close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...мерпориятий на НГ и Рождество;docx

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
В ТЕСТАХ
Учебное пособие
Москва 2014
1
УДК 5.39.3
ББК 30.121
И49
Р ец е нз е н ты :
профессор Н.М. Атаров, кафедра сопротивления материалов
ФГБОУ ВПО «МГСУ»;
кандидат технических наук, профессор Г.А. Емельянова,
и. о. зав. кафедрой строительной механики и высшей математики МАРХИ
И49
Ильяшенко, А.В.
Геометрические характеристики поперечных сечений стержней в тестах : учебне пособие / А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова ; М-во образования и науки Росс. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. Москва : МГСУ,
2014. 68 с.
ISBN 978-5-7264-0846-0
Содержатся тесты и решения к ним по теме «Геометрические характеристики
поперечных сечений стержней», изучаемой в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Техническая механика». Включает введение и четыре раздела по рассматриваемой теме: «Статические моменты. Центр тяжести поперечного сечения», «Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при
параллельном переносе осей», «Главные оси и главные моменты инерции поперечного сечения», «Моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции поперечных сечений». Представлены разнообразные типы задач, даны подробные комментарии к решениям. Все тестовые задания сформулированы в соответствии с общими требованиями к тестовым заданиям базового уровня.
Для студентов, обучающимся по направлениям 270800.62 «Строительство»,
270100.62, 270100.68 «Архитектура», 151600.62, 151600.68 «Прикладная механика», 231300.62 «Прикладная математика» (бакалавры, специалисты), для выполнения расчётно-графических работ и эффективной самостоятельной подготовки к
контрольным работам и аудиторному тестированию.
УДК 5.39.3
ББК 30.121
Редактор Н.С. Плоткина
Компьютерная верстка Е.Е. Костылёва
Подписано в печать 18.06.2014 г. И-235. Формат 60×84/16. Уч.-изд. 1,78.
Усл.-печ. л. 4,76. Тираж 300 экз. Заказ 227
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «Московский государственный строительный
университет». 129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – МГСУ. Тел. (495) 287-49-14, вн. 13-71, (499) 188-29-75, (499) 183-97-95.
E-mail: [email protected], [email protected]
Отпечатано в типографии Издательства МИСИ – МГСУ.
Тел. (499) 183-91-90, (499) 183-67-92, (499) 183-91-44
ISBN 978-5-7264-0846-0
© ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2014
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие позволяет студентам проверить и расширить свои знания и
навыки в освоении теоретического и практического материала, подготовиться к
прохождению тестирования расчетно-графической работы по теме "Геометрические
характеристики поперечных сечений стержней".
Задания сгруппированы по четырем разделам. Так как каждый тест снабжен
комментируемым ответом, то это позволяет учащемуся контролировать уровень
своей подготовки в режиме "самотестирования".
К каждому тесту (заданию) предлагаются пять вариантов ответа. Причем все
ответы помечены или символом "○" (кружок) или символом "□" (квадрат).
Символом "○" обозначены ответы, из которых только один является правильным, а символом "□" – ответы, из которых правильными являются несколько из
пяти предложенных (но не более четырех). Таким образом, тестируемому даётся
некоторая подсказка, в целом упрощающая задание.
В следующем за ответами комментарии содержится решение поставленной в
тесте задачи и краткие сведения по соответствующему теоретическому материалу.
В конце каждого теста предлагается правильный ответ.
При прохождении реального аудиторного тестирования на кафедре сопротивления материалов действуют такие же принципы. Студенту следует ответить на пять
вопросов, включающих три задачи и два теоретических задания. Время тестирования - 15 минут. Для получения удовлетворительной оценки необходимо правильно
ответить на три вопроса из пяти предложенных.
Авторы выражают особую благодарность профессору кафедры "Сопротивление материалов" МИСИ - МГСУ Н.М. Атарову за ценные советы и замечания.
3
ВВЕДЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ФОРМУЛЫ
При выполнении расчетов на прочность, жесткость и устойчивость конструкций формулы для напряжений и деформаций содержат различные
величины, характеризующие влияние размеров и формы поперечного сечения стержня на его напряженно-деформированное состояние. Эти величины принято называть геометрическими характеристиками поперечных сечений. Изучение этих функций, освоение различных приемов их вычисления, анализ их свойств на примерах в форме тестов позволит подготовиться
к определению напряженного и деформированного состояний в стержнях.
Основные элементы стержня (балки, бруса) представлены на рис.1.
Рис. 1
Площадь поперечного сечения определяется по формуле
.
∬
На основании этого соотношения площадь делится на бесконечно малые площади dA, общая площадь поперечного сечения равна сумме всех
бесконечно малых площадей dA.
В расчетной практике начало выбранной системы координат помещают
в центр тяжести сечения.
Центральными осями называются оси, проходящие через центр тяжести сечения.
Положение центра тяжести сечения известно, если поперечное сечение
имеет две и более осей симметрии. Центр тяжести расположен на пересечении осей симметрии поперечного сечения (рис.2).
4
Рис. 2
В сечении, симметричном относительно одной оси, центр тяжести расположен на оси симметрии, при этом определяется одна координата центра
тяжести. Известно, что в сечении, состоящем из двух элементов, центр тяжести расположен на линии, соединяющей центры тяжести элементов
(рис. 3).
Рис. 3
Статические моменты
Рис. 4
5
Статические моменты сечения относительно осей Оx и Оy определяются по следующим формулам (рис. 4)
∬
∬
(1)
Если известны координаты центра тяжести сечения, то статический момент сечения относительно оси равен произведению площади сечения на
координату центра тяжести:
.
(2)
Координаты центра тяжести сечения определяются с помощью статических моментов относительно произвольно выбранных осей ∑ , ∑ ,
при разделении сечения на простые элементы, положение центров тяжести
которых известно, по формулам:
∑
∑
,
(3)
где A – общая площадь сечения.
Статические моменты относительно центральных осей равны нулю.
∑
∑
. Это свойство используется для поверки правильности определения координат центра тяжести сечения.
Статические моменты могут быть положительными, отрицательными и
равными нулю. Последнее утверждение действительно относительно осей
симметрии.
Моменты инерции сечения
Относительно двух взаимно перпендикулярных осей определяются три
момента инерции сечения – два осевых и один центробежный по следующим формулам:
∬
∬
∬
(4)
Поскольку произведение элементарной площади dA на квадрат расстояния до оси является положительной величиной, то осевые моменты инерции
принимают только положительные значения.
Центробежный момент инерции
может быть положительным или
отрицательным. Центробежный момент инерции
равен нулю в следующих случаях:
– достаточно, чтобы одна из осей являлась осью симметрии,
– относительно главных осей.
6
Моменты инерции простых фигур (рис. 5)
ПРЯМОУГОЛЬНИК
ТРЕУГОЛЬНИК
Рис. 5
Рис. 6
(5)
Моменты инерции произвольного треугольника относительно трех
осей, параллельных основанию, определяются по формулам (рис. 6, а):
;
,
(6)
где Ox – центральная ось.
Моменты инерции равнобедренного треугольника (рис. 6, б):
.
(7)
КРУГ, ПОЛУКРУГ
Рис. 7
Осевые моменты инерции характеризуют расположение точек сечения
относительно осей. В круглом сечении точки сечения расположены одинаково относительно осей Оx и Оy, поэтому осевые моменты инерции круга
равны между собой (рис.7, а):
.
Моменты инерции полукруга определяются по формулам (рис. 7, б):
7
(8)
.
(9)
Полярный момент инерции
В полярной системе координат момент инерции элементарной площади
dA относительно полюса О равен произведению dA на квадрат расстояния r
от полюса О до dA (рис.8).
Рис. 8
Используя соотношение
, получим, что полярный
момент инерции равен сумме осевых моментов инерции:
∬
∬ (
)
.
(10)
Соотношение (10) выражает связь между моментом инерции в полярной системе координат и осевыми моментами инерции в декартовой системе координат.
Моменты инерции относительно параллельных осей
Рис. 9
Если известны моменты инерции относительно центральных осей Оx,
Оy сечения, то моменты инерции относительно осей
(рис.9), параллельных центральным, определяются по следующим формулам:
8
(11)
.
К осевому моменту инерции относительно центральной оси добавляется
произведение площади сечения A, умноженной на квадрат расстояния между параллельными осями. Центробежный момент инерции относительно
центральных осей суммируется с произведением площади сечения A на
расстояния a и b между осями.
Моменты инерции при повороте осей
О
Рис. 10
Моменты инерции относительно осей
, повернутых к осям Оx ,
Оy под углом α, (рис. 10) можно выразить на основании общих соотношений (4):
∬
∬
∬
.
(12)
Полагая, что значения моментов инерции сечения относительно осей
Оx, Оy известны, и используя соотношения, связывающие координаты x, y
c координатами
:
,
получим выражения для моментов инерции относительно наклонных
осей:
;
;
.
(13)
(14)
(15)
Из сложения формул (13) и (14) следует, что сумма осевых моментов
инерции сечения является величиной постоянной:
.
9
(16)
Главные оси и главные моменты инерции сечения
Главными осями называются оси относительно, которых центробежный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инерции сечения принимают максимальное и минимальное значения.
Положение главных осей находится, при выполнении условия экстремума осевого момента инерции
по переменной α:
,
(
)
(то есть
).
(17)
Из соотношения (17), получим выражение для определения угла наклона главной оси к горизонтали:
.
Значения главных моментов инерции определяются по формуле
√(
)
.
(18)
Индекс 1 относят к значению максимального момента инерции, 2 – к
значению минимального момента инерции. При этом углы наклона осей 1и
2 к оси Оx можно определить из соотношений:
.
(19)
Положительный угол α откладывается от оси Оx против хода часовой
стрелки, отрицательный – по ходу часовой стрелки. В результате расчета
должно получиться | | | |
.
Моменты сопротивления сечения определяются для крайних точек
сечения, поскольку используются для выражения значений наибольших
напряжений при изгибе, возникающих в крайних волокнах балки. Моменты
сопротивления сечения (рис.11) рассчитываются по формулам:
;
Рис. 11
Радиусы инерции сечения определяются из соотношений:
10
(20)
√
;
√ .
(21)
Главные радиусы инерции сечения вычисляются по величинам главных моментов инерции:
√
;
√ .
(22)
Свойства моментов инерции сечения
Знак центробежного момента инерции сечения изменяется на противоположный, если две взаимно перпендикулярные оси повернуть на
(рис.12, а, б):
Рис. 12
Пару главных осей составляют ось симметрии и ось, ей перпендикулярная (рис.13) :
Для точки, расположенной на главной центральной оси, пару главных
осей составляют главная центральная ось и ось ей перпендикулярная
(рис.14).
Рис. 13
Рис. 14
Если относительно двух взаимно перпендикулярных главных осей моменты инерции одинаковы, то все оси, проходящие через точку их пересечения, главные и моменты инерции относительно них равны между собой
(рис.15, а, б).
11
Рис. 15
Например, рассмотрим квадратное сечение. Известны значения моментов инерции относительно осей Оx и Оy:
.
(23)
Используя соотношение для осевого момента инерции при повороте
осей (13), получим формулу момента инерции относительно оси
(
)
(24)
Графическое определение моментов инерции сечения.
Круг инерции (круг Мора)
С помощью круга инерций можно определить:
1) значения главных моментов инерции и положение главных осей;
2) значения моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей для рассматриваемой точки поперечного сечения.
Например, определены моменты инерции относительно центральных
осей сечения Jx, Jy и Jxy. Допустим Jx< Jy , Jxy > 0.
На горизонтальной оси откладываются осевые моменты инерции Jx, Jy,
на вертикальной оси – центробежный момент инерции Jxy с учетом его знака.
Обозначаем на горизонтальной оси центр круга
и полюс
круга — точку K с координатами (Jy, Jxy). Радиусом CK проводим окружность. Точки пересечения окружности с горизонтальной осью показывают
значения главных моментов инерции J1 и J2. Линии, проведенные через
точку K и точки пересечения окружности с горизонтальной осью J1 и J2,
показывают направления главных осей, обозначаемых 1 и 2. Угол между
горизонтальной осью и линией 1 равен α1, угол между горизонтальной
осью и линией 2 равен α2. (рис. 16, а, б)
12
Рис. 16
Значения J1, J2, α1, α2 , полученные с помощью круга инерции, совпадают с аналитическими вычислениями по формулам (18) и (19).
Положительный угол откладывается от горизонтали против хода часовой стрелки, отрицательный — по ходу часовой стрелки.
13
РАЗДЕЛ 1. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Тест 1.1
Геометрические характеристики поперечного сечения
вычисляются…
□
□
□
□
1) относительно главных центральных осей;
2) при определении внутренних усилий;
3) для определения напряжений;
4) для определения жесткости при растяжении—сжатии, изгибе,
кручении;
□ 5) при расчете положения центра тяжести.
Ко м м е н тар и й :
При расчете на прочность, жесткость, устойчивость величины напряжений, деформаций и перемещений зависят от размеров и формы поперечного сечения. Геометрические характеристики сечений вычисляются
относительно центральных главных осей. Жесткость при растяжении—
сжатии EA, изгибе EJ, кручении GJp определяется относительно главных
центральных осей. При определении координат центра тяжести сечения
вычисляются статические моменты сечения относительно выбранных
осей и площадь сечения.
Внутренние усилия определяются с помощью метода сечений и выражаются через внешние нагрузки. Форма и размеры поперечного сечения
не влияют на их значения.
Правильные ответы: 1), 3), 4), 5).
Тест 1.2
Оси координат при расчете стержня на прочность, жесткость, устойчивость в поперечном сечении помещаются в точку ...
14
○
○
○
○
○
1) т.1;
2) т.2;
3) т.3;
4) т.4;
5) т.5 .
Ко м м е н тар и й :
Начало координат помещается в центр тяжести сечения. Геометрические характеристики сечения, используемые в расчете, определяются относительно главных центральных осей. При расположении осей в точку 3
получаем, что Oz, Oy являются главными центральными осями.
Правильный ответ: 3).
Тест 1.3
Статические моменты сечения относительно осей
определяются с помощью формул ...
○ 1)
∬
;
| |;
○ 2)
○ 3)
○ 4)
∬
;
∬
○ 5)
∬
;
.
Ко м м е н тар и й :
Статический момент относительно оси для элементарной площадки —
это произведение бесконечно малой площади dA на расстояние от нее до
соответствующей оси. При расчете строительных конструкций принято
обозначать эту величину буквой S.
В ответах представлены формулы для определения: Jx , Jy — осевых
моментов инерции сечений; Ε – модуля упругости материала;
ν — коэффициента Пуассона; Wx , Wy – моментов сопротивления сечения; σx — нормальных напряжений; τ — касательных напряжений.
Правильный ответ: 4).
15
Тест 1.4
Статический момент сечения равен нулю относительно…
□
□
□
□
1) главной оси;
2) любой центральной оси;
3) оси симметрии сечения;
4) горизонтальной оси, проведенной по касательной к контуру сечения;
□ 5) вертикальной оси, проведенной по касательной к контуру сечения.
Ко м м е н тар и й :
Если известно положение центра тяжести сечения, статический момент сечения относительно оси равен произведению площади сечения на
расстояние от центра тяжести сечения до этой оси, поэтому статический
момент сечения относительно любой центральной оси равен нулю.
Известно, что ось симметрии проходит через центр тяжести сечения.
Относительно главной оси, не проходящей через центр тяжести сечения, статический момент не равен нулю.
Относительно осей, проходящих по касательной к контуру сечения,
статический момент не равен нулю.
Правильные ответы: 2), 3).
Тест 1.5
Правильными утверждениями для статических моментов данного сечения (O – центр тяжести) являются …
□
□
□
□
□
1)
2)
3)
4)
5)
;
;
;
;
.
16
Ко м м е н тар и й :
Величина статического момента может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Оси Ox и Oy являются центральным осями
данного сечения, поэтому
и
.
Рассматривая расположение точек сечения относительно оси
, отметим, что большее число точек сечения имеет отрицательную координату, y, поэтому статический момент всего сечения относительно
оси
является отрицательным. На основании определения статического момента сечения
делаем вывод, что
.
∬
Правильные ответы: 1), 4), 5).
Тест 1.6
Статические моменты сечения относительно осей Ox и Oy равны…
□ 1)
□ 2)
;
□ 3)
□ 4)
□ 5)
(
;
(
(
);
);
)
Ко м м е н тар и й :
Сечение симметрично относительно оси Oy, следовательно Oy — центральная ось, и относительно неё статический момент равен нулю.
17
Ось Ox не является центральной осью сечения, относительно нее
напишем выражение статического момента. Сечение разделим на три простых элемента, положение центров тяжести которых известно. Центр тяжести большого прямоугольника расположен на оси Ox, поэтому статический момент сплошного прямоугольника относительно оси Ox равен нулю
, вычитаем из этого значения статические моменты двух одинаковых фигур, представляющие вырезы в форме треугольников. Статический момент каждого треугольника относительно оси Ox определим как
произведение его площади, умноженной на расстояние от центра тяжести
треугольника до оси Ox, равное a:
(
)
Правильные ответы: 1), 2).
Тест 1.7
Статический момент заштрихованной части сечения относительно
оси Oy равен...
○
○
○
○
○
1)
2)
3)
4)
5)
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
Заштрихованную фигуру представим в виде большого сплошного
прямоугольника (10×8) и выреза в форме малого прямоугольника (3×6),
координаты центров тяжести каждой фигуры относительно оси Oy являются отрицательными. Статический момент заштрихованной фигуры
определим как разность статических моментов этих фигур относительно
оси Oy:
( )
( )
Правильный ответ: 2).
18
Тест 1.8
Координаты центра тяжести сечения
и
□
□
□
□
□
равны...
1)
2)
3)
4)
5)
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
Разделим поперечное сечение на простые элементы, положение центров тяжести которых известно, получим два прямоугольника, и
—
их центры тяжести. Вспомогательные оси Оx и Оy проведены по касательной к контуру сечения. Статический момент всего сечения относительно оси равен алгебраической сумме статических моментов отдельных
элементов относительно рассматриваемой оси. Статический момент отдельного элемента относительно оси определяется как произведение площади этого элемента, умноженной на расстояние от центра тяжести элемента до оси.
Определим координаты центра тяжести сечения и по формулам:
∑
∑
(
(
)
)
(
Правильные ответы: 2), 3).
19
(
)
)
см.
Тест 1.9
Сечение состоит из листа 200 24 и двутавра 30.
Координата центра тяжести сечения
равна...
○
○
○
○
○
1) 10, 64 см;
2) 12,33 см;
3) 9,62 см;
4) 8,23 см;
5) 7,64 см.
Ко м м е н тар и й :
Поперечное сечение состоит из двух элементов, отметим положение
центров тяжести листа и двутавра. Значение координаты yc определим по
величине статического момента всего сечения относительно горизонтальной оси
. Выпишем из сортамента значение площади двутавра 30: A1 =
46,5 см2 (номер любого двутавра соответствует его высоте в сантиметрах).
Определим площадь всего сечения
. В данной задаче ось
, проходит через центр тяжести двутавра, поэтому статический момент двутавра относительно оси
равен
нулю, так как
. Для вычисления статического момента листа относительно оси
значение площади листа
умножим на координату центра тяжести листа по отношению к оси
, равную 16,2 см.
Определим координату yc по формуле
∑
Правильный ответ: 4).
20
Тест 1.10
Сечение состоит из листа 260 20 и двух уголков 125
Координата
центра тяжести сечения по отношению
к оси
равна...
○
○
○
○
○
1)
2)
3)
4)
5)
.
0,89 см;
2,47 см;
3,68 см;
1,94 см;
6,15 см.
Ко м м е н тар и й :
Поперечное сечение состоит из трех элементов: листа и двух неравнополочных уголков, обозначим на чертеже центры тяжести всех элементов.
Статический момент всего сечения относительно оси равен сумме статических моментов отдельных элементов относительно рассматриваемой
оси. Значение координаты xc определяется по величине статического момента всего сечения относительно вертикальной оси
, статический
момент листа относительно оси
равен нулю, т.к.
, A1 = 26×2 =
52,0 см2. Выпишем из сортамента значение площади уголка 125 × 80 × 12
A2 = A3 = 23,4 см2 и значения координат центра тяжести уголка, отметим
их на чертеже: x0 = 4,22 см, y0 = 2,00 см. Для вычисления статического момента каждого уголка относительно оси
значение площади уголка
21
23,4 см2 умножим на расстояние от центра тяжести уголка до оси
равное 5,22 см. Определим координату xc по формуле:
,
∑
Центр тяжести расположен внутри треугольника
.
Правильный ответ: 2).
Тест 1.11
Сечение состоит из листа 240 16 и двух швеллеров 20.
Координата центра тяжести сечения относительно оси
равна...
○ 1) 11.9 см;
○ 2) 8,18 см;
○ 3) 6,71 см;
○ 4) 5,93 см;
○ 5) 0,71 см.
Ко м м е н тар и й :
Поперечное сечение состоит из трех элементов: листа и двух швеллеров, обозначим на чертеже центры тяжести всех элементов. Значение координаты yc определяется по величине статического момента всего сечения относительно горизонтальной оси
, при этом статический момент
22
листа относительно оси
равен нулю,
, A1 = 24×1,6 = 38,4 см2.
Выпишем из сортамента значение площади швеллера 20: A2 = A3 =
23,4 см2. Номер швеллера равен его высоте в сантиметрах. Для вычисления статического момента каждого швеллера относительно оси
значение площади швеллера 23,4 см2 умножим на расстояние от центра тяжести швеллера до оси
, равное 10,8 см. Определим координату yc по
формуле
∑
.
Центр тяжести расположен внутри треугольника
.
Правильный ответ: 4).
Тест 1.12
Расстояние y , при котором центр тяжести сечения расположен на линии 1-1, равно...
○
○
○
○
○
1) √ ;
2) 1,12a;
3) 3a;
4) 4,5a;
5) 5a .
Ко м м е н тар и й :
Используем известное положение:
относительно центральной оси статический момент равен нулю. Разделим
сечение горизонтальной линией на
два прямоугольника, составим выражение статического момента всего
сечения относительно оси Оx и приравняем его нулю.
23
(
)
(
)
.
Правильный ответ: 3).
Тест 1.13
Расстояния x и y , при которых центр тяжести сечения
расположен на линии 1-1, равны...
□
□
□
□
□
1)
2)
3)
4)
5)
x = 1,201h ;
y = 0,423h ;
x = 0,634h ;
y = 0,328h ;
x = 0,951h.
Ко м м е н тар и й :
Используем известное положение: относительно центральной оси статический момент равен нулю. Разделим сечение вертикальной линией на
два элемента – треугольник и прямоугольник. Проведем через центр тяжести сечения оси Ox и Oy, составим выражения статических моментов
всего сечения относительно центральных осей Ox и Oy, приравняем их
нулю.
(
√
)(
)
(
)
(
)
,
,
√
(
)(
)
.
Правильные ответы: 2), 5).
24
(
)( (
))
,
РАЗДЕЛ 2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ.
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ
Тест 2.1
Осевые моменты инерции сечения определяются
с помощью формул ...
| |;
○ 1)
○ 2)
∬
○ 3)
∬
○ 4)
○ 5)
∬
;
∬
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
Осевой момент инерции для элементарной площадки определяется как
произведение бесконечно малой площади dA на квадрат расстояния от неё
до соответствующей оси.
Правильный ответ: 3).
Тест 2.2
Правильными утверждениями относительно знака осевого момента
инерции в сечении являются…
□
□
□
□
□
1) величина только положительная;
2) знак зависит от расположения сечения относительно оси;
3) величина отрицательная;
4) может принимать значение, равное нулю;
5) знак не зависит от расположения сечения относительно оси.
25
Ко м м е н тар и й :
На основании определения осевых моментов инерции
∬
;
, элементарная площадь dA умножается на квадрат рассто∬
яния до рассматриваемой оси. Поскольку для разных точек сечения квадрат расстояния от точки до любой оси величина положительная, то осевые моменты инерции для всего сечения имеют знак «плюс» относительно любой оси.
Правильные ответы: 1), 5).
Тест 2.3
Правильными утверждениями для центробежного момента
инерции сечения являются…
□ 1) равен нулю, если одна из двух взаимно перпендикулярных осей
является осью симметрии;
□ 2) величина только положительная;
□ 3) принимает положительные или отрицательные значения, или равен
нулю;
□ 4) не принимает значения, равного нулю;
□ 5) равен нулю относительно главных осей.
Ко м м е н тар и й :
На основании определения центробежного момента инерции
, элементарная площадь dA умножается на произведение рас∬
стояний до рассматриваемых осей. Так как в разных точках сечения координаты точек могут иметь противоположные знаки в зависимости от расположения точек сечения относительно осей, центробежный момент
инерции всего сечения может принимать положительное или отрицательное значение или быть равным нулю.
При определении центробежного момента инерции относительно двух
осей, одна из которых является осью симметрии, получаем, что для
число точек в сечении, имеющих знак «+» равно числу точек, имеющих
знак «–». Поэтому
равен нулю, если одна из двух взаимно перпендикулярных осей является осью симметрии.
На основании определения главных осей – центробежный момент
инерции относительно главных осей равен нулю.
Правильные ответы: 1), 3), 5).
26
Тест 2.4
Осевой момент инерции сечения равен…
○
○
○
○
○
1)
2)
3)
4)
5)
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
В рассматриваемом сечении осевые моменты инерции имеют одинаковое значение и определяются как разность значений собственных моментов инерции двух кругов:
(
)
(
)
.
Правильный ответ: 5).
Тест 2.5
Полярный момент инерции сечения равен…
Размеры сечения:
○
○
○
○
○
27
1)
2)
3)
4)
5)
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
Полярный момент инерции определяется в полярной системе координат и равен сумме осевых моментов инерции сечения. В рассматриваемом сечении осевые моменты инерции имеют одинаковые
значения и определяются как разность
значений собственных моментов инерции
двух кругов:
(
)
(
)
.
.
Правильный ответ: 1).
Тест 2.6
Правильными зависимостями между моментами инерции
для заданных сечений являются…
□
□
□
□
□
1)
2)
3)
4)
5)
для 1);
для 3);
для 2);
для 2);
для 1), 2), 3).
Ко м м е н тар и й :
Для первого сечения ответ
неправильный, так как осевые моменты инерции круглого сечения равны между собой. Осевой момент
инерции характеризует расположение точек сечения относительно оси.
Чем дальше точки сечения расположены относительно оси, тем больше
28
значение квадрата расстояния до оси. Поэтому для второго сечения
, а для третьего сечения
.
Четвертый ответ для второго сечения неправильный, потому что осевые моменты инерции принимают только положительные значения.
Для сечений 1), 2) и 3) оси Оx , Оy являются осями симметрии, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.
Правильные ответы: 2), 3), 5).
Тест 2.7
Момент инерции сечения относительно оси Оx равен…
○
○
○
○
○
1)
2)
3)
4)
5)
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
Поперечное сечение делим на простые элементы: прямоугольник и два
полукруга; обозначаем собственные горизонтальные оси каждого элемента, они расположены на центральной оси Оx всего сечения.
Значения моментов инерции относительно осей
и
, одинаковых элементов и одинаково расположенных по отношению к оси Оx, равны между собой. Оси
и
являются осями симметрии полукругов,
29
поэтому момент инерции относительно них определяется по формуле
;
для прямоугольного сечения используем формулу
. Формула для определения момента инерции относительно оси Оx всего сечения имеет вид:
(
)
.
Правильный ответ: 3).
Тест 2.8
Момент инерции сечения относительно оси Оy равен…
○
○
○
○
○
1)
2)
3)
4)
5)
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
Центральная ось Оy совпадает по расположению с собственной осью
прямоугольника и находится на расстоянии 3,424 a до собственный оси
полукруга, при симметричном расположении двух полукругов их моменты инерции относительно оси Оy имеют одинаковое значение. Таким образом, используя формулу момента инерции сечения относительно параллельных осей, получаем следующее соотношение:
(
) )
(
(
)
(
(
) )
Правильный ответ: 4).
30
.
Тест 2.9
Значение y, при котором выполняется условие
в сечении
, равно …
○
○
○
○
○
1) 0,5 a;
2) 0,816 a ;
3) 0,316a ;
4) 1,223a;
5) 0,25a.
Ко м м е н тар и й :
Рассмотрим поперечное сечение бруса, которое состоит из двух одинаковых прямоугольников. Оси симметрии этого сечения Оx и Оy, являются главными центральными осями, относительно которых запишем
формулы осевых моментов инерции.
Обозначим собственные оси каждого элемента, так как центральные
оси прямоугольников Оx1 и Оx2, не совпадают с осью Оx и параллельны
ей, в выражении общего момента инерции Jx используем формулу моментов инерции сечения относительно параллельных осей. На основании которой к моменту инерции относительно собственной центральной оси добавляется произведение площади элемента на квадрат расстояния между
осями Оx и Оx1; при этом момент инерции прямоугольника относительно
собственной оси Оx1 выражаем формулой
31
:
(
(
) )
(
(
) ).
Выражение момента инерции относительно оси Оx для каждого прямоугольника одинаково, поэтому ставим коэффициент 2.
Затем запишем выражение момента инерции относительно оси Оy, из
рисунка видно, что собственные оси прямоугольников Оy1 и Оy2 расположены на оси Оy. Соответственно, момент инерции относительно оси Оy
равен сумме моментов инерции относительно осей Оy1 и Оy2, значения
которых равны между собой; учитываем, что момент инерции прямоугольника относительно собственной оси Оy1 выражается формулой
( )
Из равенства
(
)
:
получаем следующее выражение:
.
,
Правильный ответ: 3).
Тест 2.10
Задано поперечное сечения из двух уголков
Значение a, при котором выполняется условие
○ 1) 4,33 см;
○ 2) 2,72 см;
○ 3) 1,45 см;
○ 4) 3,34 см;
○ 5) 5,84 см.
Ко м м е н тар и й :
32
.
, равно…
Выпишем из сортамента геометрические характеристики уголка
необходимые для расчета:
A1 = 16 см2 ;
Из рисунка следует, что заданное сечение симметрично относительно
оси Оy, центральные оси Оx и Оy являются главными, так как Jxy = 0; для
равенства нулю центробежного момента инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей достаточно, чтобы одна из осей являлась
осью симметрии.
Относительно оси Оx, проходящей через центры тяжести уголков, момент инерции равен сумме моментов инерции относительно осей Оx1 и
Оx2. Поскольку элементы одинаковы и расположены симметрично относительно оси Оx, моменты инерции относительно оси Оx равны:
.
Определим момент инерции относительно оси Оy, из расположения
осей следует, что центральные оси уголков Оy1 и Оy2 не совпадают с
осью Оy и параллельны ей. Выражение момента инерции сечения относительно оси Оy запишем, используя формулу моментов инерции относительно параллельных осей, на основании которой к моменту инерции относительно собственной центральной оси Оy1 добавляется произведение
площади этого сечения на квадрат расстояния между осями Оy и Оy1:
(
) ).
(
Расстояние a определим из заданного условия
:
(
(
) )
,
.
Правильный ответ: 4).
Тест 2.11
Значение a, при котором выполняется условие
○
○
○
○
○
33
, равно…
1) 15,2 см;
2) 10,08 см;
3) 8,32 см;
4) 12,23см;
5) 9,59см.
Ко м м е н тар и й :
Задано расположение элементов в поперечном сечении, по размерам
двух одинаковых листов можно определить необходимые для расчета их
геометрические характеристики: площадь, моменты инерции относительно собственных центральных осей:
.
Высота двутавра 16 см, это соответствует номеру двутавра (№16). Из
сортамента выписываем следующие необходимые геометрические характеристики: площадь сечения, ширину полки, значения моментов инерции
относительно центральных осей.
.
Из расположения элементов сечения следует, что собственные оси листов проходят параллельно центральной оси Оx, а собственные оси двутавров совпадают с центральной осью всего сечения Оx. Значения моментов инерции листов относительно оси Оx сечения определяются с помощью формулы параллельного переноса осей, моменты инерции двутавров
относительно центральной оси Оx равны собственным моментам инерции
этих элементов, что позволяет записать следующую формулу:
(
)
(
)
Выражение для момента инерции сечения относительно оси Оy состоит из суммы собственных моментов инерции листов, так как собственные
оси листов Оy1 и Оy2 совпадают с ось Оy всего сечения, и моментов
инерции двутавров, которые выражаются с помощью формулы параллельного переноса осей:
(
(
Условие
(
(
) )
(
) ).
позволяет определить значение a:
(
) )
.
Правильный ответ: 2).
34
Тест 2.12
Соотношение между моментами инерции относительно
оси Оx двутавра и сечения из двух швеллеров
равно…
○
○
○
○
○
1) 0,82;
2) 1,23;
3) 0,61;
4) 0,50;
5) 0,35 .
Ко м м е н тар и й :
Выписываем из сортамента для двутавра №20 значение момента инерции относительно его собственной центральной оси
. В сечении, состоящем из двух швеллеров, собственные центральные оси элементов Оx1 и Оx2 совпадают с центральной осью Оx всего сечения, поэтому
Соотношение между моментами инерции сечений составляет:
.
Таким образом, значение момента инерции двутавра относительно горизонтальной оси Оx почти в два раза меньше, чем значение момента
инерции относительно оси Оx, сечения такой же высоты, но составленного из двух одинаковых швеллеров. Ширина полки двутавра 10 см, толщина полки составляет 0,84 см, толщина стенки двутавра 0,52 см,а ширина
35
полки составного сечения 2·7,6 = 15.6 см; средняя ее толщина равна 0,9
см, при этом толщина стенки равна 1,04 см (2·0,52), то есть значительно
отличаются ширина полки и толщина стенки.
Правильный ответ: 3).
Тест 2.13.
Соотношение между моментами инерции относительно оси Оy двутавра и сечения из двух швеллеров
○
○
○
○
○
1)
2)
3)
4)
5)
равно…
1, 34;
0,64;
1,08;
0,27;
0,97.
Ко м м е н тар и й :
Из сортамента для двутавра №20 выписываем значение момента инерции относительно его собственной центральной оси Оy:
.
Для сечения из двух швеллеров из сортамента выпишем значения
площади одного швеллера A1 = A2 = 23,4 см2 , момента инерции относительно собственной вертикальной центральной оси элемента Jy1 = Jy2 =
113 см4 и расстояние от центра тяжести швеллера до внешней поверхности стенки, обозначенное в сортаменте z0 = 2,07 см.
Центральные оси элементов Оy1 и Оy2 находятся на расстоянии z0 от
центральной оси Оy всего сечения. Для вычисления значения момента
36
инерции относительно оси Оy сечения из двух одинаковых швеллеров
применяем формулу параллельного переноса осей, на основании которой
(
)
(
)
Соотношение между моментами инерции сечений равно
.
Таким образом, при одинаковой высоте сечений момент инерции двутавра относительно оси Оy составляет примерно третью часть от момента
инерции сечения, состоящего из двух швеллеров.
Правильный ответ: 4).
Тест 2.14
Соотношение между моментами инерции относительно вертикальных
осей сечений, состоящих из двух одинаковых швеллеров,
○
○
○
○
○
Ко м м е н тар и й :
37
1)
2)
3)
4)
5)
0,53;
1,00;
2,00;
1.50;
3,89.
равно…
Поперечные сечения 1 и 2 отличаются расположением швеллеров относительно оси Оy.
Геометрические характеристики швеллера №20, необходимые для
расчета, следующие: площадь A1 = A2 = 23,4 см2 , момент инерции относительно собственной вертикальной центральной оси Jy1 = Jy2 = 113 см4 ,
ширина полки b = 7,6 см, расстояние от центра тяжести швеллера до
внешней поверхности стенки, обозначено в сортаменте z0 = 2,07 см.
В первом сечении центральные оси элементов Оy1 и Оy2 находятся на
расстоянии z0 от центральной оси Оy всего сечения, момент инерции относительно оси Оy сечения определим с помощью формулы параллельного переноса осей:
(
(
)
)
Во втором сечении центральные оси элементов Оy1 и Оy2 находятся
на расстоянии (b – z0) от центральной оси Оy всего сечения. Используем
также формулу параллельного переноса осей:
(
(
) )
(
)
Соотношение между моментами инерции составляет
.
Таким образом, значительная разница в значениях моментов инерции
обусловлена большим расстоянием от оси Оy до крайних точек второго
сечения.
Правильный ответ: 5).
Тест 2.15
Поперечными сечениями, для которых выполняется равенство
являются…
2
□
□
□
□
□
3
4
1) рис.1;
2) рис.2;
3) рис.3;
4) рис.4;
5) рис.5.
38
5
,
Ко м м е н тар и й :
При заданном расположении элементов сечения относительно осей Оx
и Оy получим следующие выражения для моментов инерции сечения.
Рис. 1 – сечение состоит из двух равнополочных уголков, моменты
инерции относительно осей Оx и Оy равны:
(
);
Рис. 2 – сечение состоит из четырех равнополочных уголков, моменты
инерции относительно осей Оx и Оy равны:
(
);
Рис. 3 – в сечении, состоящем из листа и двух швеллеров, моменты
инерции имеют разные значения относительно осей Оx и Оy, они определяются по формулам:
(
);
Рис. 4 – в круглом сечении вырезы в форме равных квадратов расположены симметрично относительно осей Оx и Оy, поэтому моменты
инерции относительно осей Оx и Оy равны:
(
);
Рис. 5 – в круглом сечении одинаковые круглые вырезы расположены
симметрично относительно каждой из осей Оx и Оy , но значения моментов инерции относительно осей Оx и Оy не равны:
(
);
, при этом
.
Правильные ответы: 1), 2), 4).
39
Тест 2.16
Поперечное сечение состоит из листа — 240×10 и швеллера №18.
Центробежный момент инерции сечения относительно
осей Оx , Оy равен…
○
○
○
○
○
1.
2.
;
3. 0;
4.
5. 691,72
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
Обозначим на чертеже центральные оси каждого элемента сечения.
Поскольку центральные оси каждого элемента являются осями симметрии, относительно них центробежные моменты инерции каждого элемента равны нулю
.
Площадь листа
, отметим на чертеже координаты центра
тяжести листа
иx
Для швеллера №18 из сортамента выпишем значение площади
z0 = 1,94 см. На чертеже обозначим координаты центра
тяжести швеллера
и
Центробежный момент инерции всего сечения относительно осей Оx и
Оy равен сумме центробежного момента инерции листа и центробежного
момента инерции швеллера относительно осей Оx и Оy. Центробежный
момент инерции каждого элемента представим в виде суммы центробежного момента инерции элемента относительно собственных центральных
осей и произведения площади сечения элемента на координаты центра
40
тяжести. В результате получается следующая формула для вычисления
центробежного момента инерции:
(
)(
)
(
) (
)
( )(
)
.
Правильный ответ: 5).
Тест 2.17
Центробежный момент инерции относительно центральных
осей сечения Оx и Оy равен…
○
○
○
○
○
1) –1,50 a4;
2) 2,53 a4;
3) 5,50 a4;
4) – 3,00a4;
5) 10,00 a4.
Ко м м е н тар и й :
Сложное сечение разделим на простые элементы (пунктирная линия
разделяет сечение на два прямоугольника), отметим их центры тяжести,
проведем и обозначим центральные оси каждого элемента.
Собственные оси каждого прямоугольника являются осями симметрии элемента, поэтому центробежные моменты относительно них равны
нулю:
.
41
Центральные оси каждого прямоугольника проведены параллельно
заданным осям Оx и Оy сечения. Для определения центробежного момента инерции воспользуемся формулой параллельного переноса осей. К собственному моменту инерции каждого элемента прибавляется произведение площади этого элемента на координаты центра тяжести элемента:
(
)(
)) (
( ) )
(
(
)
(
)
.
Правильный ответ: 4).
Тест 2.18
Центробежный момент инерции сечения относительно
осей Оx , Оy равен…
○
○
○
○
○
1) –175,74a4;
4
2) 226,18 a ;
3) –724,66 a4 ;
4) 753,84a4 ;
5) –528,84 a4 .
Ко м м е н тар и й :
42
Поперечное сечение представляем состоящим из двух фигур: большого круга радиусом 4a и выреза в форме полукруга радиусом 2a. Обозначим центры тяжести каждого элемента и параллельно заданным осям Оx и
Оy проведем собственные центральные оси круга и полукруга. Поскольку
центральные оси каждого элемента являются осями симметрии, относительно них центробежные моменты инерции каждого элемента равны нулю:
.
Выражаем центробежный момент инерции всего сечения относительно осей Оx и Оy в виде разности центробежного момента инерции круга и
центробежного момента инерции полукруга относительно осей Оx и Оy:
.
Центробежный момент инерции каждого элемента представляем в виде суммы центробежного момента инерции элемента относительно собственных центральных осей и произведения площади элемента на координаты центра тяжести элемента:
(
) (
)
(
(
) )(
)
[
(
)
(
Правильный ответ: 3).
43
)
]
.
РАЗДЕЛ 3. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ
ИНЕРЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Тест 3.1
Правильными утверждениями при определении
главных осей сечения являются…
□ 1) центробежный момент инерции равен нулю;
□ 2) осевые моменты инерции равны нулю;
□ 3) главные моменты инерции — это осевые моменты
инерции;
□ 4) центробежный момент инерции принимает экстремальное
значение;
□ 5) осевые моменты инерции принимают экстремальные значения.
Ко м м е н тар и й :
По определению – главными осями являются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инерции принимают максимальное и минимальное значения.
Правильные ответы: 1), 3), 5).
Тест 3.2
Формулы, относящиеся к определению значений главных моментов
инерции и положения главных осей…
□ 1)
□ 2)
;
∬
;
√(
□ 3)
□ 4)
√
,
)
;
√ ;
□ 5)
Ко м м е н тар и й :
В любой точке поперечного сечения главные моменты инерции определяются по формуле
44
√(
)
,
если известны осевые ,
и центробежный момент инерции
относительно пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Положение главных осей определяется из следующих соотношений
,
где
– угол между горизонтальной осью и осью 1, относительно которой
осевой момент инерции принимает максимальное значение;
– угол между горизонтальной осью и осью 2, относительно которой осевой момент
инерции принимает минимальное значение.
Правильные ответы: 3), 5).
Тест 3.3
На рисунке … центробежный момент инерции равен нулю относительно осей …
□
□
□
□
□
1) рис. 1 – оси Оx, Оy;
2) рис. 1 – оси
;
3) рис. 2 – оси Оx, Оy;
4) рис. 3 – оси Оx, Оy;
5) рис. 4 – оси Оx, Оy.
Ко м м е н тар и й :
В сечениях 1 и 4 ось Оy является осью симметрии сечения и любая ось
ей перпендикулярная, составляет с ней пару осей, относительно которых
центробежный момент инерции равен нулю.
В сечении 2 центробежный момент инерции относительно осей Оx, Оy
не равен нулю имеет отрицательное значение, так как для любой точки се45
чения произведение элементарной площади dA относительно осей Оx, Оy
имеет знак минус.
В сечении 3 центробежный момент инерции относительно осей Оx, Оy
не равен нулю и имеет положительное значение, так как для любой точки
сечения произведение элементарной площади dA на координаты относительно осей Оx, Оy имеет знак плюс.
Правильные ответы: 1), 2), 5).
Тест 3.4
Главными осями сечения являются оси Оx и Оy на рисунке…
□ 1)
□
□
□
□
рис.1;
2) рис.2;
3) рис.3;
4) рис.4;
5) рис.5.
Ко м м е н тар и й :
Относительно главных осей сечения центробежный момент инерции
равен нулю.
Анализируем сечения
Рис. 1 – изображено кососимметричное сечение, центробежный момент листа относительно осей Оx и Оy равен нулю. Центробежные моменты инерции относительно собственных осей каждого уголка положительны и равны по величине. Произведение площади каждого уголка на
расстояния до осей Оx и Оy имеет знак плюс. Получаем, что центробежный момент инерции всего сечения не равен нулю, он положителен.
Рис. 3 – оси Оx и Оy не являются осями симметрии, центробежный
момент инерции относительно них не равен нулю.
Рис. 2, 4, 5 – ось Оy для каждого сечения является осью симметрии,
поэтому центробежный момент инерции относительно пары осей Оx и
Оy равен нулю.
Правильные ответы: 2), 4), 5).
46
Тест 3.5
Главными центральными осями сечения являются оси …
на рисунке…
□
□
□
□
□
1) на рис. 1 – оси
2) на рис. 2 – оси
3) на рис. 3 – оси
4) на рис. 3 – оси
5) на рис. 4 – оси
Оx
Оx
Оx
Оα
Оu
и
и
и
и
и
Оy;
Оy;
Оy;
Оβ;
Оv.
Ко м м е н тар и й :
Для каждого сечения определим являются ли данные оси центральными и равен ли нулю относительно них центробежный момент инерции.
Рис. 1 – сечение симметрично относительно осей Оx и Оy, они проходят через центр тяжести сечения, относительно них центробежный момент инерции равен нулю.
Рис. 2 – ось Оx не являются центральной, так как центр тяжести всего
сечения, состоящего из вертикального листа и двух уголков, расположен
выше точки О.
Рис. 3 – оси Оx и Оy, оси Оα и Оβ являются главными центральными осями, так как в квадратном сечении относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр тяжести сечения,
центробежный момент инерции равен нулю (см. введение, формулы (23),
(24)).
Рис. 4 – в кольцевом сечении относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр тяжести сечения, центробежный момент инерции равен нулю.
Правильные ответы: 1), 3), 4), 5).
47
Тест 3.6
Главная центральная ось, относительно которой осевой момент инерции принимает максимальное значение, изображена на рисунке...
□
□
□
□
□
1) рис.1 – ось Оy;
2) рис.1 – ось Оu;
3) рис.1 – ось Оv;
4) рис.2 – ось Оx;
5) рис.2 – ось О1x1.
Ко м м е н тар и й :
Рис. 1 – оси Оx ,Оy ,Оu ,Оv являются центральными осями, оси Оu ,Оv
являются центральными главными осями; относительно оси Оv точки сечения наиболее удалены, поэтому момент инерции относительно этой оси
принимает максимальное значение.
Рис. 2 – ось Оx является главной центральной осью, относительно которой точки сечения наиболее удалены.
Правильные ответы: 3), 4).
Тест 3.7
Главная центральная ось, относительно которой осевой момент инерции принимает минимальное значение, изображена на рисунке...
48
□
□
□
□
□
1) рис.1 – ось Оx;
2) рис.1 – ось Оu;
3) рис.1 – ось Оv;
4) рис.2 – ось Оy;
5) рис.2 – ось Оβ.
Ко м м е н тар и й :
Рис. 1 – оси Оx, Оu ,Оv являются центральными осями, оси Оu ,Оv являются центральными главными осями, относительно оси Оu точки сечения наиболее близко расположены, поэтому осевой момент инерции имеет минимальное значение.
Рис. 2 – оси Оα и Оβ является главными центральными осями сечения;
относительно оси Оβ точки сечения наиболее близко расположены, поэтому осевой момент инерции принимает минимальное значение.
Правильные ответы: 2), 5).
Тест 3.8
Сечение состоит из двух равнополочных уголков 90×90×8. Значение
максимального момента инерции относительно главной центральной
оси равно…
○
○
○
○
○
Ко м м е н тар и й :
49
1) –168,00
2) 262,37
3) 462,74
4) 437,89
5) 336,00
;
;
;
;
.
Сечение имеет две оси симметрии Оu и Оv, они являются центральными главными осями. По расположению сечения относительно этих осей
без расчета, трудно сделать вывод, относительно какой оси момент инерции принимает наибольшее значение.
Обозначим главные центральные оси каждого уголка 90×90×8 и из
сортамента выпишем значения площади поперечного сечения
, главные моменты инерции
,
, координаты центра тяжести, имеющие одинаковые расстояния от
полок
.
Вычислим значение момента инерции относительно оси Оv: так как
собственные оси уголка совпадают с Оv , то
Собственные оси уголков параллельны главной центральной оси Оu,
для расчета используем формулу моментов инерции при параллельном
переносе осей
(
))
= 2(
)
(
.
Правильный ответ: 4).
Тест 3.9
Сечение состоит из двух равнополочных уголков 90×90×8.
Значение максимального момента инерции относительно главной центральной оси равно…
○
○
○
○
○
1) 246,89
2) 393, 57
3) 387,14
4) 212,00
5) -424,00
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
50
Оси Оx и Оy являются главными центральными осями; Оy – ось симметрии, поэтому
. Моменты инерции уголков относительно собственных осей
и
равны между собой. Из сортамента для уголка
90×90×8 выпишем
. Момент инерции
относительно оси Оx равен сумме собственных моментов инерции уголка
относительно оси
. Значение момента инерции относительно оси Оy
получится больше, так как к собственному моменту инерции относительно оси
следует прибавить произведение площади уголка на квадрат
расстояния между осями (a = 2,51 см):
(
)
(
)
Правильный ответ: 3).
Тест 3.10
Значение максимального момента инерции сечения относительно
главной центральной оси равно…
○
○
○
○
○
1) 682,67
;
2) 383,95
;
3) 2730, 67
;
4) 981,39
;
5) 2431, 95
.
Ко м м е н тар и й :
51
Прямоугольное сечение имеет два выреза в форме полукругов, оси Оx
и Оy – оси симметрии сечения, поэтому
, и они являются главными центральными осями сечения. Момент инерции прямоугольника относительно оси Оy значительно больше, чем относительно оси Оx, следовательно максимальный момент инерции заданного сечения получится относительно оси Оy.
Определим моменты инерции относительно собственных центральных
осей каждой фигуры:
(
)
( )
.
Так как прямоугольное сечение имеет два выреза в форме полукругов,
то из момента инерции прямоугольника вычитаем моменты инерции полукругов:
(
) )
(
(
(
)
(
) )
.
Правильный ответ: 5).
Тест 3.11
Отношение максимального момента инерции всего сечения к максимальному моменту инерции двутавра равно…
○
○
○
○
○
1) 0,35;
2) 4,61 ;
3) 3,48;
4) 2,81;
5) 2,26 .
Ко м м е н тар и й :
52
Оси симметрии сечения Оx и Оy являются центральными главными осями сечения. Относительно оси Оx точки сечения наиболее удалены, поэтому относительно оси Оx значение момента инерции принимает максимальное значение.
Обозначим собственные оси каждого элемента. В двутавровом сечении
момент инерции принимает максимальное значение относительно оси
,
для двутавра №22 из сортамента:
. Момент инерции относительно оси Оx сечения с листами не может иметь меньшее значение, поэтому первый ответ неправильный.
Моменты инерции прямоугольника относительно собственных центральных осей определим по формулам:
.
Момент инерции относительно оси Оx всего сечения, для второго и третьего элементов используем формулу параллельного переноса осей, равен:
вен:
(
)
(
)
.
Получим значение отношения между максимальными моментами инерции всего сечения и двутавра:
.
При усилении двутавра листами значение максимального момента
инерции сечения увеличивается в 4,61 раза.
Правильный ответ: 2).
53
РАЗДЕЛ 4. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ, МОМЕНТЫ
СОПРОТИВЛЕНИЯ, РАДИУСЫ ИНЕРЦИИ
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
Тест 4.1
Момент инерции сечения относительно оси Оu двутавра №12 равен...
○
○
○
○
○
1) 377,9
2) 269,48
3) 317,06
4) 289,15
5) 108,42
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
Для двутавра №12 из сортамента выпишем значения моментов инерции относительно осей Оx и Оy:
. Центробежный момент инерции двутавра относительно собственных центральных
осей равен нулю (
), так как они являются осями симметрии. Момент инерции относительно оси Оu определим, используя формулу момента инерции при повороте осей (13):
.
Правильный ответ: 2).
Тест 4.2
Момент инерции сечения относительно оси
○
○
○
○
○
1) 204,18
2) 194,09
3) 217,75
4) 240,17
5) 209,24
;
;
;
;
.
54
равен...
Ко м м е н тар и й :
Круглое сечение имеет вырез в форме квадрата, моменты инерции сечения относительно осей Оx и Оy равны:
( )
.
Определим моменты инерции сечения относительно осей
и
,
пересекающихся с осью
в одной точке. Центробежный момент инерции относительно
и
равен нулю, потому что ось
является
осью симметрии.
;
( )
( ( )
)
.
Момент инерции относительно оси
определим, используя формулу момента инерции при повороте осей (13) и учитывая, что поворот от
оси
происходит по ходу часовой стрелки, т.е.
:
( )
( )
(
)
.
Правильный ответ: 1).
Тест 4.3
Центробежный момент инерции неравнополочного уголка 80×50×6
относительно осей Оx и Оy равен...
○
○
○
○
○
55
1) – 11,49
2) 8,29
3) – 10,39
4) –15,47
5) 21,43
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
В сортаменте для уголка 80
задан тангенс угла наклона оси
Оu, относительно которой момент инерции принимает минимальное значение, а также значение минимального момента инерции, моменов инерции относительно центральных осей, учитывая расположение осей Оx и
Оy, имеем:
tgα= 0,386 (
);
.
На основании свойства осевых моментов инерции (16) запишем:
,
, так как оси Оu и Оv – главные оси.
Поскольку известны три момента инерции
относительно пары
взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке с осями
Оx и Оy, используем формулу поворота осей (15):
(
)
.
Правильный ответ: 4).
Тест 4.4
Момент сопротивления сечения по отношению к крайним верхним
волокнам равен…
○
○
○
○
○
1) 10,94
2) 16,98
3) 50,94
4) 93,06
5) 31,09
;
;
;
;
.
56
Ко м м е н тар и й :
Момент инерции сечения относительно оси Оx равен разности моментов инерции прямоугольника и двух полукругов относительно оси
Оx:
(
) )
(
(
)
(
) )
(
.
Момент сопротивления сечения верхнего волокна определим по
формуле
.
Правильный ответ: 2).
Тест 4.5
Момент сопротивления сечения по отношению к крайним нижним волокнам равен…
○
○
○
○
○
57
1)
2)
3)
4) 1292,73
5)
;
;
;
;
.
Ко м м е н тар и й :
Момент инерции сечения относительно оси Оx равен сумме моментов
инерции четырех элементов. Выпишем из сортамента значение момента
инерции швеллера №18
, моменты инерции относительно собственных центральных осей листов определим по формулам
для прямоугольного сечения, в результате получим следующее выражение:
(
)
(
)=
Момент сопротивления сечения по отношению к нижнему волокну
определим по формуле
.
Правильный ответ: 4).
Тест 4.6
Сечение состоит из двух уголков 200×125×12.
Меньший из моментов сопротивления сечения относительно оси Оx
имеет значение...
○
○
○
○
○
1) 73,70
2) 232,99
3) 116,49
4) 170,32
5) 554,06
;
;
;
;
.
58
Ко м м е н тар и й :
В рассматриваемом сечении меньшим является момент сопротивления
для нижнего волокна, который равен
.
Правильный ответ: 2).
Тест 4.7
Сечения, имеющие равные по величине моменты сопротивления
верхних и нижних волокон...
□
□
□
□
□
1) рис.1;
2) рис.2;
3) рис.3;
4) рис.4;
5) рис.5.
59
Ко м м е н тар и й :
Отношение момента инерции к расстоянию от оси Оx до крайних верхнего и нижнего волокон является моментом сопротивления для верхних и
нижних волокон относительно оси Оx:
.
Моменты сопротивления верхних и нижних
волокон равны по
чине
при равном расстоянии от оси Оx до верхнего и нижнего
волокон
. Это условие выполняется для сечений 1, 3, 4.
Правильные ответы: 1), 3), 4).
Тест 4.8
Сечения, имеющие различные по величине моменты сопротивления
верхних и нижних волокон...
□
□
□
□
□
1) рис.1;
2) рис.2;
3) рис.3;
4) рис.4;
5) рис.5.
60
Ко м м е н тар и й :
Отношение момента инерции к расстоянию от оси Оx до крайнего
верхнего и нижнего волокна является моментом сопротивления для верхних и нижних волокон относительно оси Оx:
Моменты сопротивления верхних и нижних волокон имеют разные по
величине значения
в тех случаях, когда расстояния от оси Оx до
верхнего и нижнего волокна не равны между собой (
). Это условие
действительно для сечений 2, 4, 5.
Правильные ответы: 2), 4), 5).
Тест 4.9
Радиус инерции сечения относительно главной
центральной оси Оx равен...
○
○
○
○
○
1) 1,79a;
2) 3,93a;
3) 2,69a;
4) 4,90a;
5) 1,95a .
61
Ко м м е н тар и й :
Определим момент инерции сечения относительно главной центральной
оси Оx
( )
( )
( ) )
( ) )
(
(
.
Затем определим радиус инерции сечения относительно главной центральной оси Оx по формуле (21):
√
√
.
Правильный ответ: 3).
Тест 4.10
Поперечное сечение состоит из листа 300×20 и двух швеллеров №24.
Радиус инерции сечения относительно оси Оy равен...
○
○
○
○
○
62
1) 6,23 см;
2) 5,68 см;
3) 1,90 см;
4) 7,93 см;
5) 9,22 см.
Ко м м е н тар и й :
Поперечное сечение состоит из листа и двух швеллеров. Момент инерции листа относительно собственной центральной оси
определим по
формуле для прямоугольного сечения. Выпишем из сортамента для швеллера №24 значение площади
и значение момента инерции относительно оси Оy, параллельной полкам
. Определим момент инерции всего сечения относительно оси Оy по формуле:
Радиус инерции сечения относительно оси Оyполучается равным
√
√
.
Правильный ответ: 5).
Тест 4.11
Сечение в виде ромба имеет отверстие радиусом R. Ось OV к оси ОХ под
углом . Осевые моменты инерции сечения относительно осей х и 
h
равны. Отношение размеров
определяется числом...
a
○ 1).
h 1
 ;
a 3
○ 4).
h 2
 ;
a 3
○ 2).
h 1
 ;
a 2
○ 5).
h 3
 .
a 2
○ 3).
h
1;
a
a
v
h
R

x
h
63
К о мме нт ар и й:
Из условия задачи следует, что осевые моменты инерции J x  J  , где
ось  − произвольная, так как угол  − любой. Поэтому осевые моменты
инерции относительно всех осей, проходящих через центр тяжести сечения, одинаковы и равны J x , в том числе и относительно вертикальной оси
симметрии у, то есть J x  J y .
h
y y1
с1
1
h/3
h/3
с2
h
y2
2
а
Разбив сечение на три элемента: два симметричных треугольника (
A1  A2 ) и круг ( A3 ), запишем выражения для осевых моментов инерции
всей фигуры:
h2
)  Jx ;
1
3
9
J y  2 J y  J y .
1
3
J x  2( J x  A1 
Подставим размеры:
J x  2(
ah3 ah h2 R4

 )
;
36
2
9
4
ha3 R 4

.
48
4
h 1
Приравнивая эти выражения, получаем:  .
a 2
J y  2
Правильный ответ: 2).
64
Тест 4.12
Круг инерции вырождается в точку при условии, что ...
○ 1). J x  0 или J y  0 ;
○ 2). J xy  0 ;
○ 3). J x  J y и J xy  0 ;
Jy
○ 4). J xy 
и Jx  0 ;
2
J
○ 5). J xy  x и J y  0 .
2
Ко м м е н тар и й :
На рисунке изображён типичный круг инерции (к абстрактной задаче),
где виден весь процесс геометрического построения вплоть до указания
главных осей (1, 2) "абстрактного сечения".
Jxy
2
K
Jxy
Jx,Jy
2
O
C
J2
1
1
Jy
Jx
J1
Из чертежа очевидно, что радиус круга КС определяется по формуле
 Jx  J y
KC  

2

2

2
  J xy .

Круг вырождается в точку при условии, что КС = 0. Но, так как осевые
моменты инерции J x и J y не могут быть нулевыми по определению, то
ответы 1), 4), 5) исключаются, а подстановка ответа 2) в формулу для радиуса КС не дает нуля. Следовательно, единственное верное условие нулевого
65
радиуса круга инерции записано в ответе 3): необходимо, чтобы J x  J y и
J xy  0 . Этим свойством обладают сечения, имеющие более двух осей
симметрии, у которых все центральные оси – главные, например, круг,
квадрат.
Правильный ответ: 3).
Тест 4.13
Показанный на рисунке круг Мора построен по моментам инерции,
вычисленным относительно центральных осей Ох и Оу сечения …
Jxy
K- полюс круга
Jx,Jy
K
O
C
Jy
Jx
О
2b
b
○ 1)
○ 2)
66
x
D
b
x
b
Данный круг инерции построен для сечения, изображённого на рисунке...
0
○ 3)
x
y
B
x
b
О
0
○ 5)
○ 4)
Ко м м е н тар и й :
На рисунке изображен типичный круг инерции для сечения, у которого
центробежный момент инерции равен нулю: J xy  0 (так как полюс круга
К лежит на горизонтальной оси J x , J y ) и J x > J y (что очевидно из чертежа).
Квадратное и круглое сечения имеют одинаковые осевые моменты
инерции J x  J y , а неравнополочный уголок имеет ненулевой центробежный момент инерции J xy  0 и J y > J x . Поэтому ответы 2), 3), 5) неверны. Прямоугольное сечение имеет больший горизонтальный размер, поэтому J y > J x :
b  2b 3
12
>
2b  b3
.
12
Значит, ответ 1) тоже не подходит. И только двутавровое сечение соответствует заданному кругу инерции: J x > J y и J xy  0 .
Правильный ответ: 4).
67
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андреев, В.И. Техническая механика : учебник для вузов / В.И. Андреев,
А.Г. Паушкин, А.Н. Леонтьев. — Москва : Издательство АСВ, 2013. — 255 с.
2. Атаров, Н.М. Сопротивление материалов в примерах и задачах : учебное пособие
для вузов / Н.М. Атаров. — Москва : ИНФРА-М, 2013. — 407 с.
3. Сопротивление материалов : учебное пособие для вузов : в 3 ч. / Н.М. Атаров,
Г.С. Варданян, А.А. Горшков, А.Н. Леонтьев. — Москва : МГСУ, 2009—2010.
4. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов : учебник для втузов / Н.М. Беляев.—
Москва : Физматгиз, 1962. — 856 с.
5. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности : учебник для вузов / Г.С. Варданян, В.И. Андреев, Н.М. Атаров, А.А. Горшков ; под
ред. Г.С. Варданяна, Н.М. Атарова. — Москва : ИНФРА-М, 2013. — 637 с.
6. Варданян, Г.С. Сопротивление материалов с основами строительной механики :
учебник для вузов / Г.С. Варданян, Н.М. Атаров, А.А. Горшков ; под ред.
Г.С. Варданяна. — Москва : ИНФРА-М, 2013. — 504 с.
7. Сидоров, В.Н. Сопротивление материалов : учебник / В.Н. Сидоров ; под ред.
В.А. Смирнова. — Москва : Архитектура–С, 2013. — 304 с.
8. Сидоров, В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости /
В.Н. Сидоров. — Москва : Ред.-изд. центр Генер. штаба ВС РФ, 2002. — 352 с.
9. Сопротивление материалов : учебник для вузов / под общ. ред. А.Ф. Смирнова. —
Москва : Высшая школа, 1975. — 480 с.
10. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов : учебник для втузов /
В.И. Феодосьев. — Москва : Наука, 1979. — 559 с.
С О Д ЕР Ж А Н И Е
Предисловие………………………………………………………………………
Введение. Основные понятия, определения, формулы………………………..
Раздел 1. Статические моменты. Центр тяжести поперечного сечения……...
Раздел 2. Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами
инерции при параллельном переносе осей ………………………….
Раздел 3. Главные оси и главные моменты инерции поперечного сечения….
Раздел 4. Моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции
поперечных сечений….………………………………………………..
Библиографический список……………………………………………………...
68
3
4
14
25
44
54
68
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа