиугольника является его центром симметрии.
Одной из «самых симметричных» ограниченных фигур является
круг. Каждая прямая, проходящая через его центр, является его осью
симметрии, причем поворот может быть совершен на любой угол.
Упражнения
1.
424
Охарактеризуйте симметрию фигуры F, если F: а) отрезок;
б) прямая; в) угол; г) прямоугольник.
Рис. 23.23
2. Какие преобразования использовались для создания бордюров,
3.
изображенных на рис. 23.23?
Можно ли составить паркет из равных разносторонних треуголь­
ников? Если да, то какие движения при этом используются?
23.7. Гомотетия
Существуют преобразования плоскости, которые не являются
движениями. Одно из таких преобразований — гомотетия.
Гомотетией с центром в точке О и коэффициентом к (к ф 0)
называют преобразование плоскости, при котором любая точка
А переходит в точку А', такую, что ОА' = к ■ОА .
Из определения гомотетии следует, что при к = 1 гомотетия яв­
ляется тождественным преобразованием, при к = -1 — центральной
симметрией с центром в точке О.
Рис. 23.24
425
На рис. 23.24 представлены преобразования треугольника ABC
с центром в точке О и коэффициентами гомотетии, равными 2, -2
и -1.
Приведем без доказательств некоторые свойства гомотетии.
1. При гомотетии с коэффициентом к каждый вектор умножается
на к, т.е. если точки А и В при гомотетии с коэффициентом к переш­
ли соответственно в точки А' и В', то А 'В ' = к ■А В .
2. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.
3. Гомотетия сохраняет величину угла.
4. Гомотетия треугольник переводит в треугольник. Стороны этих
треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.
5. Совокупность всех гомотетий плоскости с общим центром яв­
ляется группой преобразований плоскости. При этом композиция
двух гомотетий с общим центром и коэффициентами к ь к 2 будет
гомотетией с тем же центром и коэффициентом k t ■к2, а преобразо­
вание, обратное гомотетии с коэффициентом к, имеет коэффици1
ент —.
к
П реобразование гомотетии тесно связано с преобразованием
подобия с коэф фициентом к > 0, которое определяют как такое
преобразование плоскости, при котором любым двум точкам А и
В сопоставляются точки А ’ и В', такие, что А'В' = к-АВ. Любое по­
добие с коэффициентом к можно осуществить, выполнив сначала
гомотетию с коэффициентом к (и любым центром), а затем движение.
Другими словами, подобие с коэффициентом к есть композиция
гомотетии с коэффициентом к и движения.
Упражнения
1.
Постройте разносторонний треугольник ABC и треугольник, ему
гомотетичный, если гомотетия имеет: а) центр в точке А и коэф­
фициент 2; б) центр в точке В и коэффициент ^ ; центр в точке
2.
3.
С и коэффициент -2.
Какая фигура получится в результате гомотетии с коэффициен­
том к:
а) квадрата;
б) угла;
в) окружности?
На плоскости даны два параллельных отрезка разной длины.
Сколько существует гомотетий, переводящих один отрезок в дру­
гой? Постройте центры этих гомотетий.
Гл а в а 24
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА
И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ
Как известно, геометрические тела (их называют еще простран­
ственными фигурами) изучаются в разделе геометрии, называемом
стереометрией, причем изучают те свойства реальных физических
тел, которые могут быть охарактеризованы словами «форма», «раз­
мер», «взаимное расположение». От всех остальных свойств в стерео­
метрии абстрагируются. Так, можно говорить о шаре, радиус которого
5 см, но нельзя говорить о синем шаре, железном шаре и т.д.; этими
свойствами геометрические тела не обладают.
Пространство, изучаемое в стереометрии, называется трехмерным
в отличие от двумерной плоскости (или одномерной прямой).
Слово «стереометрия» — греческое, оно произошло от слов «сте­
рео» — тело и «метрио» — измерять, т. е. буквально стереометрия
означает «теломерие».
Стереометрия, как и планиметрия, возникла в Древнем Египте
и развивалась в связи с потребностями практической деятельности
человека. При строительстве даже самых примитивных сооружений
необходимо было рассчитать, сколько материала пойдет на п о­
стройку, уметь вычислить расстояния между точками в пространстве
и величины углов между прямыми и плоскостями, знать свойства
геометрических тел. Египетские пирамиды, сооруженные за 2—3 тыс.
лет до н.э., поражают точностью своих метрических соотношений,
свидетельствующих о том, что их строители имели немалые знания
из стереометрии.
Основные понятия стереометрии — точка, прямая и плоскость.
Аксиоматика стереометрии включает все аксиомы планиметрии
и группу аксиом , раскры ваю щ их содержание понятий прям ой
и плоскости в пространстве (они сформулированы в подразд. 20.2).
В стереометрии считают, что на любой плоскости в пространстве
выполняются все аксиомы, определения и теоремы планиметрии.
Равенство фигур в пространстве определяется так же, как и для ф и­
гур на плоскости.
Пространственную фигуру (тело) называют выпуклой, если для
любых двух точек, принадлежащих фигуре, отрезок, соединяющий
эти две точки, также принадлежит фигуре (телу).
Чтобы изучать свойства геометрических фигур, их надо построить.
В планиметрии изображения фигур равны (или подобны) самим
фигурам. В стереометрии между пространственными фигурами и их
427
изображениями на плоскости такого совпадения нет. Так, чертеж куба
лишь условно изображает куб, он не равен самому кубу, т. е. не может
быть с ним совмещен. Поэтому при изучении стереометрии необхо­
димо научиться мысленно представлять пространственные фигуры,
а их изображение на плоскости этому должно помогать. Кроме того,
чтобы изучать стереометрию, необходимо не только уметь изображать
на плоскости геометрические тела, но и по данному чертежу находить
свойства изображенного геометрического тела.
Напомним, что в стереометрии прямые изображаются так же, как
в планиметрии: в виде отрезка прямой. Плоскость целиком также не­
возможно изобразить. Поэтому часть плоскости изображают в виде
параллелограмма или криволинейной фигуры.
В школьном курсе стереометрии изучают взаимное расположение
прямых и плоскостей в пространстве, свойства углов между прямой
и плоскостью, между плоскостями, свойства многогранников и кру­
глых тел, их преобразования. В нашем курсе мы повторим только
некоторые вопросы, важные для учителя начальных классов с про­
фессиональной точки зрения — это, прежде всего, виды основных
геометрических тел и правила их изображения на плоскости.
24.1. Взаимное расположение прямых
и плоскостей в пространстве
Две прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости —
и тогда они могут пересекаться или быть параллельными, а могут
не лежать в одной плоскости — и тогда они называются скрещи­
вающимися. Например, в параллелепипеде A B C D A 'B 'C 'D ' ребра
AD и A 'D' параллельны, ребра AD и DC пересекаются, а ребра AD
и D 'C ' являются скрещивающимися (рис. 24.1).
Все случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве
можно представить в виде схемы:
Прямая и плоскость относительно друг друга могут располагаться
следующим образом: прямая может лежать в плоскости (т.е. все точки
прямой принадлежат плоскости); прямая может пересекать плоскость
428
(т.е. иметь с плоскостью одну общую точку);
В'
С'
прямая может не пересекаться с плоскостью
(т. е. не иметь с плоскостью ни одной общей
точки). Если прямая не пересекается с пло­
скостью , то она называется параллельной
плоскости.
Например, прямая AD, которая определя­
ется соответствующим ребром параллелепипе­
да, лежит в плоскости его основания ABCD;
прямая АА' пересекает эту плоскость в точке
А, а прямая A D' параллельна этой плоскости
(см. рис. 24.1).
Все случаи взаимного расположения пря­
мой и плоскости в пространстве можно представить в виде схемы:
Прямая и плоскость
Существует признак параллельност и прям ой и плоскост и :
если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна неко­
торой прямой этой плоскости, то эта прямая параллельна и самой
плоскости.
Если прямая пересекает плоскость, то ее называют перпендику­
лярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой
плоскости.
Существует признак перпендикулярности прямой и плоско­
ст и : если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым
плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Например,
о прямой А А ' можно сказать, что она перпендикулярна основанию
параллелепипеда (см. рис. 24.1), так как она перпендикулярна пря­
мым AD и АВ.
В геометрии доказано, что через любую точку пространства про­
ходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости,
и что такая прямая существует.
Из аксиомы 6 (см. 20.2, аксиомы принадлежности) следует, что
две плоскости в пространстве либо пересекаются по прямой, либо
не пересекаются, и тогда они называются параллельными. Напри­
мер, на рис. 24.1 плоскости, определяемые гранями АА 'В'В и ABCD
пересекаются по прямой А В, а плоскости А А 'В 'В и D D 'C 'C парал­
лельны.
429
Все случаи взаимного расположения двух плоскостей в простран­
стве можно представить в виде схемы:
Существует признак параллельности двух плоскостей', если две
пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллель­
ны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Упражнения
1.
Назовите пару параллельных и скрещивающихся ребер в парал­
лелепипеде (см. рис. 24.1).
Даны плоскость а и прямая р, лежащая в плоскости а. Можно ли
через точку А плоскости а провести прямую, скрещивающуюся
с прямой р?
Прямая р параллельна прямой q — линии пересечения двух пло­
скостей аи( 3. Как может располагаться прямая р относительно
этих плоскостей?
Верно ли, что прямая, параллельная плоскости, параллельна
любой прямой, лежащей в этой плоскости?
Назовите пары параллельных граней в параллелепипеде (рис.
24.1).
Плоскость а пересекает плоскости (3 и у по параллельным пря­
мым. Следует ли из этого, что плоскости (3 и у параллельны?
Пусть А, В, С и D — четыре точки, не лежащие в одной плоско­
сти. Докажите, что плоскость, проходящая через середины AD,
BD и CD, параллельна плоскости ABC.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
24.2. Двугранные и многогранные углы
Аналогом понятия угла на плоскости является понятие двугран­
ного угла в пространстве.
В стереометрии считают, что любая плоскость разбивает про­
странство на два полупространства. Это означает, что если две
точки принадлежат разным полупространствам относительно дан­
ной плоскости, то отрезок, соединяющий эти точки, пересекается
с плоскостью. Если две точки принадлежат одному полупространству,
то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с плоскостью
(рис. 24.2).
430
Рис. 24.2
Рис. 24.3
Две полуплоскости с общей границей разбивают пространство
также на две части.
Фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей
и одной из частей пространства, ограниченной этими полупло­
скостями, называется двугранным углом (рис. 24.3).
Полуплоскости, ограничивающие двугранный угол, называются
гранями двугранного угла, а общая для граней прямая (граница полу­
плоскостей) называется ребром двугранного угла. Точки двугранного
угла, не лежащие на его гранях, называются внутренними.
За величину двугранного угла принимают величину его линейного
угла — угла, который образуется при пересечении двугранного угла
плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла. На рис. 24.3
угол с вершиной М — линейный угол данного двугранного угла.
Величина двугранного угла, как правило, не превосходит 180°.
Кроме двугранных углов в стереометрии рассматривают много­
гранные углы: трехгранные, четырехгранные, ..., п-гранные.
Трехгранный угол — это часть пространства, ограниченная тремя
плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторо­
нами, не лежащими в одной плоскости.
На рис. 24.4 изображен трехгранный угол ОАВС, который огра­
ничен плоскими углами АОВ, ВОС и СОА.
Эти углы назы ваю тся плоским и углам и
т рехгранного угла или гранями т рех­
гранного угла. Углы между гранями — это
двугранные углы трехгранного угла] лучи
О
А, О В и ОС — ребра трехгранного угла',
точка О — верш ина трехгранного угла.
Грани трехгранного угла образуют его по­
верхность.
Аналогично определяется многогранный
угол, содержащий более трех граней. Но
Рис. 24.4
431
а
б
Рис. 24.5
если любой трехгранный угол является выпуклым, то четырехгранные
углы могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.
Доказано, что сумма плоских углов выпуклого многогранного
угла меньше 360°.
Это свойство многогранного угла имеет простой наглядный смысл.
Пусть OABCD — четырехгранный выпуклый угол (рис. 24.5, а). Раз­
режем одно его ребро до вершины и развернем полученную фигуру
на плоскости (рис. 24.5, б). Тогда она накроет не всю плоскость,
а только ее часть. Дело в том, что если мы хотим из листа бумаги
получить многогранный угол, в нем (листе бумаги) надо вырезать
угол с вершиной в точке О.
Упражнения
1.
2.
Сколько двугранных углов имеет куб?
Сколько трехгранных углов имеет куб? Чему равна сумма плоских
углов каждого трехгранного угла куба?
Найдите двугранные углы трехгранного угла, плоские углы ко­
торого равны 90°, 90° и а.
В каких пределах может изменяться плоский угол трехгранного
угла, если два оставшихся соответственно равны 130° и 160°?
3.
4.
24.3. Многогранники и их виды
Куб, шар, пирамида, цилиндр, конус — геометрические тела.
Среди них выделяют многогранники.
I
Многогранником называют геометрическое тело, поверхность
которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый
432
из этих многоугольников называют гранью многогранника, сто­
роны и вершины этих многоугольников — соответственно ребра­
ми и вершинами многогранника.
Двугранные углы между соседними гранями, т.е. гранями, имею­
щими общую сторону — ребро многогранника —- являются также
и двугранными углами многогранника. Углы многоугольников —
граней выпуклого многоугольника — являются плоскими углами
многогранника. Кроме плоских и двугранных углов у выпуклого
многогранника имеются еще и многогранные углы. Эти углы обра­
зуют грани, имеющие общую вершину.
Среди многогранников различают призмы и пирамиды.
Призма — это многогранник, поверхность которого состоит из
двух равных многоугольников с соответственно параллельными
сторонами и параллелограммов, имеющих общие стороны с каж­
дым из оснований.
Два равных многоугольника называют основаниями призмы, а
параллелограммы — ее боковыми гранями. Боковые грани образуют
боковую поверхность призмы. Ребра, не лежащие в основаниях, на­
зывают боковыми ребрами призмы.
Призму называют п-угольной, если ее основаниям и являются
я-угольники. На рис. 24.6 изображ ена четырехугольная призма
ABCD A'B'C'D '.
Призму называют прям ой, если ее боковыми гранями являются
прямоугольники (рис. 24.7).
Призму называют правильной, если она прямая, а ее основания —
правильные многоугольники.
Л'
С'
А
Рис. 24.6
Рис. 24.7
433
Четырехугольную призму называю т
параллелепипедом , если ее основания —
параллелограммы.
П араллелепипед назы ваю т п р я м о ­
угольным, если все его грани— прямо­
угольники.
Д иагональ параллелепипеда — это
отрезок, соединяю щий его противопо­
ложные верш ины . У параллелепипеда
четыре диагонали.
Доказано, что диагонали параллелепи­
педа пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Пирамида — это многогранник, поверхность которого состоит
из многоугольника — основания пирамиды, и треугольников,
имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пира­
миды. Общую вершину этих треугольников называют вершиной
пирамиды, ребра, выходящие из вершины, — боковыми ребрами
пирамиды.
Перпендикуляр, опущ енный из вершины пирамиды на осно­
вание, а также длина этого перпендикуляра называется высотой
пирамиды.
Простейшая пирамида — треугольная или тетраэдр (рис. 24.8).
Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань
можно рассматривать как основание.
Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит пра­
вильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.
Заметим, что следует различать правильный тетраэдр (т.е. тетраэдр,
у которого все ребра равны между собой) и правильную треугольную
пирамиду (в ее основании лежит правильный треугольник, а боковые
ребра равны между собой, но их длина может отличаться от длины
стороны треугольника, который является основанием призмы).
Различают выпуклые и невыпуклые многогранники. Определить
выпуклый м ногогранник можно, если
воспользоваться понятием вы пуклого
геом етри ческого тела: м н о го гр ан н и к
называю т выпуклым, если он является
выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми
двумя своими точками целиком содержит
и соединяющий их отрезок.
Можно определить выпуклый много­
гранник иначе: многогранник называют
выпуклым, если он полностью лежит по
одну сторону от каждого из ограничиваюРис. 24.9
щих его многоугольников.
434
Данные определения равносильны. Доказательство этого факта
не приводим.
Все многогранники, которые до сих пор рассматривались, были
выпуклыми (куб, параллелепипед, призма, пирамида и др.). Много­
гранник, изображенный на рис. 24.9, выпуклым не является.
Доказано, что в выпуклом многограннике все грани являются
выпуклыми многоугольниками.
Рассмотрим несколько выпуклых многогранников (табл. 24.1).
Из этой таблицы следует, что для всех рассмотренных выпуклых
многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказалось, что
оно справедливо и для любого выпуклого многогранника. Впервые
это свойство было доказано JI. Эйлером и получило название теоре­
мы Эйлера.
Выпуклый многогранник называют правильным, если его гра­
нями являются равные правильные многоугольники и в каждой
вершине сходится одинаковое число граней.
Используя свойство выпуклого многогранного угла, можно до­
казать, что различных видов правильных многогранников суще­
ствует не более пяти.
Действительно, если грани многогранника — правильные тре­
угольники, то в одной вершине их может сходиться 3, 4 и 5, так как
60° ■3 < 360°, 60° •4 < 360°, 60° •5 < 360°, но 60° •6 = 360°.
Если в каждой вершине многогранника сходится три правильных
треугольника, то получаем правильный тетраэдр, что в переводе
с греческого означает «четырехгранник» (рис. 24.10, а).
Таблица
24.1
Число
Название многогранника
В-Р+Г
вершин
(В)
ребер
(Р)
граней
(Г)
Треугольная пирамида
4
6
4
4- 6+4 = 2
Четырехугольная
пирамида
5
8
5
5- 8+ 5= 2
Треугольная призма
6
9
5
6 - 9+ 5= 2
Четырехугольная
призма
8
12
6
8 - 12 + 6 = 2
2п
п+
Зи
п+2
и-Угольная пирамида
я-Угольная призма
п+
2п
1
1
(п + 1) - 2п +
2я - Зя
(я + 1) = 2
+ (я + 2) = 2
435
/
/
/
//
/
Рис. 24.10
Если в каждой вершине многогранника сходится четыре правиль­
ных треугольника, то получаем октаэдр (рис. 24.10, в). Его поверх­
ность состоит из восьми правильных треугольников.
Если в каждой вершине многогранника сходится пять правильных
треугольников, то получаем икосаэдр (рис. 24.10, г). Его поверхность
состоит из двадцати правильных треугольников.
Если грани многогранника — квадраты, то в одной вершине их
может сходиться только три, так как 90° -3 < 360°, но 90°-4 = 360°.
Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть граней
и поэтому его называют также гексаэдром (рис. 24.10, б).
Если грани м ногогранника — правильные пятиугольники, то
в одной вершине их может сходиться только три, так как 108° ■3 < 360°,
но 108°-4 > 360°. М ногогранник, гранями которого являются пра­
вильные пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани,
называют додекаэдром (рис. 24.10, д). Его поверхность состоит из
двенадцати правильных пятиугольников.
Шестиугольными и более грани многогранника не могут быть,
так как даже для шестиугольника 120° • 3 = 360°.
В геометрии доказано, что в трехмерном евклидовом пространстве
существует ровно пять различных видов правильных многогранни­
ков.
Чтобы изготовить модель многогранника, нужно сделать его раз­
вертку (точнее развертку его поверхности).
Развертка многогранника — это фигура на плоскости, которая
получается, если поверхность многогранника разрезать по некоторым
ребрам и развернуть ее так, чтобы все многоугольники, входящие
в эту поверхность, лежали в одной плоскости.
436
V
Рис. 24.11
Отметим, что многогранник может иметь несколько различных
разверток в зависимости от того, какие ребра мы разрезали. На
рисунке 24.11 показаны фигуры, которые являются различными
развертками правильной четырехугольной пирамиды, т.е. пирами­
ды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые ребра равны
между собой.
Чтобы фигура на плоскости была разверткой выпуклого много­
гранника, она должна удовлетворять ряду требований, связанных
с особенностями многогранника. Например, фигуры на рис. 24.12
не являются развертками правильной четырехугольной пирамиды:
в фигуре, изображенной на рис. 24.12, а, в вершине М сходятся
четыре грани, чего не может быть в правильной четырехугольной
пирамиде; а в фигуре, изображенной на рис. 24.12, 6, боковые ребра
АВ и ВС не равны.
Вообще, развертку многогранника можно получить путем раз­
резания его поверхности не только по ребрам. Пример такой раз­
вертки куба приведен на рис. 24.13. Поэтому более точно развертку
многогранника можно определить как плоский многоугольник, из
которого может быть сделана поверхность этого многогранника без
перекрытий.
А
437
Упражнения
1.
Существует ли невыпуклый многогранник, у которого все грани
являются выпуклыми многоугольниками?
Существует ли выпуклый многогранник с пятью гранями?
Определите вид призмы, имеющей:
а) 8 вершин; б) 15 ребер; в) 10 граней; г) 42 плоских угла.
Является ли призма правильной, если у нее:
а) все ребра равны; б) все боковые грани — квадраты; в) все
боковые грани — прямоугольники?
Может ли пирамида иметь:
а) 7 вершин; б) 9 ребер; в) 21 грань; г) 16 плоских углов?
Будет ли пирамида правильной, если ее основание:
а) квадрат, а основание высоты — одна из вершин этого ква­
драта; б) прямоугольник, а основание высоты — точка пере­
сечения диагоналей этого прямоугольника; в) равносторон­
ний треугольник, а основание высоты — точка пересечения
медиан этого треугольника?
Перечислите правильные многогранники и объясните, почему
они так названы.
Проверьте, выполняется ли теорема Эйлера для октаэдра, ико­
саэдра и додекаэдра.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
24.4. Тела вращения
Телом вращения называют тело, полученное в результате враще­
ния некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой. Эту
прямую называют осью вращения.
Цилиндр — это тело, которое получается в результате вращения
прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом указанная
сторона является осью цилиндра.
На рис. 24.14 изображен цилиндр с осью О О ', полученный в ре­
зультате вращения прямоугольника А А ' О 'О вокруг прямой ОО'.
Точки О и О' — центры оснований цилиндра.
Цилиндр, который получается в результате вращ ения прям о­
угольника вокруг одной из его сторон, называют прям ы м круго­
вы м цилиндром, так как его основаниям и являются два равных
круга, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезок,
соединяющий центры кругов, перпендикулярен этим плоскостям.
Боковую поверхность цилиндра образуют отрезки, равные стороне
прямоугольника, параллельной оси цилиндра.
Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра,
если ее разрезать по образующей, является прямоугольник, одна
438
сторона которого равна длине образующей, а другая — длине окруж­
ности основания.
Конус — это тело, которое получается в результате вращения
прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. При этом
указанный катет неподвижен и называется осью конуса.
На рис. 24.15 изображен конус с осью SO, полученный в результате
вращения прямоугольного треугольника SOA с прямым углом О во­
круг катета SO. Точку S называют вершиной конуса, ОА — радиусом
его основания.
Конус, который получается в результате вращения прямоугольного
треугольника вокруг одного из его катетов, называют прямым кру­
говым конусом, так как его основанием является круг, а вершина
проектируется в центр этого круга. Боковую поверхность конуса
образуют отрезки, равные гипотенузе треугольника, при вращении
которого образуется конус.
Если боковую поверхность конуса
разрезать по образующей, то ее можно
А'
«развернуть» на плоскость. Разверткой
боковой поверхности прямого кругового
конуса является круговой сектор с радиу­
сом, равным длине образующей.
При пересечении цилиндра, конуса
или любого другого тела вращения пло­
скостью, содержащей ось вращения, полу­
чается осевое сечение. Осевое сечение ци­
линдра — прямоугольник, осевое сечение
конуса — равнобедренный треугольник.
Ш ар — это тело, которое получается
в результате вращения полукруга во­
круг его диаметра.
Рис. 24.16
439
На рис. 24.16 изображен шар, полученный в результате вращения
полукруга вокруг диаметра АА'. Точку О называют центром шара,
а радиус круга является радиусом шара.
Поверхность шара называют сферой. Сферу развернуть на пло­
скость нельзя.
Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения шара
будет наибольш им, если плоскость проходит через центр шара.
Поэтому сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара,
называют большим кругом шара, а окружность, его ограничиваю­
щая, — большой окружностью.
Упражнения
1.
Какая фигура получается при вращении:
а) точки вокруг прямой;
б) отрезка ОХ вокруг прямой, проходящей через точку О и
перпендикулярной ОХ;
в) квадрата вокруг прямой, содержащей его диагональ?
При вращении какой плоской фигуры вокруг какой прямой по­
лучается усеченный конус (прямой круговой)?
Из каких фигур состоит развертка прямого кругового: а) цилин­
дра; б) конуса; в) усеченного конуса?
Задайте размеры, необходимые для построения развертки пря­
мого кругового конуса, и постройте эту развертку.
К акая ф игура является пересечением двух больших кругов
шара?
2.
3.
4.
5.
24.5. Изображение геометрических тел
на плоскости
В отличие от плоских фигур геометрические тела невозможно
точно изобразить, например, на листе бумаги. Однако с помощью
чертежей на плоскости можно получить достаточно наглядное изо­
бражение пространственных фигур. Для
этого используются специальные способы
изображения таких фигур на плоскости.
Одним из них является параллельное про­
Рис. 24.17
440
ектирование.
Пусть даны плоскость а и пересека­
ющая ее прямая а. Возьмем в простран­
стве произвольную точку X, не принад­
лежащую прямой а, и проведем через X
прямую а’, параллельную прямой а (рис.
24.17). Прямая а' пересекает плоскость
в некоторой точке X', которая называется
параллельной проекцией точки X на
плоскость а.
Если точка X лежит на прямой а, то
ее параллельной проекцией X ' является
точка, в которой прям ая а пересекает
плоскость а.
Если точка X принадлежит плоскости Рис. 24.18
а , то точка X ' совпадает с точкой X.
Таким образом, если заданы плоскость
а и пересекающая ее прямая а, то каждой точке X пространства мож­
но поставить в соответствие единственную точку X' — параллельную
проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно
прямой а). Плоскость ос называется плоскостью проекций. О пря­
мой а говорят, что она задает направление проектирования — при
замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат
проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а,
задают одно и то же направление проектирования и называются
вместе с прямой а проектирующими прямыми.
Проекцией фигуры F называют множество F' проекцией всех ее
точек. Отображение, сопоставляющее каждой точке X фигуры F
ее параллельную проекцию — точку X ' фигуры F', называется
параллельным проектированием фигуры / ’ (рис. 24.18).
Параллельной проекцией реального предмета является его тень,
падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, по­
скольку солнечные лучи можно считать параллельными.
Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание
которых необходимо при изображении геометрических тел на пло­
скости. Сформулируем основные, не приводя их доказательства.
Теорема 24.1. При параллельном проектировании для прямых,
не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на
них отрезков выполняются следующие свойства:
1) проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка — отре­
зок;
2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;
3) отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной пря­
мой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих
отрезков.
Следствие', при параллельном проектировании середина от ­
резка проектируется в середину его проекции.
При изображении геометрических тел на плоскости необходимо
следить за выполнением указанных свойств. В остальном оно может
441
быть произвольным. Так, углы и отношения длин непараллельных
отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник
при параллельном проектировании изображается произвольным тре­
угольником. Но если треугольник равносторонний, то на проекции
его медианы должны соединять вершину треугольника с серединой
противоположной стороны.
И еще одно требование необходимо соблюдать при изображении
пространственных тел на плоскости — способствовать созданию
верного представления о них.
Изобразим, например, наклонную призму, основаниями которой
являются квадраты.
Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать
и с верхнего). По правилам параллельного проектирования оно
изобразится произвольным параллелограммом ABCD (рис. 24.19, а).
Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные прямые,
проходящие через вершины построенного параллелограмма и откла­
дываем на них равные отрезки АА', ВВ', СС', DD', длина которых
произвольна. Соединив последовательно точки А ', В', С , D', полу­
чим четырехугольник А 'В 'C D ', изображающий верхнее основание
призмы. Нетрудно доказать, что А 'В 'C'D' — параллелограмм, равный
параллелограмму ABCD и, следовательно, мы имеем изображение
призмы, основаниями которой являются равные квадраты, а осталь­
ные грани — параллелограммы.
Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой
являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы
перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рис.
24.19, б.
Кроме того, чертеж на рис. 24.19, б можно считать изображением
правильной призмы, так как ее основанием является квадрат — пра­
вильный четырехугольник, а также — прямоугольным параллелепи­
педом, поскольку все его грани — прямоугольники.
Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.
Рис. 24.19
442
5
В
С
Ф
А
F
Рис. 24.20
Е
F'
Е'
Рис. 24.21
Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят правиль­
ный многоугольник, лежащий в основании, и его центр — точку О.
Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображающий высоту
пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка O S обеспечивает
ббльшую наглядность рисунка. И наконец, точку .S’ соединяют со
всеми вершинами основания.
Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием кото­
рой является правильный шестиугольник.
Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании
правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее.
Пусть ABCDEF — правильный шестиугольник. Тогда BCEF — пря­
моугольник (рис. 24.20) и, значит, при параллельном проектировании
он изобразится произвольным параллелограммом B 'C 'E 'F '. Так
как диагональ AD проходит через точкуО — центр многоугольника
ABCDEF и параллельна отрезкам ВС и ЕЕ и АО = OD, то при парал­
лельном проектировании она изобразится произвольным отрезком
A 'D ', проходящим через точку О' параллельно В 'С ' и E 'F ' и, кроме
того, A 'O' = O'D'.
Таким образом, последовательность построения основания ше­
стиугольной пирамиды такова (рис. 24.21):
♦ изображают произвольный параллелограмм B 'C 'E 'F ’ и его диа­
гонали; отмечают точку их пересечения 0 '\
♦ через точку О' проводят прямую, параллельную В 'С ' (или E'F')]
♦ на построенной прямой выбирают произвольную точку А ' и от­
мечают точку D ' такую, что O 'D ' = A 'O ', и соединяют точку А '
с точками В ' и F', а точку D' — с точками С' и Е'.
Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикальный
отрезок O 'S (его длина выбирается произвольно) и соединяют точ­
ку S со всеми вершинами основания.
При параллельном проектировании шар изображается в виде
круга того же радиуса. Чтобы сделать изображ ение ш ара более
наглядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружно-
443
сти, плоскость которой не перпендикулярна
плоскости п роекц и и . Эта п р о екц и я будет
эллипсом. Центр шара изобразится центром
В этого эллипса (рис. 24.22). Теперь можно найти
соответствующие полюсы N и S при условии,
что отрезок, их соединяю щ ий, перпендику­
лярен плоскости экватора. Для этого через
точку О проводим прямую, перпендикулярную
А В и отмечаем точку С — пересечение этой
прямой с эллипсом; затем через точку С про­
водим касательную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано,
что расстояние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого
из полюсов. Поэтому, отложив отрезки O N и OS, равные СМ, по­
лучим полюсы N и iS1.
Рассмотрим один из приемов построения эллипса (он основан
на преобразовании плоскости, которое называется сжатием): строят
окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диа­
метру (рис. 24.23). Половину каждой из хорд делят пополам и по­
лученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая — эллипс,
большой осью которого является отрезок АВ, а центром — точ­
ка О.
Этот прием можно использовать, изображая на плоскости прямой
круговой цилиндр (рис. 24.24) и прямой круговой конус (рис. 24.25).
Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эллипс —
основание, затем находят центр основания — точку О и перпенди­
кулярно проводят отрезок OS, который изображает высоту конуса.
Из точки S проводят к эллипсу касательные (это делают «на глаз»,
прикладывая линейку) и выделяют отрезки SC и SD этих прямых
от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок CD не со­
впадает с диаметром основания конуса.
После того как на плоскости построено изображение геометри­
ческого тела, никакого произвола в изображении точек данного
тела быть не должно. Все построения должны выполняться в соот­
ветствии с правилами параллельного проектирования и свойствами
геометрических тел.
Рассмотрим задачи, в которых требуется построить сечение дан­
ного многогранника плоскостью, определенной тремя точками.
Рис. 24.23
444
Рис. 24.24
Рис. 24.25
Рис. 24.26
Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, которая проходит
через точки А, В, С, расположенные на его ребрах, как показано на
рис. 24.26, а.
Решение. Так как плоскость сечения должна пройти через точки
А и В, принадлежащие верхнему основанию куба, а две плоскости
пересекаются по прямой линии, то пересечением плоскости сечения
и верхнего основания куба будет отрезок АВ.
Рассуждая аналогично, устанавливаем, что пересечением плоско­
сти сечения и боковых граней куба будут отрезки ВС и АС.
Треугольник AB C и будет искомым изображением сечения куба
плоскостью, которая проходит через точки А, В и С (рис. 24.26, б).
Задача 2. Построить сечение куба плоскостью, которая проходит
через точки А, В и С, расположенные на его ребрах, как показано на
рис. 24.27, а.
Решение. Так как плоскость сечения должна проходить через
точки А и В, то ее пересечением с верхним основанием куба будет
отрезок АВ.
Чтобы найти отрезки, по которым плоскость сечения пересечет
другие грани куба, выполним такие построения:
1) продолжим отрезок А В до пересечения с прямыми, на которых
лежат ребра куба; получим точки М и Р, принадлежащие плоскости
сечения (рис. 24.27, б). Эти построения выполняются в плоскости
верхнего основания куба;
2) так как точки М и С принадлежат плоскости сечения, то можно
построить прямую М С и найти ее пересечение с боковым ребром
куба — точку К (рис. 24.27, в);
3) так как точки Р и К принадлежат плоскости сечения, то прямая
РК также принадлежит ему (рис. 24.27, в).
Чтобы получить искомое сечение, выделим все точки, в которых
прямые М К и РК пересекают ребра куба, и соединим их, выделив
штриховой линией невидимые стороны получившегося шестиуголь­
ника (рис. 24.27, г).
445
Упражнения
1.
2.
3.
4.
446
Верно ли, что при параллельном проектировании проекцией
параллелограмма будет произвольный параллелограмм?
Каким будет при параллельном проектировании изображение
прямоугольника? ромба? квадрата?
Как найти при параллельном проектировании проекцию точки
пересечения высот равностороннего треугольника?
Изобразите на листе бумаги:
а) прямую призму, основаниями которой являются правильные
шестиугольники;
б) параллелепипед;
в) правильную пирамиду, основанием которой является ква­
драт.
Рис. 24.31
5.
Рис. 24.32
Проверьте, выполняется ли теорема Эйлера для четырехугольной:
а) призмы; б) пирамиды.
6 Выпуклый многогранник имеет 6 вершин и 8 граней. Найдите
число ребер и изобразите этот многогранник.
7. Выпуклый многогранник имеет 8 вершин и 6 граней. Найдите
число ребер и изобразите его.
8 Какая ошибка допущена при изображении шара на рисунке
24.28?
9. Является ли параллельной проекцией ш ара изображение на
рис. 24.29?
10. Можно ли считать правильными изображения конуса на рис.
24.30?
11. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки,
указанные на рис. 24.31.
12. Ученик изобразил треугольную пирамиду и сечение в ней (рис.
24.32). Возможно ли такое сечение?
.
.
Г л а в а 25
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Геометрическими величинами являются: длина линии (отрезка,
ломаной, дуги кривой), площадь фигуры (поверхности), объем тела,
величина угла.
Каждой геометрической величине можно поставить в соответ­
ствие положительное действительное число, которое называется ее
численным значением или мерой. Процесс нахождения этого числа
называется измерением величины.
Мера любой величины определяется однозначно, если процесс
измерения состоит в нахождении отношения этой величины к не­
которой другой величине данного рода, мера которой принимается
равной 1.
В геометрии прежде всего изучают то число, которое получается
в результате измерения величины, т.е. меру величины при выбран­
ной единице величины. Поэтому часто это число называют длиной,
площадью, объемом. Относительно этого числа решают различные
теоретические задачи, в частности, каким требованиям оно должно
удовлетворять как мера величины, существует ли оно, каким образом
его можно определить. Вообще правила измерения геометрических
величин и их обоснование — важнейшая задача геометрии.
Вопросы, связанные с измерением геометрических величин, до­
статочно трудны, поэтому рассмотрим их в небольшом объеме, особо
выделив те, которые непосредственно связаны с изучением величин
в начальной школе.
25.1. Длина отрезка и ее измерение
Понятие длины отрезка и ее измерения были уже использованы
неоднократно, в частности, при рассмотрении натурального числа
как меры величины. В этом пункте мы только обобщим представле­
ния о длине отрезка как геометрической величине.
Д линой отрезка называют положительную величину, опреде­
ленную для каждого отрезка и обладающую следующими свой­
ствами:
♦ равные отрезки имеют равные длины;
448
♦ если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его дли­
на равна сумме длин этих отрезков;
♦ существует отрезок, длина которого равна 1.
Измерение длины отрезка х состоит в сравнении его длины с дли­
ной отрезка, принятого за единицу. Результатом измерения длины
отрезка является положительное действительное число а, которое
называют численным значением длины отрезка х при выбранной
единице длины е, или мерой длины отрезка х при единице е, или
просто длиной отрезка. Пишут: а = те(х) или х = а е.
Получаемое при измерении длины отрезка положительное число
обладает рядом свойств.
1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выража­
ется положительным действительным числом, т. е. те(х) > 0, и для
каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина
которого выражается этим числом.
2. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также
равны, и обратно: если численные значения двух отрезков равны, то
равны и сами отрезки, т.е. х = у <=> те(х) = те(у).
3. Если данный отрезок состоит из нескольких отрезков, то чис­
ленное значение его длины равно сумме численных значений длин
слагаемых отрезков, и обратно: если численное значение длины от­
резка равно сумме численных значений нескольких отрезков, то сам
отрезок состоит из этих отрезков, т. е. z = x + _y <=> me(z) = те{х) + те(у).
Это свойство называют свойством аддитивности меры.
4. Если длины отрезков х и у таковы, что у = ах, где а — по­
ложительное действительное число и длина измерена с помощью
единицы е, то для нахождения численного значения длины отрезка у
при единице е, достаточно число а умножить на численное значение
длины отрезка х при единице е, т. е. у = а х <=> те(у) - а •те(х).
5. При замене единицы длины численное значение длины увели­
чивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица
меньше (больше) старой, т.е. если mei(x) и тег(х) — численные зна­
чения длины отрезка х при единицах длины ех и е2, то выполняется
равенство терс) = mej(x) ■mei(e{). Это свойство называют свойством
мультипликативности меры.
Упражнения
1.
2.
Постройте на прямой три равных отрезка: АВ, ВС и CD. Чему
будет равна длина каждого из этих отрезков, если за единицу
длины будет выбрана длина отрезка: а) АВ; б) АС; в) AD?
Численное значение длины отрезка, измеренной с помощью
единицы е ь равно 6, а изм еренной с помощью единицы е2,
равно 4. В каком отношении находятся между собой единицы
длины в\ и е-?.
449
Постройте отрезок, длина которого 4,6е. Каким будет численное
значение длины этого отрезка, если единицу длины е: а) увели­
чить в два раза; б) уменьшить в 1,5 раза?
Существуют ли на плоскости три точки А, В и С, такие, что:
а) А С - 15 см, АВ = 8 см, ВС = 7 см;
б) АС = 8 см, АВ = 25 см, ВС = 40 см;
в) АС = 14 см, АВ = 30 см, ВС = 40 см?
Из одного куска проволоки, не разрезая его, надо сделать кар­
кас: а) треугольной пирамиды; б) четырехугольной пирамиды;
в) куба. Каждое ребро этих многогранников равно 1 см. Какова
наименьшая длина такой проволоки?
Длину стола измеряли сначала в сантиметрах, потом — в деци­
метрах. В первом случае получили число на 108 больше, чем во
втором. Чему равна длина стола?
3.
4.
5.
6.
25.2. Величина угла и ее измерение
Величиной угла называется положительная величина, определен­
ная для каждого угла и обладающая свойствами:
♦ равные углы имеют равные величины;
♦ если угол состоит из конечного числа углов, то его величина
равна сумме величин этих углов;
♦ существует угол, величина которого равна 1.
Измерение величины угла А состоит в сравнении его величины
с величиной угла, принятой за единицу. Результатом этого сравнения
является положительное действительное число, которое называют
численным значением величины угла А при выбранной единице
величины угла, или мерой величины угла А, или просто величиной
угла А.
Получаемое при измерении величины угла положительное дей­
ствительное число обладает свойствами, аналогичными свойствам
длины отрезка. Необходимо только учесть, что величина угла задана
на множестве плоских углов.
На практике за единицу измерения величины угла принимают
градус — ^
часть прямого угла. Один градус записывают так: 1°.
Величина прямого угла равна 90°, развернутого угла — 180°.
Градус делится на 60 минут, а минута — на 60 секунд. Одну мину­
ту обозначают Г, одну секунду — 1". Так, если мера величины угла
равна 5 градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут 5°3' 12". Если
нужна бблыиая точность в измерении величин углов, используют
и доли секунды.
450
Заметим, что часто вместо «величина угла» говорят «угол». Н а­
пример, вместо «величина угла равна 45 градусам» говорят, что «угол
равен 45 градусам».
На практике величины углов измеряют с помощью транспортира.
Для более точных измерений пользуются и другими приборами.
Для численных значений величины угла выполняются свойства,
аналогичные свойствам численных значений длин отрезков.
1. Если два угла равны, то меры их величин также равны, и об­
ратно: если меры величин углов равны, то равны и сами углы.
2. Больший угол имеет ббльшую меру, и обратно: если мера ве­
личины одного угла больше меры величины другого, то первый угол
больше второго.
3. При сложении величин углов меры их складываются, а при
вычитании — вычитаются.
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Углы а и (3 — смежные. Чему равен каждый из них, если:
а) один из них больше другого на 60°; б) один из них больше
другого в три раза?
Внутри прямого угла провели луч. Вычислите градусную меру
каждого из полученных при этом углов, если:
а) один из них больше другого на 89°; б) один из них в 90 раз
больше другого; в) половина одного из них равна трети
другого.
Измерьте величину угла между указательным и средним пальцами
руки при максимальном отклонении друг от друга.
Пусть а и р — смежные углы. Запишите формулу, которая связы­
вает между собой величины этих углов. Какой функцией является
зависимость одной из этих величин от другой? Какова область
ее определения и область значения? Каким будет график этой
зависимости?
Два угла величиной 40 и 50° имеют общую сторону. Какой угол
могут образовывать другие их стороны? Ответьте на тот же во­
прос, если даны углы 140 и 150°.
Углы ВАК и САМ — прямые. Угол С4АГравен 10°. Найдите вели­
чину угла ВАМ. Решите задачу в общем виде для произвольного
по величине угла САК.
25.3. Площадь фигуры и ее измерение
Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, пло­
щадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить.
Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то
451
площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади
комнат и площади других ее помещений.
Это обыденное представление о площади используется при ее
определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но гео­
метрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят
о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассма­
тривают площади многоугольных фигур или площади криволинейных
фигур и т.д.
Если говорят, что фигура F состоит (составлена) из фигур Fx
и F2, т о имеют в виду, что она является их объединением и у них нет
общих внутренних точек. В этой же ситуации говорят, что фигура F
разбита на фигуры F, и F2. Например, о фигуре F, изображенной на
рис. 25.1, можно сказать, что она составлена из фигур Fx и F2 или,
что она разбита на фигуры Fx и F2.
Площадью фигуры называется положительная величина, опреде­
ленная для каждой фигуры и обладающая свойствами:
♦ равные фигуры имеют равные площади;
♦ если фигура состоит из конечного числа фигур, то ее площадь
равна сумме их площадей;
♦ существует фигура, площадь которой равна 1.
Измерение площади фигуры F состоит в сравнении ее площади
с площадью квадрата со стороной, равной единице длины. Обозна­
чим площадь квадрата буквой е. Результатом этого сравнения явля­
ется положительное действительное число Se(F), которое называют
численным значением площади фигуры F при выбранной единице
площади е, или мерой площади фигуры F, или просто площадью
фигуры F.
Получаемое при измерении площади фигуры число обладает
свойствами, аналогичными свойствам длины отрезка. Необходимо
только учесть, что площадь задана на множестве плоских фигур.
Если фигура F\ является частью фигуры F2 и площади фигур Fx
и F2 измерены с помощью одной и той же единицы площади, то чис­
ленное значение площади фигуры Fxне больше численного значения
площади фигуры F2, т.е. Fx с F2=> S(F\) ^ S(F2).
Фигуры, площади которых равны, называют равновеликими.
Площадь фигуры /м о ж н о найти с помощью палетки — квадрат­
ной сетки, нанесенной на прозрачный материал. Длина стороны
Рис. 25.2
452
квадрата этой сетки принимается за единицу длины, а площадь ква­
драта — за единицу площади. Палетку накладывают на данную фигуру F и подсчитывают число квадратов (т), которые лежат внутри
фигуры F, и число квадратов (/?), через которые проходит контур
фигуры (рис. 25.2). Затем второе число делят пополам и прибавляют
к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F, т. е.
S (F ) = m + l
(ед.2).
Так, в частности, измеряют площади фигуры в начальном курсе
математики.
Палетка позволяет осуществить прямое измерение площади ф и­
гуры F, но нахождение площади фигуры таким способом не всегда
удобно.
Другим способом нахождения площади фигуры является исполь­
зование готовых формул — это так называемый косвенный способ
вычисления площади фигуры.
Рассмотрим несколько теорем, в которых обосновываются основ­
ные формулы.
Теорема 25.1. Площадь квадрата равна квадрату длины его сто­
роны, т. е. S = а2, где а — длина стороны квадрата.
Доказательство. Пусть а — численное значение длины стороны
квадрата при выбранной единице длины. Если а есть число нату­
ральное, то данный квадрат разбивается на а2 квадратов единичной
площади и, следовательно, его площадь равна а2.
Если длина а выражается дробью —, где п — натуральное число,
п
то разобьем единичный квадрат на п2меньших квадратов со стороной
—. Так как площадь единичного квадрата равна 1, то площадь каж-
п
1 ?
дого маленького квадрата равна —1 = Г —
= а2 .
п
Vп )
•
Формула площади квадрата остается верной и в том случае, когда
длина его стороны выражается положительным иррациональным
числом. Доказательство этого факта не приводим.
Т еорем а 2 5 .2 . Площадь прямоугольника равна произведению
длин его смежных сторон, т.е. S = а -Ь, где а и b — длины смежных
сторон прямоугольника.
Доказательство. Пусть а и b — натуральные числа. Тогда пря­
моугольник F можно разбить на единичные квадраты: F = Е + Е +
453
+ ... + Е. Всего их a b, так как имеем b рядов в каждом из которых
а квадратов. Отсюда, по определению площади, получаем:
S (F ) = S (E ) + S (E ) + ... + S (E ) = a b S ( E ) = a b .
a b слагаемых
Пусть теперь а и b — положительны е рациональны е числа:
а = —, Ь = —, где т, п, р, q — натуральные числа.
"
Я
mq
пр
Приведем данные дроби к общему знаменателю: а = ---- , о = — .
nq
nq
Разобьем сторону единичного квадрата Е на nq равных частей. Если
через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то
квадрат Е разделится на {nq)2 более мелких квадратов. Площадь
каждого такого квадрата будет равна —
(nq)2
.
_
mq , пр
„1
Так как а = ——, b = - £- , то отрезок длинои — укладывается на
nq
nq
nq
стороне а точно mq раз, а на стороне b — точно пр раз. Поэтому
прямоугольник F будет состоять из mq ■пр квадратов площадью / 1 2.
Оnq ) 2
тг
1
m q пр т р
,
Тогда S (F ) = m q np ■-— — = —- - --- ---------= a b.
(n q y
nq nq
n q
Формула площади прямоугольника остается верной и в случае,
когда длины его соседних сторон выражаются положительными ир­
рациональными числами. Доказательство этого случая не приво­
дим.
Прежде чем рассмотреть теорему о площади параллелограмма,
рассмотрим понятие равносоставленности.
Два многоугольника называются равносост авленны м и, если
каждый из них можно разбить на одно и то же количество попарно
равных между собой фигур. Например, равносоставлены равнобе­
дренный треугольник и квадрат, изображенные на рис. 25.3.
Так как площади равных фигур равны, то равносоставленные
многоугольники равновелики. Имеет место и обратное утверждение:
равновеликие многоугольники равносоставлены. Оно было доказано
Ф. Больяи и П. Гервином. Теорема Больяи—Гервина означает, что лю­
бые два многоугольника, площади которых равны, можно составить
из соответственно равных частей. Например, на рис. 25.4 изображены
треугольник ABC и прямоугольник АРМС, одна сторона которого
равна основанию треугольника, а другая — половине его высоты.
454
С
F
Рис. 25.3
Рис. 25.4
D
E
Рис. 25.5
Данные многоугольники равновелики (проверьте это самостоятель­
но). Нетрудно убедиться в том, что они и равносоставлены.
Теорема 25.3. Площадь параллелограмма равна произведению
его стороны на высоту, проведенную к этой стороне, т. е. S = а ■Иа,
где а — длина стороны, ha — высота параллелограмма, проведенная
к этой стороне.
Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм, не являющий­
ся прямоугольником (рис. 25.5). Примем одну из его сторон за осно­
вание, длину которого обозначим а. Из вершины В опустим на
основание перпендикуляр BF — высоту параллелограмма. Кроме
того, построим отрезок СЕ — перпендикуляр на продолжение стороны AD.
Видим, что данный параллелограмм ABCD и прямоугольник
FBCE равносоставлены: параллелограмм ABCD составлен из тра­
пеции FBCD и треугольника ABF, а прямоугольник FBCE — из той
же трапеции и треугольника DCE, равного треугольнику A B F (по
двум сторонам и углу между ними). Так как параллелограмм и пря­
моугольник равносоставлены, то они и равновелики, т. е. площадь
параллелограмма равна площади прямоугольника, которую можно
найти, умножив длину основания а на высоту ha.
•
Из этой теоремы вытекает следствие: площадь треугольника рав­
на половине произведения его основания на высоту, т.е. S -]^aha.
Упражнения
1.
2.
Площадь прямоугольника равна 12 см2, длины его сторон вы­
ражаются натуральными числами. Сколько различных прямо­
угольников можно построить согласно этим условиям?
Прямые а и Ь параллельны. Точка В движется по прямой Ь, за­
нимая положение В ь В2, Въ и т.д., а точки А и С остаются непо­
движными. Равновелики ли треугольники А В ХС, АВ2С и т.д.?
455
3.
Длины сторон параллелограмма 6 и 12 см, а высота, проведенная
к меньшей его стороне, 10 см. Найдите высоту, проведенную
к большей стороне параллелограмма.
Докажите, что всякая трапеция равносоставлена с прямоуголь­
ником, одна сторона которого равна средней линии трапеции,
а другая ее высоте.
4.
25.4. Объем геометрического тела
и его измерение
Объем геом ет рического т ела — полож ительная величина,
определенная для каждого тела и обладающая свойствами:
♦ равные тела имеют равные объемы;
♦ если тело состоит из конечного числа тел, то его объем равен
сумме их объемов;
♦ существует тело, объем которого равен 1.
Измерение объема тела F состоит в сравнении его объема с объ­
емом куба, ребро которого равно единице длины. Обозначим объем
единичного куба буквой е. Результатом этого сравнения является
положительное действительное число Ve(F), которое называют чис­
ленным значением объема тела F при единице объема е, или мерой
объема тела F, или просто объемом тела F
Это число обладает свойствами, аналогичными свойствам дайны
отрезка. Необходимо только учесть, что объем задан на множестве
геометрических тел (пространственных фигур).
Для вычисления объемов геометрических тел, как правило, поль­
зуются формулами. Приведем некоторые из них.
Объем прямоугольного параллелепипеда может быть найден по
формуле V = abc, где а, b и с — длины ребер этого параллелепипеда,
выходящих из одной вершины. Доказательство этой формулы анало­
гично доказательству теоремы о площади прямоугольника.
Объем произвольной призмы определяют по формуле: V = SOCHh,
где SOCH— площадь основания призмы, h — ее высота (расстояние
между плоскостями оснований).
Объем пирамиды вычисляют по формуле: V = ^ 5 '0СН/г , где Socn—
площадь основания пирамиды, h — ее высота.
Объем цилиндра находят по формуле: V = Somh, где 5 осн — пло­
щадь основания цилиндра, h — его высота.
Объем конуса определяют по формуле: V = -^*S'0CHA , где SOCH—
площадь основания конуса, h — его высота.
456
3
Объем шара находят по формуле: V = —л В? , где R — радиус
шара.
Упражнения
1.
2.
3.
4.
Ребро данного куба равно - ребра единичного куба. Чему равен
объем данного куба?
Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона
которой 5 см, а высота 8 см.
Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если:
а) одно из его измерений увеличить в два раза;
б) два его измерения уменьшить, причем каждое в два раза?
Дан единичный куб. Найдите объем пирамиды, вершинами ко­
торой являются:
а) вершина куба и четыре вершины противоположной грани
куба;
б) центр куба и четыре вершины одной из граней;
в) центр одной из граней куба и середины сторон противопо­
ложной грани.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа