Сегодня: среда, 1 октября 2014 г. Кинематика Степанова Екатерина Николаевна доцент кафедры ОФ ФТИ ТПУ 1 Криволинейное движение При криволинейном движении вектор скорости изменяется по величине и по направлению. Вектор полного ускорения имеет две составляющие: a - тангенциальное (касательное) ускорение, как следует из названия оно направлено по касательной к каждой точке траектории, следовательно, совпадает по направлению с вектором скорости и an - нормальное (центростремительное) ускорение, направленное по нормали к векторуυ . Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное - по направлению. 2 a an υ a 3 Кинематика вращательного движения Основные формулы При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной an и тангенциальной a составляющих a an a Модули этих ускорений: 2 an R d aτ dt a an2 a2 Здесь R - радиус кривизны в данной точке траектории. • Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) . • Кинематическое уравнение вращательного движения = f(t). 4 Вращательное движение вокруг неподвижной оси Движение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения. Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО' 5 Угол поворота d характеризует перемещения всего тела за время dt. Удобно ввести dφ – вектор элементарного поворота тела, численно равный d и направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы глядя вдоль вектора dφ мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора dφ и направление вращения связаны правилом буравчика). 6 Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов: dφ dφ1 dφ2 . Угловая скорость ω - вектор численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении dφ ( dφ и ω всегда направлены в одну сторону). dφ ω dt dφ ω . dt 7 В векторной форме [, R ] Вектор ортогонален к векторам ω и R и направлен в ту же сторону, что и векторное произведение [, R ] 8 Введем вектор углового ускорения ε для характеристики неравномерного вращения тела: dω ε dt в ту же ε направлен и ω при ускоренном Вектор сторону, что вращении dω ε 0 dt а направлен в противоположную сторону при замедленном вращении dω 0 dt 9 10 • Средняя угловая скорость t - изменение угла поворота за интервал времени t. Мгновенная угловая скорость d dt d dt • Кинематическое уравнение равномерного вращения = .0 + t, где 0 - начальное угловое перемещение; t - время. При равномерном вращении = const и = 0. Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения. • Угловое ускорение 11 • Частота вращения N n t или 1 n T N - число оборотов, совершаемых телом за время t; Т - период вращения (время одного полного оборота). • Кинематическое уравнение равнопеременного вращения ( = const) 2 t 0 0t 2 0 - начальная угловая скорость; t - время. . Угловая скорость тела при равнопеременном вращении = 0 + t. • Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами: 12 путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R, s = R (l = 2R) ( - угол поворота тела); скорость точки линейная = R; ускорение точки: тангенциальное а =. R; нормальное аn = 2R. Пример 1. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав 50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от 4 с1 до 6 с1. Определите угловое ускорение колеса. Пример 2. Определить полное ускорение в момент времени 3 с точки, находящейся на ободе колеса радиусом 0,5 м, вращающегося согласно уравнению = At + Bt3 где А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с3 Пример 3. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задана уравнением = 2At + 5Bt4 где А = 2 рад/с, В = 1 рад/с4. Определить полное ускорение точек обода колеса через 1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время. Пример 4. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением = t, где = 0,02 рад/с3. Через какое время после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол 60 с ее вектором скорости. Пример 5. ДЗ Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота по закону = 0 , где 0 и - положительные константы. В момент времени t = 0, = 0. найдите зависимость от времени угла поворота и угловой скорости. Пример 6. ДЗ Точка движется по окружности 0,3 м с постоянным ускорением . Определите тангенциальное ускорение точки, если известно, что за время 4 с она совершила 3 полных оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение 2,7 м/с2. Пример 7. ДЗ Твердое тело вращается, замедляясь вокруг неподвижной оси с угловым ускорением Найти среднюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в начальный момент времени его угловая скорость была равна 0.
1/--страниц