;docx

Сегодня: среда, 1 октября 2014 г.
Кинематика
Степанова Екатерина Николаевна
доцент кафедры ОФ ФТИ ТПУ
1
Криволинейное движение
При криволинейном движении вектор скорости изменяется
по величине и по направлению. Вектор полного ускорения
имеет две составляющие:

a - тангенциальное (касательное) ускорение, как следует из
названия оно направлено по касательной к каждой точке
траектории, следовательно, совпадает по направлению с
вектором скорости и

an - нормальное (центростремительное) ускорение,

направленное по нормали к векторуυ .
Тангенциальное ускорение характеризует изменение
скорости по величине, а нормальное - по направлению.
2

a

an


υ


a
3
Кинематика вращательного движения
Основные формулы
При криволинейном движении ускорение можно представить как
сумму нормальной an и тангенциальной a составляющих
  
a  an  a 
Модули этих ускорений:
2
an 
R
d
aτ 
dt
a  an2  a2
Здесь R - радиус кривизны в данной точке траектории.
• Положение твердого тела (при заданной оси вращения)
определяется углом поворота (или угловым перемещением) .
• Кинематическое уравнение вращательного движения  = f(t).
4
Вращательное движение вокруг
неподвижной оси
Движение твердого тела, при котором две его
точки О и О' остаются неподвижными, называется
вращательным движением вокруг неподвижной
оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью
вращения.
Пусть абсолютно твердое
тело вращается вокруг
неподвижной оси ОО'
5
Угол поворота d характеризует перемещения всего
тела за время dt.

Удобно ввести dφ – вектор элементарного поворота
тела, численно равный d и направленный вдоль оси

вращения ОО' так, чтобы глядя вдоль вектора dφ
мы видели вращение по
часовой стрелке (направление

вектора dφ и направление
вращения связаны правилом
буравчика).
6
Элементарные повороты удовлетворяют обычному
правилу сложения векторов:



dφ  dφ1  dφ2 .

Угловая скорость ω - вектор
численно
равный первой производной от угла поворота по
времени и направленный вдоль оси вращения в



направлении dφ ( dφ и ω всегда направлены в одну
сторону).

 dφ
ω
dt
dφ
ω .
dt
7
В векторной форме
  
  [, R ]
 

Вектор  ортогонален к векторам ω и R
и направлен в ту
же
сторону,
что
и
векторное


произведение [, R ]
8

Введем вектор углового ускорения ε
для характеристики неравномерного вращения

тела:
 dω
ε
dt

в ту же
ε направлен

и ω при ускоренном
Вектор 
сторону, что
вращении
 dω

ε


0


 dt

а
направлен в противоположную

сторону при замедленном вращении
 dω  0 


 dt

9
10
• Средняя угловая скорость

 
t
 - изменение угла поворота за интервал времени t.
Мгновенная угловая скорость
d

dt
d
dt
• Кинематическое уравнение равномерного вращения
 = .0 + t,
где 0 - начальное угловое перемещение; t - время. При
равномерном вращении  = const и  = 0.
Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными
векторами, их направления совпадают с осью вращения.
• Угловое ускорение  
11
• Частота вращения
N
n
t
или
1
n
T
N - число оборотов, совершаемых телом за время t; Т - период
вращения (время одного полного оборота).
• Кинематическое уравнение равнопеременного вращения ( =
const)
2
t
  0  0t 
2
0 - начальная угловая скорость; t - время.
.
Угловая скорость тела при равнопеременном
вращении
 = 0 + t.
• Связь между линейными и угловыми величинами,
характеризующими вращение материальной точки, выражается
следующими формулами:
12
путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R,
s = R
(l = 2R)
( - угол поворота тела);
скорость точки линейная
 = R;
ускорение точки: тангенциальное
а =. R;
нормальное
аn = 2R.
Пример 1.
Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав
50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от 4 с1
до 6 с1. Определите угловое ускорение колеса.
Пример 2.
Определить полное ускорение в момент времени 3 с точки,
находящейся на ободе колеса радиусом 0,5 м, вращающегося
согласно уравнению
= At + Bt3
где А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с3
Пример 3.
Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость
угловой скорости от времени задана уравнением
 = 2At + 5Bt4
где А = 2 рад/с, В = 1 рад/с4.
Определить полное ускорение точек обода колеса через 1 с
после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом
за это время.
Пример 4.
Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с
угловым ускорением  = t, где  = 0,02 рад/с3. Через какое
время после начала вращения вектор полного ускорения
произвольной точки тела будет составлять угол 60 с ее
вектором скорости.
Пример 5. ДЗ
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его
угловая скорость зависит от угла поворота по закону
 = 0  ,
где 0 и  - положительные константы. В момент времени
t = 0,  = 0. найдите зависимость от времени угла поворота и
угловой скорости.
Пример 6. ДЗ
Точка движется по окружности 0,3 м с постоянным
ускорением . Определите тангенциальное ускорение точки,
если известно, что за время 4 с она совершила 3 полных
оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение
2,7 м/с2.
Пример 7. ДЗ
Твердое тело вращается, замедляясь вокруг неподвижной оси с
угловым ускорением
Найти среднюю угловую скорость
тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в
начальный момент времени его угловая скорость была равна
0.