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Recherche d’ARN non-codants par réseaux de
contraintes pondérées
Matthias Zytnicki
To cite this version:
Matthias Zytnicki. Recherche d’ARN non-codants par réseaux de contraintes pondérées. Modélisation
et simulation. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2007. Français. �tel-00258877�
HAL Id: tel-00258877
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00258877
Submitted on 25 Feb 2008
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j ∈ [1..|M |]
i ∈ [1..|S|]
j ∈[1..|M |]
(

0


 m[i − 1, j − 1] +
1
m[i, j] ← min

m[i
−
1,
j]
+
1



m[i, j − 1] + 1
m[|S|, |M |]
N (
( M [i − 1] = S[j − 1]
(#
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






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−
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M [j]
trace ← trace &
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S[i]
M [j]
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/
/
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3/
3/
3/
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i ∈ [0..|S|]
m[i, 0] ← 0
j ∈ [1..|M |]
m[0, j] ← j
i ∈ [1..|S|]
j ∈[1..|M |]
(

0


 m[i − 1, j − 1] +
1
m[i, j] ← min

m[i − 1, j] + 1



m[i, j − 1] + 1
( M [i − 1] = S[j − 1]
(#
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

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distance
O(|M |)
O(|S| × |M |)
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15
10
20
5
5
10
2 38
38
3 43
5 6
2
40
20
38
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12 14
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# # %
8
2 73 2 5 $ 6
24 2 5 3 43
26
18 20 22
3 43
38
60
20
5 40
2 2 73 2 5 5
2 8 38
10
# 10 12 14
16 18
22 24 26
28 30
3 43
28 5 60
30
22 24 26
15
30
10
20 25 30
35 40
15
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bsi
Ii
Ii
I˚i
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$ % !
$ succ
pred
& & & & % &
% % & & −∞ +∞
& & prec(−∞) = succ(−∞) = −∞
prec(+∞) = succ(+∞) = +∞
−∞ ≺ +∞
∀xi ∈ X , prec(bii ) = −∞
∀xi ∈ X , succ(bsi ) = +∞
+ $
& $
0
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#
*
*
#
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#
0
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bii
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@A
+ 1< 3B0
xi
4 B 10 2 @ A
c∅ ci (vi )
" "
B0 2 2 34 1
4 B 10 1
$
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$
B 30 A B0 @ A
$ B0 2 2 34 1
4B
&
4 B 10 1
' # B0 2 2 34 1
& & # + * 7 + ,
4 B 10 2
' B4 0 / 34 1
% "
B30 A B0
xi
(c∅ ⊕ ci (bii ) < >) ∧ (c∅ ⊕ ci (bsi ) < >)
∃vi ∈ Ii , ci (vi ) = 0
+ 10 @ A
& , & # # #
&
%
& & # & # ∆(xi )
ci (vi )
∆(xi )
B30 A B0 #
B4 0 / 34 1
,
1< 3B0
B4 0 / 34 1
1< 3B0
4 B 10 2
#
( B4 0 / 34 1
-
min ← minvi ∈Di {ci (vi )}
∆(xi ) ← ∆(xi ) ⊕ min
c∅ ← c∅ ⊕ min
+ * +
(min > 0)
( %!
- @A
< A.
1 < 3 B0
4 B 10 2 5
xi ∈ X 6
B0 2 2 34 1
4 B 10 1
B30 A B0 5
drapeau ← drapeau
+ * +
(
) * +
* (
- "
*+
B4 0 / 34 1
* (
*+
@A
B0 2 2 34 1
@A
B0 2 2 34 1
+
2
x
∈ X4 B10
i 3B0
1<
(xi )
+
x4i B10
∈ X1 B30 A B0
4 B10 @ A
(xi )
(xi )
B30 A B0
xi ∈ X 6
drapeau ← * +
+
(c∅ ⊕ ci (bi
i ) = >) bii ← succ(bii )
(bi
bs )
+i7
+ 31i 4 B0 1 0 B< 3
%! ;
# + @ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 @ A B0 2 B30 A B0
& ' . # $ # vi
xi
# c∅ ⊕ ci (vi ) = >
vi
& # c (v ) = 0
c = >
@ Ai i B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 ∅ & ' . + & " 2 34 1
4 B10 @ A
,
*
& O(nd)
O(n)
+ B4 0 / 34 1 1 < 3 B0 4 B 10 2 O(d)
@ A B0 2 2 34 1 4 B10 @ A B30 A B0 O(nd)
& "
O(nd)
+ $ +*7+ ,,
∆ O(n)
& # & " & # # % # # ) & # & , ,
% " & x
" ! *
$
∀c ∈ C, x ∈ var(c) ⇒ (∃(a, a0 ) ∈ `2 (var(c) \ {x}), c(a ∪ {(x ← bi)}) = c(a0 ∪ {(x ←
bs)}) = 0)
*
'
%
& & &
"
& & & &
% % & ∀xj ∈ V (xi ), ∃(vj , vj0 ) ∈ I 2 (xj ), cij (bii , vj ) = cij (bsi , vj0 ) = 0
+ & # & % &
*. + ! + ! $ * & & & % & " !
& % $
% & a ≺ b ≺ c
bi1 = a
bs1 = c
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c∅
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% % % bi1
x1
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& ! $ $ % bi1 >
% & & & % ! ! $ $ * x
* * 1&
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% * b
x2
* & & * # +
10 1
B30 A B0 @ A
B4 0 / 34 1
4 B10 1
B 30 A B0 B4 0 / 34 1
0 $ B0 2 2 34 1 4 B10 @ A
B30 A B0
4 B 10 @ A
"
B 30 A B0
@A
B0 2 2 34 1
& 4B
*. %! c∅ = 1, > = 4
x1
x2
a
bi1
1
2
c∅ = 1, > = 4
x1
x2
a
1
a
bi2 bi1
3
1
b
0
c
bs1
b
0
2
b
c
0
5 4 23
a
0
b
0
c
bi2
c
bs2 bs1
5 5 3773
2
0
2
2
2
1
1
1
1
6
32 5 48
bs2
bi1
c∅ = 1, > = 4
x1
x2
bi1
b
0
2
bs1
c
1
2
2
& $ $
L
" 8
543
8
1
a
0
b
0
c
3
bi2
bs2
bi1
& *. ∆(xi , xj , vi )
# &
vi
bii
bsi
# $ ∆(xi , vi )
vi
bii
bsi
& bii
∆(xi , vi ) =
) ∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ) (
!
0
vi ∈ ˚
I(xi ),
ci (vi ) = ci (vi ) ⊕
∆(xi )
∆(xi , vi )
(
0
vi ∈ ˚
I(xi ),
cij (vi , vj ) = cij (vi , vj )
∆(xi , xj , vi )
(
!
0
vj ∈ ˚
I(xj ),
⊕
∆(xj , xi , vj )
xj ∈V (xi ) ∆(xi , xj , vi )
,,
& " "
' # & # & 0 & $ $ # # # + * 7+ ,
%! 8
( B4 0 / 34 1
-
4 B10 1
min ← minvj ∈Ij {cij (bii , vj )}
(min
= 0)
+ * + < A. ( B< 3
* (
4 B10 1
*+
xj ∈ V (xi ) ∆(xi , xj , bii ) ← 0
B< 3 drapeau ← + *+
drapeau
B0 2 2 34 1
∆(xi , bii ) ← 0
# B30 A B0 : 5
xi ∈ X 6
drapeau ← * +
+
(ci (bii ) ⊕ c∅ = >) bii ← succ(bii )
(bi
bs )
+i7
+ 31i 4 B0 1 0 - @A
B< 3
xi ∈ X , xj ∈ V (xi ) 6
∆(xi , xj , bii ) ← ∆(xi , xj , bii ) ⊕ min
∆(xi , bii ) ← ∆(xi , bii ) ⊕ min
B30 A B0 5
+ *+
+
∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ), ∆(xi , xj , bii ) ≤ cij (bii , bij ) ∧ ∆(xi , xj , bii ) ≤ cij (bii , bsj )

 cij (bii , bij ) ∆(xj , xi , bij ),
minvj ∈˚
∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ), ∆(xi , xj , bii ) ≤ min
Ij {cij (bii , vj )},

cij (bi
, bs ) ∆(xj , xi , bsj )
i# j ∀xi ∈ X , ∆(xi ) ≤ min{ci (bii ) ⊕ ∆(xi , bii ), minvi ∈˚
{ci (vj )}, ci (bsi ) ⊕ ∆(xi , bsi )}
& Ii ∆
0 + $ # #
# # & & ∀xi ∈ X , ∆(xi , bii ) =
L
∆(x , xj , bii )
∈V (xi
) i x j L
c∅ = xi ∈X ∆(xi )
) # & %
,
# # # '.
& # & x
Q
xj
x
i $ &
#i Q
x
0
$ &
#i xj
xj
0 + & xi
$ # ! "
(
) * +
* (
"
- "
*+
x
i∈X +
∆(xi ) ← 0
∆(xi , bii ) ← 0
∆(xi , bsi ) ← 0
* ( * +
+
xj ∈ V (xi ) ∆(xi , xj , bii ) ← 0
∆(xi , xj , bsi ) ← 0
Q←X
%! *+
+
(Q 6= ∅) xj ←
(Q)
< A. drapeau ← * ( * +
+
xi ∈ V (xj ) B4 0 / 34 1 4 B10 1
B30 A B0
(
(xi , xj ))
@
A
B0
2
2
34
1
4
B
10
1
B30
A
B0
:
(
(xi ))
Q ← Q ∪ {xi }
. / B< 3B0
# B4 0 / 34 1
B4 0 / 34 1
4 B 10 2
drapeau ← drapeau ∨
(xi )
B4 0 / 34 1 4 B10 1
B30 A B0
(
(xj , xi ))
@ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 :
(
(xj ))
Q ← Q ∪ {xj }
# 1< 3B0
1 < 3 B0
4 B 10 2
drapeau ← drapeau ∨
(xj )
(drapeau)
* ( * +
+
xi ∈ X @ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 :
(
(xi ))
Q ← Q ∪ {xi }
# xi '
xj '
xi '
% %!
& $ , 8 B4 0 / 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 B< 3 &
$ & $ $ , @ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 : 0 $ &
B< 3 #
# # $ #
$ , B4 0 / 34 1 1 < 3 B0 4 B 10 2 B< 3 # $ c∅
+
$ & ' . " # $ # # + &0 &
# &
# # + 0 &
c
∅ $ $ B4 0 / 34 1 4 B 10 1 B30 A B0
B< 3 B4 0 / 34 1 4 B 10 @ A B30 A B0 @ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 @ A B0 2 2 34 1 4 B 10 @ A B 30 A B0 0 0 c∅
B4 0 / 34 1 1< 3B0 4 B 10 2 B< 3 0 B< 3
drapeau
+ * Q
+ x
i x
i
xi
+
.
0 0 ∆
+ , & " & % & O(e)
& & & %
O(ed2 + min{>, nd} × n)
n(d + 1)
2e(d + 1)
2
O(ed )
@ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B30 A B0 : * + nd
O(ed)
@ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 : 0 * + O(ed)
+*7+ ,
nd
min{>, nd} × n
O(ed2 +min{>, nd}×n)
∆
O(ed+min{>, nd}×n)
O(e)
d
d
0 0 ,
(
+ (+
∅
7 + +
∅ c12 :
.
I1 × I2 → E
(v1 , v2 ) 7→ v1 + v2
c∅
0
0
0 I1 = I2 = [1..10]
c
c
∅ .
12 x1
c∅
0
c∅
x1
x2
c∅
" d
∅
c∅
, !
a
&
%
c
∅
" !*
∃a ∈ `(var(c)), c(a) = 0
& r " "
%
%
& c
r
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∅
c
$ ∅
$
*
∅
+ ! + * % & & ! $ * &
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bs1
bi2
bs2
c∅
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% x
x
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c∅
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. ∅
v ∈ Ij
bi ∈ I
0
j
i i
c
(bi , v )
c
. ij
i j ij
∅
∅
c∅ = 0, > = 4
x1
x2
bi1
a
b
bs1
bi2 bi1
b
c
2
c
2
5 4 23
bs1
a
0
b
1
c
1
d
2
2
2
2
5 5 3773
a
b
b
c
bs2 bs1
6
0
a
0
b
0
c
a
bi2 bi1
32 5 bi1
a
bi2
b
c
c
2
3
2
c∅ = 0, > = 4
x2
b
c
2
d
1
543
8
3
bi2
b
a
bs2
c∅
a
c
bs2
bi2
c∅ = 0, > = 4
x2
b
x1
bs1
32 5 6 5 5 3 48
1
5 4 23
bi1
c
2
x1
bs1
8 3773
a
c∅ = 0, > = 4
x2
x1
bi1
c∅ = 1, > = 4
x1
x2
2
a
bs2
bs1
∅
bs2
# ' .
∅
* % & * % & !$ & % *
& ∅ & & * % x1
d x2
c
! !%$ $ ) & & & & bi1
&
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* d
x1
∅
% bs
1 & & & & *
' & ! $ + ! +
bi1
c∅
∅
c∅
c
∅
∅
0 0 . + ! + * % & ! $ * * ∅
% % ! ! $ $ * bi1
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%
c∅
d
x1
&
&
!
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$
*
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c∅
&
&
!
!
$
$
& bi1
c∅
! $ & % % &
&
& c
% & % & ∅ ∅
B4 0 / 34 1
31< 3B0
∆(xi , xj )
∅
cij
(x , x )
i j (
∆(xi , xj , vi )
0
cij (vi , vj ) = cij (vi , vj )
(
∆(xj , xi , vj )
⊕
0
cij
c∅
vi ∈ {bii , bsi }
vj ∈ {bij , bsj }
⊕ ∆(xi , xj )
min vi ∈Ii {cij (vi , wj )}
wj ∈Ij !
∆(xi , xj )
c
∅ 8 c∅
" :
∀cij ∈ C, ∀(vi , vj ) ∈ Ii × Ij ,
bs1
a
0
b
1
c
1
d
2
2
2
0
a
0
b
0
c
bi2 bi1
bs2
bs1
5 4 23
a
b
1
0
b
c
1
0
c
bs2
d
2
bi2
bs1
a
b
0
b
0
c
d
2
2
32 5 48
bi2
bi1
c∅ = 1, > = 4
x2
x1
0
2
0
6
a
c
1
c∅ = 1, > = 4
x2
x1
bi1
a
5 5 3773
c∅ = 0, > = 4
x1
x2
c∅ = 0, > = 4
x1
x2
bi1
bi2 bi1
a
0
a
b
0
b
0
c
c
bs2 bs1
2
bs2
1
32 5 8 5 3
3
x1
48 3445 3 7 738
d
3
x1
c∅ = 0, > = 4
x1
x2
c∅ = 0, > = 4
x1
x2
bi1
bs1
a
1
0
a
b
1
0
b
c
1
0
c
2
3 8 7 5 8 5 3
3 7
bi2 bi1
bs2 bs1
32 5 a
0
b
1
c
1
2
2
87 5 3 7
c∅ = 1, > = 4
x1
x2
bi1
bs1
a
0
0
a
b
1
0
b
c
1
0
c
32 5 3
c12
48
bi2
bs2
c∅
∅
0
a
0
b
0
c
32 5 bi2
bs2
( B4 0 / 34 1
, -
31 < 3 B0 5
min ← min vi ∈Ii {cij (vi , vj )}
xi ∈ X , xj ∈ V (xi ) 6
∆(xi , xj )
vj ∈Ij
(min
= 0)
+ * +
< A.
c0∅ ← c∅
∆(xi , bii ) ← ∆(xi , bii ) ∆(xi , xj , bii )
∆(xi , bsi ) ← ∆(xi , bsi ) ∆(xi , xj , bsi )
∆(xi , bij ) ← ∆(xi , bij ) ∆(xj , xi , bij )
∆(xi , bsj ) ← ∆(xi , bsj ) ∆(xj , xi , bsj )
∆(xi , xj , bii ) ← 0
∆(xi , xj , bsi ) ← 0
∆(xj , xi , bij ) ← 0
∆(xj , xi , bsj ) ← 0
∆(xi ) ← 0
∆(xj ) ← 0
∆(xi , xj ) ← ∆(xi , xj ) ⊕ min
c∅ ← c∅ ⊕ min
(c +∅7=
>)
+ 31 4 B0 1 0 B4 0 / 34 1
4 B10 1
B4 0 / 34 1
4 B10 @ A
B30 A B0
(xi , xj )
(xi , xj )
B4 0 / 34 1 4 B10 1
B30 A B0
(xj , xi )
B4 0 / 34 1 4 B10 @ A
B30 A B0
(xj , xi )
B4 0 / 34 1 1< 3B0 4 B10 2
(xi )
B4 0 / 34 1 1< 3B0 4 B10 2
(xj )
+ * +
(c∅ > c0∅)
B30 A B0
;
(
) * +
* (
*+
- "
"
Q←X
*+
xj ∈ V (xi ) ∆(xi , xj , bii ) ← 0
∆(xi , xj , bsi ) ← 0
∆(xi , xj ) ← 0
+
+
(Q 6= ∅) xj ←
(Q)
< A. drapeau ← * ( * +
+
xi ∈ V (xj ) B4 0 / 34 1 31 < 3 B0
drapeau ← drapeau ∨
(x , x )
i j
@ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 :
(
(x
))
i
Q ← Q ∪ {xi }
. / B< 3B0
# B4 0 / 34 1
1 < 3 B0
# B4 0 / 34 1
1< 3 B0
4 B 10 2
(xi )
4 B 10 2
drapeau ← drapeau ∨
(xj )
(drapeau)
* ( * +
+
xi ∈ X @
A
B0
2
2
34
1
4
B10
1
B30 A B0 :
(
(xi ))
Q ← Q ∪ {xi }
# drapeau ← drapeau ∨
@ A B0 2 2 34 1 4 B10 1 B30 A B0 :
(
(xj ))
Q ← Q ∪ {xj }
+
*+
:
x
i∈X ∆(xi ) ← 0
∆(xi , bii ) ← 0
∆(xi , bsi ) ← 0
* (
xi '
xj '
xi '
,
& & & & % " & * O(ed3 + min{>, nd} × n)
*
& & ∅
O(e)
" :
" B4 0 / 34 1 31< 3B0 ∆
B4 0 / 34 1 31< 3B0 B< 3 c
∅
+ * 7 + ,
∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ), ∀vi ∈ Ii , ∀vj ∈ Ij , ∆(xi , xj ) ≤ cij (vi , vj )
∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ), ∆(xi , xj , bii ) ≤ cij (bii , bij ) ∆(xi , xj ) ∧ ∆(xi , xj , bii ) ≤
cij (bii , bsj ) ∆(xi , xj )
∀xi ∈ X , ∀xj ∈ V (xi ),

 cij (bii , bij ) (∆(xi , xj ) ⊕ ∆(xj , xi , bij )),
minvj ∈˚
∆(xi , xj ),
∆(xi , xj , bii ) ≤ min
Ij {cij (bii , vj )}

c (bi , bsj ) (∆(x
, x ) ⊕ ∆(x , x , bs ))
ij i i j j i j 0 . . xi
Q
xj
xi
Q
x
i 0
xj
xj
0 xi
xi
xj
Q
cij
B4 0 / 34 1 31< 3B0
∅
c
∅ c∅
. B4 0 / 34 1 31 < 3 B0 c∅
Q
cij
8
xi
x
j
xi
xi
Q
B4 0 / 34 1 3 1< 3B0 O(d2 )
O(ed2 + min{>, nd} ×
3
3
n + ed ) = O(ed + min{>, nd} × n)
0
O(e)
d
2 d
0 0 % & % & % & & &
& & & & % * % % & & & O(ed + min{>, nd} × n)
" ,
Ii
n)
O(ed)
&
cij
v
i minvj ∈Ij {cij (vi , vj )}
.
+ * 7+ ,
0
,
O(d)
min{>, nd} × n)
O(ed+min{>, nd}×
% & % &
& & & % * *
% ∅
O(ed2 +
&
&
&
"
% O(d)
0
2
+ * 7 + ,
B4 0 / 34 1
4 B10 @ A
B4 0 / 34 1
B30 A B0
4 B 10 @ A
B30 A B0 : 10 1
B30 A B0 : 0 0
O(ed)
& % " % & & & & & % * * % % & & & " ∅ d
,
+*7+ ,
B30 A B0
0 O(ed + min{>, nd} × n)
O(ed + min{>, nd} × n)
&
&
1 < 3 B0
4 B 10 2 B4 0 / 34 1
31 < 3 B0 B4 0 / 34 1
4 B 10 1
* ( * + @A
B0 2 2 34 1
@ A B0 2 2 34 1 4 B 10 1 B 30 A B0 :
@ A B0 2 2 34 1 4 B
O(ed)
O(ed)
0
O(ed + min{>, nd} × n)
#$ ' . ∅
,
%
cij
∀(vi , vj ) ∈ Di × Dj , cij (vi , vj ) ∈ {e1 , e2 }, e1 < e2
∀v ∈ D , |{v ∈ D , c (v , v ) = e }| ≤ 1
i
i
j
j ij i j
1 % cij
∀(v , v ) ∈ D × D , c (v , v ) ∈ {e , e }, e < e
i j
i
j ij i j
1 2
1
2
∀v ∈ D , |{v ∈ D , c (v , v ) = e }| ≤ 1
i
i
j
j ij i j
2
+ ! +
% & % & %
! (
0
c6= (x, y) =
1
%
! (
0
c= (x, y) =
1
&
& xi
x=y
&
& xi
& & ! $$ x 6= y
& & ! $ $ 0 x, y 7→ x2 − y 2
,
& f
f : N×N → N
& & & 0
y
0
& x
∀(y, a) ∈ N2 , {x ∈ R : f (x, y) > a}
& &
0 e2
e2
e1
e1
2 5 3773
6
5 2
2 5 3773
43 5 2 3 3
3
3
43 5 2 3 3
. O(d)
∅
0 2 d
x, y 7→ x + y
. ∅
0 d
. ∅
O(ed + min{>, nd} × n)
.
O(ed +
. min{>, nd} × n)
∅
O(ed2 + min{>, nd} × n)
c1,2 = |x2 − x1 − d|
d
x
x2
0 1 0
x2
d
x
0 1
0
d


bi1 + d − bs2
min = bi2 − bs1 − d


0
. ∅
bs2 < bi1 + d,
bi2 > bs1 + d,
,
0 ,
+ 7 + ( (
+ (+
. # ' 0
. >
. .
. # . ' . . 0 # . '
% + ! +
& c1
x1
c2
% &
* % & & * % & ! $ & & % % % x2
c12
&
& % & % & % ,
&
R
& % & & & " % & & & % & % % & % & % ' & %
& & % % 0 >*" % C
% & % & % % % & & & % &
% & % & % % & % & % % & &
& &
c1
c1R &
& & & & & % C x1 R
c1R
& x1 & & ' (v1 , a)
v1 ∈ I1
c1 (v1 ) = a
& % & % c & % x2 C
2
& % R &
&
& & c2R
x12 C
R )
&
% % & c12
c12 c12R
% & & % &
% & & C
C
> x1 C
R + x2 R + x12 R < >
% % ! $
%
& %
%
, *
& % P = hS, X , I, Ci
PR = hXR , IR , CR i
& & & & % & & % XR
& & % & % & % X
& & % & % % % C C
xi C
1R
R
& & % & % % % C C
xij C
2R
R
& & & IR
& & & & x
I
≡
I
i
iR
iR
& & % [bi C ..bs C ] ≡ [0, >] xi C
iR
iR
& & % R C C
C
[biij R ..bsij R ] ≡ [0, >]
xij R
x1R
x2R
0
0
a
a
b
b
1
1
2
2
>=3
x2
a
0
1
a
b
1
0
b
43 8 3 2 34
& 2
cC
R
5 6 8
%
1
8 5 73 % CR
∀xi ∈ X , ciR ≡ {(vi , ci (vi ))|vi ∈ Ii }
∀cij ∈P
C1 , cij R ≡ {(vP
i , vj , cij (vi , vj ))|vi ∈ Ii , vj ∈ Ij }
& C
C
<>
cR ≡ xi ∈X xi R + cij ∈C1 xij C
&
% & % R % >
& 0
x12 C
R
x1
x2 C
R
x1 C
R
34
%
P
P
R 0 , & & " & & '
&
&
&
&
&
&
&
%
%
& % %
% * *
∅
& * ) & & % & % % %
& '
%
%
&
& & % & &
"
% &
% %
" &
%
(x1 )
a b c d
a
(x2 ) b
c
" & %
% % (x1 )
a b c d
a
(x3 ) b
c
& % c∅ = >
& & T
T0
&
&
%
%
P
T0
& " & % P
& % & & " T
P
0 & 0 & T
& & & % T T & % T & P
T
P
& & % & % & " & % 0 % " &
%
T
" & &
P
0 0 .
. + ! + , , * % & * % & !
$
% x 1 x2
x3
% !
$ % c12
c13
I1 = {a, b, c, d} I2 = I3 = {a, b, c}
!
$
& % % & % % &
a≺b≺c≺d
% & >=2
& " & % &
% % % a
x1R c12R
(a, a, 1)
% % d
(d, a, 1)
% % % x C (b, a, 0) (c, a, 1) % & 12R
)
" & % & % * & " % & & " % & x
& & % 1 & & & & &
%
% * . . ∅
. ∅
. P
PR
P
0 PR
P
. R . ∅
P0
0 . P
∅
0 . P0
PR
. P0
∅
. . ∅
,
&
* %
P
% *
P
∅
*
&
∀x0i ∈ X 0 , ∆0 (x0i ) ≥ bi0i C
R
&
∀c0ij ∈ C 0 , ∆0 (x0i , x0j ) ≥ bi0ij C
R
* %
,
P
*
∅
P
&
0
PR
PR
* &
& 0
PR
P = hS 0 , X 0 , I 0 , C 0 i
&
&
%
%
&
P 0 = hX 0 , I 0 , C 0 i
R R
R
% R " 0
PR
PR
&
& % PR
& 0
0, X 0, I 0, C 0i & PR% % P = hS
& & & 0
0
0
0 = hX , I , C i
PR
R R R
% " P0
∀x0i ∈ X 0 , Ii0 ⊆ Ii 0R
& & P
R
0
PR
" 0
PR
0
Ii 0R
0 x0i
P
0 C 0 0 C +*7+ ,
Ii R
x
ci
C 0
Ii R
i R
C
X
C
bi0j R +
⇒
⇒
P
X
C
bi0j R +
xj ∈X
X
X
cjl ∈C
∆0 (x0j ) +
xj ∈X
⇒c0∅ ≥ >
cR
X
cjl ∈C
xj ∈X −{i}
c0
c0 C
x0i C
R
iR R 0 0 0 c
Ii 0R
iR
0 0 C bi0i R +
C
C
bi0jl R ≥ >
bi0jl R ≥ >
X
cjl ∈C
∆0 (x0j , x0l ) ≥ >
0 C Iij
R
0
PR
0 0 P
0 P
PR
P0
0
PR
∅
P 00
P
PR
P0
P
. ∅
. P 00
P0
∅
. 0 PR
PR
0 0 00 P
PR
& & & P 0 & & P % % & % * *
∅
00 & & 0 % * *
P
P
∅
& & % % " 0
P
P
+! ! + ,
R P0
P
*
R P
PR
0
PR
&
P 00
& . ∅
P 0 P 00
P 00
P0
R 00
0 x0i
Ii ( Ii0 ⊆ IiR
00 00
x0
∆ (xi ) > ∆0 (x0i ) ≥ bi0i C
R
i 0 c
ij
+*7+ ,
;
P100
P
PR
P0
0
PR
P200
P300 P400
∅
00
PR
0 PR
P
. 0
∅ P
. R 0 P
P 0R
.
P 00 R
P 00 P 00 P 00
P 00
1. 2 3 4 ∅
. 00 00 00
∅ P1 P2 P3
P400
00 P
PR
& P 0 & & P % & % * *
∅
% % " 0 & & P
PR
& & % " R
P 00
P0
& % * R 0 R 0
P
PR
*
0 & 00 00 ∅
P
P
PR
% % % +! ! + &
& * P% PR
P0
P 00
R R ∅
P 00 R
C
bi0i R
0 0
0C
+*7+ bi
iR
P0
P 00
c0
i R
= ∆ (xi )
0
0
@viR
∈ Ii0 R , (viR
, bi0iR ) ∈ ci 0R
⇒@vi0 ∈ Ii0 , (vi0 , bi0i R ) ∈ ci 0R
(
⇒∀vi0 ∈ Ii0 , ci 0 (vi0 ) > bi0iR
⇒∀vi0 ∈ Ii0 , ci 0 (vi0 ) > ∆0 (x0i )
⇒∀vi0 ∈ Ii0 , c0i (vi0 ) > 0
(
c0i (vi0 ) ≥ ci 0 (vi0 )
∆0 (x0 )
i
Ii0 ⊆ Ii0 R )
∆0 (x0i ))
0
ci
bi00i R
bs0i C
c0iR
R
bi0iR
c0iR
bi0i R = bi0i
0
d
x0i C
R
(ci (bi0iR ) = d) ∧ (d +
⇒(ci (bi0i ) = d) ∧ (d +
X
C
cjl ∈C
∆0 (x0j ) +
X
X
∆0 (x0j , x0l ) ≥ >)
∆0 (x0j ) +
X
∆0 (x0j , x0l ) ≥ >)
cjl ∈C
≥ >)
bii R
C
xj ∈X
⇒(ci (bi0i ) = d) ∧ (d − ∆0 (x0i ) + c∅
⇒ci (bi0i ) ≥ > − c∅ + ∆0 (x0i )
⇒c0i (bi0i ) ≥ > − c∅
c0 C
R
bi0jl R ≥ >)
cjl ∈C
xj ∈X −{i}
⇒(c0i (bi0i ) = d) ∧ (d − ∆0 (x0i ) +
X
bi0j R +
xj ∈X −{i}
X
bi0i R
0 0
cij R
biiR = bi0i
cij R
{(vi , vj , cij (vi , vj ))|vi ∈ Ii , vj ∈ Ij }
0 0
0
I
Ij ⊆ Ij0 R
Ij
j R !+
,
,
* *
∅
& " P
PR
P
P 0R
R
∅
P
P0
P 0R
P
P
R PR
∅
P
∅
+*7+ 8
P
PR
∅
#
& ' %
% Q
(x, v, c)
v
x
c
% v
c
: 4 B0 1 0 (x ← v)
Q
c
x 32 34 1 32 34 1 32 34 19 32 34 1 32 34 1
32 34 1 32 34 1: 32 34 1
32 34 1 32 34 1 32 34 1 cC
R
32 34 1: 32 34 19 32 34 1 32 34 1: supportBi(xiR , cij R ) x
e
j R (biiR , supportBi(xiR , cij R ), e)
cij R
supportBi(xiR , cij R )
bi
I
32 34 1 iR
32 34 1 j R c
ij R C
C
supportBi(x
)
iR
bii R
32 34 1 32 34 1 ciR 32 34 1
32 34 1 supportBi(xij C
,x )
x C
R iR 32 34 1 ij R xiR
cij R
4 B0 1 0
+
xiR ∈ X supportBi(xi C
R ) ← biiR C
(
) * +
* (
- :
*+
supportBs(xi R ) ← bsiR
* ( * +
+
xj R ∈ V (xiR ) supportBi(xiR , xj R ) ← bij R
supportBi(xij C
R , xiR ) ← biiR supportBs(xiR , xj R ) ← bsj R
supportBs(xij C
R , xiR ) ← bsiR
* (
*+
(x , bs, c)
+*7+ +
:
4 B0 1
0
& O((e + ed2 ) × min{>, end})
, & " & & % 2
&
x0 ∈ var(c) \ {x} 32 0 0
(x , bi, c)
32 0 0
Q ← {(x, v, c) ∈ X × {bi, bs} × C|x ∈ var(c)}
* +
+
(Q 6= ∅) . / B< 3B0
(x, v, c) ←
(Q)
* ( * +
+
c0 ∈ {c0 ∈ C \ {c}|x ∈ var(c0 )} 32 0
(x, v, c0 )
& & n e
d
%
Q
& % O(e)
nd
(n + e)>
O(nd + e>)
32 34 1 O(n + e)
O(e2 >)
32 34 1 :
O(nd)
(
) * +
-
sommeM in ←
* (
*+
32 34 1 5
C
C
xC
R ∈ CR , v ∈ {bi}, c ∈ {ci R } 6
C
C biR
xC
R ∈CR
C +
xi C
R ∈ C1 R P
C
(bsi C
R ≥ > − (sommeM in − bii R ))
C
bsi C
R ← > − (sommeM in − bii R ) − 1
supportBs(xiC
R ) ← biiR C
Q ← Q ∪ {(xi C
R , bs, cR )}
* (
*+
+
C
xij C
R ∈ C2 R C
(bsij R ≥ > − (sommeM in − biij C
R ))
C
bsij C
ij R ) − 1
R ← > − (sommeM in − bi
supportBs(xij C
R , xiR ) ← biiR supportBs(xij C
jR
R , xj R ) ← bi
C )} Q ← Q ∪ {(xij C
,
bs,
c
R
R
(
) * +
*+
-
32 34 1: 5
xiR ∈ XR , v ∈ {bi}, c ∈ {ciR } 6
+
(biiR bsiR ) C
c (bi ) ≤ bsi C
(bi
i
R ))
R ≤
+
* i+ iR
biiR ← succ(biiR )
* ( * +
+
xkR ∈ V (xiR ) supportBi(xiR , xkR ) ← bikR
Q ← Q ∪ {(xiR , bi, ciR )}
+ 7 + (
) * +
31 4
B0 1 0
-
32 34 1 5
xiR ∈ XR , v ∈ {bi}, cij R ∈ {c0 ∈ C2R |x ∈ var(c0 )} 6
*+
+
iR bsiR ) (bi
*+
+
(supportBi(xiR , xj R ) bsj R ) C
≤ cij(bi iR , supportBi(xiR , xj R )) ≤ bsij C
(bi
+ij
R
*+
R)
supportBi(xiR , xj R ) ← succ(supportBi(xiR , xj R ))
biiR ← succ(biiR )
* ( * +
+
xkR ∈ V (xiR ) supportBi(xiR , xkR ) ← bikR
Q ← Q ∪ {(xiR , bi, cij R )}
+ 7 + 31 4
B0 1 0
(
) * +
-
32 34 1
5
C
xi C
R ∈ C1 R , v ∈ {bi}, c ∈ {ciR } 6
*+
+
(bii C
≤ bsi C
)
R
R
* +
C
+
(supportBi(xi R ) bsiR ) C C
(c i+(supportBi(x
i R )) = bii R )
*+ C
supportBi(xi C
R ) ← succ(supportBi(xi R ))
C
bii C
R ← bii R + 1
supportBi(xi C
R ) ← biiR Q ← Q ∪ {(xi C
R , bi, ciR )}
+ 7 + (
31 4
) * +
B0 1 0
-
32 34 1
5
C
0
0
xij C
R ∈ C2 R , v ∈ {bi}, cij R ∈ {c ∈ C2R |x ∈ var(c )} 6
*+
+
C
C
ij ≤ bsij R ) (bi
*+ R
+
(supportBi(xij C
, xiR ) bsiR ) R
* +
+
(supportBi(xij C
R , xj R ) bsj R ) C
C
C
(c ij+ (supportBi(x
ij R , xiR ), supportBi(xij R , xj R )) = biij R )
*+ C
supportBi(xij C
R , xj R ) ← succ(supportBi(xij R , xj R ))
supportBi(xij C
R , xj R ) ← bij R
C
supportBi(xij C
R , xiR ) ← succ(supportBi(xij R , xiR ))
C
biij C
R ← biij R + 1
supportBi(xij C
R , xiR ) ← biiR
Q ← Q ∪ {(xij C
R , bi, cij R )}
+ 7 + 31 4
B0 1 0
O(ed)
32 34 1 O(ed + n> + nd) = O(ed + n>)
c
ij R (viR , vj R ) ∈ IiR × Ij R
O(nd + e> + ed2 + ed) = O(ed2 + e>)
O(nd)
O(e>)
32 34 1 : 32 34 1
O(nd + n>)
O(nd>)
O(nd>)
32
34
1
O(nd + e> + ed2 >) = O(ed2 >)
O(e2 > + ed2 >)
32 34 1
32 34 1 O(nd)
32 34 1
32 34 1 32 34 1 O(nd + (n + e)nd) = O(end)
O(end)
O(>)
O(min{>, end})
O((e2 + ed2 ) × min{>, end})
2n
2n + 2e
4n + 4e
O(e)
O((e2 +ed2 )×>) O((e2 +ed2 )×end)
>
# ' d
d
∅
O(ed3 + min{>, nd} × n)
C # % ' ∅
%
" " ;
∅
∅
∅
B4 0 / 34 1 4 B 10 1
B30 A B0
B4 0
/ 34 1 4 B10 @ A
B30 A B0
B4 0 / 34 1 31< 3B0 ∅
B4 0 / 34 1 4 B 10 1
B 30 A B0 " & % % % & x
i x
j ∅
A B C >
bii
[
?4/
, >loc ,
/ B< 12 4 B? < / 0 A B
](x , x )
i j ?4/
xi
xj
>
loc xi
bii
xj
[bi ..bs ]
j j ? 4 / bi
i
xj
?4/
bij = max{bij , bii + (|
| − 1 − >loc )}
?4/
bsj = min{bsj , bii + (|
| − 1 + >loc )}
bii
bsj
xi
xj
S
S[i]
i
S
S[i..j]
S[i], . . . , S[j]
S[1] S[0]
c
i mat
bi −1
bsj
?4/ i |
|
∀a ∈ [bii ..bsj ], ∀b ∈ [2..|
?4/

?4/
[b])
 mat[a − 1, b − 1] + ci (S[a],
|−1], mat[a, b] = min
mat[a − 1, b] + 1

mat[a, b − 1] + 1
? 4 / S
?4/ S
∀a ∈ [bii ..bsj ], mat[a, 1] = ci (S[a],
∀b ∈ [2..|
?4/
|], mat[bii − 1, b] = >loc .
?4/
[1]);
8
? 4 /
S
? 4 / S
>loc
? 4 / ∀a ∈ [bii ..bsj ], mat[a, |
?4/
|] = mat[a − 1,
?4/
[|
?4/
| − 1]] + ci (S[a],
?4/
bii
[|
?4/
|]).
∀a ∈ [bii + 1..bsj ], mat[a, 1] = >loc .
? 4 / bij
bsj
score =
min
a∈[bij ..bsj ]
mat[a, |
?4/
|].
mat
?4/ O(|
|)
?4/
O(D|
|)
D
? 4 /
|
| + >loc
?4/
?4/ O((|
| + >loc ) × |
|)
bii
xj
v 7→
(bi , v )
j i j ?4/ arg mina∈[bij ..bsj ] mat[a, |
|]
,
( +
/ < 3>>0
? 31 / < 3>>0
[
,
](xi , xj , xk , xl )
? </0 AB
,
= 4 A >0
? 3 1 = 4 A >0
,
? <.
,
31 0 >2
,
4 = = >0
, >loc ,
/ B< 12 4 B
x
/ < 3 >>0 ? 31i
xj
x k xl
/ < 3>>0
? <. = 4 A >0
? <. = 4 A >0 ? 3 1
bi
x
i i
? <.
bij
bsj
bik
bsk
bil
bsl


bij




/
<
3>>0
?
3
1


bii + (
−
1)
= 4 A >0
? <.
= max
bi − (
+ 1)




/ < 3 >>0
? <.
= 4 A >0
? <.

 k
bil − (
−
1)
−
(
+
1)


bs


j


/ < 3 >>0
? <.


bii + (
− 1)
=
4
A
>0
?
31
= min
bs − (
+ 1)




/ < 3>>0
? 31
= 4 A >0
? 31
 k

bsl − (
− 1) − (
+ 1)


bik




/ < 3>>0
? 31
= 4 A >0
? 31


bii + (
−
1)
+
(
+
1)
= 4 A >0
? 31
= max
bi + (
+ 1)




/ < 3 >>0
? <.
 j

bil − (
−
1)


bs


k


/ < 3 >>0
? <.
= 4 A >0
? <.


−
1)
+
(
+
1)
bii + (
= 4 A >0
? <.
= min
+ 1)
bs + (




/ < 3>>0
? 31

 j
bsl − (
− 1)


bil




/ < 3>>0
? 31
= 4 A >0
? 31


bii + 2(
− 1) + (
+ 1)
/ < 3 >>0
? 31
= 4 A >0
? 31
= max
bi + (
− 1) + (
+ 1) 



/ < 3>>0
? 31
 j

bik + (
−
1)


bsl




/
<
3
>>0
?
<.
=
4
A
>0
?
<.


bii + 2(
−
1)
+
(
+
1)
/ < 3>>0
? <.
= 4 A >0
? <.
= min
bs + (
− 1) + (
+ 1) 



/ < 3 >>0
? <.

 j
bsk + (
− 1)
xi
bij
bsj
xl
bsk
bik
x
bs
bik
xl
i j xj
xk
x
l x
x
j k bi
bs
xl bik
i j x
x
xl
i j xk
$ xi
bii
xl
>4 1
? <.
= 4 A >0
? <.
O(
+
) = O(1)
>4 1
? <.
$
O(
) = O(1)
>4 1
? <. $ O(
)
bii
x
x
j k x
l ( + + 7 +
[
/ < 3>>0
? <.
4 = = >0
/ B< 12 4 B ? < / 0 A B
](x , x , x , x )
i j k l
x x x
xl
i j k i
i
bsj − bii
bsl − bik
/ < 3 >>0
>3 0 ? <. / < 3 >>0 >3 0 ? <.
×
/ < 3>>0
>3 0 ? <. >4 1 ? <. ×
(i, l, n)
bi + i
bsl − l
i n
,
, >loc ,
ca


 matrice[i, l + 1, n],

matrice[i + 1, l, n],
matrice[i + 1, l + 1, n + 1] = min


matrice[i, l, n] + ca (S[bii + i], S[bsl − l])
matrice[i, l, 0] =
(
0
>loc
(i = 0) ∧ (l ≤ bsl − bil ),
.
C
∀i > 0, l > 0, n > 0, matrice[0, l, n] = matrice[i, 0, n] = >loc
min {matrice[i, l, n] + (
i≥bil −bii
l≥bsl −bsk
n
>4 1
? <.
− n)}
/ < 3>>0
>3 0 ? <. 2 >4 1 ? <. O(
×
)
/ < 3>>0 >3 0 ? <. 2 >4 1 ? <. O(
× ) i+1
i
j−1
j
i
j
i+1
i
j−1
j
i
j
k
k+1
bii
xl
x
l xk
+ +
x
j
+ ! + / < 3>>0
? 31 / < 3>>0
? <.
4 = = >0
/ B< 12 4 B ? < / 0 A B
[
,
,
,> ,
](xi , xj )
loc # 8 ' 8 S[i]
S[j]
S[i + 1..j]
− 1]
S[i..j
S[i + 1..j − 1]
S[i] · · · S[j] S[i..k] S[k + 1..j]
S[i]
S[j]
k ∈]i..j[ (i, j)
(
A2 2 314
-
5
S6
matrice[0, 0] ← 0
* ( * +
i ∈ [1..|S|
− 1] mat[i, i − 1] ← 0
mat[i, i] ← 0
* (
+
*+
d ∈ [1..|S| − 1] *+
* (
j ←i+d
S[i..j]
+
i ∈ [0..|S| − 1 − i] +

mat[i + 1, j],



mat[i, j − 1],
mat[i, j] ← min
mat[i + 1, j − 1] + (1 − ca (S[i], S[j])),



mink∈]i..j[{mat[i, k] + mat[k + 1, j]}
+
*+
mat[0, |S − 1|]







C mat[i, i] mat[i, i + 1] mat[i, i + 2]
mat[i, i + 3]
/ < 3>>0 >3 0 ? <. bsj − bii
/ < 3>>0
>3 0 ? <. 2 O(
x
i
)
bij
bsj
+ ) * +
4 = = >0
/ B< 12 4 B? < / 0 A B
,> ,
](x , x , y , y )
loc i j k l xi
x
yk
yl
yk
yl
j x
xj
i x
x
i
j
T
S[xi ..xj ]
& % ' & # # ; '
" T
ln(|T |)
[
& & & % & % [i]
& & % [i]
[i − 1]
&&
& & & & % (i, j)
k
[i], [i+1], . . . [j]
% & & & & & & & & k
k
% % &
∀l ∈]i..j], [l] ≥ k
∃l ∈]i..j], [l] = k
[i] < k
,
& [j + 1] < k
pgpc
% ' # k
k
S
k
(i, j)
k
(i0 , j 0 )
k0
>0 / / B0 2
(i, j) → (i0 , j 0 )
0 0 (i, j)
(i , j )
0
T npref
mot
T
0 mot
T ;
0
1
2
1
i
(0, 4)
(0, 3)
(2, 3)
(4, 4)
suf pgpc
k
k
" n
pref
yk
bik
bs
yl
bi
bs
k
l l k
T
S[x ..x ]
i j S[x ..x ]
i j n mot
n
min
n = 0
(0, |T |)
n = 0
>loc
min = >loc
(
-
0
0 B 0 . <
/0 5
mot ∈ σ + 6
(i, j) ← (0, |T |)
npref ← 0
B< 3
* +
+
( 4)1 10 3>2
(i0 , j 0 ) ←
(i, j)
>0 / / B0 2
( 4 1 10
((i,
j) → (i0 , j0 )[0] 6= mot[n ]) B B0
(i0 , j 0 ) ←
(i0 , j 0 )
0
0
((i,j ) = (⊥, <⊥))
A. (i0 6= j 0 )
>0 // B0 2
m ← min{|
((i, j) → (i0 , j 0 )|, |mot| − n }
>0
/
/
B0
2
(( (i,
j) →
(i0 , j 0 )[0..m] 6= mot[n ..m])
< A. (i, j) ← (i0 , j 0 )
npref ← npref + m
(m = |mot|
− B<
n3 )
(
>0 / / B0 2
j)
((i,
→
(i0 , i0 ))[0..|mot| − n ] = mot[n ..|mot|])
B< 3 < A.
8
4 1 10 < 1 3 < / 2 min − nerr
4 1 10 < 1 3 < / 2 score long
tout
4 1 10 < 1 3 < /2
mot
,
(i0 , j 0 ) ←
-
0
0 B 0 31 3? A ? 5
min ← min{min,
score, min)}
(i, j), npref , nerr , min 6 E
(i, j)
0
0
((i , j ) 6= (⊥, ⊥)) (i0 6= j 0 )
4 1 10 < 1 3 < /2 >0 / / B0 2
candidats ←
(
((i, j) →
0
0
(i , j )), mot[npref ..|mot|], min − nerr )
(¬candidats.vide()) (long, score, tout) ← candidats.depile()
(nerr + score ≤ min)
(tout)
min ← nerr + score
4 1 10 3>2
4 1 10
< 1
0
0 B 0 31 3? A ?
((i0 , j 0 ), npref + long, nerr +
3 < /2 >0 / / B0 2
candidats ←
(
((i, j) →
0
0
(i , i )), mot[npref ..|mot|], min − nerr )
(¬candidats.vide()) (long, score, tout) ← candidats.depile()
((nerr + score < min) ∧ (tout))
min ← nerr + score
4 1 10 B B0
(i0 , j 0 ) ←
min
(i0 , j 0 )
; n
b
; n
m
liste
b ∈ σ + , m ∈ σ + , n
(i ∈ [0..|b|])
matrice[i, 0] ← i
∈ E
(j ∈ [0..|m| − 1]) (matrice[|b|, j] ≤ n ) !
liste.empile(j, matrice[|b|, j], )
liste
(i ∈ [0..|b|]) (matrice[i, |m|] ≤ n ) liste.empile(b, matrice[i, |m|], )
(j ∈ [1..|m|])
matrice[0, j] ← j
(i ∈ [1..|b|]) (j ∈ [1..|m|]) 

 matrice[i − 1, j] + 1,

matrice[i, j] ← min
matrice[i, j − 1] + 1,


matrice[i − 1, j − 1] + ca (b[i], m[j])
" " " "
" y
y
k l " (i, j)
" borneInf
borneSup(i, j)
k
(i, j)
"
k
T
"
(i, j)
borneInf (i, j)
borneSup(i, j)
" yk
[borneInf (i, j)..borneSup (i, j)] ∩ [bik ..bsk ] = ∅
[bik ..bsk ]
" " " yl
[borneInf (i, j) + | | − 1 − >loc ..borneSup(i, j) + | | − 1 + >loc ] ∩ [bil ..bsl ] = ∅
"
" " " m − >loc
" b
m
>loc
m + >loc
b
m+b−1
b
"
b
m + >loc
≤ (2m + >loc )m
m+b−1
σ
b
σb
Pm+>loc
m
i
i=m−>loc σ × (2m + >loc )
× (2m + >loc )m
"
" O(m + >loc )
O(>loc × σ m+>loc × (2m + >loc )m+1 )
"
(2 × >loc + 1) × σ m+>loc
T
x
bi
xj
" j i x
borneInf
y
j
k lettres(0, |T |) → (i, j)
"
T
yl
[ , , , ](x , x )
, >loc , i j " x
xj
" i familles
"
n1
n2


>loc
"
.
f


0
∈ familles[n1 , n2 , , ,
],
familles[n1 , n2 , , ,
] 6= ∅.
" xi
xj
"
" f xj
" xi
xj
"
min ← >loc
E
j ∈ [bij ..bsj ] min ← min{min, f (S[xi ], S[j])}
min
O(d)
" "
bii
"
[
,
! ,
,
! ,
(xi , xj , xk , xl )
]
, >loc , "
" " " " " "
](x , x )
[ ,
,
,
,
, > , loc
i j
" {G, C}
xi
xj
! "
" ≥
 !

 −
−

 score(p)
p
× − ×
−
×p+
p<
.
,
≤p<
,
" xi
x
j xi
xi
bsj
"
"
" "
d
"
!
bii
"# # $ % & [
,
,
,
,
,
,
, >loc , ](xi , xj ) "
j
" xi x
" " ∅
"
! " ' & "
min ← >loc
nbP os ← 0
j ∈ [x ..bi [ i
j
(S[j] ∈ ) E
nbP os ← nbP os + 1
j ∈ [max{xi , bij }..bsj ] (S[j] ∈ ) nbP os ← nbP os + 1
nbP os
)}
min ← min{min, score( j−bi
j +1
min
 !

 !


− 

× (bij − bsi )+



− 
!


− ×
 ×




−
!


− 


× (bsj − bii )+
&
%


− &

!
%


×
− ×



&
%


−

!
 ! " bij ← bii +
! bsj ← bsi +
! bii ← bij −
"
bsi ← bsj −
bij − bsi >
&
"
bsj − bii ≥
bsj − bii ≥
%
,
,
,
" "
xi
bsi
bi
i "
bii
$
#
# #
$
,
bij − bsi >
.
" " " " " " " "
" "
" " "
' " "
"
" " "
' "
" " "
" " "
$
#
#
$ ! "# $ % & & & ' % % ( & ( & & ! & & )
! "# ' * + , & , ( , ( & " % ! , & ! , ! ! - ( , ( ! & " ! . ( " ( / O(e)
%
& & . 0 ( , %
/ & !
1 2# #
( & ! "# $ % 3 , ( & . & ' , & , " 4 & & ! & !
5 Q
( 6 , & ' " , / & ' / 789:9 !)) & % % , . , & !
, ! , . , . & , ' ( & '
& , & , & ; / , & & ' ! , 5 ( ' (
( & & ( ( !/ ( & . & " ( ( & ! , ! #
# $#
#
. %
, ! " 2#
( ( & # / & & % % / % % /
& ( ! & , / ' " . & ! & - & & ! ( ! & . ; ( & / , , & !
, ! 5 ! ( & ! 5 , , (
& & " ) " * & ; , & / & ! , & !
, ; ( ( , ( | | − >loc ! ! − >loc . ! − >loc /2 − >loc
,1 & ! ! ! , '.
1000
5 ( & !/ %
, #
# #
& & % % ( ! ! % ! !
,
d
* $$ ! , . ! % d
&
%' & d
'%
x1 = a
x1 = c
x1 = b
x2 = a
x2 = a
x2 = b x2 = c
x1 6= a
x2 6= a
x2 = b
...
, , x1 = a
⇒
! x2 6= b
...
! ! ! ; ! ! xi = vi
! , ( . %
vi
xi 6= '
/ ( ; / (
, ! * %
( xi ∈ X (Ii 6= ∅) xi ← bii
() xj ← ()
(xj )
bii ← succ(bii )
()
" , . / ! ! , !/ !
$
( 3 & & 0 & ( & & !
& ' ( . ! x1 x2 x3 . x1
x2 ! ; & ! ; x2 x3 ( & x2
x1
x3
x
& / % / 3 & & , (
x1
x1
(
& ! ; & / x3
x2
x1
!/ & , % / x3
x2
x1
x2
. x3
!/ ' " . ! ; & ! 5 ) . ( "+ %
& ) ( . /& ( & ! ; ( . & ! xk ; & %
! xi x i xi x k
& ! ; * ( ( & !
; . & ! . xk& & ! xk
(Ii 6= ∅) xi ∈ X xi ← bii
() xj ← ()
(xj )
xk
((c = 0) ∧ (x 6∈ k
∅ xk
bii ← succ(bii )
()
!
(xi )))
xk
((c = 0) ∧ (x 6∈ k
∅ !
(xi )))
xk
5 ! & %
! & ! , * ; & x
i & ! ( " & . ' . c∅' (
; & ! ( x3 & ; x2 x& 1 ;
x1
c∅
( ; x3
/ >−1
! xi ∈ X ℘(X )
X ← {xi }
pile.empile(xi )
(¬pile.vide)
xj ← pile.depile
c ∈ {c ∈ C|x ∈ var(c)} j
k
x ∈ var(c) \ {x } j
l
(x 6∈ X) l
X ← X ∪ {xl }
(¬ (xl ))
pile.empile(xl )
X
, & & ! . x&2 &x1
/ ; & x3 >−1
( 3
" !/ , 3 ( %
c∅
2$
& (
( ' %
( ! ! " & %
. & ! & ( . ( %
!/ . & ! ; . .
( & (
& !
& ! ( , ; % ( . & ! ( & ! !
, % & ! . !
& ! & %
"% ; / / ( & %
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Bi
>
A2
B1
B4
B2
A1
B3
& i
& B
(
Ai
A1
A
2
B4
+ # ( &
, ;
(
(( ( , ! & ( + ' ( . A
B
A B !" # V(A) < V(B) # A B !" # V(A) = V(B) # A !
$ " B %
& ! %
. & & ' , + & & & & & 5 & & %
& 0 ( . !/ / ( & & A
& + Bi
L
( ! & i 5 Li.debut
%
+ ( .debut
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( Lij
.debut '
+ Li
Lij .f in
Lij .coût
( ' %
Li .f in
Li .debut
Li .f in = maxj {Lij .f in}
, * & ( ' ! A
( A.debut !
'
in
A.f
, A.coût
! & & !
! , A / Li
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& & A
. & Li , A
! A
i ∈ [1..|L|] (A.debut − L .debut > ! ) i ([L .debut..L .f in] ∩ [A.debut..A.f in] 6= ∅) i
i
j ∈ [1..|L |] i
([L .debut..L .f in] ∩ [A.debut..A.f in] 6= ∅) i
ij
!
((Lij .coût < A.coût)∨((Lij .coût = A.coût)∧(Li .debut ≤ A.debut)))
!
! ! . Lij
. ( ( , ( &/ & 5 ! & .
5 / ' ( & &> %
A
B
, B A
! . ( & ! & , * > B.coût + 1
& ( B, ; " , > / & ! ; !/ %
min
max
$
& 0 ( & ( ! > / ( val
>
' & & & & [min..max]
min ← |S| + 1
max ← −1
val ← >0
E
x ∈ X i
( (x )) i
min ← min{min, xi }
max ← max{max, xi }
i ∈ [1..|L|] (min − L .debut > ! ) i
val
([L .debut..L .f in] ∩ [min..max] 6= ∅) i
i
j ∈ [1..|L |] i
([L .debut..L .f in] ∩ [min..max] 6= ∅) i
ij
val ← min{val, Lij .coût + 1}
val
" , & ( , ( >
( , ,
. ( ; & . ( " !/ ( ( ( , %
& ( ( !/ . ( %
. ( " ( ! & ! ! , & & ( . ! . ! & . 5 . ( O(ed2 + min(>, nd) × n)
. ( & . %
O(ed4 + min(>, nd) × n)
& * ! , . * * ( ( ( %
, ( & ! & '. & . "# & % % & & ( O(ed + min(>, nd) × n) , , d % ( ( & ( . , !/ ( & ! & , n .
& !
xi
xi+1 " & , ( i ∈ [1..n
− 1]
& " % % & d2 − d1 ; ! D . ( ; & ! # / x1
& !
x 1 x2 x2
! & ! & %
D
( & x 3! ; & ! 2D
! 5 ,
x1
! ; xi (i − 1)D i ∈ [2..n]
! ; !
x1
· · · × (n − 1)D = (n − 1)! × D n−1
! ; ! (1 × D ×
; 1
+( x
( !
d × (n − 1)! × D n−1
d × (n − 1)! × D n−1 = O(d)
#& & ; , ( "# +( ( & ! ; .
(n − 1)D "# +(
"#
! O(enD+min(>,
nnD)×n)
( "# ( & ! ; O (enD + min(>, nnD) × n) × d × (n − 1)! × D n−1 = O(d)
& % ( & & ( ( ( .
& ! , ; & &( %
' ' & % ( , ( . & ! ! ( ' ( %
% ( * *
( ( "# & ( & ! ; . O(ed + min(>, nd) × n) = O(d)
. . . . . & O(d)
& ! ( ! ; ( ( & ! ( . & ( ( . & ! ( ; & ! ( ! ( ! ( . & ! ( , . ; ( & ! ( ! ; ( & ! ; ( ! & & ( . "# 0 0 ( ! & ! d
(
( ( d( & ! ;
*
! "# & O (ed0 + min(>, nd0 ) × n) = O(d0 )
& ( & & (
;
! d × (n − 1)! × D n−1
! ! ( , . & & (
, ! "# ! !
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