close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

;docx

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Российская академия наук
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Московский педагогический государственный университет
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Тульский государственный университет
Чебышевский фонд
Материалы
XII Международной конференции
Алгебра и теория чисел:
современные проблемы и
приложения,
посвященной восьмидесятилетию
профессора Виктора Николаевича
Латышева
Тула, 21-25 апреля 2014 года
Тула 2014
ББК 22.13
УДК 511
Ч34
Председатель программного комитета А. В. Михалёв
Сопредседатель программного комитета Чубариков В. Н.
Ответственный секретарь С. А. Пихтильков
Программный комитет:
Артамонов В.А. (Москва), Балаба И.Н. (Тула), Безверхний В.Н. (Тула),
Берник В. И. (Минск, Белоруссия), Быковский В.А. (Хабаровск),
Винберг Э.Б. (Москва), Глухов М.М. (Москва), Голод Е.С. (Москва),
Гриценко С.А. (Москва), Деза М. (Париж, Франция),
Добровольский Н.М. (Тула), Есаян А.Р. (Тула), Зайцев М.В. (Москва),
Зубков А.М. (Москва), Карташов В.К. (Волгоград),
Касьянов П. О. (Киев, Украина), Кузнецов В.Н. (Саратов), Латышев В.Н.
(Москва), Лауринчикас А. (Вильнюс, Литва), Левчук В.М. (Красноярск),
Марков В.Т. (Москва), Мищенко С.П. (Ульяновск),
Нестеренко Ю.В. (Москва), Нижников А.И. (Москва),
Прохоров Ю.Г. (Москва), Рахмонов З.Х. (Душанбе, Таджикистан),
Фомин А.А. (Москва), Чирский В. Г. (Москва), Шмелькин А. Л. (Москва).
Материалы XII Международной конференции Алгебра и теория
чисел: современные проблемы и приложения, посвященной восьмидесятилетию профессора Виктора Николаевича Латышева
Ч34 Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2014. – 329 с.
ISBN 5–87954–388–9
ББК 22.13
УДК 511
Выпуск осуществлен при финансовой поддержке РФФИ, грант
№ 14-01-06005г.
ISBN 5–87954–388–9
© Тульский государственный
педагогичекий университет
им. Л. Н. Толстого, 2014
Материалы XII Международной конференции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и
приложения,
посвященной восьмидесятилетию профессора
Виктора Николаевича Латышева
ТУЛА (2014)
——————————————————————————–
4
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Пленарные доклады
Пленарные доклады охватывают широкий спектр современных достижений
в алгебре и теории чисел по следующим направлениям:
— комбинаторная теория групп;
— конечные группы и представления;
— абелевы группы;
— полугруппы преобразований;
— кольца и модули, гомологические методы;
— алгебры Хопфа;
— алгебры и супералгебры Ли;
— многообразия алгебр;
— булевы алгебры и функции;
— алгебраические поверхности, криптография и кодирование;
— компьютерная алгебра;
— аналитическая теория чисел;
— диофантовы приближения и теория трансцендентных чисел;
— геометрия чисел;
— теоретико-числовой метод в приближенном анализе.
УДК 512.667.7
ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ХОПФА
В. А. Артамонов (г. Москва)
[email protected]
В докладе приводится обзор результатов о строении полупростых конечномерных алгебр Хопфа с изоморфными неприводимыми неодномерными представлениями одной размерности. Кроме того, приведены новые результаты о
групповых элементах построенных алгебр Хопфа и о строении дуальной алгебры Хопфа.
Список цитированной литературы
[1] В. А. Артамонов Полупростые алгебры Хопфа // Чебышевский сборник.
2014. Т. 15, вып. 1. С. 19 — 31.
[2] В. А. Артамонов Полупростые алгебры Хопфа с ограничениями на неприводимые неодномерные модули // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, вып. 2.
[3] V. A. Artamonov On semisimple Hopf algebras with few representations of
dimension greater than one // Revista de la Uni´on Matem´atica Argentina,
51(2010), № 2, 91–105
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
5
[4] Мухатов Р. Б. О структуре полупростых алгебр Хопфа. Рукопись. Деп.
в ВИНИТИ 17.10.2012, № 405-В2012.
[5] V. A. Artamonov, I. A. Chubarov Dual algebras of some semisimple finite
dimensional Hopf algebras // Modules and comodules, Trends in Mathematics,
65–85, Birkhauser Verlag Basel/Switzerland, 2008.
[6] V. A. Artamonov, I. A. Chubarov Properties of some semisimple Hopf
algebras // Contemp. Math. 483, Algebras, representations and applications, A
conference in honour of Ivan Shestakov’s 60th birthday, August 26 — September
1, 2007, Maresias, Brazil. Edited by: Vyacheslav Futorny, Victor Kac, Iryna
Kashuba and E. Zelmanov. // Amer. Math. Soc., 2009, 23–36.
[7] Tambara D., Yamagami S. Tensor Categories with Fusion Rules of Self-Duality
for Finite Abelian Groups // J.Algebra 209(1998), 692–707.
[8] A. Masuoka Some further classification results on semisimple Hopf algebras
// Commun. Algebra, 24(1996), 307–329.
[9] S. Natale Semisolvability of semisimple Hopf algebras of low dimension //
Memoirs of AMS 186( 2007).
[10] Sonia Natale, Julia Yael Plavnik On fusion categories with few irreducible
degrees // Algebra and Number theory, 6(2012), № 6, 1171—1197, DOI:
10.2140/ant.2012.6.1171
¨
[11] Frucht R. Uber
die Darstekkung endlicher abeischer Gruppen durch Kollineationen // J. reine angew. Math., 166(1932), 16–29.
[12] Е. Г. Пунинский Групповые элементы некоторых полупростых конечномерных алгебр Хопфа // Вестник МГУ. Сер. 1, Математика. Механика.
2010. № 5. С. 15–20.
[13] Спиридонова С. Ю. О некоторых полупростых алгебрах Хопфа размерности n(n + 1) // Математические заметки. 2012. Т. 91, вып. 2. С. 253-–269.
[14] Спиридонова С. Ю. Обобщенная кокоммутативность некоторых алгебр
Хопфа и их связь с конечными полями // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25,
вып. 5. С. 253-–269.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
6
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
УДК 519.14
РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАВЕНСТВА И
СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В НЕКОТОРЫХ
КЛАССАХ ГРУПП АРТИНА И КОКСТЕРА
В. Н. Безверхний (г. Тула)
[email protected]
Рассмотрим конечно определенный класс групп Артина. Известно, что с
каждой группой Артина связана соответствующая ей, группа Кокстера. Если
группа Кокстера конечна, то Э. Брискорном и К. Сайто доказано, в таких группах Артина разрешима проблема равенста и сопряженности слов. П. Шупп и К.
Аппель выделили группы Артина (Кокстера) большого и экстрабольшого типа.
В данных классах групп рассматриваемые проблемы алгоритмически разрешимы.
В. Н. Безверхний определил группы Артина (Кокстера) с древесной структурой, то есть группы, соответствующий граф которых является дерево-графом.
В данном классе групп проблемы равенства и сопряженности слов разрешимы.
Рассмотрим группы Артина (Кокстера), соответствующий граф которых состоит из треугольников. Назовем такие группы треугольными группами Артина
(Кокстера).
Теорема 1. В треугольных группах Кокстера разрешимы проблемы равенства и сопряженности слов.
Теорема 2. В треугольных группах Артина разрешима проблема равенства слов.
Пусть граф, соответствующий группе Артина (Кокстера), состоит из nугольников (n > 3). Назовем такую группу n-угольной группой Артина (Кокстера).
Теорема 3. В n-угольной группе Артина (Кокстера) разрешимы проблемы
равенства и сопряженности слов.
Теорема 4. Пусть группы Кокстера является дерево-графом, некоторым
вершинам которого соответствуют треугольные и n-угольные группы Кокстера, тогда в данной группе Кокстера разрешимы проблемы равенства и сопряженности слов.
Теорема 5. Пусть граф группы Артина является дерево-графом, некоторым вершинам которого соответствуют треугольные и n-угольные группы
Артина, тогда в данной группе Артина разрешима проблема равенства слов.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
7
ОБ АЛГЕБРАХ ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЕЙ
ДВОЙНОЙ ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ
Д. А. Бредихин (г. Саратов)
[email protected]
Множество бинарных отношений Φ, замкнутое относительно некоторой совокупности Ω операций над ними, образует алгебру (Φ, Ω), называемую алгеброй
отношений. Всякая алгебра отношений может быть рассмотрена как упорядоченная (Φ, Ω, ⊂) отношением теоретико-множественного включения ⊂.
Теория алгебр отношений берет свое начало в исследованиях Де Моргана,
Пирса, Фреге и Шредера, направленных на создание алгебраического аппарата, адекватного логике предикатов первого порядка. Среди рассматривавшихся
в этих исследованиях операций, наряду с булевыми, центральное место занимает операция умножения отношений ◦. Новый этап в развитии теории алгебр
отношений связан с именем Тарского [1]. Им был предложен аксиоматический
подход к исследованию алгебр отношений. В настоящее время теория алгебр отношений является существенной составной алгебраической логики [2] и имеет
многочисленные приложения в различных областях современной общей алгебры [3].
Для заданного множества Ω операций над бинарными отношениями обозначим через R{Ω} (R{Ω, ⊂}) класс алгебр (упорядоченных алгебр), изоморфных
алгебрам отношений с операциями из Ω. Пусть Q{Ω} (Q{Ω, ⊂}) — квазимногообразие и V ar{Ω} (V ar{Ω, ⊂}) — многообразие, порожденное классом R{Ω}
(R{Ω, ⊂}).
При изучении различных классов алгебр отношений традиционным является рассмотрение следующих проблем:
1. Найти базис тождеств многообразия V ar{Ω}. Выяснить является ли
это многообразие конечно базируемым?
2. Найти базис квазитождеств квазимногообразия Q{Ω}. Выяснить является ли это квазимногообразие конечно базируемым? Выяснить является ли
это квазимногообразие многообразием?
3. Найти систему элементарных аксиом (абстрактную характеристику)
для класса R{Ω}. Выяснить является ли этот класс конечно аксиоматизируемым? Выяснить является ли этот класс квазимногообразием (многообразием)?
Аналогичные проблемы формулируются для упорядоченных алгебр.
Как правило, операции над отношениями задаются с помощь формул логики предикатов. Такие операции называются логическими. Логические операции могут быть классифицированы по виду задающих их формул. Важным
классом операций над отношениями является класс диофантовых операций.
Операция называется диофантовой [4,5] (в другой терминологии – примитивнопозитивной [6]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в
8
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции
и кванторы существования. Эквациональные и квазиэквациональные теории
алгебр отношений с диофантовыми операциями описаны в [4,5,7].
Диофантову операцию назовем атомарной, если она может быть задана с
помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь кванторы существования. Ясно, что такие формулы могут содержать
лишь одну атомарную подформулу, и, следовательно, всякая атомарная операция является унарной. Существует девять атомарных диофантовых операций
(исключая тождественную). Сосредоточим внимание на операциях умножения
◦ и пересечения ∩ отношений, а также на одной из атомарных диофантовых
операций — операции двойной цилиндрофикации ∇. Для всякого бинарного
отношения ρ, определенного на множестве U , положим
∇(ρ) = {(u, v) ∈ U × U : (∃w, t)(w, t) ∈ ρ}.
Заметим, что ∇(∅) = ∅, и ∇(ρ) = U × U , если ρ ̸= ∅.
Основные полученные результаты формулируются в следующих теоремах.
Теорема 1. Алгебра (A, ·, dir0o) типа (2, 1) принадлежит многообразию
V ar{◦, ∇} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам:
(xy)z = x(yz), x∗∗ = x∗ , (x∗ )2 = x∗ , x∗ y ∗ = y ∗ x∗ ,
x∗ (xy)∗ = (xy)∗ y ∗ = (xy)∗ , (xy ∗ z)∗ = x∗ y ∗ z ∗ = x∗ yz ∗ ,
xyz ∗ = xyx∗ z ∗ , x∗ yz = x∗ z ∗ yz.
Теорема 2. Квазимногообразие Q{◦, ∇, ⊂} образует многообразие в классе
всех упорядоченных алгебр типа (2, 1). Упорядоченная алгебра (A, ·, ∗ , ≤) типа
(2, 1) принадлежит квазимногообразию Q{◦, ∇, ⊂} тогда и только тогда, когда алгебра (A, ·, ∗ ) удовлетворяет условиям теоремы 1 и выполняются тождества:
x ≤ xx∗ x, xy ≤ xx∗ , xy ≤ y ∗ y.
Теорема 3. Класс R{◦, ∇, ⊂} не является квазимногообразием. Упорядоченная алгебра (A, ·, ∗ , ≤) типа (2, 1) принадлежит классу R{◦, ∇, ⊂} тогда
и только тогда, когда она удовлетворяет условиям теоремы 2 и следующим
аксиомам:
x∗ = y ∗ ∨ x∗ y ∗ z = zx∗ y ∗ = x∗ y ∗ , x∗ = y ∗ ∨ x∗ y ∗ ≤ z.
Теорема 4. Квазимногообразие Q{◦, ∇, ∩} образует многообразие. Алгебра
(A, ·, ∗ , ∧) типа (2, 1, 2) принадлежит квазимногообразию Q{◦, ∇, ∩} тогда и
только тогда, когда:
a) (A, ∧) – полурешетка с каноническим отношением порядка ≤, согласованным с операциями · и ∗ ;
b) упорядоченная алгебра (A, ·, ∗ , ≤) удовлетворяет условиям теоремы 2,
c) выполняются тождества
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
9
x∗ y ∗ = x∗ ∧ y ∗ , x(y ∧ z ∗ z) = xy ∧ z ∗ z, x(y ∧ zz ∗ ) = xy ∧ zz ∗ ,
(xx∗ ∧ y)z = xx∗ ∧ yz, (x∗ x ∧ y)z = x∗ x ∧ yz.
Теорема 5. Класс R{◦, ∇, ∩} не является квазимногообразием. Алгебра
(A, ·, ∗ , ∧) типа (2, 1, 2) принадлежит классу R{◦, ∇, ∩} тогда и только тогда,
когда она удовлетворяет условиям теоремы 4 и аксиомам, сформулированным
в теореме 3.
Список цитированной литературы
[1] Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. – 1941. – Vol. 6. –
P. 73–89.
[2] Andrґeka, H., Nґemeti, I. and Sain, I. Algebraic Logic // In: Handbook of
Philosophical Logic. Vol. 2, second edition, P. 133–247, Kluwer Academic
publishers (2001).
[3] Schein B.M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum.
– 1970. – Vol. 1. – P. 1–62.
[4] Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми
операциями // Сибирский мат. журн. 1997. № 1. С. 29–41.
[5] Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями //
Доклады Российской Академии Наук. 1998. Т. 360. С. 594–595.
[6] B¨oner F., P¨oschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. – 1991. – Vol. 7. – P. 50–70.
[7] Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными
операциями // Известия вузов. Математика. 1993. № 3. С. 23–30.
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А.
УДК 511.
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И
РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В КОРОТКИХ
ИНТЕРВАЛАХ
Н. В. Бударина (г. Дублин, Ирландия),
В. И. Берник (г. Минск, Белоруссия),
Х. О’Доннэлл (г. Дублин, Ирландия)
[email protected]
[email protected]
10
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
В теории диофантовых приближений свойства трансцендентных и иррациональных чисел изучаются с помощью их приближений алгебраическими и рациональными числами [1,2]. Сами алгебраические и рациональные числа устроены проще и многие их свойства или почти очевидны, или легко доказываются. Однако нет правил без исключения. Например, хорошо известна задача о
распределении рациональных чисел Фарея [3], которая эквивалентна проблеме
Римана.
В данной статье мы докажем несколько новых утверждений о распределении алгебраических и рациональных чисел. Для алгебраического числа α через
deg α = n и H(α) будем обозначать степень и высоту его минимального многочлена. Далее µB – мера Лебега измеримого множества B ⊂ R, величины
c1 = c1 (n), c2 , . . . зависят только от n и не зависят от высоты многочлена. В
работе [4] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть Q > Q0 достаточно большое натуральное число, I ⊂ R
– интервал длины |I| = c1 Q−1 . Тогла справедливы следующие утверждения.
a) Существуют интервалы I, |I| = Q−1 /2, внутри которых нет алгебраических чисел α с условиями deg α 6 3 и H(α) 6 Q.
b) При достаточно большой величине c2 внутри любого интервала I,
|I| = c2 Q−1 , лежит не менее c3 |I|Q4 действительных алгебраических чисел α,
deg α = 3 и H(α) 6 Q.
Подтвердить правильность утверждения a) несложно. Доказательство утверждения b) требует привлечения трудных вспомогательных теорем метрической теории диофантовых приближений.
Для интервала I = [a, b] ⊂ R с центром в точке d = a+b
построим интервал
2
I1 = [d − 4|I|, d + 4|I|]. Пусть 0 6 γ 6 1. Будем называть I интервалом типа
(Q, γ), если внутри интервала I1 нет рациональных точек st , 1 6 t 6 Qγ .
Теорема 2. При γ1 > 1 + γn и c3 < c0 внутри интервала I, |I| 6 c3 Q−γ1 ,
ни при каком n > 1 нет действительных алгебраических чисел α, deg α = n и
H(α) 6 Q.
Что будет происходить, если длину интервала I2 увеличить и взять равной
c6 Q−γ1 при достаточно большой величине c6 ? Ответ на этот вопрос получен в
[4] при γ = 0. Здесь мы даем ответ при γ ̸= 0 и n = 1.
Теорема 3. Если c6 > c0 и интервал I2 имеет тип (Q, γ1 ), то количество
рациональных чисел p/q, Qγ 6 q 6 Q, не меньше c7 |I2 |Q2 , что не меньше
c8 Q2−γ1 .
Основой для доказательства теоремы 3 является следующая лемма.
Лемма 1. Пусть интервал I2 имеет длину |I2 | = c6 Q−1−γ , 0 6 γ 6 1, c6 >
c0 . Обозначим через B1 = B1 (δ0 ) множество точек интервала, для которых
выполняется система неравенств
|qx − p| < Q−1 ,
1 6 q 6 δ0 Q.
(1)
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
11
Тогда при подходящем δ0 справедливо неравенство
µB1 < |I2 |/4.
(2)
Список цитированной литературы
[1] Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. – М.,
1961.
[2] Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers. – Cambridge: CUP, 2004. –
Vol. 160. – 274 pp.
[3] Шмидт В. Диофантовы приближения. – М.: Мир. 1983.
[4] Bernik V. I., Budarina N. V., O’Donnell H. On Regular Systems of Real
Algebraic Numbers of Third Degree in Short Intervals // Proceedings of the
Steklov Institute of Mathematics. – 2013. – Vol. 280, Suppl. 2. – P. 31–43.
Dublin Institute of Technology
УДК 512.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КОЛЕЦ
ЭНДОМОРФИЗМОВ И ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ
АБЕЛЕВЫХ p-ГРУПП
Е. И. Бунина, А. В. Михалёв, М. А. Ройзнер (г. Москва)
[email protected]
[email protected]
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 511.4
О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ ПРИНЦИПА ПЕРЕНОСА1
О. Н. Герман (г. Москва)
[email protected]
В докладе мы расскажем о недавних результатах, усиливающих некоторые
классические теоремы, принадлежащие Курту Малеру. Эти теоремы касаются так называемого принципа переноса, играющего важную роль в теории диофантовых приближений. Принцип переноса связывает в некотором смысле
двойственные задачи. Сформулируем один из упомянутых результатов Малера.
Удобнее всего для этого пользоваться понятиями последовательных минимумов и псевдоприсоединенных параллелепипедов.
1
Исследование частично поддержано грантами РФФИ №№ 12–01–33080, 12–01–00681, а также грантом фонда «Династия»
12
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Определение 1. Пусть ℓ1 , . . . , ℓd — d линейно независимых линейных форм на Rd и пусть ℓ∗1 , . . . , ℓ∗d — двойственный набор линейных форм, то
есть ⟨ℓi , ℓ∗j ⟩ = δij , где ⟨ · , · ⟩ обозначает скалярное произведение. Рассмотрим
параллелепипед
{
}
d
Π = z ∈ R |ℓi (z)| ≤ 1, i = 1, . . . , d .
Тогда параллелепипед
{
}
Π∗ = z ∈ Rd |ℓ∗i (z)| ≤ 1, i = 1, . . . , d
называется псевдоприсоединенным к параллелепипеду Π.
Определение 2. Пусть M — выпуклое центрально-симметричное тело в
R с центром в начале координат. Пусть Λ — d-мерная решетка в Rd . Тогда
k-м последовательным минимумом µk (M, Λ) тела M относительно решетки Λ называется минимальное µ > 0, такое что µM содержит k линейно
независимых точек решетки Λ.
d
Из результатов, полученных Малером в 1939-м году, следует
Теорема 1. Пусть в Rd задан произвольный параллелепипед Π с центром
в точке начала координат. Пусть
µ1 (Π∗ , Zd ) 6 1
Тогда
и
µ1 (Π, Zd ) > 1.
1
µk (Π, Zd ) 6 d d−k ,
k = 1, . . . , d − 1.
Мы расскажем о следующем усилении теоремы 1.
Теорема 2. Пусть в Rd задан произвольный параллелепипед Π с центром
в точке начала координат. Пусть
µ1 (Π∗ , Zd ) 6 1
Тогда
и
µ1 (Π, Zd ) ≥ 1.
1
µk (Π, Zd ) 6 d 2(d−k) ,
k = 1, . . . , d − 1.
(1)
Для k = 2 уда¨ется получить несколько более сильное неравенство.
Теорема 3. Пусть в Rd задан произвольный параллелепипед Π с центром
в точке начала координат. Пусть
µ1 (Π∗ , Zd ) 6 1
и
µ1 (Π, Zd ) > 1.
Тогда
µ2 (Π, Zd ) 6 cd ,
где cd — положительный корень многочлена t
(2)
2(d−1)
− (d − 1)t − 1.
2
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
13
Нетрудно показать, что
d
1
2(d−1)
< cd < d
1
2(d−2)
.
(3)
То есть, действительно, неравенство (2) сильнее неравенства (1) для k = 2.
Кроме того, из (3) следует, что
( 2 )
ln d
ln d
cd = 1 +
+O
при d → ∞.
2d
d2
В случае d = 3 уда¨ется доказать неравенства, более сильные, чем (1) и (2),
являющиеся к тому же точными.
Теорема 4. Пусть в R3 задан произвольный параллелепипед Π с центром
в точке начала координат. Пусть
µ1 (Π∗ , Z3 ) 6 1
и
µ1 (Π, Z3 ) > 1.
Тогда
√
µ1 (Π, Z3 ) 6 2/ 3 и µ2 (Π, Z3 ) 6 5/4.
√
При этом константы 2/ 3 и 5/4 неулучшаемы.
Наконец, мы сформулируем теорему, содержащую в себе в некотором смысле бесконечно много теорем переноса. Обычные теоремы переноса в предположении существования точки решетки в одном множестве утверждают наличие
точки решетки в некотором другом множестве. Мы же в таком же предположении построим целое семейство параллелепипедов, в каждом из которых будет
точка решетки.
Пусть Π — произвольный параллелепипед в Rd с центром в точке начала
координат. Тогда существует такой оператор A ∈ GLd (R), что AΠ = [−1, 1]d .
Для каждого набора τ = (τ1 , . . . , τd ) ∈ Rd>0 положим


τ1 0 · · · 0
 0 τ2 · · · 0 

−1 
Hτ = A  .. .. . .
..  A.
. .
. .
0 0 · · · τd
То есть оператор Hτ представляет из себя композицию гиперболического поворота и гомотетии, причем оси гиперболического поворота совпадают с осями
параллелепипеда Π.
Теорема 5. Пусть в Rd задан произвольный параллелепипед Π с центром
в точке начала координат. Тогда для любого набора τ = (τ1 , . . . , τd ), такого
что
d
d
∑
∏
τi2 =
τi2 ,
(4)
i=1
i=1
14
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
справедливо
µ1 (Π∗ , Zd ) ≤ 1 =⇒ µ1 (Hτ Π, Zd ) ≤ 1.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 513+517+519.4
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КОГОМОЛОГИИ И ИХ
ПРИМЕНЕНИЯ
Н. М. Глазунов (г. Киев, Украина)
[email protected]
Дается обзор теории кристаллических когомологий и кристаллических представлений, включающий недавние новые результаты. Приведены примеры и
приложения.
1
Введение
Целями сообщения являются:
1) обзор недавних результатов, развивающих: подходы Гротендика, их реализацию Бертелло, изложений Иллюзи и Мессинга; теорию модулей Дьедонне,
кристаллов Дьедонне, F - кристаллов, кристаллических когомологий;
2) описание применений этих результатов в направлении работы [1].
Представляемые результаты связаны:
(i) с теорией формальных групп [4, 5] и p - делимыми группами;
(ii) с семействами многообразий над базисной схемой S характеристики p (и
включают обзор случая семейства двумерных абелевых многообразий);
(iii) с группами петель редуктивных групп по Г. Фалтингсу, У. Хартлю и Е. Вейман;
(iv) с многоугольниками Ньютона и верхней границей многоугольников Ньютона p - делимых групп по Т. Икедалу, ван дер Гиру и С. Харашите.
2
Предварительные сведения и определения
Пусть F есть коммутативный формальный групповой закон от n переменных
над коммутативным кольцом R с единицей. В случае n = 1, согласно известному
результату Лазара, имеется только один 1− росток вида x + y + αxy.
Предложение 1. Положим n = 2, A = Zp [α, β] - кольцо многочленов с
целыми p-адическими коэффициентами от α, β. 1− ростками являются
{
x1 + y1 + αx1 y1
F (x, y) =
x2 + y2 + βx2 y2 ,
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
{
Fa (x, y) =
{
Fb (x, y) =
{
Fc (x, y) =
15
x1 + y1 + αx1 y1
x2 + y2 + βx1 y1 ,
x1 + y1 + αx2 y2
x2 + y2 + βx2 y2 ,
x1 + y1 + α(x1 + x2 )(y1 + y2 )
x2 + y2 + β(x1 + x2 )(y1 + y2 ),
Замечание 1. Приведенные в Предложении 1 1− ростки являются также двумерными формальными групповыми законами, у которых коэффициенты при членах степеней > 3 нулевые.
Замечание 2. Эти групповые законы на самом деле определяют классы
групповых законов. В частности, класс Fa содержит при значениях параметров α = 0, β = −1, группу Витта, соответствующую простому числу p = 2.
Пусть теперь кольцо R является полем k.
Напомним, что формальной k− схемой называют формальный k− функтор, который является пределом направленной индуктивной системы конечных
k− схем, а формальной группой – групповой объект в категории формальных
k− схем.
Понятие стека, как одного из категорных вариантов пространств модулей,
определено П. Делинем и Д. Мамфордом.
Предложение 2. Существуют формальные стеки, то есть категории,
расслоенные на формальные группоиды, и удовлетворяющие аксиомам теории
спуска.
Пусть R есть полное дискретно нормированное кольцо с полем отношений K
и совершенным полем вычетов k характеристики p. Под многообразием КалабиЯу над K мы понимаем гладкую проективную схему V над K размерности n
с тривиальным каноническим расслоением ωX = ΩnX/K [1, 2]. Слабой моделью
Нерона многообразия X называют гладкую собственную схему V конечного
типа над R вместе с изоморфизмом V⊗R K ≃ X, удовлетворяющую следующему
свойству: для всякого конечного неразветвленного расширения R′ ⊃ R с полем
отношений K ′ , каноническое отображение V(R′ ) → X(K ′ ) является биекцией
[3].
3
Заключение
Мы применяем вышеперечисленные конструкции и результаты к исследованию гладких многообразий Калаби-Яу [1, 2], их моделей Нерона, слабых моделей Нерона, и редукции этих моделей над полем вычетов k. Примеры простых
кристаллических представлений также будут предьявлены.
16
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Список цитированной литературы
[1] Рудаков А. Н., Шафаревич И. Р. Поверхности типа K3 над полями конечной характеристики // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. проблемы
математики. 1981. Т. 18. C. 115—207.
[2] Yau S.T. A survey of Calabi-Yau manifolds // Surveys in differential geometry.
Vol. XIII. Geometry, analysis, and algebraic geometry: forty years of the Journal
of Differential Geometry, Scholarpedia, Surv. Differ. Geom. 4 (8). Somerville.
MA: Int. Press, 2009. P. 277—318.
[3] Bosch S., L´’utkebohmert W., Raynaud M. N´eron Models, Ergebnisse der
Mathematik 21, Springer-Verlag, 1990.
[4] Глазунов Н.М. Квази-локальные “поля классов” эллиптических кривых и
формальные группы. I // Труды ИПММ НАНУ. 2012. Т. 24. С. 87 — 98.
[5] Glazunov N.M. On norm maps and "universal norms"of formal groups over
integer rings of local fields // Continuous and Distributed Systems. Theory
and Applications. Springer. 2014. P. 73 — 80.
Национальный Авиационный Университет
УДК 512.
СОВЕРШЕННО НЕЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
М. М. Глухов (г. Москва)
[email protected]
В различных областях дискретной математики и ее приложениях зачастую
исследуемые процессы описываются нелинейными функциями различных алгебр. Для облегчения изучения процесса такие функции приходится приближать гомоморфизмами (короче: линейными функциями). И наоборот, для усложнения изучения целесообразно описывать процессы такими функциями, которые наиболее удалены от линейных функций.
Существуют различные подходы к определению понятия близости или удаленности отображения f : (G, +) → (H, +) для конечных абелевых групп G, H
от линейного отображения (точнее, от гомоморфизма групп).
Один из таких подходов основан на оценке числа пар элементов (x, y), для
которых выполняется соотношение
f (x + y) = f (x) + f (y).
(1)
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
17
Определение 1. Функция f : G → H называется, совершенно нелинейной (perfect nonlinear), если функция f (a + x) − f (x) сбалансирована, то
есть ∀ : a ∈ G\{0}, b ∈ H уравнение
f (a + x) − f (x) = b
(2)
имеет одно и то же число решений, и планарной, если это число решений
равно 1. В последнем случае должно выполняться условие |G| = |H|.
По совершенно нелинейным функциям опубликовано большое число работ
(см. [6]). Понятие совершенно нелинейной (perfect nonlinear, короче, P N ) функции для групп G = (Zqn , +), H = (Zqm , +) введено в криптографической работе
[13] K. Nyberg в 1991 г. После этого P N -функции исследовались для некоторых
других групп (см., например, [1], [3],[4],[5]).
В работе [5] В.И. Солодовников обобщил это понятие на отображения f :
G → H, назвав соответствующие функции абсолютно негомоморфными. Им
было введено понятие близости для отображений G в H и, в частности, для абелевых групп доказано, что при |G| > 1 биективных абсолютно негомоморфных
функций не существует. Позднее автор заметил, что в его доказательстве условие коммутативности не требуется. Поэтому аналогичное утверждение имеет
место для любых конечных групп. До этого такое утверждение легко извлекалось из работы [2], но только для групп с одной инволюцией и совпадающих со
своими коммутантами. Кроме того, в [5] доказано, что множество всех абсолютно негомоморфных функций совпадает с известным классом бент-функций.
Далее мы будем говорить только о планарных функциях над конечными
полями, то есть о планарных отображениях вида f : Fpn → Fpn . Здесь в качестве
групп G, H выступает аддитивная группа поля.
О большом отличии планарной функции от линейных свидетельствует то,
что для нее соотношение (1) выполняется для любого x ̸= 0 лишь при одном
значении y.
Если P поле характеристики 2, то уравнение (1) наряду с решением x1 имеет
также решение a+x1 . Значит, планарных функций над полями характеристики
2 не существует. Поэтому всюду далее будет предполагаться p простым нечетным числом.
Понятие планарной функции f : Fpn → Fpn для поля Fpn нечетной характеристики p ввели и использовали в классификации проективных плоскостей в
1968 г., [11], P. Dembowski и T. Ostrom. Каждая функция над конечным полем
Fpn представляется многочленом. Авторы построили класс планарных функций
над Fpn , представимых многочленами вида
∑
k
j
f (x) =
ak,j xp +p ,
06k,j
где 0 6 k < j < n, называемыми ныне DO-полиномами. Они доказали, в
k
частности, что полином f (x) = xp +1 планарный над Fpn тогда и только тогда,
когда n/(n, k) – нечетно.
18
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Планарные функции используются в теории проективных плоскостей, полуполей, кодов, разностных множеств, в криптографии и др. Поэтому методам построения и исследованию свойств планарных функций также посвящено
большое число работ различных авторов.
Ниже мы укажем лишь некоторые из них, в библиографиях к которым можно найти координаты остальных работ.
Заметим, что свойство планарности сохраняется при переходе от функции
f : G → H к аффинно эквивалентной ей функции g = φf ψ + c, где φ ∈ Aut(G),
ψ ∈ Aut(H), c ∈ H.
Dembowski, Ostrom и некоторые другие авторы поставили вопрос: о возможности представления DO-полиномами (с точностью до аддитивных слагаемых)
всех планарных функций над полем P .
В работе [10] эта гипотеза подтверждена для полей порядка p4 при p > 5.
В этом случае критерием планарности монома xm является условие m ≡ 2pj
(mod p4 − 1) для некоторого j : 0 6 j < 4.
В 1997 г. R. Coulter и W. Matthews, [9], построили класс планарных функций, в котором содержались контрпримеры к указанной гипотезе Дембовскогоk
Oстрома . А именно, они доказали, что при q = 3n полином x(3 +1)/2 является
планарным в том и том случае, когда k нечетно и взаимно просто с n. Этот
класс является единственным контрпримером в полном списке известных к тому времени планарных функций.
В ряде работ по проективным плоскостям были построены планарные мономы xn над полями порядков p, p2 . Критериями планарности в первом случае
является условие n ≡ 2 (mod p − 1), а во втором — n ≡ 2 (mod p2 − 1) или
n ≡ 2p (mod p2 − 1). В работе [12] приводится полный список найденных планарных мономов и доказано, что все они остаются планарными при бесконечном
множеств значений показателя n.
Планарные DO-полиномы тесно связаны с предполуполями, введенными Л.
Е. Диксоном в начале прошлого века. Конечное предполуполе — это кольцо
(не обязательно ассоциативное) без делителей нуля. Предполуполе с единицей
назывют полуполем. Если f — планарный DO-полином над P и
x ∗ y = f (x + y) − f (x) − f (y),
то алгебра (P, +, ∗) есть коммутативное предполуполе . Обратно, если (P, +, ∗)
— коммутативное предполуполе, то функция (x ∗ x)/2 есть планарный DOполином. Таким образом, задача построения новых планарных DO-полиномов
эквивалентна задаче построения новых коммутативных предполуполей.
С использованием этой связи, в ряде работ (см., [7], [8], [14] и др.) были
построены новые классы планарных полиномов и коммутативных полуполей.
s
k
k
2k+s
Так, например, в [14] доказано, что полином над Fpn F (x) = xp +1 −up −1 xp +p
является планарным, если n = 3k, (3, k) = 1, k − s ≡ 0 (mod 3), (s, n) = 1, s > 0,
n/t — нечетно, u — примитивный элемент поля. На этой основе были построены
новые коммутативные полуполя при p > 5 и нечетном k.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
19
В криптографических приложениях планарные отображения представляют
особый интерес не только в связи с их удаленностью от линейных отображений, но и с точки зрения перемешивания букв шифруемого алфавита. Одним
из условий хорошего перемешивания букв системой отображений вида G1 f G2
при фиксированных группах G1 , G2 и отображении f : G1 → G2 является 2транзитивность множества отображений G1 f G2 . Это множество (не обязательно подстановок) — 2-транзитивно, если для любых пар (a, b) ∈ G21 , (c, d) ∈ G22
при a ̸= b, c ̸= d существует g ∈ G1 f G2 такое, что ag = c, bg = d). В связи с
этим представляет интерес следующий новый критерий планарности.
Теорема 1. Пусть G1 , G2 конечные неединичные группы одного и того
же порядка и G, H — соответственно их правые регулярные представления.
Тогда функция f : G1 → G2 является планарной в том и только том случае,
когда множество отображений G1 f G2 2-транзитивно.
Заметим, что в теореме 1 отображение f не биективно, поскольку, как указано выше, при |G1 | биективных планарных отображений не существует.
Список цитированной литературы
[1] Амбросимов А. С. Свойства бент-функций q-значной логики над конечными полями // Дискретная Математика. 1994. Т. 6, № 3, С. 216–226.
[2] Глухов М. М. О числовых параметрах, связанных с заданием конечных
групп системами образующих элементов // Труды по дискретной математике. 1997. Т. 1. М.: изд-во "ТВП". С. 43–66.
[3] Логачев О. С., Сальников А. А., Ященко В. В. Бент-функции на конечной
абелевой группе // Дискретная Математика. 1997. Т. 9, № 4. С. 3–20.
[4] Кузьмин А. С., Нечаев А. А., Шишкин В. А. Бент- и гипербент-функции
над конечным полем // Труды по дискретной математике. 2007. Т. 10. М.:
изд-во "ФИЗМАТЛИТ". С. 97–122.
[5] Солодовников Виктор И. Бент-функции из конечной абелевой группы в
конечную абелеву группу // Дискретная Математика. 2002. Т. 14, № 1. С.
99–113.
[6] Токарева Н. Н.
бирск. 2012.
Симметричная криптография. Краткий курс. Новоси-
[7] Bierbrauer J.
New semifields, PN and APN functions // Des Codes,
Cryptography. 2010. Vol. 54, №3. P. 189–200.
[8] Budaghyan T., Helleseth T. New commutative semifields defined by PN
multinomials // Cryptography and communications. 2011. Vol. 3. P. 1–16.
20
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
[9] Counter R. S., Matthews R. W. Planar functions and planes of Lenz-Barlotti,
class II // Des Codes, Cryptography. 1997. Vol. 10. P. 167–184.
[10] Coulter R. S., Lazebnik F. On the classification of planar monomials over fields
of square order // Preprint submatted to Elsevier. 2011. P. 1–24.
[11] Dembowski and Ostrom Planes of order n with collineation groups of order n2
// Math. Z. 1968. Vol. 103.
[12] Hernando F., McGuire G., Monserrat F. On the classification of exceptionals
planar functions over Fp. // arXiv:1301.401v1, Januar 17, 2013.
[13] Nyberg K. Perfect non-linear S-boxes // EUROCRYPT -91. 1992. P. 378–386.
[14] Zha Z., Kyureghyan M., Wang X. Perfect nonlinear binomials and their
semifields"// Finite Fields and their Appl., 15. Proc. of SETA, LNCS. 2008.
Vol. 5203. P. 401–414.
Академия криптографии РФ
УДК 511.3
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
С. А. Гриценко, В. Н. Чубариков (г. Москва)
[email protected]
Перечислим несколько задач современной аналитической теории чисел.
Получение асимптотических формул и оценок для аддитивных проблем варинговского типа с дополнительными ограничениями на множество изменения
переменных, а также для диофантовых неравенств с простыми числами.
Новые оценки для числа нулей дзета-функции Римана и функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на критической прямой. Новые оценки количества
нулей дзета-функции Римана в критической полосе комплексной плоскости, лежащие правее критической прямой.
Получение асимптотических формул и оценок для среднего значения многомерной функции делителей. Новые результаты в проблеме делителей Дирихле.
Современное состояние аналитической теории чисел таково, что основное
внимание уделяется вопросам разрешимости различных аддитивных задач. Дополнительная информация о том, какую структуру имеет множество решений
крайне интересна. Этим определяется актуальность теории аддитивных задач
с ограничениями на множество значений переменных.
Задача изучения распределения простых чисел является одной из центральных в теории чисел. В частности большой интерес вызывает вопрос о том, насколько близко может подойти простое число к заданному большому числу.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
21
Существует ряд гипотез, однако разрыв между теми фактами, которые удается доказать строго, и гипотезами очень велик. Поэтому вопросы приближений
заданного числа простыми числами, их квадратами и др. актуальны.
Функция Дэвенпорта-Хейльбронна является простейшим рядом Дирихле,
удовлетворяющим функциональному уравнению риманова типа, для которого
гипотеза Римана неверна. Известно, тем не менее, что на критической прямой
лежит аномально много нулей этой функции. А. А. Карацуба высказал гипотезу
о том, что почти все нули функции Дэвенпорта-Хейльбронна лежат на критической прямой. В настоящее время эта гипотеза не доказана и не опровергнута.
Поэтому продвижение в направлении доказательства гипотезы А.А. Карацубы
является актуальным.
Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы
теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел. Важную роль среди этих направлений играют теоремы
о плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе. В течении последних десятилетий этой теме посвящено большое количество
научных статей.
Актуальность и значимость задач исследования асимптотических формул,
связанных с многомерной функцией делителей, подкрепляется связью со свойствами дзета-функции Римана, а именно, явным представлением дзета-функции Римана, возведенной в степень, через ряд Дирихле для многомерной функции делителей.
Список цитированной литературы
[1] Чубариков В. Н., О сумме характеров Дирихле от многочлена по приведенной системе вычетов //Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика. 2009.
№3. С. 32–35.
[2] Архипов Г. И., Авдеев Ф. С., Чубариков В. Н., О проблеме Варинга–Гольдбаха // Совр. пр. мат., мех. и прил., 2009. Т. 3, №1. С. 11–31.
[3] Чубариков В. Н., К проблеме Варинга–Гольдбаха // Докл. РАН. 2009. Т.
427, №1. С. 24–27
[4] Архипов Г. И., Чубариков В. Н., Об аддитивной проблеме И. М. Виноградова // Мат. заметки. 2010. Т. 88, вып. 3. С. 325-–339.
[5] Архипов Г. И., Чубариков В. Н., О мере "больших дуг"в разбиении Фарея
// Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4(40). С. 39–42.
[6] Чубариков В. Н., Кратные тригонометрические суммы // Чебышевский
сборник. 2011. Т. 12, вып. 4(40). С. 134–173.
22
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
[7] Чубариков В. Н., Многомерные проблемы теории простых чисел // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып.4(40). С. 174–263.
[8] Гриценко С. А. Об одной задаче А. А. Карацубы // Математические заметки. 2010. Т. 88, вып. 4
[9] Гриценко С. А. Об одной аддитивной задаче и ее приложении к проблеме
распределения нулей линейных комбинаций L -функций Гекке на критической прямой // Труды МИАН. 2012. Т. 276
[10] Гриценко С. А., Демидов Б. Д. О нулях линейных комбинаций специального вида функций, связанных с L-функциями Гекке мнимых квадратичных
полей, лежащих на коротких промежутках // Современные проблемы математики. 2013. Вып. 17. С. 164—178
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 512.
ПРОБЛЕМА ПОЛИА ДЛЯ ПЕРМАНЕНТА1
А. Э. Гутерман (г. Москва)
[email protected]
Доклад основан на работах [1, 2, 3].
Две важнейшие матричные функции: перманент и определитель, выглядят
очень похоже
∑
∑
det A =
(−1)σ a1σ(1) · · · anσ(n) and per A =
a1σ(1) · · · anσ(n) ,
σ∈Sn
σ∈Sn
здесь A = (aij ) ∈ Mn (F) — n × n матрица, и Sn — группа перестановок на
множестве {1, . . . , n}.
Если вычисление определителя может быть осуществлено за полиномиальное от размера матрицы время, сложность вычисления перманента, в частности,
существование полиномиальных алгоритмов, все еще остается открытым вопросом. По этой причине, начиная с работы Полиа [4], 1913 г., предпринимаются
активные попытки преобразовать матрицу таким образом, чтобы перманент
исходной матрицы равнялся определителю преобразованной (конвертировать
перманент в определитель).
Среди результатов работы следующая теорема:
Теорема 1. Пусть n > 3, F — конечное поле характеристики отличной
от двух. Тогда не существует биективных отображений T : Mn (F) → Mn (F)
и φ : F → F, удовлетворяющих условию
per A = φ(det T (A)).
1
Работа частично поддержана грантами РФФИ № 12-01-00140 и МД-962.2014.1
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
23
Также нами исследованы барьеры Гибсона (максимальное и минимальное
число ненулевых элементов) для знаково конвертируемых (0, 1)-матриц и решены различные связанные проблемы, в том числе найдены барьеры Гибсона
для симметрических матриц в случаях симметрической и слабой симметрической конвертаций.
Результаты работы будут проиллюстрированы рядом примеров.
Список цитированной литературы
[1] Budrevich M., Guterman A. Permanent has less zeros than determinant over
finite fields // American Mathematical Society, Contemporary Mathematics.
2012. Vol. 579. P. 33–42.
[2] Гутерман А. Э., Долинар Г., Кузма Б. Проблема Полиа о конвертируемости
для симметрических матриц // Математические заметки. 2012. Т. 92, №5.
С. 684–698.
[3] Dolinar G., Guterman A., Kuzma B., Orel M. On the P´olya’s permanent
problem over finite fields // European Journal of Combinatorics. 2011. Vol.
32. P. 116–132.
[4] P´olya G. Aufgabe 424 // Arch. Math. Phys.1913. Vol. 20, №3. P. 271.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 511.3
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОГО МЕТОДА
В ПРИБЛИЖЕННОМ АНАЛИЗЕ 1
Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский (г. Тула)
[email protected]
[email protected]
В работах [5]–[7] были очерчены контуры некоторых актуальных направлений дальнейшего развития теоретико-числового метода Коробова в приближенном анализе. Сейчас мы остановимся более подробно на нерешенных проблемах
теории гиперболической дзета-функции решёток, которая задаётся в правой полуплоскости α > 1 дзета рядом2
∑′
ζ(Λ|α) =
(x1 . . . xs )−α .
⃗
x∈Λ
1
2
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
∑′
Символ
означает, что из области суммирования исключается ⃗x = ⃗0.
24
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Проблема правильного порядка. Как известно ([4]), на классе алгебраических решёток достигается правильный порядок убывания гиперболической дзета-функции решёток при росте детерминанта решёток. Более того,
для этих решёток справедлива асимптотическая формула. Из непрерывности гиперболической дзета-функции на пространстве решёток следует, что
правильный порядок убывания гиперболической дзета-функции решёток
достижим на классе рациональных решёток. Действительно, достаточно
брать рациональные решётки из очень маленьких окрестностей алгебраических решёток. Возникает естественный вопрос, а на классе целочисленных решёток правильный порядок убывания достижим или нет? Если
достижим, то необходимо указать алгоритм построения таких оптимальных параллелепипедальных сеток, для которых будет правильный порядок погрешности приближенного интегрирования на классах Esα . Другими словами, в этом случае необходимо построить алгоритм вычисления
модуля N и оптимальных коэффициентов по модулю
( s−1N ,)для которых выполняется оценка ζ(Λ(1, a1 , . . . , as−1 ; N )|α) = O ln N α N , (α > 1). Если
такой порядок недостижим, то мы получим некоторый аналог теоремы
Лиувиля—Туэ—Зигеля—Рота ([10]) для алгебраических решёток, так как
отсутствие правильного порядка будет означать, что алгебраические решётки нельзя хорошо приближать целочисленными.
Проблема существования аналитического продолжения. Как показано
в [6], [7] существует аналитическое продолжение гиперболической дзетафункции произвольной декартовой решётки. Более того, для произвольной декартовой решётки получено функциональное уравнение, задающее
это аналитическое продолжение в явном виде ([6]). Естественно возникают
вопросы о существовании аналитического продолжения для гиперболической дзета-функции или явного вида этого продолжения в следующих
случаях:
для решёток С. М. Воронина Λ(F, q), где F — произвольное алгебраическое поле степени s над полем рациональных чисел Q, а q — простое натуральное число и целочисленная решётка Λ(F, q) соответствует идеалу L ⊂ ZF с нормой N (L) = q, если фундаментальная решётка Zs соответствует кольцу ZF целых алгебраических чисел поля F .
Сам С. М. Воронин вместе со своим учеником Н. Темиргалиевым
рассмотрел случай кольца целых гауссовых чисел и случай круговых
полей (см. [1], [2], [3], [9]). Это объясняется тем, что и квадратичное
поле гауссовых чисел, и круговые поля относятся к числу наиболее
изученных алгебраических полей. В частности, там имеются теоремы
об описании соответствующих идеалов и о распределении их норм
в арифметических прогрессиях, явно заданных алгебраическим полем.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
25
для решётки совместных приближений, определенной равенством
Λ(θ1 , . . . , θs ) = {(q, qθ1 − p1 , . . . , qθs − ps ) | q, p1 , . . . , ps ∈ Z}, где θ1 , . . .
. . . , θs — произвольные иррациональные числа. Важность таких решёток объясняется их непосредственной связью с проблемой Литлвуда. Легко видеть, что взаимная решётка Λ∗ (θ1 , . . . , θs ) имеет вид
Λ∗ (θ1 , . . . , θs ) = {(q−θ1 p1 −. . .−θs ps , p1 , . . . , ps ) | q, p1 , . . . , ps ∈ Z}. Естественно предполагать, что гиперболические дзета-функции этих решёток связаны некоторым функциональным уравнением между значениями в левой и правой полуплоскостях.
для алгебраической решётки Λ(t, F ) = tΛ(F ).
для произвольной решётки Λ. Если для произвольной решётки гиперболическая дзета-функция не продолжается на всю комплексную
плоскость (что весьма сомнительно), то требуется описать класс всех
решёток, для которых гиперболическая дзета-функция аналитически
продолжается на всю комплексную плоскость, кроме точки α = 1,
в которой полюс s-го порядка.
По-видимому, ключом к решению проблемы аналитического продолжения
является дальнейшее изучение возможности предельного перехода для гиперболических дзета-функций декартовых решёток в левой полуплоскости по сходящейся последовательности декартовых решёток. Если такой
предел всегда существует, то, переходя в функциональном уравнении слева и справа к пределу, получим функциональное уравнение для предельной решётки. Наиболее перспективно должно быть получение функционального уравнения только в терминах взаимных решёток, так как сходимость последовательности решёток эквивалентна сходимости соответствующих взаимных решёток. Здесь необходимо подчеркнуть, что основная
сложность должна быть в случае, когда предельная решётка недекартовая
и имеет тольку одну главную компоненту. Например, все алгебраические
решётки относятся к этому случаю.
Проблема поведения в критической полосе. На важность этой проблемы
указывал в беседах Н. М. Коробов. Он высказывал гипотезу, что аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решётки в критическую полосу из правой полуплоскости и аналитическое продолжение
в критическую полосу гиперболической дзета-функции взаимной решётки
или присоединённых решёток из левой полуплоскости позволит получать
константы в соответствующих теоремах переноса.
Проблема значений тригонометрических сумм сеток. Нормированные
тригонометрические суммы параллелепипедальных сеток имеют два значения: 0 и 1. Для нормированных тригонометрических сумм двумерных
26
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
сеток Смоляка таких значений три: 0, 1 и −1 (см. [8]).
( Для
) неравномерных
1
сеток имеется или хорошая равномерная оценка O √N , или они равны 1.
Очень важно получить оценки нормированных тригонометрических сумм
для алгебраических сеток. Если эти суммы имеют спектр значений, не сосредоточенный около точек 0 и 1, то алгебраические сетки нельзя хорошо
приблизить параллелепипедальными сетками, а алгебраические решётки
нельзя хорошо приблизить целочисленными решётками.
Список цитированной литературы
[1] Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. матем. 1994.
Т. 58, №5. С. 189–194.
[2] Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер.
матем. 1995. Т. 59, №4. С. 3–8.
[3] Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с
дивизорами поля гауссовых чисел // Математические заметки. 1989. Т. 46,
№2. С. 34–41.
[4] Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов. Тула: Изд-во Тул. гос. пед.
ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. — 283 с.
[5] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретикочислового метода в приближенном анализе // Ученые записки Орловского
государственного университета. Сер. Естественные, технические и медицинские науки. 2012. №6, часть 2. Алгебра и теория чисел: современные
проблемы и приложения: труды X международной конференции. С. 90–98.
[6] Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13,
вып. 4(44). С. 4–107.
[7] Dobrovolskaya L. P., Dobrovolsky M. N., Dobrovol’skii N. M., Dobrovolsky N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices // Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23–
62. doi: 10.1007/978-3-319-03146-0_2.
[8] Добровольский Н. Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 110–152.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
27
[9] Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных // Математический сборник. 1990. Т. 181, №4. С. 490–505.
[10] Фельдман Н. И. Приближение алгебраических чисел. М.: Изд-во Московского университета, 1981.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Тульский государственный университет
УДК 519.213.21
ДВУСТОРОННИЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ
БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ1
А. М. Зубков, А. А. Серов, М. В. Филина (г. Москва)
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Приводятся двусторонние неравенства для функции распределения биномиального закона, которые справедливы при любых значениях параметров и
являются в определенном смысле неулучшаемыми. Обсуждаются задачи, возникающие при попытке обобщения на полиномиальные распределения.
Биномиальные коэффициенты и их суммы (с теми или иными коэффициентами) возникают в различных задачах теории чисел, комбинаторики, теории
вероятностей и т. п. Существуют суммы биномиальных коэффициентов, значения которых представляются конечными формулами (не содержащими сумм
с большим числом слагаемых), однако в большинстве случаев для исследования асимптотического поведения и оценки таких сумм приходится использовать
предельные теоремы и неравенства.
Типичным общеизвестным примером являются суммы, представляющие функцию биномиального распределения:
Bn,p (x) =
∑[x]
k=0
Cnk pk (1 − p)n−k ,
0 < p < 1.
Приближенные формулы для Bn,p (x) обычно получают на основе классической
теоремы Муавра–Лапласа.
Теорема Муавра–Лапласа (Moivre(1730), Laplace(1812)). Если p =
const, то при любом фиксированном x ∈ (−∞, ∞)
∫ x
√
1
2
def
e−u /2 du.
lim Bn,p (np + x np(1 − p)) = Φ(x) = √
n→∞
2π −∞
1
Грант РФФИ № 14-01-00318
28
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Оценки точности аппроксимации в теореме Муавра–Лапласа дают неравенство Берри–Эссеена [1]
sup |Bn,p (np + x
x
√
3(1 − 2p(1 − p))
np(1 − p)) − Φ(x)| 6 √
np(1 − p)
и «неравномерные оценки» (см., например, [2])
√
C(p)
sup(1 + |x|3 )|Bn,p (np + x np(1 − p)) − Φ(x)| 6 √ .
n
x
√
Относительные погрешности аппроксимации Bn,p (np + x np(1 − p)) функцией Φ(x) невелики при ограниченных значениях x и становятся очень большими, когда |x| растет.
В 1984 г. была опубликована статья [3], в которой как побочный результат в трудно воспринимаемой форме содержались неравенства для Bn,p (k), названные авторами «грубыми». Доказательства в [3] запутанны и не полны, и
ссылок на [3] практически нет. Однако эти «грубые» неравенства используют
непрерывную функцию, значения которой в точках k и k + 1 являются нижней
и верхней оценками для Bn,p (k) при любых n, p, k; в этом смысле результат
близок к неулучшаемому. Явная формулировка и полное доказательство неравенств опубликованы в [4].
x
Положим H(x, p) = x ln xp +(1−x) ln 1−x
, sgn(x) = |x|
, если x ̸= 0, и sgn(0) = 0,
1−p
введем монотонно возрастающие по k последовательности:
Cn,p (0) = 0, Cn,p (n + 1) = 1,
(
)
(k
)√
(k )
Cn,p (k) = Φ sgn n − p
2nH n , p , 1 6 k 6 n.
Теорема 1. Если k = 0, 1, . . . , n и 0 < p < 1, то
Cn,p (k) < Bn,p (k) < Cn,p (k + 1).
Иначе говоря:
. . . < Bn,p (k − 1) < Cn,p (k) < Bn,p (k) < Cn,p (k + 1) < Bn,p (k + 1) < . . .
Обобщение этих неравенств на аналогичные суммы с полиномиальными коэффициентами является интересной задачей, представляющей интерес для построения статистических критериев.
(T )
(T )
Например, известно, что если (ν1 , . . . , νN ) — вектор частот (чисел появлений исходов 1, 2, . . . , N в T независимых испытаниях с вероятностями исходов
p1 , . . . , pN ), то при T → ∞ распределение статистики Пирсона
∑N
k=1
(T )
(νk
− T pk )2 ∑N (νk )2
=
−T
k=1 T pk
T pk
(T )
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
29
сходится к распределению хи-квадрат с N − 1 степенями свободы, что можно
представить в следующем виде: при T → ∞
∫ x N −1 −u/2
∑
du
u2 e
T!
mN
m1
p1 . . . pN → 0(N −1)/2 N −1 .
m1 ! . . . m N !
2
Γ( 2 )
m1 ,...,m >0
N
m1 +...+mN =T
2
2
m1 /(T p1 )+...mN /(T pN )6T +x
В случае, когда p1 = . . . = pn = N1 , речь идет о сумме полиномиальных коэффициентов по целым точкам в пересечении N -мерного шара и гиперплоскости.
Вычисление точных распределений статистики Пирсона (см. [5], [6]) показало, что разность между точной и предельной функциями распределения обладает специфическими устойчивыми свойствами, однако подходов к обоснованию
обнаруженных закономерностей пока не видно.
Список цитированной литературы
[1] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир,
1984. 752 с.
[2] Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987. 318 с.
[3] Alfers D., Dinges H. A normal approximation for Beta and Gamma tail
probabilities // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 1984. Vol. 65. P. 399–
420.
[4] Зубков А. М., Серов А. А. Полное доказательство универсальных неравенств для функции распределения биномиального закона // Теория вероятностей и ее применения. 2012. Т. 57, № 3. С. 597–602.
[5] Zubkov A. M., Filina M. V. Exact computation of Pearson statistics distribution
and some experimental results // Austrian J. Statist. 2008. Vol. 37, № 1. P. 129–
135.
[6] Zubkov A. M., Filina M. V. Tail properties of Pearson statistics distributions //
Austrian J. Statist. 2011. Vol. 40, № 1&2. P. 47–54.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
30
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
УДК 512.
ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНО-ОПРЕДЕЛЕННОЙ
НИЛЬ-ПОЛУГРУППЫ
И. А. Иванов, А. Я. Белов (г. Москва)
[email protected]
В свое время В. Н. Латышев поставил в Днестровской тетради вопрос: Существует ли конечно-определенное ненильпотентное ниль-кольцо? Этот вопрос
созвучен проблеме Л. Н. Шеврина "Существует ли конечно-определенная бесконечная ниль-полугруппа?" и является отражением концепции проблематике
контроля за соотношениями, построения разного рода конечно-определенных
монстров. Доклад посвящен решению проблемы Шеврина. Возможно, в будущем это поможет решить и проблему Латышева, и принести определенную
пользу в теории групп.
УМЦ г.Жуковского
МИОО, BIU
УДК 512.
СТАНДАРТНЫЕ БАЗИСЫ T -ИДЕАЛОВ
В. Н. Латышев (г. Москва)
[email protected]
Пусть M произвольный T -идеал в свободной ассоциативной алгебре над полем нулевой характеристики от счётного множества переменных, занумерованных натуральными числами. Переменные сравниваются по их индексам, а полилинейные слова (мономы) — лексико-графически. Известно, что идеал M
порождается своими полилинейными элементами. Скажем, что полилинейное
слово v "накрывает" полилинейное слово u, если существует изотонное отображение переменных на себя, при котором строка образов переменных из u
является подпоследовательностью в строке переменных v. В случае, когда u —
старший моном в полилинейном элементе из идеала M, то можно "редуцировать" слово v по модулю M. Таким образом, в множестве полилинейных элементов из M можно построить в понятном смысле стандартный базис, в частности,
редуцированный стандартный базис [1]. Высказывается гипотеза, что он конечен. В качестве "пробы пера" гипотеза подтверждается для T -идеала тождеств
верхне-треугольных матриц, T -идеала лиевой нильпотентности индекса 4, метабелева T -идеала [2], [3]. Вероятнее всего гипотеза может подтвердиться для
нематричных T -идеалов.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
31
Список цитированной литературы
[1] Латышев В. Н. Комбинаторные порождающие полилинейных полиномиальных тождеств // Фундаментальная и прикладная математика. 2006.
Т. 12, вып. 2. С. 101–110.
[2] Латышев В. Н. Стандартный базис Т-идеала полиномиальных тождеств
алгебры треугольных матриц // Фундаментальная и прикладная математика. 2011. Т. 16, вып. 3. С. 193–203.
[3] Латышев В. Н. Конечность стандартного базиса Т-идеала, содержащего
лиеву нильпотентность индекса 4 // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17, вып. 5. С. 75–85.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 511.3
A DISCRETE VERSION OF THE MISHOU THEOREM
A. Laurinˇcikas (Vilnius, Lithuania)
[email protected]
Let s = σ + it be a complex variable and α, 0 < α ≤ 1, be a fixed parameter.
As usual, denote by ζ(s) and ζ(s, α) the Riemann zeta- and Hurwitz zeta-functions,
respectively.
It is well known that the functions ζ(s) and ζ(s, α) with transcendental or
rational parameter α are universal in the Voronin sense, i. e., their shifts ζ(s + iτ )
and ζ(s + iτ, α), τ ∈ R, approximate any analytic function. H. Mishou in [3] proved
a joint universality theorem for the functions ζ(s) and ζ(s, α). Denote by K the
class of compact subsets of the strip D = {s ∈ C : 12 < σ < 1} with connected
complements, and let H0 (K) and H(K), K ∈ K, be the classes of continuous nonvanishing and continuous functions on K, respectively, which are analytic in the
interior of K. Moreover, let measA denote the Lebesgue measure of a measurable
set A ⊂ R. Then the Mishou theorem is the following statement.
Theorem 1. Let K1 , K2 ∈ K, and that f1 (s) ∈ H0 (K1 ) and f2 (s) ∈ H(K2 ). Let
the number α be transcendental.Then, for every ε > 0,
{
1
lim inf meas τ ∈ [0, T ] : sup |ζ(s + iτ ) − f1 (s)| < ε,
T →∞ T
s∈K1
}
sup |ζ(s + iτ, α) − f2 (s)| < ε > 0.
s∈K2
32
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
The latter theorem is of the so-called continuous type, in that theorem, for
approximation of analytic functions, the shifts ζ(s + iτ ) and ζ(s + iτ, α) when τ
varies continuously in the interval [0, T ] are used. However, for the functions ζ(s)
and ζ(s, α), also a discrete universality is known. In this case, for approximation
of analytic functions, discrete shifts ζ(s + ikh) and ζ(s + ikh, α), where h > 0 is a
fixed number and k ∈ N0 = N ∪ {0}, are used. More precisely, the following discrete
universality theorems are known.
Theorem 2. Let h > 0 be an arbitrary number. Suppose that K ∈ K and
f (s) ∈ H0 (K). Then, for every ε > 0,
{
}
1
lim inf
# 0 ≤ k ≤ N : sup |ζ(s + ikh) − f (s)| < ε > 0.
N →∞ N + 1
s∈K
Theorem 2 was obtained by A. Reich in [5], and by B. Bagchi [1] by a different
method.
Theorem 3. Suppose that the number α is transcendental or rational ̸= 1, 12 .
In the case of rational α, let the number h > 0 be arbitrary, while
{ 2πin} the case of
transcendental α, let the number h > 0 be such that the number exp h is rational.
Let K ∈ K and f (s) ∈ H(K). Then, for every ε > 0,
{
}
1
lim inf
# 0 ≤ m ≤ N : sup |ζ(s + imh, α) − f (s)| < ε > 0.
N →∞ N + 1
s∈K
Theorem 3 with rational parameter α, under slightly different hypothesis on the
set K, was proved in [1], and by a different method, in [6]. The case of transcendental
α follows from a discrete universality theorem for periodic Hurwitz zeta-function
obtained in [2].
Our aim is a discrete analogue of Theorem 1. Define the set
{
}
L(P, α, h) = (log p : p ∈ P), (log(m + α) : m ∈ N0 ), 2π
,
h
where P is the set of all prime numbers.
Theorem 4. Suppose that the set L(P, α, h) is linearly independent over the field
of rational numbers Q. Let K1 , K2 ∈ K, and f1 (s) ∈ H0 (K1 ), f2 (s) ∈ H(K2 ). Then,
for every ε > 0,
{
1
# 0 ≤ k ≤ N : sup |ζ(s + ikh) − f1 (s)| < ε,
lim inf
N →∞ N + 1
s∈K1
}
sup |ζ(s + ikh, α) − f2 (s)| < ε > 0.
s∈K2
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
33
For example, by the Nesterenko theorem [4], it is known that the numbers π
and eπ are algebraically independent over Q. Therefore, the set L(P, α, h) is linearly
independent over Q with α = π −1 and rational h.
The proof of Theorem 4 is based on a limit theorem on weakly convergent
probability measures in the space of analytic on D functions H(D) equipped with
the topology of uniform convergence on compacta. Let γ = {s ∈ C : |s| = 1} ,
∏
∏
Ω1 =
γp ,
and
Ω2 =
γm ,
p∈P
m∈N0
where γp = γ for p ∈ P, and γm = γ for m ∈ N0 and Ω = Ω1 × Ω2 . Then Ω is
a compact topological Abelian group. Therefore, on (Ω, B(Ω)), where B(S) stands
for the class of Borel sets of the space S, the probability Haar measure mH can
be defined. This gives the probability space (Ω, B(Ω), mH ). Denote by ω1 (p) the
projection of an element ω1 ∈ Ω1 , p ∈ P, by ω2 (m) the projection of an element ω2 ∈
Ω2 , m ∈ N0 , and denote the elements of Ω by ω = (ω1 , ω2 ). Now on the probability
space (Ω, B(Ω), mH ), define the H 2 (D)-valued random element ζ(s, α, ω1 , ω2 ) by the
formula
( (
)
)−1 ∑
∞
∏
ω1 (p)
ω2 (m)
ζ(s, α, ω1 , ω2 ) =
1−
,
,
ps
(m + α)s
m=0
p∈P
and denote by Pζ its distribution. Then we have the following theorem.
Theorem 5. Suppose that the set L(P, α, h) is linearly independent over Q. Then
the probability measure
1
# {0 ≤ k ≤ N : (ζ(s + ikh), ζ(s + ikh, α)) ∈ A} ,
N +1
A ∈ B(H 2 (D)),
converges weakly to Pζ as N → ∞.
REFERENCES
[1] Bagchi B. The statistical behaviour and universality properties of the Riemann
zeta-function and other allied Dirichlet series. Ph. D. Thesis. Calcutta: Indian
Statistical Institute, 1981.
[2] Laurinˇcikas A., Macaitien˙e R. The discrete universality of the periodic Hurwitz
zeta-function // Integral Transf. Spec. Funct. 2005. Vol. 10, №. 9-10. P. 673–686.
[3] Mishou H. The joint value distribution of the Riemann zeta-function and
Hurwitz zeta-functions // Lith. Math. J. 2007. Vol. 47, №. 1. P. 32–47.
[4] Nesterenko Yu. V. Modular functions and transcendence questions // Mat. Sb.
1996. V. 187, No. 9. P. 65–96. (in Russian) ≡ // Sb. Math. 1996. Vol. 187, №.
9. P. 1319–1348.
34
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
[5] Reich A. Wertverteilung von Zetafunktionen // Arch. Math. 1980. Vol. 34.
P. 440–451.
[6] Sander J., Steuding J. Joint universality for sums and products of Dirichlet
L-functions // Analysis (Munich). 2006. Vol. 26, №. 3. P. 295–312.
Vilnius University, faculty of Mathematics and Informatics
УДК 512.
ПРОБЛЕМА О БОЛЬШИХ АБЕЛЕВЫХ
ПОДГРУППАХ И ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА А. И.
МАЛЬЦЕВА
В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова (г. Красноярск)
[email protected]
Сибирский федеральный университет
УДК 511.335
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
ТРАНЗИТИВНЫХ АЛГЕБРОИДОВ ЛИ 1
А. С. Мищенко (г. Москва)
[email protected]
Под алгеброидом Ли мы будем понимать конечномерное векторное расслоение E → M над гладким многообразием M вместе с его гомоморфизмом a : E →
T M в касательное расслоение T M , называемым анкором, причем пространство
Γ∞ (E) гладких сечений снабжено дополнительной структурой, коммутаторной
скобкой {•, •}, которая удовлетворяет естественным свойствам структуры бесконечно мерной алгебры Ли, а также тождеству Ньютона-Лейбница по отношению к операции умножения сечения на гладкую функцию. Анкор при этом
индуцирует гомоморфизм алгебры Ли Γ∞ (E) в алгебру Ли Γ∞ (T M ) векторных полей на многообразии M . Примерами алгеброидов Ли служит само касательное расслоение T M , расслоение D(L) всех ковариантных дифференцирований гладких сечений Γ∞ (L) любого конечномерного векторного расслоения L
над гладким многообразием M , а также касательное расслоение произвольного
гладкого слоения F на многообразии M без особых точек. В случае, когда анкор
a является послойно сюръективным отображением, алгеброид Ли называется
транзитивным.
1
Грант РФФИ № 14-01-00007
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
35
Транзитивные алгеброиды Ли детально исследовались в книге К.Маккензи
[1]. В частности, там показано, что гладкие отображения многообразий порождают обратный образ (pullback) транзитивных алгеброидов Ли, который зависит только от гомотопического класса отображения. Из этого наблюдения вытекает, что классификация транзитивных алгеброидов Ли сводится к построению
финальных объектов для каждой фиксированной конечномерной алгебры Ли
g, присоединенной к транзитивному алгеброиду Ли, а сама классификация является гомотопической. И хотя это естественное наблюдение очевидно, само
построение финальных объектов до сих пор не было проведено.
Мы доказываем ([2], [3]), что гомотопическая классификация сводится к построению финального пространства в виде классифицирующего пространства
BG, где G есть группа Aut(g) всех автоморфизмов присоединенной алгебры Ли
g с более тонкой, чем классическая, топологией. Эта конструкция, в частности,
позволяет вычислять когомологическое препятствие Маккензи для существования транзитивного алгеброида Ли, которое оказывается во многих случаях тривиальным. Например, препятствие Маккензи является тривиальным для
любого односвязного многообразия.
Данная работа выполнена совместно с Ли Сяою (Китай) и Касимовым В.АМ. (Азербайджан).
Список цитированной литературы
[1] Mackenzie, K.C.H., General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids,
Cambridge University Press, 2005. 501 p.
[2] XiaoYu Li and A.S. Mishchenko, The existence of coupling in the category of
transitive lie algebroid, arXiv:1306.5449v2 [math.AT], 2013.
[3] XiaoYu Li and A.S. Mishchenko, Description of coupling in the category of
transitive Lie algebroids, arXiv: 1310.5824 [math.AT], 2013. P. 1–13
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 512.5
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГООБРАЗИЙ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР
С. П. Мищенко (г. Ульяновск)
[email protected]
В докладе будут представлены результаты с начала нового тысячелетия,
связанные с необычным поведением числовых характеристик многообразий алгебр. Основное внимание будет уделено основной числовой характеристики многообразия: росту многообразия. Характеристика основного поля предполагается раной нулю. Все необъясняемые понятия можно найти в [1].
36
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Когда речь идет о собственном многообразии V ассоциативных алгебр, то
хорошо известно, что последовательрность коразмерностей cn (V), n = 1, 2, . . . ,
асимптотически ведет себя либо как многочлен, либо как экспоненциальная
функция an , n = 1, 2, . . . , где a — неотрицательное целое число. В классе алгебр
Ли ситуация заметно разнообразнее. Рост коразмерностей может быть сверх
экспоненциальным, а в случае экспоненциального роста an , n = 1, 2, . . . , число
a может быть нецелым. Этот эффект проявляется даже для классических объектов. Например, как показано в работе [2], для многообразия, порожденного
алгеброй Ли векторных полей на плоскости, асимптотически, то есть начиная
с некоторого n, выполнены такие неравенства (13, 1)n 6 cn (V) 6 (13, 5)n .
В общем случае возникают еще более экзотические примеры поведения числовых характеристик. Мы ограничимся ситуацией, когда многообразие состоит
из левонильпотентных ступени два алгебр, то есть в многообразии выполняется
тождество
x(yz) ≡ 0.
(1)
Многообразие всех таких алгебр обозначим 2 N. Отметим, что из тождества (1)
следует, что во всех ненулевых произведениях скобки могут быть расставлены
только левонормированным образом, то есть так: (((x1 x2 )x3 ) . . . xn ).
Пусть V — многообразие алгебр, в которых выполнено тождество (1), а
F (V) — его относительно свободная алгебра счетного ранга, порожденная свободными образующими x1 , x2 , . . . . Обозначим через Pn (V) подпространство полилинейных элементов от x1 , . . . , xn в F (V), а через cn (V) = dim Pn (V) – его
размерность. Рост последовательности cn (V), n = 1, 2, . . . , определяет рост многообразия. Если существует такое число a, что для любого n выполняется неравенство cn (V) < an , то существуют нижний и верхний пределы
√
√
EXP(V) = limn→∞ n cn (A), EXP(V) = limn→∞ n cn (A),
которые называют нижней и верхней экспонентой многообразия V. Если существует обычный предел, то есть EXP(V) = EXP(V), то его называют просто
экспонентой многообразия V и обозначают EXP(V).
В статье [3] были построены примеры многообразий с любой экспонентой,
а в работе [4] построена серия многообразий, так называемого, промежуточного роста. Поясним, что многообразие V имеет промежуточный рост, если для
любых k > 0, a > 1 существуют такие константы C1 , C2 , что для любого n
выполняются неравенства
C1 nk < cn (V) < C2 an .
Отметим, что ни в классе ассоциативных алгебр, ни в классе алгебр Ли таких
многообразий не существует.
Теорема 1. (Джамбруно А., Зайцев М. В., Мищенко С. П.). Для любого
действительного числа α, α > 1, существует такое многообразие Vα ⊂ 2 N,
что EXP(Vα ) = α.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
37
Теорема 2. (Джамбруно А., Зайцев М. В., Мищенко С. П.). Для любого
действительного числа β, 0 < β < 1, существует такое многообразие Vβ ⊂
2 N, что
lim logn logn cn (Vβ ) = β,
n→∞
β
то есть последовательность cn (Vβ ) ведет себя, как nn , n = 1, 2, . . . .
Будем называть многообразие почти нильпотентным, если оно само не является нильпотентным, но каждое собственное его подмногообразие нильпотентно. Например, многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр и
многообразие всех метабелевых алгебр Ли являются почти нильпотентными.
Рост этих многообразий невелик. Более точно, в первом случае коразмерность
для любого n равна 1, а в случае метабелева многообразия алгебр Ли коразмерность равна n − 1. В классе алгебр с тождеством (1) ситуация оказалась другой.
Два года назад был найден пример почти нильпотентного многообразия со значительным ростом последовательности коразмерностей: с экспонентой два. А
годом позже было доказано, что существуют почти нильпотентные многообразия с любой целой экспонентой [5], [6].
Теорема 3. (Валенти А., Мищенко С.П., Шулежко А.В.). Для любого
целого m, m > 2, существует почти нильпотентное многообразие Vm ⊂ 2 N
экспоненты m, то есть EXP(Vm ) = m.
В прошлом году (см. [7]) построен пример многообразия, для которого верхняя и нижняя экспоненты различны.
Теорема 4. (Зайцев М.В.). Для любого вещественного α > 1 существует
такое многообразие Vα ⊂ 2 N, для которого
1 = EXP(Vα ) ̸= EXP(V) = α.
Необычные примеры найдены и среди многообразий полиномиального роста. Напомним, что в случае ассоциативных алгебр, алгебр Ли или йордановых
алгебр последовательность коразмерностей многообразия полиномиального роста асимптотически ведет себя обычно, то есть как Cnk , где k натуральное
число. В работе [8] впервые построены примеры многообразий с дробным полиномиальным ростам.
Теорема 5. (Зайцев М.В., Мищенко С.П.). В случае нулевой характеристики основного поля для любого вещественного 3 < α < 4 существует такое
многообразие линейных алгебр Vα ⊂ 2 N, что при достаточно больших n выполняется условие
C1 nα < cn (Vα ) < C2 nα ,
где C1 , C2 – некоторые положительные константы.
38
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Список цитированной литературы
[1] Giambruno A. and Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods.
Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122, AMS, Providence, RI, 2005.
[2] Мищенко С. C. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2011, № 6. С. 44–47.
[3] Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Codimensions of Algebras and Growth
Functions // Advances of mathematics. 2008. Vol. 217. P. 1027–1052.
[4] Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Algebras with intermediate growth
of the codimensions// Adv. in Appl. Math. Vol. 37 (2006). № 3. P. 360–377.
[5] Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Israel
Journal of Mathematics, 2014. Article in Press.
[6] Мищенко С. П., Шулежко О. В. Почти нильпотентные многообразия любой
целой экспоненты // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2014. В печати.
[7] Зайцев М. В. Существование PI-экспонент роста тождеств // Мальцевские
чтения: международная конференция, 11-15 ноября 2013 г.– Новосибирск,
2013. С. 130. (http://math.nsc.ru/conference/malmeet/13/maltsev13.pdf)
[8] Зайцев М. В., Мищенко С. П. Пример многообразия линейных алгебр с
дробным полиномиальным ростом // Вестник Московского университета.
Серия 1. Математика и механика. 2008, № 1. С. 25–31.
Ульяновский государственный университет
УДК 511.36
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АЛГЕБРА И
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА
Ю. В. Нестеренко (г. Москва)
[email protected]
В докладе будет дан обзор взаимовлияния указанных в названии разделов
алгебры и теории чисел. Будет рассказано о том как в попытках решения проблем теории трансцендентных чисел возникали и решались некоторые задачи
дифференциальной алгебры, как ответы, полученные в рамках дифференциальной алгебры, оказывали решающее воздействие на формирование подходов
к решению задач из теории трансцендентных чисел.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
39
RELATIVE GROWTH OF SUBGROUPS IN FINITELY
GENERATED GROUPS
A. Yu. Olshanskii (Vanderbilt, USA)
[email protected]
Vanderbilt University
УДК 512.75
ДВУМЕРНЫЙ СИМВОЛ КОНТУ-КАРРЕРЕ И
ЗАКОНЫ ВЗАИМНОСТИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЯХ1
Д. В. Осипов (г. Москва)
[email protected]
Пусть X — гладкая алгебраическая поверхность над совершенным полем k.
По любой точке x ∈ X и неприводимой кривой C ⊂ X, такой что x ∈ C, канонически строится артиново кольцо Kx,C , которое есть конечное произведение
двумерных локальных полей. Если точка x — гладкая точка на кривой C, то
кольцо Kx,C изоморфно двумерному локальному полю k(x)((u))((t).
Пусть ω ∈ Ω2k(X)/k . Для любой вышеописанной пары x ∈ C определен двумерный вычет Паршина resx,C : Ω2k(X)/k → k(x). Выполнены законы взаимности
Паршина, [1]:
1. Зафиксируем точку x ∈ X, тогда в следующей сумме только конечное
число слагаемых отлично от нуля и
∑
Trk(x)/k ◦ resx,C (ω) = 0.
C∋x
2. Зафиксируем неприводимую кривую C ⊂ X, тогда в следующей сумме
только конечное число слагаемых отлично от нуля и
∑
Trk(x)/k ◦ resx,C (ω) = 0.
x∈C
Аналогичные, мультипликативные, законы взаимности выполнены для двумерных ручных символов (в композиции с отображениями норм), примененных
для каждой пары x ∈ C к фиксированным трем элементам из группы k(X)∗ .
Здесь двумерный ручной символ — это отображение из группы
M
K3 (k(x)((u))((t))) в группу k(x)∗ , являющееся композицией граничных отображений в K-теории Милнора.
1
при частичной поддержке грантами РФФИ № 14-01-00178-a и № 13-01-12420 офи_м2,
грантом НШ-2998.2014.1
40
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Двумерный символ Конту-Каррере был определен в [2] для любого коммутативного кольца R, как некоторое (функториальное по R) отображение:
(·, ·, ·) : R((u))((t))∗ × R((u))((t))∗ × R((u))((t))∗ −→ R∗ .
Если кольцо R есть поле, то двумерный символ Конту-Каррере совпадает двумерным ручным символом. Если R = L[ϵ/ϵ4 ], где L — поле, то для любых
элементов f, g, h из L((u))((t)) выполнено:
(1 + ϵf, 1 + ϵg, 1 + ϵg) = 1 + ϵ3 res(f dg ∧ dh),
где res — вычет Паршина, который есть отображение из пространства
Ω2L((u))((t))/L в поле L.
Следующие законы взаимности для двумерного символа Конту-Каррере были доказаны в [2].
Теорема 1. Пусть R — локальная конечная k-алгебра. Пусть элементы
f, g, h будут из группы (k(X) ⊗k R)∗ .
1. Зафиксируем точку x ∈ X, тогда в следующем произведении только конечное число сомножителей отлично от единицы и
∏
Nmk(x)/k (f, g, h)x,C = 1.
C∋x
2. Зафиксируем неприводимую кривую C ⊂ X, тогда в следующем произведении только конечное число сомножителей отлично от единицы и
∏
Nmk(x)/k (f, g, h)x,C = 1.
x∈C
Здесь (·, ·, ·)x,C — двумерный символ Конту-Каррере, определенный на группе ((Kx,C ⊗k R)∗ )3 , так как кольцо Kx,C ⊗k R есть конечное произведение колец
вида (k ′ ⊗k R)((u))((t)).
Эта теорема доказывается при помощи (альтернативного) определения двумерного символа Конту-Каррере как обобщенного коммутатора в некотором
категорном центральном расширении группы R((u))((t))∗ . Такие категорные
центральные расширения и коммутаторы в них изучались в [3].
Отметим также, что если основное поле k конечно, то рассматривая для
различных n локальные k-алгебры R = k[s]/sn , из двумерного символа КонтуКаррере можно получить многомерные аналоги символов Витта, которые были
использованы А. Н. Паршиным и К. Като для построения двумерной теории
полей классов, см. [2].
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
41
Список цитированной литературы
[1] Паршин А. Н. К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты
// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 4. C. 736–773.
[2] Osipov Denis, Zhu Xinwen Two-dimensional Contou-Carr`ere symbol and
reciprocity laws // e-print arXiv:1305.6032 [math.AG], 2013.
[3] Osipov Denis, Zhu Xinwen A categorical proof of the Parshin reciprocity laws on
algebraic surfaces // Algebra & Number Theory. 2011. Vol. 5, № 3. P. 289–337.
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, отдел алгебры и теории
чисел
УДК 512.
ТЕОРИЯ СУПЕРХАРАКТЕРОВ КОНЕЧНЫХ ГРУПП1
А. Н. Панов (г. Самара)
[email protected]
Основной задачей теории представлений конечных групп является задача
классификации ее неприводимых представлений. Однако оказывается, что для
некоторых групп эта задача является чрезвычайно трудной, "дикой" задачей.
К такого сорта группам относятся унитреугольная группа, максимальные унипотентные (борелевские и параболические) подгруппы в полупростых группах
лиевского над конечным полем. В работе [1] П. Диаконис и И. М. Айзекс предложили заменить задачу классификации неприводимых представлений построения так называемой теорией суперхарактеров.
Рассмотрим набор характеров (представлений) χ1 (g), . . . , χs группы G и систему подмножеств K1 , . . . , Ks в группе G. Говорят, что эти два набора задают
на группе теорию суперхарактеров (в этом случае будем называть характеры χi – суперхарактерами, а Ki – суперклассами), если выполнены следующие
условия:
1) всякий неприводимый характер является входит в разложение в точности
одного суперхарактера;
2) суперхарактеры постоянны на суперклассах;
3) подмножество {e} является суперклассом. Таблица, составленная из значений суперхарактеров на суперклассах, называется таблицей суперхарактеров.
Многие классические теоремы теории характеров конечных групп переносятся на суперхарактеры. Теория суперхарактеров активно развивается рядом
математиков в разных странах (П. Диаконис, И. М. Айзекс, К. Андре, А. Нето,
Н. Ян, Е. Марберг и др.). В настоящее время содержательные теории суперхарактеров построены для унитреугольной группы [2], для силовских подгруппв
1
Гранты РФФИ № 12-01-00070, 12-01-00137, 14-01-97017р-поволжье
42
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ортогональной и симплектической группах [3], для алгебра групп [1]. В докладе будет сделан обзор по последним результатам, приложениям и проблемам в
теории суперхарактеров.
Список цитированной литературы
[1] Diaconis P., Isaacs I.M., Supercharacters and superоclasses for algebra groups
// Trans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 360. P. 2359–2392.
[2] C. A. M. Andr´e, Hecke algebra for the basic representations of the unitriangular
group // Proc. Amer. Math. Soc., 2003. Vol. 132, №4. P. 987–996.
[3] C. A. M. Andr´e, A.M.Neto. Supercharacters for Sylov p-subgroups of the finite
symplectic and orthogonal groups // Pacific J. Math. 2009. Vol. 239, №2. P.
201–230.
Самарский государственный университет, мех-мат, кафедра алгебры и геометрии
УДК 511.3
КОРОТКИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ С
ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
З. Х. Рахмонов (г. Душанбе, Республика Таджикистан)
[email protected]
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одной из проблем является распределение дробных частей {αp}, в которой он получил намного более точную оценку тригонометрической суммы, чем в
общем случае распределения дробных частей {f (p)}, где f (x) = αn xn +. . .+α1 x.
Он [1, 2] доказал: пусть K – целое, K 6 N , α–вещественное,
α=
a
θ
+ 2,
q q
(a, q) = 1,
0 < q < N.
Тогда будем иметь
(√
)
K ∑
∑
q
1
1+ε
0,2
+
+N
.
e(αkp) ≪ KN
q N
k=1 p6N
Доклад посвящен изучению распределения дробных частей {αp} при условии, что p принимает значения из коротких интервалов.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
43
Теорема 1. Пусть K, H, N и q – натуральные числа, K 6 H, A – абсолютная постоянная, L = ln N q, α–вещественное и
α=
a
θ
+ 2,
q q
(a, q) = 1,
L 4A+20 6 q 6
KH 2 −4A−20
L
.
N
2
Тогда при H ≫ N 3 L 4A+16 справедлива оценка
K ∑
KH
∑
.
Λ(n)e(αkn) ≪
LA
k=1 N −H<n6N
Список цитированной литературы
[1] Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм.
М.: Наука, 1976.
[2] Виноградов И. М., Карацуба А. А. Метод тригонометрических сумм
в теории чисел // Труды МИАН СССР. 1984. Т. 168. С. 4 – 30.
Институт математики АН Республики Таджикистан
УДК 512.541
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ КОНЕЧНОГО
РАНГА
А. А. Фомин (г. Москва)
[email protected]
Одним из центральных вопросов в теории абелевых групп без кручения конечного ранга является вопрос о способе задания таких групп. Этому вопросу
посвящена обширная литература, отметим классические работы Л. С. Понтрягина [1], А. И. Мальцева [2], А. Г. Куроша [3], Ф. Леви [4], Р. Бэра [5], Д. Дэрри
[6], Р. Бьюмонта и Р. Пирса [7,8]. Вопрос, как лучше задать абелеву группу без
кручения конечного ранга, остается актуальным и по сей день ввиду большой
сложности этого класса групп.
В последние годы предпочтение отдавалось исследованям групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма. В работе [9] было введено понятие смешанной факторно делимой группы, обобщающее классическое
понятие факторно делимой группы без кручения конечного ранга, принадлежащее Бьюмонту и Пирсу [8].
Абелева группа A называется факторно делимой, если она содержит свободную подгруппу F конечного ранга, такую, что факторгруппа A/F является
44
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
делимой периодической группой, при этом сама группа A не содержит ненулевых делимых периодических подгрупп. Свободный базис группы F называется
базисом факторно делимой группы A.
В той же работе [9] было показано, что категория QD всех смешанных факторно делимых групп с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов является
двойственной категории QT F всех групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов.
В работах [10,11,12] приводится способ одновременного задания двух взаимно двойственных групп, смешанной факторно делимой группы и группы без
кручения конечного ранга, при помощи конечных последовательностей элементов конечно представимых модулей над кольцом полиадических чисел. Этот
способ состоит в следующем.
∏
b =
b p колец целых p-адических чисел по всем простым
Произведение Z
Z
p
числам p называется кольцом
полиадических чисел.
∏
b
Пусть α = (αp ) ∈
Zp - некоторое полиадическое число. Обозначим чеp
рез mp максимальную степень простого числа p такую, что pmp делит целое pb p , mp = ∞ ⇔ αp = 0. Характеристика char(α) =
адическое число αp в кольце Z
(mp ) называется характеристикой полиадического числа α. Полиадическое чисb тогда и только тогда, когда
ло α делит полиадическое чило β в кольце Z
char(α) ≤ char(β).
b является главКаждый конечно порожденный идеал ⟨α1 , . . . , αn ⟩Zb кольца Z
ным, то есть порождается одним элементом ⟨α1 , . . . , αn ⟩Zb = ⟨α⟩Zb , где α - наибольший общий делитель полиадических чисел α1 , . . . , αn . Этот идеал имеет вид
b
b
Iχ = {γ
∏∈ Z | char(γ) ≥ χ}, где χ = char(α). Фактор-кольцо Zχ = Z/Iχ имеет вид
b p , если mp = ∞, χ = (mp ).
Zχ =
Kp , где Kp = Zpmp , если mp < ∞, или Kp = Z
p
b
Кольцо Zχ также является циклическим Z-модулем.
Пусть R - некоторое кольцо. R-модуль M называется конечно представимым, если существует точная последовательность гомоморфизмов
Rn → Rk → M → 0
для некоторых натуральных чисел n и k.
b
Имеют место следующие две теоремы о конечно представимых Z-модулях,
см. [13] или [14].
b
Теорема A. Z-модуль
⊕ M⊕является конечно представимым тогда и только
тогда, когда M ∼
. . . Zχn для некоторых характеристик χ1 , . . . , χn .
= Zχ1
Вообще говоря, последовательность характеристик χ1 , . . . , χn в Теореме A
не является однозначно определенной для модуля M . Однако для любого модуля M существует последовательность χ1 , . . . , χn , дополнительно удовлетворяющая условию χ1 ≥ . . . ≥ χn . Убывающая последовательность χ1 ≥ . . . ≥ χn уже
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
45
определена однозначно модулем M , она называется обобщенной характеристиb
кой конечно представимого Z-модуля
M.
Теорема B. Пусть N конечно порожденный подмодуль конечно предстаb
вимого Z-модуля
M . Тогда оба модуля N и M/N являются конечно представимыми.
Теперь мы можем определить категорию последовательностей S. Объектом
категории S является любая последовательность элементов a1 , . . . , an любого
b Поконечно представимого модуля M над кольцом полиадических чисел Z.
рядок расположения элементов в последовательности существенен, повторения
возможны.
Морфизмами из объекта a1 , . . . , an в объект b1 , . . . , bk являются пары (φ, T ),
b
b
где φ : ⟨a1 , . . . , an ⟩Zb → ⟨b1 , . . . , bk ⟩Zb является Z-модульным
гомоморфизмом Zмодулей, порожденных данными множествами элементов, и T - матрица размера k × n с целыми элементами, для которой выполняется следующее матричное
равенство
(φa1 , . . . , φan ) = (b1 , . . . , bk )T.
То есть φ(ai ) = t1i b1 + . . . + tki bk , i = 1, . . . n, T = ∥tij ∥.
Композиция двух морфизмов
(φ,T )
(ψ,S)
a1 , . . . , an −→ b1 , . . . , bk −→ c1 , . . . , cm
определяется следующим образом (ψ, S)(φ, T ) = (ψφ, ST ).
Объекты категории S представляют собой термины, которыми описываются
объекты следующих двух категорий групп. Объектами категории D являются
все смешанные факторно делимые группы с выделенными базисами. Объектами категории T F являются все группы без кручения конечного ранга с выделенными базисами (максимальными линейно независимыми системами элементов). Морфизмами в обеих категориях D и T F служат обычные гомоморфизмы
групп, матрицы которых относительно выделенных базисов состоят из целых
чисел. Главным результатом является следующая теорема.
Теорема 1. Имеет место коммутативная диаграмма из шести функторов
TF
↗↙
S
←→
↘↖
D
При этом, функторы T F ↔ S и T F ↔ D являются двойственностями, а
S ↔ D — эквивалентность.
46
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
В работах [11,12] приводится ряд примеров применения этой теоремы для
групп из известных классов. В частности в [11] этот подход применяется к почти
вполне разложимым группам для анализа известного примера А. Л. С. Корнера
[15] группы c аномальными прямыми разложениями.
Интересно отметить следующее. Пусть a1 , . . . , an - последовательность элеb
ментов некоторого конечно представимого Z-модуля
M , т.е. объект категории S.
Выбирая прямое разложение модуля M согласно Теореме А, элементы a1 , . . . , an
можно представить в виде столбцов "обобщенных"чисел, т.е. элементов колец
вида Zχ . Тогда мы получаем некоторую матрицу. Оказалось, что p-компоненты
этой матрицы являются матрицами, которые А. И. Мальцев использовал в своей работе [2], так называемые совершенные матрицы в его терминологии. Таким
образом, двойственность T F ↔ S фактически является описанием Мальцева
[2]. Двойственность T F ↔ D есть модификация двойственности QT F ↔ QD
[9]. Что касается p-примитивных групп без кручения А. Г. Куроша [3], то они к
тому же еще являются и факторно делимыми группами, поэтому эквивалентность S ↔ D можно рассматривать как обобщение теоремы Куроша [3].
Все эти соображения привели к возрождению нового интереса к статье А.
И. Мальцева [2]. Так недавно Ю. В. Костромина [16,17] вычислила матрицы
Мальцева двойственных в смысле Уорфилда [18] групп в классе локально свободных групп, а также двойственных в смысле Арнольда [19] групп в классе
факторно делимых групп без кручения.
Список цитированной литературы
[1] L. S. Pontryagin, The theory of topological commutative groups, Ann. of Math.,
13 (1934), 361-388.
[2] А. И. Мальцев Абелевы группы конечного ранга без кручения // Математический сборник. 1938. Т. 4(46), №1. С. 45–68.
[3] A. G. Kurosh, Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen von endlichen Range,
Ann. of Math., 38 (1937), 175-203.
[4] F. Levi, Abelsche Gruppen mit abzahlbaren Elementen, Habilitationsschrift,
Leipzig, 1917.
[5] R. Baer, Abelian groups without elements of finite order, Duke Math. J., 3
(1937), 68–122.
[6] D. Derry, Ueber eine Klasse von abelschen Gruppen, Proc, London Math, Soc.,
43 (1937), 490–506.
[7] R. Beaumont and R. Pierce, Torsion free groups of rank two, Mem. Amer.
Math. Soc., 38 (1961).
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
47
[8] R. Beaumont and R. Pierce, Torsion free rings, Ill. J. Math., 5 (1961), 61–98.
[9] A. A. Fomin and W.J. Wickless. Quotient divisible abelian groups, Proc.
A.M.S.. Vol. 126, no. 1, 1998, 45–52.
[10] А. А. Фомин, Категория матриц, представляющая две категории абелевых
групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, вып. 3.
С. 223—244.
[11] A. A. Fomin, Quotient divisible and almost completely decomposable groups,
in: Models, Modules and Abelian Groups in Memory of A. L. S. Corner, de
Gruyter, Berlin - New York, 2008. P. 147–168.
[12] A. Fomin, Invariants for Abelian groups and dual exact sequences, J. Algebra.
Vol. 322 (2009), №7. P. 2544–2565.
[13] A. A. Fomin, Finitely presented modules over the ring of universal numbers //
Contemp. Math., 171 (1995). P. 109–120.
[14] А. А. Фомин Числовые кольца и модули над ними. М.: МПГУ, Прометей,
70 с.
[15] A. L. S. Corner, A note on rank and direct decomposition of torsion-free abelian
groups, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57 (1961), P. 230–233; 66 (1969), P. 239240.
[16] Ю. В. Костромина Двойственность Уорфилда и матрицы Мальцева //
Фундаментальная и прикладная математика. 2011/2012. Т. 17, вып. 7. С.
77–94.
[17] Ю. В. Костромина, Двойственность Арнольда и матрицы Мальцева //
Вестник Томского государственного университета. 2012. Т. 18, вып. 2. С.
23–28.
[18] R.B. Warfield, Homomorphisms and duality for torsion-free groups, Math. Z.,
107, 1968, 189–200.
[19] D.M. Arnold , A duality for quotient divisible abelian groups of finite rank,
Pacific J. Math., 42 (1972), 11-15.
Московский педагогический государственный университет
УДК 511.34
СВОЙСТВА ПОЛИАДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ И
ПОЛИАДИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ
В. Г. Чирский (г. Москва)
[email protected]
48
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Кольцо целых полиадических чисел представляет собой прямое произведение
колец целых p–адических чисел по всем простым числам p. Его элементы имеют
каноническое представление вида
∞
∑
an · n!, 0 6 an 6 n.
n=1
Кольцо полиадических чисел введено Х. Прюфером и исследовалось в работах
А. Г. Постникова и Е. В. Новоселова. Автор, используя введенное Э. Бомбьери
понятие глобального соотношения, исследовал арифметические свойства рядов,
подобных приведенным выше.
В докладе представлены результаты, полученные автором и другими исследователями относительно свойств рядов такого типа и так называемых полиадических представлений натуральных чисел.
Список цитированной литературы
[1] В. Г. Чирский, В. Ю. Матвеев О представлениях натуральных чисел //
Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 1(45). С. 75–85.
[2] В. Г. Чирский, Р. Ф. Шакиров О представлении натуральных чисел с
использованием нескольких оснований // Чебышевский сборник. 2013. Т.
14, вып. 1(45). С. 86–93.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
1
49
Группы
Доклады данной секции отражают новые результаты в теории групп, относящиеся:
— к конечным группам и представлениям;
— к абелевым группам;
— к бесконечным группам различных классов (нильпотентным, разрешимым);
— к комбинаторной теории групп;
— к теории многообразий групп.
УДК 512.543
НЕКОТОРЫЕ АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП КОНЕЧНОГО РАНГА
Д. Н. Азаров (г. Иваново)
[email protected]
Пусть K — абстрактный класс групп. Напомним, что группа G называется
аппроксимируемой группами из класса K (или, короче, K-аппроксимируемой),
если для любого неединичного элемента a группы G существует гомоморфизм
группы G на некоторую группу из класса K, при котором образ элемента a
отличен от 1. Группа G называется почти аппроксимируемой классом K, если
она содержит K-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса.
Если F обозначает класс всех конечных групп, то понятие F-аппроксимируемости совпадает с классическим понятием финитной аппроксимируемости. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучается также более тонкое свойство
Fπ -аппроксимируемости, где π — некоторое множество простых чисел, Fπ —
класс всех конечных π-групп. Если множество π состоит из одного простого
числа p, то класс Fπ совпадает с классом Fp всех конечных p-групп.
Еще более тонким свойством является π-примарная аппроксимируемость
(термин предложен Д. И. Молдаванским), т. е. аппроксимируемость классом
K=
∪
Fp .
p∈π
В 1952 году К. Гирш доказал, что любая полициклическая группа финитно аппроксимируема. Этот результат был усилен сначала в работе Лернера [1],
а затем в работе А. Л. Шмелькина [2]. Лернером доказано, что для каждой
полициклической группы G существует конечное множество π простых чисел
такое, что группа G Fπ -аппроксимируема, а в работе А. Л. Шмелькина доказана почти Fp -аппроксимируемость произвольной полициклической группы для
50
Секция 1
любого простого p. Заметим, что вопрос об Fp -аппроксимируемости полициклических групп исследован только в некоторых частных случаях.
Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие
разрешимой группы конечного ранга. Напомним, что группа G называется
группой конечного ранга (или, в другой терминологии, группой конечного ранга Прюфера), если существует целое положительное число r такое, что любая
конечно порожденная подгруппа группы G порождается не более чем r элементами.
Элемент a группы G называется полным, если для любого целого положительного числа n уравнение xn = a разрешимо в группе G. Группа G называется
полной, если все ее элементы являются полными. Группа G называется редуцированной, если она не содержит нетривиальных полных подгрупп.
Очевидно, что любая финитно аппроксимируемая группа является редуцированной. С другой стороны Д. Робинсон доказал, что если разрешимая группа
конечного ранга является редуцированной, то она финитно аппроксимируема
(см., напр., [3], п. 5.3.2).
Вопрос об Fπ -аппроксимируемости разрешимой группы конечного ранга для
подходящего конечного множества π простых чисел решается следующей теоремой.
Теорема 1. .Разрешимая группа конечного ранга Fπ -аппроксимируема для
некоторого конечного множества π простых чисел тогда и только тогда,
когда она является редуцированной FATR–группой.
Следуя Д. Робинсону, мы называем разрешимую группу FATR–группой
(группой с конечными абелевыми тотальными рангами), если в ней существует конечный субнормальный ряд, каждый фактор которого является или циклической группой, или квазициклической группой, или группой, вложимой в
аддитивную группу рациональных чисел.
Достаточность в теореме 1 установлена Д. Робинсоном (см., напр., [3], п.
5.3.8), а необходимость доказана автором настоящих тезисов. Кроме того, для
разрешимых групп конечного ранга, удовлетворяющих условиям теоремы 1,
удалось доказать следующее более тонкое свойство.
Теорема 2. . Если разрешимая группа конечного ранга Fπ -аппроксимируема для некоторого конечного множества π простых чисел, то она почти
π-примарно аппроксимируема.
Заметим еще, что для фиксированного конечного множества π простых чисел мы не располагаем критерием Fπ -аппроксимируемости разрешимой группы
конечного ранга, но тем не менее удается доказать следующий критерий почти
Fπ -аппроксимируемости.
Теорема 3. . Пусть π — конечное множество простых чисел. Разрешимая группа конечного ранга почти Fπ -аппроксимируема тогда и только тогда,
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
51
когда она является редуцированной FATR-группой и не содержит π-полных
элементов бесконечного порядка.
Элемент a группы G называется π-полным, если для любого целого положительного π-числа n уравнение xn = a разрешимо в группе G.
Непосредственным следствием теоремы 3 является упомянутый выше результат А. Л. Шмелькина о почти Fp -аппроксимируемости произвольной полициклической группы для каждого простого числа p.
Важным примером разрешимой группы конечного ранга является группа
Gn = (a, b; b−1 ab = an ),
где n — целое неотрицательное число. Эта группа принадлежит хорошо известному классу групп Баумслага — Солитэра и является финитно аппроксимируемой. Очевидно, что подгруппа H группы Gn , порожденная всеми элементами
b−k abk , где k — целое число, изоморфна группе Qn n–ичных дробей, а фактор–
группа группы Gn по подгруппе H является бесконечной циклической. Поэтому
Gn — редуцированная разрешимая FATR-группа без кручения. Пусть теперь π
— некоторое (не обязательно конечное) множество простых чисел. Если все числа из π делят n, то все элементы из H ∼
= Qn являются π-полными, и в этом
случае в силу теоремы 3 группа Gn не является почти Fπ -аппроксимируемой.
Если же некоторое простое число p из π не делит n, то в группе Gn очевидно нет
неединичных p-полных элементов и тогда в силу теоремы 3 группа Gn почти
Fp -аппроксимируема, и следовательно она почти Fπ -аппроксимируема. Таким
образом, из теоремы 3 вытекает следующее утверждение.
Пусть π — произвольное непустое множество простых чисел. Группа Gn
почти Fπ -аппроксимируема тогда и только тогда, когда множество π не содержится в множестве всех делителей числа n.
Список цитированной литературы
[1] Learner A. Residual properties of polycyclic groups // J. Math. 1984. Vol. 8.
P. 536–542.
[2] Шмелькин А. Л. Полициклические группы // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9.
С. 234–235.
[3] Lennox J., Robinson D. The theory of infinite soluble groups. Oxford.:
Clarendon press, 2004. 344 p.
Ивановский Государственный Университет
52
Секция 1
УДК 519.4
РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В
КРАШЕНЫХ ПОДГРУППАХ ГРУППП АРТИНА С
ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ
В. Н. Безверхний, В. А. Гринблат (г. Москва)
[email protected]
Группа Артина G, заданная системой образующих {ai }, i ∈ I, |I| < ∞ и
соотношениями ⟨ai , aj ⟩mij = ⟨aj , ai ⟩mji , где ⟨ai , aj ⟩mij = ai , aj ai , aj ..., слово стоящее справа состоит из mij чередующихся букв ai , aj ,mij - элемент матрицы
Кокстера M = (ai , aj )i,j∈I , соответствующей данной группе G, причем ∀i = I
,mii = 1, ∀i, j = I, i ̸= j ,mij = mji , mij ≥ 2.
Добавляя к соотношениям группы Артина G соотношения: ∀i ∈ I, a2i = 1,
получим копредставляния группы Кокстера G .
Каждой конечно порожденной группе Артина G соответствует конечный
граф Γ0 , вершинам vi , i ∈ I , которого соответствует образующий ai группы G, а
ребру e, соединяющему вершины vi и uj соответствует определяющее отношение
⟨ai , aj ⟩mij = ⟨aj , ai ⟩mji .
Если граф Γ0 является дерево-графом, то будем говорить, что группа Артина G, соответствующая Γ0 , является группой с древесной структурой.
Очевидно, если GΓ0 – группа Артина с графом Γ0 и Γ ⊂ Γ0 максимальный
дерево-граф, то GΓ0 является гомомографным образом GΓ . Мы рассматриваем
Артинову группу с древесной структурой матрицы Кокстера, которой (mij )i,j∈I
с mij ≥ 2 при i ̸= j; GΓ – группа Кокстера, соответствующая GΓ называется
группой Кокстера с древесной структурой Γ.
Пусть G группа Артина с образующими {ai }, i ∈ I, |I| < ∞ . Обозначим
G
через NG = ⟨{ai 2 }, i ∈ I⟩ нормальный делитель G, фактор-группа по которому
G/NG = G – есть группа Кокстера.
Нормальный делитель NG группы G будем называть по аналогии с нормальным делителем NBn+1 группы кос Bn+1 крашенной подгруппой группы G.
Группа Артина G называется группой конечного типа, если соответствующая
ей группа Кокстера конечна.
Теорема 1. [1] В группе Артина конечного типа разрешима проблема сопряженности слов.
Определение 1. Будем говорить, что в группе G разрешима проблема
обобщенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий
для любых двух множеств элементов из G: {wi }i=1,n , {ui }i=1,n , установить,
существует ли z ∈ G такое, что
& ni=1 (z −1 wi z = vi ).
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
53
Теорема 2. [2] В группе Артина конечного типа разрешима проблема обобщенной сопряженности слов.
Пусть G группа и H подгруппа группы G. Если в G разрешима проблема
сопряженности слов, то будет ли в H разрешима проблема сопряженности слов.
Теорема 3. [2] Пусть G группа Артина конечного типа, NG – крашенная
подгруппа группы G, тогда в NG разрешима обобщенная проблема сопряженности слов.
Теорема 4. Существует алгоритм, позволяющий для любых двух элементов w, v , принадлежащих крашенной подгруппе NGΓ группы Артина GΓ с древесной структурой установить, сопряженны ли они в NGΓ .
Для доказательства Теоремы 4 нам понадобятся следующие утверждения.
Теорема 5. [3] В группах Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.
Теорема 6. В группах Артина GΓ с древесной структурой централизатор любого элемента w ∈ GΓ , CG (w) есть конечно порожденная подгруппа и
существует алгоритм, выписывающий образующие централизатора CG (w).
Теорема 7. В группах Кокстера GΓ с древесной структурой разрешима
проблема вхождения в конечно порожденную подгруппу.
Лемма 1. Пусть w, v элементы группы GΓ . GΓ - группа Артина с древесной структурой, и пусть w и v – сопряжены в GΓ , то есть w = zvz −1 . Тогда
множество всех решений данного уравнения в GΓ имеет вид F CGΓ (v), где F
– какое-то решение уравнения w = zvz −1 , CGΓ (v) – централизатор элемента
v в GΓ .
Лемма 2. Пусть CGΓ (v)централизатор элемента v ∈ GΓ . GΓ - группа Артина с древесной структурой, тогда существует алгоритм, высчитывающий
образующие подгруппы CGΓ (w)/NGΓ < GΓ /NGΓ = GΓ .
Список цитированной литературы
[1] Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Кокстера // Математика.
1974. Т. 18, №6. С. 56–79.
[2] Безверхний В. Н., Гринблат В. А. Решение обобщенной проблемы сопряженности слов в крашенных подгруппах групп Артина конечного типа //
Математические заметки. 2006. Т. 79, вып.5. С. 653–661.
[3] Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Известия ТулГУ.
Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 1. С. 67–82
54
Секция 1
[4] Безверхний В. Н. Решения проблемы обобщенной сопряженности слов в
группах Артина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. С. 1–38.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
АГЗ МЧС России
УДК 519.14
ОБ ОБОБЩЁННОЙ СОПРЯЖЁННОСТИ СЛОВ В
ПОЛУГРУППАХ АРТИНА БОЛЬШОГО ТИПА
В. Н. Безверхний, А. Е. Устян (г. Тула)
[email protected]
Группа Артина — это группа G, заданная системой образующих ai , i ∈ I,
|I| < ∞ и системой определяющих соотношений ai aj ai . . . = aj ai aj . . ., i, j ∈ I,
где слова, стоящие слева и справа данного равенства состоят из mij чередующихся букв ai , aj , где mi,j — элемент некоторой симметрической матрицы Кокстера (mi,j ), i, j ∈ I, соответствующей группе G. Обозначая символом < ab >m
слово abab . . ., включающее m чередующихся букв a, b, запишем представление
группы Артина
G =< {ai }i ∈ I; < ai aj >mij =< aj ai >mji , i, j ∈ I > .
Группа Артина называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Кокстера
G∗ =< {ai }i ∈ I; < ai aj >mij =< aj ai >mji , a2i = 1, i, j ∈ I >
является конечной группой.
Обозначим G∗ =< {ai }i ∈ I; < ai aj >mij =< aj ai >mji , i, j ∈ I > полугруппу,
соответствующую группе Артина G.
Э. Брискорном и К. Сайто [1] было доказано, что если группа G конечного
типа, то соответствующая ей полугруппа G+ вложима в G.
Группа Артина называется группой Артина большого типа, если при i ̸= j
mij > 3 и экстрабольшого типа, если mij > 3.
Пусть G — конечно порожденная группа Артина большого или экстрабольшого типа и G+ , соответствующая ей полугруппа.
Теорема 1 (2). Полугруппа G+ изоморфно вложима в группу G.
Следствие 1. Слова V и W ∈ G+ равны в G+ тогда и только тогда, когда
они равны в G.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
55
Определение 1. Будем говорить, что слова V и W ∈ G+ сопряжены в
G , если существует Z ∈ G+ такое, что ZW = V Z либо W Z = ZV .
+
Теорема 2 (2). Слова V и W ∈ G+ сопряжены в G+ тогда и только тогда,
когда они сопряжены в G.
Определение 2. Будем говорить, что в G+ разрешима проблема обобщённой сопряжённости слов, если существует алгоритм, позволяющий для
любых двух наборов положительных слов {Wi } i = 1, . . . , n и {Vi } i = 1, . . . , n
из G+ установить существует ли Z ∈ G+ такое, что имеет место система
равенств &ni=1 (Wi Z = ZVi ) либо &ni=1 (ZWi = Vi Z).
Теорема 3. В полугруппе G+ разрешима проблема обобщённой сопряжённости слов.
Список цитированной литературы
[1] Э. Брискорн, К. Сайто. Группы Артина и группы Кокстера //Математика:
сб. переводов, 1974. Т. 18, №6. С. 56–79
[2] 2. В. Н. Безверхний, А. Е. Устян Решение проблемы сопряжённости слов
в моноидах Артина большого типа // Алгоритмические проблемы теории
групп и полугрупп. Тула. 2001. С. 139–165.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 519.40
ПОСТРОЕНИЕ ОДНОСТОРОННИХ ФУНКЦИЙ С
ПОМОЩЬЮ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМИЧЕСКИ
РАЗРЕШИМЫХ ПРОБЛЕМ В C(3)-T (6)-ГРУППАХ
Н. В. Безверхний, Е. М. Кожанов, О. А. Чернышёва (г. Москва)
[email protected]
Рассмотрена задача построения односторонних функций на основе алгоритмов, решающих проблемы вхождения в циклическую подгруппу и сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу в C(3)-T (6)-группах. Получены
оценки сложности вычисления прямой и обратной функций.
1. Группы с условиями малого сокращения C(3)-T (6).
Рассмотрим группу G = (X; R), где |R| < ∞, |X| < ∞, X = X −1 , множество
R симметризовано: содержит инверсии и все циклические перестановки своих
элементов.
56
Секция 1
Пусть r1 ̸= r2 , r1 , r2 ∈ R, r1 ≡ pp1 , r2 ≡ pp2 , |p| > 0. Тогда подслово p называется куском. Группа G удовлетворяет условию C(p), если ни одно из слов
множества R не представимо в виде произведения менее, чем p кусков.
Группа G удовлетворяет условию T (q), если для любых слов r1 , . . . , rt ∈
R, 2 < t < q, таких, что в последовательности r1 , r2 , . . . , ri , ri+1 , . . . , rt , r1 , нет
соседних взаимно обратных, по крайней мере одно из произведений r1 r2 , . . . , rt r1
приведено в свободной группе.
Понятие групповой диаграммы будем считать известным [1]. Рассмотрим
диаграмму M над группой G = (X; R) с условиями C(3)−T (6). Область D ⊂ M
называется дэновской, если 1) ∂D ∩ ∂M — последовательная часть границы ∂M
(то есть ∂D ∩ ∂M = p — подпуть в граничных циклах области D и диаграммы
M ); 2) число внутренних рёбер области D : i(D) ∈ {0, 1}.
Будем говорить, что в слове w есть R-сокращение, если существует односвязная R-диаграмма M, граничная метка которой содержит в качестве подслова слово w, причём в M есть дэновская область D, для которой метка пути
∂M ∩ ∂D является подсловом в слове w.
k
∪
Полосой в диаграмме M называется поддиаграмма Π =
Di со свойстваi=1
ми: 1) ∂Di ∩ ∂M = p — последовательная часть границы ∂M ; 2) ∂Π ∩ ∂M —
последовательная часть границы ∂M ; 3) при k = 3 i(D1 ) = i(D2 ) = i(D3 ) = 2,
причём соседние области имеют общее ребро, а все три области полосы имеют
общую вершину; при k > 3, k = 2l + 1 i(D1 ) = i(D2 ) = i(D2l ) = i(D2l+1 ) = 2,
i(D3 ) = i(D5 ) = . . . = i(D2l−3 ) = i(D2l−1 ) = 3, i(D4 ) = i(D6 ) = i(D2l−4 ) =
i(D2l−2 ) = 2; 4) ∂Di ∩ ∂Di+1 — ребро (i = 1, . . . , k − 1).
¯
Будем говорить, что в слове w есть R-сокращение,
если существует односвязная R-диаграмма M, граничная метка которой содержит в качестве подслова
слово w, причём в M есть полоса Π, для которой метка пути ∂M ∩ ∂Π является
подсловом в слове w.
2. Асимметричные криптосистемы.
Понятие криптосистемы открытого ключа было впервые введено Диффи и
Хеллманом в 1976 году. В традиционной (симметричной) криптографии каждая
из переписывающихся сторон должна иметь копию общего секретного ключа,
что создаёт проблему управления ключами. В асимметричной криптографии
используются два ключа: открытый и секретный.
Криптосистемы с открытым ключом основаны на понятии односторонней
функции. Функция f (x) называется односторонней, если сложность её вычисления существенно меньше сложности обратной ей функции f −1 (x).
3. Схема построения открытого ключа на основе проблемы дискретного логарифмирования в циклической подгруппе в группе G =
(X, R) с условиями малого сокращения C(3)-T(6).
Выберем группу G = (X, R) с копредставлением, обладающим свойствами
C(3)-T (6), и слово w в алфавите X, представляющее в G элемент бесконечного
порядка. Как известно [2], при отсутствии в R соотношений вида r ≡ ut в G нет
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
57
элементов конечного порядка.
Протокол выработки общего секретного ключа выглядит следующим образом. (Здесь и в пункте 4 предлагаются изложенные в статье [2] процедуры
с небольшими изменениями, связанными с использованием копредставлений с
условиями C(3)-T (6).)
1 шаг. Абонент А случайно выбирает слово w в алфавите X и целое число
x1 , вычисляет wx1 и результат вычислений пересылает по открытому каналу
связи вместе с копредставлением G = (X, R) и словом w абоненту В.
2 шаг. В свою очередь абонент В выбирает число x2 , вычисляет wx2 и результат вычислений пересылает абоненту А по открытому каналу связи.
Заметим сразу, что вычисление wx и есть в данном случае односторонняя
функция f (x). Результатом вычисления f (x) должно быть слово v в алфавите
X, по виду которого невозможно определить показатель степени x, не применив
достаточно сложный по сравнению с вычислением f (x) алгоритм.
3 шаг. Абонент А вычисляет f (x2 )x1 = (wx2 )x1 (здесь равенство подразумевается в группе G).
4 шаг. Абонент В вычисляет f (x1 )x2 = (wx1 )x2 .
Очевидно, в результате оба абонента получили один и тот же элемент группы G, представленный словом wx1 x2 . Это и есть общий секретный ключ.
4. Схема построения открытого ключа на основе композиции проблем сопряжённости и дискретного логарифмирования в циклической
подгруппе в группе G = (X, R) с условиями малого сокращения C(3)T (6).
Как и в предыдущем случае, выбирается группа G без кручения и произвольные элементы с представителями w, h. Полученная информация по открытому каналу сообщается обоим абонентам.
1 шаг. Абонент А выбирает целые числа x1 , y1 и вычисляет f (x1 , y1 ) =
−x1 y1 x1
h w h и пересылает по открытому каналу абоненту В.
2 шаг. Абонент В выбирает целые числа x2 , y2 и вычисляет f (x2 , y2 ) =
h−x2 wy2 hx2 и пересылает по открытому каналу абоненту А.
3 шаг. Абонент А вычисляет h−x1 [{f (x2 , y2 )}y1 ]hx1 = h−x1 [{h−x2 wy2 hx2 }y1 ]hx1 .
4 шаг. Абонент В вычисляет h−x2 [{f (x1 , y1 )}y2 ]hx2 = h−x2 [{h−x1 wy1 hx1 }y2 ]hx2 .
Как и в пункте 3, общим секретным ключом является элемент группы G,
представленный словом h−x1 −x2 wx1 x2 hx1 +x2 .
5. Оценка сложности вычисления прямых и обратных функций.
Для вычисления прямой функции f (x), соответственно, f (x, y) необходимо
скрыть секретные ключи — число x в первом случае и пару чисел (x, y) во
втором. Для достижения этой цели применяются специальные процедуры перемешивания, основанные на случайной замене подслов в слове wx и h−x wy hx ,
соответственно, равными им в группе G подсловами. Такие замены основыва¯
ются на введённых в пункте 1 понятиях R, R-сокращений,
а также обратных
им преобразованиях. Доказывается, что сложность вычисления как f (x), так и
f (x, y) линейно зависит от длины преобразуемого слова.
58
Секция 1
При этом восстановление числа x в первом случае и пары (x, y) во втором может быть осуществлено с помощью алгоритмов, сложность которых возрастает
как третья степень длины преобразуемого слова в первом случае, а во втором
случае при соответствующем выборе слов h, w — как четвёртая степень.
Список цитированной литературы
[1] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
[2] Bogley W. A., Pride S. J. Aspherical relative presentations // Pros. of the
Edinburg Math. Soc. 1992. Vol. 35. P. 1 — 39.
[3] Глухов М. М. К анализу некоторых систем открытого распределения ключей, основанных на неабелевых группах // Математические вопросы криптографии. 2010. Т. 1, №4. С. 5–22.
МГТУ им. Н.Э.Баумана
УДК 519.4
ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ НЕКОТОРЫХ
HNN-РАСШИРЕНИЙ СВОБОДНОЙ ГРУППЫ
Н. Б. Безверхняя (г. Москва)
[email protected]
Вопрос об определении класса гиперболических групп среди всех групп
является весьма важным, так как гиперболические группы обладают рядом
свойств, таких как разрешимость проблемы сопряженности слов [1], обобщенной сопряженности слов [2], SQ – универсальности [3]. В [4] выделен некоторый
подкласс гиперболических групп с одним определяющим соотношением. И. Капович в [5] доказал гиперболичность группы
G = ⟨a, t; t2 at−1 ata2 t−2 a−1 = 1⟩.
Автором в [6] дается полное описание гиперболических и негиперболических
групп, имеющих представление
G = ⟨a, b, t; t−1 at = b, t−1 bt = w(a, b)⟩.
В [7] дано описание гиперболических и негиперболических групп, имеющих
представление
G = ⟨a0 , a1 , ..., an , t; t−1 a0 t = a1 , t−1 a1 t = a2 , ..., t−1 an t = w(a0 , a1 , ..., an )⟩,
где на длину слова накладываются ограничения.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
59
Изучая группы вида
G = ⟨a, b, t; t−1 at = v(a, b), t−1 bt = w(a, b), ⟩, v ̸= b,
где в произведениях wε v δ , v δ wε нет сокращений, были получены следующие
результаты:
Теорема 1. Пусть группа G имеет следующее представление
G = ⟨a, b, t; t−1 at = v(a, b), t−1 bt = w(a, b), ⟩,
v ̸= b.
Возможны следующие случаи:
1) v = up , w не является собственной степенью, тогда, если v = xap x−1 ,
группа G не является гиперболической, в остальных случаях группа G будет
гиперболической;
2) v не является собственной степенью и w = y t , тогда, если w = xbt x−1 ,
группа G не является гиперболической, в остальных случаях группа G будет
гиперболической;
3) v = up , w = y t , тогда, если v = xap x−1 или w = xbt x−1 или v = xbn x−1 и
w = yam y −1 , то группа G не является гиперболической, в остальных случаях
группа G будет гиперболической.
Теорема 2. Пусть группа G имеет представление
G = ⟨a, b, t; t−1 at = v(a, b), t−1 bt = w(a, b)⟩, v ̸= b, v = xy, w = yx,
тогда группа G является гиперболической.
Теорема 3. Пусть группа G имеет представление
G = ⟨a, b, t; t−1 at = v(a, b), t−1 bt = w(a, b), ⟩, v ̸= b,
где слова v и w не удовлетворяют условиям теорем 1 и 2, тогда если слова
v и w циклически несократимы и v ̸= xwy и w ̸= uvz, то группа является
гиперболической.
Список цитированной литературы
[1] И. Г. Лысенок О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических
групп // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1989. 53, №4. С. 814–832.
[2] Р. И. Григорчук, П. Ф. Курчатов Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Фунд.
напр. 1990. 58, С. 191–256.
[3] А. Ю. Ольшанский SQ- универсальность гиперболических групп // Мат.
сб. 1995. Т. 186. №8. С. 119–132.
60
Секция 1
[4] S. V. Ivanov, P. E. Schupp On the hyperbolicity of small cancellation groups
and one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 350. №5, P.
1851–1894.
[5] I. Kapovich Howson property and one-relator groups // Commun. Algebra
1999. Vol. 27, №3. P. 1057–1072.
[6] Н. Б. Безверхняя Гиперболичность некоторых 2-порожденных групп с
одним определяющим соотношением // Диск. Мат. 2002. Т. 14, вып. 3. С.
54–70.
[7] Н. Б. Безверхняя О гиперболичности некоторых HNN - расширений свободных групп // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.
2005. Т. 11, вып. 1. С. 94–106.
АГЗ МЧС России
УДК 512.54
ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИХ КОЛЬЦАМИ
ЭНДОМОРФИЗМОВ
Е. А. Благовещенская (г. Санкт-Петербург)
[email protected]
Построение эпиморфных образов групп из определенных классов с сохранением в том или ином виде свойств их прообразов представляет значительный интерес, так как позволяет расширять условия применимости результатов,
полученных для классов прообразов. В этом смысле конструирование и возможность классификации прямых разложений абелевых групп без кручения
в силу отсутствия изоморфизма между ними вполне заслуживает распространения методов с класса почти вполне разложимых групп конечного ранга на
классы групп счетного ранга и их эпиморфные образы специального вида.
Рассмотрим класс C 0 блочно-жестких локально почти вполне разложимых
групп с обобщенно циклическими регуляторными факторами счетного ранга.
Определение 1. Абелева группа без кручения X принадлежит классу
C 0 , если она содержит вполне разложимую блочно-жесткую подгруппу R(X)
счетного ранга, для⊕канонического разложения которой на однородные компоAτ выполнены следующие условия:
ненты R(X) =
τ ∈Tcr (R(X))
1. Aτ — сервантная подгруппа конечного ранга в X для любого τ ∈ Tcr (R(X));
⊕ X
2. X/R(X) =
Tp для некоторого множества простых чисел PX и pp∈PX
примарных циклических групп TpX , для которых exp(TpX ) = pnp (X) ;
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
61
3. для каждого p ∈ PX множество {q ∈ PX : [TpX ] ∩ [TqX ] ̸= ∅} — конечно;
здесь [TpX ] совпадает
из множеств Tp ⊂ Tcr (R(X)), для
⊕ с наименьшим
X
X
Aτ )∗ + R(X))/R(X).
которых Tp ⊆ ((
τ ∈Tp
Здесь и далее V∗X = {g ∈ X : существует n ∈ N, для которого ng ∈ V }
обозначает сервантную оболочку группы V в X, (W )p является p-примарной
компонентой периодической группы W , прямая сумма l слагаемых, изоморфных группе A, записывавается как Al .
Определение 2. ([1] - [3]). Пусть X и Y — абелевы группы без кручения.
Тогда X и Y называются почти изоморфными, X ∼
=nr Y , если для любого
простого p существуют мономорфизмы Φp : X → Y и Ψp : Y → X, такие что
1. группы Y /XΦp и X/Y Ψp являются периодическими;
2. (Y /XΦp )p = 0 = (X/Y Ψp )p ;
3. для любых сервантных подгрупп конечного ранга X ′ ⊆ X и Y ′ ⊆ Y
′
фактор-группы (X ′ Φp )Y∗ /X ′ Φp и (Y ′ Ψp )X
∗ /Y Ψp являются конечными.
Теорема 1. ([1]). Пусть X, Y ∈ C 0 . Тогда группы X и Y почти изоморфны, если и только если их кольца эндоморфизмов изоморфны, End(X) ∼
=
End(Y ).
Рассмотрим класс групп, являющихся специальными эпиморфными образами групп из C 0 :
Определение 3. ([2, Определение 5.1]). Пусть группа X из класса C 0 и
некоторый набор целых чисел (ατ : τ ∈ Tcr (R(X))) удовлетворяют следующим
условиям:
⊕
∪
(1.) R(X) = i∈ω Alii (li ∈ N), где Tcr (R(X)) = i∈ω Ti — объединение попарно
дизъюнктных множеств Tcr (Ai ) = Ti и rk Ai = |Ti | ̸= 2 для любых i ∈ ω;
(2.) для любых i ∈ ω и τ ∈ Ti существует простое число p, такое что τ (p) =
∞ и σ(p) ̸= ∞, если σ ̸= τ , σ ∈ Ti ;
∩
(3.) если i ∈ ω и |Ti | ̸= 1, то τ ̸=σ,τ ∈Ti τ = Z для любых σ ∈ Ti ;
(4.) если i ∈ ω и |Ti | ̸= 1, то все ατ (τ ∈ Ti ) не делятся на p при условии
σ(p) = ∞ для некоторого σ ∈ Ti ; если |Ti | = 1, то ατ = 0, где Ti = {τ };
(5.) если i ∈ ω и |Ti | ̸= 1, то gcd({ατ | τ ̸= σ, τ ∈ Ti }) = 1 для всех σ ∈ Ti ;
(6.) |[TpX ] ∩ Ti | 6 1 для любых p ∈ PX и i ∈ λ;
62
Секция 1
(7.) если i ∈ λ и |[TpX ] ∩ Ti | = 1 для некоторого p ∈ PX , то gcd(p, ατ ) = 1 для
всех τ ∈ Ti ;
(8.) если i ∈ λ и |[TpX ] ∩ Ti | = 1, то τ (p) ̸= ∞ для всех τ ∈ Ti .
⊕
Пусть K = i∈ω K li (Ai ) — подгруппа в X, определенная с помощью
∑
⊕
K(Ai ) = ⟨
ατ aτ ⟩ ⊂ Ai =
τ aτ .
τ ∈Ti
τ ∈Ti
Будем называть B = X/K правильной B(1) alr-группой.
Комбинаторная (графическая) теория, построенная в [3] для класса групп C 0
(называемых там "almost rigid groups"), описывающая все их прямые разложения с точностью до почти изоморфизма, ложится в основу аналогичной теории
для класса правильных B(1) alr-групп, см. [2, Теорема 5.13]. Однако, кольца эндоморфизмов последних настолько бедны, что об определяемости ими самих
групп вопрос не ставится. Сопоставление этих фактов приводит к построению
комбинаторной теории неизоморфных прямых разложений абелевых групп без
кручения с кольцами эндоморфизмов относительно несложной структуры. При
этом кольца эндоморфизмов также обладают неизоморфными разложениями,
так как их свойства тесно связаны со свойствами прямых разложений самих
групп.
Список цитированной литературы
[1] E. Blagoveshchenskaya. Determination of a class of countable rank torsionfree abelian groups by their endomorphism rings // Journal of Mathematical
Sciences. 2008. Vol. 152 , №4. P. 469 – 478.
[2] E. Blagoveshchenskaya, R. G¨obel, L. Str¨
ungmann. Classification of some Butler
groups of infinite rank // Journal of Algebra. 2013. Vol. 380. P. 1–17.
[3] E. Blagoveshchenskaya, R. G¨obel. Classification and direct decompositions of
some Butler groups of countable rank // Comm. in Algebra. 2002. Vol. 30, №7.
P. 3403 - 3427,
Петербургский государственный университет путей сообщения,
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
УДК 512.542
КОНЕЧНЫЕ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ, ВСЕ
НЕСВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ 2d-ПОДГРУППЫ ШМИДТА
КОТОРЫХ ХОЛЛОВЫ
В. А. Ведерников (г. Москва)
[email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
63
Рассматриваются лишь конечные группы.
Группа (подгруппа) называется pd-группой (pd-подгруппой), если ее порядок делится на p, где p – простое число. Не приведенные обозначения и определения можно найти в [1-2].
В работе [3] О. Ю. Шмидт исследовал строение ненильпотентных групп,
все собственные подгруппы которых нильпотентны. Такие группы впоследствии
стали называть группами Шмидта. В работе [3] установлено, что группа Шмидта G бипримарна, то есть π(G) = {p, q}, силовская p-подгруппа Gp нормальна в
G, Gq =< x > – циклическая группа, < xq >= Oq (G) ≤ Z(G), | Gp /Φ(Gp ) |= pm ,
где m – показатель числа p по модулю q и Gp /Φ(Gp ) является главным фактором группы G. Отсюда следует, что группа Шмидта G сверхразрешима тогда
и только тогда, когда m = 1.
Группы Шмидта нашли многочисленные применения в теории групп (см.,
например, [2], [4 - 7]). На возможности применения групп Шмидта к изучению конечных групп, по-видимому, впервые обратил внимание С. А. Чунихин (см. [2], глава 4). Так из теоремы 4.3.1 [2] следует: 1) конечная группа
G p-нильпотентна тогда и только тогда, когда каждая pd-подгруппа Шмидта
группы G p-нильпотентна; 2) если p – наименьший простой делитель порядка
группы G и каждая pd-подгруппа Шмидта в G сверхразрешима, то группа G pнильпотентна; 3) если в группе G каждая подгруппа Шмидта сверхразрешима,
то группа G дисперсивна по Оре; 4) если G – неразрешимая группа, то группа
G содержит несверхразрешимую 2d-подгруппу Шмидта.
В работе [7] изучены свойства ненильпотентной группы G, в которой каждая
подгруппа Шмидта холлова, в частности G содержит нормальную нильпотентную холлову подгруппу H такую, что G/H является циклической группой.
Приведем полученный результат.
Теорема 1. В неразрешимой группе G каждая несверхразрешимая 2d-подгруппа Шмидта является холловой тогда и только тогда, когда для группы
G выполняется одно из следующих утверждений:
(1) G/O(G) содержит нормальную подгруппу A/O(G), изоморфную либо
L2 (q), либо SL2 (q), q = pn ≡ 3 (mod 8), p > 3, | G/A | делит n ∈ N и (| G/A |
, 3) = (| O(G) |, 3) = 1;
(2) G/O(G) ∼
= L2 (2p ), p > 2 – простое число, 2p − 1 свободно от квадратов
и (| O(G) |, 2p − 1) = 1.
Список цитированной литературы
[1] Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 271 c.
[2] Чунихин С. А. Подгруппы конечных групп. Минск: Наука и техника, 1964.
158 c.
64
Секция 1
[3] Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Математический сборник. 1924. Т. 31. С. 366–372.
[4] Шеметков Л. А. О. Ю. Шмидт и конечные группы // Укр. мат. журн.
1971. Т. 23, № 5. С. 585–590.
[5] Монахов В. С. Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения // Тр. Укр. мат. конгресса. 2001. Киев, 2002. Секция 1. С. 81–90.
[6] Ведерников В. А. Конечные группы с субнормальными подгруппами
Шмидта // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, № 6. С. 669–687.
[7] Kniahina V. N., Monakhov V. S. Finite groups with hall Schmidt subgroups //
Publ. Math. Debrecen. 2012. 81/3-4. P. 341–350.
Московский городской педагогический университет
УДК 512.
ЛОКАЛЬНЫЕ ГРУППЫ С ИЗОМОРФНЫМИ
КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ
С. В. Вершина (г. Москва)
[email protected]
Абелева группа A называется p-локальной (p-простое число), если умножение на любое ненулевое число q, не делящееся на p, является автоморфизмом
группы A. Подполе K поля p-адических чисел называется полем расщепления[1]
b p) ∼
для p-локальной группы A, если тензорное произведение A ⊗ (K ∩ Z
= D ⊕F
является прямой суммой делимого R-модуля D и свободного R-модуля F, где
b p, Z
b p — кольцо целых p-адических чисел. Кольцо R в этом случае наR = K ∩Z
зывается кольцом расщепления[1] для группы A. Группа B p-ранга 1 называется
группой расщепления[2] для неразложимой p-локальной группы без кручения
конечного ранга и p-ранга > 2, если A ⊗ B ∼
= A1 ⊕ B k , для k > 1.
Если p-локальная группа A является смешанной с периодической подгруппой T (A), то полем (кольцом, группой) расщепления группы A назовем поле
(кольцо, группу) расщепления фактор-группы без кручения A/T (A).
Теорема 1. Пусть поле расщепления K является квадратичным расширением поля рациональных чисел, A и B — смешанные редуцированные факторноделимые p-локальные группы конечного ранга без кручения. Тогда, если кольца
эндоморфизмов групп A и B изоморфны E(A) ∼
= E(B), то группы изоморфны
A∼
= B.
Данное свойство носит название — теорема Бэра-Капланского[3].
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
65
Список цитированной литературы
[1] Lady E. L., Splitting fields for torsion-free modules over discrete valuation rings,
I // Journal of Algebra. 1977. Vol. 49, № 1. P. 261–275.
[2] Вершина С. В., Группы расщепления неразложимых p-локальных групп без
кручения // Алгебра и логика: теория и приложения: материалы международной конференции, посвященной 80-летию В. П. Шункова. Красноярск,
2013. С. 25–26.
[3] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1977. 335 с.
Московский педагогический государственный университет
УДК 512.541
ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП СВОИМИ
ГРУППАМИ АВТОМОРФИЗМОВ
В. К. Вильданов (г. Нижний Новгород)
[email protected]
Рассматривается вопрос определяемости абелевой группы своей группой автоморфизмов в классе факторно делимых групп ранга 1.
Определение 1. Будем говорить, что группа A определяется своей группой автоморфизмов в классе групп X, если из Aut(A) ∼
= Aut(B), где B ∈ X,
всякий раз следует, что A ∼
B.
=
Известно, что p-группы (p ≥ 3) определяются своей группой автоморфизмов
в классе p-групп (см. [1]). Группы без кручения ранга 1 не определяются своими группами автоморфизмов, однако для прямых сумм групп ранга 1 найдены
необходимые и достаточные условия определяемости группы своей группой автоморфизмов в некоторых классах [2, 3]. В работе [2] вопрос определяемости
группы своей группой автоморфизмов рассматривается, в том числе и в классе
вполне разложимых абелевых групп без кручения, прямые слагаемые ранга 1
которых имеют идемпотентные типы. В частности показано, что группа A без
кручения ранга 1 идемпотентного типа определяется своей группой автоморфизмов в классе всех таких групп тогда и только тогда, когда A ∼
= Z. Заметим,
что класс групп без кручения ранга 1 идемпотентного типа совпадает с классом
факторно делимых групп без кручения ранга 1. Подробнее о факторно делимых
группах можно узнать в работах [4, 5]. Следующие примеры показывают, что
существуют группы не изоморфные Z, которые определяются своей группой
автоморфизмов в классе факторно делимых групп ранга 1.
66
Секция 1
Пример 1. Пусть A факторно делимая группа ранга 1 и имеет следующую
кохарактеристику:
cochar(A) = (3, 1, ∞, . . . , ∞, . . . ).
Тогда группа A определяется своей группой автоморфизмов в классе факторно
делимых групп ранга 1.
Пример 2. Факторно делимая группа A ранга 1 заданная кохарактеристикой
cochar(A) = (∞, ∞, 1, ∞, . . . , ∞, . . . ). определяется своей группой автоморфизмов в классе факторно делимых групп ранга 1.
Пусть P множество всех простых чисел, G — абелева группа без кручения
ранга 1. Обозначим P∞ (G) множество простых чисел p ∈ P для которых pG =
G.
Теорема 1. Пусть A — расщепляющаяся факторно делимая группа ранга
1 определяющаяся своей группой автоморфизмов в классе факторно делимых
групп ранга 1. Тогда A = A′ ⊕ t(A), где A′ — факторно делимая группа без
кручения ранга 1, t(A) — конечная циклическая группа порядка n = pk11 . . . pks s
и |P∞ (A′ )| = s.
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
1) A = A′ ⊕ t(A) — факторно делимая группа ранга 1,
2) t(A) — конечная циклическая группа порядка n = pk11 . . . pks s ,
3) t(A) — определяется своей группой автоморфизмов в классе циклических
групп и |P∞ (A′ )| = s.
Тогда группа A определяется своей группой автоморфизмов в классе факторно делимых групп ранга 1.
Пример 2 показывает, что указанные достаточные условия не являются необходимыми.
Список цитированной литературы
[1] Liebert W. Isomorphic automorphism groups of primary Abelian groups. II //
Contemp. Math. 1989. Vol. 87. P. 51–59.
[2] Вильданов В. К. Определяемость вполне разложимой абелевой группы ранга 2 своей группой автоморфизмов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 3(1). C. 174–177.
[3] Вильданов В. К. Определяемость вполне разложимой блочно жёсткой абелевой группы без кручения её группой автоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17, № 8. C. 13–19.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
67
[4] Фомин А. А. К теории факторно делимых групп. I // Фундаментальная и
прикладная математика. 2012. Т. 17, № 8. C. 153–167.
[5] Давыдова О. И. Факторно делимые группы ранга 1 // Фундаментальная и
прикладная математика. 2007. Т. 13, № 3. C. 25–33.
Нижегородский государственный педагогический университет
УДК 512.543
ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОРНЕВЫМИ
КЛАССАМИ НЕКОТОРЫХ СВОБОДНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
Д. В. Гольцов (г. Иваново)
[email protected]
Пусть K — непустой класс групп. Группа G называется аппроксимируемой
классом K (или, короче, K-аппроксимируемой), если для любого неединичного
элемента a группы G существует гомоморфизм группы G на некоторую группу
из класса K, при котором образ элемента a отличен от 1. Группа G называется
почти K-аппроксимируемой, если она содержит некоторую K-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса.
Пусть группа G почти K-аппроксимируема. Рассмотрим семейство (Hi )i∈I
всех K-аппроксимируемых подгрупп конечного индекса группы G. Число n =
mini∈I [G : Hi ] будем называть индексом почти K-аппроксимируемости группы
G.
В работе рассматривается аппроксимируемость обобщенных свободных произведений и HNN-расширений корневыми классами групп. В [1] Д. Н. Азаров и
Д. Тьеджо, используя результат К. Грюнберга, упомянутый в [2, с. 429], получили следующее утверждение: свободное произведение любого семейства групп,
аппроксимируемых корневым классом K, само является K-аппроксимируемой
группой. Здесь мы получили следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть (Aλ )λ∈Λ — некоторое семейство групп и пусть A =
∗λ∈Λ Aλ — свободное произведение групп Aλ . Группа A почти аппроксимируема
корневым классом K тогда и только тогда, когда все Aλ почти K-аппроксимируемы и индексы почти K-аппроксимируемости групп Aλ ограничены.
Обобщенное свободное произведение любого семейства групп, аппроксимируемых корневым классом K, уже не обязано быть K-аппроксимируемой группой. Тем не менее, если K — некоторый класс конечных групп, являющийся
корневым, то свободное произведение двух K-аппроксимируемых групп с конечными объединенными подгруппами является почти K-аппроксимируемой группой. Данное утверждение является частным случаем сформулированной ниже
68
Секция 1
теоремы 2. Эта теорема получена в более общей ситуации — для свободного
произведения произвольного семейства групп с одной объединенной конечной
подгруппой.
Пусть (Gλ )λ∈Λ — некоторое (возможно бесконечное) семейство групп.
И пусть
G = (∗λ∈Λ Gλ , H)
— свободное произведение групп Gλ с одной объединенной подгруппой H. В
работе [3] Д. Н. Азаровым доказано следующее утверждение: если для каждого
λ ∈ Λ группа Gλ финитно аппроксимируема и подгруппа H конечна, то группа
G = (∗λ∈Λ Gλ , H) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда для
каждого λ ∈ Λ в группе Gλ существует нормальная подгруппа Uλ конечного
индекса, тривиально пересекающая H, и такая, что индексы [Gλ : Uλ ] ограничены в совокупности. Здесь мы рассмотрим свойство аппроксимируемости такого
свободного произведения корневым классом K. Нами получен следующий результат.
Теорема 2. Пусть группа G = (∗λ∈Λ Gλ , H) финитно аппроксимируема и
подгруппа H конечна. Группа G тогда и только тогда почти аппроксимируема
корневым классом K, когда для каждого λ ∈ Λ группа Gλ почти K-аппроксимируема и индексы почти K-аппроксимируемости групп Gλ ограничены в совокупности.
Отсюда и из упомянутого выше результата Г. Баумслага вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть P = (A ∗ B, H = K) — свободное произведение групп
A и B с конечными объединенными подгруппами H и K. Если группы A и B
финитно аппроксимируемы и почти аппроксимируемы корневым классом K,
то и группа P почти K-аппроксимируема. В частности, если группы A и B
почти аппроксимируемы корневым классом K, состоящим из конечных групп,
то группа P почти K-аппроксимируема.
А. Л. Шмелькин в работе [4] доказал, что произвольная полициклическая
группа почти Fp -аппроксимируема для каждого простого числа p. Поэтому
частным случаем следствия 1 является следующее утверждение.
Следствие 2. Свободное произведение любых двух полициклических групп
с конечными объединенными подгруппами является почти Fp -аппроксимируемой группой для каждого простого числа p.
Хорошо известно [5], что HNN-расширение финитно аппроксимируемой группы с конечными связанными подгруппами само является финитно
аппроксимируемой группой. Простые примеры показывают, что этот результат
не может быть распространен с финитной аппроксимируемости на аппроксимируемость произвольным корневым классом, но тем не менее, нам удалось
доказать следующий результат.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
69
Теорема 3. Пусть C ∗ = (C, t, t−1 Ht = K) — HNN-расширение группы C с
конечными связанными подгруппами H и K. Если группа C финитно аппроксимируемы и почти аппроксимируемы корневым классом K, то и группа C ∗
почти K-аппроксимируема. В частности, если группа C почти аппроксимируемы корневым классом K, состоящим из конечных групп, то группа C ∗ почти
K-аппроксимируема.
Отсюда и из отмеченного выше результат А.Л. Шмелькина следует, что
HNN-расширение полициклической группы с конечными связанными подгруппами является почти Fp -аппроксимируемой группой для каждого простого числа p.
Список цитированной литературы
[1] Азаров Д. Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения
групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр.
Иван. гос. ун-та. Математика. 2002. Вып. 5. С. 6–10.
[2] Магнус К., Каррас А, Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука,
1974.
[3] Азаров Д. Н. О финитной аппроксимируемости свободных произведений
групп с одной объединенной подгруппой // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38.
С. 3–13.
[4] Шмелькин А. Л. Полициклические группы // Сиб. мат. журн. 1968. Том 9.
C. 234–235.
[5] Baumslag B., Tretkoff M. Residually finite HNN-extensions // Communs in
Algebra, 1978. Vol. 6(2). P. 179–194.
Ивановский государственный университет
UDC 512.55, 512.57
THE ADDITIVE GROUP OF A UNIVERSAL LIE
NILPOTENT ASSOCIATIVE RING OF CLASS 3
Galina Deryabina (Moscow), Alexei Krasilnikov (Bras´ılia)
[email protected]
[email protected]
This talk is based on the paper [5] and on the preprint [2].
Let Z⟨X⟩ be the free unital associative ring freely generated by an infinite
countable set X = {xi | i ∈ N}. We define a left-normed commutator [x1 , x2 , . . . , xn ]
by [a, b] = ab − ba, [a, b, c] = [[a, b], c]. For n > 2, let T (n) be the two-sided ideal
70
Секция 1
in Z⟨X⟩ generated by all commutators [a1 , a2 , . . . , an ] (ai ∈ Z⟨X⟩). Note that the
quotient ring Z⟨X⟩/T (n) is the universal Lie nilpotent associative ring of class n − 1
generated by X.
It is clear that the quotient ring Z⟨X⟩/T (2) is isomorphic to the ring Z[X] of
commutative polynomials in x1 , x2 , . . . . Hence, the additive group of Z⟨X⟩/T (2)
is free abelian and its basis is formed by the (commutative) monomials. Recently
Bhupatiraju, Etingof, Jordan, Kuszmaul and Li [1] have proved that the additive
group of Z⟨X⟩/T (3) is also free abelian and found explicitly its basis [1, Prop. 3.2].
The aim of the present talk is to describe the additive group A of the ring
Z⟨X⟩/T (4) . Our principal results are as folows.
Theorem 1. Let A be the additive group of Z⟨X⟩/T (4) . Then A = B ⊕ C where
B is a free abelian group and C is an elementary abelian 3-group.
More precisely, let T (3,2) be the two-sided ideal of the ring Z⟨X⟩ generated by all
elements [a1 , a2 , a3 , a4 ] and [a1 , a2 ][a3 , a4 , a5 ] where ai ∈ Z⟨X⟩. Clearly, T (4) ⊂ T (3,2) .
Theorem 2. The additive group of T (3,2) /T (4) is an elementary abelian 3-group
and the additive group of the quotient Z⟨X⟩/T (3,2) is free abelian.
It follows from Theorems 1 and 2 that the additive group of Z⟨X⟩/T (4) is a direct
sum B ⊕ C where C = T (3,2) /T (4) is an elementary abelian 3-group and B is a free
abelian group isomorphic to the additive group of Z⟨X⟩/T (3,2) .
We describe explicitly a Z/3 Z-basis of C. Let
{
E = xj1 . . . xjl [xi1 , xi2 ] . . . [xi2k−1 , xi2k ][xi2k+1 , xi2k+2 , xi2k+3 ] |
}
l > 0, k > 1, j1 6 j2 6 . . . 6 jl ; i1 < i2 < · · · < i2k+3 .
Theorem 3. The set {e + T (4) | e ∈ E} is a basis of the elementary abelian
3-group C = T (3,2) /T (4) over Z/3 Z.
Note that a description of a Z-basis of the free abelian group B ≃ Z⟨X⟩/T (3,2)
can be deduced from the results of either [3] or [4] or [6] or [7]; this basis is explicitly
written in [5, Lemma 5.6].
Let
D0′ = {1}, D1′ = {[xi1 , xi2 ] | i1 < i2 }, D2′ = {[xi1 , xi2 , xi3 ] | i1 < i2 , i1 6 i3 },
D3′ = {[xi1 , xi2 ][xi3 , xi4 ] | i1 < i2 , i3 < i4 , i1 6 i3 ; if i1 = i3 then i2 6 i4 },
D4′ = {[xi1 , xi2 ][xi3 , xi4 ] . . . [xi2k−1 , xi2k ] | k > 3, i1 < i2 < · · · < i2k }.
Let D′ = D0′ ∪ D1′ ∪ D2′ ∪ D3′ ∪ D4′ . Let
D = {xi1 xi2 . . . xik d′ | k > 0, i1 6 i2 6 . . . 6 ik , d′ ∈ D′ }.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
71
Theorem 4 (see [3, 4, 6, 7]). The set {d + T (3,2) | d ∈ D} is a basis of
Z⟨X⟩/T (3,2) ≃ B over Z.
In the proof we use the following result that may be of independent interest.
Theorem 5. Let K be an arbitrary unital associative and commutative ring and
let K⟨Y ⟩ be the free associative K-algebra on a non-empty set Y of free generators.
Let T (4) be the two-sided ideal in K⟨Y ⟩ generated by all commutators [a1 , a2 , a3 , a4 ]
(ai ∈ K⟨Y ⟩). Then the ideal T (4) is generated by the polynomials
[y1 , y2 , y3 , y4 ]
(yi ∈ Y ),
[y1 , y2 , y3 ][y4 , y5 , y6 ]
(yi ∈ Y ),
[y1 , y2 ][y3 , y4 , y5 ] + [y1 , y5 ][y3 , y4 , y2 ]
(yi ∈ Y ),
[y1 , y2 ][y3 , y4 , y5 ] + [y1 , y4 ][y3 , y2 , y5 ]
(yi ∈ Y ),
([y1 , y2 ][y3 , y4 ] + [y1 , y3 ][y2 , y4 ])[y5 , y6 ]
(yi ∈ Y ).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Note that 3 [y1 , y2 ][y3 , y4 , y5 ] ∈ T (4) for all yi ∈ Y ; one can deduce this from the
results of [3, 4, 7], see also [5, Corollary 2.4]. Hence, if 13 ∈ K then all polynomials
[y1 , y2 ][y3 , y4 , y5 ]
(yi ∈ Y )
(6)
belong to T (4) . Since the polynomials (2)–(4) belong to the ideal generated by the
polynomials (6), Theorem 5 implies the following corollary that has been proved in
[3, 7].
Theorem 6 (see [3, 7]). If 13 ∈ K then T (4) is generated as a two-sided ideal of
K⟨Y ⟩ by the polynomials (1), (5) and (6).
REFERENCES
[1] Bhupatiraju S., Etingof P., Jordan D., Kuszmaul W., Li J. Lower central series
of a free associative algebra over the integers and finite fields // Journal of
Algebra. 2012. Vol. 372. P. 251–274.
[2] Deryabina G., Krasilnikov A. The torsion subgroup of the additive group of a
Lie nilpotent associative ring of class 3. arXiv:1308.4172
[3] Etingof P., Kim J., Ma X. On universal Lie nilpotent associative algebras //
Journal of Algebra. 2009. Vol. 321. P 697–703.
[4] Gordienko A. S. Codimensions of commutators of length 4 // Russian Mathematical Surveys. 2007. Vol. 62. P. 187–188.
[5] Krasilnikov A. The additive group of a Lie nilpotent associative ring // Journal
of Algebra. 2013. Vol. 392. P. 10–22.
72
Секция 1
[6] Latyshev V. N. On finite generation of a T -ideal with the element [x1 , x2 , x3 , x4 ]
// Siberian Mathematical Journal. 1965. Vol. 6. P. 1432–1434.
[7] Volichenko I. B. The T -ideal generated by the element [x1 , x2 , x3 , x4 ], Preprint
no. 22. Minsk: Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the
Belorussian SSR, 1978.
Bauman Moscow State Technical University
Universidade de Bras´ılia
УДК 519.4
О СВОБОДНЫХ ПОДГРУППАХ В ГРУППАХ
КОКСТЕРА И АРТИНА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ
И. В. Добрынина (г. Тула)
[email protected]
Пусть G — конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой,
заданная копредставлением G =< a1 , ..., an ; (ai aj )mij = 1, i, j = 1, n >, где mij
— число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем mii =
1, mij ≥ 2, группе G соответствует конечный связный дерево-граф Γ такой, что
если вершинам некоторого ребра e графа Γ соответствуют образующие ai и aj ,
то ребру e соответствует соотношение вида (ai aj )mij = 1 [1].
Группу G можно представить как древесное произведение двупорожденных
групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам. При
этом от графа Γ группы G перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам графа Γ поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих
Gij =< ai , aj ; a2i , a2j , (ai aj )mij = 1 >, а всякому ребру e, соединяющему вершины,
соответствующие Gij и Gjk , — циклическую подгруппу < aj ; a2j >.
Пусть G — конечно порожденная группа Артина с копредставлением G =<
a1 , ..., an ; ⟨ai aj ⟩mij = ⟨aj ai ⟩mji , i, j = 1, n, i ̸= j >, где ⟨ai aj ⟩mij — слово длины
mij , состоящее из mij чередующихся букв ai и aj , i ̸= j, mij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, где mij ≥ 2, i ̸= j. Если группе
G соответствует конечный связный дерево-граф Γ такой, что если вершинам
некоторого ребра e графа Γ соответствуют образующие ai и aj , то ребру e соответствует соотношение вида ⟨ai aj ⟩mij = ⟨aj ai ⟩mji , i ̸= j. В этом случае мы имеем
группу Артина с древесной структурой [2].
Группу G также представим как древесное произведение двупорожденных
групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам. При
этом от графа Γ группы G перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам
графа Γ поставим в соответствие группы Артина на двух образующих Gij =<
ai , aj ; ⟨ai aj ⟩mij = ⟨aj ai ⟩mji , i ̸= j >, и Gik =< ai , ak ; ⟨ai ak ⟩mik = ⟨ak ai ⟩mki , i ̸=
k >, а всякому ребру e, соединяющему вершины, соответствующие Gij и Gjk —
циклическую подгруппу < aj >.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
73
Проблема свободы заключается в выяснении, является ли подгруппа заданной группы свободной. В [3] данная проблема рассматривается для групп Кокстера экстрабольшого типа.
В настоящей работе доказывается теорема о свободе для групп Кокстера и
Артина с древесной структурой.
Теорема 1. Конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера G с древесной структурой является свободной.
Теорема 2. Пусть H — конечно порожденная подгруппа группы Артина G
с древесной структурой, причем для любого g ∈ G и любой подгруппы Gij , i ̸= j,
выполнено равенство H ∩ gGij g −1 = E, то H является свободной.
Теорема 3. Пусть H — конечно порожденная подгруппа группы Артина G
с древесной структурой, тогда можно эффективно выделить свободную часть
подгруппы H.
В доказательстве используются идеи Безверхнего В. Н., изложенные в работах [4, 5], о приведении множества образующих подгруппы к специальному
множеству.
Список цитированной литературы
[1] Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой // Известия
Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. № 2.
С. 16–31.
[2] Kapovich I., Schup P. Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups
and one-relator groups with torsion // Proc. London Math. Soc. 2004. Vol. 88,
№1. P. 89–113.
[3] Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблемы равенства и сопряженности
слов в группах Артина с древесной структурой // Известия ТулГу. Сер.
Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, № 1. С. 67 – 82.
[4] Безверхний В. Н. О пересечении подгрупп в HN N -группах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. T. 4, №1. C. 199–222.
[5] Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном
классе HN N -групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвузовский сборник научных трудов. 1983. С. 50–80.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
74
Секция 1
УДК 512.542
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ШУНКОВА,
НАСЫЩЕННЫЕ ПРЯМЫМИ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ АБЕЛЕВЫХ 2-ГРУПП И
ПРОСТЫХ ГРУПП L2 (2m )
А. А. Дуж (г. Красноярск), Д. В. Лыткина (г. Новосибирск)
[email protected]
Говорят, что группа G насыщена группами из множества групп M, если
любая конечная подгруппа K из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из M.
Группа называется группой Шункова, если в ней любая пара сопряжённых
элементов одного и того же простого порядка порождает конечную подгруппу
и это свойство наследуют все сечения группы по конечным подгруппам. Первоначально такие группы назывались сопряжённо бипримитивно конечными.
Пусть M = {L2 (2m ) × In | m, n ∈ N ; m > 2}, где In — элементарная абелева
2-группа порядка 2n .
Наша цель — доказательство следующего результата.
Теорема 1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из множества M, локально конечна и изоморфна группе L2 (Q)×V , где Q — некоторое
локально конечное поле характеристики 2, а V — группа периода 2.
В следующей теореме условие насыщенности ослабляется до условия вложимости конечных подгрупп чётного порядка в подгруппы, изоморфные элементам насыщающего множества.
Теорема 2. Пусть G — периодическая группа Шункова, содержащая инволюцию. Если каждая конечная подгруппа чётного порядка из G содержится в подгруппе, изоморфной прямому произведению элементарной абелевой 2группы и группы L2 (2m ) для некоторого m ≥ 2, то G ≃ L2 (Q) × V , где Q —
некоторое локально конечное поле характеристики 2, а V — группа периода 2.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты №№ 13-01-00505, 14-01-90013.
Красноярский государственный аграрный университет
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
УДК 512.54
ОБ АЛЬТЕРНАТИВЕ ТИТСА ДЛЯ ПОДГРУПП
F-ГРУПП
В. Г. Дурнев, О. В. Зеткина, А. И. Зеткина (Ярославль)
[email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
75
Титсом [1] доказано, что для любой конечно порожденной линейной группы
G справедливо утверждение:
либо группа G содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга
2,
либо группа G почти разрешима.
Это привело к понятию альтернатива Титса для класса групп:
для класса групп C выполняется альтернатива Титса, если для произвольной группы G из этого класса справедливо утверждение:
либо группа G почти разрешима, либо она содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга 2.
Изучению классов групп, для которых справедлива альтернатива Титса, посвящен ряд работ, например, [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8].
Альтернатива Титса связана со следующим вопросом, достаточно давно и
независимо изучавшимся в комбинаторной теории групп:
для каких классов групп C справедливо утверждение:
для произвольной группы G из этого класса справедлива альтернатива:
либо на группе G выполняется нетривиальное тождество, либо она содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга 2.
Для подгрупп групп с одним определяющим соотношением последний вопрос полностью исследован в работах Д.И. Молдаванского [10], А.А. Чеботаря
[11] и А. Карраса и Д. Солитэра [12]. Кроме того, в работе А. Карраса и Д.
Солитэра [12] доказано, что если H – подгруппа группы G с одним определяющим соотношением, то либо H содержит свободную подгруппу ранга 2, либо H
разрешима, а значит, как доказано Д.И. Молдаванским [10], метабелева. Значит
для подгрупп групп с одним определяющим соотношением выполнен усиленный
вариант альтернативы Титса. Для групп, удовлетворяющих условиям малого сокращения, рассматриваемый вопрос изучен в работах В.П. Классена при
описании подгрупп этих групп.
В то же время Брин и Сквайер построили группу
G(2) = ⟨⟨a, b | [a, b2 a−1 b−1 ] = 1, [a, b4 a−1 b2 ] = 1⟩⟩,
на которой не выполняется никакое нетривиальное тождество, однако в нее не
вложима свободная группа F2 ранга 2.
В соответствии с определением из монографии Р. Линдона и П. Шуппа [9]
F -группой мы называем группу с заданием вида
mp
1
⟨⟨ a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bn | am
1 = 1, . . . , ap = 1, a1 . . . ap Q = 1 ⟩⟩,
где p, n ≥ 0, все mi > 1 и либо
Q = [b1 , b2 ] . . . [b2t−1 , b2t ],
где 2t = n и [a, b] − коммутатор элементов a и b,
либо
Q = b21 . . . b2t ,
где t = n.
76
Секция 1
Как отмечается в указаной монографии, F -группы – это фуксовы группы с ориентируемым или неориентируемым факторпространством, исключая те из них,
которые разлагаются в свободное произведение циклических. Точнее, F -группы
– это конечно порожденныые фуксовы группы, а бесконечно порожденные фуксовы группы раскладываются в свободное произведение циклических групп.
В монографии Р. Линдона и П. Шуппа [9] дано полное описание абелевых
подгрупп произвольных F -групп. В работе [3] дано описание подгрупп, на которых выполняется нетривиальное тождество, произвольных фуксовых групп.
В настоящем сообщении уточняются некоторые результаты из этой работы.
Теорема 1. Для подгрупп фуксовых групп выполняется усиленный вариант альтернативы Титса:
произвольная подгруппа H фуксовой группы либо является разрешимой
ступени ≤ 3 или знакопеременной группой A(5), либо H содержит подгруппу,
изоморфную свободной группе ранга 2.
Следствие 1. На подгруппе H произвольной фуксовой группы G не выполняется нетривиальное тождество тогда и только тогда, когда H содержит
подгруппу, изоморфную свободной группе ранга 2.
Следствие 2. Если на подгруппе H произвольной фуксовой группы G выполняется нетривиальное тождество, то H либо разрешимая группа ступени ≤ 3, либо знакопеременная группа A(5).
Список цитированной литературы
[1] Tits, J. Free subgroups in linear groups // J. Algebra.– 1972.– Vol. 20.– P. 250–
270.
[2] Majeed A., Mason A.W. // Glasgow Math. J. 1989. Vol. 19. P. 45 – 48.
[3] Дурнев В. Г. О некоторых подгруппах фуксовых групп // Вопросы теории
групп и гомологической алгебры. Ярославль. ЯрГУ. 1998. С. 69 – 77.
[4] Rosenberger G. On free subgroups of generalized triangle groups // Алгебра и
логика. 1989. Т. 28, №2. С. 227 – 240.
[5] Fine B., Rosenberger G. Algebraic generalizations of discrite groups: a path to
combinatorial group theory through one-relator products. New York: Marcel
Dekker. 1999.
[6] Беняш-Кривец В.В. Об альтернативе Титса для некоторых конечно порожденных групп // Доклады НАН Беларуси. 2003. Т. 47, №2. С. 29 – 32.
[7] Беняш-Кривец В.В. О свободных подгруппах некоторых треугольных
групп // Доклады НАН Беларуси. 2003. Т. 47, №3. С. 14 – 17.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
77
[8] Баркович О.А, Беняш-Кривец В.В. Об альтернативе Титса для некоторых
обобщенных треугольных групп типа (3, 4, 2) // Доклады НАН Беларуси.
2004. Т. 48, №3. С. 28 – 33.
[9] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
[10] Молдаванский Д.И. О некоторых подгруппах групп с одним определяющим
соотношением // Сиб. мат. журнал. 1967. Т. 8. С. 1370 – 1384.
[11] Чеботарь А. Подгруппы групп с одним определяющим соотношением, не
содержащие свободных подгрупп ранга 2 // Алгебра и логика. 1971. Т. 10.
С. 570 – 586.
[12] Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN groups and groups with one defining
relation // Canad. J. Math. 1971. Vol. 23. P. 627 – 643.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
УДК 512.543.76
О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ НА СВОБОДНЫХ
ГРУППАХ
Д. З. Каган (г. Москва)
[email protected]
В связи с вопросами об устойчивости функциональных уравнений на группах, вторыми группами когомологий, шириной вербальных подгрупп появились
понятия псевдохарактеров и квазихарактеров. Псевдохарактеры были введены
А.И. Штерном ([1]). Вопросы об их существовании на различных типах групп
и их свойствах рассматривались в работах Р.И. Григорчука ([2, 3]), В.Г. Бардакова ([4]), В.А. Файзиева ([5]), автора ([6, 7]).
Псевдохарактер - это функция φ : G → R из некоторой группы G в пространство действительных чисел R, обладающая следующими двумя свойствами:
1) существует положительное число ε > 0, такое что
|φ(ab) − φ(a) − φ(b)| ≤ ε ∀a, b ∈ G.
2) φ(xn ) = n ∗ φ(x) для любого целого n и любого x ∈ G.
Нетривиальным называется псевдохарактер, для которого существуют элементы a, b ∈ G, такие что φ(ab) ̸= φ(a) + φ(b).
Р. И. Григорчук в работе [3] поставил вопросы о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и
двумя образующими G =< a, t|r(a, t) = 1 >, а также о специальных псевдохарактерах на свободных группах.
Вопрос 1, Григорчук. Пусть G - неаменабельная группа с одним определяющим соотношением. Верно ли, что на G существуют нетривиальные псевдохарактеры?
78
Секция 1
Вопрос 2, Григорчук. Пусть F - свободная группа ранга ≥ 2, и α : F →
F0 — изоморфизм F на свою подгруппу F0 ∈ F. Верно ли, что существует
ненулевой α-инвариантный (т.е. f (α(x)) = f (x) псевдохарактер на F ?
Для решения этих вопросов необходимо определить на свободной группе Fn
функции, с помощью которых можно построить нетривиальные псевдохарактеры, инвариантные относительно эндоморфизмов свободной группы.
Найдены условия на эндоморфизмы свободных групп, при выполнении которых такие нетривиальные псевдохарактеры существуют.
Пусть Fn =< a0 , . . . , an−1 > - свободная группа. Рассматриваются эндоморфизмы Fn , при которых происходят следующие преобразования порождающих:
a0 переходит в a1 , a1 - в a2 , ..., an−1 переходит в некоторый элемент свободной группы U0 (a0 , . . . , an−1 ). Несократимая запись элемента U0 по специальному правилу разбивается на три части U0 ≡ U01 U00 U02 , где U00 — это часть слова
U0 , которая содержит все буквы a0 , лежащие в U0 и ограничена ими.
Нужно построить функции на свободной группе Fn , которые будут инвариантны относительно рассматриваемого эндоморфизма. Для каждого элемента
свободной группы строится система связанных с этим элементом функций на
группе. Далее в зависимости от вида U0 выбирается такой элемент v ∈ Fn , что
из набора связанных с ним функций в пределе может быть получен искомый
нетривиальный псевдохарактер. Найдены условия на элемент U0 ≡ U01 U00 U02 ,
при которых в свободной группе можно выбрать такой элемент v. Следовательно, если эти условия на U0 выполнены, на свободной группе существуют псевдохарактеры, инвариантные относительно эндоморфизма. Эти условия
можно сформулировать в 2 теоремах.
Теорема 1. Пусть Fn =< a0 , . . . , an−1 > - свободная группа ранга n > 1, и
на ней определен эндоморфизм α, при котором a0 → a1 , . . . , an−2 → an−1 , an−1 →
U0 ≡ U01 U00 U02 . Пусть U00 - циклически несократимо и U00 содержит в несократимой записи букву a±1
n−1 . Тогда на группе Fn существует нетривиальный
псевдохарактер, инвариантный относительно эндоморфизма α.
Теорема 2. Пусть Fn =< a0 , . . . , an−1 > - свободная группа ранга n > 1, и
на ней определен эндоморфизм α, при котором a0 → a1 , . . . , an−2 → an−1 , an−1 →
U0 ≡ U01 U00 U02 . Пусть U0 содержит a±2
n−1 и U0 - циклически несократимо.
Пусть также U00 - циклически несократимо и U00 ̸= a±1
0 . Тогда на группе
Fn существует нетривиальный псевдохарактер, инвариантный относительно рассматриваемого эндоморфизма.
Список цитированной литературы
[1] Штерн А. И. Квазипредставления и псевдопредставления // Функц. анализ
и его прил. 1991. Т. 25, №2. С. 70–73.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
79
[2] Grigorchuk R.I. Some results on bounded cohomology // Combinatorialand
Geometric Group Theory. Edinburg, 1993; // London Math. Soc. Lecture Notes
Ser.. Vol. 284. Cambridge: Cambridge University Press, 1994. P. 111–163.
[3] Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций //
Математические заметки. 1996. Т. 59, №4. С. 546–550.
[4] Бардаков В.Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, №5. С. 494–517.
[5] Файзиев В.А. Об устойчивости одного функционального уравнения на
группах // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, №1. С. 193–194.
[6] Каган Д. З. О существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях групп // Вестник МГУ. 2004. №6. С. 24–28
[7] Каган Д. З. Псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2006,
Т. 12, вып. 3. С. 55–64.
Московский государственный университет путей сообщения
УДК 512.541
АБСОЛЮТНЫЙ РАДИКАЛ ДЖЕКОБСОНА
АБЕЛЕВЫХ M T -ГРУПП
Е. И. Компанцева (г. Москва)
[email protected]
Умножением на абелевой группе G называется гомоморфизм G ⊗ G → G.
Абелева группа G с заданным на ней умножением называется кольцом на группе G. В [1] поставлена задача изучения абелевых групп, у которых любое умножение на периодической части продолжается единственным образом до умножения на всей группе. Такие группы, называемые M T -группами, часто встречаются в работах по теории абелевых групп, среди них содержатся, например,
все урегулированные копериодические группы и их вполне характеристические
подгруппы [2], а также так называемые SI-группы [3].
В настоящей работе описан абсолютный радикал Джекобсона произвольной
M T -группы. Под абсолютным радикалом Джекобсона абелевой группы G понимается пересечение J ∗ (G) радикалов всех ассоциативных колец на G. Проблема
описания абсолютных радикалов абелевых групп сформулирована Л.Фуксом в
[2, проблема 94].
Для произвольной группы G обозначим через Λ(G) множество всех простых
p, для которых Tp (G) ̸= 0, где Tp (G) — p-примарная компонента группы G.
80
Секция 1
Теорема
∩ 1. Для любой M T -группы G ее абсолютный радикал Джекобсона
J ∗ (G) =
pG. При этом на группе G существует ассоциативное и комp ∈ Λ(G)
мутативное
кольцо, радикал Джекобсона которого совпадает с подгруппой
∩
pG.
p ∈ Λ(G)
Список цитированной литературы
[1] Topics in abelian groups, — Chicago, Ill., 1963.
[2] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977.
[3] Иванов А. В., Абелевы группы с самоинъективными кольцами эндоморфизмов и кольцами эндоморфизмов с аннуляторным условием // Абелевы
группы и модули. Томск: ТГУ, 1982. С. 99–109.
Московский педагогический государственный университет,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
УДК 512.542
РАСПОЗНАВАЕМОСТЬ ПО ГРАФУ ПРОСТЫХ
ЧИСЕЛ ГРУПП E7 (2) и E7 (3)1
А. С. Кондратьев (г. Екатеринбург)
[email protected]
Пусть G –– конечная группа. Обозначим через ω(G) спектр группы G, т. е.
множество всех порядков ее элементов. Множество ω(G) определяет граф простых чисел (или граф Грюнберга—Кегеля) Γ(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и
q смежны тогда и только тогда, когда pq ∈ ω(G). Обозначим число компонент
связности графа Γ(G) через s(G).
Общее строение конечных групп с несвязным графом простых чисел дается
теоремой Грюнберга –– Кегеля (см. [1, теорема A]). Конечные простые неабелевы группы с несвязным графом простых чисел описаны в работах Уильямса [1]
и автора [2]. Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга ––
Кегеля нашли большое применение в теории групп.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-01-00469), программы
Отделения математических наук РАН (грант № 12-Т-1-1003), программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН (грант № 12-С-1-1018) и с НАН Беларуси (грант № 12-С-1-1009)
и в рамках проекта повышения конкурентоспособности (соглашение между Министерством
образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от
27.08.2013, грант № 02.A03.21.0006).
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
81
В теории конечных групп сложилось и динамично развивается направление
исследований распознаваемости конечных групп по спектру (см. обзор В. Д. Мазурова [3]) или графу простых чисел.
Конечная группа G называется распознаваемой по спектру (соответственно
графу простых чисел), если она определяется своим спектром (соответственно графом простых чисел) с точностью до изоморфизма. Ясно, что из распознаваемости группы по графу простых чисел следует ее распознаваемость по
спектру. Первый необходимый этап решения вопроса распознаваемости конечных простых групп по спектру или графу простых чисел заключается в доказательстве условия квазираспознаваемости (которое было введено автором в 2001
г.), более слабого, чем распознаваемость. Конечная простая неабелева группа
P называется квазираспознаваемой по спектру (соответственно графу простых
чисел), если любая конечная группа G c условием ω(G) = ω(P ) (соответственно Γ(G) = Γ(P )) имеет единственный неабелев композиционный фактор и этот
фактор изоморфен P .
В двух работах О. А. Алексеевой и автора [4, 5] была доказана квазираспознаваемость по спектру конечных простых групп, граф Грюнберга — Кегеля
которых имеет по крайней мере три компоненты связности, за исключением
группы A6 (которая не квазираспознаваема по спектру).
В [3] В. Д. Мазуров поставил следующий вопрос: верно ли, что любая конечная простая группа G с условием s(G) ≥ 3 либо распознаваема по спектру,
либо изоморфна A6 ?
В более чем 30 работах примерно 20 авторов, начиная с 1983 г., был получен
положительный ответ на этот вопрос для всех конечных простых групп G с
условием s(G) ≥ 3, кроме исключительных групп E7 (2) и E7 (3).
В данной работе положительное решение этого вопроса В. Д. Мазурова полностью завершено доказательством следующей теоремы.
Теорема. Группы E7 (2) и E7 (3) распознаваемы по графу простых чисел.
Список цитированной литературы
[1] Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981.
Vol. 69, no. 2. P. 487–513.
[2] Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых
групп // Мат. сб. 1989. Т. 180, № 6. С. 787–797.
[3] Мазуров В. Д. Группы с заданным спектром // Изв. Урал. гос. ун-та. 2005.
Т. 36. С. 119–138.
[4] Алексеева О. А., Кондратьев А. С. О распознаваемости группы E8 (q) по
множеству порядков элементов // Укр. мат. журн. 2002. Т. 54, № 7. С. 1003–
1008.
82
Секция 1
[5] Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость одного класса
конечных простых групп по множеству порядков элементов // Сиб. мат.
журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 241–255.
Институт математики и механики УрО РАН
УДК 512.
ОБ АСФЕРИЧНОСТИ НАД
ПОДКОПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ
О. В. Куликова (г. Москва)
[email protected]
Пусть {Pi | i ∈ I} – набор подкопредставлений копредставления P некоторой группы, а Xi – набор всех базированных сферических картинок над Pi ,
i ∈ I. Будем говорить, что множество Y базированных∪сферических картинок
над P порождает π2 P над {Pi | i ∈ I}, если Y ∪ i∈I Xi порождает π2 P.
Будем говорить, что копредставление P является (A) над {Pi | i ∈ I}, если π2 P
порождается над {Pi | i ∈ I} пустым множеством. (Подробности о картинках и
их связи с π2 P можно найти в работах [1] и [2].)
∪
Рассмотрим свободную группу F с базисом x и множество r = ni=1 ri циклически приведенных слов в x ∪ x−1 , где r1 , . . . , rn – взаимно непересекающиеся
множества. Будем предполагать, что никакое слово из r не является тривиальным и не сопряжено ни с каким другим словом из r или обратным к нему. Пусть
R – нормальное замыкание множества r в свободной группе F , а G = F/N –
группа, заданная копредставлением P = ⟨x | r⟩. Для каждого i = 1,
∏. . . , n, пусть
Ri – нормальное замыкание множества ri в F , Pi = ⟨x | ri ⟩, Ni = j̸=i Rj .
Теорема 1. Если π2 P порождается над {Pi | i = 1, . . . , n} множеством
Y базированных сферических картинок над P, то для каждого i = 1, . . . , n,
Ri ∩Ni
группа [R
порождается множеством
i ,Ni ]
{W VY W −1 [Ri , Ni ] | Y ∈ Y, W ∈ W},
где VY – метка произвольного простого замкнутого пути в базированной сферической картинке Y , разделяющего диски с ri -метками и диски с (r − ri )метками, а W ⊆ F – множество представителей смежных классов F по
N.
Отметим [3], что VY [Ri , Ni ] является образом элемента < σY >∈ π2 (P), где
σY – последовательность, представленная картинкой Y ∈ Y, при G-гомоморфизме
Ri ∩ Ni
,
ηi : π2 (P) →
[Ri , Ni ]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
83
определенного по правилу: ηi (< σ >) = V [Ri , Ni ], где < σ >∈ π2 (P) и V – это
произведение (взятых в порядке следования) элементов последовательности σ,
имеющих вид U S ϵ U −1 , где S ∈ ri , ϵ = ±1, U ∈ F .
Семейство {R1 , . . . , Rn } называется независимым, если
Ri ∩ Ni = [Ri , Ni ]
для i = 1, . . . , n. Это понятие и близкие к нему изучались в [4, 5, 6, 7, 8].
Например [4, 5, 6], если семейство {R1 , . . . , Rn } является независимым, то P
является (A) над {Pi | i = 1, . . . , n}. В работе [4] доказано обратное утверждение
для n = 2. Из Теоремы 1 получаем следующее обобщение.
Следствие 1. Если P является (A) над {Pi | i = 1, . . . , n}, то семейство
{R1 , . . . , Rn } является независимым.
Список цитированной литературы
[1] Pride S. J. Identities among relations of group presentations // in: E. Ghys et
al., eds., Proceedings of the Workshop on Group Theory from a Geometrical
Viewpoint. World Scientific Publishing, Singapore. 1991. P. 687–717.
[2] Bogley W. A., Pride S. J. Calculating Generators of π2 // Two-dimensional
Homotopy Theory and Combinatorial Group Theory, London Math. Soc. Lec.
Notes Ser. 1993. Vol. 197 ( ser. II ), P. 157–188.
[3] Bogley W. A., Gutierrez M. A. Mayer-Vietoris sequences in homotopy of 2complexes and in homology of groups // J.Pure Appl.Algebra. 1992. Vol. 77.
P. 39–65.
[4] Guti´errez M. A., Ratcliffe J. G. On the second homotopy group // Quart. J.
Math. Oxford. 1981. (2) Vol. 32. P. 45–55.
[5] Duncan A. J., Ellis G. J., Gilbert N. D. A Mayer-Vietoris sequence in group
homology and the decomposition of relation modules // Glasgow Math. J. 1995.
Vol. 37. P. 159–171.
[6] Huebschmann J. Aspherical 2-complexes and an unsettled problem of
J.H.C.Whitehead // Math. Ann. 1981. Vol. 258. P. 17–37.
[7] Gilbert N. D. Identities between sets of relations // Journal of Pure and Applied
Algebra. 1993. Vol. 83. P. 263–276.
[8] Bogley W. A. An embedding for π2 of a subcomplex of a finite contractible
two-complex // Glasgow Math. J. 1991. Vol. 33. P. 365–371.
МГТУ им. Н.Э.Баумана
84
Секция 1
УДК 512.
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ГРУПП КОКСТЕРА
И. И. Кучеров (г. Тула)
[email protected]
Рассмотрим конечно порожденную группу Кокстера, заданную копредставлением
G = ⟨a1 , . . . , an ; a2i , (ai aj )mij , i, j ∈ 1, n, i ̸= j⟩,
где mij – элементы симметрической матрицы Кокстера, ∀i, j ∈ 1, n mii =
1, mij > 2 (i ̸= j).
Построим для группы G граф Γ такой, что вершинам его ребер соответствуют образующие ai и aj (i ̸= j), и, значит, каждому ребру соответствует
соотношение (ai aj )mij = 1. Если таким образом получится конечный связный
дерево-граф Γ, то группа G называется группой Кокстера с древесной структурой.
Группу G можно также рассматривать как древесное произведение
⟨
⟩
∏
G=
∗Gs ; relG1 , . . . , relGs , . . . ; ai = a′i ,
s
где каждый сомножитель Gs есть двупорожденная группа Кокстера вида
⟨ai , aj ; a2i , a2j , (ai aj )mij ⟩,
а изоморфизмы ai = a′i объединяют циклические подгруппы порядка 2 вида
⟨ai ; a2i ⟩.
Алгоритмические проблемы для групп Кокстера с древесной структурой
рассматриваются в работах В. Н. Безверхнего и О. В. Инченко. В статьях [1, 2]
используется обобщение метода Нильсена (см. напр. [3]) для случая свободных
произведений с объединением и HN N -расширений. В [1] доказывается
Теорема 1. В конечно порожденной группе Кокстера G с древесной структурой разрешима проблема пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп H1 и H2 и существует алгоритм, выписывающий образующие
пересечения w1 H1 ∩ w2 H2 .
Определение 3 ([4]). Если нормализатор каждой конечно порожденной
подгруппы H группы G конечно порожден, то будем говорить, что группа G
обладает свойством R.
В работе [4] также применяется обобщение метода Нильсена для случая
свободного произведения. В частности, там доказывается
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
85
Теорема 2. Если в группе G = A1 ∗ A2 сомножители Ai обладают свойством R, то G наследует это свойство.
Используя указанную технику, можно доказать следующее утверждение:
Теорема 3. В конечно порожденной группе Кокстера G с древесной структурой нормализатор NG (H) конечно порожденной подгруппы H конечно порожден.
Список цитированной литературы
[1] Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 2. C. 16–31.
[2] Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении двух двупорожденных групп Кокстера, объединенных по конечной циклической подгруппе // Известия ТулГУ. Естественные
науки. 2009. Вып. 2. C. 38–54.
[3] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 447 c.
[4] Безверхняя И. С. О сопряженности конечных множеств подгрупп в свободном произведении групп // Алгоритмические проблемы теории групп и
полугрупп: межвуз. сб. Тула: ТГПИ. 1981. С. 102–116.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 512.
ВОПРОСЫ СТРУКТУРНОГО ОПИСАНИЯ
КОНЕЧНЫХ КВАЗИПОЛЕЙ И ПОСТРОЕНИЯ
ПЛОСКОСТЕЙ ТРАНСЛЯЦИЙ
В. М. Левчук, С. В. Панов, П. К. Штуккерт (г. Красноярск)
[email protected]
Сибирский федеральный университет
УДК 519.4
ПРОБЛЕМА СОПРЯЖЕННОСТИ В ДРЕВЕСНОМ
ПРОИЗВЕДЕНИИ ГРУПП
Е. С. Логачева (г. Тула)
[email protected]
86
Секция 1
Определение 1. Будем говорить, что в группе G разрешима проблема
сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых
двух слов w1 , w2 из G установить, существует ли элемент h ∈ G такой, что
h−1 w1 h = w2 .
Определение 2. Будем говорить, что в группе G разрешима проблема сопряженности подгрупп, если существует алгоритм, позволяющий для любых
двух конечно порожденных подгрупп H1 , H2 из G установить, существует ли
элемент z ∈ G такой, что z −1 H1 z = H2 .
В 1973 году С. Липшуц установил разрешимость проблемы сопряженности
слов в классе групп Fm ∗C Fn , где Fm и Fn - свободные группы рангов m, n < ∞,
C — циклическая подгруппа [11]. Безверхним В. Н. решена проблема сопряженности и степенной сопряженности слов в группах с одним определяющим
соотношением с кручением и в их свободном произведении с циклическим объединением [4]. Фридманом А. А. была решена проблема сопряженности слов в
q
группе ⟨Fm , t|t−1 vipi t = vj j ⟩, где Fm - свободная группа, m < ∞, vi , vj ∈ Fm [12].
Проблема сопряженности подгрупп впервые была рассмотрена Ремесленниковым В. Н. в 1967 году в классе нильпотентных групп, в дальнейшем положительное решение указанной проблемы было получено в работах [1, 2, 6, 9],
отрицательное в работе [5].
Рассмотрим группу G, являющуюся древесным произведением свободных
групп конечного ранга с циклическим объединением:
G=⟨
n
∏
q
∗Fni |vipi (ai1 , ai2 , ..., aim ) = wj j (aj1 , aj2 , ..., ajk ), |im |, |jk | ≥ 1⟩.
i=1
Теорема 1. В группе G разрешима проблема сопряженности слов.
Рассмотрим группу GΓ - древесное
циклических групп с цик∏n произведение
nj
mi
лическим объединением: GΓ = ⟨ k=1 ∗⟨ak ⟩|ai = aj ⟩, |mi |, |nj | ≥ 1, i, j = 1, n
и HN N -расширение группы GΓ : GΓ = ⟨GΓ , t|rel(GΓ ), t−1 U1 t = U−1 ⟩, где U1 =
⟨asi 1 ⟩, U−1 = ⟨asj 2 ⟩, |s1 |, |s2 | ≥ 1, i, j = 1, n.
Теорема 2. В группе GΓ разрешима проблема сопряженности слов.
∗
Рассмотрим дальнейшее обобщение группы GΓ , т.е. рассмотрим группу GΓ ,
являющуюся HN N -расширением группы GΓ с помощью конечного числа правильных проходных букв t1 , t2 , ..., tm :
G
∗
Γ
= ⟨GΓ , t1 , t2 , ..., tm |rel(GΓ ), t−1
s U1 ts = U−1 ⟩,
где U1 = ⟨asi 1 ⟩, U−1 = ⟨asj 2 ⟩, |s1 |, |s2 | ≥ 1, i, j = 1, n, s = 1, m.
∗
Теорема 3. В группе G
Γ
разрешима проблема сопряженности слов.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
87
Для решения проблемы сопряженности слов в указанных группах предварительно решены проблемы пересечения конечно порожденной подгруппы с циклической подгруппой из сомножителя, а также проблема пересечения смежного
класса конечно порожденной подгруппы с циклической подгруппой из сомножителя.
Теорема 4. [8] В группе GΓ разрешима проблема сопряженности конечно
порожденных подгрупп.
Рассмотрим группу Баумслага:
G∗ = ⟨a, t; t−1 am t = an ⟩, |m|, |n| > 1, i ̸= j, i ∈ I1 , j ∈ I2 ,
являющуюся HN N -расширением бесконечной циклической группы ⟨a⟩ с помощью проходной буквы t.
Теорема 5. [7] В группе G∗ разрешима проблема сопряженности конечно
порожденных подгрупп.
Список цитированной литературы
[1] Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном
классе HNN-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение: межвузовский сборник научных трудов. Тула,
1983. С. 50–80.
[2] Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного
класса групп. I-II // Современная алгебра: межвузовский сборник. Л., 1977.
Вып. 6. C. 16–32.
[3] Безверхний В. Н. О пересечении конечно-порожденных подгрупп свободной
группы // Сборник научных трудов кафедры высшей математики. Тульский политехнический институт., 1974. Вып. 2. C. 51–56.
[4] Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых
классах групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп:
межвузовский сборник научных трудов. Тула, 1990. С. 103–152.
[5] Безверхний В. Н. Неразрешимость проблемы сопряженности подгрупп для
свободного произведения свободных групп с объединением // Сборник научных трудов кафедры высшей матетики. Тульский политехнический институт, 1975. Вып. 2. С. 90–95.
[6] Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения групп // XXI Всесоюзный алгебраический колоквиум.
Кишинев, 1971. С. 9–10.
88
Секция 1
[7] Безверхний В. Н., Логачева Е. С. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп // Известия ТулГУ. Сер. Математика.
Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 1. C. 83–101.
[8] Логачева Е. С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп // Известия ТулГУ. Естественные
науки. Тула. 2013. Вып. 2., ч. 1. С. 19–40.
[9] Молдаванский Д. И. Решение проблемы сопряженности подгрупп // XXI
Всесоюзный алгебраический колоквиум. Кишинев, 1971. С. 62–63.
[10] Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества
слов в теории групп // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1955. Т. 44. C. 1–143.
[11] Lipshutz S. Nhe congugacy problem and cyclic amalgamations // Bull. Amer.
Math. Soc. 1973. P. 114–116.
[12] Фридман А. А. Решение проблемы сопряженности в одном классе групп //
Труды МИАН. М. 1973. Т. 133. С. 233–242.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 512.542
ПРИМЕР УДВОЕННОЙ ГРУППЫ ФРОБЕНИУСА,
ИЗОСПЕКТРАЛЬНОЙ ПРОСТОЙ ГРУППЕ U3 (3).
В. Д. Мазуров (г. Новосибирск)
[email protected]
Рассматриваются только конечные группы. Пусть G — группа. Обозначим
через ω(G) спектр G, т.е. множество всех порядков элементов G. Группы с
одинаковым спектром будем называть изоспектральными. Поскольку множество ω(G) замкнуто по отношению делимости, оно однозначно определяется
своим подмножеством µ(G), состоящим из максимальных по делимости элементов спектра.
Удвоенной группой Фробениуса называется группа G, содержащая нормальную подгруппу Фробениуса B с ядром A такую, что G/A является группой
Фробениуса с ядром B/A. Графом простых чисел или графом Грюнберга-Кегеля
GK(G) группы G назывантся неориентированный граф, вершинами которого
служат простые делители порядка G и два разных простых делителя p и q
смежны, если G содержит элемент порядка pq.
В работе [1] доказано, что разрешимая группа G с несвязным графом GK(G)
является группой Фробениуса или удвоенной группой Фробениуса. М.Р. Алеева
(Зиновьева) [2] показала, что список простых групп, изоспектральных группам Фробениуса, исчерпывается группами L3 (3) и U3 (3), а простыми группами,
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
89
изоспектральными удвоенным группам Фробениуса, могут быть только группы
U3 (3) и S4 (3), но вопрос о существовании таких удвоенных групп Фробениуса
оставался открытым. В [3] доказано, что простая неабелева группа, изоспектральная разрешимой, изоморфна одной из групп L3 (3), U3 (3), S4 (3) или A10 .
А.М. Старолетов [4] описал группы, изоспектральные A10 . Все они неразрешимы. А.В. Заварницин [5] построил пример удвоенной группы Фробениуса
порядка 5 648 590 729 620 = 22 · 324 · 5, изоспектральной S4 (3).
Цель настоящего сообщения — рассмотреть оставшийся случай.
Теорема 1. Существует удвоенная группа Фробениуса, изоспектральная
простой группе U3 (3).
Построенная группа является полупрямым произведением группы P порядка 218 на группу Фробениуса порядка 21.
Группа P порождается элементами x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 , удовлетворяющих следующему набору определяющих соотношений:
x4i = yi4 = 1, i ∈ {1, 2, 3};
(1)
[xi , xj ] = [yi , yj ] = 1, i, j ∈ {1, 2, 3};
(2)
[xi , yi ] = 1, i ∈ {1, 2, 3};
(3)
[xi , yj ] ∗ [xj , yi ] = 1, 1 6 i < j 6 3;
(4)
[[xi , yj ], xk ] = [[xi , yj ], yk ] = 1, i, j, k ∈ {1, 2, 3}.
(5)
Из этих соотношений вытекает
Лемма 1. Ступень нильпотентности P равна 2 и P — 2-группа.
2. Подгруппы X = ⟨x1 , x2 , x3 ⟩ и Y = ⟨y1 , y2 , y3 ⟩ изоморфны прямому произведению трёх циклических подгрупп порядка 4 и P = ⟨X, Y ⟩.
3. Коммутант Z группы P порождается элементами z1 = [x1 , y2 ], z2 =
[x1 , y3 ], z3 = [x2 , y3 ], порядки которых равны 4, и изоморфен прямому произведению трёх групп порядка 4.
4. Порядок P равен 218 .
5. Экспонента P равна 8.
Пусть rx и ry — автоморфизмы групп X и Y , соответственно, матрицы которых в базисах x1 , x2 , x3 и y1 , y2 , y3 этих групп равны матрице


0 1 0
0 0 1 .
1 −1 2
90
Секция 1
Эти автоморфизмы однозначно продолжаются до автоморфизма r порядка 7
группы P . Матрица ограничения r на Z в базисе z1 , z2 , z3 равна


0
0 1
−1 0 2 .
0 −1 1
Автоморфизм r действует без неподвижных точек на P .
Пусть, далее, sx и sy — автоморфизмы групп X и Y , соответственно, матрицы которых в базисах x1 , x2 , x3 и y1 , y2 , y3 этих групп равны


1 0
0
0 0
1 .
2 −1 −1
Эти автоморфизмы однозначно продолжаются до автоморфизма s порядка 3
группы P . Матрица ограничения s на Z в базисе z1 , z2 , z3 равна


0
1 0
−1 −1 0 .
0
2 1
Группа неподвижных точек s в X равна ⟨x1 ⟩, группа неподвижных точек s в Y
равна ⟨y1 ⟩, группа неподвижных точек s в Z равна ⟨z12 z22 z3 ⟩. Отсюда вытекает,
что группа C неподвижных точек автоморфизма s в P порождается элементами
x1 , y1 , z12 z22 z3 . По (3) и лемме 1 C — коммутативная группа экспоненты 4.
Кроме того, s−1 rs = r2 , т.е. F = ⟨r, s⟩ — группа Фробениуса порядка 21.
Искомая группа — это естественное полупрямое произведение P на F .
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 14-01-90013, 14-01-91165), а также программы СО РАН проектов партнёрских фундаментальных исследований на
2012-2014 гг. (проект № 14).
Список цитированной литературы
[1] J. S. Williams. Prime graph components of finite groups. J. Algebra, 69, no. 2
(1981), 487–513.
[2] М. Р. Алеева. О конечных простых группах с множеством порядков элементов, как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Мат.
заметки. 2003. Т. 73, № 3. С. 323-–339.
[3] M. S. Lucido, A. R. Moghaddamfar. Groups with complete prime graph
connected components // J. Group Theory. Vol. 73, №. 3. P. 373—384.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
91
[4] А. М. Старолетов. Неразрешимость конечных групп, изоспектральных знакопеременной группе степени 10 // Сиб. электрон. мат. изв. 2008. Т. 5. С.
20—24.
[5] А. В. Заварницин. Разрешимая группа, изоспектральная группе S4 (3) //
Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 1. С. 26—31.
[6] В. Д. Мазуров, В. Дж. Ши. Признак нераспознаваемости конечной группы
по спектру // Алгебра и логика. 2012. Т. 51, № 2. С. 239-–243.
Институт математики СО РАН
УДК 519.4
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПАЛИНДРОМИЧЕСКИХ
АВТОМОРФИЗМОВ
А. И. Некрицухин (г. Тула)
[email protected]
Редуцированное слово aα1 1 . . . aαs s , ai ∈ {x1 , . . . , xs }, αi ∈ Z называется палиндромом, если оно равно своему противоположному aαs s . . . aα1 1 , то есть записанному в обратном порядке. В [1] определена группа палиндромических автоморфизмов, как подгруппа всех автоморфизмов свободной группы, для которых
образ каждого порожденного элемента свободной группы есть палиндром.
Вычислен центр группы палиндромических автоморфизмов. Это циклическая группа второго порядка порожденная автоморфизмом, переводящим каждый порождающий элемент свободной группы, в обратный. Показано, что пересечение группы палиндромических автоморфизмов и группы автоморфизмов,
действующих на свободной группе тождественно по модулю коммутанта, нетривиально.
Список цитированной литературы
[1] Collins D. J. Palindromic automorphisms of free groups // Combinatorial and
geometric group theory (Edinburgh, 1993) London Math. Soc. Lecture Note
Ser., 204, Cambridge University Press Cambridge (1995). P. 63–72.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
92
Секция 1
УДК 512.543
АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ
СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП
В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
А. В. Розов (г. Иваново)
[email protected]
Напомним, что если K — некоторый класс групп, то группа G называется аппроксимируемой группами из класса K (или, короче, K–аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента x из G существует гомоморфизм
группы G на группу из класса K, образ элемента x относительно которого отличен от единицы. Если F обозначает класс всех конечных групп, то понятие
F–аппроксимируемой группы совпадает с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучается
также свойство Fp –аппроксимируемости, где p — простое число, Fp — класс
всех конечных p–групп. Будем рассматривать также свойство почти Fp –аппроксимируемости, являющееся промежуточным между финитной аппроксимируемостью и Fp –аппроксимируемостью. Напомним, что группа G обладает
некоторым свойством почти, если она содержит подгруппу конечного индекса,
обладающую этим свойством.
Примером финитно аппроксимируемой группы является произвольная полициклическая группа. Это было доказано К. Гиршем [1] еще в 1952 году. Позднее в 1968 году А. Л. Шмелькин [2] установил более тонкое свойство полициклических групп. Он доказал, что любая полициклическая группа почти Fp –
аппроксимируема для каждого простого числа p.
Рассмотрим теперь свободное произведение двух полициклических групп с
объединенной подгруппой. Оно уже не обязано быть финитно аппроксимируемой группой. С другой стороны, в 1963 году Г. Баумслаг [3] доказал, что свободное произведение двух полициклических групп с нормальной объединенной
подгруппой финитно аппроксимируемо. Мы доказали аналогичный результат
для почти Fp –аппроксимируемости.
Теорема 1. . Пусть G — свободное произведение полициклических групп
A и B с нормальной объединенной подгруппой H. Тогда группа G почти Fp –
аппроксимируема для любого простого числа p.
Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие
разрешимой группы конечного ранга. Группа G называется группой конечного
ранга, если существует целое положительное число r такое, что любая конечно
порожденная подгруппа группы G порождается не более чем r элементами.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
93
В отличие от полициклических групп разрешимые группы конечного ранга
уже не обязаны быть финитно аппроксимируемыми. Критерий финитной аппроксимируемости разрешимых групп конечного ранга был получен Д. Робинсоном [4, п. 5.3.2], а критерий почти Fp –аппроксимируемости — Д. Н. Азаровым.
Заметим, что свободное произведение двух разрешимых групп конечного
ранга с нормальной объединенной подгруппой не обязано быть финитно аппроксимируемой группой даже когда его свободные сомножители финитно аппроксимируемы. Для такого свободного произведения нами был получен критерий финитной аппроксимируемости.
Теорема 2. . Пусть G — свободное произведение финитно аппроксимируемых групп A и B с нормальной объединенной подгруппой H, не совпадающей
с группами A и B. Если группы A и B являются разрешимыми группами конечного ранга, то группа G тогда и только тогда финитно аппроксимируема,
когда финитно аппроксимируемы фактор-группы A/H и B/H.
Частным случаем этой теоремы является упомянутый выше результат Баумслага о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух полициклических групп с нормальным объединением. Заметим, что для случая
конечно порожденных групп A и B конечного ранга теорема 2 ранее была доказана Д. Н. Азаровым [5].
Заметим теперь, что в теореме 2 нельзя заменить финитную аппроксимируемость на Fp –аппроксимируемость. Однако у нас есть гипотеза, что аналог
теоремы 2 справедлив для почти Fp –аппроксимируемости. Пока нам удалось
это доказать только для нильпотентных A и B.
Теорема 3. . Пусть G — свободное произведение почти Fp –аппроксимируемых групп A и B с нормальной объединенной подгруппой H, не совпадающей с
группами A и B. Если группы A и B являются нильпотентными группами конечного ранга, то группа G тогда и только тогда почти Fp –аппроксимируема,
когда фактор-группы A/H и B/H почти Fp –аппроксимируемы.
Заметим, что для Fp –аппроксимируемости подобный результат уже не имеет места. Тем не менее, требуя дополнительно от объединенной подгруппы H,
чтобы она содержалась в центрах групп A и B, нами был получен следующий
критерий Fp –аппроксимируемости.
Теорема 4. . Пусть G — свободное произведение Fp –аппроксимируемых
групп A и B с центральной объединенной подгруппой H, не совпадающей с
группами A и B. Если группы A и B являются нильпотентными группами
конечного ранга, то группа G тогда и только тогда Fp –аппроксимируема, когда фактор-группы A/H и B/H Fp –аппроксимируемы.
Ранее эта теорема была доказана Г. Кимом, Ю. Ли и Дж. МакКэрроном [6]
для случая, когда A и B — конечно порожденные нильпотентные группы.
94
Секция 1
Рассмотрим теперь вопрос о финитной отделимости подгрупп. Напомним,
что подгруппа H группы G называется финитно отделимой, если для каждого элемента a группы G, не принадлежащего H, существует гомоморфизм
группы G на некоторую конечную группу, при котором образ элемента a не
принадлежит образу подгруппы H.
Снова начнем с полициклических групп. Хорошо известно, что в полициклических группах все подгруппы финитно отделимы (см., напр., [4, п. 1.3.10]).
Переходя к обобщенным свободным произведениям полициклических групп,
отметим один результат Р. Алленби и Р. Грегораса [7]. Они доказали, что в свободном произведении двух полициклических групп с нормальной объединенной
подгруппой все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы. Нам удалось обобщить этот результат следующим образом.
Теорема 5. . Пусть G — свободное произведение разрешимых групп A и
B конечного ранга с нормальной объединенной подгруппой H. Если в группах
A и B финитно отделимы все подгруппы, то в группе G финитно отделимы
все конечно порожденные подгруппы.
Список цитированной литературы
[1] Hirsh K. A. On infinite soluble groups // J. London Math. Soc. – 1952. –
Vol. 27. – P. 81–85.
[2] Шмелькин А. Л. Полициклические группы // Сиб. матем. журн. 1968. Т. 9.
С. 234–235.
[3] Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent
groups // Trans. Amer. Math. Soc. – 1963. – Vol. 106. – P. 193–209.
[4] Lennox J. The theory of infinite soluble groups. Oxford.: Clarendon press, 2004.
– 344 pp.
[5] Азаров Д. Н. О финитной аппpоксимиpуемости обобщенных свободных
пpоизведений гpупп конечного ранга // Сиб. мат. жуpн. 2013. Т. 54, № 3.
С. 485–497.
[6] Kim, G. Residual p–finiteness of certain generalized free products of nilpotent
groups // Kyungpook Math. J. – 2008. – Vol. 48, № 3. – P. 495–502.
[7] Allenby, R. B. J. T. On locally extended residually finite groups // Lecture
Notes Math. – 1973. – Vol. 319. – P. 9–17.
Ивановский государственный университет
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
95
УДК 512.
АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ КОНЕЧНЫМИ
π-ГРУППАМИ НЕКОТОРЫХ СВОБОДНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ ГРУПП
Е. В. Соколов (г. Иваново)
[email protected]
Напомним, что согласно общему определению группа X называется аппроксимируемой классом групп C (или, короче, C-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента x ∈ X существует гомоморфизм ρ группы X на некоторую группу из класса C (C-группу) такой, что xρ ̸= 1. Напомним также,
что периодическая группа называется π-группой, где π — некоторое множество
простых чисел, если все простые делители порядков ее элементов принадлежат
множеству π.
Пусть P — свободное произведение конечно порожденных нильпотентных
групп A и B с конечными подгруппами C 6 A и D 6 B, объединёнными в соответствии с изоморфизмом φ : C → D. Пусть также E — HNN-расширение конечно порожденной нильпотентной группы G с конечными подгруппами H 6 G
и K 6 G, связанными при помощи изоморфизма ψ : H → K. Хорошо известно,
что группы P и E финитно аппроксимируемы. Поэтому естественным образом
возникает вопрос об отыскании условий аппроксимируемости этих групп тем
или иным подклассом класса всех конечных групп.
Критерии аппроксимируемости групп P и E конечными p-группами указаны
Д. Н. Азаровым [1] и Д. И. Молдаванским [2], соответственно. С использованием
этих результатов автором получены их обобщения на случай аппроксимируемости одним подклассом класса конечных π-групп, где множество π составлено
из всех простых делителей порядков периодических частей свободных множителей A, B и базовой группы G (см. теоремы 1 и 2 ниже). Прежде, чем сформулировать данные утверждения, введем ряд обозначений и напомним некоторые
факты, касающиеся нильпотентных групп.
Хорошо известно (см., напр., [3, § 4]), что в локально нильпотентной группе N множество всех элементов конечного порядка образует характеристическую подгруппу, называемую периодической частью группы N и обозначаемую τ (N ). Если группа N конечно порождена и, следовательно, нильпотентна,
то подгруппа τ (N ) является конечной и по теореме Бернсайда-Виландта раскладывается в прямое произведение своих силовских подгрупп.
Напомним, что главным рядом группы называется нормальный ряд, не допускающий нетривиальных нормальных уплотнений. Поскольку каждая конечная p-группа нильпотентна (см., напр., [3, лемма 1.4]), нормальный ряд такой
группы является главным тогда и только тогда, когда все его факторы имеют
порядок p.
96
Секция 1
Пусть далее θ = {p1 , . . . , pm } — множество всех простых делителей порядков
групп τ (A) и τ (B), σ = {q1 , . . . , qn } — множество всех простых делителей порядка группы τ (G). Пусть также Ak 6 τ (A) и Bk 6 τ (B) — силовские подгруппы
групп τ (A) и τ (B), соответствующие числу pk , k ∈ {1, . . . , m}, Gℓ 6 τ (G) —
силовская подгруппа группы τ (G), соответствующая числу qℓ , ℓ ∈ {1, . . . , n}.
Так как число pk не обязано делить порядки обеих групп τ (A) и τ (B), то одна
из подгрупп Ak и Bk может быть равна 1.
Если p — произвольное простое число и π — некоторое множество простых чисел, то через Fp мы будем обозначать класс всех конечных p-групп,
через Fπ — класс всех конечных π-групп, через FN π — класс всех конечных
нильпотентных π-групп и через Fp ·FN π — класс конечных разрешимых групп,
состоящий из всевозможных расширений Fp -группы при помощи FN π -группы.
Теорема 1. Приводимые далее утверждения равносильны.
1. Для каждого k ∈ {1, . . . , m} в группах Ak и Bk существуют главные
ряды Rk и Sk , удовлетворяющие следующим двум условиям:
(a) ряды Rk и Sk являются (C, D, φ)-совместимыми, т. е. множество
пересечений членов ряда Rk с подгруппой C под действием φ переходит на множество пересечений членов ряда Sk с подгруппой D;
(b) члены рядов Rk и Sk нормальны в группах A и B, соответственно.
2. Существует гомоморфизм группы P на FN θ -группу, действующий инъективно на подгруппах τ (A) и τ (B).
3. Группа P аппроксимируется классом Fp · FN θ для любого простого числа p.
Теорема 2. Приводимые далее утверждения равносильны.
1. Для каждого ℓ ∈ {1, . . . , n} в группе Gℓ существует главный ряд
1 = Gℓ,0 6 Gℓ,1 6 · · · 6 Gℓ,rℓ −1 6 Gℓ,rℓ = Gℓ ,
(Tℓ )
удовлетворяющий следующим условиям:
(a) ряд Tℓ является (H, K, ψ)-совместимым, т. е. (H ∩ Gℓ,i )ψ = K ∩ Gℓ,i
для любого i ∈ {0, 1, . . . , rℓ };
(b) для всякого i ∈ {0, 1, . . . , rℓ −1} и для каждого h ∈ H ∩Gℓ,i+1 элементы
h и hψ сравнимы по модулю подгруппы Gℓ,i ;
(c) члены ряда Tℓ нормальны в группе G.
2. Существует гомоморфизм группы E на FN σ -группу, действующий инъективно на подгруппе τ (G).
3. Группа E аппроксимируется классом Fp · FN σ для любого простого числа p.
Легко видеть, что среди простых делителей порядков всевозможных конечных гомоморфных образов групп P и E обязательно встречаются все числа
из множеств θ и σ, соответственно. Первые утверждения теорем 1 и 2 служат
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
97
достаточными условиями аппроксимируемости этих групп классами Fθ и Fσ .
Однако, существуют примеры, показывающие, что данные условия не являются
необходимыми. Поэтому может быть сформулирована следующая
Проблема. Каковы необходимые и достаточные условия аппроксимируемости групп P и E классами Fθ и Fσ , соответственно?
Список цитированной литературы
[1] Азаров Д. Н. Об аппроксимируемости конечными p-группами свободного
произведения двух нильпотентных групп с конечными объединенными подгруппами // Вестн. Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2006. Вып. 3. С. 102–106.
[2] Молдаванский Д. И. Об аппроксимируемости конечными p-группами HNNрасширений нильпотентных групп // Вестн. Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2006. Вып. 3. С. 128–132.
[3] Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика: период. сб. перев. иностр.
ст. 1968. Т. 12, № 1. С. 3–36.
Ивановский государственный университет
УДК 512.543
ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОРНЕВЫМИ
КЛАССАМИ ГРУПП ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ С НОРМАЛЬНЫМ
ОБЪЕДИНЕНИЕМ
Е. А. Туманова (г. Иваново)
[email protected]
Настоящая работа продолжает исследования автора, опубликованные в [1],
где могут быть найдены определения всех наиболее важных понятий, встречающихся далее.
До конца изложения будем предполагать, что K — корневой класс групп,
G — свободное произведение групп A и B с нормальными подгруппами H 6 A
и K 6 B, объединенными относительно изоморфизма φ : H → K. Так как подгруппа H нормальна в G, то ограничения на эту подгруппу всех внутренних
автоморфизмов группы G являются автоморфизмами H и составляют подгруппу AutG (H) группы Aut H.
Сформулируем полученные в данной работе результаты.
98
Секция 1
Теорема 1. Пусть свободные множители A и B являются K-группами.
Если A/H ∈ K, B/K ∈ K, AutG (H) ∈ K, то существует гомоморфизм группы G на группу из класса K, инъективный на подгруппах A, B, и, в частности,
группа G K-аппроксимируема.
Всюду далее будем считать, что класс K замкнут относительно взятия фактор-группп. При этом предположении теорема 1 превращается в критерий, формулируемый следующим образом.
Следствие 1. Пусть A, B ∈ K. Тогда следующие два утверждения равносильны и при выполнении любого из них группа G K-аппроксимируема.
1. Существует гомоморфизм группы G на группу из класса K, инъективный на подгруппах A и B.
2. Группа AutG (H) принадлежит классу K.
Отметим, что во всех приводимых ниже утверждениях, за исключением
следствия 4, свободные множители A и B уже необязательно принадлежат классу K.
Для произвольной группы X обозначим через K∗ (X) семейство подгрупп
{Y X | X/Y ∈ K}. Напомним также, что подгруппы R 6 A и S 6 B называются (H, K, φ)-совместимыми, если (H ∩ R)φ = K ∩ S.
Теорема 2. Пусть H ̸= A и K ̸= B. Пусть также {(Rλ , Sλ )}λ∈Λ — семейство всех пар (H, K, φ)-совместимых подгрупп, принадлежащих семействам
K∗ (A) и K∗ (B) соответственно. Если AutG (H) — конечная группа, то группа G K-аппроксимируема тогда
∩ и только
∩ тогда, когда выполняются следующие условия: AutG (H) ∈ K, λ∈Λ Rλ = λ∈Λ Sλ = 1, подгруппа H K-отделима
в группе A, подгруппа K K-отделима в группе B.
Следствие 2. Пусть H и K — собственные центральные подгруппы групп
A и B соответственно, семейство {(Rλ , Sλ )}λ∈Λ определено как в теореме 2.
Группа G K-аппроксимируема
∩
∩ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: λ∈Λ Rλ = λ∈Λ Sλ = 1, подгруппа H K-отделима в группе A,
подгруппа K K-отделима в группе B.
Теорема 3. Пусть A и B — K-аппроксимируемые группы, H и K — конечные подгруппы. Тогда следующие утверждения равносильны.
1. Группа G K-аппроксимируема.
2. Существует гомоморфизм группы G на группу из класса K, инъективный на подгруппе H.
3. Группа AutG (H) принадлежит классу K.
Отметим, что теорема 3 обобщает и расширяет следствие 2 из работы [2],
представляющее собой критерий аппроксимируемости конечными p-группами
свободного произведения двух конечных p-групп с нормальными объединенными подгруппами.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
99
Следствие 3. Пусть A и B — K-аппроксимируемые группы, H и K —
конечные подгруппы. Если хотя бы одна из подгрупп H и K лежит в центре
соответствующего свободного множителя или группа AutG (H) является абелевой, то группа G K-аппроксимируема.
Теорема 4. Пусть A и B — K-аппроксимируемые группы. И пусть подгруппы H и K являются циклическими или подгруппа K центральна в группе B.
1. Если H ̸= A, K ̸= B и группа G K-аппроксимируема, то подгруппа H
K-отделима в группе A, подгруппа K K-отделима в группе B.
2. Пусть подгруппа H K-отделима в группе A, подгруппа K K-отделима
в группе B и для любой подгруппы M ∈ K∗ (K) найдется подгруппа N ∈ K∗ (B)
такая, что N ∩ K = M . Тогда группа G K-аппроксимируема.
Следствие 4. Пусть A — K-аппроксимируемая группа, B — K-группа,
H ̸= A, K ̸= B. И пусть подгруппы H и K являются циклическими или подгруппа K центральна в группе B. Группа G K-аппроксимируема тогда и только тогда, когда подгруппа H K-отделима в группе A.
Следствие 5. Пусть A — K-аппроксимируемая группа, B — K-аппроксимируемая конечно порожденная нильпотентная группа, H ̸= A, K ̸= B.
И пусть подгруппы H и K являются циклическими или подгруппа K центральна в группе B. Группа G K-аппроксимируема тогда и только тогда,
когда подгруппа H K-отделима в группе A, подгруппа K K-отделима в группе B.
Говорят, что группа имеет конечный ранг Гирша-Зайцева, равный r, если она
обладает конечным субнормальным рядом, каждый фактор которого является
либо периодической, либо бесконечной циклической группой, и число Z-факторов данного ряда равно r.
Теорема 5. Пусть группы A и B аппроксимируются K-группами без кручения, подгруппы H и K имеют конечный ранг Гирша-Зайцева. Тогда следующие два условия равносильны и при выполнении любого из них группа G K-аппроксимируема.
1. Группа AutG (H) принадлежит классу K.
2. Существует гомоморфизм группы G на группу из класса K, инъективный на подгруппе H.
Следствие 6. Пусть группы A и B аппроксимируются K-группами без
кручения, подгруппы H и K имеют конечный ранг Гирша-Зайцева. Если хотя бы одна из подгрупп H и K лежит в центре соответствующего свободного
множителя или группа AutG (H) является абелевой, то группа G K-аппроксимируема.
100
Секция 1
Список цитированной литературы
[1] Туманова Е. А. Некоторые условия аппроксимируемости корневыми классами групп обобщенных свободных произведений с нормальной объединенной
подгруппой // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 3. C. 140–147.
[2] Higman G. Amalgams of p-groups // J. Algebra. 1964. Vol. 1. P. 301–305.
Ивановский государственный университет
УДК 512.541
О ЦЕНТРЕ КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ ОДНОГО
КЛАССА ЛОКАЛЬНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
В. Х. Фарукшин(г. Москва)
[email protected]
Рассматривается категория Lp p-локальных абелевых групп без кручения
конечного ранга. Группа A называется p-локальной (p — простое число), если
A является Zp -модулем, Zp — локализация кольца целых чисел относительно
b p называется полем расщеппростого p. Подполе K поля p-адических чисел Q
b p выполнено условие
ления для группы A ∈ Lp , если для кольца R = K ∩ Z
bp —
A ⊗Zp R ∼
= D ⊕ F, где D — делимый R-модуль, F — свободный R-модуль, Z
кольцо целых p-адических чисел. Кольцо R в этом случае называется кольцом
расщепления для группы A.
Теорема 1. Пусть A ∈ Lp и поле ее расщепления K является квадратичным расширением поля рациональных чисел Q. Тогда центр CE(A) кольца эндоморфизмов E(A) группы A изоморфен прямому произведению колец Zkp , Rr и
Qs для некоторых неотрицательных целых чисел k, r и s, причем ранг группы
A r(A) = k + 2r + s.
Следствие 1. E(A) коммутативно в том и только в том случае, если
группа A изоморфна Z+ , или R+ , или Q+ .
Данное следствие относится к проблеме, поставленной в [1].
Список цитированной литературы
[1] Szele T., Szendrei J. On abelian groups with commutative endomorphism ring
// Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1951. Vol. 2. P. 309–324.
Московский педагогический государственный университет
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
101
УДК 512.
РАЗЛОЖЕНИЕ УНИТАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ
НАД НЕКОТОРЫМ КОЛЬЦОМ В СВОБОДНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ1
М. В. Цветков (г. Москва)
[email protected]
В работах [1], [2] изучалась структура группы обратимых элементов в свободном произведении алгебр над телом. В работе [1] было дано полное описание
такой группы в виде свободного произведения. Наиболее важными следствиями
этого результата являются опровержения двух следующих гипотез:
1. Элементарная подгруппа En (R) общей линейной группы GLn (R) (т.е. подгруппа, порожденная всеми трансвекциями) всегда нормальна в GLn (R).
2. Всякий автоморфизм группы GLn (R) (n > 3) стандартен, т.е. определенным образом выражается через автоморфизмы и антиавтоморфизмы
кольца матриц порядка n над R.
Мы опишем пример, опровергающий аналогичные гипотезы для унитарных
линейных групп. Основным результатом является теорема, в которой унитарная
линейная группа над специальным кольцом раскладывается в нетривиальное
свободное произведение, один из сомножителей которого содержит элементарную унитарную подгруппу (т.е. подгруппу, порожденную специальными унитарными трансвекциями).
Список цитированной литературы
[1] Герасимов В. Н. Группа единиц свободного произведения колец // Математический сборник. 1987. Т. 134. С. 42—51.
[2] Bergman G. M. Modules over coproducts of rings//Trans. Amer. Math. Soc.,
1974. Vol. 200, P. 1—32.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 512.545
ON LEXICOGRAPHIC EXTENSIONS OF PARTIALLY
ORDERED GROUPS
E. E. Shirshova (Moscow)
[email protected]
1
Грант РФФИ № 14-01-06005
102
Секция 1
Let G be a partially ordered group, and G+ = {x ∈ G| e 6 x}.
A subgroup M of G is said to be convex if the inequalities a 6 g 6 b imply
g ∈ M for any a, b ∈ M and g ∈ G. Recall that an o-ideal is a convex directed
normal subgroup of partially ordered group.
A partially ordered group G is called a lexicographic extension of a convex normal
subgroup M by the partially ordered group G/M , if the inequality m < a holds for
any elements a ∈ G+ \ M and m ∈ M . The notion of extension is important in the
study of partially ordered groups.
Let us consider a series of results on lexicographic extensions of partially ordered
groups.
Elements a and b ∈ G+ are said to be almost orthogonal if the inequalities c 6 a, b
imply cn 6 a, b for any c ∈ G and any integer n > 0. A partially ordered group G is
an AO-group if each g ∈ G has a representation g = ab−1 for some almost orthogonal
elements a and b of G+ .
Теорема 1. Suppose an AO-group G is the lexicographic extension of its o-ideal
M by the partially ordered group G/M , and H is a convex directed subgroup of G;
then either H ⊆ M or M ⊂ H.
In fact, if H * M , then there exists h ∈ H \ M , where h = ab−1 for some almost
orthogonal elements a and b of G+ . According to Lemma 2 [1], a, b ∈ H. If a ∈ M ,
then b ∈
/ M , otherwise h ∈ M .
Now assume that h ∈ H + . If m ∈ M + , then m < h. Hence, M + ⊂ H. The
inclusion M ⊂ H holds because M is a directed group.
Теорема 2. Let an AO-group G be the lexicographic extension of its o-ideal M
by the partially ordered group G/M , and let T be the set-theoretic intersection of
all convex directed subgroups H of G, where M ⊂ H, then T is a convex directed
subgroup of G. If t ∈ T \ M , then t = ab−1 for some almost orthogonal elements a
and b of G+ . Furthermore; there exist integers k > 0 and l > 0 for which either the
inequality a 6 bk or the inequality b 6 al holds.
Really, from Theorem 1 [1] it follows that T is a convex directed subgroup of G.
Since G is an AO-group, then for t ∈ T \ M we have a representation t = ab−1
for some almost orthogonal elements a and b of G+ . According to Lemma 2 [1],
a, b ∈ T .
If a ∈ M , then b ∈
/ M , otherwise t ∈ M . According to Theorem 1, this implies
that M ⊂ [b]. Hence, [b] = T and a ∈ [b]. By the definition of [b], there exists an
integer k > 0 for which the inequality a 6 bk holds.
If b ∈ M , then a ∈
/ M . According to Theorem 1, this implies that M ⊂ [a].
Hence, b ∈ [a], and there exists an integer l > 0 for which the inequality b 6 al
holds.
If a ∈
/ M and b ∈
/ M , then [a] = T = [b]. It remains to use the definitions of
subgroups [a] and [b].
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
103
A partially ordered group G is an interpolation group if whenever a1 , a2 , b1 , b2 ∈ G
and a1 , a2 6 b1 , b2 , then there exists c ∈ G such that a1 , a2 6 c 6 b1 , b2 . An
interpolation AO-group is called a pl-group.
In a partially ordered group G, for any a ∈ G+ \ {e} there exists the convex
directed subgroup [a], where for each x ∈ [a]+ the inequality x 6 ak holds for some
integer k > 0.
Теорема 3. Suppose a pl-group G is the lexicographic extension of a convex
normal subgroup M , and T is the set-theoretic intersection of all convex directed
subgroups H of G, where H * M ; then the following assertions hold:
1. T is an o-ideal of G;
2. G is the lexicographic extension of T by the partially ordered group G/T ;
3. if T ̸= M , then the set T \ M is a chain.
In fact, from Lemma 33 [2] it follows that M is an o-ideal of G.
According to Theorem 2, to prove the statement 1 it is sufficient to show that T
is a normal subgroup of G.
Let us assume that T ̸= M , and t ∈ T + \ M . If x ∈ G, then v = x−1 tx ∈
/ M.
−1
−1
By Lemma 2 [3], this implies that T ⊆ [v] = [xtx ] = x[t]x .
Hence, t = xux−1 for some u ∈ [t]. Thus, x−1 tx ∈ [t], i.e., x−1 T + x ⊂ T for any
x ∈ G.
The inclusion x−1 T x ⊂ T holds because x−1 T x is a directed group.
If a ∈ G+ \ T and t ∈ M , then t < a.
If t ∈ T + \ M , then at−1 = xy −1 for some almost orthogonal elements x and y of
G+ . This implies that y 6 t2 . It follows that y ∈ T . Hence, x ∈
/ T , otherwise a ∈ T .
Thus, [x] * T , i.e., T ⊆ [x]. This follows that y ∈ [x]. According to Theorem 4
and Lemma 4 [3], this implies that y = e. Therefore, at−1 = x > e, i.e., t < a. This
means that the assertion 2 holds.
According to Theorem 2, if t ∈ T \ M , then t has a representation g = ab−1 for
some almost orthogonal elements a and b of G+ , and there exist integers k > 0 and
l > 0 for which either the inequality a 6 bk or the inequality b 6 al holds.
According to Theorem 4 and Lemma 4 [3], this implies that either a = e or b = e.
This means that the assertion 3 holds.
REFERENCES
[1] Shirshova E. E. On groups with the almost orthogonality condition.// Comm.
Algebra. 2000. Vol. 28, №. 10. P. 4803–4818.
[2] Shirshova E. E. On prime radicals and wreath products of partially ordered
groups.// Fundumentalnaya i pricladnaya matematika. 2010. Vol. 16, №. 8.
P. 245–261.
104
Секция 1
[3] Shirshova E. E. On a Generalization of the Notion of Orthogonality and on
the Riesz Groups.// Mathematical Notes. 2001. Vol. 69, №. 1. P. 107–115
(Translated from Matematicheskie Zametki. 2001. Vol. 69, №. 1. P. 122–132.).
Moscow State Pedagogical University
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
2
105
Полугруппы и универсальные алгебры
В докладах представлен цикл новых работ, относящихся к современной теории полугрупп преобразований, к полугруппам частных; к конструкциям полугрупп и теории представлений полугрупп.
Кроме того в программе секции представлены достижения приволжской алгебраической школы, основанной Л. А. Скорняковым.
ОБ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛУГРУППАХ
ОТНОШЕНИЙ С ДИОФАНТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ
Н. Ю. Аншваева, Д. А. Бредихин (г. Саратов)
[email protected]
[email protected]
Под алгеброй отношений мы понимаем упорядоченную пару (Φ, Ω), где Φ –
множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности Ω операций над ними. Операции над отношениями могут быть заданы с
помощь формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими.
Важным классом логических операция является класс диофантовых операций. Операция называется диофантовой [1,2] (в другой терминологии – примитивно-позитивной [3]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования.
Отношение теоретико-множественного включения ⊂ является стабильным
относительно диофантовых операций, следовательно, всякая алгебра отношений (Φ, Ω) с диофантовыми операциями может быть рассмотрена как упорядоченная (Φ, Ω, ⊂) этим отношением.
К числу диофантовых относится операция умножения отношений ◦. Эта
операция является ассоциативной. Алгебра отношений вида (Φ, ◦) образует полугруппу отношений, и всякая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе
отношений. Существует ряд других ассоциативных диофантовых операций над
отношениями, поэтому с точки зрения теории полугрупп естественно возникает
задача изучения свойств этих операций.
Сосредоточим внимание на следующей ассоциативной операции над отношениями ∗, определяемой следующим образом. Для всяких бинарных отношений
ρ и σ, определенных на множестве U , положим
ρ ∗ σ = {(u, v) ∈ U × U : (∃w, t)(u, w) ∈ ρ(u, t) ∈ σ}.
Для заданного множества Ω операций над бинарными отношениями обозначим через R{Ω} (R{Ω, ⊂}) класс алгебр (упорядоченных алгебр), изоморфных
106
Секция 2
алгебрам отношений с операциями из Ω. Пусть V ar{Ω} (V ar{Ω, ⊂}) – многообразие, порожденное классом R{Ω} (R{Ω, ⊂}).
Основные полученные результаты формулируются в следующих теоремах.
Теорема 1. Упорядоченная полугруппа (A, ·, ≤) принадлежит классу R{∗, ⊂} тогда и только тогда, когда она коммутативна и выполняются
тождества
x2 y = xy (1), x ≤ x2 (2), xy ≤ x2 (3).
Теорема 2. Алгебра (A, ·, ∧) типа (2, 2) принадлежит классу R{∗, ∩} тогда и только тогда, когда (A, ·) – коммутативная полугруппа, удовлетворяющая тождеству (1), (A, ∧) – полурешетка и выполняются тождества
x ∧ x2 = x (4),
x(x ∧ y) = x ∧ y
(5),
(x2 ∧ y)z = xyz
(6).
Теорема 3. Алгебра (A, ·, ∨) типа (2, 2) принадлежит многообразию
V ar{∗, ∪} тогда и только тогда, когда (A, ·) – коммутативная полугруппа,
удовлетворяющая тождеству (1) , (A, ∨) – полурешетка и выполняются
тождества
x ∨ x2 = x2 (7), xy ∨ x2 = x2 (8), x(y ∨ z) = xy ∨ xz (9).
Теорема 4. Алгебра (A, ·, ∨, ∧) типа (2, 2, 2) принадлежит многообразию
V ar{∗, ∪, ∩} тогда и только тогда, когда (A, ·) – коммутативная полугруппа, удовлетворяющая тождеству (1) , (A, ∨, ∧) – дистрибутивная решетка
и выполняются тождества (4), (5), (6), (9).
Список цитированной литературы
[1] Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми
операциями // Сибирский мат. журн. 1997. № 1. С. 29–41.
[2] Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями //
Доклады Российской Академии Наук. 1998. Т. 360. С. 594–595.
[3] B¨oner F., P¨oschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50–70.
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А.
УДК 512.534.5
О СИСТЕМАХ ОБРАЗУЮЩИХ ДИАГОНАЛЬНЫХ
ПОЛИГОНОВ НАД ПОЛУГРУППАМИ ИЗОТОННЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ
Т. В. Апраксина (г. Москва)
[email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
107
Правым полигоном [1] над полугруппой S называется множество X, на котором действует полугруппа S, тo есть определено отображение X × S → X,
(x, s) 7→ xs, такое, что выполняется тождество (xs)s′ = x(ss′ ) для x ∈ X,
s, s′ ∈ S. Левый полигон Y над полугруппой S определяется двойственным образом, то есть как отображение X × S → Y , (s, y) 7→ sy, причем s(s′ y) = (ss′ )y
для y ∈ Y , s, s′ ∈ S. Если множество X является левым полигоном над полугруппой S и правым полигоном над полугруппой T , то оно будет называться
биполигоном в случае, когда выполняется условие (sx)t = s(xt) при x ∈ X,
s ∈ S, t ∈ T . Если S — полугруппа, то множество S × S будет являться правым
полигоном над S относительно действия (x, y)s = (xs, ys) при всех x, y, s ∈ S,
левым относительно действия s(x, y) = (sx, sy), а также биполигоном. Назовем
их правым, левым диагональными полигонами, а также диагональным биполигоном. Будем обозначать их (S × S)S , S (S × S), S (S × S)S соответственно.
Диагональный биполигон называется циклическим, если он порожден одним
элементом.
В работе [2] было доказано, что диагональный правый полигон (S × S)S ,
диагональный левый полигон S (S × S) и диагональный биполигон S (S × S)S
являются циклическими, если S = TX , PX или BX где X — бесконечное множество, TX — полугруппа всех отображений X → X, PX — полугруппа частичных
отображений, а BX — полугруппа бинарных отношений на множестве X. Аналогичный вопрос возникает для полугруппы OX всех изотонных (сохраняющих
порядок) отображений α : X → X, где X — частично упорядоченное множество, т.е. таких отображений α, что x ≤ y ⇒ xα ≤ yα для любых x, y ∈ X.
Ранее автором были исследованы диагональные полигоны над полугруппой OX
и получены условия цикличности и конечной порожденности этих полигонов
(см. [3]). Там же было доказано, что ни для какой бесконечной цепи X диагональные полигоны над полугруппой OX не могут быть циклическими. Основной
результат данной работы обобщает упомянутый результат в случае, когда X —
множество натуральных чисел N с обычным порядком. А именно, диагональный биполигон над полугруппой изотонных отображений ON не имеет счетной
системы образующих.
Определение 4. Пусть α, β: N → N — изотонные отображения. Назовем
пару (α, β) правильной, если выполняются условия:
(i) iα ̸= jα, iβ ̸= jβ при i ̸= j
(ii) iα ̸= jβ при любых i, j (т.е. imα ∩ imβ = Æ)
(iii) для любого k существует l: (lα = k ∨ lβ = k) (т.е. imα ∪ imβ = X).
Доказательство основной теоремы базируется на двух утверждениях технического характера.
Лемма 1. Пусть α, β : N → N — изотонные отображения такие, что imα,
imβ — бесконечные множества. Тогда существуют изотонные отображения
108
Секция 2
˜ образующие правильную пару, такие, что (˜
˜ = (α, β) при некотором
α
˜ , β,
α, β)γ
изотонном отображении γ.
Каждой правильной паре можно поставить в соответствие последовательность из нулей и единиц. Назовем элементарным прореживанием одновременное удаление i-й по счету единицы и i-го по счету нуля (для какого-либо i),
прореживание — применение элементарных прореживаний конечное или бесконечное число раз.
Лемма 2. Пусть ε, η — последовательности из нулей и единиц, соответствующие правильным парам (α, β) и (α′ , β ′ ), причем α′ = γαδ, β ′ = γβδ при
некоторых γ, δ ∈ ON . Тогда последовательность η можно получить из последовательности ε прореживанием.
С помощью этих утверждений рассуждениями, близкими к диагональному
методу Кантора, доказывается следующая теорема.
Теорема 1. Диагональный биполигон
множества образующих.
ON (ON
× ON )ON не имеет счетного
Следствиями из доказанной теоремы являются аналогичные утверждения
для диагональных левого и правого полигонов.
Следствие 1. Диагональный левый полигон
ной или счетной системы образующих.
ON (ON
× ON ) не имеет конеч-
Следствие 2. Диагональный правый полигон (ON × ON )ON не имеет конечной или счетной системы образующих.
Список цитированной литературы
[1] Kilp M., Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, acts and categories. Berlin —
New York: W. de Gruyter, 2000
[2] Gallagher P., Ru˘skuc N. Generation of diagonal acts of some semigroups of
transformations and relations // Bull. Austral. Math. Soc. 2005. Vol. 72. P.
139–146.
[3] Апраксина Т.В. Диагональные полигоны над полугруппами изотонных
отображений // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 1. С. 10–16.
Национальный исследовательский университет МИЭТ
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
109
УДК 512.531.2
ПОЛУГРУППЫ МИНИМАЛЬНОГО
ДИАГОНАЛЬНОГО РАНГА
И. В. Барков (г. Москва)
[email protected]
Правым полигоном над полугруппой S [1] называется множество X вместе с
операцией φ : (X ×S) → X, (x, s) 7→ xs, удовлетворяющей свойству (xs)t = x(st)
для любых x ∈ X, s, t ∈ S. Чтобы подчеркнуть, что X – правый полигон
над S, его обозначают XS . Аналогично определяется левый полигон S X. Если
множество X одновременно является левым полигоном над S и правым над T ,
оно называется биполигоном и обозначается S XT .
Если S – полугруппа, то декартово произведение S × S с операцией поэлементного умножения на элементы из S справа можно считать полигоном [2].
Такой полигон называется правым диагональным полигоном над S и обозначается (S × S)S . Аналогично определяются левый диагональный полигон S (S × S)
и диагональный биполигон S (S × S)S .
Диагональный полигон можно рассматривать как унарную алгебру. Действительно, если (S ×S)S – диагональный полигон над полугруппой S, то умножение на s ∈ S можно отождествить с унарной операцией φs : S × S → S × S,
(a, b) 7→ (as, bs).
Подмножество A ⊆ S ×S будем называть порождающим множеством (или
множеством образующих ), если AS 1 = S × S. Если никакое собственное подмножество порождающего множества не является порождающим, то оно называется неприводимым. Если же среди всех порождающих множеств данное является минимальным по мощности, будем называть его минимальным. Так как
полигон над полугруппой является унарной алгеброй, то по Теореме 1 из [3] мы
получаем, что в любом (правом, левом, би-) полигоне неприводимое множество
образующих является минимальным. В частности, это верно для биполигонов.
Правым диагональным рангом полугруппы S будем называть мощность
минимального порождающего множество полигона (S×S)S . Аналогично определяются левый диагональный ранг и бидиагональный ранг полугруппы. Обозначать ранги будем rdr S, ldr S и bdr S соответственно.
Легко проверить, что среди конечных полугрупп группы обладают минимально возможным диагональным рангом, равным мощности группы. Среди
двухэлементных полугрупп таким свойством обладает также полугруппа правых нулей (в общем случае, если R – n-элементная полугруппа правых нулей, то
rdr = n2 − n). Естественно возникает вопрос о перечислении всех полугрупп, обладающих данным свойством. Оказывается, что два описанных примера практически исчерпывают класс полугрупп минимального ранга. Полный ответ даёт
следующая теорема.
110
Секция 2
Теорема 1. Пусть S – полугруппа из n элементов. Равенство rdr S = n
имеет место в том и только в том случае, если выполняется хотя бы одно
из следующих условий:
1. S – группа;
2. S – двухэлементная полугруппа правых нулей;
3. S – полугруппа со следующей таблицей Кэли:
·
e
a
b
e a
e a
b b
b b
b
b
b
b
Список цитированной литературы
[1] Kilp M., Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, acts and categories. Berlin – New
York: W. de Gruyter, 2000.
[2] Gallagher, P., Ruеˇskuc, N. Finite generation of diagonal acts of some infinite
semigroups of transformations and relations. Bull. Austral. Math. Soc.
[3] Карташов В. К., Независимые системы порождающих и свойство Хопфа для
унарных алгебр // Дискрет. математика. 2008. Т. 20, вып. 4. С. 79—84
ЗАО "СБТ"
UDC 512.
SUCCESSIVELY ORTHOGONAL SYSTEMS OF K-ARY
OPERATIONS
Galina B. Belyavskaya (Kishinev, Moldova)
[email protected]
Systems of k-ary operations generalizing orthogonal sets are considered.
These systems have the following property: every k successive k-ary operations,
k ≥ 2, of the system are orthogonal.
We call these systems successively orthogonal, establish some properties, give
examples and methods of construction of these systems.
A k-ary operation A (briefly, a k-operation) on a set Q is a mapping A : Qk → Q
defined by A(xk1 ) → xk+1 , and in this case write A(xk1 ) = xk+1 .
A k-groupoid (Q, A) is a set Q with one k-ary operation A, defined on Q.
The k-operation Ei : Ei (xk1 ) = xi , 1 ≤ i ≤ k, on Q is called the i-th identity
operation (or the i-th selector) of arity k.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
111
An i-invertible k-operation A, defined on Q, is a k-operation with the following
k
property: the equation A(ai−1
1 , x, ai+1 ) = ak+1 has a unique solution for each fixed
k
k
k-tuple (ai−1
1 , ai+1 , ak+1 ) of Q .
A k-tuple < Ak1 > of k-operations is orthogonal if and only if the mapping θ =
k
(A1 ) : Qk → Qk , (xk1 ) → (A1 (xk1 ), A2 (xk1 ), ..., Ak (xk1 )) = (Ak1 )(xk1 ) is a permutation
on Qk [1].
All 2-invertible binary operations, given on a set Q, form the group (Λ2 ; ·) under
the multiplication (A · B)(x, y) = A(x, B(x, y)).
A k-ary quasigroup (or simply a k-quasigroup) is a k-groupoid (Q, A) such that
the k-operation A is i-invertible for each i = 1, 2, . . . , k.
Definition 1. [1] A k-tuple < A1 , A2 , ..., Ak >=< Ak1 > of k-operations, given
on a set Q, is called orthogonal if the system {Ai (xk1 ) = ai }ki=1 has a unique solution
for all ak1 ∈ Qk .
Definition 2. [1] A set {A1 , A2 , . . . , At }, t ≥ k, of k-operations is called
orthogonal if every k-tuple of these k-operations is orthogonal.
Definition 3. [1] A set Σ = {At1 }, t ≥ 1, of k-ary operations, given on a set
Q, is called strongly orthogonal if the set Σ = {At1 , E1k } is orthogonal.
Definition 4. A system Σ = {At1 }, t ≥ k, of k-ary operations, given on a set Q,
| Q |≥ 3, is called successively orthogonal system (briefly, a SOS) if any successive
k operations are orthogonal.
Every orthogonal set of k-operations is a successively orthogonal system.
Let (Q, A) be a quasigroup, Ai (x, y) = A(x, Ai−1 (x, y)), i = 2, ... .
Theorem 1. If A, A1 , A2 , ..., At , ... are binary quasigroups of the order s0 , s1 , ...
. . . , st , ..., respectively, in the group (Λ2 ; ·) of all 2-invertible binary operations, given
on a set Q, then the sequence
F, E, A, A2 , ..., As0 −1 , F, E, A1 , A21 , ..., A1s1 −1 ,
F, E, A2 , A22 , ..., As22 −1 , ..., F, E, At , A2t , ..., Ast t −1 , ...
is a SOS.
Proposition 1. Let Σ1 = {A1 , A2 , ..., As1 }, Σ2 = {B1 , B2 , ..., Bs2 } be strongly
orthogonal sets of k-operations. Then the system
Σ3 = {E1 , E2 , ..., Ek , A1 , A2 , ..., As1 , E1 , E2 , ..., Ek , B1 , B2 , ..., Bs2 }
is a SOS.
112
Секция 2
Theorem 2. Let A be an 1-invertible k-operation on a set Q, θ = (E2 , E3 , ...
. . . , Ek , A) = (E2k , A), and s0 be the order of the permutation θ in the group SQk ,
then the system of k-operations
E1 , E2 , ..., Ek , A, Aθ, Aθ2 , ..., Aθk−1 , Aθk , ..., Aθs0 −k−1 ,
E1 , E2 , ..., Ek , A, Aθ, Aθ2 , ..., Aθk−1 , Aθk , ..., Aθs0 −k−1 , ...
is successively orthogonal.
Corollary 1. In the theorem 2 the k-operation Aθs0 −k−1 is k-invertible.
In [2] for a function f : Qk → Q it was defined a complete k-recursive code
K(n/f (0) , f (1) , ..., f (n−k−1) ) with the check functions: f (0) = f, f (1) , ..., f (n−k−1) . The
function f (i) is called the i-th recursive derivative of a function f and is defined
recursively as follows:
f (0) (xk1 ) = f (xk1 ), f (1) (xk1 ) = f (xk2 , f (0) (xk1 )), ...,
f (i) (xk1 ) = f (xki+1 , f (0) (xk1 ), ..., f i−1 (xk1 )) for i < k, and
f (i) (xk1 ) = f (f (i−k) (xk1 ), f (i−k+1) (xk1 ), ..., f (i−1) (xk1 )) for i ≥ k.
V. Izbash and P. Syrbu in [3, Proposition 2] proved that if a k-operation f is a
k-quasigroup, then f (i) = f θi , i = 1, 2, ..., where
θ : Qk → Qk , θ(xk1 ) = (x2 , x3 , ..., xk , f (xk1 ))
for all (xk1 ) ∈ Qk .
A k-quasigroup operation f (k ≥ 2) is called recursively r-differentiable if all its
k-recursive derivatives f (0) , f (1) , ..., f (r) are k-quasigroups [2].
A k-quasigroup we call strongly recursively r-differentiable if it is recursively rdifferentiable and r = s0 −k−1, where s0 is the order of the permutation θ = (E2k , A).
In this case A(r+1) = E1 . For the binary case this notion was introduced in [4].
From Theorem 2 we obtain the following corollary for any 1-invertible k-function
f.
Corollary 2. If f is an 1-invertible k-function, then
f (i) = f θ(i) , i = 1, 2, ..., where θ = (E2k , f ).
The sequence of the recursive derivatives has the form
E1 , E2 , ..., Ek , f, f θ, f θ2 , ..., f θk−1 , f θk , ..., f θs0 −k−1 ,
E1 , E2 , ..., Ek , f, f θ, f θ2 , ..., f θk−1 , f θk , ..., f θs0 −k−1 , ...,
where s0 is the order of the permutation θ.
If f is an r-differentiable k-quasigroup, then r ≤ s0 − k − 1.
If a k-quasigroup is strongly recursively r-differentiable, then r = s0 − k − 1.
For an 1-differentiable k-quasigroup s0 ≥ k + 2.
Theorem 3. Let a permutation (E2k , A) have the order s0 , then a successively
orthogonal system of Theorem 2 contains s0 different k-operations.
If s0 = k + 1, then the k-operation A is a quasigroup k-operation.
For any 1-invertible k-operation s0 ≥ k + 1.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
113
Theorem 4. Let A, A1 , ..., At , ... be 1-invertible k-operations and the permutations θ = (E2k , A), θ1 = (E2k , A1 ),..., θt = (E2k , At ),... have the order s0 , s1 , ..., st , ...
respectively, then the system
E1 , E2 , ..., Ek , A, Aθ, Aθ2 , ..., Aθk−1 , Aθk , ..., Aθs0 −k−1 ,
E1 , E2 , ..., Ek , A1 , A1 θ1 , A1 θ12 , ..., A1 θ1k−1 , A1 θ1k , ..., A1 θ1s1 −k−1 , ...,
E1 , E2 , ..., Ek , At , At θt , At θt2 , ..., At θtk−1 , At θtk , ..., At θtst −k−1 , ...
is a SOS.
Proposition 2. Any orthogonal set of k-operations can be continued to a SOS.
REFERENCES
[1] Bektenov A. S., Yacubov T. Systems of orthogonal n-ary operations (In Russian)
// Izv. AN Moldavskoi SSR, Ser. fiz.-teh. i mat. nauk. 1974, no. 3. P. 7–14.
[2] Couselo E., Gonsales S., Markov V., Nechaev A. Recursive MDS-codes and
recursively differentiable quasigroups (in Russian) // Discret. Mat. 1998. Vol. 10,
no. 2. P. 3–29.
[3] Izbash V., Syrbu P. Recursively differentiable quasigroups and complete recursive
codes // Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, Praga. 2004.
Vol. 45, no. 2. P. 257–263.
[4] Belyavskaya G. B. Recursively r-differentiable quasigroups within S-systems and
MDS-codes // Quasigroups and Related Systems. 2012. Vol. 20. P. 157–168.
Institute of mathematics and Informatics of the Academy of Sciences of Moldova
УДК 512.
ОБ АЛГЕБРЕ U -ИНВАРИАНТОВ
ПРИСОЕДИНЁННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
К. А. Вяткина1 (Самара)
[email protected]
Пусть K – поле характеристики нуль, G = GL(n, K), U — унитреугольная
подгруппа в G. Формула AdT X = T XT −1 , T ∈ U, X ∈ V определяет присоединённое действие группы U в пространстве V = Mat(n, K). Пусть A = k[xi,j ] —
кольцо регулярных функций на Mat(n, k).
1
работа поддержана грантом РФФИ № 14-01-97017р_поволжье_а
114
Секция 2
Определим на A локально нильпотентное дифференцирование ∂i,j , задаваемое формулой
∂(f (Adexp t·Ei,j X)) ∂i,j f (X) =
∂(t)
t=0
где X ∈ V, и Eij - матричная единица. Через Mi1 ,...ik обозначим k × k минор
матрицы X с системой строк i1 , . . . , ik и столбцов 1, . . . , k. Обозначим
Qi,j =
Mi,i+1,...,ˆj,...,n
,
Mi+1,...,n
где i < j. Непосредственно проверяется, что для любого ∂i,j выполняется:
∂i,j (Qi,j ) = 1.
Обозначим AS локализацию кольца A относительно множества знаменателей, порождённых системой угловых миноров {Mi,...,n , 2 6 i 6 n}. Рассмотрим
отображение Si,j (a) : A → AS вида
Si,j (a) = a − ∂i,j (a)Qi,j + ∂i,j 2 (a)
Q2i,j
Q3i,j
− ∂i,j 3 (a)
+ ...
2!
3!
Обозначим
Rp (a) = Sp,n . . . Sp,p+1 (a),
где 1 6 p 6 n − 1. Рассмотрим отображение R : A → AS , вида
R(a) = Rn−1 . . . R2 R1 (a)
Теорема 1. Для любого a ∈ A образ R(a) является инвариантом относительно присоединённого действия группы U .
Теорема 2. Поле U -инвариантов есть поле рациональных функций от
{R(xi,j ), i < j}.
Другая система образующих для поля U -инвариантов предложена в работе
[1].
Список цитированной литературы
[1] Вяткина К. А., Панов А. Н. “Поле U -инвариантов присоединенного представления группы GL(n, K)” // Математические заметки, 2013. Т. 93, № 1.
C. 144–147.
Самарский Государственный Университет
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
115
УДК 512.579
СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДИМОНОИДОВ
ЛЕВЫХ И ПРАВЫХ НУЛЕЙ
А. В. Жучок (г. Луганск, Украина)
[email protected]
Напомним, что димоноид [1] – это алгебра с двумя бинарными ассоциативными операциями, удовлетворяющими трем согласованным условиям. Димоноид (D, ⊣, ⊢) называется димоноидом левых и правых нулей, если (D, ⊣) –
полугруппа левых нулей и (D, ⊢) – полугруппа правых нулей.
В [2] была построена конструкция свободного произведения произвольных
димоноидов. Здесь охарактеризовано свободное произведение димоноидов левых и правых нулей.
Пусть {(Di , ⊣i , ⊢i )}i∈X – семейство произвольных попарно непересекающихся димоноидов левых и правых нулей. Обозначим через F [(Di , ⊣i )]i∈X свободное
произведение полугрупп (Di , ⊣i ), i ∈ X, и одноэлементных полугрупп {i}, i ∈
X. Положим
R(Di )i∈X = {(sγ1 ...sγl ...sγk , m) ∈ F [(Di , ⊣i )]i∈X × N | k > m},
R⋆ (Di )i∈X = {(sγ1 ...sγl ...sγk , m) ∈ R(Di )i∈X |
sγl ∈ ∪i∈X Di ⇔ l = m, 1 6 l 6 k},
{
i, a ∈ Di ,
µ : (∪i∈X Di ) ∪ X → (∪i∈X Di ) ∪ X : a 7→ aµ =
a, a ∈ X.
Если k = 1, то последовательности sγ1 ...sγl ...sγk−1 , sγ2 ...sγl ...sγk будем считать
пустыми.
Определим на множестве R⋆ (Di )i∈X операции ⊣ и ⊢ по правилам:
{
=
{
=
(sγ1 ...sγl ...sγk , m) ⊣ (sα1 ...sαl ...sαr , t) =
(sγ1 ...sγl ...sγk sα1 µ...sαl µ...sαr µ, m),
(sγ1 ...sγl ...sγk sα2 µ...sαl µ...sαr µ, m),
sγk µ ̸= sα1 µ,
sγk µ = sα1 µ,
(sγ1 ...sγl ...sγk , m) ⊢ (sα1 ...sαl ...sαr , t) =
sγk µ ̸= sα1 µ,
(sγ1 µ...sγl µ...sγk µsα1 ...sαl ...sαr , k + t),
(sγ1 µ...sγl µ...sγk−1 µsα1 ...sαl ...sαr , k + t − 1), sγk µ = sα1 µ
для всех (sγ1 ...sγl ...sγk , m), (sα1 ...sαl ...sαr , t) ∈ R⋆ (Di )i∈X .
˘ i )i∈X .
Алгебру (R⋆ (Di )i∈X , ⊣, ⊢) обозначим через R(D
˘ i )i∈X – свободное произведение димоноидов левых и правых
Теорема 1. R(D
нулей (Di , ⊣i , ⊢i ), i ∈ X.
˘ i )i∈X .
Изучаются структурные свойства димоноида R(D
116
Секция 2
Список цитированной литературы
[1] Loday J.-L. Dialgebras // In: Dialgebras and related operads, Lect. Notes Math.
1763, Springer-Verlag, Berlin. 2001. P. 7–66.
[2] Zhuchok A. V. Free products of dimonoids // Quasigroups and Related Systems.
2013. Vol. 21, № 2. P. 273–278.
Луганский национальный университет им. Т. Шевченко
УДК 512.53
ПОЛУГРУППЫ ЭНДОТОПИЗМОВ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Ю. В. Жучок, Е. А. Тоичкина (г. Луганск, Украина)
[email protected],
[email protected]
Пусть X – произвольное непустое множество и ρ ⊆ X × X. Упорядоченная
пара (φ, ψ) преобразований φ и ψ множества X называется эндотопизмом [1]
отношения ρ, если из (x, y) ∈ ρ следует, что (xφ, yψ) ∈ ρ при любых x, y ∈ X.
Множество всех эндотопизмов бинарного отношения ρ относительно операции
покомпонентного умножения образует полугруппу, которую будем обозначать
через Et (ρ).
Эндотопизм (φ, ψ) отношения ρ ⊆ X × X будем называть полусильным эндотопизмом, если из (xφ, yψ) ∈ ρ следует, что существуют такие x′ ∈ xφφ−1 ,
y ′ ∈ yψψ −1 , что (x′ , y ′ ) ∈ ρ. Множество всех полусильных эндотопизмов отношения ρ обозначим через HEt(ρ).
Эндотопизм (φ, ψ) отношения ρ ⊆ X × X назовем локально сильным эндотопизмом, если из (xφ, yψ) ∈ ρ следует, что для каждого x′ ∈ xφφ−1 найдется такой y ′ ∈ yψψ −1 , что (x′ , y ′ ) ∈ ρ, и аналогично для каждого прообраза
y ′ ∈ yψψ −1 . Множество всех локально сильных эндотопизмов отношения ρ будем обозначать как LEt(ρ).
Назовем эндотопизм (φ, ψ) отношения ρ ⊆ X × X квазисильным эндотопизмом, если из (xφ, yψ) ∈ ρ следует, что существует такой x′ ∈ xφφ−1 , который
находится в отношении ρ с каждым прообразом из yψψ −1 , и аналогично для
подходящего прообраза y ′ ∈ yψψ −1 . Обозначим множество всех квазисильных
эндотопизмов бинарного отношения ρ через QEt(ρ).
Будем называть эндотопизм (φ, ψ) отношения ρ ⊆ X × X сильным эндотопизмом, если из (xφ, yψ) ∈ ρ следует, что (x, y) ∈ ρ при любых x, y ∈ X.
Множество всех сильных эндотопизмов отношения ρ относительно операции
покомпонентного умножения образует моноид, который будем обозначать как
SEt (ρ).
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
117
Упорядоченная пара (φ, ψ) подстановок φ и ψ множества X называется автотопизмом отношения ρ ⊆ X × X, если (x, y) ∈ ρ тогда и только тогда, когда
(xφ, yψ) ∈ ρ при любых x, y ∈ X. Множество всех автотопизмов отношения ρ
относительно операции покомпонентного умножения образует группу, которую
будем обозначать через At (ρ).
Для произвольного множества X отношения iX = {(a, a)|a ∈ X} и ωX =
X × X называются соответственно тождественным и универсальным отношениями на X. Бинарное отношение ρ на множестве X называется тривиальным,
если ρ = iX или ρ = ωX .
Обозначим через Eq(X) множество всех отношений эквивалентностей на X,
а через Eq n (X) множество всех эквивалентностей на X с n классами мощности
≥ 2.
Лемма 1. Множество LEt(α) всех локально сильных эндотопизмов отношения эквивалентности α ∈ Eq(X) является полугруппой тогда и только
тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
(i) α – тождественное отношение эквивалентности;
(ii) существует единственный класс A ∈ X/α, такой что |A| ≥ 2.
Лемма 2. Множество HEt(α) всех полусильных эндотопизмов отношения эквивалентности α ∈ Eq(X) является полугруппой тогда и только тогда,
когда α – тривиальное отношение эквивалентности.
Лемма 3. Для всякого α ∈ Eq(X) имеем QEt(α) = SEt(α).
Полугруппа S называется регулярной [2], если для любого a ∈ S существует
такой x ∈ S, что axa = a.
Регулярность полугрупп всех типов эндотопизмов произвольного отношения
эквивалентности устанавливает следующая теорема.
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
(i) Полугруппа Et (α) , α ∈ Eq(X), регулярна тогда и только тогда, когда
α – тривиальное отношение эквивалентности;
(ii) Полугруппа HEt(α), где α – тривиальная эквивалентность, регулярна;
(iii) Полугруппа LEt(α), где α ∈ Eq 1 (X) или α = iX , регулярна;
(iv) Полугруппа SEt(α), α ∈ Eq(X), регулярна тогда и только тогда, когда
фактормножество X/α – конечно;
(v) Группа At(α) регулярна для произвольного α ∈ Eq(X).
Полугруппа S называется корегулярной [3], если для любого a ∈ S существует такой x ∈ S, что
axa = xax = a.
118
Секция 2
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
(i) Полугруппа Et (α) , α ∈ Eq(X), корегулярна тогда и только тогда, когда
|X| ∈ {1, 2};
(ii) Полугруппа HEt(α), где α – тривиальная эквивалентность, корегулярна тогда и только тогда, когда Et (α) корегулярна;
(iii) Полугруппа SEt(α), α ∈ Eq(X), корегулярна тогда и только тогда,
когда |X| ∈ {1, 2} или |X| = 3, α ∈
/ {iX , ωX };
(iv) Полугруппа LEt(α), где α ∈ Eq 1 (X) или α = iX , корегулярна тогда и
только тогда, когда полугруппа SEt (α) корегулярна;
(v) Группа At (α) , α ∈ Eq(X), корегулярна тогда и только тогда, когда
полугруппа SEt (α) корегулярна или |X| = 4, |X/α| = 3.
Пусть ρ – бинарное отношение на X. Цепочке включений
Et(ρ) ⊇ HEt(ρ) ⊇ LEt(ρ) ⊇ QEt(ρ) ⊇ SEt(ρ) ⊇ At(ρ)
соответствует последовательность (s1 , s2 , s3 , s4 , s5 ), где si ∈ {0, 1}, i ∈ {1, .., 5}.
При этом si = 0, если на i-той позиции в приведенной выше последовательности
включений полугруппы совпадают, si = 1 в противном случае. Значение суммы
Σ5i=1 = si 2i−1 назовем эндотипом бинарного отношения ρ относительно его
эндотопизмов и обозначим через Ettype(X, ρ).
Теорема 3. Для любой эквивалентности α на множестве X


0, если |X| = 1,





4, если 2 ≤ |X| < ∞, α = iX ,
Ettype(X, α) = 16, если 2 ≤ |X|, α = ωX ,



20, если |X| = ∞, α = iX ,



23, если α ̸= i , α ̸= ω .
X
X
Список цитированной литературы
[1] Попов Б. B. Полугруппы эндоморфизмов µ-арных отношений // Учёные записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1965. Т. 274. C. 184–201.
[2] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1. М.: Мир,
1972. 506 c.
[3] Bijev G., Todorov K. Coregular semigroups // Notes on Semigroups VI,
Budapest 1980. № 4, C. 1–11.
Луганский национальный университет им. Т. Шевченко
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
119
УДК 512.572
О МНОГООБРАЗИИ УНАРНЫХ АЛГЕБР,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ТОЖДЕСТВУ f g(x) = x
В. К. Карташов (г. Волгоград)
[email protected]
Алгебра A = ⟨A, Ω⟩ называется унарной, если ее сигнатура Ω состоит из
унарных символов.
Унарные алгебры занимают видное место в алгебре благодаря их приложениям и многочисленным связям с другими разделами данной области математики. В частности, унарные алгебры являются алгебраическим анализом
автоматов без выхода. Они могут быть также интерпретированы как ориентированные графы. Это привлекает к ним внимание специалистов как в России,
так и за ее пределами.
Значительное место в исследованиях унарных алгебр занимают родственные
им алгебры и различные аксиоматизируемые классы алгебраических систем.
К родственным алгебрам относятся, например, полугруппы эндоморфизмов,
группы автоморфизмов, решетки подалгебр, конгруэнций и топологий исходной
алгебры ([1], [2]).
К настоящему времени для унаров (т. е. алгебр с одной унарной операцией)
по проблематике, обозначенной в [1], [2], получен ряд глубоких результатов,
имеющих окончательный вид.
Оказалось ([3], [4]), что теория унарных алгебр, сигнатура которых содержит
более одного символа, имеет значительную специфику и, поэтому, результаты
для унаров не всегда могут быть эффективно использованы для построения
гипотез в общей теории унарных алгебр. Поэтому исследование унарных алгебр
с двумя операциями приобретает актуальный характер.
В настоящее время среди таких алгебр наиболее глубоко исследованы алгебры многообразия A1,1 , заданного тождествами f g(x) = gf (x) = x, где f, g –
функциональные унарные символы (см., например, [5]).
В данном сообщении рассматриваются алгебры многообразия B1,1 , определенного тождеством f g(x) = x. Многообразие B1,1 рассматривалось в [6], [7].
Автором получены следующие результаты.
Теорема 1. Многообразие B1,1 является покрытием для A1,1 в решетке
всех многообразий алгебр с двумя унарными операциями.
Унарная алгебра называется сильно связной, если она порождается любым
своим элементом.
Теорема 2. Для любой сильно связной алгебры A многообразия B1,1 справедливо равенство
EndA = AutA.
(через EndA и AutA обозначаются соответственно полугруппа эндоморфизмов и группа автоморфизмов алгебры A).
120
Секция 2
Список цитированной литературы
[1] Skornjakov L. A. Unars // Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 1982. V. 29. P. 3–15.
[2] Карташов В. К. О некоторых результатах и нерешенных задачах теории
унарных алгебр // Чебышевский сборник. 2011. Т. 38, № 2. C. 18–26.
[3] Johnson J., Seifert R. L. A survey of multi-unary algebras. Mimeographed
seminar notes. U. C. Berkeley, 1967. 16 c.
[4] Карташов В. К., Карташова А. В., Пономарев В. Н. Об условиях дистрибутивности и модулярности решеток конгруэнций коммутативных унарных
алгебр // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, Вып. 4(2). C. 57–62.
[5] Горбунов В. А. Покрытия в решетках квазимногообразий и независимая аксиоматизируемость // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, № 5. C. 507–548.
[6] Акатаев А. А., Смирнов Д. М. Решетки подмногообразий многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1968. Т. 7, № 1. C. 5–25.
[7] Бощенко А. П. Решетки конгруэнций унарных алгебр с двумя операциями f
и g, удовлетворяющими тождествам f (g(x)) = g(f (x)) = x или g(f (x)) = x.
Деп. в ВИНИТИ 20.04.98. № 1220-В98.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
УДК 512.567.5
ОБ АЛГЕБРАХ ПОДМНОЖЕСТВ УНАРОВ
А. В. Карташова, А. С. Гусев (Волгоград)
[email protected]
[email protected]
Пусть A = ⟨A, f ⟩ – произвольный унар, т. е. алгебра с одной унарной операцией f . На множестве P(A) всех подмножеств множества A зададим унарную
операцию f по правилу
f (B) = {f (b)|b ∈ B}
для любого B ∈ P (A). Полученный унар ⟨P (A), f ⟩ называется унаром подмножеств исходного унара A.
Теорема 1. Многообразие, порожденное произвольным унаром, совпадает
с многообразием, порожденным унаром его подмножеств.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
121
Объединение двух непересекающихся унаров B и D обозначается через B +
D. Если унар A = B + D и B ̸= ∅, то унар B называется компонентой унара A.
Унар, не имеющий собственных компонент, называют связным (см., например,
[1]).
В дальнейшем N всюду означает множество целых положительных чисел.
Для любого элемента a унара ⟨A, f ⟩ и числа n ∈ N через f n (a) обозначается
результат n-кратного применения операции f к элементу a, при этом считается,
что f 0 (a) = a.
Унар называется циклом длины n(n ∈ N), если он является однопорожденным унаром с порождающим элементом a, для которого f n (a) = a и f k (a) ̸= a
при 0 < k < n.
Для любых k, n ∈ N запись k|n означает, что число k делит n.
Теорема 2. Пусть A – конечный связный унар с циклом длины n. Тогда
количество всех связных компонент унара подмножеств этого унара равно
∑ µ(d)2 kd
, где µ : N → N – функция Мёбиуса.
k
k|n,d|k
Список цитированной литературы
[1] Карташов В. К. О решетках квазимногообразий унаров // Сиб. ма. журн.
1985. Т. 26, № 3. C. 49–62.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
УДК 512.567.5
О РЕШЕТКАХ КОНГРУЭНЦИЙ И ТОПОЛОГИЙ
КОММУТАТИВНЫХ УНАРНЫХ АЛГЕБР
А. В. Карташова (г. Волгоград)
[email protected]
Пусть A = ⟨A, Ω⟩ – произвольная алгебра и σ – топология на ее носителе A.
Сигнатурная n-арная операция F называется непрерывной относительно топологии σ, если для любых элементов a1 , a2 , . . . , an ∈ A и произвольной окрестности U элемента F (a1 , a2 , . . . , an ) найдутся окрестности U1 , U2 , . . . , Un элементов
a1 , a2 , . . . , an , соответственно, такие, что F (U1 , U2 , . . . , Un ) ⊆ U . Если относительно топологии σ непрерывна каждая сигнатурная операция алгебры A, то
σ называется топологией на алгебре A. Нетрудно убедиться, что такие топологии образуют полную решетку по включению. Будем называть ее решеткой
топологий алгебры A и обозначать через ℑ(A). Решетка конгруэнций алгебры
A , как обычно, обозначается через ConA.
g
В [1] показано, что решетка ConA,
двойственная к решетке конгруэнций
произвольной алгебры, изоморфно вложима в решетку ее топологий.
122
Секция 2
Унарная алгебра ⟨A, Ω⟩ называется коммутативной, если f (g(a)) = g(f (a))
для любых f, g ∈ Ω, a ∈ A.
Автором доказано ([2]), что конечность решетки конгруэнций (топологий)
коммутативной унарной алгебры равносильна конечности самой алгебры. Приведены примеры бесконечных некоммутативных унарных алгебр с конечными
решетками конгруэнций и топологий.
В [3] охарактеризован класс всех коммутативных унарных алгебр, решетка
конгруэнций которых является цепью. В [2] приведено описание класса всех
коммутативных унарных алгебр, решетка топологий которых является цепью.
В данной работе описаны коммутативные унарные алгебры, все нетривиальные конгруэнции (топологии) которых образуют антицепь.
Унарная алгебра называется сильно связной, если она порождается любым
своим элементом.
Будем говорить, что алгебра A′ = ⟨A′ , Ω′ ⟩ получена из алгебры A = ⟨A, Ω⟩
присоединением петли e, если выполнены следующие условия:
1) e ∈
/ A, A′ = A ∪ {e}, Ω ⊆ Ω′ ;
2) алгебра A является подалгеброй редукта ⟨A′ , Ω⟩ алгебры A′ ;
3) (∀f ∈ Ω′ )(f (e) = e);
4) (∀f ∈ Ω′ \ Ω)(f (A) = {e}).
Заметим, что при Ω = Ω′ алгебра A′ получается из A присоединением петли
в качестве новой связной компоненты.
Однопорожденную унарную алгебру ⟨A, f ⟩ с порождающим элементом a и
определяющим соотношением f n (a) = f n+m (a), где n > 0, m > 0 обозначим
n
через Cm
.
Теорема 1. Все нетривиальные конгруэнции произвольной алгебры A =
⟨A, Ω⟩ попарно несравнимы тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы
одно из следующих условий:
1) |A| 6 3;
2) A – сильно связная алгебра, порядок которой равен pp1 или pk , где p, p1 –
простые числа, 0 6 k 6 2;
3) алгебра A получается из некоторой сильно связной алгебры простого порядка присоединением петли;
4) для некоторой операции f ∈ Ω редукт ⟨A, f ⟩ алгебры A изоморфен алгебре
вида Cp1 , где p – простое число.
Теорема 2. Все нетривиальные топологии произвольной алгебры A =
= ⟨A, Ω⟩ попарно несравнимы тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы
одно из следующих условий:
1) |A| 6 2;
2) A – сильно связная алгебра, порядок которой равен pp1 или pk , где p, p1 –
простые числа, 0 6 k 6 2.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
123
Список цитированной литературы
[1] Kartashova A. V. On lattices of topologies of unary algebras // J. Math. Sci.
2003. Т. 114, № 2. C. 1083–1118.
[2] Карташова А. В. О конечных решетках топологий коммутативных унарных
алгебр // Дискретная математика. 2009. Т. 21, № 3. С. 119–131.
[3] Карташова А. В. Коммутативные унарные алгебры с линейно упорядоченной решеткой конгруэнций // Математические заметки. 2014. Т. 95, № 1.
С. 80–92.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
УДК 512.579
ДИАГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИГОНЫ
И. Б. Кожухов, И. В. Барков (г. Москва)
[email protected]
Правым диагональным полигоном над полугруппой S называется декартово
произведение S × S, где действие определено как (a, b)s = (as, bs), a, b, s ∈ S.
Аналогично определяются левый диагональный полигон и диагональный биполигон над полугруппой S. Подмножество A ⊆ S × S — порождающее множество (или множество образующих ), если AS 1 = S × S. Правым диагональным
рангом полугруппы S будем называть минимальную мощность порождающего
множества полигона (S × S)S . Аналогично определяются левый диагональный
ранг и бидиагональный ранг полугруппы. Обозначать ранги будем rdr S, ldr S
и bdr S соответственно. Наряду с правым диагональным полигоном (S × S)S
можно ввести понятие полигона порядка n, определяемого как (S n )S . Наименьшая мощность порождающего множества этого полигона называется правым
диагональным рангом n-го порядка полугруппы S и обозначается rdrn S.
Внимание к диагональным полигонам возникло в связи с вопросом из [1]:
существуют ли бесконечные полугруппы S, у которых диагональный правый
полигон является циклическим? Оказывается, примеров таких полугрупп довольно много. В частности, в [2] для бесконечного множества X у моноида T (X)
всех преобразований, моноида P (X) частичных преобразований, моноида B(X)
бинарных отношений диагональные правый, левый и биполигон являются циклическими. Работы по диагональным полигонам в основном были посвящены
условиям цикличности или конечной порождённости этих полигонов. В работе
[3] исследовались плоскостные свойства диагональных полигонов.
Очевидно, bdr S 6 rdr S, ldr S. За исключением этого неравенства ранги не
зависят друг от друга. Так, в [2] доказано, что для моноида I(X) частичных биекций бесконечного множества X имеют место равенства rdr I(X) = ldr I(X) =
124
Секция 2
∞, bdr I(X) = 1, что иллюстрирует относительную независимость односторонних диагональных рангов от бидиагонального ранга. Пусть X — бесконечное
множество, а F (X) — полугруппа отображений X → X таких, что полный
прообраз любого конечного множества конечен, умножение отображений слева
направо. В [2] доказано, что rdr F (X) = 1, но ldr F (X) = ∞. Это показывает
независимость односторонних рангов друг от друга.
В работе [4] были собраны известные к тому времени результаты о цикличности и конечной порождённости диагональных полигонов. Таблицу из работы
[4] мы дополнили новыми результатами, которые отмечены звёздочкой.
Полугруппа S
Конечная
Коммутативная
Идемпотентная
С тождеством
Инверсная
Вполне регулярная
Вполне простая
Вполне 0-простая
Группа
Сократимая
Сократимая справа
Сократимая слева
Расширение Брака
– Реели
Эпигруппа
Периодическая
Локально
конечная
Инвариантная
слева с 1
Инвариантная
справа с 1
Нетривиальная S,
цикл. правый полигон?
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Беск. п-па S, к.п.
правый полигон?
Нетривиальная S,
цикл. биполигон?
Беск. п-па S, к.п.
биполигон?
–
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
???
Да
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Да*
–
Нет
Нет
???
Да
Нет
Да
Да
Да
Да
Да
Нет
Нет
Нет
Нет
Да*
Нет
Да
Нет
Нет*
Нет*
Нет
Нет*
Нет*
Нет
Нет*
Нет*
Нет*
Да
Да
Нет*
Нет*
Нет*
Нет
Да
Нет*
???
Нет
Да
Таблица 1: Сводка результатов
Однако, правые диагональные ранги различных порядков не являются независимыми. Имеет место следующая оценка.
Теорема 1. Пусть S – бесконечная полугруппа. Тогда rdrn S ≤ (rdr S)n при
нечётном n и rdrn S ≤ (rdr S)n−1 при чётном n.
Следующая теорема обобщает ряд известных ранее утверждений.
Теорема 2 ([7], теорема 4.8). Пусть S – бесконечная полугруппа, удовлетворяющая некоторому полугрупповому тождеству u = v, где u, v – элементы свободной полугруппы. Тогда правый диагональный полигон над S не является конечно порождённым.
При некоторых естественных условиях ранг декартова произведения полугрупп оказывается равным произведению рангов данных полугрупп.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
125
Теорема 3 ([7], теорема 2.6). Пусть S и T – полугруппы, каждая из которых удовлетворяет одному из следующих условий:
(i) бесконечная и имеет конечный правый диагональный ранг;
(ii) конечная и имеет правую единицу.
Тогда rdr(S × T ) = rdr S · rdr T .
Данная теорема позволяет строить бесконечные полугруппы произвольного
ранга. Достаточно выбрать декартово произведение бесконечной полугруппы
с диагональным рангом, равным единице (например, T (X)) и группы нужной
мощности.
В [8] построен пример полугруппы с bdr S = 1, bdr3 S = ∞.
Список цитированной литературы
[1] Bulman-Fleming S., McDowell K., Problem e3311, Amer. Math. Monthly 96,
1989.
[2] Gallagher P., Ruˇskuc N., Finite generation of diagonal acts of some infinite
semigroups of transformations and relations // Bull. Austral. Math. Soc., 2005.
Vol. 72, no. 1. P. 139–146.
[3] Bulman-Fleming S., Gilmour A., Flatness properties of diagonal acts over
monoids // Semigroup Forum, 2009. Vol. 79, iss. 2. P. 298–314.
[4] Gallagher P., On the finite and non-finite generation of diagonal acts // Comm.
Algebra. 2006. Vol. 34. P. 3123–3137.
[5] Апраксина Т. В., Диагональные полигоны над полугруппами преобразований // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, №1. С. 10–16,
[6] Барков И. В., Кожухов И. Б., Свойства диагональных полигонов и биполигонов // Учен. Зап. Орловского гос. ун-та. 2012. №6(50). С. 45–50.
[7] Apraksina T. V., Barkov I. V., Kozhukhov I. B. Diagonal ranks of semigroups,
submitted to Semigroup Forum (англ.)
[8] Апраксина Т. В., Барков И. В., Кожухов И. Б. Два примера диагональных
биполигонов // Фундаментальная и прикладная математика. 2013. Т. 18,
№3. С. 3–9.
Национальный исследовательский университет МИЭТ
ЗАО "СБТ"
126
Секция 2
УДК 512.531+512.541
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ С ФИНИТНО
АППРОКСИМИРУЕМЫМИ ПОЛИГОНАМИ
И. Б. Кожухов, А. В. Царев (Москва)
[email protected]
[email protected]
Правым полигоном над полугруппой S (или правым S-полигоном) называется множество X, на котором действует полугруппа S, т.е. определено отображение X × S → X, (x, s) 7→ xs, удовлетворяющее условию x(st) = (xs)t для
всех элементов x ∈ X, s, t ∈ S (см. [5]). Так как левые полигоны мы рассматривать не будем, то вместо слов «правый полигон» мы будем часто писать просто
«полигон».
Категория полигонов над полугруппой несёт большую информацию о строении полугруппы аналогично тому, как категория модулей над кольцом может
многое сказать о кольце. В работах [1]–[4] исследовались полугруппы S, удовлетворяющие следующим условиям на полигоны:
(∗) все правые S-полигоны финитно аппроксимируемы;
(∗∗) все правые S-полигоны аппроксимируются полигонами из n или меньшего
числа элементов.
В [1] было доказано, что полугруппа S удовлетворяет условию (∗∗) с n = 2
в том и только том случае, если S — полурешётка (коммутативная полугруппа
идемпотентов). В [2] была установлена периодичность полугрупп, удовлетворяющих условию (∗∗), а в [4] это утверждение было усилено: оказывается, такая
полугруппа равномерно локально конечна, т.е. для каждого натурального t порядки её t-порождённых подполугрупп ограничены в совокупности. В [2] и [3]
исследовались коммутативные и нильполугруппы с условиями (∗) и (∗∗).
Заметим, что ввиду теоремы Биркгофа, утверждающей, что любая алгебра является подпрямым произведением подпрямо неразложимых алгебр, для
любой полугруппы S условие (∗) эквивалентно следующему:
(∗′ ) все подпрямо неразложимые S-полигоны конечны;
а условие (∗∗) равносильно условию
(∗∗′ ) |X| 6 n для любого подпрямо неразложимого S-полигона X.
Опишем абелевы группы, удовлетворяющие условиям (∗) и (∗∗). Будем использовать для них аддитивную запись. Для абелевой группы A мы будем обозначать через t(A) её периодическую часть, через tp (A) — p-компоненту периодической части, через r0 (A) – ранг без кручения (если A — абелева группа
без кручения, то ранг без кручения называют просто рангом), а через exp(A)
— экспоненту группы A, т.е. наименьшее общее кратное порядков её элементов
(экспонента существует тогда и только тогда, когда A — ограниченная группа,
т.е. порядки элементов группы A ограничены в совокупности).
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
127
Теорема 1. Абелева группа A удовлетворяет условию (∗∗) при некотором
n в том и только том случае, если порядки элементов группы A ограничены в
совокупности. Если exp(A) = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k , где pi — различные простые числа,
то порядки подпрямо неразложимых унитарных (соотв., неунитарных ) Aполигонов — это в точности числа вида pβi (соотв., pβi + 1), где i 6 k и β 6 αi .
Предложение 1. Периодическая абелева группа удовлетворяет условию
(∗) в том и только том случае, если все её p-примарные компоненты — ограниченные группы.
Абелева группа A называется локально свободной, если все её p-локализации
Qp ⊗ A являются свободными Qp -модулями (здесь Qp — кольцо рациональных
чисел, знаменатели которых взаимно просты с p). Хорошо известно, что абелева
группа без кручения A конечного ранга является локально свободной тогда и
только тогда, когда dimZp (A/pA) = r(A) при всех простых p.
Предложение 2. Абелева группа без кручения удовлетворяет условию
(∗) тогда и только тогда, когда она — локально свободная группа без кручения
конечного ранга.
Теорема 2. Произвольная абелева группа A удовлетворяет условию (∗)
тогда и только тогда, когда группы t(A) и A/t(A) удовлетворяют условию
(∗).
Список цитированной литературы
[1] Kozhukhov I.B. One characteristical property of semilattices // Commun.
Algebra, 25:8 (1997), 2569–2577.
[2] Кожухов И.Б. Условия конечности для подпрямо неразложимых полигонов
и модулей // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4, вып.
2. С. 763–767.
[3] Кожухов И.Б. Полугруппы, над которыми все полигоны резидуально конечны // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4, вып. 4.
С. 1335–1344.
[4] Кожухов И.Б., Халиуллина А.Р. Полугруппы с финитно аппроксимируемыми полигонами (в печати).
[5] Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories. Berlin–New
York: W. de Gruyter, 2000.
Национальный исследовательский университет МИЭТ
Московский педагогический государственный университет
128
Секция 2
УДК 512.579
О РЕШЕТКАХ КОНГРУЭНЦИЙ АЛГЕБР ОДНОГО
КЛАССА УНАРОВ С МАЛЬЦЕВСКОЙ ОПЕРАЦИЕЙ
А. Н. Лата (г. Волгоград)
[email protected]
Решетка ⟨L, ∨, ∧⟩ с нулем 0 и единицей 1 называется решеткой с дополнениями, если для любого элемента x ∈ L существует такой элемент x′ ∈ L, что
выполняются равенства x ∧ x′ = 0 и x ∨ x′ = 1.
Если каждый элемент решетки обладает в точности одним дополнением, то
она называется решеткой с единственными дополнениями.
Пусть b, c ∈ L и a ∈ [b, c]. Элемент x называется относительным дополнением элемента a в интервале [b, c], если a ∧ x = b и a ∨ x = c. Решеткой с
относительными дополнениями называется решетка, в которой каждый элемент имеет относительное дополнение в любом содержащем его интервале.
Булевой решеткой называется дистрибутивная решетка с дополнениями.
Унаром с мальцевской операцией [1] называется алгебра ⟨A, f, d⟩ с унарной операцией f и тернарной операцией d, на которой истинны тождества
d(x, y, y) = d(y, y, x) = x и f (d(x, y, z)) = d(f (x), f (y), f (z)). Как следствие, унар
с мальцевской операцией является тернарной алгеброй с одним оператором.
В [1] показано, что на любом унаре ⟨A, f ⟩ можно задать тернарную операцию
p так, что алгебра ⟨A, p, f ⟩ становится унаром с мальцевской операцией. Ее
определение приведено ниже.
Пусть ⟨A, f ⟩ — произвольный унар и x, y ∈ A. Через f n (x) обозначается
результат n-кратного применения операции f к элементу x; f 0 (x) = x. Положим
Mx,y = {n ∈ N0 | f n (x) = f n (y)}, а также k(x, y) = min Mx,y , если Mx,y ̸= ∅ и
k(x, y) = ∞, если Mx,y = ∅. Положим далее
{
z, если k(x, y) 6 k(y, z)
def
p(x, y, z) =
(1)
x, если k(x, y) > k(y, z).
Свойства конгруэнций унаров с мальцевской операцией p(x, y, z), определенной по правилу (1), изучались в [2] – [4].
Теорема 1. Пусть ⟨A, f, p⟩ — унар c мальцевской операцией p(x, y, z), определенной по правилу (1). Решетка Con⟨A, f, p⟩ является решеткой с дополнениями тогда и только тогда, когда либо операция f инъективна, либо унар
⟨A, f ⟩ содержит такую одноэлементную подалгебру {a}, что f (x) = a для
любого x ∈ A.
Следствие 1. Решетка Con⟨A, f, p⟩ является решеткой с единственными
дополнениями (булевой решеткой, решеткой с относительными дополнениями) тогда и только тогда, когда Con⟨A, f, p⟩ является решеткой с дополнениями.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
129
Следствие 2. Решетка Con⟨A, f, p⟩ является решеткой с дополнениями
тогда и только тогда, когда алгебра ⟨A, f, p⟩ является конгруэнц-простой.
Список цитированной литературы
[1] Карташов В. К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: тез. сообщ. междунородного семинара. Волгоград:
Перемена, 1999. С. 31–32.
[2] Усольцев В. Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14, вып. 7. С. 189–207.
[3] Лата А. Н. Конгруэнц-однородные унары со стандартной мальцевской операцией // Вестник СНО. 2012. Вып. 28. С. 227–231.
[4] Лата А. Н. Слабо регулярные унары со стандартной мальцевской операцией
// Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 4. С. 146–153.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
УДК 512.548
АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПИСАНИЕ КЛАССОВ
ИЗОМОРФНЫХ ГРУППОИДОВ
М. Н. Назаров (г. Москва)
[email protected]
Под группоидом мы будем понимать множество с одной бинарной операцией. Произвольный группоид (G, ◦) можно однозначно описать с помощью
гиперграфа (G, E) специального вида: (a, b, c) ∈ E ⇔ a ◦ b = c.
Определение 1. Для гиперграфа (G, E) некоторого группоида (G, ◦) будем
называть рёберным гиперграфом такой (L {G} , L {E}), где
L {G} = E,
((x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), (x3 , y3 , z3 )) ∈ L {E} ⇔
x1 ◦ x2 = x3 , y1 ◦ y2 = y3 , z1 ◦ z2 = z3
Определение 2. Пусть дан произвольный конечный группоид (G, ◦), у которого число элементов равно |G| = n. Тогда, если выбрать некоторый линейный порядок α = (g1 , ..., gn ) для множества G, то можно будет поставить в
соответствие группоиду трёхмерную матрицу смежности A по следующему правилу:
A(i, j, k) = 1 ⇔ gi ◦ gj = gk
∧
A(i, j, k) = 0 ⇔ gi ◦ gj ̸= gk
130
Секция 2
Кодом матрицы смежности A конечного группоида G будем называть
такое число ν(A), которое получается в результате перевода матрицы смежности в бинарное число:
ν(A) = 20 A(1, 1, 1) + 21 A(1, 1, 2) + ... + 2n A(1, 1, n) + 2n+1 A(1, 2, 1) + ...
Определение 3. Наибольший из всех возможных кодов матриц смежности группоида G назовём макси-кодом νmax (G) группоида. Если для некоторого порядка элементов группоида α = (g1 , ..., gn ) код матрицы смежности
ν(A) = νmax (G), то мы будем говорить, что порядок α соответствует
макси-коду.
Отметим, что макси-код νmax (G) задаёт группоид G с точностью до изоморфизма, и как следствие, является его полным инвариантом.
Определение 4. Наибольший из всех возможных кодов матриц смежности рёберного гиперграфа (L {G} , L {E}) некоторого группоида G назовём
L
рёберным макси-кодом νmax
(G) группоида.
Утверждение 1. Если два порядка элементов α1 = (g11 , ..., gn1 ) и α2 =
(g12 , ..., gn2 ) группоида G соответствуют макси-коду µmax (G), то элементы в
этих порядках будут автоморфны gk1 ∼ gk2 для всех k = 1, n.
Пусть макси-коду группоида G соответствует некоторый порядок следования вершин α. Тогда назовём индексом класса симметрии элементов g
натуральное число I(g), равное первому вхождению в порядок α вершины из
класса g. Формально это можно записать следующим образом: I(g) = min i.
i: g∼α(i)
Пусть рёберному макси-коду µLmax (G) группоида G соответствует некоторый порядок следования рёбер β. Тогда назовём индексом класса симметрии рёбер (u, v, t) натуральное число I(u, v, t), равное первому вхождению в β ребра
из класса (u, v, t).
Теорема 1. Если группоиды изоморфны G ∼
= H, то для двух элементов
u ∈ G, v ∈ H будет выполняться I(u) = I(v) тогда и только тогда, когда
существует изоморфизм ϕ : G → H, такой что ϕ(u) = v.
Теорема 2. Если G ∼
= H, то для двух рёбер (u1 , u2 , u3 ) ∈ E(G), (v1 , v2 , v3 ) ∈
E(H) будет выполняться I(u1 , u2 , u3 ) = I(v1 , v2 , v3 ) тогда и только тогда, когда существует изоморфизм ϕ : G → H, такой что ϕ(u1 ) = v1 , ϕ(u2 ) = v2 и
ϕ(u3 ) = v3 .
Характеристики I(u), I(v1 , v2 , v3 ) могут быть использованы для построения
инвариантов группоидов специального вида. Примером такого инварианта может послужить таблица Кэли для классов автоморфизма элементов, в которой
классы заменяются на индексы I(u).
Национальный исследовательский университет МИЭТ
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
131
УДК 512.579
ПРОДОЛЖАЕМЫЕ И НЕПРОДОЛЖАЕМЫЕ
ЧАСТИЧНЫЕ ПОЛУГРУППЫ
А. О. Петриков (г. Москва)
[email protected]
Частичной полугруппой называется множество с частичной ассоциативной
операцией. Полной операцией называется операция, значения которой определены для всех наборов элементов, частичной – операция, значения которой определены, быть может, не для всех наборов. Интересен вопрос о возможности продолжения частичной операции до полной с сохранением тех или
иных свойств (например, ассоциативности). В.В. Розен [1] дал определение ассоциативности частичной операциидвумя неэквивалентными способами. Слабая ассоциативность означает, что для элементов a, b, c выполняется равенство
(ab)c = a(bc), если оба произведения (ab)c, a(bc) существуют. Сильная ассоциативность - для любых элементов a, b, c либовыполняется равенство (ab)c = a(bc),
либо оба произведения (ab)c и a(bc) не существуют. Очевидно, можно продолжить операцию, добавив к множеству элемент и положив все не определенные
произведения равными этому элементу (см. Е.С. Ляпин и А.Е. Евсеев [2]). Автором составлена компьютерная программа, проверяющая, можно ли продолжить
операцию частичной полугруппы, заданной на n-элементном множестве. С помощью программы установлено, что при n 6 4 любую частичную полугруппу
можно дополнить до полной, не добавляя нового элемента. Очевидно, что если
в частичной полугруппе S присутствует пассивный элемент (т.е. такой элемент
z, что z · a и a · z не определены ни при каких a ∈ S), то операцию можно
продолжить до полной, не добавляя элемента.
Теорема 1. Частичную полугруппу ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы можно продолжить до полной.
Пример 3. Рассмотрим частичную полугруппу S всех непустых частичных
преобразований двухэлементного множества:
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
3
1
1
3
7
7
2
1
2
3
4
5
6
7
8
3
1
3
3
7
−
−
7
−
4
5
4
6
2
1
3
8
7
5
5
5
6
5
5
6
8
8
6
5
6
6
8
−
−
8
−
7
−
7
−
3
1
3
−
7
8
−
8
−
6
5
6
−
8
132
Секция 2
Которую можно продолжить следующим образом:
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
3
1
1
3
7
7
2
1
2
3
4
5
6
7
8
3
1
3
3
7
1
3
7
7
4
5
4
6
2
1
3
8
7
5
5
5
6
5
5
6
8
8
6
5
6
6
8
5
6
8
8
7
1
7
3
3
1
3
7
7
8
5
8
6
6
5
6
8
8
Пример 4. Рассмотрим подполугруппу частичной полугруппу S всех непустых частичных преобразований
трехэлементного
натянутую
(
)
(
)
(множества
)
(
)
1 2 3
1 2
1 2
1 2 3
на элементы: 1 =
, 2 =
, 3 =
, 4 =
,
3 )
2 2 3
(
(
( 1) 1
( ) 1 2
)
)1 1 (
1 2
1 2
3
3
3
5
,6=
,7=
,8=
,9=
.
2 2
3 3
1
2
3
Таблица Кэли для данной полугруппы:
3
4
8
23
24
44
61
62
63
3
3
4
4
3
4
44
61
61
63
4
4
4
4
4
4
−
61
61
−
8
4
4
8
24
24
−
61
62
−
23
23
24
24
23
24
44
62
62
63
24
24
24
24
24
24
−
62
62
−
44
44
44
44
44
44
−
63
63
−
61
61
−
−
61
−
4
−
−
61
62
62
−
−
62
−
24
−
−
62
63
63
−
−
63
−
44
−
−
63
Данная полугруппа не продолжается.
Список цитированной литературы
[1] Розен В. В. Частичные операции в упорядоченных множествах. Саратов:
Изд-во Саратовского университета, 1973.
[2] Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. СанктПетербург, РГПУ им Герцена: Изд-во «Образование», 1991.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
133
УДК 512.554+512.643
ЧАСТИЧНЫЕ ПОРЯДКИ НА МНОЖЕСТВЕ
ИДЕМПОТЕНТОВ ПОЛУГРУППЫ БУЛЕВЫХ
МАТРИЦ
В. Б. Поплавский (г. Саратов)
[email protected]
Пусть ⟨Bm×n , ∪, ∩,′ , O, I⟩ есть булева алгебра m × n матриц с элементами из
некоторой булевой алгебры ⟨B, ∪, ∩,′ , 0, 1⟩. Операции объединения ∪, пересечения ∩, дополнения ′ и, следовательно, отношение булевого частичного порядка
⊆ определяются для матриц поэлементно. Матрицы O и I, образованные целиком из нулей 0 и единиц 1 соответственно, дают нуль и единицу этой булевой
алгебры.
∪
Определение 1. Матрицу C = A ⊓ B ∈ Bm×k с элементами Cji = nt=1 (Ait ∩
Bjt ) назов¨ем конъюнктным произведением матриц A = (Aij ) ∈ Bm×n и B =
(Bji ) ∈ Bn×k . Дизъюнктное произведение A⊔B определяется дуальным образом:
A ⊔ B = (A′ ⊓ B ′ )′ .
Множество
всех матриц конечных размеров обозначим через M(B), то есть
∪
M(B) = m,n∈N Bm×n .
Пары ⟨M(B), ⊓⟩ и ⟨M(B), ⊔⟩ образуют частичные полугруппы относительно
частичных бинарных операций. При этом неравенство A ⊆ B влеч¨ет A ⊓ C ⊆
B ⊓ C, C ⊓ A ⊆ C ⊓ B и A ⊔ C ⊆ B ⊔ C, C ⊔ A ⊆ C ⊔ B. Дополнение булевых
матриц , в силу равенств (A ⊓ B)′ = A′ ⊔ B ′ и (A ⊔ B)′ = A′ ⊓ B ′ , является
изоморфизмом частичных полугрупп ⟨M(B), ⊓⟩ и ⟨M(B), ⊔⟩. Как известно [1],
конъюнктное и дизъюнктное произведения образуют неассоциативную пару.
Пусть AT означает транспонирование матрицы A и A′T = (AT )′ = (A′ )T .
Заметим, что (A ⊓ B)T = B T ⊓ AT , (A ⊔ B)T = B T ⊔ AT и (A ⊓ B)′ = A′ ⊔ B ′ ,
(A ⊔ B)′ = A′ ⊓ B ′ .
Символом E будем далее обозначать квадратные единичные матрицы E =
(δji ) с элементами δji , принимающими значение 1, если i = j, и значение 0, если
i ̸= j. При этом соответствующий контексту размер матрицы E указывать не
будем.
Определение 2. Идемпотентная матрица A = A ⊓ A называется первичным идемпотентом, если E * A, и вторичным идемпотентом частичной
полугруппы ⟨M(B), ⊓⟩, если E ⊆ A.
Первичные и вторичные идемпотенты частичной полугруппы ⟨M(B), ⊔⟩ определяются дуальным образом, то есть матрица A = A ⊔ A называется первичным идемпотентом, если A * E ′ , и вторичным идемпотентом, если A ⊆ E ′ .
В работах [1] и [2] было показано, что любая булева матрица произвольного
размера с помощью операций дуальных произведений, дополнения и транспонирования порождает вторичные идемпотенты правого типа: AR = A ⊔ A′T ,
AR = (AR )′T = A ⊓ A′T и левого типа:AL = A′T ⊔ A, AL = (AL )′T = A′T ⊓ A.
134
Секция 2
Прич¨ем матрицы AR и AL являются идемпотентными в ⟨M(B), ⊓⟩, а AR и
AL являются идемпотентными в частичной полугруппе ⟨M(B), ⊔⟩. Также было
показано, что булева матрица A является вторичным идемпотентом в ⟨M(B), ⊓⟩
тогда и только тогда A = AR = AL . Соответственно, матрица A является вторичным идемпотентом в ⟨M(B), ⊔⟩ тогда и только тогда A = AR = AL .
Известно [3], [4], что множество идемпотентов полугруппы обладает натуральным частичным порядком. Для идемпотентных матриц A и B частичной
полугруппы ⟨M(B), ⊓⟩ он определяется следующим образом: (B ≤⊓ A) ↔ (B =
B ⊓ A = A ⊓ B). Для идемпотентных матриц A и B частичной полугруппы
⟨M(B), ⊔⟩ натуральный порядок определяется как (B ≤⊔ A) ↔ (B = B ⊔ A =
A ⊔ B).
Отметим, что множества вторичных идемпотентов частичных полугрупп
⟨M(B), ⊔⟩ и ⟨M(B), ⊓⟩ являются непересекающимися подмножествами в M(B).
Оказывается, частичный порядок булевой алгебры матриц ⊆ совпадает с натуральным частичным порядком ≤⊔ на множестве вторичных идемпотентных
матриц частичной полугруппы ⟨M(B), ⊔⟩ и являются обратным частичному порядку ≤⊓ на множестве вторичных идемпотентов из ⟨M(B), ⊓⟩. Точнее, имеет
место следующая
Теорема. Для любых вторичных идемпотентов A и B частичной полугруппы ⟨M(B), ⊔⟩ выполняется
A ≤⊔ B ↔ A ⊆ B.
Если A и B произвольные вторичные идемпотенты частичной полугруппы
⟨M(B), ⊓⟩, тогда
A ≤⊓ B ↔ B ⊆ A.
Список цитированной литературы
[1] Поплавский В.Б. О приложениях ассоциативности дуальных произведений
алгебры булевых матриц // Фундаментальная и прикладная математика.
2011/2012. Т. 17, вып. 4. С. 181–192.
[2] Поплавский В.Б. Об идемпотентах алгебры булевых матриц // Изв. Сарат.
ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12,
вып. 2. С. 26–33.
[3] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т.1. М: МИР,
1972. 287 с.
[4] Mitsch H. A Natural Partial Order for Semigroups // Proceedings of the Amer.
Math. Society. 1986. Vol. 97, №3. P. 384–388.
Саратовский государственный университет
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
135
УДК 501.1
О МНОГООБРАЗИЯХ ПОЛУГРУПП БИНАРНЫХ
ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЯМИ
ИДЕНТИФИКАЦИЯМИ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ И
РЕФЛЕКСИВНОЙ ДВОЙНОЙ ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ
А. В. Попович (г. Саратов)
[email protected]
Множество бинарных отношений Φ, замкнутое относительно некоторой совокупности Ω операций над ними, образует алгебру (Φ, Ω), называемую алгеброй отношений. Одной из важнейших операций над отношениями является
операция умножения ◦. Алгебра отношений вида (Φ, ◦) образует полугруппу
отношений, и всякая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе отношений.
Вместе с операцией умножения отношений могут быть также рассмотрены и
другие операции, несущие дополнительную информацию об этой полугруппе.
Операции над отношениями могут задаваться с помощью формул логики
предикатов. Такие операции называются логическими. Логические операции
могут быть классифицированы по виду задающих их формул. Важным классом
логических операций над отношениями является класс диофантовых операций.
Операция называется диофантовой [1, 2] (в другой терминологии – примитивнопозитивной [3]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в
своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции
и кванторы существования.
Диофантовы операции описываются с помощью графов [1, 2, 3]. Пусть N –
множество всех натуральных чисел. Помеченный граф – это пара вида (V, E),
где V – конечное множество, называемое множеством вершин, и E ⊆ V × N × V
– тернарное отношение. Тройку (u, k, v) ∈ E будем называть ребром графа, идущим из вершины u в вершину v, помеченным меткой k, и графически изобраk
жать следующим образом: u· → ·v. Под двухполюсником мы понимаем помеченный граф с парой выделенных вершин, то есть систему вида G = (V, E, in, out),
где (V, E) – помеченный граф; in и out - две выделенные вершины, называемые
входом и выходом двухполюсника соответственно.
Заметим, что двухполюсник, соответствующий операции ◦ умножения отношений, имеет следующий вид:
Сосредоточим свое внимание на операциях умножения отношений ◦, идентификации неподвижной точки ∇1 и рефлексивной двойной цилиндрофикации
∇2 . Операции ∇1 и ∇2 определяются следующим образом:
∇1 (ρ) = {(x, x) : (∃y)(y, y) ∈ ρ},
∇2 (ρ) = {(x, y) : (∃z)(z, z) ∈ ρ}.
136
Секция 2
Двухполюсники, соответствующие этим операциям, имеют вид:
Для заданного множества Ω операций над бинарными отношениями обозначим через R{Ω} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями
из Ω. Пусть V ar{Ω} — многообразие, порожденное классом R{Ω}.
Базис тождеств многообразия, порожденного классом полугрупп бинарных
отношений с операцией идентификации неподвижной точки ∇1 получен в [4].
Следующая теорема дает базис тождеств многообразия V ar{◦, ∇1 , ∇2 } алгебр, порожденных операциями умножения отношений, идентификации неподвижной точки и рефлексивной двойной цилиндрофикации.
Теорема 1. Алгебра (A, ·, ⋆ , ∗ ) типа (2,1,1) принадлежит многообразию
V ar{◦, ∇1 , ∇2 } если, и только если она удовлетворяет тождествам:
(x⋆ )2 = x⋆ ,
(xy)z = x(yz),
x∗ xx∗ = x∗ ,
(xy)⋆ = (yx)⋆ ,
(x∗ y)2 = x∗ y,
(xy)∗ = (yx)∗ ,
(xy ∗ z)∗ = y ∗ zxy ∗ ,
(x∗ )2 = x∗ ,
(xy ∗ )2 = xy ∗ ,
x∗ yz ∗ = z ∗ yx∗ ,
x∗ yx∗ zx∗ = x∗ zx∗ yx∗ ,
(xy ⋆ )∗ = x∗ y ⋆ ,
(xy ∗ z)⋆ = (xy ∗ )⋆ (y ∗ z)⋆ ,
(x∗ y ∗ )⋆ = x⋆ y ⋆ ,
xy ⋆ = y ⋆ x,
(xy ⋆ )⋆ = y ⋆ x⋆ ,
x∗ ⋆ = x⋆ ,
x⋆ ∗ = x∗ ,
(x∗ yz ∗ )⋆ = x⋆ (yz ∗ )⋆
x∗ (xp )∗ = x∗ для любого простого числа p.
Найденный в Теореме 1 базис тождеств является бесконечным. Естественно
возникает вопрос о конечной базируемости этого многообразия. Ответ на этот
вопрос дает Теорема 2.
Теорема 2. Многообразие V ar{◦, ∇1 , ∇2 } не является конечно базируемым.
Список цитированной литературы
[1] Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми
операциями // Сибирский мат. журн. 1997. № 1. С. 29–41.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
137
[2] Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями //
Доклады Российской Академии Наук. 1998. Т. 360. С. 594–595.
[3] B¨oner F., P¨oschel F. R. Clones of operations on binary relations. // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50–70.
[4] Д. А. Бредихин Об алгебрах отношений с операцией идентификации неподвижной точки // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвузовский сб. научных трудов.
Изд-во Саратовского гос. уни-та, 2010. С. 90-98.
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А.
УДК 512.577
О НАСЫЩЕННЫХ ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ
УНАРОВ
А. Л. Расстригин (г. Волгоград)
[email protected]
Формацией называется класс алгебраических систем, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных (с конечным числом множителей) подпрямых произведений.
Применение формаций при изучении конечных групп сформировало обособленное направление теории групп ([1]). При этом большое внимание уделялось
насыщенным формациям. Формация F групп называется насыщенной, если для
любой группы G из того, что G/Φ(G) ∈ F всегда следует G ∈ F, где Φ(G) —
подгруппа Фраттини группы G.
Разными авторами (например, [2, 1]) давались обобщения этих понятий на
универсальные алгебры. Приведем следующие определения из [1]. Конгруэнция
θ алгебраической системы A называется фраттиниевой , если для любой собственной подсистемы B системы A объединение всех θ-классов, порожденных
элементами из B, отлично от A. Класс X называется насыщенным в классе Y,
если из того, что A ∈ Y и A/θ ∈ X, где θ — некоторая фраттиниева конгруэнция
A, всегда следует A ∈ X.
Данная заметка посвящена изучению свойств формаций конечных унаров
([3]), т. е. алгебр с одной унарной операцией.
Элемент a унара ⟨A, f ⟩ называется циклическим, если f n (a) = a для некоторого натурального числа n. Будем называть унар циклическим, если все его
элементы циклические.
Теорема 1. В классе конечных унаров насыщенными формациями являются лишь пустая формация, формация всех конечных циклических унаров и
формация всех конечных унаров.
138
Секция 2
Список цитированной литературы
[1] Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука,
1989. 256 с.
[2] Kiss E. W., Vovsi S. M. Critical algebras and the Frattini congruence // Algebra
Universalis. 1995. Vol. 34, № 3. Pp. 336-344.
[3] Расстригин А. Л. Формации конечных унаров // Чебышевский сборник.
2011. Т. XII, № 2 (38). С. 102–109.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
УДК 512.579
О ГАМИЛЬТОНОВЫХ ТЕРНАРНЫХ АЛГЕБРАХ
С ОПЕРАТОРАМИ
В. Л. Усольцев (г. Волгоград)
[email protected]
Универсальная алгебра A называется гамильтоновой, если носитель любой ее подалгебры является классом некоторой конгруэнции алгебры A. Свойство гамильтоновости для универсальных алгебр было введено в рассмотрение
B. Cs´ak´any [1], как естественное обобщение понятия гамильтоновой группы.
Алгеброй с операторами называется универсальная алгебра с дополнительной системой операторов — унарных операций, действующих как эндоморфизмы относительно основных операций. Другими словами, операторы перестановочны с основными операциями.
Алгебра с операторами называется тернарной, если она имеет единственную
основную операцию, и эта операция является тернарной.
Через Cht (h > 0, t > 0) обозначается унар ⟨a|f t (a) = f h+t (a)⟩.
Предложение 1. Пусть ⟨A, Ω⟩ — произвольная алгебра с оператором
f ∈ Ω. Если ⟨A, f ⟩ ∼
= C1t , t ∈ N ∪ {∞} или ⟨A, f ⟩ ∼
= Cn0 , n ∈ N , то алгебра ⟨A, Ω⟩
является гамильтоновой.
Унаром с мальцевской операцией [2] называется алгебра ⟨A, p, f ⟩ с оператором f , где p — тернарная операция, для которой выполнены тождества
p(x, y, y) = p(y, y, x) = x.
В [2] на любом унаре ⟨A, f ⟩ так задается тернарная операция p, что ⟨A, p, f ⟩
становится унаром с мальцевской операцией. Определение этой операции приведено ниже.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
139
Пусть ⟨A, f ⟩ — произвольный унар и x, y ∈ A. Через f n (x) обозначается
результат n-кратного применения операции f к элементу x; f 0 (x) = x. Положим
Mx,y = {n ∈ N ∪ {0} | f n (x) = f n (y)}, а также k(x, y) = min Mx,y , если Mx,y ̸= ∅
и k(x, y) = ∞, если Mx,y = ∅. Положим далее
{
z, если k(x, y) 6 k(y, z)
def
p(x, y, z) =
(1)
x, если k(x, y) > k(y, z).
Теорема 1. Пусть ⟨A, p, f ⟩ — унар c мальцевской операцией p, определенной по правилу (1). Алгебра ⟨A, p, f ⟩ является гамильтоновой тогда и только
тогда, когда либо ⟨A, f ⟩ ∼
= C1t , t ∈ N ∪ {∞}, либо ⟨A, f ⟩ ∼
= Cn0 , n ∈ N .
В [3], [4] на унаре были определены симметрическая мальцевская операция (функция меньшинства), тернарная операция почти единогласия и тернарная операция w, удовлетворяющая тождествам w(x, x, y) = x, w(y, x, x) = x,
w(x, y, x) = y, перестановочные с унарной операцией.
Для соответствующих классов тернарных алгебр с одним оператором получены необходимые и достаточные условия гамильтоновости, аналогичные приведенным в теореме 1.
Список цитированной литературы
[1] Cs´ak´any B. Abelian properties of primitive classes of universal algebras // Acta.
Sci. Math. 1964. Vol. 25. Pp. 202–208.
[2] Карташов В. К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: тез. сообщ. межд. семинара. Волгоград, 1999. С. 31–
32.
[3] Усольцев В.Л. Свободные алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией p, заданного тождеством p(x, y, x) = y // Чебышевский сборник.
2011. Т. 12, вып. 2(38). С. 127–134.
[4] Усольцев В.Л. О строго простых тернарных алгебрах с операторами //
Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 4. С. 196–204.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
УДК 512.579
КОНГРУЭНЦИИ ПРАВЫХ ПОЛИГОНОВ НАД
ПОЛУГРУППАМИ ПРАВЫХ И ЛЕВЫХ НУЛЕЙ
А. Р. Халиуллина (г. Москва)
[email protected]
140
Секция 2
Правый полигон над полугруппой S (или правый S-полигон; см. [1]) – это
множество X, на котором задано действие полугруппы S, т.е. определено отображение X × S → X, (x, s) 7→ xs, удовлетворяющее условию x(st) = (xs)t при
x ∈ X, s, t ∈ S. Двойственным образом определяется левый полигон.
Конгруэнцией (правого) полигона X над полугруппой S называется такое
отношение эквивалентности ρ на X, что (x, y) ∈ ρ ⇒ (xs, ys) ∈ ρ при всех
x, y ∈ X, s ∈ S. Наименьшей конгруэнцией является отношение равенства ∆X =
{(x, x) | x ∈ X}.
⨿
Копроизведением i∈I Xi семейства полигонов {Xi | i ∈ I} над полугруппой
S назов¨eм дизъюнктное объединение этих полигонов (если Xi имеют между
собой непустые пересечения, то возьм¨eм их изоморфные попарно не пересекающиеся копии). Полигон X называется конеразложимым, если он не разлагается
в копроизведение других полигонов.
Теорема 1. Всякий полигон является копроизведением конеразложимых
полигонов.
Главной конгруэнцией ρa,b полигона X над полугруппой S называется конгруэнция, порожд¨eнная парой (a, b), где a, b ∈ X и a ̸= b.
Опишем главные конгруэнции произвольного правого полигона над полугруппой правых нулей. Строение таких полигонов было описано в [2], привед¨eм
формулировку теоремы.
Теорема 2. ([2], Corollary 10). Пусть X и S – непустые множества, σ –
отношение эквивалентности на X. Пусть для каждого s ∈ S задано подмножество Ys ⊆ X, прич¨eм |Ys ∩ xσ| = 1 для всех x ∈ X, s ∈ S (здесь xσ обозначает σ-класс, содержащий элемент x). Положим st = t для всех s, t ∈ S
и xs = y, где y – единственный элемент множества Ys ∩ xσ, для x ∈ X,
s ∈ S. Тогда S будет полугруппой правых нулей, а X – правым S-полигоном.
Кроме того, всякий правый полигон над полугруппой правых нулей изоморфен
полигону, построенному таким образом.
Пусть S – полугруппа правых нулей, X – правый полигон над S. Пусть σ
и Ys (s ∈ S) имеют тот же смысл, что в предыдущей теореме. Единственный
элемент множества Ys ∩xs обозначим через xs . Пусть K, K ′ – различные классы
эквивалентности отношения σ и as – единственный элемент множества Ys ∩
K, a′s - единственный элемент из Ys ∩ K ′ . Обозначим через ρK,K ′ наименьшее
отношение эквивалентности на множестве X, содержащее все пары (as , a′s ) при
s ∈ S.
По-другому ρK,K ′ можно охарактеризовать на языке теории графов. Рассмотрим двудольный граф Γ, у которого множеством вершин является множество K ∪ K ′ , а множество р¨eбер – это множество пар (as , a′s ), s ∈ S. Классы
эквивалентности отношения ρK,K ′ – это в точности компоненты связности графа Γ.
Следующая теорема описывает главные конгруэнции правых полигонов над
полугруппами правых нулей.
Теорема 3. Пусть S – полугруппа правых нулей, X – правый полигон над
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
141
S (его строение описано в теореме 2). Пусть a, b ∈ X и a ̸= b. Тогда

 {(a, b), (b, a)} ∪ ∆X , если (a, b) ∈ σ,
{(a, b), (b, a)} ∪ ρK,K ′ ∪ ∆X , если a ∈ K, b ∈ K ′ и K, K ′ —
ρa,b =

различные σ-классы
Рассмотрим снова произвольный
полигон X над полугруппой правых нулей
⨿
S. Ввиду леммы 1 имеем: X = i∈I Xi , где Xi – конеразложимые полигоны. Заметим, что Xi – это в точности классы отношения σ, фигурирующего в теореме
2. Пусть Ys имеют тот же смысл, что в этой теореме. Единственный элемент
множества Xi ∩ Ys обозначим через ais . Для любого подмножества
J ⊆ I пусть
∪
ρJ – наименьшее отношение эквивалентности на множестве j∈J Xj , содержащее все пары (ais , ajs ), где i, j ∈ J, s ∈ S. Заметим, что отношение ρJ обобщает
отношение ρK,K ′ , которое использовалось для построения главных конгруэнций.
Теорема
4. ([3]). Пусть X – полигон над полугруппой правых нулей S,
⨿
X = i∈I Xi – его разложение в копроизведение конеразложимых полигонов.
Пусть Ys (s ∈ S) и σ имеют тот же смысл, что в теореме 2. Рассмотрим ∪
произвольное отношение эквивалентности τ на множестве I. Пусть
I = {Jα | α ∈ Ω} – разложение множества I на классы отношения эквивалентности τ . Для каждого
∪ α ∈ Ω возьм¨eм какое-либо отношение эквивалентности ρ′α на
множестве
{Xi | i ∈ Jα }, удовлетворяющее условию ρ′α ⊇ ρJα .
∪ ′
Тогда ρ = {ρα | α ∈ Ω} – конгруэнция полигона X. И обратно, каждая конгруэнция полигона X имеет такой вид.
Следующая теорема является переформулировкой следствия 10 из [2]. Она
нам понадобится для описания строения произвольного правого полигона над
полугруппой правых нулей.
Теорема 5.Пусть X и Y – непустые множества, Y ⊆ X – непустое
подмножество, A = X\Y (допускается, что A = ∅), {φs | s ∈ S} – семейство
отображений φs : A → Y . Положим st = s для всех s, t ∈ S, as = φs (a) для
s ∈ S, a ∈ A и ys = y для y ∈ Y , s ∈ S. Тогда S – полугруппа левых нулей,
X = Y ∪ A – правый полигон над S. Кроме того, всякий правый полигон над
полугруппой левых нулей устроен таким образом.
Конгруэнция произвольного правого полигона над полугруппой левых нулей
будет выглядить следующим образом:
Теорема 6.Пусть X – правый полигон над полугруппой левых нулей S.
Пусть множества Y , A и отображение σs : A → Y (для s ∈ S) имеют тот
же смысл, что и в предыдущей теореме. Возьмем любое отношение эквивалентности σ на множестве Y . Для s ∈ S пусть
∩
φ−1
σ
e=
φ−1
s (σ) = {(a, b) | (φs (a) , φs (b)) ∈ σ} ,
s (σ).
s∈S
∩
Для каждого класса K отношения σ пусть AK = s∈S φ−1
s (K) (это множе′
ство может быть пустым). Возьмем подмножество AK ⊆ AK и положим
142
Секция 2
∪ ′
∪
′
ZK = K AK , содержащееся в σ
e. Тогда ρ = K (ZK × ZK )∪σ — конгруэнция полигона X. Кроме того, любая конгруэнция ρ полигона X, для которой
ρ|Y = σ, устроена таким образом.
Список цитированной литературы
[1] Kilp M., Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, acts and cathegories. W. de
Gruyter, N.Y.–Berlin, 2000.
[2] Avdeyev A. Yu., Kozhukhov I. B. Acts over completely 0-simple semigroups //
Acta Cybernetica. 2000. Vol. 14. №. 4. P. 523–531.
[3] Халиуллина А. Р. Конгруэнции полигонов над полугруппами правых нулей
// Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 3. С. 142–146.
Национальный исследовательский университет МИЭТ
УДК 512.531.2
ДИАГОНАЛЬНЫЕ РАНГИ РИСОВСКИХ ПОЛУГРУПП
Р. Р. Шакиров (г. Москва)
[email protected]
Правым полигоном над полугруппой S называется множество X с отображением X ×S → X, (x, s) 7→ xs, для которого выполняется тождество x(st) = (xs)t
для всех x ∈ X, s, t ∈ S. Диагональным правым полигоном полугруппы S называется правый полигон (S × S)S , где действие определено следующим образом: (x, y)s = (xs, ys). Правым диагональным рангом полугруппы S (обозначение rdrS) назовём наименьшую мощность порождающего множества полигона
(S × S)S .
Диагональный ранг конечной полугруппы – это интересная характеристика
этой полугруппы, отражающая её свойства. Например, если G – группа из n
элементов, то rdrS = n. Цель данной работы – получить формулы правого
диагонального ранга конечных рисовских матричных полугрупп.
Теорема 1. Пусть S = M(G, I, Λ, P ) – рисовская полугруппа матричного
типа над группой G с сэндвич-матрицей P (см. [1], §3.1) и |I|, |Λ|, |G| < ∞.
Тогда правый диагональный ранг полугруппы S не зависит от элементов матрицы P (зависит только от её размеров) и равен |I|2 |G|, если Λ состоит из
одного элемента, равен |I|2 |G|2 |Λ|(|Λ| − 1) в противном случае.
Теорема 2. Пусть S = M0 (G, I, Λ, P ) – рисовская полугруппа матричного
типа над группой с нулём G ∪ {0}. Пусть |I| = k, |G| = t, |Λ| = l. Тогда при
l≥2
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
143
(i) если в P нет нулей, то rdrS = k 2 t2 (l2 − l) + 2k,
(ii) если в P есть ненулевые элементы, но нет столбца с двумя или более
ненулевыми элементами, то rdrS = k 2 t2 (l2 − l) + k 2 t,
(iii) в остальных случаях rdrS = k 2 t2 (l2 − l).
Если l = 1, то rdrS = k 2 t + 2k.
Список цитированной литературы
[1] А. Клиффорд
МИР, 1972.
Г. Престон, Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1. М.:
Национальный исследовательский университет МИЭТ
УДК 512.572
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ n-АРНОЙ ГРУППЫ
Н. А. Щучкин (г. Волгоград)
[email protected]
n-Арный группоид ⟨G, f ⟩ называют n-арной группой, если в нем выполняется обобщенный закон ассоциативности
2n−1
2n−1
f (f (an1 ), an+1
) = f (ai1 , f (ai+n
i+1 ), ai+n+1 ),
(1)
для всех i = 1, . . . , n−1 и разрешимы и имеют единственные решения уравнения
n
f (ai−1
1 , xi , ai+1 ) = b
относительно переменной xi , где a1 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , an , b — любые элементы из
G, i = 1, . . . , n [1]. При n = 2 имеем обычную группу. Нас интересуют случаи,
когда n > 2.
Имеются и другие определения n-арной группы, эквивалентные выше указанному определению (см. [2], [3], [4]).
Доказывается, что в n-арной группе ⟨G, f ⟩ имеется (n − 2)-арная операция
t, которая удовлетворяет тождествам
)) = xn−1 ,
, t(xn−2
f (xn−1 , xn−2
1
1
(2)
) = xn−1 ,
), xn−1
f (t(xn−2
1
1
(3)
и (n − 1)-арная операция g, которая удовлетворяет тождествам
)) = t(x1n−2 ),
, g(xn−1
f (xn−1 , xn−2
1
1
(4)
144
Секция 2
f (g(xn−1
), xn−1
) = t(xn−2
).
1
1
1
(5)
Бинарную группу можно определить с помощью левой (правой) единицы и
левого (правого) обратного элемента. Обобщая эти определения, получим
Теорема 1. n-Арный группоид ⟨G, f ⟩ является n-арной группой тогда и
только тогда, когда в нем верно (1) и существуют (n − 2)-арная операция t,
удовлетворяющая тождеству (3) ((2)) и (n − 1)-арная операция g, удовлетворяющая тождеству (5)((4)).
Бинарную группу можно определить с помощью двусторонней единицы и
двустороннего обратного элемента. Обобщая это определение, получим
Теорема 2. n-Арный группоид ⟨G, f ⟩ является n-арной группой тогда и
только тогда, когда в нем верно (1) и существуют (n − 2)-арная операция t,
удовлетворяющая тождествам (3), (2) и (n − 1)-арная операция g, удовлетворяющая тождествам (5), (4).
Аналогичные определения n-арной группы, приведенные в теоремах 1, 2,
можно найти в работе [5].
В n-арной группе ⟨G, f ⟩ для любого элемента a ∈ G решение уравнения
(n−1)
f ( a , x) = a обозначают через a
¯ и называют косым элементом для a. Имеются свойства, которые связывают определение косого элемента с (n − 2)-арной
операцией t.
Предложение 1. В n-арной группе верны тождества
(n−2)
(i)
t( x ) = x¯, t( x , x¯,
(n−i−3)
x
(n−3)
(n−3)
) = x и t(xn−2
) = f(n−3) (xn−2 , x¯n−2 , . . . , x1 , x¯1 ).
1
где i = 0, 1, . . . , n − 3.
Аналогом обратимого элемента группы является (n − 1)-арная операция g.
Отметим свойства этой операции, которые являются обобщением свойств обратимого элемента группы: (a−1 )−1 и (a · b)−1 = b−1 · a−1 .
Предложение 2. В n-арной группе выполнены тождества
)) = xn−1 ,
, g(xn−1
g(xn−2
1
1
, xn ), x1n−2 , g(x1n−2 , xn−1 )).
, xn )) = f (g(xn−2
, f (xn−1 , xn−2
g(xn−2
1
1
1
С помощью операций t, g получим признаки n-арной подгруппы:
Теорема 3. Подмножество H n-арной группы ⟨G, f ⟩ является n-арной
подгруппой тогда и только тогда, когда H замкнуто относительно действий
n-арной операции f , (n − 2)-арной операции t и (n − 1)-арной операции g.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
145
Теорема 4. Подмножество H n-арной группы ⟨G, f ⟩ является n-арной
подгруппой тогда и только тогда, когда для любых a1 , . . . , an−1 и b1 , . . . , bn−1
из H верно f (g(an−1
), bn−1
) ∈ H.
1
1
n-Арная подгруппа N n-арной группы ⟨G, f ⟩ называется инвариантной, если
(n−1)
(i−1)
(n−i)
f (x, H ) = f ( H , x, H ) для любого x ∈ G и всех i = 2, . . . , n.
Теорема 5. n-Арная подгруппа N n-арной группы ⟨G, f ⟩ является инвариантной тогда и только тогда, когда для любых a1 , . . . , an−2 ∈ G и любого
h ∈ N верно f (an−2
, h, t(a1n−2 )) ∈ N .
1
n-Арная подгруппа N n-арной группы ⟨G, f ⟩ называется полуинвариантной,
(n−1)
(n−1)
если f (x, H ) = f ( H , x) для любого x ∈ G.
Теорема 6. n-Арная подгруппа N n-арной группы ⟨G, f ⟩ является
полуинвариантной тогда и только тогда, когда для любого a ∈ G и любых
h1 , . . . , hn−1 ∈ N верно f (f (a, hn−1
), hn−1
, g(hn−1
, a)) ∈ N .
1
2
2
Список цитированной литературы
[1] Dornte W. Untersuchungen uber ainen verallgemeinerten Gruppenbegrief //
Math. Z. 1928. Bd. 29. P. 1–19.
[2] Post E. L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1940. Vol. 48. P. 208–
350.
[3] Гальмак А. М. Об определении n-арной группы // Междунар. алгебр.
конф.: тез. докл. Новосибирск, 1991. С. 30.
[4] Dudek W., Glasek K., Gleichgewicht B. A note on the axioms of n-groups //
Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 1977. Vol. 29. P. 195–202.
[5] Usan J. n-Groups as variety of type <n,n-1,n-2> // Algebra and Model Theory:
Novosibirsk. 1997. P. 182–208.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
УДК 512.554+512.643
РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЕРВИЧНЫХ И ВТОРИЧНЫХ
ИДЕМПОТЕНТОВ ВНУТРИ КЛАССОВ ГРИНА НА
МНОЖЕСТВЕ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ
В. А. Ярошевич (Москва), О. О. Щекатурова (Саратов)
[email protected], [email protected]
146
Секция 2
Рассматривается множество матриц всевозможных конечных размеров с
элементами из произвольной булевой алгебры. Естественным образом определяются две дуальные частичные операции
⊓ и ⊔. Матрицу C = A ⊓ B
∪ умножения
∩
размера m × k с элементами cij = nt=1 (ait btj ) назов¨ем конъюнктным произведением матрицы A = (aij ) размера m × s и матрицы B = (bij ) размера
s × k (m, s, k - целые положительные числа). Дизъюнктное произведение A ⊔ B
определяется дуально: A ⊔ B = (A′ ⊓ B ′ )′ .
Мы изучаем свойства идемпотентов частичных полугрупп матриц всевозможных конечных размеров относительно этих двух операций умножения. Все
идемпотентные матрицы разделены на первичные и вторичные (вторичные получены специальной процедурой, использующей операции умножения, транспонирования и дополнения). Обозначим i(A) = A ⊔ A′⊤ . Заметим, что матрице
A размера m×n соответствует идемпотент i(A) размера m×m. Известно [1], [2],
что вторичные идемпотенты связаны с разрешимостью матричных уравнений,
отношениями Грина на частичных полугруппах булевых матриц всевозможных
размеров. Возникает вопрос: в какие D-классы перейд¨ет некоторый D-класс под
действием отображения i(·)? Получены результаты:
Теорема 1. В каждом регулярном D-классе, отличном от состоящего из
нулевых матриц, содержится вторичный идемпотент.
Теорема 2. В каждом регулярном D-классе содержится первичный идемпотент.
Список цитированной литературы
[1] Поплавский В. Б. О приложениях ассоциативности дуальных произведений
алгебры булевых матриц // Фундаментальная и прикладная математика.
2011/2012. Т. 17, № 4. C. 181–192. Перевод: Poplavski V. B. On applications of
associativity of dual compositions in the algebra of Boolean matrix // Journal
of Mathematical Sciences. Springer, New York. Vol. 191, 5 (2013). P. 718–725.
[2] Поплавский В. Б. Об идемпотентах алгебры булевых матриц // Изв. Сарат.
ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12,
№ 2. C. 26–33.
Национальный исследовательский университет МИЭТ
Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
3
147
Кольца и модули
Новые результаты в теории колец отражают современную тенденцию создания единой теории колец (ассоциативных и неассоциативных) и соответствующей теории представлений. Значительное внимание уделено обобщениям теории колец (полукольца, почтикольца), возникающие в приложениям, а также
кольцам с дополнительными структурами (топологическим, упорядоченным,
градуированным, фильтрованным).
В программе секции отметим результаты связанные с супералгебрами Ли и
близкими классами алгебр, комбинаторными методами (рост алгебр), а также
с развитием структурных методов (радикалов, алгебр частных).
УДК 512.522
ГРАДУИРОВАННЫЙ МОРИТА-КОНТЕКСТ
И. Н. Балаба (г. Тула)
[email protected]
Контексты Мориты активно изучаются в последнее десятилетия, имеют многочисленные приложения [1, 2, 3, 4].
Все рассматриваемые в работе кольца – ассоциативные с единицей, градурованные произвольной мультипликативной группой G, все рассматриваемые
модули – унитарные G-градуированные, gr.mod−A (A−gr.mod) – категория правых (левых) градуированных A-модулей, объектами которой являются правые
(левые) G-градуированные A-модули, а морфизмами – сохраняющие градуировку гомоморфизмы.
Если M, N ∈ gr.mod − A, то HOMA (M, N )g – множество однородных гомоморфизмов степени g, т. е. таких A-линейных отображений, для которых
f (Mh ) ⊆ Ngh (h ∈ G). Ясно, HOMA (M, N ) = ⊕g∈G HOMA (M, N )g – градуированная абелева группа, а ENDA (M ) = HOMA (M, M ) – градуированное кольцо,
которое называется градуированным кольцом эндоморфизмов градуированного
A-модуля M . При рассмотрении левых A-модулей гомоморфизмы будем писать
слева, а f ∈ HOMA (M, N )g означает, что (Mh )f ⊆ Nhg . Пусть M = ⊕g∈G Mg и
σ ∈ G, тогда M (σ) – модуль M , рассматриваемый с градуировкой M (σ)g = Mσg
для правого модуля (и M (σ)g = Mgσ – для левого); модуль M (σ) называется
σ-сдвигом модуля M . Градурованными эквивалентностями в категориях градуированных модулей называются эквивалентности, перестаночные со всеми
функторами сдвига градуировки.
Градуированный Морита-контекст (A, B, P, Q, µ, τ ) состоит из градуированных колец A и B, градуированных бимодулей A PB и B QA и бимодульных
гомоморфизмов µ : P ⊗B Q → A, τ : Q ⊗A P → B, сохраняющих градуировку и
удовлетворяющих условиям:
(1) µ(p ⊗ q)p′ = pτ (q ⊗ p′ ),
(2) τ (q ⊗ p)q ′ = qµ(p ⊗ q ′ ) (p, p′ ∈ P, q, q ′ ∈ Q).
148
Секция 3
Для удобства будем обозначать далее µ(p ⊗ q) = pq и τ (q ⊗ p) = qp.
Ясно, что если P ∈ gr.mod–B, то, положив A = ENDB (P ), Q = HOMB (P, B),
gp (q ⊗ p) = qp, fp (p ⊗ q) = pq ∈ B, где (pq)p′ = p(qp′ ) для всех p, p′ ∈ P , q ∈
Q, получим градуированный Морита-контекст (A, B, P, Q, fP , gP ), называемый
стандартным Морита-контекстом, ассоциированным модулю PB .
Модуль P ∈ gr.mod−A называется gr-образующим, если ⊕g∈G P (g) является
образующим категории gr.mod−A [5, лемма 2.1].
Теорема 1. Пусть P – градуированный B-модуль, A = ENDB (P ), Q =
HOMB (P, B) и (A, B, P, Q, fP , gP ) – градуированный Морита-контекст, ассоциированный модулю PB . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) отображение gP является изоморфизмом в том и только том случае,
когда модуль PB является gr-образующим;
2) отображение fP является изоморфизмом в том и только том случае,
когда P – конечно порожденный проективный B-модуль.
Теорема 2. Пусть (A, B, P, Q, µ, τ ) — градуированный Морита-контекст,
такой, что отображения µ и τ являются изоморфизмами. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) отображения µ и τ индуцируют бимодульные изоморфизмы
P ∼
= HOMB (Q, B) ∼
= HOMA (Q, A),
∼
∼
Q = HOMB (P, B) = HOMA (P, A) ;
2) гомоморфизмы градуированных колец
ENDB (P ) ←− A −→ ENDB (Q)◦ ,
ENDA (P )◦ ←− B −→ ENDB (P ),
индуцированные структурой бимодулей P и Q, являются изоморфизмами;
3) структура правых
градуированных A-идеалов изоморфна (при соответ⊗
∼
ствии I → IP = I A P ) структуре градуированных B-подмодулей модуля P ,
причем идеалам кольца A соответствуют градуированные A–B-подбимодулей
бимодуля P . Аналогичные утверждения относительно других структурных изоморфизмов следуют из соображений симметрии; в частности, структуры двусторонних градуированных ⊗
идеалов колец A и B изоморфны.
∼
4) функтор T = HOMA (P, −) = Q A − : A−gr.mod −→ B−gr.mod является
градуированной эквивалентностью категорий.
Откуда в качестве следствия получим теорему [6, теорема 3].
Градуированный Морита-контекст определяет в категориях градуированных модулей ряд важных и интересных классов модулей, устанавливает связь
между градуированными радикалами колец и модулей, что также является
предметом исследования.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
149
Список цитированной литературы
[1] Kashu A. I. On equivalence of some subcategories of modules in Morita contexts
// Algebra Discrete Math. 2003. №3. P. 46—53.
[2] Chifan N., Dˇascˇalescu S., Nˇastˇasescu C. Wide Morita contexts, relative
injectivity and equivalence results // J. of Algebra. 2005. Vol. 284. P. 705—
736.
[3] Veldsman S. Radicals of Morita rings revisited // Bul. Acad. Stiinte Repub.
Mold. Mat. 2007. №. 2. P. 55—-68.
[4] Крылов П. А., Туганбаев А. А. Модули над кольцами формальных матриц
// Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 15, № 8. C. 145–
211.
[5] Балаба И.Н., Михал¨ев А.В. Изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов градуированных модулей, близких к свободным // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, № 5. С. 3–18.
[6] Балаба И.Н. Эквивалентности Мориты категорий градуированных модулей
// Успехи мат. наук. 1987. Т. 42, вып. 3(255). С. 177–178.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 512.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДИЛУОРСА В ОЦЕНКАХ
В ТЕОРЕМЕ ШИРШОВА О ВЫСОТЕ
А. Я. Белов, М. И. Харитонов (г. Москва)
[email protected]
В некоторых задачах на слова, где нельзя считать слова ограниченными,
удобно вместо понятия конечности слова использовать ограниченность его высоты и существенной высоты. При определении высоты и существенной высоты мы не выходим за рамки комбинаторики, однако эти понятия применяются
при решении алгебраических задач, в частности, проблемы Куроша и теоремы
Ширшова о высоте. Подробнее об этом можно прочитать в работе [1]. Использование разработанной В. Н. Латышевым техники применения теоремы Дилуорса
для доказательства теоремы Регева (см. [2]) позволяет значительно улучшить
оценки на высоту и существенную высоту. В работе [3] получены субэкспоненциальные оценки высоты в теореме Ширшова, что ответило положительным
образом на вопрос Зельманова в Днестровской тетради в 1993 году, причём все
рассуждения не выходят за рамки комбинаторики слов.
150
Секция 3
Использование существенной высоты позволяет связать алгебраические структуры и теорию графов. Таким образом получается альтернативное
доказательство теоремы Ширшова [4, 5]. Для улучшения оценок в теореме Ширшова представляется перспективным дальнейшее применение комбинаторного
подхода.
Список цитированной литературы
[1] Белов А. Я., Борисенко В. В., Латышев В. Н. Мономиальные алгебры //
Итоги науки и техн. Сер. Соврем. математика и ее прил. Темат. обз., Алгебра
– 4. 2002. Т. 26. С. 35 – 214.
[2] Латышев. В. Н. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения
PI-алгебр // УМН. 1972. Т. 27, вып. 4(166). С. 213 – 214.
[3] Белов А. Я., Харитонов М. И. Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте // Мат. сб., 2012; см. также http://arxiv.org/abs/1101.4909.
[4] Харитонов М. И. Двусторонние оценки существенной высоты в теореме
Ширшова о высоте // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. 2012. №2. С. 24 - 28.
[5] Харитонов М. И. Оценки на структуру кусочной периодичности в теореме
Ширшова о высоте // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. 2013. №1. С. 10 – 16.
МИОО, BIU
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 512.5
О ПОДМНОГООБРАЗИЯХ МНОГООБРАЗИЯ,
ПОРОЖДЕННОГО ПРОСТОЙ
БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЙ АЛГЕБРОЙ ЛИ
КАРТАНОВСКОГО ТИПА ОБЩЕЙ СЕРИИ W2
О. А. Богданчук (г. Ульяновск)
[email protected]
Все использованные, но не объясненные понятия можно найти в монографиях [1], [2]. Характеристика основного поля предполагается равной нулю.
Обозначим через Wk , где k = 1, 2, . . . — простые бесконечномерные алгебры
Ли картановского типа общей серии, а через Wk — многообразие, порожденное
соответствующей алгеброй. Давно известно, что экспонента многообразия W1
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
151
равна 4. В то же время, как доказано в работе [3], многообразие W2 имеет дробную экспоненту. В работе [4] была получена дискретная серия алгебр Ли Ls , где
s = 3, 4, . . . , с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей.
Более точно: для экспонент роста коразмерностей алгебр Ли Ls выполняются
строгие неравенства:
3 = exp(L3 ) < . . . < exp(Ls ) < exp(Ls+1 ) < . . . < 4 , где s = 4, 5, . . . .
Алгебры Ли Ls , где s = 3, 4, . . . , не лежат в многообразии W1 , так как стандартное лиевское тождество степени пять не выполняется в Ls , но, как хорошо
известно, выполняется в W1 . Оказалось, что многообразию W2 рассматриваемая серия алгебр уже принадлежит.
Теорема 1. Дискретная серия алгебр Ли Ls с различными дробными экспонентами роста коразмерностей принадлежит многообразию, порожденному
простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии W2 .
Список цитированной литературы
[1] Giambruno A. and Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods.
Mathematical Surveys and Monographs, vol. 122, AMS, Providence, RI, 2005.
[2] Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.:Наука, 1985.
[3] Мищенко С. C. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2011. №6. С. 44–47.
[4] Malyusheva O.A., Mishchenko S.P., Verevkin A.B. Series of varieties of Lie
algebras of different fractional exponents // Compt. rend. Acad. Bulg. Sci.
2013. Vol. 66. №3. P. 321–330.
Ульяновский государственный университет
УДК 512.
ON JACK’S CONNECTION COEFFICIENTS AND THEIR
COMPUTATION
Ekaterina A. Vassilieva
[email protected]
This paper deals with the computation of Jack’s connection coefficients that we
define as a generalization of both the connection coefficients of the class algebra of the
symmetric group and the connection coefficients of the double coset algebra. Using
orthogonality properties of Jack symmetric functions and the Laplace Beltrami
152
Секция 3
operator we yield explicit formulas for some of these coefficient that generalize a
classical result of D´enes for the number of minimal factorizations of a long cycle
into an ordered product of transpositions.
For any integer n we note Sn the symmetric group on n elements and λ =
(λ1 , λ2 , . . . , λp ) ⊢ n an integer partition of |λ| = n with ℓ(λ) = p parts sorted in
decreasing order. If mi (λ) is the number of parts ∏
of λ that are equal to∏i, then we may
write λ as [1m1 (λ) 2m2 (λ) . . .] and define Autλ = i mi (λ)! and zλ = i imi (λ) mi (λ)!.
A partition λ is usually represented as a Young diagram of |λ| boxes arranged in
ℓ(λ) lines so that the i-th line contains λi boxes. Given a box s in the diagram of
λ, let l′ (s), l(s), a(s), a′ (s) be the number of boxes to the north, south, east, west
of s respectively. These statistics are called co-leglength, leglength, armlength,
co-armlength respectively. We note for some parameter α:
∏
∏
hλ (α) =
(αa(s) + l(s) + 1),
h′λ (α) =
(α(1 + a(s)) + l(s)).
(1)
s∈λ
s∈λ
′
Finally, λ is the conjugate of partition λ and for two integer partitions λ and µ, we
note λ > µ if for all i ≥ 1, λ1 + λ2 + . . . + λi > µ1 + µ2 + . . . + µi .
Let Λ be the ring of symmetric functions, mλ (x) the monomial symmetric function indexed by λ on indeterminate x, pλ (x) and sλ (x) the power sum and Schur
symmetric function respectively. Whenever the indeterminate is not relevant we
shall simply write mλ , pλ and sλ . We note ⟨· , ·⟩ the scalar product on Λ such
that the power sum symmetric functions verify ⟨pλ , pµ ⟩ = zλ δλµ where δλµ is the
Kronecker delta. The Schur symmetric functions are characterized by (a) the fact
they form an orthogonal basis for ⟨· , ·⟩ (they form even an orthonormal basis)
and (b) the transition matrix between Schur and monomial symmetric functions
is upper unitriangular. Using an additional parameter α one can define the Jack’s
symmetric functions Jλα as the set of symmetric function characterized by:
(a’) The Jλα are orthogonal for the alternative scalar product ⟨· , ·⟩α that verifies:
⟨pλ , pµ ⟩α = αℓ(λ) zλ δλµ ,
(2)
(b’) The transition matrix between the Jλα and the monomial symmetric functions
is upper triangular and the coefficient in mλ of the expansion of Jλα in the
monomial basis is equal to hλ (α). Formally it means that the Jλα may be
expressed with the help of some scalar coefficients uαλµ as:
∑
Jλα = hλ (α)mλ +
uαλµ mµ ,
(3)
µ<λ
According to the above definition, Jλ1 is the normalized Schur symmetric function
hλ (1)sλ and Jλ2 is the zonal polynomial Zλ . Let θµλ (α) denote the coefficient of pµ in
the expansion of Jλα in the power sum basis:
∑
(4)
θµλ (α)pµ
Jλα =
µ
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
153
In the case α = 1, the θµλ (1)’s are equal to the irreducible characters of the symmetric
group (up to a normalization factor). In the general case, with proper normalization,
these coefficients are called the Jack’s characters (see [2]). This paper is devoted
to the computation of the numbers aλ1 ,λ2 ,...,λr for integer r greater or equal to 1 and
λi ⊢ n for 1 ≤ i ≤ r that we define by:
aλ1 ,λ2 ,...,λr (α) =
∑
β⊢n
∏ β
1
θ i (α)
hβ (α)h′β (α) i λ
(5)
We name these numbers the Jack’s connection coefficients. In some cases we
may be interested only in the number of parts of the λi . We note:
∑
an,p1 ,p2 ,...,pr (α) =
aλ1 ,λ2 ,...,λr (α).
(6)
λi ⊢n, ℓ(λi )=pi
We pay a particular attention to the case when most of the λi are equal to ρ =
[1n−2 2]. If we note arλ (α) = aλ,ρ,...,ρ (α) (with ρ appearing r times, r ≥ 0), i.e:
arλ (α) =
∑
β⊢|λ|
(
)r
1
θλβ (α) θρβ (α) .
′
hβ (α)hβ (α)
(7)
We show the following result.
Theorem 1. Let arλ (α) be defined as above. Then for any integer partition λ we
have arλ (α) = 0 for r < |λ| − ℓ(λ) and
|λ|−ℓ(λ)
aλ
(α) =
(|λ| − ℓ(λ))! ∏ λi −2
∏
λ
αℓ(λ) Autλ i λi ! i i
(8)
Remark 1. In the specific case λ = (n), Equation 8 reads:
an−1
(n) (α) =
1 n−2
n .
αn
(9)
We view this later formula as a generalization of the classical formula of D´enes for
the number of minimal factorizations of a long cycle in the symmetric group into a
product of transpositions.
We show the following additional theorems:
Theorem 2. Let λi ⊢ n for 1 ≤ i ≤ r and α ̸= 0. The Jack’s connection
coefficients for parameters α et 1/α are linked by
aλ1 ,...,λr (α−1 ) = (−α)(2−r)n+
∑
i
ℓ(λi )
aλ1 ,...,λr (α)
(10)
154
Секция 3
Theorem 3. Let an,p1 ,p2 ,...,pr (α) be the coefficients defined in equation 6 and Xi
(1 ≤ i ≤ r) r scalar indeterminate. We have the following formula for any integer
r ≥ 1:
∑
∑
∏ p
∏
1
an,p1 ,p2 ,...,pr (α)
Xi i =
Rβα (Xi )
(11)
′
h
(α)h
(α)
β
β
p ,p ,...,p ≥1
1≤i≤r
1≤i≤r
β⊢n
1
2
r
where :
Rλα (k) =
∏
(k + αa′ (s) − l′ (s)) = Jλα (Ik ).
(12)
s∈λ
Theorem 3 is a generalization of the main formula in [3].
For indeterminate x = (x1 , x2 , . . .) define the Laplace Beltrami Operator by
D(α) =
∑ ∑ xi xj ∂
α ∑ 2 ∂2
xi 2 +
2 i
∂xi
x − xj ∂xi
i j̸=i i
(13)
Theorem 4. Let arλ (α) be the Jack’s connection coefficients defined by 7. We
have the following equality:
arλ (α) =
1
αn n!
[pλ ]D(α)r (pn1 ),
(14)
where [pλ ]D(α)r (pn1 ) denotes the coefficient of pλ in the power sum expansion of
D(α)r (pn1 ).
REFERENCES
[1] J. D´enes, The representation of a permutation as the product of a minimal
number of transpositions and its connection with the theory of graphs. Publ.
Math. Inst. Hungar. Acad. Sci., 4:63–70,1959.
[2] M. Dole˛ga and V. F´eray On Kerov polynomials for Jack characters. DMTCS
Proceedings (FPSAC 2013) AS:539–550, 2013
[3] D. M. Jackson. Some combinatorial problems associated with products of conjugacy classes of the symmetric group, J. Comb. Theory Ser. A, 49(2):363–369,
1988.
LIX – Ecole Polytechnique – France
УДК 512.558
О ПОЛУКОЛЬЦАХ С ПОЛУРЕШЕТОЧНЫМ
УМНОЖЕНИЕМ
Е. М. Вечтомов, А. А. Петров (г. Киров)
[email protected], [email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
155
Продолжается изучение полуколец с коммутативным идемпотентным умножением (см [1]).
Полукольцом называется алгебраическая структура ⟨S, +, ·⟩, такая, что
⟨S, +⟩ — коммутативная полугруппа, ⟨S, ·⟩ — полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Если в полукольце S существует
нулевой элемент 0, такой, что x + 0 = x, x · 0 = 0 · x = 0 для всех x ∈ S то S
называется полукольцом с нулем 0.
Будем говорить, что полукольцо S обладает полурешеточным умножением,
если полугруппа ⟨S, ·⟩ является полурешеткой, то есть коммутативной идемпотентной полугруппой. Полукольцо с тождествами x + x = x, x + y = xy называется моно-полукольцом. Скажем, что полукольцо обладает константным
сложением, если на нем тождественно x + y = u + v.
К любому полукольцу S можно внешним образом присоединить нулевой
элемент 0. При этом, если S обладает полурешеточным умножением, то и полукольцо с нулем S ∪ {0} будет полукольцом с полурешеточным умножением.
Теорема 1. Любое подпрямо неразложимое полукольцо S с полурешеточным умножением обладает следующими свойствами:
1) S имеет единицу 1, а S \ {1} — идеал в S с собственной единицей e;
2) наименьшая ненулевая конгруэнция на S «склеивает» только элементы
1 и e;
3) в S верно равенство 3 = 2 или 3 = 1 и e = 2.
Из свойства 3 предложения 1 выводится
Теорема 2. Произвольное полукольцо с полурешеточным умножением является подпрямым произведением полукольца с полурешеточным умножением с тождеством 3x = x и полукольца с полурешеточным умножением с
тождеством 3x = 2x.
На произвольном полукольце S рассмотрим бинарные отношения ∼ и ≈:
x ∼ y ⇔ ∃s, t ∈ S (x + s = y, y + t = x);
x ≈ y ⇔ 3x = 3y.
Предложение 1. Для всякого полукольца S с полурешеточным умножением справедливы следующие утверждения:
1) отношение ∼ является наименьщей конгруэнцией на S, факторполукольцо по которой обладает тождеством 3x = 2x;
2)отношение ≈ является наименьщей конгруэнцией на S, факторполукольцо по которой удовлетворяет тождеству 3x = x;
3) пересечение конгруэнций ∼ и ≈ есть отношение равенства на S.
Обозначим через M многообразие всех полуколец с полурешеточным умножением. Для полуколец S1 , . . . , Sn через M(S1 , . . . , Sn ) будем обозначать многообразие полуколец, порожденное этими полукольцами. Это означает, что многообразие M(S1 , . . . , Sn ) задается множеством всевозможных тождеств, выполняемых на каждом из полуколец S1 , . . . , Sn . Для произвольного полукольцевого
156
Секция 3
тождества f = g через M(f = g) обозначим подмногообразие в M, порожденное
этим тождеством.
Легко видеть, что с точностью до изоморфизма существует четыре двухэлементных полукольца с полурешеточным умножением: двухэлементная цепь
B, двухэлементное поле Z2 , двухэлементное моно-полукольцо D с единицей и
двухэлементное полукольцо T c единицей и константным сложением. Пусть
N = M(B, Z2 , D, T).
Предложение 2. Решетка подмногообразий многообразия M имеет ровно 4 атома M(B), M(Z2 ), M(D), M(T) и является атомной.
Предложение 3. Для всякого полукольца S ∈ M имеют место следующие утверждения:
1) S ∈ M(B, Z2 , T) ⇔ S удовлетворяет тождеству x + 2xy = 3x;
2) S ∈ M(B, D, T) ⇔ в S выполняется двойственный закон дистрибутивности x + yz = (x + y)(x + z) ⇔ S ∈ N и удовлетворяет тождеству 3x = 2x;
3) S ∈ M(Z2 , D, T) ⇔ S обладает тождеством x + 2xy = 3xy;
4) S ∈ M(B, Z2 , D) ⇔ S ∈ N и S удовлетворяет тождеству 3x = x.
Предложение 4. В решетке подмногообразий многообразия M выполняются равенства:
1) N = M(x + 2xy + yz = x + 2xz + yz);
2) M = M(3x = x) ∨ M(3x = 2x);
3) M(3x = 2x) ∩ M(3x + y = x + y) = M(2x + y = x + y) = M(2x = x) ∨ M(T);
4) M(3x + y = x + y) = M(3x = x) ∨ M(T).
Предложение 5. Решетка подмногообразий многообразия N является
16-элементной булевой решеткой.
Полукольцо S называется свободным в классе K полуколец c множеством
X свободных образующих, если для любого полукольца T ∈ K произвольное
отображение X → T продолжается до гомоморфизма S → T. Тем самым, любое полукольцо из класса K является гомоморфным образом соответствующего
свободного полукольца в K.
Свободное полукольцо в многообразии всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с множеством X свободных образующих будем
обозначать F M (X) или F M|X| , где |X| — мощность множества X. Например,
полукольцо F M1 с одной свободной образующей a = 1 в силу тождества 4x = 2x
имеет вид F M1 = {1, 2, 3}.
Пусть S — полукольцо с нулем 0 и единицей 1, P — мультипликативная
полугруппа. Свободный (левый) S-полумодуль SP с базисом {p : p ∈ P } представляет собой множество конечных (ненулевых) формальных сумм
∑
s=
sp · p (sp ∈ S, p ∈ P ),
p∈P
почти все sp =0
некоторый sp ̸=0
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
с операциями
(∑
157
) (∑
) ∑(
)
sp · p +
s′p · p =
sp + s′p · p
и
s
(∑
)
sp · p =
∑
sp s′p p.
Полумодуль SP превращается в полукольцо, если на нем ввести умножение
(свертку) по формуле:


) ∑ ∑
) (∑
(∑


s′p · p =
su + sv  p.
sp · p

p∈P
u,v∈P
uv=p
Полукольцо SP называется полугрупповым полукольцом полугруппы P над
полукольцом коэффициентов S. Отождествим p ≡ 1 · p, 0 · p означает отсутствие
соответствующего слагаемого в формальной сумме s.
Обозначим через T полукольцо с нулем F M1 ∪ {0}. Для свободной полурешетки L(X) с множеством X = {xi : i ∈ I} свободных образующих в многообразии всех полурешеток рассмотрим полугрупповое полукольцо T L(X). Оно
представляет собой полукольцо (ненулевых) многочленов без свободного члена
от переменных xi с коэффициентами 0, 1, 2, 3 ∈ T. Имеем F M (X) ∼
= T L(X)/ρ,
где ρ — наименьшая конгруэнция, «склеивающая» элементы u + v и u + v + 2uv
для любых (дизъюнктных) слов u, v ∈ L(X).
Предложение 6. Имеют место следующие равенства:
|F M1 | = 3,
|F M2 | = 39,
|F M3 | = 2289.
Отметим, что cвободное мультипликативно идемпотентное полукольцо
с множеством X свободных образующих конечно тогда и только тогда, когда
множество X конечно. Это следует из известного факта о конечности конечнопорожденных идемпотентных полугрупп.
Список цитированной литературы
[1] Вечтомов Е. М. Петров А. А. Некоторые многообразия коммутативных
мультипликативно идемпотентных полуколец // Современные проблемы
математики и ее приложений: труды 45-й Международной школы-конференции, посв. 80-летию В. И. Бердышева. Екатеринбург, 2014. С. 10–12.
Вятский государственный гуманитарный университет
158
Секция 3
УДК 512.556
ИДЕАЛЫ В ЧАСТИЧНЫХ ПОЛУКОЛЬЦАХ
НЕПРЕРЫВНЫХ [0, ∞]-ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Е. М. Вечтомов, Н. В. Шалагинова (г.Киров)
[email protected], [email protected]
Рассматриваются частичные полукольца C+
∞ (X) неперерывных функций на
топологических пространствах X со значениями в полукольце [0, ∞], рассматриваемом с обычной топологией [1]. Через C+ (X) обозначается полукольцо всех
непрерывных неотрицательных действительнозначных функций на топологическом пространстве X с поточечно определенными операциями сложения и
умножения функций. Частичные полукольца C+
∞ (X) отличаются от полуколец только тем, что произведения некоторых функций в C+
∞ (X) могут быть не
+
определены (разрывны). Непустое множество I ⊆ C∞ (X) будет идеалом в ча+
стичном полукольце C+
∞ (X), если для любых f, g ∈ I и h ∈ C∞ (X) функции
f + g, f h ∈ I при условии, что f h является непрерывной функцией.
Идеал I ̸= S частичного полукольца S называется: максимальным, если в S
нет идеалов, отличных от S и строго содержащих I; простым, если для любых
a, b ∈ S принадлежность ab ∈ I влечет a ∈ I или b ∈ I; строгим (полустрогим),
если a + b ∈ I ⇒ a, b ∈ I (a + b, a ∈ I ⇒ b ∈ I) для любых a, b ∈ S.
Топологическое пространство называется тихоновским (хьюиттовским),
если оно гомеоморфно (замкнутому) подпространству некоторой тихоновской
степени R. Тихоновское пространство называется P-пространством, если каждое нуль-множество открыто в нем (см.[2]). Для любой функции f ∈ C+
∞ (X)
определяются нуль-множество Z(f ) = {x ∈ X : f (x) = 0}, замкнутое∪множество H(f ) = {x ∈ X : f (x) = ∞} и открытое множество cozf = X\(Z(f ) H(f )).
∗
+
Для любой функции f ∈ C+
∞ (X) определим функции f , f(1) ∈ C∞ (X):


если x ∈ Z(f ),
∞,
∗
f (x) = 0,
если x ∈ H(f ),

 −1
f (x), если x ∈ cozf ;
{
f (x), если x ∈ f −1 [0; 1],
f(1) (x) =
1,
если x ∈ f −1 [1; ∞].
Произведение функций f f ∗ равно 1 на cozf и 0 на Z(f ) ∪ H(f ), поэтому не
обязано быть непрерывной функцией. Непрерывность функции f f ∗ равносильна тому, что нуль-множество Z(f ) и H(f ) = Z(f ∗ ) открыты. Поэтому частичное
полукольцо C+
∞ (X) является полукольцом тогда и только тогда, когда X будет
P-пространством.
Пусть X — произвольное тихоновское пространство и βX — его стоун-чеховская компактификация [3]. Продолжение функции f ∈ C+
∞ (X) на βX определяβ
+
ется единственным образом и обозначается f ∈ C∞ (βX). Для всякой функции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
159
β
+
f ∈ C+
∞ (βX) имеем f = (f |X ) и для любой функции g ∈ C∞ (X) выполняется
β
равенство g = g |X .
Пусть p ∈ βX. Следующие множества будут идеалами в C+
∞ (X):
βX
Mp = {f ∈ C+
∞ (X)|p ∈ Z(f )
},
βX
Mp,∞ = {f ∈ C+
∞ (X)|p ∈ Z(f ) ∪ H(f )
},
βX 0
Op = {f ∈ C+
∞ (X)|p ∈ (Z(f )
βX 0
Op,∞ = {f ∈ C+
∞ (X)|p ∈ (Z(f )
) },
βX 0
) или p ∈ (H(f )
) }.
Очевидны включения Op ⊆ Mp ⊂ Mp,∞ . Идеалами Mp,∞ исчерпываются
максимальные идеалы в C+
∞ (X) [1].
Лемма 1. Если для идеала J частичного полукольца C+
∞ (X) выполняется
J * Mp,∞ , то существует функция f ∈ J \ Mp,∞ со значениями в единичном
отрезке [0, 1].
Лемма 2. Для любых двух различных точек p, q ∈ βX верно равенство
Op +Oq = C+
∞ (X) и идеал Op содержится в единственном максимальном идеале
Mp,∞ .
Лемма 3. Для любых функции f, g ∈ C+
∞ (X) функции f(1) + g(1) и (f + g)(1)
делятся друг на друга в подполукольце C + (X).
Лемма 4. Если P — простой идеал в C+
∞ (X) и P ⊆ Mp , p ∈ βX, то f ∈ P
тогда и только тогда, когда f(1) ∈ P для любой функции f ∈ C+
∞ (X).
Теорема 1. Для всякого тихоновского пространства X любой простой
идеал P частичного полукольца C+
∞ (X) обладает следующими свойcтвами:
1) P содержит идеал Op для некоторой однозначно определенной точки
p ∈ βX;
2) если Op ⊆ P при p ∈ βX, то P ⊆ Mp,∞ ;
3) если P ⊆ Mp , p ∈ βX, то P — строгий идеал;
4) если Op ⊆ P ̸⊆ Mp для некоторой точки p ∈ βX, то идеал P не является
полустрогим и Op,∞ ⊆ P .
Следствие 1. Каждый простой идеал частичного полукольца C+
∞ (X) содержится в единственном максимальном идеале.
Следствие 2. Для любого простого идеала P в C+
∞ (X) эквивалентны следующие условия:
1) P — строгий;
2) P — полустрогий;
3) P ⊆ Mp для (единственной) точки p ∈ βX.
160
Секция 3
Поскольку Mp — строгие простые идеалы, то из следствия 2 вытекает
Теорема 2. Для любого тихоновского пространства X идеалы Mp , p ∈
βX, суть в точности максимальные среди строгих (полустрогих) простых
идеалов частичного полукольца C+
∞ (X).
Замечание 1. Подобно классической теореме Гельфанда-Колмогорова для
колец C(X) [2, chapter 7] на тихоновском пространстве X существует гомеоморфизм между пространством всех максимальных идеалов частичного
полукольца C+
∞ (X) и компактификацией βX. Топологическое пространство
+
MaxC∞ (X) с топологией Стоуна — Зарисского называется максимальным
+
спектром частичного полукольца C+
∞ (X). Имеем MaxC∞ (X) ≈ βX.
Лемма 5. Для любой функции f ∈ C+
∞ (X) справедливы следующе утверждения:
1) H(f ) = ∅ ⇔ для любого максимального идеала M частичного полукольца
+
C∞ (X) если f ∈ M , то f ∈ P для максимального строгого простого идеала
P ⊂ M;
2) Z(f ) = ∅ ⇔ для любого максимального идеала M частичного полукольца
C+
(X)
если f ∈ M , то f ̸∈ P для максимального строгого простого идеала
∞
P ⊂ M.
В силу леммы 5 условия H(f ) = ∅ и Z(f ) = ∅ выражаются на языке частичного полукольца C+ ∞(X). Поэтому справедливо следующее утверждение:
+
Предложение 1. Для любого изоморфизма α : C+
∞ (X) → C∞ (Y ) частичных полуколец выполняется α(C+ (X)) = C+ (Y ).
Из предложения 1 и [4, глава 2] вытекает
Теорема 3. Любое хьюиттовское пространство X определяется — однозначно с точностью до гомеоморфизма — частичным полукольцом C+
∞ (X).
Список цитированной литературы
[1] Вечтомов Е. М., Шалагинова Н. В. О частичных полукольцах непрерывных
[0, ∞]-значных функций // Современные проблемы математики и ее приложений: труды 45-й Международной молодежной школы-конференции, посвященной 75-летию В. И. Бердышева. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2014.
С. 16–19.
[2] Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. – N.J.: Springer-Verlag,
1976. 300 p.
[3] Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986. 752 c.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
161
[4] Вечтомов Е. М., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Полукольца непрерывных
функций. – Киров: Изд-во ООО ВятГГУ, 2011. 312 c.
Вятский государственный гуманитарный университет
УДК 512.626
О СИЛЬНО НЕРАЗЛОЖИМЫХ ЛОКАЛИЗАЦИЯХ
ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЕЦ
А. В. Гришин (г. Москва)
[email protected]
Пусть A ⊂ B — конечное сепарабельное расширение дедекиндовых колец, P —
простой идеал кольца B, лежащий над простым идеалом p кольца A, т.е. P∩A =
p. Пусть далее f = [B/P : A/p] — степень расширения полей вычетов и e —
индекс ветвления P над p, т.е. pB = Pe Q, где P и Q — взаимно простые
bиB
b колец A и B по простым идеалам p и
идеалы. Рассмотрим пополнения A
b = AB
b — свободный A-модуль
b
P соответственно. Хорошо известно, что B
ранга
ef .
Теорема 1. Пусть e = f = 1, Bp — локализация кольца B по простому
идеалу P. Тогда A-модуль Bp сильно неразложим, т.е. не содержит нетривиальной прямой суммы подмодулей M1 ⊕ M2 , для которой Bp /M1 ⊕ M2 аннулируется некоторым ненулевым элементом из A.
Приведенная теорема обобщает результат из [1], доказанный для колец целых алгебраических чисел, на произвольные дедекиндовы кольца. Её доказаb как модуля над A.
b
тельство основано на рассмотрении B
Список цитированной литературы
[1] Grishin A. V. Strongly indecomposable localizations of the ring of algebraic
integers // Communications in Algebra, to appear in 2014.
Московский педагогический государственный университет
УДК 511.3
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА ПРОСТРАНСТВЕ
ФОРМАЛЬНЫХ РЯДОВ
Н. И. Дубровин (г. Владимир)
[email protected]
162
Секция 3
Пусть G – множество, K – тело с дискретной топологией, и G K – правое
линейное пространство всех отображений γ : G → K c покомпонентными операциями сложения и умножения на элементы тела K. Через γg обозначим образ
элемента g ∈ G относительно этого отображения. Если для всякого элемента
g ∈ G определить отображение δ g : G → K так, что δgg′ – символ Кронекера равный 1, если g ′ = g и равный 0 в противном случае, то произвольный ∑
элемент
′ g
из пространства G K можно представлять как формальную сумму γ =
δ γg .
g∈G
Элементы пространства G K будем называть столбцами. Для формальной суммы γ определим нуль-множество и носитель:
Z(γ) = {g ∈ G | γg = 0} ;
supp γ = {g ∈ G | γg ̸= 0} .
Пусть G – фильтр на множестве G. Определим основной объект изучения:
– пространство [G]K:
{
}
{G} K = γ ∈ G K | Z(γ) ∈ G .
Аналогично, для множества H с фильтром H можно построить левое линейное пространство строк K H , и подпространство K{H} строк с нуль-множеством
принадлежащим фильтру H. Всюду далее предполагается, что все фильтры содержат фильтр Фреше.
Через G∗ обозначаем фильтр всех подмножеств A∗ ⊆ G таких, что объединение A∗ ∪ A кофинально в G для любого A ∈ G. Для элемента A∗ ∈ G∗
рассмотрим окрестность
U (A∗ ) = {γ ∈ {G}K | Z(γ) ⊇ G \ A∗ } .
(1)
Теорема 1. Семейство подпространств {U (A∗ ) | A∗ ∈ G∗ } является базой окрестностей нуля топологии (обозначим ее T (G)) пространства G K; G K
становиться линейным хаусдорфовым топологическим пространством. Подпространство {G}K полно относительно топологии T (G), при условии сбалансированности фильтра G. Подпространство конечных сумм [G]K плотно
в ({G}K, T (G)).
В случае G = Cof G имеем: G∗ = P(G), {G}K = [G]K. Так как в качестве
A∗ в определении окрестности (1) можно брать что угодно, то взяв A∗ = ∅, получаем, что {0} – окрестность нуля. Из этого следует, что любое подмножество
в [G]K открыто и замкнуто, и T (Cof G) – дискретная топология.
Если G = P(G), то G∗ = Cof G, {G}K = G K и в качестве A∗ можно
брать только кофинальные подмножества. Тогда мы получаем топологию Тихонова,
предбазой
{
} окрестностей нуля в которой служат подпространства Ug =
γ ∈ G K | γg = 0 .
Рассмотрим случай, когда (G, 6) – линейно упорядоченное множество, и
G = CoR G – фильтр, состоящий из дополнений до вполне упорядоченных по
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
163
возрастанию подмножеств множества G. Тогда G∗ = CoL G – семейство дополнений до вполне упорядоченных по убыванию подмножеств.
Суммируемость семейств элементов в абелевой топологической группе см.
[2], глава 3, §5. В нашей конкретной ситуации топологического пространства
({G} K, T (G)) можно определить суммируемость непосредственно.
Скажем, что
∑G
семейство {αj ∈ {G} K | j ∈ J} G-суммируемо и γ =
αj есть G-сумма, если
j∈J
выполняются следующие два условия: 1) для любого элемента g ∈ G существует
лишь∑
конечное число
∩ индексов j таких, что g ∈ supp αj , и имеет место равенство
γg =
(αj )g ; 2) j∈J Z(αj ) ∈ G.
j∈J
Перейдем к описанию непрерывных линейных операторов. Кроме множества G с фильтром G рассмотрим и фиксируем множество H с фильтром H,
заданным на нем. Тем самым кроме топологического линейного пространства
{G}K рассматриваем и топологическое линейное пространство {H∗ }K. Линейное отображение φ : {G}K → {H∗ }K назовем G-линейным, если для любой
G-суммируемой системы {αj | j ∈ J} формальных сумм из пространства {G}K
система {φ[αj ] | j ∈ J} будет H∗ -суммируемой, при этом выполняется равенство
[
]
∑
∑ ∗
G
H
φ
αj =
φ[αj ].
j∈J
j∈J
Отображение Φ : H × G → K будем называть H × G-матрицей, и образ
элемента (h, g) ∈ H × G обозначим Φgh . Если φ : [G]K → H K – отображение, то
по нему естественным образом строится матрица Φ так, что Φg = φ[δ g ] (g ∈
G). Определим произведение H ×∑
G-матрицы Φ на столбец γ ∈ G K так, что
Φth · γt для любого h ∈ H.
выполняется равенство (Φ · γ)h =
t∈G
Определим фильтр ⟨H∗ , G∗ ⟩ на декартовом произведении H × G так, что
X ∈ ⟨H∗ , G∗ ⟩ в том и только том случае, когда
∀ A ∈ G, ∀ B ∈ H ∃ A∗ ∈ G∗ , ∃ B ∗ ∈ H∗ : B ∗ × A ∪ B × A∗ ⊆ X
Теорема 2. Пусть H и G – сбалансированные фильтры на множествах
H и G соответственно, содержащие фильтры Фреше,
φ : {G}K → {H∗ }K – линейное отображение с H ×G-матрицей Φ. Следующие
условия эквивалентны:
а) φ – непрерывное отображение;
б) нуль-множество Z(Φ) принадлежит
⟨H∗ , G∗ ⟩;
{ t
}фильтру
в) для любого A ∈ G система Φ | t ∈ A H∗ -суммируема, и имеет место
равенство


∑ ∗
∑
′ t 
H
δ kt =
φ
Φt kt
(2)
t∈A
t∈A
164
Секция 3
для любого набора коэффициентов kt ∈ K;
г) отображение φ является G-линейным.
При выполнении этих условий имеет место равенство φ[γ] = Φ · γ для
любого столбца γ ∈ {G}K.
Список цитированной литературы
[1] Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.
[2] Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы, числа и связанные
с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969.
[3] Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа. 1999.
Владимирский Государственный Университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
УДК 511.3
ДВОЙСТВЕННОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ ФОРМАЛЬНЫХ РЯДОВ
Н. И. Дубровин, Т. В. Дубровина (г. Владимир)
[email protected]
Пусть F – поле, G – группа с конусом P , U – группа обратимых элементов
конуса P , K – какое-либо тело частных группового кольца F U , ΓL – система
представителей смежных классов
∑ gU (g ∈ G). Образуем (F U − F )-бимодуль
gkg , (kg ∈ K) с вполне упорядоченным по
формальных рядов вида α =
g∈ΓL
возрастанию носителем относительно порядка на множестве ΓL : g1 < g2 тогда
и только тогда, когда g1−1 g2 ∈ J(P ) := P \ U . Обозначим его L, а через v(α)
обозначаем минимальный элемент носителя supp α.
Аналогично, пусть ΓR – система представителей смежных классов
U g (g ∈
∑
G), и R – (F − F U )-бимодуль формальных рядов вида a =
ah h, (ah ∈
h∈ΓR
K) с вполне упорядоченным по возрастанию носителем относительно порядка:
h1 <r h2 тогда и только тогда, когда h2 h−1
∈ J(P ). Через v(a) обозначаем
1
минимальный элемент носителя supp a (но относительно уже другого, правого
порядка).
Обозначим через DL – рациональное замыкание F G в кольце всех непрерывных операторов топологического линейного пространства LF , а через DR
обозначим рациональное замыкание F G в кольце всех непрерывных операторов топологического линейного пространства F R (вид окрестностей нуля указан
в свойстве 3). Образ ряда α под действием оператора d ∈ DL обозначаем так:
d[α], а образ ряда a под действием оператора q ∈ DR обозначаем как [a]q.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
165
Будем считать системы ΓL и ΓR согласованными, т.е. Γ−1
L = ΓR , а поэтому и
Γ−1
=
Γ
.
Кроме
того,
считаем,
что
1
∈
Γ
,
а,
значит
и
1
∈
Γ
L
L
R . Для формальных
R
рядов α ∈ L, a ∈ R определим спаривание
∑
⟨a | α⟩ =
ah hgkg (h ∈ ΓR ; g ∈ ΓL )
hg∈U
Это определение корректно, ибо сумма в правой части содержит конечное число
ненулевых слагаемых.
Свойство 1. Спаривание билинейно.
Свойство 2. Пусть (αi )i∈I – система L-рядов такая, что для любого h ∈
ΓL найдется индекс i = i(h) ∈ I c условием v(αi ) = h. Предположим, что
R-ряд a обладает свойством ⟨a | αi ⟩ = 0 для любого i ∈ I. Тогда a = 0.
Если M – подмножество в L, то через M ⊤ обозначим множество всех Rрядов a таких, что ⟨a | α⟩ = 0 для любого L-ряда α ∈ M . Ясно, что M ⊤
– подпространство в R и чем больше M , тем меньше M ⊤ . Аналогично, для
подмножества N пространства R через N ⊤ обозначим множество всех L-рядов
α таких, что ⟨a | α⟩ = 0 для любого R-ряда a ∈ N .
Свойство 3. Пусть L-ряд α фиксирован и не равен нулю. Тогда имеет
место совпадение множеств
{
}
{a ∈ R | ⟨a | α⟩} = a ∈ R | supp a ∩ (supp α)−1 = ∅,
и, кроме того, такие множества задают систему окрестностей нуля в топологическом линейном пространстве R. Справедлив и правосторонний аналог
этого свойства.
Свойство 4. Имеют место равенства:
{
}
{α ∈ L | supp α < g}⊤ = a ∈ R | v(a) >r g −1 ;
{
}
{a ∈ R | supp a < h}⊤ = α ∈ L | v(α) > h−1 .
Свойство 5. Пусть семейство L-рядов αi (i ∈ I) суммируемо (определение см. в тезисах Н.И. Дубровина). Тогда для любого ряда a ∈ R справедливо
равенство
∑
∑
L
⟨a |
αi ⟩ =
⟨a | αi ⟩.
i∈I
i∈I
В частности, сумма в правой части содержит лишь конечное число ненулевых слагаемых.
Определим теперь сопряжение d⋄ непрерывного линейного оператора d :
L → L. Пусть ряд a ∈ R произволен. Образ [a]d⋄ есть по определению такой
R-ряд, что
⟨[a]d⋄ | α⟩ = ⟨a | d[α]⟩
(1)
для любого α ∈ L. Это определение корректно, т.е. R-ряд [a]d⋄ , удовлетворяющий свойству (1), существует и единственен (это доказывается с использованием свойства 2).
166
Секция 3
Аналогично определяется сопряжение q ⋄ непрерывного линейного оператора
q : R → R. Это сопряжение будет непрерывным линейным оператором L → L с
условием
⟨a | q ⋄ [α]⟩ = ⟨[a]q | α⟩.
Основным результатом является следующая теорема.
Теорема 1. Отображение d → d⋄ есть топологический изоморфизм кольца DL на кольцо DR , обратным к которому является отображение q → q ⋄ .
Владимирский Государственный Университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
УДК 512.552+512.545
О РАДИКАЛАХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБР
Ю. В. Кочетова (Москва)
[email protected]
⟩
Если L = L; +; · — линейная алгебра над частично упорядоченным полем F , то говорят (см., например, [1]), что на алгебре L определен решеточный
K-порядок 6, а алгебру L над полем F называют решеточно K-упорядоченной
алгеброй, если:
(1) ⟨L; +; 6⟩ является решеточно упорядоченной группой [2];
(2) из x 6 y следует, что γx 6 γy для любых x, y ∈ L и γ > 0, γ ∈ F ;
(3) из x > 0 следует, что x + xy > 0 и x + yx > 0 для всех y ∈ L.
Определение такого упорядочения было введено В.М. Копытовым для алгебр Ли в работе [3]. Для произвольных линейных алгебр над частично упорядоченным полем изучение свойств K-порядка было продолжено автором совместно с Е.Е. Ширшовой в работах [1], [4].
Известно (см. [4]), что конечномерная ассоциативная алгебра (алгебра Ли)
над линейно упорядоченным полем может быть решеточно K-упорядочена в
том и только в том случае, когда она нильпотентна.
Напомним, что l-первичным радикалом решеточно K-упорядоченной алгебры L над частично упорядоченным полем называется пересечение всех таких
l-идеалов I алгебры L, для каждого из которых произведение
⟨
∑
n=n(x)
AB = {x =
ai bi | ai ∈ A, bi ∈ B}
i=1
любых двух ненулевых l-идеалов A и B факторалгебры L/I отлично от множества {I} (см. [1]).
Следуя [5], будем называть алгебру B-радикальной, если она совпадает со
своим первичным радикалом. Также, используя результаты [4], назовем Kупорядоченную алгебру Bl -радикальной, если она равна своему l-первичному
радикалу.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
167
Теорема 1. Любая конечномерная нильпотентная ассоциативная алгебра
(алгебра Ли) над линейно упорядоченным полем является B-радикальной и Bl радикальной алгеброй.
Кроме того, каждая конечномерная нильпотентная ассоциативная алгебра является радикальной по Джекобсону.
Список цитированной литературы
[1] Кочетова Ю. В. О l-первичном радикале решеточно упорядоченных алгебр
// Фундаментальная и прикладная математика. 2011/2012. Т. 17, вып. 5.
С. 55–68.
[2] Копытов В. М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984. 320 с.
[3] Копытов В.М. Упорядочение алгебр Ли // Алгебра и логика. 1972. Т. 11,
№ 3. C. 295–325.
[4] Кочетова Ю. В., Ширшова Е. Е. Первичный радикал решёточно K-упорядоченных алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. 2013.
Т. 18, вып. 1. С. 85–158.
[5] Андрунакиевич В. А., Рябухин Ю. М. Радикалы алгебр и структурная
теория. М.: Наука, 1979. 496 с.
Московский педагогический государственный университет
УДК 519.145
ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ ПОЛУПОЛЕВЫХ ПЛОСКОСТЕЙ1
О. В. Кравцова (Красноярск)
[email protected]
Рассмотрим конечную проективную плоскость π, координатизируемую полуполем W (полуполевую плоскость). Левым ядром полуполя W называется
множество Wl = {x ∈ W | x(yz) = (xy)z ∀y, z ∈ W }. Wl является полем, полуполе W – линейное пространство над Wl . Аффинные точки плоскости π можно
рассматривать как векторы (x, y), x, y ∈ W , аффинные прямые – как смежные
классы по подгруппам
V∞ = {(0, y) | y ∈ W },
Vm = {(x, xθm ) | x ∈ W },
m ∈ W.
При этом множество матриц R = {θm | m ∈ W } называется регулярным множеством полуполевой плоскости (spread set). Оно содержит нулевую и единичную
1
Грант РФФИ № 12-01-00968
168
Секция 3
матрицы, замкнуто по сложению и удовлетворяет условию: все ненулевые матрицы – невырожденные. Свойства регулярного множества определяют свойства
полуполевой плоскости и ее группы автоморфизмов.
Обозначим π(W, R) полуполевую плоскость, заданную линейным пространством W и регулярным множеством R. Пусть полуполевые плоскости π(W, R) и
π(W, R′ ) заданы одним и тем же линейным пространством W . Изоморфизм таких плоскостей определяется невырожденным полулинейным преобразованием
пространства W . Доказаны следующие результаты.
Теорема 1. Пусть W – линейное пространство размерности n над полем
GF (p) (p простое), π1 = π(W, R) и π2 = π(W, R′ ) – полуполевые плоскости порядка pn . Плоскости π1 и π2 изоморфны тогда и только тогда, когда существует такое невырожденное линейное преобразование пространства V = W × W ,
(
)
A 0
α=
,
0 B
что для всякой матрицы θ(m) ∈ R произведение A−1 θ(m)B принадлежит регулярному множеству R′ .
Теорема 2. Пусть π – полуполевая плоскость порядка pn . Тогда существует изоморфная ей полуполевая плоскость π(W, R), где W – линейное пространство размерности n над полем GF (p).
На основе доказанных результатов разработан пакет компьютерных программ, позволяющий проверить, изоморфны ли две данные полуполевые плоскости одинакового порядка pn . Конструктивное доказательство теоремы 2 позволяет перейти сначала к линейному пространству над полем простого порядка и получить матричное представление регулярного множества каждой плоскости. Далее, поскольку регулярное множество является линейным пространством над GF (p), то проверка условия изоморфности из теоремы 1 требуется
только для его базисных элементов.
Приведены примеры полуполевых плоскостей, заданных линейным пространством над полем простого порядка, изоморфных некоторым известным полуполевым плоскостям ранга 2 над GF (4), GF (8), GF (9).
Сибирский федеральный университет
УДК 512.522
ГРАДУИРОВАННЫЕ КВАЗИФРОБЕНИУСОВЫ
КОЛЬЦА
Е. Н. Краснова (г. Тула)
[email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
169
Квазифробениусовы кольца это кольца с условием минимальности, самоинъективные справа. Класс квазифробениусовых колец включает в себя все полупростые кольца с условием минимальности, а также все групповые алгебры
конечных групп (не обязательно полупростые) [1, 2]. В [3] приводятся результаты, показывающие особую роль квазифробениусовых колец и модулей в теории
линейных кодов над кольцами и модулями.
Всюду далее G – мультипликативная группа с единичным элементом e,
все рассматриваемые кольца ассоциативные G-градуированные с единицей 1,
gr.mod − R – категория правых G-градуированных R-модулей, объектами которой являются унитарные правые G-градуированные R-модули, а морфизмами –
гомоморфизмы R-модулей, сохраняющие градуировку. Градуированные аналоги стандартных определений будем обозначать приставкой gr-. Таким образом,
градуированное кольцо называется gr-артиновым (справа), если оно удовлетворяет условию обрыва
убывающей цепочки правых градуированных идеалов.
⊕
Если M = g∈G Mg ∈ gr.mod − R и σ ∈ G, то σ-сдвигом M (σ) модуля M
называется модуль M , рассматриваемый с градуировкой M (σ)g = Mσg (g ∈ G).
Для M, N ∈ gr.mod − R обозначим через HOMR (M, N )g – множество гомоморфизмов степени g, т.е. R-линейных отображений, для которых f (Mh ) ⊆ Ngh
при всех h ∈ G. Из определения следует, что
Homgr.mod−R (M, N ) = HOMR (M, N )e ,
HOMR (M, N )g = Homgr.mod−R (M, N (g)) = Homgr.mod−R (M (g −1 ), N )
⊕
и HOMR (M, N ) = g∈G HOMR (M, N )g – G-градуированная абелева группа.
Определение 1. Градуированное кольцо назовем gr-квазифробениусовым,
если оно gr-артиново слева и справа и каждый его односторонний градуированный идеал является аннуляторным.
Для характеризации gr-квазифробениусовых колец нам понадобятся некоторые определения.
В работе [4] было дано определение gr-образующего. Двойственным образом,
используя [5, лемма 2], дадим определение gr-кообразующего.
Лемма 1. Для градуированного R-модуля QR следующие условия эквивалентны:
1) Q — кообразующий категории mod − R;
2) для каждого ненулевого морфизма f ∈ HOMR (L, N ) существует h ∈
HOMR (N, Q) ∩
и hf ̸= 0;
3) Kerψ = f ∈HOM A (M,U ) Kerf = 0 для любого градуированного модуля MR ;
∏
4) g∈G Q(g) является кообразующим категории gr.mod − R.
Градуированный R-модуль QR будем называть gr-кообразующим категории
gr.mod − R, если для него верны условия леммы 1.
Справедливо следующее предложение.
170
Секция 3
Предложение 1. Пусть Q – gr-инъективный модуль. Тогда Q является
gr-кообразующим тогда и только тогда, когда каждый gr-неприводимый модуль может быть вложен в Q(g) для некоторого g ∈ G.
Если кольцо gr-артиново слева и справа, будем называть его просто grартиновым.
Теорема 1. Следующие условия для градуированного кольца R эквивалентны:
1) R – gr-квазифробениусово.
2) R – gr-артиново, градуированный радикал Декобсона J gr (R) является и
левым, и правым аннуляторным градуированным идеалом, а каждый градуированный минимальный односторонний идеал – аннуляторным идеалом.
3) R – gr-артиново и gr-самоинъективно справа (слева).
4) R – gr-артиново и является gr-инъективным gr-кообразующим правым
(левым) R-модулем.
Следующая терема характеризует gr-квазифробениусовы кольца на языке
теории представлений.
Теорема 2. Следующие свойства градуированного кольца R эквивалентны:
1) R gr-квазифробениусово.
2) Каждый gr-инъективный правый R-модуль gr-проективен.
3) Каждый gr-проективный правый R-модуль gr-инъективен.
Поскольку каждый gr-проективный модуль является проективным, а каждый инъективный – gr-инъективным (см, например, [6, глава 2]), то из теоремы 2
получим, что каждое квазифробениусово кольцо является gr-квазифробениусовым.
Список цитированной литературы
[1] Каш Ф. Кольца и модули. М.: Мир, 1981. 360 c.
[2] Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, II. М.: Мир. 1979. 464 c.
[3] Нечаев А. А. Конечные квазифробениусовы модули, приложения к кодам
и линейным рекуррентам // Фундаментальная и прикладная математика.
1995. Т. 1, № 1 C. 229—254.
[4] Балаба И.Н., Михал¨ев А.В. Изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов градуированных модулей, близких к свободным // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, № 5. С. 3–18.
[5] Балаба И. Н. Первичные градуированные модули // Фундаментальная и
прикладная математика. 2008. Т. 14, № 4. C. 65–74.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
171
[6] Nˇastˇasescu C., van Oystaeyen F. Methods of graded rings. Berlin: Springer,
2004. 295 p.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 512.
ДЛИНА МАТРИЧНЫХ АЛГЕБР И СИСТЕМ МАТРИЦ1
О. В. Маркова (г. Москва)
[email protected]
Определение 1 ([1]). Длиной конечной системы S порождающих конечномерной ассоциативной алгебры A над произвольным полем называется наименьшее натуральное число l(S), такое что слова длины не большей l(S) порождают данную алгебру как векторное пространство. Длиной алгебры называется максимум длин ее систем порождающих, обозначим ее l(A).
В работе А. Паза [2] было установлено, что длина любой коммутативной подалгебры алгебры матриц порядка n над полем комплексных чисел C не больше
n − 1. В [3], [4] было показано, что эта оценка справедлива и в случае, когда поле произвольно, и удалось описать коммутативные подалгебры, длина которых
максимальна:
Теорема 1. Пусть F — произвольное поле и A — коммутативная подалгебра в полной алгебре матриц Mn (F). Тогда
1. l(A) 6 n − 1;
2. l(A) = n − 1 тогда и только тогда, когда алгебра A порождена циклической
матрицей C, т.е. такой матрицей C ∈ Mn (F), что
dimF (⟨C 0 = En , C, C 2 , . . . , C n−1 ⟩) = n.
В настоящем докладе предлагается описание коммутативных подалгебр в
алгебре Mn (F) длины n − 2, т.е. длины на единицу меньшей максимальной,
над алгебраически замкнутыми полями. Следующая теорема показывает, что
задачу можно свести к исследованию нильпотентных коммутативных подалгебр
длины n − 2:
Теорема 2. Пусть F — алгебраически замкнутое поле и пусть n ∈ N, n ≥
2. Пусть A — коммутативная подалгебра в Mn (F) длины l(A) = n − 2. Тогда
существуют m ∈ N, 2 ≤ m ≤ n, B ⊆ Mm (F) — коммутативная подалгебра
длины m − 2 вида FE + N , N — нильпотентная подалгебра, и при m < n, C ⊆
Mn−m (F) — коммутативная подалгебра, порожденная циклической матрицей,
такие, что алгебра A сопряжена с алгеброй B ⊕ C.
1
Гранты МД-962.2014.1, РФФИ №13-01-00234а
172
Секция 3
Используя описание нильпотентных коммутативных подалгебр в Mn (F) индексов нильпотентности n и n − 1, полученное Д.А. Супруненко и Р.И. Тышкевич [5] и И.А. Павловым [6], получаем основной результат:
Теорема 3. Пусть n ≥ 2 и пусть F — алгебраически замкнутое поле.
Положим A = E1,2 + · · · + En−2,n−1 , где Ei,j обозначает (i, j)-ую матричную
единицу. Рассмотрим коммутативную подалгебру A в Mn (F), содержащую
единичную матрицу En . Тогда l(A) = n−2 тогда и только тогда, когда алгебра
A сопряжена в Mn (F) с одной из следующих алгебр:
1. FEn , если n = 2;
при n ≥ 3
2. FE2 ⊕ Cn−2 , где Cn−2 ∈ Mn−2 (F) — алгебра, порожденная циклической
матрицей;
3. A0;n = ⟨En , A, A2 , . . . , An−2 ⟩;
4. A1;n = ⟨E1,n , C| C ∈ A0;n ⟩;
5. A2;n = ⟨En,n−1 , C| C ∈ A0;n ⟩;
6. при n = 4, A3;4 (1) = ⟨E1,n + En,n−1 , C| C ∈ A0;n ⟩;
7. при n = 4, charF = 2, A4;4 = ⟨E4 , E1,2 + E3,4 , E1,3 + E2,4 , E1,4 ⟩;
8. Aj;m ⊕ Cn−m , где j = 0, 1, 2, 3 ≤ m < n, Cn−m ∈ Mn−m (F) — алгебра,
порожденная циклической матрицей.
Алгебры типов 3–7 попарно не сопряжены.
Список цитированной литературы
[1] Pappacena C. J. An upper bound for the length of a finite-dimensional algebra
// Journal of Algebra. 1997. №197. P. 535–545.
[2] Paz A. An Application of the Cayley–Hamilton theorem to matrix polynomials
in several variables // Linear and Multilinear Algebra. 1984. Vol. 15. P. 161–170.
[3] Guterman A. E., Markova O. V. Commutative matrix subalgebras and length
function // Linear Algebra and its Applications. 2009. Vol. 430. P. 1790–1805.
[4] Маркова О. В. Характеризация коммутативных матричных подалгебр максимальной длины над произвольным полем // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1.
Математика. Механика. 2009. № 5. С. 53–55.
[5] Супруненко Д. А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матрицы. 2-е изд. М.:
УРСС, 2003. 104 с.
[6] Павлов И. А. О коммутативных нильпотентных алгебрах матриц // Доклады Академии наук БССР. 1967. Т. 11, № 10. С. 870–872.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
173
УДК 512.554.3
ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ ДЛЯ АРТИНОВЫХ АЛГЕБР
ЛИ
Е. В. Мещерина (г. Оренбург)
e-mail: [email protected]
Понятие артиновости играет важную роль в теории колец.
Ассоциативное кольцо R называется право (лево) артиновым, если любая
убывающая цепочка его правых (левых) идеалов идеалов – стабилизируется
[1], [2].
Известны примеры право, но не лево артиновых колец [1].
В дальнейшем, говоря артинова алгебра или артиново кольцо мы будем
иметь в виду правую артиновость.
Понятие артиновости используется как одно из условий конечности (конечномерности).
Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахтурин [3],
С.А. Пихтильков [4] и В.М. Поляков [5]. Они рассматривали специальные iартиновы алгебры Ли.
В 1963 г. В.Н. Латышев ввел новый класс алгебр Ли [6], которые он назвал
специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.
Скажем, что алгебра Ли L специальная алгебра Ли, если существует ассоциативная P I-алгебра A такая, что L вложена в A(−) как алгебра Ли, где A(−) – алгебра Ли, заданная на A с помощью операции коммутирования [x, y] = xy − yx.
Возможно лучшим аналогом одностороннего идеала для алгебр Ли являются подалгебры или внутренние идеалы.
Понятие внутреннего идеала для йордановых алгебр было введено Н. Джекобсоном [7] . Дж. Бенкарт по аналогии ввела внутренний идеал для алгебр Ли
[8].
Скажем, что подпространство B алгебры Ли L является внутренним идеалом, если справедливо включение [B, [B, L]] ⊂ B.
Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала
применительно к артиновости с помощью йордановых пар [9], [10].
Рассмотрим определения артиновости в трех смыслах.
Пусть L – алгебра Ли.
а) Если убывающая цепочка идеалов стабилизируется, то алгебра называется i-артиновой;
б) если убывающая цепочка алгебр стабилизируется, то алгебра называется
a-артиновой;
в) если убывающая цепочка внутренних идеалов стабилизируется, то алгебра называется inn-артиновой.
В работе [11] приведен пример бесконечномерной inn-артиновой алгебры Ли.
Мы установили, что из inn-артиновости может не следовать a-артиновость.
174
Секция 3
Легко проверить, что из inn-артиновости следует i-артиновость и из a-артиновости следует i-артиновость.
В работе [11] также приведены примеры, показывающие что из i-артиновости может не следовать a-артиновость и inn-артиновость.
Представляют интерес примеры бесконечномерных a-артиновых алгебр Ли.
Естественно поставить следующий вопрос.
Вопрос 1. Существуют ли бесконечномерные a-артиновы алгебры Ли?
Ответ на этот вопрос неизвестен автору.
О.Ю. Шмидт сформулировал проблему о существовании бесконечных неабелевых групп все, подгруппы которых конечны. Эта проблема была решена
А.Ю. Ольшанским [12]. Пример из [12] построен с помощью геометрических
методов в теории групп. Его перенесение на алгебры Ли пока не удается выполнить.
Основным результатом доклада является сведение вопроса 1 к следующему
вопросу.
Вопрос 2. Существуют ли первичные бесконечномерные a-артиновы алгебры Ли?
Теорема 1. Вопросы 1 и 2 для алгебр Ли – эквивалентны.
Понятия a-артиновости и inn-артиновости полезно. Например, следующая
теорема дает решение ослабленной проблемы А. В. Михалева о разрешимости
первичного радикала артиновой алгебры Ли.
Теорема 2. ([13]). Пусть L – a-артинова или inn-артинова алгебра Ли.
Тогда первичный радикал P (L) алгебры Ли L – разрешим.
Список цитированной литературы
[1] Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.
[2] Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.
[3] Бахтурин Ю.А. Артиновы специальные алгебры Ли // Алгебра. М.: Изд-во
МГУ, 1982. С. 24–26.
[4] Пихтильков С.А. Артиновые специальные алгебры Ли // Алгоритмические
проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сб. Тула: Изд-во Тул. гос.
пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2001. С. 189–194.
[5] Пихтильков С.А., Поляков В.М. О локально нильпотентных артиновых
алгебрах Ли // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6, вып. 1. С. 163–169.
[6] Латышев В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями // Сиб.
мат. журнал. 1963. Т 4, № 4. С. 821–829.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
175
[7] Jacobson N. Structure theory of quadratic Jordan algebras // Lecture Notes.
Tata Institute. Bombay, 1970. 128 pp.
[8] Benkart G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras //
Transaction of the American Mathematical Society. 1977. Vol. 232. P. 61–81.
[9] Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. An artinian theory for Lie
algebras // Journal of Algebra. 2008. Vol. 319. P. 938–951.
[10] Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. Inner ideal structure of
nearly artinian Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 2009. Vol. 137. P. 1–9.
[11] Мещерина Е.В., Пихтильков С.А. О некоторых свойствах внутренних идеалов алгебры Ли // Вестник ОГУ. 2013. № 9 P. 110–114.
[12] Ольшанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков
// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1980. Т. 44. № 2. С. 309–321.
[13] Мещерина Е.В., Пихтильков С.А., Пихтилькова О.А. О проблеме А.В. Михалева для алгебр Ли// Известия Саратовского университета. Новая серия.
Серия Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 4, ч. 2. С. 84–89.
Оренбургский государственный аграрный университет
УДК 512.5
e1
МНОГООБРАЗИЕ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА V
С. П. Мищенко, Ю. Р. Пестова (г. Ульяновск)
[email protected]
Характеристика основного поля равна нулю, а все неопределяемые понятия
можно найти, например, в монографии [1]. Напомним, что алгебра Лейбница
определяется тождеством (xy)z ≡ (xz)y + x(yz). То есть в ней умножение справа является дифференцированием, что позволяет проводить преобразования в
произведениях. Например, любое произведение элементов можно представить
в виде линейной комбинации левонормированных произведений. Договоримся
в таких произведениях опускать скобки, то есть abc = (ab)c. В данной работе
e 1 всех алгебр Лейбница, в которых выполняется
речь идет о многообразии V
тождество
x1 (x2 x3 )(x4 x5 ) ≡ 0.
e 1 было достаточно подробно исследовано
Многообразие алгебр Лейбница V
в работе [2]. Доказана почти полиномиальность роста этого многообразия, а
176
Секция 3
также полностью описано строение пространства полилинейных элементов относительно свободной алгебры многообразия как модуля симметрической группы. В частности, найдены формулы для вычисления коразмерностей, кратностей и кодлины многообразия. Так, коразмерность выражается по формуле
e 1 ) = 2n−2 n(n − 3) + 2n, а для кодлины при n > 2 имеем:
cn (V
{ 2 7
n − 2 n + 6,
если n четное,
e
ln (V1 ) =
7
11
2
n − 2 n + 2 , если n нечетное.
Недавно авторами получен новый результат.
e 1 состоит из элеТеорема 3. . Базис полилинейной части многообразия V
ментов вида: xi1 xi2 . . . xin , где i2 > · · · > in ; (xi1 xi2 . . . xin−k )(xj1 xj2 . . . xjk ), где
k = 2, . . . , (n − 1), i2 > · · · > in−k , j1 < j2 и j2 > j3 > · · · > jk .
Список цитированной литературы
[1] Giambruno A. and Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods.
Mathematical Surveys and Monographs, vol. 122, AMS, Providence, RI, 2005.
[2] Mishchenko S. and Valenti A. A Leibniz variety with almost polynomial
growth// Journal of Algebra. 2000. Vol. 223. P. 66–84.
Ульяновский государственный университет
УДК 512.5
ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
ЛЮБОЙ ЦЕЛОЙ ЭКСПОНЕНТЫ
С. П. Мищенко, О. В. Шулежко (г. Ульяновск)
[email protected]
[email protected]
Основное поле имеет нулевую характеристику. Все неопределяемые понятия можно найти в книге [1]. Будем называть многообразие почти нильпотентным, если оно само не является нильпотентным, но каждое собственное его
подмногообразие нильпотентно. Например, многообразие всех ассоциативнокоммутативных алгебр и многообразие всех метабелевых алгебр Ли являются
почти нильпотентными. Недавно было получено полное описание всех почти
нильпотентных многообразий в классе алгебр Лейбница [2]. Во всех этих случаях рост почти нильпотентного многообразия был полиномиальным.
Основной целью данной работы является доказательство существования почти нильпотентных многообразий, рост последовательности коразмерностей которых является экспоненциальным. Идейной основой послужила статья [3], в
которой построено почти нильпотентное многообразие экспоненты два и, используя лемму Цорна, доказана такая теорема
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
177
Теорема 1. Пусть U — некоторое ненильпотентное многообразие алгебр.
Тогда существует такое подмногообразие V многообразия U, что многообразие V является почти нильпотентным.
Договоримся опускать скобки в произведениях в случае их левонормированной расстановки, то есть abc = (ab)c. Кроме того, обозначим через Ra оператор
умножения справа на элемент a и результат действия оператора Ra на элемент
b будем записывать так bRa , то есть bRa = ba. Последнее обозначение часто оказывается удобным. Например, левонормированное произведение ba . . . a степени
k + 1 можно записать в краткой форме bRak .
Для любого натурального m > 2 определим неассоциативную алгебру Am ,
которая порождается образующими {z, a1 , a2 , . . . , am } и удовлетворяет следующим определяющим соотношениям:
ai aj = ai z = 0, 1 6 i, j 6 m;
(zw(Ra1 , . . . , Ram ))(zw′ (Ra1 , . . . , Ram )) = 0,
для некоторых, возможно, пустых ассоциативных слов w, w′ от операторов Rai ;
z(Ra1 . . . Ram )k ai1 . . . ais ais+1 . . . ait + z(Ra1 . . . Ram )k ai1 . . . ais+1 ais . . . ait = 0
для всех k > 0 и 1 6 s < t 6 m, 1 6 i1 , . . . , it 6 m.
Многообразие, порожденное алгеброй Am , обозначим Um . Основным результатом работы является
Теорема 2. Пусть V ненильпотентное подмногообразие многообразия
Um . Тогда экспонента многообразия V равна m.
Из этого результата и теоремы 1 следует, что для любого натурального m,
m > 2, существует почти нильпотентное многообразие экспоненты m.
В заключение отметим, что случай m = 2 рассмотрен в работе [3], в которой, в частности, доказано также, что само многообразие U2 является почти
нильпотентным.
Список цитированной литературы
[1] Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods.
Mathematical Surveys and Monographs, vol.122, AMS, Providence, RI, 2005.
[2] Фролова Ю.Ю., Шулежко О.В. О почти нильпотентных многообразиях алгебр Лейбница // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. XI Междунар. конф. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013.
С. 84–85.
178
Секция 3
[3] Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Israel
Journal of Mathematics, 2014. Article in Press.
Ульяновский государственный университет
Ульяновский государственный педагогический университет имени И. Н. Ульянова
УДК 511.3
К 50-ЛЕТИЮ КУРСА "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И
ГЕОМЕТРИЯ" НА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ
ФАКУЛЬТЕТЕ МГУ
Е. А. Морозова (г. Москва)
[email protected]
В 1961 году выдающийся советский математик Андрей Николаевич Колмогоров возвратился из Франции, где изучил реформу (Бурбаки) преподавания
математики в средней школе и в университетах. Он выдвинул идею объединения курсов аналитической геометрии и высшей алгебры во втором семестре в
один курс "Линейная алгебра и геометрия" .
Обсуждение шло 2 года. Наконец, была составлена программа курса, и в
феврале 1964 года этот курс начал читать Николай Владимирович Ефимов.
Программа состояла из блоков:
1. Линейные (векторные) пространства над полем R.
2. Линейные функции векторного аргумента:
а) Линейные формы,
б) Линейные операторы.
3. Аффинные пространства.
4. Билинейные и квадратичные формы.
5. Пространства со скалярным произведением.
6. Операторы в пространствах со скалярным произведением.
7. Поверхности второго порядка.
8. Тензоры.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
179
На "Линейную алгебру и геометрию" было отведено 4 часа лекций и 4 часа
упражнений в неделю, то есть всего 28–30 лекций в семестр.
Этот курс является базовым для многих дальнейших курсов, например,
функционального анализа, вычислительной математики, методов вычислений,
дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, линейного программирования, теоретической механики, механики сплошной среды, а также
для активного применения методов линейной алгебры в аппарате современной
математической физики.
Закончу словами Ж.Дьедонне: "Во многих случаях аналитическая геометрия и линейная алгебра отличаются друг от друга лишь языком; каждую из
этих дисциплин можно понимать как перевод на другую" .
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 512.554.34
О СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ, ИМЕЮЩИХ
ТОЧНЫЙ МОДУЛЬ С РАЗМЕРНОСТЬЮ КРУЛЛЯ
С. А. Пихтильков, О. А. Пихтилькова, Н. Ю. Фадеева (г. Оренбург)
[email protected]
[email protected]
[email protected]
В теории колец принято обозначать первичный радикал кольца R через
rad(R). Мы будем обозначать первичный радикал ассоциативной алгебры или
алгебры Ли D через P (D).
Напомним определение размерности Крулля модуля [1].
Определение 1. Определим размерность Крулля Kdim(M ) левого R-модуля M при помощи трансфинитной индукции:
1) Если M = 0, то Kdim(M ) = −1;
2) Если Kdim(M ) ≮ α, то Kdim(M ) = α тогда и только тогда, когда не
существует бесконечной убывающей цепочки подмодулей
M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ,
такой, что Kdim (Mi−1 /Mi ) ≮ α для каждого i ∈ N;
3) Если не существует такого порядкового числа α, что
Kdim(M ) = α,
то модуль M не имеет размерности Крулля.
Определение 2. Размерностью Крулля кольца R называют размерность
Крулля левого R-модуля R R.
В. Т. Марков доказал следующее утверждение [2].
180
Секция 3
Теорема 1. Пусть R – P I-кольцо, M – точный левый R-модуль с размерностью Крулля. Тогда:
(a) rad(R) – нильпотентный идеал;
(b) Если сверх того R-модуль M и левый идеал (rad(R)) – конечно порождены, то R имеет левую размерность Крулля и
Kdim (R R) = Kdim(M ).
В 1963 г. В. Н. Латышев ввел новый класс алгебр Ли [3], которые он назвал
специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.
Скажем, что алгебра Ли L специальная или SP I-алгебра Ли, если существует ассоциативная P I-алгебра A такая, что L вложена в A(−) как алгебра
Ли, где A(−) – алгебра Ли, заданная на A с помощью операции коммутирования
[x, y] = xy − yx.
Удалось получить аналог результата В. Т. Маркова для специальных алгебр
Ли.
Определим размерность Крулля для модулей над алгебрами Ли и алгебр
Ли так же, как для ассоциативных алгебр. Так как в алгебре Ли все идеалы
двусторонние, то нет необходимости говорить о правой и левой размерности
Крулля алгебры Ли, а просто о размерности Крулля.
¯ – гомоморфный образ алгебры Ли L в алгебре
Определение 3. Пусть L
¯ является алгеброй Ли по
эндоморфизмов End(M ) модуля M . Множество L
отношению к операции коммутирования [x, y] = xy − yx.
Обозначим через A(L) ассоциативную подалгебру порожденную множе¯ в алгебре эндоморфизмов End(M ) модуля M и назовем ее ассоцииством L
рованной алгеброй представления M .
Назовем P I-представлением алгебры Ли L [4] представление алгебры L в
алгебре эндоморфизмов End(M )(−) модуля M над алгеброй L, для которого ассоциированная алгебра представления A(L) является P I-алгеброй.
Определение P I-представления требуется, так как ассоцированная алгебра
Ли представления A(L) специальной алгебры Ли может не быть P I-алгеброй.
В качестве примера можно взять известное неприводимое представление
трехмерной нильпотентной алгебры Ли в алгебре эндоморфизмов кольца многочленов от одной переменной над полем характеристики нуль (см., например,
[5]).
Для специальных алгебр Ли имеет место аналог теоремы В. Т. Маркова [2].
Теорема 2. Пусть L – специальная алгебра Ли над полем F , M – точное
P I-представление алгебры Ли L с размерностью Крулля. Тогда P (L) – разрешимый идеал.
Алгебра Ли L называется полупервичной, если она не содержит ненулевых
абелевых идеалов. Это определение эквивалентно равенству нулю первичного
идеала P (L) алгебры Ли L [6].
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
181
Представляет самостоятельный интерес также следующий аналог предложения из [2].
Предложение 1. Если полупервичная специальная алгебра Ли L имеет
точный модуль с размерностью Крулля, то L является конечным подпрямым
произведением первичных алгебр Ли.
Список цитированной литературы
[1] Robert Gordon, James Christopher Robson Krull Dimension. Mem. Amer.
Math. Soc. Issue 133. 1973. 78 p.
[2] В. Т. Марков О PI-кольцах, имеющих точный модуль с размерностью Крулля // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1, № 2. С.
557—559.
[3] В. Н. Латышев Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями // Сиб.
мат. журнал. 1963. Т 4, № 4. С. 821–829.
[4] С. А. Пихтильков О локально нильпотентном радикале специальных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8, вып. 3.
С. 769–782.
[5] А. А. Кучеров, О. А. Пихтилькова, С. А. Пихтильков О примитивных
алгебрах Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2011/2012. Т.
17, № 2. С. 177–182.
[6] И. Н. Балаба, А. В. Михалев, С. А. Пихтильков Первичный радикал градуированных Ω-групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2006.
Т. 12, № 2. С. 159–174.
Оренбургский государственный аграрный университет
УДК 512.552.4
КОММУТАТИВНОСТЬ ЧЕТНЫХ КОМПОНЕНТ
Z2 -ГРАДУИРОВАННЫХ АЛГЕБР И ЕЕ
НЕГРАДУИРОВАННЫЕ СЛЕДСТВИЯ
И. Ю. Свиридова1 (Бразилиа, Бразилия)
[email protected]
О. Б. Финогенова2 (Екатеринбург)
[email protected]
1
Supported by FAPESP, CNPq, CNPq-FAPDF PRONEX grant 2009/00091-0 (193.000.
580/2009)
2
Поддержана РФФИ, проект 14-01-00524
182
Секция 3
Алгебра A над полем называется Z2 -градуированной, если она представима
в виде прямой суммы двух таких подпространств A0 и A1 , что Ai Aj ⊆ Ai+j
для всех i, j ∈ Z2 . Подпространство A0 , очевидно, есть подалгебра в A. Хорошо
известно (см., напр., [1]), что в случае ассоциативных алгебр A будет являться
PI-алгеброй, если таковой является ее четная компонента A0 .
Мы исследуем Z2 -градуированные ассоциативные алгебры, обладающие
коммутативными четными компонентами, и доказываем, что каждая такая алгебра удовлетворяет тождеству
∑
[[xσ(1) , y1 ], [xσ(2) , y2 ]], xσ(3) ] = 0,
(1)
σ
где σ пробегает множество четных перестановок множества {1, 2, 3}, а запись
[x, y] обозначает коммутатор xy − yx элементов x и y, и тождеству
[[x, y]2 , x] = 0.
(2)
Если характеристика основного поля не равна двум, степень пять минимальна
для тождеств с таким свойством.
В случае поля нулевой характеристики (1) и (2) порождают пространство
тождеств пятой степени, выполняемых во всех Z2 -градуированных алгебрах с
коммутативными четными компонентами.
Список цитированной литературы
[1] Yu. Bakhturin, A. Giambruno, D. Riley, Group-graded algebras with polynomial identities // Israel J. Math. 1998. Vol. 104. P. 145–155.
Уральский федеральный университет
УДК 512.554
О РОСТЕ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА,
СВЯЗАННОГО С НЕПРИВОДИМЫМИ
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ
ТРЕХМЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ГЕЙЗЕНБЕРГА1
Т. В. Скорая (г. Ульяновск)
[email protected]
Основное поле Φ имеет нулевую характеристику. Все неопределяемые понятия можно найти в монографии [1]. Обобщением понятия алгебры Ли является
1
Грант РФФИ № 14-01-31084
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
183
алгебра Лейбница, которая определяется тождеством (xy)z ≡ (xz)y + x(yz) и,
вероятно, впервые появилась в работе [2].
Обозначим через F (X, V) относительно свободную алгебру от счетного множества свободных образующих X некоторого многообразия V. В 1949 году А.И.
Мальцев доказал, что в случае, когда основное поле имеет нулевую характеристику, всякое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств. Поэтому в этом случае вся информация о многообразии содержится в пространстве
полилинейных элементов степени n от переменных x1 , x2 , . . . xn , так называемых
полилинейных компонентах относительно свободной алгебры многообразия и
обозначаемых Pn (V). Ростом многообразия V называется асимптотическое поведение последовательности cn (V) = dimPn (V). В случае существования таких
чисел C1 > 0, C2 > 0, d1 > 1, d2 > 1, что для всех чисел n выполняются
неравенства C1 dn1 < cn (V) < C2 dn2 , говорят, что рост многообразия является
экспоненциальным. Если при этом верхний и нижний пределы этой последовательности совпадают, то их значение называют экспонентой многообразия.
Пусть T = Φ[t] — кольцо многочленов от переменной t. Рассмотрим трехмерную алгебру Гейзенберга H с базисом {a, b, c} и умножением ba = −ab = c,
произведение остальных базисных элементов равно нулю. Превратим кольцо
многочленов T в правый модуль алгебры H, в котором базисные элементы алгебры H действуют справа на многочлен f из T следующим образом: f a =
f ′ , f b = tf, f c = f, где f ′ — частная производная многочлена f по переменной t. Рассмотрим прямую сумму векторных пространств H и T с умножением
по правилу: (x + f )(y + g) = xy + f y, где x, y из H; f, g из T . Построенная
e 3 алгебр Лейбница. Данное
таким образом алгебра порождает многообразие V
многообразие является аналогом хорошо известного многообразия V3 алгебр
e 3 была доказана почти
Ли. Ранее, в работе [3] относительно многообразия V
полиномиальность его роста, в работе [4] были определены его кратности и
кодлина, а в работе [5] доказана целочисленность экспоненты этого многообразия.
e 3 равна 3.
Теорема 1. Экспонента многообразия V
Список цитированной литературы
[1] Giambruno A. Zaicev M. Polynomail identities and Asymptotic Methods //
American Mathematical Society, Providence, RI: Mathematical Surveys and
Monographs. 2005. Vol. 122. P. 352
[2] А.М. Блох. Об одном обощении понятия алгебры Ли // Доклады Академии
наук СССР. 1965. Т. 18, №3. С. 471 — 473.
[3] Mishchenko S. P. Varieties of linear algebras with almost polynomial growth //
Polynomial identities and combinatorial methods. Pantelleria. 2001. P. 383—
395.
184
Секция 3
e 3 // Ученые
[4] Скорая Т. В. Строение полилинейной части многообразия V
записки Орловского государственного университета. 2012. № 6(50). С. 203—
2012.
[5] Шишкина Т.,В. О целочисленности экспоненты подмногообразий многообразия 3 N // Ученые записки Ульяновского Государственного Университета. Сер. Математика и информационные технологии. 2011. С. 18—23.
Ульяновский государственный университет
УДК 512.5
О ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Ю. Ю. Фролова, О. В. Шулежко (г. Ульяновск)
[email protected]
[email protected]
В работе представлен новый результат, касающийся многообразий алгебр
Лейбница. Напомним, что алгеброй Лейбница называется линейная алгебра,
в которой выполнено тождество (xy)z ≡ (xz)y + x(yz). Известно, что любая
алгебра Ли является алгеброй Лейбница.
Характеристика основного поля равна нулю. Все необходимые понятия можно найти в книгах [1] и [2]. Будем говорить, что многообразие V является почти
нильпотентным, если оно не нильпотентно, но каждое его собственное подмногообразие нильпотентно. Известно, что в классе ассоциативных алгебр единственным почти нильпотентным многообразием является многообразие всех
ассоциативно-коммутативных алгебр, а в классе алгебр Ли единственным почти нильпотентным многообразием является многообразие A2 , определяемое
тождеством (x1 x2 )(x3 x4 ) ≡ 0, которое состоит из всех метабелевых алгебр Ли.
Тождество x(yz) ≡ 0 определяет многообразие 2 N всех левонильпотентых
ступени не выше двух алгебр Лейбница. Полное описание этого многообразия
приведено в работе [3].
Теорема 1. В случае нулевой характеристики основного поля существует
ровно два почти нильпотентных многообразия алгебр Лейбница. Это многообразие A2 всех метабелевых алгебр Ли и многообразие 2 N всех левонильпотентых ступени не выше двух алгебр Лейбница.
При доказательстве использованы результаты из работ [4] и [5]. Кратко опишем его схему. Договоримся опускать скобки в произведениях элементов алгебры, если они расставлены левонормированным способом, то есть ((ab)c) = abc.
Оператор умножения справа, например на элемент z, обозначим заглавной буквой Z, считая, что xz = xZ. В частности, в наших обозначениях условие энгелевости имеет вид xyy...y = xY m ≡ 0.
| {z }
m
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
185
∩
Пусть U - новое почти нильпотентное многообразие, тогда U 2 N - нильпотентно и тождество x1 X1m ≡ 0 выполнено в U. Следствием данного тождества
является тождество x2 Y m ≡ 0. Рассмотрим алгебру Лейбница L ∈ U. Известно, что существует ее идеал If = {a|aX m ≡ 0, для любого x ∈ L}. Так как
x2 ∈ If , то в фактор-алгебре L/If выполняется тождество x2 ≡ 0, а значит L/If
является алгеброй Ли. Возможны два случая:
Рассмотрим первый случай. Если фактор-алгебра L/If не является нильпотентной в многообразии U, то значит существует не нильпотентное многообразие varL/If , порожденное алгеброй Ли L/If , следовательно минимальное не
нильпотентное многообразие A2 ⊂ varL/If ⊂ U, а значит U = A2 .
Рассмотрим второй случай. Если фактор-алгебра L/If нильпотентна, то в
L/If выполнено тождество x1 x2 . . . xc ≡ 0. По определению идеала If в алгебре
Лейбница L выполняется тождество x1 x2 . . . xc X m ≡ 0, следовательно выполняется энгелевость и по теореме работы [5] многообразие U является нильпотентным.
Таким образом, 2 N и A2 — единственные почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница.
Список цитированной литературы
[1] Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448 с.
[2] Giambruno A. and Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods.
American Mathematical Society Providence, RI. 2005. 352 p.
[3] Drensky V., Cattaneo G. M. P. Varieties of Metabelian Leibniz Algebras // J.
Algebra and its applications. 2002. Vol. 1, № 1. P. 31–50.
[4] Higgins P. J. Lie rings satisfying the Engel condition // Proc. Cambr. Philos.
Soc. 1954. Vol. 50, № 1. P. 8–15.
[5] Фролова, Ю. Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 3. С. 63–65.
Ульяновский государственный университет
Ульяновский государственный педагогический университет имени И. Н. Ульянова
УДК 512.5
О НЕКОТОРЫХ УСЛОВИЯХ КОНЕЧНОСТИ
КОДЛИНЫ МНОГООБРАЗИИ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА
А. В. Швецова (г. Ульяновск)
[email protected]
186
Секция 3
Пусть K – поле нулевой характеристики. Алгебра Лейбница над полем K
определяют как неассоциативную алгебру с билинейным произведением, в которой выполняется тождество Лейбница (xy)z ≡ (xz)y + x(yz). Договоримся,
что скобки в левонормированных элементах вида мы будем опускать, то есть,
например, x1 x2 x3 . . . xn = (((x1 x2 )x3 ) . . . xn ). Введем обозначение Y для оператора умножение справа на элемент y, это удобно для записи элемента вида
xy . . . y = xY n , так как запись, например, xy 2 будет неверной, так как она озна| {z }
n
чает x(yy), а у нас (xy)y.
Обозначим через V многообразие алгебр Лейбница. Пусть Pn (V) пространство, порожденное полилинейными элементами степени n от свободных образующих x1 , . . . , xn в относительно свободной алгебре многообразия V. Мы рассмотрим пространство Pn (V) как KSn −модуль, задавая действие симметрической группы обычным образом. Разложим Pn (V) в сумму неприводимых модулей и выпишем характер в виде суммы неприводимых характеров
∑
mλ χλ ,
χ(Pn (V)) =
λ⊢n
где λ ⊢ n – это разбиение числа n, χλ – характер, а mλ – кратность соответствующего λ неприводимого модуля.
∑
Кодлина многообразия V определяется по формуле ln (V) = λ⊢n mλ . Если
существует такая константа C, не зависящая от n, что для любых n выполнено
неравенство ln (V) ≤ C, тогда кодлина многообразия V называется конечной.
Многообразие V имеет почти конечную кодлину, если любое его собственное
подмногообразие имеет конечную кодлину, а кодлина самого многообразия конечной не является.
]
Напомним, что N
s A– это многообразие алгебр Лейбница, которое определяется тождеством
(x1 x2 )(x3 x4 ) . . . (x2s+1 x2s+2 ) ≡ 0.
(1)
В работе [1] был получен результат об одном необходимом условии конечности
кодлины многообразия алгебр Лейбница. В частности, доказано, что любое многообразие V конечной кодлины является подмногообразием многообразия Ns A,
для некоторого подхолящего натурального числа s, то есть в многообразии V
выполнено тождество (1).
С другой стороны в работе [2] было найдено одно достаточное условие конечности многообразия алгебр Лейбница. Сформулируем его в виде теоремы.
]
Теорема 1. . Пусть V – подмногообразие многообразия N
s A, в котором
для некоторых натуральных k, m, k 6 m, и α1 , . . . , αk ∈ K выполнено тождество
k
∑
xY k zY m−k ≡
αi xY k−i zY m−k+i .
i=1
Тогда многообразие V имеет конечную кодлину
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
187
Сформулируем новый результат, полученный в этом году.
Теорема 2. Пусть многообразие V алгебр Лейбница имеет конечную кодлину, тогда в нем выполняется тождество
k
xY zY
m−k−2
≡
k
∑
αi xY k−i zY m−2−k+i .
i=1
Таким образом, для многообразий алгебр Лейбница получено необходимое
и достаточное условие конечности кодлины в терминах тождественных соотношений:
Теорема 3. Многообразие V алгебр Лейбница имеет конечную кодлину
тогда и только тогда, когда в многообразии V выполняются тождество (1)
и для некоторых натуральных k, m, k 6 m, и α1 , . . . , αk ∈ K тождество вида
xY k zY m−k−2 ≡
k
∑
αi xY k−i zY m−2−k+i .
i=1
Список цитированной литературы
[1] Швецова А. В. Необходимое условие конечности кодлины многообразий алгебр Лейбница // Вестник МГАДА. 2013. № 2(22). C. 197–202.
[2] Скорая Т. В. , Швецова А. В. Новые свойства многообразий алгебр Лейбница // Известия Cаратовского университета. Новая серия. 2013. № 4(2).
C. 124–129.
Ульяновский государственный университет
188
4
Секция 4
Прикладная и компьютерная алгебры, криптография и дискретная математика
Доклады данной секции объединяют широкий круг алгебраических приложений в информатики, экономике, физики, управлении и криптографии.
УДК 511.3
НЕКОТОРЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМЫ ТЕЛ,
ВЫДЕРЖИВАЮЩИХ МАКСИМАЛЬНУЮ
НАГРУЗКУ
Н. М. Глазунов, Т. В. Нагорняк (г. Киев, Украина)
[email protected]
Дается обзор алгебраических задач и методов оптимизации формы упругих
тел по критерию устойчивости к нагрузкам. Приводятся примеры и приложения.
1
Введение
Задачи оптимизации формы упругих тел, выдерживающих максимальную
нагрузку, рассматривались ещё И. Бернулли и Л. Эйлером [1]. Развивая работу
[1], исследования Ж.-Л. Лагранжа, Т. Клаузена, Е. Николаи, и других, Н. Ольхофф и С. Расмунссен обнаружили [2], что исследуемые задачи могут сводится
и к задачам недифференцируемой оптимизации. Автор обзора [3] полагает, что
ситуация n - модальности (n > 2) может возникать во многих задачах оптимизации по критерию устойчивости. Алгебра позволяет разрешать ситуации,
в которых возникают проблемы с применимостью классических дифференциальных методов. В предлагаемом сообщении дается обзор таких алгебраических
походов, методов, и их применений в задачах недифференцируемой оптимизации формы упругих тел по критерию устойчивости к нагрузкам.
2
Предварительные сведения и определения
Ниже приводятся и используются известные результаты в изложениях [4, 5].
Пусть X есть вещественная матрица размера n1 × n2 , Обозначим через X ∗ матрицу, сопряженную к X. Известно, что ненулевые собственные значения матриц
XX ∗ и X ∗ X совпадают и положительны. Арифметические значения квадратных корней из общих собственных значений матриц XX ∗ и X ∗ X называют
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
189
сингулярными значениями матрицы X. Далее полагаем, что σk есть k-ое сингулярное значение матрицы X, и что эти сингулярные значения занумерованы в
порядке убывания σ1 > σ2 > · · · > σn > 0, где σn есть наименьшее сингулярное
значение. Сингулярные значения σn+1 · · · полагают нулевыми.
2.1
Нормы
. Для векторов x, y ∈ Rn со скалярным произведением√
(x, y) мы будем использовать Евклидову l2 норму, которую обозначаем ∥x∥ = (x, x). Для матриц
X, Y, X0 из Rn1 ×n2 через (X, Y ) = tr(X ∗ Y ) обозначаем скалярное произведение
1
в Rn1 ×n2 . Евклидову норму матрицы X обозначаем через ∥X∥E = (X, X) 2 .
Спектральная норма матрицы X равна наибольшему сингулярному значению
матрицы X и обозначается через ∥X∥. Ядерная норма X есть ∥X∥∗ .
Замечание 1. Для матрицы A ∈ Rn1 ×n2
∗
∗
1
2
1
2
∥A∥E = (trAA ) = (trA A) =
n
(∑
σi2
) 12
,
i=1
где σ1 , σ2 , · · · σn есть ненулевые сингулярне значения матрицы A.
2.2
Субградиент.
Напомним определение субградиента выпуклой функции f : Rn1 ×n2 → R.
Определение 1. Матрица gf (X0 ), удовлетворяющая условию
f (X) − f (X0 ) > (gf (X0 ), X − X0 )
для всех X ∈ Rn1 ×n2 называется субградиентом f в X0 .
Множество
∂f (X0 ) = {X ∗ ∈ Rn1 ×n2 |f (X) − f (X0 ) > (X ∗ , X − X0 )}
называют субдифференциалом f в точке X0 .
Пусть A ⊗ B есть тензорное произведение (произведение Кронекера) двух
прямоугольных матриц над полем вещественных чисел. Ниже оно используется
в основном для векторов.
Замечание 2. Пусть A ∈ Rn1 ×n2 есть матрица ранга r с сингулярным
разложением, имеющим вид
∑
A=
σi ui ⊗ v i ∗ .
16i6r
Тогда субградиент ядерной нормы A известен и имеет представление
∑
g∗ (A) =
ui ⊗ vi∗ + W.
16i6r
Матрица W удовлетворяет известным свойствам (в частности, ∥W ∥ 6 1).
190
2.3
Секция 4
r-Алгоритм
Одним из наиболее эффективных методов недифференцируемой оптимизации является метод субградиентного типа с растяжением пространства в направлении разности двух последовательных субградиентов [4]. Следуя [4, 5] будет представлена схема применения матричных r-алгоритмов. Так как Rn1 ×n2
является евклидовым пространством, мы будем рассматривать элементы Rn1 ×n2
как элементы евклидова пространства E n , скалярное произведение в котором
обозначаем через (, ). Оператор растяжения пространства в направлении ξ с
коэффициентом растяжения α обозначаем через Rα (ξ). Этот оператор при применении его к элементу x из евклидова пространства E n растягивает в α раз
(x, ξ)ξ и не меняет x − (x, ξ)ξ.
2.4
Проектирование.
Пусть V есть подпространство размерности r в E n и PV есть ортогональная
проекция на V . В процессе вычислений нужно проектировать с применением PV , а также проектировать точки пространства E n на замкнутое выпуклое
подпространство S из E n . Задача проектирования точки a ∈ E n на S имеет
представление
d(x) = ∥x − a∥ → min, x ∈ S,
а её решение есть решение d(x) = min∥x − a∥, x ∈ S этой задачи минимизации.
3
Заключение
Мы применяем вышеперечисленные конструкции и результаты, а также и
другие методы линейной алгебры, к задачам недифференцируемой оптимизации формы упругих тел по критерию устойчивости к нагрузкам.
Список цитированной литературы
[1] Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой
в самом широком смысле. М.-Л.: ГИТТЛ, 1934. C. 447–572.
[2] Olhoff N., Rasmussen S. On single and bimodal optimum buckling loads of
clamped columns // Int. Journ. Solids Struct. 1977. 20. P. 605–614.
[3] Сейранян А. П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны
// Успехи механики. 2003. № 2. C. 45–96.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
191
[4] Shor N. Z. Nondifferentiable Optimization and Polynomial Problems. Boston /
Dordrecht / London: Kluwer Academic Publishers, 1998. 412 p.
[5] Глазунов Н. М. Арифметическое моделирование случайных процессов и rалгоритмы // Кибернетика и cистемный aнализ. 2012. № 1. C. 23–32.
Национальный Авиационный Университет
УДК 517.95
ДИНАМИКА РЕШЕНИЙ АВТОНОМНОГО
УРАВНЕНИЯ ТИПА РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ С
МНОГОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ1
Н. В. Горбань (г. Киев, Украина)
[email protected]
Изучается динамика решений автономного включения типа реакции-диффузии в неограниченной области. Предполагаемые условия на параметры задачи
не гарантируют единственности решения соответствующей задачи Коши. Пусть
N > 1, f , f : RN +1 → R – действительные функции. Рассматривается автономное включение вида:
ut − △u + [f (x, u), f (x, u)] ∋ 0 в RN × (τ, T ),
(−∞ < τ < T < +∞),
с начальным условием
u(τ ) = uτ ∈ L2 (RN ),
где u – неизвестная функция, ut = ∂u/∂t. В ходе исследования предполагается
выполнение условий:
(α1 )
(α2 )
для п.в. x ∈ RN f (x, ·), f (x, ·) – измеримые функции, полунепрерывная
снизу и полунепрерывная сверху соответственно;
∃C1 ∈ L1 (RN ), α > 0: для п.в. x ∈ RN , ∀u ∈ R
f (x, u)u > α|u|2 − C1 (x), u 6 0;
(α3 )
f (x, u)u > α|u|2 − C1 (x), u > 0;
∃C2 ∈ L1 (RN ), C2 > 0, β > 0: для п.в. x ∈ RN , ∀u ∈ R
|f (x, u)|2 6 C2 (x) + β|u|2 , |f (x, u)|2 6 C2 (x) + β|u|2 ,
f (x, u) 6 f (x, u).
1
Гранты Президента Украины GP/f44/076, GP/f49/070, Гранты НАН Украины 2264ф,
2273/13
192
Секция 4
Изучается проблема долгосрочного прогнозирования функций состояния поставленной задачи с точки зрения теории глобальных и траекторных аттракторов для многозначных полупотоков. Исследуется вопрос существования и
свойств слабых решений задачи. Найдены условия существования глобального
и траекторного аттракторов задачи в фазовом и, соответственно, расширенном
фазовом пространствах, установлена их регулярность. Полученные результаты
применены к конкретным задачам, моделирующим реальные процессы различной природы.
Тезисы подготовлены по результатам общей работы с Касьяновым П. О.
Список цитированной литературы
[1] Ball J. M. Global attractors for damped semilinear wave equations // DCDS.
2004. Vol. 10. P. 31–52.
[2] Sell G. R., You Yu. Dynamics of Evolutionary Equations. New York: Springer,
2002.
[3] Zgurovsky M. Z., Mel’nik V. S., Kasyanov P. O. Evolution Inclusions and
Variation Inequalities for Earth Data Processing I. New York: Springer, 2010.
doi: 10.1007/978-3-642-13837-9.
[4] Zgurovsky M. Z., Mel’nik V. S., Kasyanov P. O. Evolution Inclusions and
Variation Inequalities for Earth Data Processing II. New York: Springer, 2010.
— doi: 10.1007/978-3-642-13878-2.
[5] Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Kapustyan O. V., Valero J., Zadoianchuk N.
V. Evolution Inclusions and Variation Inequalities for Earth Data Processing
III. New York: Springer, 2012. — doi: 10.1007/978-3-642-28512-7.
Учебно-научный комплекс «Институт прикладного системного анализа» НТУУ
"КПИ" МОН Украины и НАН Украины
УДК 519.8
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ,
КОТОРЫЕ ОТОБРАЖАЮТ СТРУКТУРУ ГРАФОВ, И
ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ОГРАНИЧЕННЫХ РЕСУРСОВ
Е. Е. Кирик (г. Киев, Украина)
[email protected]
Общим подходом к решению систем уравнений является выражение одних
переменных через другие. Однако, в задачах распределения ресурсов, в которых система топологически представляется в виде плоских связных графов, при
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
193
использовании этого общего подхода можно учитывать специальную структуру, отражающую структуру графов. Некоторой проблемой тут служит наличие
циклов. Для разрешения этой проблемы предлагается использовать ряд специальных приемов [1].
При решении оптимизационных задач распределения потоков также предлагается максимально учитывать специальную структуру ограничений. На графе,
отражающем структуру сети, выделяется максимальное дерево, содержащее все
узлы исходной системы. Общее решение системы ограничений-равенств выражается в виде суммы частного решения для древовидной части сети и добавок,
относящихся к дугам, не вошедшим в максимальное дерево. При подстановке
этого соотношения в целевую функцию получаем задачу, зависящую только
от небольшой части переменных. Размерность такой задачи равна количеству
замкнутых контуров сети, что, очевидно, существенно меньше размерности исходной задачи.
Распределительную сеть представляем в виде связного ориентированного
графа G = (N, V ), где N и V - пара конечных множеств. Элементы i множества
N называются вершинами графа G, элементы ν множества V - дугами, причем
каждому ν ∈ V сопоставлена упорядоченная пара вершин (i, j), i, j ∈ N , которые являются соответственно началом и концом дуги ν = (i, j). Пусть xij - это
величина потока от вершины i в вершину j вдоль дуги (i, j) ∈ V . Каждой дуге
− +
графа ν = (i, j) ставится в соответствие пара чисел rij
, rij , характеризующая
ее верхнюю и нижнюю пропускную способность. Кроме того, с помощью двусторонних ограничений можно зафиксировать определенное направление протекания потоков.
Для графа G = (N, V ) поставим оптимизационную задачу. Нужно минимизировать функцию
xij
∑ ∫
F =
fij (t)dt
(1)
(i,j)∈V 0
при ограничениях
∑
xij −
j:(i,j)∈V
rij−
∑
xji = di , i ∈ N,
(2)
j:(j,i)∈V
+
≤ xij ≤ rij
, (i, j) ∈ V.
(3)
Если задать функцию fij (xij ) таким образом, что она будет отражать условную
стоимость прохождения потока вдоль дуги (i, j) , то решение задачи (1)-(3)
даст наилучшее распределение потоков вдоль сети. Будем считать также, что
выделено некоторое подмножество вершин N ⊆ N , в которых величина di не
является фиксированной.
Центральная идея метода решения задачи (1)-(3) состоит в том, чтобы представить ограничения-равенства (2) в виде выражения одних переменных через
другие. Выпишем функцию, характеризующую принадлежность произвольной
194
Секция 4
дуги определенному пути на графе

+1, если∃k : i = jk , j = jk+1 , (jk , jk+1 ) ∈ V, k = 1, ..., m − 1,





−1, если∃k : i = jk , j = jk+1 , (jk+1 , jk ) ∈ V, k = 1, ..., m − 1,
ωij,J =





0 − в других случаях.
(4)
где J = (j1 , j2 , ..., jm ) - путь, соединяющий вершины j1 и jm графа G. Выберем на
связном графе G произвольным образом некоторую вершину i0 . Как показано
в[2], полное решение системы (2) имеет вид
xij =
x0ij
+
g
∑
(5)
ck ωij , zk ,
k=1
x0ij =
∑
k∈N ,k̸=i0
ωij,Jk dk +
∑
ωij,Jk dk ,
(6)
k∈N \N ,k̸=i0
где g = |V | − |N | + 1, Jk - пути, ведущие из начальной вершины i0 в другие
вершины k ∈ N максимального дерева графа, а Zk - это замкнутые циклы,
ограничивающие конечные области, на которые граф G разбивает плоскость.
В формулах (5)-(6) независимыми параметрами являются ck , k = 1, ..., g и
di , i ∈ N . Подставим выражение (5) в функцию (1). Этим задача с ограничениями (1)-(2) сводится к задаче безусловной минимизации функции F по параметрам ck , k = 1, ..., g и di , i ∈ N , а полученное решение выбирается в качестве
начальной точки для решения исходной задачи (1)-(3).
Преимуществом предлагаемого подхода является переход к набору задач
меньшей размерности при расчетах допустимых потоков и возможность дополнительного повышения эффективности распределения ограниченных ресурсов
за счет оптимального перераспределения нагрузки в узлах N ⊆ N , где расположены источники поставляемых продуктов.
Список цитированной литературы
[1] Кирик Е. Е., Клименко В. М., Остапенко В. В. Методы нахождения динамических потоков в сетях с обобщённым законом Кирхгофа // Кибернетика
и системный анализ. 2012. №1. С. 83–88
[2] Кирик Е. Е, Пшеничный Б. Н. Теория и методы расчета сетей // Обозрение
прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2, вып. 1. С. 49 –69.
Институт прикладного системного анализа НТУУ "КПИ"
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
195
УДК 512.643
ВЛОЖЕННЫЕ ГРАФЫ НА РИМАНОВЫХ
ПОВЕРХНОСТЯХ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ1
Е. М. Крейнес (г. Москва)
[email protected]
В докладе излагаются результаты совместной работы с Н. Я. Амбург и
Г. Б. Шабатом.
Обычно детским рисунком Гротендика называется вложенный граф Γ на
гладкой компактной ориентированной поверхности M , такой что дополнение
M \ Γ гомеоморфно несвязному объединению открытых дисков, см. [1, 2, 4].
Каждый детский рисунок Гротендика естественным образом соответствует
единственной (с точностью до дробно-линейного преобразования) паре Белого,
т.е. алгебраической кривой и непостоянной мероморфной функции на этой кривой, имеющей не более трех критических значений. Это соответствие создает
новые пути для построения и обнаружения связей между различными областями математики и математической физики, см. [3, 4], в том числе, связей между
комбинаторными и топологическими объектами, визуализации действия конечных групп, изучения пространств модулей алгебраических кривых и других.
В докладе будет дано введение в теорию детских рисунков, а также сформулированы некоторые новые результаты. Среди прочих, будут введены и изучены вложенные графы на объединении поверхностей, их свойства, соответствие
между графами на объединении поверхностей и мероморфными функциями на
приводимых кривых. Будут обсуждены многочлены Шабата детских рисунков
на объединении поверхностей, приведен ряд конкретных примеров.
Список цитированной литературы
[1] Kreines E. M. Parasitic solutions on systems of equations on Belyi functions
in Hurwitz spaces // Russian Math. Surveys 2001. Vol. 56, №6. P. 155–156 [in
Russian].
[2] Lando S. K., Zvonkin A. K. Graphs on surfaces and their applications // Encycl.
of Math. Sciences. Springer. 2004. Vol. 141.
[3] Looijeng E. Cellular decompositions of compactified moduli spaces of pointed
curves // The moduli Space of Curves, Birkh¨auser. 1995. P. 369–400.
[4] Shabat G. B., Voevodsky V. A. Drawing curves over number fields. The
Grothendieck Festschrift, III // Progress in Mathematics. Birkh¨auser. 1990.
Vol. 141 P. 199–227.
1
Работа частично поддержана грантом РФФИ № 12-01-00140
196
Секция 4
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 517.95
ON OPTIMALITY CONDITIONS FOR OPTIMAL
CONTROL PROBLEM IN COEFFICIENTS FOR
p-LAPLACIAN
O. P. Kupenko (Dnepropetrovsk, Ukraine), R. Manzo (Fisciano, Italy)
[email protected]
In this paper we study an optimal control problem for a nonlinear monotone
Dirichlet problem where the control is taken as L∞ (Ω)-coefficient of ∆p -Laplacian.
Namely, we consider the following minimization problem:
{
}
∫
p
Minimize
I(u, y) =
|∇y(x) − ∇yd (x)| dx
(1)
Ω
subject to the constraints
u ∈ Aad ⊂ L∞ (Ω) ∩ BV (Ω), y ∈ W01,p (Ω),
(
)
−div u|∇y|p−2 ∇y = f in Ω,
y = 0 on ∂Ω,
(2)
(3)
(4)
where Aad is a class of admissible controls and f ∈ W −1,q (Ω), yd ∈ W01,p (Ω), q =
p/(p − 1).
To be more precise, we define the class of admissible controls Aad as follows
{
Aad = u ∈ BV (Ω) ∩ L∞ (Ω) }
T V (u) 6 γ, ∥u∥L1 (Ω) = m, α 6 u(x) 6 β a.e. in Ω , (5)
where α, β, γ, and m are given positive constants such that 0 < α 6 β < +∞ and
α|Ω| 6 m 6 β|Ω| and
∫
|Df |
T V (f ) :=
Ω
{∫
}
f (∇, φ)RN dx : φ ∈ C01 (Ω; RN ), |φ(x)| 6 1 for x ∈ Ω .
= sup
Ω
It is clear that Aad is a nonempty convex subset of L1 (Ω) with empty topological
interior.
Our main goal is to derive first order optimality conditions and provide their
substantiation. We propose some ideas and new results concerning the differentiability properties of the Lagrange functional associated to considered control problem.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
197
Also, the obtained adjoint boundary value problem is not coercive and, hence, it may
admit infinitely many solutions. That is why we concentrate not only on deriving of
the adjoint system, but also, following the well-known Hardy–Poincar´e Inequality,
on formulation of sufficient conditions which would guarantee the uniqueness of the
adjoint state to the optimal pair.
We show, that if under mentioned conditions (u0 , y0 ) ∈ L∞ (Ω) × W01,p (Ω) is an
optimal pair to problem (2)–(5), then there exists an element ψ ∈ W01,p (Ω) such that
the following system holds true:
∫
(
)
(u − u0 ) |∇y0 |p−2 ∇y0 , ∇ψ RN dx > 0, ∀u ∈ Aad ,
(6)
Ω
(
)
−div u0 (x)|∇y0 |p−2 ∇y0 = f in D′ (Ω),
(7)
(
]
)
[
∇y0
∇y0
−div u0 |∇y0 |p−2 I + (p − 2)
⊗
∇ψ
|∇y0 | |∇y0 |
(
)
= p div |∇y0 − ∇yd |p−2 (∇y0 − ∇yd )
in D′ (Ω).
(8)
Национальный горный университет
УДК 512.
О МИНИМАЛЬНЫХ ОБСТРУКЦИЯХ
П. А. Лавров (г. Москва)
[email protected]
Рассмотрением обструкций в полилинейном случае было впервые выполнено В. Н. Латышевым. На этом пути он доказал теорему Регева о тензорном
произведении PI-Алгебр, а также доказал в конце 70-х годов проблему Шпехта
для нематричных многообразий над полем характеристики 0.
В докладе пойдет речь об оценке количества запретов необходимых для задания периодического слова — что эквивалентно исследованию связи функций
роста и ко-роста для алгебры заданной образующими и соотношениями.
Слово ..abababa.. можно однозначно с точностью до сдвига задать запретив
подслова {aa, bb}, слово ..aabaab.. — {aaa, bb, bab}
Исследуется зависимость длины наименьшего периода от количества запретов.
Понятно, что период характеризует сложность слова, а размер системы запретов - сложность его описания.
Получена точная (с примером) оценка для количества запретов слов в двухсимвольном алфавите {a, b}:
√
√
|S| >= logα (n ∗ 5), где S — запреты, n — наименьший период слова, α = 1+2 5
— золотое сечение,
а также асимптотическая — с точностью до константы — в случае k-буквенного
алфавита
(|S| >= logα (n) − C(k)), которая, как легко показывается — тоже точна.
198
Секция 4
В решении строится последовательность графов, связанных некоторыми правилами эволюции, размер конечного из которых равен периоду слова и оценивается их рост в процессе эволюции.
Список цитированной литературы
[1] Челноков Г. Р. О числе запретов, задающих периодическую последовательность // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, №2. С. 12–16. http:
//mi.mathnet.ru/mais128
[2] Челноков Г. Р., Богданов И. И. Наибольшая длина периода слова, задаваемого n запретами // arXiv:1305.0460 [math.CO]
[3] Лавров П. А. О числе запретов, задающих периодическую последовательность // arXiv:1209.0220 [math.RA]
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 519.61
О БАЗИСЕ ГРЕБНЕРА И ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
ВЫЧИСЛИМОСТИ
А. В. Леонтьев (г. Переславль-Залесский)
[email protected]
Введение В заметке предложена модификация (в алгебраическом смысле)
алгоритма Бухбергера (АБ ), предназначенная, главным образом, для выполнения на многопроцессорных машинах. Предлагаемый способ никоим образом
не исключает совместное использование с другими, ранее предложенными методами распараллеливания данного алгоритма.
Вычисление базисов Гребнера (БГ ) является одним из центральных вопросов современной вычислительной алгебры и геометрии. Их используют при
решении систем алгебраических уравнений, исследовании алгебраических многообразий и т.д. Вычисление БГ представляет, таким образом, значительный
научный и практический интерес, но само вычисление часто наталкивается на
значительные трудности, т.к. требует, как правило, привлечение значительных
ресурсов, часто превышающих возможности современной компьютерной техники.
В настоящее время для вычисления БГ используют, главным образом, АБ
и его различные модификации. Существует довольно большое число теоретических и экспериментальных работ, посвященных оптимизации АБ. Однако,
несмотря на различные предложения и заметные, но не достаточно кардинальные улучшения, объем вычислений продолжает оставаться очень велик.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
199
Что касается современных компьютеров, то отметим следующее. В последние годы наблюдается заметное замедление роста вычислительной мощности
отдельных (вычислительных) ядер и рост числа самих ядер в компьютере (доходящий до нескольких десятков и сотен тысяч). Суммарная мощность компьютера определяется, главным образом, количеством процессоров, что с необходимостью показывает, что для полного использования мощности компьютера
необходимо производить распараллеливание вычислений, ибо в противном случае возможности машины останутся не реализованы.
Относительно АБ сделаем следующее замечание. Обычно задачи перебора
распараллеливаются относительно легко. Однако, несмотря на то, что характер
АБ довольно близок к характеру задач переборного типа, существует (довольно устойчивое) мнение, что эта задача сложна для распараллеливания. Так,
например, порождение S-пар может быть распараллелино довольно легко, но
редукция S-пар распараллеливается плохо, т.к. редукция одной пары зависит
(взаимно) от редукции других.
В этой связи можно отметить работу Jean-Charles Faugere (параллельный
алгоритм F4): операции редукции в нем сходны с операциями, выполняемыми
при приведении к ступенчатому виду системы линейных уравнений. Впрочем,
эта работа носит, пожалуй, скорее, программистский характер, нежели алгебраический.
Здесь следует сделать одно важное замечание. Существенный прогресс в
вычислении БГ не связывают с параллельными вычислениями, т.к. ускорение,
получаемое на многопроцессорных машинах, не более чем линейно (относительно числа процессоров). В этом смысле усилий в области программирования будет, очевидно, недостаточно; необходим прогресс в понимании алгебраической
природы задачи (хотя, разумеется, ясно, что при большом числе процессоров
и хорошо распараллеленном алгоритме получаемое ускорение может быть довольно значительным).
Предлагаемый алгоритм Далее опишем очень кратко общую схему алгоритма. Отметим, что предлагаемый подход к распараллеливанию задачи основан на следующем факте: известно, что ход вычислений и результат АБ зависит
от выбора мономиального упорядочения (УП ).
Предварительно выберем два (для простоты) различных УП: α и β. Далее,
алгоритм запускает четыре процесса (в программистской терминологии — нитей, средов): A, B, A′ , B ′ . Первый процесс A вычисляет БГ с УП α, второй
процесс B — с УП β.
Процесс A′ выполняет следующие действия. Обозначим через Lαn и Lβn множество S-пар, которые были получены процессами A и B соответственно к
моменту времени n. В момент времени n1 > 0, (а затем и в моменты n2 , n3 , . . . )
A′ копирует (себе) множества Lαn1 и Lβn1 , которые, как правило, различны и
выполняет редукцию множества Lαn1 ∪ Lβn1 (в соответствии с УП α). Результат
редукции Rnβ1 процесс A′ добавляет к A. Процесс B ′ производит аналогичные
вычисления для процесса B (добавляет результат вычислений Rnα1 к B).
200
Секция 4
Таким образом, множество S-пар процесса A получает постоянную подпит”
ку“ от множества S-пар процесса B (и наоборот). Говоря очень нестрого, за счет
одновременного вычисления БГ с разными УП, мы вычисляем порождающие
идеала с разных направлений“.
”
Отметим, что ранее в литературе рассматривались последовательные (не
параллельные) алгоритмы, в которых периодически, по ходу выполнения алгоритма, менялось УП. Впрочем, оптимальность выбора нового УП и моментов
времени, для смены текущего, не ясны до конца. По-видимому эти алгоритмы
являются наиболее близкими к предлагаемому в этой заметке. По сравнению с
рассматриваемыми ранее, предлагаемая модификация более радикальна. Кратко, суть предлагаемого алгоритма можно выразить следующей фразой: вычислять БГ параллельно (одновременно) для разных УП с периодическим обменом
информацией (S-парами) между ними.
Параллельное вычисление и обмен S-парами между процессами можно рассматривать как (частичное) распараллеливание алгоритма в отношении порождения S-пар и их редукции. Также, поскольку разные процессы будут стремится понизить (в первую очередь) степени разных переменных, то интуитивно
редукция S-пар в этом случае будет проходить более интенсивно, что можно
рассматривать как меру по сокращению числа S-пар. По мнению автора особенно интересно вычислять БГ для различных УП γ совместно со степенными
УП (опытным путем установлено, что БГ со степенными УП вычисляются наиболее быстро).
Отметим философский аспект. В теории Базисов Гребнера существуют задачи (подсчет количества корней и др.), где выбор УП для ответа не важен (или
же допускает очень широкий класс УП), и какие-то веские аргументы в пользу выбора того или иного упорядочения обычно отсутствуют. В этом случае
особенно отчетливо проявляется несимметричность“ вычислений при выборе
”
какого-то одного УП. Выбирая одновременно несколько УП, мы, в некотором
смысле, делаем вычисление более симметричным“.
”
Предлагаемая модификация, разумеется, должна пройти глубокую и всестороннюю апробацию, также необходимо определиться с наиболее рациональной
схемой, уточнить выбор оптимальных параметров и т.д.
Институт программных систем РАН
УДК 512.552.7, 519.725
АБЕЛЕВЫ И НЕАБЕЛЕВЫ ГРУППОВЫЕ КОДЫ НАД
НЕКОММУТАТИВНЫМИ ГРУППАМИ1
В. Т. Марков (г. Москва)
[email protected]
1
Грант РФФИ № 14-01-00452
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
201
Представленные в данном сообщении результаты получены
коллективом авторов: К. Гарсиа Пильядо, С. Гонсалес, К. Мартинес
(Овьедо), А. А. Нечаев, В. Т. Марков (Москва).
Определение 1. Пусть G — конечная группа, G = {g1 , . . . , gn }, F — поле,
R = F G — групповая алгебра. По идеалу I кольца R строится код
C(I) = {(a1 , . . . , an ) ∈ F :
n
n
∑
ai gi ∈ I}.
(1)
i=1
Коды вида (1) называются групповыми кодами.
Исследование групповых кодов началось ещё в середине прошлого века (см.,
например, [1]). Ясно, что фактически определение 1 группового кода включает
некоторую нумерацию элементов группы G. В [2] это определение уточнено.
Определение 2 ([2]). Пусть G - конечная группа порядка n. Код C длины n над полем F называется G-кодом, если он перестановочно эквивалентен
коду вида C(I) для некоторого идеала I групповой алгебры F G, т.е. если существует перестановка σ ∈ Sn , такая, что
C = {(a1 , . . . , an ) ∈ F n : (aσ(1) , . . . , aσ(n) ) ∈ C(I)}.
Ясно, что определение 2 не зависит от нумерации элементов группы. Более
того, оно позволяет рассматривать один и тот же код как групповой код для
различных групп одновременно. В частности, было предложено
Определение 3 ([2]). Код C длины n над полем F называется абелевым
групповым кодом, если он является A-кодом над F для некоторой абелевой
группы A порядка n.
Некоторый класс абелевых групповых кодов даёт
Теорема 1 ([2]). Если G — конечная группа, и
G = AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}
для некоторых абелевых подгрупп A, B группы G, то любой G-код является
абелевым.
Однако, авторы не смогли привести ни одного примера неабелева группового
кода. Несложно проверить, что если G < 24, то группа G удовлетворяет условию
теоремы 1, поэтому естественно было начать с рассмотрения групп порядка 24.
Первые примеры неабелевых S4 -кодов были построены в [3] с существенным
использованием компьютера.
202
Секция 4
Предложение 1 ([3]). Распределение весов каждого из двух минимальных
идеалов размерности 9 групповой алгебры GF(5)S4 не совпадает с распределением весов ни для какого абелева группового кода (распределение весов идеала
I — это вектор (m0 , m1 , . . . , mn ), где mi — число элементов идеала I, запись
которых включает ровно i ненулевых коэффициентов). Следовательно, эти
идеалы определяют неабелевы групповые коды.
Позже, снова с помощью компьютера и сравнения распределений весов, было проверено
Предложение 2 ([4]). Существует идеал размерности 9 групповой алгебры GF(3)S4 , определяющий неабелев групповой код.
Cовсем недавно с помощью компьютера получена
Теорема 2. Существует идеал размерности 9 групповой алгебры GF(2)S4 ,
определяющий неабелев групповой код.
Отметим, что распределение весов любого идеала алгебры GF(2)S4 совпадает с распределением весов некоторого абелева группового кода, поэтому при
доказательстве теоремы 2 пришлось использовать новые алгоритмы.
Из утверждений 1, 2 и теоремы 2 вытекает
Следствие 1. Если p ∈ {2, 3, 5}, то для любого поля F характеристики p
существует неабелев S4 -код над F .
Полученные коды имеют расстояния, далёкие от максимальных при данных
длине и размерности. Следующий пример лишён этого недостатка.
Теорема 3. Пусть G = SL2 (GF(3)), F = GF(2). Существует неабелев
G-код размерности 6 с расстоянием 10 над полем F . При этом:
1. Расстояние любого абелева группового кода той же длины и размерности
над F не больше 8.
2. Расстояние любого линейного кода той же длины и размерности над F не
больше 10 [5].
Отметим, что теорема 3 доказывается без применения компьютера, в отличие от следующей.
Теорема 4. Пусть G = SL2 (GF(3)), F — поле характеристики p, где 3 6
p < 100. Тогда существует неабелев G-код размерности 4 над полем F .
Гипотеза. Над любым конечным полем характеристики p > 2 существует
неабелев SL2 (GF(3))-код размерности 4.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
203
Список цитированной литературы
[1] Берман С. Д. О теории групповых кодов // Кибернетика. 1967. Т. 3. С. 31–
39.
´ Sim´on J.J. An intrinsical description of group codes
[2] Bernal J. J., del Rнo A.,
// Designs, Codes and Cryptography. 2009. Vol. 51. № 3. P. 289–300.
[3] Гарсиа Пильядо К., Гонсалес С., Марков В. Т., Мартинес К., Нечаев А. А.
Когда все групповые коды некоммутативной группы абелевы (вычислительный подход)? // Фундаментальная и прикладная математика. 2011–
2012. Т. 17. № 2. C.75–85.
[4] Гарсиа Пильядо К., Гонсалес С., Марков В. Т., Мартинес К., Нечаев А. А.
Неабелевы групповые коды // Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. C. 73–79.
[5] Grassl M. Bounds on the minimum distance of linear codes and quantum codes.
// Online available at http://www.codetables.de
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 519.72
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ЗАЩИТЫ
ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ ДИОФАНТОВА
МНОЖЕСТВА
В. О. Осипян (г. Краснодар), А. Ю. Карпенко (Майкоп),
А. С. Жук, А. Х. Арутюнян (Краснодар)
[email protected]
В работе предлагается математическая модель полиалфавитной криптосистемы, в которой алгоритм обратного преобразования закрытого текста сводится к
алгоритмически неразрешимой проблеме для аналитика. В ней красной нитью
проходит идея К. Шеннона, который считал, что наибольшей неопределённостью при подборе ключей обладают криптосистемы, содержащие диофантовы
трудности.
Исходя из теоретических положений [1, 2, 3] построения стойких и эффективных моделей систем защиты информации (СЗИ), отметим особо, что выбор
подходящей труднорешаемой задачи, в частности N P -полной задачи, позволяет
смоделировать систему защиты информации на должном уровне. Особенно, если этот выбор, как отмечал К. Шеннон [1], связан с задачей, которая содержит
диофантовы трудности. Заметим, что все нестандартные задачи о рюкзаках KG
(обобщенная задача), KU (суперобобщенная задача), KF (функциональная задача), впервые введенные автором [4], принадлежат классу N P -полных задач.
204
Секция 4
В работе, на основе систем диофантовых уравнений [4, 5, 6],
n
x 1 , x 2 , . . . , xm = y 1 , y 2 , . . . , y m
(1)
предлагается математическая модель полиалфавитной криптосистемы, алгоритм обратного преобразования (дешифрования) закрытого текста которого
сводится к алгоритмически неразрешимой проблеме для аналитика.
Сопоставим каждому числовому решению системы (1)
n
a 1 , a 2 , . . . , a m = b1 , b 2 , . . . , b m
два рюкзака A = (a1 , a2 , . . . , am ) и B = (b1 , b2 , . . . , bm ), назвав их равносильными рюкзаками [4] размерности m степени n. Это отношение будем записывать
следующим образом
n
n
A = B или (a1 , a2 , . . . , am ) = (b1 , b2 , . . . , bm ).
Рассматривается диофантово представление семейства многостепенной системы
n
x 1 , x2 , . . . , x m = p 1 , p 2 , . . . , p m
(2)
и определяется множество W (диофантово множество) [7]
n
W = {p1 , p2 , . . . , pm |x1 , x2 , . . . , xm = p1 , p2 , . . . , pm }
целых неотрицательных значений упорядоченных наборов p1 , . . . , pm , при которых (2) разрешимо относительно неизвестных x1 , . . . , xm .
Теорема 1. Пусть имеются две пары равносильных числовых рюкзаков,
первая из которых представляет собой произвольное параметрическое решение многостепенной системы диофантовых уравнений n-ой степени
n
x 1 , x 2 , . . . , xm = y 1 , y 2 , . . . , y m
а вторая – любое расширение первой:
n
n
(a1 , a2 , . . . , am ) = (b1 , b2 , . . . , bm ), (или A = B), 1 ≤ n < m;
n+t
n+t
(c1 , c2 , . . . , ck ) = (d1 , d2 , . . . , dk ), (или C = D), t ≥ 1, 1 ≤ n + t < k.
Тогда задача о равносильных числовых рюкзаках (A, v) (или (B, v)) разрешима, и её решение совпадает с решением для входа (C, v) (или (D, v)).
Пусть
∑
0
= ⟨M ∗ , E(m), D(s), S ∗ |V (E(m), D(s))⟩
(3)
– математическая модель алфавитной криптосистемы, где M ∗ – множество всех
открытых текстов m над алфавитом M ; S ∗ – множество всех шифртекстов s
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
205
над числовым алфавитом S; E(m) – алгоритм шифрования сообщения m в s;
D(s) – алгоритм дешифрования шифртекста s в m. Подчеркнем, что алгоритмы E и D криптосистемы (3) связаны между собой таким образом – V (E, D),
что любой открытый текст m ∈ M ∗ однозначно преобразовывается в некоторый шифртекст s = s1 s2 ...sk ∈ S ∗ и, наоборот, по шифртексту s однозначно
восстанавливается открытый текст m.
Так, например, алфавитная модель рюкзачной криптосистемы на основе
конструктивного рюкзака представляется в виде:
∑
5
∗
∗
D1 = ⟨M , KE (A, n), KD (B, n), S |A = B⟩.
Предлагается полиалфавитная модель рюкзачной криптосистемы, которая
позволяет легальному пользователю определить диофантово представление
ключей.
Список цитированной литературы
[1] Shannon C. Communication theory of secrecy systems // Bell System Techn.
J. 28, № 4. P. 656–715.
[2] Алфёров А. П., Зубов А. Ю., Кузьмин А. С., Черемушкин А. В. Основы
криптографии: учебное пособие для студентов ВУЗ. М.: Гелиос АРВ, 2002.
480 с.
[3] Осипян В. О., Арутюнян А. С., Спирина С. Г. Моделирование ранцевых
криптосистем, содержащих диофантовую трудность // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, вып. 1. C. 209–217.
[4] Осипян В. О. Моделирование систем защиты информации содержащих диофантовы трудности. Разработка методов решений многостепенных систем
диофантовых уравнений. Разработка нестандартных рюкзачных криптосистем: монография, LAP, 2012. 344 с.
[5] Gloden A. Mehrgradide Gleichungen. Groningen, 1944.
[6] Dickson L. E. History of the Theory of Numbers. Vol. 2. Diophantine Analysis.
N.Y. 1971.
[7] Матиясевич Ю. В. Диофантовы множества // Успехи мат. наук. 1972. Т. 22,
вып. 5. C. 185–222.
[8] Osipyan V. O. Buiding of alphabetic data protection cryptosystems on the base
of equal power knapsacks with Diophantine problems // ACM, 2012, P. 124–
129.
206
Секция 4
[9] Осипян В. О. Криптография в упражнениях и задачах. М.: Гелиос АРВ,
2004. 144 с.
[10] Osipyan V. O. Different models of information protection system, based on the
functional knapsack // ACM, 2011. P. 215–218.
[11] Осипян В. О., Карпенко Ю. А., Жук А. С., Арутюнян А. Х. Диофантовы
трудности атак на нестандартные рюкзачные системы защиты информации
// Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. №12. C. 209–215.
Кубанский государственный университет
Адыгейский государственный университет
УДК 517.95
КАЧЕСТВЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ АВТОНОМНОГО
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ1
Л. С. Палийчук (г. Киев, Украина)
[email protected]
Исследовано асимптотическое поведение решений автономного волнового
уравнения с разрывной нелинейностью. Поставленная задача рассматривается в
ограниченной области Ω ⊂ Rn с достаточно регулярной границей ∂Ω. Функция
взаимодействия f : R → R удовлетворяет стандартным условиям, связанным
с ростом и знаковое условие; никаких условий относительно ее непрерывности
не требуется. Рассматривается волновое уравнение
{
utt + βut − △u + f (u) = 0,
u|∂Ω = 0,
где β > 0 — константа, u(x, t) — неизвестная функция состояния, определенная на Ω × R+ . Условия на параметры задачи не гарантируют единственности
решения соответственной задачи Коши.
Волновое уравнение с негладкой нелинейностью f может трактоваться как
математическая модель пьезоэлектрических полей или процессов управления.
Асимптотическое поведение решений таких задач исследовалось в работах [1][5]. Случай непрерывной функции f рассматривался в [1]. Неавтономное уравнение с непрывной нелинейностью изучалось в работах [3]-[5]. Случай, когда
расширение f допускает максимально монотонный график, исследовался в [3][5].
1
Гранты Президента Украины GP/f44/076 и GP/f49/070, Гранты НАН Украины 2273/13
и 2264ф
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
207
Исследован случай, когда функция взаимодействия f является функцией
ограниченной вариации, то есть, допускает представление в виде разности максимально монотонных отображений. Получено, что на любом интервале [τ, T ]
существует хотя бы одно слабое решение данной задачи, а трансляция и конкатенация слабых решений также является слабым решением.
Основываясь на результатах работ М. З. Згуровского, П. О. Касьянова, доказано существование аналогов функции Ляпунова для всех слабых решений
поставленной задачи. Также получено, что любое слабое решение задачи можна продолжить до глобального, то есть, определенного на [0, +∞), и выведено
оценку для всех слабых решений данной задачи.
С помощью абстрактной теории глобальных аттракторов доказано существование инвариантного компактного глобального аттрактора для многозначного полупотока, порожденного всеми слабыми решениями исследуемой задачи.
Также установлены два дополнительных свойства решений, а именно:
если пространство стационарных состояний связно, то для полной траектории ее α и ω – граничные множества являются связными подмножествами
совокупности стационарных состояний этой системы;
а в случае, когда множество стационарных состояний оказывается несвязно,
тогда эти границы существуют и соответствующие им точки являются точками
покоя.
Каждая траектория стремится к точке покоя при t → ∞, если рассматривать любое решение исследуемой задачи, определенное на [0, +∞).
Тезисы подготовлены по результатам общей работы с Н. В. Горбань, А. В.
Капустяном, П. О. Касьяновым ≪On Global Attractors for Autonomous Damped
Wave Equation with Discontinuous Nonlinearity≫.
Список цитированной литературы
[1] Ball J. M. Global attractors for damped semilinear wave equations // DCDS.
2004. Vol. 10. P. 31–52.
[2] Sell G. R., You Yu. Dynamics of Evolutionary Equations. New York: Springer,
2002.
[3] Zgurovsky M. Z., Mel’nik V. S., Kasyanov P. O. Evolution Inclusions and
Variation Inequalities for Earth Data Processing I. — New York: Springer, 2010.
— doi: 10.1007/978-3-642-13837-9.
[4] Zgurovsky M. Z., Mel’nik V. S., Kasyanov P. O. Evolution Inclusions and
Variation Inequalities for Earth Data Processing II. New York: Springer, 2010.
— doi: 10.1007/978-3-642-13878-2.
208
Секция 4
[5] Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Kapustyan O. V., Valero J., Zadoianchuk N.
V. Evolution Inclusions and Variation Inequalities for Earth Data Processing
III. New York: Springer, 2012. — doi: 10.1007/978-3-642-28512-7.
Учебно-научный комплекс «Институт прикладного системного анализа» НТУУ
"КПИ" МОН Украины и НАН Украины
УДК 519.724
ОЦЕНКИ ОБЪЕМОВ ОКРЕСТНОСТЕЙ ДВОИЧНЫХ
КОДОВ В ТЕРМИНАХ ИХ ВЕСОВЫХ СПЕКТРОВ1
А. А. Серов (г. Москва)
[email protected]
Получены двусторонние оценки числа элементов, принадлежащих r-окрестности двоичного кода, в терминах спектра расстояний между кодовыми словами. Оценки конкретизированы для кодов Рида–Маллера первого и второго
порядков.
Пусть F2 — поле из двух элементов. Для произвольного натурального n
через Fn2 обозначим n-мерное пространство над полем F2 . На пространстве Fn2
введём метрику Хемминга: расстояние между векторами x, y ∈ Fn2 считается
равным числу позиций, в которых они различаются; обозначим её d(x, y).
Произвольное подмножество двоичного пространства Fn2 называется двоичным кодом C (см., например, [1]), а элементы кода — кодовыми словами. Число
n называют длиной кодовых слов и самого кода.
Расстояние от произвольного x ∈ Fn2 до нулевого вектора называется весом
Хемминга (или просто весом) wt(x) вектора x. Расстоянием от произвольного
x ∈ Fn2 до кода C называется величина d(x, C) = min d(x, y).
y∈C
Кодовым расстоянием d = d(C) кода C называется минимальное расстояние
между двумя различными элементами кода C:
d (C) = min d(a, b).
a,b∈C
a̸=b
Двоичным дистанционно инвариантным кодом называется такое подмножество C пространства Fn2 , что для любого x ∈ C совокупность расстояний
Хемминга ρ(x, y), y ∈ C, одинакова. Частными случаями дистанционно инвариантных кодов являются коды Рида–Маллера, а также совершенные коды (см.,
например, [2], [3]).
Разобьём пространство Fn2 на слои Fn2 (i) = {x ∈ Fn2 : wt(x) = i} и положим
def
Nn(2) (i, r) = |{x ∈ Fn2 : max{d (x, 0), d (x, c)} 6 r, wt(c) = i}| .
1
Грант РФФИ № 14-01-00318
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
209
Теорема 1. Пусть C ⊂ Fn2 — двоичный дистанционно инвариантный код
длины n с минимальным расстоянием d и
Wi = Fn2 (i) ∩ C,
i ∈ {0, 1, . . . , n},
— множества кодовых слов одинакового веса, {|Wi |}ni=0 — весовой спектр кода
C. Тогда
r
∑
|F2 (C, r)| = (1 − q(n, r))|C|
Cnm ,
m=0
где q(n, r) = 0 при 0 6 r < d/2 и
( ∑r
0 6 q(n, r) 6 2
m=0
Ряд явных оценок для
r
∑
Cnm
n
)−1 ∑
|Wi |Nn(2) (i, r),
d/2 6 r 6 n.
i=1
(2)
Cnm и Nn (i, r) приведен ниже в утверждениях 2
m=0
и 3.
Теорема 2. Пусть C ⊂ Fn2 — двоичный код длины n с минимальным расстоянием d,
Wi (C) = {(c1 , c2 ) : c1 , c2 ∈ C, d(c1 , c2 ) = i},
i ∈ {0, 1, . . . , n},
— множества упорядоченных пар кодовых слов, расстояние между которыми принимает заданное значение и F2 (C, r) = {x ∈ Fn2 : d (x, C) 6 r} — rокрестность кода C. Тогда
|F2 (C, r)| = (1 − q(n, r))|C|
r
∑
Cnm ,
m=0
где q(n, r) = 0 при 0 6 r < d/2 и
(
0 6 q(n, r) 6 2|C|
∑r
m=0
Cnm
n
)−1 ∑
|Wi (C)|Nn(2) (i, r),
d/2 6 r 6 n.
i=1
Утверждение 2. При r 6 n/2 справедливы оценки
( √
( √
) ∑
r
(
(
)
n
m
2n Φ − nV 1 − 2r
6
2
Φ
−
nV
1−
6
C
n
n
2(r+1)
n
)
)
,
m=0
где V (z) = (1 − z) ln(1 − z) + (1 + z) ln(1 + z) =
∞
∑
s=1
z 2s
s(2s−1)
> z 2 при |z| < 1.
(1)
210
Секция 4
Утверждение 3. Если 0 6 r 6 [n/2] и 0 6 i 6 n, то
1 + qi
при чётном i;
(1 − qi )2
2
[i/2] r−[i/2]
Nn(2) (i, r) 6 Ci Cn−i
при нечётном i,
(1 − qi )2
i/2
r−i/2
Nn(2) (i, r) 6 Ci Cn−i
где qi =
r−[i/2]
n−i+[i/2]−r+1
6q=
r
.
n−r+1
В [4] получены явные двусторонние оценки, являющиеся следствием теоремы 1, для r-окрестности двоичного кода Рида–Маллера первого порядка. Аналогичные оценки для кодов Рида–Маллера второго порядка получены автором
в [5].
Список цитированной литературы
[1] Сидельников В. М. Теория кодирования. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 324 с.
[2] Ллойд С. П. Бинарное блочное кодирование // Кибернетический сб. 1960.
Вып. 1. С. 206–226.
[3] Шапиро Г. С, Злотник Д. Л. К математической теории кодов с исправлением ошибок // Кибернетический сб. 1962. Вып. 5. С. 7–32.
[4] Зубков А. М., Серов А. А. Оценки числа булевых функций, имеющих аффинные приближения заданной точности // Дискретная математика. 2010.
Т. 22, № 4. С. 3–19.
[5] Серов А. А. Оценки числа булевых функций, имеющих квадратичные приближения заданной точности // Дискретная математика. 2012. Т. 24, № 3.
С. 90–107.
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
УДК 519.6
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ R-МЕТОДА ГАУССА
П. Н. Сорокин, Н. Н. Ченцова (г. Москва)
[email protected]
К. Ф. Гаусс в 1849 году в своей работе [1] привел алгоритм вычисления решения системы линейных уравнений. Сейчас этот алгоритм называется методом
Гаусса.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
211
Определение 1. Пусть заданы k ∈ N + , квадратная матрица
A(k) : Rk → Rk
с матричными элементами (A(k) )i,j ∈ R с индексами i, j = 1, k, векторастолбцы x(k) , b(k) , p(k) ∈ Rk с координатами (x(k) )i , (b(k) )i , (p(k) )i ∈ R с индексами
i = 1, k.
R-методом Гаусса решения системы линейных уравнений:
∑
(A(k) )i,j · (x(k) )j = (b(k) )i , i = 1, k
(1)
1≤j≤k
называется такая модификация метода Гаусса [2, 3], что при каждом n =
(k)
1, k за ведущий элемент n-го шага ℓn берется первый (в лексикографическом
(k)
порядке) матричный элемент матрицы An−1 (заданной на (n − 1)-ом шаге или
в начале работы) с максимальным значением модуля, то есть такой элемент
(k)
(An−1 )i(k) (n),j (k) (n) , что
+
+
(k)
(k)
(k)
(i+ (n), j+ (n)) = min{(i1 , j1 ) : n ≤ i1 , j1 ≤ k, |(An−1 )i1 ,j1 | =
(k)
= max |(An−1 )i,j |},
(2)
n≤i,j≤k
(k)
ℓ(k)
n = (An−1 )i(k) (n),j (k) (n) ,
+
(3)
n = 1, k.
+
(k)
(k)
с миниматричный элемент матрицы An
Обозначим через µn
мальным значением модуля среди ненулевых, то есть такой матричный
(k)
элемент (An−1 )i(k) (n),j (k) (n) , что
−
(k)
−
(k)
(k)
(i− (n), j− (n)) = min{(i1 , j1 ) : n ≤ i1 , j1 ≤ k, |(An−1 )i1 ,j1 | =
(k)
|(An−1 )i,j |},
(4)
µ(k)
n = (An−1 )i(k) (n),j (k) (n) .
(5)
=
min
n≤i,j≤k
(k)
(An−1 )i,j ̸=0
(k)
−
−
(k)
(k)
Прямой ход R-метода Гаусса вычисляет матрицы An и Cn , вектора-столб(k)
(k)
(k)
(k)
цы bn и pn , простые переменные ℓn , qn при n = 1, 2·k.
В начале работы выполняются начальные присвоения:
(k)
A0 = A(k) ,
(k)
C0 = A(k) ,
(k)
b0 = b(k) ,
(k)
(p0 )i = i,
i = 1, k.
(6)
Пусть n = 1, k. Пусть начальные присвоения (6) выполнены. Пусть при
2 ≤ n ≤ k все шаги от первого до (n−1)-го сделаны. Опишем, в чем состоит n-ый
(k)
шаг прямого хода R-метода Гаусса: среди элементов матрицы An−1 выбирается
212
(k)
Секция 4
(k)
ℓn . Если ℓn = 0, то алгоритм выдает сообщение: "Матрица A вырождена" и за(k)
(k)
(k)
(k)
канчивает работу, иначе вычисляются An , Cn , bn и pn . После вычисляются
(k)
значения qn по следующей формуле:
(k)
qn(k) = |ℓ(k)
n /ℓn−1 |,
n = 2, k.
(7)
(k)
Далее, если i+ (n) ̸= n, то
(k)
(k)
(k)
c = (A(k)
n )n,j , (An )n,j = (An )i(k) (n),j , (An )i(k) (n),j = c, j = n, k,
(8)
(k)
(k)
(k)
c = (b(k)
n )n , (bn )n = (bn )i(k) (n) , (bn )i(k) (n) = c.
(9)
+
+
+
+
(k)
Далее, если j+ (n) ̸= n, то
(k)
(k)
(k)
c = (A(k)
n )i,j (k) (n) , (An )i,j (k) (n) = (An )i,n , (An )i,n = c, i = n, k,
(10)
+
+
(k)
(k)
(p(k)
n )n = j+ (n), (pn )j (k) (n) = n.
(11)
+
Для каждого i = n + 1, k вычисляются di :
(k)
di = (A(k)
n )i,n /ℓn ,
(12)
(k)
(k)
Если di ̸= 0, то пересчитываются значения An и bn :
(k)
(k)
(A(k)
n )i,j = (An )i,j − di · (An )n,j ,
j = n, k,
(k)
(k)
(b(k)
n )i = (bn )i − di · (bn )n .
(13)
(14)
(k)
После k шагов прямого хода вычисляются матричные элементы матрицы Cn
и элементы вектора-столбца h(k) по формулам:
(C (k) )i,j = (A(k) )i(k) (i),j (k) (j) ,
+
i, j = 1, k,
(15)
+
(h(k) )i = (b(k) )i(k) (i)
i = 1, k,
(16)
+
Обозначение 1. Пусть k ∈ N+ , A(k) , b(k) — матрица, вектор-столбец начальной системы линейных уравнений (1). Пусть jp ∈ N+ , 1 ≤ jp ≤ k и пусть
(A(k) |b(k) \ jp ) — квадратная матрица, состоящая из векторов-столбцов матрицы A(k) , кроме jp -го, равного вектору-столбцу b(k) , т.е.
{
(A |b
(k)
(k)
\ jp )i,j =
(A(k) )i,j , i, j = 1, k,
(b(k) )i , i, j = 1, k,
j=
̸ jp ,
j = jp .
(17)
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
213
Теорема 1. Пусть k ∈ N+ , A(k) , b(k) — матрица, вектор-столбец исходной
(k)
(k)
(k)
системы (1). Пусть n ∈ N+ , 1 ≤ n ≤ k, An , bn , ℓn — матрица, векторстолбец, ведущий элемент n-го шага прямого хода R-метода Гаусса. Пусть
матрица C (k) отличается от исходной матрицы A(k) перестановкой строк и
столбцов (15), а вектор-столбец h(k) отличается от b(k) перестановкой координат (16). Тогда:
1. Решение системы линейных уравнений (1) эквивалентно с точностью до
перестановки, заданной вектором-столбцом p(k) , решению системы линейных
(k)
(k)
уравнений с матрицей A(k) = An и вектором-столбцом b(k) = bn .
2. Решение начальной системы линейных уравнений (1) эквивалентно с точностью до перестановки, заданной вектором-столбцом p(k) , решению системы
с матрицей A(k) = C (k) и вектором-столбцом b(k) = h(k) . Ведущие элементы
всех шагов прямого хода R-метода Гаусса этих двух систем равны.
(k)
(k)
(k)
Теорема 2. Пусть k ∈ N+ , An , bn , ℓn — матрица, вектор-столбец,
ведущий элемент n-го шага R-метода Гаусса при n = 1, k. Тогда:
1. Выполняются следующие неравенства:
(k)
(k)
ℓ0 = ℓ1 ,
(k)
0 < |ℓ(k)
n | ≤ 2 · |ℓn−1 |,
(k)
q1 = 1,
0 < qn(k) ≤ 2,
n = 2, k,
(18)
n = 2, k.
(19)
2. Если существует такое n ≥ 2, что выполняются неравенства:
(k)
0 ≤ (An−2 )i,j , i, j = n − 1, k,
(20)
тогда для этого n выполняются следующие неравенства:
(k)
0 < |ℓ(k)
n | ≤ |ℓn−1 |,
(k)
0 < qn(k) ≤ 1.
(21)
(k)
Более того, если (An−1 )i(k) (n),j ̸= 0 и (An−1 )i,j (k) (n) ̸= 0, то выполняются два
+
неравенства, где
(k)
µn−1
+
определено по формуле (5):
(k)
(k)
(k)
(k)
2
|ℓ(k)
n | ≤ (1 − (µn−1 /ℓn−1 ) ) · |ℓn−1 |,
(k)
qn(k) ≤ (1 − (µn−1 /ℓn−1 )2 ).
(22)
(k)
Теорема 3. Пусть ℓn — ведущий элемент n-го шага прямого хода Rметода Гаусса для каждого n = 1, k. Тогда справедливы следующие соотношения:
k
∏ (k)
(k) (k)
(k)
|ℓi |, | det(An )| ≤ ℓ1 · k! n = 0, k,
| det(An )| =
(23)
1≤i≤k
(k)
Обозначение 2. Пусть k ∈ N+ и пусть gj
ность, j = 1, k. Определим
(k)
(k)
g− = min gj ,
1≤j≤k
— вещественная последователь-
(k)
(k)
g+ = max gj .
1≤j≤k
214
Секция 4
Обозначение 3. Пусть g − (g + ) — нижний предел (верхний предел) при k →
∞:
(k)
(k)
g − = lim g− , (g + = lim g+ ).
(24)
k→∞
k→∞
Пусть −∞ < g + , g − < +∞, и g + = g − . Тогда введем g такое, что g = g + = g − .
Теорема 4. Пусть k ∈ N+ и пусть матрицы A(k) , A(k+1) и вектора-столбцы b(k) , b(k+1) удовлетворяют условию
(A(k+1) )i,j = (A(k) )i,j ,
(b(k+1) )i = (b(k) )i ,
i, j = 1, k.
(k)
Пусть ℓn — ведущий элемент n-го шага прямого хода R-метода Гаусса для
(k)
начальной матрицы A(k) порядка k при n = 1, k, и qn определены формулой
(7) при n = 2, k. Тогда верны следующие утверждения:
1. Пределы q + и q − существуют, и 0 ≤ q − ≤ q + ≤ 2.
2. Если |ℓ|+ и |ℓ|− существуют, и 0 < |ℓ|− < +∞, и если |ℓ|+ = |ℓ|− ,
тогда q + = q − = 1.
3. Если |ℓ|− существует и 0 < |ℓ|− < +∞, и, более того, если q + = q − ,
тогда q = q + = q − = 1.
Работа поддержана грантом РФФИ (код проект 12-01-00960).
Список цитированной литературы
[1] Gauss C. F. Beitr¨
age zur Theoire der algebraischen Gleichungen. G¨
ottingen,
1849.
[2] Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.:
Наука, 1987.
[3] Богачев К. Ю. Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и
нахождения собственных значений. М.: Изд-во мехмата МГУ, 1999.
НИИ Системных исследований РАН
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 517.95
THEORETICAL MODELS OF FLOW CONTROL IN
NEAR-WALL AREAS
I. M. Gorban, O. V. Homenko (Kyiv, Ukraina)
[email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
215
Flow control in near-wall areas attracts wide interest in both the fluid mechanics
and engineering because of many potential applications. Drag reduction of bodies,
lift enhancement, mixing advancement etc. are some of many problems in which
near-wall flow control is urgent. The proposed control strategy is based on special
changes of the near-wall vorticity field by means of generation of stationary vortex
zones. Artificial surface irregularities such as cross grooves, interceptors, ribs and
so on may be applied to create the desired vortex. To minimize energy costs for
realization of this control way, one has to take into account dynamic properties of
the vortices created. The most effective control algorithms use information about
critical points and other topology features of a flow pattern. In some cases, the goal
of control lies in generating the necessary flow topology.
In this work, we consider cross grooves as the instrument for generation of local
separation zones on the wall. A simplified model when the zone is replaced by a
point vortex locating in the vorticity center is applied to derive dynamic properties
of the flow [I. M. Gorban and O. V. Homenko, Dynamics of Vortices in Near-wall
Flows with Irregular Boundaries, Continuous and Distributed Systems: Theory and
Applications, Series: Solid Mechanics and Its Applications, 2014, Vol. 211, 115-128,
Zgurovsky, Mikhail Z., Sadovnichiy, Victor A. (Eds.)].
Motion of the vortex is governed by a set of non-linear differential equations with
the vortex velocity in the right part. The critical points of such a flow are determined
from the condition of vortex equilibrium and their types in the conservative system
depend on the "sign" of Jacobean only. The analysis points out on three stationary
points in this case and one point only that lies on the groove axis is stable. To
determine the strength of the vortex corresponding to this point, the Kutta condition
in the sharp groove edges is used. The vortex obtained is immovable in the global
sense but it rotates periodically near the critical point along an infinite small trajectory. The rotation frequency is the important characteristic of the stationary vortex;
just it is responsible for its reaction to external perturbations.
Investigations demonstrate resonance behavior of the stationary vortex in the
periodically perturbed flow when the amplitude of deviation of the vortex from
the critical point grows rapidly when the external frequency approaches the vortex
eigenfrequency. To reduce sensitivity of the vortex to external perturbations, we
propose the scheme of active flow control with ejection of fluid from the region. The
dynamic system under consideration includes now the external flow, the stationary
vortex and a sink locating on the groove boundary. If one coordinate of the vortex
is fixed, the equations of vortex equilibrium and the Kutta condition in the groove
edges will be the sufficient system for determining another vortex coordinate, vortex
circulation and sink parameters (strength and angular coordinate). As a result,
the curve of stationary vortices in xy-plane is obtained and corresponding sink
parameters are evaluated. The dynamical analysis of the system shows that ejection
changes the flow topology. If without ejection the critical point is the conditionally
stable center that now it will be either stable or unstable focus that depends on point
position on the stationary curve. The stable vortices are obtained to be located the
216
Секция 4
left of the central axis of groove. The sinks corresponding to the stable flow patterns
lie on the groove wall that is opposite to the flow. The stable zone width will rise when
the groove depth decreases that important for a practice because of shallow grooves
are primary applied for near-flow control in technical applications. To demonstrate
operating the proposed control strategy, the direct numerical simulation of the flow
in the cross groove was carried out. The obtained vorticity patterns demonstrate
stabilization of flow in the groove when fluid ejecting.
УДК 517.95
NEAR-WALL FLOWS WITH IRREGULAR
BOUNDARIES1
O. V. Khomenko (Kyiv, Ukraina)
[email protected]
Vortical structure of fluid flows is a determining factor when moving a body in
water or in air as well as when operating hydraulic systems. A lot of important
technical problems in fluid dynamics connect with optimal transformation of flow
vortical pattern near a body. The control strategy may be directed as on creating
regular recirculation zones in near-wall flow as on its destruction to intensify flow
mixing in the region. In both cases, "intellectual"flow of fluid is created, in which
the vortices have been formed according to the control scheme and either theoretical
or semiempirical model predicting the vortex behavior [1]. Control technics will be
more effective, if one takes into account topological properties of the flow under
consideration. Here we use the standing vortex model to derive near-wall flow
topology when the local recirculation zone is simulated by a vortex of finite circulation [2]. Motion of the vortex is described by a set of non-linear differential equations:
dxv
= vx (xv , yv , t),
dt
dyv
= vy (xv , yv , t),
dt
(1)
where xv , yv are the vortex coordinates and vx , vy are the components of the vortex
velocity.
To build the velocity field in the region, we map the physical plane z into an
upper half-plane of the auxiliary plane ζ. Then the complex flow potential is the
superposition of that of uniform flow and Green’s function of the vortex near a flat
wall. If the function ζ = f (z) realizes the conformal mapping, the following condition
of vortex equilibrium may be used to derive the critical points of flow:
[

( )2 / ( 2 )] iΓv
Γ
dΦ
df
df
v
0


−
+
= 0,
(2)
2
dζ 4πηv
dz
dz
4π
ζ=ζv
1
Grant of NAS of Ukraine 2273/13 (0113U002978)
ζ=ζv
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
217
where Γv is the vortex circulation, ζv = (ξv , ηv ) and Φ0 (ζ) are the vortex coordinate
and uniform flow potential in ζ-plane respectively. From Eq. (2), two transcendental
equations for determining the standing vortex coordinates are derived. To calculate
the vortex circulation, this set has to be completed by an equation that follows from
physical conditions of the problem under consideration. For example, if the flow
boundary has a sharp edge, the unsteady Kutta condition can be involved.
The model was applied to studying the standing vortex dynamics in the angular
region and in a cross groove. The dependencies of the standing vortex circulation
Γv on the representative parameter of boundary irregularity were derived. It was
found also that standing vortex is characterized by its eigenfrequency which governs
the dynamic behavior of the vortex in the periodically perturbed flow. Periodic
oscillations of the flow velocity cause multi periodic large amplitude motion of
the standing vortex. The maximal amplitude of deviation of the vortex from its
stationary point depends on the external perturbation frequency in resonance manner. Resonance flow perturbations in the regions bounded non-regular wall cause
intensification of fluid mixing in recirculation zones. They stimulate generation of
vorticity in sharp boundary edges, lead to chaotization of motion of both fluid
particles and small vortices, cause non-regular fluctuations of the flow.
The report based on the results of joint work "Dynamics of Vortices in Near-wall
Flows With Irregular Boundaries"with I.M. Gorban [3].
Список цитированной литературы
[1] Aref H., Kadtke J. B., Zawadzki I., Point vortex dynamics: recent results and
open problems, Fluid Dynamics Research Vol. 3 (1988). P. 63–64.
[2] Gorban V. A., Gorban I. M. Dynamics of vortices in near-wall flows: eigenfrequencies, resonant properties, algorithms of control, AGARD Report. (1998),
№ 827. P. 15-1–15-11.
[3] Gorban I.M., Homenko O.V., Dynamics of Vortices in Near-wall Flows
With Irregular Boundaries, Continuous and Distributed Systems: Theory and
Applications., Springer-Verlag, Berlin (2013). P. 95–107.
218
5
Секция 5
Аналитическая теория чисел
Доклады данной секции посвящены исследованиям по классическим направлениям аналитической теории чисел:
— теории дзета-функции Римана и L-функциям Дирихле;
— аддитивным задачам;
— методу тригонометрических сумм.
УДК 511.3
MELLIN TRANSFORMS OF DIRICHLET L-FUNCTIONS
ˇ UNAS
¯
A. BALCI
(Vilnius, Lithuania)
[email protected]
Let χ be a Dirichlet character modulo q > 1, and L(s, χ), s = σ + it, is the
corresponding L-function. In the moment problem for L-functions, the asymptotic
behavior of the quantity
∫
∑
T
|L (σ + it, χ) |2k dt,
χ=χ (mod q)
k ≥ 0,
1
1
σ≥ ,
2
usually is studied as T −→ ∞. A more difficult moment problem is the asymptotics
or estimates for
∫
T
|L (σ + it, χ) |2k dt,
T −→ ∞.
1
By analogy with the Riemann zeta-function, for the latter problem the method of
Mellin transforms can be applied.
The classical Mellin transform Mf (s) of a function f (x) is defined by
∫ ∞
Mf (s) =
f (x)xs−1 dx
0
provided that the integral exists. Sometimes the modified Mellin transform
∫ ∞
∗
f (x)x−s dx
Mf (s) =
1
is more convenient because a possible convergence problem at the point x = 0 does
not exist for it. The functions Mf (s) and Mf∗ (s) are related by a simple relation. Let
{
f ( x1 ) if
fˆ(x) =
0
0 < x 6 1,
otherwise .
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
219
Then it is known [1] that
Mf∗ (s) = Mfˆ(x)/x (s).
Modified Mellin transforms of powers of the Riemann zeta-function ζ(s)
∫
Zk (s) =
∞
1
(
) 2k
1
ζ
+ ix x−s dx
2
were introduced, studied and applied for investigation of the moments
∫
0
T
(
) 2k
ζ 1 + it dt,
2
T → ∞,
in a series of works by A. Iviˇc, M. Jutila and Y. Motohashi. M.Lukkarinen gave
meromorphic continuation of Z1 (s) to the whole complex plane.
Let Bk stand for the k th Bernoulli number, and let γ be the Euler constant. In
[6], the following theorem has been proved.
Theorem 1. The function Z1 (s) has a meromorphic continuation to the whole
complex plane. It has a double pole at point s = 1, and its Laurent expansion at this
point is
1
2γ − log 2π
Z1 (s) =
+
+ ... .
2
(s − 1)
s−1
The other poles of Z1 (s) are the simple poles at the points s = −(2k − 1), k ∈ N,
and
i−2k (1 − 2−(2k−1) )
Res Z1 (s) =
B2k .
s=−(2k−1)
2k
The papers [2]— [5] are devoted to the Mellin transform
∫
2k
ζ (ϱ + ix) x−s dx
∞
1
1
2
with a fixed < ϱ < 1.
In the report, will discuss the modified Mellin transform Z1 (s, 12 , χ)
(1
) 2
of L 2 + ix, χ defined, for σ > 1, by
∫
Z1 (s, χ) =
1
∞
(
) 2
1
L
+ ix, χ x−s dx.
2
We consider meromorphic contiuanation of Z1 (s, 12 , χ) to the whole complex plane
seperatlly for principal character χ0 and primitive character χ modulo q. Let
a(q) =
∑ log p
,
p−1
p|q
220
Секция 5
and φ(q) denote the Euler totient function. Moreover let G(χ) denote the Gauss
sum and
{
ϵ(χ)
if b = 0,
E(χ) =
ϵ1 (χ)
if b = 1,
where
G(χ)
ϵ(χ) = √ ,
q
{
0
b=
1
and
if
if
G(χ)
ϵ1 (χ) = − √ ,
q
χ(−1) = 1,
χ(−1) = −1.
Theorem 2. The function Z1 (s, χ0 ) has a meromorphic continuation to the
whole complex plane. It has a double pole at the point s = 1, and its Laurent
expansion at this point is
(
)
φ(q)
1
2γ + 2a(q) − log 2π
Z1 (s, χ0 ) =
+
+ ... .
q
(s − 1)2
s−1
Other singularities are the simple poles at the points s = −(2k − 1), k ∈ N, and
Res
s=−(2k−1)
Z1 (s, χ0 ) =
φ(q) i−2k (1 − 2−(2k−1) )
B2k
q
2k
.
Theorem 3. The function Z1 (s, χ) has a meromorphic continuation to the whole
complex plane. It has a double pole at the point s = 1, and its Laurent expansion at
this point is
Z1 (s, χ) =
(
)
q
q
∑
2γ − log (q,a−1)
2 − log 2π
ib
1
=
χ(a)(q, a − 1)
+
+ ...
√
G(χ) qE(χ) a=1
(s − 1)2
s−1
.
Other singularities are the simple poles at the points s = −(2k − 1), k ∈ N.
REFERENCES
[1] A. Iviˇc, On some conjectures and results for the Riemann zeta-function and
Hecke series, Acta Arith. 99 (2001), 115–145.
[2] A. Laurinˇcikas, The Mellin transform of the square of the Riemann zeta-function
in the critical strip, in: Voronoi’s Impact on Modern Science, Book 4, vol.1,
Proc. 4 th. Intern. Conf. Analytic Number Theory and Spatial Tessellations,
A. Laurinˇcikas and J. Studing (Eds), Institute of Math. NAS of Ukraine, Kyiv,
2008, pp. 89–96.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
221
[3] A. Laurinˇcikas, The Mellin transform of the square of the Riemann zeta-function
in the critical strip, Integral Transforms Spec. Funct., 22, No. 7 (2011), 467–476.
[4] A. Laurinˇcikas, A growth estimate for the Mellin transform of the Riemann
zeta-function, Matem. zametki, 89, No 1 (2011), 82–92.
[5] A. Laurinˇcikas, Mean square of the Mellin transform of the Riemann zetafunction, Integral Transforms Spec. Funct. 22, No. 9 (2011), 617–629.
[6] M. Lukkarinen, The Mellin transform of the square of Riemann’s zeta-function
and Atkinson’s formula, Ann. Acad. Scie. Fenn., Math. Diss. 140, Suomalainen
Tiedeakatemia, Helsinki, 2005.
Vilnius University , Institute of Mathematics and Informatics
УДК 511.3
ТЕОРЕМА БОМБЬЕРИ — ВИНОГРАДОВА ДЛЯ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
С. А. Гриценко (г. Москва), Н. А. Зинченко (г. Белгород)
[email protected]
[email protected]
Для решения бинарных аддитивных задач с простыми числами, лежащими
в промежутках вида
[(2m)c , (2m + 1)c ),
(1)
где m ∈ N, и c ∈ (1, 2], называемых «виноградовскими», требуется аналог известной теоремы Бомбьери–Виноградова, полученной в 1965 году в работах [1]
и [2].
Известен специальный вариант теоремы Бомбьери- Виноградова, принадлежащий Д. Толеву [3]:
Теорема 1. Пусть выполняются неравенства
1
1
0 < λ < , 0 < θ < − λ, A > 0.
4
4
Тогда
∑
y 1−λ
|≪ x1−λ ln−A x,
max max | ψλ (y; k, a) −
y6x (a,k)=1
φ(k)(1 − λ)
θ
k6x
где
ψλ (y; k, a) =
∑
n6y
n≡a (mod k)
√
{ n}<n−λ
Λ(n).
222
Секция 5
В теореме Бомбьери–Виноградова граница изменения параметра k меньше,
1
√
чем x, а в теореме Толева k < x 4 . Это обстоятельство не дает возможности применить теорему 1 к решению бинарных аддитивных задач с простыми
числами.
В сообщении будет представлено уточнение теоремы 1 в частном случае:
Теорема 2. Пусть c ∈ (1, 2] — константа. Пусть πc (x, q, l) — число таких простых чисел p, не превосходящих x и сравнимых с l по модулю q, что
{0.5p1/c } 6 0.5.
Тогда для любого A > 0 существует ε > 0 такое, что
∑
q6x1/3−ε
max |πc (x, q, l) −
(l,q)=1
Li x
| 6 c x(ln x)−A ,
2φ(q)
где c = c(A) > 0.
В доказательстве теоремы используется оценка тригонометрической суммы,
полученная в работе [4]:
∑
Λ(n)e2πif (n) = O(N q −1 N −κ ),
n6N
n≡r(modq)
где c ∈ (1, 2], A > 1 — произвольная константа, f (n) = 0.5mn1/c ,
1 6 m 6 (ln N )2A , 0 < ε 6 0.001 , q — натуральное число, q 6 N 1/3−ε , κ =
κ(ε) > 0.
Список цитированной литературы
[1] Виноградов А. И. О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле. //Изв.
АН СССР. Сер. Мат. 1965. Т. 29, № 4, С. 903–934.
[2] Bombieri E. On the large sieve. // Mathematica. 1965. Vol. 12. P. 201–225.
[3] Tolev D.˜I. On a theorem of Bombieri-Vinogradov type for prime numbers from
a thin set. // Acta Arithmetica. 1997. Vol. 81, №1. P. 57–68.
[4] Гриценко С. А., Зинченко Н. А. Об оценке одной тригонометрической суммы по простым числам // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. 2013. № 5(148), вып. 30.
С. 48–52.
Финансовый университет при Правительстве РФ,
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
НИУ "БелГУ"
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
223
УДК 511.34
ПРОБЛЕМА ВАРИНГА С НАТУРАЛЬНЫМИ
ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
С. А. Гриценко (г. Москва), Н. Н. Мотькина (г. Белгород)
[email protected]
[email protected]
Ранее авторами были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена, Лагранжа с числами специального вида. Для числа решений этих проблем выведены
асимптотические формулы ([1]–[3]). В задачах Гольдбаха, Хуа Ло–Кена полученные формулы отличаются от асимптотических формул классических задач
в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появляются ряды
специального вида:
σk (N, a, b) =
∑
|m|<∞
e2πim(ηN −0,5k(a+b))
sink πm(b − a)
.
π k mk
Аналитические выражения для сумм этих рядов представлены авторами в работе [4].
В докладе будет рассмотрена проблема Варинга о числе решений уравнения
xn1 + xn2 + . . . + xnk = N
с натуральными числами x1 , x2 , . . . , xk специального вида.
Пусть a и b — произвольные действительные числа, 0 6 a < b 6 1, η —
алгебраическое число,
a < {ηxni } < b,
i = 1, 2, . . . , k. Тогда число решений J(N ) рассматриваемой задачи связано с
числом решений I(N ) классической задачи без ограничений на переменные
x1 , x2 , . . . , xk следующим приближенным равенством:
J(N ) ∼ I(N )σk (N, a, b).
В главном члене асимптотической формулы для числа решений проблемы
Варинга с натуральными числами специального вида появляется ряд σk (N, a, b)
такой же, как и в задачах Гольдбаха, Хуа Ло–Кена с простыми числами специального вида.
Список цитированной литературы
[1] Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Об одном варианте тернарной проблемы
Гольдбаха // Доклады АН Республики Таджикистан. 2009. Т. 52, № 6.
C. 413–417.
224
Секция 5
[2] Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Задача Хуа Ло–кена с простыми числами
специального вида // Доклады АН Республики Таджикистан. 2009. Т. 52,
№ 7. C. 497–500.
[3] Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О некоторых аддитивных задачах теории
чисел // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. 2010. № 5(76), вып. 18. С. 83–87.
[4] Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О вычислении некоторых особых рядов //
Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4. С. 85–92.
Финансовый университет при Правительстве РФ,
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
НИУ "БелГУ"
УДК 511.3
ON A NEW MEASURE ON INFINITE DIMENSIONAL
UNITE CUBE
I. Sh. Jabbarov (Ganja, Azerbaijan)
[email protected]
1
Introduction
Let Ω be an infinite dimensional unite cube:
Ω = {ω = (αn ) |0 6 αn 6 1, n = 1, 2, ...} .
In this cube a product Lebesgue measure can be introduced (see [1, p. 219]). There
is another construction of a measure in Ω also called the Haar measure. The Haar
measure is defined in locally compact topological groups. It was proven uniqueness
of this measure if it is invariant in regard to transitions (see [2, p.241], [3, p. 303]).
Many of measures could be considered as a Haar measure. Particularly, the product
of Lebesgue measures in [0, 1]n is a Haar measure for any natural number n and,
hence, is unique in this cube. Really, to prove this, consider the topological group Rn .
The group Z ⊕ · · · ⊕ Z is a subgroup and the factor group Tn = Rn /(Z ⊕ · · · ⊕ Z)
is locally compact. Let A ⊂ [0, 1]n be a measurable set in ∩
the product Lebesgue
n
meaning in [0, 1] . Consider the union of intersections (¯
a +A) (m+[0,
¯
1)n ), m
¯ ∈ Zn
n
n
for any given vector a
¯ ∈ R . Only no more than 2 of these intersections have nonzero measure, and the sum of their measures is equal to the measure of the set
A. Therefore, the product measure is invariant in regard to the transitions x¯ 7→
x¯ + a
¯(mod1), x¯ ∈ [0, 1)n , a
¯ ∈ Rn . So, this is a unique Haar measure.
Despite that the most of told above are true for Ω, the situation is currently
different in infinite dimensional case. We can define the Haar measure in Ω, as in
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
225
the factor group, invariant in regard to transitions (mod 1). We get, then, a some
unique measure defined in R∞ .
Consider now
cube Ω.
“number” of non-empty intersec∩ the unite
∏∞In this case the
′
′
tions (¯
a + A) (m
¯ + Ω ), m
¯ ∈ 1 Z, A ⊂ Ω (here Ω′ : 0 6 ωn < 1) is noncountable. So, the product measure in Ω is not invariant in regard to transitions
x¯ 7→ x¯ + a
¯(mod1), x¯ ∈ Ω′ , a
¯ ∈ Ω. Therefore, in Ω it would be introduced the
measure different from the Haar measure. Some of sets being measurable in the Haar
meaning can stand now nonmeasurable. Moreover, another measure, different from
product Lebesgue measure in Ω can be introduced also. The theorem below shows
justness of this statement. To formulate the main theorem we have to introduce
some designations.
We begin with studying of distribution of special curves of a kind ({tλn })n>1
(the sign {} means a fractional part, and λn > 0, λn → ∞ as n → ∞) in the subsets
of infinite dimensional unite cube. In the works [4,6,7,11,12] the finite case has been
studied. It is necessarily to note that this curve has a zero measure in the product
Lebesgue meaning. We below show that in Ω it can be introduced a new measure
(we denote it µ0 ) connected with metric, and in which the curve considered above
acquires a property of nonmeasurability.
2
The basic result
Our basic result is formulated below.
Theorem 1. Let the sequence (λn ) be an unbounded sequence of positive real
numbers every finite subfamily of elements of which is linearly independent over the
field of rational numbers. Then the curve ({tλn }) , t ∈ [0, 1] is not µ0 -measurable set
in Ω.
Definition 5. Let σ : N → N be any one to one mapping of the set of natural
numbers. If for any n > m there is a natural number m such that σ(n) = n, then we
call σ a finite permutation. A subset A ⊂ Ω is called to be finite-symmetrical if for
any element θ = (θn ) ∈ A and any finite permutation σ one has σθ = (θσ(n) ) ∈ A.
Let Σ denote the set of all finite permutations. We shall define on this set a
product of two finite permutations as a composition of mappings. Then Σ becomes
a group which contains each group of n degree permutations as a subgroup (we
consider each n degree permutation σ as a finite permutation, in the sense of
definition 1, for which σ(m) = m when m > n). The set Σ is a countable set
and we can arrange its elements in a sequence.
In Ω we define the Tychonoff metric by following expression
d(x.y) =
∞
∑
n=1
e1−n |xn − yn | .
226
Секция 5
Then (Ω, µ) becomes a compact metric space. At first we define, using usual product
Lebesgue measure, volume of the ball of a radius r > 0 in Ω0 = {x = (xn ) | |xn | 6 1}:
B(0, r) = {E ∈ Ω0 |d(x, 0) < r} .
On this bases it may be introduced the measure in the Ω by known
way by
∩
using of open sets. The open ball we define as an intersection Ω B(θ, r). An
elementary set we define as a set being gotten by using of finite number of operations
of unionize, taking differences or complements. It is clear that every elementary set
is µ0 -measurable. The set of elementary subsets of Ω is an algebra of subsets. The
σ-algebra of subsets in Ω can be defined by known way and the set function defined
in the subsets’ algebra can be extended to the σ-algebra (see [1, p. 152]). The outer
and inner measures can be introduced by known way. Given any set in Ω, we call
it measurable, if and only if, when it’s outer and inner measures are equal (see also
[2,p.16]). Defined measure will be, as it seen from the reasoning above, a regular
measure, and outer measure of a set in the meanings of product and µ0 -meaning are
the same. Our basic auxiliary result is a following lemma.
Lemma 1. Let A ⊂ Ω be a finite-symmetric subset of zero measure and Λ = (λn )
is an unbounded, monotonically increasing sequence of positive real numbers any
finite subfamily of elements of which is linearly independent over the field of rational
numbers. Let B ⊃ A be any open, in the Tychonoff metric, subset withµ(B) < ε,
The lemma 1 delivers the first fundamental difference. The main tool in the proof
of this lemma is that fact that if we have some covering of a closed set by a union of
a family of balls with finite total measure and none of which containing other then
there is a finite number of balls only having with this set a nonempty intersection.
This is somewhat different property than compactness, and the same property is
not satisfied by cylindrical sets. Another difference stands clear after the theorem
proved above. But in applications it is very important that every measurable set in
a new meaning is measurable in the meaning of product measure.
REFERENCES
[1] N. Dunford and J. T. Schwartz Linear operators. Part I: General theory. М.
IIL., 1962.
[2] E. Hewitt, K.A. Ross. Absract Harmonic Analysis, v1., Nauka, Moscow,
1978(rus).
[3] V. I. Bogachev. Measure Theory. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007.
[4] E. C. Titchmarsh. Theory of function. М.: GITTL, 1951.(rus).
[5] W. Rudin. Principles of mathematical analysis. М.: Mir,1976.(rus).
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
227
[6] S. M. Voronin, A.A.Karatsuba. Riemann zeta –function. M. Fizmathlit.1994
[7] N. Niederreiter. Uniform distribution of sequences. M. Nauka, 1986. (rus).
[8] R. Courant. Differential and integral calculus. М. Nauka, 1967. (rus).
[9] Iosida K. Functional analysis М. Мir, 1967.
[10] Bogolyubov N. N., Krilov N. М. General Theory of a measure in the non– linear
mechanics. Selected works of Bogolyubov N. N. in 3 volumes. V.1, Naukova
Dumka, Kiev, 1969, p.411.
[11] Kornfeld I. P., Sinay Y. G. Ergodic theory. М. Nauka, 1980.
[12] E. C. Titchmarsh. Theory of Riemann Zeta – function. М.: FL, 1953(rus).
Гянджинский Госуниверситет
УДК 511.512
О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА
НЕКОТОРЫХ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ
ПОВЕРХНОСТЯХ
Р. А. Дохов (г. Нальчик)
Вопрос о распределении целых точек на квадратичных поверхностях издавна привлекает внимание многих исследователей. В более общей постановке
рассматривают также задачу о взвешенном количестве целых точек на таких
поверхностях (см. [1,2]).
Мы будем рассматривать неконическую четырехмерную квадратичную поверхность, задаваемую уравнением
Q1 (x1 , x2 ) − Q2 (x3 , x4 ) = h,
(1)
где h ̸= 0 – целое число; Q1 (x1 , x2 ) и Q2 (x3 , x4 ) – целочисленные положительные
бинарные квадратичные формы с матрицами A1 и A2 , detA1√= detA2 = −δF ,
где δF – дискриминант мнимого квадратичного поля F = Q( d) и d – отрицательное бесквадратное число.
С уравнением (1) мы будем связывать функцию
∑
−λ(Q1 (x1 ,x2 )+Q2 (x3 ,x4 ))
n
,
(2)
Ih,λ (n) =
e
Q1 (x1 ,x2 )−Q2 (x3 ,x4 )=h
которую называем взвешенным числом целых точек на поверхности (1), взятых
1
с весом e− n ω(x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) , где
ω (x1 , x2 , x3 , x4 ) = λQ1 (x1 , x2 ) + λQ2 (x3 , x4 ) ,
228
Секция 5
λ – натуральное число. При этом введение натурального параметра λ связано с тем, что в дальнейшем нами будут использованы результаты из [1,2],
полученные несколько другим подходом, обеспечивая этим параметром, при
λ > 1, условие положительности суммы Q1 (x1 , x2 , x3 , x4 ) + ω (x1 , x2 , x3 , x4 ), где
Q1 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = Q1 (x1 , x2 ) − Q2 (x3 , x4 ).
Для функции Ih,λ (n) при λ =( 1 и h
) = 1 в [3] получена асимптотическая
3
формула с остаточным членом O n 4 +ε , где ε > 0 – сколь угодно малое положительное число. Используя подход из [3], нами получен следующий асимптотический результат о величине Ih,λ (n) с остаточным членом, зависящим от δF ,
λ, h.
Теорема 1. Для взвешенного числа целых точек Ih,λ (n) на четырехмерной
квадратичной неконической поверхности Q1 (x1 , x2 ) − Q2 (x3 , x4 ) = h с весовой
функцией λ (Q1 (x1 , x2 ) + Q2 (x3 , x4 )) справедлива асимптотическая формула
−λh
q
∞
2π 2 ne n ∑ −4 ∑ −2πi ℓhq
Ih,λ (n) =
q
·
e
λ |δF | q=1
ℓ=1
(ℓ,q)=1
(
)
(
)
(
)
¯ · G2 q, −ℓ, O
¯ + O λ2 hn 34 +ε ,
· G1 q, ℓ, O
(
)
(
)
¯ и G2 q, −ℓ, O
¯ – однородные двойные суммы Гаусса; ε – сколь
где G1 q, ℓ, O
угодно малое положительное число.
Отметим, что эта теорема уточняет соответствующий результат работы [2],
в которой в случае четырехмерных квадратичных поверхностей
(
) остаток, в за3 3 +ε
висимости от δF , в наших обозначениях имеет вид O |δF | n 4
.
Список цитированной литературы
[1] Малышев А. В. О взвешенном количестве целых точек, лежащих на поверхности второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1966. Т. 1. С. 6–83.
[2] Головизин В. В. О распределении целых точек на гиперболических поверхностях второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1981. Т. 106. С. 52–69.
[3] Куртова Л. Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами // Вестник Самарского госуниверситета. Естественно-научная серия.
Математика. 2007. №7 (57). С. 107–121. ISBN 810-5378.
Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
229
УДК 511.3
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ ДИОФАНТОВА УРАВНЕНИЯ С
ПОЛУПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ ИЗ КОРОТКИХ
ПРОМЕЖУТКОВ
Н. А. Зинченко (Белгород)
[email protected]
В 1940 году И.М. Виноградов в [1] методом тригонометрических сумм получил асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих x
и лежащих в промежутках вида [(2m)2 , (2m + 1)2 ), m ∈ N .
В 1986 году С.А. Гриценко в [2] вывел асимптотическую формулу для числа
простых чисел, не превосходящих x и лежащих в промежутках вида
[(2m)c , (2m + 1)c ),
(1)
где m ∈ N, и c ∈ (1, 2]. Такие промежутки принято называть короткими или
«виноградовскими».
В 1988 году С.А. Гриценко решил ряд аддитивных задач с простыми числами, лежащими в промежутках (1) (см. [3], [4]).
Позднее задачи подобного вида рассматривались в [5] А. Балогом и
Дж. Фридлендером.
Отметим, что в работах [3] – [5] аддитивные задачи являются тернарными,
или решаются по схеме тернарной задачи.
Естественно задаться вопросом о разрешимости бинарных аддитивных задач с простыми числами из промежутков вида (1). В связи с тем, что не существует вариантов теоремы Бомбьери–Виноградова для простых чисел из промежутков вида (1), сопоставимых по силе с классической теоремой Бомбьери–
Виноградова, решать бинарные аддитивные задачи с простыми числами из (1)
в настоящее время не удается.
Автором были решены некоторые бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами из «виноградовских» промежутков ([6], [7]). В докладе будет
рассмотрена еще одна бинарная аддитивная задача с полупростыми числами
специального вида, перекликающаяся с проблемой Харди-Литтлвуда с полупростыми числами, решенной Ю.В. Линником в [8] дисперсионным методом.
Рассматривается диофантово уравнение
xy + p1 p2 = n,
где p1 и p2 — простые, а x и y — натуральные числа, при условии, что числа
p1 p2 лежат в промежутках [(2m)c , (2m + 1)c ), m ∈ N и c ∈ (1, √
2], а простые числа
p1 и p2 удовлетворяют дополнительным условиям: pi > exp( ln n ) (i = 1, 2).
230
Секция 5
Методом тригонометрических сумм И.М. Виноградова выводится асимптотическая формула для числа решений этого уравнения, которое обозначим
J1 (n):
1
ln ln ln n
J1 (n) = J(n)(1 + O(
)),
2
ln ln n
где
J(n) ∼ c0 n ln ln n,
∞
∑
µ2 (r)
c0 =
.
rφ(r)
r=1
Список цитированной литературы
[1] Виноградов И. М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел.
// Мат. сб., 1940, № 7, С. 365–372.
[2] Гриценко С. А. Об одной задаче И.М. Виноградова. // Мат. заметки. 1986.
Т. 39, вып. 5. С. 625–640.
[3] Гриценко С. А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха–
Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида // УМН. 1988. Т. 43., вып. 4 (262), C. 203–204.
[4] Гриценко С. А. Три аддитивные задачи. // Изв. РАН. Сер. мат. 1992. Т. 56,
№ 6. C. 1198 – 1216.
[5] A. Balog, К. J. Friedlander. A hybrid of theorems of Vinogradov and PiatetskiShapiro // Pacific. J. Math. 1992. Vol. 156. P. 45–62.
[6] Зинченко Н. А. Бинарная аддитивная задача с полупростыми числами специального вида. // Чебышевский сборник. 2005. T. VI, вып. 2 (14). С. 145–
162.
[7] Зинченко Н. А. Об одной аддитивной бинарной задаче. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика, информатика. 2007. Вып. 1, т. 7, С. 9–13.
[8] Линник Ю. В. О некоторых аддитивных задачах. // Мат. сб., 1960. Т. 51,
вып. 2. С. 129–154.
НИУ "БелГУ"
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
231
УДК 519.116
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ НАТУРАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ПОПАРНО РАЗЛИЧНЫХ
СЛАГАЕМЫХ
Ю. А. Игнатов (г. Тула)
[email protected]
Изучается задача представления нескольких натуральных чисел в виде суммы попарно различных слагаемых. Дается оценка минимального числа слагаемых, достаточного для такого представления, при условии, что представление
существует. Для удобства исходные числа рассматриваются как множества, а
составляющие их слагаемые как элементы этих множеств.
Теорема 1. Пусть имеются m множеств, содержащих попарно различные натуральные числа. Для каждого множества подсчитана сумма входящих в него чисел. Тогда числа в множествах можно заменить так, что суммы останутся прежними, числа останутся различными, а количество чисел
будет не более 2m − 1.
Доказательство основано на преобразовании множеств так, чтобы суммы
элементов в них оставались неизменными, а количество элементов в каждом
множестве не превышало двух. При этом найдется множество с одним элементом. Предложен алгоритм такого преобразования.
Количество элементов в множествах зависит от количества различных значений, которые принимают суммы элементов в множествах. Если все суммы
одинаковы, то 2m − 1 - минимальное число элементов. Можно показать, что
если суммы принимают два различных значения, то достаточно 2m − 2 элементов. Если все m значений различны, то достаточно m = 2m − m элементов.
Возникает гипотеза, что если суммы принимают k различных значений, то достаточно 2m − k элементов. Эта гипотеза опровергается следующим примером:
1 + 5, 6, 7, 8, 3 + 4 + 5, 9. Число множеств 6, количество чисел в них 9, число
различных значений сумм 4. Уменьшить количество чисел нельзя, так как они
не могут быть больше 9, а все числа, не превосходящие 9, уже присутствуют.
Если уменьшить их количество, то уменьшится общая сумма.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
К РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В
МНОГОЧЛЕНАХ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И. И. Ильясов (г. Актобе, Казахстан)
[email protected]u
232
Секция 5
В работе доказывается:
2
Теорема 1. При каждом натуральном A > A0 существует более 20Aln A
многочленов третьей степени с целыми коэффициентами, старшие коэффиA
циенты которых равны 36, каждый из которых содержит более 6 ln1+ε
проA
стых чисел (ε > 0 постоянная ).
Упорядочим множество точек (x, y, z), x, y, z ∈ N следующими правилами:
I. за точкой (x, 1, 1) следует точка (1, 1, x + 1),
II. за точкой (x, y, z), при z > 2 следует точка (x, y + 1, z − 1),
III. за точкой (x, y, 1) следует точка (x + 1, 1, y − 1), при y > 2.
Применяя эти правила, начиная с точки (1, 1, 1), получаем последовательность
точек (x, y, z)
(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), . . . .
(1)
Нетрудно убедиться, в том, что если x0 + y0 + z0 = a + 2, то (x0 , y0 , z0 ) содержится в отрезке (1, 1, a), . . . , (a, 1, 1) последовательности (1), то есть любая точка
(x, y, z), x, y, z ∈ N принадлежит последовательности (1). Пронумеруем точки
последовательности (1) (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), . . . , (xn , yn , zn ), . . . .
Лемма 1. Значение многочлена
f (x, y, z) =
(x + y + z)(x + y + z − 1)(x + y + z − 2) (y + z)2 − 3y − z
−
6
2
в точке (xn , yn , zn ) последовательности (1) равно n, то есть f (xn , yn , zn ) = n.
Доказательство. Легко проверяются следующие равенства
I. f (1, 1, x + 1) − f (x, 1, 1) = 1,
II. f (x, y + 1, z − 1) − f (x, y, z) = 1,
z > 2,
III. f (x + 1, 1, y − 1) − f (x, y, 1) = 1,
y > 2.
Следовательно,
f (x2 , y2 , z2 ) − f (x1 , y1 , z1 ) = 1,
f (x3 , y3 , z3 ) − f (x2 , y2 , z2 ) = 1,
..............................
f (xn , yn , zn ) − f (xn−1 , yn−1 , zn−1 ) = 1.
Складывая эти равенства с учетом f (x1 , y1 , z1 ) = f (1, 1, 1) = 1, получаем требуемое. 2
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
233
Доказательство теоремы. Обозначим MA множество целых положительных точек (x, y, z), для которых x + y + z 6 A + 2 (A > 1). Располагая элементы MA по правилу следования, получаем все точки последовательности (1) от
(1, 1, 1) до (A, 1, 1) включительно, и их число равно
f (A, 1, 1) =
(A + 2)(A + 1)A
.
6
Пусть 1 6 a 6 A и y0 + z0 = a + 1. Рассмотрим многочлен третьей степени
от x f (x, y0 , z0 ). Число многочленов f (x, y0 , z0 ) для всех (y0 , z0 ), y0 + z0 = a + 1
равно a. Чтобы (x, y0 , z0 ) принадлежала MA , x должно меняться в 1 6 x 6
(A + 1)A
A − a + 1. При a = 1, 2, . . . , A всего получаем
многочленов. Все на2
(A + 2)(A + 1)A
туральные числа от 1 до
распределяются по этим многочле6
(A + 2)(A + 1)A
нам, и, следовательно, все простые 6
так же. Отметим что
6
)
(
3
A
(A + 2)(A + 1)A
π
∼
при A → ∞. Обозначим через C(A) число мно6
18 ln A
A
гочленов, каждый из которых содержит более 1+ε простых, ε > 0 — постоянln A
ная. Тогда общее число простых в этих многочленах 6 A · C(A). А общее число
A
простых в многочленах, каждый из которых содержит менее 1+ε простых,
ln A
(A + 1)A
A
(A + 1)A
A
не превосходит
· 1+ε . Следовательно A · C(A) +
· 1+ε >
2 ) ln A
2
ln A
(
(A + 2)(A + 1)A
A2
. Отсюда C(A) >
, A > A0 . Теперь полагая в
> π
6
20 ln A
A
многочлене, каждый из которых содержит более 1+ε простых, x = 6x1 + r,
ln A
r = 0, 1, . . . , 5, получаем 6 многочленов с целыми коэффициентами со старA
шим коэффициентом 36 и хотя бы одно из которых содержит более
6 ln1+ε A
2
A
простых. Таким образом доказано что существует более
многочленов с
20 ln A
целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 36 каждый из которых
A
содержит более
простых при A > A0 .
6 ln1+ε A
Список цитированной литературы
[1] К. Прахар. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.
Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова
234
Секция 5
УДК 511.3
О ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ, СВЯЗАННЫХ С
ПОВЕДЕНИЕМ РЯДОВ ДИРИХЛЕ С
ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В
КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ
А. Е. Коротков, О. А. Матвеева (г. Саратов)
[email protected], [email protected]
В докладе приводятся результаты численных экспериментов, связанных с
нулями и поведением модуля функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, на критической прямой. В основе численных экспериментов лежит численный алгоритм построения полиномов Дирихле, приближающих ряды Дирихле с показательной скоростью, разработанный в работе
[1].
Результаты численных экспериментов позволяют говорить о том, что
1. |f ( 12 + it)| = O(ln |t|);
2. нули функции f (s) и её производных в прямоугольнике 0 < σ0 6 σ 6
1, |t| < T совпадают с нулями аппроксимирующего полинома Qn (s) и его
производных при n = 2[T ] + 1 и при T > T0 .
Список цитированной литературы
[1] А. Е. Коротков, О. А. Матвеева. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Научные ведомости Белгородского университета.
2011. Вып. 24. С. 47–54.
Саратовский государственный университет
УДК 511.3
К ЗАДАЧЕ О ЦЕЛОСТНОСТИ L-ФУНКЦИЙ АРТИНА
В. В. Кривобок, Е. В. Сецинская, Д. С. Степаненко (г. Саратов)
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Рассмотрим L-функцию Артина
L(s, χ) = L(s, χ, K/k) =
∏
неразв. ℘
−1
([
])
K/k
−s E − M
N
(℘)
,
℘
(1)
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
[
где
K/k
℘
235
]
– автоморфизм Фробениуса расширения K/k, относящийся к ℘.
В 1930 году Е. Артин высказал гипотезу о том, что в случае неглавного
характера L-функция (1) является целой функцией [1].
В 1947 году Брауэр доказал мероморфность L-функции Артина [2].
В данном докладе обсуждается результат о том, что L-функция Артина (1)
является мероморфной функцией, полюсы которой лежат на критической прямой и, более того, в отдельных случаях они являются корнями дзета–функций
Дедекинда некоторых числовых полей.
Список цитированной литературы
[1] Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren // Abh. math.
Semin. Univ. Hamburg. 1931. Vol. 8. P. 292–306.
[2] Brauer R. On Artin’s L-series whith general group characters // Ann. Math.
1947. Vol. 48. P. 502–514.
Саратовский государственный университет
УДК 511.3–511.6.
ОБОБЩЁННЫЕ ХАРАКТЕРЫ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ И
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЙЛЕРОВЫХ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ С ТАКИМИ ХАРАКТЕРАМИ
В. Н. Кузнецов, В. А. Матвеев, О. А. Матвеева (г. Саратов)
[email protected], [email protected],
[email protected]
Пусть K — конечное расширение поля рациональных чисел, и пусть χ — конечнозначный характер, заданный на полугруппе целых идеалов кольца целых
чисел поля K.
Характер χ будем называть обобщённым, если
1. χ(p) ̸= 0 почти для всех простых идеалов p;
∑
2. S(x) =
= αx + O(1),
a,
N (a)6x
где суммирование ведётся по всем целым идеалам поля K, норма которых не
превосходит x.
Заметим, что условиям 1 и 2 удовлетворяют все характеры Дирихле поля K в
том случае, когда это поле является круговым расширением поля рациональных
чисел.
236
Секция 5
Для обобщённых характеров числовых полей высказывается предположение, аналогичное гипотезе Н. Г. Чудакова относительно обобщённых числовых
характеров [1]: обобщённый характер числового поля K является характером
Дирихле этого поля.
Авторы надеются получить аналитическое решение этой проблемы. С этой
целью в докладе приводится результат относительно аналитических свойств
эйлеровых произведений с обобщёнными характерами.
Теорема 1. Пусть χ — обобщённый характер поля K. Тогда эйлерово произведение
)−1
∏(
χ(p)
f (s) =
1−
, s = σ + it
N (p)s
p
определяет функцию, голоморфную почти во всех точках полуплоскости σ >
0, за возможным исключением точки s = 1, где она может иметь полюс
первого порядка. На границе σ = 0 функция f (s) не имеет точек типа полюса,
то есть точек s = it, таких, что |f (σ + it)| → ∞ при σ → 0.
Список цитированной литературы
[1] Н. Г. Чудаков, Родосский К. А. Об обобщённых характерах // ДАН СССР.
1950. Т. 73, вып. 6. С. 1137–1138.
Саратовский государственный университет
УДК 511.3
ОБ ОДНОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ГИПОТЕЗЫ
Н. Г. ЧУДАКОВА В СЛУЧАЕ ГЛАВНЫХ
ОБОБЩЁННЫХ ХАРАКТЕРОВ
В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов)
[email protected], [email protected]
В 1950 году Н. Г. Чудаков высказал гипотезу о том, что конечнозначный
числовой характер h(n), удовлетворяющий следующим свойствам:
1. h(p) ̸= 0 почти для всех простых p;
∑
2.
h(n) = αx + O(1),
n6x
является характером Дирихле [1], [2].
Характер, удовлетворяющий свойствам 1 и 2, получил название обобщённого характера: в случае α ̸= 0 — главного, в противном случае — неглавного.
Гипотеза Н. Г. Чудакова для главных обобщённых характеров была доказана в
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
237
1964 году В. В. Глазковым [3], [4]. Доказательство этого результата проводилось
элементарным методом, основанным на изучении множеств значений, которые
может принимать главный обобщённый характер.
В данном докладе приводится доказательство гипотезы Чудакова в случае главных обобщённых характеров, основанное на изучении аналитических
свойств рядов Дирихле с обобщёнными характерами.
Список цитированной литературы
[1] Чудаков Н. Г., Линник Ю. В. Об одном классе вполне мультипликативных
функций // ДАН СССР. 1950. Т. 74, вып. 2. С. 193–196.
[2] Чудаков Н. Г., Родосский К. А. Об обобщённом характере // ДАН СССР.
1950. Т. 73, вып. 6. С. 1137–1138.
[3] Глазков В. В. Об обобщённых характерах // Некоторые вопросы теории
полей: сборник статей — Саратов: издательство Саратовского университета.
1964. С. 67–78.
[4] Глазков В. В. Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел // Исследования по теории чисел: межвуз. сб. Саратов: издательство
Саратовского университета. 1968. Вып. 2. С. 3–40.
Саратовский государственный университет
УДК 511.3
ОБ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ АНАЛИТИЧЕСКИХ
СВОЙСТВАХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ, ОТВЕЧАЮЩИХ
СТЕПЕННЫМ РЯДАМ, ИМЕЮЩИМ ПОЛЮСЫ
КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА В ТОЧКЕ z = 1
Т. А. Кузнецова, О. А. Матвеева (г. Саратов)
[email protected]
Рассмотрим ряд Дирихле
f (s) =
∞
∑
an
n=1
ns
,
s = σ + it
(1)
и соответствующий ему (с теми же коэффициентами) степенной ряд
g(z) =
∞
∑
an z n .
n=1
В докладе доказывается следующее утверждение:
(2)
238
Секция 5
Теорема 1. В классе рядов Дирихле, имеющих конечную абсциссу сходимости, следующие условия эквивалентны:
1. степенной ряд (2) определяет функцию, имеющую полюс k-го порядка в
точке z = 1;
2. ряд Дирихле (1) определяет функцию, мероморфную в комплексной плоскости, с возможными полюсами первого порядка в точках s = 1, 2, . . . , k
(причём в s = k полюс обязателен), модуль которой удовлетворяет следующему условию роста в левой полуплоскости:
(
)
|f (s)| = O e|s| ln |s|+A|s| ,
где A — некоторая положительная константа.
Саратовский государственный университет
УДК 511.3
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И
ПЛОТНОСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РЯДОВ ДИРИХЛЕ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
О. А. Матвеева (г. Саратов)
[email protected]
В докладе доказывается следующее утверждение:
Теорема 1. Для любого ε > 0 для числа нулей Nε (T ) рядов Дирихле с
ненулевыми периодическими коэффициентами, лежащих в прямоугольнике 21 −
ε < σ < 12 + ε, 0 < t 6 T , имеет место следующая асимптотическая формула:
Nε (T ) ∼
1
T ln T.
2π
В основе доказательства теоремы 1 лежит доказательство утверждения о
том, что для рядов Дирихле
f (s) =
∞
∑
an
n=1
ns
,
s = σ + it
с периодическими коэффициентами, сумматорные функции которых ограничены, существует последовательность полиномов Дирихле Qn (s), приближающих
функцию f (s) и её производные в любом прямоугольнике 0 6 σ0 < σ 6 1, 0 <
t 6 T с показательной скоростью.
Также используются известные результаты о нулях почти периодических
функций конечного класса [1], каковыми являются полиномы Дирихле Qn (s).
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
239
Список цитированной литературы
[1] Левин Б. А. Распределение корней целых функций. — М.: издательство
технико-теоретической литературы, 1956.
Саратовский государственный университет
УДК 511.3
БИНАРНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ С
КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ
Л. Н. Куртова (г. Белгород)
[email protected]
Рассматривается задача, родственная проблеме делителей
√ Ингама.
Пусть d – отрицательное бесквадратное число, F = Q( d) – мнимое квадратичное поле, δF – дискриминант поля F , Q1 (m) и Q2 (k) – бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами A1 и A2 ,
det A1 = det A2 = −δF .
Получена асимптотическая формула для числа решений I(n) определенного
уравнения с квадратичными формами
Q1 (m) + Q2 (k) = n.
Теорема 1. . Пусть ε – произвольное положительное число, δF – дискриминант поля F , n ∈ N . Справедливо равенство
q
+∞
4π 2 n ∑ −4 ∑ −2πinl/q
e
G1 (q, l, 0)G2 (q, l, 0) + O(n3/4+ε ).
I(n) =
q
|δF | q=1
l=1
Gi (q, l, 0) =
∑
(l,q)=1
exp(2πilQi (m)/q) (i = 1, 2) — двойные суммы Гаусса. Сум-
m (mod q)
ма особого ряда асимптотической формулы положительна.
Пусть
∑
I(n, h) =
e−
Q1 (m)+Q2 (k)
n
.
Q1 (m)−Q2 (k)=h
Теорема 2. . Пусть ε – произвольное положительное число, δF – дискриминант поля F , n, h ∈ N , h 6 nε . Справедлива асимптотическая формула
q
+∞
2π 2 n ∑ −4 ∑ −2πihl/q
I(n, h) =
q
e
G1 (q, l, 0)G2 (q, −l, 0) + O(n3/4+ε ).
|δF | q=1
l=1
Gi (q, l, 0) =
∑
(l,q)=1
exp(2πilQi (m)/q) (i = 1, 2) — двойные суммы Гаусса. Сум-
m (mod q)
ма особого ряда асимптотической формулы положительна.
Доказательство теорем проводится круговым методом с использованием
оценки А. Вейля [1] для суммы Клоостермана.
240
Секция 5
Список цитированной литературы
[1] Estermann T. On Klostermann’s sum // Mathematika. 1961.№8. P. 83–86.
НИУ БелГУ
УДК 511.3
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНОГО КЛАССА
РЯДОВ ДИРИХЛЕ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ
КОНЕЧНОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В. А. Матвеев, О. А. Матвеева (г. Саратов)
[email protected], [email protected]
Рассмотрим ряд Дирихле
f (s) =
∞
∑
h(n)
n=1
ns
,
s = σ + it,
(1)
где h(n) — ненулевая конечнозначная мультипликативная функция натурального аргумента, сумматорная функция которого удовлетворяет условию
∑
S(x) =
h(n) = αx + O(1).
n6x
Для таких рядов Дирихле доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Ряд Дирихле (1) определяет функцию, голоморфную почти во
всех точках полуплоскости σ > 0, за возможным исключением точки s = 1,
где она может иметь полюс первого порядка. На границе σ = 0 у неё нет
точек типа полюса.
Здесь точку s = it мы называем точкой «типа полюса», если |f (σ + it)|
стремится к бесконечности при σ, стремящемся к нулю.
Саратовский государственный университет
УДК 511.512
ОБ ОСОБОМ РЯДЕ ДЛЯ ЗАДАЧИ О ВЗВЕШЕННОМ
ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ
КВАДРАТИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
У. М. Пачев, Р. А. Дохов (г. Нальчик)
[email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
241
В [1,2] получены асимптотические формулы с остаточными членами для
взвешенного числа целых точек на s-мерных квадратичных поверхностях; в
первой из них рассмотрен диагональный случай, а во второй – общий случай
квадратичных форм. В нашем случае четырёхмерных квадратичных поверхностей результат из [2] имеет вид
(
)
3
I(n) = π 2 nW (n)H(p) + O ∥A∥ |δF |3 n 4 +ε ,
где
∑
I(n) =
e−
ω(x)
n
p(x)=0
– взвешенное число целых точек на четырехмерной поверхности второго порядка
p(x) = Q1 (x1 , x2 ) − Q2 (x3 , x4 ) − h = 0,
ω(x) = λ (Q1 (x1 , x2 ) + Q2 (x3 , x4 )) , λ > 1.
W (n) – комплексный интеграл, который в нашем случае имеет вид
∫ 1+i∞ h
en · z
1
dz, λ > 1;
W (n) =
2πi 1−i∞ λ2 − z 2
H(p(x)) =
∞
∑
q
q
∑
−4
q=1
S(lp(x), q)
l=1
(l,q)=1
– особый ряд Харди-Литтлвуда, где
q
∑
S(p(x), q) =
e2πi
p(x1 ,...,x4 )
q
,
x1 ,...,x4 =1
∥A∥ – норма матрицы A = (aij ), определяемая равенством
∥A∥ = max
4
∑
16i64
|aij | ,
j=1
(√ )
δF – дискриминант мнимого квадратичного поля F = Q
d , d – свободно
от квадратов, соответствующего бинарным квадратичным формам Q1 (x1 , x2 ) и
Q2 (x3 , x4 ).
В [1,2] даны также оценки для W (n) и H(p(x)). В нашем случае четырехмерной квадратичной поверхности, не являющейся конусом, удается получить более точную оценку сверху для H(p(x)), если воспользоваться следующим утверждением о сумме Рамануджана
cq (h) =
q−1
∑
l=1
(l,q)=1
e−2πi q .
lh
242
Секция 5
Лемма 1. Для суммы Рамануджана справедливо неравенство
cq (h) 6 НОД (q, h).
С учетом этой леммы, в силу теорем 1-3 статьи [3], получаем следующий
результат.
Теорема 1. Для особого ряда H(p(x)), где p(x) = Q1 (x2 , x2 ) − Q2 (x3 , x4 ) − h
и det (Q1 ) = det (Q2 ) = −δF справедливы оценки сверху 0 < H(p(x)) ≪ |δF |nε
при h ≪ nε ; и 0 < H(p(x)) ≪ |δF |h при h = O(1).
Эта теорема уточняет в четырехмерном случае соответствующие оценки из
[1,2], которые в наших обозначениях имеют вид 0 < H(p(x)) ≪ |δF |2 nε , где ε –
сколь угодно малое положительное число.
Список цитированной литературы
[1] Малышев А. В. О взвешенном количестве целых точек, лежащих на поверхности второго порядка // Зап. науч. семинара. ЛОМИ. 1966. Т. 1. С.
6–83.
[2] Головизин В. В. О распределении целых точек на гиперболических поверхностях второго порядка // Зап. науч. семинара. ЛОМИ. 1981. Т. 106. С.
52–69.
[3] Пачев У. М., Дохов Р. А. О двойных суммах Гаусса, соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля // Научные ведомости БелГУ.
Сер.: Математика. Физика. 2013. №19, вып. 32. С. 43–54.
Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова
УДК 511.524
ОБОБЩЕННАЯ ТЕРНАРНАЯ ПРОБЛЕМА
ЭСТЕРМАНА ДЛЯ НЕЦЕЛЫХ СТЕПЕНЕЙ С ПОЧТИ
РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ
П. З. Рахмонов (г. Москва)
[email protected]
Estermann [1] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения
p1 + p2 + n2 = N,
(1)
где p1 , p2 — простые числа, n — натуральное число.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
243
Профессор В. Н. Чубариков поставил следующую задачу: рассмотрение
уравнения (1), в котором слагаемое n2 заменится на [nc ], где c – нецелое фиксированное число и исследование его при более жестких условиях, а именно,
когда слагаемые почти равны. Эту задачу мы называем обобщённой тернарной
проблемой Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми.
Теорема 1. [2] Пусть N — достаточно большое натуральное число, L =
ln N , c – нецелое фиксированное число с условиями
(
) ln L
∥c∥ > 3c 2[c]+1 − 1
,
L
c >
4
+ L −0,3 .
3
(2)
1
Тогда при H > N 1− 2c L 2 для I(N, H) — числа решений уравнения
c
N N c
p1 + p2 + [n ] = N, pi − 6 H, i = 1, 2, [m ] − 6 H
3
3
в простых числах p1 , p2 и натуральных m — справедлива асимптотическая
формула:
(
)
H2
18
H2
I(N, H) = 1 · 1− 1
+O
.
1
3c c N c L 2
N 1− c L 3
Следствие 1. Каждое натуральное число N > N0 представимо суммою
двух простых чисел p1 , p2 и целой частью нецелой степени натурального m с
условиями
( ) 1c 1
N
pi − 6 N 1− 2c L 2 , m − N 6 31 N 2c1 L 2 − 9(c1 − 1) L 4 + 1,
3c c
3
3
3 c 2c2
где c – нецелое фиксированное число с условиями (2).
Доказательство теоремы 1 проводится круговым методом Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова и его
основу составляют:
• лемма 1 об оценке коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью
натурального числа Sc (α; x, y) для всех точках α ∈ [−0, 5, 0, 5], включая
окрестности точек с малыми знаменателями, за исключением только малой окрестностью нуля;
• лемма 2 об асимптотической формуле с остаточным членом суммы
Sc (α; x, y) для точек α, принадлежащих малой окрестностью нуля;
• лемма 3 о поведении коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами S(α; x, y) для точекα, принадлежащих малой окрестностью нуля.
244
Секция 5
Лемма 1. [3, 4] Пусть x > x0 > 0, Lx = ln x, A – фиксированное положительное число больше единицы, c – нецелое число с условиями
(
)
1 < c 6 log2 Lx − log2 ln Lx6A ,
∥c∥ > 2[c]+1 − 1 (A + 1) Lx−1 ln Lx .
√
Тогда при y > 2cx LxA+θ и x1−c y −1 LxA 6 |α| 6 0, 5 справедлива оценка
∑
Sc (α; x, y) =
e(α[nc ]) ≪ yLx−A ,
x−y<n6x
где θ = 0 при c > 1, 1 и θ = 0, 5 при c < 1, 1.
Лемма 2. [3, 4] Пусть x > x0 > 0, A – фиксированное положительное
число больше единицы, c – нецелое число с условиями
1 < c 6 log2 L − log2 ln L 6A ,
Тогда при y >
формула
√
(
)
ln L
∥c∥ > 2[c]+1 − 1 (A + 1)
.
L
2cx 2 L A и |α| 6 x1−c y −1 L A справедлива асимптотическая
1
sin πα
Sc (α; x, y) =
πα
∫
(
x
e(α(t − 0, 5))dt + O
c
x−y
y| sin πα|
LA
)
.
x
5
Лемма 3. [5] Пусть x > x0 , y > x 8 exp(ln x)0,67 и |α| 6 2 . Тогда справедy
ливо равенство:
∑
(
)
sin παy ( (
y ))
+ O y exp(− ln4 ln x) .
S(α; x, y) =
Λ(n)e(αn) =
e α x−
πα
2
x−y<n≤x
Список цитированной литературы
[1] Estermann T. Proof that Every Large Integer is the Sum of Two Primes and
a Square // Proc. London Math. Soc. (1937) s2-42(1): 501 – 516.
[2] Обобщённая тернарная проблема Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и
технических наук. 2013. №2(151). С. 7 – 16.
[3] Рахмонов П.З. Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью
натурального числа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика.
2012. №6. С. 51–55.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
245
[4] Рахмонов П.З. Оценка коротких тригонометрических сумм с нецелой
степенью натурального числа // ДАН РТ. 2012. Т. 55, №3. С. 185–191.
[5] Рахмонов З.Х. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами // ДАН РТ. 2000. Т. 43, №3. С. 27–40.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 511.524
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПРОБЛЕМЫ
ВАРИНГА — ГОЛЬДБАХА СО СДВИНУТЫМИ
ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
Ф. З. Рахмонов (г. Душанбе, Республика Таджикистан)
[email protected]
В 1938 г. Хуа Ло Ген [1] доказал, что всякое достаточно большое натуральное число N ≡ 5(mod 24) является суммой пяти простых квадратов. В докладе
рассматривается аналог этой задачи, когда простое число p заменяется на его
сдвинутое p + 1, а именно, доказывается асимптотическая формула для количества таких представлений и найдено арифметическое условие, при выполнении которого особый ряд задачи больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N . Постановка этой задачи принадлежит профессору
В.Н.Чубарикову.
Теорема 1. [2] Для числа I2 (N, 1) представлений N суммой пяти квадратов сдвинутых простых чисел pi + 1, i = 1, 5 справедлива асимптотическая
формула:
( 3)
3
4π 2 S(N )N 2
N2
I2 (N, 1) =
+
O
, L = ln N,
3L 5
L6
где S(N ) – особый ряд абсолютно сходится и справедливо соотношение
{
)
∏(
10
c(N ), если N ≡ 0(mod 4);
c(N ) > 2
1− 2
S(N ) =
.
0,
если N ̸≡ 0(mod 4),
φ (p)
p>7
Основу доказательства теоремы 1 составляют публикации автора [3, 4, 5],
которые здесь приведены в виде лемм 1, 2, 3 и соответственно посвящены:
• исследованию особого ряда
S(N ) =
∞
∑
q=1

∑  ∑
1
e

φ5 (q) a=0
n=1
q
q
(a,q)=1
(n,q)=1
(
5
(
)
)
a(n + 1)2 
aN
 e −
q
q
и нахождению арифметического условия, при выполнении которого этот
особый ряд больше абсолютной положительной постоянной, зависящей
только от N ;
246
Секция 5
• поведению тригонометрической суммы с простыми числами
Vm (α; x, k) =
∑
e(α(p + k)m ), α =
p6x
a
+ λ,
q
(a, q) = 1, |λ| 6
1
, 1 6 q 6 τ,
qτ
когда α приближается рациональным числом с малым знаменателем и
устанавливается ее связь с плотностными теоремами для нулей L – рядов
Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы;
• оценке V2 (α; x, 1), когда α приближается рациональным числом с большим
знаменателем.
Лемма 1. Справедливо соотношение
{
c(N ), если N ≡ 0(mod 4);
S(N ) =
0,
если N ≡
̸ 0(mod 4),
где c(N ) – абсолютная положительная постоянная, зависящая только от N ,
и
)
∏(
10
c(N ) > 2
1− 2
.
φ
(p)
p>7
(
)
3
1
Лемма 2. Пусть x > x0 , τ > xm− 8 exp(ln0,76 x), q 6 x 4 exp − ln0,76 x ,
b > 222(m + 1) — произвольное фиксированное положительное число, k — фиксированное натуральное число,
{
(
)
q
∑
exp(− ln4 ln x) если q 6 (ln x)b ,
a(n + k)m
e
Tm (a, q) =
, F (q, x) =
q
(ln x)B+4
если q > (ln x)b .
n=1
(n,q)=1
Тогда справедливо равенство:
Tm (a, q)
Vm (α; x, k) =
γ(λ; x, k) +
φ(q)
∫ x
e(λ(u + k)m )
du.
γ(λ; x, k) =
ln u
2
(
)
m
xq m+1
F (q, x) ,
φ(q)
Лемма 3. Пусть x > x0 , тогда справедлива оценка
)
(
∑
15
3 1
1
V2 (α; x, 1) =
e(α(p + 1)2 ) ≪ xq − 8 + x 16 + x 4 q 8 L 8 .
p6x
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
247
Список цитированной литературы
[1] Hua L.K. Some results in the additive prime number theory // Quart. J. Math.
9 (1938), 68-80.
[2] Рахмонов Ф.З. Асимптотическая формула для проблемы Варинга – Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56, №3. С. 186 – 191.
[3] Рахмонов Ф.З. Исследование особого ряда в проблеме Варинга–Гольдбаха
со сдвинутыми простыми числами // Дискретная математика. 2011. Т. 23,
вып. 4. С. 3 – 32.
[4] Рахмонов Ф.З.Оценка тригонометрических сумм с простыми числами //
Чебышевский сборник. 2011. Т 12, вып. 1. С. 158—171.
[5] Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами. // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. №3.
С. 56 – 60.
Институт математики АН Республики Таджикистан
УДК 511.172
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИМВОЛА ТИПА
С. А. Тюрин (г. Нижний Новгород)
[email protected]
Пусть p – нечетное простое число, p ≡ 3(mod 4), Zp – поле классов вычетов
по модулю p, Z∗p – мультипликативная группа ненулевых элементов поля Zp .
Элемент группы Z∗p будем называть элементом первого типа, если абсолютно
наименьшие вычеты данного элемента и обратного (по модулю p) имеют одинаковые знаки, и элементом второго типа, если эти знаки разные. Типом целого
числа по модулю p будем называть тип класса вычетов, которому принадлежит
это число ([1]).
Символом типа называется число
{
−1, если i первого типа,
T (i, p) =
+1, если i второго типа.
Множество F r(a) = {a, a−1 , −a, −a−1 }, где a ∈ Z∗p , a ̸= ±1, будем называть
четверкой, порожденной элементом a. Все элементы четверки F r(a) имеют одинаковый тип ([2]). Он называется типом четверки. Связь символа типа с цепными дробями найдена в работе ([1]). Ниже рассмотрены некоторые свойства
символа типа.
248
Секция 5
1. Символ типа и символ Лежандра связаны соотношением
( )
− ap , где d – показатель числа a по модулю p.
2.
d
∏
d
∏
T (ai , p) =
i=1
T (ai , p) = (−1)d .
i=1
3. Пусть S(a, p) – количество элементов второго типа в подгруппе группы
Z∗p , порожденной элементом a. Тогда
d
∑
(−1)i · НОД (i, d) · S(ai , p) = 0.
i=1
4. Пусть m – количество четверок второго типа. Тогда
∑сумма типов всех
элементов группы Z∗p равна (8m + 1 − p). Кроме того, 1≤i≤(p−1) i = 2p · m.
T (i,p)=1
5. Пусть A – квадратная матрица порядка
( (p)− 1), элементы которой задаются равенством A(i, j) = T (i · j, p) · T ji , p . Тогда сумма элементов этой
матрицы равна (8m + 1 − p)2 .
6. Пусть B – трехмерная матрица порядка (p − 1), элементы
(
) которой за( ij )
( jk )
ki
даются равенством B(i, j, k) = T k , p · T i , p · T j , p . Тогда сумма
элементов этой матрицы равна (8m + 1 − p)3 .
Список цитированной литературы
[1] Тюрин С. А. Символ типа и теорема Вильсона // Известия вузов. Математика. 2012. № 9. С. 47–53.
[2] Тюрин С. А. Об одном типе подмножеств простого поля // Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения: тезисы докладов X Международной конференции. Волгоград. 2012. С. 62–63.
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
УДК 511.335
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ С КОНЕЧНЫМ
ЧИСЛОМ ПРОСТЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
Г. В. Федоров (г. Москва)
[email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
249
Определим многомерную функцию делителей τk (n) стандартным образом,
как количество представлений натурального n в виде произведения x1 · x2 · . . . ·
xk = n, где x1 , x2 , . . . , xk — натуральные числа, причем считаем, что τk (0) = 0,
τk (1) = 1, τ1 (n) = 1. В случае k = 2 значение функции τ2 (n) = τ (n) равно количеству различных делителей натурального числа n. В общем случае, у многомерной функции делителей τk (n) число сомножителей k в представлении числа
n будем называть ее размерностью, а само число n – аргументом функции делителей. Арифметическая функция ω(n) равна количеству простых делителей
числа n без учета кратности.
В 1907 году С. Вигерт [1] показал, что в случае k = 2 верхнее предельное
значение функции делителей удовлетворяет соотношению
lim sup
n→∞
ln τk (n) ln ln n
= ln k.
ln n
В общем случае для фиксированного значения размерности k этот результат
был получен С. Рамануджаном в 1915 году [2]. Далее данная задача исследовалась в различных интерпретациях и многократно обобщалась (обзор см. в [3],
а также [4]-[6]).
В данном сообщении будет представлено решение задачи о поиске верхнего
предельного значения для функции делителей τk (n) при различных значениях
k для целых n с фиксированным числом простых делителей, то есть с условием
ω(n) = a. Особенно интересным является случай k ∼ log2 n.
Теорема 1. Пусть целые положительные числа n удовлетворяют условию ω(n) = a для фиксированное целого a > 1. Пусть целые k > 2 фиксированы
или k = k(n) → ∞ при n → ∞. Если при этом logk n = o(1), то достигается
2
верхний предел
log2 τk (n)
lim sup
= a.
n→∞ k · log2 log2 n
Если
log2 n
k
= A + o(1), A > 0 фиксированное вещественное число, то
(
))
(
a
pλj
log2 τk (n)
1 ∑ log2 pλj
lim sup
= B,
B=
+ log2
,
log2 n
A j=1 pλj − 1
pλj − 1
n→∞
где p1 = 2, p2 = 3, . . . , pa — последовательные простые числа, λ > 0 — решение
уравнения
a
∑
log2 pj
= A.
f (λ) =
λ
p
−
1
j
j=1
Если
log2 n
k
= o(1), то
lim sup
n→∞
log2 τk (n)
(
) = 1.
k
log2 n · log2 log n
2
250
Секция 5
Заметим, что для любого значения A > 0 всегда найдется λ > 0, поскольку
функция f (λ) непрерывна, причем f (λ) → +∞ при λ → +0 и f (λ) → +0 при
λ → +∞.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00835).
Список цитированной литературы
[1] S. Wigert Sur l’ordre de grandeur du nombre des diviseurs d’un entier // Ark.
Mat. 1907. 3, №18. P. 1-9.
[2] S. Ramanujan Highly composite numbers // Proc. London Math. Soc. 1915.
14, №2. P. 347-409.
[3] K. K. Norton Upper bounds for sums of powers of divisor functions // Journal
of number theory. 1992. 40. С. 60-85.
[4] Г. В. Федоров О количестве делителей чисел сочетаний // Мат. заметки.
2013. Т. 93. №2. С. 276–285.
[5] Г. В. Федоров Верхнее предельное значение функции делителей с растущей
размерностью // Докл. АН. 2013. Т. 452, №2. С. 141–143.
[6] Г. В. Федоров О количестве простых делителей целого числа с ограничением кратности // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика.
Информатика. 2014 (в печати).
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
UDC 511.3
THE MOMENTS OF THE PERIODIC ZETA-FUNCTION
ˇ
S. Cernigova
(Vilnius, Lithuania)
e-mail: [email protected]
Let s = σ + it be a complex variable, and λ ∈ R be a fixed parameter. The
periodic zeta-function ζλ (s) is defined, for σ > 1, by the Dirichlet series
∞
∑
e2πiλm
,
ζλ (s) =
ms
m=1
and by analytic continuation elsewhere. For λ ∈ Z, the function ζλ (s) reduces to the
Riemann zeta-function ζ(s). Moreover,
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
251
ζλ (s) = e2πiλ L(λ, 1, s),
where, for 0 < α ≤ 1,
∞
∑
e2πiλm
L(λ, α, s) =
, σ > 1,
(m + α)s
m=0
is the Lerch zeta-function. Since the function e2πiλm is periodic with minimal period
1, we may assume that 0 < λ ≤ 1.
We consider the mean square and the fourth power moment of the function ζλ (s).
The first problem deals with Atkinson type formula for
Eσ (q, T ) =
q ∫
∑
a=1
T
0
|ζ aq (σ + it)|2 dt − qζ(2σ)T −
ζ(2σ−1)Γ(2σ−1) sin(πσ)
(qT )2−2σ ,
1−σ
where a and q are integers, 1 ≤ a ≤ q. Let c1 T < N < c2 T , where c1 < c2 ,

N1 = N1 (q, T, N ) = q 
and σα (m) =
∑
∑
d|m
T
qN
+
−
2π
2
((
qN
2
)2
) 21 
qN T

+
2π
dα . Define
( ) 12 −σ ∑
T
(−1)qm σ1−2σ (m)
(q, T ) = 2 q
1
π
m1−σ
m≤N
(
(√
))−1 (
)− 1
T
πqm
1 4
× arsinh
+
2T
2πqm 4
) √
)
(
(√
π
πqm
2
2
2
× cos 2T arsinh
+ 2πqmT + T q m −
2T
4
σ−1 1−σ
and
∑
(
( (
) 1 −σ ∑
))−1
T 2
σ1−2σ (m)
qT
(q, T ) = −2q
log
1−σ
2
2π
m
2πm
m≤N
(
(
) 1
)
qT
π
× cos T log
−T +
.
2πm
4
1−σ
252
Секция 5
Theorem 1. Suppose that σ,
Eσ (q, T ) =
1
2
∑
1
< σ < 34 , is fixed. Then, for q ≤ T ,
(q, T ) +
∑
2
(q, T ) + R(q, T ),
where R(q, T ) = O(q 4 −σ log T ), with the O - constant depending only on σ.
7
Next we study the mean square of Eσ (q, T ).
Theorem 2. Suppose that σ,
4σ
q ≤ T 1− 3 ,
∫
T
Eσ2 (q, t)dt
1
2
< σ <
−1
= 2(5 − 4σ) (2π)
is fixed. Then, for T → ∞ and
3
,
4
2σ− 32
q
3
−2σ
2
2
T
5
−2σ
2
∞
2
∑
σ1−2σ
(m)
m 2 −2σ
5
m=1
+ O(q 4 −2σ T 4 −σ log T ).
11
7
If q = 1, then Theorems 1 and 2 give the results of [2].
An analogue of the Theorem 2 is also true for σ = 12 . Let
E(q, T ) =
q ∫
∑
a=1
T
0
(
)2
(
)
ζ a 1 + it dt − qT log qT − 2γ0 − 1 ,
q 2
2π
where γ0 is the Euler constant, and d(m) =
∑
d|m
1.
1
Theorem 3. For T → ∞ and q ≤ T 3 ,
∫
T
√ 3 ∞
2 qT 2 ∑ d2 (m)
5 7
E (q, t)dt = √
+ O(T 4 q 4 log4 T ).
3
3 2π m=1 m 2
2
2
If q = 1, then Theorem 3 contains the results of [1].
Now we will consider the fourth power moment of ζλ (s) in the critical strip. We
have the following results.
Theorem 4. Suppose that λ is irrational, 0 < λ < 1, 12 < σ < 1 and T → ∞.
Then, for every ε > 0,
∫ T
|ζλ (σ + it)|4 dt
1
(
)
2
4
∑
3
ζ (2σ)
sin πλ(m1 + n1 − m2 − n2 )
−σ+ε
2
=T
−2
+
O(T
).
2σ
ζ(4σ)
(m1 n1 )
m n =m n
1 1
2 2
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
253
The case of rational λ is more complicated, and we have only the following
analogue of Theorem 4.
Theorem 5. Suppose that the number λ is rational, 0 < λ < 1, 34 < σ < 1 and
T → ∞. Then, for every ε > 0,
∫ T
|ζλ (σ + it)|4 dt
1
(
)
∑
7
ζ 4 (2σ)
sin2 πλ(m1 + n1 − m2 − n2 )
−σ+ε
4
=T
−2
+
O(T
).
2σ
ζ(4σ)
(m
n
)
1
1
m n =m n
1 1
2 2
Theorems 4 and 5 are generalizations of the known results for the Riemann
zeta-function.
REFERENCES
[1] Heath-Brown D. R. The mean value theorem for the Riemann zeta- function
// Mathematika. 1978. Vol. 25 P. 177–184.
[2] Matsumoto K. The mean square of the Riemann zeta-function in the critical
strip // Japan J. Math. 1989. Vol. 15. №1. P. 1–13.
Department of Mathematics and Informatics, Vilnius University
ON THE NUMBER OF ZEROS
OF SOME ANALYTIC FUNCTIONS
ˇ ci¯
ˇ
D. Siauˇ
unas (Siauliai,
Lithuania)
[email protected]
Let s = σ + it be a complex variable, α, 0 < α ≤ 1, be a fixed parameter,
and a = {am : m ∈ N} and b = {bm : m ∈ N0 = N ∪ {0}} be the two periodic
sequences of complex numbers with minimal periods k ∈ N and l ∈ N, respectively.
We consider value-distribution of zeta-functions with periodic coefficients which are
generalizations of the Riemann zeta-function and the Hurwitz zeta-function. The
periodic zeta-function ζ(s; a) is defined, for σ > 1, by the Dirichlet series
∞
∑
am
ζ(s; a) =
.
ms
m=1
The periodicity of the sequence of a implies, for σ > 1, the equality
ζ(s; a) =
k
(
)
1 ∑
am ζ s, m
,
k
s
k m=1
254
Секция 5
where ζ(s, β), 0 < β ≤ 1, is the classical Hurwitz zeta-function. Therefore, the latter
equality gives for the function ζ(s; a) analytic continuation to the whole complex
plane, except for a possible simple pole at the point s = 1. The periodic Hurwitz
zeta-function ζ(s, α; b) is given, for σ > 1, by the Dirichlet series
ζ(a, α, b) =
∞
∑
bm
.
(m + α)s
m=0
Similarly as in the case of ζ(s; a) by the periodicity of the sequence b, we have that,
for σ > 1,
l−1
)
(
1 ∑
ζ(s, α; b) = s
.
bm ζ s, m+α
l
l m=0
Thus the function ζ(s, α; b) also has analytic continuation to the whole complex
plane, except for a possible simple pole at the point s = 1.
The zero distribution of the function ζ(s; a) was considered in [3], of the function
ζ(s, α; b) in [1]. In the report, we discuss the universality and zero distribution of
some combinations
of the functions
{
} ζ(s; a) and ζ(s, α; b).
Let D = s ∈ C : 12 < σ < 1 . Denote by H(D) the space of analytic functions
on D endowed with the topology of uniform convergence on compacta. We say that
the operator F : H 2 (D) → H(D) belongs to the class Lip(β1 , β2 ), β1 , β2 > 0, if the
following hypotheses are satisfied:
1◦ For each polynomial p = p(s), and any compact subset K ⊂ D with connected
complement, there exists an element (g1 , g2 ) ∈ F −1 {p} ⊂ H 2 (D) such that g1 (s) ̸= 0
on K;
2◦ For any compact subset K ⊂ D with connected complement, there exist a positive
constant c, and compact subsets K1 , K2 of D with connected complements such that
sup |F (g11 (s), g12 (s)) − F (g21 (s), g22 (s))| ≤ c sup sup |g1j (s) − g2j (s)|βj
s∈K
1≤j≤2 s∈Kj
for all (gr1 , gr2 ) ∈ H 2 (D), r = 1, 2.
The joint universality of the functions ζ(s; a) and ζ(s, α; b) has been obtained in
[2]. From this, we obtain the following assertion.
Theorem 1. Suppose that the sequence a is multiplicative, for each prime p,
∞
∑
|apm |
≤ c < 1,
m
p2
m=1
and that the number α is transcendental. Then, for every σ1 , σ2 , 12 < σ1 < σ2 < 1,
there exists a constant c = c(σ1 , σ2 , α; a, b) > 0 such that, for sufficiently large T ,
the function
c1 ζ(s; a) + c2 ζ(s, α; b),
c1 , c2 ∈ C \ {0},
has more than cT zeros in the rectangle {s ∈ C : σ1 < σ < σ2 , 0 < t < T }.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
255
Our main result is based on the universality theorem for the function F (ζ(s; a),
ζ(s, α; b)) with F ∈ Lip(β1 , β2 ).
Theorem 2. Suppose that the sequence a and the number α are as in Theorem 1
and that the operator F ∈ Lip(β1 , β2 ). Let K ⊂ D be a compact subset with connected
complement, and f (s) be a continuous function on K which is analytic in the interior
of K. Then, for every ε > 0,
{
}
1
lim inf meas τ ∈ [0, T ] : sup |F (ζ(s + iτ ; a), ζ(s + iτ, α; b)) − f (s)| < ε > 0.
T →∞ T
s∈K
Theorem 2 implies an analogue of Theorem 1.
Theorem 3. Suppose that the sequence a and the number α are as in Theorem 1
and that the operator F ∈ Lip(β1 , β2 ). Then, for every σ1 , σ2 , 12 < σ1 < σ2 <
1, there exists a constant c = c(σ1 , σ2 , α; a, b, F ) > 0 such that, for sufficiently
large T , the function F (ζ(s; a), ζ(s, α; b)) has more than cT zeros in the rectangle
{s ∈ C : σ1 < σ < σ2 , 0 < t < T }.
REFERENCES
[1] Garunkˇstis R., Tamoˇsi¯
unas R. Zeros of the periodic Hurwitz zeta-function //
ˇ
Siauliai
Math. Semin. 2013. Vol. 8(16). P. 49–62.
[2] Kaˇcinskait˙e R, Laurinˇcikas A. The joint distribution of periodic zeta-functions
// Studia Sci. Math. Hungarica. 2011. Vol. 48, No. 2. P. 257–279.
[3] Steuding J. On Dirichlet series with periodic coefficients // Ramanujan J. 2002.
Vol. 6. P. 295–306.
Siauliai University
256
6
Секция 6
Диофантовы приближения и теория трансцендентных чисел
В докладах данной секции представлены последние достижения по алгебраическим, трансцендентным и p-адическим числам.
УДК 511.9
О ПРОБЛЕМЕ СОВМЕСТНЫХ
ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Ю. А. Басалов, А. Н. Басалова (г. Тула)
[email protected]
Одномерный случай
Будем называть дробь ab , (b > 0) наилучшим приближением первого рода к
числу α, если для любых c и d таких, что 0 < d ≤ b и ab ̸= db , верно
a c (1)
α − < α − .
b
d
Будем называть дробь ab , (b > 0) наилучшим приближением второго рода
к числу α, если для любых c и d таких, что 0 < d ≤ b и ab ̸= db , верно
|bα − a| < |dα − c| .
(2)
В терминах расстояния последнее условие можно записать как ∥bα∥s <
∥dα∥s .
Теорема 1. [1]. Всякое наилучшее приближение первого рода к числу α
есть промежуточная или подходящая дробь к цепной дроби, изображающей
это число.
Для наилучших приближений второго рода справедлива следующая теорема:
Теорема 2. [1]. Всякое наилучшее приближение второго рода есть подходящая дробь.
Для этой теоремы существует и обратная:
Теорема 3. [1]. Всякая подходящая дробь есть наилучшее приближение
второго рода. Единственное исключение составляет α = a0 + 12 и pq00 = a10 .
Все эти теоремы (стр. 256) полностью расскрывают ценность аппарата цепных дробей. Непрерывные дроби не просто хорошо приближают действительные числа, а делают это наилучшим образом.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
257
Многомерный случай
Рассмотрим действительное евклидово пространство Rs . Целочисленной решеткой называется конструкция вида [2, 3]
{
}
Γ = m1 γ (1) + m2 γ (2) + . . . + ms γ (s) |m1 , . . . , ms ∈ Z ,
(3)
−→ −→
−→
где γ (1) , γ (2) , . . . , γ (s) линейно независимые точки Rs . Эти точки называют
базисом решетки Γ.
Справедливы следующие утверждения
Теорема 4. [4]. Всякая вершина многогранника Клейна есть относительный минимум унимодулярной решетки.
Теорема 5. [5]. Два произвольных смежных относительных минимума
γ (1) = (a1 , . . . , as ) и γ (2) = (b1 , . . . , bs решетки Γ можно дополнить до базиса
(1)
(2)
Γ, если γ +γ
∈
/ Γ.
2
Тогда, согласно теореме 4 (стр. 257) всякое диофантово приближение есть
относительный минимум решетки Γ.
Обобщим полученные раннее результаты для того, чтобы применить их в
следущей части при построении эффективного алгоритма поиска совместных
приближений.
Согласно теореме 5 любые два относительных минимума решетки можно
дополнить до базиса Γ. Значит, среди всех относительных минимумов можно
выбрать базис решетки Γ. Любое диофантово приближение, как было показано
ранее, есть относительный минимум. То есть, cреди диофантовых приближений
всегда можно выбрать базис решетки Γ. Какими преимуществами обладает такой базис перед единичным? Для получения линейной комбинации, в которой
получится новое диофантово приближения, коэффициенты будут по абсолютной величине меньше, то есть требуемый перебор - уменьшается.
Полученные таким образом алгоритмы относят к псевдополиномиальным и
обладают большей эффективностью, чем известные ранее переборные алгоритмы (в виду оценок [6, 7]).
Список цитированной литературы
[1] Хинчин А. Я. Цепные дроби. 2-е изд. М.: ГИТТЛ, 1949. 115 с.
[2] Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.:
ИИЛ, 1961. 212 с.
[3] Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.
[4] Быковский В. А., O. А. Горкуша. Смежные минимумы решеток. // Мат.
сб. 2001. Т. 192, №2. С. 57-–66.
258
Секция 6
[5] Быковский В. А. Относительные минимумы решеток и вершины многогранников Клейна // Функц. анализ и его прил. 2006. Т. 40, вып. 1. С. 69=71.
[6] Adams W. W. The best two-dimensional diophanite approximation constant
for cubic irrtionals // Pacific journal of mathematics. 1980. Vol. 91. №1. P. 2930.
[7] Cusick J. W. The two dimensional diophanite approximation constant //
Pacific journal of mathematics. 1983. Vol. 105, №1. P. 53–67.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.42
КОЛИЧЕСТВО АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ С
МАЛОЙ ПРОИЗВОДНОЙ МИНИМАЛЬНОГО
МНОГОЧЛЕНА В КОРНЕ НА КОРОТКИХ
ИНТЕРВАЛАХ
А. Г. Гусакова, Д. В. Васильев, Н. И. Калоша (г. Минск)
[email protected]
[email protected]
В 1932 году К.Малер предложил классификацию действительных и комплексных чисел. В этой классификации около 40 лет было неясно, существуют ли Т-числа Малера или этот класс пуст. В работе [1] было показано, что
класс Т-чисел непустой и была предложена конструкция этих чисел. К сожалению, для конструкции необходимы действительные числа, в которых целочисленный многочлен принимает по модулю аномально малые значения. Нами
предлагается метод, позволяющий доказывать существование специальных алгебраических чисел. Они будут полезны для улучшения результатов [1, 3]. Мы
используем метод, предложенный в [2].
Теорема 1. Для любого Q > 1 существует промежуток I, |I| = 31 Q−u , где
u ≥ 34 , внутри которого нет действительных алгебраических чисел α степени
deg α = n ≥ 1 и высоты H(α) 6 Q, для которых выполнено |P ′ (α)| < Q1−v , 0 6
v < 41 .
Теорема 2. Пусть Ln = Ln (Q, δ0 , v, I) - множество x ∈ I, для которых
система неравенств
{
|P (x)| < Q−n+v ,
(1)
|P ′ (x)| < δ0 Q1−v ,
где 0 6 v < 14 , имеет решение в полиномах P ∈ Pn (Q). Тогда при достаточно
малом δ0 и достаточно большом d1 (n) имеем µLn < 41 |I| для всех I с условием
|I| > d1 (n)Q−u , где u 6 34 .
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
259
Из теоремы 2 следует существование множества точек x ∈ Mn = I\Ln , для
которых в неравенстве (1) справедливо |P ′ (x)| ≥ δ0 Q1−v и
3
µMn ≥ |I|.
4
(2)
Отсюда следует |x1 − α| < d2 (n)Q−n−1+2v , где α - ближайший к x1 корень
полинома P (x). Пользуясь (2) можно построить d2 (n)Q−n−1+2v таких точек x1 .
Список цитированной литературы
[1] Schmidt W. T-numbers do exist // Symposia Mathematica. IV (INDAM, Rome,
1968/1969). 1970. P. 3 – 26.
[2] Бударина Н.В., Берник В.И., О’Доннелл Х. Действительные алгебраические числа третьей степени в коротких интервалах // Доклады НАН Беларуси. Минск. 2012. С. 23 – 26.
[3] Bugeaud Y. Mahler’s classification of numbers compare with Koksma’s. Acta
Arith. 2003. P. 89 – 105.
Институт математики НАН Беларуси
УДК УДК 517.51
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ
БЕССЕЛЯ И ОПТИМАЛЬНЫЕ АРГУМЕНТЫ В
НЕРАВЕНСТВАХ ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА1
А. В. Иванов, В. И. Иванов (г. Тула)
[email protected]
Пусть d√
∈ N, Rd — d-мерное действительное евклидово пространство с нормой |x| = (x, x), R > 0, BR = {x ∈ Rd : |x| ≤ R}, L2 (Rd ) — гильбертово
пространство комплексных функций на Rd с конечной нормой
(∫
∥f ∥2 =
)1/2
.
|f | dx
2
Rd
Для функции f ∈ L2 (Rd ) fb — ее преобразование Фурье,
ER (f )2 = inf{∥f − g∥2 : g ∈ L2 (Rd ), supp gb ⊂ BR }
1
Грант РФФИ № 13-01-00045, Госзадание Минобразования №5414ГЗ
260
Секция 6
— величина наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального
сферического типа R,
}
{ k
∑
ωk (δ, f )2 = sup (−1)l Ckl f (x + lt) : |t| ≤ δ , k ∈ N
l=0
2
— модуль непрерывности порядка k.
Точную константу в неравенстве Джексона – Стечкина между величиной
наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности порядка k
определим равенством
Dk,d (R, δ)2 =
ER (f )2
.
f ∈L2 (Rd ) ωk (δ, f )2
sup
Она обладает следующим свойством однородности:
Dk,d (R, δ)2 = Dk,d (1, Rδ)2 .
Известно, что для любых R, δ > 0 Dk,d (R, δ)2 ≥ √1 k . Эта оценка снизу
C2k
достигается. Д.В. Горбачев [1] доказал неравенство
(
)
2qd/2
1
ER (f )2 ≤ √ k ωk
,f ,
R
C2k
2
где qα — наименьший положительный нуль функции Бесселя Jα (x) порядка
α ≥ −1/2.
Число
{
}
)
(
1
δ
= Dk,d (1, δ)2 = √ k
δk,d = inf δ > 0 : Dk,d R,
R 2
C2k
называют оптимальным аргументом в неравенстве Джексона – Стечкина.
В случае первого модуля непрерывности оптимальные аргументы найдены
Н.И. Черных [2] при d = 1 и Д.В. Горбачевым [3] при d > 1. В [4] доказано, что
δ2,1 > δ1,1 . В [5] установлено, что δ2,3 = δ1,3 = 2π.
Справедливы следующие результаты.
Теорема 1. Для всех d ̸= 3
δ2,d > δ1,d .
Теорема 2. Для всех k ∈ N и d = 3
δk,3 = 2q1/2 = 2π.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
261
Почему различаются случаи размерностей d = 3 и d ̸= 3? Это связано с
арифметическими свойствами нулей функции Бесселя Jα (x). Нормированная
функция Бесселя
Jα (x)
jα (x) = 2α Γ(α + 1) α
x
при α = d/2 − 1 является зональной сферической функцией пространства Rd .
Пусть 0 < qα,1 < qα,2 < · · · < qα,s < . . . — положительные нули jα (x). При
α = 1/2 (d = 3) qα,s = πs и для любого k ∈ N
∩
∞
{kqα,s }∞
{qα,s }∞
s=1 = {kqα,s }s=1 .
s=1
Для α ̸= 1/2 и достаточно большого N = N (α)
∩
{qα,s }∞
{2qα,s }s=N = ∅.
s=N
Мы предполагаем, что справедливы более сильные утверждения.
Гипотеза 1. При α ̸= 1/2
∩
{qα,s }∞
{2qα,s }∞
s=1
s=1 = ∅.
Гипотеза 2. При α ̸= ±1/2 для любых s ̸= l
qα,s
qα,l
∈
/ Q.
Список цитированной литературы
[1] Горбачев Д. В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном L2 неравенстве Джексона – Стечкина // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20,
вып. 1. C. 83–91.
[2] Arestov V. V., Chernykh N. I. On the L2 -approximation of periodic functions by
trigonometric polynomials // Approximation and function spaces: Proc. Intern.
Conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North Holland, 1981. P. 25–43.
[3] Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Мат. заметки. 2000. Т. 68, №2. С. 179–187.
[4] Arestov V. V., Babenko A. G. On the optimal point in Jackson’s inequality in
L2 (−∞, ∞) with the second modulus of continuity // East J. Approximation.
2004. Vol. 10, №1–2. P. 201–214.
[5] Горбачев Д. В., Странковский С. А. Одна экстремальная задача для положительно определенных целых функций экспоненциального типа // Мат.
заметки. 2006. Т. 80, №5. С. 712–717.
Тульский государственный университет
262
Секция 6
УДК 511.36
О ЧИСЛЕ ВЕКТОРОВ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ ВБЛИЗИ
ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ ВИДА U = F (X, Y, Z)
Э. И. Ковалевская, И. М. Морозова, О. В. Рыкова
(г. Минск, Белоруссия)
[email protected], [email protected], [email protected]
Мы используем метод, примененный в [1], и решаем более общую задачу, расширяя размерность многообразия до 4. Отметим, что отсюда следует результат
о равномерном распределении соответствующих векторов вблизи указанного
многообразия.
Пусть P = P (t) = an tn + · · · + a1 t + a0 ∈ Z[t], n > 4, an ̸= 0, H(P ) =
max(|an |, . . . , |a0 |), α1 , α2 , . . . , αn — корни многочлена
∏
∏P . Пусть µi > 0 (i =
1, 2, 3, 4). Рассмотрим параллелепипед T = 4i=1 Ii = 4i=1 [ai , bi ] ⊂ [−1/2, 1/2]4 ,
где |Ii | = bi − ai = Q−µi при Q > Q0 > 0, и множество M = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈
T : |xi − xj | < 0, 01, i ̸= j, }. Положим T1 = T \M. Введем класс многочленов
Pn (Q) = {P : |an | ≫ H(P ), H(P ) 6 Q}. Пусть An (T1 , Q) — множество векторов
α = (αi , αj , αk , αl ), 1 6 i < j < k < l 6 n, составленных из корней P , P ∈ Pn (Q),
таких, что: 1) αi , αj , αk , αl ∈ R, 2) α ∈ T1 , откуда следует, что взятые корни
различны. Доказана
Теорема 1. Если 0 < µi < 1/4, i = 1, . . . , 4, то
♯An (T1 , Q) ≫ Qn+1−µ1 −µ2 −µ3 −µ4 .
Доказательство теоремы основано на построении специальных многочленов
с условиями:
1) величины |P (t)| малы при (t, t, t, t) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ B ⊂ T1 и мера
|B| > 12 меры |T1 |,
′
2) |P (t)| ≍ H(P ) = Q в точках множества B.
Из теоремы 1 следует
Теорема
2. Пусть функция u = f (x, y, z) непрерывна в параллелепипеде
∏3
K = i−1 Ki ⊂ [−1/2, 1/2]3 . Положим J (Q, λ) = {(x, y, z, u) : x ∈ K1 , y ∈
K2 , z ∈ K3 , |u − f (x, y, z)| < Q−λ , 0 < λ < 1/4}. Тогда существует >
c(n)Qn+1−λ векторов α из An (T1 , Q) таких, что α ∈ J (Q, λ), где c(n) > 0
— некоторая константа, зависящая только от n.
В доказательстве теоремы 1 используется метод существенных и несущественных областей В. Спринджука, развитый и усовершенствованный представителями школ теории чисел НАН Беларуси (г. Минск, Беларусь) и Йоркского
университета (г. Йорк, Великобритания).
Работа выполнена в рамках ГП Белорусского Республиканского ФФИ "Конвергенция".
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
263
Список цитированной литературы
[1] Э. И. Ковалевская, О. В. Рыкова Развитие метода существенных и несущественных областей для подсчета векторов с действительными алгебраическими координатами вблизи гладких поверхностей // Чебышевский сборник. 2013. T. 14, № 4. С. 119–126.
Белорусский гос. аграрный технический у-т (БГАТУ), Минск, Беларусь
О МЕРЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЛА log(37/30)
М. Ю. Лучин (Брянск)
[email protected]
Напомним, что мерой иррациональности µ(τ ) вещественного числа τ называется нижняя грань множества чисел λ, для которых, начиная с некоторого
положительного q ≥ q0 (λ), выполняется неравенство
τ − p ≥ q −λ ,
q
p ∈ Z,
q ∈ N.
Отметим, что оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматривались многими авторами: Heimonen A., Matala-aho T.,
V¨
aa
¨n¨
anen K.[1], Rhin G. и Toffin P.[2], Wu Q.[3], Золотухина Е.С.[4]. Целью
данной работы является улучшение существующей оценки снизу меры иррациональности числа log (37/30).
Теорема 1. Пусть p, q ∈ N, q ≥ q0 , где q0 – достаточно большое число.
Тогда
37
p
1
log
>
−
.
65.3358
30 q
q
Первоначально, результат о мере иррациональности данного числа получили в 1993 году К. Ваананен, А. Хеймонен и Т. Матала-ахо [1]. В своей работе
они получили общий критерий, позволяющий оценить меру иррациональности
чисел вида log(1 − (r/s)), где r/s ∈ [−1, 1) (r, s ∈ N). В качестве примера, они
привели таблицу с полученными оценками при отдельных значениях r/s. Одним
из приведенных значений было число r/s = −7/30, которое и давало следующую оценку:
µ(log (37/30)) ≤ 619.5803...
264
Секция 6
Значительное улучшение данной оценки связано с использованием в доказательстве интеграла вида:
∫110(
J=
(x − 99)a3 n (x − 100)a2 n (x − 105)a1 n (x − 110)a2 n (x − 111)a3 n
xn+1
)
×
99
(
×
(79x2 − 16590x + 870240)a4 n
(210 − x)n+1
)
∫110
dx ≡
R(x)dx,
(1)
99
где n – таково, что все ai n ∈ N, n −→ +∞, a1 = 0.9, a2 = 0.55, a3 = 0.55,
a4 = 0.45.
Подынтегральная функция R(x) из (1) обладает свойством симметрии
(R(210 − x) = R(x)), в результате чего становится возможным использовать метод доказательства аналогичный тому, который был впервые применён В.Х. Салиховым при улучшении оценки меры иррациональности log(3) в работе [5].
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю
профессору В.Х. Салихову за многочисленные советы и помощь в работе.
Список цитированной литературы
aa
¨n¨
anen K. On irrationality measures of the
[1] Heimonen A., Matala-aho T., V¨
values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81.
№ 1. P. 183-202.
[2] Rhin G., Toffin P. Approximants de Pade simultanes de logarithms // J.
Number Theory 24. 1986. P. 284-297.
[3] Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers
// Math. Comput. 2002. Vol. 72. № 242. P. 901-911.
[4] Золотухина Е.С. Диофантовы приближения некоторых логарифмов: дис.
... канд. физ.-мат. наук. Брянск, 2009. 100 с.
[5] Салихов В.Х. О мере иррациональности ln 3 // ДАН РФ. 2007. Т. 417. № 6.
С. 753 – 755.
Брянский государственный технический университет
УДК 511.3
ПОЛИАДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В. Ю. Матвеев (г. Москва)
[email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
265
В сообщении сравниваются различные типы представления натуральных чисел: представление с двойной базой, цепью с двойной базой и полиадическое
(факториальное) представление.
Московский педагогический государственный университет
УДК 511.42
ОБ ОЦЕНКЕ СВЕРХУ РАЗМЕРНОСТИ ХАУСДОРФА
В СОВМЕСТНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ЧИСЛАМИ
Н. В. Шамукова (г. Бобруйск, Белоруссия),
Д. В. Коледа, А. В. Луневич (г. Минск, Белоруссия)
[email protected]
[email protected]
[email protected]
В работе дается оценка сверху размерности Хаусдорфа в совместных приближениях алгебраическими числами.
В метрической теории диофантовых приближений естественно возникает
следующая задача. Пусть I ⊂ R некоторый интервал. Обозначим через Ln (w, I)
множество действительных чисел x ⊂ I, для которых неравенство
|P (x)| < H −v
(1)
имеет бесконечно много решений в полиномах P (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ Z
степени deg P = n и высоты H = max |ai |. Далее, µB мера Лебега измеримого
множества B ⊂ Rk , dim B — его размерность Хаусдорфа. Известны следующие
результаты [1], [2], [3]
{
I, если w ≤ n;
µLn (w, I) =
0, если w > n;
n+1
dim Ln (w, I) =
, w > n.
w+1
В настоящей работе мы рассматриваем более общие, чем (1), задачи. Пусть
vi ≥ −1, v1 + 2v2 + v3 > n + 1, v = (v1 , v2 , v3 ). Обозначим через Sn (v) множество
векторов u = (x, z, w), x ∈ I, z ∈ T, w ∈ K, где T — круг в C, K — цилиндр в Qp ,
для которых неравенства
|x − α| < H −v1 , |z − β| < H −v2 , |w − γ| < H −v3
имеют бесконечное число решений в алгебраических числах α, β ∈ C, γ ∈ Qp —
корнях одного и того же полинома P (t) ∈ Z[t], Qp — алгебраическое замыкание
поля p-адических чисел Qp .
Пусть v1 ≥ v2 ≥ v3 .
266
Секция 6
Теорема 1. При v1 + 2v2 + v3 > n + 1 справедливы следующие неравенства:

n + 1 + 3v1 − 2v2 − v3


, если 2v2 + v3 ≤ n + 1;



1
 n + 1 + v v−
v3
2
,
если v3 ≤ n + 1 6 2v2 + v3 ;
dim Sn (v) ≤

v2


n+1


,
если v3 ≥ n + 1.

v3
Список цитированной литературы
[1] Bernik V. I. Application of Hausdorff Dimension in the theory of Diophantine
Approximation // Acta Arithmetica. 1983. Vol. 42. №3. P. 219—253.
[2] Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск:
Наука и техника, 1967.
[3] Baker A., Schmidt W. M. Diophantine approximation and Hausdorff dimension
// Proc. London Math Soc. (3) 21. 1970. P. 1—11.
УО «Белорусский государственный экономический университет», Бобруйский
филиал
Институт математики НАН Беларуси
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
7
267
Геометрия чисел и равномерное распределение
В программе секции представлены достижения владимирской теоретикочисловой школы, основанной В. Г. Журавлевым.
УДК 511.3
МНОГОМЕРНЫЕ МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННОГО
ОСТАТКА МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ1
А. А. Абросимова (г. Владимир)
[email protected]
Рассмотрим множество T , для которого задана считающая функция
r(α, i, T ) = ♯{j : 0 ≤ j < i, {jα} ∈ T }.
Если α — иррационально, то пользуясь критерием Вейля, при i → ∞ можно
записать для функции r(α, i, T ) асимптотическую формулу
r(α, i, T ) = i|T | + δ(α, i, T ),
(1)
где δ(α, i, T ) = o(i) – остаточный член формулы (1).
Определение 1. Множество T называется множеством ограниченного
остатка или BR-множеством ( bounded remainder set), если существует такая константа C, что выполняется неравенство
|δ(α, i, T )| 6 C для всех i.
Первый пример множеств ограниченного остатка был построен E. Hecke [1].
Это были интервалы T 1 длинны 0 < |b + aα| < 1, где a, b ∈ Z, для которых E.
Hecke получил следующую оценку остаточного члена
|δ(α, i, X)| 6 |a|.
Более сложной является задача построения многомерных BR-множеств, и
долгое время их никому не удавалось построить. Первый пример двумерных
множеств ограниченного остатка был построен R. Sz¨
usz в 1954 г., то есть лишь
через тридцать лет после результатов полученных E. Hecke. Это было семейство
параллелограммов. Анализируя конструкцию R. Sz¨
usz в 1987 г. P. Liardet доказал, возможность редукции от множеств ограниченного остатка размерности
D к аналогичным множествам размерности D − 1. Оригинальный подход был
найден математиками французской школы Rauzy G. (1982) и S. Ferenczi (1992).
Они связали свойство быть BR-множеством со свойствами отображения первого
1
Грант РФФИ № 14-01-00360
268
Секция 7
возвращения. Но ни кому из вышеперечисленных не удалось получить точных
оценок остаточного члена для многомерного случая. В 2011 г. В. Г. Журавлев
нашел новый способ построения множеств ограниченного остатка на основе вытягивания многомерного единичного куба и доказал многомерное обобщение
теоремы E. Hecke [2].
Автор данной работы строит двумерные множества ограниченного остатка на основе гексагональных разверткок тора и трехмерные на основе шестиугольной призмы Е. С. Федорова. Для полученных множеств на двумерном и
трехмерном торах найдены точные оценки остаточного члена и доказана многомерная теорема Гекке.
В двумерном случае шестиугольная развертка тора T 2 (c) задается параметром c = (c1 , c2 ), таким что c ∈ C = {c = (c1 , c2 ) ∈ R2 ; ci ≥ 0, min(c1 , c2 ) 6 1}.
Для случая σ(c) 6 1 получим выпуклый шестиугольник, и невыпуклый в противоположном случае, где для x = (x1 , x2 ) функция σ(x) = x1 + x2 . Координаты
вершин полученного шестиугольника (0, 0), (1 − c1 , −c2 ), (1, 0), (1 − c1 , 1 − c2 ),
(0, 1), (−c1 , 1 − c2 ). Сдвигая T 2 (c) на векторы квадратной решетки Z2 можно замостить всю плоскость, значит шестиугольник T 2 (c) является разверткой
двумерного тора T2 .
Отложим теперь вектор α = (α1 , α2 ) = tc от вершин (1, 0), (1−c1 , 1−c2 ), (0, 1),
соединив концы отложенных векторов, получим разбиение развертки на пере1
кладывающиеся области Tk2 , k = 0, 1, 2, где 0 6 t 6 1 для σ(c) 6 1 и 0 6 t 6 c1 +c
2
для σ(c) > 1. В работе автора [3] доказано, что перекладывание областей Tk2
соответствует сдвигу тора T2 на вектор α. Для каждой области Tk2 можно задать считающие функции rk (i) и отклонения этих функций δk (i). Для областей
Tk2 , k = 0, 1, 2 доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть дан сдвиг тора Sα на иррациональный вектор α =
(α1 , α2 ), т. е. числа α1 , α2 , 1 линейно независимы над Z. Пусть тор T2 разбит
на области T2k : T2 = T20 ⊔ T21 ⊔ T22 , и его развертка T 2 (c). Тогда для отклонений
δk (i), k = 0, 1, 2 выполняются неравенства:
0
σ(c) − 1
−1
−1
6 δ0 (i, x0 ) 6 2 − σ(c) для σ(c) 6 1;
6 δ0 (i, x0 ) 6
1
для σ(c) > 1;
6 δ1 (i, x0 ) 6
c1 ;
6 δ2 (i, x0 ) 6
c2 .
Полученные границы отклонений не зависят от выбора вектора α, а определяются только параметром c = (c1 , c2 ), который задает форму развертки.
В трехмерном случае в качестве развертки тора рассматривается шестиугольная призма Е. С. Федорова T 3 , которая строится с помощью произведения
торических разверток, впервые определенного в [2], в данном случае произведения единичных отрезков и шестиугольных разверток тора [4]. Разбиение призмы T 3 осуществляется на области Tn3 , n = 0, 1, 2, 3. Для каждой из областей Tn3
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
269
можно также определить считающие функции rn (i) и отклонения этих функций
δn (i). В [4] для областей Tn3 , n = 0, 1, 2, 3 получены точные оценки остаточного
члена.
Таким образом автор получил многомерное обобщение теоремы E. Hecke для
двумерного и трехмерного тоора.
Список цитированной литературы
[1] Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod.
eins.// Math. Sem. Hamburg. Univ. Bd. 1 (1921), P. 54–76.
[2] Журавлев В. Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества
огранниченного остатка. // Записки научных семинаров ПОМИ. 2011, №
392. С. 95–145.
[3] Абросимова А. А. Средние значения отклонений для распределения точек на торе.// Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. 2012.№5(124), вып. 26. С. 5–11.
[4] Абросимова А. А. Произведение торических разверток и построение множеств ограниченного остатка.// Ученые записки Орловского государственного университета. Серия: Естественные, технические и медицинские науки. 2012. № 6. Ч. 2. С. 30–37.
Владимирский Государственный Университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
УДК 511.43
ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ СИСТЕМ
СЧИСЛЕНИЯ ФИБОНАЧЧИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ1
Е.П. Давлетярова, А.А. Жукова, А.В. Шутов (г. Владимир)
[email protected]
}
{
(g)
определяется с помощью рекуррентного
Пусть последовательность Fi
соотношения
(g)
(g)
(g)
Fi+2 = gFi+1 + Fi ,
(g)
(g)
где i > 0, и начальных условий F0 = 1, F1 = g, при g = 1, 2, 3, . . .. Данную
последовательность можно рассматривать как обобщенную последовательность
Фибоначчи.
1
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант №11-01-00578-а.
270
Секция 7
Любое целое неотрицательное n может быть разложено в сумму различных
чисел из этой последовательности
n=
k
∑
(g)
εi (n)Fi ,
i=0
где ε0 (n) может быть равно 0, 1, . . . , g ′ , а g ′ = g − 1 при i = 0 и g ′ = g при
i ≥ 1. Кроме того, при всех 0 6 i 6 k − 1 из εi+1 (n) = g следует, что εi (n) = 0.
Соответствующее разложение назовем представлением n в обобщенной системе
счисления Фибоначчи.
Набор (ε0 , . . . , εl ) такой, что 0 ≤ εi ≤ g ′ и, при всех 0 6 i 6 l − 1 из εi+1 =
g следует, что εi = 0, будем называть g-допустимым. Для произвольного gдопустимого набора (ε0 , . . . , εl ) определим множество
F(g) (ε0 , . . . , εl ) = {n ∈ Z : n ≥ 0, ε0 (n) = ε0 , . . . , εl (n) = εl } .
Множества F(g) (ε0 , . . . , εl ) представляют собой множества целых неотрицательных чисел, у которых фиксированы l + 1 последних цифр разложения в
обобщенную систему счисления Фибоначчи.
Множество F(g) (ε0 , . . . , εl ) является примером так называемой квазирешетки. В последние годы появилось много работ, посвященных решению различных
теоретико-числовых задач над квазирешетками [3], [4].
В частности в работе [2] были получены решения линейной аддитивной задачи, задачи Лагранжа о четырех квадратах и тернарной проблемы Гольдбаха
в числах из множества F(ε1 , . . . , εl ), т.е. при g = 1.
Рассмотрим функцию χ(n), определяемую как
χ(n) = {(n + 1)τg } ,
√
g 2 +4−g
где {x} — дробная часть числа x, а τg =
. Определим множество
2
X (ε0 , . . . , εl ) = {χ(n) : n ∈ F(g) (ε0 , . . . , εl )}.
Справедлива следующая теорема о геометризации.
Теорема 1. Для любого g-допустимого набора (ε0 , . . . , εl ) множество
X (ε0 , . . . , εl ) есть отрезок [{−aτ }; {−bτ }], где a, b — эффективно вычислимые
(g)
(g)
целые числа, такие что 0 6 a, b < Fl + Fl+1 .
В качестве приложения данной теоремы получено решение ряда классических задач теории чисел в числах из множеств F(g) (ε0 , . . . , εl ).
Пусть
AN (ε0 , . . . , εl ) = ♯{n : 1 6 n 6 N, n ∈ F(g) (ε0 , . . . , εl )},
то есть AN (ε0 , . . . , εl ) — число натуральных чисел, у которых зафиксировано
l + 1 последних цифр представления в системе счисления Фибоначчи.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
271
Теорема 2. Для любого натурального N справедлива асимптотическая
формула
AN (ε0 , . . . , εl ) = ρ(ε0 , . . . , εl )N + O(1),
{
где
ρ(ε0 , . . . , εl ) =
τ
l+1
τ l , если εl = 0,
+ τ l , если εl = 1.
Обозначим через As,q
N (ε0 , . . . , εl ) число натуральных чисел, меньших или равных N , принадлежащих множеству F(g) (ε0 , . . . , εl ) и являющихся членами арифметической прогрессии st + q, где s, t ∈ N, q ∈ Z, 0 6 q 6 s − 1, то есть
(g)
As,q
N (ε0 , . . . , εl ) = ♯{n : 1 6 n 6 N, n ∈ F (ε0 , . . . , εl ), n = st + q}.
Теорема 3. Для фиксированного s и любого натурального N справедлива
асимптотическая формула
(
)
N
N
s,q
AN (ε0 , . . . , εl ) = ρ(ε0 , . . . , εl ) + O ln
.
s
s
Пусть π(ε0 , . . . , εl ; n) – количество простых чисел, не превосходящих n и принадлежащих множеству F(g) (ε0 , . . . , εl ), π(n) – количество простых чисел, не
превосходящих n.
Теорема 4. Множество F(g) (ε0 , . . . , εl ) содержит бесконечно много простых чисел. Более того
π(ε0 , . . . , εl ; n) = ρ(ε0 , . . . , εl )π(n)(1 + o(1)).
Обозначим через sm (ε0 , . . . , εl ; n) число решений уравнения
n1 + n2 + . . . + nm = n,
где ni ∈ F(g) (ε0 , . . . , εl ), i = 1, 2, . . . , m.
Теорема 5. Справедлива асимптотическая формула
(
)
sm (ε0 , . . . , εl ; n) = cm (ε0 , . . . , εl , {nτ }) nm−1 + O nm−2 ln n ,
где cm (ε0 , . . . , εl , δ) – некоторая эффективно вычислимая непрерывная функция, являющаяся кусочным многочленом степени m − 1 от δ.
Тернарная проблема Гольдбаха состоит в нахождении числа решений уравнения
p1 + p2 + p3 = n,
где n — нечетное натуральное число и p1 , p2 , p3 — простые числа.
Пусть ν(ε0 , . . . , εl ; n) — число решений приведеного выше уравнения с дополнительным условием pi ∈ F(g) (ε0 , . . . , εl ), i = 1, 2, 3.
272
Секция 7
Теорема 6. Справедлива асимптотическая формула
(
)
ν(ε0 , . . . , εl ; n) = Q3,1 (n)σ(n, a, b) + O n2 lnC n ,
где
(
)∏(
)
n2 ∏
1
1
Q3,1 (n) =
1+
1− 2
,
(p − 1)3
p − 3p + 3
2 ln3 n p
p|n
σ(n, a, b) =
∑
e2πim(τ n−1,5(a+b))
sin3 πm(b−a)
π 3 m3
,
|m|<∞
и a, b — некоторые эффективно вычислимые числа из кольца Z[τ ].
Список цитированной литературы
[1] Грехэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир, 1998.
[2] Давлетярова Е. П., Жукова А. А., Шутов А. В. Геометризация системы
счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Алгебра и анализ.
2013. Т. 25, вып. 6. С. 1–23.
[3] Журавлев В. Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача,
распрделение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20,
вып. 3. С. 18–46.
[4] Шутов А. В. Арифметика и геометрия одномерных квазирешеток // Чебышевский сборник. 2010. Т. 1, вып. 1. С. 255–262.
Владимирский Государственный Университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
УДК 511.3
МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА И
МНОГОМЕРНАЯ ТЕОРЕМА ГЕККЕ1
В. Г. Журавлев, А. А. Абросимова (г. Владимир)
[email protected]
[email protected]
Рассмотриваются способы построения многомерных множеств ограниченного остатка.
В работе [1] найдена общая конструкция построения множеств ограниченного остатка на основе перекладывающихся разверток тора.
1
Грант РФФИ № 14-01-00360
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
273
В одномерном случае в качестве аналога тора рассматривается окружность
единичной длины T1 , в качестве развертки которой можно рассматривать единичный полуинтервал T 1 = [0, 1). Пусть задано иррациональное число α1 , разобьем полуинтервал T 1 на два полуинтервала T01 и T11 , c длинами s0 = 1 − α1 и
s1 = α1 соответственно. Перекладывание полуинтервалов T01 и T11 соответствует
повороту окружности T1 на угол α1 .
Для каждого полуинтервала T01 и T11 зададим считающие функции rk (i) =
♯{j : 0 ≤ j < i, {jα} ∈ T 1 } как количество попаданий точек в каждую из
областей и отклонения этих функций от ожидаемой величины δk (i) = rk (i)−isk .
В одномерном случае для полуинтервалов T01 и T11 получены следующие оценки
отклонений
|δ0 (i)| ≤ 1, |δ1 (i)| ≤ 1.
В двумерном случае тор T2 сдвигается на иррациональный вектор α2 =
(α12 , α22 ). В качестве развертки тора используется выпуклый шестиугольник T 2
с координатами вершин (0, 0), (−c1 , 1−c2 ), (0, 1), (1−c1 , 1−c2 ), (1, 0), (1−c1 , −c2 ).
Отложим вектор −α2 от вершин шестиугольника T 2 с координатами (0, 1),
(1 − c1 , 1 − c2 ), (1, 0) и соединим свободные концы векторов, получим разбиение T 2 на шестиугольник T02 и два параллелограмма T12 и T22 . Полученный
шестиугольник с определенным на нем разбиением будет перекладывающейся разверткой двумерного тора T2 , а перекладывание областей Tk2 , k = 0, 1, 2
соответсвует сдвигу тора на вектор α2 . Для отклонений δk (i), k = 0, 1, 2 в [2]
получены следующие границы отклонений
0 6 δ0 (i) 6 2 − c1 − c2 , −1 6 δ1 (i) 6 c1 , −1 6 δ2 (i) 6 c2 ,
(1)
где c1 и c2 параметры характеризующие форму шестиугольника.
Если вместо вектора α2 взять вектор β 2 = h1 (α2 + d), где h ∈ N, а d вектор из
квадратной решетки Z2 , то получим двумерное обобщение теоремы Гекке [3].
В этом случае границы для отклонений (1) умножаются на h. В работе [4] для
отклонений δk (i), k = 0, 1, 2 также были найдены средние значения.
Проведенные выше рассуждения распространяются и на случай многомерного тора TD , произвольной размерности D > 2, в этом случае разбиение
развертки T D проиводится на D + 1 перекладывающихся областей TkD , k =
0, 1, . . . , D. Для областей TkD в [5] доказана теорема о границах отклонений
δk , k = 0, 1, . . . , D для областей TkD . А многомерному обобщению теоремы Гекке
посвящена работа [6].
После того, как получены формулы для точных границ отклонений δk (i),
возникает естественный вопрос, нельзя ли сделать эти границы как можно меньше, в двумерном случае этот вопрос был решен в работе [7].
Если развертка тора T D задана оптимальным образом и kj = k, когда
∈ Tk , где x0 начальная точка орбиты, заданной j сдвигами SαD (x0 )
Sαj D (x0 )
274
Секция 7
тора на вектор αD . Тогда любое бесконечное слово w(x0 ) = k0 k1 . . . kD , записанное в алфавите A = {0, 1, . . . D}, является
D-сбалансированным, т.е. у произвольных одинаковой длины факторов (подслов) u, v слова w(x0 ) разность вхождений любой буквы k ∈ A не превышает
D.
Слова w(x0 ) представляют собою естественное обобщение слов Штурма над
двухбуквенным алфавитом, являющихся 1-сбалансированными словами и получающихся вращением окружности [8].
Список цитированной литературы
[1] Журавлев В. Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества
огранниченного остатка. // Записки научных семинаров ПОМИ. 2011. №
392. С. 95–145.
[2] Абросимова А. А. Множества ограниченного остатка на двумерном торе
// Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4(40). С. 15–23.
[3] Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod.
eins. // Math. Sem. Hamburg. Univ. Bd. 1 (1921). P. 54–76.
[4] Абросимова А. А., Средние значения отклонений для распределения точек
на торе // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. 2012.
№. 5(124), вып. 26. С. 5–11.
[5] Журавлев В. Г., Многогранники ограниченного остатка // Современные проблемы математики: труды математического института имени В.
А.Стеклова. 2012. Вып. 16. C. 82–102.
[6] Журавлев В. Г. Многомерная теорема Гекке о распределении дробных частей // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 1. С. 95–130.
[7] Абросимова А. А., Блинов Д. А. Оптимизация границ отклонений для двумерных множеств ограниченного остатка // Научные ведомости БелГУ.
Серия: Математика. Физика. 2013. №26(169), вып. 33. С. 5–13.
[8] Morse M., Hedlund G. A. Symbolic dynamics II. Sturmian trajectories // Amer.
J. Math. 1940. Vol. 62. P. 1-–42.
Владимирский Государственный Университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
275
УДК 511.43
ДВУМЕРНЫЕ МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННОГО
ОСТАТКА1
Ю. С. Канаева, В. Г. Журавлев (г. Владимир)
[email protected]
В работе [1] В. Г. Журавлева был предложен обобщенный метод построения
множеств ограниченного остатка на основе перекладывающихся торических
разверток. В [2] с помощью гексагональных разверток тора были построены
двумерные множества ограниченного. Здесь же описан метод построения двумерных множеств на основе единичного квадрата T с вершинами (0, 0), (1, 0),
(1, 1), (0, 1).
Квадрат T является фундаментальной областью для квадратной решетки
Z2 , cледовательно, является разверткой двухмерного тора T.
Рис. 1.
Отметим на сторонах квадрата точки с координатами (α1 , 0) и (0, α2 ). На
основе этих векторов построим разбиение квадрата T на 3 области Tk , k = 0, 1, 2,
площади которых соответственно равны
a0 = 1 − α1 , a1 = α1 (1 − α2 ), a2 = α1 α2 .
Заметим, что полученные области легко перекладываются (рис. 1), в результате снова получаем квадрат T . Таким образом фигура T является перекладывающейся разверткой двумерного тора T, т.е. существует преобразование
Sv : T → T : x → Sv (x) = x + vk
, где x ∈ Tk , а vk - вектора перекладывания для областей Tk , k = 0, 1, 2, и они
соответственно равны:
v0 = (−α1 , 0), v1 = (1 − α1 , −α2 ), v2 = (1 − α1 , 1 − α2 ).
1
Грант РФФИ № 14-01-00360
(1)
276
Секция 7
Теперь для каждой области Tk , k = 0, 1, 2 зададим количество попаданий в
нее точек распределения или считающие функции
rk (i) = ♯{j : Sα j (0) ∈ Tk , 0 6 j < i}.
А отклонения δk (i) считающих функций rk (i) от ожидаемой величины iak
определим равными
δk (i) = rk (i) − iak ,
где ak - площадь области Tk . Относительно отклонений формулируется следующая теорема.
Теорема 1. Пусть развертка T двумерного тора T разбита на области
Tk , k = 0, 1, 2. И пусть для каждой области заданы вектора перекладывания
vk (1),тогда для отклонений δk будут выполняться следующие неравенства
−1 6 δ0 (i) 6 0,
−1 6 δ1 (i) 6 1 − α2 ,
α2 6 δ2 (i) 6 1.
(2)
Описанные выше множества Tk , k = 0, 1, 2 являются примером двумерных
множеств ограниченного остатка.
Список цитированной литературы
[1] Журавлев В. Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества
огранниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМИ. 2011. №
392. С. 95–145.
[2] Абросимова А. А., Средние значения отклонений для распределения точек
на торе // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. 2012.
№. 5(124), вып. 26. С. 5–11.
Владимирский Государственный Университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
УДК 511.43
ПОДСТАНОВКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ И
РАЗБИЕНИЯ ТОРА НА МНОЖЕСТВА
ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА
Д. В. Кузнецова, А. В. Шутов (Владимир)
[email protected], [email protected]
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
277
Пусть α ∈ Rd – вектор, координаты которого линейно независимы вместе
с единицей над кольцом целых чисел Z. Данный вектор порождает сдвиг dмерного тора Td :
Sα : x → x + α mod Zd .
При этом согласно теореме Вейля, последовательность {Sαn (0)} равномерно распределена на торе Td . Множество X ⊂ Td будем называть множеством ограниченного остатка, если существует постоянная C > 0 такая, что
|r(α, X, n)| ≤ C
для всех n, где
r(α, X, n) = ♯{k : 0 ≤ k < n, Sαk (0) ∈ X} − n(X)
– остаточный член проблемы распределения дробных долей.
Теорема 1. Пусть дано разбиние тора Td :
Td =
R
⨿
i=1
Ri ⊔
G
⨿
i=1
Gi ⊔
B
⨿
Bi
i=1
на непересекающиеся множества трех типов, удовлетворяющее двум условиям:
1) Sα (Ri ) = Ri+1 , Sα (Gi ) = Gi+1 , Sα (Bi ) = Bi+1 для всех допустимых значений i.
2) Существуют сдвиги SR , SG и SB такие, что
SR (Sα (RR )) = R1 ,
SG (Sα (GG )) = G1 и SB (Sα (BB )) = B1 .
Тогда все множества Ri , Gi , Bi являются множествами ограниченного
остатка с эффективно вычислимой константой C.
В докладе также будет рассмотрен подход к построению разбиений тора,
удовлетворяющих условиям теоремы, основанный на подстановках параллелограмов, описанных в [1]. В частности, будет рассмотрена подстановка, ранее
использовавшаяся при определении фракталов Рози. Будет доказано, что она
порождает последовательность разбиений тора на множества ограниченного
остатка, причем оценка остаточного члена не зависит от номера итерации. Также будут рассмотрены непрерывные деформации данной конструкции.
Список цитированной литературы
[1] Pytheas Fogg N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics.
Springer. 2001. 402 p.
278
Секция 7
Владимирский Государственный Университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
УДК 511.3
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИБОНАЧЧЕВЫХ ТРОЕК1
А. В. Лаптев (г. Владимир)
[email protected]
Исследуется диофантово уравнение, связанное с умножением Фибоначчи
A ◦ B = AB + [(A + 1)τ ][(B + 1)τ ],
√
где [·] - целая часть числа, τ = 5−1
– золотое сечение. Впервые введенная Ю. В.
2
Матиясевичем [1], и, независимо, Д. Кнутом [2], в настоящий момент операция
активно исследуется В. Г. Журавлевым [3], И. В. Швагиревой, Д. В. Кузнецовой.
В представленной работе рассматривается уравнение вида
2
2
2
A○
+ B○
= C○
,
(1)
2
где X ○
= X ◦ X.
√
1+
(5)
Из [4] известно, что используя функцию δ(x) = x − [(x + 1)τ ]e
τ , τe =
,
2
уравнение (1) можно перевести в кольцо Z[τ ] и, с некоторыми ограничениями,
обратно, что позволяет эффективно использовать теорию квадратичных форм
для поиска решений уравнения (1). В частности, можно показать, что для любой матрицы
(
)
a b
S=
, a, b, c, d ∈ Z.
c d
существует автоморфизм
1
(a2 − b2 − c2 + d2 ) ac − bd
ab − cd
ad + bc
T (S) = 
1 2
2
2
2
(a + b − c − d ) ac + bd
2
2

− b2 + c2 − d2 )
,
ab + cd
1 2
2
2
2
(a + b + c + d )
2
1 2
(a
2
формы
z 2 − y 2 − x2 = 0.
(2)
В результате, мы можем получить бесконечное число решений уравнения 1.
1
Грант РФФИ № 14-01-00360
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
279
Список цитированной литературы
[1] Матиясевич Ю. В. Связь систем уравнений в словах и длинах с 10-й проблемой Гильберта // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 8. C. 132–144.
[2] Knuth D. E. Fibonacci multiplication // Appl. Math. Lett. 1988. V. 2, P. 57–60.
[3] Журавлев В. Г. Суммы квадратов над о-кольцом Фибоначчи // Зап. науч.
семинаров ПОМИ 2006. Т. 337. С. 165–190.
[4] Лаптев А. В. Пифагоровы и фибоначчевы тройки // Научные ведомости
БелГУ. 2012. Т. 124. С. 240–244.
[5] Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982. 441 c.
Владимирский Государственный Университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
УДК 511.43
ДРОБИ ФАРЕЯ И ПЕРЕСТАНОВКИ,
ПОРОЖДЕННЫЕ ДРОБНЫМИ ДОЛЯМИ
Шутов А.В. (Владимир)
[email protected]
Пусть α ∈ (0; 1) и πα,n – перестановка, упорядовачивающая дробные доли
{α}, {2α}, . . . , {nα}, то есть
0 < {πα,n (1)α} < {πα,n (2)α} < . . . < {πα,n (n)α} < 1.
Изучение перестановок πα,n было начато в работе [1].
Последовательностью Фарея порядка n будем называть множество несократимых рациональных дробей вида ab со знаменателем 0 < b ≤ n, принадлежащих отрезку [0; 1] и расположенных в порядке возрастания. Через F n обозначим
разбиение отрезка [0; 1] точками последовательности Фарея порядка n, а через
Fin – интервалы этого разбиения.
Доказана следующая теорема.
Теорема 1. Перестановки πα,n и πβ,n совпадают тогда и только тогда,
когда α, β ∈ Fin для некоторого i.
Следствие 1. Пусть π(n) – число различных перестановок вида πα,n при
фиксированном n. Тогда справедливо равенство
π(n) = 1 +
n
∑
k=2
где φ(k) – функция Эйлера.
φ(k),
280
Секция 7
Также доказан следующий результат.
Теорема 2. Перестановка πα,n однозначно определяет перестановки πα,m
с n < m < πα,n (1) + πα,n (n) и не определяет однозначно перестановку πα,m с
m = πα,n (1) + πα,n (n).
Список цитированной литературы
[1] Sos V. T. A l´ankt¨ortek egy geometriai interpret´aci´oja ´es alkalmaz´asai // Mat.
Lapok. 1957. Vol. 8. P. 248–263.
Владимирский Государственный Университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
8
Теоретико-числовой
анализе
281
метод в приближенном
В программе секции представлены достижения тульской теоретико-числовой школы, основанной В. Д. Подсыпаниным в 1949 году. Все доклады относятся к современному развитию теоретико-числового метода в приближенном
анализе. Данный метод был основан и разработан в 1957-1963 годах в трудах
участников семинара Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР
под руководством Н. С. Бахвалова, Н. М. Коробова и Н. Н. Ченцова.
УДК 519.632
УГЛОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧАХ, СОДЕРЖАЩИХ ПРОИЗВОДНЫЕ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В. Ф. Бутузов (г. Москва), И. В. Денисов (г. Тула)
Аннотация
В прямоугольной области рассматривается первая краевая задача для
сингулярно возмущенного эллиптического уравнения
ε2 ∆u − εα A(x, y)
∂u
= F (u, x, y, ε)
∂y
с нелинейной по u функцией F . Для α > 1 строится полное асимптотическое разложение решения, равномерное в замкнутом прямоугольнике.
Если 0 < α < 1, то равномерное асимптотическое приближение строится
в нулевом и первом приближении.
Ключевые слова: пограничный слой, сингулярно возмущенное уравнение, асимптотическое разложение решения.
Библиография: 8 названий.
В [1–3] в прямоугольной области Ω := {(x, y) | 0 < x < a, 0 < y < b} изучалась линейная задача
ε2 ∆u − εα A(x, y)
∂u
− k 2 (x, y)u = f (x, y, ε),
∂y
u(x, y, ε) = ϕ(x, y),
(x, y) ∈ ∂Ω,
(x, y) ∈ Ω,
(1)
(2)
где ∂Ω – граница прямоугольника Ω, ε – малый положительный параметр, ∆ –
оператор Лапласа.
282
Секция 8
В [1] был рассмотрен случай A(x, y) ≡ 0, для которого показано, что полное
асимптотическое разложение решения, равномерное в замкнутом прямоуголь¯ состоит из регулярной части, четырех погранслойных частей и четынике Ω,
рех угловых погранслойных частей (в соответствии с четырьмя сторонами и
четырьмя вершинами прямоугольника).
¯ и α = 0, для котороВ [2] рассмотрен более сложный случай A(x, y) > 0 в Ω
го также показано, что асимптотическое разложение решения состоит из регулярной и погранслойной частей. Однако появляется существенное обстоятельство, связанное с построением асимптотики произвольного порядка. Именно,
для описания пограничного слоя в окрестностях вертикальных сторон прямоугольника x = 0 и x = b приходится рассматривать уравнения параболического
типа (параболический погранслой). Например, в окрестности стороны x = 0
погранслойный оператор имеет вид
∂2
∂u
− A(0, y)
− k 2 (0, y),
2
∂ξ
∂y
ξ=
x
.
ε
Возникновение параболического погранслоя связано с тем, что вертикальные стороны прямоугольника являются характеристиками вырожденного оператора
∂
−A(x, y)
− k 2 (x, y).
∂y
При определении параболических пограничных функций порядка ε2 и выше
в правых частях уравнений появляются неограниченные члены. Для построе¯ асимптотики решения приходится накладывать некоторые
ния равномерной в Ω
ограничительные условия на функции f и ϕ.
¯ и α > 0. В зависиВ [3] рассмотрен еще более сложный случай A(x, y) > 0 в Ω
α
мости от порядка малости множителя ε погранслойная часть асимптотики решения строится по-разному. Если α ≥ 1, то погранслойная структура решения
будет такой же, как в работе [1]. Если 0 < α < 1, то погранслойная структура
решения существенно изменяется. Равномерное асимптотическое приближение
¯ удается получить лишь в нулевом и первом приближении.
в прямоугольнике Ω
Разработанный в [4–8] метод позволил обосновать равномерную асимптотику решения задачи (1), (2) в случае, когда в отличие от [1] функция f нелинейна
по u. Было рассмотрено уравнение
ε2 ∆u = F (u, x, y, ε),
(x, y) ∈ Ω,
(3)
с краевым условием (2) и нелинейной по u функцией F (u, x, y, ε). Построение
регулярной и погранслойной частей асимптотики решения не вызвало дополнительных трудностей по сравнению с линейным случаем. Однако, при построении угловой погранслойной части пришлось рассматривать нелинейные эллиптические уравнения того же типа, что и (3).
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
283
В настоящей статье методы работ [1–8] применяются к уравнению
ε2 ∆u − εα A(x, y)
∂u
= F (u, x, y, ε)
∂y
(4)
с краевым условием (2), нелинейной по u функцией F (u, x, y, ε) и рациональным
числом α = γ/β. Для задачи (4), (2) можно построить решение в виде ряда по
степеням ε1/β . Это решение составляется из трех частей:
u(x, y, ε) = u¯ + Π + P,
где u¯ – регулярная часть, Π – пограничные функции, играющие роль вблизи
сторон прямоугольника Ω, P – угловые пограничные функции, играющие роль
вблизи вершин прямоугольника Ω. Для случая α > 1 можно построить пол¯
ное асимптотическое разложение решения, равномерное в прямоугольнике Ω.
¯ асимптотическое
Для случая 0 < α < 1 можно построить равномерное в Ω
приближение только первого порядка. Во всех случаях качественный характер
асимптотики такой же, как и в случаях, когда функция F (u, x, y, ε) линейна по
u.
Список цитированной литературы
[1] Бутузов В. Ф. Асимптотика решения уравнения µ2 ∆u − k 2 (x, y)u = f (x, y) в
прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 9. С. 1654
– 1660.
[2] Бутузов В.Ф. Об асимптотике решений сингулярно возмущенных уравнений
эллиптического типа в прямоугольной области // Дифференц. уравнения.
1975. Т. 11, № 6. С. 1030 – 1041.
[3] Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенное уравнение эллиптического типа с
двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 10.
С. 1793 – 1803.
[4] Денисов И. В. Квазилинейные сингулярно возмущенные эллиптические
уравнения в прямоугольнике // Журн. вычисл. математики и математической физики. 1995. Т. 35, № 11. С. 1666 – 1678.
[5] Денисов И.В. Задача нахождения главного члена угловой части асимптотики решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с нелинейностью // Журн. вычисл. математики и математической физики. 1999.
Т. 39, № 5. С. 779 – 791.
[6] Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных
эллиптических уравнениях // Журн. вычисл. математики и математической
физики. 2001. Т. 41, № 3. С. 390 – 406.
284
Секция 8
[7] Денисов И.В. Угловой погранслой в немонотонных сингулярно возмущенных краевых задачах с нелинейностями // Журн. вычисл. математики и
математической физики. 2004. Т. 44, № 9. С. 1674 - 1692.
[8] Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных
эллиптических задачах // Журн. вычисл. математики и математической
физики. 2008. Т. 48, № 1. С. 62 – 79.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
О ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПАРАМЕТРЕ СЕТКИ1
Н. Н. Добровольский (г. Тула)
[email protected]
Пусть
SM,⃗ρ (m1 ,. . ., ms ) =
N
∑
ρk e2πi[m1 ξ1 (k)+...+ms ξs (k)]
k=1
∗
— тригонометрическая сумма сетки с весами, а SM,⃗
⃗ =
ρ (m)
рованная тригонометрическая сумма сетки с весами.
1
S ρ (m)
⃗
N M,⃗
— норми-
Определение 1. [1] Дзета-функцией сетки M с весами ρ⃗ и параметром
p > 1 называется функция ζ(α, p|M, ρ⃗), заданная в правой полуплоскости α =
σ + it (σ > 1) рядом Дирихле2
ζ(α, p|M, ρ⃗) =
∞
∑
′
m1 ,...,ms
где
∞
∗
∑
|SM,⃗
⃗ p
S ∗ (p, M, ρ⃗, n)
ρ (m)|
=
,
α
α
(m
.
.
.
m
)
n
1
s
=−∞
n=1
S ∗ (p, M, ρ⃗, n) =
∑
∗
|SM,⃗
⃗ p.
ρ (m)|
(1)
(2)
m∈N
⃗
(n)
Теорема 1. Если f (x1 , . . . , xs ) ∈ Esα (C), то для погрешности квадратурной
формулы справедлива оценка
∞
∑
C
1
′
|SM,⃗ρ (m)|
⃗
⃗
=
|RN [f ]| ≤ C SM,⃗ρ (0) − 1 +
N
N m ,...,m =−∞ (m1 . . . ms )α
s
1
∗ ⃗
(3)
= C SM,⃗ρ (0) − 1 + C · ζ(α, 1|M, ρ⃗).
На классе Esα (C) эту оценку нельзя улучшить.
1
2
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
Для любого вещественного m полагается m = max{1, |m|}
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
285
Если рассмотреть класс Esα,q с нормой
(
∥f (⃗x)∥Esα,q =
) 1q
∞
∑
′
|C(⃗0)|q +
|C(m)|
⃗ q (m1 . . . ms )
qα
p
< ∞,
m1 ,...,ms =−∞
то справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Если f (⃗x) ∈ Esα,q и
ной формулы справедлива оценка
1
p
+ 1q = 1, то для погрешности квадратур-
|RN [f ]| ≤
(
) p1
p
∞
p
∑
1
′
1
|S
(
m)|
⃗
M,⃗
ρ
6 ∥f (⃗x)∥Esα,q SM,⃗ρ (⃗0) − 1 + p
=
N
N m ,...,m =−∞ (m1 . . . ms )α
s
1
p
(
) p1
∗ ⃗
α,q
= ∥f (⃗x)∥Es SM,⃗ρ (0) − 1 + ζ(α, p|M, ρ⃗) .
(4)
На классе Esα,q эту оценку нельзя улучшить.
Определение 2. [2] Гиперболическим параметром сетки M с весами ρ(⃗x)
назовем величину
q (M, ρ(⃗x)) =
min
s \{⃗
m∈Z
⃗
0},|S(m)|>0
⃗
m1 . . . ms .
В работе [1] для любой сетки M с весами ρ⃗ на пространстве периодических
функций Esα рассмотрен линейный оператор AM,⃗ρ взвешенных сеточных средних заданный равенством
N
1 ∑
ρk f [x1 + ξ1 (k), . . . , xs + ξs (k)].
g(⃗x) = AM,⃗ρ f (⃗x) =
N k=1
(5)
С точки зрения величины нормированной тригонометрической суммы сетки
с весами естественно определить следующие пять подмножеств фундаментальной решётки Zs таким образом:
∗
= K0 (M, ρ⃗) = {m
⃗ ∈ Zs | SM,⃗
⃗ = 0},
(6)
ρ (m)
s
∗
= K1 (M, ρ⃗) = {m
⃗ ∈ Z | SM,⃗ρ (m)
⃗ = 1},
(7)
s
∗
⃗ ̸= 1, |SM,⃗ρ (m)|
⃗ = 1},
(8)
= K2 (M, ρ⃗) = {m
⃗ ∈ Z | SM,⃗ρ (m)
s
∗
⃗ < 1},
(9)
= K3 (M, ρ⃗) = {m
⃗ ∈ Z | 0 < |SM,⃗ρ (m)|
s
∗
⃗ > 1}.
(10)
= K4 (M, ρ⃗) = {m
⃗ ∈ Z | |SM,⃗ρ (m)|
∪
∪
∪
∪
Ясно что Zs = K0 K1 K2 K3 K4 . Такое разбиение называется разбиением Коробова. Оно фактически возникало в его работах, когда он проводил
оценки погрешности приближенного интегрирования.
K0
K1
K2
K3
K4
286
Секция 8
В работе [1] было дано определение нормального и несмещенного линейного
оператора AM,⃗ρ взвешенных сеточных средних (см. [1], стр. 195 и 199). Нормальный оператор не увеличивает норму любой функции, то есть K4 = ∅, а
∗
⃗
для несмещенного оператора имеем: SM,⃗
ρ (0) = 1.
Определение 3. Для произвольного подмножества K фундаментальной
решётки Zs гиперболическим параметром q(K) называется величина
q(K) = min m1 . . . ms .
m∈K
⃗
(11)
Для пустого множества K полагается q(K) = ∞.
Определение 4. Для произвольной сетки M с весами ρ⃗ такими, что соответствующий линейный оператор AM,⃗ρ взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, первый, второй и третий гиперболические параметры сетки M c весами ρ⃗ задаются равенствами
qν (M, ρ(⃗x)) = q(Kν (M, ρ(⃗x))) (ν = 1, 2, 3).
(12)
Пусть сетка M — рациональная со знаменателем p, то есть в s-мерном кубе
Gs = {⃗x | 0 6 xi < 1 (i = 1, . . . , s)} имеется N рациональных точек вида
(
)
(k)
(k)
x1
xs
,...,
k = 1, . . . , N,
(13)
p
p
(k)
xi
(k)
— целые, 0 6 xi
6 p − 1, p — натуральное.
Теорема 3. Для любой рациональной сетки M со знаменателем p и c
весами ρ⃗, для которых линейный оператор AM,⃗ρ взвешенных сеточных средних
является нормальным и несмещенным, справедливо соотношение
p · Zs ⊂ K1 (M, ρ(⃗x)) ,
∗
кроме того тригонометрические суммы SM,⃗
⃗ с весами ρ⃗ принимают коρ (m)
нечное число различных значений, не превосходящее ps .
Теорема 4. Для любой рациональной сетки M со знаменателем p и c положительными весами ρ⃗, для которых линейный оператор AM,⃗ρ взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, множество K1 (M, ρ⃗)
является целочисленной решеткой.
Теорема 5. Для любой рациональной сетки M со знаменателем p и c
положительными весами ρ⃗, для которых линейный оператор AM,⃗ρ взвешенных сеточных
средних является нормальным и несмещенным, множество
∪
K1 (M, ρ⃗) K2 (M, ρ⃗) является целочисленной решеткой.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
287
Определение 5. Будем говорить, что сетка M c весами ρ⃗, для которой
линейный оператор AM,⃗ρ взвешенных сеточных средних является нормальным
и несмещенным, имеет тип ∆(N, s) < 1, если для любого m
⃗ ∈ K3 (M, ρ⃗) выполняется оценка
∗
|SM,⃗
⃗ 6 ∆(N, s).
ρ (m)|
Теорема 6. (Обобщенная теорема Бахвалова — Коробова для гиперболической дзета-функци решеток)Для любой рациональной сетки M
со знаменателем p и c положительными весами ρ⃗ типа ∆(N, s) < 1, для которых линейный оператор AM,⃗ρ взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, справедлива оценка
(
)s
α
(ln q(Λ) + 1)s−1
(α+1)s+1
ζ(α, p|M, ρ⃗) 6 2
α
+
α−1
q α (Λ)
(
1
lns−1 t
p
+∆ (N, s) α−1
+
t
(α − 1)(s − 1)!
( s−2
))
s−2
m
∑
C
α
−
1
+
ζ(α)
lnm t ∑
+
ζ(α)s−2−k Ckm
+ s−1
,
(14)
m!
α
−
1
α
−
1
m=0
k=m
где решетка Λ = K1 (M, ρ⃗)
∪
K2 (M, ρ⃗) и t = q3 (M, ρ(⃗x)).
Список цитированной литературы
[1] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности
приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, вып. 1(25). С. 185 — 223.
[2] Добровольский Н. Н. ПОИВС ТМК: Гиперболический параметр сеток с
весами // Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии: материалы международной научно-практической конференции. Тула, 3-7 октября 2011. Тула: изд-во ТГПУ им Л. Н. Толстого. С. 266 — 267.
[3] Добровольский Н. Н. О гиперболическом параметре сетки // Известия
Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып.
2, ч. 1. С. 6 — 18.
Тульский государственный университет
УДК 511.3
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СЕТОК1
1
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
288
Секция 8
Е. М. Рарова (г. Тула)
[email protected]
В работе [5] сформулирована Проблема значений тригонометрических
сумм сеток.
Алгебраические сетки являются частным случаем обобщенных параллелепипедальных сеток. Общая теория обобщенных параллелепипедальных сеток
была заложена в работах [6] — [8].
Цель работы — получить формулу для тригонометрической суммы сетки с
весами, выражающую значение этой сумм через ряд по точкам решётки.
В 1976 году вышла работа [10] К. К. Фролова, в которой впервые появились
алгебраические сетки. Наиболее полно в авторском изложении метод Фролова
представлен в его кандидатской диссертации [11]. Позднее в работах [6] — [8]
Н. М. Добровольский предложил модификацию метода Фролова с использованием специальных весовых функций. Современное, полное изложение метода
Фролова и его модификации по Н. М. Добровольскому дается в работах [1] —
[4]. Будем использовать обозначения и определения из работы [9].
Определение 1. Для произвольной решетки Λ обобщенной параллелепипедальной сеткой M (Λ) называется множество M (Λ) = Λ∗ ∩ Gs .
Сетка M1 (Λ) = Λ∗ ∩ [−1; 1)s .
Обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода M ′ (Λ) называется множество M ′ (Λ) = {⃗x | ⃗x = {⃗y }, ⃗y ∈ M1 (Λ)}.
Определение 2. Весовой функцией порядка r с константой B называется
гладкая функция ρ(⃗x), удовлетворяющая условиям
0
∑
ρ(⃗x + (ε1 , . . . , εs )) = 1 при ⃗x ∈ Gs ,
(1)
ε1 ,...,εs =−1
ρ(⃗x) = 0 при ⃗x ∈
/ (−1; 1)s ,
1 1
∫ ∫
2πi(⃗
σ
,⃗
x
)
. . . ρ(⃗x)e
6 B(σ 1 . . . σ s )−r для любого ⃗σ ∈ Rs .
d⃗
x
−1
(2)
(3)
−1
Если выполнены условия (1) и (2), то говорим просто о весовой функции
ρ(⃗x).
Определение 3. Квадратурной формулой с обобщенной параллелепипедальной сеткой II типа и весовой функцией ρ(⃗x) называется формула вида
∫1 ∫1
∑
· · · f (⃗x)d⃗x = (det Λ)−1
ρ⃗x f (⃗x) − RN ′ (Λ) [f ],
0
0
⃗
x∈M ′ (Λ)
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
где
∑
ρ⃗x =
ρ(⃗y ),
289
N ′ (Λ) = |M ′ (Λ)|,
⃗
y ∈M1 (Λ),{⃗
y }=⃗
x
RN ′ (Λ) [f ] — погрешность квадратурной формулы.
Для погрешности квадратурной формулы с обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода на классе Esα справедлива оценка (см. [8], [9])
RN ′ (Λ) [Esα (C)] =
где
c1 (α) = 2
α+1
sup |RN ′ (Λ) [f ]| 6 CB · c1 (α)s ζH (Λ|α),
f ∈Esα (C)
(
3+
2
α−1
)
,
ζH (Λ|α) =
∑′
(x1 . . . xs )−α .
⃗
x∈Λ
Пусть ⃗a = (a0 , a1 , . . . , as−1 ) — целочисленный вектор такой, что многочлен
P⃗a (x) =
s−1
∑
aν xν + xs
(4)
ν=0
неприводим над полем рациональных чисел и все корни Θν (ν = 1, . . . , s) многочлена (4) действительные.
Обозначим через T (⃗a) матрицу степеней алгебраически сопряженных целых
алгебраических чисел Θ1 ,. . . ,Θs — корней многочлена P⃗a (x):


1
...
1
 Θ1 . . . Θs 


T (⃗a) =  ..
(5)
..
..  ,
 .
.
. 
Θs−1
. . . Θs−1
1
s
⃗ = (Θ1 , . . . , Θs ) — вектор полного набора алгебраически сопряженных
а через Θ
чисел — корней многочлена P⃗a (x).
Для любого t > 0 решётка Λ(t · T (⃗a)) называется алгебраической. Она имеет
вид
{ ( s
)
}
s
∑
∑
Λ(t · T (⃗a)) = ⃗x = t
Θν−1
Θν−1
mν = t · m
⃗ · T (⃗a) m
⃗ ∈ Zs .
1 mν , . . . , t
s
ν=1
ν=1
Совокупность M ⊂ Gs точек Mk = (ξ1 (k), . . . , ξs (k))
(k = 1 . . . N ) называется сеткой M из N узлов, а сами точки — узлами квадратурной формулы.
Величины ρk = ρ(Mk ) называются весами квадратурной формулы.
Для произвольных целых m1 ,. . ., ms суммы SM,⃗ρ (m1 ,. . ., ms ), определённые
равенством
N
∑
SM,⃗ρ (m1 ,. . ., ms ) =
ρk e2πi[m1 ξ1 (k)+...+ms ξs (k)] ,
(6)
k=1
290
Секция 8
называются тригонометрическими суммами сетки с весами.
Пусть матрица T = T (⃗a) и t > 0. Рассмотрим алгебраическую сетку M (t) =
′
M (t · Λ(T )) из N ′ (t · Λ(T )) узлов ⃗xk (k = 1, . . . , N ′ (t · Λ(T )) ) с весами
∑
ρk = ρ⃗xk = (det(t · Λ(T )))−1
ρ(⃗y )
{⃗
y }=⃗
xk , ⃗
y ∈M1 (t·Λ(T ))
и её тригонометрическую сумму с весами

∑

SM (t),⃗ρ (m)
⃗ = (det(t · Λ(T )))−1
⃗
x∈M (t)
∑

⃗ x)
ρ(⃗y ) e2πi(m,⃗
.
{⃗
y }=⃗
x, ⃗
y ∈M1 (t·Λ(T ))
Теорема 1. Для произвольной решётки Λ и произвольной весовой функции
ρ(⃗x) справедливо равенство2
∑′ ∫
∫1
1
SM,⃗ρ (m)
⃗ = δ(m)
⃗ +
⃗
x∈Λ −1
{
где
δ(m)
⃗ =
...
⃗ x)
ρ(⃗y )e2πi(⃗y,m−⃗
d⃗y ,
(7)
−1
1, при m
⃗ = ⃗0;
0, при m
⃗ ̸= ⃗0, m
⃗ ∈ Zs .
Теорема 1 и определение весовой функции ρ(⃗x) порядка r с константой B
позволяет получить оценку для тригонометрической суммы обобщенной параллелепипедальной сетки с весовой функцией
∑′
|SM,⃗ρ (m)
⃗ − δ(m)|
⃗ 6B
(m1 − x1 . . . ms − xs )−r .
⃗
x∈Λ
Список цитированной литературы
[1] Герцог А. С., Ребров Е. Д., Триколич Е. В. О методе К. К. Фролова в
теории квадратурных формул // Чебышевский сборник. 2009 Т. X, вып.
2(30)., С. 10–54.
[2] Герцог А. С. Численное вычисление четырехкратных интегралов по методу Фролова √
с использованием
алгебраических сеток биквадратичного поля
√
Дирихле Q( 2 + 3) // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 22–30.
[3] Герцог А. С. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля
Дирихле // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2011. №23(188), вып. 5. С. 41–53.
2
Здесь и далее символ
точка.
∑′
означает, что из области суммирования исключена нулевая
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
291
[4] Герцог А. С. ПОИВС ТМК: Биквадратичные поля и квадратурные формулы // Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии: материалы международной научно-практической конференции, посвященной
190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина. Тула, 2011. С. 242–247.
[5] Добровольская Л. П., Добровольский М. Н. , Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т.
13, вып. 4(44). С. 4 — 107.
[6] Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. №6089–84.
[7] Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в
ВИНИТИ 24.08.84. №6090–84.
[8] Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Esα (c) и
Hsα (c). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. №6091–84.
[9] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. 2 изд.
М.: МЦНМО, 2004. 288 с.
[10] Фролов К. К. , Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231, №4. С. 818–821.
[11] Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. Дис. ... канд.
физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ С
ПРАВИЛОМ ОСТАНОВКИ1
Е. Д. Ребров (г. Тула)
[email protected]
Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки были введены в работе [1]. Там же было введено понятие мультипликативной дискретной
дисперсии и показано, что её величина может использоваться как правило остановки при реализации концентрических алгоритмов интегрирования.
1
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
292
Секция 8
Оценки мультипликативной дискретной дисперсии погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с различными типами сеток
даны в следующих теоремах:
∗
Теорема 1. Для DM
[f (⃗x)] — мультипликативной дискретной дис1
s (Nk ),⃗
персии погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с равномерной сеткой Ms (Nk ) произвольной функции f (⃗x) ∈ Esα справедлива
оценка
(
)
(
)
1
1
∗
DM
[f (⃗x)] = O
=O
.
2α
2α
1
s (Nk ),⃗
Nk−1
|Ms (Nk−1 )| s
∗
Теорема 2. Для DM
[f (⃗x)] — мультипликативной дискретной
1
s ((p1 ,...,pk )),⃗
дисперсии погрешности приближенного интегрирования по квадратурной
формуле с обобщенной неравномерной сеткой Ms ((p1 , . . . , pk )) произвольной
функции f (⃗x) ∈ Esα справедлива оценка
(
)
1
∗
DMs ((p1 ,...,pk )),⃗1 [f (⃗x)] = O
.
Nk−1
Далее рассматривается алгоритм Добровольской вычисления оптимальных
коэффициентов. Алгоритм вычисления величин ask , . . . , a11 проводится последовательно, исходя из соотношений:
{
1 6 ask 6 pk − 1,
(sk)
(sk)
(1)
TN,A (ask ) = min TN,A (z).
16z6pk −1
Если ask , as−1k , . . . , a(jν)′ уже определены, то ajν находится из условий
{
1 6 ajν 6 pν − 1,
(jν)
(jν)
TN,A (ajν ) = min TN,A (z).
(2)
16z6pν −1
Так как минимальное значение не больше среднего арифметического, непосредственно из определения величин ask , as−1k , . . . , a11 вытекает цепочка неравенств
(11)
(12)
(sk)
TN (a11 ) 6 TN,A (a12 ) 6 . . . 6 TN,A (ask ) 6 TN,A .
(jν)
(3)
Для всех функций TN,A (z) и величины TN,A в работе [21 ] получены явные формулы, которые пригодны для программной реализации. Пусть целые
ask , . . . , a11 найдены по алгоритму, заданному формулами (1), (2). Обозначим
через a1 , . . . , as величины, заданные по формулам
}
{
ajk
aj1
+ ... +
, (j = 1, . . . , s).
(4)
aj = N
p1
pk
Доказывается следующий основной результат.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
293
Теорема 3. Если величины a1 , . . . , as заданны формулами (1, 2, 4), то
они являются оптимальными коэффициентами по модулю N индекса s и
∗
[f (⃗x)] параллелепипедальдля мультипликативной дискретной дисперсии DM
ной сетки M = MN (a1 , . . . , as ) справедливы оценки
( sα
)
ln Nk−1
∗
2
0 6 DM [f (⃗x)] = ∥f ∥Esα
,
α
Nk−1
где
N1 = pk ,
N2 = pk pk−1 ,
. . . , Nk−1 = pk · . . . · p2 ,
N = Nk = pk · . . . · p1 .
Эти и ряд других результатов получены в работах [2] — [7].
Список цитированной литературы
[1] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности
приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008 Т. 9, вып. 1(25). С. 185 — 223.
[2] Н. К. Огородничук, Е. Д. Ребров ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилами остановки // Многомасштабное моделирование структур
и нанотехнологии: материалы международной научно-практической конференции, посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия
Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента
Виктора Анатольевича Буравихина. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им.
Л. Н. Толстого, 2011. С. 254 — 258.
[3] Ребров Е. Д., Селиванов С. В. О приближенном решении интегрального
уравнения Фредгольма II рода // Известия Тульского государственного
университета. Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 83 - 92.
[4] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретикочислового метода в приближенном анализе // Ученые записки Орловского
государственного университета. № 6. Ч. 2.: Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"
Волгоград: Изд-во ВГСПУ "Перемена 2012. С. 90 - 98.
[5] Герцог А. С., Ребров Е. Д., Триколич Е. В. О методе К. К. Фролова в
теории квадратурных формул // Чебышевский сборник. 2009. Т. X, вып.
2(30). С. 10 - 54.
[6] Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник. 2009. Т. 10, вып. 1(29). С. 65 - 77.
294
Секция 8
[7] Ребров Е. Д. Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками // Чебышевский сборник. 2010. Т. 13, вып. 3(43). С. 53 - 90.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
ПОИВС ТМК: ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОГО МЕТОДА В
ПРИБЛИЖЕННОМ АНАЛИЗЕ1
И. Ю. Реброва (г. Тула)
[email protected]
Все события по становлению нового направления математических исследований — "Теоретико-числового метода в приближенном анализе" — происходили в стенах Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР в рамках
работы семинара по теоретико-числовым методам в приближенном анализе, организованного в 1956 году. Как указывает сам Н. М. Коробов: "Заседание семинара проводилось под председательством одного из трех его руководителей
— Н. С. Бахвалова (МГУ), Н. Н. Ченцова (ИПМ АН СССР) и Н. М. Коробова
(МИ АН СССР)" [13].
По словам доцента Е. А. Морозовой, вдовы Н. Н. Ченцова, инициатива организации такого семинара исходила от Николая Николаевича Ченцова, который
в это время работал в группе И. М. Гельфанда, занимающейся вычислительными проблемами отечественного атомного проекта.
За пять лет участники семинара проделали значительную работу, о которой
руководители докладывали на Четвертом Всесоюзном математическом съезде
в 1961 году в Ленинграде. От имени руководителей доклад делал Н. Н. Ченцов.
В докладе приводился список публикаций из 27 наименований, из которых 12
в Докладах АН СССР.
Результаты работы семинара трех К за первые шесть лет работы были отражены в монографии Н. М. Коробова в 1963г. [11] (второе издание вышло в
2004г. [14]). За рубежом этой проблеме были посвящены несколько монографий
( см., например, [21]).
Таким образом, мы видим, что мотивом организации научной деятельности по разработке новых многомерных квадратурных формул было решение
жизненно важных проблем вычислительной практики, возникших в ходе выполнения отечественного атомного проекта.
Поэтому история развития теоретико-числового метода в приближенном
анализе делится на две части. Первая часть — это открытая теоретическая
часть, в которой и были получены первые результаты, и которая продолжала
1
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
295
успешно развиваться все прошедшие 57 лет. И вторая часть — это прикладная
закрытая часть, о которой можно только догадываться.
Анализируя отечественную историю развития теоретико-числового метода
в приближенном анализе, можно выделить несколько этапов этого развития.
Во-первых, это начальный этап 1956 — 1967гг. Достаточно полное фактическое представление об этом этапе можно получить по работам [11], [20] и [12].
Следующий этап развития теоретико-числового метода можно отнести к
1976 — 1980гг. Этот этап прежде всего связан с работами К. К. Фролова [18],
[19]. На этом этапе было сравнительно немного работ, но работы К. К. Фролова
внесли принципиальный вклад в теорию, так как были построены оптимальные
квадратурные формулы на классе Esα .
О тульском этапе развития теоретико-числового метода в приближенном
анализе можно получить достаточно полное представление по работам [1] —
[10], [15] — [17].
Несомненно, изучение истории развития теоретико-числового метода в приближенном анализе в настоящее время находится в стадии становления и требует дальнейших систематических исследований.
Список цитированной литературы
[1] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М. Гиперболические дзетафункции сеток и решеток, диофантовы приближения, их приложения
к многомерным квадратурным формулам и экономическая эффективность фундаментальных исследований // Актуальные вопросы управления социально-экономическими системами: международная научно-практическая конференция. Тула: АНО ВПО "Институт экономики и управления". 2013. С. 127– 140.
[2] Добровольский М. Н. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и
функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. // Чебышевский сборник. 2006. Т. 3, вып. 2(4). С. 43 — 59.
[3] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. // ДАН. 2007. Т. 412, №3, Январь. С.
302 — 304.
[4] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. №3. С. 18 — 23.
[5] Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки
и их приложения / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого,
2005. — 195с.
296
Секция 8
[6] Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, №6090–84.
[7] Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Esα (c) и Hsα (c).
Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, №6091–84.
[8] Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая
дзета–функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, №2327–
B90.
[9] Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической
дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 77–87.
[10] Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Мат. заметки. 1998. Т. 63, вып. 4.
C. 522–526.
[11] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.:
Физматгиз, 1963.
[12] Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофантовых приближений
// УМН. 1967. Т. 22, 3 (135). С. 83–118.
[13] Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах приближенного интегрирования // Историко-матем. исследования. СПб., 1994. Вып. XXXV. С. 285–
301.
[14] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. 2 изд.
М.: МЦНМО, 2004.
[15] Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. 1998. Т. 4, вып.3. С. 99–108.
[16] Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Дис. ... канд.
физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1999.
[17] Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.
[18] Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231. №4. С. 818–821.
[19] Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. Дис. ... канд.
физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
297
[20] Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Журн. вычисл. математики и математической физики.
1963. Т. 7. №4. С. 784–802.
[21] Hua Loo Keng. Applications of Number Theory to Numerical Analysis, –
Springer–Verlag Berlin, 1981.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ1
А. В. Родионов (г. Тула)
[email protected]
В 1961 году В. С. Рябенький в работе [12] предложил численный метод решения задачи Коши для следующего класса дифференциальных уравнений с
частными производными:
(
)
∂u
∂
∂
=Q
,...,
u(t, ⃗x),
(1)
∂t
∂x1
∂xs
0 6 t 6 T, −∞ < xν < ∞ (ν = 1, . . . , s),
u(0, ⃗x) = φ(⃗x), ⃗x = (x1 , . . . , xs ),
(2)
где
(
Q
∂
∂
,...,
∂x1
∂xs
)
=
n1
∑
...
j1 =0
ns
∑
aj1 ,...,js
js =0
∂ js
∂ j1
.
.
.
∂xj11
∂xjss
(3)
— дифференциальный оператор порядка n(Q) = n1 + . . . + ns , с максимальным
порядком по отдельным переменным, не превосходящим m(Q) = max(n1 , . . . , ns ),
а φ(⃗x) = φ(x1 , . . . , xs ) — периодическая с периодом единица по каждому из
своих аргументов функция из класса Esα (α > m(Q) + 1).2
Таким образом,
φ(x1 , . . . , xs ) =
∞
∑
m1 =−∞
1
...
∞
∑
cm1 ,...,ms e2πi(m1 x1 +...+ms xs )
(4)
ms =−∞
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
(
)
∂
∂
Условие на α гарантирует, что ряд Фурье для образа Q ∂x
x), полученный
,
.
.
.
,
∂xs φ(⃗
1
почленным дифференцированием, равномерно и абсолютно сходится.
2
298
Секция 8
и для коэффициентов Фурье выполняется оценка
|cm1 ,...,ms | 6
∥φ∥Esα
.
(m1 . . . ms )α
(5)
В своей работе В. С. Рябенький предложил некоторый общий подход численного решения задачи Коши с использованием произвольных сеток, для которых
выполнены специальные условия, и показал, что его конструкция применима
для многомерных кубических сеток, которые ещё называют равномерными, и
для параллелепипедальных сеток Н. М. Коробова.
В работе [9] Н. М. Коробов рассмотрел решение частной задачи Дирихле
с нулевым граничным условием для уравнения Пуассона с правой частью из
класса Esα :
∂ 2u
∂ 2u
+
.
.
.
+
= f (⃗x),
∂x21
∂x2s
u(⃗x), f (⃗x) ∈ Esα ,
f (x1 , . . . , −xj , . . . , xs ) = −f (x1 , . . . , xj , . . . , xs ) (j = 1, . . . , s),
u(⃗x) = 0 при x1 (1 − x1 ) · . . . · xs (1 − xs ) = 0.
(6)
(7)
(8)
Таким образом,
u(⃗x) |∂Gs = 0,
Gs = [0; 1)s .
Метод Н. М. Коробова
({ a k } состоял
{ a k })в получении с помощью параллелепипедаль1
ных сеток Mk =
, . . . , Ns
(k = 0, . . . , N − 1) приближенного решения
N
указанной задачи Дирихле на основании точного решения в виде ряда Фурье,
которое легко выписать по ряду Фурье периодической функции f (⃗x). Необходимость приближенного решения обусловлена тем, что, как правило, явного вида
ряда Фурье неизвестно, а потому, точное решение имеет только теоретическое
значение.
Наш вариант обобщения метода В. С. Рябенького — Н. М. Коробова приближенного решения уравнений с частными производными на случай использования произвольных обобщенных параллелепипедальных сеток для целочисленных решеток состоит в следующем.
Пусть Zs ⊃ Λ1 ⊃ Λ2 ⊃ . . . ⊃ Λn ⊃ . . . — бесконечная последовательность целочисленных решеток в Rs . Ей соответствует бесконечная последовательность
обобщенных параллелепипедальных сеток:
{⃗0} = M (Zs ) ⊂ M (Λ1 ) ⊂ M (Λ2 ) ⊂ . . . ⊂ M (Λn ) ⊂ . . .
в единичном кубе Gs = [0; 1)s и бесконечная последовательность конечных множеств целочисленных векторов m
⃗ — минимальных гиперболических полных систем вычетов M ∗ (Λ) фундаментальной решетки Zs относительно подрешетки
Λν :
{⃗0} = M ∗ (Zs ) ⊂ M ∗ (Λ1 ) ⊂ M ∗ (Λ2 ) ⊂ . . . ⊂ M ∗ (Λν ) ⊂ . . . .
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
299
При соответствующих условиях на последовательность решеток для любой
периодической функции f (⃗x) из класса Esα (α > 1) для последовательности
интерполяционных многочленов IΛν f (⃗x) будет иметь место достаточно быстрая
сходимость
lim IΛν f (⃗x) = f (⃗x).
ν→∞
Список цитированной литературы
[1] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности
приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, вып. 1(25). С. 185 — 223.
[2] Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных
сеток // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып.1(9). С. 95 — 121.
[3] Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв.
ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1.
С. 82 — 90.
[4] Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, №6090–84.
[5] Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика.
1998. Т. 4, вып. 3. C. 56–67.
[6] Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток //
Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, вып. 2(4) С. 43 – 59.
[7] Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Андреева О. В., Зайцева Н. В.
Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция // Чебышевский
сборник. 2004. Т. 5, вып. 1(9). С. 122 — 143.
[8] Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью
методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. №6. С. 1062 — 1065.
[9] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.:
Физматгиз, 1963.
[10] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. 2 изд.
М.: МЦНМО, 2004.
[11] Родионов А. В. О методе В. С. Рябенького — Н. М. Коробова приближенного решения уравнений с частными производными // Чебышевский
сборник. 2009 Т. 10, вып. 3.
300
Секция 8
[12] Рябенький В. С. Об одном способе получения разностных схем и об использовании теоретикочисловых сеток для решения задачи Коши методом
конечных разностей // Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1961. Т. 60.
С. 232 — 237.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
О КОЛИЧЕСТВЕННОЙ МЕРЕ КАЧЕСТВА
ОПТИМАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ1
Н. К. Серегина (г. Тула)
[email protected]
В 1959 году профессор Н. М. Коробов предложил новый класс теоретикочисловых сеток — параллелепипедальные сетки:
({
}
{
})
a1 k
as k
Mk =
,...,
(k = 1, 2, . . . , N )
N
N
и соответствующие квадратурные формулы с равными весами
∫1
∫1
···
0
0
}
{
})
N −1 ({
a1 k
as k
1 ∑
f
f (⃗x) d⃗x =
,...,
− RN [f ],
N k=0
N
N
где RN [f ] – погрешность квадратурной формулы.
На классе Esα периодических функций с быстро сходящимися рядами Фурье
были получены наилучшие результаты
|RN [f ]| <<
lnα(s−1) N
Nα
(Н. С. Бахвалов [2], Н. М. Коробов [10]).
Особое место параллелепипедальных сеток с оптимальными коэффициентами объясняется тем фактом, что квадратурные формулы с этими сетками
задают ненасыщаемые алгоритмы численного интегрирования на классах Esα
(α > 1) (см. [1], [12]).
Количественной мерой качества набора коэффициентов a1 ,. . . , as параллелепипедальной сетки называется величина
})2
{
p−1 s (
3s ∑ ∏
aj · k
,
H(p, ⃗a) =
1−2·
p k=0 j=1
p
1
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
(1)
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
301
которая равна приближенному значению интеграла от периодической функции
s
3s ∏
h(⃗x) =
(1 − 2{xj })2
p j=1
по квадратурной формуле с параллелепипедальной сеткой
∫
1=
∫
1
1
...
0
0
})2
{
p−1 s (
3s ∑ ∏
aj · k
− Rp [h],
h(⃗x)d⃗x =
1−2·
p k=0 j=1
p
где Rp [h] — погрешность приближенного интегрирования.
Выбор функции h(⃗x) и величины H(p,
с тем, что функция h(⃗x)
)
( ⃗a) 2связан
π
α
является граничной функцией класса Es ·, 6 (подробности см. [11]).
Количественная мера качества оптимальных коэффициентов играет важную роль в современных исследованиях по теории теоретико-числового метода
приближенного анализа
(см.
[6] — [11], [13] — [17]).
[
] [2] [— [4],
p−1
p]
. Справедлива следующая лемма.
Положим p1 =
, p2 =
2
2
Лемма 1. Справедливо равенство
mx
(
{ })2
p2
2πi
∑
′
x
2
6
p .
3 1−2
=1+ 2 +
e
2 sin2 π m
p
p
p
n
m=−p
1
Из которой вытекает теорема о конечном ряде Фурье для количественной
меры качества оптимальных коэффициентов.
Теорема 1. Справедливо равенство
(
)s
p2
∑
′
2
δp (a0 m0 + . . . + as ms )
H(p, ⃗a) = 1 + 2 +
,
p
ψ(m0 ) . . . ψ(ms )
m ,...,m =−p
1

p2



,

 p2 + 2
где
ψ(m) =
s
1
при m = 0;


p2 sin2 π mp



, при m ̸= 0.
6
Список цитированной литературы
[1] Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
302
Секция 8
[2] Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн.
Моск. ун-та. 1959. № 4. С. 3–18.
[3] Бочарова (Добровольская) Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. 2007 Т. 8, вып. 1(21). С. 4 — 109.
[4] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности
приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, вып. 1(25). С. 185 — 223.
[5] Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток //
Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, вып. 2(4) С. 43 – 59.
[6] Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та. 1959. №4. С. 19 — 25.
[7] Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН
СССР. 1959. Т. 124, №6. С. 1207 — 1210.
[8] Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов //
ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009—1012.
[9] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.:
Физматгиз, 1963.
[10] Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками //
Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 2. С. 83 — 90.
[11] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. 2 изд.
М.: МЦНМО, 2004.
[12] Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО
Янус, 1995.
[13] Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник. 2009. Т. 10, вып. 1(29). С. 65–77.
[14] Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. Об алгоритме численного интегрирования
с правилом остановки // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и
приложения: материалы 7 международной конференции 2010. Тула, Из-во
ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 153 — 158.
[15] Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилом остановки // Многомасштабное моделирование структур
и нанотехнологии: материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
303
Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина. Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 2011.
С. 153 — 158.
[16] Nikolay M. Dobrovolskiy, Larisa P. Dobrovolskaya, Nikolay N. Dobrovolskiy,
Nadegda K. Ogorodnichuk, and Evgenii D. Rebrov Algorithms fot computing
optimal coefficients // Book of abstracts of the International scientific conference
"Computer Algebra and Information Technology" , Odessa, August 20—26, 2012.
p. 22 — 24.
[17] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретикочислового метода в приближенном анализе // Ученые записки Орловского
государственного университета. 2012. № 6, часть 2. Алгебра и теория чисел:
современные проблемы и приложения: труды X международной конференции. С. 90 — 98.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
СИЛЬНАЯ РАВНОМЕРНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ
СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ВАН ДЕР КОРПУТА —
ХЕММЕРСЛИ1
О. В. Скорикова (г. Тула)
[email protected]
При фиксированном натуральном p > 1 рассмотрим следующую функцию
∑
p(t) =
tν p−ν−1 , tν ∈ A(p)
при любом целом t =
h−1
∑
tν pν ≥ 0 — функция ван дер Корпута — Хэммерсли,
ν=0
где для произвольного натурального T множество
A(T ) = {0, 1, ..., T −1} .
Для p = 2 эта функция рассматривалась ван дер Корпутом [12] и использовалась К. Ротом в его основополагающей работе по квадратичному отклонению
[15].
1
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
304
Секция 8
В 1960 году Хэммерсли для построения многомерных квадратурных формул
ввёл многомерные сетки, которые теперь называются сетками Хэммерсли, вида
{(
}
n)
X(N ) =
p1 (n), ..., ps (n),
| n = 0, 1, ..., N − 1 ,
N
где p1 , . . . , ps — различные попарно взаимно простые натуральные числа, большие 1 и pj (n) — функция ван дер Корпута — Хэммерсли при p = pj (j =
1, 2, . . . , s). Известно (см. [13], [14], [9]), что если p1 , ..., ps — попарно взаимно
простые числа, то сетки Хэммерсли равномерно распределены и величина отклонения D(X(N )) имеет порядок2
D(X(N )) = O (lns N ) .
(1)
В [8] (стр. 174) введено понятие равномерной распределенности системы
функций по модулю 1.
Пусть s ≥ 1 — фиксированное натуральное число, γ1 , ..., γs — произвольные
положительные числа, не превосходящие единицы, и f1 (x), ... , fs (x) — функции,
определенные при натуральных значениях x. Обозначим через NT (γ1 , ..., γs )
число решений системы неравенств


{f1 (x)} < γ1
. . . . . . . . . . . . . . . x = 1, 2, ..., T.


{fs (x)} < γs
Определение 1. Система функций называется равномерно распределенной в единичном s-мерном кубе, если
lim
T →∞
1
NT (γ1 , ..., γs ) = γ1 ...γs ,
T
или, что то же,
NT (γ1 , ..., γs ) = γ1 ...γs T + o(T )
для любого набора 0 6 γ1 , ..., γs 6 1.
Из оценки (1) следует, что система функций p1 (t), ..., ps (t) является равномерно распределенной по модулю 1.
Цель нашей работы — доказать следующую основную теорему.
2
Отклонением D(X) произвольной сетки X = {⃗xk |1 6 k 6 N } называется величина
D(X) =
sup
06γ1 ,...,γs 61
|D(X, ⃗γ )|,
D(X, ⃗γ ) = N (⃗γ ) − N γ1 . . . γs ,
где N (⃗γ ) — количество точек сетки X, попавших в область Π(⃗γ ) = [0; γ1 )×. . .×[0; γs ), D(X, ⃗γ )
— локальное отклонение сетки X.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
305
Теорема 1. Для системы функций p1 (t), ..., ps (t) имеет место сильная
равномерная распределенность, то есть для любого набора целых неотрицательных чисел (n1 , ..., ns ) система функций p1 (t + n1 ), ... , ps (t + ns ) является
равномерно распределенной по модулю 1.
Для доказательства нам потребуются сведения об оценках отклонения модифицированных сеток Хэммерсли — Рота, которые ввёл в 1983 году Н. М. Добровольский в работе [2] для эффективного доказательства теоремы Рота о квадратичном отклонении [16]. Различные аспекты теории модифицированных сеток
Хэммерсли — Рота рассматривались в работах [1] — [7]. Различным обобщениям
теоремы Рота о квадратичном отклонении посвящены работы [10] — [11].
При фиксированном натуральном p > 1 , натуральном h ≥ 1, P = ph
периодизированная по модулю P функция ван дер Корпута — Хэммерсли
x(m) = x(h) (m) на множестве целых чисел задается равенствами
 h−1
h−1


∑m p−ν−1 при m ∈ A(P ), m = ∑ m pν , m ∈ A(p)
ν
ν
ν
x(m) =
ν=0
ν=0


x (P { m })
при m ∈
/ A(P ).
P
Пусть p1 , . . . , ps — различные попарно взаимно простые натуральные числа,
большие 1. Для произвольного натурального N > 3 определим величины
h
hj = [ln N/ ln pj ] + 1, Pj = pj j (j = 1, . . . , s);
M = P1 . . . Ps ; Mj = M/Pj (j = 1, . . . , s).
(2)
Тогда справедливы соотношения
N < Pj 6 N pj , (Mj , Pj ) = 1 (j = 1, . . . , s); N s < M 6 N s p1 . . . ps
(3)
Через xj (n) будем обозначать функцию x(n) при p = pj , h = hj , P = = Pj
(j = 1, . . . , s). Пусть ⃗t = (t1 , . . . , ts ) — произвольный целочисленный вектор.
Для любого целого n с 0 6 n 6 N − 1 полагаем
(
) (
n)
⃗
⃗x n, t = x1 (n + t1 ), . . . , xs (n + ts ),
(4)
N
Определение 2. Модифицированной сеткой Хэммерсли—Рота называется сетка
(
) { (
)
}
XR N, ⃗t = ⃗x n, ⃗t |n = 0, . . . , N − 1
(5)
из N узлов.
(
)
Из периодичности xj (n) с периодом Pj следует, что сетка XR N, ⃗t периодически зависит от tj с периодом Pj (j = 1, . . . , s). Отсюда вытекает, что при заданном N существует ровно M различных модифицированных сеток Хэммерсли—
Рота, то есть порядка N s различных сеток.
Оценка отклонения произвольной модифицированной сетки Хэммерсли—
Рота получены в [3].
306
Секция 8
Список цитированной литературы
[1] Ванькова В. С., Добровольский Н. М., Есаян А. Р. О преобразовании многомерных сеток. Деп. в ВИНИТИ 22.01.91, №447—91.
[2] Добровольский Н. М. Эффективное доказательство теоремы Рота о квадратичном отклонении // УМН. 1984. Т. 39, вып. 4 (123). С. 155—156.
[3] Добровольский Н. М. Оценки отклонений модифицированных сеток Хэммерсли—Рота. Деп. в ВИНИТИ 23.02.84, №1365—84.
[4] Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Пентон М. М. Алгоритм построения
оптимальных модифицированных сеток Хеммерсли—Рота. // Современные
проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации: тез. докл. Всесоюз. конф. Тула, 1989. C. 92—95.
[5] Добровольский Н. М., Ванькова В. С. Новые оценки для модифицированных
сеток Хеммерсли—Рота. Деп. в ВИНИТИ 29.08.90, №4992—B90.
[6] Добровольский Н. М., Ванькова В. С. О регулярных p-ичных сетках // Мат.
заметки. 1993. Т. 54, вып. 6. C. 22—32.
[7] Добровольский Н. М. Средние по орбитам многомерных сеток // Мат. заметки. 1995. Т. 58, вып. 1. C. 48—66.
[8] Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука,
1989.
[9] Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.:
Наука, 1969.
[10] Chen W. W. L. On irregularities of distribution // Mathematika. 1980. Vol. 27.
№ 2. P. 153—170.
[11] Chen W. W. L. On irregularities of distribution II // Quarterly Journal of
Mathematics. Oxford. 1983. Vol. 34. № 2. P. 257—279.
[12] van der Corput J.G. Verteilungsfunktionen. I–VIII // Proc. Kon. Ned. Acad.
Wetensch. Amsterdam. 1935. Vol. 38. № 8. P. 813—821; № 10. P. 1058—1066.
[13] Hammersley J. M. Monte-Carlo methods for solving multivariable problems //
Ann. New. York Acad. Sci. 1960. Vol. 86. № 4. P. 844—874
[14] Halton J. H. On the effeciency of certain guasirandom secuencis of points in
evaluating multidimensional integrals // Numerische Math. 1960. Vol. 2. № 2.
P. 84—90.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
307
[15] Roth K. F. On irregularities of distribution // Mathematika. 1954. Vol. 1. № 2.
P. 73—79.
[16] Roth K. F. On irregularities of distribution — IV // Acta Arithm. 1980. Vol. 37.
P. 67—75.
[17] Скорикова О. В. Сильная равномерная распределенность системы функций ван дер Корпута–Хеммерсли // Известия ТулГУ. Естественные науки.
2013. Вып. 3. С. 91–102.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
О МАТРИЧНОМ РАЗЛОЖЕНИИ ПРИВЕДЕННОЙ
КУБИЧЕСКОЙ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ 1
В. Н. Соболева, Д. К. Соболев (г. Москва), Е. А. Морозова (г. Тула)
[email protected]
[email protected]
[email protected]
В данной работе рассмотрено матричное разложение приведенной кубической иррациональности α, удовлетворяющей уравнению
x3 − 4x2 − 5x − 1 = 0.
Для матричного разложения
( ) ∏
)
∞ (
α
310941 · k + 155427 156744 · k + 78333
=
1
61578 · k + 30882
31041 · k + 15564
k=0
построен алгоритм перехода к обычной непрерывной дроби.
На рисунке 1 приводится текст программы вычисления неполных частных
приведенных кубических иррациональностей α(p) по алгоритму Лагранжа.
Вычисления cf ki(100) дает значения 592 неполных частных, а cf ki(200) уже
— 1194 значений. Так как результаты представлены в виде матрицы, содержащий 40 элементов в каждой строке, то последние элементы последней строки
могут быть нулевыми. Приведем распределение значений неполных частных с
учетом указанных нулевых значений, которые не являются неполными частными.
Это распределение вычисленно с помощью программы на рисунке 3.
Приведем необходимые сведения о матричных разложениях.
1
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
308
Секция 8
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Рисунок 3.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
309
Пусть α приведенная кубическая иррациональность, то есть α(1) = α > 1, а
сопряженные алгебраические иррациональности удовлетворяют соотношению
−1 < α(3) < α(2) < 0. Понятие приведенной кубической иррациональности является естественным обобщением приведенной квадратической иррациональности.
Нетрудно видеть, что положительный корень α уравнения
x3 − 4x2 − 5x − 1 = 0
является приведенной кубической иррациональностью.
Действительно, для многочлена f (x) = x3 − 4x2 − 5x − 1 имеем:
( )
1
3
f (−1) = f (0) = f (5) = −1, f (6) = 41, f −
= ,
2
8
поэтому α = α(1) > 5, −1 < α(3) < − 12 , − 12 < α(2) < 0.
В работах [2] и [3] рассматриваются матричные разложения алгебраических
иррациональностей. В частности, для кубической иррациональности α, удовлетворяющей уравнению
f (t) = t3 + at2 + bt + c,
f (α) = 0
дается матричное разложение
(
α
1
)
)
)(
∞ ((
∏
3k + 2
0
t −at2 − 2bt − 3c
·
=
0
3k + 1
1 3t2 + 2at + b
k=0
))
)(
( 2
ab − 9c 2b2 − 6ac
3t + 2at + b −at2 − 2bt − 3c
(1)
·
2a2 − 6b ab − 9c
1
t
и утверждается, что оно сходится при t, для которых разность |t − α| мала.
В программе на рисунке 4 реализован алгоритм перехода от матричного
разложения α(5) к обычной непрерывной дроби.
Общее определение сходимости матричного разложения следующее.
Определение 1. Говорят, что матричное разложение
)
∞ (
∏
ak bk
ck dk
k=0
сходится к числу α, если для матриц
)
) (
n (
∏
An Bn
a k bk
=
Mn =
Cn Dn
ck dk
k=0
310
Секция 8
Рисунок 4.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
311
выполняется соотношение
An
Bn
= lim
= α.
n→∞ Cn
n→∞ Dn
lim
В этом случае пишется
(
α
1
)
)
∞ (
∏
a k bk
=
.
ck dk
k=0
Список цитированной литературы
[1] Н. М. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев О матричном разложении приведенной кубической иррациональности // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 1(45). С. 34—55.
[2] Подсыпанин В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в
непрерывную дробь // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8. вып. 3(23). С. 43—
46.
[3] Подсыпанин Е. В. О разложении иррациональностей высших степеней в
обобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970 // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 47—49.
Московский педагогический государственный университет
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕШЕТОК1
Т. С. Шмелева (г. Тула)
[email protected]
Рассмотрим произвольную решетку Λ в s-мерном вещественном арифметическом пространстве Rs . По определению, гиперболическим
параметром
) решет(
ки q (Λ) называется величина q (Λ) = min x¯1 · . . . · x¯s ⃗x ∈ Λ, ⃗x ̸= ⃗0 , где для
любого вещественного x полагаем x¯ = max (1, |x|). Гиперболический параметр q (Λ) имеет простой геометрический смысл: гиперболический крест
Ks (T ) = {⃗x|x1 . . . xs 6 T }
не содержит ненулевых точек решетки Λ при T < q (Λ).
1
Работа выполнена по гранту РФФИ №11-01-00571a
312
Секция 8
Известно, что для гиперболической дзета-функции решетки ζH (Λ |α) , заданной дзета-рядом
∑
1
ζH (Λ |α) =
(¯
x1 · . . . · x¯s )α
⃗
x∈Λ,⃗
x̸=⃗0
справедлива обобщенная теорема Бахвалова [1, 250], согласно которой
ζH (Λ |α) 6 C (α, s) ·
lns−1 (q(Λ) + 1)
.
q(Λ)α
Так как q(Λ) < det Λ, то особый интерес представляют последовательности решеток Λ, для которых q(Λ) > C det Λ и det Λ → ∞. Класс таких решеток до
сих пор полностью не описан. Он состоит из решеток, которые попадают в достаточно малую окрестность решеток Λ с норменным минимумом N (Λ) > 0.
Согласно недоказанной гипотезе Оппенгейма N (Λ) > 0 только для алгебраических решеток. Для норменного минимума
}
{
N (Λ) = inf |x1 · . . . · xs | ⃗x ∈ Λ, ⃗x ̸= ⃗0
справедливо очевидное неравенство N (Λ) 6 q(Λ) и при det Λ > 1 имеем q(Λ) 6
det Λ.
Пусть целочисленный многочлен
P (x) =
s−1
∑
aν xν + xs
(1)
ν=0
неприводим над полем рациональных чисел и все корни Θν (ν = 1, . . . , s) многочлена (1) действительные. Обозначим через F чисто вещественное алгебраическое поле степени s, порожденное алгебраическим числом Θ = Θ1 .
Рассмотрим алгебраическую решётку Λ(F ), которая имеет вид
{
( s
)
}
s
∑
∑
Λ(F ) = ⃗x =
Θν−1
Θsν−1 mν m
⃗ ∈ Zs .
1 mν , . . . ,
ν=1
ν=1
Алгебраическая решетка Λ(F ) имеет большое значение в теории обобщенных
параллелепипедальных сеток и ее приложений к квадратурным формулам, так
как для решетки Λ(t, F ) = t · Λ(F ) с det Λ(t, F ) = ts det Λ(F ), N (Λ(t, F )) = ts
справедлива оценка
lns−1 det Λ(t, F )
ζH (Λ(t, F ) |α ) ≪
(det Λ(t, F ))α
и аналогичная оценка справедлива снизу для любой решетки.
Введем обозначение: q (⃗x) = x¯1 · . . . · x¯s – усеченная норма вектора ⃗x.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
Лемма 1. Для x ̸= 0, 0 < ε < 1 и |θ| 6
(
1+
1
2
313
справедливо неравенство
(
ε)
ε)
· x¯ > x + θ · ε > x¯ · 1 −
.
2
2
(2)
Лемма 2. Для 0 < ε < 1, любой невырожденной матрицы A и ненулевого
ε
вектора ⃗x с усеченной нормой q(⃗x) > 1 и ∥A − I∥ 6 2q(⃗
справедливо неравенx)
ство
(
(
ε )s
ε )s
q (⃗x) 1 +
> q(A⃗x) > q (⃗x) 1 −
.
2
2
(3)
Теорема 1. Если 1 > ε > 0 и для решеток Λ и (Γ расстояние между
)
ε
ними ρ (Λ, Γ) удовлетворяет неравенству ρ (Λ, Γ) 6 ln 1 + 2 max(q(Λ),q(Γ))
, то
справедливо неравенство
(
ε)
|ln q (Λ) − ln q (Γ)| 6 s ln 1 +
.
2
(4)
Данную теорему можно усилить, перейдя к рассмотрению только окрестности одной решётки.
Теорема 2. Если 1 > ε > 0, то для любой(решетки) Γ из окрестности
ε
решетки Λ, заданной неравенством ρ (Λ, Γ) 6 ln 1 + 2q(Λ)
, справедливо неравенство
ε)
.
|ln q (Λ) − ln q (Γ)| 6 s · ln 1 +
2
(
(5)
Следствие 1. Гиперболический параметр решетки является непрерывной
функцией на пространстве решеток P Rs .
Теорема 3. Пусть для бесконечной последовательности решеток
Λ1 , . . . , Λn , . . .
последовательность их детерминантов монотонно стремится к бесконечности и выполнены условия
Λ = lim
n→∞
Λn
1
(det Λn ) s
,
q(Λn ) > C · det Λn
(n = 1, 2, . . .),
Справедливо неравенство для норменного минимума унимодулярной решетки
Λ:
N (Λ) > C.
(6)
314
Секция 8
В связи с этим возникает проблема приближения алгебраических решеток
целочисленными. Рассмотрим целочисленную решетку
{
( s
)
}
s
∑
∑
ΛZ(t, F ) = ⃗x =
a1,ν mν , . . . ,
as,ν mν m
⃗ ∈ Zs ,
ν=1
ν=1
1
a
µ,ν
где − Θν−1
µ < , aµ,ν ∈ Z, (1 6 ν, µ 6 s).
t
2
Спрашивается, при каких t величина q (ΛZ(t, F )) будет наибольшей?
Существует ли бесконечная последовательность t → ∞ такая, что
q (ΛZ(t, F )) >> ts ?
Список цитированной литературы
[1] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.:
МЦМНО, 2004. 288 с.
[2] Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.–Л.: Гостехиздат 1940.
[3] Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.
[4] Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки
и их приложения. Тула.: Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2005. 195 с.
[5] Шмелева Т. С. Непрерывность гиперболического параметра решетки //
Известия Тульского государственного университета. Естественные науки.
2009. Вып. 3. С. 92 – 100.
[6] Т. С. Шмелева О непрерывности гиперболического параметра решеток //
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы: материалы VII
Международной конференции. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н.
Толстого. 2010. С. 202 – 206.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ
Журнал ”Чебышевский сборник” является общематематическим. В журнале
публикуются оригинальные и обзорные работы по всем разделам современной
математики и информатики на русском или английском языке.
Журнал “Чебышевский сборник” выходит один раз в год в одном томе и
четырех выпусках.
Редакция журнала “Чебышевский сборник” предлагает авторам ознакомиться с данными правилами и придерживаться их при подготовке рукописей, направляемых в журнал.
1. Общие положения
1.1. Рукопись сопровождается краткой аннотацией на русском и английском
языках, которая должна содержать не менее 250 слов, как на русском, так
и на английском языках. Ключевые слова входят в анотацию, но отделяются одной строкой.
Все материалы представляются в редакцию в двух экземплярах.
1.2. Текст статьи начинается с шифра УДК, затем следуют заглавие статьи,
инициалы и фамилии авторов, с указанием в скобках города проживания,
аннотация. На отдельной странице приводятся фамилии и инициалы авторов в латинской транскрипции и перевод на английский язык заглавия
статьи и аннотации. Статья должна быть тщательно выверена и подписана всеми авторами “в печать”. Все страницы рукописи, включая таблицы,
список литературы, рисунки и подписи к рисункам, следует пронумеровать. После списка литературы приводятся названия учреждений, в которых выполнена работа.
1.3. На отдельном листе указываются сведения о каждом из авторов: фамилия, имя, отчество — полностью, ученая степень, звание, должность, полное название учреждения, полный почтовый адрес, номер телефона с кодом города, адрес электронной почты (e-mail). Обязательно следует указать автора, ответственного за переписку и переговоры с редакцией.
1.4. Отклонения в оформлении рукописи от приведенных правил позволяют
редколлегии принять решение о снятии с публикации статьи в текущем
томе журнала (статья может быть опубликована в следующем томе).
316
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ
2. Требования к оформлению рукописей
2.1. Редакция принимает к публикации статьи, подготовленные только в системе LaTeX2ε ; при этом в редакцию одновременно с распечаткой статьи
представляются также соответствующие файлы. Статьи, подготовленные
на компьютере в других текстовых редакторах, а также машинописный
или рукописный варианты не принимаются.
2.2. При подготовке статьи в LaTeX2ε следует использовать класс
article (см. пример в конце).
В статье запрещается переопределять стандартные команды и окружения.
Пример подготовки статьи находится на Web-странице
http://cheb.tsput.ru
2.3. Нумеруемые формулы необходимо выделять в отдельную строку. Номер
формулы ставится у правого края страницы. Нумерация только арабскими цифрами в порядке возрастания с единицы. Нумеровать следует только
те формулы, на которые в тексте имеются ссылки. Запрещаются прямые
ссылки по номеру на формулы из других работ. Запрещается использовать
в формулах буквы русского алфавита.
2.4. Все рисунки и таблицы должны иметь подпись. Файлы с рисунками необходимо представить в формате *.eps. Максимальный размер рисунка или
таблицы вместе с подписью не должен превышать 80% размера A4. Не
допускается заканчивать статью рисунком или таблицей.
2.5. Список цитированной литературы оформляется в соответствии
с ГОСТ 7.0.5-2008. Сокращение слов и словосочетаний на русском языке оформляется в соответствии с ГОСТ Р 7.0.12-2011, сокращение слов
и словосочетаний на иностранных европейских языках — ГОСТ 7.11-2004.
3. Пример оформления списка цитированной
литературы
1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. 510 с.
2. Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Оптимальные коэффициенты для
комбинированных сеток // Чебышевский сборник. 2001. Т. 2, вып. 1.
С. 41—53.
3. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит,
1994. 376 с.
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ
317
4. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об аддитивной проблеме И. М. Виноградова // Мат. заметки. 2010. Т. 88, № 3. С. 325—339.
5. Archipov G. I., Buriev K., Chubarikov V. N. Exponential sums in some binary
additive problems over prime parameters // Materials of international scientific
workshop on analytic number theory and its applications. Moscow: MSU, 1997.
P. 12—13.
6. Голод Е. С. Комплекс Шафаревича и его применения: дис. . . . д-ра физ.мат. наук. М.: МГУ, 1999. 68 с.
4. Пример оформления статьи
\levkolonttl{О. А. МАТВЕЕВА}
\prvkolonttl{О НУЛЯХ ПОЛИНОМОВ ДИРИХЛЕ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ \ldots}
\thispagestyle{empty}
\input{shapka.tex}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{theorem}{0}
\setcounter{lemm}{0}
\setcounter{corollary}{0}
\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{section}{0}
УДК 511.3
\begin{center}
{\Large \bf О НУЛЯХ ПОЛИНОМОВ ДИРИХЛЕ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ В КРИТИЧЕСКОЙ
\medskip
ПОЛОСЕ L-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ}
\medskip
{\large О.~А.~Матвеева (г. Саратов)}
\end{center}
318
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ
\begin{abstract}
Получены плотностные теоремы о нулях полиномов Дирихле,
аппроксимирующих L-функции Дирихле в критической области.
\medskip
Ключевые слова: полиномы Дирихле, L-функции Дирихле, нули полиномов
Дирихле.
\end{abstract}
\begin{center}
{\Large \bf ZEROS OF DIRICHLET POLYNOMIALS
\medskip
APPROXIMATING DIRICHLET L-FUNCTIONS
\medskip
IN THE CRITICAL STRIP}
\medskip
{\large O.~A.~Matveeva}
\end{center}
\begin{engabstract}
Density theorems about zeros of dirichlet polynomials approximating
Dirichlet L-fuctions in the critical strip are obtained.
\medskip
Key words: Dirichlet polynomials, Dirichlet L-fuctions, zeros of
Dirichlet polynomials.
\end{engabstract}
\section{Введение}
В работе \cite{KorotkovMatveeva} была приведена вычислительная схема
построения полиномов Дирихле $Q_n(s),\; s = \sigma + it$, которые
в прямоугольнике $0 < \sigma < 1,\; 0 < t < T$ аппроксимируют целые
функции, заданные рядами Дирихле с периодическими коэффициентами,
с показательной скоростью. В частности, эта схема позволяет
эффективно вычислять нули L-функций Дирихле, лежащие в
критической полосе. В данной работе показано, что, с одной стороны,
известные факты о нулях L-функций Дирихле дают возможность получить
результаты о нулях аппроксимирующих полиномов Дирихле; с другой
стороны, поведение в критической полосе аппроксимирующих полиномов
Дирихле определяет поведение L-функций Дирихле.
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ
\section{Конструкция полиномов Дирихле, аппроксимирующих
в критической полосе L-функции Дирихле}
Рассмотрим L-функцию Дирихле
\begin{equation}
L(s, \chi) = \sum_{1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}, \quad
s = \sigma + it,
\end{equation}
и соответствующий степенной ряд
\begin{equation}
\label{powerseries}
g(z) = \sum_{1}^{\infty}\chi(n)t^n.
\end{equation}
.....
Для оценки величины \eqref{Meq10} сверху необходимо применить
численную схему, которая связана с вычислением полиномов $Q_n(s)$.
В заключении отметим, что аналогичные факты будут иметь место
и в случае рядов
Дирихле с периодическими коэффициентами.
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{KorotkovMatveeva} Коротков, А. Е. Об одном численном
алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами
Дирихле с периодическими коэффициентами / А. Е. Коротков,
О. А. Матвеева // Научные ведомости Белгородского государственного
университета. Сер. Математика. Физика.~--- Белгород: Изд-во
НИУ "Белгу", 2011. Вып.24, \No 17(112). С. 47-53.
.....
\bibitem{Prahar}
Прахар К. Распределение простых чисел / К. Прахар.~--- М.:
Мир, 1967.~--- 513 с.
\end{thebibliography}
\noindent Саратовский государственный университет им.
Н. Г. Чернышевского.
\noindent Получено 10.03.2013
319
320
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ
Адрес редакции:
г. Тула, пр. Ленина, 125, учебный корпус № 4 ТГПУ им. Л. Н. Толстого, комната 310, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии.
Электронные адреса (e-mail): [email protected], [email protected]
СОДЕРЖАНИЕ
Пленарные доклады . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
В. А. Артамонов Полупростые алгебры Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
В. Н. Безверхний Решение проблемы равенства и сопряженности слов в некоторых
классах групп Артина и Кокстера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Д. А. Бредихин Об алгебрах отношений с операцией двойной цилиндрофикации . 6
Н. В. Бударина, В. И. Берник, Х. О’Доннэлл О распределении алгебраических и
рациональных чисел в коротких интервалах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Е. И. Бунина, А. В. Михалёв, М. А. Ройзнер Элементарная эквивалентность колец
эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых p-групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
О. Н. Герман О некоторых аспектах принципа переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Н. М. Глазунов Кристаллические когомологии и их применения . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
М. М. Глухов Совершенно нелинейные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
С. А. Гриценко, В. Н. Чубариков Современные проблемы аналитической теории
чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
А. Э. Гутерман Проблема Полиа для перманента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский О некоторых проблемах теоретикочислового метода в приближенном анализе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
А. М. Зубков, А. А. Серов, М. В. Филина Двусторонние неравенства для функции
биномиального распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
И. А. Иванов, А. Я. Белов Построение конечно-определенной ниль-полугруппы . 30
В. Н. Латышев Стандартные базисы T -идеалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A. Laurinchikas A discrete version of the Mishou theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова Проблема о больших абелевых подгруппах и обобщенная задача А. И. Мальцева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
А. С. Мищенко Гомотопическая классификация транзитивных алгеброидов Ли . .34
С. П. Мищенко Числовые характеристики многообразий линейных алгебр . . . . . . . 35
Ю. В. Нестеренко Дифференциальная алгебра и трансцендентные числа . . . . . . . . 38
A. Yu. Olshanskii Relative growth of subgroups in finitely generated groups . . . . . . . . . 38
322
СОДЕРЖАНИЕ
Д. В. Осипов Двумерный символ Конту-Каррере и законы взаимности на алгебраических поверхностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
А. Н. Панов Теория суперхарактеров конечных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
З. Х. Рахмонов Короткие тригонометрические суммы с простыми числами . . . . . . 42
А. А. Фомин Абелевы группы без кручения конечного ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
В. Г. Чирский Свойства полиадических чисел и полиадических разложений . . . . . 47
Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Д. Н. Азаров Некоторые аппроксимационные свойства разрешимых групп конечного
ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
В. Н. Безверхний, В. А. Гринблат Решение проблемы сопряженности слов в крашеных подгруппах группп Артина с древесной структурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
В. Н. Безверхний, А. Е. Устян Об обобщённой сопряжённости слов в полугруппах
Артина большого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Н. В. Безверхний, Е. М. Кожанов, О. А. Чернышёва Построение односторонних
функций с помощью некоторых алгоритмически разрешимых проблем в C(3)-T (6)группах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Н. Б. Безверхняя Гиперболичность некоторых HNN-расширений свободной группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Е. А. Благовещенская Об определяемости абелевых групп некоторых классов их
кольцами эндоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
В. А. Ведерников Конечные неразрешимые группы, все несверхразрешимые 2dподгруппы Шмидта которых холловы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
С. В. Вершина Локальные группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов . . . 64
В. К. Вильданов (Нижний Новгород, Россия). Определяемость абелевых групп своими
группами автоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Д. В. Гольцов Об аппроксимируемости корневыми классами некоторых свободных
конструкций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
G. Deryabina, A. Krasilnikov The additive group of a universal Lie nilpotent associative
ring of class 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
И. В. Добрынина О свободных подгруппах в группах Кокстера и Артина с древесной
структурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
А. А. Дуж, Д. В. Лыткина Периодические группы Шункова, насыщенные прямыми
произведениями элементарных абелевых 2-групп и простых групп L2 (2m ) . . . . . 74
СОДЕРЖАНИЕ
323
В. Г. Дурнев, О. В. Зеткина, А. И. Зеткина Об альтернативе Титса для подгрупп
F-групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Д. З. Каган О некоторых функциях на свободных группах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Е. И. Компанцева Абсолютный радикал Джекобсона абелевых M T -групп . . . . . . . 79
А. С. Кондратьев Распознаваемость по графу простых чисел групп E7 (2) и E7 (3) 80
О. В. Куликова Об асферичности над подкопредставлениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
И. И. Кучеров Об одном свойстве групп Кокстера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
В. М. Левчук, С. В. Панов, П. К. Штуккерт Вопросы структурного описания конечных квазиполей и построения плоскостей трансляций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Е. С. Логачева Проблема сопряженности в древесном произведении групп . . . . . . .85
В. Д. Мазуров Пример удвоенной группы Фробениуса, изоспектральной простой
группе U3 (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
А. И. Некрицухин Некоторые свойства палиндромических автоморфизмов . . . . . . 91
А. В. Розов Аппроксимируемость обобщенных свободных произведений групп в некоторых классах конечных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
Е. В. Соколов Аппроксимируемость конечными π-группами некоторых свободных
конструкций групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Е. А. Туманова Об аппроксимируемости корневыми классами групп обобщенных
свободных произведений с нормальным объединением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
В. Х. Фарукшин О центре кольца эндоморфизмов одного класса локальных абелевых
групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
М. В. Цветков Разложение унитарной линейной группы над некоторым кольцом в
свободное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
E. E. Shirshova On lexicographic extensions of partially ordered groups . . . . . . . . . . . . 101
Полугруппы и универсальные алгебры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
Н. Ю. Аншваева, Д. А. Бредихин Об упорядоченных полугруппах отношений с диофантовыми операциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Т. В. Апраксина О системах образующих диагональных полигонов над полугруппами
изотонных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
И. В. Барков Полугруппы минимального диагонального ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
G. B. Belyavskaya Successively orthogonal systems of k-ary operations . . . . . . . . . . . . . 110
К. А. Вяткина Об алгебре U -инвариантов присоединённого представления . . . . . 113
324
СОДЕРЖАНИЕ
А. В. Жучок Свободные произведения димоноидов левых и правых нулей . . . . . . 115
Ю. В. Жучок, Е. А. Тоичкина Полугруппы эндотопизмов эквивалентности . . . . 116
В. К. Карташов О многообразии унарных алгебр, удовлетворяющих тождеству
f g(x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
В. К. Карташов, А. С. Гусев Об алгебрах подмножеств унаров . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
А. В. Карташова О решетках конгруэнций и топологий коммутативных унарных
алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
И. Б. Кожухов, И. В. Барков Диагональные полигоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
И. Б. Кожухов, А. В. Царев Абелевы группы с финитно аппроксимируемыми полигонами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
А. Н. Лата О решетках конгруэнций алгебр одного класса унаров с мальцевской
операцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
М. Н. Назаров Альтернативное описание классов изоморфных группоидов . . . . . 129
А. О. Петриков Продолжаемые и непродолжаемые частичные полугруппы . . . . . 131
В. Б. Поплавский Частичные порядки на множестве идемпотентов полугруппы булевых матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
А. В. Попович О многообразиях полугрупп бинарных отношений с операциями идентификациями неподвижной точки и рефлексивной двойной цилиндрофикации 135
А. Л. Расстригин О насыщенных формациях конечных унаров . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
В. Л. Усольцев О гамильтоновых тернарных алгебрах с операторами . . . . . . . . . . . 138
А. Р. Халиуллина Конгруэнции правых полигонов над полугруппами правых и левых
нулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Р. Р. Шакиров Диагональные ранги рисовских полугрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Н. А. Щучкин К определению n-арной группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
В. А. Ярошевич, О. О. Щекатурова Расположение первичных и вторичных идемпотентов внутри классов Грина на множестве булевых матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Кольца и модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
И. Н. Балаба Градуированный Морита-контекст . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
А. Я. Белов, М. И. Харитонов Применение теоремы Дилуорса в оценках в теореме
Ширшова о высоте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
О. А. Богданчук О подмногообразиях многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии W2 . . . . . . . . . . . . . . . 150
СОДЕРЖАНИЕ
325
E. A. Vassilieva On Jack’s connection coefficients and their computation . . . . . . . . . . . 151
Е. М. Вечтомов, А. А. Петров О полукольцах с полурешеточным умножением 154
Е. М. Вечтомов, Н. В. Шалагинова Идеалы в частичных полукольцах непрерывных
[0, ∞]-значных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
А. В. Гришин О сильно неразложимых локализациях дедекиндовых колец . . . . . 161
Н. И. Дубровин Непрерывные операторы на пространстве формальных рядов . .161
Н. И. Дубровин, Т. В. Дубровина Двойственность топологических линейных пространств формальных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ю. В. Кочетова О радикалах нильпотентных алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
О. В. Кравцова Об изоморфизме полуполевых плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Е. Н. Краснова Градуированные квазифробениусовы кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
О. В. Маркова Длина матричных алгебр и систем матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
Е. В. Мещерина Об одной проблеме для артиновых алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
e 1 . . . . . . . . . . . . . 175
С. П. Мищенко, Ю. Р. Пестова Многообразие алгебр Лейбница V
С. П. Мищенко, О. В. Шулежко Почти нильпотентные многообразия любой целой
экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Е. А. Морозова К 50-летию курса "Линейная алгебра и геометрия" на механикоматематическом факультете МГУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
С. А. Пихтильков, О. А. Пихтилькова, Н. Ю. Фадеева О специальных алгебрах Ли,
имеющих точный модуль с размерностью Крулля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
И. Ю. Свиридова, О. Б. Финогенова Коммутативность четных компонент Z2 градуированных алгебр и ее неградуированные следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Т. В. Скорая О росте многообразия алгебр Лейбница, связанного с неприводимыми
бесконечномерными представлениями трехмерной алгебры Гейзенберга . . . . . . 182
Ю. Ю. Фролова, О. В. Шулежко О почти нильпотентных многообразиях . . . . . . 184
А. В. Швецова О некоторых условиях конечности кодлины многообразия алгебр
Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Прикладная и компьютерная алгебры, криптография и дискретная математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Н. М. Глазунов, Т. В. Нагорняк Некоторые алгебраические вопросы оптимизации
формы тел, выдерживающих максимальную нагрузку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Н. В. Горбань Динамика решений автономного уравнения типа реакции-диффузии
с многозначной функцией взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
326
СОДЕРЖАНИЕ
Е. Е. Кирик Решение систем линейных уравнений, которые отображают структуру
графов и их применение к задачам распределения ограниченных ресурсов . . . 192
Е. М. Крейнес Вложенные графы на Римановых поверхностях: теория и
приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
O. P. Kupenko, R. Manzo On Optimality Conditions for Optimal Control Problem in
Coefficients for p-Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
П. А. Лавров О минимальных обструкциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
А. В. Леонтьев О базисе Гребнера и параллельной вычислимости . . . . . . . . . . . . . . . 198
В. Т. Марков Абелевы и неабелевы групповые коды над некоммутативными
группами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
В. О. Осипян, А. Ю. Карпенко, А. С. Жук, А. Х. Арутюнян Математическая модель
системы защиты информации на основе диофантова множества . . . . . . . . . . . . . . 203
Л. С. Палийчук Качественное поведение автономного волнового уравнения с разрывной нелинейностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
А. А. Серов Оценки объемов окрестностей двоичных кодов в терминах их весовых
спектров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
П. Н. Сорокин, Н. Н. Ченцова Предельные теоремы для R-метода Гаусса . . . . . . 210
I. M. Gorban, O. V. Homenko Theoretical models of flow control in near-wall areas 214
O. V. Khomenko Near-wall flows with irregular boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Аналитическая теория чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A. Balciunas Mellin transforms of Dirichlet L-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
С. А. Гриценко, Н. А. Зинченко Теорема Бомбьери — Виноградова для простых чисел
специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221
С. А. Гриценко, Н. Н. Мотькина Проблема Варинга с натуральными числами специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
I. Sh. Jabbarov On a new measure on infinite dimensional unite cube . . . . . . . . . . . . . . 224
Р. А. Дохов О взвешенном числе целых точек на некоторых четырехмерных квадратичных поверхностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Н. А. Зинченко О числе решений диофантова уравнения с полупростыми числами
из коротких промежутков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Ю. А. Игнатов Представление нескольких натуральных чисел в виде суммы попарно
различных слагаемых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
СОДЕРЖАНИЕ
327
И. И. Ильясов К распределению простых чисел в многочленах третьей степени с
целыми коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
А. Е. Коротков, О. А. Матвеева О численных экспериментах, связанных с поведением
рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе . . . . 234
В. В. Кривобок, Е. В. Сецинская, Д. С. Степаненко К задаче о целостности
L-функций Артина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
В. Н. Кузнецов, В. А. Матвеев, О. А. Матвеева Обобщённые характеры числовых полей и аналитические свойства эйлеровых произведений с такими
характерами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева Об одном доказательстве гипотезы Н. Г. Чудакова
в случае главных обобщённых характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Т. А. Кузнецова, О. А. Матвеева Об определяющих аналитических свойствах рядов
Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в
точке z = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
О. А. Матвеева Почти периодические функции и плотностные теоремы для рядов
Дирихле с периодическими коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Л. Н. Куртова Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами . . . . . . . 239
В. А. Матвеев, О. А. Матвеева Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле
с мультипликативными конечнозначными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240
У. М. Пачев, Р. А. Дохов Об особом ряде для задачи о взвешенном числе целых точек
на четырехмерных квадратичных поверхностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
П. З. Рахмонов Обобщенная тернарная проблема Эстермана для нецелых степеней
с почти равными слагаемыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Ф. З. Рахмонов Асимптотическая формула для проблемы Варинга — Гольдбаха со
сдвинутыми простыми числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
С. А. Тюрин Некоторые свойства символа типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Г. В. Федоров О представлении целых чисел с конечным числом простых
делителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
ˇ
S. Cernigova
The moments of the periodic zeta-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
ˇ ci¯
D. Siauˇ
unas On the number of zeros of some analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Диофантовы приближения и теория трансцендентных чисел. . . . . . . . . . . . .256
Ю. А. Басалов, А. Н. Басалова О проблеме совместных диофантовых приближений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
А. Г. Гусакова, Д. В. Васильев, Н. И. Калоша Количество алгебраических чисел с
малой производной минимального многочлена в корне на коротких интервалах 258
328
СОДЕРЖАНИЕ
А. В. Иванов, В. И. Иванов Арифметические свойства нулей функций Бесселя и
оптимальные аргументы в неравенствах Джексона – Стечкина . . . . . . . . . . . . . . . 259
Э. И. Ковалевская, И. М. Морозова, О. В. Рыкова О числе векторов с действительными алгебраическими координатами вблизи гладких многообразий вида u =
f (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
М. Ю. Лучин О мере иррациональности числа log(37/30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
В. Ю. Матвеев Полиадические представления натуральных чисел . . . . . . . . . . . . . . 264
Н. В. Шамукова, Д. В. Коледа, А. В. Луневич Об оценке сверху размерности Хаусдорфа в совместных приближениях алгебраическими числами . . . . . . . . . . . . . . . 265
Геометрия чисел и равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
А. А. Абросимова Многомерные множества ограниченного остатка малых размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Е. П. Давлетярова, А. А. Жукова, А. В. Шутов Геометризация обобщенных систем
счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
В. Г. Журавлев, А. А. Абросимова Множества ограниченного остатка и многомерная
теорема Гекке . . . . . . . . . . . . . . . .